Распознавание по множеству порядков элементов знакопеременных групп степени r+1 и r+2 для простого r и группы порядка 16

Алгебра, и логика, 39, N 6 (2000), 648-661

У Д К 512.542

РАСПОЗНАВАНИЕ ПО М Н О Ж Е С Т В У П О Р Я Д К О В ЭЛЕМЕНТОВ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ГРУПП СТЕПЕНИ г + 1 И г + 2 Д Л Я ПРОСТОГО г И ГРУППЫ СТЕПЕНИ 16*) А. В. ЗАВАРНИЦИН В ведение Для конечной группы G обозначим через u(G) множество поряд­ ков ее элементов. Будем говорить, что группа G распознается по своему множеству порядков элементов CJ(G), если равенство u(G) = w(H) влечет изоморфизм G и Я для любой конечной группы Я . Определение графа Грюнберга—Кегеля GK(G) и множеств fii(G) содержится, например, в [1]. Через s(G) будем обозначать число связных компонент в GK(G). В [1] доказывается, что знакопеременная группа Аг простой степени г ^ 5 распознаваема по своему множеству порядков элементов. Это доказа­ тельство опирается на тот факт, что граф GK(Ar)

— несвязный и простое

число г образует его компоненту связности. Таким же свойством обладает граф Грюнберга—Кегеля знакопеременной группы А п , где п = г + 1 или г + 2 для простого г, что позволяет перенести доказательство распознавае­ мости из [1] на случай таких групп. Значит, все простые знакопеременные группы с несвязным графом Грюнберга—Кегеля, кроме А 6 , распознава­ емы. Среди остальных знакопеременных групп Аю, -Aie» M2, • • • лишь о группе Аю было известно, что она не является распознаваемой (см. [2]). *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00550, Федеральной целевой программы "Интегра­ ция" и СО РАН, грант для коллективов молодых ученых, постановление Президиума N 83 от 10.03.2000. ©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

Распознавание по множеству порядков элементов

649

Во второй части настоящей работы доказывается, что группа А 1б распознается по своему множеству порядков элементов. Таким образом, получен первый пример простой распознаваемой группы со связным гра­ фом Грюнберга—Кегеля, в то время как у всех до сих пор известных про­ стых распознаваемых групп этот граф является несвязным. В настоящей работе используются следующие обозначения. Пусть В — группа с нормальной подгруппой А, фактор-группа у которой изо­ морфна В. Для конечной группы G через Soc(G) обозначается произве­ дение минимальных нормальных подгрупп в G, через (A(G) — множество максимальных по делимости элементов из u{G). Множество u(G) одно­ значно восстанавливается по fi(G) и наоборот. Через On(G) обозначается наибольшая нормальная 7г-подгруппа B G , а через 0 7r (G) — наименьшая нормальная подгруппа в G, фактор-группа по которой является ^-груп­ пой. Пусть ¥я — конечное поле из q элементов, a Zk ~- циклическая группа порядка к.

§ 1. Знакопеременные группы степени г + 1 и г + 2 для простого г Т Е О Р Е М А 1. Пусть G — конечная группа такая, что u(G) = = uj(An), где Ап — знакопеременная группа степени п = г + 1 или г + 2 для простого г > 5. Тогда G изоморфна Ап. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО,, Можно считать, что п не является простым числом, поскольку в противном случае утверждение следует из [1]. Тогда число г является максимальным простым делителем порядка группы G и образует компоненту связности несвязного графа GK(G). По [3] можно считать, что г ^ 13. Л Е М М А 1.1. Пусть т — натуральное число. (а) Если т ^ 32 и т ф 37, то существует простое р, удовлетворя­ ющее неравенствам 5т/8 < р ^ т — 9. (б) Если т ^ 18, то существует простое р, удовлетворяющее нера­ венствам т/2 < р $С т — 7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится как в [4, док-во леммы 1].

650

А. В, Заварницин Л Е М М А 1.2. Если к ^7,

то и{Ак) £

u{Sk~i).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если А: ^ 18, то согласно п. (б) леммы 1.1 су­ ществует простое р такое, что к/2 < р $С к — 7. Поскольку к — р ^ 7, по индукции найдется s Е и(Ак-р) \u(Sk-p-i).

Так как р > fc/2, то р не

делит s и ps Е ь>(>Ц) \o;(5fc-i). Для fc, удовлетворяющего 7 ^ & ^ 17, утверждение легко проверить непосредственно. Лемма доказана. С Л Е Д С Т В И Е . ДЛЯ простого г ^ 7 имеют место и(А г +2) ф ф u(Sr+i),

a;(A r+2 ) # w ( S r ) , w(A r + 1 ) / Ц 5 Г ) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, поскольку w(Sr) С w(S r +i). Л Е М М А 1.3. Пусть р, г — простые числа, г ф 2 и Н = Zp X Аг. Тогда и(Н) £ а;(Л г + 2 ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если р ^ г> т о и(Н)\и(Аг+2)

по

лемме 4 из [4] в множестве

содержится числорг, в противном случае — число 2р. Лемма

доказана. Л Е М М А 1.4. Пусть Н — полупрямое произведение

элементарной

абелевой 2-группы V на группу Ат- Если т ^ 6, т ф 8 и А.т действует на V точно, то ш(Н) £ и>(Ат+2)ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, и пусть Н — контр­ пример наименьшего порядка. Тогда Ат действует неприводимо на V. Можно считать, что V является векторным пространством над полем F2 и Ат — группа его линейных преобразований. Дальнейшие рассуждения разобьем на серию вспомогательных утверждений. 1. Справедливо т > 19. По условию, в Ат существует подгруп­ па Фробениуса порядка 10, которая действует точно на V и дополне­ ние которой порождено элементом d порядка 2. По лемме 5 [4] получа­ ем dimCv(d) = (dimV)/2. В Ат найдется элемент Ъ порядка 4 такой, что d = b2. Следовательно, минимальный многочлен элемента Ь при действии на V равен (х - I) 4 , иначе выполнялось бы dimCV(d) > (dimV)/2. Зна­ чит, 8 Е (#), т.е. т ^ 9. Из таблицы 2-модулярных характеров группы Л 9 (см. [2]) следует, что в OJ(H) лежит либо 2 • 9, либо 2 • 15, и поэтому т ^ 10. Тогда в Ат существует подгруппа Фробениуса порядка 9 • 4, ко­ торая действует точно на V и дополнение которой порождено элементом

Распознавание по множеству порядков элементов

651

/ порядка 4. Кроме того, в Ат найдется элемент g порядка 8 такой, что Как и выше, отсюда следует, что минимальный многочлен элемен­ та g при действии на V равен (х ~ I) 8 , т.е. т ^ 16. Ненулевое факторпространство Vi = V/kev(g - I) 7 инвариантно относительно действия цен­ трализатора Сд т ( 19. 2. Имеет место т = 2" или т = 2 n -f 1 для п ^ 5. Поскольку т > 19, для некоторого п ^ 4 справедливо 2П ^ га < 2 n + 1 . Как и в лемме 1,2 [4], можно показать, что 2П г де ^ € VQ и а £ Л т _ р + 2« Поскольку р > т / 2 , то |(v,ac)| = ps £ с^(Я) \u(Am+2),

получили противоречие. Зна­

чит, с действует на V без неподвижных точек. Достаточно доказать, что т < 2 п + 2 . Пусть, напротив, т >, 2 п +2. Тогда в Ат найдется элемент Ь по­ рядка 2 П , минимальный многочлен которого равен (х - I) 2 " (см. [4, док-во леммы 1.3]), откуда 2 n + 1 £ u(H) \u;(A m+ 2)> получили противоречие. Теперь можно завершить доказательство леммы 1.4. Если какой-либо цикл длины 3 из Ат централизует нетривиальное подпространство Vb, то в Ат имеется подгруппа, которая изоморфна Л ш _з и которая либо действует точно на Vb, либо централизует Vo. В первом случае 5 • 2 П " 3 ^ т - 3 < < 2 П , и снова применив рассуждение из [4, док-во леммы 1.2], получим, что 3 * 2П £ и(Н) \oj(Am+2)> вопреки предположению. В силу леммы 9 [4], второй случай противоречит тому, что Ат действует неприводимо и точно на V", причем т > 6.

652

А. В. Заварницин Итак, никакой цикл длины 3 не централизует нетривиальных эле­

ментов в V. Обозначим через d произведение двух независимых циклов а и Ь длины 3. Тогда dimCv(d) = (dimV)/2. Это доказывается так же, как лемма 1.5 [4], следует лишь заметить, что элементы аЬ и ab~~l сопряжены в Ат. В Ат содержится подгруппа Фробениуса порядка 7 • 3 с ядром, порожденным циклом с длины 7 и дополнением, порожденным элемен­ том d. Если с не имеет нетривиальных неподвижных точек в V, то эта группа Фробениуса действует точно на V, и по лемме 5 [4] получаем dimCV(d) = (climV")/3 вопреки доказанному выше. Поэтому VQ = Су {с) — нетривиальное подпространство, инвариантное относительно подгруппы, изоморфной Ат_7> которая либо действует точно на VQ, либо централизует VQ. В первом случае 5 • 2"~~3 ^ т - 7 < 2", и из [4, док-во леммы 1.2] сле­ дует, что 7 • 2 n £ ш(Н) \w(i4m+2)« Получили противоречие. В силу леммы 9 [4] второй случай противоречит тому, что Ат действует неприводимо и точно на У, причем т > 14. Лемма доказана. Л Е М М А 1.5. Пусть Я — полупрямое произведение

элементарной

абелевой 3-группы V на группу Ат. Если т ^ 4 и Ат действует на V точно, mouj(H) g и(Ат+2)ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, и пусть Я — контр­ пример наименьшего порядка. Тогда Ат действует неприводимо на У. В Ат существует подгруппа Фробениуса порядка 4 • 3 с дополнением, поро­ жденным циклом с длины 3. По лемме 2 [4] в Я найдется элемент порядка 9, т. е. т ^ 7. Фактор-пространство \\ — V/ker(l — с) 2 нетривиально и инвариантно относительно действия централизатора С^ т (с), содержащего нециклическую подгруппу К порядка 4. Поскольку группа К не имеет точных неприводимых представлений над полем F3, в ней найдется эле­ мент порядка 2, который централизует нетривиальный элемент из V\. По лемме 3 [4] число 9 • 2 лежит в си (Я), и поэтому т ^ 11. Теперь в Агп имеется подгруппа Фробениуса порядка 4 • 3 с дополнением, порожденным произведением d трех независимых циклов длины 3 таким, что d = b3

Распознавшие по множеству порядков элементов

653

для некоторого цикла Ь длины 9. Повторяя рассуждение из [4, док-во лем­ мы 1.3], находим, что 27 £ ш(Н) и m > 11. Существует натуральное t ^ 1 такое, что 4-3'^m