Решетка типов интерпретируемости многообразий Кантора

Алгебра и логика, 43, N 4 (2004), 445—458

УДК 512.572

РЕШЕТКА ТИПОВ ИНТЕРПРЕТИРУЕМОСТИ МНОГООБРАЗИЙ КАНТОРА

Д. М. СМИРНОВ Введение

Пусть m и n — фиксированные натуральные числа, причем 1 6 6 m < n. Многообразием Кантора Cm,n называется многообразие алгебр (A; f1 , . . . , fm , g1 , . . . , gn ) с n-арными операциями f1 , . . . , fm и m-арными операциями g1 , . . . , gn , определимое тождествами gi (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn )) = xi , i = 1, . . . , n; fk (g1 (x1 , . . . , xm ), . . . , gn (x1 , . . . , xm )) = xk , k = 1, . . . , m. Многообразие C1,2 впервые рассмотрели Б. Йонссон и А. Тарский [1], они показали, что в C1,2 все свободные алгебры конечного ранга r > 1 изоморфны между собой. Многообразие Cm,n интерпретируемо (или представимо) в Cm′ ,n′ (символически Cm,n → Cm′ ,n′ ), если Cm′ ,n′ обладает такими термами f¯k (x1 , . . . , xn ), g¯i (x1 , . . . , xm ) (k = 1, . . . , m; i = 1, . . . , n), что для каждой алгебры A из Cm′ ,n′ производная алгебра (A; f¯1 , . . . , f¯m , g¯i , . . . , g¯n ) принадлежит многообразию Cm,n . Отношение Cm,n → Cm′ ,n′ на совокупности многообразий Кантора является квазипорядком. Его классы эквивалентности называются типами интерпретируемости многообразий Кантора. Для краткости будем называть их просто типами Кантора. Тип, которому принадлежит многообразие Cm,n , обозначим через [Cm,n ]. Каждый

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

446

Д. М. Смирнов

такой тип является элементом известной решетки Lint f всех конечных типов интерпретируемости [2], т. е. типов, определимых конечно базируемыми многообразиями алгебр. В свою очередь, Lint f является подрешеткой решетки Lint всех типов интерпретируемости многообразий алгебр. В работе доказывается, что множество типов Кантора с отношением [Cm,n ] ≤ [Cm′ ,n′ ] ⇔ Cm,n → Cm′ ,n′ является дистрибутивной решеткой с наибольшим элементом [C1,2 ]. При фиксированном m > 1 элементы вида [Cm,n ] составляют в ней подрешетку, дуально изоморфную решетке Z2 целых положительных чисел с отношением делимости. Решетка C типов Кантора является верхней подполурешеткой решетки Lint f . Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых чисел a и b обозначают соответственно через (a, b) и [a, b]. Для целых a и b, a 6= 0, выражение a/b означает, что b делится на a (без остатка).

§ 1. Основная теорема Пусть C = {[Cm,n ] | 1 ≤ m < n} — множество всех типов Кантора. ТЕОРЕМА 1. Частично упорядоченное множество C = (C, ≤) с отношением [Cm,n ] ≤ [Cm′ ,n′ ] ⇔ Cm,n → Cm′ ,n′ является дистрибутивной решеткой с наибольшим элементом [C1,2 ] и операциями [Cm,n ] ∨ [Cm′ ,n′ ] = [Cm0 ,m0 +d ], [Cm,n ] ∧ [Cm′ ,n′ ] = [Cm1 ,m1 +k ], где m0 = min {m, m′ }, m1 = max {m, m′ }, d = (n − m, n′ − m′ ), k = [n − −m, n′ − m′ ]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В [3, теор. 1] доказано, что при m0 = min{m, m′ } и d = (n − m, n′ − m′ ) тип [Cm0 ,m0 +d ] является точной верхней гранью элементов [Cm,n ] и [Cm′ ,n′ ] решетки Lint f , и, таким образом, C = (C, ≤) является верхней подполурешеткой решетки Lint f .

Решетка типов интерпретируемости многообразий Кантора

447

Докажем, что при m1 = max {m, m′ } и k = [n − m, n′ − m′ ] тип [Cm1 ,m1 +k ] является точной нижней гранью элементов [Cm,n ] и [Cm′ ,n′ ] в частично упорядоченном множестве C = (C, ≤). Будет использоваться следующая ЛЕММА [3, § 1]. Многообразие Cm,n интерпретируемо в Cm′ ,n′ тогда и только тогда, когда m > m′ и n ≡ m (mod (n′ − m′ )). В силу этой леммы многообразие Cm1 ,m1 +k интерпретируемо как в Cm,n , так и в Cm′ ,n′ . Проверим, что Cx,y → Cm1 ,m1 +k , если Cx,y → → Cm,n и Cx,y → Cm′ ,n′ . Действительно, при x > m, m′ справедливо x > max {m, m′ } = m1 . Если y − x делится на n − m и n′ − m′ , то y − x делится на [n − m, n′ − m′ ] = k. По лемме многообразие Cx,y интепретируемо в Cm1 ,m1 +k . Докажем, что решетка C = (C, ∨, ∧) дистрибутивна. С этой целью рассмотрим множество (Z + , ≤1 ) целых положительных чисел, линейно упорядоченное естественным образом. Оно является решеткой Z1 = = (Z + , ∨, ∧) с операциями a ∨ b = max {a, b}, a ∧ b = min {a, b}. Рассмотрим также множество (Z + , ≤2 ) целых положительных чисел, частично упорядоченное по делимости: a ≤2 b ⇔ a/b. Оно является решеткой Z2 = (Z + , ∨, ∧) с операциями a ∨ b = [a, b], a ∧ b = (a, b). Известно [4, гл. 1, § 6], что решетки Z1 и Z2 дистрибутивны. Их прямое произведение Z = Z1 ×Z2 и двойственная ему решетка также дистрибутивны. Остается показать, что решетка C дуально изоморфна решетке Z. В силу леммы равенство [Cm,n ] = [Cm′ ,n′ ] выполняется тогда и только тогда, когда m = m′ и n = n′ . Поэтому отображение ϕ : [Cm,n ] → hm, n − mi

448

Д. М. Смирнов

множества C на множество Z + × Z + взаимно однозначно. При этом ϕ([Cm,n ] ∨ [Cm′ ,n′ ]) = ϕ([Cm0 ,m0 +d ]) = hm0 , di, где m0 = min {m, m′ } и d = (n−m, n′ −m′ ). Так как m0 = m∧m′ в решетке Z1 и d = (n − m) ∧ (n′ − m′ ) в решетке Z2 , то hm0 , di = hm, n − mi ∧ hm′ , n′ − m′ i в решетке Z = Z1 × Z2 . Получаем ϕ([Cm,n ] ∨ [Cm′ ,n′ ]) = ϕ([Cm,n ]) ∧ ϕ([Cm′ ,n′ ]). Аналогично, ϕ([Cm,n ] ∧ [Cm′ ,n′ ]) = ϕ([Cm1 ,m1 +k ]) = hm1 , ki, где m1 = max {m, m′ } и k = [n − m, n′ − m′ ]. В силу равенств m1 = m ∨ m′ в Z1 и k = (n − m) ∨ (n′ − m′ ) в Z2 получаем также ϕ([Cm,n ] ∧ [Cm′ ,n′ ]) = ϕ([Cm,n ]) ∨ ϕ([Cm′ ,n′ ]). Наконец, заметим, что по лемме тип [C1,2 ] является наибольшим элементом решетки C. Будет ли C подрешеткой решетки Lint f , неизвестно.

§ 2. Другие свойства решетки C Наряду с основным свойством дистрибутивности решетки C отметим несколько других ее свойств. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Каждый тип Кантора [Cm,n ] покрывает бесконечное множество элементов решетки C. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть p — произвольное простое число. По лемме выполняется [Cm,m+p(n−m) ] < [Cm,n ], так как p > 1. Далее, если [Cm,m+p(n−m) ] ≤ [Cx,y ] < [Cm,n ], то, снова по лемме, x = m и y = m + l(n − −m), причем l > 1. Поскольку число p(n−m) делится на y−x = l(n−m), то

Решетка типов интерпретируемости многообразий Кантора

449

l = p и [Cx,y ] = [Cm,m+p(n−m) ]. Таким образом, при простом p тип Кантора [Cm,n ] в решетке C покрывает элемент [Cm,m+p(n−m) ]. По лемме из § 1 для разных простых чисел p1 и p2 элементы [Cm,m+p1 (n−m) ] и [Cm,m+p2 (n−m) ] решетки C также различны. ПРИМЕР. Наибольший элемент [C1,2 ] решетки C покрывает каждый из элементов [C1,3 ], [C1,4 ], . . . , [C1,1+p ], . . . , где p — простое число. Однако, элементами вида [C1,1+p ] не исчерпывается множество всех элементов решетки C, которые покрывает элемент [C1,2 ]. Например, легко проверить, что [C1,2 ] покрывает также элемент [C2,3 ]. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. При фиксированном m элементы вида [Cm,n ] составляют в C подрешетку Cm с наибольшим элементом [Cm,m+1 ], дуально изоморфную решетке Z2 целых положительных чисел с отношением делимости. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1 [Cm,n ] ∨ [Cm′ ,n′ ] = [Cm0 ,m0 +d ], [Cm,n ] ∧ [Cm′ ,n′ ] = [Cm1 ,m1 +k ], где d = (n − m, n′ − m′ ), k = [n − m, n′ − m′ ]. Следовательно, при фиксированном m > 1 множество Cm = {[Cm,n ] | n > m} замкнуто относительно операций ∨ и ∧. Поэтому C = (Cm , ∨, ∧) — подрешетка в C. По лемме при любом n > m справедливо [Cm,n ] ≤ [Cm,m+1 ]. Следовательно, [Cm,m+1 ] — наибольший элемент в Cm . Отображение ϕ : [Cm,n ] → n − m является дуальным изоморфизмом решетки Cm на решетку Z2 . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Подрешетка C1 решетки C является коидеалом (или фильтром) в C. Действительно, по теореме 1 для любого типа Кантора [Cx,y ] и любого n > 1 выполняется [C1,n ] ∨ [Cx,y ] = [C1,1+d ] ∈ C1 , где d = (n − 1, y − x).

§ 3. Свободные алгебры в произведении многообразий Вопрос о возможном несовпадении точных нижних граней какихлибо двух элементов [Cm,n ] и [Cm′ ,n′ ] в решетках C и Lint f привел к вы-

450

Д. М. Смирнов

яснению условий изоморфизма двух свободных алгебр конечных рангов в произведении многобразий Cm,n ⊗ Cm′ ,n′ . Напомним, что произведение U ⊗V многообразий U и V — это многообразие, порожденное всеми неиндексированными произведениями A ⊗ B алгебр A из U и B из V . В свою очередь, носитель A ⊗ B является декартовым произведением A × B носителей алгебр A и B, а основные операции — пары термальных функций этих алгебр:   B t((x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )) = tA (x , . . . , x ), t (y , . . . , y ) . 1 n n 1 2 1 В действительности (см. [5, § 1; 6, § 23]), U ⊗ V = {A ⊗ B | A ∈ U, B ∈ V }. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Если FU и FV — свободные алгебры ранга n соответственно в U и в V , то FU ⊗ FV — свободная алгебра ранга n в U ⊗V. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть X = {x1 , . . . , xn } и Y = {y1 , . . . , yn } — свободные базисы соответственно в FU и FV , причем X ∩ Y = ∅. Алгебра F = FU ⊗ FV принадлежит многообразию U ⊗ V , и достаточно убедиться, что пары (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) составляют свободный базис в F. Элементы (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) порождают алгебру F. Покажем, что они порождают ее свободно. Рассмотрим произвольное отображение ϕ0 множества {(x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )} в какую-либо алгебру A ⊗ B из U ⊗ V , где A ∈ U и B ∈ V . Положим ϕ0 (xi , yi ) = (ai , bi ), ϕ′0 (xi ) = ai , ϕ′′0 (yi ) = bi (i = 1, 2, . . . , n). Отображения ϕ′0 : X → A и ϕ′′0 : Y → B продолжим до гомоморфизмов ϕ1 : FU → A и ϕ2 : FV → B. Тогда отображение ϕ(x, y) = (ϕ1 (x), ϕ2 (y)) (x ∈ Fu , y ∈ FV ) будет гомоморфизмом алгебры F в алгебру A⊗B, продолжающим заданное

Решетка типов интерпретируемости многообразий Кантора

451

отображение ϕ0 . Действительно, так как ϕ(xi , yi ) = (ϕ1 (xi ), ϕ2 (yi )), то t(ϕ(x1 , y1 ), . . . , ϕ(xn , yn )) = t((ϕ1 x1 , ϕ2 y1 ), . . . , (ϕ1 xn , ϕ2 yn )) = (t1 (ϕ1 x1 , . . . , ϕ1 xn ), t2 (ϕ2 y1 , . . . , ϕ2 yn )) = (ϕ1 t1 (x1 , . . . , xn ), ϕ2 t2 (y1 , . . . , yn )) = ϕ(t1 (x1 , . . . , xn ), t2 (y1 , . . . , yn )) = ϕt((x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. Пусть 1 6 k < l — натуральные числа. Свободные алгебры F(k) и F(l) рангов k и l в произведении U ⊗ V нетривиальных многообразий U и V изоморфны между собой тогда и только тогда, когда FU (k) ∼ = FV (l). = FU (l) и FV (k) ∼ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из [6, теор. 11.7] следует, что изоморфизм F(k) ∼ = F(l) имеет место тогда и только тогда, когда многообразие Кантора Ck,l интерпретируемо в произведении U ⊗ V . Поскольку [U ⊗ V ] является точной нижней гранью элементов [U ] и [V ] в решетке Lint всех типов интерпретируемости, то Ck,l → U ⊗ V ⇔ Ck,l → U и Ck,l → V. Таким образом, равносильны следующие условия: a) F(k) ∼ = F(l), b) Ck,l → U и Ck,l → V , c) FU (k) ∼ = FV (l). = FU (l) и FV (k) ∼ Доказано также [7], что для целых l > k > 1 изоморфизм FCm,n (k) ∼ = FCm,n (l) свободных алгебр в многообразии Кантора Cm,n имеет место тогда и только тогда, когда k > m и l ≡ k (mod (n − m)). Поэтому справедливо СЛЕДСТВИЕ. Пусть l > k > 1 и W = Cm,n ⊗ Cm′ ,n′ . Изоморфизм FW (k) ∼ = FW (l) имеет место тогда и только тогда, когда k > max {m, m′ } и l ≡ k (mod [n − m, n′ − m′ ]),

452

Д. М. Смирнов

т. е. когда FW1 (k) ∼ = FW1 (l) в многообразии Кантора W1 = Cm1 ,m1 +k1 , где m1 = max {m, m′ } и k1 = [n − m, n′ − m′ ]. Напомним, что многообразия W = Cm,n ⊗ Cm′ ,n′ и W1 = Cm1 ,m1 +k1 определяют соответственно точные нижние грани элементов [Cm,n ] и [Cm′ ,n′ ] в решетках Lint f и C. Таким образом, условия изоморфизма свободных алгебр в W и W1 одинаковы, и вопрос о возможной строгости неравенства [W ] ≥ [W1 ] остается открытым. ПРИМЕР 1. По теореме 1 в решетке C справедливо равенство [C1,4 ]∧ ∧[C2,3 ] = [C2,5 ]. Пересечение элементов [C1,4 ] и [C2,3 ] в решетке Lint f равно [C1,4 ⊗ C2,3 ]. Поэтому в Lint f верно неравенство [C2,5 ] ≤ [C1,4 ⊗ C2,3 ]. Будет ли это неравенство строгим, неизвестно, но можно утверждать, что при l > k > 1 свободные алгебры в многообразиях C2,5 и W = C1,4 ⊗ C2,3 удовлетворяют одинаковым условиям изоморфизма: FC2,5 (k) ∼ = FC2,5 (l) ⇔ FW (k) ∼ = FW (l) ⇔ k > 2 и l ≡ k (mod 3). Четыре типа изоморфизма свободных алгебр конечного ранга в C2,5 и C1,4 ⊗ C2,3 можно задать посредством диаг. 1, которая показывает, что в каждом из многообразий C2,5 и C1,4 ⊗ C2,3 свободные алгебры рангов 1, 2, 3 и 4 не изоморфны, но F(r + 3k) ∼ = F(r) для r = 2, 3, 4 и k = 1, 2, 3 . . . .

q

1

'$ q 3,6,... q 2,5,...

q 4,7,... &%

Диаг. 1 ПРИМЕР 2. Аналогично, по теореме 1 в решетке C выполняется равенство [C2,5 ] ∧ [C4,6 ] = [C4,10 ], откуда [C4,10 ] ≤ [C2,5 ⊗ C4,6 ].

Решетка типов интерпретируемости многообразий Кантора

453

При этом многообразия C4,10 и C2,5 ⊗ C4,6 имеют по девять типов изоморфизма свободных алгебр конечного ранга, см. диаг. 2. Согласно этой диаграмме в каждом из указанных многообразий свободные алгебры F(1), . . . , F(9) не изоморфны, но F(r + 6k) ∼ = F(r) для r = 4, . . . , 9 и k = 1, 2, 3, . . . .

q

1

q

2

'$ q q 5 6 q4 7q

q

q9 8 q &%

3

Диаг. 2 Общее условие изоморфизма свободных алгебр конечных рангов l и k при l > k > 1 в C4,10 и C2,5 ⊗ C4,6 выражается в виде F(k) ∼ = F(l) ⇔ k > 4 и l ≡ k (mod 6). ПРИМЕР 3. По теореме 1 диаграмма 3 изображает подрешетку решетки C. В решетке Lint выполняются следующие соотношения: [C1,3 ] ∧ [C1,16 ] = [C1,3 ⊗ C1,16 ], [C1,7 ] ∧ [C1,16 ] = [C1,7 ⊗ C1,16 ], [C1,31 ] ≤ [C1,7 ⊗ C1,16 ] ≤ [C1,3 ⊗ C1,16 ].

[C1,3 ] 

[C1,7 ] 

[C1,31 ] 

 

 

 

 [C1,2 ]

 [C1,4 ]

 [C1,16 ]

Диаг. 3

454

Д. М. Смирнов По теореме из [7] и следствию из предложения 6 при l > k > 1

свободные алгебры конечных рангов l и k в многообразиях C1,31 , C1,7 ⊗ ⊗C1,16 и C1,3 ⊗C1,16 изоморфны тогда и только тогда, когда l ≡ k (mod 30). Кроме того, как легко проверить, каждое многообразие C1,n с основными операциями ω, λ1 , . . . , λn обладает нетривиальным термом разложимости d(x, y) = ω(λ1 x, λ2 y, . . . , λn y), что не позволяет говорить о ∧-примарности типа интерпретируемости [C1,n ] в решетке Lint . Вследствие этого трудно ответить на вопрос о том, будут ли неравенства [C1,7 ] ≤ [C1,3 ⊗ C1,4 ], [C1,7 ⊗ C1,16 ] ≤ [C1,3 ⊗ C1,16 ] строгими в решетке Lint . Строгость последнего неравенства в Lint позволила бы утверждать, что точные нижние грани элементов [C1,3 ] и [C1,16 ] в решетках C и Lint различны, так как ^ ^ [C1,3 ] [C1,16 ] = [C1,31 ] ≤ [C1,7 ⊗ C1,16 ] ≤ [C1,3 ⊗ C1,16 ] = [C1,3 ] [C1,16 ]. Lint

C

§ 4. Связь с многообразиями Поста Напомним, что алгебра A = (A, Ω) называется примальной, если она нетривиальна (т. е. |A| > 2) и для всякой функции f : An → A при n > 1 существует такой Ω-терм f¯(x1 , . . . , xn ), что для всех элементов a1 , . . . , an из A справедливо равенство f (a1 , . . . , an ) = f¯(a1 , . . . , an ). Многообразие, порожденное примальной алгеброй A, называется многообразием Поста и записывается в виде PA (или P|A| ). Примером многообразия Поста является многообразие булевых алгебр (B, +, ·,′ , 0, 1). Оно порождается 2-элементной булевой алгеброй ({0, 1}; +, ·,′ , 0, 1). Известно [6, теор. 36.1], что многообразие V интерпретируется в многообразии Поста PA тогда и только тогда, когда V обладает алгеброй мощности |A|. Если A — конечная примальная алгебра, то спектр многообразия Поста PA состоит из степеней числа |A| (см. [6, теор. 35.4]). Поэтому для конечных примальных алгебр A и B имеет место эквивалентность [PA ] ≤ [PB ] ⇔ |B| = |A|m для некоторого целого m > 1.

Решетка типов интерпретируемости многообразий Кантора

455

Пусть |A| = p — простое число, Ppm — многообразие Поста, порожденное m-ой прямой степенью Am примальной алгебры A порядка p. Типы интерпретируемости вида [Ppm ] при фиксированном простом p составляют, очевидно, решетку с операциями [Ppm ] ∨ [Ppn ] = [Pp[m,n] ], [Ppm ] ∧ [Ppn ] = [Pp(m,n) ]. Обозначим ее через Pp , она изоморфна решетке по делимости положительных степеней простого числа p, которая в свою очередь изоморфна решетке Z2 = (Z + , ∨, ∧). По предложению 3 решетка Z2 дуально изоморфна решетке Cm при любом фиксированном m > 1. Таким образом, имеет место ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7. При фиксированном m решетка Cm дуально изоморфна решетке Pp типов интерпретируемости многообразий Поста, порожденных положительными прямыми степенями An какой-либо одной примальной алгебры A простого порядка p. Пусть Pn — многообразие Поста, порожденное конечной примальной алгеброй произвольного порядка n > 2. Множество типов интерпретируемости K = ({[Pn ] | n ∈ Z + , n > 2}, ≤) с отношением [Pn ] ≤ [Pn′ ] ⇔ Pn → Pn′ уже не является решеткой. Например, элементы [P2 ] и [P3 ] вообще не имеют в K общих граней. Так, если бы [Pn ] ≤ [P2 ] и [Pn ] ≤ [P3 ] для некоторого [Pn ] из K, то для подходящих k, l ∈ Z + выполнялось бы nk = 2 и nl = 3, что невозможно. Аналогично, если бы [P2 ] ≤ [Pn ] и [P3 ] ≤ [Pn ] для некоторого элемента [Pn ] из K, то для подходящих k, l ∈ Z + выполнялось бы 2k = n = 3l , что также невозможно. По теореме Бейкера (см. [6, стр. 105]) всякая конечная примальная алгебра имеет конечный базис для своих тождеств. Доказано [8, § 3], что

456

Д. М. Смирнов

всякая бесконечная примальная алгебра уже не имеет конечного эквационального базиса. Таким образом, рассмотренное выше множество K состоит из всех конечных типов интерпретируемости многообразий Поста. Пусть теперь F B \{E} — класс всех конечно базируемых нетривиальных многообразий алгебр. В силу [8, § 5] точная верхняя грань множества K в решетке Lint всех типов интерпретируемости удовлетворяет неравенствам _

K≤

_

{[V ] ∈ (F B \ {E})} < Pω .

Таким образом, элементы [P2 ] ∧ [P3 ], [P2 ] ∨ [P3 ],

V

K и

W

K решетки

Lint не являются типами интерпретируемости каких-либо многообразий Поста.

§ 5. Подрешетки D и I решетки Lint f Рассмотрим множество D=




[U ] ∈ Lint f | (∃Cm,n ) [Cm,n ] ≤ [U ] , ≤ .

По теореме 1 оно замкнуто относительно операций ∨ и ∧ решетки Lint f и поэтому является ее подрешеткой. Если [U ], [V ] ∈ Lint f и [Cm,n ] ≤ [U ], то [Cm,n ] ≤ [U ] ∨ [V ], откуда [U ] ∨ [V ] ∈ D. Таким образом, подрешетка D является коидеалом (или фильтром) решетки Lint f . Поскольку нулевой элемент 0 решетки Lint f не принадлежит множеству D, то D — собственный коидеал в Lint f . Будет ли C подрешеткой решетки D, неизвестно. Можно утверждать, однако, что C не является коидеалом в Lint f и, таким образом, C = (C, ∨) — собственная верхняя подполурешетка решетки D. В самом деле, рассмотрим многообразие C0 алгебр (A, f ) типа h1i, удовлетворяющих тождеству f (x) = f (y). C0 -алгебра (A, f ) может иметь любую конечную или бесконечную мощность m > 1 и всегда содержит одноэлементную подалгебру. Так, если a, e ∈ A и f (a) = e, то f (x) = e для всех x ∈ A. Следовательно, ({e}, f ) — одноэлементная подалгебра алгебры (A, f ).

Решетка типов интерпретируемости многообразий Кантора

457

Многообразие Кантора C1,2 не содержит нетривиальных конечных алгебр [6, § 12], и поэтому C1,2 не представимо в C0 . В свою очередь, многообразие C0 не представимо в C1,2 . Допустим противное. Тогда существует C1,2 -терм t(x) такой, что для любой алгебры A из C1,2 производная алгебра (A, t(x)) принадлежит многообразию C0 и поэтому t(x) = t(y) для всех x, y ∈ A. Обозначая основные операции алгебры A через ω(x1 , x2 ), λ1 (x), λ2 (x) и используя основные тождества λi ω(x1 , x2 ) = xi (i = 1, 2), ω(λ1 x, λ2 x) = x, легко показать, что тождество t(x) = t(y) влечет в A тождество x = y, что невозможно. Таким образом, для всех m, n, связанных неравенствами 1 6 m < n, имеем [Cm,n ] ≤ [C1,2 ] < [C1,2 ] ∨ [C0 ], откуда [C1,2 ] ∨ [C0 ] 6∈ C. При этом [C1,2 ] ∨ [C0 ] ∈ D. Рассмотрим также главный идеал I = ([C1,2 ]] решетки Lint f . Так как [C0 ] 6≤ [C1,2 ], то [C0 ] 6∈ I. Значит, I — собственный идеал в Lint f , содержащий все типы Кантора. Любое многообразие Кантора Cm,n не содержит нетривиальных конечных алгебр, в чем легко убедиться при помощи рассуждений, аналогичных приведенным в [6] для C1,2 . Действительно, пусть основными операциями в Cm,n служат n-арные операции f1 , . . . , fm и m-арные операции g1 , . . . , gn . Для произвольной алгебры A ∈ Cm,n мощности |A| > 2 отображение ϕ : Am → An , заданное по формуле ϕ(a1 , . . . , am ) = (g1 (a1 , . . . , am ), . . . , gn (a1 , . . . , am )), взаимно однозначно и является отображением ”на“ в силу основных тождеств, определяющих многообразие Cm,n . Таким образом, |Am | = |An |. Так как 1 6 m < n, множество A бесконечно. Теперь можно утверждать, что не только C1,2 , но и любое многообразие Кантора Cm,n не представимо в C0 . Следовательно, элемент [C1,2 ]∧[C0 ] решетки D ∩ I не является типом Кантора, и поэтому C — собственная верхняя подполурешетка выпуклой подрешетки D ∩ I в Lint f . При этом D = [C) и I = (C].

458

Д. М. Смирнов

ЛИТЕРАТУРА 1. B. J´ onsson, A. Tarski, On two properties of free algebras, Math. Scand., 9, N 1a (1961), 95—101. 2. O. C. Garcia, W. Taylor, The lattice of interpretability types of varieties (Mem. Am. Math. Soc., 50 (305)), Providence, RI, Am. Math. Soc., 1984. 3. Д. М. Смирнов, О размерностях многообразий Кантора и Поста, Алгебра и логика, 35, N 3 (1996), 359—369. 4. Г. Биркгоф, Теория решеток, М., Наука, 1984. 5. W. Taylor, Characterising Mal’cev conditions, Alg. Univers., 3, N 3 (1973), 351—397. 6. Д. М. Смирнов, Многообразия алгебр, Новосибирск, Наука, 1992. 7. S. Swierczkowski, On isomorphic free algebras, Fund. Math., 50, N 1 (1961), 35—44. 8. Д. М. Смирнов, Бесконечные примальные алгебры и многообразия Поста, Алгебра и логика, 32, N 2 (1993), 203—221.

Поступило 12 марта 2003 г. Адрес автора: СМИРНОВ Дмитрий Матвеевич, ул. Воеводского, д. 5, кв. 1, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. Тел.: (3832) 30-07-99.