Полные теории с конечным числом счётных моделей I

Алгебра и логика, 43, N 1 (2004), 110—124

УДК 510.67

ПОЛНЫЕ ТЕОРИИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СЧЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ. I∗) С. В. СУДОПЛАТОВ

Одной из основных задач современной теории моделей является решение спектральной проблемы, т. е. проблемы описания для различных классов теорий T функций I(T, λ) числа попарно неизоморфных моделей теории T в мощности λ. Как известно [1], спектральная проблема решена в целом для счетных полных теорий в несчетных мощностях λ. До настоящего времени одной из малоисследованных проблем остается проблема описания числа I(T, ω) попарно неизоморфных счетных моделей теории T для данных классов полных теорий. В этой связи следует отметить гипотезу Воота, согласно которой не существует теории T с условием ω < I(T, ω) < 2ω . Большое количество результатов связано с теориями, имеющими конечное (большее 1) число счетных моделей. С одной стороны, построены примеры нестабильных теорий, удовлетворяющих условию 1 < I(T, ω) < ω и обладающих различными дополнительными свойствами. С другой стороны, более тридцати лет известна проблема существования стабильной теории с конечным (большим 1) числом счетных моделей. Для различных подклассов класса стабильных теорий установлено отсутствие теорий с условием 1 < I(T, ω) < ω. В настоящей работе приводится синтаксическая характеризация класса элементарных полных теорий с конечным числом счетных моделей ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 02-01-00258. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

Полные теории с конечным числом счетных моделей

111

(теор. 1), которая является аналогом известной теоремы Рыль-Нардзевского о счетно категоричных теориях и основана на классификации теорий по квазипорядкам Рудина–Кейслера и функциям распределения числа предельных над типами моделей. Устанавливаются основные свойства указанных характеристик. Вводится понятие упорядоченной раскраски, исследуется роль таких раскрасок в построении теорий с конечным (большим 1) числом счетных моделей, а также приводится пример ω-стабильной теории с упорядоченной раскраской, индуцирующей континуум предельных над данным типом попарно неизоморфных моделей. Здесь используется стандартная теоретико-модельная терминология из [2]. Если не оговорено противное, рассматриваются лишь счетные полные теории. Через S(T ) обозначается множество всех типов теории T над пустым множеством. ОПРЕДЕЛЕНИЕ [3]. Тип p(¯ x) ∈ S(T ) называется мощным или властным в теории T , если в каждой модели M теории T , реализующей тип p, реализуется и любой тип q ∈ S(T ), т. е. M |= S(T ). Наличие властного типа влечет, что теория T — малая, т. е. множество S(T ) счетно, а значит, для любых типа p ∈ S(T ) и его реализации a ¯ существует простая модель Ma¯ над a ¯. Поскольку все простые модели над реализациями типа p изоморфны, эти модели часто будем обозначать через Mp . Условие о том, что тип p(¯ x) властный, равносильно тому, что любой тип из S(T ) реализуется в модели Mp , т. е. Mp |= S(T ). ЛЕММА 1 [3]. Если 1 < I(T, ω) < ω, то теория T имеет неглавный властный тип. ОПРЕДЕЛЕНИЕ [4]. Кортеж a ¯ полуизолирует кортеж ¯b (над ∅), если найдется формула ϕ(¯ x, a ¯) ∈ tp(¯b/¯ a), для которой ϕ(¯ x, a ¯) ⊢ tp(¯b). При этом говорят, что формула ϕ(¯ x, a ¯) свидетельствует о полуизолированности ¯b над a ¯. Если p ∈ S(T ), то через SIp обозначается отношение полуизолированности на реализациях типа p:

112

С. В. Судоплатов SIp = {(¯ a, ¯b) | |= p(¯ a) ∧ p(¯b) и a ¯ полуизолирует ¯b}. Очевидно, что для любого типа p ∈ S(T ) отношение SIp образует

предпорядок. ЛЕММА 2 [4]. Если p ∈ S(T ) — неглавный властный тип, то отношение SIp несимметрично. Таким образом, наличие неглавного властного типа p(¯ x) предполагает существование формулы ϕ(¯ x, y¯), l(¯ x) = l(¯ y ), такой, что для любой (некоторой) реализации a ¯ типа p выполняются следующие условия: 1) ϕ(¯ a, y¯) ⊢ p(¯ y ); 2) ϕ(¯ x, a ¯) 6⊢ p(¯ x), и более того, найдется такой кортеж ¯b, реализующий тип p, что |= ϕ(¯b, a ¯) и a ¯ не полуизолирует ¯b. В дальнейшем, если не оговорено противное, рассматривается только класс малых теорий. Пусть p и q — типы из S(T ). Говорим, что тип p подчиняется типу q (или p не превосходит q по квазипорядку Рудина–Кейслера) и пишем p ≤RK q, если Mq |= p, т. е. модель Mp является элементарной подмоделью модели Mq , что обозначается Mp  Mq . Кроме того, используется и следующая терминология: модель Mp подчиняется модели Mq (или не превосходит модели Mq по квазипорядку Рудина–Кейслера) и пишем Mp ≤RK Mq . Синтаксически условие p ≤RK q (а, значит, и условие Mp ≤RK ≤RK Mq ) записывается так: существует формула ϕ(¯ x, y¯) такая, что множество q(¯ y ) ∪ {ϕ(¯ x, y¯)} совместно и q(¯ y ) ∪ {ϕ(¯ x, y¯)} ⊢ p(¯ x). Поскольку теория малая, ϕ(¯ x, y¯) можно выбрать так, что для любой формулы ψ(¯ x, y¯) из совместности множества q(¯ y ) ∪ {ϕ(¯ x, y¯), ψ(¯ x, y¯)} следует q(¯ y ) ∪ {ϕ(¯ x, y¯)} ⊢ ⊢ ψ(¯ x, y¯). При этом формула ϕ(¯ x, y¯) называется (q, p)-главной. Типы p и q называются взаимоподчиняемыми, взаимореализуемыми или эквивалентными по Рудину–Кейслеру (p ∼RK q), если p ≤RK q и q ≤RK p, а модели Mp и Mq называются взаимоподчиняемыми или эквивалентными по Рудину–Кейслеру (Mp ∼RK Mq ). Очевидно, что отношения подчинения образуют квазипорядки, а от-

Полные теории с конечным числом счетных моделей

113

ношения взаимоподчиняемости являются отношениями эквивалентности. При этом, как показано в [5], отношение подчинения на типах образует известный квазипорядок Рудина–Кейслера. Невзаимоподчиняемые модели Mp и Mq неизоморфны. Кроме того, неизоморфные модели могут найтись и среди взаимоподчиняемых. В качестве иллюстрации рассмотрим ПРИМЕР Эренфойхта (теория Tn с условием I(Tn , ω) = n > 3). Пусть Tn — теория модели hQ, 1; |RK(T )| > 1 следует IL(M f > 1, то IL(M) f > 1. (в) если |M|

Более того, справедлива следующая декомпозиционная формула: I(T, ω) = |RK(T )| +

m X i=0

fi ), IL(M

g0 , . . . , M g где M m — все элементы частично упорядоченного множества

RK(T )/∼RK , m = |RK(T )/ ∼RK | − 1.

Отметим, что по предложениям 1 и 6 условия из п. 2 теоремы 1 допускают синтаксическую запись и, тем самым, эта теорема является аналогом теоремы Рыль-Нардзевского, дающей синтаксическую характеризацию ωкатегоричности. Пусть p1 , . . . , pn ∈ S(T ) — типы, простые модели над которыми являются представителями всех типов изоморфизма из конечного квазиупорядоченного множества RK(T ) теории T . Будем говорить, что теория T обладает свойством согласованного расширения цепей простых над кортежами моделей (CEP), если для любого типа pi любые две предельные модели над типом pi эквивалентны. Из предложения 5 следует, что если теория T удовлетворяет (CEP), f 6 1 для любого M f ∈ RK(T )/∼RK . Поскольку предельная над то IL(M)

главным типом модель не существует, то при |RK(T )/∼RK | = 2 наличие (CEP) влечет существование единственной с точностью до изоморфизма

Полные теории с конечным числом счетных моделей

119

модели M, тип изоморфизма которой не лежит в RK(T ) (при этом модель M является насыщенной). Таким образом, на основании теоремы 1 справедлива ТЕОРЕМА 2. Пусть теория T удовлетворяет (CEP). Эквивалентны следующие условия: (1) I(T, ω) < ω; (2) теория T мала и |RK(T )| < ω. При этом справедливо неравенство I(T, ω) 6 |RK(T )| + |RK(T )/∼RK | − 1, которое превращается в равенство при |RK(T )/∼RK | 6 2. СЛЕДСТВИЕ 3. Для любой полной теории T эквивалентны следующие условия: (1) I(T, ω) = 3; (2) теория T мала, обладает (CEP) и |RK(T )| = 2. Пусть M — модель некоторой, не обязательно счетной, теории. Напомним [6], что раскраской модели M называется любая функция Col : M → λ ∪ {∞}, где λ — некоторый кардинал, ∞ — символ бесконечности. При этом для любого a ∈ M значение Col(a) назовем цветом элемента a. Пару hM, Coli назовем цветной моделью. Цветная модель hM, Coli отождествляется с обогащением модели M одноместными предикатами Colµ = {a ∈ M | Col(a) = µ}, µ < λ. Обозначим через IECThM,Coli множество кортежей a ¯ ∈ M , для которых тип tphM,Coli (¯ a) определяется типом кортежа a ¯ в модели M, а также цветами элементов кортежа a ¯. Раскраска Col модели M называется внутренне несущественной, если множество IECThM,Coli состоит из всех непустых кортежей модели M. Раскраска Col модели M называется внутренне почти несущественной, если для любого кортежа a ¯ ∈ M существует кортеж ¯b ∈ M , расширяющий кортеж a ¯ и такой, что ¯b ∈ IECThM,Coli . Для любой модели M′ |= Th(hM, Coli) естественным образом определяется раскраска Col′ : M ′ → λ ∪ {∞} по следующим правилам:

120

С. В. Судоплатов 1) Col′ (a) = µ, если M′ |= Colµ (a); 2) Col′ (a) = ∞, если M′ 6|= Colµ (a) для любого µ < λ. В дальнейшем модель M′ обозначим через hM′ , Col′ i, а обеднение

модели hM′ , Col′ i до сигнатуры Σ(M) — через M′ . Любое обогащение T ′ теории T попарно несовместными одноместными предикатами Colµ , µ < λ, назовем цветной теорией. Очевидно, что любая цветная теория является теорией некоторой цветной модели hM, Coli, где M |= T . Раскраска Col модели M называется (почти) несущественной, если для любой модели hM′ , Col′ i цветной теории Th(hM, Coli) соответствующая раскраска Col′ внутренне (почти) несущественна. Пусть M — некоторая модель теории T , ϕ(x, y) — формула теории T . Раскраска Col : M → λ ∪ {∞} (где λ — бесконечный кардинал) называется ϕ-упорядоченной, если выполняются следующие условия: а) для любых µ 6 ν < λ существуют элементы a, b ∈ M такие, что |= Colµ (a) ∧ Colν (b) ∧ ϕ(a, b); б) если µ < ν < λ, то нет элементов c, d ∈ M таких, что |= Colµ (c) ∧ ∧ Colν (d) ∧ ϕ(d, c). Напомним, что теория T называется транзитивной, если T имеет единственный 1-тип над ∅. Почти несущественная раскраска Col модели M называется n-несущественной, n ∈ ω \ {0}, если (M ′ )n ⊆ IECThM′ ,Col′ i для любой модели hM′ , Col′ i |= Th(hM, Coli). Очевидно, любая несущественная раскраска является n-несущественной для кажого n > 1. Если Col : M → λ ∪ {∞} — сюръективная 1-несущественная раскраска модели M транзитивной теории T , то множество 1-типов теории Th(hM, Coli) над ∅ состоит из типов pµ (x), µ ∈ λ ∪ {∞}, где pµ (x) — тип, изолируемый формулой Colµ (x), µ ∈ λ, p∞ (x) — неглавный тип, изолируемый множеством формул {¬Colµ (x) | µ < λ}. Отметим, что в примере Эренфойхта теории T3 с тремя счетными моделями обогащение модели транзитивной теории Th(hQ, 4, константные обогащения моделей hQ, µ, а это противоречит п. ”б“ определения ϕупорядоченности раскраски Col. Таким образом, из |= ϕ(a, b) следует |= p∞ (b), и, значит, a полуизолирует b. (2) Предположим противное, т. е. |= p∞ (a), |= ϕ(a, b) и b полуизолирует a. Из условия следует, что формула ϕ(x, b) не может свидетельствовать

122

С. В. Судоплатов

о полуизолированности элемента a над элементом b. С другой стороны, найдется формула ψ(x, y) такая, что |= ψ(a, b) и ψ(x, b) ⊢ p∞ (x). При этом множество p∞ (x) ∪ p∞ (y) ∪ {ϕ(x, y) ∧ ψ(x, y)} совместно, а поскольку тип p∞ (x) является неглавным, множество p∞ (x) ∪ p∞ (y) ∪ {ϕ(x, y) ∧ ¬ψ(x, y)} совместно. Значит, множество {¬Colµ (x) ∧ ¬Colµ (y) | µ < λ} ∪ {ϕ(x, y)} не изолирует полный тип. Последнее противоречит тому, что формула ϕ(x, y) является главной, а также соотношению (a, b) ∈ IECThM′ ,Col′ i для любых (a, b) с условием |= ϕ(a, b). Таким образом, из |= ϕ(a, b) и |= p∞ (a) следует, что b не полуизолирует a. 2 Заметим: заключение предложения 7 остается справедливым, если предположить, что ϕ(x, y) — дизъюнкция главных формул. Различные элементарные цепи над одним и тем же типом могут порождать неизоморфные предельные модели, при этом образуется континуум попарно неизоморфных предельных моделей, как показывает следующий ПРИМЕР. Рассмотрим счетную модель M0 связного бесконтурного ациклического графа hM0 , Ri (см. [7]), в котором каждый элемент имеет бесконечное число образов и бесконечное число прообразов. Обогатим сигнатуру новыми двухместными предикатами R0 и R1 , образующими разбиение предиката R со следующим условием: для любого элемента a ∈ M0 существует бесконечное число образов и бесконечное число прообразов как по R0 , так и по R1 . Теперь определим 1-несущественную R-упорядоченную раскраску Col : M0 → ω ∪ {∞} полученной модели так, чтобы каждый элемент цвета n имел 1) для любого µ > n (включая ∞) бесконечное число образов цвета µ как по R0 , так и по R1 ; 2) для любого m 6 n бесконечное число прообразов цвета m как по R0 , так и по R1 . Из [6, теор. 2.3] следует, что теория Th(hhM0 , R, R0 , R1 i, Coli) ω-стабильна и, в частности, существует простая модель Mp∞ над реализацией типа p∞ (x). По предложению 7 отношение SIp∞ несимметрично, о чем свидетельствуют формулы R0 (x, y) и R1 (x, y).

Полные теории с конечным числом счетных моделей

123

Покажем, что существует 2ω попарно неизоморфных предельных моделей над типом p∞ . С этой целью построим по индукции элементарные цепи (Mα|n )n∈ω\{0} , α ∈ 2ω , над типом p∞ . Если модели Mα|1 , . . . , Mα|n уже построены, а Mα|n — простая модель над реализацией aα|n типа p∞ , то в качестве Mα|n+1 возьмем простую модель над реализацией aα|n+1 типа p∞ , S Mα|n . Погде |= Rα(n) (aα|n+1 , aα|n ). Обозначим через Mα модель n∈ω\{0}

следовательности α и β из 2ω назовем эквивалентными, если существуют k, m ∈ ω такие, что α(k + n) = β(m + n) для всех n ∈ ω. Очевидно, что модели Mα и Mβ изоморфны тогда и только тогда, когда α и β эквивалентны. Поскольку каждый класс эквивалентности счетен, имеется 2ω классов эквивалентности. Выбирая из каждого класса по одной модели, получаем 2ω попарно неизоморфных предельных моделей над типом p∞ . 2 В заключение автор выражает глубокую благодарность Е. А. Палютину за внимание к работе и полезные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. B. Hart, E. Hrushovski, M. S. Laskowski, The uncountable spectra of countable theories, Ann. Math. (2), 152, N 1 (2000), 207—257. 2. Справочная книга по математической логике, ч. 1, Теория моделей, под ред. Дж. Барвайса, М., Наука, 1982. 3. M. Benda, Remarks on countable models, Fundam. math., 81, N 2 (1974), 107— 119. 4. A. Pillay, Countable models of stable theories, Proc. Am. Math. Soc., 89, N 4 (1983), 666—672. 5. D. Lascar, Ranks and definability in superstable theories, Isr. J. Math., 23, N 1 (1976), 53—87. 6. С. В. Судоплатов, Несущественные совмещения и раскраски моделей, Сиб. матем. ж., 44, N 5 (2003), 1132—1141. 7. С. В. Судоплатов, О мощных типах в малых теориях, Сиб. матем. ж., 31, N 4 (1990), 118—128.

124

С. В. Судоплатов 8. С. В. Судоплатов, Типовая редуцированность и мощные типы, Сиб. матем. ж., 33, N 1 (1992), 150—159.

Поступило 24 октября 2001 г. Окончательный вариант 24 апреля 2002 г. Адрес автора: СУДОПЛАТОВ Сергей Владимирович, кафедра алгебры и матем. логики, Новосибирский гос. тех. университет, пр. К. Маркса, 20, г. Новосибирск, 630092, РОССИЯ. e-mail: [email protected], [email protected]