Электричество и магнетизм: Лабораторный практикум. Ч.II

Министерство образования Российской Федерации

УДК 537 Э45

Омский государственный университет

Рекомендован к изданию учебно-методической комиссией физического факультета ОмГУ

Э45

Электричество и магнетизм

Электричество и магнетизм: Лабораторный практикум. Ч. II / Сост.: М.П. Ланкина, С.А. Сычев, А.Б. Муравьев, Е.А. Белоусова, И.С. Позыгун. – Омск: Омск. гос. ун-т, 2004. – 32 с. Практикум включает 3 лабораторные работы. Материал подготовлен в соответствии с Государственным образовательным стандартом по специальности 010400 «Физика». Предназначен для студентов физического факультета. Может быть использован при обучении студентов других специальностей.

Лабораторный практикум Часть II (для студентов физического факультета)

УДК 537

Издание ОмГУ

© Омский госуниверситет, 2004

Омск 2004 1

2

Лабораторная работа № 1 Изучение электрических процессов в простых линейных цепях Цель работы: исследование коэффициента передачи и сдвига фаз между силой тока и напряжением в цепях, состоящих из последовательно соединенных: а) двух резисторов, б) резистора и конденсатора, в) резистора и катушки индуктивности. Приборы и материалы: осциллограф, низкочастотный генератор, источник питания, кассета ФПЭ-09, соединительные провода. При рассмотрении электрических процессов в цепях переменного тока следует иметь в виду, что существует два типа сопротивления: активное и реактивное. Последнее связано с наличием в цепи конденсаторов и катушек индуктивности. Соответственно различают реактивное емкостное и реактивное сопротивления. Реальные элементы цепи обычно обладают одновременно и активным, и реактивным сопротивлением. Если активное сопротивление много больше реактивного, то последним пренебрегают. Такой элемент цепи называют резистором. Существуют элементы цепи, обладающие только емкостным или только индуктивным сопротивлением. Элементы цепи, обладающие только одним типом сопротивления, называются идеальными. В некоторых случаях реальный элемент цепи можно представить как комбинацию из нескольких идеальных. Элементы электрических цепей подразделяют на линейные и нелинейные. Элемент называется линейным, если его сопротивление не зависит от силы протекающего тока или приложенного напряжения. Электрические цепи, составленные из линейных элементов, называют линейными. Электрические процессы, характеризующие такую цепь (рис. 1), описываются алгебраическими или дифференциальными уравнениями.

Пусть внешнее напряжение U изменяется по закону косинуса: U = U 0 ⋅ cos ω t (1) ( U – амплитуда, ω – циклическая частота колебаний напряжения). Оно равно сумме падений напряжений на каждом из элементов цепи R, L, C: U = U R + U L + UC (2) Здесь U R = I ⋅ R , U L = ∂I , U C = q (3) C ∂t где R – сопротивление резистора, L – индуктивность катушки, С – емкость конденсатора, q – заряд на пластинах конденсатора. Соотношение (2) с учетом (1) и (3) приводит к дифференциальному уравнению: U 0 ⋅ cos ωt = I ⋅ R + L ∂I + q , (4) ∂t C описывающему вынужденные колебания в цепи (рис. 1). Учитывая, что I = ∂q , получим уравнение: ∂t U q + 2 β ⋅ q + ω 02 ⋅ q = 0 ⋅ cos ωt , (5) L где β = R 2 L , ω 02 = 1 LC . Уравнение (5) совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний. Решение уравнения имеет вид q = qm ⋅ cos(ωt − ψ ) , (6) U0 L 2 βω , tgψ = 2 . где qm = 2 2 2 2 2 2 ω 0 −ω (ω 0 − ω ) + 4 β ω Подстановка значений ω 02 и β дает U0 qm = ω R 2 + [ωL − 1 ωC ]2

(7)

R (8) 1 (ωC ) − ωL Продифференцировав (6) по времени, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях и запишем это уравнение в виде I = I 0 ⋅ cos(ωt − ϕ ) , (9) где ϕ = ψ − π 2 есть сдвиг по фазе между током и напряжением. tgψ =

Рис. 1 3

4

Отсюда следует

π⎞ 1 ωL − 1 (ωC ) ⎛ = tgϕ = tg ⎜ψ − ⎟ = − . 2⎠ tgψ R ⎝ Согласно (7) получаем выражение для I 0 : I 0 = ωqm =

U0

R 2 + [ωL − 1 (ωC )]

2

.

(10)

(11)

Сила тока отстает по фазе от напряжения на угол ϕ, который зависит от параметров цепи и частоты (10). Если ϕ < 0, то происходит опережение силы тока от напряжения по фазе и наоборот. Выражение Z=

R 2 + (ωL − 1 ωC ) , 2

(12)

стоящее в знаменателе формулы (11), называется полным электрическим сопротивление цепи или импедансом. Рассмотрим частные случаи: 1. Цепь содержит только активное сопротивление (L=0, C=∞). Тогда U Z = R , I0 = 0 , ϕ = 0 . (13) R 2. Цепь содержит только индуктивное сопротивление (R=0, С=∞). Тогда U π Z = ωL , I 0 = 0 , ϕ = , (14) ωL 2 то есть сила тока в индуктивном сопротивлении отстает от напряжения на угол π/2. Величина X L = ωL – реактивное индуктивное сопротивление. Если L выразить в генри, ω – в с-1, то XL будет выражено в омах. Индуктивное сопротивление зависит от частоты протекающего через элемент тока (рис. 2а). 3. Цепь содержит только конденсатор (R=L=0). Тогда 1 π , I 0 = U 0 ⋅ ωC , ϕ = − , (15) Z= ωC 2 то есть сила тока, текущего в цепи, опережает напряжение на конденсаторе на угол π/2. Величина X C = 1 ωC – реактивное емкостное сопротивление. Если С выразить в фарадах, ω – в с-1, то XС будет выражено в омах. Емкостное сопротивление зависит от частоты протекающего в цепи тока (рис. 2б).

5

а

б Рис. 2

4. Активное сопротивление R=0, но C≠0, L≠0, тогда Z = ωL − 1 ωC , I 0 =

Величина

U0 . (ωL − 1 ωC )

(16)

X = X L − X C = ωL − 1 ωC

(17) – полное реактивное сопротивление. Формулы (10) и (12) с учетом (17) записывается в виде tgϕ = X , (18) R Z = R2 + X 2

(19) В работе исследуются электрические процессы в цепях, составленных из последовательно соединенных элементов: а) двух резисторов с сопротивлениями R1 и R2 (цепь RR, рис. 3а); б) резистора R2 и конденсатора С (цепь RC, рис. 3б; в) резистора R2 и катушки индуктивности L (цепь RL, рис. 3в). Напряжение U на входе равно ЭДС генератора; элементы R1, R2, L, C, предполагаются идеальными, а электрические процессы достаточно медленными τ «T, где Т – характерное время изменения напряженности электрического поля, τ – время распространения электромагнитного возмущения вдоль цепи. Электрические цепи характеризуются коэффициентом передачи К, представляющим собой отношение амплитуды напряжения U1 на выходе цепи к амплитуде напряжения U0 на входе: K = U1 U 0 . (20) 6

Напряжение U1 на выходе цепи равно падению напряжения на резисторе R2: U1 = I ⋅ R2 , (21) то есть прямо пропорционально силе тока I в цепи и находится в одинаковой фазе с ним. С учетом (21) формула (20) принимает вид I ⋅R (22) K= 0 2 . U0 Из (22) следует, что для изменения сдвига фаз между силой тока I в цепи и входным напряжением U0 достаточно измерить сдвиг фаз между напряжениями U1 и U0. Для схем, изображенных на рис. 3, найдем аналитический вид выражений для коэффициента передачи К и угла сдвига фаз φ. Для этого воспользуемся формулами (11), (18) и (22), подставляя в них соответствующие каждой схеме сопротивления, напряжения и силы токов.

tgϕ = −

1 , R2 ⋅ ωC R2

K=

(27) .

(28)

3. Цепь RL (R=R2, XL=ωC, XC=0): U0 I0 = , 2 R2 + (ωL) 2

(29)

R22 + (1 ωC ) 2

tgϕ = K=

ωL R2

,

R2 R22 + (ωL) 2

(30) .

(31)

Описание установки Принципиальная схема установки представлена на рис. 4.

а

б

в

Рис. 3 1. Цепь RR (R=R1+R2, XL=XC=0): U0 , I0 = ( R1 + R2 ) ϕ =0, R2 . K= ( R1 + R2 ) 2. Цепь RC (R=R2, XL=0, XC=1/ωC): U0 , I0 = 2 R2 + (1 ωC ) 2

7

(23)

Рис. 4

(24)

Установка состоит из кассеты ФПЭ-09, генератора PQ, осциллографа PO, источника питания ИП. В кассете ФПЭ-09 собраны элементы цепей, входящие в состав изучаемых электрических схем (рис. 5). В ней находится также коммутатор А. Напряжение U0 со входа изучаемой цепи подается на вход ВХ.1 коммутатора, а напряжение U1 с выхода изучаемой цепи – на вход ВХ.2 коммутатора. С выхода коммутатора исследуемые напряжения подаются на вход Y осциллографа. Коммутатор с достаточно высокой частотой подает на вход осциллографа то напряжение U0, то U1. Поэтому на эк-

(25)

(26)

8

ране однолучевого осциллографа можно одновременно наблюдать оба сигнала. Для получения устойчивого изображения осуществляется синхронизация изучаемых сигналов входным напряжением, для чего с синхронизации гнезда Х кассеты ФПЭ-09 подается сигнал на гнездо осциллографа. Генератор PQ является источником гармонической ЭДС. Осциллограф PO служит для измерения амплитуды напряжения на входе цепи и амплитуды напряжения на ее выходе, а также для измерения угла сдвига фаз между силой тока в цепи и входным напряжением. Источник питания ИП предназначен для питания схемы коммутатора. Питание генератора PQ, осциллографа PO и источника питания ИП осуществляется от цепи переменного тока 220 В; питание коммутатора А осуществляется от источника питания ИП 12 В.

4. Рассчитайте коэффициент передачи по формуле (20). 5. Определите сопротивление резистора R1, используя формулу (25). (R2=100 Ом). 6. Данные измерений и вычислений занесите в таблицу 1. Таблица 1 U0, В

U1, В

К

R1, Ом

Задание 2. Изучение электрических процессов в цепи, содержащей резистор и конденсатор. 1. Замкните с помощью кнопочного переключателя С на панели кассеты ФПЭ-09 ветвь, содержащую резистор С. 2. Зарисуйте колебания, наблюдаемые на экране осциллографа при частоте 20 кГц. 3. Определите угол сдвига фаз между силой тока в цепи и входным напряжением. Для этого измерьте в делениях шкалы экрана осциллографа сдвиг фаз по времени между изображениями двух исследуемых сигналов (а) и период колебаний входного сигнала (б) (рис. 6). Разность фаз рассчитайте по формуле a ϕ = ⋅ 360 0 (32) b 4. Повторите задания п. 2, 3 при частоте 100 кГц.

Рис. 5 Задание 1. Изучение электрических процессов в цепи, содержащей два резистора. 1. Замкните с помощью кнопочного переключателя R на панели кассеты ФПЭ-09 ветвь, содержащую резистор R1. 2. Зарисуйте колебания, наблюдаемые на экране осциллографа при частоте 20 кГц. Убедитесь, что угол сдвига фаз между силой тока в цепи и входным напряжением равен нулю. 3. Произведите измерения амплитуд напряжений на входе и выходе цепи. Для этого измерьте амплитуду каждого сигнала в делениях шкалы и умножьте полученные значения на цифровую отметку показателя переключателя «Вольт/дел». 9

Рис. 6

10

5. По методике, описанной в п. 3 задания 1, произведите измерения амплитуд напряжений на входе и выходе цепи при значениях частоты генератора PQ от 20 до 100 кГц. 6. Рассчитайте коэффициент передачи К цепи по формуле (20) для всего исследуемого диапазона частот. Постройте график зависимости K=f(ν). 7. С помощью графика зависимости K=f(ν) оцените емкость конденсатора. Для этого нужно воспользоваться линейным участком графика, который в соответствии с формулой (28) при относительно низких частотах (R2«1/ωC)2 хорошо описывается зависимостью: K = 2π ⋅ R 2 ⋅ ν C . Определив тангенс угла наклона α линейного участка к оси ν, оцените емкость С по формуле C = tgα /( 2π ⋅ R2 ) . 8. По формуле (27) рассчитайте разность фаз φ при двух значениях частоты генератора: 20 и 100 кГц. Сравните результаты расчета с результатами непосредственного измерения угла φ (п. 3, 4). 9. Данные измерений и вычислений занесите в таблицу 2. Таблица 2 ν, Гц U0, В

U1, В

К С, Ф а, дел b, дел φизм, град φрасч, град

5. По методике, описанной в п. 3 задания 1, произведите измерения амплитуд напряжений на входе и выходе цепи при значениях частоты генератора PQ от 20 до 100 кГц. Частоту генератора менять с интервалом 10 кГц. 6. Рассчитайте коэффициент передачи К цепи по формуле (20) для всего исследуемого диапазона частот. Постройте график зависимости K=f(1/ν). 7. С помощью графика зависимости K=f(1/ν) оцените индуктивность катушки. Для этого нужно воспользоваться линейным участком графика, который в соответствии с формулой (31) при относительно выR соких частотах (R2«ωL)2 хорошо описывается зависимостью: K = 2 . 2πνL Определив тангенс угла наклона α линейного участка к оси 1/ν, R2 оцените индуктивность катушки L по формуле L = . 2π ⋅ tgα 8. По формуле (30) рассчитайте разность фаз φ при двух значениях частоты генератора: 20 и 100 кГц. Сравните результаты расчета с результатами непосредственного измерения угла φ (п. 3, 4). 9. Данные измерений и вычислений занесите в таблицу 3. Таблица 3 ν, кГц 1/ν, кГц U0, В U1, В К С, Ф а, дел

Задание 3. Изучение электрических процессов в цепи, содержащей резистор и конденсатор.

b, дел

φизм, град

φрасч, град

Контрольные вопросы

1. Замкните с помощью кнопочного переключателя L на панели кассеты ФПЭ-09 ветвь, содержащую резистор L. 2. Зарисуйте колебания, наблюдаемые на экране осциллографа при частоте 20 кГц. 3. Определите угол сдвига фаз между силой тока в цепи и входным напряжением. Для этого измерьте в делениях шкалы экрана осциллографа сдвиг фаз по времени между изображениями двух исследуемых сигналов (а) и период колебаний входного сигнала (б) (рис. 6). Разность фаз рассчитайте по формуле (32). 4. Повторите задания п. 2, 3 при частоте 100 кГц.

1. Дайте определение простых линейных цепей. Какие типы сопротивлений встречаются в цепях переменного тока? Как зависят реактивные сопротивления от частоты протекающего через них тока? 2. Линейная электрическая цепь состоит из последовательно включенных R, L, C и источника напряжения. Выведите выражения для силы тока в контуре, сдвига фаз между током и напряжением, импеданса цепи. Рассмотрите частные случаи, когда цепь содержит: а) только реактивное сопротивление, б) только емкостное сопротивление, в) только индуктивное сопротивление.

11

12

3. Дайте определение коэффициента передачи цепи по напряжению. Получите выражения для силы тока в контуре, сдвига фаз между током и напряжением, коэффициента передачи для случаев. Когда линейная цепь состоит из: а) двух резисторов, б) емкости и резистора, в) индуктивности и резистора. 4. Как следует определять tgα в п. 7 задания 2 и п. 7 задания 3? Можно ли для этих целей использовать транспортир? Литература 1. Практикум по физике: Электричество и магнетизм / Под ред. Ф.А. Николаева. М.: Высш. шк., 1991. 2. Савельев И.В. Курс общей физики: Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1982. Т. 2. П. 31, 33, 34, 35, 91, 92. 3. Сивухин Д.В. Общий курс физики: Электричество. М.: Наука, 1977. Т. 3. П. 40–43, 129.

Лабораторная работа № 2 Изучение распространения электромагнитных волн вдоль проводов. Определение длины и частоты электромагнитной волны с помощью электрической двухпроводной линии Цель работы: изучить механизм распространения электромагнитных волн вдоль проводов, провести экспериментальное исследование двухпроводной линии (линии Лехера) и с ее помощью определить длину и частоту электромагнитной волны. Приборы и материалы: генератор УКВ незатухающих колебаний, источник питания (УИП), двухпроводная линия с индуктивной связью, контактный мостик с неоновой лампой, контактный мостик с лампой накаливания. 1. Распределенные системы Рассмотрим системы, в которых емкость и индуктивность распределены непрерывно. Распределенные системы можно рассматривать как предельный случай системы с сосредоточенными емкостями и индуктивностями (рис. 1).

13

L

L

С

С

L

L

С

С

Рис. 1 Действительно, представим себе, что в контуре, изображенном на рис. 1, неограниченно увеличивается число звеньев и, соответственно, уменьшается величина индуктивности (L) и емкости (С) каждого звена. Тогда в пределе получается двухпроводная линия, в которой индуктивность и емкость непрерывно распределены по всей длине. В механике ей соответствует резиновый шнур или струна с непрерывно распределенными массой и упругостью. Число степеней свободы струны равно бесконечности, и поэтому в ней возможно бесконечное количество собственных колебаний. То же самое и в электрических распределенных системах: количество различных собственных колебаний в таких системах равно бесконечности. Из механики известно, что колебательные движения струны (как и всякой механической распределенной системы) представляют собой механические волны. Различные собственные колебания ограниченной струны – это возможные в струне стоячие волны. Аналогично электрические колебания в распределенных электрических системах представляют собой электромагнитные волны, а собственные колебания в таких системах – это возможные в двухпроводной линии стоячие волны. 2. Механизм распространения электромагнитного импульса вдоль проводов Представим двухпроводную линию, неограниченно простирающуюся в обе стороны, и предположим, что источник переменного тока создает в какой-либо точке линии 0 (рис. 2) электрическое поле Е. Опыт показывает, что электрическое поле распространяется вдоль линии. Каков же механизм распространения поля?

14

i

i

тающее электрическое поле E1 вызовет появление магнитного поля B1 .

i

Из рис. 2 видно, что поле E1 в точке 0 направлено противоположно по-

Е1

Е B +

лю E , а значит, будет уничтожать это поле, a B1 будет уничтожать поле

B1 +

0 Рис. 2 Способ передачи электрического поля заключается в возникновении токов проводимости. Однако наряду с этим существует и другой процесс передачи поля, который в очень многих явлениях играет главную роль. Он был открыт Максвеллом и состоит в распространении электромагнитных волн. Рассмотрим это явление качественно. По теории Максвелла, изменяющееся электрическое поле вызывает появление магнитного поля. Величина и направление этого магнитного поля соответствуют полю, созданному током с плотностью dD dE = ε0 jсм = dt dt (принято ε=1). Так как вектор D иногда называют электрическим смещением, то величина jсм названа плотностью тока смещения. Несмот-

B . Поэтому первоначальное поле E и вызванное им поле B исчезнут, но зато появятся поля E1 и B1 в соседней точке линии I (рис. 3). Дальше

аналогично. Возрастающее поле B1 вызовет появление вихревого электрического поля Е2 , а оно, увеличиваясь, приведет к возникновению магнитного поля B2 . Поля Е2 и B2 уничтожают поля E1 и B1 в точке 1 и появляются в соседней точке 2, еще более удаленной от первоначального возмущения (рис. 3). Поэтому электрические и магнитные поля, взаимно превращаясь и поддерживая друг друга, будут распространяться вдоль линии. Этот процесс подобен распространению механического импульса вдоль резинового шнура или струны и поэтому называется распространением электромагнитного импульса. i Е2

Е1 B1

B2

Е2

υ

+

ря на то что jсм не связана с движением электрических зарядов, ее называют плотностью тока, так как она имеет характерное свойство тока – способность порождать магнитное поле. Пусть поле E увеличивается, то есть dE dt > 0 и направление тока смещения i совпадает с направлением E . Применяя правило буравчика, находим, что магнитное поле B направлено так, как показано на рис. 2. Согласно теории Максвелла, изменяющееся магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля. Поэтому в следующий момент времени возникает электрическое поле E1 . Оно будет направлено так же, как индукционный ток, который возник бы в замкнутом проводнике под действием возрастающего поля B (рис. 2). Возрас-

Из рис. 2 видно, что направления полей E и B перпендикулярны друг другу и скорости распространения волны υ . E ⊥ B ⊥ υ , т. е. эти три вектора связаны правилом буравчика. Таким образом, существуют два различных способа передачи поля: с помощью токов проводимости и при помощи токов смещения (электромагнитных волн). Если быстрота изменения полей мала (малые частоты), то токами смещения можно пренебречь по сравнению с токами проводимости. В этом случае электрические явления существенно зависят от сопротивления линии. Если же поля изменяются быстро

15

16

1

Рис. 3

(большие частоты), то основную роль играют токи смещения. При этом основные процессы происходят между проводами в окружающей среде, и электрические явления практически не зависят от свойств материала проводов. 3. Электромагнитные волны Для количественного описания распространения волны предположим, что в точке 0 (рис. 4) безграничной линии электрическое поле изменяется по гармоническому закону: E = E0 sin ωt .

–

+

+

–

λ

–

+

0 x

4. Стоячие электромагнитные волны

Рис. 4 Учитывая, что электромагнитные колебания распространяются со скоростью υ , в точке x колебания будут запаздывать относительно колебаний в 0 на время распространения импульса τ = x υ . Следовательно, колебания электрического поля в точке x будут: ⎛ x⎞ (1) E = E0 sin ω ⎜ t − ⎟ . ⎝ υ⎠ Поскольку максимумы электрического поля при распространении электромагнитного импульса совпадают с максимумами магнитного поля, колебания магнитного поля в точке 0 будут B = B0 sin ωt , а в точке x ⎛ x⎞ B = B0 sin ω ⎜ t − ⎟ . ⎝ υ⎠

17

Формулы (1) и (2) называются уравнениями волны. Мгновенное распределение электрических и магнитных полей в электромагнитной волне изображено на рис. 4. Расстояние между двумя точками, колебания которых отличаются по фазе на 2π (например, между соседними максимумами рис. 4), есть длина электромагнитной волны λ. Она равна расстоянию, на которое распространяется волна за время одного периода колебания Т, то есть λ = υT . (3) Пользуясь соотношением (3) и учитывая, что ω = 2π T , уравнения волны (1) и (2) можно записать в следующем виде ⎛ t x⎞ E = E0 sin 2π ⎜ ∓ ⎟ = E0 sin (ω t ∓ k x ) , (4) ⎝T λ ⎠ где k = 2π λ (волновое число). Знак «–» соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси Х, а знак «+» – в отрицательном направлении оси Х. подобная формула будет справедлива и для магнитного поля. Написанные формулы верны при условии, что сопротивление линии равно нулю. Их можно приближенно применять и для реальной линии, если рассматривать лишь участок линии такой длины, что затухание волны на нем незначительно.

Распространяющиеся электромагнитные волны возникают в очень длинных линиях, которые можно рассматривать как неограниченные. Во многих случаях, однако, приходится иметь дело с короткими линиями, на длине которых укладывается сравнительно небольшое число длин волн. В этих случаях существенно отражение электромагнитных волн от концов линии. Отраженные волны складываются между собой и с первоначальной волной, в результате чего возникают более сложные формы электромагнитных колебаний – стоячие электромагнитные волны, подобные стоячим механическим волнам в упругом шнуре или струне.

(2)

18

l

0

x

Точки, где Еa обращается в нуль, называют узлами электрического поля. При этом ϕ π 3π π π λ kxn − = , , , (2n + 1) ; ∆x = = . (11) 2 2 2 2 k 2 Расстояние между соседними узлами такое же, как и между пучностями, и равно половине длины волны λ 2 . Рис. 6 поясняет характер колебаний поля в стоячей электромагнитной волне.

Рис. 5 Пусть в точке 0 (рис. 5) возбуждается электромагнитная волна E1 = E0 sin (ω t − kx ) . (5) Считая, что волна отражается полностью, колебания поля отраженной волны в той же точке х можно представить формулой E 2 = E0 sin (ω t + kx − ϕ ) . (6) Введение сдвига фазы ϕ вызвано двумя причинами. Во-первых, до возвращения в точку 0 волна должна дважды пройти всю длину l, отчего возникает отставание по фазе на 2π ⋅ 2l λ . Во-вторых, возможно изменение фазы колебаний при самом отражении. Складываясь, обе волны дают результирующее поле: ϕ⎞ ϕ⎞ ⎛ ⎛ E = E1 + E2 = E0 [sin (ω t − kx ) + sin (ω t + kx − ϕ )] = 2 E0 cos⎜ kx − ⎟ ⋅ sin ⎜ ω t − ⎟ . (7) 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝

Формула (7) показывает, что в линии будут происходить гармонические колебания поля с частотой ω и начальной фазой – ϕ 2 . Однако амплитуда этих колебаний ϕ⎞ ⎛ E a = 2 E0 cos ⎜ kx − ⎟ (8) 2⎠ ⎝ зависит от координаты х и поэтому различна в разных точках линии. Точки, где Еa максимальна, называются пучностями электрического поля. При этом ϕ kxn − = 0, π , 2π ,…, nπ (9) 2 или k∆x = π , где ∆x – расстояние между двумя соседними пучностями. Так как k = 2π λ , то ∆x = λ 2 . (10)

Пучность

λ/2 2Ea

x λ/2 Узел

Рис. 6 Теперь рассмотрим магнитное поле. В распространяющихся электромагнитных волнах фазы колебаний E и B совпадают (рис. 4). В стоячей волне это уже не имеет места (пучности E не совпадают с пучностями B ). Причина этого несовпадения в том, что при отражении электромагнитной волны от конца линии происходит изменение фазы колебаний одного из векторов E или B (рис. 7 поясняет этот процесс: а – падающая волна, б и в – разные случаи отраженной волны).

Е υ

υ

B

B a

B

Е

в

б Рис. 7

19

υ

Е

20

Изменение фазы E или B при отражении можно строго обосновать при помощи уравнений Максвелла. Однако мы ограничимся более простыми качественными рассуждениями. А. Пусть линия на конце разомкнута. В этом случае провода граничат с диэлектриком, амплитуда тока будет равна нулю. То есть здесь будет узел тока, а значит, и узел магнитного поля B . Следовательно, магнитное поле в отраженной волне противоположно полю падающей волны, т. е. оно изменяет фазу на π. При этом электрическое поле E в отраженной волне направлено так же, как и в падающей. Б. Если линия замкнута на конце проводящим мостиком, то будет происходить обратное. Так как концы проводов замкнуты, то напряжение между ними будет всегда равно нулю и на конце линии будет расположен узел напряжения и электрического поля E . Напротив, амплитуда тока в проводящем мостике будет наибольшая, и на конце линии образуется пучность тока, а следовательно, и поля B . Таким образом, в стоячей электромагнитной волне узлы электрического поля (напряжения) совпадают с пучностями магнитного поля (тока) и наоборот (рис. 8).

Для того, чтобы в двухпроводной линии могли возникнуть стоячие волны, длина электромагнитной волны должна иметь определенные значения, зависящие от длины линии. 1) Рассмотрим линию длиной l и предположим, что она разомкнута на обоих концах. Из пункта 4 известно, что на концах такой линии всегда должны быть расположены пучности напряжения (электрического поля) и узлы тока (магнитного поля). Поэтому в линии будут возможны только такие стоячие волны, которые удовлетворяют этим условиям на границе. А для этого необходимо, чтобы длина волны λ удовлетворяла соотношению: 21

υ

n (n = 1,2,3,…) (13) 2l Формулы (11) и (12) мы получим и в том случае, если оба конца линии будут замкнуты проводящим мостиком. Различие будет заключаться лишь в том, что во втором случае на концах линии будут находиться узлы напряжения (а не пучности) и пучности тока (вместо узлов). 2) Пусть линия замкнута мостиком на одном из концов. В этом случае на разомкнутом конце линии всегда будет находиться пучность напряжения (и узел тока), а на замкнутом – узел напряжения (и пучность тока). Следовательно, стоячие волны, возможные в такой линии, должны удовлетворять условию:

νn =

l = (2n − 1)

λ

(n = 1,2,3…) 4 Так как λ = υ ν , то частота этих стоячих волн равна

(14)

υ

(2n − 1) (n = 1,2,3,…) (15) 4l Сравнивая (12) и (14), видим, что при замыкании одного из концов линии частота основного колебания (при n=1) уменьшается в два раза. Таким образом, в ограниченной двухпроводной линии возможны только определенные стоячие волны, которые удовлетворяют условию на границах линии. Эти стоячие волны и есть собственные колебания линии, иначе называемые нормальными колебаниями. Чтобы возбудить в линии одно из собственных колебаний, генератор, питающий линию, должен иметь частоту, совпадающую с одной из собственных частот линии ν n . Если же это условие не будет выполнено, то различные волны, отраженные от концов линии, складываясь друг с другом (интерферируя), дадут изменяющиеся сложные колебания, а устойчивой стоячей волны не получится. νт =

Рис. 8

λ

n (n = 1,2,3, …) . (12) 2 Или поскольку υ = ν n λ , то из выражения (11) можно найти частоты ν n различных стоячих волн: l=

Порядок выполнения работы 1. Включить источник питания. 2. Настроить двухпроводную линию на образование стоячих волн. Для этого наложить на провода в конец линии мостик с лампочкой на22

каливания и медленно вести его вдоль линии. Свечение лампочки укажет, что стоячие волны установились. Добиться наиболее яркого горения лампочки и заметить положение мостика в этом случае. Таким же образом найти место нахождения 2-й, 3-й и т. д. пучностей поля. 3. Измерить расстояние между соседними пучностями поля, т. е. точками наибольшей яркости свечения индикатора. Измерение повторить несколько раз. 4. Определить длину стоячей электромагнитной волны. 5. Полагая, что скорость распространения электромагнитных волн в вакууме равна скорости света, рассчитать частоту электромагнитных волн. 6. Данные записать в таблицу, рассчитать погрешности. № 1 2 3

l1-2

l2-3

l3-4

lсред.

λ, м

ν, кГц

∆λ

∆ν

7. Повторить пункты 2–6 для мостика с неоновой лампой. Контрольные вопросы 1. Что такое распределение системы? 2. Чему равно число нормальных колебаний распределенной системы? 3. Каков механизм распространения электромагнитных волн в двухпроводной линии? 4. Каков механизм возникновения стоячих волн в линии Лехера? 5. В каком случае изменяют фазу при отражении векторы E и B ? 6. Какая картина будет наблюдаться, если в линию Лехера подать колебания различных частот? 7. Пучности какого поля (электрического или магнитного) указывает лампа накаливания; неоновая лампа? Литература

Лабораторная работа № 3 Изучение законов электролиза Фарадея Цель работы: изучить процессы, протекающие при электролизе растворов солей, получить практические результаты и сравнить с вычисленными по законам Фарадея, сделать выводы. Приборы и материалы: электролизная ячейка из химически стойкого полимера, медный катод и анод, соединительные провода, амперметр, секундомер, технохимические весы. Сущность процессов электролиза Пусть в цепь электрического тока включен сосуд с раствором какого-либо электролита, например HCl. Тогда произойдет явление, называемое электролизом (см. рис. 1). Вследствие работы источника тока электроны с одного электрода (анода) будут «выкачиваться», а на другой (катод) – «накачиваться». Поэтому на аноде создается недостаток электронов, а на катоде – их избыток. Находящиеся в растворе ионы Cl– отталкиваются отрицательным электродом и притягиваются к положительному, а ионы H+ – наоборот. катод

–

CL2

Н2

Н Н+

H CL Н+CL

анод

+

CL –

CL

Рис. 1

1. Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука, 1977. § 229–234. 2. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. М.: Высш. шк., 1983. § 57. 3. Сивухин Д.В. Электричество. М.: Наука, 1977. § 143.

Таким образом, первые будут двигаться к аноду, вторые – к катоду. В связи с этим отрицательно заряженные ионы называют анионами (движущимися к аноду), а положительно заряженные – катионами – (движущимися к катоду). При подходе к аноду ионов Cl от них отнимается по одному электрону и они превращаются в нейтральные атомы.

23

24

Два таких атома соединяются затем в молекулу и выделяются в виде газообразного хлора. Одновременно катод, содержащий избыток электронов, отдает подошедшим ионам водорода H+ электроны и переводит их в нейтральные атомы. Два таких атома образуют молекулу, и газообразный водород улетучивается из сосуда. Таким образом, при пропускании электрического тока сквозь раствор или расплав электролита у электродов протекают следующие процессы: а) у анода – превращение анионов в нейтральные атомы (или группы атомов) с отдачей электронов; б) у катода – превращение катионов в нейтральные атомы (или группы атомов) с отдачей электронов. И то, и другое прекращается лишь тогда, когда израсходуется весь электролит. Таким образом, сущность процесса электролиза состоит в осуществлении химических реакций за счет электрического тока. Если вместо раствора HCl взять, например, раствор CuCl2, то процесс у анода останется тем же, тогда как на катоде будет выделяться уже не водород, а металлическая медь. На этом основан метод электролитического покрытия одного металла слоем другого (для никелирования, золочения, хромирования и т. д.). Несколько иначе пойдет процесс, если электролиз CuCl2 проводить с медным анодом. Так как атомы меди теряют электроны легче, чем ио– ны хлора Cl , в этом случае вместо выделения хлора будет происходить переход с анода в раствор ионов Cu2+. Электролиз сведется, следовательно, к растворению меди на аноде и ее выделению на катоде. Такой процесс позволяет путем электролиза производить очистку металлов. Процессы электролиза расплавов и растворов различных веществ очень широко используются в промышленности для получения самых различных соединений: металлов, газов, солей. Электролиз используется и в аналитической химии, как один из самых мощных методов разделения анализируемых элементов. В зависимости от химической активности того или иного элемента переход его из атомного состояния в ионное происходит с различной легкостью. Следовательно, и наоборот – необходимые напряжения для перевода различных ионов в нейтральные атомы напряжения электрического тока должны быть различными. Например, сравнительная активность металлов очень хорошо иллюстрируется рядом напряжений. Последний в основных чертах имеет следующий вид: .....K.....Ca.....Mg.....Zn.....Fe.....Sn.....H.....Cu.....Ag.....Au.....

Ниже приводятся важнейшие следствия из ряда напряжений: 1) каждый металл способен вытеснять из солей все другие, расположенные в ряду напряжений правее него; 2) все металлы, расположенные левее водорода, могут вытеснять его из кислот, расположенные правее – не вытесняют; 3) чем дальше друг от друга расположены два металла, тем большее напряжение может давать построенный из них гальванический элемент. Чем левее стоит в ряду напряжений металл, тем труднее выделить его из раствора при электролизе. На различии напряжений, требующихся для осаждения отдельных металлов, основаны некоторые важные методы их разделения. Если, например, имеется раствор смеси солей Zn и Cu, то при соответствующем регулировании напряжения медь осядет на электроде, а цинк останется в растворе. Итак, для перевода отдельных ионов в нейтральные атомы требуется различное напряжение тока, величина которого зависит от химической природы иона. Гораздо проще отношения, наблюдающиеся для затрачиваемого при электролизе количества электричества. Каждый однозарядный ион, независимо от его химической природы, получает или отдает при этом один электрон, двухзарядный – два и т. д. Следовательно, для разложения и выделения в элементарном состоянии одного грамм-иона любого одновалентного элемента нужно затратить одинаковое количество электричества, для грамм-иона двухвалентного – вдвое большее и т. д. Соотношение становится еще более общим, если перейти к эквивалентным весам, так как в этом случае отпадают различия, связанные с зарядами ионов. Законы электролитической проводимости были экспериментально установлены Фарадеем в 1836 г. Этих законов два. Первый закон Фарадея относится к связи между количеством выделившегося на электроде вещества, силой тока и временем прохождения тока через электролит. Этот закон имеет следующий простой смысл: масса выделившегося на электроде вещества M пропорциональна силе тока I и времени его прохождения t: M=kIt, (1) где k – коэффициент пропорциональности, зависящий только от рода выделившегося вещества и состава электролита. Произведение силы тока I на время t представляет собой количество электричества Q, прошедшее через электролит: I ⋅ t = Q ,

25

26

откуда первому закону Фарадея можно придать вид: M = kQ , то есть масса выделившегося вещества M пропорциональна прошедшему через электролит количеству электричества Q. Коэффициент k называется электрохимическим эквивалентом выделяемого вещества. При Q =1 численно имеем M = k, то есть электрохимический эквивалент численно равен массе вещества, выделившегося при прохождении через электролит единицы количества электричества. Второй закон Фарадея определяет величину электрохимического эквивалента k. Прежде чем формулировать второй закон Фарадея, напомним некоторые химические характеристики вещества. Химическим эквивалентом элемента называется безразмерная величина, численно равная массе данного элемента, выраженной в граммах, которая замещает в химических соединениях 1,0078 г водорода. Валентностью элемента называется число атомов водорода, которое замещается в химическом соединении одним атомом данного элемента. Обозначив через A атомный вес элемента, через n – его валентность, получим, что химический эквивалент равен A/n. Если взять A/n граммов элемента, то такое количество этого элемента составит граммэквивалент. Второй закон Фарадея состоит в том, что электрохимические эквиваленты элементов k пропорциональны их химическим эквивалентам: A k =C⋅ , (2) n где C – коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех элементов. Обычно вместо коэффициента C вводят величину, ему обратную: 1 A 1 = C . Тогда второй закон Фарадея принимает вид: k = ⋅ . F F n Величина F называется числом Фарадея. Подставляя значение электрохимического эквивалента k из (2) в выражение для первого закона Фарадея (1), получим формулу, объединяющую оба закона Фарадея: A M = ⋅Q . Fn Отсюда следует, что если выделяется один грамм-эквивалент вещества, то есть масса M, численно равная A/n, то Q должно численно равняться F. Таким образом, число Фарадея F численно равно количеству электричества Q, при прохождении которого через электролит на электроде выделяется один грамм-эквивалент вещества.

Измерения электрохимических эквивалентов дают для числа Фарадея F следующее значение: кулон F =96494 (3) грамм-эквивалент Особое значение законы Фарадея сыграли в установлении электронной теории. Из формулы (3) следует, что для выделения одного грамм-эквивалента любого вещества требуется прохождение через электролит вполне определенного количества электричества, численно равного числу Фарадея F. Количество атомов в грамм-эквиваленте N ' заN висит от валентности элемента n и, очевидно, равно N '= , где N – чисn ло Авогадро. Таким образом, выделение каждого атома связано с прохождением через электролит количества электричества F F q= = ⋅n . (4) N' N По ионной теории проводимости электролитов прохождение тока сводится к передвижению ионов, отсюда из формулы (4) вытекает, что ион каждого элемента несет заряд q, пропорциональный валентности элемента n. Наименьший заряд иона e соответствует заряду одновалентного иона (n=1), откуда F e= . (5) N Так как валентность элемента выражается целым числом n, то заряд q, переносимый любым ионом, q = n ⋅ e , оказывается целым кратным от наименьшего заряда e. Таким образом, закон Фарадея в совокупности с атомной теорией вещества приводит к представлению об атомном строении электричества. Этот вывод был сделан одновременно и независимо друг от друга Гельмгольцем и Стонеем в 1881 г. Каждый атом вещества может терять или присоединять к себе заряд, кратный элементарному заряду e. Очевидно, этот элементарный заряд e представляет собой заряд электрона. Положительный ион образуется, если атом или молекула теряет один или несколько электронов. Отрицательный ион образуется, если атом или молекула присоединяет к себе один или несколько электронов. Соотношение (5) позволяет определить заряд электрона по числу Фарадея F и числу Авогадро N. Зная, что число Авогадро

27

28

N = 6.023 ⋅ 1023 моль−1 , получим, что представляет собой ныне принимаемое значение заряда электрона. F 96494 e= = =4,803⋅10 −10 CGSE . N 6,023⋅10 23

Порядок выполнения работы 1. Собрать схему, приведенную на рис. 2, соблюдая полярность подключения приборов.

5. По истечении 30–40 минут выключите источник постоянного тока. Аккуратно достаньте медную пластину, погрузите ее на несколько секунд в сосуд с чистой водой, после чего извлеките и высушите на воздухе. 6. Снова взвесьте высушенную медную пластину на технохимических весах 2 раза (попеременно на левой и правой чашке) и оцените массу растворенной меди (MCu). Повторите пункты 2–6 еще 2 раза для того, чтобы вычислить ошибку эксперимента по 3 измерениям. 7. Вычисляйте атомный вес меди по формуле после каждых двух F ⋅n , где n – валентI ⋅t ность меди, равная 2, F – постоянная Фарадея, I ⋅ t – количество элек-

взвешиваний (до и после электролиза): ACu = M Cu ⋅

A

A +

K

тричества, пропущенного через электролит (площадь под кривой I от t на экспериментальном графике). 8. Из трех найденных значений атомного веса меди найдите среднее и оцените ошибку эксперимента. 9. Найдите значение атомного веса меди по таблице Менделеева или в справочнике и сравните с полученным. При правильном расчете ошибка эксперимента должна быть такой, чтобы экспериментальное значение в пределах ошибки заключало в себе истинное значение атомного веса меди. 10. Сделайте выводы по проведенной лабораторной работе.

–

CuSO4

2 1

3 4 5

6 7

V Рис. 2

Контрольные вопросы

2. Возьмите сухую медную пластину и взвесьте ее на технохимичеких весах с точностью до 0,01 г. Взвешивание проведите два раза: сначала на правой чашке весов, потом на левой. Это необходимо, чтобы исключить ошибку, связанную с неравноплечностью весов. Массу най-

1. Сформулируйте законы электролиза. 2. Что такое ряд напряжений металлов? 3. Дайте объяснение грамм-эквиваленту вещества. 4. Почему взвешивание производится сначала на левой, а потом на правой чашке весов? 5. Что будет, если медную пластину присоединить к отрицательному полюсу источника питания? 6. Куда девалась растворенная медь? Напишите уравнения реакций при электролизе раствора медного купороса.

дите как среднее арифметическое от двух взвешиваний: M cp =

M1 + M 2 . 2

Запишите полученный результат. 3. Вставьте взвешенную медную пластину в зажим на крышке электролизной ячейки, присоедините к ней положительный провод источника постоянного тока и погрузите электроды в раствор медного купороса (CuSO4.5Н2О). Включите источник постоянного тока, выставьте значение тока в пределах от 250 до 500 мА и засеките время. 4. Фиксируйте значение тока электролиза каждые 5 минут, начиная с момента включения, и стройте при этом кривую зависимости силы тока I от времени электролиза t. 29

Литература 1. Некрасов Б.В. Основы общей химии. М.: Химия, 1973. Т. 1. С. 200–205. 2. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики. М., 1958. Ч. 2. С. 201–207. 30

Содержание Лабораторная работа № 1. Изучение электрических процессов в простых линейных цепях............................................................... 3 Лабораторная работа № 2. Изучение распространения электромагнитных волн вдоль проводов. Определение длины и частоты электромагнитной волны с помощью электрической двухпроводной линии.......................................................................................... 13 Лабораторная работа № 3. Изучение законов электролиза Фарадея........................................................................................................ 24

Составители М.П. Ланкина, С.А. Сычев, А.Б. Муравьев, Е.А. Белоусова, И.С. Позыгун

Электричество и магнетизм Лабораторный практикум Часть II (для студентов физического факультета)

Технический редактор Н.В. Москвичёва Редактор О.А. Сафонова Подписано в печать 25.02.04. Формат бумаги 60х84 1/16. Печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 200 экз. Заказ 100. Издательско-полиграфический отдел ОмГУ 644077, г. Омск-77, пр. Мира, 55а, госуниверситет

31

32