Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, II

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 5 (2003). С. 3–161 УДК 517.5 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬ...

Author: Седлецкий А.М.

12 downloads 186 Views 1MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 5 (2003). С. 3–161 УДК 517.5

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ, II c 2003 г. °

А. М. СЕДЛЕЦКИЙ

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ко второй части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 8. Базисы из экспонент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Базисы из экспонент в весовых пространствах и условие (Ap ) . . . . . . . . . . . . 8.2. Равномерная сходимость негармонических рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Базисы из экспонент в пространствах Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Аппроксимационные свойства системы exp(i(n + ∆ sign n)t) . . . . . . . . . . . . . 8.5. Аппроксимация с помощью экспонент в соболевских пространствах Wpm . . . . . Примечания и дополнения к главе 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 9. Аппроксимация типа Мюнца–Саса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Случай вещественных показателей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Необходимые условия полноты в пространствах C0 и Lp , p > 2 . . . . . . . . . . . 9.3. О нулях аналитических функций в круге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Анализ проблемы в весовых пространствах Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Применение классов аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Касательные граничные значения преобразований Лапласа и их применение . . . Примечания и дополнения к главе 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 10. Преобразования Фурье быстро убывающих функций . . . . . . . . . . . . . . 10.1. Теоремы типа Пэли–Винера–Питта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Преобразования Фурье быстро убывающих функций на полупрямой и на прямой . 10.3. Преобразования Фурье целых быстро убывающих функций . . . . . . . . . . . . . 10.4. Преобразования Фурье экспоненциально убывающих функций и классы функций, литических в полосе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примечания и дополнения к главе 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 11. Аппроксимация сдвигами функции и с помощью экспонент на прямой . . . . 11.1. Плотные семейства сдвигов функции на прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Полные системы весовых экспонент на прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Полные и минимальные системы весовых экспонент на всей прямой . . . . . . . . 11.4. Полные и минимальные системы весовых экспонент на полупрямой и на прямой . 11.5. Необходимое условие равномерной минимальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6. Отсутствие базиса из сдвигов функции на прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примечания и дополнения к главе 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 4 17 26 33 38 43 45 45 49 56 62 72 79 87 88 88 95 103 107 113 113 113 117 126 135 146 154 156 157

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 93-011-16076). c °2003 МАИ

3

4

А. М. СЕДЛЕЦКИЙ

ПРЕДИСЛОВИЕ

КО ВТОРОЙ ЧАСТИ

Глава 8 является естественным продолжением главы 7 (из части I) и использует ее обозначения. Эти главы оказались отделенными друг от друга только из-за жестких требований, предъявляемых к объему каждой части. С тематической точки зрения глава 8 завершает материал части I, находящийся в русле негармонического анализа. Формально последние три главы второй части не зависят от глав 2–8 и вполне допускают самостоятельное прочтение. Тем не менее, даже беглое знакомство с первой частью способствовало бы более активному восприятию части второй, так как обе они связаны единой точкой зрения и общностью аналитического подхода.

ГЛАВА 8 БАЗИСЫ ИЗ ЭКСПОНЕНТ 8.1. БАЗИСЫ 8.1.1.

ИЗ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И УСЛОВИЕ

(Ap )

По-прежнему объектом нашего внимания является система ¡ ¢∞ e(Λ) = eiλn t , iteiλn t , . . . , (it)mn −1 eiλn t n=0 ,

порожденная последовательностью Λ = (λn ; mn )∞ n=0 , λn ∈ C, |λn+1 | > |λn |, mn — кратность точки λn . Следующее понятие инициировано теоремой М. Рисса о сопряженном ряде Фурье функции из Lp (−π, π), 1 < p < ∞. Будем говорить, что базис e(Λ) банахова пространства B = B(−a, a) функций, определенных на (−a, a), обладает свойством Рисса, если проекционный оператор X X Pmn −1 (t)eiλn t Pmn −1 (t)eiλn t → S+ : Re λn >0

λn ∈Λ

ограничен в B. Теорема 8.1.1. Пусть порождающая функция L(z) системы e(Λ) имеет вид Za eizt dσ(t),

L(z) =

var σ < ∞,

σ(±a) 6= σ(±a ∓ 0),

(8.1.1)

−a

и пусть последовательность Λ отделима. Пусть 1 < p < ∞,

0 6 α < p − 1.

(8.1.2)

Тогда система e(Λ) образует в пространстве Lpα,a базис, обладающий свойством Рисса. Напомним, что по теореме 6.1.1 отделимость последовательности Λ является необходимым условием равномерной минимальности системы e(Λ) в Lpα,a , а значит, и базиса. Пусть ω(t) — неотрицательный вес на R, I — произвольный интервал в R. В теории весовых пространств существенную роль играет следующее условие !Ã Z ! Ã Z 1 1 −1/(p−1) ω(t)dt (ω(t)) dt < +∞. (Ap ) sup |I| |I| I I

I

Если оно выполнено, то пишут ω(t) ∈ (Ap ). Под преобразованием Гильберта, как всегда, понимаем следующее преобразование Z 1 f (t) (Hf )(x) = lim dt. π ε→0 x−t |x−t|>ε

8.1. БАЗИСЫ


(Ap )

5

Лемма 8.1.1 (см. [92]). Для того, чтобы H : Lp (R, ω(t)dt) → (Lp (R, ω(t)dt),

1 < p < ∞,

необходимо и достаточно, чтобы ω(t) ∈ (Ap ). Лемма 8.1.2 (см. [112]). Для того, чтобы ω(t) = |t|α ∈ (Ap ), 1 < p < ∞, необходимо и достаточно, чтобы −1 < α < p − 1. Так как вес ω(t) = |t − b|α , b ∈ R, удовлетворяет условию (Ap ) вместе с весом ω(t) = |t|α , то из лемм 8.1.1, 8.1.2 вытекает Лемма 8.1.3. Если 1 < p < ∞,

−1 < α < p − 1,

(8.1.3)

то преобразование Гильберта задает ограниченный оператор в Lp (R, |t − b|α dt). Лемма 8.1.4.

1) Если 1 < p < ∞,

max(0, p − 2) 6 α < p − 1,

(8.1.4)

то для любой функции f ∈ Lp (R, |t − b|α dt), b ∈ R, пределы Zr lim

eixt fb(x)dx = f (t),

(8.1.5)

lim

eixt fb(x)dx

(8.1.6)

r→∞ −r Zr r→∞ 0

существует в норме пространства Lp (R, |t − b|α dt). 2) Если выполнено условие (8.1.3), то для любой функции f ∈ Lp (R, |b − t|α dt) с компактным носителем пределы (8.1.5), (8.1.6) существуют в норме Lp (R, |b − t|α dt). Доказательство. Сначала заметим, что ПФ fb имеет смысл. Действительно, в условиях (8.1.4) это гарантируется теоремой Питта (уточненная формулировка, п. 1.5), а в условиях части 2) f ∈ L1 (R) (так как f имеет компактный носитель и α < p − 1) и потому ПФ существует в обычном смысле. При 1 < p 6 2, α = 0 (когда ПФ существует по теореме Хаусдорфа—Юнга) доказательство существования предела (8.1.5) в Lp (R) опирается на то, что преобразование Гильберта задает ограниченный оператор в Lp (R) [69]. Но в условиях (8.1.3) оператор H ограничен в Lp (R, |t−b|α dt) по лемме 8.1.3, и существование предела (8.1.5) в Lp (R, |t − b|α dt) доказывается так же, как в [69]. Чтобы вывести существование предела (8.1.6) из существования предела (8.1.5), достаточно доказать, что если f ∈ Lp (R, |t − b|α dt), то mfb = gb для некоторой функции g ∈ Lp (R, |t − b|α dt), где m(x) = 1 при x > 0 и m(x) = 0 при x < 0. i c Так как f\ 1 ∗ f2 = 2πf1 f2 и 1/t = 2 sign x (то и другое — в смысле обобщенных функций), то ∞ для любой функции f класса C с компактным носителем ¡ ¢ d (x) = i (sign x)fb(x). Hf 2

(8.1.7)

° ° Множество таких функций плотно в Lp (R, |t − b|α dt), и так как °d Hf °q,β 6 M1 kHf kp,α 6 M2 kf kp,α по теореме Питта и по лемме 8.1.3, то (8.1.7) верно для любой функции f ∈ Lp (R, |t − b|α dt). Следовательно, µ ¶ ¡ ¢ 1 1 d = 1 f − i(Hf ) b= gb, mfb = (1 + sign x)fb = fb − i Hf 2 2 2 где g ∈ Lp (R, |t − b|α dt), и лемма доказана. Лемма 8.1.5. Если выполнено условие (8.1.2), то для любой функции f ∈ Lpα,a пределы (8.1.5), (8.1.6) существуют в норме Lpα,a .

6

ГЛАВА 8. БАЗИСЫ

ИЗ ЭКСПОНЕНТ

Доказательство. Пусть bj , j = 1, s — точки, фигурирующие в определении веса ωα (t) (см. (4.1.15)). Пусть aj = (bj + bj+1 )/2, j = 1, s − 1, I1 = (−a, a1 ), I2 = (a1 , a2 ), . . . , Is = (as−1 , a). Тогда bj ∈ I j и bj 6∈ I m при m 6= j. Пусть fj = f на Ij и fj ≡ 0 вне Ij . Ясно, что fj ∈ Lp (R, ωj (t)dt), где ωj (t) = |t − bj |α . По лемме 8.1.4 для каждой функции fj пределы (8.1.5), (8.1.6) существуют в норме Lp (R, ωj (t)dt), причем предел (8.1.5) совпадает с fj . Так как α > 0, то эти пределы существуют в Lp (Ij , ωj (t)dt) и в Lp (Im , ωm (t)dt). Но тогда для fj пределы (8.1.5), (8.1.6) существуют в норме Lpα,a . Так как f = f1 + · · · + fs , то этим доказано существование пределов (8.1.5) и (8.1.6) в норме Lpα,a для f ∈ Lpα,a . Интервалы Ij не пересекаются, и потому предел (8.1.5) совпадает с f (t). Лемма доказана. Введем обозначения Za eizt g(t)dt,

G(z) =

Gx (y) = e−a|y| G(x + iy).

(8.1.8)

−a

Лемма 8.1.6. Пусть выполнены условия (8.1.3). Тогда если g ∈ Lpα,a , то Gx (y) ∈ Lpp−2−α при любом x ∈ R, и 1) kGx kp,p−2−α 6 M kgkp,α , где M не зависит от g, и 2) limx→±∞ kGx kp,p−2−α = 0. Доказательство. Достаточно доказать лемму для пространства Lp (R+ , y p−2−α dy) вместо Lpp−2−α (в силу симметрии). Фиксируем δ > 0 таким, чтобы −a = b1 < −a + δ < b2 . Тогда Z2a e

iaz

Zδ izt

G(z) =

e g(t − a)dt = 0

Z2a +

0

=: J1 (z) + J2 (z), δ

и |Gx (y)| 6 |J1 (x + iy)| + |J2 (x + iy)|, y > 0. Так как g ∈ Lpα,a , то g(t − a) ∈ Lp ((0, δ), tα dt) и норма g(t − a) в этом пространстве не превосходит kgkp,α . По теореме 4.2.1 для слагаемого J1 утверждение 1) верно. Далее, применяя неравенство Г¨ельдера, имеем |J2 (x + iy)| 6 e−δy kgk1 6 M e−δy kgkp,α . Так как p − 2 − α > −1, то отсюда утверждение 1) следует и для J2 , и мы доказали утверждение 1). Из него утверждение 2) выводится так же, как в следствии 4.2.1 из теоремы 4.2.1. Лемма доказана. При фиксированном u ∈ [−a, a] обозначаем Zu + Fu (z) = eiz(u−v) f (v)dv,

Za Fu− (z)

eiz(u−v) f (v)dv.

= u

−a

Лемма 8.1.7. Пусть выполнены условия (8.1.3). Тогда если f ∈ Lpα,a , то Fu± (x + iy) ∈ Lp (R± , y p−2−α dy) для всех x ∈ R и 1) kFu± (x + iy)kp,p−2−α 6 M kf kp,α , где M от f, x, u не зависит, и 2) lim kFu± (x + iy)kp,p−2−α = 0 равномерно относительно u ∈ [−a, a]. x→±∞

− Доказательство. Так как F−u (−z) = Fu+ (z), то достаточно рассмотреть Fu+ . Пусть Ij , j = 1, s — конечное множество непересекающихся интервалов, таких, что

[−a, u] =

s [

Ij,

bj ∈ I j

и bj 6∈ I k

при k 6= j.

j=1

Пусть fj = f на Ij и fj = 0 вне Ij . Ясно, что f = f1 + · · · + fs на [−a, u], fj ∈ Lp (R, |t − bj |α dt) и kfj k 6 M kf kp,α , где M не зависит от f и u. Следовательно, лемму достаточно доказать для каждой функции fj , для чего, в свою очередь, достаточно рассмотреть случай, когда f ∈

8.1. БАЗИСЫ


(Ap )

7

Lp ((−a, u), ω(t)dt), где ω(t) = |t − b|α , −a 6 b 6 u, и f ≡ 0 вне [−a, u]. Благодаря теореме 4.2.2, утверждение 1) будет доказано, если мы установим оценку |Fu+ (z)| 6 M kf kp,ω y (1+α)/p−1 ,

y > 0,

в которой M не зависит от f и x. Пусть γ = −αp0 /p; отметим, что −1 < γ 6 0. По неравенству Г¨ельдера Ã Zu !1/p0 Zu 0 |Fu+ (z)| 6 e−y(u−v) |f (v)|dv 6 kf kp,ω e−p y(u−v) |b − v|γ dv . −a

−a

Таким образом, если обозначить через J интеграл в правой части, то достаточно доказать неравенство J 6 M y −1−γ , y > 0. (8.1.9) 0 0 Пусть сначала b = u. Тогда полагая t = yp (b − v), Y = p y и A = a + b, имеем Zb J=

e

−p0 y(b−v)

−a

1 (b − v) dv = Y

ZAY

γ

e−t 0

³ t ´γ Γ(1 + γ) , dy 6 Y Y 1+γ

и оценка (8.1.9) верна. Если −a 0 и u > b, то

0 e−p yu

Zu ! 0 e−p y(u−v) |b − v|γ dv =: J1 + J2 . +

−a

b

6

0 e−p yb ,

и поэтому

Zb J1 =

Zb e

−p0 y(u−v)

0

γ

e−p y(b−v) (b − v)γ dv.

(b − v) dv 6

−a

−a

Правая часть совпадает с интегралом J из только что рассмотренного случая b = u. Значит, для J1 оценка (8.1.9) имеет место, и нам остается доказать ее для J2 . Пусть Y = p0 y, B = u − b (> 0); тогда Zu ZBY 1 −p0 y(u−v) γ J2 = e (v − b) dv = 1+γ e−t (BY − t)γ dt, Y 0

b

и достаточно убедиться в ограниченности интеграла ZBY

ZBY −t

γ

e (BY − t) dt = e 0

−BY

Zr t γ

e t dt = e

−r

0

et tγ dt =: K(r) 0

на R+ . А это следует из правила Лопиталя, по которому K(r) → 1, 0 при r → +∞ соответственно для γ = 0, −1 < γ < 0. Утверждение 1) верно. Из него утверждение 2) выводится так же, как в лемме 8.1.6. Лемма 8.1.7 доказана. Доказательство теоремы 8.1.1. В условиях (8.1.1) по теореме 2.3.3 верно свойство dist(z, Λ) > δ > 0 =⇒ |L(z)| > C(δ)ea|y| ,

C(δ) > 0,

(8.1.10)

все точки Λ лежат в горизонтальной полосе | Im z| 6 h < ∞ и их число в прямоугольнике | Re z − t| < 1, | Im z| 6 h ограничено, t ∈ R. Без ограничения общности считаем, что Re λn 6= 6= 0 для всех n 6= 0. Фиксируем r > 0 так, чтобы L(±r + iy) 6= 0, y ∈ R. Пусть F (z) — функция (7.1.23). Как уже отмечалось при доказательстве теоремы 7.2.1, |F (z)| 6 C < ∞, z ∈ C. Для t ∈ (−a, a) имеем |eizt | 6 e|y|·|t| . Значит, в силу (8.1.10) ¯ izt ¯ ¯ e F (z) ¯ −|y|(|t|−a) ¯ ¯ , Re z = 0, ±r. (8.1.11) ¯ L(z) ¯ 6 Ce

8



Для f ∈ Lpα,a будем рассматривать прямоугольные частичные суммы Sr (t, f ) и Sr+ (t, f ) (см. формулу (7.1.18)). Тогда верны формулы (7.1.19). Используя оценку (8.1.11), перейдем в них к пределу при H → +∞ и при фиксированном t ∈ (−a, a). Получим формулы Z izt Z izt e 1 e 1 Rr (t, f ) = F (z)dz, Rr+ (t, f ) = F (z)dz, (8.1.12) 2πi L(z) 2πi L(z) γr

γr+

где γr (γr+ ) — пара вертикальных прямых Re z = ±r (Re z = 0, r), проходимых во взаимно противоположных направлениях. Из формул (7.1.23) следует, что ( V · max(|Fu+ (z)| : u ∈ [−a, a], y > 0, |F (z)| 6 (8.1.13) V · max(|Fu− (z)| : u ∈ [−a, a], y < 0. Значит, по лемме 8.1.7 при всех x ∈ R kF (x + iy)kp,p−2−α 6 M kf kp,α , и kF (x + iy)kp,p−2−α → 0,

x → ±∞,

(8.1.14)

где M > 0 от f и x не зависит. Фиксируем последовательность rk ↑ ∞ так, чтобы rk+1 − rk = O(1) и чтобы множество прямых Re z = ±rk находилось на положительном расстоянии от множества Λ. Тогда на этих прямых верна оценка (8.1.10). Используя первую формулу (8.1.12), находим ¯ Za ¯ ¯ ¯Z Z izt ¯ ¯ ¯ ¯ G(z) e ¯ ¯ ¯ ¯ 2πkRr (t, f )kp,α = sup ¯ g(t)dt F (z)dz ¯ = sup ¯ F (z)dz ¯, ¯ ¯ L(z) L(z) g ¯ g ¯ −a

γr

γr

0

где r = rk , верхняя грань берется по всем функциям g ∈ (Lpα,a )∗ = Lpγ,a , γ = −αp0 /p, с kgk = 1, а G определена в (8.1.8). Применяя к правой части неравенство Г¨ельдера, получаем ° 2 ° X ° G(xj + iy) ° ° ° 2πkRr (t, f )kp,α 6 sup · kF (xj + iy)kp,p−2−α , (8.1.15) ° L(xj + iy) ° 0 0 g p ,p −2−γ j=1

где x1 = −rk , x2 = rk . В силу (8.1.10), по леммам 8.1.6 и 8.1.7 имеем ° ° ° G(xj + iy) ° ° ° 6 C < ∞, kF (xj + iy)kp,p−2−α → 0, ° L(xj + iy) ° 0 0

k → ∞.

(8.1.16)

p ,p −2−γ

Следовательно,

° ° Zr ° ° ° ° ixt b °Sr (t, f ) − e f (x)dx° ° °

→ 0,

r = rk → ∞.

(8.1.17)

p,α

−r

По лемме 8.1.5 интеграл под знаком нормы сходится к f (t) в Lpα,a при r → ∞, и значит, Sr (t, f ) → f (t) в Lpα,a при r = rk → ∞. Отсюда буквальным повтором рассуждений, применявшихся при доказательстве утверждения г) теоремы 7.2.2, получаем представление f (t) =

∞ X

Pmn −1 (t)eiλn t ,

(8.1.18)

n=0

где ряд сходится в Lpα,a . Однако, это еще не есть утверждение о базисе; в ряде (8.1.18) предстоит «расщепить» слагаемые многочлена Pmn −1 (t). А это сразу делается на основании свойства sup mn < ∞, верного в условиях (8.1.1), утверждения б) теоремы 7.2.2 и свойства | Im λn | 6 h < ∞. Мы доказали, что e(Λ) — базис в Lpα,a . Надо убедиться, что он обладает свойством Рисса. Имея в виду прием, позволивший перейти от (8.1.17) к (8.1.18), делаем вывод, что достаточно доказать сходимость сумм Sr+k (t, f ) в Lpα,a для любой функции f ∈ Lpα,a .

8.1. БАЗИСЫ


(Ap )

9

По второй формуле (8.1.12) ÃZ Z ! izt Zr e 1 ixt b + Sr (t, f ) − e f (x)dx = + F (z)dz =: A(t) + Br (t). 2πi L(z) 0

x=0

x=r Lpα,a

По лемме 8.1.5 интеграл в левой части сходится в при r → ∞. Поэтому если мы покажем, что A(t) ∈ Lpα,a , а Br (t) → 0 в Lpα,a при r = rk → ∞, то этим доказательство теоремы будет закончено. Принадлежность A(t) ∈ Lpα,a будет доказана, если мы проверим, что величина (A(t), g(t)) ко0 нечна для любой функции g ∈ (Lpα,a )∗ = Lpγ,a , γ = −αp0 /p. Имеем Z G(z) 1 (A(t), g(t)) = F (z)dz, 2πi L(z) x=0

и значит, модуль интересующей нас величины оценивается сверху первым сомножителем в правой части (8.1.15), отвечающим значению x1 = 0. Это слагаемое конечно, благодаря (8.1.10) и леммам 8.1.6, 8.1.7. Итак, A(t) ∈ Lpα,a . Далее, норма kBr (t)kp,α оценивается вторым сомножителем в правой части (8.1.15), отвечающим значению x2 = rk . Оно сходится к нулю на основании свойств (8.1.16), и все доказано. 8.1.2. Если все точки последовательности Λ лежат в горизонтальной полосе | Im z| 6 h < ∞, то умножением всех функций системы e(Λ) на функцию e−iHt , H > h (не меняющим аппроксимационных свойств системы) можно добиться того, чтобы −∞ < −y1 6 Im λn 6 −y0 < 0.

(8.1.19)

Теорема 8.1.2. Пусть последовательность Λ = (λn ; mn ) отделима, пусть выполнено условие (8.1.19) и пусть sup mn = m < +∞. Пусть, далее, 1 < p < ∞, max(0, p − 2) 6 α < p − 1 и ω(x) = |L(x)|p/(1+α) ∈ (Ap/(1+α) ),

(8.1.20)

где L(z) — порождающая функция системы e(Λ) относительно интервала (−a, a). Тогда для любой функции f ∈ Lpα,a последовательность (cnk ) коэффициентов ее негармонического ряда Фурье mX ∞ ∞ n −1 X X iλn t k f (t) ∼ e cnk (it) = Pmn −1 (t)eiλn t n=0

n=0

k=0

принадлежит lq , (1 + α)/p + 1/q = 1 и k(cnk )kq 6 C(p, α, Λ)kf kp,α . Теорема 8.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 8.1.2. Тогда если rk ↑ ∞ — подходящая последовательность, а K(z) — ядро суммирования, то для любой функции f ∈ Lpα,a имеем: ° ° 1) °(a − t)(1+α)/p Rr (t, f ; K)°C[−a,a] → 0, r = rk → ∞; ° Ã !° |λ ZN | ° ° N P ° ° ixt b (1+α)/p iλ t n = 0. Pmn −1 (t)e − e f (x)dx ° 2) lim °(a − |t|) ° N →∞ ° n=0 −|λN |

C[−a,a]

Теорема 8.1.4. Пусть выполнены условия теоремы 8.1.2. Тогда система e(Λ) образует в Lpα,a базис, обладающий свойством Рисса, а при p = 2, α = 0 — базис Рисса. Напомним, что в предположении (8.1.19) условие sup mn < +∞ является необходимым условием равномерной минимальности (а значит, и базиса) системы e(Λ) в Lpα,a (теорема 6.1.1). q = H q (Im z > 0), 0 < q < ∞. Тогда: Лемма 8.1.8 (свойства H q -функций). Пусть A(z) ∈ H+ kA(z)k

1) |A(z)| 6 y1/q q , y > 0; Z 1 2) |A(x + iy)|q dy 6 kA(z)kqq , x ∈ R; 2 R+

Z

|A(z)|q |dz| → 0, r → ∞, где cr = (z : |z| = r, y > 0);

3) cr

10



4) если последовательность (γn ) отделима и 0 < δ < Im γn < y1 < ∞, то (A(γn )) ∈ lq и k(A(γn ))kq 6 C(q, (γn ))kΦ(z)kq . Утверждения 1)–3) хорошо известны (см. [80]). Утверждение 4) составляет содержание леммы 5.3.7. Лемма 8.1.9. Пусть выполнено условие (8.1.19) и пусть последовательность (λn ) отделима. P 0 Тогда если (cn ) ∈ lp , 1 0 и °X ° ° ° cn exp(iλn t)° 0 6 C(p, Λ, a)k(cn )kp . ° p

Lp (−a, a),

kgk = 1, и пусть G(z) — функция (8.1.8). По теореме Доказательство. Пусть g ∈ 0 p0 p0 = H p (Im z < 0) [77]. По лемме 8.1.8 Хаусдорфа—Юнга G(z) ∈ Ba ; но тогда e−iaz G(z) ∈ H− 0 0 сначала (e−iaλn G(λn )) ∈ lp , а затем и (G(λn )) ∈ lp , причем k(G(λn ))kp0 6 Ckgkp 6 C. Применяя это неравенство и неравенство Г¨ельдера, получаем, что при N < M ¯ M ¯ Za Ã M ¯ ¯ ! °X ° ¯ ¯ ¯X ¯ X ° M ° ° ° ¯ ¯ ¯ ¯ iλn t ° iλn t °(cn )M ° . ° c e = sup c e g(t)dt = sup c G(λ ) 6 C (8.1.21) ¯ ¯ ¯ ¯ n n n n n=N ° °0 p ¯ ¯ g ¯ g ¯ p N

−a

N

N

Так как (cn ) ∈ lp , то правая часть при достаточно большом N может быть сделана сколь угодно малой. А это и означает сходимость рассматриваемого ряда в Lp (−a, a). Утверждение о норме суммы ряда получается из (8.1.21) при N = 0, M → ∞. Лемма доказана. 0

Доказательство теоремы 8.1.2. Пусть q 0 = p/(1 + α). Тогда по условию (8.1.20) ω(x) = |L(x)|q ∈ 0 (Aq0 ). Но тогда (см. [4, начало доказательства леммы 6.4]) |L(x)|/(1 + |x|) ∈ Lq . По лемме 7.1.1 система e(Λ) минимальна в Lpα,a и верны формулы (7.1.12), (7.1.15), (7.1.16), (7.1.19). Основная работа состоит в изучении функций Z b f (u)L(u) du, z 6∈ R, (8.1.22) F (z) = u−z R

Φ(z) :=

F (z) exp(∓iaz), L(z)

z 6∈ R,

z 6∈ Λ,

(8.1.23)

где знак − (+) соответствует полуплоскости y > 0 (y < 0). 0 Очевидно, что условие ω(x) = |L(x)|q ∈ (Aq0 ) (условие (8.1.20)) равносильно условию v(x) := |L(x)|−q ∈ (Aq ). Так как (1+α)/p+1/q = 1, то по замечанию к теореме Питта fb ∈ Lq (R), и значит, fb(u)L(u) ∈ Lq (R, v du). По лемме 8.1.1 ¡ ¢ H fbL (x) ∈ Lq (R, v dx), v(x) = |L(x)|−q . (8.1.24) Плотность интеграла типа Коши в (8.1.22) есть функция аналитическая, поэтому F (z) непрерывна в полуплоскости Im z > 0 и для ее граничных значений на вещественной оси верна формула Сохоцкого [28] ¡ ¡ ¢ ¢ F (x) = π H fbL (x) + ifb(x)L(x) . (8.1.25) q В силу (8.1.24) F (x) ∈ L (R, v dx). Теперь рассмотрим функцию 1 Gδ (z) := δ

z+δ/2 Z

e−iaw F (w)dw, L(w)

y = Im z > 0,

δ > 0,

(8.1.26)

z−δ/2

аналитическую при y > 0 и непрерывную при y > 0. Так как F (x)/L(x) ∈ Lq (R), то модуль Gδ (z) ограничен на вещественной оси. Далее, из представления F (z) интегралом типа Коши, из не0 равенства Г¨ельдера и из L(x)/(1 + |x|) ∈ Lq (R) вытекает, что F (z) → 0 при z → ∞ на каждом луче arg z ∈ (0, π). Функция e−iaz /L(z) принадлежит классу [1, 0] в полуплоскости y > 0; действительно, L(z) имеет вполне регулярный рост, а потому индикатор рассматриваемого частного, будучи разностью индикаторов числителя и знаменателя, неположителен при 0 6 θ 6 π, так

8.1. БАЗИСЫ


(Ap )

11

как hL (θ) = a| sin θ| по определению порождающей функции. Значит, простая оценка интеграла в (8.1.26) приводит нас к выводу, что функция Gδ (z) растет как функция класса [1, 0] на каждом луче arg z ∈ (0, π). В силу непрерывности индикатора, она принадлежит этому классу в полуплоскости y > 0. По теореме Фрагмена—Линдел¨ефа модуль Gδ (z) ограничен при y > 0. Но Gδ (x) ∈ Lq (R) на основании принадлежности F (x)/L(x) ∈ Lq (R) и известного свойства функции q Стеклова [1]. Значит, Gδ (z) ∈ H+ . В (8.1.26) совершим предельный переход при δ → 0. Очевидно, Gδ (z) → Φ(z) равномерно на каждом компакте полуплоскости y > 0. С другой стороны (опять же q по свойству функции Стеклова [1]) Gδ (x) → Φ(x) по норме Lq (R). Так как норма Gδ (z) в H+ совq q падает с нормой Gδ (x) в Lq и так как пространство H+ полно, то отсюда следует, что Φ(z) ∈ H+ . При этом в силу (8.1.25), по лемме 8.1.1 и по теореме Питта ° ° ° ° ° F (x) ° ° 6 C1 °fb° 6 C2 kf kp,α , ° (8.1.27) kΦ(z)kq = ° q L(x) °q где C2 от f не зависит. Из (8.1.27) по лемме 8.1.8 вытекает оценка |Φ(x + iy)| 6

Ckf kp,α , y 1−(1+α)/p

x ∈ R,

y > 0.

(8.1.28)

Положим I = (−a, a), а в качестве ω(t) возьмем вес ωα (t) (см. (4.1.15)). Тогда Lp (I, ω(t)dt) = Lpα,a . Пусть α > 0 и пусть p связано с α условиями теоремы 8.1.2. Фиксируем p0 2, α = p − 2, и (8.1.28) показывает, что если исключить этот случай, то для оператора T = Φ выполнены условия теоремы 4.2.2. По этой теореме с q = p, β = p − 2 − α получаем, что Φ(x + iy) ∈ Lp (R+ , y p−2−α dy) для всех x ∈ R и kΦ(x + iy)kp,p−2−α 6 M kf kp,α ,

x ∈ R,

(8.1.29)

как только 1 2, α = p − 2. Но если p > 2, α = p − 2, то учитывая, что (1 + α)/p + 1/q = 1 (см. начало доказательства), имеем q = p, и тогда (8.1.27) вместе с утверждением 2) леммы 8.1.8 дают (8.1.29). Итак, если f ∈ Lpα,a , где α и p связаны с условиями теоремы 8.1.2, то верно неравенство (8.1.29), где M от f не зависит. Теперь исследуем функцию Φ(z) в нижней полуплоскости, где она аналитична вне объединения Q 0 точек λn = αn + iβn . Так как L(z)/(z − λ0 ) ∈ Baq , то справедливо представление L(z) = c (1 − z/λn ) (считаем, что 0 6∈ Λ). Пусть y < 0, z 6∈ Λ; сравним L(z) с L(¯ z ), а точнее, покажем, что ¯ ¯ ¯ L(¯ ¯ ¯ z ) ¯ 6 C(δ) при dist(z, Λ) > δ > 0, y < 0. (8.1.30) ¯ L(z) ¯ Запишем

¯ ¯ Y¯ ¯ µ ¶ ¯ L(¯ ¯ λn − z¯ ¯ Y (αn − x)2 + (βn + y)2 1/2 ¯ ¯ ¯ z) ¯ = ¯= = ¯ λn − z ¯ ¯ L(z) ¯ (αn − x)2 + (βn − y)2 µ ¶¶ µ X ¶ µ X 4βn y |y| 1 log 1 + 6 exp c . = exp 2 (αn − x)2 + (βn − y)2 (αn − x)2 + (βn − y)2

Теперь обозначив πm = (z : m 6 Re z < m + 1, −y1 6 Im z < −y0 ), m ∈ Z, видим, что для справедливости (8.1.30) достаточно доказать оценку X X |y| 6 M < +∞ (8.1.31) 2 (αn − x) + (βn − y)2 m∈Z λn ∈πm

на рассматриваемом множестве dist(x + iy, Λ) > δ > 0, y < 0. Пусть m0 6 Re z 6 m0 + 1, m0 ∈ Z. Выделим в сумме (8.1.31) слагаемое с индексами m0 − 1, m0 , m0 + 1 и, обозначив через s верхнюю грань числа точек Λ в πn , получим, что левая часть в (8.1.31) не превосходит ∞

X |y| 3s|y| + 2s . 2 2 (dist(x + iy, Λ)) m + (dist(y, (βn )))2 m=1

12



Значит, при |y| 6 2y1 она мажорируется величиной ∞ X 6sy1 1 + 4sy = M1 < ∞. 1 2 δ m2 m=1

Если же |y| > 2y1 , то левая часть в (8.1.31) не больше, чем µ ¶ ∞ X 3s|y| 1 |y| + 2s = O(1) + C1 cth π(|y| − y1 ) − 6 M2 < ∞. (|y| − y1 )2 m2 + (|y| − y1 )2 π(|y| − y1 ) m=1

Оценка (8.1.31), а с ней и (8.1.30), доказаны. Теперь рассмотрим аналитическую функцию Z b eiaz f (u)L(u) Φ1 (z) = , u−z L(¯ z)

y = Im z < 0.

R

Рассуждая так же, как при исследовании функции Φ(z) для y > 0 (в этих рассуждениях сменится q лишь знак второго слагаемого в формуле Сохоцкого (8.1.25)), заключаем, что Φ1 (z) ∈ H− , приq чем для нормы Φ1 (z) в H− верна оценка (8.1.27). На основании этой оценки, оценки (8.1.30) и леммы 8.1.8 получаем Свойства функции Φ(z). Пусть f ∈ Lpα,a и выполнены условия теоремы 8.1.2. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) Φ(z) → 0 при y → ±∞ равномерно относительно x ∈ R. 2) Если rk ↑ ∞ — такая последовательность, что множество прямых Re z = ±rk находится на положительном расстоянии от множества Λ, то ÃZ !1/p |Φ(±r + iy)|p |y|p−2−α dy

6 Ckf kp,α ,

r = rk → ∞,

R

где C от f не зависит. 3) Если rk ↑ ∞ — подходящая последовательность, то Z |Φ(z)|q |dz| → 0, r = rk → ∞. |z|=r

4) Если −∞ < Y1 6 Im γn 6 −Y0 < 0, последовательность (γn ) отделима и dist((γk ), (λn )) > 0, то (Φ(γn )) ∈ lq и k(Φ(γn )kq 6 Ckf kp,α . Теперь обратимся к непосредственному анализу формул (7.1.17), (7.1.19), (7.1.12), (7.1.15). По условию (8.1.19) и в силу отделимости Λ найдется последовательность непересекающихся окружностей Kn = (z : |z − λn | = δ) таких, что inf dist(Kn , Km ) > 0, sup(Im z : z ∈ ∪Kn ) < 0. По форn6=m муле (7.1.16) Z 1 iλn t eiz(t−a) · Φ(z)dz, Pmn −1 (t)e = 2πi Kn

откуда

¯ ¯ ¯Pmn −1 (t)eiλn t ¯ 6 C max(|Φ(z)| : z ∈ Kn ) = C|Φ(γn )|,

при |t| 6 a. Для последовательности (γn ) выполнены функции Φ(z); по этому свойству °³ ¯ ¯´∞ ° ° max ¯Pmn −1 (t)eiλn t ¯ [−a,a]

γn ∈ Kn

все условия, фигурирующие в свойстве 4) ° ° ° 6 Ckf kp,α .

n=0 q

По свойству | Im λn | 6 h здесь за счет изменения константы C множитель eiλn t можно убрать. А это вместе со свойством sup mn = m < ∞ и леммой 7.2.1 доказывает теорему 8.1.2.

8.1. БАЗИСЫ


(Ap )

13

Доказательство теоремы 8.1.3. Пусть cr = (z : |z| = r). Пусть rk ↑ ∞ — подходящая последовательность. Подынтегральная функция в формуле (7.1.17) равна Φ(z)K(z/r) exp(iz(t + a sign y)). Значит, применяя к правой части этой формулы неравенство Г¨ельдера, имеем !1/q !1/q0 Ã Z ÃZ 0

eq (|t|−a)|y| |dz|

|Rr (t, f, K)| 6 M

|Φ(z)|q |dz|

· cr

cr

при |t| < a. Но первый интеграл в правой части есть O(1)/(a − |t|) (см. формулу (7.2.18)), а второй интеграл есть o(1) при r = rk → ∞ (где rk — подходящая последовательность) по свойству 3) функции Φ(z). Утверждение 1) верно. Из него утверждение 2) выводится точно так же, как в теореме 7.2.2. Теорема 8.1.3 доказана. Доказательство теоремы 8.1.4. Рассмотрим прямоугольные частичные суммы Sr (t, f ), Sr+ (t, f ) (см. формулы (7.1.18)), где f ∈ Lpα,a . В формулах (7.1.19) подынтегральная функция записывается в виде eiz(t+a sign y) Φ(z). При фиксированном t ∈ (−a, a) это выражение есть o(1) при |y| → ∞ равномерно относительно x ∈ [−r, r] по свойству 1) функции Φ(z). Поэтому предельный переход при H → +∞ в формулах (7.1.19) дает формулы Z 1 eiz(t+a sign y) Φ(z)dz, Rr (t, f ) = 2πi γr

Rr+ (t, f )

1 = 2πi

(8.1.32)

Z

e

iz(t+a sign y)

Φ(z)dz,

γr+

где γr (γr+ ) — пара прямых Re z = ±r (Re z = 0, r). 0 Пусть g ∈ (Lpα,a )∗ = Lpγ,a , γ = −p0 α/p, а G(z) — функция (8.1.8). Тогда по первой формуле (8.1.32) 1 (Rr (t, f ), g(t)) = 2πi

Z γr

G(z) 1 F (z)dz = L(z) 2πi

Z G(z)eia sign y Φ(z)dz. γr

С помощью неравенства Г¨ельдера отсюда находим 2π|(Rr (t, f ), g(t))| 6

2 X

kGxj (y)kp0 ,p0 −2−γ · kΦ(xj + iy)kp,p−2−α ,

(8.1.33)

j=1

где x1 = −r, x2 = r. Фиксируем последовательность rk ↑ ∞ так, чтобы rk+1 − rk = O(1) и чтобы множество прямых z = ±rk находилось на положительном расстоянии от множества Λ. Тогда по лемме 8.1.6 и по свойству 2) функции Φ(z) получаем, что (Rr (t, f ), g(t)) → 0 при r = rk → ∞ для 0 любой функции g ∈ Lpγ,a . Это означает, что Zr eixt fb(x)dx → 0,

Sr (t, f ) −

r = rk → ∞

−r

в слабой топологии пространства Lpα,a . Но по лемме 8.1.5 интеграл в левой части сходится к f (t) в Lpα,a . Значит, Srk (t, f ) → f (t) в слабой топологии пространства Lpα,a . Применяя рассуждения из доказательства утверждения 2) теоремы 8.1.1, отсюда получаем представление (8.1.18), где ряд сходится слабо. Затем на основании свойства sup mn < ∞ и теоремы 8.1.2, по которой cnk → 0, мы «расщепляем» многочлен Pmn −1 (t) на отдельные слагаемые. В итоге получаем, что для каждой функции f ∈ Lpα,a ее биортогональный ряд по системе e(Λ) сходится к f (t) слабо, т.е. система e(Λ) образует слабый базис пространства Lpα,a . По теореме о слабом базисе [75, п. 6.8] e(Λ) образует базис пространства Lpα,a в обычном смысле, и нам остается только показать, что он обладает свойством Рисса.

14


По второй формуле (8.1.32) 2πkRr+ (t, f )kp,α


¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ iaz sign y Φ(z)dz ¯, = sup ¯ G(z)e ¯ ¯ kgk=1 γr+

и по неравенству Г¨ельдера величина 2πkRr+ (t, f )kp,α не превосходит правой части в (8.1.33), где теперь x1 = 0, x2 = r. По лемме 8.1.6 и по свойству 2) функции Φ(z) отсюда при r = rk → ∞ следует оценка ° ° Zr ° ° ° ° kRr+ (t, f )kp,α = °Sr+ (t, f ) − eixt fb(x)dx° 6 M kf kp,α . (8.1.34) ° ° p,α

0

Rr+k (t, f )

Это означает, что нормы операторов ограничены в совокупности. Значит, чтобы утверp + ждать сходимость Rrk (t, f ) в Lα,a для любой функции f ∈ Lpα,a , по теореме Банаха—Штейнгауза достаточно проверить это свойство для плотного в Lpα,a множества. Так как система e(Λ) полна в Lpα,a (ведь мы только что доказали, что она базис), то достаточно проверить это свойство для случая, когда f (t) есть линейная комбинация системы e(Λ). Но тогда, если r достаточно велико, то Sr+ (t, f ) = f + (t), где f + (t) — часть суммы f (t), отвечающая λn с Re λn > 0. С другой стороны, интеграл в (8.1.34) сходится в Lpα,a по лемме 8.1.5. Следовательно, Rr+k (t, f ) сходится в Lpα,a , а потому и Sr+k (t, f ) сходится в Lpα,a . Переход от сходимости Sr+k (t, f ) к сходимости Lpα,a ряда X Pmn −1 (t)eiλn t Re λn >0

совершается так же, как в теореме 8.1.1. В итоге базис e(Λ) пространства Lpα,a обладает свойством Рисса. Нам еще надо доказать, что если p = 2, α = 0, то e(Λ) — базис Рисса. Для этого достаточно убедиться, что оператор ³ ´∞ n −1 P : f (t) → (cnk )m k=0 n=0

L2

L2 (−a, a)

l2 .

задает изоморфизм между = и По теореме 8.1.2 оператор P ограничен. Пусть теперь задана произвольная последовательность ³ ´∞ n −1 (cnk )m ∈ l2 . k=0 n=0

¡ ¢∞ Дополним ее до последовательности (cnk )m−1 k=0 n=0 нулевыми элементами и применим лемму 8.1.9 к каждому из рядов X (it)j cnj eiλn t , j = 0, m − 1. n

Получим, что f (t) =

∞ X n=0

iλn t

e

m−1 X

cnk (it)k ∈ L2

и

° ° kf k2 6 c°((cnk )k )n °2 .

k=0

Это доказывает ограниченность обратного оператора P −1 . Значит, P задает изоморфизм между L2 и l2 , и теорема 8.1.4 доказана. 8.1.3. Непосредственный подсчет показывает, что ω(x) = (1 + |x|)γ ∈ (Ap ) тогда и только тогда, когда −1 < γ < p − 1. Это дает Следствие 8.1.1. Пусть L(z) — порождающая функция системы e(Λ), причем Λ отделима и выполнено условие (8.1.19). Тогда если 1 < p < ∞, max(0, p − 2) 6 α < p − 1 и |L(x)| ³ (1 + |x|)γ ,

x ∈ R,

то верны утверждения теорем 8.1.2–8.1.4.

−

1+α 1+α 0 и y < 0 F (z) = i

Z0 e

−izt

fb1 (t)dt,

−2π

F (z) =− i

Z2π e−izt fb1 (t)dt. 0

Отсюда по следствию 4.2.1, и с учетом неравенства (8.1.35) вытекают соотношения (8.1.13), (8.1.14), где α = 0. И так как для функции L(z) типа синуса свойство (8.1.10) верно с a = π (см. п. 5.4), то повторяются все рассуждения доказательства теоремы 8.1.1, следующие за (8.1.13) и (8.1.14). Теорема 8.1.5 доказана. Для иллюстрации теоремы 8.1.5 рассмотрим ц.ф. ¶ ∞ µ Y z2 π(z) := z 1− , (n + ih)2

h ∈ R,

h 6= 0.

n=1

Теорема 8.1.6. Для ц.ф. π(z) имеем: 1) π(z) ∈ SMp , 1 < p < ∞, 2) π(z) 6∈ SF . Таким образом, включение SF ⊂ SMp является собственным (см. формулу (5.4.3)). Доказательство. Используя представление гамма-функции Эйлера в виде бесконечного произведения, запишем ¶ µ ¶ ∞ µ Y 1 z + ih z + ih γ(z+ih) =e (z + ih) 1+ exp − = Γ(z + ih) n n n=1 ¶µ ¶ µ ¶ ∞ µ Y z ih z + ih γ(z+ih) =e (z + ih) 1+ 1+ exp − . n + ih n n n=1

Заменим здесь z на −z, после чего перемножим обе формулы. Тогда ¶ ∞ µ z2 1 (z + ih)(−z + ih) Y 1− = . Γ(z + ih)Γ(−z + ih) (ihΓ(ih))2 (n + ih)2 n=1

16



По формуле дополнения π/Γ(−z + ih) = (−z + ih)Γ(z − ih) sin π(z − ih). Значит, π(z) =

(ihΓ(ih))2 z Γ(z − ih) sin π(z − ih). π z + ih Γ(z + ih)

(8.1.36)

Из того, что sin π(z − ih) ³ 1, |y| > 2h, из асимптотики (см. [33, гл. 1, § 5]) Γ(z + a) ∼ z a−b , Γ(z + b)

z → ∞,

| arg z| 6 π − ε

и из (8.1.36) следует оценка π(z) ³ 1 при Re z > 0, | Im z| > 2h. Но π(z) — нечетная функция, следовательно, эта оценка верна при | Im z| > 2h. А это означает, что π(z) ∈ S. Для доказательства утверждения 2) понадобится формула (3.1.39): µ ¶ ¶ Zπ ∞ µ Y t 2ih z2 izt cos =c e dt, c 6= 0. (8.1.37) 1− (n + ih)2 2 n=1

−π

Предположим противное: π(z) ∈ F , т.е. Zπ eizt dσ(t),

π(z) =

var σ(t) < +∞.

−π

Проинтегрируем здесь по частям и учтем, что π(0) = σ(π) − σ(−π) = 0. Получим Zπ eizt σ(t)dt.

π(z) = 2iσ(π) sin πz − iz −π

Тогда в силу тождества (8.1.37), π(z) = σ(π) iz

Zπ

Zπ izt

e dt −

−π

µ

Zπ izt

e σ(t)dt = c1 −π

e

izt

−π

t cos 2

¶2ih dt.

По свойству единственности для преобразования Фурье отсюда заключаем, что σ(π) − σ(t) = c1 (cos(t/2))2ih , c1 6= 0. А это дает противоречие, поскольку вариация функции (cos(t/2))2ih в интервале (−π, π) неограничена. Остается показать, что π(x) ∈ Mp , 1 < p < ∞. Имеем sin π(x − ih) ∈ F ⊂ Mp . Далее x ih =1− ∈ Mp , x + ih x + ih

1 6 p 6 ∞,

так как функция 1/(x + ih) есть ПФ интегрируемой функции (см. (7.1.22)). Покажем, что γ(x) :=

Γ(x − ih) ∈ Mp , Γ(x + ih)

1 < p < ∞.

(8.1.38)

В силу (8.1.36) этим доказательство теоремы 8.1.6 будет закончено. Воспользуемся теоремой Марцинкевича о мультипликаторе [68, гл. 4, § 3]. Пусть m(x) ∈ L∞ (R) и m(x) ∈ C 1 (x 6= 0); тогда если |m0 (x)| 6 c|x|−1 ,

x 6= 0,

(8.1.39)

то m(x) ∈ Mp , 1 < p < ∞. Проверим условие (8.1.39) для функции m(x) = γ(x); остальные условия теоремы о мультипликаторе для нее очевидны. Пусть ψ(z) означает логарифмическую производную функции Γ(z). Тогда γ 0 (x) = γ(x)(ψ(x − ih) − ψ(x + ih)). Применим формулу ∞

1 X ψ(z) = −γ − + z k=1

µ

¶ 1 1 − , k k+z

−z 6∈ Z+

(8.1.40)

8.2. РАВНОМЕРНАЯ

17

СХОДИМОСТЬ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ РЯДОВ

[33, гл. 2, § 2]. Получим, что при x → ±∞ ∞ ³1´ ³1´ X 1 ψ(x − ih) − ψ(x + ih) = O 2 + 2ih = O . x (k + x)2 + h2 x k=1

Подставляя эту оценку в формулу (8.1.40) и учитывая, что |γ(x)| = 1, убеждаемся, что для функции γ(x) условие (8.1.39) выполнено. Значит, свойство (8.1.38) имеет место. Теорема 8.1.6 доказана. Теоремы 8.1.5 и 8.1.6 дают Следствие 8.1.3. Если h ∈ R, h 6= 0, то система ei(n+ih sign n)t , образует в

Lp (−π, π),

n∈Z

(8.1.41)

1 < p < ∞, базис, обладающий свойством Рисса.

Из утверждения 2) теоремы 8.1.6 и из теоремы 4.3.1 сразу вытекает Следствие 8.1.4. Если h ∈ R и h 6= 0, то система (8.1.41) полна в C[−π, π]. 8.2. РАВНОМЕРНАЯ


8.2.1. Пусть σ ∈ V [−a, a]; через Cdσ обозначаем подкласс в C = C[−a, a], состоящий из функций f , для которых Za f (t)dσ(t) = 0. −a

Пусть порождающая функция системы e(Λ) имеет вид Za L(z) = eizt dσ(t), σ ∈ V [−a, a].

(8.2.1)

−a

Тогда ясно, что условие f ∈ Cdσ необходимо для того, чтобы негармонический ряд функции f по системе e(Λ) равномерно сходился к f на [−a, a]. В обозначениях п. 7.1 имеет место следующий аналог признака Жордана. Теорема 8.2.1. Пусть порождающая функция системы e(Λ) имеет вид (8.2.1), причем σ(±a) 6= σ(±a ∓ 0).

(8.2.2)

Предположим, что f ∈ V [−a, a] ∩ Cdσ . Тогда: 1) если rk — подходящая последовательность, то [−a,a]

Srk (t, f ) −→ −→ f (t),

rk → ∞,

2) если последовательность Λ отделима, то ∞ X f (t) = Pmn −1 (t)eiλn t , n=0

где ряд сходится равномерно на [−a, a]. Лемма 8.2.1. Пусть f ∈ C(R), причем f = 0 вне [−a, a], а σ1 ∈ V [−a, a]. Тогда ϕ(x) := f ∗ dσ1 ∈ C(R)

и

supp ϕ ⊂ [−2a, 2a].

Доказательство. Утверждение о носителе очевидно. В силу симметрии достаточно доказать, что ϕ(−2a) = 0 и ϕ ∈ C[−2a, 0]. Имеем Za ϕ(x) = f (x − t)dσ1 (t), −2a 6 x 6 2a. (8.2.3) −a

18



Так как −a 6 x − t 6 a, то x − a 6 t 6 x + a. Это значит, что при x ∈ [−2a, 0] интегрирование ведется по [−a, x + a]. В частности, Z−a ϕ(−2a) = = 0. −a

Далее, при −2a 6 x 6 0 x+a Z

ϕ(x + h) − ϕ(x) =

x+a+h Z

(f (x + h − t) − f (x − t))dσ1 (t) + −a

f (x + h − t)dσ1 (t) x+a

(h > 0 при x = −2a и h < 0 при x = 0). При h → 0 оба слагаемых в правой части стремятся к нулю: первое — благодаря равномерной непрерывности f , а второе — из-за того, что f непрерывна в точке −a и f (−a) = 0. Лемма доказана. Доказательство теоремы 8.2.1. Будем считать, что f (a) = f (−a) = 0.

(8.2.4)

Покажем, как можно добиться этого условия. Предположим сначала, что найдутся точки λj , λm ∈ Λ такие, что a(λj − λm ) 6= πk, k ∈ Z. Тогда рассмотрим функцию f1 (t) := f (t) − cj eiλj t − cm eiλm t и потребуем, чтобы f1 (±a) = 0. Это условие равносильно системе уравнений cj e±iλj a + cm e±iλm a = f (±a), которая разрешима относительно cj , cm , так как ее определитель 2i sin a(λj − λm ) 6= 0 в силу сделанного предположения. Итак, вычитая из f подходящий двучлен, мы добиваемся свойства (8.2.4). При этом принадлежность f ∈ V [−a, a] ∩ Cdσ сохраняется. Остается рассмотреть случай, когда a(λj − λm ) = πk при всех λj 6= λm . Мы рассматриваем негармонический ряд Фурье, т.е. предполагаем, что e(Λ) 6= (eiπnt/a )n∈Z . Но тогда хотя бы один из корней L(z) кратный. Пусть λ ∈ Λ — кратная точка. Тогда положим f1 (t) = f (t) − c1 eiλt − c2 teiλt и потребуем, чтобы f1 (±a) = 0. Мы придем к системе уравнений c1 eiλa + c2 aeiλa = f (a),

c1 e−iλa − c2 ae−iλa = f (−a)

с определителем −2a 6= 0, и заключительные рассуждения предыдущего случая повторяются. В итоге мы можем считать выполненным условие (8.2.4). Рассмотрим свертку ϕ = f ∗ dσ1 , где σ1 (t) = σ(−t). Так как f ∈ Cdσ , то ϕ(0) = 0. Кроме того, по лемме 8.2.1 ϕ(−2a) = 0. Учитывая это, проинтегрируем по частям в верхней формуле (7.1.28). Получим Z0 F (z) 1 =− e−izt dϕ(t), y > 0. (8.2.5) 2πi z −2a

Отметив, что f ∗ dσ1 ∈ V [−2a, 2a], интеграл в (8.2.5) запишем в виде Z0

Z−ε =

−2a

Z0 +

−2a

=: I1 (z) + I2 (z),

ε > 0.

−ε

Ясно, что I1 (iy) → 0, y → +∞. А так как ϕ(0) = 0 и по лемме 8.2.1 ϕ(t) непрерывна, то |I2 (iy)| может быть сделан сколь угодно малым при y > 0 за счет достаточно малого ε. Значит, iyF (iy) → 0,

y → +∞.

(8.2.6)

Но из (8.2.5) видно, что |zF (z)| 6 C < +∞,

y > 0.

Из (8.2.6) и (8.2.7) по лемме Линдел¨ефа [7] следует, что для любого δ > 0 ¯ ¡ ¢ π ¯¯ π ¯ F (z) = o |z|−1 , |z| → ∞, ¯ arg z − ¯ 6 − δ. 2 2

(8.2.7)

(8.2.8)


19


Аналогичная работа с нижней формулой (7.1.28), приводит к оценке (8.2.7) для y < 0 и к оценке (8.2.8) для угла | arg z + π/2| 6 π/2 − δ. Подставляя полученные оценки для F (z) и оценку |L(z)| > Cea|y| ,

|z| = rk

(8.2.9)

(см. (7.2.17)) в формулу (7.1.12), для |t| 6 a имеем Z Z Z |dz| |dz| |dz| |Rrk (t, f )| 6 o(1) +C = o(1) + C , |z| |z| |z| γk+

γk0

γk0

где γk+ — часть окружности |z| = rk , соответствующая углам | arg z ± π/2| 6 π/2 − δ, а γk0 = γk+ \(z : |z| = rk ). Последний интеграл может быть сделан сколь угодно малым при достаточно малом δ. Значит, Rrk (t, f ) → 0 равномерно на [−a, a]. А так как f ∈ C(R) ∩ V (R), то Zr eixt fb(t)dt → f (t), r → ∞, (8.2.10) −r

равномерно на каждом отрезке, в том числе, и на [−a, a]. Следовательно, Srk (t, f ) → f (t) равномерно на [−a, a], и утверждение 1) доказано. Из него утверждение 2) выводится так же, как и в теореме 7.2.2 утверждение 2) выводится из в). Теорема 8.2.1 доказана. Для рассмотрения липшицевых функций f нам понадобится специальная оценка интеграла Стилтьеса. Для функции ψ ∈ L1 (a, b) введем ее интегральный модуль непрерывности b−h Z Ω1 (h, ψ) = |ψ(t + h)) − ψ(t)|dt,

0 < h 6 b − a,

a

и пусть kψk1 = kψkL1 (a,b) и b−a Z N1,γ (ψ) = h−1−γ Ω1 (h, ψ)dh. 0

Через Λβ [A, B] обозначаем подкласс в C[A, B], состоящий из функций f , для которых |f (x1 ) − f (x2 )| 6 Mf |x1 − x2 |β ;

x1 , x2 ∈ [A, B],

0 < β 6 1.

Лемма 8.2.2 (см. [29]). Если ψ ∈ Λ1 [a, b], а µ ∈ Λ1−γ [a, b], 0 < γ < 1, то ¯ Zb ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ψ(t)dµ(t)¯ 6 Mγ · C1−γ (µ)(N1,γ (ψ) + kψk1 ). ¯ ¯ a

Применим лемму 8.2.2 для оценки интеграла Z−h eyt dµ(t),

E(y) =

y > 0,

0 < h < 2π.

−2π

Лемма 8.2.3. Если µ ∈ Λ1−γ [−2π, 0], 0 < γ < 1, то |E(y)| 6 M · C1−γ (µ)y γ−1 · e−hy ,

y > 0,

где M от µ и h не зависит. Доказательство. Положим ψ(t) = eyt , a = −2π, b = −h. Для 0 < H 6 2π − h имеем |ψ(t + H) − ψ(t)| = eyt (eyH − 1), ¡ ¢ Ω1 (H; ψ) = eyH − 1

−h−H Z

−2π

¡ ¢ e−y(H+h) 1 − e−Hy eyt dt < eyH − 1 = e−hy . y y

(8.2.11)

20



Если 0 < H 6 1/y, то 1 − e−Hy < Hy, и значит, Ω1 (H; ψ) 6 He−hy ,

0 < Hy 6 1.

(8.2.12)

Если H > 1/y, то 1 − e−Hy < 1, и следовательно, Ω1 (H; ψ) 6

e−hy , y

H>

1 . y

(8.2.13)

Пусть y > 1/(2π − h); тогда Z1/y 2π−h Z −1−γ + = I1 + I2 . H Ω1 (H; ψ)dH =

2π−h Z

N1,γ (ψ) =

0

0

(8.2.14)

1/y

Применяя соответственно оценки (8.2.12) и (8.2.13), находим, что I1 6 e

I2 6

−hy

e−hy y

Z1/y H −γ dH = Ce−hy y γ−1 , 0 2π−h Z

H −1−γ dH 6 C1 e−hy y γ−1 . 1/y

Таким образом, при y > 1/(2π − h) N1,γ (ψ) 6 Ce−hy y γ−1 .

(8.2.15)

Пусть 0 < y 6 1/(2π − h). Так как 0 < H 6 2π − h, то Hy 6 1, и применяя оценку (8.2.12) к левому интегралу в (8.2.14), получаем, что N1,γ (ψ) 6 Ce−hy . Значит, оценка (8.2.15) верна для всех y > 0. Остается оценить Z−h e−hy − e−2πy . kψk1 = eyt dt = y −2π

Если y > 1, то e−hy 6 Ce−hy y γ−1 , (8.2.16) y ¡ ¢ где C = 1. Если же 0 < y < 1, то e−hy − e−2πy = e−hy 1 − e−(2π−h)y 6 2πye−hy и kψk1 6 2πe−hy . Подавно для таких y выполнена оценка (8.2.16) с C = 2π. Значит, оценка (8.2.16), подобно оценке (8.2.15), верна для всех y > 0. Лемма 8.2.3 следует из этих оценок и из леммы 8.2.2. kψk1 6

Теорема 8.2.2. Пусть порождающая функция системы e(Λ) имеет вид (8.2.1), причем выполнено условие (8.2.2). Предположим, что f ∈ Λβ [−a, a] ∩ Cdσ , 0 < β 6 1. Тогда имеют место утверждения 1), 2) теоремы 8.2.1. Доказательство. Снова считаем выполненным условие (8.2.4). Тогда функция F (z) из верхней формулы (7.1.28) имеет вид (8.2.5). Так как f ∈ Λβ [−a, a], то, очевидно, f ∗ dσ1 ∈ Λβ [−2a, 2a]. Считая, что a = π, по лемме 8.2.3 имеем ¡ ¢ |F (z)| = O |z|−1 |y|−β при y > 0. Аналогичная работа с нижней строкой (7.1.28) дает ту же оценку для y < 0. Подставляя ее вместе с оценкой (8.2.9) в правую часть формулы (7.1.12), получаем, что равномерно по t ∈ [−a, a] Ã µ ¶ Zπ/2 ! 1 1 dθ = O |Rrk (t, f )| = O β . β θ rk rkβ 0



21

Значит, Rrk (t, f ) → 0 равномерно на [−a, a]. Так как f ∈ Λβ (R), то также равномерно на [−a, a] справедливо соотношение (8.2.10). После этого доказательство заканчивается так же, как в теореме 8.2.1. 8.2.2. Мы по-прежнему рассматриваем негармонические ряды в предположении, что Λ — все корни функции (8.2.1). Сейчас исследуем технически гораздо более трудный случай, когда dσ(t) = (a − |t|)−α b(a − |t|)k(t)dt, b(t) ∈ LZ,

k ∈ V,

k(±a ∓ 0) 6= 0,

0 < Re α < 1.

(8.2.17)

В этом случае по теореме 3.1.4 все корни функции L(z), начиная с некоторого, просты, и следовательно, негармонический ряд функции f ∈ L1 имеет вид f (t) ∼

X

Pmn −1 (t)eiλn t +

n 0 окружности γn = (z : |z − λn | = δ) не пересекаются. Воспользуемся формулой (7.1.24): Z Ω(z) 1 eizt dz, (8.2.19) Pmn −1 (t)eiλn t = 2π L(z) γn Zu

Za eizu dσ(u)

Ω(z) = −a

Положим

e−izv f (v)dv.

(8.2.20)

−a

Zu e−izv f (v)dv,

g(z, u) =

y > 0.

−a

Учитывая (8.2.17), разобьем интеграл в (8.2.20) по (−a, a) на два интеграла: по (0, a) и (−a, 0). После линейной подстановки получим, что Za b(a − |u|) Ω(x) = eixu k(u)g(x, u)du = (a − |u|)α −a

Za =e

iax 0

b(u) e−ixu α k(a u

Za − u)g(x, a − u)du + e

−iax

eixu 0

b(u) k(u − a)g(x, u − a)du. uα

Полагая соответственно ϕ(t, ix, u) = k(a − u)g(x, a − u) и ϕ(t, ix, u) = k(u − a)g(x, u − a), а также беря в качестве P мнимую ось, видим, что для обоих интегралов в правой части выполнены условия теоремы 3.1.1. По этой теореме имеем: при x → ±∞ Za ³ ´ π Ω(x)|x|1−Re α = exp iax − i (1 − α) sign x k(a − 0) e−ixv f (v)dv + o(1). Γ(1 − α)b(1/|x|) 2 −a

Отсюда с помощью теоремы Римана—Лебега делаем вывод, что ¡ ¢ Ω(x) = o |x|Re α−1 b(|x|−1 ) , x → ±∞.

(8.2.21)

Пусть A(z) — функция из следствия 3.1.2, т.е. A(z) аналитична при y > 0, не имеет нулей и ¡ ¢ A(z) ∼ z Re α−1 b r−1 , r = |z| → ∞, y > 0. (8.2.22)

22



Рассмотрим аналитическую функцию Ω(z)/A(z), y > 0. Так как Ω(z) имеет экспоненциальный тип 6 a, то в силу (8.2.22) функция Ω(z)/A(z) также имеет экспоненциальный тип 6 a. Оценки (8.2.21), (8.2.22) показывают, что Ω(x)/A(x) → 0, x → ±∞. По теореме Фрагмена—Линдел¨ефа Ω(z)/A(z) = o(ea|y| ), |z| → ∞, y > 0. Благодаря (8.2.22), отсюда следует, что ¡ ¢ Ω(z) = o ea|y| rRe α−1 b(r−1 ) , r = |z| → ∞, (8.2.23) в полуплоскости y > 0. С помощью функции A(−z) оценка (8.2.23) устанавливается и для полуплоскости y 6 0. В итоге она верна во всей плоскости. По теореме 3.1.4 вне кружков одинакового радиуса с центрами в точках λn верна оценка |L(z)| > C|z|Re α−1 b(r−1 )ea|y| .

(8.2.24)

По той же теореме | Im λn | 6 h < +∞. Применяя это свойство и оценки (8.2.24), (8.2.23) к правой части формулы (8.2.19), получаем утверждение 1а) теоремы7.2.2. А из него, как мы видели при доказательстве этой теоремы, вытекает свойство cn → 0, n → ∞. Из первой строки (7.1.28) следует, что функция F (z) ограничена при y > 0, и в частности, имеет минимальный тип при порядке 1. Значит, в рассуждениях, приведших нас к (8.2.23), мы можем положить a = 0. Поэтому при y > 0 справедлива оценка ¡ ¢ F (z) = o rRe α−1 b(r−1 ) , r = |z| → ∞. (8.2.25) Повторяя выкладки для второй строки (7.1.28) получаем, что оценка (8.2.25) верна и для y < 0. Пусть rk → ∞ — подходящая последовательность. Тогда на окружностях |z| = rk верна оценка (8.2.24), где C от k не зависит. Применим оценки (8.2.24) и (8.2.25) к формуле (7.1.17). Получим равномерную по t ∈ (−a, a) оценку Z e|y|(|t|−a) |dz|, r = rk → ∞. Rr (t, f, K) = o(1) |z|=r

А из нее, как мы видели при доказательстве теоремы 7.2.2, следует утверждение 1в) этой теоремы. Из него утверждение 1г) выводится так же, как в теореме 7.2.2. Оценки (8.2.24) и (8.2.25) показывают, что ea|y| F (z) → 0, L(z)

|z| = rk → ∞.

Благодаря этому, часть утверждения 2), касающаяся пространства L1 , доказывается так же, как в теореме 7.2.2. Теорема 8.2.3 доказана. Теорема 8.2.4. Пусть Λ — последовательность всех корней функции (8.2.1) с условием (8.2.17), где b(t) ∈ V [h, a] при всех h ∈ (0, a). Тогда если f ∈ V [−a, a] ∩ Cdσ , то ряд (8.2.18) сходится к f (t) равномерно на [−a, a]. Лемма 8.2.4. Пусть f ∈ V [−a, a], а Zt

Za −ivx

Ft (x) =

e

f (v)dv

−a

e−ivx f (v)dv,

или Ft (x) = t

t ∈ [−a, a]. Тогда если f ∈ C[−a, a], то равномерно по t ∈ [−a, a] Zu |Ft (x)|dx = o(u), u → +∞.

(8.2.26)

−u

Доказательство. Остановившись для определенности на первой из функций Ft (x), предположим противное: найдутся последовательности tn ∈ [−a, a], un → +∞ и число δ > 0 такие, что Zu |Ft (x)|dx > δun . (8.2.27) −u


23


Пусть t0 — частичный предел tn . Переходя в случае необходимости к подпоследовательности, можно считать, что разности t0 − tn имеют одинаковый знак. Пусть для определенности t0 > tn . Тогда Zun Zun Zun |Ftn (x)|dx − |Ft0 (x)|dx 6 |Ftn (x) − Ft0 (x)|dx 6 (8.2.28) −un

−un

−un

6 2un · var(f (v) : tn 6 v 6 t0 ) = o(un ), так как f ∈ C[−a, a]. Но по теореме Винера [15] при фиксированном значении t (а в том числе, при t = t0 ) соотношение (8.2.26) верно. Значит, (8.2.28) дает противоречие с (8.2.27). Лемма 8.2.4 доказана. Лемма 8.2.5. Пусть Ft (x), x ∈ R — семейство функций, равномерно ограниченных по t ∈ [−a, a]; пусть Z v Ft (x)dx Ft (iv) = π x2 + v 2 R

— сужение на мнимую ось интеграла Пуассона от Ft (x). Тогда если равномерно по t выполнено условие (8.2.26), то Ft (iv) → 0 при v → +∞ равномерно по t ∈ [−a, a]. Доказательство. Интегрируя по частям, имеем для всех t ∈ [−a, a] ¯ ¯ Z Z Z Zx Zx ¯v Ft (x)dt ¯¯ v 1 2v x dx ¯ |Ft (u)|du. d |Ft (u)|du = ¯6 ¯ ¯π x2 + v 2 ¯ π x2 + v 2 π (x2 + v 2 )2 R+

0

R+

(8.2.29)

0

R+

При фиксированном ε > 0 выберем A столь большим, чтобы Zx |Ft (u)|du < εx при x > A, t ∈ [−a, a]. 0

Это можно сделать по условию (8.2.26). Тогда обозначив через C константу, ограничивающую |Ft (x)|, x ∈ R, t ∈ [−a, a], видим, что при всех t правая часть в (8.2.29) есть Ã ZA Z∞ ! Ã ZA ! Z∞ 2v x2 dx 2v x2 dx C 6 + 6 +ε π π (x2 + v 2 )2 (x2 + v 2 )2 0

A

0

A

Ã µ ¶ ! µ ¶ Z∞ 2v 1 1 dx 6 O 4 +ε 6 O 3 + ε. π v x2 + v 2 v A

Мы доказали лемму 8.2.5 для слагаемого в интеграле Пуассона, распространенного на R+ ; аналогично разбирается слагаемое, отвечающее полупрямой R− . Лемма 8.2.5 доказана. Лемма 8.2.6. Пусть Gt (z) — семейство функций, аналитических в полуплоскости y > 0 и равномерно ограниченных по z и по t ∈ T ⊂ R. Тогда если Gt (iy) → 0, y → +∞ равномерно по t, то Gt (z) → 0, |z| → ∞ в каждом угле |π/2 − arg z| 6 γ 6 π/2 равномерно по t ∈ T . Если G не зависит от t, то утверждение леммы 8.2.6 есть частный случай известной теоремы Линдел¨ефа [7]. Доказательство этой теоремы легко переделывается в доказательство леммы 8.2.6. Останавливаться на этом не будем. Доказательство теоремы 8.2.4. Переход от L(z) к L(z −ε) не меняет условий (8.2.17). Поэтому и по теореме 3.1.4 мы можем считать, что существует последовательность окружностей |z| = rk ↑ ∞, которые мы обозначим через Γk , таких, что в каждом кольце rk < |z| < rk+1 содержится одна и только одна точка λn и что dist(Λ, ∪Γk ) > 0. Тогда на ∪Γk будет иметь место оценка (8.2.24). Достаточно доказать, что равномерно по t ∈ [−a, a] Srk (t, f ) − f (t) → 0.

(8.2.30)

24



В силу формулы (7.1.24) Z

1 Sr (t, f ) = 2π

eizt dz L(z)

Za

Zu izu

e

−a

|z|=r

e−izv f (v)dv.

dσ(u) −a

Если прибавить к внутреннему интегралу не зависящий от u интеграл Z−a e−izv f (v)dv,

t ∈ [−a, a],

t

то это не изменит контурного интеграла. Поэтому при t ∈ [−a, a] Z Za Zu 1 eizt izu Sr (t, f ) = dz e dσ(u) e−izv f (v)dv. 2π L(z) −a

|z|=r

t

Во внутреннем интеграле проинтегрируем по частям. Используя представление (8.2.1) и условие f ∈ Cdσ , получаем формулу Z izt 1 e Ωt (z) dz, (8.2.31) Srk (t, f ) − f (t) = 2πi zL(t) Γk

где

Za Ωt (z) =

Zu e

izu

e−izv df (v).

dσ(u)

−a

(8.2.32)

t

Оценим |Ωt (z)| на вещественной прямой. Действуем так же, как при оценке функции Ω(x) в доказательстве теоремы 8.2.3. Пусть Zu (8.2.33) g(t, z, u) = e−izv df (v). t

Учитывая (8.2.17) и разбивая интеграл в (8.2.32) на два интеграла (по (0, a) и по (−a, 0)), после линейной подстановки находим, что Za b(u) iax Ωt (x) = e e−iux α k(a − u)g(t, x, a − u)du+ u 0

Za +e−iax

eiux 0

b(u) k(u − a)g(t, x, u − a)du. uα

Полагая в качестве ϕ(t, ix, u) сначала k(a − u)g(t, x, a − u), а затем k(u − a)g(t, x, u − a), видим, что в обоих случаях выполнены условия теоремы 3.1.1, если за P взять мнимую ось. Применяя эту теорему и учитывая (8.2.33), заключаем: Za ³ ´ |x|1−Re α Ωt (x) π = exp iax − i (1 − α) sign x k(a − 0) e−ixv df (v)+ Γ(1 − α)b(1/|x|) 2 t (8.2.34) −a Z ´ ³ π + exp −iax + i (1 − α) sign x × k(−a + 0) e−ixv df (v) + o(1) 2 t

при x → ±∞ равномерно по t ∈ [−a, a]. Пусть A(z) — аналитическая функция при y > 0, без нулей и такая, что верна оценка (8.2.22). Оценим функцию eiaz eitz Ωt (z) , y > 0, t ∈ [−a, a]. Dt (z) = A(z)



25

Когда u ∈ [−a, a], а v заключено между t и u, то переменная t+u−v не выходит за пределы отрезка [−a, a]. Учитывая это и вспоминая формулу (8.2.32), приходим к оценке |eitz Ωt (z)| 6 Ceay , C < +∞, y > 0. Следовательно, модуль функции eiaz eitz Ωt (z) ограничен в верхней полуплоскости. В силу этого и (8.2.22), функция Dt (z) имеет в этой полуплоскости минимальный тип при порядке 1. Благодаря (8.2.22) и (8.2.34), ее модуль ограничен на вещественной оси равномерно по t. По теореме Фрагмена—Линдел¨ефа |Dt (z)| 6 M < +∞,

y > 0,

t ∈ [−a, a].

(8.2.35)

В частности, функция Dt (z) представима в верхней полуплоскости интегралом Пуассона от своих граничных значений. Объединим оценки (8.2.22) и (8.2.34) с леммой 8.2.4. Получим, что Zu |Dt (x)|dx = o(u), u → +∞ −u

равномерно по t. А потому к функции Dt (z) применима лемма 8.2.5. Значит, семейство Dt (z) аналитических в полуплоскости y > 0 функций равномерно ограничено по z и по t ∈ [−a, a], и кроме того, Dt (iy) → 0, y → +∞ равномерно по t. По лемме 8.2.6 Dt (z) → 0, |z| → ∞ в каждом угле |π/2−arg z| 6 π/2−δ, δ > 0, равномерно по t. Отсюда и из (8.2.35) выводим, используя (8.2.22) и (8.2.24), что равномерно по t ∈ [−a, a] ¯ eizt Ωt (z) π ¯¯ π ¯ → 0, |z| = rk → ∞, (8.2.36) ¯θ − ¯ 6 − δ L(z) 2 2 (θ = arg z) и

¯ izt ¯ ¯ e Ωt (z) ¯ ¯ ¯ ¯ L(z) ¯ 6 C < +∞,

|z| = rk ,

¯ π ¯¯ π π ¯ − δ < ¯θ − ¯ < , 2 2 2

(8.2.37)

где C не зависит от t ∈ [−a, a] и k. Оценивая аналогично функцию Ωt (z) в нижней полуплоскости, приходим к выводу: равномерное по t ∈ [−a, a] соотношение (8.2.36) и оценка (8.2.37) имеют место соответственно для z ∈ ∪Γ+ k и 0 = Γ \Γ+ . z ∈ ∪Γ0k , где Γ+ — пересечение Γ с углами | arg z ∓ π/2| 6 π/2 − δ, а Γ k k k k k Вернемся к формуле (8.2.31). В силу (8.2.36), часть интеграла в (8.2.31), соответствующая Γ+ k , есть o(1) при k → ∞ равномерно по t ∈ [−a, a]. В силу (8.2.37), модуль той части интеграла в (8.2.31), которая отвечает Γ0k , не превосходит 4Cδ при всех t ∈ [−a, a]. Так как δ > 0 в наших рассуждениях произвольно, то равномерно по t ∈ [−a, a] имеет место предельное соотношение (8.2.30). Теорема 8.2.4 доказана. Распространим теоремы 8.2.3, 8.2.4 на крайние случаи α = 0 и α = 1. Теорема 8.2.5. Пусть Λ — последовательность всех корней функции (8.2.1); пусть выполнены условия (8.2.17) с α = 0, причем 1) b(t) ∈ V [h, a] при всех h ∈ (0, a), 2) b(t) → +∞, t → +0, 3) b(t) выпукла в интервале (0, δ) при некотором δ > 0. Тогда: 1) для любой функции f ∈ L1 справедливы утверждения теоремы 8.2.3; 2) если f ∈ V [−a, a] ∩ Cdσ , то ряд (8.2.18) сходится к f (t) равномерно на [−a, a]. Теорема 8.2.6. Пусть Λ — последовательность всех корней функции (8.2.1); пусть выполнены условия (8.2.17) с α = 1, причем b(t) ∈ V [h, a] при всех h ∈ (0, a) и Z b(t) dt < +∞. t 0

Тогда справедливы утверждения 1), 2) теоремы 8.2.5. Теоремы 8.2.5, 8.2.6 доказываются так же, как теоремы 8.2.4, 8.2.4. Надо только вместо теорем 3.1.1, 3.1.4 использовать теоремы 3.1.2, 3.1.5, когда речь идет о теореме 8.2.5, и теоремы 3.1.3, 3.1.6, когда речь идет о теореме 8.2.6.

26


8.3.

БАЗИСЫ


ИЗ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВАХ

Lp

В этом пункте нам придется несколько сузить класс мер (8.2.17), полагая в них b(t) ≡ 1. Другими словами, порождающая функция системы e(Λ) здесь имеет вид Za L(z) = eizt dσ(t), var σ(t) < +∞, (8.3.1) −a

где

k(t)dt , var k < +∞, k(±a ∓ 0) 6= 0, 0 < Re α < 1. (8.3.2) (a − |t|)α Если Re α < 1 − 1/p, то, очевидно, система e(Λ) неполна в Lp . Для таких α по аналогии с Cdσ (см. начало п. 8.2) обозначаем через Lpdσ подпространство в Lp , аннулируемое мерой dσ(t). Как отмечалось в п. 8.2 (см. (8.2.18)), негармонический ряд функции f ∈ L1 имеет вид ∞ X X iλn t f (t) ∼ Pmn −1 (t)e + cn eiλn t . (8.3.3) dσ(t) =

n=n1

06n 0 Z F = Py ∗ f, G = Py ∗ g. U (x, y) = Py ∗ u = Py (t)u(x − t)dt, R ∞ L (R),

Лемма 8.3.1. Пусть u ∈ 0 < β < 1. Тогда: 1) если u ∈ Λβ (R), то при всех m ∈ N ° m ° ° ∂ U (x, y) ° −m+β ° ° , ° ∂y m ° 6 Am y

y > 0;

(8.3.4)

∞

2) если условие (8.3.4) выполнено при некотором m ∈ N, то u ∈ Λβ (R) и Cβ (u) 6 M Am , где M от u не зависит. Лемма 8.3.2. Если g ∈ Λ1β (R), 0 < β < 1, то ° ° ° ∂G(x, y) ° −1+β ° ° , ° ∂y ° 6 A · y 1

y > 0,

(8.3.5)

8.3. БАЗИСЫ


Lp

27

Леммы 8.3.1, 8.3.2 доказаны в [68], хотя формулировка леммы 8.3.2 в [68] содержит опечатку. Лемма 8.3.3. Если f ∈ Lp (R), 1 0,

(8.3.6)

∞

где A не зависит от f . Доказательство. Имеем ∂F (x, y) = ∂y

Z

∂Py (t) g(x − t)dt = ∂y

R

Z

Z +

|t|y

Применяя к слагаемым в правой части соответственно оценки ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂Py (t) ¯ ¯ ∂Py (t) ¯ c ¯6 c , ¯ ¯ ¯ ¯ ∂y ¯ y 2 ¯ ∂y ¯ 6 t2 (см. [68]) и неравенство Г¨ельдера, получаем требуемое. Лемма доказана. Лемма 8.3.4. Пусть var k(t) < ∞, 0 < Re α < 1, g(t) = (a − |t|)−α k(t),

|t| < a

и g(t) = 0 при |t| > a. Тогда g ∈ Λ11−Re α (R). Доказательство. Его достаточно провести для функции g(t), которая равна 0 вне (0, a], а на (0, a] имеет вид t−α k(t), var k(t) < ∞, t ∈ (0, a]. Обозначим gh (x) = g(x + h) − g(x). Требуемую оценку ¡ ¢ kgh (x)k1 = O |h|1−Re α (8.3.7) достаточно доказать для 0 < |h| 6 a/2. Рассмотрим случай h > 0; случай h < 0 разбирается по аналогии. Имеем a−h Z0 Z Za kgh (x)k1 = |g(x + h)|dx + |gh (x)|dx + |g(x)|dx. 0

−h

a−h

Первый и третий интегралы справа оцениваются сверху соответственно величинами O(h1−Re α ) и O(h). Для оценки второго интеграла запишем |gh (x)| в виде ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ µ ¶¯ ¯ k(x + h) k(x) ¯ ¯ k(x + h) − k(x) ¯ ¯ 1 ¯¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (x + h)α − xα ¯ 6 ¯ ¯ + ¯k(x) (x + h)α − xα ¯ = A1 + A2 . (x + h)α Так как A2 6 M x− Re α , 0 < x 6 2h, и ¯ ¯ ¯ M ·h |k(x)| ¯¯³ h ´− Re α A2 = Re α ¯ 1 + − 1¯¯ 6 1+Re α , x x x то

2h < x < a,

Ã a−h ! Z Z2h −1−Re α − Re α A2 dx 6 C h x dx + x dx 6 C1 h1−Re α .

a−h Z

0

0

2h

Далее, по лемме Харди—Литтлвуда [80, c. 72] условие var k(t) < ∞ влечет свойство k(t) ∈ Λ11 (R) (в этой лемме речь идет о периодических функциях, но доказательство проходит и для нашего случая). Поэтому a−h Z

A1 dx 6 0

1 hRe α

a−h Z

|k(x + h) − k(x)|dx 6 Ch1−Re α , 0

и оценка (8.3.7) доказана. Лемма 8.3.4 верна.

28



Лемма 8.3.5. Если f ∈ Lp (R), 1/(1 − Re α) < p 6 ∞, а g1 (t) = g(−t), где g(t) — функция из леммы 8.3.4, то f ∗ g1 ∈ Λ1−Re α−1/p (R) и C1−Re α−1/p (f ∗ g1 ) 6 Akf kp , где A от f не зависит. Доказательство. Так как g1 имеет тот же вид, что g, достаточно доказать лемму для свертки u = f ∗g. По лемме 8.3.4 g ∈ Λ11−Re α (R). Значит, по лемме 8.3.2 верна оценка (8.3.5) с β = 1−Re α. Так как f ∈ Lp (R), то по лемме 8.3.3 имеет место оценка (8.3.6). Далее, Py1 +y2 = Py1 ∗ Py2 , если y1 , y2 > 0; поэтому U (x, y1 + y2 ) = Py1 +y2 ∗ f ∗ g = Py1 ∗ f ∗ Py2 ∗ g = F (x, y1 ) ∗ G(x, y2 ). Дифференцируя это равенство сначала по y1 , а затем по y2 , имеем ∂2U ∂F ∂G = ∗ , 2 ∂y ∂y1 ∂y2

y = y1 + y2 .

Полагая y1 = y2 = y/2 и учитывая (8.3.5), (8.3.6), где β = 1 − Re α, находим ° ° ° ° ° 2 ° °∂ U ° ° ° ° ° ° 6 ° ∂F ° · ° ∂G ° 6 A1 kf kp · y −2+(1−Re α−1/p) , ° y > 0. ° ∂y1 ° ° ∂y2 ° ° ∂y 2 ° ∞ ∞ 1 Теперь лемма 8.3.4 следует из леммы 8.3.1 с m = 2; условие u ∈ L∞ (R) этой леммы выполнено, так 0 как g ∈ Lp (R) по предположению p0 Re α < 1, и значит, по неравенству Г¨ельдера u = f ∗g ∈ L∞ . Лемма 8.3.6. Если f ∈ Lp (R), 1 − Re α < 1/p < 1, а g1 (t) = g(−t), где g(t) — функция из леммы 8.3.4, то 1 1 f ∗ g1 ∈ Ls (R) и kf ∗ g1 ks 6 Akf kp , 1 − Re α = − , p s где A от f не зависит. Лемма 8.3.6 следует из теоремы Харди—Литтлвуда [68] о потенциале Рисса. Лемма 8.3.7. Если f ∈ Λβ (R), 0 < β < Re α, то f ∗ g1 ∈ Λ1−Re α+β (R). Доказательство. Его, как и в лемме 8.3.5, достаточно провести для свертки u = f ∗ g. Доказательство леммы 8.3.5 повторяется с единственной заменой: теперь вместо неравенства (8.3.6) применяется неравенство ° ° ° ∂F (x, y) ° −1+β ° ° , y > 0, ° ∂y ° 6 Ay ∞

которое обеспечивается условием f ∈ Λβ (R) и леммой 8.3.1 с m = 1, т.е. в доказательстве леммы 8.3.5 число −1/p заменяется числом β. В итоге мы и получаем лемму 8.3.7. Доказательство теоремы 8.3.1. Считаем, что a = π. Наша ближайшая цель — оценить функцию F (z), см. (7.1.27). В силу (8.3.2), dσ(t) = g(t)dt, где g(t) — функция из леммы 8.3.4. Поэтому при y > 0 Z0 F (z) = e−izt ϕ(t)dt, ϕ(t) = (f ∗ g1 )(t), g1 (t) = g(−t). (8.3.8) 2πi −2π

При фиксированном y > 0 F (x + iy) = 2πi

Z0 e−ixt ϕy (t)dt,

ϕy = eyt ϕ(t).

−2π

Обозначим через Φy (t) 2π-периодическое продолжение функции ϕy (t), −2π < t < 0. Повторяя известный прием оценки коэффициентов Фурье [15], получаем ¡ ¢ |F (x + iy)| 6 πω1 π|x|−1 ; Φy , (8.3.9)

8.3. БАЗИСЫ


Lp

29

где ω1 — периодический интегральный модуль непрерывности: 1 ω1 (δ; Φy ) := sup 06h6δ 2π

Z0 |∆Φy (t)|dt,

∆Φy (t) = Φy (t + h) − Φy (t).

−2π

Оценим ω1 (δ; Φy ), δ > 0. При 0 < h < 2π имеем Z−h k∆Φy (t)kL1 (−2π,0) =

Z0 |∆ϕy (t)|dt +

−2π

−h

Z−h 6

|ϕy (t + h − 2π) − ϕy (t)|dt 6 Z0

|∆ϕy (t)|dt + −2π

(8.3.10)

Z0 |ϕy (t + h − 2π)|dt +

−h

|ϕy (t)|dt = J1 + J2 + J3 .

−h

1) Случай 1 < p < 1/(1 − Re α). Начиная с этого момента, под k · kp понимаем норму в Lp на том интервале, который очевиден из контекста. По неравенству Г¨ельдера Z0 eyt |ϕ(t)|dt 6

J3 = −h

1 kϕkp . (p0 y)1/p0

(8.3.11)

Пусть 1/p − 1/s = 1 − Re α. Обозначим через r показатель, сопряженный с s/p, т.е. 1/r + p/s = 1. Снова применяя неравенство Г¨ельдера, а затем лемму 8.3.6, по которой kϕks 6 M · kf kp , найдем Z0 kϕkpp

|ϕ(t)|p dt 6 Ckϕkps · h1/r = Ckϕkps · h1−p/s ,

= −h

kϕkp 6 C1 kϕks · h1/p−1/s 6 Ckf kp · h1−Re α . Подставляя это в (8.3.11) и поступая аналогично с J2 , получаем 0

J2 , J3 6 Ckf kp h1−Re α y −1/p .

(8.3.12)

Далее, так как ∆ϕy (t) = ey(t+h) ∆ϕ(t) + eyt (ehy − 1)ϕ(t) при t ∈ (−2π, −h), то Z−h J1 6

e

y(t+h)

¡ |∆ϕ(t)|dt + ehy − 1)

−2π

Z−h eyt |ϕ(t)|dt = K1 + K2 .

(8.3.13)

−2π

По неравенству Г¨ельдера, по свойству свертки kf ∗ gkp 6 kf kp · kgk1 и по лемме 8.3.4 имеем K1 6

Ckf kp · h1−Re α 1 1 k∆ϕk 6 kf k · k∆g k 6 . p p 1 1 (p0 y)1/p0 (p0 y)1/p0 y 1/p0

(8.3.14)

По неравенству Г¨ельдера и по лемме 8.3.6 ¡ ¢ e−hy 1 − e−hy K2 6 ehy − 1 kϕk 6 Ckf kp . s (ly)1/s0 (ly)1/s0 Но 1 − e−hy 6 hy, а 1/s0 − 1 = −1/s = 1 − Re α − 1/p. Поэтому K2 6 C1 kf kp · hy Re α+1/p−1 .

(8.3.15)

Подставим (8.3.14) и (8.3.15) в (8.3.13); затем полученную оценку для J1 вместе с оценкой (8.3.12) для J2 , J3 подставим в (8.3.10). Будем иметь ¡ ¢ 0 ω1 (δ; Φy ) 6 Ckf kp δ 1−Re α 1 + (δy)Re α y −1/p . В силу (8.3.9), для y > 0 отсюда получаем ¡ ¢ 0 |F (z)| 6 C1 kf kp 1 + | tg θ|Re α y −1/p |x|Re α−1 ,

z = x + iy = reiθ .

30



Если y < 0, то рассуждения аналогичны. В итоге имеем оценку ¯ Ckf kp π ¯¯ π ¯ θ 6= 0, π. |F (z)| 6 1/p0 1−Re α , ¯θ ± ¯ > , 2 4 |y| r

(8.3.16)

2) Случай 1/(1 − Re α) < p 6 ∞. Теперь вместо леммы 8.3.6 применяется лемма 8.3.5, по которой ϕ ∈ Λ1−Re α−1/p (R) и C1−Re α−1/p (ϕ) 6 M kf kp . Ясно, что и |ϕ| ∈ Λ1−Re α−1/p (R) с той же оценкой липшицевой константы. По лемме 8.2.1 ϕ(±2π) = 0. Кроме того, в силу (8.2.3), ϕ(0) = 0, так как f ∈ Lpdσ (L∞ dσ := Cdσ ). Поэтому при y > 0 будем иметь Z0

Z0 yt

J3 =

1−Re α−1/p

e |ϕ(t) − ϕ(0)|dt 6 Ckf kp · h −h

eyt dt =

−h

= Ckf kp h1−Re α−1/p

1−

e−hy y

(8.3.17)

6 Ckf kp h2−Re α−1/p ,

так как 1 − e−hy < hy. Повторяя этот прием и используя равенство ϕ(t + h − 2π) = ϕ(t + h − 2π) − ϕ(−2π), видим, что такая же оценка верна для J2 . Оценка (8.3.14) для K1 сохраняется, так как при ее выводе мы не использовали специфику случая а). Оценим K2 . Интегрируя по частям и учитывая, что ϕ(−2π) = 0, |ϕ(−h)| = |ϕ(−h) − ϕ(0)| 6 Ckf kp h1−Re α−1/p , получаем Ã ! Z−h ehy − 1 −hy yt K2 = e |ϕ(−h)| − e d|ϕ(t)| 6 y (8.3.18) −2π 6 Ckf kp h2−Re α−1/p +

ehy − 1 |E(y)|, y

где за E(y) сохранено обозначение (8.2.11) с µ = |ϕ|. По лемме 8.2.3 |E(y)| 6 Ckf kp × 0 e−hy y Re α+1/p−1 , и значит, последний член в (8.3.18) не превосходит Ckf kp hy Re α−1/p . Таким образом, ¡ 0¢ K2 6 Ckf kp h2−Re α−1/p + hy Re α−1/p . Объединяя эту оценку с оценкой (8.3.14) для K1 , получаем оценку для J1 , которая вместе с оценкой (8.3.17) для J2 , J3 дает ¡ 0 0¢ k∆Φy (t)kL1 (−2π,0) 6 Ckf kp h1−Re α y −1/p + h2−Re α−1/p + hy Re α−1/p . Следовательно,

¡ ¢ 0 0 ω1 (δ; Φy ) 6 Ckf kp δ 1−Re α 1 + (δy)1/p + (δy)Re α y −1/p , и в силу (8.3.9) при y > 0 имеем ¡ ¢ 0 0 |F (z)| 6 Ckf kp 1 + | tg θ|1/p + | tg θ|Re α y −1/p |x|Re α−1 . После аналогичных рассуждений для полуплоскости y < 0 получаем ту же оценку с естественной заменой y на |y|. Вывод: и в случае 1 − Re α > 1/p оценка (8.3.16) имеет место. По формулам (7.1.28) функция F (z), аналитическая в полуплоскостях Im z ≷ 0, ограничена в 0 них. Значит, функции F (z)z 1/p +1−Re α имеют минимальный тип при порядке 1 в секторах |θ ± π/2| 6 π/4. В силу (8.3.16) на границах этих секторов они ограничены константой Ckf kp . По теореме Фрагмена—Линдел¨ефа эти функции ограничены в секторах той же константой, т.е. ¯ π ¯¯ π 0 ¯ |F (z)| 6 Ckf kp r−1/p −1+Re α , ¯θ ± ¯ 6 . 2 4 И так как в этих секторах |y| ³ r, то учитывая (8.3.16), для всех невещественных z получаем единообразную оценку 0 |F (z)| 6 Ckf kp |y|−1/p rRe α−1 , y 6= 0. (8.3.19) Теперь мы можем заняться непосредственным анализом формул из п. 7.1, сохраняя за Sr (t, f ), Sr+ (t, f ), Rr+ (t, f ) обозначения (7.1.8), (7.1.10). Не снижая общности, считаем, что на мнимой оси

8.3. БАЗИСЫ


Lp

31

нет точек Λ. Фиксируем подходящую последовательность rk ↑ ∞; это возможно по теореме 3.1.4. По этой же теореме |L(z)| > Ceπ|y| rRe α−1 , r = |z| = rk . (8.3.20) Пользуясь формулой (7.1.15) Z F (z) Rr+ (t, f ) = eizt dz, r = rk , (8.3.21) L(z) γr+

где γr+ = (z : |z| = r, Re z > 0) ∪ [−ir, ir], оценим |Rr+ (t, f )| при |t| < π, r = rk , и при f : f ∈ Lp , если 1 < p < 1/(1 − Re α) и f ∈ Lpdσ , если 1/(1 − Re α) < p. В силу (8.3.21), (8.3.19), (8.3.20), имеем Z 0 + |Rr (t, f )| 6 Ckf kp e|y|(|t|−π) |y|−1/p |dz| = Ckf kp (R1 + R2 ), γr+

Zr R1 = −r

Теперь

Z∞ R1 < 2 0

Zπ/2 R2 < C1 0

e−|y|(π−|t|) dy, |y|1/p0

Zπ/2 R2 =

e−r| sin θ|(π−|t|) r dθ. r| sin θ|1/p0

−π/2

2 e−y(π−|t|) dy = y 1/p0 (π − |t|)1/p

Z∞ 0

e−u C du = , u1/p0 (π − |t|)1/p

e−(2/π)rθ(π−|t|) C2 r dθ < 0 1/p (rθ) (π − |t|)1/p

Z∞ 0

e−u C , 0 du = 1/p u (π − |t|)1/p

|t| < π, где C > 0 от r = rk не зависит. Таким образом, |Rr+ (t, f )| 6 M kf kp (π − |t|)−1/p ,

|t| < π,

r = rk .

(8.3.22)

1) Случай 1 < p < 1/(1 − Re α). Оценка (8.3.22) показывает, что операторы Rr+ , r = rk , имеют слабый тип (p, p), причем константа слабого типа от k не зависит. По интерполяционной теореме Марцинкевича нормы операторов Rr+ , действующих из Lp (−π, π) в Lp (−π, π), ограничены в совокупности. А нормы операторов Zr eiut fb(u)du, r > 0, 0

ограничены в совокупности по теореме М. Рисса. Но тогда по формуле (7.1.10), также и нормы операторов Sr+ , r = rk , ограничены в совокупности. Далее, если f — (конечная) линейная комбинация функций системы e(Λ), а r достаточно велико, то по построению X X Sr+ : Pmn −1 (t)eiλn t → Pmn −1 (t)eiλn t . Re λn >0

И так как указанные линейные комбинации плотны в Lp (−π, π) (по следствию 4.3.2, и оценке (8.3.20), верной вне некоторой горизонтальной полосы), то по теореме Банаха—Штейнгауза последовательность операторов Sr+k сходится к некоторому ограниченному в Lp оператору S + . Ясно, что оператор S + как раз является тем проектором, который фигурирует в определении базиса со свойством Рисса. Остается убедиться, что e(Λ) — базис в Lp . Применим оценки (8.3.19), (8.3.20) к формуле (7.1.9). Получим, что |Rr (t, f )| 6 2Ckf kp R2 , r = rk , где R2 имеет прежний смысл. Значит, для Rr (t, f ) верна оценка (8.3.22). Она приводит к тому, что и последовательность операторов Srk сходится к ограниченному в Lp оператору S. Если f — линейная комбинация системы e(Λ), множество которых плотно в Lp , то Sf = f , т.е. S — единичный оператор. Таким образом, для любой функции f ∈ Lp имеем Srk (t, f ) → f в

32



норме Lp (−π, π). Отсюда, используя рассуждения из начала доказательства теоремы 8.2.4 (перед формулой (8.2.30)), получаем, что для любой функции f ∈ Lp ее биортогональный ряд (8.3.3) сходится к ней в Lp (−π, π). В итоге система e(Λ) образует базис в Lp (−π, π). Случай 1 1/p > 0. Здесь небольшой дополнительный шаг вызван неполнотой системы 0 e(Λ) в Lp (по построению e(Λ) аннулируется функцией из Lp ). По оценке (8.3.20), верной вне горизонтальной полосы, и по следствию 4.3.2, примененному к порождающей функции (z − µ)L(z), система e(Λ) ∪ (eiµt ), µ 6∈ Λ, полна в Lp . По следствию 4.1.2 она минимальна в Lp . Значит, если фиксировать µ 6= λn , то пространство Lp есть прямая сумма Lpdσ и одномерного подпространства, натянутого на eiµt . Поэтому если f1 ∈ Lp , то обозначив через f проекцию f1 на Lpdσ , имеем kf kp 6 Ckf1 kp , где C от f1 не зависит. Рассмотрим ряд (8.3.3), построенный относительно f . Как мы показали, верна оценка (8.3.22). Для дальнейшего применения теоремы Марцинкевича нужно, чтобы рассматриваемые операторы Rr+ , Rr и Sr+ , Sr были заданы на всем пространстве Lp . Но это так — ведь оператор Rr+ (Rr ) (а то же верно и для Sr+ (Sr )) есть итог композиции операторов f1 → f → Rr+ (Rr ), где f1 — произвольный элемент пространства Lp . С учетом подчиненности норм kf k и kf1 k, и рассуждений, отвечающих случаю 1), заключаем, что система e(Λ), пополненная функцией eiµt , образует в Lp базис, обладающий свойством Рисса. А это равносильно требуемому утверждению. Случай 1 − Re α > 0 также разобран. 3) На этот раз оценки (8.3.20) и (8.3.19) (с p0 = 1) применяем к формуле (7.1.17). Получаем, что при |t| < a, r = rk ¯ Z ¯ ¯ K(z/r) ¯ ¯ ¯ |Rr (t, f ; K)| 6 Ckf k∞ ¯ y ¯ · |dz| 6 C1 kf k∞ , |z|=r

благодаря условию на ядро K. Так как K(z) — ядро суммирования, то ¯ Zr ¯ ¯ ³u´ ¯ ¯ ¯ du¯ 6 Ckf k∞ , |t| < π. ¯ eiut fb(u)K ¯ ¯ r −r

Но тогда и |Sr (t, f ; K)| 6 Ckf k∞ , |t| < π, r = rk . После этого доказательство утверждения 3) заканчивается так же, как в теореме 7.2.2; единственное изменение состоит в том, что теперь для доказательства полноты системы e(Λ) в C вместо оценки (7.2.17), используется оценка (8.3.20). Утверждение 3) доказано. 4) Достаточно считать, что 0 < β < Re α. Тогда по лемме 8.3.7 ϕ = f ∗ g1 ∈ Λ1−Re α+β . По лемме 8.2.3, примененной к формуле (8.2.5) и к ее «двойнику» при y < 0, имеем оценку |F (z)| 6 C/(|z| · |y|1−Re α+β ), y 6= 0. Подставляя ее вместе с оценкой (8.3.20) в формулу (7.1.12), получаем C |Rr (t, f )| 6 β r

Zπ/2 0

dθ θ1−Re α+β

(1 + α)/(2p) и Re ∆ > (1 + α)/2 соответственно при 1 0 (см. (3.1.40)). Действительно, (8.4.3) показывает, что система (8.4.1) аннулируется на (−π, π) функцией f (t) = c sin(t/2)(cos(t/2))2∆−1 . Ясно, что f ∈ C(−π, π) и |f (t)| ∼ c× ×(π − |t|)2 Re ∆−1 при t → ±π. Пусть Re ∆ > (1 + α)/(2p). Тогда если 1 (1 + α)/2; тогда 2 Re ∆ − 1 > α и 1 ∗ f ∈ L∞ −α,π = (Lα,π ) . Итак, во всех случаях система (8.4.1) аннулируется ненулевым функционалом p на Lα,π и потому неполна. Теорема 8.4.1 доказана. Теорема 8.4.2. Пусть выполнены условия (8.4.2). Тогда следующие условия эквивалентны: 1) система (8.4.1) минимальна в Lpα,π ; 2) система (8.4.1) равномерно минимальна в Lpα,π ; 1+α 1 3) Re ∆ > − при 1 2p 2 Лемма 8.4.1. Пусть система e(Λ∆ ) минимальна в Lpα,π . Тогда системы e(Λ∆ ), эквивалентны в

e(Λ∆+1/2 ) ∪ {eiµt },

µ 6∈ Λ∆+1/2

Lpα,π .

Доказательство. Умножим все функции системы e(Λ∆ ) на eit/2 . Очевидно, придем к эквивалентной системе ¡ i(m−∆+1/2) ¢−∞ ¡ i(n+∆+1/2) ¢∞ e , eit/2 , e . (8.4.4) m=−1 n=1

В частности, эта система минимальна в Lpα,π . Заменим функцию из первой подсистемы в (8.4.4) с m = −1 на функцию 1 = ei0t . По следствию 4.1.4 полученная система останется минимальной в Lpα,π , а по лемме 6.2.4 она эквивалентна системе (8.4.4), а значит, и системе e(Λ∆ ). Очевидно, эта система имеет вид e(Λ∆+1/2 ) ∪ {eit/2 }. По тем же соображениям в ней eit/2 можно заменить на eiµt . Лемма 8.4.1 доказана.

34



Лемма 8.4.2. Пусть | Im λn | 6 h < +∞. Тогда равномерная минимальность системы (eiλn t ) в L1 (−π, π) влечет ее равномерную минимальность в Lpα,π , 1 6 p 6 ∞, если выполнены условия (8.4.2). Доказательство. Из условия | Im λn | 6 h следует почти нормированность системы (eiλn t ) во всех рассматриваемых пространствах. Поэтому равномерная минимальность этой системы в Lpα,π равносильна тому, что ° ° ° iλ t X ° iλk t ° °e n − c e (8.4.5) k ° ° > δ > 0 для всех n и ck . p,α

k6=n Lpα,π

L1 ,

Но благодаря условиям (8.4.2), ,→ т.е. kf k1 6 Ckf kα,π . Таким образом, беря в качестве f функцию под знаком нормы в (8.4.5), получаем, что kf kp,α > C1 kf k1 > δ1 > 0 для всех n и ck по условию. А это и означает равномерную минимальность системы (eiλn t ) в Lpα,π . Лемма 8.4.2 доказана. Лемма 8.4.3. Пусть B — банахово пространство, пусть en ∈ B, n ∈ Z+ , причем система en , n > 0 минимальна, а система en , n > 1 равномерно минимальна. Тогда система en , n > 0 равномерно минимальна. Доказательство. Считаем, что система en нормирована. Предположим противное: система en , n > 0 не является равномерно минимальной. Тогда найдутся nj → ∞ и ck (j) такие, что ° ° X ° ° °en − c0 (j)e0 − ck (j)ek ° (8.4.6) ° j ° → 0. k6=0,nj

Если c0 (j) → 0, то из (8.4.6) следует, что dist(enj , clos(ek : k 6= 0, nj )) → 0. А это противоречит равномерной минимальности системы en , n > 1. Если |c0 (j)| > δ > 0 для некоторой подпоследовательности индексов, то вынося в (8.4.6) |c0 (j)| за знак нормы, получаем, что dist(e0 , clos(ek , k > 1)) = 0, что противоречит минимальности системы en , n > 0. Лемма 8.4.3 доказана. Доказательство теоремы 8.4.2. Применяя последовательно лемму 8.4.1 и следствие 4.1.2, заключаем, что минимальность системы e(Λ∆ ) в Lpα,π равносильна полноте системы e(Λ∆+1/2 ), после чего утверждение о том, что 1) ⇐⇒ 3), следует из теоремы 8.4.1. Остается доказать равномерную минимальность системы (8.4.1) в Lpα,π , если выполнено условие 3). В случае Re ∆ > 0 достаточно, в силу леммы 8.4.2, доказать равномерную минимальность системы e(Λ∆ ) в L1 . Пусть сначала 0 < Re ∆ 6 1/2. Пусть λn = n + ∆ sign n, n ∈ Z. Объединяя две формулы (8.4.4) и (7.1.21), видим, что для биортогональной системы hn (t) к системе (8.4.1) верно соотношение Zt 0

−iλn t

L (λn )hn (t) = −ie

eiλn v f (v)dv = −ie−iλn t (I− + I0 + I+ ),

(8.4.7)

−π

где f (t) = c sin(t/2)(cos(t/2))2∆−1 , а интегрирование в I− , I0 , I+ ведется соответственно по интервалам (−π, −π + 1/|n|), |t| < π − 1/|n|, (π − 1/|n|, π). Очевидно, f ∈ V (|t| 6 π − 1/|n|), причем var f = O(|n|1−2 Re ∆ ). Поэтому интегрирование по частям дает оценку ¡ ¢ ¡ ¢ I0 = |λn |−1 O |n|1−2 Re ∆ = O |n|−2 Re ∆ . Далее, в силу явного вида f (t) Zπ I+ 6 C

¡ ¢ (π − t)2 Re ∆−1 dt = O |n|−2 Re ∆ ,

π−1/|n|

и такая же оценка верна для I− . По замечанию 3.1.2 |L(z)| ³ |z|−2 Re ∆ на окружностях γn = (z : |z − λn | = δ < 1/2). Представляя 1/L0 (λn ) интегралом Коши по γn от функции 1/L(z) и применяя эту оценку, получаем неравенство |L0 (λn )| > C|λn |−2 Re ∆ , n 6= 0. Подставляя его вместе с полученными оценками для I± , I0 в (8.4.7), видим, что khn k∞ 6 C < +∞ для всех n. А это и означает равномерную минимальность системы (8.4.1) в L1 .

8.4. АППРОКСИМАЦИОННЫЕ

СВОЙСТВА СИСТЕМЫ

exp(i(n + ∆ sign n)t)

35

Если 1/2 < Re ∆ 6 1, то по лемме 8.4.1 система e(Λ∆ ) ∪ {eiµt } эквивалентна системе e(Λ∆−1/2 ). По только что доказанному, последняя равномерно минимальна в L1 . Значит, этим свойством обладает система e(Λ∆ ) ∪ {eiµt } и, очевидно, ее подсистема e(Λ∆ ). Аналогично рассматривается случай 1 < Re ∆ 6 3/2 и т.д. В итоге для Re ∆ > 0 теорема 8.4.2 доказана. Пусть Re ∆ 6 0 и выполнено условие 3), показывающее, в частности, что Re ∆ > −1/2. По доказанной импликации 3) =⇒ 1) система e(Λ∆ ) минимальна в Lpα,π . По лемме 8.4.1 она эквивалентна системе e(Λ∆+1/2 ) ∪ {eiµt }. В частности, последняя система минимальна. Так как ∆ + 1/2 > 0, то по доказанной части система e(Λ∆+1/2 ) равномерно минимальна в Lpα,π . По лемме 8.4.3 система e(Λ∆+1/2 ) ∪ {eiµt }, а значит, и эквивалентная ей система e(Λ∆ ) равномерно минимальна в Lpα,π . Теорема 8.4.2 доказана полностью. Теорема 8.4.3. Пусть 1 < p < ∞ и max(0, p − 2) 6 α < p − 1 или α = 0.

(8.4.8)

Тогда следующие условия эквивалентны: 1) система (8.4.1) образует базис в Lpα,π ; 2) система (8.4.1) образует базис в Lpα,π , обладающий свойством Рисса; 3) при соответствии ei(n+∆ sign n)t ↔ eint система (8.4.1) образует в Lpα,π базис, эквивалентный тригонометрическому базису eint , n ∈ Z; 1+α 1 1+α − < Re ∆ < . 4) 2p 2 2p Доказательство. Предварительно заметим, что тригонометрическая система eint , n ∈ Z образует в Lpα,π , 1 < p < ∞, 0 6 α < p − 1, базис, обладающий свойством Рисса (при α = 0 — по теореме М. Рисса, а в остальных случаях — по теореме 8.1.1). Сначала рассмотрим весовой случай, отвечающий первому условию (8.4.8). Пусть выполнено условие 4). Тогда по замечанию 3.1.2 для порождающей функции (8.4.3) системы (8.4.1) вне кружков одинакового радиуса с центами в точках λn = n + ∆ sign n верна оценка |L(z)| ³ |z|−2 Re ∆ eπ|y| . По следствию 8.1.1 система (8.4.1) образует в Lpα,π базис, обладающий свойством Рисса. Таким образом, 4) ⇒ 2). Импликация 2) ⇒ 1) тривиальна. Докажем импликацию 2) ⇒ 3), рассматривая вместо (8.4.1) эквивалентную ей систему ¡ i(n+∆)t ¢+∞ ¡ −i(n+∆)t ¢+∞ e ∪ e . n=0 n=1 Для произвольной функции f ∈ Lpα,π ее негармонический ряд по этой системе запишем в виде f (t) =

∞ X n=0

cn ei(n+∆)t +

∞ X

c−n e−i(n+∆)t =: ei∆t f+ (t) + e−i∆t f− (t),

n=1

где в силу 2), оба тригонометрических ряда f± (t) сходятся в Lpα,π , и kf± kp,α 6 Ckf kp,α . Поэтому если ввести оператор T по правилу X T f = f+ + f− = cn eint , n∈Z

то kT k 6 2C. Аналогично доказывается ограниченность обратного оператора T −1 . Импликация 2) ⇒ 3) верна. Рассмотрим теперь невесовой случай, т.е. пусть выполнено второе условие (8.4.8). Тогда при 0 < Re ∆ < 1/2 для функции L(z), в силу (8.4.3), выполнены условия теоремы 8.3.1. По этой теореме система (8.4.1) образует в Lp базис, обладающий свойством Рисса. При 1/(2p) − 1/2 < Re ∆ < 0 то же утверждение верно по замечанию 8.3.1 к упомянутой теореме (см. конец п. refsec8.3). А при Re ∆ = 0 оно верно по следствию 8.1.3 и по теореме Рисса. Итак, 4) ⇒ 2) ⇒ 1), после чего импликация 2) ⇒ 3) доказывается так же, как в весовом случае. Пусть выполнено условие 1) (теперь мы уже не различаем двух случаев (8.4.8)). Так как полнота и минимальность являются необходимыми условиями базиса, то по теоремам 8.4.1, 8.4.2 получаем

36



(1 + α)/(2p) − 1/2 < Re ∆ 6 (1 + α)/(2p), и для доказательства импликации 1) ⇒ 4) остается показать, что при Re ∆ = (1 + α)/(2p) система (8.4.1) не является базисом в Lpα,π . Итак, доказательство теоремы 8.4.3 будет закончено, если мы докажем Предложение 8.4.1. Пусть 1 < p < ∞, −1 < α < p − 1. Тогда при Re ∆ = (1 + α)/(2p) система (8.4.1) не образует базиса в Lpα,π , будучи полной и равномерно минимальной в этом пространстве. Утверждение о полноте и равномерной минимальности содержится в теоремах 8.4.1, 8.4.2. Для доказательства основной части об отсутствии базиса понадобится Лемма 8.4.4. Если ϕ ∈ C N [a, b], 0 < Re γ < 1, то при x → +∞ Zb a

µ µ ¶ N −1 X eixt ϕ(t)dt Γ(n + 1 − γ) iax+iπ(1−α+n)/2 dn ϕ(a) = e · n + (b − t)γ (t − a)γ n!xn+1−γ da (b − a)γ n=0 µ ¶¶ µ ¶ n ϕ(b) 1 ibx−iπ(1−α−n)/2 d +O N . +e · n db (b − a)γ x

Для вещественных γ лемма 8.4.4 доказана в [45] со ссылкой на соответствующий факт из [18]. На комплексные γ доказательство как результата из [18], так и леммы 8.4.4, распространяется без существенных изменений. Доказательство предложения 8.4.1. В силу (8.4.3), µ ¶ Zπ t π 2 − t2 1−2∆ ϕ(t)dt 0 L (x) = , ϕ(t) = ct sin , eixt 2 (π − t2 )1−2∆ 2 cos(t/2) −π

и полагая b = −a = π, N = 2, с помощью леммы 8.4.4 заключаем, что при x → +∞ µ ¶ µ ¶ 1 1 L0 (x) = Ax−2∆ cos π(x + ∆) + Bx−2∆−1 cos π x + − ∆ + O 2 , 2 x где A = 2ϕ(π)Γ(2∆)(2π)2∆−1 6= 0. Отсюда при x = λn = n + ∆, Re ∆ = (1 + α)/(2p), n > 0, получаем ¡ ¢ L0 (λn ) = A(−1)n · λn−(1+α)/p + O n−2 , n → ±∞, A 6= 0. (8.4.9) P iλ t n Рассмотрим негармонический ряд f (t) ∼ cn e , где λn = n + ∆ sign n, Re ∆ = (1 + α)/(2p), f (t) = eiµt , µ 6= λn . Последовательность (λn ) есть множество корней функции L(z). Так как все эти корни просты, то с помощью формулы (7.1.4) для коэффициента cn получаем выражение µ ¶ Zπ b L(µ) L(t) iµt dt = 0 cn = e . 0 L (λn )(t − λn ) L (λn )(µ − λn ) −π

Поэтому рассматриваемый негармонический ряд с точностью до постоянного множителя имеет вид X eiλn t . (λn − µ)L0 (λn ) Благодаря (8.4.9) и в силу четности

n∈Z 0 L (z), он

X n6=0

eiλn t λn L0 (λn )

отличается от ряда = 2i

∞ X sin λn t λn L0 (λn )

n=1

равномерно сходящимся на [−π, π] рядом. Снова применяя асимптотику (8.4.9), отделяя равномерно сходящийся ряд и игнорируя постоянный множитель, приходим к ряду ∞ X (−1)n sin λn t. n1−(1+α)/p n=1 Достаточно показать, что его вещественная часть расходится в Lpα,π .

8.4. АППРОКСИМАЦИОННЫЕ

СВОЙСТВА СИСТЕМЫ

exp(i(n + ∆ sign n)t)

37

Положим t = π − x, x ∈ (0, π), αn = Re λn = n + (1 + α)/(2p), β = Im ∆. Тогда µ ¶ 1+α n n (−1) Re sin λn (π − x) = (−1) sin αn (π − x) ch β(π − x) = sin π − αn x ch β(π − x), 2p и следовательно, при достаточно малом δ > 0 нам надо доказать расходимость в Lp ((0, δ), xα dx) ряда µ ¶ ∞ X 1 1+α sin π − αn x . (8.4.10) 2p n1−(1+α)/p n=1 Для фиксированного N ∈ N подберем xN > 0 столь малым, чтобы π(1 + α)/(2p) − α2N xN = π(1 + α)/(4p). Для этого следует положить xN = π(1 + α)/(4pα2N ) ³ 1/N . Тогда если 0 < x < xN и n 6 2N, то π(1 + α)/(4p) < π(1 + α)/(2p) − αn x 6 π(1 + α)/(2p). Так как 0 < (1 + α)/p < 1, то отсюда µ ¶ 1+α sin π − αn x > δ0 > 0 при 0 < x < xN , n = 1, N , 2p и отрезок ряда (8.4.10) при 0 < x < xN допускает оценку 2N 2N X X sin(π(1 + α)/(2p) − αn x) 1 > δ > δ1 N (1+α)/p , 0 1−(1+α)/p 1−(1+α)/p n (n + 1) n=N n=N

где δ1 от N не зависит. Значит, норма левой части в Lp ((0, xN ), xα dx) не меньше, чем Ã ZxN !1/p δ1 N (1+α)/p

xα dx

> ε0 > 0,

0

где ε0 не зависит от N . Подавно норма этого отрезка ряда (8.4.10) в Lp ((0, δ), xα dx) отделена от 0 равномерно по N . А это и означает расходимость ряда (8.4.10) в Lp ((0, δ), xα dx). Предложение 8.4.1 доказано. В данном случае это означает, что теорема 8.4.3 также доказана. Рассмотрим негармонический ряд функции f ∈ L1 (−π, π) по системе (8.4.1): X f (t) ∼ cn ei(n+∆ sign n)t . n∈Z

Пусть K(z) — ядро суммирования. Скажем, что система (8.4.1) образует в пространстве B ,→ L1 (−π, π) базис суммирования относительно метода K, если для любой функции f ∈ B ¶ µ N X n + ∆ sign n i(n+∆ sign n)t B cn K e −→ f (t), N → ∞. N + 1/2 n=−N

Теорема 8.4.4. Пусть ядро суммирования K(z) обладает свойством Z ¯ ¡ ¢¯ |θ|−1 ¯K eiθ ¯dθ < +∞. 0

Тогда при 0 < Re ∆ < 1/2 (−1/2 < Re ∆ < 0) система (8.4.1) образует в L1 (−π, π) (в C[−π, π]) базис суммирования относительно метода K. Доказательство. Из утверждения 2) теоремы 8.2.3 и из теоремы 8.3.1 получаем, беря rk = k + 1/2, что при 0 < Re ∆ < 1/2 система e(Λ∆ ) образует базис суммирования в L1 и в Cdσ относительно метода суммирования K (условия упомянутых теорем выполнены, благодаря тождеству (8.4.3)). Таким образом, для пространства L1 теорема 8.4.4 верна, и нам остается разобрать случай C. Пусть 0 < Re ∆ < 1/2. По лемме 8.4.1 система e(Λ∆ ) (полная и минимальная в C по теоремам 8.4.1, 8.4.2) эквивалентна в C системе e(Λ∆+1/2 ) ∪ {eiµt }, µ 6∈ Λ∆+1/2 . Рассуждая так же, как при доказательстве утверждения 2) теоремы 8.3.1, делаем вывод, что C есть прямая сумма Cdσ и одномерного подпространства, натянутого на eiµt . По доказанному система e(Λ∆+1/2 ) образует

38



в Cdσ базис относительно метода K. Но тогда система e(Λ∆+1/2 ) ∪ {eiµt } образует в C[−π, π] такой базис. В силу упомянутой выше эквивалентности этим свойством обладает и система e(Λ∆ ). Теорема 8.4.4 доказана. Замечание 8.4.1. В силу леммы 8.4.1, для системы ei(n+∆ sign n)t , n 6= 0, полученной из (8.4.1) удалением функции 1, теоремы 8.4.1–8.4.4 сохранят силу, если присутствующие в них константы уменьшить на 1/2 и в утверждении 3) теоремы 8.4.3 принять соответствие ei(n−∆)t ↔ eint , 8.5.

АППРОКСИМАЦИЯ

n < 0;

ei(n+∆)t ↔ ei(n−1)t ,

n > 0.

С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ В СОБОЛЕВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

Wpm

8.5.1. Через C m = C m [−a, a] и Wpm (−a, a), m ∈ N, 1 6 p < ∞, обозначаем пространство m раз непрерывно дифференцируемых функций на [−a, a] и пространство Соболева (m − 1 раз абсолютно непрерывных на [−a, a] функций) на (−a, a) соответственно с нормами kf kC m =

m X

kf (j) kC[−a,a] ,

kf kWpm =

j=0

m X

kf (j) kLp (−a,a) .

j=0

Полагаем C 0 = C = C[−a, a] и Wp0 = Lp = Lp (−a, a). При m ∈ Z+ введем прямое произведение q q Lm q := L ⊗ · · · ⊗ L ,

1 6 q 6 ∞,

где число сомножителей равно m + 1, т.е. Lm состоит из упорядоченных наборов f = q (f 0 , f 1 , . . . , f m ), где f j ∈ Lq . Пишем Lq вместо L0q . Норма в Lm q определяется так: kf kq,m :=

m X

kf j kLq .

j=0

(Lp )∗

Lq ,

∗ m Так как = 1 6 p < ∞, 1/p + 1/q = 1, то пространство (Lm p ) изоморфно пространству Lq , и произвольный функционал (= линейный непрерывный функционал) Φ на Lm p реализуется с помощью некоторого элемента f ∈ Lm следующим образом: q

Φ(g) =

m Za X

g j (t)f j (t)dt,

g = (g 0 , g 1 , . . . , g m ) ∈ Lm p .

j=0 −a

Отождествляя функцию g ∈ Wpm с упорядоченным набором (g, g 0 , . . . , g (m) ) ∈ Lm p и сопоставляя m есть подпространство в Lm . Поэтому произвольный функционал нормы в Wpm и Lm , видим, что W p p p на Wpm может быть реализован с помощью элемента f ∈ Lm q в виде m Z X

a

(f, g) =

g (j) (t)f j (t)dt,

g ∈ Wpm ,

j=0−a m и наоборот, если f ∈ Lm q , то правая часть задает функционал на Wp . m m m Если вместо Wp рассматривается пространство C , то Lq заменяется на V m := V ⊗ · · · ⊗ V , где число сомножителей равно m + 1, а V = V 0 = V [−a, a], т.е. V m состоит из упорядоченных наборов σ = (σ 0 , σ 1 , . . . , σ m ), σ j ∈ V . Произвольный функционал на C m реализуется с помощью некоторого элемента σ ∈ V m по правилу m Za X (dσ, g) = g (j) (t)dσ j (t), g ∈ C m. j=0 −a

Заметим, что между множеством функционалов Φ на Wpm (C m ) и множеством элементов f ∈ Lm q (σ ∈ V m ) при m ∈ N уже нет взаимно однозначного соответствия. В частности, нетривиальный элемент может задавать нулевой функционал; например, элемент (f 0 , f ), где f ∈ C 1 [−a, a], f (a) = f (−a) = 0, задает нулевой функционал на Wp1 (что следует из интегрирования по частям).

8.5. АППРОКСИМАЦИЯ


Wpm

39

m классы ц.ф. соответственно вида Обозначим через F Lm q и FV zt

F (z) = (f, e ) =

m X

Za z

j=0

F (z) = (dσ, ezt ) =

m X j=0

j

ezt f j (t)dt,

f ∈ Lm q ,

−a

(8.5.1)

Za zj

ezt dσ j (t),

σ ∈ V m.

−a

Лемма 8.5.1. Пусть µ 6∈ Z. Тогда система ¡ int ¢ ¡ j ¢m e ∪ t j=1 ∪ eiµt n∈Z полна в C m [−π, π] и Wpm (−π, π), m ∈ Z+ (при m = 0 множество (tj ) считается пустым). Доказательство. Его достаточно провести для пространства C m , m ∈ N. Пусть f ∈ C m ; тогда f (m) ∈ C, и так как µ 6∈ Z, то при подходящем am ∈ C функция f (m) (t) − am eiµt 2π-периодична. По теореме Фейера c0 +

X0 ¡ ¢ (m) iµt 1 − |n|N −1 cn eint −→ −→ f (t) − am e ,

N → ∞.

|n|6N

Интегрируя это по [0, t] (|t| 6 π), имеем Am−1 + c0 t +

X0 ¡ ¢ cn ¡ int ¢ f 1 − |n|N −1 e − 1 −→ −→ in

(m−1)

(t) − am−1 eiµt ,

(8.5.2)

|n|6N

где Am−1 = f (m−1) (0) − am /(iµ). Так как (cn ) ∈ l2 , то (8.5.2) записывается в виде Bm−1 + c0 t +

f X0 ¡ ¢ cn int −→ 1 − |n|N −1 e −→ in

(m−1)

(t) − am−1 eiµt

|n|6N

и снова интегрируется, и т. д. После m шагов получаем a0 eiµt + Pm (t) +

f X0 ¡ ¢ cn int −→ 1 − |n|N −1 e −→ (t), (in)m

N → ∞,

(8.5.3)

|n|6N

где Pm (t) — некоторый многочлен степени m. Мы показали, что левая часть в (8.5.3) сходится к f в C m , и требуемая полнота имеет место. Лемма 8.5.1 доказана. m Лемма 8.5.2. Нетривиальность элемента f ∈ Lm q (σ ∈ V ), m ∈ Z+ , как функционала на m (на C ) равносильна нетривиальности ц.ф. F (z) = (f, ezt ) (= (dσ, ezt )).

Wpm

Доказательство. Ввиду аналогии его проведем для пространства Wpm ; так же будем поступать и в дальнейшем. Пусть F 6≡ 0. Тогда (f, ez0 t ) 6= 0 для некоторой точки z0 , что означает нетривиальность соответствующего функционала. Если же F (z) = (f, ezt ) ≡ 0, то тогда, в частности, F (iZ) = F (iµ) = F (j) (0) = 0 при j = 1, m. Но это означает, что данный функционал аннулирует систему из леммы 8.5.1, которая полна в Wpm . Значит, рассматриваемый функционал тривиален. Лемма доказана. Лемма 8.5.3. Неполнота системы ¡ ¢∞ e(Λ) = eλn t , teλn t , . . . , tmn −1 eλn t n=0 ,

(8.5.4)

m ассоциированной с последовательностью Λ = (λn ; mn )∞ n=0 (λn ∈ C), в пространстве Wp , 1 6 m p < ∞ (в C m ), m ∈ Z+ , равносильна существованию нетривиальной ц.ф. F (z) ∈ F Lm q (∈ F V ), такой, что F (Λ) = 0.

40



Доказательство. Можно считать, что a = π. Неполнота системы (8.5.4) в Wpm равносильна суm ществованию нетривиального элемента f ∈ Lm q как функционала на Wp , аннулирующего систему (8.5.4): (f, e(Λ)) = 0. Рассмотрим ц.ф. F (z) = (f, ezt ). Она принадлежит F Lm q , и по лемzt в степенной ряд), что ме 8.5.2 F¡6≡ 0. Нетрудно обосновать (например, с помощью разложения e ¡ ¢ F (l) (z) = f, ezt )(l) = f, tl ezt . Поэтому условие (f, e(Λ)) = 0 равносильно условию F (Λ) = 0, и лемма 8.5.3 доказана. Лемма 8.5.4. Пусть λ — корень функции F ∈ F V m (∈ F Lm q ), m ∈ N. Тогда F (z) ∈ F V m−1 z−λ

(∈ F Lm−1 ). q

Доказательство. Его проведем для случая F ∈ V m , т.е. F (z) — функция (8.5.1). Запишем F (z) в виде Za Za m m X X zt j j j (z − λ ) ezt dσ j (t). (8.5.5) F (z) = λj e dσ (t) + Первую сумму

j=0

P 1

j=1

−a

−a

в правой части записываем в виде X 1

=

m X

Za j

λ

j=0

Zt e

(z−λ)t

d

−a

eλv dσ j (v),

−a

после чего интегрируем по частям. Получаем Za Za m X X j (z−λ)a λv j = λ e e dσ (v) + (z − λ) ezt ds(t), 1

j=0

где

−a

Ã

Zt e−λu

s(t) =

−a m X j=0

−a

(8.5.6)

Zu λj

! eλv dσ j (v) du.

−a

Очевидно, s(t) ∈ V . Первая сумма в правой части (8.5.6) есть ea(z−λ) F (λ) = 0 (по условию). Учитывая это, подставляя (8.5.6) в (8.5.5) и деля полученное на (z − λ), находим Za Za m X ¡ j−1 ¢ F (z) zt j−2 j−1 = e ds(t) + z + λz + ··· + λ ezt dσ j (t). z−λ −a

j=1

−a

А это и означает, что F (z)/(z − λ) ∈ F V m−1 . Лемма 8.5.4 доказана. Лемма 8.5.5. Если некоторая функция системы (8.5.4) принадлежит замыканию в Wpm (в C m ) линейной оболочки остальных функций системы, то это замыкание совпадает с Wpm (с C m ). Доказательство. Пусть сначала функция, о которой идет речь, есть tmk −1 eλk t , т.е. это экспонента со старшим степенным множителем. Обозначим Λk = (λn ; mn )n6=k ∪ (λk ; mk − 1). По предположению tmk −1 eλk t ∈ clos e(Λk ). (8.5.7) m Надо доказать полноту системы e(Λk ) в Wp . Предположим, что это не так. Тогда по лемме 8.5.3 найдется нетривиальная ц.ф. F (z) = (f, ezt ), f ∈ Lm q , такая, что F (Λk ) = 0. В частности, точка λk является корнем функции F (z) кратности s > mk − 1. Если s = mk − 1, то (f, e(Λk )) = 0, (f, tmk −1 eλk t ) 6= 0. Отсюда следует, что tmk −1 eλk t 6∈ clos e(Λk ), а это противоречит (8.5.7). Если же s > mk − 1, то перейдем к функции G(z) = F (z)/(z − λk )s−(mk −1) . Имеем G 6≡ 0, G(Λk ) = 0, причем λk — корень G(z) кратности mk − 1, и по лемме 8.5.4 G ∈ F Lm q . Это означает, что мы свели второй подслучай к предыдущему; в итоге случай (8.5.7) разобран. Остается разобрать случай, когда при некоторых k ∈ Z+ , 0 6 j < mk − 1 ¡ ¢ tj eλk t ∈ clos e(Λjk ), e(Λjk ) = e(Λ)\ tj eλk t .

8.5. АППРОКСИМАЦИЯ


Wpm

41

Найдется последовательность qn линейных комбинаций системы e(Λjk ), сходящаяся к tj eλk t в Wpm , n → ∞. Обозначим через ank коэффициент при tmk −1 eλk t в qn . Если бы |ank | > δ > 0 для некоторой последовательности индексов n = ni , то из сходимости qn → tj eλk t , n = ni → ∞ следовало бы свойство (8.5.7), которое, как мы видели, приводит к противоречию. Значит, ank → 0, n → 0. Но тогда можно считать, что элемент tmk −1 eλk t в системе e(Λjk ) отсутствует. Теперь обозначим через bnk коэффициент при tmk −2 eλk t в qn . Повторяя рассуждения, приходим к тому, что и этот элемент в e(Λjk ) можно считать отсутствующим. После нескольких шагов получаем, что точке λk в системе (8.5.4) отвечают функции tl eλk t , l = 0, j, т.е. показатель j — старший из участвующих. А этот случай уже рассмотрен. Лемма 8.5.5 доказана. Наряду с системой (8.5.4) рассмотрим следующую систему экспонент: e(M ) : M ⊃ Λ,

nM (t) = nΛ (t) + m,

t > t0 .

(8.5.8)

Условие (8.5.8) выполнено, например, если Λ = (λn ), Z = (zj )m j=1 , Λ ∩ Z = ∅ и M = Λ ∪ Z. Лемма 8.5.6. Система (8.5.4) неполна в Wpm (в C m ) тогда и только тогда, когда система (8.5.8) с m = 1 минимальна в Wpm (в C m ). Доказательство. Система (8.5.8) с m = 1 получена из системы e(Λ) либо присоединением функции eµt , µ 6∈ Λ, либо увеличением кратности одной из точек Λ на единицу. Рассмотрим первый случай M = Λ ∪ µ, µ 6∈ Λ; второй разбирается аналогично. Пусть система (8.5.4) неполна в Wpm . По лемме 8.5.5 eµt 6∈ clos e(Λ), и для доказательства минимальности достаточно убедиться, что никакой элемент системы (8.5.4) не принадлежит замыканию линейной оболочки остальных ее функций с добавленной функцией eµt . Предположим противное: при некоторых k ∈ Z+ , 0 6 j 6 mk − 1 ³ ¡ ´ ¢ ¡ ¢mk −1 µt tj eλk t ∈ clos e (λn ; mn )n6=k ∪ ts eλk t s=0,6 ∪ e . (8.5.9) =j Тогда найдется последовательность qn линейных комбинаций системы под знаком clos, сходящаяся к tj eλk t в Wpm . Обозначим через an коэффициент при eµt в qn . Если an → 0, n → ∞, то мы можем считать отсутствующей функцию eµt в этой системе. Но тогда из (8.5.9) и леммы 8.5.5 следует, что система (8.5.4) полна в Wpm , что противоречит предположению. Если же коэффициенты an отделены от нуля по некоторой подпоследовательности индексов, то из (8.5.9) следует, что eµt ∈ clos e(Λ). По лемме 8.5.5 система (8.5.4) полна в Wpm , и мы снова получаем противоречие. Итак, неполнота системы (8.5.4) в Wpm влечет минимальность системы e(M ). Пусть система e(M ) минимальна в Wpm . Тогда, в частности, eµt 6∈ clos e(Λ), и система (8.5.4) неполна в Wpm . Лемма 8.5.6 доказана. Из лемм 8.5.6 и 8.5.3 следует Лемма 8.5.7. Минимальность системы (8.5.4) в Wpm (в C m ), m ∈ Z+ , равносильна сущеm ствованию нетривиальной ц.ф. F (z) такой, что F (Λ) = 0 и F (z)/(z − λn ) ∈ F Lm q (∈ F V ), n ∈ Z+ . Из лемм 8.5.3 и 8.5.7 вытекает Лемма 8.5.8. Замена в Λ конечного числа точек, сохраняющая их суммарную кратность, не нарушает полноты (минимальности) системы (8.5.4) в Wpm и C m , m ∈ Z+ . 8.5.2. Через Wpm (Λ)(C m (Λ)) обозначаем замыкание линейной оболочки системы (8.5.4) в Wpm m (Λ)) — избыток системы (8.5.4) в W m (в C m ); он вводится по аналогии (в C m ), а через Epm (Λ)(E∞ p с избытком Ep (Λ)(E∞ (Λ)) системы (8.5.4) в Lp (в C) (см. п. 4.1). В нижеследующих теоремах m ∈ N, 1 6 p < ∞. Теорема 8.5.1. 1) Система (8.5.4) тогда и только тогда полна (минимальна) в Lp или в C, когда система (8.5.8) полна (минимальна) в Wpm или в C m . m (Λ) = E (Λ) − m. 2) Epm (Λ) = Ep (Λ) − m, E∞ ∞

42



Доказательство. Утверждение 2) следует из 1). Докажем 1). Пусть система (8.5.4) неполна в Lp . По лемме 8.5.3 найдется нетривиальная ц.ф. F ∈ F Lq (т.е. F (z) = (f, ezt ), f ∈ Lq ) такая, что F (Λ) = 0. Рассмотрим ц.ф. m Y G(z) = F (z) (z − zj ), zj 6∈ Λ. (8.5.10) Очевидно, G 6≡ 0, G(M ) = 0, где M = Λ G(z) =

m X

j=1 ∪ (zj )m 1 , a Z

aj z j

j=0

и

ezt f (t)dt = (g, ezt ) ∈ F Lm q , −a

Lm q ,

где g = (a0 f, a1 f, . . . , am f ) ∈ aj — коэффициенты многочлена в (8.5.10). По лемме 8.5.3 система (8.5.8) неполна в Wpm . Пусть система (8.5.8) неполна в Wpm . По лемме 8.5.3 найдется нетривиальная ц.ф. G ∈ F Lm q такая, что G(M ) = 0, M = Λ ∪ (zj )m 1 . Определим F (z) соотношением (8.5.10). Имеем F 6≡ 0, F (Λ) = 0 и F ∈ F Lq по лемме 8.5.4. По лемме 8.5.3 система (8.5.4) неполна в Lp . Утверждение 1), касающееся полноты, доказано. Отсюда и из леммы 8.5.6 следует та часть утверждения 1), которая относится к минимальности. Теорема 8.5.1 доказана. Теорема 8.5.2. Пусть система

¡ iλn t ¢∞ e n=0 p полна и минимальна в L (в C). Тогда соответствие e λn t ↔

e λn t , λm n

n ∈ Z+

(8.5.11)

(8.5.12)

продолжается до изоморфизма между пространствами Lp и Wpm (C и C m ), где Λ = (λn )∞ 0 (при λn = 0 соответствующий знаменатель в (8.5.12) опускается). Доказательство. Если в Λ есть точка 0, то заменим ее точкой µ 6= 0, µ 6∈ Λ. По лемме 8.5.8 это не нарушит полноты и минимальности системы (eiλn t ) в Lp , а по лемме 6.2.4 приведет к эквивалентной системе. Поэтому считаем, что 0 6∈ Λ. Рассмотрим в качестве Z m-кратную точку 0; тогда e(Z) = (tj )m−1 j=0 . По теореме 8.5.1 система m e(Λ ∪ Z) полна и минимальна в Wp ; отсюда следует разложение в прямую сумму Wpm = Wpm (Z) ⊕ Wpm (Λ),

(8.5.13)

где Wpm (Z) — подпространство многочленов Pm−1 (t) степени m − 1. Рассмотрим линейный оператор T : g ∈ Wpm (Λ) → g (m) ∈ Lp . Он ограничен по определению нормы в Wpm и переводит правую систему (8.5.12) в левую. Пусть f — произвольная функция из Lp . Тогда найдется функция g ∈ Wpm такая, что g (m) = f . В силу (8.5.13) g = Pm−1 + gΛ , gΛ ∈ Wpm (Λ), (m)

и значит, T gΛ = gΛ = g (m) = f . Этот шаг показывает, что T Wpm (Λ) = Lp . Для доказательства взаимной однозначности отображения T достаточно проверить, что прообразом нулевой функции является нулевая функция. Пусть g ∈ Wpm (Λ) и T g = g (m) = 0. Тогда g = Pm−1 . Но в силу (8.5.13), нетривиальный многочлен Pm−1 не может принадлежать Wpm (Λ). Значит, g ≡ 0. Итак, линейный оператор T взаимно однозначно отображает Wpm (Λ) на Lp , ограничен и переводит правую систему (8.5.12) в левую. По теореме Банаха об обратном операторе обратный оператор T −1 также ограничен. В итоге пространства Lp и Wpm (Λ) изоморфны при соответствии (8.5.12), и теорема 8.5.2 доказана. Lp

Следствие 8.5.1. Если система (8.5.11) полна в Lp (в C), то она равномерно минимальна в (в C) тогда и только тогда, когда система µ λn t ¶∞ ¡ z t ¢m e ∪ e j j=1 , zj ∈ 6 (λn )∞ (8.5.14) 0 λm n n=0

равномерно минимальна в Wpm (в C m ).

ПРИМЕЧАНИЯ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

8

43

Доказательство. Пусть система (8.5.14) равномерно минимальна в Wpm ; тогда этим свойством обладает и ее подсистема (8.5.11). По условию система (8.5.11) полна в Lp , а по теореме 8.5.1 и минимальна. По теореме 8.5.2 система (8.5.11) равномерно минимальна в Lp . Пусть наоборот, система (8.5.11) равномерно минимальна в Lp . По теореме 8.5.2 она равномерно минимальна в Wpm . Так как система (8.5.14) минимальна в Wpm , то по лемме 8.4.3 она равномерно минимальна в Wpm . Следствие 8.5.1 доказано. Из (8.5.13) и теоремы 8.5.2 сразу вытекает Следствие 8.5.2. Каждое из следующих свойств системы (8.5.11) в Lp (в C) равносильно тому же свойству системы (8.5.14) в Wpm (в C m ): свойство быть базисом, свойство быть базисом Рисса при p = 2, свойство быть безусловным базисом, свойство быть базисом суммирования относительно некоторого регулярного метода. ПРИМЕЧАНИЯ


8

Работа Р. Пэли и Н. Винера [102] послужила отправной точкой для целого цикла результатов о базисах Рисса в L2 = L2 (−π, π) вида (eiλn t ) при условии sup |λn − n| < D, n ∈ Z, λn ∈ R. Этот цикл завершила теорема М. И. Кадеца [17], давшая вместе с соответствующим результатом Н. Левинсона [95] точное значение постоянной D = 1/4. Б. Я. Левину (см. [24, 25], где и было введено понятие функции типа синуса) принадлежит идея характеризовать последовательности Λ с помощью порождающей функции LΛ (z) системы e(Λ). В [24, 6] доказано, что если LΛ (z) есть функция типа синуса и последовательность Λ отделима, то система e(Λ) образует базис Рисса в L2 . В классе отделимых последовательностей Λ, лежащих в горизонтальной полосе, необходимое и достаточное условие базиса Рисса (eiλn t ) в L2 дает теорема Б. С. Павлова [34]; это условие состоит в том, что |L(x + iH)|2 ∈ (A2 ) при некотором H ∈ R. С. В. Хрущев [72] вывел из теоремы Павлова теорему Кадеца. Когда точки λn лежат в полуплоскости Im z > h > −∞, необходимое и достаточное условия безусловного базиса из экспонент в L2 нашли Н. К. Никольский, Б. С. Павлов и С. В. Хрущев [91] (напомним, что система en гильбертова пространства H образует в нем безусловный базис тогда и только тогда, когда нормированная система en /ken k образует в нем базис Рисса). А. М. Минкин [30] освободился от ограничения inf Im λn > −∞, рассмотрев тем самым общий случай. Его теорема гласит: если Λ± = (λn ∈ Λ : Im λn ≷ 0), то система (eiλn t ) образует безусловный базис в L2 тогда и только тогда, когда: 1) Λ отделима и Λ+ , Λ− ∈ (C); 2) |LΛ (x + iH)|2 ∈ (A2 ) при некотором H ∈ R. Здесь (C) обозначает условие Карлесона Y ¯¯ λk − λn ¯¯ ¯ ¯ inf (Im λn > 0). (C) ¯λ − λ ¯ ¯>0 n k6=n

k

n

Результатов о базисах вида e(Λ) в Lp = Lp (−π, π) при p 6= 2 долгое время не было. Продвижения в этом вопросе, осуществленные в 1970-х годах, связаны с предложенным автором методом распространения сходимости квазиполиномов (в другой терминологии — с методом периодического в среднем продолжения), а также с подходом, использующим (Ap )-условие. Соответствующая часть теории отражена в [45, 64, 107]. Однако явление распространения сходимости является трудным по существу, и автор приложил немало усилий, чтобы дать новые доказательства теорем о базисах экспонент в Lp , не опирающиеся на это явление. Именно такие доказательства представлены в этой книге. Другая новизна главы 8 состоит в том, что в ней впервые представлены результаты о базисах из экспонент в весовых пространствах. Второй центральный вопрос главы 8 — это вопрос о равносходимости. Теорема В. А. Ильина [16] (см. примечания и дополнения к главе 7) полностью решает задачу о равносходимости в терминах биортогональной системы. Однако вывод из нее конкретной теоремы равносходимости (т.е. теоремы, в которой присутствуют условия на показатели λn ), как правило, связан с преодолением существенных аналитических трудностей. Такие же трудности возникают при доказательстве теорем равносходимости с помощью метода контурного интегрирования. Доказательства главы 8 основаны на усовершенствовании метода контурного интегрирования и дают больше, чем утверждения

44



о том, что данная система экспонент является системой равносходимости в классе Lp . Они дают утверждения о равномерной равносходимости на всем отрезке [−π, π] с весом (π − |t|)1/p . Первыми вес, исчезающий в точках ±π (а именно, вес π − |t| при p = 2) в утверждения о равносходимости негармонических рядов Фурье ввели Р. Даффин и А. Шеффер [79]. Вес (π − |t|)1/p не может быть улучшен [46]. 8.1. Результаты для невесового случая α = 0 содержатся в [45, 107]. Авторами представленных здесь теорем 8.1.1–8.1.4 для весовых пространств являются A. Boivin (University of Western Ontario, London, Canada) и А. М. Седлецкий. Теоремы 8.1.5, 8.1.6 взяты из [60]. 8.2. Теорема 8.2.1 принадлежит В. А. Молоденкову и А. П. Хромову [32]. В [45] она доказана методом периодического в среднем продолжения. Здесь дано доказательство, отличное от [32, 45]. Теорема 8.2.2 верна в более сильном варианте, когда f ∈ Cdσ и ωf (δ) = o(log(1/δ)), δ → +0. Однако этот аналог признака Дини—Липшица доказан в [45, 107] методом периодического в среднем продолжения, которого здесь мы намеренно избегаем. Теоремы 8.2.3, 8.2.4 взяты из [54], а теоремы 8.2.5, 8.2.6 — из [55]. 8.3. Материал содержится в [62, 65]. В [65] доказано, что система, фигурирующая в теореме 8.3.1 с α = 0, не образует в Lp базиса суммирования относительно метода Абеля—Пуассона. 8.4. Импликация 3) ⇒ 2) теоремы 8.4.2 при α = 0, ∆ ∈ R доказана в [41]; подслучай p = 2 рассмотрен также в [103]. Невесовой вариант теоремы 8.4.3 содержится в [45, 107]. Потребности математической физики (см. [35]) приводят к вопросу об аппроксимационных свойствах системы sin(n−1/4)t, n ∈ N, в пространствах Lp (0, π). Условия базиса в Lp (0, π), 1 < p < ∞, более общих систем синусов sin(n + ∆)t, n ∈ N, и косинусов 1 ∪ (cos(n + ∆)t), n ∈ N, для вещественных ∆ даны Е. И. Моисеевым [31] а для комплексных — Г. Г. Девдариани [8, 9, 10]. Ими же для случая α = 0 была передоказана эквивалентность 1) ⇔ 4) в теореме 8.4.3 (соответственно для ∆ ∈ R и ∆ ∈ C). А. А. Шкаликов [74] доказал, что система sin(n − 1/4), n ∈ N, образует базис Рисса в L2 (0, π). Условия базиса систем синусов и косинусов в Lp (0, π) соответственно таковы: 1 1 − 1 < Re ∆ < , 2p 2p

1 1 1 1 − < Re ∆ < + . 2p 2 2p 2

В [64] показано, что эти условия могут быть получены как следствие теоремы 8.4.3 и замечания 8.4.1, и что базисы из синусов и косинусов обладают дополнительным свойством эквивалентности системам классических синусов sin nt и косинусов 1, cos nt, n ∈ N. В [64] также содержатся условия полноты и минимальности этих систем в Lp (0, π). Для произвольной последовательности (cn ) ∈ l2 обозначим °2 °X µ ¶−1 ° ° ∞ π 2 ° · c sin(n + β)t S(β; (cn )) = ° k(c )k . n n 2 ° 2 ° 2 L (0,π) n=1

В [53] получены следующие оценки, являющиеся точными: 0 6 S(β; (cn )) < 1

при

1 − sin 2πβ < S(β; (cn )) < 1

при

1 − sin 2πβ > S(β; (cn )) > 1

при

3 −1 0 в случае пространства C0 .

46

ГЛАВА 9. АППРОКСИМАЦИЯ

ТИПА

МЮНЦА–САСА

Настоящая глава содержит исследование проблемы Мюнца–Саса с помощью аналитических методов. Чтобы открыть путь к их использованию, совершим подстановку x = e−t . Тогда Z

Z1 |f (x)|p dx = 0

¯ ¡ −t ¢¯p −t ¯f e ¯ e dt,

R+

т.е. отображение f (x) → f (e−t )e−t/p задает изоморфизм между пространствами Lp (0, 1) и Lp (R+ ). При этом ¡ ¡ ¢¢ xµn ←→ exp − µn + p−1 t . Обозначив λn = µn + 1/p и учитывая, что Re µn > −1/p, заключаем следующее. Вопрос о полноте системы (9.1.1) в Lp (0, 1) равносилен вопросу о полноте в Lp (R+ ) системы ¡ −λn t ¢∞ e , Re λn > 0. (9.1.3) n=1 Обозначим через C0 [0, ∞) наделенное sup-нормой пространство непрерывных на [0, ∞) функций f (x) таких, что f (x) → 0, x → ∞. Оператор f (x) → f (e−t ) задает изоморфизм между C0 [0, 1] и C0 [0, ∞); при этом xµn ↔ exp(−µn t). Итак, проблема Мюнца–Саса может быть переформулирована как проблема описания полных систем экспонент (9.1.3) в пространствах Lp = Lp (R+ ), 1 6 p < ∞ и C0 = C0 [0, ∞). Лемма 9.1.1. Неполнота системы (9.1.3) в Lp (в C0 ) равносильна существованию нетривиальной аналитической функции вида Z 0 F (w) = e−wt f (t)dt, f ∈ Lp , Re w > 0, (9.1.4) Ã

R+

!

Z

e−wt dσ(t),

F (w) =

var σ(t) < ∞,

Re w > 0 ,

(9.1.5)

R+

обращающейся в 0 в точках Λ = (λn )∞ 1 . Эта лемма полностью аналогична лемме 4.1.1. Во избежание повторов доказательство опускаем. Из леммы 9.1.1 сразу вытекает Следствие 9.1.1. Если последовательность Λ = (λn ) имеет конечную предельную точку в (открытой) полуплоскости Re w > 0, то система (9.1.3) полна в каждом из пространств Lp , 1 6 p < ∞ и C0 . Таким образом, мы должны рассматривать только такие последовательности Λ, у которых конечные предельные точки (если они есть) лежат на мнимой оси. Следующее утверждение может показаться неожиданным. Следствие 9.1.2. 1) Если система (9.1.3) неполна в Lp , 1 6 p < ∞ или в C0 , то она остается неполной после присоединения к ней любого конечного числа экспонент e−µj t , j = 1, k, Re µj > 0. 2) Если система (9.1.3) полна в Lp , 1 6 p < ∞ или в C0 , то она остается полной после удаления из нее любого конечного числа функций. Доказательство. В доказательстве нуждается только утверждение 1), причем достаточно считать, что k = 1. Пусть для определенности речь идет о пространстве Lp . По лемме 9.1.1 некоторая нетривиальная функция F (w) вида (9.1.4) обращается в нуль в точках Λ. Так как функция 1/(w+1) есть ПЛ функции g(t) = e−t , t > 0, то функция F1 (w) = F (w)/(w + 1) есть ПЛ свертки f1 = f ∗ g. 0 Так как g ∈ L1 , то f1 ∈ Lp . Рассмотрим функцию G(w) = F (w)(w − µ1 )(w + 1)−1 . Тогда G(Λ ∪ {µ1 }) = 0. Так как G(w) = F (w) − (1 + µ1 )F1 (w), то G(w) есть ПЛ функции f (t) − 0 −µ1 t ) следует по лемме 9.1.1. (1 + µ1 )f1 (t) ∈ Lp , и неполнота системы (e−λn t )∞ n=1 ∪ (e

9.1. СЛУЧАЙ

ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

47

Следствие 9.1.3. Если система (9.1.3) минимальна в пространстве Lp , 1 6 p < ∞ или в C0 , то она неполна в этом пространстве. Таким образом, в классе систем (9.1.3) нет одновременно полных и минимальных систем в Lp , 1 6 p < ∞ и в C0 . Доказательство. Действительно, пусть система (9.1.3) минимальна в Lp . Тогда функция e−λ1 t −λn t )∞ находится на положительном расстоянии от clos(e−λn t )∞ n=2 . Это означает, что система (e n=2 неполна в Lp . По следствию 9.1.2 система (9.1.3) также неполна в Lp , и следствие 9.1.3 доказано.

Лемма9.1.1 дает ключ к применению аналитических методов. По ней доказательство достаточных условий неполноты системы (9.1.3) сводится к построению аналитических функций специального вида (а именно, вида (9.1.4) и (9.1.5)) с нулями в точках Λ, а доказательство необходимых условий неполноты состоит в исследовании распределения нулей аналитических функций такого вида. Теорема 9.1.1. Если множество предельных точек последовательности Λ = (λn ) на мнимой оси имеет положительную (линейную) меру, то система (9.1.3) полна в C0 . Доказательство. Предположим противное: система (9.1.3) не является полной в C0 . Тогда по лемме9.1.1 некоторая нетривиальная функция F (w) вида (9.1.5) обращается в 0 в точках Λ. Ясно, что функция F (w) аналитична и ограничена при Re w > 0 и непрерывна при Re w > 0. Пусть Y – множество предельных точек последовательности Λ на мнимой оси; по условию mes Y > 0. Из того, что F (λn ) = 0, и из непрерывности F (w) следует что F (w) = 0, w ∈ Y . По теореме единственности для H ∞ -функций F (w) ≡ 0, Re w > 0. Получено противоречие. Теорема 9.1.1 доказана. Важную роль в исследуемой проблеме играет условие ∞ X Re λn =∞ 1 + |λn |2

(9.1.6)

n=1

(при λn = µn + 1/2 оно переходит в условие (9.1.2)). Теорема 9.1.2. 1) Условие (9.1.6) достаточно для полноты системы (9.1.3) в Lp , p > 2, и в C0 . 2) Условие (9.1.6) необходимо для полноты системы (9.1.3) в Lp , 1 6 p 6 2. В частности, система (9.1.3) полна в L2 тогда и только тогда, когда выполнено условие (9.1.6). Таким образом, пересечение утверждений 1), 2) дает теорему Саса. Доказательство. 1) Предположим, что система (9.1.3) неполна в Lp , p > 2 (в C0 ). Тогда некоторая нетривиальная функция F (w) вида (9.1.4) (вида (9.1.5)) обращается в 0 в точках Λ. Так как p0 6 2, то по теореме Хаусдорфа—Юнга F (w) ∈ H p = H p (Re w > 0) (F (w) ∈ H ∞ ). Тогда для всех нулей F (w), а подавно, и для точек Λ выполнено условие Бляшке ∞ X Re λn < ∞, 1 + |λn |2

(9.1.7)

n=1

что противоречит условию (9.1.6). 2) Пусть система (9.1.3) полна в Lp , 1 6 p 6 2. Допустим, что условие (9.1.6) не выполнено, т.е. имеет место условие (9.1.7). Пусть B(w) — произведение Бляшке для полуплоскости, построенное по точкам λn . Функция B(w) аналитична и ограничена при Re w > 0, причем B(λn ) = 0 при всех n. Пусть F (w) = B(w)/(1 + w)2 . Очевидно, F (w) ∈ H p при всех p ∈ [1, 2]. По теореме Хаусдорфа— Юнга F (w) представима в виде (9.1.4). Так как F (λn ) = 0, n ∈ N, то по лемме9.1.1 система (9.1.3) неполна в Lp . Снова противоречие. Теорема 9.1.2 доказана.

48

9.1.2.


ТИПА


Рассмотрим важный случай, когда точки λn вещественны.

Теорема 9.1.3. Пусть последовательность Λ = (λn ) вещественна. Тогда для того, чтобы система (9.1.3) была полна в Lp (1 6 p < ∞) или в C0 , необходимо и достаточно, чтобы ∞ X n=1

λn = ∞. 1 + λ2n

(9.1.8)

Доказательство. Необходимость. В силу теоремы 9.1.2 достаточно рассмотреть случай пространств Lp , p > 2 и C0 . Предположим, что условие (9.1.8) не выполнено. Тогда выполнено условие (9.1.7). Положим Λ1 = (λn ∈ Λ : λn > 1), Λ2 = Λ\Λ1 , Y λn − w B1 (w) = . λn + w λn ∈Λ1

Так как (λn − w)/(λn + w) = 1 − 2w/(λn + w), а из определения Λ1 и из условия (9.1.7) следует, что X 1 < ∞, λn λn ∈Λ1

то бесконечное произведение сходится равномерно в каждом полукруге |w + 1/2| 6 R, Re w > > −1/2. Значит, функция B1 (w) аналитична при Re w > 0. По построению B1 (λn ) = 0, λn ∈ Λ1 . Далее, общий член в произведении B1 (w) по модулю ограничен единицей, если Re w > 0. В итоге B1 (w) аналитична при Re w > 0, |B1 (w)| 6 1; B(λn ) = 0, λn ∈ Λ1 . Оценим производную B10 (iv) с помощью логарифмического дифференцирования. Имеем X λn , B10 (w) = −2B1 (w) 2 λn − w 2 λn ∈Λ1

|B10 (iv)| 6 2

X λn ∈Λ1

X 1 λ2n 1. Повторяя только что проведенные рассуждения, заключаем: существует функция A(w), аналитическая при Re w > 0, причем |A(w)| 6 1, A(wn ) = 0 и |A0 (iv)| 6 M < ∞. Положим B2 (w) = A(1/w). Тогда функция B2 (w) аналитична при Re w > 0 (за возможным исключением точки w = 0), |B2 (w)| 6 1, B2 (λn ) = 0 для λn ∈ Λ2 и |B20 (iv)| = O(v −2 ). Пусть F (w) = w2 B1 (w)B2 (w)(1 + w)−3 . Ясно, что F (λn ) = 0, λn ∈ Λ, F (w) ∈ H 2 , функция F (iv) абсолютно непрерывна на каждом отрезке и F 0 (iv) ∈ L2 (R). По теореме Пэли—Винера имеет место представление (9.1.4) с f ∈ L2 . В силу леммы9.1.1 достаточно показать, что f ∈ Lq при всех q ∈ [1, 2) (значение q = 1 отвечает случаю пространства C0 ). Так как f ∈ Lq (0, 1), то остается проверить, что f ∈ Lq (1, ∞). Из абсолютной непрерывности функции F (iv) и из свойства F 0 (iv) ∈ L2 (R) следует (см. [69, § 3.14]), что tf (t) ∈ L2 . Пусть s — число, сопряженное с 2/q, т.е. 1/s + q/2 = 1, s > 1. По неравенству Г¨ельдера Ã Z∞ !1/s Z∞ Z∞ q −q q −qs |f (t)| dt = (t )|tf (t)| dt 6 kf (t)tk2 t dt < ∞, 1

1

1

так как qs > 1. Необходимость доказана. Достаточность. Имея в виду теорему 9.1.2, рассматриваем только случай пространства Lp . Предположим, что система (9.1.3) неполна в Lp , и докажем, что выполнено условие (9.1.7). По лемме9.1.1 некоторая нетривиальная аналитическая функция F (w) вида (9.1.4) обращается в 0 в точках Λ. По неравенству Г¨ельдера |F (w)| 6 cu−1/p ,

u = Re w > 0.

(9.1.9)

9.2. НЕОБХОДИМЫЕ

УСЛОВИЯ ПОЛНОТЫ В ПРОСТРАНСТВАХ

C0

И

Lp , p > 2

49

Значит, функция F (w + 1/2) аналитична и ограничена при Re w > 0, а потому для ее нулей, и в частности, для точек λn − 1/2, где λn ∈ Λ1 , выполнено условие Бляшке X λn − 1/2 1, то отсюда следует, что X 1 < ∞. (9.1.11) 1 + (λn − 1/2)2 λn ∈Λ1

Из (9.1.10) и (9.1.11) вытекает сходимость ряда X λn < ∞. 1 + (λn − 1/2)2 λn ∈Λ1

Так как λn → ∞, то это означает, что для последовательности Λ1 условие (9.1.7) выполнено. Очевидно, для Λ2 условие (9.1.7) равносильно условию X λn < ∞. (9.1.12) λn ∈Λ2

Чтобы его доказать, рассмотрим функцию G(w) = w2 F (w), аналитическую в круге D = (w : |w − 1| < 1). Если w ∈ D, то |w|2 = u2 + v 2 < 2u. Используя это и оценку (9.1.9), получаем |G(w)| 6 6 2cu1−1/p 6 c1 , w ∈ D. Значит, для корней функции G(w) должно выполняться условие Бляшке для круга D. В частности, оно верно для точек Λ2 . Но для Λ2 оно в точности совпадает с условием (9.1.12). Итак, для Λ = Λ1 ∪ Λ2 выполнено условие (9.1.7). Мы доказали достаточность и всю теорему 9.1.3. В приводимом ниже следствии (и только в нем) ради единообразия формулировки под L∞ (0, 1) понимаем пространство C0 [0, 1]. Следствие 9.1.4 (обобщенная теорема Мюнца). Пусть µn > −1/p, n ∈ N , 1 6 p 6 ∞. Для того, чтобы система (xµn ), n ∈ N, была полна в Lp (0, 1), необходимо и достаточно, чтобы ∞ X n=1

9.2. НЕОБХОДИМЫЕ 9.2.1.

µn + 1/p = ∞. 1 + (µn + 1/p)2


C0

И

Lp , p > 2

Оказывается, условие (9.1.6) т.е. условие ∞ X Re λn = +∞ 1 + |λn |2

(9.2.1)

n=1

не является необходимым для полноты системы ¡ −λn t ¢∞ e , Λ = (λn )∞ n=1 , n=1

Re λn > 0

(9.2.2)

в пространстве C0 . Справедлива Теорема 9.2.1. Пусть Y есть одно из следующих подмножеств мнимой оси: вся ось, конечный отрезок, точка. Тогда найдется последовательность Λ = (λn ), Re λn > 0, множество предельных точек которой совпадает с Y , и такая, что 1) система (9.2.2) полна в C0 ; 2) выполнено условие ∞ X Re λn < +∞. 1 + |λn |2

n=1

(9.2.3)

50


Доказательство. Положим Λ=

ТИПА

³¡ ´ ¢ αk + in · (lk )−1 n∈Z


k∈N

;

αk , lk > 0.

(9.2.4)

Пусть αk → 0, lk → ∞; тогда множество предельных точек последовательности Λ совпадает со всей P мнимой осью. По теореме 8.1.1 система (9.2.2) полна в C0 . Если выбрать αk и lk так, чтобы αk lk < ∞, то условие (9.2.3) будет выполнено. Действительно, так как Z X 1 1 dx 1 π 6 + 2 = 2+ , b > 0, b2 + n2 b2 b2 + x2 b b n∈Z

R+

то ∞ ∞ X Re λ X X 1 2 = α l k k 2 (1 + α2 ) + n2 6 1 + |λ|2 l k n=−∞ k

λ∈Λ

k=1

6

∞ X k=1

∞

X αk αk lk + π < ∞. 2 1 + αk (1 + αk2 )1/2 k=1

Для Y = (−i∞, i∞) теорема доказана. Если Y = [ia, ib], то в качестве Λ следует взять сужение только что построенной последовательности на полосу a 6 Im z 6 b. Наиболее интересным, конечно, является случай, когда Y — точка. Достаточно построить последовательность Λ с единственной предельной точкой на мнимой оси и с условием (9.2.3), обладающую свойством: из того, что функция F (w) вида (8.1.5) обращается в 0 в точках Λ, следует, что F (w) ≡ 0. Пусть Λ — последовательность точек из правой полуплоскости, пусть Λn есть конечный набор точек из Λ и пусть последовательность (Λn ) исчерпывает Λ. Пусть w0 6∈ Λ, Re w0 > 0. Обозначим Vn = inf var σ, где нижняя грань берется по всем функциям вида (8.1.5) таким, что F (Λn ) = 0 и F (w0 ) = 1. Утверждается: если множество предельных точек последовательности Λ на мнимой оси имеет положительную меру, то Vn → ∞. Предположим противное: некоторая подпоследовательность последовательности Vn ограничена. Тогда можно выделить слабо сходящуюся последовательность σn линейных функционалов на C0 так, что ¡ ¢ ¡ ¢ σn , e−λt = 0, λ ∈ Λn ; σn , e−w0 t = 1. (9.2.5) Пусть σ есть слабый предел σn . Отождествляя функционал σ с представляющей его функцией ограниченной вариации и переходя к пределу в (9.2.5), получаем следующее. Некоторая нетривиальная функция F (w) вида (8.1.5) обращается в 0 в точках Λ. Так как F (w) непрерывна при Re w > 0, то отсюда F (w) обращается в 0 на множестве Y предельных точек Λ. Так как mes Y > 0, то это противоречит теореме единственности. Мы доказали, что Vn → ∞. Возьмем в качестве Λ сужение последовательности (9.2.4) на полосу 0 6 Im w 6 1, где αk и lk выбраны так, что условие (9.2.3) выполнено. По только что доказанному найдется конечный набор Λ1 точек Λ, обладающий свойством: если F (Λ1 ) = 0 и F (w0 ) = 1, где F (w) — функция вида (9.1.5) то var σ(t) > 1. Пусть конечный набор Λn уже построен. Объединим Λn с сужением Λ на полосу 0 6 Im w 6 2−n и из полученной последовательности (снова по свойству Vn → ∞) выделяем конечный набор Λn+1 ⊃ Λn точек Λ, обладающий свойством: если F (Λn+1 ) = 0 и F (w0 ) = 1, то var σ > n + 1. Ясно, что объединение всех Λn , n ∈ N дает нужную последовательность с Y = {0}. Теорема 9.2.1 доказана. В связи с теоремой 9.2.1 возникают естественные вопросы. 1) В чем состоит необходимое условие полноты системы (9.2.2) в C0 ? 2) При каком расположении точек λn в правой полуплоскости условие (9.2.1) все же остается необходимым условием полноты системы (9.2.2) в C0 ? 9.2.2. Здесь мы займемся рассмотрением первого из поставленных вопросов. Из теоремы Саса сразу вытекает



C0

И

Lp , p > 2

51

Теорема 9.2.2. Если система (9.2.2) полна в C0 или в Lp , p > 2, то при любом δ > 0 ∞ X Re λn + δ n=1

1 + |λn |2

= +∞.

(9.2.6)

Доказательство. Действительно, если предположить противное, т.е. что при некотором δ > 0 ряд в (9.2.6) сходится, то это будет означать сходимость обоих рядов ∞ X Re λn , 1 + |λn |2

∞ X

n=1

n=1

1 , 1 + |λn |2

откуда ∞ X Re λn + (1/2 − 1/p) n=1

1 + |λn |2

< +∞.

(9.2.7)

По условию система (9.2.2) полна в Lp , p > 2 или в C0 . Положим µn = λn − 1/p (p = ∞ в случае C0 ). Тогда (см. начало п. 9.1) система (xµn ) полна в Lp (0, 1), p > 2 или в C0 [0, 1], а значит, и в L2 (0, 1). Но тогда по теореме Саса ∞ ∞ X X Re(µn + 1/2) Re λn + (1/2 − 1/p) = +∞ ⇐⇒ = +∞, 1 + |µn + 1/2|2 1 + |λn |2

n=1

n=1

что противоречит (9.2.7). Теорема 9.2.2 верна. Имеет место гораздо более тонкий результат. Теорема 9.2.3. Пусть θ(x) — положительная неубывающая функция (x > 0) с условием Z∞ θ(x) dx < +∞. (9.2.8) x2 Тогда если система (9.2.2) полна в C0 или Lp , p > 2, то ∞ X Re λn + exp(−θ(|λn |)) n=1

1 + |λn |2

= +∞.

Лемма 9.2.1. Пусть ∞ X Re λn + 1 n=1

1 + |λn |2

< +∞,

Re λn > 0.

(9.2.9)

Тогда существует нетривиальная аналитическая при Re z > 0 функция B(z) со следующими свойствами: 1) B(λn ) = 0, λn ∈ Λ; 2) |B(z)| 6 1, Re z > 0; 3) |B 0 (iy)| 6 M < +∞, y ∈ R. Доказательство. Рассмотрим б.п. ¶ µ ¶ ∞ µ Y z+1 z + 1 −1 1− · 1+ ¯ . B(z) = λn + 1 λn + 1 n=1 Так как его общий член равен 1 − 2(z + 1)

µ ¶ z + 1 −1 Re λn + 1 1 + ¯n + 1 1 + |λn |2 + 2 Re λn λ

и λn → ∞ (благодаря (9.2.9)), то в силу (9.2.9), произведение B(z) сходится равномерно на компак¯ n − 2) (⊃ (z : Re z > −2)). Значит, B(z) есть аналитическая функция при Re z > −2. тах в C\(−λ Свойство 1) следует из построения. Далее, ¯ n + z + 2|, |λn − z| 6 |λ x = Re z > −1. (9.2.10)

52


ТИПА


Действительно, это неравенство равносильно неравенству (αn − x)2 6 (αn + x + 2)2 ,

αn = Re λn ,

x > −1,

которое записывается в виде 0 6 (1 + αn )(x + 1), где αn > 0, x > −1, и значит, верно. Неравенство (9.2.10) показывает, что модуль общего члена в B(z) не больше единицы, когда Re z > −1. Следовательно, |B(z)| 6 1, Re z > −1 (и в частности, выполнено свойство 2)). Свойство 3) следует из этой оценки из формулы Коши, примененной к функции B(z) и кругу |z − iy| 6 1, y ∈ R. Лемма доказана. Лемма 9.2.2. Пусть θ(x) — положительная неубывающая функция (x > 0). Пусть |λn | > 2, Re λn > 0 и выполнено условие ∞ X Re λn + exp(−θ(|λn |))

1 + |λn |2

n=1

< +∞.

(9.2.11)

Тогда существует нетривиальная аналитическая при Re z > 0 функция G(z) со следующими свойствами: 1) G(λn ) = 0, λn ∈ Λ; 2) |G(z)| 6 M < +∞, Re z > 0; 3) |G0 (iy)| = O(y 4 exp(2θ(2|y|))), y → ±∞. Доказательство. Так как |λn | > 2, то условие (9.2.11) дает: ∞ X Re λn n=1

|λn |2

< +∞,

∞ X exp(−θ(|λn |)) n=1

|λn |2

< +∞.

(9.2.12)

Пусть (ξj ) = (λn : Re λn > 1), (γk ) = (λn )\(ξj ). Пусть B(z) — функция из леммы 9.2.1, отвечающая последовательности (ξj ). Положим εj = exp(−θ(|γj |))/|γj | и рассмотрим б.п. Y³ z´ ³ z ´−1 H(z) = 1− · 1+ . γj γ¯j + εj j

Его общий член равен

2 Re γj + εj ³ z ´ 1 + , |γj |2 + γ¯j εj γ¯j + εj и в силу (9.2.12), б.п. H(z) сходится равномерно на компактах в C\(−¯ γj − εj ) (⊃ z : Re z > 0). Значит, H(z) — аналитическая при Re z > 0 функция; по построению H(γj ) = 0. Далее, так как |z − γj | 6 |z + γ¯j + εj |, Re z > 0, то в полуплоскости Re z > 0 ¯ ¯ ¶ Y ¯ γ¯j + εj ¯ Y µ ε j ¯ ¯ |H(z)| 6 6 M < +∞, (9.2.13) 1+ ¯ γ¯j ¯ 6 |γj | 1−z

j

j

благодаря второму условию (9.2.12). Положим G(z) = B(z)H(z). Тогда свойства 1), 2) очевидны, а в силу леммы 9.2.1, свойство 3) достаточно доказать для H 0 (iy). Для каждого j рассмотрим функцию γj z + γ¯j + εj · . Hj (z) = H(z) γj − z γ¯j + εj Она получается из б.п. H(z) удалением общего члена с номером j, а потому для Hj (z) верна равномерная оценка (9.2.13). Беря логарифмическую производную, имеем X X 2 Re γj + εj γ¯j + εj 2 Re γj + εj =− Hj (z) · . H 0 (z) = H(z) (z − γj )(z + γ¯j + εj ) (z + γ¯j + εj )2 γj j

j

В силу (9.2.12), |(¯ γj + εj )/γj | 6 M < +∞ равномерно по j, поэтому X 2 Re γj + εj |γj |2 |H 0 (iy)| 6 M · , |γj |2 |iy + γ¯j + εj |2 j



C0

И

Lp , p > 2

53

и снова благодаря (9.2.12), |H 0 (iy)| 6 M sup j

|γj |2 =: M sup Aj (y). |iy + γ¯j + εj |2 j

Обозначим βj = Im γj ; так как |γj | > 2, а 0 < Re γj < 1, то |γj | 6 (4/3)|βj |, и потому Aj (y) 6

βj2 (y − βj )2 + ε2j

.

Пусть значение |y| достаточно велико. Тогда если |βj | > (3/2)|y|, то |y/βj | 6 2/3 и Aj (y) 6

βj2 1 = 6 9. (βj − y)2 (1 − y/βj )2

Если же |βj | < (3/2)|y|, то |γj | 6 2|y|, и значит, Aj (y) 6

βj2 ε2j

6 Cβj4 exp(2(θ(|γj |)) 6 C1 y 4 exp(2θ(2|y|)),

в силу монотонности функции θ(x). Лемма доказана. Лемма 9.2.3. Пусть ψ(x) — положительная, четная, неубывающая при x > 0 функция, удовлетворяющая условию (9.2.8). Тогда существует аналитическая при Re z > −1 функция E(z) такая, что 1) Re E(z) > 0, Re z > −1, 2) Re E(iy) > ψ(y), y ∈ R, 3) E 0 (iy) = O(y 2 ), y → ±∞. Доказательство. Покажем, что такой функцией может служить функция µ ¶ Z 1 1 E(z) = ψ(v) + dv. z + 1 − iv 1 + iv R

По условию (9.2.8) эта функция аналитична при Re z > −1. Имеем µ ¶ Z x+1 1 Re E(z) = ψ(v) + dv, |z + 1 − iv|2 1 + v 2

(9.2.14)

R

откуда Re E(z) > 0 при x > −1. Из (9.2.14) также следует, что Z Z∞ Z ψ(v)dv ψ(v)dv dv Re E(iy) > > > ψ(y) > ψ(y). 1 + (v − y)2 1 + (v − y)2 1 + v2 R

Далее,

Z 0

E (z) = − и остается заметить, что

R+

|y|

ψ(v)dv , (z + 1 − iv)2

Z 0

|E (iy)| 6

ψ(v) 1 + v2 · dv, 1 + v 2 1 + (y − v)2

R

R

1 + v2 1 + (t − y)2 2|y| · |t| = 6 1 + y2 + 6 1 + y 2 + |y|. 1 + (y − v)2 1 + t2 1 + t2 Лемма 9.2.3 доказана. Доказательство теоремы 9.2.3. Предположим, что ∞ X Re λn + exp(−θ(|λn |)) n=1

1 + |λn |2

< +∞,

(9.2.15)

и докажем неполноту системы (9.2.2) в C0 и Lp , p > 2. Сначала рассмотрим случай, когда |λn | > 2 для всех n. Пусть G(z) — функция из леммы 9.2.2. Положим ψ(x) = 2θ(2|x|) и заметим, что

54


ТИПА


подобно функции θ(x), функция ψ(x) удовлетворяет условию (9.2.8). Пусть E(z) — соответствующая функция из леммы 9.2.3. Положим F1 (z) = (1 + z)−5 G(z) exp(−E(z)). Применяя леммы 9.2.2 и 9.2.3, видим, что функция F1 (z) аналитична при Re z > 0, F1 (z) ∈ H 2 и F10 (iy) ∈ L2 (R). А отсюда следует, как мы видели при доказательстве теоремы 9.1.3, что F1 (z) есть ПЛ некоторой функции 0 f1 ∈ Lp при всех p0 ∈ [1, 2). Так как F1 (λn ) = 0, то по лемме 9.1.1 система (9.2.2) неполна в C0 и Lp , p > 2, и в случае |λn | > 2 теорема 9.2.3 доказана. Для дальнейшего будет важно, что (по тем же леммам 9.2.2, 9.2.3) ¡ ¢ F1 (z) ∈ H ∞ , F10 (iy) = O (1 + |y|)−1 . (9.2.16) Пусть теперь |λn | < 2 для всех n. Тогда условие (9.2.15) переходит в условие (9.2.9). Пусть B(z) –функция из леммы 9.2.1. Тогда положив F2 (z) = B(z)/(1 + z), заключаем, что функция F2 (z) аналитична при Re z > 0, F2 (z) ∈ H 2 и F20 (iy) ∈ L2 (R). Как мы видели в конце доказательства 0 предыдущего случая, это влечет представимость функции F2 (z) в виде ПЛ функции f2 ∈ Lp при всех p0 ∈ [1, 2), а следовательно, и неполноту системы (9.2.2) в C0 и Lp , p > 2, так как F2 (λn ) = 0. Пусть теперь Λ — произвольная последовательность с условием (9.2.15). Пусть Λ1 = (λn : |λn | > 2), Λ2 = Λ\Λ1 . Пусть построенные выше функции F1 (z) и F2 (z) отвечают последовательностям Λ1 и Λ2 соответственно. Как было установлено, функции F1 (z) и F2 (z) являются преобразованиями 0 Лапласа функций f1 (t) и f2 (t), причем f1 , f2 ∈ Lp при всех p0 ∈ [1, 2). Рассмотрим функцию F (z) = F1 (z)F2 (z). Ясно, что F (Λ) = 0. Далее, по теореме о свертке F (z) 0 есть преобразование Лапласа функции f = f1 ∗ f2 . По известному свойству свертки f ∈ Lp для всех p0 ∈ [1, 2), и по лемме 9.1.1 теорема 9.2.3 доказана полностью. Если последовательность Λ ограничена, то теорема 9.2.3 не имеет преимуществ перед теоремой 9.2.2; ее содержательность проявляется тогда, когда λn → ∞. Сейчас мы обобщим эту теорему на случай, когда последовательность Λ имеет конечное число предельных точек на мнимой оси. Теорема 9.2.4. Пусть Λ = Λ∞ ∪ Λ1 ∪ · · · ∪ Λm , m ∈ N, где Λ∞ = (λ(∞) n ),

Λk = (λ(k) n ),

λ(∞) → ∞, n

λ(k) n → iγk ,

k = 1, m; γk ∈ R,

(k) Re λ(∞) n , Re λn > 0,

k = 1, m.

Пусть функция θ(x) удовлетворяет условиям теоремы 9.2.3. Тогда если µ µ µ ¶¶¶ m (∞) X Re λ(∞) + exp(−θ(|λn |)) X X 1 n (k) Re λn + exp −θ + < +∞, (∞) (k) 1 + |λn |2 |λn − iγk | n k=1 n то система (9.2.2) неполна в C0 и в Lp , p > 2. Доказательство. Предположим, что нам удалось построить аналитические при Re z > 0 функции Φk (z), k = ∞, 1, . . . , m, такие, что Φk (Λk ) = 0, Φk (z) ∈ H 2 , Φ0k (iy) ∈ L2 (R). Тогда рассматривая функцию Φ(z) = Φ∞ (z)Φ1 (z) · · · · · Φm (z) и повторяя рассуждения со сверткой (см. окончание доказательства теоремы 9.2.3), мы придем к искомой неполноте системы (9.2.2). Функция Φ∞ (z) построена в процессе доказательства теоремы 9.2.3. Остается построить Φk (z), k 6= ∞. Положим γk = 0; к этому всегда можно придти в результате сдвига. Итак, по условию ³ ³¯ X³ ¯ ´´´ (k) ¯−1 ¯ Re λ(k) + exp −θ λ < +∞. (9.2.17) n n n (k) 1/λn ;

Пусть wn = тогда wn → ∞, и |wn | > 2, за исключением, быть может, конечного числа точек. По следствию 9.1.2 можно считать, что таковы все точки wn . Из (9.2.17) следует, что для последовательности wn выполнено условие (9.2.15). Пусть F1 (z) — функция, построенная в процессе рассмотрения первого частного случая в доказательстве теоремы 9.2.3, где в роли λn теперь берется последовательность wn . Утверждается, что достаточно положить ³1´ z F . (9.2.18) Φk (z) = 1 (1 + z)2 z Действительно, Φk (Λk ) = 0, Φk (z) ∈ H 2 и, в силу (9.2.16) µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ µ ¶¶0 i 0 1 1 |y| 1 1 = 2 F1 = 2O =O . F1 iy y iy y 1 + |y| |y|



C0

И

Lp , p > 2

55

Отсюда, из (9.2.18) и (9.2.16) следует, что Φ0k (iy) ∈ L2 (R), и теорема 9.2.4 доказана. 9.2.3. Переходим ко второму вопросу, поставленному после доказательства теоремы 9.2.1. Имеет место Теорема 9.2.5. В классе последовательностей Λ = (λn ), Re λn > 0, для которых Z log dist(iv, Λ) dv > −∞, 1 + v2

(9.2.19)

R

условие (9.2.1) является необходимым условием полноты системы (9.2.2) в C0 и Lp , p > 2. Отметим, что условие (9.2.19) характеризует «не слишком массивное» прилегание последовательности Λ к мнимой оси. Если Λ вещественна, то dist(iv, Λ) > |v|, и условие (9.2.19) выполнено. Доказательство. Обозначим через Z = (zn ) образ последовательности Λ = (λn ) при конформном отображении z = (w − 1)/(w + 1) полуплоскости Re w > 0 на круг |z| < 1. Покажем сначала, что условие (9.2.19) влечет условие Zπ ¡ ¢ log dist eiθ , Z dθ > −∞. (9.2.20) −π

Пусть Λ1 = (λn ∈ Λ : |λn | 6 1), Λ2 = Λ\Λ1 . Обозначим через Z1 и Z2 образы последовательностей Λ1 и Λ2 . Ясно, что при указанном отображении отрезок [−i, i] переходит в левую единичную полуокружность и что последовательность Z1 лежит в левом единичном полукруге. Оценим функцию dist(eiθ , Z1 ). Используя явный вид нашего отображения, видим, что z − z0 = 2(w − w0 )/((w + 1)(w0 + 1)), где z = eiθ и z0 — образы точек w = ¡ iv и ¢w0 . Когда w = iv ∈ ∈ [−i, i] и w0 ∈ Λ1 , то |w + 1| 6 21/2 , |w0 + 1| 6 2, и значит, dist eiθ , Z1 > 2−3/2 dist(iv, Λ1 ), |θ| > π/2. Так как dθ = −2(1 + v 2 )−1 dv, то отсюда благодаря условию (9.2.19), Z Z ¢ ¡ iθ log dist(iv, Λ1 ) log dist e , Z1 dθ > c dv > −∞. 1 + v2 |y|61

|θ|>π/2

¢ ¡ Соединяя это с очевидной оценкой dist eiθ , Z1 > cos θ, |θ| < π/2, получаем, что Z log dist(z, Z1 )|dz| > −∞.

(9.2.21)

|z|=1

Перейдем к последовательности Λ2 , лежащей в области (w : Re w > 0, |w| > 1). При отображении ζ = 1/w эта область перейдет в правый полукруг единичного круга. Обозначим через Λ∗ образ Λ2 , т.е. последовательность (1/λn ), λn ∈ Λ2 . Пусть r(t) = dist(it, Λ2 ). Рассмотрим произвольную точку it, |t| > 1, для которой r(t) > 0; в силу (9.2.19) это условие выполнено для почти всех точек. Пусть iv — образ точки it, т.е. iv = −it. По определению расстояния в круге |w−it| < r(t), пересекающем мнимую ось в точках i(t ± r(t)), нет точек Λ2 . Образом этого круга при отображении ζ = 1/w будет круг Kv с центром на мнимой оси; в нем нет точек Λ∗ . Центр Kv не совпадет с точкой iv, но круг радиуса ¯ ¯ ¯¶ µ¯ ¯ 1 1 ¯¯ ¯¯ 1 1 ¯¯ ¯ , − + d = min ¯− + t t + r(t) ¯ ¯ t t − r(t) ¯ с центром в точке iv будет содержаться в Kv . Поэтому dist(iv, Λ∗ ) > d > r(t)|t|−1 /(|t| + r(t)) и Z1

Z ∗

log dist(iv, Λ )dv > −1

Z µ = |t|>1

|t|>1

µ ¶ r(t) 1 log d − = |t|(|t| + r(t)) t

¶ log r(t) log |t| log(|t| + r(t)) − − dt > −∞ t2 t2 t2

56


ТИПА


в силу условия (9.2.19) и очевидной оценки r(t) = O(|t|). Теперь для последовательности Λ∗ повторяются все рассуждения, проведенные нами для последовательности Z1 . В итоге для последовательности Z ∗ — образа последовательности Λ2 при композиции отображений ζ = 1/w, z = (ζ − 1)/(ζ + 1) — получается условие (9.2.21). Но эта композиция лишь знаком отличает∗ ся от отображения z = (w − 1)/(w + 1).¡ Значит, условие (9.2.21) выполнено и ¢ Z =¡ −Z2 ¡, т.е. ¢¢ iθ для последовательности Z2 . Так как dist e , Z = min dist eiθ , Zj , j = 1, 2, то мы доказали свойство (9.2.20). Нам надо показать, что если выполнено условие (9.2.19) и ∞ X Re λn < +∞, 1 + |λn |2

(9.2.22)

n=1

то система (9.2.2) неполна в C0 и в Lp , p > 2. Воспользуемся следующим результатом [111]. Если для последовательности Z = (zn ), |zn | < 1 выполнены условие (9.2.21) и условие Бляшке X (1 − |zn |) < ∞, (9.2.23) то существует аналитическая в круге |z| < 1 функция G(z) такая, что |G(z)|, |G0 (z)| 6 M < ∞, |z| < 1, G(zn ) = 0, zn ∈ Z. Рассмотрим в качестве Z образ последовательности Λ при отображении z = (w − 1)/(w + 1) полуплоскости Re w > 0 на круг |z| < 1. Как мы только что убедились, условие (9.2.21) выполнено. В силу (9.2.22) выполнено и условие (9.2.23). Рассмотрим аналитическую функцию µ ¶ 1 w−1 F (w) = G , Re w > 0. (9.2.24) w+1 w+1 Так как G(zn ) = 0, zn ∈ Z, то F (λn ) = 0, λn ∈ Λ. Из ограниченности функции G следует, что F (z) ∈ H 2 . По теореме Пэли—Винера F (w) представима в виде (9.1.4) с p0 = 2, откуда Z F 0 (w) = − e−wt (tf (t))dt, Re w > 0. (9.2.25) R+

Из (9.2.24) и из ограниченности функций G, G0 следует, что F 0 (w) ∈ H 2 . Тогда из (9.2.25) по теореме Пэли—Винера вытекает, что tf (t) ∈ L2 . В конце доказательства необходимой части теоремы 9.2.3 мы видели, что последнее свойство вместе с представлением (9.1.4) и свойством F (λn ) = 0, λn ∈ Λ влечет неполноту системы (9.2.2) в C0 и в Lp , p > 2. Теорема 9.2.5 доказана. 9.3. О

НУЛЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

9.3.1. Пусть p > 0, α > 1. Через Apα = Apα (|z| < 1) обозначаем пространство аналитических функций в круге |z| < 1, для которых ZZ 1 p kF kp,α := |F (z)|p (1 − r2 )α dxdy < ∞, z = x + iy, r = |z|. π |z| 0. Через P(a) обозначаем класс функций, аналитических в круге |z| < 1, для которых ¡ ¢ |F (z)| = O (1 − r)−a , r = |z| < 1. (9.3.1) В п. 9.3 мы изучаем вопрос о распределении нулей функций классов Apα и P(a). Эти классы связаны друг с другом, как показывает Лемма 9.3.1. Для классов функций Apα и P(a) верны следующие утверждения: 1) P(a) ⊂ Apα , если a < ¶ µ p 2+α 2) Aα ⊂ P p .

1+α p ;

9.3. О

57


Доказательство. Утверждение 1) сразу следует из оценки (9.3.1). 2) Пусть F (z) ∈ Apα . Обозначим через K круг радиуса R = (1 − r)/2 с центром в точке z (r = |z|), а через m(K) — минимум функции (1 − |w|)α в круге K. Тогда m(K) > Cα (1 − r)α , и используя субгармоничность функции |F (z)|p , находим ZZ ZZ πkF kpp,α > |F (w)|p (1 − |w|)α dudv > m(K) |F (w)|p dudv > K

K

> πR2 m(K)|F (z)|p > c|F (z)|p (1 − r)2+α . ¡ ¢ Значит, |F (z)| = O (1−r)−(2+α)/p , т.е. F (z) ∈ P((2+α)/p). Утверждение 2) доказано. Лемма 9.3.1 верна. Лемма 9.3.2. Пусть F ∈ Apα , p > 0, α > −1, F (0) = 1. Тогда ! Ã Zr Z1 n (t) 1 F dt r dr 6 kF kpp,α , (1 − r2 )α exp p t 2 0

(9.3.2)

0

где nF (t) — число нулей функции F (z) в круге |z| < t. Доказательство. Обе части формулы Иенсена Zr 0

1 nF (t) dt = t 2π

Z2π

¯ ¡ ¢¯ log ¯F reiθ ¯dθ,

0 −1, F (0) = 1. Тогда Zr nF (t) 1+α 1 dt 6 c(p, α) + log kF kp,α + log , t p 1−r 0

1 6 r < 1. 2

Доказательство. Уменьшим левую часть в (9.3.2), заменяя интервал интегрирования (0, 1) интервалом (R, (R + 1)/2), 0 < R < 1. Полученный интеграл, в свою очередь, заменим произведением длины этого интервала на наименьшее значение подынтегральной функции. Наименьшее значение функции (1−r2 )α достигается (в зависимости от α) на одном из концов интервала; в любом случае оно не меньше, чем c(α)(1 − R2 )α . В итоге ! Ã ZR 1 nF (t) 2 1+α dt 6 kF kpp,α , c(α)R(1 − R ) exp p t 2 0

и остается прологарифмировать полученное неравенство. Лемма 9.3.3 доказана. Лемма 9.3.4. Пусть q, s > 0; пусть 1/2s < a < 1. Тогда найдется степенной ряд F (z) =

∞ X k=1

такой, что ∞ P |ak |q 1) ns < ∞, k=1

k

ak z nk ,

|z| < 1,

58


ТИПА


log(1/a) 1 1 log q log 2 1 − rk 1 − rk для некоторой последовательности rk → 1 − 0. 2) nF (rk ) ∼

Доказательство. Пусть h(k) — возрастающая последовательность натуральных чисел; точный выбор h(k) будет сделан позже. Определим последовательность rk следующим образом: rk = a2

−qh(k)

,

k ∈ N.

Ясно, что rk → 1 − 0. Имеем 1 2qh(k) 1 ∼ , log ∼ qh(k) log 2, 1 − rk log(1/a) 1 − rk 1 q log 2 1 log ∼ h(k)2qh(k) . 1 − rk 1 − rk log(1/a) £ ¤ Положим nk = h(k)2qh(k) , ak = 2sh(k) ; тем самым мы зададим степенной F (z). Тогда ∞ X |ak |q k=1

nsk

6

∞ X k=1

1 (h(k) − 1)s

(9.3.4)

и nk ∼

log(1/a) 1 1 log . q log 2 1 − rk 1 − rk

Значит, достаточно произвести выбор h(k) так, чтобы сходился ряд в правой части (9.3.4) и чтобы nF (rk ) = nk . Чтобы выполнялось свойство nF (rk ) = nk , достаточно, в силу теоремы Руше, выбрать h(k) так, чтобы X n aj rk j , k ∈ N. (9.3.5) ak rknk > j6=k

В дальнейшем учитываем, что 0 < a < 1. Имеем X

ak rknk > (2s a)h(k) , X (2s )h(j) < (k − 1)2sh(k−1) . aj =

jk

(9.3.8)

j>k

Объединяя оценки (9.3.6), (9.3.7), (9.3.8), видим, что требуемое неравенство (9.3.5) будет выполнено, если мы добьемся выполнения следующих неравенств 1 2s βk 6 , 2

1 (2s a)h(k) > (k − 1)2sh(k−1) + . a

(9.3.9)

Ясно, что выбор h(k), обеспечивающий неравенства (9.3.9) и одновременно сходимость ряда в правой части (9.3.4), возможен. Лемма9.3.4 доказана. Лемма 9.3.5. Пусть 0 −1. Тогда если ∞ X |an |2 n=1

ns

< ∞,

то F (z) :=

2 где 0 < s < (1 + α), p ∞ X n=1

an z n ∈ Apα .

9.3. О


59

Доказательство. Пусть Ã Mp (r, F ) :=

1 2π

Z2π

¯ ¡ iθ ¢¯p ¯F re ¯ dθ

!1/p ,

0 < r < 1.

0

По равенству Парсеваля M22 (r, F )

=

∞ X

|an |2 r2n .

(9.3.10)

n=1

Так как p < 2, то Mp (r, F ) 6 M2 (r, F ) и потому Mp2 (r, F )

∞ X ¡ ¢ |an |2 ¡ s 2n ¢ n r 6 S max ns r2n . 6 s n n n=1

С помощью дифференцирования функции ns r2n (переменного n) находим, что ее наибольшее значение на полупрямой R+ достигается в точке n, для которой s+2n log r = 0, т.е. n = s/(2 log(1/r)), r2n = e−s . Значит, µ ¶s ¡ s 2n ¢ 1 max n r 6 c(s) ∼ c(s)(1 − r)−s , r → 1 − 0, n log(1/r) Z1 Z1 p 2 α p kF (z)kp,α = 2 (1 − r ) Mp (r)r dr 6 c (1 − r2 )α−sp/2 dr. 0

0

По условию α − sp/2 > −1. Значит, последний интеграл конечен, т.е. F (z) ∈ Apα . Лемма 9.3.5 доказана. Лемма 9.3.6. Пусть p > 2, α > −1, 1/p + 1/q = 1. Тогда если ∞ X |an |q q < ∞, где s = (1 + α), s n p n=1

то F (z) ∈

Apα ,

где F (z) — степенной ряд с коэффициентами an .

Доказательство. Из (9.3.10) следует, что kF (z)k22,α

=2

∞ X n=1

Z1 2

2 α 2n+1

|an |

(1 − r ) r

∞ X |an |2 dr ³ . n1+α n=1

0

Рассмотрим линейный оператор T , действующий по правилу ∞ ³ a ´∞ X n T : → F (z) = an z n . n1+α n=1 n=1

Обозначим через dµ меру, которая сосредоточена в точках n ∈ N, причем dµ(n) = n1+α . Тогда предыдущая оценка для kF k22,α показывает, что ¡ ¢ T : L2 (N, dµ) → L2 |z| < 1, (1 − r2 )α dx dy . Далее, очевидно, что

¡ ¢ T : L1 (N, dµ)) → L∞ (|z| < 1) = L∞ |z| < 1, (1 − r2 )α dx dy

(при написании последнего равенства мы воспользовались замечанием из п. 1.4). По теореме Рисса—Торина при всех q ∈ (1, 2] ¡ ¢ T : Lq (N, dµ) → Lp |z| < 1, (1 − r2 )α dx dy . Но последнее свойство есть утверждение о том, что ∞ X |an |q < ∞ =⇒ F (z) ∈ Apα . (q−1)(1+α) n n=1 По условию (q − 1)(1 + α) = s, и лемма9.3.6 доказана.

60


ТИПА


Несколько загрубляя утверждение леммы 9.3.6, объединим леммы 9.3.6, 9.3.5 в следующей лемме. Лемма 9.3.7. Пусть p > 0, α > −1 и q= Тогда если

∞ X |an |q n=1

то

ns

( 2, p p−1 ,

< ∞, ∞ X

когда p < 2, когда p > 2.

q где 0 < s < (1 + α), p

(9.3.11)

an z n ∈ Apα .

n=1

Теорема 9.3.1. Пусть p > 0, α > −1. Тогда : 1) для любой функции F (z) ∈ Apα nF (r) 1+α 6 ; r→1−0 (1/(1 − r)) log(1/(1 − r)) p lim

(9.3.12)

2) для сколь угодно малого δ > 0 найдется функция F (z) ∈ Apα такая, что nF (r) 1+α > −δ (1/(1 − r)) log(1/(1 − r)) p для некоторой последовательности r = rk → 1 − 0. Таким образом, константа (1 + α)/p в (9.3.12) является точной. Доказательство. 1) Мы можем считать, что F (0) = 1. Для простоты пишем n(t) вместо nF (t). По лемме 9.3.3 при фиксированном b > 0 Zr 1+α 1 n(t) dt 6 (1 + o(1)) log , r → 1 − 0. t p 1−r r1+b

Отсюда в силу неубывания n(t), ¡ ¢ ¡ ¢ 1+α 1 1 − rb n r1+b 6 (1 + o(1)) log . p 1−r Положим ρ = r1+b ; тогда r = ρ1/(1+b) , 1 − r ∼ (1 + b)−1 (1 − ρ),

log

1 1 ∼ log , 1−r 1−ρ

1 − rb = 1 − ρb/(1+b) ∼ b(1 + b)−1 (1 − ρ),

ρ → 1 − 0,

и значит,

1+α 1+b 1 · log , ρ → 1 − 0. p b 1−ρ Так как b мы можем взять сколь угодно большим, то коэффициент (1 + b)/b может быть сделан сколь угодно близким к 1. Отсюда следует (9.3.12). Утверждение 1) доказано. 2) Пусть s и q таковы, что выполнено условие (9.3.11). Пусть F (z) — функция из леммы 9.3.4. По лемме 9.3.7 F (z) ∈ Apα . Числа s и q мы можем (при сохраненном условии (9.3.11)) фиксировать так, чтобы число s/q было сколь угодно близким к (1 + α)/p. С другой стороны, за счет выбора числа a в лемме 9.3.4 мы можем сделать коэффициент (log(1/a))/(q log 2) сколь угодно близким к s/q. Теперь утверждение 2) теоремы 9.3.1 следует из утверждения 2) леммы 9.3.4. Теорема 9.3.1 доказана. (1 − ρ)n(ρ) 6 (1 + o(1))

Обозначим через Z(Apα ) множество всех последовательностей (zn ), |zn | < 1, каждая из которых является последовательностью нулей некоторой функции из Apα . Из теоремы 9.3.1 вытекает Следствие 9.3.1 (см. [90]). Если (1 + α)/p 6= (1 + β)/q, то Z(Apα ) 6= Z(Aqβ ).

9.3. О

9.3.2.

61


Перейдем к функциям классов P(a). Из теоремы 9.3.1 и леммы 9.3.1 сразу вытекает

Следствие 9.3.2 (см. [108]).

1) Если F (z) ∈ P(a), a > 0, то ¡ ¢ nF (r) = O (1 − r)−1 log(1 − r)−1 , r → 1 − 0;

2) для любого a > 0 найдется функция F (z) ∈ P(a) такая, что ¡ ¢ nF (r) > ∆ (1 − r)−1 log(1 − r)−1 , ∆ > 0, r = rk → 1 − 0. Обозначим через Φ (Ψ) класс положительных, невозрастающих на полупрямой R+ функций, для которых Ã Z∞ ! Z∞ ϕ(t)dt < +∞ ψ(t)dt = +∞ . Теорема 9.3.2. Пусть F (z) ∈ P(a), a > 0; пусть zn — нули F (z), rn = |zn |, bn ³ 1 − rn . Тогда для любой функции ϕ ∈ Φ µ ¶ ∞ X 1 bn ϕ log < ∞. (9.3.13) bn n=1

Лемма 9.3.8. Пусть dn > 0, ∞ X

dn = +∞,

Sn =

n=1

n X

dk .

k=1

Тогда ∞ X n=1 ∞ X

dn ϕ(Sn ) < +∞

∀ϕ ∈ Φ,

(9.3.14)

dn ψ(Sn−1 ) = +∞

∀ψ ∈ Ψ.

(9.3.15)

n=1

Лемма9.3.8 представляет собой обобщение известной теоремы Абеля—Дини [71], отвечающей случаю ϕ(t) = 1/t1+ε , ε > 0 и ψ(t) = 1/t. Доказательство леммы 9.3.8. Так как Sn → +∞, то Z∞ ZSn ∞ ∞ X X ϕ(t)dt = ϕ(t)dt = dn ϕ∗n , n=2 S n−1

S1

(9.3.16)

n=2

где

ϕ(Sn ) 6 ϕ∗n 6 ϕ(Sn−1 ). (9.3.17) Если ϕ ∈ Φ, то ряд (9.3.16) — сходящийся; подавно выполняется свойство (9.3.14). Если же ϕ = ψ ∈ Ψ, то ряд (9.3.16) расходится, и в силу (9.3.17), справедливо свойство (9.3.5). Лемма 9.3.8 доказана.

Доказательство теоремы 9.3.2. Так как bn → 0, то полагаем, что все bn < 1. Также не снижая общности, считаем, что F (0) = 1. Записывая формулу Иенсена X rn

1 r = log r 2π n −1. Пусть zn — нули F (z), rn = |zn |, и bn ³ 1−rn . Тогда для любой функции ϕ класса Φ имеет место свойство (9.3.13). 9.4. АНАЛИЗ

ПРОБЛЕМЫ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Lp

9.4.1. Мы расширим поставленную в начале главы проблему, включая в рассмотрение весовые пространства Lpα = Lpα (R+ ). Речь, таким образом, идет об условиях полноты системы ¡ −λn t ¢∞ e , Λ = (λn )∞ Re λn > 0 (9.4.1) 1 , n=1 в пространствах Lpα . В п. 9.1 мы видели, что в рассматриваемой проблеме важную роль играет условие Саса ∞ X Re λn δn = +∞, δn := . (9.4.2) 1 + |λn |2 n=1

Введенное в (9.4.2) обозначение для δn сохраним до конца главы; это делается, чтобы избежать громоздких записей. Классы Φ и Ψ определены в п. 9.3. Нашей ближайшей целью является доказательство следующих двух теорем. Теорема 9.4.1. Пусть p > 1, α > −1. Если для некоторой функции ϕ ∈ Φ ∞ X

¡ ¢ δn ϕ log(δn )−1 = +∞,

(9.4.3)

n=1

то система (9.4.1) полна в

Lpα .

Теорема 9.4.2. Пусть p > 1, α > −1 и 1+α 1 > . p 2

(9.4.4)

Тогда найдется последовательность Λ = (λn ), Re λn > 0 такая, что: 1) система (9.4.1) неполна в Lpα ; 2) для любой функции ψ ∈ Ψ ∞ X

¡ ¢ δn ψ log(δn )−1 = +∞.

(9.4.5)

n=1

В частном случае ψ ≡ 1 теорема 9.4.2 дает Следствие 9.4.1. Если p > 1, α > −1 и выполнено условие (9.4.4), то условие (9.4.2) не является достаточным для полноты системы (9.4.1) в Lpα . В частности, условие (9.4.2) не является достаточным для полноты системы (9.4.1) в Lp , 1 6 p < 2.

9.4. АНАЛИЗ


Lp

63

Заметим, что условие (9.4.3), разумеется, сильнее условия (9.4.2) (достаточного для полноты системы (9.4.1) в Lp , p > 2). Ценность теоремы 9.4.1, в первую очередь, состоит в том, что она охватывает пространства Lp при 1 6 p < 2. Кроме того, теорема 9.4.2 показывает, что условие (9.4.3) теоремы 9.4.1 в определенном смысле неулучшаемо (класс Φ нельзя заменить классом Ψ) по крайней мере для пространств Lpα с условием (9.4.4). Для доказательства теорем 9.4.1, 9.4.2 понадобится некоторое расширение леммы 9.1.1. Через L∞ α (X) обозначаем пространство измеримых на множестве X ⊂ R+ функций с нормой ¡ ¢ kf k∞,α := sup ess |f (t)| · tα : t ∈ X . Лемма 9.4.1. Пусть 1 6 p < ∞, α > −1. Пусть β = −αq/p, 1/p + 1/q = 1, если p > 1, и пусть β = −α, если p = 1. Тогда неполнота системы (9.4.1) в Lpα равносильна существованию нетривиальной аналитической функции вида Z G(w) = e−wt g(t)dt, u = Re w > 0, g ∈ Lqβ , (9.4.6) R+

обращающейся в 0 в точках Λ. Эта лемма доказывается так же, как лемма 9.1.1. Следует только учесть, что (Lpα )∗ = Lqβ . Доказательство теоремы 9.4.1. Предположим, что система (9.4.1) неполна в Lpα , и докажем, что ∞ X

¡ ¢ δn ϕ log(δn )−1 < ∞

∀ϕ ∈ Φ.

(9.4.7)

n=1

По лемме 9.4.1 некоторая нетривиальная аналитическая функция G(w) вида (9.4.6) обращается в 0 в точках Λ. По неравенству Г¨ельдера ÃZ !1/p e−put tα dt

|G(w)| 6 kgkq,β

= cu−(1+α)/p ,

u = Re w > 0.

R+

Положим a = (1 + α)/p; так как α > −1, то a > 0. Функция ua G(w) ограничена по модулю в правой полуплоскости; подавно в этой полуплоскости ограничена функция ¡ ¢a F (w) = 4u(1 + w)−2 G(w). Рассмотрим отображение z = (w − 1)/(w + 1) полуплоскости Re w > 0 на круг |z| < 1. Имеем 1 − |z|2 = 4(Re w)/|1 + w|2 . Значит, если zn — образ точки λn , то положив bn = δn , видим, что bn ³ 1 − rn , rn = |zn |. Далее, образ функции F (w) есть функция, ограниченная в круге |z| < 1, т.е. ¯ µ ¶¯ ¡ ¢a ¯ 1 + z ¯¯ 1 − |z|2 ¯¯G 6 c < ∞, |z| < 1. 1−z ¯ Так как функция G1 (z) := G((1 + z)/(1 − z)) аналитична в круге |z| < 1, то последняя оценка показывает, что G1 (z) ∈ P(a). Так как G1 (zn ) = 0, то требуемое свойство (9.4.7) имеет место по теореме 9.2.2. Теорема 9.4.1 доказана. Для доказательства теоремы 9.4.2 нам понадобится Теорема 9.4.3. Пусть µn — нули функции F (w) =

∞ X

cn e−nw ,

Re w > 0.

(9.4.8)

n=1

Пусть при некотором ε > 0 и при всех натуральных N N X

¡ ¢ |cn | = O N ε .

(9.4.9)

n=1

Тогда если ε < (1 + α)/p − 1/2, то система (9.4.1) с λn = 1/µn неполна в Lpα , 1 6 p < ∞, α > −1.

64



ТИПА

Доказательство. Из (9.4.9) вытекает, что если a > ε, то ∞ X ¡ ¢ |cn | = O N ε−a , a n

(9.4.10)

n=N

и в частности,

∞ X |cn | n=1

na

< ∞.

(9.4.11)

В самом деле, обозначив Sn = |c1 | + · · · + |cn |, с применением преобразования Абеля находим Ã ∞ ! ! Ã ∞ µ ¶ ∞ ∞ X X X Sn X ¡ ¢ 1 1 |cn | 1 6 Sn a − =O =O = O N ε−a , a a 1+a 1+a−ε n n (n + 1) n n n=N

n=N

n=N

n=N

и (9.4.10) верно. Неполнота системы (9.4.1) в Lpα будет доказана, если мы построим нетривиальную функцию g ∈ Lqβ (где q и β определены в лемме 9.4.1), такую, что функция (9.4.6) обращается в 0 в точках Λ. Зафиксируем число ν так, чтобы ν 1 a := + > ε, (9.4.12) 2 4 и рассмотрим функцию ∞ X ¡ ¢ ν/2 g(t) = t cn n−ν/2 Jν 2(nt)1/2 , t > 0, (9.4.13) n=1

где Jν (t) — бесселева функция, а cn — коэффициенты разложения ¡ ¢ (9.4.8). Покажем, что ряд (9.4.13) сходится на полупрямой t > 0. Так как Jν (t) = O t−1/2 вне окрестности точки t = 0, то при фиксированном t > 0 ряд из модулей общих членов ряда (9.4.13) мажорируется сходящимся (см. (9.4.11)) рядом ∞ ¡ ν/2−1/4 ¢ X |cn | O t . na n=1

Мы не только установили сходимость ряда (9.4.13), но и получили оценку ¡ ¢ g(t) = O tν/2−1/4 , t > 1.

(9.4.14)

Нам нужна также g(t) и для 0 < t < 1. Рассматривая эти значения t, будем иметь в ¡ оценка ¢ виду, что Jν (t) = O tν , 0 < t < 1. Запишем X X X X = g(t) = + = + 1

=

X

2

cn n

−ν/2

nt1

¡ ¢ X ¡ ¢ · O (nt)ν/2 + cn n−ν/2 · tν/2 · O (nt)−1/4 .

nt1

К полученным суммам применяем свойства (9.4.9) и (9.4.10) с N = [1/t]: X ¡ ¢ ¡ ¢X |cn | = O tν−ε , = O tν 1

X 2

Итак,

nt1

¡ ¢ g(t) = O tν−ε ,

Из (9.4.14) следует, что если µ ¶ ν 1 α q − − < −1 при p > 1, 2 4 p то g(t) ∈ Lqβ (1, ∞). Из (9.4.15) следует, что если ¶ µ α > −1 при p > 1, q ν−ε− p

0 < t < 1.

и

ν 1 − − α 6 0 при p = 1, 2 4

и ν − ε − α > 0 при p = 1,

(9.4.15)

(9.4.16)

(9.4.17)

9.4. АНАЛИЗ


Lp

65

то g(t) ∈ Lqβ (0, 1). Комбинируя (9.4.16) и (9.4.17), видим, что если 1+α 2(1 + α) 3 −1+ε 1,

(9.4.18)

то g(t) ∈ Lqβ (0, ∞) = Lqβ . По условию ε + 1/2 < (1 + α)/p; значит, правая часть в (9.4.18) больше левой. Поэтому выбор числа ν, удовлетворяющего (9.4.18), возможен (при этом опять же по условию ε + 1/2 < (1 + α)/p из левого неравенства (9.4.18) следует, что (9.4.12) верно). При таком выборе g(t) ∈ Lqβ . Остается показать, что функция (9.4.6) обращается в 0 в точках λn = 1/µn . Хорошо известно, что при ν > −1 Z ¡ ¢ e−wt tν/2 Jν 2t1/2 dt, Re w > 0. w−1−ν e−1/w = R+

По теореме подобия при Re w > 0 Z ¡ ¢ −ν/2 n e−wt tν/2 Jν 2(nt)1/2 dt = w−1−ν e−n/w .

(9.4.19)

R+

Умножим (9.4.13) на e−wt e−wt g(t) =

∞ X

¡ ¢ cn n−ν/2 e−wt tν/2 Jν 2(nt)1/2 ,

t>0

(9.4.20)

n=1

и при фиксированном w проинтегрируем почленно от 0 до ∞. В силу (9.4.19), получим, что при Re w > 0 Z ∞ ³1´ X −wt −1−ν e g(t)dt = w cn e−n/w = w−1−ν F , w n=1

R+

и так как F (1/λn ) = 0, то g(t) аннулирует систему (9.4.1), что и требовалось. Надо только оправдать почленное интегрирование. Вспомним, что оценивая модуль функции (9.4.13), мы на самом деле оценивали сумму ряда из модулей. Это означает, что для частичных сумм ряда (9.4.13) верны оценки (9.4.14) и (9.4.15), где величины O равномерны относительно порядков этих сумм. А¡ тогда сумм ¢ для частичных ¡ ν−ε , 0 < t < 1; O tν/2−1/4 · ряда (9.4.20) справедливы равномерные (в том же смысле) оценки O t ¢ et Re w , t > 1, и почленное интегрирование этого ряда законно на основании теоремы Лебега. Теорема 9.4.3 доказана. Доказательство теоремы 9.4.2. При β > 2, β ∈ N рассмотрим бесконечное произведение F (w) = e

−w

∞ Y ¡ ¢ 1 − e · exp(−wβ s ) .

(9.4.21)

s=1

Очевидно, оно сходится равномерно в каждой полуплоскости вида Re w > δ > 0 и задает аналитическую функцию в полуплоскости Re w > 0. Совершая перемножение в (9.4.21), получаем разложение (9.4.8), где cn 6= 0 для тех и только тех n, для которых n = 1 + β s1 + β s2 + · · · + β sm ,

1 6 s1 < s2 < · · · < sm .

(9.4.22)

Так как β > 2, то представление натурального числа n в виде (9.4.22) единственно (если оно существует). Покажем, что каково бы ни было ε > 0, можно подобрать β так, чтобы выполнялось свойство (9.4.9). Зафиксируем sm = s и выясним количество номеров n, заканчивающихся на β s (в смысле (9.4.22)). Очевидно, оно равно сумме биномиальных коэффициентов, т.е. 2s−1 (так как s фиксировано, то варьируются числа sj от 1 до s − 1). Далее, из совершаемого в (9.4.21) перемножения видим, что |cn | 6 es . Таким образом, для номеров n, заканчивающихся на β s , X 1 |cn | 6 2s−1 es = exp(s(1 + log 2)). 2

66


ТИПА


Обозначим через k наибольшее натуральное число с условием β k < N ; тогда k < (log N ) × (log β)−1 . Так как n > β s , то из n 6 N следует, что β s < N , и поэтому сумма в (9.4.9) не превосходит k ¡ ¢ ¡ ¢ 1 X s(1+log 2) e = O ek(1+log 2) = O N (1+log 2)/ log β . 2 s=1

Значит, если взять β достаточно большим, то свойство (9.4.9) будет выполнено. Пусть µn — все нули функции F (w). Из условия (9.4.4) следует, что при достаточно малом ε > 0 будет выполнено условие ε + 1/2 < (1 + α)/p, присутствующее в теореме 9.4.3. По теореме 9.4.3 при надлежащем подборе параметра β система (9.4.1) с λn = 1/µn неполна в Lpα . Надо показать, что для любой функции ψ класса Ψ имеет место условие (9.4.5). Но значение δn не меняется при замене λn на 1/λn , поэтому достаточно проверить условие (9.4.5) для последовательности µn нулей функции F (w). Эта последовательность имеет вид ws,k =

1 + 2πik , βs

Имеем δs,k = δ(ws,k ) = Оценим снизу выражение Ls :=

X k∈Z

s ∈ N,

k ∈ Z.

βs B := 2 . 2s 2 2 β + 1 + 4π k B + 1 + γk 2

¶ µ B B 2 + 1 + γk 2 . ψ log B 2 + 1 + γk 2 B

В силу монотонности функции ψ, ¶ µ Z B B 2 + 1 + γ · x2 dx = Ls > ψ log B 2 + 1 + γx2 B R+

Z

= R+

Z1 > 0

µ ¶ ¡ ¢ B B2 + 1 dt 2 √ ψ log + log 1 + γt > 2 B 1 + γt2 B +1 µ

β 2s + 1 > c1 ψ log + c2 βs

¶ > c1 ψ(hs)

при некотором h > 0. Так как ψ ∈ Ψ, то отсюда ∞ X

Ls = +∞,

s=1

и соотношение (9.4.5) установлено. Теорема 9.4.2 доказана. 9.4.2. Вернемся к вопросу о нулях аналитических функций классов Apα и P(a). В доказательстве теоремы 9.4.1 теорема 8.2.2 играла вспомогательную роль. Однако, она представляет и самостоятельный интерес. Поэтому остановимся еще на одном факте, связанном с этой теоремой. В дополнение к теореме 9.2.2 справедлива Теорема 9.4.4. При любом a > 0 найдется функция G(z) ∈ P(a) такая, что если bn = 1 − |zn |, где zn — все нули G(z), то µ ¶ X 1 bn ψ log = +∞ ∀ψ ∈ Ψ. (9.4.23) bn bn 2,

β ∈ N.

(9.4.24)

9.4. АНАЛИЗ


Lp

67

Оно сходится равномерно внутри круга |z| < 1; следовательно, G(z) аналитична при |z| < 1. Производя перемножение, имеем ∞ X G(z) = cn z n , |z| < 1, n=1

где коэффициенты cn те же, что у функции (9.4.21). В ходе доказательства теоремы 9.4.2 мы увидели, что для любого a > 0 можно подобрать β таким, чтобы выполнялось свойство (9.4.9), а значит, и свойство (9.4.11). Пусть |z| = r; тогда ¡ ¢ |G(z)| 6 S · max na rn , (9.4.25) n

где S — сумма ряда в (9.4.11). Считая n непрерывной переменной, с помощью дифференцирования находим, что написанный максимум достигается при n = a/ log(1/r). Подставляя это значение ¡ ¢ −a в (9.4.25), видим, что G(z) = O (1 − r) , т.е. G(z) ∈ P(a). Займемся нулями функции G(z). Из (9.4.24) видно, что они расположены на окружностях ¡ ¡ ¢¢ Cs := z : |z| = rs = exp −β −s , s ∈ N, причем на окружности Cs лежит ровно β s нулей. Имеем ¡ ¢ 1 − rs ∼ β −s , log (1 − rs )−1 ∼ s log β, n−1 X

X

(1 − |zk |) > c

s=1 zk ∈Cs

n−1 X

1 > c1 n > c2 log

s=1

1 . 1 − rn

Применяя теперь лемму 9.3.8 к ряду с общим членом 1 X (1 − |zk |) c2 zk ∈Cs

и учитывая монотонность функции ψ, делаем вывод, что Ã ! ∞ X X ¡ ¢ (1 − |zn |) ψ log(1 − rs )−1 = +∞. s=1

zn ∈Cs

А это есть не что иное, как соотношение (9.4.23). Теорема 9.4.4 доказана. Из доказанной теоремы и из леммы 9.3.1 вытекает Следствие 9.4.2. Для любых p > 0, α > −1 найдется функция F (z) ∈ Apα , такая, что если zn — все ее нули, а bn = 1 − |zn |, то выполнено свойство (9.4.23). Это утверждение уместно сопоставить со следствием 9.3.2. 9.4.3. По теореме 9.4.1 условие (9.4.2) не является достаточным условием полноты системы (9.4.1) в Lpα , p > 1, если выполнено условие (9.4.4). В связи с этим возникает вопрос, аналогичный тому, что мы ставили в п. 9.2, после доказательства теоремы 9.2.1: при каком расположении точек Λ условие (9.4.2) все же остается достаточным для полноты системы (9.4.1) в Lpα ? Пусть функция r(y) определена на всей прямой; через D(r) обозначаем соответствующую правую криволинейную полуплоскость (z = x + iy : x > r(y), y ∈ R). Основные трудности при рассмотрении только что поставленного вопроса вбирает в себя следующая Теорема 9.4.5. Пусть функция G(z) аналитична в полуплоскости x > 0, и пусть имеют место следующие оценки: |G(z)| 6 C < +∞, |G(z)| 6 Cx

−s

,

x > 1,

0 < x < 1,

s > 0.

Пусть далее, r(y) — произвольная неотрицательная функция класса Λ1 (R), для которой Z log r(y) dy > −∞. (9.4.26) 1 + y2 R

68


ТИПА


Тогда для корней λn функции G(z) выполнено условие X Re λn < +∞. 1 + |λn |2 λn ∈D(r)

Введем функцию

! Ã Z log r(t) itz − 1 1 F (z) = F (z; r(t)) = exp dt , π 1 + t2 it − z

(9.4.27)

R

которая, в силу (9.4.26), имеет смысл и аналитична в полуплоскости x > 0 и, очевидно, не обращается в нуль. Лемма 9.4.2. Пусть функция r(y) удовлетворяет условиям теоремы 9.4.5 и пусть r(y) 6 1, y ∈ R. Тогда: 1) |F (z)| 6 1, x > 0; 2) |F (z)| 6 Cx1/π , z ∈ D(r), 0 < x < 1. Доказательство. Так как

! Ã Z 1 x dt , |F (z)| = exp log r(t) 2 π x + (y − t)2 R

log r(t) 6 0, а ядро Пуассона положительно, то |F (z)| 6 1. По тем же соображениям Ã ! Z 1 x dt |F (z)| 6 exp log r(t) 2 . π x + (y − t)2 |t−y|<x

R Воспользуемся неравенством Иенсена: если p(t) > 0, p(t)dt > 0, то ! ÃR Z f (t)p(t)dt 1 R 6R exp exp(f (t))p(t)dt. p(t)dt p(t)dt Для этого положим p(t) = (1/π)x/(x2 + (y − t)2 ), Z 1 x dt N= . 2 π x + (y − t)2 |t−y|<x

Тогда |F (z)|1/N 6

1 πN

Z x2

r(t)x dt . + (y − t)2

|t−y|<x

Если |t − y| < x, то 1/(2x) 6 |F (z)|1/N

x/(x2

t)2 )

+ (y − 6 1/x. Значит, 1/π 6 N 6 2/π и Z Z 1 1 r(t)dt 6 (|r(t) − r(y)| + r(y))dt. 6 πN x x |t−y|<x

|t−y|<x

Так как r(y) ∈ Λ1 (R) по условию и r(y) < x (ведь z ∈ D(r)), то |F (z)|1/N 6 2M x. Следовательно, |F (z) 6 (M x)N 6 M 2/π · x1/π , если 0 < x < 1. Лемма 9.4.2 доказана. В следующей лемме речь пойдет о функции Z 2 r (t) itz − 1 1 S(z) = dt, π 1 + t2 it − z R

которая имеет смысл и аналитична при x > 0, если, например, r(t) ∈ L∞ . Лемма 9.4.3. Пусть r(y) ∈ Λ1 (R) и |r(y)| 6 δ, y ∈ R. Тогда если δ достаточно мало, то:

9.4. АНАЛИЗ


Lp

69

1) |S(z)| 6 |z|+1 2 , x > 0; 1 0 2) |S (z)| 6 2 , z ∈ D(r3 ); 3) функция S(z) непрерывна в конечных точках множества D(r3 ), причем |S(z1 ) − S(z2 )| 6 2−1/2 · |z1 − z2 |,

z1 , z2 ∈ D(r3 ).

Доказательство. Будем пользоваться тождествами Z Z itz − 1 dt dt 1 1 = 1, = 0, 2 π it − 1 1 + t π (it − z)2 R

x > 0.

(9.4.28)

R

По первому из них S(z) = r2 (y) +

1 π

Z

r2 (t) − r2 (y) itz − 1 dt. 1 + t2 it − z

(9.4.29)

R

Здесь модуль подынтегральной функции не превосходит ¯ ¯ ¯ ¯ 4δ ¯¯ r(t) − r(y) ¯¯ |t| · |z| + 1 4δ ¯¯ r(t) − r(y) ¯¯ 6 (|z| + 1). 1 + |t| ¯ it − z ¯ 1 + |t| 1 + |t| ¯ t − y ¯ Поэтому модуль интеграла в (9.4.29) не больше, чем ¯ Z ¯ 4δ(|z| + 1) 4δ(|z| + 1) ¯¯ r(t) − r(y) ¯¯ dt = (I1 + I2 ), ¯ ¯ π t−y 1 + |t| π

(9.4.30)

R

где I1 , I2 — интегралы по |t − y| < 1 и по |t − y| > 1, соответственно. Так как r(y) ∈ Λ1 (R), то I1 6 M . Далее, ÃZ ! Z Z 2δ dt dt dt I2 6 6δ 6 Cδ. + |t − y|(1 + |t|) (1 + |t|)2 (t − y)2 R

|t−y|>1

|t−y|>1

Подставляя эти оценки в (9.4.30) и (9.4.29), где r2 (y) 6 δ 2 , получаем утверждение 1). По второму тождеству (9.4.28) Z 2 1 r (t) − r2 (y) S 0 (z) = − dt, x > 0, π (it − z)2 R

откуда 1 |S (z)| 6 π

Z

0

|r2 (t) − r2 (y)| 1 dt = (K1 + K2 ), 2 2 x + (y − t) π

(9.4.31)

R

где K1 , K2 — интегралы соответственно по |t − y| < δ и |t − y| > δ. Имеем Z dt 2 K2 6 2δ = 4δ. (t − y)2 |t−y|>δ

r2 (t)

r2 (y)

Далее, − Λ1 (R) получаем Значит,

= (r(t) −

r(y))2

+ 2r(y)(r(t) − r(y)), поэтому с учетом принадлежности r(y) ∈

¯ 2 ¯ ¯r (t) − r2 (y)¯ 6 M 2 (t − y)2 + 2M r(y)|t − y|. Z

K1 6

µ M 2 + 2M r(y)

¶ |t − y| x2 + δ 2 2 dt = 2M δ + 2M r(y) log . x2 + (t − y)2 x2

|t−y| 0.

(9.4.32)

R

Лемма 9.4.4. Пусть функция r(y) та же, что в лемме 9.4.3. Тогда при всех достаточно малых δ имеем: 1) P (x, y) 6 2x 3 , z ∈ D(r); 2) на кривой x = r3 (y) (x 6= 0) верно неравенство P (x, y) − x > 0, y ∈ R. Доказательство. Так как при r(t) = 1 правая часть в (9.4.32) есть 1, то Z 2 ¯ ¯ |r (t) − r2 (y)| ¯P (x, y) − r2 (y)¯ 6 x dt. π x2 + (t − y)2 R

Здесь правая часть лишь множителем x отличается от интеграла (9.4.31), который мы оценивали при доказательстве леммы 9.4.3. По этой лемме ¯ ¯ ¯P (x, y) − r2 (y)¯ 6 x (9.4.33) 2 для z ∈ D(r3 ), а подавно и для z ∈ D(r) (считаем, что δ < 1). Так как r(y) < x и r(y) < δ, то отсюда при δ 6 1/6 получаем P (x, y) 6 x/2 + δx 6 2x/3, z ∈ D(r). Теперь из (9.4.33) при x = r3 (y) 6= 0 следует, что µ ¶ 3r(y) 3x 2 2 = r (y) 1 − > 0, P (x, y) − x > r (y) − 2 2 так как δ 6 1/6, и лемма 9.4.4 доказана. Доказательство теоремы 9.4.5. Если мы заменим r(y) на min(r(y), δ), то область D(r) не уменьшится, а свойство r(y) ∈ Λ1 (R) и условие (9.4.26) сохранятся. Поэтому мы можем считать, что r(y) 6 6 δ, где δ зафиксировано таким, чтобы имели место утверждения лемм 9.4.2–9.4.4. Мы построим: а) область D(ρ) так, чтобы D(r) ⊂ D(ρ); б) функцию H(z), аналитическую и ограниченную в D(ρ) и такую, что H(λn ) = 0, λn ∈ D(r); в) конформное отображение w = w(z) области D(ρ) на полуплоскость Re w > 0.

9.4. АНАЛИЗ


Lp

71

Образ функции H(z) будет функцией, аналитической и ограниченной при Re w > 0; поэтому для ее корней выполняется условие Бляшке. Вся суть построения состоит в том, что оно «не очень сильно искажает», т.е. для прообразов — точек λn — это условие также оказывается выполненным. Положим w(z) = z − S(z) (9.4.34) и рассмотрим уравнение Re w = x − P (x, y) = 0,

y ∈ R.

(9.4.35)

Покажем, что это уравнение задает неявным образом непрерывную на всей прямой функцию x = ρ(y) такую, что ρ(y) = 0, когда r(y) = 0, и r3 (y) < ρ(y) < r(y),

когда r(y) 6= 0.

(9.4.36)

При x > 0 уравнение (9.4.35) равносильно уравнению P (x, y) − 1 = 0. x

(9.4.37)

Далее, по лемме 9.4.4 левая часть в (9.4.37) принимает значения разных знаков при x = r3 (y) и x = r(y). В силу непрерывности левой части, существует значение x = ρ(y), удовлетворяющее (9.4.36) и (9.4.37). Так как µ ¶ Z P (x, y) 0 2x r2 (t)dt =− < 0, 2 x π (x + (t − y)2 )2 x R

то это значение единственно. По теореме о неявной функции построенная функция x = ρ(y) непрерывна на множестве, где r(y) 6= 0. Если же r(y) = 0, то P (r(y), y) = 0, в силу непрерывности интеграла Пуассона. Таким образом, значение x = ρ(y) = 0 удовлетворяет (9.4.35). С другой стороны, оно же получается доопределением построенной функции x = ρ(y) (r(y) 6= 0) в точках, где r(y) = 0, по непрерывности. Утверждается, что функция (9.4.34) задает конформное отображение области D(ρ) на правую полуплоскость Re w > 0. Если w(z1 ) = w(z2 ) для z1 , z2 ∈ D(ρ), то S(z2 ) − S(z1 ) = z2 − z1 , и по утверждению 3) леммы 9.4.3 z2 = z1 . Это означает однолистность функции w(z) в D(ρ), и нам остается проверить, что кривая x = ρ(y) — граница области D(ρ) — отображается функцией w(z) на всю мнимую ось с сохранением ориентации. Поскольку кривая x = ρ(y) задается уравнением (9.4.35), то ее образ попадает на мнимую ось. Теперь по утверждению 1) леммы 9.4.3 Im w(iy + ρ(y)) → ±∞,

y → ±∞,

откуда все и следует. Действительно, во-первых, функция Im w(z) непрерывна (по лемме 9.4.3) на кривой x = ρ(y), а потому принимает на ней все свои промежуточные (т.е. все конечные) значения. Во-вторых, движению точки z на рассматриваемой кривой снизу вверх отвечает движение точки w(z) на мнимой оси также снизу вверх. Промежуточное утверждение о конформности отображения (9.4.34) доказано. Для функции r3 (y) выполнены все условия леммы 9.4.2. Значит, и ее утверждения имеют место для функции F (z; r3 (t)) (см. (9.4.27)) и области D(r3 ). Пусть m = πs; тогда функция F m (z)G(z) аналитична и ограничена в области D(ρ) ⊂ D(r3 ) и имеет корни λn . Образ ее при отображении w(z) есть функция, аналитическая и P ограниченная при Re w > 0. Следовательно, для ее корней wn = w(λn ) выполнено условие Бляшке (Re ¢wn )/(1 + |wn |2 ) < +∞. Значит, достаточно ¡ 2 показать, что Re λn 6 C Re wn и 1 + |wn | 6 C 1 + |λn |2 . Обозначив λn = αn + iβn , имеем по лемме 9.4.4 Re λn , 3 и первое из требуемых неравенств доказано. Второе из них следует по утверждению 1) леммы 9.4.3. Теорема 9.4.5 доказана. Re wn = αn − P (αn , βn ) >

Доказательство теоремы 9.4.5 оказалось далеко не простым. Зато теперь мы почти сразу получаем следующий результат.

72


ТИПА


Теорема 9.4.6. В классе последовательностей Λ = (λn ), Re λn > 0, обладающих свойством Z log dist(iy, Λ) dy > −∞ (9.4.38) 1 + y2 R

условие (9.4.2) достаточно для полноты системы (9.4.1) в Lpα , 1 6 p < ∞, α > −1. Доказательство. Надо доказать, что при наличии свойства (9.4.38) неполнота системы (9.4.1) влечет условие X Re λn < +∞. 1 + |λn |2 λn ∈Λ

По лемме 9.4.1 некоторая нетривиальная функция G(z) вида (9.4.6) обращается в нуль в точках Λ. По неравенству Г¨ельдера |G(z)| 6 Cx−(1+α)/p , x > 0. Обозначим r(y) = dist(iy, Λ); утверждается, что |r(y1 ) − r(y2 )| 6 |y1 − y2 |,

y1 , y2 ∈ R.

(9.4.39)

Чтобы в этом убедиться, проведем окружности радиусов r(y1 ) и r(y2 ) с центрами в точках iy1 и iy2 соответственно. Если эти окружности не пересекаются, то неравенство (9.4.39) тривиально. Если же они пересекаются (пусть в точке z0 ), то (9.4.39) следует из рассмотрения треугольника с вершинами iy1 , iy2 , z0 . Итак, для функций G(z) и r(y)/2 выполнены все условия теоремы 9.4.5. Из нее все и будет следовать, если мы проверим справедливость включения Λ ⊂ D(r/2). Это включение равносильно тому, что αn > r(βn )/2, αn + iβn = λn ∈ Λ. При r(βn ) = 0 написанное неравенство тривиально. Если r(βn ) > 0, то оно следует из определения функции расстояния (более того, αn > r(βn ) — иначе расстояние от точки iβn до λn было бы меньше r(βn )). Теорема 9.4.6 доказана. Следующее утверждение является объединением теоремы 9.4.6 с теоремами 9.1.2 и 9.1.3. Теорема 9.4.7. В классе последовательностей Λ со свойством (9.4.38) условие (9.4.2) необходимо и достаточно для полноты системы (9.4.1) в Lp , 1 6 p < ∞, и в C0 . Условие (9.4.38) легко проверяется, когда, например, последовательность Λ отделена от мнимой оси или лежит в секторе | arg λ| 6 π/2 − ε, ε > 0 (в частности, когда Λ вещественна). Таким образом, те частные (но, конечно, важные) случаи, которые разбирались нами в п. 9.1 относительно элементарными средствами, теперь служат иллюстрацией общей теории. 9.5.

ПРИМЕНЕНИЕ

КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

9.5.1. Теорема 9.4.1 дает достаточный признак полноты, годный для всех пространств Lpα . Здесь мы займемся условием полноты, учитывающим p и α. Согласно лемме 9.4.1 вопрос упирается в распределение нулей аналитических функций вида Z G(w) = e−wt g(t)dt, Re w > 0, g ∈ Lqβ , (9.5.1) R+

где β = −αq/p в случае p > 1. В п. 9.3 мы рассматривали пространства Apα (|z| < 1) функций, аналитических в единичном круге. Введем аналогичные пространства в правой полуплоскости. Обозначим через Apα (Re w > 0) (p > 0, α > −1) пространство аналитических при u = Re w > 0 функций, для которых Ã ZZ !1/p p α kG(w)kp,α := |G(u + iv)| u du dv < ∞. u>0

Теорема 9.5.1. Пусть 2 6 q < ∞, β < q − 2. Тогда если g ∈ Lqβ , то функция (9.5.1) принадлежит пространству Aqq−3−β (Re w > 0) и kG(w)kq,q−3−β 6 ckgkq,β , где c от g не зависит.

9.5. ПРИМЕНЕНИЕ


73

Доказательство. При фиксированном u > 0 функция G(u + iv) есть преобразование Фурье функции e−ut g(t), t > 0. По теореме Харди—Литтлвуда Z Z q |G(u + iv)| dv 6 c e−qut |g(t)|q tq−2 dt. R+

R

Проинтегрируем это неравенство по положительной мере uq−3−β du вдоль полупрямой u > 0, после чего справа изменим порядок интегрирования. Получим Z Z kG(w)kqq,q−3−β 6 c |g(t)|q tq−2 dt e−qut uq−3−β du = ÃZ

R+

|g(t)|q tβ dt = c1 kgkqq,β ,

e−qx xq−3−β dx

=c R+

R+

!Z R+

что и требовалось (здесь важно, что q − 3 − β > −1). Теорема 9.5.1 доказана. Теорема 9.5.2. Пусть G(w) ∈ Aqβ (Re w > 0), 1 < q 6 2, β > −1. Тогда G(w) представима в виде (9.5.1), где g(t) ∈ Lqq−3−β и kgkq,q−3−β 6 ckG(w)kq,β , где c от G(w) не зависит. Доказательство. Пусть u0 = Re w0 > 0, K := (w : |w − w0 | < u0 /2). В силу субгармоничности функции |G(w)|q , ZZ uβ+2 β+2 q 0 u0 |G(w0 )| 6 |G(w)|q du dv. π(u0 /2)2 K

Если w ∈ K, то u0 /2 0. Значит, |G(w)| ограничен в любой полуплоскости вида Re w > δ > 0. Но в таком случае при фиксированном ε > 0 функция µ ¶ 1 − e−εw 2 Gε (w) := G(w) , Re w > 0 εw есть изображение некоторого оригинала gε (t), т.е. Z Gε (w) = e−wt gε (t)dt,

Re w > 0

(9.5.2)

R+

(см., например, [20]). При фиксированном u > 0 функция e−ut gε (t) есть обратное преобразование Фурье функции Gε (u + iv). Так как Gε (u + iv) ∈ Lq (R), то по теореме Харди—Литтлвуда Z Z e−qut |gε (t)|q tq−2 dt 6 c |Gε (u + iv)|dv. R+

R

Интегрируя это неравенство по мере uβ du вдоль полупрямой u > 0. Далее, меняя порядок интегрирования в левой части и учитывая, что |Gε (w)| 6 |G(w)|, будем иметь ÃZ !Z e−qx xβ dx |gε (t)|q tq−3−β dt 6 ckG(w)kqq,β . (9.5.3) R+

R+

Так как первый интеграл слева есть константа, то последнее неравенство показывает, что нормы функций gε (t), 0 < ε < 1 в Lqq−3−β ограничены в совокупности. Выделим слабо сходящуюся

74


ТИПА


последовательность gεi (t), εi → 0; пусть g(t) — слабый предел, g(t) ∈ Lqq−3−β . Так как Gε (w) → G(w), ε → 0 в любой точке w правой полуплоскости, то из (9.5.2) следует (9.5.1), а требуемая оценка для нормы получается из (9.5.3). Теорема 9.5.2 доказана. При q = 2 теоремы 9.5.1, 9.5.2 дают Следствие 9.5.1. При β < 0 класс A2−1−β (Re w > 0) совпадает с классом функций (9.5.1), где g ∈ L2β . При этом kG(w)k2,−1−β ³ kgk2,β . Чтобы применить теоремы 9.5.1, 9.5.2 к исследуемой проблеме полноты в пространствах Lpα , необходимо установить связь между пространствами Apα в полуплоскости и в круге. Лемма 9.5.1. Пусть p > 0, α > −1. Для того, чтобы G(w) ∈ Apα (Re w > 0), необходимо и достаточно, чтобы µ ¶ 1+z G (1 − z)−(4+2α)/p ∈ Apα (|z| < 1). (9.5.4) 1−z Доказательство. Рассмотрим конформное отображение z = (w −1)/(w +1) полуплоскости Re w > 0 на круг |z| < 1. Так как якобиан обратного отображения J = |w0 |2 = 4|1 − z|−4 , а u = Re w = (1 − z 2 )/|1 − z|2 , то ¶¯p ZZ ZZ ¯ µ ¯ ¯ (1 − |z|2 )α 1 + z p α ¯G ¯ |G(w)| u du dv = 4 dx dy, ¯ 1 − z ¯ |1 − z|4+2α u>0

|z| 0 (круг лежит в правой полуплоскости). Через n(t) обозначается zn в круге |z| < t. Лемма 9.5.2. Пусть Λ = (λn ), Re λn > 0; пусть (zn ) — образ последовательности Λ при отображении z = (w − 1)/(w + 1) полуплоскости Re w > 0 на круг |z| < 1. Тогда lim

x→∞

NΛ (x) n(r) = lim . x log x r→1−0 (1/(1 − r)) log(1/(1 − r))

(9.5.5)

Доказательство. Обозначим через Cr прообраз окружности |z| = r < 1. Окружность Cr симметрична относительно вещественной оси и проходит через точки (1 − r)/(1 + r) и (1 + r)/(1 − r). Значит, если мы обозначим ее центр и радиус соответственно через x и R, то ¡ ¢¡ ¢−1 ¡ ¢−1 x = 1 + r2 1 − r2 , R = 2r 1 − r2 . (9.5.6) Выражая r через x и подставляя в формулу для R, получаем, что R = (x2 − 1)1/2 . Таким образом, NΛ (x) = n(r). Из левой формулы (9.5.6) следует, что x ∼ (1 − r)−1 , r → 1 − 0. Значит, левая и правая части в (9.5.5) совпадают. Лемма 9.5.2 доказана. Обозначим через NG (x) число нулей функции G(w) в круге радиуса (x2 − 1)1/2 с центром в точке x > 0. Леммы 9.5.1, 9.5.2 позволяют переформулировать теорему 9.3.1 в следующем виде. Теорема 9.5.3. Пусть p > 0, α > −1. Тогда µ ¶ NG (x) 1+α sup lim = , x→∞ x log x p где верхняя грань берется по всем нетривиальным функциям G(w) ∈ Apα (Re w > 0). Теперь мы можем подвести некоторый итог. Обозначим δ(Λ) = lim

x→∞

NΛ (x) , x log x

Λ = (λn ),

Re λn > 0.


Теорема 9.5.4.

75


1) Пусть 1 p−2. Тогда если δ(Λ) > (α−(p−2))/p, то система ¡ −λn t ¢∞ e , Λ = (λn )∞ Re λn > 0 (9.5.7) n=1 , n=1

полна в Lpα . 2) Пусть p > 2, α > p−2. Тогда сколь бы малым ни было ε > 0, найдется последовательность Λ = (λn ) такая, что система (9.5.7) неполна в Lpα и δ(Λ) >

α − (p − 2) − ε. p

(9.5.8)

Следствие 9.5.2. Пусть α > 0. Тогда если δ(Λ) > α/2, то система (9.5.7) полна в L2α , причем константа α/2 является точной. Доказательство теоремы 9.5.4. 1) Предположим противное: система (9.5.7) неполна в Lpα . По лемме 9.4.1 найдется нетривиальная функция G(w) вида (9.5.1), обращающаяся в 0 в точках Λ, причем β = −αq/p, q = p/(p − 1). Имеем NΛ (x) 6 NG (x). Далее, q > 2, и так как α > p − 2, то µ ¶ µ ¶ α 2−p 2 2 β=− q< q= −1 q = 1− q = q − 2. (9.5.9) p p p q Значит, выполнены условия теоремы 9.5.1. По ней G(w) ∈ Aqq−3−β (Re w > 0). По теореме 9.5.3 δ(Λ) 6

q − 2 + αq/p 2 α 2+α 1+q−3−β = =1− + = − 1. q q q p p

А это противоречит условию. Утверждение 1) доказано. 2) Пусть теперь 1 < q 6 2. Так как α > p−2, то верно неравенство (9.5.9), т.е. β = −αq/p < q−2. Тогда q − 3 − β > −1. По теореме 9.5.3 найдется функция G(w) ∈ Aqq−3−β (Re w > 0) такая, что 1+q−3−β 2+α NG (x) > −ε= − 1 − ε, x log x q p

x = xk → ∞.

Обозначим через Λ последовательность всех нулей функции G(w). Тогда свойство (9.5.8) имеет место. Далее, так как 1 < q 6 2 и q − 3 − β > −1, то по теореме 9.5.2 G(w) представима в виде (9.5.1) с g(t) ∈ Lqβ . По лемме 9.4.1 система (9.5.7) неполна в Lpα . Теорема 9.5.4 доказана. 9.5.2. Теорема 9.5.4 не охватывает всех значений p > 1, α > −1. Кроме того, входящие в ее утверждения множества точек (p, α) пересекаются только при p = 2. В связи с этим рассмотрим следующие вопросы. 1) Пусть система (9.5.7) полна (неполна) в Lpα11 , p1 > 1, α1 > −1; спрашивается, для каких точек (p, α) она остается полной (неполной) в Lpα ? 2) Каково множество точек (p, α) таких, что условие (9.4.2) достаточно или необходимо для полноты системы (9.5.7) в Lpα ? Частичный ответ на второй вопрос дает следствие 9.4.1. Имеет место следующая теорема подчинения. Теорема 9.5.5. 1) Пусть система (9.5.7) неполна в Lpα11 , p1 > 1, α1 > −1. Тогда она неполp на в Lα для всех точек (p, α) таких, что 1 6 p 6 p1 , α > α1 p/p1 . 2) Пусть система (9.5.7) полна в Lpα11 , p1 > 1, α1 > −1. Тогда она полна в Lpα для всех точек (p, α) таких, что p > p1 , −1 < α 6 α1 p/p1 . Основным инструментом при доказательстве теоремы 9.5.5 служит теорема Харди—Литтлвуда [89] о действии оператора интегрирования дробного порядка 1 (Ia f )(x) := Γ(a)

Zx f (t)(x − t)a−1 dt,

a>0

0

в пространствах Lpα . Уточненный вариант этой теоремы выглядит так:

76


ТИПА


Теорема 9.5.6 (см. [40]). Пусть q1 > 1, β < q1 − 1, 1 0 q1 ; это следует из ограничения m 6 a. Слегка переформулируем теорему 9.5.6. Выразим m из (9.5.11) µ ¶ 1 1 m=a+ − (9.5.12) q q1 и подставим в выражение для ν. Тогда µ ¶ β 1 1 ν= −a+ − q. (9.5.13) q1 q1 q Пусть теперь числа q > q1 , a > 1/q1 − 1/q, a > 0 фиксированы. Найдем m из (9.5.12). Тогда 0 6 a − m < 1/q1 , т.е. условие (9.5.10) выполнено. Мы пришли к следующей переформулировке теоремы 9.5.6, удобной тем, что в ней отсутствует параметр m. Теорема 9.5.7. Пусть 1 < q1 6 q < ∞, β < q1 − 1, 1/q1 − 1/q 6 a, a > 0, а ν задается формулой (9.5.13). Тогда Ia : Lqβ1 → Lqν . Доказательство теоремы 9.5.5. Утверждение 2) следует из 1). Докажем 1). По предположению ¡ ¢∗ система (9.5.7) неполна в Lpα11 . По лемме 9.4.1 найдется нетривиальная функция g ∈ Lpα11 такая, что функция G(w) вида (9.5.1) обращается в 0 в точках Λ. Наша задача состоит в том, чтобы построить нетривиальную функцию f ∈ (Lpα )∗ , такую, что ее преобразование Лапласа Z F (w) = e−wt f (t)dt, Re w > 0 R+

обращается в 0 в точках Λ. Ищем f в виде свертки f = g ∗ h, где h — некоторая функция, сосредоточенная на R+ . Так как F = GH, где H — преобразование Лапласа функции h, а G(λn ) = 0, то нам нужно только подобрать h так, чтобы f ∈ (Lpα )∗ . 1 Пусть сначала p1 > 1. Тогда g ∈ Lq−α , 1/p1 + 1/q1 = 1. 1 q1 /p1 p ∗ q Пусть 1 1/q1 − 1/q; точное значение a будет выбрано чуть позже. Положим h(t) = ta−1 /Γ(a), t > 0. Так как α1 > −1, то β = −α1 q1 /p1 < q1 − 1. Все условия теоремы 9.5.7 выполнены. По ней f = g ∗ h = Ia g ∈ Lqν , где, в силу (9.5.13), ν = q(−α1 /p1 − a + 1/q1 − 1/q). Значит, нам достаточно фиксировать a таким, чтобы это значение ν равнялось −αq/p, т.е. чтобы µ ¶ α1 1 1 α=p +a− + . (9.5.14) p1 q1 q Пусть p < p1 ; тогда q1 < q. Так как параметр a в теореме 9.5.7 может быть любым на полупрямой [1/q1 − 1/q, ∞), а α > p(α1 /p1 ) по условию, то выбор a, обеспечивающий (9.5.14), возможен. При p = p1 небольшое изменение состоит в том, что теперь a в теореме 9.5.7 может быть любым на полупрямой (0, ∞). Но и α теперь строго больше, чем p(α1 /p1 ) (при p = p1 , α = α1 доказывать нечего), а потому a снова определяется из (9.5.14). Случай 1 < p 6 p1 разобран. В остальных случаях в качестве h достаточно взять характеристическую функцию интервала (0, 1). Тогда Zx Zx f (x) = g(t)dt или f (x) = g(t)dt (9.5.15) 0

соответственно при 0 < x < 1 или x > 1.

x−1


77


Пусть 1 = p < p1 . По неравенству Г¨ельдера !1/p1 Ã Zx α1 t dt , |f (x)| 6 kgk

0 < x < 1;

0

если же x > 1, то интеграл справа берется по интервалу (x − 1, x). Значит, ¡ ¢ |f (x)| = O x(1+α1 )/p1 , 0 < x < 1, ¡ α1 /p1 ¢ |f (x)| = O x , x > 1. L∞ −α1 /p1 .

(9.5.16) (9.5.17)

(L1α )∗ ,

Оценки (9.5.16), (9.5.17) показывают, что f ∈ Значит, f ∈ если α = α1 /p1 . Си1 стема (9.5.7) неполна в Lα с α = α1 /p1 . Но по доказанной уже части теоремы 9.5.5 мы можем в самом начале заменить α1 любым б´ольшим значением. Получаем неполноту системы (9.5.7) в Lpα , α > α1 /p1 . Остается разобрать случай p1 = 1. Тогда g ∈ L∞ −α1 . Из (9.5.15) следует, что верны оценки (9.5.16), (9.5.17) с p1 = 1. Значит, если α1 6 α 6 α1 + 1, то f ∈ L∞ −α , и система (9.5.7) 1 неполна в Lα при α1 6 α 6 α1 + 1. Беря теперь в роли α1 значение α1 + 1, заключаем, что система (9.5.7) неполна в L1α при α1 + 1 6 α 6 α1 + 2. И так далее. Теорема 9.5.5 доказана. Следствие 9.5.3. Пусть p > 2, α > 0. Если δ(Λ) > α/p, то система (9.5.7) полна в Lpα . Для доказательства положим p1 = 2, α1 /2 = α/p. По условию δ(Λ) > α1 /2, и по следствию 9.5.2 система (9.5.7) полна в L2α1 . Так как α = (α1 /2)p, p > 2, то по утверждению 2) теоремы 9.5.5 система (9.5.7) полна в Lpα . Точно так же следствие 9.5.2 и утверждение 1) теоремы 9.5.5 дают Следствие 9.5.4. Пусть 1 6 p < 2, α > 0. Тогда сколь бы малым ни было ε > 0, найдется последовательность Λ такая, что система (9.5.7) неполна в Lpα и δ(Λ) > α/p − ε. Следствие 9.5.5. Пусть p > 1, α > max(0, p − 2). Тогда условие ∞ X Re λn = +∞ 1 + |λn |2

(9.5.18)

n=1

необходимо для полноты системы (9.5.7) в Lpα . Доказательство. По утверждению 2) теоремы 9.5.5 достаточно доказать необходимость условия (9.5.18) для полноты системы (9.5.7) в Lpp−2 , p > 2 или, что то же, доказать достаточность условия ∞ X Re λn 2. Пусть условие (9.5.19) выполнено. Пусть B(w) — произведение Бляшке для правой полуплоскости с нулями λn . Тогда функция G(w) = B(w)/(w + 1) принадлежит классу H q в правой полуплоскости, 1 < q 6 2, 1/p + 1/q = 1. По теореме Харди—Литтлвуда G(w) есть преобразование Лапласа некоторой нетривиальной функции g ∈ Lqq−2 . Так как G(λn ) = 0 и (Lpp−2 )∗ = Lqq−2 , то по лемме 9.4.1 система (9.5.7) неполна в Lpp−2 . Следствие 9.5.5 доказано. Следствие 9.5.6. Пусть p > 1, −1 < α 6 min(0, p − 2). Тогда условие (9.5.18) достаточно для полноты системы (9.5.7) в Lpα . Доказательство. По утверждению 2) теоремы 9.5.5 достаточно доказать, что условие (9.5.18) влечет полноту системы (9.5.7) в Lpp−2 , 1 < p 6 2. Предположим противное: система (9.5.7) неполна в Lpp−2 , 1 2, то по теореме Харди—Литтлвуда G(w) ∈ H q (Re w > 0). Но тогда для ее нулей выполнено условие Бляшке. Подавно оно выполнено и для точек λn , т.е. свойство (9.5.19) имеет место. Следствие 9.5.6 доказано.

78


ТИПА


Теорема 9.5.8. Пусть p > 1, α > min(0, p/2 − 1). Тогда найдется последовательность Λ такая, что δ(Λ) > 0 и система (9.5.7) неполна в Lpα . Доказательство. Пусть сначала p > 2, α > 0. Положим s = αq/p, 1/p + 1/q = 1, и пусть F (z) — степенной ряд из леммы 9.3.4, который запишем в виде F (z) =

∞ X

cn z n ,

|z| < 1.

n=1

Пусть G(w) =

∞ X

cn e−nw ,

Re w > 0,

(9.5.20)

n=1

Положим g(t) = 0 при t < 1 и g(t) = cn , n < t < n + 1. Тогда в силу утверждения 1) леммы 9.3.4 g(t) ∈ Lqβ , β = −αq/p и Z w

e

−wt

g(t)dt = (1 − e

−w

∞ X

)

cn e−nw = (1 − e−w )G(w).

n=1

R+

Значит, если обозначить через λn последовательность нулей функции G(w), то по лемме 9.4.1 система (9.5.7) неполна в Lpα . Надо убедиться, что δ(Λ) > 0. Пусть NΛ (x) — число точек λn внутри окружности Cx радиуса (x2 − 1)1/2 с центром в точке x > 0. Пусть ux ± iπ — левые точки пересечения Cx с прямыми Im w = ±π. Тогда (ux − x)2 + π 2 = x2 − 1. Решая это уравнение, находим, что ux ∼

π2 + 1 , 2x

x → +∞.

(9.5.21)

| Im w| < π.

(9.5.22)

Рассмотрим полуполосу Re w > ux , e−w

Функция z = однолистно отображает ее на круг |z| < r с выколотой точкой z = 0, причем r = exp(−ux ). Из (9.5.21) следует, что при x → ∞ 1−r ∼

π2 + 1 , 2x

x∼

π2 + 1 . 2(1 − r)

(9.5.23)

Так как коэффициенты cn в разложениях для F (z) и G(w) совпадают, то число нулей функции G(w) в полуполосе (9.5.22) равно числу нулей функции F (z) в круге |z| < r, т.е. nF (r). Далее, F (z) 6= 0 в достаточно малой окрестности нуля, поэтому G(w) 6= 0 в полуполосе (9.5.22) при всех достаточно больших Re w. Значит, если x достаточно велико, то число NΛ (x) оценивается снизу величиной nF (r) (мы учли только те нули, которые попали в пересечение полуполосы (9.5.22) с внутренностью Cx ). Итак, NΛ (x) > nF (r), и потому в силу (9.5.23), δ(Λ) = lim

x→∞

NΛ (x) 2 nF (r) > 2 lim . r→1−0 x log x π +1 (1/(1 − r)) log(1/(1 − r))

По лемме 9.3.4 предел справа может быть сделан сколь угодно близким к s/q = α/p. Мы доказали, что для любого ε > 0 существует последовательность Λ такая, что δ(Λ) >

π2

α 2 · − ε, +1 p

и система (9.5.7) неполна в Lpα . Случай p > 2 рассмотрен. Пусть теперь 1 6 p < 2, α > p/2 − 1. Этот случай трудней, так как α может быть отрицательным, и использованное только что построение g(t) в виде ступенчатой функции не проходит. По теореме 9.5.5 достаточно рассмотреть p > 1. Фиксируем ε > 0 столь малым, чтобы ε < (1 + α)/p − 1/2; это возможно, так как α > p/2 − 1. В лемме 9.3.4 положим q = 1, s = ε. Пусть cn — коэффициенты степенного ряда F (z); рассмотрим

9.6. КАСАТЕЛЬНЫЕ

ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ЛАПЛАСА

И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

79

функцию (9.5.20). Пусть µn — нули G(w), пусть λn = 1/µn . Из утверждения 1) леммы 9.3.4 следует, что N N X X |cn | ε |cn | = n 6 M · N ε, nε n=1

n=1

где M не зависит от N . По теореме 9.4.3, система (9.5.7) неполна в Lpα . Надо проверить, что δ(Λ) > 0. Так как величина δ(Λ) не меняется при замене точек λn точками 1/λn , то надлежит убедиться в том, что δ(1/λn ) > 0. А это делается точно так же, как в случае p > 2. Теорема 9.5.8 доказана. Замечание 9.5.1. Если δ(Λ) > 0, то ∞ X n=1

δn

1 = +∞, log(1/δn )

(9.5.24)

и тем более, выполнено условие (9.5.18). Действительно, если бы ряд в (9.5.24) сходился, то и ∞ X 1 (1 − |zn |) < +∞, log(1/(1 − |zn |)) n=1

где zn — образы точек λn при отображении z = (w − 1)/(w + 1). Значит, общий член этого ряда есть o(1/n). Поэтому 1 n(1 − |zn |) → 0, n → ∞, log(1/(1 − |zn |)) и ¡ ¢ n(t) = o (1 − t)−1 log(1 − t)−1 , t → 1 − 0. Отсюда и из леммы 9.5.2 следует, что δ(Λ) = 0. Противоречие. Замечание 9.5.2. Обратное утверждение неверно. В самом деле, для последовательности Λ из теоремы 9.4.2 условие (9.5.24) выполнено. С другой стороны, простая выкладка показывает, что в этом случае NΛ (x) ³ x. Из теоремы 9.5.8 и замечания 9.5.1 вытекает Следствие 9.5.7. При p > 1, α > min(0, p/2 − 1) условие (9.5.18) не является достаточным для полноты системы (9.5.7) в Lpα . В заключение покажем, что свойство полноты системы (9.5.7) в Lp разделяет показатели p ∈ ∈ [1, 2) в следующем смысле. Следствие 9.5.8. Пусть 1 6 p < 2. Тогда найдутся число p1 ∈ (p, 2) и последовательность Λ такие, что система (9.5.7) неполна в Lp и полна в Lp1 . Действительно, по теореме 9.5.8 найдется неполная в Lp система (9.5.7), для которой δ(Λ) > 0. Пусть δ(Λ) = ∆. Выберем p1 ∈ (p, 2) столь близким к 2, чтобы (2 − p1 )/p1 < ∆. По теореме 9.5.4 система (9.5.7) полна в Lp1 . 9.6. КАСАТЕЛЬНЫЕ


ЛАПЛАСА


9.6.1.

Рассматриваются преобразования Лапласа (ПЛ) Z F (z) = e−zt f (t)ω(t)dt,

Re z > 0

(9.6.1)

R+ 0

функций f ∈ Lq (R+ ) с положительным весом ω(t). Если ω ≡ 1, то F (z) ∈ H q при 1 < q 6 2 и потому F (z) имеет п.в. на мнимой оси угловые граничные значения, а при q = 1 F (z) непрерывна в замкнутой полуплоскости Re z > 0. В этом пункте мы выделим класс весов ω(t) таких, что при 1 < q < ∞ ПЛ (9.6.1) имеет п.в. на мнимой оси касательные граничные значения.

80


Пусть ω(t) = l(t), где l(t) ∈ L∞ и

Z∞

ТИПА


l(t) dt < +∞. t

(9.6.2)

Тогда имеет смысл функция Zt L(t) = 0

1 ³1´ L du, u u

t > 0.

(9.6.3)

В силу (9.6.2), L(t) → 0, t → +0. Кроме того, L(t) ∈ L∞ (см. п. 1.2). Обозначим через T класс возрастающих, вогнутых на [0, 1], дифференцируемых на (0, 1] функций ψ(t) таких, что ψ(0) = ψ(+0) = 0 и Z dt < +∞. ψ(t) 0

Пусть функция L(t) определена посредством (9.6.3), где l(t) — положительная функция со свойством (9.6.2). Введем «параболические окрестности» U = U (iy0 ) = U (iy0 , l(t), c) = (z : c|y − y0 |ψ(L(|y − y0 |)) < x)

(9.6.4)

точки iy0 мнимой оси, z = x + iy, c > 0. Функция L(t) положительна, возрастает в правой окрестности нуля и L(t) → 0, t → +0. Значит, если ψ ∈ T , то теми же свойствами обладает и композиция ψ(L(t)). Поэтому граница множества (9.6.4) касается мнимой оси в точке iy0 . Теорема 9.6.1. Пусть ω(t) = l(t), где l(t) ∈ L∞ ∩ L∞ (R+ ), l(t) не возрастает при всех достаточно больших t и выполнено условие (9.6.2). Пусть f ∈ Lq (R+ ), 1 < q 6 2. Тогда для любой функции ψ ∈ T и для любого c > 0 ПЛ (9.6.1) почти в каждой точке iy0 мнимой оси имеет предел lim F (z), (9.6.5) U 3z→iy0

где U задается посредством (9.6.4), а L(t) — функция (9.6.3). Лемма 9.6.1. Пусть функция l(t) удовлетворяет условиям теоремы 9.6.1. Тогда функция Z B(z) = e−zt l(t)dt (9.6.6) R+

аналитична при Re z > 0, непрерывна при Re z > 0, z 6= 0 и при любом a > 0 ¡ ¡ ¢¢ B(z) = O r−1 l r−1 , 0 < r = |z| 6 a, Re z > 0.

(9.6.7)

Доказательство. Аналитичность B(z) очевидна. Непрерывность есть следствие равномерной сходимости интеграла (9.6.6) на множестве D = (z = reiθ : r > δ > 0, π/4 6 |θ| 6 π/2), интегрируемости функции l(t) на (0, A) и непрерывности функции e−zt на множестве (|z| 6 R, 0 6 t 6 A) при всех A, R ∈ R+ . А равномерная сходимость имеет место по признаку Дирихле. Проверим выполнение его условий; этим доказательство непрерывности B(z) будет закончено. Записав B(z) в виде Z Z −rt cos θ cos(rt sin θ)e l(t)dt − i sin(rt sin θ)e−rt cos θ l(t)dt, (9.6.8) R+

R+

убеждаемся, что интегралы ZA

ZA cos(rt sin θ)dt,

0

sin(rt sin θ)dt 0

ограничены в совокупности на D, а функция exp(−rt cos θ)l(t) монотонна при всех r, θ : reiθ ∈ D и равномерно на D стремится к 0 при t → +∞ (так как l(t) ↓ 0 в силу условия (9.6.2)). Значит, для интегралов (9.6.8) условия признака Дирихле выполнены. Непрерывность B(z) доказана.



ЛАПЛАСА


Докажем оценку (9.6.7). При |θ| 6 π/2 имеем Ã Z1 Z∞ ! ¡ ¢ ³t´ 1 B(reiθ ) = + exp −teiθ l dt = I1 + I2 . r r 0

81

(9.6.9)

1

По свойству 4) функций класса L∞ (п. 1.2) I1 = O(l(1/r)), 0 < r < 1, Re z > 0. В I2 интегрируем по частям: Z∞ ³ ´ Z∞ ³1´ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ³t´ 1 t I2 = − iθ l d exp −teiθ = e−iθ exp −e−iθ l + e−iθ exp −teiθ dl . e r r r 1

1

Если a > 0 достаточно мало, а 0 < r 6 a, то функция l(t/r) не возрастает на полупрямой t > 1. Кроме того, l(t) → 0, t → +∞. Значит, var(l(t/r) : t > 1) = l(1/r), и потому для I2 верна та же оценка, что и для I1 , т.е. Ij = O(l(1/r)), j = 1, 2. Отсюда и из (9.6.9) вытекает требуемая оценка (9.6.7), где пока a достаточно мало. Но функция B(z) непрерывна в каждом полукольце a 6 |z| 6 R, Re z > 0, и значит, оценка (9.6.7) верна для всех a > 0. Лемма доказана. Доказательство теоремы 9.6.1. 1) Пусть l1 (t) — непрерывная, невозрастающая функция класса L∞ , такая, что l1 (t) ∼ l(t), t → +∞, и функция (1/t)l1 (1/t) убывает в некоторой правой окрестности нуля; такая функция существует по свойству 6) функций класса L∞ (п. 1.2). Условие (9.6.2) для l1 (t) выполняется. Если мы заменим в теореме 9.6.1 l(t) на l1 (t), то класс ПЛ (9.6.1), где f ∈ Lq , сохранится. Докажем, что U (iy, l1 (t), c) ⊃ U (iy0 , l(t), 2c).

(9.6.10)

Для этого обозначим через L1 (t) функцию (9.6.3), где l(t) заменена на l1 (t). Из вогнутости ψ и из ψ(0) = 0 следует, что 1 1 ψ(t) > ψ(2t), 0 0, когда l1 (t) < 2l(t), в силу монотонности функции ψ имеем ctψ(L1 (t)) < ctψ(2L(t)) < 2ctψ(L(t)), и (9.6.10) верно. В силу того, что в (9.6.4) c > 0 любое, это означает, что множество окрестностей U (iy0 , l1 (t), c) содержит в себе множество окрестностей U (iy0 , l(t), c). Таким образом, мы можем считать, что l1 (t) непрерывна при t > t0 , а функция (1/t)l(1/t) убывает, 0 < t 6 t1 . Изменение l(t) на конечном интервале с сохранением ограниченности изменяет F (z) на целую функцию, что не влияет на утверждение теоремы. Поэтому можно считать, что l(t) не возрастает на [0, ∞). 2) При фиксированном x > 0 обозначим lx (t) = e−xt l(t), t > 0; lx (t) = 0, t < 0. Так как f ∈ Lq , 1 < q 6 2, то по теореме Хаусдорфа—Юнга fb ∈ Lp (R), 1/p + 1/q = 1. Учитывая, что Z x>0 F (z) = e−iyt f (t)lx (t)dt, R

и применяя неравенство Парсеваля в форме Z Z −iyt g (y − u)du e f (t)g(t)dt = fb(u)b R

R

с g(t) = lx (t), получаем

Z fb(u)b lx (y − u)du,

F (z) =

x > 0.

R

3) Пусть ψ ∈ T . Из (9.6.2) следует, что Zh 0

³1´ 1 l dt = tψ(L(t)) t

Zh 0

dL(t) = ψ(L(t))

ZH 0

du < +∞. ψ(u)

(9.6.12)

82


ТИПА


Значит, функция l(1/t) (9.6.13) tψ(L(t)) интегрируема в правой окрестности нуля. Так как l(t) не возрастает, а ψ(L(t)) ↓ 0, t → +0, то мы не увеличим значение положительной функции (9.6.13), заменив под знаком функции l переменную 1/t на большее значение 1/(tψ(t)), 0 < t < t0 . Отсюда следует, что µ ¶ 1 1 l ∈ L1 (−h, h) (9.6.14) |t|ψ(L(|t|)) |t|ψ(L(|t|)) при некотором h > 0. 4) Фиксируем произвольный интервал (ia, ib) мнимой оси так, чтобы b − a < h, и рассмотрим интеграл ¶ µ Zb ¯ ¯ 1 1 ¯fb(t)¯ dt. (9.6.15) l |y − t|ψ(L(|y − t|)) |y − t|ψ(L(|y − t|)) a

Пусть f1 (t) = |fb(t)|, t ∈ (a, b); f1 (t) = 0, t 6∈ (a, b), а функция g1 (t) совпадает с функцией (9.6.14) при 0 < |t| b − a. Тогда при y ∈ (a, b) интеграл (9.6.15) есть сужение на (a, b) свертки f1 ∗ g1 . Но f1 , g1 ∈ L1 (R) (надо учесть (9.6.14) и свойство fb ∈ Lp (R)), и потому эта свертка существует почти всюду на прямой. В частности, существует измеримое множество E ⊂ (a, b) такое, что mes E = b − a и интеграл (9.6.15) существует в любой точке множества E. Фиксируем y0 ∈ E. Из сказанного следует, что ∀ε > 0 ∃γ > 0 так, что если I = Iγ = = (y0 − γ, y0 + γ), то µ ¶ Z ¯ ¯ 1 1 ¯fb(t)¯ l dt < ε. (9.6.16) |y0 − t|ψ(L(|y0 − t|)) |y0 − t|ψ(L(|y0 − t|)) I

5) В силу непрерывности l(t) из (9.6.3) следует, что L0 (t) = (1/t)l(1/t). Поэтому и с использованием свойства 7) (п. 1.2) имеем при y → +0 ¡ ¢ (yψ(L(y)))0 = ψ(L(y)) + ψ 0 (L(y))l y −1 = ψ(L(y)) + o(1)ψ 0 (L(y))L(y). Но для вогнутой, положительной и дифференцируемой функции ψ с условием ψ(+0) = 0 выполняется очевидное свойство yψ 0 (y) → 0, y → +0. Значит, (yψ(L(y)))0 → 0,

y → +0.

(9.6.17)

Пусть z ∈ U = U (iy0 ), где c > 0 фиксировано, y0 6= t ∈ Iγ . Тогда если γ > 0 достаточно мало, то |z − it| > dist(it; U ) = |z ∗ − it|, где z ∗ = x∗ + iy ∗ (= z ∗ (t)) — такая точка на «параболе» x = c|y − y0 |ψ(L(|y − y0 |)), что касательная в этой точке ортогональна отрезку [it, z ∗ ]. Из (9.6.17) следует, что при t → y0 |z ∗ − it| ∼ x∗ , |y ∗ − y0 | ∼ |t − y0 |. (9.6.18) ∗ ∗ Поэтому |z − it| > c|y − y0 |ψ(L(|y − y0 |))/2, откуда используя второе соотношение (9.6.18), монотонность функции ψ, свойство 1) класса L∞ (применимое к L(t) в силу свойства 7)), а также свойство (9.6.11), находим, что при достаточно малом γ µ ¶ 1 c c (9.6.19) |z − it| > |y0 − t|ψ L(|y0 − t|) > |y0 − t|ψ(L(|y0 − t|)). 4 2 8 Итак, при 0 < γ < γ0 верны обе оценки (9.6.16) и (9.6.19). 6) Пусть I = Iγ , J = (−A, A)\I, где A достаточно велико. Вспоминая формулу (9.6.12), запишем ÃZ Z Z ! fb(t)b lx (y − t)dt = F1 + F2 + F3 . (9.6.20) F (z) = + + I

J

|t|>A

Так как b lx (y) = B(z), то с учетом леммы 9.6.1 получаем µ ¶ Z ¯ ¯ 1 1 |F1 | 6 C1 ¯fb(t)¯ l dt, |z − it| |z − it| I

(9.6.21)



ЛАПЛАСА


83

где C1 зависит только от l(t). Для z ∈ U = U (iy0 ) в силу оценки (9.6.19) и убывания функции (1/t)l(1/t) имеем µ ¶ µ ¶ 1 1 8/c 8/c l 6 l . (9.6.22) |z − it| |z − it| |y0 − t|ψ(L(|y0 − t|)) |y0 − t|ψ(L(|y0 − t|)) По свойству 1) класса L∞ при достаточно малом γ µ ¶ µ ¶ 8/c 1 l < 2l . |y0 − t|ψ(L(|y0 − t|)) |y0 − t|ψ(L(|y0 − t|)) Подставляя это неравенство сначала в (9.6.22), а затем полученное в (9.6.21) и используя (9.6.16), видим, что при достаточно малом γ ³C ´ 2 |F1 (z)| < ε, z ∈ U = U (iy0 ), (9.6.23) c где C2 зависит только от l(t). Если x > 0, то var(lx (t) : t > 0) = l(0) < +∞, и интегрирование по частям показывает, что ¯ ¯ ¯b lx (y − t)¯ 6 C|y − t|−1 , где C от z, t не зависит. Используя это, свойство fb ∈ Lp (R) и неравенство Г¨ельдера, делаем вывод, что при достаточно большом A |F3 (z)| < ε,

|y − y0 | < 1,

Re z > 0,

y = Im z.

(9.6.24)

Что же касается интеграла F2 (z), то он представляет функцию, непрерывную в точке iy0 ; действительно, fb(t) ∈ L1 (J), а по лемме 9.6.1 функция b lx (y) = B(z) непрерывна при Re z = x > 0, z 6= 0. Из (9.6.20), (9.6.23), (9.6.24) и из непрерывности F2 (z) в точке iy0 по критерию Коши следует существование предела (9.6.5). Теорема 9.6.1 доказана. В случае q > 2 в роли веса выступает функция ω(t) = l(t)t1/q−1/2 .

(9.6.25)

Следствие 9.6.1. Пусть f ∈ Lq , 2 < q < ∞, а вес ω(t) имеет вид (9.6.25), где функция l(t) удовлетворяет условиям теоремы 9.6.1 с той лишь разницей, что вместо условия (9.6.2) выполняется условие µ ¶ Z∞ s l 2q 2p dt < +∞, где s = = . (9.6.26) t 3q − 2 p+2 Тогда для любой функции ψ ∈ T и для любого c > 0 ПЛ (9.6.1) почти в каждой точке iy0 мнимой оси имеет предел (9.6.5), где U задается посредством формул (9.6.4) и (9.6.3), причем в формуле (9.6.3) следует заменить l(t) на ls (t). Доказательство. ПЛ (9.6.1) имеет смысл для Re z > 0, так как f (t)ω(t) ∈ L1 (0, 1) (по неравенству Г¨ельдера), и f (t)ω(t) ∈ Lq (1, ∞). Будем рассматривать ПЛ вида Z∞ F (z) = e−zt f (t)l(t)t1/q−1/2 dt, (9.6.27) 1

так как оно отличается от (9.6.1) на целую функцию, и следовательно, утверждение следствия верно для ПЛ (9.6.1) и (9.6.27) одновременно. Определим функцию f1 (t) равенством f1 (t)ls (t) = f (t)l(t)t1/q−1/2 ,

t > 1.

L2 (1, ∞).

(9.6.28)

Покажем, что f1 ∈ Для этого обозначим через r показатель, сопряженный с q/2, т.е. 1/r + 2/q = 1, r = q/(q − 2). По неравенству Г¨ельдера и в силу условия (9.6.26) !(q−2)/q Ã Z∞ Z∞ Z∞ 2(1−s) (t) s (t) l l |f1 (t)|2 dt = |f (t)|2 (q−2)/q dt 6 kf k2q dt < +∞, t t 1

и действительно, f1 ∈

1 2 L (1, ∞).

1

84


ТИПА


Положим l(t) = l(1), f (t) = 0 при 0 < t < 1. Тогда благодаря (9.6.28), функция (9.6.27) запишется в виде Z F (z) = e−zt f1 (t)ls (t)dt, f1 ∈ L2 , R+

и для F (z) выполнены условия теоремы 9.6.1 с q = 2, в которой f (t), l(t) заменены соответственно на f1 (t), ls (t). С учетом этой замены из теоремы 9.6.1 получаем утверждение следствия 9.6.1. 9.6.2. Здесь с помощью теоремы 9.6.1 мы выделяем широкий класс весовых пространств на полупрямой R+ , таких, что условие Саса ∞ X Re λn = +∞ 1 + |λn |2

(9.6.29)

n=1

не является необходимым для полноты в них системы ¡ −λn t ¢∞ e , Re λn > 0. n=1

(9.6.30)

Пусть B1 = B1 (0, 1) — банахово пространство функций, определенных на (0, 1), такое, что преобразование Лапласа произвольного функционала ϕ ∈ B1∗ ¡ ¢ ¡ ¢ ϕ, e−zt = ϕ(t), e−zt = Φ(z) (9.6.31) есть целая функция экспоненциального типа 6 1 со свойством единственности: Φ(z) ≡ 0 ⇒ ⇒ ϕ = 0. Класс таких пространств обозначаем через L . Класс L содержит в себе, например, такие пространства, как Lp (0, 1), Wpm (0, 1) (пространства Соболева), 1 6 p < ∞, m ∈ N, C[0, 1], C m [0, 1], Lp ((0, 1); ω(t)dt), где 0 < ω(t) ∈ L1 (0, 1). Речь пойдет о полноте системы (9.6.30) в прямом произведении пространств B = B1 (0, 1) ⊗ Lp ((1, ∞); ω(t)dt),

(9.6.32)

т.е. в пространстве B с нормой kf kB = kf1 kB1 + kf2 kLp ((1,∞);ω(t)dt) , где f1 , f2 — сужения f соответственно на (0, 1) и (1, ∞). Теорема 9.6.2. Пусть B1 ∈ L , а вес ω(t) удовлетворяет условию ω 1/p (t) = O(l(t)), ¡ ¢ ω 1/p (t) = O t1/2−1/p l(t) ,

когда 2 6 p < ∞,

(9.6.33)

когда 1 < p 6 2,

(9.6.34)

где l(t) — невозрастающая, ограниченная функция класса L∞ с условием (9.6.2) при 2 6 p < ∞ и с условием (9.6.26) при 1 < p 6 2. Тогда условие (9.6.29) не является необходимым условием полноты системы (9.6.30) в пространстве (9.6.32). Мы видим, что для теоремы 9.6.2 определяющим фактором является поведение веса ω(t) на бесконечности, в то время, как компонента пространства B, отвечающая за окрестность нуля, достаточно произвольна. При ω(t) = tα , B1 = Lp ((0, 1); tα dt) из теоремы 9.6.2 получаем Следствие 9.6.2. При 1 −1 обеспечивает интегрируемость веса tα в правой окрестности нуля, и значит, B1 ∈ L . Во-вторых, вес ω(t) = tα удовлетворяет условиям теоремы 9.6.2. В самом деле, если 2 6 p < ∞, то α < 0, а если 1 0, т.е. ω 1/p (t) = tα/p

(α < 0, p > 2),

ω 1/p (t) = t1/2−1/p · t−ε

(p 6 2),

и по свойству 3) класса L∞ функция ω 1/p (t) имеет соответственно вид (9.6.33) и (9.6.34) с любой функцией l(t) класса L∞ , в том числе, с невозрастающей функцией, удовлетворяющей условию (9.6.2) (условию (9.6.26)).



ЛАПЛАСА


Доказательство теоремы 9.6.2. Рассмотрим последовательность µ³ ¶∞ in ´∞ 1 Λ= αk + ; αk , lk > 0; αk , → 0 lk n=−∞ k=1 lk с условием ∞ X αk lk < +∞.

85

(9.6.35)

(9.6.36)

k=1

Как мы установили при доказательстве теоремы 9.2.1, условие (9.6.36) влечет для последовательности Λ условие ∞ X Re λn < +∞. 1 + |λn |2 n=1

Покажем, что при подходящем выборе αk , lk с условием (9.6.36) соответствующая система (9.6.30) полна в B. Этим доказательство теоремы 9.6.2 будет закончено. Предположим, что¡ система¢ (9.6.30) неполна в B. Тогда найдется нетривиальный функционал h ∈ B ∗ такой, что h, e−λn t = 0, n ∈ N , т.е. преобразование Лапласа H(z) функционала h обращается в нуль в точках Λ. В силу структуры (9.6.32) пространства B, функционал h ∈ B ∗ представляет собой упорядоченную пару ϕ, g, где ϕ ∈ B1∗ , ¡ ¢∗ ¡ ¢ g ∈ Lp ((1, ∞); ω(t)dt = Lq (1, ∞); ω −q/p (t)dt и (h, β) = (ϕ, β1 ) + (g, β2 ), где β ∈ B, а β1 , β2 — сужения β на (0, 1) и (1, ∞). Значит, отождествляя функционал g с функцией g ∈ Lq ((1, ∞); ω −q/p (t)dt), его представляющей, видим, что Z∞ ¡ −zt ¢ ¡ ¢ −zt H(z) = h, e = ϕ, e + e−zt g(t)dt = Φ(z) + F (z), Re z > 0. (9.6.37) 1

По предположению H(λn ) = 0, n ∈ N. Запишем Z∞ F (z) = e−zt f (t)l(t)dt

при 2 6 p < ∞,

(9.6.38)

при 1 < p 6 2.

(9.6.39)

1

Z∞ e−zt f (t)l(t)t1/q−1/2 dt

F (z) = 1

Тогда из содержащейся в (9.6.37) формулы для F (z), где g(t)ω −1/p (t) ∈ Lq (1, ∞), и из условий (9.6.33), (9.6.34) следует, что f ∈ Lq (1, ∞). В последующем будет также важно, что f (t)l(t)t1/q−1/2 ∈ L2 (1, ∞) при 1 0 следует (9.6.40)). По теореме 9.6.1 (при 2 6 p < ∞) и по следствию 9.6.1 (при 1 < p 6 2) F (z) почти в каждой точке iy0 мнимой оси имеет предел (9.6.5), где U задается посредством (9.6.4) из (9.6.3), причем в (9.6.3) следует заменить l(t) на ls (t), если 1 < p < 2. Фиксируем точку iy0 , в которой такой предел существует. Переходя к функции F (z + iy0 ), можно считать, что y0 = 0. Окрестность (9.6.4) может быть записана в виде ¡ ¢ U = U (0, c) = z : c|y| < xγ −1 (x) , γ(x) → +0, x → +0; (9.6.41) причем U не зависит от функционала h, а зависит только от l(t). Пользуясь тем, что γ(x) → 0, x → +0, выберем αk → 0 так, чтобы ∞ X k=1

γ(αk ) < +∞,

86


ТИПА


и положим lk = (αk )−1 γ(αk ).

(9.6.42)

Тогда lk → +∞, и выполнено условие (9.6.36). Из (9.6.42) и (9.6.41) следует, что точка z = αk + i/lk ∈ Λ лежит на границе окрестности U (0, 1). Но тогда zk ∈ U (0, 1/2). Так как αk → 0, то это означает, что в окрестности U (0, 1/2) найдется точка λn ∈ Λ, сколь угодно близкая к точке z = 0 и такая, что H(λn ) = 0. Но функция H(z), отличаясь от F (z) на целую функцию, также имеет предел (9.6.5). Поэтому ¶ µ 1 lim H(z) = 0, U = U 0, . U 3z→0 2 Итак, п.в. на мнимой оси касательные (а в частности, и угловые) граничные значения функции H(z), аналитической при Re z > 0, равны нулю: H(iy) = 0, iy ∈ E ⊂ iR, mes(iR\E) = 0. По теореме Лузина—Привалова [36, 19] H(z) ≡ 0, Re z > 0, значит, в силу (9.6.37) Φ(z) = −F (z),

z ∈ (Re z > 0) ∪ E.

(9.6.43)

Пусть сначала 2 6 p < ∞. Тогда f (t), f (t)l(t) ∈ Lq (1, ∞), 1 < q 6 2. По теореме Хаусдорфа— Юнга F ∈ H p = H p (x > 0) (F задается формулой (9.6.38)). Тогда и Φ ∈ H p . Следовательно, при любом ε > 0 1 − e−εz 1 − e−εz ∈ H 2, Fε (z) := F (z) ∈ H 2. Φε (z) := Φ(z) εz εz Пусть sε (t) = 1/ε, t ∈ (0, ε) и sε (t) = 0 вне. Тогда носитель свертки fε (t) = (f (t)l(t)) ∗ sε (t) не выходит за пределы полупрямой [1, +∞), и так как функция (1 − e−εz )/(εz) является преобразованием Лапласа функции sε (t), то Z∞ Fε (z) = e−zt fε (t)dt, fε ∈ L2 (1, ∞). 1

Далее, по теореме Пэли—Винера Φε (z) есть ПЛ некоторой функции ϕε (t) ∈ L2 (R+ ). Но Φε (z) имеет экспоненциальный тип 6 1 + ε, поэтому носитель функции ϕε (t) не выходит за пределы отрезка [0, 1 + ε]. Значит, вытекающее из (9.6.43) равенство Φε (iy) = −Fε (iy) п.в. записывается в виде 1+ε Z Z∞ −iyt e ϕε (t)dt + e−iyt fε (t)dt = 0 п.в. (9.6.44) 0

1

По свойству единственности для преобразования Фурье отсюда fε (t) = 0 при t > 1 + ε. Тогда 1 − e−εz =− Φ(z) εz

1+ε Z e−zt fε (t)dt,

Re z > 0.

(9.6.45)

1

Перейдем здесь к пределу при ε → 0. Так как kfε kLq (1,1+ε) 6 kf (t)l(t)kLq (1,1+ε) · ksε (t)kL1 (0,ε) → 0, то правая, а значит, и левая части в (9.6.45) стремятся к нулю в каждой точке z : Re z > 0. Но (1 − e−εz )/(εz) → 1. Поэтому Φ(z) = 0, Re z > 0. По свойству единственности, содержащемся в определении класса L , отсюда ϕ = 0. В силу (9.6.43) F (z) = 0, Re z > 0. Вспоминая формулу (9.6.38) и применяя свойство единственности для ПЛ, заключаем сначала, что f (t)l(t) = 0, а затем и f (t) = 0, t > 1, так как l(t) > 0. В итоге любой функционал h ∈ B ∗ , аннулирующий систему (9.6.30), оказывается тривиальным, и потому эта система полна в B. Случай 2 6 p < ∞ разобран. При 1 < p < 2 заключительная часть доказательства проще. Теперь F (z) задается формулой (9.6.39); по свойству (9.6.40) и по теореме Пэли—Винера F (z) ∈ H 2 . В силу (9.6.43) и Φ(z) ∈ H 2 . Итак, обе функции F (z), Φ(z) лежат в H 2 , и потому надобность в домножении на (1 − e−εz )/(εz) и в привлечении свертки отпадает. Применяя предыдущие рассуждения с ε = 0 к Fε (z) = F (z), Φε (z) = Φ(z), получаем (9.6.44) с ε = 0, ϕε (t) = ϕ(t) ∈ L2 (0, 1),



ЛАПЛАСА


87

fε (t) = f (t)l(t)/t1/2−1/q ∈ L2 (1, ∞). Отсюда ϕ ≡ 0, f ≡ 0, и функционал h тривиален. Случай 1 < p < 2 также разобран. Теорема 9.6.2 доказана. Объединяя следствие 9.6.2 со следствиями 9.5.5, 9.5.6, 9.5.7, получаем следующую теорему. Теорема 9.6.3.

1) Условие (9.6.29) достаточно для полноты системы (9.6.30) в Lpα при 1 max(0, p − 2).

2) Условие (9.6.29) не является достаточным условием полноты системы (9.6.30) в Lpα при ³ p ´ 1 6 p < ∞, α > min 0, − 1 2 и не является необходимым условием при ³ p ´ 1 < p < ∞, −1 < α < min 0, − 1 . 2 ПРИМЕЧАНИЯ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ9

9.1. Ранний этап развития теории отражен Л. Шварцем [105], где, в частности, присутствует теорема 9.1.2. В [105] также сформулирована теорема 9.1.3, но доказана она там не полностью. Полное ее доказательство дал М. Грам [86]. Другое доказательство обобщенной теоремы Мюнца дано в книге П. Боруайна и Т. Эрдейи [78], где также содержится обобщение теоремы Мюнца на весовые пространства: если ω(t) — интегрируемый вес, 1 6 p < ∞, 0 < µ1 < . . . , то полнота µn p системы P степеней (x ) в пространстве L ((0, 1), ω(t)dt) имеет место тогда и только тогда, когда 1/µn = +∞. В [85] предложено элементарное доказательство достаточной части теоремы Мюнца для пространства C0 . 9.2. Доказательство теоремы 9.2.1 в случае Y = iR взято из статьи А. Зигеля [109]. Случай, когда Y есть точка, рассмотрен в [42], где также доказана и теорема 9.2.5. Теорема 9.2.2 для пространства C0 встречается в [102]. Теорема 9.2.3 принадлежит Н. Левинсону [96]. Частный случай θ(x) = xα , 0 < α < 1 появился чуть раньше в [109]. 9.3. В литературе классы Apα получили название классов Бергмана, хотя впервые их, по-видимому, рассмотрел М. М. Джрбашян [11], доказавший, что левая часть в (9.3.12) не превосходит e(1+α)/p. Интересный материал о нулях функций классов Apα содержится в статье Ч. Горовица [90], где по существу доказаны леммы 9.3.5, 9.3.6, хотя в формулировках [90] фигурирует условие α > 0. Доказательство леммы 9.3.4 представляет собой модификацию построения примера из статьи Г. Шапиро и А. Шилдса [108]. Теоремы 9.3.1, 9.3.2 принадлежит автору [50, 49]; случай α = 0 теоремы 9.3.1 разобран в [76]. Частные случаи следствия 9.3.3 содержатся у Ч. Горовица [90] и у В. Г. Рябых [37]. Распределение нулей функций классов P(a) изучал Б. Коренблюм [93]. 9.4. Недостаточность условия Саса (9.4.2) для полноты системы (9.4.1) в Lp при 1 6 p < 2 первым доказал М. Грам [86, 87]. Свед´ение теоремы 9.4.2 к теореме 9.4.3 и доказательство теоремы 9.4.3 основаны на идее, предложенной в [86, 87]. Материал подпунктов 9.4.1, 9.4.2 содержится в [49]. Теоремы 9.4.5, 9.4.6 принадлежат В. И. Ладыгину [22], доказавшему также в [22], что условие (9.4.38) является существенным для теоремы 9.4.6 в следующем смысле. Пусть g(y) (y > 0) — положительная, убывающая, выпуклая функция, для которой Z∞

log g(t) dt = −∞, t2

и пусть Λ — сужение последовательности (s!/(a + 2πki)), s ∈ N, k ∈ Z, a > 0, на множество (z = x + iy : x > g(|y|), y ∈ R). Тогда система (9.4.1) неполна в Lp , 1 6 p < 2, и выполняется условие (9.4.2). В статьях Л. А. Леонтьевой [26] и В. И. Ладыгина [21] рассмотрены вопросы

88


ТИПА


устойчивости, т.е. предложены условия «малости» функций εn (t), при выполнении которых условие полноты возмущенной системы (1 + εn (t))e−λn t , в

Lp

Re λn > 0,

и в C0 совпадает с условием (9.4.2).

9.5. Результаты принадлежат автору [48, 52]. 9.6. Материал этого пункта содержится в [67]. Много интересных результатов о касательных граничных значениях функций, гармонических в полуплоскости, читатель найдет в статье А. Нагеля, У. Рудина и Дж. Шапиро [100].

ГЛАВА 10 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ БЫСТРО УБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ 10.1.

ТЕОРЕМЫ

ТИПА

ПЭЛИ–ВИНЕРА–ПИТТА

10.1.1. Под быстро убывающей функцией условимся понимать функцию вида ϕ(t) = E(t)f (t), где E(t) = o(exp(−A|t|)), t → ∞ при всех A > 0, а функция f принадлежит пространству Lp (R) или пространству Lp (R) со степенным ´ весом. Преобразование Фурье такой функции есть целая функция. Мы будем, в основном, иметь дело с быстро убывающими функциями вида ϕ(t) = exp(−a|t|α )f (t),

α > 1,

a > 0.

Рассматриваются преобразования Фурье таких функций, т.е. целые функции вида Z F (z) = e−izt exp(−a|t|α )f (t)dt, α > 1, a>0

(10.1.1)

R

(здесь нам удобнее опускать множитель (2π)−1 перед интегралом). Поставим следующие вопросы. 1) Если f (t) ∈ Lpr (R), то какими интегральными свойствами во всей плоскости обладает функция (10.1.1)? (Прямая постановка.) 2) Какие интегральные свойства целой функции F (z) влекут ее представимость в виде (10.1.1) с f (t) ∈ Lpr (R)? (Обратная постановка.) Всюду в этой главе a > 0, α, β > 1, 1/α + 1/β = 1, K(β, a) = β −1 (αa)−β/α , z = x + iy. Отметим полезное свойство: c = K(β, a) =⇒ a = K(α, c). Сформулируем основные результаты этого пункта. Теорема 10.1.1. Пусть 1 < p 6 q < ∞, max(0, p − 2) 6 r < p − 1,

1+r 1+s + = 1. p q

(10.1.2)

Предположим, что f ∈ Lpr (R). Тогда функция (10.1.1) есть целая функция класса [β, K(β, a)] с индикатором hF (θ) 6 K(β, a)| sin θ|β , и !p/q ÃZ Z ¡ ¢ |F (x + iy)|q |x|s dx dy 6 Ckf kpp,r , (10.1.3) |y|β/2−1 exp −pK(β, a)|y|β R

R

где C от f не зависит. Теорема 10.1.2. Пусть 1 < p 6 q < ∞ и выполнены условия (10.1.2). Предположим, что F (z) — целая функция, такая что !q/p ÃZ Z ¡ ¢ p r β/2−1 β |F (x + iy)| |x| dx dy < ∞. (10.1.4) |y| exp −qK(β, a)|y| R

R

10.1. ТЕОРЕМЫ

ТИПА


89

Тогда имеет место представление (10.1.1) с f ∈ Lqs (R), и с точностью до постоянного множителя, не зависящего от F , величина kf kqq,s мажорируется левой частью в (10.1.4). При этом F (z) есть функция класса [β, K(β, a)]. Обозначим через kFy kp норму функции Fy (x) := F (x + iy) (x — переменная) в пространстве Lp (R). Случай r = s = 0 заслуживает отдельных формулировок. В этом случае теоремы 10.1.1, 10.1.2 переходят соответственно в следующие теоремы. Теорема 10.1.3. Пусть 1 < p 6 2, 1/p + 1/q = 1. Тогда если f ∈ Lp (R), то (10.1.1) — целая функция, такая что ÃZ !1/p ¡ ¢ β/2−1 β p kF kq,p := |y| exp −pK(β, a)|y| kFy kq dy < ∞, (10.1.5) R

причем kF kq,p 6 Ckf kp . Теорема 10.1.4. Пусть 2 6 p < ∞, 1/p + 1/q = 1. Предположим, что F (z) — целая функция, для которой выполнено условие (10.1.5). Тогда F (z) представима в виде (10.1.1) с f ∈ Lp (R), причем kf kp 6 CkF kq,p , где C от F не зависит. При p = q = 2 теоремы 10.1.3, 10.1.4 дают следующий аналог теоремы Пэли—Винера. Следствие 10.1.1. Класс функций, представимых в виде (10.1.1) с f ∈ L2 (R), совпадает с классом целых функций, для которых Z Z ¡ ¢ |y|β/2−1 exp −2K(β, a)|y|β |F (x + iy)|2 dx dy < +∞. R R

При этом kf k2 ³ kF k2,2 . 10.1.2.

Рассмотрим две леммы, которые нам понадобятся для доказательства теоремы 10.1.1.

Лемма 10.1.1. Пусть γ > −1, p > 0 и Z ¡ ¡ ¢¢ Ip (t) := y γ exp p yt − K(β, a)y β dy.

(10.1.6)

R+

Тогда при t → +∞ Ip (t) ∼ Ct

(α/β)(γ+1)−α/2

¡ ¢ · exp patα ,

µ C=

2πα pβ

¶1/2

(βK(β, a))−(α/β)(γ+1/2) .

Доказательство. Пусть c = K(β, a), тогда a = K(α, c). Обозначим Z ¡ ¡ ¢¢ I(t) := y γ exp p yt − K(α, c)tα − cy β dy. R+

С помощью подходящей замены переменной сведем I(t) к виду, допускающему оценку по методу Лапласа.Для этого положим y = (βc)−α/β tα/β s. Так как α = α/β + 1, то yt =(βc)−α/β tα s = β −1 (βc)−α/β tα βs, −cy β = − c(βc)−α tα sβ = −β −1 (βc)−α/β tα sβ . Далее, так как β/α = β − 1, то −K(α, c)tα = −α−1 (βc)−α/β tα = β −1 (1 − β)(βc)−α/β tα . Значит,

¡ ¢ p yt − K(α, c)tα − cy β = −pβ −1 (βc)−α/β tα u(s),

90

ГЛАВА 10. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

БЫСТРО УБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ

где u(s) = sβ − βs + β − 1, и Z −(α/β)(γ+1) (α/β)(γ+1)

I(t) = (βc)

t

¡ ¢ sγ exp −pβ −1 (βc)−α/β tα u(s) ds.

R+

Последний интеграл имеет вид

Z v(s)e−xu(s) ds,

J(x) = R+

sγ ,

pβ −1 (βc)−α/β tα .

где v(s) = x= Функция u(s) имеет минимум в точке s = 1, причем u0 (1) = 00 = 0, u (1) > 0. Поэтому к J(x) применим метод Лапласа [33, 70], который при x → +∞ дает: µ ¶1/2 µ ¶1/2 2π 2π −xu(1) J(x) ∼ v(1)e = . u00 (1)x β(β − 1) x Подставляя сюда выражение x через t и возвращаясь к интегралу I(t), получаем требуемую асимптотику. Лемма доказана. Лемма 10.1.2. Если γ = β/2 − 1, то

¡ ¢ 0 < A 6 Ip (t) exp −patα 6 B < ∞,

t > 0.

Лемма 10.1.2 следует из непрерывности и положительности функции Ip (t) и из леммы 10.1.1, по которой Ip (t) exp(−patα ) → c > 0, t → +∞. Доказательство теоремы 10.1.1. Из неравенства Г¨ельдера следует, что интеграл (10.1.1) существует при всех z ∈ C и задает непрерывную функцию. Интеграл от F (z)dz по любому замкнутому контуру равен 0, что следует из (10.1.1) и применения теоремы Коши к функции exp(−izt). По теореме Морера F (z) — целая функция. Оценим |F (z)| по неравенству Г¨ельдера. Имеем Z ¡ yt ¡ ¢ ¢¡ ¢ e exp −a|t|α |t|−r/p |f (t)| · |t|r/p dt 6 |F (z)| 6 R

ÃZ −rp0 /p

6 kf kp,r

|t|

!1/p0 ¡ 0¡ ¢¢ exp p |y| · |t| − a|t|α dt .

(10.1.7)

R

Пусть c = K(β, a); тогда a = K(α, c). По лемме 10.1.1 из (10.1.7) следует, что ¡ ¢ |F (z)| 6 M · |y|m exp c|y|β , |y| > y0 ,

(10.1.8)

где M , m — некоторые константы. Далее, (10.1.7) показывает, что |F (z)| ограничен в любой полосе вида |y| 6 y0 . Значит, F (z) ∈ [β, K(β, a)] и hF (θ) 6 K(β, a)| sin θ|β . Таким образом, утверждение о том, что F (z) есть целая функция определенного роста, есть следствие представления (10.1.1). В последующем на этом останавливаться не будем. Из (10.1.1) следует, что F (x + iy) есть преобразование Фурье функции exp(yt − a|t|α )f (t) (y фиксировано). По теореме Питта !1/p !1/q ÃZ ÃZ ¡ ¡ ¢¢ α p r q s exp p yt − a|t| |f (t)| · |t| dt , |F (x + iy)| · |x| dx 6c R

R

где c от f и y не зависит. Следовательно, !p/q ÃZ q

s

|F (x + iy)| · |x| dx R

Z 6 c1 R+

¡ ¡ ¢¢ exp p yt − atα g(t)dt,

¡ ¢ где g(t) = |f (t)|p + |f (−t)|p tr , t > 0. Ясно, что g(t) > 0 и kgk1 = kf kpp,r .

(10.1.9)


ТИПА


91

¡ ¢ Проинтегрируем неравенство (10.1.9) вдоль R по положительной мере |y|β/2−1 exp −pK(β, a)|y|β × dy, после чего изменим порядок интегрирования в правой части. Будем иметь ÃZ !p/q Z ¡ ¢ |y|β/2−1 exp −pK(β, a)|y|β |F (x + iy)|q · |x|s dx dy 6 R

R

Z β/2−1

|y|

6c R

Z

= 2c

¡ ¢ exp −pK(β, a)|y|β

¡ ¢ exp −patα g(t)dt

R+

Z = 2c

Z

Z

¡ ¡ ¢¢ exp p yt − atα g(t)dt dy =

R

¡ ¡ ¢¢ y β/2−1 exp p yt − K(β, a)y β dy =

R+

¡ ¢ exp −patα g(t)Ip (t)dt 6 c1 kgk1 = c1 kf kpp,r

R+

(мы применили лемму 10.1.2). Теорема 10.1.1 доказана. Для дальнейшего будет важно уточнить оценку (10.1.8) в невесовом случае f ∈ Lp . Так как теперь r = 0, то степенной множитель в (10.1.7) отсутствует, и по лемме 10.1.1 (с γ = 0) заключаем, что в (10.1.8) m = (β/α − β/2)/p0 , c = K(β, a). Если же в (10.1.1) f (t)dt = dσ(t), var σ < +∞, то оценка (10.1.7) сохраняется с r = 0, p0 = 1 и с заменой kf k на V = var σ. В обоих случаях |F (z)| 6 C < +∞ при |y| 6 y0 . Поэтому справедливо Замечание 10.1.1.

1) Для функции (10.1.1), где f ∈ Lp , 1 6 p 6 ∞, верна оценка ¡ ¢ 0 |F (z)| 6 c(1 + |y|)(β/2−1)/p exp K(β, a)|y|β , z ∈ C.

2) Для функции

Z F (z) =

¡ ¢ e−izt exp −a|t|α dσ(t),

var σ < +∞

R

эта оценка верна с p0 = 1. 10.1.3. Рассмотрим еще одну лемму, которая нам потребуется для доказательства теоремы 10.1.2. Лемма 10.1.3. Пусть функция G(z) аналитична в полосе | Im z| 6 A < ∞ и пусть при некоторых γ > −1, q > p > 1 ÃZ !q/p ZA γ p |y| |G(x + iy)| dx dy < ∞. (10.1.10) −A

R

Тогда: 1) G(z) → 0 при Re z → ±∞ равномерно в каждой полосе | Im z| 6 A − ε, ε > 0; 2) G(x + iy) ∈ Lp (R) при всех y ∈ (−A, A). Доказательство. Из (10.1.10) следует, что подынтегральная функция в левой части конечна для почти всех y ∈ (−A, A). Поэтому можно фиксировать B ∈ (0, A) так, что G(x ± iB) ∈ Lp (R).

(10.1.11)

Сначала покажем, что |G(z)| ограничен в полосе | Im z| 6 B. Мы можем предположить, что число H = A − B > 0 достаточно мало. Через K(r) обозначаем круг радиуса r с центром в фиксированной точке w. Из (10.1.10) следует, что !q/p ZA Ã Z |G(x + iy)|p dx H

R

dy < ∞.

92



Отсюда и из неравенства Г¨ельдера мы находим Z ZA ZA Ã Z

! p

p

|G(x + iy)| dx dy = R H

|G(x + iy)| dx dy = M < ∞. H

(10.1.12)

R

Фиксируем точку w в полосе 2H 6 Im z 6 B. Используя субгармоничность функции |G(z)|p и свойство (10.1.12), имеем ZZ 2

p

Z ZA p

πH |G(w)| 6

|G(x + iy)|p dx dy = M < ∞.

|G(z)| dx dy < R H

K(H)

Итак, |G(z)| ограничен в полосе 2H 6 Im z 6 B. По аналогии это утверждение доказывается для полосы −B 6 Im z 6 −2H. Теперь фиксируем точку w на множестве 0 < | Im z| 6 2h = 4H. Предположим, что v = Im w > 0 (случай v < 0 рассматривается аналогично). Снова используя субгармоничность функции |G(z)|p , получаем ZZ Z 3v/2 Z ³ v ´2 p p π |G(w)| 6 |G(z)| dy < |G(x + iy)|p dx dy. 2 R v/2

K(v/2)

В последнем интеграле v/2 < y < 3v/2, и значит, ÃZ

3v/2 Z

v

2+γp/q

p

|G(w)| 6 c1

y

γp/q

! p

|G(x + iy)| dx dy. R

v/2

Так как (v/2, 3v/2) ⊂ (0, 3h), то отсюда с применением неравенства Г¨ельдера и (10.1.10) находим Ã Z3h Ã Z !q/p !p/q v 2+γp/q |G(w)|p 6 c yγ |G(x + iy)|p dx dy = M1 < ∞. 0

R

Таким образом, |G(z)| 6 M · |y|−m ,

0 < | Im z| 6 2h,

m=

2 γ + > 0. p q

(10.1.13)

Наконец, фиксируем точку w в полосе | Im z| 6 h. Пусть число ε > 0 настолько мало, что mε < 1. Тогда ZZ ZZ ε 2 ε |G(z)| dx dy < πh |G(w)| 6 |G(z)|ε dx dy, Q

K(h)

где Q — прямоугольник Re w − h < Re z < Re w + h, | Im z| 6 2h. Переходя к правой части последнего неравенства к повторному интегралу и используя (10.1.13), получаем Z2h πh2 |G(w)|ε 6 M1

y −mε dy = M2 < ∞, 0

так как mε < 1. Мы показали, что |G(z)| ограничен в полосе | Im z| 6 h. Так как h = 2H, то в итоге |G(z)| ограничен в полосе | Im z| 6 B. Обратимся к непосредственному доказательству утверждений леммы. Фиксируем точку z в полосе | Im t| < B. Пусть R > | Re z|; пусть π(R) — прямоугольный контур с вершинами в точках R ± iB, −R ± iB. По теореме Коши Z G(t)dt 1 , −B < Im z < B. (10.1.14) G(z) = 2πi t−z π(R)


ТИПА


Переходя к пределу при R → ∞ и учитывая ограниченность |G(t)|, находим Z 1 G(t)dt G(z) = G− (z) − G+ (z), G± (z) = , | Im z| < B, 2πi t−z

93

(10.1.15)

l±

где через l± обозначены прямые Im z = ±B. Пусть p > 1. Вспоминая свойство (10.1.11), видим, что функция G− (z) (G+ (z)) есть интеграл типа Коши от Lp -функции на прямой l− (l+ ). Следовательно [69], G− (z) (G+ (z)) принадлежит классу H p в полуплоскости Im z > −B (Im z < B). Значит, G± (x + iy) ∈ Lp (R) при |y| < B, и G± (z) → 0 при Re z → ±∞ равномерно в полосе | Im z| 6 B − ε, ε > 0. Так как G = G− − G+ , а B можно взять сколь угодно близким к A, то при p > 1 лемма 10.1.3 доказана. Пусть p = 1. Если Im z ∗ > B, то интеграл в (10.1.14) с z = z ∗ равен 0. Следовательно, ÃZ Z ! 1 G(t)dt 0= , Im z ∗ > B. (10.1.16) − 2πi t − z∗ l−

l+

Пусть | Im z| < B, а точка z ∗ симметрична точке z относительно прямой l+ . Тогда из (10.1.15) и (10.1.16) следует, что ÃZ Z ! z − z∗ G(t)dt G(z) = − . (10.1.17) 2πi (t − z)(t − z ∗ ) l−

l+

Пусть |y| 6 B − ε, ε > 0, пусть σ = Re t. Тогда ¯Z ¯ Z Z ¯ ¯ G(t)dt |G(t)| · |dt| |G(σ ± iB)| ¯ ¯ 6 dσ. 6 ¯ ¯ ¯ (t − z)(t − z ∗ ) ¯ |t − z|2 (σ − x)2 + ε2 l±

l±

(10.1.18)

R

Последний интеграл отличается от интеграла Пуассона постоянным множителем. И так как G(σ ± iB) ∈ L1 (R), то этот интеграл лежит в L1 (R). Теперь (10.1.18) и (10.1.17) показывают, что G(z) принадлежит классу H 1 в полосе | Im z| 6 B − ε. Значит, G(x + iy) ∈ L1 (R), |y| 6 B − ε, и G(z) → 0, Re z → ±∞ равномерно относительно y. Так как числа A − B и ε можно взять сколь угодно малыми, то это означает справедливость леммы 10.1.3 и в случае p = 1. Лемма 10.1.3 доказана. Доказательство теоремы 10.1.2. Фиксируем A > 0 и положим G(z) = F (z)(z + i(A + 1))r/p . Из условия (10.1.4) следует, что выполнены условия леммы 10.1.3 с γ = β/2 − 1. Так как r > 0 и так как мы можем выбрать A произвольно большим, то по лемме 10.1.3 мы заключаем, что: 1) F (z) → 0 при Re z → ±∞ равномерно в каждой горизонтальной полосе; 2) F (x + iy) ∈ Lpr (R) при всех y ∈ R. В частности, F (x) ∈ Lpr (R). Обозначим через ¡ ¢ exp −a|t|α f (t) (10.1.19) обратное преобразование Фурье функции F (x); оно существует по теореме Питта. Важный промежуточный шаг состоит в следующем: доказать, что обратное преобразование Фурье функции F (x + iy) равно ¡ ¢ exp yt − a|t|α f (t). (10.1.20) Обозначим через P (R) прямоугольный контур с вершинами в точках ±R, ±R + iy. Пусть t ∈ R фиксировано. По теореме Коши Z F (z)eizt dz = 0. P (R)

В этом соотношении перейдем к пределу при R → ∞. По свойству 1) функции F (z) интегралы по вертикальным отрезкам стремятся к 0. Поэтому Z Z 1 1 −yt eixt F (x + iy)dx = eixt F (x)dx. e 2π 2π R

R

94



В итоге преобразование Фурье функции F (x + iy) действительно совпадает с (10.1.20). По теореме Питта ÃZ !q/p Z ¡ ¡ ¢¢ exp q yt − a|t|α |f (t)|q · |t|s dt 6 c |F (x + iy)|p · |x|r dx . R±

R

¡ ¢ Проинтегрируем эти неравенства по положительной мере |y|β/2−1 exp −qK(β, a)|y|β dy соответственно вдоль R+ и R− . (В обоих случаях yt = |y| · |t|.) Затем изменим порядок интегрирования в левой части. Получим Z ¡ ¢ |f (t)|q · |t|s exp −qa|t|α Iq (t)dt 6 R±

Z 6c

ÃZ !q/p ¡ ¢ |y|β/2−1 exp −qK(β, a)|y|β |F (x + iy)|p · |x|r dx dy.

R±

R

Складывая эти неравенства и применяя лемму 10.1.2, мы видим, что утверждение теоремы 10.1.2 о принадлежности f ∈ Lqs (R) и об оценке нормы f верно. Остается доказать представление (10.1.1). Так как f ∈ Lqs (R), то функция (10.1.19) (обратное преобразование Фурье функции F (x)) принадлежит L1 (R). Следовательно, Z ¡ ¢ F (x) = e−ixt exp −a|t|α f (t)dt, x ∈ R. (10.1.21) R

Теперь рассмотрим правую часть в (10.1.1). Это целая функция. В силу (10.1.21) она совпадает с F (z) на вещественной оси. По теореме единственности правая часть в (10.1.1) совпадает с F (z) для всех z ∈ C. Теорема 10.1.2 доказана. 10.1.4. Следующая теорема дает достаточное условие представимости целой функции F (z) в виде (10.1.1) с ограниченной непрерывной функцией f . Теорема 10.1.5. Пусть F (z) — целая функция, такая что ¡ ¢ exp −K(β, a)|y|β kFy (x)k1 ∈ L∞ (R). Тогда F (z) представима в виде (10.1.1) с f ∈ C(R) ∩ L∞ (R), и ° ¡ ¢ 1 ° ° exp −K(β, a)|y|β kFy (x)k1 ° . kf k∞ 6 ∞ 2π Доказательство. Обозначим через exp(−a|t|α )f (t) обратное преобразование Фурье F (x). Оно существует, так как по условию F (x) ∈ L1 (R); по этой же причине f Тогда функция (10.1.20) есть обратное преобразование Фурье функции F (x + iy). F (x + iy) ∈ L1 (R), то Z ¡ ¢ 1 1 α |F (x + iy)|dx = kFy k1 , y ∈ R. exp yt − a|t| |f (t)| 6 2π 2π

(10.1.22) функции ∈ C(R). Так как

(10.1.23)

R

Пусть y > 0 фиксировано. Неравенство (10.1.23) верно, в частности, и для той точки t = t(y) > 0, в которой достигается max(exp(yt − a|t|α ) : t > 0). Легко видеть, что t(y) = (y/(aα))1/(α−1) , а само значение этого максимума равно exp(K(β, a)y β ). Значит, при y > 0 из (10.1.23) следует, что ³ y ´1/(α−1) ¡ ¢ 1 |f (t(y))| 6 exp −K(β, a)|y|β kFy k1 , t(y) = . (10.1.24) 2π aα Если фиксировано y < 0, то рассматривая отрицательные значения t, автоматически получаем (10.1.24), где уже |t(y)| = (|y|/(aα))1/(α−1) , т.е. (10.1.24) верно, если в левой части присутствует f (−(|y|/(aα))1/(α−1) ). Так как y 6= 0 в этих рассуждениях произвольно, то мы доказали (10.1.22).

10.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

95

БЫСТРО УБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ НА ПОЛУПРЯМОЙ И НА ПРЯМОЙ

Теперь возможность представимости функции F (z) в виде (10.1.1) доказывается так же, как в теореме 10.1.2. Теорема 10.1.5 доказана. 10.2.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ


НА ПОЛУПРЯМОЙ И НА ПРЯМОЙ

10.2.1. Мы продолжаем интересоваться вопросами, представленными в начале п. 10.1. Здесь мы будем рассматривать невесовой случай, т.е. пространства Lp . В первую очередь нас интересуют случаи, не охваченные теоремами 10.1.3 и 10.1.4, а именно: случай p > 2 в прямой постановке и случай 1 6 p < 2 в обратной постановке. Лемма 10.2.1. Пусть γ > −1, p > 0, −∞ 0.

(10.2.2)

Доказательство. Выведем эту лемму из леммы 10.1.1. Фиксируем A > max(0, b). Части интегралов (10.1.6) и (10.2.1), распространенные соответственно на (0, A) и (b, A), имеют порядок O(exp(pAt)). Значит, асимптотика (10.2.2) верна для части интеграла (10.1.6) (пусть IA (t)), распространенной на (A, ∞), и асимптотику (10.2.2) достаточно доказать для части интеграла (10.2.1) (пусть JA (t)), распространенной на (A, ∞). Так как (1 + y)γ /y γ = (1 + 1/y)γ , y > 0, то при ε > 0 (1 − ε)y γ < (1 + y)γ < (1 + ε)y γ ,

y > A = A(ε),

1−ε
0, K(wn ) ∩ K(wm ) = ∅. K(wn )

(10.2.5)

96



Обозначим через Kn+ и Kn− пересечения кругов K(wn ) с полуплоскостями Im z ≷ 0, соответственно. Тогда из (10.2.5) следует, что для некоторой подпоследовательности индексов выполняется одно из следующих условий ZZ ZZ δ δ |G(z)|p1 dx dy > , |G(z)|p1 dx dy > . 2 2 + Kn

− Kn

Но первое из них противоречит условию G(z) ∈ H p1 (0, c). А второе, вместе с вытекающим из неравенства Г¨ельдера неравенством Ã ZZ !p2 Ã ZZ !p1 p1 p2 |G(z)| dx dy 6 c1 |G(z)| dx dy , c1 = c1 (ε, p1 , p2 ), K

K

где K = Kn− , противоречит предположению G(z) ∈ H p2 (−c, 0). Соотношение (10.2.4) доказано. В силу субгармоничности функции |G(z)|p1 имеем ZZ 1 p1 |G(w)| 6 2 |G(z)|p1 dx dy, πε K(w)

и утверждение леммы следует из (10.2.4). Лемма 10.2.3 доказана. 10.2.2. Пусть R2+ := ((x, y) : y > 0). Через Ap+ (β, a) обозначаем пространство аналитических в верхней полуплоскости Im z > 0 функций F (z) с нормой ° ¡ ¢° ° ° 1 6 p 6 ∞. °F (x + iy)(1 + y)(1−3/p)(1−β/2) exp −K(β, a)y β ° p 2 , L (R+ )

По определению F (z) ∈ Ap− (β, a), если F (−z) ∈ Ap+ (β, a); при этом под нормой F (z) понимается норма F (−z) в Ap+ (β, a). Через Ap (β, a) обозначим пространство целых нормой

° ¡ ¢° ° ° °F (x + iy)(1 + |y|)(1−3/p)(1−β/2) exp −K(β, a)|y|β °

Lp (R2 )

,

в Ap− (β, a) функций с

1 6 p 6 ∞.

Нормы в пространствах Ap+ (β, a), Ap− (β, a), Ap (β, a) обозначаем соответственно через k · kp,β,a,+ ,

k · kp,β,a,− ,

k · kp,β,a .

2 понимаем пространство Харди H 2 в нижней полуплоскости Im z < 0. Под H− Всюду в дальнейшем через C, C(θ) обозначаются постоянные, не зависящие от участвующих функций. Сначала мы рассматриваем преобразования Фурье быстро убывающих функций, сосредоточенных на полупрямой, т.е. функции

Z∞ G(z) =

¡ ¢ e−izt exp −atα g(t)dt,

−∞ 0,

α > 1.

(10.2.6)

b

Теорема 10.2.1. Пусть 2 6 p 6 ∞. Тогда если g(t) ∈ Lp (b, ∞), то функция (10.2.6) целая и верны следующие утверждения: 1) G(z) ∈ Ap+ (β, a), причем kG(z)kp,β,a,+ 6 Ckgkp ; 2. 2) G(z) exp(ibz) ∈ H−

Доказательство. То, что G(z) — целая функция, нам уже известно (см. доказательство теоремы 10.1.1). Из (10.2.6) и из предположения g(t) ∈ Lp , p > 2 следует, что функция G(z) × exp(ibz) является преобразованием Фурье функции из L2 , сосредоточенной на полупрямой R+ . По теореме 2 , т.е. утверждение 2) имеет место. Основным в теореме 10.2.1, Пэли—Винера G(z) exp(ibz) ∈ H− конечно, является утверждение 1).


97


Пусть сначала p = ∞. Имеем Z∞ |G(z)| 6 kgk∞

¡ ¢ exp yt − atα dt.

(10.2.7)

b

Пусть c = K(β, a); тогда ясно, что a = K(α, c). Полагая γ = 0 и меняя ролями α и β, по лемме 10.2.1 получаем ¡ ¢ |G(z)| 6 Ckgk · y β/2−1 exp K(β, a)y β , y > 1. Но если 0 < y < 1, то из (10.2.7) видно, что |G(z)| 6 Ckgk. Значит, ¡ ¢ |G(z)| 6 Ckgk∞ (1 + y)β/2−1 exp K(β, a)y β ,

y > 0,

и при p = ∞ утверждение 1) верно. Пусть теперь p = 2. При фиксированном y функция G(x + iy) есть преобразование Фурье функции, равной exp(yt − atα )g(t) при t > b и нулю при t < b. По равенству Парсеваля Z

Z∞ 2

exp(2(yt − atα ))|g(t)|2 dt.

|G(x + iy)| dx = 2π R

(10.2.8)

b

¡ ¢ Проинтегрируем (10.2.8) по положительной мере (1 + y)β/2−1 exp −2K(β, a)y β dy вдоль полупрямой R+ . Затем справа изменим порядок интегрирования. Получим ZZ ¡ ¢ |G(z)|2 (1 + y)β/2−1 exp −2K(β, a)y β dx dy = y>0

Z∞

¡ ¢ |g(t)| exp −2atα dt

Z

2

= 2π

¡ ¡ ¢¢ (1 + y)β/2−1 exp 2 yt − K(β, a)y β dy.

R+

b

По лемме 10.2.1 правая часть не превосходит Ckgk22 , и при p = 2 утверждение 1) доказано. Случай 2 < p < ∞ достигается интерполяцией по Риссу–Торину. Рассмотрим линейный оператор T , действующий по правилу ¡ ¢ g(t) → G(z)(1 + y)1−β/2 exp −K(β, a)y β . Мы доказали, что одновременно T : L∞ ((b, ∞), dt) → L∞ (R2+ , dx dy), 2

2

T : L ((b, ∞), dt) → L

(R2+ , (1

3β/2−3

+ y)

(10.2.9) dx dy).

(10.2.10)

Благодаря замечанию из п. 1.4, (10.2.9) можно записать в таком виде: T : L∞ (b, ∞), dt) → L∞ (R2+ , (1 + y)3β/2−3 dx dy).

(10.2.11)

Теперь по теореме Рисса—Торина из (10.2.10) и (10.2.11) следует, что при всех p ∈ (2, ∞) ¡ 2 ¢ T : Lp ((b, ∞), dt) → Lp R+ , (1 + y)3β/2−3 dx dy . А это и означает справедливость утверждения 1) теоремы 10.2.1. Теорема 10.2.1 доказана. Замечание 10.2.1. При 1 6 p < 2 оба утверждения теоремы 10.2.1 теряет силу. Это подтверждается примером функции Z1 e−izt t−γ dt,

G(z) = 0

при надлежаще выбранном γ. Убедимся в этом.

0 1/2; здесь y — любое фиксированное число. Так как p < 2, то выбор γ, удовлетворяющего обоим неравенствам 1/2 6 γ < 1/p, возможен. В итоге при таком значении γ будем иметь g(t) ∈ Lp , G(x + iy) 6∈ L2 (R), и в силу (10.2.13), G(x + iy) 6∈ Lp (R). А это уже противоречит утверждениям теоремы 10.2.1. Действи2 , то G(x + iy) ∈ L2 (R) при всех y < 0. Далее, если бы G(z) ∈ Ap (β, a), тельно, если бы G(z) ∈ H− + то были бы выполнены условия леммы 10.2.2 с c = 0 и с произвольным d > 0. По этой лемме G(x + iy) ∈ Lp (R), y > 0. Замечание 10.2.1 имеет место. 10.2.3.

Следующая теорема является двойственной по отношению к теореме 10.2.1.

Теорема 10.2.2. Пусть 1 6 q 6 2, −∞ < b < ∞ и пусть G(z) — целая функция, такая, что: 1) G(z) ∈ Aq+ (β, a); 2. 2) G(z) exp(ibz) ∈ H− Тогда G(z) представима в виде (10.2.6) с g(t) ∈ Lq (b, ∞), и kgkq 6 CkG(z)kq,β,a,+ . Доказательство. Из условий 1), 2) следует, что G(z) ∈ B q (0, c) и G(z) ∈ B 2 (−c, 0) при любом c > 0. По лемме 10.2.3 имеет место соотношение (10.2.3) равномерно в каждой горизонтальной полосе. Далее, по лемме 10.2.2 G(x + iy) ∈ Lq (R), и по условию 2) G(x) ∈ Обозначим через

y > 0,

(10.2.14)

L2 (R).

¡ ¢ exp −atα g(t) (10.2.15) 2 обратное преобразование Фурье функции G(x). Так как G(z) exp(ibz) ∈ H− , то по теореме Пэли— Винера обратное преобразование Фурье функции G(x) exp(ibx) сосредоточено на R+ . Значит, обратное преобразование Фурье функции G(x) сосредоточено на (b, ∞), т.е. g(t) = 0 при t < b. Надо доказать, что g(t) ∈ Lq (b, ∞), и оценить норму g(t) через норму G(z) в Aq+ (β, a). При фиксированном y > 0 рассмотрим обратное преобразование Фурье функции G(x + iy) (существующее, благодаря (10.2.14) и теореме Хаусдорфа—Юнга): Z Z 1 1 ixt e G(x + iy)dx = exp(yt) eizt G(z)dz. 2π 2π Im z=y

R

С помощью равномерного соотношения (10.2.3) последний интеграл деформируется в интеграл по вещественной прямой, дающий (вместе с коэффициентом 1/(2π)) обратное преобразование Фурье функции G(x), т.е. функцию (10.2.15). Следовательно, обратное преобразование функции G(x+iy) (y > 0 фиксировано) равно ¡ ¢ exp yt − atα g(t), t > b. (10.2.16) p Пусть h(t) ∈ L (b, ∞), p = q/(q − 1) > 2, Z∞ ¡ ¢ H(z) = e−izt exp −atα h(t)dt. b

Достаточно доказать, что

¯ ¯ Z∞ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ sup ¯ g(t)h(t)dt ¯ 6 CkG(z)kq,β,a,+ . ¯ ¯ khk=1 b

(10.2.17)



99

Для этого рассмотрим функцию J(t) = J0,2,γ (t) в обозначениях (10.2.1) с γ = β/2 − 1. Функция J(t) exp(−2atα ) положительна и непрерывна на полупрямой [b, ∞) и по лемме 10.2.1 имеет положительный предел при t → +∞. Значит, функция B(t) := 1/(J(t) exp(−2atα )) ограничена (пусть константой B) на полупрямой [b, ∞). Имеем Z∞

Z∞ ¯ g(t)h(t)dt =

b

¡ ¢ ¯ g(t)h(t)B(t) exp −2atα J(t)dt.

b

Мы рассматриваем функции h(t) из единичной сферы пространства Lp (см. (10.2.17)). Тогда функции h(t)B(t) лежат в шаре радиуса B с центром в нуле пространства Lp (b, ∞). Поэтому ¯∞ ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ sup ¯ g(t)h(t)dt¯¯ 6 khk=1 ¯ ¯ b ¯ ¯ (10.2.18) ¯Z∞ ¯ Z ¯ ¯ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢¢ ¯ ¯ exp −2atα dt × (1 + y)β/2−1 exp 2 yt − K(β, a)y β dy ¯¯ . 6 sup ¯ g(t)h(t) ¯ ¯ khk6B ¯ ¯ R+ b В правой части изменим порядок интегрирования, после чего применим равенство Парсеваля, помня, что H(x + iy) есть преобразование Фурье функции, сосредоточенной на полупрямой t > b и равной exp(yt − atα )h(t), и что обратное преобразование Фурье функции G(x + iy) есть функция (10.2.16). Поскольку 1/p + 1/q = 1, получим, что выражение под знаком модуля в правой части (10.2.18) равно Z

¡ ¢ exp −2K(β, a)y β dy

β/2−1

(1 + y) R+

1 = 2π

Z∞

¡ ¡ ¢¢ ¯ exp 2 yt − atα dt = g(t)h(t)

b

Z β/2−1

(1 + y) R+

=

1 2π

ZZ R2+

¡ ¢ exp −2K(β, a)y β dy

Z G(x + iy)H(x + iy)dx = R

¡ ¢ G(z)H(z) · exp −2K(β, a)y β dx dy. (1 + y)(1−3/q)(β/2−1)+(1−3/p)(β/2−1)

Теперь к правой части применим неравенство Г¨ельдера, используя условие 1) теоремы 10.2.2 (для G(z)) и утверждение 1) теоремы 10.2.1 (для H(z)). Получим требуемую оценку (10.2.17). Остается доказать представление (10.2.6). А это делается точно так же, как в теореме 10.1.2. Теорема 10.2.2 доказана. При p = q = 2 теоремы 10.2.1, 10.2.2 дают следующее утверждение типа теоремы Пэли—Винера. Следствие 10.2.1. Класс функций, представимых в виде (10.2.6) с g ∈ L2 , где b конечно, совпадает с классом целых функций, для которых: 1) G(z) ∈ A2+ (β, a); 2. 2) G(z) exp(ibz) ∈ H− При этом kG(z)k2,β,a,+ ³ kgk2 . 10.2.4. В этом подпункте мы рассматриваем вопрос об интегрируемости функций (10.2.6) на лучах arg z = θ в комплексной плоскости. Наибольшего интереса заслуживают значения θ ∈ (0, π). Действительно, если θ = 0, π, то в нашем распоряжении имеется теория преобразования Фурье. Если же θ ∈ (−π, 0), т.е. Re(iz) > 0, то можно пользоваться результатами п. 4.2, из которых, в частности, следует, что если g ∈ Lp (b, ∞), 1 < p < ∞, то для всех θ ∈ (−π, 0) ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ G reiθ exp ibreiθ ∈ Lp R+ , rp−2 dr .

100



Теорема 10.2.3. Пусть g(t) ∈ Lp (b, ∞), 1 6 p 6 ∞; пусть G(z) — функция (10.2.6). Тогда при любом θ ∈ (0, π) ¡ ¢ ¡ ¢ G reiθ (1 + r)(1−2/p)(1−β/2) exp −K(β, a)(r sin θ)β ∈ Lp (R+ ). При этом

° ¡ ¢ ¡ ¢° ° ° °G reiθ (1 + r)(1−2/p)(1−β/2) exp −K(β, a)(r sin θ)β ° 6 C(θ)kgkp .

(10.2.19)

p

Доказательство. Так как (1 + r) sin θ 6 1 + r sin θ 6 1 + r, то достаточно доказать оценку ° ¡ ¢ ¡ ¢° ° ° (10.2.20) °G reiθ (1 + r sin θ)(1−2/p)(1−β/2) exp −K(β, a)(r sin θ)β ° 6 C(sin θ)−1/p · kgkp . p

Считаем θ ∈ (0, π) фиксированным. Отправляясь от вытекающей из (10.2.6) оценки Z∞ ¯ ¡ iθ ¢¯ ¡ ¢ ¯G re ¯ 6 exp tr sin θ − atα |g(t)|dt,

(10.2.21)

b

мы докажем теорему для p = ∞ и p = 1, а затем проведем соответствующую интерполяцию. Пусть p = ∞. Из (10.2.21) следует, что Z∞ ¯ ¡ iθ ¢¯ ¡ ¢ ¯G re ¯ 6 kgk∞ exp tr sin θ − atα dt. b

Применим к последнему интегралу лемму 10.2.1, меняя в ней ролями α и β и помня, что если a = K(α, c), то c = K(β, a). Получим, что при r > 0 ¯ ¡ iθ ¢¯ ¡ ¢ ¯G re ¯ 6 Ckgk∞ (1 + r sin θ)β/2−1 · exp K(β, a)(r sin θ)β , и для p = ∞ оценка (10.2.20) доказана. ¡ ¢ Пусть p = 1. Проинтегрируем (10.2.21) по мере (1 + r sin θ)β/2−1 · exp −K(β, a)(r sin θ)β sin θ dr вдоль R+ . Затем после подстановки r sin θ = s изменим порядок интегрирования. Будем иметь Z ¯ ¡ iθ ¢¯ ¡ ¢ ¯G re ¯(1 + r sin θ)β/2−1 · exp −K(β, a)(r sin θ)β sin θ dr 6 R+

Z∞ 6

¡ ¢ |g(t)| exp −atα dt

b

Z

¡ ¢ (1 + s)β/2−1 · exp st − K(β, a)sβ ds.

R+

По лемме 10.2.1 последнее выражение не превосходит Ckgk1 . Значит, оценка (10.2.20) верна и при p = 1. Теперь рассмотрим линейный оператор T , действующий по правилу ¡ ¢ ¡ ¢ T : g(t) → G reiθ (1 + r sin θ)1−β/2 · exp −K(β, a)(r sin θ)β . Мы доказали, что одновременно

¡ ¢ T : L∞ ((b, ∞), dt) → L∞ R+ , (1 + r sin θ)β−2 dr , ¡ ¢ T : L1 ((b, ∞), dt) → L1 R+ , (1 + r sin θ)β−2 dr ,

kT k 6 C, kT k 6 C(sin θ)−1

(в первом случае мы, как и при доказательстве теоремы 10.2.1, учли замечание из п. 1.4). По теореме Рисса—Торина для всех p(1, ∞) ¡ ¢ T : Lp ((b, ∞), dt) → Lp R+ , (1 + r sin θ)β−2 dr , kT k 6 C(sin θ)−1/p . А это и означает справедливость оценки (10.2.20) для всех 1 6 p 6 ∞. Теорема 10.2.3 доказана. Замечание 10.2.2. Для функции Z∞ ¡ ¢ G(z) = e−izt exp −a|t|α dσ(t), b

var σ < +∞,

b ∈ R,

a > 0,

α>1


101


при θ ∈ (0, π) верна оценка Z |G(reiθ )| exp(−K(β, a)(r sin θ)β ) dr 6 C(θ) var σ, (1 + r)2−β

C(θ) < +∞.

R+

Действительно, в этом случае верна оценка (10.2.21) с заменой |g(t)| на функцию полной вариации v(t). После этого повторяются рассуждения доказательства теоремы 10.2.3, отвечающие случаю p = 1. Они и приводят к объявленной оценке. Теорема 10.2.3 отражает ту комплексную специфику преобразования Фурье (10.2.6), которая порождается быстро убывающим весом. Можно ли надеяться на то, что функция (10.2.6) и на вещественной прямой сохраняет подобный эффект? Вообще говоря, нет, как показывает Замечание 10.2.3. Если 1 6 p < 2, то при θ = 0, π теорема 10.2.3 теряет силу. Доказательство. Обратимся к функции (10.2.12), которая, как мы видели при доказательстве замечания 10.2.1, имеет вид (10.2.6) с b = 0, причем условие g(t) ∈ Lp (R+ ) равносильно условию γ < 1/p. В силу (10.2.13) условие G(x)(1 + |x|)(1−2/p)(1−β/2) 6∈ Lp (R+ )

(или Lp (R− ))

(10.2.22)

равносильно условию p((γ − 1) + (1 − 2/p)(1 − β/2)) > −1, которое записывается в виде γ > > 1/p − β/p + β/2. Если p < 2, то очевидно, что выбор γ, удовлетворяющий этому условию и одновременно условию γ < 1/p, возможен. При таком выборе γ g(t) ∈ Lp (R+ ) и имеет место свойство (10.2.22). Замечание 10.2.3 верно. Замечание 10.2.4. Если p > 2, 1 < α 6 2, то теорема 10.2.3 сохраняет силу при θ = 0, π. Действительно, если g(t) ∈ Lp (b, ∞), p > 2, то ¡ ¢ exp −atα g(t) ∈ L2 (b, ∞) ∩ L1 (b, ∞). Значит, G(x) ∈ L2 (R) ∩ L∞ (R) и потому G(x) ∈ Lp (R),

p > 2.

(10.2.23)

И так как p > 2, β > 2, то (1 − 2/p)(1 − β/2) 6 0, и из (10.2.23) следует, что G(x)(1 + |x|)(1−2/p)(1−β/2) ∈ Lp (R). 10.2.5.

Перейдем к функциям вида Z Z ¢ ¢ ¡ ¡ −izt α− F (z) = e exp −a− |t| f− (t)dt + e−izt exp −a+ |t|α+ f+ (t)dt,

(10.2.24)

R+

R−

где a± > 0, α± > 1. Их рассмотрение подготовлено изучением функций (10.2.6). Пусть 1/β± + 1/α± = 1. Теорема 10.2.4. Пусть a± > 0, α± > 1, f± (t) ∈ Lp± (R± ), где 2 6 p± 6 ∞. Тогда функция (10.2.24) целая, и p p F (z) ∈ A++ (β+ , a+ ) ∩ A−− (β− , a− ), причем

¡ ¢ kF (z)kp± ,β± ,a± ,± 6 C kf+ kp+ + kf− kp− .

В частности, если f (t) ∈

Lp (R), Z

F (z) =

26p6∞и

¡ ¢ e−izt exp −a|t|α f (t)dt,

R

то F (z) ∈

Ap (β, a),

(10.2.25)

причем kF (z)kp,β,a 6 Ckf kp .

a > 0,

α > 1,

(10.2.26)

102



Доказательство. Обозначим через F− (z) и F+ (z) слагаемые в правой части (10.2.24). По теореме 10.2.1 kF+ (z)kp+ ,β+ ,a+ ,+ 6 Ckf+ kp+ . (10.2.27) Далее, так как при фиксированном y функция F− (x + iy) есть преобразование Фурье функции exp(yt−a− |t|α− )f− (t) (t < 0), то с помощью неравенства Г¨ельдера и равенства Парсеваля находим: при всех y > 0 |F− (x + iy)| 6 Ckf− kp− , kF− (x + iy)k2 6 Ckf− kp− . (10.2.28) Значит, kF− (x + iy)kp+ 6 Ckf− kp− , y > 0, и следовательно, kF− (z)kp+ ,β+ ,a+ ,+ 6 Ckf− kp− .

(10.2.29)

Так как kF k 6 kF+ k + kF− k, то неравенства (10.2.27) и (10.2.29) дают требуемую оценку (10.2.25) для верхней строки знаков. Аналогично эта оценка выводится и для нижней строки знаков. Мы доказали утверждение теоремы, относящееся к функции (10.2.24). Чтобы получить утверждение, касающееся функции (10.2.26), возведем оба неравенства (10.2.25) в степень p = p+ = p− и сложим. Тогда ¡ ¢p kF (z)kpp,β,a 6 C kf+ kp + kf− kp , a = a+ = a− , β = β+ = β− , и остается применить элементарное неравенство (A + B)p 6 2p−1 (Ap + B p ), A, B > 0, p > 1. Теорема 10.2.4 доказана. Теорема 10.2.5. Пусть 1 6 q± 6 2, a± > 0, β± > 1. Предположим, что F (z) — целая функция, такая что q q F (z) = A++ (β+ , a+ ) ∩ A−− (β− , a− ). Тогда F (z) представима в виде (10.2.24), где f± (t) ∈ Lq± (R± ), причем kf± kq± 6 CkF (z)kq± ,β± ,a± ,± .

(10.2.30)

В частности, если 1 6 q 6 2, a > 0, β > 1 и F (z) — целая функция, такая, что F (z) ∈ Aq (β, a), то F (z) представима в виде (10.2.26), где f (t) ∈ Lq (R), и kf kq 6 CkF (z)kq,β,a . Доказательство. По предположению F (z) ∈ B q+ (0, c) ∩ B q− (−c, 0) при любом c > 0. По лемме 10.2.3 имеет место соотношение (10.2.3) равномерно в каждой горизонтальной полосе. В частности, |F (z)| ограничен в каждой горизонтальной полосе. Пусть для определенности q+ > q− . Тогда из ограниченности |F (z)| в полосе −c < y < 0 и из условия F (z) ∈ B q− (−c, 0) следует, что F (z) ∈ B q+ (−c, 0). Значит, F (z) ∈ B q+ (−c, c) при любом c > 0. По лемме 10.2.2 F (x + iy) ∈ Lq+ (R) при любом фиксированном y. По теореме Хаусдорфа—Юнга при любом y у функции F (x + iy) существует обратное преобразование Фурье. Обозначим обратное преобразование Фурье функции F (x) через ¡ ¢ exp −a± |t|α± f± (t), t ∈ R± . Так же, как и при доказательстве теоремы 10.2.2 (с использованием (10.2.3) для F (z)), заключаем, что обратное преобразование Фурье функции F (x + iy) при t > 0 равно ¡ ¢ exp yt − a+ tα+ f+ (t). (10.2.31) Пусть h(t) ∈ Lp+ (R+ ), 1/p+ + 1/q+ = 1 и Z ¡ ¢ H(z) := e−izt exp −a+ tα+ h(t)dt. R+

Чтобы убедиться в справедливости оценки (10.2.30) для верхней строки знаков, достаточно доказать, что ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ sup ¯ f+ (t)h(t)dt ¯ 6 CkF (z)kq+ ,β+ ,a+ ,+ . ¯ khk=1 ¯ R+

А это делается точно так же, как в доказательстве теоремы 10.2.2 (см. текст после (10.2.17)). При этом b = 0, а в роли (10.2.16) теперь выступает (10.2.31). Случай нижней строки знаков в (10.2.30)


103

ЦЕЛЫХ БЫСТРО УБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ

сводится к рассмотренному случаю заменой z на −z. Так же, как в теореме 10.2.2, доказывается представление (10.2.24). Теорема 10.2.5 доказана. При p± = q± = 2 теоремы 10.2.4, 10.2.5 дают следующий результат. Следствие 10.2.2. Класс функций, представимых в виде (10.2.24), где f± (t) ∈ L2 (R± ), a± > 0, α± > 1, совпадает с классом целых функций F (z), таких, что F (z) ∈ A2+ (β+ , a+ ) ∩ A2− (β− , a− ). При этом ¡ ¢ kF (z)k2,β± ,a± ,± 6 C kf+ k2 + kf− k2 , kf± k2 6 CkF (z)k2,β± ,a± ,± . В частности, класс функций, представимых в виде (10.2.26) с f ∈ L2 (R), совпадает с классом целых функций A2 (β, a). При этом kF (z)k2,β,a ³ kf k2 . Теорема 10.2.6. Пусть 1 6 p± 6 ∞, a± > 0, α± > 1, I+ = (0, π), I− = (−π, 0). Пусть, далее, f± (t) ∈ Lp± (R± ) и пусть F (z) — функция (10.2.24). Тогда если θ ∈ I± , то ¡ ¢ ¡ ¢ F reiθ (1 + r)(1−2/p± )(1−β± /2) · exp −K(β± , a± )(r| sin θ|)β± ∈ Lp± (R+ ), причем ° ¡ ¢ ¡ ¢° ° iθ (1−2/p± )(1−β± /2) β± ° · exp −K(β± , a± )(r| sin θ|) °F re (1 + r) °

p±

¡ ¢ 6 C(θ) kf+ kp+ + kf− kp− .

(10.2.32) В частности, если F (z) — функция (10.2.26), где f (t) ∈ Lp (R), 1 6 p 6 ∞, то при θ 6= πn, n∈Z ° ¡ ¢ ¡ ¢° ° iθ (1−2/p)(1−β/2) β ° · exp −K(β, a)(r| sin θ|) ° 6 C(θ)kf kp . °F re (1 + r) p

Доказательство. Эта теорема следует из теоремы 10.2.3. Действительно, если F∓ (z) — слагаемые в (10.2.24), то для F+ (z) и θ ∈ I+ утверждение теоремы 10.2.6 имеет место по теореме 10.2.3. А для F− (z) и θ ∈ I+ оно справедливо в силу первой оценки (10.2.28). Складывая эти оценки для F± (z) и учитывая, что kF k 6 kF+ k + kF− k, получаем требуемую оценку (10.2.32) для верхней строки знаков. Нижняя строка знаков сводится к верхней заменой z на −z. Теорема 10.2.6 имеет место. Если аналогичные рассуждения провести для функции Z ¡ ¢ F (z) = e−izt exp −a|t|α dσ(t),

var σ < +∞,

(10.2.33)

R

используя замечание 10.2.2 вместо теоремы 10.2.3, то получим Замечание 10.2.5. Если F (z) — функция (10.2.33), то при θ 6= πn, n ∈ Z Z∞

¯ ¡ iθ ¢¯ β/2−1 ¡ ¢ ¯F re ¯r exp −K(β, a)(r| sin θ|)β dr < +∞.

1



10.3.1. Пусть α > 1; a, b > 0. Обозначим через Zα (a, b) класс ц.ф. таких, что при любом ε > 0 верны оценки ¡ ¢ f (z) = O exp(a + ε)|y|α , , z ∈ C, (10.3.1) ¡ ¢ f (x) = O exp(−b + ε)|x|α , x ∈ R. (10.3.2) bα (a, b) (Zeα (a, b)) обозначает класс ПФ (обратных ПФ) всех функций из Zα (a, b). ПоПусть Z прежнему 1/α + 1/β = 1, и K(β, a) = β −1 (αa)−1/(α−1) . bα (a, b) = Zβ (K(β, b), K(β, a)). Теорема 10.3.1. Имеет место равенство классов Z

104



Доказательство. Пусть f ∈ Zα (a, b). Тогда порядок f не выше α, и условие (10.3.2) показывает, что индикатор hf (θ) функции f при порядке α удовлетворяет условию hf (0), hf (π) 6 −b. Фиксируем достаточно малое ε > 0. Тогда в силу непрерывности индикатора, hf (θ) 6 −b + ε/2 для |θ| 6 θ0 , |π − θ| 6 θ0 = θ0 (ε), и потому ¡ ¡ ¢¢ f (z) = O exp −(b − ε)rα , z ∈ S, (10.3.3) где S = (z : |θ| 6 θ0 ) ∪ (z : |π − θ| 6 θ0 ). Из (10.3.3) следует, что ¡ ¡ ¢¢ f (z) = O exp −∆|x|α , z ∈ S, ∆ > 0. Пусть c = ctg θ0 . Тогда при любом y ∈ R Ã Z Z |f (x + iy)|2 dx = R

|x|c|y|

Для оценки интегралов в правой части применяем соответственно оценки (10.3.1) и (10.3.4). Получаем Ã Z∞ ! Z ¡ ¢ α |f (x + iy)|2 dx = |y| · O exp(2(a + ε))|y|α + O e−∆x dx = (10.3.5) R c|y| ¡ ¢ = O exp(2(a + 2ε))|y|α , y ∈ R. Обозначим через F (z) ПФ функции f (t), т.е. Z F (z) = e−izt f (t)dt.

(10.3.6)

R

То, что F (z) — ц.ф., доказывается так же, как в теореме 10.1.1. Далее, применяя последовательно оценку (10.3.2)и лемму 10.1.1, имеем ÃZ ! ¡ ¢ F (z) = exp |y| · |t| − (b − ε)|t|α dt = R

¡

¡ ¢¢ ¡ ¡ ¢¢ = O exp (K(β, b − ε) + ε)|y|β = O exp (K(β, b) + γ(ε))|y|β , где γ(ε) → 0, ε → 0, в силу непрерывности функции K(β, b). Таким образом, для F (z) условие (10.3.1) выполнено с a = K(β, b). Оценка (10.3.5) показывает, в частности, что для функции f (z) при любом A > 0 выполнены условия леммы 10.1.3 с γ = 0, p = q = 2. По этой лемме f (z) → 0 при Re z → ±∞ равномерно в каждой полосе | Im z| 6 A. Поэтому интеграл (10.3.6) с z = x ∈ R при любом y ∈ R деформируется в интеграл по прямой Im t = y, т.е. Z F (x) = e−ix(t+iy) f (t + iy)dt. R

Это означает, что e−xy F (x) = fb(t + iy), и по равенству Парсеваля Z Z ¡ ¡ ¢¢ −2xy 2 e |F (x)| dx = 2π |f (x + iy)|2 dx = O exp 2(a + 2ε)|y|α ,

(10.3.7)

R

R

благодаря (10.3.5). Пусть y < 0. Тогда из (10.3.7) следует, что Z Z ¡ ¢ 2 |F (t)| dt exp 2(|t| · |y| − (a + 3ε))|y|α < M1 < +∞. R+

R+

По лемме 10.1.1 при подходящем s ∈ R внутренний интеграл в (10.3.8) не меньше, чем ¡ ¢ C(1 + |y|)s exp 2K(β, a + 3ε)|t|β , C > 0,

(10.3.8)


и потому

Z


¡ ¢ |F (t)|2 exp 2(K(β, a) − γ(ε))|t|β dt < M2 < +∞,

105

(10.3.9)

R+

где γ(ε) → 0, ε → 0. Аналогично оценка (10.3.9) устанавливается для интеграла по R− . Заметим, что если f ∈ Zα (a, b), то и zf (z) ∈ Zα (a, b). С другой стороны, iF 0 (z) = (tf (t))b. Поэтому (10.3.9) остается в силе, если заменить F на F 0 и R+ на R, т.е. при любом ε > 0 Z ¡ ¢ |F 0 (t)|2 exp 2(K(β, a) − ε)|t|β dt 6 M2 . (10.3.10) R

Так как

F 0 (x)

есть ПФ интегрируемой функции, то F 0 (±∞) = 0, и потому Z∞

Zt 0

F (t) = −

F (t)dt,

t > 0;

F 0 (t)dt,

F (t) =

t < 0.

−∞

t

В обоих случаях домножим подынтегральное выражение на ϕ(t)ϕ−1 (t), где ¡ ¢ ϕ(t) = exp (K(β, a) − ε)|t|β , а затем применим неравенство Коши–Буняковского. Далее, используя (10.3.10) и правило Лопиталя, получим Ã Z∞ ! ¡ ¢ ¡ ¡ ¢¢ F 2 (t) = O exp −2(K(β, a) − ε)|t|β dt = O exp −2(K(β, a) − ε)|t|β . |t|

Значит, для F выполнено и условие (10.3.2). В итоге F ∈ Zβ (K(β, b), K(β, a)). Мы доказали, что bα (a, b) ⊂ Zβ (K(β, b), K(β, a)). Но K(α, K(β, a)) = a и K(α, K(β, b)) = b. Значит, по доказанному Z eβ (K(β, b), K(β, a)) ⊂ Zα (a, b), и теорема 10.3.1 верна. Z 10.3.2. Рассмотрим вопрос о непустоте классов Zα (a, b). Из определения следует, что ц.ф. f ∈ Zα (a, b) тогда и только тогда, когда порядок f не выше α и ее индикатор hf (θ) при порядке α удовлетворяет условиям hf (θ) 6 a| sin θ|α ,

θ ∈ (−π, π] и hf (0), hf (π) 6 −b.

(10.3.11)

На самом деле порядок f равен α. Действительно, если ρ < α, где ρ — порядок f , то из (10.3.2) следует, что индикатор функции f при порядке ρ в точках θ = 0, π равен −∞, что противоречит непрерывности индикатора. Итак, класс Zα (a, b) состоит из ц.ф. порядка α, для индикаторов которых выполняются условия (10.3.11). Хорошо известно, что индикатор ц.ф. порядка α есть 2π-периодическая, тригонометрически α-выпуклая функция, и наоборот, для любой 2π-периодической, тригонометрически α-выпуклой функции h(θ) существует ц.ф. f порядка α, такая, что hf (θ) = h(θ). Таким образом, вопрос о непустоте класса Zα (a, b) равносилен вопросу о существовании 2π-периодической, тригонометрически α-выпуклой функции h(θ) такой, что h(θ) 6 a| sin θ|α ,

θ ∈ (−π, π] и h(0), h(π) 6 −b.

(10.3.12)

Пусть ϕ1 ∈ C[a1 , a2 ], ϕ2 ∈ C[a2 , a3 ], a1 < a2 < a3 . Тогда если ϕ1 (a2 − 0) = ϕ2 (a + 0), то функцию ϕ, совпадающую на [a1 , a2 ] с ϕ1 , а на [a2 , a3 ] — с ϕ2 , назовем склейкой функций ϕ1 , ϕ2 в точке a2 . Очевидно, ϕ ∈ C[a1 , a3 ]. Лемма 10.3.1. Пусть функция h(θ), b1 6 θ 6 b2 является склейкой α-тригонометрических функций в точках aj , j = 1, s, b1 < a1 < · · · < as < b2 и при этом h0− (aj ) 6 h0+ (aj ),

j = 1, s.

Тогда функция h(θ) тригонометрически α-выпукла на [b1 , b2 ].

(10.3.13)

106



Доказательство. Воспользуемся следующим критерием [23]. Пусть функция h(θ) непрерывна на [b1 , b2 ] и дифференцируема, за исключением конечного числа точек, в которых существуют односторонние производные; тогда для тригонометрической α-выпуклости функции h(θ) на [b1 , b2 ] необходимо и достаточно неубывание функции Zθ 0

H(θ) := h (θ) + α

2

h(t)dt,

b1 6 θ 6 b2 .

b1

Если h(θ) есть α-тригонометрическая функция, то H 0 (θ) ≡ 0. Поэтому в условиях леммы = 0 на интервалах (b1 , a1 ), (a1 , a2 ), . . . , (as , b2 ), и значит, на них H(θ) сохраняет постоянные значения. В точке aj функция H(θ) терпит скачок, равный h0+ (aj ) − h0− (aj ), который неотрицателен, в силу (10.3.13). Таким образом, функция H(θ) не убывает, и по сформулированному выше критерию функция h(θ) тригонометрически α-выпукла на [b1 , b2 ]. (Заметим, что если в (10.3.13) имеет место знак равенства, то h(θ) является α-тригонометрической на (aj−1 , aj+1 ).) Лемма доказана. H 0 (θ)

Теорема 10.3.2. Для непустоты класса Zα (a, b) необходимо, чтобы ³ π ´−α a > b sin , α и достаточно, чтобы a > bsα , где ¯ πα ¯¯−1 ¯ sα = ¯ cos при 1 < α 6 2, ¯ 2 ¶1−α µ π sα = sin при 2 6 α. 2(α − 1)

(10.3.14) (10.3.15)

Доказательство. Необходимость. Пусть f — нетривиальная ц.ф. класса Zα (a, b). По известному свойству индикатора hf (0) + hf (π/α) > 0, и объединяя это с условиями (10.3.11), получаем, что ³π´ ³π´ a sinα > hf > −hf (0) > b. α α Необходимая часть доказана. Достаточность. Пусть сначала α > 2. Рассмотрим функцию π π sinα θ , − sin − cos = sinα−1 . − cos αθ 2(α − 1) 2α−1 2(α − 1) Таким образом, если a > bsα , где sα — константа (10.3.15), то H(θ) := −b cos αθ 6 a| sin θ|α

(10.3.16)

для тех |θ| ∈ [π/(2α), π/2], где cos αθ < 0. Когда cos αθ > 0, в частности, если |θ| 6 π/(2α), это неравенство тривиально. Итак, неравенство (10.3.16) верно для всех точек θ ∈ [−π/2, π/2]. Обозначим через θ1 наименьший нуль функции cos αθ такой, что π/(2α) < θ1 , т.е. θ1 = (3π)/(2α). Сначала рассмотрим случай, когда θ1 > π/2, т.е. когда 2 6 α 6 3. Тогда π 6 6 (απ)/2 6 (3π)/2 и ³π ´ πα = bα sin 60 (10.3.17) H0 2 2 Пусть h(θ) — π-периодическая функция, заданная на [0, π] так:  π  06θ6 , H(θ), 2 h(θ) = π  H(π − θ), 6 θ 6 π. 2


ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО УБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ И КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПОЛОСЕ

107

Тогда (10.3.16) верно для всех θ ∈ R. Функция h(θ) получена склейкой α-тригонометрических функций в точках (π/2)+πk, k ∈ Z. В силу периодичности достаточно проверить условие (10.3.13) в точке aj = π/2. А оно сразу следует из (10.3.17). По лемме 10.3.1 функция h(θ) тригонометрически α-выпукла. Благодаря (10.3.16), выполнены условия (10.3.12). Это означает, что класс Zα (a, b) непуст. Если α > 3, то θ1 < π/2. Теперь полагаем  3πα   , H(θ), 0 6 θ 6 θ1 =   2    3πα 3πα h(θ) = 0, 6θ6π− ,  2 2      H(π − θ), π − 3πα 6 θ 6 π. 2 и продолжаем h(θ) π-периодически. Снова для всех θ выполнено неравенство (10.3.16) и снова h(θ) получена в результате склейки α-тригонометрических функций. В точках склейки |θ| = 3πα/2 + πk, |θ| = π − 3πα/2 + πk, k ∈ Z+ условие (10.3.13) очевидно, и доказательство этого случая заканчивается так же, как в случае 2 6 α 6 3. Осталось рассмотреть случай 1 < α 6 2. Пусть ϕ(θ) =

sinα θ , cos α(θ − π/2)

π π ϕ bsα , где sα — константа (10.3.14), то ³ π´ h(θ) := bsα cos α θ − 6 a| sin θ|α , 0 6 θ 6 π, (10.3.18) 2 так как h(π − θ) = h(θ) и cos α(θ − π/2) < 0 для |θ| < π/(2β). Продолжим h(θ) на всю прямую как π-периодическую. Неравенство (10.3.18) останется верным для всех θ ∈ R. Функция h(θ) получена склейкой α-тригонометрических функций в точках πk, k ∈ Z. Так как π/2 < πα/2 < π, то из явного вида h(θ) следует, что h0− (0) < 0 < h0+ (0). Эти неравенства верны для всех точек πk, так как h(θ) есть π-периодическая функция. По лемме 10.3.1 h(θ) есть тригонометрически αвыпуклая функция. Из (10.3.18) следуют условия (10.3.12). Следовательно, класс Zα (a, b) непуст. Теорема 10.3.2 доказана. При α = 2 необходимое и достаточное условия теоремы 10.3.2 совпадают, и мы имеем Следствие 10.3.1. Класс Z2 (a, b) непуст тогда и только тогда, когда a > b. 10.4.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО УБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ

И КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПОЛОСЕ

10.4.1. Здесь мы остановимся на крайнем случае α = 1 в классе ПФ (10.1.1), т.е. рассмотрим ПФ вида Z a > 0. (10.4.1) F (z) = e−izt e−a|t| f (t)dt, R

Обозначим через H p (−a, a) пространство Харди в полосе | Im z| < a, т.е. пространство функций, аналитических при | Im z| < a и таких, что !1/p ÃZ |F (x + iy)|p dx

kF kp = sup

|y| 0, 1 6 p 6 2. Тогда: 0 1) если f ∈ Lp (R), то функция (10.4.1) принадлежит H p (|y| < a) и kF kp0 6 Cp kf kp ; 0

2) если F ∈ H p (−a, a), то при |y| < a справедливо представление (10.4.1), где f ∈ Lp (R) и kf kp0 6 Cp kF kp .

(10.4.2)

Доказательство. 1) Имеем Z Z −i(z−ia)t e f (t)dt + e−i(z+ia)t f (t)dt =: F− (z) + F+ (z). F (z) =

(10.4.3)

R−

R+

0

0

По обобщению теоремы Пэли—Винера (п. 1.6) F− (z + ia) ∈ H p (y < 0) и F+ (z − ia) ∈ H p (y > 0 0), причем соответствующие H p -нормы мажорируются величиной Cp kf kp . Но тогда F− (z) ∈ ∈ 0 0 0 H p (y < a), F+ (z) ∈ H p (y > −a), и H p -нормы функций F± (z) мажорируются той же величиной. Отсюда и из (10.4.3) следует утверждение 1). 2) Пусть F (z) ∈ H p (−a, a), 1 6 p 6 2. Тогда по теореме Хаусдорфа—Юнга при любом y ∈ ∈ (−a, a) обратное ПФ функции Fy (x) = F (x + iy) существует. Обозначим обратное ПФ функции F (x) через e−a|t| f (t). (10.4.4) p p Так как H (−a, a) ⊂ B (−a + ε, a − ε) при всех ε ∈ (0, a), то по лемме 10.2.3 F (z) → 0, Re z → ±∞ равномерно в каждой полосе |y| < a − ε, и буквальный повтор рассуждений из начала доказательства теоремы 10.1.2 (после обозначения (10.4.19)) дает утверждение о том, что обратным ПФ функции Fy (x) служит функция eyt−a|t| f (t). (10.4.5) Если p = 1, то ° yt−a|t| ° 1 1 °e kFy k1 6 kF k1 . (10.4.6) f (t)°L∞ (R) 6 2π 2π Значит, если t > 0 фиксировано, то функция et(y−a) |f (t)| переменной y ∈ (0, a) ограничена сверху; очевидно, она не убывает. Значит, существует предел левой части в (10.4.6) при y → a − 0, и он не превосходит правой части, т.е. 1 kf kL∞ (R+ ) 6 kF k1 . (10.4.7) 2π Аналогично, из (10.4.6) выводится оценка (10.4.7) для нормы f в L∞ (R− ). В итоге при p = 1 оценка (10.4.2) доказана. Если 1 < p 6 2, то по теореме Хаусдорфа—Юнга, примененной к паре функций Fy (x) и (10.4.5), при |y| < a имеем Z Z p0 (yt−a|t|) p0 e |f (t)| dt 6 Cp |F (x + iy)|p 6 Cp kF kpp . (10.4.8) R

R

В частности, при любом фиксированном A > 0 ZA 0

0

ep t(y−a) |f (t)|p dt 6 Cp kF kpp . 0

Снова по теореме о пределе ограниченной монотонной функции предел левой части при y → → a − 0 существует и не превосходит правой части. Утверждается, что при этом возможен переход к пределу под знаком интеграла. Действительно, подынтегральная функция мажорируется 0 функцией |f (t)|p , интегрируемой на (0, A) (ведь функция (10.4.4) по теореме Хаусдорфа—Юнга 0 лежит в Lp (R)), и такой переход возможен по теореме Лебега. Так как A > 0 произвольно, то в 0 результате такого перехода получаем, что норма функции f в Lp (R+ ) мажорируется величиной 0 Cp kF kp . Аналогично, из (10.4.8) это утверждение получается и для нормы f в Lp (R− ). В итоге оценка (10.4.2) верна для всех p ∈ [1, 2].



Рассмотрим функцию

109

Z e−izt e−a|t| f (t)dt.

G(z) = R 0 Lp (R),

Так как f ∈ то G(z) аналитична в полосе |y| < a. Далее, G(x) = F (x), x ∈ R — ведь функция (10.4.4) есть обратное ПФ функции F (x). По теореме единственности для аналитических функций G(z) = F (z) всюду в полосе |y| < a. Мы доказали представление (10.4.1) и всю теорему 10.4.1. Следствие 10.4.1 (теорема Пэли—Винера [102]). Класс функций (10.4.1), где f ∈ L2 (R), совпадает с классом H 2 (−a, a). При этом kF k2 ³ kf k2 . Через Apα (−a, a) обозначаем пространство функций, аналитических при |y| < a и таких, что Ã ZZ !1/p |F (x + iy)|p (a − |y|)α dx dy

kF (z)kp,α =

< +∞,

|y| 1. Норму в Lpβ,α (X) обозначаем через k · kp,β,α и k · k+ p,β,α соответственно при X = R и X = R+ . Теорема 10.4.2. Пусть p > 2, α < p − 2. Тогда если f ∈ Lpp−2,α (R), то функция (10.4.1) принадлежит App−3−α (−a, a) и kF (z)kp,p−3−α 6 Cp,α kf kp,p−2,α . Доказательство. Из (10.4.1) следует, что функция Fy (x) = F (x + iy) является ПФ функции (10.4.5), очевидно, принадлежащей Lpp−2 (R). По теореме Харди—Литтлвуда (п. 1.5) при всех y ∈ (−a, a) Z Z Z |f (t)|p |t|p−2 |f (t)|p |t|p−2 p |F (x + iy)| dx 6 Cp dt 6 C dt. p ep(a|t|−yt) e|t|(a−|y|) R

R

R

Интегрируя это неравенство по положительной мере (a − |y|)p−3−α dy на интервале (−a, a) и меняя справа порядок интегрирования, получаем Z kF kpp,p−3−α

Za p

6 2Cp

p−2

|f (t)| |t|

e−p|t|(a−y) (a − y)p−3−α dy =

dt 0

R

Z p

(10.4.9)

α

|f (t)| |t| Ip−3−α (|t|)dt,

= Mp,α R

где Zat e−x xβ dx,

Iβ (t) =

β > −1.

(10.4.10)

0

Так как α −1, и Ip−3−α (|t|) имеет смысл. Очевидно, что Iβ (t) ³ tβ+1 , когда t ∈ (0, 1), и Iβ (t) ³ 1, когда t > 1. Значит, вес |t|α Ip−3−α (|t|) эквивалентен весу ω(t), задающему пространство Lpp−2,α (R), и (10.4.9) доказывает теорему 10.4.2. Теорема 10.4.3. Пусть 1 −1. Тогда если F (z) ∈ Apα (−a, a), то справедливо представление (10.4.1), где f ∈ Lpp−2,p−3−α (R) и kf kp,p−2,p−3−α 6 Cp,α kF kp,α .

(10.4.11)

110



Доказательство. По лемме 10.2.2 из F (z) ∈ Apα следует, что Fy (x) = F (x + iy) ∈ Lp (R) при всех y ∈ (−a, a), и так как 1 < p 6 2, то обратное ПФ функции Fy (x) по теореме Харди—Литтлвуда существует при всех y ∈ (−a, a) и принадлежит Lpp−2 (R). Обозначив через (10.4.4) обратное ПФ функции F (x), так же, как при доказательстве теоремы 10.4.2, находим, что функция (10.4.5) есть обратное ПФ функции Fy (x). По теореме Харди—Литтлвуда Z Z p(yt−a|t|) p p−2 e |f (t)| |t| dt 6 Cp |F (x + iy)|p dx. (10.4.12) R

В частности,

R

Z

Z e−pt(a−y) |f (t)|p tp−2 dt 6 Cp

|F (x + iy)|p dx. R

R+

Проинтегрируем это неравенство по положительной мере (a − y)α dy на (0, a) и слева изменим порядок интегрирования. Получим Za

Z |f (t)|p tp−2 dt

0

R+

или (что то же)

e−pt(a−y) (a − y)α dy 6 Cp kF kpp,α

Z |f (t)|p tp−3−α Iα (t)dt 6 Mp,α kF kpp,α . R+

Учитывая поведение Iα (t), о котором говорилось после обозначения (10.4.10), отсюда получаем оценку p kf k+ p,p−2,p−3−α 6 Cp,α kF kp,α .

Аналогично, из (10.4.12) такая же оценка получается и для нормы f в Lpp−2,p−3−α (R− ), и оценка (10.4.11) доказана. Утверждение о представимости F (z) в виде правой части (10.4.1) доказывается так же, как в теореме 10.4.1. Теорема 10.4.3 доказана. При p = 2 из теорем 10.4.2, 10.4.3 вытекает Следствие 10.4.2. Пусть α < 0. Тогда класс A2−1−α (−a, a) совпадает с классом функций (10.4.1), где f ∈ L20,α (R). При этом kF k2,−1−α ³ kf k2,0,α . 10.4.2. Здесь мы установим связь между пространствами H p в полосе и в полуплоскости. Для p этого нам понадобится пространство Hray , по определению состоящее из аналитических в полуплоскости y > 0 функций, для которых !1/p ÃZ ¯ ¡ it ¢¯p ¯F re ¯ dr < ∞, 0 < p < ∞. kF kp,ray := sup 00

!1/p < ∞,

0 < p < ∞.

R

p p Теорема 10.4.4. Имеет место равенство классов Hray = H+ , 0 0 функций F (z) аналитична в секторе Sε = (z : −ε < arg z < π + ε) и ÃZ !1/p ¯ ¡ it ¢¯p ¯F re ¯ dr kF kp,ε,ray := sup < ∞. −ε 0, z 6= 0.

(10.4.14)

Фиксируем натуральное m > 1/p. Тогда оценка (10.4.14) показывает, что при любом δ > 0 ³ z ´m eiδz − 1 p Fδ (z) := F (z) ∈ H+ . (10.4.15) z + iδ iδz Множители (x/(x + iδ))m , (eiδx − 1)/(iδx) по модулю ограничены единицей, x ∈ R. Далее, при δ→0 ³ z ´m eiδz − 1 → 1, (10.4.16) → 1, z + iδ iδz где сходимость в первом случае равномерна вне любой окрестности нуля, а во втором — равномерна на каждом компакте. Отсюда и из (10.4.15) следует, что для функций граничных значений выполняется соотношение Lp (R)

Fδ (x) −→ F (x),

δ → 0.

p H+

Так как норма (квазинорма при 0 < p < 1) F (z) в совпадает с нормой (с квазинормой) F (x) в p p p L (R), то отсюда следует сходимость Fδ (z) в метрике H+ . В силу полноты пространства H+ преp дельная функция принадлежит H+ . Но эта функция должна совпасть с F (z), так как из сходимости p в H+ следует равномерная сходимость на компактах в полуплоскости y > 0, а благодаря (10.4.16), p Fδ (z) ⇒ F (z) на таких компактах. Итак, F (z) ∈ H+ и верна оценка (10.4.13). Теперь рассмотрим общий случай. Выбранная должным образом ветвь функции w = = i(−iz)1+γ , γ = 2ε/π осуществляет конформное отображение полуплоскости Im z > 0 на сектор Sε . Обозначим через arg w = t образ луча arg z = θ. Тогда ∞ Z eiθ

0

1 |F (z)|p d|z| = 1+γ

∞ Z eiθ

¯ ¡ ¢¯ ¯F i(−iw)1/(1+γ) ¯p |w|−γ/(1+γ) d|w|,

0

откуда видно, что функция

¡ ¢ Fε (w) := (1 + γ)−1 w−γ/((1+γ)p) F i(−iw)1/(1+γ)

(10.4.17)

удовлетворяет условиям только что разобранного случая, причем kFε kp,ε,ray = kF kp,ray . Поэтому p Fε (w) ∈ H+ и kFε kp 6 21/p kF kp,ray . (10.4.18)

112



Фиксируем y > 0. Из формулы (10.4.17) видно, что Fε (w) → F (w), ε → 0, а значит, и |Fε (w)| → → |F (w)| в каждой точке прямой Im w = y. Отсюда и из (10.4.18) по теореме Фату заключаем, что Z |F (x + iy)|p dx 6 2kF kpp,ray . R p p Так как y > 0 здесь произвольно, то мы доказали включение H+ ⊂ Hray и оценку (10.4.13). p 2) Остается доказать, что для любой функции F ∈ H+ и для всех θ ∈ (0, π) Z ¯ ¡ iθ ¢¯p ¯F re ¯ dr 6 CkF kpp , (10.4.19) R+

где C от F и θ не зависит. Но эта часть по существу содержится в известном описании мер Карлесона. Неотрицательная мера µ(z), определенная на борелевских подмножествах полуплоскости Im z > p 0, называется мерой Карлесона, если для любой функции F ∈ H+ ,0 0 с нулями (wn ) при отображении z = (2a/π) log w − ia. Следствие 10.4.3. Пусть F (z) ∈ H p (−a, a), 0 < p < ∞. Тогда: 1) для последовательности zn = xn + iyn нулей функции F (z) выполняется условие (10.4.23); 2) имеет место факторизация F (z) = B(z)E(z), где B(z) — произведение Бляшке для полосы |y| < a с нулями (zn ), а E(z) ∈ H p (−a, a), E(z) 6= 0 при |y| < a и kEkp ³ kF kp .

11.1. ПЛОТНЫЕ

СЕМЕЙСТВА СДВИГОВ ФУНКЦИИ НА ПРЯМОЙ

ПРИМЕЧАНИЯ


113

10

10.1. Функции вида (10.1.1) встречаются в работах Г. Харди [88], Г. Моргана [98], И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [5], К. И. Бабенко [2, 3], М. М. Джрбашяна [12], Р. Залика [118] и других. Теоремы 10.1.3, 10.1.4 вместе с леммой 10.1.1 доказаны в статье [119], а теоремы 10.1.1, 10.1.2 — в [106]. Теорема 10.1.5 взята из [66]. 10.2. Результаты принадлежат автору [58]. 10.3. Теорема 10.3.1 принадлежит Р. Залику [118]. К. И. Бабенко [2] рассмотрел классы ц.ф. Kα (a, b), α > 1, a, b > 0. По определению класс Kα (a, b) состоит из ц.ф. порядка α, для которых ¡ ¡ ¢¢ f (z) = O rn exp a|y|α , r = |z| >r0 , n = n(f ) > 0, ¡ m ¡ ¢¢ f (x) = O |x| exp −b|x|α , |x| >x0 , m = m(f ) > 0. Заметим, что Kα (a, b) ⊂ Zα (a, b). В [2] доказано, что Kc α (a, b) = Kβ (K(β, b), K(β, a)), и найден критерий непустоты класса Kα (a, b). Он состоит в том, что a > bsα , где sα — константа из теоремы 10.3.2. 10.4. Теоремы 10.4.2, 10.4.3 раньше, кажется, не встречались. В подпункте 10.4.2 представлены результаты статьи [43].

ГЛАВА 11 АППРОКСИМАЦИЯ СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ 11.1.

ПЛОТНЫЕ


11.1.1. Всюду в этой главе пишем Lp вместо Lp (R). Аппроксимационная теорема Н. Винера [113] утверждает следующее. Пусть f ∈ L1 (L2 ); для того, чтобы линейные комбинации сдвигов f (t − λ), λ ∈ R были плотны в L1 (L2 ), необходимо и достаточно, чтобы fb 6= 0 (fb 6= 0 п.в.). Пусть Λ — некоторое множество на прямой. Обозначим через Λ(f ) семейство линейных комбинаций сдвигов f (t − λ), λ ∈ Λ, которое для краткости будем называть семейством сдвигов. Предположим, что fb 6= 0 (fb 6= 0 п.в.), и поставим следующие вопросы. А. Существует ли собственное подмножество Λ на прямой, такое, что семейство сдвигов Λ(f ) плотно в L1 (L2 )? Б. Если да, то в чем состоит наиболее экономный выбор Λ? В. От чего зависит существование такого подмножества? Очевидно, в качестве Λ всегда можно взять множество, плотное в R (в частности, счетное всюду плотное множество). Поэтому вопрос А, конечно, предполагает выполненным условие Λ 6= R. Поскольку в теореме Винера условие дается в терминах ПФ, то естественно ожидать, что подходящие свойства ПФ fb будут фигурировать и в ответах на поставленные вопросы. Рассмотрим следующий пример. Пусть f — нетривиальная функция из L2 , такая, что f (t) ≡ ≡ 0 вне (−a, a), a > 0. Тогда fb — ц.ф. и потому имеет не более счетного множества нулей. По теореме Винера семейство сдвигов f (t − λ), λ ∈ R плотно в L2 . Но уже семейство f (t − λ), |λ| > a + ε, где ε > 0, неплотно в L2 , так как f (t − λ) ≡ 0 на (−ε, ε) для |λ| > a + ε, и любая функция из L2 , не эквивалентная нулю на (−ε, ε), не может быть сколь угодно хорошо приближена линейными комбинациями рассматриваемых сдвигов. Так как fb ∈ Ba2 , то (см. [23]) Z log− |fb(x)| dx > −∞ (log− x = min(0, log x)), 1 + x2 R

114


СДВИГАМИ ФУНКЦИИ И С ПОМОЩЬЮ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

т.е. fb(x) убывает «не слишком быстро», и мы можем предположить, что ответы на вопросы А, Б, В должны каким-то образом учитывать скорость убывания fb. Оказывается, множества с условием Λ = R и только они пригодны для аппроксимации сдвигами, когда речь идет о классе всех функций из L1 (L2 ) с условием fb 6= 0 (fb 6= 0 п.в.). Это утверждение, дающее частичный ответ на вопрос А, содержится в следующей теореме. Теорема 11.1.1. Пусть f ∈ L1 (L2 ) и |fb(x)| > exp(−ω(|x|)),

x ∈ R,

(11.1.1)

где ω(x) — положительная неубывающая функция с условием Z ω(x) dx < ∞. 1 + x2 R+

Тогда если множество Λ ⊂ R неплотно в R, то семейство Λ(f ) неплотно в L1 (L2 ). Доказательство. По условию дополнение к Λ содержит некоторый отрезок. Можно считать, что это симметричный отрезок, т.е. имеет вид [−a, a]. Функция ω(x) удовлетворяет условиям теоремы 3.3.1. По этой теореме найдется функция F (x) такая, что |F (x)| 6 exp(−ω(|x|)) и что ее преобразование Фурье Fb сосредоточено на [−a, a]. Применим это утверждение, заменив ω(x) на ω(x) + log(1 + x2 ). Тогда exp(−ω(|x|)) |F (x)| 6 1 + x2 и Z e−iλt F (t)dt = 0, |λ| > a. (11.1.2) R

Положим h = F/fb; в силу (11.1.1) и оценки для |F (x)|, имеем h ∈ L1 ∩ L2 . Теперь (11.1.2) переписывается так: Z e−iλt fb(t)h(t)dt = 0, |λ| > a. R

По равенству Парсеваля

Z f (t − λ)e h(t)dt = 0,

|λ| > a.

R

Итак, нетривиальная функция e h ∈ L∞ ∩ L2 аннулирует сдвиги f (t − λ), λ ∈ Λ. Семейство Λ(f ) 1 2 неплотно в L (L ). Теорема 11.1.1 доказана. Таким образом, в классе функций с достаточно медленно убывающим ПФ выбор множества Λ, отличного (с точностью до операции замыкания) от R, невозможен. Допуская некоторую вольность, можно сказать, что это — класс функций с ПФ, убывающим медленнее экспоненты. Следовательно, естественно рассмотреть случай экспоненциального и более быстрого убывания fb. Здесь выбор Λ с условием Λ 6= R уже возможен; таким множеством может служить любое множество с конечной предельной точкой. Итак, вспоминая вопрос В, мы видим, что возможность выбора существенно собственного подмножества Λ тесно связана со скоростью убывания ПФ. Уже начиная с экспоненциального убывания fb, возможно выделение в качестве Λ последовательности с единственной предельной точкой на ∞. Речь пойдет об их описании; в этом и состоит уточненный смысл вопроса Б. Так как (f (t − λ))b = e−iλt fb(t), а ПФ задает изоморфизм пространства L2 на себя, то плотность в L2 семейства сдвигов Λ(f ), где Λ — последовательность, эквивалентна полноте в L2 весовой системы экспонент ¡ −iλn t ¢∞ e g(t) n=0 , Λ = (λn )∞ g ∈ L2 , (11.1.3) 0 ,

11.1. ПЛОТНЫЕ

115


где g = fb. В доказательствах мы будем иметь дело именно с системами (11.1.3). Переход от семейств Λ(f ) к системам (11.1.3) удобен тем, что в случае быстрого убывания g = fb позволяет применить аппарат аналитических функций. Случай |fb(t)| ³ e−a|t| , t ∈ R, a>0 (11.1.4) допускает полное описание последовательностей Λ ⊂ R, порождающих плотные в L2 семейства сдвигов Λ(f ). Теорема 11.1.2. Пусть выполнено условие (11.1.4). Тогда для плотности в L2 семейства сдвигов Λ(f ), где Λ = (λn )∞ n=0 ⊂ R, необходимо и достаточно, чтобы ∞ X n=0

³ π ´ exp − |λn | = +∞. 2a

(11.1.5)

Доказательство. Достаточно доказать, что условие (11.1.5) равносильно полноте в L2 системы (11.1.3), где g = fb. Неполнота этой системы в L2 равносильна существованию нетривиальной функции ϕ ∈ L2 , такой, что ¡ ¢ ϕ(t), e−iλn t fb(t) = 0, n ∈ Z+ . В силу (11.1.4), |fb(t)| = e−a|t| h(t),

h(t) ³ 1,

t ∈ R,

поэтому если обозначить ψ = ϕh, то ϕ ∈ L2 ⇐⇒ ψ ∈ L2 . Значит, неполнота в L2 рассматриваемой системы равносильна существованию нетривиальной функции ψ ∈ L2 , такой, что функция Z Φ(z) = e−izt e−a|t| ψ(t)dt, ψ ∈ L2 (11.1.6) R

обращается в нуль в точках Λ. Но формула (11.1.6) задает общий вид функции из H 2 (−a, a) (см. п. 10.4), а существование функции Φ(z) ∈ H 2 (−a, a), обращающейся в нуль в точках Λ, равносильно тому, что Λ удовлетворяет условию Бляшке для полосы (п. 10.4): ∞ µ ¯ ³ π ´¯2 ¶−1 ³π ´ X ¯ ¯ 1 + ¯exp λn ¯ Re exp λn < +∞. 2a 2a n=0

Так как λn ∈ R, то это условие противоположно условию (11.1.5), и теорема 11.1.2 доказана. Замечание 11.1.1. При условии (11.1.4) функция f аналитична в полосе | Im z| < a, и потому имеет смысл говорить о комплексных сдвигах f (t − λ), | Im λ| < a. Для них нами фактически доказано следующее утверждение. Если выполнено условие (11.1.4), а последовательность Λ = 2 (λn )∞ n=0 лежит в полосе | Im z| < a, то семейство сдвигов Λ(f ) плотно в L тогда и только тогда, когда ∞ µ ¯ ³π ´ ³ π ´¯2 ¶−1 X ¯ ¯ Re exp 1 + ¯exp λn ¯ λn = +∞. 2a 2a n=0

В дальнейшем будем предполагать, что ПФ функции f убывает быстрее экспоненты: log |fb(t)| 6 −ϕ(|t|),

ϕ(t) = +∞. t→+∞ t lim

К этому случаю мы естественно приходим в процессе решения следующей задачи, в некотором смысле обратной по отношению к вопросу А. Г. Описать последовательности Λ = (λn ), λn → ∞, пригодные для аппроксимации сдвигами, т.е. такие, для каждой из которых найдется функция f ∈ L2 с плотным в L2 семейством сдвигов Λ(f ).

116



11.1.2. Пусть функция ϕ(t) определена при t > 0, причем ϕ(t)/t → +∞, когда t → +∞. Тогда под функцией, двойственной с ϕ(t) по Юнгу, понимают [14] функцию (ϕ(ξ))∗ = sup(xξ − ϕ(x)),

ξ > 0.

x>0

Встречающиеся ниже обозначения NΛ (r), NF (r) введены в п. 1.1. Теорема 11.1.3. Пусть g(t) 6= 0 п.в. и ϕ(t) = +∞. t→+∞ t Тогда если последовательность 0 6∈ Λ ⊂ R такова, что ¡ ¢ lim NΛ (r) − (ϕ(r) − log(1 + r))∗ = +∞, log |g(t)| 6 C − ϕ(|t|),

lim

(11.1.7)

r→∞

то система (11.1.3) полна в L2 . Доказательство. Достаточно показать, что для неполной в L2 системы (11.1.3) функция NΛ (r) − (ϕ(r) − log(1 + r))∗ ограничена на луче r > 0. Пусть система (11.1.3) неполна в L2 . Тогда найдется нетривиальная функция h(t) ∈ L2 , аннулирующая эту систему, т.е. функция Z F (z) = e−izt g(t)h(t)dt, h ∈ L2 , h 6≡ 0 R

обращается в 0 в точках Λ. Благодаря условию (11.1.7), F (z) — целая функция. Так как g(t) 6= 0 п.в., а h(t) 6= 0 на множестве положительной меры, то F (z) 6≡ 0. По неравенству Коши и по условию (11.1.7) при r = |z| имеем ÃZ !1/2 exp(2|y| · |t| − 2ϕ(|t|) + 2 log(1 + |t|)) |F (z)| 6 ckhk2 dt 6 (1 + |t|)2 R ¡ ¢ (11.1.8) 6 c1 sup exp(|y|t − (ϕ(t) − log(1 + t)) 6 t>0 ¡ ¢ 6 c1 sup exp(rt − (ϕ(t) − log(1 + t)) 6 c exp(ϕ(r) − log(1 + r))∗ . t>0

Пусть nF (t) — число корней функции F (z) в круге |z| < t. Воспользуемся формулой Иенсена 1 NF (r) = 2π

Z2π

¯ ¡ ¢¯ log ¯F reiθ ¯dθ − log |F (0)|,

(11.1.9)

0

считая, не снижая общности, что F (0) = 1. Так как nΛ (t) 6 nF (t), то подставляя оценку (11.1.8) в (11.1.9), получаем NΛ (r) 6 O(1) + (ϕ(r) − log(1 + r))∗ , r > 0, что и требовалось. Теорема доказана. Из определения двойственной по Юнгу функции следует, что при любом δ > 0 (ϕ(r) − log(1 + r))∗ 6 ((1 − δ)ϕ(r))∗ ,

r > r0 (δ).

Поэтому из теоремы 11.1.3 сразу вытекает Следствие 11.1.1. Пусть g(t) 6= 0 п.в. и выполнено условие (11.1.7). Тогда если при некотором δ>0 ¡ ¢ lim NΛ (r) − ((1 − δ)ϕ(r))∗ = +∞, (11.1.10) r→∞

то система (11.1.3) полна в L2 . Лемма 11.1.1. Если ϕ(t)/t → +∞, t → +∞, то и ϕ∗ (t)/t → +∞, t → +∞.

11.2. ПОЛНЫЕ

117

СИСТЕМЫ ВЕСОВЫХ ЭКСПОНЕНТ НА ПРЯМОЙ

Доказательство. Пусть ξ фиксировано. Очевидно, что верхняя грань в определении ϕ∗ достигается при значении x, обладающим свойством: через точку A(x, ϕ(x)) графика функции y = ϕ(t) проходит опорная к этому графику прямая, параллельная прямой y = ξt. Значит, ϕ∗ (ξ)/ξ есть длина горизонтального отрезка, соединяющего точку A с прямой y = ξt. При ξ → +∞ эта длина эквивалентна расстоянию между прямой y = ξt и параллельной ей опорной прямой к графику функции y = ϕ(t) (условие ϕ(t)/t → +∞ гарантирует существование опорной прямой со сколь угодно большим угловым коэффициентом ξ). Значит, в случае ϕ∗ (ξ)/ξ 6 M < ∞ график функции y = ϕ(t) лежал бы левее некоторой вертикальной прямой, что противоречит тому, что ϕ(t) определена на полупрямой t > 0. И так как расстояние, о котором говорилось, возрастает с ростом ξ, то отсюда следует утверждение леммы. Лемма 11.1.1 доказана. Напомним, что ∆1 (Λ) обозначает верхнюю плотность последовательности Λ при порядке 1. Теорема 11.1.4. Если ∆1 (Λ) = +∞, то найдется функция f ∈ L2 такая, что ее семейство сдвигов Λ(f ) плотно в L2 . Доказательство. Достаточно доказать существование функции g ∈ L2 такой, что система (11.1.3) полна в L2 . По следствию 11.1.1 для этого, в свою очередь, достаточно подобрать функцию ϕ(t) (t > 0) так, чтобы ϕ(t)/t → +∞, t → +∞ и чтобы выполнялось условие (11.1.10), а затем положить g(t) = exp(−ϕ(|t|)). Известно [27], что 1 ∆1 (Λ) NΛ (r) > . r→∞ r e lim

∞ Так как ∆1 (Λ) = +∞, то отсюда следует существование последовательностей (rn )∞ 1 ↑ ∞ и (βn )1 ↑ ∞ таких, что

NΛ (rn ) = βn rn .

(11.1.11)

Зададим функцию f (r) (r > 0) так, чтобы f (r) = βn r при r = rn и чтобы на отрезках [rn , rn+1 ] функция f (r)/r была линейной (на [0, r1 ] функция f (r) может быть задана произвольно). По построению f (r)/r → +∞, r → +∞. Утверждается, что искомая функция ϕ(t) может быть найдена из соотношения (1/2)ϕ(t) = ((1/2)f (t))∗ . Действительно, свойство ϕ(t)/t → +∞, t → +∞ гарантируется леммой 11.1.1. Далее, так как функция ((1/2)ϕ(r))∗ = ((1/2)f (r))∗∗ совпадает с наибольшей выпуклой минорантой функции (1/2)f (r) [14], то обозначив эту миноранту через ((1/2)f (r))0 , из (11.1.11) будем иметь при r = rn ³1 ´∗ ³1 ´ 1 NΛ (r) − ϕ(r) = f (r) − f (r) > f (r) → +∞. 2 2 2 0 Значит, условие (11.1.10) выполнено с δ = 1/2. Теорема 11.1.4 доказана. Приведем пример, показывающий, что условие ∆1 (Λ) = +∞ в теореме 11.1.4 нельзя заменить условием ∆1 (Λ) > l ни при каком конечном l. Пусть λn = n/l, n ∈ N; тогда ∆1 (Λ) = l. Какую бы функцию g из L2 ни взять, система (11.1.3) будет неполной в L2 , так как любая функция из замыкания линейной оболочки системы (11.1.3) должна иметь вид p(t)g(t), где функция p(t) периодична с периодом 2πl. 11.2. ПОЛНЫЕ


Итак, вопрос о плотности семейства сдвигов Λ(f ) функции f ∈ L2 (R), Λ = (λn ) ⊂ R в пространстве L2 (R) равносилен вопросу о полноте в L2 (R) системы весовых экспонент ¡ −iλn t ¢ e g(t) , Λ = (λn ), (11.2.1) где g = fb 6= 0 п.в. Здесь, в п. 11.2, мы рассматриваем вопрос о полноте систем (11.2.1) в Lp = Lp (R), 1 6 p < ∞ и в C0 = C0 (R) = (f ∈ C(R) : f (±∞) = 0).

118



11.2.1. Необходимые условия (начало). Пусть sβ — число из теоремы 10.3.2. По этой теореме класс Zβ (bsβ , b) непуст при любом b > 0. Лемма 11.2.1. Пусть b > 0. Тогда найдется ц.ф. f ∈ Zβ (bsβ , b) такая, что при любом достаточно малом ε > 0 верна оценка b + hf (θ) + ε 6 bC| sin θ|β , −π < θ 6 π, C = C(β). 2 Доказательство. Пусть f1 ∈ Zβ (sβ , 1), пусть h1 (θ) — индикатор функции f1 (z). Так как h1 ∈ C[−π, π] и h1 (0), h1 (±π) 6 −1, то найдется постоянная C(β) такая, что при всех достаточно малых ε > 0 ε 1 + + h1 (θ) 6 C(β)| sin θ|β , −π < θ 6 π. (11.2.2) b 2 Положим f (z) = f1 (b1/β z). Тогда f ∈ Zβ (bsβ , b), и так как hf (θ) = bh1 (θ), то (11.2.2) доказывает лемму. На функцию g(t) накладываем следующее условие ¡ ¡ ¢ 0¢ inf s : exp −s|t|α |g(t)|−1 ∈ Lp = a > 0, (значение

p0

α > 1,

16p6∞

(11.2.3)

= 1 соответствует пространству C0 ). Всюду в этой главе 1/α + 1/β = 1.

Теорема 11.2.1. Пусть функция g(t) удовлетворяет условию (11.2.3). Тогда если система (11.2.1), где Λ ⊂ C, полна в Lp , 1 6 p < ∞, или в C0 , то ∆β (Λ) > C(β)a1−β ,

C(β) > 0,

и в частности, ∆β (Λ) > 0. Доказательство. При ∆β (Λ) = +∞ доказывать нечего. Пусть ∆β (Λ) < +∞. P Пустьρ+1сначала β нецелое; пусть ρ = [β]. Из предположения ∆β (Λ) < +∞ следует, что 1/|λ| < +∞. А тогда для б.п. Ã ρ ! Y ³ X 1 ³ z ´k z ´ G(z) = 1− exp λn k λn λn ∈Λ

k=1

при любом ε > 0 верна оценка

¡ ¡ ¡ ¢ ¢¢ G(z) = O exp bρ ∆β (Λ) + ε rβ ,

z ∈ C,

(11.2.4)

где bρ = kρ (1/(β − ρ) + 1/(ρ + 1 − β)), kρ = 3e(ρ + 1)(2 + log ρ) (это промежуточная оценка из доказательства теоремы Бореля, [23, гл. 1, § 4]). Положим b = 2bρ ∆β (Λ). Тогда при любом ε > 0 ¶ ¶¶ µ µµ b + ε rβ , z ∈ C. (11.2.5) G(z) = O exp 2 Пусть f — функция из леммы 11.2.1. Так как ¡ ¡ ¢¢ f (z) = O exp (hf (θ) + ε)rβ ,

z ∈ C,

то по лемме 11.2.1 получаем, что

¡ ¡ ¢¢ F (z) := G(z)f (z) = O exp bC|y|β ,

z ∈ C.

А так как f (x) = O(exp((−b + ε)|x|β )), x ∈ R, то в силу (11.2.5), ¶ ¶¶ µ µµ b β , x ∈ R. F (x) = O exp − + 2ε |x| 2 Таким образом, F (z) ∈ Zβ (b/2, bC). По теореме 10.3.1 ¡ ¡¡ ¢ ¢¢ Fe (x) = O exp −α−1 (βbC)1/(1−β) + ε |x|β ,

x ∈ R.

(11.2.6)

при всех ε > 0. Покажем, что если ∆β (Λ)
0 достаточно мало, то a + δ1 < α−1 (βbC)1/(1−β) .

(11.2.8)

Отсюда и из (11.2.6) при подходящем δ > 0 получаем представление Z ¡ ¢ F (z) = e−izt exp −(a + δ)|t|α h(t)dt, h ∈ L∞ ,

(11.2.9)

R

которое, используя условие (11.2.3), запишем в виде Z F (z) = e−izt g(t)ϕ(t)dt,

0

ϕ ∈ Lp .

(11.2.10)

R

По построению F (λn ) = 0. Значит, функционал на Lp (C0 ), представляемый функцией ϕ, аннулирует систему (11.2.1). Следовательно, система (11.2.1) неполна в Lp (C0 ), и случай нецелого β разобран. P Пусть теперь β целое. Сначала исключим случай 1/|λn |β < +∞, показав, что он влечет p неполноту системы (11.2.1) в L и в C0 . В этом случае ц.ф. Ã β−1 ! Y ³ X 1 ³ z ´k z ´ G(z) = 1− exp λn k λn λn ∈Λ

k=1

принадлежит классу [β, 0] [77]. Значит, при всех ε > 0 верна оценка (11.2.5) с b = 0. Функцию f (z) берем, как и прежде, из класса Zβ (bsβ , b) при любом фиксированном b > 0. Оценка (11.2.5) подавно будет верна с b > 0. Значит, если F = Gf , то соотношение (11.2.6) верно с любым b > 0. Тогда при достаточно малых b и δ1 выполняется неравенство (11.2.8). А именно оно вместе с оценкой (11.2.6), как мы видели, приводит к неполноте системы (11.2.1). P P Итак, 1/|λn |β = +∞. Так как ∆β (Λ) < +∞, то 1/|λn |β+1 < ∞. Положим M = (µn ) := := (λn ) ∪ (λn exp(iπ/β)). Тогда X 1 ∆β (M ) = 2∆β (Λ) (11.2.11) = 0, r > 0; β µ n |µn | 0 ¯ !! Ã Ã¯ ¯1 X 1 ¯ ¡ ¢ ¯ ¯ , z ∈ C, + 2kβ ∆β (M ) + ε G(z) = O exp ¯ β ¯¯ ¯β µ n |µn | 1. Положим h(θ) = − cos βθ, когда β четно; если же β нечетно, то пусть  3π   06θ6 ,  − cos βθ, 2β h(θ) = 3π π    | cos βθ|, 6θ6 , 2β 2 h(π/2 + θ) = h(π/2 − θ), 0 6 θ 6 π/2, и далее h(θ) продолжается как π-периодическая функция. Тогда: 1) функция h(θ) тригонометрически β-выпукла; ³ ´−β π π 2) | sin βθ| + h(θ) tg 2α 6 sin 2β · | sin θ|β , 0 6 θ < 2π; 3) для любого γ > 0 найдется ε > 0 такое, что ³ π π ´−β | sin βθ| + h(θ) tg + ε 6 (1 + γ) sin · | sin θ|β , 0 6 θ < 2π. 2α 2β Доказательство. 1) При четном β функция h(θ) сама является β-тригонометрической, и доказывать нечего. Пусть β нечетно. Тогда h(θ) представляет собой склейку β-тригонометрических функций (в точках 3π/(2β) и т. д.). В точках склейки выполнено условие h0− < h0+ (θ). По лемме 10.3.1, функция h(θ) тригонометрически β-выпукла. 2) Обозначим через A(θ) и B(θ) функции, стоящие в левой и правой частях требуемого неравенства. Эти функции π-периодичны, поэтому мы можем рассматривать только отрезок [0, π]. Но функции A(θ), B(θ), θ ∈ [0, π] принимают одинаковые значения в точках, симметричных относительно точки θ = π/2. Значит, мы можем рассматривать только отрезок [0, π/2]. Если β четно, β > 2, то функция A(θ) (2π/β)-периодична. Значит, своего наибольшего значения на [0, π/2] она достигает в некоторой точке отрезка [0, 2π/β]. Но функция A(θ), рассматриваемая на [0, 2π/β], принимает одинаковые значения в точках, симметричных относительно точки θ = π/β. Поэтому наибольшего значения на [0, 2π/β] функция A(θ) достигает в некоторой точке отрезка [0, π/β]. Учтем возрастание функции B(θ) на [0, π/2]. Следовательно, мы можем рассматривать только отрезок [0, π/β]. На этом отрезке A(θ) = sin βθ − cos βθ tg

sin(βθ − π/(2α)) π = . 2α cos(π/(2α))

(11.2.12)

Отсюда видно, что во-первых, A(θ) < 0 при 0 6 θ < π/(2αβ), и следовательно, для таких θ требуемое неравенство тривиально, а во-вторых, функция A(θ) достигает своего наибольшего значения на [0, π/β] в точке π(2β −1)/(2β 2 ). Значит, имея в виду возрастание функции B(θ), нам достаточно доказать неравенство 1 sin(βθ − π/(2α)) 6 , β β cos(π/(2α)) sin θ sin (π/(2β))

π(2β − 1) π 6θ6 . 2αβ 2β 2

(11.2.13)

Сказанное относится, конечно, и к значению β = 2; тогда все рассуждения о переходе от отрезка [0, π/2] к отрезку [0, π/β] отпадают. С точностью до положительного множителя производная левой части в (11.2.13) равна sin(π/(2α) − (β − 1)θ) . sinβ+1 θ На отрезке [π/(2αβ), π(2β − 1)/(2β 2 )] она обращается в 0 в единственной точке θ = π/(2β), где меняет знак с плюса на минус. Значит, левая часть в (11.2.13) своего наибольшего значения на рассматриваемом отрезке достигает в точке θ = π/(2β). Этот факт и отражен неравенством (11.2.13). Пусть β нечетно. При π/(2β) 6 θ 6 π/2 функция A(θ) (π/β)-периодична. Поэтому ее наибольшее значение на отрезке [π/(2β), π/2] достигается в некоторой точке отрезка [π/(2β), 3π/(2β)]. Но функция A(θ), рассматриваемая на последнем отрезке, принимает одинаковые значения в точках, симметричных относительно точки θ = π/β. Значит, ее наибольшее значение на [π/(2β), π/2] достигается в некоторой точке отрезка [π/(2β), π/β], а наибольшее значение на [0, π/2] — в некоторой точке отрезка [0, π/β]. Все последующее делается, как при четном β.

11.2. ПОЛНЫЕ


121

3) Вне окрестностей точек, для которых в 2) имеет место знак равенства, левая часть в 2) строго меньше правой; значит, для таких θ утверждение 3) справедливо. В самих этих точках (т.е. при θ = π/(2β) и т. д.), как мы сейчас видели, правая часть в 2) положительна; поэтому в их окрестностях требуемого неравенства можно добиться, опираясь на утверждение 2) и выбирая ε достаточно малым. Лемма 11.2.2 доказана. Лемма 11.2.3. Если β > 1, то можно подобрать натуральное m так, чтобы 2
= > 1. 2β − 1 4β − 1 (2β − 1)(4β − 1) 2β · 4β 4 Таким образом, при β > 4 лемма верна. √ √ Покажем, что m = 1 пригодно для 1 < β < 2 + 3, а m = 2 — для 2 + 3 6 β < 4. Тем самым все случаи будут разобраны. Если m = 1, то левое неравенство в (11.2.14) имеет место для всех β > 1, и значит, в этом случае неравенства (11.2.14) равносильны неравенству β 2 √ − 4β + 1 < 0, очевидно, справедливому √ √ при 2 − 3 < β < 2 + 3, и в частности, при 1 < β < 2 + 3. Если m = 2, то неравенства в виде β 2 −8β +2 < 0, β 2 −4β Первое √(11.2.14) записываются √ √ +2 > 0.√ из них справедливо при 4 − 14 < β < 4 + 14, а второе — при β ∈ (−∞, 2 − 2) ∪ (2 + 2, ∞). √ В частности, оба неравенства справедливы, если 2 + 3 6 β < 4. Лемма 11.2.3 доказана. Лемма 11.2.4. 1) Пусть β нецелое, β > 1; пусть натуральное m подобрано так, чтобы выполнялось условие (11.2.14). Положим π sin((π/2)(1/β + β/m)) cos βθ, 06θ6 , h(θ) = − sin(π/(2β)) sin(πβ/(2m)) 2m (11.2.15) ³ π ´ ³ π ´ π h +θ =h −θ , 06θ6 , 2m 2m 2m а затем продолжим h(θ) (π/m)-периодически. Тогда h(θ) тригонометрически β-выпукла. 2) Положим cos(βθ − πβ/(2m)) π H(θ) = , 06θ6 , sin(πβ/(2m)) m а затем продолжим H(θ) (π/m)-периодически. Тогда ³ π ´−β H(θ) + h(θ) 6 sin · | sin θ|β , 0 6 θ < 2π. 2β 3) Для любого γ > 0 найдется ε > 0 такое, что ³ π ´−β · | sin θ|β , H(θ) + h(θ) + ε 6 (1 + γ) sin 2β

0 6 θ < 2π.

Доказательство. 1) Функция h(θ) получается склейкой в точках π/(2m) + (π/m)k (k ∈ Z) β-тригонометрических функций. По лемме 10.3.1, склейка не нарушит тригонометрической βвыпуклости, если в точках склейки выполнено условие h0− (θ) < h0+ (θ). В силу периодичности достаточно рассмотреть точку θ = π/(2m) и доказать с учетом (11.2.15), что h0− (π/(2m)) < 0. С точностью до положительного множителя эта производная равна ¯ µ ¶ ¯ sin((π/2)(1/β + β/m)) π 1 β ¯ = sin sin βθ¯ + . sin(πβ/(2m) 2 β m θ=π/(2m)

По условию (11.2.14) это выражение отрицательно. 2) Левая часть требуемого неравенства (π/m)-периодична и принимает одинаковые значения в точках, симметричных относительно точки π/(2m). Правая же часть возрастает на [0, π/2].

122



Поэтому мы можем вместо отрезка [0, 2π] рассматривать отрезок [0, π/(2m)]. Используя тригонометрические формулы, найдем cos(βθ − πβ/(2m)) sin(π/(2β)) − sin(π/2)(1/β + β/m)) cos βθ = sin(πβ/(2m)) sin(π/(2β)) sin(βθ + π/(2β) − πβ/(2m)) − sin(βθ + π/(2β) + πβ/(2m)) = = 2 sin(πβ/(2m)) sin(π/(2β)) cos(βθ + π/(2β) sin(βθ − π/(2α) π = = , 06θ6 . sin(π/(2β) cos(π/(2α) 2m

H(θ) + h(θ) =

(11.2.16)

А это выражение в точности совпадает с выражением (11.2.12). Теперь остается повторить рассуждения, следующие за (11.2.12) (участвующая в этих рассуждениях точка π(2β −1)/(2β 2 ) попадет на отрезок [0, π/(2m)], благодаря условию (11.2.14)), что приводит к доказательству утверждений 2) и 3). Лемма 11.2.4 доказана. Теорема 11.2.2. Пусть функция g(t) удовлетворяет условию (11.2.3) с α > 1. Пусть последовательность Λ положительна и имеет плотность ∆β (Λ) при порядке β. Тогда если система (11.2.1) полна в Lp , 1 6 p < ∞, или в C0 , то ∆β (Λ) >

π 1 K(β, a) sinβ . π 2β

Доказательство. Надо доказать, что при Λ ⊂ R+ и ∆β = ∆β (Λ)
0. Пусть сначала β целое. Воспользуемся следующим фактом [77]: если положительная последовательность M = (µn ) имеет плотность ∆1 = ∆1 (M ), то бесконечное произведение ¶ ∞ µ Y z2 ψ(z) = 1− 2 µn n=1

является целой функцией экспоненциального типа с индикатором hψ (θ) = π∆1 | sin θ|. Возьмем µn = λβn ; тогда ∆1 (M ) = ∆β (Λ), и значит, в этом случае hψ (θ) = π∆β (Λ)| sin θ|. Положим G(z) = ψ(z β ). Тогда функция G(z), обращающаяся в 0 в точках Λ, есть целая функция порядка β с индикатором hG (θ) = hψ (βθ) = π∆β (Λ)| sin βθ|, и значит, ³ ³³ ε ´ β ´´ G(z) = O exp π∆β | sin βθ| + r , z ∈ C. 2 Пусть h(θ) — функция из леммы 11.2.2. Она 2π-периодична и тригонометрически β-выпукла. Этими же свойствами обладает и функция h0 (θ) = π∆β h(θ) tg(π/(2α)), так как множитель при h(θ) положителен. Следовательно [23], существует целая функция f (z) порядка β с индикатором h0 (θ) (при четном β достаточно положить f (z) = exp(−π∆β tg(π/(2α))z β )), а значит, с оценкой ³ ³³ ε ´ β ´´ π + r , z ∈ C. f (z) = O exp π∆β h(θ) tg 2α 2 Пусть F (z) = G(z)f (z). Функция F (z) обращается в 0 в точках Λ и верны оценки ³ ³³ ³ ´ ´´ π ´ F (z) = O exp π∆β | sin βθ| + h(θ) tg + ε rβ , z ∈ C, (11.2.18) 2α ´ ´ ³ ³ π + ε |x|β , x ∈ R, (11.2.19) F (x) = O exp −π∆β tg 2α (мы учли, что h(0) = h(π) = −1). По лемме 11.2.2 из (11.2.18) следует, что µ µ ¶¶ ³ π ´−β β F (z) = O exp (1 + γ)π∆β sin |y| , (11.2.20) 2β

11.2. ПОЛНЫЕ


123

причем γ > 0 может быть выбрано сколь угодно малым. По теореме 10.3.1 из (11.2.20) и (11.2.19) вытекает, что µ µ µ ¶ ¶¶ 1 (sin(π/(2β)))β 1/(β−1) β e F (z) = O exp − · |x| . (11.2.21) α (1 + γ)πβ∆β По условию (11.2.17)

µ ¶ 1 (sin(π/(2β)))β 1/(β−1) a+δ < α (1 + γ)πβ∆β

при достаточно малых γ и δ. Значит, из (11.2.21) следует представление (11.2.9), и случай целого β разобран. Пусть теперь β нецелое. Подберем натуральное m из условия (11.2.14) (что возможно по лемме 11.2.3) и положим 2m−1 ³ π ´ S M = (µn ) = exp i k Λ. m k=0 По построению последовательность M имеет угловую плотность при порядке β, причем функция угловой плотности состоит из скачков ∆β в точках θ = πk/m, k = 0, 2m − 1. Поэтому [23] каноническое произведение ! Ã ρ Y³ X 1 ³ z ´k z ´ , ρ = [β] G(z) = 1− exp µn k µn k=1

является целой функцией порядка β с индикатором hG (θ), который при 0 6 θ 6 π/m имеет вид hG (θ) =

2m−1 ³ π∆β X πk ´ cos β θ − π + sin πβ m k=0

³ π´ 06θ6 , m

а на остальные значения θ продолжается (π/m)-периодически (в силу симметрии корней). Приведем hG (θ) к более простому виду: 2m−1 ³ X π∆β πβ πk ´ hG (θ) = sin cos θ − π + = sin πβ sin(πβ/(2m)) 2m m k=0

π∆β (sin β(θ + π − π/(2m)) − sin β(θ − π − π/(2m))) = = 2 sin πβ sin(πβ/(2m)) π∆β cos(βθ − πβ/(2m)) = . sin(πβ/(2m)) Мы получили, что в обозначениях леммы 11.2.4 hG (θ) = π∆β H(θ). Поэтому ³ ³³ ε ´ β ´´ G(z) = O exp π∆β H(θ) + r , z ∈ C. 2 Пусть h(θ) — функция из леммы 11.2.4. Она 2π-периодична и тригонометрически β-выпукла. Поэтому найдется целая функция f (z) порядка β с индикатором π∆β h(θ). Значит, ³ ³³ ε ´ β ´´ f (z) = O exp π∆β h(θ) + r . 2 Таким образом, для функции F (z) = G(z)f (z), обращающейся в 0 в точках Λ, имеем оценку ¡ ¢ ¡ ¡ ¢¢ F reiθ = O exp π∆β (H(θ) + h(θ) + ε)rβ , (11.2.22) По лемме 11.2.4 верна оценка (11.2.20). Далее, так как H(0) + h(0) = − tg(π/(2α)) (см. (11.2.16)), и H(π) = H(0), h(π) = h(0), то из (11.2.22) вытекает оценка (11.2.19). После этого доказательство заканчивается так же, как в случае целого β. Теорема 11.2.2 доказана.

124



11.2.3. Достаточные условия. Замечание 11.2.1. Если g, g1 ∈ Lp , 1 6 p < ∞ (или ∈ C0 ) и 0 < |g(t)| 6 C|g1 (t)| п.в. на R, то из полноты в Lp (в C0 ) системы ¡ −iλn t ¢ e g1 (t) , (λn ) = Λ ⊂ C (11.2.23) в Lp (в C0 ) следует полнота в Lp (в C0 ) системы (11.2.1). Доказательство. В самом деле, если бы система (11.2.1) была неполной в Lp , то нашлась бы 0 0 функция h ∈ Lp , h 6≡ 0, аннулирующая систему (11.2.1). Но тогда функция (g/g1 )h ∈ Lp аннулирует систему (11.2.23). Так как g 6= 0 п.в., то (g/g1 )h 6≡ 0, и система (11.2.23) неполна в Lp . Если речь идет о пространстве C0 , то в роли h выступает dσ, где σ ∈ V (R). Замечание Замечание. rem11.2.1 верно. Обозначим Λ+ = (λn ∈ Λ : λn > 0). Теорема 11.2.3. Пусть g(t) 6= 0 п.в. и ¡ ¡ ¡ ¢¢¢ sup s : g(t) = O exp −s|t|α = a ∈ (0, ∞),

α > 1.

(11.2.24)

Тогда каждое из следующих условий достаточно для полноты системы (11.2.1) в Lp , 1 6 p < ∞ и в C0 : 1) ∆β (Λ) + ∆β (Λ) > eβK(β, a); π 2) ∆β (Λ+ ) > K(β, a) π1 sinβ 2β . Доказательство. Предположим, что мы доказали достаточность каждого из условий 1), 2) для полноты в Lp и в C0 системы ¡ −iλn t ¡ ¢¢ e exp −a|t|α , (λn ) = Λ. (11.2.25) По замечанию Замечание. rem11.2.1 теорема 11.2.3 будет верна для системы (11.2.1), где g(t) = O(exp(−a|t|α )). Но в условиях 1), 2) присутствуют строгие неравенства, которые сохраняют силу при замене a на s, где s < a и s достаточно близко к a. Поэтому, в силу (11.2.24), теорема будет верна в сформулированном виде. Итак, теорему 11.2.3 достаточно доказать для системы (11.2.25). Предположим противное: система (11.2.25) неполна в Lp (в C0 ). Тогда некоторая нетривиальная функция вида Z ¡ ¢ F (z) = e−izt exp −a|t|α f (t)dt, R 0 Lp

где f ∈ (f (t)dt = dσ(t), σ ∈ V (R) в случае пространства C0 ), обращается в нуль в точках Λ. Функция F (z) есть ц.ф. порядка не выше β с индикатором hF (θ) 6 K(β, a)| sin θ|β

(11.2.26)

Lp

(в случае это утверждение содержится в теореме 10.1.1; для случая C0 его доказательство проводится аналогично). 1) Известно [77], что если F (z) ∈ [ρ, σ] и M — последовательность всех нулей F (z), то ∆β (M ) + ∆β (M ) 6 eρσ. Подставляя сюда ρ 6 β, σ 6 K(β, a) и учитывая, что Λ ⊂ M , получаем неравенство ∆β (Λ) + ∆β (Λ) 6 eβK(β, a), противоположное условию 1). Тем самым достаточность условия 1) доказана. 2) Воспользуемся следующим обобщением теоремы Карлсона [23]: если функция G(z) аналитична при Re z > 0 и имеет в этой полуплоскости экспоненциальный тип, то ³ π ´´ ν(r) 1 ³ ³π ´ lim 6 hG + hG − , (11.2.27) 2π 2 2 r→∞ r

11.2. ПОЛНЫЕ


125

где ν(t) — число нулей функции G(z) в круге |z − t/2| < t/2, t > 0. Применим эту теорему к функции G(z) = F (z 1/β ). Так как число n+ (r) точек Λ+ на (0, r) не превосходит ν(rβ ), а ³ π´ π hG ± 6 K(β, a) sinβ 2 2β (в силу (11.2.26)), то из (11.2.27) мы получаем, что n+ (r) ν(rβ ) 1 π 6 lim 6 K(β, a) sinβ . β β π 2β r→∞ r r→∞ r

∆β (Λ+ ) = lim

А это противоречит условию 2). Мы доказали достаточность условия 2). Теорема 11.2.3 доказана. Теоремы 11.2.2, 11.2.3 дают Следствие 11.2.1. Пусть g(t), 1/g(t) ∈ C(R) и при некоторых a > 0, α > 1 lim |t|−α log |g(t)| = −a.

t→±∞

Пусть последовательность Λ положительна и имеет плотность ∆β (Λ). Тогда для полноты системы (11.2.1) в Lp , 1 6 p < ∞ или в C0 необходимо, чтобы ∆β (Λ) >

π 1 K(β, a) sinβ , π 2β

(11.2.28)

∆β (Λ) >

π 1 K(β, a) sinβ . π 2β

(11.2.29)

и достаточно, чтобы

11.2.4. Если положить g = fb, то при p = 2 результаты п. 11.2 автоматически переформулируются как утверждения об условиях плотности в L2 семейств сдвигов Λ(f ). Вот как, к примеру, после такой переформулировки выглядит следствие 11.2.1. Следствие 11.2.2. Пусть f ∈ L2 , причем fb, 1/fb ∈ C(R), и пусть при некоторых a > 0, α > 1 lim |t|−α log |fb(t)| = −a.

t→±∞

Пусть последовательность Λ положительна и имеет плотность ∆β (Λ). Тогда для плотности в L2 семейства сдвигов Λ(f ) необходимо, чтобы выполнялось условие (11.2.28), и достаточно, чтобы выполнялось условие (11.2.29). Что касается вопроса о плотности семейств сдвигов Λ(f ) в пространстве L1 , то он не сводится непосредственно к вопросу о полноте взвешенных систем экспонент. Сейчас мы в состоянии лишь утверждать, что необходимые условия, предлагаемые теоремами 11.2.1, 11.2.2, сохраняются в следующем виде. Теорема 11.2.4. Пусть f ∈ L1 , причем при некоторых a > 0, α > 1 ¡ ¡ ¢−1 ¡ ¢ ¢ inf s : fb(t) exp −s|t|α ∈ L1 = a.

(11.2.30)

Пусть Λ ⊂ R. Тогда если семейство сдвигов Λ(f ) плотно в L1 , то ∆β (Λ) > C(β)a1−β ,

C(β) > 0,

и в частности, ∆β (Λ) > 0. Теорема 11.2.5. Пусть функция f удовлетворяет условиям теоремы 11.2.4. Пусть последовательность Λ положительна и имеет плотность ∆β (Λ) при порядке β. Тогда если семейство сдвигов Λ(f ) плотно в L1 , то выполняется условие (11.2.28). В самом деле, вспомним, что доказательства теорем 11.2.1, 11.2.2, проводимые методом от противного, основаны на построении ц.ф. F (z), обращающейся в нуль в точках Λ и представимой в виде (11.2.9); далее переход от (11.2.9) к (11.2.10) совершался с использованием условия (11.2.4).

126



Если же вместо него использовать условие (11.2.30), то получим представление (11.2.10) с ϕ ∈ L1 , g = fb, т.е. Z ¡ −iλn t ¢ e fb(t) ϕ(t)dt = 0, λn ∈ Λ. R

Теперь равенство Парсеваля дает: Z f (t − λn )ϕ(t)dt b = 0,

λn ∈ Λ.

R

Значит, если предположить, что выполнены условия (11.2.7) и (11.2.17), то мы придем к тому, что семейство сдвигов Λ(f ) неплотно в L1 , так как аннулируется нетривиальным функционалом на L1 , представляемым функцией ϕ b ∈ L∞ . Это доказывает теоремы 11.2.4, 11.2.5. 11.3.

ПОЛНЫЕ

И МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕСОВЫХ ЭКСПОНЕНТ НА ВСЕЙ ПРЯМОЙ

11.3.1.

В п. 11.3 речь пойдет о полных и минимальных системах вида ¡ k−1 −iλn t ¡ ¢¢mn (it) e exp −a|t|α k=1 , n ∈ Z+ , Λ = (λn ; mn )∞ n=0 ,

(11.3.1)

где a > 0, α > 1, в пространствах Lp = Lp (R), 1 6 p < ∞. Из главы 4 известно, что изменение в последовательности (λn ) конечного числа точек не нарушает полноты системы (eiλn t ) в Lp (−a, a). Вопрос о справедливости подобного утверждения для систем (11.3.1) и пространств Lp (R) оказался не таким простым. При p = 2 на него можно дать утвердительный ответ, используя следствие 10.1.1. Используя более окольный путь, мы охватываем все показатели p. Пусть V = V (R), V+ = V [0, ∞), Lq+ = Lq (R+ ), C0 = (f ∈ C0 (R) : f (t) → 0, t → ±∞), C0+ = (f ∈ C[0, ∞) : f (t) → 0, t → +∞) (в главе 9 мы писали C0 вместо C0+ ). При фиксированных a > 0, α > 1 класс ц.ф. Z ¡ ¢ F (z) = e−izt exp −a|t|α dσ(t), (11.3.2) R(R+ )

где σ ∈ V (V+ ), обозначаем через F V (F V+ ). Когда dσ(t) = f (t)dt, f ∈ Lq (Lq+ ), то соответ∗ = Lq , V , ствующие классы (11.3.2) обозначаем через F Lq (F Lq+ ). Помня, что B ∗ = Lq , V и B+ + + когда B = Lp , C0 и B+ = Lp+ , C0+ (q = p0 ), для введенных только что классов будем использовать ∗. единообразные обозначения F B ∗ и F B+ Лемма 11.3.1. Пусть λ — корень функции (11.3.2), где: а) σ ∈ V (V+ ), или б) dσ(t) = f (t)dt, f ∈ Lq (Lq+ ), 1 6 q 6 ∞. Тогда Z ¡ ¢ F (z) = −i e−izt exp −a|t|α g(t)dt, z−λ

(11.3.3)

R(R+ )

где ¡ ¢ g(t) = exp a|t|α + iλt

Z∞

¡ ¢ exp −a|x|α dσ(x).

t

Для доказательства достаточно записать F (z) в виде Z∞ Z ¡ ¢ −i(z−λ)t e d e−iλx exp −a|x|α dσ(x), F (z) = − R(R+ )

t

затем проинтегрировать по частям и учесть, что F (λ) = 0.

(11.3.4)

11.3. ПОЛНЫЕ


127

Лемма 11.3.2 ( [70, гл. 2, теорема 2.6]). Пусть b ∈ R, s > −1. Тогда при x → +∞ Z∞ ¡ α ¢ ¡ ¢ 1 exp −atα − bt ts dt ∼ exp ax + bx , aαxα−1−s x

¡ ¢ exp −axα − bx

Zx

¡ ¢ exp atα + bt ts dt ∼

0

1 aαxα−1−s

.

Лемма 11.3.3. Пусть λ ∈ C фиксировано и пусть g(t) — функция (11.3.4). Тогда: 1) если σ ∈ V+ , то g(t) ∈ Lq+ при всех 1 6 q 6 ∞; 2) если в (11.3.4) dσ(t) = f (t)dt, то оператор ¡ ¢ f (t) → 1 + tα−1 g(t) ограничен в Lq+ , 1 6 q 6 ∞. Доказательство. Так как |g(t)| < Ckf k при 0 6 t 6 1, где норма понимается соответственно в V+ и в Lq+ , то достаточно доказать лемму, заменив Lq+ на Lq (1, +∞), а оператор f (t) → (1 + tα−1 )g(t) на оператор f (t) → tα−1 g(t). 1) Пусть b = Im λ, v(x) = var(σ(t) : 0 6 t 6 x). Тогда ¯ Z∞ ¯ Z∞ ¯ ¯ ¡ ¢ ¡ α ¢ ¯ ¯ kgk = kgkLq (1,∞) = sup ¯ ϕ(t) exp at + iλt dt exp −axα − iλx dσ(x)¯, ¯ ¯ ϕ t

1 p L (1, ∞)

где верхняя грань берется по ϕ ∈ с kϕk = 1. Значит, ∞ Z Zx ¡ ¢ ¡ ¢ α kgk 6 sup exp −ax + bx dv(x) exp atα − bt |ϕ(t)|dt 6 ϕ

Z∞ 6

1

1

(11.3.5)

¡ ¢ ° ¡ ¢° exp −axα + bx · ° exp atα − bt °Lq (1,x) · dv(x).

1

При подходящем A > 0 функция exp(atα − bt) возрастает на полупрямой t > A, поэтому в случае q = ∞ для достаточно больших x присутствующая в (11.3.5) норма не превосходит C exp(axα −bx), и значит, правая часть в (11.3.5) конечна. Если q < ∞, то по лемме 11.3.2 указанная норма не превосходит Cx(1−α)/q exp(axα − bx), и снова правая часть в (11.3.5) конечна. Утверждение 1) доказано. 2) Пусть сначала q = ∞. Тогда при t > 1 по лемме 11.3.2 Z∞ ¡ α ¢ ¡ ¢ |g(t)| 6 kf k∞ · exp at − bt exp −axα + bx dx 6 Ckf k∞ · t1−α , t

и значит, при q = ∞ утверждение 2) верно. Если же q = 1, то ° ° Z∞ Z∞ α − bt) ° g(t) ° ¡ ¢ exp(at α ° ° 6 dt exp −ax + bx |f (x)|dx = ° t1−α ° 1 t1−α L (1,∞) t

1

Z∞ = 1

¡ ¢ |f (x)| exp −axα + bx dx

Zx 1

exp(atα − bt) dt 6 Ckf kL1 (1,∞) , t1−α

благодаря лемме 11.3.2 с s = α − 1. При q = 1 утверждение 2) верно. По теореме Рисса—Торина из доказанных случаев q = 1, ∞ следует справедливость утверждения 2) при всех 1 6 q 6 ∞. Лемма 11.3.3 доказана. Лемма 11.3.4. Пусть выполнены условия леммы 11.3.1. Тогда справедливо представление (11.3.3), где:

128



а) g¡ ∈ Lq (Lq+¢) при всех 1 6 q 6 ∞ или б) 1 + |t|α−1 g(t) ∈ Lq (Lq+ ). Доказательство. Случай полупрямой R+ в (11.3.2) сразу следует из лемм 11.3.1 и 11.3.3. Пусть интегрирование в (11.3.2) ведется по всей прямой R. Тогда в силу леммы 11.3.3 остается показать, что: а) g¡ ∈ Lq− или¢ б) 1 + |t|α−1 g(t) ∈ Lq− , где Lq− = Lq (R\R+ ). Так как F (λ) = 0, то при t < 0 (11.3.4) записывается в виде −∞ Z ¡ α ¢ ¡ ¢ g(t) = exp a|t| + iλt exp −a|x|α − iλx dσ(x), −|t|

и значит, заменяя x на −x, мы записываем g(t) в виде +∞ Z ¡ α ¢ ¡ ¢ g(t) = exp a|t| − iλ|t| exp −axα + iλx dσ(−x), |t|

к которому уже применима лемма 11.3.3. Из нее все и следует. Лемма 11.3.4 доказана. Так как F L1 ⊂ F V , то непосредственным следствием леммы 11.3.4 является ∗ ). Тогда Лемма 11.3.5. Пусть λ — корень функции F (z) ∈ F B ∗ (F B+

F (z) ∗ ∈ F B ∗ (F B+ ). z−λ Лемма 4.1.1 и теорема 4.1.1 (то и другое из п. 4.1) дают необходимое и достаточное условие соответственно полноты и минимальности системы e(Λ) в Lp (−a, a), 1 6 p < ∞ и в C[−a, a]. Доказательства почти буквально переносятся на случай системы (11.3.1) и пространств B = Lp , C0 , 1 6 p < ∞, B+ = Lp (R+ ), C0+ и дают следующие утверждения. Лемма 11.3.6. Для неполноты системы (11.3.1) в B (B+ ) необходимо и достаточно суще∗ ). ствование нетривиальной ц.ф. F (z) такой, что F (Λ) = 0 и F ∈ F B ∗ (F B+ Лемма 11.3.7. Для минимальности системы (11.3.1) в B (B+ ) необходимо и достаточно ∗ ). существование нетривиальной ц.ф. F (z) такой, что F (Λ) = 0 и F (z)/(z − λ0 ) ∈ F B ∗ (F B+ Из леммы 11.3.5 сразу следует, что в ее условиях z−µ F (z) F (z) = F (z) + (λ − µ) ∈ F B∗ z−λ z−λ Отсюда и из лемм 11.3.6, 11.3.7 сразу вытекает

∗ (F B+ ).

Теорема 11.3.1. Замена в последовательности Λ конечного числа точек λn конечным числом точек µs той же суммарной кратности не нарушает полноты (минимальности) системы (11.3.1) в пространствах Lp , Lp+ , 1 6 p < ∞, или в C0 , C0+ . Цель, поставленная в начале п. 11.3, достигнута. Но здесь будет удобно доказать еще одну + лемму, которая понадобится лишь в п. 11.5 (в ней L∞ = C0 , L∞ + = C0 ). Лемма 11.3.8. Пусть система (11.3.1) неполна в Ls (Ls+ ) при некотором s ∈ [1, ∞]. Тогда существует число l = l(s) ∈ N такое, что при понижении на l суммарной кратности некоторого конечного множества точек Λ новая система неполна во всех пространствах Lp (Lp+ ), 1 6 6 p 6 ∞. Лемма 11.3.8 является непосредственным следствием леммы 11.3.6 и следующей леммы. Лемма 11.3.9.

1) Пусть F (z) ∈ F V (F V+ ) и F (λ) = 0. Тогда F (z) ∈ F Lq z−λ

(F Lq+ ) при всех 1 6 q 6 ∞.

11.3. ПОЛНЫЕ


129

2) Пусть F (z) ∈ F Lq (F Lq+ ), 1 < q 6 ∞. Тогда найдется l = l(q) ∈ N такое, что если F (λi ) = 0, i = 1, l, то Fl (z) :=

F (z) ∈ F B∗ (z − λ1 ) . . . (z − λl )

∗ (F B+ )

для всех пространств B (B+ ). Доказательство леммы 11.3.9. Утверждение 1) есть переформулировка части а) леммы 11.3.4. Утверждение 2) докажем для пространства B; случай пространства B+ рассматривается аналогично. По утверждению б) леммы 11.3.4 функция F1 (z) = F (z)/(z − λ1 ) представима в виде (11.3.3), где (1 + |t|α−1 )g(t) ∈ Lq . Пусть сначала q конечно. Тогда g(t) ∈ Lq/α . Действительно, принадлежность g(t) ∈ Lq/α (−1, 1) тривиальна, а по неравенству Г¨ельдера 1/α  1/β  ¶q/α ¶q Z Z µ Z Z µ |g(t)| dt |g(t)| dt     |g(t)|q/α dt = dt  6  . 1−α 1−α q/β |t| |t| |t|q |t| |t|>1

|t|>1

|t|>1

|t|>1

Первый интеграл в правой части конечен по предположению, а второй — по условию q > 1. Итак, g(t) ∈ Lq/α и g(t) ∈ Lq . Значит, g(t) ∈ Ls при всех s ∈ [q/α, q]. Теперь беря в роли q число q/α и повторяя рассуждения, получаем, что функция F2 (z) = F1 (z)/(z − λ2 ) представима в виде (11.3.3), где g(t) ∈ Ls при всех s ∈ [q/α2 , q/α]. Следовательно, взяв в качестве N наименьшее натуральное n, для которого q/αn 6 1, после N шагов получаем FN (z) = F (z)/((z −λ1 ) . . . (z −λN )) ∈ F L1 ⊂ F V , где F (λi ) = 0. Пусть l = N +1, F (λl ) = 0. Тогда по утверждению 1) Fl (z) = FN (z)/(z − λl ) ∈ F B ∗ для всех пространств B. Случай конечного q рассмотрен. Случай q = ∞ сразу сводится к рассмотренному, так как по лемме 11.3.4 функция F (z)/(z − λ1 ) представима в виде (11.3.3) с (1 + |t|α−1 )g(t) ∈ L∞ . Отсюда g(t) ∈ Ls при конечном s > 1/(α − 1). Лемма 11.3.9 доказана. 11.3.2. Полные в Lp и C0 системы (11.3.1), удовлетворяющие условиям теоремы 11.2.3, не могут быть минимальными в Lp (C0 ). Действительно, при удалении из Λ точки λj достаточные условия 1), 2) этой теоремы сохраняют силу; по ней система (11.3.1), где n 6= j, полна в Lp (в C0 ). В частности, функция системы (11.3.1), отвечающая индексу n = j, аппроксимируется в Lp (в C0 ) линейными комбинациями остальных функций этой системы. Это означает, что система (11.3.1) не является минимальной. Начиная с этого момента, нас интересуют одновременно полные и минимальные системы вида (11.3.1) в Lp и в C0 . Напомним, что 1/α + 1/β = 1. По теореме 11.2.1, полнота системы (11.3.1) в Lp , 1 6 p < ∞ или в C0 влечет условие ∆β (Λ) > 0, которое, в свою очередь, влечет условие X |λn |−β = +∞. (11.3.6) Таким образом, верно Предложение 11.3.1. Если система (11.3.1) полна в Lp , 1 6 p < ∞ или в C0 , то ∆β (Λ) > 0 и в частности, выполнено условие (11.3.6). Предложение 11.3.2. Если система (11.3.1) минимальна в Lp , 1 6 p < ∞ или в C0 , то ∆(Λ) < +∞. Доказательство. Для определенности рассмотрим случай пространства Lp . Так как систе0 ма (11.3.1) минимальна в Lp , то она обладает биортогональной системой hn (t) ∈ Lp . Рассмотрим ц.ф. Z ¡ ¢ 0 h1 ∈ Lp . (11.3.7) H1 (z) = e−izt exp −a|t|α h1 (t)dt, R

130



В силу биортогональности, H1 (λn ) = 0, n 6= 1. По теореме 10.1.1, функция H(z) = (z − λ1 ) × H1 (z) имеет конечный тип при порядке β. Но тогда, как хорошо известно [23], ∆β (M ) < +∞, где M — последовательность всех корней функции H(z). И так как Λ ⊂ M , то ∆β (Λ) < +∞, и предложение 11.3.2 верно. Из предложений 11.3.1 и 11.3.2 сразу вытекает Предложение 11.3.3. Если система (11.3.1) полна и минимальна в Lp , 1 6 p < ∞ или в C0 , то 0 < ∆β (Λ) < +∞ и выполнено условие (11.3.6). Теорема 11.3.2. Пусть β целое. Тогда если система (11.3.1) полна и минимальна в Lp , 1 6 p < ∞ или в C0 , то: 1) 0 < ∆β (Λ) < +∞; 2) выполнено условие (11.3.6); ¯ ¯ ¯ ¯ P ¯ ¯ 3) lim ¯ λ−β n ¯ < +∞. r→∞ ¯|λ | −1, γ ∈ [0, π/2), и точки λ1 6= λ2 не принадлежат предыдущему множеству в (11.3.9). Отметим, что для последовательности Λ условия теоремы 11.3.2 выполнены. Нас интересуют условия на h и γ, при которых система (11.3.8)–(11.3.9) полна и минимальна в Lp , 1 < p < ∞. Сформулируем основные результаты в этом направлении.

11.3. ПОЛНЫЕ


131

Теорема 11.3.3. Пусть 1 4p1 0 , то система (11.3.8)–(11.3.9) неполна в Lp ; 1 , то система (11.3.8)–(11.3.9) минимальна в Lp . 2) если h > − 4p Следствие 11.3.1. Пусть 2 6 p < ∞. Тогда система (11.3.8)–(11.3.9): 1) полна в Lp тогда и только тогда, когда h 6 4p1 0 ; 1 2) минимальна в Lp тогда и только тогда, когда h > − 4p ; 1 p 0 рассмотрим 2-тригонометрическую функцию t(θ) = ε sin 2θ. При θ → 0 имеем t(θ) ∼ 2εθ, а (1/4)(1 − | cos 2θ|) = (1/2) sin2 θ ∼ θ2 /2. Значит, если положительное θ достаточно мало, то 1 (1 − | cos 2θ|) 6 t(θ). 4 В силу симметрии это неравенство будет верно для θ, достаточно близких к π/2, θ < π/2. Таким образом, если положительные числа θ1 , π/2 − θ3 достаточно малы, то π hE (θi ) = t(θi ), i = 1, 3, 0 < θ1 < θ3 < . 2 В силу тригонометрической 2-выпуклости индикатора hE (θ) отсюда следует, что hE (θ) 6 ε×sin 2θ, θ1 < θ < θ3 . Так как θ1 (θ3 ) можно брать сколь угодно близким к 0 (к π/2), то значит, hE (θ) 6 ε sin 2θ, 0 < θ < π/2. В свою очередь, ε > 0 можно брать сколь угодно малым. Значит, hE (θ) 6 0 на (0, π/2). В силу непрерывности индикатора hE (θ) 6 0 на [0, π/2]. Так как правая часть в (11.3.14) и функция t(θ) периодичны с периодом π/2, то отсюда hE (θ) 6 0 на [0, 2π], что и требовалось. Лемма 11.3.10 доказана.

132



Лемма 11.3.11. Пусть функция S(z) удовлетворяет условиям леммы 11.3.10, и кроме того, µ 2¶ ¯ ¡ iθ ¢¯ π π ¯S re ¯ > C 1 exp r , k = 0, 3, θ = γ + + k, (11.3.15) rm 4 4 2 где C > 0, m > 0, r > r0 . Пусть целая функция F (z) обращается в 0 во всех нулях функции S(z) и подчиняется оценке µ 2¶ y |F (z)| 6 C exp , y = Im z. (11.3.16) 2 Тогда

µ 2¶ z F (z) = exp − S(z)Ps (z), 4 где Ps (z) — алгебраический полином степени s 6 [m]. В частности, если m < 1, то µ 2¶ z F (z) = C exp − S(z). 4

(11.3.17)

Доказательство. По лемме 11.3.10 имеет место соотношение (11.3.12), где E(z) ∈ [2, 0]. Отсюда и из (11.3.13), (11.3.15), (11.3.16) заключаем, что на лучах arg z = γ +π/4+πk/2, k = 0, 3 верна оценка |E(z)| = O(rm ), r → ∞. Применяя теорему Фрагмена—Линдел¨ефа к секторам γ + π/4 + πk/2 6 arg z 6 6 γ + π/4 + π(k + 1)/2, делаем вывод, что E(z) — многочлен степени не выше [m]. Лемма 11.3.11 доказана. Доказательство теоремы 11.3.3. При фиксированном h > −1 рассмотрим целую функцию ¶ ∞ µ Y z2 L(z) = z 1− . (n + h)2 n=1

Эта функция имеет простые нули в точках n + h sign n, n ∈ Z. Вне каждой полосы | Im z| 6 b < < ∞ верна оценка |L(z)| ³ r−2h exp(π| Im z|), r = |z| (11.3.18) ¡¡ −iγ √ ¢2 ¢ (см. следствие 3.1.4). Значит, функция L ze /(2 π) имеет простые корни в точках ´´ ³³ p π n ∈ N, k = 0, 3 exp i γ + k 2 π(n + h), 2 и двукратный корень в точке z = 0; других корней у этой функции нет. Из (11.3.18) следует, что вне каждого гиперболического креста r2 | sin 2(θ − γ)| 6 B < ∞, асимптотически идентичного четверке попарно перпендикулярных лучей arg z = γ + πk/2, k = 0, 3, верна оценка ¯ µµ −iγ ¶2 ¶¯ ¶ µ ¯ ¯ ze 1 1 2 ¯L ¯ √ (11.3.19) ¯ ¯ ³ r4h exp 4 r | sin 2(θ − γ)| . 2 π В частности, эта оценка верна на лучах π π arg z = γ + + k, k = 0, 3; r > 1. (11.3.20) 4 2 Положим µµ −iγ ¶2 ¶ (z − λ1 )(z − λ2 ) ze √ S(z) = L . z2 2 π Из только что сказанного следует, что множество корней функции S(z) совпадает с последовательностью (11.3.9), причем все эти корни просты. Далее, вне каждого гиперболического креста r2 | sin 2(θ − γ)| 6 B < ∞, и в частности, на лучах (11.3.20), верна оценка µ ¶ 1 1 2 |S(z)| ³ 4h exp r | sin 2(θ − γ)| , r > 1. (11.3.21) 4 r В итоге S(z) удовлетворяет условиям леммы 11.3.10, а также условиям леммы 11.3.11 с m = 4h. Отметим, что m < 1, так как по условиям теоремы h < 1/4.

11.3. ПОЛНЫЕ


133

1) Нам надо доказать полноту системы (11.3.8)–(11.3.9) в Lp , 1 6 p < ∞, если h 6 1/(4p0 ). Покажем, что предположение о неполноте противоречит условию h 6 1/(4p0 ). Этим утверждение 1) будет доказано. Неполнота системы (11.3.8)–(11.3.9) в Lp равносильна существованию целой функции вида µ 2¶ Z t 0 −izt F (z) = e exp − f (t)dt, f ∈ Lp , (11.3.22) 2 R

обращающейся в 0 в точках (11.3.9). Мы имеем функцию вида (11.3.1) из п. 10.1 с α = β = 2, a = 1/2. В этом случае K(β, a) = 1/2. По замечанию Замечание. rem10.1.1 для F (z) справедлива оценка (11.3.16). Значит, функция F (z) удовлетворяет условиям лемм 11.3.10, 11.3.11. Как мы показали выше, и функция S(z) удовлетворяет условиям этих лемм с m < 1. По лемме 11.3.11 F (z) имеет вид (11.3.17). Теперь применим теорему 10.2.6, учитывая, что α = β = 2, a = K(β, a) = 1/2. По этой теореме при фиксированном θ 6= 0, π µ ¶ ¡ iθ ¢ 1 2 2 0 F re exp − r sin θ ∈ Lp (R+ ). (11.3.23) 2 В силу (11.3.17) это равносильно тому, что µ 2 ¶ µ 2¶ ¡ iθ ¢ ¢ ¡ iθ ¢ r ¡ r 0 2 S re exp − cos 2θ + 2 sin θ = S re exp − ∈ Lp (R+ ). (11.3.24) 4 4 Каково бы ни было γ, хотя бы один луч из набора (11.3.20) является наклонным, т.е. для него θ 6= 0, π. На этом луче имеет место оценка (11.3.15) с m = 4h. Из нее и из (11.3.24) следует, что Z∞ 0 r−4p h dr < ∞. 1

1/(4p0 ),

Значит, h > что противоречит условию. Утверждение 1) доказано. 0 2) Предположим, что система (11.3.8)–(11.3.9) минимальна в Lp . Пусть hj (t) ∈ Lp — соответствующая биортогональная система. Рассмотрим целую функцию µ 2¶ Z t 0 H(z) = e−izt exp − h1 (t)dt, h1 ∈ Lp . 2 R

В силу биортогональности функция H(z) обращается в 0 в точках последовательности Λ\λ1 . Но эта последовательность в точности есть множество нулей функции S1 (z) = S(z)/(z −λ1 ). Для H(z) верны все свойства функции F (z), т.е. оценка (11.3.16) и принадлежность (11.3.23). Для функции S1 (z) верны все свойства функции S(z), причем для S1 (z) в условии (11.3.15) m = 4h + 1. По лемме 11.3.11 µ 2¶ z H(z) = C exp − S1 (z), 4 и повторяя концовку доказательства утверждения 1), приходим к тому, что Z∞ 0 0 r−4p h−p dr < ∞. 1

Отсюда h >

−1/(4p0 )

− 1/4. Это доказывает утверждение 2). Теорема 11.3.3 доказана.

Доказательство теоремы 11.3.4. Пусть функции L(z), S(z) — те же, что в доказательстве теоремы 11.3.3. Зададим функцию F (z) посредством (11.3.17). Множество нулей функции F (z) совпадает с последовательностью (11.3.9). Поэтому доказав представление (11.3.22), мы установим неполноту системы (11.3.8)–(11.3.9) в Lp . В свою очередь, в силу теоремы 10.2.5 это представление является следствием свойства ZZ ³ p0 ´ 0 (11.3.25) |F (z + iy)|p exp − y 2 dx dy < ∞ 2 |z|>1

134



(мы учли, что α = β = 2, a = K(β, a) = 1/2). Таким образом, для доказательства утверждения 1) нам достаточно показать, что если h > 1/(4p0 ), то выполняется свойство (11.3.25). По замечанию Замечание. I:rem3.1.3 оценка (11.3.18) остается верной для всех z с условием |z| > 1, если знак ³ заменить знаком 6 и в правой части приписать некоторую константу. Значит, и оценки (11.3.19), (11.3.21) остаются верными при такой замене. В итоге подынтегральная функция в (11.3.25) не превосходит µ 0 ¶ ¢ p 2¡ −4hp0 2 Cr exp − r | sin 2(θ − γ)| − cos 2θ − 2 sin θ , r > 1. (11.3.26) 4 Но выражение 2 sin2 θ + cos 2θ − | sin 2(θ − γ)| в зависимости от знака sin 2(θ − γ) равно либо 2 sin2 (π/4 − θ + γ), либо 2 cos2 (π/4 − θ + γ). Поэтому нам достаточно убедиться в том, что µ 0 ¶ Zπ/2 Z∞ p 2 1−4hp0 J := dθ r exp − r t(θ) dr < ∞, 2 0

t(θ) = sin2 θ, cos2 θ.

(11.3.27)

¶ µ 0 ¶ µ 0 Z∞ 1 p p 2 2hp0 −1 −2hp0 u exp − u du. exp − r t(θ) dr = (t(θ)) 4 2 2

(11.3.28)

1

Положим r2 t(θ) = u; тогда Z∞ r

1−4hp0

1

t(θ)

Далее, Z∞ t(θ)

 O(1),   µ 0 ¶  ¡ ¡ ¢¢ p 0 u−2hp exp − u du = O log (t(θ))−1 ,  2   O¡(t(θ))1−2hp0 ¢,

если 2hp0 < 1, если 2hp0 = 1,

(11.3.29)

0

если 2hp > 1.

Теперь подставим (11.3.29) в (11.3.28), а затем полученное — в интеграл (11.3.27). Видим, что в случае 2hp0 > 1 конечность интеграла J тривиальна. Если 2hp0 = 1, то Zπ/2 1 J 6C log dθ < ∞. t(θ) 0

Если

2hp0

< 1, то Zπ/2 Zπ/2 0 4hp0 −2 J 6 C (sin θ) dθ = C (cos θ)4hp −2 dθ < ∞, 0

0

4hp0

так как > 1. Итак, (11.3.27) верно. Утверждение 1) доказано. Для доказательства утверждения 2) достаточно проверить, что µ 0 ¶ ZZ p p0 −p0 |F (z)| (1 + |z|) exp − y 2 dx dy < ∞. 2

(11.3.30)

|z|>1

Действительно, если (11.3.30) верно, то по теореме 10.2.5 функция F (z)/(z − λ0 ) представима в виде правой части (11.3.22). И так как множество корней функции F (z) совпадает с последовательностью Λ, то по лемме 11.3.7 система (11.3.8)–(11.3.9) минимальна в Lp . Итак, доказываем условие (11.3.30). Сравнивая (11.3.30) и (11.3.25), делаем вывод, что подын0 тегральная функция в (11.3.30) мажорируется выражением (11.3.26), в котором r−4hp следует 0 0 заменить на r−4hp −p . Но это равносильно тому, что в проведенных выше рассуждениях число h заменяется числом h + 1/4. Значит, свойство (11.3.30) выполняется, если h + 1/4 > 1/(4p0 ). Теорема 11.3.4 доказана.

11.4. ПОЛНЫЕ

11.4.

И МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕСОВЫХ ЭКСПОНЕНТ НА ПОЛУПРЯМОЙ И НА ПРЯМОЙ

ПОЛНЫЕ

135


11.4.1. Благодаря результатам п. 11.3 (см. подпункт 11.3.3), при α = 2 мы располагаем достаточно широким классом систем ¡ k−1 −iλn t ¡ ¢¢mn (it) e exp −a|t|α k=1 , Λ = (λn ; mn )∞ a > 0, α > 1 (11.4.1) n=0 , (с mn ≡ 1), полных и минимальных в пространствах Lp = Lp (R), 2 6 p < ∞. Стоит отметить, что для доказательства этих результатов условие α = 2 является существенным. В данном п. 11.4 мы строим полные и минимальные системы (11.4.1) в пространствах Lp = Lp (R), Lp+ = Lp (R+ ), C0 = C0 (R), C0+ = C0 (R+ ) для всех α > 1, a > 0 и всех p ∈ [1, ∞). Пусть 1/α + 1/β = 1. Введем обозначения, используемые на протяжении всего п. 11.4. Пусть θk ∈ (−π, π), θk 6= 0. Тогда положим h θk π π π i θk0 = + sign θk , Ik = θk0 − , θk0 + . α 2β 2β 2β Проверим, что Ik ⊂ (0, π) при θk > 0 и Ik ⊂ (−π, 0) при θk < 0. В силу симметрии достаточно рассмотреть θk > 0. Условие Ik ⊂ (0, π) равносильно системе неравенств 0 < θk /α, θk /α + π/β < π, которая записывается в виде двойного неравенства 0 < θk < π, являющегося верным. Теперь убедимся, что θk ∈ Ik . Снова рассматриваем θk > 0. По определению θk0 имеем θk0 − θk =

θk π − . 2β β

Значит, если 0 < θk 6 π/2, то 0 6 θk0 − θk < π/(2β), и если π/2 < θk < π, то −π/(2β) < θk0 − θ 6 6 0. И так как Ik есть отрезок радиуса π/(2β) с центром в точке θk0 , то θk ∈ Ik . Далее, обозначим ak = | sin θk |β−1 , ¢ ¡ hk (θ) = ak cos β θ − θk0 ,

bk (θ) = | sin θ|β − hk (θ), θ ∈ Ik ;

hk (θ) = 0,

θ ∈ Ik , θ ∈ [−π, π]\Ik .

Лемма 11.4.1. Пусть θk ∈ (−π, π), θk 6= 0. Тогда: 1) hk (θ) 6 | sin θ|β , θ ∈ [−π, π]; 2) при θ 6= 0, ±π знак равенства в 1) достигается в единственной точке θ = θk ; 3) b0k (θk ) = 0, b00k (θk ) > 0. Доказательство. Его достаточно провести для точки θk > 0. Рассмотрим функцию A(θ) = hk (θ)/ sinβ θ, θ ∈ Ik . Имеем ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ sign A0 (θ) = − sign sin β θ − θk0 sin θ + cos β θ − θk0 cos θ = ¡ ¢ ¡ ¢ = − sign cos (β − 1)θ − βθk0 = − sign cos(β − 1) θ − αθk0 . Значение θ = θk отвечает значению −π/2 под знаком косинуса в правой части. Таким образом, A0 (θk ) = 0, и при переходе через точку θk производная A0 (θ) меняет знак с плюса на минус. Так как θk ∈ Ik , то расстояние от точки θk до концов отрезка Ik меньше, чем π/β, и подавно меньше, чем π/(β − 1). Поэтому производная A0 (θ) больше на Ik не меняет знака. Следовательно, функция A(θ) достигает в точке θk своего наибольшего значения на Ik . Но из определений следует, что A(θk ) = 1. Значит, утверждение 1) верно для θ ∈ Ik ; для остальных θ оно очевидно. Из сказанного следует также и утверждение 2). По доказанному θk есть точка экстремума дифференцируемой функции bk (θ), и потому b0k (θk ) = 0. Далее, ¡ ¡ ¢¢0 b00k = β sinβ−1 θ cos θ + ak β sin β θ − θk0 = ¡ ¡ ¢¢ = β (β − 1) sinβ−2 θ cos2 θ − sinβ θ + ak β cos β θ − θk0 . Но ak cos β(θ − θk0 ) = sinβ θ при θ = θk , и значит, ¡ ¢ b00k (θ) = β(β − 1) sinβ−2 θ cos2 θ + sin2 θ = β(β − 1) sinβ−2 θ > 0, Утверждение 3) верно. Лемма 11.4.1 доказана.

θ = θk .

136



Для дальнейших рассуждений полезно иметь в виду следующую геометрическую трактовку леммы 11.4.1. График функции hk (θ) представляет собой арку косинусоиды, расположенную над отрезком Ik длины π/β с центром в точке θk0 . Эта арка вписана в график функции | sin θ|β , так что точка θk является точкой касания этих двух графиков, а для остальных значений θ ∈ Ik график функции hk (θ) лежит ниже графика функции | sin θ|β . Лемма 11.4.2. Пусть −π < θ1 < θ2 < · · · < θm < π, θk 6= 0, k = 1, m. При θ ∈ [−π, π] обозначим ¢ ¡ h(θ) = max hk (θ) : k = 1, m , b(θ) = | sin θ|β − h(θ). Тогда: 1) h(θ) 6 | sin θ|β , θ ∈ [−π, π]; 2) знак равенства при θ 6= 0, ±π в 1) достигается в точках θk , k = 1, m и только в них; 3) b(θ) ∼ ck (θ − θk )2 , θ → θk , ck > 0, k = 1, m. Доказательство. Вне объединения отрезков Ik имеем h(θ) ≡ 0, и для таких θ утверждение 1) очевидно. График функции hk (θ) есть арка косинусоиды, расположенная над интервалом Ik , а график функции h(θ) получается склейкой частей графиков функций hk (θ). Так как θk < θk+1 , то при этом у каждой точки θk существует окрестность, в которой h(θ) = hk (θ), причем замыкание объединения этих окрестностей совпадает с объединением отрезков Ik . Поэтому оставшаяся часть леммы 11.4.2 следует из леммы 11.4.1. Лемма 11.4.2 верна. Обозначения леммы 11.4.2 будут применяться в дальнейшем без дополнительных напоминаний. Лемма 11.4.3. Пусть H(θ) — тригонометрически β-выпуклая функция, θ1 6 θ 6 θ3 , причем, H(θ1 ), H(θ3 ) 6 0. Тогда: 1) 51 если θ3 − θ1 < πβ , то H(θ) 6 0 на [θ1 , θ3 ]; 2) если θ3 − θ1 = βπ и H(θk ) < 0 хотя бы при одном k = 1, 3, то H(θ) 6 0 на [θ1 , θ3 ]. Доказательство. Можно считать, что θ1 = 0. Фиксируем ε > 0 и рассмотрим β-тригонометрическую функцию t(θ) = ε sin βθ. 1) Так как 0 < βθ3 < π, то H(0) 6 t(0), H(θ3 ) < t(θ3 ). По определению тригонометрической β-выпуклости отсюда следует, что H(θ) 6 t(θ) = ε sin βθ,

0 6 θ 6 θ3 .

(11.4.2)

Так как ε здесь можно взять сколь угодно малым, то H(θ) 6 0, θ ∈ [θ1 , θ3 ]. 2) Так как θ1 = 0, то θ3 = π/β. Пусть для определенности H(0) < 0. В силу непрерывности тригонометрически β-выпуклой функции имеем H(θ2 ) < t(θ2 ) при достаточно малом θ2 ∈ (0, π/β). Значит, ³π ´ ³π ´ H(0) < t(0), H(θ2 ) < t(θ2 ), H 6t . (11.4.3) β β По определению тригонометрической β-выпуклости из первой пары этих неравенств следует, что H(θ) 6 t(θ) на [0, θ2 ], а из второй пары следует, что H(θ) 6 t(θ) на [θ2 , π/β]. В итоге мы получаем неравенство (11.4.2) с θ3 = π/β, откуда H(θ) 6 0, 0 6 θ 6 θ3 = π/β. Лемма 11.4.3 доказана. Лемма 11.4.4. Пусть H(θ) — тригонометрически β-выпуклая функция. Пусть θ1 < θ3 , θ3 − θ1 = π/β, H(θ1 ) = H(θ3 ) = 0 и H(θ) = o(θ − θi ) хотя бы при одном значении i = 1, 3. Тогда H(θ) 6 0, θ1 6 θ 6 θ3 . Доказательство. Снова считаем, что θ1 = 0, θ3 = π/β. Пусть для определенности H(θ) = o(θ), θ → +0. Пусть функция t(θ) та же, что в доказательстве леммы 11.4.3. Так как sin βθ ∼ βθ, а H(θ) = o(θ), θ → +0, то при достаточно малом θ2 ∈ (0, π/β) будем иметь H(θ2 ) < t(θ2 ), т.е. ³π ´ ³π ´ H(0) = t(0), H(θ2 ) < t(θ2 ), H =t . β β Теперь целиком повторяются рассуждения, следующие за (11.4.3). Лемма 11.4.4 доказана.

11.4. ПОЛНЫЕ


137

Лемма 11.4.5. Пусть b(θ) — функция из леммы 11.4.2, а A, β > 0, Sk = (z : r > 1, |θ − θk | < δ). Тогда если δ > 0 достаточно мало, то условие ZZ ¡ ¢ Jk := exp −Ab(θ)rβ rs dr dθ < +∞ (s ∈ R) (11.4.4) Sk

равносильно условию s + 1 < β/2. Доказательство. По лемме 11.4.2 b(θ) > 0 при θ ∈ Uk = (θ : |θ − θk | < δ), θ 6= θk ; b(θk ) = 0. Положим t = b(θ)rβ . Тогда µ ¶1/β µ ¶ t 1 1/β−1 r= , dr = t (b(θ))−1/β dt, b(θ) β и с точностью до ненулевого постоянного сомножителя Z Z∞ dθ Jk = e−At t(s+1)/β−1 dt. (b(θ))(s+1)/β Uk

b(θ)

Пусть сначала s + 1 > 0. Тогда обозначив b = max(b(θ) : θ ∈ Ik ), имеем Z∞ Z∞ Z∞ 0 < c1 = < < = c2 < ∞, b

b(θ)

0

и видим (см. лемму 11.4.2), что интеграл Jk конечен или бесконечен одновременно с интегралом Z dθ . 2(s+1)/β θ 0

Конечность последнего интеграла равносильна условию 2(s + 1)/β < 1. Таким образом, если s + 1 > 0, то условие Jk < ∞ равносильно условию s + 1 < β/2. Поэтому остается показать, что если s + 1 6 0, то Jk < ∞. Но это уже следует из доказанной части. Действительно, так как r > 1 для z ∈ Sk , то из определения (11.4.4) интеграла Jk видно, что если он конечен при некотором значении s = s0 , то он будет конечным и при всех меньших значениях s, т.е. при s 6 s0 . Лемма 11.4.5 доказана. Лемма 11.4.6. Пусть σ1 = (z : r > 1, 0 < θ < δ), σ2 = (z : r > 1, π − δ < θ < π), δ > 0, s ∈ R, q > 1, A > 0, β > 0. Тогда ZZ ¡ ¢ (1 + y)s exp −Ay β r−q dx dy < ∞, i = 1, 2. (11.4.5) σi

Доказательство. Интеграл в (11.4.5) не зависит от i; разберем случай i = 1. Пусть π — пересечение σ1 с полосой 0 < y < 1. Сначала докажем, что конечна часть интеграла (11.4.5), взятая по π. Имеем ¡ ¢ (1 + y)s exp −Ay β 6 C < ∞, z ∈ π, и потому, если ε = 1/ sin δ, a(r) = arcsin(1/r) и q > 1, то ZZ 6C π

Z∞

ZZ r

−q

r

dx dy 6 c1 + c2 ε

π

−q+1

a(r) Z Z∞ dr dθ 6 c1 + c3 r−q dr < ∞. 0

ε

Остается рассмотреть ту часть интеграла в (11.4.5), которая берется по множеству σ = (z ∈ σ1 : y > 1). Если z ∈ σ, то 1 + y ³ y, и значит, ZZ

Z∞ 0.

(11.4.6)

138



Положим (θr)β = t; тогда θ = t1/β /r, dθ = ct1/β−1 dt/r, и внутренний интеграл в (11.4.6) не превосходит µ ¶ Z∞ c c1 1 β −Bt (s+1)/β−1 e t dt 6 s+1 , ∆ = r arcsin > ∆1 > 0. rs+1 r r ∆

Значит,

ZZ

Z∞ r−q dr < ∞,

6c σ

ε

и лемма 11.4.6 доказана. В наших построениях важную роль играет функция типа Миттаг–Леффлера [13] Eβ (z; µ) =

∞ X n=0

zn , Γ(µ + n/β)

β > 0,

µ ∈ C;

Eβ (z; µ) — целая функция. Лемма 11.4.7 (см. [13]). Если γ ∈ (π/(2β), π/β) (β > 1), то при любом s ∈ N s ¡ ¢ X Eβ (z; µ) = βz β(1−µ) exp z β − j=1

Eβ (z; µ) = −

s X j=1

11.4.2.

z −j Γ(µ − j/β)

¡ ¢ z −j + O z −s−1 , Γ(µ − j/β) ¡ ¢ + O z −s−1 ,

| arg z| 6 γ,

γ 6 | arg z| 6 π.

Пусть 0 < |θk | < π, k = 1, m. Введем целую функцию m ³ ´ X 0 1/β ck Eβ ak ze−iθk ; µ , ck 6= 0 e(z) =

(11.4.7)

k=1

и величину

! m ³ ´ X 1 −1/β iθ0 s ck ak ze k = 6 0 . s0 = min s ∈ N : Γ(µ − s/β) Ã

(11.4.8)

k=1

Пусть

¡ ¢ F (z) = e (K(β, a))1/β z

(11.4.9)

(λn ; mn )∞ 0

и пусть Λ = — последовательность всех корней функции F (z). Ради единообразия формулировок (и только в них!) полагаем L∞ (R) = C0 (R), L∞ (R+ ) = C0 [0, ∞). Теорема 11.4.1. Пусть −π < θ1 < · · · < θl < 0 < θl+1 < · · · < θm < π, причем π π π π π θ1 6 −π + , θm > π − , θl > − , θl+1 6 , θk+1 − θk 6 , β β β β β где k = 1, . . . , l − 1, l + 1, . . . , m − 1. Пусть s0 < ∞. Пусть Λ — последовательность всех корней функции (11.4.9). Тогда: 1) если 1 1 1 1 1 Re µ 6 + + при 1 < p 6 ∞ и Re µ < + при p = 1, (11.4.10) αp0 2 β 2 β то система (11.4.1) полна в Lp (R); 2) если 1 1 + при 1 < p 6 ∞ и Re µ 6 αp0 2 то система (11.4.1) неминимальна в Lp (R).

Re µ
π − , θk+1 − θk 6 , k = 1, m − 1. β β β Пусть s0 < ∞. Пусть Λ — последовательность всех корней функции (11.4.9). Тогда: 1) если выполнено условие (11.4.10), то система (11.4.1) полна в Lp (R+ ); 2) если выполнено условие (11.4.11), то система (11.4.1) неминимальна в Lp (R+ ). Стоит отметить, что если точки θk0 фиксированы, то условие s0 < ∞ — это условие на коэффициенты ck в (11.4.7). Замечание 11.4.1. Без условия s0 < ∞ теорема 11.4.1 перестает быть верной. Действительно, пусть α = β = 2, θ2 = −θ1 = π/2, m = 2. Тогда θ20 = −θ10 = π/2, a1 = a2 = 1, и если, нарушив условие s0 < ∞, взять c1 = c2 = 1, µ = 1, то окажется, что функция ¡ ¢ e(z) = E2 (iz; 1) + E2 (−iz; 1) = 2 exp −z 2 вообще не имеет нулей. Доказательство теоремы 11.4.1. Предположим, что система (11.4.1) неполна, и докажем неравенства, противоположные неравенствам (11.4.10). 0 По лемме 11.3.6, найдется нетривиальная ц.ф. G(z) класса F Lp и F V соответственно при 1 6 p < ∞ и p = ∞, обращающаяся в нуль в точках Λ. Но Λ — множество всех нулей функции F (z). Поэтому G(z) = F (z)E(z), (11.4.12) где E(z) — некоторая ц.ф. Покажем, что E(z) ∈ [β, 0], т.е. что E(z) имеет минимальный тип при порядке β. По замечанию Замечание. rem10.1.1, верна оценка ³ ¡ ¢´ G(z) = O (1 + |y|)(β/2−1)/p exp K(β, a)|y|β ,

z ∈ C,

(11.4.13)

где следует полагать p = 1 в случае G(z) ∈ F V . Отсюда следует, что порядок функции G(z) не выше β и что ее индикатор hG (θ) при порядке β подчиняется оценке hG (θ) 6 K(β, a)| sin θ|β ,

|θ| 6 π.

(11.4.14)

Перейдем к функции F (z). По лемме 11.4.7 порядок функции Eβ (z; µ) равен β, а ее индикатор равен: ³ π π ´   при θ ∈ − , ,  cos βθ 2β 2β π  0 при |θ| > . 2β Из леммы 11.4.7 также следует, что Eβ (z; µ) есть ц.ф. вполне регулярного роста. ¢ ¡ 1/β 0 Отсюда делаем вывод, что функция Eβ ak ze−iθk ; µ имеет вполне регулярный рост и что ее индикатор равен hk (θ), |θ| 6 π. Теперь напомним следующие два свойства индикатора. Если hF1 (θ) > hF2 (θ), то hF1 +F2 (θ) = hF1 (θ). Если при этом луч arg z = θ является лучом вполне регулярного роста для функции F1 (z), то он является таким и для функции F1 (z) + F2 (z). Учитывая оба эти свойства, вид (11.4.7) функции e(z) и только что сказанное о росте функции ¡ 1/β ¢ 0 Eβ ak ze−iθk ; µ , получаем следующее. Во-первых, индикатор he (θ) функции e(z) равен [ he (θ) = h(θ), θ∈ Ik , θ 6∈ T, где S T — множество точек недифференцируемости функции h(θ). Во-вторых, все лучи arg z = θ, θ ∈ Ik , θ 6∈ T являются лучами вполне регулярного роста функции e(z). В силу непрерывности индикатора [ he (θ) = h(θ), θ∈ Ik . (11.4.15)

140



S Выясним поведение e(z) на лучах arg z = θ 6∈ Ik . По лемме 11.4.7 при любом s ∈ N s ¡ 1/β −iθ0 ¢−j ³ ´ X ¡ ¢ ak ze k 1/β −iθ0 + O r−s−1 , θ 6∈ Ik . Eβ ak ze k ; µ = − Γ(µ − j/β)

(11.4.16)

j=1

Отсюда по смыслу (11.4.8) величины s0 получаем m ³ ´ X ¡ ¢ z −s0 0 s0 −1/β e(z) = − ck ak eiθk + O r−s0 −1 , Γ(µ − s0 /β)

θ 6∈

[

Ik ,

k=1

и в силу (11.4.8), при r → ∞ верно предельное соотношение e(z) ∼ cz

−s0

,

c 6= 0,

θ 6∈

S равномерное на любом компакте K ⊂ [−π, π]\ ( Ik ). Значит, [ he (θ) = 0, θ 6∈ Ik ,

m [

Ik ,

(11.4.17)

k=1

(11.4.18)

причем в соответствующих секторах e(z) имеет вполне регулярный рост. Отсюда с учетом формулы (11.4.9) получаем следующие свойства функции F (z): все лучи arg z = θ, θ 6∈ T , где T — множество точек недифференцируемости функции h(θ), являются лучами вполне регулярного роста функции F (z), и ее индикатор равен hF (θ) = K(β, a)h(θ),

−π 6 −θ < π.

Так как множество T конечно, то F (z) имеет вполне регулярный рост. Теперь мы можем заняться непосредственно функцией E(z). Напомним только еще, что если хотя бы одна из ц.ф. F1 (z), F2 (z) имеет вполне регулярный рост, то hF1 F2 (θ) = hF1 (θ) + hF2 (θ). С учетом этого и сказанного чуть выше о росте F (z), из (11.4.12), (11.4.14) заключаем, что hE (θ) 6 K(β, a)b(θ),

b(θ) = | sin θ|β − h(θ),

|θ| 6 π.

Нам надо убедиться, что hE (θ) 6 0 всюду; тогда мы будем уверены, что E(z) ∈ [β, 0]. Функция hE (θ) является тригонометрически β-выпуклой. Присоединим к точкам θ1 , . . . , θm точки 0, ±π. Объединенную систему обозначим 0, m + 2; считаем, что она пронумерована так: −π = θe0 < θe1 < · · · < θem+1 < θem+2 условию θek+1 − θek 6 π/β, k = 0, m + 1. Покажем, что ¤ £ hE (θ) 6 0, θ ∈ θek , θek+1 , k = 0, m + 1.

(11.4.19)

θek , k = = π. По (11.4.20)

Так как (θek ) = (θk )∪{0, ±π}, то из (11.4.19) и леммы 11.4.2 следует, что hE (θek ) 6 0, k = 0, m + 2. Если θek+1 − θek < π/β, то hE (θ) 6 0 на [θek , θek+1 ] по первому утверждению леммы 11.4.3. Поэтому остается рассмотреть случай θek+1 − θek = π/β. Если hE (θek ) < 0 или hE (θek+1 ) < 0, то hE (θ) 6 0, θ ∈ [θek , θek+1 ] по второму утверждению леммы 11.4.3. Если же hE (θek ) = hE (θek+1 ) = 0, то в силу (11.4.19) из утверждения 3) леммы 11.4.2 следует, что ³¡ ¢2 ´ hE (θ) = O θ − θej , θ → θej , j = k, k + 1. По лемме 11.4.4 hE (θ) 6 0 на [θek , θek+1 ] и в этом случае. Мы доказали (11.4.20). Значит, hE (θ) 6 0, |θ| 6 π, и следовательно, E(z) ∈ [β, 0]. Следующий шаг состоит в том, чтобы доказать, что E(z) есть многочлен. Для этого выясним поведение функции E(z) на лучах arg z = θek , k = 1, m + 2. Пусть Uk — достаточно малая окрестность точки θk . По лемме 11.4.7 равномерно относительно θ ∈ Uk ¡ ¢ |F (z)| ∼ Ck rβ(1−Re µ) exp K(β, a)rβ h(θ) , Ck > 0, r → ∞. (11.4.21) Отсюда, из (11.4.12), (11.4.13), с учетом того, что h(θk ) = | sin θk |β , делаем вывод, что на лучах θ = θk , k = 1, m функция E(z) растет не быстрее степени. А благодаря (11.4.12), (11.4.13) и (11.4.17), к такому же выводу приходим и в отношении лучей θ = 0, ±π. Таким образом, на лучах θ = θek , k = 0, m + 2 функция E(z) растет не быстрее степени. Напомним, что E(z) ∈ [β, 0] и что θek+1 −

11.4. ПОЛНЫЕ


141

θek 6 π/β, k = 0, m + 1. Применяя теорему Фрагмена—Линдел¨ефа к секторам θek 6 arg z 6 θek+1 , k = 0, m + 1, заключаем, что в каждом из них, а значит, и во всей плоскости функция E(z) растет не быстрее степени. В итоге E(z) есть многочлен. Какова бы ни была степень этого многочлена, |E(z)| > c > 0, r > r0 . Используя это, (11.4.12) и (11.4.21), находим, что при всех k = 1, m ¯ ¡ iθ ¢¯ ¡ ¢ ¯G re ¯ > crβ(1−Re µ) exp K(β, a)rβ h(θ) , c > 0, r > r0 , θ = θk . (11.4.22) 0

Но по теореме 10.2.6, для функции G(z) ∈ F Lp должно выполняться условие ¡ ¡ ¢ ¢ 0 0 G reiθk r(1−2/p )(1−β/2) exp −K(β, a)(r| sin θk |)β ∈ Lp (1, ∞),

(11.4.23)

а для G(z) ∈ F V по замечанию Замечание. rem10.2.5, оно должно выполняться с p0 = 1. И так как h(θk ) = | sin θk |β , то должны выполняться следующие условия: функция 0

r(1−2/p )(1−β/2)+β(1−Re µ)

(11.4.24)

p0

ограничена на (1, ∞) при p = 1, принадлежит L (1, ∞) при 1 < p < ∞ и принадлежит L1 (1, ∞) в случае пространства C0 , т.е. должны выполняться неравенства β + β(1 − Re µ) 6 0 при p = 1, 2 ³ β´ (p0 − 2) 1 − + βp0 (1 − Re µ) < −1 при 1 < p < ∞, 2 β − 1 + β(1 − Re µ) < −1 при p = ∞, 2 Эти неравенства противоположны неравенствам (11.4.10), и утверждение 1) доказано. 2) Пусть система (11.4.1) минимальна в Lp , 1 6 p < ∞ (в C0 ). По лемме 11.3.7, некоторая 0 нетривиальная ц.ф. G(z) обладает свойствами: G(Λ) = 0 и G(z)/(z − λ0 ) ∈ F Lp (F V ). Тогда верно (11.4.12) и следующие за ним рассуждения, которые приводят к свойству (11.4.22). Но теперь мы должны применять теорему 10.2.6 и замечание 10.2.5 не к функции G(z), а к функции G(z)/(z − λ0 ). Поэтому в (11.4.23) вместо G(reiθk ) будет присутствовать G(reiθk )/r. В итоге функ0 ция r(1−2/p )(1−β/2)+β(1−Re µ)−1 обладает теми же свойствами, что и функция (11.4.24). Отсюда получаем неравенства, противоположные неравенствам (11.4.11). Это доказывает утверждение 2) и всю теорему 11.4.1. 1−

Доказательство теоремы 11.4.2. Предположив неполноту системы (11.4.1), докажем неравенства, противоположные неравенствам (11.4.10). По лемме 11.3.6, найдется нетривиальная ц.ф. G(z), 0 такая, что G(Λ) = 0 и G(z) ∈ F Lp+ (F V+ ). Отсюда следует (11.4.12), где E(z) — ц.ф. Надо доказать, что E(z) ∈ [β, 0]. При y > 0 для G(z) оценка (11.4.13) сохраняется, а в полуплоскости y 6 0 функция G(z), очевидно, ограничена. Значит, порядок G(z) не выше β, а для ее индикатора верны оценки hG (θ) = K(β, a) sinβ θ,

0 6 θ 6 π;

hG (θ) 6 0,

−π 6 θ 6 0.

Далее, повторяя рассуждения из доказательства теоремы 11.4.1, заключаем, что индикатор he (θ) функции e(z) при порядке β равен he (θ) = h(θ),

0 6 θ 6 π;

he (θ) = 0,

−π 6 θ 6 0,

и что e(z) имеет вполне регулярный рост на всех лучах, за исключением, быть может, лучей arg z = θ ∈ T , где T — множество точек недифференцируемости функции h(θ), 0 < θ < π. Отсюда следует, что индикатор функции F (z) равен hF (θ) = K(β, a)h(θ),

0 6 θ 6 π;

hF (θ) = 0,

−π 6 θ 6 0,

и что лучи arg z = θ 6∈ T являются лучами вполне регулярного роста функции F (z). Тогда для индикатора функции E(z) верны оценки hE (θ) 6 K(β, a)b(θ),

0 6 θ 6 π;

hE (θ) 6 0,

−π 6 θ 6 0.

142



Надо доказать, что hE (θ) 6 0 при 0 6 θ 6 π. Это делается точно так же, как в доказательстве теоремы 11.4.1. Сначала к набору θ1 , . . . , θm присоединяются точки 0, π. Затем по аналогии устанавливается, что в секторах 0 6 arg z 6 θ1 , . . . , θm 6 arg z 6 π функция E(z) растет не быстрее степени. Это утверждение для нижней полуплоскости следует из ограниченности функции G(z), y 6 0, и из (11.4.12) и (11.4.17). На этом шаге получается, что E(z) — многочлен. Заключительный этап — доказательство неравенств, противоположных неравенствам (11.4.10), — осуществляется так же, как в теореме 11.4.1; только вместо теоремы 10.2.6 и замечания 10.2.5 теперь применяется теорема 10.2.3 и замечание 10.2.2. Утверждение 1) доказано. Также по аналогии с доказательством утверждения 2) теоремы 11.4.1 проводится доказательство утверждения 2) теоремы 11.4.2. Теорема 11.4.2 доказана. Теорема 11.4.3. Пусть 0 < |θk | < π, k = 1, m, m ∈ N. Пусть s0 < ∞, причем s0 > 2, когда p = 1, ∞. Пусть Λ — последовательность всех корней функции (11.4.9). Тогда: 1) если 1 1 1 + + < Re µ при 1 < p 6 ∞ и 0 αp 2 β

1 1 + 6 Re µ при p = 1, 2 β

то система (11.4.1) неполна в Lp (R); 2) если 1 1 + < Re µ при 1 2, когда p = 1, ∞. Пусть Λ — последовательность всех корней функции (11.4.9). Тогда: 1) если выполнено условие (11.4.25), то система (11.4.1) неполна в Lp (R+ ); 2) если выполнено условие (11.4.26), то система (11.4.1) минимальна в Lp (R+ ). Доказательство теоремы 11.4.3. 1) Достаточно доказать представление Z ¡ ¢ 0 F (z) = e−izt exp −a|t|α f (t)dt, f ∈ Lp , 1 6 p 6 ∞.

(11.4.27)

R

Для этого мы будем пользоваться разными теоремами из главы 10, поэтому случаи 2 6 p 6 ∞ и 1 6 p < 2 придется разобрать отдельно. Пусть сначала 2 6 p 6 ∞. Тогда по теореме 10.2.5, для справедливости представления (11.4.27) достаточно проверить конечность интеграла Z Z ¡ ¢ |F (z)q (1 + |y|)(q−3)(1−β/2) exp −qK(β, a)|y|β dx dy, q = p0 . (11.4.28) R R

Сначала покажем, что при достаточно малом δ > 0 конечны части интеграла (11.4.28), взятые по «секторам» Sk , введенным в лемме 11.4.5. Для этого воспользуемся оценкой (11.4.21). Получим ZZ ¡ ¢ |F (z)|q (1 + |y|)(q−3)(1−β/2) exp −qK(β, a)rβ | sin θ|β dx dy 6 Sk

ZZ

6C

¡ ¢ exp −qK(β, a)rβ b(θ) r(q−3)(1−β/2)+qβ(1−Re µ)+1 dr dθ.

(11.4.29)

Sk

По условию Re µ > 1/β + 1/(qα) + 1/2, и значит, (q − 3)(1 − β/2) + qβ(1 − Re µ) + 2 < β/2. По лемме 11.4.5 интеграл (11.4.29) конечен, k = 1, m. Таким образом, остается рассмотреть часть интеграла (11.4.28), взятую по множеству ³ [¡ ¢´ z : z ∈ C, r > 1, z 6∈ Sk : k = 1, m .

11.4. ПОЛНЫЕ


143

Мы знаем (см. подпункт 1), что все отрезки Ik , k = 1, m лежат на множестве (−π, 0) ∪ (0, π). Значит, при достаточно малом γ > 0 ³[ ¡ [ ¢´ ¡ ¢ Ik : k = 1, m ⊂ (−π + γ, −γ) (γ, π − γ) . Пусть b = max(β(1 − Re µ), −1). Тогда по лемме 11.4.7 ¡ ¡ ¢¢ F (z) = O rb exp K(β, a)rβ h(θ) , r > r0 ,

γ 6 |θ| 6 π − γ,

и значит, для r > r0 , γ 6 |θ| 6 π − γ ¡ ¢ ¡ ¢ |F (z)| exp −K(β, a)rβ | sin θ|β 6 Crb exp −K(β, a)rβ b(θ) . По лемме 11.4.2 b(θ) ¢¢ Uk точек θk , k = 1, m, и точек 0, π. ¡ > ε > 0 вне объединения S ¡ окрестностей Значит, если P = θ : γ 6 |θ| 6 π − γ, θ 6∈ Uk : k = 1, m , то при некотором ε1 > 0 ¡ ¢ ¡ ¢ H(z) := |F (z)| exp −K(β, a)|y|β 6 C exp −ε1 rβ (11.4.30) для θ ∈ P , r > r1 . Это показывает, что часть интеграла в (11.4.28), распространенная на множество ³ [ ´ z : r > 1, γ 6 |θ| 6 π − γ, θ 6∈ Uk , конечна. Остается рассмотреть часть интеграла (11.4.28), взятую по множеству σ = (z : r > 1, θ ∈ U0 ∪ Um+1 ), где U0 = (θ : |θ| < ¡ γ), U ¢ m+1 = (θ : |π − θ| < γ). В силу (11.4.17), F (z) = O |z|−1 , z ∈ σ, и значит, на σ ¡ ¢ C(1 + |y|)s ¡ ¢ |F (z)|q β exp −qK(β, a)|y| 6 exp −A|y|β . q (q−3)(β/2−1) r (1 + |y|)

(11.4.31)

При q > 1 отсюда и из леммы 11.4.6 следует конечность той части интеграла (11.4.28), которая взята по множеству σ. При q = 1 применяем условие s0 > 2, благодаря которому из (11.4.17) следует оценка F (z) = O(|z|−2 ), z ∈ σ. Поэтому теперь (11.4.31) верно с заменой в правой части r−q на r−2 , и снова часть интеграла (11.4.28), отвечающая множеству σ, конечна. В итоге мы показали, что интеграл (11.4.28) конечен, и в случае 2 6 p 6 ∞ утверждение 1) доказано. 2) Пусть снова 2 6 p 6 ∞. Сначала покажем, что ZZ ¡ ¢ |F (z)|q r−q (1 + |y|)(q−3)(1−β/2) exp −qK(β, a)|y|β dx dy < ∞. (11.4.32) r>1

В ходе доказательства утверждения 1) мы проверяли конечность интеграла (11.4.28). Теперь в (11.4.32) появился дополнительный множитель r−q . Поэтому нам достаточно проследить, какие изменения в доказательство вносит этот множитель. Очевидно, что множитель r−q не повлияет на части интеграла, берущиеся по множествам σ и (z : r > 1, θ ∈ P ). Надо только учесть влияние этого множителя в интегралах по «секторам» Sk . Используя оценку (11.4.21), имеем ZZ ¡ ¢ |F (z)|q r−q (1 + |y|)(q−3)(1−β/2) exp −qK(β, a)|y|β dx dy 6 Sk

ZZ

6C

¡ ¢ exp −qK(β, a)rβ b(θ) r(q−3)(1−β/2)+qβ(1−Re µ)+1−q dr dθ.

(11.4.33)

Sk

По условию Re µ > 1/(qα) + 1/2. Значит, (q − 3)(1 − β/2) + qβ(1 − Re µ) + 2 − q < β/2, и по лемме 11.4.5 интеграл (11.4.33) конечен. Мы доказали свойство (11.4.32). По построению F (Λ) = 0, а свойство (11.4.32) означает, что для функции F (z)/(z − λ0 ) выполнены условия теоремы 10.2.5. По этой теореме функция F (z)/(z − λ0 ) представима в виде правой части (11.4.27), где q = p0 ∈ [1, 2]. По лемме 11.3.7, система (11.4.1) минимальна в Lp (R), 2 6 p < ∞ и в C0 (R) (этому случаю соответствует значение p = ∞). В случае 2 6 p 6 ∞ теорема 11.4.3 доказана.

144



Случай 1 6 p < 2. 1) Нам достаточно доказать представимость (11.4.27) для p0 = q ∈ (2, ∞] (здесь L∞ — пространство существенно ограниченных функций). Для этого, сохраняя обозначение (11.4.30), достаточно, в силу теорем 10.1.4 и 10.1.5 проверить выполнение условий: !q/p ÃZ Z dy < +∞, q ∈ (2, ∞), (11.4.34) |y|β/2−1 H p (x + iy)dx R

Z

R

H(x + iy)dx 6 M < +∞,

y ∈ R.

(11.4.35)

R

Первое из них соответствует подслучаю 1 < p < 2, а второе — значению p = 1. Для их проверки проведем дополнительные оценки |F (z)|. Пусть Uk , k = 0, m + 1 — окрестности точек θk , где θ0 = 0, θm+1 = π. Фиксируем их такими, чтобы пересечение прямой Im z = y 6= 0 с сектором (reiθ : θ ∈ Uk ), k = 1, m имело вид Jk + iy, где xk + iy = zk = rk eiθk ,

Jk = (x : xk − δ|y| < x < xk + δ|y|),

k = 1, m,

а δ > 0 достаточно мало. Пусть J = ∪(Jk : k = 1, m). Через N + iy обозначаем пересечение прямой Im z = y с секторами (reiθ : θ ∈ U0 ∪ Um+1 ). Множество N состоит из двух полупрямых: N = (x : |x| > d|y|), где d от y не зависит. Обозначим через L + iy дополнение множества (N + iy) ∪ (J + iy) до прямой Im z = y. Множество L + iy есть пересечение прямой Im z = y с секторами (reiθ : θ 6∈ U k ), k = 0, m + 1. Ясно, что L ⊂ [−d|y|, d|y|]. Оценим интегралы от функции H p (x + iy) по множествам J, N, L. Оценка интеграла по J. Ясно, что |y| ³ r для z ∈ J + iy равномерно относительно y 6= 0. Далее, в силу (11.4.21) и по лемме 11.4.2 для z = reiθ ∈ Jk + iy получаем ¡ ¢ H(z) 6 C|y|β(1−Re µ) · exp −Arβ sin2 (θ − θk ) , A > 0. (11.4.36) Рассмотрим треугольник с вершинами 0, zk , z. Обозначим через ϕk его угол при вершине zk . По теореме синусов sin |θ − θk | = r−1 · |x − xk | · sin ϕk , и так как sin ϕk > δ1 > 0, k = 1, m, то sin2 (θ − θk ) > δ2 r−2 (x − xk )2 , δ2 > 0. Используя это и свойство |y| ³ r, находим ¡ ¢ ¡ ¢ exp −Arβ sin2 (θ − θk ) 6 exp −B|y|β−2 (x − xk )2 , B > 0. Возвращаясь к (11.4.36), видим, что

¡ ¢ H p (z) 6 C1 |y|pβ(1−Re µ) exp −C|y|β−2 (x − xk )2 ,

C > 0,

p > 1.

(11.4.37)

После подстановки t2 = |y|β−2 (x − xk )2 имеем Z Z ¡ ¢ ¡ ¢ exp −C|y|β−2 (x − xk )2 dx < |y|1−β/2 exp −Ct2 dt = M1 |y|1−β/2 , Jk

R

и в силу (11.4.37) получаем Z H p (x + iy)dx 6 M |y|pβ(1−Re µ)+1−β/2 ,

p > 1.

(11.4.38)

J

Оценка интеграла по L. Для точек z ∈ L + iy также имеем |y| ³ r равномерно относительно y, и по оценке (11.4.30) Z ¡ ¢ H p (x + iy)dx 6 M |y| exp −ε|y|β , ε > 0, M > 0, p > 1. (11.4.39) L

Оценка интеграла по N . Здесь применяем оценку F (z) = O(|z|−1 ), см. (11.4.17) и (11.4.9). Пусть 1 < p < 2. Так как |x| ³ r на N + iy равномерно относительно y, то Z∞ Z ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¢ dx p β = O exp −pK(β, a)|y|β . (11.4.40) H (x + iy)dx 6 M exp −pK(β, a)|y| p x N

d|y|

11.4. ПОЛНЫЕ


Объединяя эту оценку с оценками (11.4.38) и (11.4.39), видим, что ÃZ !q/p ³ ´ H p (x + iy)dx = O |y|qβ(1−Re µ)+q(1−β/2)/p ,

|y| > 1.

145

(11.4.41)

R

При |y| 6 1 оценка левой части в (11.4.41) получается так же, как оценка (11.4.40). Действительно, фиксируя h > 0 столь большим, чтобы полуполосы | Re z| > h, | Im z| 6 1 попали в сектора θ = U0 ∪ Um+1 , в силу оценки F (z) = O(|z|−1 ), |y| 6 1, имеем Z

Zh p

H (x + iy)dx = R

Z +

−h

Z∞ 6 C1 + C2

dx = C < +∞ xp

(11.4.42)

h

|x|>h

(мы снова использовали свойство |x| ³ r). Таким образом, при |y| 6 1 левая часть в (11.4.41) ограничена. Объединяя это с оценкой (11.4.41), видим, что левая часть в (11.4.34) не превосходит Z1 C1

Z∞ y

0

β/2−1

y β/2−1+qβ(1−Re µ)+q(1−β/2)/p dy.

dy + C2

(11.4.43)

1

Здесь первый интеграл конечен, а второй — конечен при условии β/2 − 1 + qβ(1 − Re µ) + q × (1 − β/2)/p < −1, которое равносильно условию 1/(qα) + 1/2 + 1/β, т.е. условию (11.4.25) теоремы. Значит, условие (11.4.34) выполнено, и при 1 1 интеграл в (11.4.35) слагается из интегралов по J, L, N . Для интегралов по J и по L используем оценки (11.4.38), (11.4.39). Для оценки интеграла по N применяем оценку F (z) = O(|z|−2 ), z ∈ σ, которая верна благодаря (11.4.17) и условию s0 > 2. Получаем Z Z∞ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢¢ dx β H(x + iy)dx 6 C exp −K(β, a)|y| = O exp −K(β, a)|y|β . 2 x N

d|y|

Объединяя оценки интегралов по J, L, N, получаем Z H(x + iy)dx 6 C|y|β(1−Re µ)+1−β/2 ,

|y| > 1.

R

По условию β(1 − Re µ) + 1 − β/2 6 0, и при |y| > 1 свойство (11.4.35) имеет место. Если |y| 6 1, то действуем так же, как при выводе оценки (11.4.42). Но если для получения (11.4.42) мы применяли оценку F (z) = O(|z|−s ) c s = 1, то теперь по условию она верна с s = 2, и потому левая часть в (11.4.35) не больше, чем Z∞ dx C1 + C2 < +∞. x2 h

В итоге условие (11.4.35) выполнено, и мы разобрали случай p = 1. Утверждение 1) доказано полностью. 2) Нам остается доказать минимальность системы (11.4.1) в Lp , 1 6 p < 2. Для этого, обозначив F0 (z) = F (z)/(z − λ0 ), достаточно, в силу леммы 11.3.7, доказать представимость функции F0 (z) в виде правой части (11.4.27). А для этого, как мы видели, достаточно проверить, что функция ¡ ¢ H0 (z) = exp −K(β, a)|y|β |F0 (z)| удовлетворяет условиям (11.4.34) и (11.4.35) соответственно при 1 1, и значит, если заменить H(z) на H0 (z), то оценки (11.4.39), (11.4.40), (11.4.42) подавно сохранятся, а правая часть неравенства (11.4.38) примет вид β M |y|τ , τ = pβ(1 − Re µ) + 1 − − p. 2

146



Следовательно, если в левой части неравенства (11.4.41) заменить H(z) на H0 (z), то показатель степени в правой части уменьшится на q = p0 . Значит, левая часть в (11.4.34) не превзойдет выражения (11.4.43), где во втором интеграле показатель степени уменьшится на q. В итоге конечность второго интеграла (а следовательно, и всего выражения (11.4.43)), будет иметь место, как только выполняется условие (11.4.26). Значит, условие (11.4.26) влечет за собой условие (11.4.34) для функции H0 (z), а следовательно, и минимальность системы (11.4.1) в Lp , 1 < p < 2. Итак, для 1 < p < 2 при переходе от утверждения 1) к утверждению 2) константа в условии (11.4.25) уменьшается на 1/β. Точно такое же изменение происходит и в случае p = 1, когда мы проверяем условие (11.4.35) уже не для H(z), а для H0 (z). В итоге мы получаем утверждение 2) и для случая p = 1. Теорема 11.4.3 доказана. Доказательство теоремы 11.4.4. Доказав теорему 11.4.3, по существу мы доказали и теорему 11.4.4. Действительно, пусть выполнены условия теоремы 11.4.4. Тогда выполнены и условия теоремы 11.4.3. В процессе доказательства теоремы 11.4.3 мы установили представимость функции F (z) в виде (11.4.27). Но теперь все θk ∈ (0, π), и в силу (11.4.17), F (z) = O(1/r), r > 1, 2 , а значит, обратное преобразование Фурье функции F (x) y 6 0. Отсюда следует, что F (z) ∈ H− сосредоточено на полупрямой R+ , и представление (11.4.27) переходит в формулу Z ¡ ¢ 0 e−izt exp −a|t|α f (t)dt, f ∈ Lp , 1 6 p 6 ∞. (11.4.44) F (z) = R+

Так как F (Λ) = 0, то по лемме 11.3.6, система (11.4.1) неполна в Lp (R+ ), т.е. утверждение 1) теоремы 11.4.4 верно. Аналогично, со ссылкой на работу, проделанную при доказательстве утверждения 2) теоремы 11.4.3, мы можем утверждать представимость функции F (z)/(z − λ0 ) в виде правой части (11.4.44), и минимальность системы (11.4.1) в Lp (R+ ) имеет место по лемме 11.3.7. Теорема 11.4.4 доказана. Следствие 11.4.1. Пусть числа θk удовлетворяют условиям теоремы 11.4.1 (теоремы 11.4.2). Пусть s0 < +∞, причем s0 > 2 при p = 1, ∞. Пусть Λ — последовательность всех корней функции (11.4.9). Тогда система (11.4.1) полна и минимальна в Lp (R) (в Lp (R+ )), 1 6 p 6 ∞ в том и только в том случае, если 1 1 1 1 1 при 1 < p 6 ∞, + < Re µ 6 + + 0 0 αp 2 αp 2 β 1 1 1 6 Re µ < + при p = 1. 2 2 β 11.5. НЕОБХОДИМОЕ 11.5.1.

УСЛОВИЕ РАВНОМЕРНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ

Продолжаем исследовать аппроксимационные свойства системы ³¡ ¡ ¢¢mn ´∞ e(Λ; a, α) := (it)k−1 e−iλn t exp −a|t|α k=1 , Λ = (λn ; mn )∞ n=0 n=0 α > 1 в пространствах B = Lp = Lp (R) и B+ = Lp+ = Lp (R+ ), 1 + формулировок полагаем L∞ = C0 = C0 (R), L∞ + = C0 = C0 (R).

(11.5.1)

при a > 0, 6 p 6 ∞, где ради едиБудем придерживаться нообразия обозначений, принятых в начале п. 11.3. Кроме того, обозначим (1/α + 1/β = 1) H(θ) = K(β, a)| sin θ|β , H+ (θ) = H(θ),

когда

sin θ > 0,

и

θ ∈ R, H+ (θ) = 0,

когда

sin θ < 0.

Теорема 11.5.1. Пусть система (11.5.1) полна и минимальна в B (B+ ). Тогда существует целая функция F (z) порядка β такая, что: 1) индикатор hF (θ) функции F (z) подчиняется оценке hF (θ) 6 H(θ)

(hF (θ) 6 H+ (θ)),

θ ∈ R,

(11.5.2)

причем любой отрезок длины π/β содержит хотя бы одну точку, для которой в (11.5.2) имеет место знак равенства; 2) множество корней функции F (z) совпадает с Λ;

11.5. НЕОБХОДИМОЕ

147


∗ ); 3) F (z) 6∈ F B ∗ (F B+ F (z) ∗ ). 4) z−λ ∈ F B ∗ (F B+ 0

При условии нормировки F (µ) = 1, µ 6∈ Λ функция F (z) единственна. Доказательство. По лемме 11.3.6, существует нетривиальная ц.ф. F (z) со свойствами F (Λ) = 0 ∗ ). Пусть последовательность Λ получена из Λ понижеи F0 (z) := F (z)/(z − λ0 ) ∈ F B ∗ (F B+ 0 нием на единицу кратности точки λ0 . Имеем F0 (Λ0 ) = 0. Утверждается, что Λ0 есть в точности множество функции F0 (z). Действительно, пусть F0 (µ) = 0, µ 6∈ Λ. Тогда F0 (Λ0 ∪ {µ}) = = 0 и по лемме 11.3.6 и теореме 11.3.1 система (11.5.1) неполна в B (B+ ), что противоречит условию теоремы. Мы доказали утверждения 2) и 4). Утверждение 3) следует из полноты системы (11.5.1) и из леммы 11.3.6. ∗ ) и из замечания 10.1.1 следует, что Обозначим через ρ порядок F (z). Из F0 (z) ∈ F B ∗ (F B+ ρ 6 β и что индикатор функции F (z) при порядке β не превосходит H(θ). Если речь идет о пространстве B+ , то функция F0 (z) ограничена в нижней полуплоскости. Значит, в этом случае hF (θ) 6 0, −π 6 θ 6 0, и мы доказали (11.5.2). Докажем единственность функции F (z), нормированной условием F (µ) = 1, где µ 6∈ Λ. Пусть G(z) — целая функция со свойствами, перечисленными в теореме 11.5.1 и пусть G(µ) = 1. Покажем, что G(z) ≡ F (z). Пусть R(z) = G(z) − F (z) 6≡ 0. По предположению R(Λ ∪ {µ}) = 0 и R(z)/(z − λ0 ) ∈ F B ∗ ∗ ). По лемме 11.3.5, функция R(z)/(z − µ) ∈ F B ∗ (F B ∗ ). Так как эта функция обращается (F B+ + в нуль в точках Λ, то система e(Λ; a, α) неполна в B (B+ ), что противоречит условию. Итак, G(z) ≡ F (z). Из доказанного утверждения 4) и из леммы 11.3.9 следует, что Fl (z) =

F0 (z) ∈ F L2 (F L2+ ) (z − λ1 ) . . . (z − λl )

(11.5.3)

при некотором l ∈ N. Оставшиеся утверждения о порядке и об индикаторе достаточно доказать для функции Fl (z). Предположим противное: ρ < β. Фиксируем отрезок [γ1 , γ2 ] = (θ : |θ − θ0 | 6 6 π/(2β)) так, чтобы 0 < γ1 < γ2 < π. Тогда беря ε из условия 0 < 2ε < min(H(θ) : θ ∈ [γ1 , γ2 ]), при подходящем δ > 0 и при r > r0 имеем ¡ ¢ ¡ ¢ π |Fl (z)| < exp rβ−δ < exp rβ (H(θ) − 2ε) , |θ − θ0 | 6 . (11.5.4) 2β Введем в рассмотрение функцию ¡ ¢ E(z) = β −1 Eβ ε1/β ze−iθ0 ; 1 , где Eρ (z; µ) — функция типа Миттаг–Леффлера. Из леммы 11.4.7 вытекает, что при r > r1 ¡ ¢ ¡ ¢ π |E(z)| < 2 exp εrβ cos β(θ − θ0 ) 6 2 exp εrβ , |θ − θ0 | 6 2β π |E(z)| 6 M < ∞, 6 |θ − θ0 | 6 π. 2β Отсюда и из (11.5.4) вытекает, что для функции G(z) := Fl (z)E(z) при r > r2 верны оценки ¡ ¢ π |G(z)| < 2 exp rβ (H(θ) − ε) , |θ − θ0 | 6 (11.5.5) 2β π |G(z)| 6 M |Fl (z)|, 6 |θ − θ0 | 6 π. (11.5.6) 2β Обозначим

ZZ 2

kGk =

¡ ¢¡ ¢ |G(x + iy)|2 exp −2H(θ)rβ 1 + |y|β/2−1 dx dy,

(11.5.7)

R2

kGk2+

обозначает часть интеграла в (11.5.7), взятую по x ∈ R, y ∈ R+ . Из (11.5.3) по и пусть 2 ). Покажем, что следствиям 10.2.1, 10.2.2 следует, что kFl k2 < ∞ (kFl k2+ < ∞ и Fl (z) ∈ H− 2 ). kGk2 < ∞ (kGk2+ < ∞ и G(z) ∈ H−

148



Введем дополняющие друг друга до всей плоскости сектора S1 = (z : |θ − θ0 | 6 π/(2β)) и S2 = (z : π/(2β) 6 |θ − θ0 | 6 π). Пусть P± = (z : y ≷ 0); заметим, что S2 ⊃ P− . Тогда Z Z Z Z 2 2 kGk = I1 + I2 = + , kGk+ = I1 + I2 = + S1

S2

S1

S2 ∩P+

с той же подынтегральной функцией, что в (11.5.7). Из (11.5.6) и из того, что kFl k2 < ∞ (kFl k2+ < ∞), следует, что в обоих случаях I2 < ∞, а в силу (11.5.5) ZZ ¡ ¢ I1 6 4 (1 + |y|)β/2−1 · exp −2εrβ dx dy < ∞. (11.5.8) S1 2 и из (11.5.6) слеЗначит, kGk2 < ∞ (kGk2+ < ∞). В случае пространства B+ из свойства Fl (z) ∈ H− 2 2 2 дует, что G(z) ∈ H− . По следствиям 10.2.1, 10.2.2 G(z) ∈ F L (F L+ ). Значит, система e(M ; a, α), где M — последовательность корней функции G(z), неполна в L2 (L2+ ). Но M получается присоединением к Λ\(λi )li=0 бесконечного множества точек — корней функции E(z) (при ρ 6= 1 функция Eρ (z; µ) имеет бесконечное множество корней [56]). Заменяя в M l + 1 точек точками λi , i = 0, l, получаем, что система e(M1 ; a, α), где M1 получена присоединением к Λ бесконечного множества точек, неполна в L2 (L2+ ). По лемме 11.3.8, это противоречит тому, что система (11.5.1) полна в B (B+ ). Мы доказали, что ρ = β. (В случае пространств B равенство ρ = β может быть доказано гораздо проще с использованием того, что условие ∆β (Λ) > 0 необходимо для полноты системы (11.5.1) в B (теорема 11.2.1). Однако, для пространств B+ мы пока не располагаем таким фактом.) Осталось доказать часть утверждения 1) о знаке равенства в (11.5.2) для индикатора h(θ) функции Fl (z). Предположим противное: при некотором θ0 в (11.5.2) имеет место знак < для всех θ ∈ [θ0 − π/(2β), θ0 + π/(2β)]. Сначала рассмотрим случай пространства B, т.е. пусть на указанном отрезке h(θ) < H(θ). В силу непрерывности обеих функций имеем h(θ) < H(θ) − 3ε, |θ − θ0 | 6 6 π/(2β) при подходящем ε > 0. Значит, неравенство (11.5.4) верно для крайних его членов. Отсюда следуют оценки (11.5.5), (11.5.6), а затем повторяются последующие за ними рассуждения. Они приводят к тому, что G(z) ∈ F L2 в случае пространства B. Пусть речь идет о пространстве B+ . Тогда в правых частях (11.5.4) и (11.5.5) H(θ) заменяется на H+ (θ), а (11.5.6) сохраняется. Если отрезок [γ1 , γ2 ] = (θ : |θ − θ0 | 6 π/(2β)) лежит на [0, π], то H+ (θ) = H(θ) для θ ∈ [γ1 , γ2 ], и сохраняются предыдущие рассуждения, основанные на (11.5.5), (11.5.6) и касающиеся пространства B. Получаем, что G(z) ∈ F L2+ . Если [γ1 , γ2 ] ⊂ [−π, 0], то в (11.5.4) и (11.5.5) следует положить H(θ) = 0. Тогда из (11.5.5), 2 , следует, что kGk2 < ∞ и G(z) ∈ H 2 . По (11.5.6), а также из того, что kFl k2+ < ∞ и Fl (z) ∈ H− + − следствию 10.2.1 G(z) ∈ F L2+ . Остается разобрать случаи 0 ∈ (γ1 , γ2 ) и π ∈ (γ1 , γ2 ). В силу аналогии ограничимся первым из них. Итак, пусть γ1 < 0 < γ2 . Пусть S+ = (z : 0 < arg z < γ2 ). Оценка (11.5.5) сохраняется для 0 < θ < γ2 , а при γ1 < θ < 0 в ней следует положить H(θ) = 0. Отсюда, из (11.5.6) и из того, 2 , следует, что G(z) ∈ H 2 . Пусть I , I — части интеграла (11.5.7), взятые по S и что Fl (z) ∈ H− + + − по дополнению S+ до верхней полуплоскости y > 0. Тогда I < ∞, благодаря (11.5.6) и свойству kFl k2+ < ∞, а для I+ повторяется оценка (11.5.8), показывающая, что I+ < ∞. В итоге kGk2+ < ∞ и по следствию 10.2.1 G(z) ∈ F L2+ . Итак, в случае пространства B (B+ ) мы имеем свойство G(z) ∈ F L2 (F L2+ ). Далее повторим концовку доказательства равенства ρ = β. Получим противоречие. Теорема 11.5.1 доказана.

Определение. Пусть система (11.5.1) полна и минимальна в B (B+ ). Тогда целую функцию F (z) со свойствами, перечисленными в теореме 11.5.1, назовем порождающей функцией системы (11.5.1). Замечание 11.5.1. Пусть система (11.5.1) полна и минимальна в Lp (Lp+ ), 1 6 p < ∞, и пусть все точки λn , начиная с некоторой, просты. Тогда при n > n1 формулы для биортогональной системы



0

hn (t) ∈ Lp (Lp+ ) имеют вид 0

149

Fn (z) :=

F (z) = 0 F (λn )(z − λn )

Z

¡ ¢ e−izt exp −a|t|α hn (t)dt,

(11.5.9)

R(R+ )

где F (z) — порождающая функция системы (11.5.1). Доказательство такое же, как в случае формул (11.5.12), п. 4.1. Замечание 11.5.2. Если B = C0 (B+ = C0+ ), то в формуле (11.5.9) следует заменить hn (t)dt на dhn (t), где hn (t) ∈ V (V+ ). 11.5.2.

Здесь содержатся основные результаты п. 11.5.

Лемма 11.5.1. Пусть функция F (z) аналитична в угле ϕ 6 arg z 6 ψ и имеет в нем порядок ρ ∈ (0, ∞) и конечный тип при порядке ρ, пусть hF (θ) — индикатор функции F (z) при порядке ρ. Тогда hF 0 (θ) 6 hF (θ), ϕ < θ < ψ. (11.5.10) Доказательство. Фиксируем θ ∈ (ϕ, ψ) и столь большое r0 так, чтобы при r > r0 круг (w : |w − z| < 1), где z = reiθ , попал в сектор ϕ < arg z < ψ. Пусть γ — граница этого круга. Из формулы Коши следует, что |F 0 (z)| 6 |F (w(z))|, (11.5.11) где w(z) — некоторая точка γ. По свойству индикатора ³ ³ ε ´´ |F (w)| < exp |w|ρ hF (arg w) + , |w| > R0 (ε), ϕ 6 arg w 6 ψ. 2 Отсюда, из (11.5.11) и из непрерывности индикатора вытекает оценка ¡ ¢ |F 0 (z)| < exp (r + 1)ρ (hF (θ) + ε) , r > r1 , дающая требуемое неравенство (11.5.10). Лемма 11.5.1 доказана. Обозначим

¡ ¢ en = en (t) = e−iλn t exp −a|t|α , a > 0, α > 1, yn = Im λn , ϕn = arg λn . Норму в B и в B+ обозначаем соответственно через k · k и k · k+ . Положительные константы C в лемме 11.5.2 зависят от B (B+ ). Лемма 11.5.2. Для норм ken k, ken k+ верны следующие утверждения: 1) ken k, ken k+ > C(1 + |yn |)−1/p ; ¡ ¢ (β/α−β/2)/p 2) ken k+ ∼ Cyn exp |λn |β H(ϕn ) , если yn → +∞; ¡ ¢ 3) ken k ∼ C|yn |(β/α−β/2)/p exp |λn |β H(ϕn ) , если yn → ±∞. Доказательство. Так как утверждение 3) следует из 1), 2), то надо доказать утверждения 1), 2). Пусть сначала 1 6 p < ∞. Так как |en (t)| = exp(yn t − a|t|α ), то Z1 p

ken k

, ken kp+

>C

exp(pyn t)dt = C 0

exp(pyn ) − 1 , pyn

и утверждение 1) верно. Утверждение 2) содержится в лемме 10.1.1. Если p = ∞, т.е. B = C0 , B+ = C0+ , ¡то ke¡n k, ken k+¢ > 1, и значит, утверждение ¢ ¡ ¢1) верно. α β Утверждение 2) следует из свойства max exp yt − at : t ∈ R+ = exp K(β, a)y , y > 0, проверяемого дифференцированием. Лемма 11.5.2 доказана. Теорема 11.5.2. Пусть система (11.5.1) полна и минимальна в B (B+ ) и пусть все точки λn , начиная с некоторой, просты. Тогда если система (11.5.1) равномерно минимальна в B (B+ ), то для индикатора hF (θ) порождающей функции F (z) этой системы в каждой точке θ0 , предельной для последовательности ϕn = arg λn , имеет место равенство hF (θ0 ) = H(θ0 )

(hF (θ0 ) = H+ (θ0 )).

150



Доказательство. Предположим противное: hF (θ0 ) < H(θ0 ) (< H+ (θ0 )). Используя это, непрерывность индикатора и лемму 11.5.1, заключаем, что при подходящем ε > 0 и при достаточно малом δ > 0 в случае пространства B верна оценка hF 0 (θ) < H(θ) − 2ε,

|θ − θ0 | 6 δ.

Значит, при |θ − θ0 | 6 δ, r > r0 ¯ 0 ¡ iθ ¢¯ ¡ ¢ ¡ ¢ ¯F re ¯ < exp rβ (hF 0 (θ) + ε) < exp rβ (H(θ) − ε) . В частности, если |ϕn − θ0 | 6 δ, то

¡ ¢ |F 0 (λn )| < exp |λn |β (H(ϕn ) − ε) .

(11.5.12)

Если речь идет о пространстве B+ , то в (11.5.12) H(ϕn ) заменяется на H+ (ϕn ). По определению точки θ0 неравенство (11.5.12) выполняется для некоторой последовательности индексов n = nk → ∞. В дальнейшем нормы в пространствах Lq , Lq+ , V, V+ обозначаем соответственно через k · kq , + 0 k · k+ q , k · kV , k · kV . Пусть q = p . Пусть сначала B = Lp . Если 1 < q 6 2, то из формул (11.5.9) по теореме Хаусдорфа—Юнга следует, что ° ° ¡ ¢ kFn (x)kp 6 Cp ° exp −a|t|α hn (t)°q , и значит, khn kq > Mp kFn (x)kp . (11.5.13) Если 2 < q 6 ∞, то по неравенству Г¨ельдера ° ° ¡ ¢ ° exp −a|t|α hn (t)° 6 Cq khn (t)kq . 2

Используя это и неравенство Парсеваля, из (11.5.9) находим khn kq > Mp kFn (x)k2 ,

2 < q 6 ∞.

(11.5.14)

Пусть B = C0 . Тогда по замечанию Замечание. rem11.3.2 в (11.5.9) вместо hn (t)dt присутствует dhn (t), где hn (t) ∈ V . Очевидно, khn kV > var hn > kFn (x)kC(R) .

(11.5.15)

Если речь идет о пространстве B+ , то в полученных оценках (11.5.13)–(11.5.15) нормы khn kq и + khn kV заменяются нормами khn k+ q и khn kV . Итак, для всех рассматриваемых случаев мы получили однотипные оценки (11.5.13)–(11.5.15) для норм элементов биортогональной системы. Поэтому конец доказательства достаточно провести для одного из этих случаев. Пусть для определенности B = Lp (B+ = Lp+ ), 2 6 p < ∞; тогда верна оценка (11.5.13) с указанной выше заменой при переходе от B к B+ . Если 1 < x 6 |λn |, то |x/(x − λn )| > 1/(2|λn |), и значит, при n > n1 ° ° ° ° ° ° ° F (x) ° ° ° ° ° C ° ° = ° F (x) x ° > 1 ° F (x) ° > . ° x − λn ° ° x x − λn ° ° ° 2|λn | x |λn | p p

p

L (1,|λn )

Отсюда, из (11.5.12), (11.5.13) следует, что в случае пространства B ¡ ¢ khn kq > C|λn |−1 exp |λn |β (ε − H(ϕn )) , n = nk → ∞,

(11.5.16)

а в случае пространства B+ в (11.5.16) khn kq и H(ϕn ) заменяются соответственно на khn k+ q и H+ (ϕn ). Если θ0 6= 0, ±π, то из (11.5.16) и из утверждений 1)–3) леммы 11.5.2 вытекает, что ¡ ¢ ken k · khn k, ken k+ · khn k+ > C|λn |−2 exp ε|λn |β , n = nk → ∞, и нарушен критерий равномерной минимальности, состоящий в том, что sup ken k · khn k < +∞. Пусть θ0 = 0, ±π; тогда H(ϕn ), H+ (ϕn ) → 0, n = nk → ∞. По утверждению 1) леммы 11.5.2 ken k, ken k+ > C(1 + |yn |)−1 , что вместе с (11.5.16) дает оценку ³ε ´ ¡ ¢ C β β ken k · khn k > exp |λ | (ε − H(ϕ )) > C exp |λ | , (11.5.17) n n 1 n |λn |2 2



151

при n = nk > N и аналогичную оценку для ken k+ ·khn k+ (в этом случае в (11.5.17) появится H+ (ϕn ) вместо H(ϕn ), но на правую часть это не повлияет). Снова имеем противоречие с критерием равномерной минимальности. Теорема 11.5.2 доказана. Теорема 11.5.3. Пусть система (11.5.1) полна и минимальна в B (в B+ ), пусть все точки λn , начиная с некоторой, просты, и пусть порождающая функция F (z) система (11.5.1) имеет вполне регулярный рост. Тогда если система (11.5.1) равномерно минимальна в B (в B+ ), то hF (θ) = H(θ)

(hF (θ) = H+ (θ)),

−π 6 θ 6 π,

(11.5.18)

где hF (θ) — индикатор функции F (z). Доказательство. Обозначив h(θ) = hF (θ), предположим противное. В силу теоремы 11.5.1 это будет означать, что в некоторой точке θ ∈ [−π, π] имеет место неравенство h(θ) < H(θ)

(h(θ) < H+ (θ)).

(11.5.19)

По непрерывности участвующих функций и по утверждению 1) теоремы 11.5.1 найдется интервал (a, b) такой, что неравенство (11.5.19) выполнено для всех его точек, а в точках θ = a, b имеет место равенство (11.5.18), причем b − a 6 π/β. По теореме 11.5.2 ни одна точка интервала (a, b) не является предельной для последовательности (arg λn ). Отсюда в силу полной регулярности роста функции F (z) следует [23, гл. 3, § 3], что на отрезке [a, b] индикатор h(θ) есть β-тригонометрическая функция, т.е. h(θ) = A cos β(θ − γ), где A, γ — некоторые числа. Убедимся, что равенство (11.5.18) при θ = a или θ = b несовместимо с условием b − a 6 π/β. Случай A = 0 тривиален. Тогда h(θ) = H+ (θ) на [−π, 0], значит, в случае пространства B+ участвующая в (11.5.19) точка θ ∈ (0, π). В случае пространства B либо θ ∈ (0, π), либо θ ∈ (−π, 0). В обоих случаях b − a = π > π/β. Пусть A 6= 0. В точках θ = 0, ±π равенство (11.5.18) невозможно. Действительно, если h(θ) = 0, то h(t) > H(t) для некоторых точек t из сколь угодно малой окрестности точки θ, так как H 0 (θ) = 0, тогда как h0 (θ) 6= 0. Это дает противоречие с (11.5.2). По той же причине в случае пространства B+ равенство (11.5.18) невозможно для точек θ ∈ [−π, 0]. Значит, с учетом четности H(θ) достаточно рассмотреть случай равенства (11.5.18) в точке θ∗ ∈ (0, π). Так как h(θ∗ ) > 0, то в силу (11.5.2) найдутся точки θ1 , θ2 ∈ (0, π), θ2 = θ1 + π/β такие, что h(θ) > 0 на (θ1 , θ2 ) и h(θ1 ) = h(θ2 ) = 0. Так как H(θ1 ) > 0, то h(θ) < H(θ) на [θ1 , θ1 + δ] при некотором δ > 0. На интервале (θ1 − π/β, θ1 ) это неравенство очевидно, так как на нем h(θ) < 0, а H(θ) > 0 (H+ (θ) > 0). В итоге мы получили, что неравенство h(θ) < H(θ) выполняется на интервале (θ1 − π/β, θ1 + δ), длина которого больше, чем π/β. А это противоречит теореме 11.5.1. Теорема 11.5.3 доказана. Теорема 11.5.4. Пусть все точки λn , начиная с некоторой, просты и пусть Ã s ! [ ¡ ¢∞ Λ = Λ0 ∪ Λk , s ∈ N, Λk = λ(k) n n=1 , k=1

где ∆β (Λ0 ) = 0,

∆β (Λk ) > 0,

k = 1, s,

(11.5.20)

и при k 6= 0 последовательность Λk асимптотически распределена вдоль луча arg z = θk , т.е. (k) arg λn → θk , n → ∞. Пусть, кроме того, при целом β существует предел X0 lim λ−β (11.5.21) n . r→∞

|λn | −1, тогда и только тогда полна и минимальна в Lp , 2 6 p < ∞, когда −1/(4p) < h 6 1/(4p0 ). Формула (11.5.24) показывает, что последовательность Λ лежит на четырех лучах arg z = θ + πk/2, k = 0, 3, на каждом из которых имеет плотность 1/(4π) при порядке β = 2. Кроме того, формула (11.5.24) показывает, что существует предел (11.5.21). По теореме 11.5.4 система (11.5.23)– (11.5.24) не является равномерно минимальной в Lp . В теоремах п. 11.4 порождающая функция системы (11.5.1) имеет вид F (z) = e(bz),

e(z) =

m X

¡ 1/β ¢ 0 ck Eβ ak ze−iθk ; µ ,

b = (K(β, a))1/β ,

k=1

где числа θk0 , ak , ck подобраны специальным образом. В процессе рассуждений п. 11.4 (см. формулу (11.5.15)) мы выяснили, что индикатор функции F (z) является кусочно β-тригонометрическим (в частности, имеет точки недифференцируемости, а сама функция F (z) имеет вполне регулярный рост. Таким образом, условие (11.5.18) теоремы 11.5.3 не выполняется. Значит, мы сможем утверждать отсутствие равномерной минимальности у систем (11.5.1), описываемых теоремами 11.4.1– 11.4.4, если покажем, что функция F (z) имеет не более конечного числа кратных корней. В условиях теорем 11.5.1, 11.5.3 всегда m > 2. Если 1 < β 6 2, то в теоремах 11.5.2, 11.5.4 набор (θk ) может состоять из одной точки (например, θ1 = θ10 = π/2). Тогда функции e(z) и ¡ 1/β ¢ 0 Eβ a1 ze−iθ1 ; µ пропорциональны. Но, как известно [56], при β > 1 все корни функции Eβ (z; µ), за исключением, быть может, конечного числа, просты. Следовательно, это утверждение относится и к функции F (z); случай m = 1 разобран. Итак, m > 2. Пусть для определенности мы находимся в условиях теорем 11.5.2, 11.5.4 (в случае теорем 11.5.1, 11.5.3 рассуждения аналогичны). Пользуемся обозначениями п. 11.4. По условию теорем θk+1 − θk 6 π/β, а θk0 = θk /α + π/(2β). Отсюда 0 θk+1 − θk0 = (θk+1 − θk )α−1 < θk+1 − θk 6 πβ −1 .

Значит, арки косинусоид (части графиков функций hk (θ), hk+1 (θ) с соседними номерами) пересекаются в некоторой точке с абсциссой tk , причем hk (tk ) = hk+1 (tk ) > 0, k = 1, m − 1. Пусть t0 , tm — точки, в которых h1 (t0 ) = 0, hm (tm ) = 0 (0 < t0 < tm < π).


153


Фиксируем достаточно малое ε > 0. Утверждается, что вне секторов Uj = Uj (ε) = (θ: |θ−tj | < ε), j = 0, m при |z| > R нет корней e(z). Сначала убедимся, что их нет при tm + ε − 2π 6 θ 6 t0 − ε,

|z| > R.

(11.5.25)

По лемме 11.4.7, в этом секторе

¡ ¢ e(z) = −Az −s0 + O r−s0 −1 ,

где по смыслу числа s0

r→∞

(11.5.26)

∞

X ¡ −1/β 0 ¢s0 1 A= ck ak eiθk 6 0. = Γ(µ − s0 /β) k=1

Из (11.5.26) следует отсутствие у e(z) корней на множестве (11.5.25) при достаточно большом R. Для сокращения записи введем обозначения g(z) = z β(µ−1) · e(z), По лемме 11.4.7, g(z) =

X

0

Ck = βck a1−µ e−iβ(1−µ)θk , k

l = β(µ − 1) − s0 .

³ ¡ ´ ¡ ¢ 0 ¢β Ck exp ak ze−iθk + Az l + O z l−1 ,

r → ∞,

(11.5.27)

k

где суммирование ведется по тем k, для которых |θ − θk0 | 6 γ ∈ (π/(2β), π/β). Множество индексов k зависит от θ = arg z. Пусть точка z находится в секторе tj−1 + ε 6 θ 6 tj − ε,

j = 1, m,

|z| > R.

(11.5.28)

Тогда в (11.5.27) обязательно присутствует индекс k = j. Далее, так как ¯ ´¯ ³ ¡ ¢¢ ¡ ¡ 0 ¢β ¯ ¯ ¯ = exp rβ ak cos β θ − θk0 , ¯ exp ak ze−iθk ¡ ¢ ¡ ¢ а aj cos β θ − θj0 > ak cos β θ − θk0 + δ1 , δ1 > 0, k 6= j на множестве (11.5.28), то слагаемое с индексом k = j доминирует в данном секторе, т.е. ´ ³ ¡ ¡ ¢ 0 ¢β (1 + o(1)) + O z l , r → ∞. (11.5.29) g(z) = Cj exp aj ze−iθj И так как в этом секторе

¯ ´¯ ³ ¡ ¡ ¢ ¯ −iθj0 ¢β ¯ exp a ze ¯ ¯ = exp δrβ , j

δ > 0,

(11.5.30)

то из (11.5.29) следует отсутствие у функции g(z), а значит, и у функции e(z), корней в секторах (11.5.28). Мы доказали, что при |z| > R все корни e(z) лежат в секторах Uj , j = 0, m. Пусть j 6= 0, m. В секторе Uj (3ε/2) верна асимптотика (11.5.27), причем если ε достаточно мало, то множество индексов k одно и то же для всех z ∈ Uj (3ε/2). Известно [33, гл. 1, теорема 4.2], что асимптотика такого типа в каждом подсекторе допускает дифференцирование. Отсюда для z ∈ Uj = Uj (ε), r → ∞ ³ ¡ ´ X ¡ ¢ 0 0 ¢β g 0 (z) = βz β−1 Ck ak e−iβθk exp ak ze−iθk + O exp z l−1 . (11.5.31) k

В ненулевых кратных корнях функции e(z) левые части в (11.5.27) и (11.5.31) обращаются в нуль. 0 Поэтому деля (11.5.31) на βz β−1 aj+1 e−iβθj+1 и вычитая полученное из (11.5.27), видим, что в кратных корнях функции e(z) (z ∈ Uj , z 6= 0) должно выполняться условие ! Ã 0 ³ ¡ ´ ³ ¡ X ¢ ´ ¡ l−1 ¢ aj e−iβθj −iθj0 ¢β −iθk0 β exp a ze + B exp a ze + O z = 0, (11.5.32) Cj 1 − j k k 0 aj+1 e−iβθj+1 k6=j,j+1 где Bk — некоторые коэффициенты. Убедимся, что коэффициент Bj при экспоненте в первом слагаемом отличен от нуля. Так как Cj 6= 0, то достаточно проверить, что 0

0

aj+1 eiβθj 6= aj eiβθj+1 .

154



Предположим противное: здесь имеет место знак равенства. Так как aj , aj+1 > 0, то отсюда 0 0 = βθj0 + 2πn при некотором n ∈ N. Тогда θj+1 − θj = α(θj+1 − θj0 ) = 2πnα/β > 2π/β, а это βθj+1 противоречит тому, что θj+1 − θj 6 π/β по условию теорем 11.5.2, 11.5.4. Итак, Bj 6= 0. Из те же соображений, что применялись при рассмотрении сектора (11.5.28), следует, что если ε достаточно мало, а z ∈ Uj , j 6= 0, m, то в (11.5.32) при r → ∞ доминирует первое слагаемое, т.е. (11.5.32) записывается в виде ³ ¡ ´ ¡ ¢ 0 ¢β Bj (1 + o(1)) exp aj ze−iθj + O z l−1 = 0, r → ∞. (11.5.33) Но при достаточно малом ε для z ∈ Uj верна оценка (11.5.30). Значит, необходимое условие (11.5.33) кратного корня функции e(z) не может выполняться для сколь угодно больших |z|, z ∈ Uj , j 6= 0, m. Осталось рассмотреть сектора Uj , j = 0, m. Если ε достаточно мало, то в секторе U0 верна асимптотика (11.5.27) с единственным индексом k = 1. Значит, при |z| > R корни e(z) в секторе U0 совпадают с корнями функции ³ ¡ ´ ¡ ¢ 0 ¢β Cz −l exp a1 ze−iθ1 − A + O r−1 , (11.5.34) где C — соответствующая константа. Но именно такая функция встречается в [56] при исследовании асимптотики корней функции Миттаг-Леффлера, где доказывается [56, 56, с. 122], что все достаточно большие по модулю корни функции (11.5.34) просты. Итак, при |z| > R все корни функции e(z) в секторе U0 просты. Аналогично это утверждение доказывается для сектора Um . Мы доказали простоту всех достаточно больших по модулю корней порождающей функции F (z), и из теорем 11.5.3, 11.5.4 вытекает Следствие 11.5.1. Полные и минимальные системы (11.5.1), описываемые следствием 11.3.1 и следствием 11.4.1, не являются равномерно минимальными. Подавно эти системы не являются базисами. 11.6. ОТСУТСТВИЕ

БАЗИСА ИЗ СДВИГОВ ФУНКЦИИ НА ПРЯМОЙ

Вернемся к исходной, поставленной в начале п. 11.1, задаче об аппроксимации функций в пространстве Lp = Lp (R), 1 6 p 6 2, с помощью системы сдвигов (f (t − λn ))∞ n=1 ,

Λ = (λn )∞ 1 ⊂ R,

(11.6.1)

где f ∈ Lp . Ограничение p ∈ [1, 2] гарантирует существование ПФ fb функции f (по теореме 0 Хаусдорфа—Юнга fb ∈ Lp ). Теорема 11.6.1. Пусть 1 6 p 6 2. Предположим, что f ∈ Lp и при любом A > 0 1 ∈ Lp (−A, A). fb(x)

(11.6.2)

Тогда система сдвигов (11.6.1) функции f не может быть одновременно полной и равномерно минимальной в Lp . Лемма 11.6.1. Пусть f ∈ Lp , 1 6 p < ∞, и пусть система (11.6.1) равномерно минимальна в Тогда последовательность Λ отделима.

Lp .

Доказательство. Если εn → 0, то в силу непрерывности операции сдвига в Lp , kf (t) − f (t − εn )kp → 0.

(11.6.3)

Так как система (11.6.1) равномерно минимальна, то в частности, kf (t − λn ) − f (t − λm )k > δkf (t − λn )k,

m 6= n,

где δ > 0 от n не зависит. В силу инвариантности нормы относительно сдвига, kf (t) − f (t − (λm − λn ))k > δkf (t)k.

(11.6.4)

Если бы inf(|λn − λm | : m 6= n) = 0, то (11.6.4) противоречило бы (11.6.3). Значит, последовательность Λ отделима, и лемма доказана.

11.6. ОТСУТСТВИЕ

155

БАЗИСА ИЗ СДВИГОВ ФУНКЦИИ НА ПРЯМОЙ

Лемма 11.6.2 ( [114]). Если последовательность Λ ⊂ R отделима, то найдется A > 0 такое, что система ¡ −iλn t ¢∞ e (11.6.5) n=1 неполна в L1 (−A, A). Доказательство теоремы 11.6.1. Предположим, что система (11.6.1) равномерно минимальна в Lp , и докажем, что она не может быть полной. Применяя последовательно леммы 11.6.1 и 11.6.2, заключаем, что система (11.6.5) неполна в L1 (−A, A) при некотором A > 0. Значит, найдется нетривиальная функция ϕ ∈ L∞ (−A, A), аннулирующая систему (11.6.5), т.е. ZA e−iλn t ϕ(t)dt = 0,

n ∈ N.

−A

Обозначим ψ(t) = ϕ(t)/fb(t). Тогда ZA

¡ −iλn t ¢ e fb(t) ψ(t)dt = 0,

n ∈ N.

(11.6.6)

−A

Благодаря условию (11.6.2), ψ ∈ Lp , и так как ψ 6≡ 0, то (11.6.6) показывает, что система ¡ −iλn t ¢∞ e fb(t) n=1

(11.6.7)

p0

неполна в L (−A, A), когда 1 0. (11.6.8) cn

L (−A,A)

0

Пусть сначала 1 < p 6 2. Так как множество ступенчатых функций плотно в Lp (−A, A), то найдется ступенчатая функция g0 , для которой верно (11.6.8). Но если g0 — ступенчатая функция, то g0 = fb0 , где f0 ∈ Lp . (Действительно, тогда ge0 ∈ L∞ и ge0 (x) = O((1 + |x|)−1 ); поэтому ge0 =: f0 ∈ Lp .) По теореме Хаусдорфа—Юнга из (11.6.8) получаем ° ° X ° −iλn t b ° 0 < inf °g0 (t) − cn e f (t)° p0 6 cn L (−A,A) ° ° ° ° (11.6.9) X X ° ° ° ° 6 inf °g0 (t) − cn e−iλn t fb(t)° p0 6 Cp inf °f0 (t) − cn f (t − λn )° p . cn cn L L ¡ ¢ ∞ Это означает, что f0 6∈ clos (f (t−λn ))n=1 , и значит, система (11.6.1) неполна в Lp . Случай 1 < p 6 6 2 разобран. Пусть p = 1. Обозначим через C01 (R) подкласс в C 1 (R), состоящий из функций с компактным носителем. Класс C01 (R) плотен в C[−A, A]; действительно, если g ∈ C[−A, A], а gh — функция Стеклова, т.е. x+h Z 1 g(t)dt, h > 0, gh (x) = 2h x−h

то ghh := (gh )h ∈ C01 (R) и ghh ⇒ g при h → 0 (см. функции g0 класса C01 (R). Но для такой функции Z

e

ge0 (x) = R

ixt

[1]). Поэтому (11.6.8) верно для некоторой

i g0 (t)dt = x

Z eixt g00 (t)dt R

(мы проинтегрировали по частям). По теореме Планшереля интеграл в правой части лежит в L2 и потому ge0 ∈ L1 . Итак, g0 = fb0 , где f0 ∈ L1 , и отправляясь от (11.6.8) с p0 = ∞, мы снова получаем (11.6.9) с p = 1, что дает неполноту системы (11.6.1) в L1 . Теорема 11.6.1 доказана.

156



Следствие 11.6.1. В пространстве L1 не существует полных и одновременно равномерно минимальных систем сдвигов (11.6.1). В частности, в пространстве L1 не существует базиса из сдвигов функции. Действительно, если система (11.6.1) полна в L1 , то линейные комбинации всех сдвигов f (t−λ), λ ∈ R плотны в L1 . По теореме Винера [113] fb 6= 0 всюду на прямой. И так как fb ∈ C(R), то выполнено условие (11.6.2) с p = 1. По теореме 11.6.1 система (11.6.1) не может быть равномерно минимальной. Теорема 11.6.2. В пространстве L2 не существует базиса Рисса из сдвигов функции. Доказательство. Пусть (11.6.1) — базис Рисса в L2 . Тогда система (11.6.1) равномерно минимальна. По лемме 11.6.1 последовательность Λ отделима. Далее, система (11.6.1) полна в L2 ; по теореме Винера [113] fb 6= 0 п.в. Так как (f (t − λn ))b = e−iλn t fb(t), то по теореме Планшереля система (11.6.7) также образует базис Рисса в L2 . Значит, любая функция f0 ∈ L2 единственным образом представляется сходящимся в L2 рядом ∞ X f0 (t) = cn e−iλn t fb(t), cn = cn (f0 ), (11.6.10) n=1

причем (cn ) ∈ l2 . По лемме 8.1.9, из (cn ) ∈ l2 и из отделимости Λ следует сходимость ряда ∞ X

cn e−iλn t =: g0 (t)

(11.6.11)

n=1

в L2 (−A, A) для всех A > 0, и в частности, для значения A, фигурирующего в лемме 11.6.2. Так как система (11.6.5) неполна в L2 (−A, A), то она минимальна (см. п. 4.1). Но тогда (11.6.9) — биортогональный ряд функции g0 ∈ L2 (−A, A) по системе (11.6.5), т.е. если hn ∈ L2 (−A, A) — биортогональная система к системе (11.6.5), то cn = (hn (t), g0 (t)).

(11.6.12)

По C-свойству Лузина функция fb п.в. на IA = [−A, A] совпадает с непрерывной функцией, т.е. для любого ε > 0 найдется открытое множество Eε такое, что mes Eε < ε и fb непрерывна на IA \Eε . Далее, множество нулей функции fb имеет меру нуль, поэтому найдется открытое множество Gε ⊂ IA \Eε такое, что mes Gε < ε и fb не обращается в нуль на (IA \Eε )\Gε =: JA,ε = J. Итак, функция |fb| непрерывна на ограниченном замкнутом множестве J и не обращается на нем в нуль. ¯ ¡¯ ¢ b ¯ ¯ Поэтому min f (t) : t ∈ J =: m > 0. Пусть f0 — нетривиальная функция из L2 , такая, что f0 ≡ 0 на (−A, A). Тогда ¯2 ¯2 Z ¯¯ X ZA ¯¯ X N N ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cn e−iλn t ¯ dt. cn (f0 )e−iλn t fb(t)¯ dt > m2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −A

n=1

J

n=1

В силу (11.6.8), левая часть сходится к нулю при N → ∞. Значит, ряд (11.6.9) сходится в L2 (J) к нулевой функции. Так как 2(A − ε) < mes J 6 2A, а ε > 0 произвольно, то g0 (t) ≡ 0 на (−A, A). Тогда из (11.6.10) следует, что все cn = 0, и следовательно, ряд (11.6.8) дает тривиальную функцию на всей прямой. Мы получили противоречие. Теорема 11.6.2 доказана. ПРИМЕЧАНИЯ


11

Вопрос о плотности семейств сдвигов Λ(f ) в L1 и в L2 для различных множеств Λ ⊂ R таких, что ∆ 6= R, рассматривался в работах Р. Эдвардса [81, 82], Т. Ганелиуса [84], Г. Ландау [94], Р. Залика [115, 116, 117], Б. Факсена [83], автора [47, 51] и др. Случай быстро убывающего ПФ fb(t) = O(exp(−a|t|α ), a > 0, α > 1, первым, по-видимому, стал изучать Р. Залик [115, 116], в частности, доказавший следующее. Если fb(t) 6= 0 п.в. и fb(t) = O(exp(−at2 )), то условие τ (Λ) > 2 достаточно для плотности семейства Λ(f ) в L2 , а если P exp(−at2 )/fb(t) ∈ L2 , то условие 1/|λn |2 = ∞ необходимо (здесь τ (Λ) обозначает показатель

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

157

сходимости последовательности Λ = (λn ) ⊂ R). В случае быстро убывающего ПФ Б. Факсен [83] предложил следующее достаточное условие плотности Λ(f ) в L2 , где Λ = (λn ) ⊂ R+ : λβn+1 − λβn > δ > 0 при некотором δ > 0 и µX ¶ 1 (αa)1−β β π lim sin log r = +∞. − r→∞ π 2β λβn λn 0. 11.2. Здесь представлены результаты статьи [47]. В диссертации О. В. Шаповаловского [73] утверждение следствия 11.2.1 распространено на более общий случай lim |t|−α (l(|t|))−1 log |g(t)| = −a,

t→±∞

где l — медленно меняющаяся функция на бесконечности; при этом, естественно, в роли ∆β (Λ) фигурирует плотность по отношению к соответствующему уточненному порядку. 11.3. Результаты подпунктов 11.3.1, 11.3.2 содержатся в [57, 66]. Р. Залик и Т. Абуабара Саад [119] первыми построили полную и одновременно минимальную систему (11.3.1) с α = 2 в L2 ; в [119] доказано, что система (11.3.8)–(11.3.9) с h = 0, γ = π/4 полна и минимальна в L2 . Системы (11.3.8)–(11.3.9) изучала Т. А. Сальникова [38, 39], доказавшая теорему 11.3.3 и частный случай p = 2 следствия 11.3.1. Приводимое здесь доказательство теоремы 11.3.3 предложено автором (см. [107]). Теорема 11.3.4 доказана в [58]. 11.4. Здесь излагаются результаты работ [59, 66]. 11.5. Изложение ведется по статье [63]. 11.6. Теорема 11.6.1 принадлежит автору, а теорема 11.6.2 — Т. Олсону и Р. Залику [101]. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965. 2. Бабенко К. И. Об одной новой проблеме квазианалитичности и о преобразовании Фурье целых функций// Тр. Моск. мат. о-ва. — 1956. — 5. — C. 523–542. 3. Бабенко К. И. О некоторых классах пространств бесконечно дифференцируемых функций// Докл. АН СССР. — 1960. — 132, № 6. — C. 1231–1234. 4. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. — М.: Мир, 1984. 5. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Преобразования Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши// Успехи мат. наук. — 1953. — 8, № 3. — C. 3–54. 6. Головин В. Д. О биортогональных разложениях в L2 по линейным комбинациям показательных функций// Зап. мех.-мат. ф-та ХГУ и ХМО, сер. 4. — 1964. — 30. — C. 18–29. 7. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1966. 8. Девдариани Г. Г. О базисности одной тригонометрической системы функций// Дифф. уравн. — 1986. — 22, № 1. — C. 168–170. 9. Девдариани Г. Г. О базисности одной системы функций// Дифф. уравн. — 1986. — 22, № 1. — C. 170– 171. 10. Девдариани Г. Г. Базисность некоторых специальных систем собственных функций несамосопряженных дифференциальных операторов. — Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — М.: МГУ, 1986. 11. Джрбашян М. М. К проблеме представимости аналитических функций// Сообщ. ин-та мат. и мех. АН Арм. ССР. — 1984. — 2. — C. 3–40. 12. Джрбашян М. М. Теоремы единственности для преобразований Фурье и для бесконечно дифференцируемых функций// Изв. АН Арм. ССР. — 1957. — 10, № 6. — C. 7–23. 13. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. — М.: Наука, 1966. 14. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.: Наука, 1979.

158

СПИСОК


15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. — М.: Мир, 1966. 16. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности в Lp и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений по системе экспонент// Докл. АН СССР. — 1983. –273, № 4. — C. 789–793. 17. Кадец М. И. Точное значение постоянной Палея—Винера// Докл. АН СССР. — 1964. — 155. — C. 1253– 1254. 18. Копсон Э. Асимптотические разложения. — М.: Мир, 1966. 19. Кусис П. Введение в теорию пространств H p . — М.: Мир, 1984. 20. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1965. 21. Ладыгин В. И. Устойчивость полноты системы экспонент на полупрямой// Тр. МЭИ. — 1976. — 290. — C. 88–95. 22. Ладыгин В. И. О проблеме Мюнца—Саса// Мат. заметки. — 1978. — 23, № 1. — C. 91–103. 23. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. — М.: Гостехиздат, 1956. 24. Левин Б. Я. О базисах показательных функций в L2 // Зап. мат. отд. физ.-мат. фак-та ХГУ и ХМО, сер. 4. — 1961. — 27. — С. 39–48. 25. Левин Б. Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа// Мат. физ. и функц. анал., ФТИНТ АН УССР. — 1969. — 1. — С. 136–146. 26. Леонтьева Л. А. О полноте одной системы функций на отрезке// Мат. заметки. — 1968. — 4, № 5. — C. 557–565. 27. Мандельбройт С. Ряды Дирихле. Принципы и методы. — М.: Мир, 1973. 28. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 1. — М.: Наука, 1968. 29. Мацаев В. И., Соломяк М. З. Об условиях существования интеграла Стилтьеса// Мат. сб. — 1972. — 88, № 4. — C. 522–535. 30. Минкин А. М. Отражение показателей и безусловные базисы из экспонент// Алгебра и анализ. — 1991. — 3, № 5. — C. 109–134. 31. Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов// Докл. АН СССР. — 1984. — 275. — C. 794– 798. 32. Молоденков В. А., Хромов А. П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи для оператора дифференцирования// Дифф. уравн. и вычисл. матем. — СГУ. — 1972. — 1. –C. 17–26. 33. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. — М.: Наука, 1978. 34. Павлов Б. С. Базисность системы экспонент и условие Макенхоупта// Докл. АН СССР. — 1979. — 247. — C. 37–40. 35. Пономарев С. М. Об одной задаче на собственные значения// Докл. АН СССР. — 1979. — 249. — C. 2068–2070. 36. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. — М.: ГИТТЛ, 1950. 37. Рябых В. Г. Распределение нулей функций класса Ap // Мат. анал. и его прил. — РГУ, 1983. — C. 89– 98. 38. Сальникова Т. А. Полные и минимальные системы экспонент в пространствах Lp (R)// Мат. заметки. — 1994. — 55, № 3. — C. 118–129. 39. Сальникова Т. А. Полные и минимальные системы экспонент в лебеговых пространствах на вещественной оси. — Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — М.: РУДН, 1995. 40. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка. — Минск: Наука и техника, 1987. 41. Седлецкий А. М. Полные и равномерно минимальные системы показательных функций в Lp (−π, π)// Тр. МЭИ. — 1972. — 146. — С. 167–174. 42. Седлецкий А. М. К проблеме Мюнца—Саса для пространства C[0, 1]// Тр. МЭИ. — 1975. — 260. — C. 89–98. 43. Седлецкий А. М. Эквивалентное определение пространств H p в полуплоскости и некоторые приложения// Мат. сб. — 1975. — 96, № 1. — C. 75–82. 44. Седлецкий А. М. О полноте систем экспонент в пространствах дифференцируемых функций// Тр. МЭИ. — 1977. — 334. — С. 98–103. 45. Седлецкий А. М. Биортогональные разложения в ряды экспонент на интервалах вещественной оси// Успехи мат. наук. — 1982. — 57, № 5. — C. 51–95. 46. Седлецкий А. М. Базисы из экспонент в пространствах Lp // Anal. Math. — 1982. — 8. — С. 215–232. 47. Седлецкий А. М. Аппроксимация сдвигами и полнота взвешенных систем экспонент в L2 (R)// Мат. сб. — 1984. — 123, № 1. — C. 92–107.

СПИСОК


159

48. Седлецкий А. М. Проблема Мюнца—Саса и нули аналитических функций// Теория функций и приближений. — Тр. 3 Саратовской зимней школы. — СГУ, 1987. — C. 59–63. 49. Седлецкий А. М. О проблеме Мюнца—Саса// Мат. заметки. — 1986. — 39, № 1. — C. 97–107. 50. Седлецкий А. М. О нулях аналитических функций классов Apα // Актуальные вопросы теории функций. — РГУ, 1987. — C. 24–29. 51. Седлецкий А. М. Аппроксимация сдвигами функции на прямой// Тр. Междунар. конф. приближ. функций, Киев, 1983. — М.: Наука, 1987. — C. 397–400. 52. Седлецкий А. М. О полноте систем экспонент на полупрямой// Мат. заметки. — 1990. — 40, № 5. — C. 88–96. 53. Седлецкий А. М. Негармонические ряды Фурье// Теория функций и приближений. — Тр. 4 Саратовской зимней школы. — СГУ, 1990. — C. 92–98. 54. Седлецкий А. М. О равномерной сходимости негармонических рядов Фурье// Тр. Мат. ин-та РАН. — 1991. — 200. — С. 299–309. 55. Седлецкий А. М. Разложения по собственным функциям оператора дифференцирования с размазанным краевым условием// Дифф. уравн. — 1994. — 30, № 1. — C. 70–76. 56. Седлецкий А. М. Асимптотические формулы для нулей функции типа Миттаг-Леффлера// Anal. Math. — 1994. — 20. — С. 117–132. 57. Седлецкий А. М. Аппроксимативные свойства систем экспонент в Lp (a, b)// Дифф. уравн. — 1995. — 31, № 10. — C. 1639–1645. 58. Седлецкий А. М. Преобразования Фурье быстро убывающих функций// Изв. РАН, сер. мат. — 1997. — 61, № 3. — C. 187–202. 59. Седлецкий А. М. Аппроксимативные свойства систем экспонент на прямой и полупрямой// Мат. сб. — 1998. — 189, № 3. — C. 125–140. 60. Седлецкий А. М. Базисы, встречающиеся при решении уравнений смешанного типа// Дифф. уравн. — 1999. — 35, № 4. — C. 507–515. 61. Седлецкий А. М. Аппроксимативные свойства систем экспонент в пространствах Соболева// Вестн. МГУ, сер. мат., мех. — 1999. — № 6. — C. 3–8. 62. Седлецкий А. М. О суммируемости и сходимости негармонических рядов Фурье// Изв. РАН, сер. мат. — 2000. — 64, № 3. — C. 151–168. 63. Седлецкий А. М. Необходимое условие равномерной минимальности системы экспонент в пространствах Lp на прямой// Мат. сб. — 2001. — 192, № 11. — C. 137–156. 64. Седлецкий А. М. Спектральный анализ оператора дифференцирования// Spectral and Evolution Problems, 11. — Proc. 11 Crimean Autumn Math. School-Symp., September 2000, Sevastopol, Laspi. — Simferopol, 2001. — С. 8–18. 65. Седлецкий А. М. Базисы из экспонент в пространствах Lp (−π, π)// Мат. заметки. — 2002. — 72, № 3. — C. 418–432. 66. Седлецкий А. М. Аппроксимация посредством экспонент на прямой и на полупрямой// Anal. Math. — 2002. — 28. — С. 43–60. 67. Седлецкий А. М. Касательные граничные значения преобразований Лапласа. Применение к аппроксимации типа Мюнца—Саса// Изв. РАН, сер. мат. — 2003. — 67, № 1. — C. 177–198. 68. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973. 69. Титчмарш Е. К. Введение в теорию интегралов Фурье. — М.: Гостехиздат, 1948. 70. Федорюк М. В. Метод перевала — М.: Наука, 1977. 71. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. — М.: Наука, 1966. 72. Хрущев С. В. Теоремы возмущения для базисов из экспонент и условие Макенхоупта// Докл. АН СССР. — 1979. — 247. — C. 44–48. 73. Шаповаловський О. В. Деякi властивостi рядiв Дiрiхле i систем експонент з комплексними показниками. — Автореф. дис. ... канд. фiз.-мат. наук. — Дрогобич, 1994. 74. Шкаликов А. А. О свойствах части собственных и присоединенных элементов самосопряженных квадратичных пучков и операторов// Докл. АН СССР. — 1985. — 283. — C. 1100–1106. 75. Эдвардс Р. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1969. 76. Beller E. Zeros of Ap functions and related classes of analytic functions// Israel J. Math. — 1975. — 22. — С. 68–80. 77. Boas R. P. Entire functions. — New York: Academic Press, 1954. T. Polynomials and polynomial inequalities. — N.Y.: Springer-Verlag, 1995. 78. Borwein P., Erdelyi ´ 79. Duffin R. J., Schaeffer A. C. A class of non-harmonic Fourier series// Trans. Amer. Math. Soc. — 1952. — 72. — С. 341–366. 80. Duren P. L. Theory of H p spaces. — N.Y.: Academic Press, 1970.

160

СПИСОК


81. Edwards R. E. The translates and affine transforms of some special functions// J. London Math. Soc. — 1952. — 27. — С. 160–175. 82. Edwards R. E. Approximation theorems for translates// Proc. London Math. Soc. — 1959. — 35. — С. 321– 342. 83. Faxen ´ B. On approxiamtion by translates and related problems in function theory// Ark. Math. — 1981. — 19. — С. 271–289. 84. Ganelius T. Some approximation theorems related to Wiener’s// Proc. Conf. Constr. Th. Functions, Budapest, 1969. — Budapest: Akadémiai Kiadó, 1972. — С. 173–181. ¨ theorem// J. Approxim. Theory. — 1983. — 39. — С. 394–395. 85. Golitschek M. A short proof of Muntz’s ¨ 86. Grum M. On the theorems of Muntz and Szász// J. London Math. Soc. — 1956. — 31. — С. 433–437. ¨ 87. Grum M. On the theorems of Muntz and Szász. Corrigendum and Addendum// J. London Math. Soc. — 1957. — 32. — С. 517. 88. Hardy G. H. A theorem concerning Fourier transforms// J. London Math. Soc. — 1933.— 8. — С. 227–231. 89. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some properties of fractional integral, I// Math. Z. — 1928. — 27. — С. 565– 606. 90. Horowitz C. Zeros of functions in the Bergman spaces// Duke Math. J. — 1974. — 41. — С. 693–710. 91. Hrusˇ cev ¯ S. V., Nikolskii N. K., Pavlov B. S. Unconditional bases of exponentials and reproducing kernels// Lect. Notes Math. — 1981. — 864. — С. 214–335. 92. Hunt R. A., Muckenhoupt B., Wheeden R. L. Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform// Trans. Amer. Math. Soc. — 1973. — 176. — С. 227–251. 93. Korenblum B. An extension of the Nevanlinna theory// Acta Math. — 1975.— 135, № 3–4. — С. 187–219. 94. Landau H. J. On the completeness of a set of translates// J. Approxim. Theory. — 1972. — 5. –С. 438–440. 95. Levinson N. Gap and density theorems. — N.Y.: Publ. Amer. Math. Soc., 1940. ¨ 96. Levinson N. On the Szász–Muntz theorem// J. Math. Anal. and Appl. — 1974. — 48. — С. 264–269. 97. Lyubarskii Yu. I., Seip K. Weighted Paley–Wiener spaces// J. Amer. Math. Soc. — 2002. — 15. — С. 979– 1006. 98. Morgan G. W. A note on Fourier transforms// J. London Math. Soc. — 1934. — 9. — С. 187–192. ¨ 99. Muntz C. H. Uber den Approximationssatz von Weierstrass// H. A. Schwartz Festschrift. — Berlin, ¨ 1914. — С. 303–312. 100. Nagel A., Rudin W., Shapiro J. H. Tangential boundary behavior of function in Dirichlet-spaces// Ann. Math. — 1982. — 116. — С. 331–360. 101. Olson T. E., Zalik R. A. Nonexistence of a Riesz basis of translates// Approximation Theory. — Proc. 6 Southeastern Approxim. Th. Annual Conf. — N.Y.: Marcel Dekker, Inc., 1992. — С. 401–408. 102. Paley R., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. — N.Y.: Publ. Amer. Math. Soc., 1934. 103. Redheffer R., Young R. M. Completeness and basis properties of complex exponentials// Trans. Amer. Math. Soc. — 1983. — 277. — С. 93–111. 104. Russel D. L. Nonharmonic Fourier series in the control theory of distributed parameter systems// J. Math. Anal. Appl. — 1967. — 18. — С. 542–560. ´ 105. Schwartz L. Etude des sommes d’exponentielles réelles. — Paris: Hermann, 1943. 106. Sedletskii A. M. Theorems of Paley–Wiener–Pitt’s type for Fourier transforms of rapidly decreasing functions// Integral Transforms and Special Functions. — 1994. — 2. — С. 153–164. 107. Sedletskii A. M. Fourier transforms and approximations. — Amsterdam: Gordon & Breach, 2000. 108. Shapiro H. S., Shields A. L. On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces// Math. Z. — 1962. — 80. — С. 217–229. ¨ asz theorem for C[0, 1]// Proc. Amer. Math. Soc. — 1972. — 36. — С. 161–166. 109. Siegel A. On the Muntz–Sz´ ¨ 110. Szasz O. Uber die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen// Math. ´ Ann. — 1916. — 77. — С. 482–496. 111. Taylor B. A., Williams D. L. Zeros of Lipschitz functions analytic in the unit disc// Michigan Math. J. — 1971. — 18. — С. 129–139. 112. Torchinsky A. Real-variable methods in harmonic analysis. — N.Y.: Academic Press, 1986. 113. Wiener N. The Fourier integral and certain of its applications. — Cambrige: Cambrige Univ. Press, 1933. 114. Young R. M. An introduction to nonharmonic Fourier series. — N.Y.: Academic Press, 1980. 115. Zalik R. A. On approximation by shifts and a theorem of Wiener// Trans. Amer. Math. Soc. — 1978. — 243. — С. 299–308. 116. Zalik R. A. On some gap theorems and the closure of translates// Notic. Amer. Math. Soc. — 1978. — 25. — С. A-314. ¨ 117. Zalik R. A. The Muntz–Sz´ asz theorem and the closure of translates// J. Math. Anal. Appl. — 1981. — 82. — С. 361–369.

СПИСОК


161

ˇ 118. Zalik R. A. Remarks on a paper of Gel’fand and Silov on Fourier transforms// J. Math. Anal. Appl. — 1984. — 102. — С. 102–112. 119. Zalik R. A., Abuabara Saad T. Some theorems concerning holomorphic Fourier transforms// J. Math. Anal. Appl. — 1987. — 126. — С. 483–493.

А. М. Седлецкий Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова E-mail: [email protected]

Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, II

Николай II (Том II)

Hierachies [Part Ii Of Ii]

Toddler Storytimes II (No. II)

Николай II

Imzadi II

Mao II

Chaos II

Rama II

Rama II

Mao II

Rama II

Mark II

Kodeksy II

Heroes II

Едуард II

Rama II

Nietzsche Ii

Rama II

Rama II

Book II

Marder II

Догматика II

Gaudissart II

Bloodquest II

Rama II

Рай II

Rama II

Analysis II

Маелстрьом II

Николай II

Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, II

Николай II (Том II)

Hierachies [Part Ii Of Ii]

Toddler Storytimes II (No. II)

Николай II

Imzadi II

Mao II

Chaos II

Rama II

Rama II

Mao II

Rama II

Mark II

Kodeksy II

Heroes II

Едуард II

Rama II

Nietzsche Ii

Rama II

Rama II

Book II

Marder II

Догматика II

Gaudissart II

Bloodquest II

Rama II

Рай II

Rama II

Analysis II

Маелстрьом II

Николай II

Recommend Documents