Элементы дискретной математики

ДРОГОБИЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

ЮРІЙ МАТУРІН

ЕЛЕМЕНТИ ДИСКРЕТНОЇ МАТЕМАТИКИ

НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК ДЛЯ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТІ «ПМСО. МАТЕМАТИКА»

Дрогобич - 2009

УДК 510 + 519.1 Елементи дискретної математики: Навчальний посібник / Матурін Ю.П. – Дрогобич: РВВДДПУ ім. Івана Франка, 2009. – 61 с. Посібник написано відповідно до програми навчальної дисципліни “Дискретна математика” для підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня “Бакалавр” спеціальності “ПМСО. Математика”, затвердженої вченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка, містить виклад теоретичного матеріалу до даної теми, приклади, що ілюструють теорію та вправи для самостійної роботи. Даний посібник може бути використаний старшокласниками, які зацікавлені у поглибленому вивченні математики. Бібліографія 21 назв. Рекомендовано до друку вченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка (протокол № 6 від 21.05.2009 р.) Автор: Матурін Ю.П., кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри математики та методики викладання математики Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка. Рецензенти: Андрійчук В.І., доктор фізико-математичних наук, професор кафедри алгебри і логіки Львівського національного університету імені Івана Франка; Дільний В.М., кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри математичного аналізу Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка. Відповідальний за випуск: Галь Ю.М., кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри математики та методики викладання математики, заступник директора Інституту фізики, математики та інформатики Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка.

2

ЗМІСТ ВСТУП 4 СПИСОК ПОЗНАЧЕНЬ 5 1. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОЖИН 6 1.1. Множини 6 1.2. Дії над множинами 7 1.3. Властивості дій над множинами 8 1.4. Означення відображення множин 10 1.5. Композиція відображень 11 1.6. Основні типи відображень 12 1.7. Обернене відображення 13 1.8. Бієктивні відображення скінченних множин 14 1.9. Потужність множин 14 1.10. Основні поняття теорії відношень 16 1.11. Обернене відношення, композиція відношень 18 1.12. Відношення еквівалентності, фактормножина і розбиття 19 1.13. Частково впорядковані множини 20 1.14. Ланцюги та цілком упорядковані множини 23 2. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРНОГО АНАЛІЗУ 25 2.1. Правило суми й добутку та формула включень і вилучень 25 2.2. Розміщення і перестановки 30 2.3. Комбінації 31 2.4. Основні властивості чисел Cnm 33 2.5. Перестановки з повтореннями 34 2.6. Розміщення с повтореннями 35 2.7. Комбінації з повтореннями 36 2.8. Кількість всіх підмножин даної множини 36 2.9. Поліноміальна формула та формула бінома Ньютона 37 2.10. Формальні степеневі ряди та рекурентні співвідношення 40 3. ВПРАВИ 51 ІМЕННИЙ ПОКАЖЧИК 56 ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК 58 БІБЛІОГРАФІЯ 59

3

ВСТУП Дискретна математика (дискретний аналіз), яку також часто називають фінітною математикою, є галуззю математичної науки, що вивчає математичні структури, які за своєю суттю є дискретними. До числа таких структур належать скінченні і зліченні множини, скінченні решітки (наприклад, скінченні булеві решітки), скінченні групи, півгрупи, кільця і поля (поля Галуа), скінченні та зліченні графи, булеві функції і скінченні автомати, машини Тьюрінга і т. д. Слід відзначити також, що ця наука включає в себе ряд розділів математичної логіки. Дискретна математика набула широкої популярності протягом останніх десятиліть завдяки своїм застосуванням до комп’ютерних наук. Ідеї дискретної математики є цінними при вивченні комп’ютерних алгоритмів і мов програмування. Тому вивчення даного предмету є обов’язковим для студентів багатьох спеціальностей, що пов’язані з інформатикою та математикою. У даному навчальному посібнику головна увага приділяється теорії множин і комбінаторному аналізу. Ці теми, на нашу думку, висвітлені або недостатньо чітко, або недостатньо повно в сучасній російськомовній та україномовній літературі. Для розуміння наступного викладу передбачається обізнаність читача з основними елементами логіко-математичної символіки.

4

СПИСОК ПОЗНАЧЕНЬ A ⊆ B, B ⊇ A ∅,U AU B AI B A\ B A P( A) 2A AVB UMi

A< B , B > A

aPb , aPb P −1 P oT [ a ]P M /P ( M , ≥) sup M V ,inf M V χX Anm Pn n  Cnm ,   m P(n1 ,..., nk )

i∈I

IM

i

i∈I

M 1 × ... × M n ,

n

∏M

i

i =1

Mn f (a)  f : A → B, f :  f : a a b (a ∈ A) f : A→ B

Anm Cmk P[ x] P[[ x]]

f

A→ B 1A f (С ) imf f −1 ( D) ker f BA go f ∆A f −1 S ( A) A≤ B, B ≥ A A= B 5

1. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОЖИН Основи теорії множин заклав геніальний німецький математик Георг Кантор (1845-1918). Ця теорія вивчає множини, відображення, відношення, кардинальні й ординальні числа і є фундаментом для усієї сучасної математики. 1.1. Множини Множина є первісним поняттям, тому для неї не формулюється означення. Уведемо це поняття описово. Під множиною ми розуміємо певну сукупність, набір об’єктів (елементів), що об’єднані деякою ознакою. Об’єкти, з яких складаються множини, називаються елементами множини. Множини здебільшого позначатимемо великими буквами латинського алфавіту, а їх елементи – малими буквами. Позначення: a ∈ A ⇔ елемент a належить множині A; a∈ / A ⇔ елемент a не належить множині A. Будемо говорити, що множина A є підмножиною множини B , якщо виконується наступна умова: (∀a)(a ∈ A ⇒ a ∈ B ) . Позначення: 1. A ⊆ B або B ⊇ A ⇔ A – підмножина множини B або B включає A ; 2. M = {a1 , a2 ,..., an } ⇔ множина M складається з елементів a1 , a2 ,..., an ( які є різними). 3. M = {a ∈ K p(a )} ⇔ множина M складається з тих і лише тих елементів множини K , які задовольняють умову p . 4. ∅ = {}; 5. {M i i ∈ I } множина, що складається з множин, нижні індекси яких належать множині I . Таку множину часто називають родиною множин. 6

Множина ∅ , яка не містить жодного елемента, називається порожньою. Множина називається скінченною, якщо вона складається з скінченної кількості елементів. Переважно ми розглядаємо множини, що є підмножиною деякої множини U – універсальної множини. Приклади множин. N – множина натуральних чисел; Z – множина цілих чисел; Q – множина раціональних чисел; R – множина дійсних чисел; С – множина комплексних чисел. Зауваження. Англійський філософ, логік, математик та історик Бертран Рассел (1872 –1970) у 1903 році знайшов очевидний парадокс у наївній теорії множин, розглядаючи множину всіх тих множин, які не є елементами себе. Це призвело до побудови аксіоматичної теорії множин. 1.2. Дії над множинами Уведемо в розгляд дії над множинами. Об’єднанням множин A і B називається множина A U B := {x x ∈ A ∨ x ∈ B} . Перетином множин A і B називається множина A I B := {x x ∈ A ∧ x ∈ B} . Різницею множин A і B називається множина A \ B := {x x ∈ A ∧ x ∈ / B} . Доповненням множини A називається множина A := U \ A . Булеаном множини A називається множина P( A) := {B B ⊆ A} , також часто використовують позначення 2 A . Симетричною різницею множин A і B називається множина 7

AVB := ( A \ B) U ( B \ A) . Об’єднанням родини множин {M i i ∈ I } називається множина

UM

i

:= {x (∃i ∈ I )( x ∈ M i )} .

i∈I

Перетином родини множин {M i i ∈ I } називається множина

IM

i

:= {x (∀i ∈ I )( x ∈ M i )}.

i∈I

Сукупність елементів a1 , a2 ,..., an , серед яких можуть бути рівні і в якій визначено, що a1 -її 1-ий елемент, a2 -її 2-ий елемент,…, an -її n ий елемент, називається впорядкованою n -кою і позначається через (a1 , a2 ,..., an ) . Дві впорядковані n -ки (a1 , a2 ,..., an ) і (b1 , b2 ,..., bn ) вважаються рівними, якщо виконується наступна умова: (∀i ∈ {1, 2,..., n})(ai = bi ) . Якщо n = 2 , то впорядкована 2-ка називається впорядкованою парою. Декартовим добутком множин M 1 ,..., M n називається множина M 1 × ... × M n := {(m1 ,..., mn ) m1 ∈ M 1 ,..., mn ∈ M n } . n -им декартовим степенем множини M називається множина n

M 1 × ... × M n (= ∏ M i ) , i =1

де (∀i ∈ {1,..., n})( M i = M ) , причому він позначається через M n . M 2 називається декартовим квадратом множини M . 1.3. Властивості дій над множинами Сформулюємо основні властивості дій над множинами. Властивості перетину, об'єднання, різниці, доповнення 1. A U A = A, A I A = A (ідемпотентність); 2. A U B = B U A, A I B = B I A (комутативність); 3. ( A U B) U C = A U ( B U C ),( A I B ) I C = A I ( B I C ) (асоціативність) 8

4. ( A U B) I C = ( A I C ) U ( B I C ), ( A I B) U C = ( A U C ) I ( B U C ) (дистрибутивність); 5. A U B = A I B, A I B = A U B (закони де Моргана); 6. ( A U B) I A = A,( A I B ) U A = A (поглинання); 7. ( A U B) I ( A U B) = A,( A I B) U ( A I B ) = A (склеювання); 8. A = A ; 9. A \ B = A I B ; 10. A U A = U , A I A = ∅ ; 11. A U U = U , A I U = A, A U ∅ = A, A I ∅ = ∅ (дії над константами). Властивості перетину й об'єднання родини множин     1.  U M i  I K = U ( M i I K ),  I M i  U K = I ( M i U K ) i∈I i∈I  i∈I   i∈I  (дистрибутивність); 2. U M i = I M i , I M i = U M i i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

(закони де Моргана). Властивості симетричної різниці 1. AVB = BV A (комутативність); 2. ( AVB)VС = AV( BVС ) (асоціативність); 3. AV A = ∅ ; 4. AV∅ = A ; 5. AVU = A ; 6. ( AVB) I С = ( A I С )V( B I С ) (дистрибутивність).

9

Властивості декартового добутку 1. ( A I B) × C = ( A × C ) I ( B × C ) , C × ( A I B) = (C × A) I (C × B ) ; 2. ( A U B) × C = ( A × C ) U ( B × C ) , C × ( A U B) = (C × A) U (C × B ) ; 3. ( A \ B) × C = ( A × C ) \ ( B × C ) , C × ( A \ B) = (C × A) \ (C × B ) ; 4. ( A1 I A2 ) × ( B1 I B2 ) = ( A1 × B1 ) I ( A2 × B2 ) ; 5. A × B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅ . Деякі з цих властивостей легко доводяться на основі логічних міркувань, а інші – на основі вже доведених властивостей. Доведемо, наприклад, один із законів де Моргана, а саме: AI B = AU B. Справді, (∀x)( x ∈ A I B ⇔ x ∉ A I B ⇔ ⇔ x ∉ A ∨ x ∉ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ A U B) .

Родина {M i i ∈ I } непорожніх підмножин множини M називається розбиттям множини M , якщо виконуються наступні умови: 1. U M i = M ; i∈I

2. (∀i, j ∈ I )(i ≠ j ⇒ M i I M j = ∅) . 1.4. Означення відображення множин Відображенням множини A у множину B називається правило f , за яким кожному елементу a ∈ A зіставляється єдиний елемент b ∈ B . У цьому випадку кажуть, що елемент b є образом елемента a , а елемент a є прообразом елемента b ; елемент b позначають через f (a) .

10

Позначення відображення:

 f : A → B, 1. f :  , f : a a b ( a ∈ A )  2. f : A → B ; f

3. A → B . Відображення f : A → B і g : C → D називаються рівними, якщо виконуються наступні умови: 1. A = C ∧ B = D ; 2. (∀a ∈ A)( f (a ) = g (a )) .  f : A → A, називається f :  f : a a a (a ∈ A) відображенням множини A і позначається через 1A . Відображення

тотожним

Нехай f : A → B – відображення множин, С ⊆ A, D ⊆ B . Позначення: 1. f (С ) := { f (c) c ∈C} – образ множини С при відображенні f ; 2. imf := f ( A) – образ відображення f ; 3. f −1 ( D) := {a ∈ A f (a ) ∈ D} – прообраз множини D ; 4. ker f := {(a, b) ∈ A2 f (a ) = f (b)} – ядро відображення f ; 5. B A

–

множина всіх відображень з множини A в B . 1.5. Композиція відображень

Композицією відображень відображення

f : A → B і g : B → C називається

 A → C, g o f : . a a g ( f ( a ))  Композиція відображень має асоціативну властивість. Справді, нехай f : A → B , g : B → C , h : C → D відображення. Тоді (h o g ) o f = h o ( g o f ) . Доведемо це твердження. 11

Очевидно, що (h o g ) o f , h o ( g o f ) : A → D . Крім того, ((h o g ) o f )(a) = (h o g )( f (a)) = h( g ( f (a))) , (h o ( g o f ))(a) = h(( g o f )(a)) = h( g ( f (a))) . Тепер сформулюємо інші властивості композиції, а саме: Нехай f : A → B . Тоді: 1. f o 1A = f ; 2. 1B o f = f . Ці властивості є тривіальними. 1.6. Основні типи відображень Відображення f : A → B називається ін’єктивним, якщо виконується наступна умова: (∀a, b ∈ A)(a ≠ b ⇒ f (a) ≠ f (b)) , тобто якщо ker f = ∆ A , де ∆ A := {(a, a) a ∈ A} . Відображення f : A → B називається сур’єктивним, якщо виконується наступна умова: (∀b ∈ B )(∃a ∈ A)( f (a) = b) , тобто якщо imf = B . Відображення f : A → B називається бієктивним, якщо воно ін’єктивне і сур’єктивне, тобто якщо (∀b ∈ B)(∃!a ∈ A)( f (a) = b) . Бієктивне відображення f : A → A називається підстановкою на множині A. Сукупність усіх підстановок на множині A позначається через S ( A) і є групою відносно композиції. Приклади. [0; +∞) → R, 1. f :  2 x a x . Дане відображення очевидно є ін’єктивним, сур’єктивним, оскільки imf = [0, +∞) ≠ R . 12

але

не

є

 R → [0, +∞), 2. f :  2 x a x . Це відображення є сур’єктивним, але не є ін’єктивним, оскільки f (−1) = f (1) . [0, +∞) → [0, +∞), 3. f :  2 x a x . Таке відображення є бієктивним.  R → R, 4. f :   x a sin x. Тут маємо приклад відображення, яке не є ні ін’єктивним, ні сур’єктивним. 1.7. Обернене відображення Відображення g : B → A називається оберненим до відображення f : A → B , якщо виконуються наступні умови: g o f = 1A , f o g = 1B . Критерій бієктивності. Відображення f : A → B є бієктивним тоді і тільки тоді, коли воно має обернене відображення. Доведення. 1. Нехай f : A → B є бієктивним відображенням. Розглянемо відображення g : B → A , яке задано наступним чином: (∀b ∈ B)( f ( g (b)) = b) . Зрозуміло, що це правило задає g однозначно в силу бієктивності f . Більше того, з цього отримуємо, що f o g = 1B . Далі, (∀a ∈ A)( g ( f (a )) = a ) . Припустимо, що (∃a0 ∈ A)( g ( f (a0 )) ≠ a0 ) . Тоді f ( g ( f (a0 ))) ≠ f (a0 ) в силу ін’єктивності f . Але тоді, враховуючи f o g = 1B , f (a0 ) ≠ f (a0 ) . Суперечність. Таким чином, g o f = 1A . Отже, g є оберненим до f . 2. Нехай відображення g : B → A є оберненим до f : A → B . Доведемо спочатку ін’єктивність f . Нехай f (a1 ) = f (a2 ) . Тоді a1 = g ( f (a1 )) = g ( f (a2 )) = a2 . Тепер доведемо сур’єктивність f . Нехай b ∈ B . Тоді f ( g (b)) = b . Критерій доведено. 13

Зауважимо, що у випадку існування для даного відображення оберненого це обернене єдине. Справді, нехай g1 : B → A, g 2 : B → A - обернені відображення для відображення f : A → B g1 = g1 o 1B = g1 o ( f o g 2 ) = ( g1 o f ) o g 2 = 1A o g 2 = g 2 . Відображення g : B → A , яке є оберненим до відображення f : A → B , позначатимемо через f −1 . 1.8. Бієктивні відображення скінченних множин Твердження. Нехай A, B – скінченні непорожні множини. З множини A у множину B існує бієктивне відображення тоді і тільки тоді, коли A = B . Доведення. 1. Нехай f : A → B – бієктивне відображення, A = {a1 ,..., an } , B = {b1 ,..., bm }. У силу ін’єктивності f елементи f (a1 ),..., f (an ) попарно різні. Тому m ≥ n . У силу сур’єктивності f (∃с1 ,..., сm ∈ A)( f (с1 ) = b1 ,..., f (сm ) = bm ) . Елементи с1 ,..., сm є попарно різними, тому n ≥ m . Отже, m = n . 2. Нехай A = {a1 ,..., an } , B = {b1 ,..., bn } . Розглянемо відображення  A → B, f :  ai a bi (i ∈ {1,..., n}). Воно є бієктивним. 1.9. Потужність множин Будемо говорити, що множина A має потужність не більшу за потужність B (потужність B не менша за потужність A), якщо існує ін’єктивне відображення f : A → B . Позначення: A ≤ B або B ≥ A . Будемо говорити, що дві множини A, B мають однакову потужність, якщо існує бієктивне відображення f : A → B . 14

Позначення: A = B . Будемо говорити, що множина A має потужність меншу, ніж B ( B має потужність більшу за потужність A), якщо A ≤ B і A ≠ B . Позначення: A < B або B > A . Множина A називається зліченною, якщо її потужність дорівнює потужності множини натуральних чисел. Зрозуміло, що кожна нескінченна множина містить зліченну підмножину. З цього отримуємо, що кожна нескінченна множина є не менше ніж зліченною. У теорії множин доведено, що для довільних множин A, B має місце одне і тільки одне із співвідношень: 1. A = B ; 2. A < B ; 3. A > B . Крім того, знаменита теорема Кантора-Бернштейна стверджує, що для довільних множин A, B має місце наступне співвідношення: A≥ B∧ A≤ B⇒ A= B. Твердження попереднього пункту говорить про те, що дві скінченні множини мають однакову потужність тоді й тільки тоді, коли вони мають однакову кількість елементів. Таким чином, поняття потужності узагальнює поняття кількості елементів на нескінченний випадок. Теорема. Нехай A, B – скінченні непорожні множини. A ≤ B тоді й тільки тоді, коли кількість елементів множини A не перевищує кількість елементів множини B . Доведення. Нехай A ≤ B . Тоді існує ін’єктивне відображення f : A → B . Покладемо A = {a1 ,..., an } . Тоді в силу ін’єктивності відображення наступні елементи f (a1 ),..., f (an ) попарно різні. Отже, множина B містить принаймні n елементів. Навпаки. Нехай A = {a1 ,..., an } і B = {b1 ,..., bk } , де k ≥ n . Розглянемо відображення  A → B, f :  ai a bi ,(i ∈ {1,..., n}). 15

Воно, очевидно, є ін’єктивним. Теорему доведено. Теорема. Для довільної множини A справедливе співвідношення: A < P( A) . Доведення. Очевидно, що відображення  A → P( A); g :  a a {a}(a ∈ A) є ін’єктивним. Тому A ≤ P( A) . Припустимо, що A = P( A) . Тоді існує бієктивне відображення f : A → P( A) . Розглянемо множину B , визначену наступним чином: B := {b ∈ A b ∉ f (b)}. Оскільки f сур'єктивне, то існує елемент c ∈ A , для якого f (c) = B . Можливі наступні випадки: c ∈ B ∨ с ∉ B . Якщо c ∈ B , то c ∉ f (c) = B . Якщо c ∉ B , то c ∈ f (c) = B . Отже, маємо суперечність. Теорему доведено. Множина дійсних чисел має більшу потужність за потужність множини натуральних чисел. Множина A називається множиною потужності континууму, якщо вона має потужність рівну потужності множини дійсних чисел. Виявляється, що P ( N ) = R . У 1877 році Георг Кантор висунув континуум-гіпотезу, яка стверджує, що будь-яка нескінченна підмножина множини дійсних чисел є або зліченною, або множиною потужності континууму. У 1963 році з’ясувалося, що континуум-гіпотеза не залежить від системи аксіом Цермело – Френкеля. 1.10. Основні поняття теорії відношень n -арним відношенням на множині M називається підмножина множини M n . При n = 2 відношення називається бінарним. Тут ми

16

переважно розглядатимемо бінарні відношення. Тому в подальшому викладі бінарні відношення називатимемо просто відношеннями. Нехай P – відношення на множині M . Тоді будемо говорити, що елемент a ∈ M перебуває у відношенні P з елементом b ∈ M , якщо (a, b) ∈ P , також говоримо, що елемент a ∈ M не перебуває у відношенні P з елементом b ∈ M , якщо (a, b) ∉ P . Позначення: 1. aPb ⇔ (a, b) ∈ P ; 2. aPb ⇔ (a, b) ∉ P . Відношення P на множині M називається рефлексивним, якщо виконується наступна умова: (∀a ∈ M )(aPa) ; симетричним, якщо виконується наступна умова: (∀a, b ∈ M )(aPb ⇒ bPa) . антисиметричним, якщо виконується наступна умова: (∀a, b ∈ M )(aPb ∧ bPa ⇒ a = b) ; транзитивним, якщо виконується наступна умова: (∀a, b, c ∈ M )(aPb ∧ bPc ⇒ aPc) . Відношення P на множині M називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне й транзитивне. Відношення P на множині M називається відношенням часткового порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне та транзитивне. Відношення часткового порядку на множині M називається відношенням лінійного порядку, якщо виконується наступна умова: (∀a, b ∈ M )(aPb ∨ bPa ) . Відношення ∆ M := {(a, a ) a ∈ M } на множині M називається діагоналлю. Нехай P – відношення на множині M і V ⊆ M . Тоді розглянемо відношення PV := {( x, y ) ∈ V 2 ( x, y ) ∈ P}

17

на множині V . Це відношення будемо часто також позначати через P , розуміючи відмінності змісту одного позначення залежно від контексту. Приклади. Нехай M = {1, 2,3, 4}, P = {(1,1),(1,2),(2,1),(2, 2),(3,3),(4, 4)}, T = {(4,1),(4, 2),(4, 4),(2,2),(2,1),(3,3),(3,1),(1,1)} . Тоді P – відношення еквівалентності, а T – відношення порядку на множині M . 1.11. Обернене відношення, композиція відношень Нехай P, T – відношення на множині M . Тоді оберненим до відношення P називається відношення P −1 := {(a, b) (b, a) ∈ P} . Композицією відношень P, T називається відношення P o T := {(a, b) (∃c)((a, c) ∈ P ∧ (c, b) ∈ T )} . Приклади. Нехай P = {(1,1),(1, 2),(2,3),(3, 4)}, T = {(1,1),(2,1)} . Тоді P −1 = {(1,1),(2,1),(3, 2),(4,3)} , P o P = {(1,1),(1, 2),(1,3),(2, 4)} , P o T = {(1,1)} , T o P = {(1,1),(1,2),(2,1),(2, 2)} . Зрозуміло, що відношення P на множині M є рефлексивним тоді і тільки тоді, коли ∆ M ⊆ P ; симетричним тоді і тільки тоді, коли P −1 ⊆ P ; антисиметричним тоді і тільки тоді, коли P I P −1 ⊆ ∆ M ; транзитивним тоді і тільки тоді, коли P o P ⊆ P . Твердження (про асоціативність композиції відношень). Нехай P, T , S – відношення на множині M . Тоді ( P o T ) o S = P o (T o S ) . Доведення. Для довільних a, b ∈ M маємо (a, b) ∈ ( P o T ) o S ⇔ ∃c ∈ M : (a, c) ∈ P o T ∧ (c, b) ∈ S ⇔ ⇔ ∃c, d ∈ M : (a, d ) ∈ P ∧ (d , c) ∈ T ∧ (c, b) ∈ S ⇔ 18

⇔ ∃d ∈ M : (a, d ) ∈ P ∧ (d , b) ∈ T o S ⇔ (a, b) ∈ P o (T o S ) . Твердження доведено. Твердження (про нейтральність діагоналі відносно композиції). Нехай P – відношення на множині M . Тоді P o ∆M = ∆M o P = P . Доведення. Для довільних a, b ∈ M маємо (a, b) ∈ P o ∆ M ⇔ ∃c ∈ M : (a, c) ∈ P ∧ (c, b) ∈ ∆ M ⇔ (a, b) ∈ P , (a, b) ∈ ∆ M o P ⇔ ∃c ∈ M : (a, c) ∈ ∆ M ∧ (c, b) ∈ P ⇔ (a, b) ∈ P . Твердження доведено. 1.12. Відношення еквівалентності, фактормножина і розбиття Нехай P – відношення еквівалентності на множині M . Множина [a ]P := {b ∈ M (a, b) ∈ P} , де a – деякий елемент множини M , називається класом еквівалентності за відношенням P . Множина всіх класів еквівалентності за відношенням еквівалентності P на множині M називається фактормножиною множини M за відношенням P і позначається через M / P . Властивості класів еквівалентності: 1. ∀a ∈ M :[a ]P ; 2. ∀a, b ∈ M : b ∈ [a ]P ⇒ [b]P = [a ]P ; 3. ∀a, b ∈ M :[a]P I [b]P = ∅ ∨ [a]P = [b]P ; 4. ∀a, b ∈ M : aPb ⇔ [a ]P = [b]P . Доведення властивостей. 1. Виконується в силу рефлексивності P . 2. Нехай a ∈ M , b ∈ [a ]P . З цього маємо, що aPb . Тоді (∀x)( x ∈ [b ]P ⇒ bPx ⇒ aPb ∧ bPx ⇒ aPx ⇒ x ∈ [ a ]P ) ; (∀x)( x ∈ [ a ]P ⇒ aPx ⇒ aPb ∧ aPx ⇒ bPa ∧ aPx ⇒

⇒ bPx ⇒ x ∈ [b ]P ) .

3. Нехай a, b ∈ M ,[a]P I [b]P ≠ ∅ . Тоді існує c , для якого c ∈ [a ]P I [b]P . Тоді c ∈ [a]P ∧ c ∈ [b]P . За властивістю 3 маємо, що [a ]P = [c]P = [b]P . 19

4. Нехай aPb . Тоді b ∈ [a ]P . За властивістю 2 отримаємо, що [a ]P = [b]P . Навпаки. Нехай [a ]P = [b]P . Тоді b ∈ [b]P = [a]P . З цього випливає, що aPb . Властивості доведено. З властивостей 1 – 3 отримуємо, що M / P є розбиттям множини M. Нехай D – розбиття множини M . Визначимо відношення PD на множині M наступним чином: PD := {( x, y ) ∈ M 2 ∃V ∈ D : x, y ∈ V } . Очевидно, що дане відношення є рефлексивним і симетричним. Доведемо його транзитивність. Нехай xPD y ∧ yPD z . Враховуючи означення розбиття, отримаємо (∃V ,U ∈ D : x, y ∈ V ∧ y, z ∈ U ) ⇒ y ∈ V I U ⇒ ⇒ V I U ≠ ∅ ⇒ V = U ⇒ x, z ∈ U ⇒ xPD z . Таким чином, PD – відношення еквівалентності. Розглянемо наступні відповідності: D a PD , P a M / P між розбиттями множини M і відношеннями еквівалентності на множині M . Зрозуміло, що ці відповідності є взаємно оберненими, а тому бієктивними. Приклад. Нехай n ∈ N . Розглянемо відношення P на множині Z , що задано наступним чином: P := {( x, y ) ∈ Z 2 ( x − y )M n} . Нескладно побачити, що дане відношення є відношенням еквівалентності. Позначимо через Z n множину Z / P . Визначимо кількість елементів цієї множини. Зрозуміло, що до одного класу еквівалентності належать ті і тільки ті числа, які при діленні на n дають однакову остачу. Всіх можливих таких остач є n . Тому Zn = n . 1.13. Частково впорядковані множини Відношення часткового порядку для зручності позначатимемо через ≥ . Зрозуміло, що відношення, яке є оберненим до відношення часткового порядку, є також відношенням часткового порядку. 20

Множина M разом з відношенням часткового порядку ≥ на ній називається частково впорядкованою. Така множина позначається через ( M , ≥) . Приклади. 1. ( Z , ≥) , ( Z , ≤) ; 2. ( N ,M) ; 3. ( P( M ), ⊇),( P ( M ), ⊆) , де M – множина. Елемент a частково впорядкованої множини ( M , ≥) називається найбільшим [найменшим] елементом, якщо виконується наступна умова: (∀x ∈ M )(a ≥ x)[(∀x ∈ M )( x ≥ a)] . Елемент a частково впорядкованої множини ( M , ≥) називається максимальним [мінімальним] елементом, якщо виконується наступна умова: (∀x ∈ M )( x ≥ a ⇒ x = a)[(∀x ∈ M )(a ≥ x ⇒ x = a)] . Зауважимо, що кожний найбільший [найменший] елемент частково впорядкованої множини є максимальним [мінімальним]. Найбільший [найменший] елемент у разі його існування є єдиним найбільшим [найменшим]. Максимальних [мінімальних] елементів може бути декілька. Будемо говорити, що елемент a ≠ b частково впорядкованої множини ( M , ≥) покриває її елемент b , якщо виконуються наступні умови: 1). a ≥ b ; 2). (∀x ∈ M )(a ≥ x ∧ x ≥ b ⇒ x = a ∨ x = b) . Наприклад, у частково впорядкованій множині ({1, 2,3, 4,5,6},M) найбільших елементів немає, 4, 5, 6 – максимальні елементи, 1 – найменший (єдиний мінімальний) елемент, 6 покриває 2 і 3. Нехай ( M , ≥) – частково впорядкована множина, тоді будь-яка її підмножина є також частково впорядкованою відносно індукованого відношення часткового порядку.

21

Нехай ( M , ≥) – частково впорядкована множина, V – її підмножина. Будемо говорити, що елемент a ∈ M є верхньою [нижньою] межею множини V , якщо виконується наступна умова: (∀x ∈ V )(a ≥ x)[(∀x ∈ V )( x ≥ a)] . Найменша [найбільша] з верхніх [нижніх] меж множини V називається точною верхньою [нижньою] межею множини V і позначається через sup M V [inf M V ] . Точну верхню [нижню] межу також називають супремумом [інфімумом]. Приклади. 1. Розглянемо частково впорядковану множину ( N ,M) і a, b ∈ N . Тоді завжди існують sup N {a, b},inf N {a, b} , причому sup N {a, b} = GCD(a, b),inf N {a, b} = LCM (a, b) . 2. Нехай маємо частково впорядковану множину ( P( M ), ⊇) , де M - множина і A, B ∈ P( M ) . Тоді також завжди існують sup P ( M ) { A, B},inf P ( M ) { A, B} , причому sup P ( M ) { A, B} = A U B,inf P ( M ) { A, B} = A I B . Крім того, якщо {M i i ∈ I } ⊆ P( M ) , то

sup P ( M ) {M i i ∈ I } = U M i ,inf P ( M ) {M i i ∈ I } = I M i . i∈I

i∈I

3. Тепер розглянемо частково впорядковану множину ( R, ≥) . За відомою теоремою Вейєрштрасса будь-яка непорожня обмежена зверху (знизу) підмножина множини дійсних чисел має супремум (інфімум). Нехай a, b ∈ R . Тоді sup R {a, b} = max(a, b),inf R {a, b} = min(a, b) . 4. Ще один приклад частково впорядкованої множини, а саме: (Q, ≥) . Очевидно, що supQ [0;1) = 1 , проте не існує supQ {x ∈ Q x < 2} . 2

Непорожня частково впорядкована множина ( M , ≥) називається решіткою, якщо виконуються наступні умови: (∀a, b ∈ M )(∃sup M {a, b}) ∧ (∀a, b ∈ M )(∃inf M {a, b}) . Таким чином, ( N ,M) , ( P( M ), ⊇) , ( R, ≥) - решітки. Решітка ( M , ≥) називається булевою, якщо виконуються наступні умови: 1. ∃1∈ M ∀x ∈ M :1 ≥ x ; 22

2. 3. 4. 5.

∃0 ∈ M ∀x ∈ M : x ≥ 0 ; ∀x, y, z ∈ M : sup M {x,inf M { y, z}} = inf M {sup M {x, y},sup M {x, z}} ; ∀x, y, z ∈ M : inf M {x,sup M { y, z}} = sup M {inf M {x, y},inf M {x, z}} ; ∀x ∈ M ∃y ∈ M : inf M {x, y} = 0 ∧ sup M {x, y} = 1.

Зрозуміло, що ( P( M ), ⊇) є булевою решіткою, в якій M = 1, ∅ = 0 . 1.14. Ланцюги та цілком упорядковані множини Частково впорядкована множина ( M , ≥) називається ланцюгом (chain), якщо ≥ є відношенням лінійного порядку. Ланцюг ( M , ≥) називається цілком упорядкованою множиною, якщо будь-яка її непорожня підмножина має найменший елемент. Приклади. 1). Зрозуміло, що ( R, ≥) є ланцюгом, проте не є цілком упорядкованою множиною. 2). ( N , ≥),(2 N , ≥) є цілком упорядкованими множинами. У математиці твердження:

досить

часто

використовується

наступне

Лема Куратовського-Цорна. Якщо в непорожній частково впорядкованій множині ( M , ≥) кожний непорожній ланцюг має верхню межу, то в M є принаймні один максимальний елемент. Зокрема, це твердження використовується для доведення існування бази Гамеля у будь-якому лінійному просторі над полем. Теорема Цермело. На будь-якій множині можна задати відношення часткового порядку, яке перетворить її у цілком упорядковану множину. Зауваження. Остання теорема є дуже важливим результатом, оскільки дає змогу доводити багато теорем за допомогою узагальненого методу математичної індукції (трансфінітна індукція). 23

Зазначимо, що Ф. Гаусдорф отримав свій знаменитий принцип максимуму, який є альтернативним і більш раннім формулюванням леми Цорна.

24

2. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРНОГО АНАЛІЗУ 2.1. Правило суми й добутку та формула включень і вилучень Правило суми Твердження (правило суми). Нехай A1 ,..., An множини. Якщо ∀i, j ∈ {1,..., n}: i ≠ j ⇒ Ai I Aj = ∅ , то

UA = ∑ A n

–

скінченні

n

i

i =1

i =1

i

.

Доведення. Використаємо індукцію за кількістю множин. При n = 1 і при n = 2 твердження очевидне. Нехай воно правильне при n = k , k ≥ 2 . Доведемо це твердження при n = k + 1 . Справді, k +1 k k k +1  k  Ai =  U Ai  U Ak +1 = U Ai + Ak +1 = ∑ Ai + Ak +1 = ∑ Ai . U i =1 i =1 i =1 i =1  i =1  Твердження доведено. Тепер розглянемо одне важливе застосування правила суми. Принцип Діріхле Надзвичайно важливим у математиці є так званий Принцип Діріхле. Нехай A, B

–

скінченні множини і f : A → B

відображення. Якщо A > n B , де n ∈ N , то ∃b ∈ B : f −1 (b) ≥ n + 1. Доведення. Припустимо, що ∀b ∈ B : f −1 (b) ≤ n . Тоді оскільки

Uf

−1

(b) = A і ∀b1 , b2 ∈ B : b1 ≠ b2 ⇒ f −1 (b1 ) I f −1 (b2 ) = ∅ ,

b∈B

за правилом суми nB < A=

Uf

b∈B

−1

(b) = ∑ f −1 (b) ≤ ∑ n =n B . b∈B

Тоді n B < n B . Суперечність. Твердження доведено. 25

b∈B

–

Зокрема, цей принцип можна використати при доведенні того, що множина {{na} n ∈ Z } є всюди щільною у множині [0,1], де a – ірраціональне число, тобто ∀x ∈ [0,1]∀ε > 0∃n ∈ Z : {na} − x < ε . Доведемо це твердження. Справді, покажемо спочатку, що ∀ε > 0∃n ∈ Z :{na} < ε . Нехай 1 маємо довільне ε > 0 , тоді розглянемо натуральне число M > . ε Покладемо: iz := [{z}M ] , коли z∈R. Зрозуміло, що 0 ≤ {z}M < 1 ⋅ M = M . Тому 0 ≤ iz ≤ M − 1. Тоді за принципом Діріхле ∃n1 , n2 ∈ {1,..., M + 1}: n1 ≠ n2 ∧ in1a = in2a . Покладемо: i := in1a , p := [n1a], q := [n2 a ] . i i +1 З визначення iz маємо, що iz ≤ {z}M < iz + 1. Тоді z ≤ {z} < z . M M i i +1 Отже, [ z ] + z ≤ z < [ z ] + z . M M i i +1 i i +1 Тому p + ≤ n1a < p + ,q + ≤ n2 a < q + . M M M M Враховуючи ірраціональність числа a , отримаємо, що i i +1 i i +1 p+ < n1a < p + ,q + < n2 a < q + . M M M M 1 1 Тоді ( p − q ) − < (n1 − n2 )a < ( p − q ) + . M M Покладемо: 1  n − n ,( p − q ) < ( n − n ) a < ( p − q ) + , 1 2 1 2  M n :=  n − n ,( p − q ) − 1 < (n − n )a < ( p − q ) 1 2  2 1 M 1 Тоді {na} < < ε , де n ∈ Z \ {0} , оскільки n1 ≠ n2 . Зауважимо, що M очевидно {na} ≠ 0 , оскільки a – ірраціональне число. Розглянемо тепер x ∈ (0,1] . Тоді M −1  1  j j + 1 x ∈  0,  ∨ x ∈ U  , . M M  M   j =1 26

Якщо {na}