加法過程 (紀伊国屋数学叢書)

紀伊 國屋数学叢書 33

編集 委員 伊藤

清 三 

戸 田

宏  

(東京大学名誉教授) (京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学名誉教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

佐 藤 健一

加 法 過程 紀伊 國屋書店

ま

え

が

き

  時 間 と と も に変 化 す る 偶 然 現 象 を数 学 的 に 定 式 化 した も の が 確 率 過 程 で あ る が, 加 法 過 程 は そ の 中 で 最 も基 本 的 な ク ラ ス で あ り,重 な り合 わ な い 時 間 間 隔 に お け る 増 分 が 独 立 で,し Poisson過

か も時 間 的 一 様 性 を も つ もの で あ る.Brown運

程 は そ の 中 で 典 型 的 な もの で あ る.P.Levyが

け を 与 え て 以 来,50年

以 上 に わ た る多 くの 研 究に よ っ て,そ

標 本 関 数 の 挙 動 は 次 第 に 明 ら か に さ れ て き た.し 対 象 で あ り,今 な お,魅

動,安

の分 布 の性 質 とその

か し,加 法 過 程 は 豊 か な 数 学 的

力 あ る未 解 決 の 問 題 を提 供 して い る.一 方,加

張 と して 種 々 の 確 率 過 程 が 得 られ る.Markov過

定 過 程,

加法 過程 の全体 の特 徴 づ

法 過程 の拡

程 は そ の 一 つ で あ る.加 法 過 程 の

研 究 は そ れ ら の 基 礎 と な る.   本 書 は 加 法 過 程 に 対 す る基 本 的 知 識 を ま とめ た もの で あ る.し と考 え られ る も の だ け で も厖 大 な もの で あ っ て,と な い の で,あ

る程 度 主 題 を 限 定 し な け れ ば な らず,分

か し基 本 的 知 識

うて い 一 冊 の 本 に は ま とめ られ 布 の性 質 と関 数 解 析 的 側 面 に

比 較 的 力 を入 れ た も の に な っ た.読 者 の 多 くが確 率 過 程 に は じ め て 接 す る 人 で あ る こ と を 想 定 し,で

き る だ け 丁 寧 な 証 明 を つ け る よ うに 心 が け て,分

りや す い 本 に

した い と考 え た.   本 書 は,次 第1章

の よ う な 構 成 で,d次

で は,加

元Euclid空

法 過 程 の 例 で あ るPoisson過

動 につ い て ま ず 述 べ る.第2章

間 の値 を と る加 法 過 程 を 取 り扱 う. 程,複

合Poisson過

程,Brown運

で は 無 限 分 解 可 能 分 布 を 導 入 し,そ れ と加 法 過 程

とが 完 全 に 対 応 して い る と い う事 実 を確 立 す る と と もに,特 性 関 数 の 形 で 無 限 分 解 可 能 分 布 のLevyの

標 準 形 を 与 え る.加

の 章 は 本 書 の 全 体 の 基 礎 で あ る.第3章 論 を 述 べ,連 こ と,そ

法 過 程 の 存 在 も この 中 で 証 明 さ れ る.こ はBanach空

間 の 線 形 作 用 素 の 半 群 の理

続 関 数 の 空 間 に お け る あ る ク ラ ス の 半 群 と加 法 過 程 が 対 応 し て い る

し て,Levyの

と を 明 ら か に す る.加

標 準 形 は そ の 半 群 の 生 成 作 用 素 の 形 を 与 え る もの で あ る こ 法 過 程 の 中 の 最 も顕 著 な サ ブ ク ラ ス と して 安 定 過 程(す

わ ち 時 間 単 位 の と り方 に 関 し て 安 定 な 過 程)が

な

あ り,そ れ よ り少 し大 き な サ ブ ク

ラ ス と し て 自 己 分 解 可 能 過 程 が あ る.そ れ ら の 特 徴づ け を 与 え る の が 第4章 る.第5章 布)の

は時 刻tを

固 定 し た と き の 加 法 過 程 の 分 布(す

性 質 を 調 べ る.第6章

は 加 法 過 程 のLevy-伊

であ

な わ ち無 限 分 解 可 能 分

藤 分 解 で,こ

れ は標 本 関 数 の

跳 び の 部 分 と連 続 の 部 分 の構 造 を 与 え る重 要 な 結 果 で あ る .標 本 関 数 のt→

∞ に

お け る挙 動 に よ っ て 加 法 過 程 が 再 帰 的 と非 再 帰 的 に 大 別 さ れ る こ と を ,第7章 扱 う.第8章

は1次

い るBochnerの

元 の 増 加 加 法 過 程 の 応 用 で,こ

従 属 操 作 を ,主

法 過 程 に 対 して は,そ

れ を ラ ン ダ ム な時 間 変 更 に 用

と して 半 群 に 対 して 関 数 解 析 的 に 扱 う.1次

の 上 限 過 程,下

解 が あ る .そ の 理 論 の 主 要 な 部 分 が 第9章

10章

己 分 解 可 能 過 程 の 分 布)とOrnstein-Uhlenbeck型

し,主

布(自

元加

限 過 程 な ど を も 同 時 に扱 う有 効 な 方 法 と し

てWiener-Hopf分 はL分

で

と して 山 里 真 氏 と筆 者 の 研 究 を 述 べ る .最 後 に 第11章

の 内 容 で あ る.第 過 程 に関

で,そ

れ まで に触 れ

な か っ た 加 法 過 程 の 種 々 の 側 面 に お け る結 果 を 証 明 な しで 紹 介 す る .   飛 田 武 幸 氏 は本 書 の 執 筆 を す す め て 下 さ り,終 始 は げ ま し を 与 え ら れ た.土

谷

正 明 氏 と神 田 護 氏 は 本 書 の 原 稿 を 検 討 し て こ ま か く意 見 を寄 せ て 下 さ っ た .そ れ に よ っ て 多 数 の 点 を 改 善 で き た ば か りで な く,誤 き た の は幸 いで あ っ た.ま

た山 里 真 氏,野

りの い くつ か を原 稿 の 段 階 で 修 正 で

本 久 夫 氏,井

上 和 行 氏,谷

川明夫 氏か ら

も原 稿 に 対 して 有 益 な 御 意 見 を い た だ い た.こ れ ら の 方 々 と,お 世 話 に な っ た紀 伊 國 屋 書 店 の 水 野 寛 氏 に,深 古 屋 大 学 か ら は,こ

く感 謝 の意 を 表 わ し た い.東

京 教 育 大 学,金

沢 大 学 ,名

の 本 の 内 容 に 関 係 し た 研 究 に お い て 多 大 の 便 宜 を 受 け た .こ

れ に 深 く感 謝 した い.   東 京 教 育 大 学 の と き以 来,無

限分 解 可能 分 布 の研 究 に絶 えず興 味 を もって は げ

ま し を 与 え て 下 さ っ た 丸 山 儀 四 郎 氏 が1986年

に 急 逝 され,本

書 をお見 せで きな い

の が 残 念 で あ る.

1990年9月 

名 古屋 にて

佐

藤

健

一

目

次

  記 号 と用 語 に つ い て 第1章

  加 法 過 程 の 定 義 と例

  §1.1.  加 法 過 程 の 定 義  

1

  §1.2.  特 性 関 数  

7

  §1.3.  Poisson過

程 

  §1.4.  複 合Poisson過   §1.5.  Brown運 第2章

16 程 

20

動 

23

  加 法 過 程 と無 限 分 解 可 能 分 布

  §2.1.  無 限 分 解 可能 分 布 と法 則 の 意 味 の 加 法 過 程  

32

  §2.2.  無 限 分 解 可能 分布 の 標 準 形  

37

  §2.3.  推 移 確 率 関 数 とMarkov性

49

  §2.4.  加 法 過 程,Brown運 第3章

 

動 の 存在  

53

 加 法過 程 の生 成作 用 素

  §3.1.  線 形 作 用 素 の 半 群  

63

  §3.2.  推 移 確 率 関 数 か ら 定 ま る 半 群  

73

  §3.3.  加 法 過 程 か ら定 ま る 半 群  

81

第4章

  安定 過程 と自己分解 可能 過 程

  §4.1.  安 定 過 程,安

定 分 布 と狭 義 安 定 過 程,狭

  §4.2.  安 定 分 布,狭

義安 定 分布 の標 準 形 

  §4.3.  自 己 分 解 可 能 過 程 とL分 第5章

布 

義 安 定分 布 

88 96 107

 加法 過 程 の分 布 の性質

  §5.1.  分 布 の 台  

116

  §5.2.  劣 乗 法 的 関 数 に よ るモ ー メ ン ト 

123

  §5.3.  あ る種 の モ ー メ ン トとLevy測

度 の 台 の 大 き さ 

132

  §5.4.  分 布 の 連 続 性 と絶 対 連 続 性   第6章 

加 法 過 程 のLevy-伊

139

藤 分 解

  §6.1.  Levy-伊

藤 分 解 の 定 式 化 とPoisson配

  §6.2.  Levy-伊

藤 分 解 の証 明 

置 

152 155

  §6.3.  標 本 関 数 の 性 質   第7章 

165

再 帰 的 と非 再 帰 的 へ の 分 類

  §7.1.  強Markov性

 

178

  §7.2.  再 帰 的 と非 再 帰 的  

185

  §7.3.  大 数 の 強 法 則  

193

  §7.4.  判 定 条 件 と そ の 応 用  

195

第8章

  Bochnerの

従 属操 作

  §8.1.  線 形 作 用 素 の半 群 に対 す る従 属 操 作

 

  §8.2.  加 法 過 程 に 対 す る従 属 操 作   第9章

 

1次 元 加 法 過 程 のWiener-Hopf分

  §9.1.  Wiener-Hopf分

211 221

解

解Ⅰ  

234

  §9.2.  正 の 跳 び を も た な い 加 法 過 程 の 初 通 過 時 間 過 程  

248

  §9.3.  時 刻0の

255

近 くに お け る 標 本 関 数 の 性 質Ⅰ  

  §9.4.  時 刻 無 限 大 に近 づ くと き の 標 本 関 数 の 性 質Ⅰ     §9.5.  Wiener-Hopf分 第10章 

L分

解Ⅱ

 

布 とOrnstein-Uhlenbeck型

  §10.1.  Ornstein-Uhlenbeck型   §10.2.  極 限 分 布 と して のL分

264 269

過 程

過 程  布 

288 296

  §10.3.  1次 元 分 布 の 単 峰 性 に つ い て の 一 般 論  

304

  §10.4.  1次 元L分

317

布 の 単 峰 性 と な め ら か さ 

  §10.5.  単 峰 な 分 布 を も つ1次 第11章

元 加法 過程  

330

 諸 結 果

  §11.1.  時 刻0の

近 くに お け る標 本 関 数 の 性 質Ⅱ  

336

  §11.2.  時 刻 無 限 大 に 近 づ く と きの 標 本 関 数 の性 質Ⅱ  

345

  §11.3.  一点 へ の 到 達 確 率  

348

  §11.4.  種 々 の 性 質  

351

引 用文 献  

358

索 引 

374

記号

と用語

に つ い て

  次 の 記 号 を 用 い る. N 

正 の 整 数 の 全 体 の つ く る集合.

Z 

整 数 の全 体 の つ く る 集 合.

Q 

有 理 数 の 全 体 の つ く る集 合.

R 

実 数 の 全 体 の つ く る集合.

C 

複 素 数 の 全 体 の つ く る集合.

Rd 

d次 元Euclid空

間.そ

実 数 を 成 分 とす るd項

の 要 素x=(xp)p=1,…d,y=(yp)p=1

縦ベ ク トル と し,内

ノル ム を 

,…,dは

積を

と表 わ す. に対 し

かつ B(Rd) 

RdのBorel

σ 加 法 族.

meas(A) 

AのLebesgue測

δa 

点aに

1B(x) 

集 合Bの

[μ]B 

測 度 μ のBへ

I 

単 位 行 列,恒

度.

お け る δ分 布(aに

集 中 した 確 率 測 度).

定 義 関 数(1B(x)は,x∈Bの

と き1, 

の と き0).

の 制 限. 等 作 用 素.

a∧b=min{a,b} a∨b=max{a,b} sgnx 

xの 符 号 関 数(x>0,=0,0で

で 右連続 す な 左 極 限 

を も つ も の の 全 体.   Aがn行m列

の 実 の 行 列 で あ る と き,そ れ をRmか

素 と見 て ノル ム‖A‖ を 定 義 す る.す   数 列{xn}が

らRnの

な わ ち, で あ る こ と,減

増 加 で あ る と は 

で あ る と は  xn<xn+1(n=1,2,…).真

中 へ の線形 作用

で あ る こ と とす る.真

少

に増 加 で あ る とは

に 減 少 で あ る と はxn>xn+1(n=1,2,…)で

あ

る こ と とす る.増 加 ま た は 減 少 で あ る と き単 調 で あ る と い う.関 数 に つ い て も同 様.   Xt(ω)をX(t,ω),XtをX(t),SnをS(n),TxをT(x),xnをx(n),tkを t(k)の

よ うに 下 添 字 を 括 弧 内 に 移 動 して 大 き く書 く こ とが あ る.

  ベ ク トル 値 関 数 の 積 分(ま

た は 期 待 値)は

分 とす る ベ ク トル と す る.   □ は″ 証 明 終 り″ を 意 味 す る.

各 成 分 の 積 分(ま

た は期 待 値)を

成

第1章 

加 法 過 程 の 定 義

と例

  §1.1.  加 法 過 程 の 定 義

  この 章 で は確 率 空 間,確

率 過 程,加

法 過 程 な ど の 定 義 を 与 え,こ

して 組 織 的 に 用 い る特 性 関 数 の 基 礎 的 性 質 を 述 べ,つ 程 で あ るPoisson過   d次 元Euclid空 し,次

程,複 間Rdに

合Poisson過

F,P)を

程,Brown運

も重 要 な加 法 過

動 に つ い て 述 べ る.

値 を と る確 率 変 数 を 考 え る に は,ま ず 確 率 空 間 を定 義

に こ の 確 率 空 間 か らRdの

  定 義1.1.1. 

づ い て,最

の本 で道 具 と

Ω が 集 合 で,次

確 率 空 間 と い う.Fは

中 へ の 関 数 を 考 え る. の よ う なF,Pが

定 ま っ て い る と き,三 つ 組(Ω,

Ω の 部 分 集 合 の 一 つ の 族 で,次

の 性 質(1),(2),

(3)を 持 つ. (1) 

Ω ∈F,O∈F 

(2) 

An∈F(n=1,2,…)な

ら ば 

(3) 

A∈Fな

あ る(Acは

す べ て のA∈Fに

(Oは 空 集 合).

ら ばAc∈Fで 対 し実 数P(A)が

もFに Ω ＼Aす

属 す.

な わ ちAの

余 集 合).

定 ま っ て い て 次 の 性 質(4),(5)を

持 つ.

(4) (5) 

An∈F(n=1,2,…)が

互 い に 素,す

な わ ちAn∩Am=O(n≠m)

で あ るな らば   定 義1.1.1を

測 度 論 の 言 葉 で い え ば,確

とで あ る.(1),(2),(3)を

み た す よ うなFを

よ う なPを

確 率 測 度 と呼 ぶ.確

を事 象Aの

確 率 と呼 ぶ.

  Rdに ぶ.こ

お け るBorel集 れ はRdに

合 の 全 体 をB(Rd)で

測 度1の

測 度 空間 の こ

σ 加 法 族 と呼 び,(4),(5)を

率 空 間 に対 して は,Fに

表 わ しRdのBorelσ

あ る.Rdの

測 で あ る こ と を単 に 可 測 とい う.

み たす

属 す る 集 合 を事 象,P(A)

お け る 開 集 合 族 か ら生 成 さ れ る σ 加 法 族(開

よ う な σ 加 法 族 の 中 で 最 小 の も の)で f(x)がB(Rd)可

率 空 間 とは,全

加 法 族 と呼 集合 をすべ て含 む

上 で 定 義 され た 実 数 値 の 関 数

  定 義1.1.2. 

(Ω,F,P)を

確 率 空 間 とす る.XがRd値

Rdに

お け る確 率 変 数)で

あ る と は,Ω

と,す

な わ ち,ω ∈ Ω に対 しX(ω)∈Rdが

に 対 し{ω:X(ω)∈B}がFに

定 ま っ て い て,す

略 記 す る.Bを

上 で 定 義 さ れ た 確 率 測 度 で あ る.こ

(ま た はXの

確 率 法 則)と

の 確 率 変 数(ま た は

中 へ のF可

測 な関数 で あ る こ べ て のB∈B(Rd)

属 す こ と.

  P({ω:X(ω)∈B})をP(X∈B)と B(Rd)の

か らRdの

動 か す と きP(X∈B)は

れ をPX(B)で

い う.一 般 に,B(Rd)の

表 わ し,Xの

上 の 確 率 測 度 をRdの

分布 上 の分

布 と呼 ぶ.   Rd値

の 確 率 変 数X,Yが

同 じ 分 布 を も つ と き,す

な わ ちPX=PYで

ある

と き.

と書 く.  

Xが

実数 値(す なわ ちR1値)の

と き,こ れ をXの

確 率 変数 で 積 分 

期 待 値 とい い,E(X)あ

け る確 率 変 数 で,f(x)がRdで

る い はEXで

が 存在 す る 表 わ す .XがRdに

お

定 義 さ れ た 有 界 可 測 関 数 で あ る と き,

で あ る.   P(Ω0)=1を 性 質Pを 率1で)も 質Pを

み た す Ω0∈Fが

もつ と き,X(ω)が

存 在 して,す

性 質Pを

つ と い う(a.s.はalmost も つ}がFに

べ て の ω ∈ Ω0に 対 しX(ω)が

ほ と ん ど確 実 に(ま た はa.s.に surelyの

略).こ

の 際,集

,ま た は 確

合{ω:X(ω)が

性

属 す る こ と は 要 求 し な い.

  以 下 こ の 節 で は 一 つ の 確 率 空 間 を 固 定 し,確 率 変 数 は す べ て この 上 で 定 義 され て い る とす る.確 な も の は,独

立 と い う関 係 で あ る.

  定 義1.1.3.  る と は,B(Rd)に

率 変 数 の 集 ま りが あ る と き,そ れ ら の 間 の 関 係 と して 最 も重 要

n個

のRd値

の 確 率 変 数 か ら成 る 族{X1,…,Xn}が

属 す る 任 意 のB1,…,Bnに

対 して

独立であ

が 成 り立 つ こ とで あ る.無

限 個 のRd値

の 確 率 変 数 か ら成 る 族 が 独 立 で あ る と は,

そ の 任 意 の 有 限 部 分 族 が 独 立 で あ る こ とで あ る.   定 義1.1.4. 

Rd値

の確 率 変 数 の 族{Xt:t∈[0,∞)}をRd値

に お け る)確 率 過 程 と呼 ぶ.「 をX(t),X(t,ω)と

の(ま

に 対 し,P(X(t1)∈

も 書 く. 

B1,…,X(tn)∈Bn)(B1,…,Bn∈B(Rd))はB((Rd)n)の つ 定 め る.nとt1,…,tnを す る.こ

上の分布 をた だ一

動 か し,こ の 分 布 の 族 を{Xt}の

こ で 用 い た よ う に,{Xt:t∈[0,∞)}を

率 過 程{Xt},{Yt}に

た はRd

記 号 と用 語 に つ い て 」 に述 べ た よ う に,Xt,Xt(ω)

有 限 次 元 分 布 と総 称

単 に{Xt}と

も書 く.二 つ の 確

対 し

P(Xt=Yt)=1, 

t∈[0,∞)

が 成 り立 つ と き,{Xt},{Yt}は

同 値 で あ る と い う.ま

た,一

方が他 方の 変形 で あ

る と も い う.二 つ の 確 率 過 程(こ

の 場 合 は 同 じ確 率 空 間 で 定 義 さ れ て い な くて も よ

い)が

同 じ有 限 次 元 分 布 を もつ と き,法 則 同 値 で あ る と い う.ω

をtの

関 数 と し て 見 る と き,{Xt}の

時 に はtの

動 く範 囲 が[0,∞)で

を固 定 しX(t,ω)

標 本 関 数 あ る い は 標 本 路 あ る い は 道 と い う.

な い も の,た

と え ば{Xt:t∈[0,t0]}に

対 して

も,確 率 過 程 と い う言 葉 を 用 い る.   定 義1.1.5.  と ε>0に

Rdに

お け る確 率 過 程{Xt}が

確 率 連 続 で あ る とは,任 意 の 

対 し

で あ る こ と.   確 率 過 程 は ラ ン ダ ム な現 象 の 時 間 的 発 展 の 数 学 的 モ デ ル で あ り,そ の 意 味 で,t を 時 間 と考 え る こ とが 多 い.わ こ と とす る.最

れ わ れ も時 間 とか 時 刻 とか い う語 を 自 由 に 用 い る

も基 本 的 な確 率 過 程 は,連

運 動 で はPoisson過

程 で あ るが,こ

ス に 属 して い る.加 法 過 程 と は,そ

続 な 運 動 で はBrown運

動,跳

び に よる

の 二 つ は 共 に 加 法 過 程 と い う確 率 過 程 の ク ラ の 本 質 的 な性 質 の み で い う と,時 間 的 一 様 な 独

立 増 分 を も つ 確 率 過 程 で あ る.そ れ が ど ん な に 重 要 な ク ラ ス で あ り,ま た どん な に 豊 富 な構 造 を もっ て い る か は,本 を 与 え よ う.

書 で 段 々 と明 ら か に して 行 き た い.ま ず そ の 定 義

  定 義1.1.6. 

Rdに

お け る 確 率 過 程{Xt:t∈[0,∞)}が

次 の五 つ の条件 をみ

た す と き,加 法 過 程 で あ る と い う.

(6) 

に 対 し,X(t1)-X(t0),

任意 の有 限 個 の時点  X(t2)-X(t1),…,X(tn)-X(tn-1)が

(7) 

Xs+t-Xsの

分 布 はsに

(8) 

X0=0 

(9) 

確 率 連 続 で あ る.

(10) 

P(Ω0)=1を

み た す Ω0∈Fが

  条 件(7),(8)に

意 の ω ∈ Ω0に 対 し

元 加 法 過 程 と呼 ぶ こ と も あ る.な

お,条

件 を 弱 め て,

四 つ を み た す と き,法 則 の 意 味 の 加 法 過 程 と呼 ぶ. よ り,(9)は

(9′) 

任 意 の ε>0に

  第2章

に お い て,法

とを 示 す.そ

存 在 して,任

関 数 と して 右 連 続 で か つ 左 極 限 を もつ.

お け る加 法 過 程 をd次

{Xt}が(6)-(9)の

よ ら な い(時 間 的 一 様 性).

a.s.

X(t,ω)がtの Rdに

独 立(独 立 増 分 性).

次 の(9′)に お き か え て も よ い.

対 しP(￨Xt￨>ε)→0 

(t↓0).

則 の 意 味 の 加 法 過 程 が,い

の 意 味 で,条

件(10)は

つ も,加 法 過 程 と 同 値 で あ る こ

本 質 的 な 制 限 で は な い.

  確 率 分 布 の 系 が 与 え られ た と き そ れ を有 限 次 元 分 布 とす る確 率 過 程 の 存 在 を保 証 す るの は,A.N.Kolmogorovの か らRdの Xtを

定 理 で あ る.Ω=(Rd)[0,∞),す

中 へ の 関 数 ω=(ω(t):t∈[0,∞))の

定 義 す る.有

な わ ち Ω は[0,∞)

全 体 とす る.Xt(ω)=ω(t)で

限 個 の 時 点 

とB1,…,Bn∈B(Rd)に

よ って (11)

と表 わ され る集 合 を 筒 集 合 と い う.筒 集 合 の 全 体 か ら生 成 され る σ 加 法 族 をFと しKolmogorovσ

加 法 族 と呼 ぶ.こ

 定 理1.1.7.(Kolmogorovの に 対 して もB((Rd)n)の 件(両

(12) 

の と き次 の 定 理 が 成 り立 つ.

拡 張 定 理) 

どん な 有 限 個 の 時 点 

上 の 分 布 μt1…tnが 与 え られ て い て,そ

立 条 件 と い う)を み た す とす る.

で 

な らば

れ らが 次 の 条

こ の と き,Fの

上 で 定 義 さ れ た確 率 測 度Pが

元 分 布 が{μt1…tn}と

た だ 一つ 存 在 して,{Xt}の

有 限次

一致 す る.

  この 定 理 はKolmogorov[K]に

よ るが,証

明 は伊 藤[I1],Breiman[B]な

どに も

あ る.   確 率 空 間 の 直 積 を 構 成 す る こ とが しば し ば 必 要 に な る.   定 理1.1.8.(直

積 確 率 空 間 の 存 在) 

率 空 間 とす る.Ω=Ω1× (13) 

Ω2× …

n=1,2,…

に対 し(Ωn,Fn,Pn)を

とし

C={ω=(ω1,ω2,…):k=1,…,nに

の 形 の 集 合(nお

対 し ωk∈Ak}

よ びAk∈Fk(k=1,…,n)を

σ 加 法 族 をFと

す る.Fの

確

動 か す)の

上 の 確 率 測 度Pで,(13)の

全 体 か ら生 成 さ れ る

形 のCに

対 して は

P(C)=P1(A1)…Pn(An) と な る もの が,た

だ 一 つ 存 在 す る.

  こ の(Ω,F,P)を(Ωn,Fn,Pn),n=1,2,…,の 伊 藤[I1],[I4],西

尾[N]に

直 積 確 率 空 間 と い う.証 明 は

あ る.

  こ こで 乱 歩 を 定 義 し て お く.乱 歩 そ の も の は 本 書 の 対 象 で は な い が,加

法過程

の 研 究 に お い て は 乱 歩 が しば し ば 重 要 な 役 割 を演 じ る.   定 義1.1.9.  の 分 布 がnに と す る.こ (random   Rdの

{Zn:n=1,2,…}がRd値 依 存 しな い)で

あ る とす る. 

の と き{Sn:n=0,1,…}をRd値 walk)と

とs1,…,smに

限 事象 を

た はRdに

お け る)乱

歩

い う.

理1.1.8に

分 布 が μ で あ る よ う な乱 歩 が 存

よ っ て 保 証 さ れ る.

  確 率 変 数 の 二 つ の 族{Xt},{Ys}が

n=1,2,…}が

の(ま

上 の 分 布 μ を 任 意 に 与 え た と き,Znの

在 す る こ と は,定

あ る.事

の 確 率 変 数 の列 で 独 立,同 分 布(Zn

独 立 で あ る と は,任

意 の 有 限 個 のt1,…,tn

対 し(Xt1,…,Xtn)と(Ys1,…,Ysm)が

象 の 列{An:n=1,2,…}が 独 立 で あ る こ と とす る.事

独 立 で あ る こ とで

独 立 で あ る と は,確 象 の 列{An}に

率 変 数 列{1An(ω): 対 し 上 極 限 事 象,下

極

 

と定 義 す る.次

の 命 題 が あ る.

  命 題1.1.10.(Borel-Cantelliの

補 題) 

な ら ば,

(ⅰ) 

 で あ る.

(ⅱ)

 {An}が

独 立 で 

で あ る な ら ば, 

で

確 率 変 数Xに

確 率 収 束 す る とは,

あ る.

 

Rd値

の 確 率 変 数 の 列{Xn:n=1,2,…}が

す べ て の ε>0に

で あ る こ とで あ る.こ れ を

対 し 

Xn→X(確

率 収 束)

と書 く.{Xn}がXに

確 率 収 束 し,か つX′

で あ る.{Xn}がXに

概 収 束 す る とは, 

に 確 率 収 束 す る な ら ば,X=X′a.s. で あるこ

とで あ る.こ れ を Xn→X 

a.s.

と書 く.   命 題1.1.11. 

(ⅰ)  {Xn}がXに

  (ⅱ)  {Xn}がXに

概 収 束 す れ ば 確 率 収 束 す る.

確 率 収 束 す れ ば,{Xn}の

 上 の 命 題 の(ⅰ)か ら,加 法 過 程{Xt}で

(14) 

任 意 のt>0に

で あ る(Xt-はtに

束 で あ り,こ

お け る 左 極 限 を あ ら わ す).な

ぜ なら ば,tn0,s>0

際, 

が わ か る.実

で あ り,こ

際

が

れ は, 

と書 け る か ら,

で あ る.こ

れ をnに

つ い て 加 え れ ば(5)と

 こ れ と同 じ論 法 で 

が い え る.こ

な る. に対 し

れ を く り か え し て,

で あ り,独 立 増 分 性 が 確 か め られ た.{xt}の

標 本 関 数 は高 さ1の

右 連 続 の 階 段 関 数 で あ る か ら,定 義1.1.6の(10)を ら,す

べ て の 条 件 が 確 か め ら れ た. 

  今 構 成 し た過 程 に対 し,Xt=nと お け る配 置 の 分 布 を 求 め よ う.Iを 数 をJ(I)と

み た し,従

跳 び のみ を持 つ

って(9)も

い え るか

□ い う条 件 の 下 でU1,…,Unの

区 間 とす る と き,t∈Iに

区 間[0,t]に

お け るXtの

跳びの

す る.

 命 題1.3.3.(跳

び の 時 点 の 配 置) 

と い う条 件 の 下 でXsは

0<s0)=1.

い え る.対

称 性 に よ り(10)は(9)か

ら い え る. 

□

  微 分 可 能 な 点 を 一 点 も 持 た な い 連 続 関 数 はK. 関 数 を 項 とす る 級 数 の 形 で 構 成 し,他 が,Brown運

Weierstrassが1870年

代 に三 角

の 具 体 例 の 作 り方 も い ろ い ろ 知 られ て い る

動 の 標 本 関 数 は ほ とん ど 確 実 に この よ う な 関 数 で あ る .

  定 理1.5.7.(微

分 不 可 能 性)(d=1) 

ほ とん ど確 実 に,X(t,ω)はtの

して 微 分 可 能 な点 を 一 点 も持 た な い(微 分 可 能 とい う と き,t=0で

関数 と

は右微 分 可能

の 意 味).   証 明(Dvoretzky-Erdos-Kakutani(1961))  An(K,N)={ω:あ

K,Nを

るs∈[0,N-N/n)が

正 の 整数 とし

存 在 して ,

に対 して は と定 義 す る.

{ω:Xt(ω)が[0,N)内

で あ る.K,Nを

と し(た

の あ る 点 で 微 分 可 能}

固 定 しAn(K,N)をAnと

だ しk=0の

と す る と,An⊂Bnで

書 こ う.

と き はmaxをj=1,2に

つ い て と る),

あ り,

ただし で あ る. 

で あ る.従

で あ り,P(lim

で あ る か ら,

っ てP(Bn)→0(n→

inf Bn)=0が

∞)で

あ る .さ てAnはnと

い え て い る の で あ る か ら ,証

共 に増 加す るか ら

明 を 終 っ た. 

□

  定 理1.5.8.(非

単 調 性)(d=1) 

ほ と ん ど 確 実 に,X(t,ω)はtの

関 数 と して

ど ん な 区 間 で も 単 調 で な い.   証 明   Ω0を(2)の

も の と し,区

A[a,b]={ω

間[a,b]に

∈ Ω0:X(t,ω)は[a,b]で

と す る.A[a,b]∈FでP(A[a,b])=0と a+k(b-a)/nと

対 し

増 加}

な る こ と を 示 そ う.[a,b]を

固 定 しtn,k=

し

と す る.

で あ る.

で あ り,{An,k:k=1,…,n}は

と な りP(A[a,b])=0が

ゆ え に 

い え た.{ω

る区 間 で 増 加}は,A[a,b]のa,b∈Q∩[0,∞),a0を

固定 し

Δn: 0=tn,00に

分 る .h↓0の

対 しn0とh0が

で あ り,ま

とき

存 在 し て , 

に対 し

∞ の とき た

で は￨xp0￨>2/h0と

で あ る. 

な るp0が

存 在 す るか ら

で あ る こ と に注 意 す る と,

が 分 る.ゆ

えに

で あ る.こ

れ で(18)も

て,あ

る有 限 測 度

示 さ れ た.(17),(18)か

ρ へ の 収 束 部 分 列{ρnk}が

はν(dx)=(￨x￨2∧1)-1ρ(dx)と

ら 選 出定 選 べ る.ν

定 義 す る.(16)を

理(命

題2.2.15)に

よ っ

をν({0})=0,￨x￨>0で

書 き直 し て

(19)

の 形 に す る.以

下,n→

∞ は{nk}に

集 合 す な わ ち ρ({￨x￨=ε})=0で

沿 って と与 し,ε ↓0は{￨x￨0を{￨x￨0を

固 定 し,

つ い て 右 微 分 し よ う.

で あ る が,h↓0の 前 者 に は 仮 定(10),後

と きυ1→Pt-sLu(s)(強),υ2→-LPt-su(s)(強)で 者 に は 第1段

(d/ds)+Pt-su(s)=0, 

を 用い

た.ゆ

え に(12)に

s∈(0,t)

あ る. よ って

で あ る.(d/ds)+は

強 右 微 分 を 表 わ す.w(s)=Pt-su(s)と

お い て 強 連 続,(0,t)に

お い て 強 右 微 分 が0で

お く .w(s)は[0,t]に

あ る.こ

の こ と か らw(s)が[0,t]

に お い て 一 定 で あ るこ と を 示 そ う.ε>0とs0∈(0,t)が

与 え ら れ た と き,s-s0

が 十 分 小 さ い 正 の 数 な らば

(13) で あ る.(s0,s1)を(13)が (13)が

成 り立 つ 最 大 区 間 と す る .強

成 り立 つ.も

しs10が

十 分小

の とき

と な り,s1の り,[s0,t)に

と り方 に 矛 盾 す る.従 お い てw(s)=w(s0)で

り,w(s)は[0,t]に る. 

っ てs1=tで あ る.s0の

お い て 一 定 で あ る.ゆ

あ る.ゆ

え に,ε の 任 意 性 に よ

任 意 性 とw(s)の

強 連続 性 に よ

え に,u(t)=w(t)=w(0)=Ptfで

あ

□

  生 成 作 用 素 の 特 徴 づ け に進 ん で 行 こ う.   定 理3.1.4.(生

成 作 用 素 の 性 質) 

作 用 素 な ら ば,次

の こ とが 成 り立 つ.

(14) D(L)はBに α>0に

(16) 

Uα=(αI-L)-1と

(17) 

α>0,f∈Bに

  (16)で

強 連 続 な 縮 小 半 群,Lが

お い て 稠 密.

(15) 

(18) Lは

{Pt}が

対 しαI-LはD(L)をB全

体 へ1対1に

お くとき 対 し

閉 作 用 素. 定 義 したUα

はLの

レ ゾ ル ベ ン ト と呼 ば れ る.

写 す.

その生 成

  証 明 

(14)をいお

う.f∈Bに

で あ る か ら,h↓0の

対 し 

と お く と,

とき

(強) で あ る.ゆ (14)がい

え にgs∈D(L)で

あ る.s↓0の

と きs-1gs→f(強)で

あ る か ら,

え た.

(19)

に よ りUα 存 在 してUα

で あ る か ら,(19)の

を定 義 す る.  で あ る.

は 有 界, 

で あ る か ら,h↓0の

右辺が

とき

(強) で あ る.す

な わ ち,任

意 のfに

対 しUαf∈D(L)で

(αI-L)Uαf=f で あ る.ゆ

え に αI-Lの値

い う た め,(αI-L)u=0と

域 はB全

体 で あ る.αI-Lが1対1で

し,u=0を

あ る こ とを

い お う.

h-1(Phu-u)-Lu=υh

とす る.Phu=(1+hα)u+hυhで で あ る.ゆ り,u=0が

え に,h↓0の い え た.こ

あ る か ら  と き,υh→0(強)に れ で(15)が

分 っ た.

(αI-L)Uα=I=(αI-L)(αI-L)-1

よ っ て 

とな

か ら,Uα=(αI-L)-1=Uα (αI-L)-1が る. 

で な くて は な らな い.従

有 界 だ か らαI-Lは

閉 作 用 素 に な り,従 っ てLも

い え た.

閉 作 用素 で あ

□

  定 理3.1.5.(半

群 の一 意 性) 

{Pt},{Qt}が

共 に 強 連 続 な縮 小 半 群 で,そ

生 成 作 用 素 が 一 致 し て い る な ら ば,Pt=Qtで   証 明   Lを

え る.D(L)の

  定 理3.1.6.(生

稠 密 性(14)に

成 作 用 素 の 特 徴 づ け) 

み た す な ら ば,あ

の

あ る.

共 通 の 生 成 作 用 素 と し,f∈D(L)に

Ptf=Qtfがい

(16)を

っ て(16),(17)も

Bに

対 し定 理3.1.3を

よ っ て,Pt=Qtと

適用す ると

な る . 

□

お け る 線 形 作 用 素Lが(14),(15),

る強 連 続 縮 小 半 群 の生 成 作 用 素 で あ る.

  こ れ を 示 す た め の 準 備 と し て,有

界 線 形 作 用 素Mに

対 し

(20) と定 義 す る.   補 題3.1.7. 

(20)の

右 辺 は作 用 素 の ノル ム の 意 味 で 収 束 し て,eMは

形 作 用 素 とな り,

(21) (22) ‖t-1(etM-I)-M‖ で あ る.Nが

→0, 

有 界 線 形 作 用 素 でNM=MNな

(23) 

eM+N=eMeN

で あ る.   証 明   (20)の

か ら 分 り,(21)は

か ら分 る.(22)は

右 辺 の収束 は

ら ば,

t↓0

有 界線

に よ っ て い え る.(23)の る. 

証 明 は 通 常 の 微 積 分 に お け る べ き級 数 の 変 形 と同 じで あ

□

  補 題3.1.8. 

α>0に

対 し有 界 線 形 作 用 素Lα=L(α)が

(24) 

あ って

LαLβ=LβLα,

(25) とす る.さ

ら に,(14)を

み た す 線 形 作 用 素Lが に 対 し 

(26)  と す る.こ

あ って

の と き,す

べ て のf∈Bに

(強)

対 し

(強) 

(27) 

に よ ってPtfを

定 義 す る こ とが で き る.こ

の 生 成 作用 素 はLの

(tに 関 し広 義 一 様)

の{Pt}は

強 連 続 な 縮 小 半 群 とな り,そ

拡 張 で あ る.

  証 明   MN=NMを

み た し ノ ル ム が1を

越 え な い 有 界 線 形 作 用 素M,Nに

対 し て は,

で あ る.ゆ

が い え る.ゆ

で あ る.ゆ

え に(22),(25)を

え にt∈[0,a]に

え にf∈D(L)に

対 し て はg∈D(L)を‖f-g‖0に

は い り,Lfの

ε近 傍 にαUαLfが

あ る か ら,D(L2)がLの

の 代 り に(αn-1Uαn-1)…(α1Uα1)を

  Watanabe(1968)に

し,

意 の 正 の 整 数nに 対 し,α

を選 ん

は い る よ う にす る

芯 で あ る.nに

つ いて

考 え れ ば よ い.

よ る 次 の 結 果 は 有用 で あ る. Lを

強 連 続 縮 小 半 群{Pt}の

生 成 作 用 素 とす る.Bの

次 の 二 つ の 性 質 を もて ば,D1はLの

(32) D0⊂D1⊂D(L)で

  証 明(Ethier-Kurtz[EK]) 

ら ば,す

べ て のtに

あ る α>0に

稠 密 で あ る こ と を い え ば よ い.実 し,fn∈Rをfn→f(強)に

際,こ

部 分線 形

芯 で あ る.

あ り,D0はBで f∈D0な

f=(αI-L)uと

得 られ る.Mの

定 め る.

芯 で あ る.f∈D(L)と

こ と が で き る.αUαf∈D(L2)で

がBで

の グ ラフ の交 わ り

義 域 をD(ML)=

Lが 強 連 続 な 縮 小 半 群 の生 成 作 用 素 な らば,任

対 しD(Ln)はLの

(33) 

積MLは,定

し,(ML)f=M(Lf)と

対 しLn=LLn-1と

  例3.1.10. 

空 間D0,D1が

お いて

グ ラ フ の 閉 包 で あ る.

  定 義3.1.9. 

で,fの

□

中 で 扱 い や す い も の を 考 え る こ とが 多 い.ど れ だ け を 考 え れ ば,半

作 用 素M,Mに

正 の 整 数nに

あ る. 

群 の 生 成 作 用 素 を具 体 的 に 求 め る

群 を一 意 的 に 定 め る た め に十 分 で あ る か を い う た め に,芯

D(L)の

とな る

稠 密.

対 しPtf∈D1.

対 しR={(αI-L)u:u∈D1} れ が い え れ ば,u∈D(L)に 選 ぶ と き,Uαfn→Uαf=u

対 し

で あ る か らLUαfn=αUαfn-fn→αUαf-f=Luと せ て,LのD1へ

な り,Uαfn∈D1と

の 制 限 の 最 小 閉 拡 張 がLと

い う に は,g∈D0がRの

ど ん な 近 傍 に もRの

よ りPjs/n(αI-L)g=(αl-L)Pjs/ng∈R 要 素 が あ る. 

□

  こ こで 弱 収 束 につ い て 述 べ て お く.一 般 にBanach空 し 

(弱)す

形 汎 関 数(す

稠 密性 を

要 素 で 近 似 で き る こ と を い え ば よ い.

で あ り,収 束 は 強 収 束 で あ る.(33)に で あ る か ら,gの

一 致 す る こ とが 分 る.Rの

合

な わ ちftがfに

弱 収 束 す る と は,Bの

な わ ち実 数 値 の 連 続 線 形 写 像)lに

う こ とで あ る.Hahn-Banachの

間Bの

要 素ftとfに

対

上 のすべ て の連続 線

対 しl(ft)→l(f)(t→t0)と

い

定 理 に よ っ て 十 分 多 く の連 続 線 形 汎 関 数 が 存 在 す

る か ら,弱 収 束 の 極 限 は た だ 一 つ で あ る.

  命 題3.1.12.  す る.f,g∈Bと

{Pt}をBに

おけ る強 連続 な縮 小 半 群,Lを

(34) 

(弱)

で あ るならば,f∈D(L)でLf=gで   証 明 f,gに対し(34)が成り立つ 用 素 と いう).Lは線 (35) 

f∈D(L)か

(αI-L)Uαh=hす と な る.す

あ る. と きg=Lfとす

形作用 素 でLの拡張であ つαf-Lf=0(あ

を い お う.こ れ が い え れ ば,任

な わ ちL=Lで

るα>0に

あ る.(35)を

弱 生 成作

て, 対 し)で

あ れ ばf=0

対 し,αf-Lf=hと らf=Uαhと

す ると な り,f∈D(L)

い う に は,t-1(Ptf-f)-Lf=ktと

あ る か ら, 

こで 連 続 線 形汎 関 数lを￨l(f)￨=‖f‖

の 定 理 に よ り可 能)と,  す る と,l(kt)→0に

る(Lを{Pt}の

る.さ

意 のf∈D(L)に

な わ ち(aI-L)Uαh=hか

す る.Ptf=tkt+tαf+fで

る.こ

その生 成作 用 素 と

し,

よ って

であ か つ‖l‖=1に が 得 られ る.tで

‖f‖=0が

得 ら れ る. 

□

選 ぶ(Hahn-Banach 割 つて か らt↓0と

  次 の 事 実 を加 え て お く.   命 題3.1.13.(生

成 作 用 素 が 有 界 に な る 条 件) 

成 作 用 素 とす る.Lが

有 界 作 用 素 で あ る と き,か

{Pt}を

強 連 続 な 縮 小 半 群,Lを

その生

つ そ の と き に 限 っ て,

(36)   証 明   Lが有

界 とす る.Qt=etLと

(d/dt)+Qtf=LQtfで を 参 照).ゆ

定 義 す る と,補

あ る.さ

え に 定 理3.1.3に

題3.1.7(22)に

ら に 左 辺 は(d/dt)Qtfに

よ りQtf=Ptfで

よ り,f∈Bに

な る(定 理3.1.3の

あ る.ゆ

対 し

証 明 第1段

えに

で あ る.   逆 に,(36)が

成 り立 つ と す る.あ

を 定 義 で き る.右

る ε>0が

辺 は 作 用 素 の ノル ム の 意 味 で の 収 束 で あ る.Rt=log Ptと

(m,nは正

え に, 

書 く.Rtはt

なら ば

につ いて作 用 素 ノル ムの 意味 で連 続 で あ る. 

で あ る.ゆ

に お いて有 界作 用 素

存 在 し て. 

に対 し

の 整 数)と 

(m/n)Rt=mRt/n=Rmt/n で あ る.ゆ る と, 

え に,連

続 性 を 用 い て, 

に 対 しtL=Rt,従

に 対 しtRε=Rtε っ てPt=etLで

で あ る.ε-1Rε=Lと

あ る.任

意 の 

す

に対 して,nを

で あ るか ら

十分 大 き くとれ ば 

で あ る.補 題3.1.7に よ りLがPtの

生 成 作用 素 で あ る. 

□

  §3.2.  推 移 確 率 関 数 か ら定 ま る 半 群

  Rdに

お け る推 移 確 率 関 数 か ら定 ま る作 用 素 の 半 群 を扱 うに は,Feller性

性 質 を仮 定 してC0(Rd)で で  ム を 

考 え るの が 便 利 で あ る.Rdの

で あ る も の の 全 体 をC0(Rd)(単 に よ っ て 定 義 す る.こ

とい う

上 の 実 数 値 連 続 関 数f(x)

にC0と

も書 く)と

れ に よ りC0はBanach空

し,ノ

ル

間 と な る.

   

C0に

は 順 序 関 係 が 定 義 さ れ る.す

と す る.f(x)に

な わ ち, 

の と き 

対 し

f+(x)=f(x)∨0, 

f-(x)=(-f(x))∨0

と 定 義 す る.f(x)=f+(x)-f-(x),￨f(x)￨=f+(x)+f-(x)で

け る線 形 作 用 素Pが

あ る .C0に

非 負 と は,f∈D(P), 

か ら 

お

がいえることと

す る.   定 義3.2.1. 

がx0で

C0に

お け る作 用 素Lが

散 逸 的(dispersive)で

正 の最大 値 を とれ ば 

あ る と は,f∈D(L)

で あ る こ と.

  この 概 念 の 重 要 性 は 次 の 命 題 か ら分 る.   命 題3.2.2. 

{Pt}をC0に

お け る 強 連 続 縮 小半群,Lを

を そ の レ ゾ ルベ ン ト とす る と き,次  に 対 しPtが

(ⅰ)   (ⅱ) 

α>0に

(ⅲ) 

Lが

対 しUα

す る.f(x0)=‖f+‖

が 非 負. 

い お う.f∈D(L)と

し,fがx0で

か ら 

で あ る. 

正 の最 大値 を とる と で あ る.ゆ

えに

で あ る.

従 っ て  ら(ⅱ)をい

(αI-L)u(x1)0,(αI-L)u=fな

ら ば,

(1)  証 明   第1の

不 等 式 を い お う.‖u+‖=0な

す る.u(x0)=‖u+‖

の 点x0を

不 等 式 は,u-=(-u)+,f-=(-f)+に

ら導 か れ る. 

□ Banach空

で あ る か ら,

と る と, 

で あ る.第2の

  補 題3.2.4. 

ら ば 自 明 で あ る か ら.‖u+‖>0と

間Bに

よ っ て 第1の

お け る線 形作 用 素Lが

不等 式 か

可閉 で あ るた め に は,次

の こ と が 必 要 十 分 で あ る. (2) 

fn∈D(L)(n=1,2,…),fn→0(強),Lfn→g(強)な

  証 明  Lが な ら ば,閉

可 閉 と し,閉 拡 張 をLと

成 り立 っ て い る と し よ う.Lか

しfn∈D(L)とgが

Lの

形 性 に よ ってL0=0で

らLを

しLf=gと

す る.Lfの

定 義 が{fn}の

線 形 作用 素 でLの

選 び 方 に よ ら な い こ と が, 拡 張で あ る ことは明 らかで あ

閉 で あ る.な ぜ な ら ば,fn∈D(L),fn→f(強),Lfn→g(強)の

る か ら,‖f-hn‖ え にLは

→0,‖g-Lhn‖ 可 閉 で あ る.な

  命 題3.2.5. C0に る.こ

の と き,Lは

→0と お,こ

と き,

可 閉 で,Lの

の 補 題 に よ り,g=0を

散 逸 的 で,稠

最 小 閉 拡 張Lも

δ 近 傍Dと u∈C0を  υ ∈D(L)を

ε>0とn0が

い えば よ い.あ

散 逸 的 で あ る. す る.Lの

u(x0)=1,Dcでu(x)=0に 選 べ る.υ(x0)>2/3で

□

密 な 定 義 域 を も つ とす

可閉 性 をい うに

る 点x0でg(x0)>0と

存 在 して, 

‖υ-u‖0に

C0に

お いて 稠 密 な定 義 域 を もつ

対 しα0I-Lの

体 な ら ば,L=Lで

あ る.

  証 明   上 の 命 題 に よ りLが 存 在 して しか も散 逸 的 で あ る.ゆ り(αI-L)u=0か

値 域が 稠 密 な ら

非 負 の強 連 続 縮 小 半 群 の 生 成 作 用 素 で あ る.特 に α0I-L

らu=0が

い え る.ゆ

え に 命 題3.2.3に

え にUα=(αI-L)-1が

よ

定義 で きる.

Uα に 対 し (3) 

D(Uα)=C0 

(α>0),

(4) を い え ば,定

理3.1.6と

命 題3.2.2に

よ っ てLは

非 負 強 連 続 な縮 小 半 群 の生 成 作 用

素 で あ る.ま ず

(5) が 分 る.そ

れ は,命

題3.2.3に

よ り(αI-L)u=fか

と な るか らで あ る.ま た,同 じ命 題 に よ り(f-=0な る.も し(3)が い え れ ば(4)は

ら

らばu-=0)

,Uα

は非 負 で あ

自動 的 に い え る.な ぜ な ら ば,Uαf=Uαf+-Uαf-

とな り

従 って

で あ る か ら.ゆ

え に(3)を

え る こ と は,fに と す る と(5)に

い い さ え す れ ば よ い.ま

fに

α=α0に

対 しfn∈R(α0I-L)をfn→f(強)に よ っ て{un}はCauchy列

対 し て(3)が

対 し(3)が

い

選 び,un=Uα0fn に な り,unは

Lun=α0un-fn→α0u-f(強)で り,α0に

ず

あ るuに

強 収 束 す る.

あ る か ら,u∈D(L)でLu=α0u-fで 成 り 立 つ.次

対 し(αI-L)u=fを

に00に対

成 り 立 つ.逆

に,(10)が

し,δ>0を,y∈Dδ(x)な

み た さ れ て い れば,f∈C0とx∈Rd, ら ば￨f(y)-f(x)￨0とb∈Rdが

る こ とで あ る.b=0に

じ確 率 空 間 で 定 義 さ れ て い な くて も 存 在 して 

とれ る と き 狭 義 タ イ プ 同 値 で あ る と い う.Rdの

μ,vが タ イ プ 同 値 で あ る と は,μ を 分 布 とす る確 率 変 数Xとvを 変 数Yが

タ イ プ 同 値 で あ る こ と とす る.X,Yが

上 の分布

分 布 とす る確 率

狭 義 タ イ プ 同値 で あ る と き,μ,v

が 狭 義 タ イ プ 同 値 で あ る と い う.   タ イ プ 同 値,狭

であ

義 タ イ プ 同値 は 共 に 同 値 関 係 で あ る.

  補 題4.1.4. 

X,YがRd値

の 確 率 変 数 で,正

の 数a,a′

とRd内

で あ る と す る.Xが

よ っ て  a=a′,b=b′

で あ る.(Xが

定 数 と は,c∈Rdが

のb,b′

に

定 数 で な い な ら ば,

存 在 し てX=c

a.s.で

あ る

こ と.)

 証 明 

で あ る か ら,a′=1,b′=0と

し てa=1,b=0を

い え ば 十 分 で あ る.X1,X2を

で あ る か ら, 

従 っ てn=1,2,…

で あ る.ゆ

え に,a≠1と

な い こ と に 矛 盾 す る.ゆ

分 布 をPXと

  補 題4.1.5.  し,各nに

と な り,Xが

定数で

と な る か ら,b≠0

い え た. 

□

書 く.

(ⅰ)  μn,μ′n,μ,μ′をRdの

上 の 分 布 と し,μn→

対 し μn,μ′nが タ イ プ 同 値 と す る.こ

な ら ば,μ,μ   (ⅱ) 

い え る. 

同 分 布 と す る.

に 対 し 

す る と, 

え にa=1が

で は 矛盾 を生 じ,b=0も   以 下 で,Xの

独 立 でXと

の と き,μ

μ,μ′n→

μ′ と

も μ′ も δ 分 布 で な い

′は タ イ プ 同 値 で あ る.

Xn,X,YがRd値

の 確 率 変 数,an>0,bn∈Rdと

PanXn+bn→PYで,XもYも

す る.PXn→PX,

定 数 で な い な ら ば,あ

るa>0とb∈Rdに

対 し

で あ る.   特 性 関 数 を つ か っ て 証 明 す る た め に,ま   補 題4.1.6.  で あ る な らば,μ

Rdの

上 の 分 布 μ の 特 性 関 数μ(z)が0の

近 傍 に お い て￨μ(z)￨=1

は δ 分 布 で あ る.

  証 明   μ を 分 布 とす る確 率 変 数 をXと 合 に 帰 着 す る の で,d=1と μ(z)=eiλ

ず 次 の こ と を い っ て お く.

で あ る か ら,

す る.0の

しXの 近 傍 のzを

各 成 分 を考 え れ ば,1次 固 定 す る と λ ∈Rが

元 の場 存 在 して

ゆ え に μ はx=z-1(2nπ+λ)(nは

整 数)に

し よ う.μ({xj})>0,j=1,2,と

あ る.￨z￨は

集 中 して い る.μ が δ分 布 で な い と

い く ら で も小 さ く とれ る か ら,こ

  補 題4.1.5の

証 明   (ⅰ)よ り(ⅱ)の

あ る.PXn,PX,PYの

れ は 不 合 理 で あ る. 

方 が 強 い か ら,(ⅱ)を

特 性 関 数 を φn(z),φ(z),ψ(z)と

φn(anz)ei〈bn,z〉→ ψ(z)で あ る.ま ず{an}か び 極 限 をaと

で

な る 任 意 の 二 点 に 対 し 

す る.以 下,n→

広 義 一 様(命 題1.2.5)で

∞

□

証 明 す れ ば十 分 で

す る.φn(z)→

ら[0,∞]に

φ(z),

お け る収 束 部 分 列 を 選

は こ の 部 分 列 に 沿 っ て と し よ う.φn→

あ る か ら,a=0と

φ は

す ると

￨ψ(z)￨=lim￨φn(anz)￨=￨φ(0)￨=1 と な り前 補 題 に よ りYが

とな り,Xが

定 数 と な っ て 仮 定 に 反 す る.a=∞

とす る と同 様 に

定 数 とな っ て 仮 定 に反 す る.ゆ え に00に

対 しXtとXs

要 十 分 で あ る.

狭 義 安 定 過 程 で あ る た め に は,任 意 のt>0,s>0に

対 しXtと

狭 義 タ イ プ 同 値 で あ る こ とが 必 要 十 分.

  証 明   (ⅰ)を い お う.{Xt}が

安 定 過 程 な ら ば,定

義 に よ り,s=atにaを

で あ る.逆

る とb>0,c∈Rdが

存 在 し て 

に 対 しXtとXsが

タ イ プ 同 値 で あ る と し よ う.a>0に

に,任

と

意 のt>0,s>0

対 しb,cが

存 在 して

 とな る.{Xat},{bXt+tc}は

共 に 加 法 過 程 で,t=1で

等 しい か ら 法 則 同 値 で あ る(定 理2.1.7).ゆ 証 明 はc=0と

な る だ け で あ る. 

  命 題4.1.8. 

Rdの

μ は 安 定 分 布.

(2) 

μ は 無 限 分 解 可 能 で,す

(3) 

す べ て の 正 の 整 数nに

□

べ て のt>0に 対 し μn*は

同 値 で あ る こ とは,命

(3)が い え る こ と は 自 明 で あ る.μ 自明 で あ る か ら,μ

安 定 過 程 で あ る.(ⅱ)の

上 の 分 布 μ に 対 し次 の 三 つ は 同 値 で あ る.

(1) 

  証 明   (1)と(2)が

え に{Xt}は

の分 布が

が(3)を

対 し μt*は μ と タ イ プ 同 値. μ と タ イ プ 同 値. 題4.1.7か

ら 明 ら か で あ る.(2)か

ら

み た す と し よ う.δ 分 布 な ら ば(2)は

は δ 分 布 で な い とす る.nに

対 しan>0とbnが

μ(z)n=μ(anz)exp(i〈bn,z〉), 

存 在 して

z∈Rd,

ゆ え に

ゆ え に μ は 無 限 分 解 可 能 で μ(1/n)*が μm*に,従

って μ に タ イ プ 同 値 で あ る.任 意 のt>0に

か ら,tに

有 理 数 を近 づ け,補 題4.1.5を

プ 同 値 で あ る こ とが 分 る.す   命 題4.1.9.  布","狭

  定 義4.1.10.  Xt=tγ

み た す. 

お け る"安 定 分 布","タ

□

イ プ 同 値"を"狭

自 明 な 加 法 過 程 で あ る と は,あ

義 安 定分

る γ ∈Rdが

存在 して

れ 以 外 の 加 法 過 程 を 自 明 で な い 加 法 過 程 と呼

明 な 加 法 過 程 は も ち ろ ん 狭 義 安 定 過 程 で あ る.自

明 な加 法 過 程 で な い 安 定

明 で な い 安 定 過 程 と呼 ぶ.

  定 理4.1.11.(安

定 過 程 に 対 す る指 数 の 存 在) 

な い 安 定 過 程 で あ る な ら ば,実 し,bt∈Rdが

μ に タイ

□

a.s.で あ る こ と とす る.こ

過 程 を,自

(4)

対 し μt*は δ 分 布 で な い

か え た命 題 が 成 り立 つ.

同 様. 

{Xt}が

え に μ(m/n)*が

適 用 す る こ と に よ っ て,μt*が

な わ ち μ は(2)を

命 題4.1.8に

義 タ イ プ 同 値"に

  証 明   命 題4.1.8と

ぶ.自

μ に タ イ プ 同 値 で あ る.ゆ

存 在 して

数 α ≠0が

{Xt}がRdに

た だ 一 つ 存 在 し て,任

お け る自明 で 意 のt>0に

対

と な る.こ

の α は 

 証 明   各t>0に

で あ る.

対 し 

定 ま っ て い る(命 題4.1.7,補

と な るat>0とbt∈Rdが

題4.1.4).{Xt}の

対 称 化 を{Yt}と

(確 率 空 間 を 適 当 に 拡 張 して){X′t}を{Xt}と し,Yt=Xt-X′tと

で あ る.ゆ

す る.{Yt}は

え に,{Yt}は

独 立 で{Xt}と

す る.す

法 則 同値 の過 程 と

μ(z)t=μ(atz), 

分 布 をμ と し よ う.atは

z∈Rd

を み た す た だ 一 つ の 正 の 数 で あ る.μ(z)st=μ(asz)t=μ(asatz)か

(6) 

ら

ast=asat

で あ る.atがt>0に きatn→0な

つ い て 連 続 で あ る こ と を 示 そ う.tn→t0と ら ば(5)か

す る.atn→

∞

ら μ(z)t0=μ(0)=1と

な りYt0=0

な わ ちa=at0と

の と

な って矛 盾

な る.以

と す る と μ(z)t0=μ(az)す

上 に よ り 

で あ る.連 続 性 と(6)か

る 実 数 β に よ っ てat=tβ

と 書 け る.β0とc∈Rdが

独 立 で 共 に 分 布 μ を もつ と き,任 存 在 して

(11) とな る.逆

に,Rdの

上 の 分 布 μ が こ の 性 質 を もて ば 安 定 分 布 で あ る.μ

布 で な い 安 定 分 布 で 指 数 α の と き は,(11)に 定 ま り,b=(a1α+a2α)1/α

い と き は,定 b=(t+s)1/α

ら一意 的 に

で あ る.

  証 明   μ を 安 定 分 布 と し,μ 明 の と き は,μ

お け るb,cはa1,a2か

か ら 定 ま る 安 定 過 程 を{Xt}と

す る.{Xt}が

が δ 分 布 で あ る か ら 上 の 性 質 は 明 ら か で あ る.{Xt}が

理4.1.11を とす る と,

が δ分

用 い る.す

な わ ちa1=t1/α,a2=s1/α

自

自明 で な

にt,sを

と り,

で あ る か ら(11)が の(3)が

成 り 立 つ.逆

い え る.な

b2,c2,b3,c3,…

に分 布

μ が 上 の 性 質 を も つ と き は,命

ぜ な ら ば,Z1,Z2,…

を独 立 同 分 布 で

題4.1.8

μ に 従 う と す る と,

が存 在 して

と順 々 に い え る か ら で あ る.命   命 題4.1.16. 

題 の 最 後 の 部 分 も上 の 議 論 で い え て い る. 

前 命 題 に お い て,"安

布 で な い 安 定 分 布"を"δ0で

定 分 布"を"狭

な い 狭 義 安 定 分 布"に

□

義 安 定 分 布"に 変 え,"δ 変 え,cを0に

分

変 えた命 題 が

成 り立 つ.   証 明   同 様 で あ る. 

□

  どん な 安 定 分 布 μ も,独 立 同 分 布 の 確 率 変 数 列Z1,Z2,… 乱 歩)Snか

ら適 当 にanSn+bn(an>0,bn∈Rd)を

し て 現 れ る.実 際,各Zjの 一 致 す る よ う にa で,基

n,bnを

の 部 分 和(す

作 っ た もの の 極 限 分 布 と

分 布 を μ に し て お け ば,anSn+bnの 選 べ る(命 題4.1.8).次

分 布 自身 がμ に

の 定理 は その逆 を主 張す るもの

本 的 な 極 限 定 理 の 一 つ で あ る.

  定 理4.1.17.(極

限 分 布 と し て の 安 定 分 布) 

け る 乱 歩 とす る.あ

るan>0とbn∈Rdに

と き 収 束 す る な ら ば,極

{Sn:n=0,1,…}をRdに

対 しanSn+bnの

お

分 布 がn→

∞ の

限 μ は 安 定 分 布 で あ る.

  証 明   μ が δ 分 布 な ら ば 明 ら か に 安 定 分 布 で あ る か ら,μ る.μ

なわち

が 安 定 分 布 で あ る こ と を い う に は,k=1,2,…

は δ 分 布 で な い とす

に対 し μk*が

μ にタイ プ

同 値 で あ る こ と を い え ば よ い(命 題4.1.8).

に よ り,anSkn+kbnの 方aknSkn+bknの タ イ プ 同 値 で あ る. 

分 布 がn→

∞

に お い て μk*に

分 布 は μ に 収 束 す る.ゆ □

収 束 す る こ と が 分 る.一

え に 補 題4.1.5に

よ っ て μk*と

μ は

  §4.2.  安 定 分 布,狭

義安 定 分布 の標 準 形

  加 法 過 程 と無 限 分 解 可 能 分 布 の 対 応 に よ っ て 安 定 過 程 と安 定 分 布,狭

義 安 定過

程 と狭 義 安 定 分 布 が 対 応 して い るか ら,標 準 形 を 求 め る に は 過 程 で 考 え て も 分 布 で 考 え て も よ い.こ

こで は 分 布 の 生 成 要 素 を 特 徴 づ け,そ れ を 変 形 して 別 の 表 現 を

も与 え る.こ れ らは1920年 るが,G.

PolyaとA.

  SをRd内 Borel集

Khintchineも

代 に お け る結 果 で,主

∈Rd:￨ξ￨=1}と

合 の 全 体 とす る.B(S)の

上 の 測 度 をSの

定 分 布 の 第1標

δ 分 布 で は な い とす る.そ (ⅰ)  μ が 指 数2の

上 の0で

準 形) 

し,B(S)をSに

μ をRdの

の 生 成 要 素 を(A,ν,γ)と

す る.μ

Levyに

よ

おけ る

上 の 測 度 と い う. 上 の 無 限 分 解 可 能 分 布 と し, す る. 

安 定 分 布 で あ る た め に は,ν=0が

  (ⅱ)  0