О.И. Судавная, В.М. Фролов, С.В. Фролов
Типовые расчеты по высшей математике Методические указания и задачи для студент...
105 downloads
187 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
О.И. Судавная, В.М. Фролов, С.В. Фролов
Типовые расчеты по высшей математике Методические указания и задачи для студентов вечернего отделения
III семестр
Санкт-Петербург 2009
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
О.И. Судавная, В.М. Фролов, С.В. Фролов ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Методические указания и задачи для студентов вечернего отделения III семестр Методическое пособие
Санкт-Петербург 2009
О.И. Судавная, В.М. Фролов, С.В. Фролов Типовые расчеты по высшей математике. Методические указания и задачи для студентов вечернего отделения. III семестр. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. – 45 с. Пособие содержит типовые расчеты с методическими указаниями по темам • дифференциальные уравнения первого порядка • дифференциальные уравнения высших порядков • системы дифференциальных уравнений • числовые ряды • степенные ряды • тригонометрические ряды Фурье Пособие адресовано студентам второго курса вечернего отделения СПбГУ ИТМО Рекомендовано к печати Ученым Советом естественнонаучного факультета СПбГУ ИТМО 2009 года, протокол №.
В 2007 году СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007–2008 годы. Реализация инновационной образовательной программы «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях экономики. ©Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2009 © О.И. Судавная, В.М. Фролов, С.В. Фролов 2009
Введение Типовые расчеты по математике для студентов второго курса вечернего отделения в третьем семестре содержат 2 типовых расчета по темам • «Дифференциальные уравнения» • «Ряды» Первый типовой расчет включает 26 вариантов по пяти различным разделам, а второй – 26 вариантов по четырем разделам. Перед заданиями помещены методические указания, основные теоретические формулы и разобранные решения наиболее типичных задач. Рекомендуемые пособия: 1. Кузнецова С.Н. и др. Методические указания к решению задач по теме «Дифференциальные уравнения» для студентов вечернего отделения. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. 2. Математический анализ III / Под общей редакцией И.Ю. Попова. Учебное пособие. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2000. 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1986. Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» Методические указания Содержание расчетных заданий I.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка. II. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. III. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. IV. Решение систем дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами методом исключения. V. Решение систем дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами матричным методом.
3
Образцы решения задач по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка» Задача 1. 1) Определите тип дифференциального уравнения первого порядка x 2 e y y′ = 3 x 4 e y − 6 x 4 + e y − 2 . 2) Найдите общее решение уравнения. 3) Найдите его частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 0. Решение. 1) Разложим на множители правую часть уравнения и запишем
3x 4 + 1 e y − 2 ⋅ y . Поскольку правая часть его в нормальной форме: y ′ = x2 e является произведением двух функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной, то это уравнение с разделяющимися переменными. 2) Для того, чтобы разделить переменные и записать уравнение в дифференциалах, умножим обе его части на
e y dy ey − 2
=
(3 x 4 + 1)dx x2
e y dx y
(e − 2)
при e y ≠ 2 . Получим
e y dy
1 ⎞ ⎛ ⇔ y = ⎜ 3 x 2 + 2 ⎟ dx . e −2 ⎝ x ⎠
Интегрирование дает
d (e y − 2)
⎛ 2 1 ⎞ y 3 1 = + ⇔ e − = x − + ln c ⇔ x dx 3 ln 2 ⎟ ∫ e y − 2 ∫ ⎜⎝ x x2 ⎠ 4 4 4 ⇔ e y − 2 = ce( x −1) / x ⇔ e y = ce( x −1) / x + 2 ⇔ y = ln ⎜⎛ ce( x −1) / x + 2 ⎟⎞ . ⎝ ⎠ Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид 4 y = ln ⎛⎜ ce( x −1) / x + 2 ⎞⎟ . Решение, получаемое из условия e y ≠ 2 ⇔ y = ln 2 , ⎝ ⎠
входит в общее решение при c = 0. 3) Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 0. Подставив в общее решение x = 1 и y = 0, будем иметь
ln(ce0 + 2) = 0 ⇔ c + 2 = 1 ⇔ c = −1 .
Подставив найденное значение произвольной постоянной в общее решение, получим частное решение 4 y = ln ⎛⎜ 2 − e( x −1) / x ⎞⎟ . ⎝ ⎠
Ответ: 1) уравнение с разделяющимися переменными, 4 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2) y = ln ⎜ ce( x −1) / x + 2 ⎟ , 3) y = ln ⎜ 2 − e( x −1) / x ⎟ .
⎝
⎠
⎝
4
⎠
Задача 2. 1) Определите тип дифференциального уравнения первого порядка x 2 y ′ = xy + y 2 − x 2 . 2) Найдите общее решение уравнения. 3) Найдите его частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 0.
y y2 − 1. Решение. 1) Запишем уравнение в нормальной форме y ′ = + x x2 ⎛ y⎞ Поскольку правая часть представляет собой функцию вида f ⎜ ⎟ , ⎝x⎠ уравнение является однородным. 2) Введем новую неизвестную
функцию
u(x)
по
формуле
y = u ⋅ x, y ′ = u ′x + u . Уравнение примет вид u ′x + u = u + u 2 − 1 ⇔ u ′ =
u2 −1 x
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные при u ≠ ±1 и проинтегрируем полученное уравнение, записав его в дифференциалах.
du u2 −1
=
1 u −1 1 dx ⇔ ln = ln x + ln c ⇔ 2 u +1 2 x u −1 cx 2 + 1 2 2 2 . ⇔ = cx ⇔ u (1 − cx ) = cx + 1 ⇔ u = u +1 1 − cx 2
Вернувшись
к
исходной
переменной,
дифференциального уравнения y =
x(cx 2 + 1) 1 − cx 2
получим
общее
решение
. Заметим, что решение y = x,
найденное из условия u = 1, получается из общего решения при c = 0, а решение y = – x, найденное из условия u = – 1, получается из общего решения при с → ∞ . Таким образом, решения y = ± x входят в общее решение 3) Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальному условию y(1) = 0, подставим в общее решение x = 1 и y = 0 и найдем значение
произвольной
найденное
значение
y=
x(1 − x 2 ) 2
x +1
в
постоянной: общее
c +1 = 0 ⇔ c = −1 . 1− c
решение,
получим
Подставив
частное
решение
.
Ответ: 1) однородное уравнение, 2) y =
5
x(cx 2 + 1) 1 − cx 2
, 3) y =
x(1 − x 2 ) x2 + 1
.
Задача 3. 1) Определите тип дифференциального уравнения первого порядка y ′x ln x − y = x ln 2 x . 2) Найдите общее решение уравнения. 3) Найдите его частное решение, удовлетворяющее начальному условию
y ( e 2 ) = 2e . Решение. 1) Разделив обе части уравнения на x ln x при x > 0, x ≠ 1 , получим y ′ −
1 ln x – линейное неоднородное уравнение. y= x ln x x
2) Будем решать уравнение методом вариации произвольной постоянной. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
y′ −
1 y = 0, x ln x
которое
является
уравнением
с
разделяющимися
переменными:
dy dx dy d (ln x ) = ⇔ = ⇔ ln y = ln ln x + ln c ⇔ y = c ln x . y x ln x y ln x В полученном общем решении будем считать, что c = c(x), y = c(x) ln x. подберем функцию c(x) так, чтобы решение y = c(x) ln x (1) удовлетворяло исходному неоднородному уравнению. Найдем производную
c( x) (2) и подставим выражения (1) и (2) в уравнение. x c( x) c( x) ln x ln x 1 , откуда следует, что c′( x) = . Получим c′( x) ln x + − = x x ln x x x y ′ = c′( x) ln x +
Значит, c( x) = 2 x + c . Следовательно, общее решение неоднородного уравнения имеет вид y = (2 x + c) ln x . 3) Для нахождения частного решения подставим в последнюю формулу x = e2 и y = 2e. Получим 2e = 2(2e + c), откуда следует, что c = – e. Подставив найденное значение в общее решение, получим частное решение y = (2 x − e) ln x . Ответ: 1) линейное неоднородное уравнение, 2) y = (2 x + c) ln x , 3) y = (2 x − e) ln x . Образцы решения задач по теме «Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка» Задача 4. Найдите общее решение дифференциального уравнения
xy ′′′ − 2 = xe0,5 x , понизив его порядок.
6
Решение. Запишем уравнение в нормальной форме y ′′′ = произведем последовательное интегрирование:
2 0,5 x и +e x
⎛2 ⎞ y′′ = ∫ y′′′dx = ∫ ⎜ + e0,5 x ⎟dx = 2ln x + 2e0,5 x + c ; ⎝x ⎠
(
)
y′ = ∫ y′′dx = ∫ 2ln x + 2e0,5 x + c dx = 2 x ln x − 2 x + 4e0,5 x + cx + c2 ;
(
)
y = ∫ y′dx = ∫ 2 x ln x − 2 x + 4e0,5 x + cx + c2 dx = x2 c = x ln x − − x 2 + 8e0,5 x + x 2 + c2 x + c3 = 2 2 ⎛c 3⎞ = x 2 ln x + 8e0,5 x + ⎜ − ⎟ x 2 + c2 x + c3 = ⎝2 2⎠ = x 2 ln x + 8e0,5 x + c1x 2 + c2 x + c3 , c 3 где c1 = − . Полученное выражение представляет собой общее решение 2 2 2
данного уравнения. Интегралы 2ln x dx и
∫
∫ 2 x ln x dx
найдены с помощью формулы
интегрирования по частям:
1 2ln 2 ln 2 x dx = x x − x ⋅ ∫ ∫ x dx = 2 x ln x − 2 x + c ; x2 2 2 2 1 2 ∫ 2 x ln x dx = ∫ ln x d ( x ) = x ln x − ∫ x ⋅ x dx = x ln x − 2 + c . Ответ: y = x 2 ln x + 8e0,5 x + c1 x 2 + c2 x + c3 . Задача 5. Найдите общее решение дифференциального уравнения
y ′′′x 2 − y ′′x + 2 = 0 , понизив его порядок. Решение. Уравнение не содержит в явной форме искомую функцию и ее первую производную. Поэтому введем новую неизвестную функцию, зависящую от x, по формуле z ( x ) = y ′′ . Тогда z ′( x) = y ′′′ , а уравнение примет вид z ′x 2 − zx + 2 = 0 . Разделив уравнение на x2, получим линейное
z 2 = − 2 (1) . Будем искать его x x общее решение в виде произведения двух функций z = u ( x )v ( x ) . Тогда z ′ = u ′v + uv′ . Подставив два последних выражения в уравнение (1), получим
неоднородное уравнение первого порядка z ′ −
7
u ′v + uv′ −
uv 2 = − 2 . Сгруппируем второе и третье слагаемые и подберем x x
функцию v(x) так, чтобы их сумма равнялась нулю:
uv ⎞ 2 v dv dx uv ⎛ u ′v + ⎜ uv′ − ⎟ = − 2 (2); uv′ − = 0 ; v′ = ; = ; ln v = ln x + c . x ⎠ x x v x ⎝ x Выбрав c = 0, получим v = x. Обратившись к уравнению (2), найдем u(x):
u ′x = −
2 x2
; u′ = −
2 x3
;u=
1 x2
+ c.
Тогда общее решение уравнения (1) будет иметь вид:
1 ⎛ 1 ⎞ z = u ( x)v( x) = ⎜ 2 + c ⎟ x = + cx . x ⎝x ⎠ 1 Вернемся к исходной переменной: y ′′ = + cx . Найдем общее решение x полученного уравнения последовательным интегрированием:
x3 x2 y ′ = ln x + c + c2 ; y = x ln x − x + c + c2 x + c3 = x ln x + c1x3 + c2 x + c3 , 6 2 c где c1 = , c2 = c2 − 1 . Интеграл ∫ ln x dx найден с помощью формулы 6
интегрирования по частям.
Ответ: y = x ln x + c1x3 + c2 x + c3 . Задача 6. Найдите общее решение дифференциального уравнения
y ( y 2 + 1) y′′ = ( y 2 − 1)( y ′) 2 , понизив его порядок. Решение. Уравнение не содержит в явной форме независимой переменной x. Поэтому в качестве новой независимой переменной выберем y, в качестве новой неизвестной функции z(y) возьмем y′ :
y ′ = z ( y ) . Тогда y′′ = ( z ( y ) ) x′ = z y′ ⋅ y x′ = z ′z , а уравнение примет вид:
dz ( y 2 − 1)dy = y ( y + 1) z ′z = ( y − 1) z ⇒ y ( y + 1) z ′ = ( y − 1) z ⇒ . z y ( y 2 + 1) 2
2
Представим дробь
y2 −1 y ( y 2 + 1)
=
2
2
y2 −1 y ( y 2 + 1)
A By + C + y y2 + 1
2
в виде суммы простейших дробей:
и воспользуемся, как и раньше, методом
неопределенных коэффициентов:
8
⎧ A + B = 1 ⎧ A = −1 A By + C Ay 2 + A + By 2 + Cy ⎪ ⎪ C 0 ⇒ = ⇒ = + = ⎨ ⎨ B=2 . 2 2 2 y y ( y + 1) y +1 y ( y + 1) ⎪ A = −1 ⎪C =0 ⎩ ⎩ y2 −1
В результате получим
⎛ −1 c( y 2 + 1) dz 2y ⎞ 2 ∫ z = ∫ ⎜⎜ y + y 2 + 1 ⎟⎟dy ⇒ ln z = − ln y + ln y + 1 + ln c ⇒ z = y . ⎝ ⎠ c( y 2 + 1) . Разделим переменные Вернемся к исходной переменной: y ′ = y в полученном уравнении:
ydy
c2 c1 c2 1 1 2 2 = cdx ⇒ y + = cx + ⇒ y + = x + ⇒ ln 1 ln 1 2 2 2 2 2 y2 + 1
⇒ ln y 2 + 1 = c1x + c2 , где c1 = 2c. Получили общий интеграл исходного уравнения. Чтобы получить общее решение, разрешим его относительно y:
y 2 = ec1x + c2 − 1 ⇒ y = ± ec1x + c2 − 1 . В процессе разделения переменных потеряно решение z ( y ) = 0 ⇒ ⇒ y ′ = 0 ⇒ y = c , которое не может быть получено из общего ни при каких значениях произвольных постоянных. Ответ: y = ± ec1x + c2 − 1 , y = c. Образцы решения задач по теме «Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами» Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
y ( n) + a1 y ( n −1) +
+ an −1 y ′ + an y = f ( x) ,
где y = y ( x ) – искомая функция, y′, , y ( n −1) , y ( n ) – ее производные до n-го порядка включительно, f (x) – заданная функция. Если f (x) = 0, то уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным. Общее решение линейного неоднородного уравнения задается формулой y = y0 + y , где у0 – общее решение соответствующего однородного уравнения, y – частное решение исходного неоднородного уравнения. Общее решение у0 представляет собой линейную комбинацию функций, образующих фундаментальную систему решений (ФСР). В предлагаемых расчетных заданиях частное решение y составляется по виду функции f (x), стоящей в правой части, и ищется методом неопределенных коэффициентов. 9
Задача 7. Найдите общее решение дифференциального уравнения
y ′′ − 3 y′ + 2 y = ( x 2 + x)e3 x . Решение.
1) Найдем общее решение однородного уравнения y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 0 . Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: λ 2 − 3λ + 2 = 0 ⇒ λ1 = 1, λ2 = 2 . Корни – действительные, различные числа. Им соответствуют функции, образующие ФСР (см. приложение):
y1 = e x , y2 = e 2 x . Общее решение однородного уравнения – их линейная комбинация:
y0 = c1 y1 + c2 y2 = c1e x + c2e2 x . 2) Найдем частное решение y неоднородного уравнения. Правая часть уравнения может быть записана в форме f ( x) = Pn ( x)eax , где Pn(x) – многочлен степени n от x (см. приложение). В нашем случае степень многочлена равна n = 2, а множитель в показателе степени показательной функции равен a = 3. Поскольку число a = 3 не является корнем характеристического уравнения, частное решение будем искать в виде
y = Qn ( x)eax , где a = 3, Qn ( x) = Q2 ( x) = Ax 2 + Bx + C – многочлен второй степени от x с неопределенными коэффициентами A, B, C. Выпишем частное решение и найдем его первую производные:
и
вторую
y = ( Ax 2 + Bx + C )e3 x ; y′ = (2 Ax + B )e3 x + 3( Ax 2 + Bx + C )e3 x = (3 Ax 2 + (2 A + 3B) x + B + 3C )e3 x ; y′′ = (6 Ax + 2 A + 3B)e3 x + 3(3 Ax 2 + (2 A + 3B) x + B + 3C )e3 x = = (9 Ax 2 + (12 A + 9 B) x + 2 A + 6 B + 9C )e3 x . Подставим полученные выражения в исходное неоднородное уравнение и разделим обе его части на e3 x ≠ 0 :
9 Ax 2 + (12 A + 9 B) x + 2 A + 6 B + 9C − y′′ / e3 x
−9 Ax 2 − (6 A + 9 B ) x − 3B − 9C + −3 y ′ / e 3 x
+ 2 Ax 2 + 2 Bx + 2C = x 2 + x . 2 y / e3 x
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x и решим полученную систему:
10
9A − 9A + 2A =1 ⎧ ⎧ A = 0,5 ⎪ ⎪ ⎨ 12 A + 9 B − 6 A − 9 B + 2 B = 1 ⇒ ⎨ B = 1 . ⎪ ⎪2 A + 6 B + 9C − 3B − 9C + 2C = 0 ⎩ ⎩ C = −2 Таким образом, частное решение имеет вид: y = (0,5 x 2 + x − 2)e3 x . 3) Составим общее решение исходного неоднородного уравнения :
y = y0 + y = c1e x + c2 e2 x + (0,5 x 2 + x − 2)e3 x . Ответ: y = c1e x + c2 e2 x + (0,5 x 2 + x − 2)e3 x . Задача 8. Найдите общее решение дифференциального уравнения
y′′′ − 2 y′′ + y′ − 2 y = 20cos x − 15e2 x . Решение. 1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y ′′′ − 2 y ′′ + y ′ − 2 y = 0 . Для этого составим характеристическое уравнение λ 3 − 2λ 2 + λ − 2 = 0 и найдем его корни:
⎡ λ=2 ⎡λ =2 . (λ − 2)(λ 2 + 1) = 0 ⇔ ⎢ 2 ⇔⎢ ⎢⎣ λ = −1 ⎣ λ = ±i
Фундаментальная система решений, соответствующих полученным корням, имеет вид y1= e2x, y2 = cos x, y3 = sin x (см. приложение). Общее решение однородного уравнения равно линейной комбинации этих функций:
y0 = c1e2 x + c2 cos x + c3 sin x . 2) Используя принцип наложения, будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде суммы двух слагаемых y1 + y2 . Первое y1 слагаемое является частным решением уравнения y2 а второе – уравнения y ′′′ − 2 y ′′ + y ′ − 2 y = 20 cos x ,
y ′′′ − 2 y′′ + y′ − 2 y = −15e 2 x .
Рассмотрим первое уравнение y ′′′ − 2 y ′′ + y ′ − 2 y = 20 cos x . Его правую
часть можно представить в виде f1 ( x) = eax ( P cos bx + Q sin bx) , где a = 0, b= 1, P = 20, Q = 0. Составим комплексное число a + bi и проверим, является ли оно корнем характеристического уравнения. В нашем случае a + bi = i; это число является однократным корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение ищется в виде y1 = ( A cos x + B sin x) x , где A и B – неопределенные коэффициенты. Рассмотрим второе уравнение y ′′′ − 2 y ′′ + y′ − 2 y = −15e 2 x . Его правую часть можно представить в виде f 2 ( x) = Pn ( x)eax , где n = 0, P0 (x) = – 15, a = = 2. Число a = 2 является однократным корнем характеристического
11
уравнения. Тогда частное решение ищется в виде y2 = Me2 x x , где M – неопределенный коэффициент. Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид
y = y1 + y2 = ( A cos x + B sin x) x + Me 2 x x . Для нахождения неизвестных коэффициентов найдем первую, вторую и третью производные частного решения:
y ′ = ( − A sin x + B cos x) x + A cos x + B sin x + Me2 x (2 x + 1) ; y′′ = (− A cos x − B sin x) x − 2 A sin x + 2 B cos x + Me2 x (4 x + 4) ; y′′′ = ( A sin x − B cos x) x − 3B sin x − 3 A cos x + Me2 x (8 x + 12) . Подставим в найденные выражения в исходное уравнение.
( A sin x − B cos x) x − 3 A cos x − 3B sin x + Me2 x (8 x + 12) – y′′′
−2(− A cos x − B sin x) x + 4 A sin x − 4 B cos x − 2Me2 x (4 x + 4) + −2 y′′
+ (− A sin x + B cos x) x + A cos x + B sin x + Me2 x (2 x + 1) – y′
−2( A cos x + B sin x) x − 2 Me2 x x = 20cos x − 15e2 x ; −2 y
( A + 2 B − A − 2 B ) x sin x + ( − B + 2 A + B − 2 A) x cos x + + ( −3B + 4 A + B )sin x + ( −3 A − 4 B + A) cos x + + Me2 x (8 x + 12 − 8 x − 8 + 2 x + 1 − 2 x) = 20cos x − 15e2 x . Приведя подобные члены, окончательно получим
(4 A − 2 B)sin x + ( −2 A − 4 B) cos x + 5Me 2 x = 20cos x − 15e2 x . Приравняв коэффициенты при sin x, cos x и e2x , получим систему уравнений относительно A, B и M:
⎧ A = −2 ⎧ 4 A − 2B = 0 ⎧ B = 2A ⎪ ⎪ ⎪ ⎨−2 A − 4 B = 20 ⇒ ⎨−10 A = 20 ⇒ ⎨ B = −4 . ⎪ ⎪ ⎪ M = −3 ⎩ ⎩ 5M = −15 ⎩ M = −3 Таким образом, искомое частное решение имеет вид:
y = −2 x cos x − 4 x sin x − 3 xe2 x . 3) Составим общее решение исходного неоднородного уравнения:
y = y0 + y = c1e 2 x + c2 cos x + c3 sin x − 2 x cos x − 4 x sin x − 3 xe2 x . Ответ: y = c1e 2 x + c2 cos x + c3 sin x − 2 x cos x − 4 x sin x − 3 xe2 x .
12
Задача 8. Найдите общее решение дифференциального уравнения
y (4) + 2 y ′′′ = 240( x3 + x 2 ) . Решение. 1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y (4) + 2 y′′′ = 0 . Для этого составим характеристическое уравнение
⎡ λ3 = 0 ⎡ λ =0 λ + 2λ = 0 и найдем его корни: λ (λ + 2) = 0 ⇔ ⎢ . ⇔⎢ ⎢⎣λ + 2 = 0 ⎣λ = −2 4
3
3
Первый корень имеет кратность k = 3, второй корень – однократный. Первому корню соответствуют 3 решения y1 = 1, y2 = x, y3 = x2 , второму корню – одно решение y4 =e–2x. Полученные решения образуют ФСР, поэтому общее решение однородного уравнения представляет собой их линейную
комбинацию: y0 = c1 + c2 x + c3 x 2 + c4 e−2 x . 2) Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть
представляет собой функцию f ( x) = Pn ( x)eax , где n = 3, a = 0. Число a = 0 является корнем характеристического уравнения кратности k = 3, поэтому частное решение будем искать в виде
y = ( Ax3 + Bx 2 + Cx + D)e0 x x3 = Ax 6 + Bx5 + Cx 4 + Dx3 , где A, B, C, D – неопределенные коэффициенты. Найдем производные частного решения:
y′ = 6 Ax5 + 5Bx 4 + 4Cx3 + 3Dx 2 ; y′′ = 30 Ax 4 + 20 Bx3 + 12Cx 2 + 6 Dx ; y′′′ = 120 Ax3 + 60 Bx 2 + 24Cx + 6 D ; y (4) = 360 Ax 2 + 120 Bx + 24C . Подставив найденные производные в исходное уравнение, получим
(360 Ax 2 + 120 Bx + 24C ) + 2(120 Ax3 + 60 Bx 2 + 24Cx + 6 D) = 240 x3 + 240 x 2 ; 2 y′′′
y (4)
240 Ax3 + (360 A + 120 B) x 2 + (120 B + 48C ) x + 24C + 12 D = 240 x3 + 240 x 2 . Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему
⎧ 240 A = 240 ⎧ A =1 ⎪360 A + 120 B = 240 ⎪ B = −1 ⎪ ⎪ . ⇔⎨ ⎨ B C C 120 48 0 2,5 + = = ⎪ ⎪ ⎪⎩ 24C + 12 D = 0 ⎪⎩ D = −5 Частное решение имеет вид y = x6 − x5 + 2,5 x 4 − 5 x3 . 3) Составим общее решение неоднородного уравнения:
y = y0 + y = c1 + c2 x + c3 x 2 + c4 e−2 x + x6 − x5 + 2,5 x 4 − 5 x3 .
Ответ: y = c1 + c2 x + c3 x 2 + c4 e−2 x + x6 − x5 + 2,5 x 4 − 5 x3 .
13
Образцы решения задач по теме «Системы линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами» Система двух линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид:
⎧ x′ = a11 x + a12 y , где x = x(t), y = y(t) – неизвестные функции аргумента t, ⎨ ′ y a x a y = + ⎩ 21 22 x′ = x′(t ), y ′ = y ′(t ) – производные этих функций, aij (i = 1, 2; j = 1, 2) –
постоянные коэффициенты. Данную систему можно записать в матричной форме X ′ = AX , где
a ⎞ ⎛a ⎛ x⎞ ⎛ x′ ⎞ X = X (t ) = ⎜ ⎟ , X ′ = X ′(t ) = ⎜ ⎟ , A = ⎜ 11 12 ⎟ . ⎝ y⎠ ⎝ y′ ⎠ ⎝ a21 a22 ⎠
⎧ x′ = 2 x − 5 y (1) методом ⎩ y ′ = 5 x − 6 y (2)
Задача 9. Найдите общее решение системы ⎨ исключения.
Решение. Продифференцируем уравнение (1) по t: x′′ = 2 x′ − 5 y ′ . Заменим y′ правой частью уравнения (2): x′′ = 2 x′ − 5(5 x − 6 y ) (3) . Выразим
2 x − x′ (4) . Подставим полученное выражение в 5 6 ⎛ ⎞ уравнение (3): x′′ = 2 x′ − 5 ⎜ 5 x − (2 x − x′) ⎟ ⇔ x′′ + 4 x′ + 13 x = 0 (5) . 5 ⎝ ⎠
y из уравнения (1): y =
Для линейного однородного уравнения второго порядка (5) составим характеристическое уравнение: λ 2 + 4λ + 13 = 0 . Найдем его дискриминант и корни:
D = 16 − 52 = −36, λ =
−4 ± 6i . 2
Корни
характеристического
уравнения – комплексно сопряженные числа λ1 = −2 + 3i, λ2 = −2 − 3i . Им соответствуют ФСР уравнения (5): x1 = e−2t cos3t , x2 = e−2t sin 3t . Общее решение уравнения (5) – линейная комбинация найденных решений:
x(t ) = e−2t (c1 cos3t + c2 sin 3t )
Продифференцируем x(t) по t:
x′(t ) = −2e−2t (c1 cos3t + c2 sin 3t ) + e−2t (−3c1 sin 3t + 3c2 cos3t ) =
= e−2t ( (−2c1 + 3c2 ) cos3t + (−2c2 − 3c1 )sin 3t ) .
Подставив x (t ) и x′(t ) в (4), найдем функцию y(t): 14
e −2t y (t ) = ( 2c1 cos3t + 2c2 sin 3t − (−2c1 + 3c2 ) cos3t − (−2c2 − 3c1 )sin 3t ) . 5 3c + 4c2 ⎛ 4c − 3c2 ⎞ cos3t + 1 sin 3t ⎟ . Окончательно получим y (t ) = e−2t ⎜ 1 5 5 ⎝ ⎠ Таким образом, общее решение системы имеет вид
⎧ x(t ) = e−2t (c1 cos3t + c2 sin 3t ) ⎪ ⎨ 3c1 + 4c2 ⎞. −2t ⎛ 4c1 − 3c2 y ( t ) e cos3 t sin 3 t = + ⎪ ⎜ ⎟ 5 5 ⎝ ⎠ ⎩ ⎧ x(t ) = e−2t (c1 cos3t + c2 sin 3t ) ⎪ Ответ: ⎨ 3c1 + 4c2 ⎞. −2t ⎛ 4c1 − 3c2 cos3t + sin 3t ⎟ ⎪ y (t ) = e ⎜ 5 5 ⎝ ⎠ ⎩ Задача
10.
Найдите
общее
решение
системы
⎧ x′ = x + y ⎨ ⎩ y′ = −2 x + 4 y
матричным методом. Решение.
Введем
⎛ x⎞ ⎛ x′ ⎞ X = X (t ) = ⎜ ⎟ , X ′ = X ′(t ) = ⎜ ⎟ , ⎝ y⎠ ⎝ y′ ⎠
матрицы
⎛ 1 1⎞ A=⎜ ⎟ . Тогда система примет вид X ′ = AX (1). Будем искать решение − 2 4 ⎝ ⎠ ⎛g⎞ матричного уравнения (1) в виде X = Heλt (2), где H = ⎜ ⎟ – неизвестный ⎝h⎠ вектор (одностолбцовая матрица), – неизвестное число. λ Продифференцировав
λ He
λt
= AHe
λt
(2)
по
t,
и
подставив
в
(1),
получим
⇔ AH = λ H ,
т.е. задача свелась к нахождению собственных чисел и собственных векторов матрицы A. Из последнего уравнения следует, что ( A − λ E ) H = 0 (3), где E – единичная матрица. Матричное уравнение (3) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда det( A − λ E ) = 0 , т.е.
1− λ −2
1 = 0 . Найдем собственные числа 4−λ
матрицы A, решив полученное характеристическое уравнение:
4 − 4λ − λ + λ 2 + 2 = 0 ⇔ λ 2 − 5λ + 6 = 0 ⇔ λ1 = 2, λ2 = 3 . Найдем ненулевые собственные векторы матрицы A, соответствующие каждому собственному числу.
15
1 ⎞ ⎛ −1 1 ⎞ ⎛1 − 2 ⎟ = ⎜ −2 2 ⎟ . 2 4 2 − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 1 ⎞ ⎛ g ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎧ −g + h = 0 ⋅⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ ⎨ , откуда Уравнение (3) примет вид ⎜ ⎟ h 2 2 h 0 2 g 2 0 − − + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎛ 1⎞ следует, что g = h. Пусть g = h = 1, тогда H1 = ⎜ ⎟ . Подставив найденные λ1 ⎝ 1⎠ 1) Пусть λ = λ1 = 2. Тогда A − λ1E = ⎜
и H1 в (2), получим решение исходной системы, соответствующее
⎛1⎞ ⎝1⎠ 1 ⎞ ⎛ −2 1⎞ ⎛1 − 3 2) Пусть λ = λ2 = 3. Тогда A − λ2 E = ⎜ ⎟ = ⎜ −2 1⎟ . − 2 4 − 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ −2 1⎞ ⎛ g ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎧−2 g + h = 0 ⋅⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ ⎨ , откуда Уравнение (3) примет вид ⎜ ⎟ h 2 1 h 0 2 g 0 − − + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎛1⎞ следует, что h = 2g. Пусть g = 1, тогда h = 2, H 2 = ⎜ ⎟ . Подставив найденные ⎝ 2⎠ собственному числу λ1 = 2: X1 (t ) = H1eλ1t = ⎜ ⎟ e 2t .
λ2 и H2 в (2), получим решение исходной системы, соответствующее ⎛1⎞ ⎝ 2⎠
собственному числу λ2 = 3: X 2 (t ) = H 2 eλ2t = ⎜ ⎟ e3t . Общее решение системы представляет собой линейную комбинацию найденных решений. Запишем общее решение в матричной форме:
⎛ 1⎞ ⎛1⎞ X (t ) = c1H1eλ1t + c2 H 2 eλ2t = c1 ⎜ ⎟ e2t + c2 ⎜ ⎟ e3t . ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎧⎪ x(t ) = c1e2t + c2 e3t Общее решение в координатной форме имеет вид: ⎨ . 2t 3t ⎪⎩ y (t ) = c1e + 2c2 e ⎧⎪ x(t ) = c1e2t + c2 e3t . Ответ: ⎨ 2t 3t ⎪⎩ y (t ) = c1e + 2c2 e
16
Расчетные задания I. 1) Определите тип дифференциального уравнения первого порядка. 2) Найдите общее решение дифференциального уравнения. 3) Найдите его частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0. 1. 2 xyy ′( x + 1) 1 = 0, 2
3. y′ + 2 xy = e− x , 5. xy ′ = y + xy ,
y (1) = −1.
y (0) = −1. y (e) = e.
2. 2 y ′x 2 = ( x + y ) 2 , 4. y ′ = e x − y ( x + 1),
y (1) = 1. y (1) = 1.
6. ( y ′x − y ) cos 2 x = x 2 , y (π / 4) = 0.
7. e y ( x 2 + 2) y ′ = 2 x(e y + 1), y (0) = 0.
8. 2 xyy ′ = y 2 − x 2 ,
9. y ′ + x −2 y = e1/ x ,
y ( −1) = 0.
10. x 2 y ′ = y 2 e −1/ y ,
11. xy ′ = y − xe y / x ,
y (1) = 0.
12. ( y ′ − y )( x 2 + 1) = e x ,
y (1) = 1. y ( −1) = 1/ 2. y (1) = 0.
13. y ′e y = (e y + 1)tgx,
y (π / 3) = 0.
14. x 2 y ′ = 2 xy + y 2 ,
15. xy ′ − 2 y = x3 cos x,
y (π / 6) = 0.
16. y ′e1/ y ( x 2 + 1) = −2 xy 2 , y (0) = 1.
17. x 2 y ′ = y 2 − xy + x 2 ,
y (1) = 0.
18. ( x 2 + 1)( y ′ − y ) = 2 xe x , y (0) = 0.
19. 2 yy ′(1 + e x ) = e 2 x , 21. x( y ′ − y ) = ( x + 1)e x ,
y (0) = 1. y (1) = e.
23. 3 y 2 y′( x + 1)2 = 1 − y 6 , y (0) = 0. 2
⎛ y2 + 1 ⎞ ′ 25. y = 2 x ⎜ ⎟ , ⎜ x2 + 1 ⎟ ⎝ ⎠
y (0) = 1.
y ( −1) = 2.
20. x 2 y ′ = y 2 + xy + x 2 , 22. 2 xyy ′ = x 2 + 3 y 2 ,
y (1) = 0.
y (1) = 1.
2 x( x + 1) , y ( −1) = 0. x+2 2 xy + y 2 − x 2 , y (−1) = 0. 26. y′ = 2 2x
24. xy ′ − y =
II. Найдите общее решение дифференциального уравнения, понизив его порядок 1. y ′′′x − y ′′ = x 2 e x .
2. y ′′′(1 + x 2 ) 2 + 2 x = 0 .
3. 2 xy ′y ′′ = x 2 + 3( y ′) 2 .
4. y ′′x + y ′ = x 2 ln x .
5. x 2 y ′′′ + 1 = 0.
6. x 2 y ′′ = 2 xy ′ + ( y ′) 2 .
7. xy ′′′ + y ′′ = 9 x 2 .
8. 2 y′′ x = ln x + 2 .
9. 2 x 2 y ′′ = 2 xy ′ + ( y ′) 2 − x 2 .
10. xy ′′′ − 2 y ′′ = 4 x( x 2 − 1) . 17
11. 2( y ′) 2 = y ′′( y − 1).
12. y ′′ + ( y ′) 2 = y ′ .
13. xy ′′′ − y ′′ = x cos x.
14. y ′′( y 2 + 1) = 2 y ( y ′) 2 .
15. y ′′ − 2( y ′) 2 ctg y = 0.
16. xy ′′′ − y ′′ = x sin x .
17. yy ′′ = ( y ′) 2 + 2 y ′. 19. y ′′′( x + 1) = x + 2.
18. y ′′(e x + 1) − y ′(e x + 2) = 0 . 20. y ′′′x ln x = y ′′ .
21. 2 y ( y ′) 2 = y ′′( y 2 − 1).
22. y ′′′ − 2e x = xe x .
23. y ′′(e x + 1) + ( y ′) 2 = 0.
24. y ′′ + 2( y ′) 2 tg y = 0 .
25. y ′′′( x 2 + 1) + 2 xy ′′ = 0.
26. y ′′′( x 2 + 5 x + 6) + y ′′ = 0 .
III. Найдите дифференциального коэффициентов
общее решение линейного неоднородного уравнения методом неопределенных
1.
y ′′ + y = 2(cos x − sin x ) + 10e 2 x .
2.
y ′′ − y ′ − 2 y = e x (8 − 4 x) + 6e − x .
3.
y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = 12e x + 20e − x .
4.
y ′′′ + 4 y ′ = 9sin x + 16e −2 x .
5.
y ′′ − 4 y ′ + 8 y = (4 x − 8)e 2 x + 20sin 2 x.
6.
y ′′′ − 2 y ′′ + 2 y ′ = 8 x + 15e − x .
7.
y ′′ + 4 y = 4sin 2 x + 24e 2 x .
8.
y ′′′ − 4 y ′′ + 4 y ′ = 12e 2 x − 16 x.
9.
y ′′′ − 2 y ′′ − y ′ + 2 y = 6e x + 10 cos x.
10. y ′′ − 4 y ′ + 3 y = 10 cos x + (8 x − 2)e x . 11. y ′′′ − 3 y ′′ + 3 y ′ − y = 30e x + x3 . 12. y ′′′ + y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 12e 2 x + 20e − x . 13. y ′′ − 4 y ′ + 4 y = (6 x − 3)e 2 x + 9e − x . 14. y ′′′ + y ′′ − 4 y ′ − 4 y = 18e 2 x − 10e −2 x . 15. y ′′′ + y ′ = 10e x sin x + 6 x. 16. y ′′ − 2 y ′ = 8(sin 2 x + cos 2 x) + 12 x 2 . 17. y ′′′ − 4 y ′′ + 5 y ′ = 5 x − (4 x + 2)e x . 18. y ′′′ − 2 y ′′ = 10e 2 x + 6 x − 19. 19. y ′′ − 5 y ′ + 4 y = 4 xe 4 x + 8sin x − 2 cos x. 18
20. y ′′ − y = 12e x − 52sin 5 x. 21. y IV − y ′′ − 2 y = (6 x − 5)e − x . 22. y′′ + 4 y ′ + 5 y = 19sin 2 x + 22cos 2 x + 34e− x . 23. y IV −16 y = 32 x 4 + 65e3 x . 24. y′′′ − 4 y′ = 40e2 x + 60 x 2 . 25. y′′ + 6 y ′ + 13 y = (8 x + 6)e−3 x + 75cos 2 x. 26. y′′ − 9 y = 30e3 x + 2e x (sin x + cos x) . IV. Найдите общее решение уравнений методом исключения
⎧ x′ = x + y ⎩ y′ = − x + 3 y
2. ⎨
⎧ x′ = 2 x + y ⎩ y ′ = −2 x + 4 y
4. ⎨
⎧ x′ = −3x + y ⎩ y′ = − x − y
6. ⎨
⎧ x′ = −2 x − y ⎩ y′ = x − 4 y
8. ⎨
⎧ x′ = 6 x − 2 y ⎩ y′ = 2 x + 2 y
10. ⎨
⎧ x′ = −9 x + 5 y ⎩ y ′ = −5 x + y
12. ⎨
⎧ x′ = − x + 2 y ⎩ y′ = −2 x + 3 y
14. ⎨
⎧ x′ = 3 x + y ⎩ y′ = − x + y
16. ⎨
1. ⎨
3. ⎨
5. ⎨
7. ⎨
9. ⎨
11. ⎨
13. ⎨
15. ⎨
системы
⎧ x′ = 2 x − y ⎩ y′ = x + 4 y
⎧ x′ = 2 x + 5 y ⎩ y′ = − x + 6 y ⎧ x′ = x − 5 y ⎩ y′ = x − 3 y
⎧ x′ = x + 2 y ⎩ y ′ = −2 x + y ⎧ x′ = x − 3 y ⎩ y′ = 3x + y
⎧ x′ = − x − 5 y ⎩ y′ = x + 3 y ⎧ x′ = 4 x + 2 y ⎩ y′ = − x + 2 y
⎧ x′ = 6 x − 5 y ⎩ y′ = x + 2 y
19
дифференциальных
⎧ x′ = 4 x − y ⎩ y′ = x + 2 y
18. ⎨
⎧ x′ = − x + y ⎩ y′ = − x − 3 y
20. ⎨
⎧ x′ = −4 x − y ⎩ y′ = x − 2 y
22. ⎨
⎧ x′ = 2 x − 2 y ⎩ y′ = 2 x + 6 y
24. ⎨
⎧ x′ = x − 5 y ⎩ y′ = 5 x − 9 y
26. ⎨
17. ⎨
19. ⎨
21. ⎨
23. ⎨
25. ⎨
⎧ x′ = −3x − y ⎩ y′ = 5 x + y ⎧ x′ = x + 2 y ⎩ y′ = − x + 3 y
⎧ x′ = x − 4 y ⎩ y′ = x + y
⎧ x′ = x + 9 y ⎩ y′ = − x + y ⎧ x′ = 3 x − y ⎩ y′ = 5 x − y
V. Найдите общее решение уравнений матричным методом
⎧ x′ = −2 x − 12 y ⎩ y′ = 2 x + 8 y
2. ⎨
⎧ x′ = 2 x + y ⎩ y′ = 7 x + 8 y
4. ⎨
⎧ x′ = 5 x + 8 y ⎩ y′ = x + 3 y
6. ⎨
⎧ x′ = 2 x − 9 y ⎩ y′ = − x + 2 y
8. ⎨
системы
⎧ x′ = 2 x − 12 y ⎩ y′ = − x + y
1. ⎨
⎧ x′ = 3 x − 5 y ⎩ y ′ = −2 x + 6 y
3. ⎨
⎧ x′ = 4 x + 2 y ⎩ y′ = 3x + 3 y
5. ⎨
⎧ x′ = 5 x − 18 y ⎩ y′ = 2 x − 8 y
7. ⎨
⎧ x′ = − x + 9 y ⎩ y′ = 2 x − 8 y ⎧ x′ = 5 x − 15 y 11. ⎨ ⎩ y′ = 2 x − 8 y
⎧ x′ = x + 3 y ⎩ y′ = 3x + y ⎧ x′ = 2 x + 5 y 12. ⎨ ⎩ y′ = x − 2 y
9. ⎨
10. ⎨
20
дифференциальных
⎧ x′ = 2 x − 7 y ⎩ y′ = −3x + 6 y
14. ⎨
⎧ x′ = 4 x − 6 y ⎩ y′ = 2 x − 4 y
⎧ x′ = − x + 3 y ⎩ y′ = 3x − y
16. ⎨
⎧ x′ = x + 7 y ⎩ y′ = 2 x + 6 y
18. ⎨
⎧ x′ = 8 x − 24 y ⎩ y′ = 2 x − 8 y
20. ⎨
⎧ x′ = −4 x − 9 y ⎩ y ′ = 5 x + 10 y
22. ⎨
⎧ x′ = x + 9 y ⎩ y′ = 2 x + 8 y
24. ⎨
⎧ x′ = −2 x − y ⎩ y′ = 3x + 2 y
26. ⎨
13. ⎨
⎧ x′ = −2 x + 7 y ⎩ y′ = 3x − 6 y
15. ⎨
⎧ x′ = −8 x − 15 y ⎩ y ′ = 7 x + 14 y
17. ⎨
⎧ x′ = 3 x + 4 y ⎩ y′ = 3x + 2 y
19. ⎨
⎧ x′ = 3 x + y ⎩ y′ = 2 x + 2 y
21. ⎨
⎧ x′ = 5 x − y ⎩ y′ = 2 x + 2 y
23. ⎨
⎧ x′ = 2 x − 12 y ⎩ y′ = 2 x − 8 y
25. ⎨
21
Типовой расчет по теме «Ряды» Методические указания Содержание расчетных заданий I. II. III. IV.
Числовые ряды. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье. Образцы решения задач по теме «Числовые ряды»
1. Положительные ряды
∞
Задача 1. Исследуйте числовой ряд
4n
∑ 4n + 4 + n 4 .
n =1
Решение. Найдем предел общего члена данного ряда:
4n
4n
1 1 1 lim n + 4 lim lim = = = = ≠ 0. n →∞ 4 + n 4 n→∞ n ⎛ 4 n 4 ⎞ n→∞ 4 n 4 44 256 4 + n 4 ⎜4 + n ⎟ ⎜ ⎟ 4 4 ⎝ ⎠ Предел общего члена отличен от нуля, т. е. не выполняется необходимое условие сходимости (необходимый признак), следовательно, ряд расходится.
n4
При нахождении предела было использовано, что предела lim
x4
x →∞ 4 x
→ 0 . Это следует из
4n n→∞
= 0 , который легко выводится с помощью правила Лопиталя.
Ответ: ряд расходится. ∞
Задача 2. Исследуйте числовой ряд
∑
cos 2 n
n =1 n
3 2
.
n
Решение. Применим первый признак сравнения. Для сравнения ∞
используем обобщенный гармонический ряд
∞
1 = ∑ 5 3 , который 3 2 n =1 n n n =1 n
∑
1
сходится, т. к. показатель степени p в знаменателе удовлетворяет неравенству p = 5/3 > 1. Сравним общий член исходного ряда с общим членом ряда, подобранного для сравнения: 2
0 < cos n < 1 ⇒ 0