Методы технической диагностики: Методические указания к выполнению практических работ N7-13

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ

Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÝÐÎÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß

МЕТОДЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ Методические указания к выполнению практических работ № 7–13

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2006

Составитель кандидат технических наук, доцент В. А. Голубков Рецензент кандидат технических наук, доцент М. А. Волохов

Даны методические указания к выполнению практических работ № 7–13 по курсу «Методы технической диагностики». Предназначены для студентов специальности 200102 – Приборы и методы контроля качества и диагностики. Подготовлены кафедрой электротехники и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.

Редактор А. В. Семенчук Компьютерный набор и верстка Н. С. Степановой

Подписано к печати 28.02.06. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,9. Уч. -изд. л. 2,24. Тираж 100 экз. Заказ №

Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии ГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

© ГОУ ВПО «СПбГУАП», 2006

2

Практическая работа № 7 ЛИНЕЙНЫЕ РАЗДЕЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИИ Цель работы: изучение линейных разделяющих функций и процедуры построения разделяющей гиперплоскости для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Один из важнейших классов разделяющих функций связан с линейными дискриминантными функциями. Тогда разделяющая функция при распознавании двух классов: f ( x) = f1 ( x) − f 2 ( x) = λ1 x1 + λ 2 x2 + ... + λ N xN + λ N +1 ,

(1)

λ j = λ1 j − λ 2 j ( j = 1, 2,..., N + 1).

(2)

Величины λj называются весовыми коэффициентами. Методы распознавания с помощью линейных разделяющих функций называются линейными методами разделения. Диагнозы, для которых возможно такое распознавание, считаются линейно-разделимыми. Весовые коэффициенты λj образуют весовой вектор с числом компонентов N + 1 λ = {λ1, λ2, …, λN, λN+1}. (3) Для удобства геометрической интерпретации дополним вектор х еще одним компонентом xN+1 ≡ 1. (4) Тогда дополненный вектор признаков x* = {x1, x2, …, xN, xN+1}. (5) Разделяющую функцию при диагностике на два состояния можно представить в виде скалярного произведения f ( x∗ ) = λx∗ .

(6) 3

Условия разделения (решающее правило): f ( x∗ ) = λx∗ > 0 при x∗ ∈ D1 ; f ( x∗ ) = λx∗ < 0 при x∗ ∈ D2 .

(7)

Разделяющая поверхность является плоскостью в (N + 1)-мерном пространстве или гиперплоскостью. Уравнение разделяющей гиперплоскости f ( x∗ ) = λx∗ = λ1 x1 + λ 2 x2 + ... + λ N +1 xN +1 = 0.

(8)

Уравнение (8) означает, что весовой вектор λ перпендикулярен разделяющей гиперплоскости (рис. 1). В дополненном пространстве признаков разделяющая гиперплоскость всегда проходит через начало координат. x2

Разделяющая плоскость f ( x) = λx = 0 D1

λ π/2 0

D2 x1

Рис. 1. Весовой вектор и разделяющая плоскость

Линейная разделяющая функция в дополненном пространстве признаков имеет простой геометрический смысл f(x*) = λx* = h, где h – проекции вектора x* на направление весового вектора λ, что вытекает из смысла скалярного произведения. Абсолютная величина h равна расстоянию точки x* до разделяющей плоскости λx* = 0. Значение h положительно, если точка x* находится в полупространстве, векторы точек которого дают положительную проекцию на вектор λ. Нахождение разделяющей гиперплоскости. Разделяющая гиперплоскость проходит через начало координат (в дополненном пространстве признаков) и нормальна весовому вектору λ. Следовательно, вектор λ однозначно определяет положение разделяющей плоскости в 4

пространстве признаков и задача сводится к нахождению вектора λ. Рассмотрим процедуру определения весового вектора с помощью обучающей последовательности. Под обучающей последовательностью понимается совокупность образцов с известным диагнозом (совокупность «верифицированных образцов»). Эта последовательность используется для «обучения», в данном случае – нахождения весового вектора (разделяющей гиперплоскости). Пусть в пространстве признаков имеются две области диагнозов D1 и D2. Они изображены для трехмерного пространства признаков на рис. 2. Разделяющая плоскость должна удовлетворять условиям (7), которые можно упростить, если ввести в рассмотрение объединенную область диагнозов D1 и D2* : D = D1 ∪ D2* , где D2* – область диагноза D2, симметрично отображенная относительно начала координат (рис. 3). Знак ∪ означает объединение множеств. Область D2* получается из D2, если знак у векторов x ∈ D изменить на противоположный. Отметим, что области D1 и D2* могут иметь общие точки. Теперь разделяющая функция вместо соотношений (7) будет удовлетворять условию f ( x∗ ) = λx∗ > 0 при x∗ ∈ D1 ∪ D2* . x3

∗ D1 ∪ D2

(9)

x3

0

x2 D1

∗ D2

x2

D1

0 D2

x1

Рис. 2. Области диагнозов в пространстве признаков

0 D2

x1

Рис. 3. Объединенная область диагнозов

Следовательно, объединенная область D должна располагаться по одну сторону от разделяющей гиперплоскости (8) или, что равносильно, гиперплоскость не должна пересекать объединенную область диагноза. 5

В дальнейшем придется часто рассматривать векторы в дополненном пространстве (xN+1 = 1) признаков и для простоты опустим индекс * у вектора х. Уравнение гиперплоскости запишем так: f(x) = λx = 0. (10) При определении вектора λ применяется процедура последовательных приближений. Для обучения предъявляется первый образец x(1), относительно которого диагноз известен. В качестве первого приближения: для вектора λ принимается λ (1) = x(1) , если x(1) ∈ D1

или λ (1) = − x(1) , если x (1) ∈ D2 .

(11)

На рис. 4 показан случай, когда первый образец принадлежит области D2. Разделяющая плоскость для первого приближения описывается уравнением λ(1)x = 0, (12) т. е. разделяющая плоскость перпендикулярна вектору первой точки. Далее предъявляется второй образец, описываемый вектором x(2). На рис. 4 этот образец относится к диагнозу D1. Сначала проверяется правильность предыдущего приближения для разделяющей плоскости. Если выполняется условие λ(1)x(2) > 0, то весовой вектор не требует корректировки и во втором приближении принимается λ(2) = λ(1). x3

λ(1) x = 0

D1

λ(3)

x2

D2∗

x2

x3 λ(3)x = 0

λ(1) = x(1)

0

x1

Рис. 4. Процедура построения разделяющей плоскости

6

Случай, когда во втором приближении не требуется внесения поправки, показан на рис. 4 Далее предъявляется третий образец x(3) и проводится проверка предыдущего значения весового вектора. Если λ(2)x(3) > 0, то исправления вектора не требуется и принимается λ(3) = λ (2) (точки x(1), x(2), x(3) лежат по одну сторону от разделяющей плоскости). Если λ(2)x(3) > 0 (этот случай показан на рис. 4), то условие разделения (9) λx > 0 не выполняется и требуется скорректировать весовой вектор. Принимают теперь λ(3) = λ(2) + x(3) и далее переходят к показу следующего образца. В общем виде описанную процедуру можно представить так: λ ( n +1) = λ ( n ) + rn +1x( n +1) .

(13)

В последнем равенстве: при

⎧⎪0, если λ ( n ) x( n +1) > 0, x( n +1) ∈ D1r( n+1) = ⎨ ⎪⎩1, если λ ( n) x( n +1) < 0;

(14)

при

⎧⎪−1, если λ ( n ) x( n +1) > 0, x( n +1) ∈ D2 r( n+1) = ⎨ ⎪⎩0, если λ ( n ) x( n +1) < 0.

(15)

Иными словами, при неправильных ответах к вектору λ(n) добавляется вектор точки, относительно которой была совершена ошибка. Практическая часть 1. Изучить методические указания и получить задание. 2. Построить линейную дискриминантную функцию для диагностики исследуемых объектов на два класса (исправен–неисправен). 3. Оформить отчет о практической работе. 4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем. Отчет должен содержать: 1. Цель работы. 2. Задание. 3. Основные формулы и положения. 4. Расчет линейной дискриминантной функции (численный). 5. Выводы по работе. 7

Практическая работа № 8 ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ РАЗДЕЛЯЮЩЕЙ ГИПЕРПЛОСКОСТИ Цель работы: изучение обобщенного алгоритма нахождения разделяющей гиперплоскости в пространстве признаков для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Рассмотрим обобщенный алгоритм нахождения весового вектора с помощью показа образцов из обучающей последовательности. Будем считать, что векторы объектов х принадлежат объединенной области диагнозов, т. е. x0 = x, если x ∈ D1; x0 = –x, если x ∈ D2. (1) Используемая ранее процедура для векторов объединенной области, имеет вид λ ( n +1) = λ ( n ) + rn +1x0( n +1) ,

(2)

где ⎧⎪1, если λ ( n ) x(0n +1) < 0; rn +1 = ⎨ 0 ⎪⎩0, если λ ( n ) x( n +1) > 0.

(3)

В обобщенном алгоритме используется прежняя процедура нахождения вектора λ, но выбор скалярного корректирующего множителя r подчинен другим условиям. Пусть построены вектор λ(n) и соответствующая разделяющая плоскость, но образец x0(n+1) распознается неправильно: λ ( n ) x0( n+1) < 0 . Проведем корректировку вектора λ(n) так, чтобы новое положение разделяющей плоскости давало правильное распознавание объекта x0(n+1) . Тогда по соотношению (2)

8

2

λ ( n +1) x0( n +1) = λ ( n ) x0( n +1) + rn+1 x(0n+1) > 0

(4)

или

rn +1 > −

λ ( n ) x0( n +1) 2 x0( n +1)

λ ( n ) x0( n +1)

=

2 x0( n +1)

.

(5)

Если же объект x0(n+1) распознается достоверно, то корректировки вектора λ(n) не требуется и следует положить rn + 1 = 0. Примем обобщенный алгоритм нахождения весового вектора в такой форме λ ( n +1) = λ ( n ) + rn +1x 0( n +1) ,

(6)

где ⎧ λ x0 ⎪cn +1 ( n ) ( n +1) , если λ ( n ) x(0n +1) < 0; 2 ⎪ rn +1 = ⎨ x0( n +1) ⎪ ⎪0, если λ ( n ) x(0n +1) > 0. ⎩

(7)

Здесь c(n + 1) — скалярный множитель, соответствующий (n + 1)-му приближению. Если положить

cn+1 =

x0(n+1)

2

λ ( n) x0( n+1)

,

(8)

то получается указанный ранее алгоритм. Установим достаточное условие, обеспечивающее приближение к точному решению в процессе последовательных приближений. Пусть λ представляет собой точное значение весового (разделяющего) вектора λх 0 > 0 для всех

х 0 ∈ D1 ∪ D2*.

(9)

Вычитая из обеих частей равенства (6) вектор λ и умножая скалярно обе части равенства на себя, получим 9

2

2

2

λ ( n+1) − λ = λ ( n) − λ + 2rn+1 (λ ( n) − λ )x(0n+1) + rn2+1 x(0n+1) .

(10)

Последнее соотношение представим так: 2

2

λ ( n +1) − λ = λ ( n ) − λ + A.

(11)

Очевидно, что при A < 0 λ ( n +1) − λ < λ ( n ) − λ и при возрастании n (увеличении числа исправлений) процесс сходится к точному значению λ ( n ) → λ . Таким образом, достаточное условие сходимости

A < 0. (12) Остается выяснить, при каких условиях справедливо последнее неравенство. Достаточно рассмотреть случай, когда λ ( n ) x(0n+1) < 0 , так как

(

)

в противном случае l ( n +1) = l ( n ) «исправление» не происходит. Учитывая верхнюю строчку неравенства (7), соотношения (10) и (11), найдем A = 2cn +1

λ ( n ) x0( n +1) 2 x0( n +1)

(λ ( n ) − λ )x0( n +1) + cn2+1

λ ( n ) x0( n +1) x0( n +1)

2

2

или A = −2cn +1

λ ( n ) x0( n +1) 2 x0( n +1)

λx0( n +1) − (2cn +1 − cn2+1 )

λ ( n ) x0( n +1) x0( n +1)

2

2

.

(13)

Первый член равенства (13) всегда отрицателен по условию (9). Второй член становится отрицательным, если 0 < cn+1 < 2. (14) Последнее условие составляет достаточное условие сходимости процесса. Обычно выбирается постоянное значение cn+1 = 2 и при условии (14) получается сходящийся алгоритм. 10

Практическая часть 1. Изучить методические указания и получить задание. 2. Построить линейную дискриминантную функцию для диагностики исследуемых объектов на два класса (исправен–неисправен) с помощью обощенного алгоритма. 3. Оформить отчет о практической работе. 4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем Отчет должен содержать: 1. Цель работы. 2. Задание. 3. Основные формулы и положения. 4. Расчет линейной дискриминантной функции (численный) с помощью обобщенного алгоритма. 5. Выводы по работе. Практическая работа № 9 РАЗДЕЛЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ НЕСКОЛЬКИХ ДИАГНОЗОВ Цель работы: изучение методов разделения в пространстве признаков с помощью линейных дискриминантных функций при наличии нескольких диагнозов исследуемых систем и объектов. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ В случае разделения на n диагнозов оно осуществляется с помощью линейных дискриминантных функций (1) fi ( x) = λ i x. По отношению к остальным функциям должно выполняться условие fi (x) > f j (x) для x ∈ Di ( j = 1, 2,3,..., n; j ≠ i ).

(2)

Допустим, что в k-м приближении определены весовые векторы λ(k) и предъявляется (k + 1)-й образец x(k+1), принадлежащий диагнозу D1. При этом могут возникнуть две ситуации. Если λ i ( k ) x( k +1) > λ j ( k ) x( k +1) ( j = 1, 2, ..., n; j ≠ i ),

(3)

то весовые векторы не требуют корректировки и принимаются 11

λ j ( k +1) = λ j ( k ) , ( j = 1, 2, ..., n).

Если некоторые дискриминантные функции fs(x) обнаружили значения большие, чем f i (x), т. е. f s (x( k +1) ) > fi (x( k +1) )x( k +1) ∈ Di , ( s = 1, 2, ..., n; s ≠ i ), то принимается λ i ( k +1) = l i ( k ) + x( k +1) ; l s ( k +1) = λ s ( k ) − x( k +1) .

(4)

Таким образом, «усиливается» весовой вектор, соответствующий i-й разделяющей функции и «ослабляются» другие весовые векторы, нарушившие условие (2). Практическая часть 1. Изучить методические указания и получить задание. 2. Построить линейные дискриминантные функции для диагностики исследуемых объектов на три класса . 3. Оформить отчет о практической работе. 4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем Отчет должен содержать: 1. Цель работы. 2. Задание. 3. Основные формулы и положения. 4. Расчет линейных дискриминантных функций (численный). 5. Выводы по работе. Практическая работа № 10 ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РАЗДЕЛЯЮЩЕЙ ГИПЕРПЛОСКОСТИ Цель работы: изучение приближенного метода построения разделяющей гиперплоскости в пространстве признаков для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Рассмотрим разделение на два диагноза линейной разделяющей функцией 12

f(x) = λx.

(1)

x2

x A2

Разделяющая плоскость

a2

A1

a0 a1

x1

Рис. 1. Приближенный способ построения разделяющей плоскости (в двухмерном пространстве признаков)

Ранее разбиралась процедура нахождения весового вектора λ с помощью последовательного показа образцов, принадлежащих состояниям (диагнозам) D1 и D2. Укажем теперь прямой способ приближенного определения весового вектора. Пусть в обучающей последовательности для первого диагноза D1 содержится M1 образцов и, соответственно, для второго диагноза D2–M2 образцов. Введем «средние векторы» или эталоны для диагнозов D1 и D2: M

a1 =

1 1 ∑ xρ(1) ; M1 ρ =1

(2)

M

1 2 a2 = (3) ∑ xρ(2) . M 2 ρ =1 Проведем разделяющую плоскость через середину отрезка, соединяющего концы средних векторов-эталонов (рис. 1), и перпендикулярно этому отрезку (вектору a2–a1). Вектор, проходящий через середину отрезка, a 0 = a1 + (a 2 − a1 ) / / 2 = (a1 + a 2 ) / 2 . Если вектор х лежит в разделяющей плоскости, то скалярное произведение (a 2 − a1 )( x − a 0 ) = 0

или (a 2 − a1 ) x − (a 2 − a1 )(a 2 + a1 ) / 2 = 0.

(4) 13

Уравнение (4) в N-мерном пространстве признаков имеет вид f ( x) = ( a21 − a11 ) x1 + ... + ( a2 N − a1N ) x N + 1(a12 − a 22 ) / 2 = 0.

(5)

Сопоставляя с уравнением для разделяющей плоскости в дополненном пространстве признаков, получим значения составляющих весового вектора λ1 = a2 − a1 , ..., λ N = a2 N − a1N , l N +1 = (a12 − a 22 ) / 2.

(6)

Указанные значения могут быть выбраны как первые приближения, и относительно плоскости (5) должны быть проверены все точки обучающей последовательности; при необходимости вносят исправления в соответствии с изложенными ранее алгоритмами. Практическая часть 1. Изучить методические указания и получить задание. 2. Построить линейную дискриминантную функцию для диагностики исследуемых объектов на два класса с помощью приближенного метода. 3. Оформить отчет о практической работе. 4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем. Отчет должен содержать: 1. Цель работы. 2. Задание. 3. Основные формулы и положения. 4. Расчет линейной дискриминантной функции (численный). 5. Выводы по работе. Практическая работа № 11 РАЗДЕЛЕНИЕ В ДИАГНОСТИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ Цель работы: изучение метода разделения в диагностическом пространстве для контроля технического состояния исследуемых систем и объектов. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Рассматривается распознавание образов двух классов (диагнозов D1 и D2) с помощью разделяющей функции общего вида 14

f ( x) =

v

∑ λi ji (x),

(1)

i =1

причем при f ( x) > 0 x ∈ D1 ; при

f ( x) < 0 x ∈ D2 ,

(2)

где x – вектор, изображающий объект в пространстве признаков. В равенстве (1) скалярные функции векторного аргумента ϕi (x) выбираются заранее, коэффициенты λi подлежат определению. Введем в рассмотрение диагностическое пространство размерности ν, координаты точек которого zi = ϕi(x) (i = 1,2, ..., ν). (3) В обычном пространстве признаков объект характеризуется вектором x{x1, x2, ..., xn} или «расширенным» вектором x{x1, x2, ..., xn,1}. В диагностическом пространстве объект описывается вектором z = {z1, z2, ..., zν}. Равенство (3) устанавливает преобразование пространства признаков в диагностическое пространство. Такое преобразование целесообразно, если позволяет более просто осуществить разделение областей диагнозов. a)

б) x3

x2 D1

D2 0

D2

x1

D1

–1 0 1 2 3 4

z1

Рис. 1. Разделение в пространстве признаков и диагностическом пространстве

Пусть, например, объект характеризуется тремя бинарными (простыми) признаками x1, x2, x3; в трехмерном пространстве признаков каждый из объектов соответствует одной из вершин трехмерного единичного куба (рис. 1, а). Выберем пространство одномерным, полагая z1 = x12 + x22 + x32 .

(4)

Тогда вершины куба отобразятся в четыре точки прямой z1 (рис. 1, б). Если точки, отмеченные треугольником, относятся к диагнозу D2, а круж15

ком – диагнозу D1, то разделяющая функция в диагностическом пространстве имеет очень простой вид, например f(z1) = z1 – 3/2. (5) Отметим, что равенство (3) устанавливает однозначное преобразование точек пространства признаков в точки диагностического пространства. Обратное преобразование, как ясно из приведенного примера, может быть не однозначным. Основная идея рассматриваемого метода – преобразование пространства признаков в другое пространство, в котором возможно осуществить линейное разделение диагнозов (классов). Отметим, что при достаточно большой размерности диагностического пространства такое разделение принципиально возможно, но для эффективности практической реализации важно найти преобразования (3) с конечным и небольшим числом членов ряда (1). Напомним, что размерность диагностического пространства соответствует числу членов ряда (1). Для достаточно «гладких» разделяющих функций этот ряд содержит конечное число членов; в других задачах диагностическое пространство будет бесконечномерным, и тогда для сходящихся рядов, так как только в этом случае функция f(x) сохраняет смысл, l i → 0 при i → ∞ . Разделяющая функция в диагностическом пространстве f(z) = λ z, (6) где весовой вектор λ = {λ1, λ2, ..., λν} (7) и вектор z = {j1 ( x), j 2 ( x),..., j v ( x)} = j( x).

(8)

Если возможно представление разделяющей функции в виде ряда (1), то существует также линейное разделение в диагностическом пространстве. Разделяющая функция будет построена, если определены коэффициенты λi. Эти коэффициенты могут быть найдены в процессе обучения с помощью показа образцов из обучающей последовательности. Наиболее простой способ – использование алгоритмов для линейной разделяющей функции в диагностическом пространстве. 16

После первого образца x(1) или в диагностическом пространстве образца z(1) разделяющая функция в диагностическом пространстве

⎧⎪z (1) z при z (1) ∈ D1; f (1) (z ) = ⎨ ⎪⎩−z (1) z при z (1) ∈ D2 ,

(9)

соответственно, в пространстве признаков v ⎧ ⎪j(x(1) )j(x) = ji (x(1) )ji (x) x(1) ∈ D1; ⎪ i =1 f (1) (x) = ⎨ v ⎪ x x − = − ( ) ( ) j j ji (x(1) )ji (x) x(1) ∈ D2 . (1) ⎪ i =1 ⎩

∑

∑

(10)

Для (n + 1)-го приближения разделяющей функции можно записать f ( n +1) (x) = f ( n ) (x) + r( n +1)

v

∑ ji (x(n+1) )ji (x),

(n = 0,1, 2,...),

i =1

(11)

где при x( n +1) ∈ D1

⎧⎪0, если f ( n ) (x( n +1) ) > 0; rn +1 = ⎨ ⎪⎩1, если f ( n ) (x( n +1) ) < 0.

(12)

При x( n +1) ∈ D2 принимается

⎧⎪−1, если f ( n ) (x( n +1) ) > 0; rn +1 = ⎨ ⎪⎩0, если f ( n ) (x( n +1) ) < 0. Отметим, что f(0)(x) = 0, а значение f(1)(x) определяется равенством (10). Для коэффициентов разложения λi (компонентов весового вектора) в равенстве (1) получаем следующие значения в процессе последовательных приближений:

(

)

λi (n +1) = λi (n ) + rn +1fi x( n +1 .

17

Практическая часть 1. Изучить методические указания и получить задание. 2. Построить дискриминантную функцию для диагностики исследуемых объектов на два класса в диагностическом пространстве z = (x12 + x22 + x32)0,5. 3. Оформить отчет о практической работе. 4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем. Отчет должен содержать: 1. Цель работы. 2. Задание. 3. Основные формулы и положения. 4. Расчет дискриминантной функции в диагностическом пространстве (численный). 5. Выводы по работе. Практическая работа № 12 МЕТОД ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Цель работы: изучение метода потенциальных функций и алгоритма построения разделяющей функции для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Метод потенциальных функций является развитием идеи преобразования пространства признаков. В настоящее время метод потенциальных функций можно считать одним из наиболее разработанных и математически обоснованных методов распознавания образов (классов, диагнозов, состояний). В качестве дискриминантных функций fi(x) для диагноза D1 в пространстве признаков в рассматриваемых методах выбираются функции, имеющие наибольшее значение для точек этой области и убывающие по мере удаления от нее. Подобным свойством обладает потенциал точечного заряда, что и дало название методам. Если ввести расстояние между произвольной точкой x пространства признаков и некоторой характерной точкой xi, принадлежащей диагнозу Di 18

ρ( x, xi ) = x − xi ,

(1)

то следует считать, что дискриминантная функция fi(x) должна быть убывающей функцией этого расстояния f i (x) = f i (ρ).

(2)

Так как ρ зависит от x и xi, то можно записать fi(x) = K(x, xj), (3) где K(x, xi) – потенциальная функция x, в которую входит xi как параметр. Точка x в многомерном пространстве признаков описывает состояние объекта. Метод потенциальных функций развит для разделения на два состояния (дифференциальная диагностика, дихотомия). В указанном случае разделяющая функция f ( x) = f1 ( x) − f 2 ( x) = K ( x, x1 ) − K ( x, x 2 ).

(4)

Основное свойство разделяющей функции: f(x) > 0, если x ∈ D1; f(x) < 0, если x ∈ D2. (5) Диагнозы (классы) D1 и D2 считаются непересекающимися, т. е. точка x может входить только в один из указанных классов. Если известна потенциальная функция K(x, y), которую условно можно рассматривать как «потенциал» в точке x от источника в точке y, то при соответствующем выборе точек x1 и x2 можно построить разделяющую функцию f(x). Потенциальная функция зависит от расстояния между точками K (x, y ) = K ( x − y ).

(6)

Приведем несколько возможных выражений для потенциальной функции, учитывающих условия ограниченности функции при x = y K ( x, y ) = e

K (x, y ) =

− a x−y

m

1 1+ a x − y

(7)

; m

;

(8)

(m > 0; a > 0),

19

1

⎧⎪ N ⎫⎪ 2 где x − y = ⎨∑ ( xi − yi ) 2 ⎬ — расстояние между точками x и y. ⎪⎩ i =1 ⎪⎭

Опишем наиболее простой алгоритм построения разделяющей функции f(x) на основе потенциальной функции K(x, y) с помощью показа образцов из обучающей последовательности. После показа первого образца x(1) принимается

⎧⎪ K (x, x(1) ), если x(1) ∈ D1; f (1) (x) = ⎨ ⎪⎩− K (x, x(1) ), если x(1) ∈ D2 .

(9)

Далее показывается второй образец x(2) и возможны следующие ситуации: а) при x(2) ∈ D1 f(1)(x(2) > 0; б) при x(2) ∈ D1 f(1)(x(2) < 0; в) при x(2) ∈ D2 f(1)(x(2) > 0; г) при x(2) ∈ D2 f(1)(x(2) > 0. Для случаев а и г поправки не требуются; в случае б принимается f(2)(x) = f(1)(x) + K(x, x(2)); наконец, в случае в f(2)(x) = f(1)(x) – K(x, x(2)). Построение дальнейших приближений очевидно. Допустим, что потенциальная функция может быть представлена рядом K (x, y ) =

∞

∑ αi2ji (x)ji (y),

(10)

i =1

где {φi, (x)} – некоторая система функций; αi – числовые коэффициенты. Рассмотрим преобразование пространства признаков x в диагностическое пространство, причем координаты точки в этом пространстве (11) zi = αi ji ( x), где αi определяются как коэффициенты ряда (10). Тогда первое приближение для разделяющей функции в диагностическом пространстве в соответствии с равенствами (9)–(11) будет таким 20

⎧⎪zz (1) , если z (1) ∈ D1; f (1) (z ) = ⎨ ⎪⎩−zz (1) , если z (1) ∈ D2

(12)

или

⎧∞ 2 ⎪ αi ji (x)ji (x(1) ), если x(1) ∈ D1; ⎪ i =1 f (1) (x) = ⎨ ∞ (13) ⎪ 2 α ( x ) ( x ), если x . ∈ D j j (1) (1) 2 i i i ⎪ ⎩ i =1 Основное преимущество метода потенциальных функций состоит в том, что для построения алгоритма распознавания не требуется знания (или подбора) функций ϕi(x), а достаточно выбрать K(x, y) [уравнения (7), (8)].

∑ ∑

Практическая часть 1. Изучить методические указания и получить задание. 2. Построить дискриминантную функцию для диагностики исследуемых объектов на два класса с помощью метода потенциальных функций. 3. Оформить отчет о практической работе. 4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем. Отчет должен содержать: 1. Цель работы. 2. Задание. 3. Основные формулы и положения. 4. Расчет дискриминантной функции (численный). 5. Выводы по работе. Практическая работа № 13 МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ Цель работы: изучение метода потенциалов для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Метод потенциалов основывается на тех же первоначальных представлениях, что и метод потенциальных функций, но построение алгоритма распознавания проводится другим путем. 21

В этом методе для построения дискриминантных функций также используются потенциальные функции K(х, у). Однако они получаются не в результате последовательной (рекуррентной) процедуры, как в методе потенциальных функций, а строятся на основе имеющейся предварительной информации. Алгоритм построения является не самообучающимся, как в методе потенциальных функций, а заранее выбранным, детерминированным. Однако простота метода делает его привлекательным для практических приложений. Пусть имеется обучающая последовательность, содержащая m образцов, принадлежащих диагнозу Di (i = 1,2, …, n). Такая ситуация характерна для большинства задач технической и медицинской диагностики. Если представляет собой эталонный вектор диагноза Di (типичный случай), то дискриминантными функциями могут быть соответствующие потенциальные функции Fi(x) = K(x, xi); (1) K ( x, x i ) = e

K (x, xi ) =

− a x − xi

m

1 1 + a x − xi

(2)

; m

;

(3)

(m > 0; a > 0), 1

⎧⎪ N ⎫⎪ 2 где x − xi = ⎨ ( x j − xij ) 2 ⎬ – расстояние между точками x и xi. ⎩⎪ j =1 ⎭⎪ В качестве эталонного образца можно принять средний образец

∑

xi =

1 mi

mi

∑ xi( s) . s =1

(4)

По физическому смыслу fi(x) представляет собой потенциал в точке от источника (заряда) в точке xi. Все дискриминантные функции положительны, так как потенциальные функции удовлетворяют условию K(х, у) > 0. Очевидно, K(хi, xi) > K(хj, xi) (i, j = 1,2, …, n; i ≠ j), так как K(х, y) – убывающая функция расстояния. Другой метод образования дискриминантных функций состоит в использовании среднего значения потенциальной функции 22

f i ( x) =

1 mi

mi

∑ K (x, xis ), s =1

(5)

где K (x, xi( s ) ) — потенциальная функция для образца, принадлежащего диагнозу Di. Алгоритм распознавания является обычным при использовании дискриминантных функций. Предъявленный для распознавания объект x ∈ Di , если fi(x) > fj(x) (j = 1,2,..., n; j ≠ i).

(6)

Очевидно, уверенность в правильной классификации будет больше, если функция fi(x) существенно превышает остальные. Введем меру качества (надежности) процесса распознавания x i ( x) = f i ( x) /

n

∑ fi (x). i =1

(7)

В практических задачах решение о принадлежности объекта к диагнозу Di можно принимать, если xi (x) > x 0 ,

(8)

где x 0 – выбранный уровень качества. Если условие (8) не выполняется, то для принятия решения требуется дополнительная информация. Практическая часть 1. Изучить методические указания и получить задание. 2. Построить дискриминантную функцию для диагностики исследуемых объектов на два класса с помощью метода потенциалов. 3. Оформить отчет о практической работе. 4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем. Отчет должен содержать: 1. Цель работы. 2. Задание. 3. Основные формулы и положения. 4. Расчет дискриминантной функции (численный). 5. Выводы по работе. 23

24

2

1

№ варианта 35

t, °С

40

t, °С

40

t, °С

85

t, °С 40 60

t выб, с

t, °С

Параметр

23

t выб, с

Параметр

60

t выб, с

Параметр

7

t выб, с

Параметр

32

t выб, с

Параметр

90

40

60

26

60

60

60

5

40

22

45

46

65

30

45

68

85

8

30

37

60

22

70

15

80

63

70

10

30

46

120

42

80

33

60

78

80

27

35

42 60

75

18

55

71

75

23

90

52

83

30

Класс D1

65

18

Класс D2

35

63

Класс D1

80

22

Класс D2

80

52

Класс D1 42

68

45

85

12

55

45

65

12

55

47

53

42

70

35

45

56

75

15

60

40

45

37

75

27

30

69

70

23

55

30

83

47

60

8

30

56

65

20

45

45

67

37

40

11

40

33

60

17

45

37

53

32

80

41

35

48

85

15

40

40

Таблица 1

Исправное состояние подшипников качения D1 характеризуется пониженной температурой элементов качения (неподвижного кольца) и повышенным «временем выбега» по сравнению с неисправным состоянием D2. Построить линейную разделяющую функцию для диагностики подшипников на два класса. Измерения to и t выбега для экземпляров, находящихся в состоянии D1 и D2, представлены в табл. 1

ЗАДАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ № 7, 8, 10, 12, 13

25

5

4

3

85

40

120

t, °С Параметр

t выб, с

t, °С

t выб, с

30

35

Параметр

84

t, °С

90

90

45

65

40

60

104

120

33

45

90

8

69

t выб, с

Параметр

t, °С

t выб, с

Параметр

t, °С

t выб, с

105

23

60

90

t, °С

Параметр

17

t выб, с

Параметр

110

47

75

30

60

80

105

35

60

33

120

22

160

42

75

36

45

90

120

25

52

48

60

7

60

46

65

24

45

77

127

22

60

60

90

5 127

15

68

68

113

23

55

60

34

80

23

70

33

70 60 Класс D1

46

Класс D2

40

80

Класс D1

98

18

Класс D2

67

55

Класс D1

105

10

Класс D2

120

53

60

10

55

94

98

30

83

45

98

20

110

31

85

16

30

92

120

40

90

78

120

27

90

36

40

15

40

44

105

15

120

63

112

18

60

38

70

21

35

64

60

11

52

63

90

12

126

12

45

55

125

8

70

43

80

45

30

74

112

27

83

70

113

15

Продолжение табл. 1

26

8

7

6

130

t, °С

65

40

72

t, °С Параметр

t выб, с

t, °С

t выб, с

14

30

t, °С

Параметр

45

150

t выб, с

Параметр

t, °С

t выб, с

30

90

t, °С

Параметр

90

t выб, с

Параметр

13

t выб, с

Параметр

36

37

70

28

40

26

130

24

120

80

150

19

66

47

60

20

55

56

140

20

110

94

140

24

54

45

40

9

60

48

120

10

160

83

120

18

48

40

85

10

55

36

80

14

70

84

170

16 140

11

80

44

160

44

40

48

24

42

32

48

22

75 65 Класс D1

18

Класс D2

45

44

Класс D1

150

36

Класс D2

60

72

Класс D1

160

23

Класс D2

42

42

85

18

35

38

140

46

110

60

170

9

66

30

80

26

30

55

130

40

60

74

120

6

54

37

70

12

80

50

160

54

70

62

80

7

96

42

60

6

60

62

170

16

120

104

160

28

36

46

75

22

35

51

170

30

90

74

150

15

72

52

80

32

45

54

Продолжение табл. 1

27

11

10

9

90

t, °С

75

40

78

t выб, с

t, °С

19

t, °С Параметр

t выб, с

Параметр

52

60

t, °С

90

t выб, с

Параметр

t, °С

t выб, с

22

t, °С

Параметр

54

54

t выб, с

Параметр

18

t выб, с

Параметр

52

22

65

26

45

59

102

10

72

48

48

7

39

37

70

12

55

39

48

8,50

48

26

84

23

72

47

65

16

80

55

90

18

72

62

72

17

59

45

40

9

30

48

78

24

96

50

102

15 96

22

38 42

84

12

60 30 30

46

42

78

52

60 70 Класс D1

7

Класс D2

55

61

Класс D1

96

26

Класс D2

36

55

Класс D1

84

10

Класс D2

52

52

85

19

40

52

72

20

66

56

78

20

39

46

60

22

35

55

78

14

54

45

90

15

72

30

85

10

45

48

96

32

48

48

96

27

59

37

80

35

35

42

84

28

66

36

78

12

46

32

75

23

40

29

72

6

42

51

72

5

104

42

80

29

60

68

102

18

36

45

102

8

Продолжение табл. 1

28

15

14

13

12

45

t, °С

t, °С

98

18

Параметр t выб, с 91

10

52

40

78

22

102

t, °С Параметр t выб, с

t, °С

78

15

20

60

48

52

9

55 104

85

12

t выб, с

Параметр

44

78

t выб, с

Параметр

t, °С

t выб, с

2

58 78

Параметр t выб, с t, °С

Параметр

98

15

t, °С

Параметр t выб, с

111

8

39

37

48

7

30

55

110

10

52 52

104

27

52

7

72

47

84

10

60

62

104

29

60 39

91

10

85

20

59

45

90

18

45

54

78

7

59 59

78

5 85

91

30

40

48

15

78

98

15

104

27

Класс D2

46

96 90 Класс D1 42 52

27

Класс D2

35

51

Класс D1

98

23

Класс D2

Класс D1 52 29 78 52

98

Класс D2 18 20

78

5

52

52

72

5

55

36

85

16

48 39

104

22

104

22

39

46

102

8

55

56

110

20

48 59

91

23

91

23

72

30

78

12

30

45

104

35

39 72

78

17

78

17

59

37

96

22

40

26

98

19

42 46

111

8

85

12

46

32

72

17

80

50

91

13

61 72

52

7

110

15

104

42

84

23

35

38

85

26

55 46

110

15

Окончание табл. 1

29

№ Паравариметр анта t выб, с t, °С 1 Параметр t выб, с t, °С 2 Параметр t выб, с t, °С 3 Параметр t выб, с t, °С 4

35

4,3

60

2,1

63

10

8,5

51

5,6

56

6

87,5 100

2,5

5

30

10

113

40

8,8

49

6 45

68

60

53

49

113 100 87,5 75

34

27

25

15 30

32

10

23

15

30

Класс D2

51

17

29

5

25

42

50

44

42

7

21

15

25

10

38

8,5

17

39

20

25 17,5 37,5 42,5 12,5 30 37,5

70 62,5 70 62,5

Класс D1

21 23,8 14

35

Класс D1

45 57,5 67,5 75

28

75 62,5 80

40 37,5 35 75 62,5 50

50

35 Класс D2

35 44,8 28

12

28

43 42,5 48 12 25,5 25

51

7

27

Класс D1

17

28

Класс D1

24 30,5 30 25,5 39 47,5 46

51 42,5 54,5 42,5

34

25

20 17,7 18 30

Класс D2

20

16

Класс D2

21 19,6 25,2 17,5 24,5 28 22,4 42 39,2 32,2 35

34

21

20

12,5 14

15 22,0 18,8 12,5 31

56

3,5

77

7,0 12,8 2,6

45

1,5

10,5 12,3 8,4

Класс D3

42

4

15 68

Класс D3

76

7

4 40

Класс D3

35

7,5

Класс D3

Таблица 2

Исправное состояние подшипников качения D1 характеризуется пониженной температурой элементов качения (неподвижного кольца) и повышенным «временем выбега» по сравнению с предотказным состоянием D2. Неисправное состояние характеризуется высокой температурой малым временем выбега. Построить линейную разделяющую функцию для диагностики подшипников трех классов. Измерения to и t выбега для экземпляров, находящихся в состоянии D1, D2 и D3, представлены в табл. 2.

ЗАДАНИЕ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ № 9

30

9

8

7

6

5

Параметр t выб, с t, °С Параметр t выб, с t, °С Параметр t выб, с t, °С Параметр t выб, с t, °С Параметр t выб, с t, °С Параметр

70

6,5

80

3,2

6,0

84

12

71

45,5 39

5

8

45

52,5 60

80

2

5,2

8

90

3

60

13

21

30

60

30 40

25

48

27

40

32

95

95

84

21 10,0 18

Класс D3

106

14

Класс D3

50

35

64

36

36

34

56

43

Класс D2

30

50

10

50

Класс D1

20

46

Класс D1 14

54

24

56

7,5 22,5 10,5 25,5 18 22,5

42 37,5

9

35

12 Класс D1

40

17

28

42 29,5 71,5 60 66,5 59,5 64,5 67

Класс D1

13 19,5 6,5

24

55

15,6

39 36,4 30 32,5 32,5 35 36,4

30

60

108 71,5 59,5 47,5 71,5 76 59,5 47,5 36

3,6 47,5 33,5 38

60

40

15

39 41,5 39 19,5 22 Класс D2

Класс D1 26 22,5 34,5 37,5 45 40,5 42

21 19,5 23,4 26

Класс D2

50

28

57 52,5 59

42 52,5 21 10,5 31,5 35,7 15 31,5 25

30 37,5 45

24

Класс D2

30 37,5 45

19

67

Класс D2

63 52,5 63

59

Класс D1

42 29,4 31,5 38 33,6 36,8 48 52,5 63

11,4 18 16,3 23

90

12

68

9

42

Класс D2

45,5 58,5 52 58,5 52 32,5 26 32,5 26

9,7

70

17,6 15,0

Класс D3

60

10

2,0

52,5 68

11

63

12,6 16,0 18,5 10,5 26 94,5 73,5 84

Класс D3

7,5

6,0

4

84

Класс D3

8,4

3,0

5

73,5 94,5

Класс D3

Продолжение табл. 2

31

15

14

13

12

11

10

t выб, с t, °С Параметр t выб, с t, °С Параметр t выб, с t, °С Параметр t выб, с t, °С Параметр t выб, с t, °С Параметр t выб, с t, °С

66,5 57

56

12

103,5 85

92

69

64

14

88

42

48

9,0 10,5

72

9,6

99

32

20

55

26

14

54

7

Класс D2

66 70,4 44

28

40

30

17

48

51

24

19

21 30 Класс D2

36

18

Класс D2

38

69

74

57

16

37

33

24

48

46 57,5 69

46

19

45

Класс D1

11

43

24

40

27

45

11 26,4

8,4

18

18

23

11,5 34,5 39

16

28 34,5

53 57,5 69 64,4 62 64,4 57,5

Класс D1

6

30 32,4 30 33,6

Класс D1

19 32,3 28,5 9,5 13,3 28,5 23

57 47,5 51,3 47,5 53

8

40

Класс D1

22 37,4 33 15,4

36 38,4 12 20,4 18

40

9

66 50,6 61,6 55 59,4 55 61,6

38 43,7 53

40

28

65

27 12,6 21,6

Класс D1

27 30,6 18

54 50,4 41,4 45 48,6 50,4 45

24 21,6 27,5 33,5 36

61

33 28,5 30,4 34

Класс D2

32

29

55

33 39,6 35 38,5 44

32 28,8 34,5 41,5 37

24

15

54 57,6 54

Класс D2

45

27 32,4 36

24 25,6 22,4 32

44

34

36

92 80,5 104 57,5 46

5,8 20,0 17

3,5

Класс D3

54

2

Класс D3

48

45

3,0 16,7 11,4 26,6 24

72

2,4

99

81

8,8 13,2 31

72

11 25,2 22,5 31,5 29

66,5 85,5 76 85,5 47,5 38 47,5 57

14

Класс D3

64

5,4

5

77

9,2 11,5

36

9,5

4,7

42

76

48

56

6,0

7,6

8,0

4

81

16,5 3,3

Класс D3

66

88

77

3

63

13,5 2,7 15,8

Класс D3

72

11

54

63

7,2

5,5 19,3

9,0

4,5

Окончание табл. 2

32

3

2

1

№ варианта

х\N х1 х2 х3

1 2 3 4 1,3 0,65 1,95 3,25 1,3 2,6 3,9 2,6 0,65 3,9 2,6 3,25

4 5 6 7 0,5 1,5 2,5 2,5 2 3 2 3 3 2 2,5 1,5

1 4 4 7

1 2 3 4 5 6 3 1,5 2,3 3,8 2,3 0,75 1,5 1,5 3 3 4,5 3 3 0,75 1,5 3,8 3 4,5

Класс D1

2 5,2 5,2 9,1

2 6 4,5 5 3 7,8 5,9 6,5

3 3,5 5,5 4,5

7 1 2 3 3,75 9 6,8 6 4,5 8,3 9,8 6 2,25 12 9,8 10,5

5 6 7 1 2,6 1,95 3,3 7,8 1,3 2,6 3,9 7,2 2,6 1,3 1,95 10,5

Класс D1

3 2 1 2

х\N х1 х2 х3

2 1,5 2 1

1 1 1 0,5

х\N х1 х2 х3

Класс D1

4 9 6,8 7,5

5 5 4 7 5 5,9 8,5 8,5 5 5,3 8,3 6,8

Класс D2

4 6,5 5,2 9,1

Класс D2

4 6 5,5 8

Класс D2

7 4,6 7,15 5,85

7 5 6,5 5,5

6 7 7,5 7,5 9,8 6 8,25 10,5

6 6,5 8,5 7,2

6 4,5 6,5 6,5

Таблица 3

Исправное состояние подшипников качения D1 характеризуется пониженными уровнями вибрации x1, x2, x3 на информационных частотах по сравнению с неисправным состоянием D2. Построить разделяющую функцию в диагностическом пространстве для разделения подшипников на два класса. Измерения x1, x2, x3 для экземпляров, находящихся в состоянии D1 и D2, представлены в табл. 3.

ЗАДАНИЕ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ № 11

33

7

6

5

4

х\N х1 х2 х3

х\N х1 х2 х3

х\N х1 х2 х3

х\N х1 х2 х3

5 6 7 1 2 3 2,6 0,85 4,25 8,5 10,2 6,8 3,4 3,4 5,1 6,8 7,7 6,8 1,7 5,1 2,6 12 8,5 12

5 6 7 10,2 6 7,65 9,35 0,4 11 13,6 7,65 11

Класс D2

4 8,5 11 9,4

Класс D2

5 0,55 2,2 3,3

1 2 3 4 5 1,4 0,7 2,1 2,82 2,1 1,4 2,8 2,75 1,45 4,15 0,7 4,2 1,4 2,85 2,8

Класс D1

1 2 3 4 2,75 1,65 1,7 1,1 2,2 3,3 2,2 1,15 2,8 2,2 1,1 0,55

Класс D1

3 6,6 5 5,5

5 4,95 6,05 7,2 Класс D2

4 6,6 6 8,8

6 7 1 2 3 4 5 3,51 3,49 5,65 8,4 4,9 8,45 7 2,79 4,17 5,6 6,3 7,7 7,75 5,61 3,62 2,12 9,8 7 6,35 11,2 9,8

6 7 1 2 2,8 2,2 3,8 5,5 3,3 1,1 6 4,4 1,7 2,2 5 7,7

Класс D2

6 6,3 7,8 9,1

6 4,4 4,4 7,7

7 7 9 7,81

7 5,5 7,2 6

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 3,8 2,85 4,8 2,9 4,75 0,95 1,9 9,5 11,4 11,4 9,5 8,6 6,7 7,65 1,9 1,9 3,8 5,7 5,65 3,8 1,9 12,4 10,5 8,6 7,6 10,45 10,5 7,6 3,8 1,9 4,8 3,8 2,9 5,7 0,95 10,5 15,2 9,5 13,4 12,3 8,55 13,3

Класс D1

1 2 3 4 3,4 1,7 2,6 4,25 1,7 1,7 5,1 3,4 3,4 0,85 3,4 4,25

Класс D1

Продолжение табл. 3

34

11

10

9

8

х\N х1 х2 х3

х\N х1 х2 х3 1 2 3 4 4,4 2,15 1,1 3,3 2,21 2,2 4,4 6,5 4,4 1,1 6,6 4,35

5 5,5 2,35 5,45

6 5,45 6,55 3,3

7 5,4 6,6 7,8

Класс D2

Класс D2

7 1 2 3 4 5 6 7 3,3 7,7 8,8 10 11 13,2 11 13,2 4,3 12,1 8,85 12 12,5 12 14,3 10 2,25 9,9 15,4 14,3 10,5 17,6 12 11

5 6 7 1 4,5 0,9 2,71 10,8 5,4 3,55 5,35 9,9 2,7 5,4 3,5 14,5

Класс D1

1 2 3 4 3,6 2,7 1,82 4,52 1,8 3,6 1,75 3,45 3,6 1,8 1 4,47

Класс D1

6 6 4,8 8,4

4 5 6 7 9,6 8 6,45 9,6 7,2 10,40 6,4 8,8 8 8,8 11,25 12,8

Класс D2

4 5 4,8 4,2 4,85 5,60 8,4 5,4

Класс D2

2 3 4 5 6 7 11 7,25 8,1 6,3 9 9,2 8,1 7,15 10 10,50 7,3 12 9 12,6 11,7 8 12,50 9,9

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 2,4 1,62 2,4 0,8 3,21 4 4 5,6 7,2 8 3,2 1,59 4,8 3,2 1,6 3,2 4,8 8,8 8,8 6,4 1,6 0,8 3,2 4,8 3,25 4 2,4 7,2 10,4 11,2

3 7,2 5,4 6

х\N х1 х2 х3

Класс D1

2 3 4 5 6 7 1 2 1,2 1,8 0,65 3 1,8 3 7,2 6 1,2 2,4 2,35 2,4 3,6 3,55 6,6 7,8 0,6 1,2 3,6 3 2,41 1,8 9,6 6,6

1 2,42 1,21 2,.39

х\N х1 х2 х3

Класс D1

Продолжение табл. 3

35

15

14

13

12

х\N х1 х2 х3

х\N х1 х2 х3

х\N х1 х2 х3

х\N х1 х2 х3

2 2 2 1 Класс D1

4 4 2 4

Класс D1

3 1 4 6

5 3 6 4

6 5 4 5

7 5 6 3

1 12 11 16

2 10 13 11

3 9 11 13

5 7 11 9

Класс D2

4 10 8 14

Класс D2

6 8 8 14

7 12 9 10

5 5,2 4,15 5,25

1 2 3 4 4,8 3,6 2,45 6 2,42 7,2 2,43 7,25 4,8 4,82 1,2 3,6

5 3,6 4,8 2,43

Класс D1

1 2 3 4 2,15 1,1 3,15 4,25 2,05 4,2 4,2 2,1 1 6,3 2,1 4,2

Класс D1

6 7 1 1,2 6 12 4,75 4,7 9,6 7,2 6 16,8

2 3 4 5 6 7 14,4 12 8,4 10,8 14,4 9,6 10,8 15,6 13,2 13,2 13 9,6 12 13,2 10,8 15,6 19,2 16,8

Класс D2

6 7 1 2 3 4 5 6 7 3,2 5,3 8,45 12,6 7,4 12,6 10,5 9,5 10,5 6,3 6,3 8,4 9,5 11,6 11,55 8,40 11,6 13,65 4,2 3,15 14,7 10,5 9,45 16,8 14,7 13,7 11,55

Класс D2

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 5,75 4,65 1,2 5,7 2,35 3,5 3,45 9,5 10,4 13,8 11,5 8 13,8 11,5 4,6 2,3 4,55 6,9 2,25 4,55 7 9,2 12,7 10,35 9 12,65 12,55 15 5,7 4,55 7 3,5 1,2 2,3 4,6 16 15 11,5 16,1 10,35 18,40 12,7

1 3 4 2

Окончание табл. 3

Библиографический список 1. Биргер И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 240 с. 2. Диагностирование и прогнозирование технического состояния авиационного оборудования: Учеб. пособие для вузов / В. Г. Воробьев, В. В. Глухов, Ю. В. Козлов и др; Под ред. И. М. Синдеева. СПб.: Транспорт, 1994. 191 с. 3. Дмитриев А. К. Основы контроля и технической диагностики: Учеб. пособие. М.: МО, 1988. 206 с. 4. Технические средства диагностирования: Справочник / В. В. Клюев, П. П. Пархоменко и др.; Под общ. ред. В. В. Клюева. М.: Машиностроение, 1989. 672 с. Оглавление

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 7 .......................................................... Линейные разделяющие функции ................................................... ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 8 .......................................................... Обобщенный алгоритм нахождения разделяющей гиперплоскости .................................................................................. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 9 .......................................................... Разделение при наличии нескольких диагнозов ............................ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 10 ........................................................ Приближенный метод построения разделяющей гиперплоскости .................................................................................. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 11 ........................................................ Разделение в диагностическом пространстве .............................. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 12 ........................................................ Метод потенциальных функций ....................................................... ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 13 ........................................................ Метод потенциалов .......................................................................... Задания к практическим работам № 7, 8, 10, 12, 13 .......................... Задание к практической работе № 9 .................................................... Задание к практической работе № 11 .................................................. Библиографический список ..................................................................... 36

3 3 8 8 11 11 12 12 14 14 18 18 21 21 24 29 32 36