Теория функций действительного переменного: Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра математического анализа

Теория функций действительного переменного Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета

Екатеринбург 2007

2

Данное пособие является составной частью учебно-методического комплекса по дисциплине «Теория функций действительного переменного» и призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы и задачи к экзамену. Составители: Бодряков В.Ю.

Содержание 1. Программа курса …………………………………………………………… 3 2. Лекции ……………………………………………………………………… 4 3. Практические занятия ……………………………………………………… 5 4. Материалы для практических занятий и домашних заданий …………… 6 5. Материалы к экзамену …………………………………………………….. 9 5.1 Вопросы к экзамену ………………………………………………………. 9 5.2 Задачи к экзамену ………………………………………………………... 10 Литература ……………………………………………………………………. 13 Приложение. Методические советы студентам ……………………………. 14

3

1.

Программа курса

Элементы теории множеств [1-5] Счетные множества. Объединение конечного и счетного семейства счетных множеств. Декартово произведение счетных множеств. Мощность множества. Сравнение мощностей. Множества мощности континуум. Теорема Кантора - Бернштейна. Структура открытых и замкнутых множеств. Совершенные множества. Канторово совершенное множество. Элементарные множества на декартовой плоскости и числовой прямой. Алгебра множеств. 2. Мера Лебега. Мера Жордана. Обобщение понятия меры [1-3, 5] Понятие меры Лебега на числовой прямой. Внешняя мера Лебега и ее свойства. Измеримые по Лебегу множества. Свойства меры Лебега. Критерий измеримости ограниченного множества по Лебегу. Измеримость объединения и пересечения счетного числа измеримых множеств. Измеримость открытых и замкнутых множеств. Понятие меры Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану. Свойства меры Жордана. Измеримость по Лебегу множества, измеримого по Жордану. Обобщение понятия меры. 3. Измеримые функции [1-3, 5] Понятие измеримых функций. Свойства измеримых функций. Эквивалентность измеримых функций. Измеримость суммы, разности, произведения и частного двух измеримых функций. Последовательности измеримых функций. Сходимость почти всюду и по мере. Теоремы Егорова, Лузина и Фреше. 4. Интеграл Лебега [1-3, 5] Суммы Лебега и их свойства. Определение интеграла Лебега и его свойства. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Предельный переход под знаком интеграла. Теоремы Леви, Фату, Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега. 5. Метрические пространства [1-3, 5] Понятие метрического пространства. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. Эквивалентные метрики и нормы. Предел последовательности в метрических пространствах. Полные метрические пространства. Фундаментальные последовательности в метрических пространствах. Свойство Больцано – Вейерштрасса. Полнота пространств Rn, C [a, b]. Примеры неполных пространств. Теорема о неподвижной точке и принцип сжимающих отображений. Лебеговы пространства Lp[E], их полнота. Сравнение различных типов сходимости (по норме, почти всюду и по мере). Гильбертово пространство. Ортонормированные системы элементов. Разложение элементов Гильбертова пространства по ортонормированной системе. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. 1.

4

2.

Лекции

1. Счетные множества. Объединение конечного и счетного семейства счетных множеств. Декартово произведение счетных множеств. 2. Мощность множества. Сравнение мощностей. Множество мощности континуум. Теорема Кантора – Бернштейна. 3. Структура открытых и замкнутых множеств. Совершенные множества. Канторово совершенное множество. 4. Элементарные множества на декартовой плоскости и на числовой прямой. Внешняя мера Лебега и ее свойства. 5. Измеримые по Лебегу множества. Понятие меры Лебега. 6. Свойства меры Лебега. Измеримость объединения и счетного числа измеримых множеств. Измеримость открытых и замкнутых множеств. Измеримость по Лебегу множеству, измеримого по Жордану. 7. Измеримые функции. Эквивалентность измеримых функций. Измеримость суммы, разности, произведения и частного двух измеримых функций. 8. Сходимость почти всюду и по мере. Теоремы Егорова, Лузина и Фреше. 9. Определение интеграла Лебега и его свойства. 10. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Предельный переход под знаком интеграла. Теоремы Леви, Фату, Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега. 11. Метрические пространства (аксиомы метрики, примеры метрических пространств). Скалярное произведение и норма. Понятие евклидова пространства. 12. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. Эквивалентные метрики и нормы. Предел последовательности в метрических пространствах. 13. Полные метрические пространства. Фундаментальные последовательности в метрических пространствах. Свойство – Больцано – Вейерштрасса. Полнота пространства Rn, C [a, b]. Примеры неполных пространств. 14. Теорема о неподвижной точке и принцип сжимающих отображений. 15. Лебеговы пространства Lp[E], их полнота. Сравнение различных типов сходимости (по норме, почти всюду и по мере). 16. Гильбертово пространство. Ортонормированные системы элементов. Разложение элементов Гильбертова пространства по ортонормированной системе. 17. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

5

3.

Практические занятия [2, 6]

1. Множества. Структура и простейшие свойства множеств. 2. Счетные множества. Равномощные множества. 3. Структура открытых и замкнутых множеств. 4. Сравнение внешней меры Лебега элементарных множеств с их мерой Жордана. 5. Внешняя мера Лебега и ее свойства. 6. Измеримые по Лебегу множества. 7. Сравнение меры Лебега и меры Жордана. Регулярность меры. 8. Измеримость композиции функций. 9. Теоремы о пределах последовательностей измеримых функций. 10. Пределы последовательностей измеримых функций. 11. Интеграл Лебега и его свойства. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. 12. Свойства открытых и замкнутых множеств. 13. Сходимость в метрических пространствах. 14. Сходимость в метрических пространствах. 15. Сходимость в лебеговых пространствах. 16. Контрольная работа по теме «Метрические пространства». 17. Заключительное занятие.

6

4. Материалы для практических занятий и домашних заданий [2, 6] Занятие 1. Множества. Структура и простейшие свойства множеств. Цель занятия: усвоить понятие «множество», освоить выполнение операций над множествами. Задачи [2]: 1, 2, 4, 6, 7, 12-14, 21, 23, 24. Домашнее задание [2]: 3, 5, 8, 9, 15, 16, 22, 25, 26. Занятие 2. Счетные множества. Равномощные множества. Цель занятия: усвоить понятия эквивалентности и счетности множеств, научиться устанавливать взаимно-однозначное соответствие между множествами Задачи [2]: 27, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 39, 41, 42, 50. Домашнее задание [2]: 28, 33, 36, 38, 40, 43, 45. Индивидуальное домашнее задание [6]: 1. Занятие 3. Структура открытых и замкнутых множеств. Цель занятия: закрепить навыки устанавливания взаимно-однозначное соответствия между множествами Задачи [2]: 44, 46, 48, 49, 52, 53, 54, 57, 59, 60. Домашнее задание [2]: 47, 51, 55, 56, 58. Индивидуальное домашнее задание [6]: 2. Занятие 4. Сравнение внешней меры Лебега элементарных множеств с их мерой Жордана. Цель занятия: закрепить навыки определения мощности множеств. Задачи [2]: 61, 63, 64, 66, 67, 72, 73, 74, 75, 77, 78, 79, 82. Домашнее задание [2]: 62, 65, 68, 69, 70, 76, 80, 81, 83. Индивидуальное домашнее задание [6]: 3. Занятие 5. Внешняя мера Лебега и ее свойства. Цель занятия: закрепить навыки определения мощности множеств. Задачи [2]: 85, 87, 89, 90, 91, 95, 97, 98, 100, 104, 106, 109, 111, 113, 117. Домашнее задание [2]: 86, 88, 92, 96, 99, 102, 107, 110, 112, 114. Индивидуальное домашнее задание [6]: 4. Занятие 6. Измеримые по Лебегу множества. Цель занятия: закрепить понятий структуры множеств. Задачи [2]: 150, 152, 154, 156, 158, 159, 162, 165, 167, 170, 176, 179, 180. Домашнее задание [2]: 151, 153, 155, 157, 160, 163, 166, 168, 177. Занятие 7. Сравнение меры Лебега и меры Жордана. Цель занятия: продолжить закрепление понятий структуры множеств, включая совершенные множества. Задачи [2]: 181, 183, 185, 186, 188, 212, 215, 216, 217, 176, 179, 227, 232.

7

Домашнее задание [2]: 182, 184, 187, 191, 213, 214, 218, 225, 226. Индивидуальное домашнее задание [6]: 5. Занятие 8. Измеримость композиции функций. Цель занятия: закрепить основные понятия из общей теории отображений. Задачи [2]: 470, 471, 473, 475, 476, 478, 481, 483, 485, 487, 488, 491, 493. Домашнее задание [2]: 472, 474, 477, 482, 484, 486, 489, 492, 494. Занятие 9. Теоремы о пределах последовательностей измеримых функций. Цель занятия: продолжить закрепление понятий из общей теории отображений. Задачи [2]: 495, 497, 499, 501, 502, 504, 505, 508, 509, 511, 512, 514, 533. Домашнее задание [2]: 496, 498, 500, 503, 506, 507, 510, 513, 535. Занятие 10. Пределы последовательностей измеримых функций. Цель занятия: закрепить основные понятия теории функций одной переменной. Задачи [2]: 612, 614, 616, 617, 619, 620, 621, 623, 624, 626, 628, 629, 631. Домашнее задание [2]: 613, 615, 618, 622, 625, 627, 630, 632, 633. Занятие 11. Интеграл Лебега и его свойства. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Цель занятия: освоить основные понятия теории интеграла Лебега. Задачи [2]: 679, 681, 683, 685, 686, 687, 688, 690, 691, 693, 695. Домашнее задание [2]: 680, 682, 684, 685, 689, 692, 694. Индивидуальное домашнее задание [6]: 6. Занятие 12. Свойства открытых и замкнутых множеств. Цель занятия: продолжить закрепление основные понятия теории интеграла Лебега. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана. Задачи [2]: 695, 697, 699, 701, 703, 705, 706, 708, 710, 711, 712, 715, 716. Домашнее задание [2]: 696, 698, 700, 704, 707, 709, 713, 714, 717. Занятие 13. Сходимость в метрических пространствах. Цель занятия: освоить понятие сходимости в метрических пространствах. Задачи [2]: 718, 720, 722, 723, 725, 726, 728, 729, 732, 734, 735. Домашнее задание [2]: 719, 721, 724, 727, 730, 731, 733. Индивидуальное домашнее задание [6]: 7. Занятие 14. Сходимость в метрических пространствах. Цель занятия: продолжить освоение понятия сходимости в метрических пространствах. Задачи [2]: 736, 740, 741, 742, 743, 746, 747, 748. Домашнее задание [2]: 737, 738, 739, 744, 745.

8

Занятие 15. Сходимость в лебеговых пространствах. Цель занятия: освоить понятие сходимости в лебеговых пространствах. Задачи [2]: 118, 119, 122, 123, 125, 126, 128, 129, 132, 134, 135, 136, 138, 140. Домашнее задание [2]: 120, 121, 124, 127, 130, 131, 133, 137, 139, 142. Индивидуальное домашнее задание [6]: 7. Занятие 16. Контрольная работа по теме «Метрические пространства». Цель занятия: проверить знания студентов по теме «Метрические пространства». Занятие 17. Заключительное занятие. Цель занятия: консультация студентов по всем разделам изученной дисциплины «Теория функций действительного переменного».

9

5. Материалы к экзамену 5.1 Вопросы к экзамену 1. Понятие множества. Операции над множествами. 2. Законы алгебры множеств. 3. Ограниченные множества. Точные верхние и нижние грани множеств. 4. Понятие эквивалентности и счетности множеств. Объединение конечного и счетного семейства счетных множеств. 5. Декартово произведение множеств. 6. Мощность множеств. Сравнение мощностей. Множества мощности континуума. 7. Несчетность множества действительных чисел. 8. Теорема Кантора – Бернштейна. 9. Построение мощностей, большей мощности данного множества. 10. Построение взаимно-однозначных соответствий между различными множествами мощности континуум. 11. Структура открытых и замкнутых множеств. 12. Совершенные множества. Канторово совершенное множество. 13. Лемма Гейне – Бореля. 14. Алгебра множеств. Понятия кольца и полукольца множеств. 15. Понятие меры множества на числовой прямой. Внешняя и внутренняя мера множества. 16. Мера Лебега. Свойства меры Лебега. 17. Критерий измеримости множества по Лебегу (необходимость). 18. Критерий измеримости множества по Лебегу (достаточность). 19. Измеримость объединения и пересечения счетного числа измеримых множеств. 20. Измеримость открытых и замкнутых множеств. 21. Понятие меры Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану. 22. Свойства меры Жордана. 23. Измеримость по Лебегу множества, измеримого по Жордану. 24. Обобщение понятия меры. 25. Понятие измеримых функций. 26. Свойства измеримых функций. Понятие эквивалентности измеримых функций. 27. Измеримость суммы, разности, произведения и частного двух измеримых функций. 28. Последовательности измеримых функций. 29. Сходимость почти всюду и по мере. 30. Теоремы Егорова, Лузина и Фреше. 31. Суммы Лебега и их свойства. 32. Определение интеграла Лебега и его свойства. 33. Полная аддитивность интеграла Лебега. 34. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.

10

35. Теоремы Леви, Фату, Лебега. 36. Сравнение интегралов Римана и Лебега. 37. Понятие метрического пространства. 38. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. 39. Эквивалентные метрики и нормы. 40. Предел последовательности в метрических пространствах. 41. Полные метрические пространства. 42. Фундаментальные последовательности в метрических пространствах. 43. Свойство Больцано – Вейерштрасса. 44. Полнота пространств Rn, C [a, b]. 45. Примеры неполных пространств. 46. Теорема о неподвижной точке и принцип сжимающих отображений. 47. Лебеговы пространства Lp[E], их полнота. 48. Гильбертово пространство. Ортонормированные системы элементов. 49. Разложение элементов Гильбертова пространства по ортонормированной системе. 50. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

5.2 Задачи к экзамену Прим. Ниже приведены типичные задачи. На экзамене могут быть предложены другие аналогичные задачи. 1. Доказать дистрибутивность операций пересечения и объединения: a) (AB)C = (AC)(BC); b) (AB)C = (AC)(BC). Пусть A =

2.



 An . Представить множество A в виде объединения A =

n 1 

 Bn , так что BiBj =  при i  j и Bn  An для всех n.

n 1

3. Доказать справедливость равенств: a) (AB)\C = (A\C)(B\C); b) AB = (AB)  (AB). 4. Доказать справедливость формул де Моргана: X \  Ai =  ( X \ Ai ) и i

X\  Ai = i

(X

i

\ Ai ) .

i

5. Доказать, что (A \ B)  C = (A  C) \ (B  C). 6. Доказать, что если A  P и B  Q, то A  B = (A  Q)  (B  P). 7. Установить взаимно однозначное соответствие между интервалом (0, 1) и отрезком [0, 1]. 8. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех иррациональных чисел и множеством действительных чисел. 9. Установить взаимно однозначное соответствие между точками открытого прямоугольника (a, b)  (c, d) и точками плоскости. 10. Установить взаимно однозначное соответствие между замкнутым единичным кругом и дополнением к нему.

11

11. Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом и замкнутым единичным кругом. 12. Доказать, что два множества, эквивалентные третьему, в частности, любые два счетных множества, эквивалентны между собой. 13. Доказать, что множество всех многочленов с целыми коэффициентами счетно. 14. Доказать, что мощность любого отрезка или полуотрезка равна мощности континуума. 15. Доказать, что множество всех точек плоскости RR имеет мощность континуума C. 16. Доказать, что если |A\B| = |B\A|, то |A| = |B|. 17. Доказать, что если A  B и |A| = |AC|, то |B| = |BC|. 18. Доказать с помощью теоремы Кантора – Бернштейна, что любой круг равномощен любому квадрату. 19. Доказать с помощью теоремы Кантора – Бернштейна эквивалентность плоскости и замкнутого квадрата на плоскости. 20. Какова мощность множества всех конечных десятичных дробей? 21. Какова мощность множества всех действительных чисел, заключенных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечную дробь отсутствует цифра 5? 22. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества E на прямой больше единицы, то множество E конечно или счетно. 23. Доказать следующие соотношения: a) если A  B, то intA  intB; b) для любых множеств A, B имеем int(AB) = (intA)  (intB). 24. Доказать следующие соотношения: a) если A  B, то clA  clB; b) для любых множеств A, B имеем cl(AB) = (clA)  (clB). 25. Доказать, что если множество A на прямой замкнуто и ограничено, то любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример. 26. Доказать, что внутренность любого множества есть наибольшее открытое множество, содержащееся в нем. 27. Доказать, замыкание каждого множества замкнуто. 28. Доказать, что R\clA = int(R\A), R\intA = cl(R\A). 29. Пусть E – множество иррациональных точек на отрезке [0,1]. Доказать, что для любого  > 0 найдется замкнутое множество F  E такое, что (E\F) < . 30. Доказать, что у любого множества на прямой положительной меры существует неизмеримое подмножество. 31. Верно, что объединение (пересечение) любого числа измеримых множеств есть множество измеримое? 32. Доказать, что всякое измеримое множество A положительной линейной меры имеет мощность континуум. 33. Каково строение и какова мера множества тех точек отрезка [0,1],

12

десятичное разложение которых невозможно без цифры 3? 34. Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречаются цифры 1 и 2. 35. Пусть G – открытое множество на прямой и (G) = 3. Доказать, что существует открытое множество H  G такое, что (H) = 2. 36. Доказать, что если функция f измерима на измеримом множестве E, то и функция |f| также измерима на E. 37. Доказать, что непрерывные на отрезке [a, b] функции эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. 38. Доказать, что любая монотонная на отрезке [a, b] функция измерима. 39. Доказать, что любая кусочно-монотонная на отрезке [a, b] функция измерима. 40. Доказать, что произведение функции Дирихле на произвольную функцию есть функция измеримая. 41. Доказать, что если {fn(x)} – ограниченная последовательность измеримых функций, то g(x) = sup fn(x) измерима. n

42. Доказать, что если функции f и g измеримы, то измеримы также функции f + g, f  g, f g. 43. Доказать, что если функция f измерима, то 1/f также измерима. 44. Пусть {fn} сходится по мере на E к функции f. Доказать, что если для всех n и всех x  E имеет место неравенство fn(x)  a, то почти всюду на E имеет место f(x)  a. 45. Вычислить интеграл Лебега  f ( x)d , если он существует, для E

функции f(x) = 46.

1

на множестве E = (0, 1).

xx Вычислить интеграл Лебега 2

 f ( x ) d ,

если он существует, для

E

2

x на множестве E = (4, 5). x4 47. Пусть x0 – точка метрического пространства X с метрикой . Доказать, что функция (x, x0) непрерывна на (X, ). 48. Доказать, что любое конечное множество точек метрического пространства является замкнутым. 49. Пусть дано полное метрическое пространство X с метрикой . Пусть отображение f из X в X таково, то для всех x, y  X существует   (0, 1), такое, что (f(x), f(y))   (x, y). Будет ли отображение f сжимающим? 50. Пусть дано непрерывное отображение f из полного метрического пространства X с метрикой  на все X таково, что существует   1, обладающее свойством: для всех x, y  X (f(x), f(y))   (x, y). Доказать, что существует и единственна неподвижная точка отображения f. функции f(x) =

13

Литература 1. И.П. Натансон. Теория функций вещественной переменной.  М.: ГИТТЛ, 1957.  552 С. 2. Ю.С. Очан. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного.  М.: Просвещение, 1965.  232 С. 3. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.  М.: Наука, 1968.  496 С. 4. А.Р. Данилин, Т.Ф. Филиппова, Р.Я. Яхин. Введение в математику. / Учебное пособие.  Екатеринбург: УрГПУ, 1995.  128 С. 5. В.И. Белугин, Т.Ф. Филиппова, Н.Г. Фомина. Основы теории функций действительного переменного. / Учебное пособие.  Екатеринбург: УрГПУ, 2003.  58 С. 6. О.Г. Вздорнова, И.А. Сушинцева, Н.В. Ткаленко. Индивидуальные задания по дисциплине «Теория функций действительного переменного». / Методическая разработка.  Екатеринбург: УрГПУ, 2005.  21 С.

14

Приложение Методические советы студентам Лекция. Как ее слушать и записывать 1. Лекция  основной вид обучения в вузе. 2. В лекции излагаются основные положения теории, ее понятия и законы, приводятся факты, показывающие связь теории с практикой. 3. Накануне лекции необходимо повторить содержание предыдущей лекции (а также теорию по изучаемой теме в школьных учебниках геометрии, если эта тема была представлена в них), а затем посмотреть тему очередной лекции по программе (по плану лекций). 4. Полезно вести записи (конспекты) лекций: для непонятных вопросов оставлять место при работе над темой лекции с учебными пособиями. 5. Записи лекций следует вести в отдельной тетради, оставляя место для дополнений во время самостоятельной работы. 6. При конспектировании лекций выделяйте главы и разделы, параграфы, подчеркивайте основное. Практическое занятие. Как к нему готовиться 1. Практическое занятие  наиболее активный вид учебных занятий в вузе. Он предполагает самостоятельную работу над лекциями и учебными пособиями. 2. К каждому практическому занятию нужно готовиться. Подготовку следует начинать с повторения теории (по записям лекций или по учебному пособию). После этого нужно решать задачи из предложенного домашнего задания. Организация самостоятельной работы 1. Бюджет времени студента определяется временем, отведенным на занятия по расписанию и на самостоятельную работу. Задание и материал для самостоятельной работы дается во время учебных занятий, на этих же занятиях преподаватель осуществляет контроль за самостоятельной работой. 2. Для выполнения объема самостоятельной работы необходимо заниматься в среднем 4 часа (академических) ежедневно, т.е. по 24 часа в неделю. На самостоятельную работу по каждой дисциплине по математике следует расходовать по 3-4 часа в неделю. 3. Начинать самостоятельные занятия следует с первых же дней семестра, установив определенный порядок, равномерный ритм на весь семестр. Полезно для этого составить расписание порядка дня. Как пользоваться материалами для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ а) б)

Материалы каждого занятия содержат: вопросы по теории (для самоконтроля); задачи для аудиторного и самостоятельного решения.

15

Задачи могут быть условно разбиты на три уровня: А  минимальный,В  нормальный, С  более высокий. Любую из задач уровня А должен уметь решать каждый студент, претендующий на минимальную положительную (удовлетворительную) оценку. Задачи уровня В и С должны уметь решать студенты, претендующие на оценки «хорошо» и «отлично», соответственно.

16

Учебно-методическое издание: Теория функций действительного переменного. Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета. Составители: Бодряков В.Ю.

17

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТФДП» (весенняя сессия 2006/2007 уч. г.) Гр. М301-М304 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

Понятие множества. Операции над множествами. Законы алгебры множеств. Ограниченные множества. Точные верхние и нижние грани числовых множеств. Понятие эквивалентности и счетности множеств. Объединение конечного и счетного семейства счетных множеств. Декартово произведение множеств. Мощность множеств. Сравнение мощностей. Множества мощности континуума. Несчетность множества действительных чисел. Теорема Кантора – Бернштейна. Построение мощностей, большей мощности данного множества. Построение взаимно-однозначных соответствий между различными множествами мощности континуум. Структура открытых и замкнутых множеств. Совершенные множества. Канторово совершенное множество. Лемма Гейне – Бореля. Алгебра множеств. Понятия кольца и полукольца множеств. Понятие меры множества на числовой прямой. Внешняя и внутренняя мера множества. Мера Лебега. Свойства меры Лебега. Критерий измеримости множества по Лебегу (необходимость). Критерий измеримости множества по Лебегу (достаточность). Измеримость объединения и пересечения счетного числа измеримых множеств. Измеримость открытых и замкнутых множеств. Понятие меры Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану. Свойства меры Жордана. Измеримость по Лебегу множества, измеримого по Жордану. Обобщение понятия меры. Понятие измеримых функций. Свойства измеримых функций. Понятие эквивалентности измеримых функций. Измеримость суммы, разности, произведения и частного двух измеримых функций. Последовательности измеримых функций. Сходимость почти всюду и по мере. Теоремы Егорова, Лузина и Фреше. Суммы Лебега и их свойства. Определение интеграла Лебега и его свойства. Полная аддитивность интеграла Лебега. Предельный переход под знаком интеграла Лебега. Теоремы Леви, Фату, Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега.

18

Экзаменационные билеты ---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 1 1. Понятие множества. Операции над множествами. 2. Критерий измеримости множества по Лебегу (необходимость). 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 2 1. Законы алгебры множеств. 2. Критерий измеримости множества по Лебегу (достаточность). 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 3 1. Ограниченные множества. Точные верхние и нижние грани множеств. 2. Измеримость объединения и пересечения счетного числа измеримых множеств. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

19 «___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 4 1. Понятие эквивалентности и счетности множеств. Объединение конечного и счетного семейства счетных множеств. 2. Измеримость открытых и замкнутых множеств. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 5 1. Декартово произведение множеств. 2. Понятие меры Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 6 1. Мощность множеств. Сравнение мощностей. Множества мощности континуума. 2. Свойства меры Жордана. 3. Задача.

20 Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 7 1. Несчетность множества действительных чисел. 2. Измеримость по Лебегу множества, измеримого по Жордану. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 8 1. Теорема Кантора – Бернштейна. 2. Обобщение понятия меры. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 9 1. Построение мощностей, большей мощности данного множества. 2. Понятие измеримых функций. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

21 «___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 10 1. Построение взаимно-однозначных соответствий между различными множествами мощности континуум. 2. Свойства измеримых функций. Понятие эквивалентности измеримых функций. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 11 1. Структура открытых и замкнутых множеств. 2. Измеримость суммы, разности, произведения и частного двух измеримых функций. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 12 1. Совершенные множества. Канторово совершенное множество. 2. Последовательности измеримых функций. 3. Задача.

22

Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 13 1. Лемма Гейне – Бореля. 2. Сходимость почти всюду и по мере. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 14 1. Алгебра множеств. Понятия кольца и полукольца множеств. 2. Теоремы Егорова, Лузина и Фреше. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 15 1. Понятие меры множества на числовой прямой. Внешняя и внутренняя мера множества. 2. Суммы Лебега и их свойства. 3. Задача.

23

Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 16 1. Мера Лебега. Свойства меры Лебега. 2. Определение интеграла Лебега и его свойства. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 17 1. Критерий измеримости множества по Лебегу (необходимость). 2. Полная аддитивность интеграла Лебега. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 18 1. Критерий измеримости множества по Лебегу (достаточность). 2. Предельный переход под знаком интеграла Лебега. 3. Задача.

24

Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 19 1. Измеримость объединения и пересечения счетного числа измеримых множеств. 2. Теоремы Леви, Фату, Лебега. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 20 1. Измеримость открытых и замкнутых множеств. 2. Сравнение интегралов Римана и Лебега. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 21 1. Понятие меры Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану. 2. Сравнение интегралов Римана и Лебега. 3. Задача.

25

Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 22 1. Понятие множества. Операции над множествами. 2. Предельный переход под знаком интеграла Лебега. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 23 1. Законы алгебры множеств. 2. Полная аддитивность интеграла Лебега. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 24 1. Понятие эквивалентности и счетности множеств. Объединение конечного и счетного семейства счетных множеств. 2. Определение интеграла Лебега и его свойства. 3. Задача.

26

Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

---------------------------------------------------------------------------------------------------Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Кафедра математического анализа Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного»

БИЛЕТ 25 1. Мощность множеств. Сравнение мощностей. Множества мощности континуума. 2. Суммы Лебега и их свойства. 3. Задача. Зав. кафедрой

В.Ю. Бодряков

«___» ________ 2007 г.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

27

ЗАДАЧА №1 Доказать дистрибутивность операций пересечения и объединения множеств: a) (AB)C = (AC)(BC); b) b) (AB)C = (AC)(BC).

---------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №2 Пусть A =



 An .

Представить множество A в виде объединения A =

n 1 

 Bn , так что BiBj =  при i  j и Bn  An для всех n.

n 1

---------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №3 Доказать справедливость равенств: a) (AB)\C = (A\C)(B\C); b) AB = (AB)  (AB).

---------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №4 Доказать справедливость формул де Моргана: X \  Ai = i

X\  Ai = i

(X

(X

\ Ai ) и

i

\ Ai ) .

i

----------------------------------------------------------------------------------------------------

28

ЗАДАЧА №5 Пусть A, B, C – подмножества некоторого множества X. Доказать, что: (X \ C) \ (X \ A)  A \ C.

---------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №6 Пусть A, B, C – подмножества некоторого множества X. Доказать, что: (X \ C) \ B) = X \ (C  B).

---------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №7 Пусть A, B, C – подмножества некоторого множества X. Доказать, что: A  B = A  (A  B).

---------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №8 Пусть A, B, C – подмножества некоторого множества X. Доказать, что: A \ B = A  (A  B).

---------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №9 Пусть A, B, C – подмножества некоторого множества X. Доказать, что: A  B = (X \ A)  (X \ B). ----------------------------------------------------------------------------------------------------

29

ЗАДАЧА №10 Пусть A, B, C – подмножества некоторого множества X. Доказать, что: A  (A  B) = B. ---------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №12 Пусть A, B, C – подмножества некоторого множества X. Доказать, что: A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №13 Пусть A, B, C – подмножества некоторого множества X. Доказать, что: A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №14 Доказать, что (A \ B)  C = (A  C) \ (B  C).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №15 Доказать, что если A  P и B  Q, то A  B = (A  Q)  (B  P).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

30

ЗАДАЧА №16 Установить взаимно однозначное соответствие между интервалом (0, 1) и отрезком [0, 1].

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №17 Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех иррациональных чисел и множеством действительных чисел.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №18 Установить взаимно однозначное соответствие между точками открытого прямоугольника (a, b)  (c, d) и точками плоскости.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №19 Установить взаимно однозначное соответствие между отрезком [0, 1] и всей числовой прямой R.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №20 Установить взаимно однозначное соответствие между множеством [0,1]  {2,3} и интервалом (0, 1).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

31

ЗАДАЧА №21 Установить взаимно однозначное соответствие между замкнутым единичным кругом и дополнением к нему.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №22 Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом и замкнутым единичным кругом.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №23 Установить взаимно однозначное соответствие между числовой прямой R и интервалом (0, 1).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №24 Установить взаимно однозначное соответствие между замкнутым единичным кругом и дополнением к открытому кругу.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №25 Установить взаимно однозначное соответствие между множествами [-1, 0] 

1 { : n = 1, 2, 3, …} и (0, 1). n ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

32

ЗАДАЧА №26 Доказать, что два множества, эквивалентные третьему, в частности, любые два счетных множества, эквивалентны между собой.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №27 Доказать, что множество всех многочленов с целыми коэффициентами счетно.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №28 Доказать, что мощность любого отрезка или полуотрезка равна мощности континуума.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №29 Доказать, что множество всех точек плоскости R  R имеет мощность континуума C. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №30 Доказать, что если | A \ B | = | B \ A |, то | A | = | B |.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №31 Доказать, что если A  B и | A | = | A  C |, то | B | = | B  C |.

33

ЗАДАЧА №32 Доказать с помощью теоремы Кантора – Бернштейна, что любой круг равномощен любому квадрату.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №33 Доказать с помощью теоремы Кантора – Бернштейна эквивалентность плоскости и замкнутого квадрата на плоскости.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №34 Какова мощность множества всех конечных десятичных дробей?

---------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №35 Какова мощность множества всех действительных чисел, заключенных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечную дробь отсутствует цифра 5?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №36 Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества E на прямой больше единицы, то множество E конечно или счетно.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

34

ЗАДАЧА №37 Доказать следующие соотношения: a) если A  B, то intA  intB; b) для любых множеств A, B имеем int(AB) = (intA)  (intB).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №38 Доказать следующие соотношения: a) если A  B, то clA  clB; b) для любых множеств A, B имеем cl(AB) = (clA)  (clB).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №39 Доказать следующие соотношения: a) если A  B, то clA  clB; b) для любых множеств A, B имеем cl(AB) = (clA)  (clB).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №40 Доказать, что если множество A на прямой замкнуто и ограничено, то любая последовательность точек из A имеет предельную точку в A. Привести пример.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №41 Доказать, что внутренность любого множества есть наибольшее открытое множество, содержащееся в нем.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

35

ЗАДАЧА №42 Доказать, замыкание каждого множества замкнуто.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №43 Доказать, что R \ clA = int(R \ A), R \ intA = cl(R \ A).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №44 Может ли равняться нулю мера множества, которое содержит хотя бы одну внутреннюю точку.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №45 Может ли равняться нулю мера множества, которое содержит хотя бы одну внутреннюю точку.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №46 Можно ли на отрезке [-1, 1] построить замкнутое множество, мера которого равна двум, но которое отлично от всего отрезка [-1, 1].

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

36

ЗАДАЧА №47 Пусть E – множество иррациональных точек на отрезке [0,1]. Доказать, что для любого  > 0 найдется замкнутое множество F  E такое, что (E\F) < .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №48 Доказать, что плоская мера любого множества на прямой, даже неизмеримого, равна нулю.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №49 Верно, что объединение (пересечение) любого числа измеримых множеств есть множество измеримое?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №50 Доказать, что всякое измеримое множество A положительной линейной меры имеет мощность континуум.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №51 Каково строение и какова мера множества тех точек отрезка [0,1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 3? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

37

ЗАДАЧА №52 Каково строение и какова мера множества тех точек отрезка [0,1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 3?

---------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №53 Найти меру Лебега множества тех чисел отрезка [0, 1], в десятичной записи которых не встречаются цифры 1 и 2.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №54 Пусть G – открытое множество на прямой и (G) = 3. Доказать, что существует открытое множество H  G такое, что (H) = 2.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №55 Каково строение и какова мера тех точек отрезка [0, 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 2?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №56 Доказать, что в каждом совершенном множестве подмножество меры нуль.

есть совершенное

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

38

ЗАДАЧА №57 Доказать, что если функция f измерима на измеримом множестве E, то и функция |f| также измерима на E.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №58 Доказать, что непрерывные на отрезке [a, b] функции эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №59 Доказать, что любая монотонная на отрезке [a, b] функция измерима.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №60 Доказать, что любая кусочно-монотонная на отрезке [a, b] функция измерима.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №61 Доказать, что произведение функции Дирихле на произвольную функцию есть функция измеримая.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

39

ЗАДАЧА №62 Доказать, что если {fn(x)} – ограниченная последовательность измеримых функций, то g(x) = sup fn(x) измерима. n

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №63 Доказать, что если функции f и g измеримы, то измеримы также функции f + g, f  g, f g.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №64 Доказать, что если функция f измерима, то 1/f также измерима.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №65 Пусть {fn} сходится по мере на E к функции f. Доказать, что если для всех n и всех x  E имеет место неравенство fn(x)  a, то почти всюду на E имеет место f(x)  a.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №66 Доказать, что характеристическая функция множества измерима тогда и только тогда, когда измеримо само множество.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

40

ЗАДАЧА №67 Вычислить интеграл Лебега

 f ( x ) d ,

если он существует, для

E

функции f(x) =

1 xx

2

на множестве E = (0, 1).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №68 Вычислить интеграл Лебега

 f ( x ) d ,

если он существует, для

E

2

функции f(x) =

x на множестве E = (4, 5). x4

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №69 Вычислить интеграл Лебега

 f ( x)d , если он существует, для функции f(x) = E

1 x x 2

на множестве E = (0, 1).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №70 Вычислить интеграл Лебега

 f ( x)d , если он существует, для функции f(x) = E

x 1 x

2

на множестве E = (0, 1).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ЗАДАЧА №71 Вычислить интеграл Лебега

 f ( x)d , если он существует, для функции f(x) = E

x x 1 2

на множестве E = (1, 2).