Базисные ранги разрешимых многообразий групп и l-групп

Алгебра, и логика, 39, N о (2000), 586-594

УДК 512.545

БАЗИСНЫЕ РАНГИ Р А З Р Е Ш И М Ы Х КВАЗИМНОГООБРАЗИЙ ГРУПП И £-ГРУПП*) С.В.МОРОЗОВА

Говорят, что базисный ранг квазимногообразия групп (решеточно упорядоченных групп или £-групп) X равен п, если это квазимногообразие порождается некоторой n-порожденной группой (^-группой) и не порожда­ ется группой (^-группой) с меньшим числом порождающих. Если такого натурального числа п нет, то ранг квазимногообразия X групп (£-групп) бесконечен [1]. В настоящей работе показывается, что ряд квазимногообразий групп без кручения, содержащихся в произведении многообразий Э^Э\ГС, где 3\1& — многообразие нильпотентных групп ступени нильпотентности к (к ^ 1), не порождается всеми своими га-порожденными группами (теорема 2.5). Отсюда, как следствие, получаем, что базисные ранги таких групп беско­ нечны. Доказывается, что любое многообразие £-групп Ж такое, что А\ С C M C

(Nk)i(Nc)i

(где A2t — многообразие двуступенно разрешимых

^-групп, {Jik)i ~~ многообразие всех нильпотентных £-групп ступени ниль­ потентности к (к ^ 1), которое рассматривается как квазимногообразие), не порождается всеми своими ^-порожденными ^-группами и поэтому име­ ет бесконечный базисный ранг (теорема 3.1). *' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фудаментальных исследований, проект 99-01-00156. ©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

Базисные ранги разрешимых

587

квазимногообразий

§1* Предварительные сведения Будем использовать символ == для обозначения изоморфизма групп. Расширение G группы А посредством группы В называется расщепляе­ мым, если в G содержатся нормальная подгруппа Я и подгруппа К такие, что G = Я . К, А^Н,

НПК

= е. Очевидно, что К £ G/A. Группу

G называют еще полупрямым произведением групп Л, Я и обозначают G = ЛАЯ. Прямое произведение бесконечных циклических групп, поро­ жденных элементами &ь . . . , b n , обозначим (fri) ® . . . ® (Ьп). Как обычно, [ж, у] = x~~ly~~lxy, [G,G\ — коммутант группы G. Пусть А — ^-группа, В — линейно упорядоченная группа, тогда че­ рез AWrB обозначим декартово сплетение ^-группы А и линейно упоря­ доченной группы Я, решеточно упорядоченное по правилу: fb > е ( / 6 £ Fun(#, А), Ь G В) тогда и только тогда, когда Ь > е или 6 = 6, /(b) > е для любого b £ В. Пусть (G, £2) и (Я, Г) — транзитивные ^-группы порядковых автомор­ физмов линейно упорядоченных множеств О и Т , Через {дТ} обозначим множество {дт 6 G : г 6 Г } . Положим Л = ^ х Т и Т ^ = {({#т}, h) :h £ Н, дт £ G при каждом г € Г } . На множестве W определим операцию и порядок по следующим правилам: ({/тЬ^гЖУг}»^) = ({a r },^i^2)> Где a r = fTgrhx (г € Т); ({#г}> ^) > е тогда и только тогда, когда h > е и gr > e для всех г € Т таких, что г& = г. Для (а,сг) £ Л пусть {a,a)({gr},h)

=

= ( А £ Xjt, Cn+i/A А=

Е У1С (А;, с ^ 1), т о

Сп

(а) ^. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу соотношений [Ь,-,Ь,] = е ( t , j б { 1 , . . .

. . . , п}) подгруппа Вп = gp(&i,..., bn) является свободной п-порожденной абелевой. Поскольку abl = а 2 , то a = [a, bx] E [C n + i,C n +i].

Базисные ранги разрешимых

квазимногообразий

589

Рассмотрим (a)Cn+l — нормальное замыкание элемента а в группе C n +i. Покажем, что (a)Cn+l является абелевой группой без кручения ран­ га 1. Непосредственно проверяется, что

[{ak 0, или кп = 0 и fc„_i > 0 , . . . или кп — ... — ki = 0uq^0

(при естественном порядке в

группе рациональных чисел). Обозначим группу С„+1 с порядком Р через

(C„ + i,P).n С Л Е Д С Т В И Е 2.3. Выполняются включения

Сп+г € ОП»Л2>

гри 2 , зюги 2 , ЯГИ2> ^пл 2 , Л Е М М А 2.4. В группе Сп+\ подгруппа Q2...pn является

наимень­

шей неединичной изолированной нормальной подгруппой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Н — произвольная неединичная нор­ мальная изолированная подгруппа группы С п +ь Предположим, что НП ПС?2...р„ = Iе}- Произвольный элехМент h E H имеет вид где не все / i , . . . , / n равны 0, a G Q2...p„- Отсюда [Л, 1] = (~1) Л + 1 = — — рх .. .р1£ + 1 т^ е - Получили противоречие. Значит, Я П Q2...pn ф {e}i и поэтому существует элемент q £ Н П Q2...Pn- Следовательно, Н П Q2...Pn содержит изолятор J(q) элемента q ранга 1. Несложные рассуждения по­ казывают, ЧТО Н Э C^2...pn- D Через Ф п +ъ г Д е n ~ натуральное число, обозначим квазитождество ((a?w = x 2 & . . . & ^ = a ; ^ & [ y b y ^ ] = e ( z , j G { l , . . . , n } ) ) ^ ( a : = e)). (Как обычно, кванторы всеобщности здесь опущены.) Хорошо известно (см., например, [7, следствие 10.2.3]), что полици­ клический ранг n-порожденной нильпотентной группы G ступени нильпо­ тентности ^ с не превосходит п + п2 + . . . + пс = (псп — п)/(п — 1) <J n c + 1 . Пусть Q — квазимногообразие, порожденное всеми группами С п , где п — натуральное число. Положим N2 = (а, Ь, с [а, 6] = с, [а, с] = [6, с] = е) 6 б Э ^ П О . Так KaKiV 2 ^Q, T O Q C Л 2 Г ) 0 , 0 ^ Л 2 Г ] 0 . Т Е О Р Е М А 2.5. Любое квазимногообразие групп X такое} что Q С X С (NfcNc) П-^ группами.

ке

порождается всеми своими

п~порожденными

Базисные ранги разрешимых

квазимногообразий

591

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Через Хп обозначим класс всех п-порожденных групп из квазимногообразия X. Пусть Кп — квазимногообразие, по­ рожденное Х п . Очевидно, что Кп С Кт для любых натуральных гс, га таких, что п ^ га. Покажем, что Кп ф Кт при га = n c + 1 + 2. Для этого рассмотрим квазитождество Ф ш , которое ложно в группе Ст. Значит, Ф т ложно в Кт. Покажем теперь, что квазитождество Ф т выполняется в Кп. Предпо­ ложим, что Ф т ложно в Кп. Тогда оно ложно и в некоторой п-порожденной группе Н £ Кп. Значит, существует нормальная подгруппа А группы Я такая, что А € 34*, Н/А 6ЭДСи группа Н/А является конечнопорожденной с числом порождающих ^ п. Следовательно, найдутся отличные от е элементы a, &i,..., &m-i € Н такие, что

a£i = a 2 ,...,a 8 m - l ^ a ^ - 1 , [6t-,Sj] = е ( i , j e { i , . . . , m - i}). Рассмотрим подгруппу Я ш — gp{a, b i , . . . , frm-i) группы Я . По теоре­ ме Дика существует гомоморфизм (р : С т ~> Я т , т. е. Я ш = C m /ker