размерность I-деревьев бесконечной высоты

Алгебра и логика, 43, N 6 (2004), 702—729

УДК 510.53+512.562

ВЫЧИСЛИМАЯ РАЗМЕРНОСТЬ I-ДЕРЕВЬЕВ БЕСКОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ∗) Н. Т. КОГАБАЕВ, О. В. КУДИНОВ, Р. МИЛЛЕР

Модель A конечного языка называют вычислимой, если ее носитель — вычислимое подмножество ω, а все основные операции и отношения вычислимы. В теории вычислимых моделей изучаются алгоритмические свойства алгебраических систем с точностью до вычислимого изоморфизма. Число различных (с точностью до вычислимого изоморфизма) вычислимых представлений модели A называется вычислимой размерностью A. Если эта размерность равна 1, то говорят, что A вычислимо категорична. Вычислимая категоричность деревьев изучалась в [1, 2]. В [1] доказано, что все вычислимые деревья бесконечной высоты имеют вычислимую размерность ω; в [2] для вычислимых деревьев конечной высоты показано, что их вычислимая размерность может принимать только значения 1 или ω, и найдена полная характеризация вычислимой категоричности. В настоящей работе исследуется вопрос о спектре возможных вычислимых размерностей деревьев, обогащенных начальным поддеревом (кратко, I-деревьев). Доказывается, что вычислимая размерность любого вычислимого I-дерева бесконечной высоты равна ω. Более того, эта размерность эффективно бесконечна, т. е. по любому равномерно представленному списку вычислимых копий одного и того же I-дерева можно построить ∗)

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фун-

даментальных исследований, проект N 02-01-00593, Совета по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проект НШ-2112.2003.1, а также Национального Научного Фонда США, проект N 9983660.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2004

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

703

другую его вычислимую копию, которая не будет вычислимо изоморфной ни одной копии из данного списка. Отметим, что полученные результаты естественным образом обобщаются на случай нескольких выделенных начальных поддеревьев.

§ 1. Основные понятия и обозначения Используемые здесь обозначения и основные определения по теории вычислимых моделей являются общепринятыми и имеются, например, в [3, 4]. Подробнее рассмотрим определения, связанные с понятием дерева. Деревом с выделенным начальным поддеревом называется тройка (T, ≺, I), удовлетворяющая следующим условиям: (1) отношение ≺ является строгим частичным порядком на T , причем для любого x ∈ T множество всех предшественников x в T вполне упорядочено относительно ≺, а T содержит наименьший относительно ≺ элемент r, называемый корнем; (2) подмножество I ⊆ T является начальным поддеревом в T , т. е.
∀x∀y (x ∈ T & y ∈ I & x ≺ y) → x ∈ I . В дальнейшем деревья с выделенным начальным поддеревом будем для краткости называть I-деревьями и обозначать через (T, I). Таким образом, дерево с выделенным начальным поддеревом (T, ≺, I) является вычислимым, если T — вычислимое множество, а оба отношения ≺ и I являются вычислимыми. Если I-дерево имеет бесконечную высоту, то без ограничения общности можно считать, что носитель T совпадает с ω, в противном случае достаточно перейти к прообразу относительно вычислимой взаимно однозначной функции. Если две вершины x и y из T несравнимы относительно ≺, будем использовать запись x ⊥ y. Для каждой вершины x ∈ T через levelT (x) будет обозначаться порядковый тип множества всех предшественников x в T , называемый уровнем вершины x в дереве T . Так, уровнем корня является 0, уровнем его непосредственных последователей относительно ≺

704

Н. Т. Когабаев, О. В. Кудинов, Р. Миллер

является 1 и т. д. Высота дерева T определяется следующим образом: ht(T ) = sup(levelT (x) + 1). x∈T

Если x — вершина в T , то через T [x] обозначается поддерево T [x] = {y ∈ T | x 4 y}. Частичный порядок на T [x] зададим как сужение частичного порядка ≺ на множество T [x]. Следовательно, T [x] — это поддерево T с корнем x. Определим высоту T над x как htx (T ) = ht(T [x]). Путь в T — это максимальное линейно упорядоченное подмножество в T . Вершина является продолжаемой, если она лежит на бесконечном пути в T , и непродолжаемой в противном случае. Продолжаемые вершины дерева T (если они существуют) образуют поддерево в T , которое обозначим через Text . В данной работе вложением одного частично упорядоченного множества (T1 , ≺1 , I1 ) с дополнительным отношением I1 ⊆ T1 в другое частично упорядоченное множество (T2 , ≺2 , I2 ) с дополнительным отношением I2 ⊆ T2 будет называться разнозначное отображение f : T1 → T2 , сохраняющее частичные порядки и дополнительные отношения x ≺1 y ⇔ f (x) ≺2 f (y); x ∈ I1 ⇔ f (x) ∈ I2 . Более того, если в предыдущем определении (T1 , ≺1 , I1 ) и (T2 , ≺2 , I2 ) являются подмоделями некоторого частично упорядоченного множества (T, ≺, I) с дополнительным отношением I ⊆ T , т. е. ≺k = ≺ ∩ Tk2 и Ik = = Tk ∩ I для k ∈ {1, 2}, то будем говорить, что f : T1 → T2 является I-вложением. Для элементов x и y дерева через x ∧ y обозначается инфимум (если он существует) x и y. В некоторых статьях требуют, чтобы все вложения деревьев сохраняли операцию инфимума. Последнее требование является

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

705

более сильным: любое разнозначное отображение, сохраняющее ∧, сохраняет ≺, но не наоборот. В теореме Краскала, которая используется в § 2, доказано существование вложений более сильного типа. При доказательстве эффективной бесконечности вычислимой размерности I-деревьев будет использован метод ветвящихся моделей, впервые разработанный в [5]. Этот метод позволяет получать необходимые условия вычислимой категоричности моделей из многих классов алгебраических систем без использования прямых приоритетных конструкций. В настоящее время имеются несколько обобщений и модификаций данного метода (см., напр., [3]). Нам потребуются следующие два варианта теоремы о ветвящихся моделях, первый из которых доказан в [6]. Пусть L — конечный предикатный язык, A, B — модели языка L. Пишем A ≤ B, если A является подмоделью B. Запись A ≡1 B означает, что в A и B истинны одни и те же ∃-предложения языка L. Сформулируем сначала определение ветвимости, необходимое для формулировки первого варианта теоремы. Пусть A — бесконечная вычислимая модель языка L, {Ap }p∈ω — такая вычислимая последовательность S конечных моделей L, что Ap ≤ Ap+1 ≤ A для любого p и A = Ap . Пусть p

далее {cp }p∈ω — вычислимая последовательность конечных (возможно, пустых) наборов из A со свойством cp ∈ Ap , а {ψp (xp , y p )}p∈ω — вычислимая последовательность ∀-формул, где длина набора y p равна длине набора cp . Говорят, что система {Ap , cp , ψp (xp , y p )}p∈ω ветвится на уровне p, если для любого набора dp из A со свойством (A, cp ) ≡1 (A, dp ) выполняются следующие два условия: (1) множество {b | A |= ψp (b, dp )} непусто; (2) если {bi }i∈I — некоторое взаимно однозначное перечисление множества {b | A |= ψp (b, dp )}, где I — начальный сегмент в ω, {ai }i∈I — последовательность наборов из A, причем (A, cp , a0 , . . . , ai ) ≡1 (A, dp , b0 , . . . , bi ) для всех i ∈ I, то существует n ∈ I со свойством (∗) найдется бесконечно много t > p, для которых a0 , . . . , an ∈ At и существует изоморфное вложение βt : At → At+1 такое, что At+1 |= |= ¬ψp (βt (an ), cp ) и βt тождественно на Ap , a0 , . . . , an−1 .

706

Н. Т. Когабаев, О. В. Кудинов, Р. Миллер ТЕОРЕМА 1 (о ветвящихся моделях [6]). Если система {Ap , cp ,

ψp (xp , y p )}p∈ω ветвится на всех уровнях p ∈ ω, то вычислимая размерность A эффективно бесконечна. Сформулируем теперь второй вариант. Пусть A — бесконечная вычислимая модель языка L, {Ap }p∈ω — такая вычислимая последовательS ность конечных моделей L, что Ap ≤ Ap+1 ≤ A для любого p, и A = Ap . p

Пусть {ψpn (xn )}p,n∈ω — вычислимая последовательность ∀-формул, где xn = hx0 , x1 , . . . , xn i. Говорят, что система {Ap , ψpn (xn )}p,n∈ω ветвится на уровне p, если выполняются следующие два условия: (1) множество {b | A |= ψpn (b), n ∈ ω, b = hb0 , . . . , bn i} непусто; (2) если {bi }i∈I — некоторое взаимно однозначное перечисление множества {b | A |= ψpn (b), n ∈ ω, b = hb0 , . . . , bn i}, где I — начальный сегмент ω, {ai }i∈I — последовательность наборов из A, причем (A, a0 , . . . , ai ) ≡1 ≡1 (A, b0 , . . . , bi ) для всех i ∈ I, то существует r ∈ I такой, что ar = = ha0r , a1r , . . . , anr i и (∗) найдется бесконечно много t > p, для которых a0 , . . . , ar ∈ At

и существует изоморфное вложение βt : At → At+1 такое, что At+1 |= |= ¬ψpn (βt (ar )) и βt тождественно на Ap , a0 , . . . , ar−1 . Из доказательства предыдущей теоремы, предложенного в [6], следует, что данная теорема допускает следующую модификацию. ТЕОРЕМА

2 (о ветвящихся моделях). Если система {Ap ,

ψpn (xn )}n,p∈ω ветвится на всех уровнях p ∈ ω, то вычислимая размерность A эффективно бесконечна.

§ 2. Теорема Краскала для I-деревьев В дальнейшем нам потребуется возможность вложения одних конечных I-деревьев в другие. Для этих целей будет модифицирована известная теорема Краскала для случая I-деревьев. Прежде всего приведем точную формулировку теоремы Краскала для конечных размеченных деревьев. Квазиупорядоченным множеством называется множество Q с определенным на нем рефлексивным транзитивным отношением 6. Вполне

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

707

квазиупорядоченным множеством (в.к.у.м.) называется квазиупорядоченное множество Q такое, что для любой бесконечной последовательности {qk | k ∈ ω} элементов qk ∈ Q существуют индексы i и j такие, что i < j и q i 6 qj . Пусть T — множество всех конечных деревьев (с точностью до изоморфизма деревьев). Если Q — произвольное квазиупорядоченное множество, то положим T(Q) = {(T, l) | T ∈ T, l : T → Q}. Таким образом, любой элемент из T(Q) является конечным деревом с метками из Q. Функция l : T → Q называется разметкой. Будем использовать запись (T1 , l1 ) 6 (T2 , l2 ), если существует разнозначное отображение f : T1 → T2 такое, что (1) f (a ∧ b) = f (a) ∧ f (b) для всех a, b ∈ T1 ; (2) l1 (a) 6 l2 (f (a)) для всех a ∈ T1 . Очевидно, введенное отношение является квазипорядком на T(Q). ТЕОРЕМА Краскала. Если Q — произвольное вполне квазиупорядоченное множество, то T(Q) также является вполне квазиупорядоченным. Доказательство имеется в [7, 8]. С помощью этой теоремы установим, что верна ЛЕММА 3. Пусть {(Ti , Ii ) | i ∈ ω} — бесконечное семейство конечных I-деревьев, каждое с разметкой li : Ti → ω. Тогда существуют i, j ∈ ω, i < j, и вложение f : (Ti , Ii ) → (Tj , Ij ) такое, что li (x) 6 lj (f (x)) для любого x ∈ Ti . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Можно считать, что каждое Ii непусто (другими словами, для каждого i ∈ ω корень дерева Ti лежит в Ii ). В противном случае подмножество индексов J = {i ∈ ω | Ii = ∅} непусто. Если J конечно, вместо {(Ti , Ii ) | i ∈ ω} рассмотрим бесконечное семейство {(Ti , Ii ) | i ∈ / J}. Если J бесконечно, применим теорему Краскала непосредственно к бесконечному семейству {(Ti , Ii ) | i ∈ J}.

708

Н. Т. Когабаев, О. В. Кудинов, Р. Миллер Рассмотрим бесконечное семейство {Ii | i ∈ ω} конечных непустых

деревьев. Для каждого i ∈ ω определим разметку mi : Ii → T(ω) × ω на дереве Ii следующим образом: для любого x ∈ Ii положим mi (x) = = (m1i (x), m2i (x)), где (1) m1i (x) = (Si (x), li ↾Si (x)) ∈ T(ω) с конечным деревом Si (x) = {x} ∪ {y ∈ Ti | y ≻ x & ∀z 4 y (x ≺ z → z ∈ / Ii )} и разметкой li ↾Si (x) : Si (x) → ω (здесь li ↾Si (x) означает сужение li на множество Si (x)); (2) m2i (x) = li (x). Ясно, что ω с обычным частичным порядком является в.к.у.м. По теореме Краскала T(ω) также является в.к.у.м. Отсюда следует то же для декартова произведения T(ω) × ω с покомпонентным квазипорядком. Применяя еще раз теорему Краскала, получаем, что и T(T(ω) × ω) является в.к.у.м. Таким образом, для семейства {(Ii , mi ) | i ∈ ω} элементов T(T(ω)×ω) существуют i, j (i < j) такие, что (Ii , mi ) 6 (Ij , mj ), т. е. найдется вложение g : Ii → Ij такое, что mi (x) 6 mj (g(x)) для любого x ∈ Ii . Из последнего неравенства вытекает, что справедливы следующие два условия: (1) существует вложение hx : Si (x) → Sj (g(x)) такое, что li (y) 6 6 lj (hx (y)) для любого y ∈ Si (x) (поскольку m1i (x) 6 m1j (g(x))). (2) li (x) 6 lj (g(x)) (поскольку m2i (x) 6 m2j (g(x))). Определим f : Ti → Tj следующим образом:   g(y), если y ∈ I , i f (y) =  hx (y), если y ∈ / Ii и y ∈ Si (x) для некоторого x ∈ Ii . Вложение f определено корректно, так как Ti =

S

Si (x) и Si (x1 ) ∩

x∈Ii

∩Si (x2 ) = ∅ при x1 6= x2 . Несложно понять, что f : (Ti , Ii ) → (Tj , Ij ) является искомым. 2 ЛЕММА 4. Пусть {(Ti , Ii ) | i ∈ ω} — бесконечное семейство конечных I-деревьев. Тогда существуют i, j ∈ ω (i < j) такие, что (Ti , Ii ) вложимо в (Tj , Ij ).

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

709

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуемое следует из леммы 3 (достаточно пренебречь разметками деревьев). 2 ЛЕММА 5. Пусть {(Ti , Ii ) | i ∈ ω} — бесконечное семейство Iдеревьев. (не требуется, чтобы эти деревья были конечными или конечно ветвящимися). Тогда существует i ∈ ω такое, что для любого конечного поддерева T ⊆ Ti найдется j > i, для которого (T, T ∩ Ii ) вложимо в (Tj , Ij ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что {(Ti , Ii ) | i ∈ ω} — семейство I-деревьев, не удовлетворяющее утверждению леммы. Тогда для каждого i найдется некоторое конечное поддерево Si ⊆ Ti такое, что (Si , Si ∩ Ii ) не вложимо ни в какое (Tj , Ij ) для j > i. В частности, (Si , Si ∩Ii ) не вложимо в (Sj , Sj ∩Ij ) для любых i, j (i < j). Тогда существование семейства {(Si , Si ∩ ∩Ii ) | i ∈ ω} противоречит лемме 4. 2 ЛЕММА 6. Пусть {(Ti , Ii ) | i ∈ ω} — такое же, как в лемме 5. Тогда существует n ∈ ω такое, что для любых i > n и конечного поддерева T ⊆ Ti найдется j > i, при котором (T, T ∩ Ii ) вложимо в (Tj , Ij ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если это не верно, то в ω нашлась бы возрастающая последовательность i0 < i1 < i2 < . . . с семейством {(Tik , Iik ) | k ∈ ∈ ω} таким, что это противоречило бы лемме 5. 2 ЛЕММА 7. Пусть {(Ti , Ii ) | i ∈ ω} — такое же, как в лемме 5. Тогда существует n ∈ ω такое, что для любых i > n и конечного частично упорядоченного подмножества T ⊆ Ti найдется j > i, при котором (T, T ∩ Ii ) вложимо в (Tj , Ij ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что T ⊆ Ti является деревом тогда и только тогда, когда T имеет корень. Следовательно, если T не имеет корня, можно рассмотреть конечное поддерево T ′ = T ∪ {ri }, где ri — корень Ti . По лемме 6 существует вложение h′ : (T ′ , T ′ ∩ Ii ) → (Tj , Ij ) для некоторого j > i. Легко понять, что сужение h = h′ ↾T является искомым вложением. 2 ЛЕММА 8. Пусть {(Ti , Ii ) | i ∈ ω} — бесконечное семейство конечных I-деревьев. Тогда существует число m ∈ ω такое, что для любых

710

Н. Т. Когабаев, О. В. Кудинов, Р. Миллер

индекса i и вершины x ∈ Ti со свойством levelTi (x) = m при некотором j > i существует вложение f : (Ti , Ii ) → (Tj , Ij ), при котором levelTj (f (x)) > levelTi (x). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Для каждого m найдутся индекс im и вершина xm ∈ Tim со свойством levelTim (xm ) = m, удовлетворяющие следующему условию: (∗) для любых j > im и вложения f : (Tim , Iim ) → (Tj , Ij ) справедливо levelTj (f (xm )) = levelTim (xm ). Множество {i0 , i1 , i2 , . . .} будет бесконечным, поскольку каждое Ti имеет конечную высоту. Более того, индекс im удовлетворяет (∗) не только для xm , но и для всех предшественников xm . Следовательно, можно выбрать im+1 > im для всех m. Для каждого m определим разметку lm : Tim → ω на I-дереве (Tim , Iim ), положив   0, если level (x) < m, Tim lm (x) =  1 в противном случае. Тогда lm (xm ) = 1 для всех m. В то же время, для любых k, m (k > m) и любого вложения f : (Tim , Iim ) → (Tik , Iik ) выполняется levelTik (f (xm )) = levelTim (xm ) = m < k. Поэтому lk (f (xm )) = 0. Таким образом, существование последовательности {(Tim , Iim ) | m ∈ ω} противоречит лемме 3. 2 ЛЕММА 9. Пусть {(Ti , Ii ) | i ∈ ω} — такое же, как в лемме 8. Тогда существует число m ∈ ω такое, что для любых индекса i и вершины y ∈ Ti со свойством levelTi (y) > m при некотором j > i существует вложение f : (Ti , Ii ) → (Tj , Ij ), при котором levelTj (f (y)) > levelTi (y).

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

711

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любого y ∈ Ti со свойством levelTi (y) > m найдем вершину x 4 y в Ti такую, что levelTi (x) = m и применим к ней лемму 8. ЛЕММА 10. Пусть {(Ti , Ii ) | i ∈ ω} — произвольное семейство I-деревьев. Тогда существуют n и m такие, что для всех индексов i > n, каждого конечного поддерева S ⊆ Ti и любой вершины x ∈ S со свойством levelS (x) > m при некотором j > i существует вложение g : (S, S ∩ Ii ) → → (Tj , Ij ), при котором levelTj (g(x)) > levelS (x). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Отрицание утверждения заключается в следующем: (∀n)(∀m)(∃i > n)(∃ конечное S ⊆ Ti )(∃x ∈ S)  levelS (x) > m & (∀j > i)(∀ вложение g : (S, S ∩ Ii ) → (Tj , Ij ))  (levelTj (g(x)) = levelS (x)) . Применяя это отрицание сначала к n = 0 и m = 0, получаем индекс i0 > 0 и вершину x0 на уровне не ниже 0 в некотором конечном поддереве S0 дерева Ti0 . Далее по индукции применяем это отрицание к n = ik и m = k + 1, чтобы получить индекс ik+1 > ik и соответствующую вершину xk+1 на уровне не ниже k + 1 в некотором конечном поддереве Sk+1 дерева Tik+1 . Из отрицания видно, что для каждого j > ik любое вложение (Sk , Sk ∩Iik ) в (Tj , Ij ) не изменяет уровень xk . В частности, для всякого j > k любое вложение (Sk , Sk ∩ Iik ) в (Sj , Sj ∩ Iij ) не изменяет уровень xk . Таким образом, существование последовательности {(Sk , Sk ∩ Iik ) | k ∈ ω} противоречит лемме 9. 2 ЛЕММА 11. Пусть (T, I) — I-дерево такое, что Text непусто и является конечно ветвящимся. Тогда для любого бесконечного пути γ в дереве T почти все вершины x ∈ γ обладают следующим свойством: для каждого конечного поддерева S ⊆ T [x] в γ существует y ≻ x такой, что (S, S ∩ I) вложимо в (T [y], T [y] ∩ I).

712

Н. Т. Когабаев, О. В. Кудинов, Р. Миллер ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Тогда существует

бесконечный путь γ в T такой, что множество U вершин этого пути, для которых заключение леммы неверно, является бесконечным. Представим все элементы множества U в виде возрастающей цепи u0 ≺ u1 ≺ u2 ≺ . . . . Тогда для каждого i существует конечное поддерево Si ⊆ T [ui ] такое, что (Si , Si ∩ I) не вложимо в (T [y], T [y] ∩ I) для любого y ≻ x с условием y ∈ γ. В частности, (Si , Si ∩ I) не вложимо ни в какое (T [uj ], T [uj ] ∩ I) для j > i. Таким образом, существование последовательности {(T [ui ], T [ui ] ∩ I) | i ∈ ∈ ω} противоречит лемме 5. 2

§ 3. Деревья с ω-ветвящимися вершинами В этом параграфе будет доказано, что I-деревья из некоторого существенного подкласса не могут быть вычислимо категоричными. Пусть (T, I) — фиксированное вычислимое I-дерево высоты ω, которое ω-ветвится в вершине x0 , т. е. x0 имеет бесконечно много непосредственных последователей x1 , x2 , . . . . Определим предельный супремум последовательности {ht(T [xi ]) | i ∈ ω}: lim sup ht(T [xi ]) = inf sup ht(T [xi ]). j

i

i>j

Будем считать далее, что lim sup ht(T [xi ]) = ω. Значит, либо бесконечно i

много T [xi ] имеют высоту ω, либо существуют деревья T [xi ] сколь угодно большой конечной высоты. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 12. Пусть (T, I) — вычислимое I-дерево высоты ω, содержащее ω-ветвящуюся вершину x0 с непосредственными последователями x1 , x2 , . . . такими, что lim sup ht(T [xi ]) = ω. i

Тогда вычислимая размерность (T, I) эффективно бесконечна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Можно считать, что носитель T совпадает с ω. Деревом-последователем вершины x0 назовем дерево вида T [xi ], где

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

713

i > 1. Применив лемму 10 к семейству {(T [xi ], T [xi ] ∩ I) | i > 1} всех деревьев-последователей, найдем m и n в ω такие, что для любого конечного поддерева S ⊆ T [xi ], где i > n, и любой вершины x ∈ S со свойством levelS (x) > m существует вложение (S, S ∩ I) в некоторое (T [xj ], T [xj ] ∩ I), где j > i, отображающее x в вершину более высокого уровня. Зафиксируем эти значания m и n. Пусть {Tt | t ∈ ω} — предварительное представление для I-дерева (T, I), где Tt = {r, x0 , x1 , . . . , xn } ∪ {0, 1, . . . , t} является I-деревом относительно ≺ с выделенным начальным поддеревом Tt ∩ I (r — корень дерева T ). Определим возрастающую неограниченную вычислимую функцию f (s) и новое представление {Ds | s ∈ ω} для (T, I) следующим образом. На шаге 0 полагаем f (0) = 0 и D0 = T0 . На шаге s + 1 значение f (s) уже определено и Ds = Tf (s) . Будем говорить, что конечное поддерево S ⊆ Ds является деревом-последователем на шаге s, если S имеет вид Ds [y], где y — непосредственный последователь x0 в Ds (не обязательно в T ). Пусть S1 , . . . , Sk — список всех таких деревьев-последователей на шаге s, что для каждого l, 1 6 l 6 k, дерево Sl отлично от деревьев-последователей Ds [x1 ], . . . , Ds [xn ] и ht(Sl ) > m + 1. Найдем наименьшее t > f (s) такое, что для каждого l, 1 6 l 6 k, и для любой вершины x ∈ Sl со свойством levelSl (x) > m существует вершина z ∈ Tt , удовлетворяющая следующим трем условиям: (1) z — непосредственный последователь x0 в Tt ; (2) Tt [z] ∩ Ds = ∅; (3) существует I-вложение g : Sl → Tt [z] такое, что levelTt (g(x)) > levelDs (x). После этого положим f (s + 1) = t и Ds+1 = Tt . Докажем, что на каждом шаге s + 1 необходимое t существует. Рассмотрим произвольное l такое, что 1 6 l 6 k, и любую вершину x ∈ Sl со свойством levelSl (x) > m. Очевидно, Sl ⊆ T [xi ] для некоторого единственного i > n. Следовательно, существуют достаточно большой j > i такой,

714

Н. Т. Когабаев, О. В. Кудинов, Р. Миллер

что T [xj ] ∩ Ds = ∅, и I-вложение gl,x : Sl → T [xj ], для которого levelT [xj ] (gl,x (x)) > levelSl (x). Обозначим этот j через j(l, x). Поскольку Ds конечно и ht(T ) = ω, существует t0 > f (s) такой, что {xj(l,x) | 1 6 l 6 k, x ∈ Sl , levelSl (x) > m} ⊆ Tt0 , S

{gl,x (Sl ) | 1 6 l 6 k, x ∈ Sl , levelSl (x) > m} ⊆ Tt0 ,

а для каждого l, 1 6 l 6 k, любой вершины x ∈ Sl со свойством levelSl (x) > > m и j = j(l, x) выполняется levelT [xj ] (gl,x (x)) = levelTt0 [xj ] (gl,x (x)). Снова рассмотрим произвольные число l такое, что 1 6 l 6 k, и вершину x ∈ Sl со свойством levelSl (x) > m. В силу выбора j = j(l, x) и t0 заключаем, что xj принадлежит Tt0 и является непосредственным последователем x0 в Tt0 , следовательно, условие (1) выполняется. Далее, Tt0 [xj ] ∩ Ds ⊆ T [xj ] ∩ Ds = ∅, и условие (2) справедливо. Наконец, существует I-вложение g = gl,x : Sl → gl,x (Sl ) ⊆ Tt0 [xj ], которое обеспечивает следующую цепочку неравенств: levelDs (x) = levelDs (x0 ) + levelSl (x) + 1 < levelDs (x0 ) + levelT [xj ] (g(x)) + 1 6 levelTt0 (x0 ) + levelTt0 [xj ] (g(x)) + 1 = levelTt0 (g(x)). Таким образом, выполняется условие (3). Применим теорему 1 к модели (T, I). Для каждого p ∈ ω через c1 , . . . , ckp обозначим множество всех непосредственных последователей x0 в дереве Dp . Положим cp = hc0 , c1 , . . . , ckp i, где c0 = x0 . Определим ∀формулу
ψp (u0 , . . . , um+1 , w0 , . . . , wkp ) = w0 = u0 ≺ u1 ≺ . . . ≺ um+1 & kp
V ¬(u1 4 wi ). & ∀y u0 4 y 4 um+1 → (y = u0 ∨ . . . ∨ y = um+1 ) & i=1

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

715

Докажем, что система {(Dp , Dp ∩ I), cp , ψp (u, wp )}p∈ω ветвится на любом уровне p ∈ ω. Пусть p ∈ ω, а dp = hd0 , d1 , . . . , dkp i — произвольный набор элементов T такой, что (T, I, cp ) ≡1 (T, I, dp ). Существует набор a = ha0 , . . . , am+1 i такой, что (T, I) |= ψp (a, cp ). Действительно, выберем наименьшее q > n, для которого Dp [x0 ] ⊆ T [x1 ] ∪ . . . ∪ T [xq ]. Поскольку Dp конечно, такое q существует. В силу lim sup ht(T [xi ]) = ω существует i > q таi

кое, что ht(T [xi ]) > m + 1. Следовательно, найдется вершина am+1 ∈ ∈ T [xi ] со свойством levelT [xi ] (am+1 ) = m. Тогда цепочка x0 = a0 ≺ a1 ≺ ≺ . . . ≺ am+1 всех предшественников am+1 в T [x0 ] имеет длину m+1. В силу выбора i заключаем, что a1 = xi и дерево-последователь T [a1 ] не содержит элементов из Dp . Таким образом, (T, I) |= ψp (a0 , . . . , am+1 , c0 , . . . , ckp ) и набор a = ha0 , . . . , am+1 i является искомым. Пусть теперь z1 , . . . , zα — все элементы конечного множества {z ∈ ∈ T | c0 ≺ z 4 ci для некоторого i 6 kp }. Очевидно, имеет место  (T, I, cp ) |= ∃z1 . . . ∃zα ∃a0 . . . ∃am+1 (c0 = a0 ≺ a1 ≺ . . . ≺ am+1 ) &

V

i6=j

(zi 6= zj ) &

α V

i=1

c0 ≺ z i &

kp W

j=1

 α
V ¬(zi 4 a1 ) . (zi 4 cj ) & i=1

Следовательно, в (T, I, dp ) выполняется аналогичное свойство:  (T, I, dp ) |= ∃y1 . . . ∃yα ∃v 0 . . . ∃v m+1 (d0 = v 0 ≺ v 1 ≺ . . . ≺ v m+1 )   kp α  α V V W V ¬(yi 4 v 1 ) . (yi 6= yj ) & (yi 4 dj ) & d 0 ≺ yi & & i6=j

i=1

j=1

i=1

Пусть d0 = b0 ≺ b1 ≺ . . . ≺ bm+1 — цепочка элементов T такая, что bm+1 4 v m+1 и levelT [d0 ] (bm+1 ) = m + 1. В силу выбора элементов z1 , . . . , zα и поскольку (T, I, cp ) ≡1 (T, I, dp ), нет элемента di такого, что 1 6 i 6 kp и b1 4 di . Отсюда непосредственно следует, что (T, I) |= ψp (b0 , . . . , bm+1 , d0 , . . . , dkp ) и множество {b | (T, I) |= ψp (b, dp )} непусто. Пусть теперь {bj }j∈J — некоторое взаимно однозначное перечисление множества {b | (T, I) |= ψp (b, dp )}, где J — начальный сегмент в ω; {aj }j∈J — последовательность наборов из T такая, что (T, I, cp ,

716

Н. Т. Когабаев, О. В. Кудинов, Р. Миллер

a0 , . . . , aj ) ≡1 (T, I, dp , b0 , . . . , bj ) для всех j ∈ J. Рассмотрим первый набор a0 = ha00 , . . . , am+1 i. Поскольку (T, I) |= ψp (a0 , cp ), то levelT [x0 ] (am+1 )= 0 0 = m + 1, a00 = x0 , a10 = xi для некоторого i > n, и дерево-последователь T [xi ] не содержит элементов из Dp . Выберем шаг s0 такой, что Dp ∪{a0 } ⊆ Ds и levelDs (x0 ) = levelT (x0 ) = = k для всех s > s0 . Для любого такого s справедливо levelDs [xi ] (am+1 )= 0 = m. Следовательно, по построению существуют z ∈ Ds+1 такой, что z является непосредственным последователем x0 в Ds+1 , Ds+1 [z] ∩ Ds = ∅, и I-вложение g : Ds [xi ] → Ds+1 [z] со свойством ) = k + m + 1. )) > levelDs (am+1 levelDs+1 (g(am+1 0 0 Для всех таких шагов s > s0 и при любом x ∈ Ds определим вложение   g(x), если x ∈ D [x ], s i βs (x) =  x, если x ∈ Ds − Ds [xi ],

которое является I-вложением. Поскольку в дереве-последователе Ds [xi ] на шаге s нет элементов из Dp , то βs тождественно на Dp . Наконец, заметим, что levelDs+1 (βs (am+1 )) > k + m + 1. 0 ) содержит Следовательно, цепочка a00 = βs (a00 ) ≺ βs (a10 ) ≺ . . . ≺ βs (am+1 0 не все вершины между βs (a00 ) и βs (am+1 ) в дереве Ds+1 . Таким образом, 0 (Ds+1 , Ds+1 ∩ I) |= ¬ψp (βs (a0 ), cp ). 2

§ 4. Деревья с бесконечными путями В этом параграфе предполагается, что T содержит продолжаемую вершину, т. е. Text непусто. Считаем также, что Text является конечно ветвящимся, т. е. любая вершина x ∈ Text имеет только конечное число продолжаемых непосредственных последователей в T . Боковое дерево над вершиной x обозначается через S[x] и является поддеревом дерева T [x] вида S[x] = {y ∈ T [x] | ∀z ∈ T (x ≺ z 4 y → z ∈ / Text )},

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

717

причем сама вершина x может быть или не быть продолжаемой. Другими словами, рассмотрим продолжаемые непосредственные последователи S x1 , x2 , . . . вершины x. Боковое дерево S[x] — это в точности T [x] − T [xi ]. i

Таким образом, x является единственной вершиной в S[x], которая может быть продолжаемой в T , и S[x] не содержит бесконечных путей, хотя оно может иметь высоту ω, если является бесконечно ветвящимся. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 13. Пусть (T, I) — вычислимое I-дерево высоты ω такое, что Text непусто и является конечно ветвящимся. Если все боковые деревья в T имеют конечную высоту, то вычислимая размерность (T, I) эффективно бесконечна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Можно считать, что T = ω. Зафиксируем некоторый бесконечный путь γ, лежащий в дереве T . По лемме 11 множество U всех вершин из γ, для которых утверждение леммы неверно, является конечным. Пусть m = max{levelT (x) | x ∈ U }. Тогда для произвольных вершины x ∈ γ со свойством levelT (x) > m и конечного поддерева S ⊆ T [x] в γ существует y ≻ x такой, что (S, S∩I) вложимо в (T [y], T [y]∩I). Пусть xm — вершина из γ такая, что levelT (x) = m, и пусть r = x0 ≺ ≺ x1 ≺ . . . ≺ xm — все ее предшественники в T . Обозначим через Ts поддерево T с вершинами {x0 , x1 , . . . , xm } ∪ {0, 1, . . . , s} относительно порядка ≺ с выделенным начальным поддеревом Ts ∩I. Определим возрастающую вычислимую функцию f (s) и вычислимую последовательность {Ds | s ∈ ω} конечных поддеревьев T следующим образом. На шаге 0 полагаем f (0) = 0 и D0 = T0 . На шаге s + 1 значение f (s) уже определено и Ds = Tf (s) . Обозначим n

0 , v 1 , . . . , v l,s } — ls = ht(Ds ) > m. Для каждого l, m < l < ls , пусть {vl,s l,s l,s

все вершины Ds , лежащие на уровне l в Ds . Найдем наименьшее t > f (s) такое, что для каждого l, m < l < ls , выполняется одно из двух следующих условий: k ] → T [v k ] такие, что (a) существуют k 6 nl,s и I-вложение g : Ds [vl,s t l,s k k ) + s; )) > levelDs (vl,s levelTt (g(vl,s

(b) существует x ∈ Tt такое, что levelTt (x) = l, ht(Tt [x]) > s и либо

718

Н. Т. Когабаев, О. В. Кудинов, Р. Миллер

x∈ / Ds , либо levelDs (x) < l. Положим f (s + 1) = t и Ds+1 = Tt . Докажем, что на каждом шаге s + 1 условие (a) или (b) выполнится для некоторого t. Рассмотрим произвольное l, m < l < ls . Допустим, n

0 , . . . , v l,s } такая, что x ∈ γ. В силу выбора существует вершина x ∈ {vl,s l,s

m конечное поддерево Ds [x] будет I-вложимо в некоторое T [y] для y ∈ γ, y ≻ x. По индукции Ds [x] I-вложимо в T [x] так, что вершина x при этом может быть отображена на сколь угодно высокий уровень в T . Следовательно, существуют tl > f (s) и I-вложение g : Ds [x] → Ttl [x] такие, что levelTtl (g(x)) > levelDs (x) + s, т. е. условие (a) выполнится для x. n

0 , . . . , v l,s не лежит на пути В противном случае ни одна из вершин vl,s l,s

γ. Тем не менее, некоторая вершина x, лежащая на уровне l в дереве T , должна лежать на пути γ. Следовательно, либо x ∈ Ds и levelDs (x) < l, либо x ∈ / Ds . Тогда существует tl > f (s) такой, что условие (b) выполнится для x. Определим в качестве искомого t = max{tl | m < l < ls }. Применим теорему 2 к модели (T, I). Для всех p, n ∈ ω определим ∀-формулу

ψpn (x0 , x1 , . . . , xn ) = x0 ≺ x1 ≺ . . . ≺ xn & ∀y x0 4 y


& ∀y x0 4 y 4 xn → (y = x0 ∨ . . . ∨ y = xn ) .

(Определение ψpn (xn ) не зависит от p.) Докажем, что система {(Dp , Dp ∩ I), ψpn (xn )}p,n∈ω ветвится на любом уровне p ∈ ω. Поскольку Dp конечно, можно определить l = max{levelT (x) | x ∈ Dp } + 1. Заметим, что l > m. Поскольку все боковые деревья в T имеют конечную высоту и Text конечно ветвящееся, существует l1 = max{ht(S[x]) | x ∈ Text , levelT (x) 6 l}. Выберем s0 такое, что s0 > max{p, l1 } и {x ∈ Text | levelT (x) 6 l} ⊆ ⊆ Ds0 . Тогда для любого шага s > s0 условие (a) больше никогда не будет k непродолжаемая, и условие (b) выполняться для k 6 nl,s такого, что vl,s

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

719

не будет выполняться для непродолжаемой вершины x. Следовательно, k могут удовлетворять только конечное число продолжаемых вершин vl,s

условиям (a) или (b) на каждом шаге s > s0 . С другой стороны, любая продолжаемая вершина x, лежащая на уровне l в T , уже удовлетворяет условию levelDs (x) = l на шаге s > s0 . Поэтому условие (b) не может выполняться на шагах s > s0 . Таким образом, должна существовать продолжаемая вершина x, лежащая на уровне l в T , которая удовлетворяет условию (a) для бесконечно многих шагов s > s0 . Обозначим через y1 , . . . , yα все продолжаемые вершины, лежащие на уровне l в дереве T . В силу доказанного выше, можно считать, что для вершины y1 выполняется условие (a) для бесконечно многих шагов s > s0 . Пусть теперь {bj }j∈J — некоторое взаимно однозначное перечисление непустого множества {b | (T, I) |= ψpn (b), b = hb0 , . . . , bn i}, где J — начальный сегмент в ω, и пусть {aj }j∈J — такая последовательность наборов из T , что (T, I, a0 , . . . , aj ) ≡1 (T, I, b0 , . . . , bj ) для всех j ∈ J. Очевидно, что для любой вершины yi , 1 6 i 6 α, найдется набор b = hb0 , . . . , bn i такой, что (T, I) |= ψpn (b) и yi является элементом b. Следовательно, существует q ∈ J такой, что все вершины y1 , . . . , yα уже попали в наборы b0 , . . . , bq . В силу выбора элементов y1 , . . . , yα , и поскольку (T, I, a0 , . . . , aq ) ≡1 (T, I, b0 , . . . , bq ), вершины y1 , . . . , yα должны попасть в наборы a0 , . . . , aq . В частности, вершина y1 попадает в один из наборов a0 , . . . , aq . Выберем наименьшее r ∈ J такое, что y1 попадает в набор ar = = ha0r , a1r , . . . , anr i, т. е. n > l и alr = y1 . Пусть s1 > s0 такой шаг, что a0 , . . . , ar ∈ Ds1 . В силу выбора y1 для бесконечно многих шагов s > s1 существует I-вложение g : Ds [y1 ] → Ds+1 [y1 ] со свойством levelDs+1 (g(y1 )) > levelDs (y1 ) + s. Для каждого из таких шагов s > s1 положим   g(x), если x ∈ D [y ], s 1 βs (x) =  x, если x ∈ Ds − Ds [y1 ].

720

Н. Т. Когабаев, О. В. Кудинов, Р. Миллер

Тогда βs : Ds → Ds+1 является I-вложением. Поскольку levelT (y1 ) = l и все вершины из Dp лежат ниже уровня l в дереве Ds , то βs тождественно на Dp . В силу выбора r, вершина y1 не является элементом ни одного из наборов a0 , . . . , ar−1 . Следовательно, βs тождественно на a0 , . . . , ar−1 . Наконец, заметим, что levelDs+1 (βs (alr )) > levelDs (alr ) + s > levelDs (alr ) = l, l−1 levelDs+1 (βs (al−1 r )) = levelDs+1 (ar ) = l − 1.

Таким образом, (Ds+1 , Ds+1 ∩ I) |= ¬ψpn (βs (ar )). 2

§ 5. Деревья с высотой, превосходящей ω Докажем, что I-деревья высоты, превосходящей ω, не являются вычислимо категоричными. В таких деревьях существует вершина xω , лежащая на уровне ω. Предшественники вершины xω образуют вычислимую бесконечную цепь в T . Данная цепь не является путем, но она может быть использована для наших целей. Снова обратимся к теореме Краскала, чтобы обеспечить существование необходимых вложений вверх вдоль данной цепи. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 14. Пусть (T, I) — вычислимое I-дерево такое, что ht(T ) > ω. Тогда вычислимая размерность (T, I) эффективно бесконечна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку ht(T ) > ω, дерево T содержит вершину xω , лежащую на уровне ω. Пусть r = x0 ≺ x1 ≺ x2 ≺ . . . — все предшественники xω в T . Для каждого i ∈ ω положим Si = T [xi ]−T [xi+1 ], а для S Si . Заметим, что Si ∩ Sj = ∅ предельного индекса определим Sω = T − i∈ω

для любых i, j ∈ ω ∪ {ω} таких, что i 6= j; если x ∈ Sω , то для любого i ∈ ω имеет место xi ≺ x и levelT (x) > ω. В частности, xω ∈ Sω . Применив лемму 7 к семейству I-деревьев (Si , Si ∩ I), i ∈ ω, получим n такое, что для любых числа i > n и конечного частично упорядоченного подмножества S ⊆ Si найдется некоторый j > i, для которого (S, S ∩ I)

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

721

вложимо в (Sj , Sj ∩ I). По индукции каждое конечное частично упорядоченное подмножество любого такого Si будет I-вкладываться в бесконечно много Sj , где j > i. Пусть {Ts | s ∈ ω} — предварительное представление для I-дерева (T, I), где Ts = {x0 , x1 , . . . , xn } ∪ {0, 1, . . . , s} ∪ {xω } — I-дерево относительно ≺ с выделенным начальным поддеревом Ts ∩ I. Для каждого s ∈ ω обозначим через {xn = xn,s ≺ xn+1,s ≺ . . . ≺ xls ,s } цепочку всех предшественников вершины xω в дереве Ts [xn ]. Очевидно, lim xi,s = xi для всех i. Определим возрастающую вычислимую функцию s

f (s) и новое представление {Ds | s ∈ ω} для (T, I) следующим образом. На шаге 0 полагаем f (0) = 0 и D0 = T0 . На шаге s + 1 значение f (s) уже определено и Ds = Tf (s) . Ищем наименьшее t > f (s), удовлетворяющее условию (∗) для любого i такого, что n 6 i 6 lt , существует I-вложение gi : Ds [xi,t ] → Tt [xi,t ] со свойством
∀x ∈ Ds [xi,t ] xlt ,t ⊀ x → levelDs (x) < levelTt (gi (x))
& ∀x ∈ Ds [xi,t ] xlt ,t ≺ x → gi (x) = x , и затем полагаем f (s + 1) = t, Ds+1 = Tf (s) . Отметим, что выше Ds [xi,t ] определяется как {y ∈ Ds | xi,t 4 y}, и I-вложение gi : Ds [xi,t ] → Tt [xi,t ] рассматривается как вложение частично упорядоченного множества Ds [xi,t ] в Tt [xi,t ], которое сохраняет I. Докажем, что на каждом шаге s + 1 требуемое t существует. Поскольку Ds [xn ] конечно, существует m > n такое, что Si ∩ Ds [xn ] = ∅ для каждого натурального i > m. Следовательно, Ds [xi ] ⊆ Sω для каждого i > m. Каждая последовательность {xi,t }t∈ω сходится к xi , поэтому можно найти шаг t0 > f (s) такой, что для всех t > t0 xn,t = xn , . . . , xm,t = xm , xm+1,t = xm+1 . Отсюда, Ds [xi,t ] ⊆ Ds [xi ] ⊆ Sω для всех t > t0 и каждого i > m.

722

Н. Т. Когабаев, О. В. Кудинов, Р. Миллер Рассмотрим произвольное i такое, что n 6 i 6 m. Очевидно, тожде-

ственное вложение ι : Ds [xi ] → Tt0 [xi ] удовлетворяет условию
∀x ∈ Ds [xi ] xlt0 ,t0 ⊀ x → levelDs (x) 6 levelTt0 (ι(x))
& ∀x ∈ Ds [xi ] xlt0 ,t0 ≺ x → ι(x) = x . Поскольку Tt0 [xi ] конечно, существует только конечное число вершин xi = xi0 ≺ xi1 ≺ . . . ≺ xiq таких, что Tt0 [xi ] ∩ Si0 6= ∅, . . . , Tt0 [xi ] ∩ Siq 6= ∅, Tt0 [xi ] −

S

Sip ⊆ Sω .

p6q

В силу выбора n найдется I-вложение h0 : Tt0 [xi ] ∩ Si0 → Sj0 , где j0 > i0 , причем xi0 ∈ Tt0 [xi ] ∩ Si0 тогда и только тогда, когда xj0 ∈ ∈ h0 (Tt0 [xi ] ∩ Si0 ), и h0 (xi0 ) = xj0 , если хотя бы одно из этих условий верно. Также найдется I-вложение h1 : Tt0 [xi ] ∩ Si1 → Sj1 , где j1 > j0 , причем xi1 ∈ Tt0 [xi ] ∩ Si1 тогда и только тогда, когда xj1 ∈ ∈ h1 (Tt0 [xi ] ∩ Si1 ), и h1 (xi1 ) = xj1 , если хотя бы одно из этих условий верно, и т. д. Наконец, определим тождественное отображение hω : Tt0 [xi ] −

S

p6q

Sip → Tt0 [xi ] −

S

Sip .

p6q

Объединение fi = h0 ∪ . . . ∪ hq ∪ hω данных I-вложений является Iвложением Tt0 [xi ] в T [xi+1 ]. Найдется шаг t1 > t0 такой, что

S

n6i6m

fi (Tt0 [xi ]) ⊆ Tt1 . Тогда для лю-

бого i наше I-вложение fi имеет вид fi : Tt0 [xi ] → Tt1 [xi+1 ]. Зафиксируем теперь произвольное i такое, что n 6 i 6 lt1 . Рассмотрим два случая. Допустим, n 6 i 6 m. Рассмотрим следующую композицию I-вложений: gi = fi ◦ ι : Ds [xi ] → Tt1 [xi+1 ] ⊆ Tt1 [xi ].

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

723

Если x ∈ Ds [xi ] и xlt1 ,t1 ≺ x, то x ∈ Sω . Следовательно, gi (x) = hω (x) = x. Если x ∈ Ds [xi ] и xlt1 ,t1 ⊀ x, то x ∈ Tt0 [xi ] ∩ Sip для некоторого p 6 q. Следовательно, получаем цепочку неравенств levelDs (x) 6 levelTt0 (x) = levelTt0 (xi ) + levelTt0 [xi ] (x) < levelTt1 (xi+1 ) + levelTt1 [xi+1 ] (fi (x)) = levelTt1 (fi (x)) = levelTt1 (gi (x)). Допустим, m < i 6 lt1 . Тогда Ds [xi,t1 ] ⊆ Ds [xi ] ⊆ Sω . Следовательно, для любого x ∈ Ds [xi,t1 ] выполняется xlt1 ,t1 ≺ x. Достаточно взять тождественное отображение gi = id : Ds [xi,t1 ] → Tt1 [xi,t1 ] чтобы удовлетворить требуемым условиям. Таким образом, существует t = = t1 , для которого условие (∗) выполнится. Снова применим теорему 1 к модели (T, I). Определим ∀-формулу

ψ(u0 , u1 , v) = u0 ≺ u1 ≺ v & ∀y u0 4 y 4 u1 → (y = u0 ∨ y = u1 ) . Таким образом, (T, I) |= ψ(a0 , a1 , xω ) верно тогда и только тогда, когда вершины a0 и a1 лежат на нашей вычислимой бесконечной цепи под xω , и a0 является непосредственным предшественником a1 в T . Докажем, что система {(Dp , Dp ∩ I), xω , ψ(u0 , u1 , v)}p∈ω ветвится на любом уровне p ∈ ω. (Формула ψ и параметр xω не зависят от p и являются для всех p одними и теми же.) Пусть p ∈ ω, а yω — произвольный элемент T такой, что (T, I, xω ) ≡1 ≡1 (T, I, yω ). Поскольку xω лежит на бесконечном уровне и (T, I, xω ) ≡1 ≡1 (T, I, yω ), то yω также лежит на бесконечном уровне, т. е. levelT (yω ) > ω, и существует счетная цепь r = y 0 ≺ y1 ≺ y 2 ≺ . . . всех предшественников yω , лежащих на конечных уровнях в T . Следовательно, для любого i ∈ ω имеем hyi , yi+1 i ∈ {b | (T, I) |= ψ(b, yω )}. Таким образом, множество {b | (T, I) |= ψ(b, yω )} непусто.

724

Н. Т. Когабаев, О. В. Кудинов, Р. Миллер Пусть теперь {bj }j∈J — некоторое взаимно однозначное перечисление

множества {b | (T, I) |= ψ(b, yω )}, где J — начальный сегмент в ω, и пусть {aj }j∈J — такая последовательность пар из T , что для всех j ∈ J выполняется (T, I, xω , a0 , . . . , aj ) ≡1 (T, I, yω , b0 , . . . , bj ). Поскольку Dp конечно, существует m = max{k ∈ ω | k > n & ∃y ∈ Dp [xn ](y ∈ / Sω & xk 4 y)}. Таким образом, для любого i > m + 1 дерево T [xi ] не содержит элементов из Dp [xn ] − Sω . Как было замечено выше, hym , ym+1 i ∈ {b | (T, I) |= ψ(b, yω )}. Тогда hym , ym+1 i = bj = hb0j , b1j i для некоторого j ∈ J и T |= ∃z0 . . . ∃zm (z0 ≺ . . . ≺ zm = b0j ). Следовательно, имеет место T |= ∃z0 . . . ∃zm (z0 ≺ . . . ≺ zm = a0j ). Значит, существует j ∈ J такой, что levelT (a0j ) > m. Рассмотрим наименьшее j ∈ J такое, что для пары aj = ha0j , a1j i справедливо levelT (a0j ) > m. Отсюда, a0j = xi , a1j = xi+1 , где i = = levelT (a0j ) > m > n, в частности, дерево T [xi+1 ] не содержит элементов из Dp [xn ] − Sω . Дождемся шага s0 такого, что Dp ∪ {a0 , . . . , aj } ⊆ Ds и levelDs (a0j ) = levelT (a0j ) для всех s > s0 . Для каждого такого s имеем a1j = xi+1 = xi+1,f (s) . Следовательно, по построению существует Iвложение g : Ds [xi+1 ] → Ds+1 [xi+1 ] такое, что levelDs (xi+1 ) < levelDs+1 (g(xi+1 )),
∀x ∈ Ds [xi+1 ] xlf (s+1) ,f (s+1) ≺ x → g(x) = x . Для всех таких шагов s > s0 определим вложение   g(x), если x ∈ D [x ], s i+1 βs (x) =  x, если x ∈ Ds − Ds [xi+1 ], оно является I-вложением. Поскольку T [xi+1 ] не содержит элементов из Dp [xn ] − Sω , то Dp − Sω ⊆ Ds − Ds [xi+1 ], а следовательно, βs тождественно на Dp − Sω . Кроме этого, в силу выбора g, вложение βs тождественно на Dp ∩ Sω . Также, в силу выбора j ∈ J все предыдущие наборы

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

725

a0 , . . . , aj−1 не лежат в Ds [xi+1 ]. Отсюда, βs тождествено на элементах наборов a0 , . . . , aj−1 . Заметим, что levelDs+1 (βs (a1j )) > levelDs (a1j ) = levelDs (a0j ) + 1 = levelDs+1 (βs (a0j )) + 1. Следовательно, найдется y ∈ Ds+1 , для которого βs (a0j ) ≺ y ≺ βs (a1j ). Таким образом, (Ds+1 , Ds+1 ∩ I) |= ¬ψ(βs (a0j ), βs (a1j ), xω ). 2

§ 6. Деревья бесконечной высоты Докажем основную теорему для I-деревьев бесконечной высоты. ТЕОРЕМА 15. Вычислимая размерность любого вычислимого Iдерева бесконечной высоты эффективно бесконечна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (T, I) — вычислимое I-дерево бесконечной высоты. Рассмотрим следующие пять случаев. С л у ч а й 1: ht(T ) = ω и T не содержит бесконечных путей. Тогда T содержит ω-ветвящуюся вершину x0 с непосредственными последователями x1 , x2 , . . . такими, что ht(T [x0 ]) = ω, но ht(T [xi ]) < ω для всех i > 1. Следовательно, lim sup ht(T [xi ]) = ω и к (T, I) применимо предложение 12. i

С л у ч а й 2: ht(T ) = ω, Text 6= ∅ и Text не является конечно ветвящимся. Тогда существует вершина x0 ∈ Text с бесконечным числом непосредственных последователей x1 , x2 , . . . в Text . (У x0 также могут быть непродолжаемые непосредственные последователи.) Следовательно, ht(T [xi ]) = ω для всех i > 1. Таким образом, ht(T [y]) = ω для бесконечно многих непосредственных последователей y вершины x0 в T , и к вершине x0 можно применить предложение 12. С л у ч а й 3: ht(T ) = ω, Text 6= ∅, Text конечно ветвящееся, но T содержит вершину x такую, что боковое дерево S[x] имеет высоту ω. Очевидно, S[x] не содержит бесконечных путей. Как и в случае 1 заключаем, что S[x] содержит ω-ветвящуюся вершину x0 с непосредственными последователями x1 , x2 , . . . из S[x] такими, что ht(S[x0 ]) = ω, но ht(S[xi ]) < ω для всех i > 1.

726

Н. Т. Когабаев, О. В. Кудинов, Р. Миллер Отсюда, {x1 , x2 , . . .} состоит в точности из всех непродолжаемых

непосредственных последователей x0 в дереве T и lim sup ht(T [xi ]) = lim sup ht(S[xi ]) = ω. i

i

С другой стороны, x0 может иметь только конечное число продолжаемых непосредственных последователей в T , поскольку Text конечно ветвящееся. Следовательно, применяем предложение 12 к x0 . С л у ч а й 4: ht(T ) = ω, Text 6= ∅, Text конечно ветвящееся, и все боковые деревья в T имеют конечную высоту. Тогда используем предложение 13. С л у ч а й 5: ht(T ) > ω. Данный случай полностью рассмотрен в предложении 14. 2 СЛЕДСТВИЕ 16. Вычислимая размерность любого вычислимого I-дерева бесконечной высоты равна ω. СЛЕДСТВИЕ 17. Вычислимые I-деревья бесконечной высоты не являются вычислимо категоричными.

§ 7. Случай нескольких выделенных поддеревьев В заключение покажем, что все результаты данной статьи могут быть естественным образом обобщены на случай деревьев с несколькими выделенными начальными поддеревьями. Во-первых, при рассмотрении деревьев в языке с частичным порядком ≺ и с r + 1 выделенным начальным поддеревом I 0 , . . . , I r достаточно ограничиться случаем, когда данные поддеревья образуют цепь I 0 ⊇ I 1 ⊇ . . . ⊇ I r . Это следует из известного факта о том, что линейный базис конечной булевой алгебры выражается через ее порождающие посредством операций ∨ и ∧ булевых алгебр (см. [9]). Во-вторых, для обобщения предложений 12—14 на случай нескольких поддеревьев требуется лишь модифицировать леммы 10, 11 и 7 соответственно, которые в свою очередь являются следствиями леммы 3.

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

727

Таким образом, остается лишь обобщить лемму 3 на случай нескольких вложенных начальных поддеревьев. Для r ∈ ω определим класс T[r] кратных I-деревьев с разметками из ω следующим образом: T[r] = {(T, l) | T — конечное дерево с r + 1 выделенными начальными поддеревьями I 0 ⊇ I 1 ⊇ . . . ⊇ I r , l : T → ω}. Будем использовать запись (T1 , l1 ) 6 (T2 , l2 ), когда существует изоморфное вложение f : (T1 , I10 , . . . , I1r ) → (T2 , I20 , . . . , I2r ) такое, что l1 (x) 6 l2 (f (x)) для всех x ∈ T1 . Очевидно, что T[r] квазиупорядочено этим отношением. ЛЕММА 18. Пусть {(Ti , Ii0 , . . . , Iir ) | i ∈ ω} — бесконечное семейство кратных I-деревьев, каждое с разметкой li : Ti → ω. Тогда существуют i < j в ω и вложение f : (Ti , Ii0 , . . . , Iir ) → (Tj , Ij0 , . . . , Ijr ) такое, что li (x) 6 lj (f (x)) для любого x ∈ Ti . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для r = 0 требуемое установлено в лемме 3. Докажем общее утверждение индукцией по r. Как и в лемме 3, можно считать, что каждое поддерево вида Iir непусто. Для каждого i ∈ ω определим разметку mi : Iir → T[r−1] × ω на дереве Iir следующим образом: для любого x ∈ Iir положим mi (x) = = (m1i (x), m2i (x)), где (1) m1i (x) = (Si (x), li ↾ Si (x)) ∈ T[r−1] с конечным деревом Si (x) = {x} ∪ {y ∈ Ti | y ≻ x & ∀z 4 y(x ≺ z → z ∈ / Iir )}, и разметкой li ↾ Si (x) : Si (x) → ω. (2) m2i (x) = li (x). По теореме Краскала и в силу индукционного предположения T(T[r−1]

× ω) является в.к.у.м. Следовательно, для семейства {(Iir , mi ) |

i ∈ ω} элементов T(T[r−1] × ω) существуют i, j такие, что i < j и (Iir , mi ) 6 6 (Ijr , mj ), т. е. существует вложение g : Iir → Ijr такое, что mi (x) 6 6 mj (g(x)) для любого x ∈ Iir . Отсюда, li (x) 6 lj (g(x)) для всех x ∈ Iir

728

Н. Т. Когабаев, О. В. Кудинов, Р. Миллер

и существует вложение hx : Si (x) → Sj (g(x)), сохраняющее начальные поддеревья I 0 , . . . , I r−1 , причем li (y) 6 lj (hx (y)) для любого y ∈ Si (x). Определим f : Ti → Tj следующим образом:   g(y), если y ∈ I r , i f (y) =  hx (y), если y ∈ / Iir и y ∈ Si (x) для некоторого x ∈ Iir . Как и в лемме 3, f определено корректно. Несложно понять, что f : (Ti , Ii0 , . . . , Iir ) → (Tj , Ij0 , . . . , Ijr ) является искомым вложением. 2

ЛИТЕРАТУРА

1. R. G. Miller, The computable dimension of trees of infinite height, в печати. 2. S. Lempp, C. McCoy, R. G. Miller, R. Solomon, Computable categoricity of trees of finite height, в печати. 3. С. С. Гончаров, Ю. Л. Ершов, Конструктивные модели (Сибирская школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга, 1999. 4. Y. L. Ershov, S. S. Goncharov, A. Nerode, J. B. Remmel (eds.), Handbook of recursive mathematics, vol. 1, 2 (Stud. Logic Found. Math., 138-139), Amsterdam, Elsevier Science B.V., 1998. 5. С. С. Гончаров, В. Д. Дзгоев, Автоустойчивость моделей, Алгебра и логика, 19, N 1 (1980), 45—58. 6. П. Е. Алаев, Автоустойчивые I-алгебры, Алгебра и логика, 43, N 5 (2004), 511—550. 7. J. B. Kruskal, Well-quasy-ordering, the tree theorem, and V´azsonyi’s conjecture, Trans. Am. Math. Soc., 95, N 2 (1960), 210—225. 8. S. G. Simpson, Nonprovability of certain combinatorical properties of finite trees, in: L. A. Harrington, M. D. Morley, A. Scedrov, S. G. Simpson (eds.), Harvey Friedman’s research on the foundations of mathematics (Stud. Logic Found. Math., 117), Amsterdam, North-Holland, 1985, 87—117.

Вычислимая размерность I-деревьев бесконечной высоты

729

9. С. С. Гончаров, Счетные булевы алгебры и разрешимость (Сибирская школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1996.

Поступило 19 февраля 2003 г. Окончательный вариант 4 июня 2004 г. Адреса авторов: КОГАБАЕВ Нурлан Талгатович, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. Тел.: (383-2) 33-28-94. e-mail: [email protected] КУДИНОВ Олег Викторович, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. Тел.: (383-2) 33-31-97. e-mail: [email protected] MILLER, Russell, Department of Mathematics, Cornell University, Ithaca, NY 14853, USA. Phone: (607) 255-48-92. e-mail: [email protected]