小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基 礎 数 学 シ リーズ
編 集 の ことば 近 年 にお け る科 学 技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 ...
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小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基 礎 数 学 シ リーズ
編 集 の ことば 近 年 にお け る科 学 技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知 識 の 応 用 もさ る こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的 精 神 の 浸 透 が 大 きい.理 工 学 は じめ 医学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な 分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え 方 の素 養 が必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に 接 しな け れ ば,知 識 の 活 用 も多 きを望 め な いで あ ろ う. 編 者 らは,こ の よ うな事 実 を考 慮 し,数 学 の 各 分 野 に お け る基 本 的 知 識 を確 実 に 伝 える こ とを 目的 と して 本 シ リー ズ の刊 行 を 企 画 した の で あ る. 上 の 主 旨に した が っ て本 シ リー ズ で は,重 要 な 基 礎 概 念 を と くに 詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の 考 え 方 を平 易 に理 解 で き る よ う解 説 して あ る.高 等 学 校 の 数学 に直 結 して,数 学 の 基 本 を悟 り,更 に進 ん で 高等 数 学 の理 解へ の 大 道 に容 易 に は いれ る よ う書 かれ て あ る. こ れ に よ って,高 校 の 数 学 教 育 に 携 わ る人 た ちや 技 術 関 係 の 人 々 の 参考 書 と し て,ま
た学 生 の 入 門書 と して,ひ
ろ く利 用 され る こ とを 念 願 と して い る.
こ の シ リー ズ は,読 者 を 数 学 とい う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の観 覚 に 資す る と と も に,つ ぎの 段 階 にす す む た め の 力 を 養 う に役 立 つ こ と を意 図 した もので あ る.
ま
工 学,物
え
が
き
理 学 は 勿 論 の こ と,い ろ ん な 部 門 に お い て 微 分 方 程 式 の 重 要 さは 言
うま で も な い が,一
般 の 現 象 に お い て は 微 分 方 程 式 の 解 を 求 積 法 に よ り求 め る
こ と が で き る の は 稀 で あ る と言 っ て も 過 言 で は な い.し 法 で 解 の 性 質 や 状 態 を 調 べ な け れ ば な らな い.そ
た が っ て な ん らか の 方
の ため に微 分 方程 式 論 が生 ま
れ て き た の で あ る. 本 書 に お い て は,微 分 方 程 式 論 に お け る基 本 的 な 部 分 と,さ
らに 現 在 最 も 重
要 な 問 題 の 一 つ で あ る 非 線 形 振 動 と安 定 問 題 に つ い て 述 べ る.こ の シ リー ズ の 性 格 上,基
本 的 な 事 柄 に つ い て 極 くわ か り易 く書 い た つ も りで あ る.予 備 知 識
と し て は 微 積 分 の 基 礎 的 な 知 識 だ け を 要 求 した.し
た が って あ ま りに も くど く
ど しい と感 じ られ る部 分 も あ ろ う.記 述 は 易 しい が 内容 的 に は 程 度 を お とす よ うな こ とは さ け た. 第1章
と第2章
は 微 分 方 程 式 論 の 基 礎 部 分 で,解
の 存 在 や 一 意 性,線
形 の微
分 方 程 式 等 が 述 べ られ て い る.単 独 の 方 程 式 か ら連 立 の 微 分 方 程 式 へ,ベ
クト
ル と行 列 を 用 い て 容 易 に す す め る よ うに 記 述 した つ も りで あ る. 第3章 た.各
以 下 で は 非 線 形 振 動 と安 定 問 題 に つ い て,重 要 な 問 題 を 平 易 に 説 明 し
章 末 に 若 干 の 演 習 問 題 を つ け た が,中
思 わ れ る もの も あ るか も 知 れ な い.巻
に は や や この 本 の 程 度 を 越 え る と
末 に 若 干 簡 単 な 解 答 の ヒ ン トを つ け て お
い た. 終 りに,本
書 を執 筆 す る よ うお 推 め 下 さ っ た,福 原 満 洲 雄,小
よ び,具 体 的 な 内 容,問
堀憲 両教 授 お
題 等 に つ い て お しま ざ る援 助 を して 下 さ っ た 東 北 大 学
加 藤 順 二 助 教 授 に 厚 く御 礼 申 しあ げ た い.ま
た 朝 倉 書 店 編 集 部 の 方 々 に も心 か
ら感 謝 の 意 を 表 す る次 第 で あ る. 1966年12月 著
者
目
1. 基
礎
定
次
理
1
1.1 微 分 方 程 式
1
1.2 解 の 存 在 と一 意 性
3
1.3 解 の存 在 定 理(つ 1.4 最 大 解,最
づ き)
14
小 解
21
1.5 比 較 定 理
25
1.6 解 の 延 長
26
1.7 解 の 初 期 値 に 関 す る連 続 性
29
1.8 解 の 初 期 値 に 関 す る微 分 可 能 性
32
1.9 連 立 常 微 分 方 程 式
35
1.10 高 階 常 微 分 方 程 式
41
1.11 不 動 点 定 理 の 応 用
44
問
題1
49
2. 線 形 常 微 分 方 程 式
53
2.1 同 次 線 形 微 分 方 程 式
53
2.2 非 同 次 線 形 微 分 方 程 式
65
2.3 定 数 係 数 の 線 形 微 分 方 程 式
69
2.4 周 期 係 数 の 線 形 微 分 方 程 式
79
2.5 高 階 線 形 微 分 方 程 式
82
問
3. 解
の
題2
安 定
89
性
92
3.1 解 の 安 定 性 と有 界 性 3.2 方 程 式
92 の 解 の 有 界 性
99
3.3
同 次 線 形 微 分 方 程 式 に お け る 安 定 性
108
3.4 非 線 形 微 分 方 程 式 に お け る 漸 近 安 定 性
111
3.5 周 期 系 に お け る 安 定 性
114
3.6 軌 道 安 定
4.
問
118
題3
127
二 次 元 の 自励 系
129
4.1 極 限 集 合
129
4.2
ト ラ ン ス バ ー サ ル(横
断 面)
4.3
ポ ア ン カ レ−ベ ン デ ィ ク ソ ン(Poincare-Bendixson)の
134 定理
138
4.4 二 次 元 線 形 自 励 系
141
4.5 二 次 元 の 線 形 方 程 式 の 摂 動 系
146
4.6
リエ ナ ー ル(Lienard)の
問
5.
方 程式
148
題4
153
リ ヤ プ ノ フ(Liapunov)の
第二方法
5.1 リヤ プ ノ フ函 数
155 155
5.2 リヤ プ ノ フ の 安 定 性 に 関 す る 定 理
156
5.3 解 の 有 界 性 に 関 す る定 理
163
5.4 大 域 的 漸 近 安 定
173
問
題5
179
解 答 の ヒ ン ト
183
索
引
187
1. 基
1.1 微
分 方
程 式
質 量mの
点Pの
直 線lに
Oの
方 へ,質
礎
定
沿 っ て の 運 動 を 考 えて み よ う.こ の 直 線 上 の 点
点 を ひ き つ け る力Fが
働 らい て,こ
の 距 離 に 比 例 して い る とす る.直 線lをx軸 系 を 考 え る.点Pの
時 間tに
トンの 第 二 法 則 に よ り,点Pの
理
の 力 は 点Pと
と して,Oを
お け る位 置 はx=x(t)で
点Oと
の間
原 点 とす る 座 標 表 わ さ れ る.ニ
ュー
運 動 の方 程 式 は
すなわ ち (1.1)
で 表 わ さ れ る.こ
こ で,kは
比 例 定 数 で,k>0で
ば ね の 弾 性 係 数 と よ ば れ る も の で あ る.(1.1)の が わ か れ ば,点Pの (1.1)の
tial
知 の 函 数 と,そ
般 に は,変
限 ら な く て よ い.独 equation)と
含 ま れ る か ら,こ
理 的 に は,kは
関 係 を み た す 連 続 函 数x(t)
運 動 の よ う す が わ か る.
よ うに,未
と い わ れ る.一
あ る.物
れ の 導 函 数 を 含 む 方 程 式 は,微
数 は 一 つ と は 限 ら な い.ま
た 未 知 の 函 数 も一 つ とは
立 変 数 が 一 つ の 場 合 が 常 微 分 方 程 式(ordinary よ ば れ,変
数 が 二 つ 以 上 で あ れ ば,未
の 場 合 は 偏 微 分 方 程 式(partial
分方程式
differen
知 函 数の偏 導 函 数 が
differential
equation)と
よ ば れ る. 直 接,代
入 し て み る と わ か る よ うに,
(1.2)
は 方 程 式(1.1)を (1.1)の
解(solution)と
未 知 函 数 をx,そ わ し,一
み た す.こ
般 に,n階
こ で,r,α
は 定 数 で あ る.こ
の よ うな 函 数 は
よ ば れ る.
のtに
な どで 表
関 す る導 函 数 を,
の 導 函 数 を,
で 表 わ し て お く.
こ の 本 で は 実 範 囲 の 常 微 分 方 程 式 に つ い て 考 え る.す な わ ち,こ わ れ る変 数,函
の本 に あ ら
数 は 実 数 値 を と る とす る.単 に 微 分 方 程 式 とい え ば,常
程 式 の こ と と して お く.ま ず1階 は 一 般 に,tを
独 立 変 数,xを
の 微 分 方 程 式 に つ い て 考 察 す る.こ 未 知 函 数,x′
微 分方
の方 程式
を そ の 導 函 数 と して,
F(t,x,x′)=0 の 形 に 書 か れ る.方
程 式(1.1)の
よ う に,
が 含 まれ て い る方 程 式 は2階
の 微 分 方 程 式 と よ ば れ る. 独 立 変 数tの
区 間(a,b)を
f(t,x)をDの る.い
考 え る.Dを(t,x)平
上 で 定 義 さ れ た,二
ま,微
変 数(t,x)の
面 上 の 開 領 域 と す る. 実 数 値 を と る 連 続 函 数 とす
分方 程 式
(1.3)
を 考 え る.こ
の 形 の 方 程 式 は 正 規 形 の1階
(a,b)の
上 で 定 義 さ れ た,tに
(a,b)の
お の お の のtに
し,tに
お け るφ(t)の
の 常 微 分 方 程 式 と い わ れ る.区
つ い て 微 分 可 能 な 函 数x=φ(t)が
対 し て,(t,x)平
間
存 在 し て,
面 上 の 点(t,φ(t))がDに
ぞ く
微 係 数φ ′(t)が 関 係 式
(1.4) φ
′(t)=f(t,φ(t))
を み た す と き,函
数φ(t)は
区 間(a,b)上
で 定 義 さ れ た(1.3)の
解 で あ る
と い わ れ る. 区 間(a,b)上 ば,簡
で 定 義 さ れ た(1.3)の
解 は た だ 一 つ と は 限 ら な い.た
とえ
単 な 例 と し て,
を 考 え よ う.任
意 の 定 数cに
対 し て,x=t+cが
あ る.し
か し,t=0の
っ て,微
分 方 程 式 に つ い て 論 ず る た め に は,ま
す る か ど うか,ま 問 題 に な る.与 problem)と
と き,x=0と
解 で あ る こ と は あ き らか で
な る 解 はx=tだ
た 存 在 す る と し た ら,た
た が
ず 与 え られ た 点 を 通 る 解 が 存 在
だ 一 つ か ど うか と い う こ と が 重 要 な
え られ た 点 を 通 る 解 を 見 出 す の が,初 い わ れ る も の で あ る.す
け で あ る.し
期 値 問 題(initial
な わ ち,(τ,ξ)をDの
value
あ た え られ た 点
と す る と き,方
程 式(1.3)と
こ の 点 に 関 す る 初 期 値 問 題 と は,
「τ を 含 む 区 間(a,b)と,φ(τ)=ξ た(1.3)の
解φ(t)を
を み た す(a,b)上
で定 義 さ れ
見 出 す こ と」
で あ る. い ま,φ(t)をφ(τ)=ξ る.f(t,φ(t))はtの
を み た す(a,b)上
で 定 義 さ れ た(1.3)の
連 続 函 数 で あ る か ら,積
解 とす
分 可 能 で あ る.(1.4)か
ら,
した が っ て,
φ(τ)=ξ
で あ る か ら,結
局(a,b)の
任 意 のtに
対 して
(1.5)
が 成 り立 つ.逆 (a,b)上
に,(1.5)を
み た す 連 続 な 函 数 φ(t)は
で 定 義 さ れ た(1.3)の
は 成 り立 つ.(1.5)の
解 で あ る こ と を 示 そ う.明
右 辺 は 微 分 可 能 だ か ら,両 φ′(t)=f(t,φ(t)),
が え られ る.こ 方 程 式(1.3)と
れ は φ(t)が(1.3)の 点(τ,ξ)に
で 定 義 され た 連 続 函 数 (1.5)の equation)と
φ(τ)=ξ
辺 をtで
ら か に,φ(τ)=ξ 微 分 す れ ば,
t∈(a,b),
解 で あ る こ と を 示 し て い る.よ
関 す る 初 期 値 問 題 は,(1.5)を
φ(t)を
をみ たす
っ て,
み た す(a,b)上
み い だ す こ と と 同 値 で あ る.
よ うに,未 知 函 数 が 積 分 記 号 下 に あ る 方 程 式 は 積 分 方 程 式(integral よ ば れ る.
1.2 解 の 存 在 と 一 意 性 まず,つ
ぎ の 微 分 方 程 式 を 考 え よ う.
(1.6)
x=−1/tが
こ の 方 程 式 のt=1の
平 面 上 の 点(1,−1)を
と き,x=−1と
通 る 解 で あ る こ と は,こ
な る 解,す れ を(1.6)に
な わ ち(t,x) 代 入 す れ ば 容
易 に 確 か め られ る.し か し,こ の 解 はt=0に ち,tが
正 の 方 か ら0に 近 づ け ばxの
対 し て は 存 在 し な い.す な わ
値 は 負 の 無 限 大 に な る.こ の よ うに,簡
単 な 方 程 式 で も,解 が す べ て のtに 対 し て定 義 され る とは 限 らな い.し か し, つ ぎに 述 べ る存 在 定 理 か らわ か る よ うに,あ 通 る解 が,考
る条 件 の も とで,与
え て い る点 の 近 傍 で は 存 在 す る.tの
か ど うか は 別 の 問 題 で,さ
え られ た 点 を
大 きな 範 囲で 解 が存 在す る
らに 条 件 を つ け 加 え な け れ ば な らな い だ ろ う.
い ま微 分方 程 式 (1.7)
と(t,x)平
面 上 の 点(τ,ξ)に
に 述 べ た よ うに,考
関 す る 初 期 値 問 題 に つ い て 考 え て み よ う.ま
え て い る 点(τ,ξ)の
考 え る の で あ る か ら,方
程 式(1.7)の
で 連 続 で あ る とす る.す
る とf(t,x)は
有 界 で あ る.す ≦Mで
な わ ち あ る 正 の 数Mに
え
近 傍 だ け で 解 が 存 在 す る か ど うか を 右 辺 のf(t,x)は
矩 形 の領 域
閉 じ た 有 界 な 領 域Rで
連 続 で あ るか ら
対 し て,(t,x)∈Rの
と き,│f(t,x)│
あ る.
さ ら にf(t,x)はRに condition)を
お い て,xに
み た す と す る.す
(1.8) が,Rの
関 し て リ プ シッツ
な わ ち,あ
る 正 の 数Lが
の 条 件(Lipschitz 存 在 して
│f(t,x)−f(t,y)│≦L│x−y│ 任 意 の2点(t,x),(t,y)に
対 し て 成 り立 つ.こ
の と き,Lは
リプ シ
関 し て 連 続 な 偏 導 函 数 を も つ と き は,平
均 値 の定
ッ ツ の 定 数 と よ ば れ る. た と え ば,f(t,x)がxに 理 に よ り,あ
る ηに 対 し て
(1.9)
f(t,x)−f(t,y)=(x−y)fx(t,η).
偏 導 函 数fxは ≦L.よ
連 続 と 仮 定 し て い る か ら,あ
っ て,(1.9)か
0≦x≦1と
ら(1.8)が
い う範 囲 で,函
数
る 正 の 数Lが
存 在 し て,│fx(t,η)│
成 り立 つ こ と が わ か る. を 考 え て み る と,
xお よ びyが0に
近 づ け ば
の よ うな 正 の 数Lを
は い く らで も 大 き くな る か ら,(1.8)
と る こ と が で き な い.す
な わ ち,
う範 囲 で は リ プ シッ ツ の 条 件 を み た さ な い.し
は0≦x≦1と
か し,a>0と
い
し て,a≦x≦1
と い う範 囲 で 考え る と,
で あ る か ら,リ こ こ で,ピ
プ シ ッ ツ の 条 件 を み た す. カ ー ル(Picard)の
存 在 定 理 を 証 明 し よ う.逐 函 数 φ1(t),φ2(t),…
逐 次 近 似 法 と よ ば れ る 方 法 で,(1.7)の
次 近 似 法 と は,ま
ず
φ0(t)=ξ
と し て,つ
解の ぎつ ぎ に
を
(1.10)
(1.11)
そ し て 一 般 に は,
(1.12)
で 定 義 す る.こ
の よ うに し て,函
数の列
φ0(t),φ1(t),φ2(t),…,φk(t),…
が え ら れ る.こ の(1.5)を
の 函 数 列 が 収 束 す る こ と を 示 し,そ
み た す こ と が わ か れ ば,まえ
の 極 限 の 函 数 φ(t)が
前節
の 節 で 述 べ た よ うに,φ(t)が(τ,ξ)
を 通 る 解 で あ る. 上 の よ うに し て,つ approximate)と 次 近 似φk(t)が
ぎ つ ぎ 定 義 さ れ た 函 数φk(t)を
い う.つ
逐 次 近 似(successive
存 在 し て,kを
ぎ に 述 べ る 定 理 の 条 件 が み た さ れ て い る と き は,逐 十 分 大 き く と れ ば,一
つ の 近 似 解 と な る.よ
っ て 近 似 解 を も と め る 一 つ の 方 法 で も あ る. 定 理1.1 す る.す
方 程 式(1.7)に
る と,│f(t,x)│≦Mと
お け るf(t,x)は な る 正 の 数Mが
で リ プ シ ッ ツ の 条 件 を み た す と 仮 定 す る.こ で 定 義 さ れ,(τ,ξ)を
矩 形 の 領 域Rで
通 る(1.7)の
あ る.さ
の と き,区
解 が 存 在 し て,し
連続 で あ る と
ら に,f(t,x)はR 間 τ− α ≦t≦
τ+α
か も こ の よ うな 解 は た
だ 一 つ で あ る.こ
こ で,α=min(a,b/M).す
な わ ち,α
はaとb/Mの
うち の
小 さ い 方 で あ る. 証 明 区 間[τ,τ+α]を
考え る.区
よ うに 考 え れ ば よ い.ま に,函
間[τ−
α,τ]に
ず 最 初 の 函 数 を φ0(t)=ξ
対 して も ま った
と し て,ま
く同 じ
えに 述べ た よ う
数 の列 φ0(t),φ1(t),…,φk(t),…
を 定 義 す る.い
ま考 え て い る範 囲 は
と い う矩 形 の 領 域 で あ る.tが が,│x−
ξ│≦bの
ぞ くす る と き,φ0(t)や
範 囲 内 に な け れ ば,f(t,φ0(t))やf(t,φ1(t))を
は で き な い か ら,つ が っ て,ま
区 間[τ,τ+α]に
ぎ の 函 数 を(1.12)に
φ1(t)
考え ること
よ っ て き め る こ と が で き な い.し
ず ど の φk(t)(k=0,1,2,…)も,tが[τ,τ+α]に
た
ぞ くす る と
き (1.13)
を み た す こ と を 確 か め る. φ0(t)=ξ
で あ る か ら,あ き ら か に│φ0(t)−
t∈[τ,τ+α]に
対 し て 定 義 さ れ て い る.し
定 義 で き る.そ
して
仮 定 に よ り,考
え て い る 領 域 で は│f(t,x)│≦Mで
ξ│=0≦b.よ
っ て,f(t,φ0(t))は
た が っ て,(1.10)に
よ り φ1(t)を
あ るか ら
(1.14)
と こ ろ が,t−
τ ≦ α,α
≦b/Mで
あ る か ら,(1.14)か
ら
(1.15)
と な り,k=1の て,(1.13)が 示 せ ば,帰
と き(1.13)が
成 り立 つ こ と が わ か る.い
成 り立 っ て い る と 仮 定 し て,φk+1(t)の 納 法 に よ り,す
べ て のkに
対 し て(1.13)が
ま φk(t)に
対 し
と き に も 成 り立 つ こ と を 成 り立 つ こ と が わ か る.
そ こ で,φk(t)は
に 対 し て(1.13)を
る とf(t,φk(t))は[τ,τ+α]に
み た し て い る と す る.す
お い て 定 義 さ れ て,連
に よ りφk+1(t)が[τ,τ+α]で
定 義 さ れ る.そ
続 で あ る か ら,(1.12)
し て,(1.15)を
導 いた と同 じ
よ うに し て,
が え られ る.こ
の よ うに し て,す
の 上 で 定 義 さ れ て,(1.13)を と が わ か っ た.こ て,す
べ て のφk(t)(k=0,1,2,…)が[τ,τ+α]
みた す こ
の こ とは 幾 何 学 的 に み
べ て のφk(t)が(τ,ξ)を
三 つ の 直 線t=τ+α,x−
通 り,
ξ=M(t−
τ),
で 囲 まれ た 三 角 形 の 範 囲 内 に あ る こ と を 示 し て い る.
つ ぎに,い ま定 義 した 函 数 の 列{φk(t)}が
あ る函 数φ(t)に
収 束 す る こ とを
証 明 し よ う.函 数 項 の 級 数 (1.16)
を 考 え る.こ
の部 分和 が
(1.17)
と な る か ら,級
数(1.16)が
す る こ と が わ か る.そ
収 束 す る こ と が わ か る と,函
こ で,す
べ て のk(k=1,2,…)に
数 列(1.17)が
収束
対 し て,
の とき
(1.18)
が 成 り 立 つ こ と を み よ う.こ
こ でLはf(t,x)の
リ プ シ ッ ツ の 定 数 で あ る.す
な わ ち, (1.19) ま ずk=1の
│f(t,x)−f(t,y)│≦L│x−y│. と き,φ0(t)=ξ
だ か ら,(1.14)に
よ り(1.18)が
成
り立 つ
こ
と は 明 ら か で あ る.そ k+1の
こ で,kの
と き(1.18)が
と き に(1.18)が
成 り立 つ こ と を 示 す.す
成 り立 っ て い る と 仮 定 し て な わ ち,
(1.20)
を 証 明 し よ う.(1.12)に
よ り
これ よ り
し た が っ て,
f(t,x)は
リ プ シ ッ ツ の 条 件(1.19)を
み た すか ら
(1.21)
仮 定 に よ り,
こ の 関 係 を(1.21)の
右 辺 に つ か っ て,
す な わ ち,(1.20)が
成 り立 つ こ と が わ か る.よ
kに 対 し て(1.18)が
成 り立 つ こ と が わ か っ た.
(1.18)は
級 数(1.16)の
よ り大 き く な い,し
そ こで級数
各 項φk(t)−φk−1(t)の
た が っ て
っ て 帰 納 法 に よ り,す
べての
絶 対 値 が
よ り大 き く な い こ と を 示 し て い る.
(1.22)
と 比 較 し て,(1.16)は か る.な
区 間[τ,τ+α]の
ん と な れ ば,よ
く知 られ て い る よ うに,括
こ の よ うに し て,級
>0に
数(1.16)し
る 函 数 φ(t)に
た が っ て 函 数 列(1.17)が
一 様 収 束 す る こ と が わ か っ た.す
対 し て あ る 番 号k0(ε)が
き ま り,区
k≧k0(ε)の
(1.23)
弧 内 はeLα
−1に,し
たが
に 収 束 す る か ら.
っ て 級 数(1.22)は
の 上 で,あ
上 で 一 様 に 絶 対 収 束 で あ る こ とが わ
間[τ,τ+α]の
と き│φk(t)−
す べ て の φk(t)は(1.13)を
区 間[τ,τ+α] な わ ち,任 任 意 のtに
意の ε 対 し て,
φ(t)│0,ν
れ は,グ
の た め に,ま
ロ ン ウ ォ ー ル(Gronwall)の
ぎ
ず つ ぎの補
補 題 とよばれ る
ろ い ろ な 場 合 に 利 用 さ れ る. h(t)を ≧0を
あ る 区 間Iで 定 数 とす る.こ
定 義 さ れ たtの の と き,も
連 続 函 数 と す る.そ
しh(t)がt∈I,τ
∈Iに
して
λ
対 して
(1.26)
を み た す な らば, (1.27)
証 明 t≦ τ の と き は,tを−tで る か ら,τ ≦tと
お き か え れ ば,τ
≦tの
場合 に 帰 着 で き
し て 証 明 す る.
(1.28)
と お い て,こ たす か ら
よ っ て,
の 両 辺 をtで
微 分 す れ ば,H′(t)=h(t)で,h(t)は(1.26)を
み
こ の 両 辺 に
をか け る と
(1.29)
で あ る か ら,(1.29)の
こ の 両 辺 に
両 辺 を τ か らtま
で 積 分 し て,H(τ)=0で
あ る か ら,
をか け て
(1.30)
(1.26)に
よ り,
す な わ ち,(1.27)が
だ か ら,(1.30)を
え られ る.
一 意 性 の 証 明 い ま 区 間[τ,c](τ0だ 0で,bに
ぎの よ
い う連 続
るt=b(b≦a)で,z(b)>
正 で あ る よ うなbが
存 在 す る.す
な
こでは x(b)>y(b),
と な る.と
こ ろ がx(t)もy(t)も
x′(b)>y′(b)
解 で あ るか ら
x′(b)=f(b,x(b)),
y′(b)=f(b,y(b)).
し た が っ て, (1.32) f(b,x(b))>f(b,y(b)). 一 方f(t
,x)の
形 か ら わ か る よ うに,x(b)>y(b)の
ときは
f(b,x(b))≦f(b,y(b)) で,こ
れ は(1.32)と
矛 盾 す る.そ
と 仮 定 し た か ら で あ る.よ な い.す
っ て ど の よ うなtに
な わ ち,x(t)≦y(t)で
x(t)≧y(t)で
れ は あ るtの
な った
対 し て も,x(t)>y(t)と
はな ら
あ る こ と が わ か っ た.ま
あ る こ と が 示 さ れ る.こ
は な ら な い こ とに な る.こ
値aでx(a)>y(a)と
っ た く 同 じ方 法 で,
の こ と か ら 結 局x(t)≡y(t)で
れ で(0,0)を
な くて
通 る 解 が た だ 一 つ で あ る こ とが わ か
っ た. ま た 逐 次 近 似 が 収 束 し て も,あ い.こ
た え られ た 点 を 通 る 解 は た だ 一 つ と は 限 らな
の こ と は つ ぎ の 例 か らわ か る.
例2.
領 域0≦t≦1,−
∞<x0が
と き,あ
対 し て だ け 述 べ る.[τ−
頁 の 図 は α=b/Mの
存 在 し て,Rの らば
る 正 の 数Mが
存在 し
え の 節 にお け る と 同 じ よ うに,
連 続 で あ る か ら,一
δ(ε),│x−x│≦δ(ε)な (1.35)
る と(t,x)∈Rの
α,τ]に 対 し て も 同 じ よ う
場 合 で あ る.f(t,x)は
様 連 続 で あ る.す
な わ ち,任
任 意 の2点(t,x),(t,x)に
閉 じた 有 界 意 の ε>0に
対 し
対 し て,│t−t│≦
い ま 区 間[τ,τ+α]をn個 に わ け る.そ
の小 区 間
の分 点 を
τ=t0