等質空間上の解析学

紀伊國屋数学叢書 19

編集委 員 伊藤

清 三   (東京大学名誉教授)

戸田

宏   (京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

岡本 清郷

等 質 空 間 上 の解 析 学 リー 群 論 的方 法 に よる序 説 紀伊國屋書店

ま

え

が

き

  リー群 の 等 質 空 間 上 の解 析 学,特 に 対 称 空 間 上 の調 和 解 析 の研 究 は最 近 著 し い 発 展 を 遂 げ 今 尚急 速 に 進 展 しつ つ あ る.   本 書 の執 筆 を 飛 田,吉 沢 両 教 授 か らす す め ら れ た の は 昭 和48年

の秋 で あ っ

た.当 初 の 案 は 対 称 空 間 上 の 調 和 解 析 に お け る最 近 の成 果 を な るべ く詳 し く解 説 す る こ とで あ った.し

か し そ の た め に は 半 単 純 リー群 の構 造 や 関 数 解 析 学

等,準 備 の ため の一 般 論 に 多 くの紙 数 を 割 か ね ば な らず,ま た 本 論 に 入 っ て か ら も一 般 的 な証 明 を 与 え るた め の 言 葉 の 定 義 や 記号 の 羅 列 に よ って 本 質 的 な も のが 背 後 に 隠 れ て し ま う結 果 とな り筆 者 の意 に満 た な い の で や め て し ま った.   球 面 上 の 球 関 数 展 開,リ Hardy空 や2次

ー マ ン球 面 上 の 関 数 論,上

半 平面や単位円板上の

間 や ポ ア ッ ソ ン積 分 等 の 古 典 解 析 学 の研 究 の背 後 に は3次 の 回 転 群 の ユ ニモ ジ ュ ラ ー群 の 果 た す 役 割,即

ち リー群 の等 質 空 間上 の解 析 学 に

関 す る基 本 原 理 と もい うべ き もの が あ り,筆 者 は これ 迄 単 に数 学 研 究 者 ば か り で な く物 理学 や工 学 研 究 者 更 に 大 学 理 工 系 の 学 部 学 生 に も分 か り易 く これ を解 説 す る方 法 を 探 索 して 来 た.対 称 空 間 上 の 調 和 解 析 に お け る基 本 的 な概 念 や 研 究 方 法 を理 解 す るに は,半 単純 リー 群 の一 般 論 の 勉 強 に 先 立 ち あ るい は これ と 並 行 し て種 々の 古典 群 の場 合 に 具体 的 な 計 算 を 通 じて これ らを 感 覚 的 に会 得 す る ことが 重 要 で あ り,こ の方 法 に よ れ ば あ ま り多 くの定 義 や 記 号 の 羅 列 な し で,等 質空 間上 の解 析 学 に お け る リー 群 論 の 果 た す 役 割 を 表 面 に浮 び上 ら せ "基 本 原 理"の 解 明が 可 能 に な る と信 ず る に 至 った.   本 書 で は 以 上 の 理 由 の下 に,3次

の 回転 群 や2次

の ユ ニ モ ジ ュ ラ一 群 の 等 質

空 間 上 の種 々の 等 質 ベ ク トル ・バ ン ドルに 対 し具 体 的 に計 算 を 実 行 す る こ とに よ って 上 記 の 基 本 原 理 の解 説 を 試 み る こ と とし,以 解 析 学 に対 す る序 説 と した い.従

って リー群 の 等 質空 間 上 の

って 数 学 研 究 者 は 勿 論 物 理 学 や工 学 研 究者 お

よび 大 学 理 工 系 の 学 部 学 生 に も十 分 理 解 出来 る と思 う.式 の変 形 等 な る べ く丁

寧 に 書 く よ う努 め たが,紙 数 の都 合 もあ りや は り省 略 せ ざ るを 得 な か った 所 も 少 な くな い.こ れ らを 自 ら補 い な が ら読 まれ れ ば 読 者 の感 覚 を 養 う助 け に な る で あ ろ う.特 に"明 ら か に","容

易 に分 か る","計

算 に よ り確 め る こ とが

出来 る"等 の表 現 の あ る箇 所 に学 生 自 ら証 明を 与 え る よ う指 導 され れ ば,学 部 学 生 の ゼ ミの教 材 と し て も 好適 と思 う.   幾 何 学 の最 も重 要 な特 質 の1つ は,種

々 の対 象 に 群 論 的 光 を 当 て てそ れ ら か

ら美 し い対 称 性 を 持 った も のを 引 き 出 し,そ れ を 基 準 と して 一 般 の 対 象 物 の性 質 を推 し量 る と い う点 に あ る.球 面 上 の球 関 数 や 単 位 円 板 上 の 一 般 化 され た ポ ア ッ ソン積 分(非 コ ンパ ク ト対 称 空 間上 の球 関 数)は 種 々の 関 数 空 間 に リー群 論 的 な光 を 当 て て美 しい 対 称 性 を 持 った もの を 引 き出 す 手 法 で あ り,そ の 意 味 で これ ら の研 究 は カ ル タ ン以 来 の 微 分 幾 何 学 にお け る大 きな 流 れ の1つ

で あ る.

対 称 空 間 上 の調 和 解 析 の研 究 は 最 近 ア フ ァイ ン対 称 空 間 や 可 解 リー群 の 等 質 空 間 更 には 整 数 論 へ の応 用 を 目指 すp進 体 上 の 代 数群 の 等 質空 間等 の場 合 に 幅 を 広 げ つ つ あ り,文 献 等 も膨 大 な 量 に 達 して い る.手 法 的 に も微分 幾 何 を は じめ と し関 数 解 析,微 分 方 程 式,代 数幾 何,整 数 論 等 広範 囲 に わ た って い る.そ の た め 大 学 院 学 生 等 この 方 面 の 研 究 を 始 め た ば か りの 初学 者 は や や もす れ ば 多 岐 亡 羊 とな りが ち で あ るが,数 学 の独 創的 な研 究 に お い て はや は り"数 学 的 自然 に お け る生 の 素 材"の 研究 を疎 か に し て は い け な い と思 う.筆 者 は 本 書 に お い て"数 学 的 自然 に 帰 る"重 要 性 を説 い た 積 りで あ るが,そ の 意 を少 し で も汲 み 取 って 載 け れ ば 幸 い で あ る.   最 後 に,本 書 の執 筆 の機 縁 を与 え て下 さ った 飛 田,吉 沢両 教 授 をは じめ,紀 伊 國 屋 書 店 出版 部 の諸 氏 に 心 か ら感 謝 の意 を表 す る と と も に,こ

の 本 の 内 容,

校 正 な どにつ い て協 力 し て載 い た 広 島大 学理 学 部 数 学 教 室 の 脇 本 実,橋 彦,木 幡篤 孝 の三 氏 に 厚 く感 謝 し た い.

1979年 秋 岡

本

清

郷

爪道

目

次

まえ が き 総

論

Ⅰ  ユ ニ タ リ表 現 と 等 質 ベ ク トル ・バ ン ドル   1.1  位 相 群 の 連 続 表 現

  13

  1.2  コ ン パ ク ト位 相 群 の 表 現 とPeter-Weylの

理論

  1.3  局 所 コ ン パ ク ト群 の ユ ニ タ リ表 現 と群 環 の*表

  21

現  

32

  1.4  リー 群 の 表 現 と そ の 微 分 表 現  

44

  1.5  主 フ ァ イ バ ー ・バ ン ドル とそ の 同 伴 バ ナ ッ ハ ・バ ン ドル  

57

Ⅱ  SU(2)お

よ びSO(3)の

  2.1  SU(2)の

表現

  2.2  SU(2)の

微分表現

表 現 と球 面 上 の 調 和 解 析  

69

  76

  2.3  SO(3)の 表 現 と球 面 上 の 関 数 の フ ー リエ 展 開  

81

  2.4  球 面 上 の ラ プ ラ シ ア ン の ス ペ ク トル 分 解 と ポ ア ッ ソ ン の 方 程 式 

88

Ⅲ  SL(2,R)の SU(1,1)の   3.1  SL(2,R)お

表 現 と上 半 平 面 上 の 調 和 解 析 お よ び 表 現 と 単 位 円 板 上 の 調 和 解 析 よ びSU(1,1)の

ユ ニ タ リ表 現  

101

  3.2  リー 環 の 表 現 と 既 約 ユ ニ タ リ表 現 の 分 類  

118

  3.3  カ シ ミー ル 作 用 素 の 動 径 方 向 と一 般 化 され た 球 関 数   3.4  非 ユ ニ タ リ主 系 列 の 表 現

 125   131

  3.5  ク ラ ス1の

表 現 とG/K上

の フ ー リエ 変 換  

  3.6  上 半 平 面 上 の ラ プ ラ シ ア ン の ス ペ ク トル 分 解  

137 151

Ⅳ  ポ ア ッ ソン積 分 と ユー シ ー 積 分   4.1  ポ ア ッ ソ ン 積 分 と そ の 一 般 化  157   4.2  ポ ア ッ ソ ン 積 分 の 一 般 化 と ユ ー シ ー 積 分  

161

  4.3  正 則 離 散 系 列 の 極 限 とHardy空

169

間 

  4.4  ラ プ ラ シ ア ン の 固 有 関 数 と ポ ア ッ ソ ン 積 分  

Ⅴ  Borel-wei1-Bottの

174

定 理 とそ の拡 張

  5.1  ベ ク トル ・バ ン ドル に 値 を 持 つ 調 和 形 式 とラ プ ラ シ ア ン の 自己 共 役 拡 張     5.2  SU(2)に

対 す るBorel-Weil-Bottの

  5.3  Borel-Weil-Bottの

定 理 のSU(1,1)へ

181 定理  

185

の 拡 張  193

 附 録   線 形 位 相 空 間 

197

 参 考 文 献 

203

総

  0.0 本 書 を 読 む には,線

論

形 代 数,多

様 体,リ

ー群 論 お よび 関 数 解 析 の基 礎

的 事 項 に つ い て の 予 備 知 識 を 必 要 とす る.し か し微 分 幾 何 学 を 専 攻 し て い る学 部 学 生 等 関 数 解 析 の 知 識 の不 足 し てい る者 もい る であ ろ う.そ の よ うな 読 者 の た め 本 書 で 必 要 な 程 度 の 線 形 位 相 空 間 の内 容 に つ い て 巻 末 の附 録 に ま とめ て 記 し た.証 明 は 与 え な か った が そ れ らを 仮 定 して どん どん 先 に 進 む 方 が 本 書 の読 み方 と して は 適 して い る.特 に 第2章 以 下 は 具 体 的 な リー群 や 等 質 空 間 のみ を 扱 うの で,そ

の よ う な 読 み方 を して も理 解 に 支 障 を 来 た す こ とは な い筈 で あ

る.む し ろ"general

nonsense"は

無 視 して 具 体 的 な 計 算 を 通 じ て先 ず 実 体 の

諸 性 質 を知 り,そ の後 それ ら を 普 遍 的 に 理解 す るた め に"general

nonsense"

を 援 用 す る とい う仕 方 が 正 しい 数 学 の 研 究 態 度 であ る と思 う.

  0.1  [第1章]第1節

で は,先

ず 表 現 論 の 基 礎 的 概 念 の 定 義 を 与 え た 後,シ

ュ ー ア の 補 題 の 証 明 を 目標 と し て い る.表 現 論 を 初 め て 学 ば れ る 方 は[1.1.5]∼ [1.1.6]を

飛 ば し て 先 に 進 まれ る こ と を お す す め す る.そ

限 次 元 の 場 合 の 証 明 を[1.1.4]で の ス ペ ク トル 分 解 等,等 こ れ に つ い て は 第2章   第2節 与 え た.コ

の こ とを 考 慮 して 有

与 え て お い た.シ ュ ー ア の 補 題 は ラ プ ラ シ ア ン

質 空 間 上 の 調 和 解 析 に お い て 基 本 的 な 役 割 を 果 た す. を 参 照 さ れ た い.

で は コ ン パ ク ト位 相 群 の 表 現 論 を 展 開 しPeter-Weylの

定理の証明を

ン パ ク ト位 相 群 の 等 質 空 間 上 の 調 和 解 析 に お け る 重 要 な 結 果 の 殆 ん

ど がPeter-Weylの

定 理 か ら 出 て 来 る.最

後 にPeter-Weylの

定 理 の1つ

の

応 用 例 と し て フ ロ ベ ニ ウ ス の 定 理 を 証 明 す る.   第3節

で は,局

所 コ ン パ ク ト位 相 群 の 表 現 論,特

数 論 へ の 応 用 に つ い て 述 べ た.特 理 解 す べ き で あ る.広

に 群 環 の*表

現 とそ の 球 関

に 球 関 数 が 表 現 を 決 定 す る と い う事 実 を 深 く

い 意 味 で は 既 約 表 現 の 行 列 要 素 を 一般 に 球 関 数 と よ ぶ.

等 質 空 間 上 の 調 和 解 析 と は,等

質空 間 上 の関 数 を対 称 性 を持 っ た 美 し い関 数

(球関 数)に 展 開 す る こ とで あ る.球 関数 の"美 し さ"に つ い て は 第2章 以下 で 感 覚 的 に 理 解 して 載 きた い.   第4節 で は,先 ず リー群 の表 現 と リー環 の表 現 の 関係 を与 えた.有

限次 元 の

場 合 に は リー群 の 準 同 型 の 微分 を考 え る こ とに よ り,リ ー群 の表 現 か ら リー環 の 表現 が 容 易 に 得 られ るが,無 限次 元 の 場 合 に は一 般 に は微 分不 可 能 とな る の で,C∞

ベ ク トル な る概 念 の 助 け が 必 要 とな る.実 はBargmannが

非 コ ンパ ク

ト半 単 純 リー群 の ユ ニ タ リ表 現 論 の 草 分 け とな った 定 理3.12の 証 明 を発 表 し た と き,C∞

ベ ク トル の全 体 は稠 密 で あ る と い う事 実 を仮 定 とし て 付 さね ば な

らな か った とい う意 味 で証 明は 不 完 全 とさ れ た.こ の事 実(定 理1.17)はC∞c(G) の 元 と のた た み 込 を 考 え る こ とに よ り証 明 され る.こ れ はRn上

の解 析学 に お

け る近 似 定 理 の証 明 に用 い られ る巧 妙 な 方 法 を そ の ま ま リー群 の 場 合 に 適用 し た も ので あ る.実 は リー群 論 的 立 場 か ら古 典 的 な 場 合 を 見 直 す こ とに よ って こ の"巧 妙 な"方 法 の か ら く りが は っ き りす るの で あ る.つ がRnの

あ る こ と と, 

ま りRnが

リー群 で

正則 表 現 の 微 分 で あ る こ とお よ び た た

み 込 み の 際用 い られ る ル ベ ー グ測 度 がRnの

ハ ー ル測 度 で あ る こ とが 本 質 的 な

の で あ る.   次 に コ ンパ ク ト実解 析 的 多 様 体 上 の 実解 析 的 関 数 お よび解 析 汎 関 数 の ラ プ ラ シ ア ン Δ の固 有 関 数 展 開 に よる特 徴 付 け につ い て述 べ た.或 て  し 

るt>0が

存在し

に よ る像 がL2-関 数 と な る の が実 解 析 的 関数 で あ り,任 意 のt>0に に よ る像 がL2-関

数 と な る の が 解 析 汎 関 数 で あ る.こ

対

の特 徴 付 け で

L2-関 数 を 実解 析 的 関 数 で お き換 え て も よい こ とは この特 徴 付 け 自身 が示 し て い る.応 用 上 は 例 えば 対 称 空 間 上 の球 関 数 展 開 は ラ プ ラ シ ア ン の固 有 関 数 展 開 を 与 え るか ら(こ の事 実 は対 称 空 間上 の調 和 解 析 にお い て本 質 的 で あ る)こ の特 徴 付 け が 対 称 空 間 上 の 調 和 解 析 に 応 用 可 能 と な る.こ の こ とに つ い ては 第2章 第4節 を 参 照 され た い.   第5節

では,フ

ァイ バ ーが バナ ッハ 空 間 であ る よ うな 同 伴 バ ナ ッハ ・バ ン ド

ル を 定 義 し,そ れ を 用 い て 部 分 群 の ユニ タ リ表 現 か らの 誘導 表 現 を定 義 した. これ は ユ ニ タ リ表 現 の 構 成 の た め に 非常 に 重 要 で あ る.

  0.2  [第2章]第1節

では,先 ず 天 下 り的 にSU(2)の

既 約 表 現 の 族{ρn}n∈N

を 与 え,指 標 を 計 算 す る こ と に よ りそ れ らが 既 約 で あ る こ と,互 い に 同値 で な い ことお よび 同値 を除 きす べ て の既 約 表 現 を尽 す こ と を 示 した.次 の複 素化 で あ るSL(2,C)を 直 線 バ ン ドルLnの

にSU(2)

考 え,そ の ボ レ ル部 分 群 の正 則 指 標 ξnの同伴 正則

正 則 な 切 断 全 体 Γ(Ln)上 のSU(2)の

自然 な作 用 に よ り表

現 πnを構 成 し(ρnの 場 合天 下 り的 に 表現 を与えたた め に そ れ が表 現 に な って い る こ とは計 算 を し て み な け れ ば 分 か らな い が,πnの

方 は構 成 の 仕 方 か ら表

現 で あ る こ とは 明 らか で あ る)Γ(Ln)の 元 を 局 所 座 標 系 を 用 い てC上 数 とし て表 わ し た もの が ρnの表 現 空 間 で あ る こ とを 示 した.最 元 はSU(2)上

の正則関

後 に Γ(Ln)の

へ の 制 限 に よ り一 意 的 に 定 ま る こ とを 用 い てL2(SU(2))の

中に

埋 め 込 む こ とに よ り内 積 を 入 れ た.こ の 方 法 に よれ ば この 内 積 が表 現 πnに よ り不 変 で あ る こ と,つ

ま り πnが ユ ニ タ リ表 現 に な る こ とが 自明 で あ る.こ

で 重 要 な こ とは 同 じ表 現 の 色 々な 実 現 を 考 え,個

こ

々の 実 現 に お い て 容 易 に 分 か

る性 質 を そ れ ぞ れ 調 べ,同 値 性 を 使 って 他 の 表 現 空 間 に そ の 事 実 を 伝 え る と い う方 法 に 注 目す る こ とで あ る.ユ ニ タ リ内積 の 入れ 方 に つ い て は 既 に 述 べ た が,表 現 空 間 の 次 元 や ウエ イ トを 調 べ るた め に は ρnが最 も適 し て い る.   第2節 で は,既 約 表 現 は 最 高 ウエ イ トに よ って 定 ま る とい うカル タンの 定 理 を 証 明 す る.こ

れ は 第1節 の 結 果 か ら も証 明 出 来 る が リー環 論 的 な証 明を 与

え,更 に 存 在 定 理 に つ い て も対 称 テ ン ソル の 空 間 で 代 数 的 に 構 成 す る.こ れ ら の 方 法 は そ の ま ま一 般 の半 単 純 リー環 の 場 合 に 拡 張 され る.(松 島[6])   最 後 に 各 既 約 表 現 の カシ ミー ル作 用 素 の 値 を 計 算 して お く.   第3節 で は,先 ず キ リン グ形 式 の-1/2倍 に よ りSU(2)の リー環 をR3と 同 一 視 す る ことに よ り,随 伴 表 現 のあ る点 のSU(2)軌 跡 とし てS2を 実 現 す る. AdSU(2)=SO(3)で

あ る こ とを 使 ってSO(3)の

か ら導 く.こ の よ うに してS2をSU(2)の (あ る点 の 等 方 部 分 群 をKと

す る と)S2上

既 約 表 現 をSU(2)の

等 質空 間 とし て 実 現 す る こ とに よ り の 関 数 はSU(2)上

の 関 数 でKの

右 作 用 で 不 変 な もの と同一 視 され る.こ の こ と とL2(S2)をL2(SU(2))の 空 間 と同一 視す る こ とに よ りPeter-Weylの

既 約表 現

定 理 か らL2(S2)の

部分

球 関数展開を

導 く.   第4節

では,先 ず ラ プ ラシ ア ンを カシ ミー ル作 用 素 に よ って表 わ す こ とに よ

ってそ の ス ペ ク トル分 解 が 得 られ る こ とを 示 す.こ れ は 一 般 の 対 称 空 間 の 場 合 に拡 張 可 能 な方 法 であ る.し か し この方 法 で は カ シ ミール 作 用 素 を 用 い るた め 一般 の等 質 空 間 の場 合 には 適 用 出来 ない.次 に この方 法 の背 後 に あ る等 質 空 間 上 の調 和 解 析 に お け る基 本 原 理 の1つ

と もい え る ものを 引 き 出す た め,カ

シミ

ー ル作 用 素 を 用 い ない で直 接 ラ プ ラ シ ア ンの スペ ク トル 分 解 を 得 る方 法 に つ い て 述 べ る.最 後 に ラ プ ラシ ア ン の ス ペ ク トル分解 に よ るC∞(S2),A(S2),B(S2) 等 の特 徴 付 け を 行 い,そ れ を 用 い て ポ ア ッ ソンの 方 程 式 の 解 の 構 造 を 調 べ る.

  0.3  [第3章]第1節

で は,先

実 現 を 天 下 り的 に 与 え た.次

ずSL(2,R)の

既 約 ユ ニ タ リ表 現 の 具 体 的 な

に そ れ らをSL(2,R)の

と して 実 現 しそ れ らの 間 のintertwining作

等 質 直 線 バ ン ドル の 切 断

用 素 を 与 え た.こ

の よ うに し て 一

見 技 巧 的 に 見 え る表 現 の 構 成 の 仕 方 が リー群 論 的 に 統 一 され,特 に 主 系 列 の 表 現 は 第1章 第5節 で 与 え た 誘 導 表 現 の 特別 な もの で あ る とい う認 識 が 可 能 とな る.最 初 に 与 え た主 系 列 の表 現 はL2(R,1/π dx)上 で実 現 し て い るが,C∞c(R)は 表 現 の 不 変 部 分 空 間 とは な らな い.こ れ は 厳 密 に はRはR∪{∞}と 1点{∞}が

測度0の

た め に 無 視 され た とい う事 情 に よ る.等 質空 間上 の解 析

を考 え る際C∞ 関 数 を 考 え る こ とが 重 要 とな るが,そ い え ど も無 視 出 来 な い.そ

こで非 有 界模 型 をCayley変

し て 考 え る.そ し てSL(2,R)の とSU(1,1)と

はSL(2,C)の

代 りにSU(1,1)を

とは,同

の場 合 に は た とえ1点

と

換 に よ り有 界模 型 に 移

考 え る.こ の ときSL(2,R)

中 で共 役 であ り,こ の 共 役 を 与 え る元 γ∈SU(2)

が 等 質空 間 に 移 る こ とに よ り自然 にCayley変 的 で あ る.0.2に

す べ きで

換 を誘 導 す る と い うこ とが 本 質

お い て も述 べ た が 等 質 空 間 上 の 解 析 学 に お い て最 も重 要 な こ

じ表 現(同 値 な 表 現)を 色 々 な関 数 空 間 に お い て実 現 し,そ れ ら の間 の

intertwining作

用 素 に よ って 或 る実 現 に お い て は 殆 ん ど 自明 で あ る事 柄 を他 の

実 現 に移 す こと に よ り,一 見 複 雑 そ うにみ え る も のを 単 純 な も のに 分 析 す る と い う手 法 であ る.例

え ば離 散 系 列 の表 現 に おけ る 内積 の入 れ 方(表 現 の ユ ニ タ

リ性 が 自 明 で あ る よ うな入 れ 方)既 約 性 の証 明 等 に 注 目し て載 きた い(式(3.53) も参 照 され た い.)  第2節 で は,リ ー環 論 的手 法 に よ る既 約 ユ ニ タ リ表 現 の分 類 につ い て述 べ る.  第3節

で は,球 関数 の み たす 微 分 方 程 式 に つ い て 調 べ る.こ こで 重 要 な のは

等 質 空 間 上 の不 変 微 分 作 用 素 の動 径 方 向 とい う概 念 で あ る.カ シ ミー ル作 用 素 の 動 径 方 向 を 求 め るた め リー群 上 の 第2種 の標 準 座 標 が非 常 に 有 効 に 使 わ れ て い る こ とに 注 意 され た い.こ れ は 等 質 空 間上 の解 析 学 の基 本 原 理 の1つ と も い え る も の で あ る.等

質 空 間 上 の不 変 微 分 作 用 素 の等 方 部 分 群 の 作 用 で対 称 な

(あ る既 約 表 現 に 従 って 変 換 す る)関 数 へ の作 用 を 等質 空 間 か ら リー群 に 移 る こ とに よ って 第2種 の標 準 座 標 を用 い て 計 算 す る方 法 であ る.動 径 方 向 を具 体 的 に 計 算 す る こ とに よ りそれ が 確定 特 異 点 型 の 微 分 方 程 式 に な る こ とを示 す.最 後 に 球 関 数 が ガ ウス の超 幾 何 関 数 を 用 い て表 わ され る ことを 証 明す る.こ の よ うに 表 現 論 にお い て種 々の球 関数 を 具体 的 に 計 算 す る こ とに よ り多 くの特 殊 関 数 が 得 られ る.特 殊 関数 は解 析 学 に お け る"数 学 的 自然"の 重 要 な要 素 を構 成 し て い る.こ れ 迄 上 記 の よ うに して 得 られ る特 殊 関 数 の い くつ か につ い て リー 群 論 的 な研 究 が な され てい るが,ま だ まだ 大 い に研 究 す べ きで あ る と思 う.   第4節

では,非

ユ ニ タ リ表 現 を構 成 し そ の 不 変 部 分空 間 を す べ て決 定 す る.

そ の副 産 物 とし て主 系 列 の 表 現 に つ い て の既 約 性 の 判 定 条 件 の別 証 明 を得 る. 最 後にintertwining作   第5節 お よび 第6節

用 素 に つ い て 述 べ る. にお い て は,は

に対 す るPaley-Wienerの

じめ の計 画 で は 等 質 直 線 バ ン ドル の 切 断

定 理 を証 明 し,そ れ を用 い て第5章

で定義す るラ

プ ラ シ ア ン□ の ス ペ ク トル分 解 につ い て述 べ る予 定 で あ った が,紙 数 の 都 合 で す べ て クラ ス1の 場 合 に限 った

  0.4  [第4章]第1節 1)の2つ

で は,先

ず 古 典 解 析 に お け る ポ ア ッ ソ ン 積 分 がSU(1,

の 等 質 空 間(単 位 円 周 と 単 位 円 板)上 の 関 数 空 間 の 間 の 線 形 写 像 で あ る

こ と に 注 目 し,SU(1,1)の

自 然 な 作 用 に 関 し てintertwining作

うな 最 も 単 純 な 写 像 を 考 え る こ と に よ り,古 こ と を 示 す.次

用素 となるよ

典 的 な ポ ア ッソ ン積 分 が 得 られ る

に 境 界 上 の 直 線 バ ン ドル を 考 え る こ と に よ り ポ ア ン カ レ 計 量 に

関 す る 固 有 関 数 に 対 す る,ポ

ア ッ ソン積 分 の一 般 化 が得 ら れ る こ と を 証 明す

る.   第2節

で は,単

位 円 板 上 の 方 も 直 線 バ ン ドル を 考 え る こ と に よ り第1節

般 化 さ れ た ポ ア ッ ソ ン 積 分 の 更 に 一般 化 を 与 え,そ 殊 化 す る こ と に よ り,古

れ を2つ

で一

の違 った場 合 に 特

典 的 な ポ ア ッ ソン積 分 お よび ユー シ ー 積 分 が 得 られ る

こ とを 示 す.   第3節 で は,SU(1,1)の2つ 1)の複 素化SL(2,C)の

の 等 質 直 線バン ドル を 同 じ直 線 バ ン ドル(SU(1,

等質 直 線 バ ン ドル)に 一 方 を 他 方 の 境 界 と して 埋 め 込 む

こ とに よ り,正 則 な 切 断 の 自然 な 境 界値 を 考 えこの よ うに し て 得 られ るinter twining作

用 素 の像 とし て 可約 な非 ユ ニ タ リ系 列 の 表 現 の 不 変 部 分 空 間 が 得 ら

れ る こ とを 示 す.特 に 正 則 離 散 系 列 の 極 限 の 場 合 に は ユニ タ リ同 値 を 与 え る内 積 と してHardy空

間 が 得 られ る.

  第4節 で は,ポ ア ッ ソン積 分 が 単 位 円 周 上 の解 析 汎 関 数全 体 か ら単 位 円 板 上 の 調 和 関 数(ま た は ラ プ ラ シ ア ンの 固 有 関 数)全 体 の上 へ の線 形 同型 を 与 え る こ とを証 明す る.こ の際 カシ ミー ル作 用 素 の 動径 方 向 が確 定 特 異 点 型 に な る こ と が 本 質 的 で あ り,こ の定 理 を一 般 の対 称 空 間 の場 合 に証 明す るた め 柏 原,大 島 両 氏 に よ り確 定 特 異 点 型 微 分 方 程 式 の多 変 数 へ の拡 張が 得 られ て い る.一 般 の 場 合 の証 明 に は解 析 汎 関 数 と い う概 念 では 不 十 分 で あ り佐 藤 超 関数 な る概 念 が 本 質 的 な役 割 を果 たす.は

じめ の計 画 では 直 線 バ ン ドル の切 断 の場 合 も証 明 を

与 え る予 定 で あ った が,紙 数 の都 合 で第3章

と 同様 す べ て ク ラ ス1の 場 合 に 限

る こと に した.機 会 が あ れ ば これ らを 続 編 と し て ま とめ てみ た い と思 う.

  0.5  [第5章]第1節 た.本

で は い わ ゆ る 自乗 可 積 分 ∂ コ ホ モ ロ ジ ー 空 間 を 定 義 し

書 で は 簡 単 の た め 自 乗 可 積 分 調 和 形 式 の 空 間 と し て こ れ を 定 義 し た が,

リ ー マ ン 計 量 が 完 備 の 場 合 は コ ン パ ク ト台 を 持 つC∞

微 分形 式全 体 を 定 義 域 と

し て ∂作 用 素 を 考 え そ の 閉 被 を 取 り(こ れ も 同 じ ∂ で 表 わ す)Ker∂ の 閉 被 で 割 る こ と に よ りバ ナ ッ ハ 空 間 と し て 商 空 間 を 作 り,こ ∂ コ ホ モ ロ ジ ー 空 間 と よ ぶ べ き で あ る .こ 明 に は 適 し て い る.こ

をIm∂

れ を 自乗 可 積 分

の よ うに し た 方 が 交 代 和 定 理 等 の 証

の と き各 コ ホ モ ロ ジ ー ク ラ ス に 対 し そ の 中 で ノ ル ムが 最

小 で あ る 元 と し て 調 和 形 式 が 得 ら れ,各

コ ホ モ ロ ジ ー ク ラ ス は1つ

そ し て 唯1

つ の調 和 形 式 に よ って代 表 され る.   第2節

で は,Borel-Weil-Bottの

定 理 の3通

こ の 他 に も興 味 深 い 証 明 法 が い くつ か あ る が,紙   第3節 述 べ る.一

で は,Borel-Weil-Bottの

りの 証 明 法 を 与 え る.実

は まだ

数 の都 合 で 省 略 した .

定 理 のSU(1,1)の

場 合へ の拡 張 につ い て

般 の リー 群 の ユ ニ タ リ表 現 の 構 成 に 関 す るKostantの

方法におい

て は,Borel-Weil-Bottの

定 理 の 一 般 の 群 へ の 拡 張 が 必 要 と な る.こ

に 興 味 深 い 課 題 で あ る が,今

れは非常

尚 未 解 決 の 難 問 で あ る.

  0.6  本 書 で 述 べ た 諸 定 理 の 原 典 に つ い て は 殆 ん ど 触 れ な か っ た.ま 文 献 に つ い て も 最 小 限 に と ど め た.特 [25],[27]等

た参考

に[4],[5],[6],[14],[18],[19],[24],

は 大 い に 参 考 に さ せ て 載 い た が,い

ちい ちそ れ につ い て断 わ ら な

か った の で そ れ ら の 著 者 に 対 し お 詑 び す る と 同 時 に 深 く感 謝 の 意 を 表 す る.

  0.7 記 号 は常 用 の もの に な る べ く限 った が,他

の 本 で 異 な る意 味 に使 って

い るか も知 れ な い もの だ け挙 げ て お く.   N(非

負 整 数 全 体),C*(0で

な い複 素 数 全 体),C(M)(位

数 値 連 続 関数 全 体),Cc(M)(C(M)の

  0.8  定 理,補 の2番

題,式

小 節 を 意 味 す る.

の複素

元 で コンパ ク ト台 を 持 つ もの 全 体).

は 各 章 毎 に 番 号 を つ け た.引

目 に 番 号 の 付 い た 式 を 表 わ す.ま

相 空 間M上

た[3.4.5]は

用 す る 場 合(1.2)は 第1章 第3章

第4節

の5番

目の

Ⅰ  ユ ニ タ リ表 現 と 等 質 ベ ク トル ・バ ン ドル

  1.1  位 相 群 の 連 続 表 現   1.1.1 複 素 数 体C上

の{0}で

写 像 全 体 の なす 群 をGL(V)で

な いベ ク トル 空 間Vに 表 わす.群Gか

対 し,V上

らGL(V)の

の 線形 同型

中への準同型

ρ:G→GL(V) をGのV上

の 表 現 と よ び,Vを

同 型 写 像 の と き,忠 とVと

表 現 と い う.Wを

べ て のg∈Gに

対 し ρ(g)W⊂Wが

を 表 現 ρの 不 変 部 分 空 間 と い う.そ G∋g→ を ρのW上

し て,表

V/W∋

表 現 空 間Vの

部 分 ベ ク トル 空 間

成 り立 つ とす る.こ

の と き,W

現

ρ(g)￨W∈GL(W)

の 部 分 表 現 と い い,ρWで

に よ りGのV/W上

に ρが 中 へ の

実 な 表 現 と い う.ρ と 共 に 表 現 空 間 を 明 記 す べ き と き は,ρ

の 組(ρ,V)をGの

と し,す

そ の 表 現 の 表 現 空 間 と い う.特

υ+W→

表 わ す.更

に この と き

ρ(g)υ+W∈V/W

の 表 現 が 得 ら れ る.こ

れ を ρV/Wで 表 わ し,ρ

の ρWに よ

る 商 表 現 と い う.  

Gを

のVへ

位 相 群 とす る.Vを

線 形 位 相 空 間 と し,(ρ,V)をGの

表 現 とす る.G

の作 用 G×V∋(g,υ)→

ρ(g)υ ∈V

が 連 続 の と き,ρ を 連 続 表 現 と い う. 

で あ っ て,ρ

が{0},V以

外 に

閉 不 変 部 分 空 間 を 持 た な い と き,ρ を 既 約 表 現 と い う.(ρ,V),(σ,W)をGの 2つ の 連 続 表 現 と す る.Vか て,す

べ て のg∈Gに

らWの

上 へ の 位 相 同 相 な 線 形 写 像Aが

存在 し

対 し A° ρ(g)=σ(g)°A

が 成 り立 つ と き,ρ と σ は 同 値 で あ る と い い,  の と き は 明 ら か に σ も既 約 で あ る.

と書 く.ρ が 既 約 で,か

つ 

  位 相 群Gの

バ ナ ッ ハ 空 間V上

ル ベ ル ト空 間 で,各

元g∈Gに

の 連 続 表 現 ρを バ ナ ッ ハ 表 現 とい う.Vが 対 し,ρ(g)が

き,ρ を ユ ニ タ リ表 現 と い う.ρ,σ が 共 に ユ ニ タ リ表 現 で,か は 同 値 を 与 え る 写 像Aと   位 相 群Gの2つ

つ 

の とき

し て 等 長 写 像 で あ る も の が 選 べ る(定 理1.4).

の 連 続 表 現(ρ,V),(σ,W)に

続 な 線 形 写 像AでA°

ρ(g)=σ(g)°A(g∈G)を

ル 空 間 をHomG(V,W)と

書 き,HomG(V,W)の

wining作

ヒ

ユ ニ タ リ作 用 素(等 長 写 像)の と

用 素 と い う.V,Wが

対 し,Vか

らWの

中 へ の 連

み た す もの全 体 の な す ベ ク ト 元 をVか

らWへ

のintert

共 に 有 限 次 元 の と き はVか

らWへ

の 線形 写

像 は す べ て 連 続 で あ る こ と を 注 意 し て お く.

  以 下,本 書 で は 位 相 群 の 連続 表 現 の み を 考 え るか ら,連 続 表 現 を 単 に 表 現 と い うこ とに す る.そ し て 連続 性 を 仮定 し な い 単 な る表 現 を代 数 的 な 表 現 と よぶ こ とに す る.   1.1.2 G,Hを とす る.こ

義 す る と,Hの (h∈H)の

共 に 位 相 群 と し,連 続 な準 同型 σ:H→Gが

の と きGの

表 現(ρσ,V)が 得 られ る.特 にHがGの

と き ρσを ρ￨Hと 書 き ρのHへ

べ る た め に,よ

与 えられ て い る

任 意 の 表 現(ρ,V)に 対 し ρσ(h)=ρ(σ(h))(h∈H)と 定 閉 部 分 群 で σ(h)=h

の制 限 とい う.Gの

表 現 の構 造 を 調

り簡 単 な ア ー ベ ル 部分 群 や コン パ ク ト部 分 群 へ の制 限 を考 え る

の は表 現 論 の常 道 で あ り,そ の意 味 で半 単 純 リー群 の表 現論 に お い て は カル タ ン部 分 群 や極 大 コン パ ク ト部 分 群 が 重 要 と な る.す べ て のh∈Kerσ

に対 し

ρσ(h)=I(恒 等 写 像)で あ る ことは 勿 論 で あ るが,σ が 上 へ の 写 像 の と きはKerσ のす べ て の元 が恒 等 写 像 で表 わ され る よ う なHの 存 在 し て ρσの形 で与 え られ る.特 が そ の普 遍 被 覆群 の と き は,Kerσ

にGが

表 現 はGの

適 当 な表 現 ρが

連 結 な コン パ ク ト半 単 純 リー群 でH

は 被 覆 群 と一 致 す るか らHの

中心 に属 す

る有 限群 で あ り,連 結 な コン パ ク ト半 単 純 リー群 の 表 現 を 研 究 す る には 連 結 か つ 単 連 結 な コン パ ク ト(半単 純)リ ー群 の表 現 を 研 究 す れ ば 十 分 であ る.連 結 か つ 単 連 結 な コンパ ク ト(半単 純)リ ー群 の既 約 表 現 は そ の リー 環 の既 約 表 現 と1 対1に 対 応 す るか ら,こ の よ うな リー群 の 既 約 表 現 の 研 究 は そ の リー環 の既 約 表 現 の研 究 に帰 着 す る.   (ρ,V)をGの υ;h∈H}が

表 現 と し,HをGの

部 分 群 と す る.或

有 限 次 元 の ベ ク ト ル 空 間 を 張 る と き,こ

る υ∈Vに

対 し{ρ(h)

れ と同 じ こ とで あ る が υ

が ρ￨Hの 或 る有 限 次 元 の 不 変 部 分 空 間 に 含 まれ る と き,υ を ρ(H)有 限 なベ ク トル とい う.ρ を 固定 し て考 え る とき は単 にH有   1.1.3  Gを

位 相 群 とす る.(ρ,V)をGの

対 空 間 と す る.Gの

各 元gに

限 な ベ ク トル とい う.

有 限 次 元 表 現 と し,V*をVの

双

対 し ρ*(g)=tρ(g)-1

と お く と,ρ*はGのV*上

の 表 現 と な る.こ

れ を ρの 反 傾 表 現 と い う.

(ρ1,V1),…,(ρn,Vn)をGの

有 限 次 元 表 現 とす る と き,Gの

と 定 義 す る と, 

はGの 

…

,ρnの 直 和 表 現 と い う.Gの

(ρ1,V1),…,(ρn,Vn)が

有 限 次 元 表 現(ρ,V)に

と 定 義 す る と, 

有限次元表現

と な る と き ρは 表 現

にGの

はGの 

各 元gに

ρ1,…,ρn

対 し

上 の 表 現 と な る.こ

,ρnの テ ン ソ ル 積 と い う.V1=…Vn=Vで

テ ン ソ ルSn(V)お

対 しGの

れ を ρ1,

に ρ1,…,ρnが す べ て 既 約 の と き ρの 既 約 分 解 と い う.

ま た こ の と き ρを 完 全 可 約 と い う.次

…

対 し

上 の 表 現 と な る.こ

存 在 し て, 

に 分 解 さ れ た と い う.特

各 元gに

よ び 交 代 テ ン ソ ル∧n(V)の

か つ ρ1=…=ρn=ρ 空 間 は 共 に 

れを

ρ1,

の と き対 称 の不変部

分 空 間 と な る.   G1,…,Gnを

位 相 群 と し(ρ1,V1),…,(ρn,Vn)を

元 表 現 と す る.G1×

… ×Gnの

と 定 義 す れ ば 

各 元(g1,…,gn)に

はG1×

し てG1,…,Gnの

上 の 表 現 と な る.こ にG1=…=Gn=Gの

と き は,す

対 し

と な る.ρ1,…,ρnが G1,…,Gnが

有 限 次

対 し

… ×Gnの 

れ を ρ1,…,ρnの 外 部 テ ン ソ ル 積 と い う.特 べ て のg∈Gに

そ れ ぞ れG1,…,Gnの

す べ て 既 約 の と き は 

す べ て コ ン パ ク トの と き はG1× 既約表現

は 既 約 と な る が,逆 … ×Gnの

に

任 意 の 既 約 表 現 ρに 対

ρ1,…,ρnを そ れ ぞ れ 適 当 に 選 べ ば 

と な る.   1.1.4  Gを

位 相 群 と し,(ρ,V),(σ,W)を

共 にGの

有 限 次 元 表 現 と す る.こ

の と き 各A∈HomG(V,W)に

対 し て,

KerA={υ

∈V;Aυ=0}, 

ImA={Aυ;υ

∈V}

は 共 に 不 変 部 分 空 間 と な る こ と が 容 易 に 分 か る.   定 理1.1  G(V,V)は

(シ ュ ー ア の 補 題)(ρ,V)をGの

有 限 次 元 既 約 表 現 とす る と きHom

ス カ ラ ー 作 用 素 全 体 か ら な る.

  証 明   ス カ ラ ー 作 用 素 がHomG(V,V)に

属 す る こ とは 明 ら か で あ る か ら

HomG(V,V)の

任 意 の 元Aに

よ い.α

固 有 値 の 一 つ と し,υ ∈Vを

をAの

と す る.Iを

対 し,Aが

ス カ ラー 作用 素 で あ る こ とを 示 せ ば α に 属 す る 固 有 ベ ク ト ル の1つ

恒 等 写 像 と す る と き 明 ら か にA-αI∈HomG(V,V)で

らKer(A-αI)は

不 変 部 分 空 間 で あ り, 

性 よ りKer(A-αI)=V,即

ちA-αI=0を

あ るか

に 注 意 す れ ば既 約 得 る.故

にAは

ス カラ ー作 用 素

で あ る. 

(証 明 終)

  定 理1.2 

(ρ,V),(σ,W)を

共 にGの

有 限次 元既 約 表 現 とす る と き

が 成 り立 つ.   証 明   dim W)=1を

HomG(V,W)≠0と

仮 定 す る と き 

い え ば よ い. 

空 間 で あ る か ら ρ の 既 約 性 か らKerA={0}か な ら な い が  Aは1対1と

で あ る か ら  な る.一

らImA={0}か

ま た はImA=Wで

HomG(V,W)=1を

  1.1.5  Gを

上 へ の 写 像 と な る.更

で あ る こ と が 分 か っ た.HomG(V,W)の

1.1)に よ りA-1B=λI(但

あ り

得 る. 

各 元gに

対 し

で あ る か ら  にA∈HomG 成 り立 つ.以

元Bを

も う1つ

任意

あ る か ら シ ュ ー ア の 補 題(定 理

し λ は 複 素 数)と 書 け る.従

位 相 群 と し,(ρ,V)をGの

対 バ ナ ッハ 空 間 と しGの

っ てKerA={0}で

対 しA° ρ(g)=σ(g)°Aが

に 取 る と き 明 ら か に,A-1B∈HomG(V,V)で

故 にdim

なければ

な け れ ば な ら な い が  ちAは

あ る か ら す べ て のg∈Gに

上 に よ り 

ま た はKerA=Vで

不 変 部 分 空 間 で あ る か ら σ の既 約 性 か

従 っ てImA=W,即 (V,W)で

HomG(V, 不変部分

を 得 る.従

方ImAはWの

お よ びdim

とす る.KerAはVの

ってB=λAと

な る. (証 明 終)

バ ナ ッ ハ 表 現 と す る.V*をVの

双

ρ*(g)=tρ(g)-1

と 定 義 す る と,ρ*はGのV*上 更 に(ρ,V)がGの

の 表 現 と な る.こ

れ を ρの 反 傾 表 現 と い う.

ユ ニ タ リ表 現 で あ る と 仮 定 し よ う.任

V∋w→(w,υ)∈Cは

有 界 線 形 汎 関 数 で あ る か らV*の

意 の υ∈Vに

対 し

元 υ*を 定 め る.こ

の

とき 内積 の性 質 か ら写 像 *:V∋

υ→

は 複 素 共 役 線 形 な 同 相 写 像 とな る.更

υ*∈V*

に任 意 のg∈G,υ,w∈Vに

対 し  で あ るか ら,可 換

な図 形

が 成 り立 つ.Gの

ユ ニ タ リ表 現 の 族{(ρ λ,Vλ)}λ ∈Λ が 与 え ら れ た と し,ヒ

ル ト空 間 とし て の 直 和 

を 考え る.Gの

各 元gに

の と き 

と定 義 す る と(ρ,V)はGの

れ を ユ ニ タ リ表 現 の 族{(ρ

λ,Vλ)}λ ∈Λ の 直 和 と い い, 

Gの

ユ ニ タ リ表 現(ρ,V)が

λ∈Λ が 存 在 し て, 

与 え ら れ た と き,Gの

ルベ

対 し, 

ユ ニ タ リ表 現 と な る.こ と 書 く.逆

に

ユ ニ タ リ表 現 の 族{(ρ λ,Vλ)}

と な る な ら ば ρは 表 現 の 族{(ρ λ,Vλ)}λ ∈Λ に 分 解 さ

れ た と い う.特

に す べ て の λ∈ Λ に 対 し ρλが 既 約 の と き ρ の 既 約 分 解 と い う.

  G1,…,Gnを

位 相 群 と し,(ρ1,V1),…,(ρn,Vn)を

ニ タ リ 表 現 と す る .G1× 線 形 写 像

ρ(g1,…,gn)で

… ×Gnの

各 元(g1,…,gn)に

任 意 の(υ1,…,υn)∈V1×

を み た す も の が 唯 一 つ 存 在 し,ρ はG1× な)表 現 と な る.写

対 し,  … ×Vnに

… ×Gnの 

ユ 上 の

対 し

上 の(代 数 的

像

か ら 誘 導 さ れ る 写 像  に 

そ れ ぞ れG1,…,Gnの

の 内 積 を 定 義 し,ρ(g1,…,gn)は

は容易に分か るよ う そ の 上 の 等 長 写 像 と な る.従

っ て 

の 完 備 化 を 

と書 く と,G1×

上 の ユ ニ タ リ表 現 ρが 得 ら れ る.こ を

ρ1,…,ρnの 外 部 テ ン ソ ル 積 と い う.特

元gに

… ×Gnの 

の と き 

と 書 き,ρ

にG1=…=Gn=Gの

と き,Gの

各

対 し

と定 義 す る と,  … ,ρnの

はGの 

上 の 表 現 と な る.こ

れ を ρ1,

をそれ ぞれ 

テ ン ソ ル 積 と い う. 

の 正 規 直 交 基 底 とす る と き, 

が 

の 正 規 直交 基 底 とな る.  

G,Hを

位 相 群 と し,(ρ,V),(σ,W)を

る.(σ*,W*)を(σ,W)の

そ れ ぞ れG,Hの

反 傾 表 現 と し,W*か

ミ ッ ト作 用 素 の 全 体 をH(W*,V)と しB*AはW*上

らVへ

書 く と,任

ユ ニ タ リ表 現 と す の ヒ ル ベ ル ト ・シ ュ

意 のA,B∈H(W*,V)に

対

の 核 型 作 用 素 で あ りH(W*,V)は

(A,B)=TrB*A を 内 積 と す る ヒル ベ ル ト空 間 と な る.G×Hの π(g,h)A=ρ(g)Aσ*(h)-1 

と 定 義 す る と,π   さ て,任

の ユ ニ タ リ表 現 と な る. 村 し

B(υ,w)(u)=u(w)υ 

と 定 義 す れ ば,明

対 し

(A∈H(W*,V))

はG×HのH(W*,V)上

意 の(υ,w)∈V×Wに

各 元(g,h)に

(u∈W*)

ら か にB(υ,w)∈H(W*,V)で

あ り

V×W∋(υ,w)→B(υ,w)∈H(W*,V)

は 双 線 形 写 像 で あ る か ら,線 形 写 像 

で

を み た す も の が 一 意 的 に 存 在 す る.{υ1,υ2,…}お れV,Wの

正 規 直 交 基 底 と す る.こ

で あ る か らB(υk,wl)*υm=δkmw*l,よ

を 得 る.故

に

の とき

って

よ び{w1,w2,…}を

それぞ

が 成 り立 ち,従 る.ま

っ て{B(υi,wj);i,j=1,2…}はH(W*,V)の

たH(W*,V)の

任 意 の 元 がB(υi,wj)の

さ れ る こ と は 明 ら か で あ る か ら,こ 故 にAは 

正 規 直交 系 とな 形 の 元 の一 次 結 合 と し て表 わ

の 正 規 直 交 系 はH(W*,V)の

の 正 規 直 交 基 底 をH(W*,V)の

てAは 

か らH(W*,V)の

一 方 任 意 の(g

で か つ,任

正 規 直 交 基 底 に 写 す.従

っ

上 へ の等 長 線 形 写 像 に一 意 的 に 拡張 され る.

,h)∈G×H,(υ,w)∈V×Wに

意 のu∈w*に

基 底 と な る.

対 し

対 し

で あ るか ら

と な る.従

っ て 任 意 の(g,h)∈G×Hに

が 成 り立 つ.故   1.1.6  Gを

に 

で あ る こ と が 分 か った.

位 相 群 と し,(π,V)を

で あ る と仮 定 し,Wを{0},V以

間 をW⊥

対 し

そ の ユ ニ タ リ表 現 と す る.(π,V)が 外 の 閉 不 変 部 分 空 間 とす る.Wの

と 書 く と 

(直交 分 解)と な るが,任 意 の υ∈W⊥ に 対 し

(π(g)υ,w)=(υ,π(g-1)w)=0(w∈W)が 故 にW⊥

の 直 交 射 影 をPWと

P∈HomG(V,V)が ら か にWはVの 意 味 で,Vの 1に 対 応 す る.

を 得 る.

は

有 限 次 元 の と き は,こ

が 既 約 分 解 さ れ る こ と が 分 か る.故 る.Wへ

成 り立 つ か ら,π(g)υ ∈W⊥

も 閉 不 変 部 分 空 間 で あ り,π

と 直 和 分 解 さ れ た.Vが

可約 直交補空

れ を 続 け て い くこ とに よ って π

に 有 限 次 元 の ユ ニ タ リ表 現 は 完 全 可 約 で あ

書 け ば 明 ら か にPW∈HomG(V,V)で

射 影 で あ る と し(即 ちP2=P,P*=P),W=PVと 閉 不 変 部 分 空 間 で,か

つPはWへ

閉 不 変 部 分 空 間 全 体 と,HomG(V,V)に

あ る.逆

に

おけば 明

の 直 交 射 影 と な る.こ 属 す る射 影 全 体 と は1対

の

  補 題1.1  素 とす る.こ

(π,V)をGの

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と し,AをV上

の と き 更 に す べ て のg∈Gに

の 自己 共 役 作 用

対 し て π(g)がAと

可 換 な ら ばA

は ス カ ラ ー 作 用 素 で あ る.

 証明

をAの

ス ペ ク トル 分 解 と す る と,す

と 可 換 で あ る か ら,各 Eλ=0,Iと

な る.故

べ て のg∈Gに

射 影Eλ(λ ∈R)と

対 し 仮 定 に よ り π(g)はA

も可 換 と な る.従

って π の既 約 性 か ら

に{Eλ}λ ∈Rの 性 質 か ら 或 る λ0∈Rが

存 在 し てA=λ0I

と な る.    定 理1.3 

(証 明 終) (シ ュ ー ア の 補 題)位 相 群Gの

た め の 必 要 十 分 条 件 はHomG(V,V)が

ユ ニ タ リ表 現(π,V)が

既約 である

ス カ ラ ー作 用 素 のみ か ら成 る こ とで あ

る.   証 明   (必 要 性)A∈HomG(V,V)と

す る と,す

=A° π(g)で あ る か らA*° π(g)*=π(g)*°A*と あ る か ら π(g)*=π(g)-1が り,す べ て のg∈Gに V)で

成 り立 ち,上

あ る こ と が 分 か っ た.そ

B,Cは

式 でgの

対 し π(g)°A*=A*°

対 し π(g)°A

ユ ニ タ リ作 用 素 で

代 りにg-1を

π(g)を 得 る.故

考 える こ と に よ

にA*∈HomG(V, とお く と,

こ でB=A+A*, 

共 に 自 己 共 役 で か つHomG(V,V)に

B,Cは

べ て のg∈Gに

な る.π(g)は

共 に ス カ ラ ー 作 用 素 で あ る.従

属 す る.故

に 補 題1.1に

よ って

も ス カ ラ ー

っ て 

作 用 素 であ る.   (十 分 性)(π,V)が す る.Wへ

可 約 で あ る と し,Wを{0},V以

の 直 交 射 影 をPWと

書 く とPW∈HomG(V,V)で

外の閉不変部分空間 と し か もPWは

ラ ー 作 用 素 で は な い.   

Gが

ア ー ベ ル 群 の と き は す べ て のg∈Gに

か ら π が 既 約 な ら ば 定 理1.3よ る.故

りWの

対 し π(g)∈HomG(V,V)で

  系   ア ー ベ ル 群 の 既 約 ユ ニ タ リ表 現 は1次 (ρ,V),(σ,W)を

共 にGの

あ る

すべ て の部分空間が不変部分空間 とな

に 次 の 系 を 得 る.

  定 理1.4 

ス カ

(証 明 終)

元 で あ る.

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と す る と き

が 成 り立 ち,更

に 

の と き はHomG(V,W)は

 証 明 

等 長 写 像 を 含 む.

と 仮 定 し てdim

G(V,W)が

HomG(V,W)=1お

上 へ の 等 長 写 像 を 含 む こ と を 示 せ ば よ い.こ

に よ り 

と な る. 

{0}で

で あ る か ら, 

あ りAは1対1と

な る.一

方(ImA)⊥

はWの

よ り 

が い え る.従

を 得 る.故

にImAはWで

稠 密 で あ る.A=URをAの

の 既 約 性 か ら(ImA)⊥={0} 極 分 解 と す る とR=

な る.ρ

は 既 約 で あ る か らRは

カ ラ ー 作 用 素cI(c>0)で

な け れ ば な ら な い.故

で あ り,HomG(V,W)は

中 へ の 等 長 写 像 を 含 む.Aは1対1でImAは

だ か らUは

=λI(但

し λ は 複 素 数)と 書 け る .従

(V,W)=1で

元Bを

稠密 も う1つ

任意 に

あ る か ら σ の 既 約 性 に よ りBU-1 っ てB=λUを

得 る.故

あ る. 

にdim

HomG

(証 明 終)

  1.2  コ ン パ ク ト位 相 群 の 表 現 とPeter-Weylの   こ の 節 で はGは

ス

にU=c-1A∈HomG(V,W)

上 へ の 等 長 写 像 で あ る.HomG(V,W)の

取 る と き 明 ら か に.BU-1∈HomG(W,W)で

得

っ てKerA=

閉 不 変 部 分 空 間 で あ るか

っ て,σ

あ る か ら,R∈HomG(V,W)と

閉不変

ま た はKerA=Vを

で な け れ ば な ら な い.従

ら, 

(A*A)1/2で

の と き,こ の 等 長 写 像

と す る と,KerAはVの

部 分 空 間 で あ る か ら ρの 既 約 性 に よ りKerA={0}か る が, 

よ びHom

理論

コ ン パ ク ト位 相 群 と す る.

  1.2.1  (ρ,V)をGの

バ ナ ッハ 表 現 と し,Vが

内 積(・,・)を 持 つ と 仮 定 す る.

(つ ま り 「Vは 内 積(・,・)に 関 し ヒ ル ベ ル ト空 間 に な り,こ の 内 積 の 定 め る ノ ル ム はVの

バ ナ ッ ハ 空 間 と し て の ノ ル ム と 同 値 で あ る 」 と仮 定 す る.)明

らかに

有 限 次 元 表 現 は す べ て こ の 条 件 を み た す.   Vの2元

υ,wに

(但 しdxはGの

対 し

正 規 化 され た ハ ー ル 測 度)と 定 義 す る と,(ρ(x)υ,ρ(x)υ)はG

上 の 非 負 値 連 続 関 数 だ か ら  す べ て のx∈Gに 0即

ち υ=0を

で あ る.こ

対 し(ρ(x)υ,ρ(x)υ)=0と 得 る.更

こ で 等 号 が 成 り立 つ と す る と,

な り,特

に 任 意 のg∈Gυ,w∈Vに

にx=eと 対 し

お い て(υ,υ)=

が 成 り立 つ か ら ρ(g)は 内 積(・,・)ρに 関 し ユ ニ タ リ作 用 素 に な る.一 υ∈Vに る.故

対 し 表 現 の 連 続 性 か ら ρ(G)υ は コ ン パ ク ト と な り,従 に 共 鳴 定 理 に よ り ρ(G)はL(V,V)の

Mが 存在 して 

とな る.そ

って 有 界 で あ

有 界 集 合 で あ る.故

を み たす.従

って任 意 のg∈Gに

こで両 辺 を積 分 し て 

を 得 る.更

方任意 の

に 正 の実 数

対し

に

が 成 り立 つ こ と が 分 か る.故

で あ る か ら, 

に

(・,・)の定 め る ノ ル ム と(・,・)ρの 定 め る ノ ル ム と は 同 値 で あ る.[1.1.6]で し た よ う に 有 限 次 元 の ユ ニ タ リ表 現 は 完 全 可 約 で あ る か ら,次

示

の 定 理 を 得 る.

 定 理1.5  コ ン パ ク ト群 の 有 限 次 元 表 現 は 完 全 可 約 であ る.  この 定 理 と定 理1.3の 系 か ら次 の 系 を得 る.   系   コ ン パ ク トア ー ベ ル 群 の 既 約 表 現 は1次  1.2.2  (ρ,V)をGの   Vの

元uを1つ

と しVの

ユ ニ タ リ表 現 と す る.

任 意 に 取 り,そ れ を 固 定 し て 考 え る.Cuへ

ら か にA∈HomG(V,V)で

コ ン パ ク ト作 用 素 で あ り,任

有 界 で あ る か ら,コ

あ る.ImPは 意 のx∈Gに

有限次元 であるか

対 し ρ(x)-1,ρ(x)は

共に

ン パ ク ト作 用 素 全 体 が 有 界 作 用 素 全 体 の 中 で 両 側 イ デ ア ル

を な す こ と に 注 意 す れ ば ρ(x)-1Pρ(x)は コ ン パ ク ト作 用 素 全 体 はL(V,V)の と な る.任

の 直 交 射 影 をP

各 元 υ に対 し

と 定 義 す る と,明 ら,Pは

元 で あ る.

意 の υ,ω ∈Vに

対 し

コ ン パ ク トで あ る こ と が 分 か る.更

中 で 閉 集 合 を な す か ら,Aは

に

コン パ ク ト

が 成 り立 つ か らA*=Aを

で あ る か らAは

得 る.従

正 定 値 で あ る.故

ってAは

にAは

自 己 共 役 で あ る.更

に

次 の よ う に ス ペ ク トル 分 解 さ れ る.

(直交 分 解) 但 しVk={υ

∈V;Aυ=λkυ},で

こ の と き,任

意 のg∈G,υ

が 成 り立 つ か ら,Vkは

∈Vkに

対 して

不 変 部 分 空 間 で あ る.ま

で あ る か ら,Pρ(x)υ=0(x∈G),従 を 得 る.以

λ1>λ2>…,

か つ,λ0=0, 

た 任 意 の υ∈V0に

っ て 特 にPυ=0と

な る.故

対 し

に,(u,υ)=0

上 に よ り

 (1.1)

で あ る こ と が 証 明 され た.

  さ て,互 い に 直交 す る有 限次 元 不 変 部 分 空 間 の族{Vα}α ∈Aの 全 体 を Ω とす る.任 意 の ω,ω′ ∈Ω に 対 し ω⊂ω′(集合 と して の 包 含 関 係)の と き   定 義 す る と 〓 は Ω 上 の 半 順 序 と な る.Σ ると  

従 って

を Ω の 任 意 の全 順 序 部 分 集 合 とす

は 明 らか に Σ の上 界 で あ る.故 にZornの

を 持 つ.そ

の1つ

を{Vα}α

∈Aと

す る と,上

限 次 元 で あ る か ら,定

理1.5に

の(1.1)よ

を 得 る.任

ρVα=ρ α と お く と 

よ り, 

と

意の

補 題 か ら Ω は極 大 元 り 

α∈Aに

と な る.

対 しVα

は有

と既 約 な不変部分空 間

に 分 解 され る. 

とお き各 λ∈ Λ に 対 し ρλ=ρVλ と

お くと,ρ λは す べ て 既 約 な有 限 次 元 表 現 で,か つ 

を 得 る.

 以 上 に よ り定 理1.5の 拡 張 で あ る次 の 定 理 が 証 明 され た.   定 理1.6 

コ ン パ ク ト群 の 任 意 の ユ ニ タ リ表 現 は 有 限 次 元 既 約 表 現 に 分 解 さ

れ る(従 っ て コ ン パ ク ト群 の ユ ニ タ リ表 現 は す べ て 完 全 可 約 で あ る).   こ の 定 理 か ら 直 ち に 次 の 系 を 得 る.   系  コ ン パ ク ト群 の 既 約 ユ ニ タ リ表 現 は 有 限 次 元 で あ る.   1.2.3  (ρ,V)をGの 直 交 基 底 の1つ

有 限 次 元 の ユ ニ タ リ表 現 と し,{υ,…,υn}をVの

と す る.各g∈Gに

対 し

に よ り ρijを定 義 す れ ば,ρij(g)=(ρji(g)υj,υi)(g∈G)で はG上 す るn次

正規

の 連 続 関 数 で あ る.ρijを

あ る か ら, 

ρの 行 列 要 素 と い う.ρij(g)を(i,j)成

分 と

正 方 行 列 を(ρij(g))と 書 け ば G∋g→(ρij(g))∈GL(n,C)

はGのCn上

の 表 現 と な る.こ

同 値 で あ る.故

れ を 行 列 表 現 と い う.こ

の表 現 は 明 らか に ρと

に 任 意 の 有 限 次 元 表 現 は 或 る 行 列 表 現 と 同 値 で あ る.ρ

タ リ表 現 で あ るか ら(ρij(g))(g∈G)は

はユニ

す べ て ユ ニ タ リ行 列 で あ る こ と を 注 意 し

て お く.

 さ てGの

各 元gに

対し χ ρ(g)=Trρ(g)

と定 義 す れ ば χρはG上 (g)ρ(x)ρ(g-1)=Trρ(x)=χ

の 連 続 関 数 で あ り,g,x∈Gの

ρ(x)で あ る か ら χρ(x)の 値 はxの

す る.χ ρを 表 現 ρ の 指 標 と い う.次 す る と,任

意 のg∈Gに

と き χρ(gxg-1)=Trρ

に  

共 役 類 の み に依 存

と し 同 値 を 与 え る作 用 素 をAと

対 し

と な るか ら指 標 は 同 値 類 の み に よ っ て 定 ま る こ と が 分 か る.   定 理1.7 

コ ン パ ク ト群Gの2つ

き,  列 要 素 と す る.こ

の 既 約 表 現(ρ,V),(σ,W)が

与 え られ た と

を そ れ ぞ れ の(正 規 直 交 基 底 に 関 す る)行 の とき

が 成 り立 つ.   証 明   ρ(g)=(ρij(g)),σ(g)=(σkl(g))と σ は 共 に 既 約 で あ る.Bを

と お く と,任

任 意 の(n,m)行

意 のg∋Gに

が 成 り立 つ. 

成 分 が す べ て0で

で あ る か ら,ρ,

列 とし

対 して

の と きは  

注 意 す れ ば 定 理1.2よ

お く と, 

で あ る か ら,ρ,σ

りA=0を

得 る.従

っ てBと

あ る よ う な 行 列 を 取 りAの(i,l)成

が 共 に 既 約 であ る こ とに し て(j,k)成

分 が1で

他 の

分 を 調 べ れ ば σ(x)が ユ

ニ タ リ行 列 で あ る こ と か ら

と な る.ρ=σ 理1.3に

の と き は,ρ

よ りA=aIと

が 既 約 で あ る こ と か ら ρが 既 約 に な り,従

書 け る(aは

勿 論Bに

依 存 す る).故

って 定

に

 (1.2)

を 得 る.両

辺 の トレー ス を取 って

な る こ とが 分 か る.こ

こ でBと

る よ う な 行 列 を 取 れ ば,na=δjkと (1.2)式

の(i,l)成

を 得 る. 

し て(j,k)成 な る.従

分 が1で っ て 

他 の 成 分 が す べ て0で が 成 り立 つ.故

あ に

分 よ り

(証 明終) で あ る こ とに 注 意 す れ ば こ の定 理 か ら直 ち に 次 の系 を 得 る.

系

  1.2.4  (ρ,V)をGの

有 限 次 元 表 現 と す る と ρは 完 全 可 約 で あ る か ら

と既 約 表 現 に 分 解 され る.こ の分 解 に現 わ れ る既 約 表 現 の うち互 い に 同 値 で な い もの を(必 要 な ら改 め て番 号 を付 け換 え て)ρ1,…,ρrと し各  の既 約分 解 にmi回

が上

現 わ れ る もの とす る.こ の と き

と書 くこ とに す れ ば χ ρ=m1χ

で あ る か ら定 理1.7の

ρ1+…+mrχ

系 よ りmi=(χ

ρ,χ ρi)を得 る.miを

の 重 複 度 と い い,(ρ:ρi)で 表 わ す.重 標 が 等 し い よ う な2つ

ρr

複 度 は 指 標 の み に よ っ て 定 ま る か ら,指

の 表 現 は 同 値 で な け れ ば な ら な い.ρ,σ

有 限 次 元 表 現 とす る と き(ρ:σ)=(χ ρ,χ σ)とお く と,ρ 持 つ た め の 条 件 は  χρ)=m21+…+m2rが 存 在 し てmi=1で

ρの 中 に 含 ま れ る ρi

で あ る こ と が 分 か る.両 成 り立 ち,従

か つ 

っ て(χ ρ,χρ)=1な と な る.こ

をGの2つ

の

と σが 同値 な既 約成 分 を び 定 理1.7の ら ば,或

の と き 

系 に よ り(χρ,

る 

が

で あ る か ら ρは

既 約 で あ る.

  以上 に よ り次 の定 理 が成 り立 つ こ とが分 か った.   定 理1.8  (1)コ ンパ ク ト群 の2つ

の有 限 次 元 表 現 が 同値 で あ る た め の必 要 十

分 条 件 は そ れ ら の指 標 が 一 致 す る こ とで あ る.   (2)コ ン パ ク ト群 の有 限次 元 表 現 ρが 既 約 であ る た め の必 要 十 分 条 件 は(χ ρ, χρ)=1が 成 り立 つ こ とで あ る.   1.2.5 G上 の 複 素 数 値 連 続 関 数 の 全 体 をC(G)と

書 く.任 意 のg∈G,f∈C

(G)に 対 し (Lgf)(x)=f(g-1x), 

と お く.更

に 任 意 のf1,f2∈C(G)に

(Rgf)(x)=f(xg) 

対 し

(x∈G)

に よ りC(G)上

の 内 積 を 定 義 す る と,Lg,Rgは

の 完 備 化 をL2(G)と

書 く と,Lg,Rg(g∈G)はL2(G)上

一 意 的 に 拡 張 さ れ る .こ な る.表

共 に 等 長 作 用 素 で あ り,C(G) の ユ ニ タ リ作 用 素 に

の と き(L,L2(G)),(R,L2(G))はGの

ユ ニ タ リ表 現 に

現 の 連 続 性 の 証 明 は も っ と 一 般 の 場 合 に[1.5.3]で

そ れ ぞ れ(Gの)左

正 則 表 現,右

  さ て(ρ,V)をGの

内 積(・,・)がVに

正 則 表 現 と い う.

有 限 次 元 の 既 約 表 現 と し,Vの

で 示 し た よ うに,す

べ て のg∈Gに

入 る.Vの

次 元 をdρ と す る.[1.2.1]

対 し ρ(g)が ユ ニ タ リ作 用 素 と な る よ う な

正 規 直 交 基 底 

とす る と,任 意 のx∈Gに ら,ρij(x-1)=ρji(x)が

に 関 す る 行 列 要 素 を 

対 し(ρij(x))は ユ ニ タ リ行 列 で あ る か

成 り立 つ.ρij(x)=ρij(x)(x∈G)と

で 張 ら れ る,L2(G)の がL2(G)ρ

与 え る.L,Rを

部 分 空 間 をL2(G)ρ

お き, 

と 書 く と 定 理1.7に

の 正 規 直 交 基 底 と な る.L2(G)ρ

の み に 依 存 す る か ら こ れ をL2(G)[ρ]と

よ り 

は ρ の 同 値 類[ρ]

も 書 く こ と に す る.任

意 のg,x∈Gに

対 し

で あ る か ら, 

が 成 り立 つ.故

で 張 ら れ る 部 分 空 間 をVkと

にL2(G)ρ

は 左 正 則 表 現 の 不 変 部 分 空 間 で あ り,そ

は す べ て ρ と 同 値 で 重 複 度 はdρ で あ る.ρ (g))-1=(ρij(g))(g∈G)で ∈Gに

書 く と,

の既 約 成 分

の 反 傾 表 現 ρ*の 行 列 表 現 はt(ρij

与 え ら れ る か らρ*ij=ρijで

あ る.従

っ て 任 意 のg,x

対 し

が 成 り立 つ か ら, 

と な る.故

にL2(G)ρ

で 張 ら れ る 部 分 空 間 をWkと

は 右 正 則 表 現 の 不 変 部 分 空 間 で,そ

ρ*と 同 値 で 重 複 度 はdρ で あ る.

書 く と,

の既約成分はすべて

  V*をVの る.任

双 対 空 間 と し, 

意 の υ∈V,u∈V*に

を  対 し

fu,υ(x)=u(ρ(x)-1υ) 

と 定 義 す れ ば,明

ら か にfu,υ ∈L2(G)ρ

は 双 線 形 で あ る か ら,任

の 双 対 基 底 とす

(x∈G)

で あ り,更

意 の(υ,u)∈V×V*に

に写像

対 し 

をみ

たす線形写像

が 一 意 的 に 存 在 す る.こ ら,AはV 

V*か

∈V×V*と

す ると

の と き 

らL2(G)ρ

が 成 り立 つ か ら 任 意 の(g1,g2)∈G×Gに

を 得 る.故

であ るか

の 上 へ の 等 長 写 像 に な る.g1,g2,x∈G,(υ,u)

対 し

に

で あ る こ とが 証 明 され た.   さてLはGの

ユ ニ タ リ表 現 だ か ら定 理1.6に よ り有 限 次 元 の既 約 表 現 に 分

解 され る.そ の既 約 な 不 変 部 分 空 間 の1つ をVと 規 直 交 基 底 

を 適 当 に 選 べ ば,任 意 のg∈Gに

であ るか ら,殆 ん どす べ て のx∈Gに

が 成 り立 つ.故

し,LV=ρ

に, 

と, 

はG上

とお く.Vの

正

対し

対し

の 連 続 関 数 で あ り,特

と な る か らfi∈L2(G)ρ

にx=eと

を 得 る.故

お く にV⊂L2

(G)ρ で あ る こ とが 分 か った.  以 上 に よ りGの

既 約 表 現 の 同値 類 全 体 をGで

表 わす と き次 の定 理 お よび系

を 得 る.   定 理1.9 

(Peter-Weylの

定 理)コ ン パ ク ト群Gに

対 し 次 の(1),(2)が

成 り立

つ.

  (1) ρをGの 正 則 表 現Rの

有 限 次 元 の既 約 表 現 とす る とL2(G)ρ は 左 正 則 表 現Lお 不 変 部分 空 間 で,そ れ ら の制 限 を それ ぞれL[ρ],R[ρ]と

よび 右 書 く と,

が 成 り 立 つ.  (2)

  G∋[ρ]→[ρ*]∈Gが1対1上

へ の 写 像 で あ る こ と に 注 意 す れ ば 次 の糸 を

得 る.

お よび 

  系   (1)  は 共 にL2(G)の

正 規 直 交 基 底 で あ る.

 (2)

  1.2.6  HをGの 積 を(・,・)Vで

閉 部 分 群 と し,(ρ,V)をHの 表 わ し,こ

の 内 積 の 定 め る ノ ル ム を‖・‖Vと 書 く.G上

値 を 持 つ 連 続 関 数 全 体 をC(G,V)で

と お く.こ (Eρ)はEρ

こにEρ

ユ ニ タ リ表 現 と す る.Vの のVに

表わし

は[1.5.1]で

定 義 す る ρに 同 伴 す る ベ ク トル バ ン ドル でC

の 連 続 な 切 断 全 体 と 同 一 視 さ れ る.こ

こ で はEρ の 定 義 を 知 ら な く

て も(つ ま りEρ の 定 義 そ の も の を 議 論 し な い で)C(Eρ)の よ り定 義 す る も の と考え る.任

内

意 のg∈G,f∈C(Eρ)に

(π,(g)f)(x)=f(g-1x) 

意 味 を上 式 の 右辺 に 対 し

(x∈G)

と定 義 す る と,明 らか に G∋g→

π ρ(g)∈GL(C(Eρ))

は 準 同 型 で あ る.C(Eρ)の2元f1,f2に

と お く と,(・,・)はC(Eρ)の

対 し

内 積 と な り,任

意 のg∈G,f∈C(Eρ)に対

し

が 成 り立 つ か ら πρ(g)は 等 長 作 用 素 で あ る.従 と 書 く と,π ρ(g)はL2(Eρ)の πρはGのL2(Eρ)上 の 場 合 に[1.5.3]で

っ てC(Eρ)の

完 備 化 をL2(Eρ)

ユ ニ タ リ作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.こ

のとき

の 連 続 表 現 と な る.表

現 の連 続 性 につ い ては も っと一 般

証 明 す る こ と に す る.π

ρを ρか ら 誘 導 さ れ た 表 現 と よ

び,

と 書 く.ま

た,こ

れ らを ま とめ て

と も書 く.  さ て,{(ρ

λ,Vλ)}λ∈ Λ

と お く.C(Eρ)の

各 元fに

(但 しfλ(x)∈Vλ)に (G,Vλ)で

をHの

ユ ニ タ リ 表 現 の 族 と し,

対 し

よ りG上

のVλ 値 関 数fλ を 定 義 す れ ば,明

あ り,か つx∈G,h∈Hの

と な る か らfλ ∈C(Eλ)を

得 る.こ

ら か にfλ∈C

とき

の と き,任

意 のx∈Gに

対 し

であるか ら

が 成 り立 つ.更

に 任 意 のg,x∈Gに

対 し

で あ る.

 以上 に よ り

が 証 明 さ れ た.故   定 理1.10 

Hを

に 次 の 定 理 を 得 る. コ ン パ ク ト群Gの

閉 部 分 群 と し,{(ρ λ,Vλ)}λ ∈Λ をHの

ユニ

タ リ表 現 の 族 とす れ ば

が 成 り立 つ.  こ の 定 理 に よ り 

ρの既 約 分解 を 調 べ る場 合 に は ρが 既 約 の と き調 べ れ

ば よ い こ と が 分 か る.そ   f∈C(G),υ

∈Vに

こ で,以

下(ρ,V)は

対 し fv(x)=f(x)υ

と 定 義 す る と,明

既 約 と 仮 定 す る.

ら か にfυ ∈C(G,V)で

 

(x∈G)

あ り,か つ

C(G)×V∋(f,υ)→fυ

∈C(G,V)

は 双 線 形 写 像 で あ る か ら,任 意 のf∈C(G),υ

∈Vに

対 し 

をみ

たす線形写像

が 一 意 的 に 存 在 す る.Vは あ る.さ f)(x)υ,お

てfυ ∈C(Eρ)と

有 限 次 元 で あ る か ら,Aは す る とx∈G,h∈Hの

と きfυ(xh)=f(xh)υ=(Rh

よ びfυ(xh)=ρ(h)-1fυ(x)=f(x)ρ(h)-1υ

を 得 る.ま た 明 らか に任 意 のg∈Gに

が 成 り立 つ.f∈C(G),υ

∈Vの

明 らか に 上 へ の 写 像 で

が 成 り立 つ か ら

対し

とき

とな る か ら

と お く と,Aは  さ れ る.定

理1.9よ

か らL2(Eρ)の り 

で 不 変 で あ る こ とに注 意 す れ ば

上 へ の 等 長 写 像 に一 意 的 に 拡 張 で あ る か らL2(G)ω

がRh(h∈H)

とお くと

と な る.次

に ω∈Gを1つ

固 定 し(σ,W)∈

と な り,か は 

に よ りdim す る.故

く知 ら れ た 線 形 同 型 

で 不 変 な 元 全 体 はHomH(W,V)全

が 成 り立 つ.更

に こ の 同 型 に よ りLg 

HomH(W,V)は

り 

つ こ の 線 形 同 型 対 応 に よ っ て 

に 対 応 す る.よ

よ り 

ω とす る と定 理1.9よ

σ￨Hの

Iは

に 体 に写 る か ら

ρ(g) Iに 対 応 す る.一

方 定 理1.4

中 に 含 ま れ る ρ の 重 複 度(σ￨H:ρ)に

一致

に

で あ る こ とが 分 か っ た.   以 上 に よ り次 の 定 理 を 得 る.   定 理1.11 

(フ ロ ベ ニ ウ ス の 相 互 律)Hを

ρ,σ を そ れ ぞ れH,Gの

コ ン パ ク ト群Gの

閉 部 分 群 と し,

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と す れ ば

が 成 り立 つ.

  1.3  局 所 コ ン パ ク ト群 の ユ ニ タ リ表 現 と 群 環 の*表   こ の 節 で はGは 群 とす る.こ

の と きGの

  1.3.1  〓 をC上 え ら れ,任

第2可

意 の 

現

算 公 理 を み た す 局 所 コ ン パ ク トユ ニ モ ジ ュ ラ ー 位 相 左 ハ ー ル 測 度 は 右 ハ ー ル 測 度 で あ る.

の バ ナ ッ ハ 空 間 とす る.群

と し て 準 同 型 

が与

に対 し

 (1.3)

がg=e(単

位 元)で 連 続 で あ る と す る.こ

の とき

 (1.4)

が 連 続 と な る.従   任 意 に 

っ て π は 連 続 表 現 と な る.次 を 固 定 す る.(1.3)で

与 え ら れ た 正 数 εに 対 し(Gは

に この こ と を 証 明 し よ う. φ=π(g0)φ0と

局 所 コ ン パ ク トで あ る か ら)Gに

お く と,任

意に

お け る単 位 元

の コ ン パ ク ト な 近 傍Kが 立 つ.任

意 の 

存 在 し て ‖π(g)π(g0)φ0-π(g0)φ0‖1/tを

が実解析的 であ

証 は 上 で 述 べ た(1.16)の

お く.任

収束性 に関

意 に 与 え ら れ た 正 数tに

固 定 す る. 

で あ る か らT が 成 り立 つ.従

って

を 得 る.逆 る.任

に(1.18)を

み た す よ うな 任 意 の 複 素 数 列{bn}∞n=0が

意 に 与 え ら れ た 正 数rに

こ の と き任 意 のf∈Ar(M)に

対 し1/2r>t>0を

与 え ら れ た とす

み た すtを1つ

固 定 す る.

対 し

が成 り立 つ か ら  (1.19)

を 得 る.故

に

と 定 義 す る と(1.19)はTがAr(M)上 数 で あ っ た か らT∈B(M)を 更 に 任 意 のf∈A(M)に

はA(M)の

得 る.ま 対 し(2)よ

で 連 続 で あ る こ と を 示 す.rは

任 意 の正

た 明 ら か にT[φn]=bn(n∈N)で

あ る.

り

位 相 で 収 束 して い るか らTの

を 得 る.故

にTはT[φn](n∈N)の

連続性 に よ り

値 に よ り一 意 的 に 定 ま る こ と が 分 か る. (証 明 終)

 

Mの

リ ー マ ン 計 量 の 定 め る 測 度 をdxと

と 定 義 す る と,g∈Ar(M)(r>0)の

とき

書 く.任

意 のf∈L2(M)に

対 して

が 成 り立 つ か ら,Tf∈B(M)で

あ る.以

後写像

L2(M)∈f→Tf∈B(M) に よ りL2(M)⊂B(M)と   1.4.8  Mを

み な す.

実 解 析 的 多 様 体 と しVを

の 中 へ の 写 像fがMの1点p0で x1(p0)=…=xn(p0)=0を ∈Uに

複 素 バ ナ ッ ハ 空 間 と す る.Mか

実 解 析 的 と は 点p0の

らV

適 当 な 開 近 傍Uと

み た す 局 所 座 標 系x1,…,xnが

存 在 し て す べ て のp

対 して

の 右 辺 がVの

ノル ムに 関 し て絶 対 収 束 し そ の値 がf(p)に

る.fがMの

す べ て の点 で実 解 析 的 の と きfをMか

とい う.こ の と き任 意 の φ∈V*に

対 しM∈p→

一 致す る こ と で あ

らVへ

φ(f(p))∈Cは

常 の 意 味 で)実 解 析 的 関 数 で あ るが,逆 に 任 意 の φ∈V*に (f(p))∈Cが

実 解 析 的 関 数 とな る な ら ばfはMか

る.(π,V)をGの

バ ナ ッハ表 現 とす る.Vの G∋g→π(g)υ

らVへ

意 のg∈G,X∈g,υ

∈Vω

φ

の 実 解 析 的 写 像 とな

或 る元 υに対 し写 像 ∈V

と 書 く と 明 ら か にVω

π に 関 し 不 変 と は 限 ら な い がVω

明 らか に(通

対 しM∋p→

が 実 解 析 的 の と き,υ を 表 現 π の 実 解 析 的 ベ ク トル ま た はCω π のCω ベ ク トル 全 体 をVω

の実解 析 的 写 像

⊂V∞

ベ ク トル と い う.

で あ る.一

般 にV∞

は 明 ら か に π の 不 変 部 分 空 間 と な る.更

は

に任

に対 し

π(g)dπ(X)υ=dπ(Ad(g)X)π(g)υ で あ り従 っ て 一 般 のu∈U(gc)に

対 し

π(g)dπ(u)υ=dπ(ug)π(g)υ

で あ る か ら,dπ(U(gc))Vω   定 理1.20 

(π,V)を

⊂Vω

が 成 り立 つ こ と が 分 か る.

連 結 な リー 群Gの

ク トル の 全 体 と す る.任

意 の υ∈Vω

ユ ニ タ リ表 現 と しVω に 対 しdπ(U(gc))υ

をVのCω

ベ

の 閉包 は π の不 変

部 分 空 間 で あ る.

  証 明  dπ(U(gc))υ の 閉 包 の直 交 補 空 間 をWと 分 空 間 とな る こ とを いえ ば よ い.任 の 原 点 の 十 分 小 さな近 傍Uを

す る と きWが

意 の υ1∈dπ(U(gc))υ,w∈Wに

取 る と き,す べ て のX∈Uに

対し

π の不 変 部 対 してg

で あ るか らwの

定 義に よ り

 (1.20)

を 得 る.Gは さ れ,従

連 結 で あ る か らGの

っ て(1.20)よ

任 意 の 元 はexpUの

り任 意 のg∈Gに

元 の有 限個 の 積 で表 わ

対 し

(υ1,π(g)w)=(π(g-1)υ1,w)=0

が 成 り立 つ.故 にWは   V∞ がVで

πの 不 変 部分 空 間 で あ る. 

稠 密 で あ る こ とはC∞c(G)に 属す るデ ィラ ッ ク列 の コン ボ リュ ー

シ ョンを 考 え る こ とに よ り証 朗 した が,実 明 出 来 る.そ

(証明 終)

はVω

もVで

稠 密 で あ る こ とが証

の 証 明 に は 上 記 の デ ィラ ッ ク列 の代 りにG上

の2階 の楕 円型 不

変 微 分作 用 素 か ら 定 義 され る熱 方程 式 の 基 本 解 を用 い る.   前 小節 の定 理1.19の 拡 張 と し て次 の 定 理 が 成 り立 つ こ と を 証 明 な し で挙 げ て お く.   定 理1.21  環gの

(π,V)を

基 底 とす る.Δ

リー群Gの

ユ ニ タ リ表 現 と し{X1,…,Xn}をGの

をdπ(I-X21-…-X2n)の

に よ りΔ は 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.明 ら れ る.こ

の と き υ∈VがCω

閉 包 とす る と 定 理1.18の

ら か に Δ は 正 値 で あ る か ら 

リー 系1 が考え

ベ ク トル で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は 或 る正 数

tが 存 在 し て

が 成 り立 つ こ と で あ る.

  1.5  主 フ ァ イ バ ー ・バ ン ドル と そ の 同 伴 バ ナ ッ ハ ・バ ン ドル   1.5.1  XをC∞

多 様 体 と し,PをX上

バ ー ・バ ン ドル と す る.  被 覆 と す る.こ

の リー 群Hを

構 造 群 とす る 主 フ ァ イ

を 射 影 と し{Uα}α ∈ΛをXの

局 所 自明 な 開

の とき

 (1.21)

な るC∞ 同型 が 存 在 し て,φα は 任 意 の   (1.22) 

を み た す.(1.21)の に 対 し 

φ α(ph)=φ

h∈Hに

対し

α(p)h

写 像 の 逆 写 像 を φαで 表 わ す.(1.22)に の と き φα(p)φβ(p)-1は 

よ り任 意 の α,β∈ Λ の み に よ っ て 定 ま り,

任 意 のx∈Uα

∩Uβ に 対 し φαβ(x)=φα(p)φ β(p)-1(但 φ αβ:Uα ∩Uβ

はC∞

で,か

し 

)と お く と

→H

つ

を み た す.   (ρ,V)をHの はC∞

バ ナ ッ ハ 表 現 とす る.位

多 様 体 と し て の)積 空 間P×Vを

υ2)に 対 し(p1h,ρ(h)-1υ1)=(p2,υ2)を (p2,υ2)と 書 け ば,∼ く.商

相 空 間 と し て の(Vが 考 え,P×Vの2つ

み た すh∈Hが

は 同 値 関 係 に な る.(p,υ)を

位 相 空 間P×V/∼

をEρ

有 限次元の とき

の 元(p1,υ1),(p2, 存 在 す る と き(p1,υ1)∼

含 む 同 値 類 を[(p,υ)]と

で 表 わ す.(p1,υ1)∼(p2,υ2)の

書

と き 

(p2)で あ る か ら 連 続 写 像

を 得 る.任

意 にXの

元xを

の 元(p,υ)にUα

固 定 しx∈Uα ×Vの

元 

をみ たす

α∈Λ を1つ

取 る. 

,ρ(φ α(p))υ)を 対 応 さ せ れ ば 

ρ(φα(p))υ)であ る か ら こ の 写 像 は[(p,υ)]の み に よ っ て 定 ま る.u=[(p,υ)]の

と き ρ(φα(p))υ=ψα(u)と お け ば 

(u)で あ る か ら

な る写 像 を得 る.こ れ は 明 ら か に 上へ の 同 相 写 像 で あ る.こ 表 わ す.そ

こで1対1写

の 逆 写 像 をψ αで

像

 (1.23)

に よ り 

にVと

同 型 な バ ナ ッハ 空 間 の 構 造 を 入 れ る.x∈Uα

きψ αβ=ρ°φαβ とお け ば 任 意 の に

対 し ψ α(u)=ψ αβ(x)ψβ(u)で あ る

か ら(1.23)に お い てψ βを 用 い て バ ナ ッ ハ 空 間 の 構 造 を  ム は 同 値 で あ る.Eρ (ρ,V)がHの ら,上

∩Uβ の と

に 入れ て も ノル

を(表 現 ρに 同 伴 し た)同 伴 バ ナ ッハ ・バ ン ドル と よ ぶ.

ユ ニ タ リ表 現 の と き はψα β(x)は す べ て ユ ニ タ リ作 用 素 で あ る か

の(1.23)に

よ り 

∈Λ の 選 び 方 に 依 ら な い.こ

に ヒル ベ ル ト空 間 の 構 造 を 入 れ れ ば そ の 内 積 は α の と きEρ を(表 現 ρに 同 伴 し た)同

伴 ヒル ベ ル

ト ・バ ン ドル と よ ぶ.

  Vが 有 限 次 元 の場 合 はEρ はC∞ 多 様 体 と な り上 で 考 え た 連 続 写 像 は い ず れ

もC∞ 写 像 に な る.こ ル と よ ぶ.特

の と きEρ を(表 現 ρ に 同 伴 し た)同 伴 ベ ク ト ル ・バ ン ド

にVが1次

元 の と き(即 ち ρが 指 標 の と き)Eρ を(指 標 ρに 同 伴

し た)同 伴 直 線バ ン ドル と よ ぶ.

 Xを 複 素多 様 体 とし,PをX上 ー ・バ ン ドル とす る.Vが

の 複 素 リー 群Hを

構 造 群 とす る主 フ ァイ バ

有 限 次 元 の 場 合 はGL(V)は

自然 に 複 素 リー群 の構

造 を 持 つ こ とに 注 意 し よ う.写 像 ρ:H→GL(V) が 複 素 リー 群 と し て の 準 同 型 の と き,ρ をHのV上 析 的 表 現 と い う.(ρ,V)がHの

有 限 次 元 表 現 の と き ρの 行 列 表 現 を(ρij(h))と

す る と,ρ が 正 則 表 現 で あ る こ と と各 ρijがH上 値 で あ る.[1.2.5]で

の正 則 表 現 また は 複 素 解

の 正 則 関 数 で あ る こ と とは 同

左 ま た は 右 正 則 表 現 を 定 義 し た が,ま

た 上 記 で慣 用 上 同

じ正 則 表 現 と い う用 語 を 使 っ た の で 混 乱 し な い よ う注 意 さ れ た い.英 [1.2.5]で

定 義 し た 正 則 表 現 をregular

holomorphic Hを

representationと

representation,上

区 別 す る.Pが

記 の正 則表 現 を

複 素 多 様 体X上

構 造 群 とす る 主 フ ァ イ バ ー ・バ ン ドル で,ρ

がHの

語では

の複 素 リー群

正 則 表 現 の 場 合 はEρ

は 複 素 多 様 体 と な り上 で 考 え た 連 続 写 像 は い ず れ も 複 素 解 析 的 に な る.こ きEρ を(表 現 ρに 同 伴 し た)正 則 ベ ク トル ・バ ン ドル と よ ぶ.特 の と きEρ を 正 則 直 線 バ ン ドル とい う.以 連 続 カ テ ゴ リで 考え る が,Vが で 考え る こ と が 出 来 る.Vが 考え れ ばC∞ くて も,有

Xか

 

カ テ ゴ リや 正 則 カ テ ゴ リ

無 限 次 元 で あ っ て も バ ナ ッ ハ 多 様 体 の カ テ ゴ リで は バ ナ ッ ハ 多 様 体 の 概 念 の 助 け を 借 りな 関数の概念 さ

カ テ ゴ リで 考 え る こ と が 出 来 る.

らEρ へ の 連 続 写 像 の 全 体 をC(X,Eρ)と

とお く.C(Eρ)の

元

バ ナ ッハ空 間 と して

多 様 体 上 の バ ナ ッハ 空 間 に 値 を 持 つC∞

え 用 い れ ば 以 下 の 議 論 はC∞  

有 限 次 元 の と き はC∞

の 概 念 が 意 味 を 持 つ.実 限 次 元 のC∞

下 で は 再 びVを

にVが1次

の と

書 き

元 をEρ の 連 続 な 切 断 と よ ぶ.

F,F1,F2∈C(Eρ),a∈Cに

対 し そ の 和 お よび ス カ ラー倍 を

(F1+F2)(x)=F1(x)+F2(X), 

と定 義 す る こ と に よ りC(Eρ)はC上  の 閉 包 をFの

(aF)(x)=aF(x)

の ベ ク トル 空 間 と な る.F∈C(Eρ)に

台 と い い,SuppFで

表 わ す.

対 し

Cc(Eρ)={F∈C(Eρ);SuppFが

と お く.任

意 のF∈C(Eρ)に

コ ン パ ク ト}

対 し α∈Λ で か つx∈Uα Fα(x)=ψ

と 定 義 す る と,Fα

∈C(Uα,V)で

の とき

α(F(x))

あ る が 更 にx∈Uα

∩Uβ

の と き 任 意 の 

に 対 しψ α(u)=ψ αβ(x)ψβ(u)で あ る か ら

と な る.逆

に

 (1.24) 

Fα(x)=ψ

を み た すFα ∈C(Uα,V)の x∈Uα

αβ(x)Fβ(x) 

を み た す α∈Λ を1つ

α(x,Fα(x))

ら か にFは

連 続 で か つ 

をみ た す か ら

あ る.

 以 上 に よ りC(Eρ)は  

集合

{{Fα}α∈Λ;す べ て の α ∈Λ に 対 しFα ∈C(Uα,V)で(1.24)を

と 同 一 視 さ れ る こ とが 分 か った.更 任 意 のp∈Pに

対 し 

と お く と, 

h∈Hに

み た す}

に こ の よ う な{Fα}α∈Λ が 与 え られ た と き, を み た す α ∈ Λ を1つ

取 り

の とき

と な る か らfα(p)の (p)=fα(p)と

対 し

αβ(x)υ2の と きψ α(x,υ1)=ψ β(x,υ2)で あ る か ら,F(x)は

α の 選 び 方 に 依 ら な い.明 F∈C(Eρ)で

∩Uβ)

取 り F(x)=ψ

と 定 義 す る と,υ1=ψ

(x∈Uα

族{Fα}α ∈Λ が 与え られ た と き 任 意 のx∈Xに

値 は α の 選 び 方 に 依 ら な い.故

定 義 す る こ と に よ りf∈C(P,V)が

対 し て 

とす る と

に 

得 ら れ る.こ

の と きf の と き任 意 の

=ρ(h)-1fα(p)=ρ(h)-1f(p)

で あ る か ら,任

意 のp∈P,h∈Hに

 (1.25) 

対 し

f(ph)=ρ(h)-1f(p)

が 成 り立 つ.   逆 にf∈C(P,V)が(1.25)を (φα(ph))f(ph)=ρ(φ

み た す と す る と 

,h∈Hの

α(p)h)ρ(h)-1f(p)=ρ(φ α(p))f(p)で

の み に 依 り α∈ Λ, 

の と きFα(x)=ρ(φ

とき ρ

あ る か ら こ の 値 は 

α(p))f(p)と

定 義 す る と明 らか

にFα ∈C(Uα,V)で  と な り,{Fα}α

  以 上 に よ りC(Eρ)の が 分 か っ た.以

元 は(1.25)を

下 で はFとfと

∈Λ は(1.24)を

み た す.

み た すC(P,V)の

元 と同 一視 され る こ と

を同一視 して

と し て 扱 うが,SuppFとSuppfと

は 一 般 に 異 な り 

あ る こ とに 注 意 す る 必 要 が あ る.混

乱 の 恐 れ の あ る と き はSuppFをSuppf

(mod

H)と

書 く こ とに す る.従

で

って 以下 で は

Cc(Eρ)={f∈C(Eρ);Suppf(mod

H)が

コ ン パ ク ト}

と定 義 す る訳 で あ る.   Vが

有 限 次 元 の 場 合 は,上

Eρ のC∞

記 で 連 続 と し た と こ ろ をC∞

切 断 の 全 体C∞(Eρ)お

よ び コ ン パ ク ト台 のC∞

とす る こ とに よ り

切 断 の 全 体C∞c(Eρ)が

得 ら れ る.更

にEρ が 正 則 ベ ク トル ・バ ン ドル の と き はEρ の 正 則 な 切 断 が 考

え ら れ る.Eρ

の 正 則 な 切 断 の 全 体 を Γ(Eρ)で 表 わ す こ と に す る.

  1.5.2  Gを

リ ー 群 と しHをGの

閉 部 分 群 とす る.こ

部 分 群 と な り,Gは

等 質 空 間G/H上

ン ドル と な る.Gの

各 元gの

のHを

等 質 空 間G/Hへ

の と きHはGの

リー

構 造 群 と す る 主 フ ァ イ バ ー ・バ の 作用 を

τg:G/H∋xH→gxH∈G/H で 表 わ す と,こ れ に よ りGはG/H上 しeはGの

に リー 変 換 群 と し て 働 く.剰 余 類eH(但

単 位 元)に 対 応 す る 点 を0と

で あ る か らdτhはG/Hの0に

書 く と,任

意 のh∈Hに

お け る 接 空 間T0(G/H)上

り写 像 H∋h→dτh∈GL(T0(G/H))

対 し τh(0)=0

の 線 形 自己 同 型 と な

はHのT0(G/H)上

の表 現 とな る.こ

の接 バ ン ドルT(G/H)は

のC∞ 関 数 と 同一 視 され る.こ の同 一 視 に よ っ て

リー 環 を そ れ ぞ れg,〓

書 く.AdのHへ

の 制 限Ad￨Hは〓

上 の 表 現 をAdHと

の 各 元Xに

と し,Gのg上

上 の 随 伴 表 現 と一 致 す る.g

対 し

元 を 与 えg∋X→

上 へ の 線 形 写 像 で そ の 核 は〓 と 一 致 す る.故 h∈H,X∈g,f∈C∞(G/H,R)に

で あ るか ら,Hの これ をAd#Hと

で あ る.従

の 随 伴 表 現 をAdと

を不 変 部分 空 間 とす るか ら この とき定 ま る

書 く と,AdHはHの〓

と定 義 す れ ば,σ(X)はT0(G/H)の

G/Hの

線形 等 方表 現 の 同 伴 ベ ク

のC∞ 関 数 は 各 剰 余 類 の上 で一 定 値 を取 る よ

と お く.G,Hの

Hの〓

線形 等 方 表 現 と い う.G/H

容 易 に分 か る よ う にHの

トル ・バ ン ドル で あ る.G/H上 うなG上

れ をHの

に 

書 くと,定 義 よ り任 意 のh∈H,X+〓

っ て 余 接 バ ン ドルT*(G/H)はAd#Hの

に 同 伴 し て い る.任

とな るか ら,Hの

す る とG/Hの 意 のh∈Hに

各 元hに

 (1.26) 

とお く と,体

と な る.更

よ る商 表 現 と同 型 と な る. ∈g/〓 に対 し

反 傾 表 現(Ad#H)*に

同 伴 し,

体 積 バ ン ドル Ω=ΛnT*(G/H)はΛn(Ad#H)* 対 し

対し

δH(h)=￨det

AdH(h)/detAd(h)￨

積 バ ン ド ル Ω の 絶 対 値 の 平 方 根 バ ン ドル￨Ω￨1/2はHの1次

表 現H∋h→(δH(h))1/2に

に

対 し

線 形 等 方 表 現 はAd￨HのAdHに

次 元 をnと

σ(X)∈T0(G/H)は

同 伴 し て い る.C(￨Ω￨)の

元 ω で 任 意 のg∈Gに

元

対 し ω(g)>0と

な る も の を1つ

選 ぶ.￨Ω￨の

構 造 群 は 正 の 実 数 全 体 で これ は

可 縮 で あ る か ら こ の よ うな ω は 必 ず 存 在 す る.こ の)測 度 μωで,dx,dhを べ て のf∈Cc(G)に

そ れ ぞ れG,Hの

の ω に 対 し てG/H上

の(正

左 不 変 ハ ー ル 測 度 と す る と き,す

対 し

を み た す も の が 唯 一 つ 存 在 す る.f∈Cc(G),x∈Gの

とき

と お く と,写

上へ の 線 形 写 像 で あ る こ

像f→fHはCc(G)か

らCc(G/H)の

と か ら一 意 性 は 明 ら か で あ る.   1.5.3  Gを

リー 群 と しHを

そ の 閉 部 分 群 と す る.(ρ,V)をHの

現 と しEρ を そ の 同 伴 ヒ ル ベ ル ト・ バ ン ドル とす る.Hの

に 同 伴 し た ヒ ル ベ ル ト ・バ ン ドル を 

で あ る. 

ユ ニ タ リ表

表 現

で 表 わ す.こ

の とき

の とき φ(x)=‖f(x)‖2v

とお け ば ρは ユ ニ タ リ表 現 で あ る か ら φ∈Cc(￨Ω￨)と

と お く と,φ

ω∈Cc(G/H)と

な る.そ

な り,従

って

こで

と お け ば,φ ω,μω は 共 に ω に 依 存 す る が‖f‖

は ω の 選 び 方 に 依 ら な い.実

際 ω′を も う1つ

元 と す る と,す

(G)に 対 し

の 正 の 実 数 値 を 取 るC(￨Ω￨)の

べ て のf∈Cc

が 成 り立 つ か ら,

を 得 る.従

っ て 任 意 のf∈Cc(G)に

と な り,‖f‖

対 し

は ω の 選 び 方 に 依 ら な い.

の と き任 意 のx∈Gに

 さ てg∈G, 

対し

(πρ(g)f)(x)=f(g-1x)

と定 義 す る と,群 られ る.任

と し て の 準 同型 

意 のg∈G, 

が得 に対 し

を み た すψ ∈C∞c(G)を 選 ぶ とき,

を 得 る.故

に πρ(g)は 

の 上 記 ノル ム に よ る 完 備 化 を 

上 の 等 長 変 換 で あ る.  とす る と πρ(g)は ヒ ル ベ ル ト空

間 

上 の ユ ニ タ リ作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.こ

た ユ ニ タ リ作 用 素 も また

πρ(g)で 表 わ す.

  次 に 表 現 πρの 連 続 性 を 証 明 し よ う.Gは 群 で あ り,従

がg=eで

っ て[1.3.1]に

よ り任 意 の 

は 

に対 し写 像

意 に 与 え られ た 正 数 εに対 し 

で 稠 密 で あ るか ら‖f-f1‖0が

存 在 し て, 

同 値 で あ る.

存 在 し て,FF=aと

な る.

が 成 り立 つ. が 成 り立 つ.

  証 明   (1)⇒(2)あ に よ り(特 に(1.16)を 特 にC∞ る.と

るF∈A(S2)に 参 照)或

関 数 で あ り,従

対 しFF=aと

るt>0が

な っ た と す る と,[1.4.7]

存 在 し て 

っ て 定 理2.10に

は実解析 であ るから

よ りそ の フ ー リ エ 係 数 は 

こ ろ が 明 ら か に 

に属す

で あ る か ら 

が 成 り立

つ.

 (2)⇒(3)は

明 ら か で あ る.

 (3)⇒(1)或

るt>0に

と仮 定 す る.こ

対 し 

の と きt1=t/2と

お くと

が 成 り立 つ.従

っ て 特 に 

FはL2(S2)か

らL2(Λ)の

てFF=aと

な る.こ

を 得 る か ら,定  定 理2.12 

上 へ の 等 長 写 像 で あ る か ら 或 るF∈L2(S2)が

よ りF∈A(S2)で

C(Λ)の 元bに

存 在 し て,FT=bと 対 し て, 

 (3) 任 意 のt>0に

対 し て, 

理1.19に

存在 し

同 値 で あ る. な る.

が 成 り立 つ. が 成 り立 つ.

るT∈B(S2)に

よ り任 意 のt1>0に

 (証 明終)

あ る.

対 し 次 の(1)∼(3)は

 (2) 任 意 のt>0に

  証 明   (1)⇒(2)或

あ る.

の と き上 式 よ り

理1.19に

 (1) 或 るT∈B(S2)が

が い え る か らa∈L2(Λ)で

対 し てFT=bと

な った とす る と,定

対 して

 (2.29)

が 成 り立 つ.そ

こ で 任 意 に 正 数tが

任 意 のk∈Nに

対 し

与 え ら れ た とす る と,t1=t/2に

お くとき

で あ る か ら,或

る正 数ct,kが

が 成 り立 つ.故

に(2.29)に

存在 して

よ り

を 得 る.  (2)⇒(3)は

明 ら か で あ る.

 (3)⇒(1)任

意 のt1>0に

任 意 に 与 え ら れ た 正 数tに

と な る か ら,定

理1.19に

が 成 り立 つ と 仮定 す る.

対 し て  対 しt=2t1と

お くと

よ り或 るT∈B(S2)が

存 在 し てFT=bが

成 り立 つ.

(証明 終)   2.4.5  C∞(S2)の 元Fを

既 知 関 数 とし て

 (2.30) 

Δu=F

な る 微 分 方 程 式 を 考 え よ う.い る.こ

の と き 任 意 の(l,m)∈

ま(2.30)がu∈C∞(S2)な

る 解 を 持 った と仮 定 す

Λ に対 し (FΔu)(l,m)=(FF)(l,m)

を 得 る.(FΔu)(l,m)=l(l+1)(Fu)(l,m)に  (2.31) 

 (2.32)

であるか ら

Λ に対 し

l(l+1)(Fu)(l,m)=(FF)(l,m)

が 成 り立 つ こ とが 分 か る.l=0の FF(0,0)=0を

注 意 す れ ば 任 意 の(l,m)∈

得 る.故

に

と き は 

だ か らm=0と

な り従 っ て

が 成 り立 つ.即

ち(2.30)がu∈C∞(S2)な

る解 を 持 つ た め に は

 (2.33)

が 成 り立 つ こ と が 必 要 で あ る.そ き任 意 のc∈Cを

こ でFが(2.33)を

取 り,(l,m)∈

み た す と 仮 定 す る.こ

の と

Λ の とき

 (2.34)

と お く こ と に よ りC(Λ)の 2.10に

よ り 

元aを

で あ る こ とが 容 易 に 分 か る.故 てFu=aが

を 得 る.従

定 義 す れ ばF∈C∞(S2)と

で あ り,従

成 り立 つ.こ

っ て(2.34)お

よ び 

に 定 理2.10に

よ り,或

の と き 任 意 の(l,m)∈

っ てFΔu=FFと

な る.故

仮 定 した か ら定 理 の 定 義 か ら  るu∈C∞(S2)が

存在 し

Λ に 対 し,(2.34)に

に 定 理2.10に

より

よ り Δu=Fで

あるこ と

が 分 か る.

 さ て Δ が対 称 作 用 素 で あ る こ とに注 意 し て,任 意 のT∈B(S2)に (ΔT)[F]=T[ΔF]  に よ り,ΔTを

(F∈A(S2))

定 義 す れ ば 明 ら か に ΔT∈B(S2)で

(2.30)の 解 に な っ た と し よ う.こ

対 して

あ る.い

の と き 任 意 の(l,m)∈

まT∈B(S2)が

Λ に 対 し 

な る埋 込 み 写 像 の定 義 に よ り

を 得 る.従

っ て(FT)(0,0)は

任 意 で よ い がl>0の

 の 値 は(FF)(l,m)の

と な り,(FT)(l,m)

定 ま る.故

に 上 で 述 べ た よ うにF∈C∞(S2)か

  次 にF∈A(S2)と

と きは

仮 定 し よ う.uを

値 に よ って一 意 的 に

らT∈C∞(S2)が

微 分 方 程 式(2.30)の

従 う.

任 意 の 解 と す る.勿

論B(S2)の

範 囲 で 解 を 考 え て も 上 記 の こ と か らu∈C∞(S2)と

で あ る か ら 定 理2.11に

を 得 る.こ

よ り或 るt>0が

の と き(2.31)に

な る.F∈A(S2)

存在 して

よ り

で あ る か ら,u∈A(S2)と

な る.

  最 後 にF∈B(S2)と

仮 定 す る.こ

解 を 持 っ た と す れ ば,任

の と き 微 分 方 程 式(2.30)がT∈B(S2)な

意 の(l,m)∈

る

Λ に対 し

l(l+1)(FT)(l,m)=(FF)(l,m) が 成 り立 つ か ら,(FF)(0,0)=0で ば 微 分 方 程 式(2.30)が

解 を 持 つ た め に は,S2上

1で 表 わ す と きF[1]=0な (0,0)=0と

な け れ ば な ら な い.故

に(2.32)に

で 恒 等 的 に1で

あ る定 数 関 数 を

る こ と が 必 要 で あ る こ と が 分 か る.そ

仮 定 す る.任

意 のc∈Cを

取 り(l,m)∈

注意すれ

こ で(FF)

Λ の とき

 (2.35)

とお く こ と に よ りC(Λ)の に よ り任 意 のt>0に

と な る.従 つ.こ

定 義 す る と,F∈B(S2)で

あ る か ら 定 理2.12

対 し

っ て 定 理2.12に

の と き(2.35)に

ΔT=Fと

元bを

よ り或 るT∈B(S2)が

よ りFΔT=FFを

な り,Tは(2.30)の

存 在 し てFT=bが

得 る.Fは1対1写

成 り立

像 で あ る か ら

解 で あ る.

 以 上 に よ り次 の定 理 を 得 る.  定 理2.13  S2上 の 微 分 方 程 式  (2.36) 

Δu=F

に 関 し 次 の(1)∼(4)が   (1) F=0の

成 り立 つ.

と き,(2.36)の

  (2) F∈B(S2)の

解uはS2上

と き,(2.36)が

の 定 数 関 数 で あ る.

解u∈B(S2)を

持 つ た め の必 要 十分 条件 は

F[1]=0 が 成 り立 つ こ と で あ る.   (3) F∈C∞(S2)の

と き,u∈B(S2)が(2.36)の

解 で あ る と す れ ばu∈C∞(S2)

と な る.   (4)  F∈A(S2)の る.

と き,u∈B(S2)が(2.36)の

解 で あ る と す れ ばu∈A(S2)と

な

Ⅲ  SL(2,R)の

表 現 と上 半 平 面 上 の調 和 解 析 お よび

SU(1,1)の 表 現 と単位 円板 上 の調 和解 析

  3.1  SL(2,R)お

よ びSU(1,1)の

ユ ニ タ リ表 現

  3.1.1

とお く と,SL(2,R)は3次  ε=0,1お

元 の 実 リー 群 で あ る.以

よ び 実 数vを

固 定 す る.任

下G0=SL(2,R)と

す る.

意 のg∈G0, 

x∈R

に対 し

と定 義 す る と,Uε,vはG0の 

但 し 

上の ユ ニ

タ リ

現 とな る.こ れ を 連 続 系 列 の表 現 と よぶ. C+={z∈C;Imz>0} と お く.C+を

上 半 平 面 と い う.n>1を

み た す 整 数nに

対 しC+上

の 正則 関 数

で  (3.1)

が 有 限 で あ る よ う なF全 g∈G0, 

z∈C+に

れ を 正 則 離 散 系 列 の 表 現 と よ ぶ.同

正 則 関 数)で(3.1)が 書 く.任

有 限 で あ る よ う なF全

意 のg∈G0, 

と書 く.任

意 の

対 し

と定 義 す る と,U+nはG0の 

但 し  る.こ

体 の な す ヒ ル ベ ル ト空 間 を 

z∈C+に

上 の ユ ニ タ リ表 現 と な 様 にC+上

の 反 正 則 関 数(即 ちFが

体 の な す ヒ ル ベ ト空 間 を  対 し

と

但 し  る.こ

と定 義 す る と,U-nはG0の 

上 の ユ ニ タ リ表 現 と な

れ を 反 正 則 離 散 系 列 の 表 現 と よ ぶ.U+n,U-n(n=2,3,…)を

散 系 列 の 表 現 と よ ぶ.更 系 列 の 表 現 と い う.G0の Uε,v(ε=0,1,v∈R)の

合わせて離

に 

を合わせて主

正 則 表 現 は 主 系 列 の 表 現 に よ っ て 既 約 分 解 さ れ る.

み を 主 系 列 の 表 現 と よぶ こ と も あ る.v∈Cと

す る と,

Uε,vは 一 般 に は ユ ニ タ リ表 現 と は な ら な い が バ ナ ッ ハ 表 現 と な る.こ ユ ニ タ リ主 系 列 の 表 現 と よぶ.Paley-Wienerの

れを非

定 理 に は この 表 現 が 重 要 な 役

割 を 果 す.   n=1の

と き は 

は 共 に{0}と

な っ て し ま う.そ

の と き(3.1)の 定 義 を 次 の よ うに 修 正 す る.nをn>1を か し て 極 限 を 取 る こ と に よ り,C+上

こ でn=1

み たす 実 数 の範 囲 で 動

の 正 則 関 数(ま た は 反 正 則 関 数)で

 (3.2)

が 有 限 で あ る よ うなF全 で表 わ す.こ

体 の な す ヒルベ ル ト空 間 を 

の と きU+1,U-1はG0の

表 現 に な る.こ

(ま た は 

そ れ ぞれ 

上 のユニ タ リ

れ らを離 散 系 列 の極 限 と よ ぶ.上

で 定 義 し た ユ ニ タ リ表 現 の

U1,0の み が可 約 とな りそれ は

と既 約 分 解 され る.こ の事 実 はHardyク す.次

に 

を み た す 実 数sを1つ

ラ ス の 関数 の研 究 に 重要 な役 割 を 果 固 定 す る.任

意 のF1,F2∈C∞c(R)に

対し  (3.3)

と 定 義 す れ ば,(3.3)はC∞c(R)の と に よ り容 易 に 証 明 出 来 る.こ 備 化 し た も の を 

と 定 義 す れ ば,Us(g)は  は 

内 積 を 与 え る こ と が フ ー リエ 変 換 を 考 え る こ の 内 積 の 定 め る ノ ル ム に よ っ て,C∞c(R)を

と書 く.任

意 のg∈G0,F∈C∞c(R),x∈Rに

対 し

の ノ ル ム に 関 し 等 長 写 像 と な り,従

上 の ユ ニ タ リ作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.こ   上 の ユ ニ タ リ表 現 と な る.こ

完

っ てUs(g)

の と きUsはG0の

れ を 補 系 列 の 表 現 と よ ぶ.G0の

任 意 の既

約 ユ ニ タ リ表 現 は 恒等 表 現 か ま た は 上 で 与 え た ユ ニ タ リ表 現 の い ず れ か と同 値 とな る.こ の 小節 で 述 べ た こ とを 以下 で 証 明 す る.   3.1.2 G0=SL(2,R)と

し

と 定 義 す る と,K0はG0の

と お く と,G0=K0P0が 群 と よ ば れ る.P0の

極 大 コ ン パ ク ト部 分 群 で し か も 極 大 可 換 群 で あ る.

成 り立 つ.P0はG0の 任 意 の 指 標(1次

可 解 部分 群 で パ ラ ボ リック部 分

元 表 現)は

ε=0,1お

よ び λ∈Cを

適 当

に選 ん で

に よ り与 え ら れ る.後

で 定 義 す る も の と 記 号 を 合 わ せ る た め に λ=i2v-1の

と き の 指 標 を ξ0ε,v(ε=0,1,v∈C)と 書 く.ξ0ε,vに同 伴 し たG0/P0上 ドル をL0ε,vと 書 く と そ のC∞

切 断 の 全 体 は[1.5.1]で

に よ り与 え られ る.G0=K0P0で

あ る か ら,任

正 規 化 さ れ た ハ ー ル 測 度 をduと

書 く と き)

と 定 義 す る と,‖‖ の 完 備 化 をL2(L0ε,v)と

はC∞(L0ε,v)の 書 く.任

の直 線 バ ン

述 べ た よ うに

意 のf∈C∞(L0ε,v)に 対 し(K0の

ノ ル ム と な る.こ

の ノ ル ム に よ るC∞(L0ε,v)

意 のg∈G0,f∈C∞(L0ε,v),x∈G0に

対 し

(π0ε,v(g)f)(x)=f(g-1x)

と お く と,G0/P0の

体 積 バ ン ドル が 指 標 ξ00,0に 同 伴 し て い る こ と お よ びv∈R

の と きξ0ε,v-i/2=ξ0ε,v(ξ000)-1がP0の ユ ニ タ リ指 標 で あ る こ と に 注 意 す れ ば[1.5.3] に よ り π0ε,v(g)がL2(L0ε,v)の ユ ニ タ リ 作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ,π0ε,vはG0 のL2(L0ε,v)上

の ユ ニ タ リ表 現 と な る こ と が 分 か る.読

法 に よ る 直 接 証 明 を 試 み ら れ た い.任

者 は[3.4.1]で

意 のf∈C∞(L0ε,v)に

対 し

述 べ る方

とお くと

に注意 すれば

を得 る.更

に 任 意 のg∈G0に

が 成 り立 つ.π0ε,vがG0の

対 し 

の とき

ユ ニ タ リ表 現 で あ る こ と に 注 意 す れ ばUε ,vがG0の

ニ タ リ表 現 で あ る こ と が い え て し か も  に よ り 

で あ る こ とが 分 か る.[1.5.3]

で あ る か ら次 の 定 理 を 得 る.

  定 理3.1  G0=SL(2,R)と

す る と,任

の ユ ニ タ リ表 現 で あ り,か

意 の ε=0,1,v∈Rに

対 しUε,vはG0

つ

が 成 り立 つ.   3.1.3 

Gc=SL(2,C)と

と お く と,SU(1,1)は3次 の と き簡 単 な 計 算 に よ り

し

元 の 実 リー 群 で あ る.以

下G=SU(1,1)と

お く.こ

ユ

で あ る こ と が 分 か る.

と お くと,こ れ らは いず れ もGの1次

元 の リー部 分 群 で あ る.KはGの

コン パ ク ト部 分 群 で し か も極 大 可換 群 で あ る.A,Nは Rと

同 型 で あ る.こ の と きG=KAN(岩

極大

いず れ も リー群 とし て

沢 分 解)が 成 り立 ち しか も写 像

K×A×N∋(k,a,n)→kan∈G

はC∞

同 型 で あ る.特

に 任 意 のg∈Gはg=kθ(g)at(g)nx(g)と

れ る.t(g),x(g)はgに る.岩

よ っ て 一 意 的 に 定 ま り θ(g)はmod

沢 分 解 に 関 しGの

で 与 え ら れ る.Gの

一 意 的 に表 わ さ

ハ ー ル 測 度dgが

任 意 のf∈C∞c(G)に

ハ ー ル 測 度 は 写 像G∋g→g-1∈Gで

ニ モ ジ ュ ラ ー で あ る)か らatnxa-1t=netxに

を得 る.更 にG=KAK(カ

4π で 一 意 的 に 定 ま 対 し

不 変 で あ る(Gは

注 意 す れ ばG=ANKお

ユ

よび

ル タン分 解)が 成 り立 ち こ の分 解 に 関 し

 (3.4)

が 成 り立 つ.

とお くと,MはAのKに 化 群 とな る.商 群M′/Mは

お け る中 心 化 群 で あ りM′ はAのKに 任 意 のkM∈M′/Mに

おける正規

対し

A∋a→kak-1∈A

と定 義 す る こ と に よ りAの

自 己 同 型 と し て 作 用 す る.こ

れ を ワ イ ル 群 と よ ぶ.

が 成 り立 つ こ と に 注 意 す れ ば,Gの わ さ れ た と す る と, 

元gがg=kθatkφ=kθ

の と き 次 の(1),(2)の

′at′kφ ′ と2通

りに表

い ず れ か が 成 り立 つ こ とが 分 か

る.  (1)  t=t′

で か つkθm=kθ

 (2)  t=-t′

′,m-1kφ=kφ

で か つkθkπm=kθ

′ を み た すm∈Mが

′,m-1k-1πkφ=kφ

存 在 す る.

′を み た すm∈Mが

存 在 す る.

この こ とか ら 任 意 のg∈G＼Kは  意 的 に 表 わ さ れ る こ と が 分 か る.従

と一

っ て(3.4)か

ら

  (3.5)

を 得 る.  (3.6)

と お く とγ ∈SU(2)で

が 成 り立 つ.従

あ りか つ

っ てP=MANと

お くと

と な る.   3.1.4 

任 意 の

ε=0,1,v∈Rに

対 し

 (3.7)

(但 し 複 号 同 順 と す る)と 定 義 す る.ξ ε,vに同 伴 し たG/P上 Lε,vと 書 く と そ のC∞

切 断 の 全 体 は[1.5.1]で

に よ り与 え ら れ る.G=KPで

あ る か ら 任 意 のf∈C∞(Lε

化 さ れ た ハ ー ル 測 度 をdkと

の 直 線 バ ン ドル を

述 べ た よ うに

,v)に 対 し(Kの

正 規

書 く と き)

と 定 義 す る と,‖

‖ はC∞(Lε

の 完 備 化 をL2(Lε

,v)と 書 く.任

,v)の

ノ ル ム と な る.こ

の ノ ル ム に よ るC∞(Lε,v)

意 のg∈G,f∈C∞(Lε,v),x∈Gに

対 し

(πε,v(g)f)(x)=f(g-1x)

と お く と,G/Pの

体 積 バ ン ドル が ξ0,0に 同 伴 し て い る こ と お よ びv∈Rの

と

き ξε,v-i/2=ξ ε,v(ξ0,0)-1がPの

ユ ニ タ リ指 標 で あ る こ と に 注 意 す れ ば[1.5.4]よ

り π ε,v(g)(g∈G)がL2(Lε,v)の GのL2(Lε,v)上

ユニ

タ リ 作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ,π

ε,vは

の ユ ニ タ リ表 現 と な る こ と が 分 か る.

(複 号 同 順) で あ る か ら任 意 のp∈Pに のf∈L0ε,vに

対 し て 

が 成 り立 つ.故

対 しAf(x)=f(γ-1xγ)(x∈G)と

が 成 り立 つ か らAf∈C∞(Lε,v)を

得 る.こ

お く と 任 意 のp∈Pに

に任 意 対 し て 

の と き 任 意 のg,x∈G,f∈C∞(L0ε,v)

に対 して  とな るか ら任 意 のg∈Gに

対し

 (3.8) を 得 る.任

意 のg∈Gに

はGのL2(L0ε,v)上

対 し(π0ε,v)γ(g)=π0ε,v(γ-1gγ)と お

の ユ ニ タ リ 表 現 に な り か つ(3.8)よ

  定 理3.2  G=SU(1,1)と

す る と 次 の(1)∼(3)が

  (1)任 意 の ε=0,1,v∈Rに

対 し 

く と 明 ら か に(π0ε,v)γ

り 

と な る.

成 り立 つ. の と き πε,vはGの

既約 ユニ

タ リ表 現 で あ る.

で かつ

 (2) 

と定 義 す る と

 (3) 

  証 明   (3)の 証 明 は 上 で 与 え た.(1),(2)の

証 明 は 次 節 の 定 理3.12で

そ れ は リー 環 論 的 方 法 に よ る 既 約 表 現 の 分 類 を 用 い る.も 定 理3.17お   3.1.5 

よ び 定 理3.18の

G=SU(1,1)と

系 お よ び 定 理3.19で

す る.Gc=SL(2,C)と

与 え る.

っ と直 接 的 な 証 明 は

与 え る. お きGcの

ボ レ ル 部 分 群Bを

に よ り定 義 す る と

が 成 り立 つ か らGcのGc/B上 軌 跡 はGc/Bの B=Kで

の 自然 な 作 用 をGに

開 集 合 で あ り,し か も原 点Bに

あ るか らG/KはGc/Bの

制 限 し た と き原点BのG

お け るGの

等 方 部 分 群 はG∩

開 部分 集 合 と同 一視 され る.こ の 同一 視 に

よ ってG/Kに

複 素構 造 を 入 れ る とGのG/K上

あ る.任 意 のn∈Zに

の 自然 な 作用 は 複 素 解 析 的 で

対し

 (3.9)

と定 義 す る と τnはBの なn∈Zに

正 則 な指 標 で あ り,逆 にBの

任 意 の 正 則 な 指標 は 適 当

よ り(3.9)の形 で与 え られ る.τnに 同伴 したGc/B上

直 線 バ ン ドル をFnと

書 き,FnのG/Kへ

の 制 限 をEnで

表 わ す.EnのC∞

断 の 全体 は

と同 一 視 され,Enの

正 則 な切 断 全 体 は

Γ(En)={f∈C∞(En);fはGB上

の 正 則 関 数}

で 与 え ら れ る.

と お く とGB=DBと

な りしか も D×B∋(x,b)→xb∈GB

は 複 素 解 析 的 同型 であ る.任 意 のf∈C∞(En)に

対し

と定義 す る と写 像 An;C∞(En)→C∞(D)

が 得 られ るがD上

の 正 則 関 数 全 体 をH(D)で

表 わ す と明 らか に

Γ(En)∋f→Anf∈H(D) は 上 へ の 線 形 同 型 で あ る.任

意 のg∈G,f∈C∞(En)に

(Vn(g)f)(x)=f(g-1x) 

と定 義 す る と

対 し (x∈GB)

の 複 素解 析 的 切

但 し 

を得 る.故

に 任 意 のg∈G,F∈C∞(D)に

対 しz∈Dの

と

き

但 し 

と定 義 す る と,任 意 のg∈Gに

対し

An°Vn(g)=Tn(g)°An

が成 り立 つ.任 たG/K上

意 のn∈Zに

の 直 線 バ ン ドル をLnで

と 同 一 視 さ れ る.G∩B=Kで (Ln)あ

対 し τnをKに

制 限 し て得 ら れ る指標 に 同 伴 し

表 わ す とLnのC∞

切 断全 体 は

あ る か ら任 意 のf∈C∞(En)に

対 し てf￨G∈C∞

り従 っ て 写 像 Rn:C∞(En)∋f→f￨G∈C∞(Ln)

を 得 る.Rnは

明 ら か に 上 へ の 線 形 同 型 で あ る.Rnの

任 意 のg∈G,f∈C∞(Ln)に

逆 写 像 をSnで

表 わ す.

対 し (πn(g)f)(x)=f(g-1x) 

(x∈G)

と定 義 す る と次 の 可換 図形 を得 る.

 (3.10)

が す べ て のg∈Gに Γ(Ln),Γ(En)お びTn(g)の

対 し 成 り立 つ.故 よ びH(D)は

にRnΓ(En)=Γ(Ln)と

任 意 のg∈Gに

対 し そ れ ぞ れ πn(g),Vn(g)お

不 変 部 分 空 間 で あ る.πn(g),Vn(g)お

お よ びH(D)へ

お くと明 らか に

の 制 限 を そ れ ぞ れ π+n(g),V+n(g)お

よ びTn(g)の よ びTn+(g)と

Γ(Ln),Γ(En) 書 く こ とに

す る.  3.1.6  [3.1.3]で

与 え ら れ たGの

ハ ー ル 測 度 をdxと

し,任

よ

意 のf∈C∞c(Ln)

に対 し

と お く と,πn(g)は

こ の ノ ル ム に 関 し 等 長 写 像 と な りC∞c(Ln)の

(Ln)と 書 く と き πn(g)はL2(Ln)上 [1.5.3]に

よ りGのL2(Ln)上

と な る.さ

て 任 意 のf∈C∞(En)に

と な る.こ

こで

の ユ ニ タ リ作 用 素 と な る.こ

の ユ ニ タ リ表 現 と な る.定

対 しAnf=Fと

完 備 化 をL2 の と き πnは

義 か ら直 ち に

お くと

とお くと簡 単 な 計 算 に よ り

を 得 るか ら  (3.11)

が 成 り立 つ.D上

の 正 則 関 数Fで

 (3.12)

が 有 限 であ る よ うな もの全 体 を 

と書 く と, 

空 間 に な る こ とが 容 易 に 示 され る.Γ(En)の

が 完 備 な ヒル ベ ル ト

元fで

が 有 限 で あ る よ うな も の 全 体 を Γ2(En)で 表 わ しRnΓ2(En)=Γ2(Ln)と

お くと

明 ら か にRn,Snは は Γ2(En)か

Γ2(En)と

Γ2(Ln)の

間 の 等 長 対 応 で あ り更 に(3.11)よ

ら 〓+n(D)の 上 へ の 等 長 写 像 で あ る.従

〓+n(D)は す べ て ヒ ル ベ ル ト空 間 と な り,こ の 不 変 部 分 空 間 と な る.こ はL2(Ln)の

っ て Γ2(Ln),Γ2(En)お

れ ら は そ れ ぞ れ π+n,V+nお

よび

よ びTn+

れ ら の 制 限 を 同 じ 記 号 で 表 わ す こ と に す る.Γ2(Ln)

閉 不 変 部 分 空 間 で あ る か ら π+nは πnの 部 分 表 現 と な り,従

V+n,Tn+は

共 にGの

りAn

ユ ニ タ リ表 現 と な る.更

って

に 上 で 述 べ た こ とか ら

を 得 る.  補 題3.1 

(1)  の と き 

 (2)

〓+n(D)nは

定 数 関 数 の み か ら な る.従

  (3)Wを (D)nを

とお くと

〓+n(D)の{0}と

っ て 特 に 〓+n(D)nは1次

元 で あ る.

異 な る 任 意 の 閉 不 変 部 分 空 間 と す る とWは

〓+n

含 む.

 証 明  

としFを

原 点 で テ ー ラ ー展 開 す る と

は 広 義 一様 か つ 絶 対 収 束 す る.故 に

で あ るか ら  (3.13)

を 得 る.さ

てWを

〓+n(D)の 任 意 の 閉 不 変 部 分 空 間 と し, 

 を み た すz0∈Dが

存 在 す る.GはDに

を み た すg∈Gが F0∈Wで

か つWは

とす る と

推 移 的 に 作 用 す る か ら 

存 在 す る 

と お く と τn(kθ)T+n(kθ)

閉 で あ るか ら

と お く と,F0∈Wで

で あ る か ら,F1(z)≡1と

あ る.と

こ ろ が(3.13)よ

り

定 義 す る とF1=F0(0)-1F0∈Wと

な る.従

って特 に

Wと

して 全 空 間 〓+n(D)を取 れ ば

で あ る か ら 

の と きn>1で

す る と 

あ る こ と が 分 か っ た.逆

で あ る か ら 

に 

で あ る.故

で あ る 必 要 十 分 条 件 は(3.13)よ

成 り立 つ.最

後 にWを{0}と

た よ う にF1∈Wと 〓+n(D)nは

にn>1と

に(1)が 証 明 出 来 た.次

りF(z)≡F(0)と

な る か ら(2)が

異 な る任 意 の 閉 不 変 部 分 空 間 とす る と上 で 述 べ

な り,従

っ てWは

す べ て の 定 数 関 数 を 含 む.と

定 数 関 数 の み か ら な る か らWは

〓+n(D)nを

ころが

含 む こ と が 分 か る.

(証 明終)   定 理3.3  G=SU(1,1)と  (1) n∈Zの  (2) 

す る と 次 の(1)∼(3)が

とき の と き π+nはGの

既 約 ユ ニ タ リ表 現 で あ る.

 の と き

 (3)

  証 明   (3)は 既 に 上 で 証 明 し た.故 に 〓+n(D)を 考 え れ ば よ い.従 Wを

成 り立 つ.

〓+n(D)の{0}と

の 直 交 補 空 間W⊥ 3.1の(3)よ W⊥={0}で

に 定 理 の 証 明 の た め に は Γ2(Ln)の

っ て(1)は 補 題3.1の(1)か

異 な る 任 意 の 閉 不 変 部 分 空 間 と す る と[1.1.7]よ

も 閉 不 変 部 分 空 間 と な る か ら も し も 

りWもW⊥

も 

あ り従 っ て 

で な け れ ば な ら な い.故

な らば 補 題

〓+1(D)と 書 く と

に

に π+nは 既 約 で あ (証 明 終)

D上 の正則 関数Fで

に

りW

を 含 む こ と に な り矛 盾 が 出 る.故

る. 

が有 限 で あ る よ うな もの全 体 を

代 り

ら 直 ち に 出 る.次

で あ る か ら 

を 得 る.そ

こ でA1,R1が

 お よ び 

等 長 写 像 とな る よ うに に ノ ル ム を 入 れ る と定 理3.3と

同 様 に し て 次 の 定 理 が 証 明 出 来 る.  定 理3.4  G=SU(1,1)と

す る と 次 の(1)∼(3)が

成 り立 つ.

 (1)  (2) π+1はGの

既 約 ユ ニ タ リ表 現 で あ る.

 (3)

  3.1.7  各n∈Zに

対 しEnの

複 素 共 役 バ ン ドルEn(つ

ま りB∋b→

に 同 伴 し た バ ン ドル)の 反 正 則 切 断 の 全 体 は 明 ら か に Γ(En)と の 反 正 則 関 数Fで(3.12)で

定 義 さ れ る ノ ル ム ‖F‖ が 有 限 な も の 全 体 を 〓-n(D)

で 表 わ す と前 小 節 と 同 様 に し て Γ2(Ln),Γ2(En)お の ユ ニ タ リ表 現 が 得 ら れ る.こ こ の と き定 理3.3お れ る.定

 (1) n∈Zの

 定 理3.6 

π-n,V-nお

ら直 ち に 次 の 定 理3.5お

す る と 次 の(1)∼(3)が

成 り立 つ.

とき の と き π-nはGの

既 約 ユ ニ タ リ表 現 で あ る.

の とき G=SU(1,1)と

す る と次 の(1)∼(3)が

 (1)  (2)π-1はGの

上 でG よ びT-nで

既 約 ユ ニ タ リ表 現 で あ る.

成 り立 つ.

表 わ す.

よ び 定 理3.6が

具 体 的 な 形 を 書 い て お く.任

対 しT-nは

  定 理3.5  G=SU(1,1)と

 (3) 

よ び 

 で与 え ら れ る.

但し

 (2) 

れ ら を それ ぞれ

よ び 定 理3.4か

理 を 述 べ る 前 にT-nの z∈Dに

τn(b)

一 致 す る.D上

意 のg∈G, 

得 ら

 (3)   3.1.8

と お く と,γ ∈SU(2)で と γG0γ*=Gで

あ る か ら γγ*=e(単

あ る か らG0γ*B=γ*GBと で か つ 

Bの

跡 は 開 集 合 で あ り, 

あ る か ら点

γ*1BのG0軌

G0/K0をGc/Bの をE0nと

に 注 意 す れ ば 

跡 はG0/K0と

を み た すG0γ*1B上

はG0の

で 後 この 同一 視 に よ り

義 は[3.1.5])のG0/K0上

へ の制 限

正 則 な 切 断 全 体 を Γ(E0n)で 表 わ す と Γ(E0n)の 元 は

f(xb)=τn(b)-1f(x) 

に よ りGの

開集

と な る か らGc/

同 一 視 さ れ る.以

開 集 合 と み な す.Fn(定

書 き,E0nの

注意す る

な り従 っ てG0γ*BはGcの

合 と な る.  点 γ*1BのG0軌

位 元)と な る.γ*=γ-1に

の 正 則 関 数fと

ハ ー ル 測 度dxをG0に

ハ ー ル 測 度 で あ る.Γ(E0n)の

(x∈G0γ*1B, 

同 一 視 さ れ る.写

b∈B)

像G∋x→

誘 導 し た も の をd0xと

γ-1xγ∈G0

書 く と 明 ら か にd0x

元fで

 (3.14)

が 有 限 で あ る よ うな も の 全 体 を Γ2(E0n)と 書 け ば,fはG0γ*1上 が 定 ま る か ら(3.14)は

Γ2(E0n)の ノ ル ム と な る.任

意 のf∈

 と お く と

が成 り立 つ か ら写 像  (3.15) 

Cγ:Γ2(En)→

は 上 へ の 等 長 写 像 と な り,任

意 のg∈G0,f∈

(W+n(g)f)(x)=f(g-1x) 

と 定 義 す る と,任

意 のg∈G0,f∈

Γ2(E0n)

Γ2(E0n)に 対 し (x∈G0γ*1B)

Γ2(En),x∈G0γ*1Bに

対 し

で一 意 的 に値 Γ2(En)に 対 し て

とな る か ら,任

意 のg∈G0に

対 して

 (3.16) が 成 り 立 つ.一

方 

G0の

の ユ ニ タ リ 表 現 と な る か ら(3.15),(3.16)に

Γ2(En)上

Γ2(E0n)上

と お け ば(V+n)γ

の ユ ニ タ リ表 現 と な り か つ 

と お く と,G0γ*B=C+Bで

意 のf∈

よ りW+nはG0の

と な る.

しか も

は 複 素 解 析 的 同 型 で あ る.従

と お く と,任

は明 らか に

っ て 任 意 のf∈

Γ2(En)に 対 し,z∈Dの

Γ2(E0n)に 対 し

とき

を得 る.こ の 式 か ら簡 単 な 計 算 に よ り

で あ る こ と が 確 め ら れ る.故 (C+)の

に 

(3.15)お

上 へ の 等 長 写 像 と な り,か よ び(3.16)に

よ って

と お く とCnは つ 任 意 のg∈G0, 

〓+n(D)か ら 〓+ n z∈C+に

対 し

が 成 り立 つ.従

を 得 る.故

っ て 任 意 のg∈G0に

対 して

に 

と お け ば(U+n)γ はGの

の ユ ニ タ リ表 現 と な りか つ 

が 成 り立 つ.任

 と お け ば γ*Bγ ∩G0=K0で (uθ∈K0)で

あ る か ら τ0n(uθ)=e-inθ/2(uθ ∈K0)と

ドル をL0nと

書 く とR0nf∈C∞(L0n)で

(E0n)の 像 を

と 定 義 す る とω+nはG0の  と な る こ と が 分 か る.任 定 義 す る と γuθγ-1=kθ

定 義 し τ0nに同 伴 し た 直 線 バ ン

に 任 意 のf∈

こ でR0nに

よ る Γ2

Γ2(L0n)に 対 し 

Γ2(L0n)上 の ユ ニ タ リ表 現 と な りか つ 意 のf∈

Γ2(Ln)に 対 し(Cγf)(x)=f

で あ る か ら  と な り,従

を 得 る.更

Γ(E0n)に 対 し

か つ τn(γuθ γ*)=e-inθ/2

あ る こ と が 分 か る.そ

Γ2(L0n)と 書 き 任 意 のg∈G0,f∈

(γxγ-1)(x∈G0)と

意 のf∈

〓+n(C+)上

Γ2(Ln)に 対 しx∈G0の

っ てCγf∈C∞(L0n)

とき

が 成 り立 つ.   以 上 よ り次 の 定 理 を 得 る.   定 理3.7  G0=SL(2,R),G=SU(1,1)と γ-1∈Gと

し 任 意 のg0∈G0に

対 し てg=γg0

お くと き

が 成 り立 ち,更 長 写 像 で あ る.

に 次 の 可 換 図 形 に お い てCγ,Cγ

お よ びCnは

す べ て 上 へ の等

  写 像An,Rn,A0n,R0n,Cγ,Cγ,Cn等

を う ま く用 い て 色 々 な 結 果 を 出 す の が 等

質 空 間 上 の 解 析 学 に お け る 基 本 原 理 の1つ   3.1.9  1/2)に

で あ る.

補 系 列 の 表 現Usはs=iv+1/2即

ちv=-i(s-1/2)と

内 積 を 入 れ 換 え た もの で あ る か ら と お く と き 定 理3.1お

り πsはUvsと

同 値 な ユ ニ タ リ表 現 と な

よ び 定 理3.2よ

お く と 

り 

と な る.つ

る よ う にC∞(L0,-i(s-1/2))に

そ の 完 備 化 上 の 表 現 で あ る.πs(1/2<s0と

 (2)の

場 合 は(3.20),(3.21)よ

り 

  (3)の 場 合,(3.21)か る.こ

らあ るkが

の と きm-2k=nと

か つ(3.20)か り立 つ.故

と な る.

存 在 し て4q+(m-2k)(m-2k-2)=0と

ら す べ て の 非 負 整 数kに

対 し て4q+(n+2k)(n+2k+2)>0が

に(n+k)(k+1)>0(k=0,1,…)と

ら 或 るkが

の と きm+2k=-nと

(-n-2k-2)>0が てn>0を

っ てn>0を

得 る .こ

存 在 し て4q+(m+2k)(m+2k+2)=0と

お き 改 め て υ を 〓-nか

に(n+k)(k+1)>0(k=0,1,…)と

の と きq=-n(n-2)/4で

な

対 し て4q+(-n-2k) な る .従

あ る.

  以 上 に よ り次 の 定 理 を 得 る.   定 理3.10 

の

ら取 れ ば

か つ(3.21)か らす べ て の 非 負 整 数kに 成 り立 つ.故

得 る.こ

な る.従

成

あ る.

  (4)の 場 合,(3.20)か

  4q+n(n-2)=0で

な

お き 改 め て υ を 〓nか ら 取 れ ば,4q+n(n-2)=0で

と きq=-n(n-2)/4で

る.こ

な る.

(π,〓)をG=SU(1,1)の

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と し χπ(-2C)=qと

っ

お く とき次 のい ず れ か が成 り立 つ.  (1)  Λπ={2k;k∈Z},q>0.  (2)  Λπ={2k+1;k∈Z},  (3)  あ る 正 整 数nが

存 在 し て

 (4)  あ る 正 整 数nが

存 在 し て

Λπ={n+2k;k∈N},q=-n(n-2)/4. Λ π={-n-2k;k∈N},q=-n(n-2)/4.

 (5)  Λπ={0},q=0.

  系  G=SU(1,1)の

ユ ニ タ リ表 現(π,〓)でdπ(C)が

よ うな も の が 与 え ら れ た と す る.π￨Kは む と 仮 定 す る.dπ(-2C)の と 書 く と き,も

各 ξm(m∈Z)を

ス カ ラ ー をqと

し も 定 理 の(1)∼(5)の

ス カ ラ ー作 用 素 で あ る

お き π￨Kの

高 々1の

重 複 度 で含

ウ ェ イ トの 集 合 を Λπ

い ず れ か が 成 り立 つ な ら ば π は 既 約 で

あ る.   3.2.3

と お く と{X0,X+,X-}はgの

基 底 とな り,キ

B(X0,X0)=2, 

リ ン グ形 式Bに

B(X+,X+)=0, 

B(X0,X+)=0, 

B(X-,X-)=0

B(X0,X-)=0, 

B(X+,X-)=-4

で あ る か ら カ シ ミ ー ル 作 用 素CはX0,X+,X-に

と 表 わ さ れ る.ま

た リーbrachet積

[X0,X+]=X+, 

が 成 り立 つ.従

関 して

関 して

に つ い ては

[X0,X-]=-X-, 

[X+,X-]=-2X0

って

 (3.22) を 得 る.ε=0,1,v∈Rと =expxX+に

す

る と 任 意 のf∈C∞(Lε,v)に

注 意 す れ ば

を 得 る.[1.4.5]に

よ りdL(C)=dR(C)が

成 り立 つ こ と に 注 意 す れ ば

dπ ε,v(C)=dL(C)=dR(C) で あ り,従

対 しat=exptX0,nx

っ て(3.22)よ

り

を 得 る.故 f∈C∞(Ls)に

と な る.故

で あ る.iv+1/2=sと

に 

お く と,任

意 の

対 し ては

に

ウ ェ イ ト-nに

χπs(C)=-s(1-s)/2で

に π+nを 考 え

属 す る ウ ェ イ ト ベ ク トル と す る と 定 理3.8に

の ウ ェ イ トで は な π+n(E+)υ=0と

あ る.次

く,し

か もdπ+n(E+)υ

な る.(3.17)よ

の ウ ェ イ トは-n+2で

る.υ

∈ Γ2(En)を

よ り-n+2は

π+n

あ る か らd

り

で あ るか ら

を 得 る.故

に

χπ+n(C)=n(n-2)/8で

あ る.同

様 に して

で あ る こ とが 証 明 出 来 る.以 上 に よ り次 の定 理 を得 る.   定 理3.11 

[3.1.4]お

現 に 対 し て 次 の(1)∼(4)が

よ び[3.1.6]で

 (1)  (2)  (3)  (4)

成 り立 つ.

定 義 し た.G=SU(1,1)の

ユ ニ タ リ表

 の と き  従 っ て 定 理3.9と

であ る か ら 

定 理3.11よ

と な る.

の場合に対応 し

り πsは 定 理3.10の(1) 

て い る こ と が 分 か る.π ε,vと πε,-vは 同 じ表 現 に 対 応 し て い て 同 じ 表 現 に 対 応 す る表 現 は こ れ ら 以 外 に は な い.ま

た π1,0に つ い て は 定 理3.9お

よ び 定 理3.11

よ り

で あ る か ら,定

理3.10に

よれ ば π1,0に対 応 す る既 約 表 現 は 存 在 し な い.上

で 定 義 し た 表 現 は π1,0を 除 い て は そ れ に 対 応 す る 既 約 表 現 が 定 理3.10の あ る.し

か も1対1に

対 応 し て い る こ と が 容 易 に 確 め ら れ る.と

記 中に

こ ろ で π+1 

π-1を 考 え れ ば

と な る.こ

で あ る こ とが 確 め ら れ る.

の こ と か ら 

以 上 に よ り次 の定 理 が証 明 され た.   定 理3.12 

(Bargman)次

約 で か つ ど の2つ

の(1)∼(3)に

も 同 値 で な い.更

現 は 恒 等 表 現 か ま た は(1)∼(3)の

挙 げ られ た ユ ニ タ リ表 現 は す べ て 既

にG=SU(1,1)の

任 意 の 既 約 ユ ニ タ リ表

中 の い ず れ か と 同 値 で あ る.

 (1)  (2)  (3)

  こ の 定 理 か ら 直 ち に 次 の 同 値 な 定 理 を 得 る.   定 理3.13 

(Bargman)次

約 で か つ ど の2つ

の(1)∼(3)に

も 同 値 で な い.更

現 は 恒 等 表 現 か ま た は(1)∼(3)の

挙 げ ら れ た ユ ニ タ リ表 現 は す べ て 既

にG0=SL(2,R)の

任 意 の 既 約 ユ ニ タ リ表

中 の い ず れ か と 同 値 で あ る.

 (1)  (2)  (3)

 3.3  カ シ ミー ル 作 用 素 の 動 径 方 向 と一 般 化 さ れ た 球 関 数  3.3.1 我 々は 第2章

で球 面 上 の調 和 解 析 に お い て既 約 表 現 の 行 列 要 素 が 本 質

的 な 役 割 を 果 す こ と を 知 った.上

半 平 面 上 の調 和 解 析 に お い て も既 約 ユ ニ タ リ

表 現 の 行 列 要 素 が 重 要 な 役 割 を 果 す.   (π,〓)をG=SU(1,1)の イ トm,nに

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と し 

属 す る ウ ェ イ トベ ク トル と す る.任

を それ ぞ れ ウェ

意 のg∈Gに

対 し

f(g)=(υm,π(g)υn)

と お く.こ

の とき

と な り,fは

任 意 のg∈G,kθ,kφ

∈Kに

対 し

f(kθgkφ)=e-i(mθ+nφ)/2f(g)

を み た す.Cを

カ シ ミー ル 作 用 素 と し Ω=dR(-2C)と

お く と任 意 のg∈Gに

対 し Ωf(g)=(υm,π(g)dπ(-2C)υn)=χ

で あ るか らfは

Ω の固 有 関 数 とな る.そ

π(-2C)f(g)

こで既 約表 現 を 用 い な い でfの 持 つ

これ ら の性 質 のみ に注 目し て次 の よ う な定 義 を す る.m,n∈Zお

よび λ∈C

を 固 定 す る.f∈C∞(G)が  (1)

 (2) 

Ωf(g)=λf(g)

を み た す と き,fを(λ,m,n)型

の 球 関 数 と よ ぶ.明

全 体 は ベ ク ト ル 空 間 を な す.m=n=0の (こ の と き 後 で 分 か る よ う にfは

と き は 通 常 次 の 条 件 を つ け 加 え る.

f(e)=1.

の 球 関 数fに

で あ る か らf(e)=0と

gの

の球関数

一 意 的 に 定 ま る).

 (3) 

一 般 の(λ ,m,n)型

  3.3.2 

ら か に(λ,m,n)型

gをG=SU(1,1)の

計 算 し た よ うに

あ る か ら Ad(at)X+=etX+, 

が 成 り立 つ.

の と き 

な る. リ ー 環 と し{X0,X+,X

基 底 と す る と[3.2.3]で

で あ る.at=exptX0で

対 し て は 

Ad(at)X-=e-tX-

-}を[3.2.3]で

定 義 し た

と お く と,X+=Y+Z,X-=Y-Zで

あ る か ら2Y=X++X-と

2Ad(at)Y=etX++e-tX-を

な り,従

って

得 る.

これ か ら

を 得 る.従

が成

って

り立 つ.と

X0で

こ ろ が[Y,Ad(at)Y]=[Y,chtY+shtZ]=sht[Y,Z]=sht

あ る か らtを-tで

を 得 る.こ

お き換 え て

れ か ら 直 ち に 次 の 定 理 を 得 る.

  定 理3.14 

Cを

と お く と き,任

カ シ ミー ル 作 用 素 と す る と

意 のt∈Rに

対 し

が 成 り立 つ.   3.3.3  fを(λ,m,n)型 f(at)の

の 球 関 数 とす る.こ

み に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る か ら,fの

関 数 と し て のf(at)の

性 質 を 調 べ れ ば よ い.そ

の と きfはat(t∈R)に

性 質 を 調 べ る た め に はt∈Rの こで 先 ずfが(λ,m,n)型

数 で あ る と い う性 質 を 用 い て 次 の 各 式 を 導 く.こ 間 上 の 解 析 学 の 研 究 に お け る 最 も重 要 な 手 法 の1つ  (3.23)

お け る値

の球関

の 導 く方 法 が リー 群 の 等 質 空 な の で 少 し詳 し く書 く.

 (3.24)

 (3.25)

 (3.26)

 こ れ ら の 式 を 使 え ば 定 理3.14に

よ りF(t)=f(at)と

お く とFは

 (3.27)

な る微 分 方 程 式 を み た す こ とが 分 か る.t=0に

関 し この 微 分 方 程 式 は 確 定 特

異点 型 で そ の決 定 方程 式 は

で あ る か ら, 

を 根 と す る.故

にt=0に

お い てC∞

な 解 は1次

元 であ る.以 上 に よ り次 の定 理 を得 る.   定 理3.15 

(λ,m,n)型

の 球 関 数 全 体 は 高 々1次

元 の ベ ク トル 空 間 で あ る.

  こ の 定 理 か ら前 節 の 既 約 ユ ニ タ リ表 現 の 分 類 の 理 論 で 基 本 的 で あ っ た 定 理 3.9の(1)お

よ び(3)の

  系   (1)π

をGの

球 関 数 論 を 使 っ た 別 証 明 が 得 られ る. 既 約 表 現 と す る と き任 意 のm∈Zに

ξmの 重 複 度 は 高 々1で   (2)π,π

′を 共 にGの

対 し π￨Kに

おけ る

あ る. 既 約 ユ ニ タ リ表 現 とす る と き 

要 十 分 条 件 は χπ(C)=χ π′(C)でか つ π￨Kと

であるための必

π′￨Kに 共 通 に 含 ま れ る ξmが 存 在

す る こ と で あ る.   証 明   (1) 

と仮 定 し υ0を ウ ェ イ トmに 属 す る ウ ェ イ トベ ク トル

と す る.f0(g)=(υ0,π(g)υ0)と

お く と 

で あ る か ら 

がな り

た つ.υ

を ウ ェ イ トmに

と お く とf,f0は cf0を

属 す る 任 意 の ウ ェ イ トベ ク トル と しf(g)=(υ,π(g)υ0)

共 に(χ π(-2C),m,m)型

み た す 複 素 数cが

π(g)υ0と 直 交 す る.π 従 っ て υ-λ υ0=0を

存 在 す る.従

の 球 関 数 で あ る か ら 定 理 に よ りf= っ て υ-λ υ0は す べ て のg∈Gに

は 既 約 で あ る か ら{π(g)υ0;g∈G}は 得 る.故

に(π￨K:ξm)=1と

稠 密 な空 間 を張 り

な る.

  (2)必 要 性 は 明 ら か で あ る か ら 十 分 性 の 証 明 を す る.ψ

πξm,ψ π′ξmを[1.3.5]で

定 義 し た 関 数 とす る と これ ら は 共 に(χ π(-2C),-m,-m)型 ら 定 理 か ら1次

従 属 で あ る.故

  3.3.4 fを(λ,m,n)型 27)よ

に 定 理1.15の

対 し

の球 関 数 で あ るか

系 よ り 

を 得 る.(証 明 終)

の 球 関 数 と す る とu(t)=f(at)(t∈R)と

お く と き(3.

りuは

 (3.28)

を み た す.x=(tht/2)2と

変数 変 換 す る と

で あ るか ら

を 得 る.更

に

で あ る か ら,(3.28)の

両 辺 を4(cht/2)4で

割 っ てu(t)=υ(x)(x=(tht/2)2)と

くと

が成

り 立 つ.α,β

と定義 す れ ば,uは

を 複 素 数 とし

微分 方程式

υ(x)=xα(1-x)βw(x)と

お くと き

お

を み た す.そ

こで

が 成 り立 つ よ うに α,β を

に よ り定 義 す れ ば(但 しv∈C)

と お く と き,w(x)は

を み た す.故

ガ ウ ス の超 幾 何 微 分 方 程 式

に ガ ウ ス の 超 幾 何 関 数 をF(a,b,c;x)で

表 わ す とf(at)は

の 定 数 倍 で あ る こ とが 分 か る.   以 上 に よ り次 の 定 理 を 得 る.   定 理3.16  m,n)型

ガ ウ ス の 超 幾 何 関 数 をF(a,b,c,x)で

の 球 関 数 と す る と きf(at)(t∈R)は

の 定 数 倍 で あ る.但 し

と す る.

表 わ す と,fを(v2+1/4,

  3.4  非 ユ ニ タ リ主 系 列 の 表 現   3.4.1 

G=SU(1,1)と

を 考 え る.任

しGの

意 に ε=0,1お

パ ラ ボ リ ッ ク 部 分 群 

よ びv∈Cを

固 定 す る.

 (3.29)

と 定 義 し,ξ ε,vに 同 伴 し た 直 線 バ ン ドル をLε ,vと 書 く と

と な る.任

意 のg∈G,f∈C∞(Lε

,v)に 対 し

(πε,v(g)f)(x)=f(g-1x)  と お く.任

意 のf∈C∞(Lε,v)に

ー ル 測 度 をdkと

と お く と,‖

の正 規 化 され た ハ

対 し て 

し

‖ はC∞(Lε,v)の

ノ ル ム と な る.C∞c(R)の

を み た す も の を 取 り,F(kθatnx)=u(t)u(x)と 任 意 のg∈Gに

(x∈G)

対 しg=kθ(g)at(g)nx(g)と

元uで

お く. 定 義 す る と

で あ る こ と に 注 意 す れ ば,任 意 のg∈G,f∈C∞(Lε

,v)に 対 しImv=μ

とお く と き

と な る.v∈Rの

と き は μ=0で

あ る か ら πε,v(g)は等 長 写 像 で あ る が,一

般

に上 式 か ら

を 得 る か ら,π ε,v(g)は有 界 作 用 素 で あ る.従 と書 く と πε,v(g)はL2(Lε,v)の 意 にf∈L2(Lε,v)を

有 界 線 形 作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 され る.次

G∋g→

に任

πε,v(g)f∈L2(Lε,v)

連 続 で あ る こ と を 示 そ う.こ

の バ ナ ッ ハ 表 現 と な る.任

コ ン パ ク トで あ る か らGに

れ が い え れ ば[1.3.1]よ

意 に 与 え ら れ た 正 数 ε>0に

(Lε,v)で稠 密 で あ る か ら ‖f-f1‖0で

あ る か らcos

か つy=tanθ/2と

な

対 し

と定 義 す る と

で あ るか ら,Imv>0に 意 のg∈Gに

対し

が 成 り立 つ か ら, 

注 意 す れ ば   の と き

を 得 る.任 F(x)=f(nx) 

とお くと

で あ る こ と が 分 か る.任

意 のf∈C∞(Lε,v)に (x∈R)

対 し

と な る.そ

こで

と定 義 す る.Fの

フ ー リエ 変 換 をFで

表 わ す,即

ち

の とき

と お く と, 

と定義 す る と

が成 り立 つ.同 様 に 

の とき

と定 義 す る と

が 成 り立 つ.故

に 任 意 のg∈G,f∈C∞(Lε

,v)に 対 し

と定 義 す る と,〓 ε,vはC∞(Lε ,v)か らC∞(Lε,-v)の 方 〓 ε,vの定 義 か ら 明 ら か に 任 意 のg∈Gに

上 へ の 等 長 写 像 と な る.一

対 し

が成 り立 つ.以 上 に よ り次 の定 理 を 得 る.   定 理3.19 

ε=0,1,v∈Rお

よび

ε′=0,1,v′

同値 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は

∈Rと

す る と

ε=ε ′ で か つv=±v′

が成

πε,vと

π ε′,v′が

り立 つ こ と で あ

る.

 証 明  十 分性 の証 明 は 上 で 述 べ た.一 方 必 要 性 は 定 理3.18の 系 か ら 出 る. (証 明 終)   注   定 理3.19が

成 り立 つ こ と は 既 に[3.2.3]に

で は そ のIntertwining作

お い て 証 明 済 で あ る が,上

用 素 の 理 論 を 用 い た 証 明 を 与 え た 訳 で あ る.そ

表 現 論 に お い て はIntertwining作

れ は

用 素 の構 造 を 調 べ る こ とが極 め て重 要 な課

題 で あ る か ら で あ る.

  3.5  ク ラ ス1の   3.5.1 

表 現 とG/K上

G=SU(1,1)と

の フ ー リエ 変 換

し 

と定 義 す る と,C∞c(G/K)0の

と お く.

元 はG/K上

関 数 と 同 一 視 さ れ る.f∈C∞c(G/K)0の る か ら,f(at)はtの

のK不

と きf(at)=f(kπatk-1π)=f(a-t)で

関 数 と し て 偶 関 数 と な り,従

る.こ

の と きf(at)=f[cht](t∈R)と

K)0に

対 して

変 な コ ン パ ク ト台 を 持 つC∞

っ てchtの

表 わ す こ と に す る.任

あ

関 数 と考 え られ 意 のf∈C∞c(G/

 (3.36) と お く と,atnx=kθaskφ る か ら

と す る と き 簡 単 な 計 算 に よ りchs=cht+etx2/2と

な

が 成 り立 つ.従

っ てFfはchtの

と お く と任 意 の 

関 数 と 考 え ら れ る.こ

の と きFf(t)=Ff[cht]

に対 し

で あ るか ら  (3.37)

を 得 る.   3.5.2  (π,〓)をGの に 関 し て ク ラ ス1の

既 約 ユ ニ タ リ表 現 と す る.  表 現 と よ ぶ.こ

トル と し て φ(g)=(υ,π(g)υ)(g∈G)と 0,0)に

属 す る球 関 数 と な る.φ(e)=‖

お く と φ は[3.3.1]に υ‖2=1を

表 現 π に 対 応 す る 球 関 数 と い う.ε=0,1v∈Rの た め の 条 件 は 明 ら か に ε=0で

の と き π をK

の と き υ を ウ ェ イ ト0に

あ る.以

属する単位ベ ク よ り(χ π(-2C),

み た す こ と に 注 意 し よ う .φ と き 

後 π0,v,L0,vを

を

であ る 単にそれぞれ

πv,Lv

と 書 く こ と に す る. φ0(kθatnx)=e(iv-1/2)t

と 定 義 す る と,明

ら か に φ0は πvの ウ ェ イ ト0に 属 す る 単 位 ベ ク トル で あ る.

そ こで φv(g)=(φ0,πv(g)φ0)

とお くと  (3.38)

と な る.特

 (3.39)

にg=at(t∈R)の

と き は

を 得 る.こ

こ にPiv-1/2は

のg∈Gに

対 し

と な る.一

方 

ル ジ ャ ン ドル の 球 関 数 で あ る.v∈Rの

で あ る か ら 定 理1.15の

属 で あ り φv(e)=φ-v(e)=1で

系1に

あ る か ら φv=φ-vと

と き任 意

よ り φvと φ-vは1次

な る.任

意 のf∈C∞c(G/K).

に 対 し

と定 義 す る と  (3.40)

と な る か ら,フ

を 得 る.故

ー リエ 余 弦 変 換 の 逆 変 換 に よ っ て

に

が 成 り立 つ.従

っ て(3.37)よ

り

 (3.41)

を 得 る.f1,f2∈C∞c(G/K)0と

す る と 明 ら か にf1*f2∈C∞c(G/K)0で

あ り

従

が 成 り立 つ.従

と な る.任

って

意 のf∈C∞c(G/K)0に

にf*∈C∞c(G/K)0で

が 成 り立 つ.従

と な る.故

対 しf*(g)=f(g-1)(g∈G)と

お く と明 ら か

あ り

って

に 任 意 のf∈C∞c(G/K)0に

対 し(3.41)よ

り

 (3.42)

が 成 り立 つ.   任 意 のg∈G,f∈C∞c(G/K)0に 40)に よ り

を 得 る.従

っ て(3.41)に

よ り

対 しfg(x)=f(gx)(x∈G)と

定 義 す る と(3

 (3.43)

が 成 り立 つ.   3.5.3  (3.39)を 使 っ て 球 関 数 を ガ ウ ス の 超 幾 何 関 数 で 表 わ す と  (3.44)

と な る.こ

こ でvを0に

を 得 る.故

に

近 づ け る と144頁

の公式 よ り

 (3.45)

に注意すれば

と な る こ とが 分 か る.従

が 成 り立 つ.一

って或 る正 数Mが

方(3.44)に

で あ る か ら,(3.45)に

存在 して

より

よ り

を 得 る.   Cを

カ シ ミー ル 作 用 素 と し Ω=dR(-2C)と

に よ り Ωφv=(v2+1/4)φvを (g)=t2と

お け ば[3.1.3]に

得 る.任

お く と[3.3.1]お

意 のg∈Gに

よ り σ(g)はgの

よ び 定 理3.18

対 しg=kθatkφ

の とき σ

表 わ し 方 に よ ら ず 一 定 で あ る.

 定 理3.20 

球 関数

 (1)  φv=φ-v, 

φvに 関 し 次 の(1)∼(4)が

成

り立 つ.

Ω φv=(v2+1/4)φv.

 (2)  任 意 のl∈Nに

 (3) 正 数Mが

対 し

存 在 して

 (4)

  証 明   (1)お よ び(3)は 既 に 証 明 し た.  (2)et(atkθ)=cht+cosθshtで

あ る か ら 

を 得 る.従

っ て(3.39)

に よ り次 を 得 る.

 (4)は(3)を

使 え ば(3.4)に

より

(証明 終)   任 意 のk,l∈N,f∈C∞(G/K)0に

対 し

と定 義 し

に お く と,μk ,l(k,l∈N)はI(G)の に よ りI(G)は

完 備 なFrechet空

  任 意 のk,l∈N,F∈C∞(R)に

セ ミ ノ ル ム 系 を 定 義 し,こ

の セ ミノル ム系

間 と な る. 対 し

と定 義 し

と お く と,vk

,l(k,l∈N)はI(R)の

セ ミノル ム系 を定 義 し この セ ミノル ム系 に

よ りI(R)は

完 備 なFrechet空

  さ て 任 意 のf∈I(G)に

対 し

と お く.任

対 し

意 のX∈gに

で あ る か ら,定

理3.20の(1)に

間 と な る.

よ り

が 成 り立 つ.   定 理3.21 

フ ー リエ 変 換

I(G)∋f→f∈I(R) は 上 へ の 位 相 線 形 同型 であ る.   証 明   先 ずI(R)の

定 義 に お い てvk,l(F)(k,l∈N)の

代 りに

を 取 っ て もvk,lは 同 値 な セ ミ ノ ル ム 系 を 与 え る こ と に 注 意 す る.   任 意 のf∈I(G)に

で あ る か ら,定

対 し 定 理3.20に

理3.20に

よ り

よ りf(v)=f(-v)で

かつ

を得 るか らI(G)∋f→f∈I(R)は

連 続 で あ る.更 に

で あ る か ら,L2(G/K)0をC∞c(G/K)0の

完 備 化 とす る と き

C∞c(G/K)0⊂I(G)⊂L2(G/K)0 を 得 る.(3.42)に

よ り フ ー リ エ 変 換 はC∞c(G/K)0か

中へ の等 長 写 像 であ るか らL2(G/K)0か 長 写 像 に一 意 的 に拡 張 され る.従  逆 に任 意 のF∈I(R)に

の

ら 

ら 

の中への等

って特 にf→fは1対1で

あ る.

対し

 (3.46)

と定 義 す る と,f∈I(G)で

か つf=Fで

あ る こ とが 次 の よ うに し て証 明 され る.

ガ ウ スの 超 幾 何 関 数 の 積 分 表示 に よ り 

のと き

が成 り立 つ か ら

と お く と き,F(v)=F(-v)に

注 意 す れ ば(3.44)に

 (3.47)

と な る こ とが 分 か る.  さ て 

と す る と0<xeAを

(at)はImv￨n￨の

と き

って 定 理

と な る.但 のa,b,cを

を 得 る.こ

し 上 の 各 式 で は 

と仮 定 し て お く.故

に(4.7)よ

り定 理3.16

代 入 して

の λ はv,m,nに

依 存 す るか ら

λ=λs,m,nと

書 く こ と に す る と, 

の とき

が 成 り立 つ.と

こ ろが 両 辺 共 にvに つ い て有 理 型 関 数 で あ る か ら上 式 はi2vが

整 数 で な い 限 り成 り立 つ こ とが 分 か る.故 に次 の定 理 が示 され た.  定 理4.3 

m,n∈Z 

m≡n(mod

に よ り,φm∈C∞(Lεn,v)を

が成

り立 つ.但

し

し,v∈Cを

  こ の 定 理 よ り{φm;m≡n(mod

お く と 

の と き

次 の 式 で 与 え ら れ る.

2)}がL2(Lεn,v)の

正規 直交基底であ る こ と

り次 の 系 を 得 る. の と きPn ,vは1対1の

  系 

  4.3  正 則 離 散 系 列 の 極 限 とHardy空   4.3.1  正 数pが

固 定 す る.

定 義 す る.s=iv+1/2と

λs,m,n,a,b,cは

に 注 意 す れ ば 定 理4.1よ

2)と

与 え ら れ た と きD上

写 像 であ る.

間 の正 則 関 数 で

 (4.8)

が 有 限 で あ る よ う なF全

体 の 集 合 をHp(D)と

と す る バ ナ ッ ハ 空 間 と な る.こ

れ をHardy空

書 く と,HP(D)は(4.8)を 間 と い う.特

にp=2の

ノル ム 場 合は

H2(D)は

ヒル ベ ル ト空 間 とな り正 則 離 散 系 列 の極 限 と よ ば れ るG=SU(1,1)

の既 約 ユ ニ タ リ表 現 がH2(D)上 次 に述 べ る よ う にDの

で 実 現 され る.そ

してHardy空

間 の理 論 は

境 界 ∂D上 で 実 現 され る可 約 な 連 続 系 列 の表 現 の既 約

分 解 を 与 え る.

とお くとXはSL(2,C)の

開 集 合 で あ る か ら複 素 多 様 体 とな る.任 意 のx∈X

に対 し とす る と と一 意 的 に 表 わ され るか ら

とお くと き写 像  (4.9)

は複 素 多 様 体 と し て複 素 解 析 的 同型 で あ る.[3.1.5]で の制 限 をYnと

す る とYnの

Γ(Yn)={f:X上

正 則 な切 断全 体 は

の 正 則 関 数:f(xb)=τn(b)-1f(x)(x∈X,b∈B)}

と 同 一 視 さ れ る.Fnの

代 りにYnを

し ま うか ら 以 下 の 議 論 で は Yn￨G/K=Enで

定 義 したFnのX/Bへ

Γ(Yn)を

考 え る 理 由 は Γ(Fn)は

有限次元に な って

用 い る 必 要 が あ る か ら で あ る.

あ る こ と お よ び τn=τn ,i(n-1)/2で あ る か らC∞ バ ン ドル と し て

が 成 り立 つ こ と に 注 意 す る の が 以 下 の 議 論 で 重 要 で あ る .En,i(n-1)/2のC∞

切

断 の 全 体 は[4.2.1]で 述 べ た よ う に

と 同 一 視 さ れ る.制

限 写 像 Γ(Yn)∋f→f￨GB∈

f￨Gγ1B∈C∞(En,i(n-1)/2)を

よ び Γ(Yn)∋f→

考 え れ ば,正 則 関 数 の 一 致 の 定 理 お よ び 最 大 値 の 原 理

に よ り こ れ ら は 共 に 中 へ の 線 形 同 型 で あ り,従 お よ びC∞(En,i(n-1)/2)*と

Γ(En)お

っ て そ の 像 を そ れ ぞ れ Γ(En)*

書 く と 上 の 同 型 対 応 に よ り上 へ の 線 形 同 型 写 像

を得 る.こ れ は 境 界 値 を対 応 さ せ る 写像 に 他 な ら ない.Γ(En)*は

明 らか に 表 現

Vnの

不 変 部 分 空 間 で あ る.そ こ でVnの

β+nはV+nとVn,i(n-1)/2と

Γ(En)*上

に 関 しintertwining作

の 部 分 表 現 をV+nと 用 素 で あ る.同

書 く と,

様 に τnの 複

素 共 役表 現 を考 え そ れ に 同伴 した 直 線 バ ン ドル の反 正 則 な切 断全 体 の境 界値 β-nを 考 え る こ と が 出 来 る.AnΓ(En)*=H(D)*,RnΓ(En)*=Γ(Ln)*と

お くと

D上

な る.

のzの

多 項 式 全 体 をC[z]と

Fk(z)=zk(k∈N)と

書 く と き 明 ら か にC[z]⊂H(D)*と

定 義 し(An)-1Fk=fk(k∈N)と

お く.任

 に よ りG上

意 のl∈Zに

対 し

の関 数 φlを 定 義

す ると

 (4.10)

を得 る.D上

で あ る か ら, 

の任意の正則関数

が 多 項 式 の 広 義 一 様 極 限 で あ る こ と に 注 意 す れ ばRn,i(n-1)/2β+nの i(n-1)/2)に お け る 閉 包 は{φl; l≡n(mod 2)に か る.こ H(D)*に

れ は 定 理3.17に

お け るW+2-nに

像 のL2(Lεn,

よ って張 られ る こ とが分 他 な ら な い.任

意 のf∈

Γ(Ln)*,F∈

対 し

とお く と次 の可 換 図形 を得 る.

 β-nを 用 い て 同 様 に β-n,B-nが 定 義 さ れ 上 と 同 様 の 可 換 図 形 が 得 ら れ る.   定 理4.4 

あ る ε=0,1,v∈Cに

な っ た と す れ ばi2v∈Zが

対 し 非 ユ ニ タ リ主 系 列 の 表 現 πε,vが可 約 と 成 り立 ちn=1-i2vと

お く と εn=ε で あ りか つ

πε ,vの 自 明 で な い 閉 不 変 部 分 空 間 は 写 像 β+n,β-nによ り次 の よ うに 与 え ら れ る.

 (1) n>0の

場 合 はImβ+nお

よ びImβ-nの

 の 場 合 はImβ+n,Imβ-nお

 (2)

閉 包.

よ びImβ+n∩Imβ-nの

閉 包.

  証 明   πε,vが自 明 で な い 閉 不 変 部 分 空 間 を 持 つ な ら ば 定 理3.17に 1/2-ε/2∈Zで

あ る か らi2v∈Zで

1-i2v=nと

お く とn≡

ε(mod

か つi2v+1-ε

は 偶 数 で あ る .従

2)と な り εn=ε を 得 る.i2v+1=mと

πε,vの 自 明 で な い 閉 不 変 部 分 空 間 は 定 理3.17に W-m,W+m∩W-m,(2)m