ウェーヴレットビギナーズガイド―数理科学 (数理科学)

数理 科 学

ウ ェーヴ レット ビギ ナーズ ガ イド 榊原 進  著

D T

D  東京電機 大学出版局

MathematrcnはWolfram Macintoshお Microsoftお porationの

登 録 商 標 で す. イ コ ン はApple

よ びMS-DOSはMicrosoft

Corporationの

Computer, 

Inc.の

登 録 商 標 で す.

登 録 商 標 で あ り,WindowsはMicrosoft

Cor-

商 標 で す.

PostScriptはAdobe TEXはAmerican

Research,Inc.の

よ びFinderのMacintoshア

Systems,Incorporatedの Mathematical

Societyの

商 標 で す. 商 標 で す.

他 の す べ て の 製 品 名 は そ の 製 造 元 の 商 標 で す. Mat'ternaticaはMathematica,Inc.,Mathematica

PolicyResearch,

Inc.,MathTech,Inc.と

ま せ ん,

本書 の全 部 または一 部 を無 断 で複写 複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作権 法上 で の例外 を除 き,禁 じられて い ます,小 局 は,著 者 か ら複 写 に係 る 権 利 の管 理 につ き委 託 を受 け てい ます ので,本 書 か らの 複写 を希望 され る場 合 は,必 ず 小局(03-5280-3422)宛 ご連絡 くだ さい.

は 関 係 あ り

は じ め に

  自然 現 象,社

会 現 象 や 工 業 機 器 で 生 じ る さ ま ざ ま な量 の 時 間 的,ま

たは空 間

的 な 変 動 は一 般 に信 号 と して と らえ る こ とが で き る.音 声 や 電 気 回路 の 電 流 は 典 型 的 な1次

元 信 号 の 例 で あ り,画 像 は 典 型 的 な2次

元 信 号 で あ る.一 般 に

信 号 は よ く知 ら れ て い る 数 学 関 数 を使 っ て 簡 単 な 形 に表 す こ とが で き な い.こ の た め そ の 性 質 を 量 的 に 把 握 す る こ とが 難 し く,さ ま ざ ま な 工 夫 を して 信 号 の 性 質 を調 べ る こ と,つ

ま り信 号 解 析 また は 信 号 処 理 が 必 要 と な る.

  コ ン ピュ ー タが 普 及 した 現 在,信 号 は 離 散 的 な 数 値 デ ー タ と し て扱 わ れ る こ とが 多 い.こ

う して 大 量 の デ ー タ を迅 速 に処 理 し,必 要 な情 報 を 効 率 よ く抽 出

す る こ とが で き る よ うに な っ た が,そ

の 基 礎 と な る の が 信 号 処 理 で あ る.し

た

が っ て 信 号 処 理 は 特 定 の 分 野 に限 られ た もの で な く,数 値 デ ー タ を扱 うす べ て の 分 野 で 必 要 不 可 欠 な もの と な っ た.   ウ ェ ー ヴ レ ッ トは そ の 信 号 処 理 の 新 しい 方 法 と して 近 年 特 に注 目 を 集 め て い る.周 波 数 領 域 で 信 号 を表 現 す る フ ー リエ 解 析 の 特 徴 を生 か しつ つ,変

動 の時

間 的 また は空 間 的 推 移 も同 時 に と ら え る こ と,つ ま り時 間周 波 数 解 析 が で きる. ウ ェ ー ヴ レッ トに 関 す る優 れ た著 書 は い くつ か あ り,年 々新 た に発 行 され るが, い ず れ も 数 学 的 色 彩 が 強 く,特 に理 工 学 的 な 観 点 か ら応 用 を 目指 す 読 者 に と っ て は読 み に くい.そ 解 説 を与 え る,国

こで,本

書 は 応 用 を 目標 と した ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 入 門 的 な

内 で は現 在 数 少 な い ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 解 説 書 で あ る.

  ウ ェ ー ヴ レ ッ ト(wavelet)は,そ ら知 られ て い た概 念 で あ る.1982年

の 呼 び 名 は 別 と して,す 頃,フ

で に1930年

ラ ンス の 石 油 探 査 技 師Morletが

頃か 実

際 の 応 用 を試 み て か ら,そ の 実 用 性 が 注 目 され る よ う に な り,ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 名 も付 け ら れ た.そ

の 後1989年

に よ っ て 数 学 的 基 礎 が 築 か れ た.特

頃 に か け てGrossmann,Meyer,Mallatら に多 重 解 像 度 解 析 とい う概 念 が 確 立 され,

1988年

にDaubechiesに

よ る 連 続 な 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ トが 発 表 さ れ て か ら,一

般 に 広 く知 ら れ る よ う に な っ た.1992年

に はChuiとWangに

よって 関数 形

が 簡 単 で あ る ス プ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トが 考 案 さ れ た.   本 書 は,直

交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト とス プ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 基 礎 か ら応 用

の 入 口 ま で を 解 説 す る.収 束 性 な どの 厳 密 な 議 論 は 省 略 し,多

くの 図 を使 っ て

基 本 的 な 概 念 を な る べ く直 感 的 な方 法 で 理 解 で き る よ う に工 夫 した.ま の 理 論 か ら導 か れ る ア ル ゴ リズ ム に も重 点 が 置 か れ,実 に基 づ い て作 ら れ て い る.CD-ROMに

た,こ

際 にプ ログ ラ ム が こ れ

は プ ログ ラ ム と ノ ー トブ ッ クが 収 め ら

れ て お り,読 者 が こ の プ ロ グ ラ ム を使 う こ と もで き る し,ま た使 っ て み な くて も,ノ ー トブ ッ ク を見 れ ば本 文 中 の 図 や 計 算 結 果 が どの よ う に して 得 ら れ た か が わ か る.   ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 応 用 範 囲 は き わ め て広 い.信 べ る こ とが で き る.ノ

号 の特定 の部分 の周 波 数 を調

イ ズ を含 む信 号 を 平 滑 化 した り,信 号 と ノ イ ズ の 境 界 を

検 出 す る こ とが 可 能 に な る.ま

た,信 号 圧 縮 な ど に有 効 なサ ブ バ ン ド符 号 化 に

使 わ れ る,完 全 再 構 成 可 能 な ク ァ ド レチ ャ ー ミラ ー ・フ ィル タ を構 成 す る.し か し,ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 応 用 研 究 は まだ 日が 浅 い.も

っ と広 範 な 応 用 分 野 に お

い て ウ ェ ー ヴ レ ッ トに 関 す る 研 究 を さ ら に 進 め る た め に,本 書 が 何 らか の役 に 立 つ こ と を願 っ て や ま な い. 1995年4月

著

者

■本書 の制 作 に つ いて

  本 書 はTEXに

よ っ て 組 版 さ れ,版

て 出 力 さ れ た.Macintosh上 れ た テ キ ス ト を,著 LATE

Xの

し,あ

で テ キ ス ト ・エ デ ィ タASLEdit+を

はMathematicaで

る い はAdobe Illustrator 

際,図

のPSフ

メー ジセ ッ タに よ っ 使 って書 か

者 の 書 い た ス タ イ ル フ ァ イ ル を 使 っ てASCII版pTEXで

処 理 を し た.図

て セ ー ブ し た.dviフ

下 はPostScriptイ

作 り,こ

れ をPSフ

ァイ ル にお と

3.2Ｊ で 多 少 の 手 を 入 れ,EPSFフ

ァ イ ル をjdvi2kpsを

ァ イ ル はepsbox.styを

ァイル と し

使 っ てPostScriptに

変 換 し,そ

使 っ て 読 み 込 ん だ.著

の

者 と 出 版 社,印

刷 所 と の 間 の 細 か い 打 ち 合 わ せ や テ キ ス ト ・フ ァ イ ル な ど の 交 換 に は し ば し ば イ ン タ ー ネ ッ ト を 利 用 し た.

■謝

辞

  東 京 電 機 大 学 の 桜 井 明氏 が 最 初 に本 書 の 執 筆 を勧 め て くれ ま した.東 京 電 機 大 学 出 版 局 の 植 村 八 潮 氏 に は多 くの資 料 を 集 め て い た だ き,激 励 か ら原 稿 につ い て の 示 唆 な ど全 面 的 に 支 援 して い た だ い た.テ Chui,日

本IBM株

キ サ スA&M大

式 会 社 東 京 基 礎 研 究 所 の小 林 メ イ氏,東

学 のProf.

京大 学の 山 田道夫

氏 との ウ ェ ー ヴ レ ッ トに つ い て の議 論 か ら大 い に得 る もの が あ り ま した.い わ き 明 星 大 学 の 高 山 文 雄 氏,大

内和 子 氏 に は 原 稿 を読 ん で の 有 用 な ご 意 見 をい た だ

き,清 水 信 行 氏 に は 測 定 デ ー タ を提 供 して い た だ き ま し た.Wolfram Inc.のTheodore

Gray氏

に はMathematicaフ

Research,

ロ ン トエ ン ドの 技 法 につ い て 教 え

て い た だ き ま した.凸 版 印 刷 株 式 会 社 プ リプ レス 技 術 部 の坂 田英 俊 氏 に はTEX とPSの

出 力 に 関 して お 世 話 に な り ま した.い わ き明 星 大 学4年

生の遠藤智 子君

は プ ロ グ ラ ム の 動 作 チ ェック を して くれ ま した.こ こ に深 く感 謝 の 意 を表 し ます. 1995年3月14日

榊 原  進

 

 ⅸ

目

次

は じ め に

本 書 を読 む に あ た っ て

1 

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と は何 か

 1

 1.1  ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と 信 号

 2

 1.2  ウ ェ ー ヴ レ ッ ト 変 換

  3

 1.3  複 素 数 の ウ ェ ー ヴ レ ッ ト 

7

 1.4  信 号 の 最 小 単 位

 9

  1.5  離 散 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換

  1.6 多重 解像 度解析  1.7  ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 種 類

  11

 

13

  16

 1.8  短 時 間 フ ー リ エ 変 換

  23

 1.9  サ ブ バ ン ド分 解

  24

 1.10  画 像 圧 縮

  27

2  多重解 像 度解析

  29

 2.1  近 似 関 数 と近 似 の レベ ル   2.2  Haarの

スケ ー リング関 数

  2.3 

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

Haarの

 2.4  分 解 と再 構 成   2.5  ス ケ ー リ ン グ 関 数 と ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 関 係 

  30   32   34   36 38

3 

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係

  41

  3.1  コ ン パ ク ト ・サ ポ ー ト

  42

  3.2  マ ル チ ・ス ケ ー ル 関 係

 

 3.3  ス ケ ー リ ング 関 数 の 規 格 化

  45

 3.4  補 間 画 像 表 示 ア ル ゴ リズ ム

  47

 3.5  分 解 ア ル ゴ リズ ム

  49

 3.6  再 構 成 ア ル ゴ リズ ム

  50

  3.7  直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

 

4   Daubechiesの

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

  4.1  Daubechiesの   4.2 

関 数 の性 質

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列 の 決 定

5  信 号 の基底 関 数展 開 と補 間  5.1  関 数 の 展 開  5.2  2階Bス   5.3

プライン

 

56

 

57 61

 

  68   69 71 73

間 

  5.5  双 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト 

6  フ ー リ 工 変 換

  6.2  畳 み 込 み

  78   81

  6.3  パ ー セ バ ル の 等 式

確 定 性 

 6.5  フ ー リエ 級 数   6.6  離 散 フ ー リ エ 変 換   6.7  Poissonの

75

  77

 6.1  フ ー リエ 変 換 の 定 義 と例

  6.4不

63

  67

 双 対基 底 

  5.4  補

51

  55

  4.3  ス ケ ー リ ン グ 関 数 と ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 決 定    4.4  モ ー メ ン トの 条 件 と レ ギ ュ ラ リ テ ィ ー

44

総 和 式 

 

85 86

  89   90 92

7 

ウ ェ ー ヴ レ ッ トの フ ー リエ 解 析

  7.1 

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 の フ ー リ エ 変 換

  7.2  自 己 相 関 関 数   7.3 

ト ゥ ー

  95  

96

  97 99

・ ス ケ ー ル 数 列 

  7.4  分 解 ア ル ゴ リ ズ ム    7.5  デ ィ ジ タ ル ・ブ イ ル タ

101   103

  7.6  サ ブ バ ン ド 分 解 

106

 7.7  双 対 ス ケ ー リ ング 関 数     7.8  双 対 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

109  

  7.9  双 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト 

8  直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

112

113

  115

  8.1  直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 性 質 

116

  8.2 

118

  8.3    8.4    8.5

9 

Daubechiesの

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト 

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列 の 別 解 法

  Coiflet 

131

スプ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

  9.1  カ ー デ ィ ナ ルBス

  9.3 

122  129

Symlet

  9.2  Bス

 

プ ラ イン 

プ ラ インの性 質  

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係  

  9.4  双 対Bス

プ ラ イ ン と ス プ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト 

 135 136 141 145 146

  9.5  基 本 ス プ ラ イ ン 

148

  9.6  分 解 数 列 

150

  9.7 

2階Bス

プ ラ イ ン

  151

  9.8 

4階Bス

プ ラ イ ン

  152

10  ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 応 用  10.1ウ

ェ ー ヴ レ ッ トの 周 波 数 分 解 

 155 156

 10.2 周 期 的 な 信 号 の 分 解

 163

 10.3  パ ル ス の 分 解

  165

 10.4  ノ イ ズ の 分 解

 168

 10.5 異 常 性 の 検 出   10.6  ピ ー ク の 検 出

170   171

 10.7 振 動 実 験 デ ー タ の 解 析  10.8 音 声 信 号 の 解 析

11  プ ロ グ ラ ム

  173   176

  179

 11.1  Mathematicaを

使 う に あ た っ て

  180

 11.2 離 散 畳 み 込 み

A

 184

 11.3 周 期 的 境 界 条 件

 

 11.4  ア ッ プ サ ン プ リ ン グ と ダ ウ ン サ ン プ リ ン グ

  191

188

 11.5 再 構 成 と分 解 の ア ル ゴ リズ ム

  192

  11.6  ス ケ ー リ ン グ 関 数 と ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の プ ロ ッ ト

  194

  11.7  デ ー タ の 分 解 と 再 構 成

  200

 11.8 時 間 周 波 数 解 析

  202

Mathematica

ノ ー トブ ッ ク

  207

参 考 文献

  215

索

  221

引

本 書 を読 む に あ た っ て

● 本 書 の 目標 ● 本 書 の 構 成 と読 み 方 ●CD-ROMの

使 い方

●プ ログ ラムの使 い方 ●本 書 で 使 う数 学 記 号

■本 書 の 目標

  本 書 は ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 入 門 書 で,ウ あ る だ け とい う読 者 が,応

ェ ー ヴ レ ッ ト とい う名 を 聞 い た こ と が

用 に 関 す る文 献 を読 め る よ う に な る こ と,ま た 研 究

に 応 用 す る こ と が で きる よ う に な る こ と を 目標 とす る.基 礎 理 論 の 解 説 だ け で な く,導 か れ た式 を応 用 す る た め の 方 法 に も重 点 が 置 か れ て い る.   本 書 は 理 工 系 の 大 学 高 学 年,ま

た は大 学 院 の 教 科 書 と して,あ

るい は信号 処

理 や デ ー タ解 析 に携 わ る エ ン ジニ ア を対 象 と して 書 か れ て い る.理

論 の展 開 を

理 解 す る た め の 準 備 と して 必 要 な 数 学 的 知 識 は 主 に微 積 分 で あ る.式

の導 出 は

順 を追 っ て 示 した が,収 束 性 の 証 明 な ど 数 学 的 な側 面 は省 略 し,応 用 の 際 に 注 意 す る べ き事 項 を記 す に と どめ た.   本 書 で 使 う数 学 記 号 は 工 科 系 の 分 野 で は必 ず し も一 般 的 で は な い こ と と,種 々 の 量 を表 す 数 学 記 号 が 文 献 に よ っ て 異 な る の で,こ

の 章 の 最 後 に簡 単 な 解 説 を

与 え る.文 献 は 基 本 的 な もの は 巻 末 に挙 げ た が,す

べ て を 網 羅 す る こ と を 目標

と して い な い.   理 論 で 難 しい 部 分 は ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 構 成 と こ れ に よ っ て 決 ま る パ ラ メ ー タ の決 定 で あ る.パ

ラ メ ー タの 数 値 を 与 え られ た もの と して 受 け 入 れ て,こ

単 に 利 用 す る こ と もで きる.応

用 は,こ

れを

れ ら の パ ラ メー タ と処 理 の 対 象 と な る

デ ー タ列 の 離 散 畳 み 込 み を基 礎 とす る,き わ め て 簡 単 な ア ル ゴ リズ ム で 実 現 さ れ る もの で あ る.そ れ を 実 際 に 示 す こ と も本 書 の 重 要 な 目標 で,本 くの 図 を 示 し,ま た 特 に応 用 の 章 を 設 け て,典 析 にお い て 表 す 特 徴 を示 す.さ

ら に,ア

文 中に は多

型 的 な 信 号 が ウ ェ ー ヴ レ ッ ト解

ル ゴ リズ ム を 実 行 す るプ ロ グ ラ ム の 基

本 的 な動 作 につ い て も解 説 す る.   付 属 のCD-ROMは

補 足 的 な 役 割 を果 た す.図 や 計 算 例 を 中心 と した ド キ ュ

メ ン トが 収 め ら れ て お り,本 文 の 理 解 の 助 け に な る.こ 読 む の に 支 障 は な い が,カ

れ を見 な くて も本 文 を

ラ ー や サ ウ ン ド を利 用 す る こ と も で き,ウ

ェー ヴ

レ ッ ト解 析 の お も し ろ さ を満 喫 で き よ う.本 文 で 導 か れ た ア ル ゴ リズ ム を実 行 す る プ ロ グ ラ ム も収 め られ て お り,本 書 の 図 や 例 は す べ て こ れ を利 用 して い る. CD‐ROMの

ド キ ュ メ ン トはMacintoshま

た はWindowsの

いず れ か の コ ン

ピュ ー タで 利 用 す る こ とが で き,プ ロ グ ラ ム に つ い て の 知 識 は 要 ら な い.

■本書 の構 成 と読 み方 内 1章

 コ メ ン ト

容

 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト とは 何 か の 図 式 的 な 説 明.歴

史

的 背 景 と 関連 分 野 にお け る ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 位 置 づ け.式 2章   Haarの

3章

 ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 概 要

は 参 考 に 示 す だ け.

関 数 を使 って の 多 重 解 像 度 解 析 の 説 明.

  ト ゥー ・ス ケ ー ル 関 係 の 一般 的 な性 質 か ら,分

 フー リエ 解 析 不 要

解 ア ル ゴ リズ ム な どの 式 を 導 く.

4章  

Daubechies N=2の

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 構 成.

5章

 ス プ ラ イ ンm=2の

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 解 説.

6章

 フ ー リ エ 変 換 の ま と め.

7章

 フ ー リエ 変 換 に よ る ウ ェ ー ヴ レ ッ ト解 析 の 一 般

フ ー リエ 解 析 必 要

論 の 展 開. 

8章

  直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト,特

にDaubechies

N〓3

の ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 構 成.

9章 10章

 ス プ ラ イ ンm=4の

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 構 成.

 典 型 的 な 信 号 が ウ ェ ー ヴ レ ッ ト解 析 で ど の よ う  応 用実 例 集 な 表 現 と な る か を実 例 を使 っ て 調 べ る.信 号 の 異 常 性 の 発 見,平

11章

滑 化,ノ

イズ 除 去 な どの 例.

 ア ル ゴ リズ ム の 実 際 とプ ログ ラ ム の 動 作 の解 説.  プ ロ グ ラ ム を使 う プ ロ グ ラ ム の 使 い 方 の 説 明 も兼 ね る.

付録A  

Mathematicaノ

ー

ト ブ ッ ク の 使 い 方.

ときに必 要 CD-ROMの

使い

方   本 書 の2-9章

は 理 論 の 展 開 で あ る が,や

さ しい と こ ろ か ら始 め て 次 第 に高 度

な内 容 に進 む よ うな 構 成 に な って い る.2-5章 い て 具 体 的 な 計 算 を行 うが,式 実 際 の 計 算 を通 して,ウ る.7-9章

で は 簡 単 な ウ ェ ー ヴ レ ッ トに つ

は 微 積 分 の 範 囲 で 計 算 で き る 範 囲 で 扱 わ れ る.

ェ ー ヴ レ ッ トに つ い て 基 本 的 な こ とは こ こ ま で で わ か

は フ ー リエ 変 換 を使 っ た ウ ェ ー ヴ レ ッ トの や や 一般 的 な議 論 で あ る.

この 順 に し た が っ て本 書 を 通 読 す る の が 標 準 的 な 読 み 方 で あ ろ うが,そ

れ以 外

に 次 の よ うな 読 み 方 も あ る. ●一 般 論 を避 け て 読 む 方 法 解 す る.2-5章

  1章 を読 ん で ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と は 何 か を理

を読 んで 最 も基 本 的 な事 項 を学 ぶ.10章

つ い て学 ぶ.こ の と きCD-ROMの

に跳 ん で 応 用 に

例 を見 れ ば 理 解 の 助 け に な る.7-9章

は マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト構 成 の 詳 細 で あ る か ら,こ

こ は 読 ま な くて も

よ い. ●な る べ く理 論 は避 け て 読 む方 法  

1-2章

を読 ん で ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と多

重 解 像 度 解 析 とは 何 か を理 解 す る.そ の 後11章 てCD-ROMの

ノ ー トブ ッ ク を見 る.10章

の 応 用 を重 点 的 に 読 み,そ

に示 され て い る リ フ ァ レ ン ス に した が っ て3-9章 この と きCD-ROMの こ う して,理

の マ ニ ュ ア ル に した が っ こ

の 部 分 は 拾 い 読 み す る.

パ ッケ ー ジ を使 っ て プ ロ グ ラ ム を実 行 す る と よ い.

論 の 詳 細 に 深 く立 ち 入 らず,応

用 に重 点 を置 い て学 習す る

こ とが で き る.

■ CD-ROMの

使 い方

  2-9章 で 導 か れ た ア ル ゴ リズ ム に 基 づ くプ ロ グ ラ ム が 付 属 のCD-ROMに め ら れ て い る.プ

収

ロ グ ラ ム は,数 式 処 理 を 中心 に グ ラ フ ィッ ク ス も含 め た 統 合

的 な 数 学 シ ス テ ム で あ るMathematicaを

使 っ て 書 か れ た パ ッケ ー ジ で あ る.ア

ル ゴ リズ ム の 実 践 的 な機 能 を示 す た め に,本 文 中 に示 さ れ る 例 や 挿 入 され た 図 の ほ と ん ど は,実 際 に こ の パ ッケ ー ジ を使 っ て作 ら れ た.こ 分 け られ たMathematicaノ

れ らは各章 ご とに

ー トブ ッ ク と な っ て お り,こ れ を ダ ブ ル ク リ ッ クす

る と そ の 内 容 を 開 い て み る こ とが で き る.開

き方 は付 録Aに

示 す が,ノ

ブ ッ ク を 開 い て 図 を見 た り,音 を 聞 い た りす る の に,Mathematicaを

ート

知 っ てい

る 必 要 は な い.

■プ ログ ラ ム の 使 い 方   読 者 がMathematicaユ

ー ザ ー で あ れ ば,こ

こ に 収 め ら れ た ノ ー トブ ッ ク を 見

る だ け で な く,コ マ ン ド を 改 め て 実 行 す る こ と もで き る.11章 ム の 概 要 と使 い 方 の マ ニ ュ ア ル を 示 す.こ

に,プ

ログ ラ

れ は読 者 が こ の パ ッケ ー ジ を 使 っ て

計 算 を実 行 しよ う とす る と き に必 要 な も の で あ る.ノ Mathematicaコ

ー トブ ッ ク に は 図 を描 く

ー ドが 解 説 と と も に 示 され て い る か ら,こ れ を改 め て 実 行 す る

こ と もで き る し,部 分 的 に 修 正 を加 え て プ ロ グ ラ ム を実 行 す る こ と もで き る. 例 と して使 わ れ たデ ー タ もCD-ROMに ロ グ ラ ム を実 行 す る こ とは,大 さ ら に,デ

収 め られ て い る.こ

れ ら を利 用 して プ

い に 本 書 の 内 容 の 理 解 の 助 け に な る で あ ろ う.

ー タの 量 が コ ン ピュ ー タで ま か な え る程 度 で あ れ ば,読 者 は この プ

ロ グ ラ ム を研 究 に使 う こ と もで き る.

■本書 で使 う数学 記号   ウ ェ ー ヴ レ ッ ト解 析 は フ ー リエ 解 析 と よ く似 て い るが,も

う少 し込 み 入 っ た

計 算 を必 要 とす る.こ の た め す っ き り と し た数 学 記 法 を用 い る こ と が 望 ま しい. こ こで は 本 書 で使 う数 学 記 号 と い くつ か の 表 記 法 を ま とめ る.

●整 数 の 集 合 をZで

表 す.こ

れ を使 っ て,た

…, と書 く代 わ りにpk,k∈Z,と か れ る.ま

た,k∈Zが

有 限 で あ る と き,つ す べ て0に

書 く.同 様 に∑∞k=−∞ は Σk∈Zと 書

明 らか な 場 合 は 単 に Σkと ま り0で

な いpkが

●実 数 の 集 合 をR,複

ど を使 う.虚 数 単 位 はi=√−1

然 数 の 集 合 はNで

素 数 の 集 合 をCで

数 値 を持 つ こ と を 表 す.R上 した が っ て,"R上

の2乗

の2乗

りのpkを

う記 法 を使 う.整 数 値 の イ ン

違 え る 危 険 性 が な い 場 合 はiを

て 使 うこ と もあ る.自

書 く.数 列{pk}が

有 限個 の 場 合 で も,残

等 しい と仮 定 して∑pkとい

デ ッ ク ス と して は 主 にj,k,l,m,nな と書 くが,間

と え ばpk,k=0,±1,±2,

整 数 値 の イ ンデ ッ クス と し

表 さ れ る. 表 す.た

とえ ばf∈Rはfが

実

可 積 分 関 数 の 空 間 をL2(R)で

表 す.

可 積 分 関 数f"と

書 く代 わ りに"f∈L2(R)"

と書 く. ●空 間 と集 合 の 違 い につ い て コ メ ン ト して お こ う.空 間 とは あ る 性 質 を持 っ た 集 合 で あ る.た い っ て も よい が,こ い うの で あ る.ま

と え ばL2(R)は2乗

可 積 分 関 数 の"集

合"で

ある と

の 集 合 は 線 型 空 間 と して の性 質 を持 つ の で"空 間"と たRは

体 と して の 性 質 を持 つ の で"実 数 体"と

い うの

が 正 しい が,本

書 で は そ こ まで 厳 密 な 議 論 を必 要 と しな い の で,こ

は 単 に"集 合"と ●x/yは〓

こで

い う.

を表 す.厳 密 な等 式 で な く左 辺 は だ い た い 右 辺 の よ うで あ る と

い う と ぎ は=で す.不

は な く ∼ を使 う.記 号〓

近 似 値 を∝

等 号 と等 号 の 組 合 せ は ≦ の 代 わ りに〓,≧

●時 間 の 関 数f(t)の

フ ー リエ 変 換 をf(ω)と

は正

例 を表

の 代 わ りに〓

を使 う.

書 き,座 標xの

関 数f(x)の

フ ー リエ 変 換 はf(ξ)と 書 い て,変 数 ξ を ω と 区 別 す る文 献 もあ る .本 書 で はf(x)とf(ω)に

統 一 した.ま

と定 義 す る 方 法 も あ るが,本 ●2つ

の 関 数fとgの

〈 f,g〉=〈g￨f〉

● [DB1]を

た,フ

書 で は1/√2π

ー リエ 変 換 を

を含 ま な い 定 義 を 採 用 した .

内 積 に は 以 下 の よ う な さ ま ざ ま な 記 法 が あ る .(f,g)=

な る 関 係 が あ る.

初 め,多

くの 文 献 で は ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列 や そ の 多 項 式 に

異 な る 記 号 が 使 わ れ て い る.こ

こ で は 文 献[CH1]の

記 法 に な ら っ た が,

対 応 は 以 下 の よ うで あ る(左 辺 が 本 書 の 記 法). 〓特 に 〓に対 応 す る. ● QMFを

構 成 す る フ ィル タバ ン ク のz変

項 式 の 関 係 は 以 下 の よ うで あ る.

換 と,本

書 にお け る数 列 の 多

1章

  ウェ ー ヴ レ ッ ト と は 何 か

  この 章 で は,ウ ェ ー ヴ レッ トとは何 か を簡 単 に説 明 す る.信 号 を時 間 と周 波 数 の 両 面 か ら同 時 に と ら え る 時 間 周 波 数 解 析 に お い て,ウ ヴ レ ッ トは 信 号 の 部 分 を 切 り出 す 単 位 と な る も の で あ る.ウ

ェー

ェー ヴ

レ ッ ト変 換 は こ の 単 位 で 切 り出 し た信 号 各 部 の 大 き さ を表 す.信

号に

は最 小 の単 位 が あ り,こ の た め ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 を離 散 化 して 効 率 の よい 時 間 周 波 数 解 析 が 得 られ る.こ の と き基 底 関 数 と して の ウ ェ ー ヴ レ ッ トが 必 要 と な る.こ

の 章 で は こ れ ら の 概 念 を 図 式 的 に説 明 し,

2章 以 降 の ど こ で何 が 説 明 され る か を示 して本 書 の 目 的 を 明 ら か にす る.本

書 の 概 要 を示 す た め に,こ

が,そ

れ に つ い て あ らか じめ 知 っ て い る必 要 は な く,そ の 詳 し い説 明

は2章

以 降 に 与 え られ る.

の 章 で い くつ か の 用 語 が 使 わ れ る

1.1 

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と信 号

  ウ ェ ー ヴ レ ッ ト(wavelet)と

は,躍

こ れ は い っ た い 何 で あ ろ う か.ウ 局 在 し て い る こ と を 表 す.た あ る.こ

の 関 数 をψ(x)で

動 的 で チ ャ ー ミ ン グ な 響 き の 言 葉 だ が,

ェ ー ヴ は"波",レ

と え ば,グ

ッ ト は"小

ラ フ に 表 す と 図1.1の

さ い",つ

ま り

よ うな関数 で

表 す こ と に す る.

図1.1 

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 例.

  ウ ェ ー ヴ レ ッ トは 三 角 関 数 や 対 数 関 数 の よ う な特 定 の 決 ま った 関 数 で は な く, 局 在 す る 波 を表 す さ ま ざ ま な 関 数 の 総 称 で あ る.も

っ と正 確 に い え ば,関

数そ

の もの を指 す よ り も,ど の よ う に使 わ れ る か に 関 連 した 呼 び 名 で あ る.

図1.2 

  で は,ど 時 間xの

信 号 の 例.

の よ うに 使 わ れ るの で あ ろ う か.図1.2(上)の 関 数f(x)を

考 え よ う.こ の 信 号 は 振 幅 と周 波 数 が 時 間xと

変 化 して い る 正 弦 波 と見 る こ とが で き る.図(下)は した も の で,そ 小 して,信 は,ウ

よ う な信 号,つ

れ ぞ れ の 部 分 は 図1.1に

まり

と もに

こ の信 号 の 部 分 を 切 り 出

示 す ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を縦 横 に拡 大 ・縮

号 の 大 き さ と局 所 的 な 周 波 数 を 表 して い る.切

ェ ー ヴ レ ッ ト ψ(x)の 変数xを(x−b)/aと

り出 す 部 分 を作 る に

置 き換 え て,ψ((x−b)/a)

が 信 号 の 局 所 的 な 様 子 を 表 す よ う に 実 数aとbを う に,ウ

う ま く 選 べ ば よ い.こ

の よ

ェ ー ヴ レ ッ ト は 信 号 を 切 り 出 す と き の 単 位 と し て 使 う も の で あ る.元

の ウ ェ ー ヴ レ ッ トψ(x)を

マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト,ま

たは アナ ラ イジ ング ・

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と い う.

1.2  ウ ェ ー ヴ レ ッ ト 変 換

  ウ ェ ー ヴ レ ッ トで 切 り出 した信 号 の 部 分 は,そ

れ ぞ れ 時 間 軸 上 にお け る 位 置

と,そ の 部 分 の 局 所 的 な周 波 数 を表 して い る.そ

こ で 周 波 数 を表 す座 標 軸 を新

た に 設 け,時

間 軸 と周 波 数 軸 が 張 る2次

面 ま た は信 号 平 面 と い う が,こ の よ う に な る.一

元 面 を考 え る.こ

れ を時 間 周 波 数 平

の 上 に そ れ ぞ れ の 成 分 を 配 置 して み る と 図1.3

番 奥 に あ る の は 元 の 信 号 で,手

前 の ウ ェ ー ヴ レ ッ ト成 分 に よ

り,信 号 の 各 部 で 周 波 数 が ど の よ う に分 布 して い る か が よ くわ か る.

図1.3 

信 号 平 面 上 に ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を並 べ て 表 現 し た信 号.

  こ の よ う な 図 は 直 感 的 で 全 体 像 を と らえ る に は よい が,量 な い.た

と え ば,信

号 は単 に4つ

的 な把 握 に は 適 さ

の部 分 か ら な っ て い る わ け で は な い が,部 分

へ の 分 割 数 を 増 や せ ば 図 は 込 み 合 っ て わ か りに く く な る で あ ろ う.   もっ と効 率 よ く,か つ 量 的 に扱 い や す い 表 し方 は 次 の よ う に して 得 られ る. そ れ ぞ れ の 部 分 を表 す 単 位 はψ

と 決 ま っ て い る の で あ る か ら,こ れ をい ち い

ち 表 示 して み な くて も よ い.信 号 平 面 上 の 対 応 す る 位 置 にψ で 測 っ た信 号 の "大 き さ"を 割 り振 れ ば 十 分 で あ る .図1.4が こ れ に 対 応 す る も の で,平 坦 な 部 分 は"大

き さ"0を

表 し,山

と谷 は そ の 部 分 に お け る 信 号 の"大

き さ"と 符

号 を表 して い る."大

図1.4 

ウ ェ ー ヴ レ ッ トで 測 っ た 信 号 の"大

  一 般 に は3次

き さ"の 信 号 平 面 上 の プ ロ ッ ト.

元 プ ロ ッ トの 代 わ り に 図1.5の

る こ と が 多 い.こ 値,黒

き さ"の 意 味 は ま も な く明 らか に な る.

ような等 高線 グ ラフ が使 わ れ

こ で は グ レー の 部 分 が 信 号 の 大 き さ0を,白

い 部 分 は負 の 値 を表 す.こ

い部 分 は正 の

の 図 か ら,信 号 の 局 所 的 な周 波 数 が 時 間 と と

も に増 加 して い る様 子 が わ か る.

図1.5 

ウ ェ ー ヴ レ ッ トで 測 っ た 信 号 の 大 き さ の 信 号 平 面 上 の 等 高 線 図.

図1.6 

マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の ト ラ ン ス レ ー ト と ス ケ ー ル.

  この よ う な信 号 平 面 上 にお け る信 号 の 表 現 は次 の よ う に して得 られ る.ウ ェ ー ヴ レ ッ ト ψ((x−b)/a)は

図1.1に

ラ ンス レ ー ト(平 行 移 動,ま る.こ れ を 図1.6に a倍 に な る.こ   図1.2(下)に とaを

示 す マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト ψ(x)をbト

た は シ フ ト)し,aス

示 す が,ス

ケ ー ル ・パ ラ メ ー タaに

の こ と か ら1/aが

示 す 信 号 の 部 分 は,ト

値 に つ い て,積

対 応 して ψ(x)の 幅 が

周 波 数 に 対 応 して い る こ とが わ か る.

う ま く選 ん で ψ((x−b)/a)を

選 ん だbとaの

ケ ー ル(伸 縮)し た もの で あ

ラ ンス レー ト とス ケ ー ル の パ ラ メ ー タb 表 示 した もの で あ る .こ の よ う に う ま く

分〓

の絶対 値 が 大 き

く な る こ と に 注 意 しよ う.

図1.7 

信 号 と ウ ェ ー ヴ レ ッ ト(上)と

  そ れ を見 る た め に 図1.7(上)に を重 ね て 示 し,図(下)に b)/a)が 信 号f(x)の

信 号f(x)の

積ψ((x−b)/a)ｆ(x)を

一 部 と ウェー ヴ レッ トψ((x−b)/a) 示 す.左 側 の 図 の よ う に,ψ((x−

部 分 に似 て い る と きは,そ の 近 傍 でf(x)∼±ψ((x−b)/a)

で あ る か ら,積 分 は〓 とf(x)の

こ れ らの 積(下).

積 は そ の 近 傍 で 符 号 を変 えず,し

と な る.つ

ま りψ((x−b)/a)

た が っ て そ の 積 分 の 値 は 大 きい .

ψ((x−b)/a)のaの

値 を そ の ま ま と し,異 な る 部 分 のf(x)と

が 右 側 の 図 で,ψ(x−b)/a)はf(x)の の積 はxと づ い て,積

と も に 示 した の

部 分 を近 似 し な い.し

た が っ て これ ら

と も に 激 し く符 号 を変 え,積 分 の 値 は 小 さ く な る.こ 分〓ψ(x−b)/a)f(x)dxのf直

い て プ ロ ッ ト した の が 図1.4や

図1.8 

 ψ((x−b)/a)が

図1.5で

こ れ ら の 積(下).

そ の 近 傍 で 符 号 を変 え,積

た が っ て,積 分〓ψ((x−b)/a)f(x)dxの

お け る信 号fの

期 ほ どず 分 の値 は小 さ

値 が 点x=bに

振 幅 を表 して い る わ け で は な い.こ の 積 分 の 値 が 信 号 の"大

さ"を 表 す と い っ た の は この た め で あ る.図1.4−5に が 信 号f(x)の

値 につ

あ る.

部 分 に似 て い る と きで も,bが1/4周

れ て い れ ば,積ψ(x−b)/a)f(x)は い(図1.8左).し

を さ ま ざ ま なbと1/aの

信 号 と ウ ェ ー ヴ レ ッ ト(上)と

信 号f(x)の

の事 実 に基

示 す よ う に,ψ((x−b)/a)

部 分 に 似 て い る の に応 じて 信 号 平 面 に"波 立 ち"が で き,そ

激 し さが 信 号 の 振 幅 に対 応 して い る とい え よ う.ψ((x−b)/a)がf(x)の を近 似 しな い と き は,こ な る(図1.8右).し

き

れ ら の 積 は常 に 激 し く符 号 を変 え,積

の

部分

分 の値 は小 さ く

た が っ て こ こ に は"波 立 ち"は 生 じな い.

  ウ ェー ヴ レッ ト変 換 は この 事 情 を定 式 化 した もの で あ る.関 数f(x)の ウ ェ ー ヴ レ ッ トψ(x)に

マ ザ ー.

よ る ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 は 次 の よ う に定 義 さ れ る.

(1.1)

  定義(1.1)は,因 b)/a)f(x)dxと

子1/√￨a￨洞 を除 い て は 図1.5を 描 くの に使 っ た積 分〓ψ((x− 同 じ もの で あ る こ と に注 意 し よ う.た だ しψ が 実 関 数 で あ る の

で,複 素 共 役ψ(x)とψ(x)の の値 を,bを

横 軸,1/aを

区 別 は い らな い.ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換(Wψf(b,a) 縦 軸 とす る信 号 平 面 に プ ロ ッ トす れ ば,図1.5の

よ

う な信 号 の 表 現 が 得 られ る.こ

れ はx=bの

に ど れ だ け 似 て い る か に 応 じて,信   逆 に,ウ る.つ

近 傍 で 信 号f(x)がψ((x−b)/a)

号 平 面 上 に"波 立 ち"を 生 じる .

ェ ー ヴ レ ッ ト変 換(1.1)か

ら元 の 信 号f(x)を

復 元 す る こ とが で き

ま り,逆 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 が 存 在 し,そ れ は次 の 式 で 与 え られ る .

(1.2) こ こ で,右 辺 が 定 義 で き る た め に は,次

のア ド ミッシブル条 件が 満 た され なけ

れ ば な ら な い.

(1.3) た だ し,ψ

はψ

の フ ー リ エ 変 換 で あ る.

 一 般 的 な ア ド ミ ッ シブ ル 条 件(1 .3)の 代 わ りに,ふ

つ う次 の 条 件 式 が 使 わ

れ る.

(1.4) こ の 式 はψ(x)が お い てψ(x)の

振 動 的 で あ る こ と を 意 味 す る .ウ ト ラ ン ス レ ー トψ(x−b)が

し て い る こ と が 望 ま し い.振 さ れ て い て 小 さ い(let)こ

意 味 を 持 つ た め に は,ψ(x)が

動 的 で 波(wave)の と か らψ(x)は

ェ ー ヴ レ ッ ト変 換(1.1)に 局在

よ う で あ る こ と ,ま

た局 在化

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト(wavelet)と

呼 ば れ

る よ う に な っ た わ け で あ る.

1.3  複 素 数 の ウ ェ ー ヴ レ ッ ト  図1.2の

信 号 の表示 は

と い う ウ ェ ー ヴ レ ッ トを使 っ て 得 ら れ た.こ は,図1.7−8に

示 した よ う に,信

号fと

値 の 変 化 に伴 っ て 反 転 す る か ら で あ る.こ

の と き図 に"波 立 ち"が で き る の

ウ ェ ー ヴ レ ッ トψ の 積 の 符 号 がbの れ はψ が 実 関 数 で あ る こ と に よ る.

複 素 数 値 の マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を使 え ば,符 号 は 複 素 数 の 位 相 因 子 に 追 い や ら れ,ウ

ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 の 絶 対 値 を と れ ば 滑 らか な 表 示 が 得 ら れ る.そ

こ

で 複 素 数 値 の マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

(1.5) を 使 っ て,同

じ信 号 を 時 間 周 波 数 解 析 して み よ う.図1.9と

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 の 絶 対 値 を 示 す.マ

図1.10は

得 られ た

ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト(1.5)はGabor

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と 呼 ば れ る も の の ひ と つ で あ る(1.7節

参 照).

図1.9 

複 素 数 の ウ ェ ー ヴ レ ッ トで 測 っ た 信 号 の 大 き さの 信 号 平 面 上 の プ ロ ッ ト.

図1.10 

複 素 数 の ウ ェ ー ヴ レ ッ トで 測 っ た 信 号 の 大 き さ の 信 号 平 面 上 の 等 高 線 図.

1.4 信 号 の最 小単 位   図1.2に

示 した の は 簡 単 な信 号 の 一 例 で あ る が,一 般 に信 号 は 局 所 的 に 周 期

的 な 変 動 で,そ

の 周 波 数 が 時 間 と と もに 変 化 す る よ う な もの が 多 い.た

楽音 の 信 号 で は,一

定 の 周 波 数 が あ る 時 間 持 続 す るが,次

周 波 数 の音 に 変 わ る.会 話 の 音 声 は も っ と複 雑 で,持

とえ ば

に は ま っ た く異 な る

続 音 に も母 音 に よ る違 い

が あ り,子 音 は さ らに そ の 冒頭 に高 周 波 を 含 む 複 雑 な 波 形 を持 つ.こ 局 所 的 に 周 期 的 な 信 号 を 時 間 の 推 移 の な か で と ら え る こ と,つ

の よ うに

ま り信 号f(x)

を時 間 と周 波 数 の 両 面 か ら と ら え る こ と を時 間 周 波 数 解 析 とい う.言 い換 え れ ば,時 間 周 波 数 解 析 は信 号 を信 号 平 面 上 で 表 現 す る こ とで あ る.ウ ト変 換(1.1)は

信 号f(x)の

て信 号 を 図1.5の

時 間周 波 数 解 析 を行 う方 法 の ひ とつ で,こ れ に よ っ

よ う に信 号 平 面 上 で 幾 何 学 的 に 表 す こ とが で き る.

  こ う して 任 意 の 信 号 は信 号 平 面 上 の 分 布 と して 表 現 さ れ る.こ (b,1/a)に

時 間 軸 上 の 位 置 がbで

周 波 数 が1/aで

の平面上 の点

あ る よ う な 信 号 が 対 応 す る.

しか し信 号 に は 最 小 の 単 位 が あ り,こ れ は 信 号 平 面 上 に 面 積2の る.厳 密 に1点(b,1/a)に

図1.11 

窓 か ら の ぞ い た 正 弦 波 形.左

等 しい.窓

か ら右 へ 窓 は狭 く な る.

示 す よ う な信 号f(x)を

そ れ ぞ れ 幅 の 異 な る"窓"か

に示 す.広 い 幅 の 窓 で は信 号 はsinxに に1に

領域 を占め

対 応 す る 信 号 は存 在 しな い の で あ る.

  この こ と を見 る た め に,図1.11に 正 弦 波sinxを

ェー ヴ レッ

考 え よ う.こ れ は

らの ぞ い た もの で,こ

れ を 図(上)

か な り似 て い て,そ の 角 周 波 数 は近 似 的

の 幅 が 狭 くな る につ れ て信 号 の 周 期 性 は 弱 くな り,し た が っ

て周 波 数 は 図(下)に

示 す よ う に1を

中 心 に か な りの 広 が り を も つ.図(右)の

信 号 は 周 期 的 に は 見 え ず,こ

れ を反 映 し て周 波 数 の 値 は さ ら に大 き な広 が りを

もつ.   一 般 に 信 号f(x)は る.ま

時 間 軸 に 沿 っ て あ る 点xを

た フ ー リエ 変 換f(ω)は

領 域 を 占 め る.図1.11の くな り,反 対 に△fを と して,窓 が,時

例 で わ か る よ う に,△fを 小 さ くす れ ば△fは

か る.実

際,6章

小 さ くす れ ば△fは

大 き

大 き く な っ て し ま う.極 限 の 場 合

の 幅 を無 限 に大 き くす れ ばsinxと

周 波 数 軸 の 幅△fと

領 域 を占 め

周 波 数 軸 に 沿 っ て あ る 点 ω を 中心 に 幅△fの

間 的 に は 無 限 の 広 が り を持 ちxは

の 幅△fと

中 心 に幅△fの

な っ て 角 周 波 数 は1に

決 め よ う が な い.こ

確 定す る

う して,時

間軸

を 同 時 に小 さ くす る こ とは で き な い こ とが わ

で 示 す よ う に,△fと△fと

は次 の不 等 式 を 満 た す.

(1.6) こ れ を不 確 定 性 関 係 とい う.  △fは

幅 と い っ て もf(x)の

の 時 間 的 広 が りは2△fと 2△f2△f〓2が

ほ ぼ 中心xの

な る.同 様 に,周

成 り立 つ.言

い 換 え れ ば,面

片 側 の 幅 で あ る か ら,信 波 数 的 広 が りは2△fで 積2の

号f(x)

あ る か ら,

領域 が信 号 の最 小 単位 と

な り,そ れ 以 下 の 面 積 の 領 域 に対 応 す る信 号 は あ り得 な い.

図1.12 

信 号 の 最 小 単 位.

  最 小 単 位 の 面 積 を もつ 信 号 を な るべ く正 確 に信 号 平 面 上 に 位 置 付 け る に は, 最 小 単 位 の 領 域 の 形 を う ま く選 ぶ の が よ い.周 波 数 の 幅△fは に 応 じ て広 くす る,つ 性△fは

ま り△f/ω

周 波 数 ω ∼1/a

を 一 定 に す る よ う に と れ ば,位

置 の不確 定

そ れ ぞ れ の 周 波 数 に応 じて 最 小 に な る.こ の よ う に選 ん だ 最 小 単 位 の

領 域 を 図1.12に

示 す.マ

ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト ψ(x)を

レ ー ト し たψ((x−b)/a)を に 応 じ て 図1.12の

こ の 領 域 に 対 応 さ せ れ ば,そ

ス ケ ー ル ・ トラ ンス

よ う に 変 化 す る.こ

の 形 は(b,1/a)の

値

の 意 味 で ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 は 最 も 無

駄 の 少 な い 時 間 周 波 数 解 析 法 で あ る.

1.5  離 散 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換   ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換(Wψf)(b,a)や,こ ロ ッ ト した 図1.5は,信

の値 を信 号 平 面 上 の 点(b,1/a)に

プ

号 の 性 質 を知 る の に便 利 な 表 示 法 で あ る.し か し,演 算

を施 して 信 号 処 理 を 行 うに は こ の 表 示 法 は 必 ず し も効 率 的 で な い.ひ (1.1)の 右 辺 の 積 分 を 実 行 す る の は そ れ ほ ど 簡 単 で な い.さ

ら に,(Wψf)(b,a)

に は 多 くの 情 報 が 重 複 して い る.前 節 で 述 べ た よ う に信 号 に は 面 積2の 位 が あ る か ら,2点(b',1/a')お

よ び(b,1/a)が

とつ に は

最小 単

と もに 最 小 単 位 の 領 域 内 に 含

ま れ る ほ ど 近 け れ ば,(Wψf)(b',a')と(Wψf)(b,a)は

独 立 な量 とは い え な い.

  この こ とか ら,信 号 の 効 率 的 な時 間 周 波 数 解 析 を得 る に は,互 い に 同 一 の 最 小 単 位 の 領 域 に 属 さな い よ う な代 表 的 な 点(b,1/a)の て(Wψf)(b,a)の

値 を列 挙 す れ ば よい こ とが わか る.そ れ は,座 標(b,1/a)を

散 化 す る こ と に よ っ て 実 現 で き る.ふ つ う2つ (2-jk,2j)と

組 を選 び 出 し,こ れ に つ い

置 い て 離 散 化 され る.ウ

の 整 数j,kに

離

よ っ て(b,1/a)=

ェ ー ヴ レ ッ ト変 換(Wψｆ)(2-jk,2-j)を

dk(j)と 書 く こ と に す れ ば,(1.1)は

(1.7) と な り,逆

変 換(1.2)は

(1.8) の よ う に な る.   離 散 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換(1.7)の 平 面 は 幅1/2j,高 (k,j)が

さ α2jの 長 方 形 の セ ル に分 割 され,セ

対 応 す る(図1.13).し

ば よ い.α

信 号 平 面 上 の 表 示 は次 の よ う に な る.信 号 ルの それぞ れ に番 地

た が っ てdk(j)の 値 を セ ル(k,j)に

の 値 は マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トに よ っ て 異 な るが,こ

割 り当 て れ れが なるべ く

小 さ くな る もの を 選 ぶ と信 号 の 分 解 能 が よ く な る.し に,α

は2よ

か し前 節 で 説 明 した よ う

り小 さ くは な ら な い.

図1.13 

図1.14 

セ ル に分 割 さ れ た 信 号 平 面.

離 散 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 の 時 間 周 波 数 解 析.

  基 本 的 に は 同 じだ が,ふ び,横

軸 にkを

か らjの

つ う は少 し違 っ た 表 示 法 が 用 い ら れ る.jを1つ

と っ てdk(j)を 縦 軸 に 棒 グ ラ フ で 表 す.こ

減 る順 に 並 べ て 表 示 す る の で あ る.図1.2に

の よ う な 表 示 を した もの を図1.14に 化 した もの に対 応 して い る.上 平 面 で 縦 軸 を 下 向 き にaと

示 す.こ

い.右

数f(x)の

た は 図1.5を

離散

つ 減 っ て お り,こ れ は 信 号

した こ とに 対 応 す る. 信 号 平 面 上 に お け る 表 示 法 は こ れ で よい.

よ う に 式 を 書 い て 出 来 上 が り とい う わ け に は い か な

辺 の 和 を と っ て 元 の 信 号f(x)が

て い な い か らで あ る.和

元 グ ラ フを上

示 し た信 号 に つ い て こ

れ は 図1.4ま

か ら 下 ヘjが1ず

  離 散 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換(1.7)の しか し,逆 変 換 は(1.8)の

の2次

選

復 元 され る こ と は,無

が 正 し くf(x)を

表 す に は,右

辺 のψ(2jx−k)が

属 す る空 間 の 基 底 で あ れ ば よ い.こ の 事 情 は2章

離 散 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換(1.7)を

条件 に保証 され 関

で 明 ら か に な る が,

行 う に は,基 底 関 数 を作 る こ と が で き る よ う

な マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トψ を使 わ な け れ ば な ら な い.

1.6 多重解像 度 解析  離 散 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト逆 変 換(1.8)の

右 辺 に現 れ る2重

和 の一 方 を

(1.9) と 書 き,ま

た

(1.10) と書 くこ とに す る.こ 号f(x)を

こ で 整 数jは

何 ら か の 方 法 でf0(x)と

レベ ル と呼 ば れ る.5章

で 説 明 す る が,信

見 な す と,(1.8)は

(1.11) と 書 け る.こ

れ は 信 号f0(x)を

解 し た こ と に 対 応 す る.図1.14は

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト成 分g-1(x),g-2(x),…,に 上 か ら 順 にf0(x),g-1(x),g-2(x),…,を

並 べ て 表 示 し た も の と 考 え れ ば よ い.こ

の と き(1.10)ま

左 辺 か ら 右 辺 へ の 分 解 は 一 意 的 で な け れ ば な ら ず,ま く合 成 で き な け れ ば な ら な い.前

分

節 で 述 べ た よ う に,そ

た は(1.11)に

お い て,

た 右 辺 か ら左 辺 が 正 し れ に は マ ザ ー ・ウ ェ ー

ヴ レ ッ トψ が 基 底 関 数 と な る もの で な け れ ば な ら な い.基 2章,お

よ び5章

底 関 数 につ い て は

で 説 明 す る.

  基 底 関 数 と な る よ うな マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トは 多 重 解 像 度 解 析(multiresolution analysis,MRA)と

呼 ば れ る 関 数 空 間 の 階 層 構 造 を 利 用 して 作 られ る.

多 重 解 像 度 解 析 は 多 重 解 像 度 近 似(multiresolution も呼 ば れ る.こ

れ は2章

approximation,MRA)と

の テ ー マ で あ る か ら詳 しい 説 明 は そ こ で 行 うが,要

点 を ま とめ る と次 の よ う に な る.与

え られ た 数 列{pk}に

対 して,ト

ゥ ー ・ス

ケ ー ル 関 係 と呼 ば れ る 関 係 式

(1.12)

を満 た す 関 数 φ(x)を ス ケ ー リ ング 関 数 とい う.レ ベ ルjを 整 数kに

つ い て の φ(2jx−k)が

関 係 か らVj⊂Vj+1が

張 る 空 間 をVjと

導 か れ る.ス

固 定 して す べ て の

す る と,ト

ゥー ・ス ケ ー ル

ケ ー リ ング 関 数 を 使 っ て マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ

レ ッ トを

(1.13)

と定 義 す る こ とが で き る.こ の よ う に定 義 さ れ た マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トは補 空 間W0=V1＼V0の

基 底 関 数 と な る こ とが 示 さ れ る.

  詳 しい議 論 は2章

に譲 り,こ こ で は 多 重 解 像 度 解 析 が 図1.14の

解 析 に 果 た す 役 割 を 考 え よ う.式(1.10)はfj(x)に

時 間周 波 数

つ い て の再帰 的 な形

(1.14)

に 書 き 直 す こ と が で き る.図1.15にf0と,こ f− 1を,図1.2の ら にg−2とf−2に 1ず

れ を 分 解 し て 得 ら れ たg−1と

信 号 に つ い て 示 す.図1.16は,こ 分 解 し た 様 子 を 示 す.こ

つ 下 げ る こ と が で き,解

う し て 得 ら れ たf−1を

の よ う に(1.14)を

像 度 は そ の 度 に 半 分 に な る.

さ

使 っ て レベ ル を

図1.15 

図1.16 

 関 数fj(x)は

レ ベ ル0か

レベ ル−1か

ら レベ ル−1へ

の 分 解.

ら レ ベ ル−2へ

の 分 解.

ス ケ ー リ ング 関 数 φ(x)を 用 い て 次 の よ うな 線 型 結 合 で 表 す こ

とが で き る.

(1.15) こ こ で,右

辺 の 関 数 φ そ の も の は レ ベ ルjに

あ る.式(1.9)に し よ う.こ は(1.14)に ck(j1)と(1

お い て 関 数gj(x)も

よ らず 同 一 で あ る こ とが 重 要 で

同 一 の ψ に よ っ て 表 さ れ る こ と に注 意

の 事 実 は 次 の よ う な 意 味 を 持 つ.図1.15−16の し た が っ て 行 わ れ る が,実 .9)に

現 れ るdk(j-1)を

際 に は(1.15)に

求 め る,次

よ う なfj(x)の

分 解

現 れ る 係 数ck(j)か

ら,

の 分 解 ア ル ゴ リ ズ ム が 使 わ れ る.

(1.16) 分 解 数 列{gk}と{hk｝

は ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 か ら 決 ま る.重

要 な の は,こ

こ

で 使 わ れ る{gk}と{hk}が れ はfjま

た はgjが

して い る.こ

どの レベ ル か ら の 分 解 に も共 通 で あ る こ とで,こ

そ れ ぞ れ 同 一 の φ ま た はψ に よ っ て 表 され る こ と に対 応

う して 多 重 解 像 度 解 析 は,分

解(1.14)に

よ っ て レベ ル を1ず

つ

下 げ る こ とが で き る こ と,そ の ア ル ゴ リ ズ ム は使 わ れ る分 解 数 列 も含 め て レベ ル に よ ら な い こ と を 意 味 す る の で あ る.さ

ら に,こ

の 演 算 は 高 速 に実 行 で き る

こ と も,応 用 に お い て 重 要 で あ る.

1.7 

ウ ェー ヴ レ ッ トの 種 類

  ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 は連 続 変 換 と離 散 変 換 に 大 別 され る.連 続 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 で は,ア

ド ミ ツ シブ ル 条 件(1.3)を

満 た す 関 数 で あ れ ば どん な 関 数 で も

マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と して使 う こ とが で き る .し か し実 際 の 応 用 に は,時 間 周 波 数 解 析 に都 合 の よ い 関 数 が 選 ば れ る.   離 散 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 で は,ウ れ ば な ら な い.し

ェ ー ヴ レ ッ トは 基 底 関 数 と な る も の で な け

か も応 用 上 は コ ンパ ク トな サ ポ ー トを持 つ(関 数 値 が0で

い 区 間 が 有 限 で あ る)関 数 が 望 ま しい.こ

な

れ らの 条 件 を満 た す ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

は か な り限 定 され る.   以 下 に よ く使 わ れ る マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トを ま と め る.こ

こ で,そ

れぞ れ

に付 け ら れ た 名 は,す べ て が 定 着 して い る もの で は な い こ と に注 意 す べ きで あ る.す で に述 べ た よ う に,さ ま ざ ま な 関 数 をマ ザ ー ・ウ ェー ヴ レ ッ トか ス ケ ー リ ング 関 数 と して使 う こ と が で き る.す

で に知 ら れ て い る 関 数 も,ウ ェ ー ヴ レ ッ

ト解 析 に用 い られ る と き は,ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 名 を付 け て 呼 ば れ る こ と も あ る .

■Haarウ

  Haarに

ェ ー ヴ レ ッ ト

よっ て1909年

頃 作 られ た 関 数 で,ス ケ ー リ ング 関 数 とマ ザ ー ・ウェ ー

ヴ レ ッ トの 組 を なす.こ

れ を 図1.17に

で 呼 ば れ て は い な い.本

書 で は2章

示 す が,当

初 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト とい う 名

の 多 重 解 像 度 解 析 の 説 明 に使 わ れ る .

図1.17 

■Gaborウ

Haarの

ス ケ ー リ ン グ 関 数 と マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト.

ェ ー ヴ レ ッ ト

  フ ー リ エ 変 換 の 基 底 に使 わ れ る 指 数 関 数e-iωxは を持 ち,こ

時 間領 域 で 無 限 の 広 が り

の た め フ ー リエ 変 換 で は信 号 の 時 間 的 情 報 が 失 わ れ る.こ

を補 うた め,窓

関 数 ω(x)を 使 っ て ω(x)e-iωxの

の欠 点

よ うに 局 在 す る 関 数 を作 る.

こ れ を使 っ て 修 正 した フ ー リエ 変 換 を短 時 間 フ ー リ エ 変 換 と い う.Gaborは 1946年

に 窓 関 数 と して ガ ウ ス 関 数e-x2を

使 っ て,次 の よ う な短 時 間 フ ー リエ

変 換 を 考 え た.

(1.17) こ こ で 実 数 σ は あ らか じめ 選 ん で お く.こ れ はGabor変 は 信 号f(x)の

換 と呼 ば れ,f(ω,b)

信 号 平 面 に お け る 表 現 を与 え る.

  しか し,Gabor変

換 で は 窓 の 幅 は 周 波 数 に よ らず σ に固 定 され て お り,1.4節

で 述 べ た 信 号 の 最 小 単 位 の 観 点 か らは 効 率 が 悪 い.こ

の 欠点 を回避す るため に

マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を

とす る ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 を考 え る こ とが で き る.こ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト とい う.図1.1に

の 関 数ψ

示 した の は σ=8の

マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 実 部 で あ る.こ

をGaborの

マ

場 合 のGaborの

の 章 の 例 に示 し た よ う に,こ

れ は連

続 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 に 用 い て 信 号 の 周 波 数 を探 り 出す の に適 して い る.し し基 底 関 数 と な ら な い た め に離 散 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 に は 向 い て い な い.

か

■

Malverウ

ェ ー ヴ レ ッ ト

  Gaborウ

ェ ー ヴ レ ッ トの 基 底 関 数 と な ら な い と い う欠 点 は,う

ω(x)を 工 夫 す る こ と に よ っ て 解 消 で きる.1988年 サ ポ ー ト を持 ち,滑

にMalverは

らか な 窓 関 数 ω(x)に よ っ てGaborの

修 正 版 を作 り,こ れ が 基 底 関 数 に な る こ と を示 した.こ

ま く窓関 数 コ ンパ ク トな

ウ ェ ー ヴ レ ッ トの

れは周 波数 の分 解 能が

よい の で 音 声 信 号 の 解 析 な ど に使 わ れ て い る.

■Morletウ

ェ ー ヴ レ ッ ト

  ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 実 用 性 が 注 目 さ れ る よ う に な っ た の は,1982年 ス の 石 油 探 査 技 師Morletが て か ら の こ と で あ る.い

人 工 地 震 の 反 射 波 の 解 析 に ウ ェ ー ヴ レ ッ トを使 っ く つ か の 論 文 でMorletはGaborウェ

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と い う 呼 び 名 で 使 っ て い る.こ はMorletの

ー ヴ レ ッ ト を,

の た めGaborウ

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と 呼 ば れ る こ と も あ る.当

時,こ

ヴ レ ッ ト は ま だ 数 学 的 に 明 確 な 位 置 を 得 て い な い.1984年 Morletに

頃 フ ラ ン

ェー ヴ レッ ト の分 野で ウェ ー にGrossmannと

よ っ て 連 続 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 が 積 分 変 換 と し て 定 義 さ れ,ア

シ ブ ル 条 件(1.3)の

下 に 逆 変 換 の 存 在 が 証 明 さ れ た[GM].こ

続 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 はGrossmann‐Morletの も あ る が,決

ド ミッ

の こ と か ら,連

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と呼 ば れ る こ と

ま っ た 関 数 と し て の 呼 び 名 で は な い.

■ メ キ シ カ ン ・ハ ッ ト

 Gaborウ

ェ ー ヴ レ ッ トに 似 て い る もの と して ガ ウ ス 関 数 の2階

導 関 数 を使

う こ とが で き る.

こ れ は 図1.18に

示 す よ う な 関 数 で,Gaborウ

シ カ ン ・ハ ッ トの 名 は,こ 由 来 す る(図1.18右).

ェ ー ヴ レ ッ ト に 似 て い る .メ

キ

れ を対 称 軸 の 周 りに 回 転 させ る と で き る 曲 面 の 形 に

図1.18 

メ キ シ カ ン ・ハ ッ ト.

■ フ レ ン チ ・ハ ッ ト   メ キ シ カ ン ・ハ ッ トの 滑 らか さ を犠 牲 に して,全 体 的 な形 を 区 分 的 に 近 似 し た 関 数 で,

また は

それ 以外 と 定 義 さ れ る.図1.19に

こ れ を 示 す.

図1.19 

■Shannonウ

フ レ ンチ

・ハ ッ ト.

ェー ヴ レッ ト

  まずf(x)=sincxと

置 く.こ

は80ペ

示 す よ うな 関 数 で,そ

ー ジ の 図6.1に

こで

の フ ー リエ 変 換fがHaarの

ス

ケ ー リ ング 関 数(正 確 に は こ れ を ス ケ ー ル し トラ ン ス レー ト した も の)に な つ

て い る.こ

れ を 基 に し て 次 の マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を 作 る こ と が で き る.

こ れ はShannonウ

ェ ー ヴ レ ッ ト と 呼 ば れ る.こ

図1.20 

■Meyerウ

示 す.

ェ ー ヴ レ ッ ト.

ェ ー ヴ レ ッ ト

  Shannonウ

ェ ー ヴ レ ッ トが 長 い 尾 を 引 く の は,そ

で な い か ら で あ る.フ

ー リ エ 変 換(図6.1右)の

で の 局 在 性 は よ く な る.こ Meyerウ

Shannonウ

れ を 図1.20に

ω〓2π/3の

お よ び2π/3＜￨ω￨＜4π/3の

を満 た す.た

と きf(ω)=1,￨ω￨〓4π/3の とき

と す れ ば,Meyerの

して

の 関 数 の フ ー リエ 逆 変 換 を

ウ ェ ー ヴ レ ッ トは

の時 間軸

よ っ て構 成 さ れ た の が

の よ う な 性 質 を 持 つ 関 数 をf(ω)と

と え ば この 区 間 で は,n∈Nと

な ど とす れ ば よ い.こ

角 を 丸 め て や れ ばψ

の 考 え に 基 づ い てMeyerに

ェ ー ヴ レ ッ トで あ る.次

な わ ち,−2π/3〓

の フ ー リエ 変 換 が 連 続 関 数

す る.す

と きf(ω)=0,

で 与 え ら れ る.n=3の

と き のψ(x)とf(ω)を

パ ク ト ・サ ポ ー ト で は な い が ,無

図1.21 

■Daubechiesウ

  1988年

Meyerウ

図1

.21に

示 す.ψ(x)は

コ ン

限 回 微 分 可 能 で あ る.

ェ ー ヴ レ ッ ト(左)と

フ ー リ エ 変 換f(ω)(右).

ェ ー ヴ レ ッ ト

にDaubechiesに

よ っ て 作 ら れ た 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト で,直

交基 底 を

作 る 連 続 か つ サ ポ ー ト ・コ ン パ ク ト な ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と し て 初 め て 登 場 し た も の で あ る.自

然 数Nに

よ っ て 番 号 づ け ら れ た 一 連 の ス ケ ー リ ン グ 関 数Nφ

対 応 す る ウ ェ ー ヴ レ ッ トNψ

が あ り,Nと

にN=3とN=8のDaubechiesの れ ぞ れHaarの

と

,

と も に 滑 ら か さ が 増 大 す る,図1.22 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を 示 す.1φ

ス ケ ー リ ン グ 関 数 と ウ ェ ー ヴ レ ッ ト に 帰 着 す る .本

と1ψ

はそ

書 で は,こ

の 関 数 の 構 成 法 を 詳 し く 説 明 す る.

図1.22 

Daubechies

N=3とN=8の

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト.

■Symlet

  Daubechiesの

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト は 対 称 性 を 持 た ず,デ

て み た と き の 位 相 特 性 が 線 型 で な い.Symletは,こ 性 を 極 力 抑 え た 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ トで,Daubechiesに

ィ ジ タ ル ・フ ィ ル タ と し

れ を改 良 す る た め に非 対 称 よ っ て 作 ら れ た(8

.4節

参 照).図1.23にN=4とN=7のSymletを

示 す.

図1.23 

Symlet

N=4とN=7.

■ Coiflet

  8章

で 見 る よ う に,Daubechies

ヴ レ ッ トψのN−1次

Coifmanは

Nの

直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト は,マ

の モ ー メ ン ト ま で が0と

ザ ー ・ウ ェ ー

な る.

こ の 条 件 を ス ケ ー リ ン グ 関 数 に も要 求 す る こ と を 提 案 した.

こ の 条 件 を 満 た す マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト をCoifletと よ っ て 作 ら れ た(8.5節

参 照).図1.24にN=4のCoifletを

図1.24 

い い,Daubechiesに 示 す.

Coiflet N=4.

■ ス プ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト   m階

の カ ー デ ィナ ルBス

リ ング 関 数 で,こ

プ ラ イ ン は ト ゥー ・ス ケ ー ル 関係 を 満 た す ス ケ ー

れ は 基 底 関 数 と な る が,整

数 トラ ンス レー ト同 士 が 直 交 し な

い.直

交 関 係 の 扱 い 方 に よ っ て2通

りの ス プ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トが あ る .

  1つ は ス ケ ー リ ング 関 数 の線 型 結 合 を とっ て直 交 化 す る 方 法 で,Battle‐Lemarie の ス ケ ー リ ン グ 関 数 とマ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と呼 ば れ る.直 れ は 無 限 個 のBス

プ ラ イ ン の線 型 結 合 か ら な り,し た が っ て サ ポ ー ト ・コ ン

パ ク トで な い .特 に2階 ヴ レ ッ トはFranklinウ   も う1つ

の ス プ ラ イ ンか ら作 られ た 直 交 化 ス プ ラ イ ン ・ウ ェ ー ェ ー ヴ レ ッ ト と して 知 ら れ て い る.

は 直 交 化 を行 わ ずBス

プ ラ イ ン を そ の ま ま 基 底 と して使 う方 法 で,

必 要 に 応 じて こ れ に 直 交 す る 双 対 な 基 底 を 使 う.こ う.1991年

にChuiとWangに

説 明 す る.ス

の よ う な系 を 双 直 交 と い

よ っ て コ ンパ ク ト ・サ ポ ー トのBス

ウ ェ ー ヴ レ ッ トが 作 ら れ た.m=2とm=4の の 場 合 はHaarの

交基底 の それ ぞ

場 合 を 図1.25に

プライン・

示 す.m=1

関 数 に 対 応 す る.本 書 で は こ の 関 数 の 構 成 法 と応 用 を詳 し く

プ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト とい え ば こ れ を指 す こ と に す る.

図1.25 

ス プ ラ イ ン ・ ウ ェ ー ヴ レ ッ トm=2とm=4.

1.8  短 時 間 フ ー リ エ 変 換   17ペ ー ジ のGaborウ

ェ ー ヴ レ ッ トの 項 で 述 べ た よ う に,フ ー リエ 変 換 に 窓

関 数 を 組 み 合 わ せ る こ とに よ っ て も信 号 の 時 間 周 波 数 解 析 が 得 られ る.局 在 す る 窓 関 数w(x)を

使 っ た 次 の よ う な 信 号f(x)の

変 換 を短 時 間 フ ー リエ 変 換 と

い う.

(1.18) Gabor変 が,こ

換(1.17)はwを

ガ ウ ス 関 数 と した 短 時 間 フ ー リエ 変 換 の 一 例 で あ る

れ 以 外 に も さ ま ざ ま な 窓 関 数 が 使 わ れ て い る.f(b,ω)の

近 傍 で 周 波 数 ω で あ る よ う な信 号fの 波 数 解 析 を 与 え る.

値 は位 置bの

成 分 を表 し,こ れ に よ っ てfの

時 間周

  ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 が 短 時 間 フ ー リエ 変 換 に 比 べ て 有 利 で あ る の は 次 の2点 で あ る.1つ

は,短

時 間 フ ー リエ 変 換 の積 分 核,つ

h(x)=w(x−b)e-iωxは

信 号 平 面 上 に縦2△h横2△hの

参 照),こ の と き△hは

窓 関wで

決 ま り,bと

ま り信 号 を切 り出 す 単 位 面 積 を 占 め る(図1.12

ω に よ らず 一 定 で あ る.一 方,

大 きい ω で は何 周 期 もの 振 動 が 窓 に収 ま るか ら,相 対 的 な 周 波 数 解 像 度△h/ω は小 さ くな る.△h自

体 は 一 定 で,h(x)が

の よ う に な る.図1.12の

よ うに△h/ω

信 号 平 面 上 に 占 め る面 積 は 図1.26

を一 定 に して,大

きい ω の ときは時 間

解 像 度 を上 げ る 方 が1.4節

で 説 明 した 最 小 単 位 を よ り有 効 に 利 用 で き る.

  次 に,w(x−b)e-iω2は

基 底 関 数 と な ら な い こ とで あ る.し

間 フ ー リ エ 変 換(1.18)を 定 式 化 で き な い.こ

離 散 化 し,こ

た が っ て,短

時

れ を信 号 の 基 底 関 数 に よ る展 開 と し て

の こ と は,分 解 して得 ら れ た 信 号 か ら元 の 信 号 を 完 全 に 再

構 成 す る こ とが で き な い こ と を 意 味 す る.

図1.26 

短 時 間 フ ー リエ 変 換 に よ る 時 間 周 波 数 解 析 の 単 位.

1.9  サ ブ バ ン ド 分 解   離 散 デ ー タ で 表 現 で き る信 号 の 周 波 数 に は 上 限 が あ る.こ

れ を見 るた め に

11個 の 離 散 デ ー タ{fk},k=0,1,…,10,の

示 す.丸

デ ー タ の 数 値 を表 す.4つ

値 を 図1.27に

の デ ー タ は そ れ ぞ れ 異 な る周 期 の 信 号 を表 して い る.

これ を見 や す くす る た め に グ レー で 曲 線 が 描 か れ て い る が,こ な い も の で デ ー タ の 一 部 で は な い.明 す べ て のfkが

い 点が

の 曲線 は本 来 は

らか に 周 波 数 の 最 小 値 は0で,こ

相 等 しい デ ー タ に よ っ て 表 され る.反 対 に,一

れは

番下 の 図が 示す

デ ー タが 最 大 の 周 波 数 に 相 当 す る.デ ら,周 波 数(角 周 波 数)は 周 波 数 帯 域 は0か

π で あ る.こ

ー タ点 の2区

期2π

で あ るか

う して,離 散 デ ー タ で 表 さ れ る信 号 の

らπ の 区 間 と な る.

図1.27 

離 散 デ ー タ が 表 す 信 号 とそ の 周 波 数.

  分 解 ア ル ゴ リ ズ ム(1.16)に

こ の 離 散 デ ー タ{〓}を

お け る{〓}は

入 力 と して,デ

離 散 デ ー タ で あ る.式(1.16)は

ィ ジ タ ル ・フ ィル タ を 通 した 後 ダ ウ ン

サ ンプ リ ン グ す る 過 程 と見 な す こ とが で き る.こ が,分

間 で1周

解 数 列{gk}と{hk}が2つ

の 議 論 の 詳 細 は7章

の デ ィジ タ ル ・フ ィル タ と な る.数

に示 す 列 の値

が そ れ ぞ れ の フ ィル タの ゲ イ ンの 周 波 数 特 性 を決 め る.図1.28にDaubechies N=3とN=8の

場 合 の フ ィ ル タ の 周 波 数 特 性 を示 す が,{gk｝

フ ィル タ(LPF)に,{hk}は

バ イパ ス ・フ ィル タ(HPF)に

い ほ ど遮 断 特 性 が よ い.上 (角 周 波 数 で)0か す る.出

力{〓}は

対 応 し,Nが

に示 した よ う に,離 散 デ ー タ{〓}の

ら π の 区 間 で あ る か ら,2つ

は ローパ ス ・ 大き

周 波数 帯域 は

の フ ィル タ は こ の 帯 域 を2等

入 力 信 号 の 低 周 波 成 分,{〓}は

分

高 周 波 成 分 に な る.

こ う し て信 号 を 異 な る 周 波 数 帯 域 の 成 分 に 分 解 す る こ と を サ ブ バ ン ド分 解 とい うが,分

解 ア ル ゴ リズ ム(1.16)は

帯 域 を2等

分 す るサ ブ バ ン ド分 解 を 行 う.

図1.28 

Daubechies

N=3とN=8の

分 解 数 列 の ゲ イ ンの 周 波 数 特 性.

  3章 に 示 す よ う に,分 解 に よ っ て 得 ら れ た低 周 波 成 分{ck(j−1)}と 高 周 波 成 分{〓}か

ら,元

の 離 散 デ ー タ{〓}を

き ト ゥー ・ス ケ ー ル 関 係(1.12)と(1.13)に }と{qk}が

再 構 成 す る こ と が で き る.そ

のと

お け る ト ゥー ・ス ケ ー ル 数 列{pk

フ ィル タ と して 働 く.低 周 波 成 分 と高 周 波 成 分 を そ れ ぞ れ ア ップ サ

ンプ リ ング し た後,こ

れ ら の 再 構 成 フ ィル タ を通 して 足 しあ わ せ る と元 の 離 散

デ ー タ が 得 ら れ る.   こ う して,帯 せ を1組

域2分

割 の サ ブ バ ン ド分 解 と 再 構 成 は4つ

の フ ィル タ の 組 合

と して 行 わ れ る.こ の 組 を フ ィル タ バ ン ク と い う.フ

構 成 は 図1.29の

よ う な ダ イア グ ラ ム で 表 さ れ る.

図1.29 

帯 域2分

割 サ ブ バ ン ド分 解 フ ィ ル タ バ ン ク.

  一般 の 信 号 処 理 に お い て は,帯 き る.そ

の 際 は2M個

め に は,こ

ィル タバ ン ク の

域M分

割 フ ィル タ バ ン ク を考 え る こ とが で

の フ ィ ル タが 使 わ れ る が,元

の 信 号 が 再 構 成 され る た

れ らの フ ィル タは 互 い に あ る 関 係 を満 た さ な け れ ば な ら ない.こ

条 件 を満 た す フ ィル タ は ク ァ ド レ チ ャー ミラ ー ・フ ィ ル タ(quadrature filter,QMF)と

の

mirror

呼 ば れ る.実 際 の 応 用 で は,分 解 さ れ た低 周 波 成 分 を 再 びサ ブ

バ ン ド に分 解 し,必 要 に応 じて こ れ を数 段 繰 り返 す.分

解 さ れ て 得 られ た信 号

の 部 分 を符 号 化 す る こ と に よ っ て,信 号 を圧 縮 した りエ ラ ー 補 正 をす る こ とが

で き る.さ

ま ざ ま な ク ァ ド レチ ャー ミ ラ ー ・フ ィ ル タが 設 計 さ れ て い る が,再

構 成 に よっ て信 号 が 完 全 に復 元 され る と は 限 らず,近 る.ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 分 解 ・再 構 成 ア ル ゴ リズ ム は,帯

似 的 に元 の信 号 が 得 られ 域2分

割 の完 全再構 成

ク ァ ド レチ ャー ミラ ー ・フ ィル タ を 与 え る の で あ る.

1.10  画 像 圧 縮   2次 元 の 信 号 は2変

数 関 数f(x,y)で

表 され る.ウ

そ れ ぞ れ の 次 元 を独 立 に扱 う の が ふ つ うで あ る.1.6節 数 関 数f(x,y)は

ェ ー ヴ レ ッ ト解 析 で は, の 式 に な ら え ば,2変

次 の よ う に ス ケ ー リ ング 関 数 の 線 型 結 合 で 表 さ れ る.

(1.19) こ の 関 数 の 展 開 係 数{〓}は

次 の ア ル ゴ リズ ム に よ っ て 分 解 され る.

(1.20) こ こ で 添 字LLな

ど のLは

ル ゴ リズ ム も同 様 に1次

低 周 波 成 分,Hは 元 を2次

  座 標 平 面 上 の 座 標 点(x,y)を

高 周 波 成 分 を表 す.再

構成のア

元 に 直 接 拡 張 す る こ と に よ っ て 得 られ る.

中 心 に小 さい 正 方 形 の 領 域(ピ

ク セ ル)を と っ

て,そ れ を こ の 関 数 の 値 に対 応 す る グ レー ・ス ケ ー ル で 表 示 す れ ば,グ ケ ー ル の 画 像 が 得 られ る.あ タ を長 方 行 列{〓}と につ い てf(x,y)あ

る い は,グ

レー ・ス ケ ー ル の デ ィジ タ ル 画 像 デ ー

見 な して も よい ・ カ ラ ー の 場 合 は,RGBの る い は{〓}が

分,HL成

分 の4つ

そ れぞれ

対 応 す る.

  画 像 デ ー タ を分 解 ア ル ゴ リズ ム(1.20)に 分,LH成

レー ・ス

よっ て処 理 す る と,LL成

分,LH成

の デ ー タ ・セ ッ トに分 か れ る.い ず れ の 成 分 も,

横 方 向 と縦 方 向 の そ れ ぞ れ に 半 分,全

体 で1/4の

の セ ッ ト全 体 で は デ ー タの 量 は変 わ らな い.し 主 にLL成

分 に含 まれ,こ

絵 が 得 られ る.元 1/4の

デ ー タ量 と な って お り,4つ か し,画 像 と して 主 要 な 情 報 は

れ だ け を ピ ク セ ル と して 表 示 して も元 の 画 像 に似 た

の 画 像 デ ー タか らLL成

分 だ け を と り出 せ ば,デ

ー タの 量 が

画 像 圧 縮 が で きる.

 元 の 画 像 デ ー タ{〓}か 適用す れ ば,そ

らLL成

の 度に デ ー タの 量 が1/4に

分 を とり出 す 分 解(1.20)を

… ,の タ ワ ー が で き る.こ

な っ た行 列{〓},j=−1,−2,

れ を ラ プ ラ シア ン ・ピ ラ ミ ッ ド と い い,デ

ラ ミ ッ ド に分 解 す る 手 法 は サ ブ バ ン ド分 解 を2次

にLL成

ー タを ピ

元 に 拡 張 した もの で あ る が,

画 像 圧 縮 の 分 野 で ピラ ミ ッ ド ・ア ル ゴ リ ズ ム と して 知 ら れ て い る.実 圧 縮 は,単

繰 り返 し

際 の画 像

分 に分 解 す る だ け で な く,デ ー タ の値 を量 子 化 した り,エ

ラ ー補 正 の た め に符 号 化 し,分 解 ・再 構 成 と組 み 合 わ せ て行 わ れ る.デ

ータを

ブ ロ ッ クに 分 け て,そ れ ぞ れ の ブ ロ ッ ク に離 散 コサ イ ン変 換 を用 い るJPEG方 式 な どで 生 じる,ブ

ロ ッ ク歪 み や モ ス キ ー ト歪 み が 生 じな い こ と か ら,ウ

ェー

ヴ レ ッ ト変 換 を用 い た ピ ラ ミ ッ ド ・ア ル ゴ リズ ム は 最 近 注 目 され て い る 画 像 圧 縮 技 術 で あ る.

2章

 多重解像度解析

 

簡単 な関数 の階段 関数 に よる近似 は,グ ラフ を見 て直感 的な イ メー ジ を得 るの に適 して い る.一 定 の区 間 を2の べ キ乗個 の小 区 間 に分

割 し,各 区間で値 が一 定 な階段 関 数 を使 う と,分 割数 が大 きい ほ どよ い 近似 が得 られ る.分 割 数 を関数 の解像 度 と見 なせ ば,近 似 の程 度 は 解像 度 に比例 す る.分 割 数 を半分 にす る と解像 度 は半分 になる.解 像 度 は段 階 的 に増 減で き,一 度 に半 分 また は2倍 にす る こ とが で きる. この よ うな解像 度 の段 階 的な構造,あ るい は階層構造 は多 重解像 度解 析 と呼 ばれ る.こ の章 で は,階 段 関数 を利 用 して,多 重解像 度解 析 を 直 感 的 に と らえる.

2.1  近 似 関 数 と 近 似 の レ ベ ル

  区 間[0,1)で,関

数

(2.1) を例 に と り,こ れ を 区 分 的 に定 数 で あ る 階 段 関 数f5(x)で え よ う(図2.1左).そ

の た め に 区 間[0,1)を25=32個

近 似 す る こ と を考 の小 区 間

〓に等 分 し,近 似 関 数 は 小 区 間〓 定 数〓

に等 しい とす る.式

で は〓,あ

内で

る いは

(2.2) と書 く.こ の 定 数 は,こ が 妥 当 で あ ろ う.つ

の 小 区 間 に お け る 関 数f(x)の

ま り,高

さck(5),底 辺1/25の

平 均 値 に等 し く と る の

長 方 形 の 面 積 を ,関 数f(x)

の こ の 区 間 に お け る 積 分 に等 しい と置 い て

(2.3) とす る.こ

う して 求 め ら れ た 関 数f5(x)を

る.近 似 関数f5(x)の は,区

添 字5や,区

間 の 分 割 数 が25で

プ ロ ッ ト し た の が 図2 .1(右)で

間Ik(5)お よ び係 数ck(5)の 右 肩 の 添 字(5)

あ る こ と を表 して い るが,こ

の 整 数5を

ル と い う.

図2.1 

 同 様 に,区

関 数f(x)と

間[0,1)を24=16個

〓に等 分 し,レ ベ ル4の

あ

レベ ル5の

近 似 関 数f5(x).

の小 区 間 近 似 関 数f4(x)を

求 め れば

近 似 の レベ

(2.4) で あ る.さ

ら に,区

間[0,1)を23=8個

の 小 区 間〓

に 等 分 し,同 様 に レベ ル3の

近 似 関 数f3(x)を

求めること

が で き る.

図2.2にf4(x),f3(x),f2(x),f1(x)を f3(x)と [0,1)で

示 す.図2.1と

図2.2か

らf5(x),f4(x),

レ ベ ル が 下 が る と と も に 粗 い 近 似 に な っ て い る こ と が わ か る.区 レ ベ ルjの

像 度 は2jで

あ る.レ

関 数fjは

た か だ か2j個

ベ ル が1つ

図2.2 

の 異 な る 値 を と る か ら,fjの

下 が る と 解 像 度 は 半 分 に な る の で あ る.

レ ベ ル4,3,2,1の

近 似 関 数.

間 解

2.2  Haarの

ス ケ ー リ ング 関 数

  近 似 関 数f5(x),f4(x)な

どの 基 本 的 な 構 成 要 素 は 図2.3に

示 す よ うな 関 数

で あ る.こ の 正 方 形 を縦 横 に伸 縮 させ て 次 々 とつ な ぎ合 わ せ れ ば 階 段 関 数 が 構 成 で き る.こ

の こ と を 式 で 表 す こ と を考 え よ う.

  そ の た め に,関

数 φH(x)を

(2.5) と 定 義 す る.φH(x)はHaarの

ス ケ ー リ ン グ 関 数 と 呼 ば れ る が,図2.3は

を プ ロ ッ ト し た も の で あ る.こ

う し て で き る 正 方 形 を 伸 縮 し た り横 に 並 べ た り

す る に は,ス

ケ ー ル し た り ト ラ ン ス レ ー ト し た り す る.実

φH(x/a)は

φH(x)の

は 右 へb平

行 移 動(ト

  レ ベ ル5の

横 幅 をa倍

し た も の(a倍

に ス ケ ー ル),ま

つ い て

た φH(x−b)

ラ ン ス レ ー ト)し た も の で あ る(図2.4).

近 似 関数f5(x)が

ス ケ ー ル し た φH(25x)を,右

作 る 階 段 の 一 段 一 段 は,図2.3の へk/25ト

幅 を1/25倍

ラ ン ス レ ー ト し た φH(25x−k)に

れ ぞ れ の 高 さ を 掛 け た も の に な っ て い る.し 〓+…の よ う な 和 を と れ ば 近 似 関 数f5(x)が の 近 似 関 数 は(2.2)の

数a＞0に

これ

に ,そ

たが って 構 成 で き る.こ

う し て,レ

ベ ル5

代 わ りに

(2.6) と 書 く こ と が で き る.係

図2.3 

Haarの

数ck(5)は

積 分(2.3)に

ス ケ ー リ ン グ 関 数.図2.4 

φH(x)の

よ っ て 求 め ら れ る.

ス ケ ー ル と ト ラ ン ス レ ー ト.

 同様 に,レ

ベ ル4の

近似 関数 は

(2.7)

の よ うに 表 さ れ る.係 か っ て い れ ば,積

数ck(4)は(2.4)に

分(2.4)を

よ っ て 求 め ら れ る.し

か しck(5)が わ

も う一 度 実 行 しな く と も,ck(5)か ら簡 単 な 計 算 に

に よ っ てck(4)を 求 め る こ とが で きる.実 際,積

分(2.4)に

お い て,区

間 を2等

分 す れば

と な り,こ

れ を(2.3)と(2.4)に

よっ て 書 き 直 せ ば

(2.8)

とな る こ とが わ か る.こ 区 間 を2等

間Ik(4)に お け る 近 似 関 数 の 値 は,そ

の

分 し た 区 間 に お け る 近 似 関 数 の 値 の 平 均 値 に 等 しい こ と を表 して

い る(図2.5).言 Ik(5)を2つ

の 結 果 は,区

い 換 え れ ば,近 似 関数f4(x)をf5(x)か

ず つ 組 に し,両 区 間 に お け るf5(x)の

ら得 る に は,小

平 均 値 を と っ てf4(x)の

とす れ ば よい.

図2.5 

レベ ル4と5の

近 似 関 数 の 部 分 の 拡 大.

区間 値

2.3  Haarの

ウ ェー ヴ レッ ト

  2つ の レベ ル の 近 似 関 数 の 差 を そ れ ぞ れ

と しよ う.図2.6で

右 側 に プ ロ ッ ト して あ る の が そ れ で あ る.図

よ う に,近 似 関 数fj(x)は,レ は 近 似 の レベ ル を5か ル を4か

ら3に

ら4に

ベ ルjが

の左側 に示す

下 が る に つ れ て 粗 い近 似 に な る.g4(x)

下 げ た た め に 失 わ れ た部 分,g3(x)は

下 げ た た め に失 わ れ た 部 分 で あ る.こ

近 似 の レベ

れ らは 図2.7に

示す 関

数 を基 本 的 な 構 成 要 素 と して 作 られ る.こ の 基 本 ブ ロ ッ ク は 山 と谷 が 隣 り合 っ た 一 組 で,山

の 高 さ は谷 の 深 さ に等 しい.こ

の た めg4(x)やg3(x)はx軸

上 下 に ほ ぼ 対 称 的 な 形 を して い る.

図2.6 

レベ ル5と4お

よ び4と3の

近 似 関 数 の 差.

の

図2.7 

Haarの

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト.

 こ れ を式 で 表 す こ と を考 え よ う.構 成 要 素 と な る 関 数ψH(x)は

 (2.9)

そ れ以外

と 定 義 さ れ る.図2.7は と 呼 ば れ る.ス は 図2.7を

こ れ を プ ロ ッ ト し た も の で,Haarの

ケ ー リ ン グ 関 数 の 場 合 と 同 様 に,実

横 にa倍

に ス ケ ー ル した も の,ψH(x−b)は

し た も の で あ る か ら,こ

各 ブ ロ ッ ク の 上 下 方 向 の 大 き さ は〓

実 際,図2.5を

見 る と,〓

で〓

数a＞0と

は 図2.7の 〓 で あ る.式(2.8)よ

し てψH(x/a)

右 へbト

れ ら を 組 み 合 わ せ れ ばg4(x)やg3(x)が

  関 数g4(x)の

ウェ ー ヴ レッ ト

ラ ンス レー ト 構 成 で き る.

に 等 しい.

の 平 均 値 で あ る か ら,こ 形 を し て い て,山 り こ れ は〓

の 高 さ,あ

の部 分

る い は谷 の 深 さ は

に 等 し い.し

た が って

(2.10)

と な る こ とが わ か る.

2.4  分 解 と 再 構 成   以 上 の こ と を 一 般 化 し て 次 の よ う に ま と め る こ と が で き る.い ス ケ ー リ ン グ 関 数 φHに

ま,Haarの

よって

(2.11) と書 け る レベ ルj∈Zの

関 数 が あ る とす る.言

られ て い る とす る.{ck(j)}は 列 で あ る.こ

い 換 え れ ば,数

無 限 数 列 で も よい が,応

の 数 列 か ら レベ ルj−1の

列{ck(j)}が 知

用 上 は ふ つ う有 限 個 の 数

数列 を

(2.12) の よ う に 求 め れ ば,関

数fjは

(2.13) と一 意 的 に レベ ルj−1の

関 数 の和 に分 解 で き る.こ

こ でgj(x)は

次 の式 で与

え ら れ る.

(2.14) 式(2.12)は,(2.13)の 計 算 す る 式 で,分

分 解 を行 う の に使 わ れ る係 数 を そ れ ぞ れ のkに

ついて

解 ア ル ゴ リズ ム と 呼 ば れ る.

  逆 にfj−1とgj−1が

与 え ら れ れ ば,(2.13)か

き係 数 を 求 め る式 は,(2.12)を

らfjを

再 構 成 で き る.こ

のと

逆 に 解 い て 得 ら れ る 次 の 式 で あ る.

(2.15) こ れ は 再 構 成 ア ル ゴ リ ズ ム と呼 ば れ る.   レベ ルjの

関 数fjの

解 像 度 は2jで

ル を 下 げ る と,解 像 度 は 半 分 に な る.こ

あ る.分 解(2.13)に

よ っ てfjの

れ を次 々繰 り返 せ ば,fjの

レベ

レベ ル は

1つ ず つ 下 が り,解 像 度 は そ の た び に 半 分 に な る(図2.6参 {fj}j∈Zは 解 像 度 の 階 層 構 造 を持 つ が,こ

照).こ

の よ うに

れ を多 重 解 像 度 解 析 とい う.次 の 節

で は,多 重 解 像 度 解 析 は ス ケ ー リ ング 関 数 の 空 間 の 階層 構造 で あ る こ と を見 る.   多 重 解 像 度 解 析 の 基 礎 に な る 関係 式(2.12)ま 関 数 φHと ウ ェ ー ヴ レ ッ トψHの そ れ を見 る た め に 式(2.13)を

た は(2.15)は,ス

ケ ー リング

満 た す 関 係 式 と して 表 現 す る こ と も で きる.

次 の よ う に 書 き換 え て み よ う.ま ず 左 辺 を(2.11)

の よ う に書 き 直 し,和 を指 標 の偶 数 項 と奇 数 項 の 和 に分 け,そ

れ ぞれ の係数 を

(2.15)に よ っ て書 き換 え る.

  一 方,(2.13)の

右 辺 は 直 接 レ ベ ルj−1の(2.11)と(2.14)で

書 け る か ら,

次 の 等 式 が 得 ら れ る.

こ こ で〓

を改 め てxと

置 き,〓

を含 む項 を比 較 す れ ば

(2.16) (2.17) を 得 る.こ

の 式 をHaarの

こ れ を 図 式 的 に 示 す.ま

関 数 の 満 た す ト ゥー ・ス ケ ー ル 関 係 と い う.図2.8に た,分

解 ア ル ゴ リ ズ ム(2.12)は,こ

れ らの 式 を右 辺

の量 に つ い て 解 い た 式

(2.18) か ら導 くこ と が で き る.

図2.8 

2.5 

Haarの

関 数 の 満 た す ト ゥー

・ス ケ ー ル 関 係.

ス ケ ー リ ン グ 関 数 と ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 関 係

  一 般 に ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(two‐scale

relation)

(2.19) を 満 た す 関 数 φ を ス ケ ー リ ン グ 関 数(scaling は ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列(two‐scale は こ れ に よ っ て 決 ま る.{pk}が 限 項 の 和 と な る.Haarの

function)と

sequence)と

い う.数

呼 ば れ,ス

ケ ー リ ング 関 数 φ

有 限 数 列 で あ れ ば,式(2.19)の

ス ケ ー リ ン グ 関 数 φHは0で 照).

  レベ ルjの

の 張 る 空 間,つ

ス ケ ー リ ン グ 関 数〓

右辺 の和 は有

な いpkがp0=p1=1

と い う 最 も 簡 単 な 場 合 に 相 当 す る(式(2.16)参

〓, の 線 型 結 合 で 表 さ れ る 関 数 の 空 間 をVjと

列{pk}k∈Z

ま り

す る.式(2.11)に

よれ ば

fj∈Vjで

あ る.ト

ゥー ・ス ケ ー ル 関係 でxを2jxと

置 き換 え れ ば φ(2jx)=

〓と な る か ら,こ れ は〓,つ 意 味 す る.こ

ま りVj⊂Vj+1を

う して ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ が 与 え ら れ る と,そ

れ に 対 応 して 関

数空 間の 階層構 造

が 決 ま る.こ

れ をス ケー リング関数 φ に よって生 成 され る多 重解像 度解 析

と

い う.   一 方,マ

ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト(mother

に よ っ て 与 え ら れ る.こ

の 場 合,数

え る こ とが で き る.{qk}が ベ ルjの

あ る.分

列{qk}が

ウ ェ ー ヴ レ ッ トを 定 義 す る と考

ど の よ うに して 決 ま る か は,以 下 の 節 で 考 え る.レ

関 数{ψ(2jx−k)k

gj∈Wjで

wavelet)は

∈Zの 張 る 空 間 をWjと

す れ ば,式(2.14)か

解 の 式(2.13)は〓

レ ッ トの 属 す る 空 間 はVjか

らVj-1を

と 書 け る.ウ

ら ェー ヴ

差 し引 い た 余 り,つ ま りVjのVj-1に

関 す る補 空 間 で あ る.   式(2.13)に

お い て,fj=fj-1+gj-1の

右 辺 にfj-1=fj-2+gj-2を

代 入

し,こ れ を再 帰 的 に 繰 り返 す こ と に よ り,fjは

の よ うなgjの れ る.し

和 に書 け る.任 意 の 関 数fはjを

た が っ てfj−lを 別 に して,関

十 分 大 き く した 極 限 と考 え ら

数fはgjの

和,つ

ま りウェ ー ヴ レッ

トの 和 と して 表 す こ とが で き る.

gj(x)は

関 数f(x)の

解 像 度2jの

成 分 を表 す.f(x)は

につ い て足 し合 わ せ た もの で,gj(x)は 線 型 結 合 で 表 さ れ る と い う2重 ト逆 変 換(1.2)に メ ー タbと

そ れ ぞ れ レベ ルjの

和 の 構 造 に な っ て い る.こ

お け る ス ケ ー ル ・パ ラ メー タaと

の 重 積 分 に 対 応 す る.

こ れ をす べ て の レベ ルj ウ ェ ー ヴ レ ッ トの れ は ウェ ー ヴ レ ッ

トラ ンス レー シ ョ ン ・パ ラ

  一 般 に 知 ら れ て い る ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 多 くは,ス

ケ ー リ ン グ 関 数 を構 成 す る

こ と に よ っ て 作 ら れ る.そ の 最 も基 礎 に な る の は ト ゥー ・ス ケ ー ル 関 係(2.19) で あ る.一

度 ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 が 決 ま る と,こ れ に対 応 す る 多 重 解 像 度 解

析 が 決 ま り,ウ ェ ー ヴ レ ッ ト も決 ま る.分 べ て 決 ま る の で あ る.3章

解 ・再 構 成 の ア ル ゴ リズ ム な ど もす

で は ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 を出 発 点 と して,ど

のよ

う に多 重 解 像 度 解 析 の 構 造 が 決 ま り,ア ル ゴ リズ ム が 導 か れ る か を 調 べ る.い わ ば この 章 と は 逆 に 道 を た ど るの で あ る.実 し,ス ケ ー リ ン グ 関 数 を決 定 す る の は4章

際 に ト ゥー ・ス ケ ー ル数 列 を構 成 以 降 で 行 う.

3章  ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係

  ス ケ ー リ ン グ 関 数 は トゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 を満 た す.ト ケ ー ル 関 係 は 多 重 解 像 度 解 析 を 生 成 す る.つ 数 は レベ ルjで Vj ⊂Vj+1と

番 号 付 け ら れ る 空 間Vjを

ま り,ス ケ ー リ ング 関

定 義 す る が,こ

い う 関 係 に よ っ て 階 層 構 造 を作 る.Vj+1か

し引 い た残 りの空 間Wjと

ゥー ・ス

の空 間 が らVjを

差

して ウェ ー ヴ レ ッ トの 空 間 が 作 られ る.こ

う して 多 重 解 像 度 解 析 の 構 造 はす べ て ト ゥー ・ス ケ ー ル 関 係 か ら決 ま る.具 体 的 に は,ウ ェ ー ヴ レ ッ トの定 義 や 分 解 ・再 構 成 な ど の ア ル ゴ リ ズ ム は ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 か ら導 か れ る.

3.1 

コ ン パ ク ト ・サ ポ ー ト

  2章 の ポ イ ン トを や や 一 般 的 に ま と め る と,お

よそ 以 下 の よ う に な る.ス

ケ ー リ ン グ 関 数 φ は 次 の ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 を 満 た す.

(3.1) ま た,マ

ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トψ

は 次 の ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 に よ っ て 決 ま る.

(3.2) ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ が 与 え ら れ る と,そ {φ(2jx−k)}k∈Z,の

張 る 空 間Vjが

れ ぞ れ の レ ベ ルj∈Zに

決 ま る.任

意 の 関 数fj∈Vjは

つい て 次 の形 に表

す こ と が で き る.

(3.3) ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 か らVj⊂Vj+1で

あ る.ま

レ ッ トψ が 与 え ら れ る とψ(2jx−k)の gj∈Wjは

た φ に対 応 す る ウ ェ ー ヴ

張 る 空 間Wjが

決 ま る.任

意 の 関数

次 の 形 に表 す こ とが で きる.

(3.4) Vj =Vj−1〓Wj−1が

成 り 立 つ.言

い 換 え れ ば,fjは

次 の よ う に一 意 的 に分 解

で き る.

(3.5)   2章

で はHaarの

関 数 に つ い て こ れ ら の こ と を 具 体 的 に 見 て き た.し

ア ル ゴ リ ズ ム(2.12),(2.15)な

ど はHaarの

般 の 場 合 に は も っ と複 雑 な 式 に な る.2.4節

か し,

関 数 に つ い て 書 か れ た も の で,一 で 指 摘 し た よ う に,そ

式 が す べ て ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 か ら 導 か れ る こ と が 重 要 で あ る.こ

の具 体 的 な の 章 で は,

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 を 元 に し て 導 か れ る 関 係 式 に つ い て 調 べ る こ と に す る. ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{pk},{qk}は と す る.

以 下 の 章 で 決 定 さ れ る が,こ

こで は既 知

  関 数f(x)の

値 が0で

で 表 す.suppfが う.以

な い 区 間 をfの

下 の 節 で は,主

で あ る と き,ス

の 節 で は,ト

求 め よ う(図3.1).ト

φ(2x)を

右 へk/2平

位 置 す る の は φ(2x)で,こ

有 限数 列

た,最

す る.suppφ=[a,b]

ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(3.1)の

行 移 動 し た も の で あ る.し

れ が0で

も 右 に 位 置 す る の は φ(2x−L)で,こ

れ が0で

と き で あ る.こ

右 辺 の サ ポ ー ト は[a/2,(b+L)/2】

う し て,ト

で,こ

右 辺 の

た が っ て 最 も左 に

な い の は 少 な く と もx∈[a/2,b/2]の

な く と もx∈[(a+L)/2,(b+L)/2]の

[a,b]と

ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{pk}が

な い 要 素 をpk,k=0,…,L,と

と 置 い てaとbを

ル 関 係(3.1)の

い い,suppf

ケ ー リ ン グ 関 数 φ の サ ポ ー ト は コ ン パ ク ト で あ る こ と を 示 す.

  数 列{pk}の0で

で あ る.ま

た は 台)と

ポ ー トは コ ン パ ク トで あ る と い

と して コ ンパ ク トな サ ポ ー トを持 つ ス ケ ー リ ング 関 数 と

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を 考 え る.こ

φ(2x−k)は

サ ポ ー ト(ま

有 限 の 区 間 で あ る と き,サ

とき

ない の は少 ゥ ー ・ス ケ ー

れが左 辺 のサ ポ ー ト

一 致 す る こ と か ら,

で あ る.こ

れ を 解 け ばa=0,b=Lが

得 ら れ る.こ

う して

(3.6) が 得 ら れ た.

図3.1 

有 限 数 列{pk}に

  ウ ェ ー ヴ レ ッ ト に つ い て は,{qk}の0で す る.式(3.2)の

よ っ て 決 ま る φ(x)の サ ポ ー ト

な い 要 素 をqk,k=M,…,N,と

右 辺 の 和 に お い て 最 も 左 に あ る の は φ(2x−M)で,そ

のサ

ポ ー ト の 左 端 は2x−M=0で

決 ま るxの

に あ る の は φ(2x−N)で,そ 値,つ

値,つ

ま りM/2で

ま り(N+L)/2で

の サ ポ ー ト の 右 端 は2x−N=Lで あ る.よ

あ る.最

も右

決 ま るxの

って

(3.7) で あ る こ とが わ か る.

3.2 

マ ル チ

・ス ケ ー ル 関 係

  ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 か ら,こ こ と が で き る.ま

ず,ト

ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(3

と な る こ と に注 意 す る.こ を行 い,和

れ を 一 般 化 し た マ ル チ ・ス ケ ー ル 関 係 を 導 く

の と きkに

の 順 を 入 れ 換 え た.い

.1)を2回

続 け て適用 すれ ば

つ い て の 和 はk→k−2lな

る 置 き換 え

まlに つ い て の 和 を

と置 け ば,

と書 くこ とが で き る.こ の 右 辺 に 再 び(3.1)を

適 用 す れ ば,φ(x)を

φ(23x−k)

の 和 で 表 す こ とが で き よ う.   一 般 にpk(j),k∈Z,を

(3.8) に よ っ て再 帰 的 に 定 義 す れ ば,

(3.9)

と書 け る.こ

れ は ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ の 満 た す マ ル チ ・ス ケ ー ル 関 係 で あ る.

 ト ゥー ・ス ケ ー ル 関 係 の 直 接 の 応 用 と して,整

数 点 に お け る φ の 値 か ら半

整 数 点 に お け る φ の値 が 得 ら れ る こ と を 示 そ う.式(3.1)に n∈Z,と

お い てx=n/2,

置 け ば,

(3.10) と な る が,こ

の 右 辺 は 整 数 点x=n∈Zに

した が っ て,整

数 点 に お け る φ の 値 が わ か っ て い る と,こ

す る こ と に よ っ て 半 整 数 点x=n/2に   さ ら に,式(3.1)に

か ら,x=n/4に 係(3.9)に

お け る φ(x)の 値 に よ っ て 決 ま る. れ ら を 右 辺 に代 入

お け る φ(x)の 値 が 決 ま る の で あ る.

お い てx=n/4,n∈Z,と

置 い て 得 ら れ る式

お け る φ の 値 が 求 め ら れ る.一 お い てx=n/2j,n,j∈Z,j＞0,と

般 に,マ

ル チ ・ス ケ ー ル 関

置 けば

(3.11) と な る が,右

辺 は 整 数 点 に お け る φ の 値 に よ っ て 決 ま り,こ れ か らす べ て の

2進 分 点n/2jに

お け る φ の 値 が 求 め られ る.図3.2に

グ ラ フ の 詳 細 が 次 第 に 求 め ら れ る様 子 を示 す.こ グ 関 数 はm=4のBス

この 方 法 に よ っ て φ の

こ に使 わ れ て い る ス ケ ー リ ン

プ ラ イ ン に基 づ く もの で あ るが,そ

れ につ い て は9章

で 詳 し く説 明 す る.

図3.2 

ス ケ ー リ ング 関 数 の 詳 細 な グ ラ フ を 得 る 過 程.

3.3  ス ケ ー リ ン グ 関 数 の 規 格 化   整 数 点 に お け る ス ケ ー リ ング 関 数 の 値,す の 重 要 な 役 割 を果 た す.す

で に 前 節 で は,2進

な わ ち φ(n),n∈Z,は

い くつ か

分 点x=n/2j,j,n∈Z,に

おけ

る φ の 値 が φ(n)か ら求 め られ る こ と を 見 た.ス の 条 件 は ふ つ う〓

と され る が,7章

ケー リング関 数 φ の 規格 化

に見 る よ う に ,こ れ か ら次 の 式 が

導 か れ る.

(3.12) こ の 節 で は,こ

の条件 は

(3.13) と 同等 で あ る こ と を示 す.   まず,ト

ゥ ー ・ス ケ ー ル数 列{pk}の

和 が 簡 単 な 関 係 式 を 満 た す こ と を示 そ

う.こ れ は次 の よ う に し て示 さ れ る.ト

ゥー ・ス ケ ー ル 関 係(3.1)の

両辺 を積

分 す る.

両 辺 を〓φdxで

割 れ ば 次 の 関 係 式 を得 る.

(3.14)   マ ル チ ・ス ケ ー ル 関 係(3

.9)か

ら は,ま

っ た く同 様 に

とな る か ら,こ れ よ り上 の 式 の 一 般 化 で あ る 次 の 式 を 得 る.

(3.15)  さ て,マ

ル チ ・ス ケ ー ル 関 係(3.9)に

で あ る が,和 す る とkに しい.し

Σ〓 つ い て の和 は〓

た が って上 の式 は

はkの

お い てx=m/2j,m∈Z

,と 置 く.

値 に よ らな い か ら Σnφ(n)と

だ け に つ い て 実 行 で き,(3.15)よ

書け る.

り2jに

等

と な る.こ

の 右 辺 はj→

こ う して(3.12)か

∞

の 極 限 で 積 分(3.12)に

ら(3.13)が

等 し い.

得 られ た.

  この 議 論 は 数 学 的 に厳 密 で は な い が,後

に7章

で は フ ー リエ 変 換 を 使 っ て,

直 交 ス ケ ー リ ン グ 関 数 につ い て 同 じ結 果 を導 く.

3.4  補 間画像 表示 アル ゴ リズム   レ ベ ルjの

関 数fj∈Vjは

一 般 に(3.3)の

x=n/2j,n,j∈Z,と

置 けば

が 得 ら れ るが,右

辺 は整 数 点x=nに

fjの2進

分 点x=n/2jに

が わ か る(図3.3参   しか し,fjの

形 に 表 す こ とが で き る.こ

の式 で

お け る φ の 値 に よ っ て決 ま り,こ れ か ら

お け る値 が 求 め ら れ る.た

と え ば,f0(n),n∈Z,

照). 詳 細 な グ ラ フ を描 くに は2進

あ る.そ れ に はfjに

分 点 を も っ と細 か く と る必 要 が

つ い て の マ ルチ ・ス ケ ー ル 関係 を導 け ば よ い.式(3.3)に

(3.1)を 適 用 す れ ば,

と な る こ と に 注 意 す る.こ

こ でlに

つ い て の和 を

(3.16) と置 け ば,

と書 く こ とが で きる.

 こ れ を 繰 り返 す こ と に よ り,一 般 に

(3.17) を 得 る.係

数ck(j+l),l〓1,は

次 の 式 か ら再 帰 的 に 求 め ら れ る .

(3.18) こ れ を 補 間 画 像 表 示 ア ル ゴ リ ズ ム(interpolatory

graphical

display

algorithm)

と い う.

  こ こ でx=n/2j+lと

置 い て 得 ら れ る 式 に よ り,f(n/2j+l)の

お け る φ の 値 か ら求 め る こ とが で き る.こ

う して,lを

数fj(x)の 詳 細 な グ ラ フ を描 くこ とが で き る.た とす れ ば,f0(n/4)が

求 め ら れ る(図3.3参

図3.3 

  関 数gj∈Wjに

値 を整 数点 に

十 分 大 き く と れ ば,関

と え ば,f0(x)に

お い てl=2

照).

関 数f0(n)(左)とf0(n/4)(右)の

グ ラ フ.

つ い て も 同 様 の 式 を 導 く こ と が で き る.式(3.4)に(3.2)を

適 用 す れ ば,

で あ る か ら,lに

つ い ての和 を

(3.19) と置 け ば,

と 書 け る.こ 式(3.1)を

こ で 右 辺 の 関 数 は ψ で な く φ で あ る こ と に 注 意 せ よ.こ

適 用 す れ ば,一

れに

般 型 と して

(3.20)

が 得 ら れ る.こ

こ で,係

数dk(j+l),l〓1,は

次 の 式 か ら 再 帰 的 に 求 め ら れ る.

(3.21)

  特 別 な 場 合 と し て,ck(1)=pkと は φ(x)に

対 応 し,補

帰 着 す る.同

様 に,dk(1)=qkと

に 対 応 す る か ら,こ で は こ の 方 法 でψ

置 け ば 式(3.3)は(3.1)と

な る.つ

ま りf1(x)

間 画 像 表 示 ア ル ゴ リ ズ ム(3.17),(3.18)は(3.8),(3.9)に 置 け ば 式(3.4)は(3.2)と

れ を 使 っ てψ(x)の

な る.g1(x)がψ(x)

詳 細 な グ ラ フ を 得 る こ と が で き る.4章

の グ ラ フ を 描 く.

3.5  分 解 ア ル ゴ リ ズ ム   レ ベ ルjの

関 数fj∈Vjを(3.5)の

る に は,{ck(j)}か れ る.こ

よ う に レベ ルj−1の

ら{ck(j−1)}と{dk(j−1)}を

関 数 の 和 に分 解 す

求 め る分 解 ア ル ゴ リズ ム が 用 い ら

の 節 で は 分 解 ア ル ゴ リ ズ ム を 導 く.

  φ(2x)と

φ(2x−1)はV1の

関 数 で,V1=V0〓W0で

あ る.し

れ ぞ れ φ(x−k)とψ(x−k),k∈Z,の

線 型 結 合 で 表 さ れ る.

Haarの

あ っ た.一

関 数 の 場 合 は こ の 式 は(2.18)で

た が っ て,そ

般 に こ れ らの 式 は ま と め て

(3.22)

と 書 け る こ と に 注 意 し よ う.分 は,ψ

解 数 列(decomposition

sequence){gk}と{hk}

が 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 場 合 に は ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{pk}か

的 に 求 め ら れ る.こ

れ に つ い て は3.7節

で は 別 の 方 法 に よ っ て 求 め ら れ る.以

で 説 明 す る.直

ら直 接

交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト以 外

下 で は{gk}と{hk}は

既 知 と し て分 解

ア ル ゴ リ ズ ム を 導 く.   式(3.22)でx→2j-1xと

一 方(3

.5)に

置 き 換 え て,こ

れ を(3.3)の

右 辺 に代 入 す れ ば

よれば

で あ る か ら,こ

れ よ り次 の 式 を得 る.

(3.23) こ れ は 分 解 ア ル ゴ リ ズ ム(decomposition の(2,12)の

3.6 

algorithm)で,Haarの

関数 の場 合

一 般 化 で あ る.

再 構 成 ア ル ゴ リ ズ ム

  式(3.5)の

右 辺 か ら 左 辺 を 求 め る の は 再 構 成 で あ る.そ

リ ズ ム は,数

列{(ck(j-1)}と{dk(j-1)}か

ら{ck(j)}を

れ に使 わ れ る ア ル ゴ

求 め る も の で,以

下の よう

に し て 求 め ら れ る.   式(3.22)の と(3.2)を

各 項 を 式(3.3)と(3.4)の 適 用 す れば

形 で 表 し,ト

ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(3.1)

を 得 る.し

たが っ て

(3.24) を 得 る.こ

れ が 再 構 成 ア ル ゴ リ ズ ム(recontruction

のdl(j-1)=0な

る 特 別 な 場 合 は,上

algorithm)で

あ る.す

べ て

の 式 は 補 間 画 像 表 示 ア ル ゴ リ ズ ム(3.16)

と な る こ と に 注 意 さ れ た い.

3.7  直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト   2つ

の 関 数f,g∈L2(R)の

内積

〈g￨f〉は 次 の よ う に 定 義 さ れ る.

(3.25) √〈 f￨f〉 をfの

ノ ル ム とい い〓

で 表 す.

(3.26) 〈g￨f〉=0の

と きfとgは

互 い に 直 交(orthogonal)で

あ る と い う.ま

た,次

の シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式 は 重 要 な 式 で あ る.

(3.27)   ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ や ウ ェ ー ヴ レ ッ トψ ン ス レ ー ト φ(x−n),n∈Z,の

に つ い て は,φ(x)と

直 交 性 を 考 え る.φ(x)と

そ の 整 数 トラ

φ(x−n)の

内積 は

〈 φ￨φ(･−n)〉 と 書 か れ る.

(3.28) 直交 関係

(3.29)

を 満 た す ス ケ ー リ ン グ 関 数 を 直 交 ス ケ ー リ ン グ 関 数(orthogonal  )と い う.同

scaling

function

様 に,

(3.30) を 満 た す ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト(orthogonal 

wavelet)と

い う.

ま た,

(3.31) が 成 り立 つ と き,φ

と ψ は 互 い に 直 交 して い る とい う.

  本 書 で は直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト とスプ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レッ トを扱 う.直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ トで は い くつ か の 式 が 直 交 性 に よ っ て 簡 単 に求 め ら れ る.ス

プライン ・

ウ ェ ー ヴ レ ッ トは直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ トで は な く,し た が っ て 直 交 性 を使 う代 わ りに 別 の 手 法 が 必 要 と な る.   こ こ で は 直 交 ス ケ ー リ ング 関 数 と ウ ェ ー ヴ レ ッ ト につ い て,式(3.22)に け る 分 解 数 列{9k}と{hk}を   式(3.22)に

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{pk}と{qk}で

φ(x)を 掛 け て 積 分 す る.

こ の 式 の 左 辺 は ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(3.1)と

直 交 性(3

.29)に

な る.

左辺

一方

,右

お

表 そ う.

辺 は 直 交 性(3.29),(3.31)に

右辺

よ り次 の よ う に な る.

よ り次 の よ う に

こ れ らが 等 しい こ と か ら次 の 結 果 を得 る .

(3.32)  同 様 に,式(3.22)に

ψ(x)を 掛 け て積 分 す る こ と に よ り,次 の 結 果 を得 る.

(3.33)   同様 に,直 4章 で 行 う.

交 性 を 使 え ば{pk}か

ら{qk}を

決 め る こ とが で き る が,こ

れは

4章   Daubechiesの

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

  ス ケ ー リン グ 関 数 が そ れ 自 身 の 整 数 ト ラ ン ス レー ト と直 交 で あ る と き,こ の ス ケ ー リ ング 関 数 は 直 交 で あ る と い う.直 交 ス ケ ー リ ング 関 数 に よ っ て 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ トを 作 る こ とが で き る.ウ に モ ー メ ン トの 条 件 を 課 す こ と に よ り,正 整 数Nに

ェー ヴ レ ッ ト

よ って 番 号 付 け ら

れ る一 連 の 直 交 ウ ェー ヴ レ ッ トを構 成 す る こ とが で きる.Daubechies は ウ ェ ー ヴ レ ッ トの0,1,2,...,N−1次 で あ る と して,2N個 を 構 成 した.こ

の0で

な いpkに

の 章 で はN=2の

と ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を構 成 す る.こ

の モ ー メ ン トが す べ て0 よって直交 スケ ー リング関数

場 合 に つ い て,ス

ケ ー リング関数

れ は 最 小 の サ ポ ー ト を持 つ 連 続 な 直

交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と して 知 ら れ て い る もの で あ る.

4.1  Daubechiesの

  Daubechiesの

関数 の 性 質

ス ケ ー リ ン グ 関 数 とマ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トはN=2,3,...,

に よっ て 番 号 付 け ら れ る 一 連 の 関 数 で,Nφ あ る.こ

とNψ

の よ う に表 さ れ る習 わ しで

の 章 で は最 小 の サ ポ ー トを持 つN=2の

単 にす る た め に,ス ケ ー リ ン グ 関 数2φ(x)と 特 に必 要 で な い と き は単 に φ(x)とψ(x)で

関 数 を構 成 す る.記 号 を 簡

マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト2ψ(x)は 表 す こ と に す る.

  ス ケ ー リ ング 関 数 φ は多 重 解 像 度 解 析 を生 成 し,ウ 直 交 補 空 間 を張 る とい うの が,こ 節 で は,こ

ェ ー ヴ レ ッ トψ は そ の

れ らの 関 数 の 持 つ 基 本 的 な性 質 で あ る.こ

れ を φ とψ の 満 たす べ き条 件 と して 定 式 化 す る.φ

の

もψ も実 関 数

で あ る か ら φ は 単 に φ な ど と書 くこ と に す る.   まず,ス

ケ ー リ ング 関 数 φ(x)は ト ゥー ・ス ケ ー ル 関係

(4.1)

を 満 た さ な け れ ば な ら な い.Daubechies[DB2]は

有 限 個 の0で

な いpkか

ら,

一 連 の 連 続 で コ ン パ ク ト ・サ ポ ー ト の ス ケ ー リ ン グ 関 数 を 構 成 で き る こ と を 示 し た.こ る.こ

の う ち 最 小 の サ ポ ー ト を 持 つ も の は4つ

の0で

な いpkか

の 章 で は こ の 関 数 φ を構 成 す る.p0,p1,p2,p3が0で

他 のpkは0に

等 し い と す る.ウ

ェ ー ヴ レ ッ トψ(x)も

ら作 ら れ

な い と し,そ

の

同様 の関係

(4.2)

に よ っ て 定 義 さ れ る.0で す る.こ

な いqkも4つ

の 選 択 は 便 宜 的 な も の で,一

あ る が,こ

れ をq−2,q−1,q0,q1と

般 に は 任 意 の 連 続 す る4つ

のqkを

とる

こ と が で き る.   ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ(x)と

ウ ェ ー ヴ レ ッ トψ(x)は

次 の 直 交 関 係 を 満 た す.

(4.3) (4.4) (4.5)

こ こ で,l=mの

と き(4.3)は

と な る こ と に注 意 す る.7章

で 見 る よ う に,こ

れ か ら φ は次 の式 を満 たす こ

とが 示 さ れ る.

(4.6) 以 下 で は こ れ を 使 う こ と に す る.一

方,ウ

ェ ー ヴ レ ッ トψ(x)は

(4.7) を満 た す とす る.こ れ は ウ ェ ー ヴ レ ッ トが 正 か ら負 へ 変 動 す る 性 質 を持 つ こ と, 言 い換 え れ ば振 動 的 な 性 質 を 持 つ こ と を意 味 す る.1.2節 れ は ア ド ミ ツ シブ ル 条 件(1.3)の   以 上 の 条 件 は す べ てHaarの 数 と は な ら な い.そ

で 述 べ た よ う に,こ

代 わ りで もあ る. 場 合 と 同様 で,こ

れ だ け で は 必 ず し も連 続 な 関

こ で ウ ェ ー ヴ レ ッ ト に対 して は,さ

ら にモ ー メ ン トが0と

な る条 件

(4.8) を課 す る.実

は こ れ が 連 続 な 関 数 を得 る た め に本 質 的 な役 割 を果 た す が ,こ の

こ と につ い て は後 に4.4節

4.2 

で 検 討 す る.

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列 の 決 定

  ス ケ ー リ ング 関 数 φ とψ は ト ゥー ・ス ケ ー ル 数 列{pk},{qk}に る.こ の 節 で は0で な いpkとqkの 値 を 求 め よ う.   未 知 数 は4つ

のpkと4つ

で 得 られ た8個

の 式 か ら求 め る 問 題 に 見 え る が,実

で は な い.実 際,ウ

のqkで,計8個

あ る.こ

ら導 か れ る.し

の 式 はす べ て 独 立

の 関 係 式 は 一 意 的 で は な い.わ

を選 ぶ とい う立 場 を と る.

の 定 義 式(4.2)と

たが っ

未 知 数 の 個 数 よ り少 な く,解 は 一 意 的 に は 決 ま ら な い.実 て 表 され る が,そ

れ らの 数 値 を前 の 節

は8個

ェ ー ヴ レ ッ トψ の 直 交 性(4 .4)は,そ

ケ ー リ ング 関 数 φ の 直 交 性(4.3)か

よって決 ま

ス

,方 程 式 の個 数 は 際,qkはpkに

よっ

れ わ れ は 簡 単 な 関 係 式 の1つ

 qkとpkの

関 係 式 は 直 交 関 係(4.5)か

の 定 義 式(4.2)を(4.5)の

れ を 求 め る た め に,ψ

左 辺 に 代 入 して 積 分 す る.

右 辺 の 和 の うちl≠k+2mの l=k+2mの

ら得 られ る.こ

項 は 直 交 条 件(4.3)に

項 だ け が 残 り,∫￨φ(x)￨2dx≠0で

よ っ て0,し

たが っ て

あ る か ら(4.5)は

(4.9) と な る.こ

れ をm=0,m=−1に

で あ る.上

に 述 べ た よ う に,こ れ ら2つ

め る こ と は で きな い.そ

つ い て書 け ば

こ で,最

の 式 を 解 い て4つ

のqkを

一 意 的 に決

も 簡 単 と思 わ れ る解 を探 す こ と に し よ う.初

め の式 は

に よ っ て 満 足 さ れ る.こ

れ を使 っ て 第2の

に よ っ て 満 足 さ れ る.ま

とめて書 け ば

式は

(4.10) で あ る.以

後qkは(4.10)で

与 え ら れ る も の と す る.

  ま ず,ト

ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(4.1)か

ら4つ

のpkの

関 係 式 が 得 ら れ る.

(4.11)

こ れ は す で に 式(3.14)と

が 得 ら れ,∫

φ(x)dx≠0で

し て 得 ら れ て い る.同

あ る か ら(4.7)か

様 に(4.2)の

積 分か ら

ら

(4.12) と な る.   次 に,直

交 条 件(4.3)に

と な る が,右 が っ てl=k+2mの

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(4.1)を

辺 の 和 の う ちl≠k+2mの

代 入 し て 積 分 す れ ば,

項 は 直 交 条 件(4.3)に

項 だ け が 残 り,∫￨φ(x)￨2dx=1で

よ っ て0,し

た

あ る か ら 結 局(4.3)は

つ ま り

(4.13) と な る.m=0の

場 合 は後 で 考 え る こ と と し,m=1に

つい て書け ば

(4.14) で あ る.   最 後 に モ ー メ ン トの 条 件(4.8)は,

と な る が,第1項 か ら,第2項

は す で に 得 ら れ た(4.12)に

よ っ て0,∫

φ(x)dx≠0で

あ る

か ら

(4.15) を 得 る.   得 ら れ た4つ 求 め る 前 に,モ

の 式(4.11)−(4.15)を ー メ ン トの 条 件(4.8),つ

関 係 式 を 導 こ う.式(4.11)と(4.12)か

解 け ばpkが

求 め ら れ る.最

ま り(4.15)を

終 的 な値 を

考 慮 す る 前 に得 ら れ る

ら

(4.16) が 得 ら れ る.ま (4.14)を

た,こ

れ よ り(p0+p2)2+(p1+p3)2=2で

あ る が,こ

れ に

使 っ て

(4.17) が 得 ら れ る.こ

れ は(4.13)のm=0の

場 合 で あ る.こ

れ ら の 関 係 式 はpkの

具 体 的 な 数 値 に よ ら な い で 成 り 立 つ も の で あ る.   pkの

値 を 完 全 に 求 め る に は(4.15)が

が 得 ら れ る.こ

れ ら を(4.14)に

必 要 で あ る.こ

代 入す れ ば

れ と(4.16)か

ら

と な る が,こ

れ はp0に

(1±√3)/4で

あ る.こ

つ い て の2次 う して,一

方 程 式 で あ る か ら 簡 単 に 解 け,p0=

組 の 解 と して

(4.18) が 求 め られ た.   も う一 組 の 解 は 上 の 解 で√3の {pk}の

イ ンデ ッ ク スkの

符 号 を変 え た もの で あ るが,こ

順 を 逆 に した もの に な っ て い る.し

れは ち ょうど

た が っ て,対

応

す る ス ケ ー リ ング 関 数 φ(x)は 左 右 を 逆 に した もの φ(−x)に な る だ け で,本 質 的 に 異 な る 関 数 を導 か な い.以

降,こ

ち ら の 解 は 考 え な い こ と に す る.

  節 の 初 め に述 べ た よ うに,ウ ェー ヴ レ ッ トの 直 交 関係(4.4)は 数 の 直 交 性(4.3)か を(4.4)の

ら導 か れ る.こ

左 辺 に代 入 す れ ば

と な る が,(4.3)よ 2m+k=lの

り2m+k≠lの

項 だ け が 残 り,こ

れ は(4.10)と(4.13)に (4,4)が

4.3 

ス ケ ー リ ング 関

れ を示 そ う.ウ ェ ー ヴ レ ッ トの定 義 式(4.2)

項 は0に

な る.し

た が って和 に お い て

の 積 分 は Σkqkqk+2m,m∈Z,に

よ っ て∑kp1−kp1−k−2m=δm

比 例 す る.こ

,0に 等 し い.こ

う して

導 か れ た.

ス ケ ー リ ン グ 関 数

と ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 決 定

  ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{pk},k∈Z,の0で ら れ る.3.1節

の 結 果 か ら,φ

とψ

な い4つ

の 要 素 は(4.18)で

与 え

の サ ポ ー トは

(4.19)

(4.20) で 与 え ら れ る こ と が わ か る.さ 件(3.13)が

成 り 立 つ.こ

レ ッ トψ(x)を

ら に,φ(n),n∈Z,に

つ い て は規 格 化 の 条

れ ら の こ と か ら ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ(x)と

決 定 す る こ と が で き る.

ウ ェー ヴ

  そ の た め に,(4.18)と(4.19)を てx=0,1,2,3,と

置

考 慮 して ト ゥー

・ス ケ ー ル 関 係(4.1)に

お い

く と

(4.21)

と な る.p0≠0,p3≠0で こ と が わ か る.し

と書 け る.こ

あ る か ら,第1,4式 た が っ て,第2,3式

か ら φ(0)=φ(3)=0で

は行 列 の形 で

れ を 解 く前 に,こ の 式 が 解 を持 つ こ と を確 認 し よ う.そ の 条 件 は

係 数 と な る 行 列 の 行 列 式 が0と

な る こ と で あ る.実

は(4.16)に

な る.こ

よ っ て 確 か に0に

件(4.8)に

際,

れ は(4.15),つ

ま りモ ー メ ン ト の 条

は 無 関 係 に 成 り立 つ こ と に 注 意 し よ う.

  行 列 式 の 値 が0に る.し

あ る

な る と い う 結 果 は,2つ

の 式 が独 立 で な い こ とを意味 す

た が っ て ど ち ら か 一 方 を 解 け ば よ い.解

で よ い.第2の

式 は(4.6)で

あ る.こ

くべ き 方 程 式 は

れ を 解 い て(4.18)の

値 を代 入す れ ば

(4.22) を 得 る,整 の 値(4.18)が

数 点x=n,n∈Z,に わ か れ ば,3.4節

お け る φ(x)の

値 と,ト

ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列

の 補 間 画 像 表 示 ア ル ゴ リ ズ ム を 使 っ て φ(x)と

,

対 応 す る マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トψ(x)の 図4.2に

グ ラ フ を 描 く こ と が で き る.こ

れ を

示 す.

図4.2 

Daubechiesの2φ(x)と2ψ(x).

  2進 分 点2-jn,j,n∈Z,は

実 数 軸Rを

埋 め 尽 く さ な い か ら,φ(2-jn)の

値

だ け で は φ が 連 続 で あ る か ど うか わ か ら な い.φ

は 連 続 で あ る が,い

こ ろ で微 分 可 能 で な い こ と を 示 す こ と が で きる.そ

れ には関数 の値 を求め る と

い う直 接 的 な 方 法 で な く,数 学 的 な 解 析 が 必 要 で あ るが,そ

たると

の 議 論 は本 書 で は

行 わ な い.   ま た,3.3節

で 条 件 Σnφ(n)=1が

式(4.6)と

の と き φ は 連 続 で あ る こ と を 暗 に 使 っ て い る.言

同 値 で あ る こ と を 示 し た が,こ い 換 え れ ば,積

分(4.6)を

直接

計 算 に よっ て確 か め た わけ で は ない.同 様 に,φのノルム〓 を 直 接 計 算 す る こ と は で き な い.後

に7章

で,‖ φ‖2=1で

あ る こ とか ら式(4.6)

が 導 か れ る.

4.4 

  4.1節 が,こ

モ ー メ ン トの 条 件 と レ ギ ュ ラ リテ ィー

の 要 請 に 基 づ い て ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ と ウ ェ ー ヴ レ ッ トψ の と き モ ー メ ン トが0と

あ る と 述 べ た.こ   こ こ で は,モ

を導 い た

連 続 な 関 数 を 得 る の に重 要 で

の 事 実 を こ の 節 で 検 討 す る. ー メ ン トの 条 件 を 満 足 しな い 場 合 に φ と して ど ん な 関 数 が 得

ら れ る の か を 調 べ る.ト を 落 と し て,3つ

な る 条 件(4.8)が

ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列

の 式(4.11)-(4.14)か

.pk,k=0,1,2,3,を,条

ら 求 め る こ と に す る.も

合 方 程 式 の 個 数 が 未 知 数 の 個 数 よ り小 さ く,解 式 を 満 た す 解 の 例 を2つ

考 え る.

件(4.8) ち ろん この場

は 一 意 的 に 定 ま ら な い.3つ

の

 まず,次

の{pk}は3つ

の 式 を満 足 す る.

こ の 値 が 決 ま れ ば,4.3節

こ こ で φa(0)=φa(3)=0で 記 号 を 使 っ た.ま

の 方 法 に よ っ て φ(n) ,n∈Z,の

あ る .連

たqk=(−1)kp1-kと

が 求 め ら れ る.4.3節

値 が 求 め ら れ る.

続 な φ と 混 同 し な い よ う に,φaと す れ ば,対

い う

応 す る ウ ェ ー ヴ レ ッ トψa

の 方 法 で 求 め た こ れ ら の プ ロ ッ ト を 図4 .3に 示 す.こ

ら はx=n/26,n∈Z,に

れ

お け る 関 数 の 値 か ら得 られ た デ ー タ点 を線 分 で 結 ん

だ も の で あ る.

図4.3  連 続 で ない例 φa(x)とψa(x).  も う1つ

別 の 解 に次 の よ う な もの が あ る.

対 応 す る φb(n),n∈Z,の

値 は 次 の よ う に な る.

こ の 解 か ら 得 ら れ る ス ケ ー リ ン グ 関 数 φb(x)と ト を 図4.4に

示 す.図4.3と

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト ψb(x)の

同 様 の 方 法 で プ ロ ッ ト した もの で あ る .

プ ロ ッ

図4.4 

連 続 で な い例 φb(x)とψb(x).

  これ らの 図 を証 明 と見 な す こ とは で き な い が,得 とは 十 分 想 像 が つ く.実 際,ト ル チ ・ス ケ ー ル 関 係(3.9)を

られた関数 が連続 で な い こ

ゥー ・ス ケ ー ル 関 係(4.1)を

導 く手 続 き は,部

分(ト

辺 の 各 項)に 全 体(左 辺)を 入 れ 込 む 自 己 相 似 性,つ

ゥー ・ス ケ ー ル 関 係 の 右 ま りフ ラ ク タ ル 的 な 構 造

を持 っ て い る.部 分 と全 体 の 整 合 性 が よ くなけ れ ば,カ る.Daubechiesが

再 帰 的 に使 っ て マ

オス的 な関数 が得 られ

構 成 した 一 連 の ス ケ ー リ ング 関 数 は,サ

ポ ー トが 大 き い も

の ほ ど連 続 性 は よ く,微 分 可 能 な 回 数 も増 え て よ り滑 ら か と な る.滑 度 を レ ギ ュ ラ リテ ィー(regularity)と 件(4.8)は,部 た して い る.

い う が,モ

ー メ ン トが0に

らか な 程

な る とい う条

分 と全 体 の 整 合 性 を と っ て レ ギ ュ ラ リテ ィー を 与 え る 役 割 を 果

5章

 信 号の基底 関数展 開 と補 間

  多 重 解 像 度 解 析 を使 っ て 信 号 の 時 間 周 波 数 解 析 を行 う場 合,信 号 を ス ケ ー リ ング 関 数 の 線 型 結 合 で 表 す こ とが 出発 点 と な る.そ

れ に は,

ス ケ ー リ ン グ 関 数 を 基 底 関 数 と して 信 号 を展 開 す る 方 法 と,信 号 を 一 定 の 時 間 間 隔 で サ ン プ ル した 値 を補 間 す る 方 法 の2通 の 章 で は,こ 2階(1次)のBス

れ ら の 方 法 の 説 明 を与 え,そ

り あ る .こ

れ ぞ れ の 特 徴 を 示 す.特

に

プ ラ イ ン に よ る ス ケ ー リ ング 関 数 を使 っ て,補

間

法 の 有 効 性 を考 え る.

5.1  関 数 の展 開  多重解 像 度解析 を利用 して信号 の時 間周波 数解析 を行 うには,ま ず信 号f(x) を レベ ルjの

関数

こ れ に はf(x)か す と き に〓

〓で 近 似 す る こ とが 出 発 点 で あ る.

ら数 列

〓を求 め れ ば よ い.こ

の 節 で は,φ が 直 交 系 を 成

を 求 め る 手 順 を示 す.

 ス ケ ー リ ング 関 数 φ が 直 交 関 係 を 満 た す とす る.

Daubechiesの

ス ケ ー リ ン グ 関 数 は こ の 代 表 的 な 例 で あ る.こ

のス ケー リング

関 数 を使 っ て

を定 義 す る.レ ベ ルjを はVjの

固定 して{φj,k}k∈Zの 張 る 空 間 をVjと

す れ ば,{φj,k}

正 規 直 交 基 底 を な す.

  こ の 関 係 を使 っ て,レ で き る.ま

ず

と 置 き,両

辺 と φj,k(x)と

こ こ でfjをfに

ベ ルjの

関 数fj(x)を

次 の よ う に して 求 め る こ とが

の 内 積 を と る.

置 き換 え る.

(5.1) こ う して

(5.2) が 得 ら れ る.〈 φj,k￨f〉はfのVjへ てfの

近 似 関 数fjが

得 られ る.

の 射 影 で あ る か ら,置

き換 え(5.1)に

よっ

 こ の 結 果 は,

〓と 置 け ば,式(5.1)と(5.2)は

次 の よ う な形 に書

き直 す こ とが で き る.

(5.3) (5.4) これ はfjの

基 底 関 数{φ(・−k)}k∈Zに

れ な い の で,実

よる 展 開 で あ る.こ

の 式 に は2j/2が

現

際 の 計 算 に 用 い る に は 都 合 が よ い.

  こ れ で 信 号fか

ら〓

を 求 め る 方 法 は わ か っ た が,(5.4)の

行 す る こ と は 必 ず し も 簡 単 で は な い.実

際,Daubechiesの

右辺 の積 分 を実 ス ケー リング関数

2φ(x)に つ い て 積 分

の 値 を求 め る に は,4章 Z,に つ い て2φ(x)の

の 知 識 だ け で は十 分 で な い.た 値 を求 め る こ と は で き た が,こ

と え ば,x=2jn,j,n∈ れ で は積 分 の 値 を求 め る

こ とが で き な い.   後 に7章

で,離

散 フ ー リエ 変 換 を使 っ てDaubechiesの

fか ら係 数{〓}を

求 め る方 法 を述 べ る が,こ

関 数 の 場 合 に,信 号

こ で は任 意 のxに

の 値 を簡 単 に 求 め る こ とが で き な い こ と に 注 意 して お こ う.た

つ い て2φ(x) と え ば2φ(√2)

の 値 を知 る の は 簡 単 で な い.

5.2 

2階Bス

プ ラ イ ン

  わ れ わ れ は2章

でHaarの

関 数 を使 っ て ウ ェー ヴ レッ トの 基 本 を学 ん だ.Haar

の 関 数 の 最 大 の 欠 点 は 連 続 で な い こ とで あ る か ら,そ 交 なDaubechiesの    Daubechiesの 徴 を持 つ が,関 が っ て,任

の 後4章

で連 続 かつ 直

ス ケ ー リ ング 関 数 と マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トを 構 成 した. 関 数 は コ ンパ ク ト ・サ ポ ー ト,連 続 性,直

数 そ の もの は 複 雑 で,既

交 性 とい う著 しい特

知 の 関 数 で 表 す こ とは で き な い.し

た

意 の 変 数 の 値 に対 す る 関 数 の 値 を 容 易 に 求 め る こ とが で き な い し,

(5.4)に お い て{〓}を

求 め る積 分 の 計 算 も 困 難 で あ る.

  そ こで こ の 節 で は,関

数 そ の もの が 簡 単 な 関 数 を ス ケ ー リ ング 関 数 と して 採

用 す る とい う,別 の ア プ ロ ー チ を 試 み る こ と に しよ う.

 次 の よ うな 関 数 を考 え る.

 (5.5)

それ以 外 こ れ は2階Bス る 関 数 で,サ

で あ る.区

プ ラ イ ン と呼 ば れ,図5.1に

示 す よ う に 区 分 的 に直 線 か ら な

ポ ー トは

間 を 分 け て 考 え る必 要 は あ る が,こ

れ な ら ど ん なxの

値 につ いて

も 関 数 の 値 を簡 単 に 求 め る こ とが で き る.

図5.1 

  2階Bス

2階Bス

プ ラ イ ン.

プ ラ イ ン は 次 の よ う な ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 を 満 た す.

(5.6) ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{pk}は

次 の よ う で あ る.

(5.7) こ れ 以 外 の す べ て のpkは0で

あ る.関 数 そ の も の が 簡 単 で あ る か ら,図 か ら

こ れ を 導 く こ とが で き る で あ ろ う.も っ と正 確 な 導 き方 は 後 の9章 う して,N2は

ス ケ ー リ ン グ 関 数 で あ る こ とが わ か っ た.

  {N2(・−k)}k∈Zの

張 る 空 間 をV0と

は 互 い に独 立 で あ る.た され る.し

で 示 す.こ

す る.明

ら か に,異

な るkのN2(x−k)

と え ば 座 標 点(n,1)はN2(x−n+1)の

た が っ て,{N2(・−k)}k∈ZはV0の

  こ の 関 数 の 直 交 関 係 を調 べ よ う.定 義(5.5)か

基 底 関 数 と な る. ら

み に よって表

で あ る.ま

た,N2(x−1)は

区 間[1,2)で

で あ る.∫N2(x)N2(x+1)dxに こ う してN2(x)は

はx−1に

等 し い か ら,

つ い て も同様 に して1/6で

あ る こ とが わ か る.

次 の 直 交 関 係 を満 た す こ とが わ か っ た.

(5.8) こ の 関 数 は 整 数 ト ラ ンス レー トが 互 い に 直 交 しな い の で あ る.

5.3  双 対 基 底   ス ケ ー リ ング 関 数 が 求 め ら れ た ら,次 の 問 題 は マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トを 構 成 す る こ と,そ

して 信 号f(x)をfj(x)=Σk〓N2(2jx−k)で

の 係 数 列{〓}を

求 め る 手 順 を 得 る こ とで あ る.し

{N2(・−k)}k∈Zは ら〓

直 交 基 底 で は な い.し

近 似 す る とき か し(5.8)が

た が っ て,式(5.4)を

示 す よ う に,

使 っ て信 号fか

を求 め る こ と は で き な い.

  直 交 で な い 基 底 に つ い て は双 対 基 底(dual

basis)を 作 る こ と が で き る.N2

に 双 対 な 基 底 は 次 の 関 数 か ら作 ら れ る.

(5.9) こ の 定 義 の 由 来 の 説 明 は9章

図5.2 

  関 数N2(x)がN2(x)に

2階Bス

に譲 る.図5.2に

これ を示 す.

プ ラ イ ン に 双 対 な 関 数N2(x).

双 対 な 基 底 と な る こ と は,次

の よ う な 直 交 関 係 を満

た す こ と で あ る.

(5.10)

こ れ は 次 の よ う に 示 さ れ る.ま

ま た,n〓1の

n〓− 1の

ずn=0の

と き は,

と き は,

と き も 同 様 の 方 法 で0で

あ る こ とが 示 さ れ る.こ

う し て(5.10)が

証 明 さ れ た.

  信 号fを

次 の よ う にVjの

基 底 関 数 で 展 開 で き る.こ

の と き,係

数〓

の

計 算 に 双 対 基 底 を使 う の で あ る.

(5.11) (5.12)   実 際 の 計 算 に は 式(5.12)を

少 し変 形 した 式 が 便 利 で あ る.実

の イ ンデ ッ クス の 符 号 を 変 え た もの を 適 用 す れ ば

際(5.9)で

和

と な る か ら,式(5.12)は

次 の よ う に書 け る こ と に注 意 し よ う.

(5.13)  一 例 と し てj=0の

場合 を考 え よ う

.係

数 列{〓}は

式(5.5)よ

り次 の よ

う に な る.

  図5.3にf(x)とf0(x)の

例 を示 す.f0(x)はf(x)の

曲 線 を縫 う よ う な 折

れ 線 で あ る こ とが わ か る.

図5.3 

5.4  補

関 数f(x)(グ

線).

間

{N2(2j・−k)}k∈Zの とす る.任

レー)と 展 開 に よ る 近 似f0(x)(実

張 る空 間Vjの

意 の 関 数f0∈V0は

関 数 の性 質 を調 べ よ う.簡 単 の た めj=0

図5.1に

示 す 関 数 を整 数kト

ラ ンス レ ー ト し

た もの を並 べ た もの で あ る.図5.4に

そ の例 を 示 す が,x=n∈Zに

た 点 を結 ぶ 直 線 の 集 ま り,つ ま り折 れ 線 か ら成 っ て い る.xの 点 を節 点(knot)と   い ま,簡

整 数 値 にお け る

い う.

単 な 例 と し て{〓},k=0,…,4,が{1.2,1.8,1.4,2.4,0.8}と

ら れ て い る と し よ う.図5.4は あ る.こ

与 え られ

のf0(x)はx=1,…,5,の

わ か る.つ

と き に 値y=1.2,…,0.8,と

ま りf0(k+1)=〓

図5.4 

与 え

こ の 場 合 の 関 数f0(x)=〓N2(x−k)で な る こ とが

な る 関 係 が あ る.

2階Bス

  こ の こ とか ら,信 号fを

プ ラ イ ンの 線 型 結 合 で 表 さ れ る 関 数.

近 似 す る 関 数fjを

得 る に は,5.2節

よ る 展 開 とは 別 の 方 法 が あ る こ と に気 付 く.つ

の基底 関 数 に

ま り,与 え ら れ たf(x)か

ら

(5.14) と し て 係 数 列{〓}を う.こ

う して 求 め たf0(x)は,f(x)の

れ を 図5.5に f0(x)よ

求 め る の で あ る.こ

示 す.前

り も,元

図5.5 

の 図5.3と

の 方 法 を 補 間(interpolation)と

離 散 的 な 値{f(k)}k∈Zを 比 べ る と,補

間 関 数f0(x)は

補 間 す る.こ 展 開 で求 め た

の 曲 線 を う ま く表 し て い な い よ う に 見 え る.

2階Bス

プ ラ イ ン に よ る 関 数f(x)(グ

い

レ ー)の 補 間(実 線).

  しか し,実 際 に は特 に応 用 に お い て補 間 法 は 多 くの 利 点 を 持 つ.ま ず,展 係 数{〓}の

計 算 に は,基 底 関 数 に よ る展 開(5.12)に

圧 倒 的 に 簡 単 で あ る.展 あ る.さ

ら に,応

る に は 積 分(5.12)を る.図5.5で

与 え られ る と は 限 らず,む

与 え ら れ る こ とが 多 い.こ の 場 合,近 似 関 数f0を 計 算 す る こ と は で きず,必

求め

然 的 に 補 間 法 を使 う こ と に な

近 似 関 数 が 元 の 信 号 を よ く近 似 して い な い よ う に見 え る が,こ

は 次 数 の 高 いBス

プ ラ イ ン を使 う こ と に よ っ て 解 決 で き る.図5.6に

数 を4階(3次)のBス

プ ラ イ ンで 補 間 し た と き のf0(x)を

展 開 係 数{〓}を

求 め る 式 は(5.14)で

(m−1次)のBス

プ ラ イ ンNmに

図5.6 

比 べ て 補 間 法(5.14)は

開 の 係 数 を 求 め る の に 積 分 を実 行 す る必 要 が な い の で

用 に お い て は 連 続 な 信 号f(x)が

し ろ離 散 デ ー タf(n)が

4階Bス

開

は な く,も

よ る 関 数f(x)(グ

同 じ関 の 場 合,

う少 し複 雑 で あ る. m階

つ い て の 一 般 理 論 は9章

プ ラ イ ンN4(x)に

示 す.こ

れ

で 与 え られ る.

レー)の 補 間(実 線).

5.5  双 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

  N2(x)は

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(5.6)を

か し 整 数 ト ラ ン ス レ ー トN2(x−k)が る マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を4章

満 た す ス ケ ー リ ン グ 関 数 で あ る.し 互 い に 直 交 し な い か ら,こ

れ に対 応 す

の よ う な 方 法 で 作 る こ と が で きず,少

し工 夫

を 要 す る.   後 に9章

で 示 す よ う に,一

般 に 任 意 の 次 数 のBス

ク ト ・サ ポ ー ト の マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と,そ 成 す る こ と が で き る.こ   wavelets)と

呼 ば れ る.た

プ ラ イ ン に対 応 す る コ ンパ

れ に 双 対 な ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を構

れ ら は ま と め て 双 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト(bi‐orthogonal と え ば,N2(x)に

対 応 す る マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

ψN2(x)は

次 の よ う に 与 え ら れ る.

ここで

(5.15) そ れ 以 外 はqk=0で

図5.7 

2階Bス

あ る.図5.7に

こ の マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を 示 す .

プ ラ イ ン に 対 応 す る マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トψN2(x).

  Bス プ ラ イ ン をス ケ ー リ ング 関 数 と して 生 成 さ れ る 多 重 解 像 度 解 析 に お い て は,ス

ケ ー リ ン グ 関 数 が 直 交 性 を持 た な い た め,分

{hk}は る が,そ

理 論 的 に は 無 限 の 長 さ を持 つ.実

解 ・再 構 成 の 数 列{gk}と

用 上 は有 限 長 で 打 ち切 っ て 近 似 で き

の 長 さ は ス プ ラ イ ンの 次 数 と と も に増 大 す る.上

間 の 精 度 と分 解 ・再 構 成 の 簡 潔 さ と か ら,4階(3次)の

に示 した よ う に,補 スプ ラ イ ンに よる ス

ケ ー リ ング 関 数 と マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 構 成 が 最 も有 望 で あ る.詳 明 は9章

の 理 論 と,10章

の 応 用 を参 照 さ れ た い.

しい 説

6章  フ ー リ エ 変 換

  多 重 解 像 度 解 析 は ス ケ ー リ ング 関 数 に よ って 生 成 さ れ る が,ス リ ング 関 数 は トゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 に よ っ て 決 ま る.し

ケー

た が っ て,ス

ケ ー リ ング 関 数 を構 成 す る に は ト ゥー ・ス ケ ー ル 関 係 の 一 般 的 な性 質 を調 べ る 必 要 が あ る が,こ

れ に は フ ー リエ 変 換 が 使 わ れ る.ト

ス ケ ー ル 関係 は畳 み 込 み の形 を して い るが,畳

ゥー ・

み 込 み は フ ー リエ 変 換

で は 積 に な るの で 取 扱 い が 容 易 に な る た め で あ る.こ

う した技 術 的 な

側 面 の ほ か に,フ ー リエ 変 換 は 不 確 定 性 な ど信 号 の 基 本 的 な 性 質 を理 解 す る の に 不 可 欠 で あ る.こ の 章 で は,こ の 後 の 章 で 必 要 な フ ー リエ 変 換 の 基 本 的 な 事 項 を ま とめ,ま

た い くつ か の 興 味 深 い 例 を 示 す.

6.1  フ ー リ エ 変 換 の 定 義 と 例

  関 数f∈L2(R)の

フ ー リエ変換 は

(6.1) で 与 え ら れ,そ

の逆変 換 は

(6.2) で 与 え ら れ る.   関 数fの

パ ラ メ ー タ(b,a)∈R2,a≠0,に

よ る トラ ン ス レ ー ト と ス ケ ー ル

f(b,a)を 次 の よ う に 定 義 す る.

(6.3) す る とフ ー リエ 変 換 は

(6.4) と な る.こ

れ は 次 の よ う に し て 示 さ れ る.

こ の 結 果(6.4)か ら も〓(ω)と

ら,f(x−b)とf(x−b−2π/ω)は な る こ と が わ か る.つ

ま り,ト

フ ー リエ 変 換 す る と ど ち ラ ン ス レー トは フ ー リエ 変 換

で は2π/ω

の 範 囲 で の み 位 相 因 子e-ibω

に よ っ て 認 識 で き る.

  ま た,導

関 数 の フ ー リ エ 変 換 に つ い て は 次 の 式 が 成 り立 つ.

(6.5)

これ は 以 下 の よ う に して 示 さ れ る.

こ こでf(∞)=0と

した.

  微 分 演 算 が ω の 掛 け 算,つ 変 換 の 著 し い特 徴 で,こ

ま り代 数 演 算 に 帰 着 す る とい う事 実 は フ ー リ エ

れ を利 用 す れ ば 微 分 方 程 式 の 性 質 を代 数 演 算 に よ っ て

調 べ る こ と が で き る.   以 下 に い くつ か の 関 数 とそ の フ ー リエ 変 換 の 例 を挙 げ る.

■Haarの

 

スケ ー リング関数

Haarス

ケ ー リ ン グ 関 数 φHの

フ ー リ エ 変 換 は 次 の よ う で あ る.

(6.6) ■Sinc関

  Haarの

数

ス ケ ー り ン グ 関 数 と ほ と ん ど同 様 で あ る が,フ

ー リエ 変 換fが

次の

よ うに 与 え ら れ て い る 関 数 を 考 え よ う.

それ 以外 こ の 関 数 は〓f(ω)dω=2π

と 規 格 化 さ れ て い る.簡

関 数 の フ ー リエ 逆 変 換 は次 の よ う に求 め られ る.

 (6.7)

単 な 計 算 に よ り,こ

の

(6.8) こ の 関 数 はsincxと

し て 知 ら れ て い る.図6.1にsincxと

そ の フ ー リエ 変 換

を 示 す.

(6.9)

図6.1 

sincxと

そ の フ ー リ エ 変 換.

■ガ ウス関 数   次 の 関 数 を ガ ウ ス 関 数 と い う.

(6.10) こ の 関 数 は〓g(x)dx=1と

規 格 化 さ れ て い る .ガ ウ ス 関 数 の フ ー リエ 変 換

も ま た ガ ウ ス 関 数 で あ る.図6.2に

σ=1の

と きの ガ ウ ス 関 数 とそ の フ ー リ

エ 変 換 を 示 す.

(6.11)

図6.2 

6.2 

畳 み 込 み

  2つ

の 関 数f,gの

ガ ウ ス 関 数(左)と

そ の フ ー リエ 変 換(右).

畳 み 込 み(convolution)f*gは

次 の 式 で 与 え ら れ る.

(6.12) 畳 み 込 み の フ ー リエ 変 換 は

(6.13) と な る.こ

れ は 次 の よ う に し て 示 さ れ る.

 逆 変 換 に つ い て も 同様 の 関 係 が 成 り立 つ.つ フ ー リエ 変 換fとgの

ま り,2つ

の 関 数f,gの

積は

畳 み 込 み で 表 され る.

(6.14)

ま た,fの

代 わ り にfを

と れ ば,

と な る が,(fg)(0)=〈f￨g〉

に 注 意 す れ ば,次

の 関 係 式 を 得 る.

(6.15)   フ ー リエ 変 換 で は 畳 み 込 み が 積 に帰 着 さ れ る と い う事 実 は,フ ま た1つ

の 著 しい 特 徴 で,信

ー リエ 変 換 の

号 処 理 に お い て は こ の 性 質 が よ く使 わ れ る.

 以 下 に 簡 単 な例 を挙 げ よ う.

■Sinc関

数 とガウ ス関数

  式(6.7)と(6.11)で σ =1と

与 え ら れ るfとgの

畳 み 込 み を 考 え る.簡

の 逆 変 換 は(6.14)よ

り

単 の ため に

す る.

ここで

は 誤 差 関 数 で あ る.こ

(6.16)

と な る.図6.3にf(ω-ξ)とg(ω)を,ま 示 す.畳

込 み は 図6.1(右)に

な っ て お り,こ 衰 す る.こ

図6.3 

■2階Bス

  Haarの

示 すsincxの

フ ー リエ 変 換 の 角 を丸 め た よ う に

れ に よ っ て 逆 変 換(6.16)はe-x2/4に

れ は20ペ

sincxと

た こ れ ら の 畳 み 込 み(f*g)(ω)を

ー ジ のMeyerウ

よ っ てsincxじ

よ り速 く減

ェ ー ヴ レ ッ ト の と き と 同 様 で あ る.

ガ ウ ス 関 数 の フ ー リエ 変 換(左),お

よ び こ れ ら の 畳 み 込 み(右).

プ ラ イン

ス ケー リ ング 関 数

f =g=φHと

φH(x)ど

う し の 畳 み 込 み は,(6.12)に

こ の 積 分 は0〓x＜1の そ れ 以 外 の と き は0と

と き〓du=x な る が,こ

,1〓x＜2の れ は70ペ

と き〓du=2-x,

ー ジ の2階Bス

で あ る.

そ れ以外 こ の フ ー リ エ 変 換 は(6.6)と(6

と 求 め ら れ る.

お い て

す れ ば得 ら れ る .

.13)か

ら直 ち に

プ ラ イ ン(5.5)

■sinc関

数 の2乗

式(6.14)か

ら,f(x)=sincxと

し てf(x)2の

フ ー リエ 変 換 は

そ れ以外 と な る.関

数 と そ の フ ー リ エ 変 換 を 図6.4に

図6.4 

sinc関

数 の2乗

示 す.

と そ の フ ー リ エ 変 換.

■ ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換

  関 数fの

ψ に よ る ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 は(1.8),つ

で 与 え られ る.い

ま

と置 い て次 の 畳 み 込 み を考 え る.

ま り

こ こ で(g*f)(0)=(Wψf)(b,a)で

あ る こ と か ら 次 の 式 を 得 る.

(6.17) こ の 式 か ら,周 波 数 領 域 で 見 れ ば(Wψf)(b,a)は 探 っ て い る こ と を 意 味 す る.言

い 換 え れ ば,1.2節

ψ が 周 波 数aω

で 信 号fを

で 見 た よ う に,1/aが

周波

数 に対 応 す る.

6.3  パ ー セ バ ル の 等 式

  g(x)=f(−x)と tocorrelation

し た と き の 畳 み 込 み(g*f)を function)と

い い,F(x)で

関 数fの

自 己 相 関 関 数(au

表 す.

(6.18) 次 の よ う に 式 を変 形 で き る こ と に 注 意 しよ う.

こ れ か ら次 の 結 果 を 得 る.

(6.19) 特 にF(0)を

考 えれ ば

(6.20) また は

(6.21) を得 る.こ

れ は パ ー セ バ ル の 等 式 と呼 ば れ,信

号fの

時 間領域 の エ ネル ギー

(左 辺)と 周 波 数 領 域 の エ ネ ル ギ ー(右 辺)の 関 係 を 表 す.関 係 式(6.15)は 等 式 の 一 般 化 で,パ

ー セ バ ル の 等 式(6.21)は

そ の 式 に お い てg=fと

この 置 くこ

と に よ っ て も得 られ る.

6.4  不 確 定 性  与 え られ た 関 数fの

変 数x∈Rの

平 均 値xを

次 の よ う に 定 義 す る.

(6.22) f(x)が 関 数fの

局 在 して い る 関 数 の 場 合 はxは 幅△f〓0を

こ の 関 数 の 中 心 と な る位 置 を 決 め る.

次 の 式 に よ っ て 定 義 す る.

(6.23) フ ー リエ 変 換fの

幅△ ｆ も 同 様 に定 義 され る.

(6.24) こ こ で‖f‖ も△fと△fと

はfの

ノ ル ム(3.26)(51ペ

ー ジ)で

は 同 時 に 小 さ く は で き な い.実

あ る.ど 際,次

ん な 関 数fを

選 んで

の 不 等 式 が 成 り 立 つ.

(6.25)

こ れ は不 確 定 性(uncertainty)ま

た は 不 確 定 性 関 係 と呼 ば れ る.

  こ の 不 等 式 が どの よ う に して 導 か れ る か を 示 そ う.式

と 置 き,△f2=△w2=∫x2￨w(x)￨2dxで 〓 ω￨w(ω)￨2dω=0と

し よ う.基

を簡 単 にす る た め に

あ る こ と に 注 意 す る.そ

して さ ら に

礎 に な る の は 次 の 不 等 式 で あ る.

(6.26) こ の 不 等 式 の 一 般 的 な 証 明 は 文 献[CH1]に 51ペ

譲 り,こ

こで は これ は 基本 的 に

ー ジ の シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式(3.27)で,f(x)=xw(x),g(x)=w'(x)の

合 に 対 応 す る こ と に 注 意 し て お こ う.こ の 式 を 得 る.

れ を 使 っ て,式(6.21)-(6.24)よ

場 り次

こ う して 不 確 定 性 関 係(6.25)が

示 さ れ た.

 以 下 に,ΔfとΔfを い くつ か の 関 数 に つ い て 計 算 し,ΔfΔfが とる か を 見 て み よ う.い ず れ もx=0と な る 関 数 で,ω(x)=f(x)で

■sinc関

ど ん な値 を あ る.

数

に つ い て は 以 下 の 式 が 成 り立 つ.

これ よ り

を 得 る.こ

の 結 果 は,図6.1(左)に

に よ る.

■sinc2関

数

につ い て は 以 下 の 式 が 成 り立 つ.

お い てsincxが

長 く尾 を引 い て い る こ と

これ よ り

を 得 る.こ べ ,x→

の 結 果 は,図6.4(左)に ∞

で 十 分 速 く0に

示 すsinc2xが

図6.1(左)のsincxに

比

近 づ く こ と を 物 語 っ て い る.

■ガウ ス関数

  式(6.10)の

ガ ウ ス の 関 数g(x)に

つ い て は 次 の 式 が 成 り立 つ.

ま た,

した が っ て

が 成 り立 つ.   ガ ウ ス の 関 数 が△g△gの 際,△g△g=1/2と

最 小 値1/2を

な る の は,ガ

与 え る こ とは よ く知 ら れ て い る.実

ウ ス の 関 数 の と きの み で あ る.

6.5  フ ー リ 工 級 数

  フ ー リエ 変 換fの 変 数 ω ∈Rを 整 数 値 に限 定 す れ ば,逆 変 換(6.2)はf(n) を2πcnに 対 応 させ て 次 の 式 と な る.

(6.27) 右 辺 か らf(x)は 区 間[0,2π)で

周 期2π

の 周 期 関 数 で あ る こ とが わ か る.あ

定 義 さ れ て い る と し,こ の 区 間 の 外 で は

る い はf(x)は

に よ っ て 拡 張 さ れ る と 考 え て も よ い.し

た が っ て フ ー リ エ 変 換(6.1)は

(6.28) で 与 え ら れ る.式(6.27)は

関 数fの

フ ー リ エ 展 開 と 呼 ば れ,右

辺 は フ ー リエ

級 数 と 呼 ば れ る.   数 列{￨cn￨2}n∈Zは 等 式(6.21)は

信 号fの

パ ワ ー ・ス ペ ク ト ル と い わ れ る.パ

ー セバ ルの

この場 合

(6.29) とな る.  関数fが

と な る.そ

実 数で あ れば

の と きは

と お け ば,次

の 実 数 表 示 の フ ー リエ 級 数 が 得 られ る.

(6.30) (6.31) (6.32)

6.6 

  N個

離 散 プ ー リ 工 変 換

の 離 散 デ ー タθk,k=1,2,…,N,の

離 散 フー リエ変換 は

(6.33)

で 与 え られ る.ま

た,逆

変換 は

(6.34) で あ る.こ

れ は フ ー リエ 級 数 でf(x)を

エ変 換(FFT)と で,実

離 散 化 した も の で あ る が,高

速フーリ

い う き わ め て効 率 の よ い ア ル ゴ リズ ム に よ っ て 計 算 で き る の

用 上 盛 ん に 利 用 され る.

  応 用 と して,離 散 デ ー タを補 間す る方 法 を述 べ る.与 え られ た デ ー タ列{θn}n∈[1,N] を,周 期 的 境 界 条 件 θN+n=θnの

を求 め る こ と が で き る.こ 課 す.こ suppφ

れ はsuppφ を0と

の と き φ に も周 期 的 境 界 条 件 φ(N+n)=φ(n)を

の 長 さ がN以

見 な して,周

下 の と き に使 え る 方 法 で,適

書 く.

こ でn−k→n−1と

φ(n-N)=φ(n)を

で あ る(式(6.3)参

使 っ た.ま

照).こ

当 に φ(n)〓

期 的 境 界 条 件 を課 す.

  簡単 の た めck(0)を 単 にckと

  た だ し,こ

下 で補 間す る 関数

和 の イ ン デ ッ ク ス を 変 数 変 換 し,周 た

の 式 か ら,

期 性

し た が っ て,f0(x)の

展 開 係 数ck=〓

は

(6.35) と 求 め られ る.

6.7  Poissonの

総和式

  関 数f∈L2(R)を2πnだ

け 平 行 移 動 した も の を,す べ て のn∈Zに

ついて

足 し合 わ せ れ ば2π 周 期 の 関 数 とな る か ら,こ れ は フ ー リエ 級 数 に 展 開 で き る.

こ こ で フ ー リエ 係 数 は

の よ うに 求 め られ る か ら,こ

れ を前 の 式 に 代 入 す る と

(6.36) が 得 ら れ る.い

わ ば フ ー リエ 級 数 と フ ー リエ 変 換 を結 び付 け る 式 と もい え る こ

の 等 式 はPoissonの   式(63)と(6.4)か

総 和 式 と い わ れ る. らf(x/a)の

と な る こ と が わ か っ て い る.こ

フ ー リエ 変 換 は

れ を使 っ て

さ ら にx→axと

変 数 変 換 してa=2π

と置 く こ と に よ り,次 の 式 を得 る.

(6.37)

7章  ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の フ ー リ エ 解 析

  ウ ェ ー ヴ レ ッ トは フ ー リエ 変 換 に代 わ る 信 号 処 理 の 手 法 で あ る が, ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 一 般 的 な 理 論 を展 開 す る の に は フ ー リエ 変 換 が 重 要 な役 割 を果 た す.ウ が,フ

ェ ー ヴ レ ッ トの 理 論 に は畳 み 込 み が よ く使 わ れ る

ー リエ 変 換 で 畳 み 込 み は積 に な る た め,計 算 の 見 通 しが よ く な

る か らで あ る.こ の 章 で は,こ

の 方 法 に よ って ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 一 般

理 論 を展 開 す る.こ れ まで の 章 で 示 さ れ た こ との 一 般 化 を行 い,ま

た

デ ィ ジ タ ル ・フ ィル タ と の 関 連 性 を見 る.詳 細 を必 要 と しな い 読 者 は リ フ ァ レ ン ス と して 目 を通 せ ば よ い.

7.1 

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 の フ ー リ エ 変 換

  ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(3.1)(42ペ 6.2節

で 見 た よ う に,畳

換 の 積 に な る.こ う.ト

ー ジ)の

右 辺 は 離 散 的 な 畳 み 込 み で あ る.

み 込 み の フ ー リエ 変 換 は そ れ ぞ れ の 関 数 の フ ー リエ 変

れ を ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 に お い て も 利 用 す る こ と を 考 え よ

ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{pk}k∈Zの

多 項 式P(z)を

次 の よ うに定義 す る.

(7.1) 信 号 処 理 で はΣkpkz-k=2P(z-1)を{pk}のz変 る 係 数1/2は

換 と い う.式(7.1)に

後 の 式 を簡 単 にす る た め に付 け られ て い る.数 列{pk}が

列 の と きP(z)はzの

ロ ー ラ ン多 項 式(zお

よ びz-1の

おけ 有 限数

多 項 式)と な る .Euler

の等式

に よ っ て,P(e-iω)は

三 角 多 項 式(三

 ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(3.1)の

角 関 数 の 多 項 式)と

両 辺 の フ ー リ エ 変 換 を と る と次 の よ う に な る .

した が っ て,離 散 的 な畳 み 込 み Σkpkφ(2x−k)はPと ス ケ ー ル 関 係(3.1)は

な る こ と に注 意 しよ う.

φ の 積 と な り,ト ゥー ・

周 波数 領域 で

(7.2) と 表 さ れ る.   フ ー リ エ 変 換 で 表 さ れ た(7.2)を な 性 質 を 導 く こ と が で き る.ま

使 っ て,ト

ず,(7.2)で

ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 の さ ま ざ ま ω=0と

置 け ば,

と な る こ と か ら,

(7.3) を 得 る.こ

の 式 は(4.11)と

同 値 で あ る.実

際P(z)の

定 義(7.1)か

ら

で あ る.   ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ はP(z)か

ら 決 ま る.ト

ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(7.2)を

の よ うに 再 帰 的 に繰 り返 す こ と に よ り,次 の 関 係 式 を得 る.

(7.4)

7.2  自 己 相 関 関 数   次 にP(e-iω)の 相 関 関 数Fφ

性 質 を調 べ よ う.そ の た め に,ス

ケ ー リ ング 関 数 φ の 自己

を 考 え る.

(7.5) こ こ で φ(y)は φ(x)の 複 素 共 役 を表 す.こ な り具 合 の 尺 度 で あ る.自

己 相 関 関 数Fφ

れ は φ と そ の トラ ン ス レー トの 重 の フ ー リエ 変 換 は(6.19)よ

り

(7.6) で 与 え ら れ る.   整 数 ト ラ ン ス レ ー ト φ(x−k),k∈Z,を

含 む{Fφ(k)}の

級 数

(7.7) を 一 般 化Euler‐Frobenius級 サ ポ ー ト を も て ばEφ(z)は

数

と い う.ス

ケ ー リ ング 関 数

φ が コ ンパ ク ト ・

有 限項 の和

(7.8)

と な る.こ

れ は 一 般 化Euler‐Frobeniusロ

ー ラ ン多項 式

と 呼 ば れ,z=e-iω

の と き 実 数 で あ る.   次 の よ う な 和 を 考 え る.

こ れ は 周 期2π

の 周 期 関 数 で あ る か ら,フ

ー リ エ 級 数 Σ〓

こ と が で き る.こ

こ で フ ー リ エ 係 数 は 式(6.28)(90ペ

で 与 え ら れ る.い

ま ΣnFφ(−n)einxに

れ は ΣkFφ(k)e-ikxと

な る か ら,次

に表 す

ー ジ)に

お い てn→−kと

よ り

置 き換 え れ ば,こ

の 恒 等 式 を得 る.

(7.9)  こ の 式 を ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(7.2)を

で あ る が,P(e-i(ω+2πk)/2)はkが

使 っ て 変 形 し よ う.式(7.2)か

偶 数 か 奇 数 か に よ っ てP(±e-iω/2)と

ら

書

け る.

これ を 使 っ て 式(7.9)の 再 び(7.9)を

左 辺 の 和 を イ ンデ ッ ク スkの

使 え ば 次 の よ う に 変 形 で き る.

偶 数 と奇 数 の 和 に分 け ,

こ の 結 果 は次 の 等 式 に ま と め る こ とが で き る .

こ れ を次 の よ う に 書 い て お くの が 便 利 で あ る.

(7.10) こ れ はP(z)が あ るが,ウ

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(7.2)を

ェ ー ヴ レ ッ トの 一 般 論 に お い て 重 要 な役 割 を演 ず る.特

で 見 る よ う に,ト {hk}の

7.3 

満 た す こ とか ら導 か れ た 等 式 で

ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{pk}と{qk}

,お

に,次

の節

よ び 分 解 数 列{gk},

関 係 は こ の 等 式 に よ っ て 決 定 さ れ る.

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列

  ウ ェ ー ヴ レ ッ トを与 え る トゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{qk},お よ び分 解 ア ル ゴ ル ズ ム(3.23)に 出 て く る分 解 数 列{gk}と{hk}の 多 項 式 を次 の よ う に 定 義 す る .

(7.11)

そ して,こ

れ ら は 次 の 式 に よ っ て与 え ら れ る とす る.

(7.12)

こ こ でmは

任 意 の 整 数 で あ る.こ

ス ケ ー ル 数 列{pk}と

れ ら の 式 は,数

結 び つ け る 式 で あ る.こ

列{qk},{gk},{hk}を こ で,P(z)=1/2Σkpkzkで

る か ら,z=e-iω

に つ い て は そ の 複 素 共 役 はP(z)=1/2Σkpkz-kと

に 注 意 し よ う.こ

の 簡 単 な 等 式(7.12)がChuiとWangに

サ ポ ー ト の カ ー デ ィ ナ ルBス

トゥー ・ あ な る こと

よ る コ ンパ ク ト ・

プ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を 構 成 す る 鍵 に な る.

   マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト は 次 の よ う に 与 え ら れ る..

(7.13) フ ー リ エ 変 換 の 形 で 書 け ば次 の よ う で あ る.

(7.14) P(z)とEφ(z)が りQ(z)も

と も に 有 限 項 の ロ ー ラ ン 多 項 式 で あ れ ば,(7.12)の

有 限 項 の ロ ー ラ ン 多 項 式 と な り,マ

第2式

よ

ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト(7.13)は

コ ン パ ク ト ・サ ポ ー ト と な る こ と が わ か る.   こ の よ う に 定 義 さ れ た マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト は ス ケ ー リ ング 関 数 と 直 交 す る.

(7.15) 以 下 に こ れ を 証 明 し よ う.   82ペ

ー ジ の(6.15)に

φ(x−n)の に 注 意 し て,

お い てf(x)=ψ(x)お

フ ー リエ 変 換 はe-inω

φ(ω)(78ペ

よ びg(x)=φ(x−n)と ー ジ の 式(6.4)参

照)で

置 く. ある こ と

こ こ で,kに

つ い て の 和 を,kの

偶 数 と 奇 数 の 項 の 和 に 分 け る.こ

偶 数 か 奇 数 か に よ っ てe-i(ω+2πk)/2=±e-iω/2=±zと

と こ ろ が 式(7.12)に

と な る.こ

7.4 

の と きkが

な る こ と に 注 意 し て,

よ って

う し て 直 交 関 係(7.15)が

示 された .

分 解 ア ル ゴ リ ズ ム

  基 本 と な る 式(7.10)か

ら分 解 公 式(3.22)を

導 こ う.式(7.12)を(7.10)に

適用 す る こ とに よ り

(7.16) と な る が,こ

れ ら を組 み 合 わ せ て次 の よ う に 書 い て お く.

分 解 数 列{gk}と{hk}を

定 義 す る(7.11)を

こ れ らの 式 に 代 入 し,得

2つ の 式 の そ れ ぞ れ に φ(ω/2)とe-iω/2φ(ω/2)を

られ た

掛 け れ ば ,次 の 式 を得 る.

こ こ でe-iωkP(z)φ(ω/2)=e-iωkP(e-iω/2)φ(ω/2)=e-iωkφ(ω)は の フ ー リ エ 変 換 で あ り(78ペ 様 で あ る か ら,こ

ー ジ の(6.3)と(6.4)を

φ(x−k) 参 照),ψ

につ いて も同

れ よ り次 の 式 を 得 る.

こ れ らの 式 は ま と め て次 の 形 に 書 く こ とが で き る.

(7.17) こ う し て分 解 公 式(3.22)が   次 に,こ

の 分 解 が 一 意 的 で あ る こ と を示 そ う.そ れ に は{φ(x−k)}k∈Zと

{ψ(x−k)}k∈Zが

と 置 く.こ

得 ら れ た.

線 型 独 立 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.そ

こで

の 式 に ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(3.1)と(7.13)を

適用 すれ ば次 の式 を

得 る.

これ か ら

を得 る が,こ

れ にzlを

掛 け てlに

つ い て の 和 を と っ てzの

多 項 式 を作 れ ば

(7.18) と な る.こ

を−zと

こ でA(z)=Σkakzkお

よ びB(z)=Σkbkzkで

あ る.さ

ら にz

置 き換 え れ ば

(7.19)

を 得 る.こ

れ らの2つ

の 式 をA(z)とB(z)に

つ い て の 連 立1次

方 程 式 と見

れ ば,

で あ る こ とか ら,恒

と な る.こ

等的 に

う し て す べ て のk∈zに

つ い てak=bk=0で

あ る こ と が わ か っ た.

7.5  デ ィ ジ タ ル ・ フ ィ ル タ

  分 解 ア ル ゴ リ ズ ム(3.23)(50ペ (51ペ

ー ジ)は,離

ー ジ),お

散 デ ー タ{〓}k∈Zを

{〓}と{dk(j-1)}に

変 換 す る 過 程,あ

よ び 再 構 成 ア ル ゴ リ ズ ム(3.24)

デ ィ ジ タ ル ・フ ィ ル タ を 通 し て 信 号

る い は こ れ ら を 再 構 成 して 元 の デ ー

タ に変 換 す る 過 程 と して と ら え る こ とが で き る.分 び トゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{pk},{qk}は,多

解 数 列{gk},{hk}お

よ

重 解 像 度 解 析 を使 っ て 設 計 さ れ た

デ ィジ タ ル ・フ ィル タ の係 数 に 対 応 し,こ れ らが 有 限 数 列 の と き,数 列 の 長 さ は デ ィ ジ タ ル ・フ ィル タ の タ ップ 数 に対 応 す る.   デ ィジ タ ル・ フ ィル タは そ の 周 波 数 特 性 と位 相 特 性 に よ っ て 特 徴 づ け ら れ る が,こ

の 節 で は デ ィ ジ タ ル ・フ ィル タ に つ い て の 基 礎 知 識 を ま とめ る.数

{ak}k∈Zを

フ ィル タ係 数 とす る デ ィジ タ ル ・フ ィル タA(z)=Σ〓

る.信 号 処 理 に お い て はA(z-1)を{ak}のz変 の 議 論 で はzとz-1の

を考 え

換 と い う.し た が っ て,以

役 割 が 入 れ換 わ っ て い る が,論

列

下

旨 は 同様 で あ る.

  す で に1.9節

で 説 明 した よ う に,離 散 デ ー タ で 表 され る信 号 は 有 限 の 周 波 数

帯 域 を も つ.こ

の 事 実 を 明 確 に し よ う.信 号f∈L2(R)の

フ ー リエ 変 換 が,

の とき

それ以外 の よ う に帯 域 制 限 さ れ て い る とす る.す

る とf(ω)は

周 期2π の 周 期 関 数 と し

てR全

体 に拡 張 で き る.し

た が っ て,こ

れ は フ ー リエ 級 数 に展 開 で き る.

フ ー リエ 係 数 は

で あ る が,f(ω)=0,ω〓[− ∞

π,π],で あ る か ら,右

に 置 き換 え ら れ る が,こ

辺 の 積 分 範 囲 は− ∞

の 積 分 は フ ー リ エ 逆 変 換 の 定 義(6.2)(78ペ

か ら ー ジ)

に よ り 次 の よ う に 書 け る.

した が っ て,信

号f(x)はfの

で あ る.n→−nと

フ ー リエ 逆 変 換 で あ る こ と を使 え ば

置 き換 え れ ば 次 の 結 果 を得 る.

(7.20)

こ の 式 は,suppf=[− f(x)が

π,π]と す れ ば,離

一 意 的 に 決 ま る,と

定 理 で,最

い う 事 実 を 示 す.こ

れ はShannonの

ら連 続 関 数 サ ンプ リ ン グ

大 の 角 周 波 数 π を ナ イ キ ス ト周 波 数 と い う.

  数 列{gk}と{hk},k∈Z,の G(e-iω)お

散 デ ー タf(n),n∈Z,か

よ びH(e-iω),ω

[−π,π]と し て よ い が,こ

デ ィ ジ タ ル ・フ ィ ル タ と し て の 周 波 数 特 性 は ∈R,に

よ っ て 決 ま る.こ

の と きの 角 周 波 数 は ω ∈

れ は サ ン プ リ ン グ 定 理 に 対 応 して い る.0〓￨ω￨〓

π/2

が 低 周 波 領 域 に,π/2〓￨ω￨〓 してG(e-iω)は argG(e-iω)を

π が 高 周 波 領 域 に対 応 す る.実

一 般 に複 素 数 値 を と る が,絶 位 相 とい い,こ

  数 列{ak}k∈zに

対 値￨G(e-iω)￨を

れ ら を 角 周 波 数 ω ∈Rの

ぞ れ の 周 波 数 特 性 と い う.H(e-iω)に

数 値 の ω に対 ゲ イ ン,偏

角

関 数 と見 る と き,そ

れ

つ い て も 同様 で あ る.

よ っ て 決 ま る デ ィ ジ タ ル ・フ ィル タA(z)=Σkakzk,z=

e-ikω,が 次 の 性 質 を持 つ と き,こ の フ ィル タは 位 相 線 型 で あ る と い う.

(7.21) こ こ でF(ω)は {ak}が

実 関 数,ま

たb∈Rで

あ る.位 相 線 型 の 必 要 十 分 条 件 は,数

列

次 の 意 味 で 対 称 性 を持 つ こ と で あ る.

(7.22) 実 際,も

し{ak}が

上 の 条 件 を満 た せ ば,

と な る か ら,等 式

が 成 り立 ち,実 数 で あ る か ら こ れ をF(ω)と

す れ ば(7.21)を

得 る.逆

も 同様 に で きる.   簡 単 な例 を 挙 げ れ ば,式(7.22)でb=0でak∈Rの

と な る.つ

ま りn0を

中 心 に そ の 前 後 で 対 称 で あ る.ま

ま りn0を

中 心 に そ の 前 後 で 反 対 称 と な る.

場合 は

と な る.つ

場合 は

たb=π/2,ak∈Rの

の証 明

7.6  サ ブ バ ン ド 分 解   離 散 信 号{ck}k∈Zと,数 る と き,次

の3通

列{ak}に

よ っ て 決 ま る デ ィ ジ タ ル ・フ ィ ル タ が あ

りの 基 本 的 な 処 理 が あ る.

■ア ップ サ ン プ リ ン グ

  ア ッ プ サ ン プ リ ン グ(upsampling)は で,〓,k∈Z,は

離 散 信 号{ck}か

ら{〓}を

得 る操 作

次 の よ う に 与 え ら れ る.

(7.23) デ ー タ に1つ

お き に0を

挿 入 す る手 続 きで,正

確 に は2倍

の ア ップ サ ンプ リ

ング とい う.こ れ は 変 換

(7.24) に 対 応 して い る.実

際,和

を偶 数 と奇 数 の 項 の 和 に分 け て,こ

れ を以下 の よ う

に 示 す こ とが で き る.

■ ダ ウ ンサ ンプ リ ン グ

  ダ ウ ン サ ン プ リ ン グ(downsampling)は 散 信 号{ck}か

ら{〓}を

ま た デ シ メ ー シ ョ ン と も い わ れ,離

得 る 操 作 で,〓,k∈Z,は

次 の よ う に 与 え ら れ る.

(7.25) デ ー タ の 偶 数 番 だ け を取 り出 す 手 続 きで,正 グ で あ る.こ

確 に は2倍

の ダ ウ ンサ ンプ リ ン

れ は変 換

(7.26)

に対 応 し て い る.こ れ は,和

を偶 数 と奇 数 の 項 の 和 に 分 け て,以

下 の よ うに示

さ れ る.

■離 散 畳 み 込 み

  離 散 信 号{ck}を

デ ィジ タ ル ・フ ィル タ{ak}に

通 す と,こ

れ らの数 列 の離

散畳 み込み

(7.27) が 得 ら れ る.こ

れ はA(z)=ΣkakzkとX(z)の

積 で 与 え られ る. 以 下 に この

証 明 を 与 え る.

(7.28)   分 解 ア ル ゴ リ ズ ム(3.23)(50ペ (51ペ

ー ジ)を

ー ジ),お

よ び 再 構 成 ア ル ゴ リ ズ ム(3.24)

も う 一 度 こ こ に ま と め て 示 す.

(7.29)

これ らの 式 をデ ィジ タ ル ・フ ィル タの 観 点 か ら見 直 して み よ う.

  まず{〓}k∈Zを

入 力 離 散 信 号 と し,{〓}と{〓}を

れ た信 号 とす る.そ

れ ぞ れ に対 応 す る 多 項 式 を次 の よ う に定 義 す る.

分 解 して 得 ら

(7.30)

式(7.29)の

分 解 ア ル ゴ リズ ム は,{〓}と{〓},あ

る い は{1/2hk}の

畳 み 込 み を ダ ウ ンサ ンプ リ ン グ す る 過 程 で,ck(j−1)=(1/2g*c(j))〓 が 得 られ,そ

離散

とdk(j−1)=〓

れ ぞ れ 元 の 信 号 の 低 周 波 成 分 と高 周 波 成 分 に 対 応 す

る.多 項 式 を使 え ば 次 の 式 と な る.

(7.31) ま た,式(7.29)の

再 構 成 ア ル ゴ リ ズ ム は,{ck(j−1)}と{dk(j−1)}を

プ リ ン グ し て,そ

れ ぞ れ フ ィ ル タ{pk}と{qk}を

表 し,{(p*c(j-1)↑)k+(q*d(j-1)↑)k}が

ア ップ サ ン

通 し て 足 し合 わ せ る 過 程 を

得 ら れ る.し

たが って その 出力 は

(7.32) と な る.こ

の 式 に 上 の 式 を代 入 す れ ば

と な る.一

方,式(7.10)(99ペ

ー ジ)と

定 義(7.12)(99ペ

ー ジ)か

ら,次

の式

が 成 り 立 つ.

(7.33)

よって

つ ま り出 力 は 入 力 と 同 一 で あ る.   こ の 一 連 の 信 号 処 理 は 図1.29の 分XL(z)と

よ う に 図 示 さ れ る.信 号X(z)は

高 周 波 成 分XH(z)に

い う.G(z)とH(z)は,そ

分 解 され る が,こ

れ ぞ れ 離 散 信 号 の 周 波 数 帯 域0〓￨ω￨〓

割 す る ロ ー パ ス ・フ ィル タ(LPF)と 帯 域2分

低周 波成

の 過 程 をサ ブ バ ン ド分 解 と

ハ イ パ ス ・フ ィル タ(HPF)の

π を2分 対,つ

まり

割 の 分 解 フ ィル タバ ン ク を構 成 す る.サ ブ バ ン ド に 分 解 され た信 号 を

足 し合 わ せ る と,元 の 組P(z)とQ(z)は

の 信 号 が 再 構 成 さ れ る.こ

の と き使 わ れ るLPFとHPF

再 構 成 フ ィル タ バ ン ク を 構 成 す る.こ

う して全 部 で4個

の フ ィ ル タ は ク ァ ド レチ ャ ー ミラ ー ・フ ィル タ と 呼 ば れ る2対 ク を構 成 す る.一

般 に,QMFは

の フ ィルタバ ン

帯 域 を任 意 の 整 数 に分 割 して サ ブ バ ン ド分 解

を行 う.ま た 再 構 成 され た信 号 は必 ず し も厳 密 に 元 の信 号 と一 致 す る と は 限 ら ず,近

似 的 に 等 しい.式(7.33)はQMFの

完 全 再 構 成 の 条 件 と して 知 ら れ て

お り,完 全 に 元 の 信 号 が 復 帰 す る条 件 で あ る.つ か れ たQMFは

帯 域2分

割 の 完 全 再 構 成QMFと

ま り,多 重 解 像 度 解 析 か ら導 な る の で あ る.

7.7  双 対 ス ケ ー リ ン グ 関 数   ス ケ ー リ ング 関 数 φ に双 対 な 関 数 φ は,そ

の フ ー リエ 変 換 の 形 で 次 の よ う

に定 義 され る.

(7.34) フー リエ逆変 換 すれ ば

が 求 め られ る.   双 対 ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ も ま た ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 を満 た す ス ケ ー リ ン グ 関 数 で あ る.実

際

で あ る か ら,式(7.12)に

お け るG(z)の

定 義 に よ り,次

の ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関

係 を得 る.

(7.35) これ を フ ー リエ 逆 変 換 す れ ば

(7.36) と な る.こ

こ で{gk}は(7.11)に

よ っ て 決 ま る 数 列{gk}を

よ っ て 与 え ら れ る.こ

う し て,φ

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列 と し て,ト

係 を 満 た す こ と が わ か っ た.ス

はG(z)に

ゥ ー ・ス ケ ー ル 関

ケ ー リ ン グ 関 数 φ に つ い て の 式(7.4)と

同様 の

式 が φ に つ い て も 成 り立 つ.

(7.37)  φ が φ に 双 対 で あ る と は,次

の 直 交 関 係 が 成 り立 つ こ と で あ る.

(7.38) こ れ は 等 式(7.10)か

ら(7.12)に

よ っ て 定 義 さ れ るP(z)とG(z)が

次 の等 式

を 満 た す こ と か ら 導 か れ る.

(7.39) 直 交 関 係(7.38)を

証 明 す る た め に,積

を定 義 し,ま ず こ れ がk∈Nの 換 ω →2kω

と な る が,こ 第1の

分

値 に よ らず δn,0に 等 しい こ と を 示 す.変

数変

に よ り右 辺 を変 形 す れ ば

の 積 分 範 囲 を− π か ら0ま

積 分 を 変 数 変 換 ω → ω+π

で と,0か

に よ っ て0か

ら π まで の2つ

に 分 け,

ら π ま で の 積 分 区 間 に変 更

す る.こ

の と き,j＜kに

つ い て はe-i2k-j(ω+π)=e-i2k-jω

に つ い て はe-i(ω+π)=-e-iω

こ こ で 式(7.39)を

とな る.こ

と な る の で,Ik(n)は

で あ る が,j=k

次 の 形 と な る.

使 えば

う して,結

こ の 結 果 を使 え ば,直

局 次 の 等 式 を得 る.

交 関 係(7.38)は

 次 に,直 交 関 係(7.38)か

次 の よ う に して 直 ち に得 られ る.

ら得 られ る 式 を導 こ う.

で あ る が,(7.38)よ

り こ れ は δn ,0に 等 しい.

した が っ て

(7.40) を 得 る.こ

7.8 

れ は 式(7.9)の

変 形 で あ る.

双 対 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

  マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト ψ に 双 対 な マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト は 次 の よ う に 定 義 さ れ る.

(7.41) フ ー リエ 逆 変 換 す れ ば

(7.42) で あ る.   ψ と ψ は次 の 直 交 関係 を 満 た す.

(7.43) こ れ は(7.10)と(7.12)か

ら導 か れ る恒 等 式

(7.44) を使 っ て,以

下 の よ う に 証 明 さ れ る.

kに つ い て の和 をkの 偶 数 と奇 数 の和 に分 け て,偶 数 奇 数 に応 じてe-i(ω+πk)/2= ±e-iω/2と な る こ と に注 意 す れ ば,

こ こ で(7.40)を

と な り,(7.43)を

7.9 

使 えば

得 る の で あ る.

双 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

  ス ケ ー リ ン グ 関 数{φ(2j・ {ψ(2j・−k)}k∈Zの V0⊂V1⊂...を

が 成 り 立 つ.こ

張 る 空 間 をWjと

張 る 空 間 をVj,ま

す れ ば,Vjは

た ウ ェー ヴ レ ッ ト

多 重 解 像 度 解 析 …⊂V-1⊂

な し,

こ で〓

は 直 和 を 表 し,分

は 一 意 的 に で き,VjとWjと

−k)}k∈Zの

張 る 空 間 をWjと

Vjは 多 重 解 像 度 解 析 …

解(3.5)(42ペ

は 直 交 し て い る(100ペ

  ス ケ ー リ ン グ 関 数{φ(2j・ {ψ(2j・−k)}k∈Zの

−k)}k∈Zの

⊂V-1⊂V0⊂V1⊂

ー ジ)

ー ジ).

張 る 空 間 をVj,ま す る.上

た ウ ェー ヴ レ ッ ト

と ま っ た く 同 様 の 議 論 に よ り, …

を な し,

が 成 り立 つ.こ

の φ に よ っ て 生 成 さ れ る多 重 解 像 度 解 析 は,φ

れ る 多 重 解 像 度 解 析 に双 対 で あ る.VjとVj,お

よ びWjとWjは

によって生成 さ 直 交 す る.

(7.45) 元 の 量 に は 以 下 の よ う に 双 対 な量 が 対 応 す る.

  こ う して,異 な るkに

つ い て φ(・ −k)が

互 い に直 交 で な い と きは,こ れ に直 交

す る双 対 な φ を作 る こ とが で き る.ま た φ につ い て も同様 で あ る.{φ,ψ,φ,ψ} の 組 か ら作 られ るVj,Wj,Vj,Wjの

基 底 を 双 直 交 基 底 とい う.{ψ,ψ}の

組を

双 直 交 ウ ェ ー ヴ レッ ト とい うが,双 直 交 基 底 を指 して こ の 語 を使 う こ と もあ る.   以 上 は 形 式 的 な 話 で あ る が,特

に 次 の 式 が 重 要 で あ る.

(7.46) これ に よ って,与

え られ た 信 号fか

に 示 した よ う に,こ 実 際 的 で あ る.

ら近 似 関 数fjを

の 展 開 式 よ り補 間 に よ っ てfか

構 成 で き る.し か し,5章 ら{〓}を

計 算 す る方 が

8章  直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

  こ の章 で は直 交 ス ケ ー リ ング 関 数 と ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 一 般 的 な考 察 を行 う.最 小 の サ ポ ー ト を持 つDaubechies ン グ 関 数 と ウ ェ ー ヴ レ ッ トに つ い て は4章 のNの に,そ

N=2の

直交 ス ケ ー リ

で 詳 し く調 べ た が,任

意

ス ケ ー リ ング 関 数 と ウ ェ ー ヴ レ ッ トの構 成 法 を述 べ る.さ

ら

の 変 形 で あ るSymletやCoifletに

つ い て も説 明 す る.計

算の

詳 細 を必 要 と しな い 読 者 は,こ の 章 の 内 容 は必 要 な部 分 だ け を 参 照 す れ ば よ い.

8.1  直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 性 質

  マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト ψ(x)が そ の 整 数 トラ ン ス レー ト ψ(x−n)と で あ る と き,つ

まり

が 成 り立 つ と き,ψ

は 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト と い わ れ る.直

直 交 ス ケ ー リ ン グ 関 数 を 使 っ て,42ペ 作 ら れ る.直

直交

交 ウ ェ ー ヴ レ ッ トは

ー ジ の ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(3.2)か

交 ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ は〈 φ￨φ(・−n)〉=δn,0‖

ら

φ‖2を 満 た す が,

ふ つ う φ に は 次 の 規 格 化 条 件 を 課 す.

(8.1) した が っ て,ス

ケ ー リ ン グ 関 数 φ と マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト ψ は 正 規 直 交 系

と な る.

(8.2) (8.3) 正 規 直 交 系 を な す ス ケ ー リ ング 関 数 は,一 般 に 次 の 性 質 を 持 つ.

■規

格

化

(8.4) ■ 1の

分 解

(8.5) ■節点におけ る値の和

(8.6)   こ の 節 で は,以

下 に こ れ ら の 式 を証 明 す る.ま ず,97ペ

己 相 関 関 数(7.6)は,φ

の 正 規 直 交 条 件(8.2)に

ー ジ に定 義 した 自

よ りx=n∈Zに

つ いて

と な る こ と に 注 意 す る.し

た が っ て,一

般 化Euler‐Frobeniusロ

ー ラ ン多項

式(7.7)は

(8.7) と な る.こ

の 結 果98ペ

ー ジ の 式(7.9)は

(8.8) と な る.さ

ら に,99ペ

ー ジ の 等 式(7.10)は

(8.9) と書 け る.こ

の 等 式 は 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 一 般 的 な議 論 に お い て 重 要 な 役 割

を果 た す.  97ペ ー ジ で,ト

ゥー ・ス ケ ー ル 関 係(7.2)の

直 接 的 な結 果 と し て,

(8.10) を得 た が,こ

れは

と 書 き 直 す こ と が で き た.直 か ら,P(1)=1か

交 ス ケ ー リ ン グ 関 数 に つ い て は(8.9)が

成 り立 つ

ら

(8.11) を 得 る.こ

れは

を 意 味 す る.   さ て,ト

ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(7.2)に

お い て ω=2πk,k∈Z,と

置 け ば

k偶 数,

k奇 数 と な る が,kが

偶 数 の と き は 右 辺 の φ(πk)に ト ゥー ・ス ケ ー ル 関 係 を適 用 して

これ を 繰 り返 せ ば,い

ず れ 右 辺 にP(−1)=0が

現 れ る .し

たが って

(8.12)

と な る こ と が わ か る.  い ま,(8.9)に

お い て ω=0と

置 け ば,(8.12)に

よって

と な る か ら,偏 角 を う ま く選 ん で

と す る こ と が で き る.こ   次 に,93ペ

ー ジ の 式(6.37)に

が 得 ら れ る が,こ さ ら に,い

う し て 規 格 化 の 式(8.4)が

の 式 でn→−nと

ま 得 ら れ た 式 でx=0と

  最 後 に,直

お い てf=φ

示 さ れ た.

と 置 け ば,(8.12)か

置 き換 え れ ば1の 置 け ば 式(8.6)が

分 解(8.5)が

ら

得 ら れ る.

得 ら れ る.

交 ウ ェ ー ヴ レ ッ トで は ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{qk}と

{hk｝ は{pk}か

ら 直 接 得 ら れ る こ と に 注 意 し よ う.式(8.7)に

ジ の 式(7.12)は

次 の よ う に な る.

分 解 数 列{gk}, よ っ て99ペ

ー

(8.13)

し た が っ て 式(7.11)よ

り 次 の 関 係 式 を 得 る.

(8.14)

8.2 

Daubechiesの

  Daubechiesの 関 数Nφ

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

基 底 はN∈Nに

よ っ て 番 号 付 け られ る 一 連 の ス ケ ー リ ン グ

と マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トNψ

か ら な る.N−1次

までの モ ー メ ン

トが0に

な る と い うの がNψ

の 定 義 で あ る.

(8.15) ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ はN2個 で あ る(3.1節

参 照).N=1の

で 詳 し く調 べ た.こ お よ びNψ

のpk≠0に

よ っ て 決 ま り,suppNφ=[0,2N−1]

場 合 はHaarの

系 と な る.N=2の

こ で は 一 般 の 場 合 に つ い て ま とめ る.以

下,簡

場 合 は4章 単 の た めNφ

を 単 に φ お よ び ψ と 書 く.

  ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ と マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト ψ は 次 の ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 を 満 た す.

(8.16)

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{pk}の0で で,こ

な い 要 素 はk=0,1,…,2N-1,の2N個

れ ら は 次 の 式 を 解 い て 求 め ら れ る.

(8.17) (8.18) (8.19) 方 程 式 の 個 数 は2Nで

あ る か ら 解 け る が,N＞1で

つ う こ の う ち す べ て のpkが に は 決 ま ら な い.上 {p0,p1,…,p2N-1}が

実 数 値 を と る 解 が 選 ば れ る.し

の 方 程 式 系 は 変 換pk→p2N-1-kに 解 で あ れ ば,こ

も ま た 解 で あ る.こ

の う ち の1つ

  上 の 式 の 導 き 方 は4章

ま りP(1)=1か

関 し て 不 変 で あ る か ら,

を 選 ん で{pk}が

で 見 たN=2の

か し実 数 解 も 一 意 的

の 順 を 逆 に 並 べ た{p2N-1,p2N-2,…,p0} 決 め ら れ る.

場 合 と 同 様 で あ る.こ

拡 張 す る と き の い くつ か の 注 意 点 を 述 べ る.ま た 式(8.10),つ

は 一 般 に 複 数 の 解 が あ る.ふ

ず,式(8.17)は

ら 得 ら れ る.こ

こ で はNに 前 の節 で導 い

れ は ス ケー リング関 数 やマ

ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トが 直 交 で あ る か ど う か に 関 係 な く,ス

ケ ー リ ング 関 数 の

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 の み か ら 導 か れ る こ と に 注 意 し よ う.   次 に,式(8.18)は m≠0,か

ス ケ ー リ ン グ 関 数 の 直 交 条 件∫

ら 得 ら れ る(59ペ

ー ジ の 式(4.13)参

独 立 な 方 程 式 で な い の で 除 外 し た.し

照).た

φ(x)φ(x−m)dx=0, だ しm=0の

た が っ て こ れ ら はN-1個

場合 は の方 程式 で

あ る.   Daubechiesの 件(8.15)を

マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト ψ は モ ー メ ン トが0に 満 た す.こ

な る とい う 条

れか ら

と な る か ら,

と 書 け る.さ

ら にP(−1)=0か

で あ る が,こ

れ は 上 の 式 でl=0の

式(8.19)で,N個

ら

場 合 に 対 応 す る.こ

の 式 か ら 成 っ て い る.こ

う し て2N個

れ らを ま とめた の が の 未 知 数pk,k=0,

1,…,2N−1,に  

N=3の

つ い て2N個

の 式 が 得 ら れ た.

と き の 解 は 次 の よ う で あ る.

(8.20)

  suppφ=[0,2N-1]で

あ る か ら,整

2N−1,が

れ ら は ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係

問 題 と な る.こ

数 点 に お い て φ(n),n=0,1,2,…,

か ら 求 め ら れ る.   ま ず,こ

の 式 でx=0お

よ びx=2N-1と

で あ る か ら,p0≠0,p2N−1≠0か

お け ば,そ

ら φ(0)=0,φ(2N−1)=0と

が っ て φ(n),n=1,2,…,2N−2,の2N−2個 ら に つ い て の 方 程 式 は 次 の よ う で あ る.

れ ぞれ

な る.し

た

の 値 を 求 め れ ば よ い.こ

れ

(8.21)

8.3 

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列 の 別 解 法

  Daubechiesの

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{pk}は

れ る が,Nが で は{pk}を

式(8.17)−(8.19)を

解 いて得 ら

大 き く な る に つ れ て こ の 方 程 式 系 は 解 く の が 難 し く な る.こ

こ

計 算 す る 別 の 方 法 を 示 す.

  こ の 方 法 は,式(8.9)をP(z)に を 求 め る も の で あ る.こ

つ い て の 方 程 式 と 見 て,こ

れ を 満 た すP(z)

こで

(8.22) はzの2N−1次

多 項 式 で あ る が,こ

れを

(8.23) と 置 け ば,W(z)はzのN−1次 盾 し な い た め の 条 件P(1)=1よ

多 項 式 で あ る.ト

ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 が 矛

り,

(8.24) で な け れ ば な ら な い.   P(z)がz=−1に

お い てN位

の ゼ ロ を 持 つ と い う式(8.23)は,Daubechies

の マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト が 満 た す モ ー メ ン トの 条 件 と 関 係 し て い る.こ 見 る た め に,マ

ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト ψ の フ ー リ エ 変 換

れ を

の導関数 を考 え よう.

こ れ を繰 り返 せ ば,l階

の 導 関 数 に つ い て 次 の 式 を得 る.

(8.25) こ の 式 よ り,モ

ー メ ン トが0に

な る と い う 条 件∫xlψ(x)dx=0,l=1,…,

N−1,は

(8.26) と な る.式(8.23)はψ(ω)∝Q(e-iω/2)=P(−z)よ

を 意 味 し,し

た が っ てdlψ(ω)/dωlは

こ と か ら,条

件(8.26)が

  式(8.9)を

解 く た め に,よ

を 思 い 起 こ そ う.両

で あ る.こ

り

少 な く と も(e-iω/2−1)N-lに

満 足 さ れ る の で あ る. く知 られ た ピ タ ゴ ラ ス の 定 理

辺 の2N−1乗

を と り θ=ω/2と

こで 二 項 定 理 を使 っ た.右 辺 の2N項

置 けば

の 和 を半 分 ず つ に分 け,二

係 数 の 定 義 か ら得 られ る 関 係

を使 え ば,上

比 例す る

の 式 は さ ら に次 の よ う に変 形 で き る.

項

こ こ で2つ

の 和 を そ れ ぞ れA(z)お

よ びB(z)の

と 置 い た.さ

ら にz=e-iω

と

置 いて

に注 意 す れ ば,初

は 実 数 値 の2N-1次

は 第1の で あ る.こ

めの和

ロ ー ラ ン 多 項 式 で あ る.ま

和 に お い てz→−zと

た,第2の

和

置 き換 え る こ と に よ っ て 得 ら れ,B(z)=A(−z)

の こ と か らA(z)=￨P(z)￨2と

置 け ば,式(8.9)が

満 た され る こ と

が わ か る.こ

こ で,共

通 因 子(cos2ω/2)Nを

取 り 出 せ る こ と に 注 意 し よ う.

(8.27) 結 局,式(8.23)は

と書 け る か ら,

(8.28) を満 た す よ う な

(8.29) を見 い 出 せ ば,式(8.9)が の 平 方 根 で あ るW(z)を   N=2の

満 た さ れ る こ とが わ か る.こ

う し￨W(z)￨2か

求 め る こ と を ス ペ ク トル 因 子 分 解 と い う.

と きは

よ り

と な り,解

は

を 得 る.こ

れ と(8.23)か

  N=3の

ら61ペ

ー ジ の 式(4.18)を

と きは

￨W(z )￨2=19/4−4/9(z+z)+3/8(z2+z2)=￨w0+w1z+w2z2￨2,z=e-iω

得 る.

らそ

より

と な り,解

は

(8.30)

で あ る.こ

れ と 式(8.23)よ

ら れ た 結 果(8.20)と

りpkの

一 致 す る.参

  こ こ で 説 明 し た 方 法 で 求 め たpkの に 与 え ら れ て い る.付 値 が 使 わ れ る.以 レ ッ ト,分

考 の た め に,式(8.20)の

値 がN=2,…,10,に

属 のCD-ROMに

下 にDaubechies

解 数 列{gk}と{hk}を

特 性 を 示 す.以

値 を 求 め る こ と が で き る.こ

下 の 図 で,{hk}の

れ はすで に得

数 値 を 示 す.

つ い て 文 献[DB1]

収 め られ て い るプ ログ ラ ム で は こ の 数 Nの

ス ケ ー リ ン グ 関 数,マ

ザ ー ・ウ ェ ー ヴ

デ ィ ジ タ ル ・フ ィ ル タ と 見 た と き の 周 波 数 位 相 特 性 は 太 い 実 線 で 示 さ れ て い る.

図8.1 

Daubechies

N=2の

関 数(上)と

分 解 数 列 の 周 波 数 特 性.

図8.2 

Daubechies

N=4の

関 数(上)と

分 解 数 列 の 周 波 数 特 性.

図8.3 

Daubechies

N=6の

関 数(上)と

分 解 数 列 の 周 波 数 特 性.

図8.4 

Daubechies

N=8の

関 数(上)と

分 解 数 列 の 周 波 数 特 性.

図8.5 

8.4 

Daubechies

N=10の

関 数(上)と

分 解 数 列 の 周 波 数 特 性.

Symlet

  前 節 で 説 明 した 方 法 で{pk},k=0,…,2N-1,の の 係 数w0,…,wN-1の が,N〓4の

満 た す 方 程 式(8.28),(8.29)を

と き は 解 は 一 意 的 に 決 ま ら な い.一

て 知 ら れ て い る ス ケ ー リ ン グ 関 数 は,解 る.こ

値 を 求 め る に は,式(8.29) 解 かなけ れ ば な らない

般 にDaubechiesの

の う ち￨pk￨＜1と

れ は 最 小 位 相 フ ィ ル タ に 対 応 す る が,そ

関数 と し

な る もの に対応 す

の結 果得 られる 関数や分 解 数列

は 対 称 性 を 持 た な い.   一 方,7.5節 め に は,分

で 見 た よ う に,サ

解 数 列 が 対 称 性(7.22)を

ブ バ ン ド分 解 の フ ィル タが 線 型 位 相 を 持 つ た 持 た な け れ ば な ら な い.完

つ 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト は 作 れ な い こ と が 知 ら れ て い る が[DB1] 解 の 中 か ら な る べ く対 称 に 近 い も の を 選 ぶ こ と が で き る.こ に よ っ て 得 ら れ た 別 の{pk}で,こ ト はsymletと

,一

意 的で ない

れ がDaubechies

れ に よ っ て 作 られ る マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ

呼 ば れ る.

  以 下 にSymlet ヴ レ ッ ト,分

壁 な対 称 性 を 持

N=4,…,10,に

解 数 列{gk}と{hk}を

対 応 す る ス ケ ー リ ン グ 関 数,マ

ザ ー ・ウ ェ ー

デ ィ ジ タ ル ・フ ィ ル タ と見 た と き の 周 波

数特 性 を示す.

図8.6 

Symlet

N=4の

関 数(上)と

分 解 数 列 の 周 波 数 特 性.

図8.7 

Symlet

N=6の

関 数(上)と

分 解 数 列 の 周 波 数 特 性.

8.5 

図8.8 

Symlet

N=8の

関 数(上)と

分 解 数 列 の 周 波 数 特 性.

図8.9 

Symlet

N=10の

関 数(上)と

分 解 数 列 の 周 波 数 特 性.

Coiflet

  Daubechiesの を 満 た す.し

マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト は モ ー メ ン ト が0に た が っ て,展

開 係 数 の 計 算〓∫Nψ(2jx−k)f(x)dxに

な る 条 件(8.15) おい

て,f(x)が

た か だ かN−1次

多 項 式 で あ れ ば〓=0と

な る.ス ケ ー リ ン グ

関 数 に も同様 の条 件 を 課 す と応 用 に 都 合 の よい こ とが あ る.Coifmanは

次 の条

件 を 課 す こ と を提 唱 し た.

(8.31) こ の 条 件 を 満 た す φ と対 応 す る マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト はDaubechiesに て 作 ら れ た.こ   8.3節

れ はCoifletと

し て 知 ら れ て い る.

に 示 し た よ う に,Daubechiesの

解{pk}は,式(8.9)を

を 見 い 出 す こ と に よ っ て 得 ら れ た.こ れ る が,一

意 的 に は 決 ま ら な い.前

任 意 性 を 見 た が,さ

よっ

ら に,方

満 た すP(z)

の と き の 解￨P(z)￨2は(8.27)で

の 節 で は￨P(z)￨2か

程 式(8.9)の

解 は(8.27)で

らP(z)を

与 え ら 得 る ときの

一 意的 に決 まらない と

い う 任 意 性 が あ る.   こ れ を 見 る た め に,cos2ω/2=xと

置 く.式(8.27)の

の 関 数 と 見 て,こ

す る.

れ をR(1−x)と

す る と,￨P(−z)￨2は￨P(z)￨2に

右 辺 の 和 をsin2ω/2=1−x

お い てcos2ω/2=xとsin2ω/2=1-xを

え て 得 ら れ る か ら,￨P(−z)￨2=(1−x)NR(x)と

書 け,結

入 れ換

局,式(8.9)は

(8.32) と な る.こ

の 方 程 式 の 解 の1つ

をR(x)と

xの 多 項 式 を足 して も ま た 解 で あ る.つ こ の 解 をxNT(x)と

と な る.つ

な る よ うな

ま り,こ の 方 程 式 に は 斉 次 解 が あ る.

置 け ば,

ま りT(x)が

を 満 た す と き,一   Coifletは

し,こ れ に右 辺 が0に

般 解 はR(x)+xNT(x)で

与 え ら れ る.

こ の 自 由 度 を 利 用 し て 作 ら れ る.以

の ス ケ ー リ ン グ 関 数,マ

下 にCoiflet

N=4,6,8,10,

ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト,分 解 数 列{gk}と{hk}を

ジ タ ル ・フ ィ ル タ と 見 た と き の 周 波 数 特 性 を 示 す.

デ ィ

図8.10 

Coiflet N=2の

関 数(上)と

分 解 数 列 の 周 波 数 特 性.

図8.11 

Coiflet N=4の

関 数(上)と

分 解 数 列 の 周 波 数 特 性.

図8.12 

Coiflet N=6の

関 数(上)と

分 解 数 列 の 周 波 数 特 性.

図8.13 

Coiflet N=8の

関 数(上)と

分 解 数 列 の 周 波 数 特 性.

9章  ス プ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト 

  カ ー デ ィナ ル ・ス プ ラ イ ン は,多 項 式 を 変 数 の 整 数 値 の 点 で つ な ぎ 合 わ せ て作 られ る.隣

り合 う整 数 点 の間 でm−1次

式,つ

な ぎ 目で

m−2階 の 微 分 係 数 ま で が 連 続 で あ る よ う な カ ー デ ィナ ル ・ス プ ラ イ ン の 空 間 の 基 底 と な る の が,m階 ス プ ラ イ ン で あ る.こ

の 章 で は,カ

の(ｍ−1次

の)カ ー デ ィナ ルB

ー デ ィナ ルBス

プ ラ イ ン とそ れ

に基 づ く コ ンパ ク ト ・サ ポ ー トの ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 一 般 論 を 与 え る. リ フ ァ レ ン ス と い う位 置 づ け の 章 で,こ の 理 論 の 詳 細 を必 要 と し な い 読 者 は跳 ば して も よい.

9.1 

カ ー デ ィ ナ ルBス

プ ラ イン

  ス プ ラ イ ン と は も と も と船 舶 の 設 計 な ど に使 わ れ た 自在 定 規 の こ とで あ る. 船 体 は 曲線 か ら な っ て い る が,こ うな 方 法 が 用 い ら れ た.板

れ を 図 面 に 描 い た り部 材 を切 る と きに 次 の よ

に 曲線 を描 き,曲 線 上 の 何 点 か に釘 を打 つ.そ

の釘

に 沿 っ て 帯 状 の鋼 鉄 製 の 自在 定 規 を 当 て る と,釘 の 位 置 を 滑 ら か につ な ぐ 曲 線 が 描 か れ る の で あ る.こ

の 曲 線 は ス プ ラ イ ン曲 線 と呼 ば れ,釘

の位 置 は 節 点 と

呼 ば れ る.   数 学 的 に 表 現 す れ ば,ス 節 点 間 は3次

曲 線,節

プ ラ イ ン 曲 線 は節 点(xk,yk),k∈Z,を

点 で2階

の 微 分 係 数 ま で が 連 続 で あ る.曲 線 の 形 は 自

在 定 規 の 剛 性 に よ る歪 エ ネ ル ギ ー が 最 小 に な る よ う に決 ま る.こ に3次 線,節

曲線 と な る の で あ る.さ 点 でm−2階

通 る 曲線 で,

ら に こ れ を 一 般 化 して,節

う して 区 分 的

点 間 がm−1次

曲

微 分 係 数 まで が 連 続 で あ る よ う なm−1次(m階)の

プ ラ イ ンが 定 義 さ れ る.自

在 定 規 で 得 ら れ た ス プ ラ イ ン 曲 線 は3次

ス の スプ ラ

イ ン とい う こ と に な る.   節 点 が 連 続 す る 整 数 で あ る(xk=k∈Z)よ ス プ ラ イ ン と い う.m−1次

う な ス プ ラ イ ン を カ ーデ ィナ ル ・

の カ ー デ ィナ ル ・ス プ ラ イ ンの 空 間 をSmと

ば,Smの

関 数f(x)はk〓x＜k+1に

で あ る.ス

プ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トの理 論 で はm階

ラ イ ンNmが

使 わ れ る が,こ

お い てm−1次

れ は 空 間Smの

式,か

すれ

つf∈Cm-2

の カ ーデ ィナ ルBス

プ

基 底 関 数 で あ る.こ の節 で はNm

の 定 義 を 与 え る.   まずN1(x)の

を次 の よ う に定 義 す る.

(9.1) こ れ はHaarの m階(m−1次)の

ス ケ ー リ ン グ 関 数 の 定 義(2.5)と カ ー デ ィ ナ ルBス

同 じ で あ る.こ

れ を使 っ て

プ ラ イ ンNmは

(9.2)

と再 帰 的 に 定 義 さ れ る.左 辺 を右 辺 に代 入 し,こ れ を再 帰 的 に繰 り返 す こ とに

よ り,Nmはm個

のN1の

畳 み 込 み で あ る こ とが わ か る.

(9.3)

  再 帰 的 定 義(9.2)や して い な い.切 が で き る.切

畳 み 込 み(9.3)は

実 際 の 計 算 に 必 ず し も都 合 の よ い 形 を

断 ベ キ 関 数 を使 う とNm(x)を

も う少 し実 際 的 な 形 で 表 す こ と

断 ベ キ 関 数 は 次 の よ う に 定 義 さ れ る.

(9.4) 図9.1に

切 断 ベ キ 関 数 の 例 を 挙 げ る.

図9.1 

  定 義(9.4)か

切 断 ベ キ 関 数 の例.

ら明 らか に

(9.5) で あ る.〓

はm−1回

微 分 可 能 な 関 数 で あ る(〓

∈Cm-1).ま

た,次

の式

が 成 り 立 つ.

(9.6)   切 断 ベ キ 関 数 を使 っ て,m階

の カ ー デ ィナ ルBス

プ ラ イ ン(9.3)は

次 の よ

う に 表 さ れ る.

(9.7)

こ の 式 か ら,Nmは てm階

のBス

区 分 的 にm-1次

式 で 表 され る こ と が わ か る.し

プ ラ イ ンNmはm−1次

  い くつ か 例 を 挙 げ る.ま

のBス

ずm=1に

たが っ

プ ラ イ ン と も呼 ば れ る.

つ い て は,以

下 の よ う に 定 義 式(9.1)

が 得 ら れ る.

それ以 外

それ 以外 こ れ は 図2.3に  

m=2の

示 す も の で あ る.

場 合 は 次 の よ う に な る.

そ れ以外

それ 以外 こ れ は 図5.1に  

m=3の

示 さ れ て い る.

場 合 は 次 の よ う に な る.簡

単 の た め,2N3(x)に

つ い て の 式 を 示 す.

それ以外

そ れ以外 こ れ は2次

の ス プ ラ イ ンで あ る が,図9.2に

示 す よ う に 区 分 的 に2次

式か ら

な っ て い る.

図9.2 

  式(9.7)を

定 義 式(9.2)か

3階Bス

プ ラ イ ンN3(x).

ら 導 こ う.ま ず,任

意 のf∈L2(R)に

つ い て次 の

恒 等 式 が 成 り立 つ こ と に注 意 す る.

(9.8) こ の 式 は 数 学 的 帰 納 法 に よ っ て 証 明 で き る.ま

を 得 る か ら,m=1に

ず,(9.1)か

つ い て は 上 の 式 が 成 り立 つ.次

ら

にm−1の

とき上の 式

が 成 り立 つ と 仮 定 す る.ま

こ こでyを

固 定 す れ ばf(x+y)はxの

とな る か ら,こ れ をyに

こ れ は(9.8)に

 次 に,gを

ず,(9.2)よ

り次 の 式 を 得 る.

関 数 と見 な す こ とが で き,仮 定 に よ り

つ い て 積 分 す れ ば 次 の 式 と な る.

ほ か な ら な い.

あ る 関 数 と し,g(m)を

そ のm階

の 導 関 数 とす る.こ

の と き次 の

式 が 成 り立 つ.

2階 の 導 関 数 に つ い て も 同 様 の 式 が 成 り立 つ.

こ れ を一 般 化 す れ ば 次 の 式 と な る.

(9.9)   こ こ でg(t)=(−1)m(x−t)〓/(m−1)!と

次 の よ う に な る こ とが わ か る.

置 く.こ

の 導 関 数 は(9.6)か

ら

(9.10) こ こ で,式(9.8)と(9.9)に

左 辺 は(9.10)に

  m階

置

く.

よ り

とな っ て(9.7)を

9.2  Bス

お い てf(x)=g(m)(t)と

得 る の で あ る.

プ ラ イ ン の性 質

のBス

プ ラ イ ンNmは

い くつ か の 重 要 な性 質 を持 つ.以

下 に これ を ま

とめ る. ■サ ポ ー ト

(9.11) ■全 正 値 性

(9.12) ■規 格 化 (9.13) ■1の

分 解

(9.14) ■節点 における値 の和

(9.15) ■漸

化

式

(9.16) ■微 分 公 式

(9.17) ■サ ポ ー ト中 心 に 関 す る対 称 性

(9.18)   以 下 に,こ

れ ら の 式 を 証 明 し よ う.ま

で あ ろ う.あ

る い は(9.16)に

か ら も わ か る.全

よ り,サ

ず サ ポ ー ト(9.11)は

ポ ー ト はmと

正 値 性(9.12)は,式(9.7)と

か ら 明 ら か で あ る.規

定 義 か ら明 らか

と も に1ず

つ増 え るこ と

切 断 ベ キ 関 数 の 全 正 値 性(9.5)

格 化(9.13)は,式(9.8)に

お い てf(x)≡1と

置 け ば直

ち に 得 ら れ る.   1の 分 解(9.14)は(9.2)よ

こ こ で 変 数 変 換t=−y+kを

り,次

の よ う に 示 さ れ る.

行 い,最

後 の 積 分 はxの

規 格 化 の 式(9.13)を

使 っ た.1の

を 図9.3に

れ よ り,す べ て のk∈Zに

示 す.こ

f(x)=〓Nm(x−k)=1と

値 に よ らない こ と と

分 解 の 意 味 を見 る た め に〓N3(x−k) つ い て〓=1と

な る こ とが 理 解 さ れ よ う.

図9.3 

3階Bス

プ ラ イ ン を数 個 連 ね る.

置けば

  節 点 の 値 の 和(9.15)は1の す べ て のkに

分 解(9.19)に

つ い て の 和 で あ る か ら,k→-kと

  微 分 公 式(9.17)は(9.2)よ

お い てx=0と

置 け ば 得 ら れ る.

置 き換 え て も 等 式 は 成 り立 つ.

り,

と な る.   次 に,漸

化 式(9.16)を

導 こ う.計 算 を 簡 単 に す る た め に次 の 後 方 差 分 を 定

義 す る.

こ こ でΔ1=Δ

で あ る.こ

れ を 閉 じた 形 で 表 せ ば

(9.19) と な る.い

く つ か の 例 を 挙 げ る,

2つ の 関 数 ∫ とgに

つ い て は 次 の 式 が 成 り立 つ.

これ を一 般 化 す る と次 の よ う な ラ イ プ ニ ッ ッ の 公 式 と な る.

(9.20)  後 方 差 分 を使 う と(9.7)のNmは

次 の よ う に 表 され る.

(9.21) 次 の 式 が 成 り立 つ こ と に 注 意 し よ う.

た と え ば△2x=x-2(x−1)+(x−2)=0で

あ る.さ

ら に,切

断ベ キ 関数 に

つ い て は 明 らか に

が 成 り立 つ.こ

れ ら の こ と を使 っ て,次

こ う して(9.16)が

証 明 さ れ た.

  最 後 に対 称 性(9.18)を 義(9.1)か

の よ う に 式 を変 形 す る こ とが で き る.

ら明 らか に

数 学 的 帰 納 法 に よ っ て 証 明 す る.m=1の

場合 は定

が 成 り 立 つ.m−1に

つ い て

が 成 り 立 つ と 仮 定 す る.す

こ れ で 対 称 性(9.18)が

る と,(9.2)と

よ り,

証 明 さ れ た.

9.3 

ト ゥ ー

・ス ケ ー ル 関 係

  m階

のBス

プ ラ イ ンNmの

に つ い て は79ペ

変 数 変 換t→u=1-tに

フ ー リ エ 変 換 は 簡 単 に 計 算 で き る.ま

ー ジ の(6.6)に

示 し た よ う に,直

ずm=1

接 積 分 を 実 行 で き る.

(9.22) こ の 結 果 と(9.3)と

か ら,次

の 式 を 得 る.

(9.23) こ の 式 の 応 用 と して,た

 カ ー デ ィ ナ ルBス

と え ば 規 格 化 の 式(9.13)が

プ ラ イ ンNm(x)は

得 られ る.

次 の ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係 を 満 た す.

(9.24)

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列{pk｝ で き る.ト

は こ の 式 の フ ー リエ 変 換 を と る こ と に よ っ て 計 算

ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列 の 多 項 式 は96ペ

と 定 義 さ れ る.こ

と な る.こ

れ を 使 っ て,ト

こ で(9.23)を

ー ジ の(7.1)の

ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係(9.24)の

よ う に,つ

ま り

フ ー リエ 変 換 は

使 え ば

(9.25) と な る が,右

辺 を 二 項 定 理 に よ っ て 書 き換 え れ ば次 の 式 と な る.

こ の 結 果 か ら ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列 が 求 め ら れ る.

(9.26) そ の ほ か の す べ て のkに

9.4 

双 対Bス

つ い てpk=0で

あ る.

プ ラ イ ン と ス プ ラ イ ン

 一 般 化Euler‐Frobeniusロ う.式(7.6)と(9.23)か

・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト

ー ラ ン 多 項 式(7.8)を ら 次 の 式 を 得 る.

φ=Nmに

つ い て求 め よ

こ れ はk=−m+1,…,m−1に

つ い て の み0で

な い か ら,(7

.8)は

次 の よ

う に な る.

(9.27)   n∈Z次

のEuler‐Frobenius多

項 式 は 次 の よ う に 定 義 さ れ る.

(9.28) こ こ で〓

はxを

超 え な い 最 大 の 整 数 を表 す.nが

奇 数 の と きはn=2m−1

と置 い て

(9.29) と 表 せ る.こ

れ はzの2m−2次

に お け る 値 で あ る.式(9.27)に

多 項 式 で,係

数N2m(k+1)はNmの

お け るENm(z)は,こ

整数 点

のEuler‐Frobeniusの

多 項 式 を 使 っ て 次 の よ う に 表 さ れ る.

(9.30)  Nmに

双 対 なBス

プ ラ イ ン は109ペ

ー ジ の(7.34)に

お い てEφ=ENmと

置 く こ と に よ っ て 得 ら れ る.

(9.31) ま た,式(9.30)を る.こ

使 っ て,99ペ

の と き(7.12)に

ー ジ の 式(7.12)よ

お け るm∈ZをNmの

り{qk}な 階 数mと

どの数列 が 決 ま

同 一 視 す る.

こ う し て{qk}は

次 の よ う に な る.

(9.32) し た が っ て,マ

ザ ー ・ ウ ェ ー ヴ レ ッ ト は 次 の よ う に 決 ま る.

(9.33) カ ー デ ィ ナ ルBス り,マ

プ ラ イ ンNmの

サ ポ ー トがsuppNm=[0,m]で

ある こ とよ

ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の サ ポ ー ト は

(9.34) とな る こ とが わ か る.マ の 直 交 性 は100ペ

ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト ψNmと

ス ケ ー リ ング 関 数Nm

ー ジの 一 般 的 な 議 論 に よ っ て 示 さ れ て い る.

9.5  基 本 ス プ ラ イ ン   m階

の 基 本 ス プ ラ イ ンLm(x)は,x=j∈Zの

とき

(9.35) を満 た す 関 数 で あ る.こ

れ は 次 の よ う なNmの

線 型 結 合 と して 構 成 す る こ と

が で き る.

(9.36) 係 数〓

は 式(9.35)が

満 た さ れ る よ う に 選 ば れ る.こ れ を 求 め る た め に,次

の 多 項 式 を定 義 す る.

(9.37) ま た,(9.28)よ

り

で あ る こ と に 注 意 す る.式(9.35)と(9.36)か

の そ れ ぞ れ の 辺 にzjを

ら得 られ る 式

掛 け て 和 を とる.

左辺は

と書 け る か ら,

(9.38) で あ る こ と が わ か る.右 に よ り,係 数〓

辺 をzの

f∈Smが

形 に表 す こ と

の 値 を 読 み と る こ とが で き る.

 任 意 の 関 数f0∈Smは

と 表 せ る.逆

べ キ 級 数 に展 開 して(9.37)の

基 本 ス プ ラ イ ン(9.36)に

にf(k),k∈Z,が

求 め ら れ る が,こ

よ って

与 え ら れ た と き,こ のf0はf(k)を

の 式 に よって連 続 関数

補 間 す る 関 数 で あ る.式(9.36)

か ら

mが 偶 数 の と き  (9.39)

 

 

mが

奇数のとき

mが

偶数の とき

mが

奇数 の と き

 (9.40)

こ の 式 か ら,特

にmが

偶 数 の と きf0(x)は42ペ

準 的 な形 と な る こ とが わ か る.mが で はm=2,4,に

ー ジ の 式(3.3)の

よ うな標

奇 数 の と き は多 少 の 工 夫 を要 す る.以下

つ い て 具 体 的 な 式 を 導 く.

9.6  分 解 数 列   カ ー デ ィナ ルBス は,99ペ

プ ラ イ ンNmを

ー ジ の 式(7.12)よ

ス ケ ー リ ン グ 関 数 とす る と き の 分 解 数 列

り

(9.41) に よ っ て 与 え ら れ る.1/ENm(z2)はm＞2の て,応

と き 無 限 数 列 と な る.し

たが っ

用 で は

(9.42) の よ う にz±nの

項 ま で の 有 限 項 の 和 で 近 似 す る.nは

な る べ く元 の 信 号 に 近 く な り,か  

mが

分 解 ・再 構 成 の 結 果 が

つ 計 算 効 率 が 悪 く な ら な い よ う に 選 ば れ る.

偶 数 の と き,1/ENm(z)=(2m−1)!zm-1/E2m-1(z)は

し て 計 算 す る.E2m-1(z)はzの2m-2次 はm−1次

多 項 式 で あ る か ら,E2m-1(z)/zm-1

ロ ー ラ ン 多 項 式 と な る が,Nmの

の 値 は 等 し い.し

一 般 に次 の よ う に

対 称 性(9.18)よ

た が っ て,aiをE2m-1(z)=0の1つ

iも ま た 根 で あ る.こ

う し てE2m-1(z)は

り,z±kの

係 数

の 根 と す れ ば,a

次 の 形 に 書 け る.

(9.43) した が っ て,部

分 分 数 に 分 解 す れ ば 次 の 式 を得 る.

(9.44)

(9.45) (9.46) 以 下 で,こ

9.7 

れ を 使 っ て 具 体 的 に計 算 を行 う.

2階Bス

プ ラ イン

  ス ケ ー リ ン グ 関 数 を φ=N2と 的 な 立 場 か ら 考 え た.こ

置 い た と き に つ い て は,す

の 式(5.15)の

示 し た 通 り で あ る.ま よ う に な る.補

と な り,こ

れ よ り(9.37)に

と な る.よ

っ て(9.40)は

で,こ

れ は 式(5.14)に

を 解 け ば,根

の1つ

らpk=2-1〓 た,数

で,こ

列{qk}は(9.32)か

間 公 式 を 得 る に は,式(9.38)よ

れ は70ペ ら76ペ

り

お いて

ほ か な ら な い.

  双 対 ス ケ ー リ ン グ 関 数N2を らEN2(z)=E3(z)/3!zで

で直感

こ で は 以 上 の 形 式 的 な 議 論 か ら い く つ か の 式 を 導 く.

ま ず ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列 は,式(9.26)か ジ の 式(5.7)に

で に5章

求 め る に は 多 少 の 計 算 を 要 す る.式(9.30)か

あ る か ら,

はa1=√3−2で

あ る.し

た が っ て,式(9.43)は

ー ー ジ

と な る.し

た が っ て,式(9.44)よ

り

(9.47) と な る.こ

う し て 双 対 ス ケ ー リ ン グ 関 数(9.31)は

と な る が,こ

れ をフ ー リエ逆変 換す れ ば

で,こ

れ は71ペ

9.8 

4階Bス

ー ジ の(5.9)で

プ ラ イ ン

  ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ を4階 数 列,式(9.26)か

あ る.

の ス プ ラ イ ンN4と

列{qk}は(9.32)か

で あ る.補

間 公 式 を 求 め る た め に,式(9.38)よ

と な る.補

ゥ ー ・ス ケ ー ル

ら

で あ る.数

で あ る が,こ

す る と,ト

れ は(9.47)に

間 公 式(9.40)は

ら

与 え ら れ て い る.し

り

たが って

次 の よ う に な る.

(9.48)

こ こ で,実

際 に は￨k￨＞5の

とき〓

  分 解 数 列{9k}と{hk}を

と し て よ い 近 似 が 得 ら れ る.

求 め る に は,式(9.41)に

級 数 と し て 表 さ な け れ ば な ら な い.一 方 程 式E7(z)=0を

で あ る.い

解 く.こ

般 処 方(9.43)に

よ り1/EN4(z)をzの し た が っ て,ま

ず 代 数

こで

ま

と置 け ば,式E7(z)/z3=0は

と な る.こ

れ は3次

で き る.解

は 次 の よ う で あ る.

こ れ よ りE7(z)=0の

方 程 式 の 標 準 形 で,Cardanoの

公 式 に よ っ て 解 く こ とが

根 は

(9.49) お よ び〓,i=1,2,3,で は 式(9.42)の

あ る.こ

よ う に 近 似 す る.い

れ を 式(9.44)に

適 用 す れ ば よ い.実

際 に

ま

と置 け ば,

(9.50) と な る.こ n=9で

の 式 か ら{gk}と{hk}の

よい 近 似 が 得 ら れ る[SK].

値 を 読 み と る こ とが で き る が,実

用上

10章

 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の 応 用

  この 章 で は ウ ェ ー ヴ レ ッ ト解 析 の 応 用 に 向 け て,ウ 基 礎 的 な性 質 を調 べ,ま

ェ ー ヴ レ ッ トの

た い くつ か 典 型 的 な信 号 の ウ ェ ー ヴ レ ッ ト解

析 を 行 う.ポ イ ン トは,信 号 を ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 に よ っ て 異 な る レ ベ ル の 関 数 に分 解 す る こ とで,そ

の様 子 は マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト に

よ っ て 多 少 の 違 い が あ る.レ ベ ル に分 解 で きれ ば,高

レベ ル,つ

まり

信 号 の 高 周 波 成 分 を ノ イズ と し て取 り除 い た り,逆 に そ れ に よ っ て信 号 に含 ま れ る異 常 性 を検 出 した りで き る.論 に,こ

旨 を 具 体 的 にす る た め

こ で は 便 宜 上 高 周 波 成 分 を ノ イ ズ と して 扱 うが,こ

こでは ノイ

ズ そ の もの を問 題 に して い る わ け で は な く,正 し くは デ ー タ の 平 滑 化 とい うべ き で あ る.

10.1 

ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 周 波 数 分 解

  離 散 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 に よ る信 号 の 時 間 周 波 数 解 析 に お い て,信 関 数gjの

和

に分 解 され る.こ )で あ る.し

こ でgj(x)は

ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 線 型 結 合 Σk〓

ψ(2jx−k

た が っ て,分 解 され る様 子 は 基 に な る マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト ψ に

よ っ て 異 な る.ど の よ う な 違 い が も た ら され る か を知 る に は,ウ ψ 自体 が ど ん な 関 数 で あ る か を調 べ れ ば よい.そ 型 結 合,つ

号fは

ま りす べ て の係 数 を1と

ェー ヴ レッ ト

こ で こ の 節 で は 最 も簡 単 な線

置 い た と きの ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 線 型 結 合 を

作 り,そ の 特 徴 を 際 だ たせ る こ と に よ っ て,さ

ま ざ ま な ウ ェ ー ヴ レ ッ トを 図 式

的 に 調 べ る.   ウ ェ ー ヴ レ ッ トは そ れ 自体 が 振 動 的 な 性 質 を持 つ か ら,こ れ を並 べ れ ば 正 弦 波 に似 た信 号 に な る.も

ち ろ ん正 確 に は 正 弦 波 と な ら な い が,フ

ー リエ 変 換 に

よ っ て そ れ を 正 弦 波 と比 較 す る こ とが で き る.   す べ て1に

等 しい8個

の係 数

に よ る マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト ψ(x−k)の

お よ びg0(n/2),n∈Z,の を プ ロ ッ ト し て 調 べ る.さ

値 を 離 散 フ ー リ エ 変 換 し て 得 ら れ る￨g0(ω)￨,ω ら に,ス

を作 っ て プ ロ ッ トす る.こ れ は1の が,有

線型 結 合

ケ ー リ ン グ 関 数 φ(x−k)の

∈Z,

線型 結合

分 解 の 式 を部 分 的 に表 した もの に 相 当 す る

限 項 の 和 で あ る か ら両 端 部 に そ れ ぞ れ の マ ザ ー 関 数 の 特 徴 が 現 れ る.

■Daubechies 

2

図10.1 

図10.2 

Daubechies

図10.3 

  Daubechies

N=2の

Daubechies

に,g0(x)と￨g0(ω)￨を

関 数.

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を並 べ たg0(x)(左)と￨g0(ω)￨(右).

DaubechiesN=2の

N=2の

N=2の

ス ケ ー リ ン グ 関 数 を 並 べ たf0(x).

ス ケ ー リ ン グ 関 数 と マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を 図10.1 図10.2に

示 す.ψ(x)そ

の も の が 角 張 っ て い る た め,こ

れ を 並 べ た も の も 同 様 の 性 質 を 持 つ こ と が わ か る.図(右)に ペ ク ト ル は ピ ー ク を 持 つ が ,裾 る.図10.3に

はf0(x)を

シ ュ ー ト が 見 ら れ る.

野 が 広 が っ て い て,正

示 す が,中

示 す フ ー リエ ス

弦 波 と の ず れ を表 して い

央 部 は 平 坦 な も の の,両

端 で はオ ーバ ー

■ Daubechies 6

図10.4 

図10.5 

Daubechies

図10.6

  Daubechies

N=6の

Daubechies 

N=6に

Daubechies

関数

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を並 べ たg0(x)(左)と￨g0(ω)￨(右).

N=6の

つ い て,前

は 局 所 的 に 正 弦 波 に よ り 近 く,対 f0(x)の

N=6の

ス ケ ー リ ン グ 関 数 を 並 べ たf0(x).

と 同 様 の プ ロ ッ ト を 図10.4-6に 応 し て￨g0(ω)￨の

示 す,g0(x)

ピ ー ク も鋭 く な っ て い る が,

両 端 部 に は オ ー バ ー シ ュ ー トが 見 ら れ る.

  も っ と 大 き いNのDaubechiesに の サ ポ ー ト が 大 き く な る の で,オ し く はCD‐ROMの

つ い て も 似 た よ う な 傾 向 で あ る.φ

と ψ

ー バ ー シ ュ ー トの 幅 は 広 が る 傾 向 が あ る.詳

ノ ー トブ ッ ク を 参 照 さ れ た い.

■Symlet 

6

図10.7 

図10.8 

Symlet

N=6の

図10.9 

  Symlet

Symlet

N=6に

はDaubechies

N=6の

関 数.

ウ ェ ー ヴ レ ッ トを 並 べ たg0(x)(左)と￨g0(ω)￨(右).

N=6の

つ い て,前 N=6と

Symlet

ス ケ ー リ ン グ 関 数 を 並 べ たf0(x).

と 同 様 の プ ロ ッ ト を 図10.7-9に

同 様 で あ る が, g0(x)やf0(x)に

示 す.￨g0(ω)￨

はSymletの

対 称性

が 反 映 さ れ て い る.   も っ と 大 き いNに

つ い て も 似 た よ う な 傾 向 で あ る.詳

ノ ー ト ブ ッ ク を 参 照 さ れ た い.

し く はCD‐ROMの

■Coiflet 

6

図10.10 

図10.11 

Coiflet N=6の

図10.12 

  Coiflet N=6に に 対 称 性 がSymletよ

Coiflet

Coiflet

N=6の

関 数.

ウ ェ ー ヴ レ ッ トを 並 べ たg0(x)(左)と￨g0(ω)￨(右).

N=6の

つ い て,前

ス ケ ー リ ン グ 関 数 を 並 べ たf0(x).

と 同 様 の プ ロ ッ ト を 図10.10-12に

り さ ら に よ く な る よ う に 見 え る.

示 す.全

体 的

■Spline 

2

図10.13 

図10.14 

Spline m=2の

図10.15 

  以 下,カ す る.Spline

m=2の

関 数.

ウ ェ ー ヴ レ ッ トを 並 べ たg0(x)(左)と￨g0(ω)￨(右).

Spline m=2の

ー デ ィ ナ ルBス m=2に

Spline

ス ケ ー リ ン グ 関 数 を 並 べ たf0(x).

プ ラ イ ンNmと

つ い て,前

ψNmを

れ は 点 を 折 れ 線 で 結 ぶ 関 数 で あ る か ら,g0(x)は る.￨g0(ω)￨はDaubechies シ ュ ー ト を 生 じ な い.

N=2と

使 う場 合 をSplineと

と 同 様 の プ ロ ッ ト を 図10.13−15に

表記

示 す.こ

正 弦 波 と い う よ り三 角 波 で あ

似 て い る が,f0(x)の

両 端 部 に は オ ーバ ー

■Spline

4

図10.16 

図10.17 

Spline m=4の

図10.18 

  Spline m=4に

Spline m=4の

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を 並 べ たg0(x)(左)と￨g0(ω)￨(右).

Spline m=4の

ス ケ ー リ ン グ 関 数 を 並 べ たf0(x).

つ い て,前

が対 称 性 を 持 つ の でg0(x)は

関 数.

と 同 様 の プ ロ ッ ト を 図10.16-18に

示 す.ψ(x)

局 所 的 に 正 弦 波 に似 て い る よ うに 見 え,こ れ は点

を折 れ 線 で 結 ぶ 関 数 で あ る か ら,￨g0(ω)￨も 鋭 い ピー ク を持 つ.f0(x)の に は オ ー バ ー シ ュ ー トを生 じな い.

両端 部

10.2  周 期 的 な 信 号 の 分 解   前 節 で は ウ ェ ー ヴ レ ッ トを周 波 数 領 域 で 見 る こ と を試 み た が,こ

ん どはそ の

逆 に周 期 信 号 を ウ ェ ー ヴ レ ッ トに分 解 して み る.典 型 的 な 周 期 信 号 と して 単 一 の 正 弦 波 をサ ンプ ル して 得 られ る 離 散 デ ー タ を考 え る.

(10.1) こ れ を ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 に よ っ て 時 間 周 波 数 解 析 し よ う.マ レ ッ ト にDaubechiesを を 満 た す と し,式(6.35)に

使 う と き は,デ

デ ー タ の 個 数 が2n,n∈N,の る.マ

ー タ は 周 期 的 境 界 条 件(11.3節

よ っ て 補 間 関 数f0(x)を

タ の 個 数 は 半 分 に な る の で,デ

ザ ー ・ウ ェ ー ヴ

求 め る.分

ー タ の 個 数 を2の

べ キ 乗29に

整 数 倍 で あ れ ば,レ

ベ ルj=−nま

参 照)

解 に よ って デ ー し た.一

で 分解 で き

ザ ー 関 数 が ス プ ラ イ ン の と き は デ ー タ は 自 由 境 界 を 持 つ と し,し

て 任 意 の 個 数 の デ ー タ を 任 意 の レ ベ ル ま で 分 解 で き る.い を 使 っ て 得 た 結 果 を 以 下 に 示 す.マ

般 に,

たが っ

ろ いろ なマザ ー関数

ザ ー 関 数 に よ っ て 信 号 の エ ネ ル ギ ーが い ろ

い ろ な レ ベ ル に 分 散 す る 様 子 が わ か る.

図10.19 

単 一 正 弦 波 の 時 間 周 波 数 解 析(Spline

  レベ ルjの

関 数gjは{ψ(2jx−k)}k∈Zの

の 信 号f(n)の

サ ンプ リ ング 間 隔 を2j倍

f(n)=sinω0nの

周 波 数 が 見 か け 上2-j倍

m=4(左),m=2(右)).

線 型 結 合 で あ る か ら,こ に す る こ と に 対 応 す る.し に な る.見

れ は元

たが って

か けの 周波 数 が ナ イキ

ス ト周 波 数 π に等 しい の は

(10.2) と な る と き で,上 満 た さ れ る.こ

の 例 で は ω0=π/8で の た め,レ

最 も 顕 著 な の は,周 で,ほ

ベ ルj=−3に

あ る か ら,j=−3の

と きに こ の 条 件 が

エ ネ ル ギ ー が 集 中 し て い る の で あ る.

波 数 分 解 能 の よ いSpline m=4を

使 っ た 場 合(図10.19)

か の 関 数 で は 一 般 に 複 数 の レ ベ ル に エ ネ ル ギ ー が 分 散 す る 傾 向 が あ る.

特 にDaubechiesの

図10.20

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト を 使 う と そ の 傾 向 が 強 い.

 単 一 の 正 弦 波 の 時 間 周 波 数 解 析(Daubechies

図10.21 

正 弦 波1つ(左)と2つ

N=6(左),N=2(右)).

の 合 成 信 号(右)(Spline m=4に

よ る)

 図10.21(左)に

示 す の は,離

散信 号

の 場 合 で,式(10.2)か

らj=−log2(8/1.7)〓−2

はj=−2,−3の2つ

の レ ベ ル に 分 か れ て い る.

  一 方,図10.21(右)に

の 場 合 を 示 す.こ

.23で

あ る か ら,エ

ネル ギー

は離散信 号

の 場 合 も エ ネ ル ギ ー はj=−2

て い る が,図10.21(左)と

,−3の2つ

の レベ ル に 分 か れ

は 様 子 が 違 っ て い る.

10.3  パ ル ス の 分 解  今 度 は 正 弦 波1周

期 だ け か ら な る信 号 を パ ル ス の 一 例 と して と りあ げ る.

そ れ以外

のn=0か

図10.22

ら127ま

で の 離 散 信 号 で,そ

 正 弦 波 パ ル ス の 解 析(Daubechies

 (10.3)

の 時 間 周 波 数 解 析 を 図10.22に

N=2(左),N=6(右)に

示 す.

よ る).

図10.23

 正 弦 波 パ ル ス の 解 析(Spline m=4),{〓}(左),gj(x)(右)を

  図10.23(左)で,Spline

m=4を

使 っ た と き に,レ

ス パ イ ク が 左 に よ る 傾 向 が あ る.こ ベ ル ｊ=−1

,−2,…,は

す る と,一 般 にgj(x)よ の 他 す べ て〓=0と

れ は 図10.19で

展 開 係 数{〓}を

ロ ッ ト し た の が 図10.24-25で

ベ ル が 下 が る につ れ て

も 見 ら れ た 現 象 で あ る.レ

ス パ イ ク状 の 棒 グ ラ フ と して 表 示

り左 に 現 れ る.こ し て,こ

表 示.

の こ と を 見 る た め に,〓=1,そ

れ を 対 応 す るg0(x)=ψ(x−1)と あ る.ス

プ ラ イ ン に お い て〓

と もにプ は ψ(x−1)の

サ ポ ー ト の 左 端 に 位 置 す る こ と が わ か る.

図10.24 〓=1に

図10.25 〓=1に

よ る ス パ イ ク と,対

応 す るg0(x)の

よ る ス パ イ ク と,対

応 す るg0(x)の

プ ロ ッ ト(Daubechies).

プ ロ ッ ト(Spline).

  デ ー タ の 個 数 が 大 き い と き は こ の 違 い は 問 題 に な ら な い が,デ い と き は 関 数gj(x)を り にgj(x)で

示 した.た

独 立 に 選 び,gj(x)の

図10.26 

図 示 した ほ うが よ い.図10.23(右)で だ し,各

き る.実

れ は 図10.19と

際,f-2(x)は

の 信 号 とf-2(x)の

原 信 号(上)とf-2(x)(下)の

パ ル ス(10.3)が

j〓−3のgj(x)を

代わ

形 が よ くわ か る よ う に表 示 した.

図10.27 

分 解 さ れ る.こ

は{〓}の

レベ ル の 縦 軸 の 目盛 りは そ れ ぞ れ の レベ ル で

正 弦 波 とパ ル ス の 重 畳 信 号 の 時 間 周 波 数 解 析(Spline

  正 弦 波(10.1)に

ー タ量が 少 な

m=4に

よ る).

比 較.

重 畳 さ れ て い る 信 号 は,図10.26の

図10.23か

分 け る こ と に よ っ て,正

ら 予 想 が つ く が,レ

よ うに

ベ ルj〓−2と

弦 波 とパ ル ス を分 離 す る こ とが で

パ ル ス の 成 分 を あ ま り含 ん で い な い.図10.27に,元 パ ル ス の 近 傍 を 比 較 す る.

10.4  ノ イ ズ の 分 解

  ノ イ ズ の 例 と して,区

間[−1,1]内

で 均 一 に 分 布 す る 乱 数 をデ ー タ と して,

こ れ を時 間 周 波 数 解 析 した もの を 図10.28に σ=0.5の

図10.28 

た,図(右)は

標準偏 差

正 規 分 布 に した が う乱 数 を デ ー タ と した 時 間 周 波 数 解 析 で あ る.

乱 数(左)と

図10.29    信 号(10.1)に,ノ

正 規 分 布 に した が う乱 数(右)と

の 時 間 周 波 数 解 析(Spline

正 弦 波 と正 規 分 布 に した が う乱 数 の 重 畳 信 号(Spline イ ズ と し て 標 準 偏 差 σ=0.5の

を 載 せ た デ ー タ の 時 間 周 波 数 解 析 を 図10.29に てf-2(x)を

示 す.ま

と れ ば,ノ

4).

4)

正 規 分 布 に した が う乱 数

示 す.初

め の2レ

イ ズ が あ る 程 度 と れ る(図10.30下).し

ベル を捨 て か し,レ

ベ

ルj=−3に

混 じ っ て い る ノ イ ズ は と れ な い.

図10.30 

正 弦 波 と乱 数 の 重 畳 信 号(上)か

  次 は,図1.2に す.g-1(x)は

ら ノ イ ズ を取 り除 く(下).

示 し た 信 号 に ノ イ ズ を 重 畳 した も の で,こ 明 ら か に ノ イ ズ で あ る.こ

の レベ ル のg-2(x)を

取 り 除 い たf-2(x)を

れ を 取 り 除 い たf-1(x)と,さ 図10.32に

高 周 波 成 分 が 分 離 で き な い よ う に も 見 え る が,図10.33に (下)で

も,詳

図10.31 

細 に 見 れ ば 元 の 信 号(上)よ

図1.2の

図10.32 

れ を 図10.31に

示 す.そ

らに次

れ ほ ど うま く

示 す よ う に,f-1(x)

り 滑 ら か で あ る.

信 号 と正 規 分 布 に した が う乱 数 の 重 畳 信 号(Spline

図1.2の

示

信 号 と乱 数 の 重 畳 信 号 か ら ノ イ ズ を取 り除 く.

4)

図10.33 

ノ イ ズ を取 り除 い た 信 号 の一 部 の 詳 細.

10.5 異 常性 の検 出   ノ イ ズ は 信 号 に 含 ま れ る不 要 な高 周 波 成 分 で あ るが,信

号 に隠 れて いる異常

性 を発 見 す る に は 高 周 波 成 分 が 役 に立 つ.図10.34は2階

の スプ ラ イ ンN2か

ら作 った 離 散 デ ー タ で あ る が,ウ

ェ ー ヴ レ ッ トが 元 の 関 数N2(x)の

折 れ曲が っ

て い る 点 を 見 い 出 し た.

図10.34 

異 常 性 の 検 出(Daubechies

 も っ と顕 著 な 例 と して,4階

の ス プ ラ イ ンN4を

の よ う に サ ン プ リ ン グ し て 得 ら れ た デ ー タ と,そ 使 っ て 分 解 し た{〓}を N4(x)は

連 続 で あ る が,そ

図10.35に の3階

N=8).

示 す.137ペ

れ をDaubechies ー ジ の(9.7)に

の 導 関 数 はx=0,1,2,3,で

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト解 析 で こ れ を 見 い だ す こ と が で き た.

N=8を 見 る よ う に, 不 連 続 で あ る.

図10.35 

異 常 性 の 検 出(Daubechies

N=8).

10.6  ピ ー ク の 検 出   実 験 で 測 定 し たデ ー タに お い て,ピ ー ク の 位 置 と高 さ を な る べ く正 確 に 読 み と りた い と い う こ とが しば しば 起 こ る.た 定 し よ う.こ の デ ー タ は4000個

と え ば 図10.36の

の 実 数 か ら な っ て い る.実

は 右 の 図 の よ う に ノ イ ズ を含 ん で い て,こ

よ う なデ ー タ を想 際 に は測 定 デ ー タ

の デ ー タ か ら左 側 の よ うな 理 想 的 な

デ ー タ に 近 い もの を 取 り出 した い.

図10.36 

  図10.37に

成 分(横

軸 の150以

イ ズ と 信 号 は レ ベ ル−3を

境 に分か

般 的 な フ ー リ エ 解 析 に よ っ て も う ま く信 号 を 分 離 で き そ う で

際,図10.38に

が￨f(n)￨＜1.2で

の ピ ー ク を 持 つ デ ー タ と ノ イ ズ が 混 入 し た デ ー タ.

示 す 時 間 周 波 数 解 析 か ら,ノ

れ て い る か ら,一 あ る.実

3つ

見 る よ う に,離 上 の 領 域)は

散 フ ー リ エ 変 換f(n)に

あ る と きf(n)=0と

ノ イ ズ で あ ろ う.そ

ー リエ 変 換 の 値

置 い て 高 周 波 成 分 を 取 り 除 く.こ

逆 変 換 し て 信 号 を 再 構 成 し た の が 図10.39(上)で ト変 換 を 使 う 方 法 で は,図10.37を

見 る と,初

る.こ

図10.39(下)に

れ ら を 取 り 除 い たf-3(x)を

こ で,フ

お いて高 周波

あ る.一 め の3レ

方,ウ

れ を

ェー ヴ レッ

ベ ルが主 に ノイズで あ

こ れ を 示 す.一

般 に,フ

ー

リエ 解 析 にお い て 高 周 波 成 分 を取 り除 く と,ピ ー クの 値 が 下 が り,ピ ー ク で な い平 坦 な 部 分 に高 周 波 成 分 が 滲 み 出 す 傾 向 が あ る.ウ ト ・サ ポ ー トを持 つ た め に,デ

ェ ー ヴ レ ッ トは コ ンパ ク

ー タ処 理 は 局 所 的 に実 行 さ れ,そ

の ため処理 の

結 果 が ほ か の デ ー タの 部 分 に 影 響 を 与 え る こ とが 少 な い.こ の デ ー タ の 場 合 に は,ピ ー ク の 値 は ノ イズ を 含 ん だ デ ー タの ピー ク に比 べ て,フ る結 果(図10.39上)で9.5%,ウ で7.9%減

ー リエ 解 析 に よ

ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 に よ る 結 果(図10.39下)

少 して い る.

図10.37 

図10.38 

時 間 周 波 数 解 析(Spline m=4).

理 想 的 な デ ー タ と ノ イズ が 混 入 した デ ー タ の 離 散 フ ー リ エ 変 換.

図10.39 

フ ー リエ 変 換(上)と

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換(下)に

よ り ノ イズ を除 い た 信 号.

10.7  振動 実験デ ー タの解 析   振 動 系 を加 振 して 系 の 変 位 を 測 定 し た 時 系 列 デ ー タが あ る.デ 秒 ご と に 測 定 さ れ た6320個 の で あ る.こ

の 実 数 値{xk}で,図10.40上

ー タ は0.005

段 に示 す よ う な も

の デ ー タか ら系 の 振 動 に お け る速 度 を求 め た い.

図10.40 

変 位 デ ー タ と そ の 時 間 周 波 数 解 析(縦 軸 は 任 意 ス ケ ー ル).

 こ れ を ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 を使 っ て 時 間 周 波 数 解 析 した の が 図10.40の

レベ

ルj=−1,−2,で,ノ

イ ズ を 含 ん で い る.た

だ し,こ の 図 で は そ れ ぞ れ の レ

ベ ル に あ わ せ て 縦 軸 の 目盛 りが 選 ば れ て お り,ノ イ ズ の レ ベ ル は そ れ ほ ど大 き くは な い.図10.40上 で,こ

段 の 信 号 の プ ロ ッ トが 太 い 線 に 見 え る の は ノ イズ の た め

れ に よ っ て ノ イ ズ レベ ル が 推 定 で き る.縦 軸 の ス ケ ー ル を 同 一 に して さ

ら に 下 の レベ ル ま で 分 解 した の が 図10.41(左)で,実

際 に ノ イ ズ レベ ル は 低

い こ とが わ か る.   こ の 変 位 デ ー タ か ら直 接 差 分 を と っ て 速 度 を

と して推 測 す る こ とが で き る.図10.41(右)に

こ う して 求 め た{υk}と

その時

間 周 波 数 解 析 を 示 す が,直 接 差 分 で は ノ イ ズ の 影 響 は 元 の デ ー タの と き よ り も 増 大 して い る.   そ こ で,Spline

m=4を

使 っ て{xk}の

ウ ェー ヴ レ ッ ト変 換 す る.初 め の2つ

補 間 関 数f0(x)を

の レベ ル のgj(x)を

な く,滑

れを

取 り除 い て,f-2(x)

を再 構 成 さ れ た 変 位 と見 な す.図10.42にf0(x)とf-2(x)を る た め に そ の 一 部 を 拡 大 し て あ る.f-2(x)は

求 め,こ

示 す.詳

細 を見

元 のデ ー タの情 報 を損 ね るこ と

らか な 関 数 と な っ て い る こ とが わ か る.

  この 結 果 か ら

と見 なせ ば,こ

れ はtの 微 分 可 能 な 関 数 で あ る か ら,速 度 は こ れ を微 分 す れ ば

求 め られ る.そ

の 際,Bス

プ ラ イ ンの 微 分 公 式(9.17)(142ペ

とが で き,実 際 に 微 分 の 演 算 を実 行 す る必 要 も な い.た

の よ う に な る.図10.43に,こ に よ っ て 求 め た 速 度{υk}と

ー ジ)を 使 う こ

とえ ば

の 方 法 に よっ て 求 め た 速 度υ(t)を,直 と も に 示 す.

接 差分

図10.41 

変 位 と 速 度 の 時 間 周 波 数 解 析(縦 軸 は 共 通 ス ケ ー ル).

図10.42 

図10.43 

変 位 デ ー タ.上 は 元 の デ ー タ,下 はf-2(x).

速 度.上

は 直 接 差 分,下

はf-2(x)の

導 関 数.

10.8  音 声信 号 の解析

  音 声 は1次

元 信 号 の代 表例 で あ るが,デ

ー タ と して は 一 般 に 複 雑 で あ る.な

か で も楽 音 と人 の 会 話 音 声 と は大 き な 違 い が あ る.ウ

ェ ー ヴ レ ッ ト解 析 を使 う

と こ の 違 い が 明確 に 識 別 で き る.

図10.44 

楽 音 の 時 間 周 波 数 解 析(Spline

図10.45

  図10.44に

示 す の は,ヴ

ヴ レ ッ ト分 解 で あ る.レ い る.倍

4)

 楽音 の部 分

ァ イ オ リ ン ・コ ン チ ェ ル ト 演 奏 の 楽 音 と,そ ベ ル−3に

基 音 が あ り,レ

ベ ル−2に

のウェー

は倍 音 が 現 れ て

音 の 方 が 多 く の エ ネ ル ギ ー を 含 ん で い る よ う で あ る.図10.45に

は異

な る 部 分 の 信 号 を取 り 出 して み た.部

図10.46 

話 し声"さ"の

図10.47 

  一 方,図10.46に

分 に よ っ て そ れ ほ ど 差 が な い.

時 間 周 波 数 解 析(Spline

話 し 声"さ"の

は話 し声"さ"の

4).

部 分.

音 声 信 号 と,そ の 時 間 周 波 数 解 析 を 示 す.

会 話 音 声 は 複 雑 な 構 造 を して い て,子 音 の 部 分 と母 音 と は 時 間 的 に も周 波 数 領 域 で も離 れ て い る.図10.47に

示 す よ う に,信 号 の 異 な る部 分 を 取 り出 して み

る と,部 分 に よ っ て 非 常 に違 う性 質 を 持 つ こ とが わ か る.   楽 音 も会 話 音 声 も多 種 多 様 で あ る か ら一 概 に は い え な い が,楽 周 期 的 な 信 号 の 重 ね 合 わ せ で,そ

音 は基本 的 に

れ ぞ れ の レベ ル の 成 分 は ほ ぼ 持 続 して い る.

こ こ に示 した 弦 楽 器 の 演 奏 で は,基 の 中 心 を構 成 す る.レ ベ ル−2は え る.こ

音 は レベ ル−3に

倍 音 で あ る が,こ

あ っ て こ れ が メ ロデ ィー れが弦 楽 器特有 の輝 きを与

れ は この レベ ル のg-2(x)の を取 り除 い てf-2(x)を

れ ば わ か る.付

属 のCD‐ROMで

音 と して 聴 い て み

これ を聴 く こ とが で き る が,f-2(x)の

音は

昔 の ラ ジ オ の 音 の よ うで あ る.   一 方,会

話 音 声 で は そ れ ぞ れ の レ ベ ル の 成 分 が 時 間 と と も に 激 し く変 化 し

て い る.こ

の 事 実 は,時

る こ とが で き な い.そ い.実

は"さ"の

f-2(x)の

間 軸 に 沿 っ た 情 報 が 失 わ れ る フ ー リエ 解 析 で は と ら え の 変 化 の 様 子 か ら,レ ベ ル−1も−2も

ノ イズ で は な

音 の 子 音 の 部 分 に対 応 す る 摩 擦 音 が これ で,そ

音 を 聞 い て み る と"あ"の

く こ とが で き る.こ の こ とか ら,ウ

よ う に 聞 こ え る.こ

れ を除 去 した

れ もCD‐ROMで

聴

ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 は会 話 音 声 の 解 析 に特 に

威 力 を発 揮 で き る と予 想 さ れ る.   こ こ で 使 っ た音 声 信 号 は,Macintosh上

でMathematicaの

録音機 能 を使 って

録 音 し,こ れ を数 値 デ ー タ に変 換 し た.録 音 や 数 値 デ ー タへ の 変 換 法 に つ い て はCD‐ROMを

参 照 され た い.

11章

 プ ログ ラ ム

  ウ ェ ー ヴ レ ッ ト解 析 に お け る ア ル ゴ リ ズ ム の 基 本 は,離 み,ア

ップ サ ンプ リ ン グ,ダ ウ ンサ ンプ リ ン グ で,分

散畳 み 込

解 ・再 構 成 ア ル

ゴ リズ ム は こ れ ら の操 作 の 組 合 せ で 実 行 され る.こ の 章 で は,こ の 計 算 をMathematicaプ ラ ム はCD‐ROMに

ロ グ ラ ム とあ わ せ て 詳 し く見 て い く.プ ロ グ

収 め られ た パ ッ ケ ー ジ に 定 義 され て い て,こ

章 は こ れ を使 う際 の マ ニ ュ ア ル の 役 割 も果 た す.Mathematicaに み の な い 読 者 の た め に,ま ずMathematicaの れ は これ か らMathematicaを の 後,こ

れら

の なじ

基 本 的 な 操 作 を示 す.こ

使 お う とい う読 者 に も ヒ ン トに な る.そ

れ に基 づ い て ア ル ゴ リ ズ ム の動 作 とそ れ を行 う関 数 の使 い 方

を示 す.こ の 章 の 目 的 は,ア ル ゴ リズ ム が どの よ う にプ ロ グ ラ ム さ れ る か を具 体 的 に 示 し,ま た,こ れ まで の 章 に使 わ れ た 図 や計 算 例 を作 る操 作 を理 解 す る こ とで あ る.

11.1  Mathematicaを

使 うに あた って

  本 書 を読 む に は読 者 はMathematicaユ

ー ザ ー で あ る必 要 は な い が,Mathematica

の 基 本 的 な使 い 方 を 知 っ て お く と理 解 の助 け に な る.そ Mathematicaの あ る が,こ

動 作 を簡 単 に 見 る こ と に す る.詳

こ に 示 す の は,次

の ため に ここで は

し く は文 献 を参 照 す る 必 要 が

の 節 以 降 に 最 も関 連 の あ る 部 分 で,こ

本 書 の ウ ェ ー ヴ レ ッ ト解 析 に お け るMathematicaの

れだけ で も

動 作 に つ い て,一

応のこと

は わ か る で あ ろ う.   シ ン ボ ル計 算 は 文 字xを (1+x/2)3を  

変 数 と して 扱 う も の で あ る.た

とえば次 の例 で は

展 開 す る.

Expand[(1+x/2)^3]

x =1/3に

お け る こ の 式 の 値 を次 の よ う に して 求 め る こ と が で き る .得

式 を 引 用 す る に は%を

使 う./.は

られた

右 辺 の ル ー ル を左 辺 に 適 用 す る.

 ％/.x‐>1/3

こ れ は 厳 密 値 で あ る が,こ  

N[%]

 

1.58796

こ こ に は 小 数 点 以 下5桁 に よ っ て16桁

ま た は19桁

の 数 の 近 似 値 は 以 下 の よ う で あ る.

ま で し か 表 示 さ れ て い な い が,内

部 で は コ ン ピュ ー タ

で 計 算 さ れ て い る.

 InputForm[%]  

1.587962962962963

  数 列 は リ ス ト に よ っ て 扱 う こ と が で き る.た でn2/n!が

と え ばn=1,2,…5の

作 る 数 列 は 次 の よ う に し て 得 ら れ る.

範 囲

  p=Table[n^2/n!,{n,5}]

シ ンボ ルpは

リス ト,つ ま り数 列 を表 す .個

に して 取 り出 さ れ る.た

とえ ば 数 列pの4番

々 の 成 分n2/n!の

値 は次 の よ う

目の 要 素 を取 り 出 して み る .

  p[[4]]

あ る い は 数 列pの  

初 め の3個

の 要 素 か ら な る 部 分 数 列 を取 り出 す .

Take[p,3]

以 下 の プ ロ グ ラ ム の 内部 で,ベ

ク トル の 内 積 が よ く使 わ れ る .こ れ は 次 の 節 で

説 明 す る 離 散 畳 み 込 み に 使 わ れ て い る.ベ

ク トル は形 式 的 に は数 列 と変 わ りが

な い か ら,こ れ も リ ス ト と して扱 わ れ る.次 と{x,y,z}の

の 例 は2つ

の ベ ク トル{1 ,2,3}

内 積 で あ る.

 {1,2,3} .{x,y,z)

畳 み 込 み は基 本 的 に 一 方 の ベ ク トル の 要 素 の順 を逆 に して 内 積 を と る 操 作 に 対 応 す る.  

 

Reverse[{1,2,3}]. 

Daubechies

N=2の

{x,y,z}

ト ゥ ー

  pSeq=({1,3,3,1}+｛1,1,-1,-1}Sqrt[3])/4

・ ス ケ ー ル 数 列 を 作 ろ う.

整 数 の 部 分 数 列 はRangeに

よ っ て 作 ら れ る.

  Range[4]   {1, 

2,  3,  4)

こ れ を 基 に し てzの

べ キ 乗 の 列 を 作 る.

  z^(Range[4] - 

こ れ と,上  

1)

で 作 っ た 数 列pSeqの

内 積 を と れ ばzの

多 項 式 が 得 ら れ る.

N[pSeq.(z^(Range[4]-1))]

この よ う に,い

くつ か の 基 本 的 な 演 算 を組 み 合 わ せ て 目的 の 演 算 を 実 行 す る こ

とが で き る.そ

れ を次 の よ うに 関 数 と し て定 義 す る.

  pFunc[z_］:=N[pSeq .(z^(Range[4］-1))]

定 義 した 関 数 はMathematicaの

組 み 込 み 関 数 と 同様 に使 う こ とが で き,一 連 の

演 算 を ま とめ て 実 行 す る こ と が で き る.  

pFunc［E^(-I

こ の 関 数 は,後

w)]

で デ ィ ジ タ ル ・フ ィ ル タ の 周 波 数 特 性 を 図 示 す る と き に 使 う.

  上 の 例 に お け るExpand[…］,N[…],Table[…]な に お い て 関 数 と 呼 ば れ る.Mathematicaの 形 を し て い る.別

コ マ ン ド は 一 般 に 関 数 名[引

の 形 に 書 か れ る も の も 標 準 形 の 変 形 で あ る.た

の 標 準 形 はplus[x,y]で 1個 の 場 合 は 関 数 名[引   Cos[Pi/6]

ど はMathematica

あ る.こ 数]の

数]の

と え ばx+y

の よ う に 引 数 は 複 数 個 あ る こ と も あ る が,

代 わ り に 引 数//関

数 名

と 入 力 し て も よ い.

 %//N

  本 書 で は 多 く の グ ラ フ を 使 う の で,こ 軸 の 目盛 り に は ふ つ う10ポ

れ に つ い て 簡 単 に 説 明 す る.グ

イ ン トのCourierと

本 書 の 図 に 合 わ せ て こ れ を8ポ

ラフの

い う フ ォ ン ト が 使 わ れ る が,

イ ン ト のTimes‐Romanに

変 更 し て お こ う.

 $DefaultFont={"Times‐Roman",8.};

基 本 的 な 関 数 の プ ロ ッ トを 得 る に はplotし に 関 数 と変 数 の 範 囲 を指 定 す る.こ こ で はsincxの   Plot[Sin[Pi

グ ラ フ を描 い て み る. x]/(Pi

x),{x,-12,12}];

  ウ ォ ー ニ ン グ ・メ ッ セ ー ジ が 出 た の は,x=0に で あ る.正 い が,こ

し く はx→0に

お け るsinπx/πxの

お い て 分 母 が0に

極 限値 を とらなけ れ ば な らな

こ で は と り あ え ず そ う い う 事 情 が あ る こ と を 承 知 し て お け ば よ い.む

し ろ グ ラ フ の 全 範 囲 が 示 さ れ て い な い の が 不 満 で あ る.こ 示 す る こ と に よ っ て 解 消 さ れ る.つ

れ は オ プ シ ョン を 明

い で に 横 軸 の ラ ベ ル も 付 け 加 え よ う.

  Show[%,PlotRange->All,  

な るか ら

AxesLabel->{FontForm[″x″,{″Times‐Italic″,9.}],None}];

  これ ら の オ プ シ ョ ン を 指 定 し な い と,デ Plotに

フ ォ ル トの 指 定 が 使 わ れ る.関

数

お い て これ らの オプ シ ョ ンの デ フ ォル ト値 は 以 下 の よ う に な っ て い る.

  Options[Plot,{AxesLabel,

こ こ でAutomaticで

PlotRange}]

はMathematicaが

内 部 の ア ル ゴ リ ズ ム を 使 っ て,関

数 の

変 化 の 様 子 が 最 も わ か り や す い よ う に プ ロ ッ ト の 範 囲 を 選 ぶ.   先 に 定 義 し たpFunc[E＾(‐I P(e-iω)の

w)]の

絶 対 値 をwに

つ い て プ ロ ッ ト す れ ば,

周 波 数 特 性 が 得 ら れ る.

  Plot[Abs[pFunc[E＾(‐I

w)]], 

{w,0,Pi}]；

 以 下 に使 わ れ る 関 数 は,組 み 込 み 関 数 の ネ ス ト とオ プ シ ョ ン い う機 能 を 基 本 に作 ら れ て お り,い ず れ も こ こ で 説 明 した こ との 拡 張 で あ る.

11.2  離 散 畳 み 込 み  2つ の 数 列{ak}と{ck}の

離 散 畳 み 込 み{(a*c)k}は

次 の よ う に定 義 され る.

(11.1)

実 際 に は{ak}と{ck}は

こ こ で,iaは0で

な いakの

要 素 の個 数 で,{ck}に k＜icま

次 の よ う な有 限 数 列 で あ る.

最 小 の イ ンデ ッ クス,naは{ak}の

つ い て も同 様 で あ る.上

た はk〓ic＋ncの

な 計 算 法 と して は,次

と きck=0と

の よ うにzの

の 式(11.1)に

長 さ,つ ま り お い て{ck}は,

解 釈 す れ ば よい.も

う少 し具 体 的

多 項 式 を作 る.

(11.2) こ れ ら の 積 を とれ ば 畳 み 込 み が 求 め ら れ る.

(11.3) こ れ は 次 の よ う に し て示 さ れ る.

こ こ で 和 を と る イ ン デ ッ ク ス をk→k−lと り こ の 結 果 は(11.3)に

等 し い こ と が わ か る.式(11.3)の

る こ と に よ り,0で り,数

な い{(a＊c)k}の

列 の 長 さ はna+nc−1で

  応 用 に お い て は,数 で,こ

変 数 変 換 し た.定

の 形 か らna=3は

義(11.1)に

左 辺 のzの

よ

次 数 を見

最 小 の イ ン デ ッ ク ス はk=ia+icで

あ

あ る こ と が わ か る.

列{ak}は

た と え ば{0.21,1.34,−0.32}の

明 ら か だがiaの

値 は わ か ら な い.そ

よ うな もの こでわれ われ は

(11.4) の 構 造 の デ ー タ を 使 う こ と に す る.た

と え ば{a1,a2,a3}={0.21,1.34,−0.32}

は

と表 す.   この デ ー タ構 造 を使 っ て,数 ロ グ ラ ム す る こ とが で き る.た

の 畳 み 込 み は(11.1)ま

畳 み 込 み(11.1)を CD‐ROM(使

列 に 対 す る さ ま ざ ま な演 算 をMathematicaで と え ば2つ

た は(11.3)か

ら 次 の よ う に 求 め ら れ る.

行 うMathematica関

い 方 は 付 録A参

に 定 義 さ れ て い る.そ

プ

の数列

数 はListConvolveで,こ

照)に

れ は付 属 の

入 っ て い る パ ッ ケ ー ジSplineWavelet.m

こ で ま ず こ の パ ッ ケ ー ジ を ロ ー ド す る.

Needs["SplineWavelet'"] パ ッ ケ ー ジ の 名 の 末 尾 は パ ッ ク ・ク ォ ー ト'で Macintoshの と す る.一

場 合 で,Windowsで

あ る こ と に 注 意 せ よ.こ

はSplineWavelet'の

れ は

代 わ り にswavelet'

度 ロ ー ドす れ ば こ こ に定 義 され て い る 関 数 は組 み 込 み 関 数 と同 様 に

使 う こ と が で き,上

の 例 の 畳 み 込 み は 以 下 の よ う に 実 行 す る こ と が で き る.

aSeq={0,{a0,a1,a2}}; cSeq={0,{c0,c1,c2,c3,c4}}; ListConvolve[aSeq,cSeq]

次 の よ う に す れ ば 見 や す くな り,上 の 式 と一 致 す る こ と が 容 易 に 確 認 で き る.

 ColumnForm[%[[2]]]

 も う1つ

例 を挙 げ る.2つ

の数列

の畳 み込 み は

で あ る.こ  

れ をMathematicaで

以 下 の よ う に 実 行 す る こ と が で き る.

aSeq={2,{a2,a3,a4,a5}};

  cSeq={1,{c1,c2,c3,c4,c5,c6}};   ListConvolve[aSeq,cSeq]

次 の よ う に 表 示 す れ ば 上 との 比 較 が しや す い.

 ColumnForm[%[[2]]]

  ウ ェ ー ヴ レ ッ トへ の 応 用 に お い て,ListConvolve[aSeq,cSeq]のaSeq は フ ィ ル タ 係 数 を 表 し,cSeqは

デ ー タ 列 を 表 す.し

た が っ てcSeqの

方が 長

い 数 列 で あ る こ と を 仮 定 し て い る.

11.3  周 期 的 境 界 条 件  有 限 長 の デ ー タ列

は数列

の よ う に,与

え ら れ た 範 囲 の 外 の 要 素 をす べ て0と

節 で 畳 み 込 み は,こ

れ に式(11.1)を

置 い て 拡 張 さ れ る.前

の

適 用 して 計 算 さ れ た.

  有 限 の 数 列 を無 限 数 列 に拡 張 す る別 の 方 法 は,周 期 的 境 界 条 件 を 課 す こ とで あ る.こ

の場合 は

の よ う に拡 張 さ れ る.つ

ま り イ ンデ ッ ク スk+ncはkと

る.こ の 場 合 畳 み 込 み を 求 め る に は,式(11.3)に 視 す れ ば よ い.し クス はk=ia+icで

た が っ て,{(a＊c)k}の

同一視 され るの であ お い てzk+ncをzkと

長 さ はncに

同一

等 し く,最 小 の イ ンデ ッ

あ る.

  前 の 節 の 例 の 畳 込 み を,周 期 的 境 界 条 件 を課 して 計 算 して み る.今 度 は2つ の数列

の畳 み込 み は

と な る.こ

れ はMathematicaで

BoundaryをPeriodicと

以 下 の よ う に,ListConvolveの 指 定

し て 実 行 す る こ と が で き る.

 

aSeq={0,{a0,a1,a2}};

 

cSeq={0,{c0,c1,c2,c3,c4}};

 

ListConvolve[aSeq,cSeq,Boundary‐>Periodic]

次 の よ う に 表 示 す れ ば 見 や す い.   ColumnForm[%[[2]]]

 第2の

例は

の畳 み 込 み で,

オ プ シ ョ ン

で あ る.こ  

れ はMathematicaで

以 下 の よ う に 実 行 す る こ と が で き る.

aSeg={2,{a2,a3,a4,a5}};

  cSeq={1,{c1,c2,c3,c4,c5,c6}};  

ListConvolve[aSeq,cSeq,Boundary‐>Periodic]

表 示 形 式 を 整 え て 比 較 しよ う.   ColumnForm[%[[2]]]

  Boundaryは

境 界 条 件 を 指 定 す る オ プ シ ョ ン 変 数 で,こ

れ を 明 示 的 に指 定 し

な け れ ば 次 の デ フ ォ ル ト 値 が 使 わ れ る.  

Options[ListConvolve]

Boundaryに

不 適 当 な 値 を 指 定 す る と,ウ

を 知 ら せ,計

算 に は デ フ ォ ル ト値 が 使 わ れ る.

 

aSeq={0,{a0,a1,a2}};

 

cSeq={0,{c0,c1,c2,c3,c4}};

 

ListConvolve[aSeq,cSeq,Boundary‐>None]

 

ListConvolve::badbdry:   The

Boundary 'Free'in

option its place

has .

been

ォ ー ニ ン グ ・メ ッ セ ー ジ が 出 て そ れ

given

bad

value

None;using

11.4  ア ッ プ サ ン プ リ ン グ と ダ ウ ン サ ン プ リ ン グ  数 列{ck}か

ら次 に 示 す 数 列〓

を得 る操 作 を ア ップ サ ンプ リ ン グ とい う.

(11.5) こ れ は 多 項 式(11.2)を

使 え ば,

に 対 応 す る.   こ れ を 実 行 す るMathematicsの

関 数 はUpSampleで

あ る.い

くつ か の 例 を 示

そ う.   UpSample[{0,{c0,c1,c2,c3,c4}}]

  UpSample[{1,{c1,c2,c3,c4,c5,c6}}]

こ の と き,周 期 的 境 界 条 件 を 課 す と最 後 に0が  

残 る.

UpSample[{1,{c1,c2,c3,c4,c5,c6}},Boundary ->

数 列{ck}の

Periodic]

自 由境 界 の 外 側 で は す べ てck=0で

的境 界 条 件 の 下 で は0を

あ る と見 な さ れ る が,周

期

残 し て お か な け れ ば な ら な い.

  反 対 に,数 列{ck}虜 か ら次 に示 す 数 列{〓}を

得 る 操 作 を ダ ウ ン サ ンプ リ ン

グ と い う.

(11.6) こ れ を 実 行 す るMathematicaの な 例 を 示 す.   DownSample[{0,{c0,c1,c2,c3,c4}}]

関 数 はDownSampleで

あ る.い

くつ か の 簡 単

  DownSample[{1,{c1,c2,c3,c4,c5,c6}}]

  ダ ウ ン サ ン プ ル は ア ッ プ サ ン プ ル の 逆 操 作 で あ る か ら,ア

ップ サ ンプ ル した

数 列 を ダ ウ ン サ ン プ ル す れ ば 元 の 数 列 に 戻 る.   DownSample[UpSample[{0,{c0,c1,c2,c3,c4}}]]

  DownSample[UpSample[{1,{c1,c2,c3,c4,c5,c6}}]]

 順 を 逆 に す れ ば,初

め に ダ ウ ンサ ンプ ル に よ っ て 失 わ れ たデ ー タは 失 わ れ た

ま まで あ る.   UpSample[DownSample[{0,{c0,c1,c2,c3,c4}}]]

 

UpSample[DownSample[{1,{c1,c2,c3,c4,c5,c6}}], Boundary ->

Periodic]

11.5  再 構 成 と 分 解 の ア ル ゴ リ ズ ム  再 構 成 ア ル ゴ リズ ム(3.24)の

基 本 は次 の よ う な演 算 で あ る.

(11.7) こ れ は{ak}と{ck}の

ア ップ サ ンプ ル〓

れ は 次 の よ う に 示 す こ とが で きる.

と の 畳 み 込 み で あ る.実

際 ,こ

こ こ で 和 を イ ン デ ッ ク ス の 偶 数 と 奇 数 の 和 に 分 け て(11.5)を   Mathematicaで 合 わ せ れ ば,こ

使 っ た.

は す で に 定 義 し た 関UpSampleとListConvolveを の 演 算 を 実 行 で き る.上

組 み

の例 に使 った数 列 につ いて この演算 を

行 っ て み よ う.  

aSeq={0,{a0,a1,a2}};

  cSeq={0,{c0,c1,c2,c3,c4}};  

ListConvolve[aSeq,UpSample[cSeq]]

  ColumnForm[%[[2]]]

数 列〓

に周 期 的 境 界 条 件 を 課 す こ と も で き る.

  aSeq={0,{a0,a1,a2}};   cSeq{0,{c0,c1,c2,c3,c4}};   ListConvolve[aSeq,UpSample[cSeq,Boundary -> Boundary ->

  ColumnForm[%[[2]]]

Periodic]

Periodic],

 一 方

,分 解 ア ル ゴ リズ ム(3.23)の

基 本 は,畳

み込 み を とってか らダ ウ ンサ

ンプ リ ング す る 次 の よ う な 演 算 で あ る.

(11.8) こ れ は 畳 み 込 み(11.1)と  

Mathematicaで

ダ ウ ン サ ン プ リ ン グ(11.6)か

は 関ListConvolveとDownSampleを

ら 明 ら か で あ ろ う. 組 み 合 わ せ れ ば よ い.

 aSeq={0,{a0,a1,a2}};  cSeq={0,{c0,c1,c2,c3,c4}};  DownSample[ListConvolve[aSeq,cSeq]]

  ColumnForm[%[[2]]]

数 列{ck}に

周 期 的 境 界 条 件 を課 せ ば 次 の よ う に な る.

  aSeq={0,{a0,a1,a2}};   cSeq={0,{c0,c1,c2,c3,c4}};  

DownSample[ListConvolve[aSeq,cSeq,Boundary ->

Periodic]]

  ColumnForm[%[[2]]]

11.6 

ス ケ ー リ ン グ 関 数 と ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の プ ロ ッ ト

  ス ケ ー リ ン グ 関 数 φ(x)の なDaubechies

N=2の

グ ラ フ を 描 く こ と を 考 え よ う.こ

場 合 に つ い て 具 体 的 に 見 る.そ

  MotherFunction[Daubechies2];

こ で は 最 も簡 単

の 準 備 と して

と 入 力 す る.こ 数 列{pk}に

の 意 味 は 後 で 明 ら か に な る.ま

ず,φ(x)は

よ っ て 決 ま る こ と を 思 い 起 こ そ う.{pk}は

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル デ ー タ 形 式(11.4)を

使 っ て 次 の よ う に 与 え ら れ る.   PSequence[Daubechies2]

こ れ が わ か る と(4.21)(62ペ

ー ジ)か

ら φ(n),n∈Z,の

値 が わ か る.

  ScalingAtKnots[Daubechies2]

こ れ は φ(n),n=0,1,2,3,の

値 を 表 し て い る が,プ

の 対 の リ ス トが 必 要 で あ る.こ

ロ ッ ト す る に は{x,φ(x)}

れ は 関 数ScalingSampleを

使 って次 の よ うに

得 ら れ る.   ScalingSample[{0, 

 

{1}}]

ListPlot[%,  

PlotJoined ->

AxesLabel ->

True,

Ticks ‐>

{FontForm["x",

{"Times‐Italic",8.}],None},

{{1,2,3},{1}}];

見 やす くす るため にデ ー タ点 を線 で結 んだが,線 分 の端点 のみ が正 しい 関数 の 値 に対応 して い る.                                 関数ScalingSampleは42ペ

の 値 を 求 め る 関 数 で あ る.こ f0(n)=Σkck(0)φ(n−k)で

ー ジ の 式(3.3),す

な わ ち

の 式 に お い てj=0,x=n∈Z,と あ る. Mathematica関

数ScalingSampleは

す れ ば, 引 数 を

〓と し そ{n,f0(n)}の と な る.δk,0はk=0の

と き1で

形 式 で は{0,{1}}で

  φ(n),n∈Z,の あ る.こ

リ ス ト を 返 す.〓=δk,0と そ れ 以 外 は0で

お け ばf0(n)=φ(n) あ る か ら,(11.4)の

デ ー タ

あ る.

値 を使 っ て φ(n/2)の 値 を求 め る式 は45ペ

れ は{φ(k)}と{pk}の

畳 み 込 み で あ る か ら,次

ー ジ の(3.10)で

の よ う に して 計 算 で

きる.   ListConvolve[ScalingAtKnots[Daubechies2],   PSequence[Daubechies2]]

こ れ を 基 に グ ラ フ を 描 く に はxの ScalingSampleに

値n/2を

補 う 必 要 が あ る が,そ

オ プ シ ョ ンSampleLevelを

指 定 す れ ば よ い.

  ScalingSample[{0,{1}},SampleLevel ->

  ListPlot[%,

Ticks ->

1]

PlotJoined ->

AxesLabel -> 

の代 わ りに

True,

{FontForm["x",{"Times‐Italic",8.}]，None}, {{1,2,3},{1}}];

こ こ に 現 れ た4.44089×10-16は に よ っ て そ の 値 も 異 な る.以

数 値 計 算 の 誤 差 で,使

って い る コ ンピュー タ

下 の 計 算 に は 影 響 な い が,Mathematica関

を使 っ て 除 去 す る こ と も で き る.   ScalingSample[{0,{1}},

SampleLevel ‐>

1]//Chop

数Chop

  φ(n),n∈Z,の (3.11)で

値 を 使 っ て φ(n/2l),l∈N,の

与 え ら れ,{pk(l)}は(3.8)に

お い てSampleLevelの

値 をl＞0と

ズ ム が 働 い て,{n/2l,φ(n/2l)}の れ ば φ(x)の  

値 を 求 め る 式 は45ペ

ー ジの

よ っ て 計 算 さ れ る. ScalingSampleに す れ ば,内

部 で{pk(l)}を

値 の リ ス ト が 得 ら れ る .十

求め るア ル ゴ リ 分 大 き なlを

と

か な り正 確 な グ ラ フ を 描 く こ と が で き る.

ListPlot[ScalingSample[{0,{1}},SampleLevel ->

6]

,

PlotJoined‐>True, AxesLabel ->

{FontForm["x",{"Times‐Italic",8

Ticks ->

  関数fj(x),j∈Z,の を 指 定 す る.た n∈Z,の

.}],None},

{{1,2,3},{1}}];

値 を 求 め る に はScalingSampleの

と え ば φ(2x)∈V1に

第2引

数 と し てj

つ い て は 以 下 の よ う に し て,{n/2,φ(n)}

対 の リ ス ト が 得 ら れ る.

  ScalingSample[{0,{1}},1]

さ ら に オ プ シ ョ ンSampleLevelを {n/4,φ(n/2)},n∈Z,の   ScalingSample[{0,{1}},1, 

指 定 す る こ と も で き る .次

対 の リ ス ト が 得 ら れ る. SampleLevel ->

1]

の例 で は

,

  j＜0の

場 合 は デ フ ォ ル ト でScalingSampleは

と え ばj=−2の 形 で 返 す.つ

次 の 例 で は,結

少 し 違 っ た 動 作 を す る.た

果 を 対{4n,φ(n)}で

ま り 自 動 的 にSampleLevelの

は な く{n,φ(n/4)}の

値 が−jに

設 定 さ れ る.

  ScalingSample[{0,{1}},‐2]

も ち ろ ん 明 示 的 にSampleLevelを0に

設 定 す れ ば,対{4n,φ(n)}が

  ScalingSample[{0,{1}},‐2,SampleLevel ->

SampleLevelの

得 ら れ る.

0]

指 定 を し な い と き に 使 わ れ る デ フ ォル ト値 は 次 の よ う で あ る.

  Options[ScalingSample]

SampleLevel -> をjと

Automaticの

し て,SampleLevelの

設 定 で は,ScalingSampleの 値 は −jま

た は0の

値 が

対 と し て 得 ら れ る わ け で あ る.

  そ の ほ か の オ プ シ ョ ン のMotherは オ プ シ ョ ンDataStyleは

マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 種 類 を 決 め る.

得 ら れ る デ ー タ の 形 を 決 め る.こ

定 す る と,対{n/4,φ(n/2)}で   ScalingSample[{0,{1}},1,SampleLevel ->

  DataStyle ->

う デ ー タ 列 を{n,θn}n∈Z

解 し て 得 ら れ る ス ケ ー リ ン グ 関 数fj(x)やgj(x)の

{n,fj(2jn)},j＜0,の

数 の値

大 き い 方 に 自 動 設 定 さ れ る.

こ れ は 応 用 に 都 合 の よ い よ う に 選 ば れ た も の で,扱 と し て 表 せ ば,分

第2引

Plain]

は な く,こ

れ をPlainに

の と き の φ の 値 だ け が 返 さ れ る. 1,

指

 関 数Waveletsampleは42ペ

ー ジ の 式(3.4),す

な わち

の 値 を 求 め る 関 数 で あ る.こ

の 式 に お い てj=0,x=n∈Z,と

g0(n)=Σk〓ψ(n-k)で

あ る.Mathematica関

数 を〓

と し て{n/2,g0(n/2)}の

g0(n/2)=ψ(n/2)と

す れ ば,

数WaveletSampleは

リ ス ト を 返 す.〓=δk,0と

引 お け ば

な る.

  WaveletSample[{0,{1}}]

こ こ で,ψ(n)で

は な くψ(n/2)の

ス ケ ー ル 関 係(3.2)を Sampleで

は 第2引

値 と な る の は ,φ の 値 は42ペ

使 っ て 求 め ら れ る か ら で あ る.言 数 を 指 定 し な い と きSampleLevelは1に

作 に 関 し て は こ の 点 だ け が 異 な る が,そ ingSampleと

同 様 で あ る.た

と え ば,以

下 の よ う に し てψ(x)の

  ListPlot[WaveletSample[{0,{1}},SampleLevel‐>6], PlotJoined ->

Ticks ->

True, {FontForm["x",{"Times‐Italic",8.}],None},

{{1,2,3},{1}}];

設 定 さ れ る.動

の ほ か はWaveletSampleはScal

な り正 確 に 描 く こ と が で き る.

  AxesLabel ->

ー ジ の トゥ ー ・

い 換 え れ ば ,Wavelet‐

グ ラフ をか

  以 下 にScalingSampleとWaveletSampleの

動 作 と,パ

ラ メー タ の デ フ ォ

ル ト値 を ま と め る..

11.7  デ ー タ の 分 解 と 再 構 成  い ま〓  

が 次 の よ う な 数 列 で あ る とす る.

c[0]={3,{1.0,3.0,2.5,1.5,0.5,‐1.5}};

これ に よ っ て 決 ま るf0(x)=Σk〓   p0

=

こ の 数 列 を50ペ

ー ジ の 分 解 ア ル ゴ リ ズ ム(3.23)に

DecomposeToScalingとDecomposeToWaveletで =

True,

Thickness[0.008]];

の よ う に分 解 す る こ とが で きる.こ

  d[‐1]

次 の よ う な 関 数 で あ る.

ListPlot[ScalingSample[c[0]],PlotJoined ->

PlotStyle ->

  c[‐1]

φ(n−k)は

DecomposeToScaling[c[0]]

= DecomposeToWavelet[c[0]]

よって

れ を 実行 す るMathematica関 あ る.

数 はそ れぞ れ

こ う し てf-1(x)=Σk〓 が 得 ら れ る.以

φ(2-1x−k)とg-1(x)=Σk〓

ψ(2-1x−k)

下 に こ れ ら の グ ラ フ を 示 す.

  ListPlot[ScalingSample[c[‐1],‐1],PlotJoined ->

PlotRange ->

True,

All];

ListPlot[WaveletSample[d[‐1],‐1],PlotJoined ->

PlotRange ->

True,

All];

こ れ ら を重 ね て み る と比 較 しや す い.   Show[%%,%,p0,PlotRange ->

51ペ

All];

ー ジ の 再 構 成 ア ル ゴ リ ズ ム(3.24)を

の 数 列〓 Reconstructが

と〓

か ら 元 の 数 列〓

こ れ を 実 行 す るMathematica関

使 え ば,分

解 し て 得 ら れ た2つ

を 再 構 成 す る こ と が で き る. 数 で あ る.

  Reconstruct[c[‐1],d[‐1]]

数 値 計 算 に よ る 誤 差 を取 り除 く.   Chop[%]

両 端 の3つ

ず つ 並 ぶ0を

取 り除 け ば,こ

れ は元 の 数 列〓

に等 しい こ と が

わ か る.

11.8  時 間 周 波 数 解 析   こ の 節 で は マ ザ ー ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト にSplinem=4を MotherFunctionを

使 っ て,次

選 ぶ.そ

れ には 関数

の よ う に 入 力 す る.

  MotherFunction[Spline4];  BoundaryCondition[Free];

この 関 数 を 引 数 な しにMotherFunction[]の

形 で 呼 び 出 す と,関 連 す る 関 数

に設 定 さ れ た マ ザ ー 関 数 の 名 が リス ト さ れ る.同 様 にBoundaryConditionは 関 連 す る 関 数 の 境 界 条 件 を設 定 した り,確 認 す る 関 数 で あ る.信 号 の 解 析 を す る と き は,こ

の2つ

  少 し複 雑 な,正

を同 時 に 設 定 す る の が 賢 明 で あ る.

弦 波 に乱 数 の ノ イ ズ が 乗 っ た 信 号 を 考 え る.

  data={0,Table[N[Sin[n

Pi/10]]+

  Random[Real,{‐0.3,0.3}],{n,60}]};

こ れ は(11.4)の

形 を し た デ ー タ で,関

き る.

 p0=SequencePlot[data];

数SequencePlotに

よ っ て プ ロ ッ トで

  こ の デ ー タ を 補 間 す る 関f0(x)の tionに

係 数〓

は,関FindInterpola

よ っ て 求 め る.

  c[0]=FindInterpolation[data]；

次 に,補

間 関 数f0(x)と

デ ー タ 点 を重 ね て プ ロ ッ トす る.

  ListPlot[ScalingSample[c[0],SampleLevel ->   PlotJoined ->

2],

True,DisplayFunction ->

  Show[p0,%,DisplayFunction ->

 〓か ら〓

と〓

Identity];

$DisplayFunetion];

を計 算 す る.

  c[-1]=DecomposeToScaling[c[0]]；   d[-1]=DecomposeToWavelet[c[0]];

これ を使 っ てf-1(x)とg-1(x)が

求 め ら れ る が,こ

れ ら を元 の デ ー タ点 と と

も に表 示 し よ う.   ListPlot[ScalingSample[c[‐1],‐1],PlotRange ->  PlotJoined ->

True,DisplayFunction ->

All, Identity];

  ListPlot[WaveletSample[d[‐1],‐1],PlotRange ->   PlotJoined ->

True,DisplayFunction ->

  Show[%%,%,p0,DisplayFunction ->

All, Identity];

$DisplayFunetion];

  元 の デ ー タ の 細 か い 振 動 部 分 が 分 離 さ れ た の が よ く わ か る.関 Differenceを

使 え ば,f-1(x)を

はCD‐ROMを

参 照 さ れ た い.

  分離 された〓

数Backward‐

微 分 し た 曲 線 が 得 ら れ る が,こ

の値 を半 分 に して,こ れ と〓

れ につ い て

か ら信号 を再構 成 し

て み よ う.   dmod[‐1] =   cmod[0]

{d[‐1][[1],d[‐1][[2]]/2}; =

Reconstruct[c[‐1],dmod[‐1]];

そ の 結 果 得 ら れ る信 号 を元 の デ ー タ と と もに 表 示 す る.  L istPlot[ScalingSample[cmod[0],SampleLevel ->   PlotRange ->

All,PlotJoined ->

  DisplayFunction ->

3], True,

Identity];

  Show[%,p0,DisplayFunction ->

$DisplayFunction];

  細 か い 振 動 を あ る程 度 残 した 信 号 が 得 られ た.   デ ー タ,つ ま り離 散 信 号 の 時 間 周 波 数 解 析 は,上 に示 した 手 続 き,つ ま りデ ー タ を 補 間 す る 関 数 を 求 め,こ

れ を ス ケ ー リ ン グ 関 数 と ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 成 分 に

分 解 し,必 要 に応 じて こ れ を数 段 階 繰 り返 す こ と に よ っ て得 られ る.こ 動 的 に行 うの が 関TimeScalePlotで 数 を 使 う と,元 れ る.

の デ ー タ(曲 線)と〓(ス

れを自

あ る.デ ー タだ け を引 数 と して この 関 パ イ ク,あ る い は 棒)が 表 示 さ

  TimeScalePlot[data];

  第2引

数 にn∈Nを

指 定 す る と,さ

ら に〓,…,〓

が表 示 さ

れ る.

  TimeScalePlot[data,4];

  こ の 場 合,ス れ る.言

パ イ ク の 長 さ は す べ て の〓

い換 え れ ば,示

につ い て 共 通 の ス ケ ー ル で 示 さ

さ れ て い な い が,縦

軸 の 目盛 りはす べ て に共 通 で,全

体 的 に ど こ にエ ネ ル ギ ー が 集 中 して い る か が わ か る.一 方,オ プ シ ョ ンRange をAllと

す る と,そ

た が っ て,小

れ ぞ れ の レベ ルjで

個 々 に 縦 軸 の 目盛 りが 選 ば れ る.し

さ い 信 号 成 分 も見 や す くな る.

  TimeScalePlot[data,4,Range ->

All];

  ま た,オ

プ シ ョ ンProfileをCurveと

れ に対 応 す る 関 数gj(x)の  

曲 線 が 描 か れ る.

TimeScalePlot[data,4,Profile ->

  Range ->

  Profileの

指 定 す る と,〓

Curve,

All];

デ フ ォ ル ト値 はSpikeと

な っ て い る.

の 代 わ り に,こ

付 Mathematicaノ

  こ こで はCD-ROMに 簡 単 に説 明 す る.ま

ー トブ ッ ク

収 め ら れ て い るMathematicaノ た,Mathematicaで

仕 方 に つ い て 説 明 す る.

録A

ー トブ ッ ク の 開 き方 を

パ ッ ケ ー ジ を利 用 す る と き と ロ ー ド の

■ ノ ー トブ ッ ク の 使 い 方

  付 属 のCD‐ROMに

収 め ら れ て い る ノ ー トブ ッ ク はMathematicaで

が で き る.V2とV3の2つ

の フ ォ ル ダ(デ

ィ レ ク ト リ)に

ン の フ ァ イ ル が 入 っ て い る の で,Mathematicaの い.Mathematicaが

バ ー ジ ョ ン に合 わせ て 選 べ ば よ

イ ン ス ト ー ル す れ ば,こ

れ を 使 っ てMathematicaノ

トブ ッ ク を 読 む こ と が で き る.MathReaderはMathematicaフ 能 の 一 部 を 独 立 さ せ た も の で,こ で はV2を,Macintoshま

た はWindows95で

た り,ア

も 行 う こ と が で き る.し れ て い るMathematicaの はMacintoshで CD‐ROMの

はV3を

intoshで

は,本

ウ ン ド ・デ ー タ の 再 生

ー トブ ッ ク の 内 容 に 変 更 を 加 え た り,書

ン ス ト ー ル の 方 法 に つ い て は,

2.1

ー ト ブ ッ ク は 一 種 の ハ イ パ ー ・ド キ ュ メ ン トで,V3で はChapter1.maな 張 子.nbま 文 の1章

か

ァ イ ル を 参 照 さ れ た い.

MathReader 

れ て い る.拡

ー タ か ら図 を

コ ー ド を 実 行 す る こ と は で き な い.V2のMathReader

中 のReadmeフ

ter1.nb,V2で

使 うのが 標準 であ ろ

を レ ン ダ リ ン グ(デ

は 次 の ア イ コ ン で 示 さ れ る.イ

  Mathematicaノ

あ る が,Windows3.1

ニ メ ー シ ョ ン を 走 ら せ た り,サ か し,ノ

ー

ロ ン トエ ン ド の機

れ もV2とV3の2つ

は テ キ ス ト だ け で な く,図

作 っ て 表 示)し

それ ぞれの バー ジ ョ

イ ン ス トー ル さ れ て い な い コ ン ピ ュ ー タ で は,CD‐ROMに

入 っ て い るMathReaderを

う.MathReaderで

開 くこ と

ど,そ

はChap

れ ぞ れ の 章 の 番 号 の つ い た名 が付 け ら

た は.maはMathematicaノ に 対 応 す るV2の

さ れ て い る.

C hapter 1.ma

ー トブ ッ ク を 表 す.Mac ノ ー トブ ッ ク は 下 の ア イ コ ンで 示

 

Mathematicaノ

ー ト ブ ッ ク を 開 く に は,Macintoshで

ン を マ ウ ス で ダ ブ ル ・ク リ ッ ク し て 起 動 し,ダ ク を 選 ぶ.ノ

し てMathReaderを

はmathread.exeの

起 動 し,フ

ー トブ ッ ク は,セ

ぞ れ の セ ル は 右 端 の]の に見 え る の は,タ

イ コ ンヘ ド

ラ イ ン を ダ ブ ル ・ク リ ッ ク

ァ イ ル ・メ ニ ュ ー か ら 目 的 の ノ ー トブ ッ ク を 開

る と 次 の よ う な 表 示 が 得 ら れ る.Windowsで

Mathematicaノ

イ コ

イ ア ロ ー グ で 目 的 の ノ ー トブ ッ

ー トブ ッ ク の ア イ コ ン を ド ラ ッ グ し てMathReaderア

ロ ップ し て も よ い.Windowsで

く.す

はMathReaderア

は 少 し デ ザ イ ン が 違 う.

ル と呼 ば れ る単 位 の 集 合 の 構 造 を持 ち,そ

形 の セ ル ・ブ ラ ケ ッ ト に よ っ て 識 別 さ れ る.一

れ

番上

イ トル ・ス タ イ ル の セ ル,下 の 方 に並 ん で い る の は セ ク シ ョ

ン ・ス タ イ ル の セ ル で あ る.   セ ル は そ の 中 に また セ ル を 含 む こ とが で き,一 般 に ツ リー 構 造 を持 つ.そ

れ

は ネ ス トさ れ た(入 れ 子 に な っ た)セ ル ブ ラ ケ ッ トに よっ て 示 され る.こ の よ う な セ ル は 閉 じた り開 い た りで きる.図

に示 され て い る の は,す べ て の セ ク シ ョ

ン ・セ ル が 閉 じて い る 状 態 で,こ セ ル の 右 下 の 長 方 形 の 長 さ は,セ

の ノ ー トブ ッ ク の 目次 と な っ て い る.閉 ル の 中 身 の 容 量 の 目安 と な る.

  閉 じた セ ル を 開 け る と内 容 が 見 え る よ う に な る.そ ル の ブ ラ ケ ッ トを ダ ブ ル ・ク リ ッ ク す れ ば よ い.逆

れ にはマ ウスで望 み のセ

に,開 い た セ ル の 外 側 の ブ

ラ ケ ッ ト を ダ ブ ル ・ク リ ッ クす る と セ ル は 閉 じ る.た

と え ば 上 の 図 で,一

側(一 番 右)の セ ル ・ブ ラ ケ ッ ト を ダ ブ ル ・ク リ ッ クす れ ば,タ だ け が 見 え る よ う に な る.初

じた

番外

イ トル ・セ ル

め の セ ク シ ョ ン ・セ ル を 開 く と次 の よ う な 画 面 に

な る.

  Mathematicaの れ て い て,こ

入 力 はCourier

Bold書

体 で,出

れ ら の セ ル は グ ル ー プ に な っ て い る.グ

力 はCourier書

体 で書 か

ラ フ ィッ ク ス ・セ ル も そ

れ を 生 成 す る コ マ ン ド の 入 力 セ ル と グ ル ー プ に な っ て い る.   ア ニ メ ー シ ョ ン は 一 連 の グ ラ フ ィッ ク ス ・セ ル の 組 で,た

と え ばDoル

ープ

な どで パ ラ メ ー タ を変 え な が ら グ ラ フ を生 成 す る 方 法 で 作 ら れ る .こ れ は ノ ー トブ ッ ク で 次 の 図 の よ う に 見 え る.

  一 連 の グ ラ フ ィッ ク ス は グ ル ー プ に な っ て い る か ら,こ れ を 閉 じ る こ と もで き る.次

の 図 は 閉 じ た状 態 を示 す.

  ア ニ メ ー シ ョ ン を 見 る に は,一

連 の グ ラ フ ィッ クス の セ ル が 開 い て い て も,

グ ル ー プ と して 閉 じて い て も構 わ な い.そ マ ウス で 選 び,Graphメ Selected Graphics…

ニ ュ ー(V2)ま を選 択 す れ ば,一

の グ ル ー プ の セ ル ・ブ ラ ケ ッ ト を

た はCellメ

ニ ュ ー(V3)のAnimate

連 の 図 が 次 々 送 られ て 表 示 さ れ る.左

下 に操 作 ボ タ ンが 現 れ るか ら,こ れ に よ って ア ニ メー シ ョ ンの 速 度 を変 え た り, 方 向 を 反 転 させ る こ と が で き る.   サ ウ ン ド ・セ ル は見 か け 上 グ ラ フ ィッ クス ・セ ル と よ く似 て い て,そ

れ を生 成

す る コ マ ン ドの す ぐ 下 に 音 声 信 号 の 波 形 を 示 す 図 で 示 さ れ る.下 の 図 に サ ウ ン ド ・セ ル の 例 を 示 す.セ

ル ・ブ ラ ケ ッ トの 右 上 に× 印 の 小 さ い箱 が あ り,こ れ

を マ ウ ス で ダ ブ ル ク リ ッ クす る と音 が 出 る.た

だ し,Windowsの

タ で は サ ウ ン ド機 能 が 搭 載 さ れ て い な け れ ば な らな い.

コ ン ピュ ー

■パ ッ ケ ー ジの 使 い 方   ウ ェ ー ヴ レ ッ ト 解 析 の ア ル ゴ リ ズ ム をMathematicaで は,SplineWavelet.m(V2のWindows版 Mathematicaノ

で はSwavelet.m)と

ー ト ブ ッ ク で あ る.こ

か れ て い る.Mathematicaで

実 行 す る プ ログ ラム

れ は パ ッ ケ ー ジ と呼 ば れ る ス タ イ ル で 書

こ れ を 利 用 す る に は,こ

の ノ ー トブ ッ ク を ユ ー ザ ー

の コ ン ピ ュ ー タ に イ ン ス ト ー ル す る 必 要 が あ る が,そ ROMのReadme.txtを く,11章

い う名 の

参 照 さ れ た い.パ

の 方 法 に つ い て はCD‐

ッケ ー ジ は そ れ 自体 を 開 く必 要 は な

の 方 法 で こ の パ ッ ケ ー ジ を ロ ー ド す れ ば よ い.

  最 後 に,3番

目 の 種 類 の フ ァ イ ル は デ ー タ フ ァ イ ル で,Macintoshで

は下 の

よ う な ア イ コ ン で 示 さ れ る.

  デ ー タ フ ァ イ ル に は 数 値 デ ー タ が 収 め ら れ て い て,Mathematicaで で サ ン プ ル ・デ ー タ と し て 使 う こ と が で き る.こ に コ ピ ー す る 必 要 が あ る が,そ た い.基

読 み込 ん

れ もユ ー ザ ー の コ ン ピュ ー タ

の 方 法 はCD‐ROMのReadme.txtを

参照 され

本 的 な デ ー タ読 込 み の コ マ ン ド は

  data=ReadList["FileName",Number];

で あ る が,こ

こ でFileNameに

CD‐ROMのReadme.txtに vel145.t0の

は パ ス も 指 定 し な け れ ば な ら な い.詳 書 か れ て い る.ま

デ ー タ フ ァ イ ル で は,初

め の2つ

し くは

た,  dis145.t0とfri145.t0と

の 数 は デ ー タ に関 す る 情 報 で デ ー

タ そ の も の で は な い の で 読 み 飛 ば す 必 要 が あ る.コ

マ ンド

  sampleData={0,Drop[ReadList["FileName",Number],2]};

に よ っ て 読 み 込 め ば,あ

と は11章

の 手 順 に 従 っ て,sampleDataと

リ ス ト と し て 使 う こ と が で き る.MathReaderで

は 利 用 で き な い.

い う名 の

参 考 文 献

■ウ ェ ー ヴ レ ッ ト入 門 書

  ウ ェ ー ヴ レ ッ ト の代 表 的 な 書 籍 を3冊 あ ろ う.[CH1]は

挙 げ れ ば,[CH1],[DB1],[MY1]で

フ ー リエ 解 析 か ら ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 理 論 まで,系

が な さ れ て い る.ほ

統 的 な解 説

と ん ど の 命 題 に つ い て 証 明 が 詳 し く与 え ら れ,特

ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トに つ い て 詳 しい 解 説 が あ る.反 面,記 応 用 を 目的 と した 初 学 者 に は ポ イ ン トが 見 え 難 い.[DB1]は 一 躍 ポ ピ ュ ラ ー な もの に したDaubechiesの

にス プ

述 が丁 寧す ぎて

ウ ェー ヴ レ ッ トを

レクチ ャー を基 に した もので

,直

交 ウ ェ ー ヴ レ ッ トに つ い て 詳 し く説 明 さ れ て い る.直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ トを 考 案 した 背 景 に は,実

に さ ま ざ ま な分 野 の 発 展 が あ っ た こ とが わ か り,教 科 書 と い

う よ り読 み 物 と して もな か な か お も し ろ い.[MY1]は,数

学 者が 見 た ウェー ヴ

レ ッ トを,信 号 処 理 を 中 心 とす る 応 用 分 野 と の 関 わ り合 い に お い て 解 説 した も の で,ト

ピ ッ ク ス は厳 選 さ れ,全 体 の 見 通 し よ く書 か れ て い る.初 学 者 が 初 め

て 勉 強 す る た め の教 科 書 とい う よ り,ウ ェ ー ヴ レ ッ ト発 展 の 道 筋 を 知 り,そ の 可 能 性 を理 解 す る 本.   [KA]は,線

型 空 間 や 写 像 の 概 念 な ど数 学 の 一 般 的 な 記 述 か ら初 め,な

形 式 張 ら な い ス タ イ ル の 文 で 初 学 者 を対 象 に書 か れ て い る.反 面,各 焦 点 を と ら え に くい.[MY2]は る.[NE]は1975年

節 が 長 く,

ウ ェー ヴ レ ッ トの 数 学 的 側 面 を 中心 に書 か れ て い

初 版 の 本 の終 章 に,フ ー リエ 変換 と対 比 させ て ウ ェ ー ヴ レ ッ

トの 応 用 に つ い て の 解 説 を 書 き加 え た もの.Daubechies  レ ッ ト構城 法 も示 され て い る.簡 単 なMATLABの て,エ

るべ く

ン ジ ニ ア 向 き.[WA]は,ウ

N=2,3,の

ウェ ー ヴ

プ ロ グ ラ ム コ ー ドが 載 っ て い

ェ ー ヴ レ ッ トを 直 交 関 数 系 とい う位 置 付 け に

お い て数 学 的 に と ら え,収 束 性 な どの 証 明 を きち ん と記 述 した 明 解 な 本.章

と節

の分 量 と構 成 が う ま く,行 間 を読 む数 学 的 な素 養 が あ れ ば 極 め て 見 通 しの よ い本.

[CH1] 

C.K.Chui,Introduction

to wavelets,

Academic

Press,New

York,1992.

桜 井 明,新 井 勉 訳,「ウ ェ ーブ レ ッ ト入 門 」東 京 電 機 大 学 出版 局,1993.

[DB1]

 I.Daubechies,

[KA]

 

G.Kaiser,

[MY1]

 

Y.Meyer,

Ten A

Lectures

Friendly

on

Guide

Wavelets,

SIAM,Philadelphia,1992.

to Wavelets,

Wavelets:Algorithms

and

Birkhauser,

Boston,1994.

Applications,

SIAM,

Philadelphia,

1993. [MY2] 

Y.Meyer,Ondelettes

et Operateurs,in

two

volumes,

Hermann,Paris,

1990.

Wavelets and operators,Cambridge

[NE]

 D.E.Newland,Random

University Press,Cambridge,1992.

Vibrations,spectral〓Wavelet Analysis,3rd

edition

, Longman,Essex,1993.

[WA]

 G.G.Walter,Wavelets

CRC

Press,Boca

and

Other

Orthogonal

Systems

with

Applications,

Raton,1994.

■ウ ェ ー ヴ レ ッ ト関 連 論 文 集

  ウ ェ ー ヴ レ ッ トは 数 学 か ら理 工 学 の さ ま ざ ま な分 野 に 関 連 し,文 献 の 検 索 は 容 易 で は な い.反 面,優

れ た論 文 や レ クチ ャ ー ノ ー トが 集 め ら れ て 書 籍 と し て

出版 さ れ て お り,必 要 とす る 文 献 を探 る 手 が か りに な る.こ

の よ うな論文 集の

代 表 的 な もの を以 下 に 挙 げ る.

[CH2] 

CK.Chui,ed.,Wavelets:ATutorial

Press,New [CH3] 

in Theory

L.Puccio

and Applications,Academic

 

M.Ruskai,et.al.,ed.,Wavelets

and

ed.,Wavelets:Theory,Algorithms,

Press,New

J.M.Combes,A.Grossmann,and methods

[RU]

Applications,Academic

York,1992.

C.K.Chui,L.Montefusco,and

[CGT] 

and

York,1994.

Ph.Tchamitchian,ed., Wavelets,Timefreqiency phase

space,Springer‐Verlag,Heidelberg,1989. and

their

Applications,HBJ,1992.

■論

文

  以 下 に,ウ

ェ ー ヴ レ ッ ト関 連 の 論 文 で,本

を挙 げ る.解

説 論 文 も含 ま れ て い る.[ML1],[ML2]はMorletが

書 を書 く に 当 た っ て 参 照 した も の

ウェ ー ヴ レッ トを応 用 した論 文 で,そ の 後Grossmannと

人工 地 震 波 に

共 著 の[GM]で,積

分変

換 と して そ の 数 学 的 基礎 を確 立 した.多 重 解 像 度 解 析 の概 念 はMallatの[MA1], [MA2]に

よ って 確 立 され,有 名 なDaubechiesの

発 表 され た.コ

直 交 ウ ェー ヴ レ ッ トは[DB2]で

ンパ ク ト ・サ ポ ー トの ス プ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レッ トは[CW1]で

表 さ れ た.[MH],[MZ]は

発

エ ッジ の 検 出 な どへ の 応 用 で よ く引 用 され る 論 文 で,

本 書 で は 割 愛 した テ ー マ を扱 っ て い る.[ST]は レ ッ ト一 般 の 解 説,[SK]は

わ か りや す く書 か れ た ウ ェ ー ヴ

ス プ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 具 体 的 な応 用 法 を述 べ

た もの で,本 書 の 基 に な った.[RR]はMathematicaプ

ログ ラ ム を 含 む解 説 で あ る.

[CW1]

supported

 

C.K．Chui and

[CW2] 

andJ.Z.Wang,On

a duality

compactly

spline

wavelets

principle,Trans．Amer.Math.Soc.330(1992)903-915.

C.K.Chui

and J.Z.Wang,A

cardinal

spline

approach

to

wavelets,

Proc.Amer.Math.Soc.113(1991)785−793.

[CDF]  

A.Cohen,I.Daubechies,and

compactly

J.‐C.Feauveau,Biorthogonal

supported

wavelets,Comm.Pure

bases

and

of

Appl.Math.45

(1992),485−560.

[DB2]

 I.Daubechies,Orthonormal Comm.Pure

[DB3]

 I.Daubechies,The signal

[GM]

and

 

bases

A.Grossmann

and

supported

wavelets,

Appl.Math.41(1988),909−996. wavelet

analysis,IEEE

of compactly

transform，time‐frequency

Trans.Information

Theory

J.Morlet,Decomposition

square integrable wavelets

localization

and

of

36(1990)961−1005. Hardy

of constant shape,SIAM

functions

into

J.Math.Anal.

15(1984),723−736. [MA1] 

A.Mallat,A

theory

for multiresolution

signal

decomposition:the

representation,IEEE Pattern Anal. and Machine

wavelet

Intell.11(1989),

674−693.

[MA2]  

A.Mallat,Multiresolution bases

[MH] 

of

A.Mallat

 

and

W．L.Hwang,Singularity

A.Mallat

and

sampling

Trans.Pattern

signals

with

from

multiscale

Intell.14(1992),710−732.

D.Giard,Wave

propagation

and

D.Giard,Wavepropagation

and

and

P.E.Ryczek,Wavelets,Mathematica

Journal,Vol.5.

1(1995)74−81.

  S.Sakakibara,A

Academic  

processing

I,Geophisics.47(1982)203−221.

practice

of data

Wavelets:Theory,Algorithms,and

[ST]

and

theory,PartⅡ,Geophisics.47(1982)222−236.

S.L.Robinson Issue

of

Anal.Machine

  J.Morlet,G.Arens,I.Fourgeau,and

[RR] 

orthonormal

338(1992),617−643.

S.Zhong,Characterization

theory,Part

sampling

[SK]

Theory

  J.Morlet,G.Arens,I.Fourgeau,and

[ML2]

wavelet

detection

Trans.Information

edges,IEEE

[ML1]

and

L2(R),Trans.Amer.Math.Soc.315(1989),69−87.

wavelets,IEEE

[MZ]

approximation

Press,New

G.Strang,Wavelets

smoothing

by

B‐spline

wavelets,in

Applications,ed. by C. K. Chui, et. al.,

York,1994. and

dilation

equations:A

brief introduction,SIAM

Review,

31(1989)614−627.

■解 説 記 事

  国 内 で も ウ ェ ー ヴ レ ッ トは早 くか ら注 目 を集 め,い が 書 か れ,ウ

ェ ー ヴ レ ッ トの 普 及 に 大 い に 貢 献 した.な

は,関 連 事 項 を 含 め て た い へ ん 詳 しい 解 説 が あ る.ま よ く知 られ た 記 事 で,特 れ て い る.[KA]と[AB]は が,[KI]と[VE]に

[ AB] 

くつ か の 優 れ た 解 説 記 事

に[YM]に

か で も[SA1],[SA2]に

た,[YM],[YY]も

一般 に

は さ ま ざ ま な 分 野 の 興 味 深 い応 用 例 が 示 さ

と も に ウ ェ ー ヴ レ ッ トの 音 響 へ の 応 用 の 最 近 の 話 題

は 画 像 処 理 に 関 す る 話 題 が 載 っ て い る.

安 部 素 嗣,安

藤 繁.ウ ェ ーブ レ ッ ト変 換 の 音 響 セ ン シ ン グ へ の 応 用.

イ ン タ ー フ ェ ー ス,2月

号(1995)137−148.

[ KA] 

河 原 英 紀.ウ ェ ー ブ レ ッ ト解 析 の 聴 感 研 究 へ の 応 用.日

本 音 響 学 会 誌,

47(1991)424−429. [KI] 

貴 家 仁 志.サ ス,8月

[SA1] 

ブ バ ン ド 符 号 化 と ウ ェ ー ブ レ ッ ト 変 換.イ

ンター フェー

号(1994)147−169.

佐 藤 雅 昭.ウ ェ ー ブ レ ッ ト理 論 の 数 学 的 基 礎Ⅰ． 日本 音 響 学 会 誌,47 (1991)405−415.

[SA2] 

佐 藤 雅 昭.ウ ェ ー ブ レ ッ ト理 論 の 数 学 的 基 礎Ⅱ.日

本 音 響 学 会 誌,47

(1991)416−423.

[ VE] 

マ ー チ ン ヴ ェ タ ー リ,ウ

ェ ー ヴ レ ッ ト変 換 と サ ブ バ ン ド 符 号 化.電

子

情 報 通 信 学 会 誌,24(1991)1275−1278.

[YM] 

山 口 昌 哉,ほ 学,12月

[YY] 

田 道 夫.ウ

ェ ー ブ レ ッ ト解 析.科

学,60(1990)398−405.

関 連書 籍

Mathematicaの

関 連 書 籍 も 数 多 く 出版 され て い る が,プ

フ ィッ クス に 関 連 し た もの だ け を挙 げ る.特 の考 え 方 につ い て は[GKW]が,オ い て は[MD]が

[BL1] 

理科

号(1992).

山 口 昌 哉,山

■Mathematica

 

か.特 集 「ウ ェ ー ブ レ ッ ト」 信 号 の 新 しい 表 現.数

ログ ラ ミング とグ ラ

に,Mathematicaの

プ ロ グ ラ ミ ング

プ シ ョ ンの 設 定 の仕 方 な どの テ ク ニ ッ ク につ

参 考 に な る.[SB]と[WJ]は

N.Blachman,Mathematica,A

グ ラ フ ィックス に 関 す る詳 しい 解 説 書.

Practical

Approach,Prentice‐Hall,Englewood

Cliffs,1991. 榊 原 進 訳,「Mathematica実

[BL2]  

N.Blachman,Mathematica

践 的 ア プ ロ ー チ 」,ト

ッ パ ン,1992.

Quick

2, Addison‐Wesley

Publishing Company,Redwood 榊 原 進 監 修,新 典 」, [GG] 

T．Gray

Reference,

Version

City,1992.

井 宏 二,川

幡 太 一,松

井 康 範 訳,「Mathematica事

ト ッ パ ン,1994. and

J.Glynn.The

Publishing

Beginners

Company,Redwood

Guide

to Mathematica

City,1992.

2,Addison‐Wesley

榊 原 進 訳,「Mathematica [GKW] 

ビ ギ ナ ー ズ ガ イ ド 」,ト

R.J.Gaylord,S.N.Kamin,and with

P.R.Wellin,Introduction

R.E.Maeder,Programming

.Smith

and

ロ グ ラ ミ ン グ 」,近

City,2nd

  井 川 俊 彦 監 訳,宇 ミ ン グ 技 法 」,ト

York,1993.

Publishing

edition,1991.

田 川 誠 一,時

田 節 訳,「Mathematicaプ

ログ ラ

ッ パ ン,1992.

N.Blachman,The

Mathematica

Publishing Company,Redwood ［ WJ] 

代 科 学 社,1994.

in Mathematica,Addison‐Wesley

Company,Redwood

[SB] C

to Programming

Mathematica,TELOS/Springer‐Verlag,New

榊 原 進 訳,「Mathematicaプ [MD] 

ッ パ ン,1992.

T.Wickham‐Jones,Mathematica

Graphics

Guidebook,Addison‐Wesley

City,1995.

Graphics,TELOS/Springer‐Verlag,New

York,1994.

[WO] 

S.Wolfram,Mathematica,A SystemforDoing Mathematicsby Computer, Addison‐Wesley 白水

重 明

Publishing

Company,Redwood

訳,「Mathematica,A

2nd ed,− 日 本 語 版− 」,ア

System

City,2nd for

Doing

Mathematics

ジ ソ ン ウ ェ ス レ イ,1992.

edition,1991. by

Computer,

索

■ あ

行

逆―

引

変 換,7

ス プ ラ イ ン―,23 ア ップ サ ンプ リ ン グ,106,191

双 直 交―,75,114

ア ド ミ ッ シ ブ ル 条 件,7,16,57

双 対―,112

ア ナ ラ イ ジ ン グ ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト,3

直 交―,50,52

ア ニ メ ー シ ョ ン,208,210

直 交 化 ス プ ラ イ ン―,23

ア ル ゴ リ ズム

フ レ ンチ ・ハ ッ ト,19

再 構 成―,36,51,108

マ ザ ー―,3,39

ピ ラ ミ ッ ド―,28

メ キ シ カ ン ・ハ ッ ト,18

分 解―,25,36,49,50,108

離 散―

補 間 画 像 表 示―,48 位 相,105

エ ラ ー 補 正,27

位 相 因 子,7,78

Euler‐Frobenius多

位 相 線 型,105 1の

変 換,11,16

ウ ォ ー ニ ン グ ・メ ッ セ ー ジ,190

項 式,147

オ プ シ ョ ン,183,189

分 解,141

音 声 信 号,9,18

一 般 化Euler‐Frobenius級

数

一 般 化Euler‐Frobeniusロ

ー ラ ン 多 項 式

,98 ,

■ か

行

98,117 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト,2

階 層 構 造,14,37,39

Battle‐Lemarie―,23

解像 度,14,31,39

Coiflet,22

階 段 関 数,30

Daubechies―,21

カ ー デ ィナ ル ・ス プ ラ イ ン,136

Franklin―,23

カ ー デ ィナ ルBス

Gabor―,17

関 数 定 義,182

Haar―,16,35

完 全 再 構 成,109

プ ラ イ ン,136

Malver―,18

規 格 化,46,141

Meyer―,20

基 底,13

Morlet―,18

基 底 関 数,13,14,16,17,24,70

Shannon―,20

基 本 ス プ ラ イ ン,148

Symlet,22

逆 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換,7

ア ナ ラ イ ジ ン グ―,3

近 似 値,180

― 変 換,6,9

ク ァ ド レ チ ャー ミ ラ ー ・ブ イル タ,26,109

組 み 込 み 関 数,182

振 幅,2

ゲ イ ン,105

シ ン ボ ル 計 算,180

厳 密 値,180

数 値 計 算 誤 差,202

高 周 波 成 分,108

ス ケ ー リ ン グ 関 数,14,15,38,56,194

高 速 フ ー リエ 変 換,91

双 対―,110

後 方 差 分,143

直 交―,52

コ ン パ ク ト,16,18,21 コ ン パ ク ト ・サ ポ ー ト,16,18,23

Haar―,32 ス ケ ー ル,5,35,78 ス ケ ー ル ・パ ラ メ ー タ,5

■ さ

行

ス パ イ ク,204 ス プ ラ イ ン,22,136

再 構 成,26

カ ー デ ィナ ルB―,22

再 構 成 ア ル ゴ リ ズ ム,36,51,108,192 再 構 成 ブ イ ル タ バ ン ク,109 最 小 単 位,9,10,24

―ウ ェ ー ヴ レ ッ ト,23,52 ス プ ラ イ ン 曲 線,136 ス ペ ク ト ル 因 子 分 解,125

サ ブ バ ン ド分 解,25,109 サ ポ ー ト,16,18,21,43 コ ンパ ク ト―,43 三 角 多 項 式,96 サ ンプ リ ン グ 定 理,104 時 間 周 波 数 解 析,9,11,16,23 時 間 周 波 数 平 面,3 式 の 引 用,180 自 己 相 関 関 数,85,97 自 在 定 規,136 シ フ ト,5 遮 断 特 性,25 周 期 性,9 周 期 的 境 界 条 件,188,193 周 波 数,2,24 周 波 数 帯 域,25

正 規 直 交 基 底,68 正 規 直 交 系,116 正 弦 波,2,9,156 整 数 点,45 積 分 核,24 切 断 ベ キ 関 数,137 節 点,74,136 z変

換,96,103

セ ル,209 グ ラ フ イッ ク ス―,210 グ ル ー プ,210 サ ウ ン ド―,212 セ ク シ ョ ン ・ス タ イ ル,209 タ イ ト ル ・ス タ イ ル,209 セ ル ブ ラ ケ ッ ト,209

周 波 数 特 性,25,105,126,184

漸 化 式,142

シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式,51

線 型 結 合,15

信 号,2,9

全 正 値 性,141

信 号 圧 縮,27

双 直 交,23

信 号 の 復 元,13

双 直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト,75,114

信 号 平 面,3,6,9

双 直 交 基 底,114

伸 縮,5

双 対 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト,112

振 動 的,7

双 対 関 数,109

双 対 基 底,23,71

■ は

行

双 対 ス ケ ー リ ン グ関 数,110 双 対 な 多 重 解 像 度 解 析,114

バ イ パ ス ・ブ イ ル タ,25 バ イ パ ス ・フ ィ ル タ,109

■ た

行

パ ー セ バ ル の 等 式,86 パ ッ ケ ー ジ,186,213

台,43 帯 域 制 限,104 対 称 性,129,142 ダ ウ ン サ ン プ リ ン グ,25,106,191 多 重 解 像 度 解 析,14,16,37,39,56,103 双 対―,114 多 重 解 像 度 近 似,14 畳 み 込 み,81,96 短 時 間 フ ー リエ 変 換,17,23 直 交,51

Haarの

ウ ェ ー ヴ レ ッ ト,35

Haarの

ス ケ ー リ ン グ 関 数,32

パ ワ ー ・ス ペ ク ト ル,90 半 整 数 点,45 Bス

プ ラ イ ン,70,83

標 準 形,182 ピ ラ ミ ッ ド ・ア ル ゴ リ ズ ム,28 不 確 定 性,87 不 確 定 性 関 係,10 複 素 共 役,6

直 交 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト,50,52 直 交 化 ス プ ラ イ ン ・ウ ェ ー ヴ レ ッ ト,23 直 交 関 係,56,70 直 交 ス ケ ー リ ン グ 関 数,52 デ ィ ジ タ ル ・フィ ル タ,25,103,182 低 周 波 成 分,108 デ シ メ ー シ ョ ン,106 デ ー タ の 再 構 成,200 デ ー タ の 分 解,200 デ ー タ フ ァ イ ル,213 デ フ ォ ル ト値,184

符 号 化,26 部 分 数 列,181,182 フ ー リ エ 逆 変 換,78 フ ー リ エ 級 数,90 フ ー リ エ 展 開,90 フ ー リ エ 変 換,7,10,17,78,156 高 速―,91 短 時 間 フ ー リ エ 変 換,17 導 関 数 の―,78 離 散―,91 分 解 ア ル ゴ リ ズ ム,15,25,36,49,50,108,

展 開,69

194

ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 関 係,14,15,26,37,38, 44,96 ト ゥ ー ・ス ケ ー ル 数 列,26,38,99,118,181 ト ラ ン ス レ ー ト,5,32,35,78

■ な

行

分 解 公 式,102 分 解 数 列,15,25,50,99,118 分 解 能,12 平 行 移 動,5,32 ベ ク ト ル,181 補 間,74 ナ イ キ ス ト周 波 数,104,164

補 間 画 像 表 示 ア ル ゴ リ ズ ム,48,51,63

内 積,51,181

補 間 関 数,74,203

ノ イ ズ,202

補 間 法,91

ノ ー トブ ッ ク,208

補 空 間,14,39

ノ ル ム,51

Poissonの

総 和 式,92

■ ま マ ザ ー

行

Curve,206

・ ウ ェ ー ヴ レ ッ ト,3,13,14,16,39

DataStyle,198

窓 関 数,17,23

DecomposeToScaling,200

マ ル チ

DecomposeToWavelet,200

・ ス ケ ー ル 関 係,44

モ ー メ ン ト,57 モ ー メ ン ト の 条 件,59,120

decomposition

algorithm,50

decomposition

sequence,50

DownSample,191

■ ら

行 Expand,180

乱 数,202 離 散 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換,11,16 逆 変 換,11,13

FFT,91 Findlnterpolation,203

離 散 化,11,13,24 離 散 畳 み 込 み,107,181,184 離 散 デ ー タ,75,103 離 散 フ ー リエ 変 換,91,156 リ ス ト,180 レ ギ ュ ラ リテ ィー,65

HPF,109 InputForm,180 interpolation,74 interpolatory graphical display algorithm, 48

レベ ル,13,30,31 連 続 ウ ェ ー ヴ レ ッ ト変 換,16

knot,74

レ ン ダ リ ン グ,208 ロ ー パ ス ・フ ィ ル タ,25,109

ListConvolve,186

ロ ー ラ ン 多 項 式,96

LPF,109

■ 英 字

MathReader,208 MotherFunction,194,202

Abs,184

mother

autocorrelation function,85 Automatic,198

wavelet,39

multiresolution analysis,14 multiresolution approximation,14

BackwardDifference,204

N,180

bi‐orthogonal

Needs,186

wavelets,75

Boundary,189 BoundaryCondition,202

Options,190 orthogonal,51

Chop,202

orthogonal scaling function,52

Coiflet,131

orthogonal

ColumnForm,186 convolution,81

Pair,198

wavelet,52

Periodic,189

SequencePlot,202

Plain,198

Show,183

Plot,183

sinc,79

Profile,206

Spike,206

PSequence,195

SplineWavelet',186 swavelet',186

QMF,26,109

Symlet,129

quadrature mirror filter,26 Table,180

Random,202 Range,182 Reconstruct,201 recontruction algorithm,51

Take,181 TimeScalePlot,204 two‐scale two‐scal

relation,38 esequence,38

regularity,65 uncertainty,87

SampleLeve1,196

UpSample,191

ScalingAtKnots,195 scaling function,38

wavelet,2

ScalingSample,195

WaveletSample,199

〈著 者 紹 介 〉

榊 原 進 1968年

慶 懸 義 塾 大 学 工 学 部 卒 業(機 械 工 学 専 攻)

 1975年 メ リ ー ラ ン ド大 学Ph.D.(理 論 物 理 学 専 攻)  ニ ュ ー ヨ ー ク市 立 大 学,ア ー ヘ ン工 科 大 学, ドル トム ン ト大 学,マ イ ン ヅ 大 学, い わ き明 星 大 学 理 工 学 部 教 授 を経 て, 現 在,東 e‐

京電機 大学 情報環境 学部教授

mail:[email protected]

数 理 科 学 セ ミナ ー

ウェーヴ レ ッ ト ビギナー ズガイ ド 1995年5月20日

  第1版1刷

発行

2003年5月20日

  第1版9刷

発行

著

者   榊 原 進

発行者  学校 法 人 東 京 電 機 大 学 代 表 者  丸 山 孝 一 郎

発行所  東 京 電 機 大 学 出 版 局 〒101‐8457

東 京都千 代 田区神 田錦 町2‐2 振 替 口 座 

組版

 著 者

業)

(03)5280‐3422(編

集)

c Susumu

印刷 ・製 本  凸版 印刷(株) 装丁  高橋 壮一

Sakakibara

Printed in Japan

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1995