Цепи синусоидального тока. Резонансные цепи: Методические указания к лабораторным работам

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Цепи синусоидального тока Резонансные цепи Методические указания к лабораторным работам для студентов неэлектротехнических специальностей Издание третье, переработанное

Составитель Е. И. Голобородько

Ульяновск 2010

1

УДК 538.551 (076) ББК 31.21 я7 Ц 40 Рецензент кандидат технических наук, доцент кафедры «Радиотехника» радиотехнического факультета Ульяновского государственного технического университета В. Н. Рогов Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета

Ц 40

Цепи синусоидального тока. Резонансные цепи : методические указания к лабораторным работам по цепям синусоидального тока для неэлектротехнических специальностей / сост. Е. И. Голобородько. – 3-е изд., перераб. – Ульяновск : УлГТУ, 2010. – 39 с. Учебный материал методических указаний предусмотрен действующими Государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования для студентов специальностей 100700, 120100, 150100, 190300, 200800, 220100, 330200. Учитывая трудности с обеспечением студентов стандартными учебниками российских издательств, составитель предпослал описанию экспериментальной работы теоретическую часть, которая в известной мере может служить конспектом лекций по этому разделу. Последняя особенно важна для студентов-заочников. Работа подготовлена на кафедре «Электроснабжение» цикл ТОЭ и ОЭ.

УДК 538.551 (076) ББК 31.21 я7

© Голобородько Е. И., составление, 2001 © Голобородько Е. И., составление, 2004 © Голобородько Е. И., составление, 2010 © Оформление. УлГТУ, 2010

2

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..4 1. ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ, ТЕОРИЯ…………………..…..5 1.1. Основные характеристики синусоидального тока, напряжения, ЭДС…………………..………5 1.2. Поведение активного сопротивления, индуктивности и емкости (R, L, C) в цепях синусоидального тока………..…….10 1.2.1. Активное сопротивление…………………………………..10 1.2.2. Индуктивность……………………………………………...11 1.2.3. Электроемкость…………………………………………….12 1.3. Последовательное соединение R, L, C………………….…………...13 1.3.1. Особенности режима резонанса…………………………...15 1.4. Параллельное соединение R, L, C…………………………………….17 1.4.1. Резонансные явления в параллельном соединении R, L, C………………………...19 1.5. Параллельное соединение катушки и конденсатора………………20 1.6. Компенсация сдвига фаз……………………………………………….21 2. ПРОВЕДЕНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ СТЕНДЕ……………….23 2.1. Последовательное соединение……………………………………….23 2.1.1. Описание установки для исследования последовательного соединения…………………………………23 2.1.2. Порядок выполнения эксперимента……………………………24 2.1.3. Содержание отчета……………………………………………….26 2.2. Параллельное соединение……………………………………………..26 2.2.1. Описание установки для исследования параллельного соединения……………………………………..26 2.2.2. Порядок выполнения эксперимента………………………..........27 2.2.3. Заполнение расчетной части таблицы…………………………...28 2.2.4. Содержание отчета…………………………………………..........29 3. ВЫПОЛНЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ НА МОДЕЛИ…………………...29 3.1. Последовательное соединение……………………………………….29 3.1.1. Исходные данные для экспериментов………………………...30 3.1.2. Протокол испытаний…………………………………………..32 3.1.3. Как оформлять и защищать отчет по лабораторной работе………………………………...33 3.2. Параллельное соединение……………………………………………35 3.2.1. Исследование параллельного соединения индуктивности, емкости и активного сопротивления…...…35 3.2.2. Параллельное соединение катушки индуктивности и конденсатора………………………………37 3.2.3. Исследование зависимости режимов электрических цепей от емкости. Компенсация сдвига фаз..………………..38 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СИСОК…………………………………………..39

3

ВВЕДЕНИЕ Предлагаемый цикл лабораторных работ состоит из двух разделов: «Резонансные цепи» и «Трехфазные цепи». В каждый из них включен материал для экспериментирования с несколькими электрическими схемами. Эксперименты могут проводиться на лабораторном стенде с реальными катушками, конденсаторами, реостатами и на программных моделях в классе, оснащенном компьютерной техникой. В лаборатории каждый эксперимент требует значительно больше времени и реально проводится только с одной из рассмотренных схем. Работа в компьютерном класса с каждой схемой занимает значительно меньше одной пары учебных часов, поэтому на одно занятие могут быть выбраны два-три варианта экспериментов, например, частотные характеристики при последовательном, при параллельном соединениях индуктивности, емкости и активного сопротивления, а также проверка возможности компенсации сдвига фаз подбором емкости, включаемой параллельно активно-индуктивной нагрузке. При предварительном знакомстве студентов с темой и с инструкцией к выполнению предлагаемых экспериментов, такой набор вполне реализуем за одно двухчасовое учебное лабораторное занятие. Так же вписываются в одно занятие эксперименты по изучению трехфазных цепей с подключением нагрузки звездой с нейтральным проводом и без него, а так же треугольником. Попутно можно предложить проверить работу простейшего определителя следования фаз с помощью включения звездой без нейтрали двух лампочек и конденсатора. Конечно, такие задания не выполнимы для реализации на натурном эксперименте с реальными устройствами с учетом времени на их сборку из отдельных элементов. Практика показывает, что и в компьютерном классе названные объемы экспериментов на моделях являются предельными и преподаватель может выбрать для занятия с конкретной группой набор из менее объемных или менее сложных экспериментов. Сборник лабораторных работ разделен на две части, соответственно двум большим изучаемым темам: «Резонансные цепи» и «Трехфазные цепи». Данная брошюра посвящена теме «Резонансные цепи». Все лабораторные работы, предложенные в этом сборнике, проводятся на переменном токе. Понимание процессов, происходящих при эксперименте, сознательное проведение расчетов, построение графиков и диаграмм, требуемых в отчетах, а также его защита невозможны без свободного владения принятой терминологией и основными приемами представления синусоидальных величин графиками синусоидальных зависимостей от времени, векторными и топографическими диаграммами. Поэтому описанию экспериментов и экспериментальных установок предшествует теоретическое описание рассматриваемых процессов, начиная с азов раздела «Синусоидальный ток».

4

1. ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ, ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ 1.1. Основные характеристики синусоидального тока, напряжения, ЭДС Начнем с того, что проекция вектора, вращающегося вокруг своего начала с постоянной угловой скоростью, изменяется по синусоидальному закону. Рисунок 1 иллюстрирует эту связь между вращающимся вектором A и графиком зависимости его проекции на ось х от времени t. Обратим внимание на то, что угол мы отсчитываем от горизонтальной оси, а вектор A проецируем на вертикальную ось. Ось х занимает непривычное вертикальное проложение. Аргумент синуса (ωt+ψ), записанный в формуле в скобках, называется фазой синусоидального колебания. При t = 0, то есть в начальный момент времени, занимает положение, показанное на рисунке, фаза превращается в угол ψ. Поэтому ψ называется начальной фазой колебания. Этот угол был между вектором и горизонтальной осью к началу наблюдения.

Т

Рис. 1. Вращающийся вектор и график зависимости его проекции на вертикаль от времени (временная, или волновая диаграмма)

Второе слагаемое в скобках показывает, насколько выросла фаза к моменту времени t. Однако величина ω, применительно к колебательному процессу называется уже не угловой скоростью, а угловой частотой. Время одного полного колебания Т, называется периодом колебания. Число колебаний в одну секунду называется просто частотой или линейной частотой, и обозначается ƒ или ν. Поскольку за период Т вектор делает полный оборот, то есть поворачивается на 360° или на 2π радиан, угловая частота связана с

5

частотой просто или линейной частотой ν и с периодом T простыми соотношениями:

ω = 2πν = 2 π T . При фазе, равной π/2 или 90°, вектор оказывается в вертикальном положении, его проекция достигает максимума – длины вектора A . Говорят, что А – это амплитуда колебания. Описанные соотношения позволяют проделать этот логический путь и в обратном направлении, правда, с добавлением некоторой доли абстракции: поставить в соответствие любой синусоидально меняющейся величине вектор, длина которого определяется амплитудой колебания, сам он равномерно вращается с угловой скоростью, равной угловой частоте колебания, а его проекция на ось (привычней будет, если ось окажется вертикальной) в определенном масштабе станет изображать саму синусоидально меняющуюся величину (ее мгновенное значение). Достоинство такого изображения синусоидальных величин векторами наглядно видно на примере сложения синусоидальных величин с одинаковыми частотами и разными амплитудами и фазами. Попробуйте получить их сумму, используя формулы тригонометрии и графическим сложением векторов, и Вы почувствуете существенную разницу в трудоемкости (рис. 2). Xm= Xm1+Xm2

Xm2

ψ ψ2

ψ1 Xm1

x1= Xm1sin(ωt + ψ1) + x2= Xm2sin(ωt + ψ2) x = x1 + x2 = Xmsin(ωt + ψ) Сравните трудоемкость определения Xm и ψ из графика и аналитическим сложением x1 и x2

а) векторное сложение

б) аналитическое сложение

Рис. 2. Графическое и аналитическое сложения синусоидальных величин с одинаковыми частотами, но разными амплитудами

Чертеж, изображающий синусоидальные величины векторами, называется векторной диаграммой. Конечно, на чертеже векторы не вращаются, и изображение соответствует одному какому-то моменту времени, чаще всего начальному (при t = 0). Однако в подавляющем большинстве случаев нас будет интересовать именно соотношение между фазами колебаний исследуемых величин, их сложение, соотношение амплитуд, то есть соотношения, не зависящие от времени. Наглядность их представления на векторных диаграммах не раз будет нам хорошим подспорьем в анализе режимов цепей. Для сложной цепи иногда полезно построить векторную диаграмму, для всех отличающихся друг от друга потенциалов: потенциалов всех узлов и точек

6

соединения элементов в ветвях схемы. На такой диаграмме расстояния между точками, изображающими эти потенциалы в принятом масштабе, показывают модули напряжений между соответствующими точками цепи, а угол между вектором, соединяющим эти точки. Как правило, такие диаграммы строятся на комплексной плоскости. Ось действительных чисел обычно располагается горизонтально, и от ее положительного направления отсчитываются углы, соответствующие начальным фазам колебаний, а ось мнимых чисел располагают вертикально, и проекция вектора на эту ось изображает значение синусоидальной величины в этот момент времени. Такую диаграмму называют топографической. И, наконец, нам твердо надо определиться с понятиями мгновенное, действующее, комплексное значение тока, напряжения, ЭДС и принятыми обозначениями их в формулах. Итак, мгновенными значениями i-тока, u-напряжения, e-ЭДС называются их значения в данный момент времени. Поскольку время постоянно течет, меняется, то меняются и мгновенные значения этих величин. Они являются функциями времени: i = I m sin(ωt + ψ i ), u = U m sin(ωt + ψ u ), e = Em sin(ωt + ψ e ). Обратите внимание на то, что мгновенные значения обозначаются маленькими, строчными буквами: i, u, e. С амплитудами синусоидальных величин мы уже встречались. Они обозначаются заглавными буквами с индексом m: Im, Um, Em. А что означает известная величина напряжения городской осветительной сети 220 вольт? Ведь это не максимальное значение напряжения, которое равно примерно 310 вольт и не его половина. Так почему же выбрали такое странное число 220 при амплитуде 310? Какой в нем смысл? Оказывается электрическая лампочка, например, так же накаляется, будучи включенной под это переменное напряжение, как если бы она была включена под постоянное напряжение 220 вольт. То есть переменное напряжение нашей сети действует на лампочку так же, как постоянное напряжение 220 вольт. Потому 220 вольт называются действующим значением этого переменного напряжения. Вычисляется оно как среднее квадратичное за период. Ведь количество выделившегося тепла в активном сопротивлении R, будь то сопротивление лампочки или электроплиты или просто реостата пропорционально квадрату U2 t для постоянного тока. Для элементарной напряжения или тока: Q = I Rt = R 2

порции количества теплоты dQ, выделившейся за элементарно малое время dt при переменном токе имеем dQ = i 2 R ⋅ dt = T

u2 dt , а все количество теплоты, R

T

u2 dt . По условию оно должно быть R 0

выделившееся за период Т Q = ∫ i R ⋅ dt = ∫ 2

0

равно количеству теплоты, которое выделяется при протекании постоянного

7

тока

за

то есть

то

же

время

(за

период

Т),

U sin(ωt + ψ ) u U dt = ∫ dt = T. R R R 0 0

T

∫

2

T

2 m

2

Из последнего очевидно, что

U 1T 2 1T 2 U= u ⋅ dt = U m ⋅ sin 2 (ωt + ψ u )dt = m , ∫ ∫ T0 T0 2 Интеграл предлагается взять студенту самостоятельно и получить в знаменателе корень из двух. Аналогично

I=

Im , 2

E=

Em . 2

Надо только твердо помнить, что корень из двух появился для конкретного вида подинтегральной функции (для напряжения как синусоидальной функции времени). Для функций другого вида коэффициенты будут иметь другое значение, хотя и могут быть вычислены таким же путем. Обозначаются действующие значения синусоидальных величин в соответствии с их смыслом так же, как и значения постоянных токов, напряжений и ЭДС, заглавными буквами I, U, E. Осталось напомнить, что векторы на векторной диаграмме отмечаются черточкой над соответствующим обозначением тока, напряжения или ЭДС, причем часто на векторной диаграмме векторы уменьшают в 2 раз, чтобы иметь в масштабе сразу не амплитудные, а действующие значения, которые чаще всего и интересуют инженера, то есть вместо I m ,U m , E m используют I ,U , E . Если же речь идет об изображении этих векторных величин на комплексной плоскости, то черточка ставится не сверху, а снизу под буквой: Im, Um, Em или I, U, E. Тогда говорят о комплексных амплитудах, или комплексах (или комплексных изображениях) действующих значений тока, напряжения, ЭДС. Вместо подчеркивания разрешено ставить точку над буквой, обозначающей ту или иную величину: İ, Ủ, Ė. Поскольку векторы на комплексной плоскости могут быть определены комплексными числами, появляется возможность обрабатывать эти диаграммы не только графически, но и аналитическим путем, с помощью формул, в которых участвуют эти комплексные величины. Вводится, например, понятие U комплексного сопротивления Z = . Эта формула представляет собой закон I Ома в комплексной форме. Комплексное значение сопротивления позволяет

8

знать не только z – модуль сопротивления или отношение амплитуд или действующих значений тока и напряжения, но и φ – сдвиг фаз между ними. Z=

U Ue jψ u ⎛ U ⎞ j ( ψ u −ψ i ) = jψ = ⎜ ⎟ e = z ⋅ e jψ . i I Ie ⎝I⎠

Аналогично можно записать в комплексной форме законы Кирхгофа, формулы преобразований последовательного и параллельных соединений, треугольника в звезду и обратно, известные из теории постоянных токов. В дальнейшем все эти формулы могут быть использованы для расчета электрических цепей синусоидального тока с применением всех методов расчета цепей постоянного тока. Анализируя и рассчитывая цепи синусоидального тока, надо твердо помнить, что законы Кирхгофа можно применять: а) для мгновенных значений, б) в векторной форме для векторных амплитуд и векторных изображений действующих значений, а также в) в комплексной форме для комплексных амплитуд или комплексов действующих значений. Просто к модулям амплитуд или действующих значений токов и напряжений законы Кирхгофа применять нельзя, так как при этом не учитываются сдвиги фаз между синусоидальными величинами. Нельзя, например, находя сумму векторов, складывать их длины (модули), не учитывая того, что векторы могут быть направлены под углом друг к другу! Отметим, что ударение в словах комплексная величина, комплексная плоскость, комплексное число ставится на втором слоге, хотя в последних справочниках разрешается ставить ударение и на первом слоге. И последнее. Из теории известно, что среднее значение P =

1 T

T

∫ pdt 0

мгновенной мощности ( p = ui = U m sin(ωt + ψ u ) ⋅ I m sin(ωt + ψ i )), называемое активной мощностью, равняется UI cos(ψ u − ψ i ) или, с учетом принятого обозначения ψ u − ψ i = ϕ , P = UI cos ϕ . (1) Используя же комплексные изображения токов и напряжений, получим комплексную мощность как ∗ S = U ⋅ I = Ue jψ ⋅ Ie jψ = UIe j (ψ −ψ ) = UI cos ϕ + jUI sin ϕ = P + jQ , U

U

I

I

где S – полная комплексная мощность, P – активная мощность, Q – реактивная мощность, а I* - так называемое, комплексно-сопряженное значение силы тока. Заметим, что Q может принимать отрицательные значения при φ