Начальные главы дифференциальной геометрии

Дж.Торп НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Книга американского ученого, знакомящая с основными понятиями и методами дифференциальной геометрии. В ней использован довольно общий алгебраический и аналитический подход, изложение богато иллюстрировано графическим материалом, имеется около 300 задач. Предназначается для математиков, преподавателей вузов, аспирантов и студентов университетов. ОГЛАВЛЕНИЕ От переводчика 5 Предисловие 7 1. Графики и множества уровня 11 2. Векторные поля 17 3. Касательное пространство 26 4. Поверхности 30 5. Векторные поля на поверхностях; ориентация 39 6. Гауссово отображение 50 7. Геодезические 59 8. Параллельный перенос 69 9. Отображение Вейнгартена 80 10. Кривизна плоских кривых 93 11. Длина дуги и криволинейные интегралы 101 12. Кривизна поверхностей 121 13. Выпуклые поверхности 140 14. Параметризованные поверхности 160 15. Локальная эквивалентность поверхностей и параметризованных 176 поверхностей 16. Фокальные точки 193 17. Площади и объемы 202 18. Минимальные поверхности 226 19. Экспоненциальное отображение 236 20. Поверхности с краем 257 21. Теорема Гаусса—Бонне 276 22. Движения и конгруентность 306 23. Изометрии 320 24. Римановы метрики 336 Библиография 354 Предметный указатель 356 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ — поверхности 226 Абсолютная интегральная кривизна — с фиксированными концевыми 116 точками 238 Вариация кривой 236 Вейнгартена отображение 83 — нормальная 238

Вектор в точке p 17 — касательный к краю 260 — направленный внутрь 260 — — вовне 260 — нормальный к краю 260 — скорости 20 Векторное поле 18 — — бинормальное 99 (упр. 10.7) — — вдоль параметризованной кривой 59 — — главное нормальное 99 (упр. 10.7) — — гладкое 19, 34 — — — полное 24 (упр. 2.7) — — евклидово-параллельное 70 — — касательное 68 — — на n -поверхности 39 — — параллельное 71 — — — в смысле Леви-Чивита 71 Векторное произведение 18, 47 (упр. 5.7), 48 (упр. 5.9) Внешние углы 285 Внешняя производная 264, 274 (упр. 20.7) — точка 58 Внутреннее расстояние 256 Внутренние углы 289 Внутренность 258 Внутренняя геометрия 320 Вполне геодезическое множество 352 Вращение положительное 45 — на угол θ 306 — Rn+1 318 (упр. 22.4) Выпуклая в точке 140 — поверхность 140 — — в целом 140 Высота 11 Гаусса — Бонне теорема глобальная 297 — — — локальная 286 — лемма 247 — отображение 50 — — и отображение Вейнгартена 19 (упр. 9.14)

— — степень 303 Геодезическая 61 — кривизна 279 — максимальная 63 — струя 92 Геодезический поток 89 — треугольник 289 Гессиан 144 Гиперболическая метрика 344 — — в n-шаре 353 (упр. 24.10) Гиперплоскость 31 Гиперповерхность 30 Главные кривизны 171 — направления 171 Гладкая форма 214 — функция 19, 34, 187 Гладкость отображения 75 Гомотопия 116 (упр. 11.17) Градиент 19 Градиентное векторное поле 142 Градиентные линии 152 Граница сингулярного треугольника 269 График 11 Грина формула 274 (упр. 20.5) Движение 307 Дифференциал гладкой функции 264 — отображения 160, 162 Дифференцирование ковариантное 69, 327 — композиции отображений 172 (упр. 14.1) Длина вектора 18 — параметризованной кривой 101 — плоской кривой 106 Единичная окружность 31 Единично-сферическое расслоение 191 (упр. 15.6) Естественный подъем (лифт) 91 (упр. 9.15) Изгибание 325 Изолированная особенность 294 Изометричные поверхности 322 Инвариант 326

Индекс вращения 117 — поля 295 Интеграл 110 — криволинейный 110 — объема стационарный 230 — по поверхности 221 — k-формы 216, 220 — 1-формы 110 — 2-формы 269 Интегральная кривая 20 — — максимальная 40 Карта 179 Картана структурное уравнение 305 (упр. 21.6) Касательное пространство 28, 30, 163, 259 — расслоение 162, 191 (упр. 15.5) Катеноид 234 Квадратичная форма 129 — — знаконеопределенная 130 — — знакоопределенная 129 — — отрицательно определенная 129 — — — полуопределенная 130 — — — положительно определенная 130 — — полуопределенная 130 Ковариантная производная 69, 83, 327 Конгруентные поверхности 309 Конус 173 (упр. 14.6) Кососимметричность 214 Край поверхности с краем 257 — сингулярного круга 268 — — полукруга 268 — — прямоугольника 303 (упр. 21.2) Кривая плоская 60 — пространственная 187 Кривизна 99 (упр. 10.7) — Гаусса—Кронекера 132,171 — — — внутренняя формула 332— 333 — — — величина 209—210 — — — графика 138 (упр. 12.13) — — — формула 132—133

— гауссова 171 — — поверхности 175 (упр. 14.20) — — эллипсоида 134 — риманова (или секционная) 335 (упр. 23.13) — средняя 171 Кристоффеля символ 334 (упр. 23.7) Критическая точка 143 — — изолированная 152 — — невырожденная 152 Кручение 99 (упр. 10.7) Леви-Чивита параллелизм 71 Линии тока 19 Локальная однопараметрическая группа, ассоциированная с полем Х 25 (упр. 2.12) — параметризация 179 Локальный максимум 144 — — критерий для 144—145 — — строгий 144 — минимум 143 — — критерий для 144—145 — — строгий 144 Мёбиуса лист 44, 168 Меридианы 67 (упр. 7.8) Метрика гиперболическая 344, 352 (упр. 24.10) Метрические коэффициенты 205 Минимальная поверхность 231 Множества уровня 11 Множество сопряженных точек 254 Направление 44 — асимптотическое 235 (упр. 18.5) — положительное касательное 44 Направляющие косинусы 129 Нормальное сечение 122 Обезьянье седло 37 (упр. 4.4) Образ сферический 50 Объем параметризованной nповерхности 203 Ограничение 59 Ориентация естественная 47 (упр. 55) — индуцированная 262 — на S 43, 260

— стандартная на S 210 Ортогональное преобразование 306 Основная теорема алгебры 120 (упр. 11.20) — форма поверхности вторая 129 — — — первая 129 Открытое множество 19, 144 Отображение конформное 192 (упр. 15.12) — регулярное 163 — сопряженное 90 — экспоненциальное 242 Отражение 306 Параллели 67 (упр. 7.8) Параллельные n-плоскости 31 — — в евклидовом смысле 70 — — — — Леви-Чивита 71 Параллельный перенос 75, 76 Параметризованная кривая 20 — — кусочно-гладкая 76 — — регулярная 117 — n-плоскость 164 — га-поверхность 162 — псевдосфера 175 Параметризованный тор 167 Перенесение назад 216 Перепараметризация 211 Плоскость 31 Поверхность размерности п или nповерхность 30, 184 — вращения 33 — гладкая 39 — компактная 35 — ориентированная 43, 261 — с краем 258 Поле гладкое 60 — параллельное в смысле Ферми 79 (упр. 8.8) — Якоби 201 Полилинейность 214 Положительно ориентированный базис 45 Положительное θ-вращение 45

Произведение внешнее 215 (упр. 17.14) — внутреннее 215 — функции и формы 109, 216 — — — векторного поля 82 Производная 80 — в точке 90 — гладкого векторного поля 81 — ковариантная 83 — по направлению 81 Пуанкаре метрика 344, 352 (упр. 24.9) Пуанкаре — Хопфа теорема 298 Радиус кривизны 97 Разбиение единицы 218 Регулярный прямоугольник 303—304 (упр. 21.1) — треугольник 285 Римана тензор 332 Риманова геометрия 336 — метрика 336, 337 Свойство глобальное 135 — локальное 135 Связное подмножество 42 Седловая точка 144 Сингулярный круг 268 — полукруг 268 — прямоугольник 303 (упр. 21.2) — треугольник 269 Скалярное произведение векторов 18 Скобка Ли 90 (упр. 9.13), 264 Скорость вращения поля 278 — кривой 59 Соприкасающаяся окружность 97 Стационарность 143 Степень отображения Гаусса 303 Стокса глобальная теорема 270—271 — локальная теорема 269 — классическая формула 275 (упр. (20.10) Сумма векторных полей 60, 82 — форм 109, 216 Сферические координаты 163, 172 (упр. 14.4)

Сферический образ 50 Теорема глобальная 135 — локальная 135 — об обратной функции для n-поверхностей 189 Триангуляция 304 (упр. 21.4) — вершины 304 (упр. 21.4) — ребра 304 (упр. 21.4) Точка регулярная 27 — сопряжения 253 Угловой порядок 115, 120 (упр. 11.22) — вращения полный 278 — голономии 283 — между векторами 18 Упорядоченный базис, не согласованный с ориентацией 46 — — согласованный с ориентацией 46, 261 Ускорение 60 — ковариантное 70 Ферми перенос 79 (упр. 8.8)

— производная 79 (упр. 8.8) Фокальная точка поверхности φ 193 Фокальное множество 198 1-форма дифференциальная 107 — двойственная к Х 107 k-форма 214 — гладкая 214 Форма объема 261 — связности 277 Формула первой вариации 237 Френе формулы 99 (упр. 10.6) Функция вдоль кривой 59 Фундаментальная область 106 Центр кривизны 97 Цепная линия 234 Цилиндр 33 — параметризованный 164 Эволюта 200 (упр. 16.3) Эвольвента 200 Эйлерова характеристика 298 Энергия 255 (упр. 19.1) Якоби поле 201 (упр. 16.5)