Министерство образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет
Методическое указание предна...
7 downloads
159 Views
220KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет
Методическое указание предназначено для студентов специальностей 190800 "Метрология и метрологическое обеспечение", 072000 "Стандартизация и сертификация в
Кафедра "Метрология, стандартизация и сертификация"
пищевых отраслях", направления 552200 "Метрология, стандартизация
и
сертификация"
и
653800
«Стандартизация, сертификация и метрология» всех форм обучения. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры "МСС" Протокол № _______ от “___” ____________г.
Методические указания к выполнению практических занятий по теоретической метрологии для студентов специальностей 072000, 190800 и направления 552200 и 653800 Часть 1. Обработка экспериментальных данных
Составитель: Хамханова Д.Н.
Улан-Удэ 2002 2
Работа 1 Характеристика дискретной случайной величины Числовые характеристики. Среднее арифметическое n случайных величин определяется по формуле:
1 n х = ∑ xi n i =1 или m m m х = x1 ⋅ 1 + x2 ⋅ 2 + ... + xn ⋅ n n n n mi - частость появления значения x1 n Несмещенной оценкой дисперсии среднеквадратическое отклонение:
(1)
(2)
где
является
n 1 2 S= ⋅ ∑ ( xi − x ) (3) n − 1 i =1 Кроме определения числовых характеристик для достижения наглядности строят различные графики статистического распределения, из которых чаще всего используют полигон, гистограмму и кумулятивную кривую. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки, изображающие интервалы вариационного ряда, а вычеты равны частотам или частостям соответствующих интервалом, деленным на ширину интервала. Полигон представляет собой ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (хi ; mi). Для
33
интервального ряда строят полигон, соединяя отрезками точки с координатами (хio,, mi) или (xio,, pi). Кумулятивная кривая - это кривая накопленных частот или накопленных частостей. Если вариационный ряд дискретный, то кривая представляет собой ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (xi ,, miнак) ) или хi , Fn ( x ) . Для интервального вариационного ряда строят ступенчатую кривую. Ширина каждой ступеньки равна величине интервала, а ее высота - соответствующему данному интервалу значений накопленной частоты или частости. Задание: По данным примера 1 вычислить среднее арифметическое, выборочную дисперсию и построить гистограмму и статистическую функцию распределения. Указание: Количество интервалов определяется по формуле Старджесса:
[
]
r = 1 + 3,3λgn
(4)
Ширина интервала определяется по формуле:
h=
x max − x min r
(5)
Для удобства вычисления значения границ интервала, частоту попадания в интервалы и середину интервалов свести в таблицу 1. Таблица 1 Принцип интервалов
xi - xi+1 1
Середина Частота интервалов попадания интервалы mi xoi 3 2
в
Статистическая вероятность
pi 4 4
Для построения статистической функции распределения можно воспользоваться формулой Fi+1(xi) = Pi + Fi(xi) где Fi(xi) = 0 Пример 1. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерении приведены в таблице 1 приложения 1. Массив экспериментальных данных взять в соответствии с вариантом, заданным преподавателем или в соответствии с шифром студента. Работа 2 Выравнивание статистических распределений
При использовании вероятностных методов оценки полученных результатов важной задачей является нахождение функции распределения по данному статистическому ряду. Такая операция называется выравниванием статистического распределения, а искомую функцию распределения, или плотность распределения называют выравнивающими. Вид полигона или гистограммы позволяют сделать вывод о возможности выравнивания с помощью того или иного закона распределения. Выравнивание статистического распределения проводится в следующем порядке: 1) выбирают теоретический закон распределения; 2) вычисляют параметры распределения; 3) строят графики выравнивающей функции распределения F(x) или плотности f(x)=p(x) для значений xi, где xi - варианта, или для значений xio, где xio - середина интервала (для интервального вариационного ряда); 5
4) сравнивают графики теоретической функции рас) пределения F(x) и эмпирической F (x ) или f(x)=p(x) и гистограммы. Сравнение графиков показывает, насколько теоретический закон распределения удовлетворительно отражает экспериментальные данные. Если расхождение ) между F(x) и F (x ) невелико, можно считать, что F(x) определено правильно. Выравнивающая функция распределения сглаживает ) все те случайные отклонения, свойственные F (x ) , которые происходят из-за ограниченного объема наблюдений. Задание: По данным примера 1 выравнить статистический ряд. Решение 1. Построить гистограмму. По виду гистограммы (определить) выбрать теоретический закон распределения. Если закон распределения нормальный, то его плотность равна: f (x ) = p(x ) =
1 б 2π
−
⋅λ
( x − m x )2 2б 2
(6)
2. Вычислить m х = x и б 3. Вычислить f(x) для середин интервалов. Для этого вводят переменную t=
( xi − x )
(7) б и, используя свойство нормального распределения 1 f (x ) = ⋅ f (t ) , по приложению 2 найдем значения f(t). б (t ) 6
В
случае
использования интервалов применяют h зависимость f ( x ) = ⋅ f (t ) , где h - ширина интервала. б Для удобства, вычисления свести в таблицу 2. Таблица 2. Середины интервалов хio
x −x t i = io б
f(t)
h ⋅ f (t ) б
F(x)=F(t)
F(x)=F(t) - значения теоретической функции распределения, найденное по таблицам функции Лапласа (приложение3), где F(t)=0,5+Ф(t). 4. Построить графики теоретической функции ) распределения F(x) и эмпирической F (x ) . ) 5. Для построения значений F (x ) можно воспользоваться данными первой работы.
Работа 3 Проверка гипотезы о виде закона распределения вероятностей результата измерения
Проверка гипотезы о виде закона распределения вероятности результатов измерения осуществляется с помощью критериев согласия. Порядок проверки гипотезы о виде закона распределения с помощью критериев согласия может быть следующей: 1) выбирают меру расхождения между теоретическим и эмпирическим законами распределения и; 2) задают уровень значимости критерия α ; 7
3) вычисляют меру расхождения для исследуемого статистического распределения иэ; 4) находят табличное значение и α , отвечающее заданному уровню значимости α ; 5) делают вывод относительно проверяемой гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений: если иэ> и α – гипотеза отклоняется; если иэ< и α – гипотеза принимается. Проверка гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределении с помощью критерия Пирсона
Критерий согласия Пирсона (критерий х2) используется достаточно часто при интервальной оценке и при числе n ≥ 50. В критерии Пирсона расхождение задают в виде r (mi − nPi )2 2 и=х =∑ (8) nPi 1 где mi - частота; Pi - вероятность попадания в i-ый интервал; r - число интервалов; n - объем наблюдений. случайная величина и=х2 имеет При n → ∞ распределение Пирсона с К=r-3 степенями свободы, где К – число параметров распределения. Проверка гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений с помощью критерия Пирсона осуществляется в следующем порядке: 1) результаты наблюдений х1 , х2 , …, хn группируют в интервальный вариационный ряд; 2) строят гистограмму или полигон; 8
3) выдвигают гипотезу о виде закона распределения и определяют его параметры; 4) задают уровень значимости критерия α ; 5) определяют теоретическую вероятность попадания случайной величины Х в каждый интервал Рi = Ф( xi +1 ) − Ф( xi ) (9) или f(x)=p(x)= h ⋅ f (t )
(10)
б
6) определяют величину расхождения х 2э ; 7) определяют число степеней свободы S=к-r-1. Для нормального распределения принимают; S=r-3. 8) По таблицам приложения 4 распределения Р (х 2 ) находят значение х α2 , по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы S; 9) Делают вывод о проверяемой гипотезе: если х э2 > х α2 - гипотезу отвергают; если х э2 < х α2 - гипотезу принимают. Задание: по данным примера 1 проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим. Вычисления сводим в таблицу 3 или 4. Таблица 3 Границы ЧастоРi − Ф(ti+1 ) − xi − x интервалов хi ; хi+1
та mi
1
2
9
ti =
б
3
Ф(t i )
Ф(t i )
nPi
mi − nPi
(mi − nPi ) 2
(mi − nPi ) 2 nPi
4
5
6
7
8
9
При определении теоретической вероятности попадания случайной величины в интервал по формуле 9 вычисления сводим в таблицу 3, а при определении Рi по формуле 10 вычисления удобнее свести в таблицу 4. Таблица 4 mi
Середина интервала Хio
x −x t i = io б
f(ti)
2
3
4
5
Границы интервало в Хi ; xi+1
Частота
1
Рi =
h f (t i ) б
6
nPi
mi − nPi
Продолжение таблицы 4 (mi − nPi ) 2 ( mi − nPi ) 2 nPi
7
8
9
10
Значения функции Лапласа Ф(ti) определяем по приложению 2, а f(ti) по приложению 3. Суммирование чисел в графах 9 или 10 дает х э2 . Сделать вывод о согласованности эмпирического закона распределения с теоретическим. Проверка гипотезы о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию
10
Для проверки нормальности закона распределения результата измерения по составному критерию рассчитывается соотношение 1 n ∑ xi − x n i =1 (11) d= 1 n 2 ∑ ( xi − x ) n i =1 и проверяется выполнение условия d min ≤ d ≤ d max
(12)
где dmin и dmax зависят от вероятности Р, с которой принимается решение. Значения dmin и dmax находим по таблице 5. Если условие выполняется, то дополнительно проверяются “хвосты” теоретического и эмпирического законов распределения вероятности. При 10 ≤ n ≤ 20 считается допустимым отклонение одного из независимых значений результата измерения хi от х больше, чем на 2,5S, а при 2010…
Гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения принимается или отвергается на основании априорной информации
16
Работа 6
Да Х2εo
Нет
~ ~ х n − ε ≤ x ≤= x n + ε Рис. 5.
25
26
СПИСОК РЕКОМНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии: Учеб. пособие.-3-е изд. Перераб и доп. - М.: Изд-во стандартов, 1984. 2. Шишкин И.Ф. Метрология, стандартизация и управление качеством: Учеб. Для вузов / Под ред. акад. Н.С. Соломенко. - М.: Изд-во стандартов, 1990.-342 с., ил. 3. Шишкин И.Ф. Основы метрологии, стандартизации и контроля качества: Учебное пособие. - М.: Изд-во стандартов, 1987. – С. 320, ил. 4. Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология: Учебник для вузов. - М., Изд-во стандартов, 1991.-492 с.
27