Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2001. Том 42, № 6
УДК 517.946
ОБ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОДНОГО У...
6 downloads
140 Views
404KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2001. Том 42, № 6
УДК 517.946
ОБ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОДНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С. А. Терсенов
Аннотация: Рассматривается уравнение ультрапараболического типа m X
bk (t)utk = Λu + f.
k=1
Для решений задачи Коши и первой краевой задачи выводятся априорные оценки в специальных пространствах Г¨ ельдера и при помощи метода продолжения по параметру доказывается существование решений этих задач. Библиогр. 7.
Введение Пусть bk (t), k = 1, . . . , m, t = (t1 , . . . , tm ), — ограниченные непрерывно дифференцируемые функции в Rm . Пусть существуют постоянные ci > 0, i = 1, 2, такие, что c1 < bk (t) < c2 ∀t ∈ Rm , k = 1, . . . , m. (1) Рассмотрим в Rm уравнение m X
bk (t)Λtk = 1
(2)
k=1
и соответствующую характеристическую систему dτ1 dτm = ··· = . b1 (τ ) bm (τ )
(3)
Предположим, что для любого t ∈ Rm существует характеристика, проходящая через t. Пусть Π = {t : F (t) = 0} — гладкая нехарактеристическая поверхность, m X k=1
bk (t)Ftk 6= 0,
m X
Ft2k 6= 0.
k=1
Поверхность Π будем предполагать односвязной. Рассмотрим все характеристики, проходящие через Π. Они образуют в Rm некоторую область B, неограниченную в обе стороны от Π в силу (1). Пусть Λ(t) — решение уравнения (2) в B, удовлетворяющее условию Λ|Π = 0. c 2001 Терсенов С. А.
(4)
1414
С. А. Терсенов
В силу монотонности вдоль характеристик функция Λ(t) сохраняет знак по обе стороны от Π. Обозначим через G ту часть B, где Λ(t) > 0, через G− — где Λ(t) < 0, через GT — часть G, на которой 0 < Λ(t) < T , и через BT — часть B, где Λ(t) < T . Пусть Ω — ограниченная в Rn область с границей S. Введем обозначения: Q = Ω × G, QT = Ω × GT , Q0 = Ω × Π, D = Rn × G, DT = Rn × GT , D0 = Rn × Π, ST = S × GT , S0 = S × Π, ET = Rn × BT , ETn−1 = Rn−1 × BT . В области DT рассмотрим ультрапараболическое уравнение m n n X X X bk (t)utk − aij (x, t)uxi xj + ai (x, t)uxi + a(x, t)u = f (x, t), (5) k=1
i,j=1
ν1 |ξ|2 ≤
i=1 n X
ai,j (x, t)ξi ξj ≤ ν2 |ξ|2 ,
νi > 0,
i,j=1
и для него две краевые задачи. Первая краевая задача. Найти решение u уравнения (5) в QT , непрерывное в QT и удовлетворяющее 1) начальному условию u(x, t)|Q0 = ϕ, 2) краевому условию u(x, t)|ST = ψ. Задача Коши. Найти решение u уравнения (5) в DT , ограниченное в DT и удовлетворяющее начальному условию u |D0 = ϕ(x, t). Замечание. Если m = 1, b1 ≡ 1 и коэффициенты уравнения (5) удовлетворяют условию Г¨ельдера, то решения этих задач имеют непрерывные производные по t, удовлетворяющие условию Г¨ельдера. Следующий пример показывает, что если m ≥ 2 и коэффициенты недифференцируемы по tk , то не существует непрерывно дифференцируемых по tk решений. Пример. Рассмотрим следующую задачу Коши. Пусть Π = {t1 , t2 : t1 + t2 = 0} и ut1 + ut2 − 2a2 (t1 − t2 )uxx = 0 в R × {t1 + t2 > 0},
u|R×Π = w(t1 − t2 ) cos x,
где функции w, a лишь непрерывны по Г¨ельдеру. Покажем, что задача не имеет дифференцируемых по t1 , t2 решений. Допустим, что это не так. После замены τ1 = t1 + t2 , τ2 = t1 − t2 задача примет вид uτ1 − a2 (τ2 )uxx = 0 в R × {τ1 > 0},
u|τ1 =0 = w(τ2 ) cos x.
При любом τ2 единственным непрерывным решением этой задачи будет функ2 2 ция u = e−a (τ2 )τ1 w(τ2 ) cos x, или u = e−(t1 +t2 )a (t1 −t2 ) w(t1 − t2 ) cos x, недифференцируемая по t1 , t2 . Имея в виду цель настоящей работы, отметим статьи [1–5], где для некоторых уравнений такого типа даются постановки и исследуется разрешимость в различных классах функций задачи Коши и первой краевой задачи. В предлагаемой статье вводятся пространства функций, аналогичные пространствам H (l) из [6], в которых изучаются указанные задачи. В § 4–6 доказываются априорные оценки для решений. В § 7 по схеме, предложенной в [6], будет доказано существование решений этих задач в случае уравнения m X bk (t)utk − ∆u = f (x, t), k=1
Об основных краевых задачах
1415
что позволяет методом параметрикса доказать существование решений этих задач в общем случае уравнения (5). § 1. Вспомогательные утверждения Рассмотрим систему (3), записав ее в виде dτ = b(τ ), dz
b = (b1 , . . . , bm ),
τ = (τ1 , . . . , τm ).
(1.1)
Пусть вектор-функция τ (z, t) = τ (z; Λ(t), t) — решение системы (1.1), удовлетворяющее условию τ (z, t)|z=Λ(t) = t, t ∈ B. (1.2) Будем считать, что для любой точки t ∈ B функция τ (z, t) продолжима по z на все R. Вектор-функция τ (z, t) для любого z непрерывно дифференцируема по t, и (см. [7]) m X ∂τs (z; t) = 0, s = 1, . . . , m, (1.3) bk (t) ∂tk k=1
где ∂/∂tk — полная производная по tk функции τs (z, t) ≡ τs (z; Λ(t), t). При m = 1, b1 = 1, t = 0 имеем Λ(t) = t, τ (z, t) = z. При фиксированном z множество точек t ∈ B таких, что Λ(t) = z, обозначим через Πz (Π0 = Π). Нетрудно доказать следующее утверждение. Лемма 1.1. 1. Для любого t ∈ B точка τ (z, t) принадлежит Πz . 2. Существует постоянная M > 0, не зависящая от характеристик, такая, что для любых t, t0 из одной и той же характеристики выполнены неравенства |Λ(t)−Λ(t0 )| ≤ M |t−t0 |,
|τ (z, t)−t| ≤ M |Λ(t)−z|,
|τ (z, t)−τ (t)| ≤ M |z|, (1.4)
где τ (t) = τ (0, t) ∈ Π. При любом z точка τ (z, t) ∈ Πz является проекцией точки t ∈ B на Πz вдоль характеристики, проходящей через t, и если t и t0 лежат на одной характеристике, то τ (z, t) = τ (z, t0 ). В силу леммы 1.1 при любом t ∈ B если z > 0, то τ (z, t) ∈ G, и если z < 0, то τ (z, t) ∈ G− . Пусть f (t) — функция, определенная в B. Обозначим через ∂t f (t) производную pP по направлению, касательному к характеристике в точке t, умноженную b2k . Если f (t) — дифференцируемая по tk функция, то на ∂t f (t) =
m X
bk (t)
k=1
∂f . ∂tk
В терминах касательной производной условие (1.3) примет вид ∂t τ (z, t) = 0.
(1.5)
Легко видеть, что если f (t) — дифференцируемая по tk функция, то ∂s f (τ (z, t)) = ∂τs f (τ (z, t)). ∂z s
(1.6)
1416
С. А. Терсенов § 2. Потенциалы
1. Рассмотрим при Λ(t) − z > 0 функцию |x − ξ|2 Γ(x − ξ, Λ(t) − z) = (4π(Λ(t) − z))−(n/2) exp − , 4(Λ(t) − z) 0 x = (x1 , . . . , xn ), x0 = (x1 , . . . , xn−1 ), ξ = (ξ1 , . . . , ξn ), ξ 0 = (ξ10 , . . . , ξn−1 ). Так как ∂t Λ = 1, то Γ как функция от (x, t) есть решение уравнения
∂t u − ∆u = 0,
(2.1)
где ∆ — оператор Лапласа в Rn . Как и в случае m = 1, имеем Z 1, r + s = 0, ∂tr Dxs Γ(x − ξ, Λ(t) − z) dξ = 0, r + s ≥ 1,
(2.2)
Rn
|∂tr Dxs Γ(x
−n/2−r−s/2
− ξ, Λ(t) − z)| ≤ crs (Λ(t) − z)
|x − ξ|2 exp −c Λ(t) − z
(2.3)
(постоянные crs , c см. в [6, гл. 4, § 2]). 1. Пусть ϕ(x, t) — ограниченная непрерывная на D0 функция. Рассмотрим ϕ(x, τ (t)) как продолжение функции ϕ(x, t) на D. Функция ϕ(x, τ (t)) постоянна относительно t вдоль каждой фиксированной характеристики и ∂ts ϕ(x, τ (t)) = 0,
s = 1, 2, . . . .
В силу этого потенциал Z Γ(x − ξ, Λ(t))ϕ(ξ, τ (t)) dξ
g(x, t; ϕ) =
(2.4)
Rn
является решением уравнения (2.1) в D, удовлетворяющим условию u|D0 = ϕ(x, t). В силу (2.2) |g(x, t; ϕ)| ≤ max |ϕ(x, t)|. D0
(2.5)
2. Пусть f (x, t) — непрерывная по t и удовлетворяющая условию Г¨ельдера по x функция на Rn × B. Рассмотрим потенциал Λ(t) Z
g1 (x, t; f ) =
Z dz
−∞
Γ(x − ξ, Λ(t) − z)f (ξ, τ (z, t)) dξ.
Rn
Для сходимости интеграла в последнем равенстве достаточно, чтобы f (x, τ (z, t)) = O(|z|−k ), k > 2, при z → −∞, а так как Λ(τ (z, t)) = z, то достаточно, чтобы f (x, t) = O(|Λ(t)|−k ). В силу (1.5) ∂t f (x, τ (z, t)) = 0.
(2.6)
При условии (2.6) имеем Λ(t) Z Z
∂t g1 = f (x, t) + −∞ Rn
∂Γ(x − ξ, Λ(t) − z) [f (ξ, τ (z, t)) − f (x, τ (z, t))] dξdz, ∂Λ
Об основных краевых задачах
Dx2 g1
Λ(t) Z Z
1417
Dx2 Γ(x − ξ, Λ(t) − z)[f (ξ, τ (z, t)) − f (x, τ (z, t))] dξdz,
= −∞ Rn
т. е. функция g1 является решением уравнения ∂t u − ∆u = f
(2.7)
в Rn × B. 3. Обозначим через Rn+ полупространство в Rn , на котором xn > 0. Пусть 0 ψ(x , t) — непрерывная в Rn−1 × B функция и ψ(x0 , t) = O(|Λ(t)|−k ), k > 2. Рассмотрим потенциал Λ(t) Z
Z
g2 (x, t; ψ) = −2 −∞ 0
∂Γ(x0 − ξ 0 , xn , Λ(t) − z) ψ(ξ 0 , τ (z, t)) dξ 0 dz, ∂xn
(2.8)
Rn−1
0
где Γ(x − ξ , xn , Λ(t) − z) = Γ(x − ξ, Λ(t) − z)|ξn =0 . Функция g2 является решением уравнения (2.1) (∂t ψ(x, τ (z, t)) = 0) и удовлетворяет краевому условию g2 |xn =0 = ψ(x0 , t),
|g2 (x, t; ψ)| ≤ n−1 max |ψ(x0 , t)|. R
(2.9)
×B
§ 3. Пространства Г¨ ельдера. Оценки потенциалов 1. Пространства Г¨ ельдера. Вводимые ниже пространства аналогичны пространствам H l,l/2 (см. [6, гл. 1, § 1). Обозначим через QT одну из областей QT , DT , ST , ET , ETn−1 . Пусть l — произвольное не целое число. Через [l] обозначим целую часть l. Обозначим через H l,l/2 (QT ) банахово пространство непрерывных в QT функций u(x, t) с непрерывными производными ∂tr Dxs u при 2r + s ≤ [l], снабженное нормой [l] X (i) (l) (l) |u|QT = huiQT + huiQT , (3.1) i=0
где (0)
huiQT = max |u|, QT
(l)
(l)
(i)
(0) max ∂tr Dxs u Q ,
X
huiQT =
T
2r+s=i (l/2)
huiQT = huix,QT + huit,QT ,
(l)
huix,QT =
X
∂tr Dxs u
(l−[l]) x,QT
,
2r+s=[l] (l/2)
X
huit,QT =
∂tr Dxs u
(l−2r−s)/2 t,QT
.
0 0. Продолжение функции F на значения z < 0 с сохранением гладкости и нормы строится
Об основных краевых задачах
1419
известным способом (см. [6, гл. 4, § 4]). Используя такое продолжение, можно построить решение задачи Коши ∂t u − ∆u = F (x, Λ(t), τ (t)) в D,
u|D0 = ϕ(x, t),
(3.6)
которое дается формулой u = g(x, t; ϕ − f ∗ ) + g1 (x, t; F ),
(3.7)
где ∗
Z0 Z Γ(x − ξ, −z)F (ξ, z, τ (t)) dξdz.
f (x, τ (t)) =
(3.8)
−∞ Rn
Для сходимости несобственных интегралов на (−∞, t) можно вместо F (x, z, τ (t)) взять функцию F (x, z, τ (t))ζ(z), где ζ(z) ∈ C ∞ , ζ(z) = 0 для z < −2T и ζ(z) = 1 для z > −T с T > 0 достаточно большим. В силу оценок (3.3), (3.4) для функции (3.7) имеем (l+2) (l) (l+2) huiD ≤ c hF iD + hϕiD0 . (3.9) В § 4–6 рассмотрим первую краевую задачу и задачу Коши в пространствах Г¨ельдера H l,l/2 и получим априорные оценки решений этих задач. § 4. Априорные оценки Первая краевая задача. Пусть ∂Ω = S ∈ H l+2 (см. [6, гл. 4, § 4]), коэффициенты aij , ai , a, f уравнения (5) принадлежат H l,l/2 (QT ). Рассмотрим задачу Lu = f в QT , u|Q0 = ϕ, u|ST = ψ, (4.1) где ϕ ∈ H l+2 (Q0 ), ψ ∈ H l+2,l/2+1 (S T ). Пусть существует решение u из пространства H l+2,l/2+1 (QT ). Тогда на S0 должны выполняться некоторые условия согласования для функций f , ϕ, ψ. Рассмотрим функции uk (x, t) = ∂tk u Q0 , k = 0, 1, . . . , [l/2] + 1. Имеем u0 (x, t) = ϕ(x, t) и из уравнения (5) # " n n X X k uk+1 (x, t) = ∂t aij uxi xj − ai uxi − au i,j=1
Условия согласования имеют вид uk |S0 = ∂tk ψ S0 ,
i=1
+ ∂tk f Q0 . Q0
k = 0, 1, . . . , [l/2] + 1.
(4.2)
Задача Коши. Пусть коэффициенты ai,j , ai , a, f уравнения (5) принадлежат H l,l/2 (DT ). Рассмотрим задачу Lu = f в DT ,
u|D0 = ϕ(x, t),
(4.3)
где ϕ ∈ H l+2 (D0 ). В § 4–6 мы докажем следующие теоремы. Теорема 4.1. Если u(x, t) ∈ H l+2,l/2+1 (QT ) — решение задачи (4.1) и выполняются условия (4.2), то (l+2) (l) (l+2) (l+2) |u|QT ≤ c1 |f |QT + |ϕ|Q0 + |ψ|ST . (4.4)
1420
С. А. Терсенов
Теорема 4.2. Если u(x, t) ∈ H l+2,l/2+1 (DT ) — решение задачи (4.3), то (l+2) (l) (l+2) |u|DT ≤ c2 |f |DT + |ϕ|D0 , (4.5) где постоянные ci > 0, i = 1, 2, зависят только от коэффициентов уравнения (5), а также от l и n. l,l/2
Рассмотрим множество H0 (QT ), состоящее из функций в H l,l/2 (QT ) удовлетворяющих нулевым начальным условиям: ∂ts u Q = 0, s = 0, 1, . . . , [l/2]. 0
Предположим, что u ∈ H l+2,l/2+1 (QT ) (или u ∈ H l+2,l/2+1 (DT ) — решение задачи (4.1) (или (4.3)). Рассмотрим функции uk (x, t) = ∂tk u Q , k = 0, 1, . . . , [l/2] + 1. 0
Как и выше, u0 (x, t) = ϕ(x, t), # " n n X X ai uxi − au uk+1 (x, t) = ∂tk aij uxi xj − i=1
i,j=1
+ ∂tk f Q0 ,
k = 0, 1, . . . , [l/2].
Q0
В случае задачи (4.3) функции uk будут определены на D0 , а в случае задачи (4.3) — на Q0 . В последнем случае продолжим функции uk по x на Rn с сохранением нормы и обозначим продолженные функции через ϕk ∈ H l+2−2k (D0 ). Лемма 4.1. Существует функция w ∈ H l+2,l/2+1 (D) такая, что ∂tk w|D0 = ϕk ,
k = 0, 1, . . . , [l/2] + 1,
(4.6)
[l/2]+1 (l+2)
hwiD
≤ c1
(l+2−2k)
X
hϕk ix,D0
(4.7)
k=0
и при любом T [l/2]+1 (l+2) |w|DT
≤ c2
X
(l+2−2k)
|ϕk |D0
.
(4.8)
k=0
Доказательство. Введем функции k X
csk (−1)s ∆s ϕk−s = ψk ∈ H l+2−2k (D0 ),
k = 0, 1, . . . , [l/2] + 1.
s=0
Тогда условия (4.6) будут эквивалентны условиям (∂t − ∆)k w|D0 = ψk ,
k = 0, 1, . . . , [l/2] + 1.
Обозначим N = [l/2] + 1. Пусть wN — решение задачи ∂t wN − ∆wN = 0 в D,
wN |D0 = ψN ,
wN −1 — решение задачи ∂t wN −1 − ∆wN −1 = wN в D,
wN −1 |D0 = ψN −1 ,
и т. д. Пусть w — решение задачи ∂t w − ∆w = w1 в D,
w |D0 = ψ0 .
(4.9)
Об основных краевых задачах Имеем
1421
Z Γ(x − ξ, Λ(t))ψN (ξ, τ (t)) dξ = FN (x, Λ(t), τ (t)).
wN = Rn
Легко видеть, что все ws , s = 0, . . . , [l/2] (w = w0 ) имеют вид FN (x, Λ(t), τ (t)). Тогда решения задач можно построить по формуле (3.7) и в силу (3.9) получим (l+2−2N )
hwN iD (l+1−2N )
hwN −1 iD
(l+2−2N )
≤ chψN ix,D0 (l+1−2N )
≤ c hψN −1 ix,D0
, (l+2−2N )
+ hψN ix,D0
,
и т. д., наконец, (l+2)
hwiD
≤c
N X
(l+2−2s)
hψs ix,D0
,
s=0
и в силу (4.9) придем к (4.7). Докажем (4.8). Рассмотрим тождество f (x, t) =
σ X 1 i ∂t f (x, τ (t))Λi (t) i! i=0
1 + (σ − 1)!
Λ(t) Z
(Λ(t) − z)σ−1 [∂τσ f (x, τ (z, t)) − ∂τσ f (x, τ (t))] dz.
0
Для его доказательства нужно воспользоваться соотношением (1.6). В качестве f возьмем ∂tr Dxs w, 2r +s < l+2, и пусть σ — наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству l−2r−s < 2σ ≤ [l]+2−2r−s. Так как |τ (z, t)−τ (t)| ≤ M |z|, то σ X s r s (0) Dx ϕr+i (0) ∂t Dx w ≤ c1 (T ) DT
D0
i=0
+
((l+2−2r−2σ−s)/2) ∂tr+σ Dxs w t,D T (σ
1 − 1)!
Λ(t) Z
(Λ(t) − z)σ−1 z ((l+2−2r−2σ−s)/2) dz.
0
Отсюда σ X r s (0) s
∂t Dx w Dx ϕr+i (0) + c2 (T ) ∂tr+σ Dxs w ((l+2−2r−2σ−s)/2) . ≤ c (T ) 1 D D0 t,D T
T
i=0
Оценивая второе слагаемое при помощи (4.7), получим [l/2]+1 σ X X r s (0) s ((l+2−2k) ∂t Dx w Dx ϕr+i (0) + c2 (T ) ≤ c (T ) hϕk ix,D0 . 1 D D 0
T
i=0
k=0
Используя это неравенство и (4.7), нетрудно получить (4.8). В исследуемых задачах сделаем замену v = u − w. Тогда v будет решением уравнения Lv = f − Lw = f0 . l+2,l/2+1
l,l/2
(DT ), ϕ ≡ 0. В случае задачи Коши имеем v ∈ H0 (DT ), f0 ∈ H0 l+2,l/2+1 l,l/2 В случае первой краевой задачи будет v ∈ H0 (QT ), f0 ∈ H0 (QT ), l+2,l/2+1 ϕ ≡ 0. В силу условия согласования (ψ − w) |ST = ψ0 ∈ H0 (S T ). Достаточно доказать теоремы 4.1, 4.2 для малых δ = T .
1422
С. А. Терсенов l+2,l/2+1
Теорема 4.3. Пусть u ∈ H0 Lu = f в Qδ ,
u|Q0 = 0,
u|Sδ = ψ,
(Qδ ) — решение задачи l,l/2
f ∈ H0
l+2,l/2+1
(Qδ ), ψ ∈ H0
(S δ ).
Тогда (l+2)
|u|Qδ
(l)
(l+2)
≤ c |f |Qδ + |ψ|Sδ
,
(4.10)
где δ > 0 достаточно мало, c > 0 — постоянная, ограниченная при δ → 0. l+2,l/2+1
Теорема 4.4. Пусть u ∈ H0 Lu = f в Dδ ,
(Dδ ) — решение задачи Коши
u|D0 = 0,
l,l/2
f ∈ H0
(Dδ ).
Тогда (l+2)
|u|Dδ
(l)
≤ c|f |Dδ ,
(4.11)
где c > 0 — постоянная, ограниченная при δ → 0. Мы рассмотрим два случая: Ω — ограниченная в Rn область с границей S ∈ H l+2 (см. [6]) или Ω ≡ Rn . При заданном λ > 0 (см. [6, гл. 4, § 4]) рассмотрим подобласти ω (k) ⊂ Ω(k) , осуществляющие покрытие Ω (конечное, если Ω — ограниченная область, и счетное при Ω ≡ Rn ), обладающее следующими свойствами. S S 1. ω (k) ⊂ Ω(k) , ω (k) = Ω(k) = Ω. 2. Для любой точки x ∈ Ω существует ω (k) такое, что x ∈ ω (k) и расстояние от x до Ω \ ω (k) не меньше λd (d > 0). 3. Существует такое N0 , не зависящее от λ, что пересечение любых N0 + 1 подобластей Ω(k) пусто. 4. Множества ω (k) и Ω(k) (k = 1, . . . , p), отстающие от границы S на положительное расстояние, являются n-мерными кубами с центром в точках ξ (k) и линейными размерами λ и 2λ соответственно. Подобласти ω (k) ⊂ Ω(k) (k = p+1, . . . , q) — это подобласти, примыкающие к S и в местной системе координат (y1 , . . . , yn ) с вершиной в точке ξ (k) ∈ S (k) ⊂ S (yn направлен вдоль внутренней нормали) определяемые неравенствами λ , 2
s = 1, . . . , n − 1,
0 < yn − F (y 0 ) < λ,
|ys | < λ,
s = 1, . . . , n − 1,
0 < yn − F (y 0 ) < 2λ
|ys | ≤
соответственно. Здесь yn = F (y 0 ) ∈ H l+2 — уравнение поверхности S (k) (см. [6]). Сделаем замену zs = y s ,
s = 1, . . . , n − 1,
zn = yn − F (y 0 ).
Тогда область Ω(k) отобразится на куб K: |zs | < λ, s = 1, . . . , n − 1, |zn | < 2λ. Рассмотрим функцию ζ (k) (x) ∈ C ∞ (Rn ), обладающую свойствами 1, x ∈ ω (k) , 0 ≤ ζ (k) ≤ 1, ζ (k) (x) = (4.12) 0, x ∈ (Ω \ Ωk ), Dxs ζ (k) ≤ λcss . В силу свойства 3 подобластей Ω(k) имеем X 1≤ [ζ (k) (x)]2 ≤ N0 . k
(4.13)
Об основных краевых задачах
1423
Функция ζ (k) (x) η (k) (x) = P (k) [ζ (x)]2 k
будет удовлетворять условиям cs η (k) (x) = 0 в Ω \ Ω(k) , Dxs η (k) ≤ s , λ
X
η (k) (x)ζ (k) (x) = 1.
(4.14)
k
§ 5. Вспомогательные неравенства (l)
l,l/2
Легко заметить, что huiQ — норма на H0 δ
l,l/2
нейшем мы покажем, что эти нормы в H0
(l)
(l)
(Qδ ) и huiQδ ≤ |u|Qδ . В даль-
(Qδ ) эквивалентны.
l,l/2
Лемма 5.1. Пусть u ∈ H0 (Qδ ). 1. Пусть Ω0 ⊂ Ω, Q0δ = Ω0 × Gδ . Тогда для любого натурального i < l справедливо неравенство (i)
(l/2)
huiQ0 ≤ cδ (l−i)/2 huit,Q0 , δ
(k)
2. Пусть Qδ
(5.1)
δ
= Ω(k) × Gδ , δ = κλ2 , κ < 1. Введем норму (l)
(l)
kukQδ = suphui k
(k)
Qδ
.
(5.2)
Тогда (l)
(l)
(l)
(5.3) kukQδ ≤ huiQδ ≤ ckukQδ , где c > 0 не зависит от λ и δ. 3. Пусть δ = κλ2 , κ < 1, и wk (x) — определенная в Ω(k) функция, удовлетворяющая условию s Dx wk ≤ cs λ−s−i , s = 0, 1, . . . , [l] + 1, i ≥ 0. (5.4) (k) l,l/2 Тогда для любой функции u ∈ H0 Qδ имеет место неравенство (l)
hwk ui
(l)
≤ cλ−i hui
(k)
Qδ
,
(k)
Qδ
(5.5)
где c > 0 не зависит от λ и δ (δ = κλ2 , κ < 1). Доказательство. Неравенства (5.1) и (5.3) легко обосновать, опираясь на аналогичные оценки из [6, гл. 4, § 4]. Докажем (5.5). В силу (5.4) имеем (l)
hwk ui
(k) x,Qδ
≤c
[l] X
(j)
(l−j)
hwk iΩ(k) hui
(k)
x,Qδ
j=0
(l−j)
(j)
+ hwk iΩ(k) hui
≤c
(k)
Qδ
[l] X j=0
(l−j)
λ−i−j hui
(k) x,Qδ
(j)
+ λj−l−i hui
(k) Qδ
(k)
. (5.6)
Так как |x − x0 | < λ в Qδ , то |x − x0 |[l]−l ∂tr Dxs u(x, t) − ∂tr Dxs 0 u(x0 , t) 1 Z ∂ r s = |x − x0 |[l]−l ∂t Dξ u(x0 + λ(x − x0 ), t) dλ ∂λ 0 ≤ |x − x0 |[l]−l+1 max ∂tr Dxs+1 u ≤ λ1+[l]−l max ∂tr Dxs+1 u . (k)
Qδ
(k)
Qδ
1424
С. А. Терсенов
Для 2r + s = [l] − j имеем
r s (l−[l]) ∂t Dx u x,Q(k) ≤ cλ1+[l]−l max ∂tr Dxs+1 u . (k)
δ
Qδ
Тогда (l−j)
hui
([l]+1−j)
≤ cλ1+[l]−l hui
(k)
x,Qδ
(k)
Qδ
.
Так как δ < λ2 , в силу (5.1) (l−j)
hui
(l/2)
(k)
x,Qδ
≤ cλj hui
(k)
t,Qδ
.
(5.7)
Подставляя (5.6) в (5.7) и учитывая (5.1), получим [l] X (l) (l) (j) hwk ui (k) ≤ cλ−i λj−l hui (k) + hui (k) x,Qδ
x,Qδ
Qδ
j=0
(l)
≤ cλ−i hui
(l/2)
+ hui
(k)
x,Qδ
(k)
t,Qδ
(l)
≤ cλ−i hui
(k)
Qδ
. (5.8)
Далее, ∂tr Dxs (wk u) =
s X
Csj Dxs−j wk ∂tr Dxj u,
j=0
∂tr Dxs (wk u(x, t)) − ∂tr0 Dxs (wk u(x, t0 )) |t − t0 |(l−2r−s)/2 s X ∂ r Dj u(x, t) − ∂tr0 Dxj u(x, t0 ) Csj Dxs−j wk t x = |t − t0 |(s−j)/2 . 0 |(l−2r−j)/2 |t − t j=0 (k)
В силу (5.4) и того факта, что |t − t0 | < δ в Qδ , получаем
s (l−2r−s)/2 X
(l−2r−j)/2 ∂tr Dxs (wk u) t,Q(k) ≤ Csj λs−j−i δ (s−j)/2 ∂tr Dxj u t,Q(k) . δ
δ
j=0
Тогда (l/2)
hwk ui
(k) t,Qδ
≤c
X
s X
(l−2r−j)/2 (l/2) λs−j−i δ (s−j)/2 ∂tr Dxj u t,Q(k) ≤ cλ−i hui (k) . t,Qδ
δ
0 0 — целое число. 1. Пусть коэффициенты aij , ai , a уравнения (5) принадлежат H l,l/2 (QT ), ∂Ω = S ∈ H l+2 . Тогда при любых f ∈ H l,l/2 (QT ), ϕ ∈ H l+2 (Q0 ), ψ ∈ H l+2,l/2+1 (S T ), удовлетворяющих условиям согласования (4.2), первая краевая задача имеет единственное решение u ∈ H l+2,l/2+1 (QT ) и для него справедлива оценка (4.4). 2. Пусть коэффициенты aij , ai , a уравнения (5) принадлежат H l,l/2 (DT ). Тогда для любых f ∈ H l,l/2 (DT ), ϕ ∈ H l+2 (D0 ), задача Коши имеет единственное решение u ∈ H l+2,l/2+1 (DT ) и для него справедлива оценка (4.5). Замечание. Рассмотрим в QT уравнение n X (aij (x)uxi )xj − a(x)u = 0, (7.6) Lu ≡ ∂t u − i,j=1 1+α
α
где aij ∈ H (Ω), a ∈ H (Ω). Пусть λk — собственные значения, а wk (x) — ортонормированная система собственных функций задачи n X (aij (x)uxi )xi + a(x)u + λu = 0, в Ω, u|S = 0. i,j=1
Тогда решение задачи Lu = 0, в QT ,
u|Q0 = ϕ(x, t),
u|ST = 0
дается формулой u(x, t) =
∞ X
cs (τ (t))ws (x) exp(−λs Λ(t)),
(7.7)
s=1
где ϕ(x, t) =
∞ X s=1
Z cs (t)ws (x),
cs (t) =
ϕ(x, t)ws (x) dx. Ω
Из (7.7) видно, что для p-кратной дифференцируемости решения u по t1 , . . . , tm необходимы p-кратная дифференцируемость cs и ϕ по tk и p-кратная гладкость поверхности Π. ЛИТЕРАТУРА 1. Пискунов Н. С. Краевые задачи для уравнений эллиптико-параболического типа // Мат. сб. 1940. Т. 7, № 3. 2. Генчев Н. С. Об ультрапараболических уравнениях // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151, № 2. С. 265–268. 3. Ильин А. М. Об одном классе ультрапараболических уравнений // Докл. АН СССР. 1964. Т. 159, № 6. С. 1214–1217. 4. Владимиров В. С., Дрожжинов Ю. Н. Обобщенная задача Коши для ультрапараболического уравнения // Изв. АН СССР. Сер. мат.. 1967. Т. 31, № 6. С. 1341–1360. 5. Дрожжинов Ю. Н. Стабилизация решения обобщенной задачи Коши для ультрапараболических уравнений // Изв. АН СССР. Сер. мат.. 1969. Т. 33, № 2. С. 368–372. 6. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 7. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1967. Статья поступила 14 января 2000 г., окончательный вариант — 27 марта 2001 г. Терсенов Савва Авраамович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск 630090