Неразрушающий контроль в производстве: Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СА...

Author: Сударикова Е.В.

8 downloads 281 Views 470KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Е. В. Сударикова

НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ В ПРОИЗВОДСТВЕ Часть 2 Учебное пособие

СанктПетербург 2007

УДК 620.17(075) ББК 30.607я7 С89 Рецензенты: кафедра измерительных технологий и компьютерной томографии Государственного университета ИТМО; кандидат технических наук, доцент О. Б. Шалагинова Утверждено редакционноиздательским советов университета в качестве учебного пособия

С89

Сударикова Е. В. Неразрушающий контроль в производстве: учеб. пособие. Ч. 2.; ГУАП. — СПб., 2007. — 112 с.: ил. ISBN 5808802326 (Ч. 2) Изложены основные понятия и общие положения статистическо го контроля качества продукции: методы формирования партий и выборок промышленной продукции для контроля ее качества, опре деление объема выборок, план контроля, его характеристики и прин ципы его выбора. Рассмотрены основы статистических методов уп равления качеством и организация подразделений неразрушающе го контроля на базе теории массового обслуживания. Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 200102 «Приборы и методы контроля качества и диагностики».

УДК 620.17(075) ББК 30.607я7 Учебное издание Сударикова Елена Васильевна НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ В ПРОИЗВОДСТВЕ Часть 2 Учебное пособие Редактор В. П. Зуева Верстальщик Т. М. Каргапольцева Сдано в набор 26.02.07. Подписано к печати 21.03.07. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,1. Уч. изд. л. 8,1. Тираж 100 экз. Заказ № Редакционноиздательский центр ГУАП 190000, СанктПетербург, Б. Морская ул., 67

ISBN 5808802326 (Ч. 2) 2

© ГУАП, 2007

СОДЕРЖАНИЕ 3. Основы статистических методов управления качеством . . . . . . . . . 3.1. Применение теории вероятности к вопросам контроля каче ства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Статистический контроль качества продукции. Основные по нятия. Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Задачи и условия статистического контроля . . . . . . . . . . 3.2.2. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Методы формирования партий промышленной продук ции для контроля ее качества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Методы формирования выборок продукции . . . . . . . . . . 3.2.5. Статистиковероятностный подход для определения объема контролируемых выборок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6. Типовые примеры расчета объема выборки . . . . . . . . . . . 3.3. Статистический приемочный контроль качества продукции . 3.3.1. Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. План контроля и принципы его выбора . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Классификация методов приемочного контроля . . . . . . . 3.4. Основные характеристики планов статистического приемоч ного контроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Общий алгоритм статистического приемочного контроля пар тий продукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Статистический приемочный контроль . . . . . . . . . . . . . . . . . . по альтернативному признаку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Одноступенчатый приемочный контроль . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Многоступенчатый приемочный контроль . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Последовательный приемочный контроль . . . . . . . . . . . . 3.6.4. Контроль с разбраковкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Статистический приемочный контроль по количественному признаку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2. Контроль по одному количественному признаку при од ностороннем допуске и известной дисперсии . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3. Контроль по одному количественному признаку при од ностороннем допуске и неизвестной дисперсии . . . . . . . . . . . . 3.8. Последующие оценки при статистическом приемочном конт роле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Непрерывный статистический приемочный контроль . . . . . . . 3.10. Статистическое регулирование технологического процесса 3.10.1. Общий алгоритм регулирования технологического процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.2. Контрольные карты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.3. Средства статистического контроля . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Организация подразделений неразрушающего контроля на базе теории массового обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 8 8 10 13 14 18 22 24 24 26 28 30 34 38 38 38 41 45 50 54 54 55 60 64 69 71 71 75 77 79 3

4.1. Применение теории массового обслуживания при органи зации подразделений неразрушающего контроля . . . . . . . . . . . . . 79 4.2. Потоки событий. Марковские случайные процессы . . . . . . . . . 81 4.2.1. Понятие потока событий. Простейший поток событий . . 81 4.2.2. Частные случаи потоков событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2.3. Понятие марковского случайного процесса . . . . . . . . . . . 84 4.2.4. Граф состояний. Схемы гибели и размножения. Раз меченный граф состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.5. Уравнения Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.6. Финальная вероятность состояний. Эргодические сис темы. Существенные и несущественные состояния . . . . . . . . . 87 4.3. Теория массового обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4. Финальные вероятности состояний и характеристики эффек тивности для некоторых часто встречающихся типов систем мас сового обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.4.1. Простейшая СМО с отказами (задача Эрланга) . . . . . . . . 93 4.4.2. Простейшая одноканальная СМО с неограниченной оче редью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4.3. Простейшая одноканальная СМО с ограничением по дли не очереди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4.4. Простейшая многоканальная СМО с неограниченной оче редью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.4.5. Простейшая многоканальная СМО с ограничением по длине очереди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.4.6. Многоканальная СМО с отказами при простейшем пото ке заявок и произвольном времени обслуживания . . . . . . . . . . 99 4.4.7. Одноканальная СМО с неограниченной очередью при простейшем потоке заявок и произвольном времени обслужи вания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.4.8. Одноканальная СМО при произвольном (пальмовском) потоке заявок и произвольном времени обслуживания . . . . . . . 100 4.4.9. Простейшая многофазовая СМО с очередью . . . . . . . . . . 101 4.5. Задачи по теории массового обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . 101 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4

3. ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ 3.1. Применение теории вероятности к вопросам контроля качества Технологический процесс изготовления изделий содержит более или менее значительные ошибки случайного характера, т.е. возни кающие в результате влияния непостоянно действующих факто ров. К ним относятся, например, отклонения размеров деталей одно го типоразмера в полях допусков на параметры. При последующей сборке таких деталей в результате случайного неблагоприятного со четания отклонений параметров, лежащих в полях своих допусков, может произойти весьма существенное ухудшение качества изготав ливаемого изделия. Такие ошибки следует отличать от системати ческих, которые возникают в результате неправильного выбора ма% териалов, конструкции, неверных технологических предписаний. К систематическим ошибкам технологического процесса относятся, например, ошибка в расчете шихты для последующей плавки метал ла, а также неправильный выбор режима нагрева и охлаждения спла ва при термообработке, в результате чего его структура и свойства не соответствуют заданным. Процесс контроля изделий также содер жит ошибки случайного характера. Например, при ручном контро ле уставший контролер может не заметить дефект и отнести брак к годным изделиям. Для изучения случайных процессов привлекают методы статис тики. Статистический контроль базируется на теории вероятностей. Применительно к вопросам контроля качества продукции основные понятия теории вероятности интерпретируются следующим образом. Генеральная совокупность – большая партия однотипной про дукции, все количество однотипных изделий, выпускаемых одним или даже несколькими предприятиями. Выборка – некоторое количество изделий, выпущенных за опреде ленный период времени или отобранных для выборочного контроля. Закон распределения вероятности – зависимость между значе ниями измеряемых случайных величин и вероятностью их появле ния. Понятие вероятности применимо к дискретным и непрерывно ме няющимся величинам.

5

Вероятность дискретных величин

Дискретной величиной является, например, вероятность нахож дения числа дефектных и годных изделий в выборке из изделий, взя тых для испытания (контроля). Если вероятность наблюдения брака в результате одного испыта ния равна p, то вероятность обнаружить k бракованных изделий в выборке объемом n будет p(k) =

n! pk (1 − p)n −k. k !(n − k)!

Этот закон распределения вероятностей называется биномиаль ным. Математическое ожидание (среднее значение) для биномиального закона распределения случайной величины определяется выражением n

p = n−1 ∑ kp(k) = np. k =1

Это довольно очевидный результат: если вероятность брака p, то в выборке из n изделий наиболее вероятно встретим np бракованных изделий. Дисперсия показывает, насколько велик разброс значений слу чайной величины относительно найденного среднего значения. Для биномиального распределения она равна D=

n

1 ∑ [ p (k) − p]2 p (k) = np (1 − p). n − 1 k =1

Среднее квадратическое отклонение

σ = D = np (1 − p). Кумулятивная (накопленная) вероятность – вероятность того, что брак встречается в выборке не более чем m раз m

P(m) = ∑ p(k). k =1

При m = n имеем P(m) = 1, так как сумма всех вероятностей (досто верного события) равна 1. Если в действительности испытать выборку из п изделий на коли чество годных n–k1 и бракованных k1, то найденные k1/n и (n–k1)/n 6

(их называют частостями событий) будут отличаться от p(k), p(n–k). Однако многократное повторение таких испытаний приведет к тому, что средние значения частостей будут приближаться к веро ятностям и сравняются с ними при бесконечно большом повторении испытаний. Вероятность непрерывных величин Примером распределения непрерывной величины может служить очень часто встречающееся в технике нормальное или гауссовское распределение. Плотность распределения вероятности гауссовского распределе ния ⎡ −(x − x)2 ⎤ 1 exp ⎢ ⎥ 2 2πσ ⎣ 2σ ⎦

f (x) =

показывает вероятность того, что изучаемая величина лежит в бесконечно узком интервале от x до x + dx. Среднее значение случайной величины есть x=

∞

∫ xf (x)dx.

−∞

Дисперсия D=

∞

∫ (x − x)

2

f (x) dx = σ2.

−∞

Интегральный закон распределения непрерывной случайной ве личины x

F (x ) =

∫ f (x) dx

−∞

есть вероятность того, что измеряемая величина не превосходит не которое заданное значение x. Эта вероятность аналогична кумуля тивной вероятности. Если исследуемая величина (например, проч ность) не имеет отрицательных значений, то нижний предел интег рирования будет равен 0. Нормальное распределение (рис. 3.1) характеризует разброс отно сительно среднего значения механических свойств материалов (проч ности, упругости), результатов различных измерений (измерения 7

P (x x)

= 0,5 1 2 x

x

Рис. 3.1. Нормальный закон распределения (на кривых указано среднее квадратическое отклонение)

размеров дефектов). На примере этого распределения особенно хоро шо видно, что чем больше σ, тем более широкой является кривая распределения относительно среднего значения. При этом полная площадь под кривыми распределения остается равной единице (F(∞)=1). Если пределы интегрирования ограничить конечным значением x = x0, то F(x0) < 1. Если принять x0 = x ± 3σ, то вероятность будет равна 0,9973. Это означает, что практически все возможные значения случайных событий лежат в интервале x ± 3σ . В интервале x ± 2σ содержится приблизительно 95 % вероятностей случайных событий. Существует строгое доказательство (теорема Лапласа), что при большом n биномиальное распределение с хорошим приближением (тем точнее, чем больше n) может быть описано с помощью нормаль ного распределения с теми же средним значением и дисперсией, что у биномиального. Из этого следует, что интервал x ± 3σ охватывает практически все возможные значения случайных величин не только для нормального, но также для биномиального распределения. 3.2. Статистический контроль качества продукции. Основные понятия. Общие положения 3.2.1. Задачи и условия статистического контроля Введение контроля всегда увеличивает издержки производства за счет появления дополнительных непроизводственных расходов, ко торые приводят к удорожанию продукции. Однако при правильно организованном контроле снижаются расходы на изготовление и эк сплуатацию некачественной продукции. С применением статистических методов решают следующие ос новные задачи контроля: 8

1) статистический анализ результатов контроля с целью регули рования технологии производства; 2) статистический, т. е. выборочный, контроль; при этом уста навливаются оптимальные планы выборочного контроля и крите рии оценки его результатов (в соответствии с задачами производства и эксплуатации изделий); 3) оценка точности и достоверности результатов контроля, опти мизация методики контроля; 4) установление корреляционных связей между показателями качества, технологией изготовления продукции и ее эксплуатацион ными характеристиками; установление критериев оценки качества с учетом названных факторов, т. е. норм допустимых дефектов. Необходимым условием применения статистических методов кон троля является отлаженность и стабильность технологического про цесса. Процесс считается отлаженным, если полностью выявлены и устранены нарушения технологической дисциплины, и стабиль ным, если распределение вероятностей его параметров остается по стоянным в течение некоторого интервала времени без вмешатель ства извне. Для применения статистического регулирования необхо димы еще два условия: 1) выявлены систематические погрешности как причины возмож ных разладок (например, смещение настройки) и способы корректи рования значений параметров технологического процесса для их опе ративного устранения; 2) коэффициент точности по контролируемому параметру (ГОСТ 27.202–83) удовлетворяет условию

ω ≤ 1, T где ω – поле рассеивания или разность максимального и минималь ного значений контролируемого параметра за установленный проме жуток времени (наработку технологической системы); T – допуск на контролируемый параметр. Отлаженный и стабильный процесс, удовлетворяющий этим ус ловиям, считается статистически управляемым. Проверку указанных условий выполняют путем предварительно го анализа точности и стабильности технологического процесса в со ответствии с ГОСТ 27.202–83. На этапе подготовки производства для анализа используют главным образом расчетные методы, а на этапе изготовления продукции – опытностатистические методы. Для применения стандартизованных планов контроля по количествен ному признаку необходимо также в процессе предварительного ана KT =

9

лиза проверить нормальность распределения контролируемого пара метра по СТ СЭВ 1190–78. Применение статистического контроля взамен сплошного там, где это возможно, позволяет снизить трудоемкость и стоимость контроля, высвободить часть контрольного персонала. Вместе с тем, статистичес кий контроль предъявляет повышенные требования к квалификации разработчиков и исполнителей контроля, а также к точности средств измерений. Поэтому окончательный выбор вида контроля следует про изводить на основании комплексного экономического критерия. Статистический контроль осуществляют в следующих вариантах: 1) статистический приемочный контроль партий продукции; 2) непрерывный статистический приемочный контроль; 3) статистическое регулирование технологического процесса. 3.2.2. Основные понятия Основная терминология статистического контроля приведена в соответствии с ГОСТ 15895–77. Поток продукции – продукция одного наименования, типоно минала или типоразмера и исполнения, находящаяся в движении на технологической линии. Контролируемая партия продукции – это одновременно пред ставленная для контроля совокупность единиц продукции одного наименования, типономинала или типоразмера и исполнения, про изведенная в течение определенного интервала времени в одних и тех же условиях. В общем случае могут рассматриваться два типа совокупностей, связанных с понятием партии: совокупность конечного объема ре альных объектов и совокупность бесконечного объема реальных или гипотетических объектов. При контроле качества обычно исходят из того, что задана совокупность конечного объема, а при контроле на дежности предполагают, что генеральная совокупность имеет беско нечный объем. Объем партии – число единиц продукции, составляющих партию. Выборка – изделие или определенная совокупность изделий, ото бранных для контроля из партии или потока продукции. В зависимости от степени завершенности продукции к изделиям допускается относить завершенные и незавершенные предметы про изводства, в том числе заготовки. Мгновенная выборка – выборка из потока продукции, которую составляют изделия, произведенные последними к моменту отбора в течение достаточно короткого интервала времени. 10

Критерием при определении достаточно короткого интервала вре мени служит неизменность распределений вероятностей контроли руемых параметров изделий в течение этого интервала. Объем выборки – число изделий, составляющих выборку. Проба – определенное количество нештучной продукции, отобран ное для контроля. Период отбора – интервал времени между моментами отбора смежных выборок или проб из потока продукции. Контрольный норматив – значение показателя качества про дукции, определенное нормативнотехнической документацией и представляющее собой критерий для принятия решения по резуль татам контроля относительно соответствия продукции установлен ным требованиям. План контроля – совокупность данных о виде контроля, объе мах контролируемой партии продукции, выборок или проб, о конт рольных нормативах и решающих правилах. Контроль с корректируемым планом – статистический приемоч ный контроль, в ходе которого его план подлежит изменению в зави симости от результатов контроля определенного числа предыдущих партий продукции. Уровень дефектности (уровень качества) продукции – доля (процент) дефектной продукции в партии. Допускаемый уровень дефектности – максимальный уровень де фектности, установленный нормативнотехнической документацией. Приемочный уровень дефектности – максимальный уровень дефектности для одиночных партий или средний уровень дефектнос ти для последовательности партий, который для целей приемки про дукции является удовлетворительным. Для данного плана контроля приемочному уровню дефектности соответствует высокая вероятность приемки. Браковочный уровень дефектности – минимальный уровень де фектности в одиночной партии, который для целей приемки продук ции рассматривается как неудовлетворительный. Для данного плана контроля браковочному уровню дефектности соответствует высокая вероятность забракования. Для контроля последовательности партий браковочный уровень дефектности не устанавливается. Входной уровень дефектности – уровень дефектности в партии или потоке продукции, поступающей на контроль, за определенный интервал времени. Выходной уровень дефектности – уровень дефектности в приня той партии или потоке продукции за определенный интервал времени. 11

Оперативная характеристика плана статистического при емочного контроля – выраженная уравнением, графиком или таб лицей и обусловленная определенным планом контроля зависимость вероятности приемки партии от величины, характеризующей каче ство этой продукции. Контроль по количественному признаку – контроль качества продукции, в ходе которого определяют значения одного или несколь ких ее параметров, а последующее решение о контролируемой сово купности принимают в зависимости от этих значений. Контроль по качественному признаку – контроль качества про дукции, в ходе которого каждую проверенную ее единицу относят к определенной группе, а последующее решение о контролируемой со вокупности принимают в зависимости от соотношения чисел ее еди ниц, оказавшихся в разных группах. Контроль по альтернативному признаку – контроль по каче ственному признаку, в ходе которого каждую проверенную единицу продукции относят к категории годных или дефектных, а последую щее решение о контролируемой совокупности принимают в зависи мости от числа обнаруженных в выборке или пробе дефектных еди ниц продукции или числа дефектов, приходящегося на определенное число единиц продукции. Нормальный контроль – статистический приемочный контроль, применяемый в том случае, когда результат контроля заданного чис ла предыдущих партий продукции не дает основания для заключе ния о том, что действительный уровень дефектности существенно отклоняется от приемочного. Ослабленный контроль – статистический приемочный контроль, применяемый в том случае, когда результат контроля заданного чис ла предыдущих партий продукции дает достаточное основание для заключения о том, что действительный уровень дефектности ниже приемочного, и характеризующийся меньшим объемом выборки, чем при нормальном контроле. Усиленный контроль – статистический приемочный контроль, применяемый в том случае, когда результаты контроля заданного числа предыдущих партий продукции дают достаточное основание для заключения о том, что действительный уровень дефектности выше приемочного, и характеризуется более строгими контрольны ми нормативами, чем при нормальном контроле. Контрольная карта – карта, на которой для наглядности ото бражения состояния технологического процесса отмечают значения соответствующей регулируемой выборочной характеристики смеж ных выборок или проб. 12

3.2.3. Методы формирования партий промышленной продукции для контроля ее качества Формирование контролируемой партии – это процесс отбора (ком плектации) необходимого и достаточного (возможного) числа еди ниц продукции для проверки качества. Формирование (комплектация) партии для контроля имеет боль шое практическое значение, так как во многом предопределяет про цедуру контроля, представительность выборки и качество принима емой продукции. При формировании партии для контроля необходи мо соблюдать один из следующих принципов: 1) независимости единиц продукции (элементов) в партии; 2) независимости функционирования элементов в структуре изде лий, формирующих партии (для НК, понимаемого как поиск нару шения внутренней структуры материалов и изделий с помощью од ного из девяти методов – радиационного, акустического, теплового, оптического и т. д., – этот принцип не имеет значения); 3) максимальной однородности свойств изделий в партии. При комплектации партии по принципу независимости (статис тической однородности) единиц продукции в партии объем формиру емой партии может быть установлен заранее, до начала производ ства. Комплектация партии по принципу независимости функциони рования элементов в структуре изделий (функциональная однород ность) производится после сборки изделий, каждое из которых со стоит из последовательно соединенных независимых элементов, по ставляемых партиями объемов N единиц, сформированных, в свою очередь, по принципу независимости элементов в партии. Комплектация партий по третьему принципу связана с соблюде нием следующих требований: каждое изделие комплектуемой партии должно быть изготовлено из одной и той же партии сырья («сырье вая» однородность), по одной и той же технологии, на одном и том же оборудовании («технологическая» однородность). В случае невозможности соблюдения принципа однородности партии продукции целесообразно проводить расслоение партии на од нородные части для обеспечения отбора представительной выборки. Объем контролируемой партии зависит от многих факторов: 1) объема (программы) выпуска продукции; 2) затрат времени, труда и средств на контроль партии продукции; 3) однородности партии продукции; 4) требований к комплектующим изделиям (ограниченность партии комплектующих элементов; уровень дефектности партий ком 13

плектующих элементов; особенность структуры и состава комплек тующих элементов – масса, габариты и т. п.); 5) возможности формирования больших и малых партий и усло вий реализации продукции; 6) вида испытаний; 7) времени и условий хранения (складирования), транспортиро вания и поставки контролируемых партий; 8) производственной возможности заводаизготовителя (объем выпуска продукции в единицу времени; ограничения на материаль ные, трудовые и сырьевые ресурсы). Наиболее существенным фактором, влияющим на объем партии, формируемой для контроля, является тип производства. Объем партии обусловливается также видом контроля продукции: при приемочных и квалификационных испытаниях партией являет ся совокупность (гипотетическая) изделий, предназначенных к пос ледующему выпуску; при приемочном контроле (приемосдаточных испытаниях) объем партии обычно равен числу изделий, изготовлен ных за рабочую смену; при периодических испытаниях объем партии равен числу изделий, выпущенных за отчетный период. 3.2.4. Методы формирования выборок продукции Формирование выборки от партии продукции представляет про цесс отбора необходимого и достаточного (возможного) числа единиц продукции для проверки качества из контролируемой партии. Что бы выборка правильно отражала свойства контролируемой совокуп ности (партии или потока продукции), при ее формировании следует применять методы случайного отбора. Контролируемая совокуп ность должна быть однородна, т. е. продукция внутри нее должна быть изготовлена по возможности при одних и тех же производствен ных условиях, из одной партии сырья и материалов и т. п. Задача формирования контролируемой партии продукции и вы борки из нее актуальна только при выборочном контроле качества. В зависимости от различных признаков (плана контроля, времени формирования выборки и т. д.) выборки могут быть классифицированы: 1) по плану контроля – на однократные и двукратные (многократ ные); 2) по методу отбора – на случайные, расслоенные, преднамерен ные, систематические, с повторением, без повторения; 3) по обеспечению достоверности – на представительные (репре зентативные) и непредставительные (произвольные); 4) по времени формирования – на мгновенные и текущие; 14

5) по степени охвата контролируемого показателя – на полные и цензурированные. Выборки единиц продукции из контролируемой партии формиру ются для определения и (или) контроля: 1) среднего значения (математического ожидания) измеряемой величины как меры качества изготовления; 2) среднего квадратического отклонения (или дисперсии) измеря емой величины как меры однородности качества изготовления; 3) доли реализаций измеряемой случайной величины, находящей ся в заданном допуске, и вероятности выполнения контрольных норм при различных методах измерения (пороговом или абсолютном); 4) толерантных (допустимых) пределов; и т. д. Достоверность оценки качества контролируемой партии продук ции определяется организацией отбора единиц продукции в выбор ку. Существует несколько типовых способов отбора единиц продук ции в выборку: случайный, типический (расслоенный) и направлен ный (преднамеренный). Случайный отбор заключается в извлечении n единиц из партии объема N, при котором обеспечивается одинаковая вероятность быть отобранной каждой из возможных выборок. При типическом (расслоенном) отборе партия продукции сна чала подразделяется на качественно однородные (типические) груп пы (слои) в отношении контролируемого показателя, а затем из каж дой группы методами случайного отбора извлекают единицы продук ции. Сумма единиц продукции, отобранных пропорционально по груп пам, равна объему выборки. При направленном отборе из партии объема N извлекается вы борка объема n таким образом, чтобы отобранные единицы продук ции обладали определенными, наперед заданными свойствами. «Сырьевая» и «технологическая» однородность партии продук ции при анализе, например, механических свойств (твердость, проч ность и т. п.) позволяет комплектовать выборку методом направлен ного отбора «слабейших» изделий партии. В свою очередь, случайный отбор подразделяется на виды (табл. 3.1): отбор с применением случайных чисел; многоступенча тый; вслепую (наибольшей объективности); систематический (меха нический). При проведении выборочного контроля на этапе приемоч ных испытаний методы отбора единиц в выборку зависят от способа представления продукции на контроль. Различают четыре способа представления продукции на контроль: «ряд», «россыпь», «поток», «в упаковке». 15

Таблица 3.1. Методы случайного отбора выборок штучной продукции по ГОСТ 18321–73 Способы представления продукции на контроль Наименова ние

Характеристика

Методы отбора единиц продукции в выборку Наименование

Kраткое содержание

Ряд

Единицы продук Отбор с при ции упорядочены и менением случайных могут быть прону чисел мерованы, любая единица доступна

Отбирают номера еди ниц продукции по таб лицам случайных чи сел (СТ СЭВ 546–77) или по жребию

Россыпь

Единицы продук Отбор «всле ции неупорядоче пую» ны, трудно или не возможно пронуме ровать, отыскать и достать определен ную единицу из мно гочисленной пар тии

Отбирают единицы продукции «вслепую» (наугад) из различных частей партии

В упаковке Продукция находит Многоступен ся в упаковочных чатый отбор единицах (первич ных, вторичных и т. д.), которые об разуют «ряд». Внут ри них может быть «ряд» или «рос сыпь»

Отбирают с примене нием случайных чисел определенное количе ство упаковочных еди ниц. Из них отбирают единицы продукции тем же методом или «вслепую»

Поток

Единицы продук ции поступают не прерывным упоря доченным потоком одновременно с вы пуском продукции

Отбирают единицы Системати ческий отбор продукции из потока через определенный интервал времени или определенное количе ство единиц. Начало отсчета определяют случайным образом

При способе «ряд» продукция, поступающая на контроль, упо рядочена. Ее единицы могут иметь сплошную нумерацию, например, 0, 1, 2, ... Изделия, отмеченные любым номером, можно легко отыс кать и извлечь. Количество единиц продукции, поступающей на кон троль, ограничено. При способе «россыпь» единицы продукции, поступающие на кон троль, неупорядочены, их невозможно нумеровать и нельзя отыс 16

кать и извлечь какуюто определенную единицу; количество единиц, поступающих на контроль, велико. При способе «поток» единицы продукции поступают на контроль непрерывным потоком одновременно с выпуском продукции. Коли чество единиц продукции, поступающей на контроль, велико. Еди ницы продукции упорядочены, можно легко отыскать и извлечь каж дую вторую, пятую и десятую и т. д. При способе «в упаковке» единицы продукции, поступающие на контроль, не могут быть упорядочены и пронумерованы, так как на ходятся в контейнерах, ящиках, коробках одного и того же объема. Упаковочные единицы имеют те же особенности, что и продукция, поступающая по способу «ряд». Случайный отбор с применением случайных чисел используют при проверке продукции, поступающей на контроль по способу «ряд». Для этого N единиц продукции, входящих в партию, нумеруют по рядковыми числами от 0 до N–1. Число N–1 определяет необходи мое число знаков z случайных чисел. Величина z выбирается из усло вия 10z ≥ N–1. Существующие таблицы случайных чисел содержат |kзначные десятичные числа. При z < k берутся только z знаков каж дого числа (слева, справа или посередине), а остальные знаки отбра сывают. Из таблицы случайных чисел выбирают n чисел (n – объем выборки). Порядок их выбора может быть произвольным, при этом числа, большие N – 1, а также повторяющиеся числа опускают. Выборка составляется из единиц продукции, порядковые номера которых соответствуют n отобранным случайным числам. Многоступенчатый отбор предполагает извлечение из партии: сначала укрупненные группы единиц, затем группы, меньшие по объе му, и так до тех пор, пока не будут отобраны отдельные единицы продукции, которые должны подвергнуться испытаниям. Частным случаем многоступенчатого отбора является двухступенчатый отбор, при котором партия разбивается на группы и производится сначала отбор групп, а затем внутри групп – отбор единиц продукции. На обеих ступенях отбор производится случайным образом. Число сту пеней отбора не должно быть больши′м изза организационных сложностей формирования выборки. Многоступенчатый отбор отлича ется от расслоенного тем, что при первом способе отбирают не все груп пы изделий, а при втором – отбор производится из всех без исключения групп. Многоступенчатый отбор применяют для испытаний продукции в упаковке. Из отобранных упаковочных единиц на первой ступени из влекают отдельные изделия методами случайного отбора (при выбороч ном контроле) или все изделия (при сплошном контроле), и на основе полученных данных выносят суждение о качестве продукции. 17

Отбор «вслепую» применяют для продукции, поступающей на контроль по способу «россыпь», а также в том случае, когда приме нение метода отбора с использованием случайных чисел затруднено или экономически нецелесообразно. Единицы продукции должны отбираться независимо, из разных частей партий. Метод не приме няют, когда бракованные изделия можно определить органолепти чески. Отбор «вслепую» обеспечивает независимость попадания из делий в выборку, но не гарантирует равную вероятность попадания единиц продукции в выборку. Систематический (механический) отбор применяют для про дукции, поступающей на контроль в виде «потока», если задан опре деленный порядок следования единиц продукции. Изделия отбира ют через фиксированный интервал времени или через определенное число изделий (каждое 10е, каждое 20е и т. д.). При этом в следую щих одна за другой единицах продукции период изменения контро лируемого параметра не должен быть равен периоду отбора изделий. Этот способ обеспечивает равную вероятность попадания каждой еди ницы продукции в выборку при случайном начале отсчета периода, но не обеспечивает независимость попадания единицы продукции в выборку (в отличие от отбора «вслепую»). При периодических испытаниях выборки для контроля формиру ют способом расслоенного отбора, обеспечивая пропорциональность включения изделий каждой однородной партии, входящей в общую партию изделий, выпущенных за отчетный период. 3.2.5. Статистиковероятностный подход для определения объема контролируемых выборок Существуют три подхода для определения объема выборки: ста тистиковероятностный, экономический и комбинированный. При статистиковероятностном подходе основой процедур вычисления объема выборки n являются соотношения, связываю щие объем выборки n с точностью и достоверностью получаемых оце нок показателей (при определительных испытаниях), или приме няется прием «обращения» относительно величины n в статисти ческих критериях проверки гипотез (при контрольных испыта ниях). Экономический подход основан на расчете потерь, обусловлен ных расходами на проведение испытаний (с учетом разрушения ис пытываемых изделий) и последствий от принятия того или иного решения по результатам испытаний (контроля) при некотором объе ме выборки n. 18

Комбинированный подход базируется на совместном использо вании статистиковероятностного и экономического подходов. Рассмотрим наиболее распространенный статистиковероятност ный подход определения объема выборки при оценке качества про дукции. Определим объем выборки при оценке показателей качества про дукции. Исходными данными для вычисления объема выборки яв ляются: – предельная абсолютная Δx или относительная δx ошибки в оцен ке среднего значения показателя; – предельная абсолютная ошибка Δp в оценке доли признака; – степень достоверности оценки, выраженная доверительной ве роятностью q. В табл. 3.2 приведены формулы для расчета объема выборки при случайном и систематическом отборе единиц продукции в выборку Таблица 3.2. Формулы для расчета объема выборки n при оценке показа% телей качества продукции Вид оцениваемого показателя

Среднее значение показателя каче ства продукции

Выборка

D

с повторе нием

без повто рения

Доля единиц про дукции, обладаю щих данным при знаком

Формулы для расчета n при заданных предельных ошибках

с повторе нием

без повто рения

tq2 (n − 1) 2 σ Δ2x

tq2(n − 1) σ2N 2 Δx N + tq2(n − 1) σ2

d

tq2 (n − 1) 2 V δ2x

tq2 (n − 1) V 2N 2 δx N + tq2(n − 1) V 2

– tq2 (n − 1) p(1 − p) Δ2p

tq2 (n − 1) p(1 − p) N 2 Δ pN + tq2 (n − 1) p(1 − p)

–

111Примечания: 1. Принятые обозначения: s2 — ожидаемое значение диспер сии измеряемой величины; V — коэффициент вариации; p — ожидаемое значе ние доли единиц продукции, обладающих данным признаком; tq (n – 1) — кван тиль распределения Cтьюдента для доверительной вероятности q и числа степе ней свободы n – 1. 2. При расчете n значение округляется до ближайшего цело го числа.

19

при оценке среднего значения показателя качества и доли единиц продукции, обладающих определенным признаком (например, доля дефектных единиц). В формулах (табл. 3.2) учтено, что измеряемая величина имеет нормальное распределение. При больших n (n ≥ 30) для упрощения расчетов целесообразно вместо значения tq(n – 1) использовать кван тиль нормального распределения uq. По формулам (табл. 3.2) построены номограммы для определения объема выборок для случая оценки среднего значения показателя качества и для случая оценки доли единиц продукции, обладающих данным признаком [7]. Для больших партий (при серийном производстве) расчет объема выборки без повторения можно проводить по более простым форму лам для выборки с повторением. Если после проведения испытаний окажется, что оценка диспер 2 сии σ? или коэффициента вариации V? больше, чем ожидаемые их значения, то необходимо произвести перерасчет значения n и повтор но провести дополнительные испытания, так как требуемая досто верность или точность оценки среднего значения не обеспечены. Если после проведения испытаний для определения доли единиц продукции окажется, что оценка доли p? больше, чем ожидаемое ее значение (для p < 0,5) или меньше p (для p > 0,5), то необходимо произвести перерасчет объема выборки для нового значения p?. При невозможности проведения дополнительных испытаний необ ходимо снизить требования к точности и (или) достоверности оценки. При случайном многоступенчатом (двухступенчатом) отборе объем выборки

n=

σ2 Δ2x σ12 − uq2 r

или n =

δ2x uq2

V2 , V12 − r

где σ12, V1 – соответственно межгрупповые дисперсия и коэффициент вариации измеряемой величины; r – число первичных упаковочных единиц, подлежащих отбору, которое зависит от количества первич ных упаковочных единиц в партии R (табл. 3.3). Предельные объемы выборки при многоступенчатом отборе uq2 (V12 + V 2 ) δ2x

≤n≤

uq2 (V12m + V 2 ) δ2x

где m – число изделий в упаковочной единице. 20

,

Таблица 3.3. Зависимость числа первичных упаковочных единиц, подле% жащих отбору, от количества первичных упаковочных еди% ниц в партии r

Все

5

1/20 часть (5 %)

20

R

1–5

6–99

100–399

400 и более

Объем выборки при типическом (расслоенном) отборе рассчиты вают по формулам: – выборка без повторения

⎧ uq2σ2 N ; ⎪ 2 2 2 ⎪ Δ x + uq σ n=⎨ 2 2 ⎪ uq V N ; ⎪ 2 2 2 ⎪⎩ δx N + uq V – выборка с повторением ⎧ uq2 σ2 ⎪ 2 ; ⎪ Δx n=⎨ 2 2 ⎪ uq V ⎪ 2 , ⎩ δx

где σ2 – средняя частных дисперсий по слоям. Объем выборок из iго слоя вычисляется по формулам: – выборка, пропорциональная объему слоев: ni = n

Ni k

∑ Ni

;

i =1

– выборка с учетом изменения измеряемой величины в слоях: ni = n

σi Ni k

∑ σi Ni i =1

или ni = n

Vi Ni k

∑ Vi Ni

,

i =1

где Ni – объем слоя; k – число слоев в партии; σi2 – ожидаемое значе ние дисперсии измеряемой величины в iм слое; Vi – ожидаемое значе ние коэффициента вариации в iм слое. 21

3.2.6. Типовые примеры расчета объема выборки Пример 1. Партия проката (объем партии N = 100 листов) пред ставлена на контроль для определения средней толщины листа с от носительной погрешностью δ = 0,1 при доверительной вероятности q = 0,9. Необходимо определить объем выборки для оценки средней толщины проката, если известно, что коэффициент вариации тол щины листа V = 0,2. Способ представления продукции на контроль – «ряд». Решение. Поскольку способ представления продукции на конт роль – «ряд», то для формирования выборки целесообразно исполь зовать случайный отбор. Поскольку выборка без повторения, то для расчета n необходимо воспользоваться формулой (табл. 3.2), заме нив значение квантиля распределения Стьюдента tq(n–1) на кван тиль нормального распределения uq:

n=

uq2 V 2N δ2N + uq2 V 2

.

По таблице квантилей для нормального распределения для q = 0,9 (табл. 3.10) найдем uq = 1,28. Тогда n=

1,282 ⋅ 0,22 ⋅ 100 = 6. 0,12 ⋅ 100 + 1,282 ⋅ 0,22

Если условно считать, что выборка с повторением, то

uq2 V 2

1,282 ⋅ 0,22 = 7. δ 0,12 Таким образом, для обоих типов выборок их объем примерно оди наков. Пример 2. Партия стержней (N = 20 000 шт.), упакованная в 100 ящиков (упаковочных единиц), представлена на контроль для опре деления толщины покрытия. Необходимо определить объем выбор ки для контроля, если относительная погрешность оценки среднего значения толщины покрытия δ = 0,1; коэффициент вариации тол щины покрытия V = 0,3; межгрупповой коэффициент вариации из меряемой величины V1 = 0,05; доверительная вероятность оценки параметра q = 0,95. Решение. Определим количество ящиков, подлежащих отбору от партии (см. табл. 3.3). Для 100 ≤ R ≤ 399 количество отобранных упаковочных единиц n=

22

2

=

100 = 5. 20 Для q = 0,95 по таблице квантилей находим uq = 1,64. Тогда r=

n=

V2 0,32 = = 28. δ2x V12 0,12 0,052 − − 5 1,642 uq2 r

Таким образом, из пяти ящиков, случайно отобранных из партии объемом 100 ящиков, необходимо методом случайного отбора ото брать 28 стержней (примерно 6 шт. из каждого ящика) на контроль. Вычислим предельные объемы выборки. Поскольку N = 20 000, R = 100, то m=

N 20 000 = = 200; R 100

uq2 (V12 + V 2 ) δ2x

≤n≤

uq2 (V12m + V 2 ) δ2x

;

1,642 (0,052 + 0,32 ) 1,642 (0,052 ⋅ 200 + 0,32 ) = 25 ≤ n ≤ = 159. 0,12 0,12 Следовательно, границы объема выборки, исходя из условий при мера, составляют 25–159 единиц. Пример 3. Учитывая условия примера 2, определить объем вы борки для контроля стержней, если вся партия продукции распреде лена на четыре однородные группы (слоя): группа 1 – ящики с 1го по 20й (R1 = 20); группа 2 – ящики с 21го по 60й (R2 = 40); группа 3 – ящики с 61го по 80й (R3 = 20); группа 4 – ящики с 81го по 100й (R4 = 20). Решение. Поскольку партия продукции неоднородна (расслоена), то формирование выборки необходимо проводить методом расслоен ного отбора с учетом наличия четырех слоев. Число упаковочных еди ниц (ящиков) и общий объем выборки определены в примере 2 (r = 5; n = 28). Определим число упаковочных единиц, которые необходимо ото брать из первого слоя: r1 = r

R1 20 =5 = 1. R 100 23

Аналогично находятся r2 = r

R2 40 =5 = 2; R 100

r3 = r4 = r

R3 20 =5 = 1. R 100

Таким образом, из первого, третьего и четвертого слоев необходи мо отобрать по одному ящику, из второго слоя – два ящика. Определим объем подвыборки, которую необходимо сформировать из продукции первой группы:

n1 = n

N1 20 ⋅ 200 = 28 = 6. N 20 000

Аналогично рассчитываются

n2 = n

N2 40 ⋅ 200 = 28 = 12; N 20 000 n3 = n4 = 6.

4

Отметим, что

∑ ni > n. Этот факт обусловлен округлением при вы i =1

числении значений ni. Рассмотренный пример показывает, что расслоение партии при водит к более сложной процедуре организации формирования выбор ки при одинаковых требованиях к точности и достоверности оценки среднего значения и не вызывает увеличения объема выборки. 3.3. Статистический приемочный контроль качества продукции 3.3.1. Общие положения Под приемочным контролем качества принято понимать сово купность мероприятий, проводимых в процессе производства и по его окончании, с целью проверки соответствия показателей качества продукции установленным требованиям. Основная задача приемочного контроля заключается в отбраков ке партий, засоренность которых дефектной продукцией превышает уровень, установленный нормативнотехнической документацией для нормального хода производства. При этом под нормальным хо 24

дом производства понимают такое его состояние, когда соблюдены основные требования технологии. При нормальном ходе производ ства засоренность партий дефектными изделиями невелика, однако она резко возрастает, если имеют место серьезные нарушения техно логического процесса. Приемочный контроль должен быть органи зован таким образом, чтобы большинство партий, выпущенных при нормальном ходе производства, принималось, тогда как партии с большой засоренностью дефектной продукцией, выпущенные в ус ловиях разлаженного технологического процесса, браковались. Поставленная задача наиболее просто и точно может быть решена с помощью сплошного контроля, при котором контролю подвергает ся каждый изготовленный образец изделия. Однако в производстве такой контроль часто невозможен: вопервых, сплошной контроль не всегда экономически оправдан; вовторых, контроль должен быть неразрушающим, т. е. изделие после контроля не должно терять свои потребительские свойства. В большинстве случаев эти условия не соблюдаются, и поэтому сплошной контроль применяется для особо ответственных изделий, так как он позволяет сдавать потребителю практически бездефект ную продукцию. Однако в условиях массового производства даже этот очень жесткий контроль (если он не автоматизирован!) не гарантиру ет абсолютного качества продукции: при сплошном контроле и раз браковке контролер быстро устает, его внимание ослабевает, в ре зультате чего он может пропустить брак и забраковать бездефектное изделие. Чтобы гарантировать безупречную оценку качества продук ции неавтоматизированными (ручными) методами контроля, необ ходимо, как показали многочисленные исследования, проводить шестикратный сплошной контроль. Исследования в области теории вероятности и математической статистики привели к выводу, что для оценки степени засоренности партии дефектными изделиями и принятия решения о качестве гото вой продукции нет необходимости проводить сплошную проверку всех изделий, а достаточно исследовать лишь часть партии – выборку. На основании полученных результатов американскими статистиками Доджем и Ромигом были впервые разработаны специальные табли цы, предназначенные для контроля качества телефонной продукции фирмы «Белл». В настоящее время статистический приемочный кон троль с успехом применяется во всем мире для оценки качества самой разнообразной продукции как гражданского, так и военного назна чения. Сущность статистического приемочного контроля заключается в следующем. От партии изделий объемом N, соблюдая принцип случай 25

ности, отбирают выборку объемом n штук, причем n, как правило, мно го меньше N. Все образцы выборки подвергаются контролю, в результате которого определяют степень пригодности каждого образ ца этой выборки для дальнейшего использования. Затем рассчитывают те или иные обобщенные характеристики, которые сравнивают с нор мативными. В результате сравнения выносят суждение о качестве всей партии и принимают решение о дальнейшем ее использовании. Статистический приемочный контроль не следует понимать толь ко как контроль готовой продукции (приемку). Он может применять ся также на операциях входного контроля, при операционном конт роле после завершения технологической операции и в других случа ях, когда принимается решение о пригодности к использованию партии или потока продукции. 3.3.2. План контроля и принципы его выбора Для организации приемочного контроля необходимо задать сис тему правил – план контроля, в котором указать, как надо отбирать изделия для проверки, после какого количества проверенных изде лий принимать решение о браковке, приемке партии или о дальней шем продолжении контроля. В настоящее время получили распространение три принципа вы бора плана контроля. Первый принцип На основе данных по эксплуатации изделий устанавливается до пустимая доля дефектности продукции q (q = M/N, где M – количе ство дефектных изделий в партии объемом N), т. е. такой предель ный уровень качества, снижение которого по тем или иным сообра жениям потребителя и поставщика нежелательно. Объем выборки устанавливается таким образом, чтобы при любом качестве продук ции до контроля качество принятой продукции было не хуже допус тимого в эксплуатации. Недостатком этого принципа является то, что планы контроля не учитывают характер распределения уровня входного качества, т.е. уровня качества продукции, поставляемой на контроль. Второй принцип Объем выборки устанавливается исходя из эффективности конт роля, учитывая, что дальнейшее увеличение объема выборки не при 26

носит существенного улучшения выходного уровня качества продук ции (т. е. уровня качества после контроля). Для использования второго принципа необходимо предваритель но провести специальные исследования с целью установления зако на распределения входного уровня качества, что представляется очень сложной организационной и математической задачей. В большинстве случаев в качестве первого приближения для рас пределения числа дефектных изделий в партии используется бино миальное распределение. Однако это распределение следует рассмат ривать как идеальный стандарт, характерный для хорошо отрегули рованного, стабильного производства, – так как оно возникает в том случае, когда каждый элемент партии может оказаться дефектным с одной и той же вероятностью. Недостаток второго принципа выбора плана контроля. Определе ние фиксированного распределения числа дефектных изделий в партии в том случае, когда имеются какието разладки в технологи ческом процессе, крайне проблематично и сомнительно, так как все результаты носят частный характер и далеки от универсальности. Представляется более разумным выбор плана контроля по первому принципу с последующей корректировкой процедуры контроля на основании статистической оценки уровня выходного качества по ре зультатам приемки большого количества партий. Третий принцип Этот принцип предполагает экономическое обоснование планов контроля. На основе анализа процесса изготовления и эксплуатации изделий, учета их стоимости, включая затраты на контроль; убыт ков от приема дефектных изделий – устанавливается объем выбор ки, при котором достигается максимальный экономический эффект по сравнению со сплошным контролем или производством, при кото ром приемка продукции осуществляется без контроля. Учет стоимостных факторов, связанных с введением контроля, позволяет создать более гибкую систему планов контроля. Трудность решения этой проблемы состоит в правильном учете стоимостных факторов. Рассмотрим коротко основные из них. Во%первых, забраковав партию, как не соответствующую требова ниям потребителя, мы несем ущерб, связанный с изготовлением партии, если она уничтожается, или с дополнительными расходами на контроль, если решение о браковке влечет за собой сплошную про верку. Такой ущерб легко поддается расчету. Более сложной эконо мической задачей является оценка потерь, связанных с созданием и 27

эксплуатацией материальных ценностей теми годными изделиями, которые были забракованы в составе отклоненной контролем партии. Во%вторых, приняв решение о приемке партии, мы принимаем содержащиеся в ней дефектные изделия. Использование их на после дующих этапах приведет к ущербу, оценка которого представляется также очень сложной экономической задачей. Недостаток третьего принципа выбора плана контроля. Создание универсальной методики решения задачи планирования приемочных испытаний (т.е. методики составления программы контроля), осно ванной на экономическом подходе, невозможно. Последние два принципа наиболее полно учитывают интересы не только изготовителя и потребителя, но и промышленности в целом. Однако использование их связано с решением ряда сложнейших орга низационных, экономических и математических задач, в настоящее время не решенных. 3.3.3. Классификация методов приемочного контроля 1. Рассмотрим планы контроля, в основу которых положен прин цип недопустимости попадания в товар партий, уровень каче ства которых ниже допустимого в эксплуатации. На практике наи большее распространение получили три вида планов приемочного контроля: одноступенчатый – решение о принятии или забраковании партии принимается на основании проверки однойединственной выборки из нее; многоступенчатый – решение о принятии или забраковании партии принимается на основании испытаний k (k ≥ 2) выборок, при чем максимальное количество выборок ограничено и заранее уста новлено. В отечественной практике чаще всего применяется двух ступенчатый контроль, в котором число выборок не превышает двух; последовательный – решение о приемке партии, браковке или продолжении испытаний принимается после оценки каждого после довательно проверяемого изделия, причем число изделий, подверга емых контролю, заранее не ограничено. Каждый из указанных планов обладает рядом преимуществ и не достатков. Планы одноступенчатого контроля значительно проще с организационной точки зрения, так как предусматривают элемен тарную процедуру контроля, в которой объем выборки постоянен и заранее известен. В остальных планах процедуры контроля значи тельно сложнее, применение их на производстве требует наличия ква лифицированных кадров. В то же время при многоступенчатом и пос 28

ледовательном контроле при том же среднем объеме выборки, рав ном объему выборки одноступенчатого контроля, достигается бо′ль шая достоверность принимаемых решений. 2. Дальнейшая классификация методов приемочного контроля связана с принципом классификации результатов испытаний. Дело в том, что степень пригодности изделий для дальнейшего ис пользования можно определять различными способами. Например, можно регистрировать точные численные значения параметров, а можно принимать одно из двух решений: пригодно изделие к даль Таблица 3.4. Основные статистические методы контроля Характеристика

Определение

К онтроль по количественному признаку

Контроль по альтернативному признаку

По ГОСТ 15895–77 1. Отбирают выборку (пробу) заданного объема n еди ниц продукции

Алгоритм кон троля

2. Измеряют значения xi контролируемого пара метра (i = 1,2, …, n) каж дой единицы продукции

2. Проверяют наличие де фектов (по одному или не скольким параметрам) в каждой единице продук ции

3. Вычисляют значение выборочной характери стики как функцию вели чин xi (например, среднее значение или его нор мированное отклонение от номинала и т. п.)

3. Определяют значение выборочной характеристи ки, подсчитывая число де фектных единиц в выбор ке или число дефектов на определенное число еди ниц продукции

4. Сравнивают значение выборочной характеристики с контрольным нормативом (приемочным числом) или с границей регулирования и принимают соответст вующее решение Преимущества

Более информативен, тре бует меньшего объема вы борки при равной досто верности или повышает достоверность при равном объеме

Проще и оперативнее в ис полнении, не требует вы числений в процессе конт роля, применим при конт роле по нескольким пара метрам

Недостатки

Применим при контроле по одному параметру, тре бует предварительной про верки закона распределе ния параметра, более вы сокой квалификации ис полнителей

Менее информативен, при отрицательном результате сложнее найти причину снижения качества про дукции или разладки тех нологического процесса

29

нейшему использованию или нет, т. е. делить изделия на годные и дефектные. В первом случае говорят о так называемом количествен ном признаке качества, во втором – об альтернативном. Соответственно различают два основных статистических метода контроля: по альтернативному и количественному признакам (табл. 3.4). Существует также контроль по качественному признаку (частным случаем которого является контроль по альтернативному признаку), но для этого метода не разработаны стандартизованные планы контроля и поэтому он практически не применяется. Контроль по альтернативному признаку обладает рядом преиму ществ по сравнению с контролем по количественному признаку. Во первых, он проще как по объему вычислений, так и по организации его на производстве. Вовторых, методика контроля не зависит от вида распределения измеряемых параметров и потому является бо лее универсальной (при контроле по количественному признаку в большинстве случаев предполагается, что измеряемые параметры имеют нормальное распределение). Однако при контроле по альтернативному признаку используется лишь малая часть информации, содержащейся в наблюдениях, что приводит к необходимости большого количества измерений. 3. В соответствии с решением о дальнейшем использовании партии планы контроля делятся на два типа: D1 – когда заключение о браковке партии приводит к решению об отклонении партии как негодной; D2 – когда заключение о браковке партии приводит к решению о ее разбраковке и изъятии дефектных изделий (с заменой или без заме ны дефектных изделий годными). Если контроль носит разрушающий характер, то возможно при менение только планов первого типа, во всех остальных случаях выбор типа плана определяется чисто экономическими соображени ями и специфическими условиями производства. 3.4. Основные характеристики планов статистического приемочного контроля Поскольку при статистическом приемочном контроле суждение о качестве партии выносится на основании испытаний только части изделий из партии (выборки), неизбежны ошибки, связанные с бра ковкой хороших и приемкой плохих партий. При случайном отборе изделий можно при общем небольшом количестве дефектных изде лий в партии отобрать на проверку значительное число дефектных, что приведет к ложному решению о браковке хорошей партии (ошиб 30

ка первого рода). С другой стороны, при засоренности партии дефек тными изделиями в выборке может оказаться сравнительно неболь шое количество дефектных, и плохая партия будет принята (ошибка второго рода). Задача заключается в том, чтобы в условиях выборочного контро ля такие ошибочные заключения делались крайне редко, а степень их возможности была заранее определена. Ошибки первого и второго рода должны учитываться при планировании приемочного контро ля, а также контрольных испытаний. Для оценки эффективности плана выборочного контроля служит так называемая оперативная характеристика, или, как ее иначе называют, рабочая характеристика. Под оперативной характери стикой плана контроля понимают функцию P(q), равную вероятнос ти принятия партии с уровнем качества q. Рассмотрим оперативную характеристику плана сплошного кон троля. В процессе контроля каждого образца в партии оказывается точно известным количество дефектных образцов в партии. Если это коли чество больше некоторого критического значения Mкр = Nqкр (N – объем партии), то такая партия обязательно (с вероятностью, рав ной единице) будет отклонена как не соответствующая требованиям потребителя. Если количество дефектных образцов в выборке мень ше Mкр, то партия с вероятностью единица будет принята. При этом считают, что ошибки, связанные с определением степени пригоднос ти образца, исключены. Оперативная характеристика плана сплош ного контроля показана на рис. 3.2, а. Такую оперативную характе ристику будем называть идеальной. Однако построить выборочный план с такой рабочей характеристикой невозможно. В этих случаях поставщик и потребитель договариваются о двух уровнях качества q0 и qm: партии с уровнем качества q ≤ q0 считаются заведомо хороши ми, а партии с уровнем качества q ≥ qm, причем qm > q0, – плохими. Интервал q0 ≤ q ≤ qm считается зоной неопределенности. Партии с таким уровнем качества считаются еще допустимыми. Величина q0 называется приемочным уровнем качества, величина qm – брако вочным уровнем качества. Таким образом, вся продукция делится на три категории: продукция первой категории, уровень качества которой q ≤ q0; продукция второй категории, уровень качества которой q ≥ qm; продукция третьей категории, уровень качества которой удов летворяет соотношению q0 < q < qm. К плану контроля предъявляются требования, состоящие в том, что партии первой категории должны по возможности приниматься, 31

0) P (q )

1) P (q ) 1,0 1

q кр

q0

q

qm

q

Рис. 3.2. Оперативные характеристики плана контроля: а – сплошного; б – статистического

второй – по возможности браковаться. В количественном отноше нии эти требования выражаются в том, что вероятность принятия партии с уровнем качества q ≤ q0 должна быть меньше величины 1 – α, а вероятность приемки партий, у которых q ≥ qm, не должна превы шать величины β. Величины α и β называют соответственно риском поставщика и риском потребителя и представляют собой вероятности ошибок пер вого и второго родов. Риск поставщика a есть вероятность приня тия ложного решения о браковке хорошей партии (поставщик рис кует понести неоправданные убытки). Риск потребителя β есть ве роятность принятия ложного решения о принятии плохой партии (понести убытки рискует потребитель). Задание рисков α и β обеспечивает гарантии поставщика и потре бителя в отношении забракования хороших и приемки плохих партий. На практике величины α и β выбираются равными 0,1; 0,01; 0,05. Назначение их не является статистической задачей, а полнос тью определяется последствиями от неверно принятых решений (оши бок первого и второго рода). Таким образом, если требования поставщика и потребителя сфор мулированы в виде четырех чисел, например: q0 = 0,01; qm = 0,05; α = β = 0,1, – то это значит, что в среднем из каждых ста партий, имеющих уровень дефектности не более 1 %, будет забраковано не более пяти партий, а из 100 партий, содержащих 5 и более дефект ных изделий, будет принято не больше пяти партий. Таким образом, для любого плана приемочного контроля спра ведливы уравнения P(q0 ) ≥ 1 − α;

(3.1)

P(qm ) ≤ β.

(3.2)

Учитывая также, что P(0) = 1, P(1) = 0, легко представить вид опера тивной характеристики статистического плана контроля (рис. 3.2, б). 32

Уравнения (3.1), (3.2) являются основой для задания плана при емочного контроля, т. е. назначения объема выборки и нормативов, с которыми сравниваются результаты контроля, и вычисления опе ративной характеристики P(q). Рассмотрим, как назначаются требования q0 и qm. Величина браковочного уровня качества (qm) выбирается исходя из требований потребителя, которому необходима продукция с уров нем качества не ниже qm. Величина приемочного уровня качества (q0) устанавливается с учетом возможностей производства, которое дол жно обеспечить выпуск продукции с уровнем качества qн ≤ q0, где qн – средний уровень засоренности партий при нормальном ходе произ водства. Только в этом случае поставщик гарантирует себя от на прасной браковки хороших партий, выпущенных при соблюдении основных требований технологии. Как правило, значение q0 немного больше qн. В противном случае эффективность плана контроля сни жается. Действительно, если приемочный уровень качества много меньше qн, вероятность принятия партий, как это видно из рис. 3.3, резко падает, и действительный риск поставщика αд увеличивается. При выборе q0, значительно превышающего qн, действительный риск поставщика меньше a, однако такой план контроля окажется, как это будет видно из дальнейшего, фактически неэффективным, так как потребует больших объемов выборок. Таким образом, знание: 1) требований потребителя к качеству про дукции, 2) уровня, достигнутого предприятиемизготовителем, 3) последствий от принятия ложных решений о приемке и браковке партий, – оказывается необходимым и достаточным для планирова ния контрольных испытаний по принципу недопустимого в эксплуа тации уровня качества. Предварительная оценка эффективности плана контроля производится с помощью оперативной характерис P (q )

P (q )

1,0

1

1 1

1,0 д

д

q0

qн

qm

q

qн

q0

qm

q

Рис. 3.3. Действительный риск поставщика при необоснованном зада% нии приемочного уровня качества 33

тики, характер правой части которой должен удовлетворять требо ваниям потребителя, левой – требованиям поставщика, а средней – того или другого в зависимости от степени ответственности контро лируемых изделий. Более полная оценка эффективности может осу ществляться с учетом статистической оценки уровня качества при нятой продукции. Такие оценки в статистическом приемочном конт роле называются последующими. 3.5. Общий алгоритм статистического приемочного контроля партий продукции Общий алгоритм приемочного контроля показан на рис. 3.4. 1. Партия, предъявляемая для контроля, представляет собой совокупность единиц продукции одного наименования, типоразмера и исполнения, произведенную в течение определенного интервала времени в одних и тех же условиях. На контроль могут поступать как отдельные партии, так и последовательность партий. Объем контролируемой партии N устанавливают исходя из условий произ водства (например, равным сменному заданию). Допускается коле бание объемов контролируемых партий в пределах, указанных в со ответствующем стандарте на статистический приемочный контроль. Например, ГОСТ 18242–72 (СТ СЭВ 548–77, СТ СЭВ 1673–79), ГОСТ 20736–75 (СТ СЭВ 1672–79) допускают колебание объема партии в пределах 91–150, 151–280, 281–500 и т. д. единиц продук ции. При соблюдении указанных пределов колебание объема партии не влияет на план контроля. Контролируемую партию следует отличать от поставляемой по требителю или приобретаемой потребителем; последние могут быть сформированы как из части годной контролируемой партии, так и из одной или нескольких годных контролируемых партий. 2. Приемочный уровень дефектности q0 устанавливают по со глашению между поставщиком и потребителем продукции исходя из техникоэкономических соображений. Понятия «поставщик» и «по требитель» достаточно условны; в общем случае под поставщиком следует понимать сторону, предъявляющую продукцию на контроль, а под потребителем – сторону, использующую данную продукцию и заинтересованную в результатах контроля. Например, поставщиком может быть механический цех (участок), а потребителем – сбороч ный цех (участок) и т. п. Потребитель заинтересован в поставке без дефектной продукции, поэтому для него предпочтительно значение q0 = 0, но тогда статистические методы неприменимы. В то же время стандартизованные планы статистического контроля содержат дос 34

K?>;=8BL AB0B8AB8G5A:89 0=0;87 B>G=>AB8 8 AB018;L=>AB8 B5E?@>F5AA0

@>F5AA >B;065==K9 8 AB018;L=K9

5B

@>8725AB8 >B;04:C ?@>F5AA 0

0 ?@545;8BL A@54=89 2E>4=>9 C@>25=L 45D5:B=>AB8 q

N, #AB0=>28BL >1J5< ?0@B88 ?@85G=K9 C@>25=L д5D5:B=>AB8q0

5B q

q0

@8H=>9 :>=B@>;L

0 K1@0BL C@>25=L 8 284 :>=B@>;O

#AB0=>28BL >1J5< 2K1>@:8 8 :>=B@>;L=K9 => @=B@>;L >G5@54=CN ?0@B8N

7OBL 2K1>@:C, >?@545;8BL 7=0G5=85 2K1>@>G=>9 E0@0:B5@8AB 8:8 ( %)*

@8=OBL ?0@B8N

0

% C4>2;5B2>@O5B :>=B@>;L=>@20BL ?0@B8N

K1@0BL 20@80=B 1@0:>2:8

@>8725AB8 @071@0:>2:C (A?;>H=>9 :>=B@>;L) 2A59 ?0@B88

>72@0B8BL ?0@B8N ?>AB02I8:C

Рис. 3.4. Общий алгоритм приемочного контроля (* – при многоступен% чатом контроле – для каждой ступени)

таточно широкий диапазон q0, поэтому во многих случаях может быть достигнут технически и экономически обоснованный компромисс между требованиями потребителя и реальными возможностями по ставщика. 3. После того, как величина q0 установлена, необходимо опреде лить реальный уровень дефектности контролируемой продукции 35

по результатам сплошного или выборочного контроля нескольких партий. Средний входной уровень дефектности q определяют как средний процент дефектных единиц или среднее число дефектов на 100 единиц продукции. Второе соотношение используют в случаях, когда в единице продукции может быть более одного дефекта и важно знать общее число дефектов. Если q > q0, то возрастает число забра кованных партий, а поскольку такие партии обычно подвергают сплошному контролю, то общая трудоемкость контроля значитель но увеличивается и статистический контроль становится нецелесо образным. 4. Далее выбирается уровень контроля. Уровни контроля пре дусмотрены ГОСТ 18242 и ГОСТ 20736. При переходе с более высо кого уровня на более низкий уменьшается относительный объем вы борки и увеличивается риск поставщика и особенно риск потребите ля. Уровни контроля бывают общими (в стандартах их три) и специ альными. Основным для применения является II общий уровень. Специальные уровни контроля позволяют существенно уменьшить объем выборки, что бывает необходимо, например, при разрушаю щем контроле дорогостоящих изделий. Обоснованный выбор уровня контроля может быть сделан лишь на основе сопоставления опера тивных характеристик планов контроля на разных уровнях, по ко торым определяют риски поставщика и потребителя. 5. Указанные стандарты предусматривают также три вида конт роля: нормальный, усиленный и ослабленный. Обычно начинают с нормального контроля, переходя к усиленному или ослабленному в зависимости от результатов приемки последовательности партий (рис. 3.5). Такой переход называется корректировкой плана конт роля. 6. После выполнения рассмотренных действий устанавливают по таблицам соответствующего стандарта объем выборки и конт рольный норматив. Порядок пользования стандартами на стати стический приемочный контроль детально изложен как в самих стан дартах, так и в методических указаниях РД 50605–86, а потому здесь не описывается. 7. Эффективность выбранного плана контроля оценивают с помо щью его оперативной характеристики, представляющей собой зависимость вероятности P(q) приемки партии от уровня дефектно сти q в этой партии при данном плане контроля. Наиболее наглядна эта зависимость в графической форме, поэтому следует построить гра фик оперативной характеристики по данным, приведенным в стан дартах (в ГОСТ 20736 приведены готовые графики). По графику мож но определить риск поставщика α = 1–P(q0) – вероятность забрако 36

>@ =B@>;L

5B

25 87 ?OB8 ?>A;54>20B5;L=KE ?0@B89 701@0:>20=K ?@8 ?5@2>< ?@54J O2;5=88

5AOBL ?>A;5 4>20B5;L=KE ?0@B89 ?@8=OBK A ?5@2>3> ?@54JO2;5=8O

0

0 A;01;5==K9 :> =B@>;L

#A8;5==K9 :> =B@>;L

5B

OBL ?>A;5 4>20B5;L=KE ?0@B89 ?@8=OBK A ?5@2>3> ?@54JO2;5=8O

5B

0

0

G5@54=0O ?0@B8O 701@0:>20=0 ?@8 ?5@2>< ?@54J O2;5=88

5B

Рис. 3.5. Алгоритм корректировки планов контроля

вания «хорошей» партии и риск потребителя β = P(qm) – вероятность приемки «плохой» партии (с браковочным уровнем дефектности qm) или же определить, какая величина браковочного уровня соответ ствует заданному риску потребителя β. Построенная оперативная характеристика отражает лишь стати стическую недостоверность результатов контроля выборки; при этом предполагается, что каждая единица продукции в выборке контро лируется безошибочно. На самом деле контроль единиц в выборке сопровождается погрешностями измерений, вследствие чего возни кает дополнительная недостоверность. Реальная оперативная характеристика Pδ(q) при наличии по грешности измерения δ определяется формулой Pδ (q) = P(q + Δq), где Δq – величина сдвига, зависящая от величины q и относительной погрешности контроля (определяется по таблице). Сдвиг оперативной характеристики приводит к увеличению рис ка поставщика a при фиксированном q0 и уменьшении qm при фикси рованном риске потребителя β, что должно быть учтено при выборе 37

плана контроля и средства измерений (средства контроля). При от носительной погрешности контроля менее 10–15 % влиянием по грешности измерений можно пренебречь. 3.6. Статистический приемочный контроль по альтернативному признаку 3.6.1. Одноступенчатый приемочный контроль Пусть на контроль предъявлена партия объемом N, содержащая M дефектных изделий. Из партии случайным образом отбирается выборка объемом n штук. Партия принимается, если в выборке ока жется не более c дефектных изделий, в противном случае партия бра куется. Такая система правил оценки качества товарной партии и составляет сущность одноступенчатого приемочного контроля. Схема изложенной процедуры контроля представлена на рис. 3.6. Рассмотрим оперативную характеристику плана одноступен чатого приемочного контроля. При сформулированных условиях число дефектных изделий в выборке имеет гипергеометрическое распределение, поэтому вероят ность того, что в выборке окажется ровно т дефектных образцов, равна Pm =

n−m CnmCN −M , n CN

(3.3)

где Chk – число сочетаний из h элементов по k. Поскольку в выборке допускается не более с дефектных изделий, вероятность приемки партии (оперативная характеристика) опреде ляется как сумма вероятностей попадания в выборку 0, 1, 2, …, c бракованных изделий: L(q) = P0 + P1 + 1 + Pc =

c

∑ Pm.

m =0

B @0:>2:0 c +1 c

@85 c1), партия бракуется. 41

– Если случайная точка m1 попадет в интервал между c1 и d1 (c1 < m1 < d1), принимается решение о назначении второй выборки объемом n2 (n2 не обязательно равно n1). Для второй выборки также устанавливаются нормативы c2 и d2, с которыми сравниваются результаты контроля, а именно: – если m1+m2 ≤ c2, партия принимается; – если m1+m2 ≥ d2, партия бракуется; – если c2 < (m1+m2) < d2, выносится решение о назначении третьей выборки, и т. д. Количество выборок заранее установлено и не превышает числа K. Процедура контроля продолжается до тех пор, пока не будет при нято окончательное решение о приемке или браковке партии. Рас смотренная система правил проведения контрольных испытаний и принятия заключений относительно качества товарной продукции составляет сущность многоступенчатого контроля. Поскольку при многоступенчатом контроле окончательное зак лючение о качестве партий может быть принято на одной из K ступе ней, объем контроля оказывается случайным и, следовательно, для его характеристики можно ввести понятие среднего числа затрачи ваемых на контроль изделий ncp. Оказывается, что при рациональ ном планировании многоступенчатых испытаний средний объем кон троля меньше объема выборки, необходимого для проведения испы таний в одну ступень. В этом заключается особенность многосту пенчатых испытаний. Рассмотрим основные закономерности, принципы планирования и свойства планов многоступенчатого приемочного контроля на примере двухступенчатых контрольных испытаний, схема процеду ры которых графически представлена на рис. 3.8. Вычислим оперативную характеристику двухступенчатого плана контроля. Вероятность приемки партии можно рассматривать как сумму двух несовместных случайных событий: A1 – партия принята по результатам испытаний изделий первой выборки; A2 – партия принята по результатам испытаний изделий и первой, и второй выборок. Согласно теореме сложения вероятностей вероятность приемки партии (оперативная характеристика) L(q) = P{ A1} + P{ A2 }. В соответствии с правилами контроля партия будет принята пос ле извлечения первой выборки, если число дефектных изделий в вы 42

B @0:>2:0

@0:>2:0

d2

d1

c2

c1 @854>;65=85 8A?KB0=89

ri

@85 T} = 1 − P{X ≤ T} = 1 − Φ ⎜⎛ ⎟, ⎝ σ ⎠

(3.38)

где Φ(X) – табличная функция (табл. 3.8) [5]. Предположим, что разладки технологического процесса приводят только к смещению центра рассеяния контрольного признака μ, а точность технологического процесса σ2 остается неизменной. Тогда дисперсию случайной величины можно рассматривать как постоян ный параметр, который всегда может быть заранее определен путем проведения специального эксперимента. Из (3.38) видно, что при сформулированных условиях вариации качества полностью определяются вариациями генерального мате матического ожидания μ. 55

56

0,50000

0,53983

0,57926

0,61791

0,65542

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,99995

0,99997

3,9

4,0

и т. д.

0

x

0,99998

0,99999

0,99996

0,66276

0,65910

0,99995

0,62552

0,58706

0,54776

0,50798

2

0,62172

0,58317

0,54380

0,50399

1

Таблица 3.8. Табличная функция Φ(X)

0,99999

0,99996

0,66640

0,62930

0,59095

0,55172

0,51197

3

0,99999

0,99996

0,67003

0,63307

0,59483

0,55567

0,51595

4

–

0,99996

0,67364

–

0,99996

0,67724

0,64058

0,60257

0,59871 0,63683

0,56356

0,52392

6

0,55962

0,51994

5

–

0,99996

0,68082

0,64431

0,60642

0,56749

0,52790

7

–

0,99997

0,68439

0,64803

0,61026

0,57142

0,53188

8

–

0,99997

0,68793

0,65173

0,61409

0,57535

0,53586

9

Таким образом, требование к качеству партий q ≤ q0 эквивалентно требованию μ ≤ μо, где μо – значение математического ожидания, оп ределяемое из уравнения

⎛ T − μ0 ⎞ qо = 1 − Φ ⎜ (3.39) ⎟. ⎝ σ ⎠ Аналогично требование q ≥ qm эквивалентно требованию μ ≥ μm, где μm определяется из уравнения ⎛ T − μm ⎞ qm = 1 − Φ ⎜ (3.40) ⎟. ⎝ σ ⎠ Поскольку μ ≅ x, то для сформулированного правила классифи кации изделий на годные и дефектные условие приемки партии запи сывается в виде x ≤ c.

(3.41)

Запишем уравнение оперативной характеристики:

L(μ) = P{x ≤ c}.

(3.42)

Учитывая, что случайная величина x имеет нормальное распре деление с математическим ожиданием μ и средним квадратическим отклонением σ , где n – объем выборки, окончательно имеем n

c−μ (3.43) L(μ) = Φ ⎛⎜ n ⎞⎟. ⎝ σ ⎠ График оперативной характеристики показан на рис. 3.13. L( ) 1,0 1–

0

m

Рис. 3.13. График оперативной характеристики плана контроля по ко% личественному признаку 57

Если требования к плану контроля сформулированы в виде q0, qm, α, β, то имеют место следующие уравнения:

⎛ c − μ0 ⎞ 1− α = Φ ⎜ n ⎟; ⎝ σ ⎠

(3.44)

⎛ c − μm ⎞ n ⎟, β=Φ ⎜ σ ⎝ ⎠

(3.45)

где μ0 и μm определяются из уравнений (3.39), (3.40). Переходя от уравнений (3.44) и (3.45) к квантилям нормального распределения и учитывая, что μ0 ≤ c ≤ μm, получим c − μ0 n = u1−α ; σ

(3.46)

μm − c n = u1−β. σ

(3.47)

Эта система уравнений является основой для выбора параметров плана контроля n и c. После суммирования уравнений (3.46) и (3.47) и простых преоб разований имеем уравнение для определения объема выборки

u1−α + u1−β (3.48) . μ m − μ0 σ Результаты расчетов по уравнению (3.48) сведены в табл. 3.9 [5]. В ряде случаев для оперативной оценки объема выборки может оказаться полезной зависимость n=

n=

u1−α + u1−β u1−q0 − u1−qm

(3.49)

,

полученная путем несложных алгебраических преобразований урав нений (3.39), (3.40), (3.44) и (3.45), представленных в квантильной форме. Уравнение (3.49) справедливо также для случая, когда техничес кий допуск установлен так, что изделие считается годным, если X ≥ T, и дефектным, если X < T. В уравнении (3.48) в этом случае знамена тель должен быть записан следующим образом:

58

μ0 − μm . σ

Таблица 3.9. Результаты расчетов объема выборки по уравнению (3.48) a 0,05

μm − μ0 σ

0,05

0,10

0,20

0,20

0,20

b 0,05

0,10

0,10

0,05

0,10

0,20

0,05

4330

3439

2621

2480

1998

430

0,1

1012

860

655

620

49

282

0,2

269

213

164

154

112

70

0,3

121

95

73

69

50

31

0,4

68

53

41

38

29

18

0,5

38

34

26

25

18

11

0,6

30

24

18

17

12

8

0,7

17

13

10

10

7

4

1,0

11

9

7

6

4

3

1,5

5

4

3

3

2

1

2,0

3

2

2

2

1

1

Таблица 3.10. Квантили нормального распределения q

uq

q

uq

q

uq

q

uq

q

uq

0,50

0

0,62

0,305

0,74

0,643

0,86

1,080

0,98

2,054

0,51

0,025

0,63

0,332

0,75

0,674

0,87

1,126

0,99

2,326

0,52

0,050

0,64

0,358

0,76

0,706

0,88

1,175 0,991 2,366

0,53

0,075

0,65

0,385

0,77

0,739

0,89

1,227 0,992 2,409

0,54

0,100

0,66

0,412

0,78

0,772

0,90

1,282 0,993 2,457

0,55

0,126

0,67

0,440

0,79

0,806

0,91

1,341 0,994 2,522

0,56

0,151

0,68

0,468

0,80

0,842

0,92

1,405 0,995 2,576

0,57

0,176

0,69

0,496

0,81

0,878

0,93

1,476 0,996 2,652

0,58

0,202

0,70

0,524

0,82

0,916

0,94

1,555 0,997 2,748

0,59

0,228

0,71

0,553

0,83

0,954

0,95

1,645 0,998 2,878

0,60

0,253

0,72

0,583

0,84

0,994

0,96

1,751 0,999 3,090

0,61

0,279

0,73

0,613

0,85

1,036

0,97

1,881 0,9999 3,719

59

Для оценки эффективности планов контроля по количественному признаку и сравнения с аналогичными планами по альтернативному признаку рассмотрим пример. Пример. Заданы: q0 = 0,01; qm = 0,05; α = β = 0,1. Допуск односто ронний. По табл. 3.10 квантилей нормального распределения [5, 6] находим значения квантилей, соответствующих вероятностям 1–q0, 1–q m , 1 – α, 1 – β. Имеем: u1−q0 = 2,325; u1−qm = 1,645; u 1–α = u1–β = 1,282. Подставив полученные значения в (3.48), получим n = 7. Для тех же условий соответствующий план одноступенчатого контроля: n = 105, c = 2. Таким образом, в данном примере контроль по количественному признаку дает сокращение объема выборки в 15 раз. 3.7.3. Контроль по одному количественному признаку при одностороннем допуске и неизвестной дисперсии Рассмотрим случай, когда разладки технологического процесса приводят не только к смещению центра рассеяния μ, но и к измене нию точности процесса σ2. В этом случае дисперсию контрольного признака σ2 следует считать неизвестной и в процессе испытаний кон тролировать оба параметра. Пусть так же, как и в предыдущем слу чае, для параметра X установлен допуск: при X ≤ T изделие считается годным, в противном случае – дефектным. Для вычисления вероятности q справедливо уравнение (3.38), из которого следует, что качество продукции определяется не только математическим ожиданием генеральной совокупности m, но и гене ральной дисперсией σ2. Из уравнения (3.38) можно записать выра жение, устанавливающее соотношение между μ и σ, которое обеспе чивает выпуск продукции с уровнем качества q: T −μ . (3.50) σ Зависимость (3.50) называется уравнением изодефектной линии. Для сформулированных правил классификации изделий графики изодефектных линий представлены на рис. 3.14, причем с увеличе нием q наклон прямой увеличивается. Для заданных q0, qm можно записать следующие два уравнения изодефектных линий: uq =

60

u1−q0 =

T −μ ; σ

(3.51)

u1−qm =

T −μ . σ

(3.52)

s, s qm

q0

"

,x

Рис. 3.14. Изодефектные линии и зоны приемки и браковки партий

Очевидно, что область A соответствует партиям, уровень качества которых q < q0; область B – партиям, у которых q > qm. По условию контроля партии, принадлежащие области A, должны по возможно сти приниматься, а принадлежащие области B – браковаться. Если учесть, что выборочные характеристики приближенно равны гене ральным характеристикам, то естественным условием приемки можно считать попадание случайной точки (x , s) в область ниже некоторой нормативной прямой, проходящей между изодефектными линиями, соответствующими партиям с уровнем качества q0 и qm. Таким образом, математическая запись сформулированного пра вила приемки партии имеет вид

T −x ≥ c, s где c = u1−qc , q0 ≤ qc ≤ qm, и оперативная характеристика есть ⎧T − x ⎫ ≥ c ⎬. L(q) = P ⎨ ⎩ s ⎭

(3.53)

(3.54)

Заметим, что ⎧T − x ⎫ ≥ c ⎬ = P x + cs < T . P⎨ ⎩ s ⎭

{

}

(3.55)

Рассмотрим выборочную функцию (3.56) z = x + cs, такую, что z = T, если случайная точка (x , s), определенная по результатам из мерений, лежит на нормативной прямой H; 61

z > T, если точка (x , s) лежит выше; и z < T, если точка лежит ниже нормативной прямой H. Для вычисления оперативной характеристики плана контроля необходимо знать закон распределения случайной величины Z. До казано, что при объеме выборки n > 5 величина Z имеет приближенно нормальное распределение с математическим ожиданием

μz = μ +

cσ Kn

(3.57)

и дисперсией σ2 =

σ2 c2σ2 + , n 2n − 1,4

(3.58)

где коэффициент Kn находится по табл. 3.11 [5]. С учетом этого, вероятность (3.55) может быть вычислена ⎛ T − μz ⎞ L(q) = Φ ⎜ (3.59) ⎟, ⎝ σz ⎠ где q связано с μ и σ уравнением (3.50). Путем несложных преобразований из уравнений (3.57)–(3.59) получим ⎛ cσ ⎜ T −μ − Kn L(q) = Φ ⎜ ⎜ 2 ⎜⎜ σ 1 + c n 2n − 1,4 ⎝

⎞ ⎟ ⎟=Φ ⎟ ⎟⎟ ⎠

⎛ c ⎜ u1−q − Kn ⎜ ⎜ 2 ⎜⎜ 1 + c ⎝ n 2n − 1,4

⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟⎟ ⎠

(3.60)

Характерная особенность данного уравнения заключается в том, что в него не входят значения генеральных характеристик μ и σ. Таким образом, если требования к плану контроля сформулиро ваны в виде q0, qm, α, β, то можно составить систему уравнений для определения объема выборки и приемочного числа: Таблица 3.11. Определение коэффициента Kn по величине объема выборки

62

n

Kn

n

Kn

5

1,064

20

1,013

10

1,028

25

1,010

15

1,018

30

1,009

⎛ c ⎜ u1−q0 − Kn 1− α = Φ ⎜ ⎜ 2 ⎜⎜ 1 + c ⎝ n 2n − 1,4

⎞ ⎟ ⎟; ⎟ ⎟⎟ ⎠

(3.61)

Таблица 3.12. Определение параметров плана контроля по заданным приемочному q0 и браковочному qm уровням качества a n

c

0,10

b 0,20

0,10

q0

10

20

40

0,20 qm

1,0

0,070

0,036

0,318

0,259

1,5

0,069

0,032

0,195

0,043

2,0

0,004

0,008

0,108

0,070

2,5

0,035

0,001

0,056

0,030

3,0

0,045

0,032

0,026

0,011

3,5

0,053

0,042

0,011

0,004

4,0

0,061

0,051

0,004

0,001

1,0

0,090

0,111

0,263

0,225

1,5

0,029

0,039

0,145

0,114

2,0

0,007

0,011

0,070

0,050

2,5

0,001

0,002

0,030

0,019

3,0

0,031

0,033

0,011

0,006

3,5

0,041

0,044

0,004

0,007

4,0

0,061

0,053

0,001

0,034

1,0

0,070

0,124

0,228

0,203

1,5

0,037

0,046

0,116

0,097

2,0

0,010

0,013

0,051

0,040

2,5

0,002

0,003

0,019

0,013

3,0

0,033

0,035

0,006

0,004

3,5

0,043

0,046

0,002

0,001

4,0

0,052

0,056

0,034

0,032

63

⎛ c ⎜ u1−qm − Kn ⎜ β=Φ ⎜ 2 ⎜⎜ 1 + c ⎝ n 2n − 1,4

⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟⎟ ⎠

(3.62)

Решение уравнений (3.61) и (3.62) в явном виде невозможно. Со ставлены специальные таблицы [3], позволяющие по заданным q0, qm для фиксированных значений α и β определить параметры плана контроля, причем как для рассмотренных случаев, так и для случая двустороннего ограничения контрольного параметра. Приведенная табл. 3.12 ограничена объемом выборки n = 40. Полученные уравнения и результаты расчетов справедливы так же для случая одностороннего ограничения снизу, а выражение, фор мулирующее критерий приемки партии, записывается в этом случае в виде

x −T ≤ c. (3.63) s Таким образом, количественный контроль позволяет по сравне нию с альтернативным существенно снизить объемы выборки. Од нако применение его связано со значительными организационнотех ническими трудностями, проведением замеров, сложных вычисле ний. Для проведения таких работ на производстве необходимы высо коквалифицированные специалисты. Это, безусловно, повышает сто имость и снижает эффективность контроля. 3.8. Последующие оценки при статистическом приемочном контроле Существует множество способов анализа эффективности выбран ного плана приемочного контроля. Один из них состоит в вычисле нии различных статистических оценок по имеющейся информации о приемке и браковке партии изделий и сопоставлении их либо с пара метрами плана контроля, либо с требованиями к качеству продук ции. Такие оценки называются последующими, так как они дела ются после проведения контроля. Последующие оценки могут быть использованы для решения целого ряда практически важных задач. Например: а) оценка среднего уровня входного качества qвх может служить основанием для корректировки плана приемочного контроля в части назначения приемочного уровня качества; 64

б) оценка среднего уровня выходного качества qвых может быть использована для изменения объема выборки с целью повышения среднего уровня качества товарной продукции. Таким образом, необходимость учета накопленной в результате контроля информации и вычисления последующих оценок очевид на. Отметим, что эти оценки весьма просты и практически не требу ют никаких затрат. Наибольший интерес представляют так называемые несмещен ные оценки, т.е. оценки, которые дают в среднем точные значения. С точки зрения математической статистики оценка Y? случайной ве личины Y является несмещенной, если

μ(Y?) = μ(Y ),

(3.64)

где μ — символ математического ожидания. Условимся понимать под оценкой любую функцию Y?( X), завися щую от результатов испытаний x1, x2, …, xn и не зависящую в явном виде от самой случайной величины. Пусть производится контроль выборки изделий объемом n штук, в результате которого определяется степень пригодности каждого элемента выборки к дальнейшему использованию. Исход каждого опыта можно рассматривать как реализацию некоторой случайной величины X, принимающую нулевое значение, если изделие окажет ся годным, и единицу, если изделие окажется дефектным. Случайное сочетание Xi нулей и единиц в данном конкретном опы те определит числовое значение оценки Y?. Обозначим через p(xi) вероятность того, что исходом опыта явит ся значение xi, а следовательно, и Y?i . Тогда, учитывая все возмож ные K сочетаний нулей и единиц в n опытах, уравнение (3.64) в соот ветствии с определением математического ожидания может быть за писано в виде K

∑ Y?(xi ) p(xi ) = μ(Y ).

(3.65)

i =1

Уравнение (3.65) является исходным для получения несмещен ных оценок. Рассмотрим случай, когда приемочное число c равно нулю. Пусть на контроль поданы партии, имеющие по Ni изделий каж дая, среди которых Mi дефектных. При контроле партии мы накап ливаем сведения не только о количестве дефектных изделий в выбор ках, но и о количестве партий, имеющих в выборках по одному, по два и т. д. дефектных изделий. 65

Покажем, как можно с помощью этих данных достаточно просто вычислять интересующие нас оценки величин qвх и qвых. Предположим, что среди проконтролированных партий одинако вого объема N, от которых отбираются выборки одинакового объема n, имеются группы партий с одинаковой засоренностью дефектными изделиями. Рассмотрим одну из таких групп, состоящую из S партий. Доля дефектности каждой партии постоянна и равна q. В случае варианта контроля с разбраковкой в товар попадут только те Nq дефектных изделий, которые были приняты в составе непроконтролированных остатков партий. В выборках таких партий, как следует из условия приемки, не должно быть дефектных изде лий. Среднее количество принятых партий составит SL(q), где L(q) – вероятность приемки партии с уровнем качества q. Таким образом, математическое ожидание числа пропущенных дефектных изделий M′ во всех S партиях (3.66) μ( MS′ ) = SL(q)Nq. Если объем выборки равен n, то вероятность приемки партии из делий при c=0 находится по уравнению n CN −M . (3.67) n CN Заметим, что вероятность получить в выборке одно дефектное из делие равна

L(q) =

p1 =

n −1 n −1 ′ CN CM MCN −M −M = , n n CN CN

(3.68)

и, как следует из (3.68) и (3.67), n −1 p1 MCN −M = . n L(q) CN −M

(3.69)

После преобразований получаем

p1 nq Mn = = . (3.70) L(q) N − M − n + 1 1 − q − n + 1 N N В случае малых q и больших N можно в знаменателе пренебречь величиной

66

1 − q по сравнению с 1 − n . Тогда N N

p1 =

nqL(q) . n 1− N

(3.71)

Подставим (3.71) в (3.66): 1 n N SN ⎛⎜ 1 − ⎞⎟ p1 = S ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ p1. (3.72) n N⎠ ⎝ ⎝n ⎠ Из математической статистики известно, что несмещенной оцен кой для p1 служит величина μ( MS′ ) =

S1 , (3.73) S где S1 – количество партий среди S, в выборках которых обнаружено одно дефектное изделие. С учетом этого оценку для количества пропущенных дефектных изделий M′S дадим в виде p?1 =

N M?S′ = ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ S1. ⎝n ⎠

(3.74)

Оценка выражения (3.74) является несмещенной, так как N N μ( M?S′ ) = ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ μ(S1) = ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ Sp1 = μ( MS′ ). ⎝n ⎠ ⎝n ⎠

Полученное уравнение справедливо для любой группы партий. Поэтому суммарное среднее число принятых дефектных изделий во всех принятых партиях равно N M?c′ = ∑ ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ S1, ⎝n ⎠

(3.75)

где суммирование распространяется на все группы с различными N и n. Получаемая несмещенная оценка для суммарного количества де фектных изделий в принятой продукции справедлива также и для варианта контроля без разбраковки. Получим оценки для количества дефектных изделий в партиях, поставляемых на контроль. При контроле с разбраковкой эта оценка получается путем сумми рования выражения (3.75) и числа дефектных изделий Y в разбрако ванных партиях. Отметим, что в этом случае Y в каждой разбрако ванной партии тождественно равно M. Тогда s′

M?c = M?c′ + ∑ Y.

(3.76)

j =1

67

В формуле (3.76) суммирование производится по всем партиям, подвергнутым разбраковке. Получим аналогичную оценку для количества предъявленных де фектных изделий в случае контроля без разбраковки. Здесь мы рас полагаем лишь информацией о количестве дефектных изделий в вы борках. Пусть во всех выборках поданных на контроль S партий объема N с уровнем качества q обнаружено ms дефектных изделий. Известно, что если в партии объемом N имеется M дефектных из делий, то среднее значение числа дефектных единиц в выборке объе мом n равно n M. N

(3.77)

n M. При N равнивая полученное выражение количеству ms дефектных изделий в выборках S партий, находим оценку для M в одной партии:

Среднее количество дефектных изделий в S выборках S

N M? = ms , (3.78) nS откуда получаем оценку для общего числа M?s дефектных изделий во всех S партиях: N M?s = ms . (3.79) n Оценка является несмещенной. Поскольку полученное решение справедливо для партий с любым значением q, суммируя полученный результат по всем группам партий с разными N и n, получим несмещенную оценку количества дефект ных изделий в предъявленной на контроль продукции: N M?c = ∑ ms . (3.80) n Теперь несложно записать уравнения для вычисления входного и выходного средних уровней качества. 1. При контроле с разбраковкой: N ∑ ⎛⎜⎝ n − 1 ⎞⎟⎠ s1 + ∑ Y M?c i j q?вх = = ; NΣ NΣ 68

(3.81)

∑ ⎛⎜⎝ Nn − 1 ⎞⎟⎠ s1 M?c′ q?вых = = i , NΣ NΣ

(3.82)

где NΣ – общее количество предъявленных на контроль изделий. 2. При контроле без разбраковки: N m M?c ∑ s n q?вх = = ; NΣ NΣ

(3.83)

⎛ N − 1⎞ s ⎜ ⎟ 1 ∑ ? ′ ⎝n ⎠ M q?вых = c = i , NΣ′ NΣ′

(3.84)

где N′Σ – количество изделий во всех принятых партиях. 3.9. Непрерывный статистический приемочный контроль Непрерывный приемочный контроль применяют в условиях мас сового или серийного производства, когда изделия непрерывно по ступают на контрольный пункт в последовательности, в которой они производятся (способ «поток»), а формирование отдельных партий для контроля невозможно или нецелесообразно. Общий алгоритм непрерывного статистического приемочного кон троля показан на рис. 3.15. Планы контроля выбирают в соответствии со стандартом (СТ СЭВ 293–76, с 1979 г. введен в действие в качестве ГОСТ). Поря док выбора приемочного уровня дефектности такой же, как при при емочном контроле партий. Число изделий одного производственного цикла выбирают из соображений, аналогичных выбору объема партии. Стандарт определяет три общих уровня контроля, из которых обычно используют уровень II, в более ответственных случаях – уро вень III и в менее ответственных – уровень I. По этим данным с помощью таблиц, приведенных в стандарте, определяют параметры плана контроля и осуществляют процедуру непрерывного контроля как чередование периодов сплошной и выбо рочной проверок. Чем выше качество продукции, тем меньше удель ный вес сплошного контроля. В то же время длительный период сплошного контроля (невыполнение условий перехода к выборочно 69


@>F5AA >B;065==K9 8 AB018;L=K9

5B

@>8725AB8 >B;04:C ?@>F5AA 0

0 ?@545;8BL A@54=89 2E>4=>9 q C@>25=L 45D5:B=>AB8

#AB0=>28BL G8A;> 8745;89 >4=>3> ?@>872>4AB25==>3> F8:;0, ?@85G=K9 C@>25=L 45D5:B=>AB8q0

5B q

@8H=>9 :>=B@>;L

q0 0

K1@0BLC@>25=L :>=B@>;O

#AB0=>28BL ?0@0=B@>;O, :>MDD8F85=B 2K1>@>G= >AB8f, 4;8=C A5@88i

K?>;=8BL A?;>H=>9 :>=B@>;L ?>4@O4 ?@>872545==KE 8745;89

5B

i 8745;89 ?>4@O4 3>4=K5

0

5B

i ?>A;54CNI8E 2K1>@:0E ?>4@O4 8745;8O 3>4=K5

0

K?>;=OBL 2K1>@>G=K9 :>=B@>;L. K1>@:0 >4=> A;CG09=>5 8745;85 87 1/f ?>4@O4 ?@>872545==KE 0

5B B> 8745;85 3>4=>5

Рис. 3.15. Общий алгоритм непрерывного статистического приемочно% го контроля

му) означает, что качество продукции не соответствует приемочному уровню дефектности. Поэтому в стандарте приведены численные зна чения верхнего предела числа проверяемых изделий при сплошном контроле, при превышении которого следует прекратить производ ственный процесс и возобновить его только после проведения необ ходимых коррекций. 70

Оперативную характеристику для планов непрерывного контро ля не строят. Эффективность принятого плана можно оценить определяемым дополнительно по таблицам стандарта пределом среднего выходного уровня дефектности qвых. Эта величина гарантирует определенное качество продукции, поступающей к потребителю (при условии, что все дефектные изделия, обнаруженные при контроле, исправлены или заменены годными). 3.10. Статистическое регулирование технологического процесса 3.10.1. Общий алгоритм регулирования технологического процесса Под статистическим регулированием понимают корректирование значений параметров технологического процесса по результатам выбо рочного контроля параметров производимой продукции. Таким обра зом, статистическое регулирование можно определить как выборочный операционный контроль с оперативной обратной связью. Такой конт роль более активен, чем приемочный, и дает больше возможностей для управления качеством продукции с целью бездефектного изготовления. Экономический выигрыш статистических методов регулирования технологических процессов определяется следующими факторами: – уменьшение потерь от брака продукции; – уменьшение потерь на рекламации; – снижение затрат на контроль; – снижение затрат на наладочные и контрольные операции; – повышение качества продукции. Разработка планов статистического регулирования техноло гических процессов включает: – установление критериев состояния технологического процесса (его налаженности или разлаженности); – определение периодичности контроля качества продукции (пе риода отбора). Этот показатель может выражаться либо во времен ных единицах (часах, сутках, сменах и т. п.), либо в единицах выпу щенной продукции; – разработку контрольных карт. Статистические методы контроля позволяют производить стати стическое регулирование технологических процессов по большому количеству эквивалентных планов. Переменными величинами в этих планах являются: риск излишней настройки α, риск незамеченной разладки β, объем выборки n, интервалы контроля. Выбор плана ста 71

тистического регулирования (в общем случае, если не выдвигается какихлибо особых требований к качеству продукции) должен про изводиться с учетом экономических факторов. Из всего многообра зия этих планов предпочтителен тот, при котором отношение дос тигнутого выходного уровня качества продукции к сумме затрат на контроль и наладку, капитальные вложения и потери было бы мак симальным. При этом будет обеспечена наивысшая для данных конкретных условий производства экономическая эффективность внедрения статистического регулирования технологических про цессов. Общий алгоритм регулирования технологического процесса при веден на рис. 3.16. 1. Метод регулирования и регулируемую выборочную харак теристику выбирают в зависимости от того, какой параметр про цесса нуждается в корректировании (табл. 3.13). Методы кумуля тивных (накопленных) сумм организационно сложнее и требуют боль ше вычислений, но обладают большей достоверностью в сравнении с другими, поскольку лучше используют предшествующую информа цию о ходе процесса. 2. Период отбора обычно устанавливают исходя из скорости из менения регулируемой выборочной характеристики, приводящей к разладке процесса (определяется при предварительном анализе). Следует иметь в виду, что при постоянном объеме выборки с уве личением периода отбора уменьшается общий объем выборочного контроля, но увеличивается объем сплошного контроля в случае об наружения разладки. Период отбора может корректироваться в про цессе регулирования с учетом периодичности обнаружения разладок. 3. Объем выборки и границы регулирования в общем случае ус танавливают исходя из влияния регулируемой выборочной характе ристики на долю брака с учетом рисков незамеченной разладки и из лишней наладки или связанных с ними средних длин серий. Средняя длина серии налаженного процесса (L0) определяет сред нее количество выборок до появления ложного сигнала о разладке процесса, поэтому ее величину стараются выбрать возможно наиболь шей. Средняя длина серии разлаженного процесса (L1) определяет среднее количество выборок, необходимое для обнаружения разлад ки процесса, поэтому ее величину стараются выбрать возможно наи меньшей (L1→1). В методических материалах приведены таблицы, позволяющие по выбранным значениям L0, L1 и некоторым исходным данным най ти объем выборки n, а также формулы и параметры для расчета гра ниц регулирования. Следует иметь в виду, что одновременное умень 72


@>F5AA AB0B8AB8G5A:8 C?@02;O 58725AB8 >B;04:C ?@>F5AA0

0 K1@0BL 4 @53C;8@>20=8O 8 @53C;8@C5@>G=CN E0@0:B5@8AB 8:C ( %)

#AB0=>28BL >1J5< 2K1>@>: 8 ?5@8>4 >B1 >@0, >?@545;8BL 3@0=8FK @53C;8@>20=8O ( ), ?>AB@>8BL :>=B@>;L=CN :0@BC @53C;8@>2 0=8O

7OBL 25==CN 2K1>@:C, >?@545;8BL 7=0G5=85 %

0

% ;568B 2 ?@545;0E

K45@60 BL ?5@8>4 >B1>@0

5B

@>8725AB8 =5>1E>485 :>@@5:B8@>20=85 ?0@ 02 B5E?@>F5AA0 (?>4=0;04:C, ?>4=0AB@>9:C, 70H=>=B@>;N ?@>4C:F8N, 873>B>2;5==CN A B1>@0 ?@ 54K4CI59 2K1>@:8

Рис. 3.16. Общий алгоритм регулирования технологического процесса

шение L1 и увеличение L0 может привести к неприемлемому увеличе нию объема выборки, поэтому обычно задают достаточно малое зна чение L1 и оптимизируют n, добиваясь приемлемого значения L0. 4. При предварительном анализе проверяют (в случае контроля по количественному признаку) нормальность распределения по СТ СЭВ 1190–78, а также определяют исходные данные для выбран ного метода из числа следующих: σ – среднее квадратическое отклонение контролируемого парамет ра; 73

Таблица 3.13. Основные методы статистического регулирования по ГОСТ 15895 Наименование метода

Регулируемая выборочная характеристика

Kонтролируе мые пара Метод контроля метры техпроцесса

Исходные данные из предвари тельного анализа

Группировки

Среднее значение

Уровень настройки

K

s0, m0, m1

Средних арифметиче ских

То же

То же

K

То же

Медиан

Медиана

То же

K

То же

Средних Рассеивание Среднее квадратиче квадратическое отклонение ских отклонений

K

s 0, s 1

Размах

То же

K

То же

Число дефектов

Уровень дефектности

А

P0, P1

Число дефект ных единиц продукции

То же

А

То же

Доля дефект ности

То же

А

То же

Среднее число дефектов на единицу продукции

То же

А

То же

KС средних значений

Уровень настройки

K

s0, m0, m1

KС характеристик рассеивания

Рассеивание

K

s 0, s 1

KС числа дефектных единиц продукции

Уровень дефектности

А

P0, P1

Размахов

Учета дефектов

Kумулятив ных сумм (KС)

111Примечание. K — контроль по количественному признаку, А — по альтерна тивному.

74

μ0 (или σ0) – среднее значение (или среднее квадратическое откло нение) контролируемого параметра, при котором, соблюдая техно логию, выпускают продукцию хорошего качества, т.е. процесс нала жен; μ1 (или σ1) – предельно допустимая величина среднего значения (или среднего квадратического отклонения) контролируемого пара метра, при котором требуется наладка процесса (соответствует мак симально допустимой доле брака); P0 (или P1) – уровень дефектности при налаженном (или разла женном) состоянии процесса (соответствует приемочному или брако вочному уровню дефектности при приемочном контроле). 5. Использование статистических методов в процессе контроля ка чества продукции и на этой основе принятие решений о регулировании технологических процессов предопределяет вероятностный характер целесообразности выполнения наладочных (регулировочных) работ. Возникает вероятность того, что регулировочные работы выполняют ся чаще либо реже, чем это действительно необходимо. В соответствии с ГОСТ 15895 риск излишней настройки a есть вероятность того, что по статистической оценке будет принято реше ние произвести очередную настройку, в то время как в ней нет необ ходимости. Риск незамеченной разладки β – вероятность того, что по статис тической оценке будет принято решение не проводить настройку, в то время как в действительности она необходима. Излишняя настройка технологического процесса увеличивает зат раты на изготовление продукции за счет проведения дополнитель ных работ по настройке технологического оборудования. Незамеченная разладка технологического процесса также приво дит к экономическим потерям. Эти потери проявляются в пропуске продукции с дефектами. В отдельных случаях величина этих потерь может определяться затратами на повторный сплошной контроль. 3.10.2. Контрольные карты Статистическое регулирование, как правило, осуществляют с по мощью контрольных карт, наглядно отображающих состояние тех нологического процесса в момент отбора выборки. Контрольная кар та представляет собой график, на котором по горизонтальной оси откладывают номера мгновенных выборок, а по вертикальной оси – значения соответствующей регулируемой выборочной характеристи ки. Границы регулирования (а при необходимости номинальные или средние значения, предупреждающие границы и т. п.) наносят на кар 75

1

N

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15

n 144 225 161 118 120 100 183 238 175 283 108 168 279 480 200

5@>OB=>ABL 1@0: 0, %

20

10 p

0

5

10

15

>@:8 N

Рис. 3.17. Контрольная карта, применяемая для анализа дефектности изделий относительно среднего уровня

ту в виде горизонтальных линий*. Контрольные карты обычно раз мещают на бланках, а при наличии соответствующего информаци онновычислительного обеспечения – в памяти ПЭВМ с выводом на дисплей. Пример. Рассмотрим способ построения простейшей контрольной карты по альтернативному признаку, т. е. годен – брак. Для продукции, выпущенной за предшествующий период време ни, определяют среднее значение уровня брака p и наносят его на карту (рис. 3.17). Для каждой партии вновь выпущенной продукции путем выбо рочного контроля n изделий находят уровень брака. Если в выборке обнаружено m бракованных изделий, то вероятность (точнее, частость) брака p(m) = m/n. Однако это значение случайно, и чтобы по нему составить общее представление об уровне брака в выборке, нужно учесть степень возможного его отклонения от среднего значения p . * Для метода кумулятивных сумм иногда используют контрольные карты без границ регулирования, которые заменены специальным шаблоном с Vоб разным вырезом.

76

В рассматриваемом случае вероятность подчиняется биномиаль ному распределению с общей вероятностью брака в партии p = p. Для этого распределения интервал в 3σ записывается в виде

np ± 3 np (1 − p). Переходя к понятию частости, поделим это выражение на n: p ± 3 p (1 − p) n. Найденное выражение определяет верхнюю (ВГР) и нижнюю (НГР) границы регулирования на контрольной карте. Интервал между гра ницами тем более узкий, чем больше объем выборки n. Попадание найденного значения p(m) в пределы этого интервала го ворит о том, что в технологии процесса, повидимому, нет системати ческих нарушений. Выход p(m) за ВГР свидетельствует о том, что брак, скорее всего, является не случайным и необходимо искать ошибки в технологии, а выход за НГР – о существенном улучшении качества. Очевидно, что значительно более полную информацию об уровне качества дают карты, построенные по количественным признакам, например, по измерению среднего значения прочности, точности из готовления изделий и др. 3.10.3. Средства статистического контроля Средства статистического контроля можно разделить на две груп пы: 1) собственно средства контроля, предназначенные для контроля единиц продукции в выборке (пробе), т. е. для измерения значений контролируемого параметра (Кпризнак) или для проверки годности единицы продукции (Апризнак); 2) средства механизации и автоматизации статистических мето дов, предназначенные для сбора, обработки, представления и записи статистической информации, полученной при контроле единиц про дукции в выборках (пробах). Статистические методы предъявляют повышенные требования к достоверности контроля. Это объясняется тем, что при сплошном контроле ошибочное заключение о годности (дефектности) единицы продукции влечет за собой неправильную приемку (браковку) лишь данной единицы, в то время как при статистическом контроле такая ошибка может привести к неправильной приемке (браковке) целой партии продукции объемом сотни и тысячи единиц. Следует отметить, что государственные стандарты на статисти ческий приемочный контроль не регламентируют допускаемую по 77

грешность измерений, ограничиваясь общими указаниями о необхо димости учитывать ее влияние на результаты контроля. Исследова ние этого влияния на оперативную характеристику планов контро ля позволяет заключить, что при статистическом приемочном конт роле погрешность средств измерений не должна превышать 10–15 % от допуска на контролируемый параметр (в отличие от 30–40 %, до пускаемых обычно при сплошном контроле). Что касается статистического регулирования технологических процессов, то методические материалы рекомендуют пользоваться средствами измерений с ценой деления шкалы, не превышающей (0,5–1)σ, где σ – среднее квадратическое отклонение контролируемо го параметра. Учитывая, что при отлаженном технологическом про цессе поле допуска обычно охватывает (5–7)σ, а погрешность шкаль ного средства измерений не превышает цены деления, легко убедить ся, что эти рекомендации приводят примерно к тем же 10–15 % до пускаемой погрешности относительно допуска на параметр. Таким образом, для средств статистического контроля справед лива следующая рекомендация: при использовании статистических методов контроля и регулиро вания технологических процессов погрешность применяемых средств измерений не должна превышать 10–15 % от допуска на контролируемый параметр. Средства механизации и автоматизации статистических методов предназначены для: – сбора и накопления статистической информации; – обработки накопленной информации и вычисления необходи мых выборочных характеристик; – выполнения логических операций, необходимых для принятия решений; – выдачи результатов обработки статистической информации в виде, удобном для практического использования и последующих оце нок; – предоставления оператору, технологу, мастеру дополнительной наглядной информации для принятия решений о корректировке про цесса. Для решения указанных задач целесообразно использовать ПЭВМ, оснащенные аналоговыми входами для подключения одного или не скольких измерительных устройств, АЦП, принтером для выдачи информации, а также, при необходимости, выходом на центральную ЭВМ системы управления качеством.

78

4. ОРГАНИЗАЦИЯ ПОДРАЗДЕЛЕНИЙ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ НА БАЗЕ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 4.1. Применение теории массового обслуживания при организации подразделений неразрушающего контроля Сколько времени на этой неделе Вы провели в очередях? На произ водстве, как и в обыденной жизни, не избежать частых задержек, и в этом отношении положение непрерывно ухудшается. Предмет тео рии массового обслуживания составляет изучение явлений просто ев, ожиданий и обслуживания. Теория массового обслуживания как раздел теории вероятностей возникла в начале ХХ века и была вызвана потребностями практи ки, в частности, широким развитием телефонных сетей. Поэтому и сейчас в теории массового обслуживания широко используется тер минология, взятая из телефонии: требования, вызовы, заявки, ка налы связи, длительность разговора и т. п. Потом обратили внима ние, что общие математические модели, используемые как модели телефонии, пригодны в различных технических, экономических и социальных областях: при решении проблем теории надежности, анализе процессов функционирования сложных систем, разработке автоматизированных систем управления различных видов, на транс порте, в системах связи, системах снабжения, медицинском обслу живании и др. Практические задачи теории массового обслуживания связаны с исследованием любых операций, состоящих из многих однородных элементарных операций, на выполнение которых влияют случай ные факторы. Приведем примеры. Пример 1. На предприятии действует ЦЛМНК – Центральная лаборатория методов НК (см. разд. 2.1, ч. 1 учебного пособия). Ос новной задачей ЦЛМНК является обеспечение высокого качества продукции путем: а) своевременного выявления дефектов, б) недопущения выпуска бракованных изделий, в) соответствующего воздействия на технологический процесс. В ЦЛМНК время от времени поступает информация от лаборато рий радиационного, ультразвукового, магнитного и капиллярного контроля, лаборатории новых методов, а также от лабораторий и постов ЦЛМНК в цехах. Вся эта информация (сигналы) связана с управляемым качеством продукции. Каждый сигнал требует обра 79

ботки в течение некоторого случайного времени (зависящего от со держания сигнала). Таким образом, работу ЦЛМНК можно рассматривать как опера цию массового обслуживания, состоящую из элементарных опера ций – обработки отдельных сигналов от подразделений лаборатории. Требуется решить задачу: способна ли ЦЛМНК с данным штатом сотрудников и имеющимися техническими средствами справиться с обработкой всех поступающих сигналов. Пример 2. Пост Центральной лаборатории НК, находящийся в первом (токарном) цехе, принимает на контроль продукцию (выто ченные детали 20 различных типоразмеров), поступающую с некото рого числа рабочих мест по случайному закону. Принятые партии этой продукции (но только 5 типоразмеров) должны передаваться во второй цех для дальнейшей ее обработки. Второй цех, пытающийся забрать нужную ему продукцию первого цеха в момент, когда по тем или иным причинам не оказывается ни одной принятой партии из 5 нужных цеху типоразмеров, получает отказ. Здесь элементарная операция – получение готовой продукции (детали определенного типоразмера). Основной характеристикой операции массового обслуживания является вероятность отказа при запросе. Пример 3. В лабораторию магнитного контроля поступают детали нескольких (различных) видов. Для контроля каждого вида деталей лаборатория сумела выделить по одной установке автоматизированно го контроля. При нехватке хотя бы одного вида деталей работа соответ ствующей установки автоматизированного контроля останавливается. Избыточные детали поступают в бункера определенной вместимости. Детали, прошедшие контроль, и бракованные детали также поступают в свои бункера соответствующей вместимости. На процесс поступления деталей, на время их контроля, а также процесс возврата годных и бра кованных деталей в цехи, – влияют случайные факторы. Требуется ответить на вопросы: 1) какова вероятность простоя установок автоматизированного контроля? 2) чему равна вероят ность переполнения бункеров? Элементарной операцией в данном случае является контроль одной партии деталей определенного вида. Пример 4. На предприятие поступают сварные трубы. Поступают не строго по графику, а со случайными отклонениями. В цехах пред приятия имеется несколько лабораторий с оборудованием, где мож но произвести входной контроль труб. Спрашивается: чему равно среднее время от момента поступления труб на предприятие до окончания их входного контроля? 80

Элементарной операцией здесь можно считать процесс входного контроля одной партии труб (объем партии – константа). Любую систему, в которой поток требований встречает ограничен ные средства их удовлетворения, можно рассматривать как систему массового обслуживания (СМО). В частности, если моменты поступ ления требований или продолжительность их обслуживания не рег ламентируются, то при пользовании системой возникают конфлик ты и образуется очередь. Длина этой очереди зависит от двух харак теристик потока требований: вопервых, она зависит от интенсив ности поступления требований и, вовторых, от статистических флуктуаций этой интенсивности. Конечно, если интенсивность по ступления требований превышает пропускную способность системы, то система не справляется с потоком этих требований, и начитает расти очередь неограниченной длины. Однако, если даже интенсив ность поступления требований меньше пропускной способности сис темы, очередь может образоваться изза статистических флуктуаций и внезапного накопления требований (которое может случиться). Влияние таких колебаний в большой степени увеличивается, если средняя нагрузка приближается к пропускной способности системы (но необязательно достигает ее). Простота таких СМО обманчива, и при их исследованиях приходится прибегать к глубоким аналити ческим выкладкам. К счастью, исследование СМО может быть вы полнено на основе одного хорошо известного фундаментального за кона науки. Это – закон сохранения потока, состоящий в том, что интенсивность роста числа требований в системе определяется раз ностью интенсивностей входящего и исходящего потоков. Этот факт позволяет сравнительно легко составить основную систему уравне ний для СМО достаточно сложной структуры. 4.2. Потоки событий. Марковские случайные процессы 4.2.1. Понятие потока событий. Простейший поток событий Потоком событий называется последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты вре мени. Примеры: поток вызовов на телефонной станции; поток забитых шайб при игре в хоккей; поток сбоев ЭВМ; поток продукции на про ведение НК и т. п. Поток событий называется простейшим, если он стационарен, ординарен и не имеет последействия. 81

Поток событий называется ординарным, если вероятность попа дания на элементарный интервал времени Δt двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Практически ординарность потока означает, что события в нем появляются «поодиночке», а не группами по два, по три и т. д. (точное совпадение моментов появления двух событий теоретически возможно, но имеет нулевую вероятность). Поток событий называется потоком без последействий, если число событий, попадающих на любой интервал времени τ, не зави сит от того, сколько событий попало на любой другой непересекаю щийся с ним интервал. Практически отсутствие последействий в по токе означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга. Интервал времени T между двумя соседними событиями простей шего потока имеет показательное распределение

f (t) = λ e −λt (при t > 0), где λ =

(4.1)

1 – величина, обратная среднему значению интервала T. M[ T]

Интенсивностью λ потока событий называется среднее число (математическое ожидание числа) событий, приходящееся на едини цу времени. Для стационарного потока λ = const; для нестационарно го потока интенсивность в общем случае зависит от времени: λ =λ (t). 4.2.2. Частные случаи потоков событий 1. Ординарный поток событий без последействия называется пу ассоновским. Простейший поток есть частный случай пуассоновс кого (а именно стационарный пуассоновский поток). 2. Одинарный поток событий называется потоком Пальма (или рекуррентным потоком, или потоком с ограниченным последействи ем), если интервалы времени T1, T2, … между последовательными событиями представляют собой независимые, одинаково распреде ленные случайные величины. В связи с одинаковостью распределе ний T1, T2, … поток Пальма всегда стационарен. Простейший поток является частным случаем потока Пальма; в нем интервалы между событиями распределены по показательному закону (4.1), где λ – интенсивность потока. 3. Потоком Эрланга k порядка называется поток событий, полу чающийся «прореживанием» простейшего потока, когда сохраняет 82

ся каждая kя точка (событие) в потоке, а все промежуточные выбра сываются. Интервал времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга kго порядка представляет собой сумму k независимых слу чайных величин T1, T2, …, Tk, имеющих показательное распределе ние с параметром λ: k

T = ∑ Ti.

(4.2)

i =1

Закон распределения случайной величины T называется законом Эрланга kго порядка и имеет плотность fk (t) =

λ(λt)k−1 −λt e (при t > 0). (k − 1)!

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины T (4.2) соответственно равны:

mt = k / λ ; Dt = k / λ2 ; σt = k / λ. Коэффициент вариации случайной величины (4.2) равен vt = σt / mt = 1/ k; vt → 0 при k → ∞, т. е. при увеличении порядка потока Эрланга «сте пень случайности» интервала между событиями стремится к нулю. Если одновременно с «прореживанием» простейшего потока из менять масштаб по оси 0t (делением на k), получится нормирован ный поток Эрланга kго порядка, интенсивность которого не зависит от k. Интервал времени T1 между соседними событиями в нормиро ванном потоке Эрланга kго порядка имеет плотность k −1

kλ(kλt) f1k (t) = e −kλt (при t>0). (k − 1)!

Числовые характеристики случайной величины k

1 T1 = ∑ Ti k i =1

равны: M ⎡⎣ T1 ⎤⎦ = 1/ λ ; D ⎡⎣ T1 ⎤⎦ = 1/ kλ 2; σ1 t = 1/(λ k ); vt = 1/ k. При увеличении k нормированный поток Эрланга неограниченно приближается к регулярному потоку с постоянным интервалом l = 1/λ между событиями. 83

4.2.3. Понятие марковского случайного процесса Случайный процесс, протекающий в какойлибо физической сис теме, называется марковским (или процессом без последействий), если он обладает следующим свойством: для любого момента време% ни t0 (рис. 4.1) вероятность любого состояния системы в будущем t

t 0 (?@>H;>5)

t

t0 (1C4CI55)

t t0 (=0AB>OI55)

Рис. 4.1. К определению марковского случайного процесса

(при t > t0) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зави сит о предыстории процесса – от прошлого). 4.2.4. Граф состояний. Схемы гибели и размножения. Размеченный граф состояний Марковские процессы с дискретными состояниями s1, s2, …, sn удоб но иллюстрировать с помощью графа состояний (рис. 4.2), где пря моугольниками (или кружками) обозначены состояния s1, s2, … сис темы S, а стрелками – возможные переходы из состояния в состояние (на графе отмечаются только непосредственные переходы, а не пере ходы через другие состояния). Иногда на графе состояний отмечают не только возможные переходы из состояния в состояние, но и воз можные задержки в прежнем состоянии; это изображается стрелкой («петлей»), направленной из данного состояния в него же (рис. 4.3), но можно обходиться и без этого. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным). На практике часто приходится встречаться с системами, граф со стояний которых имеет вид, показанный на рис. 4.4 (все состояния можно вытянуть в цепь, причем каждое из них связано прямой и обратной связью с двумя соседними, кроме двух крайних, каждое из которых связано только с одним соседним). Схема, показанная на рис. 4.4, называется схемой гибели и размножения. Это название заимствовано из биологических задач, где состояние популяции sk 84

s1

s2

s3

s6 si

s5

s4

Рис. 4.2. Граф состояний

2

1

0

s1

s0 1

Рис. 4.3. Задержка в прежнем состоянии n 1

k

k 1

s2

sn

sk

2

k

3

k 1

n

Рис. 4.4. Схема гибели и размножения

s1

14

s4

12

54 31

s2

34

s5

s3 23

35

Рис. 4.5. Размеченный граф состояний

означает наличие в ней k единиц. Переход вправо связан с «размно жением» единиц, а влево – с их «гибелью». «Интенсивности размно жения» (λ0, λ1, …, λn–1) проставлены у стрелок, ведущих слева напра во, «интенсивности гибели» (μ1, μ2, …, μn–1) – у стрелок, ведущих справа налево; каждая из них отмечена индексом того состояния, из которого исходит соответствующая стрелка. Для СМО «интенсивности размножения» (λ0, λ1, …, λn–1) имеют смысл, например, интенсивности поступления заявок; «интенсив ности гибели» (μ1, μ2, …, μn–1) – смысл интенсивности потока обслу живаний. Рассматривая марковские случайные процессы с дискретными со стояниями и непрерывным временем, очень удобно пользоваться раз% меченным графом состояний, на котором против каждой стрелки, ведущей из состояния si в sj, поставлена интенсивность λij потока событий, переводящего систему по данной стрелке (рис. 4.5). 85

4.2.5. Уравнения Колмогорова Пусть в момент времени t система S находится в состоянии si. Ве роятность этого есть pi(t). Вероятность того, что система, находящаяся в состоянии si, за элементарный промежуток времени (t, t + dt) перейдет в состояние sj, есть вероятность того, что за это время dt появится хотя бы одно событие потока, переводящего S из si в sj. С точностью до бесконечно малых высших порядков эта вероятность равна λijdt, где λij – интен сивность соответствующих потоков событий (как только происхо дит первое событие в потоке с интенсивностью λij, система из состоя ния si скачком переходит в sj). Потоком вероятности перехода из состояния si в sj называется величина λijpi(t), причем интенсивность λij здесь может быть как за висящей, так и независящей от времени. Рассмотрим случай, когда система S имеет конечное число состоя ний s1, s2, …, sn. Для описания случайного процесса, протекающего в этой системе, применяются вероятности состояний p1 (t), p2 (t), 1 , pn (t),

(4.3)

где pi(t) – вероятность того, что система S в момент t находится в состоянии si:

pi (t) = P{S(t) = si }.

(4.4)

Очевидно, для любого t n

∑ pi (t) = 1.

(4.5)

i =1

Для нахождения вероятностей (4.3) нужно решить систему диф ференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид n dpi (t) n = ∑ λij pj (t) − pi (t)∑ λij (i = 1, 2 , 1, n) dt j =1 j =1

или, опуская аргумент t у переменных pi, n dpi n = ∑ λij pj − pi ∑ λ ij (i = 1, 2, 1 , n). dt j =1 j =1

(4.6)

Отметим, что интенсивности λij могут зависеть от времени t (аргу мент t для краткости написания опущен). Уравнения (4.6) удобно составлять, пользуясь размеченным гра фом состояний системы и следующим мнемоническим правилом: про% 86

изводная вероятности каждого состояния равна сумме всех пото% ков вероятности, идущих из других состояний в данное, минус сум% ма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в дру% гие. Например, для системы S, размеченный граф состояний которой дан на рис. 4.5, система уравнений Колмогорова имеет вид dp1 / dt = λ 31 p3 − (λ12 + λ14 ) p1 ;

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ dp3 / dt = λ23 p2 − (λ31 + λ34 + λ35 ) p3 ; ⎬ ⎪ dp4 / dt = λ14 p1 + λ34 p3 + λ54 p5 ; ⎪ ⎪⎭ dp5 / dt = λ35 p1 − λ54 p5 . dp2 / dt = λ12 p1 − λ 23 p2 ;

(4.7)

Поскольку для любого t выполняется условие (4.5), можно лю бую из вероятностей (4.3) выразить через остальные и таким образом уменьшить число уравнений на одно. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений (4.6) для вероятностей состояний p1(t), p2(t), …, pn(t), нужно задать начальное распределение вероятностей p1 (0), p2 (0), 1, pi (0), 1, pn (0),

(4.8)

сумма которых равна единице: n

∑ pi (0) = 1. i =1

Если, в частности, в начальный момент t = 0 состояние системы S в точности известно, например, S(0) = si, то pi(0) = 1, а остальные вероятности (4.8) равны нулю. 4.2.6. Финальная вероятность состояний. Эргодические системы. Существенные и несущественные состояния В общем случае вероятности kх состояний sk системы S являются функциями времени: pk(t). Во многих случаях, когда процесс, проте кающий в системе, длится достаточно долго, возникает вопрос о пре% дельном поведении вероятностей pk(t) при t → ∞. Если все потоки со бытий, переводящие систему из состояние в состояние, являются про стейшими (т. е. стационарными пуассоновскими с постоянными ин тенсивностями λij перехода из состояния si в sj), в некоторых случаях существуют финальные (или предельные) вероятности состояний. 87

Финальная вероятность состояний pk = lim t→∞ pk (t) ( k = 1, 1, n )

не зависит от того, в каком состоянии система S находилась в на чальный момент. Это означает, что с течением времени в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого она переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются. В этом предельном режиме каждая финальная вероятность может быть истолкована как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Система, для которой существуют финальные состояния, назы вается эргодической и соответствующий случайный процесс – эрго дическим. Для существования финальных вероятностей состояний одного условия λij = const недостаточно, требуется выполнение еще некото рых условий, проверить которые можно по графу состояний, выде лив на нем «существенные» и «несущественные» состояния. Состоя ние si называется существенным, если нет другого состояния sj та кого, что, перейдя однажды какимто способом из si в sj, система уже не может вернуться в si. Все состояния, не обладающие таким свой ством, называется несущественными. Например, для системы S, граф которой дан на рис. 4.6, состоя ния s1, s2 несущественны (из s1 можно уйти, например, в s2 и не вер нуться, а из s2 в s4 или s5 и не вернуться), а состояния s3, s4, s5, s6, s7 – существенны (существенные состояния обведены жирными линия ми). При конечном числе состояний n для существования финальных вероятностей необходимо и достаточно, чтобы из каждого существен% ного состояния можно было (за какое%то число шагов) перейти в

s1

s2

s4

s3

s5

s6

s7

Рис. 4.6. Граф, иллюстрирующий существенные и несущественные со% стояния системы 88

каждое другое существенное. Граф, представленный на рис. 4.6, это му условию не удовлетворяет (например, из существенного состоя ния s4 нельзя перейти в существенное состояние s6). Несущественные состояния потому так и называются, что из каж дого такого состояния система рано или поздно уйдет в какоето из существенных и больше не вернется. Естественно, финальные веро ятности для несущественных состояний равны нулю. 4.3. Теория массового обслуживания Системой массового обслуживания (СМО) называется любая сис тема, предназначенная для обслуживания какихлибо заявок (требо ваний), поступающих на нее в случайные моменты времени. Примеры СМО: телефонная станция; бюро ремонта; билетная касса; парикма херская; ЭВМ; Центральная лаборатория методов НК предприятия. Теория массового обслуживания занимается изучением случайных процессов, протекающих в системах массового обслуживания. Любое устройство, непосредственно занимающееся обслуживани ем заявок, называется каналом обслуживания (или «прибором»). Системы массового обслуживания бывают как одно, так и многока нальными. Примеры одноканальной СМО – билетная касса с одним кассиром, лаборатория НК с одной автоматизированной контрольной установкой; примеры многоканальной СМО – та же касса с несколь кими кассирами, та же лаборатория с несколькими (одинаковыми) автоматизированными установками. Различают СМО с отказами и СМО с очередью. В СМО с отказами заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем в процессе ее работы не уча ствует. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент занятости всех каналов, не покидает СМО, а становится в очередь и ждет, пока не освободится какойнибудь канал. Число мест в очереди m может быть как ограниченным, так и неограниченным. При m=0 СМО с оче редью превращается в СМО с отказами. Очередь может иметь ограни чение не только по количеству стоящих в ней заявок (длине очере ди), но и по времени ожидания (такие СМО называются «системами с нетерпеливыми клиентами»). Системы массового обслуживания с очередью различаются не толь ко по ограничениям очереди, но и по дисциплине обслуживания: об служиваются ли заявки в порядке поступления, или в случайном порядке, или же некоторые заявки обслуживаются вне очереди (так называемые «СМО с приоритетом»). Приоритет может иметь несколь ко градаций или рангов. 89

Аналитическое исследование СМО является наиболее простым, если все потоки событий, переводящие ее из состояния в состояние, – простейшие (стационарные пуассоновские). Это значит, что интер валы между событиями в потоках имеют показательное распреде ление с параметром, равным интенсивности соответствующего потока. Для СМО это допущение означает, что как поток заявок, так и поток обслуживаний – простейшие. Из математики известно, что неотрицательная случайная вели чина Х имеет показательное распределение, если ее плотность рас пределения (равная плотности вероятности) имеет вид ⎧⎪ 0 при x < 0; f (x) = ⎨ −μx при x ≥ 0, ⎪⎩ μ e

где μ = const – параметр показательного распределения. Для каждой случайной величины параметр показательного рас пределения m имеет вполне определенное значение, например, f(x) = = 5e–5x. Основные характеристики случайной величины X, имеющей по казательное распределение с параметром μ: математическое ожидание 1 M[X ] = ; μ

дисперсия

D[X] =

1 ; μ2

среднее квадратическое значение 1 σ[X] = ; μ

функция распределения ⎧⎪0 при x < 0; F(x) = ⎨ −μx при x ≥ 0. ⎪⎩1 − e

Под потоком обслуживания понимается поток заявок, обслужи ваемых одна за другой одним непрерывно занятым каналом. Этот поток оказывается простейшим, только если время обслу живания заявки Tобсл представляет собой случайную величину, име ющую показательное распределение. Параметр этого распределения μ и есть величина, обратная среднему времени обслуживания: 90

μ = 1/ tобсл, где tобсл = M[Tобсл ] – математическое ожидание времени обслужива ния заявки. Вместо «поток обслуживания – простейший» часто говорят «время обслуживания – показательное». В дальнейшем для краткости вся кую СМО, в которой все потоки простейшие, будем называть простей шей СМО (главным образом, они и будут здесь рассматриваться). Если все потоки событий простейшие, то процесс, протекающий в СМО, представляет собой марковский случайный процесс с дискрет ными состояниями и непрерывным времени. При выполнении неко торых условий для этого процесса существует финальный стацио нарный режим, при котором как вероятности состояний, так и дру гие характеристики процесса не зависят от времени. С помощью теории массового обслуживания решаются следую щие задачи: 1) нахождение вероятностей различных состояний СМО; 2) установление зависимости между заданными параметрами (чис лом каналов n, интенсивностью потока заявок λ, распределением вре мени обслуживания и т. д.) и характеристиками эффективности ра боты СМО. В качестве характеристик эффективности работы СМО могут рассматриваться, например, следующие: 1) среднее число заявок A, обслуживаемое СМО в единицу време ни, или абсолютная пропускная способность СМО; 2) вероятность обслуживания поступившей заявки Q или относи% тельная пропускная способность СМО; Q = A/λ; 3) вероятность отказа Pотк, т. е. вероятность того, что поступив шая заявка не будет обслужена, получит отказ; Pотк = 1 – Q; 4) среднее число заявок в СМО (обслуживаемых или ожидающих в очереди) z ; 5) среднее число заявок в очереди r ; 6) среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди или под обслуживанием) tсист ; 7) среднее время пребывания заявки в очереди t 0 ; 8) среднее число занятых каналов k . В общем случае вероятности различных состояний СМО и харак теристики эффективности работы СМО зависят от времени. Но мно гие СМО работают в неизменных условиях достаточно долгое время, и поэтому для них успевает установиться режим, близкий к стацио нарному. Далее, не оговаривая этого каждый раз специально, будем вычислять финальные вероятности состояний и финальные харак 91

теристики эффективности СМО, относящиеся к предельному, стаци онарному режиму ее работы. Система массового обслуживания называется открытой, если интенсивность поступающего на нее потока заявок не зависит от со стояния самой СМО. Для любой открытой СМО в предельном стационарном режиме среднее время пребывания заявки в системе tсист выражается через среднее число заявок в системе с помощью формулы Литтла:

tсист = z / λ, (4.9) где λ – интенсивность потока заявок. Аналогичная формула (называется также формулой Литтла) свя зывает среднее время пребывания заявки в очереди t0 и среднее число r заявок в очереди: (4.10) t0 = r / λ. Формулы Литтла очень полезны, так как позволяют вычислять не обе характеристики эффективности, а только какуюнибудь одну из них. Подчеркнем, что формулы (4.9) и (4.10) справедливы для любой открытой СМО (одноканальной, многоканальной, при любых ви дах потоков заявок и обслуживаний); единственное требование к потокам заявок и обслуживаний – чтобы они были стационарными. Аналогично универсальное значение для открытых СМО имеет формула, выражающая среднее число занятых каналов k через абсо лютную пропускную способность A: (4.11 ) k = A /μ, где μ = 1/tобсл – интенсивность потока обслуживаний. Очень многие задачи теории массового обслуживания, касающиеся простейших СМО, решаются при помощи схемы гибели и размножения. Для схемы гибели и размножения (рис. 4.4) финальные вероятно сти состояний выражаются формулами: −1 ⎛ λ λ λ λ λ 1λ k−1 λ λ 1λ n−1 ⎞ ⎫ p0 = ⎜ 1 + 0 + 0 1 + 1 + 0 1 +1 + 0 1 ⎟ ;⎪ μ1 μ1μ2 μ1μ2 1μk μ1μ2 1μn ⎠ ⎪ ⎝ ⎪ λ λ λ ⎪ (4.12) p1 = 0 p0 ; p2 = 0 1 p0 ; ⎬ μ1 μ1μ2 ⎪ ⎪ λ0λ11λk−1 λ0λ11λ n−1 pk = p0 (0 ≤ k ≤ n) ; 1 ; pn = p0 . ⎪ μ1μ2 1μk μ1μ2 1μn ⎪⎭

92

При выводе формул для среднего числа заявок (в очереди или в системе) широко применяется прием дифференцирования рядов, со стоящий в следующем. Если x < 1, то ∞

∞

∞

∑ kxk−1 = x ∑

k =1

d k d d x x x =x ∑ xk = x dx 1 − x = 1 − x2 , x x d d k =1 k =1

и окончательно ∞

∑ kxk = 1 − x2 . x

k =1

(4.13)

4.4. Финальные вероятности состояний и характеристики эффективности для некоторых часто встречающихся типов систем массового обслуживания 4.4.1. Простейшая СМО с отказами (задача Эрланга) На nканальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с параметром μ = 1/tобсл . Состояния СМО нумеруются по числу заявок, находящихся в СМО (в силу отсутствия очереди, число заявок совпа дает с числом занятых каналов): s0 – СМО свободна; s1 – занят один канал, остальные свободны; ...; sk – занято k каналов, остальные свободны (1 ≤ k ≤ n); ...; sn – заняты все n каналов. О чем эта задача? Проанализируем исходные данные. 1. «nканальная СМО» – это, например, n контролеров, работаю щих в цеховой лаборатории НК и выполняющих одинаковую работу. 2. Поскольку «СМО с отказами», то партии продукции («поток заявок»), пришедшие в момент, когда все контролеры заняты, не принимаются (получают отказ). 3. «Партии продукции поступают на контроль с интенсивностью λ» означает, что в единицу времени на контроль поступает в среднем λ партий. 4. «Время обслуживания – показательное с параметром μ = 1/tобсл» означает, что время обслуживания заявки (т. е. время контроля одной предъявленной партии) Tобсл представляет собой слу чайную величину, имеющую показательное распределение

⎧⎪0 при Tобсл < 0; f (Tобсл ) = ⎨ −μ T ⎪⎩μ e обсл при Tобсл ≥ 0, 93

где μ = 1/tобсл – параметр показательного распределения ( tобсл = = M[Tобсл ] – математическое ожидание времени обслуживания (кон троля) партии продукции). Параметр показательного распределения m есть интенсивность потока обслуживаний (т. е. число контролиру емых партий в единицу времени). Теперь для поставленной задачи найдем финальные вероятности состояний СМО и характеристики эффективности СМО. Финальные вероятности состояний выражаются формулами Эрланга: −1

⎧ ρ ρ2 ρn ⎫ ρk p0 = ⎨1 + + + 1 + ⎬ ; pk = p0 (k = 1, 2, 1, n), n! ⎭ k! ⎩ 1! 2!

(4.14)

где ρ = λ / μ. Что мы получили? ⎧ ρ ρ2 ρn ⎫ 1. p0 = ⎨1 + + + 1 + ⎬ n! ⎭ ⎩ 1! 2!

−1

– это вероятность того, что СМО (си

стема S) находится в состоянии s0, т. е. все ее контролеры свободны.

ρk p0 (k = 1, 2, 1, n) – это вероятность того, что система S k! находится в состоянии sk, т.е. k контролеров заняты, а остальные свободны. Параметр ρ = λ/μ – отношение интенсивностей поступления партий на контроль (λ) и их обслуживания (μ) или, что то же самое, отноше ние количества партий, поступивших на контроль за время T, к ко личеству партий, проверенных за это же время T. Поскольку рас сматривается СМО «с отказами», то ρ < 1 (если контролер не прове рил предыдущую партию, то следующую он не принимает). Характеристики эффективности: 2. pk =

A = λ(1 − pn ); Q = 1 − pn ; Pотк = pn ; k = ρ(1 − pn ).

(4.15)

Что мы нашли? 1. A = λ (1 – pn) – среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени, или абсолютная пропускная способность СМО – т. е. среднее число партий, контролируемых всей цеховой лаборато рией НК в единицу времени. Параметр pn – вероятность того, что СМО находится в состоянии sn, т. е. заняты все n каналов (все контролеры). 94

2. Q = 1 – pn – вероятность обслуживания поступившей заявки или относительная пропускная способность СМО – т. е. вероятность того, что предъявляемую на контроль партию примут на контроль (окажется хотя бы один свободный контролер, который ее сможет взять). 3. Pотк = pn – вероятность отказа, т. е. вероятность того, что предъявляемая партия не будет принята на контроль, получит от каз, так как все контролеры заняты; Pотк = 1 – Q. 4. k = ρ(1 − pn ) – среднее число занятых каналов (контролеров). Вернемся к выражениям (4.14). При больших значениях n вероятности состояний (4.14) удобно вычислять через табулированные функции

am −a e , m! представляющую собой распределение Пуассона, и P(m, a) =

m

R (m, a) = ∑

k =0

ak − a e . k!

(4.16)

(4.17)

Справка. Из математики известно, что распределение случайной величины X будет пуассоновским тогда, когда число независимых испытаний n велико, а вероятность появления события в каждом испытании p мала. Это распределение называют также законом ред ких явлений. При этом вероятность того, что случайная величина X примет определенное значение m, выражается формулой (4.16), где a = np – параметр Пуассона (интенсивность появления событий в n независимых испытаниях). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона,

M[X] = D[X] = a. Для определения численных значений P(m, a) и R (m, a) существу ют таблицы – например, [2, прил. 1 и 2]. Функцию P(m, a) можно выразить через R(m, a): P (m, a) = R (m, a) − R (m − 1, a).

(4.18)

Пользуясь этими функциями, формулы Эрланга (4.14) можно пе реписать в виде pk = P(k, ρ)/ R (n, ρ)(k = 0, 1, 1, n).

(4.19) 95

4.4.2. Простейшая одноканальная СМО с неограниченной очередью На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Время обслуживания – показательное с парамет ром μ = 1/ tобсл. Длина очереди не ограничена. Финальные вероятно сти существуют только при ρ = (λ/μ) < 1 (при ρ ≥ 1 очередь растет неограниченно). Состояния СМО нумеруются по числу заявок в СМО, находящихся в очереди или обслуживаемых: s0 – СМО свободна; s1 – канал занят, очереди нет; s2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди; ...; sk – канал занят, k – 1 заявок стоят в очереди; ... Для поставленной задачи найдем финальные вероятности состоя ний и характеристики эффективности СМО. Финальные вероятности состояний выражаются формулами:

p0 = 1 − ρ; pk = ρk (1 − ρ)(k = 1, 2, 1),

(4.20)

где ρ = (λ/μ) < 1. Характеристики эффективности: A = λ ; Q = 1; Pотк = 0; z=

ρ ρ2 ρ ρ2 ;r= ; tсист = ; t0 = ; 1− ρ 1−ρ λ(1 − ρ) λ(1 − ρ)

(4.21) (4.22)

среднее число занятых каналов (или вероятность того, что канал за нят)

k = λ / μ = ρ.

(4.23)

4.4.3. Простейшая одноканальная СМО с ограничением по длине очереди На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с парамет ром μ = 1/ tобсл. В очереди m мест. Если заявка приходит в момент, когда все эти места заняты, она получает отказ и покидает СМО. Со стояния СМО: s0 – СМО свободна; s1 – канал занят, очереди нет; s2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди; ...; sk – канал занят, k – 1 заявок стоят в очереди; ...; 96

sm+1 – канал занят, m заявок стоят в очереди. Найдем финальные вероятности состояний СМО и характеристи ки ее эффективности. Финальные вероятности состояний существуют при любом ρ = λ/μ и равны

p0 =

1−ρ ; pk = ρk p0 (k = 1, 1, m + 1). 1 − ρm+2

(4.24)

Характеристики эффективности СМО:

A = λ (1 − pm+1 ); Q = 1 − pm+1; Pотк = pm+1. Среднее число занятых каналов (вероятность того, что канал занят)

k = 1 − p0. Среднее число заявок в очереди r=

(4.25)

ρ2 ⎡1 − pm ( m + 1 − mρ ) ⎤ ⎣ ⎦. (1 − ρm +2 ) (1 − ρ )

(4.26)

Среднее число заявок в СМО z = r + k.

(4.27)

tсист = z / λ; t0 = r / λ.

(4.28)

По формуле Литтла

4.4.4. Простейшая многоканальная СМО с неограниченной очередью На nканальную СМО поступает простейший поток заявок с ин тенсивностью λ; время обслуживания одной заявки – показательное с параметром μ = 1/ tобсл. Финальные вероятности существуют толь ко при ρ/n = χ < 1, где ρ = λ/μ. Состояния СМО нумеруются по числу заявок в СМО: s0 – СМО свободна; s1 – занят один канал; ...; sk – занято k каналов (1d”kd”n); ...; sn – заняты все n каналов;

→ очереди нет

sn+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди; ...; sn+r – заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди. 97

Найдем финальные вероятности состояний и характеристики эф фективности такой СМО. Финальные вероятности состояний выражаются формулами: −1 ⎫ ⎧ ρ ρn ρn +1 1 ⎫ ⎪ + p0 = ⎨1 + + 1 + ⎬ ; n! n ⋅ n! 1 − χ ⎭ ⎪ ⎩ 1! ⎪ k ⎪ ρ pk = p0 (1 ≤ k ≤ n ); ⎬ k! ⎪ ⎪ ρn + r pn + r = r p0 ( ρ ≥ 1). ⎪ n ⋅ n! ⎪ ⎭

(4.29)

С помощью функций P(m, a) и R(m, a) (4.16)–(4.18) формулы (4.29) могут быть приведены к виду pk =

pn + r

P(k, ρ) ( k = 0, 1 , n ); ⎫⎪ P(n, ρ) ⎪ R (n, ρ) + ⎬ 1− χ ⎪ r ⎪⎭ = χ pn ( r = 1, 2, 1).

(4.30)

Характеристики эффективности СМО: r = ρn +1

p0

n ⋅ n ! (1 − χ )

2

=

χ pn

(1 − χ )2

;

(4.31)

z = r + k = r + ρ;

(4.32)

tсист = z / λ; t0 = r / λ.

(4.33)

4.4.5. Простейшая многоканальная СМО с ограничением по длине очереди Условия и нумерация состояний те же, что в п. 4.4.4, с той разни цей, что число m мест в очереди ограничено. Финальные вероятности состояний существуют при любых λ и μ и выражаются формулами: 98

−1 ⎫ ⎧ ρ ρn ρn +1 1 − χm ⎫ ⎪ + p0 = ⎨1 + + 1 + ⎬ ; n! n ⋅ n! 1 − χ ⎭ ⎪ ⎩ 1! ⎪ ⎪ ρk pk = p0 (1 ≤ k ≤ n ); ⎬ k! ⎪ ⎪ ρn + r pn + r = r p0 (1 ≤ ρ ≤ m ), ⎪ n ⋅ n! ⎪ ⎭

(4.34)

где χ = ρ/n = λ/(nμ). Характеристики эффективности СМО: A = λ (1 − pn + m ); Q = 1 − pn+m ; Pотк = pn+ m; k = ρ (1 − pn+ m );

(4.35) ρn +1 p0 1 − ( m + 1) χ + mχ n ⋅ n! (1 − χ )2 m

r=

m +1

;

(4.36)

z = r + k;

(4.37)

tсист = z / λ; t0 = r / λ.

(4.38)

4.4.6. Многоканальная СМО с отказами при простейшем потоке заявок и произвольном времени обслуживания Формулы Эрланга (4.14) остаются справедливыми и тогда, когда поток заявок – простейший, а время обслуживания Tобсл имеет про извольное распределение с математическим ожиданием tобсл = 1/ μ. 4.4.7. Одноканальная СМО с неограниченной очередью при простейшем потоке заявок и произвольном времени обслуживания Если на одноканальную СМО поступает простейший поток зая вок с интенсивностью λ, а время обслуживания Tобсл распределяется по произвольному закону с математическим ожиданием tобсл = 1/ μ и ко эффициентом вариации vμ, то среднее число заявок в очереди выра жается формулой Полячека—Хинчина 99

ρ2 (1 + vμ )

2

r=

,

2 (1 − ρ )

(4.39)

где ρ = λ/μ, а среднее число заявок в СМО ρ2 (1 + vμ )

2

z=

+ ρ.

2 (1 − ρ )

(4.40)

Из (4.39) и (4.40) по формуле Литтла получим

ρ2 (1 + vμ )

2

t0 =

ρ2 (1 + vμ )

2

; tсист =

2λ (1 −ρ)

2λ (1 −ρ)

1 + . μ

(4.41)

4.4.8. Одноканальная СМО при произвольном (пальмовском) потоке заявок и произвольном времени обслуживания Точных формул для этого случая не существует; приближенная оценка длины очереди может быть произведена по формуле

(

ρ2 vλ2 + vμ2

r≈

2 (1 − ρ )

),

(4.42)

где vλ – коэффициент вариации интервала между событиями во вход ном потоке; ρ = λ/μ; λ – величина, обратная математическому ожида нию этого интервала; μ = 1/tобсл – величина, обратная среднему вре мени обслуживания; vμ – коэффициент вариации времени обслужи вания. Среднее число заявок, связанных с СМО, z≈

(

ρ2 vλ2 + vμ2 2 (1 − ρ )

) + ρ,

(4.43)

а средние времена пребывания заявки в очереди и в СМО соответ ственно равны: t0 ≈

tсист ≈ 100

(

);

(

) + 1.

ρ2 vλ2 + vμ2 2λ (1 − ρ )

ρ2 vλ2 + vμ2 2λ (1 − ρ )

(4.44)

μ

(4.45)

4.4.9. Простейшая многофазовая СМО с очередью Анализ многофазовых СМО в общем случае затруднен тем, что входящий поток каждой последующей фазы является выходным потоком предыдущей и в общем случае имеет последействие. Однако, если на вход СМО с неограниченной очередью поступает простей% ший поток заявок, а время обслуживания показательное, то выход% ной поток этой СМО – простейший, с той же интенсивностью λ, что и входящий. Из этого следует, что многофазовую СМО с неограни ченной очередью перед каждой фазой, простейшим входящим пото ком заявок и показательным временем обслуживания на каждой фазе можно анализировать как простую последовательность простейших СМО. Если очередь к фазе ограничена, то выходной поток этой фазы перестает быть простейшим и указанный прием может применяться только в качестве приближенного. 4.5. Задачи по теории массового обслуживания Задача 1 Дано: На вход одноканальной СМО с отказами поступает простей ший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – пока зательное с параметром μ. В начальный момент времени t = 0 канал свободен. Выполнить: Построить размеченный граф состояний СМО. Запи сать и решить дифференциальные уравнения Колмогорова для веро ятностей состояний СМО. Найти финальные вероятности состояний и (для установившегося режима) характеристики эффективности СМО: A, Q, Pотк, k . Решение. Состояния СМО: s0 – свободна; s1 – канал занят. Граф состояний представлен на рис. 4.7. Уравнения Колмогорова: dp0 / dt = −λp0 + μ p1 ; ⎫ ⎬ dp1 / dt = λp0 − μ p1. ⎭

s0

(4.46)

si

Рис. 4.7. Граф состояний к задаче 1 101

Поскольку p0 + p1 = 1 для любого t, можно выразить p1 через p0 p1 = 1 − p0 и получить одно уравнение для p0: dp0 / dt = −(λ + μ) p0 + μ. Решая это уравнение, получаем p0 как функцию t: p0 (t) =

(4.47)

μ ⎡ λ − ( λ+μ ) t ⎤ 1+ e ⎥; λ + μ ⎢⎣ μ ⎦

отсюда p1 (t) = 1 − p0 (t) =

− λ+μ t λ ⎡ 1 − e ( ) ⎤⎥ . ⎢ ⎣ ⎦ λ+μ

При t → ∞ получим финальные вероятности p0 =

μ λ ; p1 = , λ+μ λ+μ

(4.48)

которые можно было бы найти и гораздо проще, решая линейные алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний: λp0 = μ p1 ; p0 + p1 = 1. Формулы (4.48) можно записать компактнее, если ввести обозна чение ρ = λ/μ: p0 =

ρ 1 ; p1 = . 1+ ρ 1+ ρ

Характеристики эффективности СМО:

1 λ ⎫ ; Q= ; ⎪⎪ 1+ ρ 1+ ρ ⎬ ρ ρ ⎪ ; k = 1 − p0 = . Pотк = p1 = 1+ ρ 1 + ρ ⎪⎭ A = λp0 =

(4.49)

Задача 2 Дано: Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию, на вход которой поступает простейший поток вызовов с интенсивностью λ = 0,4 вызов/мин. Средняя продолжи тельность разговора tобсл = 3 мин; время разговора имеет показатель ное распределение. Выполнить: Найти финальные вероятности состояний СМО p0 и p1, а также A, Q, Pотк, k. Сравнить пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы разговор длился в точности 3 мин, а заявки шли регулярно одна за другой, без перерывов. 102

Решение.

λ = 0,4; μ = 1/ tобсл = 1/3; ρ = λ / μ = 1,2. По формулам (4.48) p0 ≈ 1/2,2 ≈ 0,455; p0 ≈ 0,545; Q ≈ 0,455; A = λQ ≈ 0,182; k = p1 ≈ 0,545. Таким образом, линия в среднем будет обслуживать 0,455 посту пающих на нее заявок, т. е. 0,182 разговора в минуту. Номинальная пропускная способность канала была бы (при ре гулярно приходящих и регулярно обслуживаемых заявках) Aном = 1/ tобсл = 1/3 ≈ 0,333 разг./мин, что почти вдвое больше, чем действительная пропускная способность A. Задача 3 Дано: Имеется одноканальная СМО с отказами. Поток заявок – простейший с интенсивностью λ. Время обслуживания – не случай ное и в точности равно tобсл = 1/μ. Найти относительную и абсолютную пропускную способность СМО в предельном стационарном режиме. Решение. Рассмотрим на оси 0t простейший поток заявок с интенсивностью λ (рис. 4.8). Будем отмечать кружками все заявки, которые приняты к обслуживанию. Пусть какаято заявка, пришедшая в момент t1, принята к обслу живанию. Тогда все заявки, пришедшие после нее за время tобсл, по лучат отказ; следующей будет принята к обслуживанию заявка, при шедшая в момент t2 такой, что t2 – t1 > tобсл. Рассмотрим интервал T между концом обслуживания первой заявки и моментом t2 прихода ближайшей следующей, которая будет принята к обслуживанию. Из за отсутствия последействия в простейшем потоке распределение интервала T совершенно такое же, как и вообще интервала между заявками, т. е. показательное с параметром λ. Средняя длина интер вала T равна μt = 1/λ. Итак, на оси 0t будут чередоваться неслучайные интервалы заня тости канала длины tобсл = 1/μ и случайные свободные интервалы со средней длиной 1/λ. На первые попадает доля всех заявок, равная tобсл

tобсл

tобсл t

0

t2

t1

t3

T

Рис. 4.8. Простейший поток заявок с интенсивностью λ (к задаче 3) 103

1/ μ λ = , 1/ μ + 1/ λ λ + μ а на вторые – доля, равная

μ / ( λ + μ ) = 1/ (1 + ρ ), где ρ = λ / μ. Эта величина и есть относительная пропускная способность СМО

Q = 1/ (1 + ρ ),

(4.50)

A = λQ = λ / (1 + ρ ).

(4.51)

откуда Отметим, что формулы (4.50), (4.51) совпадают с (4.49), соответ ствующими показательному распределению времени обслуживания. Это и естественно, так как формулы Эрланга остаются справедливы ми при любом распределении времени обслуживания со средним зна чением, равным 1/μ. Задача 4 Доказать, пользуясь формулой (4.18), что для простейшей одно канальной СМО с неограниченной очередью среднее число заявок, находящихся в СМО, равно z = ρ / (1 − ρ ), где ρ = λ/μ, а среднее число заявок в очереди r = ρ2 (1 − ρ ). Решение. По формулам (4.24) p0 = 1 − ρ; pk = ρk (1 − ρ), k = 1, 2, 1 Обозначим Z фактическое (случайное) число заявок в СМО: z = M [Z] =

∞

∞

∞

k=0

k =1

k =1

∑ kpk = ∑ kρk (1 − ρ) =(1 − ρ) ∑ kρk .

По формуле (4.18) для ρ < 1 ∞

ρ

∑ kρk = (1 − ρ)2 ,

k =1

откуда

z = ρ /(1 − ρ). Среднее число заявок в очереди равно z минус среднее число заня тых каналов k = A / μ = λ / μ = ρ, т. е. r= 104

ρ ρ2 −ρ = . 1− ρ 1− ρ

Задача 5 Дано: Железнодорожная сортировочная горка, на которую пода ется простейший поток составов с интенсивностью λ = 2 состава в час, представляет собой одноканальную СМО с неограниченной оче редью. Время обслуживания (роспуска) состава на горке имеет пока зательное распределение со средним значением tобсл = 20 мин. Найти: финальные вероятности состояний СМО, среднее число z составов, связанных с горкой, среднее число r составов в очереди, среднее время tсист пребывания состава в СМО, среднее время t0 пре бывания состава в очереди. Решение. λ = 2 сост./ч; tобсл = 1/3 ч; μ = 3 сост./ч; ρ = λ / μ = 2/3. По формулам (4.25) p0 = 1 − 2/3 = 1/3; p1 = (2/3) ⋅ (1/3) = 2/9; p2 = (2/3)2 (1/3) = 4/27; 1;⎫⎪ ⎬ pk = (2/3)k (1/3); 1 ⎪⎭

По формулам (4.26), (4.27) z = ρ / (1 − ρ ) = 2 сост.;

r = 4/3 сост.; tсист = 1 ч.; t0 = 2/3 ч. Задача 6 Дано: Условия предыдущей задачи усложняются тем, что в парке прибытия железнодорожной сортировочной горки могут находиться одновременно не более трех составов (включая обслуживаемый). Если состав прибывает в момент, когда в парке прибытия уже находятся три состава, он вынужден ожидать своей очереди на внешних путях. За один час пребывания состава на внешних путях станция платит штраф a рублей. Определить средний суточный штраф, который придется упла тить за ожидание составов на внешних путях. Решение. Вычислим среднее число zв составов, находящихся на внешних путях: ∞

∞

∞

k =4

k =4

k=4

zв = 1 ⋅ p4 + 2 p5 + 1 = ∑ kpk = ∑ kρk p0 = p0 ∑ kρk; ∞

∞

k=4

k =4

∞

∞

ρ4

∑ kρk = p ∑ dρ ρk = ρ ∑ dρ ρk = ρ dρ ∑ ρk = ρ dρ 1 − ρ = d

k=4

d

d

k =4

d

ρ4 (4 − 3ρ) ; (1 − ρ)2

105

∞

zв = p0 ∑ kρk = k=4

ρ4 (4 − 3ρ) ≈ 1,18. 1−ρ

По формуле Литтла среднее время, проводимое одним составом на внешних путях,

tв ≈ 1,18/ λ = 1,18/2 = 0,59 ч. За сутки (24 ч) на станцию приходит в среднем 24λ = 48 составов. Суточный штраф составляет 48 ⋅ 0,59 ⋅ a ≈ 28,3a. Задача 7 Вычислить непосредственно по графу состояний, пользуясь схе мой гибели и размножения, финальные вероятности состояний для простейшей двухканальной СМО (n = 2) с тремя местами в очереди (m = 3) при λ = 0,6; μ = 0,2; ρ = λ/μ = 3. Найти для этой СМО характе ристики z, r, tсист , t0, не пользуясь формулами (4.39), а непосред ственно через финальные вероятности, и сравнить с теми, которые получаются по формулам (4.39). Решение. Граф состояний СМО показан на рис. 4.9. s0

s1

s2 2

s4

s3 2

2

s5 2

Рис. 4.9. Граф состояний СМО к задаче 7

По схеме гибели и размножения, обозначая λ/μ = ρ, получаем: ⎧ ρ2 ρ3 ρ4 ρ5 ⎫ p0 = ⎨1 + ρ + + 2 + 3 + 4 ⎬ 2 2 2 2 ⎭ ⎩

−1

= 40,58−1 ≈ 0,025;

3 4,5 6,75 ≈ 0,074; p2 = ≈ 0,111; p3 = ≈ 0,165; 40,58 40,58 40,58 10,15 15,18 p4 = ≈ 0,250; p5 = ≈ 0,375; 40,58 40,58 p1 =

z = 1 ⋅ 0,074 + 2 ⋅ 0,111 + 3 ⋅ 0,165 + 4 ⋅ 0,250 + 5 ⋅ 0,375 ≈ 3,67; r = 1 ⋅ 0,165 + 2 ⋅ 0,250 + 3 ⋅ 0,375 ≈ 1,79;

tсист = z /0,6 ≈ 6,11; t0 = r /0,6 ≈ 2,98. 106

Задача 8 Формула для r (4.41) справедлива для любого χ < 1 или χ > 1. При χ = 1 она перестает работать (дает неопределенность вида 0/0). Пользуясь непосредственно схемой гибели и размножения, вывести для этого случая вероятности состояний p0, p1, …, pn+m и найти ха рактеристики эффективности СМО: A, Q, Pотк, k, r, z, tсист , t0. Решение. Граф состояний СМО имеет вид, показанный на рис. 4.10. s0

s1

s2 2

sk k

sn n

sn

m

n

n

Рис. 4.10. Граф состояний к задаче 8

Пользуясь общими формулами для схемы гибели и размножения и обозначив λ/μ = ρ, имеем ⎧ ρ ρ2 ρn ρn +1 ρn + m ⎫ + +1 + m p0 = ⎨1 + + + 1 + ⎬ n! n ⋅ n! n ⋅ n! ⎭ ⎩ 1! 2!

−1

= −1

m 2 ⎧⎪ ρ ρ2 ρn ⎡ ρ ⎛ ρ ⎞ ⎛ ρ ⎞ ⎤ ⎫⎪ = ⎨1 + + + 1 + ⎢ + ⎜ ⎟ + 1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎬ . n ! ⎣⎢ n ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎦⎥ ⎪⎭ ⎪⎩ 1! 2! При χ = ρ/n = 1 −1

⎧ ρ ρ2 ρn mρn ⎫ + p0 = ⎨1 + + + 1 + ⎬ ; n! n! ⎭ ⎩ 1! 2! ρk ρn pk = p0 (1 ≤ k ≤ n ); pn+ r = p0 (1 ≤ r ≤ m ); k! n! ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ρn ⎤ ⎡ ρn ⎤ A = λQ = λ ⎢1 − p0 ⎥ ; k = A / μ = ρ ⎢1 − p0 ⎥ ; ⎪⎪ ⎣ n! ⎦ ⎣ n! ⎦ ⎬ ⎪ m m m n n ρ ρ ρn m(m + 1) r = ∑ rpn + r = ∑ r p0 = p0 ∑ r = p0; ⎪ ⎪ n ! r =1 n! 2 r =1 r =1 n ! ⎪ z = r + k; tсист = z / λ ; t0 = r / λ. ⎪⎭ Pотк = pn + m ; Q = 1 − pn+ m = 1 −

(4.52) (4.53)

ρn p0 ; n!

(4.54)

107

Задача 9 Дано: Автозаправочная станция (АЗС) имеет две колонки (n = 2); площадка возле нее допускает одновременное ожидание не более че тырех автомашин (m = 4). Поток автомашин, прибывающих на стан цию, простейший с интенсивностью λ = 1 маш./мин. Время обслу живания автомашины – показательное со средним значением tобсл = 2 мин. Найти: финальные вероятности состояний АЗС и ее характерис тики: A, Q, Pотк, k, z, r, tсист , t0. Решение. λ = 1; μ = 1/2; ρ = 2; χ = ρ /n = 1. По формулам (4.52)–(4.54) имеем:

⎧ 22 22 ⎫ p0 = ⎨1 + 2 + + ⋅ 4⎬ 2! 2! ⎭ ⎩

−1

=

1 ; 13

p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 =

2 ; 13

Pотк = 2/13; Q = 1 − Pотк = 11/13; A = λQ = 11/13 ≈ 0,85 маш./мин;

k = A / μ = 22/13 ≈ 1,69 колонки;

r=

22 4(4 + 1) 1 ⋅ ≈ 1,54 машины; 2! 2 13 z = r + k ≈ 3,23 машины.

Задача 10 Дано: Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью λ = 4 заявки/ч. Сред нее время обслуживания одной заявки tобсл = 0,8 ч. Каждая обслу женная заявка приносит доход c = 4 рубля. Содержание каждого ка нала обходится в 2 р./ч. Определить: выгодно или невыгодно в экономическом отношении увеличить число каналов СМО до трех? Решение. По формулам Эрланга (4.19)

{

p0 = 1 + 3,2 + 108

3,2 2!

}

−1

= 9,32−1 ≈ 0,107; p2 ≈

5,12 ≈ 0,550; 9,32

Q = 1 − p2 ≈ 0,450; A = 4Q ≈ 1,8 заявки/ч. Доход от заявок, приносимый СМО в данном варианте, равен D = = A ⋅ c ≈ 7,2 р./ч. Подсчитаем те же характеристики для трехканальной СМО (от мечая их штрихом вверху):

⎧ 3,2 3,23 ⎫ + p0′ = ⎨1 + 3,2 + ⎬ 2! 3! ⎭ ⎩

−1

≈ 0,0677; p3′ ≈ 5,48 ⋅ 0,0677 ≈ 0,371;

Q′ = 1 − p3′ ≈ 0,629; A′ = 4Q′ ≈ 2,52; D′ = A′ ⋅ c ≈ 10,08 р./ч. Увеличение дохода равно D′ – D = 2,88 р./ч; увеличение расхода равно 2 р./ч; из этого видно, что переход от n = 2 к n = 3 экономичес ки выгоден.

109

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Общие тенденции развития промышленности связаны с усложне нием технических систем, уменьшением их габаритных размеров и массы, что приводит к постоянному ужесточению и усложнению ре жимов их работы по нагрузкам, скоростям, вибрациям и ряду других воздействий. При этом цена отказа технических систем может быть очень высокой. Решение задачи обеспечения высокого качества и надежности тес но связано с задачей повышения уровня контроля продукции. Повы шение качества может быть достигнуто как за счет улучшения сред них значений его показателей, так и за счет уменьшения их диспер сии. Улучшение средних значений показателей качества может дос тигаться по двум ключевым направлениям. Первое – за счет высоко го научнотехнического уровня разработок, применения перспектив ных материалов и технологических процессов изготовления и сбор ки (в учебном пособии не рассматривается). Второе – за счет статис тического регулирования технологических процессов путем коррек тирования значений их параметров по результатам выборочного кон троля производимой продукции. Уменьшение дисперсии показате лей качества выпускаемой продукции может быть достигнуто путем проведения непрерывного контроля изменения свойств объектов про изводства на всех стадиях технологического процесса. Высококачественный объект должен обладать заданным и посто янным химическим составом, микро и макроструктурой, механи ческими характеристиками, геометрическими размерами, в нем не должно содержаться несплошностей. Выполнение всех этих требо ваний возможно только путем применения различных методов конт роля, дополняющих друг друга. При этом часто представляется целесообразным перейти от выбо рочного контроля качества материалов и изделий к сплошному. Если выборочный контроль может быть реализован на базе разрушающих испытаний ограниченного количества изделий, то сплошной конт роль различных свойств материалов и изделий возможен только на основе применения неразрушающих методов, т.е. методов, не нару шающих пригодности продукции к использованию. Методы НК пре дусматривают выявление дефектов без повреждения объектов, а иног да даже без их разборки. Это достигается путем использования физи ческих методов, связанных с анализом результата воздействия на объект контроля излучений и полей различной физической природы. Особенно важное значение методы НК приобретают при проверке ка чества объектов в процессе эксплуатации. В настоящее время НК 110

является неотъемлемой частью производства и эксплуатации в энер гетике, химическом производстве, авиации, морском, железнодорож ном транспорте и ряде других отраслей промышленности. За короткий срок НК выделился в самостоятельную отрасль тех нических наук. Он основывается на комплексном применении самых различных областей физики: оптики, акустики, электромагнетиз ма, газовой динамики, физики твердого тела, атомной физики и др. Для работы в области НК необходимо владеть знаниями в области прочности материалов, технологии производства продукции, метро логии, математической статистикой, теорией распознавания обра зов, спектральным и импульсным анализом и т.д. Обеспечение при борной базы НК основано на применении электроники, электротех ники, автоматики, вычислительной техники, точного приборостро ения. Передовые достижения в смежных областях науки быстро осваи ваются и усовершенствуются в НК. Например, лазерная техника, голография, ядерный магнитный резонанс используются в приборах и методах контроля, причем на основе оптической голографии разви лась акустическая вычислительная голография. Микропроцессоры применяются для распознавания образа дефекта, управления про цессом контроля и т.д. Теория хрупкого разрушения является осно вой оценки допустимости дефектов. Математическая теория игр на ходит применение для выбора критериев оценки качества при отсут ствии исчерпывающих данных о дефекте. Перспективы развития методов НК тесно связаны с применением вычислительной техники и роботизацией производственных процессов. Применение вычисли тельной техники позволяет автоматизировать наиболее сложный и ответственный этап контроля – принятие достоверного решения. Роботизация контроля продукции открывает большие возможности для гибких производственных систем и является особенно существен ной при вредных или опасных производственных условиях. Затраты на контроль быстро окупаются снижением производствен ных и эксплуатационных расходов, повышением качества функцио нирования и надежности технических объектов. В учебном пособии рассмотрены общие вопросы неразрушающего контроля: понятие качества, его контроля, организация службы кон троля, классификация и краткая характеристика методов контро ля, их стандартизация и метрологическое обеспечение, статистичес кие методы управления качеством, организация подразделений не разрушающего контроля на базе теории массового обслуживания.

111

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Физматгиз, 1969. 576 с. 2. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории веро ятностей. М.: Радио и связь, 1983. 416 с. 3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статис тика. М.: Высшая школа, 1972. 386 с. 4. Ермолов И. Н., Останин Ю. Я. Методы и средства неразрушаю щего контроля качества. М., Высшая школа, 1988. 368 с. 5. Контроль качества продукции машиностроения / Под ред. А.Э. Артеса. М.: Издво стандартов, 1974. 448 с. 6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работ ников и инженеров. М.: Наука, 1974. 832 с. 7. Надежность и эффективность в технике: Справочник: В 10 т. М.: Машиностроение, 1989. Т.7.: Качество и надежность в произ водстве / Под ред. И. В. Апполонова. 280 с. 8. Смирнов Н. В., Дунин%Барковский И. В. Курс теории вероятнос тей и математической статистики для технических приложений. Изд. 3е. М.: Наука, 1969. 511 с. 9. Технология технического контроля в машиностроении: Спра вочное пособие / Под общ. ред. В. Н. Чупырина. М.: Издво стандар тов, 1990. 400 с. 10. Шиндовский Э., Щюрц О. Статистические методы контроля про изводства. М.: Издво стандартов, 1969.

Учебное издание

Сударикова Елена Васильевна

НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ В ПРОИЗВОДСТВЕ Часть 2

Учебное пособие

Редактор В. П. Зуева Верстальщик Т. М. Каргапольцева Сдано в набор 26.02.07. Подписано к печати 21.03.07. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,1. Уч. изд. л. 8,1. Тираж 100 экз. Заказ № Редакционноиздательский центр ГУАП 190000, СанктПетербург, Б. Морская ул., 67

Неразрушающий контроль в производстве: Учебное пособие

Recommend Documents