Многообразия и классы кручения m-групп

Алгебра и логика, 42, N 6 (2003), 683—691

УДК 512.545

МНОГООБРАЗИЯ И КЛАССЫ КРУЧЕНИЯ m-ГРУПП

О. В. ИСАЕВА

В работе доказывается, что любое многообразие m-групп является классом кручения (теор. 2.4); указывается базис тождеств для произведения многообразий m-групп (теор. 3.1); показывается, что произведение любого конечно базируемого многообразия m-групп и многообразия абелевых m-групп является конечно базируемым многообразием (следствие 3.2). Теорема 2.4 дает положительное решение проблемы М. Жираде, И. Рахунека [1, вопрос 3.2]. Все неопределяемые в работе понятия по теории групп и теории ℓгрупп содержатся в [2—4]. Через N будет обозначаться множество натуральных чисел, x = (x1 , · · · , xs ), x∗ = ((x1 )∗ , · · · , (xs )∗ ) (s ∈ N).

§ 1. Предварительные сведения Напомним, что решеточно упорядоченной группой, или ℓ-группой, называется группа G, на которой задано отношение ≤ частичного порядка такое, что hG; ≤i является решеткой, причем x ≤ y влечет axb ≤ ayb для любых элементов x, y, a, b из G. Следуя [1], m-группой называется алгебраическая система G сигнатуры m = {·, e,−1 , ∧, ∨, ∗ } такая, что hG; ·, e,−1 , ∨, ∧i является ℓ-группой, а одноместная операция

∗

является автоморфизмом группы hG; ·, e,−1 i и

антиавтоморфизмом решетки hG; ∨, ∧i; т. е. эта операция является взаим-

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003

684

О. В. Исаева

нооднозначным отображением G на себя и выполняются соотношения (xy)∗ = x∗ y∗ , (x ∨ y)∗ = x∗ ∧ y∗ , (x ∧ y)∗ = x∗ ∨ y∗ , x∗∗ = x. Заметим, что если G является m-группой, то она является также и ℓ-группой. Так же как класс всех ℓ-групп является многообразием сигнатуры l = {·, e,−1 , ∧, ∨, }, так и класс M всех m-групп является многообразием сигнатуры m. Класс m-групп T называется классом кручения, если он замкнут относительно взятия 1) выпуклых m-подгрупп; 2) m-гомоморфных образов; 3) объединения выпуклых m-подгрупп из T . Скачком A ≺ B в решетке выпуклых m-подгрупп M(G) группы G называется пара подгрупп A и B из M(G) такая, что A ⊆ B, A 6= B и между ними нет подгруппы из M(G). Скачок A ≺ B выпуклых m-подгрупп в решетке M(G) называется субнормальным, если m-подгруппа A является идеалом в m-группе B. Через Nm обозначается многообразие m-групп с субнормальными скачками, определяемое тождеством (x ∨ e)−1 (y ∨ e)−1 (x ∨ e)2 (y ∨ e)2 ∧ e = e. Многообразие Nm состоит из всех таких ℓ-групп G, у которых все скачки системы выпуклых ℓ-подгрупп субнормальны, а следовательно, факторы этих скачков являются архимедовыми линейно упорядоченными ℓгруппами. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1 [5]. Многообразие Nm является наибольшим собственным подмногообразием в решетке всех многообразий mгрупп. Пусть H — произвольная ℓ-группа. Определим на H обратный порядок ≤R : для любых элементов a, b ∈ H полагаем a≤R b тогда и только тогда, когда b≤a в ℓ-группе H. Пусть H R = hH, ≤R i. Для многообразия ℓ-групп V обозначим через VR многообразие, состоящее из всех ℓ-групп H R таких, что H ∈ V. Многообразие ℓ-групп V

Многообразия и классы кручения m-групп

685

называется реверсивным, если V = VR. Хорошо известно, что Nℓ является реверсивным (см. [6]). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2 [1]. Если X — реверсивное многообразие ℓгрупп, тогда многообразие m-групп Xm , определяемое ℓ-групповыми тождествами из X, является классом кручения. СЛЕДСТВИЕ 1.3. Многообразие m-групп Nm является классом кручения. Через I, следуя [1], обозначим многообразие m-групп, определяемое тождеством x∗ = x−1 . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4 [7]. Пусть G — ℓ-группа с субнормальными скачками, порожденная конечным числом элементов g1 , . . . , gn , и в ней имеется идеал N 6= E, содержащийся в любом другом ее ℓ-идеале. Тогда выпуклая ℓ-подгруппа в G, порожденная одним из элементов gk , 1 6 k 6 6 n, совпадает с G.

§ 2. Классы кручения m-групп Пусть G = hG; ·, e,−1 , ∨, ∧, ∗ i — m-группа, f — произвольный элемент из G, и H = {t ∈ G | (|f | ∨ |f∗ |)−n ≤ t ≤ (|f | ∨ |f∗ |)n , n ∈ N}. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Подмножество H является выпуклой mподгруппой в G, порожденной элементом f . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Хорошо известно, что для произвольного элемента f ∈ G выполняется равенство |f |∗ = |f∗ |−1 . Поэтому (|f | ∨ |f∗ |)∗ = = |f |∗ ∧ |f∗ |∗ = |f∗ |−1 ∧ |f∗∗ |−1 = |f∗ |−1 ∧ |f |−1 = (|f | ∨ |f∗ |)−1 . Пусть теперь (|f | ∨ |f∗ |)−n ≤ x ≤ (|f | ∨ |f∗ |)n (n ∈ N). Так как

∗

является антиавтоморфизмом второго порядка, то (|f | ∨

∨|f∗ |)n ≥ x∗ ≥ (|f | ∨ |f∗ |)−n . Значит, H устойчиво относительно антиавтоморфизма ∗ . Стандартные рассуждения показывают, что это подмножество замкнуто относительно операций ∨, ∧,−1 , ·. Поскольку оно выпукло по определению, H — выпуклая m-подгруппа m-группы G. 2

686

О. В. Исаева Пусть L — произвольное подмножество m-группы G, L∗ = {x∗ | x ∈

∈ L}. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Пусть G — m-группа, N — наименьший неединичный m-идеал в G, и существует ℓ-идеал L в G такой, что E ⊆ ⊆ L ⊆ N и L 6= N , L 6= E. Тогда N = L × L∗ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Стандартная проверка показывает, что L∗ является ℓ-идеалом группы G. Тогда L ∩ L∗ является m-идеалом. Так как L ∩ L∗ ⊆ L ⊆ N , и N — наименьший m-идеал, то L ∩ L∗ = E. Пусть L ∨ L∗ — объединение ℓ-идеалов в решетке выпуклых ℓ-подгрупп ℓ-группы G. Легко убедиться, что L ∨ L∗ является m-идеалом в m-группе G. Следовательно, m-идеал N разлагается в прямое произведение ℓ-идеалов L и L∗ , т. е. N = L × L∗ . Заметим, что в этом случае L является минимальным неединичным ℓ-идеалом в ℓ-группе G. Действительно, если существует ℓ-идеал L1 ⊆ L, L 6= L1 и L 6= E, то по проведенным выше рассуждениям L1 ∨ (L1 )∗ = L1 × (L1 )∗ = N . Покажем, что L = L1 . Пусть это не так, тогда существует элемент g ∈ L \ L1 ⊆ N . Его можно представить в виде g = l1 · (l2 )∗ , где l1 ∈ L1 , (l2 )∗ ∈ (L1 )∗ . В силу однозначности представления элемента в N = L × L∗ имеем g = l1 , e = (l2 )∗ , т. е. g ∈ L1 , что невозможно, значит, L = L1 . 2 Доказательства предложения 2.3 и теоремы 2.4 проводятся по схеме, предложенной в [7]. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Пусть G — m-группа с субнормальными скачками, порожденная конечным числом элементов g1 , . . . , gn , и в ней имеется m-идеал N 6= E, содержащийся в любом другом ее m-идеале. Тогда выпуклая m-подгруппа в G, порожденная одним из элементов gk , 1 6 k 6 n, совпадает с G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если N является наименьшим ℓ-идеалом в ℓгруппе G, то требуемое непосредственно следует из предложений 1.4 и 2.1. Пусть теперь N не является наименьшим ℓ-идеалом m-группы G. Покажем вначале, что N содержит некоторый ℓ-идеал m-группы G. Пусть

Многообразия и классы кручения m-групп

687

K — произвольный ℓ-идеал в m-группе G, тогда объединение K ∨ K∗ в решетке выпуклых ℓ-подгрупп является m-идеалом в m-группе G, и K ∨ ∨K∗ ⊇ N . По дистрибутивности имеем (K ∨ K∗ ) ∧ N = (K ∧ N ) ∨ (K∗ ∧ N ). Если K ∧ N = E, то K∗ ∧ N = E и, следовательно, (K ∨ K∗ ) ∧ N = E, что невозможно, так как N ⊆ K ∨ K∗ . Поэтому K ∧ N 6= E, и K ∧ N — ℓ-идеал, содержащийся в m-идеале N . Таким образом, в m-группе G существует ℓ-идеал, содержащийся в m-идеале N . Пусть L — минимальный ℓ-идеал, отличный от E и содержащийся в N . По предложению 2.2, N = L × L∗ . Пусть {Ai } — это множество всех ℓ-идеалов m-группы G таких, что Ai ∩ L = E (i ∈ I). Обозначим через A = W = Ai объединение Ai в решетке выпуклых ℓ-подгрупп группы G. Тогда i∈I

A является ℓ-идеалом и A ∩ L = E, так как решетка выпуклыхℓ-подгрупп  W Ai = брауэрова [2, гл. III, § 2, теор. 2]. По теореме Биркгофа, A∗ = i∈I ∗   W W Ai = E. = (Ai )∗ . Тогда L∗ ∩ i∈I

i∈I

∗

Если G, как m-группа, порождается элементами g1 , . . . , gn , то она,

как ℓ-группа, порождается элементами g1 , . . . , gn , (g1 )∗ , . . . , (gn )∗ . Рассмотрим фактор-группу G/A. Она является ℓ-группой с субнормальными скачками. Покажем, что L — наименьший неединичный ℓ-идеал в группе G/A, т. е. содержится в любом другом ее ℓ-идеале. Пусть K — произвольный ℓ-идеал, отличный от E, и K ≥ L. Так как K ≥ A и K 6= A, то L ∩ K 6= E, а следовательно, K ∩ L = L. Таким образом, L — наименьший ℓ-идеал в G/A. Поэтому к G/A можно применить предложение 1.4, т. е. выпуклая ℓ-подгруппа ℓ-группы G/A, порождается элементом gA, где g = gk или g = (gk )∗ , 1 6 k 6 n. Пусть g −m A ≤ xA ≤ g m A для некоторого m ∈ N. Применяя к данному неравенству автоморфизм ∗ , получаем (g −m )∗ A∗ ≤ ≤ x∗ A∗ ≤ (g m )∗ A∗ в G/A∗ . Следовательно, выпуклая ℓ-подгруппа в G/A∗ , порожденная элементом g∗ A∗ , совпадает с G/A∗ . По теореме Ремака (см. [4]) группа G вкладывается в прямое произведение фактор-групп G/A и G/A∗ , причем вложение осуществляется по правилу g → (gA, gA∗ ). Если xA ∈ G/A и yA∗ ∈ G/A∗ , то имеют место неравенства g −m1 A ≤ xA ≤ g m1 A и (g −k1 )∗ A∗ ≤ yA∗ ≤ (g k1 )∗ A∗ . Тогда

688

О. В. Исаева

(|g| ∨ |g∗ |)−s ≤ xA, yA ≤ (|g| ∨ |g∗ |)s , где s = max{m1 , k1 } и g — это либо gk либо (gk )∗ . Поэтому выпуклая m-подгруппа, порожденная элементом gk , совпадает с m-группой G. 2 ТЕОРЕМА 2.4. Всякое m-многообразие является классом кручения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассуждаем как в [7, теор. 3]. Свойства 1 и 2 определения класса кручения для всякого m-многообразия очевидны. Требуется доказать, что для всякого m-многообразия справедливо свойство 3. Для многообразия M всех m-групп это очевидно, а для многообразия Nm отмечалось ранее (следствие 1.3). Ввиду предложения 2.3 достаточно доказать, что свойство 3 справедливо для любого m-многообразия X ⊆ Nm . Пусть G — m-группа, {Bα | α ∈ I} — совокупность всех выпуклых m-подгрупп G, удовлетворяющих нетривиальному тождеству w(x1 , . . . , xn , W (x1 )∗ , . . . ,∗ (xn )) = e. Пусть B = Bα — объединение в решетке M(G) всех α∈I

выпуклых m-подгрупп Bα . По следствию 1.3, B является m-группой с субнормальными скачками. Пусть b1 , . . . , bn ∈ B, тогда, по теореме Биркгофа, bi = bi1 . . . bim , 1 6 i 6 n, где каждый из элементов bij лежит в некоторой выпуклой m-подгруппе Bα , α ∈ I. Через H обозначается m-подгруппа в G, порожденная элементами

bij , 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m. Ясно, что она принадлежит Nm и аппроксимируется m-группами Hβ , β ∈ K, где каждая Hβ является mгомоморфным образом m-группы H и обладает единственным наименьшим идеалом Nβ 6= E, содержащимся во всяком идеале m-группы Hβ . Естественный гомоморфизм из H на Hβ обозначим ψβ . Тогда Hβ принадлежит Nm и порождается элементами ψβ (bij ), 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m. По предложению 2.3 она совпадает со своей выпуклой m-подгруппой, порожденной одним из элементов ψβ (bij ). Так как bij ∈ Bα для некоторого α ∈ I, а ψβ (H ∩ Bα ) — выпуклая m-подгруппа в Hβ , то Hβ = ψβ (H ∩ Bα ). В m-группе Bα выполняется тождество w(x1 , . . . , xn , (x1 )∗ , . . . , (xn )∗ ) = e, поэтому оно же выполняется в m-группах H ∩ Bα и ψβ (H ∩ Bα ), а следовательно, в каждой m-группе Hβ , β ∈ K, а тогда и в m-группе H. Отсюда

Многообразия и классы кручения m-групп

689

следует, что тождество w(x1 , . . . , xn , (x1 )∗ , . . . , (xn )∗ ) = e выполняется в m-группе B. 2

§ 3. Базис тождеств произведения многообразий m-групп Пусть X, Y — произвольные многообразия m-групп. По определению m-группа G принадлежит произведению многообразий m-групп X · Y, если существует m-гомоморфизм m-группы G в элемент из Y с ядром из X (другими словами существует m-идеал M ∈ X такой, что G/M ∈ Y). В данном параграфе определим базис тождеств произведения произвольных многообразий m-групп X и Y через базисы тождеств сомножителей. Пусть базис тождеств X задается системой {ui (x, x∗ ) = e | i ∈ I}, а Y — системой {vj (y, y ∗ ) = e | j ∈ J}, где множества индексов I, J конечны или бесконечны, y = (y1 , . . . , yp ), y ∗ = ((y1 )∗ , . . . , (yp )∗ ), p ∈ N. Некоторая m-группа G принадлежит X · Y тогда и только тогда, когда G/M ∈ Y, т. е. значение ui (g, g ∗ ) слова ui (x, x∗ ) принадлежит M для любых i ∈ I и x1 = g1 , . . . , xs = gs . Это будет справедливо тогда и только тогда, когда vj (h1 , . . . , hp , (h1 )∗ , . . . , (hp )∗ ) = e для любых индекса j ∈ J и элементов h1 , . . . , hp из m-группы H(i, g), где H(i, g) — выпуклая m-подгруппа группы G, порожденная всеми значениями ui (g, g ∗ ) слова ui (x, x∗ ) для любых x1 , . . . , xs (i ∈ I). Произвольный элемент h из H(i, g) можно записать в виде h = (f ∧ (|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)n ) ∨ (|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)−n для некоторых n ∈ N, f ∈ G. Пусть d1 = (f1 ∧ (|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)n1 ) ∨ ∨(|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)−n1 , d2 = (f2 ∧ (|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)n2 ) ∨ (|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)−n2 , . . . . Поэтому равенство vj (h1 , . . . , hp , (h1 )∗ , . . . , (hp )∗ ) = e принимает вид vj (d1 , d2 , . . . , (d1 )∗ , (d2 )∗ , . . .) = e или vj (d11 , d12 , . . . , (d11 )∗ , (d12 )∗ , . . .) = e,

690

О. В. Исаева

где d11 = (f1 ∧ (|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)k ) ∨ (|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)−k , d12 = (f2 ∧ (|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)k ) ∨ (|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)−k , . . . , k = = max{n1 , n2 , . . .} для любых выбранных индексов i ∈ I, j ∈ J и целых положительных k. Тем самым доказана ТЕОРЕМА 3.1. Пусть многообразия m-групп X и Y определяются соответственно системами тождеств {ui (x, x∗ ) = e | i ∈ I} и {vj (x, x∗ ) = e | j ∈ J}. Тогда X · Y определяется системой тождеств vj (w1 , w2 , . . . , (w1 )∗ , (w2 )∗ , . . .) = e для любых выбранных индексов i ∈ I, j ∈ J и целых положительных k, где w1 = (z1 ∧ (|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)k ) ∨ (|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)−k , w2 = (z2 ∧ (|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)k ) ∨ (|ui (g, g ∗ )| ∨ |ui (g, g ∗ )∗ |)−k , . . . . СЛЕДСТВИЕ 3.2. Пусть многообразие m-групп X определяется тождеством v(x, x∗ ) = e. Тогда тождество [|y| ∧ |v(x, x∗ )| ∨ |v(x, x∗ )∗ |, |z| ∧ |v(x, x∗ )| ∨ |v(x, x∗ )∗ |] = e определяет многообразие Am X. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Непосредственно проверяется, что это тождество истинно в Am X. Обратно, пусть G — произвольная m-группа, удовлетворяющая тождеству [|y| ∧ |v(x, x∗ )| ∨ |v(x, x∗ )∗ |, |z| ∧ |v(x, x∗ )| ∨ |v(x, x∗ )∗ |] = e. Пусть v(g, g ∗ ) — значение слова v(x, x∗ ) в G при x1 = g1 , . . . , xs = gs . Тогда все элементы множества B = {b ∈ G | e ≤ b ≤ |v(g, g ∗ )| ∨ |v(g, g ∗ )∗ |} коммутируют друг с другом. Пусть e ≤ h ≤ |v(g, g)∗ | ∨ |v(g, g ∗ )∗ |n , тогда, по теореме Рисса, h = h1 h2 . . . hn , где e ≤ hi ≤ |v(g, g ∗ )| ∨ |v(g, g ∗ )∗ | для любого i. Поэтому выпуклая ℓ-подгруппа G, порожденная |v(g, g ∗ )| ∨ |v(g, g ∗ )∗ |, является абелевой и содержится в абелевом m-радикале A(G). Следовательно, G/A(G) ∈ X и G ∈ Am X. 2 СЛЕДСТВИЕ 3.3. Пусть многообразие m-групп X определяется тождеством v(x, x∗ ) = e. Тогда тождество (|z| ∧ (|v(y, y ∗ )| ∨ |v(y, y ∗ )∗ |)) · (|z| ∧ (|v(y, y ∗ )| ∨ |v(y, y ∗ )∗ |))∗ = e

Многообразия и классы кручения m-групп

691

определяет многообразие I · X. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Следует из следствия 3.2 и того факта, что I ⊂ Am (см. [1]). 2

ЛИТЕРАТУРА 1. M. Giraudet, J. Rachunek, Varieties of half lattice-ordered groups of monotonic permutations of chains, Czech. Math. J., 49, N 4 (1999), 743—766. 2. В. М. Копытов, Решеточно упорядоченные группы, М., Наука, 1984. 3. V. M. Kopytov, N. Ja. Medvedev, The theory of lattice-ordered groups, Dordrecht a.o., Kluwer Academic Publ., 1994. 4. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1977. 5. В. М. Копытов, Й. Рахунек, Наибольшее собственное многообразие mгрупп, Алгебра и логика, 42, N 5 (2003), 624—635. 6. M. E. Huss, N. R. Reilly, On reversing the order of lattice ordered groups, J. Algebra, 91, N 1 (1984), 176—191. 7. W. Ch. Holland, Varieties of ℓ-groups are torsion classes, Czech. Math. J., 29, N 1 (1979), 11—12.

Адрес автора: ИСАЕВА Ольга Владимировна, РОССИЯ, 656099, г. Барнаул, пр. Ленина, 61, Алтайский гос. университет, кафедра информационных систем в экономике. e-mail: [email protected]

Поступило 23 ноября 2001 г.