Сопротивление материалов. Часть I: Учебно-методическое пособие (практикум)

Камчатский государственный технический университет Кафедра теоретической механики

Е.К. Борисов, Н.П. Васильченко, А.Р. Ляндзберг, В.А. Павлов

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Часть I

Рекомендовано Дальневосточным региональным научно-методическим центром (ДВ РУМЦ) в качестве учебно-методического пособия (практикума) для студентов технических специальностей вузов региона

Петропавловск-Камчатский 2007

УДК 539.3(07) ББК 30.121 Б82 Рецензенты: И.Б. Друзь, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой ТМ и СМ Морского государственного университета им. адм. Г.И. Невельского А.Н. Шулюпин, доктор технических наук, ведущий научный сотрудник ИВиС ДВО РАН Борисов Евгений Константинович Б82

Сопротивление материалов. Ч. I: Учебно-методическое пособие (практикум) / Е.К. Борисов, Н.П. Васильченко, А.Р. Ляндзберг, В.А. Павлов. – Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2007. – 85 с. ISBN 978–5–328–00162–5 Учебное пособие составлено в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы подготовки специалистов по техническим специальностям государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования. Пособие содержит методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Сопротивление материалов» на универсальном учебном комплексе СМ-1. Предназначено для студентов технических специальностей вузов, изучающих курс «Сопротивление материалов». УДК 539.3(07) ББК 30.121

ISBN 978–5–328–00162–5

© КамчатГТУ, 2007 © Авторы, 2007

2

ОГЛАВЛЕНИЕ Принятые обозначения и терминология ................................... 4 Введение ....................................................................................... 5 Техника безопасности ................................................................. 7 Лабораторная работа № 1. Определение модуляпродольной упругости ................... 10 Лабораторная работа № 2. Определение коэффициента Пуассона ............................. 17 Лабораторная работа № 3. Определение модуля сдвига .............................................. 23 Лабораторная работа № 4. Исследование напряженно-деформированного состояния материала тонкостенного стержня при кручении ............................. 30 Лабораторная работа № 5. Исследование плоского напряженного состояния материала .................. 37 Лабораторная работа № 6. Исследование линейных и угловых перемещений статически определимой балки при изгибе ..................... 46 Лабораторная работа № 7. Определение реакции промежуточной опоры статически неопределимой свободноопертой балки ...... 53 Лабораторная работа № 8. Экспериментальное исследование напряженного состояния материала в районе концентраторов напряжений ............................. 58 Лабораторная работа № 9. Экспериментальное определение напряжений и перемещений в балке при косом изгибе ....................... 68 Лабораторная работа № 10. Исследование внецентренно растянутого жесткого (короткого) стержня ..................... 77 Библиографическая справка ..................................................... 84 Литература ................................................................................. 85 3

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ Е – модуль упругости материала при растяжении, МПа G – модуль упругости материала при сдвиге, МПа μ – коэффициент Пуассона (безразмерный) ε – относительная линейная деформация (безразмерная) γ – угловая деформация, рад σ – нормальное напряжение, МПа τ – касательное (тангенциальное) напряжение, МПа φ – угол закручивания, градусы или рад М – внешний крутящий момент, Н · м Мк – крутящий момент в сечении, Н · м Р – сосредоточенная сила, Н А – площадь поперечного сечения, м2 Jz – момент инерции поперечного сечения стержня относительно оси z, м4 Wz – осевой момент сопротивления поперечного сечения стержня, м3 Jρ – полярный момент инерции поперечного сечения стержня, м4 Wρ – полярный момент сопротивления поперечного сечения стержня, м3 y(x) – прогиб при изгибе, м y'(x), θ(x) – угол поворота при изгибе, рад

4

ВВЕДЕНИЕ Несмотря на высокое развитие теории, во многих областях инженерной практики приоритетное значение имеют экспериментальные методы исследования. В последние годы с внедрением в прикладную науку систем компьютерной математики для обработки получаемых при полевых экспериментах информационных массивов стали применяться методы статистической физики. Это привело к интенсивному развитию нового направления – статистической динамики систем, основы которого были заложены в 60-х гг. В. Болотиным и В. Екимовым. Его принципиальная новизна состоит в том, что рассматриваются не идеализированные расчетные и математические модели, а статистические взаимоотношения реальных входных и выходных процессов, полученных в результате полевых наблюдений за полномасштабными инженерными системами. Сопротивление материалов, по определению В. Феодосьева, является прикладной инженерной наукой, которая с помощью достаточно простых и надежных формул позволяет анализировать прочность и жесткость условных расчетных моделей. Все основные положения и гипотезы сопротивления материалов основаны на результатах экспериментальных исследований, которые и в настоящее время остаются основным источником получения достоверной информации как для построения новых гипотез, так и для проверки их правомерности. В частности, разработка новых методов расчета прочности, жесткости и устойчивости невозможна без знания количественных оценок механических свойств материала, которые являются статистическими оценками реальных характеристик и могут быть получены только опытным путем. Современный инженер должен иметь четкое представление об идеологии основных методов экспериментальных измерений параметров, связанных с реакцией систем на различные простейших типовые виды внешних воздействий. На формирование такого представления и направлен настоящий цикл лабораторных работ, методика выполнения которых 5

максимально приближена к методикам натурных исследований прочностных и жесткостных параметров реальных инженерных систем. Каждая лабораторная работа содержит цель выполнения экспериментального исследования, краткие теоретические сведения, описание лабораторной наладки, методику и последовательность проведения измерений и их обработки, контрольные вопросы для самопроверки, а также краткие биографические сведения по основоположникам сопротивления материалов как отрасли механики. Кроме того, для удобства использования в электронной форме каждая лабораторная работа в данном пособии содержит все необходимые рисунки, схемы и фотографии лабораторной установки.

6

ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ Вниманию студентов! При проведении работ в лаборатории «Сопротивления материалов» кафедры теоретической механики КамчатГТУ необходимо соблюдать правила и требования техники безопасности. В лаборатории установлено электромеханическое оборудование для испытания материалов под нагрузкой. Поскольку используемые в современном машиностроении материалы обладают большой жесткостью и прочностью, испытательное оборудование развивает значительные рабочие усилия – до десятков тонн сил. При этом оборудование питается по силовым линиям напряжением 220 и 380 В. Для исключения травматизма при проведении лабораторных работ все студенты и курсанты должны строго выполнять правила техники безопасности (ПТБ). Допуск к проведению лабораторных работ разрешен после проведения инструктажа по ПТБ преподавателем или сотрудником кафедры (зав. лабораторией, учебным мастером) и подписи курсанта в журнале инструктажа по ПТБ. Основные правила техники безопасности, которые следует соблюдать в лаборатории, изложены ниже. 1. Правила общей техники безопасности Перед пуском испытательной машины необходимо: – ознакомиться с ее устройством, пультом управления и порядком проведения лабораторной работы; – проверить надежность крепления силовых стоек машины, надежность закрепления образца в захватах машины; – убедиться в отсутствии посторонних предметов в рабочей зоне машины; – установить (если имеются) защитные кожухи. Перед проведением основных замеров нужно нагрузить машину малой силой, проверить надежность всех креплений. Нагружение образца следует проводить постепенно, плавно. При появлении признаков неисправности машины или разрушения образца (если это не предусмотрено поряд7

ком выполнения лабораторной работы) необходимо прекратить нагружение, разгрузить и отключить машину, сообщить преподавателю (зав. лабораторией, учебному мастеру). По окончании проведения замеров и записи результатов следует плавно разгрузить и отключить машину. ЗАПРЕЩЕНО: – пускать машину без преподавателя или зав. лабораторией (учебного мастера); – пользоваться машиной с признаками неисправности; – пытаться самостоятельно устранить неисправности; – нарушать последовательность проведения лабораторной работы; – устанавливать в машину испытуемые образцы или разновесы не из штатного комплекта машины; – устанавливать образцы и разновесы ненадежно, небрежно; – увеличивать нагрузку сверх предельного значения; – изменять величину нагрузки в момент проведения замеров; – находиться в зонах перемещения движущихся частей машины (траверсы, маятника и т. п.) либо помещать туда посторонние предметы; – оставлять без присмотра работающие машины. 2. Правила безопасной эксплуатации электроустановок, работающих под напряжением Перед пуском необходимо убедиться в исправности проводки путем осмотра, проверить наличие заземления (если конструкция установки это допускает). При работе следует нагружать электроустановку постепенно, подключать новые потребители электроэнергии по очереди, контролируя величину допустимого тока в цепи. В случае срабатывания защитных устройств (предохранителей, автоматов) либо прекращения подачи тока в сети по иной причине немедленно выключить все электроприборы, сообщить преподавателю (зав. лабораторией, учебному мастеру). 8

ЗАПРЕЩЕНО: – самостоятельно производить монтаж, демонтаж, устранение неисправностей электросетей и электрических частей испытательных машин; – пользоваться неисправной электропроводкой, арматурой и аппаратурой; – превышать паспортную мощность электроустановки; – пользоваться лампами, мощность которых превышает номинальную для данного типа светильника; – пользоваться лампами, мощность которых выше 200 Вт. 3. Правила пожарной безопасности Помещение следует содержать в чистоте. Необходимо регулярно очищать мусорные корзины. По окончании занятий следует отключить работающее оборудование, освещение. В случае загорания электропроводов или электроприборов необходимо немедленно их обесточить, сообщить преподавателю (зав. лабораторией, учебному мастеру) и действовать по его указаниям. ЗАПРЕЩЕНО: – вешать что-либо на розетки, выключатели и провода; – заклеивать провода бумагой, заваливать предметами (особенно легковоспламеняющимися), пережимать; – использовать абажуры из сгораемых материалов; – пользоваться электронагревательными приборами; – пользоваться открытым огнем, проводить работы с применением открытого огня; – хранить и пользовать легковоспламеняющимися жидкостями; – захламлять помещение; – загромождать основные и запасные выходы из помещения, пути эвакуации и пожарные гидранты. О всех неисправностях и нештатных ситуациях необходимо немедленно докладывать преподавателю или зав. лабораторией (учебному мастеру)! 9

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 Определение модуля продольной упругости Цель работы: экспериментальное определение модуля продольной упругости Е (модуля Юнга) и сопоставление его с нормативным значением. Краткие теоретические сведения Многолетняя практика возведения инженерных сооружений, опыт их эксплуатации и наблюдение за поведением при различных типах внешних воздействий, в том числе и разрушающих, показали, что линейные и угловые перемещения сооружений в определенных пределах пропорциональны действующим нагрузкам. Впервые указанная закономерность была высказана в 1678 г. Робертом Гуком в книге «О восстановительной способности или об упругости» – первой печатной работе по упругим свойствам материалов – в виде формулировки «Каково перемещение, такова и сила», которая носит название закона Гука. Такая трактовка устанавливает соотношение между перемещением UA (угловым или линейным) произвольной точки А системы от внешней нагрузки Р в виде UA = ΔP.

(1.1)

В данной формуле Δ – некоторый коэффициент, зависящий от типа внешней нагрузки, района ее приложения, положения точки А, вида перемещения и рассматриваемого направления, геометрических особенностей системы и физикомеханических свойств материала. В общем случае множество возможных сочетаний упомянутых факторов определяет и множество конкретных значений Δ. Таким образом, выражение (1.1) следует рассматривать как закон Гука для системы. Геометрические изменения системы являются проявлением деформации ее материала, интенсивность которых определяет прочность системы в целом. Современная трактовка закона Гука принадлежит Луи Навье, который установил, что напряжения и деформации материала в точке связаны для одноосного напряженного состояния соотношением 10

σ = Εε,

(1.2)

где σ – нормальные напряжения; E – модуль упругости материала при растяжении; ε – относительная линейная деформация. Соотношение (1.2) уже не связано с особенностями системы в целом и отражает свойства только самого материала. Тем самым прочность системы в целом стала определяться прочностью ее материала в точке. Линейные зависимости типа (1.1) между внешней нагрузкой и перемещениями для конкретных систем, которые обычно используются в инженерной практике расчетов, могут быть получены на основании уравнения (1.2). В общем случае закон Гука σ = f(ε) является линейной идеализацией начального участка зависимости «напряжение – деформация». Для некоторых материалов, таких, например, как сталь, эта идеализация обладает высокой степенью точности, однако для таких, как строительные материалы, она является достаточно грубым приближением. Наиболее наглядно закон Гука проявляется при растяжении прямых стержней постоянного поперечного сечения, на которых и проводится определение основных механических характеристик материалов. Для наиболее распространенных материалов Е имеет следующие значения (в МПа): Сталь .............................................................. (2,0–2,1) · 105 Медь........................................................................ 1,2 · 105 Алюминиево-магниевые сплавы ................ (0,7–0,8) · 105 Дерево (вдоль волокон) ........................... (0,08–0,12) · 105 Известняк, гранит ......................................... (0,4–0,5) · 105 Впервые понятие о модуле продольной упругости ввел в 1820 г. Томас Юнг, который определил его численные значения для стали, чугуна, меди и ряда других материалов. Поэтому модуль продольной упругости называют еще модулем Юнга (а также модулем упругости первого рода).

11

Описание наладки Экспериментальная наладка для проведения лабораторной работы (рис. 1.1) закреплена на силовой плите 1 лабораторного стола. 7

9

6

5

4

10

8

2

3

1 а

б Рис. 1.1. Схема (а) и внешний вид (б) наладки

Она состоит из двух опорных стоек 2 и 3, закрепленных болтами в Т-образном пазе силовой плиты. В отверстии опор12

ной стойки 3 зафиксирована неподвижная шарнирная ось 4, на конце которой закреплен датчик усилий (ДУ) 5 с соединительной вилкой 6. В отверстии опорной стойки 2 установлена подвижная шарнирная ось 7, продольное перемещение которой создается штурвалом 8. Образец 10 закреплен штифтами в вилке 6 и на оси 7. На поверхности образца наклеены четыре тензорезистора ТР (рис. 1.2), из которых тензорезисторы № 1, 2 измеряют продольные деформации, а № 3, 4 – поперечные.

Рис. 1.2. Расположение тензорезисторов

Нагружение образца производится путем вращения штурвала 8. Величина растягивающей силы контролируется блоком измерителя силы ИС, подключенного к ДУ, а показания тензорезисторов – подключенным к ним блоком измерителя деформаций ИД. Порядок выполнения работы 1. Для устранения зазоров в собранной наладке произвести ее начальное нагружение усилием примерно 0,5 кН, контролируя его величину по ИС. В данной наладке цена одного деления ИС – 1,0 кН/дел. 2. После начального нагружения снять показания ИС (ko) и ИД для продольных тензорезисторов № 1, 2 (no) и занести их в журнал испытаний. Напряженно-деформированное состояние исследуемого образца при начальном нагружении рассматривается в дальнейшем как исходное – «условный ноль». 3. Произвести последовательное нагружение образца дополнительными усилиями Fi = 1,0; 2,0; 3,0 кН, величины которых отсчитывать от «условного нуля» и контролировать по показаниям ИС как Fi = KИС (ki – ko) = KИС Δki, 13

где KИС = 1,0 кН/дел – цена одного деления ИС; ki, ko – текущее и начальное показания ИС. 4. Для каждой ступени нагружения снять показания ИД для продольных тензорезисторов № 1, 2 (ni) и занести их в журнал испытаний. 5. Для каждой ступени нагружения рассчитать: а) нормальные напряжения от текущего значения растягивающего усилия Fi: σi = Fi/A, где A – площадь поперечного сечения образца (ширина образца – 30 мм, толщина – 2 мм); б) для каждого тензорезистора приращение показаний по отношению к начальному нагружению по формуле Δni = ni – no и усреднить их для каждой ступени нагружения; г) относительную линейную деформацию: εi прод = KИД Δni ср, –6

где KИД = 2 · 10 – цена одного деления ИД в единицах относительной деформации. Полученные результаты занести в журнал испытаний.

Показания ИС ТР № 1 n1

Δn1i

ТР № 2 n2

Δn2i

0 0 – – – 1,0 2,0 3,0 Наибольшая относительная деформация (εпрод max) для Fi = 3,0 кН по линии, аппроксимирующей результаты экспериментальных измерений

14

Средняя деформация

Приращение напряжения, МПа

Напряжение, МПа

Усилие Fi, кН

Журнал экспериментальных измерений и их обработки

–

Нормальные напряжения, МПа

6. Построить график σi – εi прод и визуально аппроксимировать его прямой линией (рис. 1.3).

Относительная линейная деформация Рис. 1.3. Экспериментальная зависимость Δσi – Δεiпрод

7. По полученной графической аппроксимации определить модуль продольной упругости: Е = Δσmax/Δεпрод max. 6. Сравнить полученный результат со справочным значением модуля Ео и определить погрешность (в %): ΔЕ =

E0 − E 100%. E0

7. Составить отчет по лабораторной работе. 8. Защитить лабораторную работу. Контрольные вопросы 1. Что такое нормальные напряжения? 2. По какой формуле нормальные напряжения рассчитываются в поперечном сечении растянутого образца? 3. Какую размерность имеют нормальные напряжения? 4. Что такое линейная деформация? 5. По какой формуле линейная деформация рассчитывается для растянутого образца? 6. Какую размерность имеет линейная деформация?

15

7. Напишите закон Гука для точки. 8. В чем разница закона Гука для точки и для системы? 9. Кто свел закон Гука в точку? 10. Почему прочность системы определяется прочностью в точке? 11. Что такое модуль упругости материала при растяжении и кто ввел этот термин? 12. Какую размерность имеет модуль продольной упругости? 13. Какова величина модуля продольной упругости для стали (меди, алюминиево-магниевых сплавов, гранита, дерева)? 14. Почему закон Гука условно считается линейным? 15. Для каких материалов закон Гука имеет наименьшее отклонение от линейности, а для каких – наибольшее? 16. Определите нормальные напряжения в точке стальной детали, если ее относительная линейная деформация εпрод = 5 · 10–4. 17. Определите относительную линейную деформацию в точке стальной детали, если нормальные напряжения в ней равны 100 МПа. 18. Кто впервые определил численные значения модуля упругости при растяжении для стали, меди, дерева?

16

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 Определение коэффициента Пуассона Цель работы: экспериментальное определение величины коэффициента поперечной деформации (коэффициента Пуассона) и сопоставление его с нормативным значением. Краткие теоретические сведения При одноосном растяжении (сжатии) стержень деформируется как в продольном, так и в поперечном направлениях. Наблюдения показывают, что при растяжении удлинение стержня в продольном (осевом) направлении сопровождается уменьшением его поперечных размеров (рис. 2.1), при сжатии происходит наоборот.

Рис. 2.1. Деформация стержня при растяжении: 1 – размеры стержня до нагружения; 2 – размеры после нагружения

Экспериментально установлено, что в пределах закона Гука поперечная деформация, определяемая по формуле εпоп = Δb/b, (2.1) пропорциональна продольной деформации, которая находится как εпр = Δl/l, (2.2) а их соотношение статистически стабильно и определяется коэффициентом Пуассона: μ = |εпоп/εпр|. (2.3) Поскольку εпоп и εпр противоположны по знаку как при растяжении, так и при сжатии, то их отношение всегда отрицательно. Чтобы избавиться от знака «минус», значение μ принимается по абсолютной величине. 17

Для изотропных материалов коэффициент Пуассона является одной из наиболее важных механических характеристик. Он может лежать в пределах μ = 0–0,5. Нижняя граница, т. е. μ = 0 – это материалы, совершенно не испытывающие поперечного сужения при растяжении (и расширения при сжатии). Примером такого материала является пробка. Верхняя граница, т. е. μ = 0,5 – пластичные материалы, меняющие при деформации только форму, но не объем (материал как бы «перетекает» из одной формы в другую, не растягиваясь по сути). Примерами таких материалов могут служить парафин и некоторые каучуки. Полученные из многочисленных экспериментов значения коэффициента Пуассона для стали равны 0,25–0,30, для алюминиево-магниевых сплавов – 0,31–0,36 и одинаковы как при растяжении, так и при сжатии. Среднестатистическое значение μ для широкого круга различных металлов при инженерных расчетах обычно принимается равным 0,30. Для наиболее распространенных материалов коэффициент Пуассона μ имеет следующие значения: Сталь ..................................................................... 0,25–0,30 Бронза ............................................................................ 0,49 Алюминиево-магниевые сплавы........................ 0,31–0,36 Дерево ................................................................... 0,41–0,49 Бетон ..................................................................... 0,16–0,18 Описание наладки Экспериментальная наладка лабораторной работы (рис. 2.2) закреплена на силовой плите 1 лабораторного стола. Она состоит из двух опорных стоек 2 и 3, закрепленных в Т-образном пазе силовой плиты болтами. В отверстии опорной стойки 3 зафиксирована неподвижная шарнирная ось 4, на конце которой закреплен датчик усилий ДУ 5 с соединительной вилкой 6. В отверстии опорной стойки 2 установлена подвижная шарнирная ось 7, продольное перемещение которой создается штурвалом 8. Образец 10 закреплен штифтами в вилке 6 и на оси 7.

18

7

9

6

5

4

10

8

2

3

1 а

б Рис. 2.2. Схема (а) и внешний вид (б) наладки

На поверхности образца наклеены четыре тензорезистора ТР (рис. 2.3), из которых тензорезисторы № 1, 2 измеряют продольные деформации, а № 3, 4 – поперечные.

Рис. 2.3. Схема расположения тензорезисторов

19

Нагружение образца производится вращением штурвала 8. Величина растягивающей силы контролируется блоком измерителя силы ИС, подключенного к ДУ, а показания тензорезисторов – подключенным к ним блоком измерителя деформаций ИД. Порядок выполнения работы 1. Для устранения зазоров в собранной наладке произвести ее начальное нагружение усилием, равным примерно 0,5 кН, контролируя его величину по ИС. В данной наладке цена одного деления ИС равна 1,0 кН/дел. 2. После начального нагружения снять показания ИС (ko) и ИД для продольных (№ 1, 2), поперечных (№ 3, 4) тензорезисторов (no) и занести их в журнал испытаний. Напряженнодеформированное состояние исследуемого образца при начальном нагружении рассматривается в дальнейшем как исходное – «условный ноль». 3. Произвести последовательное нагружение образца дополнительными усилиями Fi = 1,0; 2,0; 3,0 кН, величины которых отсчитывать от «условного нуля» и контролировать по показаниям ИС как Fi = KИС (ki – ko) = KИС Δki, где KИС = 1,0 кН/дел – цена одного деления ИС; ki, ko – текущее и начальное показания ИС. 4. Для каждой ступени нагружения снять показания ИД для тензорезисторов № 1 – № 4 (ni) и занести их в журнал испытаний. 5. Для каждой ступени нагружения рассчитать разницу в показаниях каждого тензорезистора по отношению к предыдущему по формуле Δn = ni + 1 – ni и усреднить их в отдельности для продольных (ТР № 1, 2) и поперечных (ТР № 3, 4) тензорезисторов. Полученные результаты занести в журнал испытаний. 20

Журнал экспериментальных измерений и их обработки 0,5

1,5

2,5

3,5

Приращение усилия, кН

0,0

1,0

2,0

3,0

Поперечные тензорезисторы (ТР № 3, 4)

Продольные тензорезисторы (ТР № 1, 2)

Растягивающее усилие, кН

Δnср

n1 Δn1 n2 Δn2 n3 Δn3 n4 Δn4

7. Рассчитать среднестатистическое значение коэффициента Пуассона: μ = |Δnср. поп/Δnср. прод|. 8. Сравнить полученный результат со справочным значением μо и определить погрешность (в %): Δμ =

μ0 − μ 100%. μ0

9. Составить отчет по лабораторной работе. 10. Защитить лабораторную работу. Контрольные вопросы 1. Какие свойства материала характеризует коэффициент Пуассона? 2. Чему равен коэффициент Пуассона для стали (дюраля)?

21

3. Что такое коэффициент Пуассона? 4. Как зависит коэффициент Пуассона от величины и знака нагрузки? 5. Какая деформация при растяжении больше по абсолютной величине – продольная или поперечная? 6. Какую размерность имеет коэффициент Пуассона? 7. Как зависит коэффициент Пуассона от напряжения? 8. Как определяется коэффициент Пуассона? 9. Почему для изотропных материалов значение коэффициента Пуассона не может быть больше, чем 0,5?

22

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 Определение модуля сдвига Цель работы: экспериментальное определение величины модуля упругости материала при сдвиге G и сопоставление его с нормативным значением. Краткие теоретические сведения Скручивающие нагрузки являются обычным явлением инженерной практики. Им могут подвергаться как системы в целом (судно при движении по волнению косым курсом, строительное сооружение при косом подходе сейсмической волны), так и отдельные элементы (в основном валы различных типов, передающие крутящий момент от источника энергии к потребителю: гребные валы судов, карданные валы автотранспорта, коленчатые валы двигателей внутреннего сгорания, валы редукторов и т. п.). В 1784 г. на основе экспериментальных исследований кручения Шарль Кулон вывел формулу для угла закручивания стержня φ = Mkl/kd4,

(3.1)

которая свидетельствовала о пропорциональности между крутящим моментом и углом закручивания. В современном написании эта формула для прямого стержня с круглым (кольцевым) поперечным сечением, на длине которого действует постоянный крутящий момент, имеет вид φ = Mkl/GJp,

(3.2)

где φ – угол закручивания; Мк – крутящий момент; l – длина стержня; Jρ = π (D4 – d4)/32 – полярный момент инерции поперечного сечения стержня (D, d – наружный и внутренний диаметры поперечного сечения); G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода). 23

Из формулы (3.2) величина модуля сдвига выражается в виде G = Mkl/φJp.

(3.3)

Если в результате экспериментального исследования установить соотношение между приращениями внешней нагрузки ΔМк и угла закручивания Δφ (рис. 3.1), то модуль сдвига можно рассчитать по формуле G = ΔMkl/ΔφJp.

(3.4)

а б Рис. 3.1. Схема нагружения стержня при кручении: а – физическая модель; б – расчетная модель с эпюрами крутящего момента и угла закручивания

Для наиболее распространенных материалов G имеет следующие значения (в МПа): Стали .........................................................(0,80–0,83) · 105 Чугуны .......................................................(0,45–0,80) · 105 Алюминиево-магниевые сплавы........................ 0,27 · 105 Латуни .................................................................. 0,35 · 105 Пластмассы ...........................................(0,0002–0,25) · 105 Древесина ......................................................... 0,0065 · 105 Основные упругие характеристики изотропных материалов: модуль сдвига G, модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона μ – взаимосвязаны соотношением E = 2G(1 + μ). 24

Описание наладки Экспериментальная наладка лабораторной работы (рис. 3.2) закреплена на силовой плите 1 лабораторного стола. 11 5

4

9

6 7

10

8

3

2

1 а

б Рис. 3.2. Схема (а) и внешний вид (б) наладки

25

Она состоит из закрепленных болтами в Т-образном пазе силовой плиты, неподвижной 2 и опорной 3 стоек, на которых смонтирована исследуемая модель 4 – тонкостенная ступенчатая труба, у которой часть меньшего диаметра стальная, а большего – дюралевая. Осевой конец модели 4 зафиксирован в отверстии стойки 2. На свободном конце модели 4 расположен шарикоподшипник 5, который свободно опирается на стойку 3, чем обеспечивается нагружение модели 4 только крутящим моментом. Крутящий момент создается силой, которая прилагается к жестко закрепленному на конце модели силовому рычагу 6 через датчик усилий ДУ 7 от силовой винтовой пары 8. Величина силы контролируется блоком измерителя силы ИС. Угол закручивания на рабочей длине образца определяется относительным поворотом двух его сечений (рис. 3.3). На одном из них жестко закреплен Г-образный кронштейн 9, а на другом – кронштейн 10 с индикатором часового типа ИЧ 11. Измерительный штифт ИЧ опирается на свободный конец Г-образного кронштейна 9.

а б Рис. 3.3. Принципиальные схемы нагрузки модели (а) и измерения угла закручивания на рабочей длине (б). Обозначения соответствуют рис. 3.2

Порядок выполнения работы 1. Для устранения зазоров в собранной наладке произвести ее начальное нагружение усилием, равным примерно 100 Н, контролируя его величину по ИС. В данной наладке цена одного деления ИС равна 12,5 Н/дел. 26

2. Установить шкалу индикатора ИЧ «на ноль». Состояние исследуемого образца при начальном нагружении рассматривается в дальнейшем как исходное – «условный ноль». 3. Произвести последовательное нагружение модели дополнительными усилиями Fi = 100, 200, 300 Н (ΔF = 100 Н), контролируя их значение по показаниям блока измерителя силы ИС. Для каждой ступени нагружения снять показания ИЧ (ni) и занести их в журнал испытаний. Журнал экспериментальных измерений и их обработки Усилие нагружения Fi, Н

0

Крутящий момент Мк, Н · м

0

Приращение крутящего момента ΔМк, Н · м Показания ИЧ, ni

– 0

Приращения показаний, Δni

–

Угол закручивания φ, рад

0

100

200

300

Δnср

4. Для каждой ступени нагружения рассчитать: а) крутящий момент: Mi = Fia, где а = 200 мм – расчетная длина силового рычага (6) (рис. 3.3, а), б) соответствующий Mi экспериментально определенный угол закручивания: φi = 0,01ni/h, где h = 80 мм – длина кронштейна (10) крепления ИЧ (рис. 3.3, б); 0,01 мм – масштаб (цена одного деления шкалы ИЧ). 5. По результатам измерений построить график φi – Мкр и аппроксимировать его прямой линией (рис. 3.4). 27

Крутящий момент, кН · м

6. Для каждой ступени нагружения (ΔFi = 100 Н) определить разности показаний ИЧ Δni и их усредненное значение Δnср.

Угол закручивания, рад Рис. 3.4. Экспериментальная зависимость Мi – φi

7. По среднему значению приращений Δnср определить среднее приращение угла закручивания для ступени нагружения: Δφср = 0,01 Δnср/h. 8. Рассчитать приращение крутящего момента как ΔМк = ΔFa и экспериментально определенный модуль сдвига как G = ΔMkl/ΔφJp, где l = 100 мм – длина рабочей части модели. При расчете полярного момента инерции поперечного сечения стержня по формуле Jρ = π(D4 – d4)/32 принять: D = 20 мм – наружный диаметр рабочей части модели; d = 16 мм – внутренний диаметр рабочей части модели. 9. Сравнить полученный результат со справочным значением модуля сдвига Gо и определить погрешность (в %): 28

ΔG =

G0 − G 100%. G0

10. Составить отчет по лабораторной работе. 11. Защитить лабораторную работу. Контрольные вопросы 1. Чему равен модуль упругости при сдвиге для основных материалов? 2. Между какими физическими величинами модуль сдвига является коэффициентом пропорциональности? 3. Как угол закручивания в радианах пересчитать в градусы? 4. По какой формуле рассчитывается модуль упругости при сдвиге при его экспериментальном определении? 5. Что такое крутящий момент? Как он определяется в этой лабораторной работе? 6. Что такое угол закручивания? Как он определяется в этой лабораторной работе? 7. Что такое полярный момент инерции? Чему он равен для круглого сплошного и тонкостенного цилиндрического сечения? 8. Какой вид нагружения называется кручением? 9. По результатам эксперимента докажите, что в исследованном диапазоне нагрузок закон Гука для сдвига линеен. 10. Что такое торсирование; торсионный вал?

29

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Исследование напряженно-деформированного состояния материала тонкостенного стержня при кручении Цель работы: экспериментальное определение напряженного состояния материала тонкостенного цилиндрического образца при кручении. Краткие теоретические сведения В практике современного машиностроения часто используются тонкостенные конструкции, обеспечивающие высокую прочность и жесткость при сравнительно небольшом расходе материала (фюзеляжи самолетов, прочные корпуса подводных лодок, баки нефтехранилищ, магистральные трубопроводы, несущие конструкции мостов и зданий и т. п.). Основным признаком тонкостенного стержня является то, что его толщина существенно меньше габаритных размеров поперечного сечения. Круглый стержень считается тонкостенным, если его толщина δ составляет менее 0,1 диаметра сечения: δ < 0,1D. Считается, что при кручении тонкостенного стержня напряжения по его толщине постоянны и материал находится в состоянии чистого сдвига, т. е. в поперечных и продольных сечениях действуют только касательные напряжения τ (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Напряженное состояние материала тонкостенного скрученного стержня: 1, 2 – направления установки тензодатчиков

30

Величина касательных напряжений зависит от внешнего крутящего момента Мкр, геометрических характеристик поперечного сечения стержня и определяется как τ = MкрR/Jρ ,

(4.1)

где R – наружный радиус стержня; Jρ ≈ 0,785D3δ – полярный момент сечения; D – наружный диаметр сечения; δ – толщина стенки тонкостенного стержня. Чистый сдвиг является частным случаем плоского напряженного состояния. Если из материала тонкостенного стержня выделить два прямоугольных элемента, грани первого из которых соответствуют поперечному и продольному сечениям, а грани второго повернуты относительно первого на 45°, то на гранях первого элемента будут действовать только касательные, а на гранях второго – только нормальные напряжения. При этом нормальные напряжения численно будут равны касательным, и на одной паре граней нормальные напряжения будут растягивающими, а на другой – сжимающими. Таким образом, чистый сдвиг может быть представлен или как нагружение элемента по граням касательными напряжениями, подчиняющимися закону парности, или как одновременное растяжение и сжатие элемента по двум взаимно перпендикулярным направлениям равными нормальными напряжениями (рис. 4.1), которые являются главными, поскольку, кроме них, на гранях не действуют никакие другие напряжения. Современные тензорезисторы позволяют измерять только линейные деформации, по которым нормальные и касательные напряжения рассчитываются по формулам теории упругости. На основании обобщенного закона Гука для главных осей при плоском напряженном состоянии главные напряжения, численно равные наибольшим касательным, определяются как

E ⎫ (ε1 + με 2 ), ⎪ 2 ⎪ 1− μ ⎬ E ⎪ σ 2 = −τ = ( ε + με ), 2 1 ⎪⎭ 1 − μ2 σ1 = τ =

31

(4.2)

где ε1, ε2 – экспериментально определенные линейные деформации, соответствующие главным осям. 10

5 6 7 4

8 9

3

1

2 а

б Рис. 4.2. Схема (а) и внешний вид (б) наладки

32

Описание наладки Экспериментальная наладка для проведения лабораторной работы (рис. 4.2) закреплена на силовой плите 1 лабораторного стола. Она состоит из неподвижной 2 и опорной 3 стоек, закрепленных болтами в Т-образном пазе силовой плиты. На стойках смонтирована исследуемая модель 4 – тонкостенная ступенчатая труба, у которой часть меньшего диаметра стальная, а большего – дюралевая. Осевой конец модели зафиксирован в отверстии стойки 2. На свободном конце модели расположен шарикоподшипник 5, который свободно опирается на стойку 3, чем обеспечивается нагружение модели только крутящим моментом. Крутящий момент создается силой, которая прилагается к жестко закрепленному на конце модели силовому рычагу 6 через датчик усилий ДУ 7 от силовой винтовой пары 8, закрепленной на планке 9 силовой плиты. Нагружающая сила создается вращением гайки силовой винтовой пары 8. Ее величина контролируется блоком измерителя силы ИС. На поверхности исследуемой модели наклеена розетка из трех тензорезисторов 10, один из которых параллелен оси модели, а два других составляют с осью модели углы 45° (рис. 4.3). В данной лабораторной работе для расчета используются показания тензорезисторов № 1, 3, которые измеряются блоком измерителя деформаций ИД.

Рис. 4.3. Розетка тензорезисторов

Порядок выполнения работы 1. Для устранения зазоров в собранной наладке произвести ее начальное нагружение усилием примерно 100 Н, кон-

33

тролируя его величину по показаниям блока измерителя силы ИС. В данной наладке цена одного деления ИС равна 12,5 Н/дел. 2. Снять показания тензорезисторов ТР № 1, 2, 3 по блоку измерителя деформаций ИД и занести их в журнал испытаний. Состояние исследуемого образца при начальном нагружении рассматривается в дальнейшем как исходное – «условный ноль». 3. Произвести последовательное нагружение образца усилиями Fi = 100, 200, 300 Н (ΔF = 100 Н), контролируя их значение по ИС. Для каждой ступени нагружения снять показания тензорезисторов по ИД и занести их в журнал испытаний. Журнал экспериментальных измерений и их обработки Усилие нагружения Fi, Н

0

Крутящий момент Мк, Н · м

0

Приращение крутящего момента ΔМк, Н · м n1 Δn1 Показания ИД и их приращения

100

200

300 Δni ср

0 –

n2 Δn2

–

n3 Δn3

–

Касательные напряжения (теоретические), Па Касательные напряжения (экспериментальные), Па Погрешность определения касательных напряжений, %

4. Для каждого приращения ступени нагружения рассчитать приращения показаний тензорезисторов Δni и определить их средние значения Δni ср для каждого тензорезистора. 5. Для среднего значения Δn iср определить приращение линейных деформаций по направлениям измерений по формуле 34

Δεi = KИД Δni ср, где КИД = 2 · 10–6 – цена единицы измерения ИД в единицах относительной деформации. 6. Используя полученные значения Δεi, определить по формуле (4.2) величину наибольших экспериментально определенных касательных напряжений τэ для одной ступени нагружения и усреднить их. 7. Рассчитать момент нагрузки согласно схеме (рис. 4.4) по формуле ΔМкp = ΔFa, где а = 200 мм – расчетная длина силового рычага 13.

Рис. 4.4. Принципиальная схема нагружения модели

8. По формуле (4.1) рассчитать величину наибольших теоретических касательных напряжений τо, принимая: D = 46,2 мм – наружный диаметр рабочей части образца; d = 1,1 мм – толщина стенки рабочей части образца. 9. Сравнить экспериментальные результаты с рассчитанными теоретически и определить погрешность (в %): Δτ =

τ э − τт 100%. τт

10. Составить отчет по лабораторной работе. 11. Защитить лабораторную работу. 35

Контрольные вопросы 1. Что такое чистый сдвиг? 2. Что такое главные напряжения (главные оси)? 3. О чем говорит закон парности касательных напряжений? 4. Каково соотношение при чистом сдвиге величин главных нормальных и наибольших касательных напряжений? 5. Что такое крутящий момент? Как он определяется в этой лабораторной работе? 6. Какие напряжения действуют в поперечном сечении тонкостенного стержня при кручении? 7. Что такое полярный момент инерции? Чему он равен для тонкостенного цилиндрического сечения? 8. Что такое тонкостенный стержень? По какому критерию определяется, что стержень тонкостенный? 9. По какой формуле рассчитываются касательные напряжения в этой лабораторной работе? 10. В каком сечении скрученного тонкостенного стержня действуют экстремальные нормальные напряжения? 11. Почему показания тензорезистора № 2 существенно меньше показаний тензорезисторов № 1, 3?

36

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 Исследование плоского напряженного состояния материала Цель работы: экспериментальное определение величины и направления главных напряжений в поверхностном слое материала тонкостенного цилиндрического образца при одновременном кручении и изгибе (плоском напряженном состоянии). Краткие теоретические сведения В практике современного машиностроения часто используются тонкостенные конструкции, обеспечивающие высокую прочность и жесткость при сравнительно небольшом расходе материала (фюзеляжи самолетов, прочные корпуса подводных лодок, баки нефтехранилищ, магистральные трубопроводы, несущие конструкции мостов, зданий и т. п.). Основным признаком тонкостенного стержня является то, что его толщина существенно меньше габаритных размеров поперечного сечения (толщина стенок менее 0,1 диаметра сечения). Стержень, длина которого более чем в шесть раз превосходит габаритные размеры поперечного сечения, рассматривается как брус. Если сложное нагружение линейной системы можно разложить на простейшие, то в любой точке этой системы в соответствии с принципом суперпозиции напряженное состояние можно рассчитать как сумму напряженных состояний от простейших видов нагружения. Исследуемый тонкостенный стержень находится в состоянии чистого кручения и поперечного изгиба (рис. 5.1, а), следовательно, в каждой точке его поперечного сечения от крутящего момента возникают касательные напряжения (рис. 5.1, б), определяемые как

τ=

M кр Wρ

=

M кр R Jρ

=

где R – наружный радиус стержня; δ – толщина стенки. 37

M кр 2πδR 2

,

(5.1)

а

б

в

г Рис. 5.1. Схема формирования плоского напряженного состояния при сложном нагружении (кручение с изгибом): а – схема разложения сложного нагружения на простые; б, в – возникновение касательных напряжений от крутящего момента и нормальных напряжений от изгибающего; г – напряженное состояние в материале тонкостенного стержня (применительно к точке А)

В соответствии с законом парности касательных напряжений на гранях, параллельных оси бруса, будут действовать касательные напряжения, равные по величине и противопо38

ложные по знаку касательным напряжениям, действующим в поперечном сечении. Нормальные напряжения от изгиба в поперечном сечении стержня будут зависеть от расстояния точки от нейтральной оси, имеющей горизонтальное положение, и изменяться в соответствии с этим по высоте бруса по линейному закону M My My = = . Wz J z 2πδR 3

σ=

(5.2)

В точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, эти напряжения достигают наибольшего значения, равного

σ max =

M MR M = = . Wz min Jz 2πδR 2

(5.3)

Таким образом, в точках каждого поперечного сечения одновременно действуют касательные напряжения (от кручения) и нормальные (от изгиба), а в точках продольного сечения – только касательные напряжения от кручения (рис. 5.1, г). Касательные напряжения от поперечной силы в данном случае не учитываются из-за их относительной малости по сравнению с касательными напряжениями от кручения. Величина и направление главных напряжений (рис. 5.1, г) в поверхностном слое заранее неизвестны и зависят от соотношения между величинами крутящего и изгибающего моментов. Оценку параметров напряженно-деформированного состояния поверхностного слоя металла модели можно получить экспериментально, если измерить с помощью розетки тензорезисторов (рис. 5.2) линейные деформации по трем направлениям, два из которых взаимно перпендикулярны, а третье составляет с ними угол 45° и параллельно оси бруса. В этом случае главные напряжения (рис. 5.1, г) вычисляются по формулам: E ⎫ (ε1 + με 2 ), ⎪ 2 ⎪ 1− μ ⎬ E σ2 = (ε 2 + με1 ).⎪ 2 ⎪⎭ 1− μ

σ1 =

39

(5.4)

Относительные деформации здесь определяются как

ε1, 2 =

εu + εv 1 ± (ε u − ε x ) 2 + (ε v − ε x ) 2 , 2 2

(5.5)

где εu, εv, εx – определенные экспериментально линейные деформации по осям u, v, x (рис. 5.2); ε1, ε2 – линейные деформации, соответствующие главным осям; Е, μ – модуль упругости при растяжении и коэффициент Пуассона для материала образца (дюраль).

Рис. 5.2. Розетка тензорезисторов (ось X параллельна оси бруса)

Угол между главной осью и осью стержня вычисляется по формуле α = 0,5arctg(

ε u + ε v − 2ε x ). εu − εv

(5.6)

Для исследуемой модели крутящий и изгибающий моменты находятся соответственно как Мкр = Fa, M = Fl,

(5.7)

где F – сила, действующая на рычаг нагрузочного устройства; a = 200 мм – плечо рычага; l = 280 мм – расстояние от центра розетки до рычага. В поперечном сечении тонкостенного стержня, проходящем через расчетную точку А (центр розетки тензорезисторов), они вызывают нормальные изгибные напряжения, равные согласно уравнению (5.3) величине 40

σ=

Fl , 2πδR 2

(5.8)

и касательные напряжения от кручения, равные согласно уравнению (5.1) величине τ=

Fa . 2πδR 2

(5.9)

В этом случае главные напряжения вычисляются по формуле σ1, 2 = 0,5σ ± σ 2 + 4τ 2 ,

(5.10)

а положение главной оси по отношению к оси стержня определяется как α = 0,5arctg(−

2τ ). σ

(5.11)

При этом положительное направление угла α отсчитывается от направления σ1 по ходу часовой стрелки (рис. 5.1, г). Описание наладки Экспериментальная наладка для проведения лабораторной работы (рис. 5.3) закреплена на силовой плите 1 лабораторного стола. Она состоит из неподвижной стойки 2, закрепленной болтами в Т-образном пазе силовой плиты, на которой смонтирована исследуемая модель 3 – тонкостенная ступенчатая труба. У трубы 3 часть меньшего диаметра стальная, а большего – дюралевая. Осевой конец модели зафиксирован в отверстии стойки 2. На свободном конце модели 3 жестко закреплен рычаг 4. Сила, создающая крутящий и изгибающий моменты, передается на рычаг через датчик усилий ДУ 5 от силовой винтовой пары 6, закрепленной на планке 7 силовой плиты. При сборке наладки следует обратить внимание, что опорная стойка под свободный конец модели не устанавливается. Это обеспечивает одновременное нагружение модели крутящим и изгибающим моментами (рис. 5.1, а).

41

Нагружение производится вращением гайки 8 винтовой пары. Величина нагружающей силы определяется по показаниям блока измерителя силы ИС.

9 4 5 6

8

3 7

1

2 а

б Рис. 5.3. Схема (а) и внешний вид (б) наладки Примечание: отсутствие опорной стойки под свободным концом модели обеспечивает ее одновременное нагружение крутящим и изгибающим моментами

42

На поверхности рабочей части образца наклеена розетка 9 из трех тензорезисторов ТР № 1(u), ТР № 2 (x), ТР № 3(v), показания которых регистрируются блоком измерения деформаций ИД (рис. 5.2). Порядок выполнения работы 1. Для устранения зазоров в собранной наладке произвести ее начальное нагружение усилием, равным примерно 100 Н, контролируя его величину по показаниям блока измерителя силы ИС. В данной наладке цена одного деления ИС равна 12,5 Н/дел. 2. Снять показания ТР № 1, 2 и 3 по блоку измерителя деформаций ИД и занести их в журнал испытаний. Состояние исследуемого образца при начальном нагружении рассматривается в дальнейшем как исходное – «условный ноль». 3. Произвести последовательное нагружение образца усилиями Fi = 100, 200, 300 Н (ΔF = 100 Н), контролируя их значение по ИС. Для каждой ступени нагружения снять показания тензорезисторов и занести их в журнал испытаний. Журнал экспериментальных измерений и их обработки

ТР № 1 ТР № 2 ТР № 3

Показания ИД

0

Усилие нагружения, Н 100 200 300

nu Δnu

σi, МПа

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

nx Δnx

εi

–

nv Δnv

Δniср

–

4. Для каждой ступени нагружения рассчитать разности показаний тензорезисторов Δni и их средние значения Δni ср. 43

5. Для средних приращений Δni ср определить средние относительные линейные деформации по формуле εi = KИД Δnш ср, –6

где KИД = 2 · 10 – цена единицы измерения ИД в единицах относительной деформации. 6. По формуле (5.5) рассчитать величины линейных деформаций ε1 и ε2, соответствующие главным осям. 7. По формулам (5.4) рассчитать экспериментальные величины нормальных напряжений σ1 и σ2, соответствующие главным осям. 8. По формуле (5.6) рассчитать экспериментальный угол между главной осью и осью стержня (осью х). 9. По формулам (5.8) и (5.9) рассчитать нормальные и касательные напряжения для точки расположения розетки. 10. По формулам (5.10) и (5.11) рассчитать теоретические значения главных напряжений и положение главных осей. 11. Сопоставить теоретически и экспериментально определенные значения главных напряжений и положения главных осей и определить погрешности (в %): σ1э − σ1т 100%, σ1т σ − σ2т 100%, Δσ2 = 2 э σ2т α − α 2т Δα = 2 э 100%, α 2т где σiэ, σiт, αiэ, αiт – экспериментально определенные и теоретически рассчитанные значения главных напряжений и положения главных осей. 12. Составить отчет по лабораторной работе. 13. Защитить лабораторную работу. Δσ1 =

Контрольные вопросы 1. Что такое сложное нагружение? 2. Что такое метод наложения (суперпозиции)? Какие есть ограничения на его применение?

44

3. Какие напряжения называются главными? 4. По какой формуле рассчитываются главные напряжения, если экспериментально измерены линейные деформации (по 45° в розетке)? 5. Какой стержень можно рассматривать как тонкостенный? 6. Что такое главные оси? 7. Что такое крутящий момент? Как он определяется в данной лабораторной работе? 8. Какие напряжения действуют в поперечных сечениях стержня при одновременном действии крутящего и изгибающего моментов? Как они изменяются по поперечному сечению? 9. Какие напряжения действуют в продольных сечениях стержня при одновременном действии крутящего и изгибающего моментов? 10. Что такое изгибающий момент? Как он определяется в данной лабораторной работе? 11. По какой формуле рассчитываются нормальные напряжения в поперечном сечении стержня в этой лабораторной работе? 12. По каким формулам рассчитываются главные напряжения через нормальные и касательные напряжения в поперечном сечении? 13. По какой формуле рассчитываются касательные напряжения в поперечном сечении стержня в этой лабораторной работе?

45

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 Исследование линейных и угловых перемещений статически определимой балки при изгибе Цель работы: экспериментальное определение прогиба произвольного сечения и углов поворота опорных сечений свободноопертой балки. Краткие теоретические сведения Для элементов конструкций и механизмов расчет перемещений (линейных и угловых) во многих случаях является не менее важным, чем расчет на прочность. Особенное значение это имеет в тех случаях, когда конструктивные элементы являются сопрягаемыми: чрезмерные деформации судового корпуса могут привести к нарушению герметичности люков, значительные прогибы валов редуктора – к недопустимым перекосам зубчатых зацеплений, большие прогибы перекрытий здания – к нарушению нормальной работы расположенного на них оборудования. Теория расчета балок на изгиб основывается на ряде допущений, которые приводят к существенному упрощению расчетных формул при сохранении достаточной точности результатов, а именно: – линейные перемещения малы по сравнению с длинами пролетов; – перемещения вдоль продольной оси балки пренебрежимо малы; – справедлива гипотеза плоских сечений (и ряд других). Деформация балки при изгибе характеризуется для каждого сечения с координатой x (рис. 6.1) линейными и угловыми перемещениями: – прогибом – вертикальным перемещением нейтральной оси в плоскости изгиба y(x); – углом поворота – углом наклона нормали сечения к нейтральной оси Θ(x), при этом Θ(x) = y'(x). Заметим, что при проведении практических замеров бывает удобнее определять не наклон нормали сечения к ней-

46

тральной оси, а равный ему наклон нормали балки (обозначен на рис. 6.1 как n ) к перпендикуляру нейтральной оси.

Рис. 6.1. Схема деформации балки при изгибе

Закономерность изменения прогибов вдоль оси балки определяет форму изогнутой оси. Прогибы и углы поворота при условии, что перемещения существенно меньше длины балки, связаны между собой дифференциальным соотношением dy ( x) . (6.1) dx Деформации одно- и двухпролетных балок обычно рассчитываются по методу начальных параметров, в соответствии с которым при нагружении только сосредоточенной силой в пролете между опорами прогибы и углы поворота сечения в пролете с координатой х < l определяются как Θ( x) = y ′( x) =

y ( x) = y (0) + y ′(0) x + ||x > a

Pi ( x − ai ) 3 , 6 EJ

(6.2)

Pi ( x − ai ) 2 , (6.3) 2 EJ где y(0), y'(0) – прогиб и угол поворота крайнего левого конца балки, определяемые из условий опирания; х – текущая координата; Pi – сосредоточенные активные и реактивные силы, приложенные к балке в точках ai; аi – координата приложения i-й силы. y ′( x) = y ′(0)+ || x > a

47

Для исследуемой балки прогиб в сечении с текущей координатой х в пролете между опорами определяется как RA x 3 P ( x − b) 3 , − || x >b 6 EJ 6 EJ

y ( x) = y ′(0) x +

(6.4)

угол поворота на основании уравнения (6.1) как y ′( x) = y ′(0) +

RA x 2 P ( x − b) 2 . − || x >b 2 EJ 2 EJ

(6.5)

При этом угол поворота на опоре А определяется по формуле y ′(0) = −

a Pa (l − a) (2 − ) . l 6 EJ

(6.6)

Описание наладки Экспериментальная наладка для проведения лабораторной работы (рис. 6.2) закреплена на силовой плите 1 лабораторного стола. Она состоит из закрепленных болтами в Т-образном пазе силовой плиты двух опорных стоек 2 и 3, на которых смонтированы подшипниковые узлы 4 и 5 исследуемой балки, что позволяет ей свободно поворачиваться на опорах. В заданном месте измерения прогиба на плите стола закреплена стойка с индикатором часового типа ИЧ 6. В районе опор расположены стойки с ИЧ 7 и 8, измерительные штифты которых упираются в упорные пятаки стержней 9 и 10, жестко соединенных с исследуемой балкой. Углы поворота опорных сечений определяются по показаниям ИЧ 7 и 8. Известно, что для малых углов

α ≈ sin α ≈ tg α,

(6.7)

тогда на основании схемы (рис. 6.3) получаем соотношение Θi ≈ tg Θi = Δni/Н, где Δni – показание индикатора, мм; Н – длина стержней 9 и 10 (Н = 100 мм). 48

(6.8)

8

6

7 9

10

13 5

12

2

1

4 3

11 а

б Рис. 6.2. Схема (а) и внешний вид (б) наладки

Нагружение балки сосредоточенной силой производится в заданном сечении пролета грузами 11 через подвес 12 и серьгу 13. 49

Рис. 6.3. Схема определения угла поворота опорного сечения

Порядок выполнения работы 1. Установить шкалы индикаторов двух угломеров и прогибомера «на нуль» и занести в журнал испытаний. Журнал экспериментальных измерений и их обработки Величина силы, Н Измеряемые параметры

0

10

20

30

Показания индикаторов, мм ИЧ на опоре А ИЧ на опоре В ИЧ в точке измерения прогиба Угол поворота на опоре А, рад Угол поворота на опоре В, рад Прогиб в точке измерения, мм

0 0 0 0 0 0

Величины параметров деформаций балки при нагрузке 40 Н Эксперимент

Расчет

Угол поворота на опоре А, рад Угол поворота на опоре В, рад Прогиб в точке измерения, мм Параметры расчетной модели: l = 500 мм; a = мм; x = мм; c = 155 мм. Ширина поперечного сечения балки – 30 мм, высота – 4,7 мм. Материал балки – конструкционная сталь.

50

40

2. Произвести последовательное нагружение балки усилиями 10, 20, 30, 40 Н и занести соответствующие им показания индикаторов угломеров и прогибомера в журнал испытаний. 3. Для заданного варианта нагружения балки по формулам (6.4) – (6.6) рассчитать углы поворота на опорах и прогиб в расчетном сечении при нагрузке 40 Н. 4. Построить графики y(x) = f(Fi), y'(0) = f(Fi), y'(l) = f(Fi) и визуально аппроксимировать их прямыми линиями (рис. 6.4).

Усилие нагружения, Н

Углы поворота на опорах А и В, рад

Величина прогиба в заданной точке, мм Рис. 6.4. Зависимости деформаций балки от нагрузки при изгибе

Показать, что угловые и линейные перемещения балки при изгибе подчиняются закону Гука для системы. 5. Сопоставить экспериментально определенные и теоретически рассчитанные линейные и угловые перемещения и вычислить погрешности их определения (в %): ΔθА =

θ Аэ − θ Ат 100%, θ Ат

ΔθВ =

θ Вэ − θ Вт 100%, θ Вт

ΔY =

Y − Yт 100%. Yт 51

6. Составить отчет по лабораторной работе. 7. Защитить лабораторную работу. Контрольные вопросы 1. В чем состоит гипотеза плоских сечений? 2. Какие балки называются статически определимыми? 3. Что такое «изгибная жесткость» балки? 4. Что такое «прогиб» изогнутой балки? 5. Что такое «угол поворота» поперечного сечения балки? 6. Каким математическим соотношением связаны между собой прогиб в сечении и угол поворота при изгибе? 7. Напишите уравнение начальных параметров для определения прогибов расчетной модели исследуемой балки. 8. Напишите уравнение начальных параметров для определения углов поворота расчетной модели исследуемой балки. 9. Как определяются y(0) и y'(0) для расчетной модели балки? 10. Какое предположение дает возможность представить угол поворота как y'(x)?

52

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7 Определение реакции промежуточной опоры статически неопределимой свободноопертой балки Цель работы: экспериментальное определение неизвестной опорной реакции статически неопределимой балки. Краткие теоретические сведения Статически неопределимой считается такая балка, для которой реакции не могут быть определены при помощи уравнений равновесия статики. Разность между числом неизвестных реакций и числом независимых уравнений статики определяет степень статической неопределимости, т. е. она равна числу дополнительных связей (по отношению к числу необходимых для фиксирования балки как жесткого тела), наложенных на балку. Расчетная модель исследуемой балки (рис. 7.1) является системой с одной степенью статической неопределимости.

Рис. 7.1. Расчетная модель статически неопределимой балки

Наиболее широкое применение для раскрытия статической неопределимости балок получил метод сил. Он состоит в том, что «дополнительные» связи устраняются и балка становится статически определимой – основной системой. Отброшенные связи заменяются соответствующими усилиями. Величина этих усилий должна быть такой, чтобы ограничения, которые накладывались на линейные и угловые перемещения балки отброшенными связями, выполнялись, т. е. соблюдались условия неразрывности деформаций. При выпол53

нении этих условий система становится эквивалентной исходной. Как правило, для несложных балок уравнения неразрывности деформаций составляются с применением метода начальных параметров. Если основную систему создать удалением опоры В (рис. 7.2), то в точке ее расположения возникнет некоторый прогиб. Для того чтобы сделать основную систему эквивалентной исходной, в точке В необходимо приложить такую сосредоточенную силу, которая устранила бы этот прогиб. В этом случае можно считать, что приложенная сосредоточенная сила соответствует неизвестной реакции RB.

Рис. 7.2. Схема раскрытия статической неопределимости: а – исходная система; б – основная система; с – эквивалентная система

Теоретическое значение опорной реакции RB определяется как a+b . (7.1) RB = 0,5 P(b − l ) b−a 54

Таким образом, измерив величину приложенной в точке В силы P, можно рассчитать неизвестную реакцию RB статически неопределимой балки. После этого балка становится статически определимой и остальные опорные реакции находятся традиционными методами статики (составлением силовых и моментовых уравнений равновесия). Описание наладки Экспериментальная наладка для проведения лабораторной работы (рис. 7.3) закреплена на силовой плите 1 лабораторного стола. Она состоит из опорных стоек 2 и 3, закрепленных в Т-образном пазе силовой плиты болтами. В стойке 2 закреплен подшипниковый узел 4, а на стойку 3 опирается подшипниковый узел 5 исследуемой балки, которые позволяют ей свободно поворачиваться на опорах. В заданном месте расположения промежуточной опоры размещена силовая винтовая стойка 6, длину которой можно регулировать вращением гайки 7. На стойке 6 смонтирован датчик усилий ДУ 8, соединенный через подвес и серьгу с балкой 9. Создаваемая с помощью ДУ сила позволяет имитировать опорную реакцию. ДУ подключен к блоку измерения сил ИС. Индикатор часового типа ИЧ 10 контролирует прогиб балки в точке расположения промежуточной опоры. В случае, когда через ДУ к балке прикладывается усилие, обеспечивающее отсутствие прогиба в данной точке, можно считать, что величина этого усилия соответствует опорной реакции. Нагружение балки производится свободно подвешенными на консоли грузами 11. Порядок выполнения работы 1. Для устранения зазоров в собранной модели произвести ее начальное нагружение усилием, равным примерно 10 Н, вращая винт 7 датчика усилий ДУ и контролируя усилие по блоку измерителя силы ИС. Занести показания ИС в журнал испытаний. В данной наладке цена одного деления ИС равна 0,10 Н/дел.

55

10

4

9

5

8

11

7 2

6

3

1 а

б Рис. 7.3. Схема (а) и внешний вид (б) наладки

Состояние исследуемого образца при начальном нагружении рассматривается в дальнейшем как исходное – «условный ноль». 2. Установить шкалу индикатора прогибомера ИЧ «на нуль». 3. Произвести нагружение балки усилием 40 Н. 4. Вращая винт 7 датчика усилий ДУ, вернуть показания ИЧ прогибомера к «условному нулю» (исходному состоянию) и занести соответствующие показание ИС в журнал испытаний. 56

5. По формуле (7.1) определить расчетное значение опорной реакции и занести в журнал испытаний. 6. Сопоставить экспериментально определенную и теоретически рассчитанную величины опорной реакции RВ и вычислить погрешность ее определения (в %): ΔRВ =

RBэ − RBт 100%. RBт

7. Составить отчет по лабораторной работе. 8. Защитить лабораторную работу. Журнал экспериментальных измерений и их обработки Нагружающее усилие, Н

10

20

30

40

Приращение усилия, Н

0

10

20

30

Показания ИС Приращение показаний ИС

0

Величина реакции на промежуточной опоре В, Н: измеренная рассчитанная

Контрольные вопросы 1. Какие балки называются статически неопределимыми? 2. Как устанавливается степень статической неопределимости балки? 3. В чем состоит основной принцип раскрытия статической неопределимости балки? 4. Что такое исходная система? 5. Что такое основная система? 6. Что такое эквивалентная система? 7. Как имитируется в данной лабораторной работе промежуточная опора? 8. Как экспериментально измеряется реакция на промежуточной опоре балки? 9. Как в данной работе контролируется прогиб в точке расположения промежуточной опоры?

57

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8 Экспериментальное исследование напряженного состояния материала в районе концентраторов напряжений Цель работы: в результате экспериментальных измерений дать качественную и количественную оценки изменения напряженного состояния материала в районе концентратора напряжений. Краткие теоретические сведения Все конструкции и детали машин имеют концентраторы напряжений, которые неизбежны, так как обеспечивают их функционирование. Концентраторами, например, являются: – оконные и дверные проемы в стенах зданий и сооружений; – люки в палубах судов для погрузки и выгрузки грузов; – всевозможные отверстия в деталях механизмов для соединения их друг с другом; – штольни и штреки в горных массивах при подземной разработке полезных ископаемых и т. п. Наличие этих конструктивных неоднородностей приводит к качественному и количественному изменению напряженного состояния в районах их расположения. Как известно, материал равномерно растянутой полосы (рис. 8.1) находится в одноосном напряженном состоянии и в поперечных сечениях действуют только нормальные напряжения, определяемые по формуле

σ = F/A1,

(8.1)

где F – растягивающая сила; А1 = b1t – площадь поперечного сечения (b1 – ширина, t – толщина полосы). В продольных сечениях напряжения отсутствуют. Выполнение условий равновесия статики для любого элемента, выделенного поперечными и продольными сечениями, очевидно. 58

а б Рис. 8.1. Физическая модель концентрации напряжений: а – полоса без концентратора; б – полоса с концентратором

Предположим, что на оси полосы имеется круглое отверстие (рис. 8.1), при этом площадь наиболее ослабленного поперечного сечения осталась прежней: A2 = A1 = (b2 – D)t, (8.2) где D – диаметр отверстия. Если считать, что напряженное состояние материала не изменилось, то нормальные напряжения в поперечном сечении распределены равномерно и определяются как σо = F/A2 = F/(b2 – D)t. (8.3) Выделим из материала полосы поперечными и продольными сечениями элемент, одна из кромок которого является контуром отверстия. Если предполагать, что напряженное состояние в результате появления отверстия не изменилось, то напряжения, действующие на гранях выделенного элемента, перестают удовлетворять условиям равновесия статики. Чтобы уравновесить нормальные напряжения, действующие в поперечном сечении, необходимо наличие касательных напряжений в продольном сечении. Однако это по закону парности касательных напряжений автоматически приводит к появлению касательных напряжений в поперечном сечении и нарушению условий равновесия статики для оси Y. Чтобы удовлетворить и их, необходимо наличие нормальных напряжений в продольном сечении элемента. (Так как на грани элемента, соответствующей контуру отверстия, напряжения возникать не могут.) 59

Таким образом, материал рассмотренного элемента оказывается в напряженном состоянии, которое существенно отличается от предполагаемого одноосного. Исследования методами теории упругости показывают, что нормальные напряжения в поперечном сечении полосы распределяются неравномерно: в точках, близких к контуру, они существенно больше, чем рассчитанные по формуле (8.3), а в удаленных – меньше (рис. 8.2). Происходит это потому, что для сечения по отверстию в целом должно удовлетворяться условие равновесия статики

∫

F = σ x dA = σ o A ,

(8.4)

F

и если в каких-либо точках сечения напряжения возрастают, то в других они должны уменьшаться.

Рис. 8.2. Распределение σо и σi в поперечном сечении (а) и характер изменения kσ по ширине полосы (б)

Поскольку в поперечном сечении у контура отверстия действующие нормальные напряжения больше σо, а у свободной кромки пластины меньше, должна существовать промежуточная точка (А), в которой они равны по величине. 60

Концентратором напряжений называется любое резкое изменение формы или площади поперечного сечения конструкции (детали). Концентрацией напряжений называется качественное и количественное изменение напряженного состояния материала в районе расположения концентратора напряжений. Количественная оценка концентрации напряжений дается с помощью теоретического коэффициента концентрации напряжений, равного для любой точки поперечного сечения: kσ = σi/σo,

(8.5)

где σi – напряжения, действующие в i-й точке сечения; σo – номинальные средние напряжения для всего сечения. Очевидно, что теоретический коэффициент концентрации напряжений для точек сечения различен: есть зона разгрузки, где kσ < 1, есть зона повышенных по сравнению с номинальными напряжений, где kσ > 1, и есть точка, в которой kσ = 1 (рис. 8.2, б). Наибольшие значения коэффициент концентрации kσ имеет на контуре отверстия. Все вышесказанное принципиально справедливо и для касательных напряжений. Величина kσ для различных концентраторов напряжений при различной внешней нагрузке определяется по справочной литературе. Концентраторы напряжений в сочетании с переменным режимом нагружения являются первопричиной практически всех видов разрушения конструкций и механизмов, поэтому их теоретическое и экспериментальное изучение имеет большое практическое значение. В настоящей лабораторной работе экспериментально исследуется концентрация напряжений, вызванная двумя полукруглыми вырезами на кромках полосы, изогнутой в ее плоскости (рис. 8.3, а). Теоретический коэффициент концентрации напряжений на контурах вырезов может быть определен по справочному графику (рис. 8.3, б) в зависимости от соотношения геометрических размеров полосы. 61

а

б Рис. 8.3. Форма исследуемой полосы с концентраторами (а) и справочные значения kσ для полосы с двусторонними вырезами (б)

Описание наладки Внешний вид экспериментального комплекса приведен на рис. 8.4. Он состоит из лабораторного стола, на силовой плите 1 которого установлена наладка, соответствующая проводимой лабораторной работе. Наладка состоит из двух подшипниковых опорных узлов 2, закрепленных в Т-образном пазе силовой плиты болтовыми соединениями, на которых смонтирована исследуемая модель 3 – свободноопертая балка, которая в зоне чистого изгиба между точками А и В (рис. 8.4) имеет прямоугольное сечение, а по концам – двутавровое. Нагрузочная планка 4 с закрепленным на ней датчиком усилий ДУ 5 служит для нагружения испытываемого образца силовым винтом 6 пресса 7 со штурвалом 8.

62

8 6 5 11

4 3 В

А

2

10

7

9

1

2

а

б Рис. 8.4. Схема (а) и внешний вид (б) наладки для лабораторной работы (в установке КамчатГТУ группа тензорезисторов 10 отсутствует; расчет производится только в сечении с концентратором по группе тензорезисторов 9)

63

При используемой схеме нагружения на участке балки между точками А и В создается зона чистого изгиба (рис. 8.5), в пределах которой поперечная сила отсутствует, а изгибающий момент постоянен по величине. В среднем сечении зоны на верхней и нижней кромках балки имеются полукруглые вырезы, которые являются концентраторами напряжений. По высоте сечения балки наклеены две группы тензорезисторов: в плоскости концентраторов напряжений (сечение балки е) – группа 9 и на расстоянии, где влияние концентраторов на напряженное состояние не сказывается (сечение балки с) – группа 10. Тензорезисторы подключены через разъемы 11 к измерителю деформаций ИД.

Рис. 8.5. Схема чистого изгиба: а – схема нагружения балки; б – эпюра поперечной силы; в – эпюра изгибающего момента; г – номинальные напряжения в поперечном сечении балки

Порядок выполнения работы 1. Подключить измерительную аппаратуру к разъему тензорезисторов в сечении е с концентраторами напряжений.

64

2. Для устранения зазоров в собранной наладке произвести предварительное нагружение испытываемой системы грузом 0,5 кН. Зарегистрировать показания ИД и занести их в журнал испытаний. Состояние исследуемого образца при начальном нагружении рассматривается в дальнейшем как исходное – «условный ноль».

Номер точек измерения

Журнал экспериментальных измерений и их обработки Усилие ступеней нагружения, кН 2,0 4,0 Среднее Δn Показания тензорезисторов и их приращения по ступеням нагружения n n Δn n Δn 0

Среднее приращение напряжений, Мпа

Сечение е (с концентраторами напряжений) 1 2 3 4 5 Сечение с (без концентраторов напряжений) 1 2 3 4 5 Коэффициенты концентрации напряжений Верхняя кромка пластины Теоретический (сжатие) Экспериментальный Нижняя кромка пластины Теоретический (растяжение) Экспериментальный Средние значения коэффициента Теоретический концентрации Экспериментальный

3. Последовательно загрузить балку силами 2,0 и 4,0 кН, контролируя их величину по блоку измерителя силы ИС. В данной наладке цена одного деления ИС равна 1,0 кН/дел. 4. Для каждой ступени нагружения (ΔF = 2,0 кН) снять показания ИД и занести их в журнал испытаний. 65

5. Определить средние приращения показаний ИД для каждого тензорезистора и рассчитать соответствующие приращения напряжений для всех точек измерения как Δσi = KИД Δni ср, –6

где KИД = 2 · 10 – цена одного деления ИД в единицах относительной деформации. 6. Для всех точек измерения (рис. 8.6) рассчитать номинальные нормальные напряжения по формуле σo =

My Wz

=

( Pa) y tB 3 / 12

,

(8.6)

где а = 250 мм – величина отстояния сил P от опор (рис. 8.5); B = 30 мм, t = 5 мм – ширина и толщина полосы балки, не ослабленной концентраторами напряжений (сечение с). 7. Определить теоретический коэффициент концентрации напряжений (рис. 8.3), учитывая, что r = 5 мм. 8. Определить экспериментальный коэффициент концентрации напряжений по формуле kσ = σmax/σmax0,

(8.7)

где σmax – наибольшие экспериментально определенные напряжения (на контурах полукруглых вырезов); σmax0 – наибольшие номинальные напряжения (на свободной кромке полосы). 9. Переключить измерительную систему на разъем для тензорезисторов, расположенных вне зоны концентрации напряжений, и произвести все измерения и определения, что и для зоны концентратора, занося их в журнал испытаний. Примечание. При отсутствии тензорезисторов в сечении с данный пункт не выполняется. 10. Для сечений c и e построить эпюры номинальных и экспериментально определенных напряжений (рис. 8.6). 11. Сопоставить полученные результаты и сделать заключение о характере распределения напряжений в зоне концентрации напряжений и вне ее. 12. Составить отчет по лабораторной работе. 13. Защитить лабораторную работу. 66

Рис. 8.6. Схемы размещения тензорезисторов в сечениях и эпюры напряжений: рассчитанных номинальных (1), экспериментально определенных в сечениях e (2) и c (3) Контрольные вопросы 1. Что называется концентратором напряжений? 2. Что называется концентрацией напряжений? 3. Какова физическая основа (причина) возникновения концентрации напряжений? 4. Что такое номинальные напряжения? 5. Что такое действующие напряжения? 6. Как численно оценивается концентрация напряжений? 7. Как перераспределяются нормальные напряжения в поперечном сечении по концентратору напряжений? 8. Выполняются ли уравнения равновесия статики для сечений с концентраторами напряжений и что происходит в результате? 9. В чем состоит различие напряженного состояния материала без концентратора напряжений и с ним? 10. В каких точках концентрация напряжений является наибольшей? 11. В чем проявляется отрицательное (положительное) влияние концентрации напряжений? 12. Почему концентраторы напряжений неизбежны во всех отраслях техники?

67

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9 Экспериментальное определение напряжений и перемещений в балке при косом изгибе Цель работы: экспериментальное определение напряжений и перемещений в балке при косом изгибе и сравнение их с теоретически рассчитанными. Краткие теоретические сведения Косым изгибом называется такой вид нагружения, при котором силовая плоскость (плоскость, в которой расположены все внешние усилия) проходит через центр тяжести поперечного сечения, но не совпадает с его главными осями симметрии (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Схема нагружения балки при косом изгибе

На основании принципов независимости действия сил и наложения такое нагружение можно представить как сумму двух прямых изгибов в главных плоскостях. Поэтому в любом поперечном сечении изгибающий момент M(x), определяемый внешней нагрузкой, раскладывается на составляющие (рис. 9.2), изгибающие балку относительно осей y и z как My(x) = M(x)sinα, Mz(x) = M(x)cosα, где α – угол наклона силовой плоскости к оси y. 68

(9.1)

Рис. 9.2. Разложение момента при косом изгибе на составляющие

Напряжения. В любой точке А поперечного сечения бруса с координатами y, z возникают нормальные напряжения от каждой из составляющей изгибающего момента, т. е. My(x) и Mz(x) соответственно (рис. 9.3), которые в соответствии с принципом наложения суммируются, т. е. равны:

σ=

M yz Jy

+

Mzy z y = M ( sin α + cos α) . Jz Jy Jz

(9.2)

При косом изгибе уравнение нейтральной оси, где напряжения равны нулю (σ = 0), будет иметь вид sin α cos α z0 + y0 = 0 , Jy Jz

(9.3)

где z0, y0 – координаты произвольной точки В, принадлежащей нейтральной оси. Из уравнения (9.3) следует, что yo J = − z ctgα = tgβ , zo Jy

(9.4)

где β – угол наклона нейтральной оси к оси z поперечного сечения (рис. 9.3). Из формулы (9.4) следует, что при косом изгибе в общем случае, когда Jz ≠ Jy, нейтральная ось не перпендикулярна силовой плоскости. 69

Рис. 9.3. Поперечное сечение бруса при косом изгибе: 1 – силовая плоскость; 2 – нейтральная ось; 3 – тензорезисторы

Если при косом изгибе напряжения в поперечном сечении экспериментально измеряются в волокнах по главным осям (рис. 9.3), то угол наклона нейтральной оси может быть определен как

β = arctg[

| σ1, 2 | H 2 ( ) ], | σ 3, 4 | B

(9.5)

где | σ1, 2 |, | σ 3, 4 | – средние абсолютные приращения напряжений в точках 1–2 и 3–4 соответственно; Н = 24 мм, В = 12 мм – ширина и высота поперечного сечения исследуемой балки. Теоретическое значение угла β определяется по формуле β = arctg( −

Jz tgα) . Jy

(9.6)

Перемещения. Перемещение (прогиб) любой точки поперечного сечения при косом изгибе f(x) является векторной суммой перемещений (прогибов) от изгибов в горизонтальном fz(x) и вертикальном fy(x) направлениях (рис. 9.4):

70

f ( x) =

f y2 ( x) + f z2 ( x) .

(9.7)

Рис. 9.4. Перемещения при косом изгибе: 1 – силовая плоскость; 2 – плоскость изгиба

В каждом конкретном случае прогибы в вертикальном и горизонтальном направлениях рассчитываются по стандартным методикам как для прямого изгиба (например, по методу начальных параметров). В настоящей лабораторной работе исследуется консольная балка, жестко закрепленная одним концом и загруженная на свободном конце сосредоточенной силой. Для нее наибольшие прогибы (на конце консоли) определяются по формулам Pz l 3 P l 3 cos α ⎫ ,⎪ = 3EJ y 3EJ y ⎪ Py l 3 P l 3 sin α ⎬ = = ,⎪ ⎪⎭ 3EJ z 3EJ z

f z max = f y max

(9.8)

где Py, Pz – вертикальная и горизонтальная составляющие Р; Jy, Jz – моменты инерции поперечного сечения относительно вертикальной и горизонтальной осей соответственно. Исходя из уравнений (9.8) при косом изгибе направление полного перемещения (рис. 9.4) определяется как tgφ = (Jz/Jy)tgα

71

(9.9)

или как tgφ = fz(x)/fy(x),

(9.10)

т. е. при косом изгибе в общем случае, когда Jz ≠ Jy, полные перемещения не лежат в силовой плоскости (как говорят, балку «ведет»). В то же время, поскольку при косом изгибе соотношение My(x)/Mz(x) = tgα

(9.11)

по длине всей балки постоянно, упругая линия располагается в одной плоскости – плоскости изгиба. Описание наладки Экспериментальная наладка для проведения лабораторной работы (рис. 9.5) закреплена на силовой плите 1 лабораторного стола. Она состоит из закрепленной в Т-образном пазе силовой плиты болтовыми соединениями опорной стойки 2, в которой смонтирована исследуемая модель – консольная балка прямоугольного поперечного сечения 3. Модель может быть повернута в стойке 2 на заданный угол и зафиксирована в таком положении. На конце балки имеется подшипниковый узел 4, через который с помощью подвеса 5 она нагружается грузами 6. В сечении балки вблизи заделки на стойке 2 на боковых гранях наклеены четыре тензорезистора 10, которые с помощью блока измерения деформаций ИД регистрируют возникающие при нагрузке балки деформации. Тензорезисторы № 1–2 и 3–4 наклеены на противоположных гранях балки (рис. 9.3). На стойке 7 установлены два индикатора часового типа ИЧ, один из которых 8 производит измерение перемещений конца балки в вертикальном направлении, а второй 9 – в горизонтальном. Порядок выполнения работы 1. Установить заданное значение положения силовой плоскости по отношению к вертикальной оси (угол α) путем поворота модели в опорной стойке и зафиксировать ее в таком положении стопорным устройством.

72

8

вид А

9

А 4

10

5

3

7 6

2

1 а

б Рис. 9.5. Схема (а) и внешний вид (б) наладки для проведения лабораторной работы

73

2. При отсутствии внешней нагрузки зарегистрировать показания тензорезисторов № 1, 2, 3, 4, которые рассматриваются в дальнейшем как исходные – «условный ноль», и занести в журнал измерений. Шкалы обоих индикаторов перемещений ИЧ вывести на ноль. 3. Произвести последовательное нагружение балки грузами 10, 20, 30, 40 Н. Снять соответствующие ступеням нагружения показания тензорезисторов, индикаторов перемещений ИЧ и занести их в журналы измерений: показания тензорезисторов – в журнал напряжений, показания ИЧ – в журнал перемещений. 4. Определить экспериментально измеренные напряжения в точках расположения тензорезисторов № 1–4, как σi = KИДEΔni, –6 где KИД = 2 · 10 – цена одного деления ИД в единицах относительной деформации; E = 2 · 105 МПа – модуль продольной упругости материала исследуемой балки (сталь); Δni – приращение показаний тензорезисторов по ИД относительно «условного нуля» для каждой ступени нагружения балки. 5. Определить средние абсолютные напряжения в точках установки тензорезисторов № 1–2 и № 3–4. 6. Определить экспериментальное значение угла α наклона нейтральной оси к оси z по формуле (9.5). 7. Определить теоретическое значение угла наклона нейтральной оси к оси z по формуле (9.6) и сравнить его с экспериментально определенным. 8. Определить средние горизонтальные и вертикальные прогибы свободного конца консольной балки и занести их в журнал измерений. 9. Определить экспериментальное значение полного перемещения конца балки по формуле (9.7). 10. Определить положение плоскости изгиба (угол φ) по формуле (9.10). 74

Журнал экспериментальных измерений и их обработки (напряжения) Показания тензорезисторов №1

Нагрузка, Н n 0 10 20 30 40 ΔnСР Δσ |Δσ|

№2 Δn

n

№3 Δn

–

n

–

№4 Δn –

n

Δn –

Средние Δσ Положение силовой плоскости (заданное) α= Положение нейтральной оси экспериментальное β = Положение нейтральной оси теоретическое β=

Сила, Н

0

10

20

30

Показания ИЧ, мм: вертикального 0 горизонтального 0 Параметры балки: α, град = длина балки l = 650 мм ширина В = 24 мм высота Н = 16 мм модуль нормальной упругости (сталь) Е = 2 · 105 МПа

40

Средние значения на ступень нагружения

Журнал экспериментальных измерений и их обработки (перемещения)

11. Рассчитать теоретические значения величин горизонтальных, вертикальных перемещений конца балки по формулам (9.8) и суммарного перемещения по формуле (9.7). Сравнить их с экспериментальными. 75

12. Рассчитать теоретическое значение угла φ по формуле (9.9) и сравнить его с экспериментально определенным. 13. Составить отчет по лабораторной работе. 14. Защитить лабораторную работу. Контрольные вопросы 1. Какой вид нагружения называется косым изгибом? 2. На какие виды элементарных нагружений можно разложить косой изгиб? 3. Как определяются напряжения при косом изгибе? 4. Как определяются перемещения при косом изгибе? 5. Что такое силовая плоскость? 6. Что такое плоскость изгиба? 7. Что такое нейтральная ось? 8. Исходя из какого условия определяется уравнение нейтральной оси? 9. Каково в общем случае взаимоположение силовой плоскости и нейтральной оси при косом изгибе и почему? 10. Каково в общем случае взаимоположение плоскости изгиба и силовой плоскости при косом изгибе? 11. Каким должно быть поперечное сечение, чтобы силовая плоскость и нейтральная ось были перпендикулярными? 12. Каким должно быть поперечное сечение, чтобы силовая плоскость и плоскость изгиба совпадали? 13. Может ли возникнуть косой изгиб для балок, поперечное сечение которых – круг или квадрат?

76

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10 Исследование внецентренно растянутого жесткого (короткого) стержня Цель работы: экспериментальное определение нормальных напряжений в среднем сечении внецентренно растянутого жесткого (короткого) стержня и сравнение их с теоретически рассчитанными. Краткие теоретические сведения Внецентренным называется такое растяжение прямого стержня, когда линия действия внешних сил параллельна оси стержня и смещена относительно ее на величину эксцентриситета (е). Если линия действия растягивающей силы проходит через одну из главных осей поперечного сечения, внецентренное растяжение называется плоским (рис. 10.1).

а

б в г д е Рис. 10.1 Схема плоского внецентренного растяжения: а – схема приложения нагрузки; б – приведение силы к центру тяжести сечения; в – результат приведения; г – нормальные напряжения от центрального растяжения; д – нормальные напряжения от чистого изгиба; е – суммарные нормальные напряжения

Если в любом поперечном сечении стержня равнодействующую внешних сил F привести к центру тяжести, то ее можно заменить равной ей по величине центрально приложенной силой и изгибающим моментом с величиной M = Fe. В этом случае в соответствии с принципом независимости действия сил нормальные напряжения в любой точке попе77

речного сечения с координатой y равны сумме напряжений от центрального растяжения стержня силой F, от чистого изгиба моментом M и определяются по формуле σ=

F My F Fey . + = + A JX A JX

(10.1)

В результате суммарные нормальные напряжения распределяются в поперечном сечении неравномерно и положение нейтральной линии, где они равны нулю, определяется из условия 1 ey (10.2) σ = F( + 0 ) = 0 , A JX откуда J y0 = − X , (10.3) Ae где у0 – координата точек нейтральной оси; А – площадь поперечного сечения стержня; JX – момент инерции поперечного сечения относительно главной центральной оси; е – эксцентриситет. Из уравнения (10.1) следует, что нормальные напряжения переменны по поперечному сечению и изменяются по линейному закону, причем нейтральная ось не проходит через центр тяжести (рис. 10.2). Кроме того, точка приложения равнодействующей внешних сил (полюс) и нейтральная ось расположены по разные стороны от центра тяжести поперечного сечения. Если поперечное сечение стержня – прямоугольник и полюс располагается на его главной оси (оси симметрии сечения), то координата нейтральной оси вычисляется как H2 , (10.4) 12e а нормальные напряжения в поперечном сечении – как y0 = −

12ey F (1 + 2 ) , BH H где у – текущая координата сечения; σ=

78

(10.5)

B – ширина поперечного сечения стержня; Н – высота поперечного сечения стержня; е – эксцентриситет.

Рис. 10.2. Эпюра распределения напряжений по сечению бруса и сравнение экспериментально измеренных величин напряжений с теоретически рассчитанными

Наибольшей величины нормальные напряжения достигают в точках поперечного сечения, максимально удаленных от нейтральной оси (рис. 10.2). При внецентренном растяжении стержня наибольшие положительные нормальные напряжения возникнут в наиболее удаленной от нейтральной оси точке растянутой зоны, отрицательные – в сжатой (точки 1 и 2) и будут определяться как σ1, 2 = σ max, min =

6e F (1 ± ) . BH H

(10.6)

Описание наладки Экспериментальная наладка для проведения лабораторной работы (рис. 10.3) закреплена на силовой плите 1 лабораторного стола. Она состоит из закрепленных в Т-образном пазе силовой плиты болтовыми соединениями 2 опорных стоек 3 и 4, на которых смонтирована исследуемая модель.

79

В отверстии опорной стойки 4 зафиксирована неподвижная шарнирная ось 5, на конце которой закреплен датчик усилий ДУ 6 с соединительной вилкой 7. 5

6

7

10

8

9 4

1

2

3

ТР №1 ТР №2 10 а

б Рис. 10.3. Схема (а) и внешний вид (б) наладки для проведения лабораторной работы

80

В отверстии опорной стойки 3 установлена подвижная шарнирная ось 8, продольное перемещение которой создается вращением штурвала 9. Исследуемый образец 10 закреплен в вилке 7 и на оси 8 специальными штифтами. На обеих поверхностях образца по продольной оси наклеены тензорезисторы № 1, 2. Геометрические размеры образца: B = 20 мм – ширина поперечного сечения стержня; Н = 7 мм – высота поперечного сечения стержня; е = 10 мм – эксцентриситет. Нагружение образца производится вращением штурвала 9. Величина растягивающей силы определяется датчиком усилий ДУ с помощью измерительного блока усилий ИС. Величина напряжений определяется блоком измерения деформаций ИД по показаниям тензорезисторов. Порядок выполнения работы 1. Для устранения зазоров в собранной наладке произвести предварительное нагружение образца усилием, равным примерно 0,5 кН, контролируя его величину по ДУ с помощью ИС. Снять показания ИД и занести их в журнал измерений. Состояние исследуемого образца при начальном нагружении рассматривается в дальнейшем как исходное – «условный ноль». 2. Произвести последовательное нагружение образца усилиями 1,0; 2,0; 3,0; 4,0 кН, контролируя их значение по показаниям ИС. Для каждого усилия снять показания ИЧ и ИД и занести их в журнал измерений. В данной наладке цена одного деления ИС равна 1,0 кН/дел. 3. Для каждого тензорезистора рассчитать разности показаний ИД по каждой ступени нагрузки (ΔF = 1 кН) Δn и определить их средние значения Δnср. 4. Для каждого тензорезистора определить приращение нормальных напряжений на ступень нагружения по формуле Δσ = KИДЕΔni, –6 где KИД = 2 · 10 – цена одного деления ИД в единицах относительной деформации;

81

Е = 2 · 105 МПа – модуль нормальной упругости материала образца (сталь); Δni – приращение показаний тензорезисторов по ИД относительно «условного нуля» для каждой ступени нагружения балки. 5. Рассчитать положение нейтральной оси нагруженного образца по результатам экспериментальных измерений как y0 Э = H [

1 − 0,5] , (| Δσ 2 Э | / | Δσ1Э | +1)

где | Δσ 2 Э |, | Δσ1Э | – абсолютные значения приращений напряжений для тензорезисторов № 1, 2. 6. По формулам (10.4) и (10.6) рассчитать теоретическое положение нейтральной оси и теоретические значения максимальных напряжений, сравнить их с рассчитанными по данным эксперимента. 7. Составить отчет по лабораторной работе. 8. Защитить лабораторную работу. Журнал экспериментальных измерений и их обработки Растягивающее усилие, кН

0 1,0 2,0 3,0 4,0

Экспериментальные измерения Растянутая (верхняя) Сжатая (нижняя) поверхность поверхность Показания ИД n1 Δn1 n2 Δn2 – –

Среднее Среднее Δσ, МПа Контрольные вопросы 1. Что такое внецентренное растяжение и чем оно отличается от центрального растяжения? 2. На какие виды простейших нагружений можно разложить внецентренное растяжение?

82

3. Что такое нейтральная ось? 4. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении? 5. Как при внецентренном растяжении располагаются относительно центра тяжести полюс и нейтральная ось? 6. Как изменяется эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении внецентренно растянутого стержня при изменении эксцентриситета? 7. Чему равен изгибающий момент в поперечном сечении внецентренно растянутого стержня? 8. Почему внецентренное растяжение более опасно, чем центральное растяжение или чистый изгиб? 9. Какую форму поперечного сечения балки нужно применить и как ее расположить, чтобы при внецентренном растяжении она была оптимально нагружена?

83

БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА Гук Роберт (1635–1703) – английский физик, окончил Оксфорд. Член Лондонского королевского общества (ученый секретарь и куратор экспериментаторов), профессор Лондонского университета. Научные работы относятся к теплоте, упругости, оптике, небесной механике. Коши Огюстен Луи (1789–1857) – французский математик, член Парижской академии наук. Научные работы относятся к математике, математической физике, теории упругости, оптике. Кулон Шарль Огюстен (1736–1806) – французский физик, математик и военный инженер, окончил Школу военных инженеров. Член Парижской академии и Национального института. Научные работы относятся к строительной механике, гидравлике, теории трения, электричеству, магнетизму. Один из основоположников электро- и магнитостатики. Навье Луи Мари Анри (1785–1836) – французский математик и механик, окончил Политехническую школу и Школу мостов и дорог. Член Парижской академии наук, профессор Политехнической школы. Научные работы относятся к теории упругости, строительной механике, сопротивлению материалов. Один из основоположников теории упругости. Пуассон Симон Дени (1781–1840) – французский механик, физик и математик, окончил Политехническую школу. Член Парижской и Петербургской академий наук, профессор Политехнической школы и Парижского университета. Научные работы относятся к теоретической и небесной механикам, математике, математической физике, баллистике, тории упругости, гидромеханике. Один из основоположников математической физики. Юнг Томас (1773–1829) – английский физик, астроном и врач, окончил Кембридж. Профессор Королевского института (Лондон), секретарь Лондонского королевского общества. Научные работы относятся к физике, химии, астрономии, геофизике, механике, оптике, философии, медицине. Один из основоположников сопротивления материалов.

84

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учебник. – М.: Высш. шк., 2000. – 560 с. 2. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1976. – 608 с. 3. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1989. – 622 с. 4. Сопротивление материалов. Учеб. пособие. – 2-е изд. / Под ред. Н.А. Костенко. – М.: Высш. шк., 2004. – 432 с. 5. Степин Г.Н. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1988. 6. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – 11-е изд., стер. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. – 592 с.

85

Учебно-методическое пособие (прктикум)

Борисов Евгений Константинович Васильченко Наталья Петровна Ляндзберг Андрей Рэмович Павлов Валерий Александрович СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Часть I Редактор Г.Ф. Майорова Технический редактор Е.Е. Бабух Набор текста Е.К. Борисов, Н.П. Васильченко, А.Р. Ляндзберг Верстка А.Р. Ляндзберг, Е.Е. Бабух Оригинал-макет Е.Е. Бабух Подписано в печать 12.11.2007 г. Формат 61*86/16. Печать цифровая. Гарнитура Times New Roman Авт. л. 4,14. Уч.-изд. л. 5,0. Усл. печ. л. 5,45 Тираж 140 экз. Заказ № 888 Издательство Камчатского государственного технического университета Отпечатано полиграфическим участком издательства КамчатГТУ 683003, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Ключевская, 35

86