Определимость булевых алгебр в HF-надстройках

Алгебра и логика, 39, N 6 (2000), 711-719

УДК 510.5

ОПРЕДЕЛИМОСТЬ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР В ^-НАДСТРОЙКАХ** А.В.РОМИНА Введение

В последнее время широкое распространение получили исследова­ ния по вычислимости для абстрактных типов данных. С этой точки зре­ ния особый интерес представляет понятие определимости в наследственноконечных надстройках, поскольку в последних хорошо интерпретиру­ ются все известные способы построения новых данных. Кроме того, наследственно-конечные надстройки являются наименьшими допустимы­ ми множествами над моделью». В рамках подхода S-определимости, введенного Ю.Л.Ершовым, в данной работе изучается определимость булевых алгебр и их рангов Фре­ ше в наследственно-конечных надстройках. Строятся примеры суператом­ ной булевой алгебры, ранг Фреше которой не является Е-определимым в наследственно-конечной надстройке над ней и допустимого множества, в котором безатомная булева алгебра не является автоустойчивой.

§ 1. Предварительные сведения В настоящей работе рассматриваются только счетные модели конеч­ ной предикатной сигнатуры» Поскольку речь, как правило, будет идти о *^ Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы ^Интеграция", проект 274, и Российского фонда фундаментальных исседований, проект N 99-01-00485. ©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

712

А. В. Ромина

булевых алгебрах, напомним несколько определений и обозначений, от­ носящихся к булевым алгебрам. Все остальные необходимые сведения о булевых алгебрах можно найти в [1]. В [1] определяются естественный порядок на булевой алгебре а < b a U Ь = Ь и идеал Фреше. Следуя принятым там обозначениям, через Fa{S&) обозначается а-й итерированный идеал Фреше алгебры 21. В даль­ нейшем, если из контекста ясно, о какой алгебре идет речь, будем исполь­ зовать выражение Fa вместо F a (2l). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Рангом Фреше булевой алгебры 21 называется первый ординал /)(21) = а такой, что Fa = F a +iИзвестно, что ранг Фреше суператомной булевой алгебры являет­ ся непредельным ординалом и в фактор-алгебре 2l/Fp(gi)_1(2l) содержится конечное число атомов [1]. Типом суператомной булевой алгебры называ­ ется пара т (21) = (а, га), где р(21) = а + 1 и т - число атомов в 2 l / F a . Известно, что счетная суператомная булева алгебра определяется своим типом с точностью до изоморфизма [1]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 [1]. Если 21 - алгебраическая система и ! С |21|, то наименьшую подсистему, содержащую множество X, назовем подсисте­ мой, порожденной множеством X, и обозначим gr(Jf). Говорят, что X — множество, порождающее 21, если gr(X) = 21. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 [1]. Линейно упорядоченным базисом булевой ал­ гебры 21 называется линейно упорядоченное подмножество L, порождаю­ щее 21, такое, что 1 ^ L и О G L. Известно, что каждая счетная булева алгебра имеет линейно упо­ рядоченный базис и изоморфна его алгебре полуинтервалов. Более того, каждая конструктивизация конструктивной булевой алгебры эквивалент­ на конструктивизации алгебры полуинтервалов некоторого конструктив­ ного линейно упорядоченного множества [1]. Теперь рассмотрим понятия, касающиеся вычислимости в допусти­ мых множествах. Допустимые множества будем рассматривать в расши­ ренной сигнатуре а9 = a U {U, 5, £}, где а — исходная сигнатура модели, лежащей в основании допустимого множества. Определение допустимых

Определимость булевых алгебр в Ш¥-надстройках

713

множеств и все необходимые сведения о них содержатся в [2, 3]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 [2]. Пусть А - допустимое множество, ЯЛ = (М; (P"*)* (х/фо,у/ф'0)

€ / ) . Тогда / — корректно определенное отобра­

ж е н и е и индуцирует требуемый изоморфизм. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 2. Пусть 21 — суператомная булева алгебра, £ — линейный порядок, Е-определимый в HF(2l), И Й - парамет­ ры, входящие в формулы, которые определяют £. Если 21 конструктивна, то порядок конструктивен. Пусть 21 не является конструктивной. Тогда

Определимость булевых алгебр в HF-надстройках

717

не конструктивен ее ранг Фреше. Значит он больше и + 2. Рассмотрим алгебру *8 = *Bu,w+2. Пусть S — множество атомов конечной алгебры, по­ рожденной sp(a). Рассмотрим частичный изоморфизм / : 21 -» *В такой, что (т(х) = r(f(x))

V (р(ж) > <J + 1 & p(f(x))

> u + 1))) для всех я из

5 . Продолжим / до частичного изоморфизма /* : НИР(21) -» HF(*B) сле­ дующим образом: 8f* = {,т | sp(s) С (£}, / С /*, / сохраняет отношение принадлежности, где С — алгебра, порожденная носителем а. Полагаем

Ь = Г(а). Полагаем, что выполняется Т{х,у) тогда и только тогда, когда су­ ществует конечный частичный изоморфизм g : HF(2l) -» HF(5B), для ко­ торого (V/i e 5gf) A{{r{h) = r(g(h)) V (p(h) > ukp(g(h)) CSg)k(g(a,x)

> u)))) & (а С

= (b,y)).

Покажем, что (HF(2l),a, x) = (HF(5J),6, у). Доказательство этого факта практически полностью повторяет доказательство из [6]. Индук­ цией по га можно показать, что (ШГ(21),ж) = г о (EF(*B),y), если суще­ ствует частичный изоморфизм / : HF(2l) -» HF(9J), для которого r(h) = = r(f(h)) V (p(/i) > га & />(flf(fe)) > га)) при всех h из 5 / П А. Пусть Т(я, z) &; Т(у, г) & ж х " н , у& • У? •-> Vi*11 продолжаем их до частичных изомор­ физмов /£,#£ соответственно, и полагаем xk+l = /fc(#fc),yfc+1 = fk(yk)- То­ гда < Щ а ) , а , ^ я * + 1 ) > = (НР(Я),а,(х* +1 ,ж л )> и (HF(2l),a, (yfc, y fc+1 )) ~

Рассмотрим 5 из 5i и атомы алгебры, порожденной множеством sp(a) U &p(x) U sp(y) под s. Если p(s) > и + 1, то среди них есть хотя бы один, для которого р(с) > и) + 1. Пусть {х{} — атомы алгебры, поро­ жденной множеством sp(a) U sp(x) под § , и с < ж0- Выберем ж£ так, чтобы 4 = , (HF(2t),a,(y / o ,^)) = (HF(2l),a,(^,y / o )). Следовательно, ^ 0 ( ^ , х / + 1 ) & фо(х1°,у1°) & ^о(у'?!/' +1 )- Значит, Утверждение теоремы немедленно следует из замечания 1.

ф0(х,у).

Определимость булевых алгебр в EF-надстройках

719

С Л Е Д С Т В И Е 1. Существует суператомная булева алгебра 21 та­ кая, что ее ранг Фреше не является Е -определимым в HF(Ql). Приведем пример результата, который удалось обобщить из обычной теории рекурсии на произвольные допустимые множества: ПРИМЕР 2. Пусть А — произвольное допустимое множество и £ — некоторый Е-определимый в А линейный порядок. Тогда алгебра по­ луинтервалов £©£ тоже ^определима

в А.

Это справедливо, поскольку ®£ будет Е-определима в HF(£). Нетрудно заметить, что суператомная булева алгебра, имеющая Е-определимый в А ранг Фреше, также Е-определима в А. Автор выражает благодарность своему научному руководителю С» С, Гончарову за постановку задачи и существенную помощь в работе. ЛИТЕРАТУРА 1. С» С Гончаров, Счетные булевы алгебры и разрешимость, Новосибирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1996. 2. Ю. Л. Ершов, Определимость и вычислимость, Новосибирск, Научная кни­ га (НИИ МИОО НГУ), 1996. 3. J. Barwise, Admissible sets and structures, Berlin, Springer-Verlag, 1975. 4. Ю. Л.Ершов, Проблемы разрешимости и конструктивные модели, М., Наука, 1980, 5. X. Роджерс, Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость, М., Мир, 1972. 6. И. А. Кирпотина, Элементарная эквивалентность в языке списочных над­ строек, в сб. 'Теория вычислений и языки спецификаций" (Вычислитель­ ные системы, 139), Новосибирск, 1991, 26—37.

Адрес автора:

Поступило 5 мая 1999 г.

РОМИНА Анна Валерьевна,

Окончательный вариант

РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2, Новосибирский государственный университет.

8 июня 1999 г.