Решение задач уравнений математической физики с применением математических пакетов: Учебное пособие

Мусин Н.М. Решение задач уравнений математической физики с применением математических пакетов

Оглавление Введение для преподавателей. Программа занятий на семестр ....................................................3 Введение для студентов. Что такое математическая физика........................................................4 1. Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка. ...............................................................................................................................................6 2. Замена переменных как метод упрощения дифференциальных уравнений ............................9 3. Метод характеристик ...................................................................................................................11 4. Уравнение свободных малых колебаний струны. Решение Даламбера и его физический смысл. ................................................................................................................................................13 5. Краевые задачи для основных уравнений математической физики ......................................15 6. Метод разделения переменных (метод Фурье) .........................................................................22 7. Операционный метод (преобразования Лапласа) .....................................................................24 Функции одной переменной .......................................................................................................25 Функции двух переменных .........................................................................................................26 Пример.......................................................................................................................................26 Расчет длинных электрический линий операционным методом.............................................26 8. Метод конформных преобразований .........................................................................................30 9. Метод сеток...................................................................................................................................31 Приложение 1. Контрольные управляющие вопросы ..................................................................35 Пункт 1. Устный опрос ..............................................................................................................35 Пункт 2. Письменная работа ....................................................................................................35 Приложение 2. Задачи к контрольным работам............................................................................36 1.Непосредственное интегрирование .........................................................................................36 2. Метод характеристик ...............................................................................................................36 3. Метод Фурье разделения переменных ...................................................................................37 4. Операционный метод (преобразования Лапласа) .................................................................38 5. Метод конформных преобразований .....................................................................................38 Литература ........................................................................................................................................39 2

Введение для преподавателей. Программа занятий на семестр Данное пособие написано с целью представить небольшой вводный курс уравнений математической физики и показать, как применять для их решения математические пакеты. Основным таким пакетом является система компьютерной математики Maple. Желательно хотя бы весьма поверхностное знание этого пакета, тем не менее пособие построено так, чтобы максимально облегчить работу в Maple. При более высоких требованиях данный курс математической физики можно пройти ускоренно (если позволяет подготовка студентов), рассматривая его как пропедевтический, как первый необходимый концентр, усиливая его лишь в последующих концентрах; отбор материала к ним и способы их построения диктуются конкретной ситуацией. Например, на втором этапе можно широко применять ряды Фурье, можно рассмотреть метод функций Грина и т.п.; на более продвинутых этапах привлекаются обобщенные функции. Число изучаемых уравнений и краевых задач для них тоже, видимо, надо увеличивать лишь настолько, насколько позволяет метод концентрической подачи материала. Автор старался создать текст, не требующий привлечения в учебном процессе других учебников, но, если все студенты могут быть обеспечены учебниками, содержащими нужный материал, то можно сэкономить время, продумав нужные ссылки на доступную литературу. Следует обратить внимание и на реализованный в данном курсе метод организации учебного процесса посредством: 9 списка контрольных управляющих вопросов (Приложение 1); 9 рейтинговой оценки работы студента; 9 контрольных работ (Приложение 2); Конкретная реализация данного метода приведена в Приложениях. (Подробнее см. в работе: Мусин Н.М. Преподавание высшей математики в инженерном вузе. Деп.в НИИ ВШ 13 апреля 1990 г. № 833-90). Основанием для оценки знаний студентов является: 1. Выполнение обязательного минимального ПЛАНА (содержатся в Приложениях) гарантирует итоговую отметку не ниже "3". 3

2. Активная работа на семинарах – при выполнении условия пункта 1 - гарантирует "4" или "5"; для этого нужно выступать на семинарах, выполняя задания, приведенные в тексте пособия. За каждое выполненное на семинаре задание проставляется определенный балл по принципу "за простую задачу поменьше, за сложную - побольше". Простая задача или сложная для данной аудитории, определить очень просто. Например, если в группе 20 студентов, а задачу решил только 1 студент, значит, эта задача сложная, студенту начисляется 20 – 1 = 19 баллов, а если задачу решили 15 студентов, то задача уже намного проще, им проставляется по 20 – 15 = 5 баллов. Эти баллы суммируются, образуя рейтинг студента. В принципе, это система «бесконечнобалльной шкалы отметок», верхней границы здесь нет. автор убеждался много раз в том, что 10 – или 100 – балльная шкала оценок ничем не лучше обычной 4 – балльной шкалы отметок. Здесь главное – относительная шкала оценок на текущих занятиях, а не абсолютная, но итоговая (экзаменационная) оценка выставляется, естественно, в 4-балльной системе, которая плохо работает на текущих занятиях, т.к. за безукоризненно выполненные задания приходится ставить одинаково "5", даже если они по сложности сильно отличаются. Но 4 – балльная итоговая оценка умеет отвечать на вопрос, какого качество подготовки студента. Ответ может быть только или «отлично», или «хорошо», или «удовлетворительно», или «неудовлетворительно». ЛЕКЦИИ строятся в форме развернутого ответа на вопросы упомянутого выше списка Контрольных Управляющих Вопросов (см. Приложение).

Введение для студентов. Что такое математическая физика 3адачей этой науки, казалось бы, является построение математических моделей тех или иных физических явлений. Однако в наше время стало ясно, что ее задачей является построение физической интерпретации тех или иных концепций и принципов математики. История показывает, что когда физики пытались идти по первому пути, впоследствии оказывалось, что в математике давно уже есть соответствующая теория, которую оставалось лишь придать физическое истолкование. Как только та или иная концепция или принцип математики получают такое истолкование, что видна их приемлемость для физики, так сразу же они становятся достоянием математической физики. Сами физики подталкивают процесс расширения предмета этой науки. Давным-давно устарело представление о том, что в приложениях нужны только дифференциальное и интегральное исчисления. Например, теория групп, родившаяся в недрах чистой математики, ныне - один из основных методов современной квантовой механики, теории относительности, космологии, теории рассеяния, квантовой теории поля, статистической механики и т.д. Другой пример - введение в 4

релятивистскую теорию поля такого ранее чисто геометрического понятия, как дифференцируемое многообразие и тензоры, или - введение в квантовую механику теории абстрактных гильбертовых пространств. Как пишет Р. Рихтмайер, "Нет, пожалуй, такого раздела математики, который не представлял бы потенциального интереса для физики". Например, таковы те концепции и принципы, "которые еще не вошли в обиход физики, но, вероятно, войдут в ближайшем будущем и, по всей видимости, будут заимствованы из таких областей, как алгебра, логика, теория множеств и топология". Примечание. Полезно перечитать приведенный текст, чтобы по аналогии ответить на вопрос, что такое, например, математическая логика, физическая химия и т.п. Из всего богатства, входящего в состав математической физики, мы изучим лишь некоторые дифференциальные уравнения с частными производными (УрЧП), допускающие физическую интерпретацию: волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение Пуассона, с теми или иными т.н. краевыми условиями. Решение этих уравнений сопряжено с громоздкими математическими преобразованиями и, вместо того, чтобы проводить их вручную, мы научимся проводить их с помощью Maple.

5

1. Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка. В математике имеется хорошо разработанная теория дифференциальных уравнений с частными производными (УрЧП). Некоторые из них имеют физическую интерпретацию; мы будем рассматривать лишь т.н. ЛИНЕЙНЫЕ УрЧП 2-го порядка. Определение . Линейным дифференциальным УрЧП 2-го порядка на плоскости называется уравнение вида a

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + b + c +e + f + gu = h 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

(1)

где u = u ( x, y ) искомая функция, определенная и дважды дифференцируемая на некоторой области U ⊂

2

;

a, b, c, e, f , g , h - функции двух переменных x, y, непрерывные в области U .

Областью плоскости называют некоторое открытое линейно связное подмножество плоскости; например, это вся плоскость, круг без своей границы (т.е. окружности), прямоугольник без 4-х своих сторон, полуплоскость без граничной прямой, и т.п. Вопрос 1. Если искомая функция u зависит от одной переменной x или от трех переменных x, y, z, то как выглядит линейное дифференциальное УрЧП 2-го порядка? Вопрос 2. Приведите примеры областей на прямой и в пространстве. Если h ≡ 0 , то указанное уравнение называется ОДНОРОДНЫМ, если h ≡/ 0 , то НЕОДНОРОДНЫМ. В Maple надо ввести следующее: pde := a*(diff(u(x, y),x,x))+b*(diff(u(x, y), x, y))+c*(diff(u(x, y), y, y))+e*(diff(u(x, y), x))+f*(diff(u(x, y), y))+g*u(x, y) = h; После нажатия на Enter на экране появится

6

Это означает, что Maple сохранила уравнение в переменной pde. Так как линейные уравнения далее являются основными уравнениями, то это уравнение следует сохранить также в виде файла на жестком диске, для этого создадим на нем папку, например, под именем D:\УрМатФиз, затем в Maple нажимаем File Æ Save as…, выбрать папку D:\УрМатФиз, в поле File Name ввести имя файла, например, такое Шаблон. На диске файл будет сохранен как Шаблон.mw. При решении конкретного уравнения надо открыть этот файл и вместо коэффициентов a, b, c, e, f, h ввести конкретные выражения, например: a := 1; b := 0; c := x; e := -1/(2*x); f := (1/2)*x; h := 0; Чтобы посмотреть на полученное уравнение, надо набрать имя переменной, в которой сохранено уравнение, в нашем случае это зву, и нажать Enter:

7

Полученный текст следует сохранить в той же папке D:\УрМАтФиз, например, по имени 1.mw Определение . Дискриминантом уравнения (1) называется выражение D = b 2 − 4ac . Если область U фиксирована, то логически возможны такие 4 случая: 1. В каждой точке множества U имеем D > 0 ; в этом случае уравнение (1) называется уравнением ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА; 2. В каждой точке множества U имеем D < 0 , говорят, что уравнение (1) ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА; 3. В каждой точке множества U имеем D = 0 ; уравнение (1) ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА; 4. В некоторых точках множества U может быть D < 0, в некоторых – D = 0 и / или D > 0, тогда уравнение (1) в U имеет СМЕШАННЫЙ ТИП. Задача: исследовать тип уравнения u ′′xx + xu ′′xx −

1 x u ′x + u ′y = 0 на плоскости. 2x 2

Именно это уравнение мы набирали в Maple и сохранили. Теперь откроем файл 1.mw и допишем еще одну строчку: Discr := b^2-4*a*c; В итоге получится

Таким образом, дискриминант уравнения равен

−4 x. Решение задачи далее очевидно.

8

2. Замена переменных как метод упрощения дифференциальных уравнений Некоторые дифференциальные уравнения могут быть решены непосредственно. Например, таково уравнение Когда функцию

∂u ( x, t ) = t. ∂t

u ( x, t ) дифференцируют по t, переменная x считается константой,

поэтому можно при фиксированном х временно построить вспомогательную функцию y(t) = u(x, t). Тогда получаем уравнение

dy t2 = t ⇒ y = + C. dt 2

Для функций одной переменной

слагаемое С было числовой константой. Однако функцию y(t) мы строили при фиксированном значении х, значит, если фиксировать какое-то другое значение х, то и эта константа может принять какое-то другое значение. Другими словами, константа С на самом деле зависит от x. Поэтому решение исходного уравнения имеет вид

t2 u ( x, t ) = + C ( x). Полученное решение легко проверить дифференцированием; так как 2 функция C(x) не зависит от t? то ее производная по t равна нулю. Теперь посмотрим, как решать наше уравнение в Maple. Даже если Maple загружен впервые в жизни, можно набрать с клавиатуры следующую строчку (в конце строчки следует нажать Enter): eqn := diff(u(x, t), t) = t; После нажатия на Enter Maple сама выведет на экран синим цветом дифференциальное уравнение в привычном виде:

Кроме того, нажатие на Enter приводит к тому, что дифференциальное уравнение будет записано в переменную eqn (имя переменной может быть и другим, какое захочет пользователь, но используются латинские буквы). Теперь уравнение надо решить. Для этого введем команду: pdsolve(eqn); После нажатия на Enter пакет Maple выдает такое решение:

9

Задание. Разобрать задачи на непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений (см. Приложение 3). Не все дифференциальные уравнения решаются непосредственно, чаще всего их надо преобразовать к более простому виду, и затем пытаться их решать. Определение. Гладкой порядка 2 заменой переменных x, y в области U называются функции ξ = ξ ( x, y ) è η = η ( x, y ) , такие, что их вторые частные производные непрерывны в U; кроме того, определитель (он называется якобианом)

ξ x' ξ y' ≠ 0 в каждой точке области U . η x' η y' Когда точка ( x, y ) пробегает область U , то соответствующая ей точка (ξ ,η ) пробегает некоторую область U% .

Для вычисления якобиана преобразования в Maple следует ввести следующие две строчки: with(VectorCalculus); with(LinearAlgebra); После введения 1-й строчки мы сможем вычислять якобиан, а введя 2-ю строчку – мы сможем вычислять определители матриц, в частности, определитель якобиана. Например, пусть

⎧ξ = x + y, ⎨ ⎩η = x − y. Получаем следующее:

10

Замечание. При переходе от координат ( x, y ) к координатам (ξ ,η ) следует пользоваться формулами дифференцирования сложных функций: u ′x = uξ′ ξ x′ + uη′η x′ , u ′y = uξ′ ξ y′ + uη′η ′y

Задача: записать уравнение u ′′xx + u ′′yy = 0 в полярной системе координат. Решаем эту задачу сразу в Maple.

Уравнение (1) в новых координатах запишется в виде a%

∂ 2u % ∂ 2 u ∂ 2u ∂u % ∂u % % = h% b c + + + e% +f + gu 2 2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η ∂ξ ∂η

(2)

Теорема. При гладкой замене переменных тип уравнения (1) не меняется, т.e. типы уравнений (1) и (2) совпадают. Гладкая замена координат должна выбираться таким образом, чтобы уравнение (2) было проще уравнения (1); иногда можно получить уравнение, которое интегрируется даже непосредственно. В этой связи полезно прорешать задачи на метод характеристик, список которых приведен в первой лекции. Сам метод характеристик мы сейчас разберем.

3. Метод характеристик Метод характеристик состоит в том, что для нахождения гладкой замены переменных ξ = ξ ( x, y ),η = η ( x, y ) для уравнения a

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u b c + + +e + f + gu = h 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

составляется характеристическое обыкновенное дифференциальное уравнение a(dy ) 2 − bdxdy + c(dx) 2 = 0

(3)

а). Если уравнение (1) гиперболического типа, то уравнение (3) имеет два общих интеграла ϕ ( x, y ) = C1 ,ψ ( x, y ) = C2 , таких, что функции ξ = ϕ ( x, y ),η = ψ ( x, y ) образуют ′′ = Φ (ξ ,η , u , uξ′ , uη′ ) гладкую замену переменных. Уравнение (1) примет вид uξη

б). Если уравнение (1) эллиптического типа, то уравнение (3) имеет два комплексных общих интеграла ϕ ( x, y ) ± iψ ( x, y ) = C1,2 ,

11

таких, что функции ξ = ϕ ( x, y ) и η = ψ ( x, y ) образуют гладкую замену переменных. ′′ = Φ (ξ ,η , u , uξ′ , uη′ ) Уравнение (1) примет вид uξξ′′ + uηη

в). Если уравнение (1) параболического типа, то уравнение (3) имеет только один общий интеграл ϕ ( x, y ) = C . Однако всегда можно подобрать такую функциюψ ( x, y ) , что функции

ξ = ϕ ( x, y ),η = ψ ( x, y ) образуют гладкую замену координат. Уравнение (1)примет ′′ = Φ (ξ ,η , u , uξ′ , uη′ ) . вид uηη Продемонстрируем силу метода характеристик на примере решения следующего уравнения: utt′′ = v 2u ′′xx Запишем его в виде utt′′ − v 2u ′′xx = 0

Дискриминант D = b2 − 4ac = 1·(−1) − 02 > 0 , следовательно, уравнение (4) гиперболического типа на всей плоскости. Составляем характеристическое уравнение: (dx) 2 − v 2 (dt ) = 0

(4)

Записав его в виде ( dx + vdt )( dx − vdt ) = 0 получаем, что либо dx + vdt = 0 , либо dx − vdt = 0 , откуда x + vt = C1 , x − vdt = C2 . Функции образуют гладкую замену переменных. Вопрос: Почему? Задание: выполнить замену переменных и убедиться, что уравнение (4) сведется к ′′ = 0 уравнению uξη ′′ = 0 уже решалось на семинарском занятии; оно имеет Уравнение uξη

решение u = ϕ (ξ ) +ψ (η ) , где ϕ и ψ пробегают множество всех функций, заданных на вторые производные которых непрерывны на

,

.

Таким образом, уравнение (4) имеет решение u = ϕ ( x + vt ) + ψ ( x − vt )

Полученное решение называется решением Даламбера, т.к. оно получено было впервые им. Теперь посмотрим, как исходное уравнение utt′′ = v 2u ′′xx решается с помощью Maple. 12

wave := diff(u(x, t), t, t) = v^2*(diff(u(x, t), x, x)); pdsolve(wave); На экране появляется следующее:

После второй строки Maple выдает следующее:

В машинном решении легко опознать полученное ранее решение Даламбера u = ϕ ( x + vt ) + ψ ( x − vt )

4. Уравнение свободных малых колебаний струны. Решение Даламбера и его физический смысл. Лектор излагает вывод указанного уравнения: при соответствующих предположениях должно получиться уравнение utt′′ = a 2u "xx

(6)

В данном пособии нет необходимости его повторять; однако, прослушав лектора, студент готовит соответствующее задание к теоретической контрольной. Вопрос: как интерпретировать функцию u ( x, t ) в уравнении (6); нарисовать чертеж.

Уравнение (6) можно интерпретировать еще одним способом. Пусть вдоль оси x проложен бесконечный провод; обозначим i ( x, t ), u ( x, t ) - соответственно величину тока и напряжения в точке провода с координатой x в момент времени t; R и L - сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на единицу длины провода; A - коэффициент утечки через боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции; С - емкость, рассчитанная на единицу длину провода. 13

Считаем известными следующие "телеграфные" уравнения 1-го порядка: dix′ + Cut′ + Au = 0, u′x + Lit′ + Ri = 0 Задание: разобрать на семинаре вывод этих уравнений. Полагая R = 0 и A = 0, получаем: dix′ + Cut′ = 0, u′x + Lit′ = 0 Задание: из этих уравнений вывести т.н. "телеграфное" уравнение 2-го порядка: utt′′ = a 2u ′′xx ; itt′′ = a 2ixx′′ , где a 2 =

1 LC

На прошлой лекции было установлено, что уравнение utt′′ = a 2u ′′xx может служить моделью двух совершенно разных процессов: колебания струны и распространения тока в проводе. То общее, что есть у этих процессов, отражается в названии ВОЛНОВОЕ уравнение. Мы можем невидимые глазу электрические явления в проводе представить наглядно как колебания струны, интерпретировав электрическое напряжение u(x, t) в точке провода с координатой х в момент времени t как отклонение точки струны с абсциссой x от оси абсцисс в момент времени t. В решении Даламбера u ( x, t ) = ϕ ( x − vt ) + ψ ( x + vt ) , в силу произвольности выбора функций ϕ è ψ , возьмемψ ≡ 0 , тогда получаем u ( x, t ) = ϕ ( x − vt ) . Если в точке x0 отклонение струны, например, в момент t = 0, равно u ( x0 , 0) = ϕ ( x0 ) , то, как видно из этой формулы, это же отклонение через время t будет достигнуто в точке с абсциссой x = x0 + vt , u ( x0 + vt , t ) = ϕ (( x0 + vt ) − vt ) = ϕ ( x0 )

Как видим, форма струны в момент t точно такая же, как и в момент t = 0, и получается параллельным переносом последней вдоль оси x на расстояние vt вправо (мы считаем v > 0). Другими словами, форма струны (не сама струна!) перемещается вправо со скоростью v. Это явление называется ПРЯМОЙ ВОЛНОЙ. Аналогично, полагая ϕ ≡ 0 , получаем u ( x, t ) = ψ ( x + vt ) ; соответствующее явление называется ОБРАТНОЙ ВОЛНОЙ. 14

При произвольных ϕ è ψ решение u ( x, t ) = ϕ ( x − vt ) + ψ ( x + vt ) представляет собой сумму прямой и обратной волн. Задача: пусть в момент t = 0 струна имеет следующую форму:

Предложить возможные "сценарии" колебаний струны.

5. Краевые задачи для основных уравнений математической физики Оператор

∆

- оператор Лапласа - действует на функцию u следующим образом:

∂ 2u . ∂x 2

а). В

1

: ∆u = u ′′xx , ãä å u = u ( x, t ) . Другое обозначение: ∆u =

б). В

2

: ∆u = u ′′xx + u ′′yy , где u = u ( x, y , t ) . Другое обозначение: ∆u =

в). В

3

∂ 2u ∂ 2u . + ∂x 2 ∂y 2

∂ 2 u ∂ 2u ∂ 2u : ∆u = u ′′xx + u ′′yy + u ′′zz , ãäå u = u ( x, y , z , t ) . Другое обозначение: ∆u = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z

Как видим, оператор ∆ содержит частные производные по «пространственным» координатам и не содержит частных производных по «времени» t. Волновое уравнение utt′′ = a 2u ′′xx , изучавшееся раньше, имеет вид utt′′ = a 2 ∆u. Точно такую же запись utt′′ = a 2 ∆u имеет в

2

и уравнение utt′′ = a2 (u′′xx + u′′yy ) .

Это не случайно. Здесь физическая интерпретация аналогична физической интерпретации одномерного волнового уравнения utt′′ = a 2u ′′xx : вместо, например, бесконечной струны в этом случае следует вдоль плоскости (x, y), уложить бесконечную упругую мембрану и заставить ее колебаться, тогда функцию u(x, y) следует понимать как отклонение точки мембраны, проекция которой на плоскость имеет координаты x и y в момент времени t.

15

Задание: дать физическую интерпретацию трехмерному волновому уравнению utt′′ = a 2 (u′′xx + u′′yy + u′′zz ) Не вдаваясь в тонкости определений, приведем достаточные для вводного курса лекций примеры границ тех или иных множеств. В 1 : граница замкнутого отрезка [a, b], или открытого отрезка (a, b), или полуоткрытых отрезков: [a, b) или (a, b] состоит из двух точек a и b. Граница замкнутых лучей: [a, +∞ ), ( −∞, a ] или открытых лучей: ( a, +∞ ), ( −∞, a ) состоит из одной точки a. У самой прямой

1

, ò.å. (−∞, +∞) , нет границы.

В 2 : окружность является границей как замкнутого круга, так и открытого круга; плоскость не имеет граничных точек. В 3 : сфера является границей как замкнутого шара, так и открытого шара; само пространство граничных точек не имеет. Приведенных примеров достаточно, чтобы в случае других хорошо известных фигур определить их границы. Наконец, для дальнейшего нам потребуется понятие производной по направлению r единичного вектора l : r ∂u ∂u ∂u r = cos α + sin α , ãäå u = u ( x, y, t ), l = (cos α ,sin α ) ∂y ∂l ∂x r ∂u ∂u ∂u ∂u r= cos α + cos β + cos γ , ãäå u = u ( x, y, z , t ), l = (cos α , cos β , cos γ ) ∂y ∂z ∂l ∂x В данных лекциях мы ограничимся рассмотрением следующих уравнений математической физики: 1. utt′′ = a 2 ∆u - волновое уравнение; 2. ut′ = a 2 ∆u - уравнение теплопроводности (более общее название - диффузионное уравнение);

16

3. ∆ = − f - уравнение Пуассона; функция f, стоящая в правой части, не должна зависеть от t , поэтому , в зависимости от числа "пространственных" переменных, имеет вид f(x), f(x, y) или f(x, y, z). О физических интерпретациях волнового уравнения говорилось выше. В уравнении ut′ = a 2u ′′xx искомую функцию u = u(x, t) можно толковать как температуру точки с координатой x в момент времени t , если эта точка расположена на тонком стержне, уложенном вдоль оси x, причем боковая поверхность стержня снабжена идеальной теплоизоляцией. Вопросы: - как можно интерпретировать уравнения теплопроводности

ut′ = a 2 (u′′xx + u′′yy ); ut′ = a 2 (u′′xx + u′′yy + u′′zz ) ? - почему уравнение ut′ = a 2 ∆u называется также диффузионным? В уравнении Пуассона функция f не зависит от t; обычное толкование переменной t это время, поэтому поскольку искомая функция u, тоже не зависит от времени, это уравнение может моделировать некоторые процессы, характеристики которых не меняются во времени (т.н. "установившиеся", или "стационарные" процессы). Сложнее дать интерпретацию уравнениям вида utt′′ + u ′′xx = 0; utt′′u ′′xx + u ′′yy = 0; utt′′ + u′′xx + u′′yy + u ′′zz = 0. Задание: вывести уравнение Пуассона для потенциала r r u стационарного электрического поля E = E ( x, y , z )

Важнейшим частным случаем уравнения Пуассона является уравнение Лапласа ∆u = 0, в котором f ≡ 0 . Уравнение Лапласа легко интерпретировать как уравнение, описывающее установившийся тепловой режим в стержне (пластине, прямоугольном брусе); в самом деле, если u - температура в некоторой точке в некоторый момент времени, то ut′ - скорость изменения температуры, которая при установившемся режиме должна равняться нулю; подставляя в уравнение теплопроводности ut′ = ∆u , вместо ut′ ноль, получаем уравнение Лапласа ∆u = 0 . Уравнение Лапласа может быть получено и из волнового уравнения utt′′ = a 2 ∆u , если в описываемом процессе utt′′ = 0 ; такой процесс не обязательно стационарный, т.е. может быть ut′ ≠ 0 . Это возможно, например, если u = ϕ ( x, y , z )·ψ (t ) (в этом случае, как легко видеть, ψ (t ) = At + B , где A ≠ 0, B - произвольные константы), однако при этом утрачивается исходный физический смысл. 17

Теперь перейдем к систематическому рассмотрению вопроса о том, как эти уравнения решать. Одномерное волновое уравнение utt′′ = a 2u ′′xx мы уже решили ранее методом характеристик: в его решении Даламбера u ( x, t ) = ϕ ( x − α t ) +ψ ( x + α t ) функции ϕ , ψ пробегают множество всех функций с непрерывными на вторыми производными. Но ведь это означает, что мы нашли бесконечно много решений. В реальном физическом процессе имеет место только одно из этих решений, а мы его никак не выделили. Возникает задача: какие дополнительные условия надо выделять, чтобы гарантировать единственность решения? В связи с этим на семинарском занятии рекомендуется разобрать следующее Задание: доказать, что условия u ( x, 0) = f ( x), ut′( x,0) = g ( x) , где f(x) и g(x) произвольные функции (с непрерывной второй производной) обеспечивают единственность решения уравнения utt′′ = a 2u ′′xx . В чем состоит физический смысл этих условий?

В конце прошлой лекции были введены условия u |t =0 = f и ut′ |t =0 = g , гарантировавшие единственность решения волнового уравнения utt′′ = a 2u ′′xx . Они формулировались для момента времени t = 0. Эти условия естественно назвать НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ (НУ). Есть и второй способ постановки условий, связанный не с переменной t, а с "пространственными" переменными x, y, z . Пусть M - некоторая фигура в

n

, где n = 1, 2,3 ; если ее граница, обозначаемая ãðM ,

не пуста, т.е. ãðM ≠ ∅ , то можно выделить условия трех родов: 1. Значения искомой функции u считают известными на ãðM , т.е. задают некоторую функцию f1 , такую, что u |ãðM = f1. Вопрос: какую физическую интерпретацию можно предложить? 2. Задают скорость изменения искомой функции u при переходе через ãðM из внутренней области фигуры M во внешнюю, т.е. для некоторой заранее известной функции r ∂u f 2 предполагают справедливость равенства r |ãðM = f 2 , где n внешняя единичная нормаль к ∂n поверхности ãðM в точке, пробегающей эту поверхность. 18

⎧ ∂u ∂u ∂u ⎫ Это условие задает поток векторного поля gradu = ⎨ , , ⎬ , "вытекающего" через ⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭ поверхность ãðM . 3. Задают на границе фигуры ãðM значение выражения

∂u r + α u , т.е. фиксируют ∂n

∂u r + α u |ãðM = f3 (здесь α -заданное число). Это условие часто ∂n возникает в задачах физики, но их рассмотрение выходит за пределы нашего элементарного курса.

функцию f3 , для которой

Перечисленные три рода условий являются примерами так называемых ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ (будем писать ГУ), не исчерпывая их запас, но являются одними из самых распространенных. Совокупность начальных и граничных условий называется КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ (пишем КУ). Итак, требуется решить некоторое уравнение математической физики при некотором краевом условии; по соотношению НУ и ГУ различают три типа задач: 1. Заданы только НУ - это ЗАДАЧА КОШИ; 2. Заданы только ГУ; З. Имеются и НУ и ГУ - это СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА. Возьмем теперь три уравнения (волновое, диффузионное и Пуассона) и разберем, как для них ставятся краевые условия. Предполагаем, что решение ищется в области U ⊂ Пусть U =

n

n

, ãäå n = 1, 2,3.

, тогда ãðM = ∅ ; в этом случае ГУ быть не может, остаются НУ.

Возникает задача Коши. Для волнового и диффузионного уравнений в теории доказывается, что задача Коши имеет единственное решение; для одномерного волнового уравнения доказательство было построено в одной из предыдущих лекций. Таким образом, студент умеет выполнять следующее Задание: доказать, что задача Коши для одномерного волнового уравнения имеет единственное решение. Вопрос: почему для уравнения Пуассона не имеет смысла ставить задачу Коши?

19

Пусть U ≠

n

, тогда ãðM ≠ ∅ ; в этом случае появляются также и ГУ.

На этот раз начнем с уравнения Пуассона: для него, очевидно, не имеют смысл НУ; в теории показывается, что для единственности решения ГУ достаточно. Выше были приведены формулировки ГУ трех родов; соответственно, для уравнения Пуассона ставятся часто следующие задачи: 1. u |ãðM = f1 ( x, y , z ) - задача Дирихле; 2.

∂u r |ãðM = f 2 ( x, y, z ) - задача Неймана; ∂n

3.

∂u r + α u |ãðM = f3 ( x, y, z ) - задача Робена. ∂n

Для волнового и диффузионного уравнений одних только ГУ недостаточно, т.е. нужны еще, например, НУ, следовательно, возникает смешанная задача. Комментарий. Может создаться впечатление, что, кроме НУ и ГУ, других условий не ставят. Но, например, в задаче Неймана кроме ГУ вида условия:

∫

f ( s) dσ = 0,

∂u r = f ставят еще два ∂n

f ( x0 ) = a0 , ãä å a0 ∈ . , где x0 -

ãðM

некоторая точка ãð U. Итак, КУ ставят для того, чтобы решение не только существовало, но и было единственным. Однако сами КУ при моделировании физического явления берутся из экспериментальных данных, приближенно, поэтому нужно еще потребовать, чтобы при малых изменениях КУ соответствующие решения тоже бы мало отличались друг от друга. Более того, погрешности измерений появляются не только при определении КУ, но и других данных задачи (например, коэффициентов уравнения, свободного члена и т.п.). Пусть a – «точное» значение некоторого параметра задачи, a1 , a2 ,… последовательность его "приближенных" значений, сходящаяся к a. Обозначим u решение, соответствующее «точному» значению параметра. Пусть u1 , u2 , … решения, соответствующие значениям a1 , a2 , … .

20

Непрерывная зависимость решения u от параметра a означает, что последовательность u1 , u2 ,…сходится к решению u. При невыполнении этого условия модель не признается корректной и не описывает реальный физический процесс. То же самое нужно сказать и в случае, когда модель не гарантирует единственности решения или даже существования хотя бы одного. В связи с этим становится понятным, почему математики так много времени и сил тратят на всевозможные доказательства: они, доказывая, например, существование решения, доказывают, конечно, вовсе не существование физического явления как такового, а состоятельность математической модели. Ведь по неряшливости или некомпетентности можно построить модель, которая не "работает". Задание: показать, что следующие задачи поставлены некорректно: ⎧ ⎪ ⎪ ⎧utt′′ = u ′′xx , ⎪utt′′ = −u ′′xx , ⎪u ( x, 0) = sin x, ⎧utt′′ = u ′′xx , ⎪ ⎪ 1. ⎨ 2. ⎨ 3. ⎨u ( x, 0) = 0, = = (0, ) 0, ( , 0) ( ) u t u x f x ⎩ ⎪ ⎪ ⎪⎩u (1, t ) = 0. ⎪ 1 ⎪ut′( x, 0) = sin kx. k ⎪ ⎩ 4. Çàäà÷à Í åéì àí à â ï î ëÿðí î é ñèñòåì å êî î ðäèí àò:

⎛ Ï î äñêàçêà: ⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎜ uk = shrt sin kx ⎟⎟ k2 ⎠ ⎝

⎧∆u = 0, 0 < r < 1, ⎪ ⎨ ∂u ⎪⎩ ∂rr (1, ϕ ) = 1, r = 1, 0 ≤ ϕ < 2π .

Задача. Доказать корректность следующей модели: ⎧utt′′ = a 2u ′′xx , ⎪ ⎨u ( x, 0) = f ( x ), ⎪ ⎩ut′ ( x, 0) = g ( x), − ∞ < x < ∞, t ≥ 0.

Проведя обзор краевых задач, пере идем теперь к вопросу о том, как их решать. Наиболее просто решаются задачи на непосредственное интегрирование (см. их небольшой список в Приложении). Некоторые уравнения удается сводить к задачам на непосредственное интегрирование методом характеристик, например задачу Коши для одномерного волнового уравнения. Но это удается весьма редко. Суть других методов 21

решения также состоит в том, чтобы свести решаемую задачу к уже решенным задачам (как правило, из других областей математики). Например, УрЧП можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям (методом разделения переменных, а также операционным методом), или к системе линейных алгебраических уравнений (методом сеток). Прежде чем перейти к рассмотрению этих методов, вначале напомним изученный в предыдущих семестрах материал. Итак, начнем с самых простых уравнений. Однородное линейное (обыкновенное) дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами - ýòî óðàâí åí èå âèäà ax′′ + bx′ + cx = 0. В нем искомая функция x = x(t ); a, b, c - числа. Решается так: составляют квадратное уравнение ak 2 + bk + c = 0 (т.н. характеристическое). Пусть k1 , k2 - его корни. Как выписывается общее

решение дифференциального уравнения, указано в следующей схеме:

⎡ ⎡ k1 ≠ k2 ⇒ x(t ) = A ⋅ e k1t + B ⋅ e k2t ⎢ äåéñòâ. − ⎢ kt k1 , k2 − ⎢ ⎢⎣ k1 = k2 = k ⇒ x(t ) = ( Ax + B ) ⋅ e ⎢ at ⎢⎣ êî ì ï ë.- k1,2 = a ± bi ⇒ x(t ) = e ( A cos bt + B sin bt )

6. Метод разделения переменных (метод Фурье) Рассмотрим сначала одномерное волновое уравнение utt′′ = a 2u ′′xx ; мы уже получили ранее его решение u ( x, t ) = ϕ ( x − at ) +ψ ( x + at ) , где ϕ è ψ - произвольные функции с непрерывными ϕ ′′ è ψ ′′ . Однако решение Даламбера удобно использовать для таких краевых задач, когда U =

, т.е. для задачи Коши, которая нами тоже решена ранее. Если же U ≠

,

то краевую задачу можно преобразовать в некоторую задачу Коши, однако при этом возникают сложности. Поэтому разберем другой метод решения волнового уравнения, который легко применить при решении краевых задач. Метод разделения переменных (метод Фурье) состоит в том, что искомую функцию u ( x, t ) - в явном противоречии со «здравым смыслом», но именно это приводит к цели -

сводят к двум неизвестным функциям f ( x) è g (t ) : ищут ее в виде u ( x, t ) = f ( x )· g (t ) . Тогда, очевидно, ut′ = f ( x) g ′(t ), utt′′ = f ( x) g ′′(t ); u′x = f ′( x) g (t ), u′′xx = f ′′( x) g (t ).

.

22

Подставляя в уравнение utt′′ = a 2u ′′xx получаем, f ( x) g ′′(t ) = a 2 f ′′( x) g (t ) Разделив обе части на f ( x ) g (t ) (для простоты предполагаем, что это выражение нигде не обращается в ноль), получаем g ′′(t ) f ′′( x) = a2 g (t ) f ( x) Левая часть, на первый взгляд, зависит только от t, т.е. не зависит от x, но она, при более внимательном рассмотрении, от t тоже не зависит: она приравнена выражению в правой части, не зависящему от t. Но если левая часть не зависит и от х, и от t, то это верно и для правой части, т.е. в обеих частях одна и та же константа. Следует рассмотреть два случая: когда эта константа отрицательная, и когда она положительна. 1) Отрицательная константа, обозначим ее −λ 2 . Таким образом, получаем два равенства g ′′(t ) = −λ 2 , g (t ) f ′′( x) a2 = −λ 2 f ( x)

соответственно, два обыкновенных дифференциальных уравнения: g ′′(t ) + λ 2 g (t ) = 0, a 2 f ′′( x) + λ 2 f ( x) = 0.

Задание: разобрать на семинаре решения этих уравнений. Найдя f ( x ) и g (t ) , находим тем самым и u ( x, t ) = f ( x )· g (t ). В Maple набираем следующее: eqn1 := diff(g(t), t, t)+lambda^2*g(t) = 0; eqn2 := a^2*(diff(f(x), x, x))+lambda^2*f(x) = 0; Затем решаем эти уравнения с помощью оператора dsolve:

23

2) Положительная константа, обозначим ее λ 2 . Получаем два равенства g ′′(t ) = λ2, g (t ) f ′′( x) = λ2 a2 f ( x)

соответственно, два обыкновенных дифференциальных уравнения: g ′′(t ) − λ 2 g (t ) = 0, a 2 f ′′( x) − λ 2 f ( x) = 0.

Задание: разобрать на семинаре решения этих уравнений. Найдя f ( x ) и g (t ) , находим тем самым и u ( x, t ) = f ( x )· g (t ). Задание: решить задачу методом Фурье: ⎧utt′′ = v 2u ′′xx , ⎪ ⎪ −∞ < x < ∞, ⎨ ⎪u ( x, 0) = ϕ ( x ), ⎪ut′ ( x, 0) = ψ ( x ). ⎩

7. Операционный метод (преобразования Лапласа) При решении краевых задач различают "пространственную" область U , которую пробегает точка ( x, y, z ) , и " временнУю" область T изменения переменной t . Если T - луч t ≥ 0 , то удобнее применять метод, специально приспособленный для этого случая – операционный метод (преобразования Лапласа).

24

Функции одной переменной Приведем сначала краткое изложение этого метода для функций одной переменной. Для любой функции f (t ) ,такой, а). f (t ) ≡ 0 ï ðè t < 0 ; б). f ′(t ) непрерывна при t ≥ 0 ; в). | f (t ) | e − st < M для некоторых констант M > 0, s ≥ 0 определена функция f% ( z ) комплексной переменной z = x + yi :

f% ( z ) =

+∞

∫

f (t )e− zt dt.

0

Функция f (t ) называется оригиналом, а функция f% ( z ) - ее изображением по Лапласу. Преобразование Лапласа обозначаем: f (t ) a f% ( z ). Например, 1 a 1 z 1 a , sin at a 2 , cos at a 2 , e − at a , 2 2 z a +z a +z a+z n! t n a n +1 , f '(t ) a z ⋅ f% ( z ) − f (0), f "(t ) a z 2 ⋅ f% ( z ) − z ⋅ f (0) − f '(0). z

В Maple изображения строятся следующим образом. Найдем изображение функции sin at :

Прообраз находится так:

25

Функции двух переменных В задачах уравнений математической физики искомая функция u ( x, t ) зависит от двух переменных x, t. Изображение функции u% ( x, z ) по переменной t получаем преобразованием Лапласа: f% (t ) =

+∞

∫

f (t )e− zt dt.

0

Очевидно, что ut′ a zu% ( x, z ) − u ( x, 0), utt′′ a z 2u% ( x, z ) − zu ( x, 0) − ut′( x, 0) .

Что касается переменной x , то имеем u ′x a u%′x ( x, z ), u′′xx a u% ′′xx ( x, z ).

Пример Краевая задача, ⎧utt′′ = a 2u ′′xx , ⎪ ⎪u ( x, 0) = u0 ( x ), ⎨ ⎪ut′ ( x, 0) = v0 ( x ), ⎪ ⎩u (0, t ) = u (l , t ) = 0

сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению ⎧ a 2u% ′′xx − z 2u% + zu0 + v0 = 0 ⎨ ⎩u% (0, z ) = u% (l , z ) = 0

По решению u% ( x, z ) этого уравнения находим его оригинал u ( x, t ).

Расчет длинных электрический линий операционным методом Рассмотрим следующую двухпроводную длинную линию:

считаем, что на любом отрезке линии длиной индуктивность L ⋅ ∆x , утечка A ⋅ ∆x.

∆x сопротивление R ⋅ ∆x ,

емкость C ⋅ ∆x ,

Тогда будем иметь

⎧⎪u ( x, t ) − u ( x + ∆x, t ) = L ⋅ ∆x ⋅ it′ + R ⋅ ∆x ⋅ i, ⎨ ' ⎪⎩i ( x, t ) − u ( x + ∆x, t ) = C ⋅ ∆x ⋅ ut + A ⋅ ∆x ⋅ u.

26

Задание: получить УрЧП 1-го порядка для u ( x, t ) è i ( x, t ). Ответ: ⎧−u ′x = Lit′ + Ri, , ⎨ ⎩−ix′ = Cut′ + Au Функция i имеет изображение i% ("операторный" ток), а функция u - изображение u% ("операторное" напряжение). Тогда получаем операторную систему ( Lz + R )i% = −u% ′x + Li0 , ãäå i0 = i ( x, 0), (Cz + A)u% = −i%x′ + Cu0 , ãä å u0 = u ( x, 0).

Исключая из системы операторный ток, получаем уравнение: u% ′′xx − γ 2u% = L (i0 )′ x − C ( Lz + R )u0 ,

где γ = ( Lz + R)(Cz + A) ("коэффициент распространения волны"). Задача: решить это уравнение при i0 ≡ 0, u0 ≡ 0. Ответ: u% ( x, z ) = Ae −γ x + Beγ x , где A, B = const. . Подставив u% в первое уравнение системы, получаем (при i0 ≡ 0, u0 ≡ 0 ) 1 i% ( x, z ) = ( Ae −γ x − Beγ x ), z Lz + R где z = ("характеристическое сопротивление линии"). Cz + A Предположим, что линия бесконечна; естественно требовать, что u% è i% ограничены в A бесконечности, принимаем B = 0. Тогда u% ( x, z ) = Ae −γ x , i% ( x, z ) = e −γ x (0 ≤ x < +∞ ). z Задание: найти, пользуясь теоремой запаздывания f (t − a ) a e − az f% ( z ), u ( x, t ) è i ( x, t ), åñëè R = A = 0 (случай "линии без потерь") при условии, что э.д.с. в точке x = 0 равна u (0, t ) = f (t ). C ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ Ответ: u ( x, t ) = f ⎜ t − ⎟ , i ( x, t ) = f ⎜ t − ⎟ , где L ⎝ v⎠ ⎝ v⎠ 1 v= ("скорость распространения волны"). LC

27

Мы рассмотрели методы Фурье и Лапласа решения одномерного волнового уравнения с краевыми условиями. Аналогично рассматриваются одномерные краевые задачи для диффузионного уравнения. Двух - и трехмерные краевые задачи для этих уравнений, естественно, также ставятся, но в данном вводном курсе их решение не рассматривается, имея в виду точное решение. О приближенном решении двумерных уравнений всех трех типов уравнений методом сеток речь пойдет в восьмой лекции. Перейдем к решению некоторых краевых задач для уравнения Лапласа ∆u = 0 â î áëàñòè U ⊂ n , n = 1, 2,3. Всякое решение уравнения ∆u = 0 в области U называется ГАРМОНИЧЕСКИМ в U или ПОТЕНЦИАЛОМ в U. Теория потенциала (т.е. теория гармонических функций) является весьма обширной областью математики. Задание: решить одномерное уравнение Лапласа. Ответ: u ( x) = Ax + B, A, B = const ∂ 2u ∂ 2u + = 0, ∂x 2 ∂y 2 краевые задачи будем ставить лишь для случая, когда U ⊂ 2 - единичный круг с центром в начале координат. Мы уже знаем, что можно сформулировать задачу Дирихле, задачу Неймана или задачу Робена. Мы обсудим возможные их физические интерпретации.

Для двумерного уравнения Лапласа, т.е. для уравнения

а). Задача Дирихле: ⎧∆u = 0, ⎨ ⎩u |ãðU = f1.

Функцию u(x, y) можно интерпретировать как температуру в точке (x, y) круга U, а фиксированная функция f(x, y), заданная лишь в точках границы круга, показывает, что с помощью каких-то устройств в каждой точке ( x, y ) ∈ ãðU поддерживается определенная температура, быть может, разная в разных точках, но неизменная во времени. Требуется дождаться, когда температура устоится, тогда функция u(x, y), опишет температуру в каждой точке круга, а не только на границе. Другая физическая интерпретация этой же задачи такова. Имеется контур из тонкой жесткой проволоки с соединенными концами, проекцией которого вдоль оси u на плоскость x, y является единичная окружность с центром в начале координат, причем расстояние от точки контура до ее проекции равно f1 ( x, y ) .

28

Если на контур натянуть тонкую мембрану (например, мыльную пленку), то расстояние от точки мембраны до ее проекции равно u ( x, y ). Задание: решить задачу Дирихле для круга, перейдя к полярной системе координат методом Фурье u (1, ϕ ) = cos 2ϕ . Задача: пользуясь одной из описанных выше физических интерпретаций, решить задачу Дирихле ⎧ ∆u = 0, ⎪0 < r < 1, ⎪ ⎨ ⎪u (1, ϕ ) = sin ϕ , ⎪⎩0 ≤ ϕ < 2π n. б).Задача Неймана: ⎧∆u = 0, ⎪ ⎨ ∂u = f2 . ⎪ ∂nr ãðU ⎩

Функцию u ( x, y ) интерпретируем как температуру, тогда через бесконечно малую дугу окружности длиной dS , содержащую точку ( x, y ) на окружности, должен поддерживаться один и тот же тепловой поток f 2 ( x, y )dS . Условия разрешимости задачи Неймана, сформулированные ранее математически, означают, что поток тепла через границу должен равняться нулю, и что хотя бы в одной точке границы температуру мы должны знать заранее. Тогда можно однозначно определить температуру в каждой точке круга. Задача: пользуясь только физической интерпретацией, выяснить, корректна ли задача Неймана ⎧∆u = 0, ⎪0 < r < 1, ⎪ ⎪ ∂u (1, ϕ ) r = 1, ⎨ ⎪ ∂r ⎪r = 1, ⎪ ⎩0 ≤ ϕ < 2π n. Задача: имеет ли задача Неймана ⎧ ∆u = 0, ⎪0 < r < 1, ⎪⎪ ⎨ ∂u (1, ϕ ) 2 ⎪ ∂rr = sin ϕ , ⎪ ⎪⎩0 ≤ ϕ < 2π . 29

решение внутри круга? Куда направлен поток тепла? в). Задача Робена: ⎧ ∆u = 0, ⎪ ⎨ ∂u ⎪⎩ ∂nr = − h(u − g ).

В отличие от условия Неймана, в правой части граничного условия Робена фигурирует искомая функция u. Если функция u ( x, y ) интерпретируется как температура, то функцию g ( x, y ) следует считать температурой внешней среды в точке, «примыкающей» к границе

круга, т.е. в точке ( x, y ) ∈ U . Тогда граничное условие означает, что поток тепла через бесконечно малую дугу границы, имеющую длину dS и содержащую точку ( x, y ) ∈ U , пропорциональна разности температур круга и внешней среды, вычисленной в точке ( x, y ) ∈ U . Константа h численно равна количеству тепла, протекающего через границу при разности температур в один градус. Задача: дать физическую интерпретацию краевой задачи Робена: ⎧∆u = 0, ⎪0 < r < 1, ⎪⎪ ⎨ ∂u ⎪ ∂nr + u = sin ϕ , ⎪ ⎪⎩0 ≤ Θ < 2π n.

8. Метод конформных преобразований Все сказанное до сих пор можно было формулировать и для произвольной области U ⊂ 2 ; в случае же, когда U - круг, мы можем задачу решить в полярных координатам известным уже методом Фурье. Если U не круг, то можно попытаться подобрать гладкую замену координат ξ = ξ ( x, y ), η = η ( x, y ) таким образом, чтобы получить другую краевую задачу в другой области (например, в круге), которую мы уже умеем решать. Иногда такое преобразование удается найти в терминах теории функций комплексного переменного; знакомство с теорией как таковой не предполагается в данном курсе. Возьмем две плоскости: с координатами x, y è ξ ,η . Обозначим z = x + yi, ω = ξ + η i. Определение. Функцией комплексного переменного z, определенной на области U комплексной плоскости, называется правило, по которому каждому z из области U ставится в соответствие определенное значение ω . Обозначаем ω = f ( z ) .

30

Очевидно, что каждую функцию

ω = f ( z)

можно записать в виде

ω = ξ ( x, y ) + iη ( x, y ) äëÿ í åêî òî ðû õ ô óí êöèé ξ ( x, y ), η ( x, y ). Определение. Функция ω = ξ + iη называется дифференцируемой в точке z = x+iy, a выражение ξ x′ + iη x′ - производной, если выполнены следующие условия Коши - Римана: ξ x′ = η ′y , ξ y′ = −η x′ . Производная функции f(z) обозначается f'(z). Определение. Функция ω = f ( z ) называется конформной в области U, если в каждой точке области f ′( z ) ≠ 0 .

Применение метода конформных преобразований к решению краевых задач для уравнения Лапласа стало возможным благодаря следующему важному утверждению. Теорема. Пусть область U плоскости z = x + yi переходит в область U% плоскости ω = ξ + η i . Функция u (ξ ,η ) является гармонической в области U% тогда и только тогда, когда гармонической является функция u (ξ ( x, y ),η ( x, y )) в области U.

9. Метод сеток Пусть на дискретном множестве, состоящем из чисел вида xi = x0 + i ⋅ ∆x, ãäå ∆x > 0 è x0 − некоторые фиксированные числа, i = 0, ±1, ±2, … , задана некоторая функция u = u ( x) ; значения этой функции в xi обозначим ui .

Для такой функции обычное определение производной в точке с помощью равенства u ( x + ∆x ) − u ( x ) не годится, т.к. у нас ∆x фиксировано и не может стремиться к ∆x u ( x + ∆x) − u ( x) нулю. Но из этого равенства следует, что u′x ≈ . Для того, чтобы увеличить ∆x точность этого равенства, следует фиксировать значение ∆x поменьше. u ′x = lim

∆x → 0

В определении производной не указывается, КАК ИМЕННО ∆x стремится к нулю, поэтому равенство (1) можно переписать так: u ( x − ∆x ) − u ( x ) . ∆x → 0 − ∆x

u ′x = lim

31

Учитывая, что xi + ∆x = xi +1 , u ( xi ) = ui , получаем следующие формулы: u ′x ≈

u ( xi + ∆x) − u ( xi ) ui +1 − ui = , ∆x ∆x

u ′x ≈

u ( xi − ∆x ) − u ( xi ) ui −1 − ui ui − ui −1 = = . − ∆x − ∆x ∆x

Найдем теперь аналогичные формулы для второй производной. Обозначим ω ( x) = u′x , u′′( x) = ω ′( x) . Следовательно, ui +1 − ui ui − ui −1 − ωi +1 − ωi u ′( xi +1 ) − u ′( xi ) x ∆ ∆x = ui +1 − 2ui + ui −1 . u′′( xi ) = ω ′( xi ) ≈ = = ( ∆x ) 2 ∆x ∆x ∆x Итак, мы получили т. н. "конечные" разности: u′( xi ) ≈

ui +1 − ui ui − ui −1 u − 2ui + ui −1 ≈ , u′′( xi ) ≈ i +1 . ∆x ∆x (∆x)2

Метод сеток состоит в моделировании физической задачи посредством функций, заданных на дискретных множествах, производные которых заменяются на конечные разности. Решим этим методом следующую краевую задачу: ⎧ut′ = a 2u ′′xx , ⎪ ⎪u ( x, 0) = ϕ ( x ), ⎪0 ≤ x ≤ L, ⎪ ⎨u (0, t ) = ψ 1 (t ), ⎪0 ≤ t ≤ T , ⎪ ⎪u ( L, t ) = ψ 2 (t ), ⎪ ⎩0 ≤ t ≤ T

32

Отрезок OL разбит точками x0 = 0, x1 , … , xi , … , xn0 = L на отрезки одной и той же длины ∆x , а отрезок ОТ разбит точками t0 = 0, t1 , … , t j , … , tm0 = T на отрезки равной длины ∆t. Получаем дискретное множество точек плоскости; значение искомой функции u(x, t) на точке ( xi , y j ) этого множества обозначим ui , j . Заменяя в диффузионном уравнении производные на конечные разности, получаем приближенное равенство ui , j +1 − ui , j ui +1, j − 2ui , j + ui −1, j ≈ a2 (7) ∆t (∆x) 2 Эта формула связывает значение (j+1)-го "слоя" с несколькими значениями функции u в "слое" j. В то же время в "слое" j = 0 значения функции u заданы начальными условиями, а при

i = 0 è ï ðè i = n0 - граничными условиями (соответствующие стороны прямоугольника

выделены жирными линиями), поэтому мы можем шаг за шагом отыскать значения слоя, затем "слоя" j = 1, затем "слоя" j = 2 и т.д. Из уравнения (7) найдем ⎛ 2a 2 ∆t ⎞ ∆t ui , j +1 ≈ ⎜1 − u + a2 (ui +1, j + ui −1, j ) 2 ⎟ i, j (∆x) 2 ⎝ (∆x) ⎠

Это равенство приближенное, поэтому, пользуясь им, мы будем получать не точные значения u ( xi , t j ) , а некоторые другие, приближенные, которые мы обозначим u∆x , ∆t ( xi , t j ) . (∆x)2 , то имеет место Оказывается, если ∆x и ∆t , связаны соотношением ∆t ≤ 2a 2 СХОДИМОСТЬ u∆x , ∆t ( x, t ) → u ( x, t ) при ∆x → 0, ∆t → 0.

Задача: решить методом сеток уравнение ut′ = 0,5u′′xx , если краевые условия заданы следующим образом: u(x, 0) = x, u(0, t) = 2t, u(4, t) = 4t. Убедитесь, что выбранные ∆x = 1, ∆t = 0, 5 обеспечивают сходимость разностной схемы.

33

К другим краевым задачам метод сеток применяется так же.

Задание: составить разностную схему для уравнения Лапласа: ∆x = 0 u +u +u +u Ответ: ui , j = i −1, j i +1, j i , j −1 i , j . 4 Задание: решить уравнение Лапласа ∆u = 0 , если краевые условия заданы следующим образом:

Решение. Надо найти значения функции только в двух узлах. Обозначим искомые значения a и b. Получается система 2 + a + 4 + 10 ⎧ , ⎪⎪b = 4 ⎨ ⎪a = b + 7 + 9 + 5 . ⎪⎩ 4

Получаем a =

20 17 , b= . 3 3

В разобранных краевых задачах мы для простоты брали прямоугольные области. Но область может иметь любую форму, тогда мы сначала строим сетку для достаточно большого прямоугольника, содержащего данную область, а эту область заменяем на фигуру, составленную из всех прямоугольников сетки, пересекающихся с ней. На граничные узлы полученной фигуры переносим значения функции u в ближайших к ним точках границы заданной области (эти значения определяются из краевых условий).

34

Приложение 1. Контрольные управляющие вопросы Пункт 1. Устный опрос  Для зачета этого пункта нужно ответить на произвольные ДВА вопроса из этого списка (второй вопрос задается лишь если удовлетворительно раскрыто содержание первого вопроса, в противном случае студент пересдает этот зачет в другой день). 1. Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка; 2. Замена переменных как метод упрощения дифференциальных уравнений. 3. Метод характеристик. 4. Уравнение свободных малых колебаний бесконечной струны. Решение Даламбера и его физический смысл. 5. Краевые задачи для основных уравнений математической физики. 6. Метод разделения переменных (метод Фурье). 7. Операционный метод (преобразования Лапласа). 8. Метод конформных преобразований. 9. Метод сеток.

Пункт 2. Письменная работа  Для зачета этого пункта нужно достаточно написать соответствующие уравнения и объяснить их физический смысл. Умение вывести эти уравнения повышают рейтинг студента.  1. Уравнение свободных малых колебаний струны (или – для другого варианта телеграфное уравнение 2го порядка); 2. Задача Коши для уравнения свободных малых колебаний бесконечной струны (или для телеграфного уравнения); 3. Уравнение Пуассона для стационарного электромагнитного поля; 4. Операционный метод для расчета длинных линий.

35

Приложение 2. Задачи к контрольным работам 1. Непосредственное интегрирование 2.

3.

4.

∂z =1 ∂x Ответ: z = x + ϕ ( y)

∂2u =0 ∂y 2 Ответ: u = yϕ ( x) + ψ ( x) ∂ 2u =0 ∂x ∂ y Ответ: u = ϕ ( x ) + ψ ( y )

∂2 z = 6y 5. ∂y 2 Ответ: u = y 3 + yϕ ( x) + ψ ( x) 6.

∂2 z =1 ∂x∂y Ответ: u = xy + ϕ ( x) + ψ ( y )

2. Метод характеристик 1.

2.

3.

∂2u 2 ∂ 2u −v = 0, v = const ∂x 2 ∂y 2 Ответ: u ( x, y ) = ϕ ( x − vt ) + ψ ( x + vt ) ∂2u ∂2u ∂2u − 2 − 3 =0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 Ответ: u ( x, y ) = ϕ ( x − y ) + ψ (3 x + y ) ∂2u ∂u +α = 0, α = const ∂x∂y ∂x Ответ: u ( x, y ) = ϕ ( y ) + ψ ( x)e−α y

∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u 3 − 5 − 2 +3 + =2 2 2 4. ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y Ответ: u ( x, y ) = x − y + ϕ ( x − 3 y ) + ψ (2 x + y )e

3 y−x 7

∂2u ∂2u ∂2u y + ( x − y ) − x =0 5. ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 Ответ: u ( x, y ) = ϕ ( x + y ) + ( x − y )ψ ( x 2 − y 2 ), x > − y или x < − y

36

6. x 2

2 ∂2u ∂u 2 ∂ u − y − 2y =0 2 2 ∂y ∂x ∂y

Ответ: u ( x, y ) =

x ⎛ y⎞ ϕ ( xy ) + ψ ⎜ ⎟ y ⎝x⎠

2 ∂2u ∂2u ∂u ∂u 2 ∂ u 7. x − 2 xy +y +x +y =0 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y Ответ: (при η = y ) u = ϕ ( xy ) ln y + ψ ( xy ) 2

8.

∂2u ∂ 2 u 1 ∂u − y − = 0 ( y > 0) ∂x 2 ∂y 2 2 ∂y

(

) (

Ответ: u = ϕ x + 2 y + ψ x − 2 y

)

3. Метод Фурье разделения переменных ⎧ut′ = u′′xx , ⎪0 < x < l , ⎪⎪ 1. ⎨u (0, t ) = u (l , t ) = 0, ⎪ ⎪u ( x,0) = sin 2π x ⎪⎩ l Ответ:

2π x − u ( x, t ) = sin e l

4π 2 l2

t

⎧ ⎪ ⎪u′′ = a 2u ′′ , xx ⎪ tt ⎪0 < x < l , ⎪ 2. ⎨u (0, t ) = u (l , t ) = 0, ⎪ 2π x ⎪u ( x, 0) = sin , l ⎪ ⎪ 2π a 2π x sin ⎪ut′ ( x, 0) = l l ⎩ 2π a 2π a 2π x Ответ: u ( x, t ) = (cos t + sin t ) sin l l l ⎧ ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u + , ⎪ 2+ 3. ⎨ ∂ρ ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2 ⎪u (1, ϕ ) = cos 2ϕ ⎩

Ответ: u ( ρ , ϕ ) = ρ 2 cos 2ϕ

37

4. Операционный метод (преобразования Лапласа) ⎧utt′′ = u ′′xx , ⎪ ⎪⎪0 ≤ x ≤ 1, 1. ⎨u ( x, 0) = sin π x, ⎪u ′ ( x, 0) = 0, ⎪ t ⎪⎩u (0, t ) = u (1, t ) = 0 Ответ: u = cos π t sin π x ⎧ut′ = a 2u ′′xx , ⎪ ⎪ −∞ < x < ∞, 2. ⎨0 < t < ∞, ⎪ ⎪u ( x, 0) = sin x ⎩

⎧ut′ = u ′′xx , ⎪ ⎪⎪0 < x < ∞, 3. ⎨0 < t < ∞, ⎪u ( x, 0) = 0, ⎪ ⎪⎩u (0, t ) = sin t

5. Метод конформных преобразований 1.

Решить задачу Дирихле в верхней полуплоскости: ⎧u ′′xx + u ′′yy = 0, ⎪ ⎪ −∞ < x < ∞, ⎪ ⎨0 < y < ∞, ⎪ ⎪u ( x, 0) = ⎧⎨0,| x |> 1, ⎪⎩ ⎩1,| x |≤ 1. Указание: в качестве конформного отображения взять отображение ω = ln Ответ: u ( x, y ) =

1

π

arctg

z −1 z +1

2y x + y2 −1 2

38

2.

Проверить, что отображение ω = z 2 êî í ô î ðì í î ï ðè z ≠ 0; С помощью этого отображения решить задачу Дирихле в первом квадранте: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪u ′′xx + u ′′yy = 0, ⎪ ⎪0 < x < ∞, ⎪ ⎨0 < y < ∞, ⎪ 1, 0 < x < 1 ⎪u ( x, 0) = ⎧⎨ ⎪ ⎩0,1 ≤ x < ∞; ⎪ ⎧1, 0 < y < 1 ⎪ ⎪u (0, y ) = ⎨0,1 ≤ y < ∞; ⎩ ⎩

Литература 1. Савотченко С.Е., Кузьмичева Т.Г. Методы решения математических задач в Maple: Учебное пособие – Белгород: Изд. Белаудит, 2001. 2. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. 3. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. - Глава 19, пп.1, 2, 3. М.: Высшая школа, 2002. 4. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. М.: Физматгиз, 1961.

39