kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet
temy kursowyh rabot i samostoqtelxnyh nau~nyh issledowanij po geometrii dlq stude...
59 downloads
217 Views
647KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet
temy kursowyh rabot i samostoqtelxnyh nau~nyh issledowanij po geometrii dlq studentow I { II kursow
u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE
kAZANX | 2002
pe~ataetsq po re{eni` u~ebno-metodi~eskoj komissii mehaniko-matemati~eskogo fakulxteta kgu
sOSTAWITELI: D-R FIZ.-MAT. NAUK {APUKOW b.n., D-R FIZ.-MAT. NAUK {URYGIN w.w., KAND. FIZ.-MAT. NAUK iGUDESMAN k.b., KAND. FIZ.-MAT. NAUK mALAHALXCEW m.a., KAND. FIZ.-MAT. NAUK fOMIN w.e., KAND. FIZ.MAT. NAUK {USTOWA e.p. nAU^NYJ REDAKTOR: KAND. FIZ.-MAT. NAUK iGUDESMAN k.b. rECENZENT: KAND. FIZ.-MAT. NAUK pODKOWYRIN a.s. pRAKTIKA POKAZYWAET, ^TO STUDENTY MLADIH KURSOW MEHMATA OBY^NO ISPYTYWA@T OPREDELENNYE ZATRUDNENIQ S WYBOROM TEM KURSOWYH RABOT. dLQ TOGO, ^TOBY OBLEG^ITX IM \TU ZADA^U I NAPISANO NASTOQ]EE POSOBIE. oNO PODGOTOWLENO PREPODAWATELQMI KAFEDRY GEOMETRII kAZANSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA I SODERVIT IROKIJ DIAPAZON TEM PO ANALITI^ESKOJ I DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII, NA^ALAM TOPOLOGII, ... pOSOBIE PREDNAZNA^ENO W OSNOWNOM DLQ STUDENTOW I { II KURSOW PO SPECIALXNOSTI MATEMATIKA .
tEMY KURSOWYH RABOT OB_EDINENY PO NAU^NYM RUKOWODITELQM I RAZDELAM. |TO POZWOLQET NESKOLXKIM STUDENTAM RABOTATX PO ODNOJ TEMATIKE, A RUKOWODITELX IMEET WOZMOVNOSTX PRO^ESTX PO \TOJ TEMATIKE WWODNU@ LEKCI@. wYPOLNENIE KURSOWOJ RABOTY PO GEOMETRII PREDPOLAGAET IZU^ENIE REKOMENDUEMOJ LITERATURY I SAMOSTOQTELXNU@ RABOTU PO DANNOJ TEME. oFORMLENIE TITULXNOGO LISTA KURSOWOJ RABOTY OSU]ESTWLQETSQ SOGLASNO PRIWEDENNOMU OBRAZCU. w KONCE KURSOWOJ RABOTY PRIWODITSQ SPISOK ISPOLXZOWANNOJ LITERATURY S UKAZANIEM AWTORA, NAZWANIQ KNIGI ILI STATXI, MESTA IZDANIQ, IZDATELXSTWA I GODA IZDANIQ. pODGOTOWLENNAQ KURSOWAQ RABOTA SDAETSQ NAU^NOMU RUKOWODITEL@. oCENKA S ROSPISX@ PREPODAWATELQ, OSU]ESTWLQWEGO PROWERKU, ZAPISYWAETSQ NA TITULXNYJ LIST KURSOWOJ RABOTY, W WEDOMOSTX GRUPPY I W ZA^ETNU@ KNIVKU STUDENTA. pRIWEDENNYE NIVE TEMY KURSOWYH RABOT I KONKRETNYE ZADANIQ MOGUT BYTX IZMENENY PO VELANI@ STUDENTA I S SOGLASIQ NAU^NOGO RUKOWODITELQ. pLAN KURSOWOJ RABOTY OBSUVDAETSQ S RUKOWODITELEM. rUKOWODITELX TAKVE OPREDELQET KONKRETNOE ZADANIE DLQ SAMOSTOQTELXNOJ RABOTY PO WYBRANNOJ TEME.
2
kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet
kAFEDRA GEOMETRII kURSOWAQ RABOTA gruppa affinnyh preobrazowanij ploskosti
wYPOLNIL STUDENT II KURSA 514 GRUPPY iWANOW i.i. nAU^NYJ RUKOWODITELX PROF. pETROW p.p.
kAZANX | 2002
1
tEMY, PREDLOVENNYE iGUDESMANOM k.b.
1.1 fRAKTALXNAQ GEOMETRIQ kOGDA-TO BOLXINSTWU L@DEJ KAZALOSX, ^TO GEOMETRIQ W PRIRODE OGRANI^IWAETSQ TAKIMI PROSTYMI FIGURAMI, KAK LINIQ, KRUG, KONI^ESKOE SE^ENIE, MNOGOUGOLXNIK, SFERA, KWADRATI^NAQ POWERHNOSTX, A TAKVE IH KOMBINACIQMI. oDNAKO MNOGIE PRIRODNYE SISTEMY NASTOLXKO SLOVNY I NEREGULQRNY, ^TO ISPOLXZOWANIE TOLXKO ZNAKOMYH OB_EKTOW KLASSI^ESKOJ GEOMETRII DLQ IH MODELIROWANIQ PREDSTAWLQETSQ BEZNADEVNYM. kAK, K PRIMERU, POSTROITX MODELX GORNOGO HREBTA ILI BEREGOWOJ LINII W TERMINAH GEOMETRII? kAK OPISATX TO MNOGOOBRAZIE BIOLOGI^ESKIH KONFIGURACIJ, KOTOROE MY NABL@DAEM W MIRE RASTENIJ I VIWOTNYH? pREDSTAWXTE SEBE WS@ SLOVNOSTX SISTEMY KROWOOBRA]ENIQ, SOSTOQ]EJ IZ MNOVESTWA KAPILLQROW I SOSUDOW I DOSTAWLQ@]EJ KROWX K KAVDOJ KLETO^KE ^ELOWE^ESKOGO TELA. pREDSTAWXTE, KAK HITROUMNO USTROENY LEGKIE I PO^KI, NAPOMINA@]IE PO STRUKTURE DEREWXQ S WETWISTOJ KRONOJ. zASLUVIWAET WNIMANIQ TOT FAKT, ^TO POQWLENIE FRAKTALOW (E]E NE POLU^IWIH \TOGO IMENI) W MATEMATI^ESKOJ LITERATURE OKOLO STA LET NAZAD BYLO WSTRE^ENO S PRISKORBNOJ NEPRIQZNX@, KAK \TO BYWALO W ISTORII RAZWITIQ MNOGIH DRUGIH MATEMATI^ESKIH IDEJ. oDIN IZWESTNYJ MATEMATIK, {ARLX |RMIT, DAVE OKRESTIL IH MONSTRAMI. pO KRAJNEJ MERE, OB]EE MNENIE PRIZNALO IH PATOLOGIEJ, PREDSTAWLQ@]EJ INTERES TOLXKO DLQ ISSLEDOWATELEJ, ZLOUPOTREBLQ@]IH MATEMATI^ESKIMI PRI^UDAMI, A NE DLQ NASTOQ]IH U^ENYH. w REZULXTATE USILIJ bENUA mANDELXBROTA TAKOE OTNOENIE IZMENILOSX, I FRAKTALXNAQ GEOMETRIQ STALA UWAVAEMOJ PRIKLADNOJ NAUKOJ. mANDELXBROT WWEL W UPOTREBLENIE TERMIN FRAKTAL, OSNOWYWAQSX NA TE4
ORII FRAKTALXNOJ (DROBNOJ) RAZMERNOSTI hAUSDORFA, PREDLOVENNOJ W 1919 GODU. zA MNOGO LET DO POQWLENIQ EGO PERWOJ KNIGI PO FRAKTALXNOJ GEOMETRII, mANDELXBROT PRISTUPIL K ISSLEDOWANI@ POQWLENIQ MONSTROW I DRUGIH PATOLOGIJ W PRIRODE. oN OTYSKAL NIU DLQ IMEWIH DURNU@ REPUTACI@ MNOVESTW kANTORA, KRIWYH pEANO, FUNKCIJ wEJERTRASSA I IH MNOGO^ISLENNYH RAZNOWIDNOSTEJ, KOTORYE S^ITALISX NONSENSOM. oN I EGO U^ENIKI OTKRYLI MNOGO NOWYH FRAKTALOW, NAPRIMER, FRAKTALXNOE BROUNOWSKOE DWIVENIE DLQ MODELIROWANIQ GORNOGO I LESNOGO LANDAFTOW, FLUKTUACIJ UROWNQ REK I BIENIQ SERDCA. s WYHODOM W SWET EGO KNIG PRILOVENIQ FRAKTALXNOJ GEOMETRII STALI POQWLQTXSQ KAK GRIBY POSLE DOVDQ. |TO KOSNULOSX KAK MNOGIH PRIKLADNYH NAUK, TAK I ^ISTOJ MATEMATIKI. dAVE KINOINDUSTRIQ NE OSTALASX W STORONE. mILLIONY L@DEJ L@BOWALISX GORNYM LANDAFTOM W FILXME zWEZDNOE PERESELENIE II: GNEW HANA, SKONSTRUIROWANNYM S POMO]X@ FRAKTALOW.
tEMA 1. mNOVESTWA DROBNOJ RAZMERNOSTI rAZDELIM OTREZOK PRQMOJ NA N RAWNYH ^ASTEJ. tOGDA KAVDU@ ^ASTX MOVNO S^ITATX KOPIEJ WSEGO OTREZKA, UMENXENNOJ W 1=r RAZ. o^EWIDNO r I N SWQZANY SOOTNOENIEM Nr = 1 (RIS. 1). eSLI KWADRAT RAZBITX NA N RAWNYH KWADRATOW (S PLO]ADX@, W 1=r2 RAZ MENXE PLO]ADI ISHODNOGO), TO SOOTNOENIE ZAPIETSQ KAK Nr2 = 1. eSLI KUB RAZBITX NA N RAWNYH KUBOW (S OB_EMOM, W 1=r3 RAZ MENXE OB_EMA ISHODNOGO), TO SOOTNOENIE ZAPIETSQ KAK Nr3 = 1. zAMETIM, ^TO RAZMERNOSTX d OB_EKTA, BUDX TO ODNOMERNYJ OTREZOK, DWUMERNYJ KWADRAT ILI TREHMERNYJ KUB, POQWLQETSQ KAK STEPENX r W SOOTNOENII MEVDU N , ^ISLOM RAWNYH PODOB_EKTOW, I KO\FFICIENTOM PODOBIQ r. a IMENNO: Nrd = 1 : 5
N = 3 r = 1=3 d = 1 N = 9 r = 1=3 d = 2
N = 27 r = 1=3 d = 3
rIS. 1. sWQZX RAZMERNOSTI I KO\FFICIENTA PODOBIQ K0
K1
K2
K3
rIS. 2. tRIADNAQ KRIWAQ kOHA mNOVESTWA, POSTROENNYE NA RIS. 1, OBLADA@T CELOJ RAZMERNOSTX@. zADADIMSQ WOPROSOM, WOZMOVNO LI TAKOE POSTROENIE, PRI KOTOROM POKAZATELX d NE QWLQETSQ CELYM. oTWET, KAK MY UBEDIMSQ | REITELXNOE DA! tAKOE MNOVESTWO NAZYWAETSQ SAMOPODOBNYM FRAKTALOM. wELI^INU d NAZYWA@T FRAKTALXNOJ (DROBNOJ) RAZMERNOSTX@ ILI RAZMERNOSTX@ PODOBIQ. rASSMOTRIM TRIADNU@ KRIWU@ kOHA. eE POSTROENIE NA^INAETSQ S 6
rIS. 3. pOSTROENIE KOWRA sERPINSKOGO OTREZKA EDINI^NOJ DLINY K0. uBEREM SREDN@@ ^ASTX I DOBAWIM DWA NOWYH OTREZKA TAKOJ VE DLINY, KAK POKAZANO NA RIS. 2. nAZOWEM POLU^ENNOE MNOVESTWO K1. pOWTORIM DANNU@ PROCEDURU MNOGOKRATNO, NA KAVDOM AGE ZAMENQQ SREDN@@ TRETX DWUMQ NOWYMI OTREZKAMI. oBOZNA^IM ^EREZ Kn FIGURU, POLU^IWU@SQ POSLE n-GO AGA. mOVNO DOKAZATX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fKng1n=1 SHODITSQ K NEKOTOROJ PREDELXNOJ KRIWOJ K , KOTORAQ I NAZYWAETSQ TRIADNOJ KRIWOJ kOHA. eSLI WZQTX KOPI@ K , UMENXENNU@ W TRI RAZA (r = 1=3), TO WSE MNOVESTWO K MOVNO SOSTAWITX IZ N = 4 TAKIH KOPIJ. sLEDOWATELXNO, OTNOENIE SAMOPODOBIQ WYPOLNQETSQ PRI UKAZANNYH N I r, A RAZMERNOSTX FRAKTALA BUDET: ln4 d = ln3 1 2618 :
1) oPREDELITE RAZMERNOSTX PODOBIQ KOWRA sERPINSKOGO, KOTORYJ STROITSQ, KAK UKAZANO NA RIS. 3. dOKAVITE, ^TO SUMMA PLO]ADEJ TREUGOLXNIKOW, WYKINUTYH PRI POSTROENII KOWRA sERPINSKOGO, RAWNQETSQ PLO]ADI ISHODNOGO TREUGOLXNIKA. pUSTX > 0. pOSTROJTE MNOVESTWO, RAZMERNOSTX PODOBIQ KOTOROGO RAWNA . 2) pUSTX N (") | MINIMALXNOE ^ISLO AROW RADIUSA ", NEOBHODI7
MYH DLQ POKRYTIQ KOMPAKTNOGO MNOVESTWA A Rn. pREDEL (ESLI ON SU]ESTWUET) ln N (") ; lim "!0 ln "
OPREDELQET RAZMERNOSTX mINKOWSKOGO MNOVESTWA A. iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, SOSTAWXTE PROGRAMMU DLQ WY^ISLENIQ RAZMERNOSTI mINKOWSKOGO. 3) pO KNIGE 61] RAZBERITE OPREDELENIE RAZMERNOSTI hAUSDORFA I WOSSTANOWITE PROPU]ENNYE DETALI. kAK SWQZANY MEVDU SOBOJ RAZMERNOSTI PODOBIQ, mINKOWSKOGO I hAUSDORFA? kAKIE IZ NIH INWARIANTNY OTNOSITELXNO AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ?
tEMA 2. L-SISTEMY pONQTIE L-SISTEM, TESNO SWQZANNOE S SAMOPODOBNYMI FRAKTALAMI, POQWILOSX TOLXKO W 1968 GODU BLAGODARQ aRISTRIDU lINDENMAJERU. s IH POMO]X@ MOVNO STROITX MNOGIE IZWESTNYE SAMOPODOBNYE FRAKTALY. dLQ GRAFI^ESKOJ REALIZACII L-SISTEM W KA^ESTWE PODSISTEMY WYWODA ISPOLXZUETSQ TAK NAZYWAEMAQ TERTL-GRAFIKA (turtle | ^EREPAKA). pRI \TOM TO^KA (^EREPAKA) DWIVETSQ PO \KRANU DISKRETNYMI AGAMI, PRO^ER^IWAQ SWOJ SLED. w NAEM RASPORQVENII IMEETSQ TRI PARAMETRA (x y ), GDE (x y) | KOORDINATY ^EREPAKI, | NAPRAWLENIE, W KOTOROM ONA SMOTRIT. ~EREPAKA OBU^ENA INTERPRETIROWATX I WYPOLNQTX POSLEDOWATELXNOSTX KOMAND, ZADAWAEMYH KODOWYM SLOWOM. kODOWOE SLOWO PREDSTAWLQET SOBOJ REZULXTAT RABOTY L-SISTEMY I W PROSTEJEM SLU^AE MOVET WKL@^ATX W SEBQ SLEDU@]IE BUKWY: F { PEREMESTITXSQ WPERED NA ODIN AG, PRORISOWYWAQ SLED. + { UWELI^ITX UGOL NA WELI^INU . - { UMENXITX UGOL NA WELI^INU . 8
rIS. 4. pOSTROENIE SNEVINKI kOHA rAZMER AGA I WELI^INA PRIRA]ENIQ PO UGLU OSTA@TSQ NEIZMENNYMI DLQ WSEH PEREME]ENIJ ^EREPAKI. fORMALXNO, DETERMINIROWANNAQ L-SISTEMA SOSTOIT IZ ALFAWITA, SLOWA INICIALIZACII, NAZYWAEMOGO AKSIOMOJ ILI INICIATOROM, I NABORA POROVDA@]IH PRAWIL, UKAZYWA@]IH, KAK SLEDUET PREOBRAZOWYWATX SLOWO PRI PEREHODE OT UROWNQ K UROWN@ (OT ITERACII K ITERACII). L-SISTEMA, SOOTWETSTWU@]AQ SNEVINKE kOHA (RIS. 4), ZADAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: = =3.
aKSIOMA: F++F++F (RAWNOSTORONNIJ TREUGOLXNIK). pOROVDA@]EE PRAWILO: newf = F-F++F-F. nA PERWOM AGE KAVDAQ BUKWA F W SLOWE-INICIATORE F++F++F ZAMENQETSQ NA F-F++F-F: F-F++F-F++F-F++F-F++F-F++F-F.
pOWTORQQ \TOT PROCESS, NA WTOROM AGE POLU^IM: 9
rIS. 5. pOSTROENIE SNEVINKI kOHA WNUTRX I NARUVU F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++ F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-FF-F++F-F
I T. D. 1) iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, REALIZOWATX NA KOMPX@TERE L-SISTEMY, REZULXTATOM RABOTY KOTORYH BYLI BY SLEDU@]IE MNOVESTWA: SNEVINKA kOHA, KRIWAQ pEANO I DR. 2) dOPOLNITX ALFAWIT L-SISTEM SLEDU@]IMI BUKWAMI b { PEREMESTITXSQ WPERED NA ODIN AG, NE PRORISOWYWAQ SLED. { OTKRYTX WETWX. ] { ZAKRYTX WETWX. iSPOLXZUQ NOWYE BUKWY, POSTROITX NA KOMPX@TERE RAZRYWNYE I WETWQ]IESQ MNOVESTWA. pREDLOVITX SOBSTWENNYE WARIANTY DOPOLNENIQ ALFAWITA. 3) tEM ILI INYM SPOSOBOM WNESTI \LEMENT SLU^AJNOSTI W L-SISTEMY. nAPRIMER, PRI POSTROENII SNEVINKI kOHA NAPRAWLENIE WNUTRX ILI NARUVU WYBIRAETSQ SLU^AJNYM OBRAZOM (RIS. 5), ILI SLU^AJNOJ QWLQETSQ DLINA PRO^ER^IWAEMOGO OTREZKA I T. P. 10
C0 C1 C2 C3 rIS. 6. pOSTROENIE KANTOROWA MNOVESTWA 4) rAZRABOTAJTE PODHODY K REENI@ OBRATNOJ ZADA^I: PO ZADANNOMU IZOBRAVENI@ ILI DOSTATO^NO DLINNOMU SLOWU WOSSTANOWITX AKSIOMU, POROVDA@]EE PRAWILO I UGOL . rEENIE OBRATNOJ ZADA^I IMEET BOLXOE ZNA^ENIE DLQ TAKOJ OBLASTI PRIKLADNYH ISSLEDOWANIJ, KAK SVATIE IZOBRAVENIJ, IROKO ISPOLXZU@]EESQ PRI PEREDA^E IZOBRAVENIJ W REALXNOM WREMENI.
tEMA 3. kANTOROWO MNOVESTWO kLASSI^ESKOE MNOVESTWO kANTORA, ILI PYLX kANTORA, NAZWANO PO IMENI gEORGA kANTORA, KOTORYJ OPISAL EGO W 1883 GODU. fRAKTALXNYE SWOJSTWA PYLI kANTORA IME@T OGROMNOE ZNA^ENIE, OSOBENNO U^ITYWAQ TOT FAKT, ^TO MNOGIE IZWESTNYE FRAKTALY QWLQ@TSQ BLIZKIMI RODSTWENNIKAMI \TOGO MNOVESTWA. pOSTROENIE KLASSI^ESKOJ PYLI kANTORA NA^INAETSQ S WYBRASYWANIQ SREDNEJ TRETI (NE WKL@^AQ KONCY) EDINI^NOGO OTREZKA. nA SLEDU@]EM I WSEH OSTALXNYH AGAH MY WYKIDYWAEM SREDN@@ TRETX (NE WKL@^AQ KONCY) WSEH OTREZKOW TEKU]EGO UROWNQ. tAKIM OBRAZOM, MY POLU^AEM (RIS. 6) POSLEDOWATELXNOSTX MNOVESTW:
C0 = 0 1] 11
C1 = 0 31 ] 32 1] C2 = 0 19 ] 92 13 ] 23 97 ] 89 1] . ..
T1
pREDELXNOE MNOVESTWO C = Cn NAZYWAETSQ KLASSI^ESKIM KANTOROn=0 WYM MNOVESTWOM. 1) uDIWITELXNO, NO FAKT, ^TO SU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE C NA OTREZOK 0 1], PRI TOM, ^TO LEBEGOWA MERA (DLINA) KANTOROWA MNOVESTWA RAWNA NUL@. pOSTROJTE \TO OTOBRAVENIE, QWLQETSQ LI ONO BIEKCIEJ? 2) pROWERXTE, ^TO TO^KA POPADAET W KLASSI^ESKOE MNOVESTWO kANTORA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA W NEKOTOROM EE TROI^NOM PREDSTAWLENII OTSUTSTWU@T EDINICY. pUSTX 0 < < 1. pOSTROJTE MNOVESTWO TIPA KANTOROWA, RAZMERNOSTX PODOBIQ KOTOROGO RAWNA . dLQ KAKIH \TO WOZMOVNO? 3) iNOGDA KANTOROWYM MNOVESTWOM NAZYWA@T L@BOE KOMPAKTNOE, SOWERENNOE I WPOLNE RAZRYWNOE MNOVESTWO. dOKAVITE, ^TO C UDOWLETWORQET \TIM SWOJSTWAM. sOHRANQ@TSQ LI ONI PRI GOMEOMORFIZME? pROILL@STRIRUJTE NA PRIMERE, ^TO RAZMERNOSTX PODOBIQ NE QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM INWARIANTOM. 4) oPREDELIM SUMMU KANTOROWYH MNOVESTW: C + C = fz : z = x + y GDE x y 2 Cg : dOKAVITE, ^TO C + C = 0 2]. tEMA 4. sISTEMY ITERIROWANNYH FUNKCIJ oBRATIMSQ K ODNOMU IZ NAIBOLEE GLUBOKIH DOSTIVENIJ W POSTROENII FRAKTALOW | SISTEMAM ITERIROWANNYH FUNKCIJ (sif). mATEMATI^ESKIE ASPEKTY BYLI RAZRABOTANY dVONOM hAT^INSONOM W 1981 G., 12
A SAM METOD STAL IROKO IZWESTEN BLAGODARQ mAJKLU bARNSLI I DRUGIM. pODHOD NA OSNOWE sif PREDOSTAWLQET HOROU@ TEORETI^ESKU@ BAZU DLQ MATEMATI^ESKOGO ISSLEDOWANIQ MNOGIH KLASSI^ESKIH FRAKTALOW, A TAKVE IH OBOB]ENIJ. pUSTX (X d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO. pREOBRAZOWANIE T : X ! X NAZYWAETSQ SVIMA@]IM OTOBRAVENIEM (ILI SVATIEM), ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO s < 1, ^TO d(T (x) T (y)) sd(x y) x y 2 X :
w OB]EM SLU^AE, DLQ TOGO ^TOBY POSTROITX sif, WWEDEM W RASSMOTRENIE SOWOKUPNOSTX SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ T1 T2 : : : Tm DEJSTWU@]IH NA Rn. |TI m OTOBRAVENIJ ISPOLXZU@T DLQ POSTROENIQ ODNOGO SVIMA@]EGO OTOBRAVENIQ T W PROSTRANSTWE K WSEH NEPUSTYH KOMPAKTOW IZ Rn. pREOBRAZOWANIE hAT^INSONA T : K ! K OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
T(E ) = T1(E ) T2(E ) Tm (E ) E 2 K : tAKIM OBRAZOM, sif NAZYWA@T SOWOKUPNOSTX WWEDENNYH WYE OTOBRAVENIJ WMESTE S ITERACIONNOJ SHEMOJ: E0 = KOMPAKTNOE MNOVESTWO (PROIZWOLXNOE) E1 = T(E0) E2 = T(E1) ..
oSNOWNAQ ZADA^A TEORII sif | WYQSNITX, KOGDA sif POROVDAET PREDELXNOE MNOVESTWO E : E = nlim !1 En 13
rIS. 7. rANDOMIZIROWANNYJ KOWER sERPINSKOGO W SMYSLE SHODIMOSTI W METRIKE hAUSDORFA. eSLI PREDEL SU]ESTWUET, TO MNOVESTWO E NAZYWA@T ATTRAKTOROM sif. pRI^EM ATTRAKTOR ^ASTO (NO NE WSEGDA!) OKAZYWAETSQ FRAKTALXNYM MNOVESTWOM. 1) pOSTROJTE sif DLQ KANTOROWA MNOVESTWA (RIS. 6 NA S. 11), TRIADNOJ KRIWOJ kOHA (RIS. 2 NA S. 6) I KOWRA sERPINSKOGO (RIS. 3 NA S. 7). wY^ISLITE RAZMERNOSTI PODOBIQ \TIH MNOVESTW. kAK SWQZANA RAZMERNOSTX PODOBIQ S KO\FFICIENTAMI SVATIJ? 2) dETERMINIROWANNYJ ALGORITM POSTROENIQ sif SOSTOIT W NEPOSREDSTWENNOM PRIMENENII SOWOKUPNOSTI SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ K PROIZWOLXNOMU KOMPAKTNOMU MNOVESTWU (WOZMOVNO DAVE K EDINSTWENNOJ TO^KE). iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, ZAPROGRAMMIROWATX DETERMINIROWANNYJ ALGORITM DLQ sif I POSTROITX RAZLI^NYE FRAKTALXNYE MNOVESTWA. 3) tEM ILI INYM SPOSOBOM WWEDITE \LEMENT SLU^AJNOSTI W sif. nAPRIMER, W SLU^AE KOWRA sERPINSKOGO, PRI POSTROENII KOTOROGO OBY^NO UDALQETSQ SREDNQQ IZ ^ETYREH TREUGOLXNYH OBLASTEJ (RIS. 3 NA S. 7), 14
MY MOVEM SLU^AJNO UDALQTX L@BOJ IZ ^ETYREH TREUGOLXNIKOW (RIS. 7) I T. P. 4) rANDOMIZIROWANNYJ ALGORITM POSTROENIQ sif ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM. pUSTX T1 T2 : : : Tm | SOWOKUPNOSTX SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ. zAFIKSIRUEM PROIZWOLXNU@ TO^KU X0, ZATEM, SLU^AJNYM OBRAZOM, IZ DANNYH SVIMA@]IH OTBRAVENIJ WYBEREM ODNO I PRIMENIM K X0, POLU^ENNU@ TO^KU OBOZNA^IM X1. pOWTORQQ OPISANNU@ PROCEDURU SNOWA I SNOWA, POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK X0 X1 X2 : : : NA PLOSKOSTI. oTBROSIM NESKOLXKO NA^ALXNYH TO^EK POSLEDOWATELXNOSTI. oKAZYWAETSQ, RASSTOQNIE OT L@BOJ IZ OSTAWIHSQ TO^EK DO ATTRAKTORA ISHODNOJ sif TEM MENXE, ^EM BOLXE NA^ALXNYH TO^EK MY OTBROSILI. iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, ZAPROGRAMMIROWATX RANDOMIZIROWANNYJ ALGORITM DLQ sif I POSTROITX RAZLI^NYE FRAKTALXNYE MNOVESTWA. 5) pUSTX C 2 K. sGU]A@]IM PREOBRAZOWANIEM, ILI PROSTO SGU]ENIEM, NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE TC : K ! K TC (E ) = C E 2 K
mNOVESTWO C MY BUDEM NAZYWATX PODMNOVESTWOM SGU]ENIQ. pUSTX W NAEM RASPORQVENII IMEETSQ sif, ZADANNAQ SVIMA@]IMI OTOBRAVENIQMI Ti i = 1 m. dOBAWIM K NIM SGU]ENIE TC . pOLU^ENNU@ sif BUDEM NAZYWATX SISTEMOJ ITERIROWANNYH FUNKCIJ SO SGU]ENIM (ssif). w ^EM PREIMU]ESTWO KOMPX@TERNOJ REALIZACII ssif PO SRAWNENI@ S sif? iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, POSTROITX ssif. 6) rAZRABOTAJTE PODHODY K REENI@ OBRATNOJ ZADA^I: PO ZADANNOMU IZOBRAVENI@ WOSSTANOWITX sif. pOLU^ENNYE REZULXTATY PRIMENITE K IZOBRAVENI@ NA RIS. 8. 15
rIS. 8. pAPOROTNIK 7) pREDPOLOVIM, ^TO SVATIQ Ti QWLQ@TSQ PREOBRAZOWANIQMI PODOBIQ S KO\FFICIENTAMI si I, KROME TOGO, WYPOLNENO USLOWIE OTKRYTOGO MNOVESTWA, T. E. SU]ESTWUET OTKRYTOE MNOVESTWO V Rn, TAKOE, ^TO T(V ) V I Ti (V ) \ Tj (V ) = PRI i 6= j . dOKAZATX, ^TO HAUSDORFOWA RAZMERNOSTX ATTRAKTORA sif RAWNA t, GDE t OPREDELQETSQ IZ URAWNENIQ m X i=1
sti = 1 :
tEMA 5. dISKRETNYE DINAMI^ESKIE SISTEMY pROSTEJAQ DISKRETNAQ DINAMI^ESKAQ SISTEMA SOSTOIT IZ NA^ALXNOJ TO^KI x0 I ITERIRUEMOJ FUNKCII f : x0 = NA^ALXNAQ TO^KA x1 = f (x0) x2 = f (x1) ..
16
pOSLEDOWATELXNOSTX fxng1n=0 = ff (n)(x0)g1n=0 NAZYWA@T ORBITOJ TO^KI x0. bUDEM POLAGATX x0 DEJSTWITELXNYM ^ISLOM, A FUNKCI@ f \LEMENTARNOJ, NAPRIMER: x2 + c cx(1 ; x) cos x. oPREDELIM NEPODWIVNU@ TO^KU OTOBRAVENIQ f KAK TO^KU x, UDOWLETWORQ@]U@ USLOWI@ f (x) = x. nEPODWIVNAQ TO^KA NAZYWAETSQ PRITQGIWA@]EJ W TOM SLU^AE, ESLI ORBITY WSEH TO^EK IZ NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI (WOZMOVNO, O^ENX MALOJ) SHODQTSQ K NEJ. nEPODWIVNAQ TO^KA NAZYWAETSQ OTTALKIWA@]EJ, ESLI ORBITY WSEH DOSTATO^NO BLIZKIH K NEJ TO^EK UDALQ@TSQ OT NEE. oRBITA NAZYWAETSQ PERIODI^ESKOJ S PERIODOM p, ESLI xn+p = xn DLQ n = 1 2 : : :. 1) pROWEDITE KOMPX@TERNOE ISSLEDOWANIE DINAMIKI ITERIROWANIQ FUNKCIJ S MODULEM. sRAWNITE DINAMIKU DLQ PRIWEDENNYH NIVE SLU^AEW: a) y = ;jxj + 1 b) y = ;4jx ; 1=2j + 2 c) y = ;2jx ; 1=2j + 1 d) y = ;jx ; 1=2j + 1=2 e) y = ;8jx ; 1=2j + 4 f ) y = ;4jxj + 2 :
2) iSSLEDUJTE NEPODWIVNYE TO^KI FUNKCII f (x) = x2 + c PRI RAZLI^NYH c. kAKIE IZ NIH QWLQ@TSQ PRITQGIWA@]IMI, A KAKIE OTTALKIWA@]IMI? pRI KAKIH ZNA^ENIQH x0 I c ORBITA TO^KI x0 OGRANI^ENA? 3) rASSMOTRIM FUNKCI@ f (x) = x2 + c PRI ;3=4 < c < 1=4. u NEE SU]ESTWUET DWE NEPODWIVNYE TO^KI | OTTALKIWA@]AQ I | PRITQGIWA@]AQ. pO MERE TOGO KAK c UBYWAET I STANOWITSQ MENXE ;3=4 PRITQGIWA@]AQ NEPODWIVNAQ TO^KA STANOWITSQ OTTALKIWA@]EJ. w TO VE WREMQ FUNKCIQ f 2 DOSTAWLQET PARU PRITQGIWA@]IH NEPODWIVNYH TO^EK, KOTORYE PRIWODQT K POQWLENI@ CIKLA S PERIODOM 2 DLQ 17
f . gOWORQT, ^TO SISTEMA PRETERPEWAET BIFURKACI@ UDWOENIQ PERIODA, KOGDA c PROHODIT ^EREZ ZNA^ENIE ;3=4. iSPOLXZUQ KOMPX@TER, NAJDITE DRUGIE ZNA^ENIQ c, PRI KOTORYH PROISHODIT UDWOENIE PERIODA. nA OSNOWANII POLU^ENNYH DANNYH WY^ISLITE KONSTANTU fEJGENBAUMA. 4) pOKAVITE, ^TO TO^KI BIFURKACII DLQ FUNKCIJ 1 ; x2 I x2 + c SOWPADA@T. mOVNO LI TO VE SAMOE SKAZATX O FUNKCII c sin(x), ILI O cx(1 ; x)? dLQ KAVDOJ IZ UKAZANNYH FUNKCIJ WY^ISLITE KONSTANTU fEJGENBAUMA.
tEMA 6. hAOS w 1979 GODU |DWARD lORENC IZ mASSA^USETSKOGO TEHNOLOGI^ESKOGO INSTITUTA OPUBLIKOWAL STATX@ pREDSKAZUEMOSTX: MOVET LI WZMAH KRYLYEK BABO^KI W bRAZILII PRIWESTI K OBRAZOWANI@ TORNADO W tEHASE? . w \TOM NAZWANII OBRAZNO WYRAVENA OSNOWOPOLAGA@]AQ ^ERTA HAOSA | SU]ESTWENNAQ ZAWISIMOSTX OT NA^ALXNYH USLOWIJ. iNYMI SLOWAMI, MOGUT LI NEZNA^ITELXNYE IZMENENIQ NA^ALXNYH USLOWIJ PRIWESTI K SU]ESTWENNYM IZMENENIQM OKON^ATELXNOGO REZULXTATA? rASSMOTRIM METRI^ESKOE PROSTRANSTWO (X d). bUDEM NAZYWATX OTOBRAVENIE f : X ! X HAOTI^ESKIM, ESLI WYPOLNENY SLEDU@]IE USLOWIQ: 1. f OBLADAET SU]ESTWENNOJ ZAWISIMOSTX@ OT NA^ALXNYH USLOWIJ. 2. f TRANZITIWNO. 3. pERIODI^ESKIE TO^KI f PLOTNY W X . sTROGAQ FORMULIROWKA PERWOGO USLOWIQ TAKOWA. pUSTX x 2 X , A U | OTKRYTOE MNOVESTWO, SODERVA]EE x. oTOBRAVENIE f OBLADAET SU]ESTWENNOJ ZAWISIMOSTX@ OT NA^ALXNYH USLOWIJ, ESLI DLQ NEKOTOROGO > 0 SU]ESTWU@T TAKOE CELOE ^ISLO n > 0 I TAKAQ TO^KA y 2 U , ^TO 18
d(f (n) (x) f (n)(y)) > . oTOBRAVENIE f NAZYWAETSQ TRANZITIWNYM, ESLI DLQ L@BOJ PARY U V NEPUSTYH OTKRYTYH MNOVESTW SU]ESTWUET CELOE NEOTRICATELXNOE n, TAKOE, ^TO f (n)(U ) \ V 6= . nAKONEC, SWOJSTWO PLOTNOSTI PERIODI^ESKIH TO^EK OZNA^AET, ^TO W L@BOJ OKRESTNOSTI L@BOJ TO^KI IZ X SU]ESTWUET PO KRAJNEJ MERE ODNA PERIODI^ESKAQ TO^KA. 1) dOKAVITE, ^TO KWADRATI^NAQ FUNKCIQ f (z ) = z 2 HAOTI^NA NA OKRUVNOSTI S 1 C . pRIWEDITE DRUGIE PRIMERY HAOTI^NYH FUNKCIJ. 2) fUNKCIQ ( 3x x 1=2 f (x) = 3 ; 3x x > 1=2 INOGDA NAZYWAETSQ TENTOOBRAZNYM OTOBRAVENIEM. rASSMOTRIM EGO DINAMIKU PRI ITERIROWANII. pUSTX x0 | NA^ALXNAQ TO^KA, I PUSTX xn = f (xn;1) ILI, ^TO RAWNOSILXNO, xn = f (n) (x0). oBOZNA^IM ^EREZ MNOVESTWO NA^ALXNYH TO^EK, KOTORYM SOOTWETSTWU@T OGRANI^ENNYE ORBITY fxn g1n=0. dOKAVITE, ^TO SOWPADAET S KLASSI^ESKIM KANTOROWYM MNOVESTWOM C . qWLQETSQ LI TENTOOBRAZNOE OTOBRAVENIE HAOTI^NYM NA C ? 3) pUSTX C | KLASSI^ESKOE KANTOROWO MNOVESTWO. nAPOMNIM, ^TO KAVDOMU x 2 C SOOTWETSTWUET EDINSTWENNOE TROI^NOE PREDSTAWLENIE x = 0 x1 x2x3 : : : (PO OSNOWANI@ 3)
W KOTOROM KAVDAQ CIFRA xi LIBO 0, LIBO 2. dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ B (x) = 0 x2 x3x4 : : :
HAOTI^NA NA C . 4) sIMWOLXNOE PROSTRANSTWO NA N \LEMENTAH OPREDELQETSQ KAK 19
rIS. 9. mNOVESTWO v@LIA DLQ z 2 ; 0 7382 + 0 0827i MNOVESTWO WSEH POSLEDOWATELXNOSTEJ
1 2 3 : : :
eSLI
n 2 f1 : : : N g :
= 1 2 3 : : : I = 123 : : :
TO RASSTOQNIE MEVDU NIMI OPREDELQETSQ KAK d( ) =
1 j ; j X n n
n : ( N + 1) n=1 dOKAVITE, ^TO SIMWOLXNOE PROSTRANSTWO ( d) ESTX METRI^ESKOE PROSTRANSTWO, A OPERATOR OBRATNOGO SDWIGA
B ( 1 2 3 : : :) = 2 3 4 : : :
HAOTI^EN. tEMA 7. kOMPLEKSNAQ DINAMIKA wEROQTNO, NELXZQ PRIWESTI PRIMER TAKOGO KOMPX@TERNOGO \KSPERIMENTA, KOTORYJ WPE^ATLENIEM OT REZULXTATOW PREWOSHODIL BY TO ^UWSTWO UDIWLENIQ I WOSHI]ENIQ, KOTOROE WYZYWAET GRAFI^ESKOE POSTROENIE MNOVESTW v@LIA (RIS. 9) I MNOVESTWA mANDELXBROTA NA PLOSKOSTI (RIS. 10). 20
rIS. 10. mNOVESTWO mANDELXBROTA DLQ z 2 + c mNOVESTWO v@LIA FUNKCII f , OBOZNA^AEMOE J (f ), OPREDELQETSQ KAK J (f ) = @ fz 2 C : f (n) (z ) ! 1 PRI n ! 1g : tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO v@LIA FUNKCII f ESTX GRANICA MNOVESTWA TO^EK z , STREMQ]IHSQ K BESKONE^NOSTI PRI ITERIROWANII f (z ). mNOVESTWO NAZWANO W ^ESTX FRANCUZSKOGO MATEMATIKA gASTONA v@LIA (1893 { 1975), KOTORYJ ODNOWREMENNO S pXEROM fATU (1878 { 1929) W 1917 {1919 GG. NAPISAL OSNOWOPOLAGA@]IE STATXI PO ITERIROWANI@ FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. mNOVESTWO mANDELXBROTA M DLQ POLINOMA f (z ) = z 2 +c OPREDELQETSQ KAK MNOVESTWO WSEH c 2 C , DLQ KOTORYH ORBITA TO^KI 0 OGRANI^ENA, TO ESTX M = fc 2 C : ffc(n) (0)g1n=0 OGRANI^ENAg: 1) ~TO QWLQETSQ MNOVESTWOM v@LIA DLQ f (z ) = z 2? iSPOLXZUQ PAKET 21
rIS. 11. pERIODY OBRAMLENIJ PROGRAMM Mathematica 4.0, POLU^ITE IZOBRAVENIQ MNOVESTW v@LIA DLQ f (z ) = z 2 + c. 2) iSPOLXZUJTE KOMPX@TER DLQ POLU^ENIQ IZOBRAVENIJ MNOVESTW v@LIA DLQ KAKOGO-NIBUDX POLINOMA OT z . 3) rASSMOTRITE KWADRATI^NYE OTOBRAVENIQ ALGEBRY DUALXNYH ^ISEL W SEBQ. kAKIE MNOVESTWA v@LIA ONI POROVDA@T? iSPOLXZUQ KOMPX@TER, POLU^ITE IZOBRAVENIQ \TIH MNOVESTW. 4) iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, POSTROJTE MNOVESTWO mANDELXBROTA I PRIBLIVENNO OPREDELITE CENTR (ZNA^ENIE c) KAKOGOLIBO \LEMENTA OBRAMLENIQ, NAPRIMER ODNOJ IZ OKRUVNOSTEJ, KASA@]IHSQ GLAWNOJ KARDIOIDY. zATEM WY^ISLITE OPREDELENNYJ U^ASTOK ORBITY ffc(n)(0)g I POSTARAJTESX PO EE ASIMPTOTI^ESKOMU POWEDENI@ 22
OPREDELITX PERIOD. pRODELAJTE \TO DLQ NESKOLXKIH OKRUVNOSTEJ, OTME^ENNYH NA RIS. 11. 5) iSPOLXZUJTE KOMPX@TER DLQ POLU^ENIQ IZOBRAVENIQ MNOVESTWA mANDELXBROTA DLQ f (z ) = z 3 + c. pOKAVITE, ^TO ESLI jcj > 2, TO ORBITA z STREMITSQ K 1.
tEMA 8. pROBLEMA k\LI w 1879 GODU S\R aRTUR k\LI POSTAWIL ZADA^U ITERIROWANIQ KOMPLEKSNYH FUNKCIJ. pROBLEMA k\LI ZAKL@^AETSQ W ISSLEDOWANII SHODIMOSTI KLASSI^ESKOGO ALGORITMA nX@TONA NAHOVDENIQ KUBI^ESKIH KORNEJ, NO PRI USLOWII, ^TO WE]ESTWENNYE ^ISLA ZAMENQ@TSQ NA KOMPLEKSNYE. dLQ f (z ) = z 3 ; 1 NULI RAWNY KUBI^ESKIM KORNQM IZ 1, I ITERACII nX@TONA PRINIMA@T WID:
3 z n zn+1 = zn ; 3z;2 1 : n 1 iME@TSQ TRI KUBI^ESKIH KORNQ IZ 1, A IMENNO ! 1 = 1 !2 = ; 2 + p p i 23 !3 = ; 12 ; i 23 . oBLASTX PRITQVENIQ DLQ KORNQ !j ESTX MNOVESTWO
A(!j ) = fz0 2 C : nlim !1 zn = !j g : k\LI POSTAWIL ZADA^U OPISANIQ OBLASTEJ A(!1) A(!2) A(!3). 1) iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, POSTROJTE GRAFI^ESKOE IZOBRAVENIE OBLASTEJ PRITQVENIQ KUBI^ESKIH KORNEJ IZ EDINICY, RASKRASIW KAVDU@ OBLASTX W SWOJ CWET. 2) dLQ SHEMY ITERIROWANIQ 2 z n zn+1 = zn ; 2z; 1 n SOOTWETSTWU@]EJ PRIMENENI@ METODA nX@TONA K f (z ) = z 2 ;1, POKAVITE, ^TO ESLI z0 LEVIT W PRAWOJ POLUPLOSKOSTI, TO zn ! +1 PRI n ! 1, 23
A ESLI z0 LEVIT W LEWOJ POLUPLOSKOSTI, TO zn ! ;1 PRI n ! 1. eSLI VE z0 LEVIT NA MNIMOJ OSI, TO PROCESS ITERIROWANIQ NE SHODITSQ. 3) iSPOLXZUQ KOMPX@TER, POSTROJTE GRAFI^ESKOE IZOBRAVENIE OBLASTI PRITQVENIQ A(1) DLQ FUNKCIJ a) f (z ) = z 4 ; 1 b) f (z ) = z 3 ; z c) f (z ) = z 3 ; z 2 + z ; 1 :
rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 28], 52], 58], 61], 63].
1.2 nAGLQDNAQ KOMPX@TERNAQ GEOMETRIQ W TEORII ^ISEL w TAKOJ SLOVNOJ TEORII, KAKOJ QWLQETSQ TEORIQ ^ISEL, INOGDA TRUDNO DAVE SFORMULIROWATX PRAWDOPODOBNU@ GIPOTEZU. sOWREMENNYE WY^ISLITELXNYE SREDSTWA POZWOLQ@T PRAWILXNO WYBRATX GIPOTEZU W REZULXTATE OBRABOTKI BOLXOGO \KSPERIMENTALXNOGO MATERIALA I EGO IZOBRAVENIQ W NAGLQDNOM WIDE. mNOGOE ZAWISIT OT SPOSOBA IZOBRAVENIQ INFORMACII. nUVNO TAK UDA^NO ZAKODIROWATX EE NAGLQDNYMI OBRAZAMI, ^TOBY WOZNIKA@]IE NA \KRANE KOMPX@TERA KARTINY POMOGALI ISSLEDOWATEL@ UGADYWATX PRAWILXNOE NAPRAWLENIE ISSLEDOWANIQ. rASSMOTRIM ZADA^U O PREDSTAWLENII NATURALXNYH ^ISEL n 1 W WIDE SUMM n = nr1 + nr2 + nrs (1) GDE WSE ^ISLA ni , 1 i s, | NEOTRICATELXNYE CELYE. fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE ZNA^ENIQ r 2 I s 1. w TAKOM SLU^AE WSE NATURALXNYE ^ISLA RAZBIWA@TSQ NA DWA KLASSA. k ODNOMU KLASSU OTNOSQTSQ WSE TE NATURALXNYE ^ISLA, KOTORYE PREDSTAWLQ@TSQ W WIDE (1), A KO WTOROMU KLASSU | ^ISLA, KOTORYE NELXZQ PRI DANNYH PARAMETRAH r I s PREDSTAWITX W WIDE (1). wOZNIKAET OB]AQ ZADA^A (OBOB]ENNAQ 24
PROBLEMA wARINGA): KAK OPISATX KAVDYJ IZ UKAZANNYH WYE KLASSOW? wOZXMEM BESKONE^NU@ LENTU I RAZMETIM EE NA ODINAKOWYE KWADRATIKI, W KOTORYE POSLEDOWATELXNO WPIEM NATURALXNYE ^ISLA. fIKSIRUEM CELOE ^ISLO d I RAZOBXEM \TU BESKONE^NU@ LENTU NA KUSKI DLINY d. |TO ^ISLO NAZOWEM MODULEM IZOBRAVENIQ. pERWYJ OTREZOK DLINY d UKLADYWAEM NA PERWU@ STROKU \KRANA, WTOROJ OTREZOK LENTY | NA WTORU@ STROKU I T. D. tOGDA \KRAN ZAPOLNITSQ NATURALXNYMI ^ISLAMI OT 1 DO NEKOTOROGO N , OPREDELQEMOGO RAZMEROM \KRANA. oTME^AQ ^ERNYM NEPREDSTAWIMYE W WIDE (1) ^ISLA (PRI ZADANNYH r s d), A BELYM | PREDSTAWIMYE, MY POLU^AEM NA \KRANE KOMPX@TERA NEKOTORYJ PQTNISTYJ ^ERNO-BELYJ KOWER, SOSTOQ]IJ IZ ^ERNYH I BELYH KWADRATIKOW. fIKSIRUEM r = 2 I NA^NEM UWELI^IWATX PARAMETR s = 1 2 3 : : : . wELI^INU d FIKSIRUEM. iTAK, MY IZU^AEM WOPROS O PREDSTAWIMOSTI ^ISEL W WIDE: A) KWADRATA NEKOTOROGO ^ISLA, B) SUMMY DWUH KWADRATOW, W) SUMMY TREH KWADRATOW I T.D. pOSMOTRIM NA HARAKTER IZMENENIQ KARTINY NA \KRANE (RIS. 12). sNA^ALA (PRI s = 1) PO^TI WESX \KRAN | ^ERNYJ. kOE-GDE WIDNY BELYE KWADRATIKI. wIDNO, NASKOLXKO MALO ^ISEL, QWLQ@]IHSQ KWADRATAMI. pRI UWELI^ENII s \KRAN NA^INAET BELETX . nAKONEC, PRI s = 4 WESX \KRAN WSPYHIWAET BELYM CWETOM. ~ERNYE KWADRATIKI IS^EZLI. pRI s = 5 KARTINA UVE NE MENQETSQ: \KRAN OSTAETSQ BELYM. kOMPX@TERNAQ GIPOTEZA: SUMMY ^ETYREH KWADRATOW DOSTATO^NO, ^TOBY PREDSTAWITX W WIDE (1) L@BOE NATURALXNOE ^ISLO. oKAZYWAETSQ, MY UWIDELI NA \KRANE IZWESTNU@ TEOREMU lAGRANVA, DOKAZANNU@ IM W 1740 G. tEOREMA lAGRANVA. l@BOE NATURALXNOE ^ISLO PREDSTAWIMO W WIDE SUMMY ^ETYREH KWADRATOW. 25
rIS. 12. pREDSTAWIMOSTX ^ISEL W WIDE SUMMY KWADRATOW 1) nAPIITE PROGRAMMU, KOTORAQ PO ZADANNYM r s I d STROIT ^ERNOBELYJ KOWER, PODOBNYJ IZOBRAVENNYM NA RIS.12. 2) wARXIRUQ PARAMETRY, NAJDITE ZAKONOMERNOSTI W IZOBRAVENIQH I PREDLOVITE GIPOTEZY, OB_QSNQ@]IE \TI ZAKONOMERNOSTI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 54].
26
rIS. 13. pARABOLI^ESKAQ KA^ALKA 2
tEMY, PREDLOVENNYE mALAHALXCEWYM m.a.
2.1 oSOBENNOSTI GLADKIH OTOBRAVENIJ tEORIQ OSOBENNOSTEJ DIFFERENCIRUEMYH OTOBRAVENIJ POQWILASX KAK SAMOSTOQTELXNAQ MATEMATI^ESKAQ DISCIPLINA W 60H{70H GODAH PROLOGO WEKA I POLU^ILA IROKU@ IZWESTNOSTX POD NAZWANIEM TEORIQ KATASTROF , TAK KAK POZWOLILA OPISATX SKA^KOOBRAZNYE IZMENENIQ I KA^ESTWENNYE PEREHODY W POWEDENII FIZI^ESKIH SISTEM, W ^ASTNOSTI, POTER@ USTOJ^IWOSTI. rASSMOTRIM PROSTOJ PRIMER FIZI^ESKOJ SISTEMY: PARABOLI^ESKU@ KA^ALKU, KOTORU@ LEGKO SDELATX SAMOSTOQTELXNO. iZ PLOTNOGO KARTONA WYREVEM DWA ODINAKOWYH KUSKA PARABOLY I SKREPIM MEVDU SOBOJ (SM. RIS. 13). pRIKREPIM K PARABOLI^ESKOJ KA^ALKE GRUZIK (NAPRIMER, S POMO]X@ MAGNITA). kA^ALKA NAKLONITSQ I ZAJMET NEKOTOROE POLOVENIE RAWNOWESIQ. eSLI MY EE TOLKNEM, TO ONA LIBO ZAJMET NOWOE POLOVENIE RAWNO27
WESIQ, LIBO WERNETSQ W ISHODNOE. wOZNIKA@T SLEDU@]IE WOPROSY: 1) SKOLXKO WSEGO POLOVENIJ RAWNOWESIQ IMEET PARABOLI^ESKAQ KA^ALKA PRI RAZLI^NYH POLOVENIQH GRUZIKA? 2) KAK BUDET IZMENQTXSQ POLOVENIE RAWNOWESIQ, ESLI NEPRERYWNO MENQTX POLOVENIE GRUZIKA? pARABOLI^ESKAQ KA^ALKA IMEET ODIN WNUTRENNIJ PARAMETR (UGOL MEVDU OSX@ PARABOLY I PLOSKOSTX@ STOLA), I DWA UPRAWLQ@]IH PARAMETRA (a b), ZADA@]IH POLOVENIE GRUZIKA. pRI FIKSIROWANNYH ZNA^ENIQH UPRAWLQ@]IH PARAMETROW (a b), POLOVENIQ RAWNOWESIQ SISTEMY SOOTWETSTWU@T KRITI^ESKIM TO^KAM POTENCIALXNOJ \NERGII V(ab)(). tAKIM OBRAZOM, MY POLU^AEM DWUHPARAMETRI^ESKOE SEMEJSTWO FUNKCIJ V(ab)(), I ZADA^A SOSTOIT W OPISANII DEFORMACII MNOVESTWA KRITI^ESKIH TO^EK = fxjV(0ab)(x) = 0g FUNKCIJ SEMEJSTWA PRI IZMENENII PARAMETROW (a b). oKAZYWAETSQ, ^TO K ZADA^E OPISANIQ DEFORMACII MNOVESTWA KRITI^ESKIH TO^EK FUNKCIJ IZ n-PARAMETRI^ESKOGO SEMEJSTWA PRI IZMENENII PARAMETROW SEMEJSTWA SWODITSQ CELYJ KLASS PROBLEM, NA^INAQ OT OPISANIQ ZAWISIMOSTI REENIJ ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ OT KO\FFICIENTOW I LOKALXNOGO WIDA OGIBA@]EJ SEMEJSTWA KRIWYH, I ZAKAN^IWAQ TEORIQMI OSTOJ^IWOSTI SUDOW I FAZOWYH PEREHODOW MEVDU RAZLI^NYMI SOSTOQNIQMI WE]ESTWA.
tEMA 1. kA^ALKI wO WWEDENII OPISANA PARABOLI^ESKAQ KA^ALKA. tAKIM VE OBRAZOM MOVNO SDELATX \LLIPTI^ESKU@ I GIPERBOLI^ESKU@ KA^ALKI. 1) sDELATX MODELI \LLIPTI^ESKOJ, GIPERBOLI^ESKOJ I PARABOLI^ESKOJ KA^ALOK. pROWESTI \KSPERIMENT PO OPREDELENI@ POLOVENIJ RAWNOWESIQ PRI RAZLI^NYH POLOVENIQH CENTRA TQVESTI. 2) sKOLXKO POLOVENIJ RAWNOWESIQ MOVET IMETX KA^ALKA PRI RAZLI^28
NYH POLOVENIQH CENTRA TQVESTI? 3) kAK WEDUT SEBQ POLOVENIQ RAWNOWESIQ PRI IZMENENII CENTRA TQVESTI KA^ALKI? rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gL. 1 39], gL. 1.
tEMA 2. pARALLELI PLOSKIH KRIWYH pARALLELX@ PLOSKOJ KRIWOJ ; NAZYWAETSQ KRIWAQ ;0, POLU^ENNAQ SDWIGOM TO^EK KRIWOJ ; WDOLX EE NORMALEJ NA POSTOQNNOE RASSTOQNIE. 1) nAJTI PARALLELI DLQ KRIWYH WTOROGO PORQDKA. 2) nAJTI OSOBYE TO^KI POLU^ENNYH PARALLELEJ I OPREDELITX IH TIP. 3) nAPISATX PROGRAMMU POSTROENIQ PARALLELEJ KRIWOJ NA QZYKE Mathematica (ILI NA L@BOM QZYKE PROGRAMMIROWANIQ). rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gLAWY 5, 7.
tEMA 3. wIDIMYE KONTURY POWERHNOSTEJ iZOBRAZITX WIDIMYJ KONTUR POWERHNOSTI | TAKAQ ZADA^A STOIT NE TOLXKO PERED HUDOVNIKAMI, NO I PERED KONSTRUKTORAMI, DIZAJNERAMI, SOZDATELQMI KOMPX@TERNYH IGR. oSOBENNO AKTUALXNO REENIE \TOJ ZADA^I DLQ RAZRABOTKI SISTEM AWTOMATIZIROWANNOGO PROEKTIROWANIQ. oKAZYWAETSQ, ^TO DAVE ESLI POWERHNOSTX GLADKAQ, EE WIDIMYJ KONTUR MOVET SODERVATX OSOBYE TO^KI, KOTORYE NEOBHODIMO U^ITYWATX PRI POSTROENII \TOGO KONTURA. 1) wYQSNITX, IME@TSQ LI OSOBYE TO^KI NA WIDIMOM KONTURE A) POWERHNOSTI WTOROGO PORQDKA B) POWERHNOSTI WRA]ENIQ W) POWERHNOSTI, ZADANNOJ URAWNENIEM x3 + yx + z = 0 (SBORKI uITNI) (RISUNOK 14)? 29
rIS. 14. sBORKA uITNI 2) eSLI SMOTRETX NA TOR SWERHU, TO WIDIMYJ KONTUR PREDSTAWLQET SOBOJ KOLXCO (RIS. 15 (A)), ESLI SBOKU | TO ZAKRUGLENNYJ PRQMOUGOLXNIK (RIS. 15 (B)). kAK PROISHODIT DEFORMACIQ NESWQZNOJ KRIWOJ (RIS. 15 (A)) W SWQZNU@ KRIWU@ (RIS. 15 (B)), ESLI POWORA^IWATX NAPRAWLENIE, WDOLX KOTOROGO MY SMOTRIM, IZ WERTIKALXNOGO POLOVENIQ W GORIZONTALXNOE? rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gL. 5, P. 7 8], P. 12.
tEMA 4. kAUSTIKI SISTEMY LU^EJ, OTRAVENNYH OT KRIWOJ WTOROGO PORQDKA kAK IZWESTNO, ESLI W ODIN IZ FOKUSOW \LLIPSA POMESTITX ISTO^NIK SWETA S , TO OTRAVENNYE LU^I SOBERUTSQ W DRUGOM FOKUSE (TAM BUDET NABL@DATXSQ QRKO SWETQ]AQSQ TO^KA). rASPOLOVIM TEPERX ISTO^NIK S 30
(B) (A)
rIS. 15. wIDIMYE KONTURY TORA W DRUGOJ TO^KE. tOGDA MY BUDEM NABL@DATX QRKO SWETQ]U@SQ LINI@ | KAUSTIKU (W PEREWODE S GRE^ESKOGO, KAUSTIKA ZNA^IT VGU^AQ ). |TA LINIQ ESTX OGIBA@]AQ SEMEJSTWA OTRAVENNYH LU^EJ. 1) nAJTI KAUSTIKI LU^EJ, OTRAVENNYH OT KRIWOJ WTOROGO PORQDKA (PRI RAZLI^NYH RASPOLOVENIQH ISTO^NIKA S ). oPISATX RASPOLOVENIE OSOBYH TO^EK KAUSTIKI. 2) nAPISATX PROGRAMMU NAHOVDENIQ KAUSTIKI LU^EJ, OTRAVENNYH OT KRIWOJ WTOROGO PORQDKA. 3) oPISATX IZMENENIE KAUSTIKI LU^EJ, OTRAVENNYH OT KRIWOJ WTOROGO PORQDKA, PRI DWIVENII ISTO^NIKA S . rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gL. 5, 7 7], P. 8.
tEMA 5. oTOBRAVENIE mONVA-tEJLORA pUSTX : a b] ! R2 ESTX GLADKAQ REGULQRNAQ KRIWAQ, TO ESTX KASATELXNYJ WEKTOR d=dt NE OBRA]AETSQ W NULX. fIKSIRUEM t0 2 a b] I WOZXMEM SISTEMU PRQMOUGOLXNYH KOORDINAT NA PLOSKOSTI, OSI KOTOROJ 31
SUTX KASATELXNAQ I NORMALX K KRIWOJ W TO^KE t0. tOGDA W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI KRIWAQ QWLQETSQ GRAFIKOM NEKOTOROJ FUNKCII y = f (x), PRI^EM f (0) = 0, f 0 (0) = 0. oTOBRAVENIE mONVA-tEJLORA ESTX OTOBRAVENIE : a b] ! Rk , SOPOSTAWLQ@]EE TO^KE t0 NABOR PROIZWODNYH (f 00 (0) : : : f (k+2)(0)) FUNKCII y = f (x) W TO^KE x = 0. 1) nAJTI OTOBRAVENIE mONVA-tEJLORA DLQ KRIWYH WTOROGO PORQDKA, DLQ SPIRALI, DLQ LEMNISKATY bERNULLI. 2) wYPOLNITX UPRAVNENIE 9.4 IZ 18]. 3) pOSTROITX OBOB]ENIE OTOBRAVENIE mONVA-tEJLORA DLQ POWERHNOSTI, WZQW ZA OSI KOORDINAT W TO^KE POWERHNOSTI GLAWNYE NAPRAWLENIQ I NORMALX. iSSLEDOWATX EGO SWOJSTWA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gLAWA 9.
tEMA 6. fUNKCII KWADRATA RASSTOQNIQ NA PLOSKIH I PROSTRANSTWENNYH KRIWYH rASSMOTRIM GLADKU@ KRIWU@ W Rn, ZADANNU@ PARAMETRI^ESKIM URAWNENIEM ~r = ~r(t), t 2 a b]. dLQ L@BOJ TO^KI S RADIUS-WEKTOROM ~u OPREDELENA FUNKCIQ F (t ~u) = jj~r(t) ; ~ujj2. zNA^IT, DLQ KAVDOJ KRIWOJ OPREDELENO n-PARAMETRI^ESKOE SEMEJSTWO FUNKCIJ F (t u1 : : : un ), GDE
~u = (u1 : : : un). 1) nAJTI GEOMETRI^ESKIJ SMYSL KRITI^ESKIH TO^EK FUNKCIJ SEMEJSTWA F (t ~u) DLQ n = 2 3. 2) nAJTI BIFURKACIONNOE MNOVESTWO SEMEJSTWA F (t ~u) DLQ n = 2 3. 3) wYPOLNITX UPRAVNENIQ 7.4, 7.6 IZ 18]. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gLAWA 7.
tEMA 7. oSOBENNOSTI SETI LINIJ KRIWIZNY iZWESTNO, ^TO ESLI W TO^KE p POWERHNOSTI R3 GLAWNYE KRIWIZNY 32
RAZLI^NY, TO W \TOJ TO^KE ESTX DWA ORTOGONALXNYH GLAWNYH NAPRAWLENIQ. eSLI VE GLAWNYE KRIWIZNY W TO^KE p SOWPADA@T (W \TOM SLU^AE TO^KA p NAZYWAETSQ OMBILI^ESKOJ), TO L@BOE NAPRAWLENIE QWLQETSQ GLAWNYM. pUSTX p | OMBILI^ESKAQ TO^KA. w OB]EJ SITUACII, W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI U (p) NET DRUGIH OMBILI^ESKIH TO^EK, PO\TOMU W OBLASTI U (p) n fpg OPREDELENA SETX LINIJ KRIWIZNY, TO ESTX DWA ODNOPARAMETRI^ESKIH SEMEJSTWA LINIJ, KASA@]IHSQ GLAWNYH NAPRAWLENIJ. nADO WYQSNITX KAK WYGLQDIT \TA SETX W MALOJ OKRESTNOSTI OMBILI^ESKOJ TO^KI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 34], P. 85 24].
tEMA 8. oSOBENNOSTI SETI ASIMPTOTI^ESKIH LINIJ iZWESTNO, ^TO ESLI W TO^KE p POWERHNOSTI R3 POLNAQ KRIWIZNA Kp() OTRICATELXNA, TO W \TOJ TO^KE ESTX DWA ASIMPTOTI^ESKIH NAPRAWLENIQ. tAKIM OBRAZOM, W OBLASTI , GDE KRIWIZNA OTRICATELXNA, IMEETSQ SETX ASIMPTOTI^ESKIH LINIJ. nADO WYQSNITX KAK WYGLQDIT \TA SETX W MALOJ OKRESTNOSTI GRANICY OBLASTI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 34], P. 85.
tEMA 9. oSOBENNOSTI GAUSSOWA OTOBRAVENIQ pUSTX R3 | POWERHNOSTX, ZADANNAQ PARAMETRIZACIEJ ~r = ~r(u v), (u v) 2 R2. pUSTX ~n = ~n(u v) ESTX EDINI^NAQ NORMALX K POWERHNOSTI W TO^KE ~r(u v). oTOBRAVENIE (u v) ! ~n(u v) IZ OBLASTI W DWUMERNU@ SFERU S 2 NAZYWAETSQ GAUSSOWYM OTOBRAVENIEM. eSLI WWESTI NA SFERE KOORDINATY ( ), TO GAUSSOWO OTOBRAVENIE W KOORDINATAH MOVNO ZAPISATX KAK OTOBRAVENIE F PLOSKOSTI W PLOSKOSTX, = (u v), = (u v). 33
1) dOKAZATX, ^TO MATRICA qKOBI DF OTOBRAVENIQ F NEWYROVDENA W TO^KE (u0 v0 ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA KRIWIZNA POWERHNOSTI W \TOJ TO^KE NE RAWNA NUL@. 2) sOGLASNO TEOREME uITNI (SM. 18]), ESLI MATRICA DF W TO^KE (u0 v0) WYROVDENA (TO^KA NAZYWAETSQ OSOBOJ), NO OTLI^NA OT NULEWOJ MATRICY, TO S POMO]X@ ZAMENY KOORDINAT OTOBRAVENIE F MOVNO PRIWESTI K ODNOMU IZ DWUH WIDOW: A) (u v) ! (u2 v), B) (u v) ! (u3 + uv v). nAJTI USLOWIQ W TERMINAH GEOMETRII POWERHNOSTI , POZWOLQ@]IE
OPREDELITX K KAKOMU IZ DWUH WIDOW PRIWODITSQ GAUSSOWO OTOBRAVENIE W OKRESTNOSTI OSOBOJ TO^KI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 8], P. 2 34], P. 77.
2.2 aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ IZU^AET ALGEBRAI^ESKIE MNOGOOBRAZIQ, TO ESTX KRIWYE I POWERHNOSTI (W TOM ^ISLE MNOGOMERNYE), ZADANNYE SISTEMAMI POLINOMIALXNYH URAWNENIJ: 8 1 > < p1 (x : : :. xn ) = 0 .. > : 1 n pm (x : : : x ) = 0
GDE pa(x1 : : : xn), a = 1 : : : m, SUTX POLINOMY OT PEREMENNYH x1, . . . , xn S KO\FFICIENTAMI W NEKOTOROM POLE k. pROSTEJIMI PRIMERAMI ALGEBRAI^ESKIH MNOGOOBRAZIJ SLUVAT KRIWYE WTOROGO PORQDKA. uVE W \TOM SLU^AE WIDNO, ^TO POLE k IGRAET SU]ESTWENNU@ ROLX: ALGEBRAI^ESKAQ KRIWAQ, ZADANNAQ URAWNENIEM x2 + y2 = 0, ESTX ODNA TO^KA, ESLI k | POLE WE]ESTWENNYH ^ISEL, PARA PERESEKA@]IHSQ PRQMYH, ESLI k ESTX POLE KOMPLEKSNYH ^ISEL, I MNOVESTWO IZ 9 TO^EK, ESLI k ESTX POLE OSTATKOW PRI DELENII NA 5. 34
aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ TESNO SWQZANA S DRUGIMI RAZDELAMI MATEMATIKI: MATEMATI^ESKIM ANALIZOM, DIFFERENCIALXNYMI URAWNENIQMI, TEORIEJ ^ISEL. nAPRIMER, OSNOWNAQ ZADA^A TEORII DIAFANTOWYH URAWNENIJ SOSTOIT W NAHOVDENII CELO^ISLENNYH REENIJ URAWNENIQ WIDA a0xn + a1xn;1 + : : : + an = 0, GDE a0, a1, . . . , an SUTX CELYE ^ISLA, TO ESTX NAHOVDENIQ ALGEBRAI^ESKOGO MNOGOOBRAZIQ, ZADANNOGO \TIM URAWNENIEM, NAD POLEM RACIONALXNYH ^ISEL. w ^ASTNOSTI, ZNAMENITAQ TEOREMA fERMA UTWERVDAET, ^TO, PRI n 3, ALGEBRAI^ESKAQ KRIWAQ xn + yn = 1 NE SODERVIT RACIONALXNYH TO^EK, I W DOKAZATELXSTWE TEOREMY fERMA SU]ESTWENNO ISPOLXZU@TSQ METODY ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII.
tEMA 1. kRIWYE WTOROGO PORQDKA NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI w KURSE ANALITI^ESKOJ GEOMETRII DOKAZYWAETSQ, ^TO KRIWAQ WTOROGO PORQDKA ESTX ODNA IZ SLEDU@]IH KRIWYH: 1) \LLIPS, 2) GIPERBOLA, 3) PARABOLA, 4) PARA PRQMYH (PERESEKA@]IHSQ, PARALLELXNYH, ILI SOWPADA@]IH). w DANNOJ RABOTE PREDPOLAGAETSQ DOKAZATX SOOTWETSTWU@]U@ KLASSIFIKACIONNU@ TEOREMU DLQ KRIWYH WTOROGO PORQDKA NA AFFINNOJ PLOSKOSTI NAD PROIZWOLXNYM POLEM. 1) pUSTX k | PROIZWOLXNOE POLE, HARAKTERISTIKA KOTOROGO OTLI^NA OT DWUH. dOKAZATX, ^TO NEPUSTAQ NEWYROVDENNAQ KRIWAQ WTOROGO PORQDKA NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI NAD k PROEKTIWNO \KWIWALENTNA KRIWOJ
xz = y2. 2) sFORMULIROWATX I DOKAZATX KLASSIFIKACIONNU@ TEOREMU DLQ KRI-
WYH WTOROGO PORQDKA NA AFFINNOJ PLOSKOSTI NAD PROIZWOLXNYM POLEM k.
rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 45], gL. 1, P. 1. 35
tEMA 2. rACIONALXNYE KRIWYE aLGEBRAI^ESKAQ KRIWAQ ;, ZADANNAQ URAWNENIEM p(x y) = 0, NAZYWAETSQ RACIONALXNOJ, ESLI SU]ESTWU@T RACIONALXNYE FUNKCII r(t) = a(t)=b(t), q(t) = c(t)=d(t), GDE a(t), b(t), c(t), d(t) | POLINOMY, TAKIE, ^TO x = r(t), y = q(t) ESTX PARAMETRIZACIQ KRIWOJ ;, TO ESTX p(r(t) q(t)) = 0 DLQ L@BOGO t. 1) pOSTROITX RACIONALXNU@ PARAMETRIZACI@ KRIWOJ WTOROGO PORQDKA. 2) pOSTROITX RACIONALXNU@ PARAMETRIZACI@ KRIWOJ y2 = x2 + x3. 3) nAJTI WSE RACIONALXNYE REENIQ URAWNENIQ x2 + y2 = p, GDE p | PROSTOE ^ISLO. 4) nAJTI WSE RACIONALXNYE REENIQ URAWNENIQ y2 = x2 + x3. 5) pUSTX RACIONALXNAQ KRIWAQ ZADANA URAWNENIEM g(x y) = 0, I y(x) | FUNKCIQ, ZADANNAQ NEQWNO \TIM URAWNENIEM. dOKAZATX, ^TO INTEGRAL g(x y(x))dx, WYRAVAETSQ ^EREZ \LEMENTARNYE FUNKCII. rASSMOTRETX W KA^ESTWE PRIMERA KRIWYE WTOROGO PORQDKA. 6) dOKAZATX, ^TO KRIWAQ y2 = x(x ; 1)(x ; 2) NE DOPUSKAET RACIONALXNOJ PARAMETRIZACII. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 45], gL.I, P. 1,2 55], gL.I, P. 1.
tEMA 3. sTRUKTURA GRUPPY NA KUBIKE pUSTX ; | KUBIKA NA KOMPLEKSNOJ PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI, ZADANNAQ URAWNENIEM y2z = x(x ; z )(x ; 2z ) (RISUNOK 16). zAFIKSIRUEM TO^KU O NA ;. dLQ L@BYH TO^EK A B 2 ; OBOZNA^IM ^EREZ R TRETX@ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMOJ AB I ;. pROWEDEM PRQMU@ OR, ONA PERESE^ET ; E]E W ODNOJ TO^KE, OBOZNA^IM EE C . pOLOVIM A + B = C . oKAZYWAETSQ, \TA OPERACIQ ZADAET NA ; STRUKTURU ABELEWOJ GRUPPY, IZOMORFNOJ PROIZWEDENI@ GRUPP S 1 S 1 , GDE S 1 ESTX FAKTOR-GRUPPA R=Z , TOPOLOGI^ESKI 36
rIS. 16. kUBI^ESKAQ KRIWAQ y2z = x(x ; z )(x ; 2z ) USTROENNAQ KAK OKRUVNOSTX. tAKIM OBRAZOM, ; S TOPOLOGI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ ESTX TOR. pRI WYPOLNENII DANNOJ KURSOWOJ RABOTY PREDPOLAGAETSQ RAZOBRATXSQ W DOKAZATELXSTWE \TOGO FAKTA (WESXMA NEPROSTOM), IZLOVENNOM W 45], gL. 1, 2, I REITX UPRAVNENIQ K \TOJ GLAWE.
2.3 |LEMENTY TEORII GRAFOW kONE^NYJ GRAF ESTX FIGURA, SOSTOQ]AQ IZ KONE^NOGO ^ISLA TO^EK (WERIN), SOEDINENNYH NEPERESEKA@]IMISQ KRIWYMI (DUGAMI). s POMO]X@ TEORII GRAFOW MOVNO REITX SAMYE RAZNOOBRAZNYE ZADA^I, NA37
^INAQ OT DETSKIH GOLOWOLOMOK, W KOTORYH TREBUETSQ WYQSNITX MOVNO LI NARISOWATX DANNU@ FIGURU, NE OTRYWAQ KARANDAA OT BUMAGI, I KON^AQ SLOVNEJIMI ZADA^AMI, WOZNIKA@]IMI W TEORII OPTIMIZACII. |LEMENTY TEORII GRAFOW ISPOLXZU@TSQ I PRI REENII OLIMPIADNYH ZADA^ (SM. 19]). nAPRIMER, RASSMOTRIM ZADA^U: DOKAZATX, ^TO ^ISLO L@DEJ, KOGDA-LIBO VIWIH NA zEMLE I SDELAWIH NE^ETNOE ^ISLO RUKOPOVATIJ, ^ETNO . zADA^A LEGKO REAETSQ S POMO]X@ SLEDU@]EGO RASSUVDENIQ. pOSTROIM GRAF, WERINY KOTOROGO | L@DI, KOGDA-LIBO VIWIE NA zEMLE, A DUGI | RUKOPOVATIQ. w TEORII GRAFOW DOKAZYWAETSQ TEOREMA O TOM, ^TO ^ISLO WERIN GRAFA, IZ KOTORYH WYHODIT NE^ETNOE ^ISLO DUG, QWLQETSQ ^ETNYM. iZ \TOJ TEOREMY NEMEDLENNO SLEDUET TREBUEMOE UTWERVDENIE.
tEMA 1. |JLEROWA HARAKTERISTIKA GRAFA rAZOBRATX PARAGRAF 4 KNIGI 17] I REITX ZADA^I W \TOM PARAGRAFE.
tEMA 2. iNDEKS PERESE^ENIQ gRAF NAZYWAETSQ WLOVIMYM W PLOSKOSTX, ESLI EGO MOVNO NARISOWATX NA PLOSKOSTI BEZ SAMOPERESE^ENIJ. uZNATX, DOPUSKAET LI GRAF WLOVENIE W PLOSKOSTX WESXMA SLOVNO, I TUT NA POMO]X PRIHODQT TOPOLOGI^ESKIE INWARIANTY. w NASTOQ]EJ KURSOWOJ RABOTE PREDPOLAGAETSQ IZU^ITX SWOJSTWA ODNOGO IZ OSNOWNYH TOPOLOGI^ESKIH INWARIANTOW | INDEKSA PERESE^ENIQ, S POMO]X@ KOTOROGO MOVNO REITX DANNU@ ZADA^U. rAZOBRATX PARAGRAF 5 KNIGI 17] I REITX ZADA^I W \TOM PARAGRAFE.
tEMA 3. pRIMENENIE TEORII GRAFOW K REENI@ OLIMPIADNYH ZADA^. rEITX ZADA^I IZ GLAW "gRAFY-1", "gRAFY-2" KNIGI 19]. 38
2.4 tOPOLOGI^ESKIE INWARIANTY POWERHNOSTEJ eWKLIDOWA GEOMETRIQ IZU^AET SWOJSTWA FIGUR, NE MENQ@]IHSQ PRI DWIVENIQH EWKLIDOWA PROSTRANSTWA, TO ESTX PRI PREOBRAZOWANIQH PROSTRANSTWA, SOHRANQ@]IH RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI. mNOVESTWO POWERHNOSTEJ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA BESKONE^NO, W NEGO WHODQT, NAPRIMER, WYPUKLYE I NEWYPUKLYE MNOGOGRANNIKI, SFERY, KONUSY, CILINDRY, \LLIPSOIDY, GIPERBOLOIDY, PARABOLOIDY. s TO^KI ZRENIQ EWKLIDOWOJ GEOMETRII WSE \TI POWERHNOSTI RAZLI^NY, TO ESTX MY NE MOVEM SOWMESTITX \TI POWERHNOSTI KAK TWERDYE TELA S POMO]X@ DWIVENIQ. oDNAKO, ESLI PREDPOLOVITX, ^TO ONI SDELANY IZ REZINY, TO OKAZYWAETSQ, ^TO TETRA\DR, SFERA I DODEKA\DR | ODNA I TA VE POWERHNOSTX. s DRUGOJ STORONY, SFERA I TOR (BUBLIK) | \TO RAZNYE POWERHNOSTI. sWOJSTWA POWERHNOSTEJ, NE MENQ@]IESQ PRI NEPRERYWNOJ DEFORMACII, NAZYWA@TSQ TOPOLOGI^ESKIMI INWARIANTAMI. w NASTOQ]EE WREMQ IZWESTEN CELYJ RQD TOPOLOGI^ESKIH INWARIANTOW, S POMO]X@ KOTORYH, W ^ASTNOSTI, UDALOSX POSTROITX TOPOLOGI^ESKU@ KLASSIFIKACI@ ZAMKNUTYH POWERHNOSTEJ.
tEMA 1. oRIENTIRUEMYE I NEORIENTIRUEMYE POWERHNOSTI 1) rEITX ZADA^I IZ P. 10 KNIGI 17]. 2) dOKAZATX, ^TO SFERA ESTX ORIENTIRUEMAQ POWERHNOSTX, A PROEKTIWNAQ PLOSKOSTX | NEORIENTIRUEMAQ POWERHNOSTX. 3) pOSTROITX W QWNOM WIDE WLOVENIE BUTYLKI kLEJNA I PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI W ^ETYREHMERNOE PROSTRANSTWO. 4) pOSTROITX W QWNOM WIDE POGRUVENIE BUTYLKI kLEJNA I PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI W TREHMERNOE PROSTRANSTWO I NARISOWATX SOOTWETSTWU@]IE POWERHNOSTI S POMO]X@ KOMPX@TERA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 17], P. 10 31], gL. 4, P. 5. 39
tEMA 2. |JLEROWA HARAKTERISTIKA POWERHNOSTI I WEKTORNYE POLQ wOZXMEM NA POWERHNOSTI KONE^NOE MNOVESTWO TO^EK, I SOEDINIM IH DUGAMI TAK, ^TO WSQ POWERHNOSTX RAZBIWAETSQ NA KRIWOLINEJNYE TREUGOLXNIKI. ~ISLO V ; E + F , GDE V | ^ISLO TO^EK, E | ^ISLO DUG, F | ^ISLO TREUGOLXNIKOW, NE ZAWISIT OT RAZBIENIQ I NAZYWAETSQ \JLEROWOJ HARAKTERISTIKOJ POWERHNOSTI. 1) nAJTI \JLEROWU HARAKTERISTIKU SFERY, PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI, TORA, BUTYLKI kLEJNA. 2) rEITX ZADA^I IZ P. 11 KNIGI 17]. 3) rEITX ZADA^I IZ P. 14 KNIGI 17]. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 17], P. 11, P. 14.
tEMA 3. tOPOLOGI^ESKAQ KLASSIFIKACIQ ZAMKNUTYH POWERHNOSTEJ 1) rAZOBRATX DOKAZATELXSTWA KLASSIFIKACIONNOJ TEOREMY DLQ POWERHNOSTEJ (17], P.12 31]). 2) rEITX ZADA^I IZ P. 12, P. 13 KNIGI 17]. 3) sOSTAWITX PROGRAMMU, KOTORAQ OPREDELQET TIP POWERHNOSTI, ESLI DANA EE RAZWERTKA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 17], P. 12, P. 13 31] gL. 4, 5.
2.5 sIMPLEKTI^ESKAQ GEOMETRIQ wEKTORNOE PROSTRANSTWO V , NA KOTOROM ZADANA SIMPLEKTI^ESKAQ FORMA, TO ESTX KOSOSIMMETRI^ESKAQ NEWYROVDENNAQ BILINEJNAQ FORMA !, NAZYWAETSQ SIMPLEKTI^ESKIM PROSTRANSTWOM. pRIMEROM SIMPLEKTI^ESKOJ FORMY SLUVIT KOSOE PROIZWEDENIE NA PLOSKOSTI. sIMPLEKTI^ESKOE PROSTRANSTWO QWLQETSQ ANALOGOM EWKLIDOWA PROSTRANSTWA, ESLI 40
RASSMATRIWATX SKALQRNOE PROIZWEDENIE (v w) = !(v w), NO, KONE^NO, SIMPLEKTI^ESKAQ GEOMETRIQ SOWERENNO NEPOHOVA NA EWKLIDOWU (K PRIMERU, L@BOJ WEKTOR ORTOGONALEN SAM SEBE). 1) dOKAZATX, ^TO RAZMERNOSTX SIMPLEKTI^ESKOGO PROSTRANSTWA ^ETNA. 2) sIMPLEKTI^ESKOE PREOBRAZOWANIE ESTX LINEJNOE OTOBRAVENIE A : V ! V TAKOE, ^TO !(Av Aw) = !(v w) DLQ L@BYH v w 2 V . A) dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO SIMPLEKTI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ S OPERACIEJ KOMPOZICII ESTX GRUPPA. B) dOKAZATX, ^TO OPREDELITELX MATRICY SIMPLEKTI^ESKOGO PREOBRAZOWANIQ RAWEN EDINICE. 3) pODPROSTRANSTWO W SIMPLEKTI^ESKOGO PROSTRANSTWA V NAZYWAETSQ IZOTROPNYM, ESLI !(w1 w2) = 0 DLQ L@BYH DWUH WEKTOROW w1 w2 2 W . iZOTROPNOE PODPROSTRANSTWO MAKSIMALXNOJ RAZMERNOSTI NAZYWAETSQ LAGRANVEWYM. A) dOKAZATX, ^TO ESLI W | LAGRANVEWO PODPROSTRANSTWO SIMPLEKTI^ESKOGO PROSTRANSTWA V , TO dim V = 2 dim W . B) dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH DWUH LAGRANVEWYH PODPROSTRANSTW SU]ESTWUET SIMPLEKTI^ESKOE PREOBRAZOWANIE, PEREWODQ]EE ODNO W DRUGOE. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 27] (x13), 53] (gLAWA 1, P. 2).
2.6 pROSTRANSTWA gALILEQ I mINKOWSKOGO pRINCIP OTNOSITELXNOSTI gALILEQ GLASIT, ^TO SU]ESTWU@T SISTEMY KOORDINAT (NAZYWAEMYE INERCIALXNYMI), KOTORYE OBLADA@T SLEDU@]IMI DWUMQ SWOJSTWAMI: 1) WSE ZAKONY PRIRODY WO WSE MOMENTY WREMENI ODINAKOWY WO WSEH INERCIALXNYH SISTEMAH KOORDINAT 2) WSE SISTEMY KOORDINAT, DWIVU]IESQ OTNOSITELXNO INERCIALXNOJ SISTEMY KOORDINAT RAWNOMERNO I PRQMOLINEJNO, INERCIALXNY. |TOT PRINCIP OPRE41
DELQET GEOMETRI^ESKIE SWOJSTWA PROSTRANSTWA-WREMENI NX@TONOWOJ MEHANIKI, NAZYWAEMOGO GALILEEWYM PROSTRANSTWOM. gEOMETRIQ PROSTRANSTWA-WREMENI NAKLADYWAET DOSTATO^NO VESTKIE OGRANI^ENIQ NA URAWNENIQ DWIVENIQ MATERIALXNYH TO^EK I TWERDYH TEL. |KSPERIMENT POKAZYWAET, ^TO DWIVENIE S OKOLOSWETOWYMI SKOROSTQMI NE MOVET BYTX OPISANO W RAMKAH NX@TONOWOJ MEHANIKI. dLQ OPISANIQ TAKOGO DWIVENIQ PRIMENQETSQ SPECIALXNAQ TEORIQ OTNOSITELXNOSTI |JNTEJNA, A GEOMETRIQ PROSTRANSTWA-WREMENI QWLQETSQ GEOMETRIEJ mINKOWSKOGO. cELX@ DANNOJ KURSOWOJ RABOTY QWLQETSQ IZU^ENIE GEOMETRI^ESKIH SWOJSTW PROSTRANSTW gALILEQ I mINKOWSKOGO, I IH FIZI^ESKIH PRILOVENIJ. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 6], 27].
2.7 tREHMERNAQ SFERA I WRA]ENIQ TREHMERNOGO EWKLIDOWA
PROSTRANSTWA
wRA]ENIEM n-MERNOGO ORIENTIROWANNOGO EWKLIDOWA WEKTORNOGO PROSTRANSTWA En NAZYWAETSQ IZOMETRIQ A : En ! En , SOHRANQ@]AQ ORIENTACI@. mNOVESTWO WRA]ENIJ En S OPERACIEJ KOMPOZICII OBRAZUET GRUPPU, OBOZNA^AEMU@ SO(n). iZU^ENIE GRUPP SO(n) PRI RAZNYH n PREDSTAWLQET INTERES NE TOLXKO S TO^KI ZRENIQ EWKLIDOWOJ GEOMETRII, NO I MEHANIKI. nAPRIMER, SWOJSTWA GRUPPY SO(3) ISPOLXZU@TSQ PRI OPISANII WRA]ENIQ TWERDOGO TELA WOKRUG NEPODWIVNOJ TO^KI. l@BOJ \LEMENT GRUPPY SO(2) WRA]ENIJ PLOSKOSTI ZADAETSQ UGLOM POWOROTA, PO\TOMU SO(2) ODNOMERNA I S TOPOLOGI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ PREDSTAWLQET SOBOJ OKRUVNOSTX. gRUPPA SO(3) USTROENA ZNA^ITELXNO SLOVNEE, NO OKAZYWAETSQ, ^TO ONA TESNO SWQZANA S TREHMERNOJ SFEROJ S 3 | POWERHNOSTX@, ZADAWAEMOJ URAWNENIEM x21 + x22 + x23 + x24 = 1 W 42
^ETYREHMERNOM PROSTRANSTWE. pRI WYPOLNENII DANNOJ KURSOWOJ PREDPOLAGAETSQ DOKAZATX, ^TO NA TREHMERNOJ SFERE S 3 SU]ESTWUET OPERACIQ UMNOVENIQ, PREWRA]A@]AQ S 3 W GRUPPU, I SU]ESTWUET S@R_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM : S 3 ! SO(3), QDRO KOTOROGO ESTX GRUPPA Z2 = f;1 1g. tAKVE PREDPOLAGAETSQ NAJTI INTERPRETACI@ KRIWYH I POWERHNOSTEJ, RASPOLOVENNYH NA TREHMERNOJ SFERE, S POMO]X@ WRA]ENIJ TREHMERNOGO EWKLIDOWA PROSTRANSTWA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 27] (x11).
2.8 gRUPPY ZAMO]ENIJ s DREWNEJIH WREMEN ARHITEKTORY UKRAA@T ZDANIQ POWTORQ@]IMISQ UZORAMI | ORNAMENTAMI. iH MOVNO WIDETX WS@DU | NA NARUVNYH STENAH DOMOW, WO WNUTRENNIH POME]ENIQH: NA POLU, NA POTOLKE, NA STENAH. oRNAMENTAMI UKRAA@T POSUDU I ODEVDU, POWTORQ@]IESQ MOTIWY ^ASTO ISPOLXZU@TSQ W VIWOPISI (WPE^ATLQ@]IJ PRIMER | GRAW@RY |ERA). kAVETSQ, ^TO RAZNOOBRAZIE ORNAMENTOW BESKONE^NO, NO \TO NE SOWSEM TAK. dOPUSTIM, MASTER-PARKET^IK, SOZDA@]IJ ORNAMENT, ZAPOLNQET DANNYJ U^ASTOK PLOSKOSTI, STANDARTNYMI PLITKAMI, S ODNOJ STORONY KOTORYH NANESEN UZOR. oKAZYWAETSQ, ^TO SU]ESTWUET TOLXKO PQTX RAZLI^NYH SPOSOBOW ZAMOSTITX PLOSKOSTX PLITKAMI (DWA IZ NIH IZOBRAVENY NA RISUNKE 17). sTROGOE MATEMATI^ESKOE DOKAZATELXSTWO \TOGO FAKTA OPIRAETSQ NA TEORI@ DISKRETNYH GRUPP IZOMETRI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI (14], gL. 1). tEORIQ DISKRETNYH GRUPP PREOBRAZOWANIJ ISKL@^ITELXNO SODERVATELXNA S MATEMATI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ I IMEET MNOGO^ISLENNYE PRILOVENIQ KAK W SAMOJ MATEMATIKE (NAPRIMER, L@BAQ ZAMKNUTAQ POWERHNOSTX ESTX FAKTOR-PROSTRANSTWO PLOSKOSTI PO DEJSTWI@ DISKRETNOJ GRUPPY PREOBRAZOWANIJ ), TAK I W 43
FIZIKE (NAPRIMER, PRI OPISANII KRISTALLOW). rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 14]. 1) rAZOBRATX DOKAZATELXSTWO UTWERVDENIQ O TOM, ^TO SU]ESTWUET TOLXKO PQTX ZAMO]ENIJ PLOSKOSTI ODNOSTORONNIMI PLITKAMI, PRIWEDENNOE W 14] (gLAWA I, P. 1.7), I WOSSTANOWITX PROPU]ENNYE DETALI. 2) nAJTI WSE ZAMO]ENIQ PLOSKOSTI DWUSTORONNIMI PLITKAMI. 3) nAJTI WSE ZAMO]ENIQ DWUMERNOJ SFERY. 4) nAJTI ZAMO]ENIQ TORA I BUTYLKI kLEJNA. 5) dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET BESKONE^NOE ^ISLO TIPOW ZAMO]ENIQ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO.
2.9 pRIWEDENIE KRIWOJ I POWERHNOSTI WTOROGO PORQDKA K KA-
NONI^ESKOMU WIDU S POMO]X@ KOMPX@TERA
w KURSE ANALITI^ESKOJ GEOMETRII REAETSQ ZADA^A O PRIWEDENII OB]EGO URAWNENIQ KRIWOJ (POWERHNOSTI) WTOROGO PORQDKA K KANONI^ESKOMU WIDU I NAHOVDENIQ KANONI^ESKOJ SISTEMY KOORDINAT DLQ \TOJ KRIWOJ (POWERHNOSTI). oDNAKO, PRI REENII \TOJ ZADA^I PRIHODITSQ PRODELYWATX TRUDOEMKIE WY^ISLENIQ, OSOBENNO DLQ POWERHNOSTI. pO\TOMU, POLEZNO NAPISATX PROGRAMMU, REA@]U@ DANNU@ ZADA^U. nAPISATX PROGRAMMU, RABOTA@]U@ SLEDU@]IM OBRAZOM. pOLXZOWATELX WWODIT KO\FFICIENTY OB]EGO URAWNENIQ KRIWOJ (POWERHNOSTI) WTOROGO PORQDKA. pROGRAMMA WYWODIT 1) KANONI^ESKOE URAWNENIE 2) FORMULY PREOBRAZOWANIQ IZ ISHODNOJ SISTEMY KOORDINAT W KANONI^ESKU@ SISTEMU KOORDINAT 3) RISUNOK KRIWOJ (POWERHNOSTI) W ISHODNOJ SISTEME KOORDINAT.
44
rIS. 17. zAMO]ENIQ PLOSKOSTI
45
2.10 pOSTROENIE ZAME^ATELXNYH KRIWYH S POMO]X@ PAKETA Mathematica cELX@ DANNOJ KURSOWOJ QWLQETSQ POSTROENIE ZAME^ATELXNYH KRIWYH, OPISANNYH W KNIGE 48], I ISSLEDOWANIE IH SWOJSTW S POMO]X@ PAKETA Mathematica.
rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48].
3
tEMY, PREDLOVENNYE fOMINYM w.e.
3.1 pLOSKIE KRIWYE pLOSKIE KRIWYE | ODIN IZ OB_EKTOW, PRI IZU^ENII KOTORYH ISPOLXZU@TSQ REZULXTATY, POLU^ENNYE W LEKCIONNYH KURSAH PO ANALITI^ESKOJ I DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRIQM. oDNI IZ \TIH KRIWYH INTERESNY W TEORETI^ESKOM OTNOENII, DRUGIE NAHODQT PRAKTI^ESKOE PRIMENENIE, TRETXI OBLADA@T ORIGINALXNYMI OSOBENNOSTQMI FORMY, ^ETW