趣味で物理学

「ご趣味は何ですか。」 「物理学です。」 相手は一瞬とまどった様子だ。それでも何か言おうと頑張って記憶をた どっている。 「え、じゃあ・ ・ ・自宅で台車とか転がして速度を測ったりするのですか。」 意外な反応に思わず少し笑ってしまった。いや誤解しないでくれ・ ・ ・別 に馬鹿にしたわけじゃないんだ。この人にとって物理学なんて未知の世界 なんだろうなぁ。私も何か気の利いた返事をして助けてやらねば・ ・ ・。 「いや、しないですけど・ ・ ・そんなことして楽しいわけがないです。」 ああ、ごめん！ もっと困らせる返事をしてしまった気がする。 「じゃあ、計算通りに物が動くと嬉しいとか、そういうタイプですか！」 コイツいいやつだ。会話を途切らせまいと必死に考えてくれてる・ ・ ・。そ れに勇気がある。コイツ本当にいいやつだ！ 「確かにそういう性格もありますけど、うーん、なんだろう、それだけ じゃないんです。」 ああ、頼む。頑張ってもう少し会話を続けてくれ。そうすれば分かるか ら。私を付き合いにくいやつだと思わないでくれ！ 趣味でやる物理学の魅 力をもっと伝えたいんだ！ そして出来ればこの趣味に引きずり込んで一緒 に楽しみたい。 難しくなんかない。いや、たまに難しい事もあるけれど、いつか努力は 報われる。この趣味がどんどん広がって、国民の代表的な趣味の一つに認 められるほどになればいいとさえ思っている。

 

   

序文  この本は一体何なのだろう。私もどう分類していいものか良く分からな い。一体、書店ではどのコーナーに並べてもらえるのだろうか？ 今の私としては「読み物」だという思いが強い。物理の楽しさを伝えた いという気持ちを込めたつもりである。しかし元は「教科書」を書いてい るつもりだった。その辺りの経緯は少し後で話そう。 ある人は「教科書」と呼べばいいし、ある人は「参考書」と呼んでもい い。読者層は特に意識していない。ページをパラパラとめくるとたくさん の数式が目に付くが、恐れる事はない。飛ばして読んでもらっても楽しめ ると思う。しかし数式を省くわけにはいかなかった。それがなければ伝え きれない思いがそこにある。たとえ数式の意味が理解されなかったとして もだ。数式が増えればそれだけ編集の手間とコストは増えるわけだが、出 版社にはよく理解して頂き、特別な犠牲を払って下さることになった。心 より感謝したい。 科学好きな中学生、高校生の目に留まって手に取ってもらえるだろうか。 あるいは好奇心旺盛であらゆる事に対して研究熱心なおじさんたちに読ん でもらえたりするのだろうか。また今まで物理にはこれっぽちも興味はな かったのだけれど、大学や職場でどうしてもその辺りの知識が必要になっ てしまったという人にも、この本に幾分かお助けできることがあるかも知 れない。そういう人に気付いてもらえたらと願っている。 この本の内容は、元々インターネット上で公開されたものである。イン ターネットを使える環境にある人は、「EMAN の物理学」というサイトを 探してもらえればこの本に含まれている内容のほとんどをそこで無料で読 む事が出来る。今回この本に収録できたのはその中のごく一部である。私 がこの「趣味で物理」を続ける限り、ネット上の公開記事はこれからも増

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え続けることだろう。この本に載せられなかったさらにレベルの高い内容 もあるので、関心を持たれた方は是非訪れて頂きたい。 このネット上の記事は 6 年ほど前に、私自身の個人的な勉強のために書 き始めたものである。それから多くの人の支持や励まし、助言によって内 容を少しずつ改善し、今まで何とか続けてこられた。 もともと「高校生でも理解できる大学レベルの内容の教科書」作りを目 指してきたのだが、今や読者は大学生が最も多いと思われる。それは昼夜 関係なくアクセスがあることと、春休み、夏休みにはアクセス数が減るこ とからも推測できる。さらにテスト期間に突入するとアクセスは激増する。 読者の要望に応えるうちに内容はどんどん高度な方へ向かって行き、今や 一つの記事を書き上げるのに非常に苦労している。また最近は大学院生や、 物理や数学の専門家、あるいは私と同じく物理を趣味とする「猛者ども」に 取り囲まれて、心強さとプレッシャーを同時に感じて大いに楽しんでいる。 さて、このネット上の記事を本として出版して欲しいという要望は今ま で何度も寄せられてきた。パソコンの画面では読みにくいので、いつでも どこでも、電車の中でも寝ながらでも読めるようにして欲しいというわけ だ。 「勝手に印刷して冊子にして友人たちと勉強しています」という高校生 からの嬉しいメールももらったりする。 私としてもいつかこれらの記事を一冊の本にして友人や親族に自慢して 回りたいという気持ちがあったのだが、私に完璧主義的なところがあるせ いか満足の行くところになかなか到達しない。これは物理に限らず学問に はそういうところがあって、やればやるほど先が遠くいつまでも満足でき ないことによるのかも知れない。 このままでは「コンプリート版」の出版までまだ何年掛かるか見当も付 かないので、今の内に多くの人に役に立ちそうな部分を見繕って、 「趣味で 物理」の仲間を増やそうと考えた次第である。そもそも分厚くて高価な本 がいきなり出版されたとして、どれだけの人が買ってくれるだろうか。大 人というのは自分の理想よりも、経済の動きや周囲の人々の生活にも十分 気を配らないといけなかったりする。これはしがらみや足枷などというも のではなく、より賢い現実的な選択ができるようになったということだ。 さて、昔書いた記事など気恥ずかしくてなかなか読み返したくはなかっ

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たのだが、今回、編集のために読んでみるとこれがなかなか面白い。今の 視点でならもっと簡潔に書けてしまうのだろうが、無知ゆえのこの面白さ はもう出せないだろうと思う。それで少々厳密でない表現があちこちに残っ ていることを承知していながらも、書いた当時の「思い」を重視してほと んどそのまま出す事にする。 厳密で完璧な教科書なんてあんまりいいことはない。どんな教科書であっ ても嘘が含まれていることを常に疑いながら、自分の頭を働かせて読んで もらいたいと、私は読者に願う。私の書くものについてはなおさらである。 私の考えの誤りや「もっといい方法」をどんどん見つけて私よりはるか上 を目指してもらいたい。

2006 年 11 月 15 日 広江 克彦

iii

目次 第 0 章 準備

1

0.1

本書の構成

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

0.2

本書での記号の使い方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

0.3

どの量をどんな文字で表すか . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.4

図が少ないのではないか . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

第 1 章 力学

1.1

1.2

1.3

9

運動量保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1

力とは何か . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2

「重さ」と「質量」 . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.3

運動方程式の微分形式 . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.4

作用反作用の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.1.5

運動量保存の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1.6

動いてないのに力を感じるのは変じゃないか . . . .

20

1.1.7

ニュートンの 3 つの法則 . . . . . . . . . . . . . . .

23

エネルギー保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.2.1

エネルギーとは何か . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.2.2

エネルギーと運動量は何が違う . . . . . . . . . . .

28

1.2.3

エネルギー保存則は基本法則ではない

. . . . . . .

31

1.2.4

3 次元への拡張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.2.5

エネルギーの交換について考える . . . . . . . . . .

38

1.2.6

ポテンシャルエネルギーの正体 . . . . . . . . . . .

40

1.2.7

エネルギーは質量を持つ . . . . . . . . . . . . . . .

43

角運動量保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

1.3.1

てこの原理を考える . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

1.3.2

回転に関する物理量 . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 v

1.4

1.3.3

慣性モーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

1.3.4

慣性モーメントを計算する . . . . . . . . . . . . . .

52

1.3.5

コマはなぜ立っていられる？

. . . . . . . . . . . .

58

1.3.6

コマの歳差運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

1.3.7

もっと簡単なジャイロ効果 . . . . . . . . . . . . . .

63

1.3.8

ベクトルによる正しい定義 . . . . . . . . . . . . . .

64

1.3.9

角運動量の保存法則 . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

1.3.10 運動量保存だけでは不完全？ . . . . . . . . . . . .

73

力学のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

∼哲学∼ 実在はどこにあるか . . . . . . . . . . . . . . .

78

第 2 章 電磁気学

81

2.1

目標と方針

2.2

マクスウェル方程式の概観 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.3

電荷の間に働く力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

2.4

静電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.5

静電場の満たす方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.6

微分法則を使う理由

97

2.7

電束密度の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.8

電流と磁場の発生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.9

ローレンツ力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.10 物質中での磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.11 電磁誘導 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.12 マクスウェル方程式の完成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 ∼提案∼ 部活で「理論物理部」なんてどうだ？ . . . . . 127 第 3 章 電磁方程式をいじりまわせ

vi

129

3.1

マクスウェルの方程式はなぜ解けるのか . . . . . . . . . . 129

3.2

電磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.3

電磁波のエネルギー（前編） . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.4

電磁波のエネルギー（後編） . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.5

マクスウェルの応力

3.6

電磁波の運動量（前編） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.7 3.8

電磁波の運動量（後編） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 エネルギーと運動量

. . . . . . . 3.9 電磁ポテンシャル . . . . . . . . . 3.10 ゲージ変換 . . . . . . . . . . . . 3.11 遅延ポテンシャル . . . . . . . . . 3.12 等速運動する点電荷 . . . . . . . 3.13 点電荷が発する電磁波 . . . . . . 3.14 力学との接点 . . . . . . . . . . . 3.15 電磁気学のまとめ . . . . . . . . . ∼提案∼ 教科書解読という趣味

. . . . . . . . . . . . . . 164 . . . . . . . . . . . . . . 166 . . . . . . . . . . . . . . 171 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

176 182 188 193

. . . . . . . . . . . . . . 196 . . . . . . . . . . . . . . 198

第 4 章 補習の部屋

201

4.1 4.2 4.3 4.4

外積について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

直線上の電荷が作る電場の計算 . . . . . . . . . . . . . . . 217

ガウスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 ストークスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 ∇（ナブラ）を使え！ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 デルタ関数

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

単位系による違い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 電気力線の実在性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 慣性モーメントテンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

4.9.1 4.9.2 4.9.3 4.9.4

動機と準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

4.9.5 4.9.6 4.9.7 4.9.8 4.9.9

角運動量保存則が優先される

素人考え . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 定義に忠実にやってみる . . . . . . . . . . . . . . . 235 慣性乗積の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 行列の意味するもの . . . . . 座標の回転 . . . . . . . . . . 回転の安定性 . . . . . . . . . 地球のポールシフト . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

241 242 245 247 249

4.9.10 平行軸の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 あとがき

251

vii

第 0 章 準備  この章は理数系の教科書を読み慣れた人は読み飛ばしてもらってもいい ような内容だが、それでも心を込めて書く。 この本を高校生、いや、できれば中学生でも読めるようにしたいと考え ているので、理系の大人たちがごく当たり前だと思っているような基本的 なことから説明したいと思う。 しかしこの章でいきなり分からないことが出てきたとしてもそれほど気 にすることはない。この章は安心してもらうために書いているのだが、つい つい目的を忘れて、高度な事まで書きたくなってしまうことがあるからだ。

0.1

本書の構成

まぁ、好きに読んでもらったらいいのだが、全体の内容を軽く紹介して おこう。 まず第 1 章では力学について考える。力学は物理学のあらゆる分野の土 台だから、初めに来る。 第 2 章から電磁気学の話になる。電磁気学というのは力学とともに物理 の基礎の二本柱というべき分野である。そこでは微分や偏微分という数学 操作を多用するが、別に大して難しい話ではない。それについては第 1 章 の中に説明があるので、軽く読んでもらえれば第 2 章に進むのに差し支え はないだろう。 そして第 3 章こそが本当の電磁気学である。前の章で一揃いしたマクス ウェル方程式を使って、そこから何が言えるのかを調べる内容になってい る。残念ながらそれだけでこの本は終わりだ。 最後の第 4 章は普通の教科書でいうところの「付録」のようなものであ る。本文中に差し挟むと話の流れが悪くなると判断した話題はこの章の中

1

第0章

準備

にごちゃ混ぜに押し込んである。しかしどれも他の章の本文と同じくらい に力を込めて書いてあるので、単なる付録とは呼びたくなかった。それで 「補習の部屋」と名付けてある。1∼3 章の本文中には、第 4 章にある記事 を先に読むように誘導している部分が幾つかある。つまり、第 4 章も他の 章と同じく、なくてはならない部分だということだ。

0.2

本書での記号の使い方

本当は記号なんて何を使ってもいいのだ。例えば、この本では足し算を 「＋」ではなくて「♥」を使って表しますと宣言して使っても間違いじゃな い。しかしそれでは読みにくくなるだけなので得策ではない。なるべく多 くの人が慣れている記号を使う方がいい。 義務教育では「こうしなきゃダメ」 「これは間違い」などと、やたら書き 方の作法を重視する傾向があるが、もっとも大切な基準は、相手に分かり 易く伝えられるか、使いやすいか、ということである。正式でない書き方 が少々紛れ込んでいたとしてもあまり気にしてはいけない。むしろ、その 意味を素早く受け止める柔軟さと判断力が必要だ。言い訳するのではない が、本には誤植が付き物だ。ちょっとしたミスをいちいち気にしていたら 先へ進めなくなるだろう。できるだけ気をつけてはいるが、あまり私を信 頼してはいけない。 それから私は、大カッコ、中カッコ、小カッコを使う順番についてはあ まり気を付けていない。その時の気分や見易さ、印象を考慮して選ぶ。作 法よりもそれが示す意味の方に集中して欲しい。

割り算について 割り算は普通、 ab のように分数で表す。しかし十分なスペースが取れな い場合や、あまり高く積み上げると見た目がかっこ悪いと感じる時には a/b のように崩して書く。仕方なくそうすることもあるし、わざとそうするこ ともある。

微分について 微分は高校で学ぶ数学的なテクニックである。しかし少々勘のいい小学

2

0.2. 本書での記号の使い方

生になら十分教えられるんじゃないかと私は思う。時々「微分のできる小 学生」がテレビに出てきたりするが、私は「おお、すごい！」などとは全 然思わない。読者がまだ中学生で微分を分かり易く教えてくれる大人が近 くにいない時は、もうしばらく我慢して今の勉強に集中するか、ちょっと 背伸びして分かり易そうな参考書を手に入れて自分で勉強してみるのがい い。どうするかは自分で選ぶのだ。自分が置かれた環境のせいにしてはい けない。 微分の具体的な計算方法が分からなくても心配は要らない。意味だけは この本の中で説明しているので、完璧に理解しようと望まなければ読み進 めることができるだろう。そもそも完璧な理解など簡単にできるものでは ない。 そんなことより記号の説明だ。関数 f (x) を x で微分する時、 df dx と書く。

ダッシュを付けて f  (x) と書くこともある。スペースが足りない時は、割 り算と同じように崩して df / dx と書くことがある。

d あまり慣れないことかも知れないが、 dx f という書き方も時々行われる。

これは f にあたる部分が長ったらしい式になった場合に分数の上に乗せる とややこしくなるからである。

時間微分について 変数 x を時間 t で微分する時、微分の記号を使うと式がごちゃごちゃし て面倒なので x˙ のように変数の頭にドットをつけて表すことがある。この 書き方を使うときにはそこでもう一度説明する。いきなり使うことはない ので身構えなくてもいい。他の教科書でもたまに使う記法である。

偏微分について 偏微分とは何であるかについて、詳しくは第 1 章で説明してある。例え ば関数 f を x で偏微分するとき、 ∂f ∂x と書く。微分と同じようにスペース の都合で ∂f /∂x と崩して書くことがある。ちなみにこの「∂ 」という記号 は「デル」「パーシャル」または「ラウンドディー（丸っこい D）」と呼ば れる。短く「ラウンド」とか「ディー」とか呼ぶこともあって、統一され ていない。 これも微分と同じように ∂ ∂x

∂ ∂x f

という書き方が行われることがある。また、

という部分だけ取り出して、「この後に続く式を x で偏微分しなさい」

3

第0章

準備

という意味の記号として使われることもある。

微小量について ある量 x の微小変化を Δx のように表す。Δ（デルタ）はギリシャ語のア ルファベットの大文字であって、D に相当する。これを使うのは difference の頭文字に由来している。この微小変化が無限に小さいというニュアンス を表したい時には dx と書く。微分や積分の中で使われている d も同じニュ アンスを表したものだ。 最近、活字で表す時は dx ではなくて dx というフォントを使うべし、と いう教科書の規格統一化を重んじる風潮があり、厳しい意見を持つ人が増 えてきている。どうせ手書きの時にはそんな区別はしないのだし、私は dx の方が見た目かっこいいとさえ思うのだが、少しの手間で批判がかわせる ものなら従っておこう。実はこれ以外の記号についても色々あるようなの だが、気にしない。私は良い見本ではないと思って欲しい。

定義の記号について A という新しい記号を導入してその意味が B という式で表せるのだと定 義するとき、A ≡ B という記号で表すことがある。この記号は義務教育で は図形の合同を表す記号として使われているものなので違和感があるかも 知れない。普通の等号を使えば済むことじゃないかと私もよく思ったもの だ。これは要するに等号を強調したものであり、 「これはこう決めたのだか ら疑う余地無く証明なしで常に等しいのだ」という意味である。

ベクトル、行列について ベクトル量は太字で表す。例えば、力をベクトルとしてではなく 1 成分 だけで考えている時には F を使うが、3 次元ベクトルであることを表すと きには F を使う。この活字の太さの差に注意して欲しい。 また、ベクトルの各成分は通常の太さで表して、右下に添え字でどの方 向の成分であるかを示すことにするから、次のような表記になる。

F = (Fx , Fy , Fz ) − → 一昔前はベクトルは F のように表すことが多かったらしいが、活字の進 歩にともなって太字で表すものが増えてきたようである。こんなことまで 4

0.3. どの量をどんな文字で表すか

わざわざ説明するのは、この本が趣味で物理を学び始めることを勧める本 だからである。これから趣味として物理をやっていくと、少し昔に書かれ た文献にも目を通す機会がきっと訪れるだろう。色んな流儀があることを 知っていてもらいたい。 また、本書では行列も太字で表現する。行列とベクトルを掛け合わせる ことがあるが、行列の方が成分が多くて大きい気がするのに、太さで負け ていては不恰好だと感じるからである。あまり参考にすべき意見ではない かも知れないな。

0.3

どの量をどんな文字で表すか

物理を学び始めたばかりの人から、どのアルファベットがどの物理量を 意味するのですか、と質問される事がよくある。実に、そんな決まりはな い。好きに使ったらいいのだ。しかしあまり個性的な使い方をすると非常 な混乱を招くので、なるべく伝統に従った方がいいだろう。 この伝統というのが簡単には説明しきれない。force の頭文字が F だか ら、力には F または f が良く使われるとか、質量は英語で mass だから m がよく使われるだとか、由来が分かり易いものも多くある。一方、有名な 論文や教科書でなぜか初めにその記号が使われたから、それ以来それが定 着したというだけの理由のものもある。 アルファベットは大文字、小文字合わせて 52 もあるが、それでも色んな 量があり過ぎて記号が足りない。例えば、力を F で表すといっても、色ん な場所に色んな力が掛かっていたらそれぞれを別の記号で区別する必要が 出てくるだろう。ギリシャ語のアルファベットにも手を出したりするがま だ足りない。それで一つの物理量にいつも一つの記号を割り当てるという わけに行かず、記号を使い回したりするわけだ。 本書ではエネルギー E と電場 E が同じアルファベットを取り合うとこ ろだった。これらは両方とも伝統的に E をよく使うのである。しかし電場 と言えば E というのがかなり定着しているので、仕方なくエネルギーを U で表した。 なぜ U を使ったかって？ これも伝統の一つだ。エネルギーは E が予約 済みの場合には、アルファベットの後ろの方に並んでいる U 、V 、W 辺り

5

第0章

準備

のいかにも強そうな大文字を使って表す傾向がある。これを a とか b とか で表すのはいかにもしょぼくてイメージに合わないのだ。しかし X、Y、Z などは座標の記号とかぶるので使わないことが多い。今回は V が体積を表 す記号として良く出てくるのでこれも避けた。W もその小文字を他で使っ ているので紛らわしい。 こんな具合にあちこちに気を配りながら、その場その場で記号を使い回 して割り振っているのである。決まった記号などはない。 「本書での記号一覧」なんてのを作ったら読者にとって便利だろうかと 検討してみたが、下手な誤解を招きそうなのでやめにした。記号の割り当 ては本文中で新しい記号が出て来るたびにしているので、そちらに頼るよ うにしてほしい。一部、同じ記号を違う意味で使っているところもあるが、 前後の説明文を読めば混乱はしないはずだ。

0.4

図が少ないのではないか

しーっ！ このことをあまり気にしてはいけない。なぜって、私も気にし ているのだ。それで近くの書店に偵察に行って来たわけだが、最近の初心 者向けの物理の本では 2、3 ページに一つの割合で必ず図が入っているよう である。売れるために必要な戦略なのだろうか。ちょっと心配だ。 図は役に立つ。あの面白そうな絵のところまでは頑張って読んでみよう と考えたり、前にどこまで読んだかを思い出す目印になったりもする。 しかしいい事ばかりでもない。あまり理解の助けにならない漠然とした イメージだけの図だとか、図の意味を考えるのに時間を食ってしまう割に は本文以上のことが表現されていない図だとかがたまにあるわけだ。先の 方にある図の意味が知りたい一心で読み進んだのに、がっかりさせられる 事もある。 読者によっては違う意見もあろうかと思うが、私はイメージを大切にす るが故に図を最小限にとどめる。高度な概念は絵にすると嘘が混じるもの だ。読者自身の頭の中に 3 次元に縛られない自由な図を描いて欲しい。そ の代わり私は文章で出来る限りのサポートをする。 私が図を描くときは、自身の文章表現の弱さを認めた場合であると考え てもらうと別の意味で楽しめるかも知れない。ああ、もういっそのこと開

6

0.4. 図が少ないのではないか

き直ってしまおう。数式というのは、言葉で表すと複雑になってしまう概 念を記号を並べて簡潔に表したものである。この本に出てくる数式はすべ て図であると考えてみてはどうだろうか。 この本で「図が多い＝分かり易い」という常識を覆すことができれば愉 快だなぁという試みの気持ちを持っていないでもない。 「準備」の名を借りて、あらかじめ言いたい事を全て言わせてもらった のですっきりした。わざわざ読んでくれて本当にありがとう。では本文へ と進むことにしよう。

7

第 1 章 力学 1.1 1.1.1

運動量保存則 力とは何か

力学は、簡単だ。要は、止まっている物体はいつまでも止まっている。動 いている物体は、摩擦などがなければいつまでも同じ速度で動いている。 これが慣性の法則。 止まっている物体は力を与えられると動く。動いている物体は、力を与 えられると速さを変える。うまく行けば止まることもある。私たちの身の 周りには「摩擦」があるので物体が止まるのは日常茶飯事だが、もし摩擦 がなければ物を止めるのは非常に難しい作業なのである。 次に、力とは何かということだが、これを深く突き詰めれば哲学的にな る。これについては「軽い読み物」を書いたので後で是非読んで頂きたい。 気になる人は今すぐ読んで下さっても問題ない。（→ 78 ページへ） 物理なんて、視点を変えればいくらでも別の議論ができるものだ。現に 私はこれから普通の教科書とは違うアプローチを取ろうとしている。科学 的な議論には定義が大切だ。違う土台に立って話し合うと混乱が生れる。 時々その土台をコロコロと変えて議論する人がいるが、そういう人の議論 は怪しい。疑ってかかった方がいい。 ここでは、 「物体が運動を変化させる時、そこには力が働いている」と考 えることにしよう。「物体の運動を変化させるもの」それが力だ。 力には大きさがある。力の大きさはどうやって決めようか？ 物体の運動 がどれくらい変化したかで決めることにしよう。では、物体の運動ってい うのは何だろう？ 速さのことか？ 速さだけではいけない。同じ速さでも重 いものと軽いものがある。重いものを動かすのに強い力が要ることは日頃 の経験で分かる。

9

第1章

力学

例えば・ ・ ・速いボールを止めるよりも、ゆっくりと動く列車を素手で止 める方が疲れる。 ・ ・ ・はずだと思う。こんな経験はしたことないからな。車 くらいなら、エンジンを止めた車を押したことがある。動き始めた車を止 めるのはなかなか手ごたえがある。蒸気機関車をターンテーブルの上で人 力で反転させるのを見たことがあるが、あれも大変そうだ。 そこで、重さと速さを掛けることにする。これは物理の世界で「運動量」 と呼ばれている。重いほど運動量は大きいし、速いほど運動量は大きい。

p = mv

(  p : 運動量  m : 重さ  v : 速さ ）

この式を見ると、例えば重さが 2 で速さが 1 の物体の運動量と、重さが 1 で速さが 2 の物体の運動量は同じだと言える事になる。本当にそうなって いるのだろうかという疑問を持って考えるのは素晴らしいことだが現段階 ではあまり意味がない。ただそう言えるように「運動量」という量を定義 しただけであって、うまく行かなければその時にはもっと便利な量を考え ればいいだけのことである。物理はそうやって発展してきたわけだ。実際、 このように定義した「運動量」はとてもうまく行く。この「運動量」の概 念は自然を矛盾なく単純に理解するための大きな助けになるのである。 話を戻そう。力とはこの運動量がどれだけ変化するかを表すものである。 しかし同じ力を長い時間かけているのと短い時間かけているのとでは結果 が違ってくる。当然、長い時間力をかけていた方が同じ力でも大きな変化 をもたらすことになる。そこで、時間と力を掛けて「力積」と呼ぶことに しよう。力積は運動量と等しい。いや、言い方を変えた方がいい。 「力積は 運動量と等しい」と言えるように力の単位を決めることにしたのだ。

p = Ft この式はつまり mv = F t ということであり、言葉で表現すれば力の単位 を次のように決めたことに相当する。「1kg の物体を 1 秒の内に秒速 1m の速さにまで加速できるだけの力を 1 ニュートンとする。」 こいつを変形してやれば、

F = mv/t 10

1.1. 運動量保存則

となって、v/t は加速度を意味するので、

F = ma という、高校で習う式を得ることができる。 学校の教え方ではわざわざ運動量を持ち出さないでいきなり「1kg の物 体を 1m/s2 で加速する力を 1 ニュートンとする」と定義する。私はこの教 え方に反対するつもりはなくて、直接的な分かりやすい方法だと思う。し かし、その後で習うことになる運動量とは全く別個の概念であるかのよう な印象を与える可能性がある。物理にはいろんなアプローチがあって、そ れぞれ利点欠点があるものだ。生徒がそれぞれの違いを理解できた時、本 当に分かったと言えるのだろう。

1.1.2

「重さ」と「質量」

先ほど私は運動量を定義するのに「重さ」という言葉を使った。初めて物 理を学ぶ人にとってはその方が分かり易いと思ってそうしたのだが、これ は物理学では非常にまずいのである。なぜなら重さというのは環境によっ て変化してしまう量だからだ。 例えば、月の表面に行けば重力が小さいために物体の重さは地球上での

1/6 に減少する。また、エレベータが急上昇、急降下するときには体が重 くなったり軽くなったりするのを感じるだろう。 （最近はそういう不快感を 感じさせないエレベータが出てきたので、これからの物理の教育上、不都 合が生じることになりはしないかと心配している。） このように外からの影響に左右され易い量を、物体そのものが持つ性質 だと考えてしまってもいいものだろうか。このままでは運動量も重力の強 弱によって変化するものだという事になってしまうが、それでは非常に扱 いにくい量となる。 例えば重力がないところでは物体の重さが 0 になるが、そのような状況 でも物体はまだ「重さ的な量」を持ち続けているようなのだ。 「重さ」に非 常に似てはいるが、重力に左右されることのない量。それを「質量」と呼 ぶことにしよう。前節の運動量の定義のところで m を「重さ」であると書 いたが、これを「質量」と読み替えてもらいたい。それが運動量の正しい 定義である。

11

第1章

力学

よくよく考えてみると、 「重さ」というのは地球が物体を引っ張る力のこ とである、と解釈できそうだ。いや、地球だと限ってしまってはだめか。月 に行けば、月が物体を引っ張る力を「重さ」と呼ぶことになるのだろうか ら。「重さ」というのは物理学的には「力」を表す言葉だったのだ。 地球の表面近くで物体を落とすと、物体は 9.8m/s2 の加速を受ける。こ れを地球の「重力加速度」と呼ぶ。先ほど求めた式によれば、質量 m と 加速度とをかけたものは力である。つまり地球の重力が質量 1kg の物体を 引っ張る力の大きさは、9.8 ニュートンであると言えるわけだ。これが重さ の正体である。 しかしこういう話を聞いたからといって神経質になる必要はない。日常 生活では重さと質量はほぼ同じ意味であり、区別なんかしなくていい。両 方とも単位は「kg」がよく使われる。ただ、物理をやっている時だけは概 念の違いに気を付けて言葉を正しく選び、間違いが混じらないように気を つけることが大切なのである。

工業系では力の単位として「kg 重」（キログラムじゅう）という単位を 使うことがある。プレス機などの性能表示では「kgf」または「kgw」と書 かれている事が多い。1kg の物体にかかる重力の大きさは 9.8 ニュートン だが、これと全く同じことを 1kg 重だと表現するわけだ。この方が 9.8 を かけなくてもいいので直感的に分かり易い。 「ああ、1kg のおもりを持った ときに手に感じる力と同じだな」とすぐに分かる。 しかし物理ではこの単位は使わない。 「ニュートン」という単位で統一し ている。学校というのは人に知識を与えるための単なる慈善事業ではなく、 産業を支える人材を育て上げて国の力を維持することが主目的であるため、 こういう産業界からのニーズに応えた内容も教え込まれることになるので ある。え？ 最近の中学では「kg 重」を教えるのをやめたの？ まぁしかし、 知っておいて無駄ではなかろう。自分がこれからやろうとしていることに 関係あることもないことも色々知っていれば、それだけ幅の広い見方がで きるというものだ。

12

1.1. 運動量保存則

1.1.3

運動方程式の微分形式

先ほどは加速度を a と表して F = ma という式を導いたが、大学ではこ の式を微分を使って、

F =m

d2 x dt2

と表すのが普通である。これを「ニュートンの運動方程式」と呼ぶ。この書 き方の方が深い意味を含んでいて状況を正しく記述できる。一度これに慣 れたらもう戻れないほど便利なのだ。力学が誕生したニュートンの時代か らこの方法は存在する。なぜなら微分というのはニュートンやライプニッ ツなどが力学を正確に書き表すために独自に編み出した方法だからである。 この先まだしばらくは微分の知識を必要とすることはないが、物理では 非常によく使う大切な概念なのでここでごく簡単に説明しておこう。少し ずつ慣れておいた方がいい。 まず、速さとは何であろうか。簡単に言えば物体が動いた距離をその移 動に掛かった時間で割ったものである。しかし長い距離を移動する間、ずっ と同じ速さだとは限らない。速さは変化するのが普通である。すると「今 の速さ」は幾つだ、ということが気になり始める。しかしどう考えたらい いのだろう。 「今この瞬間の速さ」と言われても、ある瞬間には物体はただ そこにあるだけであって、動いてはいない。いや、本当に動いていないわ けではない。「ほとんど動いていない」だけだ。ごく短い一瞬の時間内に、 ごくわずかに動いた距離さえ分かれば速さは計算できる。無限に小さい時 間間隔を考えて計算した値はほとんど「その瞬間の速さ」と呼んで差し支 えがない。ごく短い時間内には速さはほとんど変化しないのだから気にし てはいけない。 つまりごく短い時間間隔 Δt と、その間のごく短い移動距離 Δx を考え て Δx/Δt という量を作り、Δt を無限に 0 にまで近付けたときのこの量の 値を微分記号で表して瞬間の速さ v であると定義するのである。

v=

dx dt

0 で割り算することは数学的に矛盾が出るので反則になるのだが、分母 の値を徐々に 0 に近付けて、その値がどうなるかを考えることは許されて 13

第1章

力学

いる。 この考えを使って、もう一度先ほどの力積の話からやり直してみよう。力 の大きさと時間を掛けたものを力積と呼ぶのだったが、先ほどのやり方で は物体に加える力 F の大きさが t 秒間ずっと変わらず一定だという仮定の 中で計算していたことになる。そんな珍しい状況は受験問題にはよく出て くるが現実には滅多にないことだ。普通は一瞬のパンチにしても、徐々に 力が加わり、徐々に力が抜けて行くものだ。 このような現実的な場面にもちゃんと当てはめることのできる議論をす るために微小時間の考えを使うのである。本当に短い一瞬の時間 Δt だけ に限れば、その間の力 F はほとんど一定で変化しないと見なせる。そのご く短時間の力積を F Δt と表そう。その力積によって運動量はわずかに変化 するから、それを Δp と書こう。つまり、F Δt = Δp が言える。これを変 形して F = Δp/Δt と書き、Δt を無限小に近付ければ

F =

dp dt

が言える。力とは運動量の時間的な変化率であるという意味だ。ニュート ンの運動方程式をこのように書き表すこともあるので心のどこかに留めて おいてもらいたい。 しかし運動量の変化というのは、普通は物体の速度変化だけが原因であ る。物体が壊れでもしなければ質量 m の値が勝手に変化する事はないから だ。それで運動量の変化は Δp = mΔv と書くことができるだろう。つま り、F Δt = mΔv であり、変形すれば F = mΔv/Δt であり、

F =m

dv dt

だとも言える。v は移動距離を時間で微分したものであり、ここではその v がさらにもう一度微分されているのだから、

F =m

d2 x dt2

と書けるわけである。この式は加速度が一定でない場合にも使える。力が 変化するような場面であっても、そのどの瞬間にも当てはめて使える式だ ということである。

14

1.1. 運動量保存則

加速度を一定値 a で表す幼いやり方は早い内に卒業しておこう。何しろ 力学は生まれたその時から、もう何百年も微分の考え方を使ってきたのだ から。

1.1.4

作用反作用の法則

ここまでで「力」の定義については話した。しかし「力」というものは 実際には存在しないものであって、運動量が変化する現象を見て「力が働 いていると考えよう」と人間が勝手に決めた概念である。このことを理解 できるだろうか？ 例えば、2 つの運動する物体があってこれらが衝突したとする。そのと きこれらの物体は運動を変化させるだろうが、私たちが観測できるのは運 動が変化したという事実だけである。力というものが見えるわけではない。 力という何かが飛び出してくるわけでもない。運動の変化を見て「互いの 間に力が働いた」ことを間接的に知るだけである。 これは実際のところ、ただ「運動を変化させるもの・ ・ ・ ・力」がお互いの 間に働いたと考えよう、としているだけのことに過ぎない。私たちはこの 考えに慣れてしまっているだけなのである。「運動量を交換する現象」を 私たちは「力」と呼んでいるに過ぎない。 ではなぜ、そのような概念をわざわざ物理に持ち込む必要があったのだ ろうか。それは人間の日常の直観にとって分かりやすくて便利だからであ る。例えば「もっと大きな力があれば・ ・ ・」「この部分に強い力がかかって いる」などは、日常でも良く使う台詞である。これら普段使う言葉の意味 と物理における「力」の概念は似通った部分が多いのである。 この「力」という概念を使えば物体同士が与え合う影響について次のよ うに簡単にまとめることができる。





作用反作用の法則

 力を他に及ぼした物体は、同じ大きさの反対向きの力を及ぼされる。  

15

第1章

力学

これと同じ事を「力」という言葉を使わないで言い表そうとすれば、ちょっ と苦労する。実はこの後に説明する運動量保存の法則がこれに当たるのだ。 また、この「力」という概念を定義しておけば、物体の重心や釣り合い などを扱う「静力学」の分野で大変役に立つし、 「電磁気学」でも共通して 使うことが出来る。 「力」というのは大変応用性の広い概念なのである。こ の分野のことを日本語で「力学」と翻訳しているのは奥が深い。 「力」はこ の力学という分野の主題であることは間違いない。



豆知識



 力学を意味する言葉は英語では複数あって、物体の衝突などを扱う 分野を dynamics と呼び、物体の重心やバランスを扱う分野を statics と呼ぶ。普通はどちらも「力学」と訳すればいいのだが、これらの違 いを区別したい時や議論の視点によって、前者を「運動学」あるいは 「動力学」、後者は「静力学」と訳し分けることがある。  他にも幾つかあって例えば mechanics という単語もある。これは「構 造学」というニュアンスが強いがやはり「力学」と訳されることが多 い。例えば量子力学という単語は時に「quantum dynamics」と表現 されるが、 「quantum mechanics」と表現されることもある。前者はミ クロの世界での粒子のぶつかり合いの法則を議論することに主題が置 かれ、後者は原子の内部構造、あるいはこの世の内部構造を解き明か す学問であるというニュアンスを多く含んでいるのだろう。 

1.1.5

運動量保存の法則

運動量保存則という有名な法則がある。これは簡単にいえば、物体の運 動量の合計はずっと一定で決して変わらないということである。運動量が 変わらないということは物体がひとりでに速度を変えたりしないというこ とであって、慣性の法則に似ている。実は慣性の法則は運動量保存法則の 一部なのである。 運動量保存法則には慣性の法則以上の意味がある。2 つの物体が衝突す る時、衝突前と衝突後の 2 つの物体の合計の運動量は同じだという意味も ある。実に 2 つの物体の衝突に限らない。いくつの物体でもいい。いくつ

16



1.1. 運動量保存則

もの物体がめちゃくちゃにぶつかって複雑な運動をしたとしても、その全 ての運動量を合計したものはいつでも同じ。未来永劫変わらないというこ とである。





運動量保存の法則

 どんなに複雑に運動しても合計の運動量は決して変わらない。 



運動量の合計と言っても、ただの足し算をしたのではだめだ。運動量に は方向がある。速度に方向があるのと同じである。上向きの運動量と下向 きの運動量が一緒になったとき、打ち消しあう。右向きの運動量と左向き の運動量が一緒になったとき、打ち消しあう。同じ大きさで反対向きなら 合わせると 0 になる。この運動量の方向と大きさを長さの違う矢印で表す ことにすれば図に書いて理解しやすいし、計算も直感的で計算しやすい。 このような表現をベクトルという。ベクトルで足し算をしないとだめなの だ。この文章を読むような人ならベクトルがどのようなものか理解してい ると思うのでこれくらいの説明しかしない。分からない人もいるかも知れ ないが、そういう人は高校の数学の教科書を調べて欲しい。 ところで、物体がひとりでに動き始めることがあるだろうか？ ひとりで に動き始めるというのは何の影響も受けないのに自分自身で動き始めると いうことだ。このようなことは探しても見当たらないのである。 （もしあな たの家でいたずら好きな霊がやっているというのならそれは「ひとりでに」 ではないと私は考える。）必ず、物体は他から運動量をもらわない限り運動 を変化させることが出来ない。 物が落ちる時、物は地球から重力という形で運動量をもらっており、そ の分、地球は同じように落下中の物体に近づく運動をしている。あなたが 地球上でジャンプする時、地球も蹴飛ばされて下向きに移動している。あ なたが壁を押して進む時、地球はその反動で回転を始めるし、走る時、蹴 飛ばされた地面は走るのと反対方向に回転しているのだ。ごまかしや詭弁 などではない。ただ人が地球に与える程度の運動量では地球のような巨大 な質量をごくゆっくりとしか動かせないだけである。非常に僅かずつだが

17

第1章

力学

地球は確かにあなたの動きの影響を受けて動いている。 しかし、いつまでもあなたのせいで地球が運動し続けるわけではないこ とに注意しよう。あなたはいつか走るのをやめるだろう。その時、再び地球 を蹴って止まる事になるのであなたの影響で始まった地球の回転は止まる。 運動量が一定であるために、いつもこのような反動が必要なのである。 運動量保存則は作用・反作用の法則と同じ内容を含んでいる。反動という のは相手に運動量をあげた結果である。 地球などという壮大な相手を選んだせいで困惑させてしまっただろうか？ 同じ事は水の上に浮いた丸太の上を歩く時にも体験できる。そういうこと を実際にやってみる人はあまりいないだろうが、想像力は大切だと思う。丸 太の端から端まで歩く間に丸太も反対向きに移動する。あなたが止まる時、 丸太も止まる。あなたが元の位置に戻れば丸太も元の位置に戻る。走って 行って、歩いて戻ってきても結果は同じである。 運動量保存則から、重心の位置は決して変わらないという原則を導くこ とが出来る。他から運動量をもらわなければ、という条件付きでだ。誰か の船があなたの乗った丸太にぶつかれば丸太とあなたの重心は、船からも らった運動量で移動を始めることだろう。そういう事がなければ、丸太の 上でどのように動こうとも丸太とあなたの重心の位置はいつまでも動くこ とがない。 試しにその原則を導いてみせようか。まず重心というのは 2 つの物体の 質量を ma , mb 、位置を xa , xb であるとしたときに、

X=

ma xa + mb xb ma + mb

と計算されるような位置のことである。この計算にどんな意味があるのか は、この重心位置を原点とするような座標で 2 つの物体の位置を表せば分 かる。それは

のように書けるだろう。

18

xa

= xa − X

xb

= xb − X

1.1. 運動量保存則

これを先ほどの式に代入すると、

ma (xa + X) + mb (xb + X) ma + mb ∴ 0 = ma xa + mb xb X=

∴ ma xa = −mb xb となる。これは原点の左右にあるそれぞれの物体の、原点からの距離と質 量をかけた値が等しくなるという意味だ。つまりシーソーがちょうど釣り 合う条件である。重心位置で支えれば両側の 2 つの質量はちょうど釣り合 うのである。 さて、2 つの物体の合計の運動量は ma va + mb vb と表すことができ、こ れは一定である。va や vb は xa や xb を微分したものであるから、このこ とを

d (ma xa + mb xb ) = 定数 dt と書くことも出来る。つまり前ページの重心の定義式の分子の値の時間変 化は一定であるということだ。すなわち、「重心位置は一定速度で移動す る」ことが言えるのである。この速度が初めに 0 だったとしたら、その後 もずっと 0 のままであり、移動しないということである。式を変形するだ けで色々と面白い事が分かるものだろう？ 今までの経験から言って、運動量は必ず保存すると言える。物理という のは自然から学ぶものなので、自然界を観察していてそれに反することが 見つかればその法則は捨てなくてはならない。 かつて原子核のベータ崩壊現象を観察していて、これは運動量が保存し ていないのではないか、という結果が出て大騒ぎになった歴史がある。良 く調べた結果、ニュートリノというとても見つけにくい新発見の粒子があ ることが分かってきた。そいつが運動量を持って行ってしまっていたわけ だ。結局、運動量は保存していたわけで一同はほっとした。 このように、物理学で言うところの法則というのは、いろんな実験でい つも確かめる必要がある。物理学者はこれらの法則が「成り立つ」と固く 信じてはいるが、それに反する現象が起きた場合、良く確かめた上で変更 をするだけの柔軟さも持っている。ある法則が破られるということは物理 の体系が崩壊することを意味していなくて、物理学の発展を意味している。

19

第1章

力学

それは新しい法則を自然から学ぶチャンスなのだ。物理学者は今まで知っ ていた法則が成り立たなくなるのを待ち望んでいるものなのである。しか しいい加減な情報に惑わされることは望んでいない。だから彼らはまず疑っ てかかるわけだ。もしあなたが、「科学者たちは既存の法則に固執してい る」というイメージを持っているとしたら、その考えは少々偏っていると 指摘しておこう。 運動量の保存法則は今まで決して破られていない。言い方を変えれば、 運動量の保存法則に反する現象は、現時点では見つかったことがないので ある。

1.1.6

動いてないのに力を感じるのは変じゃないか

ここまでに「力とは運動量を交換する現象である」と書いてきたが、本 当にそう言い切れるだろうかと気になり始めたのでこれを書くことにした。 違うのではないかと思わせる現象が日常に多く見られるのである。もしこ れらを説明できなければ、残念ながらここまでに書いた文章を撤回しなけ ればならない。 例えば、磁石はどうだろう。磁石の同じ極同士を近づけると「力」を感 じる。それは反発させる力だ。磁石をぐっと近づけて動かないように手で 固定したとしよう。依然として力を感じる。しかし動かしていないのだか ら運動量は変化していないはずだ。どうして運動量が変化していないのに 力を感じるのだろう。 これから連想するに、バネも同じだ。バネをぐっと押し縮めてそのまま 動かないようにしておくために力が要る。しかし何も動いてはいないのだ から運動量は変化していないのではないだろうか？ そうなると、風船に空気を詰めてグッと押しつぶした場合も同じではな いか。バネと同じように元に戻ろうとする弾力を感じる。 これらをどう説明したらよいだろうか？ これを書いている今、私は非常 に困っているのであるが・ ・ ・。それでも・ ・ ・おお！ 風船の場合はわりと簡 単に説明出来そうだ！

20

1.1. 運動量保存則

ゴム風船の弾力 風船をつぶした時、中に押し込められた空気は前より激しい分子運動を する。多数の分子は風船のゴム膜に何度もぶつかって元の位置まで広がろ うとする。この内部の空気の分子がゴム膜にぶつかって跳ね返される時、分 子の運動量が変化している。もちろん、ぶつかられた風船のゴム膜はその 分の運動量を受けている。しかし、風船の反対側でも同じような反対向き の運動量を受けているわけだから風船全体としての運動量は打ち消しあっ ており、風船は勝手に動き始めることが無いのである。 風船を押した時に手に感じる弾力はこの空気の分子が衝突した時の運動 量を風船のゴム膜を通して感じているのである。風船をつぶす時、あなた はこの空気の分子の弾丸を知らず知らず押し返しているわけだ。両手で左 右から風船をつぶす時、右手と左手に反対向きの運動量が与えられるから、 あなたが運動量をもらったからと言って動き始めることは無い。しかし丈 夫なでかい風船に体当たりすれば、あなたはボヨヨンと跳ね返されること だろう。空気の分子から運動量を受けた結果である。 さらに、空気入りのクッションの上に寝転がった場合について考えてみ よう。あなたはクッションの上で運動量を受けることなくじっとしていら れるように思える。しかし、この場合も運動量の交換は常に行われている。 あなたは地球から運動量を受けていつも下に落ちようとしているわけだが、 それをクッションの中の空気の分子の無数の弾丸が、そうはさせるかとあ なたを下から狙い打っている。その反動であなたはクッションの上に浮い ていられるのである。あまりにも微妙なバランスで、しかもそれが高速で 行われているので、あなたは止まっているように感じていられるわけだ。 しかし、あなたの下では激しい運動量の交換合戦が行われている。空気の 分子はクッションの下側でも地球に運動量を与える戦いをしているので地 球はあなたの体に与えた運動量をそこできっちり返してもらっている。

ゴムひもとバネの弾力 さて、ゴムひもの弾力というのも実はゴムの分子の運動の結果であって、 同じように説明できる。ゴムの弾力の正体についてここでは詳しく述べな いが、熱力学や統計力学の分野の教科書を読んでもらえれば載っているの ではないかと思う。少し複雑なので、ここでは省略させてもらおう。

21

第1章

力学

では、バネの弾力についてはどうであろうか？ これは風船とは少し違う。 バネの弾力は金属の分子が変形に対して元に戻ろうとする力で、その原因 は元を正せばお互いの分子間位置を保とうとする分子の間に働く電磁力で ある。これについても詳しくは自分で勉強してもらいたい。私も詳しくな いのだ。金属の場合には金属結合が関連しているだろうとは思うが、最近 はバネと言ってもプラスチック、セラミック、ゴムのようなものにいたる まで色々違いがある。同じバネでも力の原因がどこまで共通していてどこ が違うのかっていうところが説明しきれない。詳しく言えば全く違うのだ が、磁石の場合と状況が似ていないこともない。

磁石から受ける力 それで、最も説明が難しいと感じていた磁石の場合についてだが、風船 の説明を色々したお陰で、説明が楽に出来るようになった。要するに磁石 同士も常に運動量を交換しているのだ。これは素粒子論の考え方なのだが、 磁力というのは運動量を持った仮想光子を互いに交換することによって生 じている。当然互いを近づければそれだけ交換する量が増えて、強い力を 感じるようになる。もし手で支えていなければ、互いに反発する向きに運 動量を受けて動き始めることになる。それを動かないように止めておくた めには、手で磁石に運動量を与えてやる必要がある。磁石を押さえる手は じっとして動かないように見えるけれども、微妙なバランスで磁石に運動 量を与えているのであろう。これが力を感じる原因である。 このように、止まっているように見えても運動量が交換されていること はいくらでもある。机の上に箱が置かれているような日常の光景の中でも、 箱は重力によって地球から運動量を常にもらっているし、机と箱の接する 面ではお互いの分子がお互いを蹴飛ばしあって運動量を交換して箱が机に めり込まないように抵抗している。これが中学校で習うところの「垂直抗 力」である。 力というのはやはり、運動量の交換のことだと言って良いようだ。力と は単位時間に移動する運動量のことであり、力が釣り合っているというの は、微小時間内に外から与えられた運動量の合計が打ち消し合っている状 態のことを言うのである。

22

1.1. 運動量保存則

1.1.7

ニュートンの 3 つの法則

現代は、過去に例を見ないほど多くの知識を容易に手に入れることが出 来るようになった。そしてその知識は洗練されている。そのせいか、現代 人が歴史上もっとも知性的であるという錯覚に陥っている人々が多いこと だろう。 私も過去の偉人に対して今の土台を築いてくれたという理由で感謝はし ていたが、尊敬するほどの理由を最近まで見出せないでいた。ニュートン についても昔の人ということで軽く見ていたところがある。これらはすべ て私の勉強不足による。ニュートンの業績は思うよりもはるかに大きいも のである。それだけではない。彼の定式化は今見ても見事なほどであり、 ひょっとして彼が現代に蘇ったとしても、天才として活躍できるのではな いか、とさえ思う。 ニュートンは自身が発見した力学体系を 3 つの法則としてまとめ上げた。





第 1 法則（慣性の法則）  物体は外部から作用を受けなければその速度は一定である。動いて いるものは動き続け、止まっているものはいつまでも止まっている。 第 2 法則（力の定義）  物体の加速度は物体に作用する力に比例し、物体の質量に反比例す る。数式で表すと次の通りである。

F =m

d2 x dt2

第 3 法則（作用反作用の法則）  物体が他の物体に力を及ぼす時、その物体は同じ大きさの反対向き の力を他方の物体から受けている。 



これらは現代的に洗練した形のものであって、初めからこれほど分かり 易く表現されていたわけではないし、厳密でない部分もあった。しかし私

23

第1章

力学

は先駆者のあら捜しをするのは良く思わない。過去の誤りを正すのは大切 な仕事ではあるが、鬼の首を取ったかのように騒ぎ立てるのは正しい態度 とは思わない。 上の 3 法則はここまでの私の説明にもすでに出てきたものである。ニュー トンは運動量という概念を多分私より良く知っていたはずだが、それを基 本法則としては使わなかった。そこには色々な事情がある。 まず第 1 法則から見てみよう。第 2 法則で F = 0 だとすれば、加速度は

0 であることが分かるので、第 1 法則は不要であるかのように思われる。し かしこの法則は別名、「慣性系の定義」とも呼ばれており、続く第 2、第 3 法則が成り立つ舞台設定をしている重要な部分である。 当時は「力」というものについてギリシャのアリストテレスの時代から の考え方が強く残っていた。槍を投げた時、遠くまで飛んでいくのは力が 働いているからであり、力は働き続けている・ ・ ・そして力が完全に消え失 せたところで落下する、という考えである。この考え方には非常に共感で きる。私自身も小学生の頃までは向かいの畑に棒を投げながら同じ考え方 をしていたのである。学研の伝記漫画でガリレオガリレイの話を読んだと きには相当驚いた。何もしていないのに物体がどこまでも動き続けるなん て、あり得ない！ ！ つまり、第 1 法則でこれまでの世界観を打ち砕く必要があったのだ。い や、これはすでにガリレイがやったことなのだが、当時はまだ念を押して おく必要があった。だが、第 1 法則の意義はそれだけではない。 我々は電車の中で、電車が動き始めるときに体が倒れそうになるのを感 じる。直接体に力が働いていないのに体が加速を受ける。また回転する台 の上に乗っていると遠心力を感じる。これらは誰かが自分を引っ張ってい るわけではなく、そう感じるだけである。これらの見かけの力を感じない 立場を「慣性系」と呼ぶ。 第 1 法則は慣性系を説明しているのであって、それが大前提。それ以外 の状況の中では続く第 2、第 3 法則をそのまま適用すべきではない、とい うことを言っているのである。 第 2 法則は、加速度を基にした「力の定義」。アリストテレス的な見方を 否定した以上、それに代わる定義が必要だ。第 1 法則がなければ、この定 義はあいまいなものになるであろう。力がどれだけ加わった時にどれだけ

24

1.2. エネルギー保存則

の加速を受けるか、という説明に過ぎない気もするが、科学思想史の視点 から分析した場合、やはりこれは力の定義という意味が強い。 ニュートンは天体の運動や我々が地球に引き付けられている力を「万有 引力」として統一的な理解ができるようにまとめ上げた人であるから、力 を中心とした世界観を表に出してまとめるのはごく自然なやり方であろう。 また運動方程式を数式ではっきり表現した意義は大きい。 第 3 法則は、思想的には彼のオリジナルである。すでに定義された力と いうものが持つ性質を簡潔に言い表している。慣性系以外で感じる「見か けの力」はこの法則を満たしていない。第 1 法則の存在がいかに大切かが 分かるというものだ。

1.2 1.2.1

エネルギー保存則 エネルギーとは何か

運動量保存の法則の他に、物体の運動を理解するために大切な法則がも う一つあって、エネルギー保存の法則と呼ばれている。この法則は、物が 勝手に宙に浮いたり何も理由がなく突然はじけたりといったポルターガイ スト（騒霊）現象みたいなことが起こることを防いでいる。ちなみに、も しこのようなことが起こっても運動量保存の法則にとってはまるで問題な い。物がふわりと宙に浮いても、その分だけ地球が下向きに移動すれば済 むことであるし、物がはじけても、全体の重心の位置さえ同じなら全く構 わないのである。 静止している 2 つの物体がお互いを押し合うことで動き始めても、合計 の運動量が 0 のままならば運動量保存則に反することにはならない。しか しそこら中のものが勝手に相手を突き飛ばして動き始めるようなことが起 きないでいてくれるのは、物体の運動がエネルギー保存則というもう一つ の条件に従っているからである。 物体はエネルギーが与えられない限り勝手に動き始めることが出来ない のである。どうしてそうなっているか私は知らないが、とにかくこの世界 はそのようになっているのだ。 ・ ・ ・物体は与えられたエネルギーの分しか運 動できない。そして、そのエネルギーという量は他から他へ移動すること があっても、決して無くなることはなく、いつまでも一定である。これが

25

第1章

力学

エネルギー保存の法則である。私たちは普段、「エネルギーを使い切った」 「エネルギーが無くなった」という表現を使うが、正確には「エネルギーが 他に移った」と言うべきものである。 なぜ、エネルギーが他から与えられなければ運動できないのだろう？ 普 段、当たり前に思っているこのエネルギーというものを考え直してみよう と思う。何か別の理由があって、エネルギーが保存しているように見えて いるだけかも知れない。 ここまで何の説明もなしに「エネルギー」という言葉を使ってきたが、そ もそも「エネルギー」とは何なのだろうか？ その説明の為にまず「仕事」 という概念を定義することから始めよう。あらかじめ言っておくと、この 「仕事」という概念が「エネルギー」と同じものを表すことになるのであ る。



仕事の定義



 物体に力が加わっており、その物体が、加えられた力の方向に移動 した場合、その力と移動距離をかけあわせた量を「仕事」と呼ぶ。  うまく定義したものである。いくら物体に力を加えても物体が動かなけ れば仕事をしたことにはならないというのだ。これは私たちの日常の感覚 と少し違うかも知れない。私たちは物が動こうが動くまいが、一生懸命力 を加えたらそれだけで筋肉に疲れを感じる。そして大仕事をしたと感じる ことであろう。 しかし、力を加えられた側の物体にとっては（そしてその物体を動かす 為に人を雇った側の人間にとっては）何にも変化していないのだ。これで は仕事をしなかったのと同じである。 この「仕事」という概念はいかにも効率を重んじる文化圏らしい考えだ と思う。精神論に傾きがちな日本では「やる気があって実際に物体を押し てみたのだから評価してやるべきだ」という考えに陥って、もし日本で独 自に物理学が誕生したとしてもそれ以上先へ進めなかったのではないかと 思ってしまう。

26



1.2. エネルギー保存則

この仕事という概念が、物理をうまく説明できるように試行錯誤を経て 徐々にこの形で定義されるようになったのか、それとも初めから文化的な 背景を基にしてこのような形で現われたのかについては興味があるが、と にかく「仕事」という量はつじつまが合うようにうまく定義された量なの である。 では仕事の定義が出来たので、簡単な例を計算してみることにしよう。 質量 m の物体を高さ h にまで持ち上げる時の仕事を計算してみよう。計 算と言っても簡単である。物体には重力がかかっており、その大きさは mg である。持ち上げる時にはその重力に逆らって上向きの力を加えなくては ならない。mg の力で距離 h だけ持ち上げたのだからそれをかけてやれば、 仕事の量は、

W = mg × h = mgh となる。これが高校で習うところの位置エネルギーである。 次に、速度 v で運動する質量 m の物体を止めるのに必要な仕事の量を 計算してみよう。計算が簡単になるように、終始一定の力 F をかけて止め ることにする。質量が m の物体に力 F をかけたら、そのときの加速度は a = F/m である。v = at であるから、物体は t = v/a 秒後に停止するであ ろう。t 秒後には物体は s = 12 at2 = 12 av 2 /a2 = 12 mv 2 /F だけ進んでいる から、距離 s と力 F をかければ、仕事の量は

W =F ×s=

1 mv 2 2

となる。これが高校で学ぶ、運動エネルギーの式である。動いている物体 は止まるまでに 12 mv 2 の仕事を他の物体にすることが出来るし、高いとこ ろにある物体は、落ちながら他の物体に対して mgh の仕事をすることが出 来る。 ここまで来るとエネルギーの説明もしやすい。エネルギーというのは、 物体が仕事をする能力のことである。つまり「仕事」という言葉と「エネル ギー」という言葉は実は同じものを表しているのであって、ただ言葉の使 い方の違いだけである。「仕事」の方を動詞的に使い、「エネルギー」の方 は名詞的に使う。「エネルギーがある」という表現をするが「仕事がある」 とは言わない。 「仕事をする」という表現はするが「エネルギーをする」と

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第1章

力学

は言わない。しかし「エネルギーを与える」という言葉と「仕事をする」と いう言葉は同じ意味である。 ちなみに「エネルギー」の語源は、ギリシア語の en（「中へ」の意を表 す接頭語） + ergon（仕事）から来ている。 エネルギーという概念が大切なのは、それが保存する量だからである。 しかしここまではエネルギーの定義を説明しただけであり、なぜこの量が 保存するのかという肝心な部分については何も説明していない。学校でも 状況は同じである。中学や高校では、実例をいくつか紹介して「確かに保 存しています」と説明するだけであり、大学では「自分で考えなさい」と 教えられることになる。つまり、教えられないということなのだが、学生 はそれまでに「エネルギーは保存するもの」と納得させられているので特 に疑問にも思わないで進むことになる。 実はこの問題を考えると少々深い議論へと踏み込む必要があり、少なく とも日本の教育では軽く見られているようである。多くの人にとってこの ような議論は無用なことなので仕方ないのかも知れないが、物理学の学生 にとっては鵜呑みにすべき問題ではないと思う。だが私もこの説明文を書 き始めるまでは鵜呑みにしてきたので偉そうなことは言えない。 エネルギーが保存する理由にはいくつかの側面があって、場合分けして 考える必要があり、今すぐ簡単に説明できそうもない。少し休憩して、一 つずつゆっくり考えてゆくことにしよう。

1.2.2

エネルギーと運動量は何が違う

前節の文章を書いている途中でふと次のようなことを考えた。エネルギー 保存則は、運動量が 0 の状態の 2 つの物体がお互いを突き飛ばすことによっ てそれぞれが運動量を持つようになることを禁止しているようだ。 もしこの考えが、止まっている状態の 2 つの物体だけでなく、動いてい る場合にも拡張できるのならば、わざわざエネルギーなどという新しい概 念を作らなくても、代わりに「運動量の絶対値の保存法則」とかを作って やればよさそうであり、より直観的に理解し易くなるのではないだろうか？ もしこういったことが出来るなら、物理から「エネルギー」と言う言葉 を完全に消し去ってやることが出来るわけで、代わりに「運動量」だけで全

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1.2. エネルギー保存則

てを説明してやれるではないかと目論んだのである。しかし、この試みは うまく行かなかった。運動量だけではどうしてもエネルギー保存法則の代 わりになるような法則を作ることが出来ないのである。衝突の前後で保存 する量を作ろうとすると、質量も入れる必要が出てきて、結局エネルギー と同じものを定義する羽目になってしまう。 なぜ私がエネルギーという概念を素直に受け入れようとせずに、「運動 量」だけで何とか説明できないだろうか、と抵抗するかと言うと、 「エネル ギー」というものが一体何なのか、うまく説明できないからである。もち ろん、定義や数式を使って説明することは出来る。しかし、突き詰めてい くと納得のいく簡単な言葉での説明が難しいのである。最後には「エネル ギーはエネルギーだ、慣れろ」としか言いようが無い。 なぜうまく説明できないかと言えば、それは、根本の部分でエネルギー と運動量があまりによく似ているからである。 一体、「エネルギー」と「運動量」は、何が違うと言うのだろうか？ 運 動エネルギーだけに関して言えば、エネルギーと運動量は両方とも「運動 の勢い」を表す量であって、こいつらを分解すれば両方ともただの「質量」 と「速度」の組み合わせに過ぎない。 「運動の勢い」を表すだけならどちら を使っても差し支えないではないか。それであるのに、2 物体の衝突後の 速度を求める時には「運動量保存則」と「エネルギー保存則」の二つの条 件が必要になってくる。 もし物体が 2 種類の独立した全く性質の違うものをそれぞれ持っている というのならば法則が 2 つあってもそれほど不思議ではないのだろうが、 なぜこの同じような意味を持つ量が別々に物体の運動を規定しているのだ ろうか？ 言葉を替えて言い直そう。物体はなぜ衝突の前後で「運動量保存則」と 「エネルギー保存則」の二つを律儀に守ろうとするのであろうか？ 衝突の 前後で「速度」がどう変化するかだけを求めたいのに、法則は 2 つ必要。 そこが気持ち悪さを感じる原因である。 物体自身はこの 2 つの法則を別々に考えて従っているわけではないであ ろう。何か一つのそうせざるを得ない仕組みが裏に隠されていて、結果と して自動的に 2 つの保存法則を守ることになっているに違いない。それを 人間の理解しやすい形式で解釈すると、あたかも 2 つの法則に従っている

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第1章

力学

ように見えるだけなのである。私はそれを何とかして一つの法則として理 解したいと思うのである。 エネルギーが運動量と違う点は、運動していなくても「どこかに蓄えら れている」事だ。例えばバネをギュッと押し縮めた時、運動はしていない がこれは元に戻ろうとする力を秘めている。そしてこの力は物体を運動さ せることが出来る。 磁石の同じ極同士を近づけた時にも、再び反発する力があり、エネルギー が蓄えられている。運動はしていないが、エネルギーは「在る」のである。 この蓄えられている状態のエネルギーを、運動エネルギーに変化する「潜 在能力（ポテンシャル）」があるという意味でポテンシャル・エネルギーと 呼ぶ。位置エネルギーはポテンシャルエネルギーである。 ポテンシャルエネルギーは運動エネルギーとは意味合いが違うようだ。 しかしポテンシャルエネルギーと運動エネルギーは相互に変換することが 出来るし、これらの合計はいつも変わらないのだ。運動エネルギーが減れ ばどこかにポテンシャルエネルギーが蓄えられているし、ポテンシャルエ ネルギーが減る時には運動エネルギーが増えることになる。これは「運動 量」と「エネルギー」の大きな違いである。 また、相対性理論では E = mc2 という大変美しい公式が導かれていて、 エネルギーが質量と同じであることを表している。 どうやらエネルギーという何かは力学で定義される以上のもっと深い意 味を持っているようであり、運動量と一緒にして葬り去ってしまうにはあ まりにもったいなすぎる概念のようである。このあたりは後で相対論につ いて考えようとする時には突き詰める必要がありそうだ。 さらに専門的には運動量は「力」を時間で積分したものであり、エネル ギーは「力」を空間座標で積分したものである。相対論では時間と空間座標 を対等の立場のものとして考えるので、運動量もエネルギーも同じ形式で 表現することができる。この形式を使えば、エネルギーも運動量も「エネ ルギー運動量テンソル」と呼ばれる一つの実体として表され、保存則も一 つにまとめることが出来る。運動量保存則とエネルギー保存則という 2 つ の大切な法則が一つにまとめられるのは大変素晴らしいということで、私 も初めはこの形式に話を持って行くつもりでいたが、この形式は「力」を

30

1.2. エネルギー保存則

より基本のものとしてとらえているのであって、 「運動量」をより基本のも のとしてとらえたい私の哲学に反する。 自分の哲学に反するというだけならば、その哲学を捨てることも考えな ければならないだろう。ところが、どうやらエネルギーの保存というのは ニュートンの運動方程式から導かれるものであって、運動量ほどには基本 的な概念ではないということに最近気付き始めた。すると、運動量を基本 とする私の哲学は結構いい線を行っているようであって、これで推し進め たらどうなるか、というところに興味が出てきたのである。 そして、相対論流のテンソルによる表現は単なる形式的な美しさや計算 の簡単化を求めたものであって、根本的な理解を助けるものではないと考 えるようになって来た。 しかし、テンソル形式無しで相対論を展開できるかどうか私にはまだ分 からない。その辺りにこれからチャレンジしてみようと思うので微笑んで この愚か者の挑戦を眺めていて欲しいと思うのである。 （残念ながらそれに ついては本書の範囲には収まり切らなかった。）

1.2.3

エネルギー保存則は基本法則ではない

高校で暗記させられる有名な公式がある。

v 2 − v02 = 2ax この式が何を意味するのか、このままの形で解釈するのは難しいが、高 校程度の単純な問題を解くには憶えていると便利ではある。 これを見ていて何か気付かないだろうか？ ・ ・ ・と言われても困るかも知 れない。私も長い間この公式を使っていたが、この歳になるまで気付かな いでいたのだから。考える必要がなかったのだから仕方がない。この式の 両辺に 12 m をかけてみたらどうだろう？

1 1 mv 2 − mv02 = max 2 2 左辺は運動エネルギーの変化を表している。右辺はどうだろうか？ 見慣 れた形にするためには a を重力加速度 −g に直して、x を高さ h に直せば いい。 31

第1章

力学

1 1 mv 2 − mv02 = −mgh 2 2 これで分かっただろう。右辺は位置エネルギーになっている。これは運 動エネルギーの変化が位置エネルギーの変化に等しいことを表している。 v0 は初速度なので、言ってみれば定数である。そこで、 1 mv 2 + mgh = 一定 2 と表現することも出来る。これはあからさまに「力学的エネルギー保存則」 である。 なぜそんなものが導かれてくるのだろう。エネルギーが保存する秘密が 先ほどの公式の中に隠されていたというのか。そもそもこの公式はどうやっ て導かれるかというと、

v

= v0 + at 1 x = v0 t + at2 2 というこれまた有名な 2 つの公式から t を消去したものである。すると、 この何でもない 2 つの式の中にエネルギー保存の秘密があるとでも言うの だろうか。1 つ目の式は、加速度が一定なら時間に比例して速度が増加し ます、という当たり前のことを言っているだけである。また 2 つ目の式は、 加速しないなら移動距離は時間に比例して伸びて行くし、加速しているな ら時間が経つほど距離の伸びが早くなります、いうこれまた割と常識的な 内容である。 これらはニュートンの運動方程式だけから導かれる結論でもある。わざ わざ運動方程式から導くほどの内容でもないように思うかも知れないが、 両方とも運動方程式に含まれているのである。まぁ見て欲しい。運動方程 式を変形すると次のように書ける。

d2 x = F/m = a dt2 高校の範囲では右辺の F/m は一定値であるので、a と置いた。これを t で積分してやると

32

dx = at + C dt

1.2. エネルギー保存則

となる。左辺は速度を表しており、右辺の積分定数 C は t = 0 の時の速度 を表すことになるので v0 と書き直せばいい。こうして出来た次の式は 1 つ 目の公式と同じものだ。

dx = v0 + at dt これをさらに t で積分してやると、

1 x = v0 t + at2 + C  2 となる。右辺の積分定数 C  は t = 0 の時の位置を表すので、そこを基準と して距離を測ることを考えれば 0 としていいだろう。これで 2 つめの公式 も導かれる。 運動方程式というのはこの程度の内容しか含んでいないのか、と侮って はいけない。加速度を一定だと限定してしまうような高校で習う運動方程 式はただの比例式でしかないではないか。多くを期待するわけにはいかな いだろう。 ここに書いたくらいのことはちょっと専門的な教科書になら載っている のであるが、同じ内容のことがなにやら難しそうな言葉と式の羅列で書か れているのであまり気をつけて読んだことがなかった。これが意味するの は「エネルギー保存則がニュートンの運動方程式から導かれる法則である」 ということである。 中学や高校では実験をして「エネルギーが保存している」ことを確認す るので、まさかエネルギー保存が運動方程式から論理的に導かれる事柄だ とは気付かない人が多いのではないだろうか？ さて、この式をもっと一般的な形で導けないだろうかという疑問が湧い てくる。つまり、力が一定だと限定しないような状況についても位置エネ ルギーを導いてみたいと思う。そのためには「仕事」を積分を使って表す 事ができればいいだろう。

力学的エネルギー保存則・上級編 次に行う計算は、高校で微積分が少々得意だった人であっても初めは面 食らうかも知れない。だからあまり気にしないで、こんなやり方もあるの

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第1章

力学

だな、と軽く眺めてもらえればいいと思う。まず、ニュートンの運動方程 式の両辺に dx をかける。

d2 x dx = F dx dt2 この右辺は微小距離 dx だけ移動する間に行われる微小仕事を意味して いる。左辺については次のように少し細工してやる。 m

d2 x dx dt = F dx dt2 dt これはさらに次のように書き直せる。逆算してやれば変形の意味が分か るだろう。 m

d dt



1 m 2



dx dt

2  dt = F dx

左辺の dx/ dt を v と書き直してやれば、この大カッコの中は実はよく見 慣れた運動エネルギーだ。

 d

1 mv 2 2

 = F dx

この式は、微小仕事の大きさは運動エネルギーの微小変化に等しいと言っ ているのである。これを積分してやれば、  1 1 mv 2 − mv02 = F dx + C 2 2 となり、先ほどと同じように、

1 mv 2 − 2

 F dx = 一定

が言える。 左辺第 2 項の積分は微小仕事 F dx を連続的に足し合わせるという意味 であるから、仕事量の合計を意味している。ここでの F というのは外から 加えられた力であるが、マイナスが付いているので項全体では外へ与えた エネルギーを表す。第 2 項の値が大きいほど、その分だけ第１項の値が小 さくなることが言えるわけだが、それはエネルギーを外に放り出した分だ け、運動エネルギーが減るという意味になっている。

34

1.2. エネルギー保存則

第 2 項の符号がマイナスになっていることがイメージの妨げになるだろ うか。それについてはポテンシャルエネルギー U というものが  U = − F dx と表せるものなのだと考えてやれば、文字通り「運動エネルギーとポテン シャルエネルギーの合計が一定」だと一目で分かる形になるだろう。しか しこうすると今度は U の定義がこれでいいのはなぜだろう、と思う人が出 て来るに違いない。この式の両辺を微分してやれば、

dU dx が得られることになる。つまり位置変化によるポテンシャルエネルギーの 変化が急であるほど、強い力が働くことを意味する。これは坂道にたとえ ると分かりやすい。坂道に置いたボールは勾配が急であるほど強い力で転 がり落ちる。x が正の方向へ変化する時に U の値が高くなる度合いが高い ほど dU/ dx の値は大きな正の値を示す。しかしこういう坂道では力は x の正の方向ではなく、負の方向へ向かって働くものだ。だから式にマイナ スが要る。ポテンシャルエネルギーはそっくりそのまま坂道の高さを表す ようなイメージだと言えるわけだ。坂道を登る方が労力が要るという感覚 である。 ところで、元の位置に戻って来た時に U が違う値に変わってしまってい ると、エネルギーが保存していない事になってしまう。逆に U が位置のみ の一価の関数として表せる場合、つまり、時間による変化がなく、位置が 決まればエネルギーの値がただ一つに決まる場合、力学的エネルギーの保 存は常に成り立つということが言えるわけである。 ポテンシャルエネルギーがそのような条件を満たしている時に物体が受 ける力を「保存力」と呼ぶ。こんな名前がついていると何か特別な力のよ うな印象を受けるが、大した事はない。要するに摩擦や空気抵抗などでエ ネルギーが失われて行かない状況のことである。 F =−

1.2.4

3 次元への拡張

ちょうど良いので、ここらで偏微分の話を差し挟ませてもらうことにし よう。これは第 2 章の準備にもなる。

35

第1章

力学

我々は空間が 3 次元であると認識しており、力にも 3 方向の成分がある と考えている。そして不思議な事に、ニュートンの運動方程式は x、y 、z の 3 方向についてそれぞれ独立して成り立っているのである。

Fx Fy Fz

d2 x dt2 d2 y = m 2 dt d2 z = m 2 dt = m

これが不思議だと思える感覚が大切である。ある一方向に強い力が掛かっ て加速運動している物体に対して、横から別の力を加えてもあまり横方向 には加速しないだとか、あるいは逆に少しの力で通常より勢い良く横向き に進路が逸れてしまうだとか、そういうことはなぜか起こらないというの である。このことは確かに我々の日常においては正しいわけだが、物体が 光の速さに近くなってくると違ったことになることが分かっている。軽々 しく「当たり前」で済まして良い内容ではないことに注意しよう。 これら 3 つの式をひとまとめにして表したいときは、ベクトルを使って

F =m

d2 x dt2

と書く。一目で各成分についての 3 つの式に思いを馳せる事ができるし、 教科書のスペースを節約できるという利点がある。 物理の実践的問題に立ち向かうためにはポテンシャルエネルギーも 3 次 元に拡張しておく必要があるだろう。前節ではポテンシャルエネルギー U は位置 x のみの関数として出てきた。そしてエネルギー保存が成り立つ場 合に働く力は

dU dx と表せるという話をした。しかし現実にはポテンシャルエネルギーは空間 のあらゆる地点で定義できるのであって、U は x のみの関数ではなくて 3 変数の関数 U (x, y, z) となるだろう。 エネルギーの定義に戻って考え直そう。仕事というのは、加わった力と同じ 方向に進んだ時の、力と移動距離の積であったから、微小な距離 ( dx, dy, dz) F =−

36

1.2. エネルギー保存則

だけ移動する場合の微小な仕事 dW は、

dW = Fx dx + Fy dy + Fz dz と表すことができる。これは数学的には F と dx の内積（→ 201 ページの 外積の説明の冒頭部分参照）を計算したのと同じである。 さて、仕事とエネルギーはほとんど同じ意味であるのだが、ポテンシャ ルエネルギーの山を登る時には逆方向に力が掛かるのだから、全体にマイ ナスを付けて、

dU = −(Fx dx + Fy dy + Fz dz) と表す必要がある。もしここで dy = 0 かつ dz = 0 であるような特別な状 況を考えれば、1 成分の時と同じ関係がこの場合でも成り立っていると言 えるだろう。しかし y や z の方向には変化がないというかなり人為的な仮 定を置いているので、前と同じように普通の微分の記号を使って表すこと には少し抵抗がある。そこで次のような表現を使う。

Fx = −

∂U ∂x

この右辺の記号は「偏微分」と呼ばれるもので、関数 U に含まれる x 以 外の変数は全て変化しないと見なして微分するという意味である。実際に 計算する時には変数 y や z はあたかも定数であると見なして普通に x だけ で微分すればいいのである。何も難しいところはない。偏微分というのは たったこれだけの話である。 さて、上の話は x 成分以外にも当てはまるから、

∂U ∂y ∂U Fz = − ∂z

Fy = −

という関係も同様に言える事になる。これらもベクトルを使うことで次の ような一つの式にまとめて表すことができる。

F =−

∂U ∂x 37

第1章

力学

以上のことが意味していることが分かるだろうか。物体はポテンシャル エネルギー U が定義できているような場所では、   ∂U ∂U ∂U F = − ,− ,− ∂x ∂y ∂z という方向の力を受けるという事である。ここの説明は少々不親切である とは思うが、なぜそう言えるのか、自分で山の斜面の傾きを思い浮かべな がらじっくり考えてみてほしい。 これで偏微分の意味も分かったし、教科書に出てくる難しそうな式に怯 える必要もなくなっただろう。 偏微分はこの次の章からの電磁気学でも多用する。電場や磁場という のは場所に割り当てられた値であって、時間によっても値が変化するから

E(x, y, z, t) という形の関数で表される。ここで例えば電場の時間変化を求 めたいとしよう。電場というのは粒子のように移動するものではないから、 位置の時間変化などというものは気にする必要がない。よって他の変数は 定数だと見なして t で微分するだけでいいのである。偏微分を使って書き 表すのはそういう意味である。

1.2.5

エネルギーの交換について考える

少し難しめの話が続いたが、しかし、ここまでの話だけではエネルギー 保存則の一般的な証明にはなっていない。ここでの議論は他の物体との相 互作用を外力 F として取り入れる形でごまかしているのであって、他の物 体と相互作用する時に他の物体も含めてエネルギー保存則が成り立ってい るかどうかは別の問題だからである。 確かに、ある力の影響下で一つの物体が運動する時にエネルギー保存の 法則を満たしているということは上の式から言えるのだが、他の物体との 衝突（運動量のやり取り）の前後で「全体として」エネルギー保存が成り 立っているということの証明にはなっていないのである。 ここで求めた式の意味は、見方を変えれば、 「外力から受けた仕事の分だ け速度が変化します」というごく単純なものに過ぎない。果たしてその物 体にエネルギーを与えた別の物体が同じだけのエネルギーを失っていると

38

1.2. エネルギー保存則

言えるのだろうか。そのことについてこれから考えていくことにしよう。 前に定義したように、何かに対して仕事をするということは、他の物体 に力をかけて動かすということである。その動いた距離とかけた力を掛け 合わせたものが「仕事」である。 ところで力には「作用・反作用の法則」という性質がある。ある物体に 力をかけると必ず同じ大きさの反対向きの力を受ける、というものである。 したがってある物体に仕事をする時には必ず、相手にかけた力と同じ大き さで反対向きの力を受けるのであって、接触して押す場合にはその間に自 分と相手が動く距離も同じであると近似できる。つまり、ある物体に触れ ながらエネルギーを与えれば、同じ大きさの負のエネルギーを相手からも らうことになるのである。これは自分の減った分のエネルギーが相手にそ のまま移ったと見ることが出来る。このような場合にはエネルギー保存が 当然のように成り立っているのである。 ところが、重力や電気力、磁力などの離れて働く力の場合には同じ事は 言えない。なぜなら、離れて働く力の場合には、2 つの物体の間に力が働 いている間に両者が移動する距離が違うからである。 しかも作用反作用の法則さえも成り立っていないことが、後で電磁気学 を学んだ時に分かるであろう。これは物体だけを考えたのではダメで、電 磁場の効果も考える必要があるということなのだが、今は知らないふりを していてくれるとありがたい。 困ったことに、世の中のすべての力は離れて働く力なのである。手で物 を直接押す場合でさえ、原子が持つお互いの電気力によって力が伝えられ ているので、これさえも厳密には離れて働く力である。日常の視点から見 れば、手が物体から離れた時には力が働いていないとみなせるので、あた かも接触して力を伝えているように見えているだけなのである。 なぜ離れて力が働く時にもエネルギーが保存することになっているのか、 これからその理由を考えなくてはならない。 次の話題に移る前に、ついでだから接触して働く力について少し説明し ておこう。 我々の身の回りの物体は原子から出来ている。原子はプラスの電荷を持っ

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第1章

力学

た原子核とマイナスの電荷を持った電子から出来ていて、全体として中性で ある。その理由で離れた物体からは電気力を受けないでいられるのである。 しかし、原子同士が近づいた時には状況が変わってくる。原子の表面の 電子同士が反発するために、力を感じるのである。いや、原子の仕組みは なかなか複雑で、本当は量子力学を使って議論しなくてはならないのだが、 今はこの程度のごまかしで許して欲しい。 物体の周囲に強力なバネの働きをするごく薄い層があるようなイメージ である。机に茶碗がのっていられるのも、ドアのノブを握ることができるの も、我々が地面に立っていられるのも、この電子の反発があるお陰である。 茶碗は電子の力で机の上にわずかに浮いているのだなんて想像したこと があるだろうか？ 間に空間があって浮いた状態ではあるが・ ・ ・本当は接し てなんかいないのだが・ ・ ・、我々は普通、この状況を「接触」と呼んでい る。物体に接するとはそういうことなのだ。本当はこれだけで本が書ける くらい深い内容なのだろうが、いい加減過ぎる説明で申し訳なく思う。 ビリヤードの玉も衝突の瞬間、表面の電子同士が反発しているのであっ て、その振動が玉全体に伝わって音として聞こえている。しかし玉同士が 離れてしまうと、お互いの間に力は働かない。身の周りに良く見られる物 体同士の力の伝達は、通常、接触している間だけ行われている。 そして接触しないで働く力も存在する。静電気、重力、磁石などの力が そうである。実は世の中を支配している力は全て離れて働く力なのである。 ところが先ほど説明したように、原子は電気のプラスとマイナスが中和し ているために、離れているとほとんど力が働かないと見なせている。 それにしても、身の回りの多くが接触して働く力であるために、離れて 働く力の方が我々の目に不思議に映るのだから皮肉なものである。

1.2.6

ポテンシャルエネルギーの正体

ネット上でこの執筆活動を始めた頃には、私はまだエネルギー保存則が 独立した宇宙の基本法則だと信じ込んでいた。それでポテンシャルエネル ギーとは何なのか、ということが理解できなくて、次のような疑問を「力 学のまとめ」として述べていた時期があった。 高いところにある物体はそれだけでエネルギーを持つ。それはなぜか？ 高いところにあって、位置エネルギーを持っている状態にあるとき、一体

40

1.2. エネルギー保存則

その物体は普通の状態と何が違うのであろうか？ ポテンシャルエネルギー はどういう状態でどこに蓄えられているのであろうか？ 以下でこれらの問題について考えていこうと思う。 そもそもポテンシャルエネルギーというのは、力を及ぼしあう 2 つの物 体の間の関係を表したものである。上の疑問のように、持ち上げられた物体 の側だけにそのエネルギーが蓄えられていると考えるのは変である。両者 の関係の中にこそポテンシャルエネルギーの本質が隠されていそうである。 では、両者の間にどのような形で、そのようなエネルギーが存在してい るのだろう？ 例えば、空気を詰めたシリンダーを考える。このピストンを 押すとき、空気の弾力があり、そのときに要する仕事をポテンシャルエネ ルギーの形で記述することができる。しかし、この時の仕事はシリンダー の中の空気の分子運動のエネルギーに変換したのであって、この場合のポ テンシャルエネルギーは実は空気分子の運動エネルギーを表しているので ある。 しかし、これと同じようなことが重力についても言えるだろうか？ 物体 を高く持ち上げる時、そのエネルギーは物体と地球の間で重力を伝える重 力子の運動エネルギーに転換しているとでもいうのだろうか？ ポテンシャルエネルギーを何か別のものの運動エネルギーとして扱うこ とが出来れば直観的で非常に分かりやすいし、相対論の「エネルギーと質 量は等価である」という内容を説明するのにもとても好都合である。運動 している物体の質量は増大するということを説明すればいいだけである。 そうでなければ、ポテンシャルエネルギーさえも「質量」に関係している ことをどうやって説明したらいいだろうか？ （注）ここでは「運動する物体の質量は増大する」と書かれているが、これは 現在では誤った表現だということになっている。しかし何十年もの間、この考 えは啓蒙書や科学漫画によって一般大衆に繰り返し伝えられ、半ば常識となっ ていた。そして私もこの記事を書いていた時点ではそのように信じていた。今 ではもう若い人には信じてもらえないかも知れないが、私がこの記事を書き始 めた頃、ほんの数年前まではまだその考え方の方が大勢を占めていて、あちこ ちの掲示板で専門家たちと一般人の間で紛糾が生じる事、しばしばであった。

しかし、問題は意外にも簡単な形で解決してしまった。何がきっかけと

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第1章

力学

なったのかを説明するのは難しい。物体同士の衝突について、来る日も来 る日も考えているうちに、ふと気付いたのである。 先ほど接触して働く力について考えたが、この場合には一方が他方に与 えたエネルギーはすぐさまもう一方に伝わっていることが分かる。しかし 離れて働く力を考えたときには、作用反作用でお互いの間に働く力の大き さは同じであるにも関わらず、その間に移動する距離がお互いに違うので 一方が与えたはずのエネルギーがもう一方に伝わっておらず、どこかへ行っ てしまったように思われる。 このようなことが起こるのはお互いの相対距離が変化している時である ことに注目して欲しい。 この、一見エネルギー保存が成り立たなく見える時に、それを補償する ような具合にポテンシャルエネルギーが生じているのである。 ポテンシャルを決めているのは、お互いの間の距離だけであって、ある 距離でどれくらいの力が交換されるかというルールさえ変更しなければ、 相手のポテンシャルの深みにはまり込んで運動エネルギーを一時的に失っ たとしても、必ず、もとの運動エネルギーは帰ってくることが約束されて いるわけだ。 つまり、ポテンシャルエネルギーと言うのは、 「運動エネルギーがどれく らい失われたか」を記録しておく手段であって、それ以上の意味はないの である。 言っている意味が分かるだろうか？ まず運動エネルギーと言うのは「そ れだけでは決して保存する理由のない人為的な量」であることを理解しな くてはならない。他の物体との間で「力」が働くと、すなわち「運動量の 交換」が行われると、運動エネルギーは容易に変化してしまうのである。 ところがこの「運動量の交換」は相手との距離によってのみ、そのやり 取りの大きさが決まっているので、ある距離を移動する間にどれだけの運 動エネルギーが再び帰ってくるか、というのが保障されているわけである。 それならば、その合計したものの値はいつでも一定なのは当たり前である。 我々は良く「運動エネルギーがポテンシャルエネルギーに変換した」と いう表現を使って、あたかも「エネルギーはこの世から失われてはならな いもの」という印象を持っているが、これはさもエネルギーが実体を持っ ているかのような誤解を生じやすい表現である。しかしこう考えるとエネ ルギーという概念は何か物理的な実在を表しているものではなく、便利で

42

1.2. エネルギー保存則

あるだけの数学的な道具に過ぎないということが良く理解できる。 今、初めの疑問にすっきりと答えよう。ポテンシャルエネルギーに実体 はないのである。よって、どこに蓄えられているわけでもない。ただ、あ る地点から抜けるのにどれだけの運動エネルギーが必要かを表しただけの 人為的なパラメータである。こう言ってしまうと、定義どおりの当たり前 のことを繰り返しているだけの気がするが、今や、エネルギーについての 理解は前より広がっている。 エネルギーが保存するのは、エネルギーが保存するようにポテンシャル エネルギーを導入して辻褄合わせをしたからなのである。全く当たり前の つまらない結論だ。エネルギー保存の裏に「在る」のは、運動量と、運動 量を交換する法則だけなのである。

1.2.7

エネルギーは質量を持つ

前節ではポテンシャルエネルギーというのがただの人為的な概念であっ て、物理的な実体を表すものではないということを話した。すると、相対 論に関係して一見奇妙に思えることが出てくる。 それは質量に関わる話である。相対性理論では「質量はエネルギーと等 価である」という結論が出てくる。エネルギーを多く持つほど、質量は大き くなるということだ。例えば同じ量の水で比較すれば、冷たい水より、温 かい水の方がその熱エネルギーの分だけごく僅かに重いということである。 これはほとんど誤差の範囲だから日常では実感する事が出来ないが、核エ ネルギーを取り出した原子が軽くなることなどからしても確かな事だろう。 ではポテンシャルエネルギーは質量に影響しているだろうか？ 実は、し ているのである。二つの物体の間に引力が働いている場合、同じ状態で比 較するならば、二つの物体を引き離して配置した方が質量は大きくなる。 それはなぜであろうか？ 私は前にポテンシャルエネルギーは物理的実体で はないと言った。しかし、質量という実体として観測されるではないか？ なぜポテンシャルエネルギーが質量を持つと言えるのか？ 実体を持たな いものが質量を持つなどということがあるだろうか？ ここではそれについ て説明しようと思う。

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第1章

力学

例えば、地球と月を例に取って考えてみよう。運動エネルギーを無視し たいので、月は公転運動をしていないとする。つまり、地球の周りを回って おらず静止している状態の月を考える。この状態では月はいずれ地球に落 ちてくるのであるが、この時の月と地球の合計の質量は、落ちてくる前の 方がポテンシャルエネルギーの分だけ大きい。なぜそのようなことになっ ているのかを考えよう。 月が地球に落ちてくると、だんだんポテンシャルエネルギーは減少を始 める。しかし、地球と月の合計の質量はまだ減少しない。ポテンシャルエ ネルギーが減少した分だけ、月は運動エネルギーを増しつつ地球に落ちて くるからである。そのエネルギーが質量を持っているはずだ。やがて月は 地球に接触し、大爆発を起こすことになるだろう。しかし、それでもまだ 地球と月の合計の質量は変化しない。なぜなら、月の運動エネルギーの大 部分がこの時、熱エネルギーに変化するからである。ポテンシャルエネル ギーは減少したが同じ分だけ熱エネルギーが増加しているのである。では、 地球と月の合計の質量はいつ減少するのであろうか？ それは、地球と月の温度が元の温度にまで下がる過程においてである。 温度が下がるためには熱放射を行わなくてはならない。電磁波などの形で 熱エネルギーを宇宙に放射するのである。温かい物体は赤外線を放射して いるが、熱くなった地球と月も、元の温度に戻るためにはこのような形で 宇宙に電磁波を放射する必要がある。質量が減少するのはこの過程である。 つまり、このときに宇宙に放射された光（電磁波）がエネルギーを宇宙へ 運び去るのである。この時放射されたエネルギーに相当する質量が失われ ることになる。 だから、地球と月の合計の質量が減少したのはポテンシャルエネルギー が減少したから、と言うよりもむしろ、電磁波を放射した当然の結果だと 言えるのである。落下前後でポテンシャルエネルギーの分だけ質量が異な るのは確かだが、質量が変化した原因は電磁波を放射したからであって、 ポテンシャルエネルギーが質量を持っていたというわけではないのである。



補足解説・ ・ ・運動する物体の質量は増大するか 「質量はエネルギーと等価である」と聞くと、運動エネルギーの

増加はそのまま質量増加に貢献するのではないか、と考えたくなる。

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1.2. エネルギー保存則

ところが一般相対論によると、運動する物体が重力に与える影響と、 静止した物体が重力に与える影響は異なっているのである。よって、 単純に運動エネルギーの増加が物体の質量増加に相当すると考えるの は無意味だということになる。 上の例では月の運動エネルギーが質量増加に貢献しているかのよ うに書いているから、厳密には間違いである。しかし、月が動く時、 地球も月に向かって移動するのだから重心位置は変わっていない。重 心から見た場合に、運動エネルギーの増加が全体の質量増加と見なせ る場合があるので、ひどい間違いだとも言い切れない。それでもこの 例の場合は全方向に対して対称だとは言えない大きな動きがあるわけ だから、静止した質量と完全に等価とは言えないし、重力波の発生な ども考慮せねばならない。無問題とは言えない例ではある。   







補足解説・ ・ ・光（電磁波）は質量を持っているか

 「光には重さがない」という解説を聞いたことがあるかも知れない。 これはもし光を止めることが出来たなら質量は 0 だという意味である。 実際は光を止めてみることは出来ないので、これは理論からそう推論 するのである。では運動する光については、そのエネルギーに相当す る質量を持っている、と言えるだろうか。  理論的には光同士の間に働く重力は確かにあり、これは一般相対論 で計算できる。このことから「光は質量を持つ」と言ってしまいたい ところではあるが、それは出来ない。その重力の原因はニュートン力 学で定義されるような「質量」とはまた別だからである。しかも言葉 の定義の問題だけではない。光はエネルギーに相当する質量を持つと いう解釈で計算しても、その結果は現実とは異なってしまうのである。   ここで補足として書いたことの詳細は、いつか相対論について説明する 機会が得られれば話したいと思う。

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第1章

力学

1.3

角運動量保存則

1.3.1

てこの原理を考える

我々はシーソーや、釣り合いを利用した昔の秤などで、支点から離れた ところに力をかけるほど物体を回転させるのに有利になることを知ってい る。また、二人でバットの回し合いをするときにバットの太いところを握 る方が細いところを握るより有利になるが、これは同じ原理である。ドラ イバーの柄の部分が太くなっているのはこれを応用したものである。 このように、回そうとする中心点（それは支点と呼ばれることもあるが） からの半径が大きいほど、効率よく物体を回転させることが出来るのである。 我々はよくこれらのことを「てこの原理によって・ ・ ・」と一言で片付けて いるが、よくよく考えるとなぜこのような事が起きるのであろうか？ 「原 理」と呼ばれているが、本当に原理と呼ぶほど基本的な法則なのだろうか？ いや、そうではない。もっと基本的なことから説明がつくのである。 一本の棒で結ばれた二つの質点を考えることにする。質点というのは質 量が一点に集まったものだと考えてもらえばいい。物体が点のように小さ いと考えると話が簡単になるのである。そして、この棒の真ん中より遥か に端に近い点を支点として固定することにしよう。この棒はその点を中心 に回転すると考える。次の図のようなイメージである。 さて、この棒を回転さ せるときに、我々は回転 半径の小さい方に繋がれ た質点を押す方がより重 く感じることを日常感覚 として知っている。しか しそれはなぜだか理解し ているだろうか。それは 半径の小さな質点を押し てこの棒を回すとき、我々 は棒の反対側に繋がれた質点をも動かさなければならないからである。し かも反対側の質点は回転半径が大きい分、同じ角度を回すときにより大き

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1.3. 角運動量保存則

な運動量が必要となるのである。単位時間に与えられる運動量の大きさを 「力」と呼ぶことは本書の初めの方で説明した。単位時間に、より大きな運 動量を与えてやらなければこの棒は回せないのである。 これで回転半径が小さいほど、より大きな力が必要な理由が説明できた であろう。別にてこの原理がこの宇宙の絶対法則というわけでもないのだ。 ただ「2 点の間を結ぶ棒」という制約条件が入る事によって当然成り立つ 現象なのである。 二つの点が結ばれているという条件は大切である。もし棒がついていな ければ、もう一方は回転半径など気にすることなく苦もなく直進すること になる。回転というのは 2 つ以上の物体が「結ばれている」という条件に よって大きな意味を持ち始めるのである。そしてこの世にある物質は「力」 という制約条件によってお互いに結ばれている。

1.3.2

回転に関する物理量

前節の話から、中心から離れているほど物体を回転させるのに効率が良 いという事が分かる。しかし「効率が良い」とはあいまいな表現だ。何か しっかりとした定義が欲しい。この「物体を回転させようとする力」の影 響力をうまく表すためには回転の中心からの距離 r とその点にかかる回転 させようとする力 F を掛け合わせた量 N を作れば良さそうだ。これは前 の話から察しがつく。

N =r×F この N は「力のモーメント」と呼ばれている。正式にはベクトルを使っ た少し面倒な定義があるのだが、しばらくは本質だけを説明したいのでベ クトルを使わないで進むことにする。しかし力の方向についてはここで少 し注意を入れておかないといけない。 先ほどから私は「回転させようとする力」という表現をわざわざ使って いる。これには意味がある。力がおかしな方向に向けられていると、それ は回転の役に立たず無駄になる。それを計算に入れるべきではない。次の 図を見てもらいたい。

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第1章

力学

斜め右下を向いた矢印 で表された力 F は棒の先 についた物体 m を回転さ せるだろうが無駄も多い。 この力を 2 方向に分解し てやると真横と真下を向 いた矢印になる。真下を 向いた矢印の力は物体を 回転させるが、真横を向 いた矢印は全く回転の役 に立っていない。つまり この例で言えば、上の定義式の F としては、この真下を向いた矢印の大き さだけを代入して欲しいのだ。 「回転させようとする力」と言ってきたのは こういう意味だったのである。 力のモーメント N をこのように定義すると、物体の回転への影響を表し やすくなる。例えば中心からの距離が違う幾つかの点にそれぞれ値の違う 力がかかっていたとして、それらが互いに打ち消す方向に働いていたとし よう。ベクトルを使って定義していないのでどちら向きの回転をプラスと すべきかははっきり決められないのだが、まぁ、適当にどちらかをプラス、 どちらかをマイナスと自分で決めて N を計算してほしい。それが全体とし て 0 になるようなことがあれば、物体は回転を始めないということになる。 また合計の N の数値が大きいほど、勢いよく物体を回転させられるという ことも分かる。

N は、物体の各点に働くそれぞれの力が、物体の回転の駆動に貢献する 度合いを表した数値として使えることになる。工業系ではこれを「トルク」 と呼ぶが、力のモーメントと同じものである。 この「力のモーメント」という言葉の由来がどうも謎だ。モーメントと は一体どんな意味なのだろうか。 運動量は英語で「モーメンタム（momentum）」と呼ばれるが、この「モー メント（moment）」とはとても似ている言葉である。学生時代にニュート ンの書いた「プリンキピア」を（もちろん邦訳で）読んだことがあるが、そ の中でニュートンがおそるおそるこの「運動量（momentum）」という単

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1.3. 角運動量保存則

語を慎重に使い始めていたことが記憶に残っている。この言葉はこの時代 に造られたのだろうということくらいは推測していたが、語源ともなると 考えたこともなかった。 どういう過程でこの二つの単語が使われるようになったのだろう？ まず 語尾の感じから言って、ラテン語系の名詞の複数形、単数形の違いを思い出 す。data は datum の複数形であるという例は高校でよく出てきた。なるほ ど、ラテン語から来ている言葉に違いない、と思って調べると、 「moment」 はラテン語で「動き」を意味する言葉だと英和辞典にしっかり載っていた。 「時間の動き」→「瞬間」という具合に意味が変化していったらしい。こ のあたりの発想の転換は理解に苦しむが・ ・ ・。しかし、運動量の複数形は 「momenta」だということだ。今知りたい「モーメント」とは直接関係なさ そうだ。 他にどこを調べても載っていない。回転させる時の「動かしやすさ」と いうのが由来だろうか。私が今までこの言葉を使ってきた限りでは、 「回転 のしやすさ」「回転の勢い」というイメージが強く結びついている。 さて、力のモーメントの値 N が大きいほど、物体を勢いよく回せるとの ことだった。ところで・ ・ ・回転の勢いとは何だろうか。これもまたあいまい な表現であり、ちゃんとした定義が必要だ。そこで「力のモーメント」と 同じような発想で、回転の勢いを表す新しい量を作ってやろう。ある半径 で回転運動をしている質点の運動量 p と、その回転の半径 r とを掛け合わ せるのである。

L=r×p 「力のモーメント」という命名の流儀に従うなら、これを「運動量のモー メント」と呼びたいところである。しかしこれを英語で言おうとすると 「moment of momentum」となって同じような単語が並ぶので大変ややこ しい。そこで「angular momentum」という別名をつけたのであろう。そ れは日本語では「角運動量」と訳されている。 なぜこれが回転の勢いを表すのに相応しいのだろうか。例として、ある 点の周りを棒に繋がれて回っている質点について 2 通りの状況を考えてみ よう。両方とも質量、運動量は同じだとする。ただ一つの違いは中心から

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第1章

力学

の距離だけである。一方は、中心から遠いところを回っており、もう一方 は中心に近いところを回っている。前者は角運動量が大きく、後者は小さ いということになる。回転の半径が大きいというだけで回転の勢いが強い と言えるだろうか。 質点に直接さわって止めようとすれば、中心に近いところを回っている ものだろうと、離れたところを回っているものだろうと止める労力は変わ らないだろう。運動量は同じであり、この場合、速度さえも同じだからで ある。勢いに違いはないように思える。それだけではない。中心に近いと ころで回転する方が単位時間に移動する角度は大きい。回転数が速いとい うことだ。むしろ角運動量の小さい方が勢いがあるようにさえ見えるでは ないか。角運動量の解釈を「回転の勢い」という言葉で表現すること自体 が間違っているのかも知れない。 力のモーメント N も角運動量 L も元はと言えば、力 F や運動量 p にそ れぞれ回転半径 r をかけただけのものであるので、力 F と運動量 p の間に ある関係式 F = dp/ dt と同様の関係式が成り立っている。

dL dt つまり角運動量 L とは力のモーメント N による回転の効果を時間的に 積算したものである、と言う以外には正しく表しようのないものであって、 日常用語でぴったりくる言葉はないのかも知れない。回転半径の長いとこ ろにある物体をある運動量にまで加速するには、短い半径にあるものを同 じ運動量にするよりも、より大きなモーメント N あるいはより長い時間が N=

必要だということが表れている量である。 ・ ・、つまり回転さ もし上の式で力のモーメント N が 0 だったとしたら・ せようとする外力が存在しなければ、

dL =0 dt であり、L は時間的に変化せず一定だということになる。これが「角運動 量保存則」である。もちろんこれは、回転半径 r が固定されているという 仮定をした場合の簡略化した考え方であるから、質点がもっと自由に動く 場合には当てはまらない。実は質点が半径を変化させながら運動する場合 であっても、N が 0 ならば角運動量が保存することが言えるのだが、それ

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1.3. 角運動量保存則

はもう少し後の方で説明することにしよう。この後しばらくの話では回転 半径 r は固定しているものとして考えていても差し支えないし、そうした 方が分かりやすいと思う。 力や運動量を回転に合わせて拡張した概念が出てきたので、速度や加速 度や質量を拡張した概念も作ってやりたいところである。 しかし、今までのやり方に倣って何も考えずに単に半径をかけたのでは よく分からない量が増えてしまうだけだ。そんな事をしなくても例えば、 回転の速度というのは単位時間あたりに回転する角度を考えるのが一番分 かりやすい。これを「角速度」と呼ぶ。回転角を θ で表す時、角速度 ω は、

ω=

dθ dt

と表現される。 さらに、角速度がどれくらい変化するかという量として「角加速度」と いう量を定義する。角速度をもう一度時間で微分すればいい。この辺りは 何も難しいことのない概念であろう。 大学生がよくつまづくのは、この後に出てくる、質量に相当する概念「慣 性モーメント」の話が出始める頃からである。定義式だけをしげしげと眺 めて慣性モーメントとは何かと考えても混乱が始まるだけである。また、 「力のモーメント」と「慣性モーメント」と名前が似ているので頭の中がこ んがらかっている人も時々見かける。しかし、そんなに難しい話ではない。

1.3.3

慣性モーメント

運動量に相当する「角運動量 L」と速度に相当する「角速度 ω 」が定義 できたので、これらの関係を運動量の定義式 p = mv と同じように

L = Iω という形で表せないか、と考えてみよう。この「回転における質量」を表 す量 I を「慣性モーメント」と呼ぶ。本当は「力のモーメント」と同じよ うに「質量のモーメント」と名付けたかったのかも知れない。しかし今ま

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第1章

力学

でと定義の仕方のニュアンスが違うので「慣性のモーメント（moment of

inertia）」と呼ぶことにしたのであろう。日本語では「of」を略して「慣性 モーメント」と訳している。 質量というのが力を加えられた時の「動きにくさ」や「止まりにくさ」を 表すのと同様、この「慣性モーメント」は力のモーメントが加わった時の 「回転の始まりにくさ」や「回転の止まりにくさ」を表しているのである。 では、慣性モーメントをどのように定義したらいいだろうか？ 角運動量 は「半径×運動量」であり、運動量は「質量×速度」であって、速度は「角 速度×半径」で表せる。これは口で言うより式で表した方が分かりやすい。 L = r×p = r × mv = r × m × rω = mr2 ω これと一つ前の式とを比べると慣性モーメント I は

I = mr2 と表せば良いことが分かるだろう。これが慣性モーメントが定義された経 緯である。この定義式ばかりを眺めて、どういう意味合いで半径の 2 乗が 関係しているのだろうかなんて事をいくら悩んでも無駄なのである。

1.3.4

慣性モーメントを計算する

多くの学生が大学に入って初めにつまづくのが慣性モーメントの計算で ある。その第一の原因は、積分計算のテクニックが求められる最初のとこ ろであるという事であろう。高校までの積分の範囲では、積分の後につい てくる dx とか dt とかいう記号が x で積分しなさいとか t で積分しなさい とかいう事を表すだけの単なる飾りくらいにしか扱われていない。それが いきなり大学で dV とかになってもこれは体積全体について足し合わせる ことを表す単なる象徴的な記号であって、具体的な計算は不可能だと思っ てしまうのである。3 重積分などが出てくるともうお手上げである。まず、 この辺りの考えを叩き直さなければならない。本当はすごく簡単なのだ。

52

1.3. 角運動量保存則

学生がつまづくもうひとつの原因は、慣性モーメントと同時に出てくる 「重心の位置を求める計算」である。これらの計算内容は形式的にとても似 ているので重心と慣性モーメントをごっちゃにして混乱してしまうような のである。 前節では慣性モーメント I が mr2 と表せることを説明したが、これは大 きさを持たない質点に適用される話であって、大きさを持った物体が回転 するときには当てはまらない。形と広がりを持った物体の慣性モーメント を求めるときには、その物体が質点の集まりであることを考えて積分計算 をする必要がある。 なぜ慣性モーメントを求めたいのかをはっきりさせておこう。動機は大 切である。慣性モーメントは「回転運動における質量」のような概念であっ て、力のモーメントと角加速度との関係をつなぐ係数のようなものである。 物体の慣性モーメントを計算することが出来れば、どれだけの力がかかっ たときにどれだけの回転をするのかを予測することが出来るので機械設計 などの工業的な応用に大変役に立つのである。もちろん理論的な応用も数 限りないので学生にはちゃんと身に付けておいてもらいたいと思う。 もうひとつ注意しておかなくてはならないことがある。慣性モーメント の大きさは、物体の質量や形だけで決まるものではなく、回転軸の位置や 向きの取り方によっても値が大きく変わってくるということである。回転 軸は物体の重心を通る必要はないし、物体の内部を通る必要さえない。 一般に軸が重心を離れるほど、慣性モーメントは大きくなる。バランス よく回るかどうかは慣性モーメントとは別問題である。 普通、重心を通る回転軸のまわりの慣性モーメントを計算することが多 いが、それには理由がある。一つは、何も支えがない宇宙空間などでは物 体は重心の周りに回転するからこれを知るのは非常に大切なことであると いうこと。さらにもう一つ、重心を通る軸の周りの慣性モーメントさえ求 めておけば、あとで話す「平行軸の定理」というものを使って、軸が重心 から離れた場合に慣性モーメントがどのように変化するのかを瞬時に計算 することが出来るので、大変便利だという理由である。 そこで、これから具体例を一つあげて軸が重心を通る時の慣性モーメン トを計算してみることにしよう。

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第1章

力学

これから半径 a、厚さ b で、密度 ρ の円盤の慣性モーメントを計算する。 この例を選んだ理由は、計算が難し過ぎなくて、かつ役に立つ内容が含ま れているので教育的に良いと考えたからである。 まず円盤が質点の集ま りで出来ていると考え、そ の円盤の中の小さな一部 分が持つ微小な慣性モー メント dI を求めてそれ を全て足し合わせること を考える。 つまり、式で書くと全 慣性モーメント I は次の ように表せるということ だ。

 I=

dI

 この積分記号 は全ての dI を足し合わせると言う意味であり、数学の    記号と同じような意味で使われているのである。ちなみに 記号も 記号も和（Sum）の頭文字の S を使ったものである。（ Σ はギリシア語の   S である。） 記号と 記号の違いは足し合わせる量が離散的か連続的か というだけのことなのである。 ではこの dI を具体的に計算してゆくことにしよう。この物体の微小部 分が作る慣性モーメント dI は、その部分の、中心からの距離 r とその部 分の微小な質量 dm を使って、

dI = r2 dm

と表せる。この微小質量 dm はその部分の密度と微小部分の体積をかけた

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1.3. 角運動量保存則

ものであり、 dm = ρ dV と表せる。それで、これまでの内容を式で表せば、  I = dI  = r2 dm  = r2 ρ dV となるのであるが、このままではまだ計算できない。微小体積 dV を別の 変数で表す必要がある。どのように表したらよいだろうか？ これは座標系のとり方によって表し方が変わってくる。もし直交座標で あるならば、微小体積は、微小な縦の長さ、微小な横の長さ、微小な高さ を掛け合わせたものであるので、 dV = dx dy dz と表せる。 つまり、

 I=

r2 ρ dx dy dz

ということになり、ここで 3 重積分が出てくるわけだ。しかし、3 重になっ たからといって怖れる必要は全くない。3 重積分の計算方法は、中から順 番に、まず x で積分してその結果を y で積分してさらにその全体を z で積 分すればいいだけである。 このとき、積分する順序は気にしなくても良い。多分このようなことを 言うから「物理屋は数学を全然分かってない」と言われるのだろうが、普 通の物理に出てくる範囲では積分順序を入れ替えたくらいで結果は変わら ないのでこの程度の理解で十分なのだ。 では、この 3 重積分を計算してみよう。まずその前に、半径 r は直交座 x2 + y 2 なので、

標で表現しておかなければ計算できない。半径は r = Ｉ は、

 I=

(x2 + y 2 )ρ dx dy dz

と表される。ところがここで困ったことに積分範囲をどうとるか、という 問題が起きてくる。

z については円盤の厚さを取ればいいから 0 ∼ b までの範囲で積分すれ ばいい。しかし x と y の範囲は円形領域なので気をつけなくてはならない。 領域全てを隈なく覆い尽くすような積分範囲を考える必要がある。 55

第1章

力学

そこで y の積分範囲を √ √ − a2 − x2 ∼ a2 − x2 とし て、x を含んだ形で表し、x の 積分範囲を −a ∼ a とする必 要がある。こうなると積分の 順序を気にしなくてはならな い。まず y で積分し、次にその 結果を x で積分するのである。 さて、これを計算すれば答 えが出ることは出る。しかし 今更だが私はこんな面倒くさ そうな計算をするのは嫌であ る。もっと簡単な計算方法が あるのだ。 円筒座標を使えば、はるかに簡単になる。円筒座標というのは xy 平面を 極座標の r と θ で表し、z をそのまま使う座標系である。こうすれば r で 積分出来るので、半径 r をわざわざ x と y で表し直す必要がなくなる。積 分範囲も難しいことを考えなくても済む。 ところで円筒座標での微小体積 dV はどう表せるだろうか？ 次の図を見 てもらいたい。 この濃く塗った 領域は極めて微小 な領域であると考 える。原点からの 距離 r と比べる と dr というのは 誤差程度でしかな い。するとこの領 域は縦が dr、横が r dθ、高さが dz の 直方体であると見ることが出来るだろう。もちろんこの領域は厳密には直 方体ではないのだが、直方体との誤差をもし正確に求めたとしたら、それ

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1.3. 角運動量保存則

は非常に小さいのだから、r dr dθ dz にさらに dr などが付いた形として求 まるだろう。微積分というのは、これらの微小量を無限小にまで小さくし た状態を考えるのであって、誤差なんかは求めたい部分に比べれば無限に 小さくなると考えられるのである。 それで dV = r dr dθ dz と書くことが出来る。よって全体の慣性モーメ



ントを式で表せば、

I=

r3 ρ dr dθ dz

となる。これを r と θ と z について順番に積分計算すればいいだけの事だ。 この場合、積分順序を気にする必要はなくて、r を 0 ∼ a まで、θ は 0 ∼ 2π まで、z は 0 ∼ b の範囲で積分すればいい。

3 重積分や、微小体積を微小長さの積として表す方法について理解して もらえただろうか？ 積分計算はこのようにやるのである。積分の最後につ いている dx や dt や dV にはこのような意味があって、単なる飾りではな いのだ。 他の場合について知りたければ各自努力してもらいたい。今言った方法 を使っていろんなことが出来るはずである。球座標における dV がどのよ うに表せるかは他の教科書に載っているので詳しくはそっちを調べてもら いたい。縦、横、高さがそれぞれ、 dr、r dθ、r sin θ dφ の直方体で表せ るので dV = r2 sin θ dr dθ dφ と置けば良いことになる。 一般に回転軸が重心を離れるほど慣性モーメントは大きくなる、と前に 書いた。これについては大変便利な公式があって「平行軸の定理」と呼ば れている。軸が重心を通る時の慣性モーメントさえ分かっていれば、その 回転軸を平行に動かしたときの慣性モーメントはそれに M R2 を加えるだ けで求められるのである。

I = Ic + M R2 ここで M は物体の全質量であり、R は軸を平行に移動させた距離、す なわち軸が重心から離れた距離である。Ic は重心を通っている場合の値に 限る。それ以外の場合にはこの公式は使えない。 なぜ「平行軸の定理」と呼ばれているかについても良く考えてもらいた い。軸の傾きを変えると物体の慣性モーメントは全く違った値を示すので

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第1章

力学

ある。この公式は軸を平行移動させた場合にしか使えない。 ところで、慣性モーメントには発展形がある。今は一つの軸についてだ け計算したが、軸をどんな方向に向けた場合についても対応できる素晴ら しい方法である。しかし数学的に少し高度でもあり、かなり長い記事になっ てしまったので興味のある人だけ後からゆっくり読んでもらったらいいと 思っている。そこでは「角運動量ベクトル」が出てくるが、その説明がま だ済んでいないのである。もちろん気になる人は今すぐ読んでもらっても 構わない。（→ 232 ページへ）

1.3.5

コマはなぜ立っていられる？

コマというのは実に魅力的である。回転しているというだけで、普通な ら倒れてしまうような不安定な姿勢で立ち続けていられるのである。それ で、回転というものには未知の特別な力があるのだと考える人や、回転に 神秘的なものを感じたりする人たちが多く出てくるわけだ。「回転によっ て重力が生み出されているのだ！」なんて主張する人まで現われる始末で ある。 その気持ちは理解できる。私も学生時代、コマがなぜ立っていられるの かについて深く考え続けた。それを説明していると思われる、教科書の「角 運動量保存則」の部分を繰り返し読んでみたが理解できずに苦しんでいた。 友人に聞いても、どうもはっきりした答えが返ってこない。それでいてあ まり不思議にも思わないのか、真剣に考えてくれる様子もない。 「なぜコマ は立っていられるのか？」この質問に明快に答えられる人が意外に少ない のである。それがますます、回転というものに神秘を感じる原因となって しまう。 一般向けの解説書などでは、コマが立っていられる理由として、 「遠心力 で軸の周りに均等に引かれているから」と解説してあるものが見られる。 有名な教授が書いておられたりするのだが。私はこれを読んだ時、 「なるほ ど、こんな簡単なことだったのか！」と感心してしばらくの間これを信じ ていた。しかし、後になってじっくり考えてみるとこれでは何の説明にも なっていないということに気付いた。これは「軸がコマの重心を通ってい

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1.3. 角運動量保存則

ないと不安定になる」理由を説明することは出来るが、なぜ軸が倒れない かを説明することは出来ない。たとえコマの軸がまわりから均等に引かれ ようとも、重力はそれ以外の力としてある一方に働き、そのバランスを崩 すからだ。 コマが回りながらその軸を不安定にぐるぐる回すあの動きを「歳差運動」 と呼ぶ。惑星の自転にもこの動きがあり、年ごとに軸の向きに差が出るか ら「歳差」と呼ばれているのではないかと思うが、違っていたら教えて欲 しい。昔はみそすり運動という別名があったようだが、今もそうだろうか？ 最近では味噌擂りをしないので、分りやすいように首振り運動と呼ばれて いるかも知れない。実は、この歳差運動を分かりやすく説明することが、 コマがなぜ倒れないでいられるかを説明する近道になるのである。 詳しくは次の節で話すので、ここでは要点だけを簡単に説明するだけに しよう。次のようになる。 コマの回転軸が重力によっ て傾けられそうになると、回 転の影響で、軸は重力とは違 う方向へ移動することにな る。それで、コマはそれ以上 傾きを増す方向へは倒れな いで、コマの軸の上端は水平 面上をぐるぐる回ることにな る。これがコマが倒れない理 由である。コマの首振りは、 重力とは違う方向へ軸が傾 いた結果起きる現象なので ある。 途中の一番面倒な部分を軽 くごまかしたのでこんなに簡単に説明できてしまった。 「回転の影響で重力 とは違う方向へ軸が移動する」の一言で肝心な部分を省略してしまったが、 これは特別に不思議な現象ではなく、いろんなところで体験できるもので ある。

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第1章

力学

例えば科学館や航空博物館などへ行くとよく、高速で回る円盤を傾ける ときに感じる奇妙な力を体験できるコーナーがあったりするのだが、試さ れたことはあるだろうか？ 回転している物体の軸は力を加えた方向には 回ってくれないのである。それとは垂直の方向に移動することになる。こ れは航空の分野では「ジャイロ効果」と呼ばれている。手軽に体験したけ れば、「地球ごま」という名前の商品が売っているし、（昔はそこらで買う 事が出来たが最近はあまり見かけない。東急ハンズにあるらしい。）自転車 の修理の時に車輪を外した時にでも、軸を持って誰かに車輪を回してもら い、それを傾けてみればいい。 なぜ回転していると、力を加えた方向とは別方向へ移動するのだろうか？ これを考えるのは少々複雑なので数学的道具の助けがあった方がいい。

1.3.6

コマの歳差運動

回転を物理の問題として扱えるようにうまく表すにはどうしたらよいだ ろうか？ 回転している物体を見るとき、ある部分はこっちへ、ある部分は あっちへ運動していて、一つの方向で表すことが難しく感じる。 そこで回転軸を使って 表現することにしたので ある。軸を決めれば回転 の向きが固定されること になる。それでも回転方 向は軸の周りに右回りと 左回りの二つあるのでど ちらかに決めなければな らない。そこで右ねじを 回転させた時にねじが進 む方向に倣ってベクトル の方向を決めるのである。 そして回転の勢いをベク トルの長さで表すことにした。こうすれば回転の様子を一つのベクトルだ けで表現できることになるではないか。これが「角運動量ベクトル」と呼 ばれているものの意味である。

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1.3. 角運動量保存則

便利な表現方法としてこの方法を採 用しただけであって、別にそのベクト ルの方向に何か特別な力がかかるわけ ではないことに注意しよう。 さて、回っているコマがいくらまっ すぐ安定して立っているように見えて も僅かながら傾きがある。それは軸が 重心からずれていて常に微妙に揺れて いることや床の僅かの凹凸や、周りの 空気の流れなど、色んな要因が働いて いるからである。 もし本当に安定しているのなら、コマが止まっても立っていられるはず である。しかしそれには針を立てようとするような微妙なバランスが必要 で、ほとんど無理な話である。そして、軸がほんの僅かでも傾いていたら 重力はこの軸を倒すように働くことになる。 さて、軸が倒れる時、コマの先 端は床との摩擦があるので、コ マの先端部分を支点として倒れ ることになる。つまり重力は、コ マの先端部分を軸にしてコマ全 体を回転させるように働くわけ だ。この重力の働きは、傾きが増 すほど強くなる。この重力によ る回転を先ほどのベクトルで表 すと右の図のような向きになる。 そろそろ分かってきたかも知 れない。つまり、重力はすでに コマが持っている回転に別の方向の回転を加えようとしているのである。 その結果どちら向きの回転になるかは、回転のベクトル同士を合成すれば 分かる。 具体的に図で示してみよう。分かりやすいように、コマを大げさに傾け た状況を考えることにする。

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第1章

力学

人によってひもの巻き方が違 うかも知れないが、右利きの人 がコマをまわすと左回りになる のが普通ではないかと思う。こ のとき、先ほどのルールで言え ば、回転のベクトルは斜め上向 きの矢印で表されることになる。 これに、重力による回転を加 えると、軸は傾きをさらに増す 方向ではなく、それとは垂直方 向に向きを変える事になるのが お分かりになるだろう。 このようなわけで、コマはいつ までも首振りを続けることで倒 れ込まないでいられるのである。 コマ自体の回転が落ちてくる と、重力による回転の影響の方が強く現われるようになり、次第に首振り は激しくなる。これはコマで遊んだことのある人なら経験的によく知って いる事だろうと思う。

さらに専門的には・ ・ ・ 重力による軸の回転をコマのもともとの回転と同格に扱ってベクトル合 成するのはあまり正確な表現だとは言えない。重力が軸を回転させようと する力を「重力による力のモーメント」として扱うべきである。 力のモーメントとは、角運動量の微小な変化率であるという意味合いが あるのだった。物体に加わった力のモーメントの大きさに応じて角運動量 はなめらかに変化するのである。それに応じて軸が傾き、重力が軸を傾け ようとする力のモーメントの方向も刻々と変化することになり、いつまで も水平面内での軸ベクトルの回転が続くわけだ。 専門の教科書ではこのことが微分方程式で表され、それを解いた結果が 誇らしげに書かれているように見えるが、そんなに難しい事をやっている わけではないのだ。もちろん教科書の著者たちも難しいこととは思ってい ないので、親切な説明は不要だと思っている。

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1.3. 角運動量保存則

1.3.7

もっと簡単なジャイロ効果

コマがなぜ倒れないかについては「ジャイロ効果」がその原因であると 説明した。そして前節ではこの「ジャイロ効果」を角運動量ベクトルを使っ て説明した。しかしこのような数学的な道具に頼らなくても、もっと簡単 に理解する方法があるようである。 これから説明するのは、もう数年前になるのだが、私が前節の記事を書 いて大満足でいたところにどこかの掲示板で教えて頂いた考え方である。 残念ながらそれが誰だったのか、どこの掲示板でのことだったのかさえすっ かり忘れてしまった。 （アイデアを勝手に拝借したとしても、そろそろ時効 成立ってことで許してもらえるだろうか。） とにかく当時なるほどと感心させられたものであり、埋もれさせてしまっ ては勿体無いので分かりやすくまとめておこうと思った次第である。 コマの軸が地面に対して垂 直に立って回転しているとす る。回転の向きは上から見て 反時計回りだとしよう。分か りやすいためにこのような状 態から考えるだけであって、 本当はどんな向きで回ってい ても構わない。つまり重力の 方向は全く関係ない。 このコマを右に倒すとどう なるだろう。コマの縁のいく つかの部分に注目して、その 点での運動を考えよう。 まず、A の部分であるが、もともとは水平方向に運動していた。ところ が軸を傾けることにより、斜め下向きに運動方向を変えることになってし まう。逆に B の部分は、もともとは水平に運動していたのが、斜め上向き に運動することになるだろう。C や D の部分については平行移動するだけ で、運動方向については全く変化なしだ。問題は A と B の部分だ。これ らの部分は回転軸の向きが変わったからと言って、そう素直に運動方向を 変えてくれるだろうか？ そうは行くまい。慣性の法則に反するからだ。こ

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第1章

力学

れらの部分は、なるべく元の運動方向を保とうとするだろう。斜め下に向 かうように強制された物体が、回りを引きずってでも無理やり水平に進も うとすれば、この部分一帯は上にせり上がるしかない。そうすることで水 平に進み続けられるのだ。逆に上に向かうように強制されたものは、その 部分一帯を下に押し下げることで抵抗するだろう。 つまり、軸を傾けることでこれまで水平運動していた部分が進路を変え られてしまうので、それに抵抗するために全体が図の奥の方へ向かって倒 れこむことになる。これがジャイロ効果だというわけだ。 現実に起きているのはこのような分かり易い現象であるのだが、これを 前回のようなベクトル表現することで、こういう「部分の当然の振る舞い」 がすっかり覆い隠されてしまうことになるのである。 ベクトル表現は確かに計算には便利だが、私たちの目を塞いでしまうに は十分である。このような目隠し的状況が最先端物理の数学表現でも起き てはいないだろうかと心配になったりするわけだが、まぁ、偉そうに人の 心配をするよりも、自分がさっさと最先端にたどり着く事の方が優先的課 題だろう。

1.3.8

ベクトルによる正しい定義

ここまでは力のモーメント N や角運動量 L について、ベクトルを使った 正式な定義を示さないで説明してきた。というのも、軸を固定した状況で の回転ではわざわざベクトルを使って考える利点はそれほどなくて、複雑 さが増すだけだと判断したからである。 しかしコマの例で見たように、物体にはいろんな方向に向かって外力が 働き、それに応じて回転軸の方向も時々刻々と変化するものである。また 宇宙空間を漂う物体は重心の周りをどの方向にも自由に回転できる。回転 が一つの軸に固定されているなどということはない。このような状況があ るので、力のモーメントが軸を固定していない物体に対してどんな方向に 加わった場合にでもその回転を論じる事のできる方法が必要になるのであ る。 ここでついでに確認しておくが、宇宙空間での物体はなぜ重心の周りを 回るのか分かるだろうか。1.1.5 節で話したように（→ 18 ページ参照）、外

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1.3. 角運動量保存則

力がない限り重心位置は等速運動するのだったから、重心と同じ速度で並 進しながら物体を観察した場合、重心位置だけは止まって見える。だから 物体はその周りを回っているように見える、というそれだけの理屈である。 ところで物体の運動は、ある点を中心としたきれいな円運動ばかりとは 限らない。例えば、太陽の周りを回る惑星の運動は楕円形であって、これ は回転半径も常に変化しているような状況である。そのような場合でも角 運動量は保存しているのだろうか。 色々と気になる事はあるが、この節ではとりあえず、ベクトルを使った 正式な定義とその意味について説明する事に集中しよう。 ベクトルを使った力のモーメント N の定義は、力をベクトル F で表し、 力が加わる位置をベクトル r で表したとき、

N =r×F として表される。前にベクトルを使わない定義として示した式と全く同じ 形をしているが、今回の「×」記号は単に「かける」という意味ではない。 ベクトルとベクトルを掛け合わせる時にこの記号を使うと、それは「外積」 という数学的操作を行うことを意味することになる。 外積とはどういうものであるかについては第 4 章で解説したものがある ので、先にそちらの記事を読んで来てもらいたい。 （→ 201 ページへ）以下 の説明はそちらを読んでもらった事を前提に行うことにする。 ふぅ。ちょっと休憩。先に外積の記事を読んでから戻ってきて下さいな。 え、もう読んできた？ では説明再開だ。 外積には掛ける順序に意味がある。r と F を逆にすると符号が逆になっ てしまう。だから上の定義はそのままの順で覚える必要がある。いや、丸 暗記は必要ない。もし忘れてしまってもすぐに思い出すことはできる。こ の定義は、力 F が加わって回転した時に、あたかも右ねじが回転して進む 方向がベクトル N であるかのようなイメージとなるように作られている のだ。ベクトル N は回転の軸方向を表している。

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第1章

力学

これは物体が回転したからと言って、ベクトル N の方向に力が掛かると かそちらへ進むとか、そういうことを意味してはいない。コマの話のとこ ろでも似たことを説明したが、これは便利だからそういう表現方法を取っ ているだけである。 外積には相手のベクトルの直角成分との積を取るという意味があるのだっ た。つまり、位置ベクトル r に対して直角方向を向いた成分の力を掛ける ことになる。少し前に次のような図を示して説明した事があるだろう。 その時にこの真下を向いた矢 印で表された成分だけを F とし て使うべきであると説明した。し かし外積を使うと、それは自動 的に行われるのである。斜め右 下を向いた矢印の力を F として そのまま使えばいい。真横を向 いた矢印の力、すなわちベクト ル r と同じ方向成分の力は、こ の外積の計算で自動的に全く無 視されてしまうのである。よく出来ているものだ。 ベクトルを使った角運動量の表現も、形式的には上でやった力のモーメ ントと全く同じである。

L=r×p ところがここで気になるのは運動量 p の方向である。きれいな円運動を 続けている場合には p というのは物体が持っている全運動量だと考えれば 良い。なぜなら運動量ベクトル p の方向は刻々と変化するだろうが、位置 ベクトル r も同じように変化するので、p は常に r に対して垂直を保ち続 けるからである。 しかし p がそれ以外の成分を持っていたらどうだろう。つまり r と同じ 方向成分を持つ場合であって、これは回転半径が増えたり減ったりするよ うな動きを含むことになる。定義から言って、このような成分は角運動量

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1.3. 角運動量保存則

としては計上されないのである。 右の図で言えば、質点が斜め 右下を向いた矢印のような運動 量 p を持つ場合には、角運動量 として計算に入るのは真下を向 いた矢印の成分だけだというこ とである。 これはどうも奇妙に思える。な ぜなら、このまま放っておけば回 転半径 |r| はどんどん大きくなっ て行くのではないだろうか？ 回 転半径が大きくなれば角運動量は大きくなるのだった。 真横を向いた矢印の運動量成分を計算にどうにか取り入れて何らかの対 処をした方がいいのではないだろうか。この定義のままで問題が起こった りはしないのだろうか。それについては次の節で考えることにしよう。と りあえず今回示したのが正式な定義であり、安心して使って構わない。

1.3.9

角運動量の保存法則

1999 年秋頃に、動きにごまかしのないリアルな巨大ロボットの格闘ゲー ムを作ろうと思い立ったことがある。重心移動などをコントロールする硬 派なゲームだ。この当時、私はゲームプログラマーとして生活して行くつ もりでいた。  今だから言うが、ネット上で格闘大会を主催して、公式改造パーツを「広江 工業」の名前で売って一儲けしようと企んでいたわけだ。オーダーメイドも引 き受けるつもりだった。  金次第でいくらでも強くできるのではなく、指定した材質、強度加工のコス トによって値段設定する。形状を工夫することで各パーツの重心位置を調整す ることができるが、総重量などはサイズ、材質、加工方法の選択によって制約 を受ける。ユーザはこれらを専用のソフトで設計して、そこに表示された金額 を支払えば「広江工業製」として認証を受けられて、公式戦で使用可能となる

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第1章

力学

という仕組みだ。また、設計データについてはユーザ間の売買を自由に認める つもりだった。  しかし当時のパソコンの能力、ネットの遅さを思い出してもらいたい。また その頃コンセプトは違うものの、似たようなゲームが連続して発表されたので やる気が失せてしまった。「巨大ロボットもの」は当時流行ったように見えた。 開発中の無収入の中で、近いうちに絶対誰かが同じことをやる！という不安に 負けたのだった。

とにかくその頃、そのゲームのための基礎的なシミュレーションをコン ピュータ上で繰り返していたわけだが、その結果を見て驚いた。運動量の保 存のみをプログラムしただけなのに、プログラムした覚えのない物体の回 転や遠心力まで再現してくれたのだ。厄介な角運動量保存はどうやってプロ グラムで実現したらいいのだろうと悩んでいた矢先のことであった。私は 暫くの間、なぜプログラムをしてもいないのに角運動量保存がコンピュー タ上で再現できているのか理解できないでいた。忠実に角運動量を再現で きているわけではないだろう、と疑った時期さえもあった。 私はそれまで角運動量の保存法則は運動量保存法則やエネルギー保存法 則と並ぶ宇宙の基本法則の一つでそれぞれは独立して成り立っているのだ と思い込んでいたのである。 ところがその辺りを気をつけて教科書を読み直してみると、角運動量保 存則は運動量保存法則を使って導かれる結果である事が分かってきた。運 動量保存法則が成り立っている限り、必ず成り立つことが保証されている のである。要は、角運動量保存法則は数学で言うところの定理みたいなも ので、公理ではないわけだ。そんなに難しくないからここでやって見せよ うか。

dL dt

d (r × p) dt dp dr ×p + r× = dt dt = v × mv + r × F =

= 0 + N

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1.3. 角運動量保存則 最後の行で第 1 項が 0 になるのは、速度ベクトル v 同士の外積を計算し たからである。同じ方向を向いたベクトル同士の外積は 0 になるのだった。 このようにして第 2 項だけが残るわけだが、もしこの N も 0 であるなら 角運動量は時間的に変化しない事になる。ベクトルを使った場合でも、外 部から力のモーメント N が働かない限りは角運動量が保存する事がちゃん と示せるのである。角運動量保存則は定理であって、基本法則じゃないぞ！ 数式で示せるからと言って、それを何も考えずにそのまま受け入れてし まうのは気持ちが悪い。先ほどの式の最後の変形で第 1 項が消えてしまっ たわけだが、これこそ前節の最後に出てきた疑問の核心部分である。 「回転 半径が変化しているのに、なぜ角運動量は変化しないでいられるのか」。 ベクトルを使わずに説明した時には r が変化する状況など少しも考慮し ていなかった。今回は r が自由に時間変化することまで考えて計算したの に、その項はなぜか消えてしまうのである。数学的な理由なんかはどうで もいい。その項が消えてしまっても問題ないことの納得の行く理屈が知り たいのだ。 回転半径が変化しながらなおかつ円運動しているという状態は考えにく いので、次のような想像をしてみよう。自分が宇宙ステーションで船外活 動をしている時に何らかの事故があり、命綱が切れてしまったとする。自 分は勢い良く宇宙空間へと放り出され、もうお終いかと思ったのだが、運 良く命綱の先端がステーションから突き出した丈夫なアンテナに引っ掛か り、何とか一命を取り留めた。自分はしばらくの間、そのままアンテナを 中心にぐるぐると回る事になった。どういう具合か、命綱はアンテナに巻 き付いては行かないようだ。 この状態で、命綱をたぐり寄せてアンテナに近付こうとしたり、遠心力 に負けて手を緩めてしまってアンテナから遠ざかったりするとき、それで も角運動量は保存すると言えるだろうか。 自分が命綱をたぐり寄せてアンテナに近付くための力は力のモーメント

N にはあたらない。これは回転には何の影響も与えないからである。自分 が元の位置の半分近くまでアンテナに近付けば回転半径が半分になるので、 角運動量が保存するためには運動量は 2 倍になっていなければならないは ずだ。つまり速度が 2 倍。一体何が自分をそこまで加速してくれるだろう？ 69

第1章

力学

そんな力はどこからも働かないように思える。確かに回転数は 2 倍に速く なるが、それは回転の中心に近付いたために一周の距離が短くなるからで あって、自分の速度が変化したわけではない。 ここまでの考えのどこかに誤りがあるのかも知れない。現実の現象を見 てみると、実際にこういう場合には運動量は元の 2 倍になるし、回転数（角 速度）は 4 倍になる。加速の仕組みは一体どこにあるというのだろうか。 遠心力に逆らって命綱をたぐり寄せるのは考えるべきことが多そうなの で、いっそのこと、アンテナから遠ざかる事を考えてみよう。方法はとて も簡単だ。手を放せばいい。自分はそのまま今の回転の接線方向へ等速直 線運動することだろう。アンテナから見た位置ベクトルの大きさ |r| はどん どん大きくなる。これはもはや円運動ではないが、角運動量は定義に従っ て計算できる。次のような図で説明しよう。 アンテナは原点 にあるとする。自 分は (0, a) の地点 で命綱を手放し、 等速直線運動に入 った。t 秒後の自分 の位置は (vt, a) で ある。運動量は常 に (mv, 0) のまま である。アンテナ から見た角運動量を計算してやろう。外積を計算するためには 3 次元で 考える必要があるので、z = 0 とすればいい。

L = =

( vt, a, 0 ) × ( mv, 0, 0 ) ( 0, 0, amv )

つまり、時間に関係なくずっと一定だ。こういうことを考えてみた事もな い学生が結構いそうだが、角運動量保存則は等速直線運動する物体に対し ても成り立っているのである！ なぜこんな事になるのだろう。これを円運動のようにたとえると、確か に回転半径に相当する値は大きくなってゆく。しかし、回転に寄与してい

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1.3. 角運動量保存則 ると見なせる方向の運動量の成分（前ページの図の r に垂直な矢印 p ）は 同じ割合で徐々に小さくなって行くのである。 よし分かった。ではこれを逆向きに考えたら、先ほどの疑問が解決する だろうか。遠くにいた宇宙の漂流者がだんだんアンテナに近付いてくる。 距離はどんどん縮まるが、アンテナ近くをかすめ飛ぶ時には、位置ベクト ルに対して直角な運動量の成分は最大になっている。このようにして終始、 角運動量は保存する。つまり、角運動量の定義から、有効と見なせる運動 量の値に変化があると考えなければならないが故に、角運動量保存が成り 立っているわけだ。しかしこんな理屈が、命綱をたぐり寄せて近付くよう な先ほどの状況にまで当てはめられるだろうか。 それでも何とかやってみよう。 アンテナに近付くにはどうした ら良いか。大袈裟に考えてみる。 命綱を思い切り引っ張ることで 十分な余力を付け、命綱を一瞬 手放してジャンプする。つまり 手を放してからのわずかな時間、 等速直線運動と見なせる運動で アンテナに近付くわけだ。右の 図のような状況だ。 ここで自分はアンテナの方に 真っ直ぐ近付く運動量（矢印 p ） を得たつもりでいるのだが、傍 から見れば元から持っている運動量（矢印 p）があるので、合計の運動量 （矢印 p ）はアンテナの方向をまっすぐ向いていない。 しかしこの合計の運動量（矢印 p ）のまま進めば確実にアンテナとの 距離は縮まる。先ほどの等速直線運動の話がそのまま成り立ち、この移動 の間、角運動量は変化しない。アンテナに最接近したところで再び命綱を ぎゅっと掴めばいい。 矢印 p の運動量を得るために使った力は回転方向への加速には寄与し ないものだと思われたが、前より大きくなった合計の運動量（矢印 p ）は そっくりそのまま、到達地点での円運動の接線方向の運動量としての意味 を持つことになる。これが角運動量が保存するためになくてはならない加

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第1章

力学

速の仕組みである。物体は「わたくしめは運動量保存則にも角運動量保存 則にも従わなくてはなりませんから、ここで自らを加速することが必要な のです」などという責任感を持って行動しているわけではないのだ。 角運動量保存則が成り立っている身近な例として、「フィギュアスケー ターが伸ばしていた手を縮めると回転が急に速くなる」というのが挙げら れることが多い。しかしその理由として、 「角運動量は保存するから」とい う薄っぺらな説明だけしか思いつかない人がもしいるとしたら、自分の理 解の浅さを反省した方がいい。もちろん大半の人は分かっていて説明を省 略しているに違いない。 現時点で最小の粒子の一つだと考えられている電子でさえスピンと呼ば れる角運動量を持っている。それらを含めた角運動量の合計は全宇宙で常 に一定なのだ、と長年聞かされていた私は回転というのは何かミクロから マクロにいたるまで宇宙で特別な根本的な意味を持つ量に違いない、と感 じていた。 また、大学の教授によれば、 「スピンというのは、ただ角運動量の次元を 持つ数学的な量であって、実際に電子が回転しているとは考えるべきでは ない。」との説明だったので、 「うーん、その小さな数学的なスピンが集まっ て、目に見えるような物体の回転が作られているというのだろうか？ その 小さな数学的な回転であるスピンと、目に見える普通の回転は一体どの段 階でどのようにして結びついているのだろう？ 理解し難し、角運動量保存 則」という具合に心の底にずっと引っかかっていたのだった。 こうして角運動量の正体に気付いてみると、先ほどの電子のスピンにつ いても謎が氷解する。電子は全宇宙とは関係なく、ただ勝手に回っている だけなのだ。量子力学的な理由によって、その回転が停められないだけの 話なのである。宇宙は全宇宙の回転量が一定になるように管理をしている わけではなかったのだ。 気付いてみると、今までこんな単純なことでつまづいていたのかと自分 の理解力の乏しさを痛感する。こんな誤解をしていたのはひょっとして自 分だけではないだろうか、と思えてくる。 ここまでの内容をネット上で発表して間もなく、幾つかの反論のメール を頂いた。

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1.3. 角運動量保存則

運動量保存則は空間の平行移動についての対称性から、角運動量保存則 は空間の回転についての対称性から、ついでに言えば、エネルギー保存則 は時間経過に対する対称性からそれぞれ独立に導かれるはずのものであっ て、運動量保存則から角運動量保存則が導かれるなどということはないの ではないか、というご指摘である。 確かにその通りである。これはネーターの定理といって、何か対称性が あるところにはそれに対応して必ず何らかの保存則が考えられる、という ものである。この定理は「解析力学」という分野を学ぶときに出てくる。 その指摘以来、私はなぜ運動量保存則だけから導いてきたはずの議論から 角運動量保存則が成り立つという結果が導かれることになるのかというこ とについて長い間考えてきたが、ようやく謎が解けてきたようである。 それは制約条件の存在にあるのではないか。運動量から角運動量を作り 出したときに、回転半径を導入した。これが運動量保存則に回転対称性と いう新たな条件を加えることになり角運動量保存則という別の保存則を生 み出したのである。 正確にいえば、運動量保存則と角運動量保存則は完全に分離独立してい るわけではない。角運動量保存則はその内部に運動量保存則を取り込んで いるのである。この辺りの事情については、次の節で詳しく説明すること にしよう。

1.3.10

運動量保存だけでは不完全？

前の節で、角運動量保存則は運動量保存則から導かれるということを言っ たが、完全にそうは言えないことを説明しよう。運動量保存則が成り立っ ているにも関わらず、角運動量保存則を満たしていない例を考えることが できる。 例えば、2 つの質点が左右に離れて並んでおり、静止しているとしよう。 そしてこの 2 つの質点の間に運動量が交換されて、一方が上方へもう一方 が下方へ進み始めたらどうであろうか？

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第1章

力学

現実にはこんなことは起きないので奇妙な感じがするが、この状況は運 動量保存則を満たしているのである。 この時にもしこの 2 つの質点を棒でつないでおいたら、この棒は何もし ないのにくるくる勝手に回り始めることになるだろう。角運動量保存則が 成り立っていないことになってしまう。 もしこのような形の運動量の交換が許されているならば世の中のあらゆ る物体が激しく回転運動を始めるに違いない。しかしもちろん実際にはこ のような運動量の交換は起こっていない。つまり、運動量保存則は現実の 運動量の交換について全てを言い表せていないのである。だからと言って、 やっぱり角運動量保存則も必要なんだ、と安易に結論付けてはいけない。 運動量保存則をちょっと改造するだけで、このような奇妙な現象が起き るのを防ぐことが出来る。それは「運動量の交換は、お互いを結ぶ直線上 で行われるべし」という条件を付加することである。 これだけで角運動量保存則と同じことが言えるようになるのであるから、 角運動量保存則が運動量保存則と本質的に違う点は実はこれだけなのであ ろう。 ニュートンの第 3 法則は「作用・反作用の法則」である。他のものに力 を加えた物体は、同じ大きさの反対向きの力を受けるという内容の法則で あった。しかし今見たように、離れて働く力の場合には、これだけでは角 運動量保存則を満たせないことが分かる。角運動量保存則を満たすために は先ほどと同じように、 「ただし、作用・反作用はお互いを結ぶ直線上にの み働く」という一文をニュートンの第 3 法則に組み入れなければならない。

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1.4. 力学のまとめ

こうすることによって、ニュートンの 3 つの運動の法則はニュートン力学 の全てを言い表せる法則であり続けることが出来るのである。（そういう 条件を書き加えてある教科書も多いが、理由までは書いていないことが多 い。） しかし、私の意見を言わせてもらえば、ニュートンの第 3 番目の法則に 「ただし・ ・ ・」とつけるのはどうにもみっともなく思えるのである。なぜな ら、これは法則に例外を設ける行為であって、なぜそのような例外が存在 するのかという説明が不十分だからである。そのようなものを運動の基本 法則と呼ぶのは受け入れがたい。 しかし、例外条件を外す方法がある。全ての遠隔力を否定すればいいの だ。運動量の交換がいつも一点で行われるということを認めるならば、つ まり離れて働く力などないということにすれば、この但し書きはなくても よい。 実際、素粒子論では離れて働く電磁気力や核力なども、間に交換される 粒子によって運動量が交換されるとして説明しているのであって、この考 えはそれほど大胆なものではないはずである。 しかし、私はこれによって少々大胆な予測を展開したいと思っている。こ れまで、エネルギーや角運動量について考えてきたが、結局この宇宙に存 在するのは「運動量」だけなのではないか、という考えである。これにつ いては次の力学のまとめの中で詳しく語ろうと思う。

1.4

力学のまとめ

これまで運動量、エネルギー、角運動量について考えてきたが、それら の保存則はニュートンの 3 つの運動法則を基として導かれるものであるこ とが分かった。 なぜニュートンの運動に関する 3 法則からそれら 3 つの保存則が導かれ るかといえば、ニュートンの運動の法則が空間、時間、回転に対しての対 称性を暗に含んでいるからである。ただし、角運動量保存則を満たすため にはニュートンの第 3 法則の中に「力の作用・反作用はそれらを結ぶ直線 上で起こるべし」という条件を書き加える必要がある。

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第1章

力学

しかし意外なことに、これら 3 つの保存則は、運動量を考えるだけです べて説明がついてしまうのである。しかしここで言いたいのは「運動量保 存則から他の 2 つの保存則が導かれる」という意味ではないので気をつけ て欲しい。 例えば、運動量保存則は「運動量は交換されるもの」という事実を表し ており、エネルギー保存則は運動量が交換される法則が距離にだけよるも のであって時間により変化しないということから導かれる。また角運動量 保存則はその運動量の交換が一点でのみ行われるという事を考えれば条件 が満たされる。 結局は、運動量やエネルギー、角運動量という「別々の何か」が存在す るのではない。現実に起きているのは、運動量が、時間によって変わらな いある規則に従って、一点で交換されているというただこの事実だけなの である。 エネルギーや角運動量という概念は計算をする上では便利なものではあ る。しかし実際にそこで何が起こっているのかということを説明するため には運動量を考えるだけで十分なのである。 イメージ的には「運動量」を基本的概念として考えた方がすっきり理解 できるが、理論的に厳密であろうとするならば、ニュートンの運動の 3 法 則を「原理」として認める方が安全である。どちらを取るかは、どちらを 大切にするかに依る。 「数学的厳密さ」か「本質を見極める目」か。中には 「数学こそが本質だ」と主張する人もいるのでこの辺りの考えは人によって 違うだろう。 もう一つ注意しておかないといけない。運動量の交換がお互いの距離だ けによって決まる、と書いたが、力学の中では論じなかったことがある。 それは、電磁気学の中の話だが、ローレンツ力というものがあってポテン シャルがお互いの速度にもよるのである。この場合に、同じように運動量 だけでエネルギー保存を説明できるのかどうかを確認しなくてはならない。 私は初めから運動量を贔屓目に見ていたが、まさかここまで簡単にまと まるとは思ってもみなかった。初めは、エネルギー保存則と運動量保存則 はそれぞれ対等な宇宙の 2 大法則であって、二つを同じ形式（相対論的形 式）で表現することで一つにまとめようと考えていたのである。しかしこ

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1.4. 力学のまとめ

うして運動量だけで説明がつくことになってしまったので私の中ではエネ ルギーの概念はもはやたいした意味を持っていない。もはや計算上便利で あるとの利点を除いてエネルギーという概念を持ち出す必要はないとさえ 思える。 「エネルギーは質量と等価である」という相対論の結果から、エネルギー は何らかの「実在」としてもっと深い意味を持つのではないかと気にして いたが、この心配ももはや消えてしまった。 「エネルギー」という言葉を使 わなくても相対論を解釈できる気がしてきた。これについてはしばらく後 で相対論について考えるときに注目しておこう。 ここまでやったからには量子力学も同様に「エネルギー」抜きで論じた いところである。それは一体どんな形式になるのだろうか？ しかし、あの 体系でそれが出来るかどうか、それは今後の課題である。

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book :

2007/3/15(14:11)

∼哲学∼

実在はどこにあるか   力学は「どう動くのか」ということをまとめた学問であるが、「なぜ動 くのか」ということについては何も説明していない。私はそれを知りたい のだ・ ・ ・。 この世に力なんて物はホントにあるのだろうか？ 力というのは、結局、運動量を変化させる現象を見て、 「力が働いている と考えよう」として決めた概念である。力というものを取り出してあなた に見せることは出来ない。「見えなくても確かにある」と言うかも知れな い。それを感じることは出来るから。それは否定しない。しかし、それを なぜ感じるかと言えば、もっと深い理由がある。 例えば、風は実在するだろうか？ あなたは風を肌に感じることが出来る。 しかし、風の正体は空気である。 「風」が「在る」のではなくて、空気が移 動している現象を「風」と名付けたのである。「風」は結果である。 人間は実在しないものに、ある名前を付けて、あたかもそれが存在する かのように議論することができる。それを「象徴」と呼ぶ。人間は象徴に よって、より高度なことを理解できるのである。象徴がなければ何も理解 できない。 「母」という言葉も、 「空」という言葉も。 「植物」という言葉も。 言葉自体が象徴なのである。 それらは存在しない象徴なのである。あなたは自分の「母」を連れてき て、 「これが母だ」と言うことが出来るかも知れない。しかし、見せられた ものは一個人であって、母そのものではない。あなたは「これが植物だ」と 何かを見せることが出来るかも知れない。しかし、それは植物に分類され るものの一つでしかない。 少々脱線してしまったようだ。話を戻そう。では、この宇宙に真に存在す るものは何だろうか？ 物理の基礎である力学に出てくるものはおおよそ、 「運動量」「質量」「力」「時間」「位置」「エネルギー」「加速度」「速度」な どが挙げられる。

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このうち、本当に意味のあるもの、存在するものは何だろうという事を 考える。ところが、それぞれが他のものから定義されていて、どれを基準 にしたらいいのか、分からないのである。先ほど、力というのは人間が勝 手に決めた概念でそこでは運動量の変化が起こっているだけだと書いたが、 その運動量でさえ物体の質量と速さをかけて人工的に作り出した概念なの である。 その元になっている速さという概念も、一定の時間でどれくらいの距離 を移動するかで決めた、人間の作ったものである。ただ、身近で理解しや すいというだけだ。速さの基準となる時間というものでさえ、 「在る」のか よく分からない。 「時間」でさえ、結果かも知れない。もし、全世界の物体 が静止していたら、あなたはその世界に「時間」があるのか決められるだ ろうか？ 時間は運動の結果だと言えないだろうか？ 私の力学の説明では、質量と速度を基準にして運動量を定義したが、そ れはそれらがなじみのあるもので疑いを持つ機会が少ないからである。そ して、そこから「力」を定義した。 しかし、人によっては、他のものを基準にして議論をすすめる。中学校 の理科ではいきなり「力」を元にして話を始める。直感的で分かりやすい からだ。正当な理由である。物理は色んな説明が出来るのである。 相対論では、基準を光の速度に求めた。ある視点に立って、物事を前よ りはるかに見渡せるならばそれが物理の成果なのである。より便利な概念 を使うのみである。熱力学では、熱量という概念を使う。熱というものは 本来、分子の運動なのだが、あたかもそれが独立した存在であるかのよう に扱う。便利だからである。物体の衝突も、普通は運動量保存則とエネル ギー保存則で計算するが、ソリトンという波の概念を使って説明すること も出来るらしい。光は粒子であるという概念も、便利だから使っているの であって、文字通りの粒子であるとは考えにくい。それについては量子力 学の説明をする機会があれば話そう。 何を基準にするかは、好みの問題であるように思われる。しかしそれに よってより便利にならなくては意味がない。より遠くを見渡せなくては意 味がない。 私は、何か基準となるもの、本当に実在する何かを求めているのだ。そ

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れさえあれば、他の全てが説明できてしまうような一つのものを。それが 本当にあれば、またそれを見つけることが出来れば嬉しく思うが、これは 一元論という考えに分類される一つの考え方であって、この考え方さえ間 違っているかも知れない。

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第 2 章 電磁気学 2.1

目標と方針

電場や磁場は果たして実在だろうか、ということをここでも問い直して みよう。しかしそのような問いはいささか前時代的である。かつては、そ のようなものは電荷と電荷の間に働く力を説明するためだけの便宜的なも のであると考えられていた時代もあった。 （そのような考えに基づく学問は 「電気力学」と呼ばれていた。）しかし実際に電磁波というものが確認され、 光もその一種であるということが分かると、電場や磁場が仮想的なもので あるという考えは終止符を打たれることになった。 しかし未だに解決されない疑問がある。それは、電場や磁場というもの は結局なんだったのか、ということである。これは現代物理学が抱える疑 問というわけではなく、私の勉強不足に基づく個人的な疑問である。実際 は、相対性理論や量子電磁力学などから説明がついているようであるがそ の辺りをじっくり考えたことがないのでいまだに知識がリンクしていない のである。 そこで、ここでは特にその点についてじっくり考えていきたいと思う。果 たして電場や磁場は実在なのか？ 他のものからもっと簡単に説明がつかな いのだろうか？ 大学で電磁気学を学んで以来、マクスウェルの方程式は電磁気学の全て の基礎法則を集約したものである、ということで納得していた。しかしこ の方程式は電磁場についてを言い表しただけであって、これだけでは力学 との接点がないのである。実際に電磁場が存在するかどうかを確かめよう とすれば、そこに電荷を置いてみる必要がある。そこに電荷を置いて、そ れが力を受けることを通して初めてそこに電磁場が存在することを知るの

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第2章

電磁気学

である。 電磁場は電荷が存在しなければ、意味を持つだろうか？ つまり、電荷が 存在しないところで、電磁場は独立して存在しうるだろうか？ この問いは 愚かに聞こえるかも知れない。独立して存在する電磁場、それこそ「光」 ではないか。電磁場は確かに電荷とは独立して存在するもののようである。 （それでも電荷がなければ光の存在を知ることは出来ない！） しかし、ならば逆に解釈してやることは出来ないだろうか？ 存在するの は電場や磁場ではなく光の方であって、光を基にして電磁場を説明してや るのである。すると今度は「静電場」や「静磁場」をどのように説明した らよいだろう。静電場は電磁波を作らないので、光を使って説明できない のではないだろうか。しかし、こう考えたらどうだろう？ 電荷のないとこ ろに静電場は存在しないのだから、静電場は電荷の存在に依存した存在で ある。よって、全ては「電荷と光」のみで説明できるのではないだろうか。 ひょっとして量子電磁力学と同じ事を言おうとしているのかも知れない が、電磁気学の範囲でどこまでこの考えが通用するかチャレンジしてみた いと思うのである。 第 1 章の力学でも行ったように、ここでも本質は何なのかということに 集中して議論を進める。上では大きな目標を掲げたが、とりあえずは基本 から普通の説明を心がけたい。上記のような目標を達成するにはどこから 手をつけたらいいかまだ分からないからである。 電磁気学の解説には大きく 2 つの方法がある。一つは、基本的な法則か ら始めてついにはその集大成である「マクスウェルの方程式」を作り上げ てゆく形式であり、もう一つは、初めにマクスウェルの方程式を掲げて、そ こから色んな法則が導けることを示してゆく形式である。 色々考えた結果、私は前者の方法を取ろうと思う。この方が、マクスウェ ルの方程式がどのような考えで作られたのかについて深く考えることが出 来そうだからである。また、先ほど話した目標を達するためには初めから マクスウェルの方程式を受け入れるわけには行かず、批判を交えながら一 から作り直すつもりで行った方がいいと思うのである。 しかしこの方法の弱点は、マクスウェルの方程式に到達するまでに読者 が疲れてしまうことである。そこで、私の解説ではなるべく本質的な議論 だけに絞り、手っ取り早くマクスウェルの方程式にたどり着けるように心

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2.2. マクスウェル方程式の概観

がけようと思う。 そのために数学的な議論や具体的な問題の解き方や、オームの法則やコ イルのインダクタンスなどといった応用的な事柄はすっ飛ばすことになる だろう。これを私の解説の特徴としたい。本質的な理解だけしてもらえた ら、後は詳しい教科書がいくらでもあるのでそれに頼ったらいいのだ。応 用などという複雑で難しい事は賢い他の人に任せておくことにしよう。

2.2

マクスウェル方程式の概観

先ほど書いた方針の中で、私はマクスウェルの方程式から議論を出発す るのではなく、基本的な事柄の解説から始めて最終的にマクスウェルの方 程式にたどり着く方式で議論をしようと話した。 しかしなにも電磁気学を作り上げた先輩科学者と同じ苦しみを味わいな がら手探りで進む必要はない。電磁気学は既に完成しており、その集大成 がマクスウェルの方程式である。すでにどこにたどり着きたいかが分かっ ているので、先輩たちの残してくれた地図を見ながら進めばいいのである。 私がこれからどの順序でマクスウェルの方程式にたどり着こうとしてい るのかをあらかじめ知っておくのは初学者にとって大変有利であると思う。 我々には最先端を切り開くための時間がもっと必要であり、人材をもっと 早くもっと大量に最前線に送り込む必要がある。 我々のとりあえずの目標であるマクスウェルの方程式は次の通りである。

∂B ∂t ∂D rotH − ∂t divD rotE +

divB

=

0

= i = ρ =

0

これは「電磁方程式」と呼ばれることもある。これが導かれるまでには 過去の偉人たちの大変な苦労があったので、みんな感謝しよう。この式の

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第2章

電磁気学

中で、E は電場であり、他はそれぞれ、D が電束密度、H が磁場、B が 磁束密度と呼ばれる。

E : 電場

H : 磁場

D : 電束密度

B : 磁束密度

それぞれの意味はこの後の解説で述べるが、ここで少し問題がある。そ れは、言葉だけ聞くと E に対応するのが H であって、D に対応するのが

B であるように思われることである。しかし、現代では E と B が対応し ていると考えるのが主流である。これは電磁気学の「あまり深刻ではない」 未解決問題であって、磁石の N だけ、あるいは S だけを持った粒子「磁気 モノポール」が存在するのかどうだか分からないことが原因である。 もしモノポールが存在すれば、E と H が対応していると考えるのがすっ きりする。先ほどのマクスウェルの方程式で 0 になっている二つの部分に それぞれ、磁流密度、磁荷密度が入るので大変美しい対称型の方程式にな るからである。しかし、モノポールがなければ、別にこの対応に強い根拠 はなくて、E と B を対応させた方が相対論の議論に便利である。相対論 ではマクスウェルの方程式をもっと簡単にまとめて表現できるからである。 それで「 E-B 対応」が主流になっているのである。 私はモノポールはないんじゃないか（その方が楽だ）と思っているので 今後は E と B を対応させて議論したい。それで時々、B のことを磁場と 呼ぶこともあるかも知れないがあまり気にしないでもらいたい。歴史的背 景から言えば B は「磁束密度」と呼ぶのが正しいが、現在ではあまり気に せずに B を「磁場」と呼んでしまうことも多い。 式の解説に戻ろう。この式で rotE という表示や divD という表示があ る。初めての人にはまずこの意味が謎であって、すごく複雑な数学操作であ るような印象を与えてしまう。しかし、これは単なる略記号である。rotE はベクトルであって、3 つの成分を持つ。ベクトル E の成分を (Ex , Ey , Ez ) と表すとすると、この略記号の各成分は、   ∂Ez ∂Ey ∂Ex ∂Ez ∂Ey ∂Ex rotE ≡ − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y のように計算する決まりである。この数学操作がベクトルの回転を意味す るので「回転（ローテーション）」と呼ばれている。電場ベクトルが作る

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2.2. マクスウェル方程式の概観

渦を、その回転軸の方向を表すベクトルに変換してくれる演算である。な ぜこの数学操作が回転を表すのか、というイメージをつかむのは大切であ るが、別のページで説明しよう。 （今すぐそれを読みたい人は 205 ページの 「ガウスの定理」へ。今は気にせずに先へ進んでもらって構わない。） とにかく、rot の意味が分かれば最初の式の意味は分かるようになる。つ まり、磁束密度が変化すればその変化分はベクトルで表されるが、その方 向を回転軸とするような電場の渦が出来るというわけだ。 そして、次の式の意味も似たようなものである。電束密度が変化すれば 磁場の渦が出来る。しかし、この式の右辺には電流密度 i（これもベクト ル）が入っている。つまり、磁場は電束密度が変化したときだけでなく、電 流が流れた時にもその電流のまわりに渦を作るということである。高校で 「アンペールの右ねじの法則」というのを学ぶと思うが、これが電流が流れ た時に右回りに発生する磁場を表している。

3 番目の式には今度は divD という表示が出てくるが、これも略記号で ある。ベクトル D の成分を (Dx , Dy , Dz ) と表すとすると、この略記号の 定義は、 ∂Dy ∂Dz ∂Dx + + divD ≡ ∂x ∂y ∂z である。この数学操作は「発散（ダイバージェンス）」と呼ばれ、ベクト ルが、ある微小領域からどれだけ発生するかを表している。つまりこの式 は「電束密度は電荷のあるところが発生源になっています」という意味で ある。 （これについての詳しい解説を今すぐ読みたい人は 208 ページの「ス トークスの定理」へ。これも今すぐ読む必要はない。） そして 4 番目の式は右辺が 0 であるので、磁場の発生源はありません、 という意味である。磁場の発生源がなければ一体どこから発生するのか？ と言えば、その発生源をたどっていくとぐるーっと輪になっていて、その 渦の中には先ほど説明したように電流があるか、あるいは、電束密度が変 化しているかしている、というわけである。 以上がマクスウェルの方程式の簡単な解説である。 最後に注意しておきたいのは、マクスウェルの方程式のうちの、上の 2 つの式はベクトル式であって、それぞれ、x、y 、z の 3 つの成分について の 3 つの式を一つの形式でまとめたものである。念のために初心者のため

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電磁気学

に書き下しておくと、一番上の式は、

∂Ey ∂Bx ∂Ez − + ∂y ∂z ∂t ∂Ex ∂Ez ∂By − + ∂z ∂x ∂t ∂Ex ∂Bz ∂Ey − + ∂x ∂y ∂t

= 0 = 0 = 0

を意味している。どうせついでなので次の式も展開しておこう。

∂Hy ∂Dx ∂Hz − + ∂y ∂z ∂t ∂Hz ∂Dy ∂Hx − + ∂z ∂x ∂t ∂Hy ∂Hx ∂Dz − + ∂x ∂y ∂t

= ix = iy = iz

このようなわけでマクスウェルの方程式は全部で 4 つに見えるが、実は 全部で 8 つの式の集まりなのである。 次に、これからどうやってマクスウェルの方程式を導いていくかの手順 を紹介しておこう。

1. まず、電荷と、電荷が作る場である「静電場」を解説する。 2. 次に電流についてである。電流と言うのは電荷の流れであり、電流の 周りには磁場が発生する。ここで rotH = i の関係式「アンペールの法則」（2 番目の式の一部）が導かれる。

3. これが終われば、その逆である。電流で磁場が発生するなら、磁場で 電流を発生させられるのではないかという「電磁誘導」の話題であ る。ここで ∂B rotE + =0 ∂t の関係「ファラデーの電磁誘導の法則」（1 番目の式）が導かれる。 86

2.3. 電荷の間に働く力

4. そして最後の仕上げにこれらをまとめてマクスウェルの方程式を作る 過程である。電束密度 D はこの時に矛盾点の解決と式の対称性を考 えて、入れた方がいいのではないかということで導入されたもので ある。 マクスウェルの方程式が導かれると、そこから電磁波について論じるこ とが出来るようになる。ここで電磁場の持つ運動量についての議論が出来 るのである。それは第 3 章で行うことになる。 いずれにせよ教科書のように数式にこだわった議論をするつもりはない が、ある意味、教科書よりこだわった解説をしてゆくことになると思うの で楽しみにしていて頂きたい。私もこれからどういうことになるのか、ま だ予想がつかないでいるのである。

2.3

電荷の間に働く力

電気には 2 種類あってそれぞれをプラスとマイナスで区別する。同種の 電気は退け合い、異種の電気は引き合う。これは実験事実である。二つの 電荷が存在する時、互いの間に働く力は次の式で表される。

F =

1 q1 q2 4πε0 r2

q1 、q2 は電荷の量を表している。電荷に働く力は互いの電荷の量に比例 し、互いの距離の 2 乗に反比例する。この電荷量の単位は「クーロン」で ある。1 クーロンという単位は電流から定義されている。電流は電荷の流 れであり、1 秒間に 1 クーロンの電荷が流れている状態が 1 アンペアだと 言えるようにクーロンの単位を決めたのである。では 1 アンペアの定義は どうなっているかと言えば、電流同士の間に働く力を元に定義されている。

1 メートル離して置いた 2 本の導線にそれぞれ同じ量の電流を流し、その 間に働く力が 1 メートル当たり 2 × 10−7 ニュートンであるとき、その電流 を 1 アンペアとしている。電荷を直接測るよりも電流を使った方が正確に 実験できるのでこちらを基準として選んだというわけである。 1/4πε0 は定数であり、この中の ε0 は誘電率を表す。誘電率とは何なの かというのはこの段階ではまだ知らなくていい。この定数値は電荷をクー 87

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電磁気学

ロンで表し、距離をメートルで、力をニュートンという単位で表した時に 上の式が成り立つようにつじつま合わせとして決めた測定値であるという ことさえ知っていればいいのであって、なぜ 4π が入っているのか、なぜ誘 電率が分母に入っているのかというのは今は気にしなくても良い。これは 後で出てくる法則がきれいな形式で書けるようにうまいこと決めた方法な のである。このことについては後で議論しよう。 初歩から説明するふりをしながら、読者を初めから決まったレールの上 にこっそり乗せておくのは教科書の常套手段だ。そういったトリックが教 科書には沢山隠されていることを読者は見破らなくてはならない。 これに関連して少し言っておくことがある。電磁気学の教科書には幾つ かの流儀があり、この本ではその中の一つ、 「MKSA 有理単位系」という 流儀に従っている。これは主流派なので初心者は何の心配もしないで読み 進んでもらっていいのだが、この違いはいずれは知っておかなくてはなら ないことではある。他にどんな流儀があるのかを第 4 章にまとめておいた ので参考にして欲しい。（→ 224 ページへ） あとで難しくなってから面倒な説明を入れるより、簡単な今のうちにベ クトルの話をしておく事にしよう。上に挙げた式では力の大きさを表して いるが、力の向きを表せていない。本当は式の意味さえ分かってもらえれ ばいいので、あまり正確な表現にこだわりたくないのだが、後で式が複雑 になった時に「実はこの量はベクトルであり」といきなり説明されても混 乱するだろうし、そもそも電磁気学はほとんどベクトル解析による学問な ので、ベクトルくらいは理解しておいてもらいたいと思うのである。ああ、 この調子でそのうち、テンソル解析くらいは理解してもらいたい、とか群 論くらいは・ ・ ・とか言い出すようになるんだろうなぁ。こわいこわい。 力の向きは二つの電荷の位置を結んだ方向である。よって、それぞれの 電荷の位置座標のベクトルの差 r がその方向を表すことになる。それを掛 けてやれば力の方向を表せるが、これではお互いの距離だけ余分に掛けて しまうことになるので、距離で割ってやる。先ほどの式では距離を単なる

r と書いて表していたが、距離はベクトルの絶対値 |r| で表せる。つまり、 長さ 1 の方向ベクトルは r/|r| のように書けるわけだ。 88

2.3. 電荷の間に働く力 このベクトルを上の式に掛けてやって、r の代わりに |r| を使うようにす れば立派なベクトルによる表現が出来上がる。

F =

q1 q2 r 4πε0 |r|3

これで今や力もベクトルで表せるようになったので太字で書いておく。 この電荷同士に働く力は、単純な重ね合わせで計算できる。このような 状態を「線形性が成り立つ」という。3 つの電荷 ABC があったとして、A と B の間に働く力は A と C の間に働く力によって影響を受けない。A に 働く力の合計は A と B の間の力と、A と C の間に働く力を単純に足し合 わせればいいのである。これは当たり前のことのようであるが、実際はそ うではない。世の中にはそうでないことの方が多いのである。 人間関係などはまさにそうである。物理の話に人間関係を持ってくるの はいささか場違いではあるが、例えとしてはちょうどいい。A さんと B さ んが二人だけいる時と、そこに C さんが一緒にいる時では B さんの A さ んに対する態度は少なからず影響を受ける。 人間関係に限らず、自然界にはこのような現象が多数存在する。要は、何 か別のものが存在するためにその周辺の性質が変化して、他のものに影響 が及ぼされる現象のことであるから、殆んど全ての現象がこれである。あ まりに多く存在するので何か一つを特別な例として選ぶのが難しい。 電荷同士の間に働く力についても、ごく単純な場合についてだけこのよ うな重ね合わせが成り立つのであって、3 つ以上の電荷がお互いに動き始め ると事情は変わってきてしまう。いわゆる多体問題というやつである。だ からこの場合、話を静電場に限る必要がある。 しかし、単純な現象であれば必ず重ね合わせが成り立つというものでは ない。実は、重力でさえ、重ね合わせが成り立たない現象なのである。弱 い重力の場合は、互いの影響を無視できてそれぞれの質量から受ける力を 単純に足し合わせて計算してやっても問題はないくらいだが、強い重力場 の場合にはそれぞれに影響が出てくることが一般相対性理論の結果から分 かっている。 それでは電場については同じようなことになっていないのだろうか？ 重 ね合わせが成り立つと習ってはいるが、実は強い電場同士を足し合わせる

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第2章

電磁気学

とお互いの影響で値がずれるようなことはないのであろうか？ その答えは はっきりと聞いたことがない。しかし、日常の範囲では気にしなくても良 いようである。もし、電場の線形性が成り立たなくなるほどの強い電場が 存在するとしたら、それは原子核内部の「弱い力の場」と区別できない領 域であり、素粒子論の話になってくるからである。電磁場と弱い力の場は 高エネルギー領域において同じ場に統一される。 （ヤン−ミルズ場）そう言 うわけで、電磁気学の範囲ではとりあえず、電場は重ね合わせが成り立つ と考えておいて差支えがないようである。言いかえれば、電磁気学は電場 の単純な重ね合わせが成り立つ領域に範囲を限った学問であるということ で納得しておくことにしよう。 意外にも議論を始めたばかりのこの段階で既に素粒子論との繋がりが出 てきたが、完成した理論であると言われる電磁気学と言えども、大きな物 理法則（電弱統一場）のほんの一面（低エネルギーでの振る舞い）を表し ているに過ぎないのである。

2.4

静電場

前の節では電荷と電荷の間に力が働くという説明をした。しかし、遠く 離れた物体とどうやって力を及ぼし合っているのであろうか？ 例えば前に 出てきた式によれば、力は弱くなるものの、かなりの距離が離れていても 互いの間に力が働いていることが分かる。しかし、電荷は他の電荷がそこ に存在することを、さらには他の電荷までの距離をどうやって知るという のだろうか？ お互いの間に特別な超光速の通信チャンネルがあって、申し 合わせたように移動するというのならこのようなことも可能かも知れない が、その場合、全宇宙の全ての電荷との間に無限の通信チャンネルが必要 である。電荷と電荷の間に力が直接働くと考えるのはどうも無理がある。 それでも 18 世紀ごろの知識ある学者たちの多くは「直接働く力」の方を支 持していたようである。おそらく数学的に表現できることだけで満足して しまっていたのではないだろうか。 ファラデーはそんな時代に生まれ、次のように考え、主張した。 「電荷と 電荷の間に力が働いているのではなく、電荷が周りの空間に影響を与え、 その影響を受けた空間に別の電荷がやってくるとその別の電荷はその空間

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2.4. 静電場

から力を受けるのだ」と。 この影響を受けた空間のことを「場」と呼ぶ。 「場」というのは英語で言 えば「field」だ。直訳するとあまりかっこ良くないが、すなわち畑のこと である。ファラデーは場のベクトルの向きが変化する様子を、畑の穂が風 にたなびく風景と重ねたのであろう。これが「場の理論」の始まりである。 「場」には電荷による場の他にも、磁力による場、さらに後年、この考 えを重力に当てはめたりしているので、 「電場」 「磁場」 「重力場」などと呼 んで区別することにする。 では、この考え方に合わせて電場を数学的に表現しよう。大した事はな い。前に出てきた電荷と電荷の間に働く力の式を少し書き改めるだけある。 つまり、ある電荷 q1 が存在する時、この電荷は回りの空間に影響を与えて、

E=

q1 r 4πε0 |r|3

だけの電場を作っていると考えるのである。そして、その電場に入った電 荷 q2 は電場 E から

F = q2 E という形で表せる力を受けるとする。電場はそれぞれの点で向きや大きさ が違っており、ベクトルで表される量である。そしてその中に入った電荷 はその電場のベクトルの向きに力を受ける。 これは前の節に出てきた力についての式を二つの部分に分けただけであ り、少し解釈を変えただけの話である。確かに 19 世紀ごろまでは単に解釈 の問題であった。しかし、この「場」の考え方は、直接力が働くとした場 合には思いもしないような結果を導いて後に勝利を収めるのである。 前に力の重ねあわせが成り立つことを説明した。電場というのは力につ いての式を分けただけのものなので、当然電場の重ね合わせも同じように 成り立っているはずだ。いろいろな位置に分布する電荷がそれぞれに場に 与える影響をすべて重ね合わせてやれば合計の電場が計算できる。ある一 つの電荷がそれ以外の多数の電荷から受ける力を計算したければ、あらか じめ多数の電荷が作る電場を合計しておいて、その電場からその一つの電 荷が受ける力を計算してやればよい。

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電磁気学

さてこの時、その一つの電荷自身が周囲に作る電場への影響を計算に入 れないでもいいのだろうか、と思うかも知れない。あるいは逆に、計算に 入れてもいいのだろうかと思うかも知れない。電場というものが実在する のなら、当然自分自身も周囲に電場を作っているはずだ。ところがこれを 考慮に入れようとするととんでもない問題にぶつかる。 その電荷の存在する点、すなわち r = 0 の点では電場の大きさが無限大 になり、電場のベクトルの方向が決められない「特異点」となってしまう のである。 しかし、ここでは気楽にこう考えよう。別に自分自身が作り出す電場の影 響を入れても入れなくてもどちらでもいいではないか。その電場はその電 荷を中心にして周囲に球対称に影響を与えるだけであり、そのど真ん中に位 置するこの電荷自身への力は釣り合っていて影響を与えないのだろう、と。 この自分自身が周囲に作り出す電場への影響は「自己場」と呼ばれてお り、実は考慮に入れないとエネルギー保存則に矛盾が出てくることが後で 分かる。電荷が加速運動する時にそれをとどめようとする力「自己力」を 説明するためにも必要なのである。しかし、今は静電場のみを考えている のであって、電荷が加速する場合のことはまだ範囲外である。だからこの 段階では自己場の必要性が分からなくても構わない。



補足解説・ ・ ・なぜ自己場を無視できるのか



 電荷が一点に集中しているような「点電荷」を考えると特異点の問 題がある。そこでこれを避けるために電荷が小さな領域にぼんやりと 密度 ρ で分布していて全体で電荷 q になっていると考えてやれば、こ の電荷は自分自身には力を及ぼさないという事をちゃんと示すことが できる。  小さな領域の一角にあるさらに微小な領域 A 内にある電荷が別の 微小領域 B に力 F を及ぼす時、逆に B 内の微小電荷は A 内の電荷に

−F の力を及ぼすので、領域全体としては力が釣り合っているという 論理だ。   92

2.5. 静電場の満たす方程式

2.5

静電場の満たす方程式

電荷がその周囲に作る電場を表す式は決まった。これで何か面白いこと ができるのだろうか？ 見ているだけでは何も分からない。天才はいつでも 発想を変えていじり回すものである。 電荷の周りをぐるっと全方位取り囲んでやることを考える。どんな形で 取り囲んでも構わない。その取り囲んだ面の上で電場を測って、これを面 の全体で合計したらどうなるだろう？ 大きく囲んでやれば電荷からの距離 が遠くなるので測定される電場は小さくなるが、その分だけ取り囲む面積 が増える。ガウスはこれが一定値になるだろうと予想した。気をつけるこ とはこの電場を測る時に、面に対して垂直方向についてだけ測ることだ。 これを数式で表せば次のようになる。

 E · n dS ここで n は電荷を取り囲んだ面に垂直な単位ベクトルであって これと E との内積を取れば面に対しての垂直方向の電場を測ったことになる。こ れに電荷を取り囲んだ面の微小な部分の表面積 dS を掛け合わせたものを 全表面積について足し合わせてやるわけだ。 私の解説では厳密な証明はしない。代わりに思い切り簡単な場合につい てだけ計算して雰囲気をつかめるようにする。一番簡単なのは電荷 q を半径

r の球で取り囲むことを考えた場合である。こうすると取り囲んだ表面上で は電荷からの距離は常に r であって、電場の大きさは一定値 (1/4πε0 )(q/r 2 ) である。電場の向きを気にする必要もない。電場の向きは電荷を中心にし た放射状であって、常に取り囲んだ球面に対して垂直である。よって内積 を計算するまでもない。 つまり、半径 r の球殻の全表面積と半径 r の点での電場の大きさを掛け てやればこの計算の答えは求まる。

 E · n dS

= |E| S 1 q × 4πr2 4πε0 r2 = q/ε0

=

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第2章

電磁気学

やはり、囲んだ球面の半径によらずに一定の値になる。あまりにもすっ きりした答えだが、これは偶然ではない。騙されてはいけない。これは自 然の神秘などというものではなく、こうなるように仕組んだ人間の小細工 なのだ。初めに電荷と電荷の間に働く力を定義した時に比例定数に 1/4π を 入れておいたのはこの答えがすっきりしたものになるようにするためだっ たのである。 ガウスの法則というのは、ここで計算したような球殻の場合に限らず、 どんな形で取り囲もうともこの答えが常に同じになりますよ、というもの である。この法則の背景には、電荷から「電気力線」なるものが出ていて、 電場の大きさはその電気力線の密度で決まっているのだという考えがある。 先ほどの計算で、電場と微小な面積をかけたものは、すなわち電気力線の 密度と面積をかけたものだと言うことが出来て、微小面積を通り抜ける電 気力線の本数を表している。これを全方位について積分するということは 取り囲んだ面を通り抜けてくる全ての電気力線の本数を数えることに相当 する。どんな形で取り囲もうとも、電気力線はいつかその表面を抜けて外 へ出てくるはずである。その電気力線の本数はその中にある電荷の大きさ で決まるはずだというわけだ。 電気力線などというものが実在するかどうかだが、この考えはもともと ファラデーの思想であった。そしてその考えはガウスの法則を立てるのに 役に立ったわけだが、法則が見つかってしまえば数学的には特になければ ならないものではない。単なる考えやすくするだけの概念である。 この法則を利用していろいろな場合について電場を簡単に求めるという 応用ができるわけだが、これについて詳しく知りたければ教科書がいくら でもあるので私はこれ以上の説明の必要を感じない。自然の本質を理解す るために必要な話だということはないのでさっさと先に進むことにしよう。 上で説明した法則は「積分形のガウスの法則」と呼ばれているものであ る。この結果に「ガウスの定理」と呼ばれる数学の公式を使うことによっ てこの法則を微分の形で表すことができるようになる。本当に欲しいのは そっちの法則なのだ。これからその求め方を説明しよう。 ガウスの定理は



 E · n dS =

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divE dV

2.5. 静電場の満たす方程式

という式で表される。閉じた面の表面の積分を、閉じた面で取り囲まれた 全体積についての積分に変換できるという便利な公式である。「ガウスの 法則」と「ガウスの定理」をしっかりと区別してもらいたい。ガウスの定 理の方は純粋に数学的に成り立つ公式である。しかし物理的なイメージを 描きやすい定理である。右辺に含まれる divE というのは単位体積あたり から湧き出してくる電場の大きさを表している。その合計を積分してやれ ば、結局囲まれた面の表面全体から湧き出してくる量と等しいというわけ だ。そんな気がするだろう。詳しくは補習の部屋を用意したので詳しく知 りたい人とはそちらで議論することにしよう。（→ 205 ページへ） さて、先ほど説明したガウスの法則は



E · n dS = q/ε0 ということだっ

たが、この右辺を電荷の密度 ρ で表してやることにすれば、   1 E · n dS = ρ dV ε0 と書ける。これとガウスの定理を組み合わせて見比べてやれば

divE =

ρ ε0

が成り立つことがすぐに分かるだろう。これが「微分形のガウスの法則」と 呼ばれるものである。 次に電場について全く別のアプローチをしてみよう。電場の中で電荷を 移動させた時に必要となるエネルギーについて考える。力学のページの中 で説明したように、エネルギーの定義は「力と、力を働かせた方向へ動い た距離を掛け合わせたもの」であった。これは力を表すベクトルと距離を 表すベクトルの内積をとってやれば計算できる量である。電場から受ける 力は F = qE で表されるので、移動した微小距離のベクトルを ds とおい て内積をとり、移動する経路に沿って積分してやれば電場の中を移動する 時に必要なエネルギー U が求められる。

 U=

 F · ds = q

E · ds

ここで、どんな経路をとってもいいから電場の中をぐるーっと一周した 後、最終的にもとの位置に戻って来た場合にはどうなるだろうかと考える。

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第2章

電磁気学

エネルギーの収支が 0 にならなければおかしなことになるということが分 かるだろうか。もし 0 以外ならば、その経路に沿って（あるいは逆周りに） 電荷を走らせてやるだけでいくらでもエネルギーを得ることができること になる。そんな簡単なことでエネルギーが作り出せるというのならとっく に実用化されている。そういうわけで、静電場は次の条件を満たしている はずだ。

E · ds = 0 ここで使った



という積分記号は、ぐるっと輪になったコースを 1 周積

分したことを表すもので、たまに使われることがある。 普通ならこの条件が分かったところで喜んで満足してしまうところなの だが、さらにこの条件を満たすためには電場はどんな条件を満たしている べきかということを考えることができる。つまり、電場が全体として上の 条件を満たしていることは分かったが、そのためには電場はそれぞれの点 でどのような条件を満たしていればよいのか、ということを考えることが 出来るというのだ。こんなことは凡人である私には思いつくはずもない。 ストークスの定理という数学公式を使う。この定理がいつも電磁気学の 教科書に説明してあるからといって物理的な現象から導かれるものだと勘 違いしてはいけない。この証明は物理とは関係なく成り立つものである。 よってここではこの証明はせずに使わせてもらう。これはベクトルの線積 分を面積分に変換するのに便利な公式である。これも補習のページを用意 しておいたので詳しくはそちらで議論しよう。本質ではないところで脇道 にそれると分かりにくくなるからな。（→ 208 ページへ） ストークスの定理を数式で書くと、

 E · ds = rotE · n dS と書ける。この公式を使うと先ほどの条件は、  rotE · n dS = 0 ということになるが、これがどのような積分範囲を選んだ時にも成り立っ ているのだから、n の向きに関係なく全体が 0 になるということである。

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2.6. 微分法則を使う理由

従って、静電場の満たすべきもう一つの条件は、

rotE = 0 であることが分かる。本質だけ抜き出せば電磁気学ってあまりにも簡単だ ろう？

2.6

微分法則を使う理由

前の節では、静電場の満たす 2 つの重要な式

divE

=

rotE

=

ρ ε0 0

が求まった。既にマクスウェルの方程式の 4 つの式のうちの 2 つが出来上 がろうとしていることにお気付きだろうか。まだ電束密度 D についての解 説をしていないが、D = ε0 E という関係があり、これを使うと初めの式は

divD = ρ という簡単な式になる。電束密度については後でまとめて説明 するつもりだ。また、もう一つの式も電磁誘導の関係式を追加すればマク スウェルの方程式の一つになるところまで来ている。 しかしその前に静電場についてもう少しはっきりさせておきたいことが ある。それは、果たしてこの 2 つの式で十分かということだ。つまりここ までで求められた 2 つの式からちゃんと E = (1/4πε0 )qr/|r|3 という静電 場についての式が復元できるのかということだ。もし復元できるのならば 今後、E = (1/4πε0 )qr/|r|3 という表現を使うのをやめて、代わりにここ で求めた 2 つの式を使うことにするのに何も問題はないわけだ。 なぜ直感的に分かりやすい以前の表現を捨ててまで、微分を使った新し い方の表現を使いたがるのかと言えば、ただかっこいいからという理由以 外にもちゃんとした理由がある。以前の式には、求めたい電場の位置から 電荷が存在する位置までの距離を表す r がそのままの形で含まれており、 一応は「電場」による表現を使ってはいるけれども「遠距離間に直接働く 力」というニュアンスが拭い切れていないのである。 その点、新しい表現にはそういうものが含まれていない。求めたい電場 は、そのすぐ傍の電場の大きさとその点に存在する電荷の密度のみで決ま

97

第2章

電磁気学

る。つまり、“その場” のみの性質で全てが決まるのである。日本語で「field」 を「場」と訳したのはこのようなニュアンスがあったのだろう。 これからは、電場の大きさは電荷からの距離に応じて決まるという表現 ではなく、各点の「場」の性質の積み重ねで全体が決まっているのだと考 えるようにしたいわけだ。果たしてここまでで求められた 2 つの表現には その資格があるのだろうか？ まず rotE = 0 について考えよう。これはもともと電場の一周積分が 0 に なるという条件から導かれたものであった。 この状況は地面の高低差に例えることができる。どのように地面の上を 旅しようとも元の場所に戻ってくれば必ず初めと同じ高さにたどり着く、 という状況に似たところがある。 電場をこのような例えを使って論じることが出来るように「静電ポテン シャル」というものを導入して φ という記号で表そう。この高低差の例え の中では地面の高さに相当する概念である。電場はこの静電ポテンシャル の傾きに相当すると考えることにしよう。地面の場合、高さを微分したも のは斜面の傾きを表すからである。 上空から見た地面の位置座標 x、y によって高さ h が決まる時、その高 さの関数 h(x, y) を微分して作ったベクトル ( ∂h ∂x ,

∂h ∂y )

は地面の傾斜の度合

いと方向を表すが、これと同じ考えにより電場 E は   ∂φ ∂φ ∂φ E= − , − , − ∂x ∂y ∂z

と表されると考えることにする。∇（ナブラ）という記号を使って表せば もっと簡単に

E = −∇φ と書ける。ナブラについては第 4 章で説明しているので後で読んで欲しい。 （→ 214 ページへ）ここでマイナスがついている理由は電場の向きが電位の 高い方から低い方へ向かっているというイメージで表したいからである。 ただ微分しただけではベクトルは高い方を指してしまうことになる。 今さらりと「電位」という言葉を使ったが、静電ポテンシャルの “高さ” を電位という言葉で表現する。そしてその「標高差」に相当する概念を「電 位差」と呼び、単位は「ボルト」で表す。普通に電圧とか起電力とか呼ばれ

98

2.6. 微分法則を使う理由

ているものの単位と同じである。これらの用語は場面によって区別する必 要はあるのだが、細かいことを抜きにすれば本質はみんな同じなのである。 この φ が静電ポテンシャルと呼ばれる理由は、これに電荷の単位をか けるとエネルギーの次元になるからである。力学の説明で出てきた、保存 力のポテンシャルエネルギーと非常によく似ているだろう。今考えている

rotE = 0 という条件がエネルギー保存から出てきたことを思い出すといい。 ちなみに素粒子論では小さなエネルギーを表現するのに eV （電子ボル ト）という単位をよく使う。電子が 1V の電位差を駆け抜ける間に獲得す るエネルギーに相当する。 静電ポテンシャルを定義できたので、ようやく電場を先ほどの地面の例 えに重ねて議論できるようになった。ただし地表面の例えは 2 次元を考え ているが、実際の電場は 3 次元内で定義されるものなのでこの点で両者が 異なることに気を付けなくてはいけない。 さきほど、どのように地面の上を旅しようとも元の場所に戻ってくれば 必ず初めと同じ高さにたどり着く、と書いたが、このようなことが起こる ためには地面の形について少々の制限が必要である。まず、螺旋階段のよう な地形はだめである。ぐるりと一周するとかつていた場所を見下ろすこと になってしまうからである。またオーバーハングの地形、すなわち 90 度以 上の傾斜も許されないことになる。トンネルもあってはいけない。イメー ジが湧きやすいように色々言ってはいるが、数学的に言えば結局この地面 の高さは、座標によって一意に定まる関数で表されていなくてはいけない ということだ。 これと同じ条件が静電ポテンシャルにも求められる。rotE = 0 という条 件が意味するのはこのことなのである。さらに言えば、電場が定義できる ためにいたるところで微分可能、すなわち地面に例えれば、とがった部分 がまったくないということも必要である。 しかしこれだけのことで電場の形が E = (1/4πε0 )qr/|r|3 に定まるだろ うか？ まだ程遠い気がする。もう一つの divE = ρ/ε0 の条件の方が静電 ポテンシャルの形を決定する上でより重要な制限をしているのではないだ ろうか。 そこでなんとかもう一つの条件についての直観的イメージが描けないも のかと考えてみたが、やはり地面の例えでは限界がある。例えばこの地面

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第2章

電磁気学

は正の電荷に近付くほど距離に反比例して高くなり、ついには正の電荷の 存在する一点で無限大の高さに至るはずだ。これは塔のようにそびえ立っ ているように見えることだろう。また、負の電荷の存在するところでは無 限に深い穴になっている。 しかしこれは E = (1/4πε0 )qr/|r|3 を積分した結果から言えることで あって、divE = ρ/ε0 から直接イメージできるようなものではない。 一体なぜこの式からこのような塔の存在が言えるのだろうか。その部分 がどうしても直接結びつかずにこじつけっぽくなってしまうのだ。直接イ メージできないのは非常に悔しいことだが、こうなれば数学の力を借りる しかない。

divE = ρ/ε0 に E = −∇φ を代入してやると ∂2φ ∂2φ ∂2φ ρ + 2 + 2 =− ∂x2 ∂y ∂z ε0 という方程式が出来る。これを「ポアッソン方程式」と呼ぶ。これをラプ ラシアン（216 ページ参照）を使って表現してやれば、

φ = −

ρ ε0

と簡単に書ける。 この式を解く部分については本筋から離れるので他の教科書を当たって もらいたいのだが、結論だけを言えば確かに E = (1/4πε0 )qr/|r|3 はこの 方程式の解になっている。しかしそのことだけで満足してはいけない。問 題にしたいのは、これだけがこの方程式の解ではないということである。 つまり、静電場についての二つの微分法則は電場を決定する上での必要条 件ではあるが、十分条件ではない。残念ながら二つの微分法則だけでは初 めに考えていたようには電場の形を決定することは出来ないことになる。 ポアッソン方程式から静電場の形を現実の形に特定するためには境界条 件と呼ばれる条件がさらに必要であり、それを当てはめて解かなければな らないのである。 しかし考えてみれば当たり前だ。前に説明したように場の表現において は、ある点の性質はその点自身とその周辺の場の性質だけで決まるのであ り、その積み重ねによって全体の性質が決まっているのであった。つまり、

100

2.7. 電束密度の意味

ある点の場の性質が知りたければそのすぐ隣の場の性質を知らなければな らず、そのすぐ隣はそのまた隣の性質から決まっており、さらにその隣は・ ・ ・ という具合になっており、ずーっとずーっと行った先ではどうなっている のかということを決めてやらないでは何も決まらないのである。境界条件 はそれを決める為に必要なものなのだ。 現実の問題を解く時には境界条件として、「金属表面では電位は等しい」 とか「無限遠では電場は 0 に近付く」などといった条件を使うことでよう やく正しい解を得ることが出来る。 「マクスウェルの方程式」に電磁気学の全ての法則が集約されているこ とには間違いはないのだが、そこに電磁気学の全てが含まれているわけで はないことに注意しなくてはならない。この議論の続きはマクスウェルの 方程式が全て出揃った後で再びすることになるだろう。このように微分法 則とは決してそれだけで完全なものではないのだと知った上で付き合って いくべきものなのである。

2.7

電束密度の意味

どうして電場と同じようなものをもう一つ定義しなくてはならないのだ ろうか。学生時代にはこの電束密度の意味を正しく理解できていなかった。 しかし、今考えて見れば実はとても単純なことだったのである。この「電 束密度」という呼び方は歴史的な由来を持つものであって、その本質とは あまり関係ないので気をつけなければならない。これについては後の方で 説明しよう。この電束密度という量は私が探し求めている「実在」ではな く、科学の発展の歴史の中で研究者に都合の良いように導入されたものに 過ぎない。それでも物性を研究する人にとっては今でも十分利用価値のあ る便利な量ではある。 本当はこういう本質的でない話は後回しにして早くマクスウェルの方程 式を完成させたいのだが、マクスウェルの方程式を理解するためには結局 この「電束密度」を理解することが必要になってくる。それに本質でない ものにはさっさとけりをつけて無視できるようにしておいた方が気持ちが いい。少し寄り道に感じるかも知れないが、話の流れ上ここで説明してお くのが一番良いだろうと思う。

101

第2章

電磁気学

我々の周りは電荷で満ち満ちている。いくら真空ポンプで真空を作って も、なおそこには何億、何兆では言い表せないほどの原子が存在する。 （で も真空管の程度まで空気を引けば何兆で言い表せる程度にはなるか・ ・ ・）そ の原子の一つ一つが負の電荷を持った電子と、正の電荷を持った原子核か ら出来ているのだ。普段はそのプラスとマイナスが打ち消しあって表向き

0 になっているように見えるけれども、電場をかけてやればプラスとマイ ナスは別方向へ移動するので空間に電荷がひょっこり顔を出すことになる。 身近な例を挙げてみよう。電気を流さない固体を鉄板で挟んでやり、こ の両端に電圧をかけてやる。すると固体の中の電子と原子核はズレを生じ る。電子はプラス極に引かれ、原子核はマイナス極に引かれる。引かれる けれども原子が分解するほどではない。だから電気は流れていかない。流 れてはいかないが、マイナス極側にはプラスの電荷が、プラス極側にはマ イナスの電荷が顔を出す。 このように電圧がかかった時にプラスとマイナスに分かれることを「分 極」という。そして分極する物質を「誘電体」という。金属の場合には電 圧がかかると自由電子が流れていってしまうのでそのせいで電圧が降下し 分極するどころではないが、絶縁体は誘電体として使える。空気だって僅 かだが分極する。つまり空気中で電磁気の実験をする時でさえこのような 多数の原子の影響を考慮に入れなくてはならないわけだ。 空間にプラスの電荷があったとしよう。そして周囲が誘電体に囲まれて いる場合を考える。すると、プラスの電荷の周りには特に用意しなくても 勝手にマイナスの電荷が姿を現すことであろう。 ここでガウスの法則を使ってみる。プラスの電荷とその周りに現れたマ イナスの電荷をすっぽり覆うような閉曲面を考えよう。この閉曲面での電 場はどうなるだろう？ プラスとマイナスが中和して、極端な場合にはほと んど 0 になってしまう。プラスの電荷だけを考えて計算しようとするとガ ウスの法則が成り立たなくなってしまうのだ！ ！ いや、心配しなくても大丈夫。ちゃんとプラスの電荷とその周りに勝手 に現れたマイナスの電荷をすべて計算に入れればガウスの法則はいつだっ て問題なく成り立っているのである。 しかし実験家の立場からすれば、意図的に用意したのはプラスの電荷だ

102

2.7. 電束密度の意味

けであって、それによる分極でどのくらいの電荷が顔を出したのかについ て知るのは困難である。分極によって生じた電荷を気にせずにガウスの法 則を使うことができるような物理量があると便利である。それが電束密度

D だというわけだ。 つまり、どんな場合にも

 D · n dS = q

という関係式が使えるような量を定義したわけだ。電場のときと同じ理屈で、

divD = ρ という関係が成り立っていることが言える。 では電束密度と電場の間にはどのような関係があるのだろうか。 外部の電場によって誘電体に分極が起こるときに、正電荷がずれて単位 面積を通過した量と方向を「分極ベクトル」と呼び、ベクトル P で表す。 多くの物質では P = χE という関係が近似的に成り立つ。いかにもそうな るような気がするだろう。この定数 χ を「電気感受率」と呼ぶ。もちろん、 この関係が成り立たない物質も存在する。電場の 2 乗に比例する項がつい ていてこれが無視できないほど大きかったりするわけだ。今回はそういう 物質については考えない。 ここで電場と電束密度を比較してやろう。そのために電場についてのガ ウスの法則を先ほどの電束密度の式と似た形になるように書いてやる。

 ε0 E · n dS = q ε0 を左辺に持ってきたというだけのことだ。誘電体中では真の電荷 q に よる電場と、それによる分極で生じた逆の符号の電荷が作り出す電場の影 響が重なって全体として電場が弱くなっている。よってこの状況を表すた めに右辺に分極によって現れた電荷を追加してやる必要がある。それが次 の式である。 

 ε0 E · n dS = q −

P · n dS 103

第2章

電磁気学

右辺の第 2 項が分極によって生じた逆符号の電荷を表している。なぜ分 極電荷が分極ベクトルを面積分した値として表せるかと言えば、もともと 分極ベクトルはズレによって単位面積を通過した電荷の量として定義され ているからである。閉曲面の中心に向かってずれた電荷は閉曲面の内側の どこかに現れなければならないというわけだ。この式を変形すれば、  (ε0 E + P ) · n dS = q となり、これを前ページの一番上の式と比較してやることで、

D = ε0 E + P という関係になっていることが分かる。ここで近似的に P = χE が成り 立っていることを思い出そう。すると、

D = (ε0 + χ)E となり、ここで ε = ε0 + χ という量を物質の「誘電率」と呼ぶことにすれば

D = εE という簡単な形で表すことができる。 物質の誘電率をこのように定義しておけば、ひとまず電束密度を計算し ておいて、その物質中で電場がどれだけ弱くなるかを知りたければ誘電率 で割ってやればいいという便利な使い方が出来るわけだ。 本来、物質の性質は複雑であり、分極によって現れる電荷量を計算する のは大変だが、誘電率という数値で物質の複雑な性質をならした形で代表 させてやることができる。 もちろんこの D = εE という関係式は実験的な近似値に過ぎない。しか し真空中では χ = 0 であって、理論的に厳密に D = ε0 E の関係が言える のである。よって、この ε0 を「真空の誘電率」と呼ぶようになった。別に 真空が分極するというわけではない。これはただの電荷と電荷の間に働く 力の比例定数なのだ。「真空の分極」は素粒子論で出てくる別の話である。 ここまでが教科書的な説明であるが、誤解のないようにもう少し補足し ておこうと思う。ここまでの解説ではいかにも電場の概念が先にあって、誘

104

2.7. 電束密度の意味

電体中で電場の大きさが小さくなることによる計算上の困難を解消するた めの手段として、電束密度が導入されたような書き方をしてきた。しかし これは現代だからできる解釈なのであって歴史的には話が逆なのである。 ファラデーが考えたもともとのイメージは電荷から電気力線なるものが 出ていて、その電気力線の束の密度で電荷同士の間に働く力の強さが決ま るというものであった。これが「電束密度」という名前の由来である。ガ ウスの法則はこのイメージを基に作られた。しかし、原子の構造がはっき りしていなかった当時は、この電気力線は物質を貫いて存在すると考えら れた。そして電気力線が誘電体の中を通る時には電束密度は変わらないは ずなのになぜか電荷の間に働く力が弱くなるわけだが、これは物質の持つ 何らかの未知の作用によるのだろう、という考え方をしたわけだ。 つまり、もとからあったのは電束密度の概念の方であって、現代では物 質の構造が分かって来たために電場だけで説明が出来るようになったのだ が、計算上便利なので今でもこの考えが残っていて使われているというわ けである。 多くの学生が、式が簡単だというので D = ε0 E + P という関係式をも とにして電束密度の意味を解釈しようとする。するとまるで真の電荷によ る電場に分極ベクトルが作り出す電場を重ね合わせて補正したものが電束 密度であるかのような誤解をしてしまいかねない。私の学生時代の失敗は これであった。この式は変形の結果に過ぎないのである。 それよりは上の式を ε0 E = D − P と考えて、電場が小さくなる理由は 電束密度に分極ベクトルによる補正を加えて説明できる、というイメージ でとらえておいた方が遥かに良い。 電束密度は電荷のみによって決まる仮想的な量であって、電場は誘電体 の存在によって変化する量であるので、

E=

1 D ε

と書いておいた方が誤解が少なくなるのではないかと思うのだが、この関 係式を導いた過程を思い起こすためには少々面倒だという不利益もあるの でどちらがいいとははっきり言えないところである。

105

第2章

電磁気学

2.8

電流と磁場の発生

電流は電荷の流れである、ということは今では当たり前すぎる話である。 ところがほんのひと昔前まではこれは常識ではなかった。当時の学者たち は電流が電荷の流れであろうことを予想はしていたものの、それが実験で 確かに示されるまでは慎重に電流と電荷を別のものとして扱っていた。な んと尊敬すべき態度であろう。この姿勢が科学を信頼する価値のあるもの にしてきたのである。 電磁気学の法則の中には今でもその考え方が残っており、電流と電荷が 別々の存在として扱われている。それは現象論を扱う時にはその方が応用 しやすいという利点があるためでもある。 電流が電荷の流れであることは、帯電した物体を運動させた時に電流と 同じ効果があることを通して認められ始めたということである。ここでは これについて詳しく書くことはしないが、科学史を学ぶことは物理を理解 する上でとても役に立つのでお勧めする。そういう私は学生時代には科学 史をかなり軽視していたが、後に文明シミュレーションゲームを作るため に猛烈に資料集めをしたのがきっかけで科学史が好きになった。意外な発 見が必ずある。 電流が磁気的性質を示すことは電線に電気を流した時に近くに置いてあっ た方位磁針が揺れることから偶然に発見された。この磁針に働く力の大き さを測定することによって、直線電流の周囲には電流の進行方向に対して 右回りの磁場が発生しており、その大きさは

|B| =

μ0 I 2π R

と表せることが分かった。I が電流の強さを表しており、R が電線からの 距離である。係数の中に μ0 や 2π が付いてきているのは電場の時と同じよ うな事情であって、これからこの式を元にして導く式が簡単な形になるよ うな仕掛けになっている。ここでは電流や磁場がどのような単位で測られ るのかについてはまだ考えないことにする。それについては後から上の式 が成り立つようにうまい具合に定義するのでここでは形式だけに注目して いてもらいたい。

106

2.8. 電流と磁場の発生

上の式の形は電荷が直線上に並んでいるときの電場の大きさを表す式と 非常に似ている。そこで、上の式の形は電流の微小な部分が周囲に与える 影響を足し合わせた結果であろうから、電流の微小部分が作り出す磁場も 電荷が作り出す電場と同じ形式で表せるのではないかと考えられる。この 計算をやったことがない人のために第 4 章に説明を用意しておいたので参 考にしてもらいたい。（→ 217 ページへ）つまり、導線上の微小な長さ ds を流れる電流 I が距離 r だけ離れた点に作り出す微小な磁場 dB の大きさ は次の形に書けるという事だ。

| dB| =

μ0 I sin θ ds 4π r2

こういう事に気が付くためには応用計算の結果も知っておかなくてはな らないということが分かる。 「本質が分かればそれでいいんだ」なんて私と 同じようなことを言って応用を軽視しているといざと言う時にこういう発 見ができないことになる。 次に力の方向も考慮に入れてこの式をベクトル表現に直すことを考える。 磁場の向きは電流の周りを右回りする方向なので、これは電流の方向に垂 直であり、さらに電流の微小部分の位置から磁場を求めたい点まで引いた ベクトルの方向にも垂直な方向である。このことは電流の方向ベクトル ds と微小電流からの位置ベクトル r の外積を使うことで表現できる。外積は これまでにたびたび出てきているが、不安な方は第 4 章で補習として説明 してある記事を読んで欲しい。 （→ 201 ページへ）こうすることで次のよう なとてもきれいな形にまとまる。

dB =

μ0 I ds × r 4π r3

この関係を「ビオ・サバールの法則」という。 この形式で表現しておけば電流が曲がったコースを通っている場合にも 積分して、つまり微小な磁場の影響を足し合わせることで合計の磁場を計 算できるわけだ。実際には電流の一部分だけを取り出すことは出来ないの で本当にこのような影響を与えているかを直接実験で確かめるわけにはい かないが、積分した結果は実際と合っているので間接的には確かめられて いると言える。

107

第2章

電磁気学

この形式は導線の太さを無視できると考えてもよい場合には有効である が、導線がある程度以上の太さを持つ場合には電流の位置に幅があるので、 計算が現実と合わなくなってきてしまう。これでは精密さを重んじる現代 科学では使い物にならない。そこで「電流密度」という量を持ち出して電 流の空間分布まで考えた形式に書き換えることにする。 変形は至って簡単である。電流密度というのはベクトル量であり、電流 の単位面積あたりの通過量を表しているので、空間のある一点 x 近くでの 微小面積 dS を通過する微小電流のベクトルは i(x ) dS と表せる。ここで もし微小面積 dS の代わりに微小体積 dV をかけた場合には、 「微小面積を 通過する微小電流の微小長さ」を表すことになり、以前の式の I ds の部 分に相当する量になる。ただ以前と違うのは、以前は電流は I だけで全て であったが、今回は電流は空間に分布しており電流の存在する全ての空間 について積分してやらなければならないということだ。 そこで計算の都合上、もう少し変形してやる必要がある。かつては電流 の位置から測定点までの距離として単純に r と表していた部分をもっと正 確に、測定点の位置を x、微小電流の位置を x として x − x と表すこと にする。

r = x − x これで全体が積分に適した形式になり、空間に広く分布する電流が、あ る一点 x に作る磁場の大きさ B(x) が次のような式で表せるようになった。

B(x) =

μ0 4π



i(x ) × (x − x ) dx |x − x |3

dx と書いた部分はこれまで dV と書いてきたのと同じ意味なのだが、 微小電流の位置を表す x について積分することを明確にするため、仕方な くこのようにしてある。式は複雑だが考えは単純である。この形式で表し ておくことで後から微分形式の法則を作るのにも役立つことになるのだ。 磁場を求めるためにビオ・サバールの法則を積分すればいいと簡単に書 いたが、この計算を実際に行うことはそれほど簡単なことではない。もっ と簡単に解く方法はないだろうか、ということで編み出された方法が「ベ クトルポテンシャル」を使う方法である。このベクトルポテンシャルとい

108

2.8. 電流と磁場の発生

うカッコいい名前は、これが静電ポテンシャルと同じような意味を持つこ とからそう呼ばれている。静電場が静電ポテンシャルを微分した形で求め られるのと同じように、微分演算を行うことで磁場が求められるような量 を考えるのである。具体的には次のように表せるものである。

B = rotA 静電ポテンシャルが 1 成分しかないのと違ってベクトルポテンシャルに は 3 つの成分があり、ベクトルとして表現される。それで「ベクトルポテ ンシャル」と呼ばれているわけだ。 実はこれはとても深い概念なのであるが、それについてはずっと後で説 明することになる。この時点では単なる計算テクニックだと理解してもら えればいい。上のようにベクトルポテンシャル A を定義することによりビ オ・サバールの法則は次のような簡単な形に変形することができる。

μ0 A= I 4π



ds |r|

電流密度で表した場合には、

μ0 A= 4π



i dV |r|

となる。これらの変形については計算だけの話なので他の教科書を参考に してもらうことにしよう。このように非常にすっきりした形になるので計 算が非常に楽になる。この式でベクトルポテンシャル A を計算した上でこ れを磁場 B に変換してやればビオ・サバールの法則は自動的に満たされて いるというわけだ。 磁場はベクトルポテンシャルを使って B = rotA という形で表すことが できることが分かった。ここで divB を計算してみよう。実はどんなベク トル X に対しても div rotX = 0 が成り立つというすぐに証明できる公式 があり、これを使うことで計算するまでもなくこれが 0 になることが分か るのである。

divB = 0 109

第2章

電磁気学

この式は、磁場には場の源が存在しないことを意味している。つまり電 場の源としては電荷のプラス、マイナスが存在するが、磁場に対しては磁 石の N だけ S だけのような存在「磁気モノポール」は実在しないというこ とだ。しかし、これは磁気モノポールが理論的に絶対存在しないことを証 明したわけではなく、今まで測定された範囲のことを説明するのに磁気モ ノポールの存在は必要ないというくらいのことを表しているに過ぎない。 つまりこの法則を導いた程度の測定の範囲では磁気モノポールが存在する 証拠は見当たらないというくらいの意味である。ひょっとしたらモノポー ルの N と S は素粒子レベルの狭い範囲で強く結び合っていて外に磁力が漏 れていないだけなのかも知れない。そのような可能性を考えて磁力を精密 に測定してわずかな磁力の漏れを検出しようという努力は今でも行われて いる。 次に rotB がどうなるかについても計算してみよう。今度は公式を使っ て簡単に、というわけには行かない。しかし、

rot rotX = grad divX − div gradX という公式があるので、これを使って

rotB

=

rot rot A

=

grad divA − div gradA

を計算してやることになる。( div grad というのはラプラシアンと同じこ となのだがこう書いた方が覚えやすかろうと思ってこのようにした。）この 計算は面倒なので一般の教科書に譲ることにして、結論だけを言えば結局 第 2 項だけが残ることになり、

rotB = μ0 i となる。これは電流密度が存在するところではその周りに微小な右回りの 磁場の渦が生じているということを表している。これを「微分形のアンペー ルの法則」と呼ぶ。注意すべきことは今の段階では右辺の電流密度が時間 的に変動しない場合のみを考えているということである。

110

2.9. ローレンツ力

予想外に分量が多くなりそうなのでここで一区切りつけることにしよう。 結局、磁場の単位を決める話が出来なかったが次の話で決着をつけること にする。

2.9

ローレンツ力

前の節は電流によって磁場が発生するという話であったが、この節では 逆に、磁場によって電流が力を受けるという話をする。 平行に流れる 2 つの電流の間には引力が働き、その単位長さあたりにか かる力の大きさは

|F | =

μ0 I1 I2 2π R

と表される。これは実験事実である。ちなみに逆方向に流れる電流の間に は斥力が働く。 しかし、すでに我々は電流の周りには磁場が発生しているという考えを 使っているので、これは電流と電流の間に直接力が働くのではなく、一方 の電流が作った磁場によってもう一方の電流が力を受けるのだと考えるこ とにしよう。実際、上の式を見れば、電流の周りに発生する磁場に電流の 大きさが掛かっている形になっている。前節に出てきた式と見比べてみる といい。簡単に書けば、

|F | = I |B| だということである。これを力の向きも考えて式で表せば、

dF = I ds × B と表せる。ただし外積を使うための工夫として電流の微小長さのベクトル

ds を導入し、その部分にかかる力を dF と表現した。これが電流が磁場か ら受ける力を表す式であり、「アンペールの力」と呼ばれている。 先ほど 2 つの電流の間に働く力が実験事実として上のように表されると 書いたが、まだ定数 μ0 の大きさを決めていなかった。そこでこの式が成り 立つように定数を決めなくてはならない。普通は実験で決めるところなの だがここではそうはしない。なぜなら電流の単位がまだ決まっていないか

111

第2章

電磁気学

らである。ちょうど良いので定数 μ0 がキリのいい数字になるように電流の 単位の方を決めてやることにしたのである。定数 μ0 は好きなように決めて やればいいのだ。どうせなら便利な方が良いに決まっている。 そこで、μ0 = 4π × 10−7 であると決めることにした。このように決めて おけば分母にある 2π と打ち消しあって計算が非常に楽になるし、ビオ・サ バールの法則の場合には分母が 4π であるので係数の部分は 10−7 だけにな る。もし電流の大きさを決めるための精密な測定をする際に力の大きさを 無理数に合わせなければならないとしたらかなり面倒なことになるのでこ うやって π を消してやるのはかなりうまい方法である。定数をこの値に決 めるためには、次のような言葉で電流を定義してやればよいことになる。



1A（アンペア）の定義



  1m 離して置いた同じ大きさの平行に流れる電流の間に働く力が 1m あたり 2 × 10−7 N（ニュートン）であるとき、この電流の大きさを 1A とする。 



ではなぜ 10−7 にしたのであろうか？ もし 1m 離して置いた電流の間に 働く力が 1N であるときの電流を 1A だということにしたらもっと計算が 楽になったかも知れない。しかし 1N というのは電線にとってはかなりの 力である。これでは測定しようとしている電線が吹っ飛んでしまうことだ ろう。しかもそのような力を及ぼし合うような大電流を流せばあっという 間に電線は焼き切れてしまう。これでは直接 1A を測定することが難しい。 直接測れた方が誤差が入り込む可能性が少ないのだ。それで電線が焼き切 れるほど大き過ぎず、かと言って力を測定するのに小さ過ぎない値を選ぶ 必要があったのだろうと思われる。 電流の単位が定義されたので、これをもとに磁場の単位を決めることが 出来る。すぐ上に出てきたアンペールの力を使って考えるのが一番楽であ る。つまり、1A の電流が磁場から 1m あたり 1N の力を受けるとき、この 磁場を 1 テスラと呼ぶことにする。このことから考えると 1 テスラという のはかなり強い磁場であることが分かる。 「ピップ・エレキバン」の CM で

112

2.9. ローレンツ力

昔使われていた 1300 ガウスというフレーズはいかにも強力そうだったが、 実は 0.13 テスラに相当するのである。このガウスという単位は法律により すでに 1997 年に廃止されており、これからは正式にテスラを使うようにと のことである。 さて、これで磁場と電流に関わる法則を一通り説明できたので、ここで ようやく現代的な解釈を持ち出すことにしよう。電流というのは我々の常 識では電荷の流れである。よって電流が磁場から受ける力というのは、実 は運動する電荷が磁場から受ける力であると考えて式が作れるはずだ。 電荷というのは電流から定義されており、電流が 1A の時に 1 秒間に通 過する電荷を 1 クーロンとしている。電子 1 個の電荷を q クーロンだとし て、これが 1m あたり n 個の密度で存在していたとすると、1m あたり qn クーロンの電荷が存在していることになる。これに電荷の速度 v をかけれ ば 1 秒間に通過する電荷量を表すことが出来て、

I = qnv と表せる。これを先ほどのアンペールの力の式に代入しよう。

dF = qnv ds × B ここで電荷の密度 n と微小長さ ds を掛け合わせた量は微小長さあたり に存在する電子の個数であるのでこれを N と書くことにする。そうすると 今まで微小長さのベクトルを表していた ds がなくなってしまうので、代 わりに速度 v をベクトル v として表現しよう。電流の微小長さのベクトル と電荷の流れの速度は同じ方向なのでこのようにして問題ない。

dF = qN v × B ところでこの式の意味するものは電流の微小長さ ds あたりにかかる力 の大きさであったが、微小長さ ds 内には N 個の電子が存在するのであっ た。そこでこれを N で割ってやることで電子 1 個が受ける力を表すことが 出来る。つまり、電荷 q を持つ 1 つの粒子が磁場中を運動する時に受ける 力は次のように表される。

113

第2章

電磁気学

F = qv × B これが高校物理で習う「ローレンツ力」を外積を使ってかっこよくベク トルで表現したものである。これの簡易版を高校でいきなり習うことに文 句をつけるつもりは無い。現代ではわざわざ電流に働く力から間接的に導 かなくとも、電子線などを使ってほとんど直接的にこの法則を実証できる ようになっているからだ。ここではアンペールの力との関連性をはっきり させるためにやってみただけのことである。しかしこの力については奥が 深いのでこの後でも何度か出てくることになるだろう。

2.10

物質中での磁場

ここまでは磁場を B という記号で表してきたが、電磁気学では磁場を表 すのにもう一つ、H という記号で表される概念がある。この節の説明の中 ではこの二つの概念をはっきりと区別するために B を「磁束密度」と呼び、

H を「磁場の強さ」と呼ぶことにする。これらの呼び方は歴史的な背景を 持つものであって、必ずしも概念の本質を表すものではないということを あらかじめ注意しておこう。私はこのことを聞いてはいたが軽く考えてい たのでひどく悩まされることになってしまったのである。 私は学生の頃には深く考えることをしていなかったので、 「磁場の強さH は磁性体の有無に関わらず一定の値をとる」という結論だけを聞いて、 「状 況に関わらずに一定の値を取る方がより本質的な物理量に違いない」と勝 手に信じてしまっていた。名前からしてもそんな気がするし、マクスウェ ル方程式の形を見ても電場 E と対を成しているのは磁場の強さ H の方で あるようだ。 しかし、実際は逆なのである。 このあたりの話は電磁気学の中でも少し面倒な部分となっているのでこ の節の説明でこのような混乱をすっきりさせようと思う。説明の仕方さえ 気をつければ誰も混乱するはずのないとても簡単な話である。 物質は無数の原子から出来ており、原子は原子核と電子から出来ている。 この電子が原子核の周りに角運動量を持っているために、原子の周囲には

114

2.10. 物質中での磁場

円形の電流が流れているのと同じ状態になっている。この電子の運動が作 り出す円形電流によって原子の一つ一つが微小な電磁石になっていると考 えられる。





豆知識

 今の議論の本筋とはあまり関係はないのだが、これだけの説明では 読者に誤解を与えてしまうかも知れないので少し補足しておこう。ま ず、電子の全てが原子核の周りに角運動量を持っているわけではない。 例えば s 軌道にある電子は軌道角運動量を持たないので磁場を作るこ とはない。また電子は軌道角運動量の他に自転角運動量（スピン）を 持っており、これが作る磁場も無視できないほどである。実際、身の 回りによく目にする磁石や鉄などが作る磁場はこのスピンの影響を抜 きにしては語れないのだが、ここでは語るつもりもないし面倒なので 無視している。 



この原子単位の電磁石を呼びやすいように名前をつけたい。上では原子 単位と書いたものの、分子として一単位となっているような場合もあるの で、これからはこれを「分子磁石」と呼ぶことにしよう。そしてこの分子磁 石を作っている電子の運動が作り出すミクロな円形電流を「分子電流」と 呼ぶことにする。 この分子磁石は普段は熱運動や化学結合の向きの関係でバラバラな方向 を向いている。しかし、もしこれらの向きを揃えることが出来れば強力な 電磁石を作ることが出来るに違いない。我々がよく目にする永久磁石（普 通の磁石）の正体は、ある程度向きの揃った分子磁石の集まりなのである。 永久磁石というのは言ってみれば、電流が絶えず流れ続ける「超伝導電磁 石」みたいなものなのだ。 分子磁石の向きを揃えてやれば強力な磁石になると書いたが、そのため の手っ取り早い方法は外部から磁場をかけてやることである。外部から比 較的弱い磁場をかけてやるとその強さに比例して向きを変える分子磁石の 数が増える。分子磁石を味方につければ弱い磁場を元にして強い磁場を作

115

第2章

電磁気学

ることが出来るのである。コイルに鉄心を入れると磁力が強くなる理由は これなのだ。 例えば鉄くぎにエナメル線を巻いてコイルを作り、電流を流してやるこ とを考えよう。これは工作で電磁石を作るときによくやることである。この 状況はすでに導いた磁場の微分法則を使って次のように表すことが出来る。

rotB = μ0 (ie + im ) ここで ie はコイルに流した電流の密度であり、im は分子電流の密度で ある。分子電流の密度ベクトル im はバラバラな方向を向いていて打ち消 し合っているかも知れないが、それらをベクトル的に総和してやれば幾分 かは残る成分があるだろう。磁場を強めるために働いている実質部分はそ れである。これを「磁化電流」と呼ぶ。つまり、自作の電磁石を使って発 生させることの出来る磁束密度は、コイルに流した電流と物質内部を流れ る磁化電流の和で決まるということである。ここまでは大変納得のいく話 だと思う。 ところが分子電流の和である磁化電流などというのはなかなか測定する わけにも行かないので、このままでは扱いにくい量である。そこでちょっ とした式の変形を行って測定に都合のいい物理量に仕立て上げてやるので ある。 「磁化ベクトル」J というものを導入して、磁束密度についての微分 法則と同じように次のような関係が成り立っているものとする。

rotJ = μ0 im この J は物質内部にある磁化電流が発生させている磁束密度を表してい ると考えればよい。この関係を使えば先ほどの式は、

rotB = μ0 ie + rotJ すなわち、

rot (B − J ) = μ0 ie と書けて、式の中から磁化電流という測定困難な概念を消してやることが 出来る。さらに、

H= 116

1 (B − J ) μ0

2.10. 物質中での磁場

となるような量を「磁場の強さ」として定義してやれば、上の式ははるか に簡単になって

rotH = ie と書いてやることが出来る。





補足解説・ ・ ・磁化ベクトル

 上の説明はとてもすっきりしていて気に入っているのだが、少し難 点がある。それは、全体の磁束密度 B の内、分子電流のみが作る磁束 密度のことを磁化ベクトルだとしている解釈があまり正確ではないこ とである。この解釈をそのまま受け入れてしまうと物質の外部にも磁 化ベクトルがあることになってしまうが、実は物質外部では J = 0 で ある。なぜなら磁化ベクトルの本来の定義は「物質が磁化したときに 物質が持つ磁気モーメントの単位体積あたりの平均」とされているか らである。何やら面倒だが、要するに物質中に微小な棒磁石が存在し ているかのように想像して、その向きと強さをベクトルで表したよう なイメージを考えればいい。rotJ = μ0 im という式は物質内部でだけ 成り立っており、そのことも本当は厳密に検討して証明した上で使う べきものである。よって、この式を磁化ベクトルの定義だと考えては ならない。 



B と H の間には近似的ではあるが単純な関係がある。それを導いてみ よう。先ほどの磁場の強さの定義式を変形してやると、

B = μ0 H + J と書ける。ところで磁化ベクトル J と H の間には近似的に次のような関 係が成り立つ。

J = χm H これはいかにもそうなるような気がするだろう。H は外部の電流に比例 する量であるので、結局この式は外部の電流に比例して物質の磁化の量が

117

第2章

電磁気学

決まるということを表しているだけのことである。その比例定数が χm で あり「磁化率」と呼ばれている。これを代入すれば、

B

= μ0 H + χm H = (μ0 + χm )H

となる。ここで μ = μ0 + χm として「透磁率」を定義すれば

B = μH と書ける。真空の場合には χm = 0 であるので、B = μ0 H の関係が厳密 に成り立つことから、定数 μ0 は「真空の透磁率」と呼ばれている。 これで磁場の強さ H の概念がいかに人為的に作り上げられたものかと いうことが分かるであろう。自然のままに単純な法則になったのではなく、 単純な形になるように人間が作ったのである。 しかしこれはこれで便利なものであって、物質の有る無しに関わらず外 部から流した電流密度によってのみ計算できる量になっている。そして、そ こに物質の有る場合、あるいは無い場合に実際に生じる磁束密度 B を求め たければ、上で求めた B と H の関係式を使って計算してやればいいので ある。これは物質内部の分子電流を直接測定できなくても物質の持つ磁気 的性質を透磁率という数値を使って代表させることが出来るという素晴ら しい工夫なのである。 おや？ どこかで聞いた議論である。これは前に説明した「電束密度」と 同じ考えではないか。 （101 ページ参照）すなわち、 「磁場の強さ H 」は「電 束密度 D 」に対応するものであって、私流に言えば「あまり本質ではない 量」なのである。 ただ歴史的には逆の過程を進んでいる。電気の場合、先に電束密度の概 念があって、後に詳しいことが分かって、より本質的な「電場」に到達し た。磁気の場合には初めに自然な形で導入された「磁束密度」の方が本質 であって、電場との対称性から後に取り入れられた「磁場の強さ」の方が 仮想的な概念であったのだ。 形式的には電場に対応するのが磁場の強さであるが、意味合いを考える と磁場の強さに対応するのは電束密度の方なのである。形式を取るか意味

118

2.11. 電磁誘導

を取るかと聞かれれば、私は迷わず意味を取る。このようなわけで私は今 後も B について「磁束密度」という歴史的な呼び名を使うことをせずに、 こちらを正式な「磁場」として扱おうと思うのである。ただし、磁気モノ ポールが見つかった時にはもう一度少し考えさせて欲しい。

2.11

電磁誘導

ファラデーは、電流で磁気が発生するならばその逆もあるはずだと考え て実験を始めたと聞く。小さな頃この話を聞いて、どうしてそういう発想 ができたのだろうと、とても感心したものだ。しかしファラデーの実験結 果を要約したのはレンツであって、レンツの法則と呼ばれている。





レンツの法則

 コイルに発生する起電力はコイルを貫く磁力線の変化に比例する。 その起電力によって発生する電流の向きは、磁力線の変化を妨げるよ うな向きである。 



さらにこれを数式で次のように表現したのはノイマンなのだそうだ。

φ = −k

dΦ dt

φ は起電力を表しており、Φ は磁力線束、つまり磁束を表している。もっ と分かりやすく言えば、コイルの輪の中を通る磁力線の本数のことだ。比 例定数 k は後に 1 になることが分かるのだが、それがはっきりするまでは このまま残しておくことにする。 細かいことにこだわらなければこれを変形して場の形式で表現するのは 簡単である。起電力 φ は一回巻のコイルの道筋に沿って電場を線積分する ことによって

 φ=

E · ds

と書ける。また、コイルの内側を通る磁束は、コイルの道筋を縁とする面

119

第2章

電磁気学

について積分することで、

 Φ=

B · n dS

と表せる。磁場については divB = 0 というガウスの法則が成り立ってい ることがすでに示されている。つまり磁力線は途中で勝手に途切れたりし ないということなので、縁さえ決めてやればどんな形の面を考えて面積分 しても結果は同じ値であることが保証されている。 これらの表現を使えばノイマンが作った式は    d B · n dS E · ds = −k dt と書くこともできるだろう。この左辺にストークスの定理を適用して rot を使った面積分に変換すれば、   ∂B · n dS rotE · n dS = −k ∂t となり、両辺とも面積分で表す事ができる。これにより、    ∂B · n dS = 0 rotE + k ∂t とまとめた形で書くことができる。さて、ここまではコイルの存在を頭に おいて考えてきた。しかしファラデーの思想は、そこにたまたまコイルが 置いてあるから起電力が観測されるのであって、何もない場合にも電場は そこにもとから存在するのだというものである。つまり、コイルの存在に 関わらず、任意の空間で上の式が成り立つということだ。よって、

rotE + k

∂B =0 ∂t

が成り立つ。後は k = 1 であることさえ言えれば、

rotE +

∂B =0 ∂t

であり、これがマクスウェルの方程式の内の一つ、 「ファラデーの誘導法則」 と呼ばれる式である。

120

2.11. 電磁誘導

ではこれから定数 k が 1 になる理由を説明しよう。しかしそれは先ほど 求めた結果から説明するのではなく、もう一度レンツの法則に戻って別解 釈でもう一つの式を作ることで行う。 先ほどは「起電力はコイルを貫く磁力線の変化に比例する」という表現 から出発して、なんとなく止まっているコイルを考えて、磁場の方が変化 したのだろうと想像して計算を行った。しかしレンツの法則は逆のことも 意味しているのである。つまり磁場が変化しない状況でコイルの方が移動 した結果、コイル内を貫く磁力線束の大きさが変化した場合にも成り立つ のである。その状況を描いたのが次の図である。 輪になった導線が 2 つ 描いてあるが、これらが コイルを表している。下 側の輪が移動前のコイル の位置、上側の輪が移動 後のコイルの位置を表し ている。 このコイル上の微小部 分の長さと方向を ds で 表しておこう。コイルが 移動したときに、この部 分が微少時間 dt の間に速 度 v で移動すると考える。微少時間ならその間の速度はほぼ一定だと見な せるからこういう考え方をするのである。移動距離は v dt と表せるだろう。 この移動によって微小部分 ds が描いた軌跡は面になる。v dt も ds も 微小なので、この面は平らな平行四辺形だと見なせるだろう。理由は後で 話すが、今の内にその面積を知っておきたい。こういう時、外積はとても 便利であって、v dt × ds という計算をしてやれば、一つのベクトルが求ま る。何とそのベクトルの長さがちょうど今知りたかった面積を表している のである。このことは第 4 章の外積の説明の中で話してある。 （→ 201 ペー ジへ）そしてそのベクトルの向きはその面の法線方向を向いている。 これで計算の準備が整った。今本当に知りたいのは、コイルの移動の前 後で、コイルを貫く磁力線がどれだけ変化したか、ということである。そ れはこう考えれば分かる。まず、上の図の 2 つの円をつないだ円筒っぽい

121

第2章

電磁気学

空間領域を想像する。この領域内に入った磁力線は必ずどこかから抜けて いくわけだ。つまり、下の面から入った磁力線と上の面を抜けて行く磁力 線の数に差があるとすれば、それは円筒領域の側面から出入りする磁力線 の数に等しいと言えるではないか！ 先ほど求めた微小面積というのは、この側面積の一部である。しかも

v dt × ds というのは面の法線ベクトルでもあったので、これと磁束密度 B との内積を取れば、この面を垂直に貫く磁力線の数が計算できるのである。 側面全体での磁束の合計を知りたければ、コイル一周について ds を積 分すればよい。その結果は、微小時間 dt の間に変化した磁束の量 dΦ を表 すことになる。符号は図の意味を考えて正しく付けてもらいたい。

 (v dt × ds) · B  = dt (v × ds) · B  = − dt (v × B) · ds

dΦ =

少し変形すれば、

dΦ =− dt

 (v × B) · ds

である。これをレンツの法則に代入してやる。

dΦ φ = −k  dt = k (v × B) · ds この左辺の φ はコイルに生じる起電力である。起電力はコイルに沿って電 場を線積分することで次のように表せるのだった。

 φ=

E · ds

この二つの式を見比べると、コイルの輪の形がどうであってもここまで の話が成り立つことから、

E = kv × B 122

2.12. マクスウェル方程式の完成 という関係が成り立っていると言えるに違いない。この電場 E の中に電荷

q を置くと力 F を受ける。つまりこの式の両辺に q を掛けてやれば、 F = kqv × B が言える。これは定数 k が余計に入っているだけで、前に求めた「ローレ ンツ力」と同じ形ではないか！ （114 ページ参照）今求めた結果はローレ ンツ力と同じ現象を表しているのである。同じ現象に結果が二通りあるな どということは不合理であるので、k は 1 でなければならないと結論でき る。 レンツの法則を二通りに解釈することで、一方は磁場の変化により電場 が生じるという結果を導き、もう一方はすでに導かれているローレンツ力 を再び導くことになった。全く性質の違う現象が一つの「レンツの法則」と いう形で言い表せることはある意味不思議であり、偶然にも思える。 初めに我々はコイルに磁石が近づくことで電場が生じるような現象を考 えたが、逆に磁石が作る磁場の中をコイルが近づくことで、コイルの中に ある電子がローレンツ力を受けて同じ起電力を生じたとしても同じ現象が 説明できる。 一体どちらの解釈が正しいのであろうか。この不思議さを解決したのが 「相対性理論」なのであるがそれについての詳しい説明をする余裕は本書に はない。とりあえず、電磁気学の中にはそれ自体の中で解決できない問題 があるということだけ注意しておこう。

2.12

マクスウェル方程式の完成

これまでに導いてきた関係式を集めてみると、

∂B ∂t rotH

rotE +

=

0

= i

divD

= ρ

divB

=

0 123

第2章

電磁気学

となり、初めに概観したマクスウェルの方程式まであと一歩であることが 分かる。何が足りないかと言えば、2 番目の式の左辺第 2 項にあるべき、

−∂D/∂t の部分だ。これがないとこの式は矛盾を抱えることになる。それ は 2 番目の式の両辺について div を計算すればすぐに分かる。この計算で 左辺は div rotH となり、この形を持つものはみんな 0 になるのであった。 よって右辺だけが残り、 div i = 0

（これは間違いなので気をつけよう）

という結果が導き出せる。 ところが、ここで「待てよ！」と思わなくてはいけない。この式は、電 流の源は存在しないことを表しているが、そんな筈はない。もしそうなら 全ての電流は増えもせず減りもせず、ぐるりと輪になっていなければなら ない。実際、身の回りの多くの電気回路は輪を作っているが、そうでない ものもちゃんとある。コンデンサやライデン瓶のような蓄電器に貯め込ま れた電荷は電線で逃げ道を作ってやれば電位の低い方へ流れてゆくし、静 電気や雷も同じである。 電流は電荷が蓄積されているところを源として生じることが出来るでは ないか。その場合、電流が流れてゆくに従って蓄積されていた電荷は減少 してゆく。電流は電荷の流れなので当然のことだ。この状況を式で表せば 次のようになる。

div i = −

∂ρ ∂t

先ほどアンペールの法則の式の両辺について div を計算したときにこの 関係式が出てこなかったということは事実と矛盾しているのである。そこ で、divD = ρ であることをうまく使って、元になった式に D を仕込んで、

rotH −

∂D =i ∂t

という形にしておけば、矛盾は解消できることになるし形式的にも美しい ではないか。この式を「アンペール・マクスウェルの法則」と呼ぶ。名前 の由来は察しがつくだろう。アンペールの法則にマクスウェルがちょっと手 を加えたからだ。これでマクスウェルの方程式と呼ばれる関係式が出揃っ

124

2.12. マクスウェル方程式の完成

たことになる。 矛盾はとりあえず解決した。しかしこの式が本当に正しいものであるか どうかは実験によって確かめなければならない。それが科学的手法という ものである。 アンペールの法則に −∂D/∂t の項を加えた意味は大きい。これまで電流 が磁場を作り出し、磁場の変化が電場を生み出すことを見てきたが、この 項が入ることによって、電流がなくとも電場だけで磁場を発生させること が出来る可能性が示されたわけだ。この量 ∂D/∂t は、電荷の流れではない が、電束密度が時間的変位をすることによって電流と同じ意味を持つこと から「変位電流」または「電束電流」と呼ばれている。この量を使った応 用の話も面白いのだが脇道にそれるので別の機会にしておこう。 電場が磁場を作り、磁場が電場を作るということは、お互いがお互いを 生み出しながら何もない空間を伝わってゆく現象、すなわち「電磁波」が 観測できるはずである！ しかし理論的準備は整ったものの、それが実証さ れるまでには 20 年以上の月日が必要だったようである。マクスウェル理論 が広く知られるようになったのは電磁波の存在が実証されてからのことな ので仕方がない。歴史はいつも知らないところで動くのだ。 マクスウェル理論を検証する実験には懸賞までかけられていたそうであ る。今では誰でも知っていることだが、実際、電磁波はあったのだ。ヘル ツの実験 （1888 年）やマルコーニによる無線電信の実験 （1896 年） が 有名である。 とにかく電磁波の存在が証明されたことによってマクスウェルの方程式 が正しいことが分かった。変位電流の項がなければ電磁波は何もない空間 を伝わりようがないのだから。 さあ、ようやくマクスウェルの方程式が揃うところまでたどり着き、電 磁気学を制覇したような気分に浸っているかも知れない。しかしまだ形式 的なことが分かっただけであり、本当に知りたいことには触れていない。議 論はこれからなのだ。そこで、まだはっきりしない点や、これから考えて ゆくべきことについてここでまとめておいて今後の指針を明確にしておく ことにしよう。 まず、電磁波の運動量についてはまだ何も語っていない。電磁気的な現

125

第2章

電磁気学

象において運動量保存則が成り立っていることはどのように示されるのだ ろうか。また電荷を持つものが加速するときに電磁波を放射する現象があ るが、これはどのように説明されるのだろうか。そして、そのとき放射さ れる電磁波はどのような形を持っており、どのように飛び出してゆくのだ ろう。この辺りのイメージが描けなくてはマクスウェルの方程式を知って いても電磁気を知ったことにはならないのではないだろうか。 また、この他に電場は実在か、磁場はどうなのかという議論もある。計算 の便宜上導入しただけのはずのベクトルポテンシャルが最近の実験の結果 により、実は実在するのではないかという話もある。これに関連してゲー ジ変換についても触れなければならない。とにかく以上のようなことを考 えながら、量子電磁力学に突入するための準備を全て行うつもりでいる。 先はまだ長い。しかしこれでとりあえず最初の目標には到達したわけだ。

126

∼提案∼

部活で「理論物理部」なんてどうだ？   化学部や天文部というものは大抵の高校にはあるものだと私は想像して いる。漫画にもよく出てくるし、私の出身高校にもあった。しかし物理部 なんてものはたまにしか聞いたことがない。しかもどんな活動をしている 部なのかも良く分からない。 そこでだ。 「もし私が高校の物理教師だったなら・ ・ ・」と現場の方の苦労 も知らないで身勝手な想像をしてみる。 私はすぐさま迷わず「理論物理部」を創設するだろう。もしすでに「科 学部」なんてのがある場合には、その中に「理論物理班」を設置。そこの 顧問になることを名乗り出る。 入部希望の学生に、私はすぐさま「微分積分」と「線形代数」を教え込 む。高校の指導要領の範囲を越えていることについては全く気にしない。 これは趣味の文化部なのだから、趣味で何を学ぼうと自由だ。すでに受験 勉強ばかりで余裕のない学生が、そこに加えて何かを学ぶ事に拒絶反応を 示さないだろうかって？ そんな心配はまるでしていない。 どうせ好き好んで物理部に入ってくるような連中だ。そういう興味を持っ たやつらにはそれぞれ 3 日もあれば基本は十分教えられる。受験のための 難問奇問を解く必要がなければ、この程度の数学の基本はめちゃくちゃ簡 単なのである。パズルのルールを覚えるようなものでしかない。こんな楽 しい「技」を身に付けたくないなんて思うだろうか。これは趣味なのだ。 一度彼らの好奇心に火を付けて、どこからどうやって情報を得て学ぶの か、その方法さえ教えてやれば後の事は勝手に進む。学生同士の競争心も 利用できればなお加速する。部室が学生たちが駄弁るだけの溜まり場にな らない程度に、ゆるーく監督してやればいい。 数年後、この部に入ってきた一年生は何を見るだろう。

127

棚に並んだ、高校レベルをはるかに超える物理の本。 （その隅にこの本も あると嬉しい。）それらを難なく読みこなしながら、「ここに書いてあった よー！」なんて同輩に示す二年女子部員。素粒子や宇宙について、難しい 専門用語を使って楽しげに語り合っている三年の先輩たち。 何だ、このまるで高校とは思えぬ異世界は！ ！ 三年生は二年生に教え、二年生は一年生を教える。二年生は機関誌の執 筆編集をし、一年生はその手伝い、三年生はチェック役を果たす。教える事 は学ぶための最も良い方法だ。機関誌の発行は、自分たちが学んだ事を他 人にいかに効率よく短期間で教えられるかを研究するためでもあり、代々 後輩を教えて行くための独自資料としての意味も持つ。 組織さえ作ってしまえば後は勝手に動く。組織作りはコンピュータプログ ラムを組むようなものだ。自己を維持する機能、内外で生じた問題を解決 するための原則さえ入れてしまえば、大抵の事には耐えて長々と機能し続 ける。私が去っても何とかやっていけるだろう。私の役目はこれで終わり。 転任したらまたそこで物理部を創設すればいい。

128

第 3 章 電磁方程式をいじりまわせ 3.1

マクスウェルの方程式はなぜ解けるのか

前章でようやくマクスウェルの方程式が勢揃いした。早速これらをいじ り回してどんなことが言えるかを調べてゆきたいところではあるのだが、 少し考えただけでいきなり大きな問題にぶつかりそうである。この方程式 は式の数に比べて変数の方がやたら多い気がする・ ・ ・。この方程式は本当 に解けるのだろうか。まずこの問題についてすっきりさせておこう。 ここまでじっくり読んで理解された方にはもう説明は要らないかと思う が、マクスウェルの方程式は表向き 4 つの式に見えるが実は 8 つの方程式 の集まりであるということは前に概観のところでも説明した通りである。 しかし一方この方程式の中に含まれる未知数は電荷密度 ρ と電流密度 i の 3 成分、さらに E 、B 、D 、H の 4 つがそれぞれ 3 成分を持つベクト ルなので合計 16 の未知数が存在することになる。16 の未知数を 8 つの式 だけで決定できるだろうか？ 普通の代数方程式の場合には明らかに不可能 である。しかし、微分方程式の場合にはどういう事になっているかという となかなかイメージしにくいのである。微分方程式が解けるかどうかが式 の数と未知数の数によって決められるかどうかさえ私には良く分からない。 私の経験ではそのような便利な法則はなかったように思う。微分方程式と 言ってもそれはもう色んな種類のものがあるので一まとめには議論できな いのである。さらに、ここまで未知数と書いてきたが、実は知りたいのは 「未知関数」であって、やたらややこしい話になってきてしまった。 しかしとりあえず、少しでも問題を簡単にすることを考えよう。未知関 数の数を減らす方法がある。E と D の間には D = εE という関係式があ るし、B と H の間にも B = μH という関係式があったことを思い出そ う。これらを使って E と B だけの式にしてやれば未知関数を 6 つも減ら

129

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

すことが出来て残りは 10 になる。 今使ったこれらの式は真空での場合を除いては近似的な関係に過ぎず、 そのようなものを代入して使うのは気持ち悪いと思うかも知れない。 （少な くとも私は美しい理論式に実験的な近似が混じることに非常な気持ち悪さ を感じている。）しかしもっと正確で複雑な関係式を適用する場合でもこの 手法で未知変数を減らせることには変わりない。 今は式が複雑すぎて解けないのではないかということよりも、原理的に 解けるかどうかということの方が大きな問題なのである。未知関数 10 に対 して方程式は 8。もう一歩だ！ しかし、実はもう一歩どころではなくて、さらに別の問題が存在するの である。それについて説明することにしよう。 ファラデーの電磁誘導の方程式

rotE +

∂B =0 ∂t

の両辺の div を計算してやると、前にもやったように div rot の形式をもつ ものは必然的に 0 になるのであった。それで第 2 項だけが残り、

∂ divB = 0 ∂t となる。これを t で積分してやれば

divB = X という形になる。ここで X は時間で積分したときの積分定数なので、時間 に依存しない任意の形の関数だということになるのだが、これは 0 になる ことがこれまでの議論によりすでに分かっている。この X は時間に依存し ない関数なので、ある時点で 0 であることが分かればどんなに時が経とう とも 0 のままである。 以上のことで分かることは、divB = 0 という式はこの X を 0 にするた めだけに存在している条件であって、この X = 0 というのは方程式を解い た後に入れる初期条件くらいの意味しかないということである。

130

3.1. マクスウェルの方程式はなぜ解けるのか

同じようにアンペール・マクスウェルの方程式

rotH −

∂D =i ∂t

の両辺の div を計算してやれば、div rotH の項は消えて、

−

∂ divD = div i ∂t

となり、div i = −∂ρ/∂t という事実を当てはめてやれば、

∂ (divD − ρ) = 0 ∂t となる。これを先ほどと同じように時間で積分してやれば

divD − ρ = Y となるのだが、この時間に依存しない関数 Y が 0 であることは divD = ρ の条件から分かる。 つまり、divB = 0 も divD = ρ もその形式だけは残りの式の中に含まれ ており、これらの式が新たに追加しているのは、X と Y が 0 であるという ことだけなのである。 これが意味しているのは、モノポールはもし無いということであればこ の先もずっと無いであろうし、同じように電荷の数もこの先ずっと変わら ないということである。もしこれらの数が変化するならば、ここに出てき た X も Y も時間に依存しない定数ではありえない。よってこれらの式は 電荷の保存則、磁荷の不存在を規定しているだけであって、電場や磁場の 形を決めるのに間接的に関わっているだけであると捉えることが出来る。 もとの話に戻ろう。この話が意味するのはつまり、方程式は 6 つに減っ てしまったが未知関数は未だに 10 だということだ。 何とかして未知関数の数を減らせないだろうか。我々は電荷密度と電流 を式の上で別々のものとして扱っているが、電流は電荷の流れであって電 荷密度が時間によってどう変化するかさえ分かれば電流密度はそこから求 められるのではないだろうか？ 私はしばらくの間このような勘違いをして いたが、少し考えればこの考えが間違っていることが分かる。例えば、一

131

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

定の電流が流れている状況では電荷密度は変化していないがそれでも電流 はそこに存在するのである。電流密度と電荷密度の間には前に書いたよう に電荷の保存則

div i = −

∂ρ ∂t

の関係があるだけである。 どうやらここまでのようである。これ以上の簡略化は思いつかない。つ まり、マクスウェルの方程式は解けないのであろうか？ 確かに完全に解く ためには条件が足りないのである。 しかしこれは逆に好都合だと言える。条件が足りない分だけ、人の手で 付け加えてやる余地が残されているということだからだ。実際、マクスウェ ルの方程式を解く時には初期条件を付け加えなければならない。例えば真 空中の電磁波について考えるときには「電荷は存在しないとする」という 条件を付け加えて電荷密度も電流密度も考えないようにするし、アンテナ の中を電荷が運動する時に発生する電波について計算するときには電荷密 度、電流密度の変化を初期条件として与える。もちろん、電荷や電流につ いての条件だけ与えれば解けるというものではなく、他にもいくつかの条 件を付け加えなくてはならない場合が多い。これは静電場の方程式に境界 条件が必要だったのと同じである。もともと微分方程式を解くためには幾 つかの条件を追加してやることが必要なのである。 もしこれらの初期条件が入る余地が残されていなかったら、この方程式 は非常に応用性のないものになってしまっていたことであろう。しかし、少 しの初期条件を与えてやりさえすればこの方程式は解けるのである。 ああ、ひと安心。

3.2

電磁波

以前に電場の変化が磁場を生み、磁場の変化が電場を生み出すという言 い方をしたことがある。そしてこの影響が何もない空間を伝わってゆく現 象がすなわち電磁波であるとも言った。しかし、この説明はあまりに定性 的なものであって、これだけでは具体的にその波の形がどのようなものに なるのかについての正確なイメージを思い描くことは出来ない。 ちなみ

132

3.2. 電磁波

に、下に描いたのは初心者向けの本でよく見かける説明図だが、現実とは 全く異なっている。

そこでこれからマクスウェルの方程式から電磁波の存在を導いてみるこ とにしよう。面倒な話は前回済ませたので煩わされることなく計算に入る ことができる。 真空中を伝わる電磁波について考えたいので、電荷密度はいたるところ で 0 であるとする。よって電流密度も 0 である。また D = ε0 E 、B = μ0 H の関係式を使って式から D と H を消去してやる。よって次の 4 つの式を スタートとして計算をしてやることになる。

∂B =0 ∂t ∂E =0 rotB − μ0 ε0 ∂t divE = 0 rotE +

divB = 0 第 1 の式の両辺の rot を計算してやると、

rot rotE +

∂ rotB = 0 ∂t

∂ rotB = 0 ∂t となる。ここで第 1 項は第 3 式の条件を当てはめることで 0 になるので、 ∴ grad divE − div gradE +

−div gradE +

∂ rotB = 0 ∂t 133

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第3章

電磁方程式をいじりまわせ

となり、この第 2 項に第 2 式を代入してやれば、 ( ) ∂ ∂E −div gradE + µ0 ε0 =0 ∂t ∂t

∂2E =0 ∂t2 となる。div grad はラプラシアン △ と同じ意味なので、これを使って綺麗 ∴ div gradE − µ0 ε0

にまとめれば、

( ) ∂2 △ − µ0 ε0 2 E = 0 ∂t

となる。この形の微分方程式は「波動方程式」と呼ばれている。その理由 はこの解が、任意の関数が時間によって形を変えずに空間を移動してゆく 様を表すからである。ここで µ0 ε0 の部分は方程式の性質上、その関数の移 √ 動速度の 2 乗分の 1 を表すことになるので、電磁波の速度は 1/ µ0 ε0 と表 せることになる。真空の誘電率についての測定値を代入してこの値を計算 すると、ちょうど光速度の測定値に一致することが分かった！

c= √

1 µ0 ε0

このことは光の正体が電磁波であることの有力な証拠の一つである。 今後はわざわざ µ0 ε0 と書くのは面倒であるし式がごちゃごちゃすること が予想されるので、波動方程式を光速度 c を使って、 ( ) 1 ∂2 △− 2 2 E =0 c ∂t と表すことにしよう。 また、ここで繰り返すのは無駄なのでわざわざやらないが、スタートで 第 2 の式の両辺の rot を計算して同じように計算してやれば、磁場につい ても同じ形式の解が求まる。

( ) 1 ∂2 △− 2 2 B =0 c ∂t ここまでの計算は暗算でも出来るくらい簡単であっけないものであった。 しかし話はまだまだ続くのだ。これからこれらの波動方程式の解について

134

3.2. 電磁波

考えてみよう。 まず基礎的な部分から押さえておこう。1 次元の波動方程式は次のよう に表される。



∂2 1 ∂2 − ∂x2 c2 ∂t2

 E=0

この式は x 方向に速度 c で進む波動を考えていることになるが、1 次元 に限定しているため、電場の向きについては論じることが出来ない。ここ ではまだ単に数学的な話をしているだけだということに注意しよう。 この方程式の解は次のような形式で表される。検算は簡単だろう。

E = F (x − ct) + G(x + ct) ここで F と G は任意の形の関数であって、F は x 方向に速度 c で進ん でおり、G は反対方向に同じ速度で進んでいることを表している。なぜそ んなことが言えるのかというと、例えば t = 0 の時、x = 0 の点での値は

F (0) であるが、t 秒後には x = ct の点が F (0) という値を持つことになる から、と言った具合で理解できる。 これが理解できたら一気にレベルを上げて、向きを持ったベクトル E が 進む様子を考えることにしよう。3 次元の波動方程式、すなわち前に求め た電磁波の方程式の一般解は次のように表される。 E = F (e · r − ct) + G(e · r + ct) 関数 F 、G だったものを、カッコ内の数値によってベクトルが決まると いう形で拡張して F 、G とした。また e は波動の進行方向を表す単位ベク トルであり、位置ベクトル r との内積をとることで進行方向へ測った距離 を表している。つまり、この式は本当に前の 1 次元の式を同じ意味のまま

3 次元に拡張しただけで、ベクトル e の方向へ速度 c で進む波動を表して いるのである。 ここまでで言える事は、つまり電磁波は特に制限がなければどんな形で も取り得て、速度 c で進んでいくというだけのことだ。あまり面白い話で もない。しかしこの式からはもっといろんなことが言えるのである。

135

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

この電場についての波動方程式の解をガウスの法則に代入してみると上 で出てきた関数 F 、G に制限がついて面白い結果が導かれる。この計算は 式の元の意味に立ち返って注意深く行えば高校生でも出来るものだ。

divE = 0 ∴ div {F (e · r − ct) + G(e · r + ct)} = 0 ∴

∂ ∂ ∂ (Fx + Gx ) + (Fy + Gy ) + (Fz + Gz ) = 0 ∂x ∂y ∂z

∴ ex (Fx + Gx ) + ey (Fy + Gy ) + ez (Fz + Gz ) = 0 ∴ e · (F  + G ) = 0 ベクトル e は電磁波の進行方向を表しているので、これと F の微分ある いは G の微分との内積が 0 だということは、電場は電磁波の進行方向に対 しては変化しないことを意味する。電磁波の進行方向に電場が存在するこ と自体は一向に構わないが、それは元から一様に存在する静電場であると 考えられ、電磁波という現象ではない。もちろん磁場についても同じこと が言える。 すなわち、電磁波には進行方向に垂直な成分しか存在しないのである。 このように進行方向に垂直な変化が伝わってゆく現象を「横波」と呼ぶの であった。すなわち電磁波は横波であることが結論できる。そして光も横 波であるということがすでに 19 世紀初頭から実験的に分かっていたので、 この結果は光の正体が電磁波であることのもう一つの有力な証拠となった。 ガウスの法則から電磁波が横波でなければならないことが導かれるとい うのはなかなかの驚きだが、定性的に理解できなくもない。もし縦波が存 在すれば電気力線、あるいは磁力線は進行方向へ平行に伸びていることに なるはずだが、一体これはどこまで続くことになるだろう。電磁波の先頭 で切れていたらガウスの法則は成り立っていないではないか。 ここまで電場の波と磁場の波を別々に扱ってきたが、これら 2 つの間に は関係がある。それを導くための計算を簡単に済ますために、波の進行方 向を z 軸方向に取ることにしよう。真面目に計算していたらすぐに脳みそ の計算処理限界を超えてしまう。脳みそはなるべく楽な方法を考えるため

136

3.2. 電磁波

に使うのがよい。さらに、電場の振幅の方向を x 軸方向に取ることにする。 上の議論で電場の変化の方向が進行方向に垂直な面内にしかないことが分 かったのでこうすることで電磁波の電場成分は次のように簡単に表せるこ とになる。

Ex

= F (z − ct) + G(z + ct)

Ey

=

0

Ez

=

0

では準備が整ったところで計算を始めよう。電場と磁場の関係を表した 式であるファラデーの法則を使う。

∂B =0 ∂t このままでは使いにくいので 3 つの成分に分解してみよう。 rotE +

∂Ez ∂Ey ∂Bx − + ∂y ∂z ∂t ∂Ex ∂Ez ∂By − + ∂z ∂x ∂t ∂Ex ∂Bz ∂Ey − + ∂x ∂y ∂t

=

0

=

0

=

0

ここに先ほどの電場の波動方程式の解を代入すると、ほとんどの項が 0 になり、2 番目の式の ∂Ex /∂z さえ計算すればよいことになる。そして次 のような結果となる。

∂Bx ∂t ∂By ∂t ∂Bz ∂t

= 0 = −F  (z − ct) − G (z + ct) = 0

これを t で積分してやれば磁場の形が求められるが、このときに現れる 積分定数は静磁場が重なっていても構わないことを表すだけなので無視し

137

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

てよい。よって磁場には y 軸成分しかないことが分かり、その形は、

By =

1 1 F (z − ct) − G(z + ct) c c

である。 驚いたことに、電場と磁場は、定数である光速度 c がかかっているだけ の違いがあるだけで全く同じ形で伝わっていくのである。前にした定性的 な説明では電場と磁場は交互に発生して伝わってゆくというイメージを思 い浮かべるかも知れないが、実際には一緒になって伝わってゆくと言った 方がよい。 さらにこの結果の式から磁場は電場に対して垂直な方向の成分しか持た ない事が分かる。電場を表すベクトルを磁場を表すベクトルの方向に回し たとき、右ねじの進む方向が電磁波の進む向きになっている。この事実は

z 軸とは反対方向に進む波を表している第 2 項の符号がマイナスになって いるところにも表れている。

3.3

電磁波のエネルギー（前編）

これから電磁波が「エネルギー」と「運動量」を持つことを説明しよう と思うのだが、まず簡単な方から済ませたい。どちらも少々面倒ではある が、おそらくエネルギーの説明の方が楽だろう。 本当はひとまとめにさらっと説明したかったのだが、書いている内に分 量が多くなってしまったので、仕方なく二つの節に分けることにする。前半 と後半では内容が大きく異なるので丁度良かったのかも知れない。前半で は静電場のエネルギーを求め、後半で電磁波のエネルギーを求めることに なるだろう。しかし、飽くまでも前半は後半のための準備作業である、と いう流れを見失わないために、敢えて節の見出しは前編、後編としておい た。 電荷はそこに在るだけでエネルギーを持つ、という話を初めて聞くと奇 妙な気がするかも知れない。しかし本当なのだ。これからそれを説明しよ う。論理的には正しいがちょっと騙されたように感じるかも知れない。

138

3.3. 電磁波のエネルギー（前編）

見渡す限り何も無い宇宙の中に半径 r の金属球が浮いており、これに電 荷 q が帯電しているとする。なぜ球を考えるかというと、帯電した球には 電荷が外側に均等に散らばっており、全電荷が中心の一点に集まっている ときと同じ形の電場を外部に作るからである。これはまるで一つの点電荷 があるように考えられるのでこれからの議論で大変都合がいいわけだ。 この帯電した金属球に微小な電荷 dq を宇宙の果てから近づけることを 考えよう。当然、同種電荷の反発力に逆らって近づけることになる。この 時、果たしてどれだけのエネルギーが必要であろうか。 答えは簡単だ。無限遠の電位を 0 としたときの金属球表面の電位は、電 場 E = (1/4πε0 )(q/r 2 ) を積分して、ｒ → ∞ で 0 になるように積分定数を

0 と置いてやることで、 φ=

q 4πε0 r

のように求まるので、これに微小電荷 dq をかけてやればいい。

φ dq =

q dq 4πε0 r

この考え方に慣れないのなら力学の仕事の定義に戻って、電場と dq を 掛けて微小電荷に働く力を求め、これを距離で積分してやっても同じこと である。 これが微小電荷 dq を一回だけ運んだときに必要なエネルギーである。 ではこれを 0 から q まで積分してやれば、金属球に電荷が全く無い状態か ら電荷が q になるまでコツコツと電荷を運び続けた時に必要となるエネル ギーが求められるではないか。

 U

= = =

q dq 4πε0 r 1 q2 2 4πε0 r q2 8πε0 r

これが金属球に電荷 q が存在すること自体のエネルギーである。実は金 属が全く帯電していない状態から初めの幾つかの電荷が取り付くまでは電 場は対称形にはならないのではあるが、これは無限小の電荷を考えている

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第 3 章 電磁方程式をいじりまわせ

ので初めの幾つかのことなど全く無視できる。気にしてはいけない。それ より気にすべきは、この式の分母に金属球の半径 r が入っていることであ る。全電荷を r = 0 の一点にまで近づけようとすると無限のエネルギーが 必要になるのである。これは困ったことだ。電子などの現在素粒子と考え られている粒子は大きさの無い点として扱われているのではないか。しか し電荷が一点に集中するとエネルギーが無限大になってしまう！ そこで、電子は本当は点ではなくてある程度の広がりを持った存在であ り、その時のエネルギーは電子の質量が持つエネルギーに等しいのだ、と する仮説が出されたことがある。電子の質量の原因は電荷のエネルギーだ というわけだ。こうして求められる電子の半径を「古典的電子半径」と呼 んだりするが、あまり根拠のある話ではなく、ちょっと面白い話として捉 えておくのが良いようだ。 とにかくこうして電荷が存在することによるエネルギーを求めることが 出来たわけだが、話はここで終わらない。上の考え方ではあたかも電荷が 位置エネルギーを持っているような表現であったが、ファラデーは、電場と いうものを電荷の周囲の空間のねじれ（エーテルの歪み）であると解釈し ており、このねじれにエネルギーが蓄えられているという「力学的な」イ メージで捉えていたのである。

そこで上で求めた式をファラデー流に変形してやることを試みよう。ファ ラデー流を実現するためには、空間の各点の電場で表される何らかの量を 作ってやり、その全空間の合計でエネルギーを表すようにするのである。イ メージさえしっかり掴んでしまえば高校生でも難しくはないレベルの式変 形である。まず、次の図のような円錐形の領域を考える。

140

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3.3. 電磁波のエネルギー（前編）

この円錐の先頭の部分は金属球の内部にわずかに突っ込んでいる。この 金属球から電気力線が出ていると考えて、その束の一部を包み込むように 領域を取る。この領域の側面からは電気力線が飛び出していないので、側 面に垂直な電場成分は 0 だと言える。このことはこの後、ガウスの法則を 使うのに都合がいいのである。 そして、その円錐形を縦に、すなわち電場に垂直に細かく切り刻んで小さ な領域に分割してやる。この切り刻んだ幅を dx1 , dx2 , dx3 , · · · とし、その断 面を dS1 , dS2 , dS3 , · · · とする。そしてその面上での電場を E1 , E2 , E3 , · · · とし、そのそれぞれの地点での電位を φ1 , φ2 , φ3 , · · · とする。

これらの記号を使ってもう少し準備させて欲しい。切り刻んだ多数の領 域のうち、金属球に頭を突っ込んでいる先頭の部分は、その領域の内部に 金属表面の電荷を含んでいる。この領域に含まれる金属表面の面積を dS とし、金属表面の電荷密度を w と置けば、その電荷は w dS と書ける。こ こでガウスの法則を使おう。表面の積分は、金属内部では電場は 0 であり、 側面は電場に垂直なので 0。よって残りは E1 dS1 だけであり、

w dS = E1 dS1 ε0 141

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

の関係が成り立っている。また、他の区切られた領域についてもガウスの 法則を適用すると、これらは内部に電荷を含まないので、

E1 dS1 = E2 dS2 = E3 dS3 = · · · という関係が成り立つことが分かる。これらの関係はこの後の式変形の途 中で使うことになる。 では式変形を始めるとしよう。先ほどの電荷のエネルギーについての結 果を金属球表面の電位 φ を使って書き直すと、

U=

1 φq 2

と表せる。今、球表面の電位は表面上のどの部分でも同じなので、この金 属球上の微小電荷 dq が持つ部分的なエネルギー dU は、

dU =

1 φ dq 2

と書いてよい。よって、上で考えた領域の先頭部分に含まれる微小電荷

dq = w dS の持つエネルギーは、 =

1 φ w dS 2

であり、ここで先ほどの w dS/ε0 = E1 dS1 の関係を使えば、

=

1 ε0 φE1 dS1 2

となる。さらにここでちょっとしたトリックを使い、項の数を増やしてやる。

1 ε0 [(φ − φ1 ) + (φ1 − φ2 ) + (φ2 − φ3 ) + · · · ] E1 dS1 2 これは前後の項が打ち消しあうようになっており、初めの項以外は勝手 に作ったものである。これを展開してやれば、 =

= + + 142

1 ε0 (φ − φ1 )E1 dS1 2 1 ε0 (φ1 − φ2 )E1 dS1 2 1 ε0 (φ2 − φ3 )E1 dS1 + · · · 2

3.3. 電磁波のエネルギー（前編）

のようになるが、ここで先ほど求めた関係式を使って、

= + +

1 ε0 (φ − φ1 )E1 dS1 2 1 ε0 (φ1 − φ2 )E2 dS2 2 1 ε0 (φ2 − φ3 )E3 dS3 + · · · 2

と書き換えてやることが出来る。これはさらに、

1 φ − φ1 E1 dS1 dx1 ε0 2 dx1 1 φ1 − φ2 E2 dS2 dx2 ε0 2 dx2 1 φ2 − φ3 E3 dS3 dx3 + · · · ε0 2 dx3

= + +

と変形できるが、この (φn − φn+1 )/ dx という部分は、 dx として無限小の 極限を考えることで電場の意味になり、また dS dx の部分も微小領域の体 積を表すので

= + +

1 ε0 E12 dV1 2 1 ε0 E22 dV2 2 1 ε0 E32 dV3 + · · · 2

のような意味になり、この結果は積分で表せて、  1 = ε0 E 2 dV（積分範囲は円錐部分のみ） 2 となる。 ここまでは金属球表面上の微小電荷のエネルギーに等しい部分の計算で あったが、他の部分も同様に計算できるので、この円錐で全空間を埋め尽 くしてやれば、全電荷の持つエネルギーを計算できる。

 U=

1 ε0 E 2 dV（積分範囲は全領域） 2

すなわち、各点の電場を計算して全空間で合計してやることで、前に求め たエネルギーと同じ結果を得ることが出来るというのである。エネルギー

143

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

は電荷そのものが持っているのではなく、空間に広く分布して存在してい ると解釈してやることが出来るわけだ。 以上のことから電場が存在する空間のエネルギー密度 u は

1 ε0 E 2 2 のように表せることが分かるのである。 u=

3.4

電磁波のエネルギー（後編）

次に、マクスウェルの方程式を変形することで前節で求めた静電場のエ ネルギーと同じ形式を作り出すことを考えよう。こうすることで電磁波の エネルギーの性質を知ることが出来る。 変形は大したことはない。まず

∂D =i ∂t の両辺と電場 E との内積をとる。また、 rotH −

∂B =0 ∂t の両辺と磁場 H との内積をとる。そうして出来た二つの式を引き算して やれば、 rotE +

E · rotH − E ·

∂D ∂B − H · rotE − H · =E·i ∂t ∂t

となるが、ここで

div(E × H) = H · rotE − E · rotH という物理とは関係なく証明できる公式を使ってやれば、

∂D ∂B −H · = E · i + div(E × H) ∂t ∂t のように簡単な形にまとまる。左辺に残った部分についてももう少しきれ いにまとめられる。第 1 項目は −E ·

−E ·

∂D ∂t

= −ε0 E · = −

144

∂E ∂t

1 ∂ (ε0 E 2 ) 2 ∂t

3.4. 電磁波のエネルギー（後編）

と変形できる。これは逆算してみれば分かる。左辺の第 2 項についても同 じ具合に変形してやることで結局次のようになる。

−



∂ 1 1 ε0 E 2 + μ0 H 2 = E · i + div(E × H) ∂t 2 2

この式の左辺のカッコの中身の第 1 項は前節で求めた静電場のエネルギー 密度と同じ形になっている。また、ここではわざわざ証明はしないが第 2 項が静磁場のエネルギー密度を表していることは電場と磁場の類似性から 容易に想像がつくだろう。よって、この式の両辺に微小体積をかけて積分 してやることで、左辺のカッコの中身を電磁場の全エネルギー U として表 すことが出来るではないか。では早速そうしてみよう。

−

∂U = ∂t



 (E · i) dV +

div(E × H) dV

この式の物理的な意味が分かりやすくなるようにもう少しだけ手を加え ることにする。右辺の第 2 項目にガウスの法則を適用して面積分に直して おこう。

−

∂U = ∂t



 (E · i) dV +

(E × H) · n dS

これで準備は全て整った。 では今求めた式の意味を考えてみよう。左辺は積分した範囲内にある全 エネルギー U の減少量を表している。つまり、ある範囲にある電磁場の全 エネルギーが単位時間あたりに減少する量は、右辺で表されているという ことである。 右辺の第 1 項はいわゆる「ジュール熱」を表している。 「電力＝電圧×電 流」という高校の電気回路でも習う例の式である。電場 E に距離をかけた ものが電圧であり、電流密度 i に面積をかけたものが電流だから、微小体 積内での電力は E · i dV と表せるわけである。これは積分した範囲内にあ る電荷が電場に従って加速することで運動エネルギーを得て、その分だけ 電磁場のエネルギーを奪ったことを意味する。ジュール熱の正体というの はこういうことなのだ。粒子が運動エネルギーを得るということはつまり、

145

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

電磁場のエネルギーが熱の形態に変わったということに他ならない。 では次に、残った右辺第 2 項が何を意味するかということを考えてみよ う。少し前に電磁波の説明をしたときに電磁波の進む向きは電場ベクトルか ら磁場のベクトルの方向へ回したときに右ねじが進む方向になっているこ とをちらりと話しておいたことがある。 （138 ページ参照）ちょうど E × H と表される部分がまさにこのことを表している部分である。これはベクト ルとベクトルの外積であって、結果もベクトルである。このベクトルは電 磁波の進む方向を表しており、 「ポインティング・ベクトル」と呼ばれてい る。このポインティングというのは上の式を見出した人の名前であって、 電磁波の進む方向を「指している」からこう呼ばれているというわけでは ない。そもそも綴りが違う。Poynting だ。Pointing ではない。このことは ちゃんと言っておかないと誤解する人が後を絶たないようである。 この項の中のベクトル n は積分した範囲の表面に垂直なベクトルを表し ており、これとポインティングベクトルの内積をとったものを積分範囲の 全表面で足し合わせている。すなわち、この積分した範囲の表面を通って 外へ出て行くポインティングベクトルの合計値が電磁場のエネルギーの減 少量に等しいという表現になっている。よって、ポインティングベクトル は、電磁波が単位時間に単位面積を通って持ち運ぶエネルギーを表してい ると考えられる。 ポインティングベクトルの解釈について誤解のないようにしておかなけ ればならない。電場と磁場が直交して存在していれば確かにポインティン グベクトルが定義できる。しかしポインティングベクトルがあるからと言っ て、必ずしもエネルギーの移動があるとは考えられないことに注意してお こう。 例えば、2 枚の金属板を帯電させて並行に置くことでその間に静電場を 作り出す。そしてそれに対して磁石を横向きに置けばこの空間内でポイン ティングベクトルが計算できることであろう。果たしてこの空間内をエネ ルギーが一定方向へ流れていると言えるだろうか？ この範囲から出て行くポインティングベクトルは計算できるし、反対側 からは入ってきているように計算できるだろう。しかし実際にはこの空間 には外部とのエネルギーの出入りはない。計算上、上の式が成り立ってい

146

3.4. 電磁波のエネルギー（後編）

るだけである。 ポインティングベクトルがエネルギーの流れを表すとの解釈は、この式 を電磁波に適用した場合にだけ出来ることなのである。 では最後に面白い結果を導いて終わることにしよう。電磁波についての 説明の最後のところで、電磁波の電場と磁場の間には

|B| = |E|/c の関係があることに触れた。この式は出さなかったがこういう意味の説明 をしたはずである。 （138 ページ参照）これを見ると電磁波の磁場というの は電場に比べて非常に小さいのだなぁという印象を受けるかも知れない。 何しろ、光速度という巨大な値で割っているのだから。しかし、この関係式 を使って今回の話に出てきた磁場の持つエネルギー密度を変形してみよう。

1 μ0 H 2 2

= = = =

1 1 2 B 2 μ0 1 1 2 2 E /c 2 μ0 1 1 2 E ε0 μ0 2 μ0 1 ε0 E 2 2

なんと、電場と磁場のエネルギー密度は等しいのである。よって電磁波 のエネルギー密度を表現するときにはわざわざ電場と磁場の両方を使って 2 2 1 1 2 ε0 E + 2 μ0 H と書かなくても、どちらか一方を使ってまとめてやり、 ε0 E 2 あるいは μ0 H 2 のように表現してやることも出来る。ああ、何とすっ

きりした気持ちいい表現だろう。 ここまでの話を聞いて、初学者には少々困惑があるかも知れない。一体、 電磁波のエネルギーって、ポインティングベクトルで表せばいいの？ それ とも今のような ε0 E 2 とかいう表現の方が正しいの？ 答えはどちらでもいいのである。ただし、ポインティングベクトルは単 位時間あたりに単位面積を通過する電磁場のエネルギーを表しており、エ

147

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

ネルギー密度の方はその名の通り、単位体積あたりの電磁波のエネルギー を表しているので場合によって使い分けてやればいいだけの話である。そ の辺りの意味をちゃんと考えてやれば両者の整合性はきちんと取れている はずである。 例えば、電磁波のエネルギー密度を ε0 E 2 として、これを変形してやる と、|E × H|/c となっていることが分かるだろう。電磁波は単位時間に距 離 c だけ進むから、エネルギー密度にその長さを掛けたものは単位時間あ たりのエネルギーの通過量を表すということで理屈は合っている。 さあ、今回のエネルギーの話は後で運動量の話とつなげるぞ！

3.5

マクスウェルの応力

電磁波のエネルギーを求めることが出来たので次はすぐにでも電磁波の 運動量を求めたいところなのだが、ここでマクスウェルの応力と呼ばれる 概念を説明しておこうと思う。電磁波の運動量を求めようとすると、式変 形の途中でよく分からない組み合わせの量が出来てくるのだが、あらかじ めこの量の意味を知っておかないと一体これが何を意味しているのか解釈 に苦しむことになるのである。 ここでは静電場についてだけ考える。ある領域 V に電荷が存在し、その 密度が ρ(x) と表されるとしよう。この領域の外にも電荷が存在し、当然、 領域の内と外に関係なく電場に影響を与える。領域 V 以外にある電荷が作 る電場を E  (x) とする。これから議論したいのは、領域 V 内に存在する電 荷が、領域 V の外側にある電荷から受ける力の合計 F についてである。 これは大して難しい話ではなく、領域 V 内の積分として次のように表さ れる。

 F =

ρ(x) E  (x) dV

この時、わざわざ領域外にある電荷の影響だけを分離して電場を E  で表 すのは面倒であるし、実験的にはこのような区別は不可能である。そこで 領域 V 内にある電荷 ρ(x) が作る電場も外部にある電荷が作る電場も全部

148

3.5. マクスウェルの応力 ひっくるめて E で表し、これを E  の代わりにそのまま使おうと思うのだ が、そんなことは出来るだろうか？ つまり次のように表したいのである。

 F =

ρ(x)E(x) dV

実はこのように書いても全く問題は無い。前にも話したが、静電場の場 合には自己場は本体に力を及ぼさないのであった。また領域内にある電荷 同士が静電力を及ぼし合ったとしても、作用反作用が成り立っているので 合計の力は打ち消しあうことになる。よってこのように書き換えたところ で結果に何の影響もないのである。 さて、話を面白くするために別の関係を導入しよう。微分形のガウスの 法則によれば、領域 V 内の電場は次の関係を満たすことになる。

divE(x) =

ρ(x) ε0

ちゃんと納得しておいてもらいたいのは、たとえ領域 V 内の電場 E に領 域外の電荷が作る影響が含まれていたとしても、上の式は全く問題なく成 り立っているということだ。この式はもともとそういう意味であった。こ の関係式を先ほどの式に代入する。もちろん上の関係は領域 V 内の電荷密 度 ρ のみを使っているので領域 V の外では使えないが、先ほどの式は領域

V の内部の積分であるので、これに代入する分には何も問題はないわけだ。 こうして次の式を得ることになる。  F = ε0

EdivE dV

すなわち領域内の電荷に外側から働く力の合計は、領域内の電場のみを 使って表せるのである。この結果は不思議に思えるかも知れない。外部の 電荷の分布などは計算に入れなくてもいいというのだ。外部からどれだけ の力が加えられているかは、内部の電場の形に表れているというわけであ る。磁石に別の磁石を近づけると磁力線が曲がる光景を思い出すといい。 以上の話をテンソル形式でまとめてみよう。テンソルと聞くと難しそう に聞こえるが身構える必要は全くない。電磁気学に特有の概念というわけ でもなく、通常の力学にも出てくる話である。例えばある物体に力を加え

149

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

て歪みを与えたとする。ねじったりする事もあるだろう。物体は原子が配 列して出来ており、その構造によって方向性がある。方向によって力の加わ り方が違ったりするわけだ。それを効果的に表すために作られた概念がテ ンソルである。その証拠に tensor の語源は tension（張力）から来ている。 力の方向を表すためには 3 つの成分があればいい。ところがその力の方 向は物体の断面の方向によって違ってくる。つまり、物体の断面の 3 方向 それぞれにつき、力の 3 方向を決めてやらねばならぬので、9 つの成分が 必要になる。これを行列で表した。ただそれだけのことだ。 先ほど求めた式の積分の中にある EdivE をもっとよく理解するために、 これを成分に分けて考えよう。これからしばらくはわけの分からない変形 が続くが、何を目標にして変形しているのかは後で分かるので楽しみにし ていて欲しい。この x 成分は、

(EdivE)x = Ex



∂Ex ∂Ey ∂Ez + + ∂x ∂y ∂z



であり、展開してやると、

= Ex となる。この第 1 項は

∂Ex ∂Ey ∂Ez + Ex + Ex ∂x ∂y ∂z

1 2 2 (∂Ex /∂x)

と変形できる。第 2 項も似た形式で ∂(Ex Ey )/∂y と書きたいがこうすると多すぎるので Ey (∂Ex /∂y) だけ引い てやる。第 3 項も第 2 項と同じようにすると、結局、

=

∂Ex ∂Ex 1 ∂Ex2 ∂Ex Ey ∂Ex Ez + − Ey + − Ez 2 ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

となるが、まだ秘密の目的は達成されない。そこで静電場では rotE = 0 の 関係があることを使って、上の式の第 3 項と第 5 項のカッコの中を無理や り書き換えてやる。rotE = 0 を成分に分けてやれば、

∂Ey ∂Ex = ∂y ∂x ∂Ex ∂Ez = ∂z ∂x の関係が取り出せるはずだ。その結果、 = 150

∂Ey ∂Ez 1 ∂Ex2 ∂Ex Ey ∂Ex Ez + − Ey + − Ez 2 ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x

3.5. マクスウェルの応力 となり、第 3 項目は − 12 (∂Ey2 /∂x) と書け、第 5 項目は − 12 (∂Ez2 /∂x) とな り、これは第 1 項と大変よく似ているので一つにまとめられそうである。 ただし、第 1 項目の符号が他と違うのでちょっと工夫が要る。まあ、ここ で何をしたかくらいは見破って欲しい。

=

 ∂Ex2 ∂Ex Ey ∂Ex Ez 1 ∂  2 + + − Ex + Ey2 + Ez2 ∂x ∂y ∂z 2 ∂x

最後の項は次のようにまとめて書ける。

=

∂Ex Ey ∂Ex Ez 1 ∂E 2 ∂Ex2 + + − ∂x ∂y ∂z 2 ∂x

どうだ、ずいぶん簡単になっただろう。何をしたかったのか、どんな形 式に持って行きたかったのかこれで分かってもらえるだろうか？

∂ (E divE)x = ∂x

 Ex2

1 − E2 2

 +

∂Ex Ez ∂Ex Ey + ∂y ∂z

以上の変形から言えることは、領域 V 内にある電荷に働く力の x 成分

Fx は、

 Fx = ε 0

∂ ∂x



1 Ex2 − E 2 2

 +

∂Ex Ez ∂Ex Ey + ∂y ∂z

dV

と書けるということだ。この積分のカッコの中がごちゃごちゃしているが、 見通しを良くするためにベクトル T x を導入して、   1 T x = ε0 Ex2 − E 2 , Ex Ey , Ex Ez 2



と置けば、

Fx =

divT x dV

という形式になっているのである。この右辺はガウスの定理を使って面積 分に変換してやることが出来て、  Fx = T x · n dS と書ける。この式から T x の物理的意味を知ることが出来る。T x · n の部 分は領域 V を囲む面の単位面積あたりの力、つまり圧力（の x 成分）を示

151

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

している。n は面に垂直な方向のベクトルであって、これとの内積を取る ということから、T x の x, y, z 成分が、それぞれ閉曲面の向きが x, y, z 方 向を向いているときに表面に加わる圧力（の x 成分）を表している。

y 、z 成分についても同じように計算できて、  Fy = T y · n dS  T z · n dS Fz = と書ける。ただし、

Ty Tz

  1 = ε0 Ey Ex , Ey2 − E 2 , Ey Ez 2   1 = ε0 Ez Ex , Ez Ey , Ez2 − E 2 2

である。これら 3 方向についての結果をまとめてすっきり書こうと思えば、 次のような行列

⎛

⎞ E x Ey E x Ez ⎟ Ey2 − 12 E 2 E y Ez ⎠ 1 2 2 Ez E y Ez − 2 E ⎛ ⎞ Fx ⎜ ⎟ F = ⎝ Fy ⎠

Ex2 − 12 E 2 ⎜ T = ε 0 ⎝ Ey E x E z Ex ⎞ ⎛ nx ⎟ ⎜ n = ⎝ ny ⎠ nz

Fz

を定義してやることで、行列の演算規則を使って次のように簡単に書ける ことになる。

 F =

T · n dS

この行列 T が「マクスウェルの応力テンソル」と呼ばれているものであ る。 以上の議論から、電荷に働く力をある領域の表面に働く応力の合計とし て表すことが出来ることが分かった。これは電荷同士に直接力が働くとい

152

3.6. 電磁波の運動量（前編）

う考え方ではなく、空間の電場を通して力が伝わるという解釈が可能であ るということを示している。 応用的なことにはあまり手を出さないという方針なのでここでは詳しく 話さないが、電荷の間のマクスウェルの応力の形を詳しく調べると、ちょ うど電場の向きには引き合う力が働いており、その垂直方向にはお互いに 斥け合う向きの力が働いていることが分かる。これはまるで電荷の間に電 気力線と呼んでも良いような弾性体が存在しているようである。以前の説 明の中で「電気力線や磁力線の概念はファラデーによって考えられた仮想 的なものであって、ガウスの法則を立てるための役には立ったものの電場 や磁場の概念が確立した後は必要がなくなった」という話をしたが、こう なると全くの仮想的な概念というわけでもないようだ。なぜなら電場の概 念から「電気力線」の性質を数学的に導くことが出来るからである。その 導き方について詳しくは第 4 章で説明しておいたから興味のある人は読ん でみてほしい。（→ 228 ページへ） では電気力線は本当は実在なのかと言えば、答えるのは難しい。実在と 言うのは何をもって実在と言うのか。例えば原子は実在だろうか？ 原子と 言えどもそれより低い階層の存在から数学的に説明がついているに過ぎな い。もし原子は実在であると言うなら同じ意味で電気力線も実在であると 言ってもよいだろうし、原子は数学的に示される現象に過ぎないというな ら、電気力線の存在も同じようなものである。念のため注意しておくが、 ここで言っている電気力線というのは本数を数えられる糸のようなもので はなくて、ゴムのような弾性体が空間をぎっしり埋め尽くしているイメー ジに近いものである。

3.6

電磁波の運動量（前編）

ここに来てようやく第 1 章から持ち越してきた疑問に答えることが出来 る。果たして電磁気学的現象において運動量保存則は成り立っているのか。 日常のほとんどの力学的現象は元を正せば電磁気学的なものであるので、 もちろん成り立っていなければおかしい。逆にもし電磁気的現象では必ず 運動量保存が成り立っているという論理的な答えが得られたならば、ほと んどの力学的現象に説明が付くことになる。

153

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

運動量保存が成り立っているかどうかを調べるためには運動方程式を作っ てやればいい。まずは本質を理解できればいいので、思い切り簡単な場合 から始めよう。必要ならば後で拡張してやればいい。 電荷を持った 2 つの粒子のみが存在する場合を考える。それぞれの質量 を m1 , m2 とし、それぞれの電荷を q1 , q2 とする。粒子 1 は粒子 2 が作る 電場 E 2 によって力を受けるし、粒子 2 が運動することによって生ずる磁 場 B 2 によっても力を受けることになる。この状況を式で表せば、

m1

d2 x dx1 = q1 E 2 (x1 ) + q1 × B 2 (x1 ) dt2 dt

のようになる。これくらいのことを論じるようになると、運動方程式と言っ ても F = ma などという子供騙しの表現は使っていられない。今回の話は このやり方が理論を展開する上で非常に便利であることを示す良い機会に なるだろう。 この式を粒子の位置で表してやろう。粒子 2 の作る電場 E 2 と磁場 B 2 はそれぞれ次のように表せる。

E 2 (x)

=

B 2 (x)

=

q2 x − x2 4πε0 |x − x2 |3 q2 μ0 dx2 x − x2 × 4π dt |x − x2 |3

これを上の式に代入して次のようになる。

m1

d2 x1 q1 q2 x1 − x2 q1 q2 μ0 dx1 = + × 2 3 dt 4πε0 |x1 − x2 | 4π dt



dx2 x1 − x2 × dt |x1 − x2 |3



もう一方の粒子 2 の運動方程式は立場が逆になっただけで同じ形をして いる。

m2 154

d2 x2 q1 q2 x2 − x1 q1 q2 μ0 dx2 = + × dt2 4πε0 |x2 − x1 |3 4π dt



dx1 x2 − x1 × dt |x2 − x1 |3



3.6. 電磁波の運動量（前編）

これらの式の両辺をそれぞれ足してやれば、とりあえずそれぞれの右辺 の第 1 項目が打ち消されて、

d2 x1 d2 x2 + m2 2 2 dt dt     dx2 dx1 q1 q2 μ0 dx1 x1 − x2 x2 − x1 dx2 × × × × + 4π dt dt |x1 − x2 |3 dt dt |x2 − x1 |3

m1 =

となるが、まずはこの左辺に注目しよう。これを変形して時間微分を引っ ぱり出してやれば次のようになる。

d dt

 m1

dx1 dx2 + m2 dt dt



このカッコの中身は「質量×速度」であり、今考えている範囲での全運 動量 p を表すことになる。よって、もしこの式の右辺すなわち力の合計が

0 であるならば dp =0 dt であって、運動量が保存していることになる。だから電磁気学で運動量保 存が成り立っているかを知りたければ、先ほどの式の右辺を計算して 0 に なるかどうかを見てやればいい。 このように微分を使った表現にしておけば、運動方程式を変形してやる だけで運動量保存則の表現に簡単に移行できるのである。 残念ながらこの式の右辺は 0 にならない。納得できるように出来る限り 簡単な形式にまでまとめておこう。

    dx2 dx1 q1 q2 μ0 dx1 x1 − x2 x2 − x1 dx2 × × × × + 4π dt dt |x1 − x2 |3 dt dt |x1 − x2 |3      q1 q2 μ0 = v × v × (x − x ) + v × v × (x − x ) 1 2 1 2 2 1 2 1 4π|x1 − x2 |3      q1 q2 μ0 = v × v × (x − x ) − v × v × (x − x ) 1 2 1 2 2 1 1 2 4π|x1 − x2 |3 右辺の第 1 項目と第 2 項目は絶対値は等しいがベクトルの向きが異なる ので差は 0 にならない。これは運動量保存則が成り立っていないというこ

155

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

とであり、すなわち、2 つの粒子の間には作用反作用が成り立っていない ということである。 現代の我々はこんな結果になった理由を知っているが、電磁波の存在を 知らなかった頃にはこのことが議論の的になった。このようなおかしな結 果になるのは「場」などという不必要で空想的な存在を考えたからであっ て、やはり「直接働く力」に立ち返るべきじゃないのか、といった批判が行 われた。しかしこの批判は的外れであり、実際には電磁波が運動量を持っ て行っていることが分かっている。このことは実験的に確認されているだ けでなく、理論的にも導かれている。歴史的には理論の方が先であった。 （参考）理論： ヘヴ ィ サイド、ポインテ ィ ング（1885 年） 実験： レベデフ（1899 年） 先ほどの計算で運動量保存が成り立たなかった理由は二つある。一つは 左辺のカッコ内に入るべき量として粒子の運動量しか考えておらず、電磁 波の運動量が考慮されていないことである。そしてもう一つはそれぞれの 粒子の周囲に存在する自己場を考慮に入れなかったことである。この二番 目の理由がある為に、右辺に残った値を無理やり時間微分の形にして左辺 のカッコ内にねじ込んでしまい、「この部分が電磁波の運動量を表します」 と言うことさえ出来なくなっている。 自己場の必要性についての説明をどこに入れようかと思っていたが、丁 度良いのでここで簡単に触れておこう。細かいことは後で補足するつもり である。自己場の導入理由は難しく考えなくてもよい。粒子が加速運動す れば、粒子の周りにある電場に変位が生じる。するとそれに合わせて磁場 が発生し、その磁場は電場を生み、その連鎖が電磁波となって光速で飛び出 してゆくのであった。そしてすでに確かめたように、電磁波はエネルギー を持っている。よって自己場を考慮に入れなければ、簡単にエネルギー保 存則も成り立たなくなってしまう。もはや場というのは単なる便宜的なも のではなくて、理論を立てる上で不可欠な独立した存在であるらしい。 次節後編では今回の失敗を活かして「電磁波は運動量を持つ」とはっき り断言できるだけの根拠を導くことにしよう。これは「粒子だけを考えた のでは運動量保存が成り立たなくておかしいから電磁波が残りの運動量を 持って行っていると考えよう」というお気楽な発想で導かれるものではな

156

3.7. 電磁波の運動量（後編）

い。ちゃんとした物理的考察の結果として導かれるのである。 私は以前に力学の説明の中で、 「運動量保存則が成り立っているのは経験 則に過ぎない」と書いたものの、これによって運動量保存則をもっと低い レベルから論理的に説明できる可能性があるわけだ。これは前の私の説明 が間違っていたというわけではなく、運動量保存則を電磁気学の問題にす りかえる事が出来たというだけの話である。電磁気学自体が経験則である 以上、根本的解決になったわけではない。それでも、より低いレベルから 説明できればそれだけ問題が減ってすっきりした物の見方が出来るように なるので嬉しいではないか。 ただ残念ながらこれで力学の全ての問題を電磁気学に還元したことには ならない。重力や、原子核内で働いている「強い力、弱い力」などでも運 動量保存則が成り立っている理由についてはまたそれぞれ別に調べなけれ ばならないのである。

3.7

電磁波の運動量（後編）

前節では電磁的な現象において運動量保存が成り立っているかを調べよ うとして行き詰まってしまった。これは、式の変形を粒子のみに注目して 行ったために、結果として電場や磁場の存在を無視する形になり、物理的 解釈が難しくなってしまったこと、自己場を考えなかったことが原因であっ た。今回はこの反省を活かして、電場や磁場の存在を取り入れた形で変形 を行うことにする。 前節では基本的なやり方を理解するという目的があったので 2 粒子系に 限って話をしたが、すでに考え方は理解できたはずなので今回はちまちま した議論は抜きにしていきなり一般的に成り立つ話をすることにしよう。 まず質量 m、電荷 q の粒子の運動方程式を書く。粒子の位置を z とする。

m

d2 z = dt2

 dz q δ(z − x)E(x) + q δ(z − x) × B(x) dx dt 157

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

右辺は δ 関数が入ってごちゃごちゃしているが、意味はとても簡単であ る。δ（デルタ）関数を知らない人のために第 4 章に説明を入れておいたの で気になる人はそちらを読んで頂きたい。（→ 220 ページへ）

dx と書いた記号は本当は dV と書きたかったのだが、上の式では座標 として z と x の二通りが出てきており、ここでは x の座標で積分するとい う意味であることをはっきりさせるために敢えてこの書き方を選んだ。区 別する必要がなくなれば dV と書き直すことにしよう。 右辺の積分は全体積 dx について連続的な和をとるという意味であって、 その範囲内での位置 x が粒子の位置 z と一致するところでのみ、qE+qv×B の力が働いているというだけのことだ。 これを多数の粒子の場合に拡張すれば、



mi

i

=

d2 z i dt2

 

qi δ(z i − x)E(x) +

i

 i

 dz i × B(x) dx qi δ(z i − x) dt

となる。ここで E や B は全ての粒子が作り出している電場と磁場である。 すなわち、それぞれの粒子にとっての自己場もちゃんと含まれているとい うことであり、これはとても重要なことである。これからこの式を変形し てゆく。

δ 関数をうまく使って電荷密度や電流密度を表すと、ガウスの法則やア ンペール・マクスウェルの法則は次のように書ける。

divD(x) =



qi δ(z i − x)

i

rotH(x) −

∂D(x) ∂t

=

 i

qi δ(z i − x)

dz i dt

これを先ほどの式に代入すれば、

 i

mi

d2 z i dt2

 

 ∂D(x) = E(x)divD(x) + rotH(x) − × B(x) dx ∂t 158

3.7. 電磁波の運動量（後編）

となる。すっきりした形になって一安心であるが、右辺に含まれる時間微 分を取り出して左辺と一緒にしたいので、また少々面倒な形に変形するこ とになる。右辺を展開してやって、ついでに関数の引数を表す後ろのカッ コはもうあまり区別する必要がないので取ってやることにしよう。

 ∂D × B dV EdivD − B × rotH − ∂t この積分の中の第 3 項目は ∂D d − × B = −D × rotE − (D × B) ∂t dt と変形できる。なぜなら、 d ∂D ∂B (D × B) = ×B + D× dt ∂t ∂t であり、この式の最後の ∂B/∂t はファラデーの誘導法則より、−rotE だ からである。 それでここまでの結果は次のようになる。 =

 i

mi

d2 z i dt2

 d = EdivD − B × rotH − D × rotE − (D × B) dV dt これで先ほど言った時間微分を取り出すという目的は果たせた。ついで に D を E に、H を B に変換すれば右辺の記号が減って少しすっきりす るので、似たもの同士を集めて整理してやることが出来る。

=

 d 1 ε0 (EdivE − E × rotE) − B × rotB − ε0 μ0 (E × H) dV μ0 dt

最後の時間微分の項は左辺に移動して一緒にまとめておいてやろう。こ れがやりたかったのだ。ついでに ε0 μ0 = 1/c2 の関係も使うことにする。

   1 d  dz i + 2 (E × H) dV mi dt i dt c

 1 B × rotB dV = ε0 (EdivE − E × rotE) − μ0 159

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

右辺をよく見ると、E ばかりの部分と B だけの部分は何か似た形式に なっている。そこで、もっと似た形になるように B divB という項を新し く書き加えてやってもいい。なぜなら、どうせ divB = 0 だからである。

   d  dz i 1 mi + 2 (E × H) dV dt i dt c

 1 (BdivB − B × rotB) dV = ε0 (EdivE − E × rotE) + μ0 これが欲しかった式である。後はじっくりこの意味を考えることにしよ う。



m ddtz の部分が全粒子の運動量を表していること についてはもう説明は要らないであろう。するとすぐ隣の第 2 項の部分は 運動量と同列に数えられる何らかの量であり、それが電場や磁場で表され ている事から、きっとこれが電磁場の運動量を表しているに違いないと容 易に推測できる。実際、積分の中身は「ポインティングベクトル」になっ ており、これは電磁波の進む方向を表しているのであった。電磁波の運動 量を表すのにこれ以上ふさわしい表現はないだろう。 それよりも今は右辺が気になるところだ。運動量保存の式を作るために は右辺が 0 にならないと困るのである。 まず左辺の第 1 項、

右辺の積分の中の第 1 項には見覚えがあるはずだ。このためにわざわざ マクスウェルの応力を事前に説明しておいたのである。右辺の第 1 項目だ けを取り出すと

 ε0 E divE dV

であり、これは積分領域内にある荷電粒子が積分領域外から受ける力の合 計を表しているのであった。すると第 2 項目も力を表す何かであろうが、 一体何を表すのだろうか？ これは第 1 項目と合わせて考えるのがよい。前 にマクスウェルの応力を求めたときには話を静電場に限ったが、第 2 項目 を加えることで電場が変動する場合にも同じ解釈が適用できるようになる 可能性が高い。第 2 項目には rotE が含まれているが、静電場の場合には

rotE = 0 の法則があるのでこの項が消えてしまっていただけなのだろうと 考えられるわけだ。 160

3.7. 電磁波の運動量（後編）

この推論が正しいことを示すために、これらの項を以前と同じように成 分に分けて調べることにする。とりあえず第 1 項と第 2 項だけを取り出し て、その x 成分を見てみることにしよう。

(EdivE − E × rotE)x   ∂Ex ∂Ey ∂Ez = Ex + + − Ey (rotE)z + Ez (rotE)y ∂x ∂y ∂z       ∂Ex ∂Ey ∂Ex ∂Ey ∂Ez ∂Ex ∂Ez = Ex + + − Ey − + Ez − ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂Ex ∂Ey ∂Ez ∂Ey ∂Ex ∂Ex ∂Ez + Ex + Ex − Ey + Ey + Ez − Ez = Ex ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x まずここまでは意味に従って展開しただけだ。これをこれからの変形が 分かりやすいように並べ替えてやる。

∂Ex ∂Ey ∂Ez − Ey + Ez ∂x ∂x ∂x ∂Ey ∂Ex + Ey +Ex ∂y ∂y ∂Ez ∂Ex +Ex + Ez ∂z ∂z

= Ex

ここで、第 1 項 Ex (∂Ex /∂x) は以前にやったように 12 (∂Ex2 /∂x) と変形 できるし、第 2、第 3 項も同様である。そして第 4、第 5 項は一つにまとめ られ、第 6、第 7 項も同じように一つにまとめられる。

=

1 ∂(Ex2 ) 1 ∂(Ey2 ) 1 ∂(Ez2 ) ∂(Ex Ey ) ∂(Ex Ez ) − − + + 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂x ∂y ∂z

今回の変形は前にマクスウェルの応力をテンソル形式に変形したときと 違って、技巧的なことをする必要もなく非常に楽に進む。以前はわざわざ

rotE = 0 の条件を導入して変形したのだった。今回はその必要がない。後 は前と同じちょっとした工夫をして体裁を整えればいいだけである。 =

∂(Ex2 ) ∂(Ex Ey ) ∂(Ex Ez ) 1 ∂(E 2 ) + + − ∂x ∂y ∂z 2 ∂x 161

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

するとどうだろう。結果は前に求めたマクスウェルの応力の x 成分と全 く同じ形に落ち着くのである。

y 成分、z 成分についても全く同じになる。このことが意味するのは、160 ページの上の式の右辺の第 1 項と第 2 項を合わせたものが静電場について 求めたマクスウェルの応力テンソルと全く同じ形をしており、同じ概念を 静電場以外にも拡張して良いということである。 ここまで来れば B で表された残りの第 3、第 4 項の解釈も簡単である。 これらは全く同様に計算してやることができ、磁場によって領域内の電荷 が受ける力を表していると考えられる。電荷が運動していない状況では電 荷は磁場から力を受けることはないので、静電場について計算した時には これらの項について考えることもしなかった。マクスウェルの応力テンソ ルの真の姿は、次のように磁場も含んだ形で表されるものだったのだ。 T = Te + Tm ただし、

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ T e = ε0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

Tm

1 = μ0

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

Ex2 − 12 E 2

Ex E y

E x Ez

E y Ex

Ey2 − 12 E 2

E y Ez

E z Ex

Ez E y

Ez2 − 12 E 2

Bx2 − 12 B 2

Bx By

Bx Bz

By Bx

By2 − 12 B 2

By Bz

Bz Bx

Bz By

Bz2 − 12 B 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

である。この表現を使えば、電磁場の運動量の式は     d  dz i 1 mi + 2 (E × H) dV = T · n dS dt dt c i

とまとめられることになる。

162

3.7. 電磁波の運動量（後編）

静電場のマクスウェルの応力と同じ解釈を適用すれば、右辺は結局、外 部からの力を表しているものであるということになる。もし外部からの力 がなければ右辺は 0 になり、運動量保存が満たされると言えるわけだ。 しかし残念ながらこの場合、右辺が「外部からの力」を表すという解釈 はすでに成り立っていない。領域内の電荷が運動すると結果として電磁波 が発生し、すぐに領域の表面を越えて外部へ出て行ってしまうだろう。す ると領域内の電磁波の持つ運動量は減少することになる。するとそれに合 わせてこの式の右辺は 0 ではなくなる。右辺にはこのような場合の運動量 の単位時間あたりの変化も含まれているのであって、これは「外部からの 力」とは言えない。これは電磁波が出て行ったことによる反動を意味して いる。 一般の場合にはこのようなことがしょっちゅう起こるので右辺が 0 にな るなどということは滅多に期待できない。では

dp dt

= 0 のような形でのはっ きりした運動量保存則は示せないのであろうか。どうやらそのようである。 もし領域として宇宙全体を考えれば、電磁波がこの宇宙を出てゆくことが ないので右辺は常に 0 になっているだろう。宇宙全体では電磁現象による 運動量が保存していることになる。しかし宇宙が閉じているというのはま だはっきり分かったわけではないので、このような領域を設定するのはか なり無茶な仮定かも知れない。あるいはこういうことは言えるかも知れな い。領域外に何もないとする。その場合に、電磁波が領域の外へ飛び出して ゆくまでのごく短い時間を考えるなら、右辺は 0 になっているだろう。そ の間に限っては領域内の運動量保存則は成り立っていることになる。すっ きりしないかも知れないがこれが電磁場を含む運動量保存則の姿なのであ る。 ところで、右辺のマクスウェルの応力による表現だが、静電場の場合に は外部の電荷が作る電場から受ける力という解釈で良かった。しかし一般 の場合にはこれに「電磁波の持つ運動量による反作用」が加わるのである。 二通りの現象が、電場と磁場によってまとめて表現できてしまうのはなぜ だろうか？ 例えばこう考えてはどうだろう。電場や磁場というのは空間に加わる歪 み具合を表している。その歪みの応力がマクスウェルの応力として表現さ れているのである。電磁波はその名の通り電場と磁場の波であるから、領

163

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

域の境界を通過する際に、境界上の電場や磁場が揺さぶられることになる だろう。当然、空間の応力に影響を与えるわけだ。こうして「力」が静電 場による場合にも光の移動によって生じる場合にも、電場や磁場による表 現で統一的に表されるということが納得できた。 しかしこれによって逆の解釈も可能なのではないだろうかと思えてくる。 光が運動量を持つことによって生じる「力」を電場や磁場を使って表現で きたわけだから、逆に電場や磁場の存在そのものを光の運動量で説明して やるということである。 「力学」で説明したように、力とは運動量の時間変 化のことである。ところで力のやり取りは静電場を通しても行われている のであるが、この力の正体は光であって、そこでは光のやりとりが常に行 われているのではないだろうか。ただそれが観測にかからないだけであろ う。ここではこれ以上踏み込まないが、この考えは量子電磁力学でいうと ころの「仮想光子」の概念に非常に似ている気がする。なぜ踏み込まない のかと言えば、古典論では理論的準備がないためにまだ踏み込めないので ある。しかしとにかく、こういう話から量子電磁力学にも興味を持って頂 ければ嬉しく思う。 左辺は領域内の全運動量の時間微分であり、右辺は「力」を表している ということが分かった。これは、ニュートンの運動方程式

dp =F dt と同じ形である。電磁波はもはや仮想的な概念ではなくて、物質と同じよ うな運動法則に従う確かな「存在」であると捉えることができる。ただ少 し違うのは「質量」の概念が含まれていないことだ。しかし「質量とは何 か」という疑問が晴れれば、ニュートンの運動法則が成り立っている理由 を電磁気学で説明できるのかも知れない。

3.8

エネルギーと運動量

前節で、ある領域内にある電磁波の持つ運動量が、

1 c2 164

 E × H dV

3.8. エネルギーと運動量

と表されることが導かれた。これはすなわち、電磁波の単位体積あたりの 運動量が

1 E×H c2 であることを意味する。この w を「運動量密度」と呼ぶ。これはまさに、 電磁波のエネルギーの説明のところで出てきた「ポインティング・ベクト ル」を c2 で割ったものである。 ポインティング・ベクトルというのは、単位時間当たりに単位面積を通過 する電磁波のエネルギーを意味するのであった。これにより電磁波の、運 動量とエネルギーの関係を導くことが出来そうだ。 電磁波は単位時間あたりに距離 c だけ進むので、単位面積と距離 c をか けた体積内に存在する電磁波が、単位時間に単位面積を通って駆け抜ける ことになる。つまり、ポインティングベクトルの絶対値をこの体積で割っ てやれば電磁波の「エネルギー密度」を表すことになり、それは 1 u = |E × H| c と表される。 これらから、電磁波の運動量密度とエネルギー密度の間には w=

u = c|w| の関係があることが分かる。あまりにも見事なすっきりした関係である。 運動量とエネルギーを別概念として捉える必要などないのではないかと思 えるほどだ。 アインシュタインは金属に光を当てたときに発生する電子についての考 察から、光は波ではなくて粒として存在するのではないか、という結論を 得た。これは量子力学の範囲の話になってしまうが、電磁気学の中では確 かに波として扱われている電磁波が、実は粒子として振舞っていると考え なくては説明の出来ない現象があるわけだ。 運動量密度とかエネルギー密度とかいう概念は量子力学では光の粒が持 つ運動量とエネルギーという概念で置き換えられることになる。この光の 粒を「光子」と呼ぶ。光子がエネルギー E と運動量 p を持っており、その 間には

E = c|p| 165

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

という関係があるとしておけばそれまでの電磁気学に関する実験結果を説 明するのに矛盾がなくなるだろう。 この関係は相対性理論の結果からも導かれるのだが、その点は見事であ り、あまりにも美しい。たとえ単位の次元からそのような形になるだろう という予想がついたとしてもだ。 「相対性理論は間違っている！」と声高に 主張する人々が世の中に多くおり、何も知らない人々は声の大きい人に従う 傾向があるのだが、そういう人々は相対性理論が電磁気学の構造と深い関 わりを持った理論であって、容易には否定できないことを悟るべきである。

3.9

電磁ポテンシャル

ここまでで電場と磁場の性質がマクスウェルの方程式という簡単で美し い形式でひとまとめで表され、電磁場を理解するのに大変役に立つことが 分かった。 しかしこの式に出てくる電束密度 D や磁場の強さ H は多数の粒子の振 る舞いを近似するためのものであり、何が本質なのかを探る場合にはこの ような余計な表現に惑わされてはいけないということも見えてきた。 すなわち、応用を考えないのであれば電場を表す 3 成分 E(Ex , Ey , Ez ) と磁場を表す 3 成分 B(Bx , By , Bz )、さらにそれらの間の関係を表す以下 の 4 つの方程式さえあれば本質は言い表されていることになる。

∂B ∂t ∂E rotB − ε0 μ0 ∂t divE rotE +

divB

=

0

= μ0 i = ρ/ε0 =

0

この表現はこれ以上簡単にならないだろうか。つまり、電磁気の現象が このように表せるもっと根本的な理由に近付くことは出来ないのだろうか。 例えば静電場 E は 3 成分のベクトルであるが、初めの方でやったように 静電ポテンシャル φ を定義してやれば 1 成分で済む。静電場の 3 成分はこ の φ をそれぞれ x, y, z で微分してやることで導くことが出来るのであった。

166

3.9. 電磁ポテンシャル

 E=

∂φ ∂φ ∂φ − , − , − ∂x ∂y ∂z



この φ は見ることが出来ず触れることもない抽象的概念ではあるが、そ ういう意味では電場も磁場も似たようなものである。そこでひょっとして この φ の方が電場よりももっと低い階層に位置する要素であって、電磁場 の本質に近い何かを表しているのではないかと考えることも出来なくはな い。ただの抽象的概念かも知れないが、あるいは「実在」かも知れないの だ。 そこでこのような思想の元に、マクスウェルの方程式をもっと簡単な形 にまとめられないかともがいてみる事にしよう。 以前磁場の説明のところで出てきたベクトルポテンシャル A を思い出し てもらいたい。これはもともと磁場の積分計算を楽にするために発案され たテクニックであった。 このベクトルポテンシャル A と磁場との間に

B = rotA という関係があると仮定することによって、マクスウェルの方程式の一つ である divB = 0 は自動的に満たされることになる。div rotX の形式は必 ず 0 になるからである。 もし磁場の代わりにこのベクトルポテンシャルを物理的実在として扱っ てやることにすれば、divB = 0 が成り立つのは当たり前のことであって、 わざわざ法則の一つとして並べる意味はない。こうして法則が一つ消せる のである。 ただ一つの心配は、この A に物理的な意味があるのかどうかだ。本当に そのような存在があるのか、あるいは単なる数学上のトリックを使って喜 んでいるだけなのか。 もしそれが「在る」とすれば、我々がこれまで「磁場」だと思っていた ものはベクトル A が渦を巻いた状態を間接的に観測していたことになるわ けだ。我々はその渦を直接観測は出来ないが、磁場のあるところでは何か が渦を巻いていることになる。

167

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

不安はあるが勇気を持って先へ進もう。 我々は先ほどのベクトルポテンシャルをとりあえず受け入れることにす る。そして B = rotA の関係をマクスウェルの方程式の一つである、

rotE +

∂B =0 ∂t

に代入してやろう。

rotE + これはまとめて、

∂rotA =0 ∂t

  ∂A rot E + =0 ∂t

と書ける。ここでまた数学的トリックを使ってやるのだ。もし、このカッ コの中を −gradφ と置いてやれば、上の式は必ず成り立つことになる。な ぜなら、rot gradX の形式は必ず 0 になるからである。grad の前にマイナ スを付けたのは、E = −gradφ の形式を含ませることで、かつて出てきた 静電ポテンシャルを一般化したものとしての意味を φ に持たせたいからで ある。 すなわち、電場を

E = −gradφ −

∂A ∂t

と表すことで、さらにもう一つの式も成り立つのが当然だという事になり、 わざわざ法則として存在する意味が失われたということである。これで 4 つあったマクスウェルの方程式が 2 つになった。 本当にこんな「人為的なこと」をしてもいいのだろうか、と不安になる かも知れない。しかしここまでで論理的に間違ったことは何もしていない。 この φ と A を導入することで論理的な矛盾さえ起こらなければ良いのであ り、残った 2 つの式にも上の関係を代入してこれまで通りマクスウェルの 方程式が成り立っていさえすれば本当に何も問題はないのである。そのた めにこの φ と A がどのような条件に縛られなければならないかを求めるこ とにしよう。そしてその条件こそ、φ と A で表される「新しいマクスウェ ルの方程式」になるわけだ。

168

3.9. 電磁ポテンシャル 何度も「φ と A」と繰り返すのは面倒になってきた。この 2 つをまとめ て「電磁ポテンシャル」と呼ぶので今後はこの用語を使うことにする。 電磁ポテンシャルで表される新しい方程式がどのような形になるのか大 変興味がある。早速それを求めてみることにしよう。生き残った「古い」マ クスウェルの方程式は次の 2 つである。

∂E ∂t divE

rotB − μ0 ε0

= μ0 i = ρ/ε0

ここに先ほどの条件を代入することで E と B を消してやればいい。ま ず上の式から行ってみよう。全く難しいことは必要ないので途中の変形を 省略すれば、     ∂2 ∂φ = −μ0 i  − ε0 μ0 2 A − grad divA + ε0 μ0 ∂t ∂t となる。ここで、rot rotX = grad divX − div gradX という公式を使っ た。また、div gradX はラプラシアンを使って X と書いてある。 そして 2 番目の式も簡単に、

φ + div

∂A = −ρ/ε0 ∂t

と計算できる。 さて、確かに式の数は減ったが、こんなごちゃごちゃして意味が分かり にくい式は到底受け入れられないと感じているかも知れない。私もそう思 う。こんな面倒な式のままでは解説もしたくない。しかしこの次の話で出 てくる「ゲージ変換」をうまく利用することで、この式を劇的に簡単で美 しい形に変形できるのである。そうすればこの式の物理的意味がはっきり するであろう。それまでもうしばらく辛抱してもらいたい。 電磁ポテンシャルは単なる数学的技巧に過ぎないのか、それとも物理的 に意味を持つ存在なのか？ これはマクスウェル以降 100 年近くも議論され てきたことである。実はマクスウェルが初めに電磁波についての論文を書

169

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

いたとき、すでにこの電磁ポテンシャルを使った形式で書かれていたのだ。 天才というのはすごいと思う。 ところが、多くの人はこの意味を理解できなかった。そこでヘルツやヘ ヴィサイドなどが、「実際に観測可能なものしか認めるわけには行かない」 という姿勢を取って、現在よく知られている形のマクスウェル方程式に書 き直したのである。そのお陰で電磁気学は大変分かりやすくなった。 （ある 意味、退歩したのかも・ ・ ・） さて、1960 年代に入ると、アハラノフとその師ボームが「アハラノフ・ ボーム効果（AB 効果）」として知られる現象が起こり得ることを理論的 に示した。これは量子力学的な現象であって、電子がベクトルポテンシャ ルの場の中を通過する時には電子の波動としての性質が影響を受けてその 位相にズレを生じるであろうというものである。 この現象は 1980 年代になって日立基礎研究所の外村彰（とのむら・あ きら）氏によって実験的に確かめられた。この話が伝わってきたのはちょ うど私の学生時代のことであって、かなり盛り上がっていた。講演会にも 度々出席した。 この実験を簡単に説明すると次のようなものである。リング状になった 微小な磁性体の周りを超伝導体でコーティングしたものを作り、マイスナー 効果によりリング内の磁場が外部に漏れないようにしておく。そしてこの リングの内側と外側の別経路で電子を飛ばしてやる。これらを再び一つに 重ね合わせることで干渉縞を作ってやり、両者の位相のズレを見るのであ る。位相が同じ部分は強め合うし、ずれていれば電子ビームは弱くなる。 その結果、リングを抜けてきた電子ビームと外側を通ってきたビームの間 に位相のずれが出来ることが分かった。このどちらの経路上の磁場も 0 で ある。にも関わらず、両者のズレは確かに確認された。2 つの経路で異な るのは、途中のベクトルポテンシャルの状態である。 すなわち、磁場がなくともそこにベクトルポテンシャルが独立して「存 在」することが示されたのである。電子はこの存在を感じているのである。 この結果により、今や大半の科学者が電磁ポテンシャルは仮想的存在な どではなく、物理的に意味のある存在だと考えるようになったようである。 本当に、ほんのついこの間まではこのことが謎だったのだ。 量子電磁力学という電磁気学に量子力学を取り入れた分野では、もはや 電場や磁場などを直接扱うことをせず電磁ポテンシャルを基にして議論し

170

3.10. ゲージ変換

ている。この理論は素粒子の振る舞いについて大成功を収めていたにも関 わらず、その基礎とするものが物理的に確かに存在するものかどうかとい う点で不安があった。このことが分かったことによる精神的な支えは大き い。私も安心してこの路線で突き進むことにしよう。

3.10

ゲージ変換

前節の内容は非常に短くまとめられる。電場と磁場によって表現された マクスウェルの方程式を、

B

= rotA

E

= −gradφ −

∂A ∂t

の関係を仮定して、φ と A による表現に書き直し、     ∂2 ∂φ = −μ0 i  − ε0 μ0 2 A − grad divA + ε0 μ0 ∂t ∂t ∂A φ + div = −ρ/ε0 ∂t という 2 つの式にまとめることが出来た。しかしこの式ははっきり言って 何を表しているのか分からない。もっと簡単にならないのだろうか、とい うところまで話したのであった。今回はこの式を分かりやすい形に変形し てやる話である。 電場や磁場による表現から電磁ポテンシャルの表現へと変換するときに 一つ気になることがある。それは電場と磁場が決まれば、電磁ポテンシャ ルの形はただ一つに決まるのだろうか、ということだ。科学者というのは 「うまく行くならまぁ何でもいいや」では納得できない性分を持っており、 「これでなくてはいけない」という確かな理由がないと不安なのである。 しかし、物事はいつも確実に決まるわけではない。電磁場と電磁ポテン シャルが一対一に対応しないことはすぐに分かる。例えば上の変換で、任 意の微分可能な関数 χ を使って、A の代わりに

A = A + gradχ 171

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

という量を使ってやっても同じ B が実現する。なぜなら rot gradX の形式 は必ず 0 になるからである。 しかしこれだけでは A を A にしたことによる影響は電場を求めるとき に出てきてしまうだろう。E を求めるときの変換に A の時間微分が入って いるからである。しかし、A を代入したときに出てくる gradχ の時間微分 をうまく打ち消すように φ についても次のような変換を使ってやれば、電 場 E にも影響を与えないで済むだろう。

φ = φ −

∂χ ∂t

このことから、ある E 、B の組を実現する φ、A の組み合わせは無数に 考え出せるということが分かる。この (φ, A) から (φ , A ) への変換を「ゲー ジ変換」と呼ぶ。 この言葉の由来であるが、昔、科学者たちが電磁場と重力場の統一をし ようとがんばった時期があり、その時に作られた仮説の一つに、この変換 を行うことによって時空の物差し（ゲージ）の長さが変化すると考えよう、 とするものがあった。結局その理論は失敗に終わったのだが名前だけが残っ たというわけである。いや、正確に言えば残ったのは名前だけではない。そ のときの理論構造は「ゲージ理論」としてその後の理論に受け継がれてい る。それについてはまたいつか機会があれば話すことにしよう。 さて、このゲージ変換の 2 つの式をマクスウェルの方程式に代入してみ ると分かるが、うまい具合に χ は消えてしまって全く同じ形式の方程式が 残る。変換後の (φ , A ) も同じ方程式を満たすのである。言葉を換えて言 えば、上のマクスウェルの方程式の形はゲージ変換のもとで不変なのであ る。 この性質を使って、あの複雑な電磁ポテンシャルによるマクスウェルの 方程式を簡単にしてやることが出来る。ゲージ変換しても不変である方程 式をどうやって変形するというのだろうか？ まぁ、楽しみにして頂きたい。 そもそもこの式がなぜ面倒かと言えば、一つの式の中に φ と A の両方が 含まれているからである。これでは整理も出来ないし、計算するにも連立 させてやらなくてはならない。

172

3.10. ゲージ変換

せめて、第 1 番目の式、     ∂2 ∂φ  − ε0 μ0 2 A − grad divA + ε0 μ0 = −μ0 i ∂t ∂t の第 2 項目さえ 0 になって消えてくれればこの式は次のような A だけの式 になるだろうに・ ・ ・。



∂2  − ε0 μ0 2 ∂t

 A = −μ0 i

そのためには grad の中身が 0 になってくれればいい。

∂φ =0 ∂t そう思って見てみれば、これは実はすごい事である。この式を第 2 番目 の式 ∂A φ + div = −ρ/ε0 ∂t の divA のところに代入してやれば、こちらも φ だけの式になって、しか も第 1 の式と同じ形になるではないか！ divA + ε0 μ0

  − ε0 μ0

∂2 ∂t2

 φ = −ρ/ε0

こうなったら後は何としてでも、第 1 式の第 2 項の grad の中身が 0 にな る口実を見つけてやることである。 ここまでをまとめると単純なことだ。我々は、マクスウェルの方程式を   ∂2  − ε0 μ0 2 A = −μ0 i ∂t   ∂2  − ε0 μ0 2 φ = −ρ/ε0 ∂t という美しい形に変形するチャンスを目前にしている。そのためには、次 の条件さえ満たされていればいい。

divA + ε0 μ0

∂φ =0 ∂t 173

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

この条件は「ローレンツ条件」と呼ばれている。我々はすでに弱みを握っ ている。ゲージ変換だ。この勝負もらった！

φ, A をゲージ変換によって φ , A に変換した結果、φ , A がローレン ツ条件を満たすような χ を見つけてやればいいのである。そうすれば、変 換後の φ , A は美しいマクスウェルの方程式を満たすことになる。答えは 簡単。それは次の微分方程式を満たすような χ である。



∂2  − ε0 μ0 2 ∂t





∂φ χ = − divA + ε0 μ0 ∂t



どうしてこれでいいのかと言えば、実際に計算してみるのが最も手っ取 り早い。

divA + ε0 μ0

∂φ ∂t

  ∂ ∂χ = div (A + gradχ) + ε0 μ0 φ− ∂t ∂t ∂φ ∂2χ = divA + div gradχ + ε0 μ0 − ε0 μ0 2 ∂t ∂t ∂φ ∂2χ + χ − ε0 μ0 2 = divA + ε0 μ0 ∂t ∂t この結果は微分方程式と比べてやれば分かるが、0 になる。実はそうな るように微分方程式を作っただけの話なのだが。 この χ の解が具体的にどんなものになるのか言わなくても良いのかって？ そんなことは知った事じゃない。存在することさえ言えればそれでいいの である。卑怯くさいとか言わないでくれ。 ここで行ったことの意味について誤解される可能性が高いのでもう少し 説明しておこう。 まず我々は、複雑なマクスウェル方程式を非常に分かり易く変形できる 可能性を見つけた。それにはローレンツ条件が満たされることが必要であっ た。それで変形の結果、偶然にもローレンツ条件を満たすことになるよう なゲージ変換があり得るかどうかを知りたかったのである。なぜゲージ変 換が可能かどうかにこだわるかと言えば、そのような変形をした後の φ と

A もこれまでと同じ変換式で電場 E や磁場 B に変換できることが大切だ 174

3.10. ゲージ変換

からである。よってそのような χ が存在するということだけが大事なので あって、χ についての微分方程式の形自体にはあまり大した興味はないの である。 なんだかんだ言ってもローレンツ条件は人為的に当てはめたものである。 これの物理的意味を考えてみても大した収穫はない。結局我々がやったこ とは、複雑だったマクスウェルの方程式を   ∂2  − ε0 μ0 2 A = ∂t   ∂2  − ε0 μ0 2 φ = ∂t ∂φ = divA + ε0 μ0 ∂t

−μ0 i −ρ/ε0 0

という 3 つに分離したというだけのことなのである。式の数が増えてしまっ ているではないか、と思われるかも知れないが、この方が前の収拾のつか ない状態よりは遥かにいいのではないだろうか？ この 3 組の方程式を「ローレンツゲージにおけるマクスウェルの方程式」 と呼ぶ。わざわざこんな名前が付いているということは、この他にも別の 形式のゲージがあることを意味しているのだが、本書では扱わない。 さて、ここでもう一度、初めに挙げた疑問を確認してみたい。この形式 に変換したことで今度こそ E, B と φ, A の組は一対一に対応するように なったのであろうか？ 実はまだそうなってはいない。



∂2  − ε0 μ0 2 ∂t

 χ=0

の微分方程式を満たすような χ を使って「ローレンツゲージによるマクス ウェルの方程式」に対してゲージ変換をしてやれば、やはり同じ形になっ ているからである。 （この微分方程式を導くのはとても簡単である。ローレ ンツ条件にゲージ変換を施してそれが再び 0 になるような条件を考えてや ればいいだけだ。）このローレンツ条件を満たす χ はまだいくらでもある のだ。

175

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

3.11

遅延ポテンシャル

電荷が運動した時にどのような電磁波が発生するのかを知っておきたい。 数式としてはすでに導かれてはいるのだが、そこからどのようなイメージ を思い描いたら良いものだろうか。ローレンツゲージを紹介したのはその ような話をする為である。 ローレンツゲージでのマクスウェル方程式は非常に簡単だった。前節ま で ε0 μ0 と書いていた部分を光速度 c を使って書き換えてやると、   1 ∂2  − 2 2 φ = −ρ/ε0 c ∂t   1 ∂2  − 2 2 A = −μ0 i c ∂t 1 ∂φ divA + 2 = 0 c ∂t

(1)

となる。一番目の式の意味から考えてみよう。もし右辺がなければこれは 波動方程式であり、φ の変化が光速度 c で移動することを表している。と ころが右辺に電荷密度が入っていると少し状況が変わって、変化が移動し て行かないような解も存在できるようになる。φ が時間的に変動しなけれ ば左辺第 2 項は 0 であるが、そのときは左辺第 1 項と右辺だけで釣り合っ てしまうのである。 もし左辺第 2 項がなければ、これは静電場の方程式、すなわちポアッソ ン方程式と同じものである。ポアッソン方程式の解は、φ が無限遠で 0 に なるという条件で解いた時には

φ(x) =

1 4πε0



ρ(x ) dx |x − x |

となる。これはすでに静電場の話のところで出てきたものと変わらない。 あらゆる地点に分布している電荷がそれぞれに作る電場を重ね合わせたも のである。 ところで、もっと別の状況も考えられるのではないだろうか。場所によ る φ の変化がなくて時間的変動だけがあるような解も許されそうである。 この場合には左辺第 2 項と右辺が釣り合うことになるが、これは全宇宙に 一様に分布した無限の広がりを持つ電荷が一斉に増えたり減ったりするイ

176

3.11. 遅延ポテンシャル

メージだろう。その場合の電荷は一体どこから湧いてどこへ消えるという のだろうか。このような非現実的な解には興味がないので排除することに しよう。 電荷分布に変動があると、それによって φ も変化するだろうから時間微 分の第 2 項が効いて来る。左辺第 1 項と右辺だけで取っていたバランスが 崩れて、その変化が波動方程式の性質に従い、光速度で伝わるわけだ。そ れで、解として次のようなものを想像してみる。

1 φ(x, t) = 4πε0



ρ(x , t − |x−cx | ) dx |x − x | 

(2) 

x の点にあるそれぞれの電荷からの影響は x 点に達するまでに |x c−x| 秒 の遅れがあるだろうことを考慮した式だ。x 点では色々な時間、色々な地 点にある電荷から届いた影響が足し合わされる。 ベクトルポテンシャル A についても式の形は同じなので、イメージは同 じだ。ある点で電流密度が生じたとすればその影響は光の速さで伝わるだ けの遅れが生じる。

A(x, t) =

μ0 4π



i(x , t − |x−cx | ) dx |x − x | 

(3)

これらを微分すれば電場 E や磁場 B が求まるのであり、定常電流の場 合にしか使えないという条件がついていたビオ・サバールの法則も各点か らの影響の遅れさえ考慮すれば問題なく使えることになる。 こんな単純な考察だけで新しい式を作って、それを確認もせずに使って しまっていいものだろうかと不審に思うだろう。説明が遅れてしまったが、 根拠なくやっているわけではない。何と、これらの式はちゃんと (1) の 3 つの方程式の解になっているのである。このことを確認するのはかなり面 倒な手続きが要るのでここでは省略する。気になって仕方ないという人は 専門の教科書を調べてもらいたい。 影響が光速で伝わることによる時間的な遅れを考慮して導かれるという ので、(2)、(3) 式で表される電磁ポテンシャルを「遅延ポテンシャル」と 呼ぶ。なぜわざわざこんな呼び名が付いているかと言えば、この他の解と

177

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

して、   ρ(x , t + |x−cx | ) 1 φ(x, t) = dx 4πε0 |x − x |   i(x , t + |x−cx | ) μ0 A(x, t) = dx 4π |x − x |

(4)

というものも存在するからである。この式が表す電磁ポテンシャルを「先 進ポテンシャル」と呼ぶ。遅延ポテンシャルとの違いと言えば、影響が遅 れて伝わることを表すために付け加えた部分の符号が反対になっているこ とだけである。つまり、電荷が動くよりも前になぜかその動きを知ってい たかのように存在していて、それが周囲から電荷に向かって集まってくる イメージである。 まるで、電荷分布、電流分布の影響が過去に向かって広がりながら伝わ ることを表しているかのようだ。それでアニメや SF などでは「過去との 通信機」や「ワープ」などを実現する架空の理論としてよく登場するので ある。 「先進波」と呼ばれることも多い。しかしこんな現象は現実には観測 されたことがない。他の物理的ではない解と一緒にして捨て去ってしまう のが無難である。 ここまでごちゃごちゃと話して来たが、要するに (1) の方程式の物理的 な解は (2)、(3) 式であると言いさえすれば済む話であって、こんな説明に わざわざページを割こうとしないさっぱりした態度の教科書は数多い。式 から多くの事を読み取って自分独りで楽しむことが出来る人にとってはそ れで十分なのだが、そうでない人に対して考える楽しさを伝えることはで きていないと思う。 先進ポテンシャルの解を物理的でないからと言って一言で捨ててしまう と、「まったく物理学者は自分たちに都合のいいように勝手なことをする」 と言って怒り出す人が現れる。また、 「この解の持つ重大な意味を物理学者 たちは気付くことなく無視してしまった」と心の底から信じ、 「過去との通 信機」が実際に作れるはずだと真剣に考えて、研究資金を募る人もたまに 現れる。 しかしこの解にわざわざ名前が付いているのは、過去に学者たちがこれ について熟考した証なのだ。その多くの議論の末に、後世に伝えるだけの

178

3.11. 遅延ポテンシャル

価値のある内容を要約した言葉が、 「捨てておけ、それが無難だ」というも のなのだろう。 電磁気学で有名な砂川重信先生の教科書には、「（先進ポテンシャルは） 物理的に意味を持たないように思えるが、じつはそうではない。先進ポテ ンシャルは次のような物理的意味をもっている。」として、続けて説明が 書かれている。しかし私はその考え方も初学者にはあまりお勧めしない。 その説明を軽く読んだだけでは誤解する可能性が高いからだ。 少なくともその説明の真意は、「予め先進ポテンシャルを用意しておけ ば、遠く離れたアンテナの中に望む通りの電荷分布や電流分布を惹起でき る」というものではない。そのように読めてしまうが、そうではない。あ る条件の元ではそういうことが出来ることもある・ ・ ・くらいの意味である。 そもそも、電荷は電磁波の影響を受けて運動を変化させるが、どんな場 合にでも同じ変化が起きるわけではない。その電荷を持つ物体の質量の違 いによって、反応して動く度合いに差があるだろう。だから全宇宙の電流 分布と電荷分布の初期条件と、電磁ポテンシャルを決めてやったくらいで はその後の変化は計算できないのである。 しかし質量なども全て考慮すれば予測は可能である。そして、綿密な計 画によってちょっと変わったエンターテイメントを用意することができる。 そのためには、(4) 式で求められる先進ポテンシャルと、それと完全に矛盾 のない動きをするような、質量まで考慮した電荷と電流の初期配置とを実 現してやる必要がある。こうすれば、先進ポテンシャルのように、あたか も一点に向かって集まるが如く振舞う波が実現できるだろう。そしてちょ うどその時その場所に狙ったように電荷が来て、波は奇麗に電荷に吸い込 まれていくように見える。全て計画通りだ。人為的だが、法則を破っては いない。おお、何ということ！ 先進ポテンシャルは原理的には現実のもの として作り得るのである！ 要するに (1) の波動方程式は時間反転に対して対称だから、ビデオを逆 回しにしたものを観察しても成り立っていますよ、ということである。先 ほど、砂川先生の考え方はお勧めしないと書いたが、前言撤回。予想外に 分かり易く説明できたので初学者にもお勧めすることにする。 これで先進ポテンシャルがアニメや SF の範囲の話ではなく、特殊な設 定の元で現実に起こり得る解の一つを言い表しているに過ぎないという事 が明らかになっただろう。ああ・ ・ ・夢を奪って申し訳ない。

179

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

次に、移動する点電荷が周囲にどのような電磁場を作るのかを考えてみ よう。 電荷の大きさを q 、その軌道を s(t) という位置ベクトルで表すことにす ると、電荷密度、および電流密度は次のように表すことができる。

ρ(x, t) = i(x, t)

q δ(x − s(t))

˙ = q s(t) δ(x − s(t))

s˙ というのは位置ベクトルを時間で微分したものであり、電荷の速度を 表している。これらを遅延ポテンシャルの式 (2)、(3) に代入して計算して やればいいだけの話である。計算は次のように簡単に済む。

φ(x, t) = = =

1 4πε0



ρ(x , t − |x−cx | ) dx |x − x |   δ(x − s(t − |x−x | ))

q 4πε0 1 q 4πε0 |x − s|



|x − x |

c

dx

要するに、2 行目のデルタ関数は x = s となるところ以外では 0 となる ので、3 行目ではそこだけ残した格好だ。位置 s にある電荷から発した影 響はそれより後の時刻 t に位置 x に伝わり、ポテンシャルはその影響の飛 行距離 r の分だけ 1/r の形で減衰しているという意味である。わざわざ計 算するまでもなかった。電荷は移動しながらも常に自分のいる位置につい ての「更新情報」を光速度で周囲に送り続けているようなイメージだと考 えられるわけだ。 ところが上の計算は数学的には大間違いなのである！ それどころか実 際の現象とも合わない！ 一体、この計算のどこがまずかったというのだ ろう！ ？ それはデルタ関数の扱い方である。デルタ関数の中に x が含まれている 時、このような積分には特別に気をつけてやらないといけない。デルタ関 数というのは積分すると 1 になるような分布関数を、その分布の幅を 0 に

180

3.11. 遅延ポテンシャル

まで縮めた極限として実現しているような特殊な関数であるから、そのよ うな扱いをしてやらないと論理が破綻してしまう。 しかし数学的にはともかく、物理的イメージに間違いがあったとは思え ない。計算結果までが現実と違うとなると、これまで考えてきた物理的イ メージにも何か修正が必要なのだろうか？ いや、それについてはあまり心 配は要らない。思わぬ秘密があるのである。詳しくは後で説明しよう。 この計算を数学的に正しく行う過程は少々複雑なので、興味のある人に は教科書を調べてもらうことにして、ここでは結果だけを示すことにする。

φ(x, t)

=

A(x, t)

=

1 q 4πε0 |x − s(t )| − β(t ) · (x − s(t )) ˙ ) μ0 q s(t  4π |x − s(t )| − β(t ) · (x − s(t ))

これは「リエナール・ヴィーヒェルト・ポテンシャル」と呼ばれている。 式を簡単に見せるために少し略記号が使われているが、例えば、

t = t −

|x − s(t )| c

は、電荷が情報を発した時刻を表しているし、

˙ β(t) = s(t)/c は、電荷の速度を光速度との比で表したベクトルである。 つまり、この式は前から話している物理的イメージとそれほど変わると ころはなくて、相変わらず電荷からの情報は光速度で伝わることを示して いる。違いと言えば、分母の第 2 項がおまけに付いて来たことくらいだ。 このせいでポテンシャルの減衰の度合いが 1/r の形ではなくて、なぜか電 荷の速度によって影響を受けることになっている。電荷の進行方向の前方 では強く、後方では弱くなっていることが読み取れるだろう。 なぜ点電荷を考えるとこんなことが起きるのだろうか。そろそろ種明か しをしておこう。 それはデルタ関数の積分をするとき、 「電荷の広がり」を考慮に入れてい るせいである。意外に思うかも知れない。デルタ関数というのは電荷が一

181

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

点に集中しているイメージを表すものだった。しかし、考え直す必要があ る。一点だけで電荷が無限大というイメージを持っているわけではあるま い。そうではなく、これは電荷密度を表しているのである。積分して初め て電荷は q になるのだった。 粒子に大きさがあり、電荷が広がりを持って分布すると考えよう。する と、粒子のある部分から発した情報と別の部分から発した情報とで、伝達 時間に差が生まれることになるだろう。この粒子が移動するとき、先に後 方から発した影響と、遅れて前方から発した影響とが同時に到達するよう なことが起こる。このようにして異なる位置から発した影響が強め合うこ ともあれば「影響力の密度」が薄まることも起こる。 デルタ関数というのはこのような広がりを 0 に近付ける極限の関数であ るので、このような効果は消えてしまう気もする。しかし広がりが 0 とな る極限を取るとその分、集中した電荷の効果が増す。積分の中で起こって いることなので、うまい具合に消えないで残ってしまうのである。 この論理で導かれた結果が現実とぴったりと合ってしまうことは、良く 出来ているというか、まさに数学の勝利であるという感じだ。

3.12

等速運動する点電荷

電荷が移動すると周囲の電場に変化がある。電場が変化すれば磁場が生 じるのだった。磁場が新たに生じるというのは、磁場の強さに変化があっ たということだから、それによってさらに電場が生じるだろう。 そんな具合にして次々と伝わって行くのが電磁波である、と前に説明し た。上のような連鎖は電荷が等速運動しているときにだって起きていても いいはずだ。しかし等速運動する電荷が電磁波を放っているとなると納得 の行かない事が出てくる。電磁波というのはエネルギーを持っているから、 エネルギーが次々に出て行ってしまうことになるのではないだろうか。そ のエネルギーはどこから供給されているのかの説明が付かない。 等速運動する電荷を放っておくとそのうちエネルギーを失って勝手に止 まってしまうということがあるだろうか。もし止まるとしても一体、何に 対して止まるというのだろう。電荷と一緒に動いている人にとって見れば 電荷は止まっているわけだが、これが勝手に速度を変えたりするものだろ

182

3.12. 等速運動する点電荷

うか。 実はそのような心配は一切要らない。等速運動する電荷からは電磁波が 出ないことがもう 100 年も前から理論的に分かっているし、それに反する 事例もこれまで見付かってはいない。一体、どういう理屈でそんなことが 言えるのだろう。今回はそれについて説明したい。 そのために前節で出てきた「リエナール・ヴィーヒェルト・ポテンシャ ル」を使う。x 軸方向へ速度 v で等速運動する点電荷が、時刻 t = 0 に原点

(0, 0, 0) を通過したとする。この電荷が時刻 t に (x, y, z) 地点に作る電磁ポ テンシャルを求めてやる。 この問題を解くには少々の工夫が必要になる。単純にやろうとすると分 母に含まれるベクトルの絶対値の扱いや過去の電荷の位置などを考えてい る内に、式は複雑になってくるわ、気が付けば数時間が無駄に過ぎている わで、イライラしてくる。そうならないための賢い解法は教科書に頼って もらうことにして、とにかく正しく導くことが出来れば次のような結果を 得る事になる。

φ(x, t) = A(x, t) =

1 q   4πε0 (x − vt)2 + 1 − v μ0 q   4π (x − vt)2 + 1 −

v2 c2

v2 c2





(y 2 + z 2 )

(y 2 + z 2 )

以前の計算には t = t − |x − s(t )|/c という要素が入っていたが、こ の結果にはそういうものがなくてすっきりしている。この式の中に vt と いうのがあるが、(vt, 0, 0) は点電荷の現在位置だと考えられる。つまり、

(x − vt, y, z) は観測点と点電荷の現在の相対位置を表していることになる。 この結果の面白さが見えているだろうか？ 過去に電荷がいた位置からの遅 延を考えるという面倒な見方を捨て去ってしまって、現在の電荷の位置と 電磁ポテンシャルの形を対応させた形になっているのである。 上の式は少し面倒な形をしているが、x 軸上に立って観測していると y = z = 0 であるから、すっきりした式になる。これは静止している電荷 が作る静電ポテンシャルと変わらない形だ。あたかも静止している時の電 荷と同じ形の静電ポテンシャルが電荷と一緒に近付いてくるように見える 183

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

ことだろう。しかし x 軸上からずれたところで観測すると少し様子が違う。 静止している電荷よりも強い影響があるように感ずるのである。 このままではイメージを描きにくいかも知れないから、電荷の位置を中 心とした等電位面を描いてみようか。

半透明の楕円球が幾層にも重なるような美しい絵を描けたらいいのだが、 私にはそのようなセンスがないので、断面図で我慢して欲しい。左側の同 心円は比較のために描いた静止した電荷が周囲に作る静電ポテンシャルで あり、右側が等速運動する電荷の周りの静電ポテンシャルである。 何と点電荷が、このような形の電磁ポテンシャルを常に自身と同じ速度 で引き連れて移動しているようなイメージになっているのだ。前回は電荷 の移動する前方では影響が強く現れ、後方では弱くなると説明したが、こ の表現では電荷の前方にも後方にもポテンシャルが対称な形で存在してい るのである。 「前方に影響が強く現れたように見えたのは、それを観測する 頃には電荷が実際に観測点に近い位置に来ていたのだから当然ではないか」 という少々強引な見方もできるということである。 ところで、この図から電場ベクトルの向きを勝手に想像してはいけない。 「電場ベクトルの向きは等電位面に垂直になる」だとか「等電位線が密なと ころほど電場が強い」などというルールは、静電場の場合にしか通用しな い。時間変化があるときの電場は次の式によって計算されるのだった。

E = −grad φ − 184

∂A ∂t

3.12. 等速運動する点電荷 今は A も存在している以上、静電ポテンシャル φ だけでは電場の値は決 まらないのである。この式によって電場を計算してやると、結果は次のよ うになる。

q E(x, t) = 4πε0



v2 1− 2 c

 

( x − vt , y , z )  3 2 (x − vt)2 + 1 − vc2 (y 2 + z 2 ) 2

少しでも分かり易くなることを願って、点電荷からの相対位置を

R = (x − vt , y , z) = (X , Y , Z)

として書き直してやろう。

E(x, t) =

q 4πε0

 1−

v2 c2

 



X2 + 1 −

R  v2 c2

3 (Y 2 + Z 2 ) 2

1 − v 2 /c2 という要素が全体に掛かっているので、静止時よりも全体的に 電場が小さくなっていることがすぐに読み取れるが、それだけではない。 電場の向きは電荷を中心にしてどこまでも真っ直ぐに外を向いているので ある。つまり、電気力線はまっすぐだということだ。何とまぁ、イメージ が随分違うではないか！ しかし電場の大きさは球対称にはなっていない。 進行方向の前後に離れると、力の大きさは急激に弱くなるのである。これ は先ほどの等電位線の密度から想像されるのとは逆の傾向である。 教科書ではこの傾向を「進行方向に潰れた回転楕円体」だと表現してあ るが、式を見るとそれほど単純な形では無さそうだ。気になったので強度 分布を図にしてみた。

185

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

電場の絶対値が同じ値になるところを線で結んで描いてある。いろんな 速度について並べてみた。 β = v/c である。普通は回転楕円体だが、電 荷が光速に極めて近付いたところでは「中央が薄くなった丸ざぶとん」型 になるようである。 さて、磁場はどうなっているだろうか。磁場は B = rotA で導かれる。 先ほどの A の式の分母には v が入っていたが、今は v = (v, 0, 0) なので、

Ay や Az は 0 だということだ。つまり磁場の x 方向のベクトルは 0 であ り、x 軸に垂直な面内で x 軸の周りに渦を巻く格好になることが読み取れ る。もう少し計算テクニックを駆使してやると次のような簡単な式で表す ことも出来るらしい。 1 v×E c2 つまり、まるで電流の周りに発生する磁場のように x 軸の周りを回るよ うに存在しているが、電荷から離れるほど弱くなる。しかし別に具体的な 何かが回転しているわけではないから、らせん状に突き進むドリルのよう なイメージを思い描くのは少し違う。ただ、そのような向きを向いている 場が、電荷の接近と共に強くなり、通り過ぎると再び弱くなるというだけ のことだ。 B(x, t) =

186

3.12. 等速運動する点電荷 「電荷に近付くほど強い」とは言ったものの、v との外積で表されるこ とから、x 軸に近付くほど 0 に近くなるという傾向も併せて持つであろう。 この微妙な分布がどういう形になるのか気になったので、これも強度分布 を図にしてみた。

なるほどねぇ。 以上の議論によって大体何が起こっているか分かっただろう。初めに書 いたように、電荷の移動によって電場は変化するし、それによって磁場も 変化する。しかしその磁場の変化が別の新たな電場を生み出して連鎖する というイメージはあまり正確ではなかったことになる。電場と磁場の変化 はそれぞれ互いにマクスウェル方程式を満たすように存在するだけであり、 それが安定した形を保って電荷と共に移動するのである。 もし電荷が無限の過去からずっと等速運動を続けていたならば、無限の 遠方に至るまで電場と磁場がずっとこの形で宇宙に広がっており、それが 一斉に電荷に並走するかの如くに振舞うことだろう。同じ状態を保ったま ま平行移動するだけなので、エネルギーはいつまで経っても電荷から遠く 離れては行かない。よって新たなエネルギーは必要ないのである。 しかしこれは波動方程式の妙により、あくまでも「そう見える」だけだ。 あるとき突然に電荷が速度を変えれば、この見かけの安定は崩れ、電荷が 速度を変えたという情報は光速度で周囲へ伝わるだろう。その知らせが届

187

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

くまでは遠方の電磁場は相変わらず以前の速度に合わせて進んでいる。電 磁場は別にどこまでも電荷に合わせようと忠誠を誓って行動しているわけ ではなくて、結果としてそうなっているだけだからだ。 電荷が再び別の等速運動に落ち着けば、宇宙の電磁場は新しい秩序によっ て徐々に塗り替えられる。その先頭に立つのが電磁波であり、この変化を 伝える波がエネルギーを光速で無限の彼方まで運び去るのである。

3.13

点電荷が発する電磁波

電荷は等速運動している時には電磁波を放射しないことが分かった。加 速運動をする時にだけ電磁波を放射するのである。それは一本のビームの ように一方向だけに出て行くわけではなく、かと言って全方向に均等に放 射されるのでもない。方向によって強さに差があり、ある方向にはほとん ど出て行かないということもある。 電磁波は運動量を持つので、それが全方向に均一に出て行かないという ことは、電荷にはその反作用が加わる事になるだろう。自ら作り出した電 磁場から力を受けるというので、これを「自己力」と呼ぶわけだ。 その放射される電磁波の強度分布は、リエナール・ヴィーヒェルト・ポテ ンシャルから苦労して電場や磁場を計算し、そこからポインティング・ベ クトルを計算する事で導かれるわけだが、結果だけをここに引用するのが 申し訳なく思えるほどその過程は面倒だ。

S(x, t) =

  2 n q2 ˙ n × (n − β) × β 16π 2 ε0 c (1 − n · β)6 R2

教科書によって見た目が大きく違っていたりするが、なるべく見やすく なるようにそれぞれ略記号を工夫してしているせいであって、展開すると 結局同じになるのでそれほど心配は要らない。 （ただし単位系の違いによっ て係数に違いが出ることはある。）ここでは n は点電荷の位置から観測点 の方を向いた単位ベクトルであり、R は点電荷の位置から観測点までの距 離である。β は速度ベクトル、β˙ は加速度ベクトルである。 少し注意が必要なのは、右辺の変数は全て、電荷が電磁波を発した過去 の時刻の値であるということだ。電荷が移動しながら電磁波を放つ場合に、 その効果が遠方でどう重なり合うかを計算したい場合にはこのことを気を

188

3.13. 点電荷が発する電磁波

つけないといけないが、今回はある瞬間に電荷からどの方向にどの程度の 電磁波が出て行くかを知りたいだけなのでそれほど気にしなくてもいい。 条件によって色々な放射のされ方があるのが読み取れるだろうか。加速 の強さ、方向だけで決まるのではなく、その時の電荷の速度、方向によっ ても変わってくるらしい。つまり一つの図だけでまとめて表すのは難しい ということだ。ここでは幾つかの典型的な例についてだけ簡単に話すこと にしよう。 まずは、電荷の運動と同じ方向に加速を受ける場合について。 これは例えば垂直に立てたアンテナの中を電子が上下に行き来する場合 がそうだ。アマチュア無線などをやっておられる方は、電波がどちらへ強 く放射されるかは経験的に良くご存知だろう。プロの方は知っていて当然 であろうが、この本は趣味の本であり基本的にアマチュア向けである。こ れはアンテナを軸として全方向に均等に出てゆくのである。真上から見る とそのように見えるのだが、横から見ると方向に分布があるのが分かる。 真上、真下には放射されず、水平方向に特に強く放射されるわけだが、斜 め上や斜め下にも弱いながら出てゆく。 しかしこれは電子の速さが光に比べて非常に遅い時だけの話である。速 度が変わると同じ事をしても放射される方向が変わる。それが良く分かる ように強度分布図を描いてみよう。

β = 0 の場合が、上のアンテナの話に相当する。速度と加速度はともに 横軸に取ってあるので、アンテナを横に向けた状態を表している。 189

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

しかし光速近くまで加速した電子を加速あるいは減速してやると、進行 方向に偏った強烈な電磁波が発生するようになることが分かるだろう。こ の現象を「制動放射」と呼ぶ。実はレントゲン写真に使う X 線というのは ほとんどがこの原理で発生させている。 どうやるかというと、高電圧の電極で電子を加速させ、それを勢い良く 金属にぶつけてやる。すると電子は金属表面の電子と反発して急減速し、 そのときに強烈な光を発生するのである。この高エネルギーの光が X 線 だ。このように単純な方法で発生させることが出来るので、昔の実験家は 知らず知らずの内に大量の被曝をしたことだろう。 では、電子の進行方向とは垂直方向に加速をした場合にはどうなるだろ うか。この時にも進行方向に向かって最も強く光を放つようである。

速度は先ほどと同じく右向きに取ってある。β = 0 の場合は先ほどのア ンテナの話と同じ状態である。ただし今回は加速度が縦軸方向に働く場合

190

3.13. 点電荷が発する電磁波

を考えているので向きが違うだけだ。これが、β が大きくなるにつれて、先 ほどとは違う形に変わってゆくのが面白い。 光速に近い電荷の場合、同じ加速をしただけなのに強烈な放射をするこ とが分かる。このような現象はリング状の粒子加速器を運用する上で問題 になる。繰り返し加速を行わせるために荷電粒子に円軌道を回らせている のだが、そのために磁場を使って軌道を曲げてやる必要がある。その時に、 このタイプの放射が起こる。これを「シンクロトロン放射」と呼ぶ。加速 に使ったせっかくのエネルギーの大半を電磁波として放射してしまうのだ。 科学者が巨大な円形加速器を建設しようとしているのは、このような放 射によるロスを防ぐために軌道の曲がりをなるべく少なく済ませたいから である。しかしこのシンクロトロン放射は単なる邪魔者だというわけでは なく、医療や科学実験に非常に役に立つ性質を持っており、よく利用され ているという側面もある。 このタイプの放射の存在を知っておくことは原子の構造を理解する上で 非常に重要である。1911 年、ラザフォードが原子の中に原子核を発見した 時、電子はこの原子核のプラス電荷に引かれて、原子核の周りを回ってい るのだという説が有力候補として浮上した。中学や高校では原子というの はそのような構造になっているのだと習うだろう。 しかし当時の科学者たちは「そんな構造は絶対に在り得ない」と反対し た。なぜなら、もし電子が原子核の周りを円軌道で回っているとすると、上 と同じ原理によって電子は強烈な電磁波を放ち、電子はたちまちにしてエ ネルギーを失って原子核に墜落してしまうと考えられるからである。 これは当時の科学者たちを非常に悩ませた問題であった。円軌道は在り 得ないとは言っても、他のいい説が思い浮かばないのである。しばらくは 試行錯誤のぎこちない理論が提案され、やがて量子力学によって、電子が 波として存在すると考える事でようやく解決されたのである。義務教育で 習う、原子核の周りに同心円を描いたような単純な原子の構造は、100 年 近く前の科学者たちが即座に大反対して捨て去ってしまった古いモデルな のである。しかし現実の原子と似た面もあるというので、今でもよく利用 される。 よく考えるタイプの生徒がこのモデルに疑いを抱き、そこでつまづいて しまって成績を落としてしまったりすることがたまにある。愚かな事よ・ ・ ・。 時には妥協も必要だ。

191

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

今回のような強度分布図を描くのはパソコンがあればそれほど難しいこ とではない。z = 0 の面での断面図を描きたいので、x と y の関係を求め てやって、陰関数グラフを描けばいいだけである。ありがたいことに、陰 関数グラフを描いてくれるようなソフトが無料で公開されているのでそれ を使わせてもらうことができる。  具体的には

n = (x, y, 0)/ x2 + y 2 R = x2 + y 2 β β˙

= (b, 0, 0) ⎧ ⎨ (a, 0, 0) （速度に平行な加速の場合） = ⎩ (0, a, 0) （速度に垂直な加速の場合）

などと置いて計算すればいい。 「進行方向に平行な加速」の場合には次 のような式になる。

k=

x2 y 2 + y 4 6 (x2 + y 2 )3 1 − √ bx 2 2 x +y

ただし、a は他の係数などと一緒に変数 k としてまとめてしまってある。 これで k が一定となる曲線が描けるというわけである。後は b の値・ ・ ・す なわち β を 0 ∼ 1 まで動かしてやればいい。k の値をいじってやれば、 大きさが調整できる。 「進行方向に垂直な加速」の場合には次のような式になる。

 k=

√ xy 2 x

 2 2 + − √ x2 2 + xb x +y  6 bx 2 √ (x + y 2 )2 1− 2 2

+y 2

− yb

2

x +y

コンピュータに負担のないようにもう少し変形できそうだが、計算内容 が読者に分かる程度にとどめておいた。

192

3.14. 力学との接点

3.14

力学との接点

そもそも電場 E や磁場 B は何だったのかということについて再確認し ておこう。 電場 E はもともと、電荷 q を空間に置いたときに、

F =q E と表される力を受けるということによって定義されたものであった。これ が力学と電磁気学の接点である。 一方、磁場はどのように定義されたかと言えば、電場のように単純では ない。元はと言えば電流の周りで磁針が向きを変えることから、電流の周 りには磁石に影響を与える場が存在するという考えが生まれたのであった。 磁石と磁石の間に力が働くという事実だけでは磁石そのものに注目してし まい、わざわざ「場」の考えを受け入れるのは難しかったであろう。 小さい頃に行った科学館に「磁界」と名付けられた展示物があった。工 学分野では磁場のことを磁界と呼ぶのである。これは磁場の存在を視覚的 に表すために巨大な磁石の周りに多数の小さな方位磁針を敷き詰めたもの だったが、私は「磁石が磁石に引かれてそれぞれの位置である一定の向き を向いているのは当然じゃないか？ わざわざそれを磁界と表現するのは変 じゃないか」と思いながら見ていたものだ。この頃の幼い私は直接働く力 の考え方を強く支持していたということになる。 しかしこの考え方は本質を遠ざけている。磁石というのは突き詰めてい けば微小な分子電流によって作り出されているのであって、電流の周りで 磁針が向きを変えるのは、電流によって作り出された磁場が分子電流に力 を及ぼしているのだという考え方が出来る。実際、電流間には力が働くこ とが示されており、これは運動する電荷に働くローレンツ力として説明で きるのだった。 つまり、磁場と力学との接点は

F =q v×B という式だけで表されるということだ。 これらの式は一つにまとめられて、 ! " F =q E+v×B

193

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

と表される。 マクスウェルの方程式は電磁場の性質を表したものであるが、そこには 力学は入っていない。力学と電磁気学を関連付けるには、マクスウェルの 方程式とは別にこの式が必要なのである。言い方を変えれば、マクスウェ ルの方程式の中で E やら B を使っている段階ですでにこの関係を前提と しているわけだ。 この辺りの関係は再確認しておかないと時々忘れてしまいそうになる。 我々はこれまで静電気や磁石の存在を手がかりにして電磁気の性質を理 解してきた。それで「電場は電気に関する場」 「磁場は磁気に関する場」と いう明確に区別されたイメージを持ってしまっている。 しかしこの式を見る限り、両方とも電荷に働く場として表されているこ とが分かる。電場とは運動状態に関わりなく電荷に働く力の場であり、運 動している電荷に働く力の場が磁場である。 電荷と電荷の相対速度が 0 であるときには電場のみが働くが、相対速度 を持っている場合にはそれに加えて磁場による効果も働く。 結局、電荷同士に働く力を便宜上、電場や磁場という言葉を使って表し ていたに過ぎなかったのか、と思えるかも知れないが、この考えはこれま での議論で否定されていることを思い出そう。 「電気力学」は電場や磁場の 存在を取っ払って電荷同士に働く力を理解できないかということを試みよ うとして失敗したのであった。電磁場はそれ自体が独立して存在し、それ を考えなくては運動量の保存が成り立たないし、電磁波の存在も説明でき ないのであった。 やはり電荷同士は、電磁場を通して力を及ぼし合っているのである。 さて先ほどの力学と電磁気学を繋ぐ式は、ひょっとして電磁ポテンシャ ルを使って表してやれば、もっときれいな形式にまとめられて、我々に何 かもっと深遠な知識を与えてくれるのではないだろうか、という期待があ る。ちょっとやってみよう。そのためには

E

= −∇φ −

B

=

rotA

を代入してやればいい。さあ、どうだ？ ！

194

∂A ∂t

3.14. 力学との接点

# F =q

−∇φ −

$ ∂A + v × (∇ × A) ∂t

（ここで rotA ではなく ∇ × A の形式で代入したが同じことである。）どう にも分からない形だ。何とか簡単な形にならないか努力してみよう。ここ で第 3 項目が面倒な形になっているので次の公式を使って変形してみる。

∇(v · A) = (v · ∇)A + v × (∇ × A) この公式は証明自体はそんなに難しいものではないのだが、すぐに思い つくようなものではない。先人たちが努力して試行錯誤した結果だろうと 思う。ありがたく使わせてもらおう。すると、 # $ ∂A F = q −∇φ − − (v · ∇)A + ∇(v · A) ∂t のようになる。ここでさらに次のような公式を使う。

dA ∂A = + (v · ∇)A dt ∂t これは単にベクトルポテンシャル A が (x, y, z, t) の関数であって、さら に変数である x, y, z も t の関数になっていることから合成関数の微分法則 を使っただけのものである。ただし、結果をナブラ記号やベクトル表現を 使ってうまくまとめる辺りにパズル的なものを感じるわけだが。というわ けでこの公式の中の括弧の存在はとても意味があるということを注意して おこう。とにかく、これで次のようになるだろう。 # F = −q

∇(φ − v · A) +

dA dt

$

これで精一杯だ。あまり大した効果はなかったようだ。これでは E や B で表しておいた方がよっぽど分かりやすい。 しかしこの変形は決して無駄ではない。実はこの部分の説明は解析力学で 行う議論の準備のために書いたのであり、今回の結果を解析力学に応用す れば非常に面白い議論が出来ることになる。 そしてそれは量子電磁力学の基礎にもなるので頑張って解析力学も学ん でおくといいだろう。いや、本書にはそこまで手を伸ばす余裕はもうない のだが、いつかそこまで説明する機会を得られればと願っている。

195

第3章

電磁方程式をいじりまわせ

3.15

電磁気学のまとめ

第 1 章では「ポテンシャルエネルギーは実在ではない」という主張をし た。そして「この世界に真に存在するものは運動量だけなのではないか」 という大胆な予想も口にした。しかしこれらの主張には一つの大きな穴が あった。 それは、「ローレンツ力の場合、ポテンシャルがお互いの速度にもよる」 という事実を無視していたことである。気付いてはいたのだが、何とか解 決できるだろうと非常に楽観的に考えていたのだった。 今こうして電磁気学をざっと学んだ結果はどうだっただろう。確かにロー レンツ力を考慮に取り入れた場合でも運動量は保存していたのだった。し かし電荷を持った粒子の存在だけを考えていたのではダメで、電磁場さえ も運動量を持つ存在だと考えなくてはならないのだった。電荷の動きによっ て電磁場に波が生じ、その波は運動量とエネルギーを運ぶ。これは力学の 範囲内では考えもつかなかったことである。 このことは運動量こそが真に存在する唯一のものではないかという私の 予想を覆すだろうか。いや、これはむしろ好都合かも知れない。電磁場の 正体を運動量によって説明できる可能性がある。 それで、電場や磁場というのは一体何なのだろう、と真剣に考える必要 が出てくる。それらは別々に存在するものではなく、電磁ポテンシャル A という 4 成分の量を仮定することでそこから導き出せるのだった。それで 電磁ポテンシャルこそ、私が捜し求める「実在」に近いものかも知れない という考えに傾いてくる。 ところで、静電場を考えているときには静電ポテンシャル φ というもの を考えた。それに電荷を掛けたものは力学で考えていた「ポテンシャルエ ネルギー」と同じ存在である。ところがこれは電磁ポテンシャルの一成分 として取り込まれてしまったわけだ。つまり、電磁ポテンシャルは実在かも 知れない、と考える事は、 「ポテンシャルエネルギーは実在ではない」とい うかつての主張と軽く対立しているわけだ。足元がぐらついているのに気 付き始める。何度でも考え直そう。間違っていたら直していけばいいのだ。 全てを運動量に帰そうという考えの方はまだ有望だろうか。私は「実在」 が二種類以上あることを望まない。実在らしきものが二つあるとき、どち らかがどちらかを生み出してあたかも「在る」ように見せかけているか、

196

3.15. 電磁気学のまとめ

あるいは一つの事実についての見方が違うだけで、どちらも対等であると いうような関係であってほしいと思う。 この世に運動量だけが「在って」その交換のルールがあたかもこの世に 電磁ポテンシャルというものがあるように見せかけているだけだろうか。 それとも電磁ポテンシャルだけが「在って」それが電場や磁場だけでなく、 電荷や運動量といったものまで存在するかのように見せかけているのだろ うか。どちらの可能性もありそうに思える。 電場や磁場は電荷を持った粒子間に働く力を通して存在が確認できるも のらしい。力とは運動量の変化によって「在る」と錯覚できるものなのだっ た。すると電場や磁場とは、運動量を交換するような働きを持った場所の 性質だと言えないだろうか。 聞きかじった話では、電磁波は粒子の性質も持っていて、光の粒を「光 子」と呼ぶらしい。量子電磁力学という分野では電磁気に関わる力が、光 子の交換によって説明できるのだと聞く。光子が運動量を運ぶのだそうだ。 また電荷の周囲には「仮想光子」と呼ばれるものがまとわりついていて短 時間だけ現れたり吸収されたりを繰り返しているらしい。うーん、初心者 向けの解説書というのはどうも言っている事が良く分からない。 思い違いしているなんてことはないだろうか。光子が運動量を運んでい るのではなくて、光子は運動量そのものなのではないか。電荷の周りに光 子がまとわりついているのではなくて、光子がまとわりついた状態をあた かもそこに「電荷が在る」と錯覚しているのではないか。電場とは、磁場 とは、そこに「仮想光子」とやらがうじゃうじゃと集まって何かしている 状態を指すのではないか。何もかもが運動量というキーワードで説明でき そうな気がしてくる。 しかし借り物の言葉では不満足だ。電磁波が粒だとはどういうことだろ う。どういう具合に電磁気的な力が光子の交換で説明できるというのだろ う。学者たちが仮想光子と呼んでいるものは何を意味するのだろうか。何 としてもそこを理解できるところまでたどり着きたいと思う。 そのためにはまだ学ぶべきことが沢山ある。電磁気学には相対論なしに は不完全な部分があるとのことだった。まずはそのあたりの弱点の克服が どうやって成されるかを確認しようか。それとも解析力学を学んで、力学 についてのもっと深い見方を身に付けようか。

197

∼提案∼

教科書解読という趣味   この本を読んで物理に興味を持ってもらえたとする。そういう人は次に 何をしたらいいのだろうか。 私が続編を書くのを待つか？ それはそれで嬉しいことだが、私が真に望む事ではない。受身の姿勢で はなく、自分自身の力で無限に幅を広げて行ってもらいたいのだ。 物理には色々な楽しみ方があって実験をする楽しみなどもあるわけだが、 私は理論物理という点で一つの提案をさせてもらおう。それは「教科書の 解読」である。実際、専門の教科書というものは「解読作業」が必要なほ ど難しく書かれている。 しかしこういう想像をしてみたらどうだろう。これらの本は古代超科学 文明の遺跡で見付かった古文書から辛うじて翻訳に成功した、貴重な断片 的資料である、と。 古代文明人にとってはあまりに常識的であるため、特に説明も無しに使 われている概念がそこかしこにあるかも知れない。それは我々には理解し にくいことではあるが、どこか別の資料を調べれば理解を助けるヒントが 隠されているかも知れない。 そんな空想をしながら学べば、専門書の難解な書き方にイライラしたり、 それを理解できない自分の無能を嘆いたりすることはなくなるだろう。彼 らは別文明の人。異なる文化のもとで、我々には知り得ぬ目的のためにそ れを書き、後世に発掘されることなんてまるで考慮になかったのだから何 も悪気はない。一方我らは探求者。分からなくて当たり前。 この趣味は自らの努力をやめなければ、どこまでも深く学べる。政府が 隠蔽している宇宙人との秘密協定の証拠を膨大な公文書の束の中から探し 出したり、アトランティスにあったと伝えられる光を放つオリハルコン金 属の組成を知ろうと努力したり、高次元から我々を導いて下さる神々が垂 れ給う曖昧な助言を載せた書物を買い漁るより、よっぽど確実に有益な情

198

報が得られることになると思うのだ。何処かからわいてくる新刊の情報を ただただ待つ必要もない。 我々に知識を与えるそのような「オーパーツ」 （これはオカルト分野の用 語であり、遺跡から稀に発掘される、その時代についての通説にそぐわな い高い技術水準を想像させる物品をそのように呼ぶ。）は大型書店の「物理 学」のコーナーで取り扱っている。残念ながら近所の書店にはないかも知 れない。事実、私の近所のちょっと大きいくらいの書店では物理学のコー ナーはあるにはあるが、専門書までは扱っていない。素人には安易に手を 触れることが許されない、それほど貴重な資料だと心得るべし。では素人 は専門書をどうやって見分けたらいいのか。少し指南しておこう。 物理の基礎的な分野としては「力学」「電磁気学」「解析力学」「流体力 学」「熱力学」「統計力学」「相対性理論」「量子力学」などが挙げられる。 これらがタイトルに使われている文書を探すといい。これらを全般的に広 く扱った書物には「物理学」と書かれていることがある。実際の本のタイ トルとしてはこれらの言葉に「基礎」 「入門」 「概論」 「詳解」などが付くこ とが多い。これらの言葉は著者の謙遜と自己防衛のために付けてあるもの なので、 「入門だなんてレベルが低そうで買うのは恥ずかしいなぁ」などと 決して甘く見てはならないし、 「自分は概論なんかじゃなくて、ちゃんと正 式に詳しく知りたいんだ」などと思い上がってもならない。また「詳解？ 親切そうでありがたいな」と期待してもならない。 専門書にはちょっと高価なものが多いので、趣味として初めて手を出す にはかなり躊躇するところだ。それにたった一冊だけ買ったところで、わ けが分からない内容のものが多い。それこそ勇気を振り絞って何冊もの本 にチャレンジし、少しずつ情報を集めてゆく必要がある。近所にすでに物 理を趣味としているご友人があれば、アドバイスをもらったりお勧めの本 を借りてきたりもできるのだが、これからご近所の中でのパイオニアにな ろうという人もいるだろう。これはなかなかギャンブルに近い。 そこで、図書館を利用してみてはどうだろう。しかしそこに必ず専門書 が置いてあるとは限らない。私の自宅の最寄りの図書館には「物理」のコー ナーはあっても理論系の専門書は一冊もない。例えばこんな感じのタイト ルの本が並んでいる。 「電波ってなんだろう」 「新発見への努力」 「不思議な 素粒子」「やってみよう、おもしろ実験」「エネルギー革命」 ・ ・ ・こんなのば

199

かりが数百冊も棚を占領しているだけなのである。それで中央図書館へ出 かけて行ったり、さらに遠くまで足を運んだりするわけだ。 このようにお住まいの地域によって状況は様々だろうが、やる気さえあ れば方法はいくらでも見つけられるものだ。そしてすぐにでも始められる。 最適な季節を待つ必要もない。 「ご趣味は？」と聞かれて、 「いや∼、理論物理学をやり始めたところで して・ ・ ・」と答えるのはなかなか快感ではないか。

200

第 4 章 補習の部屋  ここまでの本文中の流れの中では説明できなかった事柄を説明する。

4.1

外積について

外積について話す前に内積を説明しておいた方が簡単かも知れない。内 積は高校でも学ぶので詳しく説明する必要はないだろうと思うが外積と比 較したいのだ。 二つのベクトル A、B の内積は A · B と表現す ることになっていて、そ れぞれのベクトルの大き さを |A|、|B| と表せば、

A · B = |A||B| cos θ と計算してやることがで きる。ここで θ は二つの ベクトルが作る角である。 これはどういう意味かと言えば、一つのベクトル A の大きさと、もう一つ のベクトル B の A と同じ向きの成分の大きさを掛け合わせたものである。 つまり、同じ向きの成分同士を掛け合わせたい時に使うのである。だから 物体に力を加えた時の仕事を計算する時に「力の方向」と「力の方向に進 んだ距離」をかけるのに使える。もちろん立場を入れ替えて、ベクトル B の大きさと、ベクトル A の B と同じ向きの成分の大きさを掛け合わせた ものである、と言っても同じことである。

201

第4章

補習の部屋

これをベクトルの成分で計算してやることもできて、それぞれの成分を

A(x, y, z), B(X, Y, Z) と書けば、 A · B = xX + yY + zZ と表せる。説明は必要だろうか？ 先ほど言ったように、同じ方向の成分同 士を掛け合わせるという考えをそのまま実行しただけである。とは言うも のの、納得するくらいまで証明しようとするとめんどくさいんだよなぁ。

外積のイメージ 次に外積について説明するが、まず表面上の知識を伝えることから始め よう。二つのベクトル A、B の外積は A × B と表現することになっている が、内積の場合と違って結果はベクトルになる。だから外積のことを「ベ クトル積」と呼ぶこともある。それに対して内積は「スカラー積」と呼ば れたりする。なぜベクトルになるのかは後で説明しよう。 ベクトルと言うからには方向がある。それは先に書いた方のベクトル A の指す方向から後に書いた方のベクトル B の指す方向に向かって回転した 時、その回転面に垂直な方向である。回転面に垂直な方向と言っても 2 つ あるが、その内の、右ねじを回したときにねじが進むのと同じ方向がそれ である。このことから、外積はかける順序によって答えが違ってくるとい うことが分かるだろう。A と B を逆にするとベクトルの方向が正反対を向 いてしまうわけだ。数値的にはプラスマイナスが逆転することになる。

A × B = −B × A この外積の結果のベクトルの大きさは、それぞれのベクトルの大きさを

|A|、|B| と表せば、 |A × B| = |A| |B| sin θ と計算してやることができる。ただし θ は二つのベクトルが作る角である。 内積で cos θ を使ったから今度は sin θ を使うべきだろうというような単純 な類推で外積の概念が出来上がったのではない。しかしまあ、見方によっ てはそうと言えなくもないか。もう少しあとで説明する。

202

4.1. 外積について

このベクトルの大きさ はちょうど二つのベクト ルが作る平行四辺形の面 積になっているが、それ は結果であってあまり外 積そのものの理解の助け にはならない。しかし知っ ていて損ではない。計算 をするときにそういう知 識が役立つことがあるのを知っている。 以上が外積の図形的イメージである。普通の教科書にはこれくらいの説 明しか載ってないので外積がやたら難しいものに思えるのである。次にこ のような概念を作り出すに至った思想を説明することにしよう。

外積を導入するに至った理由 外積は内積に比べて格段に複雑な気がするが、思想自体は似たようなも のである。内積が「同じ方向の成分」をかけ合わせたいとの要求によって 作られたのに対して、外積は「違う方向の成分」 ・ ・ ・すなわち「互いに直角 方向の成分同士をかけ合わせた値を求めたい」という要求によって生まれ たのである。例えば、ローレンツ力は電荷の進行方向に対して直角方向成 分の磁場のみが意味を持つ。そのような関係は物理ではよく出てくるのだ。 外積は内積のように簡単に計算できるはずであった。二つのベクトルの 大きさの積に sin θ をかけてやれば、一方のベクトル A の大きさに、もう一 つのベクトル B の A に対して垂直方向の成分をかけ合せた大きさになる！ ところがここで問題が起こる。一つのベクトルに対して直角方向の成分 と言っても、それは無数に存在するのだ！ 例えば x 方向のベクトルを考え てみよう。このベクトルに対して垂直な方向は yz 面上のあらゆる方向では ないか。仕方ないので y 方向と z 方向の 2 方向に代表させて、分解して表 すことにしよう。つまり、x 方向を向いた初めのベクトルの大きさに別の ベクトルの y 方向成分をかけたものと、z 方向成分をかけたものの二つを 作る事にしたのだ。もはやこの時点でこの計算結果を 1 成分で表すことは あきらめた方が良い。

203

第4章

補習の部屋

この他に、y 軸に対して垂直な方向として x 軸と z 軸をとり、z 軸に対し て垂直な方向として x 軸と y 軸をとってやる。こうして出来た多数の組み 合わせの結果をうまく並べてスマートに表現してやる必要が出てきてしまっ た。外積の結果がベクトル表現になるのはこういう必然があるのである。 ここでうまいこと考えたもので、1 つのベクトルの x 軸の成分とそれに 対して垂直なもう一方のベクトルの y 軸成分をかけたものを z 軸成分とし て配置することにした。こうしておけば x 軸と y 軸の一方を特別扱いする ことなく対称な配置が可能になるわけだ。同じように y 軸と z 軸をかけた ものは x 成分に配置、といった具合になる。図形的には先ほど説明した右 回りの方向のベクトルを導入したことに相当する。 この考えを使ってそれぞれの成分で計算する時の式を作ってみよう。二 つのベクトルの成分をそれぞれ A(x, y, z), B(X, Y, Z) と表すとする。外積 の結果の x 成分はベクトル A の y 成分とベクトル B の z 成分を掛け合わ せたものになるので、yZ 、 ・ ・ ・といった具合に埋めていくと、(yZ, zX, xY ) となるが、まだベクトル A の x 軸とベクトル B の z 軸をかけた xZ などを 忘れている。これはどこに入れたらいいだろうか？ ベクトルの立場を交換 して考えればこれは z 軸と x 軸の順にかけたものであって、すでに y 成分 に入っている zX と同じ意味を持つものである。よってこれも y 成分とし て入る権利がある。しかし図形的に考えて、外積ではベクトルの立場を交 換すると符号が逆になるのであった。そこでこれらは、(−zY, −xZ, −yX) のように入るべきである。まとめれば次のようになる。

A × B = (yZ − zY, zX − xZ, xY − yX) このように計算すれば初めに図形的に考えた外積のベクトルと同じもの をそれぞれの成分を使って表せるのである。 今やってみた考え方が全てだというわけではない。この考え方はどうも しっくり来ないな、という人は、2 次元グラフ上に 2 つのベクトルを描い てやればこれが xy 平面を表すことになるので、この一方のベクトルとも う一方の直角方向成分をかけたらどうなるかというのを幾何学的に求めて やればいい。この答えが外積の z 成分の xY − yX となることが分かるだ ろう。

204

4.2. ガウスの定理

計算がめんどくさいって？ 本当に覚えなくちゃいけないのかって？ 物理 学者たるもの、これくらいはいつでも書き下せるようでなくてはならない。 しかし丸暗記するのではなくて、ほら、ちょっと規則性をつかめば簡単 だろう？ そのためにわざわざ分かり易いように x y z と X Y Z を使って 書いておいたのだ。なんて親切だろう。これ以上は過保護になるから自分 で考えるように。 お帰りの案内 ：

4.2

1.3.8 節から来られた方

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2.8 節から来られた方

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2.11 節から来られた方

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ガウスの定理

まず、これから説明する定理についてはっきりさせておこう。ガウスの 定理とは、



 E · n dS =

divE dV

という関係式である。これをこれから証明する。いや証明するというより、 理解できる程度まで解説するつもりだ。 ここで右辺にある divE という部分が何なのか気になっているかも知れ ない。これはベクトル E の成分が (Ex , Ey , Ez ) であるとしたときに、

divE ≡

∂Ex ∂Ey ∂Ez + + ∂x ∂y ∂z

と表せる量だ。毎回これを書くのは面倒なので divE と略して書いている だけの話だ。なぜ div と書くのかと言えば、これは「divergence」の略で ある。この単語を英和辞典で調べてもあまり助けにならないかも知れない。 専門用語とはそんなものだ。この量はベクトルが単位体積から湧き出して くる量を意味している。なぜそういう意味に解釈できるのかについては少 し後で説明しよう。 ガウスの定理の左辺を見ると、面積についての積分になっている。これ は何を意味するだろうか。ベクトルを定義できる空間内で、閉じた面を考

205

第4章

補習の部屋

える。どんな形でも構わない。ある空間をすっぽり面で包んでやる。そし て、その面上の微小な面積 dS と、その面に垂直なベクトル成分をかけて やる。それを閉じた面の全面積について合計してやったときの値が左辺の 意味するところである。 一方、右辺は体積についての積分になっている。先ほど考えた閉じた面 の中に体積 dV の微小な箱がぎっしり詰まっていると考えよう。その微小 な体積 dV とその中で計算できる量 divE をかけた値を、閉じた面の内側 にある全ての微小立方体について合計してやった値が右辺の積分の意味で ある。 この 2 つの量が同じになるというのだ。 これは次のように考えれば簡単にイメージできるのではないだろうか？ この後でちゃんと説明するのでとりあえず divE が微小な箱からの湧き出 しを意味していることを認めてもらいたい。正確には divE は単位体積あ たりのベクトルの湧き出し量を意味するので、微小な箱からの湧き出し量 は微小体積 dV をかけた divE dV で表されるべきである。 ある小さな箱の中からベクトルが湧き出して箱の表面から出て行ったと したら、箱はぎっしりと隙間なく詰まっていると考えているので、それは すぐに隣の箱に入ってゆくことを意味する。ここで隣の箱から湧き出しが ないとすれば、つまり、隣の箱からは入ったのと同じだけ外に出て行くこ とになる。湧き出しがないというのはそういう意味だ。ベクトルはその箱 の中を素通りしたわけだ。 このようなイメージで考えると、全ての微小な箱からのベクトルの湧き 出しの合計値は全体積の表面・ ・ ・つまり最初にすっぽり包んだ面から湧き 出るベクトルの合計で測られることになる。この定理が意味するのはそう いうことである。実にイメージしやすい定理だ。 では次に divE が本当に湧き出しを意味するのか、それはなぜなのかに ついて説明しよう。これを説明すればガウスの定理についての私の解説は 終わる。 先ほど、微小体積からのベクトルの湧き出しは divE dV で表されると書 いた。このことが示せればいいわけだ。微小体積として、各辺が dx、 dy 、

dz の直方体を考える。つまり、 dV = dx dy dz である。これと、divE の 206

4.2. ガウスの定理

定義式をそのまま使ってやれば次のような変形が出来る。

 divE dV

= =

 ∂Ex ∂Ey ∂Ez + + dx dy dz ∂x ∂y ∂z ∂Ey ∂Ez ∂Ex dx dy dz + dx dy dz + dx dy dz ∂x ∂y ∂z

x dx dy dz を見てみよう。∂E ∂x はベクトルの x 成分の x 方向についての変化率を表しており、これに dx

これで 3 つの項が出来た。まず初めの項

をかけた量

∂Ex ∂x

∂Ex ∂x

dx は x 方向に dx だけ移動する間のベクトルの増加量を 表している。そしてベクトルの増加量に dy dz がかけられている。これは 直方体の yz 面の面積に相当する。 つまり第 1 項目は、微

小な直方体の yz 面から x 方向に向かって入ったベク トルが、この直方体の中 を通り抜ける間にどれだ け増加するかを表してい るということだ。 第 2 項目も同様に

∂Ey ∂y

dy

が y 方向の増加を表して おり、 dx dz が xz 面の面 積を表しているので、直 方体を y 方向に通り抜ける時のベクトルの増加量を表している。 もはや第 3 項目も同じ説明をする必要はないだろう。divE dV は x、y 、

z の各方向についてのベクトルの増加量を合計したものになっているので ある。 マイナス方向についてもうまい具合になっている。つまり、さっきまで は x 軸のプラス方向へ dx だけ移動した場合のベクトルの増加量について だけ考えていたが、反対側の面から入って大きくなって出てきた場合につ いても divE はプラスになるように出来ている。なぜなら、x 軸のプラス 方向からマイナス方向に向けてベクトルが入るということはベクトルの x 成分がマイナスになっているということである。

207

第4章

補習の部屋

これが大きくなって直 方体から出て来るという ことは − dx だけ進む間に

x 成分が減少したと見なせ るわけだ。これは逆に見 れば dx 進む間に x 成分 が増加したと計算できる。 つまり divE dV という のは絵的に見たのと全く 同じような意味で、ベク トルが直方体の中から湧 き出してきた総量を表す ようになっているのであ る。この値が負なら、ベ クトルはこの直方体内部 に吸収されたと考えれば いい。 それで、divE の意味 は、と問われたら「単位体積あたりのベクトルの増加量を表す」と言え ばいいのである。 お帰りの案内 ：

4.3

2.2 節から来られた方

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2.5 節から来られた方

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ストークスの定理

ストークスの定理はベクトルが定義されている空間内での線積分を面積 分に変換する便利な公式である。考え方はガウスの定理に似ているが、完 全に納得するためにはガウスの定理より少々の根気が必要かも知れない。 しかし一度イメージが出来てしまえばとても理解しやすい公式である。ス トークスの定理は次のような式で表される。

208

4.3. ストークスの定理



 E · ds =

rotE · n dS

この中に出てくる rotE という部分はガウスの定理の中に出てきた divE と同じように略記号であるが、divE が単なるスカラー量だったのに対して こちらはベクトル量である。よって次のような x、y 、z の 3 成分で表現し なければならない。

 rotE ≡

∂Ez ∂Ey ∂Ex ∂Ez ∂Ey ∂Ex − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y



これはベクトルの回転を表す量なので「rotation」を略して rot と書く。 教科書によっては curl と表記しているものもある。この面倒な組み合わせ がなぜベクトルの回転を表すのかという説明は最後にすることにしよう。 上に書いたストークスの定理の左辺は線積分になっている。線積分をす るためにはコースを決めなくてはならない。この定理の場合どんなコース を選んでもいいのだが、ただ一つの条件として空間内をぐるっと一周した 後で元の位置に戻ってきて輪を作るようなものでなければならない。そし てその輪の上の微小な長さの線分を考えて、その点でのベクトル E との 内積を取る。内積を取るということは、微小線分と同じ向きのベクトル成 分だけを取り出して微小線分の長さと掛け合わせるということである。も し考えているコース上のベクトルの中に、このコースと同じ向きの成分が 多く含まれていれば左辺の値は全体としてプラスになる。つまり左辺がプ ラスになる場合、このベクトルはこのコースに沿って渦を巻いていると言 えなくもない。丸い渦ではないかも知れないし、部分的に逆流しているか も知れないが、全体として輪を描く成分が多く含まれているということで ある。 次に右辺についてだが、こちらは面積分になっている。この時に積分する 面としてどのような範囲を考えれば良いかと言えば、先ほどの左辺の線積 分で選んだコースで囲まれた面である。このために先ほどの線積分のコー スはぐるっと輪になっていなくてはならなかったのである。そうでなけれ ば有限の範囲の面が定まらない。面の形については線で囲まれていればど んな形の面を考えてもよい。膨らんでいてもでこぼこしていても構わない ということだ。この面の上に網戸のような細かい網が張られていると考え

209

第4章

補習の部屋

てみよう。その網目の小さな四角形一つの面積を dS とする。また、n は この微小な面に垂直な単位ベクトルである。その多数の四角形上で各々計 算できる量 rotE はベクトルであるが、これと n との内積をとることで面 に垂直な成分のみを取り出すことが出来る。この操作を施すことによりベ クトルではなくなるわけだ。この値と微小面積 dS とをかけあわせて全て を合計した量が左辺と等しくなるというわけである。 右辺の計算に一体どんな意味があって左辺と同じになるというのだろ うか？ ガウスの定理を説明したときと同じパターンでいってみよう。とりあえ ず一つのことを認めてもらえばこれをイメージするのはそれほど難しいこ とではない。それは、右辺の中の rotE · n dS の部分が微小な四角形の周り の渦を意味するということである。ここでいう渦とは上で左辺の説明をし たときと全く同じ意味での渦である。微小な四角形の周りに沿って一周の 線積分した値が rotE · n dS になるということである。なぜそうなるのか は最後に説明するのでとりあえずそうなのだと信じてもらうことにしよう。 微小な四角形のうちのある 一つに注目し、さらにその一 辺に注目しよう。どの四角形 の周りでも右回りに線積分を しているとすると、この一辺 に沿った線積分は、その隣の 四角形ではその辺を逆向きに たどって計算を行っているは ずである。つまり、一つの微 小な四角形の一辺で計算され た量は、同じ辺を共有するす ぐ隣の四角形の計算で打ち消 されてしまうのである。 それで全体を積分した時に はほとんど全ての辺についての計算が打ち消されてしまうことになる。例 外的に打ち消されずに残るのは面の縁に沿った辺だけだということになり、 それは左辺で計算したのと全く同じ部分である。 こう考えれば、両辺が等式で結ばれることは当然納得がいく。

210

4.3. ストークスの定理 残る問題は、本当に rotE · n dS が微小四角形の周りの線積分を表して いるのかというところだ。

なぜ rotE が回転を意味するのか

ここからが一番説明の面倒なところだ。rotE がベクトル量なので 3 つの 方向について説明しなくてはならない。とりあえず、微小な四角形の面が z 方向を向いていた場合を考えよう。すると微小な面積 dS は、 dS = dx dy で表すことが出来る。また面に垂直な単位ベクトルも z 方向を向いているの で rotE との内積をとると rotE の z 成分だけが残る。よって、rotE · n dS は次のように簡単に表現できる。

 rotE · n dS

= =

 ∂Ey ∂Ex − dx dy ∂x ∂y ∂Ex ∂Ey dx dy − dy dx ∂x ∂y

これで二つの項が出来上がったわけだが、これらが微小四角形の周りの 線積分を表していることが分かるように変形するのは多少強引になってし まうと思うので、逆に線積分を計算してみてこれと同じになることを示す ことにしよう。 微小四角形の周りの線積分をするために次ページの図のようなコースを 選ぶ。まず (x, y, z) を出発。x 方向へ dx だけ進み、(x + dx, y, z) へ。そこ から y 方向へ dy だけ進み、(x+ dx, y + dy, z) へ。さらにそこから x 方向へ

dx だけ引き返す。別の言い方をすれば − dx だけ進む。これで (x, y + dy, z) へたどり着いた。そしてスタート地点へ戻ってくるために − dy だけ進む。 一見、左回りをしているようだが、これは z 軸に対して右回りになってい ることに気をつけよう。右ねじの法則と同じで、右ねじがこのような回転 をした時に進む方向が z 軸の方向になっている。 211

第4章

補習の部屋

この時の線積分を計算すれば

Ex (x, y) dx + Ey (x + dx, y) dy − Ex (x, y + dy) dx − Ey (x, y) dy となる。これについて少し解説を加えておこう。まず、ベクトル E は x、

y 、z の関数ではあるが、今は z は計算にあまり関係ないという理由で省い てある。いちいち書いていたらごちゃごちゃして見にくくなるだろう。さ らに、ここで微小長さだけ移動する間にはベクトルの値は変化しないと見 なして計算を行った。だからいちいち積分しなくてもこのように簡単な式 で表現できるわけだ。微小領域を考える時にはこのような考え方が使えて 便利である。また y 方向に進むときにはベクトル E の y 成分の値をかけ て、x 方向に進むときには x 成分の値をかけている。これによってストー クスの定理の左辺を計算した時に微小線分との内積をとったのと同じこと を実現している。 ところで、よく見るとこの中にごまかしがあるのに気付くだろう。なぜ

(x, y) や (x + dx, y) や (x, y + dy) での値だけを使って、(x + dx, y + dy) での値を使わないのだろう？ 本当にベクトルの値が変化しないと見なして も良いのだろうか？ そういうことに対して問題意識を持つことは、分から ないまま受け入れるよりも大切なことである。 話を進める前にこの疑問に答えておくことにしよう。まず、(x+ dx, y+ dy) を使わないのは今後の計算の都合である。そのために、(x + dx, y + dy)

212

4.3. ストークスの定理

でのベクトルの値と (x, y + dy) での値は本当は違うかも知れないが、今は 位置的に微小な違いしかないのでほとんど同じだと考えることにしている。 そして便利なことに数学上、こういう事をしても構わない仕組みになって いるのである。それはこういう理屈だ。仮に、そんな大雑把な考えは許せ ないのでその変化分も計算に入れたとしよう。しかし位置的に微小な違い なので一定の割合

∂E ∂y

で変化していると見なせるだろう。このくらいのこ

とは微積分の基本的な考えであるので認めてもらいたい。こういう考え方 をすると、例えば初めの辺の線積分は正確には次のようになる。

1 ∂E dx dx 2 ∂x なぜこうなるかという説明は必要だろうか？ 私の学生時代のことを考え ると念のため説明しておいた方がよいだろうな。初めのベクトルの x 成分 の値は Ex (x, y) で、 dx だけ進む間に ∂E ∂x dx だけ増加する。つまり、 dx 進 ∂E む間に Ex (x, y) + ∂x dx になるわけだ。一定の割合で増加しているので、 これらの平均を取って計算してやったというわけだ。これを見ると、後ろ の項には dx が 2 回かかっている。微積分の考え方ではこの dx を無限小 にまでした極限を考えるのであるから、後ろの項は前の項に比べて数学的 に十分無視しても良いものである。他の辺についても同様な考えが使われ ているわけだ。 これで計算上の疑問が解決したので先に進むことにしよう。 先の線積分の結果を変形してやれば Ex (x, y) dx +

{Ey (x + dx, y) − Ey (x, y)} dy − {Ex (x, y + dy) − Ex (x, y)} dx となる。 dx, dy についてまとめてやっただけだ。第 1 項目のカッコの中身 は x 方向に dx だけ位置変化したときの Ey の変化量を表しているので、変 ∂Ey ∂x

∂Ey ∂x

x dx と書ける。第 2 項目のカッコ内も同様に ∂E ∂y dy と書ける。つまり、これで前に出てきた式と同じ形になることが分かる。 これでようやく微小な四角形が z 軸方向を向いていた場合についてだけ、 rotE · n dS が微小四角形の周りの線積分を表していることが説明できた。 しかし面が他の方向を向いていた場合についても同じようなことが言える だけなのでいちいち説明する必要はもうないだろう。 rotE の z 成分と微小面積 dS をかけたものが、面が z 軸方向を向いてい ∂E x た時の渦を表しているということは、rotE の z 成分である ∂xy − ∂E ∂y の

化率

を使って

213

第4章

補習の部屋

部分が表しているのは xy 平面内の単位面積辺りのベクトルの渦の量だと いうことになる。この量が rotE の z 成分である。x 成分も y 成分も同様 なことになっているということは、rotE がベクトルの渦の軸方向を示すベ クトルになっているということだ。 つまり、rotE が指し示す方向に対して右回りの微小な渦がその点に存在 していると言えるのである。 お帰りの案内 ：

4.4

2.2 節から来られた方

→ 85 ページへ

2.5 節から来られた方

→ 96 ページへ

∇（ナブラ）を使え！

これまでに rot や div や外積の説明を終えたのでこれで次のステップに 進む準備は整った。ここまで来たら ∇（ナブラ）について説明しないでは いられない。これまでの話と非常に関係があり、しかもこれを使いこなす と途端に物理学者らしくなれるのだ。

∇（ナブラ）というのは私の記憶が正しければヘブライ語であり、 「竪琴」 を意味するらしい。形が似ているのだそうだ。∇ はベクトルであり、次の ような意味を持つ。  ∇≡ この中途半端な記号は、本来「

∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x



」のように使うものであって、この

場合、y を x で偏微分することを意味する。ではここで出てきた「

∂ ∂x

」は

何を意味するかというと、 「この記号の後に書かれたものを x で偏微分しな さい」ということである。このように次に来るものに対して計算の指示を 与える記号を「演算子」という。（数学者は作用素と呼ぶようだ。）演算子 はこれだけではない。例えば「＋」という記号は「次に来る数字を足しな さい」という計算を指示しているものであり、「＋」「−」「×」「÷」など ∂ の記号もみんな演算子である。よって「 ∂x 」は正確には「微分演算子」と

呼んで区別されるべきである。 さて、∇ はこの演算子を複数組み合わせてベクトルとして表現したもの である。具体的な数字でも関数でもなく実体を持たないようなものをベク

214

4.4. ∇（ナブラ）を使え！

トルとして表現することにどんな意味があるのだろうか、こんなことをし てもいいのだろうか、と思うかも知れない。 しかしこの表現をすることには大きな利点があるのである。単に数式を コンパクトに表現できるというだけのものではない。 もともと数学というのは自由にルールを作ってその結果どんな面白いこ とが言えるかを調べる学問であるので、このような考え慣れないことをやっ たからといってこれは数学じゃないとか現実的ではないとか言われる筋合 いはないのである。 この演算子は物理の範囲では特に量子力学で威力を発揮する。具体的な 数字を扱うことなく、演算規則だけを対象にすることにより物理法則を記 述する・ ・ ・という言い方をすると神秘的に聞こえるだろう。神秘的に思え るのはそれがどんなものかを知らないからである。慣れてしまえば当たり 前に思えるようになる。 前置きで期待させてしまったかも知れないが、今回ここで説明する範囲 は基礎知識程度のものであって、まだ数式をコンパクトに表現できる、と いったくらいの話しかでてこない。しかし、いずれこれが役に立つのだ。千 里の道も一歩から。では、こつこつと行ってみよう。

勾配 ある関数 φ(x, y, z) を使って ∇φ と書いた時、これは   ∂φ ∂φ ∂φ ∇φ≡ , , ∂x ∂y ∂z を計算することを意味する。つまり ∇ を普通の関数に演算した結果はベク トルに変わる。このベクトルは関数の傾きの方向と大きさを指すのでこの 演算のことを「勾配（グラーディエント）」と呼んだり、「gradient」を略 して gradφ と表現したりする。 力学ではポテンシャルエネルギーから力の向きと大きさを得るのに良く 使われる。電磁気学では電位から電場を求めるときに良く使われる。電位 の傾斜の方向が電場の向きになっているからである。具体的なイメージは 本文を参照のこと。

215

第4章

補習の部屋

発散 さらに行こう。この ∇ とあるベクトル E との内積をとると・ ・ ・さあ、思い 出せ！ 内積はその成分同士の計算で表せて、A(x, y, z) , B(X, Y, Z) の時、

A · B = xX + yY + zZ ! " ∂ ∂ ∂ と書けるのであった。ここでも ∇ ∂x , ∂y , ∂z と E(Ex , Ey , Ez ) を使って 同じように計算してやれば次のようになる。 ∇·E =

∂Ex ∂Ey ∂Ez + + ∂x ∂y ∂z

これはどこかで見たことがあるだろう。divE と同じである！ この二つ は全く同じ意味なのである。

divE ≡ ∇ · E 教科書によっては div を使わずに ∇ を使ったこの形式で書いてあるもの もあるが面食らってはいけない。

回転 もう勘付かれているかも知れない。∇ と、あるベクトル B との外積を 計算してやれば、答えはベクトルとなり、rot の定義と同じになるはずで ある。

∇ × B ≡ rotB 何だか数学っていうのはうまい具合にできているねぇ。これを確かめる のは大して難しい話でもないので自分でやってみるといいだろう。

ラプラシアン さらにエスカレートして、今度は ∇ 同士の内積を計算してみよう。特に 意味があってこういうことをしているわけではない。出来ることはみんな 試して、便利なら使ってやろうというくらいの考えだ。この結果は

∇·∇≡ 216

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

4.5. 直線上の電荷が作る電場の計算

となり、 「ラプラス演算子」または「ラプラシアン」と呼ばれている。これ は良く使うのでもっと簡単に ∇2 と書いたり、 と書いたりすることの方 が多い。これを使うと、

∂2φ ∂2φ ∂2φ + 2 + 2 =0 ∂x2 ∂y ∂z と表される「ラプラス方程式」が

φ = 0 という具合に、劇的に簡単に書けてしまう。別に簡単に書けるというだけ であって、簡単に解けるようになるというわけでもないのだが。

なぜこんなものを書いたのか 読者の対象を完全に外してしまっているかも知れない。大学生ならこん なことはすぐに習うし、そう難しいものでもない。しかし私はこんなこと にも混乱していたことがあるのだ。 大学の講義が全く分からずパニックに陥っていたので、 が出てくると、 「あれ？ これは確かグラーディエントじゃなかったっけか？」とか「ナブ ラとグラーディエントってどこが違うんだ？」とかマヌケなことで悩み始 める。しかしもう「難しい、分からない」と決め付けてしまっているので 調べようという気力もない。 そこで、こういう具合にまとめて一気に説明するようなものが当時あっ たら楽だったのになぁ、と思いながら書いたわけだ。教科書っていうのは あちこちにチョコチョコと書いてあって知りたいことを探しにくいったら ありゃしない。知ってればすぐに見つかるが、教科書ってのは知らない人 のためのものだろう？

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4.5

直線上の電荷が作る電場の計算

ここでは直線状に一様に分布する電荷が周囲に作り出す電場を計算する。 この結果は直線電流が周囲に作る磁場と良く似た形になるので、ビオ・サ

217

第4章

補習の部屋

バールの法則を導き出す部分のヒントになるだろう。まったくそのためだ けにここに載せてある。 計算結果は目的ではない。答えを知りたいだけならば「ガウスの法則」 を使った方がよっぽど簡単に求められる。しかしその方法を使ったのでは ビオ・サバールの法則のヒントとして使える式が得られない。ガウスの法 則を使うやり方はかなり典型的な例題であるから、他の教科書にも十分な 説明があるだろう。よって、ここでは説明しない。 ここでは基本に立ち返って、理解しやすい代わりに計算には少し手間の 掛かる方法をわざわざ選ぶことにする。 まず、x 軸上に一様な線密度 σ で電荷が分布しているとしよう。微小長さ dx 内に存在する電荷は σ dx だという考えである。このような電荷が −∞ から +∞ に至るまで途切れることなく存在しているとする。 電場の強さは x 軸からの距離 R のみで決まり、x 軸に垂直な方向を向い ているに違いない。なぜなら、電場を測るために x 軸に平行にどれだけ移 動してみても状況は何も変化せず、x 軸の正負のどちらの方向を眺めてみ ても対称に分布があるからである。電場がどちらかに傾いて存在する理由 が見出せない。

ここでは説明しやすいように、原点から x 軸に垂直な方向に距離 R だけ 離れた点を A として、点 A での電場を計算するとしよう。点 A の電場に 影響を与えるのは x 軸上のあらゆる点にある電荷であって、それらの影響 を全て足し合わせないといけない。 例えば、原点から x 軸方向へ x だけ離れた点の近くの微小長さ dx 内に ある電荷 dq は σ dx であり、この電荷はほぼ一点にあるとみなせるだろう。

218

4.5. 直線上の電荷が作る電場の計算

ここから点 A までの距離は

r=

x2 + R2

である。よって、この微小な電荷 dq が点 A に作る電場の強さ dE は、

dE =

1 ρdx 4πε0 r2

と計算できる事になる。しかしこれは x 軸に垂直な成分の値ではない。x 軸に垂直でない成分は原点を挟んで反対側の電荷の影響と打ち消しあって 消えてしまうのである。よって、初めから x 軸に垂直な成分だけを表して 積分しておけば手間が省けるだろう。先ほどの式に sin θ をかけておけばい い。この θ というのは、電荷の位置から点 A を見たときの x 軸との角度で ある。 あとはこれを x 軸の −∞ から +∞ まで積分してやればいいのである。



∞

E(R) = −∞

1 σ sin θ dx 4πε0 x2 + R2

ところが、この式の中にある θ も x の関数ではないか！ このままでは計 算できない。θ と x との間にどんな関係があるかと言えば、

sin θ = √

R x2 + R2

であるが、これを代入してみてもどうも簡単には積分できないようである。 それなら逆に、tan θ = R/x であることを使って、x の方を θ で表してみ たらどうだろうか。

x = R/ tan θ dx ∴ = −R/ sin2 θ dθ ∴ dx = −R/ sin2 θ dθ これらを代入してやって、θ で積分してやる。

219

第4章

補習の部屋

 E(R)

= = = =

∞

1 σ sin θ dx 2 2 4πε 0 x +R −∞  0 σ sin θ −R dθ 2 R 2 4πε0 π tan2 θ + R sin2 θ  π σ sin θ dθ 4πε0 R 0 σ 2πε0 R

こうしてめでたく結果を得る事が出来た。しかし最後の方の計算テクニッ クはどうでも良い。一番大切な部分は、この結果が各点からの

1 σ sin θ dx 4πε0 r2 という寄与を積分することで得られるのだという点である。

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4.6

デルタ関数

微分形のガウスの法則の右辺には電荷密度 ρ が出てくる。

ε0 divE = ρ 電荷密度 ρ は位置の関数である。場所によって電荷の密度が決まるとい うことである。多数の電荷が雲のように集まった状態を遠くから眺めるよ うな場合には、このような密度による扱いは大変役に立つ。ところがもっ と対象に近付いて、電荷を持った個々の粒子について論じようとすると、こ の形式はやっかいである。 もし粒子に有限の大きさがあると考えるような場合ならば、電荷が内部 に一様に分布していると考えたり電荷密度が中心からの距離の関数として 表せるなどと仮定することも出来る。しかし素粒子について論じるときや、 他のものに対して大きさが無視できるとする場合などのように、粒子の大

220

4.6. デルタ関数

きさが一点であると考えたい場合には密度は使えない。電荷を持つにも関 わらず粒子の大きさが 0 であるということは、電荷密度が一点のみで無限 大になることを意味するからである。 それでもガウスの法則を使いたいときにはどうしたらいいだろうか。 そこで登場するのが「デルタ関数」である。電荷密度が一点で無限大に なるなら、それをそっくりそのまま表してやる関数を作ってやればいい、と いうわけだ。その定義は次の通りである。

 δ(x) =

∞ （x = 0 の時）   0 （それ以外）

関数の中身が 0 になる時に値が無限大になるので、x = a の点に電荷が 存在することを表したければ

δ(x − a) としてやればいい。 本当にこんな単純に電荷密度を表しただけで問題が解決したのだろうか？ いや、まだまだ問題がある。電荷密度をある範囲で積分すれば、その範囲 にある全電荷量が求められるはずだ。だからこの δ 関数を積分した時には、 ちゃんとその一点に存在する電荷量が求められなければいけないはずなの である。そこでお気楽に次のような条件を加えておこう。 「 δ(x) を x = 0 を含む範囲で積分した結果は 1 になる。」 なぜ積分の結果が 1 になるようにしたかというと、こうしておけば、電 荷 e が x = a の点に存在する時の電荷密度を表すのに

e δ(x − a) という具合に書いておけるからである。これを積分すれば、結果は e になっ て、ちゃんと積分範囲に含まれる電荷の大きさが導かれるというわけだ。

221

第4章

補習の部屋

まぁデルタ関数なんてのは上で説明したくらいのものなのだが、一点だ けで無限大で、積分すると 1 になるなんてイメージがわかないという人が いるかも知れないのでちょっとだけ補足しておこう。 まず次のような関数を 考える。x が 0 から 1 ま では値が 1 で、それ以外 は 0 となるような関数だ。 積分というのは関数が作 る面積だと考えられるか ら、これを積分すれば値 は 1 になる。 この関数のでっぱり部 分の面積を一定にしたま ま幅を狭くしてやって、幅 を極限まで 0 に近づけた ものがデルタ関数だと考 えればそれほど無理な考 えでないことが分かるだ ろう。

しかしこのイメージが 全てだと考えていると失敗する。例えば、

f (x) =

sin(ax) πx

なんて関数も積分の値は a の値に関わらず 1 になる（複素関数論を使って 計算する）し、sin 関数は x = 0 の極限では x に比例する形の関数になる ので分子と分母で打ち消しあって有限の値 a/π になる。そこで a → ∞ の 極限を取ることで δ 関数と似た性質を実現できる。

222

4.6. デルタ関数

このような近似式は他にいくらでも考えられるのだ。 私が学生の頃の話だが、講義の中でいきなり上に出した sin 関数による 近似式を使われたので、「なぜ δ 関数をそうやって変形できるんですか？」 と質問したことがあるが、 「そんな当たり前のことも分からないのか？」と 笑われただけだという苦い思い出がある。ああ、やだやだ。 こんなおかしな関数を考え出したのはディラックという有名な物理学者 である。ディラックは変なことをする天才である。彼の論理は非常に危う くて大胆だが間違っちゃいないというので、「アクロバティック（曲芸）・ ディラック」という異名を取るほどだ。物理をやっていればその内、分か る。（笑）（ディラック方程式、ブラケット記号、反粒子、モノポールの存 在仮説、巨大数仮説など）

223

第4章

補習の部屋

さて、δ 関数などという奇妙なものを関数として認めてしまうと、これ まで関数の性質として論じていたことが当てはまらない事柄が出てきてし まい、数学的にいろいろな不都合が発生してしまうことになるらしい。 （ど ういう不都合かは私には詳しく語れない。） しかし、δ 関数が便利に使えて、論理的に破綻しているわけではないのも 確かだ。そこで数学者は渋々これを認め、これは関数とは別のものである という意味合いを込めて「超関数」というものに分類することにした。英 語では distribution と呼ばれており、function とは別物扱いだ。日本語で は「超関数」と訳されているが、これは意味を捉えたものであって的外れ な訳というわけではない。そしてこれは数学の一分野にもなった。 ディラックという人は全く（良い意味で）人騒がせな人である。 この関数はここに書いた以外にも、微分ができたりフーリエ変換ができ たりとなかなか面白い性質があるのだが、とりあえずはこれくらいの理解 で十分であろう。興味のある人は調べてみるといい。

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4.7

単位系による違い

ネット上に公開してある私の記事を読んで物理の面白さに気付き、喜ん で自分の教科書を再勉強する人が多いようで、とても嬉しいことである。 ところが電磁気学では法則の表現法や解釈に幾つかの流儀があって、教 科書によってバラバラになっている。それで、「なんだ？ ネットにある説 明と違うぞ。どっちが本当なんだ？」という疑問を持つことになるのだが、 まあ当然のことであろう。すべての流儀を自由に使いこなせるようになれ ばカッコいいのだが、なかなか大変な苦労が要る。 ここでは、どのような流儀が存在するのかということについて、 「最低限 知っていれば大半の人が満足できる程度」に説明しようと思う。

224

4.7. 単位系による違い

注目すべき 5 つのポイント 次に挙げる 5 つの違いを押さえておけば、大抵の教科書の流儀はこの組 み合わせで理解できる。

(1) 単位系の違い (2) 有理系か、非有理系か (3) 基準となる物理量 (4) E-H 対応か、E-B 対応か (5) 使う記号の違い 上から順に説明していこう。

(1) は使用する単位系の違いであり、長さ、質量、時間の単位として、そ れぞれ cm、g、S を使うか、m、kg、S を使うかの違いである。前者を「cgs 単位系」と呼び、後者を「MKS 単位系」と呼ぶ。単位の国際標準規格を定 めた「SI 単位系」では後者に加えて電流（アンペア）を基準にする「MKSA 単位系」を採用しているので、前者は肩身が狭くなってきており、やがて 使われなくなってゆくことであろう。昔よく使われていた「ガウス」など の単位は前者による表現である。 (2) は、4π をどこにつけるかという問題である。本書の解説では電荷の 間に働く力を表すクーロンの法則の比例定数の中に初めから 4π が入れて あった。これは後で出てくる微分形の法則がきれいになるためにそうした のであった。しかしクーロンの法則を良く使う職業の人にとって、これは 面倒である。だから微分法則の中に 4π が出てきても構わないから、クー ロンの法則をきれいにしておきたいと考える。しかし、そんなことをされ たのではマクスウェル方程式は π だらけになってしまう！ 4π をクーロン の法則に入れる方法を「有理系」と呼び、微分法則に出してしまう方法を 「非有理系」と呼ぶ。

(3) は、どの物理量を基準にして他の物理量を決めるか、という問題であ る。SI 単位系では電流を基準にしている。しかし、真空の透磁率 μ0 を 1 に 225

第4章

補習の部屋

した方がすっきりするじゃないか、という職業の人もいる。主に磁気モー メントを研究したりする人がそうである。これを 「emu（電磁単位系）」 と呼ぶ。ElectroMagnetic Unit の略である。副作用として、ε0 = 1/c2 と なる。その逆に、誘電率 ε0 を 1 にした方がきれいじゃないか、という人も いる・ ・ ・が最近は少ないかも知れない。これを「esu（静電単位系）」と呼 ぶ。ElectroStatic Unit の略である。副作用として、μ0 = 1/c2 となる。ど うせなら μ0 も ε0 も 1 にしてやれという立場もあって、これを「Gauss 単 位系」と呼ぶ。真空中で E と D 、B と H を区別する必要がなくなるのは かなり魅力的である。しかし副作用としてビオ・サバールの法則の中に光 速度 c が出て来てしまい、なぜこの法則に光速度が関わっているのかとい うことについてはマクスウェルの方程式を立てるまで理由がはっきりしな い。よっぽどうまく解説しないと初学者をつまらないことで悩ませること になるだろう。

(4) はその人の哲学の問題に関わっている。磁気モノポールはあるのかな いのか？ もし存在すれば電場と磁場が非常に美しい対称性を持つことにな り、磁場 H が電場 E と同じ意味を持つことになる。我々が未だに発見し ていない領域で、多数のモノポールが電子と原子核のように結晶を作って いたとしたら、電場と全く同じ議論が成り立つではないか。 この立場は磁石を主に扱う研究者に多い。彼らの教科書には磁場 H こ そ電場 E に対応するものである、と説明されており、磁荷の間に働くクー ロン力を電荷のときと同じ形式で論じ、ビオ・サバールの法則を磁場 H を 使って記述する。この方が形式的にすっきりしていて理解しやすいのだと いう。私には納得いかない。もし磁場 H の方が本質なのだとしたら、B の 物理的な意味をどう解釈したらいいのだろうか。 ただ、どちらの言い分が正しいかということは言えない。モノポールが 発見されるか、モノポールが存在することによる論理的矛盾点を見つける か、電磁気現象が生じる機構が低いレベルから明らかにされて、このよう な議論をすること自体がバカらしくなるかしない限り、これは電磁気学の 未解決問題であり続けるのである。

(5) は全く見栄えの問題である。divE は代わりに ∇ · E と書いてやって もいい。rotB は代わりに ∇ × B と書いても同じ事だ。curlB と書く人も 226

4.7. 単位系による違い いる。gradφ を ∇φ と書く人もいる。このあたりは好みの問題であって大 した違いではない。まあ、初学者にとって見た目の違いはかなり大きな要 素ではある。

主な流儀の紹介 よく使われている代表的な流儀を紹介しよう。

MKSA 有理単位系 本書で採用している方法である。20 世紀前半の頃になって実用的単位系 として「発明」された。国際標準として定められているので主流派となっ ている。ただし、E-H 対応か E-B 対応かという立場の違いはあるので気 をつけなくてはならない。 cgs Gauss 単位系 MKSA 有理単位系の次によく見かける方法である。Gauss 単位系という 名称は ε0 = μ0 = 1 という立場であることを示している。電気的な量には esu の定義を使い、磁気的な量には emu の定義を使っているので両方が関 わる数式には光速度が出現することになる。「cgs 対称単位系」とも呼ばれ ている。磁束密度の単位として「ガウス」を使うのは cgs を採用している からであって、この故に Gauss 単位系と呼ばれているわけではない。この 「ガウス」という単位は公に使うのを禁止されたので、この形式もこれから 徐々に廃れて行くことであろう。非有理系を使っているので、公式の中に 4π がよく出てくる。 ローレンツ・ヘヴィサイド単位系

cgs Gauss 単位系とほとんど同じだがこれに有理系を取り入れた形式に なっている。一昔前は主流であった。これが元となって MKSA 有理単位系 が作られて主流がそちらに移行することになった。ちょっと古い教科書で はよく見られる形式である。

227

第4章

補習の部屋

cgs 静電単位系 ε0 = 1 とし、真空中で 1cm の距離にある等しい電気量の間に働く力が 1dyn である時、これを 1esu の電気量であると定義する。dyn（ダイン）は cgs 単位系での力の単位であり、1N = 105 dyn であるが、現在では使われ ていない。この 1esu の電気量には「フランクリン Fr 」という単位の名称 が使われたことがあった。 cgs 電磁単位系 μ0 = 1 とし、真空中で 1cm の距離にある等しい強さの磁極に働く力が 1dyn である時、これを 1emu の磁極の強さであると定義する。 私の学生の頃にはこのような話が載っている教科書が少なくて困った。 教科書を書いておられるどの先生方も自分のやり方が唯一最高との自信を 持っておられるので（でなければ教科書なんて書けない）、他のやり方があ ることなどわざわざ説明してはいないのだ。読者に無用な混乱を生じるの も避けたかったのであろう。 しかし私はいくつかの分野の教科書で引用されている公式の形が違うこ とですでにひどく混乱させられてしまっていた。「一体、どれが本物なの だ？」その末にようやく単位系の取り方の違いがあることを知ってそれを 調べるために図書館へ向かったのである。 何冊もの本を調べてようやく、このようなことを解説している本に出会 えたのだが、それを解説するだけでかなりのページを割いていた。 「肝心な 事だけ語れや！」と言いたくなるような教科書であり、結局「このあたりの 事情は難しいんだな」ということだけ理解して本を閉じた。今思えば、そ れほど複雑な事情でもなかったようだ。

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4.8

電気力線の実在性

第 3 章の「マクスウェルの応力」という節の中で次のような解説をした。

228

4.8. 電気力線の実在性

「電荷の間のマクスウェルの応力の形を詳しく調べると、ちょ うど電場の向きには引き合う力が働いており、その垂直方向に はお互いに斥け合う向きの力が働いていることが分かる。これ はまるで電荷の間に電気力線と呼んでも良いような弾性体が存 在しているようである。」 本筋とはあまり関係なかったのでその場での計算は省いた。しかし読者 の方からこれについてもっと詳しい話が知りたいとの要望が寄せられたこ とから、少し計算をしてみた。それほど難しい話でもなかったのでここで 軽く説明してしまおうと思う。 さあ、空間には本当に何かあるのだろうか？ それとも単なる解釈の問題 だろうか？ まず、以前の説明を思い出してもらうことにしよう。電場による応力テ ンソルは

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ T = ε0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

Ex2 − 12 E 2

Ex Ey

Ex Ez

E y Ex

Ey2 − 12 E 2

E y Ez

E z Ex

Ez E y

Ez2 − 12 E 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

のように表現されるが、これは電荷と電荷の間に働く力が、 # $  1 Fx = ε0 (Ex2 − E 2 )nx + Ex Ey ny + Ex Ez nz dS 2 # $  1 ε0 Ey Ex nx + (Ey2 − E 2 )ny + Ey Ez nz dS Fy = 2 # $  1 ε0 Ez Ex nx + Ez Ey ny + (Ez2 − E 2 )nz dS Fz = 2

のように、ある領域を囲む閉曲面に加わる応力の積分で表されることを簡 略表現したものであった。ここで、n = (nx , ny , nz ) というのは微小面積

dS に垂直な単位ベクトルである。 229

第4章

補習の部屋

これを次のようにちょっと変形してやって、 微小面積 dS あたりに働く 力という具合に表してやると今後の解釈が楽になる。

dFx dS dFy dS dFz dS

1 = ε0 (Ex2 − E 2 )nx + ε0 Ex Ey ny + ε0 Ex Ez nz 2 1 = ε0 Ey Ex nx + ε0 (Ey2 − E 2 )ny + ε0 Ey Ez nz 2 1 = ε0 Ez Ex nx + ε0 Ez Ey ny + ε0 (Ez2 − E 2 )nz 2

今後の計算に都合がいいようにこれらの式をもう少し変形しておこう。 電場ベクトル E と単位ベクトル n の内積は

E · n = E x n x + E y ny + E z nz と書けるが、これを使って式を簡略化してやる。x 成分の式を例に取れば、

dFx dS

1 = ε0 (Ex2 − E 2 )nx + ε0 Ex Ey ny + ε0 Ex Ez nz 2 1 = ε 0 E x E x n x + ε 0 E x E y n y + ε 0 Ex E z n z − ε 0 E 2 n x 2 1 = ε0 Ex (Ex nx + Ey ny + Ez nz ) − ε0 E 2 nx 2 1 = ε0 Ex (E · n) − ε0 E 2 nx 2

ということだ。同様に、y や z 方向についても、

dFy dS dFz dS

1 = ε0 Ey (E · n) − ε0 E 2 ny 2 1 = ε0 Ez (E · n) − ε0 E 2 nz 2

のように変形できる。これらの結果をまとめてベクトルで表せば、

1 dF = ε0 (E · n)E − ε0 E 2 n dS 2 のように何ともすっきりした形になるではないか。

230

4.8. 電気力線の実在性

ここまでは今後の計算を簡単に済ませるための前置きである。私がいき なりこんなすっきりとした計算を思いついたと思ってはいけない。本当は もっとごちゃごちゃと式をいじり回して何とか今回の結果を得たのだが、 一番楽に説明できるやり方に直してある。さあ、これから本題に入ろう。

電場の方向にかかる力 電気力線というのは電場方向を示した線のことである。よって、電気力 線の伸びる方向にどんな力がかかっているかを調べたければ、電場方向に どんな応力がかかっているかを計算すればいい。つまり、微小面積 dS の 垂直方向を示すベクトル n がちょうど電場と同じ向きを向いている場合だ。 式で表せば、E = En という状況である。 この関係を上の式に代入してやれば、(E · n) の部分はただの電場の大き さを表す E になることから、

dF dS

1 = ε0 E 2 n − ε0 E 2 n 2 1 = ε0 E 2 n 2

という結果を得る。 これが意味するものは何だろう？ 電場に垂直な面 dS には、電場方向に 力が加わっているということだ。 電場の方向に力が加わるのは当然ではないか、という誤解をしている 人がいるかも知れないので、反対向きの場合についても計算してやろう。

E = −En という状況である。(E · n) は −E になり、さっきと符号が逆だ が、E = −En と打ち消しあって答えは結局先ほどと変わらない。つまり、 電場の反対向きにも引っ張られる力が加わっているということだ。 これはある領域に加わる応力であって、領域内の電荷の存在とは関係な いことを思い出してもらいたい。微小面 dS はその領域の表面上にあるの であって、ベクトル n はその領域の表面から外側に向かって伸びているこ とに注意しよう。 電気力線の束を包むような領域を想像してもらえば分かると思うが、今 の結果は電気力線が両側から引っ張られる形になっていることを表してい

231

第4章

補習の部屋

るわけだ。

電場の垂直方向にかかる力 次に電場に対して垂直方向にどんな力がかかっているか見てみよう。つ まり、E · n = 0 の場合だ。計算はさっきより遥かに簡単で、代入してやれ ば途中を説明するまでもなく、

dF 1 = − ε0 E 2 n dS 2 となる。さっきの最終結果と符号がちがうだけだ。 これが意味するものは、電気力線の横方向にはどの方向からも外から押 される力が働いているということである。 つまり、始めにファラデーが考えたように、電荷の間には、なるべく縮 もうとするゴムのようなひもがあり、それら同士は腹ではお互いに押し合 いへし合いしている、というイメージがぴったりくる状況になっているわ けだ。 こういう話を聞けば、昔の人がエーテルの存在にこだわった背景が分かっ てもらえよう。空間にはあたかも「何か在る」ようなのだ。こういう話を 知らないままで「エーテルなんて古い短絡的な考えだ」と昔の人を非難す るとすれば、一体どちらが愚かなことだろうか。

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4.9 4.9.1

慣性モーメントテンソル 動機と準備

第 1 章では回転軸から r だけ離れた位置にある質点の慣性モーメント I が

I = m r2 と表せる理由を説明した。（→ 52 ページ参照）多数の質点が集まっている 場合にはそれら全ての和を取ればいいし、連続したかたまりについて計算

232

4.9. 慣性モーメントテンソル

したければ各点の位置と密度を積分すればいい。この I を使えば角速度 ω と角運動量 L の間に

L = I ω という関係が成り立つのだった。 しかし以前のやり方には不便なところがある。一旦回転軸の方向を決め てその軸の周りの慣性モーメントを計算したら、その値はその回転軸に対 してしか使えないのである。まぁ当たり前の話ではある。軸の方向を変え たらその都度計算し直してやればいいだけの話だ。それで満足できる人は それでいいし、この節の残りの部分も読む必要がない。 それでも回転軸の方向をほんの少しだけ変更しただけの場合にわざわざ 一から計算し直すのは馬鹿らしいと思わないだろうか。元から少しずらし ただけなのだから、慣性モーメントには少しの変化があるだけに違いない。 何か楽に求められるような関係式が成り立っていそうなものである。 それがちゃんとあるのだ。ある軸について一旦計算しておきさえすれば、 「ほんの少しずらした場合」にとどまらず、どんな方向に変更した場合にで もちょっとした手続きで新しい慣性モーメントが求められるという素晴ら しい方法だ。もちろん楽をするためには少々の複雑さが増し加わることに 堪えねばならない。 回転軸を色んな方向に向ける事を考えるのだから、軸の方向をベクトル で表しておく必要がある。角速度ベクトル ω と角運動量ベクトル L を次の ように拡張しよう。

ω

= ω ( ω x , ωy , ω z )

L = L ( Lx , Ly , Lz ) このベクトルの意味について少し注意が必要である。例えば、

ω = ω ( ωx , 0, 0 ) と書けば、x 軸の周りに角速度 ωx で回転するという意味であるとしか考え ようがないから問題はない。それでは、

ω = ω ( ω x , ωy , 0 ) 233

第4章

補習の部屋

となった場合にはどう解釈すべきだろう。x 軸を中心に ωx で回転しつつ、 同時に y 軸の周りにも ωy で回転するなどというややこしい意味に受け取っ てはいけない。x 軸が回った状態で y 軸の周りを回るのと、y 軸が回った 状態で x 軸の周りを回るのでは動きが全く違う。そのような複雑な運動を 一つのベクトルだけで表せるだろうと考えるのは非常に甘いことである。 ここは単純に、(ωx , ωy , 0) の方向を向いた軸の周りを、角速度

ω=

 ωx2 + ωy2

で回っている状況だと理解するべきである。この計算をすると ω は負値を 取る事ができないが、逆回転を表せないのではないかという心配は要らな い。というのも、軸ベクトル ω の向きが回転方向をも決めているからであ る。 「右ねじの回転と進行方向」と同様な関係になっていると考えれば何も 問題はない。逆回転を表したければ軸ベクトルの向きを正反対にすればい い。

4.9.2

素人考え

記号の準備が整ったので、すぐにでも関係式を作りたいところだ。x、y 、

z 軸それぞれの周りに物体を回した時の慣性モーメント Ix 、Iy 、Iz をそれ ぞれ計算してやれば、 Lx

= Ix ωx

Ly

= Iy ωy

Lz

= Iz ωz

という 3 つの式が成り立っている。それで、これを行列を使って

⎛

Lx

⎞

⎛

Ix

⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Ly ⎟ = ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ Lz 0 234

0 Iy 0

0

⎞⎛

ωx

⎞

⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ωy ⎟ ⎟ ⎠⎝ ⎠ ωz Iz

4.9. 慣性モーメントテンソル

のように配置してやれば 3 つ全てを一度に表してやる事が出来るだろう。 後はこれを座標変換でグルグル回してやりさえすれば、回転軸をどんな方 向に向けた場合についても旨く表せるのではないだろうか。 これは基本的なアイデアとしては非常にいいのだが、すぐに幾つかの疑 問点にぶつかる事に気付く。例えば、(ωx , ωy , 0) という回転軸で計算して やると、

L = L ( Ix ωx , Iy ωy , 0 ) となって、Ix = Iy でもない限り、ω と L の方向が違ってきてしまうこと になる。角運動量が、実際に回転している軸方向以外の成分を持つなんて、 そんなことがあるだろうか？ また、上に出てきた行列は今は綺麗な対角行列になっているが、座標変 換してやるためにはこれに回転行列を掛けることになる。すると非対角要 素が 0 ではない行列に化けてしまうだろう。そうなると変換後は x、y 、z 軸についてさえ、L と ω の方向が一致しなくなってしまうことになる。こ んな事でいいのだろうか。この考えは本当に使えるのだろうか？ ひらめきを試してみる事はとても大事だが、その結果が既存の体系と矛 盾しないかということをじっくり検証することはもっと大事である。しか し一度おかしな固定観念に縛られてしまうと誤りを見出すのはなかなか難 しい。最初から既存の体系に従っていけば後から検証する手間が省けると いうものだ。直観を重視するやり方はどうしても先へ進めない時以外は控 えめに使うことにしよう。

4.9.3

定義に忠実にやってみる

こういう時は定義に戻って、ちゃんとした手続きを踏んで考えるのが筋 である。角運動量ベクトル L の定義は、外積を使って、

L=r×p と表せるのだった。（→ 66 ページ参照）ここで r は質点の位置を表す相対 ベクトルであり、どこを基準点にしても構わない。この式では基準にした

235

第4章

補習の部屋

点の周りの角運動量が求まるのであり、基準点をどこに取るかによって角 運動量ベクトルは異なった値を示す。 一般的な理論では、ある点の周りに自由にてんでんばらばらに運動する 多数の質点の合計の角運動量を計算したりするのであるが、今回は、ある 軸の周りをどの質点も同じ角速度で回転するような固形物についての状況 を考えているので、そういうややこしい計算をする必要はない。変形しな いような固形物のことを物理では「剛体」と呼ぶ。慣性モーメントという のは剛体の回転を表すという特別な場合に威力を発揮するように作られた 概念なのである。 さて、前から何度も言うように、剛体をどこを中心に回すかは自由であ る。必ずしも重心を基準にする必要もない。しかし後から「平行軸の定理」 が使えるように、重心を基準にして計算しておくのが賢いだろう。しかし 今しばらくは説明を簡単にするために一つの質点のみを考えることにして、 それが原点を中心にして、中心から離れたところを回っている状況をイメー ジしていて欲しい。後で多数の質点が一緒に回る状況を考える時には、そ れらの重心を原点として考えればいいのである。 上で出てきた運動量ベクトル p の定義は p = mv と表せるが、この速度 ベクトル v は角速度ベクトル ω を使って、

v =ω×r と表せる。なぜこう表せるのかは外積の理解のトレーニングのために自分 自身で考えてもらいたい。ここまでのことをまとめれば、L と ω の間に、

L = m r × (ω × r) という関係があるということである。外積は掛ける順序や並びが大切であ るから勝手に括弧を外したりは出来ない。これにはちゃんと変形の公式が あって、きちんと成分まで考えて綺麗にまとめれば、

L = m r2 ω − m (r · ω) r となることが証明できる。有名な公式を使っただけである。ここでもし第 1 項目だけだったなら、L は ω と同じ方向を向いたベクトルとなっていたこ とだろう。ところが第 2 項目は r 方向のベクトルである。いや、マイナス が付いているから r の逆方向だ。その合成ベクトルが L だというのである。

236

4.9. 慣性モーメントテンソル

これは驚きだ。物体は、実際に回転している軸以外の方向に、角運動量 の成分を持っているというのだろうか。ちょっと信じ難いことだが、定義 に従う限りはこれこそが正しい結果だと受け止めるべきである。しかし一 体なぜそんなことになっているのだろう。 それを考える前にもう少し式を眺めてみよう。このままだと第 2 項目が 悪者扱いされてしまいそうだ。2 つの項に分かれたのは計算上のことに過 ぎなくて、両方を合わせたものだけが本当の意味を持っている。しかし 2 つを分けて考えることはイメージの助けとなるので、この点は最大限に利 用させてもらうことにする。 さて、第 2 項目の r にだって、ω と同じ方向成分は含まれているのであ る。もし第 1 項目だけだとしたらまるで意味のない答えでしかない。その ことが良く分かるように、位置ベクトル r の成分を (x, y, z) と書いて、上 の式を成分に分けて表現し直そう。

Lx

= m r2 ωx − m (xωx + yωy + zωz ) x

Ly

= m r2 ωy − m (xωx + yωy + zωz ) y

Lz

= m r2 ωz − m (xωx + yωy + zωz ) z

これを行列で表してやれば次のような綺麗な対称行列が出来上がる。 ⎞ ⎛ Lx ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ L = ⎜ Ly ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ Lz ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎡⎛ mx2 myx mzx ωx mr2 0 0 ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎢⎜ 2 ⎜ ⎥⎜ ⎜ = ⎢ mzy ⎟ mr2 0 ⎟ ⎟ − ⎜ mxy my ⎟⎥ ⎜ ωy ⎢⎜ 0 ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎣⎝ mxz myz mz 2 ωz 0 0 mr2 ⎞ ⎛ −myx −mzx m(y 2 + z 2 ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ω = ⎜ + z ) −mzy −mxy m(x ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ −mxz −myz m(x2 + y 2 )

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

= Iω 237

第4章

補習の部屋

ここに出てきた行列 I こそ L と ω の関係を正しく結ぶものであり、慣性 モーメント I の 3 次元版としての意味を持つものである。これを「慣性モー メントテンソル」あるいは短く略して「慣性テンソル」と呼ぶ。 これは先ほど単純な考えで作った行列とどんな違いがあるだろうか。ま ず 3 つの対角要素に注目してみよう。左上からそれぞれ、x、y 、z 軸からの 垂直距離の 2 乗に質量を掛けたものになっていることが読み取れよう。つ まり x、y 、z 軸についての慣性モーメントを表しているわけで、この部分 については先ほどの考えと変わりがない。 先の行列との大きな違いは、それ以外の部分、つまり非対角要素である。 前の行列では 0 だったが、今回は何やら色々と数値が入っている。これを 「慣性乗積」と呼ぶ。第 2 項目のベクトルの内、ω と同じ方向のベクトル成 分を取り去ったものであり、L を ω の方向からずらしている原因はこの部 分である。 慣性乗積が 0 にならない理由は何だろうか。この部分は物理的には一体 何を表しているのだろうか。

4.9.4

慣性乗積の意味 慣性乗積というのは、r 方向を 向いたベクトルの内、ω 方向成 分を取り去ったものであると言 えよう。 しかもマイナスが付いている からその逆方向である。左図に 表したような方向を持ったベク トルである。 もしマイナスが付いていなけ れば、これは質点にかかる遠心 力が軸を質点の方向へ引っ張っ て、引きずり倒そうとする傾向

を表しているのではないかと短絡的に考えてしまった事だろう。しかしこ

238

4.9. 慣性モーメントテンソル のベクトルは遠心力とは逆方向を向いており、なぜか L を遠心力とは逆方 向へ倒そうとするのである。この理由を説明できなくてはならない。 遠心力と正反対の方向を向いたベクトルの正体は何か。そもそもこの慣 性乗積のベクトルが、本当に遠心力に関係しているのかという点を疑って みたくなる。それで第 2 項目の係数を良く見てみると、m(r · ω) となって いる。つまりベクトル r が ω と同じ方向を向いているほど値が大きくなる わけだ。しかし r があまりに ω に近い方向を向いてしまうと、その大部分 が第 1 項目と共に慣性モーメントを表すのに使われるので、慣性乗積は小 さめになってしまうだろう。 そして逆に r と ω が直角を成 す時には値は 0 になってしまう。 図で言うと、質点 r が回転の中 心と水平の位置にあるときであ る。この状態でも質点には遠心 力が働いているはずだ。それな のに値が 0 になってしまうとは、 やはり遠心力とは無関係な量な のか！ 現実の物体を思い浮かべなが ら考え直してみよう。質点が回 転中心と同じ水平面にある時に だって遠心力は働いている。そ のとき、その力で何が起こるだろうか。引っ張られて軸は横向きに移動す るだろう・ ・ ・。そうだ！ この状況では回転軸は横向きに引っ張られるだけ で、横倒しにはならない。慣性乗積は軸を傾ける傾向を表していると考え たらどうだろう。回転への影響は中心から離れているほど強く働く。つま り遠心力による「力のモーメント N 」に関係があるのではないか。

検証してみよう。遠心力の大きさは F = mRω 2 で表される。ここで R は軸からの距離である。r と ω の成す角を θ とすると、R = r sin θ である。 そして、力のモーメント N は F の回転方向成分と、原点からの距離 r を

239

第4章

補習の部屋

かけたものだから、

N = rF cos θ = mr2 ω 2 sin θ cos θ となる。一方、慣性乗積の部分が表すベクトルの大きさ |P | は m(r · ω)r の 内、r の ω 成分を取っ払ったものだから、

|P | = m(r · ω)r sin θ = mr2 ω sin θ cos θ という事で両者はただ ω 倍の違いがあるだけで大変良く似た形になる。

このような違いがあるのは当然である。「力のモーメント」と「角運動 量」は次元の異なる量なのだから、一致されては困る。ここで、 「力のモー メントベクトル」N というのは、理論上、L を微分したものであるという ことを思い出してもらいたい。L が次の瞬間、どちらへどの程度変化する かを表したのが N なのである。 「力のモーメント」のベクトル N は「遠心力による回転」面の垂直方向 を向くから、上の図で言うと奥へ向かう形になる。一方、角運動量ベクト ル L は慣性乗積の影響でなぜか左上に向かって傾いている。この状態から

240

4.9. 慣性モーメントテンソル 軸がほんの少し回ったら、L は軸の回転に合わせて少し奥へ傾く事になる だろう。 微小時間の間に微小角 dφ だけ軸が回転したとすると、L は |P | dφ だけ 奥へ向かうだろう。それを dt で割れば、L を微分した事に相当する。つま り、|P |( dφ/ dt) = |P | ω であって、先ほどの ω 倍の差はちゃんと説明で きる。 つまり、L がこのような傾きを持っていないと、N という回転力の存在 が出て来ないのである。別に L は遠心力に逆らって逆を向いていたわけで はないのだ。数式というのはいつだってそうだ。我々のイメージ通りの答 えを出してはくれるとは限らず、むしろ我々が気付いていない事をさらり と明らかにしてくれる。

4.9.5

角運動量保存則が優先される

これで角運動量ベクトルが回転軸とは違う方向を向いている理由が理解 できた。しかし大きな問題が残されている。すでに気付いていて違和感を 持っている読者もいることだろう。外力もないのに角運動量ベクトルが物 体の回転に合わせてくるくると向きを変えるのだとしたら、角運動量保存 則に反しているのではないだろうか、ということだ。 大丈夫。角運動量保存則はちゃんと成り立っている。どうしてだろうか。 実は、角運動量ベクトルは常に同じ向きに固定されていて、変わるのは、 なんと回転軸の向き ω の方なのだ！ ここまでの話では物体に対して回転軸を固定するような事はしていなかっ た。ただ、ある一点を「回転の中心」と呼んで、その周りの運動を論じて いただけである。つまり、物体は角運動量を保存するべく、回転軸の方向 を次々と変えることが許されているのである。 ここで「回転軸」の意味を再確認しておかないと誤解を招くことになる だろう。実はこの言葉には二通りの解釈が可能だったのだが、ここまでは 物体が方向を変えるなんて考えがなかったからその違いを気にしなくても 良かった。どう説明すると 2 通りの回転軸の違いが伝えられるだろうか。 例えば物体が宙に浮きつつ、z 軸を中心に回っていたとする。しばらく してこの物体を見たら姿勢を変えて回っていた。姿勢は変えたが相変わら

241

第4章

補習の部屋

ず z 軸を中心に回っていたとする。ちゃんと状況を正しく想像してもらえ ただろうか。この時、回転軸の向きは変化したのか、しなかったのか、ど ちらだと答えようか。 「回転軸の向きは変化した」と答えて欲しいのだ。ω とは物体の立場で 見た軸の方向なのである。上の例で物体は相変わらず z 軸を中心に回って いるが、今の説明ではこれを「回転軸」と呼ぶべきではない。そう呼びた くなる気持ちは分かるが、それは ω が意味している方向ではない。では客 観的に見た場合に、物体が回転している軸（上で言うところの z 軸）を何 と呼べばいいのだろう。そんな心配は必要ない。それこそ角運動量ベクト ル L が指している方向なのである。

L と ω の向きに違いがあることに違和感があったのは、この「回転軸」 という言葉の解釈を誤っていたことによるものが大きかったと言えるだろ う。これで全てが解決したわけではないことは知っているが、かなりすっ きりしたはずだ。 何も支えがない物体がここで説明したような動きをすることについては、 実際に確かめられている。有名なのは、宇宙飛行士の毛利衛さんがスペー スシャトルから宇宙授業をして下さったときのもので、その中に「無重量 状態下でペンチを回す」という実験があった。その貴重な映像はネット上 で見ることが出来る。「ペンチ」「宇宙」などのキーワードで検索をかけて もらうとたどり着けるだろう。ペンチの姿勢は次々と変わるが、回転の向 きは変化していないことが分かる。是非探して自分の目で確かめて欲しい。 このような映像を公開してくれていることに心から感謝する。 物体の回転姿勢が変わるたびに、回転軸と角運動量の関係が次々と変化 して、何とも予想を越えた動き方をするのである。

4.9.6

行列の意味するもの

慣性モーメントというのは質量と同じような概念である。質量というの は力を加えた時、どのように加速するかを表していた。同じように、回転 させようとした時にどの軸の周りに回転しようとするかという傾向を表し ているのが慣性モーメントテンソルである。慣性乗積が 0 でない場合には、

242

4.9. 慣性モーメントテンソル

回転させようとした時に、別の軸の周りに動き出そうとする傾向があると いうことが読み取れる。 ここまでは質点一つで考えてきたが、質点は幾つあっても互いに影響を 及ぼしあったりはしない。全て対等であり、その分だけ重ね合わせて考え てやればいい。よって広がりを持った物体の全慣性モーメントテンソルは 次のようになる。

⎛  ⎜ ⎜ I = ⎜ ⎜ ⎝

−

m(y 2 + z 2 )

− −

 

mxy



mxz



−

myx 2

2

m(x + z )

−



myz

− 

 

mzx mzy

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

m(x2 + y 2 )

広がりが密度分布 ρ として表されるような物体の場合には、m の代わり  に dm = ρ dV と置いて の代わりに積分を使って計算すべきである。も しこの行列の慣性乗積の部分がすべてぴったり 0 となってくれるならば、 それは多数の質点に働く遠心力の影響が旨く釣り合っていて、軸がおかし な方向へぶれたりしないことを意味している。ただし、気を付けないとい けない。軸が重心を通っていない場合には、たとえ慣性乗積が 0 であろう とも軸は横ぶれを引き起こすだろう。慣性乗積は軸を傾ける度合いを表し ているのであり、横ぶれの度合いは表していないのである。 工業製品や実験器具を作る際に、回転体の振動をなるべく取り除きたい というのは良くある話だ。軸が重心を通るように調整するのは最低限して おくべきことではあるが、回転体の密度が一定でなかったり形状が対称で なかったりする場合に慣性乗積が全て 0 になるなんて偶然はほとんど期待 できない。 それで仕方なく、軸を無理やり固定して回転させてみてはどうかという ことになるのだが、あまりがっちり固定してしまっては摩擦で軸は回らな い。よって少しのアソビを持たせることがどうしても必要になるが、軸は その許された範囲で暴れまわろうとすることだろう。軸受けに負担が掛か り、磨耗や振動音が問題になる。 重りをどのように追加したら重心位置を変化させないで慣性乗積を 0 に することができるか、という数学的な問題とその解法がきっとどこかの教 科書に載っているのだろうが、応用にまで深く踏み込まないのが本書の基

243

第4章

補習の部屋

本方針である。軸のぶれの原因が分かったので、数学に頼らなくても感覚 的にどうしたら良いかという見当は付け易くなっただろうと思う。 工学的な困難に対する同情は十分したつもりなので、申し訳ないが物理 の問題に戻ることにする。 このように軸を無理やり固定した場合、今度こそ、回転軸 ω と角運動量

L の向きの違いが問題になるのではないだろうか。先ほどは回転軸の方が 変化するのだということで納得できたが、今回は回転軸が固定されてしまっ ている。今度こそ角運動量ベクトルの方がぐるぐる回ってしまって、角運 動量が保存していないということになりはしないだろうか。 そのような問題は起こらない。いつでも数学の結果のみを信じるといっ た態度を取っていると痛い目にあう。この場合、計算で求められた角運動 量ベクトル L の内、固定された回転軸と同じ方向成分が本物の角運動量で あると解釈してやればいい。ω と L の方向は一致しているのだ。 根拠のない人為的な辻褄合わせのようで気に入らないだろうか。ちゃん と釈明はできる。例えばある質量 m の物体に力 F を加えてやれば加速度 の値が計算で求まるだろう。ここでもし、物体がその方向へ動かないよう に壁を作ってやったらどうなるか。計算上では加速するはずだが、現実に は壁を通り抜けたりはしない。だから壁の方向への加速は無視して考えて やれば、現実の運動がどうなるかを表せるわけだ。それと同じ事をしたま でだ。 しかしこのやり方ではあまりに人為的で気持ち悪いという人には、物体 が壁を押すのに対抗して壁が物体を同じ力で押し返しているから力が釣り 合って壁の方向へは加速しないんだよ、という説明をしてやって、理論の 一貫性が成り立っていることを説明できるだろう。 これについても同じことが出来る。物体が姿勢を変えようとするときに それを押さえ付けている軸受けが、それに対抗するだけの「力のモーメン ト」を逆向きに及ぼしていると解釈できるので、その方向への角運動量は 変化しないと考えておけばいい、と言えるわけだ。 結局、物体が固定された軸の周りを回るときには、行列の慣性乗積の部 分を無視してやって構わない。慣性乗積は回転にぶれがあるかどうかの傾 向を示しているだけだ。よって行列の対角成分に表れた慣性モーメントの 値にだけ注目してやればいい。物体はこの値に応じた勢いで回る。ぶれと 慣性モーメントは全く別問題である。

244

4.9. 慣性モーメントテンソル 回転軸 ω が x、y 、z 軸にぴったりの場合は、対角成分にあるそれぞれの 慣性モーメントの値をそのまま使えば良いが、軸が斜めを向いている場合、 例えば (ωx , ωy , 0) の場合には ω と L の方向が一致しない結果になるので 解釈に困ったことがあった。しかし、この場合も ω と 一致する方向の L の成分と ω の大きさの比を取ってやれば慣性モーメントが求められること になる。 そんな方法ではなくもっと数値をきっちり求めたいという場合には、傾 いた ω を座標変換してやって x、y 、z 軸のいずれかに一致させてやればい い。

4.9.7

座標の回転

テンソル I はベクトル L と ω の関係を定義に従って一般的に計算した ものなので、どの角度に座標変換しようとも問題なく使える。 そのために回転行列 R を使う。この行列の具体的な形をイメージできな いと理解が少々つらいかも知れないが、今回の議論の本質ではないのでわ ざわざ書かないでおこう。書くのが面倒なだけで全く難しいものではない。 数学の教科書でも見てもらいたい。 とにかく、L と ω を共に同じ角度だけ回転させて

L

= RL

ω

= Rω

というベクトルを作り、L = Iω の関係を元にして、L と ω  の間の関係 を導くのである。そのためには次のようにすればいい。

L = I ω ∴R L

= RI ω

∴ L

= R I R−1 R ω

∴ L

= R I R−1 ω 

∴ L

= I  ω 245

第4章

補習の部屋

つまり新しい慣性テンソルは

I  = R I R−1 と計算してやればいいことになる。 ところでここで、純粋に数学的な話から面白い結果が導き出せる。対称 行列をこのような形で座標変換してやるとき、「 I  を対角行列にするよう な行列 R が必ず存在する」という興味深い定理がある。 これが意味するのは、回転体がどんなに複雑な形をしていようとも、慣 性乗積が 0 となるような軸が必ず 3 つ存在している、ということだ。その ような特別な回転軸の方向を「慣性主軸」と呼ぶ。それらはなぜかいつも 直交して存在しているのである。これは直観ではなかなか思いつかない意 外な結果である。 どんな複雑な形状の物体でも、向きをうまく選びさえすれば慣性テンソ ルが 3 つの値だけで表されてしまう。つまり、3 軸の慣性モーメントの数 値のみがその物体の回転についての全てを言い表していることになる。物 体の回転を論じる時に、形状の違いなどはほとんど意味を成していないの だ。なんて単純な話だろう。そして回転体の特徴を分類するとすれば、次 の 3 通りしかない。

・3 軸全ての慣性モーメントの値が等しい場合。 ・3 軸の内、2 つの慣性モーメントの値が等しい場合。 ・3 つの慣性モーメントの値がバラバラの場合。

それぞれ、上から「球状コマ」「対称コマ」「非対称コマ」と呼んで区別 する。 球状コマというのは、3 方向の慣性モーメントが等しければいいだけな ので、別に物質の分布が球対称になっていなくても実現できる。単に球と 同じような性質を持った回り方をするという意味での分類でしかない。球 状コマはどの角度に向きを変えても慣性テンソルの形が変化しない。対角

246

4.9. 慣性モーメントテンソル

行列のままである。例えば慣性モーメントの値が k だったとすると、

⎛

I

⎞ 0 ⎟ 0 ⎠ R−1 k ⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ = kR ⎝ 0 1 0 ⎠ R−1 0 0 1 ⎛ ⎞ k 0 0 ⎜ ⎟ = kRR−1 = ⎝ 0 k 0 ⎠ 0 0 k k ⎜ = R⎝ 0 0 ⎛

0 k 0

となるからである。つまり、軸をどんな角度に取ろうとも軸ぶれを起こさ ないで回すことが出来る。 次に対称コマについて幾つか注意しておこう。例えば Ix = Iy ≠ Iz であ る場合、これは軸が z 軸に垂直でありさえすれば、どの方向に向いていよ うとも軸ぶれを起こさないということになる。もちろん、軸が重心を通っ ていることは最低限必要だが・ ・ ・。典型的なおもちゃのコマの形は対称コ マになってはいるが、おもちゃのコマはここで言うところの z 軸の周りに 回して遊ぶものなので、対称コマとしての性質は特に使っていないことに なる。 対称コマの典型的な形は z 軸について軸対称な形をしている物体である。 しかし軸対称でなくても対称コマは実現できる。この「対称コマ」という 呼び名の由来が良く分からない。 「z 軸に対して軸対称な物体と同じ性質の 回転をするコマ」という意味なのか、「xy 面内のどの方向に対しても慣性 モーメントの値が対称なコマ」という意味なのか、どちらの意味にも取れ てしまう。

4.9.8

回転の安定性

教科書によっては「物体が慣性主軸の周りに回転する時には安定して回 る」と書いてあるものがある。この「安定」という言葉を誤解しないよう

247

第4章

補習の部屋

に気をつけないといけない。これはただ「軸ぶれを起こさないで回る」と いう意味でしかないからだ。いつまでも回転の姿勢を保つという意味では ない。 慣性主軸の周りに回っている物体の軸が、ほんの少しだけずれたとしよ う。そもそも、完璧に慣性主軸の方向に回転し続けるなんてことは有り得 ない。現実にどうしてもごく僅かなずれは起こるものだ。 非対称コマの場合がもっともひどい。非対称コマはどの方向へずれよう とも、それがほんの少しだけだったとしても、慣性テンソルは対角形では なくなってしまう。つまり軸がぶれ始める。軸がぶれて軸方向が変われば、 慣性テンソルはもっと大きく変形してぶれはもっと大きくなる。 球状コマだって無関係ではない。確かに、軸がずれても慣性テンソルの 形は変わらないので、軸のぶれは起こらないだろう。しかし、復元力が働 いて元の位置に戻ろうとするわけではない。軸が一度ずれればずれたまま だ。この安定は非常に不安定なのだ。 このような不安定さを抑えるために軸受けが要る。ぶれが大きくならな い内は軽い力で抑えておける。ぶれが大きくならないように一定の範囲に 抑えておかないといけない。 なぜこんなことをわざわざ注意するかというと、この慣性主軸の概念と いうのは「コマが倒れないで安定して回ること」とは全く別問題だという ことに気付いて欲しいからである。 コマが倒れないで回っていられるのはジャイロ効果による。外力によっ て角運動量ベクトルが倒されそうになる時に、それ以上その方向に倒れ込 まないような抵抗を示すから倒れないのである。これがジャイロ効果なの だった。（→ 59 ページ参照） 一方、今回の話は軸ぶれについてであって、外力は関係ない。内力によっ て回転体の姿勢には変化があるが、角運動量に変化はないのである。 ではおもちゃのコマはなぜいつまでもひどい軸ぶれを起こさないでいら れるのだろう。おもちゃのコマは対称コマではあるものの、対称コマとし ての性質は使っていないはずなのに。これは、軸の下方が地面と接してお り、摩擦力で動きが制限されているせいであろう。好き勝手に姿勢を変え たくても変えられないのだ。 磁力で空中に支えられて摩擦なしに回るコマのおもちゃもあるが、これ は磁力によって復元力が働くために、姿勢が保たれて、ぶれが起こらない

248

4.9. 慣性モーメントテンソル

でいられる。本当の無重量状態で支えもない状態でコマを回せば、コマは 姿勢を変えてしまうはずだ。

4.9.9

地球のポールシフト

地球の自転軸が何億年もの長い歴史の中で何度か移動したことがあると いう説をどこかで聞いたことがあるかも知れない。南極大陸にはかつて温 暖だった時期があったのではないか、とか。この説はかつては科学番組で も大々的に採り上げられていたことがあったのだが、今では証拠が不足し ているためか下火のようであるし、オカルト的な嗜好の人たちがこの主張 を掲げることの方が多いので注意が必要である。インターネットで調べよ うという人は「真の極移動」という用語で検索すると今のところオカルト に引っ掛かりにくいようである。 しかしたまに見かけるのだが、角運動量は保存するはずだからとか、エ ネルギー保存があるからとかいう理由で、そんな現象は滅多なことでは起 こるはずはないだろうと批判するのは根拠が間違っている。事情は上で話 した通りであり、地球の自転軸の方向は保存していても、地球の姿勢につ いてはこれまでに転がりまくっている可能性もあるだろう。ニュートン力 学はこの現象を端から否定するものではない。 ただしその頻度を論じるにはもっと地質学的な証拠や、不安定の原因と なった要素についての研究が必要である。ほとんど球状コマに近いだろう からとどまることなくゴロゴロ姿勢を変え続けているわけではないように も思える。 その辺りがちょっと気になって地球の運動について書物を調べてみたの だが、色々な要因が地球に働いていて、思った以上にグラグラしているこ とが分かって面白かった。それらのふらつきの原因についてはすでにかな りの精度で研究が進んでいるようである。

249

第4章

4.9.10

補習の部屋

平行軸の定理

ここまでは、どんな点を基準にして慣性テンソルを求めても問題ないと 説明してきたが、実は剛体の重心を基準にして慣性テンソルを求めてやっ た方が、非常に便利なことがあるのである。それは、以前「平行軸の定理」 として説明したような定理（→ 57 ページ参照）が慣性テンソルについても 成り立っていて、重心位置からベクトル a = (ax , ay , az ) だけ移動した位置 を中心に回転させた時の慣性テンソル I  が、重心周りの慣性テンソル I を 使って簡単に求められるのである。 ⎛ a2y + a2z ⎜ ⎜ I = I + M ⎜ ⎜ −ax ay ⎝ −ax az

−ay ax

−az ax

a2x

a2z

−az ay

−ay az

a2x + a2y

+

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

なぜこのようなことが成り立っているのか、勘のいい人なら、この形式を 見ておおよその想像は付くだろう。勘のそれほどよくない人でも、本気で 知りたいならば専門の教科書を調べる資格が十分あるのでチャレンジして みてほしい。健闘を祈る。

お帰りの案内 ： 1.3.4 節から来られた方 → 58 ページへ

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あとがき  「この原稿が本になったら読んでくれるかな」と妻に聞いてみた。する と普段と違うおどけた口調で「ええ、でもきっと好きにはなれないと思う わ、趣味が違うから」と即答されてしまった。 まぁ、確かに趣味ってそんなものだ。好きでなけりゃ仕方ない。それで も理解を示し、協力してくれた家族に感謝する。これだけしか書かないと 私の趣味が一方的に家族に犠牲を強いたように思われるかも知れないが、 私もまた、出来る限り彼らの為に尽くして来た。家族より趣味を優先して 彼らの信頼を損なうことがなかったことを自慢したい。 本を書くのは楽しかったが、簡単ではなかった。 この本を仕上げるに当たって、役に立つ内容を盛り込みたいという気持 ちと、軽く読み切ることができるようにしたいという気持ちとの葛藤があっ た。どちらも読者の満足度に影響を与える要素だ。また、なるべく簡潔にま とめたいという気持ちと、同じ部分の説明を言葉を変えて繰り返すことで 理解を助けたいという気持ちの葛藤もあった。これも読者の習熟度によっ て好みの分かれるところだ。全ての人を満足させる事はできないとは分かっ ているが、少々欲が出てしまった。その結果こんな形に出来上がったわけ だが、評価は皆さんにお任せしたい。私としては結構満足している。そう でなければ中途半端なものを世に出すものか。 しかし見ての通り、内容については中途半端である。力学では実践的な ことについてはあまり触れてはいないし、電磁気学では、普通の教科書に 載っている範囲の事を扱ってはいるが、あらすじをまとめたようなものに 過ぎない。このような中途半端さが私の意図をいい具合に表していると思 うのだが、単なる自己満足に見えるだろうか。 説明に弱いところもあるし、間違いもある。気付いた部分については出来 るだけ手を加えて穴を塞いでみたが、手を加えることで前よりひどい大穴

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が出来てしまう場合もあり、そういう部分を繕うのはほどほどで諦めた。ど うせ巧みに穴を隠したところで、厳しい読者には見抜かれてしまうだろう。 私は読者の目から穴を隠すよりも、穴があることに気付き易くすること を重視した。また、思わぬところに穴があるんじゃないかという不安も少 しばかり混ぜ込んである。読者にとって、予想外の穴が開いているよりそ の方が安全だ。しかし、疑い過ぎても前へ進めない。読者に安心感を与え る事と警戒心を与えることはバランスの問題である。もちろん、気付かな い人は全く気付かないだろう。そういう読者が必ずいるだろうことを最後 の最後まで心配する。 この本は、真面目に物理を扱っている正統派の教科書がバックに存在し ていないと成り立たない本である。説明の難しいところは他の本に任せて 省略してある。そのような頼りがいのある教科書を書いて下さっている先 生方に感謝している。この本の目的は、世に出回っている難しい感じの専 門書を楽しんで読むようにお勧めすることである。 しかし元はそうではなかった。既存の教科書の書き方がやたら難し過ぎ ることへの反発から書き始めたのであり、 「教科書ってのはこう書くんだ！」 というお手本を世に示そうと思っていた。しかしまぁ、書けば書くほど己 の未熟さが見えてくる。既存の教科書の著者の気持ちや意図や隠れた苦労 が見えてくる。読者でいる限りはあまり気付く事のないような説明順序の 必然性みたいなものも発見できて、あれこれ壁にぶつかって仕方なく書き 直している内に、気が付くと書き方や構成までもだんだんと他の教科書に 似てきてしまう。 私もこれまでは批判する側にいたわけだが、こうして本を出してしまった 以上、批判される側に立つことになる。どうかお手柔らかにお願いしたい。 この本を読めば物理が良く分かるようになる、などと偉そうなことを言 うつもりはない。この本は全ての疑問には答えない。むしろ、新しい疑問 が湧いてくるくらいの方が私にとって成功だと思う。少し考えてみれば自 分にだって分かるんじゃないか、という希望を読者が持てることが大切だ と思う。多くの方に、これから物理を学んでみようという勇気を得て頂け れば幸いである。 この本は最近流行りの「ネットから生まれた本」の中でも珍しい分野に 属するのだろうと思う。この本の背後にはかなりの数の人々の助け、励ま しがある。ネット上で応援してくれた友人たち、ネットの外の友人たちに

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感謝したい。またこの本を作るために様々なツールを使用させて頂いたが、 このような便利なものを開発して下さっている皆様にも感謝したい。 「これからも助け合って前へ進んで行きましょう！」

参考文献 この本を書くに当たって参考にさせて頂いた教科書を以下に挙げる。こ れは私がこの本の執筆中にこれらの本を明らかに「見た」ことを白状する ものであり、同時にその著者への個人的な感謝を表すものである。よって 初めて物理を学ぼうとする読者に対して、これらの本を参考にするように と強く薦める意図はない。これらはもちろん良い教科書ではあるが、他に も沢山あるだろうし、私は他の教科書をあまり読まなかったので良くは知 らない。もしここで人に薦めるために私の知っているごく一部だけを挙げ るならば不公平になるだろう。 原 康夫 著「物理学通論 I」 学術図書出版社（1988） 砂川重信 著「電磁気学」 岩波書店（1987） 砂川重信 著「理論電磁気学（第 3 版）」 紀伊国屋書店（1999） 外村 彰 著「電子波で見る世界−電子線ホログラフィー」 丸善（1985） 私はこれら以外にも色々な教科書から影響を受けており、それらの著者 にも同様に感謝している。しかしまことに勝手ながら本書の内容とは直接 関係がないと判断し略させて頂く。

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索引 ■あ■

Gauss 単位系 ························ 226

アハラノフ・ボーム効果 ······ 170

ガウスの定理 ··························94

アンペア（単位） ···················87

ガウスの法則

アンペールの力 ···················· 111

積分形 ·····························94

アンペールの右ねじの法則 ·····85

微分形 ·····························95

esu ······································· 226 emu ······································ 226 運動学 ····································16 運動方程式 ·····························13 運動量 ····································10 運動量保存の法則 ···················17 運動量密度 ··························· 165 X 線 ····································· 190 SI 単位系 ······························ 225 エネルギー ·····························27 エネルギー密度 ···················· 165 MKSA 単位系 ······················ 225 MKSA 有理単位系··················88 MKS 単位系 ························· 225 演算子 ·································· 214 遠心力 ····································24

角運動量 ·································49

■か■

ゲージ変換 ··························· 172

外積································ 65, 201

光子······························ 165, 197

解析力学 ························· 73, 195

剛体······································ 236

回転（ローテーション） ········84

勾配（グラーディエント） ··· 215

ガウス（単位） ···················· 225

古典的電子半径 ···················· 140

角運動量ベクトル ············· 60, 66 角加速度 ·································51 角速度 ····································51 慣性系 ····································24 慣性主軸 ······························· 246 慣性乗積 ······························· 238 慣性テンソル ························ 238 慣性の法則 ·······························9 慣性モーメント ······················51 慣性モーメントテンソル ······ 238 球状コマ ······························· 246 キログラム重 ··························12 首振り運動 ·····························59 グラーディエント ················· 215 クーロン（単位） ···················87

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索引

■さ■ 歳差運動 ·································59 作用反作用の法則 ···················15

cgs Gauss 単位系 ·················· 227 cgs 静電単位系 ····················· 228 cgs 対称単位系 ····················· 227 cgi 単位系 ····························· 225 cgs 電磁単位系 ····················· 228 磁化電流 ······························· 116 磁化率 ·································· 118 磁気モノポール ·······84, 110, 131 仕事········································26 自己場 ····································92 自己力 ···························· 92, 188 質点········································46 質量········································11 磁場の強さ ··················· 114, 117 ジャイロ効果 ··························60 重心········································18 重力加速度 ·····························12 重力子 ····································41 ジュール熱 ··························· 145 真空の透磁率 ························ 118 真空の誘電率 ························ 104 シンクロトロン放射 ············· 191 垂直抗力 ·································22 スカラー積 ··························· 202 ストークスの定理 ···················96 スピン ···························· 72, 115 静電単位系 ··························· 226 制動放射 ······························· 190

先進ポテンシャル ················· 178 ■た■ 対称コマ ······························· 246 ダイバージェンス ···················85 ダイン（単位） ···················· 228 遅延ポテンシャル ················· 177 力のモーメント ······················47 地球ごま ·································60 超関数 ·································· 224 テスラ（単位） ···················· 112

δ （デルタ）関数··········· 158, 221 電位········································98 電位差 ····································98 電気感受率 ··························· 103 電気力学 ························· 81, 194 電気力線 ·································94 電磁単位系 ··························· 226 電磁波 ·································· 125 電磁方程式 ·····························83 電磁ポテンシャル ················· 169 電子ボルト ·····························99 電束電流 ······························· 125 電束密度 ······························· 101 テンソル ······························· 150 電流の定義 ··························· 112 電流密度 ······························· 108 透磁率 ·································· 118 動力学 ····································16 特異点 ····································92 トルク ····································48

静力学 ····································16

■な■

先進波 ·································· 178

内積······································ 201

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索引

ポールシフト ························ 249

ニュートン 人名 ·························· 13, 23 力の単位 ·························10 ネーターの定理 ······················73

ボルト（単位） ······················98 ■ま■

ノイマン（人名） ················· 119

マクスウェルの応力テンソル 152

■は■

みそすり運動 ··························59

場 ···········································91

モノポール ··························· 226

発散（ダイバージェンス） ·····85 波動方程式 ··························· 134 場の理論 ·································91 ビオ・サバールの法則 ·········· 107 非対称コマ ··························· 246

マクスウェルの方程式 ············82

■や■ 誘電体 ·································· 102 誘電率 ·································· 104 有理系 ·································· 225

微分演算子 ··························· 214

■ら■

非有理系 ······························· 225

ライプニッツ（人名） ············13

ファラデー（人名） ···············90

ラザフォード ························ 191

ファラデーの誘導法則 ·········· 120

ラプラシアン ·········100, 134, 217

フランクリン（単位） ·········· 228

ラプラス演算子 ···················· 217

分極······································ 102

ラプラス方程式 ···················· 217

分極ベクトル ························ 103

リエナール・ヴィーヒェルト・ポ

分子磁石 ······························· 115

テンシャル ···· 181, 183,

分子電流 ······························· 115

188 力学的エネルギー保存則 ········32 力積········································10 レンツの法則 ························ 119 レントゲン写真 ···················· 190 ローテーション ······················84 ローレンツゲージ ················· 175 ローレンツ条件 ···················· 174 ローレンツ・ヘヴィサイド単位系 227 ローレンツ力 ························ 114

平行軸の定理 ··························57 ベクトル積 ··························· 202 ベクトルポテンシャル ·········· 108 ベータ崩壊 ·····························19 変位電流 ······························· 125 偏微分 ····························1, 3, 37 ポアッソン方程式 ················· 100 ポインティングベクトル ····· 146,

165, 188 保存力 ····································35 ポテンシャルエネルギー ·· 30, 35

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【著者紹介】

 広江 克彦（ひろえ かつひこ） 1972 年生まれ。 静岡大学理学部物理学科卒。 同大学院修士課程修了。 現在、情報家電メーカーの開発部に勤務。 趣味でウェブサイト「EMAN の物理学」を運営。

2007 年３月 14 日 2007 年５月 １ 日

初版発行 初版３刷 著   者

広

江

克

彦

発 行 者

柴 山 斐 呂 子

検印省略

発 行 所 〒 102‐0082  東京都千代田区一番町 27‐2

理工図書株式会社

電 話 03（3230）0221（代表） ＦＡＸ 03（3262）8247 振込口座 00180‐3‐36087 番

©2007 年

印刷・製本 藤原印刷

ISBN 978 - 4 - 8446 - 0716 - 8

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