Задачи по аналитической геометрии. Часть II: Учебное пособие

ÊÀÇÀÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

Èãóäåñìàí Ê.Á.

ÇÀÄÀ×È ÏÎ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ. ×ÀÑÒÜ 2.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ê êóðñó ¾Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ¿

Êàçàíü  2007

Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîé êîìèññèè ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÊÃÓ

Èãóäåñìàí Ê.Á. Çàäà÷è ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. ×àñòü 2. Êàçàíü, 2007. 63 ñ.

Ðåöåíçåíò: äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê Øóðûãèí Â.Â.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ I êóðñà ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÊÃÓ

Ïðåäèñëîâèå  íàñòîÿùåì "Ïîñîáèè"ïîäîáðàíû è ìåòîäè÷åñêè ðàñïðåäåëåíû çàäà÷è ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè.  íà÷àëå êàæäîãî ïàðàãðàôà ïðèâåäåíû ôîðìóëû, îïðåäåëåíèÿ è äðóãèå êðàòêèå ïîÿñíåíèÿ òåîðèè, íåîáõîäèìûå äëÿ ðåøåíèÿ ïîñëåäóþùèõ çàäà÷.  êîíöå êàæäîãî ïàðàãðàôà ïðèâåäåíû (ïîñëå ÷åðòû) çàäà÷è äëÿ ïîâòîðåíèÿ. Ýòà îñîáåííîñòü ïîìîæåò ïðåïîäàâàòåëþ â ïîäáîðå çàäà÷ äëÿ ðàáîòû â êëàññå è äëÿ äîìàøíèõ çàäàíèé èëè äëÿ ïîâòîðåíèé ïåðåä êîíòðîëüíûìè ðàáîòàìè.

3

1 Âåêòîðíîå è ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì [a, b] (èëè a × b) âåêòîðà a íà âåêòîð b (â ñëó÷àå, åñëè âåêòîðû a è b íå êîëëèíåàðíû) íàçûâàåòñÿ âåêòîð, ìîäóëü êîòîðîãî ðàâåí ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ñòîðîíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû a è b, îòëîæåííûå îò îäíîé è òîé æå òî÷êè, îðòîãîíàëüíûé âåêòîðàì a è b, è íàïðàâëåííûé òàê, ÷òî óïîðÿäî÷åííàÿ òðîéêà âåêòîðîâ a, b, [a, b] îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíà ñ òðîéêîé âåêòîðîâ i, j, k íåêîòîðîãî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà. Åñëè âåêòîðû a è b êîëëèíåàðíû, òî [a, b] = 0 ïî îïðåäåëåíèþ. Ñâîéñòâà âåêòîðîíîãî ïðîèçâåäåíèÿ: 1. [a, b] = −[b, a]. 2. [(λa), b] = λ[a, b]. 3. [a + b, c] = [a, c] + [b, c]. 4. [a, [b, c]] = b(ac) − c(ab). 5. [[a, b], c] = b(ac) − a(bc). 6. [a, b] [c, d] = (ac)(bd) − (ad)(bc). Åñëè â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå a = {X, Y, Z}, b = {X 0 , Y 0 , Z 0 }, òî

¯ ¯ (¯ ¯ Y Z ¯ ¯ Z X ¯ ¯ ¯ [a, b] = ¯ ¯, ¯ ¯ Y 0 Z0 ¯ ¯ Z0 X0

¯ ¯ ¯ ¯, ¯

¯ ¯ X Y ¯ ¯ 0 ¯ X Y0

¯) ¯ ¯ ¯ . ¯

Ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì (a,b,c) òðåõ íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ

a, b, c íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà êîòîðîãî ðàâíà îáúåìó ïàðàëëåïèïåäà, ðåáðàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ýòè âåêòîðû, îòëîæåííûå îò îäíîé è òîé æå òî÷êè; ýòî ÷èñëî ïîëîæèòåëüíîå, åñëè óïîðÿäî÷åííàÿ òðîéêà a, b, c îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíà ñ îðòîíîðìèðîâàííûì

4

áàçèñîì i, j, k , è îòðèöàòåëüíîå â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Åñëè âåêòîðû a,

b, c êîìïëàíàðíû, òî (a, b, c) = 0 ïî îïðåäåëåíèþ. Ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ: 1. (a, b, c) = a[b, c] = [a, b]c. 2. (a, b, c) = (c, a, b) = (b, c, a) = −(b, a, c) = −(c, b, a) = −(a, c, b). Åñëè â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå a = {X, Y, Z}, b = {X 0 , Y 0 , Z 0 },

c = {X 00 , Y 00 , Z 00 }, òî

¯ ¯ ¯ X Y Y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (a, b, c) = ¯¯ X 0 Y 0 Z 0 ¯¯ . ¯ ¯ 00 ¯ X Y 00 Z 00 ¯

ÇÀÄÀ×È 1. Çíàÿ äâà âåêòîðà a è b, íàéòè: 1) [(a + b), (a − b)];

·

2) [a, (a + b)];

3)

¸ a+b ³ a´ , b− . 2 2

2. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè òðè âåêòîðà a, b, c íå êîëëèíåàðíû, òî èç ðàâåíñòâ [a, b] = [b, c] = [c, a] âûòåêàåò ñîîòíîøåíèå a + b + c = 0, è îáðàòíî.

3. Èç îäíîé òî÷êè ïðîâåäåíû òðè íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðà a, b, c. Ïîêàçàòü, ÷òî ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç êîíöû ýòèõ âåêòîðîâ, ïåðïåíäèêóëÿðíà ê âåêòîðó [a, b] + [b, c] + [c, a].

4. Íàéòè âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå [a, b] â êàæäîì èç íèæåñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ:

1) a = {2, 3, 1},

b = {5, 6, 4};

2) a = {5, −2, 1},

b = {4, 0, 6};

3) a = {−2, 6, −4}, b = {3, −9, 6}.

5. Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a = {8, 4, 1}, b = {2, −2, 1}. 5

6. Äàíû âåêòîðû a = {3, 1, 2}, b = {2, 7, 4}, c = {1, 2, 1}. Íàéòè: 1) (a, b, c);

2) [[a, b], c];

3) [a, [b, c]].

7. Äâå òðîéêè âåêòîðîâ a1 , a2 , a3 è b1 , b2 , b3 íàçûâàþòñÿ âçàèìíûìè, åñëè âåêòîðû ýòèõ òðîåê ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè:

( ai bk =

0, åñëè i 6= k 1, åñëè i = k .

Ïîëüçóÿñü îïåðàöèÿìè ñêàëÿðíîãî âåêòîðíîãî óìíîæåíèÿ, íàéòè âåêòîðû b1 , b2 , b3 òðîéêè, âçàèìíîé òðîéêå âåêòîðîâ a1 , a2 , a3 .

8. Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòî−−→

−−→

ðàõ AB = m + 2n è AD = m − 3n, ãäå |m| = 5, |n| = 3 è (d mn) = π6 .

9. Âû÷èñëèòü îáúåì ïàðàëëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ: 1) a = p − 3q + r, b = 2p + q − 3r è c = p + 2q + r, ãäå p, q, è r  âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå îðòû; 2) a = 3m + 5n, b = m − 2n, c = 2m + 7n, ãäå |m| = 1, |n| =

3, (d mn) = 135◦ . 

10. Ïîêàçàòü, ÷òî [a, b]2 + (ab)2 = a2 b2 . 11. Ïîêàçàòü, ÷òî [a, (b + λa)] = [(a + µb), b] = [a, b]. 12. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè [a, b] + [b, c] + [c, a] = 0, òî âåêòîðû a, b è c êîìïëàíàðíû. 13. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè âåêòîðû [a, b], [b, c], [c, a] êîìïëàíàðíû, òî îíè êîëëèíåàðíû.

14. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ [[a, b], c] = [a, [b, c]]? 15. Äàíû òðè íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðà a, b è c. Íàéòè âåêòîð x, óäîâëåòâîðÿþùèé ñèñòåìå óðàâíåíèé

ax = α, bx = β, cx = γ.

16. Äëÿ òðîéêè âåêòîðîâ a1 = {2, 1, −1}, a2 = {−3, 0, 2}, a3 = {5, 1, −2} íàéòè âçàèìíóþ òðîéêó. 6

2 Ïëîñêîñòü â àôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Âñÿêàÿ ïëîñêîñòü îòíîñèòåëüíî àôôèííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïåðâîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàò x, y, z , ò.å. óðàâíåíèåì âèäà

Ax + By + Cz + D = 0 , ãäå A, B, C íå ðàâíû íóëþ îäíîâðåìåííî. Îáðàòíî, âñÿêîå òàêîå óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü. Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè. Åñëè ïëîñêîñòü çàäàíà ñâîèì îáùèì óðàâíåíèåì

Ax + By + Cz + D = 0 , òî äëÿ êîîðäèíàò âñåõ òî÷åê, ëåæàùèõ ïî îäíó ñòîðîíó îò íåå,

Ax + By + Cz + D > 0 , à äëÿ êîîðäèíàò âñåõ òî÷åê, ëåæàùèõ ïî äðóãóþ ñòîðîíó,

Ax + By + Cz + D < 0 . Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M0 (x0 , y0 , z0 ) ïàðàëëåëüíî äâóì íåêîëëèíåàðíûì âåêòîðàì a = {l, m, n} è b = {l0 , m0 , n0 }, çàïèñûâàåòñÿ òàê:

¯ ¯ x−x y−y z−z ¯ 0 0 0 ¯ ¯ l m n ¯ ¯ ¯ l0 m0 n0

¯ ¯ ¯ ¯ ¯=0. ¯ ¯ ¯

 ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè âûãëÿäèò òàê:

 0    x = x0 + ul + vl

y = y0 + um + vm0    z = z + un + vn0 . 0 7

Çäåñü u è v  îáùèå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè M ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â òî÷êå M0 è áàçèñíûìè âåêòîðàìè a è b. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â îòðåçêàõ òàêîâî:

x y z + + =1, a b c ãäå a, b, c  îòðåçêè, îòñåêàåìûå ïëîñêîñòüþ ñîîòâåòñòâåííî íà îñÿõ

Ox, Oy, Oz . Ñîáñòâåííûì ïó÷êîì ïëîñêîñòåé íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç îäíó ïðÿìóþ. Åñëè

A0 x + B 0 y + C 0 z + D 0 = 0

Ax + By + Cz + D = 0 ,

 äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè, òî óðàâíåíèå

α(Ax + By + Cz + D) + β(A0 x + B 0 y + C 0 z + D0 ) = 0 , ãäå α è β íå ðàâíû íóëþ îäíîâðåìåííî, îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü ïó÷êà, çàäàííîãî äâóìÿ íà÷àëüíûìè ïëîñêîñòÿìè. Îáðàòíî, ëþáàÿ ïëîñêîñòü ýòîãî ïó÷êà ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà òàêèì óðàâíåíèåì.

Íåñîáñòâåííûì ïó÷êîì ïëîñêîñòåé íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ïëîñêîñòåé ïàðàëëåëüíûõ äàííîé ïëîñêîñòè. Óðàâíåíèå

Ax + By + Cz + γ = 0 , ãäå γ  ïðîèçâîëüíî, îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü ïó÷êà, çàäàííîãî íà÷àëüíîé ïëîñêîñòüþ Ax + By + Cz + D = 0. Îáðàòíî, ëþáàÿ ïëîñêîñòü ýòîãî ïó÷êà ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà òàêèì óðàâíåíèåì.

ÇÀÄÀ×È 17. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè òî÷êè: 1) M1 (2, 3, 1), M2 (3, 1, 4), M3 (2, 1, 5); 2) M1 (2, 0, −1), M2 (−2, 4, 1), M3 (0, 2, −1). 8

18. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç îñè êîîðäèíàò è ïàðàëëåëüíûõ âåêòîðó {2, 1, −4}.

19.

Äàíû âåðøèíû òåòðàýäðà A(5, 1, 3), B(1, 6, 2), C(5, 0, 4),

D(4, 0, 6). Íàïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ðåáðî AB ïàðàëëåëüíî ðåáðó CD.

20. Ñîñòàâèòü ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (2, 3, −5) è ïàðàëëåëüíîé âåêòîðàì {−5, 6, 4} è {4, −2, 0}.

21.  ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè òî÷êè A(2, 1, 3), B(2, 4, 0), C(−3, 0, 4), âûáðàíà àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â òî÷êå −−→ −−→ A è åäèíè÷íûìè âåêòîðàìè AB = e1 è AC = e2 . Íàéòè: 1) ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû òî÷êè M , èìåþùåé â ïëîñêîñòíîé ñèñòåìå êîîðäèíàòû u = 5, v = 3; 2) ïëîñêîñòíûå êîîðäèíàòû u è v òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äàííîé ïëîñêîñòè ñ îñüþ Oz .

22. Íàïèñàòü îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ïî åå ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèÿì â êàæäîì èç ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ:

1) x = 2 + 3u − 4v, y = 4 − v, z = 2 + 3u; 2) x = u + v, y = u − v, z = 5 + 6u − 4v.

23. Îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå òî÷åê A(−3, 3, 5), B(0, −7, −4), C(6, 5, 1), D(−3, −5, 2), E(4, −7, 10), F (2, 6, 1) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè 2x− 3y + 6z − 1 = 0.

24. Íàïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è ÷åðåç ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé

2x + 5y − 6z + 4 = 0,

3y + 2z + 6 = 0.

25. ×åðåç ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé 6x − y + z = 0,

5 + 3z − 10 = 0

ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ îñè Ox. 9

26. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ òðåõ ïëîñêîñòåé

x − y = 0, x + y − 2z = 1 = 0, 2x + z − 4 = 0 è 1) ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñü Oy ; 2) ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè Oxz ; 3) ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è òî÷êó (2, 1, 7). 

27. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (3, 7, 2) è ïàðàëëåëüíîé âåêòîðàì {4, 1, 2} è {5, 3, 1}.

28.

Äàíû âåðøèíû òåòðàýäðà A(2, 1, 0), B(1, 3, 5), C(6, 3, 4),

D(0, −7, 8). Íàïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ðåáðî AB è ÷åðåç ñåðåäèíó ðåáðà CD.

29. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå òî÷êè (1, 7, 8), (2, −6, −6) è ïàðàëëåëüíîé îñè Oz .

30.  ïëîñêîñòè 2x + 3y − 4z + 12 = 0 âûáðàíà àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, íà÷àëî êîòîðîé íàõîäèòñÿ â òî÷êå C ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ïëîñêîñòè ñ îñüþ Oz , à êîíöû åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ e1 è e2 ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êàõ A è B ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè ñ îñÿìè Ox è Oy . 1) Íàéòè ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû òî÷êè E , èìåþùåé â ïëîñêîñòíîé ñèñòåìå êîîðäèíàòû u = 1, v = 1. 2) Íàïèñàòü â ïëîñêîñòíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ AB, BC è CA. 3) Íàïèñàòü â ïëîñêîñòíîé ñèñòåìå óðàâíåíèå ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ äàííîé ïëîñêîñòè ñ ïëîñêîñòüþ 5x + 3z − 8 = 0.

31. Äàíû óðàâíåíèÿ òðåõ ãðàíåé ïàðàëëåïèïåäà 2x+3y +4z −12 = 0, x + 3y − 6 = 0, z + 5 = 0, è îäíà èç åãî âåðøèí (6, −5, 1). Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿõ òðåõ äðóãèõ ãðàíåé ïàðàëëåïèïåäà.

32. Íàïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (−3, 1, 0) 10

è ÷åðåç ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé

x + 2y − z + 4 = 0,

3x − y + 2z − 1 = 0.

33. Îïðåäåëèòü âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïëîñêîñòåé â êàæäîé èç íèæåñëåäóþùèõ òðîåê ïëîñêîñòåé: 1) 2x − 4y + 5z − 21 = 0, x − 3z + 18 = 0, 6x + y + z − 30 = 0; 2) x + 2y − 3z = 0, 3x + 6y − 9z + 10 = 0, 2x + 4y − 6z − 1 = 0; 3) 3x − y + 2z + 1 = 0, 7x + 2y + z = 0, 15x + 8y − z − 2 = 0; 4) 5x − 2y + 4 = 0, 3x + z − 5 = 0, 8x − 2y + z + 7 = 0; 5) 6x + 2y + 12z − 3 = 0, 5y − 7z − 10 = 0, 3x + y + 6z + 12 = 0.

3 Ïðÿìàÿ â àôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó M0 (x0 , y0 , z0 ), ïàðàëëåëüíî âåêòîðó

a = {l, m, n}, îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè:     x = x0 + lt y = y0 + mt    z = z + nt 0

 ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, èëè

x − x0 y − y0 z − z0 = = l m n  êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé. Ïðÿìàÿ ìîæåò áûòü òàêæå çàäàíà óðàâíåíèÿìè

(

Ax + By + Cz + D

= 0

A0 x + B 0 y + C 0 z + D 0 = 0 äâóõ ïëîñêîñòåé, ïåðåñåêàþùèõñÿ ïî ýòîé ïðÿìîé. Ýòà ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé.

11

ÇÀÄÀ×È 34. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé M1 M2 â êàæäîì èç ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ: 1) M1 (2, 3, 1), M2 (4, 6, 9); 2) M1 (7, −1, 2), M2 (5, −1, 4); 3) M1 (1, 5, 1), M2 (1, −5, 1).

35. Ñîñòàâèòü ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ 1)

(

x − 2y + 4z = 0

2)

3x − 2y + 5z = 0 ,

(

x+y−z+5 = 0 2x − y + 2z − 2 = 0 .

36. Óñòàíîâèòü, êàêèå èç ñëåäóþùèõ òî÷åê A(5, 8, 15), B(−1, −1, −3), C(5, 7, 1), D(0, 12 , 0), E(0, 0, 1) ëåæàò íà ïðÿìîé x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 3 + 6t.

37. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è ÷åðåç ïðÿìóþ

x = 3 − 2t, y = 1 + t, z = t.

38. Óñòàíîâèòü, êàêèå èç ñëåäóþùèõ ïàð ïðÿìûõ ñêðåùèâàþòñÿ, ïàðàëëåëüíû, ïåðåñåêàþòñÿ èëè ñîâïàäàþò; åñëè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, íàïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ÷åðåç íèõ ïðîõîäÿùåé; åñëè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, íàïèñàòü óðàâíåíèå ñîäåðæàùåé èõ ïëîñêîñòè è íàéòè èõ îáùóþ òî÷êó.

    1)    x = 6 + 3t  x = 1 + 2t y = −1 − 2t y = 7+t      z = −2 + t ;  z = 3 + 4t ,    2)     x = −2t  x = 1 + 2t y = −1 + 3t y = 2 − 2t      z = 4;  z = −t , 12

 3)    x = 2 + 4t

    x = 7 − 6t

y = −6t y = 2 + 9t      z = −1 − 8t ,  z = 12t ;     4)    x = 1 + 9t  x = 7 + 6t y = 2 + 6t y = 6 + 4t      z = 3 + 3t ,  z = 5 + 2t .

39. Óñòàíîâèòü â êàæäîì èç ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ, ëåæèò ëè äàííàÿ ïðÿìàÿ â äàííîé ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè èëè ïåðåñåêàåò åå; â ïîñëåäíåì ñëó÷àå íàéòè òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè.

1) 2) 3) 4)

y−9 x−12 z−1 3x + 5y − z − 2 = 0 ; 4 = 3 = 1 , y−3 x+1 z 3x − 3y + 2z − 5 = 0 ; 2 = 4 = 3 , y−1 x−13 z−4 x + 2y − 4z + 1 = 0 ; 8 = 2 = 3 , y−4 z−5 x−7 3x − y + 2z − 5 = 0 . 5 = 1 = 4 , 40. Íàéòè òî÷êó âñòðå÷è ïðÿìîé x2 = y−1 −1

=

z−3 1

ñ ïëîñêîñòüþ

x + y + z − 10 = 0.

41. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, êîëëèíåàðíîé ïðÿìîé (

x − 3y + z = 0 x+y−z+4 = 0

è ïåðåñåêàþùåé äâå ïðÿìûå

    x = 3+t y = −1 + 2t    z = 4t ,

    x = −2 + 3t y = −1    z = 4−t .



42. Óñòàíîâèòü, êàêèå èç ñëåäóþùèõ òî÷åê ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé: 1) (3,0,1), (0,2,4), (-3,4,7); 2) (1,2,3), (10,8,4), (3,0,2); 3) (2,6,4), (5,7,1), (5,7,1). 13

43. Íàïèñàòü óðàâíåíèÿ ïðÿìîé: 1) ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (3,5,1) ïàðàëëåëüíî ïðÿìîé

x = 2 + 4t, y = −3t, z = −3; 2) ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (0,-5,4) ïàðàëëåëüíî ïðÿìîé

x + 2y + 6 = 0, z = 5.

44. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïðÿìóþ x = 2 + 3t, y = −1 + 6t, z = 4t è êîëëèíåàðíîé ïðÿìîé

x = −1 + 2t, y = 3t, z = −t.

45. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (−2, 3, 0) è ÷åðåç ïðÿìóþ

x = 1, y = 2 + t, z = 2 − t. Óñòàíîâèòü, êàêèå èç ñëåäóþùèõ ïàð ïðÿìûõ ñêðåùèâàþòñÿ, ïàðàëëåëüíû, ïåðåñåêàþòñÿ èëè ñîâïàäàþò; åñëè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, íàïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ÷åðåç íèõ ïðîõîäÿùåé; åñëè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, íàïèñàòü óðàâíåíèå ñîäåðæàùåé èõ ïëîñêîñòè è íàéòè èõ îáùóþ òî÷êó.

46. 1)

(

(

x+z−1 = 0

3x + y − z + 13 = 0

x − 2y + 3 = 0 , 2)

(

2x + 3y = 0

y + 2z − 8 = 0 ; (

x+z−8 = 0

z−4 = 0 , 3)

(

2y + 3z − 7 = 0 ; ( x+y+z−1 = 0 y + 4z = 0

2x + 3y + 6z − 6 = 0 ,

3x + 4y + 7z = 0 ; 14

4)

(

(

3x + y − 2z − 6 = 0 x − 2y + 5z − 1 = 0 ,

41x − 19y + 52z − 68 = 0 33x + 4y − 5z − 63 = 0 .

47.

 1)    x = 9t y = 5t    z = −3 + t ,  2)   x = t y = −8 − 4t    z = −3 − 3t ,  3)    x = 3+t

(

x − 2y + z + 3 = 0 ; (

y = −1

   z = 4−t ,

x+y−z = 0 2x − y + 2z = 0 ;

(

y = −1 + 2t

   z = 4,  4)    x = −2 + 3t

2x − 3y − 3z − 9 = 0

x − 3y + z = 0 x+y−z+4 = 0 ;

(

2y − z + 2 = 0 x − 7y + 3z − 17 = 0 .

48. Óñòàíîâèòü â êàæäîì èç ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ, ëåæèò ëè äàííàÿ ïðÿìàÿ â äàííîé ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè èëè ïåðåñåêàåò åå; â ïîñëåäíåì ñëó÷àå íàéòè òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè.

1)

(

3x + 5y − 7z + 16 = 0 2x − y + z − 6 = 0 ,

2)

(

2x + 3y + 6z − 10 = 0 x+y+z+5 = 0 ,

3)

(

x + 2y + 3z + 8 = 0

5x − z − 4 = 0 ;

y + 4z + 17 = 0 ;

2x − y − 4z − 24 = 0 ;

5x + 3y + z − 16 = 0 ,

49. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (2, 3, 1) 15

è ïåðåñåêàþùåé ïðÿìûå

(

(

x+y = 0 x−y+z+4 = 0 ,

x + 3y − 1 = 0 y+z−2 = 0 .

4 Ïëîñêîñòü è ïðÿìàÿ â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Äëÿ ïëîñêîñòè π , èìåþùåé óðàâíåíèå Ax + By + Cz + D = 0 â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, âåêòîð N = {A, B, C} ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì âåêòîðîì. Åñëè ïëîñêîñòè π1 è π2 çàäàíû, ñîîòâåòñòâåííî, óðàâíåíèÿìè A1 x+

B1 y + C1 z + D1 = 0 è A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, òî êîñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè ðàâåí

cos ϕ = ± p

A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 p . A21 + B12 + C12 A22 + B22 + C22

Ðàññòîÿíèå d îò òî÷êè M0 (x0 , y0 , z0 ) äî ïëîñêîñòè, çàäàííîé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò óðàâíåíèåì Ax + By +

Cz + D = 0 îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå d=

|Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ . A2 + B 2 + C 2

Óðàâíåíèå

Ax + By + Cz + D = 0 ïëîñêîñòè â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ íîðìàëü-

íûì, åñëè

A2 + B 2 + C 2 = 1 ; â ýòîì ñëó÷àå A, B, C  êîñèíóñû óãëîâ åäèíè÷íîãî âåêòîðà {A, B, C}, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ê ïëîñêîñòè Ax + By + Cz + D = 0, ñ îñÿìè êîîðäèíàò, à |D|  ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ýòîé ïëîñêîñòè.

16

Óãëû ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè

    x = x1 + l 1 t y = y1 + m1 t    z = z +n t 1 1

    x = x2 + l2 t y = y2 + m2 t    z = z +n t 2 2

â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:

l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 p . l12 + m21 + n21 l22 + m22 + n22

cos ϕ = ± p

Ðàññòîÿíèå d îò òî÷êè M0 (x0 , y0 , z0 ) äî ïðÿìîé

y − y1 z − z1 x − x1 = = l m n îïðåäåëÿåòñÿ â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñîîòíîøåíèåì

d=

v¯ u¯ u¯ y1 − y0 z1 − z0 t¯ ¯ m n

¯2 ¯ ¯ ¯ z −z x −x 0 1 0 ¯ ¯ 1 ¯ +¯ ¯ ¯ n l √ l2 + m2 + n2

¯2 ¯ ¯ ¯ x −x y −y 0 1 0 ¯ ¯ 1 ¯ +¯ ¯ ¯ l m

¯2 ¯ ¯ ¯ ¯

Êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè

    x = x1 + l 1 t

    x = x2 + l2 t y = y2 + m2 t    z = z +n t 2 2

y = y1 + m1 t    z = z +n t 1 1

â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 ¯ ¯ ¯ mod ¯¯ l1 m1 n1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ l2 m2 n2 ¯ d = v¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ u¯ ¯ n l ¯2 ¯ l m u¯ m1 n1 ¯¯ 1 ¯ 1 1¯ ¯ 1 t¯ ¯ +¯ ¯ +¯ ¯ m2 n2 ¯ ¯ n2 l2 ¯ ¯ l2 m2

Óãîë ìåæäó ïðÿìîé

x − x0 y − y0 z − z0 = = l m n 17

¯2 . ¯ ¯ ¯ ¯

.

è ïëîñêîñòüþ

Ax + By + Cz + D = 0 â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ

sin ϕ = √

Al + Bm + Cn √ . A2 + B 2 + C 2 l2 + m2 + n2

ÇÀÄÀ×È 50. Äàíû äâå òî÷êè A(3, −2, 1), B(6, 0, 5). Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó B è ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïðÿìîé

AB .

51. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, ÷åðåç òî÷êó (1, 2, 3) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïëîñêîñòè x − y +

2z − 4 = 0.

52. ×åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê ïëîñêîñòè 5x − 2y + 5z − 10 = 0 è îáðàçóþùóþ ñ ïëîñêîñòüþ

x − 4y − 8z + 12 = 0 óãîë 45◦ .

53. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé 2x − z = 0, x + y − z + 5 = 0 è ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïëîñêîñòè 7x − y + 4z − 3 = 0.

54. Îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèÿ òî÷åê A(3, 5, 1), B(7, −1, 2), C(2, 0, 4) äî ïëîñêîñòè x + 2y − 2z + 5 = 0.

55. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ áèññåêòîðíûõ ïëîñêîñòåé óãëîâ ìåæäó ïëîñêîñòÿìè 7x + y − 6 = 0, 3x + 5y − 4z + 1 = 0.

56. Íà îñè Oz íàéòè òî÷êó, ðàâíîóäàëåííóþ îò òî÷êè (2, 3, 4) è îò ïëîñêîñòè 2x + 3y + z − 17 = 0.

57. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ïðîåêöèè ïðÿìîé 2x+y−z+4 = 0, x+y = 0 íà ïëîñêîñòü Oxz .

58. Îïðåäåëèòü óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè (

3x − 4y − 2z = 0 2x + y − 2z = 0

(

è

4x + y − 6z − 2 = 0 y − 3z + 2 = 0 .

18

59. Èç òî÷êè (3, −2, 4) îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð íà ïëîñêîñòü 5x + 3y − 7z + 1 = 0.

60. ×åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê ïðÿìîé

x+2 y−3 z−1 = = . 4 5 −2 61. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè

(3, 2, 1) íà îñü Ox.

62. Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè (1, 3, 5) äî ïðÿìîé, ïî êîòîðîé ïåðåñåêàþòñÿ äâå ïëîñêîñòè 2x + y + z − 1 = 0, 3x + y + 2z − 3 = 0.

63. Íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè x−2 y+1 z = = 3 4 2

64.

è

x−7 y−1 z−3 = = . 3 4 2

Íàéòè êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äèàãîíàëüþ ðîìáà è

íåïåðåñåêàþùåé åå äèàãîíàëüþ ãðàíè, åñëè ðåáðî êóáà ðàâíî 1. 

65. Íàéòè êîñèíóñû óãëîâ ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè 1) 2x − y + 3z = 0

2) x + 3y − 4z + 5 = 0

x + 4y − 6z = 0 ,

2x + 2y + 2z − 7 = 0 .

66. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, çíàÿ, ÷òî òî÷êà P (2, 6, −4) ñëóæèò îñíîâàíèåì ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç íà÷àëà êîîðäèíàò íà ýòó ïëîñêîñòü.

67. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïëîñêîñòè x+3y +5z −10 = 0 è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ äàííîé ïëîñêîñòè ñ ïëîñêîñòüþ Oxy .

68. ×åðåç ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé x+5y+z = 0 è x−z+4 = 0 ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, îáðàçóþùóþ óãîë

π 4

ñ ïëîñêîñòüþ x − 4y − 8z +

12 = 0.

69. ×åðåç îñü z ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, îáðàçóþùóþ ñ ïëîñêîñòüþ 2x + y −

√

5z − 7 = 0 óãîë π3 . 19

70. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå áèññåêòîðíîé ïëîñêîñòè òîãî óãëà ìåæäó ïëîñêîñòÿìè 3x + 5y − 4z + 1 = 0 è x − z − 5 = 0 â êîòîðîì ëåæèò íà÷àëî êîîðäèíàò.

71. Îïðåäåëèòü óãîë, îáðàçîâàííûé ïðÿìûìè x−1 y+2 z−5 = = 3 6 2

è

x y−3 z+1 = = . 2 9 6

72. Íàéòè óãîë ìåæäó ïðÿìîé x = 5 + 6t, y = 1 − 3t, z = 2 + t è ïëîñêîñòüþ 7x + 2y − 3z + 5 = 0.

73. Íàéòè ïðîåêöèþ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòü Oxy â êàæäîì èç ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ: 1) 5x + 8y − 3z + 9 = 0, 2x − 4y + z − 1 = 0; 2)

x−3 −5

=

y−4 6

=

z−6 8 .

74. Íàéòè ïðîåêöèþ òî÷êè (1,2,-3) íà ïëîñêîñòü 6x−y+3z−41 = 0. 75. Íàéòè òî÷êó, ñèììåòðè÷íóþ äàííîé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé x = 1 + 2t, y = 2 + 4t, z = 3 + 5t.

76. Ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè x + y + z − 1 = 0 ñ ïðÿìîé y = 1, z + 1 = 0 ïðÿìóþ, ëåæàùóþ â ýòîé ïëîñêîñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê äàííîé ïðÿìîé.

77. Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè (1,2,5) äî êàæäîé èç ñëåäóþùèõ ïðÿìûõ: 1) x = t, y = 1 − 2t, z = 3 + t; 2) x + y − z + 2 = 0, 4x − 3z + 3 = 0.

78. Íàéòè êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè:     x = 3 + 2t    x = −t  1) è y = 2 + 3t y = 1−t      z = 3t ;  z = 2 + 2t ( ( 2) x+y−z+1 = 0 x − 2y + 3z − 6 = 0 è x+y = 0 2x − y + 3z − 6 = 0 ; 20

3)

(

x + 2y − z + 1 = 0 2x − 3y + z − 4 = 0

( è

x+y+z−9 = 0 2x − y − z = 0 .

5 Àôôèííûå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà Ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿ íåïóñòîå ìíîæåñòâî L âåêòîðîâ èç V, îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) ñóììà x + y äâóõ ëþáûõ âåêòîðîâ èç L ñíîâà ïðèíàäëåæèò L; 2) ïðîèçâåäåíèå αx ëþáîãî âåêòîðà èç L íà ëþáîå ÷èñëî α ñíîâà ïðèíàäëåæèò L.

Àôôèííûì ïîäïðîñòðàíñòâîì âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü P âåêòîðîâ èç V, ïîëó÷åííàÿ ïðèáàâëåíèåì êî âñåì âåêòîðàì êàêîãî-íèáóäü ïîäïðîñòðàíñòâà L èç V îäíîãî è òîãî æå âåêòîðà x0 . Ýòà ñâÿçü L è P áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ òàê: P = L + x0 èëè L = P − x0 . Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî àôôèííîå ïîäïðîñòðàíñòâî

P ïîëó÷åíî èç ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà L ïàðàëëåëüíûì ñäâèãîì íà âåêòîð x0 .

Ðàçìåðíîñòüþ àôôèííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòü òîãî ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, ïàðàëëåëüíûì ñäâèãîì êîòîðîãî îíî ïîëó÷åíî. Îäíîìåðíûå ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà áóäóò íàçûâàòüñÿ ïðÿìûìè, à äâóìåðíûå  ïëîñêîñòÿìè.

Ñóììîé äâóõ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ L1 è L2 âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü S = L1 + L2 âñåõ âåêòîðîâ èç

V, êàæäûé èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå x = x1 + x2 , ãäå x1 ∈ L1 è x2 ∈ L2 .

Ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ L1 è L2 âåêòîðíîãî T ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü D = L1 L2 âñåõ âåêòîðîâ èç V, êàæäûé èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò êàê L1 , òàê è L2 . 21

ÇÀÄÀ×È 79. Íàéòè êàêîé-íèáóäü áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà L ïðîñòðàíñòâà Rn , åñëè L çàäàíî óðàâíåíèåì x1 +x2 +. . .+

xn = 0 .

80. Íàéòè ðàçìåðíîñòü è áàçèñ ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, íàòÿíóòîãî íà ñëåäóþùóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ: a1 = {1, 0, 0, −1}, a2 =

{2, 1, 1, 0}, a3 = {1, 1, 1, 1}, a4 = {1, 2, 3, 4}, a5 = {0, 1, 2, 3}.

81. Íàéòè ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, çàäàþùóþ ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íà ñëåäóþùóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ:

a1 = {1, −1, 1, 0}, a2 = {1, 1, 0, 1}, a3 = {2, 0, 1, 1}.

82. Íàéòè áàçèñ ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ, íàòÿíóòûõ íà ñèñòåìû âåêòîðîâ

a1 = {1, 1, 0, 0}, a2 = {0, 1, 1, 0}, a3 = {0, 0, 1, 1}; b1 = {1, 0, 1, 0}, b2 = {0, 2, 1, 1}, b3 = {1, 2, 1, 2}.

83. Íàéòè òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïðÿìûõ a0 + a1 t è b0 + b1 t: a0 = {2, 1, 1, 3, −3}, a1 = {2, 3, 1, 1, −1}; b0 = {1, 1, 2, 1, 2}, b1 = {1, 2, 1, 0, 1}.

84. Äîêàçàòü, ÷òî òî÷êè A(2, 1, −2, 0), B(1, −3, −3, 1), C(4, 9, 0, −2) ïðèíàäëåæàò îäíîé ïðÿìîé.

85. Äàíû òðè òî÷êè A(1, −1, 4, −2), B(0, 3, −4, 3), C(2, 1, 0, −1), íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ïðÿìîé, è åùå òðè òî÷êè A1 (0, 1, −1, 3),

B1 (−6, −1, −2, −3), C1 (−4, 0, −1, 0), òàêæå íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ïðÿìîé. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé (ABC) è

(A1 B1 C1 ).

86. Äîêàçàòü, ÷òî ïëîñêîñòü (ABC) ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè (A1 B1 C1 ): A(2, −1, 0, 4), B(−1, 2, 0, 3), C(3, 0, 1, 1); A1 (1, 1, 1, 1), B1 (8, −4, −4, 6), C1 (−3, 3, 3, 0).

87. Ïðÿìàÿ m ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó M (10, 3, −9, −13) è ïåðåñåêàåò äàííóþ ïðÿìóþ (AB) è äàííóþ ïëîñêîñòü Π2 . Âû÷èñëèòü êîîðäèíàòû 22

òî÷åê m

T

(AB) è m

T

Π2 :

Π2 , åñëè A(−1, 0, 2, 3), B(2, 1, −1, 0), ( x1 + x2 − x3 = 0 2x2 + 2x3 − x4 + 3 = 0 .



88. Íàéòè ðàçìåðíîñòü è áàçèñ ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, íàòÿíóòîãî íà ñëåäóþùóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ:

a1 = {1, 1, 1, 1, 0}, a2 = {1, 1, −1, −1, −1}, a3 = {2, 2, 0, 0, −1}, a4 = {1, 1, 5, 5, 2}, a5 = {1, −1, −1, 0, 0}.

89. Íàéòè ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, çàäàþùóþ ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íà ñëåäóþùóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ:

a1 = {1, −1, 1, −1, 1}, a2 = {1, 1, 0, 0, 3}, a3 = {3, 1, 1, −1, 7}, a4 = {0, 2, −1, 1, 2}.

90. Íàéòè áàçèñ ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ, íàòÿíóòûõ íà ñèñòåìû âåêòîðîâ

a1 = {1, 2, 1, −2}, a2 = {2, 3, 1, 0}, a3 = {1, 2, 2, −3}; b1 = {1, 1, 1, 1}, b2 = {1, 0, 1, −1}, b3 = {1, 3, 0, −4}.

91. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî Rn åñòü ïðÿìàÿ ñóììà äâóõ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ: L1 , çàäàííîãî óðàâíåíèåì x1 + x2 + . . . + xn = 0, è L2 , çàäàííîãî ñèñòåìîé óðàâíåíèé x1 = x2 = . . . = xn .

92. Íàéòè òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïðÿìûõ a0 + a1 t è b0 + b1 t: a0 = {3, 1, 2, 1, 3}, a1 = {1, 0, 1, 1, 2}; b0 = {2, 2, −1, −1, −2}, b1 = {2, 1, 0, 1, 1}.

93. Äîêàçàòü, ÷òî òî÷êè A(0, −3, 0, 2), B(1, 1, −1, −2), C(−1, −7, 1, 6) ïðèíàäëåæàò îäíîé ïðÿìîé.

94. Äîêàçàòü, ÷òî ïëîñêîñòü (ABC) ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè (A1 B1 C1 ): A(1, 2, 0, −1), B(2, 1, −1, 0), C(0, 3, −4, 1); A1 (2, 0, 1, −3), B1 (2, 0, 11, −9), C1 (3, −1, −5, 1).

95. Íàéòè ïåðåñå÷åíèå ãèïåðïëîñêîñòè Π è ëó÷à [AM ): 1) Π : 3x1 + 2x2 + x3 − 2x4 + 4 = 0, 23

[AM ) : x1 = 1 + t, x2 = −1 − 2t, x3 = 3t, x4 = 2 + t, t ≥ 0; 2) Π : x1 − 2x2 + x3 + x4 − 13 = 0,

[AM ) : x1 = t, x2 = 1 − t, x3 = 2 + t, x4 = −1 + 3t, t ≥ 0.

96. Äîêàçàòü, ÷òî ïëîñêîñòè Π2 è Π02 ïðîñòðàíñòâà P4 , çàäàííûå â ðåïåðå (O, ei ) (i = 1, 2, 3, 4) óðàâíåíèÿìè:

(

Π2 :

(

x1 − 3x2 − 2x3 + 3 = 0

Π02

3x2 + 2x3 − x4 − 4 = 0 ,

:

x1 + x2 − 3x3 + x4 = 0 2x1 + x2 − 3x3 − 1 = 0 ,

ïåðåñåêàþòñÿ ïî ïðÿìîé, è íàéòè óðàâíåíèÿ ýòîé ïðÿìîé.

6 Åâêëèäîâû âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà Åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì En íàçûâàåòñÿ n-ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî â êîòîðîì êàæäîé ïàðå âåêòîðîâ x, y ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå âåùåñòâåííîå ÷èñëî (x, y), íàçûâàåìîå ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ýòèõ âåêòîðîâ, ïðè÷åì âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) (x, y) = (y, x); 2) (x1 + x2 , y) = (x1 , y) + (x2 , y); 3) (αx, y) = α(x, y); 4) åñëè x 6= 0, òî (x, x) > 0. Áàçèñ (èëè âîîáùå ñèñòåìà âåêòîðîâ) e1 , e2 , . . . , en íàçûâàåòñÿ îð-

òîíîðìèðîâàííûì, åñëè

(ei , ej ) =

(

1, åñëè i = j, 0, åñëè i 6= j.

Åñëè íåò äðóãèõ óêàçàíèé, òî êîîðäèíàòû âñåõ âåêòîðîâ ïðåäïîëàãàþòñÿ âçÿòûìè â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå. Âåêòîðû x è y íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè (x, y) = 0.

Îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì ïîäïðîñòðàíñòâà L ïðîñòðàíñòâà En íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü L∗ âñåõ âåêòîðîâ èç En , êàæäûé èç êîòîðûõ îðòîãîíàëåí êî âñåì âåêòîðàì èç L. 24

Îïðåäåëèòåëåì Ãðàìà âåêòîðîâ a1 , a2 , . . . , ap åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà En íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëü

¯ ¯ ¯ (a1 , a1 ) (a1 , a2 ) ¯ ¯ (a , a ) (a , a ) 2 2 ¯ 2 1 g(a1 , . . . , ap ) = ¯ ¯ ... ... ¯ ¯ ¯ (ap , a1 ) (ap , a2 )

... ... ... ...

¯ ¯ (a1 , ap ) ¯ ¯ (a2 , ap ) ¯¯ ¯ . . . . ¯¯ ¯ (ap , ap ) ¯

Îïðåäåëèòåëü Ãðàìà âåêòîðîâ a1 , a2 , . . . , ap ðàâåí êâàäðàòó p-ìåðíîãî îáúåìà ïàðàëëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ.

ÇÀÄÀ×È 97. Íàéòè áàçèñ îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ L∗ ïîäïðîñòðàíñòâà L, íàòÿíóòîãî íà âåêòîðû a1 = (1, 0, 2, 1), a2 = (2, 1, 2, 3), a3 = (0, 1, −2, 1).

98. Íàéòè îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ y è îðòîãîíàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ z âåêòîðà x = (4, −1, −3, 4) íà ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî L, íàòÿíóòîå íà âåêòîðû a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 2, 2, −1), a3 = (1, 0, 0, 3).

99. Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðîì x = (2, 2, 1, 1) è ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì L, íàòÿíóòûì íà âåêòîðû a1 = (3, 4, −4, −1), a2 =

(0, 1, −1, 2).

100. Âû÷èñëèòü êîîðäèíàòû îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè M1 òî÷êè M (1, 1, 1, −1) íà ãèïåðïëîñêîñòü Π : x1 + x2 − 2x3 + x4 − 1 = 0.

101. Âû÷èñëèòü ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A(1, −1, 2, 1) äî ãèïåðïëîñêîñòè Π : x1 + 3x2 − x3 − x4 + 2 = 0.

102. Âû÷èñëèòü êîîðäèíàòû îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè M1 òî÷êè M (1, −2, 3, −1) íà ïðÿìóþ x1 = λ − 2, x2 = −λ + 2, x3 = 2λ + 1, x4 = −3λ .

103. Âû÷èñëèòü ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A(1, 1, −2, 1) äî ïðÿìîé l: x1 = λ, x2 = −λ + 1, x3 = λ + 2, x4 = 2λ − 1 . 25

104. Íàïèñàòü óðàâíåíèÿ îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðà ïðÿìîé (AB) è ïëîñêîñòè (P QR): 1) A(1, 1, 1, 1), B(−2, −1, 1, 3), P (2, 1, −1, 0), Q(3, 1, 0, −1), R(0, 0, −1, 1); 2) A(0, 0, 1, 1), B(2, −1, 0, 0), P (3, 1, 0, −2), Q(−2, 0, −1, 3), R(1, 1, 1, −1). 

105. Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî L çàäàíî óðàâíåíèÿìè:  1 2 3 4    2x + x + 3x − x = 0 3x1 + 2x2 − 2x4 = 0

   3x1 + x2 + 9x3 − x4 = 0 . Íàéòè óðàâíåíèÿ, çàäàþùèå îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå L∗ .

106. Íàéòè îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ y è îðòîãîíàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ z âåêòîðà x = (5, 2, −2, 2) íà ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî L, íàòÿíóòîå íà âåêòîðû a1 = (2, 1, 1, −1), a2 = (1, 1, 3, 0), a3 = (1, 2, 8, 1).

107.

Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðîì x = (1, 0, 3, 0) è ëèíåéíûì

ïîäïðîñòðàíñòâîì L, íàòÿíóòûì íà âåêòîðû a1 = (5, 3, 4, −3), a2 =

(1, 1, 4, 5), a3 = (2, −1, 1, 2).

108. Âû÷èñëèòü êîîðäèíàòû îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè M1 òî÷êè M (0, −1, 2, 1) íà ãèïåðïëîñêîñòü Π : 2x1 + x2 + x4 − 3 = 0.

109. Âû÷èñëèòü ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A(2, 3, −1, 4) äî ãèïåðïëîñêîñòè Π : x1 − x2 + 2x3 + x4 + 1 = 0.

110. Âû÷èñëèòü êîîðäèíàòû îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè M1 òî÷êè M (2, −1, 3, 1) íà ïëîñêîñòü ( x1 + x2 + x3 − x4 + 1 = 0 2x1 + x2 − 2x3 + x4 + 2 = 0 .

111. Âû÷èñëèòü ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A(3, 1, −1, 1) äî ïðÿìîé l: x1 = −λ, x2 = λ + 2, x3 = −λ + 1, x4 = 2λ .

112. Âû÷èñëèòü ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî ïëîñêîñòè Π2 : 26

( 1) A(2, 3, −1, 1),

Π2 :

−x1 + 2x2 + x3 − 1 = 0 ; (

2) A(3, −1, 1, 0),

x1 + x2 − x3 + x4 = 0

Π2 :

x1 + 2x2 + x4 = 0 −2x1 + 1 = 0 .

7 Àôôèííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Àôôèííûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïðè êîòîðîì êàæäîé òî÷êå M (x, y) ïëîñêîñòè, çàäàííîé îòíîñèòåëüíî àôôèííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå òî÷êà M 0 (x0 , y 0 ), êîîðäèíàòû êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò òî÷êè M :

(

x0 = a11 x + a12 y + a1 y 0 = a21 x + a22 y + a2 ,

ïðè÷åì îïðåäåëèòåëü

¯ ¯a a ¯ 11 12 ¯ ¯ a21 a22

¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0 . ¯

Ïàðàìåòðû, âõîäÿùèå â äàííîå ñîîòíîøåíèå, èìåþò ñëåäóþùèé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: òî÷êà O0 (a1 , a2 )  îáðàç íà÷àëà êîîðäèíàò; âåêòîð e01 = {a11 , a12 }  îáðàç áàçèñíîãî âåêòîðà e1 = {1, 0} îñè Ox;

e02 = {a11 , a12 }  îáðàç áàçèñíîãî âåêòîðà e2 = {0, 1} îñè Oy . Àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå âçàèìíî-îäíîçíà÷íî, ñîõðàíÿåò êîëëèíåàðíîñòü òðåõ òî÷åê (ò.å. ïðèíàäëåæíîñòü òðåõ òî÷åê îäíîé ïðÿìîé), ïàðàëëåëüíîñòü äâóõ ïðÿìûõ, ïðîñòîå îòíîøåíèå òðåõ òî÷åê è îòíîøåíèå ïëîùàäåé. Âñÿêîå âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå ìíîæåñòâà âñåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, ñîõðàíÿþùåå êîëëèíåàðíîñòü òðåõ ëþáûõ òî÷åê, áóäåò àôôèííûì ïðåîáðàçîâàíèåì.

27

ÇÀÄÀ×È 113. Àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåâîäèò òî÷êè A(2, 1), B(3, 0), C(1, 4) ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êè A0 (1, 6), B 0 (1, 9), C 0 (3, 1). Êóäà ïåðåéäåò ïðè ýòîì ïðåîáðàçîâàíèè òî÷êà M (5, 7)? Êàêàÿ òî÷êà îñòàíåòñÿ íåïîäâèæíîé?

114. Äàíî àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå (

x0 = 2x + 3y + 5 y 0 = 4x − 3y − 2 .

 êàêèå ïðÿìûå ïåðåéäóò ïðè ýòîì ïðåîáðàçîâàíèè 1) îñè Ox è Oy ; 2) ïðÿìûå 2x + 3y + 5 = 0, 4x − 3y − 2 = 0; 3) ïðÿìàÿ 2x − 6y − 7 = 0.

115. Îïðåäåëèòü äâîéíûå ïðÿìûå àôôèííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (

x0 = 7x − y + 1 y 0 = 4x + 2y + 4 .

116. Êàê çàïèøåòñÿ àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå (

x0 = x + 2y y 0 = 4x + 3y ,

åñëè çà íîâûå îñè àôôèííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ïðèíÿòü äâîéíûå ïðÿìûå äàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.

117. Íàéòè àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèþ (

x0 = 2x + 3y − 7 y 0 = 3x + 5y − 9 .

118. Äàíû äâà àôôèííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ A è B . (

A:

(

0

x = 2x + y − 5 y 0 = 3x − y + 7 ,

B:

Íàéòè ïðåîáðàçîâàíèÿ AB è BA. 28

x0 = x − y + 4 y 0 = −x + 2y + 5 .

119. Äîêàçàòü, ÷òî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ñòîðîíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ äâà ñîïðÿæåííûõ ïîëóäèàìåòðà ýëëèïñà è õîðäà, ñîåäèíÿþùàÿ èõ êîíöû, åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ.

120. Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ýëëèïñà ñ ïîëóîñÿìè a è b. 121. Îïðåäåëèòü âèä è ðàñïîëîæåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà x2 − 4xy + y 2 − 4x + 2y − 2 = 0, ïîëüçóÿñü ïðèâåäåíèåì ìíîãî÷ëåíà ê ñóììå êâàäðàòîâ ìåòîäîì Ëàãðàíæà.

122. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ëþáîì àôôèííîì ïðåîáðàçîâàíèè ïëîñêîñòè, îòëè÷íîì îò ïîäîáèÿ, ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïëîñêîñòè ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ ïàðà ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïðÿìûõ, ïåðåõîäÿùèõ â ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïðÿìûå. 

123. Îïðåäåëèòü àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå, êîòîðîå òðè äàííûå òî÷êè A1 (1, 0), A2 (0, 2), A3 (−3, 0) ïåðåâîäèò ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êè

A01 (2, 3), A02 (−1, 4), A03 (−2, −1).

124. Îïðåäåëèòü äâîéíóþ òî÷êó àôôèííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (

x0 = 4x + 5y − 11 y 0 = 2x + 4y − 7 .

125. Äàíî àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå (

x0 = 2x + y − 2 y 0 = x − 5y − 1

è òî÷êà A(1, 1). Íàéòè ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó A, êîòîðàÿ ïðè ýòîì ïðåîáðàçîâàíèè ïåðåõîäèò â ïðÿìóþ, òàêæå ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó A.

126. Äîêàçàòü, ÷òî àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå (

x0 = ax − by 0

y = ax + by , íå èìååò äâîéíûõ ïðÿìûõ. 29

a2 + b2 6= 0

127. Îáðàçóåò ëè ãðóïïó ìíîæåñòâî ìíîæåñòâî àôôèííûõ ïðåîáðàçîâàíèé

(

x0 = r(x cos ϕ − y sin ϕ) y 0 = r(x sin ϕ + y cos ϕ) ,

ãäå r ïðèíèìàåò âñå äåéñòâèòåëüíûå ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, à ϕ ïðèíèìàåò âñå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ.  ÷åì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë óêàçàííûõ ïðåîáðàçîâàíèé? Ñèñòåìà êîîðäèíàò ïðÿìîóãîëüíàÿ.

128. Äîêàçàòü, ÷òî äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà, ñòîðîíû êîòîðîãî êàñàþòñÿ ýëëèïñà, ÿâëÿþòñÿ ñîïðÿæåííûìè äèàìåòðàìè ýòîãî ýëëèïñà.

129. Äîêàçàòü, ÷òî äâà ñîïðÿæåííûõ äèàìåòðà ýëëèïñà äåëÿò åãî íà ÷åòûðå ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè.

130.

Îïðåäåëèòü âèä è ðàñïîëîæåíèå ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà,

ïîëüçóÿñü ïðèâåäåíèåì ìíîãî÷ëåíà ê ñóììå êâàäðàòîâ ìåòîäîì Ëàãðàíæà: 1) x2 − 2xy + 4y 2 + 2x − 2y − 4 = 0; 2) x2 + 4xy + 4y 2 − 6x − 8y = 0.

8 Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà, çàäàííûå êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè Äëÿ ëþáîé ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ñóùåñòâóåò ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå, â êîòîðîé óðàâíåíèå ýòîé ïîâåðõíîñòè èìååò êàíîíè÷åñêèé âèä. Ñóùåñòâóåò 17 òèïîâ ïîâåðõíîñòåé. 1. Ìíèìûé ýëëèïñîèä

x2 a2

+

y2 b2

+

2. Äåéñòâèòåëüíûé ýëëèïñîèä 3. Äâóïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä

z2 c2

= −1.

x2 a2

+

x2 a2

+

x2 a2

4. Îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä 30

y2 b2

y2 b2

+

+

−

y2 b2

z2 c2

z2 c2

−

= 1. = −1.

z2 c2

= 1.

5. Ìíèìûé êîíóñ

x2 a2

+

y2 b2

+

6. Äåéñòâèòåëüíûé êîíóñ 7. Ìíèìûé öèëèíäð

x2 a2

+

z2 c2

= 0.

x2 a2

+

y2 b2

8. Ýëëèïòè÷åñêèé öèëèíäð

y2 b2

z2 c2

−

= 0.

= −1. x2 a2

+

x2 a2

9. Ãèïåðáîëè÷åñêèé öèëèíäð

y2 b2

−

= 1.

y2 b2

= 1. x2 a2

10. Ïàðà ìíèìûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïëîñêîñòåé

+

y2 b2

= 0. x2 y 2 a2 − b2

11. Ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïëîñêîñòåé x2 a2

12. Ïàðà ìíèìûõ ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé

= −1.

13. Ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé 14. Ïàðà ñîâïàäàþùèõ ïëîñêîñòåé

x2 a2

= 0.

15. Ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä

x2 2p

+

z=

16. Ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä 17. Ïàðàáîëè÷åñêèé öèëèíäð

z=

z=

x2 2p

= 0.

x2 a2

= 1.

y2 2q .

−

y2 2q .

x2 2p .

Åñëè ïðÿìàÿ èìååò ñ ïîâåðõíîñòüþ áîëåå äâóõ îáùèõ òî÷åê, òî îíà öåëèêîì ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè è íàçûâàåòñÿ ïðÿìîëèíåéíîé îáðàçó-

þùåé ýòîé ïîâåðõíîñòè. Îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä

x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

= 1 èìååò äâå ñåðèè ïðÿ-

ìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè:

(

α β

¡x ¡ xa a

+ −

¢

z c ¢ z c

¡ ¢ = β 1 + yb ¡ ¢ = α 1 − yb

( è

α β

¡x ¡ xa a

+ −

¢

z c ¢ z c

¡ ¢ = β 1 − yb ¡ ¢ = α 1 + yb ,

ãäå α è β  ïðîèçâîëüíûå ïàðàìåòðû, âçÿòûå ñ òî÷íîñòüþ äî îáùåãî ìíîæèòåëÿ.

31

Ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä z = ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ:

 ³  α √x + ³ 2p  β √x − 2p

´

√y 2q ´ √y 2q

= β = αz

è

y2 x2 − 2p 2q

òàêæå ñîäåðæèò äâå ñåðèè

 ³  α √x − ³ 2p  β √x + 2p

´

√y 2q ´ √y 2q

= β = αz .

Ïîâåðõíîñòü âòîðîãî ïîðÿäêà ïåðåñåêàåòñÿ âñÿêîé ïëîñêîñòüþ ïî êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà (äåéñòâèòåëüíîé èëè ìíèìîé). Ñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè åå ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè ñå÷åíè-

ÿìè; âåðøèíû è îñè ãëàâíûõ ñå÷åíèé íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè è îñÿìè ïîâåðõíîñòè. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð, íàçûâàåòñÿ äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ïîâåðõíîñòè â äàííîé òî÷êå åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ïðÿìûõ, êàñàþùèõñÿ ïîâåðõíîñòè â ýòîé òî÷êå. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè â òî÷êå (x0 , y0 , z0 ) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè y2 x2 z2 + 2 a b2 ± c2 = ±1 y2 x2 z2 + ± 2 2 a b c2 = 0 2 y2 z = x2p ± 2q

yy0 xx0 zz0 a2 + b2 ± c2 = ±1 yy0 zz0 xx0 a2 + b2 ± c2 = 0 yy0 0 z = xx 2p ± 2q

Ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó ïðèêîñíîâåíèÿ, íàçûâàåòñÿ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè â äàííîé òî÷êå.

ÇÀÄÀ×È 131.  ïëîñêîñòè (yz) äàíà íåïîäâèæíàÿ ïàðàáîëà y 2 = 2qz , è ïî íåé ñêîëüçèò âåðøèíà äðóãîé íåèçìåííîé ïàðàáîëû, ïàðàìåòð êîòîðîé ðàâåí p è êîòîðàÿ ïåðåìåùàåòñÿ òàê, ÷òî ïëîñêîñòü åå îñòàåòñÿ âñå âðåìÿ ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê îñè y , à îñü åå ïàðàëëåëüíà îñè z . Íàéòè ïîâåðõíîñòü, îïèñàííóþ ïîäâèæíîé ïàðàáîëîé. 32

132. ×åðåç òî÷êó (5, 1, 2) ïðîâåñòè ïðÿìóþ òàê, ÷òîáû îíà ïåðåñåêàëà ïîâåðõíîñòü

x2 9

+

y2 4

− z 2 = 1 ëèøü â îäíîé òî÷êå.

133. Íàéòè ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó (6, 2, 8) è ëåæàùèå x2 9

öåëèêîì íà ïîâåðõíîñòè

+

y2 4

−

z2 16

= 1.

134. Äîêàçàòü, ÷òî îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä âðàùåíèÿ ìîæåò áûòü îïèñàí ïðÿìîé, âðàùàþùåéñÿ îêîëî îñè, íå ëåæàùåé ñ íåé â îäíîé ïëîñêîñòè.

135. Ê îäíîïîëîñòíîìó ãèïåðáîëîèäó

x2 36

+

y2 9

−

z2 4

= 1 ïðîâåñòè

êàñàòåëüíûå ïëîñêîñòè ÷åðåç òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãèïåðáîëîèäà è ïðÿìîé:

x y+9 z = = ; 3 3 1

1)

2)

x−9 y z = = ; −1 4 1

3)

136. Äàí ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä x2 −

x y z+2 = = . 6 −3 4 y2 4

= z è îäíà èç åãî

êàñàòåëüíûõ ïëîñêîñòåé: 10x − 2y − z − 21 = 0. Íàéòè óðàâíåíèÿ êàæäîé èç òåõ äâóõ ïðÿìûõ, ïî êîòîðûì îíè ïåðåñåêàþòñÿ.

137. Îïðåäåëèòü âèä ïîâåðõíîñòè, ïîëüçóÿñü ïðèâåäåíèåì ëåâîé ÷àñòè åå óðàâíåíèÿ ê ñóììå êâàäðàòîâ ìåòîäîì Ëàãðàíæà:

1) 4x2 + 6y 2 + 4z 2 + 4xz − 8y − 4z + 3 = 0 ; 2) xy + xz + yz + 2x + 2y − 2z = 0 . 

138. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî êàñàòåëüíûõ ê ïîâåðõíîñòè 2

y 6

+

2

z 4

x2 8

+

= 1, ïðîâåäåííûõ èç òî÷êè (5, 1, 0). x2 16

139. Íà ïàðàáîëîèäå

−

y2 4

= z íàéòè ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþ-

ùèå, ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè 3x + 2y − 4z = 0.

140. Äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþùèå îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà

x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

= 1 ïðîåêòèðóþòñÿ íà êîîðäèíàòíûå ïëîñ-

êîñòè â êàñàòåëüíûå ê ñîîòâåòñòâóþùèì ãëàâíûì ñå÷åíèÿì.

141. Êàêîìó óñëîâèþ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü êîýôôèöèåíòû ïëîñêîñòè Ax + By + Cz + D = 0 äëÿ òîãî, ÷òîáû îíà êàñàëàñü: 1) öåíòðàëüíîé ïîâåðõíîñòè

x2 a2

+

y2 b2

±

z2 c2

= ±1; 2) ïàðàáîëîèäà

33

x2 2p

±

y2 2q

= z.

142. Ïðÿìàÿ x = 1 + 2t, y = −3 + 3t, z = t âðàùàåòñÿ âîêðóã îñè Oz . Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ.

143. Îïðåäåëèòü âèä ïîâåðõíîñòè, ïîëüçóÿñü ïðèâåäåíèåì ëåâîé ÷àñòè åå óðàâíåíèÿ ê ñóììå êâàäðàòîâ ìåòîäîì Ëàãðàíæà:

1) x2 + 5y 2 + z 2 + 2xy + 6xz + 2yz − 2x + 6y − 10z = 0 ; 2) x2 + y 2 − 3z 2 − 2xy − 6xz − 6yz + 2x + 2y + 4z = 0 ; 3) x2 − 2y 2 + z 2 + 4xy − 10xz + 4yz + x + y − z = 0 ; 4) x2 + y 2 + 4z 2 + 2xy + 4xz + 4yz − 6z + 1 = 0 .

9 Êðèâûå è ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà, çàäàííûå îáùèìè óðàâíåíèÿìè Îáùåå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà èìååò âèä:

a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 . Åñëè êðèâàÿ îáëàäàåò öåíòðîì ñèììåòðèè, òî åãî êîîðäèíàòû îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèé:

(

a11 x + a12 y + a13 = 0 a12 x + a22 y + a23 = 0 .

Äèàìåòð ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà, ñîïðÿæåííûé õîðäàì, ïàðàëëåëüíûì âåêòîðó {l, m}, îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì:

l(a11 x + a12 y + a13 ) + m(a12 x + a22 y + a23 ) = 0 .  ñëó÷àå öåíòðàëüíîé êðèâîé âñå äèàìåòðû ïðîõîäÿò ÷åðåç öåíòð. Íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû {l1 , m1 } è {l2 , m2 } äâóõ ñîïðÿæåííûõ îòíîñèòåëüíî ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà íàïðàâëåíèé óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ

a11 l1 l2 + a12 (l1 m2 + l2 m1 ) + a22 m1 m2 = 0 .

34

Íàïðàâëåíèå, îïðåäåëÿåìîå âåêòîðîì {l, m}, íàçûâàåòñÿ àñèìïòî-

òè÷åñêèì, åñëè îíî ñîïðÿæåíî ñàìîìó ñåáå, òî åñòü

a11 l2 + 2a12 lm + a22 m2 = 0 . Àñèìïòîòû ãèïåðáîëû ïðîõîäÿò ÷åðåç åå öåíòð; èõ íàïðàâëÿþùèå âåêòîðà èìåþò àñèìïòîòè÷åñêèå íàïðàâëåíèÿ. Êðîìå òîãî, àñèìïòîòû ìîæíî îïðåäåëèòü êàê äèàìåòðû, ñîïðÿæåííûå àñèìïòîòè÷åñêèì íàïðàâëåíèÿì. Óðàâíåíèÿ àñèìïòîò ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

l(a11 x + a12 y + a13 ) + m(a12 x + a22 y + a23 ) = 0 , ãäå âåêòîð {l, m} èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå íàïðàâëåíèå.

Êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà â åå òî÷êå M0 (x0 , y0 ) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì

(a11 x0 + a12 y0 + a13 )x + (a12 x0 + a22 y0 + a23 )y + a13 x0 + a23 y0 + a33 = 0 . Îáùåå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà èìååò âèä:

a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0 . Åñëè ïîâåðõíîñòü îáëàäàåò öåíòðîì ñèììåòðèè, òî åãî êîîðäèíàòû îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèé:

    a11 x + a12 y + a13 z + a14 = 0 a12 x + a22 y + a23 z + a24 = 0    a x+a y+a z+a = 0 . 13 23 33 34

Åñëè ìû ðàññìîòðèì âñå õîðäû ïîâåðõíîñòè ïàðàëëåëüíûå âåêòîðó

{l, m, n}, òî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ñåðåäèí ýòèõ õîðä åñòü ïëîñêîñòü  äèàìåòðàëüíàÿ ïëîñêîñòü, ñîïðÿæåííàÿ äàííûì õîðäàì. Óðàâíåíèå ýòîé ïëîñêîñòè

l(a11 x + a12 y + a13 z + a14 ) + m(a12 x + a22 y + a23 z + a24 ) + 35

+n(a13 x+a23 y +a33 z +a34 ) = 0 .  ñëó÷àå öåíòðàëüíîé ïîâåðõíîñòè âñå äèàìåòðàëüíûå ïëîñêîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåç öåíòð.

Ñîïðÿæåííûìè äèàìåòðàìè íàçûâàþòñÿ òàêèå äâà äèàìåòðà, èç êîòîðûõ êàæäûé ëåæèò â äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòè, ñîïðÿæåííîé äðóãîìó. Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ {l1 , m1 , n1 } è {l2 , m2 , n2 }, èìåþùèõ âçàèìíî ñîïðÿæåííûå îòíîñèòåëüíî ïîâåðõíîñòè íàïðàâëåíèÿ, ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

a11 l1 l2 + a22 m1 m2 + a33 n1 n2 + +a12 (l1 m2 +l2 m1 )+a13 (l1 n2 +l2 n1 )+a23 (m1 n2 +m2 n1 ) = 0 . Íàïðàâëåíèå, îïðåäåëÿåìîå âåêòîðîì {l, m, n}, íàçûâàåòñÿ àñèì-

ïòîòè÷åñêèì, åñëè îíî ñîïðÿæåíî ñàìîìó ñåáå, òî åñòü

a11 l2 + a22 m2 + a33 n2 + 2a12 lm + 2a13 ln + 2a23 mn = 0 . Åñëè ïðîâåñòè ïðÿìûå àñèìïòîòè÷åñêîãî íàïðàâëåíèÿ ÷åðåç öåíòð ïîâåðõíîñòè, òî èõ óðàâíåíèÿ îêàæóòñÿ íåñîâìåñòíûìè ñ óðàâíåíèÿìè ïîâåðõíîñòè, òî åñòü ýòè ïðÿìûå íå áóäóò èìåòü íè îäíîé îáùåé òî÷êè ñ ïîâåðõíîñòüþ. Òàêèå ïðÿìûå íàçûâàþòñÿ àñèìïòîòàìè ïîâåðõíîñòè. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ àñèìïòîò ïîâåðõíîñòè ñîñòàâëÿåò àñèì-

ïòîòè÷åñêèé êîíóñ. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà â åå òî÷êå

M0 (x0 , y0 , z0 ) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì (a11 x0 + a12 y0 + a13 z0 + a14 )x + (a12 x0 + a22 y0 + a23 z0 + a24 )y + + (a13 x0 + a23 y0 + a33 z0 + a34 )z + a14 x0 + a24 y0 + a34 z0 + a44 = 0 . Ãëàâíûìè íàïðàâëåíèÿìè îòíîñèòåëüíî äàííîé ïîâåðõíîñòè íàçûâàþòñÿ íàïðàâëåíèÿ õîðä, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ê ñîïðÿæåííûì èì äèàìåòðàëüíûì ïëîñêîñòÿì; ýòè ïîñëåäíèå íàçûâàþòñÿ òîãäà ãëàâíûìè 36

äèàìåòðàëüíûìè ïëîñêîñòÿìè. Ãëàâíûìè îñÿìè ïîâåðõíîñòè íàçûâàþòñÿ äèàìåòðû, èìåþùèå ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ.

ÇÀÄÀ×È 144. Îïðåäåëèòü öåíòð ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà 5x2 + 8xy + 5y 2 − 18x − 18y + 11 = 0 .

145. Íàéòè öåíòð ïîâåðõíîñòè x2 + y 2 + z 2 + 2xy − 2yz + 6xz + 2x − 6y − 2z = 0 . Êàêîé âèä ïðèìåò óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè ïîñëå ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò â öåíòð?

146. Äàíà ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà 4xy − 5y 2 + 2x + 6y + 1 = 0 . Íàïèñàòü óðàâíåíèå äèàìåòðà ýòîé ëèíèè, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç òî÷êó

(−4, 2).

147. Íàéòè àñèìïòîòû ãèïåðáîëû x2 − 3xy − 10y 2 + 6x − 8y = 0 . 148.  òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ êðèâîé x2 − 2y 2 − 5x + 4y + 6 = 0 ñ îñüþ àáñöèññ ïðîâåñòè êàñàòåëüíûå ê ýòîé êðèâîé.

149. Ê êðèâîé x2 + xy + y 2 + 2x + 3y − 3 = 0 ïðîâåñòè êàñàòåëüíûå, ïàðàëëåëüíûå ïðÿìîé 3x + 3y − 5 = 0.

150. Íàéòè óðàâíåíèå äèàìåòðà ïîâåðõíîñòè x2 + 2y 2 − z 2 − 2xy − 2yz + 2xz − 4x − 1 = 0 , ñîïðÿæåííîãî ïëîñêîñòè x + y + z + 1 = 0. 

151. Îïðåäåëèòü öåíòð ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà 4x2 + 4xy + y 2 − 10x − 5y + 6 = 0 .

152. Íàéòè öåíòð ïîâåðõíîñòè 4xy + 4xz − 4x − 4z − 1 = 0 . 37

Êàêîé âèä ïðèìåò óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè ïîñëå ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò â öåíòð?

153. Íàéòè äèàìåòðàëüíóþ ïëîñêîñòü ïîâåðõíîñòè x2 + 2y 2 − z 2 − 2xy − 2yz − 2xz − 4x − 1 = 0 , ïàðàëëåëüíóþ ïëîñêîñòè x + y + z = 0.

154. Íàéòè àñèìïòîòû ãèïåðáîëû 3x2 +2xy−y 2 +8x+10y−14 = 0 . 155. Äàíà ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà 4x2 + 4xy + y 2 − 6x + 4y + 2 = 0 . Íàïèñàòü óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíûõ ê ýòîé ëèíèè, ïàðàëëåëüíûõ îñè Oy .

156. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå äèàìåòðà ïîâåðõíîñòè 4x2 + 6y 2 + 4z 2 + 4xz + 8y − 4z = 3 = 0 , ïàðàëëåëüíîãî îñè Oy .

157. Íàéòè äèàìåòðàëüíóþ ïëîñêîñòü ïîâåðõíîñòè 2x2 + 5y 2 + 8z 2 + 2xy + 6xz + 12yz + 8x + 14y + 18z = 0 , ñîïðÿæåííóþ õîðäàì, ïàðàëëåëüíûì âåêòîðó {3, 2, −5}.

10 Åâêëèäîâà êëàññèôèêàöèÿ êðèâûõ è ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà Ïóñòü çàäàíî îáùåå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà

a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 . Ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:

I1 = a11 + a22 ,

¯ ¯a a ¯ 11 12 I2 = ¯ ¯ a12 a22

¯ ¯ ¯ ¯ , ¯

¯ ¯ ¯ a11 a12 a13 ¯ K3 = ¯¯ a12 a22 a23 ¯ ¯ a13 a23 a33

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , ¯ ¯ ¯

ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèþ îäíîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â äðóãóþ ïðÿìîóãîëüíóþ. 38

Ñëåäóþùåå âûðàæåíèå, íàçûâàåìîå ñåìèèíâàðèàíòîì, ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ïîâîðîòà ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò:

¯ ¯a a ¯ 11 13 K2 = ¯ ¯ a13 a33 Óðàâíåíèå

¯ ¯ ¯ ¯a a ¯ ¯ 22 23 ¯+¯ ¯ ¯ a23 a33

¯ ¯ a −λ a12 ¯ 11 ¯ ¯ a12 a22 − λ

¯ ¯ ¯ ¯ . ¯

¯ ¯ ¯ ¯=0 ¯

íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì. Åãî êîðíè λ1 è λ2 âñåãäà äåéñòâèòåëüíû. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ìîæíî ðàçáèòü íà òðè ãðóïïû. 1. Ê ïåðâîé ãðóïïå îòíåñåì ëèíèè, èìåþùèå åäèíñòâåííûé öåíòð ñèììåòðèè: ýëëèïñ, ìíèìûé ýëëèïñ, ãèïåðáîëà, äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, äâå ìíèìûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà èìååò åäèíñòâåííûé öåíòð ñèììåòðèè: I2 6= 0. Ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò óðàâíåíèå ëèíèè ïåðâîé ãðóïïû ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê âèäó:

λ1 X 2 + λ2 Y 2 +

K3 =0. I2

2. Êî âòîðîé ãðóïïå îòíåñåì ëèíèè, íå èìåþùèå öåíòðà ñèììåòðèè, òî åñòü îäíó ïàðàáîëó. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëîé: I2 = 0, K3 6= 0. Ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîé ãðóïïû ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê âèäó:

r

I1 X 2 ± 2 − 39

K3 Y =0. I1

3. Ê òðåòüåé ãðóïïå îòíåñåì ëèíèè, èìåþùèå ïðÿìóþ öåíòðîâ ñèììåòðèè: äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, äâå ìíèìûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, äâå ñîâïàäàþùèå ïðÿìûå. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà èìååò ïðÿìóþ öåíòðîâ ñèììåòðèè: I2 = 0, K3 = 0. Ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò óðàâíåíèå ëèíèè òðåòüåé ãðóïïû ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê âèäó:

I1 X 2 +

K2 =0. I1

Ïóñòü çàäàíî îáùåå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà

a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0 . Ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:

I1 = a11 + a22 + a33 ,

¯ ¯a a ¯ 11 12 I2 = ¯ ¯ a12 a22

¯ ¯ ¯ a11 a12 a13 ¯ I3 = ¯¯ a12 a22 a23 ¯ ¯ a13 a23 a33

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , ¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯a a ¯ ¯a a ¯ ¯ 11 13 ¯ ¯ 22 23 ¯+¯ ¯+¯ ¯ ¯ a13 a33 ¯ ¯ a23 a33 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 a12 a13 a14 ¯ ¯ ¯ ¯a a a a ¯ ¯ 12 22 23 24 ¯ K4 = ¯ ¯ , ¯ a13 a23 a33 a34 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a14 a24 a34 a44 ¯

¯ ¯ ¯ ¯ , ¯

ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèþ îäíîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â äðóãóþ ïðÿìîóãîëüíóþ. Ñëåäóþùèå äâà âûðàæåíèÿ, íàçûâàåìûå ñåìèèíâàðèàíòàìè, ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè ïîâîðîòà ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò:

¯ ¯a a ¯ 11 14 K2 = ¯ ¯ a14 a44

¯ ¯ ¯ ¯a a ¯ ¯ 22 24 ¯+¯ ¯ ¯ a24 a44

40

¯ ¯ ¯ ¯a a ¯ ¯ 33 34 ¯+¯ ¯ ¯ a34 a44

¯ ¯ ¯ ¯ , ¯

¯ ¯a a a ¯ 11 12 14 ¯ K3 = ¯¯ a12 a22 a24 ¯ ¯ a14 a24 a44 Óðàâíåíèå

¯ ¯ ¯ ¯a a a ¯ ¯ 11 13 14 ¯ ¯ ¯ + ¯ a13 a33 a34 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a14 a34 a44

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a22 a23 a24 ¯ ¯ ¯ + ¯ a23 a33 a34 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a24 a34 a44

¯ ¯a − a13 a12 ¯ 11 λ ¯ ¯ a12 a22 − λ a23 ¯ ¯ ¯ a13 a23 a33 − λ

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . ¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ ¯=0 ¯ ¯ ¯

íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì. Åãî êîðíè λ1 , λ2 è λ3 âñåãäà äåéñòâèòåëüíû. Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ìîæíî ðàçáèòü íà ïÿòü ãðóïï. 1. Ê ïåðâîé ãðóïïå îòíåñåì ïîâåðõíîñòè, èìåþùèå åäèíñòâåííûé öåíòð ñèììåòðèè: ýëëèïñîèä, ìíèìûé ýëëèïñîèä, ìíèìûé êîíóñ, îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä, äâóïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä, êîíóñ. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà èìååò åäèíñòâåííûé öåíòð ñèììåòðèè: I3 6= 0. Ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè ïåðâîé ãðóïïû ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê âèäó:

λ1 X 2 + λ2 Y 2 + λ3 Z 2 +

K4 =0. I3

2. Êî âòîðîé ãðóïïå îòíåñåì ïîâåðõíîñòè, íå èìåþùèå öåíòðà ñèììåòðèè: ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä è ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ïîâåðõíîñòü âòîðîãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëîèäîì: I3 = 0, K4 6= 0. Ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîé ãðóïïû ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê âèäó:

r λ1 X 2 + λ2 Y 2 ± 2 − 41

K4 Z=0. I2

3. Ê òðåòüåé ãðóïïå îòíåñåì ïîâåðõíîñòè, èìåþùèå ïðÿìóþ öåíòðîâ ñèììåòðèè: ýëëèïòè÷åñêèé öèëèíäð, ìíèìûé ýëëèïòè÷åñêèé öèëèíäð, ãèïåðáîëè÷åñêèé öèëèíäð, äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè, äâå ìíèìûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ïîâåðõíîñòü âòîðîãî ïîðÿäêà èìååò ïðÿìóþ öåíòðîâ ñèììåòðèè: I3 = 0, K4 =

0, I2 6= 0. Ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè òðåòüåé ãðóïïû ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê âèäó:

λ1 X 2 + λ2 Y 2 +

K3 =0. I2

4. Ê ÷åòâåðòîé ãðóïïå îòíåñåì ïàðàáîëè÷åñêèé öèëèíäð. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ïîâåðõíîñòü âòîðîãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêèì öèëèíäðîì: I3 = 0, K4 =

0, I2 = 0, K3 6= 0. Ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè ÷åòâåðòîé ãðóïïû ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê âèäó:

r λ1 X 2 ± 2 −

K3 Y =0. I1

5. Ê ïÿòîé ãðóïïå îòíåñåì ïîâåðõíîñòè, èìåþùèå ïëîñêîñòü öåíòðîâ ñèììåòðèè: äâå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè, äâå ìíèìûå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè, äâå ñîâïàäàþùèå ïëîñêîñòè. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ïîâåðõíîñòü âòîðîãî ïîðÿäêà èìååò ïëîñêîñòü öåíòðîâ ñèììåòðèè: I3 = 0, K4 =

0, I2 = 0, K3 = 0. Ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè òðåòüåé ãðóïïû ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê 42

âèäó:

I1 X 2 +

K2 =0. I1

ÇÀÄÀ×È Îïðåäåëèòü ôîðìó, ðàçìåðû è ðàñïîëîæåíèå ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, çàäàííûõ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè:

158. 5x2 + 4xy + 8y 2 − 32x − 56y + 80 = 0 . 159. 5x2 + 12xy − 22x − 12y − 19 = 0 . 160. x2 − 5xy + 4y 2 + x + 2y − 2 = 0 . Îïðåäåëèòü êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, çàäàííûõ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè:

161. 162. 163. 164.

9x2 + 24xy + 16y 2 − 40x + 30y = 0 . 5x2 + 6xy + 5y 2 − 16x − 16y − 16 = 0 . 7x2 + 16xy − 23y 2 − 14x − 16y − 218 = 0 . Îïðåäåëèòü ôîðìó, ðàçìåðû è ðàñïîëîæåíèå ïîâåðõíîñòè

âòîðîãî ïîðÿäêà

x2 + 5y 2 + z 2 + 2xy + 6xz + 2yz − 2x + 6y + 2z = 0 . Îïðåäåëèòü êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà, çàäàííûõ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè:

165. x2 + y 2 + 4z 2 + 2xy + 4xz + 4yz − 6z + 1 = 0 . 166. x2 − 2y 2 + z 2 + 4xy − 8xz − 4yz − 14x − 4y + 14z + 16 = 0 .  Îïðåäåëèòü ôîðìó, ðàçìåðû è ðàñïîëîæåíèå ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, çàäàííûõ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè:

167. 9x2 + 24xy + 16y 2 − 230x + 110y − 475 = 0 . 168. x2 − 2xy + y 2 − 10x − 6y + 25 = 0 . 169. 4x2 − 12xy + 9y 2 − 2x + 3y − 2 = 0 . Îïðåäåëèòü êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, çàäàííûõ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè: 43

170. 171. 172. 173.

5x2 + 8xy + 5y 2 − 18x − 18y + 9 = 0 . 6xy + 8y 2 − 12x − 26y + 11 = 0 . 7x2 − 24xy − 38x + 24y + 175 = 0 . Îïðåäåëèòü ôîðìó, ðàçìåðû è ðàñïîëîæåíèå ïîâåðõíîñòè

âòîðîãî ïîðÿäêà

2x2 + 10y 2 − 2z 2 + 12xy + 8yz + 12x + 4y + 8z − 1 = 0 . Îïðåäåëèòü êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà, çàäàííûõ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè:

174. 4x2 + 9y 2 + z 2 − 12xy + 4xz − 6yz + 4x − 6y + 2z − 5 = 0 . 175. 2x2 + 2y 2 − 5z 2 + 2xy − 2x − 4y − 4z + 2 = 0 .

11 Ïðîåêòèâíàÿ ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü Ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òî÷åê îáûêíîâåííîé ïðÿìîé è åùå îäíîãî ýëåìåíòà, íàçûâàåìîãî íåñîáñòâåííîé èëè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êîé ýòîé ïðÿìîé. Âñå ïðî÷èå òî÷êè ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè òî÷êàìè ýòîé ïðÿìîé.

Îäíîðîäíûìè êîîðäèíàòàìè ñîáñòâåííîé òî÷êè M ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ ïàðà ÷èñåë (x1 : x2 ), òàêèõ, ÷òî x2 6= 0 è îòíîøåíèå

x1 x2

= x, ãäå x  äåêàðòîâà êîîðäèíàòà òî÷êè M . Åñëè x

 äåêàðòîâà êîîðäèíàòà ñîáñòâåííîé òî÷êè ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé, òî åå îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû áóäóò (kx : k), ãäå k  ëþáîå ÷èñëî, íå ðàâíîå íóëþ, â ÷àñòíîñòè (x : 1). Îäíîðîäíûìè êîîðäèíàòàìè íåñîáñòâåííîé òî÷êè, ïî îïðåäåëåíèþ, ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ ïàðà ÷èñåë (k : 0), ãäå k 6= 0, â ÷àñòíîñòè (1 : 0). Èç îïðåäåëåíèÿ îäíîðîäíûõ êîîðäèíàò ñëåäóåò, ÷òî êîîðäèíàòû òî÷êè M (x1 : x2 ) îïðåäåëÿþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî îáùåãî ìíîæèòåëÿ. Ñèñòåìà ïðîåêòèâíûõ êîîðäèíàò íà ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé îïðåäåëÿåòñÿ òðåìÿ òî÷êàìè ýòîé ïðÿìîé: O1 , O2 è E . Òî÷êè O1 è O2 íàçû44

âàþòñÿ áàçèñíûìè, à òî÷êà E åäèíè÷íîé. Åñëè îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû òî÷åê O1 , O2 è E ñóòü ñîîòâåòñòâåííî: (a11 : a21 ), (a12 : a22 ) è (b1 : b2 ), à òî÷êà M èìååò îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû (x1 : x2 ), òî åå ïðîåêòèâíûå êîîðäèíàòû (y 1 : y 2 ) îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé:

(

x1 = a11 ρ1 y 1 + a12 ρ2 y 2 x2 = a21 ρ1 y 1 + a22 ρ2 y 2 ,

ãäå ÷èñëà ρ1 è ρ2 îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé:

(

a11 ρ1 + a12 ρ2 = b1 a21 ρ1 + a22 ρ2 = b2 .

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðîåêòèâíûå êîîðäèíàòû òî÷åê O1 , O2 è E áóäóò:

(1 : 0), (0 : 1) è (1 : 1). Îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðîåêòèâíûõ êîîðäèíàò, êîãäà òî÷êà O1  íåñîáñòâåííàÿ òî÷êà ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé, O2  íà÷àëî äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, E  åäèíè÷íàÿ òî÷êà ýòîé äåêàðòîâîé ñèñòåìû.

Ïðîåêòèâíàÿ ïëîñêîñòü. Ïðèñîåäèíèì ê ìíîæåñòâó òî÷åê êàæäîé ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé îáûêíîâåííîé (åâêëèäîâîé) ïëîñêîñòè íîâûé ýëåìåíò, êîòîðûé áóäåì íàçûâàòü íåñîáñòâåííîé èëè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êîé ýòîé ïðÿìîé. Åñëè äâå ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî áóäåì ïðèñîåäèíÿòü ê íèì ðàçëè÷íûå íåñîáñòâåííûå òî÷êè. Êî âñåì ïàðàëëåëüíûì ìåæäó ñîáîé ïðÿìûì ìû áóäåì ïðèñîåäèíÿòü îäíó è òó æå íåñîáñòâåííóþ òî÷êó. Ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê îáûêíîâåííîé (åâêëèäîâîé) ïëîñêîñòè, ïîïîëíåííîå óêàçàííûì îáðàçîì ìíîæåñòâîì íåñîáñòâåííûõ òî÷åê, íàçûâàåòñÿ ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòüþ. Òî÷êè åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè ìû áóäåì íàçûâàòü ñîáñòâåííûìè òî÷êàìè òîé ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç äàííîé åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè ïðèñîåäèíåíèåì íåñîáñòâåííûõ ýëåìåíòîâ. 45

Ïðÿìûå åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè, ïîïîëíåííûå íåñîáñòâåííûìè òî÷êàìè, ìû áóäåì íàçûâàòü ñîáñòâåííûìè ïðÿìûìè òîé ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç äàííîé åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè ïðèñîåäèíåíèåì íåñîáñòâåííûõ ýëåìåíòîâ. Ìíîæåñòâî âñåõ íåñîáñòâåííûõ òî÷åê ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ íåñîáñòâåííîé èëè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé ïðÿìîé. Îäíîðîäíûìè êîîðäèíàòàìè ñîáñòâåííîé òî÷êè M ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ â îáùåé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxy èìååò êîîðäèíàòû (x, y), íàçûâàåòñÿ òðîéêà ÷èñåë (x : y : 1), à òàêæå ëþáàÿ òðîéêà ÷èñåë (x1 : x2 : x3 ) èì ïðîïîðöèîíàëüíàÿ. Òàêèì îáðàçîì, x1 x3

=xè

x2 x3

= y.

Îäíîðîäíûìè êîîðäèíàòàìè íåñîáñòâåííîé òî÷êè, ïðèñîåäèíåííîé ê äàííîìó ïó÷êó ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, íàçûâàþòñÿ òðè ÷èñëà

(x1 : x2 : 0), ãäå {x1 , x2 }  êîîðäèíàòû ëþáîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà, ïàðàëëåëüíîãî ïðÿìûì ýòîãî ïó÷êà. Èç îïðåäåëåíèÿ îäíîðîäíûõ êîîðäèíàò ñëåäóåò, ÷òî êîîðäèíàòû òî÷êè M (x1 : x2 : x3 ) îïðåäåëÿþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî îáùåãî ìíîæèòåëÿ. Âñÿêàÿ ïðÿìàÿ íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè â îäíîðîäíûõ êîîðäèíàòàõ îïðåäåëÿåòñÿ ëèíåéíûì îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0 è îáðàòíî.  ÷àñòíîñòè, óðàâíåíèå íåñîáñòâåííîé ïðÿìîé áóäåò x3 = 0, à óðàâíåíèÿ x1 = 0 è x2 = 0 ñóòü ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿ îñåé Oy è Ox. Ñèñòåìà ïðîåêòèâíûõ êîîðäèíàò íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòûðüìÿ òî÷êàìè ýòîé: O1 , O2 , O3 è E , èç êîòîðûõ íèêàêèå òðè íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Òî÷êè O1 , O2 è O3 íàçûâàþòñÿ áàçèñíûìè, à òî÷êà E åäèíè÷íîé. Òðåóãîëüíèê O1 O2 O3 íàçûâàåòñÿ áàçèñíûì èëè êîîðäèíàòíûì. 46

Åñëè îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû òî÷åê O1 , O2 , O3 è E ñóòü ñîîòâåòñòâåííî: O1 (a11 : a21 : a31 ), O2 (a12 : a22 : a32 ), O3 (a13 : a23 : a33 ) è E(b1 : b2 : b3 ), à òî÷êà M èìååò îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû (x1 : x2 : x3 ), òî åå ïðîåêòèâíûå êîîðäèíàòû (y 1 : y 2 : y 3 ) îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé:

 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3    x = a1 ρ y + a2 ρ y + a3 ρ y x2 = a21 ρ1 y 1 + a22 ρ2 y 2 + a23 ρ3 y 3

   x3 = a3 ρ1 y 1 + a3 ρ2 y 2 + a3 ρ3 y 3 , 1 2 3 ãäå ÷èñëà ρ1 , ρ2 è ρ3 îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé:

 1 1 1 2 1 3 1    a1 ρ + a2 ρ + a3 ρ = b

a21 ρ1 + a22 ρ2 + a23 ρ3 = b2    a3 ρ1 + a3 ρ2 + a3 ρ3 = b3 . 1 2 3 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðîåêòèâíûå êîîðäèíàòû òî÷åê O1 , O2 , O3 è E áóäóò: (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1) è (1 : 1 : 1). Îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðîåêòèâíûõ êîîðäèíàò, êîãäà òî÷êè

O1 è O2  íåñîáñòâåííûå òî÷êè îñåé Ox è Oy , O3  íà÷àëî êîîðäèíàò, E  åäèíè÷íàÿ òî÷êà îáùåé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò Oxy . Åñëè

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = 0 , a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = 0

ñóòü ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿ ñòîðîí O2 O3 , O3 O1 è O1 O2 áàçèñíîãî òðåóãîëüíèêà, à (b1 : b2 : b3 )  îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû åäèíè÷íîé òî÷êè E , òî ïðîåêòèâíûå êîîðäèíàòû (y 1 : y 2 : y 3 ) ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M âûðàæàþòñÿ ÷åðåç åå îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû (x1 : x2 : x3 ) ñîîòíîøåíèÿìè:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 y = 1 1 , a1 b + a12 b2 + a13 b3

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 y = 2 1 , a1 b + a22 b2 + a23 b3

1

y3 =

2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 . a31 b1 + a32 b2 + a33 b3 47

Ïðîåêòèâíàÿ ïðÿìàÿ íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ëèíåéíûì îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì

u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 , íàçûâàåìûì óðàâíåíèåì ýòîé ïðÿìîé. ×èñëà (u1 : u2 : u3 ) íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè ïðÿìîé èëè òàíãåíöèàëüíûìè êîîðäèíàòàìè.  ñëó÷àå, åñëè òî÷êà M ëåæèò íà ïðÿìîé l, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïðÿìàÿ è òî÷êà èíöèäåíòíû. Åñëè ôèêñèðîâàòü (x1 : x2 : x3 ), òî ñîîòíîøåíèþ

u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0 óäîâëåòâîðÿþò êîîðäèíàòû âñåõ ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó

(x1 : x2 : x3 ).  ýòîì ñëó÷àå ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì òî÷êè. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå òî÷êè A(a1 : a2 : a3 ) è

B(b1 : b2 : b3 ), áóäåò

¯ ¯ ¯ 1 2 3¯ ¯x x x ¯ ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ = 0 . ¯ ¯ ¯ 1 2 3 ¯ ¯ b b b ¯

Óðàâíåíèå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïðÿìûõ L(l1 : l2 : l3 ) è

M (m1 : m2 : m3 ), áóäåò

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ u1 u2 u3 ¯ ¯ ¯ ¯ l1 l2 l3 ¯ = 0 . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ m1 m2 m3 ¯

Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå êîëëèíåàðíîñòü òðåõ òî÷åê

A(a1 : a2 : a3 ), B(b1 : b2 : b3 ), C(c1 ¯ ¯ a1 a2 ¯ ¯ ¯ b1 b2 ¯ ¯ 1 2 ¯c c

: c2 : c3 ) òàêîâî: ¯ 3 ¯ a ¯ ¯ b3 ¯¯ = 0 . ¯ c3 ¯ 48

Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî òðè ïðÿìûå

L(l1 : l2 : l3 ), M (m1 : m2 : m3 ), N (n1 : n2 : n3 ) èìåþò îáùóþ òî÷êó, ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî

¯ ¯ ¯ ¯ l ¯ 1 l2 l3 ¯ ¯ ¯ ¯ m1 m2 m3 ¯ = 0 . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n1 n2 n3 ¯

Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå òî÷êè

A(a1 : a2 : a3 ) è B(b1 : b2 : b3 ), çàïèñûâàþòñÿ òàê:  1 1 1    x = αa + βb x2 = αa2 + βb2

   x3 = αa3 + βb3 , ãäå α è β ïðèíèìàþò âñå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, íå ðàâíûå íóëþ îäíîâðåìåííî. Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïðÿìûõ

L(l1 : l2 : l3 ) è M (m1 : m2 : m3 ) (èëè êîîðäèíàòû ëþáîé ïðÿìîé ïó÷êà, îïðåäåëÿåìîãî ýòèìè ïðÿìûìè), áóäóò:

    u1 = αl1 + βm1 u2 = αl2 + βm2    u = αl + βm , 3 3 3

ãäå α è β ïðèíèìàþò âñå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, íå ðàâíûå íóëþ îäíîâðåìåííî.

ÇÀÄÀ×È 176. Íà ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé çàäàíû òî÷êè: O1 (1 : 0), O2 (0 : 1) è E(1 : 1). Ïîñòðîèòü òî÷êè A(2 : 3), B(−2 : 3), C(1 : −1), D(1 : 4), K(−4 : 1).

177. Âûáðàâ íà ïðÿìîé ïðîèçâîëüíî äâå ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå ôóíäàìåíòàëüíûå òî÷êè O1 (1 : 0) è O2 (0 : 1) è ñ÷èòàÿ ôóíäàìåí49

òàëüíóþ òî÷êó E(1 : 1) íåñîáñòâåííîé, ïîñòðîèòü òî÷êè A(1 : 2),

B(−3 : 2), C(−1 : 1), D(1 : 4), F (3 : −4), G(4 : −1).

178. Ñòîðîíàìè O2 O3 , O3 O1 , O1 O2 áàçèñíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîåêòèâíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ñëóæàò ïðÿìûå

x − 4 = 0,

y − 3 = 0,

3x + 4y − 12 = 0,

à åäèíè÷íîé òî÷êîé  òî÷êà E(3, 2). Íàéòè: 1) ïðîåêòèâíûå êîîðäèíàòû òî÷êè M , äåêàðòîâû êîîðäèíàòû êîòîðîé

(1, 1); 2) äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè N , ïðîåêòèâíûå êîîðäèíàòû êîòîðîé

(4 : 3 : −6); 3) ïðîåêòèâíûå êîîðäèíàòû íåñîáñòâåííîé òî÷êè îñè àáñöèññ; 4) îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû òî÷êè P , ïðîåêòèâíûå êîîðäèíàòû êîòîðîé (5 : 5 : −7).

179. Íàéòè êîîðäèíàòû è óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè (1 : 2 : −1), (3 : 5 : −2).

180. Íàéòè êîîðäèíàòû è óðàâíåíèå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ (1 : −1 : 2), (2 : 5 : 4). 

181. Âûáðàâ íà ïðÿìîé ïðîèçâîëüíî äâå ñîáñòâåííûå ôóíäàìåíòàëüíûå òî÷êè O1 (1 : 0) è E(1 : 1) è ñ÷èòàÿ òî÷êó O2 (0 : 1) íåñîáñòâåííîé, ïîñòðîèòü òî÷êè A(1 : 2), B(−3 : 2), C(−1 : 1), D(2 : 1),

F (2 : −1).

182. Ïîñòðîèòü ôóíäàìåíòàëüíóþ òî÷êó E(1 : 1) ïðÿìîé, åñëè íà íåé äàíà äâå ñîáñòâåííûå ôóíäàìåíòàëüíûå òî÷êè O1 è O2 è ñîáñòâåííàÿ òî÷êà (2 : 1).

183. Ñòîðîíàìè O1 O2 , O2 O3 , O3 O1 áàçèñíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîåêòèâíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ñëóæàò ïðÿìûå y = 2, îñü Oy è îñü Ox, à åäèíè÷íîé òî÷êîé  òî÷êà E(1, 1). Íàéòè â ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò öåíòð ïó÷êà ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ îñè Oy . 50

184. Äîêàçàòü, ÷òî òî÷êè (5 : 1 : 3), (−2 : 4 : −3), (8 : 6 : 3) ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ýòîé ïðÿìîé.

185. Äîêàçàòü, ÷òî òðè ïðÿìûå (1 : 1 : 0), (2 : −1 : 3), (5 : 2 : 3) ïðèíàäëåæàò îäíîìó ïó÷êó. Íàéòè êîîðäèíàòû è óðàâíåíèå öåíòðà ýòîãî ïó÷êà.

186. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè âñòðå÷è ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè A(3 : 1 : 5) è B(−2 : 0 : 7), ñ ïðÿìîé 7x1 − 2x2 + 4x3 = 0.

187. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ è íàéòè êîîðäèíàòû ïðÿìûõ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êó A(3 : −1 : 2) ñ òî÷êàìè O1 , O2 , O3 è E .

12 Ïðîåêòèâíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Àíãàðìîíè÷åñêîå îòíîøåíèå (ABCD) óïîðÿäî÷åííîé ÷åòâåðêè òî÷åê

A(a1 : a2 : a3 ) ,

B(b1 : b2 : b3 ) ,

C(αa1 + βb1 : αa2 + βb2 : αa3 + βa3 ) , D(λa1 + µb1 : λa2 + µb2 : λa3 + µb3 ) , ëåæàùèõ íà îäíîé ïðîåêòèâíîé ïðÿìîé, îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

βλ . αµ Åñëè (ABCD) = −1, òî ÷åòâåðêà òî÷åê A, B, C, D íàçûâàåòñÿ ãàð(ABCD) =

ìîíè÷åñêîé. Åñëè A, B, C, D  ãàðìîíè÷åñêàÿ ÷åòâåðêà òî÷åê, òî÷êè A, B, C ñîáñòâåííûå, ïðè÷åì òî÷êà C  ñåðåäèíà îòðåçêà AB , òî D  íåñîáñòâåííàÿ òî÷êà. Ïðåîáðàçîâàíèå ïðîåêòèâíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò O1 O2 O3 E â ñèñòåìó O10 O20 O30 E 0 , ãäå áàçèñíûå òî÷êè íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò çàäàíû îòíîñèòåëüíî ñòàðîé ñèñòåìû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè O10 (b110 : b210 : b310 ),

51

O20 (b120 : b220 : b320 ), O30 (b130 : b230 : b330 ), E 0 (c1 : c2 : c3 ), îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:

0

 1 1 10 10 1 20 20 1 30 30  x = b + b + b 0ρ x 0ρ x  1 2 30 ρ x  0 0 0 0 0 0 x2 = b210 ρ1 x1 + b220 ρ2 x2 + b230 ρ3 x3    x3 = b3 ρ10 x10 + b3 ρ20 x20 + b3 ρ30 x30 , 10 20 30

0

0

ãäå ρ1 , ρ2 , ρ3 îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé:

 1 10 1 20 1 30 1    b10 ρ + b20 ρ + b30 ρ = c 0 0 0 b210 ρ1 + b220 ρ2 + b230 ρ3 = c2    b3 ρ10 + b3 ρ20 + b3 ρ30 = c3 . 20 30 10

Ïðîåêòèâíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ìíîæåñòâà òî÷åê ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ òàêîå âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïðè êîòîðîì ëþáûå òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ïåðåõîäÿò â òðè òî÷êè, òàêæå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé. Ïðè ïðîåêòèâíîì ïðåîáðàçîâàíèè àíãàðìîíè÷åñêîå îòíîøåíèå ÷åòûðåõ òî÷åê, ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé, íå èçìåíÿåòñÿ. Ïðîåêòèâíîå ïðåîáðàçîâàíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:

 0 1 10 1 10 2 10 3    x = a1 x + a2 x + a3 x 0

0

0

0

¯ 0 ¯ ¯ 1 10 10 ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ ¯ 0 ¯ ¯ a2 a20 a20 ¯ = ¯ 1 2 3 ¯6 0. ¯ 30 30 30 ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯

ãäå

x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3

   x30 = a30 x1 + a30 x2 + a30 x3 , 1 2 3

Ôîðìóëû ïðîåêòèâíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîáñòâåííûõ òî÷åê ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè â àôôèííûõ êîîðäèíàòàõ ïðèíèìàþò âèä: 0

0

0

0

a1 x + a12 y + a13 x = 130 0 0 , a1 x + a32 y + a33

0

0

a2 x + a22 y + a23 y = 310 0 0 . a1 x + a32 y + a33

0

0

Ïóñòü çàäàíû ÷åòûðå ïàðû ñîîòâåòñòâåííûõ òî÷åê: 0

0

0

0

0

0

0

0

0

A(a1 : a2 : a3 ) 7→ A0 (a1 : a2 : a3 ) , B(b1 : b2 : b3 ) 7→ B 0 (b1 : b2 : b3 ) , C(c1 : c2 : c3 ) 7→ C 0 (c1 : c2 : c3 ) , 52

0

0

0

D(d1 : d2 : d3 ) 7→ D0 (d1 : d2 : d3 ) . Ïóñòü u = 0, v = 0, w = 0, u0 = 0, v 0 = 0, w0 = 0  óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ BC, CA, AB, B 0 C 0 , C 0 A0 , A0 B 0 ; òîãäà óðàâíåíèÿ

 0    u = pu

v 0 = qv    w0 = rw îïðåäåëÿþò ïðîåêòèâíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå òî÷êè A, B, C ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êè A0 , B 0 , C 0 . Ïîäñòàâëÿÿ â ëåâûå ÷àñòè ýòèõ óðàâíåíèé êîîðäèíàòû òî÷êè D0 , à â ïðàâûå  êîîðäèíàòû D, íàéäåì

p, q, r. Îáùåå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà â ïðîåêòèâíûõ êîîðäèíàòàõ èìååò âèä:

a11 (x1 )2 + a22 (x2 )2 + a33 (x3 )2 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0 . Ïðåîáðàçîâàíèåì ïðîåêòèâíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ýòî óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê îäíîìó èç ñëåäóþùèõ âèäîâ: 1.

(x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 = 0  ìíèìàÿ ëèíèÿ;

2.

(x1 )2 + (x2 )2 − (x3 )2 = 0  äåéñòâèòåëüíàÿ ëèíèÿ;

3.

(x1 )2 − (x2 )2 = 0  äâå äåéñòâèòåëüíûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå;

4.

(x1 )2 + (x2 )2 = 0  äâå ìíèìûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå;

5.

(x1 )2 = 0  äâå ñîâïàäàþùèå ïðÿìûå.

ÇÀÄÀ×È 188. Äàíû òî÷êè A(1 : 1 : 2), B(3 : −1 : 2), C(11 : −1 : 10), D(3 : 7 : 10). Äîêàçàòü, ÷òî îíè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Íàéòè àíãàðìîíè÷åñêîå îòíîøåíèå (ABCD). 53

189. Äàíû òî÷êè A(1 : 2 : 3), B(−3 : 2 : 4), C(−2 : 4 : 7). Äîêàçàòü, ÷òî îíè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, è íàéòè ê íèì ÷åòâåðòóþ ãàðìîíè÷åñêóþ (ABCD) = −1.

190. Íàéòè ÷åòâåðòóþ ãàðìîíè÷åñêóþ ê äâóì ñòîðîíàì óãëà è åãî áèññåêòðèñå.

191. Îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ñèñòåìû ïðîåêòèâíûõ êîîðäèíàò O1 , O2 , O3 , E äàíû âåðøèíû áàçèñíîãî òðåóãîëüíèêà è åäèíè÷íàÿ òî÷êà äðóãîé ñèñòåìû: O10 (4 : 1 : 1), O20 (4 : 4 : 1), O30 (0 : 4 : 1),

E 0 (2 : 1 : 1). Íàéòè ôîðìóëû, âûðàæàþùèå êîîðäèíàòû ïðîèçâîëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî ïåðâîé ñèñòåìû ÷åðåç åå êîîðäèíàòû âî âòîðîé ñèñòåìå.

192. Â êàêèå ïðÿìûå ïåðåõîäÿò ôóíäàìåíòàëüíûå ïðÿìûå ïðè ïðîåêòèâíîì ïðåîáðàçîâàíèè 0

0

0

(x1 : x2 : x3 ) = (x1 + 2x2 − 4x3 : 2x1 − 3x2 + 5x3 : 2x1 − 2x2 + x3 ) .

193. Â êàêèå ïðÿìûå ïåðåõîäÿò ïðÿìûå a(1 : −2 : 4) è b(2 : 5 : −1) ïðè ïðîåêòèâíîì ïðåîáðàçîâàíèè

(u10 : u20 : u30 ) = (3u1 − 2u2 : 2u1 − u3 : u2 + u3 ) .

194. Îïðåäåëèò ïðîåêòèâíûé êëàññ êðèâîé, ïîëüçóÿñü ïðèâåäåíèåì êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ê ñóììå êâàäðàòîâ ìåòîäîì Ëàãðàíæà

2(x1 )2 + 3x1 x2 − 5x1 x3 + 4(x2 )2 + 2x2 x3 − (x3 )2 = 0 .

195. Íàéòè ïðîåêòèâíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå îäíó ëèíèþ â äðóãóþ: 1) îêðóæíîñòü x2 + y 2 = 1 â ãèïåðáîëó x2 − y 2 = 1; 2) ãèïåðáîëó x2 − y 2 = 1 â ïàðàáîëó y = x2 . 

196. Äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìûå a(0 : 1 : −1), b(1 : 2 : −1), c(1 : 1 : 0), d(4 : 9 : −5) ïðèíàäëåæàò îäíîìó ïó÷êó, è íàéòè àíãàðìîíè÷åñêîå îòíîøåíèå (abcd). 54

197. Äàíû ïðÿìûå a(1 : 2 : 1), b(3 : −1 : 2), c(5 : 3 : 4). Äîêàçàòü, ÷òî îíè ïðèíàäëåæàò îäíîìó ïó÷êó, è íàéòè ê íèì ÷åòâåðòóþ ãàðìîíè÷åñêóþ (abcd) = −1.

198. Íàéòè ÷åòâåðòóþ ãàðìîíè÷åñêóþ ê äâóì ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà è ìåäèàíå, ïðîâåäåííîé ê òðåòüåé ñòîðîíå.

199. Íàéòè ñâÿçü ìåæäó ñòàðûìè è íîâûìè êîîðäèíàòàìè ïðÿìîé, åñëè çà íîâûå ôóíäàìåíòàëüíûå òî÷êè ïðèíèìàþòñÿ O10 (2 : 1 : 0),

O20 (3 : 0 : 1), O30 (1 : 2 : 4), E 0 (1 : −1 : 4).

200. Íàéòè ñâÿçü ìåæäó íîâûìè è ñòàðûìè ïðîåêòèâíûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè, åñëè çà íîâûå ôóíäàìåíòàëüíûå òî÷êè O10 , O20 , O30 è

E ïðèíèìàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè O2 , O3 , O1 è E .

201.  êàêèå òî÷êè ïåðåõîäÿò òî÷êè A(1 : −2 : 3) è B(2 : −1 : 4) ïðè ïðîåêòèâíîì ïðåîáðàçîâàíèè

(u10 : u20 : u30 ) = (2u1 − u2 + u3 : u1 − 4u2 + u3 : 3u1 + 2u2 − 3u3 ) .

202. Îïðåäåëèòü ïðîåêòèâíûé êëàññ êðèâîé, ïîëüçóÿñü ïðèâåäåíèåì êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ê ñóììå êâàäðàòîâ ìåòîäîì Ëàãðàíæà

x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 0 .

203. Íàéòè ïðîåêòèâíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå îäíó ëèíèþ â äðóãóþ: 1) îêðóæíîñòü x2 + y 2 = 1 â ïàðàáîëó y = x2 ; 2) ïàðó ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ x2 − y 2 = 0 â ïàðó ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ x2 − 1 = 0.

55

ÎÒÂÅÒÛ 1. 1) −2[a, b]; 2) [a, b]; 3) 34 [a, b]. 4. {6, −3, −3}, {−12, −26, −8}, √ {0, 0, 0}. 5. 18 2. 6. 1) − 7; 2) {−46, 29, −12}; 3) {−7, 7, 7}. 7. b1 = (a[a1 ,a2 ,a2 ,a3 ]3 ) , b2 = (a[a1 ,a3 ,a2 ,a1 ]3 ) , b3 = (a[a1 ,a1 ,a2 ,a2 ]3 ) . 8. 37,5. 9. 1) 25; 2) 0. 14. Ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíî, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíî èç äâóõ óñëîâèé: 1) âåêòîð b ïåðïåíäèêóëÿðåí ê âåêòîðàì a è c; 2) âåêòîðû a è c êîëëèíåàðíû. 15. x = α[b,c]+β[c,a]+γ[a,b] . 16. b1 = {− 23 , 43 , −1}, b2 = { 13 , 31 , 1}, b3 = { 23 , − 13 , 1}. (a,b,c) 17. 1) x + 2y + z − 9 = 0; 2) x + y − 2 = 0. 18. x − 2y = 0, 2x + z = 0, 4y+z = 0. 19. 10x+9y+5z−74 = 0. 20. x = 2−5u+4v , y = 3+6u−2v , z = −5 + 4u. 21. 1) x = −13, y = 13, z = −9; 2) u = − 51 , v = 25 . 22. 1) x−4y −z +16 = 0; 2) x+5y −z +5 = 0. 23. Òî÷êè A è B ëåæàò â äàííîé ïëîñêîñòè, òî÷êè D è E  ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè, à òî÷êè C è F  ïî äðóãóþ ñòîðîíó îò íåå.

24. 6x + 9y − 22z = 0.

25. 5y + 13z − 60 = 0. 26. 1) 10x − 7z = 0; 2) 6y − 7 = 0; 3) 39x−29y−7z = 0. 27. 5x−6y−7z+41 = 0. 28. 27x+11y+z−65 = 0. 29. 13x + y − 20 = 0. 30. 1) x = −6, y = −4, z = −3; 2) u + v − 1 = 0, u = 0, v = 0; 3) 39u + 9v − 1 = 0. 31. 2x + 3y + 4z − 1 = 0, x + 3y + 9 = 0, z − 1 = 0. 32. 20x + 19y − 5z + 41 = 0. 33. 1) Òðè ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå (3, 5, 7); 2) òðè ïëîñêîñòè ïîïàðíî ïàðàëëåëüíû; 3) òðè ïëîñêîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó ïðÿìóþ; 4) ïëîñêîñòè ïîïàðíî ïåðåñåêàþòñÿ è ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ êàæäûõ äâóõ ïëîñêîñòåé ïàðàëëåëüíà òðåòüåé ïëîñêîñòè; 5) ïåðâàÿ è òðåòüÿ ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû, âòîðàÿ ïëîñêîñòü èõ ïåðåñåêàåò. 34. 1) x = 2+2t,

y = 3 + 3t, z = 1 + 8t; 2) x = 7 − 2t, y = −1, z = 2 + t; 3) x = 1,

35. 1) x = −2t, y = 7t, z = 4t; 2) x = t, y = −8 − 4t, z = −3 − 3t. 36. Òî÷êè A, B è D ëåæàò íà ïðÿìîé, òî÷êè C è E íåò. 37. x − 3y + 5z = 0. 38. 1) ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå (−3, 5, −5) y = t, z = 1.

56

è ëåæàò â ïëîñêîñòè 9x + 10y − 7z − 58 = 0; 2) ñêðåùèâàþòñÿ; 3) ïàðàëëåëüíû è ëåæàò â ïëîñêîñòè 5x − 22y + 19z + 9 = 0; 4) ñîâïàäàþò.

39. 1) Ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå (0, 0, −2);

2) ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè; 3) ïðÿìàÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè; 4) ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå (2, 3, 1).

40. (6, −2, 6).

41. 2y − z + 2 = 0, x − 7y + 3z − 17 = 0.

42. 1) ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé; 2) îáðàçóþò òðåóãîëüíèê; 3) ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. 43. 1) x = 3 + 4t, y = 5 − 3t, z = 1; 2) x + 2y + 10 = 0, z − 4 = 0.

44. 18x − 11y + 3z − 47 = 0. 45. x − 3y − 3z + 11 = 0. 46. 1) ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå (−3, 0, 4) è ëåæàò â ïëîñêîñòè 3x + 4y + 5z − 11 = 0; 2) ñêðåùèâàþòñÿ; 3) ïàðàëëåëüíû è ëåæàò â ïëîñêîñòè 4x + 3y = 0; 4) ñîâïàäàþò.

47. 1) ñîâïàäàþò; 2) ïàðàëëåëüíû è ëåæàò â ïëîñ-

êîñòè 12x − 3y + 8z = 0; 3) ñêðåùèâàþòñÿ; 4) ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå

(10, −1, 0) è ëåæàò â ïëîñêîñòè x − 7y + 3z − 17 = 0.

48. 1) Ïðÿ-

ìàÿ è ïëîñêîñòü ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå (2, 4, 6); 2) ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà

49. x − 9y + 5z + 20 = 0, x − 2y − 5z + 9 = 0. 50. 3x + 2y + 4z − 38 = 0. 51. 7x + y − 3z = 0. 52. x + 20y + 7z = 0 è x − z = 0. 53. 3x + 5y − 4z + 25 = 0. 54. 1) 163 ; 2) 2; 3) 13 . 55. 4x − 4y + 4z − 7 = 0, 10x + 6y − 4z − 5 = 0. 98 56. (0,0,3). 57. x − z + 4 = 0, y = 0. 58. cos ϕ = ± 195 . 59. x−3 5 = √ y+2 z−4 14. 3 = −7 . 60. 4x + 5y − 2z = 0. 61. y − 2z = 0, x = 3. 62. 63. 3. 64. √16 . 65. 1) ± √1420√53 ; 2) ïëîñêîñòè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. 66. 2x + 6y − 4z − 56 = 0. 67. x + 3y − 2z − 10 = 0. 68. x + 20y + 7z − 12 = 0, x − z + 4 = 0. 69. x + 3y = 0 è 3x − y = 0. 70. 8x + 5y − 9z − 24 = 0. 71. cos ϕ = ± 72 72. arcsin √4633√62 . 77 . 73. 1) 11x − 4y + 6 = 0, z = 0; 2) 6x + 5y − 38 = 0, z = q 0. 74. (7,1,0). q 35 75. (2,9,6). 76. x + y + z − 1 = 0, x − 1 = 0. 77. 1) 6 ; 2) 8 263 . 78. 1) √18 ; 2) 0 (ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ). 79. Áàçèñ îáðàçóþò, íàïðè110 ïëîñêîñòè; 3) ïðÿìàÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè.

ìåð, âåêòîðû (1, 0, 0, . . . , 0, −1), 57

80. Ðàçìåðíîñòü ðàâíà 3. Áàçèñ îáðàçóþò, íàïðèìåð, âåêòîðû a1 , a2 , a4 . 81. Íàïðèìåð, x1 − x3 − x4 = 0 , x2 + x3 − x4 = 0 . 82. Áàçèñ ñóììû ñîñòîèò, íà-

(0, 1, 0, . . . , 0, −1), . . ., (0, 0, 0, . . . , 1, −1).

ïðèìåð, èç âåêòîðîâ a1 , a2 , a3 , b1 . Áàçèñ ïåðåñå÷åíèÿ, íàïðèìåð, èç âåêòîðîâ c1 = a1 + a2 + a3 = b1 + b2 = (1, 2, 2, 1); c2 = 2a2 +

83. (-2,-5,-1,1,-1). 85. M (−2, 1, 0, 3). 87. (5, 2, −4, −3), (0, 1, 1, 7). 88. Ðàçìåðíîñòü ðàâíà 3. Áàçèñ îáðàçóþò, íàïðèìåð, âåêòîðû a1 , a2 , a5 . 89. Íàïðèìåð, x1 − x2 − 2x3 = 0, x1 − x3 + 2x4 = 0, 2x1 + x2 − x5 = 0. 90. Áàçèñ ñóììû ñîñòî2a3 = b1 + b3 = (2, 2, 2, 2).

èò, íàïðèìåð, èç âåêòîðîâ a1 , a2 , a3 , b2 . Áàçèñ ïåðåñå÷åíèÿ, íàïðèìåð,

b1 = −2a1 + a2 + a3 ; b3 = 5a1 − a2 − 2a3 .

91. Ïðîåêöèÿ âåêòî-

ðà ei íà L1 ïàðàëëåëüíî L2 èìååò i-óþ êîîðäèíàòó 

−1 n ,

íûìè

n−1 n ,

à îñòàëüíûå

ïðîåêöèÿ íà L2 ïàðàëëåëüíî L1 èìååò âñå êîîðäèíàòû ðàâ1 n.

92. (0, 1, −1, −2, −3).

95. 1) ∅, 2) òî÷êà (2, −1, 4, 5).

96. x1 − 3x2 − 2x3 + 3 = 0, 3x2 + 2x3 − x4 − 4 = 0, x1 + x2 − 3x3 + x4 = 0. 97. Íàïðèìåð: b1 = (2, −2, −1, 0), b2 = (1, 1, 0, −1). 98. y = 3a1 − 2a2 = (1, −1, −1, 5), z = (3, 0, −2, −1). 99. π3 . √ √ 1022 16 43 42 100. M1 ( 97 , 97 , 37 , − 75 ). 101. 23 . 102. (− 16 , , , − ) . 103. 15 15 15 15 7 . 104. x1 = 1, x2 = λ + 1, x3 = λ + 1, x4 = λ + 1. 105. Íàïðèìåð: 6x1 − 9x2 − x3 = 0, x2 + x4 = 0. 106. y = 2a1 − a2 = (3, 1, −1, −2), z = (2, 1, −1, 4). 107. π6 . 108. M1 (1, − 21 , 2, 32 ). √ √ √ √ 2 7 465 670 109. 7 . 110. (1, −2, 2, 2). 111. 15. 112. 1) 6 , 2) 10 . 113. M 0 (10, 6), P ( 12 , 2). 114. 1) 2x − y − 12 = 0, x + y − 3 = 0; 2) x = 0, y = 0; 3) x − y = 0. 115. 2x − 2y − 3 = 0, 4x − y = 0. 116. xe 0 = −e x, ye 0 = 5e y . 117. x0 = 5x − 3y + 8, y 0 = −3x + 2y − 3. 118. 1) x0 = x+8, y 0 = 4x−5y+14; 2) x0 = −x+2y−8, y 0 = 4x−3y+24. 120. πab. 121. Ãèïåðáîëà. 123. x0 = x − y + 1, y 0 = x + y + 2. 124. (2, 1). 125. 2x + y − 3 = 0. 127. Îáðàçóåò. Ïîâîðîò ïëîñêîñòè âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò íà óãîë ϕ, ñîåäèíåííûé ñ ãîìîòåòèåé 58

(r  êîýôôèöèåíò ãîìîòåòèèè; åñëè r < 0, òî äîáàâëÿåòñÿ åùå ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò).

130. 1) Ýëëèïñ; 2) ïàðà-

áîëà. 131. Ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä èëè ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä. 132. Òàêèõ ïðÿìûõ ìîæíî ïðîâåñòè áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî; (y−1)2 (x−5)2 + − (z − 2)2 9 4 y−2 z−8 135. 1) x − 3z 8 = 20 .

èõ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî åñòü êîíóñ

= 0.

133.

= 0 è

x−6 3

=

y−2 0

=

z−8 4

è

x−6 9

=

3x − 2y − 3z − 18 = 0; ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò ïîâåðõíîñòü â äâóõ äåéñòâèòåëüíûõ òî÷êàõ; 2) äåéñòâèòåëüíûõ êàñàòåëüíûõ ïëîñêîñòåé ïðîâåñòè íåëüçÿ; ïðÿìàÿ íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ òî÷åê ïðåñå÷åíèÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ; 3) x − 2y − 3z − 6 = 0; ïðÿìàÿ êàñàåòñÿ ïîâåðõíîñòè è ÷åðåç íåå ìîæíî ïðîâåñòè òîëüêî îäíó êàñàòåëüíóþ. 136. è

x−5 1

=

y−4 −2

=

x−5 1

=

y−4 2

=

z−21 6

137. 1) Ýëëèïñîèä; 2) îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëî-

z−21 14 .

èä. 138. Êîíóñ: 10(x − 5)2 + 20(x − 5)(y − 1) − 34(y − 1)2 − 55z 2 = 0.

139. x−2 2 =

y−1 −1 2

=

z 1

è

x−4 2

2) A2 p ± B q = 2CD.

=

y+2 1

= z2 . 141. 1) A2 a2 +B 2 b2 ±C 2 c2 = ±D2 ;

142. x2 + y 2 = 13z 2 − 14z + 10. 143. 1) Îä-

íîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä; 2) äâóïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä; 3) ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä 3) ïàðàáîëè÷åñêèé öèëèíäð.

144. (1,1).

145. C(1, 1, −1); X 2 + Y 2 + Z 2 + 2XY − 2Y Z + 6XZ − 1 = 0. 146. 2x + y + 6 = 0. 147. 7x − 35y + 22 = 0, 7x + 14y + 20 = 0. 148. x−4y−2 = 0, x+4y−3 = 0. 149. x+y−1 = 0, 3x+3y+13 = 0. 150. z = 1; 2x − 3y = 0. 151. Ïðÿìàÿ öåíòðîâ 4x + 2y − 5 = 0. 152. Ïðÿìàÿ öåíòðîâ x = 1, y = t, z = −t, 4XY + 4XZ − 1 = 0. 153. X+Y +Z = 0. 154. 6x−2y+19 = 0, 2x+2y−1 = 0. 155. 7x+1 = 0. 156. 3x + 1 = 0, 3z − 2 = 0. 157. 7x + 17y + 19z + 19 = 0. 2 2 158. Ýëëèïñ X9 + Y4 = 1; öåíòð C(2, 3), óãëîâîé êîýôôèöèåíò áîëü2 2 øåé îñè − 21 . 159. Ãèïåðáîëà X4 − Y9 = 1; öåíòð C(1, 1), óãëîâîé êîýôôèöèåíò äåéñòâèòåëüíîé îñè 32 . 160. Ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ x − y − 1 = 0, x − 4y + 2 = 0. 161. Ïàðàáîëà, 2 2 2 2 X 2 = 2Y . 162. Ýëëèïñ X16 + Y4 = 1. 163. Ãèïåðáîëà X9 − Y25 = 1. 59

2

2

2

X Y Z + 1/6 − 1/2 = 1, öåíòð (− 31 , − 32 , 23 ); 164. Îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä 1/3

êîîðäèíàòû åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ íîâîé ñèñòåìû e01 = { √13 , − √13 , √13 },

e02 = { √16 , √26 , √16 }, e03 = { √12 , 0, − √12 }. 165. Ïàðàáîëè÷åñêèé öèëèíäð √ 6X 2 −2 3 Y = 0. 166. Êîíóñ âðàùåíèÿ X 2 +Y 2 −2Z 2 = 0. 167. Ïàðàáîëà X 2 = 10Y , âåðøèíà ïàðàáîëû èìååò êîîðäèíàòû C(−1, 2), âåêòîð { 45 , − 35 } èìååò íàïðàâëåíèå îñè è íàïðàâëåí â ñòîðîíó âîãíóòîñòè.

√

168. Ïàðàáîëà X 2 = 4 2 Y , âåðøèíà C(2, 1), âåêòîð {1, 1} ïàðàëëåëåí îñè è íàïðàâëåí â ñòîðîíó âîãíóòîñòè. 169. Ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ 2x − 3y + 1 = 0, 2x − 3y − 2 = 0. 170. Ýë2 2 2 2 ëèïñ X9 + Y1 = 1. 171. Ãèïåðáîëà X1 − Y9 = 1. 172. Ãèïåðáîëà Y2 8Z X2 2 2 √ 16 − 9 = 1. 173. Ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä 7X − 2Y − 14 = 0. 499 509 Âåðøèíà (− 183 784 , − 784 , 392 ). Êîîðäèíàòû åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ íîâîé ñè-

ñòåìû e01 = { √21 , √421 , √121 }, e02 = { √16 , − √16 , √26 }, e03 = {− √314 , √114 , √214 }.

174. Äâå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè X 2 = 1. 175. Äâóïîëîñòíûé ãèY2 Z2 X2 + 4/15 − 4/25 = 1. 178. 1) M (3 : 2 : −1); 2) N (12, 9); 3) ïåðáîëîèä 4/5 R(5 : 0 : −3); 4) P (1 : 1 : 0). 179. x1 − x2 − x3 = 0. 180. (2 : 0 : −1), 2u1 − u3 = 0. 183. (0 : 1 : −1). 184. 15x1 − 9x2 − 22x3 = 0. 185. (1 : −1 : −1), u1 − u2 − u3 = 0. 186. (120 : 14 : −203). 187. 2x2 + x3 = 0, 2x1 − 3x3 = 0, x1 + 3x2 = 0, 3x1 + x2 − 4x3 = 0; (0 : 2 : 1), (2 : 0 : −3), (1 : 3 : 0), (3 : 1 : −4). 188. (ABCD) = −9. 189. D(4 : 0 : −1). 190. Áèññåêòðèñà óãëà, ñìåæíîãî ñ äàííûì. 0 0 0 0 0 0 0 0 191. x1 = 8x1 − 4x2 , x2 = 2x1 − 4x2 + 4x3 , x3 = 2x1 − x2 + x3 . 192. O10 O20 (2 : 6 : −7), O20 O30 (7 : 6 : −2), O30 O10 (8 : 9 : −13). 193. a0 (7 : −2 : 2), b0 (−4 : 5 : 4). 194. Äåéñòâèòåëüíàÿ íåðàñïàx−y 1 äàþùàÿñÿ ëèíèÿ. 195. 1) x0 = y1 ; y 0 = xy ; 2) x0 = x+y ; y 0 = x+y . 196. (abcd) = − 14 . 197. d(−1 : 5 : 0). 198. Ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ òðåòüåé ñòîðîíå, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ïðîòèâîïîëîæíóþ âåð-

199. u10 = −11(2u1 + u2 ), u20 = 8(3u1 + u3 ), 0 0 0 u30 = 3(u1 + 2u2 + 4u3 ). 200. (x1 : x2 : x3 ) = (x2 : x3 : x1 ). øèíó òðåóãîëüíèêà.

60

201. A0 (−10 : 1 : 4), B 0 (−10 : 3 : 3). 202. Äåéñòâèòåëüíàÿ íåðàñïà1−y x äàþùàÿñÿ ëèíèÿ. 203. 1) x0 = y+1 ; y 0 = y+1 ; 2) x0 = xy ; y 0 = y1 .

61

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Áàõâàëîâ Ñ.Â., Ìîäåíîâ Ï.Ñ., Ïàðõîìåíêî À.Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî

àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ì. Íàóêà. 1964. [2] Ïðîñêóðÿêîâ È.Â. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. Ì. Íàóêà. 1967. 384 ñ. [3] Öóáåðáèëëåð Î.Í. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåî-

ìåòðèè. Ì. Íàóêà. 1964. [4] Øóðûãèí Â.Â. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà è åå ïðèìåíåíèå â àíàëèòè÷å-

ñêîé ãåîìåòðèè ïëîñêîñòè. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ê êóðñó àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Êàçàíñê. óí-ò. 2001. 50 ñ. [5] Øóðûãèí Â.Â. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà è åå ïðèìåíåíèå â àíàëèòè÷å-

ñêîé ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ê êóðñó àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Êàçàíñê. óí-ò. 2002. 72 ñ.

62

Ñîäåðæàíèå 1 Âåêòîðíîå è ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ

4

2 Ïëîñêîñòü â àôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò

7

3 Ïðÿìàÿ â àôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò

11

4 Ïëîñêîñòü è ïðÿìàÿ â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò 16 5 Àôôèííûå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà

21

6 Åâêëèäîâû âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà

24

7 Àôôèííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ

27

8 Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà, çàäàííûå êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè 30 9 Êðèâûå è ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà, çàäàííûå îáùèìè óðàâíåíèÿìè 34 10 Åâêëèäîâà êëàññèôèêàöèÿ êðèâûõ è ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà 38 11 Ïðîåêòèâíàÿ ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü

44

12 Ïðîåêòèâíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ

51

63