ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10
Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент
С. С. САМАРОВА
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ по математике
© С. С. Самарова, 2010 © ООО «Резольвента», 2010 Пример 1. Решить неравенство 1 125 ⋅ 5
3 x2
1 ≤ 25
−4 x
.
Решение. 1 125 ⋅ 5
3 x2
1 ≤ 25
−4 x
⇔ 53 ⋅ 5−3 x ≤ 5( −2)⋅( −4 x ) ⇔ 5−3 x 2
2
+3
≤ 58 x ⇔ −3 x 2 + 3 ≤ 8 x ⇔
⇔ 3x 2 + 8 x − 3 ≥ 0
Чтобы решить последнее неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения: 3 x 2 + 8 x − 3 = 0 ⇔ x1,2 =
−8 ± 64 + 36 −8 ± 10 2 1 = ⇔ x1 = −3, x2 = = . 6 6 6 3
Следовательно, ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 1
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 1 3 x 2 + 8 x − 3 ≥ 0 ⇔ x ∈ ( −∞, − 3] ∪ , + ∞ . 3 1 Ответ: x ∈ ( −∞, − 3] ∪ , + ∞ . 3
Пример 2. Решить неравенство 1 1 ⋅ 9 27
x −2
1 + 8⋅ 9
x −1 2
≤ 3x
Решение. 1 1 ⋅ 9 27
x −2
x −1 2
x −1
( −2 )⋅ 1 + 8 ⋅ ≤ 3x ⇔ 3−2 ⋅ 3( −3)⋅( x −2) + 8 ⋅ 3 2 ≤ 3x ⇔ 3−3 x + 4 + 8 ⋅ 31− x ≤ 3x ⇔ 9 34 3 ⇔ 3 x + 8 ⋅ x ≤ 3x ⇔ 34 + 8 ⋅ 3 ⋅ 32 x ≤ 34 x ⇔ 34 x − 24 ⋅ 32 x − 34 ≥ 0. 3 3
Таким образом, задача свелась к решению неравенства 34 x − 24 ⋅ 32 x − 34 ≥ 0 .
(2)
Чтобы решить неравенство (2), совершим замену переменного 32 x = y, y > 0
и найдем корни соответствующего квадратного уравнения: 24 ± 576 + 324 24 ± 30 = ⇔ y1 = −3, y2 = 27 ⇔ 2 2 ⇔ y 2 − 24 ⋅ y − 81 = ( y + 3)( y − 27 )
y 2 − 24 ⋅ y − 81 = 0 ⇔ y1,2 =
Следовательно, 34 x − 24 ⋅ 32 x − 34 ≥ 0 ⇔ ( 32 x + 3)( 32 x − 27 ) ≥ 0 ⇔ ( 32 x − 27 ) ≥ 0 ⇔ 32 x ≥ 33 ⇔ 3 ⇔ 2x ≥ 3 ⇔ x ≥ . 2
3 Ответ: x ≥ . 2
Пример 3. Решить неравенство
( 0, 4 )
x
− ( 2,5 )
x+1
> 1,5
(3)
Решение. Поскольку ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 2
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 −1
4 2 5 −1 0,4 = = = = ( 2,5 ) , 10 5 2
то неравенство (3) можно переписать в следующем виде:
( 0, 4 )
x
− ( 2,5 )
x +1
> 1,5 ⇔ ( 2,5 ) − ( 2,5 ) −x
x +1
1
> 1,5 ⇔
− ( 2,5 ) ⋅ ( 2,5 ) > 1,5 ⇔ x
( 2,5 ) 2x x 2x x ⇔ 1 − ( 2,5 ) ⋅ ( 2,5 ) > (1,5 ) ⋅ ( 2,5 ) ⇔ ( 2,5 ) ⋅ ( 2,5 ) + (1,5 ) ⋅ ( 2,5 ) − 1 < 0 x
Таким образом, задача свелась к решению неравенства
( 2,5) ⋅ ( 2,5)
2x
+ (1,5 ) ⋅ ( 2,5 ) − 1 < 0 . x
(4)
Чтобы решить неравенство (4), совершим замену переменного
( 2,5)
x
=y
и найдем корни соответствующего квадратного уравнения: −1,5 ± 2, 25 + 10 −1,5 ± 3,5 = ⇔ y1 = −1, y2 = 0, 4 ⇔ 5 5 ⇔ ( 2,5 ) ⋅ y 2 + (1,5 ) ⋅ y − 1 = 2,5 ( y + 1)( y − 0, 4 ) .
( 2,5) ⋅ y 2 + (1,5 ) ⋅ y − 1 = 0 ⇔ y1,2 = Следовательно,
( 2,5) ⋅ ( 2,5)
2x
(
) (( 2,5)
+ (1,5 ) ⋅ ( 2,5 ) − 1 < 0 ⇔ 2,5 ( 2,5 ) + 1 x
x
x
x
x
)
− 0, 4 < 0 ⇔ −1
5 2 5 5 ⇔ ( 2,5 ) − 0,4 < 0 ⇔ ( 2,5 ) < 0,4 ⇔ < ⇔ < ⇔ x < −1. 2 5 2 2 x
x
Ответ: x < −1. Пример 4. Решить неравенство 7 − x − 3 ⋅ 71+ x > 4
Решение. 7 − x − 3 ⋅ 71+ x > 4 ⇔
1 − 21 ⋅ 7 x > 4 ⇔ 1 − 21 ⋅ 7 2 x > 4 ⋅ 7 x ⇔ 21 ⋅ 7 2 x + 4 ⋅ 7 x − 1 < 0 x 7
Чтобы решить неравенство 21 ⋅ 7 2 x + 4 ⋅ 7 x − 1 < 0 ,
совершим замену переменного 7 x = y,
и найдем корни соответствующего квадратного уравнения: ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 3
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 −4 ± 16 + 84 −4 ± 10 1 1 = ⇔ y1 = − , y2 = ⇒ 42 42 3 7 1 1 ⇒ 21 y 2 + 4 y − 1 = 21 y + y − . 3 7
21 y 2 + 4 y − 1 = 0 ⇔ y1.2 =
Следовательно, 1 1 1 21 ⋅ 7 2 x + 4 ⋅ 7 x − 1 < 0 ⇔ 21 7 x + 7 x − < 0 ⇔ 7 x − < 0 ⇔ 3 7 7 1 ⇔ 7 x < ⇔ 7 x < 7 −1 ⇔ x < −1. 7
Ответ: x < −1. Пример 5. Решить неравенство 4 x 2 −3 x + 0,5
3
1 0.
Чтобы решить последнее неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения −6 ± 36 + 288 −6 ± 18 1 1 = ⇔ x1 = − , x2 = ⇔ 144 144 6 12 1 1 ⇔ 72 x 2 + 6 x − 1 = 72 x + x − . 6 12
72 x 2 + 6 x − 1 = 0 ⇔ x1,2 =
Следовательно, 1 72 x 2 + 6 x − 1 > 0 ⇔ x ∈ −∞, − 6 1 Ответ: x ∈ −∞, − 6
1 ∪ , +∞ 12
1 ∪ , + ∞ . 12
Пример 6. Решить неравенство 2 x −1 − 3x > 3x −1 − 2 x+ 2
Решение. ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 4
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 2 x −1 − 3x > 3x−1 − 2 x + 2 ⇔ 2 x−1 + 2 x + 2 > 3x −1 + 3x ⇔
1 x 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 x > ⋅ 3x + 3x ⇔ 2 3 3
x
9 x 4 x 9 3 3x 3 3 ⇔ ⋅ 2 > ⋅ 3 ⇔ ⋅ > x ⇔ > ⇔ x < 3. 2 3 2 4 2 2 2
Ответ: x < 3. Пример 7. Решить неравенство
( 0,01)
5−
x2 2
≤ 10
x 2 +10 x + 2
Решение. Поскольку
( 0,01)
x2 5− 2
≤ 10
x +10 x + 2 2
⇔ 10
( −2 )⋅ 5−
x2 2
≤ 10
x 2 +10 x + 2
⇔ x 2 − 10 ≤ x 2 + 10 x + 2 ⇔
⇔ x 2 + 10 x + 12 − x 2 ≥ 0,
то задача свелась к решению неравенства с модулем: x 2 + 10 x + 12 − x 2 ≥ 0 .
(5)
Чтобы решить неравенство (5), рассмотрим два случая. Случай 1. x 2 + 10 x ≥ 0 ⇔ x ∈ ( −∞, − 10] ∪ [ 0, + ∞ ) .
В этом случае x 2 + 10 x = x 2 + 10 x
и неравенство (5) принимает вид: 6 10 x + 12 ≥ 0 x 2 + 10 x + 12 − x 2 ≥ 0 x≥− ⇔ ⇔ ⇔ 5 x ∈ ( − ∞, − 10] ∪ [ 0, + ∞ ) x ∈ ( − ∞, − 10] ∪ [ 0, + ∞ ) x ∈ ( −∞, − 10] ∪ [ 0, + ∞ ) ⇔ x ∈ [ 0, + ∞ ) .
Случай 2. x 2 + 10 x < 0 ⇔ x ∈ ( −10, 0 )
В этом случае x 2 + 10 x = − x 2 − 10 x
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 5
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 и неравенство (5) принимает вид: 2 2 2 2 − x − 10 x + 12 − x ≥ 0 −2 x − 10 x + 12 ≥ 0 x + 5 x − 6 ≤ 0 ⇔ ⇔ ⇔ ∈ − ∈ − ∈ − x 10, 0 x 10, 0 x 10, 0 ( ) ( ) ( )
x ∈ ( −6, 1) ⇔ ⇔ x ∈ ( −6, 0 ) . ∈ − x 10, 0 ( )
Объединяя результаты, полученные в каждом из случаев, получаем ответ задачи. Ответ: x ∈ ( −6, + ∞ ) . ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Решить неравенства: 1.
32 ⋅ 2− 4 x ≥ 83 x
2.
32 ⋅ 2− 4 x ≥ 83 x
3.
2
2
1 4⋅ 2
1 ≤ 8
−3 x
27 ⋅ 3−6 x ≥ 94 x 2
4.
x2 2
1 1 7 ⋅ ≥ 7 49
5.
6.
5 x2
3
16 ⋅ 4
−3 x 2
≥ 64
7.
2 1 ⋅ 5−2 x ≥ 55 x 125
8.
1 3
9.
8 < 6⋅4
3 x2
1 1 10. ⋅ 4 8 11. 9
x 3
1 ≤ 9 ⋅ 27
x
3
x
x +1 2
4− 4 x
3− x 2
x −2
+ 21+ x
1 < 3⋅ 2
x −1
+ 2x
+ 32− x < 2 ⋅ 271− x
12. 5 x +1 − 2 ⋅ 51− x < 3 ⋅ 52−3 x
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 6
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 13.
( 0,1)
x +1
< 0,8 + 2 ⋅ 10 x
14. − 4 ⋅ 71− x + 71+ x < 3 ⋅ 7 2−3 x 1 ≥ 121
x 2 −5 x
15. 11
− x −9 −2 x
x2 2
x 2 +8 x −10 1 16. ≤ 5 25
17. 2
1 ≥ 4
x 2 −8 x
x − 2 x −12
x2 2
x 2 + 6 x −8 1 18. ≤ 9 81
1 19. 49 20. 3 ⋅ 9
−
1 21. 4
2 x−
x2 2
x−
x2 2
≥7
2 x −10 + x
1 x 2 +5 x ≤ ⋅3 9
x2 2
≥2
3 x −12 + 2 x
22. 5 x − 53− x > 20 23. 9 x − 91− x > 8 24. 31+ x − 32− x < 26
1 25. 7 26. 5
− 9 x 2 −8 x +3
x 2 + x −1
< 7 −7 x 1 > 5
2
5 x2
10 x 2
27. 2
2 x 2 − x −1
1 7 x − 2 ⋅ 5 x−1
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 7
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 30. 45 ⋅ 9 x − 32 ⋅ 4 x −1 > 2 ⋅ 4 x +1 − 4 ⋅ 9 x +1 31. 2 x+1 + 5 x−2 < 5 x−1 − 2 x −1 32. 4 ⋅ 5 x + 3x+1 > 5 x +1 + 2 ⋅ 3x −2 33. 15 ⋅ 2 x + 7 x −1 > 2 x+6 − 7 x 34. 2 ⋅ 3x + 6 ⋅ 7 x −1 < 7 x + 5 ⋅ 3x −3
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 8
