Войновский-Кригер Пластинки и оболочки

С. П. ТИМОШЕНКО и С. ВОЙНОВСКИЙ-КРИГЕР

ПЛАСТИНКИ и

ОБОЛОЧКИ ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО

В. И. КОНТОВТА ПОД РЕДАКЦИЕЙ

Г. С. ШАПИРО ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО сНАУКА> ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА

1966

6-05 Т 41 УДК 624.073

THEORY OF PLATES AND SHELLS

S. TIMOSHENKO Professor Emeritus of Engineering Mechanics Stanford University

S. WOINOWSKY-KRIEGER Processor of Engineering Mechanics Laval University

Second

Edition

McORAW-HILL BOOK COMPANY, INC New York Toronto London 1959

ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора перевода Предисловие авторов Введение Г л а в а I. Изгиб длинной прямоугольной пластинки по цилиндрической поверхности 1. Дифференциальное уравнение цилиндрического изгиба пластинки 2. Цилиндрический изгиб равномерно нагруженной прямоугольной свободно опертой по краям пластинки 3. Цилиндрический изгиб равномерно нагруженной прямоугольной, защемленной по краям, пластинки 4. Цилиндрический изгиб равномерно нагруженной прямоугольной пластинки с упруго защемленными краями 5. Влияние малых смещений продольных краев в плоскости пластинки на напряжения и прогибы 6. Приближенный метод вычисления параметра и 7. Длинная равномерно нагруженная прямоугольная пластинка, имеющая малую начальную цилиндрическую кривизну 8. Цилиндрический изгиб пластинки на упругом основании . . . . Глава

II. Чистый изгиб пластинки

9. Наклон и кривизна слабо изогнутой пластинки 10. Соотношения между изгибающими моментами и кривизнами при чистом изгибе пластинки 11. Частные случаи чистого изгиба ' 12. Энергия деформации при чистом изгибе пластинки 13. Ограничения в приложимости выведенных формул 14. Температурные напряжения в пластинке, защемленной по краям Глава

III. Симметричный изгиб круглой пластинки

15. Дифференциальное уравнение симметричного изгиба поперечно нагруженной круглой пластинки 16. Равномерно нагруженная круглая пластинка 17. Круглая пластинка с круглым отверстием в центре 18. Круглая пластинка, нагруженная концентрически 19. Круглая пластинка, нагруженная в центре 20. Поправки к элементарной теории симметричного изгиба круглой пластинки

8 10 11 14 14 16 23 27 31 35 39 41 45 45 50 56 60 62 64 66 66 69 73 79 84 88

4

ОГЛАВЛЕНИЕ IV. Малые прогибы поперечно нагруженной пластинки Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности . . . . • Граничные условия Вариант вывода граничных условий Приведение задачи об изгибе пластинки к исследованию перемещений мембраны 25. Влияние упругих постоянных на величину изгибающих моментов 26. Точная теория пластинки

Глава 21. 22. 23. 24.

Г л а в а V. Свободно опертая прямоугольная пластинка 27. Свободно опертая прямоугольная пластинка под синусоидальной нагрузкой 28. Решение Навье для свободно опертой прямоугольной пластинки 29. Дальнейшие применения решения Навье 30. Другой способ решения задачи для свободно опертой равномерно нагруженной прямоугольной пластинки 31. Свободно опертая прямоугольная пластинка под гидростатическим давлением 32. Свободно опертая прямоугольная пластинка под нагрузкой в виде треугольной призмы . . . .' 33. Частично загруженная свободно опертая прямоугольная пластинка 34. Загружение сосредоточенной силой свободно опертой прямоугольной пластинки 35. Изгибающие моменты в свободно опертой прямоугольной пластинке под сосредоточенной нагрузкой 36. Прямоугольная пластинка бесконечной длины, свободно опертая по краям • 37. Изгибающие моменты в свободно опертой прямоугольной пластинке при равномерном загружении ее по площади прямоугольника 38. Температурные напряжения в свободно опертой прямоугольной пластинке 39. Влияние деформации поперечного сдвига на изгиб тонкой пластинки 40. Прямоугольная пластинка переменной толщины Г л а в а-VI. Прямоугольная пластинка при различных условиях опирания по краям 41. Изгиб прямоугольной пластинки моментами, распределенными

96 96 100 106 110 115 116 124 124 128 130 133 145 154 158 165 168 174 183 187 190 199 206

по краям 206 42. Прямоугольная пластинка, два противоположных края которой свободно оперты, два других защемлены 211 43. Прямоугольная пластинка, три края которой свободно оперты и один защемлен 219 44. Прямоугольная пластинка, защемленная по всему контуру . . . 223 45. Прямоугольная пластинка, у которой один или два смежных края свободно оперты, остальные ж е защемлены 233 46. Прямоугольная пластинка, два противоположных края которой свободно оперты, третий свободен, четвертый ж е защемлен или свободно оперт 235 47. Прямоугольная пластинка, три края которой защемлены, четвертый свободен 240 48. Прямоугольная пластинка, два противоположных края которой свободно оперты, два других свободны или упруго оперты . . 243

ОГЛАВЛЕНИЕ

5

49. Прямоугольная пластинка, упруго опертая по четырем краям или опертая в вершинах, со свободными краями 50. Полубесконечная прямоугольная пластинка под равномерным давлением 51. Полубесконечная прямоугольная пластинка под сосредоточенными нагрузками Глава

VII. Неразрезная прямоугольная пластинка

246 249 252 257

52. Свободно опертая неразрезная пластинка 257 53. Приближенный расчет неразрезной равнопролетной пластинки 265 54. Изгиб пластинки, опирающейся на несколько рядов равноотстоящих колонн (безбалочное перекрытие) 274 55. Безбалочное перекрытие из девяти панелей и перекрытия с двумя свободными краями 283 56. Влияние жесткого соединения с колонной на моменты в безбалочном перекрытии 287 Г л а в а VIII. Пластинки на упругом основании

290

57. Изгиб, симметричный относительно центра 58. Применение функций Бесселя к задаче об изгибе круглой пластинки 59. Прямоугольная неразрезная пластинка на упругом основании . . 60. Пластинка, несущая несколько рядов равноотстоящих колонн . . 61. Изгиб пластинки, покоящейся на полубесконечном упругом основании Глава

IX. Пластинки различных очертаний

75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82.

296 301 308 310 316

62. Уравнения изгиба пластинки в полярных координатах 63. Круглая пластинка под нагрузкой, изменяющейся по линейному закону 64. Круглая пластинка под сосредоточенной нагрузкой 65. Круглая пластинка, опертая в нескольких точках по контуру . . 66. Пластинка, имеющая форму сектора круга 67. Круглая пластинка переменной толщины 68. Кольцевая пластинка линейно изменяющейся толщины . . . . . 69. Круглая пластинка линейно изменяющейся толщины 70. Нелинейные задачи изгиба круглой пластинки 71. Эллиптическая пластинка 72. Треугольная пластинка 73. Косоугольная пластинка 74. Распределение напряжений вокруг отверстий Г л а в а X. Специальные и приближенные методы теории стинок

290

пла-

Особенности при изгибе пластинки Использование поверхностей влияния для расчета пластинок . Функции влияния и характеристические функции Применение бесконечных интегралов и преобразований . . . . Метод комплексных переменных Применение энергетического метода для вычисления прогибов Иной способ применения энергетического метода Различные приближенные методы. Комбинированный метод . ,

316 319 324 328 330 334 339 341 345 347 350 356 357 362 362 365 372 373 378 380 385 387

6

ОГЛАВЛЕНИЕ 83. Применение уравнений в конечных разностях к исследованию изгиба свободно опертой прямоугольной пластинки 84. Экспериментальные методы

Глава 85. 86. 87. 88. 89.

XI. Изгиб анизотропной пластинки

405

Дифференциальное уравнение изгиба Определение жесткостей в различных частных случаях . . . . Применение теории к расчету балочных сеток Изгиб прямоугольной анизотропной пластинки Изгиб круглой и эллиптической пластинок

405 407 411 413 418

Г л а в а XII. Изгиб пластинки под совместным действием поперечных нагрузок и сил в ее срединной плоскости 90. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности 91. Прямоугольная свободно опертая пластинка под совместным действием равномерно распределенной поперечной нагрузки и равномерного растяжения 92. Применение энергетического метода 93. Свободно опертая прямоугольная пластинка под совместным действием поперечных нагрузок и сил в ее срединной плоскости 94. Круглая пластинка при совместном действии поперечной нагрузки и растяжения или сжатия 95. Изгиб пластинки, имеющей малую начальную кривизну . . . . Глава

391 402

XIII. Большие прогибы пластинки

421 421 423 426 430 434 437 440

96. Изгиб круглой пластинки моментами, равномерно распределенными по контуру 440 97. Приближенные формулы для равномерно нагруженной круглой пластинки с большими прогибами 444 98. Точное решение для равномерно нагруженной круглой пластинки, защемленной по контуру 449 99. Круглая свободно опертая пластинка под равномерно распределенной нагрузкой 453 100. Круглая пластинка, нагруженная в центре 456 101. Общие уравнения для больших прогибов пластинки 461 102. Большие прогибы равномерно нагруженной прямоугольной пластинки 466 103. Большие прогибы прямоугольной свободно опертой пластинки 470 Глава

XIV. Деформация оболочки без изгиба

104. Определения и обозначения 105. Оболочка вращения, нагруженная симметрично относительно оси 106. Частные случаи оболочки вращения 107. Оболочки равного сопротивления 108. Смещения в симметрично нагруженной оболочке вращения . . 109. Оболочка вращения под несимметричной нагрузкой НО. Напряжения от ветровой нагрузки 111. Сферическая оболочка, опертая в отдельных изолированных точках 112. Мембранная теория цилиндрической оболочки 113. Использование функции напряжений для вычисления мембранных сил оболочки

474 474 478 481 488 491 493 495 500 503 508

ОГЛАВЛЕНИЕ Глава

XV. Общая теория цилиндрической оболочки

7 • 514

114. Круговая цилиндрическая оболочка под симметричной относительно оси нагрузкой 115. Частные случаи симметричной деформации круговой цилиндрической оболочки 116. Баллоны и резервуары под давлением 117. Цилиндрические резервуары со стенками постоянной толщины 118. Цилиндрические резервуары со стенками переменной толщины 119. Температурные напряжения в цилиндрической оболочке . . . 120. Деформация нерастяжимой круговой цилиндрической оболочки 121. Общий случай деформации цилиндрической оболочки 122. Цилиндрическая оболочка, свободно опертая по торцам . . . . 123. Изгиб участка цилиндрической оболочки 124. Приближенное исследование изгиба цилиндрической оболочки 125. Применение функции деформаций и напряжений 126. Исследование напряжений цилиндрической кровли оболочки Г л а в а XVI. Оболочка относительно оси

вращения

514 521 531 535 538 547 552 558 565 568 572 574 577

под нагрузкой, симметричной 587

127. Уравнения равновесия 587 128. Приведение системы уравнений равновесия к двум дифференциальным уравнениям второго порядка . . . . . 591 129. Сферическая оболочка постоянной толщины 595 130. Приближенные методы вычисления напряжений в сферических оболочках 602 131. Сферическая оболочка с опорным кольцом 610 132. Симметричный изгиб пологой сферической оболочки • 614 133. Коническая оболочка. . . . . 618 134. Общий случай оболочки вращения 622 Обозначения Именной указатель Предметный указатель

626 628 632

ОТ Р Е Д А К Т О Р А П Е Р Е В О Д А П е р в о е издание предлагаемой книги в ы ш л о в свет в С Ш А в 1940 г. и переведено у нас в 1948 г. (С. П. Т и м о ш е н к о , Пластинки и о б о л о ч к и , Гостехиздат, 1948). Настоящий перевод в ы п о л н е н со втор о г о издания, значительно переработанного при участии С. В о й н о в ского-Кригера и о п у б л и к о в а н н о г о в С Ш А в 1959 г. Переработка к о с н у л а с ь преимущественно раздела, относящегося к теории пластин о к . Что касается теории о б о л о ч е к , то здесь дело свелось л и ш ь к второстепенным у л у ч ш е н и я м , и в ряде случаев — к ссылкам на н о в у ю литературу. Этот раздел, где в последние десятилетия советс к и е исследования являются ведущими, будет п о л е з е н д л я начального ознакомления с предметом. Б о л е е подробные сведения читатель почерпнет из в ы ш е д ш и х у нас м о н о г р а ф и й ' ) . Представление о н о в ы х направлениях исследований можно получить из п у б л и к у е м ы х в последнее время ежегодно Т р у д о в к о н ф е р е н ц и й по пластинкам и о б о л о ч к а м 2 ) , а та^же недавнего обзора А . Л. Г о л ь д е н в е й з е р а 3 ) . Несмотря на значительное число о п у б л и к о в а н н ы х монографий по теории пластинок и о б о л о ч е к , данная книга не потеряла своего зна') См., например, С. А . А м б а р ц у м я н , Теория анизотропных оболочек, Физматгиз, 1961; В. 3. В л а с о в , Общая теория оболочек, Гостехиздат, 1949; А . С. В о л ь м и р, Гибкие пластинки и оболочки, Гостехиздат, 1956; А . Л. Г о л ь д е н в е й з е р , Теория упругих тонких оболочек, Гостехиздат, 1953; А . И. Л у р ь е , Статика упругих оболочек, Гостехиздат, 1947; X. М. М у ш т а р и и К. 3. Г а л и н о в , Нелинейная теория оболочек, Таткнигоиздат, 1957; В. В. Н о в о ж и л о в , Теория тонких оболочек, Судпромгиз, 2 1962 и др. ) Теория пластинок и оболочек, Труды I Всесоюзной конференции, Казань, 1961; Труды II Всесоюзной конференции, Киев, 1962; Труды III Всесоюзной конференции, Ереван (в печати). 3 ) А . Л. Г о л ь д е н в е й з е р , Развитие теории упругих тонких оболочек, Труды Всесоюзного съезда по теоретчческой и прикладной механике, Изд. АН СССР, 1961.

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОЛА

9

чения. Основное внимание в ней уделяется решению конкретных задач об упругих деформациях пластинок и оболочек. Особое значение придается трактовке практических приемов исследований и механической интерпретации результатов. Во многих случаях (что очень важно для приложений), решения иллюстрируются графиками и таблицами. Большой исследовательский и педагогический талант, огромная эрудиция и опыт С. П. Тимошенко делают книгу весьма ценной как для учащихся, так и для инженеров и научных работников. При редактировании в отдельных местах обновлена библиография.

Г. С. Шапиро

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ С момента выхода в свет первого издания этой книги применения теории пластинок и оболочек в практике значительно расширились, теория же пополнилась некоторыми новыми методами. С тем, чтобы оказать этим фактам должное внимание, мы постарались внести в книгу по возможности достаточное количество необходимых изменений и дополнений. Важнейшими дополнениями являются: 1) параграф о прогибах пластинки, вызванных поперечными деформациями сдвига; 2) параграф о концентрации напряжений вокруг круглого отверстия в изогнутой пластинке; 3) глава об изгибе пластинки, покоящейся на упругом основании; 4) глава об изгибе анизотропной пластинки и 5) глава, посвященная обзору специальных и приближенных методов, используемых при исследовании пластинок. Мы развили также главу о больших прогибах пластинки, добавив в нее несколько новых случаев для пластинок переменной толщины и ряд таблиц, облегчающих расчеты. В части книги, излагающей теорию оболочек, мы ограничились добавлением метода функции напряжений в мембранную теорию оболочек и некоторыми незначительными добавлениями в теорию изгиба оболочек вращения. Теория оболочек обнаружила за последние годы быстрое развитие, и в этой области появился ряд новых книг. Поскольку не представляется возможным останавливаться подробно на этих новых результатах, мы ссылаемся здесь лишь на новые литературные источники, в которых лица, специально интересующиеся этой областью, найдут необходимые сведения.

ВВЕДЕНИЕ Толщина пластинки оказывает на ее свойства при изгибе значительно большее влияние, чем другие ее размеры. В этой книге мы различаем три типа пластинок: 1) тонкие пластинки, подвергающиеся малым прогибам; 2) тонкие пластинки, подвергающиеся большим прогибам; 3) толстые пластинки.

Тонкие пластинки с малыми прогибами. В тех случаях, когда

прогибы w пластинки малы в сравнении с ее толщиной Ь, имеется возможность построить вполне удовлетворительную приближенную теорию изгиба пластинки под поперечными нагрузками, основываясь на следующих допущениях: 1. В срединной плоскости пластинка не испытывает никаких деформаций. При изгибе эта плоскость остается нейтральной. 2. Точки пластинки, лежащие до загружения на ьормали к срединной плоскости, остаются в процессе изгиба на нормали к ее срединной поверхности. 3. Нормальными напряжениями в направлении, поперечном к срединной плоскости пластинки, допустимо пренебрегать. Основываясь на этих допущениях мы сможем все компоненты напряжений выразить через прогиб w пластинки, являющийся функцией двух координат в плоскости пластинки. Эта функция должна удовлетворять линейному дифференциальному уравнению в частных производных, которое, вместе с граничными условиями, полностью определяет w. Таким образом, решение этого уравнения дает все необходимые исходные данные, чтобы вычислить напряжения для любой точки пластинки. Второе допущение эквивалентно пренебрежению влиянием перерезывающих сил на прогиб пластинок. Допущение это обычно удовлетворяется, но в некоторых случаях (например, при наличии в пластинке отверстий) перерезывающие силы приобретают большое значение, и тогда в теорию тонкой пластинки приходится вводить некоторые коррективы (см. § 39). Если в дополнение к поперечным нагрузкам на пластинку действуют еще и внешние силы в ее срединной плоскости, то первое допущение не выполняется, и тогда возникает необходимость принять

12

ВВЕДЕНИЕ

во внимание и то влияние, которое оказывают на изгиб пластинки напряжения, действующие в ее срединной плоскости. Это достигается введением некоторых добавочных членов в вышеупомянутое дифференциальное уравнение пластинки (см. § 90).

Тонкие пластинки с большими прогибами. Первое допущение выполняется полностью лишь в том случае, если пластинка изгибается по развертывающей поверхности. В иных условиях изгиб пластинки сопровождается деформированием срединной плоскости, но вычисления показывают, что соответствующими напряжениями в срединной поверхности можно пренебречь, если прогибы пластинки малы в сравнении с ее толщиной. Если же прогибы не малы, при выводе дифференциального уравнения изгиба пластинки эти дополнительные напряжения надлежит учитывать. При этом мы приходим к нелинейным уравнениям, и решение задачи значительно осложняется (см. § 96). При больших прогибах нам следует также различать случай неподвижных краев и случай, когда краям пластинки предоставлена возможность свободно перемещаться в ее плоскости — это заметно отражается на величине прогибов и напряжений пластинки (см. §§ 99, 100). Благодаря кривизне деформированной срединной поверхности, дополнительные (имеющие преобладающее значение) растягивающие напряжения противодействуют приложенной поперечной нагрузке; таким образом, действующая нагрузка воспринимается при этом частично изгибной жесткостью, а частично мембранным действием пластинки. В силу этого весьма тонкие пластинки, обладающие пренебрежимо малым сопротивлением изгибу, ведут себя как мембраны, за исключением, возможно, узких краевых зон, где изгиб может быть вызван наложенными на пластинку граничными условиями. Случай пластинки, изогнутой в развертывающуюся, в частности, в цилиндрическую поверхность, следует рассматривать как исключение. Прогибы такой пластинки могут достигнуть величины того же порядка, что и толщина пластинки, не приводя непременно к возникновению мембранных напряжений и не нарушая линейного характера теории изгиба. Возникновение мембранных напряжений становится, однако, возможным в такой пластинке, если края ее закреплены неподвижно в плоскости пластинки, а прогибы достаточно велики (см. § 2). Поэтому в пластинках с малыми прогибами, мембранными силами, возникающими из-за неподвижности в плоскости пластинки ее краев, можно на практике пренебрегать. Толстые пластинки. Перечисленные выше приближенные теории тонких пластинок непригодны для пластинок значительной толщины, в особенности, когда последние подвергаются действию резко сосредоточенных нагрузок. В таких случаях следует пользоваться теорией толстых пластинок, рассматривающей задачу о пластинках как трехмерную задачу теории упругости. Исследование напряжений поэтому приобретает более сложный характер и к настоящему вре-

ВВЕДЕНИЕ

13

мени приведено к полному решению лишь для немногих частных случаев. При решении такого рода задач средствами теории тонких пластинок в последнюю следует вводить надлежащие поправки для точек приложения сосредоточенных нагрузок. Важнейшие предпосылки теории тонких пластинок составляют также и базис для обычной (элементарной) теории тонких оболочек. Следует, однако, обратить внимание на существенное различие в поведении пластинок и оболочек под воздействием внешней нагрузки. Статическое равновесие элемента пластинки под поперечной нагрузкой возможно лишь в результате действия изгибающих и крутящих моментов, обычно сопровождающегося действием перерезывающих сил, тогда как оболочка в общем случае способна передавать распределенную по поверхности нагрузку через «мембранные» напряжения, которые действуют параллельно касательной плоскости в заданной точке срединной поверхности и распределены равномерно по толщине оболочки. Это свойство оболочки сообщает ей, как правило, значительно большую жесткость и большую экономичность в сравнении с пластинкой в тех же условиях. В принципе мембранные усилия не зависят от изгиба и полностью определены условиями статического равновесия. Методы определения этих усилий составляют содержание так называемой «мембранной теории оболочек». Однако реактивные силы и деформации, находимые по этой теории у границ оболочки, оказываются обычно несовместимыми с реальными граничными условиями. Для того чтобы устранить это несоответствие, следует учесть эффект изгиба оболочки в ее краевой зоне, способный оказать некоторое влияние на величину начально вычисленных мембранных усилий. Этот изгиб, однако, носит обычно лишь локальный характерх) и поддается анализу на основе тех же допущений, что принимаются в случае малых прогибов тонкой пластинки. Приходится, однако, встречаться с задачами, в особенности относящимися к упругой устойчивости оболочек, для которых гипотеза малых прогибов перестает быть допустимой и где следует опираться на теорию больших прогибов. Если толщина оболочки сравнима с радиусами кривизны или если мы рассматриваем напряжения близ точек приложения сосредоточенных сил, следует исходить из более строгой теории, сходной с теорией толстой пластинки. ') Существуют некоторые типы оболочек (в частности, оболочки отрицательной гауссовой кривизны), представляющие ряд исключений. В случае развертывающихся поверхностей, например цилиндрических или конических, возможны большие прогибы без деформирования срединной поверхности, и в некоторых случаях бывает допустимо пренебречь мембранными напряжениями, так как при этом может быть достаточным учет одних лишь напряжений изгиба.

ГЛАВА

I

ИЗГИБ ДЛИННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 1. Дифференциальное уравнение цилиндрического изгиба пластинки. К изложению теории изгиба пластинок мы приступим с решения простой задачи об изгибе длинной прямоугольной пластинки, несущей поперечную, не изменяющуюся по длине пластинки нагрузку. Изогнутую поверхность участка такой пластинки, достаточно удаленного от ее концов'), можно при этом считать цилиндрической, с осью цилиндра, параллельной длине пластинки. Мы будем вправе в этих условиях ограничить исследование одной лишь элементарной полоски, вырезанной из пластинки двумя плоскостями, перпендикулярными к длине пластинки и отстоящими одна от другой на единицу длины (положим, на 1 см). Прогиб такой полоски выразится дифференциальным уравнением, аналогичным уравнению прогиба изогнутой балки. Чтобы получить это уравнение прогиба выделенной нами полоски, выберем в качестве объекта нашего рассмотрения пластинку постоянРис. 1. ной толщиной Л, а в качестве координатной плоскости ху примем срединную плоскость пластинки, т. е. плоскость, лежащую до нагружения пластинки посредине между ее верхней и нижней поверхностями. Пусть ось у совмещается при этом с одним из продольных краев пластинки, положительным же направлением оси z будем считать, как показано на рис. 1, направление вниз. Тогда, обозначив ширину пластинки через /, мы вправе будем рассматривать выделенную нами элементарную полоску как стержень прямоугольного поперечного се') Вопрос о том, каким должно быть отношение между длиной и шириной пластинки для того, чтобы у нас было право считать максимальное напряжение в ней приблизительно равным соответствующей величине для бесконечно длинной пластинки, обсуждается ниже; см. стр. 136, 141.

1]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

УРАВНЕНИЕ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО

ИЗГИБА

15

чения пролетом /, толщиной h. При вычислении обусловленных изгибом напряжений в таком стержне мы предполагаем, как и обычно в расчетах балок, что поперечные сечения стержня остаются при изгибании плоскими, испытывая лишь повороты относительно своих нейтральных осей. Если в концевых сечениях стержня не приложено никаких нормальных сил, то нейтральная, поверхность стержня совпадает со срединной поверхностью пластинки, и относительное удлинение волокна, параллельного оси х, окажется пропорциональным его расстоянию от срединной поверхности. Кривизну изогнутой оси 2 стержня можно будет при этом принять равной d wjdx\ где w — прогиб стержня в направлении z— предполагается малым в сравнении с длиной стержня I. Относительное удлинение ех волокна, отстоящего на расстоянии z от срединной поверхно2 i сти (рис. 2), будет тогда равно — z d w / d x . Пользуясь законом Гука, выразим теперь относительные удлинения гх и е у заштрихованного на рис. 2, а элемента в функции действующих на него нормальных напряжений

(1) Здесь Е— модуль упругости материала, a v — коэффициент Пуассона. Для того чтобы пластинка сохранила при деформации непрерывность, необходимо, чтобы поперечная линейная деформация ее в направлении у была равна нулю. На этом основании второе из уравнений (1) даст нам а = чах. Подставив это значение о в первое из уравнений (1), получим

-х—

Е», Ег d2w ! _ ^ 2 — — -у^а ^ г -

(2)

Если пластинка подвергается, кроме того, еще и действию равномерно распределенных по ее продольным краям растягивающих или сжимающих сил в направлении х, то соответствующее нормальное напряжение нужно будет прибавить к напряжению (2), обусловленному изгибом. Располагая теперь выражением для напряжения изгиба ах, находим посредством интегрирования изгибающий момент в элементарной полоске Л/2

til*-

М

-f

ft/2

.___

Г -hfi

2

Ez

2

dw

_

3

2

Eh dw 2 12 (1 — v2) dx '

16 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. I

Вводя обозначение 12(1 —v») —

U


j_

^

: : :

1п

в

•-S-

t9

и

л?

1,2

1I

55 - -

7,7

qi/

S

§ --

з \

\

\

2J-

\

- s -W

w 19

ЯК

~ I'l

•»*

*

КраваяС

г НриваяД

SV

t

7Д nn 17 an » _

op - -

N

\ ч S

7,6-

as

у

ч ч

sS

7f lg}0* ^1/оШ/ для различных значений г/

79 9П- - -

4о

в

7

5 9

2

е го Значения и

3

7

77

у

S

s

ч,

£* m

\

^'

IS

\V

ч чч

ч

4 8 72

Рис. 4 принял положительное значение. В каждом частном случае мы начинаем расчет с вычисления квадратного корня из левой части уравнения (8), равного .. _ 2> ,4 ; это нам дает ]/ Uo. Величина

20

ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. I

lg(lO 4 Y Uo) даст нам тогда ординату, которую мы отмечаем на рис. 4. Соответствующие значения и непосредственно прочитываются по кривой. Зная и, мы получим из уравнения (5) и величину осевой силы S. При вычислении напряжений заметим, что полное напряжение в любом поперечном сечении полоски составляется из напряжения от изгиба, пропорционального изгибающему моменту, и из растягивающего напряжения, величина которого S/h остается постоянной по длине полоски. Максимальное напряжение получается посредине длины полоски, где изгибающий момент принимает наибольшее значение. Из дифференциального уравнения (4) максимальный изгибающий момент получается равным \ Подставляя сюда вместо w его выражение из (6), получим ^ т а х ^ ^-фоС")-

где

, %=

1 — sech и ^ •

(9)

(е)

Значения ф0 даны графически кривыми рис. 5. Мы видим, что с увеличением и эти значения быстро уменьшаются и при сравнительно больших значениях и максимальный изгибающий момент по2 лучается в несколько раз меньшим, чем момент ql l&, получаемый в том случае, когда на концах полоски нет растягивающих реакций. Теперь как напряжение Oj от осевой растягивающей силы, так и максимальное напряжение о2 от изгиба легко могут быть выражены в функциях от и, q и констант пластинки, а именно:

°» — Т~

w» — 3(«)

Фо(и)



Уравнения (6), (14) и (20) для кривой прогибов останутся при этом в силе независимо от величины растягивающей силы 5. Их можно будет дифференцировать и ввести под знак интеграла в уравнение (а). По вычислении этого интеграла, произведя подстановку 5 = 4HaD//a, получим для свободно опертых концов , . з/д

Т 8 ~ ^ А = ^о

(22)

и для защемленных концов £2^8

U

~Г

Если Д обращается в нуль, то уравнения (22) и (23) приводятся к уравнениям (8) и (15), полученным нами ранее для неподвижных краев. Простейший вывод можно получить, разместив между продольными краями пластинки способные сопротивляться сжатию стержни (распорки); они воспрепятствуют при изгибе пластинки свободному сближению краев. Растягивающие пластинку силы 5 произведут при этом сжатие распорок, которое повлечет за собой их смещение Д, пропорциональное S1). Если k—коэффициент пропорциональности, ') Мы предполагаем, что пластинка опирается по краю таким образом, что Д остается постоянным по всей длине края.

32

ИЗГИВ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХН.

[ГЛ. I

зависящий от упругости и площади поперечного сечения стержней, то 5 = АД, откуда, после подстановки 5 = . _

1 Eu'h' к 3/ 2 (1—м 2 )

Eh Таким образом, второй множитель в левой части уравнений (22) и (23) оказывается постоянной величиной, которую легко вычислить, если известны размеры и упругие свойства конструкции. Зная этот множитель, мы можем получить решение уравнений (22) и (23) тем же способом, какой мы применили для случая неподвижных краев. В общем случае второй множитель в левых частях уравнений (22) и (23) может зависеть от величины действующей на конструкцию нагрузки, и определение параметра и осуществимо в таких условиях лишь методом проб. Иллюстрируем этот прием на примере, т т.

I

т I

ь Рис. 10. с которым приходится встречаться при расчете напряжений в корпусе корабля на волнении. Обшивка подводной части корпуса судна подвергнется при этом равномерно распределенному гидростатическому давлению, а также в связи с изгибом корпуса судна, как балки, действию сил в плоскости обшивки. Пусть Ъ — ширина судна в сечении тп (рис. 10), а / — расстояние между переборками. Когда самая низкая точка волны приходится на мидель судна (рис. .11, Ь), подъемная сила здесь несколько уменьшается, увеличиваясь одновременно у носа и у кормы. Результатом этого будет возникновение изгибающих моментов, вызывающих направленные вниз прогибы средней части корпуса судна (в противоположность случаю совпадения миделя с гребнем волны — рис. 11, а), и тогда нормальное расстояние / между переборками несколько увеличится. Для того чтобы подсчитать точное значение этого смещения, нам нужно будет учесть

ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ СМЕЩЕНИЙ ПРОДОЛЬНЫХ

КРАЕВ

33

не только действие на корпус судна изгибающего момента М, но также и влияние на этот изгиб некоторого изменения в значении

выгиб судна на гребне волны

Провисание судна между гребнями двух ваян bj Рис. 11. растягивающих сил S, распределенных по краям тп и т1п1 донной планки mnmlni (рис. 10). Эту последнюю мы будем рассматривать как длинную прямоугольную пластинку, равномерно нагруженную гидростатическим давлением. Благодаря тому обстоятельству, что расположенные между смежными флорами планки нагружены одинаково, продольные их края не будут подвергаться повороту, и их поэтому можно будет считать абсолютно жестко защемленными по этим краям. Пусть, как и прежде, Д обозначает на рис. 10 смещение края тп в направлении края тхпх, производимое моментом М, из1/ентр тяжестиАг л гибающим корпус, и приложенными по краям тп и ш1п1 донЦентр _-'Л | ной планки растягивающими реактяжести/1 циями, величина которых на едим ницу длины равна S. Чтобы определить величину Д, представим себе, что планка тпт1п1 удалена и заменена равномерно расРис. 12. пределенными силами S, так что полная равнодействующая сила по краю тп и mxtix будет равна Sb (рис. 12). Мы сможем тогда сказать, что смещение Д одной переборки

34

ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ ГГЛ. t

относительно другой будет определяться изгибающим моментом М и внецентренной нагрузкой Sb, приложенной к обшивке, на которой удалена донная планка. Если А, I и с (рис. 12, Ь) соответственно площадь поперечного сечения, центральный момент инерции и расстояние донной планки от нейтральной оси полного сечения корпуса, если, далее, Av Ix и сг — соответствующие величины для сечения корпуса без донной планки, то последнюю группу величин можно будет вывести из первой посредством соотношений А1 = А — bh, _ Ac

(b)

2

2

/j = / — *Лс — Ax (с, — с) . Относительное смещение Д1( произведенное внецентренно приложенными силами Sb, равно

(Sb

Sbc\

\-А; Сюда введен множитель (1 — v2), поскольку поперечной деформацией пренебрегают. Смещение, вызванное изгибающим моментом М, составит

Отсюда полное смещение A

A

i

А

/ (1 — v 2 ) Г S*

.

(Sbci — М) с, 1

Подставляя в это выражение 5 получаем

4u D

" I* — з/2 (1 — v2) '

окончательно

Остается ввести эту величину в уравнение (23), чтобы получить, наконец, параметр растяжения и. Применим эту теорию к численному примеру. Положим, Ь= 16,2 л , М= 19 мм,

/==14,35 м2,

/ = 1 1 4 4 мм,

Л = 1.22 л 2 , q = 0,7 кг/см?,

с = 3,86л, М = 36050 тм.

6

j

ПРИБЛИЖЕННЫЙ

МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПАРАМЕТРА U

35

Из уравнений (Ь) получаем A

Ai==

С

— bh= 1,22 — 0,019. 16,2 = 0,91125 м\ Ас= 1,22• 3,86 _ 5,.Л 4 .2 5

1= Х Т 5 П З Г =

»• 2

2

__ 14.35 — 16,2 • 0,019 • 3,86 — 0,91125 (5,145 — 3.86) = 7.9387 м*. Подставив эти значения в выражение (d), вычисляем Д и получаем окончательно 2

-^-=1,549и —11,49. Уравнение (23) в таком случае принимает вид 8 г £2А ц +1,549ц"—11,45 _

„

ИЛИ 2

и — 4,508 _

1Г'

л П Т

— V иУ

Подставив сюда численные значения и взяв от логарифмы, получаем

обеих частей

3,609 -fig При помощи кривых рис. 8 это уравнение легко может быть решено методом проб, причем в результате мы получаем « = 2,128, а из рис. 5 ^J(M) = 0,788. Максимальное напряжение находится после этого из уравнений (16) и (17), которые дают нам °i=

2,1-10е • 4,258 3-0,91-60» =

о с о 9 6 9

а2 = ~ • 0,7 • 60 2 • 0.788 = 993 кг/см2. Если бы мы пренебрегли напряжением изгиба, возникающим вследствие действия на пластинку гидростатического давления, и напряжение в донной планке вычислили бы по формуле а = Мс/1, то пришли бы к значительно меньшему окончательному значению, именно к 947 кг/см2. 6. Приближенный метод вычисления параметра и. При вычислении параметра и для пластинки, продольные края которой не смещаются в плоскости пластинки, мы пользовались уравнением i

S / ( l — v2) НЕ

-

36

ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ.

ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. Г

которое устанавливает, что удлинение элементарной полоски, вызванное силами S, равно разности между длиной дуги изогнутой оси полоски и хордой длиной /. Для рассмотренных в предыдущих параграфах частных случаев мы вывели точные выражения прогибов w, а также дали числовые таблицы и графики для правой части уравнения (а). При отсутствии подобных таблиц решение затрудняется, и тогда выходом из положения может быть обращение 1 к приближенному методу. Из теории изгиба балок известно ), что в случае свободного опирания по концам и при условии, что все поперечные нагрузки действуют в одном и том же направлении, кривая прогибов элементарной полоски, находящейся под совместным действием поперечной нагрузки и осевой растягивающей силы 5 (рис. 3), может быть представлена с достаточной точностью уравнением ^

— ,

(b)

где w0 обозначает прогиб в середине полоски, произведенный одной лишь поперечной нагрузкой, а величина а определяется уравнением

Таким образом, а представляет собой отношение осевой силы 5 к эйлерову критическому значению этой силы для элементарной полоски. Подставив выражение (Ь) в уравнение (а) и интегрируя, получим St(l — vs) Ш

=

гс2и/2 4/ (1 +

разрешаемое в каждом частном случае методом, указанным при решении уравнения (24). После того как а. найдено, из уравнения (d) определяется параметр и. Максимальное напряжение можно будет тогда вычислить из уравнений (16) и (17), максимальный прогиб — из уравнения (18). Если один край пластинки смещается при ее изгибе по направлению к другому на величину Д, то вместо уравнения (а) надлежит прибегнуть к уравнению

Подставив в это уравнение выражение (Ь), получим для определения а в случае свободного опирания по краям уравнение

( 2 6 )

В случае защемления краев определения а будем иметь

пользуемся выражением (f). Тогда для

Если размеры пластинки и нагрузка q нам даны и смещение А известно, то оба уравнения — (26) и (27) — легко могут быть решены, ') Более точные значения прогибов и изгибающих моментов можно получить, подставляя приближенное значение продольной силы в уравнение (4) и интегрируя это уравнение, что приведет нас к уравнениям (12) и (9).

7]

ПЛАСТИНКА С МАЛОЙ НАЧАЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КРИВИЗНОЙ

39

как и раньше. Если смещение Д пропорционально растягивающей силе S, то второй множитель в левых частях уравнений (26) и (27) будет величиной постоянной и его можно будет определить, как это было разъяснено в предыдущем параграфе (см. стр. 35). Таким образом, и в последнем случае эти уравнения точно так же поддаются простому решению. 7. Длинная равномерно нагруженная прямоугольная пластинка, имеющая малую начальную цилиндрическую кривизну. По соображениям, приведенным в §§ 2 и 3, ясно, что растягивающие силы 5 повышают сопротивление пластинки, противодействуя изгибу, производимому поперечной нагрузкой. Это их влияние сказывается в тем большей мере, чем больше прогиб. Дальнейшее уменьшение максимального напряжения может быть осуществлено приданием пластинке надлежащей начальной кривизны. Влияние такой -Iначальной кривизны на напряжения и прогибы легко может S_ быть учтено с помощью изложенного в предыдущем параг fr -w, 2 графе приближенного метода ')• Разберем случай длинной ^ис> ^ . прямоугольной пластинки, свободно опертой по краям (рис. 13), начальная кривизна которой задана уравнением •a>j:=8sin-j—•

(а)

Если по краям пластинки приложены растягивающие силы S, начальные прогибы (а) сократятся в отношении 1/(1+ а), где а сохраняет тот самый смысл, который был ему приписан в предыдущем параграфе (см. стр. 36) 2 ). Поперечные нагрузки совместно с силами 5 вызовут прогибы, которые можно будет выразить приближенным уравнением (Ь) предыдущего параграфа. Таким образом, уравнение полного прогиба пластинки, показанного на рис. 13 штриховой линией, будет

Если потребовать, чтобы продольные края пластинки не смещались в ее плоскости, то растягивающие силы 5 определятся из того условия, что произведенное силами S удлинение элементарной ') См. работу С. П. Тимошенко в Festschrift zum siebzigsten Oeburtstage August Foppls, стр. 74, Берлин, 1923. 2 ) См. Т и м о ш е н к о С П . , Сопротивление материалов, т. 2, стр. 101,

40

ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ ГГЛ. I

полоски должно быть равно разности между длиной дуги изогнутой оси полоски и ее начальной длиной. Эта разность в случае малых прогибов дается уравнением i

1 Г (dw

dx

-

=TJ \ж

Подставив сюда вместо w и w1 их выражения (а) и (Ь) и интегрируя, получим

Положив X равным удлинению полоски 5/(1—v 2 )/A£, чательно VJ З ^ + ^о) 2 3 8 4 1 + a)2 ) = jji Г •

найдем окон-

Если принять 8 = 0, то это уравнение совпадает с уравнением (24) для пластинки без начальной кривизны. Чтобы показать влияние начальной кривизны пластинки на величину максимального напряжения в ней, применим уравнение (28)к численному примеру. Положим, что нам дана стальная пластинка размерами / = 1 1 4 4 мм, h = 9,5 мм, несущая равномерно распределенную нагрузку q = 0,7 кг/см2. Если начального прогиба нет, т. е. если 8 = 0, то уравнение (28) приводится к о (1 + а)2 = 290, откуда а = 5,97 и и = | - 1 / а " = 3,83. Далее, из уравнения (10) получаем Oj = 791

кг/см2,

о2 = 994

кг/см .

а из уравнения (11) 2

Максимальное напряжение в пластинке будет °гаах = °1 + °2 = 1 7 8 5 Кг/CM2. Допустим теперь, что пластинка имеет некоторый начальный прогиб, например, такой, что 8 = Л = 9,5 мм. Тогда уравнение (28) даст 2

2

а(1 + а) = 351,6 — 3 ( 1 + а ) . Положив

8]

Ц И Л И Н Д Р И Ч Е С К И ! ! ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

41

получим 3

2

А; + 2А; = 3 5 1 , 6 , откуда л: = 6,45,

а = 5,45,

« = - | V^ = 3,67.

Растягивающее напряжение найдем из уравнения (10) 2

aj = 714

кг/см .

Чтобы вычислить напряжение изгиба, нам нужно будет в расчет лишь изменение прогиба, т. е. Wa

^^

.

ТГХ

аЪ

п

ф^

.

sin

Г.Х

принять

d

, ,

( )

Максимальное напряжение изгиба, соответствующее первому члену правой части уравнения (d), будет тем же, что и для плоской пластинки с и = 3,67. Из таблицы 1 находим ф0 = 0,142, а из уравнения (11) 2 0 2 = 1 0 7 1 кг/см . Изгибающий момент, отвечающий второму числу уравнения (d), будет / а5 . r.x\ r.x S l n ГП ~ dx* \ 1 +