دليل المعلم في الرياضيات للصف الثاني عشر (العلمي) ، الجزء الاول volume الجزء الاول

:á°TGôØdG á∏°ù∏°S - äÉ«°VÉjôdG Öàc áeAGƒe áæéd .∞°Sƒj ƒHCG »∏Y óªMCG .1 .…ôμÑdG ó©°SCG ΩÉ°ùM .2 .â«îÑdG ¢ùjôL OɪY .3 .óªfi º«∏◊G óÑY ¢ùfDƒe .4 .óªfi ÚgÉ°T ∞°Sƒj .5

äÉjƒàÙG

áëØ°üdG 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 22 24 26 31 34 36 40 42 45 48 52 55 60 62 64 67 71 74 79 82

º∏©ŸG π«dO áeó≤e ?ÖdÉ£dG ÜÉàc øY GPÉe (iƒàÙG áeƒ¶æe) (1 Aõ÷G) äÉ«°VÉjôdG äÉ«°VÉjôdG ¢ùjQóJ »a áeÉY ájƒHôJ ¢ù°SCG äÉ«°VÉjôdG ¢ùjQóJ ±GógCG ¢ùjQóà∏d áeÉY äÉ«é«JGΰSEG áeÉY ᫪«∏©J §FÉ°Sh ô°ûY ÊÉãdG ∞°ü∏d ∫hC’G Aõ÷G iƒàfi iƒàÙG π«∏– áaƒØ°üe ™HÉààdGh ióŸG áaƒØ°üe ∫hC’G Aõ÷G »`a çÓãdG äGóMƒdG º«∏©àd á°UÉN ±GógCG ∫É°üJ’Gh äÉjÉ¡ædG :¤hC’G IóMƒdG äÉjÉ¡ædGh Ò¨àdG ä’ó©e ∫É°üJ’G ¢SɪŸG •ƒ£Nh Ò¨àdG ä’ó©e

IóMƒdG QÉÑàNG

äÉ≤à°ûŸG :á«fÉãdG IóMƒdG ádGO á≤à°ûe (π°VÉØàdG) ¥É≤à°T’G á«∏HÉb ¥É≤à°T’G óYGƒb á«ã∏ãŸG ∫GhódG äÉ≤à°ûe á∏°ù∏°ùdG IóYÉb

IóMƒdG QÉÑàNG

π°VÉØàdG/äÉ≤à°ûŸG äÉ≤«Ñ£J :áãdÉãdG IóMƒdG ∫Ghó∏d (iô¨°üdGh ≈ª¶©dG) iƒ°ü≤dG º«≤dG á°übÉæàŸGh IójGõàŸG ∫GhódG f ádGódG ≈æëæà f '' á«fÉãdG á≤à°ûŸGh f ' ¤hC’G á≤à°ûŸG §HQ (iƒ°ü≤dG º«≤dG ≈∏Y äÉ≤«Ñ£J) á«≤ahC’Gh áLòªædG á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG

IóMƒdG QÉÑàNG

3

º∏©ŸG ÜÉàc áeó≤e √Oo GóYEG ”s ób ÜÉàμdG Gòg ¿CG óucDƒf ¿CG ,(…ƒfÉãdG º«∏©àdG á∏Môe øe ådÉãdG) ô°ûY ÊÉãdG ∞°ü∏d äÉ«°VÉjôdG IOÉe »ªu∏©Ÿ ÜÉàμdG Gòg Ωó≤f øëfh Éfó©°ùj º∏©àdG äÉjô¶f Aƒ°V ‘ ,᪫∏°S ájƒHôJ ¢ù°SCG ¤EG ∫hC’G ΩÉ≤ŸG ‘ óæà°ùJ á«Ø«Xh á«∏ªY ¬°ùjQóJ π©Lh ,¬FGOCG Ú°ù– »a ºu∏©ŸG É¡H Òæà°ùj ,IóYÉ°ùe IGOCG ¿ƒμ«d IÉ«◊G äGQhô°V øe ÉëÑ°UCG øjr òn s∏dG ,á«æ≤àdGh º∏©dG ô°üY ‘ ÜÉÑ°ûdG øe πÑ≤à°ùŸG IOÉb OGóYE’ ,º∏©àdG á«∏ª©d Gôk °ù«e º∏©ŸG QhO ¿ƒμj å«ëH ,áãjó◊G .ô°UÉ©ŸG ¿É°ùfEÓd É¡©°†J »àdG IQƒ£ŸG ègÉæŸG Aƒ°V ‘ ™°Vh …òdGh ,¬÷É©j …òdG Qô≤ŸG áØ°ù∏a ºo ¡a äÉ«°VÉjôdG ºu∏©Ÿ ;ºàÙG øe πH ;…Qhô°†dG øe ¿Éc ≥n∏£æŸG Gòg øeh :»JB’ÉH ºà¡J »àdGh ,º«∏©àdGh á«HÎdG IQGRh á©àŸÉH êõટG ºt∏©àdG Gƒ°SQÉÁ ¿CGh ,»ª∏©dG ÒμØàdG á«é¡æe ÜÓ£dG Ö°ùàμj ¿CG ≈∏Y πª©dG ∫ÓN øe ,IÉ«◊G ióe ºt∏©àdG ájQGôªà°SG CGóÑe ó«cCÉJ (1) πª©dGh ,»JGòdG ºt∏©àdG Ö«dÉ°SCG ΩGóîà°SGh ,π«∏©àdGh êÉàæà°S’G äGQÉ¡e ᫪æJh ,äÓμ°ûŸG πM äGQÉ¡e ᫪æJ ≈∏Y OɪàY’ÉH ∂dPh ;≥jƒ°ûàdGh äGRÉ‚E’Gh ᣰûfC’G ¢†©ÑH ∞jô©àdG ¤EG áaÉ°VE’ÉH ,ΩÉμMC’G QGó°UEG ‘ á«Yƒ°VƒŸGh ,øjôNB’G AGQBG πtÑ≤Jh QGƒ◊Gh á°ûbÉæŸGh ,≥jôØdG ìhôH ÊhÉ©àdG .á«æWƒdG ™ªàÛG ᫪æJ ‘ »ª∏©dG Ωót ≤àdG QhO ¢ùμ©J science, technology, and society (STS) ™ªàÛGh á«æ≤àdGh º∏©dG ÚH ábÓ©∏d áμ°Sɪàe á∏eÉ°T iDhQo Ëó≤J (2) .á«æ≤àdG äGhOC’G ΩGóîà°SG ∫n É«Mp ∫É©q ØdGh »YGƒdG ±ôt °üà∏d ÜÓ£dG á°SQɇ ≈∏Y õ«cÎdG ¤EG áaÉ°VE’ÉH ,»∏ÙG ôjó≤àd ,É¡à°SGQOh äÉ«°VÉjôdG √ÉéoJ ÜÓ£∏d á«HÉéjEG äÉgÉŒG ᫪æJh ,á«JÉ«◊G ᣰûfC’ÉH á≤u∏©àŸG á«°VÉjôdG ÇOÉÑŸGh º«gÉØŸÉH ÜÓ£dG Ò°üÑJ ≈∏Y õ«cÎdG (3) .IÉ«◊G ‘ á∏YÉa IGOCÉc É¡JÉ«HÉéjEG OQGƒŸG ΩGóîà°SG ø°ù◊ á«HÉéjE’G äÉgÉŒ’G ᫪æJ ∫ÓN øe ,¬«a ¿ƒ°û«©j …òdG »Ä«ÑdG QÉWE’G πNGO áë°VGh ájDhQ ≈∏Y á«æÑe á∏eÉ°T áaÉ≤ãH ÜÓ£dG ójhõJ (4) .áMÉàŸG äÉfÉμeE’Gh .á«JÉ«◊G »MÉæŸG ™«ªL ‘ ™ØædGh ÒÿÉH Oƒ©J äÉeór Np øe ¬eóu ≤J ɪ«a ádhódG QhO QÉ¡XEÉH øWƒ∏d Aɪàf’G ≥«ª©Jh ᫪æJ (5)

4

?ÖdÉ£dG ÜÉàc øY GPÉe §HGôJ øe ¬JGóMh iƒàfi ÚH Ée ô¡¶jh ,ô°ûY ÊÉãdG ∞°üdG Qô≤Ÿ á°UÉÿG ±GógC’Gh ,äÉ«°VÉjôdG ¢ùjQóàd áeÉ©dG ±GógC’G ™«ªL ™e ÜÉàμdG iƒàfi ≥Øàj -1 .πeÉμJh :…ƒ– á«MÉààaÉH ÜÉàμdG äGóMh øe IóMh πc ∫Ó¡à°SG -2 .IóMƒdG iƒàëe ±É°ûμà°SGh AGô≤à°S’ ∂dPh ,ÖdÉ£dG iód á«©aGO øjƒμJh ≥jƒ°ûà∏d áÄ«¡J ¯ .IóMƒdG ¢ShQód É°VôY k ¯ .Qô≤ŸG äÉYƒ°VƒÃ ÜÓ£∏d á≤HÉ°ùdG äGÈÿG §Hôd iôNCGh á«aÉ°ûμà°SG ᣰûfCG øª°†àJ ,áYƒæàŸG u ᣰûfC’G øe ák Yƒª› ¯ .¢SQódG iƒàÙ á«°SÉ°SC’G IôμØdÉH IóMh πu c ¢ShQO øe ¢SQO πc CGóÑj -3 .≥ª©àŸG ÒμØàdG ¤EG ô°TÉÑŸG ΩÉ¡Øà°S’G øe π≤àæJ »àdG äÉÑjQóàdGh øjQɪàdG øe áYƒªéà IóMh πu c øe ¢SQO πt c »¡àæj -4 ádCÉ°ùe ,á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J) :πãe øe ájƒHôJ ᣰûfCG øª°†àJ IóMƒdG äÉYƒ°VƒÃ Ék≤«Kh É kWÉÑJQG á£ÑJôŸGh ,Iõ«ªàŸG ⁄É©ŸG øe ák Yƒª› IóMh πu c iƒàfi øªs °†àj -5 .(óbÉf ÒμØJ ,ÊhÉ©J πªY ,¢ûbÉæàfh ôuμØf ÉæYO ,ÒμØà∏d ɪc ,IÒ°ü≤dG äÉHÉLE’G äGPh ,É¡JÉ«YƒæH á«dÉ≤ŸGh ,áØ∏àıG É¡JÉ«YƒæH á«Yƒ°Vƒe á∏Ä°SCG øª°†àjh á∏Ä°SC’G øe ójó©dG ≈∏Y πªà°ûj QÉÑàNÉH IóMh πt c »¡àæJ -6 .á«Áƒ≤àdG äGQÉÑàN’G AÉæH ∫É› ‘ ôjƒ£Jh åjó– øe CGôW Ée »YhQo ÚH äÉbÓ©dG ∑GQOEG øe Ö n dÉ£dG øuμÁ πμ°ûH É¡oØ«XƒJ ”s óbh ,ÜÉàμdG äÉYƒ°VƒÃ Ék≤«Kh É kWÉÑJQG ák £ÑJôe äAÉL »àdG Ωƒ°SôdGh ∫n Éμ°TC’G ÜÉàμdG øªs °†àj -7 .êÉàæà°S’Gh π«∏ëàdGh Ò°ùØàdG äÉ«∏ªY ∫ÓN øe ,äGô«u ¨àŸG :º∏©ª∏d ÜÉàμdG QhO ¢ùjQóJ ¥ôWh ᫪«∏©àdG §FÉ°SƒdGh ⁄É©ŸGh á«æeõdG á£ÿGh ±GógC’G å«M øe ÜÉàμdG Gòg ‘ mIón Mp ≈∏Y IQô≤ŸG äGóMƒdG øe IóMh πu μd ÉændhÉæn o J s¿EG øe ál dhÉfi ƒg πH ,Ú©e ܃∏°SCÉH ¬eGõdEG hCG IóMh πu c á÷É©eh ∫hÉæJ ‘ ¬àjôM øe óëf å«ëH ,ºu∏©ŸG ≈∏Y mó«b ™°Vh ¬æe ±ó¡dG ¢ù«d - ˃≤àdGh iƒàÙG p¬pJGQÉ¡eh Iõ«ªŸG ¬o àn «°üî°T ºu∏©e πμd s¿CG ¬«a Qóu ≤f …òdG âbƒdG ‘ ,IOƒ°ûæŸG ±GógC’G ≥«≤ëàd π«Ñ°ùdG ó¡u “h ≥jô£dG ¬d ÒæJ »c ,ºu∏©ª∏d É¡eóu ≤f ÉæÑfÉL .¬H á°UÉÿG ¬JÉYGóHEGh ≈àM á∏«ÑædG ájƒHÎdG º¡àdÉ°SQ AGOCG ≈∏Y º¡d ÉkfƒY ¬«a Ghóéj ¿CGh ,Úªu∏©ŸG ÉæFÓeR äÉMƒªW iƒà°ùe ‘ π«dódG Gòg ¿ƒμj ¿CG ≈æªàf ÉæfEÉa ... GÒk NCGh .IƒLôŸG ±GógC’G ≥≤ëàJ s .π«Ñ°ùdG AGƒ°S ¤EG …ó¡j ƒgh ó°ü≤dG AGQh øe ¬∏dGh

?øjQɪàdG á°SGôc øY GPÉe ≈∏Y ÜQóà∏d á°Uôa º∏©àŸG AÉ£YE’ ∂dPh ,áYƒæàŸG πFÉ°ùŸGh øjQɪàdG øe GÒk Ñc GOk óY øª°†àJ ¿CG ô°ûY ÊÉãdG ∞°ü∏d øjQɪàdG á°SGôc OGóYEG ‘ »YhQ ó≤d øjQɪàdG ™°Vh ” äÉjɨdG √òg ≥«≤ëàdh .iôNCG á¡L øe Úª∏©àŸG ÚH ¥hôØdG IÉYGôeh ,á¡L øe á«°VÉjôdG πFÉ°ùŸG πM ≈∏Y ¬JQób ᫪æJh ,äGQÉ¡ŸG ¿É≤JEG äÉÑLGƒc É¡°†©H AÉ£YEG øμÁ - ¿ƒª∏©àŸG É¡∏ëj ¿CG »¨Ñæj πFÉ°ùeh øjQÉ“ øª°†àJh zá«°SÉ°SCG øjQÉ“{ ¿Gƒæ©H zA{ ¤hC’G ÚàYƒª› ‘ óæH πc ‘ πFÉ°ùŸGh õjõ©àd ∂àÑ∏W äÉLÉM ≥ah É¡°†©H á°ûbÉæe hCG πM ∂æμÁ zá«FGôKEGh ájõjõ©J øjQÉ“{ ¿Gƒæ©H zB{ á«fÉãdG áYƒªÛGh .º¡©e É¡dƒ∏Mh ÉgQÉμaCG á°ûbÉæeh - á«à«H É¡à°ûbÉæeh É¡∏ëH Ékeõ∏e â°ùdh ,∞°üdG áaôZ êQÉN ¬JÉLÉMh ¬JÉfÉμeEGh ¬JGQób ™e Ö°SÉæàj Ée º¡æe πc πë«d áÑ∏£∏d É¡æe ≈≤Ñàj Ée ∑ÎJh .¬FGôKEGh º¡ª∏©J .á«Ø°üdG ¢ü°ü◊G ‘

5

(1 Aõ÷G) äÉ«°VÉjôdG (iƒàÙG áeƒ¶æe)

äÉ≤«Ñ£J π°VÉØàdG/äÉ≤à°ûŸG

äÉjÉ¡ædG ∫É°üJ’Gh

äÉ≤à°ûŸG

∫Ghó∏d iƒ°ü≤dG º«≤dG

ádGO á≤à°ûe

᪫≤dG ájô¶f ᣰSƒàŸG

¥É≤à°T’G á«∏HÉb

á≤à°ûŸGh ¤hC’G á≤à°ûŸG §HQ ádGó∏d ÊÉ«ÑdG º°SôdÉH á«fÉãdG

¥É≤à°T’G óYGƒb

Ò¨àdG ä’ó©e äÉjÉ¡ædGh

∫É°üJ’G á«≤ahC’Gh áLòªædG

á«ã∏ãŸG ∫GhódG äÉ≤à°ûe

á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG

á∏°ù∏°ùdG IóYÉb

Ò¨àdG ä’ó©e ¢SɪŸG •ƒ£Nh

AÉjõ«ØdG ∫ɪYCG áeÉY áaÉ≤K iƒàÙG äÉ£HGôJ ìô°ùªdGh ɪ櫰ùdG

AÉ«MC’G ∂∏ØdG

Connections

áMÉ°ùŸG º«ª°üJ äGAÉ°ûfEGh

êÉàfEG »YGQR

´ÉªàL’G

ᣰûfCG á«ë°U

É«aGô¨÷G

6

äÉ«°VÉjôdG ¢ùjQóJ »`a áeÉY ájƒHôJ ¢ù°SCG Ëó≤J äÉã∏ãŸG ÜÉ°ùM :áahô©ŸG á«°VÉjôdG äÉØ«æ°üàdG ÚHh ,á∏MôŸG ±ƒØ°U ÚH áYRƒe á«°SGQO äGóMh πμ°T ≈∏Y ájƒfÉãdG á∏MôŸG ‘ äÉ«°VÉjôdG ¢ùjQóJ …ôéj ¯ πeÉμàdGh differentiation π°VÉØàdG :¬«≤°ûH calculus πeÉμàdGh π°VÉØàdG ÜÉ°ùMh ∫ɪàM’Gh AÉ°üME’Gh á«ZGôØdG á°Sóæ¡dGh ôÑédGh á«∏«∏ëàdG á°Sóæ¡dGh øe äGóMh øª°†àj å«ëH (∞°U πc ‘) É«v ≤aCG ´Rƒàjh ,´ôa πc ‘ É«v fhõ∏Mh (±ƒØ°üdG ÈYn ) É«v °SCGQ ƒªæj iƒàÙG ¿EÉa iôNCG á«MÉf øeh .integration É¡JGAɪàfG ±ÓàNG ≈∏Y äGóMƒdG äÉÑ∏£àŸ »°VÉjôdG ºZÉæàdG ä’É◊G ™«ªL ‘ ≈YGôjh .»°VÉjôdG ôμØdG IóMh - Ée óM ¤EG - ¢ùμ©J áØ∏àfl ´hôa .á∏°üdG äGP iôNC’G Ωƒ∏©dG áeóÿh á«YôØdG

7

äÉ«°VÉjôdG ¢ùjQóJ ±GógCG áeór pNh äÓμ°ûŸG π◊ á«°SÉ°SC’G IGOC’G »g âdGR Éeh ,á«∏ª©dG ¬JÉ«M ‘ ¿É°ùfE’G áLÉM áeór ÿp kÓ°UCG äCÉ°ûf óbh ,Qƒ£àJh ƒªæJ á«s M IOs Ée äÉ«°VÉjôdG s äÉ«›ÈdGh Iõ¡LC’G ôjƒ£Jh AÉæÑd Ωóîà°ùJ »àdG á«s °VÉjôdG êPɪædGh ,á«s °VÉjôdG Ö«dÉ°SC’G ¤EG óæà°ùj Ωó≤J ƒg ô°UÉ©ŸG »æ≤àdG Ωót ≤àdG ¿EG πH ,iôNC’G Ωƒ∏©dG Ωƒ∏©dG ‘ É°†jC k G Ωóîà°ùJ É¡æμdh ,á«s FÉjõ«ØdGh á«YGQõdGh á«s Ñu u£dGh á«°Sóæ¡dGh á«s ©«Ñ£dG Ωƒ∏©dG ≈∏Y äÉ«°VÉjôdG ΩGóîà°SG ô°üà≤j ’h .É¡«a Ωóîà°ùJ »àdG AÉæH ó«©àd É¡°ùØf ¤EG âØà∏J ôNB’ ÚM øe »¡a ,Qƒ£àJh Ωós ≤àJ É¡JGP äÉ«°VÉjôdG ¿EÉa iôNCG á«MÉf øe .äÉjƒ¨∏dGh ¿ƒæØdG ‘h πH á«YɪàL’Gh á«fÉ°ùfE’G s á°UÉN ,á©°SGƒdG äÉ≤«Ñ£às dG ∫ÓN øe hCG áàëH á«s °VÉjQ Qƒ°üH ô¡X AGƒ°S ójó÷ÉH »JCÉJ ɪk FGO »¡a ºK øeh ,É¡à÷É©eh É¡æ«gGôH Ö«dÉ°SCGh É¡JÉÑ«côJ Ö«JôJh s ¿ƒμj ¿CG óH ’ º∏©ŸG q¿CG ‘ ∂°T ’h .áØ∏àıG ä’ÉÛG ‘ äÉ©bƒàdG äÉæjÉÑàeh ä’OÉ©eh ,äÉeƒ∏©ŸG á«æ≤Jh ÊhÎμdE’G ∫É°üuJ’G §FÉ°Sh ‘h OÉ°üàb’G ‘ .É¡°ùjQóàH Ωƒ≤j »àdG IOÉŸG øY áeÉY á«°VÉjQ áaÉ≤K ¬jódh ájGQOh »Yh ≈∏Y z?äÉ«°VÉjôdG ºu∏©f GPÉŸ{ ó«à©dG ∫GDƒ°ùdÉH ɪk FGO ¬LGƒj - ∫É◊G á©«Ñ£H - º∏©ŸGh :¤EG ±GógC’G ∞«æ°üJ Égô¡°TCG ,äÉ«°VÉjôdG º«∏©J ±GógCÉH ∞jô©à∏d á≤jôW øe ÌcCG ∑Éæg Cognitive á«aô©e ±GógCG (1)

ás«ª«∏©àdG πMGôŸG ‘ á«dÉJ äÉ°SGQód OGóYEÉc hCG áeÉY áaÉ≤ãc ás«°VÉjQ ±QÉ©e ºt∏©J ‘ áYƒæàŸGh áLQóàŸG ás«∏≤©dG äGQÉ¡ŸGh äÉjô¶sædGh º«gÉØŸÉH ≥s∏©àJ ÉŸ Iô°TÉÑŸG päÉ≤«Ñ£àdG øsª°†àjh ,§°Sƒàe iƒà°ùeh .É¡HÉ©«à°SGh äÉeƒ∏©ŸG ôtcòJ Oô› øsª°†àjh ,≈fOCG iƒà°ùe :á«aô©e äÉjƒà°ùe áKÓK ∑Éægh .á©HÉààŸG πFÉ°ùŸ ˃≤Jh Ö«côJh π«∏– øe ¬Ñ∏£àJ Éà äÓμ°ûŸG πMh ,É«∏©dG ÒμØàdG äGQÉ¡e ᫪æJ øª°†àjh ,≈∏YCG iƒà°ùeh .äÉjô¶fh ÚfGƒb øe ÖdÉ£dG ¬ª∏©àj .á«≤«Ñ£Jh á«°VÉjQ ∞bGƒeh äÉbÓYh Affective ás«fGóLh ±GógCG (2)

á°SGQO ƒëf á«HÉéjEG äÉgÉŒGh ∫ƒ«e øjƒμJh ,º¡JÉeÉ¡°SEGh Ú«°VÉjôdG ôjó≤Jh ,…ô°ûH ÒμØJ ܃∏°SCGh ∫É›h º∏©c äÉ«°VÉjôdG appreciation ôjó≤àH ≥s∏©àJ .ÊÉ«ÑdG πμ°ûdÉH hCG õeôdÉH AGƒ°S ∫É°üJ’G ‘ É¡à¨d ábOh ÒμØàdG ‘ É¡Ñ«dÉ°SCG ƒëfh Ωót ≤às dG ‘ ÉgQhO ƒëfh ,äÉ«°VÉjôdG Psychomotor á«côë°ùØf ±GógCG (3)

AGƒ°S (܃°SÉëdÉH á≤∏©àe) »Ñ°SƒM hCG »HÉ°ùM hCG »°Sóæg »°VÉjQ ™HÉW äGP äGhOCG ΩGóîà°SGh ,á«°Sóæ¡dG äGAÉ°ûfE’G πãe ,á«∏ªY äGQÉ¡e ᫪æJ É¡H ó°ü≤j CDs á›óe ¢UGôbCGh Iõ¡LCG øe áMÉàŸG á«æ≤àdG ΩGóîà°SG äGQÉ¡e ÖdÉ£dG Ö°ùàμj ¿CGh ,computers Ö«°SGƒM hCG calculators áÑ°SÉM ä’BG IQƒ°U ‘ .áÑ°SÉæe IõgÉL

8

¢ùjQóà∏d áeÉY äÉ«é«JGΰSEG ¢SÉ≤jh .ÖdÉ£dG º∏©àj ¿CG ƒg º«∏©àdGh ¢ùjQóà∏d »°SÉ°SC’G ±ó¡dG ¿CG á¶MÓe ™e ,¢SQódG ±GógCG ≥«≤– ‘ º∏©ŸG äÉcô– á£N »g :¢ùjQóàdG á«é«JGΰSEG É¡fƒª∏©àj »àdG ±QÉ©ŸG GƒØ°ûàμjh º¡°ùØfCÉH GƒæÑj ¿CG ‘ ÜÓ£dG IóYÉ°ùe ¢Vô¨H √ƒª∏©àj ¿CG º¡d ó°üb Ée ÜÓ£dG ºs∏©àj ¿CG ‘ É¡JAÉØc ióà á«é«JGΰSE’G ì o É‚ .constructivism á«FÉæÑdG ájô¶ædG Aƒ°V ‘ :»JB’ÉH º∏©ŸG Ωƒ≤j ¿CG ¢ùjQóàdG á«é«JGΰSEG øª°†àJh .(á«îjQÉJ á°üb ¿ƒμj óbh) ÜÓ£dG √ÉÑàfG Òãj ∫GDƒ°S hCG á∏μ°ûà Ωót ≤àdG .á°ûbÉæª∏d ÜÓ£∏d á°Uôa AÉ£YEG äÓYÉØJ É¡«a çóëj á«YɪL ∫ɪYCGh ,¬°ùØæH ÖdÉW πc É¡«a ôμØj ájOôa ∫ɪYCGh ,É«v fhÉ©J πª©J IÒ¨°U äÉYƒª› ‘ á«fhÉ©J ∫ɪYCG ÚH πª©dG ™jRƒJ .º¡°ùØfCG ÜÓ£dG ÚHh ÜÓ£dGh º∏©ŸG ÚH »gh :äÉ«°SÉ°SC’G Éæk ª°†àe ¬∏M hCG ¬à°ûbÉæe ” ÉŸ í°VGh ¢ü«î∏àH º∏©ŸG Ωƒ≤j ÜÓ£dG ¢†©H ÖfÉL øe ¢VhôY hCG ÊhÉ©J πªY hCG á°ûbÉæe πc ájÉ¡f ‘ .ïdEG ,ÚgGôH É¡d äÉjô¶f ¥ƒ£æe ,äÉbÓY ,äÉØjô©J øY IQÉÑY .º¡°ùØfCÉH äÉbÓ©dG hCG ¢UGƒÿG ¢†©H ±É°ûàc’ (äÉÑLGh) ∫õæŸG ‘ hCG ∞°üdG πNGO É°Uôa k ÜÓ£dG AÉ£YEG .á∏jóH ÚgGôH hCG ∫ƒ∏M AÉ£YEG ≈∏Y ÜÓ£dG ™«é°ûJ .É¡≤u≤– ’ hCG É¡∏ã“ ’ iôNCGh ,ábÓ©dG ≥u≤– hCG Ωƒ¡ØŸG πã“ á∏ãeCG AÉ£YEG ÜÓ£dG ¤EG º∏©ŸG Ö∏£j º«gÉØe IóY ÚH ábÓY hCG Ωƒ¡Øe …CG ¢ùjQóJ óæY øe á≤Ñ°ùe ä’hÉfi hCG á°ûbÉæe ¿hO øe äÉ°SGôμdG ‘ É¡∏≤f Ö∏Wh ìƒ∏dG ≈∏Y á∏eÉc IõgÉL ∫ƒ∏◊G áHÉàch âbƒdG ∫GƒW ìô°ûdG øY (º∏©ŸG) OÉ©àHG .ÜÓ£dG .IóMGƒdG á°ü◊G ‘ (¢ùjQóàdG ¥ôW …CG) äÉ«cƒ∏°ùdG ™jƒæJ ≈∏Y º¡JGQób ‘ iƒà°ùŸG ¿hO ºg øe hCG º∏©àdG »Ä«£H ÜÓ£∏d á«fhÉ©àdG äÉYƒªÛG ‘ hCG …OôØdG πª©dG IÎa ‘ á°UÉN ájÉYQ AÉ£YEG ≈∏Y ¢Uô◊G .ÚbƒØàŸG ÜÓ£dG ¤EG áÑ°ùædÉH ∫É◊G ∂dòch ,º∏©àdG á°UÉN ÜÉàμdG ‘ øjQɪàdG ™«ªL ÜÓ£dG πc πëj ¿CG IQhô°†dG øe ¢ù«d - ájOôØdG ¥hôØdG IÉYGôe ™e ∫õæŸG ‘ hCG ∞°üdG πNGO AGƒ°S äÉÑLGƒdG ™jƒæJ .äÉÑLGƒdG ‘ ÚLQu óàeo π°†aCG äÉjƒà°ùe ¤EG Gƒ∏°üj ≈àM º¡eó≤J ßMÓjo h ,≈fOC’G ó◊G º¡d Ωós o≤«a ,z±É©°†dG{ ÜÓ£dG ¤EG áÑ°ùædÉH .áÑàμŸG ‘ hCG º∏©ŸG Öàμe ‘ ∞°üdG êQÉN IóYÉ°ùª∏d päÉYÉ°ùdG ¢†©H ójó– .Qô≤ŸG Gòg ‘ ¥ƒØàdGh ìÉéædG ¬æμÁ ¬fCÉH ô©°ûj ¿CG ≈∏Y ÖdÉ£dG IóYÉ°ùe -

9

áeÉY ᫪«∏©J §FÉ°Sh ≈∏Y áfõfl hCG (CDs) á›óe m ¢UGôbCG hCG §FGô°T hCG ¥GQhCG ≈∏Y á∏é s °ùeo ácôu ëàe hCG áàHÉK IQƒ°U hCG , áeƒ°Sôe hCG áHƒàμe ᫪«∏©J IOs Ée ƒg »ª«∏©àdG §«°SƒdG .ôJƒ«Ñªc hCG Ék≤°ür∏eo » t ª«∏©àdG §«°SƒdG ¿ƒμj óbh .äÉ«›ÈdGh á«s ª«∏©àdG Ou GƒŸG ΩGóîà°SGh ¢VôY ‘ áeóîà°ùŸG Iõ¡LC’Gh äGhOC’G ᫪«∏©àdG §FÉ°SƒdG πª°ûJh á©æs °üe hCG á©«Ñ£dG øe Os Gƒe ¿ƒμJ óbh ,ÉHk ƒ°SÉM hCG ɪ櫰S RÉ¡L hCG áªà©e Qƒ°U hCG äÉ«aÉØ°T ¢Vô©d Iõ¡LCG hCG á«μ«à°SÓH hCG á«s Ñ°ûN É©k £b hCG á«fƒJôc mäÉbÉ£H .á«s ∏ª©e ÜQÉŒ hCG á«°Sóæg ∫Éμ°TC’ IÉcÉfi êPɉ hCG ¬∏«¨°ûàH º∏©ŸG ΩÉb AGƒ°S ¬JógÉ°ûà »Øàμj ¿CG ’ ,É k£«°ûf É«v ª«∏©J kÓªY ¬dÓN øe ¢SQÉÁh ¬°ùØæH ÖdÉ£dG ¬eóîà°ùj ¿CG ƒg »ª«∏©àdG §«°SƒdG ‘ π°UC’Gh ∫GhódG hCG ∫hGó÷G óMC’ ÊÉ«H π«ã“ hCG É¡àë°U ≥«≤– hCG á«°VÉjQ ábÓY ±É°ûàc’ hands on ܃°SÉëdG ≈∏Y ÖdÉ£dG πª©j ¿CG kÓãe º¡ŸÉa ,É«v dBG πª©j ¿Éc hCG .(LOGO) ƒLƒ∏dG èeÉfôH IÉØë∏°S ΩGóîà°SÉH á«°Sóæ¡dG ∫Éμ°TC’G ¢†©H º°SQ hCG spreadsheet á«dhó÷G áMƒ∏dG èeÉfôH Éek óîà°ùe ájÈ÷G É«LƒdƒæμàdG ¿CG ≈æ©Ã - zº∏©ª∏d á∏jóH â°ù«dh áØ«∏M{ ,áeÉY áØ°üH IOóu ©àŸG ᫪«∏©àdG §FÉ°SƒdGh ,á°UÉN áØ°üH á«æ≤àdG ¿CG ƒg Éæg ¬«ÄJôf …òdG CGóÑŸGh .¬∏fi π– ¿CG ’ º∏©àdG á«∏ªY Ò°ù«J ‘ º∏©ŸG Égôªãà°ùj IGOCG

10

∫hCq ’G Aõ÷G iƒàfi ô°ûY ÊÉãdG ∞°ü∏d :»g äGóMh çÓK iƒàÙG ∫hÉæàj ìÎ≤ŸG ¢ü°ü◊G OóY ∫É°üJ’Gh äÉjÉ¡ædG (1 äÉjÉ¡ædGh Ò¨àdG ä’ó©e ∫É°üJ’G ¢SɪŸG •ƒ£Nh Ò¨àdG ä’ó©e -

23

äÉ≤à°ûŸG (2 ádGO á≤à°ûe (π°VÉØàdG) ¥É≤à°T’G á«∏HÉb ¥É≤à°T’G óYGƒb -

30

á«ã∏ãŸG ∫GhódG äÉ≤à°ûe á∏°ù∏°ùdG IóYÉb -

π°VÉØàdG/äÉ≤à°ûŸG äÉ≤«Ñ£J (3 ∫Ghó∏d (iô¨°üdGh ≈ª¶©dG) iƒ°ü≤dG º«≤dG á°übÉæàŸGh IójGõàŸG ∫GhódG f ádGó∏d ÊÉ«ÑdG º°SôdÉH f '' á«fÉãdG á≤à°ûŸGh f ' ¤hC’G á≤à°ûŸG §HQ (iƒ°ü≤dG º«≤dG ≈∏Y äÉ≤«Ñ£J) á«≤ahC’Gh áLòªædG -

32

á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG -

11

iƒàÙG π«∏– áaƒØ°üe äGQÉ¡e

º«gÉØe

á«YôØdG äÉfƒμŸG

᫶ë∏dG áYô°ùdG OÉéjEG ájÉ¡ædG OÉéjEG x $ a ÉeóæY äÉjÉ¡ædG ≈∏Y äÉ«∏ª©dG IÒ£°ûdG ájô¶f ΩGóîà°SG -

ᣰSƒàŸG áYô°ùdG᫶ë∏dG áYô°ùdG ájÉ¡ædG IÒ£°ûdG ájô¶f -

Ò¨àdG ä’ó©e äÉjÉ¡ædGh

∫É°üØf’G •É≤fh ∫É°üJ’G •É≤f OÉéjEG ∫É°üØf’G øe ¢ü∏îàdG á∏°üàŸG ∫GhódG ≈∏Y äÉ«∏ª©dG -

á∏°üàŸG ∫GhódG -

∫É°üJ’G -

Ò¨àdG §°Sƒàe OÉéjEG ≈æëæŸG ≈∏Y ¢SɪŸG ádOÉ©e OÉéjEG …Oƒª©dG §ÿG ádOÉ©e OÉéjEG -

Ò¨àdG §°Sƒàe ≈æëæŸ ¢SɪŸG π«e ≈æëæŸG ≈∏Y …Oƒª©dG §ÿG π«e ≈æëæŸG π«e áYô°ùdG -

Ò¨àdG ä’ó©e ¢SɪŸG •ƒ£Nh

12

1 IóMƒdG äÉjÉ¡ædG ∫É°üJ’Gh

äGQÉ¡e ádGó∏d ÊÉ«ÑdG º°SôdG ÚH ábÓ©dG OÉéjEG -

º«gÉØe

á«YôØdG äÉfƒμŸG

á≤à°ûŸG IóMGh á¡L øe á≤à°ûŸG -

¥É≤à°T’G ¥É≤à°T’G á«∏HÉb

Ö«Lh Ö«÷G ádGO á≤à°ûe OÉéjEG (cot) ΩɪàdG πXh π¶dGh ΩɪàdG Ö«L ™WÉbh (csc) Ö«÷G ™WÉbh (sec) ΩɪàdG

ΩɪàdG Ö«Lh Ö«÷G ádGO á≤à°ûe ᣫ°ùÑdG á«≤aGƒàdG ácô◊G á«°SÉ°SC’G á«ã∏ãŸG ∫GhódG äÉ≤à°ûe iôNC’G

äÉ≤à°ûe á«ã∏ãŸG ∫GhódG

ádGódG ádGO á≤à°ûe OÉéjEG ¤EG êQÉÿG øe IóYÉb ≥«Ñ£J πNGódG á∏°ù∏°ùdG IóYÉb ≥«Ñ£J -

ádGódG ádGO á≤à°ûe ájÎeGQÉÑdG äÉ«æëæŸG π«e iƒ≤dG á∏°ù∏°S IóYÉb -

á∏°ù∏°ùdG IóYÉb

É¡à≤à°ûŸ ÊÉ«ÑdG º°SôdGh á≤à°ûŸG OÉéjEG ¥É≤à°T’G ≈∏Y äÉ«∏ª©dG É«∏©dG ÖJôdG äGP äÉ≤à°ûe OÉéjEG -

13

2 IóMƒdG äÉ≤à°ûŸG

äGQÉ¡e iƒ°üb º«b OÉéjEG áLô◊G á£≤ædG OÉéjEG ᣰSƒàŸG ᪫≤dG OÉéjEG -

IójGõàŸG ádGódG OÉéjEG á°übÉæàŸG ádGódG OÉéjEG ᫶ë∏dG áYô°ùdG OÉéjEG -

º«gÉØe

á«YôØdG äÉfƒμŸG

3 IóMƒdG

≈ª¶©dGh iô¨°üdG á≤∏£ŸG iƒ°ü≤dG º«≤dG (á«Ñ°ùædG) á«∏ÙG iƒ°ü≤dG º«≤dG ᣰSƒàŸG ᪫≤dG á°übÉæàŸGh IójGõàŸG ∫GhódG -

iƒ°ü≤dG º«≤dG ᣰSƒàŸG ᪫≤dGh

äÉ≤«Ñ£J äÉ≤à°ûŸG (π°VÉØàdG)

äÉ«æëæà áWÉfi äÓ«£à°ùe º°SQ É¡JÉ≤à°ûe øe ádGódG øY º∏©àdG ¤hC’G á≤à°ûŸG QÉÑàNG ΩGóîà°SG ô©≤àdG OÉéjEG ÜÓ≤f’G •É≤f OÉéjEG á«fÉãdG á≤à°ûŸG QÉÑàNG ΩGóîà°SG -

á«fÉãdGh ¤hC’G á≤à°ûŸG QÉÑàNG ô©≤àdG ÜÓ≤f’G •É≤f -

á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG ä’OÉ©e OÉéjEG -

á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG ä’OÉ©e á£ÑJôŸG ácô◊G IÉcÉfi -

¤hC’G Úà≤à°ûŸG §HQ ÊÉ«ÑdG º°SôdÉH á«fÉãdGh .ádGód á«≤ahC’Gh áLòªædG

14

á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J

äÉjô¶fh ø«fGƒb

øe Iôî°U •ƒ≤°S áYô°S .πJ

‘ Ò¨àdG Td áaÉ°ùŸG ````````````````````````` = ᣰSƒàŸG áYô°ùdG = Tt øeõdG ‘ Ò¨àdG f (t + h) - f (t) V (t) = lim = ᫶ë∏dG áYô°ùdG h h$0 ¿Éc GPEG .c øe x ÜÎ≤J ÉeóæY L ájÉ¡f É¡d ¿ƒμj f ádGódÉa ,Ú«≤«≤M øjOóY L ,c ¿Éc GPEG áÑjôb x Ò¨àª∏d º«b òNCÉH ¬jhÉ°ùj hCG ôØ°üdG øe ÉÑk jôb L h f] xg ÚH ¥ôØdG π©L ¿ÉμeE’ÉH . xlim f (x) = L Öàμfh x ! c ,c øe GvóL $c lim (k) = k

âHÉK k å«M áàHÉãdG ádGódG ájÉ¡f

lim (x) = c

x = c óæY IójÉÙG ádGódG ájÉ¡f

x$c

x$c

áë°Vƒe ≥FÉ≤ëdG √ògh ,á«Ñ°ùædG ∫GhódGh OhóëdG äGô«ãc ∫Ghód äÉjÉ¡ædG ÜÉ°ùM ÉææμÁh .(1) ájô¶f ‘ :¿EÉa , lim g (x) = M , lim f (x) = L ,á«≤«≤M GOk GóYCG k ,c ,M ,L âfÉc GPEG x"c x$c lim ^ f (x) + g (x)h = L + M

:™ª÷G IóYÉb (1)

x$c

.ɪ¡«àjÉ¡f ´ƒªée »g ø«àdGO ´ƒªée ájÉ¡f lim ^ f (x) - g (x)h = L - M

:¥ôØdG IóYÉb (2)

x$c

.ɪ¡«àjÉ¡f ø«H ¥ôØdG »g ø«àdGO ø«H ¥ôØdG ájÉ¡f lim ^ f (x) : g (x)h = L : M

:Üô°†dG IóYÉb (3)

x$c

.ɪ¡«àjÉ¡f Üô°V π°UÉM »g ÚàdGO Üô°V π°UÉM ájÉ¡f lim ^k : f (x)h = k : L

:âHÉK ‘ Üô°†dG IóYÉb (4)

x$c

.ádGódG ájÉ¡f ‘ âHÉãdG Üô°V π°UÉM »g ádGO ‘ Ühô°†e âHÉK ájÉ¡f lim

x$c

f (x) L = , ! g (x) M M 0

:᪰ù≤dG œÉf IóYÉb (5)

.GkôØ°U ΩÉ≤ªdG ájÉ¡f …hÉ°ùJ ’CG •ô°ûH ɪ¡«àjÉ¡f ᪰ùb œÉf »g ø«àdGO ᪰ùb œÉf ájÉ¡f , s ! 0 ,Úë«ë°U øjOóY s ,r ¿Éc GPEG :iƒ≤dG IóYÉb (6) lim ^ f (x)hr/s = Lr/s x"c

.»≤«≤M OóY Lr/s ¿CG •ô°T ≈∏Y lim- f (x) QÉ°ù«dG á¡÷ ádGO ájÉ¡f

x$c

lim f (x) Úª«dG á¡÷ ádGO ájÉ¡f

x $ c+

ájÉ¡ædGh ≈檫dG ájÉ¡ædG ,âfÉc GPEG §≤ah GPEG c øe x ÜÎ≤J ÉeóæY ájÉ¡f É¡d f (x) ádGódG ÚàjhÉ°ùàe ¿ÉfƒμJ ɪgÉà∏ch ,ÚJOƒLƒe c óæY ádGó∏d iô°ù«dG lim f] xg = L h xlim f] xg = L + xlim f (x) = L "c $c x"c -

+

15

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J

äÉjô¶fh ø«fGƒb :(IÒ£°ûdG) áWÉME’G ájô¶f h ,g ÚàdGó∏d ¿Éc GPEG .h ,g ÚjôNCG ÚàdGO º«b ÚH É¡ª«b f ádGóH ájô¶ædG √òg ≥∏©àJ .ájÉ¡ædG √òg É°†jC k G f ádGó∏d ¿EÉa x $ c ÉeóæY É¡°ùØf ájÉ¡ædG ¿Éc GPEG É¡dÉ› ‘ c á«∏NGO á£≤f óæY á∏°üàe y = f (x) ádGódG ¿ƒμJ :á«∏NGO á£≤f lim f (x) = f (c)

x$c

á£≤f hCG (a) QÉ°ù«dG á¡L á«aôW á£≤f óæY á∏°üàe y = f (x) ádGódG ¿ƒμJ :(ájóM) á«aôW á£≤f ¿Éc GPEG É¡dÉée ‘ (b) ø«ª«dG á¡L á«aôW lim- f (x) = f (b) hCG lim f (x) = f (a) + x$b

x$a

»g c ,c óæY á∏°üàe ÒZ f ¿CÉH ∂dP øY È©æa ,c á£≤f óæY á∏°üàe ÒZ f ádGódG âfÉc GPEG .f ∫É› ‘ ¿ƒμJ ¿CG ¤EG áLÉëH â°ù«d c ¿CG á¶MÓe ™e f ádGó∏d ∫É°üØfG á£≤f .IÎØdG •É≤f ™«ªL óæY á∏°üàe âfÉc GPEG §≤ah GPEG IÎa ≈∏Y á∏°üàe ádGódG ¿ƒμJ óæY á∏°üàe ∫GhO »g ∫Ghód á«dÉàdG äÉ≤aGƒàdG ¿EÉa x = c óæY á∏°üàe ∫GhO g ,f âfÉc GPEG .x = c f - g :ìô£dG (2) f + g :™ª÷G (1) OóY …CG k å«M k : f :âHÉK ‘ Üô°†dG (4) f : g :Üô°†dG (3) g (c) ! 0 •ô°ûH f/g :᪰ù≤dG œÉf (5) ÈàıG ‘ ƒªædG -

.IÎØdG ∂∏J ∫ƒW ≈∏Y Éek ƒ°ù≤e Ò¨àdG ∂dP ᪫b ƒg ,IÎa ≈∏Y ádGód Ò¨àdG §°Sƒàe f (a + h) - f (a) .äóLh GPEG m = lim :ƒg x = a á£≤f ‘ f ádGó∏d ≈æëæŸG π«e h h$0 óæY ≈æëæª∏d ¢SɪŸG ≈∏Y …Oƒª©dG §ÿG ƒg áaô©e á£≤f óæY ≈æëæe ≈∏Y …Oƒª©dG §ÿG .á£≤ædG ∂∏J

16

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J

äÉjô¶fh ø«fGƒb :»g x ád’óH f ádGó∏d á≤à°ûŸG ádGódG .äóLh GPEG f l (x) = hlim $0

f (x + h) - f (x) h

f l (a) = lim

x$a

f (x) - f (a) hCG x-a

.äóLh GPEG x = a ‘ á≤à°ûŸG »gh f l ]a+g = lim

f (a + h) - f (a) Úª«dG á¡÷ á≤à°ûe ádGO h

f l ]a-g = lim

f (a + h) - f (a) QÉ°ù«dG á¡÷ á≤à°ûe ádGO h

h $ 0+

h $ 0-

. f l (a-) = f l (a+) ¿Éc GPEG §≤ah GPEG x = a á£≤f ‘ ¥É≤à°TÓd á∏HÉb f ádGódG ¿ƒμJ ¢ùμ©dG øμdh .á£≤ædG √òg óæY á∏°üàe »¡a x = a á£≤f óæY ¥É≤à°TG É¡d f ádGódG âfÉc GPEG .Ékë«ë°U ÉkªFGO ¿ƒμj ’ d (x n) dc n-1 :¥É≤à°T’G óYGƒb dx = 0 ; dx = nx d (cu) du d d d dx = c dx ; dx (u ! v) = dx u ! dx v ; d dv du dx (uv) = u dx + v dx du dv d b u l v dx - u dx (v ! o) dx v = v2 f l (a) = lim h"0

17

f (a + h) - f (a) : x = a óæY Ò¨àdG ∫ó©e h

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J

äÉjô¶fh ø«fGƒb

d dx d dx

_ d b ( sin x ) cos x = b dx ` :á«ã∏ãŸG ∫GhódG ¥É≤à°TG d b b cos sin x =x dx a _ d 2 b ( tan x ) = sec x b dx ` d 2 b b ( cot ) =csc x x dx a _ (sec x) = sec x tan x b b ` (csc x) =- csc x cot xb a f (t) = a cos t

hCG

4 :ᣫ°ùÑdG á«≤aGƒàdG ácô◊G -

g (t) = a sin t y = f (u) å«M u = u (x) :áqdGódG ádGO ¥É≤à°TG dy dy dy du dx = du # dx hCG dx = f l (g (x)) # gl (x) å«M y = f (g (x))

:iƒ≤dG áqdGód ¥É≤à°T’G ádGO y = f (u) = u n u = u (x) d n n - 1 du ds u = nu dx :¿ƒμJ f (c) ¿EÉa ,D É¡dÉée ádGO f GPEG ∫É› ≈dEG »ªàæJ x πμd f (x) # f (c) âfÉc GPEG §≤ah GPEG D ≈∏Y á≤∏£ªdG ≈ª¶©dG ᪫≤dG (CG) .D ∫É› ¤EG »ªàæJ x πμd f (x) $ f (c) âfÉc GPEG §≤ah GPEG D ≈∏Y á≤∏£ªdG iô¨°üdG ᪫≤dG (Ü) .D iô¨°U ᪫bh ≈ª¶Y ᪫b É¡d ¿ƒμJ f ¿EÉa 6a, b@ á≤∏¨e Iôàa ≈∏Y á∏°üàe ádGO f âfÉc GPEG .IÎØdG √òg ≈∏Y

18

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J

äÉjô¶fh ø«fGƒb :¿ƒμJ f (c) ¿EÉa ,f ádGódG ∫Éée ‘ á«∏NGO á£≤f c âfÉc GPEG …ƒà– áMƒàØe Iôàa ‘ x πμd f (x) # f (c) âfÉc GPEG §≤ah GPEG c óæY á«∏ëe ≈ª¶Y ᪫b (CG) .c ≈∏Y áMƒàØe Iôàa ‘ x πμd f (x) $ f (c) âfÉc GPEG §≤ah GPEG c óæY á«∏ëe iô¨°U ᪫b (Ü) .c ≈∏Y …ƒà– ,É¡dÉ› ‘ c á«∏NGO á£≤f óæY á«∏ëe iô¨°U ᪫b hCG á«∏ëe ≈ª¶Y ᪫b f ádGód ¿Éc GPEG . f l (c) = 0 ¿EÉa ,c óæY OƒLh É¡d f l âfÉch ÒZ f l hCG f l = 0 ÉgóæY ¿ƒμj ádGódG ∫Éée ‘ á«∏NGO á£≤f »g f ádGód áLôëdG á£≤ædG .IOƒLƒe ¥É≤à°TÓd á∏HÉb âfÉch 6a, b@ á≤∏¨ªdG IôàØdG ‘ á£≤f πc óæY á∏°üàe y = f (x) âfÉc GPEG ¿ƒμj (a, b) ‘ c πbC’G ≈∏Y IóMGh á£≤f óLƒJ ¬fEÉa (a, b) É¡∏NGód »ªàæJ á£≤f πc óæY ÉgóæY f l(c) =

f (b) - f (a) b-a

.I IÎØdG ‘ ø«à£≤f …CG x2 , x1 øμàdh I IôàØdG ≈∏Y áaô©e ádGO f øμàd x1 1 x2 ( f (x1) 1 f (x2) :¿Éc GPEG I ≈∏Y ójGõàJ ádGO f (1) x1 1 x2 ( f (x1) 2 f (x2) :¿Éc GPEG I ≈∏Y ¢übÉæàJ ádGO f (2) . ^a, bh ≈∏Y ¥É≤à°TÓd á∏HÉbh , 6a, b@ IôàØdG ≈∏Y á∏°üàe ádGO f øμàd . 6 a, b @ ≈∏Y ójGõàJ f ¿EÉa , ^a, bh ‘ á£≤f πc óæY f l 2 0 âfÉc GPEG (1) . 6a, b@ ≈∏Y ¢übÉæàJ f ¿EÉa , ^a, bh ‘ á£≤f πc óæY f l 1 0 âfÉc GPEG (2) πμd f (x) = C å«ëH C âHÉK óLƒj ¬fEÉa ,I Iôàa »a á£≤f πc óæY f l (x) = 0 ¿Éc GPEG .I ‘ x å«ëH C âHÉK óLƒj ¬fEÉa ,I Iôàa »a á£≤f …CG óæY f l (x) = gl (x) ¿Éc GPEG .I ‘ x πμd f (x) = g (x) + C

19

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J

äÉjô¶fh ø«fGƒb

™bƒe øe •ƒ≤°ùdG . f (x) á∏°üàe ádGO ≈∏Y »JB’G QÉÑàN’G ≥Ñ£æj QGóëfG ΩGóîà°SG :c áLôM á£≤f …CG óæY ¥hóæ°U ™«æ°üJ - ÉeóæY , f l 2 0) c óæY ÖdÉ°ùdG ≈dEG ÖLƒªdG øe É¡JQÉ°TEG ô«¨àJ f l á≤à°ûªdG âfÉc GPEG (1) á«fGƒ£°SCG áÑ∏Y º«ª°üJ - .c óæY á«∏ëe ≈ª¶Y ᪫b É¡d ¿ƒμj f ádGódG ¿EÉa ,( x 2 c ÉeóæY , f l 1 0 , x 1 c πμ°ûdG f l 2 0 , x 1 c ÉeóæY f l 1 0) c óæY ÖLƒªdG ≈dEG ÖdÉ°ùdG øe f l IQÉ°TEG äô«¨J GPEG (2) äÉWhôfl AÉ°ûfEG .c óæY á«∏ëe iô¨°U ᪫b É¡d ¿ƒμj f ¿EÉa , (x 2 c ÉeóæY íHô∏d ≈ª¶©dG ᪫≤dG áØ∏μàdG ¢†«ØîJ - ¿ƒμj ’ f ¿EÉa ,(c »ÑfÉL ≈∏Y É¡°ùØf IQÉ°TE’G É¡d ¿ƒμj f l ) c óæY f l IQÉ°TEG ô«¨àJ ºd GPEG (3) .c óæY á«∏ëe áaô£àe ᪫b É¡d ᪫b hCG) á«∏ëe ≈ª¶Y ᪫b É¡d ¿ƒμJ f ¿EÉa , x 2 a πμd (f l 2 0 hCG) f l 1 0 ¿Éc GPEG .a á£≤ædG óæY (á«∏ëe iô¨°U á«∏ëe iô¨°U ᪫b É¡d ¿ƒμJ f ádGódG ¿EÉa , x 1 b πμd ( f l 2 0 hCG) f l 1 0 âfÉc GPEG .b óæY (á«∏ëe ≈ª¶Y ᪫b hCG) ¿ƒμj y = f (x) ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ádGód »fÉ«ÑdG º°SôdG .I IôàØdG »a IójGõàe yl âfÉc GPEG I áMƒàØe Iôàa »a ≈∏YC’ Gôk ©≤e (CG) .I IôàØdG »a á°übÉæàe yl âfÉc GPEG I áMƒàØe Iôàa »a πØ°SC’ Gôk ©≤e (Ü) »g É¡«ÑfÉL ≈∏Y ≈æëæŸG ô©≤J Ò¨àjh ¢Sɪe §N ádGód »fÉ«ÑdG º°Sô∏d ¿ƒμj ÉgóæY »àdG á£≤ædG .ÜÓ≤fG á£≤f . x = c óæY á«∏ëe ≈ª¶Y ᪫b É¡d ¿ƒμJ f ¿EÉa , f m (c) 1 0 , f l (c) = 0 âfÉc GPEG (1) . x = c óæY á«∏ëe iô¨°U ᪫b É¡d ¿ƒμJ f ¿EÉa , f m (c) 2 0 , f l (c) = 0 âfÉc GPEG (2) »Ñjô≤àdG ôjó≤àdG - …ó◊G πNódG √óæY …òdG êÉàfE’G iƒà°ùe óæY çóëJ (äóLh GPEG) íHô∏d ≈ª¶©dG ᪫≤dG á«ë£°ùdG áMÉ°ùª∏d .ájó◊G áØ∏μàdG …hÉ°ùj ¢VQCÓd ƒg øμªj Ée ô¨°UCG ᣰSƒàªdG áØ∏μàdG ¿ƒμJ √óæY …òdG (óLh GPEG) áØ∏μàdG iƒà°ùe ≥jô£dG ≈∏Y IOQÉ£e .ájó◊G áØ∏μàdG …hÉ°ùJ ᣰSƒàªdG áØ∏μàdG ¿ƒμJ √óæY …òdG iƒà°ùªdG ™jô°ùdG »Whôfl ¿GõN Aπe πμ°ûdG §FÉM ≈∏Y ≥dõæe º∏°S -

20

™HÉààdGh ióŸG áaƒØ°üe

Scope and Sequence

äÉ≤«Ñ£J äÉ≤à°ûŸG iô¨°üdG) iƒ°ü≤dG º«≤dG -

äÉ≤à°ûŸG

äÉjÉ¡ædG QGôªà°S’Gh

Ωƒ¡ØªdG

á£≤f ‘ ádGO á≤à°ûe -

äÉjÉ¡ædG ÜÉ°ùM-

á«≤«≤◊G OGóYC’G -

¥É≤à°T’G IóYÉb -

Ò¨àdG ä’OÉ©e -

áÑ°ùædG

¢SɪŸG •ƒ£N -

ádOÉ©ŸG

(≈ª¶©dGh

ᣰSƒàŸG áYô°ùdG ᫶ë∏dG áYô°ùdG -

ájOƒªY •ƒ£N á°Sóæ¡dG

§«fi ô¨°UCG OÉéjEG áëØ°U º«ª°üJ á«fGƒ£°SCG áÑ∏Y º«ª°üJ Ödƒd ‘ ≥∏©e π≤K ácôM -

§HGôJ

™jô°ùdG ≥jô£dG ≈∏Y IOQÉ£e -

(connection)

á«°VÉjQ πªLh RƒeQh OGóYCG á«fÉ«H äÓ«ã“h ᫶Ød πªLh ádGódG ≈æëæe ‘ôW ∑ƒ∏°Sh

πªLh RƒeQh OGóYCG á«fÉ«H Ωƒ°SQh á«°VÉjQ

21

πªLh RƒeQh OGóYCG á«fÉ«H ∫Éμ°TCGh á«°VÉjQ

π°UGƒJ (communication)

∫hCq ’G Aõ÷G »`a çÓãdG äGóMƒdG º«∏©àd á°UÉN ±GógCG ∫hCq ’G Aõé∏d äGóMh çÓK Qo É«àNG ” ó≤a ,äÉ«°VÉjQ øe ¬°SQój ¿CG ™bƒàe ƒg Éeh ¬à°SGQO ÖdÉ£∏d ≥Ñ°S Ée ™e ɪk ZÉæJh á≤HÉ°ùdG áeÉ©dG ±GógC’G Aƒ°V ‘ :»JB’G ÖdÉ£dG Ö°ùàμj ¿CG ó°ü≤H :∫É°üJ’Gh äÉjÉ¡ædG IóMh ≈dEG áÑ°ùædÉH :k’hCG .ádGó∏dh Ò¨àª∏d IOhóÙG äÉjÉ¡ædG ±ô©J (1) .Ò¨àdG ä’ó©e ΩGóîà°SG (2) .ádGódG ‘ ∫É°üJ’G ±ô©J (3) .á£≤f ‘ ≈æëæŸG ≈∏Y …Oƒª©dG §ÿG ádOÉ©eh ≈æëæe ≈∏Y ¢SɪŸG ádOÉ©e OÉéjEG (4) :äÉ≤à°ûŸG IóMh ¤EG áÑ°ùædÉH :Ék«fÉK .Égõ«eôJh ádGódG á≤à°ûe ±ô©J (1) . f l É¡à≤à°ûeh f ádGó∏d ÊÉ«ÑdG º°SôdG ÚH ábÓ©dG ±ô©J (2) .¥É≤à°T’G ≈∏Y äÉ«∏ª©dG ±ô©J (3) .á«eƒ«dG IÉ«◊G ‘ ¥É≤à°T’G ΩGóîà°SG (4) .á«fÉ«ÑdG äÉeƒ°SôdG ≈∏Y äÉ≤à°ûŸG ≥«Ñ£J (5) :π°VÉØàdG/äÉ≤à°ûŸG äÉ≤«Ñ£J IóMh ¤EG áÑ°ùædÉH :ÉkãdÉK .á≤∏£ŸG iƒ°ü≤dG º«≤dG ±ô©J (1) .á°übÉæàŸGh IójGõàŸG ∫GhódG ≈∏Y äÉ≤à°ûŸG ≥«Ñ£J (2) . f ÊÉ«ÑdG º°SôdG ‘ f m á«fÉãdG á≤à°ûŸGh f l ¤hC’G á≤à°ûŸG ΩGóîà°SG (3) .áYÉæ°üdGh OÉ°üàb’G πFÉ°ùe ≈∏Y äÉ≤à°ûŸG ≥«Ñ£J (4) .á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG ä’OÉ©e ±ôq ©J (5)

22

çÓãdG äGóMƒdG ¢ùjQóàd äÉMGÎbG øjQɪàdG ∫ƒ∏Mh

∫É°üJ’Gh äÉjÉ¡ædG

IóMƒdG

1

¤EG IóMƒdG √òg ânª°ùou b ,´ƒ°VƒŸG »æeõdG ∫hó÷G ™e áfhôà ≈°TɪàJ »μd :»JB’G ƒëædG ≈∏Y ¢ShQO 3 (8-16 ¢U) äÉjÉ¡ædGh Ò¨àdG ä’ó©e 1-1 ájÉ¡f ,᫶ë∏dG áYô°ùdG ,ᣰSƒàŸG áYô°ùdG :á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üŸG .(IÒ£°ûdG) áWÉME’G ájô¶f ,ádGódG

(17-21 ¢U) ∫É°üJ’G 1-2 ,»FÉ¡f ∫É°üØfG ,∫É°üØfG á£≤f ,∫É°üJ’G :á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üŸG .á∏°üàe ádGO ,»HòHòJ ∫É°üØfG

(22-27 ¢U) ¢SɪŸG •ƒ£Nh Ò¨àdG ä’ó©e 1-3 .Ò¨àdG ∫ó©e ,≈æëæª∏d ¢SɪŸG ,Ò¨àdG §°Sƒàe :á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üŸG ?ÜÓ£dG º∏©à«°S GPÉe ?GPÉŸh äÉjÉ¡ædGh Ò¨àdG ä’ó©e IóMƒdG √òg ‘ ÜÓ£dG ±ô©à«°S ∫É°üØf’Gh ∫É°üJ’G •É≤f ¿ƒª¡Øàj ºK øeh ,É¡°üFÉ°üNh .á«JÉ«◊G É¡JÉ≤«Ñ£Jh á∏°üàŸG ä’GódGh óæY ¢SɪŸG π«eh ≈æëæŸG π«e ≈æ©e º¡ØàH º¡aQÉ©e ¿ƒ≤ª©«°Sh .≈æëæe ≈∏Y …Oƒª©dG §ÿGh ≈æëæe ≈∏Y á£≤f IóMƒdG ´hô°ûe :´hô°ûŸG ¢VôY GPEG hCG RÉØ∏àdG ≈∏Y ájƒ÷G Iô°ûædG ¿hógÉ°ûj GƒfÉc GPEG ÜÓ£dG ∫CÉ°SG ‘ IQGô◊G ¿Gõ«e ≈∏Y ôNB’ âbh øe IQGô◊G Ò¨J ¿ƒ©HÉàj GƒfÉc ∞°üdG ‘ IQGô◊G äÉLQO Ò¨J º¡©e ¢ûbÉf .â«ÑdG ‘ hCG IQÉ«°ùdG .áaô¨dG ‘ ™°Vƒj IQGôM ¿Gõ«e ᣰSGƒH »°SGQO Ωƒj á∏«W :º««≤àdG º∏°S RÈjh í°VGh ÊÉ«ÑdG º°SôdG .É¡∏eÉμH áë«ë°U äÉHÉ°ù◊G - 4 º°SôdG ¢SÉ«≤e .≥«bOh π°üØe ôjô≤àdG .ádƒ≤©e äÉ©bƒàdG .èFÉàædG .πeÉc πμ°ûH äÉfÉ«ÑdG πãÁh í°VGh ÊÉ«ÑdG º°SôdG .á∏«∏b AÉ£NCG ™e áë«ë°U äÉHÉ°ù◊G º¶©e - 3 ôjô≤àdG .É¡à«Ñ∏ZCÉH ádƒ≤©e äÉ©bƒàdG .AÉ£NC’G ¢†©H ™e í°VGh .ÒÑc qóM ¤EG äÉfÉ«ÑdG πãÁh í°VGh º°SôdG ¢SÉ«≤e .π°üØe í°VGh ÒZ ÊÉ«ÑdG º°SôdG .äÉHÉ°ù◊G ‘ IOqó©àe AÉ£NCG óLƒj - 2 ¢SÉ«≤e .¢übGƒf ¬«ah π°üØe ÒZ ôjô≤àdG .áYƒæàe q q AÉ£NCG ¬«ah .»≤£æe ÒZ º°SôdG .á°übÉf hCG á∏eÉc ÒZ ´hô°ûŸG ô°UÉæY º¶©e - 1

24

(¢Sƒ«°ù∏°S) IQGô◊G ∫ó©e

:IóMƒdG ´hô°ûe äÉHÉLEG ÜÉ°ù◊ÉH óLhCG (1) 315 ' 3 = 105 AED :Ò«¨àdG §°Sƒàe (CG) ɪk gQO 2.19 (Ü) 0.02 = 2% (`L) ÊÉ«ÑdG º°SôdGh π«∏ëàdÉH óLhCG (2) (CG)

áYÉ°ùdÉH âbƒdG

¿ƒμj ]9, 13[ IÎØdG ≈∏Y ∫Éãe :äÉHÉLE’G ´ƒæàJ q (Ü) - 19 8 §°Sƒàe ¿CG …CG 27 13 - 9 = 4 = 2 :ƒg Ò¨àdG §°Sƒàe IóMGƒdGh ÉM k ÉÑ°U á©°SÉàdG ÚH Ée áYÉ°S πμd 2% ƒg Ò¨àdG .ô¡¶dG ó©H ÊÉ«ÑdG º°SôdG ô¶fG (`L) 14 - 9 8 - 7 = 5 :¤hC’G á©£≤dG π«e 19 - 14 9 - 8 = 5 :á«fÉãdG á©£≤dG π«e 22 - 19 10 - 9 = 3 :áãdÉãdG á©£≤dG π«e

.iôNC’G øY ∞∏àîj á©£b πc π«e ¿CG ßMÓf ...Gòμgh :πãe ¢SɪŸG ≈∏Y á£≤f òNCÉf ¿CG øμÁ :äÉHÉLE’G ´ƒæàJ q (O ) .( 10.5, 23% ) 23 - 22 1 10.5 - 10 = 0.5 = 2 :‹GƒM ƒg ¢SɪŸG §N π«e ¿ƒμ«a 10:30 A.M áYÉ°ùdGh 10 A.M áYÉ°ùdG ÚH Ée Ò¨àdG §°Sƒàe ‹ÉàdÉHh

.ÚàLQO ‹GƒM ƒg

25

äÉjÉ¡ædGh Ò¨àdG ä’ó©e 1-1 :±GógC’G -1 .᫶ë∏dG áYô°ùdGh ᣰSƒàŸG áYô°ùdG ÖdÉ£dG Ö°ùëj .äÉjÉ¡ædG ¢üFÉ°üN ≥Ñ£jh ∫GhódG äÉjÉ¡f Ö°ùëjh ±ô©àj .Iô°TÉÑŸG ÒZ äÉjÉ¡ædG ¢†©H OÉéjE’ áWÉME’G ájô¶f Ωóîà°ùj :Iójó÷G º«gÉØŸGh äGOôØŸG -2 ,ájÉ¡f’ ,áaqô©e ájÉ¡f ,ádGódG ájÉ¡f ,᫶◊ áYô°Sh ᣰSƒàe áYô°S .(IÒ£°ûdG) áWÉME’G ájô¶f ,Úà¡L øe ájÉ¡fh á¡L øe ájÉ¡f :πFÉ°SƒdGh äGhOC’G -3 .᫪∏Y áÑ°SÉM ádBG :󫡪àdG -4 .120km/h áYô°S ∫ó©Ã ™jô°ùdG ≥jô£dG ≈∏Y IQÉ«°S ≥∏£æJ (CG) 360km ?äÉYÉ°S 3 ¿ƒ°†Z ‘ É¡©£≤J »àdG áaÉ°ùŸG Ée 5 ?¬àbô¨à°SG …òdG âbƒdG ɪa 600km áaÉ°ùe â©£b GPEG (Ü) äÉYÉ°S ÜÓ£dG ∫CÉ°SG (x1 ! x2) ; 3 x = x2 - x1 ?x Ò¨àŸG ‘ Ò¨àdG Ée (CG) 3 f = f (x2) - f (x1) ?ádGódG ‘ Ò¨àdG Ée (Ü) 3f 3 x ?ádGó∏d Ò¨àdG §°Sƒàe Ée (`L)

:¢ùjQóàdG -5 IôμØd Iõ«ªàe áeó≤e y = sinx x ádGódG ¿ƒμJ ¿CG øμÁ √òg ¿CG ÜÓ£dG iôj ¿CG øμÁ ,܃°SÉ◊G ΩGóîà°SÉH .äÉjÉ¡ædG .ôØ°üdG øe x âHôàbG ɪ∏c 1 øe ÜÎ≤J ádGódG ¿CG øμÁ ᪡e ¢UGƒN f (x) = 5 x ? + 54 - x ? ádGódG ∂∏à“ .äÉjÉ¡æ∏d ≈æ©e äGP á°ûbÉæe ¤EG Oƒ≤J ‘ äÉ«æ≤àdG ™e ÜÓ£dG πeÉ©àj ¿CG Qô≤ŸG ±GógCG óMCG .πFÉ°ùŸG πM ‘h ,ÉgÒ°ùØJh É¡æe ócCÉàdGh èFÉàædG ±É°ûμà°SG øμÁ ’ øμdh ∫GhódG á°SGQO ‘ IÒÑc ᫪gCG ÊÉ«ÑdG º°SôdG äGhOC’ ∫ƒ∏◊G ᫪gCG óqcCG .äɪ«ª°üàdGh äÉjô¶ædG ÚgGôH ‘ Ωóîà°ùJ ¿CG .ájÈL ¥ô£H

á∏ãeC’G ≈∏Y äɶMÓe ¿CG º¡ŸG øe .ájÉ¡f »g ᫶ë∏dG áYô°ùdG ¿CG óqcCG (2) ∫Éãe ‘ ¯ äÉ«∏ªY ¿C’ ,∫ÉãŸG Gòg ‘ á«HÉ°ù◊G äÉ«∏ª©dG ÜÓ£dG º¡Øj ôaƒj .äÉ≤à°ûŸG ÜÉ°ùM øª°V ¿ƒμJ ±ƒ°S á¡HÉ°ûe á«HÉ°ùM .(1-3) ¢SQódG ‘ Ò¨àdG ä’ó©e á°ûbÉæe ™e á∏°U ∫ÉãŸG Gòg

26

.äÉjÉ¡ædG ¢UGƒN ≥«Ñ£J ‘ ɪv ¡e ÉÑk jQóJ (3) ∫Éãe ôaƒj ¯ Gògh ≈æëæŸG º°SQ ‘ ܃°SÉ◊G IQób ΩGóîà°SG øμÁ ,(5) ∫Éãe ‘ ¯ .ájÉ¡æ∏d (»góH) »°SóM º¡a ᫪æJ ≈∏Y ÜÓ£dG óYÉ°ùj .ÖfÉ÷G á«FÉæKh ájOÉMCG äÉjÉ¡æ∏d á∏ãeCG (7) ∫Éãe Ωó≤j ¯ :§HôdG -6 .óLƒj ’ :á©FÉ°T AÉ£NCG -7 ô¡¶oj ób ,IóYÉ≤dG áYôØàeh á«Ñ°ùædG ∫GhódG ¢†©H äÉ«æëæe º°SQ óæY óæY á∏°üàe ÒZ É¡fCG ÚM ‘ ,á∏°üàe äÉ«æëæŸG √òg ¢†©H ¿CG ܃°SÉ◊G óæY á∏°üàe ÒZ »¡a f (x) = x2- 1 ádGódG πãe øe •É≤ædG ¢†©H x -1 .ΩÉ≤ŸG QÉØ°UCG .º°SôdG πÑb ΩÉ≤ŸG QÉØ°UCG ójó– IQhô°V óqcCG :˃≤àdG -8 :øjQɪàdG πM ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG .20-A ,18-A ,13-A ,8-A ,5-A ,2-A áYô°ùdG ÚH ¥ôØdGh Ò¨àdG ä’ó©Ÿ º¡ª¡a øe ócCÉJ .º¡∏ªY øe ≥≤– .᫶ë∏dG áYô°ùdGh ᣰSƒàŸG :Ωƒ«dG ádCÉ°ùe -9 »àdG áæjóŸG ¤EG É¡k Lƒàe ÉM k ÉÑ°U á©°SÉàdG áYÉ°ùdG óæY ¬dõæe IQÉ«°S ≥FÉ°S ∑ôJ áYô°ùdÉH Gôk FÉ°S »≤H GPEG ¬fCG Ö°ùM .∫õæŸG øY 168 Km áaÉ°ùe ó©ÑJ ∫ó©Ã ¬JQÉ«°S áYô°S OGR GPEG ÉeCG áYÉ°S ™HQ Gôk NCÉàe π°ü«°ùa É¡°ùØf 48 Km/h .á«dÉ◊G ¬àYô°S óLhCG .áYÉ°S ™HQ πÑb π°ü«°ùa 8 Km/h :∫ƒ∏Mh äÉHÉLEG -10 1-1 ¢SQódG ¥É«°S ‘ øjQɪàdG äÉHÉLEG

Y x) f(

4 3

=

x+

1

X 2 3

y

=

x-

2

-2

(1) 128 ft/s (2) 160 ft/s (3) 0, 3

27

f (x) =

1-x x-1 x , x 1 1h f (x) = x , x $ 1 (CG) (4) 0 ,0 (Ü)

.¿ÉàjhÉ°ùàe ÚàjÉ¡ædG ¿C’ º©f (`L) (5) 0 # x2 cos lim x2 cos x"0

28

1 # x2 = x2 ; x2

1 =0 x2

1-2 ¢SQó∏d áj󫡪àdG øjQɪàdG äÉHÉLEG (1) 2 (2) (a) -2

(b) -1 (c) ájÉ¡f ’ (d) -1 (3) (a) 1 (b) 2 (c) ájÉ¡f ’ (d) 2 (4) (2x - 1) (x + 5) = 0 1 x = 2 ; x =- 5 (5) - x2 + 6x - 8 = 4 - x2 + 6x - 12 = 0 3 = 36 - 4 # 12 = 36 - 48 1 0

á«≤«≤M ∫ƒ∏M óLƒJ ’ (6) - x2 + 6x - 8 = c x2 - 6x + 8 + c = 0 3 = 36 - 4]8 + cg 1 0 1-c 1 0 9 1 8+c

∫ƒ∏M óLƒJ ’ c 2 1 GkPEG 1 - c 1 0 âfÉc GPEG

29

30

∫É°üJ’G 1-2 :±GógC’G -1 ,á∏°üàe ádGódG ¿ƒμJ å«M äGÎØdG ójó– øe ÖdÉ£dG øμªàj .á∏°üàe ádGO ≈æ©e º¡Øjh .ádGó∏d ∫É°üØf’G •É≤f AɨdEG øe ÖdÉ£dG øμªàj :Iójó÷G º«gÉØŸGh äGOôØŸG -2 .ájÉ¡ædG ∑ƒ∏°S êPɉ ,á∏°üàŸG ∫GhódG ,á£≤f óæY ∫É°üJ’G :πFÉ°SƒdGh äGhOC’G -3 .܃°SÉM ,᫪∏Y áÑ°SÉM ádBG :󫡪àdG -4 º¡«dEG Ö∏WG ºK f (x) = 2x - 3 ádGqódG º°SQ ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG f (x) =- x + 3 ; x # 2 :»∏j ɪc áaô©ŸG f ádGódG º°SQ f (x) = x + 1 ; x 2 2

º©f ?π°üàe ¤hC’G ádGódG º«≤à°ùe πg º¡dCÉ°SG ’ ?π°üàe á«fÉãdG ádGódG ‘ ≈æëæŸG πg :¢ùjQóàdG -5 ÊÉ«ÑdG º°SôdG ™Ñààd ¢UÉ°UQ º∏b ΩGóîà°SÉH ¢SQódG CGóÑJ ¿CG øμÁ .ábQƒdG øY º∏≤dG ™aQ ¿hóH Iôàa …CG ≈∏Y á∏°üàe ádGód GPEG ÜÓ£dG iód Éek ƒ¡Øe ∫É°üJ’G ∞jô©J ¿ƒμj ¿CG »¨Ñæj ∫É°üJ’G ø«H õ«ªàd ájÉæ©Hh É«k YGh øc .Qô≤ŸG Gòg ‘ ìÉéædG GhOGQCG (ÖfÉédG á«FÉæK ájÉ¡f øª°†àj …òdG) ∫ÉéªdG πNGO á£≤f óæY ájÉ¡f øª°†àj …òdGh) ∫ÉéªdG »àjÉ¡f »à£≤f ióMEG óæY ∫É°üJ’Gh .(ÖfÉ÷G Ió«Mh .¢SQódG Gòg ‘ ∫É°üJ’G ΩóY øe áØ∏àîe ´GƒfCG á°ûbÉæe …ôŒ ∫É°üJ’G ΩóY øe ´ƒf πc í«°VƒJ ó«ØªdG øe ¿ƒμj ±ƒ°S ¿CG »¨Ñæj .IQƒÑ°ùdG ≈∏Y »Ñjô≤J πμ°ûH hCG ᫪∏Y ádBG ΩGóîà°SÉH Gòg ∫ÓN ∫É°üJ’G ΩóY øe áØ∏àîªdG ´GƒfC’G äÉ«ª°ùe Ωóîà°ùJ .Qô≤ŸG

á∏ãeC’G ≈∏Y äɶMÓe ÜÓ£∏d º¡ªdG øe .á∏°üàŸG ∫Ghó∏d ájô°üH áeó≤e (1) ∫Éãe ôaƒj ¯ . x = 2 óæY á∏°üàe ô«Z ádGódG ¿CG ≈a ÖÑ°ùdG Gƒª¡Øj ¿CG ,É¡dÉ› •É≤f ™«ªL óæY á∏°üàŸG ádGódG ¿CG Iôμa (3) ∫Éãe í°Vƒj ¯ øμdh (∫Ééª∏d »ªàæJ ’) ∫É°üJG ΩóY á£≤f øª°†àJ ¿CG øμªj .É¡«ÑfÉL ≈∏Y áaô©e ádGódG

31

:§HôdG -6 ¢ûbÉfh ≈aÉ©e Ö∏b §«£îàd ÊÉ«H º°SQ QÉ°†MEG ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG Ö∏b §«£îàd ÊÉ«H º°SQ É°†jC k Gh ,•É≤ædG ™«ªL ∫É°üJG á«Ø«c º¡©e IógÉ°ûe º¡«dEG Ö∏WG hCG .∫É°üJ’G ΩóY •É≤f º¡©e ¢ûbÉfh ¢†jôe .äÉ«∏ª©dG ±ôZ ‘ PƒNCÉe Ö∏b §«£îJ :á©FÉ°T AÉ£NCG -7 ø«H ¥ôØdG Gƒaô©j ¿CG ‘ áHƒ©°U ÜÓ£dG ¢†©H óéj ób .á«aôW á£≤f óæY ∫É°üJ’Gh ∫ÉéªdG πNGO á£≤f óæY ∫É°üJ’G :˃≤àdG -8 .9-A ,7-A ,4-A ,1-A :øjQɪàdG πM ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG ∫É°üJ’G ≈æ©e Gƒª¡ØJ ób º¡fCG øe ócCÉJ .ÜÓ£dG πªY øe ≥≤– .∫É°üØf’G •É≤f ≈æ©e É°†jC k Gh ádGóq dG ≈æëæe ≈∏Y :Ωƒ«dG ádCÉ°ùe -9 áæjóŸG ∞«°UQ øe AõL ìÓ°UE’ áeRÓdG πª©dG ΩÉjCG OóY Ò¨àj ¿Éc GPEG .πª©dG Gò¡H ¿ƒeƒ≤j øjòdG ∫ɪ©dG OóY Ö°ùëH É«v °ùμY ɪa ,Éek ƒj 12 ∫ÓN ∞«°UôdG øe Ú©e AõL ìÓ°UE’ ¿ÓeÉY Ωõ∏j ? ΩÉjCG 4 ∫ÓN ᪡ŸG ΩÉ“E’ ΩRÓdG ∫ɪ©dG OóY ( y = kx ;∫ÉqªY 6 )

32

:∫ƒ∏M äÉHÉLEG -10 1-2 ¢SQódG ¥É«°S ‘ øjQɪàdG äÉHÉLEG (x - 2)( x - 3) x2 - 5x + 6 = lim ( - )( + ) 2 x 2 x2 - 4 x"2 x"2 x x-3 1 =lim x + 2 =- 4 = f]2g x"2

lim

;º©f (1)

.»FÉ¡f ∫É°üØfG É¡d ,’ (2) (CG) (3) Y f (x) =- x + 2 f (x) = 1

1 1 -1

2

3

X

-2

f (x

)=

2x

-1

-2 -1

x = 3 óæY á∏°üàe â°ù«d (Ü)

1-3 ¢SQó∏d áj󫡪àdG øjQɪàdG äÉHÉLEG

(1) Tx = 8, Ty = 3 (2) Tx = a - 1, Ty = b - 3

4 - 7 …hÉ°ùj π«ŸG (3) 2 3 …hÉ°ùj π«ŸG (4)

3 (5) y = 2 x + 6 7 25 (6) y =- 3 x + 3 3 19 (7) y =- 4 x + 4 4 8 (8) y = 3 x + 3 2 7 (9) y =- 3 x + 3 19 (10) b = 3

33

¢SɪŸG •ƒ£Nh ô«¨àdG ä’ó©e 1-3 :±GógC’G -1 ±ó¡H ≈æëæŸG π«e ∞jô©J ≥«Ñ£J ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj .∫ƒ«ŸG OÉéjEG §ÿGh ¢SɪŸG §N ä’OÉ©e OÉéjEG ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj .IÉ£©e á£≤f óæY ¢SɪŸG ≈∏Y …Oƒª©dG .ádGó∏d Ò¨àdG ∫ó©e OÉéjEG ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj :Iójó÷G º«gÉØŸGh äGOôØŸG -2 §N ,≈æëæe π«e ,≈æëæª∏d ¢Sɇ ,Ò¨àdG ∫ó©e ,Ò¨àdG §°Sƒàe .᫶ë∏dG áYô°ùdG ,≈æëæe ≈∏Y …OƒªY :πFÉ°SƒdGh äGhOC’G -3 .á∏≤æe ,܃°SÉM ,᫪∏Y áÑ°SÉM ádBG :󫡪àdG -4 f (x) = x + 2 ᪫≤à°ùŸG •ƒ£ÿG º°SQ ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG πc É¡©æ°üj »àdG ájhGõdG ¢SÉ«b øY º¡dCÉ°SG ºK f (x) =- x + 3 h OÉéjEG º¡«dEG Ö∏WG ºK ,»æ«°ùdG Qƒëª∏d ÖLƒŸG √ÉŒ’G ™e º«≤à°ùe . x πeÉ©e ™e ájhGR πc πX áfQÉ≤eh (tan) ájhGR πc πX :¢ùjQóàdG -5 ø«dÉãªdG èFÉàf ´ÉLôà°SG »g ¢SQódG Gòg ºjó≤àd ≥FGô£dG ióMEG ÜÓ£dG º¶©e ¿ƒμj ¿CG »¨Ñæj .(1-1) ¢SQódG ‘ (2h 1) ¢üëØd º¡©«é°ûJ »¨Ñæj ¬fEÉa ∂dòd ,zπ«ŸG{ IôμØd ÚcQóe .º¡JÉHÉLEG á«dƒ≤©e øe GhócCÉàj ≈c ∫Ghód á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG É k£ÑJôe Ék≤«Ñ£J ¢SQódG Gòg ‘ áeó≤ªdGh Ò¨àdG §°Sƒàe ôaƒj ≈∏Y ,äÉ≤à°ûŸÉH §ÑJôe É°†jC k G ƒgh .á«Ñ°ùædG ∫GhódG hCG äÉjÉ¡ædÉH .¢SQódG Gòg ‘ zá≤à°ûe{ áª∏c Ωóîà°ùf ’ ÉæfCG øe ºZôdG ¢SɪŸG •ƒ£N óLƒJ ∞«c ø«ÑJ ¿CÉH ¢SQódG ¢üî∏J ¿CG øμªj á£≤ædG óæY y = x2 + x ≈æëæe ≈∏Y ájOƒª©dG •ƒ£ÿGh .(-3, 6)

á∏ãeC’G ≈∏Y äɶMÓe ¿CG RôÑJ ¿CG ‘ ÖZôJ ób .ô«¨àdG §°Sƒàe Ωƒ¡Øe (1) ∫Éãe Ωó≤j ¯ á∏ãeCG »g (1-1) ¢SQódG ‘ áHƒ°ùëªdG ᣰSƒàŸG áYô°ùdG .Ò¨J äÉ£°SƒàŸ øe É«v Ñjô≤J √ôjó≤J øμªj Ò¨àdG §°Sƒàe ¿CG (2) ∫Éãe í°Vƒj ¯ .áeƒ∏©e ô«Z ádGódG IóYÉb âfÉc ƒdh ≈àM ,á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG ≈∏Y ∑ôëàJ ¿CG øμÁ á£≤f zQ{ ¿CG ßM’ ,(3) ∫Éãe ‘ ¯ :Iôμa .≈æëæŸG ≈∏Y áàHÉK á£≤f ¢ùμY ≈∏Y ∂dPh ,≈æëæŸG .¥É«°ùdG Gòg ‘ ádƒ≤©e Iôμa lim (™WÉ≤dG π«e) Q"P

34

:§HôdG -6 s = 1.86 t »g ïjôŸG ≈∏Y º°ùL …C’ ô◊G •ƒ≤°ùdG ádOÉ©e øe â£≤°S Iôî°U ¿CG ¢VÎØæd .ÊGƒãdÉH t h ΟÉH ¢SÉ≤J s å«M óæY Iôî°üdG áYô°S óLhCG .ïjôŸG ¢VQCG ≈∏Y 200m ´ÉØJQG . t = 1 sec 2

s (1 + h) - s (1) V (t) = hlim "0 h 1.86 (1 + h) 2 - 1.86 (1) 2 = hlim = 3.72 "0 h 3.72 m/ sec :Iôî°üdG áYô°S ¿ƒμàa

:á©FÉ°T AÉ£NCG -7 π«e ÜÉ°ùM óæY AÉ£NCG ‘ ´ƒbƒ∏d ¿ƒ°Vqô©e ÜÓ£dG øe ô«ãc ¿CG º¡d óqcCG .≈æëæe ≈∏Y ¢SɪŸG π«e OÉéjEG óæY hCG ≈æëæŸG …C’ ¢ù«dh ≈æëæŸG ≈∏Y IOƒLƒe á£≤æd »g π«ŸG IóYÉb ΩGóîà°SG .≈æëæŸG ≈∏Y IOƒLƒe ÒZ á£≤f :˃≤àdG -8 .9-A ,7-A ,5-A ,2-A :øjQɪàdG πM ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG ≈æ©e Gók «L Gƒª¡a ób º¡fCG øe ócCÉJh ÜÓ£dG πªY øe ≥≤– äÉbhCG ‘ áYô°ùdG ≈∏Y ≥«Ñ£àdGh ≈æëæŸG π«eh Ò¨àdG ä’ó©e .IOófi :Ωƒ«dG ádCÉ°ùe -9 ¬°ùØf âbƒdG ‘h B áæjóe ¤EG Ék¡éàe A áæjóe øe QÉ£b ≥∏£fG áYô°S ∫ó©e ≠∏Ñj .A áæjóe ¤EG Ék¡éàe B áæjóe øe ôNBG QÉ£b ≥∏£fG ÚH áaÉ°ùŸG ≠∏ÑJh ôNB’G áYô°S ∫ó©e øe 3 øjQÉ£≤dG óMCG 2 áYô°S ∫ó©e ¿ƒμj ºμa ÚàYÉ°S ó©H É«≤àdG GPEG . 540 km ÚàæjóŸG ?QÉ£b πc É¡©£b »àdG áaÉ°ùŸG Éeh ?QÉ£b πc 108 km 216 km

; 162 km ; 324 km

:∫ƒ∏Mh äÉHÉLEG -10 1-3 ¢SQódG ¥É«°S ‘ øjQɪàdG äÉHÉLEG

(1)

f (5) - f (0) 2 (e - 1) = 5-0 5 - 5 :π«ŸG (2)

f (2 + h) - f (2) Ty 5 = h - 1; h Tx = 5 lim h - 1 =- 5 h"0 y + 4 =- 5 (x - 2) ; :¢SɪŸG ádOÉ©e y =- 5x + 6 1 (CG) (3) 2 a

b 1 , 1 l (Ü) 16 4

35

™°VƒdG øe ÉkÑjôb ¢SɪŸG íÑ°üjh ôØ°üdG øe π«ŸG ÜÎ≤j (`L) .»≤aC’G (4) y =- 4x + 18 (5) 128 ft/s

IóMƒdG QÉÑàNG ¤hC’G IóMƒdG QÉÑàNG äÉHÉLEG (1) (a) 2 (b) - 1 (c) óLƒj ’ (d) - 1 (2) - 57 (3) (a) (4) lim (5 - x2) = lim (5 + x2) = 5; x"0

x"0

1 5 - x2 # 5 - x2 cos x # 5 + x2 1 lim b5 - x2 cos x l = 5 x"0

36

¿PEG

»FÉ¡f ∫É°üØfGh x =- 3 óæY ¬æe ¢ü∏îàdG øμÁ ∫É°üØfG (5) . x = 3 óæY (6) a = 2 (7) Y 2 1

X

-2 -1 -1

1 2 3

-2

(8) - 5 24 (CG) (9) y = 24x - 48 (Ü) 1 1 y =- 24 x + 48 6 (`L) (10) 254.4 in/s

37

38

39

äÉ≤à°ûŸG

IóMƒdG

2

¤EG IóMƒdG √òg ânª°ùou b ,´ƒ°VƒŸG »æeõdG ∫hó÷G ™e áfhôà ≈°TɪàJ »μd :»JB’G ƒëædG ≈∏Y ¢ShQO 5 (34-38 ¢U) ádGO á≤à°ûe 2-1 øe á≤à°ûe ,π°VÉØà∏d á∏HÉb ádGO ,ádGódGá≤à°ûe :á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üŸG .IóMGh á¡L

(39-41 ¢U) (π°VÉØàdG) ¥É≤à°T’G á«∏HÉb 2-2 .¥É≤à°T’Gá«∏HÉb :á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üŸG

(42-49 ¢U) ¥É≤à°T’G óYGƒb 2-3 ,¢ù°SCÓd iƒ≤dG IóYÉb ,áàHÉãdG ádGódG á≤à°ûe :á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üŸG äGP äÉ≤à°ûe ,âHÉK Oó©H Üô°†dG IóYÉb IóYÉb ,ìô£dGh ™ª÷G IóYÉb ,É«∏Y ÖJQ .Üô°†dG

(50-56 ¢U) á«ã∏ãŸG ∫GhódG äÉ≤à°ûe 2-4 .ΩɪàdG Ö«Lh Ö«÷G ádGO á≤à°ûe :á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üŸG

(57-65 ¢U) á∏°ù∏°ùdG IóYÉb 2-5 ¥É≤à°T’G ,á∏°ù∏°ùdG IóYÉb ,ádGódG ádGO á≤à°ûe :á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üŸG äÉ«æëæŸG π«e ,πNGódG ¤EG êQÉÿG øe .»æª°†dG ¥É≤à°T’G ,ájÎeGQÉÑdG ?ÜÓ£dG º∏©à«°S GPÉe ?GPÉŸh ¤hC’G áÑJôdG øe ádGódG á≤à°ûe IóMƒdG √òg ‘ ÜÓ£dG ±ô©àj ∫GhódG äÉ≤à°ûe ±ô©àj ¬fCG ɪc ,É«∏©dG ÖJôdG äGP äÉ≤à°ûŸGh .Úà¡L øe hCG IóMGh á¡L øe á≤à°ûŸGh á∏°ù∏°ùdG IóYÉbh á«ã∏ãŸG IóMƒdG ´hô°ûe :´hô°ûŸG ¢VôY º¡d ìô°TG .¢ù£¨dG øY äÉeƒ∏©e º¡jód âfÉc GPEG ÜÓ£dG ∫CÉ°SG í£°S ¤EG ¢SÉ£¨dG ó©°üj ÉeóæY ójGõàj ÚàFôdG ‘ AGƒ¡dG ºéM ¿CG ∫ƒM ájRɨdG ™«bÉ≤ØdG ¿EÉa IÒÑc áYô°ùH ¢SÉ£¨dG ó©°U GPEG .AÉŸG .äÓ°†©dG ‘ ÉÑk ∏°üJ çó– º°ù÷G

40

ºéM ÚÑj AÉŸG â– áaÉ°ùª∏d ÊÉ«ÑdG º°SôdG ¿CG ∞«c ÜÓ£dG ∫CÉ°SG .ÚàFôdG ‘ AGƒ¡dG :º««≤àdG º∏°S á≤«bOh áë°VGh á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG .áë«ë°U É¡∏c äÉHÉ°ù◊G -4 .á∏eÉch áë°VGh äÉMhô°ûdG .äGÒ¨àŸG ÚH ábÓ©dG øq«ÑJh .≥«bOh í°VGh ≥°ü∏ŸG É¡ª¶©e ‘ á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG .áë«ë°U É¡ª¶©e ‘ äÉHÉ°ù◊G -3 ÒZ äÉMhô°ûdG .áØ«ØÿG AÉ£NC’G ¢†©H ™e á≤«bOh áë°VGh .ábódG ¢†©H ¬°ü≤æj ≥°ü∏ŸG .á∏eÉc ÒZ á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG .IOó©àe AÉ£NCG ≈∏Y …ƒà– äÉHÉ°ù◊G -2 .äÉeƒ∏©e ¬°ü≤æj hCG í°VGh ÒZ ≥°ü∏ŸG .á≤«bO .á°übÉf hCG á∏eÉc ÒZ ´hô°ûŸG Gòg ô°UÉæY º¶©e -1 :IóMƒdG ´hô°ûe äÉHÉLEG Y

(qt) ºé◊G

0

12

33

6

66

4

99

3

132

2.4

12

d P = 33 + 1

10 (qt) ºé◊G

(ft) ≥ª©dG

8 6 4 2

X

0

33

66

99

132

165

(ft) ≥ª©dG

165

2 Y

(atm) §¨°†dG

(qt) ºé◊G

1

12 10

12

1ft = 12qt

2

6

3

4

(qt) ºé◊G

8 6 4 2

4

3

6

2

0

X 1

2

4

5

6

(atm) §¨°†dG

:áæμ‡ áHÉLEG AGƒ¡dG QÉ°ûàfG Gƒ©æª«d ºgOƒ©°U á∏«W ¢ùØæàdG ‘ ¿ƒ°SÉ£¨dG ôªà°ùj .iPC’G ‘ ÖÑ°ùàdGh º¡«àFQ ‘ (qt) ºé◊G

(atm) §¨°†dG

(ft) ≥ª©dG

60

1

0

46

1.30

10

37.4

1.61

20

30

2

33

27.1

2.21

40

23.9

2.51

50

20

3

66

15

4

99

41

ádGO á≤à°ûe 2-1 :±GógC’G -1 ΩGóîà°SÉH äÉ≤à°ûŸGh ∫ƒ«ŸG OÉéjEG ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj .á≤à°ûŸG ∞jô©J ≈∏Y GOk ɪàYG f ádGódG ≈æëæe º°SQ ≈`∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj.¢ùμ©dÉHh f l ádGódG ≈æëæe :Iójó÷G º«gÉØŸGh äGOôØŸG -2 , f l ádGódG ≈æëæeh f ádGódG ≈æëæe ,á≤à°ûŸG RƒeQ ,á≤à°ûŸG .IóMGh á¡L øe ¥É≤à°T’G :πFÉ°SƒdGh äGhOC’G -3 .¢UÉ°UQ º∏b ,܃°SÉM ,᫪∏Y áÑ°SÉM ádBG :󫡪àdG -4 :OÉéjEG ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG 3x2 - 5x + 2 2 x " 1 x - 5x + 4

(a) lim

x -3 (b) lim x - 9 x"9 (c) lim

x"0

x+4-2 x

1 -3 1 6 1 4

:¢ùjQóàdG -5 º°SôdG Ëó≤àH ºàJ ¢SQódG Gòg ájGóÑd Ió«ØŸG ≥FGô£dG ióMEG ¿EG ájÉ¡f øe ÜÎ≤j ™WÉ≤dG •ƒ£N π«e ¿CG ∞«c ¿É«Hh ,ádGód »fÉ«ÑdG .¢SɪªdG §N π«e ôXÉæJ ΩGóîà°SÉH äÉ≤à°ûŸG ¿hópLƒjo ∞«c ÜÓ£dG º∏©àj ¿CG »¨Ñæj :ø«à∏Môe ≈∏Y Gòg πªY øμªjh .∞jô©àdG . x = a áæ«©e á£≤f óæY á≤à°ûŸG OÉéjEG (1) .x áeÉY á£≤f óæY á≤à°ûŸG OÉéjE’ á«∏ª©dG º«ª©J (2) .äÉ≤à°ûªdG áHÉàμd áØ∏àıG ¥ô£dG ¢ûbÉæJ ¿CG »¨Ñæj óæY .IóMGh á¡L øe äÉ≤à°ûŸG á°ûbÉæà ¢SQódG AÉ¡fEG øμÁ πãe áYôØàe IóYÉ≤H áaô©e ádGód IóMGh á¡L øe äÉ≤à°ûe á°ûbÉæe QÉ°ù«dG á¡L øe äÉ≤à°ûŸG ᪫b óLƒJ ∂fCG óucCG ,(5) ∫Éãe »a ádGódG .(ø«àdGód ¢ù«dh) IóMGh ádGód Úª«dG á¡L øeh

42

:§HôdG -6 Ö£≤dG ‘ ÖdÉ©ãdG OóYh ÖfGQC’G OóY ∫hÉæàj 8-A ºbQ øjôªàdG .´ƒf πc πã“ »àdG äÉ«æëæŸG ÚH ábÓ©dGh óªéàŸG :á©FÉ°T AÉ£NCG -7 »a ÜÓ£dG ™≤j Ée ÉkÑdÉZ ,∞jô©àdG ΩGóîà°SÉH äÉ≤à°ûe OÉéjEG óæY ÉeóæY .¥ôØdG ᪰ùb œÉæH ¢UÉÿG §°ùÑdG §«°ùÑJh º««≤J óæY AÉ£NCG ɪk FGO ¿ƒμJ (h) ¿EÉa ,á«Ñ°ùf ádGO hCG OhóM Iô«ãc f (x) ¿ƒμJ .¬£«°ùÑJ iôL …òdG QGó≤ª∏d/ kÓeÉY :˃≤àdG -8 ,6-A ,5-A ,4-A ,2-A :øjQɪàdG πM ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG Gƒª¡ØJ ób º¡fCG øe ócCÉJh ÜÓ£dG πªY øe ≥≤– .8-A ,7-A . f l h f äÉ«æëæe ÚH ábÓ©dG :Ωƒ«dG ádCÉ°ùe -9

DC 2 DB = 3 :Éæjód . F óæY AB ™£≤j DE h AC ∞°üàæe E AF AB :᪫b óLhCG AF 2 AB = 5 :ó‚h AB `d Éjk RGƒe É v£N C øe òNCÉf

:∫ƒ∏Mh äÉHÉLEG-10 2-1 ¢SQódG ¥É«°S »a øjQɪàdG äÉHÉLEG f ] xg - f ]2g x-2 x"2 1 1 = lim xx - 22 = ...

(1) f l ]2g = lim

x"2

1 f l ]2g =- 4 f ] x + hg - f] xg h h"0 ] x + hg2 - x2 = lim = .... h h"0 f l ] xg = 2x

(2) f l ] xg = lim

á∏ãeC’G ≈∏Y äɶMÓe πeÉY OÉéjEG ¥É≤à°T’G Ö∏£àj . f (x) = x ádGódG á≤à°ûe ᪫b óLƒj :(1) ∫Éãe »a .ájÉ¡ædG OÉéjEGh ô°ùμdG §«°ùÑàd ΩÉ≤ŸGh §°ùÑdG ÚH ∑ΰûe . f l h f øe πμd á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG ÚH ábÓ©dG Évjô°üH ÚÑj (3) ∫Éãe .É¡à≤à°ûe áaô©ªH ádGód »fÉ«ÑdG º°SôdG á«Ø«c ÚÑj (4) ∫Éãe .áYôØàe IóYÉb ‘ äÉfÉ«H øe Iô°TÉÑe äÉ≤à°ûe º«b ÜÉ°ùM á«Ø«c ÚÑj (5) ∫Éãe -

á«aÉ°ûμà°SG äÉ©°SƒJ .(2.3) πμ°T »a á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG ï°ùæd ábQhh ¢UÉ°UQ º∏b Ωóîà°SG :(1) ±É°ûμà°SG Ωóîà°SG ºK .á«dÉàdG á°ùªÿG ΩÉjC’G π«ãªàd f (x) ádGó∏d Ékæμ‡ GkQGôªà°SG πãÁ É k££îe º°SQG Ωóîà°SG . f l (x) á≤à°ûª∏d ôXÉæŸG QGôªà°SÓd »fÉ«ÑdG º°Sô∏d (3) ∫Éãe »a á≤jô£dG √òg .á°ùªîdG ΩÉjC’G Iôàa ióe ≈∏Y IôØ◊G »a Aɪ∏d çóM Ée ∞°Uƒd á«fÉ«ÑdG ∂eƒ°SQ

43

(3)

Y 3 2 1

-1 0

y=f(x)

1 2 3

X

(0, 1) á£≤ædG ‘ á∏°üàe ádGO f GkPEG 3 √Qób âHÉK π«e ¬d f ádGó∏d ÊÉ«ÑdG º°SôdG x = 0 QÉ°ùj ≈∏Y º«≤à°ùª∏d mRGƒe h (0, 1) á£≤ædÉH ôÁ 3 ¬∏«e º«≤à°ùe ƒg y = 3x

GkPEG 1 √Qób âHÉK π«e ¬d f ádGó∏d ÊÉ«ÑdG º°SôdG x = 0 ÚÁ ≈∏Y y = x º«≤à°ùª∏d RGƒeh (0, 1) á£≤ædÉH ôÁ 1 ¬∏«e º«≤à°ùe ƒg » F Ç( 4 ) ÇF ó Ñ (4) f (x) = x2 - 4

f (x) =- x2 + 4

f (x) = x2 - 4

-2 2 2 ]- 2 + hg - 4 - 0 f l ]- 2-g = lim h h"0 2 h - 4h = lim h =- 4 h"0 -]- 2 + hg2 + 4 - 0 f l ]- 2+g = lim h h"0 2 - h + 4h = lim =+ 4 h h"0 -

-

+

+

x =- 2 óæY á≤à°ûe óLƒJ ’ -]2 + hg2 + 4 - 0 h h"0 - h 2 - 4h = lim =- 4 h h"0 ]2 + hg2 - 4 - 0 f l (2+) = lim h h"0 2 h + 4h = lim h =4 h"0 f l (2-) = lim

-

-

-

+

x = 2 óæY á≤à°ûe óLƒJ ’ 2-2 ¢SQó∏d áj󫡪àdG øjQɪàdG äÉHÉLEG º©f (1) ’ (2) º©f (3) º©f (4) ’ (5) 3.2 (6) 5 (7)

44

(π°VÉØàdG) ¥É≤à°T’G á«∏HÉb 2-2

:±GógC’G -1 ¿ƒμJ ádGódG ¿EG å«M •É≤ædG OÉéjEG ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj ä’É°üØf’Gh ÜÉ«fC’Gh ¿ÉcQC’G ÚH õ««ªàdGh ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ÒZ .äÉ«æëæŸG ≈∏Y ájOƒª©dG äÉ°SɪŸGh äÉ≤à°ûª∏d á«Ñjô≤àdG º«≤dG OÉéjEG ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj .É«v fÉ«Hh É«v HÉ°ùM :Iójó÷G º«gÉØŸGh äGOôØŸG -2 .’É°üJG k »£©j ¥É≤à°T’G ,Ée á£≤f óæY á≤à°ûŸG OƒLh ΩóY :πFÉ°SƒdGh äGhOC’G -3 .܃°SÉM ,᫪∏Y áÑ°SÉM ádBG :󫡪àdG -4 f (x) = x2 - 4 x + 3 :ádGódG øμàd f (x) = x2 - 4x + 3 x 2 0 πμd f (x) ∞jô©J óLhCG (CG) f (x) = x2 + 4x + 3 x 1 0 πμd f (x) ∞jô©J óLhCG (Ü) f (0+) , f (0-) , f (0) :óLhCG (`L) f (0+) = f (0-) = f (0) = 3 ?èàæà°ùJ GPÉe x = 0 óæY á∏°üàe ádGódG GkPEG f (x) - f (0) x-0 x"0 f (x) - f (0) lim- x - 0 x"0 lim+

(- 4) :óLhCG (O) (4) - 4 ! 4 ?èàæà°ùJ GPÉe

.É¡°ùØf ájÉ¡ædG É¡d ¢ù«d ‹ÉàdÉHh :¢ùjQóàdG -5 ¿CG ≈æ©e øY ÊÉ«H º°SQ á°ûbÉæà ¢SQódG Gòg Ωó≤J ¿CG ∂æμÁ IójóY á∏ãeCG p§YCG .á£≤f óæY ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ÒZ hCG á∏HÉb ádGO ¿ƒμJ äÉ°SɪªdGh (Ú°Sƒb AÉ≤àdG •É≤f) ÜÉ«fC’Gh ¿ÉcQC’G í°Vƒàd . ∫É°üJ’G ΩóYh á«°SCGôdG

45

:§HôdG -6 .óLƒj ’

:á©FÉ°T AÉ£NCG -7 É¡d ¿ƒμj ¿CG »a f l (a) π°ûØJ ≈àe ÜÓ£dG ±ô©j ¿CG »¨Ñæj øμàd ,Óãªa k .OƒLh 2x + 1, x # 2 f (x) = * 1 2 2 x + 4, x 2 2 f l (2) ¿EÉa ∂dòd , x = 2 óæY á∏°üàe â°ù«d f ¿CG ßM’

.OƒLh É¡d ¢ù«d óæY á≤à°ûŸG óLƒJ ≈àe áaô©e π©éJ áãjó◊G äÉ«æ≤àdG ¿CG óucCG .≈°†e âbh …CG øe ádƒ¡°S ÌcCG ,á£≤f :˃≤àdG -8 .8-A ,5-A ,3-A ,1-A øjQɪàdG π q M ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG ¥É≤à°T’G ≈æ©e Gƒª¡a ób º¡fCG øe ócCÉJh ÜÓ£dG πªY øe ≥≤– .áæ«©e á£≤æd QÉ°ù«dG hCG Úª«dG á¡÷ :Ωƒ«dG ádCÉ°ùe -9

. A ‘ ájhGõdG ºFÉb ƒg ABC å∏ãŸG ¿CG âÑKCG AB2 = 4 + 4 = 8 AC 2 = ]2g2 = 4 BC 2 = ^2 3 h = 12 2

:¿CG ó‚ AB2 + AC 2 = 8 + 4 = 12 BC 2 = 12 AB2 + AC 2 = BC 2

. A ‘ ájhGõdG ºFÉb å∏ãe ƒg ABC :GkPEG

46

:∫ƒ∏Mh äÉHÉLEG-10 2-2 ¢SQódG ¥É«°S »a øjQɪàdG äÉHÉLEG (1) f] xg =- x2 + 1

f (x) = x2 - 1

f] x g = x2 - 1

-1

1

x = 1 h x =- 1 ‘ ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ÒZ f

:¿C’ f l (- 1-) =- 2; f l (- 1+) = 2 f l (1-) =- 2; f l (1+) = 2

Y

1

1

X

-1

(2) f ] x g = 2x + 1

f] xg = 6x - 1 1 2 1 lim f (x) = f ( 2 ) = 2

x"

12

1 lim f (x) = f ( 2 ) = 2

x"

1+ 2

1 x = 2 óæY á∏°üàe f GkPEG 11+ f l b 2 l = 2; f l b 2 l = 6 1 x = 2 óæY ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ÒZ f GkPEG 2-3 ¢SQó∏d áj󫡪àdG øjQɪàdG äÉHÉLEG (1) (a) 7 (b) 7 (c) 7 (d) 0 1 (2) (a) r (b)

-r x2

47

¥É≤à°T’G óYGƒb 2-3 :±GógC’G -1 OÉéjE’ π°VÉØàdG óYGƒb ΩGóîà°SG ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj .É«∏©dG ÖJôdG äÉ≤à°ûe ɡ檰V øeh ∫GhódG äÉ≤à°ûe :Iójó÷G º«gÉØŸGh äGOôØŸG -2 ,í«ë°U OóY n å«M x n á≤à°ûe ,᪰ù≤dG œÉfh ¥ôØdGh ™ª÷Gh Üô°†dG á≤à°ûe .É«∏©dG ÖJôdGh á«fÉãdG áÑJôdG øe á≤à°ûŸG :πFÉ°SƒdGh äGhOC’G -3 .܃°SÉM ,᫪∏Y áÑ°SÉM ádBG :󫡪àdG -4 :ájÈ÷G ÒHÉ©àdG πeGƒY óLhCG (a) x2 - y2 (b) x3 - y3 (c) x4 - y4

(x - y) (x + y) (x - y) (x2 + xy + y2) (x - y) (x3 + x2 y + xy2 + y3)

(d) x5 - y5

(x - y) (x4 + x3 y + x2 y2 + xy3 + y4)

:¢ùjQóàdG-5 .á«£N ∫GhO äÉ≤à°ûe á°ûbÉæe »g ¢SQódG Gòg AóÑd ≥FGô£dG ióMEG á∏ãeCG »g èFÉàædGh ,á°ûbÉæªdG √òg ádƒ¡°ùH ÜÓ£dG º¡Øj ¿CG »¨Ñæj .áë«ë°U (iƒ≤dG) ¢ù°SC’G IóYÉb ¿CG ¿É«Ñd Ió«L ¥É≤à°TG ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj ¿CG »¨Ñæj ,¢SQódG Gòg ájÉ¡æH .á«Ñ°ùædG ∫GhódGh Ohó◊G äGÒãc ∫GhódG πc »°SÉ°SCGh º¡e ôeCG áë«ë°üdG É¡JÉeGóîà°SGh ¥É≤à°T’G óYGƒb ºt∏©n nJ »a ÖZôJ ób .äÉ≤à°ûŸG äÉ≤«Ñ£J á«∏ªY ∂dP »a Éà ,™Ñàj ɪd :ôcòà∏d áæ«©c á«JB’G IóYÉ≤dG ÜÓ£dG º∏©J ìGÎbG §°ùÑdG = ( ----- ) π°VÉØJ ΩÉ≤ŸG ΩÉ≤ŸG π°VÉØJ * §°ùÑdG - §°ùÑdG π°VÉØJ * ΩÉ≤ªdG ---------------------------ΩÉ≤ªdG ™Hôe .(á≤à°ûe »æ©j π°VÉØJ å«M)

48

:§HôdG -6 :ádOÉ©ŸÉH ÉÑk dÉZ ≈£©j AGhódG øe áYô÷ ¿É°ùfE’G º°ùL π©a OQ l ᫪c M h áàHÉK ᫪c c 2 0 å«M R = M2 b 2c - M 3

¿EÉa ΩódG §¨°V ‘ GÒ k ¨J π©ØdG OQ ¿Éc GPEG .ΩódG ‘ á°üટG AGhódG .≥ÑFR Ϊ«∏∏ŸÉH ¢SÉ≤J R ¢SÉ≤J R ¿EÉa IQGô◊G áLQO ‘ GkÒ¨J π©ØdG OQ ¿Éc GPEG ÉeCG .äÉLQódÉH dR AGhód º°ù÷G á«°SÉ°ùM ÉæaôY ób ¿ƒμf dM π°VÉØàdG ó‚ ÉeóæYh

.Ú©e :á©FÉ°T AÉ£NCG-7 óYGƒb ¿ƒeóîà°ùj ÉeóæY AÉ£NC’G øe ô«ãc »a ÜÓ£dG ™≤j .äÉHÉLE’G §«°ùÑJ »ah óYGƒ≤dG ≥«Ñ£J »a ¥É≤à°T’G :˃≤àdG -8 ,9-A ,7-A ,4-A ,1-A øjQɪàdG πM ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG dy dx ≈æ©Ÿ º¡ª¡a øe ócCÉJh ÜÓ£dG πªY øe ≥≤– .14-A d2 y . 2 h dx

:Ωƒ«dG ádCÉ°ùe -9 …ƒ∏Y AÉ£Z ¿hóH áÑ∏©d êPƒ‰ ™æ°U á°ù°SDƒe ÖMÉ°U OGQCG øªK ≠∏Ñj . 4 dm3 É¡ªéM ¿ƒμj å«ëH ,πμ°ûdG á©Hôe É¡JóYÉb IóYÉ≤dG ™∏°V ∫ƒW x Èà©æd . 1 dm2 πμd ɪk gQO 20 ™«æ°üàdG IOÉe áØ∏μdG √òg óLhCG ºK áÑ∏©dG áØ∏c x ád’óH óLhCG .áÑ∏©dG ´ÉØJQG h h . x = 20 cm âfÉc GPEG 320 C] xg = 20x2 + x x = 2 dm »£©J x = 20 cm C] xg = 240 AED

49

:∫ƒ∏Mh äÉHÉLEG -10 2-3 ¢SQódG ¥É«°S ‘ øjQɪàdG äÉHÉLEG (1) (a) 0 (b) 0 (c) 0 du (2) dx = 15x2 - 8x

:á«≤aC’G äÉ°SɪŸG (3) dy 1 2 dx = 3x + 2x - 1 = 0 & x =- 1; x = 3 1 32 ^- 1, 0h; b 3 , - 27 l

:»g ≈æëæŸG ≈∏Y •É≤ædG

(4) (a) 3]2x + 1g + 2]3x - 2g = ... (b) 3x2 (x2 - 4) + 2x] x3 + 1g = ... (c) 8x] x + 6g + 4x2 (1) = ... (5) f l ] xg =

3 1 & f l ]1 g = 3 ] x + 2g2

:¢SɪŸG ádOÉ©e 1 1 1 y = 0 + 3 ] x - 1g & y = 3 x - 3 (6) f l ] xg =

-2 x3

(7) f l ] xg = 5x4 - 12x3 + 14x - 4 f ''] xg = 20x3 - 36x2 + 14 f '''] xg = 60x2 - 72x f (4 )] xg = 120x - 72 -6 1 2 ; f ''] xg = 3 ; f '''] xg = 4 x x2 x - 120 ^ 24 f (4)] xg = 5 ; f (5)] xg = x ! 0h x6 x

(8) f l ] xg =-

50

2-4 ¢SQó∏d áj󫡪àdG øjQɪàdG äÉHÉLEG 3r (1) 4 . 2.356 306 % (2) b r l . 97.403% 3 (3) 2 (4) cos a = 0 2 (5) sin a = ! 2 cos h πªcCGh 11 + + cos h ‘ Üô°VG (6) (7) y = 12x - 35

51

á«ã∏ãŸG ∫GhódG äÉ≤à°ûe 2-4 :±GógC’G -1 ∫Ghó∏d π°VÉØàdG óYGƒb ΩGóîà°SG ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj .á«°SÉ°SC’G á«ã∏ãŸG :Iójó÷G º«gÉØŸGh äGOôØŸG -2 . tan x ádGódG á≤à°ûe , cos x ádGódG á≤à°ûe , sin x ádGódG á≤à°ûe :πFÉ°SƒdGh äGhOC’G -3 .܃°SÉM ,᫪∏Y áÑ°SÉM ádBG :󫡪àdG -4 lim

h"0

]cosh - 1g ]cos h - cos 0g = lim h h h"0 h h - 2 sin 2 sin 2 = lim h h"0

h sin 2 h =- lim h : lim sin 2 h"0 h"0 2 =- 1 # 0 = 0 sin x lim x = 1 :¿CG ɪ k ∏Y x"0

:¢ùjQóàdG-5 Gƒ∏ªμj ¿CG ÜÓ£dG ≈dEG Ö∏£J ¿CÉH ¢SQódG Gòg CGóÑJ ¿CG ∂æμÁ äÉ≤à°ûe óYGƒb Gƒ≤Ñ£j ¿CÉH ÜÓ£∏d íª°ùj …òdGh ,(1) ∫Éãe ¿CG »a ÖZôJ ób ìô°ûdG Gò¡H É kWÉÑJQG .ΩɪàdG Ö«Lh Ö«÷G ∫GhO iôNCG Ékª«bh h = 0.001 πãe h `d IÒ¨°U Ékª«b ÜÓ£dG ™°†j :¥ôØdG ᪰ùb èJÉæd »fÉ«ÑdG º°SôdG Gƒª°Sôj ¿CGh ô¨°UCG ≈æëæe ÜÓ£dG ±ô©j ¿CG »¨Ñæj . sin (x + h) - sin x h . y = cos x ,Iô°TÉÑe á≤à°ûŸG ∞jô©J øe É¡àægôH ºàj sin x ¥É≤à°TG IóYÉb sin h lim h = 1 ɪg Úà«°SÉ°SCG ÚàjÉ¡f ΩGóîà°SÉH h"0 ¥É≤à°TG IóYÉb ≈∏Y ∫ƒ°ü◊G øμÁ . lim (cos hh) - 1 = 0 h h"0 ø«fGƒ≤d º¡ªdG QhódG RÈJ ¿CG ‘ ÖZôJ ób . á∏Kɇ á≤jô£H cos x √òg »a cos (a + b) h sin (a + b) »àdÉM »a ÚàjhGR ´ƒªée .(π°VÉØàdG) äÉbÉ≤à°T’G á«°SÉ°SC’G ™HQC’G á«ã∏ãŸG ∫GhódG (π°VÉØJ) ¥É≤à°TG óYGƒb óYGƒbh äÉ≤HÉ£àªdG ΩGóîà°SÉH ádƒ¡°ùH ¢Vô©J ¿CG øμÁ iôNC’G .ΩɪàdG Ö«Lh Ö«÷G ∫GhO ¥É≤à°TG äÉ≤à°ûe ¢Vô©j ∫hóL Ëó≤àH ¢SQódG ¢üî∏J ¿CG ∂æμÁ ÉkbôW Gƒ°ûbÉæj ¿CG ÜÓ£dG ≈dEG Ö∏WG .á«°SÉ°SC’G á«ã∏ãŸG ∫GhódG .äÉ≤à°ûªdG √òg ôcòàd áØ∏àfl

52

:á∏ãeC’G ≈∏Y äɶMÓe Ö«÷G ∫GhO äÉ≤à°ûe ΩGóîà°SG á«Ø«c ÜÓ£∏d (1) ∫ÉãªdG ÚÑj .É¡ª∏©J ≥HÉ°ùdG ¥É≤à°T’G óYGƒb ÖfÉL ¤EG ΩɪàdG Ö«Lh :§HôdG -6 .óLƒj ’ :á©FÉ°T AÉ£NCG-7 á«ã∏ãŸG äÉ≤HÉ£àŸG kCÉ£N ¿ƒ≤Ñ£j hCG ÉkfÉ«MCG ÜÓ£dG ≈°ùæj ´ƒª› ,¢SQƒZÉã«a äÉ≤HÉ£àe á©LGôe »a ÖZôJ óbh .á«°SÉ°SC’G ,܃°SÉM hCG á«fÉ«H áÑ°SÉM ΩGóîà°SG óæY .ájhGõdG ∞°üf ,ÉjGhõdG äGÒÑ©J ∫ÉNOEG hCG ¿ÉjOGôdG ¢SÉ«≤e ΩGóîà°SG ÉkfÉ«MCG ÜÓ£dG ≈°ùæj . ]cos xg2 IQƒ°üH cos2 x πãe

:˃≤àdG -8 .13-A ,9-A ,6-A ,2-A øjQɪàdG πM ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG .á«ã∏ãŸG ∫GhódG ¥É≤à°T’ º¡ª¡a øe ócCÉJh ÜÓ£dG πªY øe ≥≤– :Ωƒ«dG ádCÉ°ùe -9 ¬dƒW ≠∏Ñjh 3x4 - 2x3 + 9x2 + 6x - 8 π«£à°ùe áMÉ°ùe ≠∏ÑJ .π«£à°ùŸG Gòg §«fi óLhCG . x2 - x + 4 :π«£à°ùŸG ¢VôY 3x4 - 2x3 + 9x2 + 6x - 8 = 3x2 + x - 2 x2 - x + 4

:π«£à°ùŸG §«fi 2^ x2 - x + 4h + 2^3x2 + x - 2h = 8x2 + 4

53

:∫ƒ∏Mh äÉHÉLEG-10 2-4 ¢SQódG ¥É«°S ‘ øjQɪàdG äÉHÉLEG (1) (a) 2 sin x cos x (b) - 2 sin x cos x cos x + x sin x (c) cos2 x 1 (d) ]sin x + cos xg2 cos x 1 1 (2) y = sin x & yl =- 2 =- sin x cot x sin x cos x cos2 x + 1 1 y'' = 2 cot x + 3 = sin3 x sin x sin x 2-5 ¢SQó∏d áj󫡪àdG øjQɪàdG äÉHÉLEG (1) sin ] x2 + 1g (2) sin ]49x2 + 1g x2 + 1 (3) sin b 7x l (4) g^ f (x)h (5) g 7 h^ f] xghA (6) h7 g]f ]x ggA (7) f 6 h^h] xgh@ (8) f 7 g^h] xghA

54

á∏°ù∏°ùdG IóYÉb 2-5 :±GógC’G -1 .á∏°ù∏°ùdG IóYÉb ΩGóîà°SÉH ádGódG ádGO á≤à°ûe OÉéjEG ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj .ájÎeGQÉÑdG äÉ«æëæŸG ∫ƒ«e OÉéjEG ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj :Iójó÷G º«gÉØŸGh äGOôØŸG -2 IóYÉb ΩGóîà°SG ,πNGódG ¤EG êQÉÿG øe ¥É≤à°T’G IóYÉb ,ádGódG ádGO á≤à°ûe .ájÎeGQÉÑdG äÉ«æëæŸG ∫ƒ«e ,á∏°ù∏°ùdG :πFÉ°SƒdGh äGhOC’G -3 .܃°SÉM ,᫪∏Y áÑ°SÉM ádBG :󫡪àdG -4 :á«dÉàdG ∫GhódG äÉ≤à°ûe óLhCG (a) f (x) = 2x3 - 5x 2x + 3 (b) f (x) = x + 4 (c) f (x) = (2x - 1)( 3x + 4) (d) f (x) = x + sin x

f l (x) = 6x2 - 5 5 f l (x) = (x + 4) 2 f l (x) = 2 (3x + 4) + 3 (2x - 1) f l (x) = 1 + cos x

:¢ùjQóàdG-5 ÚdÉãŸG øjòg ¿C’h .á∏°ù∏°ùdG IóYÉ≤d áeó≤e (2h 1) ¿’ÉãŸG ôaƒj ¿CG øμÁ .ádƒ≤©e hóÑJ á∏°ù∏°ùdG IóYÉb π©L ≈∏Y ¿GóYÉ°ùj ɪ¡fEÉa ,ɪ¡ª¡a π¡°ùj ;á∏°ù∏°ùdG IóYÉ≤d í«ë°üdG ΩGóîà°S’G º«∏©àd Éjv ó«∏≤J ÓNóe k ÜÉàμdG Ωóîà°ùj , u = g (x) ™°VƒH y = f (g (x)) (π°VÉØJ) á≤à°ûe OÉéjEG ÜÓ£dG º∏©àj :’hC k G :≈∏Y ∫ƒ°üë∏d á∏°ù∏°ùdG IóYÉb ≥«Ñ£J ºK gl (x) , f l (u) Úà≤à°ûŸG ÜÉ°ùMh u øY ¢†jƒ©àdÉH á«∏ª©dG ô°üàîJ òFóæY . yl = f l (u) gl (x) = f l (g (x)) gl (x) IóYÉb ≈ª°ùJ Iô°üàıG á«∏ª©dG √òg .á«∏NGódG ádGódG É¡fCG ≈∏Y g (x) ≈dEG IQÉ°TE’Gh IóYÉb ≈∏Y äÉÑjQóàdG øe ÒãμH ÜÓ£dG Ωƒ≤j ¿CG »¨Ñæj .zπNGO - êQÉÿG{ .áæ≤àe IQƒ°üH É¡eGóîà°SG øe Gƒæμªàj ≈àM á∏°ù∏°ùdG dy dy dy du dx ¿CG óucCG , dx = du # dx ,á∏°ù∏°ùdG IóYÉ≤d õàæÑ«d ᨫ°U Ëó≤J óæY º¶©e ¢ü«î∏J ∂æμÁ .x óæY ɡફb Ö°ù– du dx , u = g (x) óæY ɡફb Ö°ù– .(13) øjô“ á°ûbÉæà ¢SQódG Gòg

55

:á∏ãeC’G ≈∏Y äɶMÓe ∞∏N IôμØ∏d á«©aGO AÉ£YEG ɪ¡H ó°üb (2) ,(1) :¿’Éãª`dG ¯ .á∏°ù∏°ùdG IóYÉb ÖZôJ ób .iƒ≤dG á∏°ù∏°S IóYÉb ΩGóîà°SG á«Ø«c (7) ∫Éãe ÚÑj ¯ ΩGóîà°SÉH É¡H ΩÉ«≤dG øμªj áKÓãdG äÉHÉ°ùëdG ¿CG RGôHEG »a .ájOÉ©dG á∏°ù∏°ùdG IóYÉb :§HôdG -6 .óLƒj ’ :á©FÉ°T AÉ£NCG-7 , f (g (x)) á≤à°ûe OÉéjE’ (êQÉN - πNGO) IóYÉb ≥«Ñ£J »a .áHÉLE’G ‘ gl (x) πeÉ©dG ∫ÉØZEÉH ™FÉ°T CÉ£N çóëj Gòg »£îJ ≈∏Y IOó©àe á∏ãeCG ∫ÓN øe ÜÓ£dG óYÉ°S

.CÉ£ÿG :˃≤àdG -8 ,12-A ,9-A ,6-A ,2-A :øjQɪàdG πM ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG ΩGóîà°S’ º¡ª¡a øe ócCÉJh ÜÓ£dG πªY øe ≥≤– .15-A .á∏°ù∏°ùdG IóYÉb :Ωƒ«dG ádCÉ°ùe -9

AC = AB EB h DC .´Ó°VC’G ÉjhÉ°ùàe ¿Éã∏ãe ɪg ACE h ABD

. BC ™e IóeÉ©àe AF ¿CG âÑKCG . F óæY ¿É©WÉ≤àj \ = FCB \ :≈∏Y π°üëæa ¿ÉjhÉ°ùàe EBC h DBC ¿Éã∏ãŸG FBC .ÚbÉ°ùdG …hÉ°ùàe FBC å∏ãŸGh AF = BC :GkPEG

:∫ƒ∏Mh äÉHÉLEG -10 .óLƒj ’

56

57

58

59

IóMƒdG QÉÑàNG á«fÉãdG IóMƒdG QÉÑàNG äÉHÉLEG 6]5 + hg2 + ]5 + hg@ - ]52 + 5g h h"0 = 11

(1) f l ]5g = lim

Y

(2) X

(Ü) (3) . x = 2 óæY …OƒªY ¢Sɇ §N óLƒj . f l (2) " 3 (4) (5) 21x2 + 8x - 6 ; 42x + 8 (6) (a) - 198 (b) - 19 27 (7)

1 + sin x - sin x cos2 x cos2 x (1 + sin x) 2

r 2r 4r 5r (8) b 3 , 3 l, b 3 , - 3 l, b 3 , 3 l, b 3 , - 3 l (9) - 15x2 sin 5x3 x (10) y = 3 + 14 III h II (`g) (11) :∫É≤àf’G (CG) (12) s]5g - s]0g = ^2]125g - 25 - 3h - 3 = 219 ft / sec 219 5 = 43.8 ft/ sec :áYô°ùdG §°Sƒàe (Ü) sl ] t g = 6t2 - 5 :á¡éàŸG áYô°ùdG (`L) t = 5 óæY sl ]5g = 6]25g - 5 = 145 ft/ sec s''] t g = 12t (O ) s'']5g = 12 (5) s'']5g = 60 ft /sec sl ] t g = 0

óæY √ÉŒ’G Ò¨àj (`g)

6t2 - 5 = 0 5 t2 = 6 5 t= 6 t . 0.9 sec 2x dx + 2ydx + 2xdy - 6ydy = 0 :∫É≤àf’G (CG) (13) dy x+y dx = y' = 3y - x

60

2 y'(1,1) = 2 = 1

:¬àdOÉ©eh -1 ƒg (1, 1) á£≤ædG óæY …Oƒª©dG §ÿG π«e y = 1 - 1 (x - 1) y =- x + 2

:ójóL øe ™WÉ≤àdG (Ü) x2 + 2x]- x + 2g - 3]- x + 2g2 = 0 4x2 - 16x + 12 = 0 x = 1 hCG x = 3 (1, 1) ; (3,-1) xdy + ydx + 2dx - dy = 0 (14) 2+y dx dy = yl = 1 - x

:GkPEG -2 ƒg 2x + y = 0 §ÿG π«e 1 2+y 2 = 1-x x =- 2y - 3

:¤hC’G ádOÉ©ŸG ‘ ^- 2y - 3h^ y h + 2^- 2y - 3h - y = 0

(-1,-1) ; (3,-3) :•É≤ædG óéæa y =- 2x - 3 :¿ÉàdOÉ©ŸG y =- 2x + 3 2x2 + 3y2 = 5 :∫hC’G ≈æëæŸG (15) d] g d ^ 2h d 2 dx 2x + dx ^3y h = dx 5 dy 4x + 6y dx = 0 dy 2x dx =- 3y y2 = x3 :ÊÉãdG ≈æëæŸG d ^ 3h d 2 dx ^ y h = dx x dy 2y dx = 3x2 dy 3x2 dx = 2y

¢SɪŸG π«eh - 23 ƒg ∫hC’G ¢SɪŸG π«e ^1, 1h :á£≤ædG óæY ¿GóeÉ©àe ¿É«æëæŸG ‹ÉàdÉHh b- 23 lb 23 l =- 1 GkPEG 23 ƒg ÊÉãdG . ^1, 1h óæY 1 dV d d (16) dt = dt 88]s - t g2 B + dt ]1g 1 ds = 4]s - tg- 2 b dt - 1l 1 ds = 4]s - tg- 2 ]V - 1gb dt = V l 1 1 = 4]s - tg- 2 8`8]s - tg- 2 + 1j - 1B 1

1

= 32]s - tg- 2 ]s - tg2 = 32 ft /sec 2 32 ft/sec2 »g á∏é©dG GkPEG

61

π°VÉØàdG/äÉ≤à°ûŸG äÉ≤«Ñ£J

IóMƒdG

3

¤EG IóMƒdG √òg ânª°ùou b ,´ƒ°VƒŸG »æeõdG ∫hó÷G ™e áfhôà ≈°TɪàJ »μd :»JB’G ƒëædG ≈∏Y ¢ShQO 5 (72-78 ¢U) ∫Ghó∏d (iô¨°üdGh ≈ª¶©dG) iƒ°ü≤dG º«≤dG 3-1

,á«∏fi ≈ª¶Y ᪫b ,á≤∏£ŸG iƒ°ü≤dG º«≤dG :á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üŸG .áLô◊G á£≤ædG ,á«∏fi iô¨°U ᪫b

(79-84 ¢U) á°übÉæàŸGh IójGõàŸG ∫GhódG 3-2 ádGódG ,IójGõàŸG ádGódG ,ᣰSƒàŸG ᪫≤dG :á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üŸG .á°übÉæàŸG

ádGódG ≈æëæà f m á«fÉãdG á≤à°ûŸGh f l ¤hC’G á≤à°ûŸG §HQ 3-3 (85-93 ¢U) f .(±É£©f’G) ÜÓ≤f’G á£≤f ,ô©≤àdG ,á≤à°ûŸG :á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üŸG

(iƒ°ü≤dG º«≤dG ≈∏Y äÉ≤«Ñ£J) á«≤ahC’Gh áLòªædG 3-4 (94-102 ¢U) ,íHô∏d ≈ª¶©dG ᪫≤dG ,á«≤ahC’G ,áLòªædG :á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üŸG .ájó◊G áØ∏μàdG ,ᣰSƒàŸG áØ∏μàdG

(103-107 ¢U) á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG 3-5 .§ÑJôŸG ∫ó©ŸG :á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üŸG ?ÜÓ£dG º∏©à«°S GPÉe ?GPÉŸh iô¨°üdG á«∏ÙG iƒ°ü≤dG º«≤dG IóMƒdG √òg ‘ ÜÓ£dG ±ô©à«°S πãe á«JÉ«M ∞bGƒe ‘ É¡JÉ≤«Ñ£Jh áLô◊G •É≤ædGh ≈ª¶©dGh á≤à°ûe ÒKCÉàH º¡aQÉ©e ¿ƒ≤ª©j ºK .∂dP ÒZh Ö£dGh OÉ°üàb’G ¿hOóëjh ,É¡°übÉæJ hCG ÉgójGõJ á«MÉf øe É¡cƒ∏°S ≈∏Y ádGódG .≈æëæª∏d ÜÓ≤f’G •É≤fh ô©≤àdG IóMƒdG ´hô°ûe :´hô°ûŸG ¢VôY ¤EG â«ÑdG øe á∏aÉ◊ÉH π≤àæJ ÉeóæY çóëj Ée ∞°Uh ÜÓ£dG ∫CÉ°SG ácôM ÒKCÉJ º¡©e ¢ûbÉf .Ò°ü©dG øe ÉHk ƒc πª– âfCGh á°SQóŸG .É¡∏NGO IOƒLƒŸG ΩÉ°ùLC’G ¿RGƒJ ≈∏Y á∏aÉ◊G hCG IQÉ«°ùdG

62

:º««≤àdG º∏°S á≤«bO äÉHÉ°ù◊G .É¡∏eÉμH áeƒ¡Øeh áë°VGh äÉMhô°ûdG - 4 ™e Góv L ádƒ≤©e ÊÉ«ÑdG º°SôdG øY äÉLÉàæà°S’G .á∏°üØeh ÚfGƒ≤dG .Ωƒ¡Øeh í°VGhh π°üØe ôjô≤àdG .á«FÉ¡ædG áé«àædG .áë«ë°U É¡∏c áeóîà°ùŸG .á≤«bO É¡ª¶©e äÉHÉ°ù◊G .áeƒ¡Øeh áë°VGh äÉMhô°ûdG - 3 áé«àædG øe áÑjôbh ádƒ≤©e ÊÉ«ÑdG º°SôdG øY äÉLÉàæà°S’G ÚfGƒ≤dG .ìÉ°†jE’G ¢†©H ¬°ü≤æj øμdh π°üØe q ôjô≤àdG .á«FÉ¡ædG .áë«ë°U É¡ª¶©e ‘ ÒZ ¿É«MC’G ¢†©H ‘h ,샰VƒdG É¡°ü≤æj äÉMhô°ûdG - 2 ÚfGƒ≤dG ¢†©H .äÉHÉ°ù◊G ‘ IOó©àe AÉ£NCG .áeƒ¡Øe áé«àædGh ÊÉ«ÑdG º°SôdG ÚH §HGôJ ’ .ádƒÑ≤e ÒZ áeóîà°ùŸG .π°üØe q ÒZ ôjô≤àdG .á«FÉ¡ædG .IÒãc AÉ£NCG ≈∏Y …ƒà– hCG á°übÉf ´hô°ûŸG ô°UÉæY º¶©e - 1 :IóMƒdG ´hô°ûe äÉHÉLEG y H B y3 = 2 ; y2 = 2 ; y1 =- 2 (CG) (1) m1 = rd (R + T) 2 B (Ü) m2 = rdR2 y m3 = dr (R + T) 2 H - drR2 H m3 = drT2 H + 2drRTH

y = f^ y h 1 1 H - 2 ]R + T g2 B2 + 2 R2 y2 + 2 ]T2 H + 2RTH g = B]R + T g2 + R2 y + T 2 H + 2RTH

-

(`L)

¿CG ∫GõàN’G ó©H óéæa pájOó©dG ¬àª«≤H õeQ πc ¢Vƒ©f (O) y2 + 21.75 y = f^ y h = 2y + 8.5

(܃°SÉM hCG áÑ°SÉM ádBG) ÊÉ«ÑdG º°SôdG (CG) (2) IóYÉb øY RÉμJ’G á£≤f ´ÉØJQG »gh . 2 cm ‹GƒM (Ü) .܃μdG f '( y) =

2y (2y + 8.5) - 2 (y2 + 21.75) (`L) (2y + 8.5) 2 f '( y) =

äGÎØdG f '^ y h IQÉ°TEG

2y2 + 17y - 44 (2y + 8.5) 2

0 1 y 1 2.08 y 2 2.08

-

(O)

+

f^ y h ∑ƒ∏°S

»gh y . 2.08 cm óæY çó– iô¨°üdG á«∏ÙG ᪫≤dG (`g) . y = 2 cm øe GvóL áÑjôb ᪫b ƒgh ´ÉØJQG ≈fOCG ≈∏Y Iƒ¡≤dG ᫪c ¿ƒμJ ¿CG Öéj (h) ádÉM π°†aCG ‘ ܃μdG ≈≤Ñj ≈àM 2.08 cm ÉkÑjô≤J ≈∏Y RÉμJQ’G á£≤f ¿ƒμJh .IQÉ«°ùdG Ò°ùJ ɪ«a äÉÑK .ÉkÑjô≤J 2.06 cm ´ÉØJQG .äÉHÉLE’G ´ƒæàJ *

63

≈ª¶©dG) iƒ°ü≤dG º«≤dG 3-1 ∫Ghó∏d (iô¨°üdGh :±GógC’G -1 ≈ª¶©dG) iƒ°ü≤dG º«≤dG ójó– ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj .á≤∏£ŸGh á«∏ÙG º«≤dGh (iô¨°üdGh :Iójó÷G º«gÉØŸGh äGOôØŸG -2 .(á«Ñ°ùf) á«∏fi iƒ°üb º«b ,á≤∏£e iƒ°üb º«b :πFÉ°SƒdGh äGhOC’G -3 .܃°SÉM ,᫪∏Y áÑ°SÉM ádBG :󫡪àdG -4 f (x) = x2 - 6x + 2 :ádGódG øμàd :‹ÉàdG ∫hó÷G ∫ɪcEG ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG (CG)

x

0

1

2

3

4

5

6

7

f (x)

áμÑ°T ≈∏Y ∫hó÷G ‘ IOƒLƒŸG •É≤ædG Ú«©J º¡«dEG Ö∏WG (Ü) .äÉ«KGóMEG ?≈ª¶Y º«bh ?iô¨°U º«b óLƒj πg :º¡dCÉ°SG (`L) :¢ùjQóàdG -5 ádGód §£îe º°SQ »g ¢SQódG Gòg ‘ AóÑ∏d ≥FGô£dG ióMEG ¿EG iô¨°üdG ᪫≤dG á°ûbÉæeh ,(3-4) πμ°T ‘ áæ«ÑªdG ∂∏J πãe äÉØjô©J Gƒª¡Øj ¿CG ÜÓ£∏d øμªjh .á«∏ëªdG (á≤∏£ŸG) ≈ª¶©dGh √ò¡d Év«°SóM Ékªjó≤J Gƒ≤∏J Ée GPEG ÈcCG ádƒ¡°ùH º«gÉتdG ∂∏J ‘ ÉkªcÉM GkôeCG iô¨°üdG º«≤dGh ≈ª¶©dG º«≤dG º¡a ó©jh .ÊÉ©ŸG π°VÉØàdG á¨d ¤EG ÜÓ£dG êÉàëj .á≤à°ûŸG äÉ≤«Ñ£J á°SGQO ¬fEÉa ∂dòd .¢SQódG Gòg äÉë∏£°üe ≈∏Y Oó°T Gòd ,πeÉμàdGh á°SGQO ≈dEG Ék≤HÉ°S áÑ°ùàμŸG ájôÑédG äGQÉ¡ªdG º°V º¡ªdG øe ¿ƒμj .¢SQódG Gò¡d ≈æ©e äGP áé«àf (1) ∫Éãe ôaƒj .πeÉμàdGh π°VÉØàdG :á∏ãeC’G ≈∏Y äɶMÓe øe ᣫ°ùH ádGód iƒ°ü≤dG º«≤dG Ò¨àJ ¿CG øμÁ ∞«c (2) ∫Éãe ÚÑj ‘ ÖZôJ ób . QÉàîªdG ∫ÉéªdG Ö°ùëH Ohó◊G Iô«ãc ∫GhO á≤∏£ŸGh á«∏ëªdG iƒ°ü≤dG º«≤dG á°ûbÉæªH ∫ÉãªdG Gòg ‘ ™°SƒàdG . 6- 4, 3h , ^- 4, 2h , 6- 4, 2@ πãe á«aÉ°VEG ä’Éée ≈∏Y

64 64

:§HôdG -6 å«M V (x) = x (10 - 2x) (16 - 2x) :ádGódG êòªæoJ . V (x) ‘ πeGƒ©c IOƒLƒe √OÉ©HCG ¥hóæ°U ºéM 0 1 x 1 5 ÈcCG Ée .¥hóæ°üdG Gò¡d ºéM ÈcCG »£©J »àdG x ᪫b óLhCG ?ºéM 3 2 V (x) = 4x - 52x + 160x V l (x) = 12x2 - 104x + 160 = 4 (x - 2)( 3x - 20) 20 x = 2, x = 3

. 5 øe ÈcCG É¡fC’ ádƒÑ≤e ÒZ 20 3 ᪫≤dG x

0

V l (x)

2 +

V (x) 0

5 -

144

144 ƒgh x = 2 óæY ≥≤ëàj ¥hóæ°ü∏d ÈcC’G ºé◊G ‹ÉàdÉHh

.2 ,6 ,12 :»g √OÉ©HCGh áÑ©μe IóMh :á©FÉ°T AÉ£NCG -7 ᪫b ɪk FGO ôXÉæJ áLôëdG á£≤ædG ¿CG ÜÓ£dG ¢†©H ¢VôàØ«°S ¢†©H ÜÓ£dG ßMÓj ¿CG …Qhô°†dG øe ,∂dòd ;á«∏fi iƒ°üb . f] xg = x3 πãe ábÓ©dG ∂∏J É¡«a ≥≤ëàJ ’ »àdG á∏ãeC’G øY ÜÓ£dG ¢†©H ≈°Vɨ૰S ,ádGód áLôëdG •É≤ædG OÉéjEG óæY áaô©e ádGódG ɪæ«H áaô©e ô«Z á≤à°ûªdG ¿ƒμJ ɪã«M •É≤ædG OÉéjEG . f] xg = 3 x πãe •É≤ædG ∂∏J óæY :˃≤àdG -8 ,12-A ,9-A ,6-A ,2-A øjQɪàdG πM ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG º«b ≈æ©Ÿ º¡ª¡a øe ócCÉJh ÜÓ£dG πªY øe ≥≤– .16-A .iƒ°üb º«bh á«∏fi iƒ°üb :Ωƒ«dG ádCÉ°ùe -9 :»g IóMh x øe á«∏μdG áØ∏μdG ¿CG äÉLÓK ™æ°üe ÖMÉ°U óLh ô©°S ¿CÉH Ékª∏Y ,Q’hódÉH C] xg = 200x2 + 300x + 9000 . 1200$ ≠∏Ñj IóMGƒdG áLÓãdG íHôdG ádGO »g ɪa áLÓK x óMGh ´ƒÑ°SCG ‘ ´ÉH GPEG (CG) ? P] xg = R] xg - C] x g R] xg = 1200x P] xg =- 20x2 + 900x - 9000 = 0

. P] xg = 0 ¿ƒμj ÉeóæY x º«b óLhCG (Ü) - 20x2 + 900x - 9000 = 0 x = 15, x = 30

65

:∫ƒ∏Mh äÉHÉLEG -10 3-1 ¢SQódG ¥É«°S ‘ øjQɪàdG äÉHÉLEG ¿Éjô¨°U ¿Éફbh 2 »gh x = r 2 óæY IóMGh ≈ª¶Y ᪫b (1) .1 »g ÚàdÉ◊G ‘ . x = r h x = 0 óæY .óLƒj ’ (a) (2) .0 , -18 :¿Éફb (b) . -18 :IóMGh ᪫b (c) .óLƒj ’ (d) . x = 1 óæY 1 »g á≤∏£ŸG ≈ª¶©dG ᪫≤dG (3) . x = 3 óæY 91 »g á≤∏£ŸG iô¨°üdG ᪫≤dG . x = 2 óæY 1 á≤∏£e ≈ª¶Y ᪫b (4) . x = 3 , x = 1 óæY 0 á≤∏£e iô¨°U ᪫b

3-2 ¢SQó∏d áj󫡪àdG øjQɪàdG äÉHÉLEG (1) _- 3 , 3 i (2) _- 3, - 2 i , _ 2 , 3i (3) 6- 2, 2@ (4) 6- 2, 2@ (5) ^- 2, 2h x ! 1 h x !- 1 (6) (7) x ! (- 3, - 1) , (- 1, 1) , (1, + 3) (8) x ! (- 3, - 1) , (- 1, 1) , (1, + 3) (9) c = 3 (10) c =- 4

66

á°übÉæàŸGh IójGõàŸG ∫GhódG 3-2 :±GógC’G -1 OÉéjEGh ᣰSƒàŸG ᪫≤dG ájô¶f ≥«Ñ£J ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj .á°übÉæàe hCG IójGõàe ádGódG ¿ƒμJ å«M ,∫ÉÛG øe äGÎØdG :Iójó÷G º«gÉØŸGh äGOôØŸG -2 .É¡°übÉæJh ∫GhódG ójGõJ ,»FÉjõ«a Ò°ùØJ ,ᣰSƒàŸG ᪫≤dG ájô¶f :πFÉ°SƒdGh äGhOC’G -3 .܃°SÉM ,᫪∏Y áÑ°SÉM ádBG :󫡪àdG -4 f (x) = x - 4x + 3 :ádGódG øμàd f l (x) = 2x - 4 .ádGódG á≤à°ûe OÉéjEG ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG (CG) :»∏j Ée πM º¡dCÉ°SG (Ü) 2

(a) f l (x) = 0 (b) f l (x) 2 0 (c) f l (x) 1 0

x=2 x22 x12

.‹ÉàdG ∫hó÷G ∫ɪcEG º¡«dEG Ö∏WG (`L) x f l (x) f (x)

-1

0

1

2

3

4

∑ƒ∏°S Ò¨Jh f l (x) IQÉ°TEG ¤EG áÑ°ùædÉH ¿ƒ¶MÓj GPÉe º¡dCÉ°SG (O) . x 2 2 º«bh x 1 2 º«≤d f (x)

:¢ùjQóàdG -5 ób ,ᣰSƒàŸG ᪫≤dG ájô¶f á°SGQO ¤EG ÜÓ£dG ™aGhO IQÉKE’ ∂∏J πãe π¡°S ≥«Ñ£J á°ûbÉæªH ¢SQódG Gòg CGóÑJ ¿CG ‘ ÖZôJ .(3) ∫Éãe ‘ áeó≤ªdG äÉ≤«Ñ£àdG ájô¶f èFÉàfh ¢Vhôa øe πc á°ûbÉæe ‘ âbƒdG ¢†©H òoN Éæd íª°ùJ É¡fCG »g ᣰSƒàŸG ᪫≤dG ájô¶f ᫪gCG .ᣰSƒàŸG ᪫≤dG .É¡à≤à°ûe øe ádGO ¢UGƒN êÉàæà°SÉH ‘ á≤∏¨eh áMƒàØe äGôàa ΩGóîà°SG ßpM’ ,(1) áé«àf ‘ ≈dEG ÜÓ£dG êÉàëjh .á°übÉæàe hCG IójGõàe ádGódG ¿ƒμJ øjCG ∞°Uh ¿CG »æ©J ’ 6a, b@ IÎØdG ‘ IójGõàe f IQÉÑ©dG ¿CG Gƒª¡Øj ¿CG ¬fCG - ∂dòc - Gƒª¡Øj ¿CG »¨Ñæjh . f l (b) > 0 hCG f l (a) > 0 , 6 b, c@ IôàØdG ‘ á°übÉæàeh 6a, b@ IôàØdG ‘ IójGõàe f âfÉc GPEG . b á£≤ædG óæY zá°übÉæàeh IójGõàe{ ¿ƒμJ f ¿CG »æ©j ’ ∂dP ¿EÉa

67

:á∏ãeC’G ≈∏Y äɶMÓe øY ᣰSƒàŸG ᪫≤dG ájô¶æd IÉ«◊G ™bGh øe Ék≤«Ñ£J (3) ∫Éãe ôaƒj .᫶ë∏dG ä’ó©ªdGh äÉ£°SƒàŸG ÚH §HGôàdG QÉ¡XEG ≥jôW - 3 AÉæãà°SÉH) á≤∏¨ŸG äGôàØdG ΩGóîà°SG ≈∏Y (4) ∫Éãe õcôj .¢übÉæàJ hCG ádGódG ójGõàJ ɪã«M ( 3 h :§HôdG -6 .17-B ºbQ øjôªàdG :á©FÉ°T AÉ£NCG -7 ,IójGõàe f ádGódG ¿ƒμJ øjCG ójóëàd (1) áé«àf ≥«Ñ£J óæY π«∏ëàH ÉeEG , f l (x) 2 0 áæjÉÑàªdG πM óæY AÉ£NCG ™≤J ¿CG øμªj øqμÁ ¿CG »¨Ñæj .IQÉ°TE’G π«∏ëJ ‘ CÉ£îH hCG f l (x) ádGó∏d CÉ£N ¢†©H óéj .AÉ£NC’G √òg πãe ±É°ûàcG øe ÜÓ£dG ÊÉ«ÑdG ó«cCÉàdG ¿ƒμJ øjCG ∞°Uh ‘ á≤∏¨e äGôàa ΩGóîà°SG ‘ áHƒ©°U ÜÓ£dG .á°übÉæàe hCG IójGõàe ádGódG :˃≤àdG -8 ≥≤– .9-A ,8-A ,4-A ,1-A øjQɪàdG πM ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG É¡°übÉæJh ∫GhódG ójGõJ Gƒª¡a ób º¡fCG øe ócCÉJ .ÜÓ£dG πªY øe .ᣰSƒàŸG ᪫≤dGh :Ωƒ«dG ádCÉ°ùe -9 ¿CG º°SôdG Gòg ∫ÓN øe âÑãàd áÑ°SÉæe äÉMÉ°ùe º«b Ωóîà°SG .(á«aÉ°VEG •ƒ£N …CG º°SQ ™æÁ :á¶MÓe) x2 = a2 + b2

b

x

x

a

a

b

:±ôëæŸG ¬Ñ°T áMÉ°ùe (a + b) (a + b) a2 + b2 + 2ab = 2 2 ab ab 2 + 2 = ab :Ú∏∏¶ŸG Úã∏ãŸG áMÉ°ùe x2 2 :π∏¶ŸG ÒZ å∏ãŸG áMÉ°ùe x2 a2 + b2 + 2ab ab + 2 = :ádOÉ©ŸG 2 x2 = a2 + b2 :GkPEG -

68

:∫ƒ∏Mh äÉHÉLEG-10 3-2 ¢SQódG ¥É«°S ‘ øjQɪàdG äÉHÉLEG á∏HÉbh 6- 3, 1@ IÎØdG ≈∏Y á∏°üàe f (x) = x3 + 1 ádGódG (1) f l (x) = 3x2 :å«M ^- 3, 1h ≈∏Y ¥É≤à°TÓd f l (c) =

f (1) - f (- 3) 2 - (- 26) =7 4 1 - (- 3) = 3c2 = 7 c =-

7 3

60, 2@ IÎØdG ≈∏Y á∏°üàe f (x) = x3 - 2x2 + x ádGódG (2)

:å«M ^0, 2h ≈∏Y ¥É≤à°TÓd á∏HÉbh f l (x) = 3x2 - 4x + 1 f (2) - f (0) 2 - 0 = 2-0 = 1 2-0 3c 2 - 4 c + 1 = 1 4 c = 0, c = 3 4 `c=3 ≈∏Y ¢übÉæàJh :- 27 , 3l IÎØdG ≈∏Y f ójGõàJ (a) (3) b- 3, - 7 D 2 f l (c) =

61, + 3h IÎØdGh ^- 3, - 1@ IÎØdG ≈∏Y g ójGõàJ (b)

. 6- 1, 1@ IÎØdG ≈∏Y ¢übÉæàJh

69

3-3 ¢SQó∏d áj󫡪àdG øjQɪàdG äÉHÉLEG (1) ^- 3, 3h (2) ^- 2, 0h , ^2, + 3h x ! 0 hCG ^- 3, 0h , ^0, 3h : f l ∫É›h ^- 3, 3h : f

∫É› (3) x ! 2 : f ∫É› (4) x ! 2 : f l ∫É› (- 3, + 3) : f ∫É› (5) x ! 0 : f l ∫É›

(6) f l (x) = 2x - 3 ; f ''(x) = 2 (7) f l (x) =- 2 sin 2x ; f ''(x) =- 4 cos 2x - 66 11 (8) f l (x) = ; f ''(x) = (3x - 2) 2 (3x - 2) 3 (9) f l (x) = 3 ; f ''(x) = 0

70

á«fÉãdG á≤à°ûŸGh f l ¤hC’G á≤à°ûŸG §HQ 3-3 f ádGódG ≈æëæà f '' :±GógC’G -1 ¤hC’G á≤à°ûŸG äGQÉÑàNG ΩGóîà°SG ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj .ádGó∏d á≤∏£ŸGh á«∏ÙG iƒ°ü≤dG º«≤dG ójóëàd á«fÉãdGh Ú«©Jh ádGódG ≈æëæe ô©≤J ójó– ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj .á«fÉãdG á≤à°ûŸG á°SGQóH ÜÓ≤f’G •É≤f ≈æëæe º°SQ) f ádGódG ∑ƒ∏°S á°SGQO ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj . f l øY äÉeƒ∏©ŸG ΩGóîà°SÉH (»Ñjô≤J :Iójó÷G º«gÉØŸGh äGOôØŸG -2 á°SGQO ,ÜÓ≤fG •É≤f ,≈æëæŸG ô©≤J ,á«∏ÙG iƒ°ü≤dG º«≤dG QÉÑàNG . f l IQÉ°TEG øe f ≈æëæe :πFÉ°SƒdGh äGhOC’G -3 .܃°SÉM ,᫪∏Y áÑ°SÉM ádBG :󫡪àdG -4 f (x) = x3 - 3x + 3 :ádGódG øμàd f ll (x) h f l (x) óLhCG (CG) :‹ÉàdG ∫hó÷G πªcCG (Ü) x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f l (x) f ''(x) f (x) f l (x) äGQÉ°TEG ¤EG áÑ°ùædÉH º¡JɶMÓe øY ÜÓ£dG ∫CÉ°SG (`L)

. f (x) Ò¨J ≈∏Y ÉgÒKCÉJh f ''(x) h iƒà°ùe ‘ ∫hó÷G øe (x, f (x)) •É≤ædG º°SQ º¡«dEG Ö∏WG (O) .»KGóMEG . f (x) h f ''(x) h f l (x) ÚH §HôdG ¢ûbÉf (`g)

:¢ùjQóàdG -5 ≥jôW øY ,¤hC’G á≤à°ûªdG QÉÑàNG ,(4) ájô¶æd áÄ«¡àdG ∂æμªj ,äÉ≤à°ûŸG ¿ƒ°ûbÉæj ÜÓ£dG π©r L n h ,á«fÉ«H Ωƒ°SQ IóY ºjó≤J .ádGó∏d iƒ°ü≤dG º«≤dÉH É¡àbÓYh ,ádGO π«∏ëàd á«°SÉ°SC’G äGQÉÑàN’G øe ójó©dG ¢SQódG Gòg Ωó≤j QÉÑàNG :»g äGQÉÑàN’G √ògh .ÊÉ«ÑdG É¡∏μ°ûd §£îe º°SQh ô©≤àdG QÉÑàNGh (4 ájô¶f) á«∏ëªdG iƒ°ü≤dG º«≤∏d ≈dhC’G á≤à°ûªdG .(5 ájô¶f) á«∏ëªdG iƒ°ü≤dG º«≤∏d á«fÉãdG á≤à°ûªdG QÉÑàNGh äÉ«æëæe º°Sôd äGQÉÑàN’G √òg ΩGóîà°SG ¿CG øe ºZôdG ≈∏Y ôeCG ¬fCG ’EG ,äÉ«æ≤àdG ÖÑ°ùH ÉkãjóM ¬«∏Y ó«cCÉàdG ó©j ºd ,∫GhódG á«fÉãdGh ≈dhC’G Úà≤à°ûŸG ø«H §HGôàdG ÜÓ£dG º¡Øj ¿CG …ƒ«M πμd ¢ù°SDƒj á«fÉãdGh ≈dhC’G ø«à≤à°ûªdG π«∏ëJ .ádGódG ≈æëæeh

71

ócDƒj ¿CG øμªjh ,Ωƒ°Sôe ≈æëæe É¡«dEG ô«°ûj »àdG ᪡ŸG äɪ°ùdG u ≈æëæe øe ᪡e äɪ°Sp ó©Ñà°ùJ ’ IQÉàîªdG ¢Vô©dG IòaÉf ¿CG .ádGódG º¡eÉμMCG ΩGóîà°SG Gƒª∏©àj ¿CG ¤EG ÜÓ£dG êÉàëj ±ƒ°S iƒ°ü≤dG º«≤dG OÉéjE’ É¡fƒ≤Ñ£j äGQÉÑàN’G …CG ôjô≤àd á«°üî°ûdG ÉgOÉéjE’ ’ƒ£e k ÓªY k y" Ö∏£àJ ¿É«MC’G ¢†©H ‘ .ádGód á«∏ÙG á≤à°ûªdG QÉÑàNG øe π¡°SCG ¤hC’G á≤à°ûªdG QÉÑàNG ¿ƒμj ób .ÉvjÈL .¬«dEG ¿ƒ∏°üj Ée ∞°üJ äGQÉÑY áHÉàc ≈∏Y ÜÓ£dG ™ué°T .á«fÉãdG :§HôdG -6 .óLƒj ’ :á©FÉ°T AÉ£NCG-7 øª°†j ’ f l (c) = 0 •ô°ûdG ¿CG ÜÓ£dG º¡Øj ¿CG º¡ªdG øe ¢†©H ø«u ©j ,πãŸÉHh . ^c, f (c)h óæY á«∏ëe iƒ°üb ᪫b É¡d f ¿CG ôucP .ÜÓ≤fG •É≤æc f ''(x) = 0 ÉgóæY ¿ƒμJ •É≤f …CG ÜÓ£dG ¿ƒμj »μd GOk ƒLƒe ¿ƒμj ¿CG »¨Ñæj ô©≤àdG ‘ Gôk «¨J ¿CG ÜÓ£dG .ÜÓ≤fG á£≤f ádGó∏d :˃≤àdG -8 .10-A ,6-A ,4-A ,2-A øjQɪàdG πM ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG f '' h f l IQÉ°TEG ÒKCÉàd º¡ª¡a øe ócCÉJ ºK ÜÓ£dG πªY øe ≥≤– . f ádGódG ≈∏Y :Ωƒ«dG ádCÉ°ùe -9 ¿ƒJôc á©£b Ωóîà°SÉa äÉfÓYEG áMƒd ™ÑW QÉé q àdG óMCG OGQCG ¿ƒμJ ¿CG ≈∏Y ,Ϊ«àæ°ùdÉH y h x ÉgOÉ©HCGh 1 m2 É¡àMÉ°ùe á∏«£à°ùe ójôj . 5 cm ÖfGƒ÷G øeh 8 cm πØ°SC’Gh ≈∏YC’G øe ¢ûeGƒ¡dG .øμÁ Ée ÈcCG áYƒÑ£ŸG áMÉ°ùŸG ¿ƒμJ »c y h x º«b áaô©e .§≤a x ád’óH áYƒÑ£ŸG áMÉ°ùŸG ᪫b óLhCG (CG) 100 000 + 10 160 x ?áYƒÑ£ŸG iÈμdG áMÉ°ùª∏d IôXÉæŸG y h x º«b Ée (Ü) A] xg =- 16x -

x . 80 cm y . 125 cm

72

:∫ƒ∏Mh äÉHÉLEG -10 3-3 ¢SQódG ¥É«°S ‘ øjQɪàdG äÉHÉLEG 3 h - 1 : f `d áLô◊G •É≤ædG (CG) (1) -1 ,1 : g `d áLô◊G •É≤ædG x =- 1 óæY -6 :á«∏fi ≈ª¶Y : f (Ü) x = 3 óæY 2 :á«∏fi iô¨°U ᪫b

. x =- 1 óæY - 21 á«∏fi iô¨°U ᪫b : g . x = 1 óæY 21 á«∏fi ≈ª¶Y ᪫b . ^- 3, - 1h ≈∏Yh 63, 3h ≈∏Y IójGõàe : f (`L) . 6- 1, 1h ≈∏Yh ^1, 3@ ≈∏Y á°übÉæàe . b- 3, 23 l IÎØdG ≈∏Y πØ°SC’ Iô©≤e (2) . b 23 , 3l IÎØdG ≈∏Y ≈∏YC’ Iô©≤e (1, 3) (CG) (3) y =- 3x + 6 (Ü) 3-4 ¢SQó∏d áj󫡪àdG øjQɪàdG äÉHÉLEG

óLƒj ’ (1) ^- 2, 17h á«∏fi ≈ª¶Y (2) ^1, - 10h á«∏fi iô¨°U (3)

200r 3 3 cm

(4) r . 4.01 cm ; h . 19.82 cm

hCG r . 7.13 cm ; h . 6.26 cm (5) - sin a (6) cos a (7) sin a (8) - cos a y =- 3 h x =- 1 hCG y =

3 h x = 1 (9)

15 24 y = 13 h x =- 13 hCG y = 3 h x = 0 (10)

73

(iƒ°ü≤dG º«≤dG ≈∏Y äÉ≤«Ñ£J) á«≤ah’nC Gh áLòªædG 3-4 :±GógC’G -1 OÉéjEG øª°†àJ á«≤«Ñ£J πFÉ°ùe πM ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj .∫Ghó∏d ≈ª¶Yh iô¨°U º«b :Iójó÷G º«gÉØŸGh äGOôØŸG -2 .óLƒj ’ :πFÉ°SƒdGh äGhOC’G -3 .܃°SÉM ,iƒ≤e ¥Qh ,᫪∏Y áÑ°SÉM ádBG :󫡪àdG -4 :»∏j Ée ÜÓ£dG ∫CÉ°SG ɪ¡Yƒª›h b 2 0 h a 2 0 ¿GOóY Éæjód ¿Éc GPEG (CG) ?øμ‡ OóY ÈcCG ab ɪ¡Hô°V π°UÉM ¿ƒμj ≈àªa a + b = 20 a = b = 10 & ab = 100

ɪ¡Hô°V π°UÉMh b 2 0 h a 2 0 ¿GOóY Éæjód ¿Éc GPEG (Ü) ?øμ‡ OóY ô¨°UCG ɪ¡©ªL π°UÉM ¿ƒμj ≈àªa ab = 36 a = b = 6 & a + b = 12

:¢ùjQóàdG -5 ¿CG ÜÓ£dG ¤EG Ö∏£J ¿CÉH ¢SQódG Gòg CGóÑJ ¿CG ‘ ÖZôJ ób iô¨°U hCG ≈ª¶Y ɪk «b GhóLƒj ¿CG É¡«a ¿hójôj ∞bGƒªH GƒJCÉj Ωó≤j ºd ádÉM ‘ á∏ãeC’G øe ójó©dG AÉ£YE’ Góv ©à°ùe øc .ádGód .∞bGƒe …CG ÜÓ£dG á°UÉN ,á«p≤nahCr ’G πFÉ°ùe ™e áHƒ©°U ÜÓ£dG óéj ,Éjv ó«∏≤J hCG ô¨°UCG) iƒ°ü≤dG É¡ª«b OÉéjEG ÉHk ƒ∏£e ¿ƒμj »àdG ádGódG øjƒμàH Gòg ‘ .ádCÉ°ùŸG ¥É«°ùd Ö°SÉæªdG ∫ÉéªdG ójóëJh ,(᪫b ôÑcCG º«≤dG πFÉ°ùe πëd äGƒ£îdG á«é«JGΰSEG{ ≈∏Y óucCG ,Oó°üdG .96 áëØ°U ‘ IÉ£©ªdGh ,ziô¨°üdGh ≈ª¶©dG :á∏ãeC’G ≈∏Y äɶMÓe ádCÉ°ùª∏d Ö°SÉæªdG ∫ÉéªdG ¿CG á¶MÓe º¡ªdG øe ,(5) ∫Éãe ‘ á°ûbÉæe ÜÓ£∏d Éjv ôjƒæJ Gôk eCG ¿ƒμj . ^0, 3h áMƒàتdG IôàØdG ƒg πNódG ¿ƒμj ÉeóæYh r " 0+ πNódG ¿ƒμj ÉeóæY çóëj GPÉe .r " 3 ¿ƒfÉb OÉéjEG »g (6) ∫Éãe πëd á∏jóH á≤jôW óLƒj ¬fCG ßM’ ¿ƒμj .ádGódG √ò¡d ᪫b πbCG OÉéjEG ºK ᣰSƒàªdG áØ∏μà∏d íjô°U ΩGóîà°SG ¿CG øe ≥≤ëàdGh πë∏d ø«à≤jô£dG ΩGóîà°SG ÜÓ£∏d Gók «Øe .É¡°ùØf áé«àædG »£©j ø«à≤jô£dG øe … q CG

74

:§HôdG -6 áØ∏μàdG ≈£©J

:ádGódÉH Ée êÉàfE’ á«∏μdG IóMh ∞dCG πã“ x å«M C] xg = 100x2 + 1300x + 1000 øªãH êÉàfEG IóMh πc ´ÉÑJ .ºgGQódG ±’BÉH ≈£©J C] xg h êÉàfEG .ºgQO 2000 ádGO x ád’óH óLhCÉa ,áYÉÑŸG äGóMƒdG OóY x ¿Éc GPEG (CG) P] xg = R] xg - C] xg :íHôdG P] xg = 2000x - 100x2 - 1300x - 1000 P] xg =- 100x2 + 700x - 1000 .íHQ ÈcCG ≥≤– »àdG x ᪫b óLhCG (Ü) P'] xg =- 200x + 700 P''] xg =- 200 1 0

.êÉàfEG IóMh 3500 …CG P'] xg = 0 :óæY íHQ ÈcCG ≥≤ëàj :á©FÉ°T AÉ£NCG -7 ájÉ¡ædG •É≤f øY ÜÓ£dG ≈°Vɨàj ób ,á«s p≤nahCr ’G πFÉ°ùe ‘ ô«¨àªdG ∫Éée êQÉN ’ƒ∏M k ¿hóéj hCG ,á«≤ahCG º«≤d áæμªe •É≤æc ∫GhO øª°†àJ á«≤ahCG πFÉ°ùªd ÊÉ«ÑdG º°SôdG óæY .á°SGQódG ™°Vƒe :øe πμd á∏jóH ∫ƒ∏M øY »°VɨàdG ºàj Ée ÉÑk dÉZ ,á«ã∏ãe ’ á«ã∏ãªdG ∫Ghó∏d ájQhódG á©«Ñ£dG . f ''(x) = 0 hCG f l (x) = 0 ɪ«a ∂dPh ,πFÉ°ùŸG √òg ‘ QÉÑàY’G ™°Vƒe Éek hO ¿ƒμJ ¿CG øe óH ádCÉ°ùª∏d á«FÉjõ«ØdG •hô°ûdG É¡«a ¿ƒμJ »àdG ä’ÉëdG ¢†©H GóY . ∫Ééª∏d Ió«u ≤e :˃≤àdG -8 .11-A ,9-A ,7-A ,2-A : øjQɪàdG πM ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG º«≤dG ≈∏Y ∫GhódG ≥«Ñ£àd º¡ª¡a øe ócCÉJ .ÜÓ£dG πªY øe ≥≤– .™bGƒdG øe êPɪæd iô¨°üdGh ≈ª¶©dG

75

:Ωƒ«dG ádCÉ°ùe -9 K

D

C

a H a

M

E

A

B

AD # MH :…hÉ°ùJ ABCD ±ôëæŸG ¬Ñ°T áMÉ°ùe ¿CG âÑKCG

.á©Hôe IóMh (AB + CD) AK = :(ABCD) áMÉ°ùe 2 ME =

AB + CD 2

:GkPEG ME # AK = (ABCD) áMÉ°ùe AK MH sina = AD = ME øμdh

:‹ÉàdÉHh AD # MH = ABCD áMÉ°ùe :∫ƒ∏Mh äÉHÉLEG -10 3-4 ¢SQódG ¥É«°S ‘ øjQɪàdG äÉHÉLEG íHô∏d ≈ª¶Y ᪫b ≥≤ëj (RÉ¡L 600 ) x = 6 iƒà°ùŸG (CG) (1) .ºgQO 16 000 …hÉ°ùJ . b (x) = 0 ¿Éc GPEG GkôØ°U …hÉ°ùj íHôdG (Ü) x = 10 hCG (RÉ¡L 200 ) x = 2 ≈∏Y π°üëf .(RÉ¡L 1000) ᣰSƒàŸG áØ∏μàdG (2) C (x) 9 x = x+1+ x 9 CM (x) = x + 1 + x (x - 3) (x + 3) 9 C l M (x) = 1 - 2 = x x2

óæY …CG x = 3 óæY ¿ƒμJ ᣰSƒàŸG áØ∏μà∏d iô¨°üdG ᪫≤dG .ºgQO 700 ᣰSƒàŸG áØ∏μàdG ᪫b ¿ƒμJh .IóMh 300 êÉàfE’G

76

3-5 ¢SQó∏d áj󫡪àdG øjQɪàdG äÉHÉLEG (1) AB = 74 (2) AB = a2 + b2 1 - 2y (3) 2x + 2y - 1 -^ y + sin yh (4) x + x cos y (5) 2x cos2 y (6) 2x cos (x2 + 1) 1 - cos x - (x + 1) sin x (7) (x + 1) 2 4 2 (8) x - 3x - 4 = 0 ; x = ! 2 (9) 2x3 - 5x2 - x + 6 = 0 ; 3 x =- 1 , x = 2 , x = 2 (10) y =- 6x + 5 (11) y =- 8x + 4 5 x = 6 (CG) (12) 1 x = 2 (Ü)

77

78

á£ÑJôªdG ä’ó©ªdG 3-5 :±GógC’G -1 .á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG ‘ πFÉ°ùe πM ≈∏Y øjQOÉb ÜÓ£dG ¿ƒμj :Iójó÷G º«gÉØŸGh äGOôØŸG -2 ácô◊G IÉcÉfi ,π◊G á«é«JGΰSEG ,á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG ä’OÉ©e .á£ÑJôŸG :πFÉ°SƒdG äGhOC’G -3 .܃°SÉM ,᫪∏Y áÑ°SÉM ádBG :󫡪àdG -4 :»∏j ɪc áaô©ŸG f ájÎeGQÉÑdG ádGódG òNCÉæd f: *

x (t) = 3t - 2 y (t) = t2 + 1

(-2, 1) . t = 0 óæY ádGódG √òg ≈æëæe ≈∏Y á£≤f óLhCG (CG) dy 2 dy dx = 3 t .t ád’óH dx óLhCG (Ü) dy 2x + 4 dy .x ád’óH dx óLhCG (`L) dx = 9 dy

. dx Ö°ùMG ºK x ád’óH y óLhCG (O) y=

dy 2x + 4 x 2 + 4x + 4 1 + ; 9 dx = 9

79

:¢ùjQóàdG-5 á©LGôe »gh ¢SQódG Gòg ‘ ájGóÑ∏d Ió«L á≤jôW óLƒJ ≈∏Y ≥Ñ£J ɪc ,á∏°ù∏°ùdG IóYÉ≤H á°UÉîdG äÉYƒ°VƒªdG √òg πμ°ûJ .»æª°†dG ¥É≤à°T’G ≈∏Yh ájôàeGQÉÑdG äÉ«æëæªdG øμªàdG øμdh ,ÜÓ£dG º¶©e ¤EG áÑ°ùædÉH áHƒ©°U äÉYƒ°VƒªdG ä’ó©ªdG πFÉ°ùe πM ‘ ìÉéæ∏d »°SÉ°SCG ôeCG ´ƒ°VƒªdG Gòg øe .Ú૪μdG ø«H Iô°TÉÑe ábÓY óLƒJ ’ ɪã«M á£ÑJôªdG á£ÑJôªdG ä’ó©ªdG πFÉ°ùe πëd äGƒ£îdG á«é«JGΰSEG Ωó≤J »μd É¡fƒ©Ñàj Iƒ£îH Iƒ£N á«∏ªY ÜÓ£dG ¤EG (103) áëØ°U ‘ »Yh ≈∏Y ÜÓ£dG ¿ƒμj ¿CG »¨Ñæj .áHƒZôŸG áé«àædG ≈dEG Gƒ∏°üj .(1) ±É°ûμà°SG ‘ ɪc ,(º°SôdG) ÊÉ«ÑdG ºYó∏d áÑ°SÉæªdG ¥ô£∏d ÉvjÎeGQÉH Ékeɶf ¿CG ∞«c ¿É«ÑH ¢SQódG (1) ±É°ûμà°SG »¡æj ácô◊G ∂∏J øY ÒÑ©àdG øμÁ ÉeóæY º°ùL ácôM »cÉëj ¿CG øμÁ .øeõdG ¤EG áÑ°ùædÉH ádGóc :á∏ãeC’G ≈∏Y äɶMÓe ‘ â°ùdG äGƒ£îdG á«é«JGΰSEG ¢Vô©d ᪪°üe (2-4) á∏ãeC’G ¯ .á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG πFÉ°ùe πM :§HôdG -6 ≈£©j . r = 13 m Égô£b ∞°üf Iôc ∞°üf πμ°T ≈∏Y AÉe ¿GõN r V = 3 (3r - y) y2 :IóYÉ≤dÉH ym ≥ª©H ¿GõÿG Gòg ‘ AÉŸG ºéM

AÉŸG ´ÉØJQG ¿Éc ÉeóæY 6 m3 /min ∫ó©Ã ¿GõÿG øe AÉŸG ≥aóJ GPEG ?¿GõÿG ‘ AÉŸG ´ÉØJQG iƒà°ùe Ò¨J ∫ó©e ɪa , y = 8 m dy . dt OÉéjEG Öéj ddVt =- 6 m3 /min :Éæjód dV 2 dy dt = (26ry - ry ) dt

:ƒg AÉŸG ´ÉØJQG iƒà°ùe Ò¨J ∫ó©e q¿EÉa ‹ÉàdÉHh dy -1 dt = 24r . - 1.326 cm/min

:á©FÉ°T AÉ£NCG -7 ,á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG πFÉ°ùe πM ‘ ÉYk ƒ«°T ÜÓ£dG AÉ£NCG ÌcCG (øeõdG ¤EG áÑ°ùædÉH ¥É≤à°T’G πÑb) ¿GôμÑŸG ¢†jƒ©àdG hCG º««≤àdG »g ≈∏Y óucCG .áÑ°SÉæŸG äÉ≤à°ûŸG ≈∏Y ∫ƒ°ü◊G π«ëà°ùŸG øe π©éj Ée πFÉ°ùe π◊ äGƒ£îdG á«é«JGΰSEG ‘ á«FÉ¡ædG Iƒ£ÿG ƒg º««≤àdG ¿CG .á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG :˃≤àdG -8 .8-A ,5-A ,4-A ,2-A :øjQɪàdG πM ÜÓ£dG ¤EG Ö∏WG ä’ó©ŸG ≈æ©e Gƒª¡a ób º¡fCG øe ócCÉJh ÜÓ£dG πªY øe ≥≤– .á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J ≈∏Y ÉgÒKCÉJh á£ÑJôŸG

80

:Ωƒ«dG ádCÉ°ùe -9 ∞jôdG ‘ ™ªŒ ¿Éμ°S OóY ¿Éc , 1997 ΩÉY øe ôjÉæj ∫hCG ‘ ; 4% Évjƒæ°S ¢übÉæàj Oó©dG ¿CG ¢VGÎaG ≈∏Y .¢üî°T 3000 ? 1999 ΩÉY øe ôjÉæj ∫hCG ‘ ¿Éμ°ùdG OóY ¿Éc ºc (CG) 2765

?¢üî°T 2000 øe πbCG ¿Éμ°ùdG OóY íÑ°ü«°S áæ°S ºc ó©H (Ü) 2007 ΩÉY …CG 1997 ΩÉY øe äGƒæ°S 10 ó©H

81

IóMƒdG QÉÑàNG áãdÉãdG IóMƒdG QÉÑàNG äÉHÉLEG x =- 2 óæY - 2 :á«∏fi iô¨°U ᪫b (CG) (1) x = 0 óæY 2 :á«∏fi ≈ª¶Y ᪫b (- 2, 0) (Ü) (- 3, - 2) , ^0, 3h (`L) ^- 3, - 1h (O) (- 1, 3) (`g) 6- 3, - 3@, 60, 3@ (CG) (2) 6- 3, 0@, 63, 3@ (Ü) _- 3, 3 i (`L) _- 3, - 3 i, _ 3, 3i (O) x = ! 3 óæY 92 á«∏fi ≈ª¶Y ᪫b (`g) x = 0 óæY 11 á«∏fi iô¨°U ᪫b _- 3, 56i, _ 3, 56i (h) óLƒj ’ (CG) (3) 4 (Ü) x = 2 h x =- 2 óæY (`L) g (x) = 2x3 - 47 (4) 2.063 cm * 13.873 cm * 5.873 cm ‹GƒM (CG) (5) 168.126 cm3 ‹GƒM (Ü) a =- 50 (CG) (6) a =- 24 (Ü)

(Ü) (7) á≤«bO/Ωób 0.1123 ∫ó©Ã ¢übÉæàj (8) (9)

82

145 - 40.215 m/s 13

83