М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В...
21 downloads
313 Views
243KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т
« К ривые второг о п оря д ка» Пособиед ля студ ентов1 курсапо специальности «х им ия» 020101.
В О РО Н Е Ж 2004
2 У тверж д ено науч но-м етод ич еским советом м атем атич еского ф акультета 3 сентября 2004 год а Протокол№ 1
СоставительПетроваЕ .В .
Пособиепод готовлено накаф ед реуравнений вч астны х производ ны х и теории вероятностей м атем атич еского ф акультетаВ оронеж ского госуниверситета Реком енд уется д ля студ ентов1 курсад невного отд еления х им ич еского ф акультета
3 К Р И В Ы Е В ТО РО ГО П О Р ЯДК А У равнение F(x;y)=0 опред еляеткривую второго поряд ка, если х отя бы од наиз перем енны х вэтом уравнении им еетвторую степень.
1. О круж ност ь О круж ность – м нож ество всех точ ек плоскости, равноуд аленны х от д анной точ ки (центра). Е сли r – рад иус окруж ности, а точ ка C (a;b) – ее центр, то уравнениеокруж ности им еетвид ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 . (1) В ч астности, если центр окруж ности совпад аетс нач алом коорд инат, то послед нееуравнениеприм етвид x2 + y2 = r 2 . (2) Е сли в левой ч асти уравнение (1) раскры ть скобки, то получ ится уравнениевид а x 2 + y 2 + lx + my + n = 0 , (3) 2 2 2 гд е l = −2a, m = -2b, n = a + b − r . В общ ем случ ае уравнение (2) опред еляет окруж ность, если 2 2 l + m − 4n > 0 . Е сли l 2 + m 2 − 4n = 0 , то указанное уравнение опред еляет точ ку (- l/2;-m/2), аесли l 2 + m 2 − 4n < 0 , то оно неим еетгеом етрич еского см ы сла. В этом случ аеговорят, ч то уравнениеопред еляетм ним ую окруж ность. Полезно пом нить, ч то уравнение окруж ности сод ерж ит старш ие ч лены x 2 и y 2 с равны м и коэф ф ициентам и, и в нем отсутствуетч лен с произвед ением x наy. В заим ное располож ение точ ки M(x1;y1) и окруж ности x 2 + y 2 = r 2 опред еляется таким и условиям и: если x1 + y1 = r 2 , то точ ка М леж итна 2 2 окруж ности; если x1 + y1 > r 2 , то точ ка М леж итвне окруж ности, и если 2 2 x1 + y1 < r 2 , то точ каМ леж итвнутри окруж ности. У равнение Ax 2 + Ay 2 + Bx + Cy + D = 0 (4) пред ставляетокруж ностьпри условии, ч то коэф ф ициенты A, B, C, D уд овлетворяю тнеравенству B 2 + C 2 − 4 AD > 0 (5) Т огд ацентр (a;b) и рад иусR окруж ности м ож но найти по ф орм улам B C ,b = − , a=− 2A 2A (6) B 2 + C 2 − 4 AD 2 R = 4A2 2
2
4 Прим ер 1. Н айти коорд инаты центра и рад иус окруж ности 5 x − 10 x + 5 y 2 + 20 y − 20 = 0 . Реш ение. П ерв ы й сп о со б. У равнение 5 x 2 − 10 x + 5 y 2 + 20 y − 20 = 0 под х од итпод вид (4); зд есь A=5, B=-10, C=20, D=-20. По ф орм улам (6) нах од им : a = 1, b = −2, R 2 = 9 , т.е. центр есть(1;-2), арад иусR = 3. В т о ро й сп о со б: Разд елив уравнение 5 x 2 − 10 x + 5 y 2 + 20 y − 20 = 0 на коэф ф ициент при ч ленах второй степени, т.е. на5, получ им : x2 − 2 x + y 2 + 4 y − 4 = 0 . Д ополним сум м ы x 2 − 2 x и y 2 + 4 y д о квад ратов. Д ля этого прибавим к первой сум м е 1, а ко второй 4. Д ля ком пенсации прибавим те ж е ч исла к правой ч асти уравнения. Получ им : ( x 2 − 2 x + 1) + ( y 2 + 4 y + 4) − 4 = 1 + 4 , ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 9 . т.е. Прим ер 2. Составить уравнение окруж ности, описанной около треугольника, стороны которого зад аны уравнениям и 9 x − 2 y − 41 = 0 , 7x + 4 y + 7 = 0 , x − 3y +1 = 0 . Реш ение. Н айд ем коорд инаты верш ин треугольника, реш ив совм естно три систем ы уравнений: 9 x − 2 y − 41 = 0, 9 x − 2 y − 41 = 0, 7 x + 4 y + 7 = 0, 7 x + 4 y + 7 = 0; x − 3 y + 1 = 0; x − 3 y + 1 = 0. В результатеполуч им A(3;-7), B(5;2), C(-1;0). Пусть иском ое уравнение окруж ности им еет вид 2 2 2 ( x − a ) + ( y − b) = r . Д ля нах ож д ения a, b и r напиш ем три равенства, под ставиввиском оеуравнениевм есто текущ их коорд инаткоорд инаты точ ек A, B и C: (3 − a) 2 + (−7 − b) 2 = r 2 ; (5 − a) 2 + (2 − b) 2 = r 2 ; ( −1 − a) 2 + b 2 = r 2 . И склю ч ая r 2 , прих од им к систем еуравнений (3 − a )2 + (− 7 − b )2 = (5 − a )2 + (2 − b )2 , 4a + 18b = −29, ил и 2 2 2 2 8a − 14b = 57. (3 − a ) + (− 7 − b ) = (− 1 − a ) + b , О тсю д а a=3,1, b=-2,3. Знач ение r 2 нах од им из уравнения 2 2 2 2 ( −1 − a) + b = r , т.е. r = 22,1 . И так, иском ое уравнение записы вается в 2 вид е ( x − 3,1) 2 + ( y + 2,3) = 22,1 . 2
5 Прим ер 3. Составить уравнение окруж ности, прох од ящ ей ч ерез точ ки A(5;0) и B(1;4), если еецентр леж итнапрям ой x + y − 3 = 0 . Реш ение. Н айд ем коорд инаты точ ки М – серед ины х орд ы А В; им еем (5 + 1) = 3 , y = (4 + 0) = 2 , т.е. М (3;2). Ц ентр окруж ности леж итна xM = M 2 2 серед инном перпенд икуляре к отрезку А В . У равнение прям ой А В им еет вид ( y − 0) = (x − 5) , т.е. x + y − 5 = 0 . (4 − 0) 1 − 5 Т ак как угловой коэф ф ициентэтой прям ой есть -1, то угловой коэф ф ициентперпенд икуляра к ней равен 1, а уравнение этого перпенд икуляра y − 2 = 1 ⋅ (x − 3) , т.е. x − y − 1 = 0 . О ч евид но, ч то центр окруж ности С есть точ ка пересеч ения прям ой А В с указанны м перпенд икуляром , т.е. коорд инаты центра опред еляю тся путем реш ения систем ы уравнений x + y − 5 = 0 , x − y − 1 = 0 . След овательно, x=2, y=1, т.е. С (2;1). Рад иус окруж ности равен д лине отрезка С А , т.е. r = (5 − 2) + (1 − 0) = 10 . И так, иском ое уравнение им еет вид 2 ( x − 2) 2 + ( y − 1) = 10 . Прим ер 4. Составить уравнение х орд ы окруж ности x 2 + y 2 = 49 , д елящ ей вточ кеА (1;2) пополам . Реш ение. Составим уравнениед иам етраокруж ности, прох од ящ его ч ерез точ ку А (1;2). Это уравнение им еетвид y = 2 x . И ском ая х орд а перпенд икулярна 1 д иам етруи прох од итч ерез точ куА , т.е. ееуравнение y − 2 = − ( x − 1) , или 2 x + 2y − 5 = 0. Прим ер 5. Н айти уравнение окруж ности, сим м етрич ной с окруж ностью x 2 + y 2 = 2 x + 4 y − 4 относительно прям ой x − y − 3 = 0 . Реш ение. Привед ем уравнение д анной окруж ности к канонич еском у вид у (x − 1)2 + ( y − 2)2 = 1 ; центр окруж ности нах од ится в точ ке С (1;2), и ее рад иусравен 1. Н айд ем коорд инаты центраС 1(x1;y1) сим м етрич ной окруж ности, д ля ч его ч ерез точ ку С (1;2) провед ем прям ую , перпенд икулярную прям ой −1 x − y − 3 = 0 ; ее уравнение y − 2 = k ( x − 1) , гд е k = = −1 , откуд а 1 y − 2 = − x + 1, или y = − x + 3 . Реш ая совм естно уравнения x − y − 3 = 0 и x + y − 3 = 0 , получ им x=3, y=0, т.е. проекция точ ки С (1;2) над анную прям ую – точ каР (3;0). К оорд инаты ж е сим м етрич ной точ ки получ им по ф орм улам коорд инатсре2
2
6 д ины отрезка: 3 =
(1 + x ) ,
0=
(1 + y ) , таким
образом , x1=5, y1=-2. Знач ит, 2 2 точ ка С 1(5;-2) – центр сим м етрич ной окруж ности, а уравнение этой ок2 руж ности им еетвид ( x − 5) 2 + ( y + 2 ) = 1 . Прим ер 6. Н айти м нож ество серед ин х орд окруж ности 2 2 x + y = 4( y + 1) , провед енны х ч ерез нач ало коорд инат. Реш ение. У равнение м нож ества х орд им еетвид y = kx . В ы разим коорд инаты точ ки пересеч ения х орд с окруж ностью ч ерез k, д ля ч его реш им систем у уравнений y = kx и x 2 + y 2 − 4 y − 4 = 0 . Получ им квад ратное уравнение x 2 (k 2 + 1) − 4kx − 4 = 0 . Зд есь x1 + x2 = 4k (1 + k 2 ) . Н о полусум м а этих абсцисс д аетабсциссу серед ины х орд ы , т.е. x = 2k (1 + k 2 ) , аорд ината серед ины х орд ы y = 2k 2 (1 + k 2 ) . Поэтом у д ва равенства являю тся парам етрич еским и уравнениям и иском ого м нож естваточ ек. И склю ч ив из этих равенств k (д ля ч его д остаточ но в соотнош ении y x = 2k (1 + k 2 ) полож ить k = ), получ им x 2 + y 2 − 2 y = 0 . Т аким образом , x иском ы м м нож еством такж еявляется окруж ность. 1
1
Зад ания д ля самост оя т е льног о ре ш е ния 1. О пред елитькоорд инаты центрови рад иусы окруж ностей: а) x 2 + y 2 − 8 x + 6 y = 0 ; б) x 2 + y 2 + 10 x − 4 y + 29 = 0 ; в) x 2 + y 2 − 4 x + 14 y + 54 = 0 . 2. Н айти угол м еж д у рад иусам и окруж ности x 2 + y 2 + 4 x − 6 y = 0 , провед енны м и вточ ки еепересеч ения сосью Оу. 3. Составитьуравнениеокруж ности, прох од ящ ей ч ерез точ ки А (1;2), В (0;-1) и С (-3;0). 4. Составить уравнениеокруж ности, прох од ящ ей ч ерез точ ки А (7;7) и В (-2;4), если еецентр леж итнапрям ой 2 x − y − 2 = 0 . 5. Составить уравнение общ ей х орд ы окруж ностей x 2 + y 2 = 16 и (x − 5)2 + y 2 = 9 . 6. Н аписать уравнение окруж ности с центром С (-4;3) и рад иусом R =5 и построитьее. Л еж атли наэтой окруж ности точ ки А (-1;-1), В (3;2) и О (0;0). 7. Д ана точ ка А (-4;6). Н аписать уравнение окруж ности, д иам етром которой служ итотрезок ОА . 8. Построитьокруж ности:
7 а) x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 3 = 0 ; б) x 2 + y 2 − 8 x = 0 ; в) x 2 + y 2 + 4 y = 0 . 9. Построить окруж ность x 2 + y 2 + 5 x = 0 , прям ую x + y = 0 и найти точ ки их пересеч ения. 10. Н аписать уравнение окруж ности, прох од ящ ей ч ерез точ ки пересеч ения окруж ности x 2 + y 2 + 4 x − 4 y = 0 с прям ой y = − x и ч ерез точ ку А (4;4). 11. Н аписать уравнения касательны х к окруж ности 2 2 x + y − 8 x − 4 y + 16 = 0 , провед енны х из нач алакоорд инат. 12. Д аны точ ки А (-3;0) и В (3;6). Н аписать уравнение окруж ности, д иам етром которой служ итотрезок А В . 13. Показать, ч то точ ка А (3;0) леж ит внутри окруж ности 2 2 x + y − 4 x + 2 y + 1 = 0 , написать уравнение х орд ы , д елящ ейся в точ ке А пополам . 14. Составить уравнения касательны х к окруж ности 2 2 (x − 3) + ( y + 2) = 25 , провед енны х в точ ках пересеч ения окруж ности с прям ой − y + 2 = 0 . 15. Д ана окруж ность x 2 + y 2 = 4 . И з точ ки А (-2;0) провед ена х орд а А В , которая прод олж ена на расстояние В М = А В . Н айти м нож ество точ ек М .
2. Э ллип с Эллипс – м нож ество всех точ ек плоскости, сум м а расстояний которы х д о д вух д анны х точ ек, назы ваем ы х ф окусам и, есть велич инапостоянная (ее обознач аю тч ерез 2а), прич ем эта постоянная больш е расстояния м еж д уф окусам и. Е сли оси коорд инатрасполож ены по отнош ению к эллипсу так, как нарисунке, аф окусы эллипсанах од ятся y на оси Ох на равны х расстояниях отнач ала коорд инат в точ ках F1 (c;0) и M F2 (− c;0) , то получ ится простейш ее (каr2 r1 нонич еское) уравнениеэллипса: F2 F1 O x x2 y2 + = 1. (1) a 2 b2 Зд есь а – больш ая, b – м алая полуось эллипса, прич ем a, b и c (с – половина расстояния м еж д у ф окусам и) связаны соотнош ением a 2 = b 2 + c 2 .
8 Ф орм а эллипса х арактеризуется его эксцентриситетом (отнош ение с ф окусного расстояния к больш ой оси), обознач ается - ε., ε = (так как a c 1 назы вается эксцентриситетом a гиперболы . Ф окальны е рад иусы -векторы правой ветки гиперболы : r1 = εx − a (правы й ф окальны й рад иус-вектор), r2 = εx + a (левы й ф окальны й рад иусвектор). 2
1
11 Ф окальны е рад иусы -векторы левой ветки гиперболы : r1 = −εx + a (правы й ф окальны й рад иус-вектор), r2 = −εx − a (левы й ф окальны й рад иус-вектор). Е сли a=b, то уравнениегиперболы приним аетвид x2 − y2 = a2 . (2) Т акая гиперболаназы вается равнобоч ной. Е е асим птоты образую тпрям ой угол. Е сли за оси коорд инатпринять асим птоты равнобоч ной гиперболы , a2 то ее уравнение прим етвид xy=m ( m = ± ; при m>0 гипербола располо2 ж енав I и III ч етвертях , при при m0) У равнение x 2 = 2 py (2) является уравнением параболы , сим м етрич ной относительно оси орд инат. При p>0 параболы (1) и (2) обращ ены в полож ительную сторону соответствую щ ей оси, апри p0). 2 Построениепараболы по д анном упарам етрур Провед ем (рисунок) прям ую PQ Q (д иректрису параболы ) и на д анном расстоянии p=CF от нее возьм ем точ ку F (ф окус). Серед ина О отрезка CF буд ет верш иной, а прям ая – CF осью параболы . K Н а луч е ОF возьм ем произвольную точ ку OF C R и ч ерез нее провед ем прям ую RS, перпенд икулярную к оси. И з ф окуса F, как из центра, опиш ем окруж ностьрад иуP
S
M R M’
x
15 сом , равны м CR. О напересеч етRS вд вух точ ках М , М ′. Т оч ки М и М ′ принад леж атиском ой параболе, так как по построению FM=CR=KM. М еняя полож ениеточ ки R, буд ем нах од итьновы еточ ки параболы . Параболакак граф ик уравнения y = ax 2 + bx + c У равнение x 2 = 2 py пред ставляетту ж е параболу, ч то и уравнение y 2 = 2 px , только теперь ось параболы совпад аетс осью орд инат; нач ало коорд инатпо-преж нем усовпад аетсверш иной параболы . Ф окуснах од ится p p вточ кеF 0; . Д иректрисаPQ пред ставляется уравнением y + = 0 . 2 2 Е сли за полож ительное направление на оси орд инатпринять не направлениеOF, анаправлениеFO, то уравнениепараболы буд ет − x 2 = 2 px . (3) Сообразно сэтим граф икам и ф ункций (4) y = ax 2 служ атпараболы , обращ енны евогнутостью вверх , когд аa>0, и вниз, когд а a0; тогд аопред еляем ая этим уравнением кривая естьэллипс (д ействительны й, м ним ы й или вы род ивш ийся в точ ку); при А=С эллипспревращ ается вокруж ность. 2. Пусть AC0 или AC