Распознавание конечных простых групп L3(2^m) и U3(2^m) по порядкам их элементов

Алгебра, и логика, 39, N 5 (2000), 567-585

УДК 512,542

РАСПОЗНАВАНИЕ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ m

L3(2 )

ГРУПП

m

И Us{2 ) П О П О Р Я Д К А М И Х Э Л Е М Е Н Т О В * )

В . Д . М А З У Р О В , М. Ч . СУ, Ч . П. Ч А О Введение

Для конечной группы G обозначим через u)(G) множество порядков ее элементов. Это множество замкнуто относительно делимости и поэтому однозначно определяется подмножеством }л{С)) состоящим из максималь­ ных по делимости элементов множества cu(G). Будем говорить, что конечная группа G распознаваема по ш(Сг) (короче, распознаваема), если каждая конечная группа Я со свойством и(Н) = UJ(G) изоморфна G. К настоящему времени доказано, что распознаваемы следующие ко­ нечные простые группы: £2(2)? Ч > 3, q ф 9 [1—5], группы Сузуки Sz(q) ~ = 2B2(q) [б], группы Ри Re(q) = 2G2(q) [7] и 2 F 4 ( 9 ) [8], L 3 (4) [9], L3(8) [10], £ 3 (7),L 4 (3), 1. Множество и(Н) конечной группы Н определяет граф Грюнберга— Кегеля GK(H): его вершинами являются простые делители порядка груп­ пы Я , два простых числа р, q полагаем смежными, если Я содержит элемент порядка pq. Число компонент связности графа GK(H)

обозна­

чим через «(Я), а г-тую компоненту связности — через 7г,- = тгДЯ), г = 1,...,$(Я). Для группы Я четного порядка пусть 2 £ TTI. Обозначим через /^ = /х»(Я) (соответственно, через о/г = Ui(H)) множество, состоящее из чисел п G /л(Я) (соответственно, п £ ^ ( Я ) ) таких, что каждый простой делитель числа тг принадлежит 7Г,-.

Предварительные результаты Л Е М М А 1. 2?cvm С? — конечная группа с несвязным графом GK(G), то выполняется одно из следующих условий: а) s(G) = 2 , G — FC — группа Фробепиуса с ядром F и дополнением С, и K{F), ТГ(С) — связные компоненты графа GK(G); б) s(G) = 2, G = ЛВС, г