Введение в дифференциальную геометрию «В целом

И.Я.Бакельман, А.Л.Вернер, Б.Е.Кантор ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ «В ЦЕЛОМ» М.: НАУКА, 1973

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава I. Топологические и метрические пространства § 1. Топологические пространства § 2. Непрерывные отображения § 3. Метрические пространства § 4. Отображение компакта в метрическое пространство § 5. Кривые в метрическом пространстве. Пространства с внутренней метрикой § 6. Линейные пространства. Выпуклые множества § 7. Выпуклые множества в конечномерных евклидовых пространствах § 8. Фундаментальная группа. Накрытия. Клеточные пространства Глава II. Многообразия § 9, Топологические многообразия. Гладкие и римановы многообразия § 10. Двумерные топологические многообразия § 11. Векторные поля на двумерных многообразиях. Теорема Пуанкаре § 12. Двумерные многообразия ограниченной кривизны Глава III. Поверхности § 13. Понятие поверхности § 14. Краткие сведения из дифференциальной геометрии § 15. Сферическое отображение поверхности § 16. Локальные свойства гладких и регулярных поверхностей § 17. Интегральная гауссова кривизна полных некомпактных двумерных римановых многообразий § 18. Полные поверхности в евклидовом пространстве § 19. Изометрическое погружение римановых многообразий в Em Глава IV. Выпуклые поверхности и эллиптические уравнения § 20. Краткие сведения из теории эллиптических уравнений. Геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям § 21. Единственность замкнутой выпуклой поверхности с заданной функцией главных радиусов кривизны § 22. О связи внешней и внутренней геометрий выпуклой поверхности § 23. R-кривизна выпуклой поверхности. Теоремы компактности и сходимости § 24. Обобщенные решения уравнений Монжа — Ампера § 25. Регулярные решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений Монжа — Ампера § 26. Регулярность обобщенных решений уравнений Монжа — Ампера § 27. Поверхности с данной средней кривизной Глава V. Выпуклые поверхности с данной метрикой

5 9 9 18 26 36 41 49 62 85 106 106 121 154 169 178 178 184 207 220 237 244 258 271 271 293 301 310 317 330 343 350 355

§ 28. Однозначная определенность выпуклых поверхностей своей 355 метрикой § 29. Существование замкнутой выпуклой поверхности в E3 с данной 371 метрикой Глава VI. Седловые поверхности 389 § 30. Внутренняя полнота и неограниченность седловых поверхностей 389 § 31. Связь между внутренней и внешней геометриями полных седловых 409 поверхностей § 32. Полные седловые поверхности со взаимно однозначным 419 сферическим изображением Литература 429 Предметный указатель 437 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Векторы ортогональные 63 Автоморфизм 51, 112 Вершины многогранника 82 — внутренний 51 — многогранной метрики 170 Аксиома отделимости (Хаусдорфа) — многоугольника 123 12 Включение 19 Аксиомы топологического Вложение 22 пространства 9 Внутренняя геометрия поверхности Алфавит 100 184 Аппроксимирующая Вполне аддитивная функция последовательность множества 172 многоугольных областей 149 Вращение векторного поля 155, 160 Атлас 113 — седлового рога 405 — класса C 113 Вторая квадратичная форма — максимальный 113 поверхности 188 База касательного расслоения 118 Выпуклая комбинация 58 — накрытия 91 Базис линейного пространства 52 — — точек в En 64 — ортонормированный 63 — оболочка 59 — топологического пространства 15 — шапочка 75 Бесконечно удаленная (б. уд.) точка Выпуклое тело 65 многообразия 149, 237 Выпуклый конус 66 Букет окружностей 24 Гёльдера коэффициент 57 Вариация поворота 174 — условие 56 Вектор 52 Геодезическая 48 — базисный 52 Гиперплоскость 65 — бинормали 185 Гиперповерхность 178 — геодезической нормали 186 Главные нормальные кривизны — главной нормали 185 поверхности 190 — касательный 116, 117 Гомеоморфизм 21 — — к пути 180 — локальный 22 — кривизны 185 Гомоморфизм 51 — направляющий 65 Гомотопия 85

— линейная 86 — нулю 89 — свободная 89 — связанная 86 Гомотопные векторные поля 157 Горбушка 230 Граница множества 10 Граничная полоса 362 Грань многогранника 82 Группа 49 — абелева 50 — аддитивная 50 — коммутативная 50 — свободная 10D — соотношений 100 — топологическая 53 — фундаментальная 88 — циклическая 100 Двумерное многообразие ограниченной кривизны (в смысле А. Д. Александрова) 169 Деформация поверхности 204 — — равномерно гладкая 204 Диффеоморфизм 111 Длина вектора 62 — кривой 43 — пути 43 Дуга кривой 42 — пути 42 Задача Дирихле 274 Замыкание 11 Звездность 67 Избыток треугольника 169 — — верхний 169 Извивание кривой 332 Изгибание 203 Изометрическое погружение (вложение) 182, 183 Изометричные поверхности 184 Изоморфизм 51 Индекс особой точки 160, 165 — точки поверхности 209 Карта локальная 112 Касательная к кривой 181

— m-плотность 181 Касательное расслоение 118 Касательный конус 302 — пучок 118 Класс гомотопический 85 — смежности левый (правый) 51 — эквивалентности 23 Клетка 103 Клеточное разбиение 103 Компактность 17 — секвенциальная 32 Композиция отображений 19 Компонента (связности) 14 Конец отрезка 65 Координаты декартовы 64 — изотермические 176 — полугеодезические 198 — чебышевские 177 Край многообразия 110 Кратчайшая 48 Кривая 24, 42, 178 — выпуклая 75 — — замкнутая 72 — — полная бесконечная 72 — двусторонняя 125 — жорданова 121 — невырожденная 45 — односторонняя 125 — с ограниченной вариацией поворота 174 — спрямляемая 43 Кривизна гауссова 171, 190, 194 — — выпуклой поверхности 305 — кривой 185 — — геодезическая 195 — множества 170, ,172 — — абсолютная 170, 172 — — полная (интегральная) 171, 172 — поверхности внешняя 214 — — нормальная 18 — полосы геодезическая 187 — — нормальная 187 — средняя 190, 194 — точки МОК 170

— удельная 305 Кручение кривой 185 — — геодезическое 195 — полосы геодезическое 187 — поверхности геодезическое 195 Линейная комбинация векторов 52 Линия асимптотическая 195 — геодезическая 195 — градиента 221 — — критическая 223 — — полная 223 — кривизны 195 — уровня 221 Луч (полупрямая) 66 — открытый 66 Максимальная система циклов 146 Метрика 27 — внутренняя 47 — риманова 120 — Фреше 38 Минимизирующая последовательность поясов 238 Многогранник выпуклый 82 — — бесконечный 82 — — замкнутый 82 — — полный 82 — — телесный 82 — n-выпуклый 82 Многообразие аналитическое 113 — гладкое класса Cr — замкнутое 107 — конечносвязное 154 — линейное 52 Многообразие неориентируемое 142 — ограниченной кривизны 169 — ориентируемое 142 — открытое 107 — рим а ново 119 — с краем 110 — с многогранной метрикой 169 — триангулируемое 122 — топологическое 107 Многоугольник вдающийся 238 — выступающий 238

— топологический 122 — — ориентированный 125 Множество борелевское 172 — всюду плотное 12 — выпуклое 57, 65 — замкнутое 10 — линейно независимое 52 — меры нуль 114 — нигде не плотное 12 — открытое 9 — связное 13 — сферически выпуклое 66 МОК 169 — положительной (отрицательной) кривизны 175 Мономорфизм 19 Накрытие 91 — в узком смысле 91 — универсальное 92 Направление асимптотическое 191 — главное 190 — дуги в МОК 172 — неособое 247 — параболическое 220 — седлового рога 405 Направленность одинаковая 66 — противоположная 66 Начало луча 66 Непрерывность равностепенная 39 Норма 54 — линейного оператора 56 Нормаль 69, 181 — внутренняя 70 Нормальный делитель 51 Нуль-плоскость 65 Область 15 — жорданова 121 — — замкнутая 121 — замкнутая 15 — многоугольная 149 Образ 19 Обход цикла 121 Общее расположение точек 65 Ограниченность равномерная 41

Одинаково составленные многогранники 366 Окрестность 10 — каноническая 160, 208 — — правильная 225 — координатная 113 Окружность большая 66 Оператор линейный 52 — проектирования 52 — эллиптически выпуклый 285 — эллиптический 272 Опора вогнутая 416 Опорная плоскость 68 — функция 278 Ориентации несогласованные 126 — согласованные 126 Ориентация многообразия 143 — триангуляции 143 — цикла 121 Ортогональное дополнение 63 Особая точка векторного поля 160 Остов 103 Относительное вращение 162 Отношение эквивалентности 23 Отображение 19 — взаимно однозначное 19 — изометрическое 28 — класса Cr (Cr-отображение) 111 — непрерывное 20 — нигде не постоянное 45 — нормальное 208 — обратимое 19 — обратное 19 — постоянное на отрезке 45 — сферическое 207 — — неориентированное 208 — тождественное 19 — топологическое 21 Отрезок 65 Отрицательная часть кривизны 171, 172 Отсекаемая особая точка 401 Параметризация кривой 42 — поверхности 178

Первая квадратичная форма поверхности 182 Петля 86 Плоскость n-мерная 65 Поверхностная полоса 186 — — асимптотическая 187 — — геодезическая 187 Поверхность 178 — выпуклая 75 — — n-мерная замкнутая 72 — — — полная 71 — — — — бесконечная 72 — гладкая 179 — замкнутая 183 — изгибаемая 355 — минимальная Я97 — неизгибаемая 355 — параметрическая 178 — полная (внутренне) 183 — — внешне 183 — регулярная 179 — с ограниченной удельной кривизной 305 — седловая 231 — — сферически однолистная 419 Поворот векторного поля 155 — кривой 174, 199 — — правый (левый) 173 — ломаной 156 Погружение 22 Погружения эквивалентные 178 — Cr-эквивалентные 179 Подгруппа 50 — инвариантная 51 —, порожденная множеством 100 — сопряженная 51 Подпространства ортогональные 62 Подпространство линейного пространства 52 — топологического пространства 12 Подразделение двумерное 127 — одномерное 127 Покрытие открытое 17 Поле векторное 119, 154

— — невырожденное 155 — — непрерывное 154 — направлений 168 Положительная часть кривизны 171, 172 Пополнение 32 Порядок седлообразности 224 Последовательность фундаментальная 31 Пояс 237 Предел последовательности 16, 30 — топологический 16 Предел топологический верхний 16 — — нижний 16 Предельный конус выпуклого множества 68 — — поверхности 425 — луч поверхности 425 Предразвертка каноническая 126 — топологическая 123 Преобразование линейное 52 Приведение отображения 19 Приклеивание по отображению 24 Проектирование 23 Проектор 53 Проекция 69 Произведение отображений 19 Прообраз 19 — полный 19 Простая дуга 121 Пространства гомотопически эквивалентные 86 — изометричные 28 Пространство банахово 55 — глобальное касательного расслоения 118 — касательное к многообразию 117 — — — поверхности 180 — клеточное (CW-комплекс) 103 — кривизны не большей (не меньшей) K 49 — линейное 51 — — n-мерное 52 — — — евклидово 62

— метрически связное 47 — метрическое 27 — — полное 31 — накрывающее 91 — нормальное 181 — нормированное 54 — односвязное 90 — проективное 95 Предел топологический с отмеченной точкой 86 — топологическое 9 — — линейное 53 — — несвязное 13 — — связное 13 — — хаусдорфово 12 — n-мерное точечное евклидово 63 Прямая сумма линейных пространств 53 Прямое произведение множеств 25 — — топологических пространств 25 Псевдосфера 410 Путь 24 — единичный 89 — накрывающий 93 — невырожденный 45 — нулевой 89 — спрямляемый 43 Радиус-вектор 64 Развертка каноническая 126, 127 — многогранная 24 — многогранника 371 — положительной кривизны 371 — топологическая 123 — — замкнутая 123 Развертки эквивалентные 127 Размерность топологического пространства 106 Разрезывание многообразия по кривой 125 Распространение отображения 19 Расстояние от точки до множества 30 Регулярная внутренняя метрика 307 Ретракт 97 — деформационный 98

Ретракция 97 — деформационная 98 Решение задачи Дирихле обобщенное 319 — — — условное 319 Рог 237 — неострый 399 Рог острый 399 Род многообразия 146 Свойство топологическое 22 Связность линейная 25 Сепарабельность 17 Сеть локально правильная 410 — на многообразии 123 — полугеодезическая 198 — правильная в целом 410 Система локальных координат 113 — образующих группы 100 Слабая сходимость 172 Слово 100 Слой касательного расслоения 118 Согласованные карты 113 Соотношения универсальные 100 Соприкасающаяся плоскость 185 Соприкасающийся параболоид 190 Сторона многоугольника 123 Структура риманова 119 — топологическая 9 Сужающаяся седловая поверхность 406 Сужение отображения 19 Сферическое изображение б. уд. точки 420 — — множества 207, 303 — — точки 207 Сходимость метрик равномерная 301 Тип гомотопический 86 Топологическая сумма 24 Топология '9 — дискретная 10 — индуцированная 12 — — метрикой 29 — компактно-открытая 36 — сильная 55

— тривиальная 10 Точка внутренняя 10 — гиперболическая 191 — «гиперболическая» 224 — гладкая 302 — граничная 10 — изолированная 11, 160 — коническая 302 — края многообразия 110 — кривой 42 — критическая 114, 221 — омбилическая 190 — параболическая 191 — «параболическая» 224 — предельная 11 — прикосновения 11 — ребристая 302 — регулярная в смысле А.В.Погорелова 208 Точка уплощения 191, 224 — эллиптическая 191 — «эллиптическая» 224 Треугольник 49 — топологический 122 Триангуляция 122 Трубка 237 Угол 49 — верхний 49 — полный 170, 173 — сектора 173 Угловая функция 155 Укрупнение двумерное 127 — одномерное 127 Уравнение квазилинейное 273 — линейное 272 — Монжа — Ампера 273 — эллиптическое 272 Условие выпуклости метрики 175 Уход на бесконечность линии уровня 251 Факторгруппа 51 Фактормножество 23 Факторотображение 23 Факторпространство 23, 53

Фактортопология 22 Функция выпуклая 77 — — монотонно 288 — кратности сферического отображения 210 —, полунепрерывная снизу (сверху) 36 Функционал линейный 53 Цепь треугольников 149 Цикл 121 Часть кривизны отрицательная 170— 172 — — положительная 170—172

— многообразия правильная компактная 253 Чаша 237 Число листов накрытия 92 Шапочка k-мерная 75 Шар 28 Эйлерова характеристика многообразия 143 — — — с краем 144 Эквивалентность топологическая 22 Элемент сопряженный 51 Эпиморфизм 19