Диффузия Арнольда, I: Анонс результатов

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 2 (2003). С. 116–130 УДК 517.925+517.958

ДИФФУЗИЯ АРНОЛЬДА, I: АНОНС РЕЗУЛЬТАТОВ c 2003 г.

ДЖ. Н. МЭЗЕР

АННОТАЦИЯ. В работе анонсируется доказательство диффузии Арнольда для широкого класса малых возмущений интегрируемых гамильтоновых систем с положительным нормальным кручением в случае периодических по времени систем с двумя степенями свободы и в случае автономных систем с тремя степенями свободы.

СОДЕРЖАНИЕ

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Лагранжевы системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Формулировка основных результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Продолжение лагранжиана L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Метод изменения лагранжианов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Абсолютные минимизирующие элементы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Субкритические 1-формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Достаточные условия отсутствия уголов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Абсолютные минимизирующие элементы как пределы относительных минимизирующих элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Преобразование Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Усредненная система, соответствующая рациональной частоте . . . . . . . . . . . . . . . Усредненная система, соответствующая вектору частот, и единичный резонанс . . . . . Определение δ: качественные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116 117 118 121 121 123 125 125 126 126 126 127 128 130

ВВЕДЕНИЕ В КАМ-теории (Колмогоров, Арнольд, Мозер) доказывается устойчивость многих орбит в случае малого возмущения невырожденной интегрируемой гамильтоновой системы. Рассматриваются как автономный случай, так и периодический по времени. В случае автономных систем с двумя степенями свободы и в случае периодических по времени систем с одной степенью свободы доказывается устойчивость всех орбит. (Это тривиальное следствие закона сохранения энергии в случае автономных систем с одной степенью свободы.) Арнольд [A1] привел пример малого возмущения невырожденной интегрируемой гамильтоновой системы, при котором не наблюдается устойчивость всех орбит. В его примере рассматривалась автономная система с тремя степенями свободы. После элементарных модификаций можно получить примеры автономных систем с любым числом > 3 степеней свободы и примеры периодических по времени систем с числом > 2 степеней свободы. Однако конструкция, предложенная Арнольдом, носила весьма специфический характер, и в [A2, A3] был сформулирован вопрос, найдется ли при «типичном» малом возмущении такая орбита, вдоль которой наблюдается существенное отклонение в поведении решений. Ксиа [X], а также Делшамс, де ла Ллаве и Сеара [DLS] объявили о замечательном обобщении результатов Арнольда, связанных с априори неустойчивыми системами. В данной статье мы анонсируем результаты о диффузии Арнольда для априори устойчивых систем с двумя степенями свободы в периодическом по времени случае и с тремя степенями свободы в автономном случае. В обоих случаях возникают существенные трудности при обобщении наших c

2003 МАИ

116

ДИФФУЗИЯ АРНОЛЬДА, I: АНОНС РЕЗУЛЬТАТОВ

117

результатов на системы с большим числом степеней свободы. Кроме того, в обоих случаях нам потребуется предположение о положительном нормальном кручении. Без этого предположения трудности, возникающие при указанном обобщении наших результатов, являются весьма существенными. В обоих случаях основной результат формулируется следующим образом: существует широкое множество малых возмущений, при которых имеет место диффузия Арнольда. Это означает, что существуют орбиты, вдоль которых решения системы существенно меняются. Точная формулировка результата будет дана в разделе 2. 1.

ЛАГРАНЖЕВЫ

СИСТЕМЫ

В данном разделе мы вводим обозначения, которыми будем далее пользоваться, и напоминаем некоторые понятия, связанные с диффузией Арнольда. Всюду далее через θ = (θ1 , . . . , θn ) будем обозначать элемент из Tn = Rn /Zn . Таким образом, θi — это вещественные числа, определенные по модулю 1. Через θ˙ = (θ˙1 , . . . , θ˙n ) обозначим элемент из Rn . Пусть t — либо вещественное число, либо элемент из T = R/Z (что будет следовать из контекста). Для ρ > 0 и θ˙◦ = (θ˙◦1 , . . . , θ˙◦n ) ∈ Rn обозначим через B n замкнутый шар в Rn радиуса ρ с центром в θ˙◦ , т. е. B n = {θ˙ : kθ˙ − θ˙◦ k2 = (θ˙1 − θ˙◦1 )2 + · · · + (θ˙n − θ˙◦n )2 6 ρ}. Рассматривая явление диффузии Арнольда, мы будем изучать периодическую по времени или автономную гамильтонову систему, являющуюся малым возмущение интегрируемого гамильтониана. В данной работе мы рассмотрим лишь случай положительно определенного нормального кручения, поскольку это единственный случай, для которого доказаны наши результаты. В случае положительно определенного нормального кручения (или в более общем случае невырожденного нормального кручения) существует эквивалентная лагранжева постановка. Мы установим наши результаты в терминах лагранжевой постановки, так как лагранжева постановка необходима для доказательств, которые носят вариационный характер. Мы предлагаем читателю проделать элементарное упражнение и рассмотреть эквивалентную гамильтонову постановку. В периодическом по времени случае лагранжиан принимает вид ˙ t) = `0 (θ) ˙ + εP (θ, θ, ˙ t), L(θ, θ, где `0 — функция из пространства C r на B n , ε — малое положительное число, P — функция из C r на Tn × B n × T, r > 3. Другими словами, P есть периодическая функция периода 1 по θ1 , . . . , θn и t. В автономном случае лагранжиан имеет вид ˙ = `0 (θ) ˙ + εP (θ, θ), ˙ L(θ, θ) где P — функция из пространства C r на Tn × B n . Функция `0 называется невозмущенным интегрируемым лагранжианом, а функция P — возмущением. Пусть d2 `0 есть гессиан (матрица вторых производных) функции `0 , т. е.   2 ∂ `0 2 . d `0 = ∂ θ˙i ∂ θ˙j 16i, j6n Всюду далее будем считать, что d2 `0 > 0, т. е. n X ∂ 2 `0 ˙ (θ)ϕ˙ i ϕ˙ j > 0 ∂ θ˙i ∂ θ˙j i=1

при всех θ˙ ∈ B n и всех (ϕ˙ 1 , . . . , ϕ˙ n ) ∈ Rn \ 0. Другими словами, будем считать, что d2 `0 положительно определена всюду на B n . В эквивалентном гамильтоновом случае эквивалентным будет предположение о том, что невозмущенная интегрируемая гамильтонова система имеет положительно определенное нормальное кручение. Уравнения Эйлера—Лагранжа дают нам необходимое и достаточное условие того, что кривая t 7→ θ(t) ∈ Tn будет удовлетворять вариационному условию Z ˙ δ L(θ(t), θ(t), t)dt = 0 (с фиксированными концами интервала интегрирования),

118

ДЖ. Н. МЭЗЕР

˙ := dθ(t)/dt, т. е. необходимое и достаточное условие того, что кривая является экстремалью где θ(t) относительно L. Уравнения Эйлера—Лагранжа имеют вид d (L ˙ ) = Lθ , dt θ

dθ ˙ = θ, dt

где Lθ := (∂L/∂θ1 , . . . , ∂L/∂θn ) и Lθ˙ := (∂L/∂ θ˙1 , . . . , ∂L/∂ θ˙n ). Решение уравнений Эйлера— Лагранжа есть дважды дифференцируемое удовлетворяющее этим уравнениям отображение θ : J −→ Tn , где J —связное подмножество в R положительной (возможно, бесконечной) ˙ длины. Требуется, чтобы θ(t) (= dθ(t)/dt) ∈ B n для всех t ∈ J, так как в противном случае уравнения Эйлера—Лагранжа не определены. Уравнения Эйлера—Лагранжа могут быть записаны в виде Lθ˙θ˙

d2 θ dθ + Lθθ + Lθt ˙ ˙ = Lθ . 2 dt dt

Здесь Lθ˙θ˙ := (∂ 2 L/∂ θ˙i ∂ θ˙j )16i, j6n и т. д. Если функция P достаточно мала по норме C 2 , то Lθ˙θ˙ > 0 и применение фундаментальной теоремы существования и единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений дает следующий результат. Для θ0 ∈ Tn , θ˙0 из внутренности B n и t0 из R существует единственное максимальное решение уравнений Эйлера—Лагранжа, удовлетво˙ 0 ) = θ˙0 . Здесь J —замкнутое связное подмножество ряющее начальному условиям θ(t0 ) = θ0 и θ(t ˙ в R, содержащее t0 как внутреннюю точку. Если a есть крайняя точка множества J, то θ(a) ∈ ∂B n . Мы привели краткое изложение некоторых аспектов лагранжевой механики (которые содержатся во многих учебниках), приспособленное для нашей цели. Далее мы вкратце обсудим проблему диффузии Арнольда. Для невозмущенного интегрируемого лагранжиана L = `0 уравнения Эйлера—Лагранжа принимают вид d2 θ/dt2 = 0. Каждое решение θ лежит на торе {θ˙ = ω}, где ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ B n . Числа ωi называются частотами решения. Под траекторией лагранжиана L будем понимать решение уравнений Эйлера—Лагранжа, соответствующих L. Вдоль траектории лагранжиана L функция θ˙ есть константа в случае невозмущенной интегрируемой системы и медленно меняется в случае малого возмущения интегрируемой системы. Задача диффузии Арнольда состоит в выяснении вопроса о том, может ли θ˙ существенно меняться в течение длительного промежутка времени. Для того чтобы точно сформулировать задачу, введем величины  ˙ 0 ) − θ(t ˙ 1 )k : t0 , t1 ∈ J , osc θ˙ = sup kθ(t (θ, J)

связанные с траекторией θ : J → Tn . Проблема Арнольда, заключалась в том, чтобы доказать при фиксированном `0 и некотором δ > 0 существование множества «типичных» малых возмущений P , таких, что для любого возмущения из этого множества найдется траектория (θ, J), для которой osc θ˙ > δ. (θ, J)

Нами получены соответствующие результаты в периодическом по времени случае при n = 2 (две степени свободы) и в автономном случае при n = 3 (три степени свободы). Эти результаты будут сформулированы в разделе 2. Решение вопроса о том, можно ли рассмотренные нами возмущения назвать «типичными», мы предоставляем читателю. Отметим, что нами получена более сильная «диффузия» по сравнению с той, о которой шла речь в работах Арнольда. 2.

ФОРМУЛИРОВКА

ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Пусть r — некоторое положительное целое число. Пусть M совпадает либо с B n , либо с Tn ×B n , либо с Tn × B n × T. Если f — вещественнозначная функция из C r на M , то под C r -нормой kf kr функции f будем понимать супремум по m ∈ M суммы абсолютных значений f (m) и абсолютных значений всех частных производных функции f в точке m порядка 6 r. Банахово пространство вещественнозначных функций из C r на M с C r -нормой будем обозначать через C r (M ). Топологию, порождаемую C r -нормой, будем называть C r -топологией.

ДИФФУЗИЯ АРНОЛЬДА, I: АНОНС РЕЗУЛЬТАТОВ

119

Множество вещественнозначных функций из C ∞ (т. е. бесконечно дифференцируемых) на M T r обозначим через C ∞ (M ); C ∞ -топология на C ∞ (M )(= C (M )) есть топология, порожденr

ная объединением C r -топологий. Она может быть также описана как проективный предел C r топологий. Множество вещественнозначных функций из C ω (т. е. аналитических) на M обозначим через C ω (M ). Любая функция из C ω на M продолжается до голоморфной функции, определенной в открытой окрестности U множества M в Cn , (Cn /Zn ) × Cn или (Cn /Zn ) × Cn × (C/Z) — в зависимости от рассматриваемой ситуации. Через H(U ) обозначим пространство ограниченных голоморфных функций на U , чьи сужения на U ∩ RN являются вещественными и аналитическими. S ω ω Таким образом, H(U ) ⊂ C (M ), если U связно. Более того, C (M ) = H(U ), где объединение берется по всем связным открытым окрестностям U множества M . C ω -топология на C ω (M ) есть индуктивный (или прямой) предел топологий на H(U ), порождаемых sup-нормами. Таким образом, подмножество N в C ω (M ) есть окрестность функции f ∈ C ω (M ), если N ∩ H(U ) есть окрестность функции f в H(U ) для каждой связной открытой окрестности U множества M . Пусть теперь r есть ω, ∞ или целое число > 3. Обозначим через Lr топологическое пространство функций `0 : B n → R из пространства C r , таких, что d2 `0 > 0. Пространство Lr наделяется C r топологией. Через P r обозначим топологическое пространство функций P : Tn × B n × T → R из C r , таких, что kP k3 = 1. Пространство P r наделяется C r -топологией. Пусть R++ — множество положительных чисел, R+ — множество неотрицательных чисел; оба пространства наделяются обычной топологией. Сформулируем основной результат статьи в периодическом по времени случае. Теорема 1. Предположим, что n = 2. Пусть Ω1 , . . . , Ωk — открытые непустые подмножества в B n . Существует неотрицательная функция δ, определенная на P 3 × L3 и такая, что:  (a) для любой `0 ∈ L3 множество P ∈ P r : δ(P, `0 ) > 0 плотно в P r , если r > 3; (b) существует открытое плотное подмножество W в  (ε, `0 , P ) ∈ R++ × L3 × P 3 : 0 < ε < δ(P, `0 ) , такое, что для (ε, `0 , P ) ∈ W существует траектория лагранжиана L = `0 + εP , пересекающая множества Ωi в любом наперед заданном порядке (см. замечание 1 ниже); r (c) Пусть r есть ω, ∞ или целое число > 3; пусть W r = W ∩ (R++ × Lr × P r ); тогда W — r r открытое плотное подмножество  в (ε, `0 , P ) ∈ R++ ×L × P : 0 < ε < δ(P, `0 ) ; 3 r (d) Для любой `0 ∈ L множество (ε, P ) : (ε, `0 , P ) ∈ W является открытым плотным подмножеством в (ε, P ) : P ∈ P r и 0 < ε < δ(P, `0 ) . Замечание 1. Пусть (θ, J) есть траектория лагранжиана L. Фраза «(θ, J) пересекает множе˙ ства Ωi » означает, что существует t ∈ J, такое, что θ(t) ∈ Ωi . Фраза «(θ, J) пересекает множества Ωi в любом наперед заданном порядке» означает следующее. Пусть K есть (конечное или бесконечное) множество последовательных целых чисел, и пусть ϕ : K → {1, . . . , k} — некоторое отображение. Тогда существует такое сохраняющее порядок отоб˙ κ ) ∈ Ωϕ(κ) для всех κ ∈ K. ражение t : K → R, что tκ ∈ J и θ(t Замечание 2. Функция δ и множество W зависят от выбора множеств Ω1 , . . . , Ωk . Однако они не зависят от выбора наперед заданного порядка, в котором необходимо, чтобы орбиты пересекали множества Ω1 , . . . , Ωk . Замечание 3. Условие (b) есть сильная форма диффузии Арнольда. Таким образом, в теореме 1 утверждается, что диффузия Арнольда имеет место для лагранжиана L = `0 + εP , когда (ε, `0 , P ) ∈ W . Замечание 4. Для `0 ∈ Lr положим W`r0 = {(ε, P ) ∈ R++ × P r : (ε, `0 , P ) ∈ W r }. Как мы только что отметили, диффузия Арнольда имеет место для L = `0 + εP , когда (ε, P ) ∈ W`r0 . Более того, условие (d) означает, что W`r0 «велико» в следующем смысле. Обозначим U`r0 = {εP : ε ∈ R++ , P ∈ P r и δ(P, `0 ) > 0}. Множество U`r0 , очевидно, положительно однородно. Это означает, что, умножая любой элемент этого множества на положительное число, мы снова получаем элемент этого множества. По условию (a) оно открыто и плотно в {εP : ε ∈ R+ и P ∈ P r }.

120

ДЖ. Н. МЭЗЕР

Положим  V`r0 = εP : P ∈ P r и 0 < ε < δ(P, `0 )}. Множество V`r0 является вершинно-остаточным по отношению к U`r0 . Это означает, что существует непрерывная положительная и положительно однородная функция F на U`r0 , такая, что  V`r0 ⊃ v ∈ U`r0 : F (v) < 1 . (Положительная однородность F означает, что F (λv) = λF (v) при λ > 0.) В рассматриваемом случае можно в качестве F (εP ) взять ε/δ(P, `0 ) при любых ε ∈ R++ и P ∈ P r , таких, что εP ∈ U`r0 . Поскольку δ(P, `0 ) > 0 при εP ∈ U`r0 , функция F непрерывна на U`r0 .
Таким образом, имеется тройка U`r0 , V`r0 , W`r0 , где U`r0 положительно однородно, открыто и плотно в банаховом пространстве возмущений `0 , принадлежащих C r ; V`r0 вершинно-остаточно по отношению к U`r0 ; W`r0 открыто и плотно в V`r0 . Именно в этом смысле W`r0 есть «широкое» множество возмущений. Согласно замечаниям 3 и 4 в теореме 1 утверждается, что «широкое» множество возмущений приводит к возникновению диффузии Арнольда. Возможно, теорему 1 можно понимать в том смысле, что «типичные» возмущения приводят к возникновению диффузии Арнольда. В автономном случае заменим P r на топологическое пространство P r? , состоящее из функций P : Tn × B n → R, принадлежащих C r и таких, что kP k3 = 1; пространство P r? снабжается C r -топологией. В этом случае гамильтониан H := Lθ˙ θ˙ − L инвариантен относительно потока Эйлера—Лагранжа. Обозначим через h0 := `0θ˙ θ˙ − `0 гамильтониан, соответствующий невозмущенному интегрируемому гамильтониану `0 . Пусть int B n есть внутренность множества B n . Сформулируем основной результат данной статьи в автономном случае. Теорема 2. Предположим, что n = 3. Пусть E ∈ R. Пусть Ω1 , . . . , Ωk — открытые непустые подмножества в B n . Обозначим через Lbr множество всех `0 ∈ Lr , таких, что существует единственная связная компонента из {h0 = E} ∩ {θ˙ 6= 0} ∩ int B n , пересекающая каждое множество Ωi . Существует неотрицательная непрерывная функция δ, определенная на P 3? × Lb3 и такая, что: (a) для любой `0 ∈ Lb3 множество {P ∈ P r? : δ(P, `0 ) > 0} плотно в P r? , если r > 3; (b) существует открытое плотное подмножество W в {(ε, `0 , P ) ∈ R++ × Lb3 × P 3? : 0 < ε < δ(P, `0 )}, такое, что для (ε, `0 , P ) ∈ W существует траектория в энергетической гиперплоскости {H = E} лагранжиана L = `0 + εP , пересекающая множества Ωi в любом наперед заданном порядке; (c) пусть r есть ω, ∞ или целое число > 3; положим W r = W ∩ (R++ × Lbr × P r? ); тогда W r есть открытое плотное подмножество в {(ε, `0 , P ) ∈ R++ × Lbr × P r? : 0 < ε < δ(P, `0 )}; (d) для любой `0 ∈ Lbr множество {(ε, P ) : (ε, `0 , P ) ∈ W r } есть открытое плотное подмножество в {(ε, P ) : P ∈ P r? и 0 < ε < δ(P, `0 )}. Замечание 5. По сравнению с теоремой 1 теорема 2 содержит следующие изменения: n = 2 заменено на n = 3, P r заменено всюду на P r? и Lr заменено всюду на Lbr . Далее, слегка ослаблено заключение теоремы предположением, что траектория, пересекающая множества Ωi , лежит в энергетической гиперплоскости. Разумеется, замена P r на P r? просто означает, что наш результат относится к автономному случаю, а не к периодическому по времени. Очевидное необходимое условие, гарантирующее справедливость заключения теоремы 2, состоит в существовании связной компоненты из {H = E}, пересекающей Tn × Ωi при каждом i. Если ε достаточно мало, это необходимое условие вытекает из предположения о том, что `0 ∈ Lb3 . Несмотря на то что это замечание не используется при доказательстве теоремы 2, оно может быть полезно как эвристическая мотивация определения Lbr .

ДИФФУЗИЯ АРНОЛЬДА, I: АНОНС РЕЗУЛЬТАТОВ

121

Замечание 6. Результаты, аналогичные теоремам 1 и 2 не имеют места при n = 1 в периодическом по времени случае и при n 6 2 в автономном случае. Это вытекает из хорошо известных результатов KAM-теории. С другой стороны, они, по всей видимости, должны быть справедливы при n > 2 в периодическом по времени случае и при n > 3 в автономном случае. Однако это пока не доказано. Далее мы обсудим некоторые моменты доказательства теоремы 1. Детальные доказательства обеих теорем будут опубликованы позднее. 3.

ПРОДОЛЖЕНИЕ

ЛАГРАНЖИАНА

L

В ходе доказательства (которое не приводится в данной статье) будут использованы результаты работ [Mat1, Mat2, Mat3], которые мы доказали для лагранжиана L : T M × T → R, удовлетворяющего предположениям сделанным в [Mat1]. В указанной работе M было произвольным замкнутым многообразием, а T M — его касательным пучком. В доказательстве мы применим эти результаты к случаю M = Tn , используя стандартное обозначение T Tn = Tn × Rn . Для того чтобы применить указанные результаты, необходимо продолжить L c Tn × B n × T на все Tn ×Rn ×T. В данном разделе мы сформулируем условия, которые накладываются на продолжение. Доказательство существования продолжения, удовлетворяющего этим условиям, элементарно, и мы его опустим. Если r есть ∞ или положительное целое число > 2, а `0 : B n → R есть функция из C r , такая, что d2 `0 > 0, то `0 может быть продолжена на все Rn так, что продолженная функция принадлежит C r и удовлетворяет условию d2 `0 > 0 на всем Rn . Далее, мы можем выбрать такое продол˙ = kθk ˙ 2 при kθk ˙ > ρ0 , где ρ0 — некоторое число > ρ, непрерывно зависящее от жение, что `0 (θ) исходной функции `0 относительно C r -топологии. Кроме того, можно выбрать такое продолжение, что продолженная функция будет непрерывно зависеть от исходной функции в C r -топологии. Аналогично, если P : Tn × B n × T → R есть функция из C r , то она может быть продолжена на все Tn × Rn × T так, что продолженная функция принадлежит C r , имеет компактный носитель и непрерывно зависит от исходной функции. Таким образом, в случае когда соответствующие функции из теоремы 1 дифференцируемы, мы может считать, что `0 и P продолжены, как описано выше. В случае аналитических функций будем пользоваться C ∞ -продолжениями. Заметим, что при продолжении P условие kP k3 = 1 может нарушаться. Однако в этом случае мы можем продолжить P так, что kP k3 < ∞, и заменить продолжение P на λP , где λ = 1/kP k3 . Для применения результатов [Mat1, Mat2, Mat3] необходимо, чтобы продолженный лагранжиан L = `0 + εP удовлетворял предположениям, сделанным в [Mat1], а именно: условию Лежандра, условию суперлинейного роста и условию полноты потока Эйлера—Лагранжа. Нетрудно видеть, что это соответствует ситуации, когда ε достаточно мало (малость зависит от `0 и P ). Это все, что потребуется в данной работе. 4.

МЕТОД

ИЗМЕНЕНИЯ ЛАГРАНЖИАНОВ

В этом разделе мы определим метод изменения лагранжианов, на котором базируется наше доказательство. В данной будет рассмотрен только периодический по времени случай. Пусть M — замкнутое многообразие, т. е. компактное многообразие без края. Если η есть 1-форма на M × T, то через ηb мы обозначим вещественнозначную функцию ˙ t) = hη(θ, t), (θ, ˙ 1)i для θ ∈ M , θ˙ ∈ T Mθ и t ∈ T. Здесь на T M × T, заданную формулой ηb(θ, θ, η(θ, t) обозначает η, вычисленную в точке (θ, t) ∈ M × T. Это линейная функция на касательном ˙ 1)i означают, что соответствующий пространстве T (M × T)(θ, t) = T Mθ × R. Скобки hη(θ, t), (θ, ˙ 1) ∈ T Mθ × R. линейный функционал вычисляется на элементе (θ, Если L есть лагранжиан на T M × T, удовлетворяющий предположениям, сделанным в [Mat1], и η есть R 1-форма R на M × T, то L − ηb также есть лагранжиан на T M × T. Более того, если η замкнута, то L dt и (L−b η )dt имеют совпадающие экстремали. Это означает, что потоки Эйлера—Лагранжа на T M × T, соответствующие L и L − ηb, совпадают. Опишем вкратце наш метод изменения лагранжианов.

122

ДЖ. Н. МЭЗЕР

Выберем последовательность . . . , Si , . . . гиперповерхностей (гладких замкнутых подмногообразий коразмерности один) в M × T, последовательность . . . , Ti , . . . положительных чисел и последовательность . . . , ηi , . . . замкнутых 1-форм на M × T. Для (σ, τ ) ∈ Si , (σ 0 , τ 0 ) ∈ Si+1 положим
hi (σ, τ ), (σ 0 , τ 0 ) = inf

Z b

 ˙ (L − ηbi )(θ, θ, t)dt ,

a

где инфимум берется по всем кривым θ : [a, b] −→ M , таким, что a ≡ τi (mod 1), b ≡ τi+1 (mod 1), θ(a) = σ, θ(b) = σ 0 , b − a > Ti , а также выполнено гомологическое условие и, возможно, другие условия (в зависимости от рассматриваемого случая). В случае когда Si = Si+1 , гомологическое условие означает, что класс в H1 (M, Si ; Z), представленный элементом θ, является заданным генератором. Таким образом, приходим к вариационному принципу X
hi (σi , τi ), (σi+1 , τi+1 ) , i∈J 0

где J — множество последовательных целых чисел, а J 0 есть множество J, из которого выброшен наибольший элемент, если J имеет наибольший элемент. При выполнении подходящего условия (ηi критическая или субкритическая, см. раздел 6), hi конечна и непрерывна. В этом случае можно определить минимизирующий элемент вариационного принципа как последовательность {(σi , τi ) : i ∈ J}, такую, что если a < b ∈ J и {(σi0 , τi0 ) : i ∈ J} есть любая последовательность, удовлетворяющая условию (σi0 , τi0 ) = (σi , τi ) для i 6 a и i > b, то X
X
0 0 hi (σi , τi ), (σi+1 , τi+1 ) 6 hi (σi0 , τi0 )(σi+1 , τi+1 ) . Из элементарных соображений компактности следует существование минимизирующего элемента, если все hi конечны и непрерывны. Пусть {(σi , τi ) : iR ∈ J} — минимизирующий элемент вариационного принципа. Если ηi суб˙ t)dt существует минимизирующий элемент θi : [ai , bi ] → M , критическая, то для (L − ηbi )(θ, θ, удовлетворяющий краевым условиям ai ≡ τi (mod 1), bi ≡ τi+1 (mod 1), θi (ai ) = σi , θi (bi ) = σi+1 , bi − ai > Ti и гомологическому условию, а также, возможно, некоторым другим условиям (см. раздел 6). Без ограничения общности можно считать, что ai+1 = bi ; действительно, мы можем заменить θi (t) на θi (t + ni ) при некотором ni , поскольку ai+1 ≡ τi+1 ≡ bi (mod 1). При этом θi остается минимизирующим элементом, так как L периодичен по t с периодом 1. Из соотношения ai+1 = bi следует, что θi+1 (ai+1 ) = σi+1 = θi (ai+1 ), и «сцепленная» кривая R θ = · · · ? θi ? θi+1 ? · · · оказывается непрерывной. Каждый элемент θi есть экстремаль для Ldt, R так как он минимизирующий элемент для (L − ηbi )dt. Следовательно, он является траекторией лагранжиана L (т. е. удовлетворяет уравнению Эйлера—Лагранжа). Однако «сцепленная» кривая θ может уже не быть траекторией L, поскольку может получиться, что θ˙i+1 (ai+1 ) 6= θ˙i (bi ) для некоторого i. В этом случае будем говорить, что θ имеет угол в точке ai+1 . В противном случае будем говорить, что θ удовлетворяет условию отсутствия уголов. Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы θ была траекторией L. Условие отсутствия уголов выполняется лишь в некоторых особых случаях. Чтобы выполнялось это условие, необходимо тщательно подбирать Si , Ti и ηi . В разделе 7 будут даны достаточные условия, гарантирующие выполнение условия отсутствия уголов, однако проверка этих достаточных условий представляет серьезные трудности и составляет большую часть доказательства (которое будет опубликовано позднее). R R Хотя экстремали для (L − ηb)dt совпадают с экстремалями для Ldt, когда η есть замкнутая 1-форма, отсюда, вообще говоря, не следует, что соответствующие минимизирующие элементы также совпадают. С другой стороны, минимизирующие элементы остаются теми же, если к лагранжиану добавлять, вместо замкнутой 1-формы, точную 1-форму. Таким образом, при фиксированном L минимизирующие элементы зависят лишь от класса когомологий де Рама [η] элемента η. При фиксированных L и η имеются различные типы минимизирующих элементов. Прежде всего, имеются минимизирующие элементы, соответствующие вариационному принципу, который обсуждался выше. В ходе доказательства (которое будет опубликовано позднее) будут предложены

ДИФФУЗИЯ АРНОЛЬДА, I: АНОНС РЕЗУЛЬТАТОВ

123

некоторые модификации этого вариационного принципа. В каждой модификации будут возникать новые типы минимизирующих элементов. Области определения минимизирующих элементов, соответствующих вариационным принципам, представляют собой конечные интервалы. Такие минимизирующие элементы удовлетворяют некоторому краевому условию. Для доказательства необходимо будет изучить три типа минимизирующих элементов, чьи области определения совпадают со всем R. Это так называемые абсолютные минимизирующие элементы, на которые не накладывается краевых условий. Такие типы минимизирующих элементов рассматривались в [Mat2]; кроме того, многие нужные нам результаты относительно минимизирующих элементов такого типа содержатся в [Mat2]. Эти результаты будут сформулированы в следующем разделе. В некотором смысле минимизирующие элементы, соответствующие вариационному принципу, являются малыми возмущениями абсолютных минимизирующих элементов. Соответствующее строгое утверждение приводится в разделе 8. 5.

АБСОЛЮТНЫЕ

МИНИМИЗИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

В данном разделе мы сформулируем различные результаты работы [Mat2]. В частности, мы обсудим три типа минимизирующих элементов, заданных на всем R, о которых шла речь в предыдущем разделе. Поскольку на них не накладывается никаких краевых условий, назовем их абсолютными минимизирующими элементами. Всюду в данном разделе будем понимать под L лагранжиан на T M ×T в смысле [Mat1]. Нужные нам результаты могут быть сформулированы в терминах следующей коммутативной диаграммы, определенной для c ∈ H 1 (M ; R): M˙ c ⊂ A˙ c ⊂ Σ˙ c ⊂ T M × T       y y yπ M c ⊂ Ac ⊂ M ×T Здесь π есть проекция. Множества M˙ c , A˙ c и Σ˙ c будут описаны ниже — это замкнутые подмножества, инвариантные относительно потока Эйлера—Лагранжа, соответствующего L. Орбиты потока Эйлера—Лагранжа, принадлежащие этим множествам, суть три типа абсолютных минимизирующих элементов, о которых мы говорили выше. Нижний ряд определяется формулами Mc = π(M˙ c ) и Ac = π(A˙ c ). Отображения π : M˙ c → Mc и π : A˙ c → Ac суть билипшицевы гомеоморфизмы. Эти утверждения известны как графические теоремы. Первая из этих графических теорем есть теорема 2 [Mat1]; вторая — теорема 6 [Mat2]. Отметим, однако, что в работе [Mat2] выбраны несколько неудачные обозначения и содержится несколько опечаток. Результаты работы [Mat2] обсуждаются в [Mat3], там же дана интерпретация результатов из [Mat2] в терминах, описанных выше, и исправлены некоторые опечатки. Для объяснения диаграммы нам потребуются некоторые из введенных ранее обозначений. Для удобства мы их сейчас напомним. Пусть µ — вероятностная мера на фазовом пространстве T M × T, инвариантная относительно потока Эйлера—Лагранжа, соответствующего L. Усредненное действие µ — это Z AL (µ) = A(µ) = Ldµ. Вектор поворота ρ(µ) меры µ — это единственный элемент из H1 (M ; R), удовлетворяющий условию Z (L − ηb)dµ = AL (µ) − hρ(µ), [η]M i − [η]T для каждой замкнутой 1-формы η на M × T. Здесь [η] = ([η]M , [η]T ) ∈ H 1 (M × T; R) = H 1 (M ; R) × R есть класс когомологий де Рама элемента η; h · , · i обозначает действие на дуальной паре пространств H1 (M ; R) и H 1 (M ; R). Минимальное усредненное действие определяется как βL (h) = β(h) = min{A(µ) : ρ(µ) = h}

124

ДЖ. Н. МЭЗЕР

для h ∈ H1 (M ; R), где µ пробегает множество всех вероятностных мер на фазовом пространстве, инвариантных относительно потока Эйлера—Лагранжа, соответствующего L. Функция βL = β : H1 (M ; R) → R выпуклая и имеет суперлинейный рост на бесконечности. Ее выпуклое сопряжение αL = α : H 1 (M ; R) → R есть α(c) = − min{β(h) − hh, ci}, где h пробегает пространство H1 (M ; R). Это также выпуклая функция с суперлинейным ростом. Пусть η — замкнутая 1-форма на M × T; будем говорить, что она критическая по Мане тогда и только тогда, когда Z  min µ

(L − ηb)dµ

= 0,

где µ пробегает множество всех вероятностных мер на фазовом пространстве, инвариантных относительно потока Эйлера—Лагранжа. Для определения множеств на нашей диаграмме рассмотрим замкнутую 1-форму η на M × T, такую, что [η]M = c. Будем говорить, что инвариантная вероятностная мера на фазовом пространR стве является c-минимальной, если она минимизирует (L − ηb)dµ на множестве инвариантных вероятностных мер. RЕсли мы к тому же предположим, что η — критическая по Мане, то это R будет означать, что (L − ηb)dµ = 0. Поскольку (L − ηb)dµ = AL (µ) − hρ(µ), ci − [η]T , свойство c-минимальности зависит только от c и не зависит от выбора критической по Мане 1-формы η, такой, что [η]M = c. Обозначим через M˙ c = M˙ cL замыкание объединения носителей всех c-минимальных мер на T M × R. Положим McL = Mc = π(M˙ c ) ⊂ M × T. Графическая теорема (теорема 2 [Mat1]) утверждает, что π : M˙ c → Mc есть билипшицевый гомеоморфизм. Назовем абсолютно непрерывную кривую θ : R → M абсолютным c-минимизирующим элементом, если для любого интервала [a, b] и любой абсолютно непрерывной кривой θ1 : [c, d] → M , такой, что c ≡ a (mod 1) и d ≡ b (mod 1), имеем Zb

˙ (L − ηb)(θ(t), θ(t), t)dt 6

a

Zd

(L − ηb)(θ1 (t), θ˙1 (t), t)dt,

c

где η — критическая по Мане 1-форма на M × T, такая, что [η]M = c. (Заметим, что мы не требуем ˙ выполнения равенства d − c = b − a.) Обозначим через Σ˙ L c = Σc объединение всех множеств ˙ {(θ(t), θ(t), t) : t ∈ R}, таких, что θ : R → M является c-минимальной. Очевидно, Σ˙ c есть замкнутое подмножество в T M × T, инвариантное относительно потока Эйлера—Лагранжа. Чтобы определить Ac и A˙ c на диаграмме, нам потребуется следующее обозначение. Если m0 , m1 ∈ M , τ0 , τ1 ∈ T, T > 0, а η есть критическая по Мане 1-форма на M × T, такая, что [η]M = c, то положим Z
˙ hη, T (m0 , τ0 ), (m1 , τ1 ) = inf (L − ηb)(θ(t), θ(t), t)dt, где инфимум берется по всем абсолютно непрерывным кривым θ : [a, b] → M , таким, что a ≡ τ0 (mod 1), b ≡ τ1 (mod 1), θ(a) = m0 , θ(b) = m1 , b − a > T . Пусть hη ((m0 , τ0 ), (m1 , τ1 )) = lim hη, T ((m0 , τ0 ), (m1 , τ1 )). T →∞

Определим

ρL c

= ρc по формуле

ρc ((m0 , τ0 ), (m1 , τ1 )) = hη ((m0 , τ0 ), (m1 , τ1 )) + hη ((m1 , τ1 ), (m0 , τ0 )). Тогда ρc > 0 и ρc удовлетворяет неравенству треугольника. Пусть AL c = Ac = {(m, τ ) ∈ M × T : ρc ((m, τ ), (m, τ )) = 0}. Сужение ρc на Ac есть псевдометрика. Будем говорить, что c-критическая кривая θ : R → M регулярна, если ρc ((m0 , τ0 ), (m1 , τ1 )) = 0 для всех (m0 , τ0 ), принадлежащих α-предельному множеству элемента θ, и (m1 , τ1 ), принадлежащих ω-предельному множеству элемента θ. (Заметим, что ρc ((m0 , τ0 ), (m00 , τ00 )) = 0, если (m0 , τ0 ) и (m00 , τ00 ) оба принадлежат α-предельному множеству θ, и ρc ((m1 , τ1 ), (m01 , τ10 )) = 0, если (m1 , τ1 ) и (m01 , τ10 ) оба принадлежат ω-предельному множеству θ.)

ДИФФУЗИЯ АРНОЛЬДА, I: АНОНС РЕЗУЛЬТАТОВ

125

˙ ˙ Пусть A˙ L c = Ac есть объединение всех множеств {(θ(t), θ(t), t) : t ∈ R}, таких, что θ : R → M — регулярная c-минимальная кривая. Очевидно, A˙ c ⊂ Σ˙ c , и A˙ c инвариантно относительно потока Эйлера—Лагранжа. Легко видеть, что A˙ c замкнуто. В работе [Mat2] доказано, что Mc ⊂ Ac , M˙ c ⊂ A˙ c , π(A˙ c ) = Ac и π : A˙ c → Ac есть билипшицев гомеоморфизм. Обозначения в [Mat2] отличаются от используемых в данной работе. Мы ввели обозначения Mc , M˙ c , Ac , A˙ c , Σ˙ c в работах [Mat3,Mat4]. В [Mat3] описанные выше результаты статьи [Mat2] были переформулированы в используемых здесь терминах; там также были исправлены некоторые неточности, допущенные в [Mat2]. Тот факт, что π есть билипшицев гомеоморфизм из A˙ c на Ac , представляет собой теорему 6 [Mat2]. (Отметим, что там было опущено слово «регулярная» в определении, предшествующем указанной теореме. Это ошибка исправлена в [Mat3].) Тот факт, что π : A˙ c → Ac есть билипшицев гомеоморфизм, представляет собой обобщение графической теоремы из [Mat1]. Заметим, однако, что отображение π : Σ˙ c → M × T не является, вообще говоря, инъективным. Чтобы подчеркнуть это, мы опустили множество Σc = π(Σ˙ c ) на нашей диаграмме. 6.

СУБКРИТИЧЕСКИЕ 1-ФОРМЫ

Расширим понятие критической по Мане 1-формы следующим образом. Будем говорить, что 1-форма η: • суперкритическая по (Мане), если [η]T > −α([η]M ); • критическая по (Мане), если [η]T = −α([η]M ); • субкритическая по (Мане), если [η]T < −α([η]M ). Таким R образом, η суперкритическая, критическая или субкритическая соответственно, если min (L − ηb)dµ отрицателен, равен нулю или положителен, где µ пробегает все множество вероµ

ятностных мер на фазовом пространстве, инвариантных относительно потока Эйлера—Лагранжа. В случае когда η суперкритическая, будем называть [η]T +α([η]M ) показателем суперкритичности η. В случае когда η субкритическая, будем называть −[η]T −α([η]M ) показателем субкритичности η. Таким образом, показатель суперкритичности или субкритичности — это положительное число, в том случае если оно определено. P Данные определения играют важную роль в методе изменения лагранжианов. Пусть hi есть вариационный принцип, определенный в разделе 4. Тогда hi ≡ −∞, если ηi суперкритическая. С другой стороны, hi конечна и непрерывна, если ηi критическая или субкритическая. Поэтому, определяя вариационный принцип, мы всегда будем выбирать ηi так, чтобы она была критическая или субкритическая. Это лишь одно из множества ограничений, которые будут наложены на Si , ηi и Ti в ходе нашего доказательства. Большинство ограничений будут наложены для того, чтобы гарантировать выполнение условия отсутствия уголов. Как уже отмечалось в разделе 4, если ηi субкритическая, то минимизирующий элемент θi (определенный в разделе 4) существует. По этой причине, определяя вариационный принцип, мы будем считать, что ηi субкритическая. 7.

ДОСТАТОЧНЫЕ

УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ УГОЛОВ

В данном разделе мы выбираем Si , Ti и ηi (i ∈ J) так же, как в разделе 4. Предположим, что каждая ηi критическая или субкритическая. Тогда hi , определенное в разделе 4, конечна P и непрерывна. Пусть . . . , (σi , τi ), . . . есть минимизирующий элемент вариационного принципа h((σi , τi ), J0 R ˙ t)dt, удо(σi+1 , τi+1 )). Пусть θi : [ai , ai+1 ] → M есть минимизирующий элемент для (L − ηb)(θ, θ, влетворяющий краевым условиям ai ≡ τi (mod 1), ai+1 ≡ τi+1 (mod 1), θi (ai ) = σi , θi (ai+1 ) = σi+1 и ai+1 − ai > Ti , а также гомологическому условию, которое обсуждалось ранее. Лемма 1 (достаточные условия отсутствия уголов). Пусть i, i + 1 = J 0 . Предположим, что выполняются следующие три условия: (a) (ηi+1 − ηi )|Si+1 = 0 в окрестности элемента θi (ai+1 ) (= θi+1 (ai+1 )); (b) θ˙i (ai+1 ) и θ˙i+1 (ai+1 ) принадлежат одной и той же связной компоненте из T M \ T Si ; (c) ai+1 − ai > Ti и ai+2 − ai+1 > Ti+1 .

126

ДЖ. Н. МЭЗЕР

Тогда θ˙i (ai+1 ) = θ˙i+1 (ai+1 ). Доказательство здесь не приводится. 8.

АБСОЛЮТНЫЕ

МИНИМИЗИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

КАК ПРЕДЕЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ МИНИМИЗИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Пусть ηi — критическая или субкритическая замкнутая 1-форма на M × T, i = 1, 2, . . . Пусть σi , σi0 ∈ M . Пусть также ai R< ti < bi ∈ R. Предположим, что θi : [ai , bi ] → M есть минимизи˙ t)dt, удовлетворяющий краевым условиям θ(ai ) = σi , рующий элемент интеграла (L − ηi )(θ, θ, 0 θ(bi ) = σi . Обозначим через [ηi ] = (ci , [ηi ]T ) класс когомологий де Рама элемента ηi . Лемма 2. Предположим, что ci → c, [ηi ]T → −α(c), ti → t, ti − ai → +∞, bi − ti → +∞, θi (ti ) → m и θ˙i (ti ) → v при i → +∞. Тогда (m, v, t (mod 1)) ∈ Σ˙ c . Доказательство здесь не приводится. В разделе 4 мы привели упрощенную версию метода изменения лагранжианов, который будет использован для доказательства теоремы 1. Выбрав соответствующим образом Si , Ti и ηi , мы получаем траекторию θ = . . .?θi ?. . .. Для того чтобы доказать пункт b) теоремы 1, нам необходимо показать, что θ пересекает Ωj . Лемма данного раздела является основной при доказательстве того, что θ пересекает Ωj . Если Ti очень велико и ηi лишь «слегка» субкритична, то часть траектории ˙ t → (θ(t), θ(t)) лежит очень близко к Σc . Если Σ˙ c ⊂ T2 × Ωj × T, то отсюда будет следовать, что траектория пересекает Ωj , когда Ti очень велико, а ηi лишь «слегка» субкритична. 9.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА

В данном разделе мы напомним известные понятия выпуклого анализа и обсудим одно из его применений к доказательству теоремы 1. Пусть V — конечномерное вещественное векторное пространство, и пусть β : V → R — выпуклая функция с суперлинейным ростом. Как упоминалось выше, ее выпуклое сопряжение α : V ? → R определяется по формуле α(v ? ) = − min (β(v) − hv, v ? i). Преобразование Лежандра Lβ , соответv∈V

ствующее β, есть отображение V в совокупность непустых компактных выпуклых подмножеств из V ? вида Lβ (v) = {v ? ∈ V ? : β(v) + α (v ? ) = hv, v ? i}. Если к тому же β принадлежит C 2 и его гессиан (матрица вторых производных) положительно определен, то Lβ (v) сводится к β 0 (v) ∈ V ? . (Здесь β 0 обозначает производную β.) Такая ситуация имеет место в случае интегрируемого лагранжиана, т. е. лагранжиана L на Tn × Rn × T вида ˙ t) = `0 (θ), ˙ где `0 : Rn → R принадлежит C 2 , имеет всюду положительно определенный гесL(θ, θ, сиан и является функцией суперлинейного роста. В этом случае имеем H1 (M ; Rn ) = H1 (Tn ; R) = Rn , и, следовательно, β`0 и `0 имеют одну и ту же область определения. Очевидно, что при этом β`0 = `0 . Для h ∈ Rn , c = Lβ (h), β = β`0 имеем M˙ c`0 = A˙ `c0 = Σ˙ `c0 = {θ˙ = h}. Заметим, что условие c = Lβ (h), β = β`0 эквивалентно тому, что c = `00 (h). Как мы уже отмечали в предыдущем разделе, наша стратегия поиска траектории (соответству2 ющей L = `0 + εP ), пересекающей Ωj , включает в себя выбор c, такого, что Σ˙ L c ⊂ T × Ωj × T. 2 С этой целью выберем h ∈ Ωj и c = Lβ (h) (где β = β`0 = `0 ). Тогда вложение Σ˙ L c ⊂ T × Ωj × T будет вытекать из следующего результата. Лемма 3. Существует положительная непрерывная функция δ1 , заданная на P 3 × L3 и √ ε/δ1 (P, `0 )-окрестности T2 × h × T, если h ∈ B n , P ∈ P 3 , `0 ∈ L3 , такая, что Σ˙ L c лежит в 0 < ε 6 1, c = Lβ (h), где β = β`0 и L = `0 + εP . Здесь L3 , P 3 и B n — те же, что и в разделе 2. Доказательство здесь не приводится. 10.

УСРЕДНЕННАЯ

СИСТЕМА, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ РАЦИОНАЛЬНОЙ ЧАСТОТЕ

˙ t) = `0 (θ) ˙ + εP (θ, θ, ˙ t) есть малое возмущение интегрируемого лагранжиана на Пусть L(θ, θ, 3 причем d `0 > 0. Рассмотрим рациональный вектор частот ω = (ω1 , ω2 ) ∈ Q2 . В случае невозмущенной интегрируемой системы каждая траектория с вектором поворота ω замкнута, т. е.

T2 × R2 × T,

ДИФФУЗИЯ АРНОЛЬДА, I: АНОНС РЕЗУЛЬТАТОВ

127

описывает окружность в T2 × T1 . Более точно, она описывает класс смежности подгруппы T1ω из T2 × T1 , где 
T1ω = λ, ω1 λ, ω2 λ ∈ T2 × T1 : λ ∈ R . Таким образом, мы можем описать траектории лагранжиана L c приближенным вектором частот ω в терминах быстрых и медленных переменных. Быстрые переменные соответствуют движению в направлении, параллельном T1ω , медленные переменные — движению в направлении, ортогональном (в соответствующем смысле) T1ω . Если мы рассмотрим усреднение по быстрым переменным, то получим новую лагранжеву систему Lω = Kω + Pω , чьи траектории аппроксимируют траектории лагранжиана L с приближенным вектором частот ω. Цель данного раздела — определить усредненную систему Lω . При этом мы не будем определять понятие «приближенного вектора частот», а также не будем говорить в каком смысле траектории Lω аппроксимируют определенные траектории L. Замечания из предыдущего абзаца приведены лишь для того, чтобы дать эвристическую мотивацию для введения понятия усредненной системы Lω , и не будут использованы в доказательстве. Однако в готовящейся статье мы покажем, что некоторые действия, минимизирующие траектории Lω , являются аппроксимациями действий, минимизирующих орбиты L. Другими словами, мы проведем математически строгие рассуждения для случая действий, минимизирующих орбиты. Другие случаи рассматриваться не будут, так как они не понадобятся для доказательства теоремы 1. Соотношение между действиями, минимизирующими траектории Lω , и действиями, минимизирующими траектории L, играет существенную роль в доказательстве. Более того, будем использовать усредненные системы этого и следующего разделов для нахождения общих условий, при выполнении которых мы докажем существование диффузии Арнольда, т. е. для нахождения функции δ, фигурирующей в утверждении теоремы 1. Положим T2ω = T2 × T1 /T1ω и Z Pω, Λ (ϕ) = P (θ, ω, t)dH. ϕ

Здесь ϕ обозначает элемент из T2ω (класс смежности T1ω в T2 × T1 ); dH обозначает нормированную меру Хаара на ϕ. Таким образом, мы определяем Pω (ϕ) как усреднение P (θ, ω, t) по множеству элементов (θ, t) ∈ ϕ относительно меры Хаара. Тем самым мы определили вещественнозначную функцию Pω на T1ω . Она может быть описана как P , «усредненное по быстрым переменным». Проекция π : T2 × T1 → T2ω , суженная на T2 × 0, индуцирует изоморфизм векторных пространств dπ(θ, t) : R2 = T T2(θ, t) → T (T2ω )ϕ для любой ϕ ∈ T2ω и любого (θ, t) ∈ ϕ. Этот изоморфизм не зависит от выбора (θ, t) ∈ ϕ. Поскольку `0 есть вещественнозначная функция из пространства C 2 на R2 , ее полная вторая производная d2 `0 (ω) может рассматриваться как квадратичная форма на R2 . Положим Kω = d2 `0 (ω)/2. Таким образом, Kω может рассматриваться как квадратичная форма на T (T2ω )ϕ (при этом R2 отождествляется с T (T2ω )ϕ посредством изоморфизма dπ(θ, t) ). Положим Lω = Kω + Pω ◦ pr : T (T2ω ) → R, где pr : T (T2ω ) → T2ω обозначает проекцию. Это — усредненная система, соответствующая ω ∈ Q2 и являющаяся автономной консервативной механической системой с кинетической энергией Kω и потенциальной энергией −Pω ◦ pr. 11.

УСРЕДНЕННАЯ

СИСТЕМА, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ВЕКТОРУ ЧАСТОТ, И ЕДИНИЧНЫЙ РЕЗОНАНС

Рассмотрим вектор частот ω = (ω1 , ω2 ) ∈ R2 и соответствующий ему резонанс k = (k0 , k1 , k2 ). Это означает, что k ∈ Z3 , (k1 , k2 ) 6= 0 и k0 + k1 ω1 + k2 ω2 = 0. Если ω ∈ Q2 , то для него существует два линейно независимых резонанса; в противном случае существует не более одного резонанса с точностью до умножения на скаляр.  Пусть Λ = Λk есть прямая (ω1 , ω2 ) ∈ R2 : k0 + k1 ω1 + k2 ω2 = 0 . Таким образом, Λ есть множество всех ω ∈ R2 , для которых k является резонансом. Положим  T2ω, Λ = (θ1 , θ2 , t) ∈ T2 × T1 : k0 t + k1 θ1 + k2 θ2 = 0 .

128

ДЖ. Н. МЭЗЕР

Т. е. T2ω, Λ есть подгруппа в T2 × T1 . Пусть также T1ω, Λ = T2 × T1 /T2Λ и Z Pω, Λ (ϕ) = P (θ, ω, t)dH. ϕ

Здесь ϕ обозначает элемент из T1Λ (класс смежности T2Λ в T2 × T1 ); dH обозначает нормированную меру Хаара на ϕ. Итак, Pω, Λ есть вещественнозначная функция на T2Λ . Проекция π : T2 × T1 → T1ω, Λ , суженная на T2 × 0, индуцирует эпиморфизм векторных пространств dπ(θ, t) : R2 = T T(θ, t) → T (T1Λ )ϕ для любой ϕ ∈ T1Λ и любого (θ, t) ∈ ϕ. Этот эпиморфизм не зависит от выбора (θ, t) ∈ ϕ. Обозначим через Nω ⊂ R2 нуль-пространство эпиморфизма dπ(θ, t) , а через Nω⊥ — его ортогональное дополнение относительно d2 `0 (ω). Положим Kω, Λ = (d2 `0 (ω)/2)|Nω⊥ . Т. е. Kω, Λ может рассматриваться как квадратичная форма на T (T1Λ )ϕ (при этом Nω⊥ отождествляется с T (T1Λ ) посредством эпиморфизма dπ(θ, t) ). Пусть Lω, Λ = Kω, Λ + Pω, Λ ◦ pr : T (T1Λ ) → R, где pr : T (T1Λ ) → T1Λ есть проекция. Мы получили усредненную систему, соответствующую вектору частот ω ∈ R2 с резонансом k. 12.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ δ:

КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА

В данном разделе мы частично определим функцию δ, фигурирующую в формулировке теоремы 1. Обсудим лишь качественные аспекты определения и не будем затрагивать количественные. Иными словами, мы определим множество, на котором δ положительна; вопрос о размерах самой функции δ будет изучен в последующей работе. Итак, мы частично определим множество U`r0 = {εP : ε ∈ R++ , P ∈ P r , и δ(P, `0 ) > 0}, о котором шла речь в замечании 4 (после теоремы 1), оставляя рассмотрение количественной части определения U`r0 для последующей статьи. Определение 1. Пусть Γ — отрезок в пространстве R2 . Будем говорить, что он рационален, если существует резонанс k = (k0 , k1 , k2 ), такой, что Γ лежит на Λk . (Тот факт, что k является резонансом, означает, что k ∈ Z3 и (k1 , k2 ) 6= 0; см. раздел 11.) Определение δ и U`r0 зависит от выбора конечного числа рациональных отрезков Γ1 , . . . , Γn в int B 2 , таких, что множество Γ1 ∪ · · · ∪ Γn связно и пересекает каждое из множеств Ωi . Для r каждого отрезка Γ определим функцию δΓ и множество UΓ, : ε ∈ R++ , P ∈ P r и `0 = {εP δ(P, `0 ) > 0}. Зададим δ формулой δ = min{δΓ1 , . . . , δΓn }, при этом

U`r0

будет удовлетворять условию U`r0 = UΓr1 , `0 ∩ . . . ∩ UΓrn , `0 .

(?)

r Далее нас будет интересовать исключительно определение UΓ, `0 . Мы опустим индекс `0 в записи r r UΓ, `0 и будем обозначать это множество UΓ . Обсуждение количественных свойств в определении UΓr отложим на будущее. Также не будем определять δΓ , являющееся количественной характеристикой для UΓr . Пусть Λ = Λk есть прямая, содержащая Γ. Для ω ∈ Γ будем писать Pω, Γ , вместо усредненной функции Pω, Λ , определенной в разделе 11, и TiΓ — вместо TiΛ (i = 1, 2). Тогда {Pω, Γ : ω ∈ Γ} является 1-параметрическим семейством функций, заданных на круге T1Γ и принадлежащих пространству C r . Для того чтобы εP принадлежало UΓr , требуем, чтобы глобальные минимумы {Pω, Γ : ω ∈ Γ} были общего типа. Это означает выполнение следующих трех условий.

(C1) Для каждой ω ∈ Γ каждый глобальный минимум mω функции Pω, Γ невырожден, т. е. 00 (m ) > 0. Pω, ω Γ (C2) Для каждой ω ∈ Γ существует не более двух глобальных минимумов функции Pω, Γ . Пусть ω0 ∈ Γ, и предположим, что Pω0 , Γ имеет два глобальных минимума mω0 и m0ω0 . В силу условия (C1) мы можем продолжить их до локальных минимумов mω и m0ω функции Pω, Γ ,

ДИФФУЗИЯ АРНОЛЬДА, I: АНОНС РЕЗУЛЬТАТОВ

129

где ω ∈ Γ лежит вблизи ω0 . Таким образом, mω и m0ω непрерывно зависят от ω и совпадают с заданными глобальными минимумами при ω = ω0 . Дополнительно к условиям (C1) и (C2) потребуем выполнения следующего условия трансверсальности: (C3) dPω, Γ (mω )/dω ω=ω0 6= dPω, Γ (m0ω )/dω ω=ω0 . Остальные условия, которые мы накладываем на `0 и P , чтобы εP принадлежало UΓr , являются по сути условиями на усредненные системы Lω , соответствующие ω ∈ Γ ∩ Q2 и определенные в разделе 10. Указанное ω имеет вид ω = p/q = (p1 /q, p2 /q), где p = (p1 , p2 ) ∈ Z2 и q ∈ Z, q > 0. Если p/q записано в приведенной форме, т. е. 1 есть наибольший общий делитель p1 , p2 и q, то будем говорить, что q является знаменателем ω. Оставшиеся условия накладываются только в том случае, когда ω имеет малый знаменатель, т. е. q 6 q0 , где q0 — положительное целое число, зависящее от Γ, `0 и P . Определение q0 есть количественное описание UΓr , которое мы обсудим в последующей статье. Первое условие, которому должен удовлетворять Lω , — это условие на Pω . (C4)ω Функция Pω имеет единственный глобальный минимум nω на T2ω , и он невырожден по Морсу, т. е. невырождена квадратичная форма d2 Pω (nω ). Для формулировки оставшихся условий нам потребуется определить специальный элемент h0 из H1 (T2ω ; R). Поскольку ω ∈ Γ ∩ Q2 , имеем T1ω ⊂ T2Γ ; таким образом, T2Γ /T1ω является окружностью в T2ω и Z ≈ H1 (T2Γ / T1ω ; Z) ⊂ H1 (T2ω ; Z) ⊂ H1 (T2ω ; R). Пусть h0 есть генератор H1 (T2Γ /T1ω ; Z). В силу указанных выше вложений он является элементом H1 (T2ω ; R). Лагранжиан Lω описывает консервативную механическую систему, т. е. имеет вид кинетическая энергия минус потенциальная энергия. Здесь кинетическая энергия Kω соответствует постоянной римановой метрике gω = d2 `0 (ω) на T2ω . Потенциальная энергия есть −Pω ◦ pr. Для краткости будем писать просто −Pω . Оставшиеся условия на Lω проще всего записать в терминах принципа Мопертюи. Пусть E0 = −Pω (nω ), где nω ∈ T2ω есть единственный минимум функции Pω . Для любой E > E0 положим gE = 2(Pω + E)Kω . Для E > E0 функция Pω + E положительна всюду на T2ω . Следовательно, gE есть C r -риманова метрика T2ω . Для E = E0 функция Pω + E положительна всюду, кроме nω , где она обращается в ноль и имеет невырожденный минимум. Принцип Мопертюи утверждает, что траектории Lω с энергией E совпадают с геодезическими метрики gE с точностью до параметризации по времени. Карнейро [C] обобщил принцип Мопертюи и показал, что абсолютные минимизирующие элементы Lω с энергией E соответствуют классу A геодезических gE (в смысле Морса [Mo] и Хедлунда [H]). Дальнейшие условия на Lω касаются кратчайшей замкнутой геодезической gE в классе гомологий h0 при E > E0 . Грубо говоря, мы требуем, чтобы указанные геодезические были общего типа. Тем самым мы предполагаем выполнение следующих четырех условий. (C5)ω Для E > E0 каждая кратчайшая замкнутая геодезическая gE в классе гомологий h0 является невырожденной по Морсу. (C6)ω Для E > E0 существует не более двух кратчайших замкнутых геодезических gE в классе гомологий h0 . Пусть E1 > E0 . Предположим, что существуют две кратчайшие геодезические γ и γ 0 метрики gE1 в классе гомологий h0 . В силу (C5)ω мы можем продолжить их до локально кратчайших 0 метрики g , где E близко к E . Пусть µ — замкнутая кривая на T2 . Обогеодезических γE и γE 1 E ω значим через `E (µ) ее длину в метрике gE . Потребуем выполнения следующего второго условия трансверсальности: 0 ))/dE (C7)ω d(`E (γE ))/dE E=E1 6= d(`E (γE . E=E1 Выше сформулированы условия на gE для случая E > E0 . Случай E = E0 является особым, поскольку gE0 не является римановой метрикой (она обращается в ноль при nω ). Тем не менее мы можем определить длину кривой в gE0 точно так же, как мы бы определили длину кривой в римановой метрике. Назовем геодезической кривую, являющуюся кратчайшим расстоянием между

130

ДЖ. Н. МЭЗЕР

любыми двумя достаточно близкими точками. Легко видеть, что существует кратчайшая геодезическая gE0 в классе гомологий h0 . Наложим следующее условие на Lω . (C8)ω Существует только одна кратчайшая геодезическая γ для gE0 в классе гомологий h0 ; при этом γ невырождена по Морсу. Фраза «gE -кратчайшая геодезическая γ невырождена по Морсу» означает следующее. Пусть кривая µ пересекает γ в одной точке (отличной от nω в случае E = E0 ). Для каждой точки P ∈ µ через γP обозначим gE -кратчайшую кривую, проходящую через P , в классе гомологий h0 . Через `E (γP ) обозначим ее gE -длину. Функция P → `E (γP ) принадлежит C r , и при этом условие невырожденности γ означает, что ее вторая производная положительна. В случае E > E0 это совпадает с обычным понятием невырожденности по Морсу.  r Определение 2. UΓr ( = UΓ, εP : ε ∈ R++ , P ∈ P r и P удовлетворяет условиям `0 ) = (C1)–(C3), а также (C4)ω –(C8)ω при ω ∈ Γ ∩ Q2 с малым знаменателем, т. е. таким, что q 6 q0 , где q — знаменатель ω . r Таким образом, мы дали полное определение UΓ, `0 , но не пояснили, что означает «малый знаменатель». Соответствующие пояснения будут даны в последующей статье. В силу формулы (?) в r начале раздела мы полностью определим U`r0 , если завершим определение UΓ, `0 . При этом определение δ, которое мы также дадим в следующей статье, будет являться количественной характеристикой U`r0 .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [A1] [A2] [A3] [C] [DLS] [H] [Mat1] [Mat2] [Mat3] [Mat4] [Mo] [X]

Arnold V. I. Instability of dynamical systems with many degrees of Freedom// Soviet Math. Dokl. — 1964. — 5. — С. 581–585 Arnold V. I. Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics// Russian Math. Surv. — 1963. — 18, № 6. — С. 85–191 Arnold V. I. Dynamical systems III. Encyclopaedia of mathematical sciences. — Berlin–Heidelberg: Springer–Verlag, 1988 Carneiro M. J. D. On minimizing measures of the action of autonomous Lagrangians// Nonlinearity. — 1995. — 8. — С. 1077–1085 Delshams A., de la Llave R., Seara T. M. Geometric mechanism for diffusion in Hamiltonian systems overcoming the large gap problem: heurestics and rigorous verification of a model// Preprint, 2002 Hedlund G. A. Geodesics on a two–dimensional Riemannian manifold with periodic coefficients// Ann. Math. — 1932. — 33. — С. 719–739 Mather J. N. Action minimizing invariant measures for positive definite Lagrangian systems// Math. Z. — 1991. — 207. — С. 169–207 Mather J. N. Variational construction of connecting orbits// Ann. Inst. Fourier. — 1993. — 43. — С. 1349–1386 Mather J. N. Total disconnectedness of the quotient Aubry set in low dimensions// Preprint, 2002. To appear in the Moser memorial volume of Commun. Pure Appl. Math. Mather J. N. A property of compact, connected laminated subsets of manifolds// Preprint, 2002. To appear in the Moser memorial volume of Ergodic Theory and Dynamical Systems. Morse M. A fundamental class of geodesics on any closed surface of genus greater than one// Trans. Am. Math. Soc. — 1924. — 26. — С. 25–60 Xia J. Arnold diffusion: a variational construction// Proc. International Congress Mathematicians, Berlin. — 1998. — Vol. II

John N. Mather Princeton University, Department of Mathematics, Princeton, NJ 08544-1000 E-mail: [email protected]