Лекции по классической механике. IV курс, 7 семестр, поток математиков

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

Курс лекций по классической механике Лектор — Александр Владиленович Карапетян

IV курс, 7 семестр, поток математиков

Москва, 2006 г.

Оглавление 1.

Кинематика 1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Напоминание из аналитической и дифференциальной геометрии 1.1.2. Совсем основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Цилиндрические и сферические координаты . . . . . . . . . . . 1.1.4. Натуральный параметр и естественные оси (репер Френе) . . . 1.1.5. Угловая скорость подвижного репера . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6. Связь абсолютной и локальной производных по времени . . . . 1.2. Кинематика абсолютно твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Абсолютно твёрдое тело. Формула Эйлера и Ривальса . . . . . . 1.2.2. Примеры движений твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Сложное движение точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Теорема о сложении угловых скоростей. Кинематические формулы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Углы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Замечание о качении тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 9

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 11

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

2.

Динамика точки 2.1. Движение точки под действием сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Принцип детерминированности Ньютона. Прямая и обратная задачи намики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Примеры сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Основные динамические величины. Работа и момент силы . . . . . . 2.1.4. Основные теоремы динамики точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Одномерное движение точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Задача Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера . . . . . . . 2.2.2. Прямая задача Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Качественный анализ уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Аналитическое исследование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Исследование эллиптического движения . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Динамика материальной точки при наличии связей . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Движение точки по поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Движение точки по кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Математический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Сферический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Относительное движение точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Относительное движение материальной точки . . . . . . . . . . . . . 2.5. Движение точки в поле тяготения Земли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Движение точки с учетом вращения Земли . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Падение точки на Землю с учетом вращения Земли . . . . . . . . . . 2.5.3. Маятник Фуко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.

Динамика системы точек и твёрдого 3.1. Динамика системы точек . . . . . . . . 3.1.1. Основные понятия . . . . . . . 3.1.2. Общие теоремы динамики . . . 2

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

11 . . . 11 ди. . . 11 . . . 12 . . . 12 . . . 13 . . . 13 . . . 14 . . . 14 . . . 15 . . . 16 . . . 16 . . . 17 . . . 18 . . . 18 . . . 19 . . . 19 . . . 20 . . . 22 . . . 22 . . . 24 . . . 24 . . . 25 . . . 26

тела 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.3.

Понятие о задаче n тел. Задача двух тел и её сведение к задаче Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Оси, формулы и теоремы Кёнига . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Динамика твердого тела. Геометрия масс ТТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Динамика твёрдого тела с неподвижной точкой . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Оператор инерции и эллипсоид инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Основные динамические характеристики ТТ . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Основные уравнения движения ТТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Эквивалентные системы сил, действующих на ТТ . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6. Динамика твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7. Физический маятник: ТТ в однородном поле тяжести . . . . . . . . . . . . 3.2.8. Плоско-параллельное движение ТТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.9. Задача: Диск на наклонной прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.10. Динамика ТТТ с неподвижной точкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Волчки и всё о них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Перманентные вращения. Вращение с постоянной угловой скоростью вокруг постоянной в теле оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Волчок Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Перманентные вращения волчка Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Геометрическая интерпретация Пуансо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Регулярные прецессии динамически симметричного волчка Эйлера (A = B 6= C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. Волчок Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7. Динамика твердого тела на горизонтальной плоскости . . . . . . . . . . . .

30 31 32 32 32 33 33 34 34 35 36 36 37 38 38 38 39 39 40 40 41

Предисловие Набрано Ромой и Машей Ждановыми. Рисунков, к сожалению, пока нету. Текст был частично подправлен DMVN Corp. Пока тщательной переработке подверглись только первые две главы, последняя на предмет опечаток и лажи не верифицировалась. Разделение на главы и параграфы условно и не претендует на точное соответствие названий и содержания. В порядке исключения шрифт здесь будет 12pt, потому что легче читать (очень много мелких, но важных индексов). Последняя компиляция: 8 февраля 2006 г. Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net. Об опечатках и неточностях пишите на [email protected].

3

1. Кинематика 1.1. Основные понятия 1.1.1. Напоминание из аналитической и дифференциальной геометрии Мы часто будем использовать формулу «бац минус цаб»: [a, [b, c]] = b(a, c) − c(a, b). Кроме того, если a ⊥ b, то есть (a, b) = 0, то, с использованием предыдущей формулы (хотя это легко проверить и непосредственно) получаем [a, [a, b]] = a (a, b) −b(a, a) = − |a|2 b. | {z } 0

Ещё одно полезное соображение: если e и f — векторы, зависящие от времени, но (e, f ) ≡ const, то (e, ˙ f ) + (e, f˙) ≡ 0. 1.1.2. Совсем основные понятия Пусть M — точка в R3 , r — её радиус-вектор относительно некоторой системы отсчета Oxyz с ортами ex , ey , ez . Время t ∈ R+ = [0, +∞), функция r = r(t) — закон движения. Кривая γ = {r(t)|t ∈ [a, b]} — траектория движения. Все функции дифференцируемы столько раз, сколько нужно. Определение. Скоростью точки в данный момент времени называется производная ее радиус-вектора по времени: dr v = r˙ = . dt Определение. Ускорением точки в данный момент времени называется первая производная её вектора скорости по времени или, что то же самое, вторая производная ее радиус-вектора по времени: d2 r a = v˙ = ¨r = 2 . dt Таким образом, r = xex + yey + zez ,

v = xe ˙ x + ye ˙ y + ze ˙ z,

a = x¨ex + y¨ey + z¨ez .

Пример 1.1. Простейшие виды движения точки: 1. Движение вдоль неподвижной прямой: r = r 0 + se. 2. Движение вдоль окружности x2 + y 2 = R2 в плоскости z = 0 [Рис. 1]. Введём (подвижную) систему координат (er , eϕ ). er := ex cos ϕ + ey sin ϕ,

eϕ := −ex sin ϕ + ey cos ϕ.

Тогда r = Rer ,

v = Re˙ r = Rϕe ˙ ϕ,

a = Rϕe ¨ ϕ + Rϕ˙ e˙ ϕ = Rϕe ¨ ϕ − Rϕ˙ 2 er . 4

1.1.3. Цилиндрические и сферические координаты 1. Цилиндрические [Рис. 2]: ϕ, ρ, z, 2. Сферические [Рис. 3]: r, ϕ, θ,

eϕ , eρ , ez , er , eϕ , eθ ,

r = ρeρ + zez . r = rer .

1.1.4. Натуральный параметр и естественные оси (репер Френе) v Введем обозначения: τ = |v| — орт касательной к траектории. Пусть Π — cоприкасающаяся плоскость, то есть плоскость, что τ , ν ∈ Π, где ν — вектор главной нормали, ν ⊥ τ . Положим β = [τ , ν] — вектор бинормали.  Определение. Оси τ , ν, β называются естественными осями или репером Френе. РЕПЕР ФРЕНЕ: [Рис. 4] = 1. Определение. Параметр называется натуральным, если dr ds Здесь будем считать, что штрих — это производная по натуральному параметру. Имеем

так как |τ | = |r′ | = 1, то s˙ = v;

dr v = r˙ = s˙ = sr ˙ ′ = vτ , ds R r ′ = τ ; s = vdt.

a = v˙ = vτ ˙ + v τ˙ = vτ ˙ + v 2 τ ′ = Aτ + Bν. ˙ и τ ′ = kν. Из курса дифференциальной геометрии известОчевидно, τ ′ ⊥ τ , поэтому A = v, но, что k — кривизна кривой. Итак, v = vτ ,

a = vτ ˙ + kv 2 ν.

Пусть ρ := k1 — радиус кривизны, κ — кручение кривой. Напомним формулы Френе из дифференциальной геометрии:  ′  τ = kν, ν ′ = −kτ + κβ,   ′ β = −κν. Следствие 1.1. В наших обозначениях  ˙  τ = kvν, ν˙ = −kvτ + κvβ,  ˙ β = −κvν.

1.1.5. Угловая скорость подвижного репера

Пусть {e1 , e2 , e3 } — репер подвижной системы координат, а {ex , ey , ez } — репер неподвижной системы координат. Определение. Угловой скоростью подвижного репера называется вектор ω :=


1 [e1 , e˙ 1 ] + [e2 , e˙ 2 ] + [e3 , e˙ 3 ] . 2

Пример 1.2. Рассмотрим цилиндрическую систему координат:     e = e cos ϕ + e sin ϕ, ˙ ϕ, r x y  e˙ r = ϕe ⇒ eϕ = −ex sin ϕ + ey cos ϕ, e˙ ϕ = −ϕe ˙ r,    ˙ ez = ez . ez = 0. 5


[er , ϕe ˙ ϕ ] + [eϕ , −ϕe ˙ r ] = ϕ[e ˙ r , eϕ ] = ϕe ˙ z. Теорема 1.1 (Формулы Пуассона). e˙ i = [ω, ei ].  Воспользуемся формулой «бац минус цаб» и тем, что если (e1 , ej ) = 0, то (e˙ 1 , ej ) + (e1 , e˙ j ) = 0. Имеем

Отсюда получаем, что ω :=

1 2

    
1  e1 , [e1 , e˙ 1 ] + e1 , [e2 , e˙ 2 ] + e1 , [e3 , e˙ 3 ] = 2
1 = − −e˙ 1 − e1 (e˙ 1 , e1 ) − e2 (e˙ 1 , e2 ) − e3 (e˙ 1 , e3 ) = e˙ 1 , 2 так как последних три слагаемых суть разложение вектора e˙ 1 по базису {e1 , e2 , e3 }.  [ω, e1 ] = −[e1 , ω] = −

1.1.6. Связь абсолютной и локальной производных по времени Через ddta будем обозначать абсолютную производную по времени, то есть по отношению к неподвижному реперу Oex ey ez . Через ddtr — относительную (по отношению к подвижному реперу Se1 e2 e3 ). Определение. Абсолютная и относительная производные радиус-вектора точки — это её абсолютная и относительная скорости. Утверждение 1.2. Имеет место соотношение dr AB da AB = + [ω, AB], dt dt где ω — угловая скорость репера e1 e2 e3 .  Пусть AB = ξ1 e1 + ξ2 e2 + ξ3 e3 . Тогда i d AB X X dr AB h X da AB X ˙ ! dr AB r ξi e˙ i = ξi ei = = ξi ei + + ξi[ω, ei ] = + ω, + [ω, AB]. dt dt dt dt Переход «!» следует из формулы Пуассона. 

1.2. Кинематика абсолютно твердого тела 1.2.1. Абсолютно твёрдое тело. Формула Эйлера и Ривальса Определение. Абсолютно твердым телом (ТТ) называется система из n > 3 точек Mi (среди которых существуют три точки, не лежащие на одной прямой), такая что при любых движениях этой системы имеют место соотношения Mi Mj = ρij = const. Для того, чтобы знать закон движения твердого тела (то есть знать законы движения всех его точек), достаточно знать законы движения трёх его точек, не лежащих на одной прямой. Они задаются 6 параметрами. Группа движений: R3 × SO(3). Определение. Угловой скоростью твердого тела ω T T называется угловая скорость репера, связанного с телом. Утверждение 1.3 (Формула Эйлера). Имеет место формула v B = v A + [ω T T , AB]. AB  Имеем v B −v A = dadtAB = drdt +[ω, AB]. Но первое слагаемое равно нулю, так как тело — твердое, и его точки не движутся друг относительно друга.  Следствие 1.2 (Корректность определения ω T T ). Вектор ω T T корректно определён.  Допустим, существует два репера, в которых ω 1 6= ω 2 . Тогда vB = v A + [ω 1 , AB], vB = v A + [ω 2 , AB]. 6

Поэтому [ω 1 − ω 2 , AB] = 0 для любых точек A и B тела. Но поскольку среди точек твердого тела есть три, не лежащие на одной прямой, получаем ω 1 − ω 2 = 0. 

Утверждение 1.4. Угловое ускорение не зависит от репера.  Мы знаем, как связаны абсолютная и относительная производные. Подставим в ту формулу угловую скорость ω вместо вектора AB: da ω dr ω dr ω = + [ω, ω] = , dt dt dt значит, угловое ускорение можно измерять, как сидя в неподвижной системе, так и сидя в подвижной.  Угловое ускорение ω˙ (производную можно обозначать просто точкой в силу только что доказанного утверждения) мы будем обозначать через ε. Следствие 1.3 (Формула Ривальса). aB = aA + [ε, AB] + [ω, [ω, AB]].  Из формулы Эйлера имеем v B = v A + [ω, AB]. Продифференцируем это соотношение, и учтём то, что da AB dr AB +[ω, AB], = dt dt } | {z 0

потому что тело твёрдое. Получаем в точности доказываемую формулу.  1.2.2. Примеры движений твердого тела

1◦ . Поступательное движение. Для него имеем ω = 0. Откуда для всех A, B ∈ T T имеем v A = vB , aB = aA . Если существует точка t∗ такая, что ω(t∗ ) = 0, то говорят, что тело совершает мгновенно поступательное движение, при этом v A (t∗ ) = vB (t∗ ). Но для ускорений это равенство, вообще говоря, неверно. 2◦ . Вращение вокруг неподвижной оси. Тут должен быть [Рис. 7]. Если существуют две различные точки A и B твердого тела такие, что v A = v B = 0, то из формулы Эйлера получаем, что ω = λAB. Отсюда v C = 0 для любой точки C, принадлежащей прямой AB. Без ограничения общности, ez = e3 . Запишем соотношения для точки тела P . Пусть P ′ — её проекция на ось вращения Oz. Тогда ω = ωez ,

v P = [ω, OP ] = ω[ez , OP ] = ω[ez , P ′ P ].

aP = ω[e ˙ z , P ′P ] + ω 2 [ez , [ez , P ′P ]] = ω[e ˙ z , P ′P ] − ω2P ′P . Если при t = t∗ существует прямая ℓ = ℓ(t) такая, что v C = 0 для всех C ∈ ℓ, то говорят, что тело совершает мгновенное вращение вокруг оси ℓ. 3◦ . Плоско-параллельное движение твердого тела. Тут должен быть [Рис. 7]. Это такое движение, при котором все точки ТТ движутся в плоскостях, параллельных какой-либо неподвижной плоскости. В этом случае движение полностью описывается движением сечения.

7

Пусть T T ∗ — сечение ТТ плоскостью Oxy (мы считаем, что система координат выбрана именно так). Подвижная система координат, связанная с телом — Se1 e2 . Тогда имеем rs = xs ex + ys ey . Домножая скалярно равенство v B − vA = [ω, AB] на ω, имеем (ω, vB − vA ) = (ω, [ω, AB]) = 0, откуда ω = ωez . Подставляя вектор угловой скорости в формулу для скоростей, получаем v B = v A + ω[ez , AB], а для ускорений aB = aA + ω[e ˙ z , AB] + ω 2 [ez , [ez , AB]] = aA + ω[e ˙ z , AB] − ω 2AB. Утверждение 1.5. Если ω 6= 0, то существует C ∈ T T ∗ такая, что v C = 0.  Пусть S — любая точка в теле. Если v S = 0, то всё ясно — мы её нашли. Если же vS 6= 0, то хотим найти такую точку C, что 0 = v C = v S + [ω, SC]. Умножим это равенство векторно на ω слева. Получим [ω, vS ] + [ω, [ω, SC]] = 0, то есть [ω, v S ] = ω 2SC. Отсюда можно найти вектор SC: [ω, v S ] SC = , ω2 то есть неподвижная точка найдена.  Определение. Точка C = C(t), для которой v C = 0 называется мгновенным центром скоростей. Геометрическое место точек C в теле называется подвижной центроидой. Геометрическое место точек C в на плоскости Oxy называется неподвижной центроидой. 4◦ . Вращение вокруг неподвижной точки (сферическое движение). Тут должен быть [Рис. 8]. В этом случае существует точка O ∈ T T такая, что v O ≡ 0. Примем её за начало системы отсчета. Тогда для всякой точки P ∈ T T имеем vP = v O + [ω, OP ] = [ω, OP ],

aP = [ε, OP ] + [ω, [ω, OP ]].

Пусть ℓ — прямая, проходящая через точку O с направляющим вектором ω. Тогда очевидно, что vP = 0 для всех P ∈ ℓ. Определение. Прямая ℓ называется мгновенной осью вращения. Геометрическое место прямых {ℓ(t)} в теле (или в неподвижном пространстве) называется подвижным (или неподвижным) аксоидом. Пример такого движения демонстрирует гироскоп. Определение. Если существует момент времени t∗ и Q ∈ T T такая, что vQ (t∗ ) = 0, то говорят, что при t = t∗ тело совершает мгновенно вращательное движение вокруг точки Q. 5◦ . Мгновенно-винтовое движение (случай общего положения). Утверждение 1.6. Если ω 6= 0 и v P 6= 0 для всех точек P ∈ T T , то существует прямая ℓ(t) ∈ T T с направляющим вектором e = ωω и для всех точек прямой ℓ выполнено v C = ve.  Возьмём произвольную точку S ∈ T T . Тогда vS 6= 0. Проведем плоскость Π через точку S, перпендикулярную вектору ω. Покажем, что найдётся точка Q ∈ Π, для которой v Q = σω. Действительно, уравнение для неё имеет вид v Q = vS + [ω, SQ] = σω, умножая его векторно на ω, получаем [ω, vS ] + [ω, [ω, SQ]] = 0, 8

S] , то есть точка Q найдена. а отсюда [ω, vS ] − ω 2SQ = 0, ибо SQ ⊥ ω. Отсюда SQ = [ω,v ω2 Пусть ℓ — прямая с направляющим вектором ω, проходящая через точку Q. Далее, рассмотрим произвольную точку C ∈ ℓ, тогда

v C = v Q + [ω, QC] = v Q = σω = ve, что и требовалось доказать.  Определение. Такое движение называется мгновенно-винтовым, а прямая ℓ — мгновенной винтовой осью. Теорема 1.7. Произвольное движение твердого тела либо мгновенно-поступательное, либо мгновенно вращательное, либо мгновенно-винтовое. 1.2.3. Сложное движение точки Картинка — [Рис. 10]. Рассмотрим движение точки P ∈ T T . Пусть Oex ey ez — неподвижный репер, Se1 e2 e3 — подвижный репер. Пусть ω — угловая скорость подвижного репера. Радиус-вектор точки P в подвижной системе координат обозначим через ρ. Ясно, что r = r S + ρ. Определение. Переносной скоростью точки P называется вектор v e := v a + [ω, ρ]. Теорема 1.8 (О сложении скоростей). Имеет место равенство va = v r + v e , где v a , v r , ve — абсолютная, относительная и переносная скорости точки P соответственно.  В самом деле, vPa =

dr da r S da ρ dr ρ = + = v Sa + + [ω, ρ] = v Pr + v Sa + [ω, ρ] =: v Pr + vPe , dt dt dt dt

что и требовалось доказать.  Замечание. Переносная скорость точки P — это скорость той точки подвижного репера, с которой в данный момент совпадает точка P . ˙ ρ] + [ω, [ω, ρ]] называется переносным ускорением. Определение. Вектор aPe := aSa + [ω, Определение. Вектор aPc := 2[ω, vr ] называется кориолисовым ускорением. Теорема 1.9 (Кориолис). Имеет место равенство: aa = ar + ae + ac .  aPa

Рассмотрим формулу vPa = v Pr + vaS + [ω, ρ]. Имеем

 
dr vPr da vPa da P da v Sa dr ρ S P ˙ = = v + v a + [ω, ρ] = + [ω, v r ] + + [ω, ρ] + ω, + [ω, ρ] = dt dt r dt dt dt ˙ ρ] + [ω, v r ] + [ω, [ω, ρ]] = aPr + aSa + [ω, ˙ ρ] + [ω, [ω, ρ]] + 2[ω, vr ], = aPr + [ω, vPr ] + aSa + [ω, | {z } | {z } aP e

что и требовалось доказать. 

9

aP c

1.2.4. Теорема о сложении угловых скоростей. Кинематические формулы Эйлера Пусть Oex ey ez — неподвижный репер, Ωeξ eη eζ — подвижный репер, Se1 e2 e3 — репер, жёстко связанный с твёрдым телом. Напомним, что   1X da ei ωa = ei , — 2 dt это абсолютная угловая скорость,   1X dr e i ωr = ei , — 2 dt это относительная угловая скорость (по отношению к реперу Ωeξ eη eζ ), а       1 da eξ da e η da eζ + eη , + eζ , — ωe = eξ , 2 dt dt dt

это переносная угловая скорость, то есть угловая скорость репера ξηζ в неподвижной системе отсчета. Теорема 1.10 (О сложении угловых скоростей). Имеет место формула ω a = ω r + ω e .  Будем под ∗ понимать одну из букв a, r, e. Пусть A, B — произвольные точки твердого тела, тогда A vB (1) ∗ = v ∗ + [ω ∗ , AB], Сложим эти три равенства (два последних возьмём со знаком «−»), получим B A A A vB − vB r − v e = v a − v r − v e +[ω a − ω r − ω e , AB], |a {z } | {z } 0

0

то есть [ω a − ω r − ω e , AB] = 0. А поскольку это равенство верно для любых точек, то на самом деле получаем ω a − ω r − ω e = 0, что и требовалось доказать. 

Следствие 1.4. Для угловых ускорений справедлива формула εa = εr + εe . Следствие 1.5. Пусть S0 — неподвижная система отсчета, а S1 , . . . , Sn — подвижные. Пусть ω — угловая скорость Sn относительно S0 , а ω i — угловая скорость Si относительно Si−1 (i = 1, . . . , n). Тогда n X ω= ωi. i=1

1.2.5. Углы Эйлера Картинка — [Рис. 11]. Определим углы Эйлера подвижного репера Oe1 e2 e3 относительно неподвижного репера Oxyz. Пусть [e3 , ez ] 6= 0. Пусть ξ = Oxy ∩ Oe1 e2 . Определение. Угол ψ = ∠(ex , eξ ) называется углом прецессии, угол θ = ∠(ez , e3 ) — углом нутации, угол ϕ = ∠(eξ , e1 ) — углом собственного вращения. При этом имеем θ ∈ [0, π), ϕ ∈ [0, 2π), ψ ∈ [0, 2π). Переведем репер Oe1 e2 e3 в Oxyz с помощью композиции трёх поворотов с угловыми скоростями ω I , ω II и ω III : 10

1◦ Oxyz переходит в Oξηz, (при этом Oη ∈ Oxy) под действием поворота вокруг Oz на ˙ z. угол ψ. Угловая скорость репера Oξηz: ω I = ψe 2◦ Oξηz переходит в Oξη ′e3 под действием поворота вокруг Oξ на угол θ (при этом Oη ′ ∈ ˙ ξ. Oe1 e2 ). Угловая скорость репера Oξη ′e3 относительно Oξηz: ω II = θe 3◦ Oξη ′e3 переходит в Oe1 e2 e3 с помощью поворота вокруг Oe3 на угол ϕ. Угловая скорость: ω III = ϕe ˙ 3. По следствию 1.5 из теоремы о сложении скоростей получаем, что угловая скорость ТТ (то есть репера Oe1 e2 e3 ) равна ˙ z + θe ˙ ξ + ϕe ω = ω 1 + ω 2 + ω 3 = ψe ˙ 3. Очевидно, eξ = cos ϕ e1 − sin ϕ e2 , ez = sin θ sin ϕ e1 + sin θ cos ϕ e2 + cos θ e3 . Поэтому ω = ω1 e1 + ω2 e2 + ω3 e3 , где ω1 , ω2 , ω3 задаются с помощью кинематических формул Эйлера: ω1 = θ˙ cos ϕ + ψ˙ sin θ sin ϕ, ω2 = −θ˙ sin ϕ + ψ˙ sin θ cos ϕ, ω3 =

ϕ˙ + ψ˙ cos θ.

1.2.6. Замечание о качении тел Пусть Σ — неподвижная поверхность, S — подвижная поверхность (поверхность, ограничивающая твердое тело). Определение. Говорят, что тело совершает качение без скольжения, если v K = 0 (K ∈ S). Если Σ — подвижная поверхность, то тело совершает качение без скольжения, если v Ks = v KΣ .

2. Динамика точки 2.1. Движение точки под действием сил 2.1.1. Принцип детерминированности Ньютона. Прямая и обратная задачи динамики Принцип детерминированности Ньютона гласит, что:
˙ 0 ), t0 , t , r(t) = Φ r(t0 ), r(t 2
¨r(t) = ∂ Φ r(t0 ), r(t ˙ 0 ), t0 , t . ∂t2

Подставим t = t0 во второе уравнение, получим:

¨r(t0 ) = f (r(t0 ), r(t ˙ 0 ), t0 ). Но так как t0 может быть любым, то ¨r(t) = f (r(t), r(t), ˙ t), В других обозначениях (просто умножим последнее уравнение на константу m, называемую массой), получим ˙ m¨r(t) = F (r(t), r(t), t). 11

Это равенство называется вторым законом Ньютона. Его правая часть — это сила (мера взаимодействия тел). В динамике фактически постулируется, что сила зависит только от положения точки, скоростей и времени. Прямая задача динамики состоит в том, что нужно найти закон движения, если заданы силы и начальные условия. Обратная задача динамики состоит в нахождении сил при заданных свойствах движения. Пример 1.1. Если точка изолирована (не взаимодействует ни с какими материальными системами), то F = 0 и r(t) = r(t0 ) + v 0 · (t − t0 ). Пример 1.2. Рассмотрим так называемую задачу Галилея — движение точки в однородном силовом поле. Тогда m¨r = mg (g — постоянный вектор в Oxyz). Общее решение этой задачи таково: g(t − t0 )2 r(t) = r0 + v 0 (t − t0 ) + . 2 2.1.2. Примеры сил 1. Стационарные: F = F (r, v) (то есть F зависит только от положения и скорости). 2. Позиционные: F = F (r) (то есть F зависит только от положения). Если F = − grad V (r), тогда V (r) называется потенциальной энергией, а сила F — потенциальной силой.
3. Диссипативные: F (r, v), v 6 0 (или 6≡ 0). Примером такой силы служит сила трения. v например, если F = −κv, то это вязкое трение. Если F = −κ |v| при v 6= 0, то это сухое трение.
4. Гироскопические: F (r, v), v = 0. Например, такова кориолисова сила, потому что F c = 2m[ω, vr ], поэтому (F c , vr ) ≡ 0. 2.1.3. Основные динамические величины. Работа и момент силы

Определение. Вектор P := mv = mr˙ называется импульсом точки (или количеством движения). Определение. Вектор K O := [r, mv] = [r, P ] называется кинетическим моментом (или моментом количества движения). Здесь индекс указывает на то, относительно какой точки рассматривается кинетический момент. Определение. Число T = 21 mv 2 = 12 m(v, v) — кинетическая энергия. Работа силы: Aэл = (F , dr) — элементарная работа. Тогда ZM2 ZM2 A = Aэл = (F , dr) — M1

M1

это работа на отрезке M1 M2 . Определение. Вектор M O (F ) := [r, F ] — момент силы F , приложенной в точке с радиус-вектором r, относительно точки O. Если из контекста ясно, о какой силе идёт речь, аргумент F писать не будем. Пусть ℓ — ось, проходящая через точку O с направляющим вектором e. Определим величины Mℓ := (M O , e) — момент силы относительно прямой ℓ, Kℓ = (K O , e). Легко видеть, что Mℓ и Kℓ не зависят от выбора точки O на прямой ℓ, потому что если O ′ ∈ ℓ, то M O′ = [r − OO ′, F ], поэтому
Mℓ = (M O′ , e) = (M O , e) + [OO ′, F ], e = (M O , e), потому что OO ′ k e.

12

2.1.4. Основные теоремы динамики точки Теорема 2.1 (Следствие из второго закона Ньютона). P˙ = F .  Сразу следует из определения импульса.  ˙ =M . Теорема 2.2 (2). K O

O

˙ поэтому K˙O = [r, m¨r ] + [r, ˙ mr] ˙ = [r, m¨r ] = [r, F ] = M O .  K O = [r, mr], Теорема 2.3 (3). dT = Aэл = (F , dr), что равносильно равенству T˙ = (F , v) — мощность. ˙ = (v, F ).   T = 1 m(v, v), поэтому T˙ = m(v, v) 

2

Выведем из этих теорем несколько полезных следствий и проиллюстрируем их на задаче Галилея. Пусть e — неподвижный единичный вектор, ℓ — прямая с направляющим вектором e. Тогда: 1◦ P˙ℓ = Fℓ , где Pℓ = (P , e), Fℓ = (F , e) — проекции силы и импульса на прямую ℓ). В частности, если Fℓ = 0, то Pℓ = const. Пример 1.3. Задача Галилея при g = −gez : Px = c1 , Py = c2 . 2◦ K˙ ℓ = Mℓ . В частности, если Mℓ = 0, то Kℓ = const. Пример 1.4. Рассмотрим ту же задачу, тогда Kz = c3 . 3◦ Если F = − grad V (r), то T + V = const. В самом деле, имеем ˙ = − ∂V dri = −V˙ , T˙ = (F , v) = −(grad V, r) ∂ri dt значит, T˙ + V˙ = 0, откуда T + V = const. Пример 1.5. В той же задаче Галилея получаем 1 m(x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) + mgz = h = const . 2 2.1.5. Одномерное движение точки Пусть сила F — позиционная, а точка живёт на прямой. Тогда Z dV m¨ x = F (x), V (x) = − F (x)dx, F = −V ′ = − . dx В этом случае имеет место первый интеграл (интеграл энергии): 1 mx˙ 2 + V (x) = h = const . 2

(1)

Это дифференциальное уравнение несложно решить. Проведём выкладки: r

x˙ = ±

Zx

2(h − V (x)) , m

x0

dx q

2(h−V (x)) m

= t − t0 .

Определение. Те точки, в которых уравнение имеет решения, называются областью возможности движения (ОВД). Пример 1.6. В нашем случае ОВД — это множество {x : V (x) 6 h}. 13

Определение. Пара переменных (x, v) (или, что то же самое, (x, x)) ˙ — это фазовые переменные. Плоскость {(x, v) | x ∈ R, x˙ ∈ R} называется фазовой плоскостью. Фазовый портрет — это множество кривых, определяемых интегралом энергии (1), то есть его линий уровня. Пример 1.7. Пружинка со связанным концом: x¨ = kx (k = const). Пусть k < 0, тогда имеем уравнение x˙ 2 − kx2 = 2h, и фазовые кривые — эллипсы. Пусть k > 0, тогда фазовые кривые — гиперболы. Замечание. Случай k > 0 лишён физической интерпретации: он соответствует пружине с отрицательным коэффициентом жёсткости! Если V ′ (x) = 0, то это критическая точка потенциала. При этом, если V ′′ (x1 ) > 0, то наблюдается минимум потенциальной энергии, а если V ′′ (x1 ) < 0, то максимум. Период колебаний такой системы — это период между двумя минимумами потенциальной энергии. Z x dx q , h = V (a) = V (b). τ =2 x0

2(h−V (x)) m

2.2. Задача Кеплера 2.2.1. Вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера Это так называемая обратная задача Кеплера. Опишем условия (законы Кеплера): 1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов — Солнце. 2. За одинаковое время планеты заметают в эллипсах равные площади. 2 3. Число Ta3 = const (не зависит от планеты), где T — период, a — большая полуось. Выведем закон Всемирного тяготения из этих условий. Запишем в полярных координатах уравнение эллипса. p , b2 = a2 (1 − e2 ), p := a(1 − e2 ), r= 1 + e cos ϕ Из второго условия следует, что r 2 ϕ˙ = c = const. Эта величина есть удвоенная секторная скорость. Площадь эллипса: πab = 21 c · T . Пусть r, ϕ, z — цилиндрические координаты (по сути дела, полярные, конечно, потому что движение плоское) с центром в фокусе, в котором находится Солнце. Тогда   r − r ϕ˙ 2 ) = Fr = (F , er ), m(¨ m(2r˙ ϕ˙ + r ϕ) ¨ = Fϕ = (F , eϕ ),   m¨ z = Fz = (F , ez ).

Поясним, как получены первые две формулы (левые части). В полярной системе координат берём радиус-вектор r = rer и дифференцируем его два раза, помня о том, что e˙ r = ϕe ˙ ϕ и ˙eϕ = −ϕe ˙ r . После того, как это будет сделано без ошибок, в качестве координат получим как раз компоненты ускорения, и останется только написать второй закон Ньютона. Так как движение плоское, то z ≡ 0 ⇒ Fz = 0. Так как r 2 ϕ˙ = const, то имеем 2r r˙ ϕ˙ + r 2 ϕ¨ ≡ 0, откуда Fϕ = 0. Поэтому F = Fr er — центральная сила. Пусть штрих — это производная по ϕ, а ρ := 1r . Тогда ϕ˙ = cρ2 и d1 ρ˙ ρ′ ϕ˙ = − 2 = − 2 = −ρ′ c. dt ρ ρ ρ ′ ′′ 2 r¨ = (r) ˙ ϕ˙ = −cρ (cρ ) = −c2 ρ2 ρ′′ . r˙ =

14

(1)

1 r ϕ˙ 2 = ρ4 c2 = c2 ρ3 . ρ !

Fr = m(−c2 ρ2 ρ′′ − c2 ρ3 ) = −mc2 ρ2 (ρ′′ + ρ) = −

mc2 ρ2 . p

Справедливость последнего равенства, отмеченного «!», вытекает из того, что ρ = ϕ . потому ρ′′ = − e cos p Теперь начинаем подставлять константы: Fr = −

1+e cos ϕ p

и

4π 2 a2 b2 1 m 4π 2 a3 m m mc2 = − · · = − =: −µ 2 . 2 2 2 2 2 2 pr T a(1 − e ) r T r r

Поэтому

Mm r , r2 r где γ и µ связаны соотношением: µ = γM (M — масса Солнца). В задаче Кеплера потенциал равен V = −µ mr = −γ Mrm . Утверждение 2.4. F — потенциальная сила.  Имеем F = −γ

Zp2 Z Zp2 Zp2 r dr dr µm (r, dr) ! = −µm = −µm = = −V. A = (F , dr) = −µm 3 3 2 r r r r p1

p1

p1

Здесь переход «!» следует из формулы (r, dr) = 12 d(r, r) = 12 d(r 2 ) = r dr. Таким образом, F = = − grad V .  Замечание. Если F = F (r) rr (то есть сила центральная), то F = grad V (r), где V = R = − F (r) dr. 2.2.2. Прямая задача Кеплера

Пусть тело движется под действием центральной силы F = −µ rm2 er (S — начало координат). Утверждение 2.5. Движение точки под действием центральной силы происходит в одной и той же неподвижной плоскости, которая зависит от начальных условий.  M S = [r, F ] = 0 (потому что r и F просто коллинеарны), поэтому K S =: k = const (потому что момент силы — это производная кинетического момента). Поскольку K S = [r, mv], то точка движется в плоскости, перпендикулярной вектору k.  Утверждение 2.6. Радиус-вектор точки, движущейся под действием центральной силы, за равные промежутки времени заметает равные площади.  Поскольку сила F центральная, выполнено равенство maϕ = Fϕ = 0, где aϕ = 2r˙ ϕ˙ + r ϕ. ¨ d 2 2 Мы хотим получить соотношение r ϕ˙ = const. Оно означает, что dt (r ϕ) ˙ = 0. Расписывая производную, получаем d 2 (r ϕ) ˙ = 2r r˙ ϕ˙ + r 2 ϕ¨ = r (2r˙ ϕ˙ + r ϕ) ¨ = 0. | {z } dt aϕ

Значит, искомое соотношение является следствием второго закона Ньютона. 

15

2.2.3. Качественный анализ уравнения Теперь выпишем компоненту уравнения второго закона Ньютона по координате r. m(¨ r − r ϕ˙ 2 ) = −µ

m . r2

(1)

C учетом соотношения ϕr ˙ 2 = c имеем r¨ −

c2 µ + 2 =0 3 r r

⇒

r¨ = Fc =

c2 µ − 2 3 r r

⇒

r¨ = −

dVc µ 1 c2 , где Vc = − + 2 . dr r 2r

Здесь mVc — так называемый приведенный (эффективный) потенциал исходной системы. Он 2 достигает своего минимума в точке r0 = cµ . Фазовый портрет: [Рис. ?]. Первый интеграл: 21 r˙ 2 + Vc = h. Величина mh — постоянная интеграла энергии. При h < 0 траектории замкнутые, при h = 0 — незамкнутые (r˙ − → 0, r − → ∞), при h > 0 — незамкнутые (r˙ − → q, r − → ∞). 2.2.4. Аналитическое исследование Преобразованиями, которые мы уже проделывали в формулах (1) на с. 14, приведем уравнение (1) к виду 1 1 −mρ2 (ρ′′ + ρ) = − mρ2 ⇒ ρ′′ + ρ = , (2) p p 2

где ρ = 1r , p = cµ . Решение имеет вид: ρ = p1 + A cos(ϕ − ϕπ ), где A и ϕπ — произвольные постоянные. Без ограничения общности положим A = pe , ϕπ = 0. Тогда 1 + e cos ϕ , p

ρ=

r=

p . 1 + e cos ϕ

Это уравнение конических сечений: Эксцентриситет e=0 0<e1

Кривая окружность эллипс парабола гипербола

Энергия h mgl — неравномерное вращение. Задача 2.1. Доказать, что при малых колебаниях (α → 0) имеет место формула периода колебаний s l lim τ (α) = 2π = τ0 , α→+0 g где τ (α) = 2

Zα

−α

dϕ p g . 2 l (cos ϕ + cos α)

Задача 2.2. τ (π − ε) ∼ ln 1ε (то есть существует предел: lim τ (π−ε) ). ln 1 ε

Задача 2.3. Вывести уравнения малых колебаний: g ϕ¨ = − ϕ, l

ϕ ∈ (−α; α),

0 < α ≪ 1,

τ0 = 2π

s

l . g

2.3.4. Сферический маятник А теперь рассмотрим тот же груз, но разрешим ему качаться не только в плоскости, но и в пространстве. Как обычно, l — длина стержня. Связь |r| = l идеальна. Пусть {eϕ , eθ , er } — репер сферических координат. Тогда m¨r = mg + Rer , | {z }

1 2 mv + V = h, 2

V = mgl sin θ.

(5)

F

Напомним, что θ — «широта», а ϕ — «долгота». Введём обозначение Kz := (K O , ez ). Утверждение 2.9. Kz = const.  В самом деле, для силы реакции имеем M O R = [r, R] =
0, так как реакция коллинеарна r. Далее, M O (mg) = [r, mg] = mg[r, ez ]. поэтому M O (mg), ez = mg([r, ez ], ez ) = 0. Итак, мы показали, что (M O (F ), ez ) = 0, а потому Kz = const.  20

˙ θ + ϕ˙ cos θeϕ ). Поэтому закон сохранения энергии будет Скорость точки будет равна v = l(θe таким: 1 2 ˙2 ml (θ + ϕ˙ 2 cos2 θ) + mgl sin θ = h. 2 Кроме того, ˙ θ + ϕ˙ cos θeϕ ] = ml2 (−θe ˙ ϕ + ϕ˙ cos θeθ ), K O = [r, mv] = ml2 [er , θe поэтому, переходя к проекции, получаем (с учётом того, что eϕ ⊥ ez ) Kz = (K O , ez ) = ml2 ϕ˙ cos θ(eθ , ez ) = ml2 ϕ˙ cos2 θ. Следовательно, ml2 ϕ˙ cos2 θ = k =: ml2 c, где c = const, откуда при θ 6= ± π2 получаем ϕ˙ = Теперь подставим полученное значение для ϕ˙ в закон сохранения энергии: 1 2 ˙2 ml θ + Vc = h, 2

Vc := mgl sin θ +

c . cos2 θ

1 ml2 c2 . 2 cos2 θ

Здесь Vc — приведённый потенциал. Проанализируем решение. Если c = 0, то ϕ˙ = 0 ⇒ ϕ = const, то есть движение плоское. Теперь посмотрим на график приведённого потенциала. Эта функция имеет полюса в точках ± π2 , а между ними имеется (единственный) минимум, обозначим его θc . Тут имеется картинка [Рис. ?] и сфера с вычерченной на ней синусоидальной кривой. Пусть h = Vc (θc ). Тогда маятник заметает окружность, высеченную на сфере некоторой горизонтальной плоскостью. Если же h > Vc (θc ), то траектория на сфере будет иметь синусоидальную форму. Малые колебания сферического маятника в окрестности нижнего положения равновесия. Пусть наш маятник колеблется вблизи южного полюса сферы, (x, y, z) — его координаты. Имеем p z = − l2 − x2 − y 2 , и при 0 < |x| + |y| ≪ 1 имеем z = −l + O(x2 + y 2 ). Тогда получаем уравнения m¨r = mg + Rez Поскольку f = x2 + y 2 + z 2 − l2 = 0, получаем er =

grad f , |grad f |

имеем


x m¨ x = R + o |x| + |y| , l
y m¨ y = R + o |x| + |y| , l 0 = −mg − R, таким образом

( x¨ = − gl x, y¨ = − gl y.

Итак, в окрестности полюса колебания сферического маятника в первом приближении совпадают по каждой из осей с обычными гармоническими колебаниями.

21

2.4. Относительное движение точки 2.4.1. Относительное движение материальной точки Пусть Oex ey ez — неподвижный репер, Se1 e2 e3 — подвижный репер. Траектория начала отсчёта подвижного репера — это r S = r S (t), а Γ = Γ(t) — матрица, задающая ориентацию e1 e2 e3 в Oex ey ez . Напомним, что vS =

da r S , dt

aS =

d2a r S , dt2

ε=

dr ω da ω ˙ = = ω. dt dt

Здесь точка означает производную по времени в относительных координатах. maa = F ,

(1)

mar = F − mae − mac ,

(2)

и, соответственно, F e := −mae , а F c := −mac . Через ρ обозначим радиус-вектор точки относительно подвижной системы координат. Тогда (2) записывается в виде mρ¨ = F (t, ρ, ρ) ˙ + F e + F c, (3) где переносная сила, а


˙ ρ] + [ω, [ω, ρ]] — F e = −m aS + [ω, F c = −2m[ω, ρ] ˙ —

кориолисова сила. ˙ где T = 1 mρ˙ 2 . Теорема 2.10. T˙ = (F + F e , ρ), 2 ˙ ≡ 0. Умножая (3) скалярно на ρ, ˙ получаем требуемое.   Заметим, что (F c , ρ) Лемма 2.11. Если a˙ S = 0 и ω˙ = 0, то F e = − grad Ve (ρ), где   1 1 Ve = m (aS , ρ) + (ω, ρ)2 − ω 2ρ2 . 2 2 

Посчитаем ускорение, на массу потом домножим:

− (ae , dr ρ) = (aS , dr ρ) + ([ω, [ω, ρ]], dr ρ) = dr (aS , ρ) + (ω, ρ)(ω, dr ρ) − ω 2(ρ, dr ρ) = h 1 1 2 1 1 2 2i 2 2 2 = dr (aS , ρ) + dr (ω, ρ) − ω dr (ρ ) = dr (aS , ρ) + (ω, ρ) − ω ρ . 2 2 2 2

Лемма доказана. 

Теорема 2.12. Если связи, наложенные на относительное движение точки, идеальны и не зависят от времени, заданные силы потенциальны и не зависят от времени, то есть F = − grad V (ρ), и выполнены условия леммы, то уравнения (1) допускают обобщенный интеграл энергии: T + V + Ve = h = const . 

Следует из предыдущей теоремы и леммы. 

Следствие 2.2. Если S = O, eζ = ez и ω = ωez = const, то 1 Ve = − m(ρ21 + ρ22 )ω 2 , 2 22

где ρ = (ρ1 , ρ2 , ρ3 ). Пример 4.1. Математический маятник во вращающейся системе отсчета. Применим полученное только что следствие. В нашем случае ρ = (ρ1 , ρ2 , 0), причём ρ21 + ρ22 = (r sin ϕ)2 . Имеем ω = ωez = ωeζ = const, V = −mgr cos ϕ, 1 T = mr 2 ϕ˙ 2 , 2 1 Ve = − m(r sin ϕ)2 ω 2 , 2 T + V + Ve =: T + Vω = h, где 1 Vω = −mgr cos ϕ − ω 2 mr 2 sin2 ϕ — 2 измененный потенциал. Вычислим момент относительного равновесия (найдём критическую точку изменённого потенциала):   dVω rω 2 ′ 0 = Vω (ϕ) = = mgr sin ϕ 1 − cos ϕ , dϕ g Таким образом, потенциал имеет до четырёх критических точек, в зависимости от параметра ω. Точки ϕ1 = 0 и ϕ2 = π являются критическими при всех значениях ω, а точки g ϕ3,4 = ± arccos 2 rω g 2 будут критическими при ω > r . Но нам и этого мало. Теперь будем исследовать критические точки на устойчивость. Для 2 краткости обозначим u := rωg . Считаем вторую производную:   Vω′′ = mgr cos ϕ (1 − u cos ϕ) + ru sin2 ϕ , Отсюда

1 V ′′ (ϕ1 ) = 1 − u ≷ 0 при u ≶ 1; mgr ω 1 V ′′ (ϕ2 ) = −(1 + u) < 0; mgr ω 1 V ′′ (ϕ3,4 ) = u sin2 ϕ3,4 > 0, mgr ω потому что критические точки ϕ3,4 существуют только при u > 1. Бифуркационная диаграмма Пуанкаре: [Рис. ?] — картинка в осях (u, ϕ): при каждом значении параметра u рисуем множество критических точек, получается такая «многозначная функция» (при некоторых значениях прообраз вообще может быть пуст, но в нашем случае он всегда состоит хотя бы из двух точек). Фазовый портрет: (это [Рис. ?]). (3) (4) При u = 1 можно проверить, что Vω′′ (0) = Vω (0) = 0, но Vω (0) > 0. При u = 1 происходит перестройка фазового портрета. Уровни энергии: h = hi (ω 2 ) = Vω (ϕi ), тогда   mgr 1 h1 = −mgr, h2 = mgr, h3,4 = − u+ . 2 u Бифуркационная диаграмма Смейла: [Рис. ?]. 23

2.5. Движение точки в поле тяготения Земли 2.5.1. Движение точки с учетом вращения Земли Модель Земли — однородный шар массы M и радиуса R. Мы будем изучать, как влияет вращение Земли вокруг своей оси на движение точки. Лемма 2.13. Гравитационный потенциал однородного шара совпадает с гравитационным потенциалом центра шара, в котором сосредоточена вся его масса.  Во-первых, можно считать только по сечению, потому что вся картинка является осе-симметричной. Далее, Mm V = −γ 4 3 · πR 3

ZR

−R

√

R Z2 −x2 0

(2πy) dy dx Mm ! p = −γ , r (r − x)2 + y 2

при этом проверка последнего равенства предоставляется читателю.  Обозначим e := ez = eζ . Угловая скорость вращения Земли: ω = Ωe,

Ω=

2π сек−1 . 24 · 60 · 60

Пусть M — наша точка, а M 0 — центральная проекция точки на поверхность Земли. Обозначим через M массу Земли, ρ = OM, R = OM 0 , R = R ∼ 6.4 · 106 м, µ = γM. Напишем основное уравнение:

mρ¨ = −µ

m ˙ ρ − m[ω, [ω, ρ]] − 2m[ω, ρ]. ρ3

(1)

Если M принадлежит поверхности Земли, то |ρ| = R, и тогда m ˙ − P, mρ¨ = −µ 3 ρ − m[ω, [ω, ρ]] − 2m[ω, ρ] ρ где (−P ) — реакция. P — сила, которая действует со стороны точки на Землю — «давление» точки на Землю. Определение. Весом точки на Земле называется сила, которая действует со стороны покоящейся (относительно Земли) точки на Землю. Имеем m P0 = P , P 0 = −µ 3 R + mΩ2 [[e, R], e]. ¨=0 R |ρ| = R, ρ˙ = 0, ρ Вычислим P0 : имеем R = R cos θeη + R sin θeζ . [e, [e, R]] = e(e, R) − R = R sin θe − R sin θe − R cos θeη = −R cos θeη , отсюда находим P 0 = −µ

m (cos θeη + sin θeζ ) + mΩ2 R cos θeη . R2 24

Пусть g P = −µ RR3 — гравитационное ускорение, gP = |g P | = Rµ2 . Тогда     Ω2 R P 0 = −mgP sin θeζ + cos θ 1 − eη , gP     Ω2 R g = −gP sin θeζ + cos θ 1 − eη — gP

ускорение силы тяжести на Земле. Значит, s  2 2   2 2R Ω Ω R Ω R 2 g = |g| = gP 1 − 2 cos2 θ + cos2 θ ≈ 1 − cos θ gP . gP gP gP ( gp sin θ = g sin ϕ, ⇒ gp cos θ = g cos ϕ + Ω2 R cos θ tg ϕ = tg θ

1 288 tg θ, ≈ 2 289 1 − ΩgpR

где ϕ — угол местной вертикали [Рис. ?]. 2.5.2. Падение точки на Землю с учетом вращения Земли Пусть Sxyz — система координат, «вмороженная в Землю». Координата Sx — на запад, Sy — на юг, Sz — местная вертикаль. m¨r = mg(r) − 2m[ω, r˙ ]

(1)

(()· — производная в системе отсчета, связанной с Землей, т.е. локальная). Переносная сила инерции учтена уже в mg. g(r) ≅ g(0) = −gez ω = Ωe,

g(M) ≅ g(S) = −gez ,

e = − cos ϕey + sin ϕez ;

g = const . 2π сек−1 . Ω= 24 · 60 · 60

˙ Начальные условия: r(0) = z0 ez ; r(0) = 0. r˙ = v — относительная скорость. v˙ = g − 2Ω[e, v]

(2)

Это система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Будем искать решение уравнения (2) в виде v = v 0 + Ωv 1 + Ω2 v 2 + . . .

(3)

Тогда (2) примет вид v˙ 0 + Ωv˙ 1 + Ω2 v˙ 2 + · · · = g − 2Ω[e, (v0 + Ωv 1 + . . . )]. Получаем систему

  v˙ 0 = g, v˙ 1 = −2[e, v0 ],  ˙ v2 = −2[e, v1 ]... 25

(4)

Решая систему (4) при начальных условиях v i (0) = 0, i = 0, 1, 2 . . . , получаем   v 0 = gt, v 1 = −[e, g]t2 ,   v 2 = 23 [e, [e, g]]t3 , ...

(5)

Значит,

2Ω2 v = gt − Ω[e, g]t + [e, [e, g]]t3 , . . . 3 2 Ω gt Ω2 3 − [e, g]t + [e, [e, g]]t4 , . . . r = r(0) + 2 3 6 Это закон движения точки, падающей на Землю. В проекциях на оси x, y, z он записывается следующим образом: 2

[e, g] = −g[e, ez ] = g cos ϕex , [e, [e, g]] = [− cos ϕey + sin ϕez , g cos ϕex ] = g cos2 ϕez + g sin ϕ cos ϕey ; ⇒    Ωt (Ωt)2 gt2 (Ωt)2 2 2 2 r = − cos ϕ · gt ex + sin ϕ cos ϕ · gt ey + z0 − 1− cos ϕ ez + o((Ωt)2 ). 3 6 2 3 Замечание. Вывод несколько некорректен, так как нельзя раскладывать по величинам, имеющим размерность. (Мы раскладывали по Ω, а надо раскладывать по степеням безразмерной величины Ωt. Но ответ будет таким же). В первом приближении точка отклоняется на Восток; во втором приближении — на юг; точка упадет чуть позже, чем если бы Земля не вращалась (тоже во втором приближении). Пример 5.1. Рассмотрим падение тела с Останкинской телебашни. z0 = 500 м, g = 10

10t2пад м 0 ; ϕ = 60 ; 500 − = 0 ⇒ tпад = 10 сек с2 2

1 2π · 10 · ≈ 10−1 м = 10 см 24 · 60 · 60 3 · 2 (2π)2 · 102 1.73 ∆y = 2 · ≈ 10−3 м = 1 мм. 2 2 24 · 60 · 60 6 · 4 ∆x =

Замечание. По местной вертикали точка падает на полюсе, не отклоняется на Юг на экваторе. 2.5.3. Маятник Фуко Определение. Маятник Фуко — это сферический маятник, подвешенный на Земле, с учетом ее вращения. Введем систему координат Sxyz: S — центр сферы, Sx — на запад, Sy — на юг, Sz — местная вертикаль. ˙ + N r; m¨r = mg − 2m[ω, r] (1) l |r| = l — идеальная связь, N — нормальная реакция. Частное решение уравнения (1) имеет вид r = −lez , N = −mg x = y = 0, z = −l, N = −mg. 26

Выпишем линеаризованное уравнение вблизи нижнего положения равновесия (x и y — малые, отбрасываем члены порядка x2 + y 2): r x2 + y 2 z = −l 1 − = −l + o(|x| + |y|), N = −mg + ν( ν – малая величина) l2 r = xex + yey − lez , r˙ = xe ˙ x + ye ˙ y; ˙ = Ω[(− cos ϕey + sin ϕez ), (xe [ω, r] ˙ x + ye ˙ y )] = −Ωy˙ sin ϕex + Ωx˙ sin ϕey + Ωx˙ cos ϕez . Уравнение (1) в проекциях на оси x, y, z:  g  x¨ = 2Ωy˙ sin ϕ − l x, y¨ = −2Ωx˙ sin ϕ − gl y,   0 = z¨ = 2Ωx˙ cos ϕ − ν;

(2)

Откуда получаем, что в первом приближении N = −mg + Ωx˙ cos ϕ. Положим w = x + iy. Интегрирование системы (2) дает g w¨ + 2Ω sin ϕiλ + w = 0. l

Характеристическое уравнение: g λ2 + 2Ω sin ϕiλ + = 0, l  r  g λ1,2 = −Ω sin ϕ ± Ω2 sin2 ϕ + i = (−ω1 ± ω2 )i l r g ω1 = Ω sin ϕ, ω2 = Ω2 sin2 ϕ + ; ω1 ≪ ω2 l Тогда w1 = cos(ω2 − ω1 )t + i sin(ω2 − ω1 )t,

w2 = cos(ω2 + ω1 )t − i sin(ω2 + ω1 )t.

Пусть w1 + w2 = cos ω2 t(cos ω1 t − i sin ω1 t), 2 w1 − w2 w˜2 = = sin ω2 t(cos ω1 t − i sin ω1 t) 2

w˜1 =

Общее решение уравнения (3): w = c1 w ˜1 + c2 w˜2 = (cos ω1 t − i sin ω1 t)(c1 cos ω2 t + c2 sin ω2 t). Пример: начальные условия: x(0) = x0 , y(0) = 0, x(0) ˙ = y(0) ˙ = 0; ω1 w(0) = x0 , w(0) ˙ = 0, c1 = x0 , c2 = i x0 ; ω2 ω1 x = x0 (cos ω1 t cos ω2 t + sin ω1 t sin ω2 t) = Rew ω2 ω1 y = x0 ( cos ω1 t sin ω2 t − sin ω1 t cos ω2 t) = Imw ω2 27

(3)

Колебания маятника Фуко почти плоские, но не плоские. 1 , ω2 ∼ 13 , ϕ = 60◦ , ω1 ∼ 16 10−4 , x0 = 10 м, t = 300 с ⇒ Если l = 100м, g = 10 см2 , то ω22 ∼ 10 ∆y ∼ 5 см. Замечание. Рассмотрим плоский линейный осциллятор F = −kr. Если k = mω22 , а плоскость Oxy вращается с угловой скоростью ω = ω1 ez , то уравнения движения точки m совпадают с уравнениями (2): ˙ − mω22 r ≡ −2mω1 [ez , r] ˙ − m(ω22 − ω12 )r. m¨r = mω12 r − 2mω1 [ez , r]

3. Динамика системы точек и твёрдого тела 3.1. Динамика системы точек 3.1.1. Основные понятия Мы будем рассматривать системы из n точек, поэтому индексы, их нумерующие, а равно как и суммы по ним, всегда будут от 1 до n. Определение. Материальной системой называется система точек M1 , . . . , Mn с массами m1 , . . . , mn . Введем обозначения: r ij = ri − r j , rij = |rij |. Согласно принципу детерминированности, в абсолютном пространстве mi¨ri = F i (r 1 , . . . , r n , r˙ 1 , . . . , r˙ n , t). Это система дифференциальных уравнений порядка 6n. (e) (i) (e) (i) Разложим силы на внешние и внутренние: F i = F i +F i , здесь F i — внешние силы, F i — P (i) внутренние. При этом F i = F ij , где F ij — сила, действующая со стороны j-й точки на i-ю. j6=i

F ij = Fij

r ij rji rij = −F ji = −Fji = Fji rij rji rij

⇒

Fij = Fji.

P (i) Отсюда, в частности, следует, что F i = 0. Определение. Система отсчета называется инерциальной (ИСО), если она движется равномерно и прямолинейно относительно абсолютной системы отсчета (АСО). Определение. Материальная система называется замкнутой, если она не взаимодействует (e) с внешними материальными системами, то есть все F i = 0. Принцип относительности Галилея: уравнения движения замкнутой системы одинаковы во всех ИСО. Зафиксируем какую-нибудь систему отсчёта, начало координат обозначим через O. P Определение. Масса материальной системы: m := mi . P mi r i . Определение. Точка S называется центром масс системы, если r S = m1 Утверждение 3.1 (Корректность определения). Центр масс не зависит от выбора точки O (начала отсчёта).  Пусть O ′ 6= O. Обозначим r′i = O ′Mi . Имеем r ′S ′ =

1 X 1 X 1 X mi r ′i = mi (OO ′ + r i ) = OO ′ + r i = OO ′ + r S = r ′S , m m m

поэтому S ′ = S. 

28

Определение. Импульс материальной системы (то есть суммарное количество движения): P P ˙ P := P i = mi r i . Здесь и далее S — центр масс системы. Утверждение 3.2. Очевидно, что P = mr˙ S = mv S . Следствие 3.1. P не зависит от выбора точки O. Определение. Кинетический момент системы (то есть момент количеств движений) относительно точки O: X X KO = K Oi = [r i , mi r˙ i ]. Утверждение 3.3. K O′ = K O + [OO ′, mr˙ S ].  Имеем X X ′ K O′ = [r ′i , mi r˙ i ] = [O ′ O + ri , mi (|{z} O˙′ O +r˙ i )] = [O ′ O, mr˙ S ] + K O , 0

так как точки O и O ′ — неподвижные. 

Определение. Кинетическая энергия системы: T :=

X

Ti =

X1 2

mi vi2 =

X

2

mi r˙ i .

3.1.2. Общие теоремы динамики Пусть, как и в предыдущем разделе, точка S обозначает центр масс. P (e) (e) Теорема 3.4. P˙ = F i =: F — главный вектор сил. P P (e) P (e) (i)
 P˙ = mi¨r i = Fi + Fi = Fi . 

(e) Следствие 3.2. mv˙ S = F . В частности, если система замкнута, то центр масс движется равномерно прямолинейно. (e)

(e)

Определим моменты внешних сил: M Oi := [r i , F i ]. ˙ = P M (e) =: M (e) — главный момент. Теорема 3.5. Имеем K O Oi O  В самом деле, X X X d X (e) (i) [ri , mi r˙ i ] = K˙O = [r˙ i , mr˙ i ] + [r i , m¨r i ] = [r i , F i + F i ] = | {z } dt 0 h i X (e) 1 X X X X
(e) = [r i , F i ] + ri , F ij = M Oi + [r i , F ij ] + [r j , F ji] = 2 i, j6=i j6=i  ! 1 X (e) (e) = MO + r i − rj , F ij = M O , 2 i, j6=i

так как сила Fij действует вдоль прямой, соединяющей соответствующие точки, и все слагаемые равны нулю.  (e)

(e)

Замечание. Вообще говоря, M O 6= M O (F ), то есть главный момент не имеет ничего общего с моментом главного вектора сил относительно точки O. Следствие 3.3. Для замкнутой системы P = mv S = const, 29

K O = const .



Достаточно применить две предыдущих теоремы. 

Теорема 3.6. T˙ =

 X  (e) (i) (F i , r˙ i ) + (F i , r˙ i ) , i

или, что то же самое, dT = 

X

 (e) (i) (F i , dri ) + (F i , dri ) .

Следует из аналогичной теоремы для одной точки. 

Определение. Будем говорить, что силы F i потенциальны (и не зависят от времени), если существует функция V (r 1 , . . . , rn ) (не зависящая от времени) такая, что ∂V F i = − gradri V = − ∂r i

⇔

X

(F i , dri ) = −dV = −

X ∂V

∂r i



, dri .

Следствие 3.4. Если все связи, наложенные на систему, идеальны и не зависят от времени, а силы потенциальны, то существует интеграл энергии: H = T + V = const. Теорема 3.7. Если внутренние силы между любыми двумя точками зависят только от расстояний между этими точками, входящими в материальную систему, то они потенциальны, то есть, если Fij = Fij (rij ), то XZ V = Fij drij . i<j

 X

В самом деле, (i) (F i , dri )

     X X  r ij 1 XX r ij rji = Fij , dri = Fij , dri + Fij , drj = r 2 r r ij ij ji i j6=i i j6=i  XX  XXZ  X X  rij rij drij = −d − Fij drij = −dV, = Fij , drij = Fij rij rij i j 3 проинтегрировать в квадратурах систему (1) нельзя. Задача двух тел.  m1 m2  m1 ¨r 1 = −γ 3 r 12 ,    r12  m m 1 2 m2 ¨r 2 = γ 3 r12 ,  r  12    r12 = r 1 − r 2 . Пусть S — центр масс, тогда r = SM1 = mm2 r 12 , где m = m1 + m2 . Решим систему: из первого уравнения вычитаем второе: ¨r 12 = −γ m r 12 3 r12

⇒

m32 2 m ¨r = −γ m r = −γ r 3 m 3m m2 r 3 r 2 m3

⇒

m1 m3 m1¨r = µ 3 r где µ = γ 22 . r m

2

2

Это уравнение Кеплера, только вместо γ теперь µ. (Отсюда уточнение законов Кеплера: τa3 = 1 ≪ 1; фокус эллипса, по которому движется f (µ), здесь µ зависит от m1 (массы планеты), но m m2 планета, не в геометрическом центре Солнца, а в центре масс системы «планета – Солнце»). 3.1.4. Оси, формулы и теоремы Кёнига Оси Кёнига имеют начало в точке S — центре масс тела — и параллельны абсолютным осям. Радиус вектор в осях Кёнига: r ′i = r i − rS . Имеем ω Кёнига ≡ 0, поэтому da b(t) dr b(t) = . dt dt Штрихованные векторы — это векторы в осях Кёнига. Стало быть, X X mi r ′i ≡ 0, mi v ′i = 0. Теорема 3.9 (Формулы Кёнига).

′

K O = [r S , mv S ] + K S , 1 T = mvS2 + T ′ , 2 

′

где K S = где T ′ =

X

′ mi [r′i , r˙ i ].

1X mi vi′2 . 2

В самом деле, X X ′ ′ KO = mi [r i , r˙ i ] = mi [r S + r′i , r˙ S + r˙ i ] = m[r S , vS ] + K S + 0 + 0.

1X 1X 1X 1 ′ ′ mi vi2 = mi (r˙ S + r˙ i , r˙ S + r˙ i ) = mrs2 + mi r˙i′2 + 0 + 0, 2 2 2 2 что и требовалось.  ˙ ′ = M (e) . Теорема 3.10 (Первая теорема Кёнига). K T =

S



S

Вспоминая теорему 3.5 и первую формулу Кёнига, пишем: ˙ ′ = K˙ − m[r , v˙ ] = M (e) − [r , F (e) ] = X[r + r ′ , F (e) ] − [r , X F (e) ] = M (e) , K O S S S S S S O i i i S

что и требовалось. 

31

Теорема 3.11 (Вторая теорема Кёнига). X ′ T˙ ′ = (F i , r˙ i ). 

Применяя вторую формулу Кёнига, пишем: X X ′ ′ T˙ ′ = T˙ − m(v S , v˙ S ) = (F i , r˙ S + r˙ i ) − (v S , F ) = (F i , r˙ i ),

и всё получилось.  Если система замкнута, то оси Кенига — инерциальная система отсчета.

3.2. Динамика твердого тела. Геометрия масс ТТ 3.2.1. Динамика твёрдого тела с неподвижной точкой Рассмотрим ТТ с неподвижной точкой O. Как мы уже знаем, его движение — это мгновенное вращение вокруг мгновенной оси вращения ℓ с направляющим вектором e, причём ω = ωe. По формуле Эйлера, v i = vO + [ω, OMi ] = [ω, OMi ] = [ω, ri ], так как v O = 0. Отсюда, домножая кинетическую энергию на 2, чтобы не тащить коэффициент, получаем X X X 2 X

2T = mi vi2 = mi [ω, r i ] = mi ω 2ri2 − (ω, r i )2 = ω 2 mi ri2 − (e, r i )2 =: ω 2 Jℓ ,
P P где Jℓ := mi ri2 − (e, ri )2 = mi ρ2i R— момент инерции ТТ относительно оси ℓ, где ρi = dist(Mi , ℓ). Если тело сплошное, то Jℓ = ρ2 dm. TT

Теорема 3.12 (Гюйгенс – Штейнер). Jℓ = Js + mρ2 , где s — прямая с направляющим вектором e, проходящая через центр масс S, а ρ = dist(s, ℓ).  Имеем  X X  Jℓ = mi (ri2 − (e, r i )2 ) = mi (r S + r′i , r S + r′i ) − (e, r S + r′i )2 = X X 2 = mi (rS2 − (e, rS )2 ) + mi (ri′ − (e, r ′i )2 ) = mρ2 + Js ,

что и требуется. 

3.2.2. Оператор инерции и эллипсоид инерции Имеем

1X mi (ω 2ri2 − (ω, r i )2 ). 2 Легко видеть, что выражение справа — это некоторая квадратичная форма для вектора ω. Иначе говоря, можно записать 1 T = (JO ω; ω), 2 где JO — оператор инерции, или тензор инерции. Выберем ортонормированный базис, и в нём матрицу JO можно записать так:   J11 −J12 −J13 J22 −J23  . JO = −J12 −J13 −J23 J33 P Здесь P J11 = J1 = mi (yi2 + zi2 ) и так далее — моменты относительно соответствующих осей, J12 = mi xi yi и так далее — центробежные моменты инерции. T =

32

Если ω = ωe, то (JO e, e) = Jℓ . Ну а поскольку JO — оператор, то равенство ω 2Jℓ = 12 (JO ω, ω) справедливо в любой системе координат. Отсюда T = 21 (JO ω, ω). Замечание. По хорошему, надо ввести определение моментов относительно осей и центробежных моментов, потом показать, что для прямой, проходящей через начало координат, с направляющими косинусами (α, β, γ) момент инерции относительно нее равен Jx α2 + Jy β 2 + + Jz γ 2 − 2Jxy αβ − 2Jxz αγ − 2Jyz βγ). Для J1 , J2 , J3 справедливо неравенство треугольника: J1 + J2 > J3 (аналогично для всех перестановок индексов). Ясно, что равенство достигается тогда и только тогда, когда твердое тело — «блин»: J1 + J2 = J3 ⇔ zj = 0. Определение. Эллипсоид инерции — это множество Σ = {r ∈ R3 : (JO r, r) = 1}. Здесь мы рассматриваем невырожденные твердые тела, то есть тела, у которых существуют 3 точки, не лежащие на одной прямой). Мы знаем, что всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду. Именно, существуют оси x, y, z, такие что  Σ = x, y, z : Ax2 + By 2 + Cz 2 = 1 .

Эти оси называются главными осями инерции для точки O, а A, B, C — главными моментами инерции для точки O. В главных осях JO = diag(A, B, C). 3.2.3. Основные динамические характеристики ТТ Пусть тело имеет неподвижную точку O. Тогда 1 P = mv S ; T = (JO ω, ω); 2 X X X ∂T KO = mi [ri , vi ] = mi [r i , [ω, ri ]] = mi (ωri2 − ri (ω, ri )) = = JO ω. ∂ω

В общем случае, если S — центр масс, то P = mv S ;

Всегда верно следующее: P =

1 1 T = mvS2 + (JS ω, ω) (по теореме Кёнига); 2 2 K S = JS ω. ∂T , ∂v

K=

∂T . ∂ω

Если P — произвольная точка ТТ, то

1 1 T = mvP2 + m(v P , [ω, P S]) + (JP ω, ω); 2 2 K P = JP ω + m[P S, v P ].

P = m(v P + [ω, P S]);

3.2.4. Основные уравнения движения ТТ (e) 1◦ . Случай ТТ с неподвижной точкой: Имеем K˙O = M O — динамическое уравнение, ω = ˙ — кинематическое уравнение (система ОДУ 6-го порядка). = ω(Γ, Γ) ◦ 2 . Общий случай: ТТ свободное или при наличии связей. В этом случае имеется система динамических и кинематических уравнений (система ОДУ 12-го порядка): ( ( (e) mv˙ S = F , v s = r˙ s , (e) ˙ ˙ ω = ω(Γ, Γ). K =M ; O

O

33

3.2.5. Эквивалентные системы сил, действующих на ТТ ′

Пусть силы F i приложены в точках Mi (i = 1, . . . , n), а силы F j приложены в точках Mj′ (j = 1, . . . , m).  Определение. Система сил {Fi , Mi } называется эквивалентной системе сил Fj′ , Mj′ , если X

Fi =

X

′

Fj

и

X

[r i , F i ] =

X

′

′

[r ′j , F j ] где ri = SM i , r′j = SM j .

Замечание. Внутренние силы, действующие на ТТ, эквивалентны нулевой системе сил. Лемма 3.13. Если ТТ находится в однородном поле тяжести, то силы тяжести, действующие на тело, эквивалентны одной силе mg, приложенной в центре масс S тела.  В самом деле, пусть r i = SM i . Тогда hX i X X mi g = mg, [ri , mi g] = mi r i , g = 0,

что и требуется. 

Замечание. Существуют системы сил, не приводимые только к равнодействующей. Пример: пара сил (это название такой системы сил) F 1 + F 2 = 0, M = [r 1 , F 1 ] + [r 2 , F 2 ] 6= 0. Линии действия двух сил параллельны, силы равны по величине и противоположны по направлению, приложены к разным точкам: [Рис. ?]. Замечание. Любая система сил, действующих на ТТ, может быть приведена к любой точке P тела в виде F и M P (то есть к равнодействующей и паре). Замечание. В центральном поле, вообще говоря, приведение системы сил к центру масс таково: равнодействующая F и пара M S 6= 0. Пример 2.1. (поле Ньютона): Пусть A и B две точки, принадлежащие прямой l с массами m1 = 1 m2 = 2 соответственно. А силы F A и F B , действующие на эти точки направлены вдоль прямых AO и BO соответственно к точке O и являются центральными. Тогда равнодействующая не проходит через центр масс. (Это простое упражнение по геометрии и оставляется на самостоятельное решение). (e) (e) Теорема 3.14. T˙ = (F , v S ) + (M S , ω).  1 1 ˙ ω) = (F (e) , v S ) + (M (e) T = mvS2 + (JS ω, ω) ⇒ T˙ = (mv˙ S , vS ) + (JS ω, S , ω). 2 2

 3.2.6. Динамика твердого тела I. Вращение ТТ вокруг неподвижной оси. Пусть l — ось вращения, Oξηζ и Oxyz — неподвижная и «вмороженная» в ТТ системы координат соответственно. Oζ = Oz. В точках O и P — шарниры. Больше сил никаких нет. Пусть точка означает дифференцирование по t в подвижных осях. Имеем v o = 0, vp = 0, ω = ϕe ˙ z ≡ ϕe ˙ ζ   mv˙ s + [ω, mv s ] = F + Ro + Rp , JO ω˙ + [ω, JO ω] = M o + [OP , Rp ],   v s = [ω, OS], ω = ϕe ˙ z; 34

Эта система уравнений движения ТТ. vs = ϕ[e ˙ z , (aex + bey + cez )] = ϕ(ae ˙ y − bex ),

v˙ s = ϕ(ae ¨ y − bex ), Тензор инерции:

[ω, vs ] = ϕ˙ 2 [ez , aey − bex ] = −ϕ˙ 2 (aex + bey ). 

 Jx −Jxy −Jxz Jy −Jyz  JO = −Jxy −Jxz −Jyz Jz

JO ω = −ϕ(−J ˙ xz ex − Jyz ey + Jz ez ), [ω, JO ω] = ϕ˙ [ez , −Jxz ex − Jyz ey + Jz ez ] = ϕ˙ 2 (−Jxz ey + Jyz ex ); 2

OP = hez ,

[OP , Rp ] = h[ez , Rpx ex + Rpy ey + Rpz ez ] = h(Rpx ey − Rpy ex ).

С учетом полученного система перепишется в виде   ˙ y − bex ) − mϕ˙ 2 (aex + bey ) = F + Ro + Rp , mϕ(ae JO ϕe ¨ z + ϕ˙ 2 (−Jxz ey + Jyz ex ) = M o + h(Rpx ey − Rpy ex )   vs = [ω, OS], ω = ϕe ˙ z;

Первые два уравнения в проекциях на ось Oz дают 0 = Fz + Roz + Rpz ,

Jz ϕ¨ = Moz ,

Moz (ϕ, ϕ, ˙ t)

Из последнего уравнения находится закон движения ТТ. Остальные 5 уравнений служат для нахождения реакций. Rpx , Rpy , Rox , Roy Если в точке O находится сферический шарнир,в точке P — цилиндрический шарнир, то Rox ,

Roy ,

Roz ,

Rpx ,

Rpy ,

Rpz = 0.

Без указания конкретной реализации закрепления точек O, P реакцию определить нельзя. 3.2.7. Физический маятник: ТТ в однородном поле тяжести Пусть ось Oz направлена горизонтально, ϕ — угол между вертикалью направленной вниз (вектором g) и OS, a = OS. mga Joz ϕ¨ = −mga sin ϕ, ϕ¨ = − sin ϕ. (1, 1′) Joz Это уравнение совпадает с точностью до обозначений с уравнением движения математического маятника:

(1’)⇔(2) при l =

Joz ma

g ϕ¨ = − sin ϕ. l — приведенная длина физического маятника. Joz = Jsz + ma2 = m(a2 + ρ2s ), Jsz = mρ2s , ρ2 l = a + s > a при ρ 6= 0. a ρ2 SO ′ = b = s , OO ′ = l. a 35

(2)

ρs называется радиусом инерции. Период малых колебаний: τo = √2π . l/g

Теорема 3.15 (Гюйгенс). Период малых колебаний физического маятника не изменится, если его подвесить на оси O ′z. (Точки O и O ′ — взаимны).  l′ — приведенная длина физического маятника, подвешенного на оси O ′ z. Тогда l′ = b +

ρ2 ρ2 ρ2s = s + 2 s = l ⇒ τo′ = τo . b a ρs /a

 3.2.8. Плоско-параллельное движение ТТ Oxy — неподвижная плоскость, Sξη — жестко связана с плоской фигурой (телом). S — центр масс. ( m¨r s = F , Jsz ϕ¨ = Msz ; В проекциях на оси x, y и естественные оси τ, ν для центра масс S имеем ( ( mv˙ = Fτ , m¨ x = F , x (1′ ) (1′′ ) 2 m vρ = Fν ; m¨ y = Fy ; 3.2.9. Задача: Диск на наклонной прямой Пусть однородный диск массы m и радиуса r скатывается (или соскальзывает) под действием силы тяжести mg по наклонной прямой с углом наклона α. Направим ось x вдоль прямой, а y по нормали. ys = r ⇒ R = N + T = Ney − T ex   m¨ xS = mg sin α − T, (1)      yS = −mg cos α + N, (2) m¨ 2 m r2 ϕ¨ = Ms = T r,    yS = r    ?

Необходимо еще одно уравнение, чтобы система была разрешима, так как неизвестных 5 штук: x, y, T, N, ϕ. Его можно получить в одном из следующих частных случаев: a) T = 0 (диск свободно скользит без трения). x¨s = g sin α,

ϕ¨ = 0,

yS = r,

N = mg cos α.

b) x˙ S = r ϕ˙ (скольжения нет). mr ϕ¨ = mg sin α − T, 2 2g x¨S = g sin α, ϕ¨ = sin α, 3 3r c) T = f N (сухое трение).

mr ϕ¨ = 2T yS ≡ r,

1 T = mg sin α. 3 1 N = mg cos α, T = mg sin α. 3 ⇒

m¨ xS = mg sin α − f mg cos α(N = mg cos α)

c1 ) f mg cos α > 13 mg sin α Тогда скольжения нет и этот случай эквивалентен случаю b) c2 ) f < 13 tg α Тогда g x¨S = g sin α − gf cos α, ϕ¨ = 2f cos α, yS = r; r N = mg cos α; T = f mg cos α. 36

3.2.10. Динамика ТТТ с неподвижной точкой dK O = M o — динамическое уравнение. dt ˙ — кинематическое уравнение. ω = ω(Γ, Γ) K O = JO ω. Oex ey ez — репер, жестко связанный с телом. Oxyz — главные оси инерции тела для точки O, A, B, C главные моменты инерции для точки O:   A 0 0 JO xyz =  0 B 0  0 0 C

dr ). dt Определение. Тяжёлым твёрдым телом (ТТТ) называется ТТ в однородном поле тяжести. JO ω˙ + [ω, JO ω] = M O

JO ω˙ + [ω, JO ω] = [γ,

(()· =

∂V ] ≡ mg[γ, s] ∂γ

V = mg(OS, γ) ≡ mg(s, γ)

γ –орт восходящей вертикали, OS = (aex + bey + cez ) = s. ( JO ω˙ + [ω, JO ω] = [γ, ∂V ] ≡ mg[γ, s] ∂γ γ˙ + [ω, γ] = 0. Это уравнения Эйлера – Пуассона, система ОДУ 6-го порядка. Ее первые интегралы: H(ω, γ) = 1 [J ω, ω] + mg(γ, s) = h — интеграл энергии, Koζ = K = (K O , γ) = (JO ω, γ) = k — интеграл 2 O площадей, Γ = (γ, γ) = 1 — геометрический или тривиальный интеграл. Система автономна (не зависит от t) и сохраняет объемы поэтому для интегрирования в квадратурах нужно 4 первых интеграла. 3 уже имеем. Случаи интегрируемости (наличия дополнительного интеграла): 1. Случай Эйлера: a = b = c = 0 (S ≡ 0). 2. Случай Лагранжа: A = B, a = b = 0 (S ∈ Oz). 3. Случай Ковалевской: A = B = 2C, c = 0 (⇔ b = c = 0, то есть S ∈ Ox). В общем случае Пуанкаре доказал, что других алгебраических интегралов нет, а В. В. Козлов — что других аналитических интегралов нет. Пусть S — центр масс, xyz — главные оси инерции. ( JO ω˙ + [ω, JO ω] = mg[γ, s], (1) γ˙ + [ω, γ] = 0; JO = diag(A, B, C). Если нашли решение (1): ω = ω(t), γ = γ(t), то γ 1 = sin θ sin ϕ, γ 2 = sin θ cos ϕ, γ 3 = cos θ, R (t)−ϕ(t) ˙ откуда находим θ и ϕ. ω 3 = ϕ˙ + ψ˙ cos θ(t), откуда ψ˙ = ω3cos , ψ = ψ˙ dt. θ(t) 37

3.3. Волчки и всё о них 3.3.1. Перманентные вращения. Вращение с постоянной угловой скоростью вокруг постоянной в теле оси Это движения такого типа: γ = γ 0 ; ω = ω0 γ 0 . Подставим в (1), получим ω02 [γ 0 , JO γ 0 ] = −mg[s, γ 0 ]. Умножим обе части скалярно на s: ω0 ([γ 0 , JO γ 0 ], s) = 0, (ω0 6= 0) γ 0 : ([γ 0 , JO γ 0 ], s) = 0. Эта поверхность — конус Штауде. Пересечение конуса Штауде со сферой Пуассона: две окружности. Динамически допустимые γ 0 (достаточное условие): ([γ 0 , JO γ 0 ], [γ 0 , s]) > 0. 3.3.2. Волчок Эйлера Волчок Эйлера — это ТТ с неподвижной точкой при отсутствии сил, или что то же самое — тяжелое ТТ с закрепленным центром масс. dK O = 0 ⇒ K O = k = const (в абсолютном пространстве) dt Динамические уравнения Эйлера JO ω˙ + [ω, JO ω] = 0

(K O = JO ω)

(отделяются от уравнений Пуассона; автономная система ОДУ 3-го порядка). Первые интегралы: 2H = 2T = (JO ω, ω) = 2h,

K 2 = (JO ω, JO ω) = k 2 .

Перепишем систему в виде   Aω˙ + (C − B)ω2 ω3 = 0,   1    B ω˙ 2 + (A − C)ω3 ω1 = 0, C ω˙ 3 + (B − A)ω1 ω2 = 0,    2H = Aω12 + Bω22 + Cω32 = 2h,    k 2 = A2 ω 2 + B 2 ω 2 + C 2 ω 2. 1 2 3

(1∗∗ )

Пусть A 6= B 6= C 6= A, тогда можно считать, что A < B < C. Из двух последних уравнений системы имеем k 2 − 2AH = C(C − A)ω32 + B(B − A)ω22 , 2hC − k 2 = B(C − B)ω22 + A(C − A)ω12 , (отсюда k 2 ∈ [2Ah, 2Ch].) −B(B − A)ω22 + (k 2 − 2Ah) 2 ω3 = C(C − A) (2hC − k 2 ) − B(C − B)ω22 ω12 = . A(C − A) 38

Подставим эти выражения для ω32 и ω22 в (1∗∗ ), получим дифференциальное уравнение на ω2 : Z ω q p C−A dω 2 2 p 2 . ω1 ω3 = ± P4 (ω2 ) ⇒ t − t0 = ± ω˙ 2 = ± B P4 (ω2 ) ω0 Это эллиптический интеграл, он обычно не берется в элементарных функциях). Фазовый портрет Пространство 3-х мерное. Рассмотрим 2 интеграла из системы (1∗∗ ). В осях ω1 ω2 ω3 они задают 2 эллипсоида. Пусть h — фиксировано, k — меняется. 1. k 2 < 2Ah. Тогда первый эллипсоид лежит внутри второго и они не пересекаются. Движение невозможно. 2. k 2 = 2Ah. Тогда ω1 = ± Ak , ω2 = ω3 = 0. 3. k 2 ∈ (2Ah, 2Bh). Область возможности движения — две окружности. 4. k 2 = 2Bh. Тогда ω2 = ± Bk , ω1 = ω3 = 0. 5. k 2 ∈ (2Bh, 2Ch). Область возможности движения — две окружности. 6. k 2 = 2Ch. Тогда ω3 = ± Ck , ω1 = ω2 = 0. 7. k 2 > 2Ch. Тогда первый эллипсоид лежит вне второго и они не пересекаются. Движение невозможно. 3.3.3. Перманентные вращения волчка Эйлера ω1 = ω = const, ω2 = ω3 = 0 ω2 = ω = const, ω1 = ω3 = 0 ω3 = ω = const, ω1 = ω2 = 0 Перманентные вращения волчка Эйлера вокруг наибольшей и наименьшей полуосей эллипсоида инерции устойчивы, а вокруг средней оси — неустойчивы. 3.3.4. Геометрическая интерпретация Пуансо Теорема 3.16. Эллипсоид инерции волчка Эйлера катится без скольжения по неподвижной плоскости, ортогональной вектору кинетического момента волчка.  Рассмотрим эллипсоид инерции. Σ = {r ∈ R3 : (JO r, r)}. Рассмотрим точку P пересечения мгновенной оси вращения Oω с Σ. Проведем через точку P плоскость π, касательную к Σ. Тогда v P = 0, так как P принадлежит мгновенной оси вращения. 1 OP = r P = λω ⇒ 1 = (JO r, r) = λ2 (JO ω, ω) = λ2 · 2h ⇒ λ = √ . 2h (grad Σ)P JO r P JO ω KO = = = ⇒ π ⊥ KO. |(grad Σ)P | |JO r P | |JO ω| k √   JO ω λ · 2h 2h dist(O, π) = (r P , nP ) = λ ω, = = = const k k k Поэтому π неподвижна.  π ⊥ np =

39

3.3.5. Регулярные прецессии динамически симметричного волчка Эйлера (A = B 6= C)

Регулярная прецессия динамически симметричного ТТ — это такое движение ТТ, при котором оно вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси симметрии, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной в абсолютном пространстве оси, причем угол между этой осью и осью симметрии постоянен. Теорема 3.17. Общее движение динамически симметричного волчка Эйлера представляет собой регулярную прецессию (причем Oz = K o ).  Пусть ось Oz неподвижной системы координат совпадает с K O . Из уравнений Эйлера следует, что ω3 = ω30 = const. Значит,  −1 k Kz = Cω3 = Cω30 = k cos θ ⇒ cos θ = = const . Cω30 Воспользуемся кинематическими формулами Эйлера:   ˙ ˙ ˙   ω1 = θ cos ϕ + ψ sin θ sin ϕ, ω1 = ψγ1 , ˙ 2, ω2 = −θ˙ sin ϕ + ψ˙ sin θ cos ϕ, ⇒ ω2 = ψγ     ˙ 3. ω3 = ϕ˙ + ψ˙ cos θ. ω3 = ϕ˙ + ψγ



Kx = Aω1 = Aψ˙ sin θ0 sin ϕ = kγ1 = k sin θ0 sin ϕ Ky = Aω2 = Aψ˙ sin θ0 cos ϕ = kγ2 = k sin θ0 cos ϕ   k k Cω30 C ˙ ψ = = Ω2 = const(sin θ0 6= 0); ω3 = ω30 = ϕ˙ + ⇒ ϕ˙ = ω30 1 − = Ω1 = const . A A k A 3.3.6. Волчок Лагранжа

Тяжелое, динамически симметричное ТТ с неподвижной точкой. В осях, связанных с телом s = (0, 0, c). ( JO ω˙ + [ω, JO ω] = [γ, ∂V ], ∂γ γ˙ + [ω, γ] = 0 Проекция уравнения Эйлера на e3 дает C ω˙ 3 = 0. JO = diag(A, A, C), C 6= A. V = mg(s, γ) = mgcγ3 . Имеют место интегралы: 1 H = (JO ω, ω) + mgcγ3 = h, K = (JO ω, γ) = k, 2 Ω = ω3 = ω, Γ = γ 2 = 1. Перепишем их в углах Эйлера (θ, ψ, ϕ): 1 1 H = A(θ˙2 + ψ˙ sin2 θ) + C(ϕ˙ + ψ˙ cos θ)2 + mgc cos θ = h, 2 2 2 ˙ ˙ K = Aψ sin θ + C(ϕ˙ + ψ cos θ) cos θ = k, Ω = ϕ˙ + ψ˙ cos θ = ω. Замечание. Если существует t0 (tπ ), такое что θ(t0 ) = 0 (θ(tπ ) = π), то k = Cω (k = −Cω). Тогда если k 6= ±Cω, то sin θ 6= 0, ∀ t. cos θ 1. Пусть k 6= ±Cω, тогда ϕ˙ + ψ˙ cos θ = ω, Aψ˙ sin2 θ = k − Cω cos θ. Получаем ψ˙ = k−Cω . A sin2 θ Положим 1 1 1 (k − cω cos θ)2 Hk,Ω = Aθ˙2 + Vk,ω (θ) = h − Cω 2 , Vk,ω = mgc cos θ + . 2 2 2 A sin2 θ 40

3.3.7. Динамика твердого тела на горизонтальной плоскости Пусть дано выпуклое тело. S, x1 , x2 , x3 — центр масс и главные оси инерции тела (подвижная система координат имеет центр в центре масс тела). Оператор инерции JO и масса m заданы. Поверхность тела задается уравнением Σ : f (x) = 0. А само тело — Int Σ : f (x) 6 0. Пусть r S = OS, ρ = SK — радиус вектор точки касания тела с плоскостью, u = v K = v + [ω, ρ]. γ орт восходящей вертикали. Запишем уравнения:  d   dt (mv) = mg + R; d (J ω) = [ρ, R]; dt S   (u, γ) =? Рассмотрим следующие модели:

1. R = N γ — абсолютно гладкая плоскость 2. u = 0 — чистое качение (абсолютно шероховатая поверхность) 3. R = Nγ − f N uu — сухое трение. Разберем их на примере шара радиуса a. В этом случае ρ = aγ ⇒ (v, γ) = 0. JS = 52 ma2 E. 1. R = Nγ. Тогда

d mv = (N − mg)γ, dt 2 2 dω ma = 0. 5 dt

(1) (2)

d d (mv, γ) = m (v, γ) = 0 ⇒ ((1), γ) = 0 ⇒ N = mg. dt dt Здесь мы пользовались тем, что dγ = 0. Таким образом, dt dv = 0 ⇒ v = v0; dt

dω = 0 ⇒ ω = ω0 dt

Причем начальная скорость удовлетворяет условию (v 0 , γ) = 0. Итак, траекторией движения центра является прямая r = r 0 + v 0 t. 2. u = 0. Тогда

d mv = −mgγ + R, dt 2 2 dω ma = −a[γ, R]. 5 dt u = 0 ⇒ v = [ρ; ω] = a[ω, γ]. Поэтому (1) и (2) переписываются в виде   dω ma , γ = R − mgγ, dt ma

dω 5 = − [γ, R]. dt 2

Подставляем (1′ ) в (2′ ) имеем 5 [[R, γ]γ] = R − mgγ 2

⇒ 41

5 5 γ(R, γ) − R = R − mgγ 2 2

(1) (2)

(1′ )

(2′ )

Поскольку из последнего равенства следует параллельность векторов R и γ, имеем R = Nγ ⇒ N = mg dω dv = 0; = 0 ⇒ ω = ω 0 , v = a[ω 0 , γ] dt dt Таким образом траектория, описываемая центром шара имеет уравнение r = r 0 + a[ω 0 , γ]t. u . Тогда 3. R = Nγ − f N |u|

d u mv = (N − mg)γ − f N , dt u 2 2 dω u ma = −af N[γ, ]. 5 dt u

(1) (2)

Пусть e = uu . Тогда из ((1), γ) имеем N = mg и (u, γ) = 0. dv = −f ge, dt 5 fg dω = [γ, e]. dt 2 a 5 5 5 7 du = −f ge − f g[[γ, e], γ] = −f ge + f gγ(γ, e) − f ge(γ, γ) = − f ge ⇒ dt 2 2 2 2 du de 7 e + u = − f ge dt dt 2

(1′ ) (2′ )

(3)

Из того, что ( de , e) = 0, имеем, c учетом (3), de = 0, du = − 72 f g (Обе части последнего dt dt dt de равенства умножить скалярно на dt ). Поэтому имеем f gt2 2 Отсюда, если v0 6 kr 0 , траектория — парабола, если v 0 kr0 , траектория — прямая. e = e0

v = v 0 − e0 f gt; ⇒ r = r0 + v 0 t − e0

5 fg [γ, e0 ]t 2 a v 0 ke0 ⇔ [v0 u0 ] = 0 ⇔ (v 0 , ω 0 ) = 0. ω = ω0 +

42