量子現象の数理 (朝倉物理学大系)

編集 荒船次郎 東京大学名誉教授

江沢 洋 学習院大学名誉教授

中村孔一 明治大学教授

米沢富美子 慶應義塾大学名誉教授

ま え が き

  本 書 は,前 著 『量 子 力 学 の数 学 的構 造Ⅰ,Ⅱ』(朝 倉 物 理 学 大 系 第7巻,8巻)の 続 編 で あ る.そ の 目的 とす る とこ ろ は,前 編 に お い て公 理 論 的 に定 式 化 され た, 量 子 力 学 の 基 本 原 理 に 基 づ い て,量 子 現 象 に関 わ る数 理 を 主 題 別 にや や 詳 し く み て い く こ と に あ る.こ

こ で は,九 つ の 主 題 を選 ん だ.各 章 に一 つ の主 題 を割

り当 て(目 次 を参 照),そ

れ ぞ れ の 章 は,ほ ぼ 独 立 に読 め る よ う に書 い た.し

た

が っ て,読 者 は,自 分 に興 味 の あ る主 題 が 扱 わ れ て い る章 か ら読 む こ と も可 能 で あ る.命 題 や 定 理 の 証 明 は,か

な り丁 寧 に書 い た つ も りで あ る.前 編 で論 じ

られ た 内容 や 数 学 的技 法 を 自 分 の もの と して い る読 者 に とっ て は,本 書 を読 む 上 で 特 に 困 難 は ない はず で あ る.   本 書 に は,邦 書 で は,お そ ら く初 め て 登 場 す る内 容 が 多 く盛 り込 まれ て い る. 特 に,ア ハ ラ ノ フ-ボ ー ム効 果 と照 応 す る,ゲ ー ジ理 論 にお け る正 準 交 換 関 係 の 非 同 値 表 現 の 構成 に 関 す る理 論,量

子 力 学 的 状 態 の 生 き残 り確 率 と関 わ り を も

つ 時 間 作 用 素 の 理 論(い ず れ も第3章),埋

蔵 固 有 値 の摂 動 問 題 の 基 本 的 な例 と

して の フ リー ドリ クス モ デ ル の 詳 しい解 析(第5章),超 章)は,そ

対 称 的 量 子 力 学(第9

れ ぞれ,著 者 自身 の 研 究 テ ーマ の 一部 をな す もの で もあ り,現 在 に お

い て も な お,量 子 力 学 や 量 子 場 の 理 論 の 数 学 的 ない し数 理 物 理 学 的研 究 の前 線 に通 じる もの で あ る.た だ し,本 書 の 性 格 上,そ

の 論 述 は入 門 的 な レ ヴ ェ ル に

と どめ た.ま た,物 理 量 の 自 己共 役 性 の 問題 を詳 し く論 じて い る の も本 書 の特 色 の 一 つ と い え る で あ ろ う(第2章).他

の 主 題 につ い て も,本 書 の 精 神― 座 標

か ら 自 由 な絶 対 的 相 か らの ア プ ロ ー チ― に の っ とっ て,原 理 的・ 普 遍 的 観 点 を 強 調 す る仕 方 で,叙 述 に工 夫 を凝 ら した つ も りで あ る.紙 数 の 都 合 上,量 子 場 の 理 論 に関 す る 章 を設 け る こ とが で き なか っ た の は心 残 りで あ る.こ の 側 面 に

つ い て は 拙 著 『フ ォ ッ ク空 間 と量 子 場 上 下 』(日 本 評 論 社,2000)を

参 照 して い

た だ け れ ば幸 い で あ る.   数 学 的 に厳 密 な 思 考 に よ っ て もた ら され る確 実 で 明晰 な認 識 は,理 念 と現 象 との 調 和 的 ・美 的 照 応 を よ り深 い 次 元 で 観 照 す る こ とを 可 能 に し,宇 宙 の原 像 と して の ロ ゴス,理 の 世 界 の 豊 饒 さ,妙(老

子 的 意 味 で の),繊 細 さ,美 し さ,そ

して,宇 宙 の果 て しな い 深 さ を垣 間 見 させ て くれ る.本 書 が 量 子 現 象 を支 え る 理 の 世 界 の よ り深 い 相,よ

り高 い次 元 へ と読 者 をい ざ な う よす が とな る こ とを

切 に願 う.   本 書 の原 稿 を通 読 され,貴 重 な コ メ ン トを寄 せ られ た 江 沢 洋 先 生 に心 か ら感 謝 した い.ま

た,本 書 の 出版 に際 して,い

ろ い ろ とお 世 話 に な っ た朝 倉 書 店 編

集 部 の 方 々 に も厚 く御 礼 申 し上 げ る.

2006年  新 春

札 幌 の寓居 に て

新

井 朝

雄

目

次

1  物 理 量 の 共 立 性 に関 わ る 数理

 1 

1.1  は じ め に 

1

 1.2  単 独 の 物 理 量 に 関 す る 測 定(Ⅰ)―純 点 ス ペ ク トル 的 な物 理 量 の場 合  3   1.3  単 独 の 物 理 量 に 関す る 測 定(Ⅱ)― 一 般 の 場 合

 5

  1.4  複 数 の 物 理 量 の 測 定 に よ る状 態 の 一 意 的 決 定(Ⅰ)― 純 点 ス ペ ク ト ル 的 な 物 理 量 の組 の 場 合   1.5  複 数 の 物 理 量 の測 定 に よる状 態 の 一 意 的 決 定(Ⅱ)―

  16 一般 の 場 合 …21

  1.6  代 数 的 な 特 徴 づ け   付 録A   ノ

ー

  第1章

可 分 な ヒル ベ ル ト空 間 の巡 回 ベ ク トル に よ る直 交 分 解 ト

 演 習問題

  28  32   35  36

 関 連 図 書

 37

2  物 理 量 の 自己 共 役 性

 38

  2.1  は じ め に

  38

  2.2  小 さ い 摂 動

 42

  2.3  加 藤-レ リ ッ ヒの 定 理 の 応 用― シ ュ レー デ ィ ン ガ ー 型 作 用 素 の 自 己 共 役 性,原 子 と物 質 の 弱 安 定 性   2.4  必 ず し も小 さ くな い摂 動  

  52 71

  2.5  混 合 型 ポ テ ン シ ャ ル を もつ 場 合

 78

  2.6  交 換 子 定 理

 79

  2.7  解 析 ベ ク トル 定 理

 85

 2.8  準 双 線 形形 式 と 自己 共 役 作 用 素  2.9  形 式 に よ る摂動―KLMN定

理

  89   108

 2.10  デ ィ ラ ッ ク型作 用 素 の 本 質 的 自己 共 役 性

 110

 付 録B  作 用 素 の 和 が 閉 で あ る た め の 条件

  116

 付 録C 

閉対 称 作 用 素 の基 本 的 性 質

  117

 付 録D 

閉 対 称 作 用 素 が 自己 共 役 拡 大 を もつ 条 件

 付 録E 

交 換 子 に関 す る基 本 公 式

  122

ト

  123

演 習 問題

  123

 ノ

ー

 第2章 

 119

 関 連 図 書

 127

3  正 準 交 換 関 係 の 表 現 と物 理

 128

  3.1  は じ め に

  128

  3.2  予 備 的 考 察

  130

  3.3  ヴ ァ イ ル 型 表 現

 137

  3.4  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 の ヴ ァ イ ル 型 性   3.5  ヴ ァ イ ル 型 表 現 の 構 造―   3.6  CCRの

フ ォ ン ・ノ イ マ ン の 一 意 性 定 理

  140   142

非 同 値 表 現 と ア ハ ラ ノ フ-ボ ー ム 効 果

 154

  3.7  弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現   3.8  時 間 作 用 素  ノ

ー

  第3章 

ト

 169   174   183

演習問題

 関 連 図 書

4  量 子 力 学 に お け る対 称 性

 184  

185

 188

  4.1  は じめ に― 対 称 性 と は ど うい う もの か

  188

  4.2  群

  189

  4.3  量 子 力 学 に お け る対 称 性 の原 理 的 構 造

  197

  4.4  一 般 の表 現

  213

 4.5  物 理 量 の対 称 性

  219

 4.6  シ ュ レー ディ ン ガ ー型 作 用 素 の 対 称 性

  224

 4.7  対 称 性 と保 存 則

 226

 4.8  回転 対 称 性 と軌 道 角 運 動 量 作 用 素 の保 存  4.9  軌 道 角 運 動 量 の 固 有 空 間 に よ る直 和 分 解(Ⅰ)―2次  4.10  軌 道 角 運 動 量 の 固有 空 間 に よ る直 和 分 解(Ⅱ)―3次

  227 元 空 間 の 場 合   229 元 空 間 の 場 合 235

 4.11  リー代 数 的 構 造 と対 称 性

 245

 付 録F  位 相 空 間  ノ

ー

 第4章 

 255

ト

  257

演習 問題

 258

 関 連 図 書

  259

5  物 理 量 の 摂 動 と固 有 値 の 安 定 性

  261

  5.1  は じ め に

  261

  5.2  複 素 変 数 の バ ナ ッハ 空 間値 関 数

 263

  5.3  閉作 用 素 と冪 等 作 用 素

  270

  5.4  物 理 量 の 摂 動 の 一 般 的 ク ラ ス― 解 析 的 摂動

  279

  5.5  応

用

 5.6  埋 蔵 固 有 値 の摂 動,共

  鳴 極,生

き残 り確 率

  5.7  フ リー ドリ ク ス モ デ ル  付 録G 

バ ナ ッハ 空 間 の双 対 空 間 とハ ー ン-バ ナ ッハ の定 理

 付 録H 

あ る2重 積 分 の 計 算

 ノ

ー

  第5章 

ト 演 習問題

 関 連 図 書

289

  297   304  317   320   321  322   323

6  物 理 量 の ス ペ ク トル

 324

  6.1  は じ め に

 324

  6.2  離 散 スペ ク トル と真 性 ス ペ ク トル の特 徴 づ け    6.3  最 小-最 大 原 理

324   329

  6.4  コ ン パ ク ト作 用 素   6.5  真 性 ス ペ ク トル の 安 定 性   6.6  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 型 作 用 素 の 真 性 ス ペ ク トル   6.7  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 型 ハ ミ ル トニ ア ン の 離 散 ス ペ ク トル  ノ

ー

 第6章 

ト

 343   352  

354

  361   367

演 習 問題

  368

 関 連 図 書

 

7  散 乱 理 論 

369

370

  7.1  は じめ に― 発 見 法 的議 論

 370

  7.2  数 学 的 準 備―

  376

絶対 連 続 ス ペ ク トル と特 異 ス ペ ク トル

  7.3  散 乱 理 論 の 一 般 的枠 組 み

  390

  7.4  波 動 作 用 素 の 存 在 に対 す る判 定 条 件

  399

  7.5  波 動 作 用 素 の 完 全 性 に対 す る判 定 条 件

  402

  7.6  散 乱 作 用 素 の 積 分 表 示 と漸 近 展 開

  403

 ノ

ト

  406

演 習問題

  406

ー

  第7章 

 関 連 図 書

 407

8  虚 数 時 間 と汎 関 数 積 分 の 方 法

 409

  8.1  は じめ に― 量 子 動 力 学 の 虚 数 時 間 へ の 拡 張

  409

  8.2  熱 半 群,ス ペ ク トル の 下 限,基 底 状 態

  412

  8.3  汎 関 数 積 分 お よび確 率 過 程 との接 続― 発 見 法 的議 論

 418

  8.4  確 率 過 程 の 存 在

 430

  8.5  ブ ラ ウ ン運 動

  434

  8.6  フ ァイ ンマ ン-カ ッツ の公 式

  440

  8.7  基 底 状 態 過 程

  445

  付 録I  確 率 論 の基 本事 項

  450

  付 録J 

ガ ウ ス型 確 率 過 程

  付 録K  確 率 過 程 の連 続 性 に対 す る 判 定 条 件

 454  458

 ノ

ー

 第8章 

ト

  460

演 習問題

  460

関連 図 書

  462

9  超 対 称 的量 子 力 学

  464

  9.1  は じめ に― 超 対 称 性 とは ど うい う も の か

  464

  9.2  超 空 間,超 場 お よ び超 対 称 性 代 数

 465

  9.3  公 理 論 的超 対 称 的 量 子 力 学

 476

  9.4  超 対 称 性 と特 異 摂 動―

 499

摂動法の破綻

  9.5  ウ ィ ッテ ンモ デ ル

  502

  9.6  縮 退 した零 エ ネル ギ ー基 底 状 態 を もつ モ デ ル

  510

  付 録L 

トレー ス型 作 用 素

 513

  付 録M 

自己 共 役 作 用 素 の 強 レゾ ル ヴ ェ ン ト収 束

 516

  付 録N 

簡 単 な超 関数 方 程 式 の 解

  518

 ノ

ト

  519

ー

  第9章 

演習 問題

 関 連 図 書  索

引 

 520   524 527

記 号

表

標準的記号 記号

意 味 自然数 全体 の集 合 整数全 体 の集合 実数全 体 の集 合 複 素 数全体 の集 合 Rのd個

の直 積集 合

Cのd個

の直積 集合

Rdに おけ るd次 元 ボ レル集 合体 Rdの 開集合 Ω 上 のm回

連 続 微分 可能 な 関数 で有界 な台 を

もつ もの の全 体 L2(IRd)上 の フ ー リエ 変換 ほ とん どいた る ところ

若干 の 論理 記号

記号

意 味 AをBで Pな

定義 す る

らばQ

PとQは

同値(Pで

PをQで

定義 す る

あ るため の必 要十分 条件 はQ)

Xの す べ ての元xに 対 して.P(④ が 成立 同上

ヒ ル ベ ル ト空 間 論 に関 わ る 記 号 Aは

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の 線 形 作 用 素 を表 す.DはHの

記号

部 分 集 合 とす る.

意 味 Hの 部分 集合Dの

直交 補空 間

Dの 閉包 Aの 定義 域 ま たは

Aの 値域 Aの レゾ ルヴ ェ ン ト集合 Aの スペ ク トル Aの 点 スペ ク トル(Aの

固有値 の全 体)

Aの 核 Aの 共役 作用 素(D(A)がHで Hの 部 分集 合Dか

稠密 の場合)

ら生成 され る部分 空 間

測度 空 間(X,μ)上 の2乗 可 積分 関数 か ら生成 される ヒルベ ル ト空 間 H全 体 を定義 域 とす る有 界線 形作 用 素全 体の 集合 H全 体 を定義 域 とす る,Hか

らヒルベ ル ト空 間Kへ

線形 作用 素 の全 体 ベ ク トル空 間V全 体 を定 義域 とす る,Vか Wへ

の有 界

らベ ク トル空 間

の線 形 作用 素 の全体

L(V,V) 代 数 的 テ ンソル積 テ ン ソル積 A(閉 作用 素)の 離散 スペ ク トル(Aの,多 有 値 の全体) Aの 真性 スペ ク トル 自己共役 作 用素Aの

ス ペ ク トル測度

重度 有限の孤 立 固

ス ク リプ ト(カ リ グ ラ フ 体)対 応 表 A 

A

G 

G

M 

M

S 

S

Y 

Y

B 

B

H 

H

N 

N

T 

T

Z 

Z

U

C 

C

I 

I

O 

O

U 

D 

D

J 

J

P 

P

V 

V

E 

E

K 

K

W

F 

F

L 

L

Q R

W  X 

X

Q  R 

ギ リシア文字 Α  α 

アル フ ァ

Ι ι

 

Β β  

ベー タ

Κ  κ

  カ ッパ

Γ γ  

ガ ンマ

Λ  λ  

Δ δ

 デ ル タ

ラム ダ

Μ  μ

  ミュー

Ν  ν

  ニ ュー

Ε ε,ε 

イプ シ ロ ン

Ζ ζ  

ゼータ

Ξ  ξ

Η η  

イー タ

Ο  ο

Θ θ,θ   シ ー タ

イオ タ

 グザ イ   オ ミクロ ン

Π  π,π   パ イ

Ρ ρ,ρ  ロ ー Σ σ,σ   シ グ マ Τ τ Υ υ 

 タ ウ ウプ シ ロ ン

Φ φ,φ  フ ァ イ Χ χ  

カイ

Ψ ψ  

プサ イ

Ω ω 

オメ ガ

1 物 理量 の共立性 に関 わる数理

  量 子 力 学 系 にお け る複 数 の物 理 量 の 組(A1,…,AN)は,そ の 中 の ど のAjの 観 測 も 他 の 物 理 量Ak(j≠k)の 観 測 に よ って擾 乱 され る こ とな くで きる場 合,共 立 的 に観 測(測 定)可 能 で あ る とい う.こ の 章 の 目的 は,複 数 の 物 理量 の共 立 的 観 測可 能 性 の根 底 にあ る数 学 的構 造 を見 極 め る こ とで あ る.複 数 の物 理 量 が共 立 的 に観 測 可 能 であ ると き,そ れ らの観 測 が 状 態 を"一 意 的 に"定 め る こ との 数学 的本 質 も明 らか にす る.

1.1 

  前 著[8]に

お い て,物

物 理 量 の 測 定 で は,量

定)に

252).こ

値 を も つ 状 態"で

あ る が,そ

関 す る 公 理 を 述 べ た 際 に,単

の 意 味 は,粗

い う こ とで あ る.た

くい え ば,物

の 直 後"の

と え ば,ス

は限 ら な 理 量Aの

状 態 は"物

理量

ピ ン を も つ 量 子 的 粒 子1個

子 の 位 置 だ け を測 定 し,あ

ピ ンの 在 り方 に つ い て は 不 明 の ま ま で あ る か ら,そ

状 態 の 重 ね 合 わ せ の 状 態 に あ る).こ

定 さ れ る)と

独の

の よ うな状 態 が た だ 一 つ か ど うか は 一 般

て は 状 態 は 一 意 的 に 指 定 さ れ て い な い(ス

れ ば,ス

に

い う値 が 得 ら れ た と き,"そ

か ら な る 量 子 系 に お い て,粒 も,ス

め

子 力 学 的 状 態 は 一 意 的 に 定 ま る(指

測 定 に よ っ て,a∈IRと

的 に は わ か ら な い,と

じ

理 量 の 観 測(測

い こ と を注 意 して お い た([8]のp.

Aがaの

は

る値 が 得 られ た と して の よ う な測 定 に よっ

ピ ン に つ い て は,異

の 場 合,状

な るス ピ ン固 有

態 を よ り詳 細 に 指 定 し よ う と す

ピ ン の 測 定 も 行 う 必 要 が あ る*1.

  測 定 に よ る 状 態 の 一 意 的 決 定 性 の 条 件 を 理 論 的 に探 る こ と は,実

験 的 に は,初

期 状 態 を 設 定 す る こ と― こ れ を 状 態 の 準 備 と い う― ま た は 終 状 態 の 同 定 に と っ て 重 要 で あ る. *1  ス ピ ン に つ い て は ,[8]のp.

272の

脚 注 お よ びp. 424を

参 照.

  い ま の例 か ら示 唆 され る よ うに,量 子 系 に関 して,測 定 に よ っ て状 態 を一 意 的 に定 め る た め に は,一 般 には,複 数 の物 理 量 の 組 の観 測 が 必 要 と さ れ る.こ で,"物

理 量A1,…,ANの

理 的 描 像 は,A1,…,ANの

こ

測 定 に よ り状 態 が 一 意 的 に定 ま る"と い う こ との 物 測 定 値 の組(a1,…,aN)(ajはAjの

可能な測定値

の 任 意 の 一 つ)の そ れ ぞ れ にた だ一 つ の状 態 Ψa1,…,aNが 対 応 し,A1,…,AN の 測 定 に よ り,こ れ らの 状 態 の うち の どれ か 一 つ が"選 び 出 され る"こ とで あ る*2.状 態 Ψa1,…,aNに お い て は,A1,A2,…,ANは

そ れ ぞ れ,a1,a2,…,aN

の 値 を もつ.し か し,量 子 力 学 系 にお い て は,物 理 量Aを が 得 られ た と して も,そ の 状 態 で 別 の物 理 量Bを

測 定 し,あ る 測 定 値

測 定 した な らば,Aの

ま っ た く消 えて し ま う とい う事 態 が 起 こ り うる.そ の よ う な場 合 に は,Aの

情 報は

Bの

値と

値 の 両 方 が と もに 定 まっ て い る状 態 は指 定 され え な い.し た が っ て,こ の

よ う な物 理 量 の 組(A, B)を 状 態 の 指 定 に使 う こ と は で きな い.い

ま言 及 した,

量 子 力 学 特 有 の 現 象 形式 を考慮 す る と き,状 態 を指 定 す るた め の 複 数 の物 理 量 の 観 測 が 意 味 を もち う るの は,こ れ らの 物 理 量 の観 測 にお い て,そ の 物 理 量 の 測 定 に よっ て得 られ た情 報 が そ の ま ま保 持 され,同

の 中 の任 意

じ組 に属 す る 他

の 任 意 の物 理 量 の測 定 が可 能 で あ る よ うな 場 合 に 限 られ る.こ の よ う な測 定 は 共 立 的 で あ る(compatible)と

い い,共 立 的 測 定 が で き る物 理 量 の 組 を共 立 的 な

物 理 量 ま た は共 立 的 な観 測 量 と呼 ぶ(例:量

子 的粒 子 の位 置 作 用 素 とス ピ ン作 用

素 の 一 つ の 成 分 の 組*3).   と こ ろ で,非 可 換 な物 理 量 の 組 に 関 して は,一 般 化 され たハ イ ゼ ンベ ル クの 不 確 定 性 関 係([8]の 定 理3.5)が

適 用 され る の で,そ の よ う な物 理 量 の 組 は 共 立

的 で は あ りえ な い.し た が って,物 理 量 の 組 が 共 立 的 で あ る た め に は,そ れ が 可換 な物 理 量 の組 で あ る こ とが 必 要 で あ る.だ が,こ れ は 十 分 条件 で は な い*4.   この 章 で は,ま ず,測 定 に よ る状 態 の 一 意 的 決 定 性 の 問 題 を単 独 の物 理 量 に

*2 ajの 少 な くと も一 つ がAjの

連 続 スペ ク トル に属す る場 合 に は ,こ の い い方 は 正確 で は

な い.だ が,さ しあ た り,こ の粗 い 物 理 的描 像 か ら出 発 す る こ とは物 理 的 には 自然 で あ る. *3 本 書 で は ,「 演 算子 」 とい うか わ りに 「 作 用 素 」 とい う呼 び方 をす る. *4 詳 し くは ,1.4.1項 の 定 理1.13を 参照.物 理 の教 科 書 で は,可 換 性 の 条 件 だけ で事 足 れ りと してい る ものが 多 くみ られ るが,こ れが 有 効 なの は 有界 な 自己 共役 作 用 素 で表 され る物 理 量 の 場 合 だ けで あ る.

つ い て 論 じ,そ

の 根 底 に あ る 数 学 的 構 造 を 明 ら か に す る.次

に複 数 の 物 理 量 の

組 の 共 立 性 と そ れ ら の 観 測 に よ る 状 態 の 一 意 的 決 定 性 の 問 題 を 考 察 す る.

1.2 

単 独 の 物 理 量 に 関 す る 測 定(Ⅰ)―

  単 独 の 物 理 量 の う ち で も,扱 "本 質 的 に"固

純 点 ス ペ ク トル 的 な 物 理 量 の 場 合

い や す い の は,い

う ま で も な く,ス

有 値 だ けか らな る 物 理 量 の 場 合 で あ る

.そ

こ で,ま

ペ ク トル が

ず,そ

の よう

な 自 己 共 役 作 用 素 の ク ラ ス を 定 義 す る:

定 義1.1 

Tを

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

ク トル か ら な る,Hの

の 自 己 共 役 作 用 素 と す る.Tが

完 全 正 規 直 交 系(CONS)を

も つ と き,Tは

そ の 固有 ベ 純 点 スペ ク ト

ル 的 で あ る と い う.

  線 形 作 用 素Tの σ(T), σp(T)で

ス ペ ク トル と 点 ス ペ ク トル(Tの

命 題1.2 

自 己 共 役 作 用 素Tが

証 明   dim

H0

dμ)収 束 の 意 味 で 近 似 で き る.こ に よ っ てL2(IR, dμ)収

え に 

束の意

はL2(IR, dμ)で

の ス ペ ク トル は 単 純 で あ る. 

の 座 標 変 数x∈IRxに

■

よ る か け算 作 用 素x―

量 子 力 学 的 に は位 置

作 用 素― の ス ペ ク トル は 単 純 で あ る.

*8  こ の よ う な 測 度 をIR上 *9  [7]のp. *10 [2]の

136

の 局 所 有 界 な 測 度(locally

bounded

measure)と

いう

.

,例2.13.

p. 123,例3.6,[7]のp. ス ト ー ン の 公 式([8], p. 266)を

168,例2.18.μ 用 い れ ば,よ

が ル ベ ー グ 測 度dλ り容 易 に 証 明 で き る.

で な い 場 合 も 同 様.

例1.3 

L2(IRx)上

作 用 素;h=1の

の 運 動 量 作 用 素p:=-iDx(Dxはxに

関 す る 一 般 化 さ れ た微 分

単 位 系)を 考 え る.F1:L2(IRx)→L2(IRk)を1次

換 とす れ ば, 

が 成 り立 つ.し

元 の フ ー リエ 変

た が っ て,前 例 と命 題1.5に

よ っ て,pの

ス ペ ク トル は単 純 で あ る.

  1.3.2    定 義1.3と 定 義1.7 

巡 回 ベ ク トル 関 連 す る 概 念 を 導 入 し て お く. (ⅰ)  H上

の 線 形 作 用 素Tに

対 して

(1.8) をTのC∞-定

義 域 と い う*11.

  零 で な い ベ ク トル Ψ0∈C∞(T)に 稠 密 な と き,Ψ0をTの

つ い て, 

巡 回 ベ ク トル(cyclic

がHで vector)と

い う.こ

の 場 合,Tは

巡 回 ベ ク トル を も つ と い う*12.   (ⅱ)  T:={Tα}α

∈Λ(Λ は 添 え 字 集 合)をH上

で な い ベ ク ト ル  な と き,Φ0をTに Φ0を

の 線 形 作 用 素 の 集 合 と す る.零

が あ っ て, 

がHで

対 す る 巡 回 ベ ク トル と い う.こ

の 場 合,Tは

稠密

巡 回 ベ ク トル

も つ と い う.

  い ま 定 義 し た 概 念 を 用 い る と,自 こ と は,ス

己 共 役 作 用 素Aの

ス ペ ク トル が 単 純 で あ る

ペ ク トル 測 度 か ら つ く ら れ る 作 用 素 の 集 合 

ベ ク トル を もつ こ とで あ る と言 い 換 え ら れ る.ま る 生 成 元 で あ る こ と と 

た,あ

が巡 回 る ベ ク トル がAに

関す

に 対 す る 巡 回 ベ ク トル で あ る こ と は 同

じ こ と に な る.

  1.3.3  単 純 ス ペ ク トル を も つ 自 己 共 役 作 用 素 の対 角化   ヒル ベ ル ト空 間H上 意 を 調 べ よ う.AをH上 *11  こ れ は

の 自 己 共 役 作 用 素 の スペ ク トル が 単 純 で あ る こ と の 含 の 自 己 共 役 作 用 素 とす る.任 意 の Ψ ∈Hに

,Tを 何 回 で も 作 用 で き る ベ ク トル の 集 合 で あ り,部 密 と は 限 ら な い(Tに 依 存 す る). *12 Tの 巡 回 ベ ク トル は 一 つ と は 限 ら な い .

分 空 間 で あ る.た

対 して, だ し,稠

μAΨ:B1→[0,∞)を

(1.9) に よ って 定 義 す れ ば,こ れ は可 測 空 間(IR, B1)上 の有 界 測 度 で あ る*13.   自己 共 役 作 用 素Aの

ス ペ ク トル が 単 純 で あ る場 合 には,次 の 定 理 の 意 味 でA

は 対 角 化 され る: 定 理1.8 

AをH上

る.Ψ0をAに

の 自己 共 役 作 用 素 と し,Aの

スペ ク トル は単 純 で あ る とす

関 す る 生 成 元 とす る.こ の と き,次 の性 質 を もつ ユ ニ タ リ作 用

素 

が 存 在 す る:

  (ⅰ) UΨ0=1.   (ⅱ) 作 用 素 の等 式

(1.10) が 成 り立 つ.た

だ し,右

辺 はL2(IR, dμAΨ0)に

お い て 座 標 変 数 λ ∈IRに

よ るか

け 算 作 用 素 を 表 す.

  (ⅲ) 任 意 の Ψ ∈Hに

対 して,ボ

レル 可 測 関 数 

がただ 一

つあ って

(1.11) と 表 さ れ る.   (ⅳ) 任 意 の ボ レ ル 集 合J∈B1に

対 して

(1.12) 証 明   証 明 を 通 し て,μ:=μAΨ0と 素 解 析 に よ り,Ψ0∈D(f(A))で し た が っ て,写 Vは はHの

お く.任

意 のf∈L2(IR, dμ)に

あ り, 

像V:L2(IR,

dμ)→HをVf:=f(A)Ψ0に

*13 [7]のp.

194∼p.

195を

意 のJ∈J1に

参照

.

用

が 成 り立 つ.

線 形 な 等 長 作 用 素 で あ る.  部 分 空 間 で あ る.任

対 し て,作

よ っ て 定 義 す れ ば, と お け ば,M

対 し て,xJ∈L2(IR,

dμ)で あ る か ら,

 こ れ とAの で 稠 密 で あ る.部 H(n→∞)と

分 空 間Mが

し よ う.こ

在 す る.Vの

ス ペ ク ト ル の 単 純 性 に よ り,MはH

閉 で あ る こ と を 示 す た め に,Ψn∈M,

の と き,Ψn=fn(A)Ψ0と

基 本 列 で あ る.ゆ

と な るf∈L2(IR,dμ)が を 意 味 す る.し 上 か ら,M=Hが

で あ る.U:=V-1と

dμ)が 存

存 在 す る.こ

結 論 さ れ る.よ す れ ば,こ

閉であ ユニ タリ

れ が 求 め る も の で あ る こ と を 次 に 証 明 する.

対 して, 

し た が っ て,作 あ り,Vλf=Af(A)Ψ0=AVfが

れ は λ ⊂V-1AVを

作 用 素 の 等 式 λ=V-1AVが

  (ⅳ)  (1.12)の

え にMは

っ て,V:L2(IR, dμ)→Hは

用 素 解 析 に よ り,Vf=f(A)Ψ0∈D(A)で

  (ⅲ) 任 意 の Ψ ∈Hに

れ は 

あ る か ら,UΨ0=1.

  (ⅱ) 任 意 のf∈D(λ)に

成 り立 つ.こ

え に, 

た が っ て,Ψ=f(A)Ψ0∈M.ゆ

  (ⅰ) 明 ら か に,V1=Ψ0で

意 味 す る.両 得 ら れ る.こ

対 して,fΨ=UΨ

右 辺 の 集 合 をMJと

辺 と も に 自 己 共 役 で あ る か ら,

れ は(1.10)と

同 値 で あ る.

と す れ ば よ い.

す れ ば,任 意 のf∈MJに

で あ る か ら, 

対 し てL,xJf=f

し た が っ て,f(A)Ψ0∈R(EA(J)).

ゆ え に,VMJ⊂R(EA(J)).逆

に,任

と書 け る(Φ

∈H).Φ=g(A)Ψ0(g∈L2(IR,

xJg∈MJで

あ る か ら,Ψ

(1.12)が

な るfn∈L2(IR,

意 の Ψ ∈R(EA(J))は,Ψ=EA(J)Φ dμ))と

∈VMJ.よ

す れ ば Ψ=V(ｘJg).

っ て,VMJ=R(EA(J)),す

な わ ち,

成 り立 つ. 

  1.3.4 

Ψ ∈

等 長 性 に よ り, 

し た が っ て,{fn}nはL2(IR,dμ)の

る.以

Ψn→

物 理 的 含 意―

  定 理1.8と

定 理1.6に

■

測 定 に よ る状 態 の 一 意 的 指 定 よ っ て,ス

て 表 さ れ る 物 理 量 に つ い て は,Aの

ペ ク トル が 単 純 な 自 己 共 役 作 用 素Aに

測 定 に よ る 状 態 の 一 意的 指 定 に 関 す る 問 題

に 対 して,次

に 述 べ る 意 味 で 肯 定 的 な 答 が 得 ら れ る.Ψ0をAに

と し よ う.ヒ

ル ベ ル ト空 間 

台suppμAΨ0は

σ(A)に

含 ま れ る)は,Aの

ス ペ ク トル の 測 定 と い う 描 像 と 結 び

こ で,測

空 間(spectral

れ と対 応 し て,任

呼 ぶ.こ

関す る生 成 元 (∵ 測 度 μAΨ0の

つ い た 状 態 空間 と 解 釈 さ れ る.そ space)と

よっ

度 空 間(IRλ, μAΨ0)をAの 意 の 状 態 Ψ ∈Hに

ス ペ ク トル 対 して 一

意 的 に定 ま る,ス ペ ク トル 空 間 上 の状 態 関 数fΨ は,状 態 Ψ にお い て 物 理 量A を測 定 した と き に得 られ る情 報 の(ス ペ ク トル空 間上 で の)担 い 手 で あ る と解 釈 され る.い ま の場 合,Aは 理2.27-(ⅰ)(p.127)に

か け算 作 用 素 λに ユ ニ タ リ同 値 で あ るの で,[7]の 定

よっ て

(1.13) が 成 り立 つ こ と に も 注 意 し よ う.

さて,物 理 量Aの

測 定 に よ っ て,Aの

測定値が区 間

(1.14) (ε>0は

十 分 小)の

中 に あ る こ と が 知 ら れ た と し よ う.た

す る.し

た が っ て,(1.13)に

だ し,λ0∈

σ(A)と

よ っ て,

(1.15) 観 測 の 公 理 に よ り,測 定 に よ っ て 指 定 さ れ た 状 態 はR(EA(〓 い ま,そ

の よ う な 元 の 任 意 の 一 つ を Φε ≠0と

トル 空 間 上 の 状 態 関 数 は 定 理1.8-(ⅲ)に る.さ

ら に,定

理1.8-(ⅳ)に

こ れ か ら,ε ↓0と

す る こ と は,ス

方,ε

よ っ てfΦ ε∈L2(IR,dμAΨ0)で

ペ ク

与 え られ

ペ ク トル 空 間 上 の 状 態 関 数 の 台 が ど ん ど ん 狭

態fΦ ε の 決 定 の 精 度 が あ が る こ と に 対 応 す る と

↓0と い う過 程 は,測

測 定 の 精 度 を あ げ る こ と に 対 応 す る.こ 一 意 的 に 指 定 す る と解 釈 さ れ る   特 殊 な 場 合 と し て,も

れ に 対 応 す る,ス

よ って

く な る と い う 意 味 に お い て,状 解 釈 さ れ る.他

し よ う.こ

ε))の 元 で 表 さ れ る.

定 の 観 点 か ら は,Aの

の 意 味 に お い て,Aの

ス ペ ク トル の 測 定 は,状

態 を

.

し,λ0がAの

固 有 値 で λ0の 十 分 小 さ い 近 傍 に は,λ0

以 外 にAの

ス ペ ク トル が な い と す れ ば― こ の よ う な 固 有 値 を 孤 立 固 有 値 と い

う*14―,十

分 小 さ な ε に対 し て,Φ ε は λ0の 固 有 ベ ク トル に な る.実

*14 一 般 に

際,い

,ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 線 形 作 用 素Tの 固 有 値 λ に つ い て,あ る δ>0が あっ て,σ(T)∩(λ-δ,λ+δ)={λ}が 成 り立 つ と き,λ はTの 孤 立 固 有 値(isolated

eigenvalue)で

あ る と い う.

ま の 条 件 の も と で は,十

分 小 さ な任 意 の ε>0に

対 し て,EA(〓

と な る か ら, 

で あ り,最

に 属 す る 固 有 ベ ク トル で あ る([7]のp.171,命

題2.54-(ⅱ)).他

よ っ て,λ0の の 場 合,量

固 有 ベ ク トル は 定 数 倍 を 除 いて一意

子 力 学 的 状 態 が 一 意 的 に 定 ま る.こ

ペ ク トル 空 間 上 で の 状 態 関 数fΦ

ε)=EA({λ0})

右 辺 はAの

的 で あ る.し

固 有 値 λ0

方,命

題1.4に

た が っ て,い

ま

の 固 有 ベ ク トル に 対 応 す る,ス

ε(λ)は

(1.16) に よっ て 定 義 さ れ る 関 数 η0の 零 で な い定 数倍 で 与 え られ る*15.   Aの ス ペ ク トル σ(A)の 点 λ0がAの

孤 立 固 有 値 とは 限 らな い 場 合 に も,上

述 の解 釈 を支 持 す る,も っ と精 密 な議 論 を展 開す る こ とが 可 能 で あ る(演 習 問題 2を 参 照).   こ う して,量 子 力 学 にお い て は,単 純 スペ ク トル を もつ 自己 共 役 作 用 素 に よっ て表 され る 物 理 量 が よ り基 本 的 な 対 象 で あ る こ とが知 られ る.そ

こで,そ

のよ

う な物 理 量 に 名 前 を つ け て お く: 定 義1.9 

量 子 力 学 の コ ン テ ク ス ト に お い て,ス

ペ ク トル が 単 純 で あ る 自 己 共

役 作 用 素 に よ っ て 表 さ れ る 物 理 量 を 極 大 観 測 量(maximal

observable)ま

たは

極 大 物 理 量 と 呼 ぶ.

  以 下,量

子 力 学 の コ ン テ ク ス トで な い 場 合 で も,語

の 使 い 方 を拡 張 し て,極

大 観 測 量 ま た は 極 大 物 理 量 と い う 言 葉 を 使 う こ と に す る. 例1.4 

例1.2に

よ っ て,L2(IRx)上

の 位 置 作 用 素xは

例1.5 

例1.3に

よ っ て,L2(IRx)上

の 運 動 量 作 用 素pは

  あ る 対 比 的 な 意 味 に お い て.極

極 大 観 測 量 で あ る. 極 大 観 測 量 で あ る.

大 観 測 量 に な ら な い 基 本 的 な物 理 量 の 一 般 的

ク ラ ス の 一 つ を あ げ て お こ う: *15 関 数 η 0は,も ち ろ ん,ル ベ ー グ 測 度 に 関 し て はa.e. L2(IR)の 元 と して は0で あ る.だ が,μAΨ0({λ0})≠0で に 関 し て はa.e.零 な い.

に は な ら な い.し

0で

あ る.し た が っ て,η0は あ る か ら,η0は,測 度 μAΨ0

た が っ て,L2(IR,dμAΨ0)の

元 と して は η0は0で

命 題1.10 

H, Kを

可 分 な ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,dim

の 共 役 子 と し,H上

K〓2と

す る.CをH上

の 自 己 共 役 作 用 素AはEA(J)C=CEA(J),∀J∈J1…(*)

を 満 た す も の と す る*16.こ

の と き,A 

証 明  同 型 定 理([7,p.80,定

Iは 極 大 観 測 量 で は な い.

理1.41])に

よ り,K=CN(N0は

定 数)は

理

λに関する生

⊂∞(λ)で あ る こ と が わ か る.し

た

お け ば, 

稠 密 で あ る こ と を示 そ う(こ の と き, 

Hで 稠 密 に な る の で,Φ0はAの n∈{0}∪INに

よ っ て,IR上

あ っ て,UAU-1=λ

は 有 界 測 度 で あ る か ら,ψ0∈

が っ て,Φ0:=U-1ψ0と

極 大 観 測量 で あ るた め

巡 回 ベ ク トル で あ る).f∈D⊥

対 し て, 

と し て, 

*18  自 然 な 同 型L2(IRx;C2)〓L2(IRx) 

は と す れ ば,任 意 の

し た が っ て,t∈IRを と お け ば,∫IRgNV(λ)ψ0(λ)f(λ)dμ(λ)=0.

C2に

おい て

,Xはx 

Iに

対 応 す る.

任意

limN→

∞gN(λ)=eitλ,λ

(CtはN,λ

∈IRで

あ り

に 依 ら な い 定 数).μ

が 有 界 測 度 な の で￨f￨∈L1(IR,dμ)で

積 分 に 関 す る シ ュ ヴ ァ ル ツ の 不 等 式).し て 

た が っ て,ル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 に よ っ

が 導 か れ る.Imz0に

対 し て は 

z=x±iε(x∈IR,ε>0)と

が 得 ら れ る.

し て,xに

つ い て,aか

らbま

で 積 分 し(a0は

定 数,Δ

は 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン)は 極 大 観 測 量 で は な い.

証 明 

質 量 を表 す

を フ ー リエ 変 換 と し, 

す れ ば,FdH0F-1d=hが 1.5に よ っ て,hも 一 つ を ψ0∈C∝(h)と で あ る.し

べ て のJ∈J1に

は λ に 関 す る 生 成 元 で あ っ た か ら,

  (十 分 性)Aは

がHで

ベー グの優収

成り 立 つ.仮 極 大 観 測 量 で あ る.し す る

.こ

に,H0が

と

極 大 観 測 量 で あ る と す れ ば,命 題

た が っ て,hは

巡 回 ベ ク トル を もつ.そ

の と き, 

た が っ て,ψ0(k)≠0,a.e.k.ま

はL2(IRdk)で た,任

意 のN∈INに

対 し て,ベ

の

稠密 ク トル

ψ0,hψ0,…,hNψ0は の1.1.5項)に

線 形 独 立 で あ る.し

た が っ て,グ

よ り, 

ラ ム-シ

とな る もの が 存 在 す る.し た が って,特 に,各 φnは￨k￨の で あ る か ら,  NlでNl→

(S⊂IRdは,ル

関 数 で あ る. 

と展 開 で きる(cn∈C).し

∞(l→

ュ ミ ッ ト の 直 交 化([7]

で

た が っ て,部

分列

∞)か つ

ベ ー グ測 度 に 関 す る,あ る零 集 合)を 満 た す もの が と れ る.  とお く と,こ れ は 空 集 合 で は な い.上 の こ とか ら,任 意 のk∈

に 対 して,  で あ る が,左

右 辺 は,変 辺 は 符 号 が 変 わ る.し

た が っ て,こ

数 変 換k→-kに

れ は矛 盾 で あ る.ゆ

Ω

対 して 不 変 え にH0は

極大

観 測 量 で は な い. 

■

1.4  複 数 の物 理 量 の測 定 に よる状 態 の一 意 的 決 定(Ⅰ)― 純 点 スペ ク トル 的 な物 理 量 の 組 の場 合

  次 に,2個

以 上 の 物 理 量A1,…,AN(N〓2)―

ヒルベ ル ト空 間Hで

働 くも

の とす る― の 共 立 的測 定 可 能性 と共 立 的 測 定 に よ る状 態 の 一 意 的 決 定性 の 問 題 を考 察 す る.た だ し,こ の 節 で は,簡 単 な場 合 だ け を取 り扱 う.す な わ ち,各 Ajが

純 点 ス ペ ク トル 的 で あ る場 合 で あ る.Ajの

点 スペ ク トル は次 の形 で 与 え

られ る とす る:

(1.17) こ こで,添 え字ljは 有 限集 合 ま た は可 算 無 限 集 合 を走 る.ま た,n≠mな

らば

λ(j)n≠λ(j)mとす る.解 析 に進 む前 に,複 数 の 自 己共 役 作 用 素 の 固 有 ベ ク トル に 関 す る 基 本 的 な 概 念 を定 義 して お く. 定 義1.12   

T1,…,TN(N〓2)をH上

(ⅰ) ベ ク トル Ψ ∈HがT1,…,TNの

あ り,各jに

対 し て,Tjの

の 自己 共 役 作 用 素 とす る 同 時 固 有 ベ ク トル で あ る と は,Ψ ≠0で

固 有 値 λj∈ σp(Tj)が

あ っ てTjΨ=λjΨ,j=1,…,N

が 成 り立 つ と き をい う*19.こ の 場 合,固

有 値 の 組(λ1,…,λN)をT1,…,TN

の 同 時 固 有 値 とい う.   あ る同 時 固有 値 を与 え る 同 時 固 有 ベ ク トル が定 数倍 を除 い て た だ一 つ しか存 在 しな い と き,そ の 同 時 固 有 値 は単 純 で あ る とい う.   同 一 の 同 時 固 有 値 を与 え る 同時 固有 ベ ク トルで 線 形 独 立 な もの が2個

以上 あ

る と き,そ の 同 時 固有 値 は 縮 退 して い る とい う.   (ⅱ) T1,…,TNの 同 時 固 有 ベ ク トル の集 合 がHのCONS(完 全 正 規 直交 系) を なす と き,T1,…,TNは 同時 固有 ベ ク トル の 完 全 系 を も つ とい う.   物 理 量T1,…,TNが

同時 固有 ベ ク トル の 完 全 系 を もつ と し よ う.T1,…,TN

を測 定 す れ ば,同 時 固 有 値 の 一 つ λ=(λ1,…,λN)が

得 られ る(公 理).こ れ

に よ っ て状 態 が 一 意 的 に定 ま るた め に は,λ は単 純 で な け れ ば な らな い.逆 に, T1,…,TNの

任 意 の同 時 固 有値 が 単 純 で あ れ ば,こ れ らの 測 定 は 明 らか に状 態

を一 意 的 に定 め る.し たが っ て,同 時 固 有 ベ ク トル の完 全 系 をも つ物 理 量 の 組 の 測 定 が状 態 を一 意 的 に決 定 す る た め の必 要 十 分 条 件 は,そ の す べ ての 同 時 固 有 値 が 単 純 で あ る こ とが 結 論 され る.こ の 条 件 を満 た す物 理 量 の 組(T1,…,TN） ― す な わ ち ,そ の 同 時 固 有 ベ ク トル の 全 体 は完 全 系 を な し,か つ そ のす べ て の 同 時 固 有 値 が 単 純 で あ る よ うな物 理 量 の 組― は純 点 スペ ク トル 的 に極 大 で あ る (maximal)と

い う.こ

う して,純 点 スペ ク トル 的 な物 理 量 の 組 につ い て は,そ

の 測 定 に よ っ て状 態 が 一 意 的 に定 ま る よ うな ク ラス が 決 定 され る.そ

こ で,以

下 で は,物 理 量 の 組 が純 点 ス ペ ク トル 的 に極 大 で あ るた め の 条 件 を検 討 す る.

  1.4.1  同 時 固 有 ベ ク トル が完 全 系 をな す ため の 条 件  次 の定 理 を証 明 す る: 定 理1.13 

(1.17)を 仮 定 す る.こ の と き,A1,…,ANが

完 全 系 を もつ た め の 必 要 十 分 条件 はA1,…,ANが

同 時 固 有 ベ ク トルの

強 可 換 で あ る こ とで あ る.

  この定 理 を証 明 す る ため に,あ る基本 的 な一般 的 事 実 を補 題 と して述 べ てお く: *19 い う ま で も な く な よ う に,Tjの

,こ の"同 時"は,時 間 的 に 同 時 と い う意 味 で は な い.定 う ち一 つ で も 固 有 値 を も た な い も の が あ れ ば,T1,…,TNの

ベ ク トル は 存 在 し な い .

義 か ら明 らか 同 時固 有

補 題1.14 

TをH上

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,MをHの

の 正 射 影 作 用 素 をPと

す る*20.も

不 変 に す る な ら ば(i.e.,Ψ

し,す

∈Mな

閉 部 分 空 間 と し,Mへ

べ て のt∈IRに

ら ばeitTΨ

対 し て,eitTがMを

∈M),

(1.18) が 成 り立 つ.特

に,TはMに

よ っ て 簡 約 さ れ る.

証 明   仮 定 に よ り,  Pe-itT.左 (1.18)が

辺 は(*)に

よ っ て,e-itTPに

す る.(1.18)に

有 界 性 に よ り,左

t=0で

等 しい.t∈IRは

任 意 で あ る か ら,

得 ら れ る.

  次 に Ψ ∈D(T)と Pの

こ の 式 で 共 役 を と る と,Pe-itTP=

よ り, 

辺 はt=0で

強 微 分 可 能 で あ る.し

強 微 分 可 能 で あ る か ら,[8]の

PTΨ=TPΨ

が 成 り立 つ.す

と

定 理3.37に

た が っ て,右

よ っ て,PΨ

な わ ち,PT⊂TP.よ

辺 も

∈D(T)か

っ て,TはMに

つ

よって

簡 約 さ れ る. 

定理1.13の

■

証 明   (必 要性)Ajの

固有 値 を重 複 を込 め て数 えた もの を μ(j)qjと する

(集 合 と して は, 

の同

時固有ベクトルからなるCONSと する:すなわち,  で あ り,{Ψq1,…,qN}q1,…,qNはHのCONSを

任意のt∈IRとj=1,…,Nに したが っ て,任

な す と す る.作

用 素 解 析 に よ り,

対して, 

意 のs∈IRとk=1,…,Nに

対 して, 

こ れ か ら,  が 導 か れ る.任

意 のΨ

∈Hは{Ψq1,…,qN}q1,…,qNで

は 有 界 で あ る か ら,   

展 開 で き,eisAk,eitAj が 得 ら れ る.し

ゆ え に,[8]の

定 理3.13に

た が っ て.

よ っ て,AjとAkた

は強

可 換 で あ る.   (十 分 性)A1,…,ANは

強 可 換 で あ る と す る. 

と お く と(l1,…,lN)≠(l'1,…,l'N)な

ら ばHl1,…

,lNとHl'1,…,l'Nは直

交

*20 [7]に お い て射 影演 算 子(直 交射 影)と 呼 んだ作 用 素 を ,本 書 で は,正 射 影作 用 素 と呼 ぶ.

す る.仮

定(1.17)に

Hl1,…,lNが

成

よ り, 

で あ る の で,H= 

り 立 つ.Ak,Aj(j≠k,j,k=1,…,N)の

強 可 換 性 に よ り,任

意 のs,t∈IRに

対 し て, 

し た が っ て,任

ker(Ak-λ(k)lk)に

対 し て, 

そ こ で,s=0で

分 を 考 察 す れ ばeitAjΦ

がker(Ak-λ(k)lk)を

∈D(Ak)か

で あ り,Hl1

(Ml1,…,lN〓

え に,補

た が っ て,  同 時 固 有 ベ ク トル で あ る:

同 時 固 有 ベ ク ト ル の 完 全 系 を も つ. 

■

一 つ の物 理 量 で表 す こ と

も と で,A1,A2,…,ANは

強 可 換 で あ る とす る.こ

の と き,定

同 時 固 有 ベ ク トル か ら な る 完 全 正 規 直 交 系 が

ま,こ れ を{Ψm}∝m=1で

に 関 す る 固 有 ベ ク トル 方 程 式(固

表 し(dim

H=+∞

の 場 合 を 考 え る),Aj

有 値 方 程 式)を 

と 書 く(し

合 と して, .

  有 界 な 実 数 列 κ:={κm}∝m=1でm≠nな

ら ばκm≠κnを

の を 任 意 に と り,C:=supm〓>1￨κm￨0).

Aの

各 固 有 値κmは

単 純 で あ る.し

  各j=1,…,Nに

対 し て,IR上

に よっ て定 義 す る*22.Fjは

た が っ て,Aは

極 大 観 測 量 で あ る(例1.1).

の 関 数Fj:IR→IRを

連 続 関 数列 の各 点 極 限 と して 書 け る ので,ボ レル 可

測 で あ る.次 の定 理 を証 明 す る: 定 理1.15 

仮 定(1.17)の

も と で,A1,A2,…,ANは

強 可 換 で あ る とす る.こ

の と き,Aj=Fj(A),j=1,…,N.

証明  作用素解析 によ り,  とす れ ば,こ れ はHで

稠密 な部 分 空 間 で あ り,各AjはD上

で 本 質的 に 自己共 役 で あ る([7]の 命 題2.79の 証 明 と同様).(*)はAj￨D⊂Fj(A) を意 味 す るか ら,両 辺 の 閉 包 を と る こ とに よ り,Aj⊂Fj(A)が 辺 とも に 自己 共 役 で あ る か ら,Aj=Fj(A)で   定 理1.15は,量

した が う.両

な け れ ば な らな い. 

■

子 力 学 の コ ンテ ク ス トで は,次 の こ と を意 味 す る:強 可 換 な

純 点 ス ペ ク トル 的 物 理 量 の組 の各 要 素 は,あ る一 つ の 極 大 観 測 量(こ れ も純 点 ス ペ ク トル的)の 関 数 と して表 され る.   次 の 事 実 は,Aの 系1.16 

定 理1.15の

定 義 と定 理1.15か

らた だ ち に導 か れ る:

仮 定 の も と で,物

理 量 の 組(A1,…

,AN,A)は

純点スペ

ク トル 的 に 極 大 で あ る.

  こ う して,純

点 ス ペ ク トル 的 か つ 強 可 換 な物 理 量 の 組 に対 して は,こ れ に あ

る純 点 ス ペ ク トル 的 物 理 量 を付 け 加 え る こ と に よ り,常 に,純 点 スペ ク トル 的 に極 大 な 物 理 量 の 組 をつ くる こ とが で きる こ とが わ か る. 注 意1.2 

作 用 素Aの

構 成 か ら わ か る よ う に,Aj=Fj(A)(j=1,…,N)と

な る よ う な 有 界 自 己 共 役 作 用 素Aと

*22 以 下 の 議 論 か ら わ か る の だ が

,実

は,κ

関 数Fjは

≠κmに

無 数 に 存 在 す る.

お け るFjの

値 は ど う定 め て も よ い.

1.5  複 数 の物 理 量 の 測 定 に よ る状 態の 一 意 的決 定(Ⅱ)―

一 般 の場 合

  こ の節 で は,必 ず し も純 点 ス ペ ク トル 的 で な い 物 理 量 の 組 の 測 定 に よ る状 態 の 一 意 的 決 定 性 の 問 題 を考 え る.こ の 一 般 の場 合 は,当 然,前

節 の特 殊 な場 合

を含 まな けれ ば な ら な いか ら,対 象 と な る物 理 量 の 組 は強 可換 で な け れ ば な ら な い.こ の 点 は以 下 の議 論 にお い て 大 前 提 とな る も ので あ る.

  1.5.1 

可 換 な観 測 量 の 極 大 な組

  A1,…,ANを

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の 強 可 換 な 物 理 量 の組 と し

(1.20) と お く.た

と え ば,A1が

る と,A1がaを

連 続 ス ペ ク トル を も ち,a∈

と る 状 態 はHの

σ(A1), a〓

σp(A1)と

中 に は 存 在 し な い の で(∵EA1({a})=0),前

節 の 場 合 と は 異 な り,A1,…,ANの

ス ペ ク トル の 点 の 組 を 用 い て 状 態 を 指 定 す

る こ と は で き な い.し

た が っ て,現

さ れ ね ば な ら な い.そ

の た め の 自 然 な ア イ デ ア の 一つ は,単

下 の 問 題 を解 く た め に は,別

の方 法 が探 索

独 の 物 理 量 の場 合

の 極 大 性 の 概 念 を 複 数 の 物 理 量 の 場 合 へ と拡 張 す る こ と で あ る.こ う に し て な さ れ る.仮 ペ ク トル 測 度EA トル 測 度EAが

定 に よ り,A1,…,ANは

1(・),…,EAN(・)は 定 義 さ れ る([7]の

ク トル 測 度 で あ り,す

す

強 可 換 で あ る か ら,そ

可 換 で あ る.し 定 理2.67).す

べ て のB1,…,BN∈B1に

れ は次 の よ

た が っ て,そ

な わ ち,EAはIRN上

れ らの ス

の直 積 ス ペ ク のスペ

対 して

(1.21) を満 たす もの で あ る.作 用 素 解 析 に よ り,ス ペ ク トル 測 度EAを

用い ると

(1.22) と表 示 され る こ とが わか る.EAの

台

(1.23)

をAの ANの

結 合 ス ペ ク トル(joint

呼 ぶ*23.こ

れ は,物 理 的 に は,A1,…,

測 定 値 の 組 全 体 の 集 合 を 表 す と 解 釈 さ れ る.

注 意1.3 一 が,等

spectrum)と

般 に,suppEA⊂

σ(A1)×

号 は 成 立 す る と は 限 ら な い(次

例1.9 

P1,…,Pd(d∈IN)をH上

…

× σ(AN)で

あ る(演

習 問 題6).だ

の 例 を 参 照).

の 強 可 換 な 自己 共 役 作 用 素 の 組 とす る.m〓0

を定 数 と して,P0:=(P21+…+P2d+m2)1/2と で あ り, 

お く.こ の と き,P0は が 成 り立 つ.ま

自己共役

た,P:=(P0,P1,…Pd)

は 強 可 換 で あ る.   次 の 事 実 が 成 立 す る:

とお くと

(1.24) 証 明 任意 の Ψ ∈∩dj=1D(P2j)に 対 して,Ψ ∈D(P20)で

あ り,

 これ は 

を意 味 す る.

した が っ て, 

は稠 密 で あ るか ら,

 が 得 られ る.ゆ   V+mは,特

え に(1.24)が

殊 相 対 性 理 論 に お い て,質

素 の組Pは,相

成 り立 つ.  量mの

■

超 双 曲 面 と呼 ば れ る.自

対 論 的 場 の 量 子 論 の コ ン テ クス トにお い て は,質 量mの

の エ ネ ル ギ ー ・運 動 量 作 用 素 を 表 す.σ(Pj)=IR(通

己 共役作 用 量 子的粒 子

常 の 場 合)な ら ば,(1.24)は

を示 す.   定 義1.9の

多次 元 版 と して,次 の 定 義 は 自然 な もの で あ る:

定 義1.17  物 理 量 の 組Aに を もつ と き,Aは

とす る.強 可 換 な つ い て,作 用 素 の集 合{EA(B)￨B∈JN}が 極 大 で あ る とい う.こ の場 合,Aを

*23 ス ペ ク トル 測 度 の 台 の 定 義 に つ い て は[7]のp.192を

参照

巡 回 ベ ク トル Ψ0 可 換 な観 測 量 の極 大 な組 .

(maximal

set of commuting

う*24.Ψ0をAに

observables)ま

た は可 換 な物 理 量 の極 大 な組 とい

関 す る 生 成 元 と い う.

  こ の定 義 が 意 味 を もつ た め に は,そ れ が,純 点 ス ペ ク トル 的物 理 量 の 組 の極 大 性 の概 念 の 拡 張 に な って い る こ と を確 か め てお く必 要 が あ る.実 際,次

の事

実 が 成 立 す る: 命 題1.18 

Aを

強 可 換 な純 点 ス ペ ク トル 的 物 理 量 の 組 とす る.こ の と き,A

が 純 点 ス ペ ク トル 的 に極 大 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Aが(上

に 定 義 した

意 味 で)極 大 で あ る こ と で あ る. 証 明   (必 要 性)Aは

純 点 ス ペ ク トル 的 に 極 大 で あ る と し よ う.こ

の と き,Hの

CONS  で  と な る も の が あ る.正

の 数Cλ1,…,λNで 

を 満 た す もの

に 対 し て, 

は 収 束 す る.作

用 素解 析 に よ り

 . これ か ら,L({EA(B)Ψ0￨B∈ JN})がHで

稠 密 で あ る こ と が 導 か れ る.ゆ

巡 回 ベ ク トル で あ る の で,Aは   (十 分 性)Aは

え に,Ψ0は{EA(B)￨B∈JN}の

極 大 で あ る.

極 大 で あ る と し,Ψ0を{EA(B)￨B∈JN}の

す る.定

理1.13に

に,Aが

純 点 ス ペ ク トル 的 に 極 大 で な い とす れ ば,A1,…,ANの

(λ1,…,λN)で

よ り,A1,…,ANは

巡 回 ベ ク トル と

単 純 で な い も の が あ る.し

の 次 元 は2以

上 で あ る.一

元 で あ る.し

た が っ て,η

に な る.こ

同 時 固 有 ベ ク トル の 完 全 系 を も つ.仮

方,η:=EA({λ1}×

の 極 大 性 に 反 す る.ゆ

た が っ て,M:=∩Nj=1ker(Aj-λj) …

×{λN})Ψ0≠0はMの

と 直 交 す る 零 で な い ベ ク トルxがMの

の 場 合,xは{EA(B)Ψ0￨B∈JN}と え にAは

同時 固有値

中にある こと

直 交 す る こ と に な る の で,A

純 点 ス ペ ク トル 的 に 極 大 で な け れ ば な ら な い.

■

*24 前 者 の 呼 び方 のほ うが 標 準 的 と思 われ るの で本 書 で も以 下

,こ の 慣 習 に したが う.

   

  1.5.2 

同

時 対

角 化

  可 換 な観 測 量 の 極 大 な組 に対 して,定 理1.8の

拡 張 とみ られ る定 理 が 成 立 す

る こ とを示 そ う.   Aを 可 換 な観 測 量 の極 大 な 組 と し,Aに 関 す る生 成 元 の 一 つ を Ψ0と す る. B NをN次 元 の ボ レル集 合 体 とす る.こ の と き,可 測 空 間(IRN, BN)上 の 測 度 μAΨ0を

(1.25) に よ っ て定 義 で きる.こ れ は 有 界 な 測 度 で あ る. 定 理1.19 

Aを

U:H→L2(IRN,

上 の も の と す る.こ

の とき,次

の 性 質 を も つ ユ ニ タ リ作 用 素

dμAΨ0)が 存 在 す る:

(ⅰ) UΨ0=1.  (ⅱ) 作 用 素 の 等 式

(1.26) が 成 り立 つ.た

だ し,右 辺 はL2(IRN,

に よ る か け 算 作 用 素 を 表 す(IRNの   (ⅲ) 任 意 の Ψ ∈Hに 一つ あって

対 し て,ボ

dμAΨ0)に お い て 第j番 点 を(λ1,…,λN)と レ ル 可 測 関 数fΨ

目 の 座 標 変 数 λj∈IR 記 す).

∈L2(IRN, dμAΨ0)が

た だ

(1.27) と 表 さ れ る.

(ⅳ) 任 意 の ボ レ ル集 合B∈BNに

対 して

(1.28) 証 明   定 理1.8の

証 明 と ま っ た く並 行 的 で あ る の で 省 略 す る(演 習 問 題7).  ■

  単 独 の極 大 観 測 量 の場 合 と同様 の考 察 に よ り,定 理1.19は,物 理 量.A1,…,ANの 釈 さ れ る.こ

理 的 には,物

組 の 測 定 が 状 態 を一 意 的 に定 め る こ とを意 味 す る もの と解

う して,1.1節

で提 起 され た 問題 に対 す る一 つ の解 答 が得 られ る.

  1.5.3  基 本 的 な 構 造   可 換 な 観 測 量 の極 大 な組 を見 い だ す た め の基 本 と なる 構 造 につ い て述 べ て お こ う.   次 の命 題 は,可 換 な観 測 量 の極 大 性 はユ ニ タ リ不 変 な性 質 で あ る こ と を語 る: 命 題1.20 

Kを ヒ ルベ ル ト空 間 と し,U:H→Kを

ユ ニ タ リ変 換 とす る.A

が 可 換 な 観 測 量 の 極 大 な組 な らば,(UA1U-1,…,UANU-1)も

可換 な 観 測 量

の 極 大 な 組 で あ る. 証 明   命 題1.5の 定 理1.21 

証 明 と同 様. 

H1,…,HNを

■

ヒ ルベ ル ト空 間 と し,AjをHj上

の極大観測量 と し

(1.29)

と す る.こ

の と き,(A1,…,AN)は Nj=1Hjに

お け る 可換 な観 測 量 の 極 大 な組

で あ る.

証 明   前 著[8]の4.2節 可 換 で あ る.さ

を 満 た す.し

で み た よ う に,Ajは

ら に,こ

自 己 共 役 で あ り,A1,…,ANは

れ ら の 直 積 ス ペ ク トル 測 度EAは

た が っ て,Ajに

関 す る 生 成 元 を ηjと し,Ψ0:=η1 

お け ば,  …

で あ る.ゆ

×JN)Ψ0と

稠 密 で あ る か ら,DはHで

L2(IRN)に

稠 密 で あ る.こ え に,題

リ同 値 で あ る([8],4.2節).定

NL2(IR)([8],4.1節)に 理1.21に

の 事 実 と命 題1.20と

部分 含 む. 関 ■

極 大 で あ る. お い て,xjはxjと

よ っ て,(x1,…xN)は

に よ っ て,題

れ は,Ψ0がAに

意 が 成 立 す る. 

お け る位 置 作 用 素 の 組x1,…,xNは

証 明   自然 な 同 型L2(IRN)〓 

な 組 で あ る.こ

え に,EA(J1×

代 数 的 テ ン ソ ル 積D:= Nj=1Djを

す る 生 成 元 で あ る こ と を 意 味 す る.ゆ 例1.10 

… ηNと

い う 型 の ベ ク ト ル に よ っ て 生 成 さ れ る 部 分 空 間 は ,Hjの

空 間Dj:=L({EAj(J)ηj￨J∈J1})の 各DjはHjで

強

ユニタ

可 換 な観 測 量 の 極 大

意 が し た が う. 

■

例1.11 

L2(IRN)に

お け る運 動 量 作 用 素 の 組p1,…,pNは

証 明  (k1,…,kN)は 例1.12 

極 大 で あ る.

は フ ー リ エ 変 換).前 極 大 で あ る.こ

ス ピ ン1/2の

の事 実 と命 題1.20と

量 子 的 粒 子 がIR3に

お い て1個

の ヒ ル ベ ル ト空 間 はL2(IR3;C2)=L2(IR3) 

C2に

  をとる.s3の 重 度 は1で

あ る.し

た が っ て,s3はC2に

の 事 実 お よ び定 理1.21に

に よ っ て,題

例 に よ り,

意 が した が う. ■

存 在 す る 系 を 考 え る.状

と れ る.ス

固 有 値±1/2で

あ り,各固 有値 の 多

お け る極 大 観 測 量 で あ る.こ

れ と例1.10

よ り,位 置 作 用 素 と ス ピ ン作 用 素 の 組(x1,x2,x3,s3)は

大 で あ る こ とが わ か る.s3を

態

ピ ン作 用 素 と して,

ス ピ ンの 他 の 成 分 で置 き換 え て も 同様 で あ る.ゆ

極 え に,

考 察 下 の 系 に お い て は,位 置 とス ピ ンの 成 分 の 一 つ を 測 定 す る こ と に よ り,状 態 は一 意 的 に定 ま る.

  1.5.4  可 換 な観 測 量 の 極 大 な組 の 別 の特 徴 づ け   単 独 の 観 測 量 の 極 大 性 の,巡 回ベ ク トル に よる特 徴 づ け(定 理1.11)は

可換 な

観 測 量 の極 大 な組 の 場 合 に も可 能 で あ る: 定 理1.22 

強 可 換 な 物 理 量 の組A=(A1,…,AN)が

極 大で あるための必要

十 分 条 件 は,作 用 素 の集 合 

が巡 回

ベ ク トル を もつ こ とで あ る. 証 明   (必 要性)定 理1.19が

成 立 す る の で,定 理1.11に

お け る 「必 要 性 」 の証

明 を多 次 元 の 場 合 に拡 張 す れ ば よい.こ れ は容 易 で あ るの で 演 習 問題 とす る(演 習 問題8).   (十分 性)定 理1.11に

  1.5.5 

お け る 「十 分性 」 の証 明 と同 様(演 習 問題8). 

■

可 換 な 観 測 量 の極 大 な組 を一 つ の 極 大 観 測 量 で 表 す こ と

  A=(A1,…,AN)を が 成 立 す る.U,μAΨ0を

可 換 な 観 測 量 の 極 大 な 組 と し よ う.こ 定 理1.19の

も の と す る.ボ

の と き,定 理1.19

レ ル 可 測 関 数u:IRN→IR

で 単 射 で あ る も の を 任 意 に 一 つ と る*25.L2(IRN,dμAΨ0)に

お け る,関

数uに

よ

*25 この よ うな 関 数 の存 在― それ は全然 自明 で は な い― を示 す 一 つ の方 法 は ,IRか らIRN へ の 単 射 な写 像 φ で そ の 逆写 像 φ-1が ボ レル 可測 に なる よ うな もの をつ くる こ とであ

るか け算 作 用 素 をMuと

し(こ れ は 自己 共役 作 用 素)

(1.30) とす れ ば,AはH上

の 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.各j=1,…,Nに

対 し て,関

数fj:IR→IRをfj(μ):=0,μ〓u(IRN);

に よ っ て 定 義 す る.こ の と き,作 用 素 解 析 に よ り,作 用 素 の等 式

が 成 立 す る.両 辺 をU-1で

ユ ニ タ リ変 換 す れ ば,作 用 素 の等 式

(1.31) が 得 ら れ る.さ 命 題1.23 

ら に,次

上 のAは

の 事 実 が 成 立 す る: 極 大 観 測 量 で あ る.

証 明   Ψ0は{Aα11…AαNN￨αj∈{0}∪IN,j=1,…,N}に ル と し て 一 般 性 を 失 わ な い.す

はHで

稠 密 で あ る.他

る と(1.31)に

対 す る巡 回 ベ ク ト よっ て

方,各fjを,L2(IRμ,d‖EA(μ)Ψ0‖2)の

収 束 の 意 味 で,

多 項 式近 似 す る こ と に よ り

が わ か る*26.し に 定 理1.11に

た が っ て,L({AnΨ0￨n∈{0}∪IN})はHで よ り,Aは

稠 密 で あ る.ゆ

極 大 観 測 量 で あ る. 

え ■

る(こ の と き,u:=φ-1が 求 め る関 数 の一 つ を与 える).た だ し,そ の よ う な写像 φ は "常識 的 描 像"か らい う とた いへ ん 特異 な もの に なる .φ をつ くる に は,た とえ ば,ペ ア ノ 曲線 をつ くる 方 法[高 木 貞 治 『 解 析 概 論 』(改 訂 第 三版,岩 波 書 店)の 附 録Ⅱ(p.468 ∼p.469)]を 応 用 す れ ば よ い. *26 多 項 式 近 似 は い っ き に行 う こ とは で きず

,次 の段 階(ⅰ)∼(ⅴ)を 踏 まね ば な ら ない.(ⅰ)  ボ レル 可測 関数fjを,台 が 有 界 な ボ レル可 測 関数gnで 近 似 す る;(ⅱ) gnを 階段 関数 で 近似 す る;(ⅲ) (ⅱ)に 現 れ る階段 関数 を区 間 の定 義 関 数 の線 形 結 合 で表 され る階段 関 数 で 近似 す る;(ⅳ)  区 間 の定 義 関数 を連 続 関数 で 近 似 す る;(ⅴ) 区 間 に 制限 され た連 続 関 数 を ヴ ァイエ ル シ ュ トラス の多 項 式 近似 定 理 に よ り,多 項 式 で 近似 す る.

  こ う して,可 換 な観 測 量 の 極 大 な組 は一 つ の極 大観 測 量Aに

集 約 され る.こ

れ は,可 換 な観 測 量 の 極 大 な組 の 測 定 に よ る状 態 の 一 意 的決 定性 が,実

は,一

つ の 極 大 観 測 量 の 測 定 に よ る一 意 的決 定 性 に帰 着 で きる こ と を意 味 す る.

1.6 

代 数 的 な特 徴 づ け

  強 可 換 な 自己 共 役 作 用 素 の組 が 極 大 で あ る こ と を代 数 的 に特 徴 づ け る こ と も で き る.そ の鍵 と な る ア イ デ ア の 一 つ は,互 い に異 な る強 可 換 な物 理 量 を よ り 多 く測 定 す れ ば,状 態 を よ り詳 細 に特 定 す る こ とが で き,し た が っ て,状 態 の 一 意 的 決 定 へ とよ り"近 づ く"こ とが 可 能 で あ ろ う とい う物 理 的推 測 で あ る(そ の 示 唆 は,す で に,系1.16に

現 れ て い る).こ の 推 測 は,強 可 換 な 物 理 量 の 集 合

の 代 数 的 構 造 を研 究 す る こ とへ と人 を導 く.   Hを 複 素 ヒ ルベ ル ト空 間 と し,H全 素 の 全 体 をB(H)と

体 を定 義 域 とす る,H上

の有 界 線 形 作 用

す る([7],1章,1.2項).

  1.6.1  可 換 子 代 数 定 義1.24 

A⊂B(H)と

す る.Aの

元 と可 換 な有 界 作 用 素 の 全体 をA'で 表 す:

(1.32) A'をAの  A'の

可 換 子 集 合(commutant)と

い う.明

ら か にI(恒

等 作 用 素)∈A'.

可換子集合

(1.33) をAの2重

可 換 子 集 合(double

commutant)と

い う. n個

  以 下,同

様 に し て,Aのn重

(A(n-1))',n〓2に

  A'がC上

可 換 子 集 合A'…'=A(n)が

帰 納 的 にA(n):=

よ っ て 定 義 さ れ る.

の 代 数 を なす こ とは 容 易 に わ か る*27.こ

の ゆ え に,可 換 子 集 合 を

可 換 子 代 数 と も い う. *27 C上

の 代 数― 複 素 代 数 と も い う― の 定 義 に つ い て は

,[7]のp.70を

参 照.

H上 の有 界 作 用 素 か ら な る2つ

の集 合A, Bに つ い て

(1.34) が 成 り立 つ(証 明 は容 易).   他 方,こ

れ も容 易 に わ か る こ とで あ る が

(1.35) し た が っ て,(1.34)よ A'⊂A'''.ゆ

り,A'''⊂A'.ま

た,(1.35)のAと

して,A'を

考 える と

えに

(1.36)   Aを 複 素 ヒル ベ ル ト空 間H上 2つ の 元X,

Yが

の 有 界 作 用 素 か らな る集 合 とす る.Aの

可 換 で あ る と き,す な わ ち,XY=YXが

任意 の

成 り立 つ と き,A

は可 換 ま た は ア ー ベ リア ンで あ る とい う. 補 題1.25 

任 意 の 可 換 な 集 合A⊂B(H)に

証 明   X∈Aを XY=YX.し

  1.6.2    RをB(H)の

任 意 に と る.Aの

対 して,A⊂A'.

可 換 性 に よ り,任

意 のY∈Aに

対 し て,

た が っ て,X∈A'. 

■

ス ペ ク トル 射 影 が 生 成 す る 代 数 部 分 代 数 と す る(i.e.,R⊂B(H)か

し て 代 数 に な っ て い る).こ

つRは

線形作 用素の積 に関

れ に 対 して

(1.37) に よ っ て 定 義 さ れ る 作 用 素 の 集 合 をRの

強 閉 包(strong

closure)と

い う.こ

れ

も 代 数 で あ り,強 収 束 の 位 相 で 閉 じて い る  .

  A⊂B(H)と (B(H)の)部

し,H上

の恒 等 作 用 素IとAの

元 の す べ て の 積 か ら生成 され る

分空間

(1.38)

はB(H)の

部 分 代 数 を なす.こ

閉包 をMs(A)と

れ をAか

ら生 成 され る代 数 とい う.P(A)の

強

記 す:

(1.39) Aが

可 換 で あ れ ば,Ms(A)も

可 換 で あ る.

  A=(A1,…,AN)をH上

の 強 可 換 な 物 理 量 の 組 と し,A1,…,ANの

ク トル 射 影EAj(Jj)(Jj∈J1,j=1,…,N)か

スペ

ら 生 成 さ れ る代 数 の 強 閉 包

(1.40) を 考 え る.こ

れ をAに

同 伴 す る フ ォ ン ・ノ イ マ ン(J.

von

Neumann)代

数 と

呼 ぶ.

定 理1.26 

ヒル ベ ル ト空 間Hは

可 分 で あ る とす る.こ の と き,Aが

可換 な 観

測 量 の 極 大 な組 で あ る た め の必 要 十 分 条 件 は

(1.41) が 成 立 す る こ とで あ る. 証 明   (必 要 性)Aは Uお

極 大 で あ る と し,Aに

よ び μ:=μAΨ0を

と す る.し

定 理1.19の

関 す る 生 成 元 の 一 つ を Ψ0と す る.

も の と す る.EA⊂E'Aは

明 ら か.T∈E'A

た が っ て, 

TU:=UTU-1と

そ こ で,

す れ ば, 

た だ し,  とお け ば, 

TUはL2(IRN,dμ)上

の 有 界 作 用 素 で あ る か ら,g∈L∝(IRN,dμ)で  はL2(IRN,dμ)で

(*)は 任 意 のf∈L2(IRN,dμ)に る.し

た が っ て,TUはgに

対 し て,TUf=gfが

 を 意 味 す る.し とEA(Bl),Bl∈JNと

稠 密 で あ る か ら,

え に,T=g(A).他

λ ∈IRNと

意 のf∈L2(IRN,dμ)に た が っ て, 

あ る.

成 り立 つ こ と を 意 味 す

よ る か け 算 作 用 素 で あ る.ゆ

有 界 な 階 段 関 数 列gnで  こ れ は,任

.

方,

な る も の が と れ る.

対 して は 恒 等 作 用 素I

い う 形 の 作 用 素 の 線 形 結 合 で 表 さ れ る.EA(Bl)は,

EA1(J1)…EAN(JN), る とT∈EAが

Jk∈J1と

い う 形 の 作 用 素 で あ る.以

上 の 事 実 を合 わ せ

結 論 さ れ る.

  (十 分 性)(1.41)が をT=EAと

成 り立 つ と す る.Hは

可 分 で あ る の で,付

録Aの

し て 応 用 で き る.Hn:=HT(Ψn)=HEA(Ψn)を

の と し,N=∞ 選 ぶ.す

の 場 合 を 考 え る. 

と な るcn>0を

る と ベ ク トル 

が 定 義 さ れ る.こ

ル がε:={EA1(J1)…EAN(JN)￨Jj∈J1,j=1,…,N}の

し て,番

と 書 け る.た

の 正 射 影 作 用 素 をPnと だ し,Φn:=PnΦ.任

号Nを 

を考 え る と

方,PnEAj(J)=EAj(J)Pn(j=

あ る か ら,T(N)∈E'A.こ た が っ て,Φ

こ れ は Ψ0が

定 義 か ら,

を 満 た す もの が存 在 す

し た が っ て,limN→∞T(N)Ψ0=Φ.他

T(N)∈EA.し

対

い う形 の 作 用 素 の 線 形 結 合 で

用 素 

1,…,N;J∈J1)で

意の

意 の ε>0に

表 さ れ る 作 用 素 列Qnで  こ で,作

す る.任

と な る よ う に と る.Hnの

EA1(J1)…EAN(JN)(Jk∈J1,k=1,…,N)と

る.そ

のベ ク ト

巡 回 ベ ク トル

で あ る こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.Hnへ Φ ∈Hは 

定 理A.3 そ こで の も

∈L({SΨ0￨S∈

れ と 仮 定(1.41)に ε}).Φ

∈Hは

よ り,

任 意 で あ っ た か ら,

ε に 対 す る 巡 回 ベ ク トル で あ る こ と を 意 味 す る.よ

っ て,Aは

大 で あ る. 

■

  A1,…,ANに,こ

れ ら と強 可 換 な 自 己 共 役 作 用 素AN+1を

(A1,…,AN+1)に E'A.し

極

同 伴 す る フ ォ ン ・ノ イ マ ン 代 数EAを

た が っ て,条

は 変 わ ら な い.こ

件(1.41)が

の 意 味 で,条

  条 件(1.41)は,強

考 え る と,EA⊂EA⊂

成 り立 つ 場 合 に は,EA=EAと 件(1.41)は

付 け 加 え て,A:=

物 理 量 の 組Aの

な っ て,EA 極 大 性 を 表 す.

可 換 な 物 理 量 の 集 合 の 濃 度 が 有 限 で な い 場 合 に も使 え る.

こ の こ と に 注 目 す る と,強

可換 な物 理 量 の極 大 性 に 関 す る 普 遍 的 な定 義 の 一 つ

に 到 達 す る:

定 義1.27 

A={Aα}α

∈Λ(Λ は 添 え 字 集 合)を

強 可 換 な 自己 共 役 作 用 素 の 集

 

合 とし

(1.42) とお く.Aが

可 換 な観 測 量 の極 大 集 合 で あ る とは

(1.43) が 成 り立 つ と き を い う*28. 注 意1.4 

B(H)の

の 条 件 は,Aの

可 換 な 部 分 代 数AがA=A'…(*)を

満 た す と し よ う.こ

す べ て の 元 と 可 換 な 有 界 作 用 素 をAに

は 何 も 変 化 し な い こ と を い っ て い る.そ

こ で,(*)を

加 え て も代 数 全 体 と して 満 た す 可 換 代 数Aを

極 大

ア ー ベ ル 代 数 と い う.

 

付 録A 

可 分 な ヒ ル ベ ル ト空 間 の 巡 回 ベ ク トル に よ る 直 交 分 解

こ の付 録で は,ヒ ルベ ル ト空間 上 の解 析 に おけ る,巡 回ベ ク トルの概 念 の本 質 的重 要 性 を観 る ため に,ヒ ルベ ル ト空 間 の構造 と巡 回ベ ク トル との あ る普 遍 的 な関 わ りにつ いて 述べ て お く.

  A.1    Hを

単 独 の 自 己共 役 作 用 素 に 同 伴 す る直 和 分 解 ヒ ル ベ ル ト空 間,AをH上

の 自 己 共 役 作 用 素,EAをAの

ス ペ ク トル 測 度 と

して

(A.1) を 定 義 す る*29.た 補 題A.1 

だ し,線 形 作 用 素Tに

AをH上

稠 密 な 部 分 空 間 で あ る.

  (ⅱ) 任 意 の Ψ ∈C∞0(A)に ∈D(Am)で

値 域 を表 す.

の 自己 共 役 作 用 素 とす る.こ の と き,次 の(ⅰ)∼(ⅲ)が 成 り立 つ.

  (ⅰ) C∞0(A)はHで

て,Ψ

対 して,R(T)はTの

対 して,番

号nΨ

が あ っ て,す

べ て のm∈INに

対 し

あ り

(A.2) が 成 り立 つ.し

た が っ て,特

に

(A.3) (ⅲ) C∞(A)はHで *28  こ の 場 合 *29 Aが

稠 密 で あ る.

,Aを 可 換 な観 測 量 の 完 全 な 組 と 呼 ぶ 場 合 も あ る. 有 界 で あれ ば ,C∞0(A)=H.

証 明   (ⅰ)  C∞0(A)が

部 分 空 間 で あ る こ と は,EA(J)EA(K)=EA(J∩K)(J,

K∈B1)

に注 意 す れ ば容 易 に示 され る.稠 密 性 は,任 意 の Ψ ∈Hに 対 して,Ψn=EA([-n, とお け ば,Ψn∈C∞0(A)で

あ り,‖Ψn-Ψ‖

  (ⅱ)  任 意 の Ψ ∈C∞0(A)に EA([-n,

n])Φ と書 け る.し

した が っ て,Ψ

∈D(Am)で

  (ⅲ) (ⅰ)と(A.3)か 定 理A.2 

→0(n→∞)と

対 して,あ

る 番 号n=nΨ

た が っ て,任

意 のm∈INに

あ り,(A.2)が

n])Ψ

な る こ と か ら した が う. と Φ ∈Hが

あ っ て Ψ=

対 して

得 られ る.

ら した が う. 

■

Hを 可 分 な ヒ ル ベ ル ト空 間,AをH上

の 任 意 の 自 己 共 役 作 用 素 とす る.

こ の と き,零 で な い ベ ク トル の 直 交 系{Ψn}Nn=1⊂C∞0(A)(Nは

有 限 また は可算無

限)が 存 在 し て

(A.4) が 成 り立 つ.さ 注 意A.1  ΨnはAnに

ら に,各HnはAを

各Hnに

お け るAの

簡 約 す る. 簡 約 部 分 をAnと

対 す る 巡 回 ベ ク トル で あ る*30.こ

す れ ば, 

う し て,上

で あ り,

の 定 理 は次 の こ と を 意 味

す る:可 分 な ヒ ル ベ ル ト空 間 は,自 己 共 役 作 用 素 の 巡 回 ベ ク トル か ら つ く られ る 部 分 空 間 の 閉 包 の 直 和 に分 解 さ れ る. 証 明   Hが 無 限 次 元 の 場 合 に つ い て証 明 す る(有 限 次 元 の 場 合 に つ い て も,以 下 の 証 明 と 同様 で あ る が,収

束 性 に 関 す る 議 論 が い ら な い の で よ り簡 単 で あ る).

  Hの 可 分性 とC∞0(A)の {Φn}∞n=1でHに

稠 密 性 に よ り,C∞0(A)の

お い て 稠 密 な もの が とれ る.Hの

構 成 す る.ま ず,Θ1:=Φ1と

す る.(A.3)に

間H1:=L({AkΘ1￨k∈{0}∪IN})を 影 作 用 素 をP1と

す る.こ

よ り,Θ1∈C∞(A)で

つ くる こ と が で きる.こ

の と き,P1Φ2=limn→

あ る.Θ1∈R(EA([-n1, n1]))と

ベ ク トル Φnか ら な る可 算 無 限 集 合 ベ ク トル列{Θn}∞n=1を

∞Qn(A)Θ1と

な る多 項 式 列Qnが

n1]))が わ か る.こ

用 素 の 値 域 が 閉 で あ る こ と を使 え ば,P1Φ2∈R(EA([-n1,

*30 作 用 素 の 直 和 に つ い て は

の 閉部 分 空 間 へ の 正 射

す れ ば,EA(J)Qn(A)⊂Qn(A)EA(J),

に 注 意 す る こ と に よ り,Qn(A)Θ1∈R(EA([-n1,

,[8]の4章,4.3.2項

を 参 照.

次 の ように

あ る か ら,閉 部 分 空

∀J∈B1 れ と正 射 影 作

n1]))が 結 論 さ れ る.次

に

を定 義 す る.前

段 の 事 実 に よ り,Θ2∈C∞0(A)で

が 定 義 さ れ る(Φ2=0で とAの

あ る 場 合 に は,H2={0}で

自 己 共 役 性 を 用 い る と,H1とH2は

P1Φ2=Φ2,す

な わ ち,Θ2=0と

と考 え る.以

下,同

こ の と き,任

義 か ら,任 意 の Ψ ∈Hと

対 し てHn⊥Hm

Φ ∈KMに

と Φk∈KM(k=1,…,M)に

た が っ て,任

ら ば‖ Ψ-Φnk‖0に

ε.こ れ はlimM→∞QMΨ=Ψ に, .と

.任 意 のM∈INに

す れ ばQM=ΣMn=1Pn

稠 密 性 に よ り,limk→∞

てk〓k0な

す れ ば‖ Ψ-QMΨ‖
0は ≠0)に

対 し て,

あ る が― こ の 意 味 で,Ψ

は時

Ψ と 同 じ状 態 を 表 さ な い.

りの 平 均 エ ネ ル ギ ー がNの 累 乗 で 急 激 に 下 が れ ば,十 分 大 き なNに 得 を 使 っ て,粒 子 が 生 成 す る こ と が 起 こ り う る.ひ と た び,そ れ が 起 数 が さ ら に 増 し,エ ネ ル ギ ー が 一 層 下 が る.し た が っ て,再 び 粒 子 の

  ハ ミル トニ ア ンHが あ る 閉部 分 空 間Mが 約 部 分HMが

下 に有 界 で な い場 合 で も,状 態 の ヒ ルベ ル ト空 間 の 中 に, あ っ て,HがMに

よ っ て簡 約 され,HのMに

下 に 有 界 で あ れ ば,HMは

物 理 的 に意 味 を もつ場 合 が あ りう る*7.

  た と え ば,デ ィラ ック作 用 素HD([6]の3章,3.4.3項)を す る系 は そ の よ う な例 の 一 つ で あ る.[6]の 定 理3.30で に有 界 で は な いが,HDは はHDの

お け る簡

ハ ミル トニ ア ン と 示 した よ う に,HDは

下

閉 部分 空 間H+:=EHD([0,∝))L2(IR3;C4)(EHD(・)

ス ペ ク トル 測度)―

これ は,物 理 的 には,非 負 エ ネ ルギ ーの 状 態 空 間 を

表 す― に よ って 簡 約 され,そ の 簡 約 部 分 をHD,+と は粒 子 の 静 止 質 量)が 成 り立 つ.し

た が ってHD

  い ま の例 か ら もわ か る よ う に,ハ

す れ ばHD,+〓m(m〓0

,+は 下 に有 界 で あ る.

ミル トニ ア ンHが

下 に有 界 で な い か ら と

い っ て,そ れ が"物 理 的"で な い と判 断す る こ とは必 ず し も正 当 で あ る とは い え な い.重 要 な こ と は,Hか

ら"物 理 的"と 解 釈 さ れ うる 内 容 が 引 き出 せ る か 否

か で あ る.

 

2.2 

  前 節 で 提 起 した 問 題(S)で

小

は,BがAに

さ い 摂 動

対 す る 摂動 で あ り,Aが

素 で あ る.摂 動 とい う観 点 か らは,摂 動 作 用 素Bが Aに 対 して"小 さ い"な ら ば,A+Bも そ こ で,問 題(S)を

無摂動作用

適当な意味で無摂動作用素

ま た 自己 共 役 に な る こ とが予 想 され る.

考 察 す る に あ た っ て は,BがAに

関 して"小 さい"場 合 と

必 ず し もそ うで な い場 合 と に分 け る の が 自然 で あ る.ま ず,前 者 の場 合 か ら議 論 す る.こ の節 を通 して,Hは

複 素 ヒ ルベ ル ト空 間 で あ る とす る.

  2.2.1  相 対 的 有 界 性   摂 動 作 用 素 の 無 摂 動 作 用 素 に関 す る相 対 的 な小 さ さ を測 る 一 つ の尺 度 を導 入 す る: 生 成 が 起 こ る.こ の よ うな過 程 が 際 限 な く繰 り返 され る こ と にな れ ば,系 は安 定 とみ な せ る状 態 で は存 続 で きな い.本 書 で は,残 念 なが ら,ハ ミル トニ ア ンのH安 定性― これ は種 々 の不 等 式 と関連 してい て 純数 学 的 に もたい へ ん お も しろ い主 題― につ い て 論 じる 紙 数 は とれ なか った.興 味 の あ る読 者 は,[7]や[17]を 参 照 され たい. *7 作 用 素 の簡 約 につ い て は ,[5]の2章,2.6.4項 を参 照.

定 義2.1 

A, Bを

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

と す る:(ⅰ) D(A)⊂D(B);(ⅱ) 

の 作 用 素 で 次 の(ⅰ), (ⅱ)を 満 た す も の

定 数a〓0,

b〓0が

存 在 して

(2.2) こ の と き,BはAに

関 し て 相 対 的 に 有 界(relatively

界(A-bounded)で   BのA-限

あ る と い い,aをBのA-限

bounded)あ

る い はA-有

界 と い う.

界 の下限

が成立 をAに

関 す る,Bの

  r(A,B)=0の

相 対 限 界(relative 場 合,BはAに

記 号 的 にB≪Aと

例2.1  0.し

関 し て 無 限 小(infinitesimal)で

あ る と い い,

界 が 小 さ け れ ば 小 さ い ほ ど,BはAに

い う 観 点 に よ っ て,BのAに

Bが

呼 ぶ.

表 す.

  上 の 定 義 は,BのA-限 小 さ い,と

bound)と

 (2.3)

有 界 でD(A)⊂D(B)な

た が っ て,B≪Aで

あ る.だ

比 べ て,よ

り

対 す る 小 さ さ を 測 る も の で あ る. らば,a=0,

が,こ

b=‖B‖

に とれ るか ら,r(A,B)=

の 逆 は必 ず し も成 立 し な い(次 の 注 意 を

参 照).

注 意2.1  れ る:任

容 易 に わ か る よ う に,B≪Aで 意 の ε>0に

対 し て,定

あ る こ と は次 の よ う に言 い 換 え ら

数bε〓0が

あって

(2.4) が 成 り立 つ.

証 明   B≪Aな

ら ば,非 負 の 数 列{an}∞n=1,

{bn}∞n=1で 次 の 条 件(a),

す も の が 存 在 す る:(a)  limn→ ∞an=0;

(b) ‖BΨ ‖〓an‖AΨ

D(A),n∈IN.(a)よ

対 し て,番

ら ば0〓an0に が 成 り 立 つ.そ

意 の ε>0に

か で あ る. 

こ でbε=bn0と

対 し て,(2.4)が

号n0が

(b)を 満 た

‖+bn‖ Ψ‖,Ψ ∈ あ っ て,n〓n0な

お け ば,(2.4)が

成 り立 つ な ら ば,r(A,B)=0は

成 り立 つ. 明 ら ■

命 題2.2 

Nを

自 然 数 と し,A,

(ⅰ) B≪Aな

ら ば,任

B, Bj(j=1,…,N)をH上

意 の λ ∈C＼{0}に

(ⅱ) Bj≪A(j=1,…,N)な 証 明   (ⅰ)  こ れ は(2.4)と

の 作 用 素 と す る.

対 して λB≪A.

ら ば  「ε>0が

.

任 意 な ら ば,￨λ￨ε(λ

≠0)も

任意の正数 に

と れ る 」 と い う 事 実 か ら し た が う.   (ⅱ)  (2.4)に

お い て,B=Bjと

に つ い て1か

らNま

し て 得 ら れ る 不 等 式(bε をbj,ε とす る)をj

で加 えれ ば

3角 不 等 式 に よ り,  ε>0が

ま た,ε'=Nε

任 意 な ら ば,ε'も 任 意 に とれ る.し

とお くと,

たが っ て, 

■

  相 対 的 に有 界 な作 用 素 に よ る摂 動 問 題 を考 察 す る 際 に頻 繁 に使 わ れ る こ とに な る基 本 的 事 実 を証 明 して お こ う. 補 題2.3  (Aの

A, Bを

定 義2.1の

も の とす る.さ

レ ゾ ル ヴ ェ ン ト集 合)≠0と

し て,B(A-z)-1∈B(H)で

ら に,Aは

仮 定 す る.こ

閉 作 用 素 で あ り,ρ(A)

の と き,任

意 のz∈

ρ(A)に 対

あ り

(2.5) が 成 り立 つ.   も し,Aが

閉 対 称 作 用 素 な らば

(2.6) が 成 り 立 つ.こ 証 明   Aは

こ で,ε

は 括 弧 の 中 の 条 件 を 満 た す 任 意 の 正 の 定 数 で よ い.

閉 で あ る か ら,A-zは

任 意 の Ψ ∈Hに

対 して,(A-z)-1Ψ

全 単 射 で あ り,(A-z)-1∈B(H)で ∈D(A)で

あ る か ら,不

あ る. 等 式(2.2)に

よって

(2.7)

 

A(A-z)-1=1+z(A-z)-1で

あ る の で,A(A-z)-1∈B(H)で

あ り

(2.8) が 成 立 す る.不 下 で あ る.ゆ

等 式(2.7)の

右 辺 は(a‖A(A-z)-1‖+b‖(A-z)-1‖)‖

Ψ‖ 以

えに

(2.9) こ れ と(2.8)に   次 に,Aが

よ り,(2.5)が

得 ら れ る.

閉 対 称 作 用 素 の 場 合 を 考 え よ う.こ

の 場 合,任

意 の Ψ ∈D(A)に

対 して

シ ュ ヴ ァル ツの 不 等 式 に よ り

こ こ で ε>0は

任 意 で よ い.し

が 導 か れ る.こ

れ は,￨x￨0

自 己 共 役 で あ る.

対 し てker(A*-γ+λ)={0}な

ら ば,Aは

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

証 明   A*は

閉 で あ る か ら,直

り立 つ([5]のp.138,補

交 分 解H=ker(A*±i) 

題2.37).こ

こ で,閉

は 閉 集 合 で あ る こ と([5]のp.140,補

対 称 作 用 素Sに

題2.39)も

  (ⅰ)  こ の 問 題 の 条 件 と(*)はH=R(A〓i)を R(A〓i)に

等 しい.し

た が っ て,補

な わ ち,R(A〓i)はHで

よ っ て,Aは

定 理2.7の

つ い て は,直

よ っ て,Aは

自 己 共 役 で あ る.

よ りH=R(A〓i).右

辺 はR(A〓i)に

た が っ て,補

交 分 解H=ker(A*-γ+λ) 

証 明   (ⅰ)  補 題2.8-(ⅰ)に

∈ ρ(A).し

題2.8-(ⅱ)に

R(A-γ+λ)を

∈ ρ(A+B).す

用 ■

よ り,あ る λ ∈IR＼{0}に

た が っ て,A±iλ

∈IR＼{0}と

す る.Aは

は 全 単 射 で あ る.定

ら ば ±iλ ∈ ρ(A+B)で

分 大 き い￨λ￨に 対 し て(*)が

て は,±iλ

閉 な らば,右 辺 は

(ⅱ)と 同 様 に論 じれ ば よ い. 

て,a+(b/￨λ￨)0に

べ て の ψ ∈D(-Δ)に 対 し て,定 数bε〓0が

対 し て,ψ 存 在 して

∈

,す べ

対 して

(2.37) が 成 り立 つ.

証 明   ψ ∈D(-Δ)な た が っ て,任 2.18の

ら ば,補

意 のr>0に

題2.19に

よ り, 

.し

対 し て,f(k):=rνψ(rk)と

仮 定 を 満 た す.し

た が っ て,不

等 式(2.33)が

お け ば,fは 成 り立 つ.他 .し

.rが も 正 数 全 体 を 動 く.し

た が っ て,任

補題

方, 

た が っ て, 

正 数 全 体 を動 く と き,C(ν)r(ν-4)/2

意 の ε>0に

対 し,bε>0が

存在 し

(2.38) が 成 り立 つ*18. 

であ るか ら

が 成 り立 つ([5]ま

た は[6]の

.こ

付 録B,定

れ と(2.38)お

理B.8を

よ び 補 題2.19に

補 題2.21 ν〓3, 

参 照).し

た が っ て, 

よ り(2.37)を

得 る. 

な ら ばF≪-Δ.

証 明   仮 定 に よ り,F=F1+F2,  ψ ∈D(-Δ)と

す れ ば,補

と書 け る.

題2.20に .し

D(F).さ

ら に,(2.37)を .ε>0は

定 理2.17の

■

よ り,ψ∈L∞(IRν)で た が っ て,ψ ∈D(F),す

あ り,  な わ ち,D(-Δ)⊂

用 い る と  い く らで も小 さ く と れ る か ら,F≪-Δ

証 明   補 題2.21に

よ っ て,A=-Δ,

B=Vと

ヒ の 定 理 を 応 用 で き る. 

で あ る. 

し て,加

■

藤-レ リ ッ ■

  2.3.4  並 進 対 称 なポ テ ン シ ャル を もつ2体

系の構造

  次 に,非 相 対 論 的 量 子 力 学 の モ デ ル の 基 礎 的 あ る い は標 準 的 な具 体 例 を取 り 上 げ,上 述 の 理 論 を応 用 す る こ と に よ り,そ の ハ ミル トニ ア ンの(本 質 的)自 己 共 役 性 を証 明 した い.だ が,そ *18 具 体 的 に は ,た

と え ば, 

の 前 に,こ こ で,あ

る重 要 な 基 本 的 な事 実 に

ふ れ て お か ね ば な ら な い.そ 子 が,そ

れ は,水

素 原 子 の 場 合 の よ う に,2個

の 量 子 的粒

れ ら の 位 置 座 標 の 差 だ け で 決 ま る ポ テ ン シ ャ ル― 水 素 原 子 の 場 合 に は

-e2/￨x1-x2￨(e>0は

基 本 電 荷 ,x1,x2∈IR3は

置 座 標 を 表 す)―

そ れ ぞ れ,電

子,陽

子 の位

の 作 用 の も と に あ る 系 の ハ ミル トニ ア ン の 構 造 に 関 す る も の

で あ る.こ

の 系 は2体

合 に は,実

は,当

系 で あ る が,ポ

テ ン シ ャ ル が そ の よ う な形 を して い る場

該 の ハ ミ ル トニ ア ン の 解 析 は,本

ン の そ れ に 帰 着 で き る の で あ る.以

下,こ

質 的 に1体

の ハ ミ ル トニ ア

れ が ど の よ う に して 可 能 で あ る か を

み る.   d次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間IRdに 系 を 考 え,そ

お い て,2個

の非相対論的量子的粒子か らなる

れ ぞ れ の 量 子 的 粒 子 の 質 量 をm1,m2>0と

ト空 間 と し て 座 標 表 示 で のL2空

間L2(IRd×IRd)を

の 点 を 一 般 に(x1,x2)(x1,x2∈IRd)で

す る.状

態 の ヒ ルベ ル

と り,(IRd)2=IRd×IRd

表 す.量

子 的 粒 子 の 間 に は,ル

ベー グ

測 度 に 関 し て ほ と ん ど い た る と こ ろ 有 限 な ボ レ ル 可 測 関 数V:IRd→IRか 定 ま る ポ テ ン シ ャ ルV(x1,x2):=V(x1-x2)が て,系

ら

働 い て い る と す る.し

たが っ

の ハ ミ ル トニ ア ン は

(2.39) で 与 え ら れ る.た

だ し,Δxは

変 数x∈IRdに

関 す る,一

般 化 さ れ たd次

元 ラ

プ ラ シ ア ン で あ る.   容 易 に 気 づ く よ う に,ポ a,x2-a)=V(x1,x2), 並 進,す

な わ ち,空

称 性 ま た はIRd-並 よ う に,Hの

テ ン シ ャ ルVは,任 ∀(x1,x2)∈(IRd)2を

意 のa∈IRdに 満 た す.す

間 並 進 に 対 し て 不 変 で あ る.こ 進 不 変 性 を も つ と い う*19.こ

解 析 は1体

対 し て,V(x1な わ ち,VはIRdの

の よ う な 関 数 はIRd-並

の 対 称 性 の お か げ で,次

進対 に示 す

の ハ ミ ル トニ ア ン の 解 析 へ と 帰 着 で き る の で あ る.

  写 像u:(IRd)2→(IRd)2を

*19 一 般 に 

上 の 関 数fが

a,…,xN-a))=f(x),∀x=(x1,…,xN)∈(IRd)Nを 並 進 対 称 ま た はIRd-並

進 不 変 で あ る と い う.

任 意 のa∈IRdに

対 して

,f(x1-

満 た す と き,fはIRd-

に よ っ て 定 義 す る.こ す るx1の とm2の

こ で,右

辺 に 現 れ た ベ ク トルx=x1-x2は

点x2に

対

易 に わ か る よ う に,uは

線

相 対 位 置 ベ ク トル で あ り,X=(m1x1+m2x2)/(m1+m2)はm1 重 心 ベ ク トル で あ る こ と に 注 意 し よ う.容

形 で あ り全 単 射 で あ る.(IRd)2の

に よ っ て 与 え ら れ る(1dはd次 detu=1.と

標 準 基 底 に 関 す るuの

の 単 位 行 列).し

計 算 さ れ る.こ

れ は,ま

行 列 表 示uは

た が っ て,そ

た,detu-1=1も

の 行 列 式detuは 意 味 す る.そ

こ で,

写 像U:L2((IRd)2)→L2((IRd)2)を

(2.40) に よ っ て 定 義 す れ ば,Uは

ユ ニ タ リで あ り

(2.41) が 成 り立 つ こ と が わ か る.こ

のUに

よ るHの

ユ ニ タ リ 変 換UHU-1を

求 め

よ う.   xj=(xj1,…,xjd)∈IRdと

分 作 用 素 をDjlと

で 与 え られ る.こ

記 す.し

導 入 す る(Dylは

意 の φ∈C∞0((IRd)2)に

で あ り,(x,X)=u(x1,x2)と

を 得 る.同

様 に

数xjlに

算 の 便 宜 上,Py,l=-ihDyl, 変数ylに

対 して,(2.41)に

お け ば,合

関 す る一 般 化 され た偏 微

運 動 量 作 用 素 の 第l成 分 は

の と き,-h2Δxj=Σdl=1p2jl.計

y=(y1,…,yd)∈IRdを 作 用 素).任

書 く と き,変

た が っ て,粒 子mjの

関 す る一 般 化 され た偏 微 分 よ り,U-1φ∈C∞0((IRd)2)

成 関 数 の微 分 法 を用 い る こ とに よ り

した が っ て

こ れか ら

が 導 か れ る.た

だ し,μ:=m1m2/(m1+m2)は2体

系 の 換 算 質 量 を 表 す.作

用 素-(h2Δx/2μ)-(h2ΔX/2(m1+m2))はC∞0((IRd)2)上 共 役 で あ る か ら,上

の 式 よ り,作

で 本 質 的 に 自己

用 素の等式

(2.42) が 成 り立 つ こ と に な る.ハ

ミ ル トニ ア ンHの

中 の ポ テ ン シ ャ ル の 部 分Vに

い て は,V1:(IRd)2→IRをV1(x,X):=V(x),a.e.(x,X)に ば,作

つ

よ って 定 義 す れ

用 素 の等 式

が 示 され る.以 上 か ら(脚 注15も

参 照),作 用 素 の 等 式

(2.43) が 得 ら れ る.   自 然 な 同 型L2((IRd)2)=L2(IRd) 

L2(IRd)を

用 いる と

(2.44) が 成 立 す る こ と に な る.た

だ し

で あ り,D(HV)=D(Δx)∩D(V)はL2(IRd)で が っ て,HVは

稠 密 で あ る と仮 定 す る(し た

対 称 で あ り,可 閉で あ るの で テ ンソ ル積 が 定 義 され る).[6]で す

で に論 じた よ うに,作 用 素HCは

質 量 がm1+m2の

ハ ミル トニ ア ンで あ る .他 方,HVは

自由 粒 子 の 運 動 を記 述 す る

質 量 μ の 非 相 対 論 的粒 子 が ポ テ ン シ ャ ル

Vの

作 用 の も と にあ る系 の ハ ミル トニ ア ンで あ る.こ

Hで

記 述 され る 系 は,独 立 した2個

う して,ハ

ミル トニ ア ン

の量 子 的粒 子 か ら な る系―一

方 は,も

と

の 系 の重 心 の 運 動 に対 応 す る 自由 粒 子 の運 動 で あ り,他 方 は ポ テ ンシ ャルVを もつ1粒

子 の運 動― と同値 にな る.ハ

で あ る の で,Hの

ミル トニ ア ンHCは

解 析 は,本 質 的 にHVの

が 本 質 的 に 自己 共 役 な らば,HV I+I  (2.44)に よ り,Hの

よ くわ かっ た 作 用 素

解 析 に帰 着 さ れ る.た HCは

とえ ば,HV

本 質 的 に 自己 共役 で あ る の で,

本 質 的 自己 共 役 性 が した が う.

  次 の 項 以 降 で,HVの

型 の ハ ミル トニ ア ンを取 り上 げ るが,2体

系 で あ っ て も,

こ の 型 の 作 用 素 で 表 され るハ ミル トニ ア ン― これ は1体 のハ ミル トニ ア ン― に 考 察 を限 定 して よい 理 由 は こ こ に あ る の で あ る.

  2.3.5 

基 本

的

な 例

  a.  水 素 様 原 子 の ハ ミ ル トニ ア ン

  e>0を

基 本 電 荷(電

気 素 量)を

表 す パ ラ メ ー タ ー と す る.Zeの

電荷で正 に

帯 電 さ れ て い る 原 子 核 が つ く る 場 の 中 で1個

の電子が運動 する系は水素様原子

(hydrogen-like

子 核 は3次

ル 空 間IR3の シ ャ ル はIR3の

atom)と

呼 ば れ る.い

ま,原

原 点 に 固 定 さ れ て い る と す る.こ

の と き,こ

元 ユ ー ク リ ッ ドベ ク ト の系 に お け る ポ テ ン

ク ー ロ ン型 ポ テ ン シ ャ ル

(2.45) に よっ て 与 え ら れ る.し

た が っ て,こ

の 系 の ハ ミ ル トニ ア ン は

(2.46)

で あ る.こ

こ で,m>0は

し,XRを[0,R]上

電 子 の 質 量 を 表 す パ ラ メ ー タ ー で あ る*20.R>0と

の 定 義 関 数 と す れ ば,

と 書 け る.容

易 に わ か る よ う に, 

補 題2.21に

よっ て

し た が っ て,

(2.47) ゆ え に,加 藤-レ リ ッ ヒの 定 理 ま た は定 理2.17に

 Hhyd(Z)は

定 義 域 をD(-Δ)と

あ り,C∞0(IR3)上

よっ て,次 の事 実 が 得 られ る:

す る,下 に有 界 な 自 己共 役 作 用 素 で

で本 質 的 に 自己 共 役 で あ る.

  この 事 実 か ら,特 に,水 素 様 原 子 は弱 安 定 で あ る こ とが 結 論 され る.   b.  多 体 系 の ハ ミル トニ ア ン   例aは一

体 問題 の ハ ミル トニ ア ンで あ っ た.で は,多 体 問 題 のハ ミル トニ ア ン

の場 合 は ど うで あ ろ うか.こ の 場 合 の一般 的定 理 の一 つ と して次 の 定 理 が あ る. 定 理2.22  IRdN上

d〓3, 

と し,

の 関 数:x=(x1,…,xN)〓Vi(xi)に

用 素 をViで

表 す.同

に よ る(L2(IRdN)上

様 に,IRdN上 の)か

よ る(L2(IRdN)上

の)か

け算 作

の 関 数:x=(x1,…,xN)〓Vij(xi-xj)

け 算 作 用 素 をVijで

表 す.こ

の と き,

*20 原 子 核 が 固 定 し て お ら ず ら ば,mは meか

,前 項 の よ う に,水 素 様 原 子 を 真 の2体 系 と して考 え る な 電 子 の 質 量 で は な く,水 素 の 原 子 核 で あ る 陽 子 の 質 量mpと 電 子 の 質量

ら 決 ま る 換 算 質 量 μ=memp/(me+mp)で

の こ と も 考 慮 し て,理

論 的 に は,mを

9.11×10-31kg/1.67×10-27kg〓5.46×10-4≪1で も近 似 の 精 度 は か な り よ い.

あ る と し な け れ ば な ら な い.こ パ ラ メ ー タ ー と み る.ち

な み に,me/mp=

あ る の で μ 〓meと

して

はD(-Δ)上

で 下 に 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ り,C∞0(IRdN)上

で本質的 に 自

己 共 役 で あ る. 証 明   補 題2.21に D(Δ).し

よ っ て,Vi≪-Δxi.ま

た が っ て,命

点xj∈IRdを

た,‖-Δxiψ‖〓‖-Δ

題2.2-(ⅱ)に

よ っ て,ΣNi=1Vi≪-Δ

が 成 り 立 つ.

任 意 に 固 定 し,u(xi)=Vij(xi-xj)(i≠j)と  した が っ て,u≪-Δxiと

対 し てbε〓0が

あ っ て,任

意 の ψ∈D(-Δ)に

ψ‖,ψ∈

す れ ば, な る の で,任

意 の ε>0に

対 して

ゆ えに

こ れ はVij≪-Δxiを意味

す る.し

た が っ て, 

ら, 

以上 か

よ っ て,加

藤-レ

リッ ヒ の 定 理 に よ り,

題 意 が した が う. 

■

例2.3 

多 電 子 系 の ハ ミル トニ ア ン.原 子 番 号Zの

間IR3の

原 点 に 固 定 して い る もの と し,j番

で 表 す.電

原 子 系 を考 え る.原 子 核 は座 標 空

目の 電 子 の 座 標 をxj∈IR3(j=1,…,Z)

子 間 お よ び 電 子 と原 子 核 の 間 に 働 く万 有 引 力 に よ る 重 力 相 互 作 用 は 電 気 的

相 互 作 用 に 比 べ て 非 常 に 小 さい の で,こ だ け を考 慮 す る.こ

こで は,第 一 次 近 似 と して,電 気 的 相 互 作 用

の と き,系 の 非 相 対 論 的 ハ ミ ル トニ ア ンはL2(IR3Z)に

お け る作

用素

で 与 え られ る.こ ポ テ ン シ ャ ルVCを

例aで

こ で,Δ

は3Z次

元 の 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン で あ る.ク

ーロン

用いると

示 した よ う に, 

2.22の 作 用 素 の 定 数 倍 の 形 を し て い る.こ

で あ る か ら,H(Z)atomは,定 う して,次

の 事 実 へ と 到 達 す る.

理

  H(Z)atomはD(-Δ)上

で 下 に有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ り,C∞0(IR3Z)上

で本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.   こ れ は,特 例2.4 

に,多

電 子 系 が 弱 安 定 で あ る こ と を示 す.

荷 電 粒 子 の 多 体 系 の ハ ミ ル トニ ア ン.電 気 的 に 中 性 で あ る 巨 視 的 物 質 は量 子

力 学 的 に み れ ば,N個

の 電 子 とN個

の 陽 子 お よ びK個

ヴ ォ ガ ド ロ定 数 の オ ー ダ ー〓1023).中 用 を し な い.し

た が っ て,第

の 中 性 子 か ら な る(Nは

ア

性 子 は 電 荷 を もた な い の で 電 磁 気 的 な 相 互 作

一 近 似 と して,電 気 的 相 互 作 用 だ け を 考 慮 し た場 合 の 系

の 非 相 対 論 的 ハ ミル トニ ア ン は,ヒ

ル ベ ル ト空 間L2(IR3N×IR3N)で

働 く作 用 素 と

して

(2.48) に よ っ て与 え ら れ る.こ

こ で,M>0,

パ ラ メ ー タ ー で あ り,Ra∈IR3は

m>0は

陽 子 の 位 置 座 標 を 表 す.前

事 実 が 知 ら れ る(Δ はL2(IR3N×IR3N)に   HNはD(-Δ)上

そ れ ぞ れ,陽

子,電

子 の 質 量 を表 す

例 と 同様 に し て,次

の

お け る 一 般 化 され た ラ プ ラ シ ア ン とす る).

で下 に 有 界 な 自 己共 役 作 用 素 で あ り,C∞0(IR3N×IR3N)

上 で本 質 的 に 自己共役 で あ る.   ハ ミル トニ ア ンHNの

下界 性 は物 質の弱 安定 性 を意味 す る.

  c.  電磁 場 中 を運 動 す る荷 電 粒 子 の ハ ミル トニ ア ン   質 量m>0,電

荷q∈IRの

荷 電 粒 子 が3次

電 磁 場 の 中 を運 動 す る系 を考 え よ う.よ トル ポ テ ン シ ャ ルA=(A1,A2,A3)と

元 空 間IR3に

ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ルVに

され る.す な わ ち,こ れ らの 量 を用 い る と電 場Eと

に よ っ て 与 え ら れ る.こ

お い て,与 え られ た

く知 られ て い る よ う に,電 磁 場 は ベ ク よ っ て記 述

磁 場Bは

こで

(2.49)

 

は3次

元 の 一 般 化 され た 勾 配 作 用 素 を表 す.粒 子 の 運 動 量 をp,真

空 中の光速

をcと す れ ば,古 典 的ハ ミル トニ ア ンは

で あ る.   こ の 古 典 力 学 系 の 正 準 量 子 化 をCCRの う に は,Hclに

シ ュ レー デ ィ ンガ ー 表 現 を用 い て 行

お い て形 式 的 な 置 き換 えp→-ih∇

をす れ ば よい.こ の 手 続 き

に よ り,考 察 下 の系 の量 子 力 学 的 ハ ミル トニ ア ンの 候 補 と して

(2.50) が 得 ら れ る.た

だ し,こ

の 段 階 に お い て は,Aj:IR3→IRが

可 能 で あ る と す る 必 要 は な い.作 (q/c)Ajと

通 常 の意 味 で微 分

用 素 の 積 と和 の 定 義 に よ っ て,Tj:=-ihDj-

す る と き,

(2.51) で あ る.

定 理2.23 

次 の(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)を

仮 定 す る:

  (ⅰ) 

(ⅱ) 超 関 数 の意 味 で のAjの

偏 微 分DjAjは

関 数 と同 一 視 で き,

  (ⅲ)  こ の と き,C∞0(IR3)⊂D(H(A,V))で に 自 己 共 役 で あ る.さ

あ り,H(A,V)はC∞0(IR3)上

ら に,D(H(A,V))=D(-Δ)で

有 界 で あ る.

証 明   仮 定(ⅰ),

(ⅱ), (ⅲ)を

用 い ると

あ り,H(A,V)は

で本 質的 下に

が わ か る.し

た が っ て,D(H(A,V))は

に 対 して〈 ψ,H(A,V)ψ〉 使 え ば,容

稠 密 で あ る.す

が 実 数 で あ る こ と は,Tjが

易 に わ か る.し

  任 意 の ψ∈C∞0(IR3)に

た が っ て,H(A,V)は

べ て の ψ∈D(H(A,V)) 対 称 作 用 素 で あ る こ とを

対 称 作 用 素 で あ る*21.

対 して

(2.52) (2.53) ただ し

(2.54) こ こ で,第 二 式 を得 るの に,超 関 数 微 分 に 関す る ラ イ プ ニ ッ ツ則

を 用 い た*22.

と お こ う.仮

定(ⅱ),(ⅲ)と

補 題2.21に

よ っ て,

が 成 り立つ.   次 にAjDj≪H0を

示 そ う.仮

Aj2∈L∞real(IR3)(j=1,2,3)と *21  [5]の 命 題2

.30(p.132)に *22  [5]ま た は[6]の 付 録C

定 に よ り,Aj=Aj1+Aj2, 書 け る.ψ∈C∞0(IR3)と

よ る. , C.3節

を参 照.

Aj1∈L4real(IR3), し よ う.は

じめ に シ ュ

ヴ ァ ルツ の不 等 式 を使 い,次 にハ ウス ドル フ-ヤ ング の不 等 式([5]ま た は[6]の 付 録Dを

参 照)を 援 用 す れ ば

任 意 の α>0に

対 して

と書 き,ヘ ル ダー の 不 等 式([5]ま た は[6]の 付 録Dを

そ こ で,α ∞.さ

を3/40に の 合 成 積 をfε

付 録Dを

の と き,fε

あ り,Δfε=(Δ 参 照)を

た が っ て,fε

れ とfε〓0を

応 用 す れ ば,Δfε

∈D(Δ). 

は[6]の

付 録C,定

∈L2(IRd)で

あ

あ る か ら,Δfε〓0が

え に,〈fε,Δfε 〉=0で

な る.一

方,L2(IRd)上

な け れ ば な ら な い.こ

に フ ー リエ 変 換 を 応 用 す れ ば  す な わ ち,fε=0を

辺 にヤ ング

とお く と

用 い る と,〈fε,Δfε 〉〓0と

の 作 用 素 と し て,Δ〓0.ゆ

∈C∞(IRd)(∵[5]ま ρε)*f.右

 と 表 す こ と が で き,uε,x〓0で 導 か れ る.こ

対 し て,

とす る:fε:=ρε*f

を 得 る.こ

意 味 す る. 

の式

れ は,fε=0,

で あ っ た か ら([5]ま

理C.16-(ⅱ)),f=0を

た

得 る. 

■

 次 の 定 理 は そ れ 自体 と して も興 味 あ る もの で あ る. 定 理2.28  L1loc(IRd)の

(加 藤 の 不 等 式)f∈L1loc(IRd)と 元 に な っ て い る とす る.関

し,超

数sgnfを

関 数 の 意 味 で のΔfも

また

次 の よ う に 定 義 す る: の とき  の と き

 (2.58)

こ の と き,超 関 数 の 意 味 で 次 の不 等 式 が 成 り立 つ:

(2.59) 注 意2.8 

定 義2.26で

述 べ た よ う に,(2.59)の

意 味 は,す

べ て のu∈D+(IRd)

に対 して

*26 こ の よ う な 関 数 ρ の 存 在 を示 す に は でh〓0,

supp

は[6]の

付 録B,

よ い.

,た と え ば,次 の よ う に す れ ば よ い.関 数h∈C∞0(IR) hはhの 台 を 表 す)を 満 た す も の を と り([5]ま

h⊂[-1,1](supp B.1節

を 参 照), 

た

とす れ ば

が 成 り立 つ とい う意 味 で あ る. 注 意2.9 

定 理 の 仮 定 の も とで, 

で あ る か ら, 

した が って,  注 意2.10 

f∈C2(IRd)(IRd上

0,x∈IRdな

ら ば,直

の2回 連 続 微 分 可能 な関数 の全 体)か つf(x)≠

接計 算 によ り

(2.60) が 示 さ れ る.こ の 不 等 式 を超 関 数 の レヴ ェ ル まで 普 遍 化 した もの が 加 藤 の不 等 式 で あ る.言 い換 えれ ば,加 藤 の不 等 式 は,(2.60)に 的 理 念 を捉 え た もの な の で あ る.だ が,こ

現 れ て い る究 極的 な普 遍

の 普 遍 化 の構 造 は,以 下 の 証 明 が 語

る よ う に,全 然 自明 で は な く,注 意 深 い重 層的 な極 限 解 析 が 必 要 と され る.一 挙 に 高 み に達 す る こ とは容 易 で は ない.し

か し,こ こ に 関数 解 析 学 の 醍 醐 味 の

ひ とつ の 側 面 を味 わ う こ とが で きる. 証 明   まず, 

の 場 合 を考 え,ε>0と

し

(2.61) と す る.こ

の と き, 

であ り

(2.62) が 成 り立 つ.(2.61)は ,を

意 味 す る.こ

の 事 実 と(2.62)か

ら

(2.63) が 得 られ る.   (2.62)の 両 辺 にFε をか け,そ

う して 得 られ る式 の 両辺 の 発 散 を とれ ば

を 得 る.そ

こ で,(2.63)を

使 え ば 

を 得 る.し

た が っ て,

 た だ し,    さ て,定

理 の 仮 定 の よ う に, かつ 

と し, 

と し よ う(ρ は 補 題2.27の の と き, 

証 明 に お け る の と同 じ も の で あ る).こ

で あ る か ら, 

と お き,前

半

の結 果 を用 い る と

(2.64) を 得 る.ε

を 固 定 し,δ

→0の

と し,Brの

極 限 を と る.r>0に

定 義 関 数 をXrと

対 し て, 

す る.δ0は こ れ は 

の 位 相 でfδ →f(δ

て,D(IRd)'の δ→0と

意 味 で もfδ →fと

→0)と な る([5]ま

収 束 す る の で,

任 意 で あ っ た か ら,

な る こ と を 意 味 す る.し た は[6]の

付 録C,定

たが っ 理C.4).

な る δの 部 分 列 に 移 行 す る こ と に よ り,fδ(x)→f(x)(a.e.x)と

一 般 性 を 失 わ な い*28 .こ ま た,Δfδ=(Δf)δ に, 

の と き 

と な る.

で あ り, 

で あ る か ら,fδ

の 位 相 で 

と な る.し

位 相 で, 

と な る.ゆ

とす る こ と に よ り,超

関 数 の 意 味 で,  か つ 

位 相 で, 

*27 [5]ま た は[6]の

付 録C

*28 [5]ま た は[6]の

付 録A

の 場 合 と 同様

た が っ て,D(IRd)'の え に(2.64)で

δ→0

を 得 る.ε

とす れ ば,  ら,D(IRd)'の

して

→0

であるか ま た,

,定

理C.16-(ⅱ)の

,定

理A.16の

応 用. 応 用.

任 意 のu∈D(IRd)に対して, 

な

ら ば, 

で あ り,  が 成 り 立 つ. 

か ら,ル

で あ る

ベ ー グ の 優 収 束 定 理([5]ま

た は[6]の

付 録Aの

定 理A.6)に

よ り,

 し た が っ て, 

以上 に よ っ て,(2.59)が

定 理2.25の (2.57)が

証 明   ψ ∈D(H*)は(2.56)を

成 り立 つ.(2.57)はΔ

ψ=Vψ+ψ

か ら,こ の 式 の 右 辺 は 

に は い る.し

得 ら れ る . 

満 た す も の と し よ う.し

■

た が っ て,

と変 形 で き, 

である

た が っ て .そ

こ で,

加 藤 の 不 等 式 を 適 用 す れ ば,  ゆ え に .こ   定 理2.25の

れ と 補 題2.27か

後 半 の 主 張 に つ い て は,付 録Bの

て 応 用 す れ ば,条 件(2.55)の

も と で,-Δ+Vは

で あ る か ら,-Δ+V⊂-Δ+V.自 大 を も た な い か ら([5]のp.137,命

ら ψ=0が

結 論 さ れ る.

定 理B.1をA=-Δ,B=Vと

し

閉 で あ る.  己 共 役 作 用 素 は非 自明 な対 称 拡

題2.34),-Δ+V=-Δ+Vで

なければ

な ら な い. 

■

  定 理2.25の

系2.29 

系 と して 次 を 得 る.

(下 に 有 界 な 多 項 式 型 ポ テ ン シ ャル を もつ シ ュ レー デ ィ ン ガ ー型 作 用

素)P(x)をx1,…xdに

関す る 実 係 数 の多 項 式 で 下 に有 界 な もの とす れ ば,

作 用 素-Δ+Pは  証 明   Pの

上 で本 質的 に 自己 共 役 で あ る.

連 続 性 を使 え ば, 

2.25をV=Pと

して 応 用 で き る. 

系2.30 nを

任 意 の 自 然 数 と し, 

λ>0は

定 数,QはIRd上

数 α ∈[0,2n)が

あ って

は容 易 にわ か る.し たが っ て,定 理

の 実 数 値 ボ レ ル 可 測 関 数 で,非

■

と す る.た 負 定 数p ,q〓0と

だ し, 定

を 満 た す も の とす る.こ で あ り,下

の と き-Δ+Pは, 

に 有 界 で あ る.ま

証 明  p2n(x):=λ￨x￨2n,x∈IRdと の ε>0に

上 で 自己 共役

た, は-Δ+Pの

芯 で あ る.

お く.0〓

α0を

だ し,a,

定 数 と し,a+(a'/λ)0に

対 して

(右 辺 の 級 数 が 収 束 す る こ と は ダ ラ ンベ ー ル の 判 定 法 を使 え ば容 易 に わ か る.)ゆ え に, Ψ は ΦS(f)の

解 析 ベ ク トル で あ る.こ

ベ ク トル で あ る こ と を 意 味 す る.し

れ は,Fs,fm(D)の

た が っ て,系2

任 意 の元 が ΦS(f)の

解析

.42が 適 用 で き,結 論 を得 る. ■

2.8  準 双線 形形 式 と自己 共役 作 用 素

  量 子 力 学 へ の 応 用 に お い て,状 与 え られ た と き,A+Bが

態 の ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 対 称 作 用 素A,Bが

た と え本 質 的 に 自己 共 役 で な くて も,そ れ が 適 切 な

自己 共 役 拡 大 を もつ な らば,そ の 自己 共 役 拡 大 に よっ て,A+Bが

表す物理 的

描 像 に 呼 応 す る物 理 量 を定 義 す る こ とが 可 能 で あ る.そ れ ゆ え,そ の よ う な 自 己 共 役 拡 大 を構 成 す る方 法 を探 求 す る こ と は数 学 的 に も物 理 的 に も意義 を もつ. これ が この 節 の 主 題 で あ る*33. *33 対 称 作 用 素 の 自己 共役 拡 大 に関す る一 般 論 につ い て は ,こ の 章の 付 録C,

Dで

論 じる.

  2.8.1 

準双線 形形式再訪

  準 双 線 形 形 式 に つ い て は,す で に[5]の2.7.2項(p.198∼p.200)で こ で は,ま   Hを

ず,準

双 線 形 形 式 の 重 要 な ク ラ ス の 一 つ を 導 入 す る.

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間,DをHの

は な い).写

定 義 域 と 呼 び,Q(s)で

 

部 分 空 間 で あ る と す る(稠 密 で あ る 必 要

像s:D×D→CをD×D上

よ う な 準 双 線 形 形 式sをHに

定 義2.44 

ふ れ た.こ

の 準 双 線 形 形 式 と す る.以 お け る 準 双 線 形 形 式 と い う.こ

後,こ

の

の 場 合,Dをsの

表 す*34.

s1, s2を

ヒ ル ベ ル ト空 間Hに

お け る 二 つ の 準 双 線 形 形 式 と す る.

(ⅰ) (準 双 線 形 形 式 の 相 等)Q(s1)=Q(s2)か

て  

つ 任 意 の 

が 成 り 立 つ と き,s1とs2は

に対 し

等 しい と い い,s1=s2と

記 す.

  (ⅱ) (準 双 線 形 形 式 の 和)準 双 線 形 形 式s1+s2を

次 の よ うに定 義 す る:

(2.75) (2.76) s1+s2をs1とs2の

和 と 呼 ぶ.同

準 双 線 形 形 式s1,…,sn(n〓3)に sl,…,snの

様 に,ヒ

ル ベ ル ト空 間Hに

対 し て,準

双 線 形 形 式 

お け るn個 ―

の

これ を

和 と呼 ぶ ― が

(2.77) に よ って 帰 納 的 に 定 義 さ れ る.   (ⅲ) (準双 線 形 形 式 の ス カ ラ ー倍)ヒ ルベ ル ト空 間Hに

お け る準 双 線 形 形 式

sの ス カ ラ ー倍 αs(α ∈C)は

(2.78) に よ っ て 定 義 さ れ る. *34 文 献 に よ (form)と

っ て は,準

双 線 形 形 式 の こ と を2次

呼 ぶ 場 合 が あ る.

形 式(quadratic

form)あ

るい は単 に形 式

  あ る 定 数γ が あ っ て,す 成 り立 つ と き,sは と れ る 場 合,sは

べ て の Ψ ∈Q(s)に

対 し て,s(Ψ,Ψ)〓-γ‖

下 に 有 界 で あ る と い い い,s〓-γ

と 記 す.特

Ψ‖2が

に,γ=0に

非 負 で あ る と い う.

  準 双 線 形 形 式sが

下 に有 界 の と き

(2.79) をsの

下 限 と 呼 ぶ.

  部 分 空 間D⊂Q(s)が

準 双 線 形 形 式sの

芯(core)で

あ る と は,任 意 の Ψ ∈Q(s)

に 対 し て,

と な る Ψn∈Dが

存 在 す る と き を い う.

  次 の 事 実 を 注 意 し て お こ う.

補 題2.45 

任 意 の Ψ ∈Q(s)に

対 し て,

(2.80) が 実 数 な ら ば,sは

対 称,す

な わ ち,s(Ψ,Φ)*=s(Φ,Ψ),Ψ,Φ

∈Q(s)が

成 り

立 つ.

証 明  準 双 線 形 形 式 に関 す る偏 極 恒 等 式

(2.81) とs(αΨ)=￨α￨2s(Ψ)(Ψ∈Q(s),α∈C)を 例2.8 

Aを

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

用 い れ ば よ い. 

■

の 自己 共 役 作 用 素 と し,そ の ス ペ ク トル 測 度 をEA

とす る.

(2.82) と し,sA:Q(A)×Q(A)→Cを

(2.83)

に よ っ て 定 義 す る.こ

の と き,sAはQ(A)上

に 同 伴 す る準 双 線 形 形 式 あ る い は 単 にAの 定 義 域(form

domain)と

呼 ぶ.作

の対 称 な準 双 線 形 形 式 で あ る.sAをA 形 式(form)と

い い,Q(A)をAの

形式 の

用 素解 析 に よ り

(2.84) で あ る こ と に 注 意 し よ う.   作 用 素 解 析 を用 い る と次 の こ とが わ か る:Aが が っ て,A+γ

下 に有 界 でA〓-γ(γ

∈IR)(し

た

は 非 負 の 自 己 共 役 作 用 素)な ら ば,sA〓-γ,Q(A)=D((A+γ)1/2)

で あ り,す べ て の Ψ,Φ ∈Q(A)に

対 して

(2.85)  次 の 事 実 に注 意 し よ う. 命 題2.46 

二 つ の 自 己 共 役 作 用 素A,Bに

証 明  sA=sBと

す れ ば,任

つ い て,sA=sBな

意 の Ψ ∈Q(A)と

ら ばA=B.

Φ ∈D(A)に

∫IRλd〈Ψ,EB(λ)Φ〉.任 意 のn∈INに 対 して,x[-n,n](B)Ψ Ψ の か わ りにx[-n,n](B)Ψ を代 入 す れ ば

対 して,〈 Ψ,AΦ〉= ∈Q(B)で

あ る か ら,

容 易 にわか るよ うに

 

で あ る か ら,  補 題3.6を

が 導 か れ る([1]のp.115,

参 照).そ

した が っ て,Φ

こ で,n→

∈D(B).ゆ

意 味 す る.A,Bと

え に〈Ψ,AΦ〉=〈 Ψ,BΦ〉 が 導 か れ る.こ

芯 で あ る と き,DをAの

  作 用 素 に 対 し て,閉

定 義2.47 

とす れ ば, 

も に 自 己 共 役 で あ る か ら,A=Bで

  部 分 空 間DがsAの

よ う に,準

∞

れ はA⊂Bを

な け れ ば な ら な い. 

形 式 芯(form

core)と

■

呼 ぶ(定 義).

作 用 素 とい う重 要 な作 用 素 の ク ラス の 一 つ が 定 義 さ れ た

双 線 形 形 式 に 対 し て も そ れ に 対 応 す る 概 念 が 定 義 さ れ る.

sを 準 双 線 形 形 式 と す る.Ψn∈Q(s),‖

Ψm)→0(n,m→

∞)な

ら ば,常

成 り立 つ と き,sは

閉 で あ る と い う.

Ψn-Ψ‖

に Ψ ∈Q(s),s(Ψn-Ψ)→0(n→

→0,s(Ψn∞)が

例2.9 

Aを

下 に 有 界 な 自己 共 役 作 用 素 でA〓-γ

る 準 双 線 形 形 式sAは

証 明   Ψn∈Q(A)=D((A+γ)1/2),‖ ∞)と

し よ う.こ

が わ か る.し

Ψn-Ψ‖

の と き,(2.85)よ

た が っ て,あ

閉 で あ る か ら,Ψ

とす る.こ

の と き,Aに

同伴 す

閉 で あ る.

る Φ ∈Hが

導 く.ゆ

基 本列 で あ る こ と

あ っ て,(A+γ)1/2Ψn→

∈D((A+γ)1/2)=Q(A)か

者 はsA(Ψn-Ψ)→0を

→0,sA(Ψn-Ψm)→0(n,m→

り,{(A+γ)1/2Ψn}nはHの

Φ.(A+γ)1/2は

つ(A+γ)1/2Ψn→(A+γ)1/2Ψ.後 え にsAは

閉 で あ る. 

■

 閉で は な い 準 双 線 形 形 式 の例 もあ げ てお こ う. 例2.10 

ヒ ル ベ ル ト空 間L2(IR)に

お い て,準 双 線 形 形 式sδ を次 の よ う に定 義 す る:

これ は対 称 な準 双 線 形 形 式 で あ り,非 負 で あ る.だ

が,そ れ は 閉 で は な い(演 習 問 題11).

こ の 例 の 準 双 線 形 形 式 は 超 関 数 論 の 記 法 を 使 え ば,sδ(u,υ)=∫ δ(u*υ)と 表 さ れ る.こ

こで,δ

は1次

 下 に有 界 な準 双 線 形 形 式s〓-γ(γ

と お く と,〈 ・,・〉sはQ(s)の 積 空 間 をHsと

書 き,こ

∈IRは 定 数)に 対 して

内 積 で あ る.こ

れ をsに

δ(x)u(x)*υ(x)dx=

元 の デ ル タ超 関 数 で あ る.

の 内 積 をQ(s)に

付 与 して で き る内

同 伴 す る 内 積 空 間 と 呼 ぶ.次

の命 題 は 明 らか

で あ ろ う.

命 題2.48 

下 に有 界 な準 双 線 形 形 式sが 閉 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はHsが

ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る こ とで あ る.

  2.8.2  定 義2.49 

可 閉 な準 双 線 形 形 式 Hに

お け る 準 双 線 形 形 式s1,

意 の Ψ,Φ ∈Q(s1)に

Hに

が あ る と き,sは

つ い て,Q(s1)⊂Q(s2)か

対 し て,s1(Ψ,Φ)=s2(Ψ,Φ)が

の 拡 大 で あ る と い い,s1⊂s2と

定 義2.50 

s2に

つ任

成 り立 つ と き,s2はs1

表 す.

お け る 準 双 線 形 形 式sに 可 閉 で あ る と い う.こ

対 し て,s⊂sと の 場 合,sをsの

な る 閉準 双 線 形 形 式 一 つ の 閉 拡 大 と い う.

命 題2.51 

Hに お け る準 双 線 形 形 式sが

可 閉 な ら ば,次 が 成 り立 つ:

な らば 証 明   仮 定 に よ り,sの 0(n,m→

∞)と

に,sの

 (2.86) 閉 拡 大sが

し よ う.し

あ る.Ψn∈Q(s),

Ψn→0,

s(Ψn-Ψm)→

た が っ て,s(Ψn-Ψm)→0(n,m→

閉 性 に よ り,s(Ψn)→0(n→

∞).す

∞).ゆ

な わ ち,s(Ψn)→0(n→

え ∞). ■

  下 に 有 界 な 準 双 線 形 形 式sに た め に,補

Kを

内 積 空 間,DをKで

任 意 の 基 本 列 はKの

逆 も成 立 す る こ と を示 す

稠 密 な 部 分 空 間 と す る.Dの

中 に 極 限 を も つ と 仮 定 す る.こ

元か らなる

の と き,Kは

完 備,す

なわ

意 の ε>0に

対 して,番

ル ベ ル ト空 間 で あ る.

証 明   {Ψn}nをKの n0が

題2.51の

題 を 一 つ 用 意 す る.

補 題2.52 

ち,ヒ

つ い て は,命

基 本 列 と す る.し

あ っ て,n,m〓n0な

り,各nに

た が っ て,任

ら ば‖ Ψn-Ψm‖0,V∈L1loc(IRd)で 定 義 され る.こ 例2.14 

だ し,c>0,

あ る.し

α ∈(d/2,d)は

た が っ て,自

の 場 合, 

定 数 で あ る.こ

の と き,

己 共 役 作 用 素Hα:=-Δ+c￨x￨-α

が

で あ る か ら,D(V)はC∞0(IRd)を

磁 場 を も つ シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 作 用 素.H(A,V)を(2.50)に

られ る 作 用 素 と し よ う.V,

Aに

Aが

よ っ て与 え

対 す る あ る 条 件 の も とで,H(A,V)がC∞0(IRd)上

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る こ と はす で に 証 明 した(定 理2.23).準 を使 う と,V,

双 線 形形 式 の方法

も っ と一 般 的 な ク ラ ス に 属 す る 場 合 で もH(V,A)の

を定 義 す る こ とが 可 能 で あ る.  

*37  反 例 に つ い て は

含 ま な い.

の 場 合 を考 え て み よ う.こ

の と き,作 用 素

,た

Example

と え ば,[10]のp.329,

2.19を

み よ.

自己共 役拡大

の定義 域 はC∞0(IRd)を し よ う.ま

含 み,DA,jは

た,V:IRd→IRは

対 称 作 用 素 に な る.DA,jの閉包

下 に 有 界 で 

き,  密 で あ る.し

をDA,jと

を満 た す とす る.こ

で あ る か ら,  た が っ て,定

理2.60を

応 用 す れ ば,形

  A, BをH上

の 自己 共 役 作 用 素 でAは

り立 つ と き,BはAに Q(B)⊃Q(A).

自己共 役拡 大 で あ る.

形 式 の 意 味 での 相 対 的有 界 性

非 負 で あ る とす る.次 の(ⅰ), (ⅱ)が 成

関 して,形 式 の 意 味 で 相 対 的 に 有 界 で あ る とい う:(ⅰ)

(ⅱ)あ る 定 数a, b〓0が

こ の 場 合,定

は稠

式和

は 自己 共役 で 下 に有界 で あ る.こ れ は,H(A,V)の

  2.8.7  作 用 素 の 意 味 での 相 対 的 有 界 性 ⇒

の と

数aを

存 在 して,

れ る と き,BはAに

形 式 の 意 味 でのA-限

界 とい う.定 数aが

任 意 に小 さ く と

関 して 形 式 の 意 味 で無 限 小 で あ る と い う.

  次 の 定 理 は有 用 で あ る. 定 理2.62 

A, Bを

自己 共 役 作 用 素,A〓0と

す る.こ の と き,次 の(ⅰ),(ⅱ)が

成 り立 つ:   (ⅰ)  BがA-有

界 で,定 数a, b〓0が

存 在 して

(2.96) と な っ て い る な ら ば,任

意 の ε>0に

対 して

(2.97) が 成 立 す る.   (ⅱ)  B≪Aな

らば,BはAに

関 して 形 式 の 意 味 で 無 限 小 で あ る.

  この 定 理 を 証 明 す る た め に,補 題 を二 つ 用 意 す る.ま ず,自 累乗 に つ い て の基 本 的 性 質 を証 明 す る.

己共役作用素の

補 題2.63 

Aを

自 己 共 役 作 用 素 と し,00に

λ2α と∫IR￨λ￨2αd‖E(λ)Ψ‖20が

Ψ‖20に

Φε ∈Dで

(**)

対 して,

を 満 た す も の が 存 在 す る.三

角 不 等 式 と(2.98)お

よ び(*),(**)を

用 い るこ と

に より

が 得 ら れ る.そ

こ で,n∈INに

Ψ,￨A￨α Ψn→￨A￨α

Ψ(n→

対 して,Ψn:=Φ1/n∈Dと ∞).し

お け ば,Ψn→

た が っ て,Dは￨A￨α

の 芯 で あ る. 

■

  次 の 補 題 は非 負 自己 共 役 作 用 素 に 同 伴 す る準 双 線 形 形 式 の 不 等 式 の拡 張 に関 す る も の で あ る.

補 題2.64  をA1/2の

A,Bを

ヒ ル ベ ル ト空 間Hに

芯 でD⊂D(B1/2)を

べ て の Ψ ∈Dに

お け る 非 負 の 自 己 共 役 作 用 素 と し,D

満 た す も の と す る.定

数a,b〓0が

あ っ て,す

対 して

(2.99) が 成 り 立 つ と す る.こ D(A1/2)に

の と き,D(A1/2)⊂D(B1/2)で

対 し て(2.99)が

∞)と

こ れ とB1/2の

対 し て,Ψn∈Dで

な る も の が と れ る.(2.99)に 閉 性 に よ り,Ψ

∈D(B1/2)か

Ψn→

∈D(A1/2)に

対 す る(2.99)が

定 理2.62の

証 明   (ⅰ)(2.97)の

そ こ で,2番

目 の 不 等 式 を 示 す.作

と お く.こ aε0を

Ψ,A1/2Ψn-A1/2Ψ

よ り,{B1/2Ψn}nは

した が っ て,特 に,D(A1/2)⊂D(B1/2).(2.99)の とす れ ば,Ψ

べ て の Ψ ∈

成 立 す る.

証 明   任 意 の Ψ ∈D(A1/2)に 0(n→

あ り,す

リ ッ ヒ の 定 理 に よ り,A-Bε

∈D(B) 同値 であ

bε:=b/(a+ε) Ψ‖,Ψ

∈D(A).

は 自己 共 役 で あ り

し た が っ て,(a+ε)A-￨B￨〓-(a+ε)b/ε.ゆ

え に

(2.100) 補 題2.63の

応 用 に よ り,D(A)はA1/2の

補 題2.64に

よ り,(2.97)の2番

  (ⅱ)B≪Aな

ら ば,aは

芯 で あ る.こ の 事 実 と(2.100)お

目 の不 等 式 が 得 られ る.

い くらで も小 さ く とれ る か ら,(ⅰ)の 結 果 に よ り,題

意 が した が う. 

■

2.9 

  自己 共 役 作 用 素Aに 形 式sA+β

よび

は,ど

形 式 に よ る 摂 動―KLMN定

理

対 して対 称 形 式 β に よ る摂 動 に よ って 得 られ る準 双 線 形

の よ うな 条 件 の も と に,あ る 自己 共 役 作 用 素 に 同伴 す る 準

双 線 形 形 式 とな る で あ ろ うか.こ

れ は,準 双 線 形 形 式 を用 い て 自 己 共役 作 用 素

(量子 力 学 の コ ンテ ク ス トで は物 理 量)を 定 義 す る方 法 を探 究 す る観 点 か らは 自 然 な 問 い で あ る.こ

の 問題 に関 す る基 本 的 な事 実 と応 用 を述 べ るの が こ の節 の

目 的 で あ る.   形 式 に 関す る摂 動 問 題 に関 して も,作 用 素 の 摂 動 問 題 に 関す る加 藤-レ リ ッ ヒ の 定 理 に呼 応 す る 定 理 が 存 在 す る.そ れが 次 の定 理 で あ る. 定 理2.65  役 作 用 素,β

(KLMN定

理*38).Hを

ヒルベ ル ト空 間,AをH上

の非 負 自 己共

を対 称 な準 双 線 形 形 式 で次 の 条 件 を満 たす もの とす る:

  (ⅰ)  Q(A)⊂Q(β).   (ⅱ) 定 数0〓a0に

証 明 す る.a>0を

任意

ら か にuj,a∈C∞(IRd).

対 し て 成 立 す る 自 明 な 不 等 式 

にお

い て左 辺 を計 算 す る こ と に よ り

単 純 な計 算 に よ り

で あ るか ら

し た が っ て, 

任 意 のx≠0に

が 得 ら れ る.た

対 し て, 

で あ り, 

が 成 り立 つ.い し た が っ て,ル

ま,d〓3で

あ る か ら, 

.こ に よ り,(2.107)が

  任 意 のf∈C∞0(IRd)に

前 段 の 結 果 と補 題2.64の に 対 して,(2.107)が

れ と 

得 ら れ る.

対 し て, 

の 芯 で あ る か ら,(-Δ)1/2の

注 意2.18 

.

ベ ー グの 優 収 束 定 理 に よ り

ゆ え に, 

は-Δ

だ し

が 成 り立 つ.C∞0(IRd) 芯 で も あ る(補 題2.63(ⅱ)の

応 用 に よ り,任

応 用).よ

意 の 

導 か れ る. 

不 等 式(2.107)は

ン テ ク ス トに お い て,上

っ て,

■

ハ ー デ ィ ー の 不 等 式 と も 呼 ば れ る.量

の 補 題 を"不 確 定 性 原 理 の 補 題"と

子力学の コ

呼 ぶ 理 由 は次 の 点 に

あ る.pj=-iDjと 単 位 系).証

お く と,こ

れ は 運 動 量 作 用 素 の 第j成

分 で あ る(h=1の

明 の 中 で 計 算 し た 交 換 関 係[Dj,uj,a]はi[pj,uj,a]と

の 場 合,uj,aは"力"x/(x2+a)の 非 可 換 で あ る の で,一 不 等 式(2.107)は

定 理 2.70 

第j成

書 か れ る.こ

分 と み る こ と が で き る .pjとuj,aは

般 化 さ れ た 意 味 で の 不 確 定 性 関 係 が 導 か れ る.要

す るに

こ の 不 確 定 性 関 係 の 一 つ の 帰 結 な の で あ る.

V:IR3→H4(C)と

し,次

の 条 件 を 満 た す と す る:

(2.108) た だ し,‖V(x)‖

はV(x):C4→C4の

0〓a0は

そ れ ぞ れ,原

表 す パ ラ メ ー タ ー).V(x)=-Ze2/￨x￨と き,次

子 番 号,電

し て,定

気 素 量(基

理2.70を

本 電 荷)を

応 用 す る こ とが で

の 結 果 を 得 る.

系2.71 

00に

を得 る(cは

意D.3に

意 のf∈

た が っ て, .し

て,超 関 数 の 意 味 でDg=-g.g∈L2(IR+)で

る こ とが 示 さ れ る.さ

の と き,注

の と き,任

のgが

す べ て のγ>0で

微分 可 能 であ

の 微 分 方 程 式 の 解 はg(γ)=ke-γ 確 か にker(p*γ-i)の

とい

元 で あ る こ と もわ

  次 にh∈ker(p*r+i)の h'(r)=h(r)が

とす れ ば,前 段 と同 様 の 議 論 に よ っ て,hは

わ か る.こ

れ はk=0の

の 微 分 方 程 式 の 解 はh(r)=kerに

と きの み,L2(IR+)の

元 で あ る.よ

微 分 可 能 で あ り,

限 られ る.し

か し,こ

っ て,n-(pr)=0. 

■

 次 に,対 称 作用 素 の不足 指数 が一 致す る(し たが って,自 己共役 拡大 の 存在 が保証 さ れ る)有 用 な 十 分 条 件 を 一 つ 定 式 化 し て お く. 定 義D.3 

写 像J:H→Hを

任 意 の  をJに

共 役 子([6],p.458),AをH上

に 対 し て, 

関 す る 実 作 用 素(real

の 線 形 作 用 素 と す る.

で あ り, 

operator)と

い う.こ

が 成 り立 つ と き,A の場 合,単

にAはJに

関 して実

で あ る と もい う. 注 意D.4  D(A)で

AがJに

関す る 実 作 用 素 な ら ば,容 易 に確 か め られ る よ う に,実 はJD(A)=

あ る.

補 題D.4  役 子Jに

稠 密 に 定 義 さ れ た 線 形 作 用 素Aが

共 役 子Jに

関 して 実 な ら ば,A*も

関 して 実 で あ る.

証 明   任 意 の と 

に対 して,  最 初 と最 後 の 式 に よ っ て, 

が し た が う.し

定 理D.5 

たが っ て,A*はJに

かつ

 

関 して 実 で あ る. 

(フ ォ ン ・ノ イ マ ン の 定 理)AをH上

関 して 実 作 用 素 で あ る とす る.こ はJに

共

■

の 対 称 作 用 素 と し,Aは

の と き,n+(A)=n-(A)が

共 役 子Jに

成 り立 つ.さ

ら に,A

関 して 実 の 自 己 共 役 拡 大 を もつ.

証 明   補 題D.4に

よ っ て,A*もJに

 

関 して 実 で あ る.こ

に 対 して, 

らK〓

へ の 全 単 射 で あ る.こ

D.1に

よ っ て,各V∈U(K+,K-)に

  CONS{en}nに

れ はn+(A)=n-(A)を

対 し て, 

た す こ とが わ か る.こ

理

任意 の

満 た す も の が 存 在 し, 関 す る 実 性 を用 い る と,Aの が 成 り立 つ.こ

証 明 に お け る ユ ニ タ リ作 用 素UVはJUV=U*VJを

れ はAVのJに

か

た が っ て,定

自 己 共 役 拡 大AVでV1≠V2

でVen=Jenを た,AのJに

意の

た が っ て,JはK±

満 た す もの が 存 在 す る.K+の

つ い て も 

事 実 を用 い る と,定 理D.1の

れ を 用 い る と,任

意 味 す る.し

対 して,Aの

な らばAV1≠AV2を

  が 成 り立 つ.ま ケ ー リー 変 換Wに

が わ か る.し

関 す る 実 性 を 導 く. 

れ らの 満 ■

付録E  交 換 子 に関 す る基 本 公 式

  Hを

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間,A,B,C,S,TをH上

  部 分 集 合 

の 線 形 作 用 素 とす る.

が あ っ て,す

成 り立 つ と き,「D上

でS=Tが

べ て の Ψ ∈Dに

対 して, 

が

成 り立 つ 」 とい い,こ の こ と を 「S=T(D上)」

と

い う ふ う に も記 す.   線 形 作 用 素 の 交 換 子[S,T]:=ST-TSに 易 で あ る(α,β ∈Cは

関 す る 以 下 の 関 係 式 を証 明す る の は 容

任 意). 上), 

(E.1)

命 題E.1 

上), 

(E.2)

上), 

(E.3)

上), 

(E.4)

上), 

(E.5)

とす る.こ

の

とき (Dn上) 

(E.6)

が 成 り立 つ. 証 明   n=1の

と き は 明 ら か.n=m∈INの

の と き,Dm+1上

最 後 の 式 は,k=j+1と い こ とが わ か る.し

と き,(E.6)が

成 り立 つ と し よ う.こ

で

して,和

を書 き 直 せ ば,n=m+1の

た が っ て,(E.6)はn=m+1の

場 合 の(E.6)に

系E.2  c∈Cが

等 し

場 合 も成 立 す る. 

■

とす る.定 あ っ て 上)と

す る.こ (Dn上) 

が 成 り立 つ.

数

の とき (E.7)

証 明   (E.6)の 右 辺 の[A,B]にcIを 例E.1 

L2(IRd)に

代 入 す れ ば よ い. 

お い て, 

■ な らば

(D上),j,k=1,…,d.

ノ

ー

ト

  本章 の主 眼 は,量 子 力学 にお いて現 れ る(あ るい は現 れ る可 能性 のあ る)諸 々の物 理 量 の候 補 の(本 質 的)自 己共役 性 を証 明す る ための い くつか の基 本 的方法 お よ び準 双 線形 形式 による 自己共役 拡大 の構 成法 を論述 す る ことにあ った.自 己共役 性 の問題 につ いて は,本 章 で取 り上 げた事 実 の他 に も非常 に多 くの結果 が得 られ てい る.こ れ らにつ いて は,[14]のX章

や[15]等 を参 照 され たい.量 子力 学や 量子場 の理論 にお

いて,新 たなモ デ ル を考 察の対 象 と し,モ デ ルの有 す る物 理量 の候補 につい て,そ の (本質的)自 己共役性 を証 明す る際 に,従 来 の方 法が 適用 で きる場合 とそ うで ない場合 が あ りうる.後 者 の場合,本 質 的 に新 しい方法 が必 要 と され る.こ の よ うに して,自 己 共役 性 の問題 は,量 子 場 の理論 を含 む広範 な領 域 にお いて重要 な主題 の一 つ であ り 続 け てい る.

第2章  演 習 問 題

1. 命 題2.14を

証 明 せ よ.

2.  V1,V2をIRν と お く.こ

上 の ボ レ ル 関 数 の 集 合 と し,  の と き,V1,V2が

ス ケ ー ル 不 変 な ら ば,V1+V2も

ス ケール不 変で

あ る こ と を 示 せ.

3. p,q〓1な

ら ば,関 数 空 間

は そ れ ぞ れ,複

素 ベ ク トル 空 間,実

4. 関 数 (K>0:定 作 用 素Vは1次

  ベ ク トル 空 間 で あ る こ と を 示 せ. 数)に

よ る(L2(IR)に

お け る)か け 算

元 ラ プ ラ シ ア ンΔ に関 して 相 対 的 に 有 界 で は な い こ と を 示 せ.

5. 多 項 式 型 ポ テ ン シ ャル

   

に よ る(L2(IR)に

お け る)か け 算 作 用 素Pは1次

元 ラ プ ラ シ ア ンΔ に 関 して

相 対 的 に有 界 で は な い こ と を 示 せ. 6. nを 任 意 の 自然 数,λ>0を

定 数 と し, 

2.29に よ っ て, 

は 

下 の 手順 で,H2n=H2n,す

とお く.系 上 で 本 質 的 に 自己 共 役 で あ る.以

な わ ち,H2nは

 

上 で 自 己 共 役 で あ る こ と を証 明 せ よ.pj:=-iDjと (ⅰ) 任 意 のf∈C∞0(IRd)に

お く.

対 して

を示 せ. (ⅱ) (ⅰ)を用 い て,任

意 のf∈C∞0(IRd)に

対 して

を示 せ. (ⅲ) 任 意 の ε∈(0,1)に

対 して,定

数bε〓0が

が 成 り立 つ こ と を 示 せ.n=1の (ⅳ)  (ⅱ),(ⅲ)か

存 在 して

と き は,bε=2dλ

に と れ る こ と を示 せ.

ら

を 示 せ.n=1の

と き は,ε=0,bε=2dλ

(ⅴ) (ⅳ)とC∞0(IRd)がH2nの

に と れ る こ と を 示 せ.

芯 で あ る こ と(系2.29)を

な ら ば, 

か つ す べ て の 

用 い て,ψ ∈D(H2n) に

対 して 不 等 式

が 成 り立 つ こ と を 証 明 せ よ. (ⅵ) (ⅴ)と 系2.29に

よ っ て,-Δ+P2nは

上 で 自己 共 役 で あ る こ と を証 明 せ よ.

 

 

7. ボ レ ル 可 測 関 数V:IRd→IRに 十 分 条 件 は  8. d〓3な

つ い て, 

で あ るた めの必要

で あ る こ と を示 せ.

ら ば,L2(IRd)に

お い て,D(Δ)の

任 意 の元 は連 続 関数 と同一視 で き

る こ と を示 せ. 9. Vは

定 理2.31と

同 じ条 件 に した が う と す る.E∈IRdを

を 定 数 と し,W(x)=-qE・xと (ⅰ)  任 意 の ε>0に

定 ベ ク トル,q∈IR

す る*46.

対 し て,不 等 式  

が 成 り立 つ こ と を 示 せ.   (ⅱ) 任 意 の 

に 対 して

を 示 せ.こ

こ で,ε>0は

任 意 の 正 の定 数 で よ い. 

(ⅲ) 次 の 事 実 を 証 明 せ よ:0〓a0を

任 意 に と り,有 限 開 区 間(-L/2

,L/2)に

お け る 一 般 化 され た デ ィ

リ ク レ境 界 条 件 つ き ラ プ ラ シ ア ン をΔ(L)Dと す る[枠 と な る ヒ ル ベ ル ト空 間 は  ](例2.11で 

の

場 合).  か つ

(ⅰ)

 を示 せ.   (ⅱ)

が存在  と お く.こ

の と き,

 か つ  を示 せ.

(ⅲ)  関 数 φn(n∈IN)を次

の よ う に定 義 す る:

 こ の と き,

 か つ

 を示

せ*47.

 を証 明 せ よ.

(ⅳ) 14. L2(Ω)(Ω

はIRdの

開 集 合)に お い て 準 線 形 形 式sNを次

の よ う に定 義 す る:

(ⅰ) sNは 非 負 か つ 可 閉 で あ る こ と を 証 明 せ よ.   sNの

閉 包sNに

同伴 す る 非 負 自 己 共 役 作 用 素 を-ΔNと

(ⅱ) -ΔNは-Δminの

自 己 共 役 拡 大 で あ る こ と を 示 せ. 

(ⅲ) Ω が 有 界 の と き,   注:-ΔNを一 よっ て,Ω *47 {φn}n

す る. 

を示 せ.

般化 され た ノイ マ ン境界 条 件 つ きラ プラ シ ア ン とい う.前 問 と(ⅲ)に が有 界 な らば,ΔD≠ΔNが

わ か る.

∈INは,発 見 法 的 に は,微 分 方 程 式  を満 たす 関 数fを 求 め る こ と に よ り,得 られ る.

お よ び条 件

 

15. d〓3の

と き,-Δ

は 

上 で は本 質 的 に 自 己 共 役 で は な い こ と を

証 明 せ よ.

関 連 図 書

[1] 新 井 朝 雄,『 ヒル ベ ル ト空 間 と量 子 力 学』,共 立 出 版,1997. [2] 新 井 朝 雄,『 フ ォ ック空 間 と量 子 場 上』,日 本 評 論 社,2000. [3] 新 井 朝 雄,『 フ ォッ ク空 間 と量 子 場 下』,日 本 評 論 社,2000. [4] 新 井 朝 雄,『 現 代 物 理 数学 ハ ン ドブ ッ ク』,朝 倉書 店,2005. [5] 新 井 朝雄 ・江 沢 洋,『 量子 力 学 の 数 学 的構 造Ⅰ』,朝 倉 書 店,1999. [6] 新 井 朝雄 ・江 沢 洋,『 量子 力 学 の 数 学的 構 造Ⅱ 』,朝 倉 書店,1999. [7] 江 沢 洋,物 質 の安 定 性,江 沢 洋 ・恒 藤敏 彦(編)『

量 子 物 理 学 の展 望 下』,岩 波 書 店,

1978. [8] 池 部 晃 生,『 数 理 物 理 の 固 有 値 問 題― 離 散 ス ペ ク トル―』,産 [9] T.Kato,Fundamental properties type,Trans.Amer.Math.Soc.70(1951),195-211. [10]  T.Kato,Perturbation [11]  黒 田 成 俊,『

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of Hamiltonian

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of Schrodinger

Operators,Springer,1966,1976.

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1979. [12]  黒 田 成 俊,『 [13]  M.Reed tional

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[18]  朝 永 振 一 郎,『

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[15]  B.Simon,Quantum

[16] 

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量 子 力 学Ⅰ 』(第2版),み

of

Matter:From

ed.). す ず 書 房,1969.

Atoms

to

Stars,Selecta

3 正準交換 関係 の表現 と物理

量子 力 学 の根 本 原 理 の一 つ で あ る,代 数 的 構造 と しての 正準 交 換 関係(CCR)の

表現 論

の 初等 的 部 分 を,量 子物 理 との 関 連 を念 頭 に置 きつ つ,論 述 す る.ま た,CCRの

変形

か ら定 義 され る時 間作 用 素 の概念 につ い て もふ れ る.こ れ は,従 来曖 昧 に論 じられ て き た"時 間-エ ネル ギ ー の 不確 定 性 関 係"に 対す る一 つ の 明 晰 な形 を与 え る.さ らに,時 間作 用 素 と状 態 の 時 間発 展(生 き残 り確 率)と の 関 係 に つ い て議 論 す る.

3.1 

は

じ

め

に

  ハ イゼ ンベ ル ク の不 確 定 性 関 係 を考 慮 す る と,量 子 的粒 子 の粒 子 的描 像 にお け る位 置作 用 素 と運 動 量作 用 素 は正準 交 換 関係(canonical CCRと

relation;

略 す)に し たが う こ とが あ る意 味 で 自然 に導 か れ る こ と を前 著[14]の3

章,3.3節

で 発 見 法 的 に示 した.さ

も無 限 自 由度 の 場 合 も含 め て,外 CCRの

commutation

ら に進 ん で,量 子 力 学 は,有 限 自 由度 の 場 合 的 自由 度 に関 す る 限 り,代 数 的 構 造 と して の

ヒ ルベ ル ト空 間 表 現 と して,統 一 的 に捉 え られ る こ と も示 唆 した([14]

の3.3.7項 お よ び4.4節).こ

の 場 合,有 限 自 由度 の 量 子 力 学 と量 子 場 の 理 論 の

よ うな無 限 自 由度 の量 子 力 学 との違 い は,有 限 自由度 のCCRの 度 のCCRの

表 現 と無 限 自 由

表現 の それ と して把 握 さ れ る.代 数 的 構 造 そ の もの と して のCCR

を量 子 力 学 の根 本 原 理 の 一 つ と して立 て る と き,次 に行 うべ き仕 事 は 無 数 に存 在 す るCCRの

表 現 の 構 造 を解 析 す る こ とで あ る.こ れ は 量 子 現 象 の 現 出 の 仕

方 を根 本 で 支 配 す る数 学 的 構 造 の一 つ の 相 を そ の根 源 か ら明 晰 に認 識 す る こ と を可 能 にす る は ず で あ る.よ は,無 数 に あ るCCRの

り具 体 的 にい え ば,こ の仕 事 の 基 本 的 課 題 の 一 つ

表 現 た ち を本 質 的 に 異 な る もの とそ うで な い もの とに

分 類 し整 理 す る こ とで あ る.CCRの

表 現 の うち には,前

著[14]で す で にみ た

よ うに,外 見― 表 現 形 式― が 異 な って も物 理 的 に は ま っ た く同 じ内容 を記 述 す る もの が あ る(例:シ ン表 現).そ

ュ レ ー デ ィ ン ガー 表 現 とボ ル ン-ハ イ ゼ ンベ ル ク-ヨ ル ダ

の よ う な表 現 ど う しは物 理 的 に 同値 で あ る とい う.他 方,あ

る表 現

は別 の 表 現 と本 質 的 に異 な る 物 理 的 内容 を 内 蔵 して い る場 合 が あ る.こ の よ う な二 つ の表 現 は物 理 的 に非 同 値 で あ る とい う.CCRの

表 現 の 分 類 問 題 は,量 子

力 学 の コ ン テ クス トに お い て は,無 数 に存 在 す るCCRの

表 現 を物 理 的 に 同値

な もの とそ う で な い もの とに分 類 す る問 題 に ほ か な ら な い.こ れ が 本 章 の主 題 で あ る.だ が,こ   Nを

こ で は,有 限 自 由度 のCCRの

自然 数 と し,自 由度Nの

表 現 の み を考 察 す る.

場 合 のCCRを

ここ で も う一 度 か き下 して お こ

う*1:

(3.1) (3.2) だ た し,[X,Y]:=XY-YX.

定 義3.1 

Hを

CCRの

表 現 の 二 つ の 型 を 導 入 す る:

ヒル ベ ル ト空 間 とす る.Hで

作 用 素Qj,Pk(j,k=1,…,N)に

稠 密 な部 分 空 間DとH上

の対 称

ついて

(3.3) か つD上

で(3.1),(3.2)が

成 立 す る と き*2, 

CCRの

対 称 表 現 と い う.こ

の 場 合,も

し,Qj,Pj(j=1,…,N)が

作 用 素 で あ る な ら ば,  現 と い う.い

を 自 由 度Nの

を 自 由 度NのCCRの

ず れ の 表 現 の 場 合 で もHをCCRの

注 意3.1 N=1の

自己 共役

場 合 のCCRの

表 現 の ヒ ル ベ ル ト空 間 と い う.

表 現 は{H,D,(Q,P)}の 各Qj,Pjの

自 己 共役 表

注 意3.2 

上 の 定 義 に お い て,Dが

も あ る.こ

の 方 が 代 数 の 表 現 と い う 意 味 で は 自 然 で あ る.だ

よ う に 表 す*3.

不 変 部 分 空 間 で あ る とす る場 合 が,本

書 で は,作

用 素 論 の 観 点 か ら 論 じ た い の で 上 の よ う な 定 義 を採 用 す る. *1  h=1の *2  H上

単 位 系 を採 用す る の 線 形 作 用 素A

Ψ ∈Dに

対 し て, 

*3  反交 換 関 係 の 記号{・

,Bに

. つ い て,部

分 空 間D⊂D(A)∩D(B)が

が 成 り立 つ と き,D上

,・}と の混 乱 を避 け る ため.

でA=Bが

あ っ て,任

意の

成 り立 つ と い う.

  前 著[14]の3.3.4項 下,単

にCCRの

で 定 義 した の は,実 はCCRの

表 現 とい う と き に は,CCRの

現 を表 す もの とす る.任 意 のCCRの に つ い て,QjとPjの

自己共 役 表 現 で あ った.以 対 称 表 現 あ る い は 自己 共 役 表

表 現 

にお い て,各j

少 な く と も一 方 は非 有 界 で あ る([14]の 定 理3.23,定

3.24).こ

の 特 性 をCCRの

  CCRの

表現 論 を展 開 す る た め の方 法 に は大 き く分 け て2通

は,CCRの

表 現 の 非 有 界 性 と呼 ぶ. りあ る.そ の一 つ

表 現 の非 有 界 性 に まつ わ る困 難 を避 け る ため に,CCRを

見 法 的 に は 同 等 な― しか し,実 際 に は,あ 有 界 作 用 素 の 関係 式 に 翻 訳 して,後 CCRの

これ と発

る付 加 的 条 件 の も とで の み 有 効 な―

者 の 表 現 を論 じ る方 法 で あ る.も

表 現 を直 接 考 察 す る方 法 で あ る.こ

る.だ が,そ

理

う一 つ は

こで は,ま ず,前 者 の方 法 か ら論 じ

の 前 に,あ る予 備 的 考 察 を行 う.

3.2 

  この 節 で は,CCRの

予 備 的 考 察

表 現 を考 察 す る 上 で あ らか じめ把 握 して お くべ き基 礎 的

な事 柄 を論 述 す る.

  3.2.1 

ス ペ ク トル 特 性

  ヒ ル ベ ル ト空 間H上 た はT￨Dと

の 線 形 作 用 素Tの

部 分 空 間D⊂D(T)へ

の 制 限 をTDま

記 す([13]のp.65∼p.66).

命 題3.2 

を 自 由 度NのCCRの

と き,各j=1,…,Nに

対 し て,Qj￨D,Pj￨Dは

対 称 表 現 とす る.こ

の

固 有 値 を も た な い:

(3.4) 証 明   λ を実 定 数 と して  と き,CCRに 左 辺 は0と が っ て,Qjは

を満 た す Ψ ∈Dが

よ り,  な る こ と が わ か る.し

あ っ た と し よ う.こ の の 対 称 性 に よ り,

た が っ て,‖Ψ‖2=0.ゆ

固 有 ベ ク トル を も た な い.Pjに

え に Ψ=0.し

つ い て も 同 様. 

た ■

注 意3.3 

命題3.2はQjま

た はPjが

る もの で は な い(i. e., Qj, Pjが

まっ た く固 有値 を もた な い こ とを 意 味 す

そ れ ぞ れ,D(Qj)＼D,

ベ ク トル を もつ 可 能性 は排 除 で きな い).[14]の3章

D(Pj)＼Dの 演 習 問題19を

中 に 固有 参 照.

  3.2.2  表 現 の 既 約 性   CCRの

表現 を同値 な もの とそ うで な い もの と に分類 す る上 で,次 に述 べ る事

実 は あ ら か じめ心 に と どめ て お く必 要 が あ る.   自 由度NのCCRの と し て,そ

表 現 がM個(Mは

有 限 ま た は 可 算 無 限)与 え ら れ た

れ ら を 

と

し よ う.こ の と き,直 和 ヒ ル ベ ル ト空 間    HM上

に お け る部 分 空 間

の場 合 は 代 数 的無 限 直 和 とす る)は 稠 密 で あ る*4. の 作 用 素Qj, Pj(j=1,…,N)を

に よっ て 定 義 す れ ば, 

はCCRの

こ の場 合,各 表 現 πmを 表 現πMの Qj, PjはHmに   一般 に,CCRの 表 現(direct sum

第m成

表 現 で あ る.

分 と呼 ぶ.表 現 πMに お い て は,各

よっ て 簡約 され る こ とに 注 意 しよ う*5. 表現 が い ま述 べ た 型 の 表 現 と して表 され る と き,こ れ を直 和 representation)と

呼 ぶ.こ

の場 合,当 該 のCCRの

表 現 は直

和 分解 され る とい う.直 和 表 現 が 二 つ 以 上 の 成 分 を もつ と き,こ の 直和 表 現 は 非 自 明 で あ る とい う.   CCRの

直 和 表 現 に お い て は,そ の 表 現 の 詳 細 な性 質 を調 べ る 問題 は,各 成 分

の そ れ を調 べ る 問題 に帰 着 さ れ る.そ れ ゆ え,CCRの て は,直 和 表 現 は度 外 視 して よ い.そ

こで,非

表 現 を分 類 す る に あ た っ

自明 な直 和 表 現 に分 解 され な い

表 現 を定 義 す る こ と を考 え る.そ の た め の 鍵 とな る概 念 が 次 に定 義 す る既 約 性 の概 念 で あ る. 定 義3.3 

Xを

ヒル ベ ル ト空 間,MをX上

の線 形 作 用素(有 界線 形 作 用 素 で あ

る必 要 は な い)の 族 とす る. *4  ヒ ル ベ ル ト空 間 の 直 和 に つ い て は *5  作 用 素 の 簡 約 に つ い て は

,[13]の1.1.8項

,[13]の2.6.4項

を 参 照.

お よ び[14]の4.3.2項

を参 照.

  (ⅰ)  X上 の有 界 線 形 作 用素T∈B(X)が を満 たす と き,TとMは をM'と

すべ て のA∈Mに

可 換 で あ る とい う.Mと

記 し,こ れ を をMの

の 恒 等 作 用 素)な

ducible)で

あ る と い う.

定 義3.4 

CCRの

る と き,こ

の 表 現 は 既 約 で あ る と い う.

表 現 

際,上

可 換 な 有界 線 形 作 用 素 の全 体

可 換 子 集 合 とい う*6.

  (ⅱ) M'={zI}=:CI(IはX上

  こ の 定 義 が,実

対 してTA⊂AT

ら ば,Mは

に お い て 

既 約(irre

が既 約 であ

述 の 目的 に か な う もの で あ る こ とは 次 の 命 題 に よ って

示 さ れ る:

命 題3.5 

CCRの

表 現 

が 既 約 な ら ば,そ

れ は非 自明 な直

和 表 現 に 分 解 さ れ な い.

証 明   仮 に,表

現 

が 非 自 明 な 直 和 に 分 解 さ れ た と し,そ

の 成 分 を 

と 書 こ う(非自明

よ り,M〓2).Пm:H→HmをHmへ Hmに

の 正 射 影 作 用 素 とす れ ば,Qj, Pjの

よ る 簡 約 可 能 性 に よ り, 

か ら,Пm≠I(m=1,…,M).こ

性 に

しか し,M〓2で れ は 

ある

の 既 約 性 に 反 す る.  ■

 作 用 素 の 集 合 の 既 約 性 を別 の視 点 か ら特 徴 づ け る概 念 を導 入 して お く. 定義3.6 

Xを

T*∈Mで

あ る と き,Mは

注 意3.4 

ヒ ル ベ ル ト空 間,M⊂B(X)と

す る.任 意 のT∈Mに

対 して,

自己 共 役 で あ る とい う.

この 定 義 は,有 界作 用 素 の 集 合 に関 す る 自己 共 役 性 の概 念 で あ る.作

用 素 の 自 己 共 役 性 の 概 念 と混 同 し な い よ う 注 意 さ れ た い. 例3.1  M}と

Xを

ヒル ベ ル ト空 間 とす る.任 意 のM⊂B(X)に

す れ ば,Mは

*6  第1章

自 己 共 役 で あ る((T*)*=Tに

対 して,M:=M∪{T*￨T∈

で 導 入 した可 換 子 集 合 の一 つ の 一般 化 で あ る

注 意).

.

命 題 3.7 

Xを

ヒ ル ベ ル ト空 間,M⊂B(X)を

次 の(ⅰ),(ⅱ)は (ⅰ) Mは

既 約.

 

(ⅱ) Xの

閉 部 分 空 間YでM-不

TY⊂Y)はXか{0}の

変 な も の(i.e.,任

既 約 で あ る と す る.A∈Mと

変 な も の と す る.任

＜Φ,A*Ψ＞=0(∵A*∈Mで もM-不

意 の Ψ ∈Xと

意 の Φ ∈Y⊥

変 で あ る.そ

が,Mの

よ っ て,(ⅱ)の

こ で,Yへ

対 し て,＜AΦ

既 約 性 とPの

,Ψ＞=

た が っ て ,AΦ

の 正 射 影 作 用 素 をPと

対 し て,PAΨ=APΨ

∈Y⊥.

す れ ば,任

が 成 り立 つ .ゆ

正 射 影 性 に よ り,P=Iま

仮 定 す る.T∈M'と

し て,TA=AT.し

す る.こ

え

た はP=0

.

の と き,任 意 のA∈Mに

た が っ て,A*T*=T*A*.Mは 意 味 す る.し

元 で あ る.こ

役 で あ る.T1の

ス ペ ク トル 測 度 をEと

対 し て,E(J)∈M'と 仮 定 に よ り,R(E(J))=Xま す れ ば,任

,T2:=(T-T*)/(2i)

の 場 合,T=T1+iT2と

な る.し

書 け,T1,T2は

す る と,任

変 で あ る.こ

た はR(E(J))={0}で

R(E([a-ε,a])=X.ε>0は

あ る.S=supp

対 して,E([a-ε,a])≠0

任 意 で あ っ た か ら,こ

味 す る.す

な わ ち,E({a})=I.ゆ

るb∈IRが

あ る.よ

れ と

Eと .し

し,

た が っ て,

れ はR(E({a}))=Xを

え にT1=aI.同

っ て,T=(a+ib)I.ゆ

自己 共

意 の ボ レ ル 集 合J∈B1に

た が っ て,R(E(J))はM-不

意 の ε>0に

対

自己 共 役 で あ る か ら ,こ れ

た が っ て,T1:=(T+T*)/2

の い ず れ もM'の

Sと

∈Y).し

閉部 分

主 張 が 出 る.

  (ⅱ)⇒(ⅰ):(ⅱ)を

a:=sup

対 し て,

す る.YをXの

と Ψ ∈Yに

あ る か ら,A*Ψ

す べ て のA∈Mに

に,P∈M'.だ

はT*∈M'を

意 のT∈Mに

い ず れ か で あ る.

証 明   (ⅰ)⇒(ⅱ):Mは

ゆ え に,Y⊥

の と き,

同 値 で あ る.

 

空 間 でM-不

自 己 共 役 集 合 とす る.こ

意

様 に し て,T2=bIと

な

既 約 で あ る . 

■

え にMは

 次 の命 題 は,作 用 素 の 集 合 の 既 約 性 のユ ニ タ リ不 変 性 に関 す る もの で あ る. 命 題3.8 

X,Yを

Xか

の 任 意 の ユ ニ タ リ 変 換 と し,MU:={UAU-1￨A∈M}と

らYへ

の と き,Mが

証 明  S∈M'Uと

ヒ ル ベ ル ト空 間,MをX上

既 約 な ら ば,MUも

す れ ば,任

の 線 形 作 用 素 の 族 と す る.Uを

既約 である. 意 のA∈Mに

対 し て,SUAU-1⊂UAU-1S.

す る .こ

そ こ で,S':=U-1SUと Mの

お け ば,S'∈B(X)で

既 約 性 に よ り,あ

るz0∈Cが

あ り,S'A⊂AS'が

あ っ て,S'=z0I.こ

成 り立 つ.

れ はS=z0Iを

意味

す る. 

■

  強 可 換 性 の 概 念 を 若 干 拡 大 して お く:ヒ Aと

有 界 線 形 作 用 素T∈B(X)に

は 強 可 換(strongly   CCRの

ル ベ ル ト空 間X上

つ い て,TA⊂ATが

commuting)で

の 自 己共 役 作 用 素

成 り立 つ と き,AとT

あ る と い う(定 義)*7.

自 己 共 役 表 現 に つ い て の 重 要 な 事 実 を 証 明 す る た め に,次

の 補 題 を証

明 す る. 補 題3.9 

Aを

ヒ ル ベ ル ト空 間X上

形 作 用 素(T∈B(X))でAと

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,TはX上

強 可 換 で あ る とす る.こ

に 対 し て,eitAとTは

の と き,す

の有界線 べ てのt∈IR

可 換 で あ る:

(3.5) 証 明   Ψ,Φ ∈D(A)を

任 意 に と る.こ

の と き,e-itAΨ

能 で あ り,de-itAΨ/dt=-iAe-itAΨ.Tは

はtに

つ い て 強微 分 可

有 界 で あ る か ら,Te-itAΨ

に つ い て 強 微 分 可 能 で あ り,dTe-itAΨ/dt=-iTAe-itAΨ  

もt

が 成 立 す る.関

に よ っ て 定 義 す れ ば,こ

数

れ はtに

ついて微分可 能であ り

と計 算 さ れ る.e-itAΨ D(A).し

∈D(A)で

あ る か ら,TとAの

強 可 換性 に よ り,Te-itAΨ

た が っ て,右 辺 第 一 項 は, 

て, 

ゆ え に .こ

 

が 得 ら れ る.Tお

は 稠 密 で あ る か ら,拡 が 成 り立 つ.こ

に 等 しい.し れ とD(A)の よ びeitATe-itAは

大 定 理 の 一 意 性 に よ り,作

れ を 書 き換 え れ ば(3.5)が

∈

たが っ

稠 密 性 に よ り,

有 界 で あ り,D(A)

用 素 の 等 式eitATe-itA=T

導 か れ る. 

■

次 の 補 題 も基 本 的 で あ る. *7  Tが自

己 共役 な らば ,い ま定義 した 意 味 で の 強可 換 性 は,自 己 共役 作 用 素 ど う しの 強 可 換性 の概 念 と一 致 す る(演 習 問題1).

補 題3.10 

Xを

作 用 素 をPと

ヒ ル ベ ル ト空 間,NをXの

す る.X上

す る と す る.こ

閉 部 分 空 間 と し,N上

の 有 界 線 形 作 用 素T∈B(X)はNお

への正射 影

よ びN⊥

を不 変 に

の と き,PT=TP.

証 明   任 意 の Ψ ∈Xは

Ψ=PΨ+(1-P)Ψ 仮 定 に よ り,右

N⊥ の 元 で あ る か ら,PTΨ=TPΨ

と 表 さ れ る.し 辺 第 一 項 はNの

辺第二項 は   ■

をCCRの

自 己共 役表 現 とす る.こ れ が 既 約

で あ るた め の必 要 十 分 条件 は 

が既 約 で あ る こ とで あ る.

偶 を 証 明 す る.そ

こ で, 

約 で な い と し よ う.Mは

自 己 共 役 で あ る.し

の 閉 部 分 空 間KでM-不

変 か つK≠Hか

れ と 補 題1.14に

元 で あ り,右

とな る

命 題3.11 

証 明   (必 要 性)対

た が っ て, 

よ っ て,各Qj,

は既 た が っ て,命

つK≠{0}と

PjはKに

題3.7に

よ っ て,H

な る も の が あ る.こ

よ っ て 簡 約 さ れ る.し

 で あ り, (QjのKに

た が っ て,

お け る 簡 約 部 分),  と す れ ば,  (PはKへ

与 え る.ゆ

え に, 

命 題3.5に

よ っ て, 

定 数).し

  3.2.3    N次

は 非 自 明 な 直 和 に 分 解 さ れ る.こ

れ は,

と す る.こ

た が っ て,補

T=cI(cは

表現 を

が 既 約 で な い こ と を 意 味 す る.

  (十 分 性)  で あ る.し

の 正 射 影 作 用 素)はCCRの

題3.9に

の と き,各Qj,

よ っ て,T∈M'.こ

た が っ て, 

PjはTと

れ とMの

強可換

既 約 性 に よ り,

は 既 約 で あ る. 

■

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー表 現 の既 約 性

元 ユ ー ク リ ッ ドベ ク トル 空 間IRNの

ル ベ ル ト空 間L2(IRNx)に 用 素 をxjと 用 素 の 第j成

記 す.こ

お い て 作 用 す る,j番

れ は,量

分 を 表 す.運

元 をx=(x1,…,xN)と

表 し,ヒ

目 の 座 標 変 数xjに

子 力 学 の コ ン テ ク ス トで は,量

よる か け算 作

子 的 粒 子 の位 置作

動量作用 素 は

(3.6)

に よっ て定 義 され た(Dxjは

変 数xjに

よ る一般 化 され た偏 微 分作 用素).S(IRNx)

をIRNx上 の 急 減 少 関 数 の 空 間 とす る と き

(3.7) が 自 由 度NのCCRの

自 己 共 役 表 現 で あ る こ と は す で に 前 著[14]の3章,3.3

節 で み た([14]の

例3.3

た)*8.CCRの

(p. 283)で

は,xj=QSj,pj=PSjと

こ の 表 現 を 自 由 度Nの

い う 表 記 を用 い

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 と呼 ぶ こ と も そ

こ で 言 及 し た.

定 理3.12 

任 意 のN∈INに

対 し て,シ

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 π(N)Sは 既 約 で

あ る.

  この 定 理 を証 明 す る ため に,そ れ 自体 と して 興 味 の あ る重 要 な 事 実 を補 題 と して 掲 げ て お く: 補 題3.13 

T∈B(L2(IRNx)は

に 有 界 な 関 数F∈L∞(IRNx)が

各xjと

強 可 換 で あ る とす る.こ

あ っ て,T=MF(Fに

の と き,本 質 的

よ る か け 算 作 用 素)が

成 り立 つ.

証 明   例1.10で

示 し た よ う に,x:=(x1,…,xN)は

に よ っ て,Ex=E'x…(*)が と お く と,T1,

T2は

極 大 で あ る の で,定 理1.26

成 り立 つ.T1:=(T+T*)/2,T2:=(T-T*)/(2i)

有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ り,T=T1+iT2が

成 り立 つ.

し か も 仮 定 に よ り,T1xj⊂xjT1,T2xj⊂xjT2(j=1,…,N)が し た が っ て,各Tk(k=1,2)とxjは 換 で あ る.ゆ 測 度).こ

自己 共役 作 用 素 の 強可 換 性 の 意 味 で 強 可

え に,TkExj(J)=Exj(J)Tk, J∈B1(Exjはxjの

れ はTk∈E'xを

意 味 す る.こ

方,(Exj(J)ψ)(x)=xJ(xj)ψ(x), 1.26の

あ っ て,Tk=MFkと

よ っ て,Tk∈Ex.他

ψ ∈L2(IRNx)で

あ る か ら,定

理

る 本 質 的 に有 界 な 関 数Fk∈L∝(IRN)が

表 さ れ る こ と が わ か る.そ

ば,T=MF. 

ス ペ ク トル

の 事 実 と(*)に

x∈IRN,

必 要 性 の 証 明 と 同 様 に し て,あ

*8  [8]の 例6

導 か れ る.

こ で,F:=F1+iF2と

すれ ■

.2(p.

186)に

お い て も ふ れ た.

定 理3.12の

証 明 

B(L2(IRNx))が

を 満 た すT∈

あ っ た と し よ う.こ

が あ っ て,T=MFと

の と き,補 題3.13に

書 け る(MFはFに

 

こ れ は,超

し た が っ て,F(x)=c(cは

よ っ て,あ るF∈L∞(IRNx）

よ る か け 算 作 用 素).し

た が っ て,

関 数 の 意 味 でDjF=0(j=1,…,N)を 定 数)と

な る.ゆ

え に,T=cIで

導 く. あ る か ら,題

が 成 立 す る. 

  定 理3.12と

系3.14 

意 ■

命 題3.11に

よ っ て,次

の 事 実 が 見 い だ さ れ る.

ユ ニ タ リ作 用 素 の 集 合 

は既 約 で

あ る.

  3.2.4 

表 現 の 同 値 性

  二 つ のCCRの 表 現  る と は,ユ ニ タ リ変 換U:H→H'が (j=1,…,N)が

が 同値 で あ 存 在 して, 

成 り立 つ 場 合 を い う.互 い に 同 値 で な い 表 現 ど う し は非 同

値 で あ る とい う.   CCRの もCCRの

表 現 

が 直 和 表 現 で あ り,π の どの成 分 πm

表 現 π'に 同 値 で あ る と き,π

3.3 

は π'の 直 和 に 同 値 で あ る と い う.

ヴ ァ イル 型表 現

  3.1節 の終 わ りで 予 告 した よ うに,CCRの

表 現 を有 界 作 用 素 の代 数 の表 現 と

して 書 き換 え る こ と を考 え る. 

を 自 由度NのCCRの

自

己 共役 表現 と し よ う.求 め る関係 式 を見 い だ す た め に,発 見 法 的 議論 を行 う.交 換 関 係(3.1)を

繰 り返 し使 う と

が 得 ら れ る.そ

こ で,両

い て 和 を と る.こ

辺 をn!で

割 り,(it)n(t∈IRは

任 意)を

か け て,nに

つ

の と き,無 限 和 の 収 束 を 仮 定 す る な ら ば, 

が 得 ら れ る.こ

れ は 発 見 法 的 に 

を意 味

す る.も

し,こ

れ が 作 用 素 の 等 式 と して 成 立 す る な ら ば,作

任 意 の 実 数s∈IRに が 得 ら れ る.す

用 素 解 析 に よ り*9,

対 し て, 

な わ ち,

(3.8) 同様 に して

(3.9) い ま行 っ た発 見 法 的議 論 は,Dに とは 可 能 で あ る.だ が,紙   も と も とのCCRの

適 当 な条 件 を課 す こ とに よ り,厳 密 化 す る こ

数 の 都 合 上,こ

こで は 省 略 す る.

自 己 共 役 表 現 の こ と は忘 れ て,関 係 式(3.8)と(3.9)そ

の もの を一 つ の 代 数 関係 式 と して捉 え 直 し,そ こか ら出発 す る. 定 義 3.15  (3.9)を

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の 自 己 共 役 作 用 素 の 組 

満 た す と き, 

を 自 由 度NのCCRの

型 表 現 と い う.(3.8),(3.9)を

が(3.8)と ヴ ァ イ ル(Weyl)

ヴ ァ イ ル 関 係 式 と い う.

 

が 既 約 で あ る と き,ヴ

ァイル型表現 は既

約 で あ る とい う.

注 意 3.5  (3.8)でj=kと

すれ ば

(3.10) し た が っ て, 

な ら ばeisQjとeitPjは

注 意 3.6  (3.8)は,j≠kな

ら ば,QjとPkは

強 可 換 で あ る こ と を 意 味 す る.

ま た,(3.9)は, 

が 強 可 換 で あ る こ と,お

る こ と を 意 味 す る([14]の

定 理3.13(p.269)の

*9  AをH上 る.こ

可 換 で は な い.

よ び{Pj}Nj=1が

強可換であ

応 用 に よ る).

の 自己 共 役 作 用 素 と し の と き,任

,UをHか ら ヒ ル ベ ル ト空間Kへ の ユ ニ タ リ 作 用 素 とす 意 の ボ レ ル 可 測 関 数IR→Cに 対 して,作 用 素 の 等 式Uf(A)U-1=

f(UAU-1)が 成 り立 つ([14]の 補 題3.27-(ⅱ)ま た は[8]のp.126,式(3.33)).以 こ の 性 質 を 作 用 素 解 析 の ユ ニ タ リ共 変 性 と し て 言 及 す る.

下,

  命 題3.11の

十 分 性 の 証 明 に よ っ て,次

命 題3.16 

の 事 実 が 得 ら れ る.

ヴ ァ イ ル型 表 現 

が 既 約 な らば, 

は

既 約 で あ る.

  こ の 節 を終 え る にあ た っ て,ヴ

ァ イ ル型 表 現 はCCRの

表 現 で あ る こ と を示

そ う.そ の た め に,あ る一 般 的 な 事 実 を補 題 と して述 べ る. 補 題3.17 

Hを

ヒ ル ベ ル ト空 間,S,

TをH上

IR→B(H);t〓F(t)∈B(H)をB(H)-値 ル Ψ ∈D(T)と

Φ ∈Hが

の 自 己 共 役 作 用 素 と す る.F:

の 強 微 分 可 能 な 関 数 と す る.ベ

ク ト

あ って

(3.11) が 成 り立 っ て い る と し よ う.こ

の と き,Φ

∈D(S)で

あ り,eitSΦ

はtに

ついて

強微 分 可 能 で あ り

(3.12) 特 に

(3.13) 証 明   [14]の 補 題3.51の eitSΦ はtに

証 明 と 同 様 に して(A(t)=F(t),B(t)=eitTと

す る),

つ い て 強 微 分 可 能 で あ り, 

が 成 り立 つ(Ψ

∈D(T)が

き く).eitSΦ

お よ び(eitSΦ)'=iSeitSΦ=ieitSSΦ し た が っ て,第

のtに

関 す る 強 微 分 可 能 性 は Φ ∈D(S)

を 意 味 す る([14]の

一 の 主 張 が 出 る.(3.13)は(3.12)でt=0と

定 理3.37-(ⅱ),

(ⅲ)).

し た も の で あ る.

 ■ 命 題3.18  に 固 定 す る.こ

を ヴ ァ イ ル 型 表 現 と し,j,k=1,…,Nを

任意

の と き:

  (ⅰ) 任 意 の Ψ ∈D(PkQj)∩D(Pk)に

対 し て,Ψ

∈D(QjPk)で

あ り

(3.14)

 

が 成 り立 つ.   (ⅱ) 任 意 の Ψ ∈D(QkQj)∩D(Qk)に

対 し て,Ψ

∈D(QjQk)で

あ り

(3.15) が 成 り立 つ. (ⅲ)  任 意 の Ψ ∈D(PkPj)∩D(Pk)に

対 し て,Ψ

∈D(PjPk)で

あ り

(3.16) が 成 り立 つ. 証 明  (ⅰ)(3.8)よ か ら,補

り, 

題3.17を  ∈D(Qj)で

∈D(Pk),Ψ

∈D(Pk)で

し た が っ て,左 Qjの

辺 もtに

あ り,  あ る か ら,右

  命 題3.18は

つ い て 強 微 分 可 能 で あ る. と

であ り

す れ ば,(3.14)が

(ⅱ),(ⅲ):(ⅰ)の

辺 はtに

つ い て 強 微 分 可 能 で あ る. 

閉 性 に よ り, 

そ こ で,t=0と

あ る

と して 応 用 す る

こ と に よ りeitPkΨ QjΨ

Ψ ∈D(Qj)で

得 ら れ る.

証 明 と ま っ た く 同 様(も

次 の こ とを語 る:CCRの

 ■

っ と 簡 単).

ヴ ァ イ ル 型 表 現 

に

お い て, 

がHで

密 な ら ば, 

はCCRの

ヴ ァ イ ル 型 表 現 は 確 か にCCRの

表 現 を 与 え る こ と が わ か る*10.

3.4 

自 己 共 役 表 現 で あ る.こ

稠

の 意 味 で,

シ ュ レ ー デ ィ ン ガー 表 現 の ヴ ァ イ ル 型 性

  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 π(N)S(式(3.7))が

ヴ ァイ ル 型 で あ る こ と を証 明 し

よ う. *10 実 は 照).

,Hが可

分 な ら ば,Dが

実 際 に稠 密 で あ る こ と が 証 明 さ れ る(後

の 定 理3.30を

参

補 題3.19 

任 意 のt∈IRとj=1,…,Nに

対 して

(3.17) た だ し, 

は 数 ベ ク トル 空 間IRNの

標 準 基 底 で あ る*11.

証 明   フ ー リエ 変 換 

のユ ニ タ リ性 と作 用素 解 析 のユ

ニ タ リ 共 変 性 に よ り, し の ψ ∈L2(IRN)に

た が っ て ,任 意

対 して,   で あ り,右

  補 題3.19は

次 の こ と を 語 る:ユ

標 軸 方 向 へ,-tだ

定 理3.20 

辺 は ψ(・+tej)に

け 平 行 移 動(並

等 し い. ■

ニ タ リ作 用 素eitpjは,関 進)さ

数 ψ をj番

目 の座

せ る 働 き を も つ.

任 意 のs, t∈IRとj,k=1,…Nに

対 して

(3.18) (3.19) 証 明   (3.18)は

補 題3.19を

 

使 え ば 簡 単 に わ か る.(3.19)の ([14]の 補 題3 .26)を

の 第 二 式 は,(3.19)の

第 一 式 は,

使 え ば 容 易 に 示 さ れ る.(3.19)

第 一 式 の フ ー リ エ 変 換 か ら 得 ら れ る(ま

た は 補 題3.19を

用 い る 直 接 計 算). 

■

  後 の 論 述 へ の 準 備 も兼 ね て,こ

こ で,シ

ュ レー デ ィ ンガ ー 表 現 の基 本 的構 造

の 一 つ を 証 明 し て お こ う.

定 義3.21 

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

の 線 形 作 用 素 の 族A={Aα}α(α

字 集 合 を 動 く)が 与 え ら れ た と き,Hの あ る と は,K⊂ な わ ち,Ψ

∈Kな

こ の 場 合,KをAの

∩αD(Aα)で ら ば,す

あ り,任

部 分 空 間KがAの 意 のAα

∈AがKを

べ て の α に 対 し てAα Ψ ∈Kが

は 適 当 な添

作 用 の も とで不 変 で 不 変 に す る と き,す 成 り立 つ と き を い う.

不 変 部 分 空 間 と い う. j番 目

*11 ej:

=(0,…,0

,1,0,…0)∈IRN(j成

分 が1で

他 の 成 分 は0の

ベ ク トル).

定 理 3.22  る.こ

Ω(x)>0(a.e.x)と

の と き,L2(IRN)の

な る 関 数 Ω ∈L2(IRN)を

任 意 に一 つ 固 定 す

部分空 間

(3.20) は,L2(IRN)上

の有 界作 用 素 の 部 分 集 合

(3.21) の 不 変 部 分 空 間 で あ り,L2(IRN)で

証 明   DS(Ω)がWSの (3.19)に

稠 密 で あ る.

不 変 部 分 空 間 で あ る こ と は,ヴ

よ り容 易 に わ か る.DS(Ω)の

IR,j,k=1,…,N,に

稠 密 性 を い う に は,す

限 る こ と を 示 せ ば よ い.(*)でtk=0,k=

場 合 を 考 え る と, 

s=(s1,…,sN).s∈IRNは て,f*Ω=0で

を 得 る.た 任 意 で あ る か ら,フ

だ し,

ー リエ 変 換 の単 射 性 に よ っ

な け れ ば な ら な い.Ω(x)>0(a.e.x)で

元 と し てf=0と

べ て のsj,tk∈

対 して, 

を 満 た すf∈L2(IRN)はf=0に 1,…,Nの

ァ イ ル の 関 係 式(3.18),

あ る か ら,L2(IRN)の

な る. 

■

注 意 3.7  上 の 証 明 は,稠 密 性 に 関 して い え ば,実 は, 

が 稠 密 で あ る こ とを 示 した こ とに な る.定 理3.22は,Ω WSに

 

よ って 生 成 され る代 数 の巡 回ベ ク トル(第1章

3.5 

が

を参 照)で あ る こ と を示 す.

ヴ ァ イ ル 型 表 現 の 構 造― フ ォ ン ・ノ イ マ ンの一 意 性 定 理

  こ の節 で は,可 分 な ヒル ベ ル ト空 間 にお け る,有 限 自 由度 のCCRの

ヴァイ

ル型 表 現 の 構 造 を明 らか に し,同 一 の 自由 度 の 既 約 な ヴ ァ イル 型 表 現 ど う しは す べ てユ ニ タ リ 同値 で あ る こ と,し た が って,本

質 的 に 一つ しか な い こ と を証

明 す る.目 標 とす る定 理 は次 で あ る: 定 理 3.23  (フ ォ ン ・ノ イ マ ンの一 意性 定 理)Hを H上 の 自己 共 役 作 用 素 の 組{Qj,Pj}Nj=1をCCRの

可 分 な ヒルベ ル ト空 間 と し, ヴ ァ イ ル型 表 現 とす る.す

 

な わ ち,eitQj, eitPj(t∈IR,j=1,…,N)は し た が う と す る.こ

の と き,次

ヴ ァ イ ル 関 係 式(3.8),

の(ⅰ)∼(ⅲ)を

間Hm⊂H(m=1,…,M)(Mは

満 た す,互

(3.9)に

い に 直 交 す る閉 部 分 空

有 限 ま た は 可 算 無 限)が

存 在 す る:

(ⅰ)  (ⅱ) (Qj, Pj(j=1,…,N)は (ⅲ) Qj, PjのHmに mに

対 し て,ユ

各Hmに

よ っ て 簡 約 さ れ る. 

お け る簡約 部 分 をQ(m)j, P(m)jと

ニ タ リ 作 用 素Um:Hm→L2(IRN)が

し よ う.こ

の と き,各

存 在 し,各j=1,…,N

に 対 して

(3.22) が 成 り立 つ.   この 定 理 は,可 分 な ヒ ルベ ル ト空 間 に お け る,CCRの

ヴ ァイ ル 型 表 現 は 同 じ

自由 度 の シュ レー デ ィ ン ガー の 直 和 表 現 に同 値 で あ る こ と を語 る.こ の意 味 で, 可 分 な ヒル ベ ル ト空 間 にお け る,CCRの   定 理3.23を 系3.24 

ヴ ァ イル 型 表 現 は一 意 的 で あ る.

認 め れ ば,次 の 事 実 は容 易 に導 か れ る.

前 定 理 に お い て,{Qj,Pj}Nj=1が

既 約 な ら ば,{Qj,Pj}Nj=1は

シ ュ レー

ディ ン ガー 表 現 に 同値 で あ る. 証 明   命 題3.5を

応 用 す れ ば,定

理3.23に

お け るMは1で

な け れ ば な ら な い.  ■

  こ う し て,同

じ 自 由 度 の 既 約 な ヴ ァ イ ル 型 表 現 は す べ て,シ

表 現 に ユ ニ タ リ 同 値 で あ る こ と,し

た が っ て,そ

ュ レー デ ィ ンガ ー

れ らは 互 い にユ ニ タ リ 同値 で

あ る こ と が わ か る.

注 意3.8 

ヴ ァ イ ル 型 で な いCCRの

マ ン の 一 意 性 定 理 と系3.24は た い.物

理 の 文 献 の 中 に は,有

自 己 共 役 表 現 に つ い て は,フ

一 般 に は 成 立 し な い.こ 限 自 由 度 のCCRの

の 点 は特 に強 調 して お き

表現 はすべ てシュ レーデ ィ

ン ガ ー 表 現 に ユ ニ タ リ 同 値 で あ る と 書 い て あ る も の が み ら れ る が,こ で あ る.実

際,シ

ォ ン ・ノ イ

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 に 非 同 値 で,物

れ は誤 り

理 的 に も重 要 な例 が存

在 す る こ と を次 の節 で示 す(簡 単 な例 は,す で に,[14]の3章

演 習 問題19に

あ

げ て お い た).   定 理3.23の

証 明 は 簡単 で は な い.ま ず,自 由 度1の

ヴ ァ イル型 表 現 の場 合 を

証 明 す る.

  3.5.1 

自由 度1の

  {Q,P}を

ヴ ァ イル 型 表 現 の 基 本 的性 質

可 分 な ヒ ルベ ル ト空 間H上

の 自己 共 役 作 用 素 の 組 と し,CCRの

ヴ ァ イル 型 表 現 で あ る とす る.し たが っ て

(3.23) とお け ば,こ

れ らは ヴ ァ イ ル の 関係 式

(3.24) を満 た す.こ

の表 現 の 構造 を調 べ る手 が か りの 一 つ はユ ニ タ リ作 用 素 の族

の 作 用 の も とで不 変 な部 分 空 間 の構 造 を調 べ る こ とで あ る.そ の た め には

(3.25) と い う作 用 素 を導 入 す る の が 自然 で あ る(係 数eist/2は 後 の 議 論 をみ こ して 選 ん で あ る).こ の と き,あ る部 分 空 間 がWの

作 用 の も とで 不 変 で あ る こ と とそ

れが作 用素の族

の 作 用 の も とで 不 変 で あ る こ と とは 同 値 で あ る.そ こ で,Wの

作 用 の も とで 不

変 な部 分 空 間 の構 造 を調 べ よ う.   こ の た め に,ま ずW(s,t)の 用 素U(s),

基 本 的性 質 を明 らか に して お く必 要 が あ る.作

V(t)の ユ ニ タ リ性 は

(3.26)

を 導 く.す

な わ ち,W(s,t)も

ユ ニ タ リ で あ る.W(s,t)が(s,t)に

続 で あ る こ と も 容 易 に わ か る.さ

関 して 強 連

ら に,U(s)*=U(-s),V(t)*=V(-t)で

る こ と お よ び ヴ ァ イ ル の 関 係 式(3.24)を

あ

使 えば

(3.27) が得 られ る.同 様 に して

(3.28) が 成 立 す る こ とが わ か る.   閉部 分 空 間MがWの に対 して,Wの

作 用 の も とで不 変 で あ れ ば,IR2上

の 任 意 の 関数k(s,t)

元 の 有 限 一 次 結 合 

不 変 にす る.Mは

もMを

閉 で あ る か ら,そ の 強 収 束 の 意 味 で の 極 限 も(存 在 す れ ば)M

を不 変 に す る.そ の 種 の 極 限 の 一 つ の 形 と して 

とい う

作 用 素 が 考 え られ る(積 分 は 強 収 束 の 意 味 で 存 在 す る とす る).そ あ る ク ラ ス の 関 数k(s,t)に

こで,次

に,

対 して は,実 際,そ の よ うな作 用 素 が 定義 され る こ

と を示 し,そ の 性 質 を調 べ る.   IR2上

の 連 続 関 数kでk∈L1(IR2)と

意 の Ψ ∈Hに

対 し て,k(s,t)W(s,t)Ψ

な る も の を 任 意 に 選 ぶ.こ は(s,t)に

の と き,任

関 して強 連 続 で あ り

で あ るか ら,強 収 束 の 意 味 で,有 界作 用 素Kが

に よ って 定 義 され

が 成 り立 つ.作

用 素Kを

積 分 核k(s,t)に

同 伴 す る 作 用 素 と呼 ぼ う.こ の 種 の

作 用 素 に 関 す る基 本 的事 実 は次 の 補 題 に ま とめ られ る. 補 題 3.25  関数kを

上 述 の もの とす る.

   

(ⅰ) 積 分 核k(-s,-t)*に

特 に,任

意 のs,t∈IRに

同 伴 す る 作 用 素 はK*で

あ る:

対 し て,k(s,t)=k(-s,-t)*な

ら ば,Kは

自己 共 役

で あ る. (ⅱ) k(s,t)〓0な

ら ば,K≠0.

証 明   (ⅰ)  こ れ は 次 の 計 算 に よ る:任

  (ⅱ)  対 偶 を証 明 す る.そ

意 の Ψ, Φ ∈Hに

こ で.K=0と

し よ う.こ

して, 

対 し て, 

の と き,任 意 の Ψ ∈Hに

し た が っ て,任 意 のu, υ ∈IRと

対 し て, 

(3.28)を

に よ り,任 意 の Φ, Ψ ∈Hに が 導 か れ る.u, υ

∈IRは

の フ ー リエ 変 換 が0で

対

Φ ∈Hに 使 うこ と

対 して,  任 意 で あ っ た か ら,こ れ は,関

あ る こ と を 意 味 す る.し

0,

s,t∈IR.こ

れ は 任 意 の Ψ, Φ ∈Hに

0で

な け れ ば な ら な い.W(s,t)は

数k(s,t)〈

Ψ,W(s,t)Φ〉

た が っ て,k(s,t)〈 Ψ,W(s,t)Φ〉=

対 し て 成 立 す る か ら,k(s,t)W(s,t)=

ユ ニ タ リ で あ る か ら,k(s,t)=0,

∀(s,t)∈

IR2. 

■

  3.5.2 

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー表 現 の 場 合

  定 理3.22に

お い て,シ

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 の 構 造 の 一 つ を 明 ら か に し た.

こ の 定 理 に お け る 関 数 Ω は 正 のL2関 て,調

数 な ら何 で も よ い か ら,簡

単 な もの と し

和振 動 子 の基 底 状 態

(3.29) を選 ん で み よ う(い

ま,N=1の

場 合 を 考 え る).定

理3.22(N=1の

場 合)に

よ って

(3.30) は  そ こ で,ベ

の 不 変 部 分 空 間 で あ り,L2(IR)で ク ト ル Ω0を,シ

稠 密 で あ る.

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 か ら 定 義 さ れ る 作 用 素Kを

用 い て 特 徴 づ け る こ と を 考 え て み る.具 よ り,Ω0を

固 有 ベ ク トル と す るKを

  自 由 度1の

体 的 に は,k(s,t)を

う ま く選 ぶ こ と に

見 い だ す こ と で あ る.

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現{L2(IR),S(IR),{x,p}}に

お け るW(s,t)

は

(3.31) で 与 え ら れ る.IR2上

の ガ ウス 型 関 数

(3.32) を積分核 とす る作 用素

(3.33) に つ い て 次 の 事 実 が 見 い だ さ れ る: 補 題3.26 

σp(AS)＼{0}={2π}か

証 明   補 題3.19に

つker(AS-2π)={cΩ0￨c∈C}.

よっ て

(3.34) した が っ て,  任 意 のf∈L2(IR)に

対 して 

で あ る か ら,

フ ビ ニ の 定 理 に よ っ て,上 式 の 右 辺 に お け る積 分 順 序 は任 意 で よ い .そ こでs に関 す る積 分 を最 初 に行 い,次

を 得 る.し

た が っ て,ASf=λf(λ

わ か る.こ

こ で,c≠0は

にtに 関 す る積 分 をす れ ば

≠0, f≠0)な

複 素 定 数 で あ る.一

満 た す こ と は 直 接 計 算 に よ り容 易 に わ か る.し ら ず,こ

れ を 固 有 値 とす る,ASの

ら ばf=cΩ0と

方,関

な る こ とが

数 Ω0がASΩ0=2π

た が っ て,λ=2π

Ω0を

で な けれ ば な

固 有 ベ ク トル は Ω0の 定 数 倍 に 限 ら れ る. ■

 

  3.5.3 

一 般 の ヴ ァ イル 型 表 現 の 場 合

  CCRの

ヴ ァ イ ル 型 表 現U(s),V(t)の

て,こ

場 合 に 戻 ろ う.補

題3.26の

類推 によっ

の場 合 に は 自 己 共役 作 用 素

(3.35) の 固 有 値2π に属 す る 固有 ベ ク トル が(存 在 す る とす れ ば)Ω0の 役 割 を演 じる こ とが 期 待 され る.そ こで,ま ず,2π がAの

固 有値 とな って い る こ とを示 そ う.

補 題 3.27

(3.36) と し よ う.こ

の と き:

(ⅰ)

(3.37)   (ⅱ) Ψ ∈Mと とW(u,υ)Φ

Φ ∈Mが

直 交 す れ ば,任 意 のs,t,u,υ

∈IRに

対 して,W(s,t)Ψ

も 直 交 す る.

証 明   (ⅰ)補 題3.25に

よ り,A≠0.関

係 式(3.28)を

用 い て,初

等 的 だが 少 し

長 い計 算 を実 行 す れ ば

(3.38) が 成 り 立 つ こ とが わ か る*12.そ

こ で,特

い る とA2=2πAを

得 る.こ

を 意 味 す る.し

た が っ て,R(A)⊂M.他

*12 任 意 の Ψ ,Φ

形 で き る.そ dt,dsに

∈Hに

こ で,積

方,M⊂R(A)は

分 の 変 数 変 換:s'→

α=s+u+s',t'→

用

明 ら か.し

たが っ

β=t+υ+t'を

  と変 行 い,

分 の順 序 交 換 が で き る こ と に つ い て は,フ

で き る こ と を 確 認 せ よ).そ

 と い う 形 の 積 分 に 帰 着 さ せ,公式  う.

し,W(0,0)=1を 対 し て,A(AΨ)=2π(AΨ)

対 し て,

関 す る 積 分 を 実 行 す れ ば よ い(積

ニ の 定 理 が適用

にu=υ=0と

れ は 任 意 の Ψ ∈Hに

の 際,指

ビ

数 関 数 の積 分 を を使

て,(3.37)の

第 一 の 等 号 が 成 り立 つ.ま

た,A≠0で

あ っ た か ら,R(A)≠{0}

で あ る.   (ⅱ)  Ψ, Φ ∈Mと

し よ う.(3.28),

Ψ=AΨ/(2π),

Φ=AΦ/(2π)お

よ びAが

自己 共 役 で あ る こ と を使 う と

そ こ で(3.38)を

用 い る と,す

べ て のs,

t, u, υ ∈IR,に

対 して

(3.39) が 得 ら れ る.こ

れ は,Ψ,

Φ ∈Mが

直 交 す れ ば,W(s,t)Ψ,

W(u,υ)Φ

も直 交 す

る こ と を 意 味 す る. 

  3.5.4    Hは も つ.そ

■

フ ォ ン ・ノ イ マ ン 定 理 の一 意 性 定 理 の 証 明―1自

可 分 で あ る か ら,Mも

可 分 で あ る.し

の 一 つ を{Ψm}Mm=1(Mは

由度の場合

た が っ て,Mは

完全正規直交系 を

有 限 ま た は 可 算 無 限)と

し

(3.40) と お く.こ

の と き,補

題3.27に

よ っ て,m≠nな

ら ばHmとHnは

直 交 す る.

さ ら に 次 の 事 実 が 成 り立 つ.

定 理3.28 U(t),  

V(t)は(3.23)で

(ⅰ) す べ て のt∈IRに

  (ⅱ) 各mに

対 し て,ユ

与 え ら れ る も の と す る.こ

対 し て,U(t), V(t)は

各Hmを

ニ タ リ 変 換Um:Hm→L2(IR)が

の と き:

不 変 に す る. 存 在 して

(3.41) が 成 り 立 つ.た 表 現 で あ る.

だ し,x, pはL2(IRx)に

お け る 自 由 度1の

シ ュ レー デ ィ ンガ ー

 

(ⅲ) HはHmの

直 和 に分 解 され る:

(3.42) 証 明   (ⅰ)  は ヴ ァ イ ル の 関 係 式 か ら わ か る.   (ⅱ)  各mに

対 し て,Dm:=L({W(s,t)Ψm￨s,t∈IR})と

で 稠 密 で あ る.Dmの

す れ ば,こ

れ はHm

任意 の元 Ψ は

(3.43) と い う 形 に 表 さ れ る(αjk∈C, sj,tk∈IR, J,K∈IN).こ ベ ク トル  WS(s,t)に

を 考 え る.(3.39)はW(s,t)を 置 き換 え て も 成 立 す る か ら(た だ し,MはA=ASの

‖ Ψ‖=‖ Ψ‖ …(*)が

成 り立 つ.そ

を用 い て,Ψ=Φ=Φ'と2通

え に,写

に よ っ て 定 義 で き る.(*)に で あ る.し

た が っ て,拡

こ で,Ψ が(3.43)の

よ っ て,UmはDmか

らDS(Ω0)上

大 定 理 に よ り,Umは,Hmか の 拡 大 もUmと

と ヴ ァ イ ル の 関 係 式 を 使 え ば,(3.41)が

と す る と き,K⊥={0}を

IRに

各Hmを

⊂ker

不 変 に す る.こ

も 不 変 に す る こ と が わ か る.一 A…(*).い

た こ と に よ り,任

意 のu,υ

Φ-Φ'‖.

へ の等長作用素

らL2(IR)へ 書 こ う.こ

のユニ タリ

の とき

成 り立 つ こ と が わ か る.

  (ⅲ) 

W(u,υ)はK⊥

Φ-Φ'‖=‖

像Um:Dm→L2(IR)を

作 用 素 に 一 意 的 に 拡 大 さ れ る.こ

対 し てW(u,υ)は

場 合 のM),

右 辺 の 型 の ベ ク トル Φ, Φ'

り に 表 さ れ た とす る と,0=‖

し た が っ て,Φ=Φ'.ゆ

ら,K⊥

れ に 対 応 さ せ て,

示 せ ば よ い.任

意 のu,υ

の 事 実 と(3.27)を 方,R(A)=M⊂Kで

ま,Ψ

∈K⊥

と し よ う.こ

∈IRに

対 し て,W(u,-υ)Ψ

あ るか

の と き,す ∈K⊥

∈

用 い る と,

で に注 意 し

で あ る.し

た

が っ て,(*)に

よ っ て,AW(u,-υ)Ψ=0.ゆ

 

え に,任

意 の Φ ∈Hに

対 し て,

これ は

を 意 味 す る.(3.28)に u,υ ∈IRは

よっ て, 

任 意 で あ る か ら,フ ー リ エ 変 換 の 単 射 性 に よ り,

 

Φ ∈Hは

を 導 く.し

任 意 で あ っ た か ら ,W(s,t)Ψ=0.こ

れ は Ψ=0

た が っ てK⊥={0}. 

  定 理3.28か

■

ら 定 理3.23(N=1の

場 合)を

導 く に は,次

の 一 般 的 事 実 を利 用

す れ ば よ い. 補 題3.29 

Xを

ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,NをXの

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,す と す る.こ  

べ て のt∈IRに

対 し て,eitSはNを

不 変 に して い る

の と き:

(ⅰ) SはNに

  (ⅱ) Kを

よ っ て 簡 約 さ れ る.

ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,ユ

作 用 素Tが

ニ タ リ 変 換U:N→KとK上

の 自己 共 役

存 在 して

が 成 り立っ て い る と す る.た の と き,作

閉 部 分 空 間 と す る.SをX上

だ し,SNはSのNに

お け る 簡 約 部 分 で あ る.こ

用 素 の等 式

(3.44) が 成 り立 つ. 証 明   (ⅰ)  こ れ は 補 題1.14に

よ る.

  (ⅱ)  作 用 素 解 析 の ユ ニ タ リ共 変 性 を応 用 す れ ば よい. 

■

  3.5.5  一 般 の 自由 度 の 場 合   自 由 度Nの をCCRの

場 合 の 定 理3.23の

証 明 につ い て は概 略 だ け を述 べ る. 

ヴ ァ イ ル 型 表 現 と す る.任

意 のt=(t1,…,tN)∈IRNに

対 して,

 

U(t),

V(t)を

(3.45) に よ っ て 定 義 す る.こ

の と き,ヴ

ァイ ル 関係 式 を用 い る こ と に よ り

(3.46) が 導 か れ る.次 にユ ニ タ リ作 用 素

(3.47) を導 入 す る.あ なお,シ

とは 自由 度1の

場 合 と ま っ た く並 行 的 に 考 察 を進 め れ ば よ い.

ュ レー デ ィ ンガ ー 表 現 に関 して は,次 の 置 き換 えが 必 要 で あ る:

詳 細 を埋 め る こ とは読 者 の演 習 とす る(演 習 問題3).

  3.5.6 

フ ォ ン ・ノ イマ ンの 一 意 性 定 理 か らの 一 つ の帰 結

  次 の定 理 は,可 分 な ヒル ベ ル ト空 間 にお け る,有 限 自由 度 のCCRの ル 型 表 現 は 同 じ自 由度 のCCRの 定 理3.30   はCCRの

ヴァイ

表 現 で あ る こ と を示 す.

Hを 可 分 な ヒルベ ル ト空 間,H上

の 自己共 役作 用 素 の組

ヴ ァイ ル型 表 現 で あ る とす る.こ の と き,次 の(ⅰ)∼(ⅲ)が 成 り立 つ

よ う な稠 密 な 部 分 空 間D⊂Hが   (ⅰ)  各Qj, PjはDを   (ⅱ)  (ⅲ)  各Qj, PjはD上

存 在 す る:

不 変 にす る: 

はD上

でCCRを

かつ

満 た す. 

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.

証 明   仮 定 に よ り,定 理3.23が はHmで

不 変 に し,C∞0(IRN)上

た が っ て,Q(m)j,P(m)jはDmを

不 変 に し,Dm上

と が わ か る.xj,pjはC∞0(IRN)上

P(m)jはDm上 下,二

と す れ ば,Dm

稠 密 で あ る.各xj,pjはC∞0(IRN)を

を 満 た す.し す.こ

成 り立 つ. 

でCCR

でCCRを

満た

で 本 質 的 に自己 共 役 で あ る か ら,Q(m)j,

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る([8]の

補 題5.7(P.165)の

応 用).以

つ の 場 合 に 分 け る.

  (1)M0と

察 下 の 系 に お け る 速 度 作 用 素 の 第j成 ず,P1,

P2が

実 際 に量 子 力 学 的物 理 量

で あ る こ とす な わ ち,そ

れ ら が 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る こ と を 証 明 し よ う.

補 題3.31 

閉 集 合 と し,そ

FをIRdの

と す る(i. e., Fは

閉 零 集 合).こ

のd次

の と き, 

元 ル ベ ー グ 測 度￨F￨は0で はL2(IRd)で

ある

稠 密 で あ る.

*13 p j:=-iDj(j=1,2)は2次 元 系 に お け る 自 由 な 粒 子 の 運 動 量 作 用 素.光 お よ びh=1で あ る よ う な 単 位 系 で 考 え る.

速c=1

証 明  IRd＼Fは

開 集 合 で あ る か ら, 

([22]の 定 理6.6の

応 用).だ

は 

が,￨F￨=0で

で稠密で ある

あ る か ら, 

と 自然 な 仕 方 で 同 一 視 で き る. 

系3.32 

(ⅰ)  L∈INを

■

任 意 の 自 然 数 と し,c1,…,cL∈IRを

の と き, 

はL2(IR)で

  (ⅱ)  C∞0(M)はL2(IR2)で

稠 密 で あ る.

定 点 と す る.こ

稠 密 で あ る.

証 明   (ⅰ)  前 補 題 をd=1, 

と し て 応 用 す れ ば よ い.

  (ⅱ)  前 補 題 をd=2, 

と し て 応 用 す れ ば よ い. 

  X,Yを

g:Y→Cに

集 合 とす る と き,f:X→C,

■

対 してf×g:X×Y→C

を

に よっ て 定 義 す る.FをX上 す る と き,X×Y上

の 関 数 の 部 分 集 合,GをY上

の 関 数 の 部 分 集 合 

の 関 数 の 部分 集 合 と

を

(3.51) に よっ て 定 義 す る.次

補 題3.33 

の 一 般 的 事 実 が あ る.

(X,μ), (Y,ν)を 二 つ の 測 度 空 間 と し, 

次 元 で 可 分 で あ る とす る.FをL2(X,dμ)で 稠 密 な 部 分 空 間 と す る.こ

証 明   FのL2(X,dμ)に (CONS) 

は無 限

稠 密 な 部 分 空 間,GをL2(Y,dν)で

の と き, 

は 

で 稠 密 で あ る.

お け る 稠 密 性 に よ り,L2(X,dμ)の で ψn∈F(n∈IN)と

な る も の が と れ る.同

元 φnか

ら な る,L2(Y,dν)のCONS{φn}∞n=1が

理4.2に

よ っ て,   で あ る か ら,こ

あ る こ と を 意 味 す る. 

完全 正規 直 交系

存 在 す る.す

は  れ は 

のCONSで が 

様 にGの

る と,[14]の

定

あ る. で稠密 で ■

 便 宜 上,IRの

部分集合

(3.52) を 導 入 す る.補

題3.32と

補 題3.33に

よ っ て,L2(IR2)の

部分空間

(3.53) はL2(IR2)で

稠 密 で あ る.IR2の

部 分 集 合.M1,

M2を

次 の よ う に 定 義 す る.

(3.54) 容 易 に わ か る よ う に,  C∞0(Mj)はL2(IR2)で

補 題3.34 

し た が っ て,各

稠 密 で あ る.

各j=1,2に

対 して,Djはpjの

証 明   任 意 の 

芯 で あ る.

に 対 し て,

 を 満 た す φ ∈L2(IR2)が

あ っ た と し よ う*14. 

と

フ ビ ニ の 定 理 に よ り, 

した が っ て,積

分 に

関 す る シ ュ ヴ ァ ル ツ の 不 等 式 を使 え ば,  が わ か る の で,  定 義 さ れ,u∈L2(IR)で はL2(IR)で

が

あ る.(*)と

フ ビニ の 定 理 に よ り,〈u,g〉=0.

稠 密 で あ る か ら(系3.32),u=0.し C∞0(IR)はp1の

  が 結 論 さ れ る.こ

れ はL2(IR2)の

 はL2(IR2)で 稠 密 で あ る こ とが わ か る.よ

っ て,本

よ り(補 題2.8-(ⅱ)),p1はD1上 p1の

芯 で あ る.p2に

注 意3.9 

L2(IR)上

は な い.実

際, 

*14 〈・ ,・ 〉はL2(IR2)の

た が っ て,  芯 で あ る か ら,

元 と し て φ=0を

稠 密 で あ る.同

C∞0(Ya)

意 味 す る.し

た が っ て,

様 に,もL2(IR2)で

質 的 自 己共 役 性 に 関 す る一 般 的判 定 法 に

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.す

つ い て も 同 様.  の 作 用 素 と して のp1はC∞0(Xa)上

な わ ち,D1は ■

で は 本 質 的 に 自己 共 役 で に よ って定 義 され る 関数

内 積 を 表 す.

υ ≠0はL2(IRk)の

元 で あ り,そ の 逆 フ ー リエ 変 換υ は 

に 入 る こ と が わ か る(フ

ー リエ 変 換 を 用 い て,

 を 示 せ).

  x0∈Xa,y0∈Yaを

任 意 に固 定 し

(3.55) (3.56) を定 義 す る.こ の と き,φ1はM1に

お い て連 続 か つx1に

つ い て 偏微 分 可 能 で

あり

(3.57) 同様 に φ2はM2に

お い て 連 続 か つx2に

つ い て偏 微 分 可 能 で あ り

(3.58) IR2＼Mjの2次

元 ル ベ ー グ 測 度 は0で

と ん ど い た る と こ ろ(a.e.)有 る(た

数eiqφjに

ル ベ ー グ 測 度 に 関 して ほ

限 に定 義 され た実 数 値 可 測 関 数 とみ る こ とが で き

と え ば, 

が っ て,関

あ る か ら,φjは

上 で は φj(x1,x2)=0と よ る か け 算 作 用 素 はL2(IR2)上

こ の ユ ニ タ リ作 用 素 をUjと

す れ ば よい).し

た

の ユ ニ タ リ作 用 素 に な る.

記 す:

(3.59)   以 上 の 準 備 の も とで,こ

の項 の基 本 定 理 の ひ とつ を証 明 で きる:

定 理 3.35  各j=1,2に

対 して,PjはUjDj上

で 本 質 的 に 自己 共 役 で あ り,

作用素 の等式

(3.60) が 成 り立 つ.

証 明   D1の

元 η で η=f×gと

い う 形 の も の を 任 意 に と る.こ

 

x∈IR2.右

偏 微 分 可 能 で あ り,x2に あ る.こ

辺 の 関 数 はx1に

つ い て は 連 続 で あ り,そ

つい て は

の 台 は 有 界 でM1の

の こ と か ら, 

内部 に

か つ  が わ か る.こ

し た が っ て,U1D1⊂D(P1)で

れ はP1U1η=U1p1η

あ り任 意 の ψ ∈D1に

が 成 り立 つ こ と に な る.補 る か ら,P1はU1D1上

の と き,

題3.34に

を 意 味 す る.

対 し て, 

よ っ て,p1はD1上

で 本 質 的 に 自己 共役 であ

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ り作 用 素 の 等 式

  が 成 り立 つ*15.こ

れ は(3.60)でj=1の

場 合 と 同 値 で あ る.同

様 に し て,P2

に 関 す る 主 張 も 証 明 さ れ る. 

  3.6.2 

物 理 的 運 動 量 が 生 成 す る 強 連 続1パ

  定 理 3.35に 続1パ

■

よ っ てPjの

自 己 共 役 性 が 確 立 さ れ た の で,そ

ラ メ ー タ ー ユ ニ タ リ群 

定 理 3.36 

ラ メ ー タ ー ユ ニ タ リ群

す べ て のt∈IRと

れ が 生 成 す る強 連

を 考 え る の は 自然 で あ る.

ψ ∈L2(IR2)に

対 して

(3.61) た だ し,(e1,e2)はIR2の

証 明   (3.60)と

標 準 基 底 で あ る.

作 用 素 解 析 の ユ ニ タ リ 共 変 性 に よ り,す べ て のt∈IRに  し た が っ て,Ujの

L2(IR2)と 

よ っ て,任

意 の ψ ∈

に 対 し て, 

と な る.右

注 意 3.10 

辺 の 指 数 関 数 の 部 分 を 計 算 す れ ば(3.61)が

定 理3.35と

更 な し に,IRd上

  (3.61)の

定 義 と補 題3.19に

対 して,

定 理3.36は,そ

得 ら れ る. 

の 証 明 か ら わ か る よ う に,本

質 的 な変

の 理 論 に 拡 張 さ れ る(d〓2).

幾 何 学 的 意 味 に つ い て 簡 単 に 触 れ て お こ う.qAj=0の   で あ る.す

*15  [8]の 補 題5

■

.7の

応 用.

で に み た よ う に,eitp1,eitp2は

場 合 は, 関数 ψ ∈

L2(IR2)を

そ れ ぞ れ,x1軸

qAj≠0の

方 向,x2軸

場 合 に は,(3.61)の

方 向 に-tだ

け 平 行 移 動 す る 働 き を も つ.

右 辺 は,こ

の 平 行 移 動 が 指 数 因 子

 の"歪 み"を 受 け な が ら行 わ れ る こ と を意 味 す る.す

な わ ち,

eitPjは 磁 場 が 存 在 す る 状 況 の も と に お け る,関 数 の"自 然 な"並 進 を 定 義 す る も の と解 釈 さ れ る.そ

こ で,eitPjをj方

向 へ の 磁 気 的 並 進(magnetic

translation)

と 呼 ぶ.

  3.6.3 

ヴ ァ イル 型 の 交 換 関係

  ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAの

ジ ョ ル ダ ン 閉 曲 線C⊂Mに

沿 う線 積 分

(3.62) を 閉 曲 線Cの

内 部 を 貫 く磁 束 と 呼 ぶ.

  x1, x2, s, t∈IRに

対 し て,点(x1,x2)を

始 点 と し,  とい うふ うに一 巡 す る矩 形 閉 曲線 を

C(x1,x2;s,t)と

記 す(図3.3).

図3.3 

  各s, t∈IRに

対 し て,IRの

曲 線C(x1,x2;s,t)(s,t>0の

場 合)

部 分 集 合S(s)1, S(t)2とIR2の

部 分 集 合Ms,tを

次

の よ う に定 義 す る:

Ms

,t上 の 関 数 ΦAs,tを

(3.63)

に よ っ て 定 義 す る*16.こ く磁 束 を 表 す.集

理 的 に は,閉

合IR2＼Ms,tの2次

ΦAs,t(x1,x2)は,IR2上 はL2(IR2)上

れ は,物

のa.e.有

曲 線C(x1,x2;s,t)の

元 ル ベ ー グ 測 度 は0で

内 部 を貫

あ る か ら,関

限 な 実 数 値 関 数 と み な せ る.し

数

た が っ て,ΦAs,t

の 自 己 共 役 な か け 算 作 用 素 を 一 意 的 に 定 義 す る.こ

の か け算 作 用

素 も 同 一 の 記 号 で 書 く こ と に す る.   考 察 下 の 量 子 的 粒 子 の 位 置 作 用 素 を そ れ ぞ れ,x1,x2で そ れ ぞ れ,座

標 変 数x1,x2に

定 理3.37 

す べ て のs,t∈IRとj,k=1,2に

表 す(i.e.,x1,x2は

よ る か け 算 作 用 素).

対 して

(3.64) (3.65) 証 明   任 意 の ψ ∈C∞0(M)に と 定 理3.35に ゆ え に,作

よ っ て,作

対 し て,eisxjPke-isxjψ=(Pk-sδjk)ψ.こ

用 素 の 等 式eisxjPke-isxj=Pk-sδjkが

用 素 解 析 の ユ ニ タ リ 共 変 性 に よ り,(3.64)が

  定 理3.36に

よ っ て,任

(eitP2eisP1ψ)(x)に

れ

意 の ψ ∈L2(IR2)に

つ い て も 同 様.こ

し た が う.

得 ら れ る.

対 して

れ を 用 い る と(3.65)が

成 立 す る こ とが 示

さ れ る. 

  3.6.4 

■

CCRの

  こ の 項 で は,あ

表 現 る ク ラ ス の ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAに

物 理 的 運 動 量 の 組{xj,Pj}2j=1は

定 義3.38  *16 (x

M上

1,x2)∈Ms,tな 注 意.

でB=0の

自 由 度2のCCRの

と き,Aは

平 坦(flat)で

ら ば,C(x1,x2;s,t)は,点an,n=1,…,N,を

対 して,位

置作 用 素 と

表 現 に な る こ と を 示 す.

あ る と い う.

通 ら な い こ と に

注 意3.11 

Mは

単 連 結 で は ない の で,A=(A1,A2)がM上

トル ポ テ ン シ ャ ル で あ っ て も,あ る実 数 値 関 数 φ ∈C1(M)が ∂1φ,A2=∂2φ

の平坦 なベ ク あ っ て,A1=

と表 され る とは限 らな い(以 下 に出 て くる例 を参 照).こ れ は 重

要 な点 で あ る.実 際,以 下 に提 示 され る理 論 の非 自明 性 に と っ て,Mの

非単連

結 性 は本 質 的 で あ る.   容 易 にわ か る よ う に,任 意 の ψ ∈C20(M)(M上 で,そ

の台 が 有 界 でMの

の2回 連 続 微 分 可 能 な 関 数

中 に含 ま れ る もの の 全 体)に 対 し て

(3.66) (3.67) が 成 り立 つ.し

補 題3.39 

た が っ て,次

{L2(IR2),C20(M),{xj,Pj}2j=1}が

た め の 必 要 十 分 条 件 はAが   Aが

の 補 題 を 得 る.

自 由 度2のCCRの

表 現で ある

平 坦 で あ る こ とで あ る.

平 坦 で あ る こ とは,超 関 数 と して の磁 場Bの

して い る こ と を意 味 す る.こ の 場 合,超

台 が{a1,…,aN}に

集中

関 数 の 一 般 論 に よ れ ば,そ の よ う な磁

場Bは

と い う 形 を も つ.こ 関 数 で あ り,kは 数 で あ る*17.こ

こ で,δ(x-an)は

質 量 を もつ2次

元 の デ ル タ超

非 負 の 整 数,λ(n)αβ(α,β=0,1,…,k,n=1,…,N)は れ を 磁 場 と し て 与 え る ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル と し て(ゲ

換 の 任 意 性 を 除 い て)次

*17  た と え ば

点anに

,[37]の4章

の も の が あ る:

§1,例

題5を

参 照.

実定 ー ジ変

こ れ は,公

式

を用 い れ ば,容 易 に確 か め られ る.こ の 種 のベ ク トル ポ テ ンシ ャル で 最 も簡 単 な 形 の もの は 次 で 与 え られ る:A(x)=(A1(x),A2(x)),

た だ し,λn(n=1,…,N)は

任 意 の 実 数 で あ る.こ

の 場 合 の 磁 場 をBと

す

れば

で あ る.   こ う し て,{a1,…,aN}に て,CCRの(非

自 明 な)表

集 中 し た,特異

な 磁 場 を も つ2次

現 が 実 現 し て い る こ と が わ か る.そ

元 量 子 系 にお い こ で 次 の 問 題 は,

こ の 表 現 が シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 と 同 値 な もの で あ る か 否 か を 決 定 す る こ と で あ る. 例3.2 

平 坦 な ベ ク トル ポ テ ンシ ャ ル の 一 般 的 な 例 は,次 の よ う に して,C上

数 を使 っ て 構 成 で きる.anに Mに

対 応 す るCの

対 応 す る,複 素 平 面 の 点 をanで

開 集 合 をMCで

表 す.fをa1,…,aNに

の有 理 型 関

表 す:an:=an1+ian2. 孤 立 特異 点 を も つ 有 理

型 関数 と し

と お く.こ

の と き,A:=(A1,A2)と

に よ り,AはM上

す れ ば,fに

で 平 坦 で あ る こ とが わ か る.ゆ

対 す る コ ー シ ー-リ ー マ ン方 程 式 え に,MC上

の任 意 の有理型 関数

に対 して,平 坦 な ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル が 同伴 して い る こ とが わ か る.そ

の よ う な有

理 型 関 数 は 無 数 に 存 在 す る か ら,平 坦 な ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル は 無 数 に存 在 す る こ と に な る.こ

の 構 成 法 は,孤 立 特異 点 の 数 が 可 算 無 限 個 の場 合 に も適 用 で き る の で,よ

り一 般 的 で あ る.

具 体 例 と して,f=A2+iA1と

  3.6.5 

すれ ば

表 現 の 同値 性 と非 同 値 性

 こ の 項 で は,Aは

平 坦 で あ る と仮 定 す る.す

る と補 題3.39に

よ り,

(3.68) は 自 由 度2のCCRの

表 現 で あ る.表

表 現π(2)Sと 同 値 で あ る た め の(し

現 πAが

た が っ て,ま

自 由 度2の

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー

た 非 同 値 で あ る た め の)必

要十

分 条 件 を 求 め よ う.

補 題3.40 

πAは 既 約 で あ る.

証 明   T∈B(L2(IR2))がTxj⊂xjT,TPj⊂PjT(j=1,2)を と し よ う.こ

の と き,第

てT=MFと

満 た して い る

一 の 条 件 と補 題3.13か

ら,あ

るF∈L∞(IR2)が

表 さ れ る.F=F1+iF2(F1:=ReF,F2:=ImF)と

す れ ば,

第 二 の 条 件 か ら,MFkPj⊂PjMFk(j,k=1,2).MFkは こ れ は,任

意 のt∈IRに

係 と 定 理3.36を て,任 はFkが

自 己 共 役 で あ る か ら,

対 し て,eitPjMFke-itPj=MFkを

意 味 す る.こ

用 い る とFk(x)=Fk(x+tej)(a.e.x)が

意 の(t,s)∈IR2に

わ か る.し

対 してFk(x)=Fk(x+(t,s))(a.e.x)と

定 数 で あ る こ と を 意 味 す る.し

あっ

た が っ て,Fは

たが っ

な る.こ 定 数 で あ る の でTは

数 作 用 素 で あ る. 

  定 理3.37と す べ て のt,sに

の関

れ 定 ■

フ ォ ン ・ノ イ マ ン の 一 意 性 定 理 に 注 目 す る と次 の 定 義 に 導 か れ る. 対 し て,ΦAs,tが

(整数全体) の 中 に 値 を と る 関 数,す

な わ ち,Ms,t上

の2π〓/q-値

局 所 的 に 量 子 化 さ れ て い る と い う こ と に す る.こ

関 数 で あ る と き,磁

れ は,閉

曲 線C(x1,x2;s,t)を

束 は

貫 く磁 束 が 局 所 的 に定 数 で あ っ て,そ の 定 数 値 が2π/qの

整 数 倍 で あ る とい う

こ とで あ る. 定 理3.41 

CCRの

表 現 πAが

自 由 度2の

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現π(2)Sに

同

値 で あ る ため の必 要 十 分 条 件 は,磁 束 が 局 所 的 に量 子 化 され て い る こ とで あ る. 証 明   (必 要 性)CCRの

表 現 πAがπ(2)Sに 同値 な らば,eisxj,eitPkは

の 関 係 式 を 満 た す.す

る と 定 理3.37に

で な け れ ば な ら な い.こ   (十 分 性)磁

3.24に

よ っ て,e-iqΦAs,t=I,∀t,s∈IR…(*)

れ は磁 束 の 局所 的 量 子 化 を意 味 す る .

束 が 局 所 的 に 量 子 化 さ れ て い れ ば,(*)が

に よ り,eisxj,eitPkは

ヴ ァイ ル

成 り立 つ の で,定

ヴ ァ イ ル の 関 係 式 を満 た す こ とが わ か る.し

よ り,πAはπ(2)Sと

理3.37

た が っ て,系

同 値 な 表 現 で あ る. 

■

  次 に 磁 束 の 局 所 的 量 子 化 の 条 件 を も っ と み や す い も の に す る こ と を 考 え る. δ0:=min{￨an-am￨￨n≠m,n,m=1,…,N}と 中 心 がan,半

径 ε>0の

し,0＜

ε＜ δ0に 対 して ,

円 周Cε(an)={x∈IR2:￨x-an￨=ε}(向

時 計 回 り)に 沿 っ て の,Aの

線 積 分 をγnと

きは 反

す る:

(3.69) D(x1,x2;s,t)を

閉 曲 線C(x1,x2;s,t)の

用 す る こ と に よ り,次

補 題3.42 

内 部 領 域 と す る.グ

リー ンの 定 理 を応

の 事 実 を 証 明 で き る.

各γn(A)は

ε に よ ら な い 定 数 で あ り,す べ て のs,t∈IRとx∈Ms

,t

に対 して

(3.70) が 成 り立 つ.た D(x;s,t)に

だ し,sgn(t)は

符 号 関 数 で あ る*18.Σan∈D(x

含 ま れ る よ う な す べ て のnに

な い 場 合 に は,上

式 の 右 辺 は0で

つ い て の 和 を 表 す(そ

あ る と す る).

  こ の 補 題 か ら た だ ち に 次 の 結 果 が 得 ら れ る. *18  t〓0な

ら ば sgn(t)=1,t0と

し,ヒ ル ベ ル ト空 間HL:=L2([-L/2,L/2])に

お け る作 用 素xL, pL, 0

を次 の よ う に定 義 す る:

こ の と き,xLは

有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ り,pL

pL, 0の 閉 包 をpLと

記 す.{HL,(pL,0,-xL)}がCCRの

,0は 非 有 界 な 対 称 作 用 素 で あ る. 弱 ヴ ァ イ ル型 表 現 で あ る こ

とは 直 接 計 算 よ り容 易 に証 明 さ れ る.し

た が っ て,命 題3.47に

もCCRの

が,pLは

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 で あ る.だ

項 を参 照),そ

  3.7.3 

れ は ヴ ァ イ ル 型 表 現 で は な い.

ス ペ ク トル 特 性 と 作 用 素 論 的 性 質

  次 の 定 理 は 基 本 的 で あ る.

よ っ て{H,(pL,-xL)}

自己 共 役 で は な い の で([13]の2.3.8

定 理3.52  す る.こ

{H,(Q,P)}を

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 と し,P':=P￨D(P)∩D(Q)と

の と き,σp(P')=0,す

証 明   λ ∈IRと こ の と き,作 (3.72)と

な わ ち,P'は

し て,PΨ=λ

Ψ と な る Ψ ∈D(P)∩D(Q)が

用 素 解 析 に よ り,任

意 のt∈IR＼{0}に

Ψ の 内 積 を と り,〈 Ψ,eitPQΨ

注 意 す れ ば,t〈 Ψ,Ψ 〉=0が

固 有 値 を も た な い.

あ っ た と し よ う.

対 して,eitPΨ=eitλ

〉=〈e-itPΨ,QΨ

得 ら れ る.し

〉=eitλ

た が っ て,Ψ=0.ゆ

Ψ.

〈 Ψ,QΨ

〉に

え に,P'は

固

有 値 を も た な い. 

  一 般 に,ヒ と き,Tは

■

ル ベ ル ト空 間 上 の 対 称 作 用 素Tが 半 有 界(semi-bounded)で

定 理3.53 

ヒ ル ベ ル ト空 間Hは

表 現 と す る.Pは

証 明   (3.73)は

下 に 有 界 ま た は上 に有 界 で あ る

あ る と い う.

可 分 で あ る と し,{H,(Q,P)}を

半 有 界 で あ る と し よ う.こ

の と き,Qは

作 用 素 の 等 式eitPQe-itP=Q+tを

自 己 共 役 で あ る と し よ う.こ

の と き,作

eitPeisQe-itP=eis(Q+t)=eisteisQ.し 関 係 式 を 満 た す.ゆ

え に,フ

弱 ヴ ァ イル型 自 己 共 役 で は な い.

意 味 す る.仮

用 素 解 析 の ユ ニ タ リ 共 変 性 に よ り, た が っ て,eisQ, eitPは

ォ ン ・ノ イ マ ン の一 意 性 定 理 に よ り,Pは

の シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現pの

直 和 に ユ ニ タ リ 同 値 で あ る.こ

を 意 味 す る.だ

半 有 界 性 に 反 す る. 

  3.7.4 

が,こ

れ はPの

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現{H,(Q,P)}に

にQが

ヴ ァイルの 自 由 度1

れ は σ(P)=IR ■

お け るeitP(t∈IR)のtに

関 する

減衰的性質   自 己 共 役 作 用 素Pに

  SP:={S￨Sは

例3.5 

対 し て,対

対 称 作 用 素 でeitPS⊂SeitP,

任 意 の 実 数a∈IRに

ル 可 測 関 数).

称 作 用 素 の 集 合SPを

次 の よ う に 定 義 す る:

∀t∈IRを

対 し て,0, aI, f(P)∈SP(f:IR→Cは

満 た す}.  (3.77)

任意 の ボ レ

   

定 理3.54 

{H,(Q,P)}をCCRの

固 定 す る.こ

の と き,任

弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 と し,S∈SPを

意 のt∈IR＼{0}と

Ψ, Φ ∈D(Q)∩D(S)に

任意 に 対 して

(3.78) 証 明   (3.72)と

Φ の 内 積 を と り,Sの

性 質 を 用 い る と,

が 得 られ る.そ

こで,両 辺 の 絶 対 値 を と り,シ ュ ヴ ァル ツの 不 等 式 とe±itPの

ユ ニ タ リ性 を使 うこ とに よ り,(3 .78)が 得 ら れ る. 

3.8 

■

時 間 作 用 素

  物 理 の教 科 書 や文 献 にお い て は,エ

ネ ル ギ ー と時 間 に 関す る不 確 定 性 関 係 の

取 り扱 い は た い へ ん 曖 昧 で あ る*23.こ の 節 で は,エ ネ ルギ ー と時 間 に関 す る不 確 定 性 関 係 お よ び これ に関 わ る数 学 的 構 造 を原 理 的 観 点 か ら明 晰 に把 握 す る こ と を試 み る.

  3.8.1  弱 時 間 作 用 素 と時 間-エ ネル ギー の 不確 定 性 関 係   Hを

ヒル ベ ル ト空 間 と し,HをH上

の 自 己 共役 作 用 素 とす る.い

ヒ ルベ ル ト空 間 がHで

あ り,ハ ミル トニ ア ンがHで

定 義3.55 

の 対 称 作 用 素 でD(T)∩D(H)≠{0}を

TをH上

ま,状 態 の

表 さ れ る量 子 系 を考 え る. 満 た す もの とす

る.次 の 性 質(ⅰ), (ⅱ)を満 た す,有 界 な 自己 共 役 作 用 素C∈B(H), C≠0が 在 す る な らば,TをHに

関 す る弱 時 間作 用 素 と い い,Cを(T,H)に

可 換 因 子 と呼 ぶ.こ の 場 合,「Hは

弱 時 間 作 用 素Tを

(ⅰ) す べ て の Ψ,Φ ∈D(T)∩D(H)に

存

関 す る非

もつ」 と もい う.

対 して

(3.79) (ⅱ)  δC:=inf‖

Ψ ‖=1, Ψ ∈(kerC)⊥￨〈

Ψ,CΨ

〉￨>0.

*23 この 問題 に 関 して ,概 念 的 に明 晰 で 数 学 的 に も厳 密 な 議論 を与 えた重 要 な論 文 の一 つ は [28]で あ ろ う.

  この 定 義 は,容 易 にみ て とれ る よ う に,自 由 度1のCCRの 表現 のある種の 一 般 化 で あ る.こ こ で は,Hが 半 有 界 で あ る場 合 やHが 連 続 ス ペ ク トル の他 に点 スペ ク トル を有 す る場 合 を も射 程 に 入 れ て い る.弱 時 間作 用 素 の例 に つ い て は,次 の項 で述 べ る. 命 題3.56 

TをHに

関 す る弱 時 間 作 用 素 と し,Cを(T,H)の

す る,こ の と きすべ て の Ψ ∈D(T)∩D(H)∩(kerC)⊥

非可換 因子 と

に対 して

(3.80) 証 明   シ ュ ヴ ァル ツの不 等 式 に よ り

し た が っ て,(3.80)が

  対 称 作 用 素Sと に お け るSの

し た が う. 

■

単 位 ベ ク トル Ψ ∈D(S)＼{0}(‖Ψ

‖=1)に

対 して,状 態 Ψ

不確 定 さ を

(3.81) に よ っ て 定 義 す る*24.

定 理3.57 

(時 間-エ ネ ル ギ ー の 不 確 定 性 関 係)TをHに

素 と し,(T,H)の

非 可 換 因 子 をCと

Ψ ∈D(T)∩D(H)∩(kerC)⊥

す る.こ

関 す る 弱 時 間作 用

の と き,す

べ て の 単 位 ベ ク トル

に対 して

(3.82) 証 明   任 意 の 実 数a,b∈IRに あ り,(T-a,H-b)の て,‖(T-a)Ψ す れ ば,(3.82)が *24 これ は

対 し て,T-aはH-bに

非 可 換 因 子 はCで ‖ ‖(H-b)Ψ

‖〓 δC/2.そ

得 ら れ る. 

,"不 確 定 さ"と い う概 念 をSが た もの で あ る.

あ る.し こ で,a=〈

関 す る 弱 時 間作 用 素 で た が っ て,命

題3.56に

Ψ,TΨ 〉,b=〈 Ψ,HΨ

よっ 〉と ■

必 ず し も自 己共 役 とは 限 ら ない場 合 へ と拡 張 し

  定 理3.57は

従 来 曖 昧 に扱 わ れ て い る"時 間-エ ネル ギ ーの 不 確 定 性 関 係"に 対

す る一 つ の 明 晰 な表 現 を与 え る.こ の定 理 は,(ΔT)Ψ

が 一 定 の 限 界 にあ る よ う

な任 意 の状 態 Ψ に 対 して は,エ ネル ギ ー の 不 確 定 さ に正 の 下 限 が 存 在 す る こ と を意 味 す る.   だ が,こ

こ で,次

の疑 問 が 生 じる か も しれ な い.す

物 理 量 で あ ろ うか?こ

の 問 い に対 して は,筆 者 は,そ れ は物 理 量 で あ っ て も

な くて も よい と考 え て い る.そ の理 由 の一 つ は,ハ て も,Hに Hが

な わ ち,弱 時 間作 用 素 は

ミル トニ ア ンHを一

関 す る 弱 時 間 作 用 素 は 一 意 的 に定 ま らな い とい う こ とが あ る.ま た,

下 に有 界 な らば,付 加 的 な条 件 の も とで,Hに

関す る弱 時 間 作 用 素 は 本 質

的 に 自己 共 役 で は あ りえ な い こ とが 証 明 され る.他 方,そ 己 共 役 に な る ハ ミル トニ ア ン も存 在 しう る*25.定 理3.57か は,ハ

つ決め

ミル トニ ア ンHに

の 弱 時 間作 用 素 が 自 ら読 み 取 れ る こ と

関 す る弱 時 間作 用 素 とい うの は,エ ネル ギ ー の 不確 定

さ を 測 る尺 度 を提 供 す る作 用 素 の 一 つ で あ る とい う こ とで あ る.こ の観 点 か ら い え ば,弱 時 間作 用 素 が物 理 量 で あ る か否 か は第 二 義 的 な問 題 に な る(考 察 す る ハ ミル トニ ア ン に依 存 す る性 質).さ

らに付 け加 え る な ら ば,弱 時 間 作 用 素 が 仮

に物 理 量 で な い と して も,そ れ が物 理 的 に 意味 が な い とい う こ とに は な らな い. 前 著[13,14]で

もす で に暗 示 した よ う に,本 書 の 観 点― 座 標 か ら自 由 な絶 対 的

次 元 か らの 公 理 論 的 ア プ ロ ー チ― に よれ ば,た リ群{e-itH}t∈IRが

とえ ば,系 の 時 間発 展 は ユ ニ タ

統 制 し,素 粒子 の 生 成 ・消 滅 は 生 成 ・消 滅 作 用 素 が 司 っ て

い る よ う に,自 己 共 役 で な い作 用 素 も物 理 現 象 の 現 出 に何 らか の 役 割 を もっ て い る と考 え る の が 自然 だ か らで あ る.重 要 な こ とは,諸 象 現 出 との 関連 に お い て,ど る こ とで あ る.前 著[13],

々 の 作 用 素 が,量 子 現

うい う役 割 を演 じて い るか を厳 密 な仕 方 で把 握 す

[14]や 本 書 全 体 が 示 唆 す るで あ ろ う よ う に,作 用 素

の 空 間 に は,物 理 現 象 の現 出 との 関連 にお い て もあ る種 の(無 限)階 層 構造 が 存 在 し,各 作 用 素 は そ れ ぞ れ 固 有 の 役 割 を担 い,重 々 無 尽 縁 起 的 な仕 方 で現 象 を 支 え て い る の で あ る.

*25 た と え ば

,や

や 人 工 的 で あ る が,H=cp(c≠0は

運 動 量 作 用 素)に あ る.

実 定 数 で,pはL2(IRx)に

関 す る 弱 時 間 作 用 素 の 一 つ と し て,x/cが

あ る が,こ

お ける

れ は自 己 共 役 で

  3.8.2  CCRの   自由度Nの

表 現 と弱 時 間 作 用 素

量子 力 学系 にお け る物理 量 や量 子現 象 と関 わ る作 用 素 は,そ の 状態 の

ヒルベ ル ト空 間 を表 現空 間 とす る適 切 なCCRの

自己 共役 表現{H,D,{(Qj,Pj}Nj=1}

か らつ くられ る.し たが っ て,弱 時 間作 用 素 も― も し,存 在 す る な らば― 当然, CCRの

自己 共 役 表 現 か らつ くられ るは ず で あ る.実 際,こ の構造 は普 遍 的 な形

で 存 在 す る こ とが 示 され る.だ が,こ

こ で は,そ

の 一般 論 を展 開す る余 裕 は な

い の で,自 由度 が1で ハ ミル トニ ア ンが 簡 単 な形 の 場 合 につ い て の み論 述 す る.  a.  非 相 対 論 的 な場 合   {H,D,(Q,P)}を (A.1) Pは

自 由度1のCCRの

対 称 表 現 とす る.次 の 仮 定 を設 け る.

自己 共 役 で あ り,単 射 で あ る(し た が っ て,逆 作 用 素P-1が

存在

す る). (A.2) 稠 密 な 部 分 空 間FでQF⊂F,

PF⊂F,

P-1F⊂Fを

満 たす もの が存 在

す る.  

m>0を

定 数 と し て,

(3.83) に よ っ て 定 義 さ れ る ハ ミ ル トニ ア ンHNRを レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 に お け る,質 ンを

一 般 のCCRの

量mの

考 え る*26.こ

れ は,CCRの

シュ

自 由 粒 子 の 非 相 対 論 的 な ハ ミ ル トニ ア

表 現 の 場 合 へ と 拡 張 し た も の で あ る.仮

定(A.1),

(A.2)に

よ り

(3.84) は 対 称 作 用 素 で あ り,Fを

命 題3.58 

(A.1),

不 変 に す る.ま

(A.2)を

仮 定 す る.こ

間 作 用 素 で あ り,(TNR,HNR)の

*26  「NR」

はnon

,Φ〉.Q, -relativistic(非

等 作 用 素)で

任 意 に と る.こ Pに

関 す るCCRを

相 対 論 的)の

不 変 に す る.

の と き,TNRはHNRに

非 可 換 子 はI(恒

証 明   Ψ,Φ ∈D(TNR)∩D(HNR)=Fを =(1/2m)〈P2QP-1Ψ

た,HNRもFを

意 .

関 す る弱 時 あ る.

の と き,〈QP-1Ψ,HNRΦ

使 う こ と に よ り,P2QP-1Ψ

〉

=(-i+PQ)Ψ.し

たがって

同 様 に,〈HNRΨ,P-1QΦ 〈HNRΨ,P-1QΦ

〉=(1/2m)〈QPΨ,Φ

〉=(i/m)〈

〉.し た が っ て,〈QP-1Ψ,HNRΦ

〉-

Ψ,Φ 〉.こ の 式 を 用 い る と求 め る 結 果 が 得 ら れ る.   ■

例3.6 

1次 元 空 間IRの

中 に 質 量m>0の

ヒル ベ ル ト空 間 と して座 標 表 示 のL2空

量 子 的粒 子 が 一 つ 存 在 す る系 を考 え,状 態 の 間L2(IR)=L2(IRx)を

とる.外 力 が 働 い て い な

い場 合 の系 の ハ ミル トニ ア ン― 自由 粒 子 の ハ ミル トニ ア ン― はH0:=-Δx/(2m)で え られ る.た だ し,Δxは1次 CCRの

シ ュ レー デ ィ ンガ ー表 現 を(x,p)と

らL2(IRk)へ で あ る.た

の フー リエ 変 換 をF1と だ し,Dkは

変 数kに

作 用 素 で あ る.L2(IRk)の

す る.x,pい

記 す.こ

とお け ば,こ れ はL2(IRx)で

ず れ も単 射 で あ る.L2(IRx)か

関 す る 一 般 化 され た微 分 作 用 素,kはkに

不 変 に す る.し

稠 密 で あ る.さ

稠 密 で あ り,x,p,p-1はF0を

不 変 にす る.し

して 満 た さ れ る.ゆ

関 す る 弱 時 間 作 用 素 で あ り,(TAB,H0)の

時 間 作 用 素TABは

よ るか け 算 ら に,

た が っ て,F0:=F-11C∞0(IRk＼{0})

仮 定(A.1),(A.2)がQ=x,P=p,F=F0と

あ る.弱

おけ る

の と き,F1xF-11=iDk,F1pF-11=k

部 分 空 間C∞0(IRk＼{0})はL2(IRk)で

iDk,k,k-1はC∞0(IRk＼{0})を

とお け ば,TABはH0に

与

元 の 一 般 化 さ れ た ラプ ラ シ ア ンで あ る.L2(IRx)に

た が っ て,

えに

非 可 換 因 子 はIで

ア ハ ラ ノ フ-ボ ー ム の 時 間 作 用 素 と呼 ば れ る[2].こ

の例

は 高 次 元 へ の 拡 張 を もつ(演 習 問 題5).

  b.  相 対 論 的 な 場 合(1)   相 対 論 的 な ハ ミ ル ト ニ ア ン に つ い て もCCRの あ る.だ

が,こ

こ で は 簡 単 の た め,CCRの

C∞0(IRx),(x,p)}で

考 え る.質

量 がm>0の

任 意 の 表 現 で の考 察 が 可 能 で

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現{L2(IRx), 自 由 粒 子 の 相 対 論 的 ハ ミ ル トニ ア

ンは

(3.85) で定 義 され る.IRk上

の関数 ω を

(3.86)

に よっ て定 義 す る.作 用 素 解 析 の ユ ニ タ リ共 変 性 を使 うこ とに よ り

(3.87) が わ か る(右

辺 は 関 数 ω に よ る か け 算 作 用 素 を 表 す).容

ωC∞0(IRk＼{0})⊂C∞0(IRk＼{0}).し

易 に わ か る よ う に,

た が っ て,HRはF0を

不 変 に す る.ゆ

え に作 用 素

(3.88) が 定 義 さ れ る.こ

命 題3.59 

れ は 対 称 作 用 素 で あ る.

作 用 素TRはHRに

換 因 子 はIで

非可

あ る.

証 明   任 意 の ψ ∈F0に iF1ψ.し

関 す る 弱 時 間 作 用 素 で あ り,(TR,HR)の

対 し て,F1[HRp-1x,HR]ψ=ω

た が っ て,[HRp-1x,HR]ψ=iψ.同

・k-1[iDk,ω]F1ψ=

様 に(あ る い は,い

共 役 を と る こ と に よ り)[xHRp-1,HR]ψ=iψ.し

ま導 い た式 の

た が っ て,[TR,HR]ψ=iψ.

  ■   こ の 例 も 高 次 元 へ の 拡 張 を も つ(演

  c.  相 対 論 的 な 場 合(2)―   質 量 がm>0で

デ ィ ラ ッ ク ハ ミ ル トニ ア ン

ス ピ ン が1/2の

ル ベ ル ト空 間L2(IR3x;C4)= 

習 問 題6).

自 由 な 相 対 論 的 粒 子 の ハ ミ ル トニ ア ン は,ヒ 4L2(IR3x)で

働 くデ ィラ ッ ク作 用 素

(3.89) に よ っ て 与 え ら れ る(2.10節 f3￨fj∈F0, j=1,2,3})はL2(IR3x)で 和 ベ ク ト ル 空 間D0:=  う に,HD, xj, p-1jはD0を

を 参 照).L2(IR3x)の

部 分 空 間F0(3):=L({f1×f2×

稠 密 で あ る.し

4F(3)0はL2(IR3x;C4)で 不 変 に す る.ゆ

た が っ て,そ

稠 密 で あ る.容 え に,各j=1,2,3に

の4個

の直

易 にわか るよ 対 して

に よ っ て 定 義 さ れ る作 用 素 は対 称 作 用 素 で あ る.xj, plが 満 た すCCRと

αj,β

に 関す る 反 交 換 関係 を用 い る こ とに よ り,次 の 事 実 が 証 明 され る: 命 題3.60 

D0上 で[Tj,HD]=iが

弱 時 間作 用 素 で あ り,(Tj,HD)の

成 立 す る.す な わ ち,TjはHDに 非 可 換 因 子 はIで

関す る

あ る.

  d.  相 互 作 用 の 入 っ た ハ ミル トニ ア ン お よ び 量 子 場 の ハ ミル トニ ア ン に 関 す る弱 時 間作 用 素   上 に あ げ た例 は い ず れ も,相 互 作 用 の な い 自 由粒 子 を記 述 す るハ ミル トニ ア ン に 関 す る弱 時 間 作 用 素 で あ っ た.同 様 に して,自 由 な量 子 場 の ハ ミル トニ ア ン(第 二 量 子 化 作 用 素)に 関 す る 弱 時 間作 用 素 を 具 体 的 に 構 成 す る こ とが で きる [12].次 の 問 題 は,相 互 作 用 の 入 った ハ ミル トニ ア ン も弱 時 間 作 用 素 を もつ か ど うか を吟 味 す る こ とで あ る.本 書 で は,残 念 な が ら,こ の主 題 につ い て論 じる 余 裕 は な い が,次 の事 実 だ け を指摘 して お く:一 般 に,自 己 共役 作 用素Hが 時 間作 用 素 を もつ と き,あ る条 件 を満 たす 対 称 作 用 素Vに

弱

対 して,H+Vも

弱 時 間作 用 素 を もつ こ と を証 明 す る こ とが で きる[12].

  3.8.3  強 時 間 作 用 素   弱 時 間作 用 素 よ りも強 い特 性 を もつ 時 間 作 用 素 の概 念 を導 入 す る.Hを ベ ル ト空 間,HをH上 定 義3.61  tC)eitH,

H上

の有 界 な 自己 共 役 作 用 素C≠0が

∀t∈IRか

素(strong

の 自己 共 役 作 用 素 と し,TをH上

つ δC>0が

time operator)と

場 合,「Hは

強 時 間作 用 素Tを

注 意3.14 

こ の定 義 にお い て,C=Iな

イル 型 表 現 で あ る.し

の対 称 作 用 素 とす る. 存 在 して,eitHT⊂(T+

成 り立 つ と き,TをHに

呼 び,Cを(T,H)の

ヒル

関 する強時間作用

強 非 可 換 因子 とい う.こ の

もつ」 とい う. らば,{H,(T,H)}はCCRの

たが って,(T,H,C)は,一

弱ヴァ

般 化 され た 弱 ヴ ァイ ル型 表 現

の 一 つ とみ る こ とが で き る.   命 題3.48の

証 明 と 同様 に して,TがHに

関 す る強 時 間作 用 素 な ら ば,作 用

素の等式

(3.90)

が 成 立 す る こ とが 証 明 され る.さ

らに,極 限 操 作 に よ り,作 用 素 の等 式

(3.91) が 成 り立 つ こ と もわ か る.す な わ ち,TもHに

関す る 強 時 間 作 用 素 で あ る.

  強 時 間 作 用 素 の 概 念 が弱 時 間作 用 素 の 概 念 よ り も強 い こ と は次 の命 題 に よっ て保 証 され る. 命 題3.62 

TをHに

関 す る強 時 間作 用 素 と し,Cを(T,H)の

とす る.こ の と き,TはHに 子 はCで

関 す る弱 時 間作 用 素 で あ り,(T,H)の

非可換 因

あ る.

証 明   Ψ,Φ ∈D(T)∩D(H)と 〈(T+tC)Ψ,eitHΦ〉.両

し よ う.こ 辺 と も にtに

係 数 を と れ ば〈(-iH)Ψ,TΦ

注 意3.15 

CCRの

〉=〈CΨ,Φ

  命 題3.62に

の と き,(3.90)に

よ り 〈e-itHΨ,TΦ

つ い て 微 分 可 能 で あ り,t=0で 〉+〈TΨ,iHΦ

〉=

の微 分

〉を 得 る. 

■

表 現 が 必 ず し も弱 ヴ ァ イ ル 型 表 現 で は な い よ う に,Hに

す る 弱 時 間 作 用 素 は 必 ず し もHに

よ っ て,強

す べ て 成 立 す る.特 こ で,そ

強 非 可 換 因子

に,時

関

関 す る 強 時 間 作 用 素 と は 限 ら な い.

時 間 作 用 素 に つ い て は,弱

時 間作 用 素 の 一般 的性 質 は

間-エ ネ ル ギ ー の 不 確 定 性 関 係 も成 立 す る.だ

が,こ

れ ら を 書 き 下 す こ と は 省 略 す る.

  3.8.4  量 子 系 の 時 間発 展 に お ける 状 態 の 生 き残 り確 率 と強 時 間 作 用 素   量 子 系 の状 態 の 時 間発 展 に関 す る公 理 に よ り,自 己 共 役 作 用 素Hを ニ ア ン とす る量 子 系 の 時刻t∈IRに さ れ る(h=1の

単 位 系).た

お け る状 態 は ベ ク トルe-itHΨ

だ し,Ψ ∈H＼{0}は

ハ ミル ト に よっ て表

初 期 状 態 ベ ク トル― 時 刻0

で の状 態 ベ ク トル― を表 す.時 刻tに お い て状 態 Φ ∈H＼{0}に 期 状 態 Ψ の,時 刻tに お け る,状 態 Φ へ の遷 移 確 率―

あ る確 率― 初

をPΨ,Φ(t)と す れ ば,そ

れは

(3.92)

に よ っ て与 え られ る(確 率 解 釈 の 公 理).時 刻tで 初 期 状 態 と 同 じ状 態 に留 ま る 確率

(3.93) を 残 存 確 率(survival う に,残

probability)ま

た は 生 き 残 り確 率 と い う.以

下 に示す よ

存 確 率 と 強 時 間 作 用 素 は 深 い つ な が り を も つ.

  TをHに

関 す る 強 時 間 作 用 素 と し,Cを(T,H)の

定 理3.63 

S∈SHを

任 意 に 固 定 す る*27.こ

強 非 可 換 因 子 と す る. の と き,任

意 のt∈IR＼{0}と

単 位 ベ ク トル Ψ, 

に

対 して

(3.94) 証 明   (3.90)に

よ り

両 辺 の 絶 対 値 を と り,シ

ュ ヴ ァ ル ッ の 不 等 式 とe±itHの

 

ユ ニ タ リ 性 を 使 え ば,

これから,(3.94)が 得られ

る. 

■

  (3.94)は,状

態 の 時 間 発 展 に お け る 遷 移 確 率 がt→

束 す る こ と,す

な わ ち,遷

こ と を 示 す と 同 時 に,そ supt∈IRt2PΨ

,CΦ(t)が

味 に お い て,強

系3.64 C2=Cと IR＼{0}と

±∞

に お い て0に

収

移 確 率 が 時 間 の 大 き さ￨t￨の 増 大 と と も に 崩 壊 す る の 崩 壊 の 度 合 い に つ い て の 評 価 を 与 え る.こ

の 場 合,

Ψ,Φ と 時 間 作 用 素 か ら決 ま る 定 数 で 抑 え ら れ る と い う 意

時 間 作 用 素 は 系 の 状 態 の 時 間 発 展 と 関 わ る.

す る(i. e., Cは

正 射 影 作 用 素).こ

単 位 ベ ク トル 

の と き,任

意 のt∈

に対 して

(3.95) *27 S

Hは(3.77)に

お い て,P=Hと

した も の.

証 明   (3.94)に

お い て,Φ=Ψ

と し,Sと

し てS=-〈

Ψ,TΨ〉 を と り,CΨ=Ψ

を 用 い れ ば よ い. 

  (3.95)は

■

残 存 確 率 の 時 間 減 衰 に 関 す る 評 価 を与 え る.右

辺 にTの

不 確 定 さが

現 れ る の は 興 味 深 い.

ノ

  CCRの CCRの

ー

ヴ ァ イ ル 型 表 現 の 一 意 性 は,フ

ト

ォ ン ・ノ イ マ ン に よ っ て 証 明 さ れ た[26].

対 称 表 現 が い つ シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 に な る か とい う問 題 に つ い て は,本

章 で 論 じる こ と が で き な か っ た が,こ (Dixmier)に 理;[29]を

れ に 対 し て は,レ

よ っ て 一 つ の 解 答 が 与 え られ て い る(レ

リ ッ ヒ と デ ィ ク ス ミエ ー ル

リ ッ ヒ-デ ィ ク ス ミエ ー ル の 定

参 照).

  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 表 現 と非 同 値 なCCRの [33, 34]に み られ る.弱

表 現 の 純 数 学 的 な例 は,た とえ ば,[16],

ヴ ァ イル 型 表 現 の 研 究 は,[15],

[33, 34]に よ っ て 基 本 的 な部

分 が 完 成 さ れ て い る.   ア ハ ラ ノ フ-ボ ー ム 効 果 の 表 現 論 的 扱 い は お そ ら く[18]が 学 的 に厳 密 な 解 析 的 ア プ ロ ー チ は[32]に CCRの

よ っ て な さ れ た.ア

最 初 か も し れ な い.数 ハ ラ ノ フ-ボ ー ム 効 果 と

非 同 値 表 現 と の 関 連 を 最 初 に 指 摘 した の は,多 分[31]で

文 に動 機 付 け られ て,CCRの

表 現 と アハ ラ ノ フ-ボ ー ム 効 果 とい う主 題 につ い て,一

連 の 研 究 を展 開 した[3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11].関   3.6節 で 考 察 した2次

あ る.筆 者 は,こ の 論

元 系 に お い て,特

連 す る 研 究 と して,[19,

異 点anの

個 数 を可 算 無 限 個 に し,そ の 分

布 に関 して あ る 種 の 対 称 性 を も た せ る と(た と え ば,格 子 点 の 集 合),こ CCRの

21]が あ る.

れに付 随す る

非 同 値 表 現 に 関 し て い ろ い ろ と興 味 深 い 事 実 が 見 い だ され る.た

子 平 面 や 量 子 群[20]の

表 現 が 構 成 さ れ る.こ

の 側 面 に つ い て は,一

とえ ば,量

般 向 け の解 説 を

[11]に 書 い て お い た.ア ハ ラ ノ フ-ボ ー ム 効 果 の 数 理 は,現 在 で も活 発 に 研 究 さ れ て い る(現 状 を知 る に は,論 文[17]が 参 考 に な る か も しれ な い).   時 間 作 用 素 の 理 論 は 最 近 の 量 子 論 の 熱 い 話 題 の 一 つ か も しれ な い[24].こ 対 す る 表 現 論 的 な ア プ ロ ー チ はMiyamoto[23]に

よ っ て 着 手 さ れ た.こ

強 非 可 換 因 子 が 恒 等 作 用 素 の 場 合 の 強 時 間作 用 素 が 扱 わ れ て い る.強 す る,よ は,3.7節

り一 般 的 で 包 括 的 な理 論 展 開 につ い て は[12]を

時 間作 用 素 に 関

参 照 さ れ た い.論

文[12]で

で 論 じた 弱 ヴ ァ イ ル型 表 現 お よ び 強 時 間 作 用 素 の 一 般 化 が 導 入 さ れ た.特

に,量 子 系 の ハ ミル トニ ア ンHが

一 般 化 され た 意 味 で の 強 時 間 作 用 素Tを

遷 移 確 率 につ い て次 の 事 実 を 証 明 す る こ と が で きる:各 Dnが

の 理論 に

の 論 文 で は,

あ っ て, 

自 然 数nに

もつ と き,

対 して,部

分空 間

(cn(Ψ,Φ)はtに が で き る.こ

よ ら な い 定 数).ま

た,Hの

ス ペ ク トル に 関 して も情 報 を 得 る こ と

れ ら の 事 柄 の 他 に も い ろ い ろ 興 味 深 い 事 実 が 見 い だ さ れ る.

  こ の 章 の 論 述 や 上 に述 べ た こ と か ら 示 唆 され る よ う に,CCRあ

るいは その変 形の

表 現 と して 量 子 力 学 を 捉 え る 観 点 は,諸 々 の 量 子 現 象 を原 理 的 か つ 統 一 的 な 仕 方 で 厳 密 に 認 識 す る た め の 基 礎 を 提 供 す る だ け で な く,具 体 的 な諸 問 題 に お い て も実 り多 い 結 果 を も た ら す の で あ る.

第3章 

Hを

演 習 問 題

ヒ ル ベ ル ト空 間 とす る.

1. A, TをH上

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,T∈B(H)と

す る.こ

強 可 換 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はTA⊂ATが

の と き,AとTが

成 り立 つ こ とで あ る.こ

れを

証 明 せ よ. 2. (3.33)に

よ っ て 定 義 さ れ る 作 用 素ASのker ASを

3. 自 由 度2以

求 め よ.

上 の 場 合 に 関 す る フ ォ ン ・ノ イ マ ン の 一 意 性 定 理 の証 明 の 詳 細 を 埋

め よ. 4. LをH上

の 自己 共 役 作 用 素 と し

と お く.

 

  (ⅰ) L〓0な

らば, 

 (ⅱ) L〓0な

らば, 

を 示 せ. を 示 せ.

(ⅲ) 

5. d〓1を

を 示 せ. 任 意 の 自 然 数 と し,ヒ

ニ ア ンH0:=-Δ/(2m)を m>0は

ル ベ ル ト空 間L2(IRdx)に

考 え る(Δ

定 数).各j=1,…,dに

を 定 義 す る.た

だ し,F0は

はd次

お い て 自 由 ハ ミル ト

元 の 一 般 化 され た ラ プ ラ シ ア ン,

対 して

例3.6に

お け る部分 空 間で あ り

こ の と き,各TNR 換 因 子 はIで

,jはH0に

関 す る 弱 時 間 作 用 素 で あ り,(TNR,j,H0)の

非可

あ る こ と を示 せ.

6. 記 号 は 前 問 題 に した が う と し,L2(IRdx)で

働 く非 負 自 己 共 役 作 用 素― 相 対 論 的

自 由 ハ ミ ル トニ ア ン―K0:=(-Δ+m2)1/2を

考 え る.各j=1,…,dに

対

して

を 定 義 す る.こ

の と き,各TR,jはK0に

の 非 可 換 因 子 はIで

関

[1]  Y.Aharonov

and

quantum

関 す る弱 時 間作 用 素 で あ り,(TR,j,H0)

あ る こ と を 示 せ.

連

図

書

D.Bohm,Significance

of

electromagnetic

potentials

in

the

theory,Phys.Rev.115(1959),485-491.

[2]  Y.Aharonov

and

relation

for

D.Bohm,Time

time

and

in the

[3]  A.Arai,Momentum

operators

magnetic

quantum

theory

and

the

uncertainty

energy,Phys.Rev.122(1961),1649-1658.

flux,and

with

gauge

representation

of

potentials,local

canonical

quantization

commutation

of

relations,J.

Math.Phys.33(1992),3374-3378. [4]  A.Arai,Properties gauge

of

[5]  A.Arai,Gauge of

the

Dirac-Weyl

operator

with

a

strongly

singular

potential,J.Math.Phys.34(1993),915-935. theory

canonical

on

a non-simply

commutation

[6]  A.Arai,Representation ory,the

conneted

domain

and

representations

relations,J.Math.Phys.36(1995),2569-2580. of

Aharonov-Bohm

canonical

commutation

effect,and

relations

the  Dirac-Weyl

in

a

gauge

the

operator,J.Nonlinear

Math.Phys.2(1995),247-262. [7]  A.Arai,Canonical

commutation

Zeta-function,and quantum

group

[8]  新 井 朝 雄,『 [9]  新 井 朝 雄,ゲ 二 洋

infinite

編

relations

ヒ ル ベ ル ト 空 間 と 量 子 力 学』,共

tum

theory,the

space

singular

algebras,and

Weierstrass

representations

of

the

立 出 版,1997.

ー ジ 理 論 に お け る 正 準 交 換 関 係 の 表 現 と ア ハ ラ ノ フ-ボ

『数 理 物 理 へ の 誘 い2』(遊

in

a gauge

Hilbert

Uq(sl2),J.Math.Phys.37(1996),4203-4218.

星 社,1997)の

[10]  A.Arai,Representation-theoretic tems

in

dimensional

vector

aspects

of

potentials:canonical

reduction

to

lattice

ー ム 効 果,荒

木 不

第7話,p.165-p.190. two-dimensional

quantum

commutation

relations,quan

quantum

systems,J.Math.Phys.39

(1998),2476-2498. [11]  新 井 朝 雄,非 星 社,2000)の

単 連 結 空 間 上 の ゲ ー ジ 量 子 力 学,江 第6話,p.143-p.164.

沢

洋

編

『数 理 物 理 へ の 誘 い3』(遊

sys

[12]  A.Arai,Generalized

weak

Weyl

relation

and

decay

of

quantum

dynamics,

Rev.Math.Phys.17(2005),1-39. [13]  新 井 朝 雄

・江 沢

洋,『

量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅰ』,朝

[14]  新 井 朝 雄

・江 沢

洋,『

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波 書 店,

4 量子力学 にお ける対称性

対 称性 は現 代 物 理 学 にお け る最 も基本 的 な概 念 の一 つ で あ り,数 学 的 には,群 や リー代 数 と呼 ば れ る根 源 的理 念 あ るい は こ れ ら に類 似 の代 数 的構 造 の 表現 と して普 遍 的 ・統一 的 に捉 え られ る.こ の章 で は,作 用 素 論 的 に厳 密 な仕方 で,量 子 力 学 にお け る対 称 性 の 基 本 的 な 構 造 を普 遍 的 な観 点 か ら論 述す る.

4.1 

は じめ に― 対 称 性 と は ど う い う も の か

  対 称 性 とい う と きに,多 な か ろ う か.実 際,左 が で き る.た

くの 人 が す ぐ に想 い浮 かべ るの は,左 右対 称 性 で は

右 対 称 的 な対 象 は,私

た ち の 周 囲 に難 な く見 い だ す こ と

と え ば,人 間 の 体 や 植 物 の葉 の 多 くは,そ れ ぞ れ,然 るべ き視 点

か ら眺 め れ ば,左 右 対 称 的 に見 え る.建 築 物,家

具,食 器 な ど につ い て も 同様

の こ とが 観 察 され る.左 右 対 称 性 を数 学 的 にみ た場 合,そ

れ は,あ る 種 の 空 間

的操 作 に対 す る不 変 性 と して捉 え ら れ る こ とが わ か る.た

とえ ば,2次

上 の 図 形 が左 右 対 称 で あ る とい う こ とは,あ 直 線 に関 して,そ

元平面

る基 準 と な る直 線 が あ っ て,こ の

の 図 形 を折 り重 ね た と き に,直 線 の 左 側 の 図形 の部 分 と右 側

の そ れ が ぴ っ た り重 な る とい う こ と に ほ か な ら な い.つ

ま り,こ の場 合 は,あ

る 直線 に関 す る"折 り重 ね"と い う空 間 的操 作 に関 して不 変 な図 形 を,こ の直 線 に 関 す る左 右 対 称 な 図形 とい うわ け で あ る.   い う まで もな く,"折

り重 ね"以 外 に も種々 の空 間 的操 作 が 可 能 で あ る.た

と

え ば,平 行 移 動(並 進),鏡 映,回 転 な どが あ る.こ れ らの操 作 で 不 変 に保 た れ る性 質 は,そ れ ぞ れ,並 進 対 称 性(不 変 性),鏡

映 対 称 性,回 転 対 称性 と呼 ば れ

る.こ の 観 点 を普 遍 へ と向 か って 徹 底 的 に押 し進 め て い く と,任 意 の,一 つ な

い し複 数 の空 間 的 操 作 に対 して不 変 と な る性 質 と して 一 つ の 対 称 性 を想 定 す る こ とが で き,こ れ が す な わ ち対 称 性 の 一 般 的概 念 像 に ほ か な ら ない.こ

の概 念

像 を 数 学 の 概 念 と して明 晰 に捉 え るた め に は,ま ず,対 称 性 と関 わ る空 間 的操 作 を 一 つ の 数 学 的 構 造 と して抽 象 的 ・普 遍 的 に措 定 す る必 要 が あ る.こ の よ う に して得 ら れ る根 源 的 理 念 の 一 つ が 群 と呼 ば れ る対 象 で あ る*1.対 称 性 とい う の は,普 遍 的 ・本 質 的 な い い方 をす れ ば,群 の作 用 に対 す る 不 変 性 の こ とで あ る.こ

う して,対 称 性 の 概 念 は,日 常 的 な次 元 を 超 え て,普 遍 的 な,よ

り高 次

の 次 元 へ 向 か って一 挙 に拡 大 す る.こ の 普 遍 的 な 高 み に立 つ こ とに よ り,種 々 様 々 な 個 別 的 対 称 性 を あ る絶 対 的根 源 か ら統 一 的 に俯瞰 す る こ とが 可 能 とな り, 感 覚 的 ・表 層 的 次 元 に と ど ま って い た の で は得 る こ とが で きな い,深

く美 しい

認 識 に到 達 す る こ とが で きる.も ち ろ ん,こ の 認 識 は美 しい とい うだ け で な く, 応 用 上 も強 力 で あ る*2.   で は,群

とは何 か,ま ず,そ

の定 義 を与 え よ う.

4.2 

  4.2.1 

定

定 義4.1 

集 合Gが

て,Gの

義

元g1g2を

と

群

例

群(group)で

あ る と は,Gの

対 応 さ せ る 演 算 が 定 義 さ れ,か

任 意 の 二 つ の 元g1, g2に 対 し つ 以 下 の 条 件(G.1)∼(G.3)

が 満 た さ れ る と き を い う:

  (G.1)  (結 合 法 則)(g1g2)g3=g1(g2g3),   (G.2)  (単 位 元 の 存 在)あ ge=eg=gが

∀gj∈G,j=1,2,3.

る 元e∈Gが

成 立 す る.eをGの

存 在 す る.g-1をgの

  条 件(G.1)∼(G.3)は し て,g1g(g1∈G)を

べ て のg∈Gに

対 して

単 位 元 と い う.

  (g.3)  (逆 元 の 存 在)各g∈Gに g-1∈Gが

あ っ て,す

対 し て,gg-1=g-1g=eを

み たす元

逆 元 と い う.

群 の 公 理 系 と呼 ば れ る.こ 割 り当 て る対 応 をg1の

*1  「群 」 と い う理 念 に 至 る 道 は 他 に も あ る

*2  こ こで略 述 した観 点 を初等 的 な レヴ

の 場 合,任

意 のg∈Gに

左 作 用 と い う.g1gを

.

ェ ル で詳 述 した本 と して[1]が あ る.

対

得 ることを

「gにg1を

左 か ら作 用 さ せ る,あ

り当 て る 対 応 をg1の せ る,あ

右 作 用 と い う.gg1を

(ⅰ) 群Gの

得 る こ と を 「gにg1を

割

右 か ら作 用 さ

足 的 な 注 意 を し て お こ う.

単 位 元 は た だ 一 つ で あ る.実

を 満 た す 元e'∈Gが (G.2)でg=e'と

際,別

あ っ た と す れ ば,g=eと

∀g∈G 方,

え に,e=e'.

逆 元 も た だ 一 つ で あ る.実

あ っ た とす れ ば,左 か らg-1を

にge'=e'g=g, し て,ee'=e'e=e.他

す れ ば,e'e=ee'=e'.ゆ

  (ⅱ) 各g∈Gの g'∈Gが

た,gg1を

る い は 右 か ら か け る 」 とい う.

  群 の 公 理 系 に 関 し て,補  

る い は 左 か ら か け る 」 とい う.ま

際,別

に,gg'=g'g=eと

なる

作 用 させ る こ と に よ り,g'=g-1e=g-1

を 得 る.   (ⅲ) 群Gを

定 義 す る 演 算(g1,g2)〓g1g2は,通

と 呼 ば れ る.こ g1g2=g2g1が

の 積 が 可 換 の と き,す 成 り 立 つ と き,Gを

  (ⅳ) Gが

可 換 群 の 場 合,演

呼 び,g1g2をg1+g2と の 単 位 元 は0, gの   群Gの

べ て のg1,

る い は"乗 g2∈Gに

法"

対 して

可 換 群 あ る い は ア ー ベ ル 群 と い う.

算(g1,g2)〓g1g2を

書 く場 合 が あ る.こ 逆 元 は-gと

元gとn∈INに

常,"積"あ

な わ ち,す

積 と い う 代 わ り に"和"と

の 場 合 に は,群

は 加 群 と呼 ば れ,そ

書 か れ る.

対 して

(4.1)

と記 し,そ れ ぞ れ,gのn乗,マ

イ ナ スn乗

とい う.

例4.1  任 意のベ ク トル空 間 は,そ の加 法 の演算 に関 して加群 で あ る.   群Gの

元 の個 数 をGの

位 数 とい う.位 数 が 有 限 の 群 は有 限 群 と呼 ば れ,位 数

が 無 限 の 群 は無 限 群 と呼 ば れ る.   群Gの

部 分 集 合HがGの

群 の演 算 に関 して群 で あ る と き,HをGの

群 とい う.容 易 に わ か る よ う に,HがGの は,任 意 のg, h∈Hに

対 して,gh∈Hか

例4.2  加 群 と して のIRdをd次

部分

部分群 であ るための必要 十分条件 つg-1∈Hが

成 り立 つ こ とで あ る.

元 並 進群 とい う.こ れ は無 限群 で あ る.

例4.3 

d次

GL(d,IR)と

の 実 正 則 行 列 の 全 体 は 行 列 の 積 の 演 算 に よ っ て 群 に な る.こ 書 き,実

一 般 線 形 群 と 呼 ぶ.GL(d,IR)の

は直 交行 列 はGL(d,IR)の

部 分 群 を な す.こ

れ をd次

の群 を

部 分集 合

元 直 交 群 と い う.ま

 (4.2)

た,O(d)の

部分 集合

(4.3) はO(d)の 例4.4 

部 分 群 を な す.こ

れ をd次

d次 の複 素 正 則 行 列 の 全体 も群 を なす.こ

と記 す.GL(d,IR)はGL(d,C)の 例4.5 

元 回 転 群 と い う.い ず れ も無 限 群 で あ る.

VをIK上

れ を複 素 一 般 線 形 群 と呼 び,GL(d,C)

部 分 群 で あ る.

の ベ ク トル空 間 と し(IK=IRま

用 素 の 全 体 をL(V)と

記 す.こ

の と き,V上

た はC),Vか

らVへ

の全 単射 な線 形作 用素 の全 体

は全 単射 は 作 用 素 の 積 に 関 して 群 を な す.こ 例4.6 

ヒル ベ ル ト空 間Hに

の線 形作

れ をV上

 (4.4)

の 一 般 線 形 群 とい う.

対 して,

(4.5) (H上

の 全 単 射 な有 界 線 形 作 用 素 の全 体)はGL(H)の

例4.7 

ヒル ベ ル ト空 間H上

部 分 群 を な す.

の ユ ニ タ リ作 用 素 の 全 体

(4.6) はGLB(H)の   特 に,H=CNの

部 分 群 で あ る.こ

の 無 限 群 をH上

場 合 

はN次

 とい う記 号 で 表 され る.CN上 同 一 視 す る と(以 下,こ

の ユ ニ タ リ群 と い う. 元 ユ ニ タ リ群 と 呼 ば れ,通 常,

の 線 形 作 用 素 をN次

の 同 一 視 を適 宜 用 い る),U(N)はN次

体 と同 一 視 で き る.U(N)の

の正方 行列 と

の ユ ニ タ リ行 列 の全

部分 集 合

(4.7) も部 分 群 で あ り,こ れ はN次

の 特 殊 ユ ニ タ リ群 と呼 ば れ る.

  4.2.2 

線

  HをIK上

形

リ ー 群

の ヒ ル ベ ル ト空 間 と す る と き,群GLB(H)はB(H)の

あ る の で,作

用 素 ノ ル ム で の 位 相 が 入 る.以

集 合 と し て 考 え る.Tn,T∈B(H)に

この 位 相 の 入 っ た

つ い て, 

つ と き, 

が 成 り立

と記 す .

定 義4.2 

GをGLB(H)の

部 分 群 とす る.も

な ら ば,常 い る と い い,こ

た はCdの

  群GLB(H)自

体 は,定

例4.8 

H上

例4.9 

GL(d,IK)は,こ

GL(IKd)と

に 

場 合 の 線 形 リ ー 群 をd次

明 的 にH上

下,こ

の 線 形 リ ー 群 と い う.

の 線 形 リ ー 群 で あ る.

線 形 リ ー 群 で あ る.

れ に属 す る 元 をIKd上

の 線 形 作 用 素 とみ る こ と に よ り,

同 一 視 で き る.こ の 場 合,GL(d,IK)の

こ とが で き る.以

中で 閉 じて

の 線 形 リ ー 群 と い う.

義 に よ っ て,自

の ユ ニ タ リ群U(H)は

し, 

と な る と き,GはGLB(H)の

の よ う な 部 分 群GをH上

  特 に,H=IRdま

はd次

下,GLB(H)は

部分集 合で

の 同 一 視 を 用 い る.し

の 線 形 リー 群 で あ る.GL(d,IK)の

部 分 群 はGL(IKd)の

部 分 群 とみ る

た が っ て,O(d),SO(d),U(d),SU(d)

部 分集 合

(4.8) も線 形 リ ー 群 で あ る.こ

れ をd次

の 特 殊 線 形 群 とい う.こ

れ ら の 他 に も種 々 の 線 形

リー 群 が 存 在 す る*3.

  4.2.3 

変 換 群 と対 称 性

  Xを 空 で な い集 合 と し,X上 演 算fgを 

の任 意 の2つ

の 写 像f,g:X→Xに

(合 成 写 像,i.e., 

て定 義 す る.明

らか にf9はX上

)に よっ

の 写 像 で あ る.

  X上 の 全 単 射 な写 像 の 全体 をG(X)で

表 す.次

の事 実 は基 本 的 で あ る.

命 題4.3 G(X)は

写 像 の 積 演 算 に 関 して 群 を な す.こ

の 恒 等 作 用 素IXで

あ り, 

*3  た と え ば

,[23]を

参 照.

対 して,積

の 逆 元 は,fの

の場 合,単 位 元 はX上

逆 写 像 ｆ-1で あ る.

  こ の 命 題 を 証 明 す る た め に,次 補 題4.4 

の 事 実 に 注 意 す る:

(ⅰ) 任 意 の 

  (ⅱ) 任 意 の 

に 対 し て, 

に 対 し て 

証 明   (ⅰ) fgの 単 射 性 を 示 す た め に,  こ の と き,f(g(x))=f(g(y)).こ 単 射 で あ る か ら,x=y.ゆ め に, 

れ とfの え にfgは

を 任 意 に と る.fの

gの 全 射 性 に よ り,x=g(w)と ゆ え にfgは

と し よ う. 単 射 性 に よ り,g(x)=g(y).gは

単 射 で あ る.次

に,fgの

全 射 性 に よ り,y=f(x)と な る 

が あ る.し

全 射 性 を示 す た

な る 

が あ る.

た が っ て,y=(fg)(w).

全 射 で あ る.

  (ⅱ)  こ れ は 逆 写 像 の 定 義 か ら 明 ら か.  命 題4.3の

証 明   写 像 の 積 演 算 が 結 合 法 則 を 満 た す こ と は 容 易 に わ か る.X上

の 恒 等 写 像IXは に よ り,題

■

全 単 射 で あ る か ら,G(X)の

元 で あ る.こ

れ ら の 事 実 と補 題4.4

意 が し た が う. 

  群G(X)をX上

■

の 全 変 換 群(full

transformation

  G(X)の

部 分 群 をX上

の 一 つ の 変 換 群 と い う.

例4.10 

GL(IKd)はIKd上

の 変 換 群 で あ る.し

group)と

た が っ て,そ

呼 ぶ.

の 任 意 の 部 分 群 もIKd

上 の 変 換 群 で あ る. 例4.11 

任 意 の ベ ク トル 空 間Vに

意 の 部 分 群 はV上 例4.12 

対 して,V上

の 一 般 線 形 群GL(V)お

(ロ ー レ ン ツ群,ポ

ア ン カ レ群) 

と す る.(d+1)次

間 

元 ベ ク トル 空

を 考 え,双

 

線形形式

を

に よ っ て定 義 す る.こ れ をIRd+1上

の ロ ー レン ツ内 積 ま た は ロ ー レ ン ツ計 量 とい う*4.

た だ し,こ れ は 本 来 の 意 味 で の 内 積 で は な い.実 *4  文 献 に よ っ て は

よびそ の任

の 変 換 群 で あ る.

,ミ

際,内 積 の 正 値 性 は成 立せ ず,xの

ン コ フ ス キ ー 内 積 あ る い は.ミ

関

ン コ フ ス キ ー 計 量 と い う 場 合 もあ る.

数g(d+1)(x,x)は

正 に も負 に も な り う る*5.こ

れ る.IRd+1とg(d+1)の

組(IRd+1,g(d+1))を

ク トル 空 間 とい う*6.こ

の よ うな 双 線 形 形 式 は 不 定 内積 と呼 ば 標 準 的(d+1)次

元 ミン コフス キーベ

れ は 特 殊 相 対 性 理 論 の 時 空 を定 義 す る概 念 で あ る(d+1=4

の 場 合).   IRd+1上

の 線 形 写 像Λ が ロ ー レ ン ツ計 量 を 保 存 す る と き,す

を 満 たす と き,Λ

をIRd+1上

の ロ ー レ ン ツ写 像 とい う*7.容

なわ ち

易 に わ か る よ う に,ロ ー

レ ン ツ 写 像 Λ は全 単 射 で あ る.   IRd+1上

の ロ ー レ ン ツ 写 像 の 全 体 をO(d,1)と

変 換 群 を な す.こ

の 変 換群 を(d+1)次

  任 意 のa∈IRd+1と 

に よっ て 定 義 す る.こ

表 す.こ

に 対 して,写

像 

れ を ポ ア ン カ レ写 像 とい う.ポ

す れ ば,こ れ もIRd+1上

れ は 写 像 の 積 演 算 に 関 して

元 ロ ー レ ン ツ 群 とい う.

の 変 換 群 を な す.こ

を

ア ン カ レ写 像 の全 体 をP(d,1)と

の 場 合,任 意 の 

に対 し て

が 成 り立 つ.群P(d,1)を

ポ ア ン カ レ群 と い う.

  写 像f:X→XとXの

部 分 集 合Sに

対 して

(4.9) とお く.こ れ はfの

定 義 域 をSに

制 限 して 得 られ る写 像 の像(値 域)で あ る.

  TをX上

の 変 換 群 とす る.Xの

部 分 集 合Dが

T(D)=Dを

満 た す と き,DはT-不

変 また はT-対 称 で あ る とい う.こ う して,

各 変 換 群 に 応 じて,Xの

任 意 の 

に対 して,

部 分 集 合(抽 象 的 な意 味 で の幾 何 学 的 対 象)に 関 す る対

称 性 が定 義 され る. *5  た と え ば ,x=(0,x1,…,xd)≠0と

い う ベ ク トル を 考 え る と, 

で あ り,y=(y0,0,0,…,0)(y0≠0)と とg(d+1)(y,y)>0. *6  抽 象 的 な ミ ン コ フ ス キ ー ベ ク トル 空 間 の 概 念 も あ る[5] *7  "ロ ー レ ン ツ 変 換"と

い うベ ク トル を 考 え る

.

い うの が慣 習 的 な呼 び名 で あ るが

味 で 使 う場 合 が 多 い の で,こ う言 葉 は 使 用 し な い,座

,物 理 で は,こ れ と の 混 同 を 避 け る た め,本 書 で は,ロ

標 変 換 と写 像 は 別 の 概 念 で あ る.

れ を座 標 変 換 の 意 ー レ ンツ変 換 とい

例4.13 

IRdのSO(d)-不

た と え ば,IRdの

変 な 部 分 集 合 をd次

中 の 半 径rの(d-1)次

元 の 回 転 対 称(不 変)な 図 形 と い う.

元 球 面 

は回転 対

称 で あ る. 例4.14 

IRd+1のO(d,1)-不

な 図 形 と い う.た

( 

変 な 部 分 集 合 を(d+1)次

元 の ロ ー レ ン ツ対 称(不 変)

とえば

は定 数)― 質量mの

質量 超双 曲面― はロ ー レンツ対称 で あ る.

  Xの 部 分 集 合 に 関 す る 対 称 性 は,次 に示 す よ うに,Xの

直積集合

(4.10) ―Xのn重

直 積(n=1

,2,…)―

か ら別 の 集 合 へ の 写 像 に 関 す る 対 称 性 を 誘

導 す る.   Yを Yへ

集 合 と し, 

をXnか

の 写 像 と す る.こ

の と き,任

意 の 

ら

に 対 し て,TF:Xn→Yを

(4.11) に よ っ て 定 義 す る.も ば,FはT-不 例4.15 

し,す べ て の 

変 ま た はT-対 SO(d)-不

のFは

例4.16 O(d,1)-不

元 の 回 転 対 称(不 変)な

用 い て 写 像F:IRd→IRを 

変 な 関 数 を(d+1)次

に よ っ て 定 義 す れ ば,こ

と え ば,

によっ て定

のFは

元 の ロ ー レ ン ツ対 称(不 変)な 関 数 とい う.

用 い て 写像F:  ロ ー レ ン ツ対 称 で あ る.

準 同 型 写 像 と核

  群 に 関 す る 基 本 的 概 念 を い くつ か 述 べ て お く.G,Hを G→Hが

関 数 とい う.た

回 転 対 称 で あ る.

た とえ ば,IR上 の 任 意 の 関数fを

  4.2.4 

成 り立 つ な ら

称 で あ る と い う.

変 な 関 数 をd次

[0,∞)上 の 任 意 の 関 数fを 義 す れ ば,こ

に 対 し て,TF=Fが

す べ て の 

に 対 し て, 

群 と す る.写

像 φ:

を満 たす と

き― こ の性 質 を写 像 φの 準 同 型 性 とい う―,φ 像 とい う.こ れ は,つ

中への準同型写

全射であるとき

 

準 同 型 で あ る とい う.

  全 単 射 な準 同型 写 像 φ:G→Hを   準 同型 写 像 φ:G→Hに 単 位 元)―eH∈Hの 注 意4.1  eGと

らHの

ま り,群 の 構 造 を保 存 す る よ う な写 像 の こ とで あ る.

  準 同型 写像 φ:G→Hが GはHに

をGか

同 型 写 像 とい う.

対 して, 

(eHはHの

φ に関 す る逆 像― を φ の 核(kernel)と

φ:G→Hが

準 同 型 写 像 な ら ば,φ(eG)=eHで

準 同 型 性 に よ り, 

φ(eG)=eHが

出 る).ま

い う. あ る(∵e2G=

両 辺 に左 か ら φ(eG)-1を た,任

意 のg∈Gに

か け れ ば,

対 し て, 

(∵ 

であ る

に よ る).こ

れ ら の 事 実 は,以

後,

断 り な し に 用 い られ る で あ ろ う.

命 題4.5 

φ:G→Hを

準 同 型 写 像 と す る と き,kerφ

証 明   上 の 注 意 に よ り,g-1∈kerφ,g∈kerφ.ま 対 し て, 

  4.2.5 

はGの

た,任

部 分 群 で あ る.

意 のg,h∈kerφ

に

し た が っ て, 

位

  並 進 群IRdや

相

■

群

線 形 リ ー 群 で は,点

列 の 収 束 と極 限 の 概 念 が 定 義 され て い る.こ

の よ う な 群 の 普 遍 化 を 考 え る.   Gを

群 と す る.Gが

か らGへ の 逆 元)が 例4.17 

位 相 空 間 で あ り(付 録Fを

の 写 像: 

お よ びGか

と も に 連 続 で あ る と き,Gは d次 元 並 進 群IRd,ロ

群 は位 相 群 で あ る.

参 照),直 らGへ

積 位 相 空 間G×G の 写 像: 

位 相 群 と呼 ば れ る.

ー レ ンツ 群O(d,1),ポ

ア ン カ レ群P(d,1),線

形 リー

4.3  量子 力学 にお ける対 称性 の原 理 的構 造

  4.3.1 

対 称

性

変 換

  前 著[8]の3章,3.1節 空 間Hの

で 定 式 化 し た よ う に,量

射 影 空 間 

子 系 の 状 態 は,ヒ の元

こ れ を 射 線 と 呼 ん だ― に よ っ て 表 さ れ る.二 率 は 

―

つ の 状 態[Ψ],[Φ]の

で 与 え ら れ た([8],p.255).こ

≪[Ψ],[Φ]≫

ルベル ト

間の遷 移確

こ で は,こ

の量 を

と記 す:

(4.12) 状 態 間の 遷 移 確 率 を保 存 す る よ う な,P(H)上

の写 像 は量 子 系 の基 本 的 な 対 称 性

を表 す もの とみ る こ とが で き る.そ こで,そ の よ う な写 像 に名 前 をつ け て お く: 定 義4.6 

全 単 射 な 写 像T:P(H)→P(H)で,す

べ て の 

に

対 して

(4.13) を 満 た す も の をP(H)上

の 対 称 性 変 換(symmetry

  P(H)上

の 対 称 性 変 換 の 全 体 をSym(H)と

  "群=対

称 性"と

transformation)と

呼 ぶ.

記 す.

い う 理 念 に し た が え ば,次

の 事 実 は,対

称 性 変 換 と い う命 名

の 妥 当 性 を 支 持 す る:

命 題4.7 

Sym(H)はP(H)上

の 変 換 群 で あ る.

証 明   Sym(H)⊂G(P(H))(4.2.3項 合)で

あ る か ら,任

を 示 せ ば よ い.だ

  Hの

に お け るG(X)に

意 のT1,T2,T∈Sym(H)に が,こ

お い てX=P(H)の

対 して,T1T2,T-1∈Sym(H)

れ は 容 易 で あ る. 

■

零 で な い 二 つ の ベ ク トル Ψ,Φ が 同 じ 射 線 に 属 す る と き,Ψ

こ と は[8]の3章,3.1節 な ら ば 

で 述 べ た.H上

場

の 写 像F:H→Hに

が 成 り立 つ と き,Fを

∼ Φ と記 す

つ い て,「 Ψ ∼ Φ

同 値 性 保 存 写 像 と 呼 ぶ.

  F:H→Hが

同 値 性 保 存 写 像 な らば,各 射 線[Ψ]に 対 して,射 線[F(Ψ)]は

[Ψ]の代 表 元 の選 び 方 に よ らず に一 つ 定 まる か ら,P(H)上

の 写 像Fを

(4.14) に よっ て 定 義 で きる.FをFの

誘 導 写像 と呼 ぶ.

  容 易 に わ か る よ う に,F:H→Hが 件 は,各 

同値 性 保 存 写 像 で あ る た め の 必 要 十 分 条

と各 

 

に 対 して, 

が あ っ て,

が 成 り立 つ こ とで あ る.

  した が っ て,特

に,H全

体 を定 義 域 とす る線 形 作 用 素 お よび 反 線 形 写 像 は 同

値 性 保 存 写 像 で あ る.   次 の事 実 は容 易 に証 明 さ れ る(演 習 問題1): 命 題4.8 

Fが

ユ ニ タ リ また は 反 ユ ニ タ リ な らば,Fは

な わ ち 

対 称 性 変 換 で あ る.す

.

  逆 に次 の 事 実 が 成 り立 つ: 定理4.9 

(ウ ィ グ ナ ー-バ ー グ マ ン(Bargmann)の

Sym(H)に

対 して,H上

定 理)各 対 称 性 変 換T∈

のユ ニ タ リ また は反 ユ ニ タ リな作 用 素Uが

あって

(4.15) と 表 さ れ る.こ ち,別

の よ う な 作 用 素Uは

にT=Wと

満 た す 定 数 θ ∈[0,2π)が

す べ て ユ ニ タ リで あ る か,す

証 明   任 意 の 

Ψ ご と に 一 つ 選 ぶ.す

る と,対 応 

表 さ れ る.こ

ィ グ ナ ー の 定 理([8]のp.318)に 写 像θF:H→IRが れ は 

に,(4.15)を

と な る 

写 像 を定 義 し,し か も,遷 移 確 率 を保 存 す る.Tの

な 作 用 素Uと

あ る.特

あっ 満 た

べ て 反 ユ ニ タ リ で あ る か の ど ち ら か で あ る.

に 対 し て, 

よ う な ベ ク トル ΨTを

し た が っ て,ウ

なわ

な る ユ ニ タ リ ま た は 反 ユ ニ タ リ な 作 用 素W:H→Hが

た とす れ ば,U=eiθWを すUは

指 数 因 子 を 除 い て 一 意 的 に 定 ま る.す

全 射 性 に よ り,Fは

が あ る.こ

の

はH上

の

全 射 で あ る.

よ り,ユ ニ タ リ ま た は 反 ユ ニ タ リ

存 在 して,  を 意 味 す る.し

と た が っ て,T=U.

  次 に,U=Wと

し よ う(Wは

ユ ニ タ リ ま た は 反 ユ ニ タ リ).こ

で あ る か ら,  が あ る.U,Wの

 

ユ ニ タ リ 性 ま た は 反 ユ ニ タ リ性 に よ り,￨aΨ￨=1.し

っ て, 

が た だ 一 つ 存 在 し て, 

 

る こ と に よ り,θ(Ψ1)=θ(Ψ2)が 考 え る と,U,Wは

線 形 独 立)を

え に, 考 え

導 か れ る.  と も に ユ ニ タ リ で あ る か,と

る か の ど ち ら か で あ り,か つ θ(Φ)=θ(α  

たが

と 書 け る.ゆ

こ の 式 で,Ψ=Ψ1+Ψ2(Ψ1,Ψ2∈Hは

は 任 意)を

の と き, 

を満 た す 複 素 数

も に 反 ユ ニ タ リで あ

Φ)が 示 さ れ る.し

た が っ て,θ(Ψ)は

に よ ら な い 定 数 で あ る. 

  4.3.2 

射

影

表

■

現

  量 子 系 にお い て,空 間 的 ま た は 時 間 的 な"操 作"あ る い は他 の何 らか の"操 作 "を 記 述 す る群Gが 与 え られ た と し よう(た とえ ば ,IRdの 原 点 に関 す る回 転 で あ れ ば,G=SO(IRd)). の空 間P(H)に

Gの 各元gに

よ って 記 述 され る操 作 に対 応 して,状 態

お け る変 換― ρ(g)と 書 こ う― が 誘 導 され る と想 定 す るの は物 理

的 にみ て 自 然 で あ る.こ の 場 合,  群 に な っ て お り,し か もGの

が 対 称 性 変 換 群Sym(H)の

部分

群 構 造 を保 存 す る もの で あ る な らば,こ れ に よっ

て,ρ は,当 該 の量 子 系 の,群Gに

関 す る対 称 性 を記 述 す る も の とみ なせ る で

あ ろ う.こ う して,次 の 定 義 に達 す る: 定 義4.10 

Gを

群 とす る.写

をGのP(H)に

  Gを

像 

お け る 射 影 表 現(projective

群 と し, 

よ っ て,各gに

representation)と

を 射 影 表 現 と し よ う.こ

対 し て,ユ

あ っ て,ρ(g)=π(g)と

い う.

の と き,定

理4.9に

ニ タ リ ま た は 反 ユ ニ タ リ な 作 用 素 π(g):H→Hが

書 け る.も

タ リ(反 ユ ニ タ リ)で あ る と き,ρ こ の 場 合,射

が 準 同 型 写 像 で あ る と き,ρ

し,す

べ て のg∈Gに

対 し て,π(g)が

を 射 影 ユ ニ タ リ(反 ユ ニ タ リ)表 現 と い う*8.

影 表 現 ρ は ユ ニ タ リ(反 ユ ニ タ リ)で あ る,と

い う.

  そ の 射 影 表 現 が 常 に ユ ニ タ リ と な る よ う な 群 の ク ラ ス を 導 入 し よ う: *8  括弧 は括 弧 に対 応 させ て読 む .

ユニ

定 義4.11 

群Gの

と き,Gは

各 元gに

対 し て,元h∈Gが

表 される

平 方 的 で あ る と い う.

定 理4.12 

平 方 的 な 群Gの

射 影 表 現 は す べ て ユ ニ タ リで あ る.

証 明   ρ をGの

射 影 表 現 とす る.仮

と 表 さ れ る.準

同 型 性 に よ り, 

ρ(g)=π(g).し

た が っ て,定 あ る.再

リ で あ る.し

た が っ て,π(h)2は

例4.18 

並 進 群IRdは あ る.し

例4.19 

び,定

理4.9に

た が っ て,IRdの

よ り, 

方,

を満たす定 数

よ り,π(h)は

ユ ニ タ リ で あ る.ゆ

ユ ニ タ リで あ る か 反 ユ ニ タ え に,題

際,任 意 のx∈IRdに

意 が 成 立 す る. ■

対 して,x=(x/2)+

任 意 の 射 影 表 現 は ユ ニ タ リ で あ る.

対 して,d次

元 回 転 群SO(d)は

平 方 的 で あ る.し

たが っ

任 意 の 射 影 表 現 は ユ ニ タ リ で あ る.

証 明   まず,Aを (tAはAの

が 成 り 立 つ.他

平 方 的 で あ る.実

任 意 のd∈INに

て,SO(d)の

定 に よ り,各g∈Gはg=h2(h∈G)

理4.9に

θ ∈[0,2π)が

(x/2)で

あ っ て,g=h2と

任 意 のd次

の 実 交 代 行 列,i.e.,

tA=-Aを

転 置 行 列 を表 す)と す る と き,eA∈SO(d)で

形 代 数 学 で よ く知 られ て い る よ う に,各T∈SO(d)に p,r∈IN(p+2r=d)お

と 表 さ れ る(た

満 た すd次

あ る こ と に 注 意 す る*9.線 対 し て,直

よ び 定 数 

と え ば,[17, p.178]).こ

の実 行 列

交 行 列Pと

定数

が あ って

こ で,Ipはp次

の単位 行列

(4.16)

と お け ば,R(θ)=eθJと

*9  正 方 行 列Aに 問 題19ま

対 して

書 け る.そ

,eA:=Σ∞n=0An/n!.[7]の1章

た は[5]の9章

演 習 問 題17を

参 照.

こで

演 習 問 題31,

[2]の2章

演習

とす れ ば,P-1TP=eY.し る.任

た が っ て,X=PYP-1と

意 の 実 数t∈IRに

た が っ て,こ

対 して,tXは

あ り,T=h2が

任 意 のN∈INに

が っ て,U(N)の

対 して,N次

元 ユ ニ タ リ群U(N)は

平 方 的 で あ る.し

意 の ユ ニ タ リ行 列U∈U(N)に

た

対

対 角 行 列 

があ っ

て, 

と表 さ れ る([17]の

§5,p.167の

て,X=W-1DWと

お け ば,U=eiXと

書 け る.そ

例 4.21 

■

任 意 の 射 影 表 現 は ユ ニ タ リで あ る.

ニ タ リ行 列Wと

h∈U(N)で

こ で,h=eX/2

成 立 す る. 

証 明  線 形 代 数 学 で よ く知 ら れ て い る よ う に,任 し て,ユ

表 され

実 交 代 行 列) .し

の 証 明 の は じめ に述 べ た 事 実 に よ り,etX∈SO(d).そ

と お け ば,h∈SO(d)で 例 4.20 

お け ば,T=eXと

実 交 代 行 列 で あ る(∵Yは

あ り,U=h2が

定 理7の

応 用) .し

こ で,h=eiX/2と

たが っ お け ば,

成 り立 つ*10. 

2次 の 複 素 特 殊 線 形 群SL(2,C)は

■ 平 方 的 で あ る.し

た が っ て,SL(2,C)

の 任 意 の 射 影 表 現 はユ ニ タ リ で あ る. 証 明   A∈SL(2,C)と り,2次

の 正 則 行 列Pが

α ≠0,β

る.結

∈Cは

形 代 数 学 の 一 般 論(ジ

ョ ル ダ ン標準 形 の 理 論)に

あ っ て, 

定 数 で あ る.右

が 成 立 す る.た

辺がeYに

等 し い よ う な 

X=0)で

書 け る. 

(∵

あ る か ら,B∈SL(2,C).よ

っ て,題

意 が成 立

す る. 

例  4.22 

だ し,

し た が っ て,

お け ば,A=B2,B:=eX/2と

ト レ ー ス を 表 し,Tr

よ

を求 め

果 は 次 の よ う に な る: 

X=P-1YPと Trは

す る.線

■

ロ ー レ ン ツ 群O(d,1)の

Λμνと 記 す(μ,ν=0,1,…,d).η 1,…,d),ημν=0,μ

≠ν

任 意 の 元Λ

を 行 列 表 示 で 考 え,そ

を(d+1)次

の 対 角 行 列 で,η00=1,ηjj=-1(j=

を 満 た す も の と す る.こ

の と き,任

の(μ,ν)成

分 を

意 のx,y∈IRd+1に

対 して

(4.17) *10 AがN次

の エ ル ミー ト行 列 な ら ば

,eiA∈U(N).

と書 け る(〈･,･〉IRd+1はIRd+1の

標 準 内 積).こ

の 事 実 を 用 い る と,(d+1)次

の正

方 行 列 Λ が ロ ー レ ンツ 写 像 で あ る た め に は

(4.18) が 必 要 十 分 で あ る こ とが わ か る.   Λ ∈O(d,1)と 得 る.し

し よ う.(4.18)の

両 辺 の 行 列 式 を と る こ と に よ り, 

を

たが っ て または

ま た,(4.18)の る.し

両 辺 の(0,0)成

 (4.19)

分 を 考 え る と 

が わ か

た が っ て,

また は そ こ で,detΛ

 (4.20)

の 符 号 と Λ00の 値 域 に 応 じて,ロ

合 に 分 け る こ とが で き る.そ

ー レ ンツ 群O(d,1)を

四 つの部 分 集

の一 つ

(4.21) はO(d,1)の group)と

部 分 群 を な す(演 習 問 題2).こ

れ を 固有 ロ ー レ ン ツ 群(proper

Lorentz

呼 ぶ.

  d+1=4の 定 理4.13 

場 合 を 考 え よ う.こ

の 場 合,次

の事 実 が あ る:

準 同 型 写 像 φ: 

で 次 の 性 質(ⅰ)∼(ⅲ)を

の が あ る:(ⅰ)φ は 全 射 で あ る.(ⅱ)各  と な るA∈SL(2,C)が

  こ こ で は,紙   定 理4.13に

た だ 一 つ 存 在 す る.(ⅲ)kerφ={±I2}.

数 の 都 合 上,こ よ っ て,任

が あ る.例4.21に

満 たす も

に 対 し て,φ(A)=φ(-A)=Λ

の 定 理 の 証 明 は 割 愛 す る*11.

意 の 

に 対 し て,Λ=φ(A)と

よ り,A=B2と

準 同 型 性 に よ り,T:=φ(B)と た が っ て, 

な るB∈SL(2,C)が お け ば, 

は 平 方 的 で あ る.ゆ

な る.A∈SL(2,C)

とれ る.し

た が っ て,φ の

で あ り,Λ=T2と え に, 

書 け る.し

の 任 意 の 射 影 表 現 はユ ニ タ

リで あ る.

注 意4.2  る.こ

線 形 リ ー 群 の 概 念 の 普 遍 化 と し て,リ

れ は,大

*11 た と え ば

ざ っ ぱ に い え ば,可

,[23]のⅣ

通 読 す る 上 で は,定

ー群 な る 群 の ク ラ ス が存 在 す

微 分 多 様 体 の 構 造 が 入 る 群 で あ り,群

章 の §2あ る い は[4]の11章,11-1-2項 理4.13を

認 め て 先 に 進 ん で も 問 題 は な い.

を 参 照.だ

が,本

の演

書 を

算 と逆 元 を 対 応 さ せ る 演 算 が 連 続 で あ る よ う な 群 の こ とで あ る*12.一 な リ ー 群 は 平 方 的 で あ り,し 示 さ れ る.こ

た が っ て,そ

の 一 般 的 事 実 を使 え ば,任

般 に 連結

の 射 影 表 現 は ユ ニ タ リで あ る こ と が

意 のd∈INに

対 して,の

射

影 表 現 は ユ ニ タ リ で あ る こ とが 証 明 さ れ る.

  4.3.3    Gを

ユ ニ タ リ 表 現

群 と し,ρ:G→Sym(H)を

よ う に,各g∈Gに

射 影 表 現 と す る.こ

対 し て,ρ(g)=π(g)と

ニ タ リ な 作 用 素π(g)を

一 つ 選 ぶ こ とが で き る.誘

こ と に よ り,π(g)π(h)=π(g)π(h), よ び 定 理4.9に 数 ω(g,h)が

な る,H上

よ っ て,Gの

g, h∈Gが

の と き,す

の ユ ニ タ リ ま た は反 ユ

導 写 像 の 定 義 に戻 っ て考 え る

わ か る.こ

任 意 の 元 の 対(g,h)に

で に述 べ た

れ と ρの準 同型 性 お

対 し て,絶

対 値 が1の

複素

あ って

と 表 さ れ る.群

演 算 の 結 合 則 を 用 い る と,す

べ て のf,g,h∈Gに

対 して

π(f)が ユ ニ タ リ の と き π(f)が 反 ユ ニ タ リ の と き が 示 さ れ る.一 が,そ

般 に は,ω(g,h)を

の よ う な 場 合 も あ り う る.そ

定 義4.14 

写 像 π:G→u(H)が

ユ ニ タ リ表 現 と い う .こ

命 題4.15 

π がGのH上

て, 

の 場 合,Hを

な る よ う に 選 べ る と は 限 ら な い.だ

こ で,次

の 定 義 を 設 け る:

準 同 型 写 像 で あ る と き,π

を,GのH上

の

表 現 空 間 と い う.

で の ユ ニ タ リ 表 現 で あ る と き,任

意 のg∈Gに

対 し

が 成 り立 つ.

証 明   π の 準 同 型 性 に よ り,  の ユ ニ タ リ 性 に よ り, 

*12  た と え ば

常 に1と

,[14]のⅣ

(注 意4.1を

参 照).他

した が っ て,π(g-1)=π(g)*. 

章 を参 照.

方,π(g) ■

  Gが

位 相 群 の 場 合 の ユ ニ タ リ表 現 に は 連 続 性 の 概 念 が 伴 い う る.そ

表 現 の ク ラ ス を 定 義 す る た め に,こ

こ で,位

の よ うな

相 空 間 か ら ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 有

界 線 形 作 用 素 の 空 間 へ の 写 像 の 連 続 性 の 概 念 を 定 義 して お く.

定 義4.16 

Xを

位 相 空 間,Hを

界 線 形 作 用 素 の 全 体)へ  

(ⅰ) 各 Ψ ∈Hに

ヒ ル ベ ル ト空 間,TをXか

対 し て,Xか

らHへ

の 写 像: 

ノ ル ム に よ る 通 常 の 位 相)で

continuous)で

あ る と い う.す

と に,任

の有

の 写 像 と す る.

の 強 位 相(Hの

Ψ ∈Hご

らB(H)(H上

な わ ち,Tが

意 の ε>0に

がH

連 続 の と き,Tは

強 連 続(strongly

強 連 続 で あ る と は,各x∈Xと

対 し て, 

がx

の 近 傍 を 含 む こ と で あ る*13.  

(ⅱ) 任 意 の Ψ, Φ ∈Hに

連 続 で あ る と き,Tは

定 義4.17 

位 相 群Gの

が 強 連 続 で あ る と き,π

注 意4.3 

対 して,X上

弱 連 続(weakly

の 複 素 数 値 関 数:  continuous)で

ヒ ル ベ ル ト空 間Hに

が

あ る と い う.

お け る ユ ニ タ リ 表 現 π:G→u(H)

を 強 連 続 ユ ニ タ リ 表 現 と呼 ぶ.

文 献 に よ っ て,"位

相 群 の ユ ニ タ リ表 現"と

い う 言 葉 に よ っ て,強

連

続 性 も 含 め て い る 場 合 が あ る. 例4.23 

ヒル ベ ル ト空 間H上

の 強 連 続1パ

ラ メ ー タ ー ユ ニ タ リ群 は,1次

元 並進 群

IRの 強 連 続 ユ ニ タ リ表 現 で あ る.

  強 連 続 ユ ニ タ リ表 現 の 別 の 例 は 次 の 項 で み る こ と に し て,ユ

ニ タ リ表 現 の 強

連 続 性 を 判 定 す る た め の 命 題 を 証 明 し よ う.

命 題4.18 

Xを

位 相 空 間,uをXか

らu(H)へ

の 弱 連 続 な 写 像 と す れ ば,uは

強 連 続 で あ る.

*13 点 列 収 束 で い えば て, 

, 

の と き,す べ て の Ψ ∈Hに 対 し が 成 り立 つ とい うこ と.た だ し,一 般 の 位 相空 間の

場 合 に は,点 列 収 束 に対 してい まの 条件 を満 た して も,強 連 続 で あ る とは い え な い.し か し,本 書 を通 読 す る上 で は,点 列収 束 の 場 合 を念 頭 に おい て い ただ け れ ば十 分 で あ る.

証 明   Ψ ∈Hとx∈Xを

任 意 に と る.u(･)の

ユ ニ タ リ性 に よ り,任

意 のy∈X

に 対 して

と評 価 で き る.一

方,仮

が 存 在 し て,y∈Uε

定 に よ り,任

意 の ε>0に

命 題4.19 

が 成 り立 つ. ゆ え にuは

Xを

位 相 空 間,uをXか し,任

証 明   命 題4.18に

らu(H)へ

意 の Ψ,Φ ∈Dに

が 連 続 で あ る な ら ば,uは

の 写 像,DをHの

対 して,X上

稠密 な部分

の 関 数: 

強 連 続 で あ る.

よ っ て,uの

弱 連 続 性 を 示 せ ば よ い.任

対 し て, 

と お く.Dの   と な る Ψn,Φn∈Dが  と す れ ば,シ

意 の Ψ,Φ ∈Hに

稠 密 性 に よ り,

あ る.そ

こ で,

ュ ヴ ァ ル ツ の 不 等 式 に よ り,   任 意 の ε>0に

対 し て,番

 な ら ば, 

号n0が

が 成 立 す る.し  さ て,x∈Xを

のy∈Xに

対 して,

関 数Fn0は

連 続 で あ る か ら,任  と な る 近 傍Vε

 

強 連 続 で あ る.  ■

も う少 し使 い や す い 形 に し て お こ う:

空 間 と す る.も

 ε>0は

近 傍Uε ,Ψ⊂X

,Ψ な ら ば 

し た が っ て, 

  命 題4.18を

対 し て,xの

意 の ε>0に が あ る.し

が 成 立 す る.ゆ 任 意 で あ っ た か ら,こ

あ っ て, た が っ て,

任 意 に 固 定 す る.任

意

対 し て,

た が っ て,任

意 のy∈Vε

に 対 し て,

え に,

れ は,Fが

点xで

連 続 で あ る こ と を 意 味 す る. ■

  4.3.4 

保 測 変 換 と ユ ニ タ リ表 現

  (X,B,μ)を

σ 有 限 な 測 度 空 間 と す る.写

意 のB∈Bに

対 し て, 

う.φ

が 全 単 射 で,φ

像 φ:X→Xが

可 測 で あ る と は,任 が 成 り立 つ こ と を い

お よ び 逆 写 像 φ-1が

と も に 可 測 で あ る な ら ば,φ

は両 可

測 で あ る と い う.   可 測 な 写 像 φ:X→Xが 満 た す と き,φ

す べ て のB∈Bに

は 保 測(measure

対 し て,μ(B)=μ(φ-1(B))を

preserving)で

あ る と い う.こ

の 場 合,μ

は φ

に 関 し て 不 変 な 測 度 あ る い は 単 に φ-不変 測 度 で あ る と い う.   両 可 測 な 保 測 写 像 を 保 測 変 換 と呼 ぶ*14.

命 題4.20 

φ:X→Xが

証 明  f:=φ-1(φ

保 測 変 換 な ら ば,φ-1も

の 逆 写 像)の

保 測 性 を 示 せ ば よ い.こ

に 対 して, 

あ る か ら,φ の 保 測 性 に よ り,   ゆ え にfは

例4.24 IRd上

おけ し た が っ て,

保 測 で あ る. 

■

の 任 意 の 直 交 変 換T∈O(d)は,(IRd,

ベ ー グ 測 度)上

て,X上

の と き,任 意 のB∈B

が 成 り立 つ.C=φ(B)と

ば,B=φ-1(C)で

命 題4.21 

保 測 変 換 で あ る.

Bd, μdL)(μdLはIRd上

のル

の 保 測 変 換 で あ る(ル ベ ー グ測 度 の 基 本 的 性 質 の 一つ) .

φ:X→XをX上

の 関 数U(φ)Ψ

の 保 測 変 換 と す る.X上

の可 測 関 数 Ψ に対 し

を

(4.22) に よ っ て 定 義 す る.こ

証 明   ま ず,任  

意 のA1,…,An∈Bか

(xAはAの

とφ-1の

の と き,U(φ)はL2(X,dμ))上

保 測 性(命

ら つ く ら れ る 単 関 数(階

定義 関数 題4.20)を

αj∈Cは

意味 で 用 い る.

定 数)に

段 関 数)f=

対 し て,積

分 の定 義

用 い る こ と に よ り,

 を 示 す こ と が で き る.次 *14 もっ と一般 には

の ユ ニ タ リ作 用 素 で あ る.

に,非

負 の 可 積 分 関 数fに

対 して

,保 測 な写 像 を保 測 変換 とい う場合 が あ る.本 書 で は,こ こ で定 義 した

は,こ

れ を 単 関 数 の 単 調 増 加 列 で 近 似 で き る の で,や

意 の 可 積 分 関 数fに と す れ ば,f±

は 非 負 の 可 積 分 関 数 で あ り,f=f+-f-と

す れ ば, 

は 可 積 分 関 数 で あ る か ら,(*)に

こ と が わ か る.し

た が っ て,U(φ)は

で あ る か ら,U(φ)は

書 け る の で,U(φ)

成 り 立 つ.

∈L2(X,dμ)と

と 書 け る.Ψ*Φ

成 り立 つ.任

対 して, 

の 線 形 性 に よ り,(*)が   さ て,Ψ,Φ

は り(*)が

内 積 を 保 存 す る.さ

全 射 で あ る.ゆ

  容 易 に わ か る よ う に,X上

よ り,右

え に,U(φ)は

辺 は 〈 Ψ,Φ 〉に 等 し い ら にU(φ)U(φ-1)=I

ユ ニ タ リ で あ る. 

■

の 保 測 変 換 す べ て か らな る集 合

(4.23) は 群 を な す.こ X上

の 群 を(X,B,μ)上

の 全 保 測 変 換 群 と い う.GMP(X)の

部分群 を

の 保 測 変 換 群 と 呼 ぶ.

系4.22 

GをX上

φ〓U(φ),φ

の 保 測 変 換 群 とす る.こ

∈GはGのL2(X,dμ)上

証 明   前 命 題 に よ り,Uの

の と き,対 応U:G→u(L2(X,dμ));U:

で の ユ ニ タ リ表 現 を 与 え る.

準 同 型 性 を だ け を み れ ば よ い が,こ

れ は容 易 で あ る. ■

例4.25 ν

∈INと

す る.任

意 のa∈IRν

に対 して,写

像Ta:IRν

→IRν

を

(4.24) に よ っ て 定 義 す る.こ (IRν,Bν,μνL)上

れ をベ ク トルaに

よ る並 進 ま た は平 行 移 動 とい う.写 像Taが

の 保 測 変 換 で あ る こ とは 容 易 に わ か る*15.し

た が っ て,L2(IRν)

上 の 写 像T(a)を

に よ っ て 定 義 す れ ば,T(・)は 数T(a)fを

関数fの,ベ

並 進 群IRν のL2(IRν)に

ク トルaに

*15 ル ベ ー グ 測 度 の 並 進 不 変 性 を 使 う .

お け る ユ ニ タ リ表 現 に な る.関

よ る 並 進 ま た は平 行 移 動 と い う.

  ユ ニ タ リ表 現Tの

強 連 続 性 を 示 そ う.そ

C∞0(IRν)と す れ ば,K:=supp

の た め に,命 題4.19を

応 用 す る.g,f∈

gは 有 界 閉 集 合 で あ り,

 この 右 辺 にル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 を応 用 す る こ とに よ り,関 数:  の 連 続 性 が 示 され る.C∞0(IRν)はL2(IRν)で Tは

稠 密 で あ る か ら,命 題4.19に

よ っ て,

強 連 続 で あ る.

  Tの す る:

強 連 続 性 の 含 意 の 一つ を み よ う. 

上 に 証 明 した 事 実 に よ り,任 意 のt∈IRに

と お く と,{Tj(t)}t∈IRは

強 連 続1パ

を ベ ク トル 空 間IRν の 標 準 基 底 と

対 して

ラ メ ー タ ー ユ ニ タ リ 群 で あ る.し

た が っ て,ス

トー ン の 定 理 に よ り

を 満 た す 自 己 共 役 作 用 素Ljが

た だ一つ 存 在 す る.任

意 の 

に 対 して,

(4.25) を 示 す の は 難 し くな い*16.し はC∞0(IRν)を

た が っ て,f∈D(Lj)で

不 変 に して い る の で, 

等 式 

が 成 り立 つ.こ

運 動 量 作 用 素 のj成

分 で あ る.よ

あ り, 

はLjの こで,pjは

芯 で あ る.ゆ

え に,作

用素 の

シュ レーデ ィンガー表現 にお け る

って

(4.26) こ う して,運

動 量 作 用 素pjの(-1)倍

は,ν 次 元 並 進 群 の ユ ニ タ リ表 現Tの

第j座

標 の 並 進 の 生 成 子 で あ る こ とが わ か る.   任 意 のa∈IRν

*16 K

 

=supp fと

は 

お け ば,Kは

と書 け る の で

有 界 で あ り 

とす れ ば

 右 辺 の 積 分 の被 積 分 関 数 をFt(x)と す れ ば,  かつ したが っ て,ル ベ ー グの優 収 束 定 理 に よ り,(4.25)が 得 られ る.

が 成 り立 つ.一

方,pjとpkは

強 可換 で あ ったか ら

(4.27) と な る.た

だ し, 

で あ り,apはapの

閉 包― これ は 自 己 共 役― を

表 す. 例4.26 

d次 元 直 交群O(d)は(IRd,

Bd, μdL)上 の 保 測 変 換 群 で あ る.ル

の 直 交 変 換 不 変 性 に よ り,φ をO(d)の U:O(d)→u(L2(IRd))はO(d)の 続 で あ る.こ

元 と し て,(4.22)に

ユ ニ タ リ表 現 を与 え る.し

れ に 対 す る証 明 の 方 法 は,例4.25の

例4.27 IRd上

ベ ーグ測度

よっ て定 義 され る対応 か も,こ の 表 現 は 強 連

そ れ と 同 様 で あ る(演 習 問 題3).

の 空 間 反 転Iは

(4.28) に よ っ て 定 義 さ れ る.集

合

(4.29) は位 数2の

群 で あ る.こ

れ を空 間 反 転 群 と 呼 ぼ う,こ れ はO(d)の

は保 測 変 換 で あ るの で,φ をGspの

元 と して,(4.22)に

部 分 群 で あ る.I

よ って 定 義 され る 作 用 素U(φ)

は 空 間 反 転 群 の ユ ニ タ リ表 現 を 与 え る.   容 易 に わ か る よ う に,U(I)は

自己 共 役 で も あ る.ユ

ニ タ リ作 用 素 の ス ペ ク トル は

複 素 平 面 の 単 位 円 周 内 に含 ま れ,自 己 共 役 作 用 素 の ス ペ ク トル は 実 数 の 部 分 集 合 で あ る か ら, 

で な け れ ば な ら な い.一

方, 

で あ る.し

た

が って

(4.30) を得 る.ゆ

え に, 

と直 和 分 解 で きる.量 の 状 態,  例4.28 

をU(I)の

固 有 値 ±1に 属 す る 固 有 空 間 とす れ ば

子 力 学 に お い て は, 

の 元 を パ リテ ィ が 負(ま SNをN次

よ う.σ ∈SNに

の 対 称 群(す な わ ち,N文 対 し て,IRdのN個

の 元 を パ リ テ ィ が 正(ま

た は偶)

た は 奇)の 状 態 とい う. 字 の 置 換 全 体 か ら な る 置 換 群)と

の 直 積IRdN=IRd×

…

×IRd上

し

の変換 σが

(xj∈IRd,j=1,…,N)に 変 換 で あ り,対

よ っ て 定 義 さ れ る.こ

応 σ → δ はSNの,IRdN上

れ は(IRdN,BdN,μLdN)上

で の 表 現 に な っ て い る.し

の保 測 たが って

(4.31) とす れ ば,SNはIRdNの 定 義 さ れ るU(σ)を

保 測 変 換群 で あ る.ゆ あ ら た め てU(σ)と

  す べ て の σ ∈SNに る と い い,ま

た,す

の 関 数 ψ は 反 対 称 で あ る とい う.こ [8]の4章,4.1節

書 け ば,こ れ はSNの

対 して,U(σ)ψ=ψ べ て の σ ∈SNに

え に,φ=δ

と し て(4.22)に

よって

ユ ニ タ リ表 現 を与 え る.

を 満 た す,IRdN上

の関数 ψ は対 称で あ

対 して,U(σ)ψ=ε(σ)ψ

を 満 た す,IRdN上

こ で ε(σ)は置 換 σ の 符 号 を 表 す.こ

れ は,前 著

に 現 れ た,対 称 状 態 関 数 あ る い は 反 対 称 状 態 関 数 の 表 現 論 的 特 徴 付

け を 与 え る.

 4.3.5 

回 転 群 の 強連 続 ユ ニ タ リ表 現 と一 般 軌 道 角 運 動 量

 d次 元 回転 群SO(d)の

強 連 続 ユ ニ タ リ表 現 の あ る一 般 的 構 造 にふ れ て お く.

Hを 複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,UをSO(d)の,Hに

お け る任 意 の強 連 続 ユ ニ タ

リ表 現 とす る.   1〓j-E0(H)と (**)に

よ っ て,-E∈

よ っ て,次 て,ハ

i.e., E0(H)〓0.

な るE∈

σ(H).だ

σ(H)が

が,-E<E0(H)で

の 興 味 深 い 結 論 に 到 達 す る:時

あ る.す

な 構 成 法 に つ い て は,演

あ る か ら,こ

  先 に 進 む 前 に,こ

こ で,群

び,

れ は 矛 盾).

間 反 転 は反 ユ ニ タ

間 反 転 を 記 述 す る 反 ユ ニ タ リ作 用 素 の 具 体 的

習 問 題8を

4.4 

る と,再

上

間 反 転-時 間 並 進 群 の 射 影 表 現 に お い

ミル トニ ア ン が 非 有 界 か つ 下 に 有 界 で あ る な ら ば,時

リ 作 用 素 に よ っ て 記 述 さ れ る.時

Hは

参 照.

一 般 の 表 現

の ユ ニ タ リ 表 現 を そ の 一 分 節 と し て 含 む,一

般の

表 現 の 概 念 に つ い て 簡 単 に ふ れ て お こ う.

  4.4.1 

定

  IK=IRま る.Gか

義 た はCと

らV上

(〓,V)を 群GのV上 (IK=C)の

群,V≠{0}をIK上

実 表 現(複

こ の 場 合,も

し,す

い う*18.〓

が 単 射 で あ る と き,

い う.

場 合 に は,（〓,H)をGの

べ て のg∈Gに

組

表 現 空 間 と い う*17.IK=IR

素 表 現)と

忠 実 で あ る(faithful)と

ヒ ル ベ ル ト空 間Hの

の ベ ク トル 空 間 と す

の 準 同 型 写 像〓 と ベ ク トル 空 間Vの

で の 表 現 と い い,VをGの

場 合(〓,V)を

表 現(〓,V)は   Vが

す る.Gを

の 一 般 線 形 群GL(V)へ

ヒル ベ ル ト空 間 表 現 と い う.

対 し て,〓(g)∈B(H)な

ら ば,表

現(〓,H)

を 有 界 表 現 と呼 ぶ.

注 意4.4 

dimV0は

プ ラ シ ア ン を 表 す.次 定 理4.45 

Vが

定 数 で あ り,Δxnは

変 数xn∈IRdに

関す る ラ

の 定 理 も 容 易 に 証 明 さ れ る.

置 換 対 称 で あ り,HNは 

自 己 共 役 で あ る と し よ う.こ

の と き,HNは

上 で 本 質的 に 置 換 対 称 で あ る.

4.7  対 称 性 と保 存 則

  4.7.1    Hを

一

般

的

構

造

ヒ ル ベ ル ト空 間H上

し,(U,H)を

そ のG-対

ン を 表 す と し よ う.作

の 自 己 共 役 作 用 素 で群Gに

称 性 の 表 現 と す る.い

進 群 や 回 転 群 の 場 合 の よ う に,連

と え ば,H上

トー ン の 定 理 に よ り,一

対 し て,

保 存 量 で あ る*22.と

続 パ ラ メ ー ター で 定 義 され

成 子 と 呼 ば れ る,い

さ れ る こ と が 知 ら れ て い る(た

は,そ

量 子 系 の ハ ミ ル トニ ア

成 り立 つ の で,U(g)は

る 位 相 群 の 場 合 に は,U(g)は,生

群 は,ス

ま,Hは

称 な もの と

用 素 解 析 の ユ ニ タ リ 共 変性 に よ り,各g∈Gに   ,∀t∈IRが

こ ろ で,Gが,並

関 し てG-対

くつ か の 作 用 素 か ら 構 成

の 強 連 続1パ

ラ メ ー ター ユ ニ タ リ

つ の 自 己 共 役 作 用 素 に よ っ て 生 成 さ れ る).で

の よ う な 作 用 素 も保 存 量 に な る で あ ろ う か.

  簡 単 の た め,こ

こ で は,Gの

元gが

い くつ か の 実 パ ラ メ ー タ ーt1,…,tnの

よ っ て 定 義 さ れ,自 己 共 役 作 用 素Aj,j=1,2,…,nが に 対 して,tj=0の

組 に

存 在 し て,各j=1,…,n

近傍 で

(4.45) と 表 さ れ る 場 合 を 考 え よ う*23. *22 以 後

,保 存 量 の概 念 を 自己共 役作 用 素 以 外 に も拡 大 して 使 う.す なわ ち,任 意 のt∈IR に対 して,eitHAe-itH=Aを 満 たす作 用 素 はハ ミル トニ ア ンHに 関 して保 存 量 で あ る と定 義 す る. *23 詳 細 は割 愛 す るが ,線 形 リー 群 の よ う な場 合,こ の形 に帰 着 で きる.

定 理4.46 

H,G,Uを

上 述 の よ う な も の と す る.こ

の と き,各Ajは

保存量で

あ る.

証 明   (4.45)を

満 た す よ う なtjを

べ て のs∈IRに

対 して, 

任 意 の ベ ク トル と し,tj=0で か つ 

と る.こ

の と き,HのU(g)-不

.こ の 式 で,Ψ

れ は 

辺 も 右 辺 も 自 己 共 役 で あ る か ら, 

て,Ajは

保 存 量 で あ る. 

例4.35 

(T,L2(IRν)を

この と き,L2(IRν)上

例4.25に

お い て 定 義 さ れ た,強

連 続 ユ ニ タ リ表 現 と す る. に よ っ て 定 義 す る.た

己 共 役 作 用 素-iDjと-iDkは

変 で あ る こ と も容 易 に わ か る.し

の 生 成 子 た ち,す な わ ち,運 動 量p1,…,pν この 事 実 は,Hとpjの

たが っ ■

は 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る([8]の 補 題4.15-(ⅱ)の に 対 して,T(a)-不

.し

の線 形 作 用 素Hを 

し,λjは 実 定 数 で あ る*24.自

をD(Aj)の

の 強 微 分 を 考 察 す る こ と に よ り,  で あ る こ と が 導 か れ る.こ

を 意 味 す る.左

変 性 に よ り,す

はHに

強 可 換 性 に 注 目 す れ ば,た

応 用)*25.さ

だ

強 可 換 で あ る か ら,H ら に,Hが,a∈IRν

た が っ て,定 理4.46に

よ り,T(a)

関 す る 保 存 量 で あ る.も だ ち に わ か る.こ

ち ろ ん,

こで は,こ

の事

実 を 対 称 性 の 観 点 か らみ た わ け で あ る.

4.8  回転 対称 性 と軌 道 角運 動 量 作用 素 の保 存

  前 節 の 定 理 を軌 道 角 運動 量 作 用 素 に応 用 し よ う.d〓2を 元 の 軌 道 角運 動 量 は,CCRの

自然 数 とす る.d次

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー表 現 に お い て

(4.46) (4.47) を満 た す 作 用 素 の 組(Mjk)j

,k=1,…,dに よ っ て 定 義 され る.Mjkを

量(の 成 分)作 用 素 あ る い は単 に成 分 とい う.た だ し,xjは か け 算 作 用素(位 置 作 用 素),pj:=-iDjは *24  た と え ば

軌道 角運動

座 標 変 数xjに

運動 量 作 用 素 で あ る.

,H=D21-D22-…-D2ν(ν 次 元 の ダ ラ ン ベ ー ル シ ャ ン). *25  フ ー リ エ 解 析 を 用 い て 直 接 的 に も 証 明 で き る .

よる

  4.3.5項

に お け る 一 般 論 を い ま の 場 合 に 応 用 す れ ば,

(4.48) を 満 た す,L2(IRd)上 C∞0(IRd)を

の 自 己 共 役 作 用 素Ljkが

不 変 に す る の で,C∞0(IRd)はLjkの

に 対 し て 

た だ 一 つ 存 在 す る.Vjk(θ)は 芯 で あ り,任 意 の ψ ∈C∞0(IRd) .が

に,す べ て の φ ∈C∞0(IRd)に

成 り立 つ.し

た が っ て,特

対 して .た

だ し

平 均 値 の 定 理 に よ り, 

であ

り, 

.よ っ て,ル

ベ ー

グ の 優 収 束 定 理 に よ り.  を 得 る.し

た が っ て, 

意 味 す る.こ

定 理4.47 

.こ

う し て,次

れ は, 

を

の 事 実 が 証 明 さ れ た こ と に な る.

各j,k=1,…d,j≠kに

対 し て,MjkはC∞0(IRd)上

で本質的 に

自己 共 役 で あ り

(4.49) が 成 り立 つ.

  式(4.49)は,軌

道 角 運 動 量 作 用 素Mjkが,xj-xk平

転 群 の 生 成 子 の(-1)倍   定 理4.47と 系4.48 

で あ る こ とを示 して い る.

定 理4.46か

HをL2(IRd)上

j,k=1,…d,j≠kに

面 の 回 転 に対 応 す る 回

ら次 の 結 果 が 得 られ る: の 回 転 対 称 な ハ ミ ル トニ ア ン とす る.こ

対 し て,軌

道 角 運 動 量 作 用 素MjkはHに

の と き,各 関 して 保 存

量 で あ る. 例4.36  る と す る.

H=-Δ,HV.た

だ し,Vは

回 転 対 称 で,HVは

本 質的 に 自 己 共 役 で あ

4.9  軌 道 角 運 動 量 の 固有 空 間 に よ る直和 分 解(I)―2次

  例4.3.6と

命 題4.37に

よ り,回

転 対 称 な シ ュ レ ー デ ィ ン ガー 型 作 用 素 は軌 道

角 運 動 量 の 固 有 空 間 へ 簡 約 さ れ る.こ の 節 で は2次

  4.9.1 

元 空 間の 場 合

の 構 造 を 具 体 的 に 見 て み た い.ま

ず,こ

元 空 間 の 場 合 を 考 え る.

L2(IR2)の

  2次 元 空 間IR2の

直和分解 点 を(x,y)(x,y∈IR)と

運 動 量 は,L2(IR2)で

表 す.2次

元 空 間 に お け る軌 道 角

働 く作 用 素

(4.50) で 与 え ら れ る.た

だ し,Dx,

作 用 素 で あ る(x, yに

θ ∈IRに

そ れ ぞ れ,x, yに

関 す る一 般 化 され た偏 微 分

よ る か け 算 作 用 素 を ふ た た びx, yと

た よ う に,MはC∞0(IR2)上 で 表 す.各

Dyは

記 す).す

で 本 質的 に 自 己 共 役 で あ る.そ

で に証 明 し

の 閉 包 も 同 じ記 号

対 して

(4.51) とお け ば,2次

元回転群 は

(4.52) と表 され

(4.53) が 成 り立 つ.   定 理4.23に

よ っ て,σ(M)=σp(M)⊂〓

の ス ペ ク ト ル を 完 全 に 決 定 した い.そ

は す で に わ か っ て い る.こ の た め に 極 座 標(r,θ)(r>0,θ

こ で は,M ∈[0,2π))

を 用 い る:

(4.54)

極 座 標 へ の 移 行 に は,あ

る ユ ニ タ リ変 換 が 伴 う こ と を 示 そ う.

  正 の 実 数 空 間IR+:=(0,∞)と

区 間[0,2π)の

直積 空間

(4.55) に は 直 積 測 度dμ:=rdr  れ る*26.以

後,便

dθ が は い る の で,ヒ ル ベ ル ト空 間L2(E,dμ)が

宜 上,L2(E,dμ)の

に よ っ て,IR+×IRに

考 えら

関 数 ψ の 定 義 域 を,ψ(r,θ)=ψ(r,θ+2π)

拡 張 し て お く.写

像P:L2(IR2)→L2(E,dμ)を

(4.56) に よ っ て 定 義 す れ ば,Pが   L2([0,2π])上

ユ ニ タ リ で あ る こ と は 容 易 に わ か る.

の 作 用 素pθ を 次 の よ う に 定 義 す る:

(4.57) (4.58) た だ し,AC2[0,2π]は[0,2π]上

の 絶 対 連 続 関 数fでf'∈L2([0,2π])を

も の の 全 体 で あ る*27.[7]の2.3.8項

で 証 明 し た よ う に,pθ

満たす

は自 己 共 役 で あ り

(4.59) が 成 り立 つ.こ の 場 合,各 固 有 値l∈〓

の 多重 度 は1で

あ り,こ れ に 属 す る 規

格 化 さ れ た 固 有 ベ ク トル は

(4.60) で 与 え ら れ る.   以 下,自

然 な 同 一 視(同

用 い る*28.こ 作 用 素Bに

型) 

の 場 合,L2(IR+,rdr)上 対 し て,A 

*26 任 意 の ボ レ ル 集 合B⊂IR

I, I  Bを +,C⊂[0,2π)に

はCの ル ベ ー グ 測 度 を 表 す. *27 [7]のp.147を 参照 . *28 [8]の4 .1.3項 を 参 照.

を 自由 に の 閉 作 用 素Aお そ れ ぞ れ,A,Bと

よ びL2([0,2π])上 表 す.

対 し て,μ(B×C)=(∫Brdr)￨C￨.￨C￨

の閉

  任 意 のψ∈C∞0(IR2)に

対 し て,Pψ

∈D(pθ)で

あ りpθPψ=PMψ

が成 り

立 つ こ と は合 成 関 数 の 微 分 法 に よ り,容 易 に わか る.C∞0(IR2)はMの

芯 であ

り,pθ は 自己 共 役 で あ る か ら,作 用 素 の 等 式

(4.61) が 結 論 さ れ る.し

た が っ て,ス

ペ ク トル の ユ ニ タ リ不 変 性 に よ り,次

の定理 を

得 る.

定 理4.49

(4.62) 各l∈〓

に対 して

(4.63) 証 明   (4.63)だ

け 証 明 す れ ば よ い.ψ

し た が っ て,a.e.rに 立 つ.Pψ

対 し て 定 数f(r)が

∈L2(E,dμ)で

ψ=P-1f 

∈ker(M-l)と

す れ ば,pθPψ=lPψ.

あ っ て,(Pψ)(r,・)=f(r)φlが

あ る か ら,f∈L2(IR+,rdr)で

あ る.し

成 り た が っ て,

φl.

  逆 に ψ=P-1f  か ら,(4.61)に

φl(f∈L2(IR+,rdr))と よ り,ψ

∈D(M)で

す れ ば,Pψ

あ り,Mψ=lψ

∈D(pθ)で

が 成 り立 つ.す

ある

な わ ち,

ψ ∈ker(M-l). 

  [7]の 例1.20で を な す.し ψ(r,θ)は

■

み た よ う に,{φl}l∈〓 はL2([0,2π])の

た が っ て,任

意 の ψ ∈L2(E,

θの 関 数 と し てL2([0,2π])に

完 全 正 規 直 交 系(CONS)

dμ)に 対 して,a.e.rを

固 定 す る ご とに

属す るので

(4.64) と 表 さ れ る(L2([0,2π])に

お け る 強 収 束).た

だ し

(4.65)

  ベ ッセ ル の不 等 式 の応 用 に よ り,任 意 の 自然 数Lに   が 成 り立 つ こ とが わ か る.こ (4.64)はL2(E,dμ)の

対 して,

れ と ル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 に よ り,

強 収 束 の 意 味 で も 収 束 す る こ と が わ か る.ゆ

えに

(4.66) とす れ ば

(4.67) が 成 り立 つ(Hlが

で あ る.し

閉 部 分 空 間 で あ る こ と は 容 易 に わ か る).(4.63)に

よ り

た が って

(4.68) と無 限 直 和 分 解 で き た こ とに な る.

  4.9.2 

ラ プ ラ シ ア ンの 直 和 分 解

 一 般 化 さ れ た2次

元 ラプラシア ン

(4.69) は,定

理4.42に

和 分 解(4.68)に

よ り,SO(2)-対 応 じ て,直

称 で あ る か ら,命

題4.37に

和 分 解 さ れ る.(4.61)か

ユ ニ タ リ表 現 の 生 成 子Mは,L2(E,dμ)上

よ り,L2(IR2)の

ら わ か る よ う に,SO(2)の

の ほ う が 簡 潔 な 形 を も つ.ラ

ア ン に つ い て も 同 様 の こ と が 期 待 さ れ る.L2(E,dμ)上

直

プラシ

で の ラプラシアン

(4.70) は,定

義 域 をPD(Δ)と

し て,L2(E,dμ)で

自 己 共 役 で あ る.命

題4.37を

い ま

の 場 合 に応 用 す れ ば

(4.71)

と直 和 分 解 され る.た だ し,Δ(l)r,θ はΔr ,θのHlに

お け る 部 分 で あ る.こ の作 用

素 の具 体 的 な表 示 を適 当 な部 分 空 間上 で 求 め て み よ う.   次 の記 法 を導 入 す る:

ψ∈C∞0(IR2)と しよ う.容 易 に確 か め られ る関 係 式

を用 い る と

が 導 か れ る.こ れ か ら

と な る こ と が わ か る.し

たがって

(4.72)   IR+上

の 関 数fが

次 の 条 件(ⅰ)∼(ⅲ)を

満 た す と き,fは

空 間D0に

属 す ると

い う:   (ⅰ) f∈L2(IR+,rdr).   (ⅱ) (0,∞)上

で2回

連 続 微 分 可 能 でlimr→0f(r)が

存 在 し,limr→0rf'(r)=

0.

  (ⅲ)  す べ て のl∈〓 f∈D0と

に 対 して, 

し

(4.73)

と す る.こ

の と き,任

意 のψ∈C∞0(IR2)に

を 得 る.PC∞0(IR2)はΔr,θ

対 して,部

分積分 に よ り

の 芯 で あ る か ら,ψ(l)f∈D(Δr,θ)か

つ

(4.74) が 成 り立 つ.し

た が って

(4.75) とお け ば

(4.76) 上

 (4.77)

と な る こ と が わ か っ た.

  4.9.3 

シ ュ レーデ ィ ン ガ ー型 作 用 素 の 直和 分 解

  V:IR2→IRを

回 転 対 称 な ポ テ ン シ ャ ル と し よ う.こ

け の 関 数 で あ る の で,V=V(r)と

書 く こ と に す る.シ

用 素HV:=-Δ+VはD(Δ)∩D(V)上 そ の 閉 包 も 同 じ記 号HVで

れ は 

だ

ュ レー デ ィ ンガ ー 型 作

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る と仮 定 し, 表 す.こ

の と き,定

称 で あ る の で,HVは

直 和 分 解(4.68)に

換PHVP-1のHlに

お け る 簡 約 部 分 をH(l)Vと

理4.43に

よ っ て,HVは

応 じ て 分 解 さ れ る.HVの

回転 対 ユ ニ タ リ変

し

(4.78) と お く.こ

の と き,上

の議 論 か ら

(4.79) 上

 (4.80)

が 成 り立 つ こ と が わ か る.こ

う し て,ハ

れ は 自 然 な 仕 方 でL2(IR+,rdr)上 (radial

part)と

ミ ル トニ ア ンHVの

解 析 はHlV―

の 作 用 素 と み る こ と が で き,HVの

動径 部 分

呼 ば れ る― の 解 析 の 問 題 に 帰 着 さ れ る.

4.10  軌 道 角運 動量 の固 有空 間 に よる直和 分解(Ⅱ)―3次

  4.10.1 

こ

元 空 間 の場合

3次 元 空 間 にお け る軌 道 角 運 動 量 の成 分 の 変 換性

  3次 元 空 間 に お い て は,独 立 な 軌 道 角 運 動 量 の成 分 は3個 で あ り,そ れ らは, 符 号 の 不 定 性 を除 い て,次 の 作 用 素 に よ って 与 え られ る(4.8節

を参 照):

(4.81) こ れ らの 作 用 素 の組

(4.82) を― こ れ 自 体 は 作 用 素 で は な い が― 便 宜 上,3次 い う こ と に す る.こ と考 え ら れ る.有

れ は,そ

元 の(量

子)軌

道角運動量 と

の 成 分 が 線 形 作 用 素 で あ る よ うな ベ ク トル の一 種

限 次 元 空 間 の ベ ク トル の 成 分 の 変 換 に 対 応 す る あ る 概 念 を導

入 す る:

定 義4.50 

d∈INと

(A1,…,Ad)が

す る.L2(IRd)上

の 線 形 作 用 素A1,…,Adの

回 転 に 関 して ユ ニ タ リ装 備 的 で あ る(unitary

は,す べ て のg∈SO(d)とψ∈∩dj=1D(Aj)に

組A=

implementable)と

対 し て,Urot(g)-1Ψ∈∩dj=1D(Aj)

であ って

(4.83) が 成 り立 つ と き を い う.

注 意4.6  IRdの

v:IRd→IRd;IRd∋x〓v(x)∈IRdをIRd上

の ベ ク トル 場 と し,

標 準 基 底ej=(0,…,0,1,0,…,0)(j=1,…,d)に

関 す る成 分 表 示

を(υj(x))dj=1と

す る: 

とす れ ば,(ej)dj=1はIRdの

こ の と き,  基 底 で あ り,こ

の 基 底 に 関 す るv(x)の

第j成

分 を

υj(x)と す れ ば  成 り立 つ.こ

が

の 構 造 と の ア ナ ロ ジ ー か らい え ば,(4.83)の

標 系 の 回 転 に 伴 う,"作 こ れ が,回 (4.83)の

用 素 成 分"A1,…,Adの

右 辺 は,IRdの

直 交座

変 換 を 表 す も の と解 釈 さ れ る.

転 群 の ユ ニ タ リ表 現 に よ るユ ニ タ リ変 換 で 与 え られ る とい う の が式 意 味 で あ る.

  回 転 に 関 し て ユ ニ タ リ装 備 的 な 作 用 素 の 組 の 基 本 的 な 例 に つ い て は 演 習 問 題 4を み よ.   軌 道 角 運 動 量Lは

定 理4.51 

回 転 に 関 して ユ ニ タ リ装 備 的 で あ る こ と を 証 明 し よ う:

す べ て のg∈SO(3)に

対 し て,作

用素 の等式

(4.84) が 成 り立 つ.こ

こ で,右

辺 は,作

証 明   ま ず,(4.84)がC∞0(IR3)上 Urotと

用 素 

で 成 立 す る こ と を 示 す.証

記 す.ψ∈C∞0(IR3),θ∈IR＼{0}と

も の と し,U1(θ):=U(R23(θ))と

の 閉 包 を 表 す.

す る.Rjk(θ)を4.8節

お く.こ

の と き,U1(θ)=e-iθL1で

した が っ て

ただ し

と こ ろ で,R23(-θ)=I+K(θ)と

明 を 通 して,U=

書 け る.た

だ し

で 定 義 した あ り

し た が っ て,Kg(θ):=gK(θ)g-1と と な る.こ

お け ば,gR23(-θ)g-1x=x+Kg(θ)(x)

こ で

に注意す れば

と な る.し

た が っ て,L2(IR3)収

と な る こ と が わ か る.ゆ

束の意味で

えに

が 得 ら れ る.と

こ ろ でgj=(g1j,g2j,g3j)と

g2×g3の

分 は 

第j成

し,εjkl(j,k,l=1,2,3)は

す れ ば,g2とg3の

ベ ク トル 積 と書 け る.た

だ

次 の よ う に 定 義 さ れ る 数 で あ る(反 対 称 シ ン ボ ル ま

た は レ ビ ・チ ビ タ シ ン ボ ル と 呼 ば れ る):

(j,k,l)が(1,2,3)の

偶 置換 の とき

(j,k,l)が(1,2,3)の

奇 置 換 の と き

(4.85)

その 他 の場 合 した が っ て

(4.86)

と な る.gが る.つ

直 交 行 列 で あ る こ と は〈gj,gk〉=δjk 

ま り,{gj}3j=1はIR3の

正 規 直 交 基 底 を な す.こ

し て,〈gk,g2×g3〉=0と

な る こ と,お

い る と,g2×g3=g1と tg=g-1を

,(4.84)でj=1と

同値 で あ

の 事 実 とk=2,3に

よ び〈g1,g2×g3〉=det

な る こ と が わ か る.こ

使 えば

(j,k=1,2,3)と

対

g=1を

用

れ を(4.86)の

右 辺 に 代 入 し,

し た 場 合 をC∞0(IR3)上

に制 限 した 関 係

式 が 得 ら れ る.  

C∞0(IR3)はL1の 芯 で あ る か ら,任 意 の ψ ∈D(L1)に

L1ψ(n→

∞)と

な るψn∈C∞0(IR3)が

対 して,ψn→

とれ る.φn:=U(g)ψnと

ψ,L1ψn→ す れ ば,φn∈

C∞0(IR3)で あ り上 に 示 し た 事 実 に よ り,  は,n→

∞ の と き,U(g)L1ψ

左辺

に収 束 す る.他

っ て, 

方,φn→U(g)ψ(n→

∞).し

たが

を 意 味 す る.右

辺 は

か つ 

が 結 論 さ れ る.こ

れ は 

対 称 作 用 素 で あ り,左 す る.j=2,3の

  4.10.2 

辺 は 自 己 共 役 で あ る か ら,(4.84)でj=1の

場 合が成立

場 合 も 同 様 に して 証 明 さ れ る. 

■

軌 道 角 運 動 量 の2乗

 軌 道 角 運 動 量 の2乗

は

(4.87) に よ っ て 定 義 さ れ る 非 負 対 称 作 用 素 で あ る(C∞0(IR3)⊂D(L2)に L2￨C∞0(IR3)の フ リ ー ド リ ク ス 拡 大 をΛ

と す る(2.8.5項

Λ は 非 負 自 己 共 役 作 用 素 で あ り,C∞0(IR3)はΛ1/2の

定 理4.52 

任 意 のg∈SO(3)に

Λ はSO(3)-対

証 明 

証 明 を 通 し て,U(g)=Urot(g)と

,Λ

を 参 照).し

た が っ て,

芯 で あ る*29.

はUrot(g)-不

変 で あ る.す

な わ ち,

称 性 を も つ.

U(g)はC∞0(IR3)を

*29 実 は

対 し て,Λ

注 意).

不 変 に す る.定

はC∞0(IR3)上

る 読 者 は,た

お く.任 理4.51に

意 のg∈SO(3)に

よ っ て,任

意のψ,φ∈C∞0(IR3)

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る こ とが 証 明 で き る.証

と え ば,[19]のp.61,

Lemma

2.20を

対 し て,

参 照 さ れ た い.

明 に興 味 の あ

に 対 し て(Lj=U(g)-1[U(g)LjU(g)-1]U(g)と

変 形 で き る こ と に 注 意)

そ こ で, 

に 注 意 す れ ば,最

〈ψ,U(g)-1ΛU(g)φ〉

に 等 し い こ と が わ か る.し

〈Λ1/2U(g)ψ,Λ1/2U(g)φ〉.C∞0(IR3)は 任 意 の ψ ∈D(Λ1/2)に

D(Λ)の

た が っ て,〈 Λ1/2ψ,Λ1/2φ〉=

Λ1/2の 芯 で あ る か ら,極 限 理 論 に よ り,

対 し て,U(g)ψ

〈Λ1/2U(g)ψ,Λ1/2U(g)φ〉,ψ,φ

∈D(Λ1/2)で

∈D(Λ1/2)で

あ り,〈 Λ1/2ψ,Λ1/2φ〉=

あ る こ と が 示 さ れ る.U(g)φ

場 合 を考 え る こ と に よ り,U(g)-1ΛU(g)⊂

で あ る か ら,そ れ ら は 一 致 し な け れ ば な ら な い.す よ っ て,題

後 の 式 は

Λ が 出 る.両

∈

辺 と も自己 共役

な わ ち,U(g)-1ΛU(g)=Λ.

意 が 成 立 す る. 

系4.53 

■

各Lj(j=1,2,3)と

証 明   e-iθLj(θ

∈IR)はUrot(g)の

e-iθLjΛeiθLj=Λ.こ

  4.10.3 

Λ の

Λ は 強 可 換 で あ る.

れ はLjと

固

有

特 殊 な 値 で あ る か ら,定

理4.52に

よ り,

Λ の 強 可 換 性 を 意 味 す る. 

■

値

  系4.53に よ っ て,軌 道 角 運 動 量 の2乗 Λ と,Lj(j=1,2,3)の うち の任 意 の 一つ は同時固有空間 をもちうる .こ の こ と を 念 頭 に お い て Λ の 固 有 値 を 求 め よ う.結

(r>0,φ

果 的 に 言 え ば,2次

元 空 間 の 場 合 と 同 様,こ

の 場 合 も3次

元極座 標系

∈[0,2π),θ ∈([0,π])に 移 る と 便 利 で あ る こ と が わ か る*30.直

積集合

に は 直 積 測 度dν:=r2dr 

sinθdθ  dφ が 入 る.し

た が っ て,ヒ

L2(Ω,dν)が

座 標 変 換 に 対 応 し て,ユ

ニ タ リ 変 換T:L2(IR3)→

考 え ら れ る.極

*30 物 理 描 像 的 な 理 由 は ,軌 道 角 運動 量 の2乗

の 回転 対 称性 に あ る.

ル ベ ル ト空 間

L2(Ω,dν)が

(4.88) に よ っ て 定 義 さ れ る.   2次

元 の 軌 道 角 運 動 量Mの

L2(IR+,rdr) 

場 合 と 同 様 に し て― 自 然 な 同 型L2(Ω,dν)=

L2([0,π],sinθdθ) 

L2([0,2π],dφ)を

用 い る と簡単 ―

(4.89) を証 明 す る こ とが で きる.し た が って

(4.90) で あ り,L3の

固 有 値m∈〓

に属 す る固 有 関 数 はF(r,θ)exp(imφ)と

与 え られ る.た だ し,Fは 

い う形 で

とい う条 件 を満

た す 関 数 で あ る.   合 成 関 数 の微 分 法 に よ り,任 意 のf∈C∞0(IR3)に

を 示 す こ と が で き る.こ

れ ら の 表 示 式 と(4.89)を

や 長 い 計 算 を 行 う こ と に よ り,任

意 のf∈C∞0(IR3)に

対 して

用 い て,初

等 的 で あ る が,や

対 して

(4.91) (4.92) が 成 り立 つ こ とが わ か る.作 用 素 Λ の形 をみ れ ば わ か る よ うに,そ の 固有 関 数 は変 数 分 離 法 に よ っ て求 め られ る こ とが 予 想 され よ う.実 際,fを 数 とし

とす れ ば

θだ け の 関

で あ る か ら,Λ の 固 有 ベ ク トル方 程 式

(λ ∈IR)は

(4.93) と い う 形 を と る.x=cosθ, f(θ)=F(x)と

す れ ば,こ

の方程式 は

(4.94) と書 か れ る.こ れ は級 数 展 開の 方法 で 解 くこ とが で きる*31.特 か つlが 非 負 の 整 数 の 場 合 を考 え る と,(4.94)は て,ル

に,λ=l(l+1)

古 典 的 な微 分 方 程 式 論 に お い

ジ ャ ン ドル の 陪 多 項 式 の 満 た す 微 分 方 程 式 と して知 られ て い る方 程 式 に

ほ か な らな い.ル

ジ ャ ン ドルの 陪 多 項 式 とい うの は

(4.95) に よ っ て 定 義 さ れ る 多 項 式 で あ る.こ こ で,右 辺 の 関 数Pl(x)は

ル ジ ャ ン ドル

の 名 で 呼 ば れ るl次 の 多 項 式 で

(4.96) と い う形 を も ち,ル

ジ ャ ン ドル の 微 分 方 程 式

(4.97) を 満 た す*32.し ￨m￨>lな

た が っ て,(4.93)の

ら ばPml=0で

一 つ の 解 はf(θ)=Pml(cosθ)で

あ る.

あ る こ と に 注 意 し よ う.

  次 の 式 を 証 明 す る こ と が で き る(証

明 は 難 し く な い)*33:

(4.98) *31 た と え ば *32 [7]の1章 *33 [13]の2章

,[13]の2章

を 参 照.

,演 習 問 題7を ま た は[12]のp

参 照.詳 .136を

し く は,[13]の2章 参 照.

ま た は[12]のp.57を

み よ.

し た が っ て,特

にPml(cosθ)はL2([0,π],sinθdθ)の

Pml(cosθ)とPml'(cosθ)は

直 交 す る.関

元 で あ り,l≠l'な

ら ば,

数

(4.99) お よ び そ の1次 結 合 はl次 の 球 関 数 と呼 ば れ る.関 数 系

はL2([0,π]×[0,2π],sinθdθ dφ)に こ と が で き る*34.し

た が っ て,任

L2([0,π]×[0,2π],sinθdθ 

お い て完 全 直 交 系 で あ る こ とを 証 明 す る 意 の ψ〓L2(Ω,dν)とa.e.r>0に

対 し て,

dφ)の 収 束 の 意 味 で

(4.100) と 展 開 さ れ る.こ に よ り,任

こ で,展

意 のL〓INに

開 係 数al, m(r)に

ッセ ル の 不 等 式 の 応 用

対 して

が 成 り立 つ こ と が わ か る.こ L2(Ω,dν)に

つ い て は,ベ

れ と ル ベ ー グ の 優 収 束 定 理 に よ り,(4.100)は,

お け る 収 束 の 意 味 で も成 立 す る こ と が わ か る.し

た が っ て,L2(Ω,dν)

の 部 分 空 間Klを

(4.101) に よ っ て定 義 す れ ば,こ れ は 閉部 分 空 間で あ り

(4.102) *34 た とえ ば ,[23]の5章 §2を 参 照.い まは,こ の事 実 を認 め て,こ の項 の 終 わ りま で読 み進 んだ ほ うが全 体 の 流 れ を把 握 しや す い で あ ろ う.

と直 和 分 解 さ れ る.し た が って

(4.103) が 成 り立 つ.   関 数 系yに Dy:=L(y)を

よ っ て 生 成 さ れ る,L2([0,π]×[0,2π],sinθdθ dφ)の 定 義 域 と す る 線 形 作 用 素RΛ

部分 空間

を

(4.104) に よ って 定 義 す る.関 数 系yの 閉包 も同 じ記 号RΛ

完 全 性 に よ り,RΛ

は対 称 作 用 素 で あ る.そ の

で表 す.こ の と き

(4.105) (4.106) dimMl=2l+1で

あ る か ら,RΛ

の 固 有 値l(l+1)は(2l+1)重

に縮 退 して

い る.   さ て,W:L2(Ω,dν)→L2(IR+,r2dr) 

L2([0,π]×[0,2π],sinθdθ 

dφ)を

自然 な 同 型 と す れ ば

(4.107) が 成 り立 つ.し 2.9.6項

た が っ てWTAT-1W-1⊃I 

の 事 実 に よ っ て,RΛ

はL2(IR+,r2dr) 

Dy上

はDy上

RΛ￨L2(IR+,r2dr) 

Dy.

[7]の

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る か ら,I 

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ る.し

RΛ

た が っ て作 用 素 の 等 式

(4.108) が 成 り立 つ.こ

れ と テ ン ソ ル 積 の ス ペ ク トル の 理 論 に よ り,次 の 定 理 が 得 ら れ る:

定 理 4.54

(4.109) であり

(4.110)

 軌 道 角 運 動 量 の 大 き さは

(4.111) に よ っ て定 義 され る.上 の 定理 とス ペ ク トル写 像 定 理 に よ り

(4.112) ￨L￨の 固 有 値    (4.89)に T-1Klに

を 特 徴 づ け る 非 負 整 数lを

よ っ て,閉

部 分 空 間T-1Klはe-itL3の

お け る 簡 約 部 分 は(2l+1)個

こ と が わ か る.こ

  4.10.4 

軌 道 角 運 動 量 の 量 子 数 と い う. 不 変 部 分 空 間 で あ り,L3の

の 固 有 値m=-l, -l+1,

…, lを

もつ

れ を 軌 道 角 運 動 量 の 方 向 量 子 化 と い う*35.

シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー型 作 用 素 の 簡 約

  こ の 項 で は 次 の 仮 定 の も と で 考 察 す る: 仮 定:ポ

テ ン シ ャ ルV:IR3→IRは

回 転 対 称 で あ る と し,シ

ガ ー 型 作 用 素HV:=-Δ+VはD(Δ)∩D(V)上

ュ レー デ ィ ン

で本 質 的 に 自己共 役 で

あ る と す る(そ の 閉 包 も 同 じ記 号 で 表 す).

補 題4.55 

HVとΛ

は 強 可 換 で あ る.

証 明   す で に み た よ う に,任 た が っ て,す

意 のt〓IRに

べ て のf,g〓C∞0(IR3)に

が 成 り 立 つ.C∞0(IR3)はΛ1/2の 式 は,す D(Λ1/2)が

べ て のf,g〓D(Λ1/2)へ わ か る).す

eitHVΛe-itHΛ.こ *35 軌 道 角 運 動 量 の 第

対 し て,eitHVLje-itHV=Lj.し

対 して

芯 で あ っ た か ら,極

限 議 論 に よ り,こ

と 拡 張 さ れ る(同

時 にe-itHVD(Λ1/2)⊂

る とΛ ⊂eitHVΛe-itHVが

れ は,Λ 一成 分L

とHVの 1,第

導 か れ る.し

た が っ て,Λ=

強 可 換 性 を 意 味 す る. 

二 成 分L2に

の等

つ い て も 同 様 の こ と が 示 さ れ る.

■

さて

(4.113) と お け ば,補 る の で,そ

題4.55に のKlに

よ り,HVは,直

和 分 解(4.102)に

お け る 部 分 をH(l)Vと

応 じて 直 和 分 解 さ れ

す る.

とす れ ば

(4.114) とな る.こ

う して,HVの

解析 は,L2(IR+,r2dr)上

の 作 用 素HlVの

解 析 に還 元

さ れ る.

4.11 

  4.11.1 

リー 代 数 的 構 造 と対 称 性

リー代 数 とそ の 表 現

  こ れ まで は,群 の 表 現 と い う観 点 か ら,量 子 系 にお け る対 称 性 の構 造 に関 す る 基 本 的側 面 を み て きた.こ

こで,前 節 まで の 議 論 を注 意 深 く振 り返 っ て 眺 め

る と,連 続 群(位 相 群)の ユ ニ タ リ表 現 の場 合,表 現 の特 性 は,最 終 的 に は,そ の 表 現 の生 成 子― た とえ ば,回 転 群 の ユ ニ タ リ表 現 の 場 合 に は,軌 道 角 運 動 量 で あ り,空 間 並 進 群IRdの

場 合 に は,運 動 量,時 間並 進 群 の場 合 に は,ハ ミル ト

ニ ア ン― の そ れ に帰 着 さ れ る こ とが わ か る .ゆ え に,こ の 場 合 に は,対 称 性 の 現 出 にあ た っ て,生

成子 の 集 合 が よ り基 本 的 で あ る と考 え られ る.そ こ で,も

し生 成 子 の集 合 が 何 らか の 普 遍 的 な代 数 的構 造 を有 す る な ら ば.む 代 数 的 構 造 の ほ う を,群

よ り も高 い 位 階 に あ っ て,よ

しろ,こ の

り深 い 次 元 か ら対 称 性 を

統 制 して い る基 本 的 理 念 の 一 つ とみ なす こ とが で き よ う.実 際 にそ の よ うな代 数 的構 造 は 存 在 す る.そ の 一 つ が 次 に定 義 す る リ ー代 数 で あ る. 定 義4.56 

gをIK上

(X,Y)〓[X,Y]が

のベ ク トル 空 間 とす る.写 像[・,・]:g×g→g;

g×g∋

あ っ て,次 の条 件(ⅰ)∼(ⅲ)を 満 た す と き,こ の 写 像 をg上

の 括 弧 積 また は リー 括 弧 積 と呼 び,gをIK上

の リー代 数 ま た は リー環 とい う.

 

(ⅰ) (線 形 性)[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z],a,b〓IK,X,Y,Z〓g.

  (ⅱ) (反 対 称 性)[X,Y]=-[Y,X],X,Y〓g.   (ⅲ)  (ヤ コ ビ恒 等 式)[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0,X,Y,Z〓g. IK=IR, Cに 例4.37 

応 じて,そ VをIK上

れ ぞ れ,gを

の ベ ク トル 空 間 と す る と き,V上

換 子 積[A,B]:=AB-BAを 例4.38 IK上

実 リ ー 代 数,複

括 弧 積 と してIK上

のn次

素 リ ー 代 数 と い う.

の 線 形 作 用 素 の 全 体L(V)は

の リ ー 代 数 に な る.

の 正 方 行 列 の 全 体Mn(IK):={A=(Aij)i,j=1,…,n￨Aij〓IK}

は 交 換 子 積 に よ っ て,IK上

の リ ー代 数 に な る.こ

般 線 形 リー 代 数 と い う.こ

れ は リ ー 代 数 と して のL(IKn)(前

例4.39 N〓INに

の リ ー代 数 をgl(n,IK)と 例)と

表 し,一

同 じで あ る.

対 して

は リ ー代 数 を な す.こ

れ を示 す た め に,ま ず,す べ て のt〓IRに

らば,ス トー ンの 定 理 に よ り,N次 に 注 意 す る.し た が っ て,Xは

の エ ル ミー ト行 列Aが

交代 行 列 で あ る.逆

は エ ル ミー ト行 列 で あ る の で,す る.し

交

べ て のt〓IRに

に,Xが

対 して,etX〓U(N)な

あ っ て,X=iAと

書 け るこ と

交 代 行 列 な ら ば,A:=-iX

対 して,etX=eitA〓U(N)で

あ

たが っ て

(4.115) 右 辺 の 集 合 が 交 換 子 積 に 関 して リ ー代 数 を な す こ と は容 易 に わ か る.u(N)をN次 元 ユ ニ タ リ群U(N)の 例4.40 

N〓INに

リ ー 環 と い う. 対 して

は リ ー代 数 を な す.証 書 け る(Aは t〓IRに

明 は 次 の 通 り:前 例 に よ り,任 意 のX〓su(N)はX=iAと

エ ル ミー ト行 列).detetX=1に

よ り,eitTrA=1.こ

対 して 成 立 しな け れ ば な ら な い か ら,TrA=0で

を 満 た す 交 代 行 列 と す れ ば,す 容 易 に わ か る.よ

べ て のt〓IRに

あ る.逆

対 してetX〓SU(N)で

れが すべ ての にXを,TrX=0 あ る こ とは

って

(4.116) 右 辺 の 集 合 が リ ー代 数 に な る こ と も 簡 単 に示 さ れ る.su(N)をN次 群SU(N)の

リ ー環 とい う.

元特殊 ユ ニ タ リ

例4.41 

例4.39,例4.40と

同 様 に,Vが

有 限 次 元 ベ ク トル 空 間 でGがV上

の線 形

リ ー 群 で あ る と き,

(4.117) に よ っ て定 義 され る 集 合 は交 換 子 積 に 関 して リー 代 数 を な す こ と が 証 明 さ れ る(簡 単 で は な い)*36.こ

注 意4.7 

の リー 代 数 を線 形 リー 群Gの

上 述 の 例 に お い て は,リ

ー 括 弧 積 は 交 換 子 積 で 与 え ら れ て い る が,そ

う で な い リ ー 代 数 の 例 も 存 在 す る(演

  例4.39,例4.40,例4.41は

リー 環 とい う.

習 問 題5).

線 形 リ ー 群 と特 定 の リ ー 代 数 と の 関 係 を 与 え る.

一 般 の リ ー群 につ い て も同 様 の 関 係 が あ る と い う の は,リ と は,リ

ー 代 数 を"積 分 し て"得

ー 群 の"微

分"な

.非

常 に 大 ざ っ ぱ に い え ば,リ

ら れ る も の で り,逆

の で あ る.こ

れ が,リ

に み れ ば,リ

ー群 ー代数

ー群 よ り も リー代 数 の 方 を よ り

根 源 的 な 存 在 と み る 理 由 の 一 つ で あ る.   群 の 場 合 と 同 様,リ

ー 代 数 に つ い て も そ の 表 現 の 概 念 が 存 在 す る:

定 義4.57 

gをIK上

の リ ー 代 数,VをIK上

g→L(V)が

線 形 で あ り,か

立 つ と き,(π,V)ま

の ベ ク トル 空間 と す る.写

つ[π(X),π(Y)]=π([X,Y]),

た は 単 に π をgのV上

の 表 現 空 間 と 呼 ぶ.表

像 π:

X,Y〓gが

で の 表 現 と い う.こ

成 り

の 場 合,Vをg

現 空 間 が ヒ ル ベ ル ト空 間 の 部 分 空 間 の 場 合 に は,ヒ

ルベ

ル ト空 間 表 現 と い う.   Vの

部 分 空 間Dに

つ い て,π(X)D⊂D,

X〓gが

成 り立 つ と き,Dを

πの

不 変 部 分 空 間 と い う.   も し,π の 不 変 部 分 空 間 が{0}, ほ か に な い な ら ば,π

注 意4.8  例4.42 

V―

こ れ ら を 自 明 な 不 変 部 分 空 間 とい う― の

は 既 約 で あ る と い う.

言 葉 の 混 用 で あ る が,{π(X)￨X〓g}をgの Vを

ベ ク トル 空 間 とす る.L(V)の

い れ ば(i.e., A,B〓h⇒[A,B]〓h), の 場 合,π(A):=A,

A〓hと

*36 た と え ば

,[23]の3章

部 分 空 間hが

を 参 照.

交 換 子 積 に 関 して 閉 じて

hは 交 換 子 積 に 関 し て リ ー 代 数 を な す.こ

す れ ば,(π, V)はhの

表 現 とい う.

表 現 と い う場 合 も あ る.

表 現 を 与 え る.こ

れ をhの

恒等

例4.43 gをIK上

の リー 代 数 とす る.各X〓gに

に よ っ て 定 義 で き る.こ 現(adjoint

例4.44 

の と き,Adはg上

representation)と

L2(IR3)で

対 して,Ad(X)〓L(g)を

で のgの

表 現 で あ る.こ

れ をgの

随伴 表

い う.

働 く 軌 道 角 運 動 量(L1,

L2,

L3)は

交 換 関係

(4.118)

を満 た す([8]の3章, 

3.4.4項).し

た が って,L1,

の 部 分 空 間 

L2, L3か

ら生 成 され る,L(C∞0(IR3))

は 交 換 子 積 に 関 し てリー 代 数 を な す.

  リ ー 代 数 の 同 型 の 概 念 は 次 の よ う に 定 義 さ れ る:

定 義4.58 g1,

g2をIK上

の リ ー 代 数 とす る.ベ

線 形 作 用 素)T:g1→g2で

括 弧 積 を保 存 す る も の,す

T([X,Y]),

X,Y〓g1を

い う.Tを

リ ー 代 数 の 同 型 写 像 と い う.

  4.11.2 

ク トル 空 間 同 型(i.e.,全 な わ ち,[T(X),T(Y)]=

満 た す も の が 存 在 す る と き,g1とg2は

同型であ る と

リー代 数 に関 す る対 称 性

  gを 複 素 リ ー 代 数 と し,(π, V)をgの 素 ヒ ル ベ ル ト空 間Hの

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間 表 現 と す る(Vは

部 分 空 間).H上

の 自 己 共 役 作 用 素A―

テ ク ス トで は 物 理 量― に つ い て,eitAπ(X)⊂ り立 つ と き,Aはg-対

π(X)eitA,

複

量子力学の コ ン

∀t〓IR,

∀X〓gが

成

称 性 を も つ と い う.

  こ の 対 称 性 の 概 念 は,群 が 次 の よ う に し て わ か る.い

に関 す る対 称 性 の あ る種 の 一 般 化 に な って い る こ と ま,各X〓gに

対 し て,π(X)は

役 で あ る と し よ う.(そ

の 閉 包 も 同 じ 記 号 π(X)で

の 定 理 に よ り,π(X)は

強 連 続1パ

す る.そ

単射 な

表 す).こ

本 質的 に 自己共 の と き,ス

トー ン

ラ メ ー タ ー ユ ニ タ リ群{eitπ(X)}t〓IRを

生成

こで

(4.119)

と お け ば,こ がg-対

れ はH上

の ユ ニ タ リ群u(H)の

称 性 を も て ば,任

が わ か る.し AのGg-対

意 のX〓gに

部 分 群 で あ る.自

対 し て,π(X)はAと

た が っ て,eitπ(X)Ae-itπ(X)=A,

己 共 役 作 用 素A 強可換であ るこ と

∀t〓IRが

導 か れ る .こ

  逆 にAがGg-対

称 性 を も て ば,Aはg-対

称 性 を も つ こ と も 容 易 に わ か る.

  だ が,上

の 定 義 の 要 点 は,π(X)が

い こ と,ま

た,本

を 含 む,よ

り大 き な 群 に 関 す る対 称 性 を もつ 必 要 は な い と い う 点 に あ る.

  4.11.3 

ハ イ ゼ ン ベ ル ク ・ リ ー 代 数 の 表 現 と して の 正 準 交 換 関 係

  Nを

れは

称 性 を 意 味 す る*37.

必 ず し も本 質 的 に 自己 共 役 で あ る必 要 は な

質 的 に 自 己 共 役 で あ っ て も,g-対

自然 数 と す る.(2N+1)個

成 さ れ る 複 素 リ ー 代 数hに

の 元X1,

称 な 自 己 共 役 作 用 素 が ,Gg

…, XN, Y1,

…, YN, Z≠0か

ら生

お いて

(4.120) (4.121) が 成 り立 つ と き,hを(2N+1)次

元 の ハ イ ゼ ン ベ ル ク ・リー代 数 とい う.

  前 著[8]に お い て,正 準 交 換 関係(CCR)の に 据 え た が,実

表 現 を量 子 力 学 の 基 本 原 理 の 一 つ

は,そ れ は抽 象 的 な意 味 で の ハ イゼ ンベ ル ク ・リ ー代 数 の 表現

とみ るの が 適 切 で あ る.実 際,次 の 事 実 が 成 り立 つ: 定 理4.59 

を 自 由 度NのCCRの

し,QjD⊂D, PjD⊂D, j=1,

…, Nと

す る),表

表 現 とす る と き(た だ 現 π:h→L(D)(D上

の線

形 作 用 素 の 全 体)で

を 満 た す も の が 存 在 す る.π

証 明  hの 元X1,

…, XN, Y1,

は 単 射 で あ る.

…, YN, Zは

線 形 独 立 で あ る.実 と し,こ

*37 G gに つ い て は,恒

等 表 現 を 採 用 し て い る.

際, 

れ とXkと

の括弧積 を

と れ ば,iβkZ=0.

Z≠0で

弧 積 を 考 え る と αk=0を Q1, …, QN,

あ る か ら,βk=0.ま 得 る.し

P1, …, PN, IはL(D)の

た,(*)とYkと

た が っ て,γ=0も

出 る.同

様 に し て,

元 と し て 線 形 独 立 で あ る.し

た が っ て,

ベ ク トル 空間 同 型 写 像 に 関 す る 存 在 定 理([5]のp.31,定

理1.22)に

ル 空 間 同 型 写 像 π:h→L({I,Qj,Pj￨j=1,…,N})で Pj, π(Z)=Iを

の括

よ り,ベ ク ト

π(Xj)=Qj,

満 た す も の が た だ 一 つ 存 在 す る.こ

れ がhの

π(Yj)=

表 現 で あ る こ とは

容 易 に わ か る. 

  4.11.4    Hを

■

リー 代 数 の 表 現 と し て の 第 二 量 子 化

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間, 

し([8]の4章,4.3節),H上 用 素 をdΓ(A)と

をH上

の 全 フ ォ ッ ク空 間 と

の 稠 密 に 定 義 さ れ た 可 閉 作 用 素Aの

す る*38.Hの

部 分 空 間Dに

対 し て,F(H)の

 あ る 番 号n0が

第二量子化作 部分 空間

あ っ て,n〓n0な

ら ば Ψ(n)=0

(4.122) を 定 義 す る.次 補 題4.60 

の 事 実 が 成 り 立 つ:

A, BをH上

の 稠 密 に 定 義 さ れ た 可 閉 作 用 素 と し,[A,

B]も 稠 密 に

定 義 さ れ た 可 閉 作 用 素 で あ る と す る(D([A,B]):=D(AB)∩D(BA)).こ き,す

べ て の Ψ〓Ffin(D([A,B]))に

の と

対 して

(4.123) 証 明   n〓INを

任 意 と して,Ψ= nj=1Ψj,

対 し て(4.123)を

*38 [8]の4章

では

示 せ ば よ い.第

,Aが

Ψj〓Dと

い う形 の ベ ク トル Ψ に

二量子化作用素の定義 によ り

自 己共 役 の場 合 だ け考 え たが,容 易 にわ か る よ う に,Aが

定義 され た可 閉 作 用 素の 場 合 に も,dΓ(A)は

ま った く同 じ形 で定 義 され る.

稠密に

dΓ(B)dΓ(A)Ψ

は,い

か ら(4.123)が

得 ら れ る. 

  さ て,H上

ま の 式 でAとBを

D⊂D(A)か

部 分 空 間Dが

つAD⊂D(i. の と き,写

れ らの事 実 ■

の 稠 密 に 定 義 さ れ た 可 閉 作 用 素 の 集 合gが

リ ー 代 数 を な す と し,Hの

る*39.こ

入 れ 換 え た も の で あ る.こ

e., Dはgの

あ っ て,す

交 換 子 積 に関 して複 素

べ て のA∈gに

不 変 部 分 空 間)が

対 し て,

成 り立 つ も の と す

像 π:g→L(Ffin(D))を

(4.124) に よ っ て 定 義 す れ ば,補

題4.60に

で あ る こ とが わ か る.こ

う して,第

よ っ て,(π,Ffin(D))は

リ ー 代 数 のgの

二 量 子 化 作 用 素 を通 し て,L(H)の

表現

中のあ る

ク ラ ス の リ ー 代 数 は 全 フ ォ ッ ク 空 間 上 に そ の 表 現 を もつ.   第 二 量 子 化 作 用 素dΓ(・)は ボ ソ ン フ ォ ッ ク 空 間Fs(H)お ッ ク 空 間Fas(H)に

よ っ て 簡 約 さ れ る.そ

よび フ ェル ミオ ンフ ォ

の 簡 約 部 分 を そ れ ぞ れ,dΓs(・),dΓas(・)

と し

(4.125) (4.126) と す れ ば(Ps:F(H)→Fs(H), Pas:F(H)→Fas(H)は

そ れ ぞ れ,ボ

フ ォ ッ ク 空 間Fs(H),フ

の 正 射 影 作 用 素) ,

πs,πasもgの

ェ ル ミ オ ン フ ォ ッ ク 空 間Fas(H)へ

ソ ン

表 現 を 与 え る.

  こ の 種 の 表 現 は 量 子 場 の 理 論 に お い て 重 要 な 役 割 を演 じ る.

  4.11.5 

角 運 動 量 代 数

  す で に み た よ う に(例4.44),軌 数 を な す.だ

が,L2(IR3)は

道 角 運 動 量 が 生 成 す る ベ ク トル 空 間 は リ ー 代

具 象 的 な ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る の で,軌

道角運動量

に よ っ て形 成 され る リー代 数 は あ る抽 象 的 な リー代 数 の表 現 の 一 つ とみ るの が 自 然 で あ る.こ

の 考 え 方 は,軌

道 角 運 動 量(L1,

L2, L3)以

と 同 じ交 換 関 係 を 満 た す も の の 存 在 に よ っ て 補 強 さ れ る. *39 gの

自 明 な 例 はg

=B(H).こ

の 場 合,D=H

.

外 の 物 理 量 で(4.118)

例4.45 

ス ピ ン1/2の

ス ピン角運動 量

(4.127) ―C2で

働 く 自 己 共 役 作 用 素 ― も(4 .118)と

例4.46 

ス ピ ン1/2の

ル ベ ル ト空 間 は  NC2で の 第j成

分(j=1,

量 子 的粒 子 がN個

同 じ交 換 関 係 を満 た す.

存 在 す る 系 の ス ピ ン 自 由度 に関 す る状 態 の ヒ

あ り,この 場 合 の 全 ス ピ ン角 運 動 量 

2, 3)は

(4.128)

(Iは 恒 等 作 用 素)で 与 え ら れ る.S(N)1, S(N)2, S(N)3も(4.118)と

同 じ交 換 関 係 を 満

た す. 例4.47 

3次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間IR3の

中 に 現 象 す る,ス

ピ ン1/2を

粒 子 の 状 態 の ヒ ル ベ ル ト空 間 と して,  こ の 場合 の全 角 運 動 量J:=(J1,

J2, J3)(軌

もつ量 子 的 が と れ る.

道 角 運 動 量+ス

ピ ン角 運 動 量)の 第j成

分は

(4.129) に よ っ て 定 義 さ れ る.こ 例4.48 N個

れ ら も(4.118)と

同 じ交 換 関 係 に した が う.

の(内 部 自 由 度 を も た な い)量 子 的 粒 子 の 系 の 状 態 ヒ ル ベ ル ト空 間  (自 然 な 同 型 に よ る 同 一 視)に お い て 定 義 され る線 形 作 用 素

(4.130) も,た

と え ば, NC∞0(IR3)( 

換 関 係 を 満 た す.L(N)jは す こ と に す る.こ

は 代 数 的 テ ン ソ ル 積 を 表 す)上 で(4.118)と

同 じ交

本 質 的 に 自 己 共 役 で あ り,そ の 閉 包 も 同 じ記 号L(N)jで

の と き,自 己 共 役 作 用 素 の 組(L(N)1,

L(N)2, L(N)3)はN粒

表

子 系の 全

軌 道 角 運 動 量 を 表 す. 例4.49 N個

の ス ピ ン1/2の

(L2(IR3; C2)のN重

量 子 的 粒 子 の 系 の 状 態 ヒ ル ベ ル ト空 間 NasL2(IR3; C2)

反 対 称 テ ン ソ ル 積;ス

ピ ン1/2の

量 子 的 粒 子 は フ ェ ル ミ オ ンで

あ る こ と に注 意)に お い て 定 義 され る 線 形 作 用 素

(4.131)

は 自 己 共 役 で あ る.作 運 動 量 を 表 す.こ 例4.50 

用 素 の 組J(N):=(J(N)1,

れ も(4.118)と

J(N)2, J(N)3)は

こ の 系 にお け る 全 角

同 じ交 換 関 係 を満 た す.

(量 子 場 の 軌 道 角 運 動 量)L2(IR3)上

の フ ォ ッ ク空 間F#(L2(IR3))(#=

s, as)に お い て

とす れ ば,こ れ らの 作 用 素 は 自己 共 役 で あ り,補 題4.60に で,(4.118)と は,量

同 じ交 換 関 係 を満 た す こ と が わ か る.作

子場 の 理 論 の コ ン テ ク ス トで は,4次

よ っ て,P#Ffin(C∞0(IR3))上 用 素 の 組(M#

,1, M#,2, M#,3) 元 時空 にお け るス カラー量 子場 の空 間的

軌 道 角 運 動 量 を 表 す.   こ れ ら の 例 を 一 つ の リ ー 代 数 の 異 な る 表 現 と み る こ と に よ り,統 へ と 移 行 す る こ と が で き る .そ

一 的 な観 点

の リー代 数 とは次 の 定 義 に よっ て 与 え ら れ る も

の で あ る. 定 義4.61 

3個 の 元J1, J2,

J3(Jk≠0, k=1,

2, 3)か

ら生 成 され る 複 素 リ ー

代 数Aが

を満 た す と き,Aを   定 理4.59と

角 運 動 量 代 数 とい う.

同様 に して,L1,

L2, L3は 角 運 動 量 代 数Aの

表 現 であ る こ とが わ

か る(演 習 問題6).   同様 に ス ピ ン1/2の

角 運 動 量s1, s2, s3もAの

表 現 で あ る.こ れ は既 約 表 現

で あ る(演 習 問題7).   上 述 の他 の 例 もす べ てAの

表 現 で あ る こ とが わ か る.

  角 運 動 量 代 数 の 表 現 とい う理 念 は,先 述 の例 に現 れ る種 々 の 角 運 動 量 を 統 一 す る に と ど ま らず,角

運 動 量 の 概 念 を拡 大 す る.た

とえ ば,ス

ピ ンが1/2と

は

異 な る ス ピ ン角 運 動 量 は も と よ り,ア イ ソ ス ピ ンの よ うな 内 部 自 由度 で さえ も 一 種 の 角 運 動 量 とみ な す こ とが 可 能 に な る*40 . *40 ア イ ソ ス ピ ン とは

,荷 電 以 外 の性 質 は ほぼ等 しい素 粒 子 を同 じ素 粒 子 の 異 な る固 有状 態 とみ るた め の量 子 数 で あ る.た とえ ば,核 子 の ア イ ソス ピ ンは1/2で,通 常 の ス ピ ンの

場 合 と同 様,2種 類 の 固有 状 態 が 可 能 で あ り,そ れ ぞ れ,陽 子 と中性 子 に対 応 す る.同 様 に π 中 間子 の アイ ソス ピ ンは1で3種 類 の異 な る固有 状 態 が 可 能 で あ り,そ れぞ れ, π+,π0,π-と い う 中間 子 に対 応 す る.

  自然 哲 学 的認 識 論 の観 点 か ら は,角 運 動 量 代 数 の 理 念 に よっ て,非 常 に豊 か な― 事 実 上,無

限 的 とい って よ い― 量 子 的現 象 の展 開 を内 蔵 す る,自 然 ・宇 宙

の 根 源 的 な構造 の 一 つ が 認 識 され た こ と に な るの で あ る.   次 の事 実 に も注 目 しよ う. 命 題4.62 

su(2)とAは

リー代 数 と して 同 型 で あ る.

証 明   su(2)の 任 意 の元Xは,例4.40に

と い う 形 に 書 か れ る.た

よって

だ し,α*=-α,β

∈Cで

あ る.そ

こ で,写

像T:

su(2)→Aを

に よ って 定 義 す れ ば,こ れ は リー代 数 の 同 型 写 像 を与 え る こ とが 確 か め られ る. ■   この 命 題 に よ り,角 運 動 量 代 数 の表 現 を求 め る問 題 は,su(2)の

表現 を求める

問 題 に帰 着 され る.こ れ を用 い る こ と に よ り,次 の 重 要 な事 実 が 得 られ る. 定 理4.63 Sj:=π(Jj)(j=1, 角 運動 量代 数Aの

2, 3)を 有 限 次 元 ヒ ルベ ル ト空 間Hに

既 約 な表 現 と し,各Sjは

自 己共 役 で あ る とす る.こ の と き,

非 負整 数 ま た は正 の 半 奇 数(1/2, 3/2, 5/2,…)lが 成 り立 つ.こ の 場 合,j=1, 固 有値mの

存 在 して,dimH=2l+1が

2, 3に 対 して, 

多 重 度 は1で あ る.さ

ら に,Aの

お け る,

各 有 限 次 元 既 約 表 現 は こ の型 の表 現

に 限 る.   この 定 理 の 証 明 は こ こで は しな い*41.   上 の 定 理 に い う既 約 表 現 を 区 別 す る数lは,物 動 量 の1成 *41 た と え ば

理 的 に は,量 子 的 粒 子 の角 運

分 の と り うる値 の 最 大 値 で あ る と解 釈 され る.ス ,[5]の10章,演

習 問 題2や[23]の

Ⅲ

章,§4を

参 照.

ピ ン角 運 動 量 の場

合 に は,こ れ を ス ピ ン量 子 数 と呼 び,Aの(2l+1)次

元 既 約 表 現 をス ピ ンlの

表 現 と い う. 例4.51 l次

の 球 関 数Yl,mで

空 間Ml(4.10.3項

生 成 さ れ る, 

の部 分

を 参 照)は

に よ っ て 定 義 さ れ る,角 π(Jk)はLkを

運 動 量 代 数 の(2l+1)次

元 既 約 表 現 の 表 現 空 間 で あ る(各

極 座 標 で 表 し,作 用 す る ベ ク トル 空 間 をL({ψ

∈Ml￨l∈{0}∪IN})

に 制 限 し た も の で あ る*42).

付 録F 

位 相 空 間

ユ ー ク リ ッ ド空 間,ヒ ルベ ル ト空 間,バ ナ ッハ 空 間 にお け る点 ど う しの近 さは,そ の ノ ル ム か ら定 義 され る距 離 を用 い て測 られ る.だ が,集 合 の中 には線 形 空 間 で な い もの も無 数 にあ る し,距 離 が 定 義 され な い も の も存在 しう る.で は,距 離 の概 念 が 必 ず し も存 在 しな い よ う な集 合 にお い ては,点

どう しの近 さを どの よ うに測 るの が 自然 であ ろ うか.こ の 問 い に応 え

る一 つ の概 念 が 以 下 に定 義 す る位 相(topology)と

い う概 念 で あ る.こ れ は上 に言 及 した空

間 の 開集 合全 体 の 構 造 の 抽 象 化 と して得 られ る.

  F.1 

定

定 義F.1 

義

と

集 合Xの

例

部 分 集 合 の 一 つ の 族Tが

次 の 三 つ の 性 質 を 満 た す と き,TをX

の(一 つ の)位 相 あ る い は トポ ロ ジ ー とい う:   (T.1)X, 0∈T.   (T.2)Tの

任 意 の 有 限 個 の集 合 の 共 通 部 分 はTに

と任 意 のT1,…,Tn∈Tに   (T.3)Tの

注 意F.1  照),位 相Tに

属 す る.す

らば,∪ α∈A Tα ∈T(Aは

も つ 集 合Xを

開 集 合(open

属 す る.す

な わ ち,任 意 のn∈IN

.

任 意 個 の 集 合 の 和 集 合 はTに

は 添 え字 集 合)な 位 相Tを

対 して, 

な わ ち,Tα

∈T(α

∈A; A

可 算 集 合 で あ る必 要 は な い).

位 相 空 間(topological

space)と

い う.こ の 場 合,Tの

元 を

set)と い う. 集 合Xが

有 す る 位 相 は一 つ と は 限 らな い の で(以 下 の 例F.2,例F.3を

よ る位 相 空 間 で あ る こ と を明 確 し た い場 合 に は,(X, T)の

*42  こ の 表 現 の 自 然 な 導 出 に つ い て は

,[23]の

Ⅴ 章 を 参 照.

参

よ う に 記 す.

例F.1 

Eを バ ナ ッハ 空 間 と し,Eに

お け る 開 集 合 の 全 体 をOEと

す れ ば,OEは

位

相 で あ る. 証 明   ま ず,E, 0∈OEは り,x∈

明 らか.(T.2)を

∩ni=1Tiと す る.こ

ら,あ るδi>0が

存 在 して,‖x-y‖0に

す る.

対 して,定

ば‖F(z)-F(z0)‖0が

存 在 し て,￨z-z0￨0}か

ら,実

リ ー マ ン面 の)下 半 平 面{z∈C￨Imza,Imz0な 中 に た だ 一 つ の1位

ら ば, の 極Z0=

も っ.

  (ⅲ) limz∈Da,z→∞￨FH(z;Ψ)￨=0. こ の と き,す

べ て のt>0に

対 して

(5.78) た だ し,R0はF(z;Ψ)のz=z0に

お け る留 数 で あ り

証 明   記 号 上 の 煩 雑 さ を避 け る た め に,証 明 を 通 し て,f(t):=〈 >0),F(z):=FH(z;Ψ),F(z):=FH(z;Ψ)と

お く.Imz>0に

つ公式

*21 生 き残 り確 率 に つ い て は

,3.8.4項

を 参 照.

Ψ,e-itHΨ〉(t 対 し て 成 り立

([7]のp.

268,補

と 書 け る.た

題3.11)に

だ し,x[0

F(x+iy)はxの

よ っ て

,∞)は[0,∞)の

関 数 と して,ix[0

で あ る.関数f(t)e-ytはt〓0で る の で,フ

定 義 関 数 で あ る.し

,∞)(t)f(t)e-ytの

た が っ て,F(z)=

フ ー リエ 変 換(の 

倍)

微 分 可 能 で あ り, 

であ

ー リ エ 逆 変 換 公 式 が 成 り立 つ:

(5.79) た だ し,右

辺 は 広 義 積 分 の 意 味 で と る*22.ま

が 切 断 平 面C＼[a,∞)で

た,y>0は

解 析 的 で あ る こ と を 考 慮 し て,(5.79)の

三 つ の 部 分 に 分 け る:f(t)=I1(t)+I2(t)+I3(t).た

た だ し,0-Imz0+y,R>Rez0-aを

F(z)e-itzを

任 意 で よ い.関

∈[-R,0]}に

数 ∈

添 っ て 積 分 す る(図5.3).

こ の 閉 曲 線 内 に 含 ま れ る.し

た が っ て,コ

ー シ ー の積 分 定

理 によ り

*22  積 分 は 発 散 して い る.

か ど うか はわ か らな い.具 体 的 な例 で は ,多 くの場 合,こ の

図5.3 

I3(t)の 計 算 の た め の 積 分 路

条 件(ⅲ)と

を 用 い る と,左 R→

辺 の 第 二 項 の 積 分 はR→

∞ と し て か ら,y→0と

を 得 る.I1(t)に

つ い て は,閉

∞ で0に

収 束 す る こ と が わ か る.

す る こ とに よ り

曲 線:  に つ い てF(z)eitz

を 積 分 す る こ と に よ り,I3(t)の

が 示 さ れ る. 

場 合 と 同様 に して

は 容 易 に わ か る.以

上 を 整 理 す れ ば,(5.78)が

得 ら れ る. 

  式(5.78)の

■

物 理 的 意 味 を 考 え よ う.議

論 を み や す くす る た め に,‖Ψ‖=1の

場 合 を考 え る.  て 区 間[α,β](α〓0)が

を 満 た す一 つ の 集 合 と し と れ る と 仮 定 す る.こ

の と き,任

意 のt∈[α,β]に

対

して

が成 り立 つ.   第3章

で す で にみ た よ う に,Hが

は 時 刻0で

量 子 系 の ハ ミル トニ ア ン を表 す場 合

状 態 Ψ に あ っ た 系 が 時 刻tで

(残 存 確 率)―

を表 す.し

状 態 Ψ に 留 ま る 確 率― 生 き残 り確 率

た が っ て,時 刻t∈[α,β]に な わ ち,そ

お け る 生 き 残 り確 率 は 近 似

的 にe-tΓ

に比 例 す る.す

ゆ え に,状

態 Ψ の 生 き 残 り時 刻 の 平 均 値― 状 態 Ψ の 平 均 寿 命―

 こ

れ は 時 間 に 関 し て,指 数 関 数 的 に 減 衰 す る.

れ か ら,も

な ら ば τ〓1/Γ

と な る.よ

っ て,条

し,αΓ≪1か

件(**)の

も と で,Γ

え て よ い.ゆ

え に,Γ

  次 に(*)を

満 た さ な い よ う な 状 況 を 考 え る.こ

と え ば,R1(t)お

つ βΓ≫1…(**) は 平 均 寿 命 の 逆 数 と考

が 大 き け れ ば 状 態 Ψ の 平 均 寿 命 は 短 く,小

よ びR2(t)の

れ は,tが

減 衰 の オ ー ダ ー がtの

に 比 例 す る 場 合 に 起 こ る*23.こ

の 場 合 に は,も

を τ とす れ ば,

さ け れ ば 長 い.

十 分 大 き い と き,た

負冪t-γ(γ>0は

は や,状

定 数)

態 の 平均 寿 命 につ い て

語 る こ と は で き な い.

  5.6.4 

指 数 関 数 的 減 衰 と ス ペ ク トル

  前 項 の 最 後 に 述 べ た こ と と 関 連 し て,次

定 理5.27

AをH上

が あ っ て,す

べ て のt∈IRに

が 成 り立 つ と す る.こ

証 明  f(t):=〈

*23 実 際

,こ

の 自 己 共 役 作 用 素 と し,単 位 ベ ク トル Φ と定 数C,γ>0 対 して

の と き,σ(A)=IR.

Φ,e-itAΦ〉,

μ(B):=‖EA(B)Φ‖2と

の 驚 くべ き 事 実 を 証 明 し て お こ う.

t∈IRと

お け ば,こ

の よ う な 例 は 存 在 す る.

お く.1次

れ は,(IR,B1)上

元 ボ レ ル 集 合Bに

対 し て,

の 確 率 測 度 で あ り,f(t)=

 

と 書 け る.仮 定 に よ り, 

で あ る か ら,f

の 逆 フー リエ 変 換 

は存 在 し,そ

れ は帯 領 域 

で 定 義 さ れ る正 則 関 数 へ と解 析 接 続 され る .任 意 の λ ∈IRに

は 実 数 で あ り,fはIR上

で 有 界 か つ 連 続 で あ る.フ

 

対 して,f(λ)

ー リエ 解 析 と作 用 素 解 析

に よ り, 

が 成 り立 つ こ とが 示 さ

れ る*24.ゆ

え に,μ は ル ベ ー グ測 度 に関 して 絶 対 連 続 で あ る.fはS上

で正

則 で あ り,そ れ は恒 等 的 に0で な い か ら,一 致 の 定 理 に よ り,そ の零 点 はSの 孤 立 点 に 限 る.こ の事 実 と任 意 の λ ∈IRに 対 して,f(λ)は 考 慮 す る と,supp supp μ ⊂supp

μ=IRで

な けれ ば な らな い こ とが 結 論 され る.と

EA=σ(A)で

  定 理5.27は,ハ

あ るか ら,σ(A)=IRで

ミル トニ ア ンHに

い て 次 の 性 質 を導 く:Hが

実数 になる ことを ころ が,

あ る. 

■

よ って 記 述 され る系 の 生 き残 り確 率 につ

下 に有 界 ま た は 上 に 有 界 な ら ば,任 意 の 単位 ベ ク ト

ル Ψ に関 す る 生 き残 り確 率 は,t∈IRの

関 数 と して

IR全 体 で 指 数 関 数 的 に 減 衰 す る こ とは な い.

 

5.7 

  最 後 に,前 的 に は,フ

フ リ ー ドリ ク ス モ デ ル

節 の 最 初 の 項 で 述 べ た 事 柄 を 例 証 す る 簡 単 な モ デ ル の 一つ― 歴 史 リ ー ド リ ク ス(K.O.Friedrichs)[10]に

よ って 最 初 に考 案 され たモ デ

ル― を 考 察 し て お く.

  5.7.1 

モ デ ル の 定 義

  ω:IR→[0,∞)を

連 続 関 数 で,任 意 の λ〓0に

ル ベ ー グ 測 度 が0で

あ り,か

ル ベ ル ト空 間L2(IR)に *24 まず

つ ω(k)→

お い て,関

∞(￨k￨→

対 して{k∈IR￨ω(k)=λ}の ∞)を

満 た す も の と し,ヒ

数 ω に よ る か け 算 作 用 素 を ω で 表 す.し

た

,有 界 な台 を もつ実 数値 連 続関 数gの す べ て に対 して, 

を示 せ.次 に,IRの 任 意 の有 界 区 間Jの 定 義 関数xJを 有界 な台 を もつ実 数 値連 続 関 数列 で 近似 す る こ とに よ り,B=Jの 場 合 の(*)を 導 け.最 後 に,μ(IR)=1 に注 意 し,ホ ップ の拡 張 定 理 の一 意 性 に よ り,(*)を

示 せ.

が っ て,ω

は非 負 自 己共 役 作 用 素 で あ り

(5.80) と す れ ば,m〓0で

あ り

(5.81) が 成 り立 つ*25.μ0∈IRを 例5.2  る,質

(ⅰ)m〓0を 量m,運

定 数 と す る.

定 数 と し て, k∈IR(2次

動 量kの

て,ω(k)=k2/(2M), k∈IR(質 ル ギ ー).(ⅲ)α>0を

元 時空 にお け

相 対 論 的 自 由 粒 子 の エ ネ ル ギ ー).(ⅱ)M>0を 量M,運

動 量kの

定 数 とし

非 相 対 論 的 自 由粒 子 の 運 動 エ ネ

定 数 と して,ω(k)=￨k￨α+m.

  1次 元 ユ ニ タ リ 空 間CとL2(IR)の

直 和 ヒ ル ベ ル ト空 間

(5.82) を考える.HFの

ベ ク ト ル(z,ψ)を 

L2(IR)か

の 線 形 作 用 素,SをCか

らCへ

上 の 線 形 作 用 素 とす る と き,HF上

をD(L):=C 

らL2(IR)へ

般 に,α

∈C,

Tを

の 線 形 作 用 素,AをL2(IR)

の線形作 用素

[D(A)∩D(T)]

に よ っ て 定 義 す る.こ う*26.容

と も 表 す.一

の 型 の 作 用 素Lを

作 用 素 行 列(operator

matrix)と

い

易 にわかる ように

*25 [6]のp .136,例2.13, [6]のpp. 126-127,命 題2.26,定 理2.27の 応 用. *26 作 用 素 を 行 列 要 素 とす る 作 用 素 の 意 .任 意 の 有 限 個 の ヒ ル ベ ル ト空 間H1,…,HNの 和 ベ ク トル 空 間  表 さ れ る.N=2の

に お け る 線 形 作 用 素 の 非 常 に 広 い ク ラ ス が,作 場合 に つ い て は,[3]の

付 録Cを

参 照.

直

用 素 行 列 の形 に

で あ る.右

辺 はC上

の 作 用 素 α(α を か け る 作 用 素)とAの

直 和 で あ る*27.

  さて

(5.83) とす れ ば,こ れ は 自 己 共 役 で あ り

(5.84) が 成 立 す る.こ の 場 合,固

有 値 μ0の 多 重 度 は1で

あ り,そ の 固 有 ベ ク トル は

(定 数 倍 を 除 い て)

(5.85) で 与 え ら れ る.も

し

(5.86) な ら ば,μ0はH0の

埋 蔵 固 有 値 で あ る(図5.4).以

下,こ

の 条 件 の も とで考 え

る*28.

図5.4 

H0の

ス ペ ク トル(μ0>mの

場 合)

図5.5 

H0の

ス ペ ク トル(μ0<mの

場 合)

  ヒル ベ ル ト空 間HFお

よ び μ0,ω に対 す る 量子 力 学 的 に 可 能 な描 像 の 一 つ は

次 の よ うな もの で あ る.す な わ ち,HFは,1次

元 的 な 運動 を行 う量 子 的粒 子 が

高 々1個 存 在 しえ る よ うな 系 の 状 態 の ヒル ベ ル ト空 間 を表 す.こ トル(z,0)∈HFは

量 子 的粒 子 が0の 状 態 を記 述 し,(0,ψ)∈HFは

*27  ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 作 用 素 の 直 和 に つ い て は *28 μ0<mの

場合 は

,μ0はH0の の 解 析 は 演 習 問 題 とす る(演

,[7]の4章,4.3.2項

離 散 固 有 値 で あ る(図5.5).こ 習 問 題4).

の 場 合,ベ

ク

量 子 的粒 子

を 参 照. の 場 合 の摂 動 につ い て

が1個 存 在 す る状 態(運 動 量 表 示)を 記 述 す る.ω は,量 子 的 粒 子 の 自由 運動 の ハ ミル トニ ア ン を表 し,μ0は 量 子 的粒 子 が存 在 し ない と きの 系 のエ ネ ル ギ ー を 表 す.作 用 素H0は,こ

の よ うな系 に お け る 自 由ハ ミル トニ ア ン(無 摂 動 ハ ミル

トニ ア ン)で あ る.   次 にH0の

摂 動 を 考 え る.関 数g∈L2(IR)(g≠0)に

対 して,写 像Ag:

L2(IR)→Cを

(5.87) に よ っ て定 義 す る.容 易 に わ か る よ う に,Agは

有界線形作用素 であ り

(5.88) が 成 り立 つ*29.上

述 の 描 像 で い えば,Agは

る作 用 素 で あ る.作 用 素Agの

量 子 的 粒 子 を一 つ 減 らす 働 きをす

共 役 作 用 素A*g:C→L2(IR)は

(5.89) とい う形 で与 え られ る.こ れ は量 子 的粒 子 が 存 在 しな い状 態 か ら,量 子 的 粒 子 が 一 つ 存 在 す る状 態 をつ くる働 き をす る作 用 素 で あ る.   摂 動 作 用 素HI:HF→HFを

(5.90) に よ っ て 定 義 し,κ

∈IRを

パ ラ メー タ ー と して

(5.91) と お く.こ

れ が フ リ ー ド リ ク ス モ デ ル の ハ ミル トニ ア ン で あ る.HIは

称 作 用 素 で あ る の で,加

藤-レ

リ ッ ヒ の 定 理 に よ っ て,H(κ)は

有 界 な対

自 己 共 役 で あ り,

下 に 有 界 で あ る.   以 後,L2(IR)やHFの *29   

内 積 を 単 に 〈・,・〉で 表 す. は 容 易 にわ か る .実 際 に 等号 が成 立 す る こ とを 示 す には,

に注 意 す れ ば よい.

5.7.2 

埋 蔵 固 有 値 の消 失

以下

(5.92) とい う条 件 の も とで 考 え る.作 用 素H(κ)に

関 す る基 本 的 性 質 の一 つ が次 の 定

理 で 与 え られ る. 定 理5.28

κ ≠0と

し,(5.86),

(5.92)お

よ び 次 の 二 つ の 条 件(ⅰ),(ⅱ)を

仮

定 す る:   (ⅰ) 任 意 のE>mに

対 して

(5.93) (ⅱ)

(5.94) こ の と き,H(κ)は

固 有 値 を も た な い.す

な わ ち,H0の

埋 蔵 固 有 値 μ0は 摂 動

の も と で 消 え る.

証 明  固 有 ベ ク トル 方 程 式   は  

を 意 味 す る.こ

ら 

ま ず,z=0な

ら,Φ=0.し

た が っ て,Φ

の 第 二式 か

ら ば,ψ=0で

は 固 有 ベ ク トル で は な い.zが0で

あ るか

な い と き,次

の

三 つ の 場 合 が 考 え ら れ る.   (a) E=mの

場 合.こ

を(*)の

に 代 入 す る と μ0-m=κ2Cgと

第1式

E=mはH(κ)の   (b) E<mの

これ な り,条

件(5.94)に

反 す る.

固 有 値 で は な い. 場 合.(a)と

を 得 る.(-∞,m)上

方 程 式f(x)=xは(-∞,m)の

同 様 に して, 

の 関 数 

続 で 単 調 減 少 で あ る.条

値 で は な い.

の と き は, 

は連

件(5.94)に

よ っ て, 

中 に 解 を も た な い.ゆ

した が っ て, え に,EはH(κ)の

固有

  (c) E>mの

場 合.こ

て,EはH(κ)の

件(5.93)に

固 有 値 で は な い.以

例5.3 g∈L2(IR)が

ら ば,例5.2の の よ う な ω とgに

よ っ て, 

上 か ら,H(κ)は

連 続 関 数 で あ り,ω(k)>mを

て,￨g(k)￨>0な が っ て,こ

の 場 合,条

した が っ

固 有 値 を も た な い.  ■

満 た す,す

べ て のk>0に

関 数 ω の す べ て に 対 し て,(5.93)は 対 し て は,条

件(5.86),

(5.94)の

対 し

成 り 立 つ.し

た

も と で,H(κ)(κ

≠0)

は 固 有 値 を も た な い.

  5.7.3 

H(κ)が

  条 件(5.93)ま

固 有 値 をも つ条 件

た は(5.94)が

成 立 し な い よ う な ω とgに

対 して は,H(κ)が

固 有 値 を も つ 場 合 が あ る.

定 理5.29 

条 件(5.86),

(5.92)お

よび

(5.95) を 仮 定 す る.こ

の と き,H(κ)は

多 重 度1の

固 有 値Em(κ)∈(-∞,m)を

も ち,

これは方程式

(5.96) を 満 た す.さ

らに

(5.97) と す れ ば,ΦmはH(κ)の

固 有 値Em(κ)に

属 す る 固 有 ベ ク トル で あ る:H(κ)Φm=

Em(κ)Φm.

証 明   条 件(5.95)の り,f(x)=xは(-∞,m)の ψm∈L2(IR)で

も と で は,前

定 理 の 証 明 に お け る(b)の

中 に た だ 一 つ の 解Em(κ)を

あ り,Φm∈ker(H(κ)-Em(κ))で

部 分の考察 に よ もつ.仮

定 に よ り,

あ る こ とは直 接計 算 に よ り

確 か め ら れ る. 

  定 理5.29は,摂

■

動 パ ラ メ ー タ ー の 大 き さ￨κ￨が 十 分 大 き け れ ば,H(κ)は

値 を も つ こ と を 示 す も の で あ り,興 味 深 い.た

固有

だ し,こ の 場 合 の 固 有 値 は,埋

蔵

固 有 値 μ0の"変

容"と

い う よ り も,む

し ろ,強

結 合 領 域―￨κ￨の

に 特 有 の 新 し い 数 理 的 現 象 と み る の が 自 然 で あ る.定 ラ メ ー タ ー￨κ￨の 変 化 に お い て,￨κ￨が

を"通

過 す る"際

(critical point)と   一般

に,量

理5.28も

大 きい 領 域― 考 慮 す る と,パ

点

に 劇 的 な 変 化 が 起 こ る わ け で あ る.こ

の 種 の 点 を摂 動 の 臨 界 点

呼 ぶ.

子 力 学 や 量 子 場 の 理 論 に お い て,ハ

ミ ル トニ ア ン の 強 結 合 領 域 で

独 自 に 出 現 す る 構 造 な い し 効 果 を 非 摂 動 的 構 造(nonpeturbative た は 非 摂 動 的 効 果(nonperturbative   フ リ ー ド リ ク ス モ デ ルH(κ)に

effect)と

structure)ま

い う.

お け る 固 有 値Em(κ)の

出 現 は非 摂 動 的 効 果 の

一 つ とみ なせ る .

  5.7.4    H0の

レ ゾ ル ヴ ェ ン トと ス ペ ク トル

埋 蔵 固 有 値 μ0が 摂 動 κHIの

在 す る か ど う か を調 べ る た め に,ま

も と で 消 え て し ま う場 合 に,共

ず,H(κ)の

鳴極が存

レ ゾ ル ヴ ェ ン トが ど うい う 形 で

与 え ら れ る か を み よ う.   z∈C＼IRと

し(し

た が っ て,z∈〓(H(κ))),任

対 し て,(H(κ)-z)-1Ψ=(ω,φ)と

お く.こ

意 の Ψ=(η,ψ)∈HFに の とき

この 連 立 方 程 式 を ω と φ につ い て 解 け ば

(5.98) を 得 る.た

だ し

(5.99)

 

した が っ て

(5.100) この 形 か ら,H(κ)の

レゾ ル ヴェ ン トの性 質 に とっ て,関 数D(z)の

な役 割 を演 じる こ とが 推 察 され る.そ こで,こ 補 題5.30 

関 数D(z)は

性質が重要

の 関数 の性 質 を調 べ よ う.

切 断平 面

(5.101) で 解 析 的 で あ る.さ  

(ⅰ) (5.94)が

ら に,次

(ⅱ)が 成 立 す る:

成 り立 つ と き,D(z)はCmの

て,1/D(z)はCmで

中 に 零 点 を も た な い.し

たがっ

解 析 的 で あ る.

  (ⅱ) (5.95)が Em(κ)だ

の(ⅰ),

成 り立 つ と き,D(z)のCmに

け で あ る.し

お け る 零 点 は 定 理5.29に

た が っ て,1/D(z)はCm＼{Em(κ)}で

い う

解 析 的 で あ る.

証 明   最 初 の 主 張 を 証 明 す る の は 容 易 で あ る.方

程 式D(z)=0…(*)を

すz∈Cmをz=x+iy(x,y∈IR)と

そ の 実 部 と 虚 部 が と も に0と

し,(*)を

い う 条 件 で 吟 味 す る こ と に よ り ,y=0で た が っ て,D(x)=0.こ

れ と 定 理5.28と

が 出 る. 

定 理5.31 

満 た

な け れ ば な ら な い こ と が わ か る.し 定 理5.29の

証 明 か ら(ⅰ), (ⅱ)の 主 張 ■

(ⅰ) (5.94)が

成 り立 つ と き

(5.102) (ⅱ) (5.95)が

成 り立 つ と き

(5.103)

証 明   (ⅰ)  (5.100)の 的 で あ り,z∈C＼IRな

が 成 り立 つ.任

す る と,こ れ はCmで

対 して,z=x+iε,

Φ ∈HFが

任 意 のz∈Cmに

ρ(H(κ)).ゆ

解析

らば

ε>0と

し,ε→0の

稠 密 で あ る こ と を使 え ばT(x)(H(κ)-x)Ψ=Ψ,

(H(κ)-x)T(x)Φ=Φ,

Cm⊂

関 数 をT(z)と

意 のx∈(-∞,m)に

を と り,D(H0)が

式(5.100)は

右 辺 のB(HF)値

導 か れ る.こ

れ はx∈

極限

Ψ ∈D(H0), ρ(H(κ))を

対 し て 成 り 立 つ こ と が わ か る.し

意 味 し,

た が っ て,

え に,σ(H(κ))⊂[m,∞).

  (ⅱ)  (ⅰ)と 同 様. 

■

  定 理5.31は

次 の こ と を 語 る:弱

で は,H(κ)は

基 底 状 態 を も た な い が,強

領 域― で はH(κ)は

結 合 領 域― 条 件(5.94)を

基 底 状 態 を も つ.こ

底 状 態 が 現 れ る こ と を 意 味 す る.こ binding)と

  5.7.5 

い う.こ

満 たす κ の 領 域―

結 合 領 域― 条 件(5.95)を れ は,強

満 たす κの

結 合 領 域 に お い て 初 め て,基

の よ う な 現 象 を 束 縛 の 高 ま り(enhanced

れ も た い へ ん 興 味 深 い 現 象 で あ る.

解 析 接 続 と共 鳴 極

  こ の 項 を 通 し て,(5.86)を トに つ い て,無

仮 定 す る.ハ

ミ ル トニ ア ンH(κ)の

摂 動 系 の ハ ミ ル トニ ア ンH0の

レゾ ル ヴ ェ ン

固 有 ベ ク トル Ω0に 対 す る 行 列

要素

(5.104) の 解 析 接 続 を 考 え る.(5.100)に

よっ て

(5.105) し た が っ て,D(z)の

解 析 接 続 を考 え れ ば よ い.こ

こ で は,簡

単 のため

(5.106)

の 場 合 に つ い て の み 論 述 す る*30.こ

の とき

ただ し

(5.107) 関 数gは

次 の 条 件 を満 たす とす る:

  (g.1) g∈L2(IR)でgはIR上

連 続 で あ り,￨g(k)￨>0, k>0か

つsupk∈IR￨g(k)￨2
0はj

番 目 の 量 子 的 粒 子 の 質 量 を 表 す.

 定 理7.10 

H(N)0は 純 粋 に絶 対 連 続 で あ り

(7.29)   証 明 

は す でに 証 明 し た の で([6]の

す る 絶 対 連 続 部 分 空 間 がL2(IRdN)で う に,H(N)0は-Δxに

Δx=Δ

あ る こ と を 示 せ ば よ い,第2章

ユ ニ タ リ 同 値 で あ る の で,定

対 連 続 部 分 空 間 がL2(IRdN)で

定 理3.28),H(N)0に

理7.7に

あ る こ と を 示 せ ば よ い.証

絶

明 を 通 じ て,n=dN,

とす る.

のp. 299,

(3.60)式).た

だ し, 

よ る か け 算 作 用 素 で あ る.k2の

に よ っ て 与 え ら れ る.し

で あ り,kjは

径1の

球 面)と

た が っ て 

し,n次

([6] 運動量座標 関数

ス ペ ク トル 測 度 は

と し よ う.  面(半

で 示 した よ

よ っ て,-Δxの

を フ ー リ エ 変 換 とす れ ば, 

kjに

関

と し, を(n-1)次

元 の 極 座 標 変 換 

元 の単 位 球 を使 え ば

と 書 け る.た

だ し,dS(ω)は, 

的 な 測 度 で あ る.こ た が っ て,任 n=1の

の 式 か ら,￨B￨=0な

意 の

ら ば, 

は,-Δ

の標準 と な る.し

に 関 す る 絶 対 連 続 部 分 空 間 に は い る.

場 合 も 同 様. 

  定 理7.10と

系7.11 

と な る,Sn-1上

定 理7.6に

■

よ り,次

関数f:IR→IRは

の 事 実 が 得 ら れ る:

ボ レ ル 可 測 で, 

を 満 た す もの とす る.ま ラ シ ア ン と す る(n∈IN).こ 例7.9 

た,Δ

な ら ば,常

を 

の と き,f(-Δ)は

を 定 数 とす る と き,自

に

上の一般化 されたラプ

純 粋 に 絶 対 連 続 で あ る.

由 な 相 対 論 的 シ ュ レー デ ィ ン ガー 作 用 素

は 純 粋 に 絶 対 連 続 で あ る(∵

関 数 

は系

7.11の 仮 定 を 満 た す*10). 例7.10 

任 意 の 正 の 実 数 α>0に

対 して,(-Δ)α

と 同様 に して,関数 

  7.2.5 

は純 粋 に絶 対 連 続 で あ る(∵

は 系7.11の

前例

仮 定 を満 た す こ とが 示 さ れ る).

自由 なデ ィラ ッ ク作 用 素 の純 粋 絶 対 連 続 性

 前 著[6]の3.4.3項

を 考 察 し た.こ

で 自 由 な デ ィ ラ ッ ク作 用 素

こ で,αj,β

は4次

の エ ル ミー ト行 列 で 反 交 換 関 係

(7.30) (j,k=1,2,3)を

満 た す も の で あ り,m>0は

ラ ッ ク 粒 子 と い う― の 質 量 を 表 す.HDが *10 任 意 のB∈B1に

量 子 的 粒 子― い ま の 場 合,デ 働 く ヒ ル ベ ル ト空 間 は 

対 して , 

に 注 意.右

辺 は￨B￨=0な

ら ば0で

あ る.

ィ で

あ る. 

上の作用素Aか ら定 まる直和作用素  

上 の作用素― も簡単の ため,し ば しば,単 にAと 記す*11.次 の事実 を証明 し よう. 定 理7.12 HDは

純 粋 に絶 対 連 続 で あ る.

証 明 

を フ ー リ エ 変 換 と す る*12.し

た が っ て,

そ れ は ユ ニ タ リで あ り,作 用 素 の 等 式

(7.31) が 成 り立 つ.関

数 

を

(7.32) に よ っ て 定 義 し,ω に よ る か け算 作 用 素 をω で 表 す.容 は 自 己 共 役 で 全 単射 で あ る.さ ら に,ω-1は

が 成 り立 つ*13.ま

た1±mω-1は

易 に わか る よ う に,ω

有界で あ り

非 負 の 有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.し

た

が って

(7.33) は 有 界 な 自 己 共役 作 用 素 で あ る.｜k￨に よ るか け算 作 用 素 を同 じ記号￨k￨で 表 す. 任 意 の 

に対 して の

3.29の 証 明 にお け るK(ψ)の

補題

計 算 を参 照)で あ る か ら

(7.34) *11  こ う し て も

,ど の ヒ ル ベ ル ト空 間 の 作 用 素 と し て み て い る か を 明 晰 に把 握 して い れ ば 混 乱 は 生 じ な い で あ ろ う. *12 上 の 規 約 に し た が っ て ,  *13 実 際 に は等号 が 成 り 立 つ(演

習 問 題3)

.

は 定 義 域 をD(￨k￨-1)と

す る有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.D(￨k￨-1)は

あ る か ら,Sは 

稠密で

上 の 有 界 な 自己 共 役 作 用 素 へ と一 意 的 に拡 大 され る.

こ の 拡 大 も 同 じ記号Sで

表 す .u±,Sを

用いて

(7.35) を 定 義 す る.こ

の と き,uは 

上 の ユ ニ タ リ作 用 素 で あ り,(7.30)を

用 いる直接計算 に よ り

(7.36) を 証 明 す る こ とが で き る(こ れ は,αj,β の 具 体 的 な 行 列 表 示 を用 い な い で 証 明 さ れ る こ と を 強 調 し て お く).[6]のp. と お く と,こ

308で

み た よ う に ,uD=α1α2α3β

れ は エ ル ミ ー トか つ ユ ニ タ リ で あ り,UDβuD-1=-β

こ れ は,σ(β)=σ(-β)を つ.こ

307∼p.

れ と β2=I

意 味 す る か ら ,λ

,β ≠Iか

つ β=-Iと

∈ σ(β)⇔-λ

が 成 り立 つ. ∈ σ(β)が 成 り立

い う事 実 を使 え ば

(7.37) で あ り,固

有 値 ±1の 多 重 度 は そ れ ぞ れ2で

次 の ユ ニ タ リ行 列wが

と対 角 化 で き る.ゆ

あ る こ と が わ か る.し

た が っ て ,4

あって

え に,hDは

(7.38) と対 角 化 さ れ る.以

上 を ま とめ る と,UD:=F-1wuFと

お け ば,こ れ は

上 の ユ ニ タ リ変 換 で あ り,HDは

(7.39) とい う形 に対 角 化 され る こ とが わ か っ た.右 る こ とが 示 され る(演 習 問題4).ゆ

辺 の 作 用 素 は純 粋 に絶 対 連 続 で あ

え に題 意 が したが う. 

■

7.3 

散乱 理 論 の 一般 的枠 組 み

  こ の節 で は,散 乱 理 論 の 一 般 的 枠 組 み を論 述 す る.ま ず,7.1節

で 言 及 した波

動 作 用 素 の厳 密 な定 義 を よ り普 遍 的 な形 で行 い,そ の 基 本 的性 質 を調 べ る.

  7.3.1  波 動 作 用 素   H1,H2を

複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間,Hj(j=1,2)をHj上

る.一 般 に,自 己 共 役 作 用 素Aの で 表 す.J:H1→H2を

の 自己 共 役 作 用 素 とす

絶 対 連 続 部 分 空 間 へ の 正 射 影 作 用 素 をPac(A)

有 界 線 形 作 用 素 とす る.7.1節

の 発 見 法 的 考 察 か ら次

の 定 義 へ と導 か れ る:作 用 素

(7.40) の強極限

(7.41) が 存 在 す る と き,こ

れ を 三 つ 組(H2,H1,J)に

の 定 義 は 次 の 二 つ の 点 に お い て,7.1節 な っ て い る:(ⅰ)ヒ

ル ベ ル ト空 間H1とH2が

う 作 用 素 が 導 入 さ れ て い る.い

付 随 す る 波 動 作 用 素 と い う.こ

で 言 及 した波 動 作 用 素 の概 念 の一 般 化 に 必 ず し も 同 じ で は な い.(ⅱ)Jと

う ま で も な く,H1=H2,J=Iの

用 素 論 に お け る 第 一 段 階 的 レ ヴ ェ ル で あ る.だ 理 的 に 自 然 で あ り,応

用 上 も 威 力 を 発 揮 す る.以

と き,「 波 動 作 用 素W±(H2,H1;J)は   H1=H2,J=Iの

が,い

い

場合が波動作

ま 言 及 し た 一 般 化 は,数

下,(7.41)の

右 辺が存在す る

存 在 す る 」 と い う い い 方 を す る.

場 合 の 波 動 作 用 素 を 

と記 す:

(7.42)   波 動 作 用 素 が 存 在 す る か 否 か はH2,H1,Jの

性 質 に よ る.波 動 作 用 素 の 存 在

条 件 につ い て は 後 ほ ど議 論 す る こ とに して,ま ず,波 動 作 用 素 が 存 在 した と し て,そ の 性 質 が どの よ う な もの で あ るか を調 べ る.

命 題7.13 

波 動 作 用 素 

が 存 在 す る と き,次

の(ⅰ)∼(ⅳ)が

成

り立 つ*14.

(ⅰ)  す べ て のs∈IRに

対 して

(7.43) (ⅱ) す べ て の 

に対 して 

であ り

(7.44) す なわち

(7.45) (ⅲ) す べ て の 

に対 して

(7.46)   (ⅳ)  EH2,

EH1を

レ ル 集 合B⊂IRに

そ れ ぞ れ,H2,

H1の

ス ペ ク トル 測 度 と す れ ば,す

べ てのボ

対 して

(7.47) 証 明   (ⅰ)任意 のs∈IRに

こ こ で,exp(isH1)とPac(H1)は 右 辺 は 

可 換 で あ る こ と(∵

定 理7.3)に

注 意 す れ ば,

に 等 し い.

  (ⅱ)(ⅰ)か ら,任

s→0と

対 して

意 の 

に対 し て

す れ ば,右 辺 は 

に 収 束 す る.し

ン の 定 理 に よ り,  *14 以 下 の 諸 式 にお い て は ,±

で あ り,(7.44)が は複 号 同順 で 読 む.

た が っ て,ス 得 ら れ る.

トー

  (ⅲ)こ

れ は(ⅱ)を

  (ⅳ)(ⅲ)と

使 え ば 容 易 に わ か る.

ス トー ン の 公 式([6]の

  上 の 命 題 か ら,波

定 理3.10)を

動 作 用 素 の 値 域 に つ い て,次

系7.14 

用 い れ ば よ い. 

■

の 基 本 的 な 結 果 が 導 か れ る:

は 存 在 す る と し よ う.こ

の とき

(7.48) 証 明   Pac(H1)の

冪等性 に より

(7.49) 任 意 のB∈B1に

対 し て,Pac(H1)とEH1(B)は

命 題7.13-(ⅳ)か

ら,任

意 の Ψ ∈H1に

Pac(H1)Ψ

∈Hac(H1)で

る の で,上

式 の 右 辺 は0と

れ らの事 実 と

対 して

あ る か ら,￨B￨=0な

ら ば, 

であ

な り,し た が っ て, 

こ れ は, 

命 題7.15 

可 換 で あ る.こ

を 意 味 す る. 

波動 作 用 素 

■

が と もに存 在 す れ ば

(7.50) 証 明  系7.14か

ら

(7.51) し た が っ て,任

意 の Ψ ∈H1,Φ

∈H2に

対 して

ゆ え に,(7.50)が

成 り立 つ. 

■

  H3を 複 素 ヒル ベ ル ト空 間,H3をH3上 とす る.も し,波 動 作 用 素 

の 自己 共役 作 用 素 と し,  が と も に存 在 す

る な らば,そ れ らの 合 成  が 

が 考 え られ る.こ

れ

に付 随 す る波 動 作 用 素 に な る とい う調 和 的 関 係 につ い て 言 明

した の が 次 の定 理 で あ る. 定 理7.16 

(結 合 法 則(chain

rule)) 

に存 在 す る と し よ う.こ の と き, 

が とも も存 在 し

(7.52) が 成 り立 つ. 証 明  任 意 のt∈IRに

対 して

(7.53) と変 形 で き る.た (7.53)の

だ し, 

右 辺 の 第 一 項 は,t→

± ∞ の と き, 

強 収 束 す る か ら,R(t)が,t→ が 得 ら れ る.実

際,任

こ こで,系7.14を   作 用 素Jを

±∞

意 の Ψ ∈H1に

の と き0に

に 強 収 束 す る こ と を 示 せ ば(7.52)

対 して

用 い た. 

■

有 界 作 用 素 の あ る ク ラ ス の 中 に制 限 した場 合 に は,波 動 作 用 素 は

次 の定 理 に述 べ る 意 味 で 良 い 性 質 を もつ こ とが 見 い だ され る. 定 理7.17 

作 用 素Jに

つ いて

(7.54)

が 成 り立 つ と し,波 動 作 用 素  の(ⅰ),(ⅱ)が  

が 存 在 す る と す る.こ

の と き,次

成 立 す る.

(ⅰ) 

は,始 空 間 をHac(H1)と

す る 部 分 等 長 作 用 素 で あ る*15.

す なわ ち

(7.55)

(7.56) 特 に, 

はHac(H1)か

リ 作 用 素 で あ る.こ

へ のユ ニ タ

の ユ ニ タ リ 作 用 素 を 

  (ⅱ) R± はHac(H2)の に お け る 部 分H2￨R± (H1)acと

ら  と書 く.

閉 部 分 空 間 で あ り,H2を

は, 

簡 約 す る.さ

を 介 して,H1の

ら に,H2のR±

絶 対 連 続 部 分 

ユ ニ タ リ 同 値 で あ る:

(7.57) 注 意7.3 

条 件(7.54)は,H1=H2,J=Iの

場 合 に は,自

明 的 に 成 り 立 つ.

証 明   証 明 を 通 し て,    (ⅰ)任 意 の Ψ ∈H1に

対 して

こ れ は(7.55),(7.56)を

意 味 す る.

  (ⅱ)  R± の 閉 性 は,W± す た め に,H2か の Ψ ∈H2に (7.46)に

らR±

の 部 分 等 長 性 か ら 出 る.H2のR± へ の 正 射 影 作 用 素 をP±

対 し て, 

よ り,す

*15 部 分 等 長(等

と お く.

べ て のz∈C＼IRに

距 離)作

用素については

と し よ う.し

と な る Φ ∈Hac(H1)が 対 して

,[5]の2.6.3項

を 参 照.

に よる簡 約 性 を示 た が っ て,任 存 在 す る.こ

意 れ と

した が っ て,  す る.ゆ

こ れ は 

え に,R±

はH2を

  任 意 の 

立 つ.こ

簡 約 す る. は, 

き,(7.45)に

を意 味

よ り, 

と 書 け る 

.こ

で あ り 

れ は, 

を 意 味 す る.両

る か ら,そ

れ ら は 一 致 し な け れ ば な ら な い. 

注 意7.4 

(7.57)は

の と

が成 り 辺 と も に 自己 共 役 で あ ■

(7.58) す なわ ち,波 動 作 用 素 の存 在 は,H1,H2の

絶 対 連 続 スペ ク トル に 関 す る 一 つ の

関 係 を導 く.こ れ も散 乱 理 論 にお け る重 要 な結 果 の 一 つ で あ る.

  7.3.2  散 乱 作 用 素 と完 全 性   7.1節 で は波 動 作 用 素 か ら散 乱 作 用 素 が 定義 され る こ と を示 唆 した.こ れ に な ら って,波 動 作 用 素 

が存 在 す る と き

(7.59) に よ っ て 定 義 さ れ る 作 用 素 を(H2,H1,J)に operator)と

呼 ぶ.こ

の 作 用 素 の 基 本 的 な 性 質 は 次 の 定 理 で 与 え ら れ る.

定 理7.18   

は 存 在 す る と仮 定 す る.

(ⅰ) S(H2,H1;J)とH1は

S(H2,H1;J)が   (ⅱ) H1=H2の

付 随 す る 散 乱 作 用 素(scattering

強 可 換 で あ る.す

な わ ち,S(H2,H1;J)H1⊂H1

成 り立 つ. と きH2,H1と

強 可 換 な 任 意 の ユ ニ タ リ 作 用 素Uに

対 して

(7.60) 特 に, 

な ら ば,S(H2,H1;J)とUは

可 換 で あ る.

  (ⅲ)  条 件(7.54)を

仮 定 す る.こ

の と き,S(H2,H1;J)がHac(H1)上

のユニ

タ リ作 用 素 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は

(7.61) と な る こ と で あ る.

証 明   証 明 を 通 し て,  とお く.   (ⅰ)  Ψ

∈D(H1)と

す れ ば,(7.44)に

よ っ て, 

(最 後 の 等 式 は  Tを

有 界 作 用 素,Xを

成 り立 つ.こ れ と(*)に

に よ る).一

の 事 実 を(7.44)の よ り,SΨ

共 役 関 係 に 応 用 す る と .こ

∈D(H1)で

  (ⅱ)  仮 定 に よ り,す

あ り,SH1Ψ=H1SΨ

べ て のt∈IRに

が 結 論 さ れ る.

対 し て 

し た が っ て,  意 の Ψ,Φ ∈Hac(H1)に

こ れ は,(7.60)を

ゆ え に,任 対 して

意 味 す る.

  (ⅲ) 条 件 の 十 分 性 は,定 め に,SがHac(H1)上

理7.17か

な る 

が 存 在 す る.仮

が 存 在 す る.し を 意 味 す る.ゆ   も 

え ば よ い. 

ら 明 ら か で あ ろ う.条

で ユ ニ タ リで あ る と し よ う.任

 と な る 

れ は, 

般 に,

稠 密 な 定 義 域 を も つ 作 用 素 と す れ ば(TX)*=X*T*が

え に 

た が っ て, 

件 の 必 要 性 を示 す た

意 の Ψ ∈R+に

定 に よ り, 

対 して と こ

こ の 逆 の 包 含 関 係 を 示 す に は,

上 の ユ ニ タ リ で あ る こ と に 注 意 し て,同 様 の 議 論 を 行 ■

注 意7.5 

定 理7.18は,Uが

U*JU=Jが

量 子 系 の 対 称 性 を 表 す 群 の ユ ニ タ リ 表 現 で あ り,

成 り 立 つ 場 合,そ

の 表 現 の 不 変 部 分 空 間 に お い て,散

考 察 す る こ と を 可 能 に す る(演 習 問 題7を

散 乱 作 用 素S(H2,H1;J)がHac(H1)上 ク トル Ψ,Φ ∈Hac(H1)に

乱作 用素 を

参 照).

の ユ ニ タ リ 作 用 素 で あ る と き,単

対 し て 

の 散 乱 の 遷 移 確 率 振 幅 と い い,そ

位 ベ

を 状 態 Ψ か ら状 態 Φ へ

の 絶 対 値 の2乗 

を状

態 Ψ か ら 状 態 Φ へ の 散 乱 の 遷 移 確 率 と 呼 ぶ*16.   条 件(7.54)の

も と で,性

質(7.61)が

意 味 で 漸 近 的 に 完 全 で あ る,ま t=-∞

で の 漸 近 的 配 位 の 全 体 とt=∞

よ っ て,1対1に

で の漸 近 的 配位 の全 体 が散 乱 作 用 素 に

は,「 弱 い 漸 近 的 完 全 性 」 よ り も強 い 漸 近 的 完 全

性 の 概 念 を 考 え る こ と が で き る.こ た 散 乱 の 描 像 に 戻 ろ う.今

れ を 説 明 す る た め に,再

度 は,Hs,K0の

簡 単 の た め,H1=H2,J=Iと

と き,"時

か わ り にH2,H1を

す る).7.1節

記 述 さ れ る 系― こ れ を 仮 にH2-系

の 散 乱 に 関 す る もの で あ っ た.言

に お け るH2-系

と い う 型 の 状 態―

が"時 か し,も

"時 間 漸 近 的 に 自 由 な"状

考 え る(た

で 記 述 し た の は,全

い 換 え れ ば,初

だ し,

ハ ミ ル トニ ア の

期 条 件 を,t→-∞

に お い て,

の 時 間 発 展 を 問 題 に し た の で あ っ た.

の 任 意 の 散 乱 状 態― 

間 漸 近 的 に 自 由 な"状 し,t→-∞

で 略述 し

で あ る と した 場 合

そ の よ う な 状 態 に 設 定 し た 場 合 のH2-系 し か し,t→-∞

び,7.1節

と 呼 ぼ う― の 状 態 が,t→-∞

間 漸 近 的 に 自 由 な"状 態 

事 柄 で は な い.し

弱 い の 場 合,

対 応 づ け ら れ る.

  そ の 命 名 が 示 唆 す る よ う に,実

ン がH2で

成 り立 つ と き,W±(H2,H1;J)は

た は 弱 い 漸 近 的 完 全 性 を も つ と い う.こ

態 に漸 近 す る か ど うか は 自明 な

に お け るH2-系

態 で つ く さ れ る とす れ ば

,任

のすべての散乱状態が 意 の Ψ ∈Hac(H2)に

対

して

とな る 

が存 在 しな けれ ば な らない.こ れ は 

を意 味 す る か ら,  *16 この 命 名 の背 後 にあ る物 理 的 な描 像 につ いて は7

と な る.こ の逆 の 包 含 関 係 は

.1節 で ふ れ た.散 乱作 用 素 の ユ ニ タ リ 性 は散 乱 の過 程 にお け る金 確 率 の 保 存 の た め に要 請 され る.

す で に知 ら れ て い る か ら(系7.14),結

局 

が成

り立 つ こ と に な る.同 様 に,t→+∞

に お け るH2-系

の散 乱 状 態 の 全 体 が"時

間漸 近 的 に 自由 な"状 態 で つ くされ る とす れ ば,  で な け れ ば な らな い.   以 上 の発 見 法 的 考 察 か ら次 の定 義 へ と到 る: 定 義7.19 

条 件(7.54)が

成 立 し,波 動 作 用 素 

が存在 する と

す る.こ の と き

(7.62) が 成 り立 つ な ら ば,波

動 作 用 素 

は 完 全 で あ る と い う.

  こ の 完 全 性 の 条 件 は,重

要 な 結 果 を 導 く:

定 理7.20 

満 た さ れ,波

条 件(7.54)が

つW±(H2,H1;J)は  

動 作 用 素W±(H2,H1;J)は

完 全 で あ る と し よ う.こ

(ⅰ) W±(H2,H1;J)はHac(H1)か

の と き,次 の(ⅰ),(ⅱ)が

らHac(H2)へ

存 在 し,か 成 り立 つ:

の ユ ニ タ リ作 用 素 で あ り

(7.63) し た が っ て,特

に

(7.64)   (ⅱ) S(H2,H1;J)はHac(H1)上

の ユ ニ タ リ作 用 素 で あ る.

証 明   (ⅰ)W±(H2,H1;J)が

完 全 で あ れ ば, 

の 事 実 と 定 理7.17-(ⅱ)か

ら 題 意 が 成 立 す る.

  (ⅱ)定 理7.18-(ⅲ)に

注 意7.6  こ う し て,ス

こ

よ る. 

(7.64)は,H1,H2の

■

絶 対 連 続 ス ペ ク トル が 等 し い こ と を 意 味 す る.

ペ ク トル 理 論 の 観 点 か ら み る と,散

ス ペ ク トル の 同 定 に 使 う こ と が で き る.

乱 理 論 と い う の は,絶

対連続

  た と え ば,シ

ュ レ ー デ ィ ン ガ ー型 作 用 素 

の 場 合 で い え ば,

 に付 随 す る 波 動作 用 素 が 完 全 とな る よ う なVの

ク ラ ス に対 して は

と同 定 で きる わ け で あ る.   こ の 意 味 に お い て,散 乱 理 論 とい う の は,純 数 学 的 に は,絶 対 連 続 ス ペ ク ト ル に 関 す る摂 動 論 の 一 つ の重 要 な ク ラ ス とみ る こ とが で き る.  定 義7.19に

お け る完 全 性 の概 念 よ り もさ らに強 い完 全 性 の概 念 を定 義 す る こ

とが で き る.す な わ ち

(7.65) が 成 り 立 つ と き,W±(H2,H1;J)は

漸 近 的 に 完 全 で あ る と い う.実 際,容

わ か る よ う に,W±(H2,H1;J)が か つHsc(H2)=0で 定 義 さ れ る,波 間"に

漸 近 的 に 完 全 で あ る こ とは そ れ が完 全 で あ り

あ る こ と と 同 値 で あ る.し 動 作 用 素 の 完 全 性 は,弱

た が っ て,定

義7.19に

よっ て

い 意 味 で の 完 全 性 と 漸 近 的 完 全 性 の"中

あ た る 完 全 性 の 概 念 で あ る.

7.4 

  前 節 に お い て,散

波動 作 用 素 の存 在 に対 す る判 定 条件

乱 理 論 の 一 般 的 構 造 が 明 ら か に さ れ た の で,次

素 の 存 在 条 件 に つ い て 考 察 し よ う.波 る に は,任 t→

易 に

意 の Ψ ∈Hac(H1)に

± ∞ の と き,tに

動 作 用 素W±(H2,H1;J)の

対 して,ベ

に波 動 作 用 存 在 を証 明す

ク トル 

が,

関 して コ ー シ ー 列 を な す こ と,す な わ ち,  を 示 せ ば よ い.し

い う 条 件 を 満 た せ ば(*)が

た が っ て,問

題 は,H1,H2,Jが

どう

成 り立 つ か を 調 べ る こ と で あ る.

  そ の た め の 一 つ の ア イ デ ア は,IR上

の 関 数 

お け る 極 限 の 存 在 を 示 す 次 の 方 法 か ら 示 唆 さ れ る:も  を 満 た す と す れ ば,任

意 の 

に し,fが

連 続微分可能 で

に対 して

s0)が

素 で あ る こ と を 意 味 す る.t>0な

関 数Pt(x,y)を ら ば,積

積 分 核 とす る 積 分 作 用

分 に関 す る シ ュ ヴ ァル ツの 不 等 式 に

*19 確 率過 程 に関 す る一 つ の物 理 的描像 は次 の よ うな もの で あ る .ラ ン ダムな運 動 をす る粒 子 を考 え よ う(た とえば,非 常 に細 か く砕 い た花 粉 が 水 の 中 を運 動 す る場 合).そ の よう な 運 動 に お い ては,時 刻tで の位 置X(t)∈IRdは 確 率 的 に分 布 す る.し たが っ て,X(t) は,あ る確 率 空 間(Ω,B, P)上 のIRd-値 確 率 変数 とみ なす の が 自然 で あ る.こ の場 合, 考 察 下 の 運動 は確 率 変 数 の集 合{X(t)}t∈[0,T](T>0は 定 数)― 確 率 過程― に よ って 記 述 され る と予 想 され る.こ の 枠組 み で は,い う まで もな く,粒 子 の時 刻tで の位 置 に つ い て は確 率 的 に予 言 で きる だ けで あ る.す な わ ち,粒 子 が 時 刻tで 集合B⊂IRdの 中 にあ る確率 はP({ω 本 関数ζω はIRd内

∈ Ω￨X(t)(ω)∈B})で

あ る と解 釈す るの で あ る.こ の 場 合の 標

の 曲線(粒 子 の 可能 な軌 道 曲 線 の一 つ)を 表 す.

   

よ り

し た が っ て,(8.32)の さ ら に,ル xに

右 辺 は 各 点x∈IRdご

と に 定 義 さ れ た 有 界 な 関 数 で あ る.

ベ ー グ の 優 収 束 定 理 を 応 用 す る こ と に よ り,(8.32)の

つ い て 連 続 で あ る こ と も 証 明 さ れ る.ゆ

と は,L2(IRd)の 味 で,各

元 で あ る が,IRd上

点x∈IRdの

値(e-tH0ψ)(x)に

積分核Pt(x,y)の基本的性質

補 題8.13 

t,s>0と

右 辺 の 関数 は

え に,e-tH0ψ(t>0)は,も

とも

の 有 界 な 連 続 関 数 と 同 一 視 さ れ る.こ

の意

つ い て 語 る こ と が で き る. 

を み て お こ う.

す る.

(ⅰ) Pt(x,y)>0,∀x,y∈IRdか

つ∫IRdPt(x,y)dy=1,∀x∈IRd.

(ⅱ) (鎖 則)∫IRdPt(x,y)Ps(y,z)dy=Pt+s(x,z),∀x,z∈IRd.

証 明  直接 計 算.  注 意8.5 

■

(ⅱ)は 半 群 特 性e-tH0e-sH0=e-(t+s)H0と

呼 応 し て い る.こ

れを

用 い て 証 明 し て も よ い.

定 理8.14  る.こ

ψ1,…,

ψn-1∈L∞(IRd),ψn∈L2(IRd),0〓t1〓

…

〓tnと

す

の と き

(8.33) と書 け る.た

だ し

で 定 義 さ れ る,(IRd)n上

証 明  s1=t1,

の 測 度 で あ る*20.

s2=t2-t1,…,sn=tn-tn-1と

ら,j=1,…,n-1に

お く.ψjに

対 し て ψje-sj+1H0…

た が っ て,(8.32)を

繰

つ い て の 条 件 か

ψn-1e-snH0ψn∈L2(IRd).し

り返 し用 い る こ と に よ り

(8.35) さらに

で あ り,補

題8.13に

し た が っ て,フ で よ い.ゆ

ビ ニ の 定 理 が 応 用 で き る の で,(8.35)に

え に(8.33)が

  補 題8.13を る.す

よ り

出 る.  ■

用 い る とdμt1,…,tn;xは(IRd)n上

な わ ち,μt1 ,…,tn;x((IRd)n)=1.し

上 の 確 率 ベ ク トル(Xt1,…,Xt に は,(8.33)の A. 8の 定 理A.

,B)上

応 用*21).こ

れ は,適

れ を 用 い て,ト

書 け る([3]ま

,確

当 な確 率 空 間

切 な ク ラ ス のVに

対 し て(e-tHψ)(x)=

成 り立 つ と き,dμ(x)=f(x)dν(x)と 率 空 間(Ω,B,μ)上 の 確 率 変 数Xに

期 待 値 を 表 す.

の場 合

た は[4]の

付録

ロ ッ タ ー の 積 公 式 を 経 由 し て,

の 二 つ の 測 度 μ,ν と 可 測 関 数f:X→Cに

∫Bf(x)dν(x),∀B∈Bが *21 同 付 録 で 述 べ た よ う に ∫ΩX(ω)dμ(ω)はXの

た が っ て,そ

ψn(Xtn)]と

発 見 法 的 ・形 式 的 な 議 論 を 行 う と,適 *20 可 測 空 間(X

の 確 率 測 度 で あ る こ とが わ か

n)の 分 布 に な っ て い る 可 能 性 が あ り,そ

右 辺 はE[ψ1(Xt1)… 19の

お け る積 分 順 序 は任 意

つ い て,μ(B)= 象 徴 的 に 記 す. 対 し て,E(X):=

  が 成 立 す る こ と が 予 想 さ れ る.こ (t〓0)の

う し て,熱 半 群e-tHV

汎 関 数 積 分 表 示 を 厳 密 に確 立 す る 問 題 は,確 率 変 数 の 族{Xt}t〓0で,任

意 の 自 然 数nと0〓t10に

ュ ヴ ァル ツ の 不 等 式 に よ っ て

が 成 り立 つ.も はR→∞

件(9.117)と(9.119)は

し,(9.117),(9.119)が

の と き,有

限 値 に 収 束 す る.だ

あ る.  こ う して,次

の 定 理 が 得 ら れ る.

と も に 満 た さ れ て い る とす れ ば,右 が,左

辺

辺 は 無 限 大 に な る か ら矛 盾 で

定 理9.23 

ウ ィ ッ テ ンモ デ ル の 超 対 称 的 ハ ミ ル トニ ア ンHが

態 を も つ た め の 必 要 十 分 条 件 は(9.117)ま る こ と で あ る.そ

の 場 合,次

  (ⅰ) (9.117)が

満 た さ れ る 場 合,Hの

に 限 ら れ る.特

た は(9.119)の

零 エ ネ ル ギ ー状

ど ち らか が 満 た され

が 成 立 す る: 零 エ ネ ル ギ ー 状 態 は(eW,0)の

定数倍

に,

(9.121)   (ⅱ) (9.119)が

満 た さ れ る 場 合,Hの

倍 に 限 られ る.特

に,

零 エ ネ ル ギ ー 状 態 は(0,e-W)の

定数

(9.122)   こ の 定 理 の 一 つ の 帰 結 は 次 で あ る: 系9.24 

(9.117)と(9.119)の

す な わ ち,Hの

ど ち ら も満 た さ れ な い な ら ば,kerH={0},

零 エ ネ ル ギ ー 状 態 は 存 在 し な い.し

た が っ て,こ

の 場 合,超

対

称 性 は 自 発 的 に破 れ て い る.   こ う し て,ウ ン シ ャ ルWの

  9.5.3 

ィ ッ テ ン モ デ ル に お い て は,超 特 性 に依 存 す る こ とが わ か る.

多 項 式 型 超 ポ テ ン シ ャル

  こ の 項 で は,Wが と し,Wがq次

対 称 性 の 自発 的 な破 れ は 超 ポ テ

多 項 式 型 の 場 合 を 考 え,こ

れ ま で の 結 果 を応 用 す る.q〓2

の多 項 式

の 場 合 を 考 え る(aj∈IRは

定 数,aq≠0).こ

し た が っ て,W'(x)2は2(q-1)次 で あ る か ら,(9.112)は

の とき

の 多 項 式 で あ り,W"は(q-2)次

満 た さ れ る.次

の 事 実 は 容 易 に 確 か め ら れ る:

の多 項 式

 

(ⅰ) eW∈L2(IR)⇔qが

 

(ⅰ) e-W∈L2(IR)⇔qが

偶 数 か つaq0.

  (ⅲ) e±W〓L2(IR)⇔qが

奇 数.

  こ れ ら の 結 果 を ま と め て 記 述 す る た め に,Wの

無 限 遠 で の 符 号sgnW±∞

を

次 の よ う に 定 義 す る: の と き の と き こ の と き,定

理9.21と

定 理9.22に

よ り

(9.123) と書 け る こ とが わか る.こ の よ う に表 す と,Q+の

指 数 は,Wの

無 限遠 で の 振

る舞 い だ けで 決 ま り,途 中 の 詳 細 に は よ らな い こ とが 一 目瞭 然 に な る.   こ の 例 で は,W'2±W"∈L2loc(IR)で

あ り

で あ る の で,定

の結果

理6.50が

適 用 で き る.そ

(9.124) す な わ ち,H±

は 離 散 ス ペ ク トル しか も た な い.し

が 満 た さ れ る.ゆ

  9.5.4 

え にQ+は

た が っ て,定

理9.15の

条件

フ レ ドホ ル ム で あ る.

特 異 摂 動 の生 起

  ウ ィ ッ テ ン モ デ ル に お い て は,特 う.g∈IRを

異 摂 動 が ご く"自 然 に"起

パ ラ メ ー タ ー,W1:IR→IRを2回

こ る こ と を示 そ

連 続 微 分 可 能 な 関 数 と し て,

作用素

(9.125) ―Q+の

摂 動― を 考 え る .作

用 素Q,

H, H±

に お け るWをW+gW1に

え る こ と に よ り得 られ る 作 用 素 を そ れ ぞ れ,Q(g),

H(g),

H±(g)と

置 き換 記 す.(9.109)

に よ って

(9.126) (9.127) (9.128) 以下

(9.129) を 仮 定 す る.

補 題9.25 

条 件(9.129)の

も と で,H±(g)は,g→0の

と き,H±

に強 レゾ

ル ヴ ェ ン ト収 束 す る.

証 明   (9.129)が

仮 定 さ れ て い る の で,定

応 用 で き る.し

た が っ て,C∞0(IR)はH±(g)の

用 い る こ と に よ り,任

意 の ψ ∈C∞0(IR)に

な る こ と が 容 易 に わ か る.し

た が っ て,付

理9.20を,WがW+gW1の 芯 で あ る.さ

場合 に ら に,(9.128)を

対 し てlimg→0H±(g)ψ=H± 録Mの

定 理M.4の

ψ と

応 用 に よ り,題

意 が し た が う. 

定 理9.26  の と き,次

■

(9.129)を

仮 定 し,g0>0を

任 意 に と り,Ⅱ:=(0,g0]と

の 三 つ の 条 件 の 一 つ が 成 立 す れ ば,H+(g),g∈Ⅱ

お く.こ

はH+に

関 して 特

異 で あ る: (ⅰ) (ⅱ)

(ⅲ) 証 明   定 理9.23に 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

  定 理9.26の 存 在 す る.

よ っ て,上

の 条 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)は

そ れ ぞ れ,命

題9.19の

導 く. 

条 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)の

条 ■

ど れ か を 満 た すW,

W1は

無 数 に"十

分 多 く"

例9.4 

W(x):=x2n,W1(x):=-x2m+2,m〓n〓1.こ

ば,定 理9.26の

条 件(ⅲ)が

満 た さ れ る.条

く らで も例 をつ くる こ とが で き る.そ が[2]に

の と き,g>0な

ら

件(ⅰ),(ⅱ)に つ い て も ,同 様 に して,い

の よ う な例 の い くつ か に 関 す る 更 に詳 しい解 析

あ る.

注 意9.7 

ウ ィ ッ テ ン モ デ ル の 多 次 元 へ の 拡 張 に つ い て は,演

習 問 題8∼10を

参 照.

9.6 

  例9.2の

縮 退 した零 エ ネル ギ ー基 底 状 態 を もつ モデ ル

超 対 称 的 量 子 力 学 の モ デ ル は,あ る ク ラ ス の ベ ク トル ポ テ ンシ ャル

Aに 対 して,縮 退 した 零 エ ネ ルギ ー基 底 状 態 を もつ こ とを示 そ う.   B:IR2→IRを

有 界 な台 を もつ 連 続 な関 数 と し

(9.130) を定 義 す る.こ

の と き,φ は 連 続 関 数 で あ り超 関 数 の 意 味 でΔ φ(x)=B(x)…(*)

が 成 り 立 つ([13]ま 可 能 で あ る(ル

た は[14]の

付 録C.3の

例C.3を

ベ ー グ の 優 収 束 定 理 を応 用 せ よ).そ

参 照).ま

た ,φ

こ で,IR2上

は偏 微 分

のIR2値

関数

A=(A1,A2)を

(9.131) に よ っ て 定 義 し,Q+(A)を D1A2-D2A1で

例9.2に

あ る か ら,Bを

ン シ ャ ル の 一 つ と 解 釈 さ れ る.こ

お け る 作 用 素 と す る.(*)に

磁 場 と解 釈 す る と き ,Aは

よ っ て ,B=

そ の ベ ク トル ポ テ

の場 合

(9.132) はBの

磁 束 を 表 す.

  正 の 実 数a>0に {0}:=0と 定 理9.27    0.

対 し て,aよ

り も 真 に 小 さ い 最 大 の 整 数 を{a}で

す る. A1, A2は(9.131)で

(ⅰ) ΦB>0な

ら ば,dim

与 え ら れ る も の と す る.こ kerQ+(A)={ΦB/2π}か

の と き:

つdim

kerQ+(A)*=

表 す.

  (ⅱ) ΦB0を

由度 の 正準 反交 換 関

自 動 的 に し たが う)(こ の よ う な 表 現 の 例 に

参 照).

定 数 と し て,作

用 素Q(j),j=1,

2を , 

に よ っ て 定 義 す る.こ

の と き,Q(j)は

有界 な

自己 共役作 用 素で あ り

  が 成 り立 つ こ と を示 せ.  (ii) Γ:=1-2a*aと

 

お く と,Γ

は 自 己 共 役 か つ ユ ニ タ リ作 用 素 で あ り

が 成 り立 つ こ と を示 せ.

注:こ の 問題 に述 べ た 事 実 は,1自

由度 のCARの

表 現 か ら,N=2の

を もつ 超 対 称 的 量 子 力 学― た だ し,ハ ミル トニ ア ンMは れ る こ と を示 す(こ の"N=2"は

ス ピ ン 自 由度 に 関 す る も の で は な く,ス ピ ン

とは 異 な る 内 部 対 称 性 に 関 す る も の で あ る).別

の い い 方 を す る と,(Q(j)2j=1

は 拡 大 され た 超 対 称 性 代 数(9.40)のn=1,N=2の 現 を 与 え る.こ

れ はN=2の

場 合 の ヒル ベ ル ト空 間 表

内部対 称 性 を もつ相対 論 的超対 称 的量子 場 の理

論 の コ ン テ ク ス トに お い て は,静 空 間 の 表 現 を与 え る.次

超 対称性

定 数 作 用 素― が 構 成 さ

止 系 に お け る,質

の 問 題 も参 照.

量Mの1粒

子状 態の 内部

   

2.  F,a,a*,Q(j),Γ

は 前問 の も の と す る.単

す も の が あ る と す る.こ 呼 ぶ. 

位 ベ ク トル ψ0∈Fでaψ0=0を

の よ う な ベ ク トル ψ0をCARの

表 現a,a*の

満 た 真 空 と

と お く.

(ⅰ) ψ0と ψ1は 線 形 独 立 で あ る こ と を 示 せ.  (ⅱ) ψ0と

ψ1に

よ っ て 生 成 さ れ る 部 分 空 間 をFaと

dimFa=2).a,a*はFaを

す る((ⅰ)に

よ っ て,

不 変 に す る こ と を示 せ. を 示 せ.

(ⅲ)  (ⅳ)  を示 せ.

3. 2 次 元 ユ ニ タ リ空 間C2に

(ⅰ)  a,a*は1自

お い て 

由 度 のCARの

と す る.

表 現 で あ る こ と を示 せ.  の 定 数 倍 に 限 られ る こ と を 示 せ.

(ⅱ) この 表 現 の真 空 は存 在 し,

(ⅲ)  この 表 現 で は,演

習 問 題2の

作 用 素Q(j),Γ

は

とい う 形 を と る こ と を 示 せ. 4. a1,a*1,a2,a*2を る.す

ヒ ル ベ ル ト空 間Hに

な わ ち,各aα(α=1,2)はH上

お け る 自 由 度2のCARの

有 界 表 現 とす

の 有 界 線 形 作 用 素 で あ り  を 満 た す も の とす る(こ

例 に つ い て は 以 下 の 演 習 問 題6を

参 照).こ

の よ うな表 現 の

の と き,有 界 な 自 己 共 役 作 用 素 

が 定 義 さ れ る. を 示 せ.

(ⅰ) 

とお く と,γ

(ⅱ) 

は 自己 共 役 か つ ユ ニ タ リで

あり

が 成 り立 つ こ と を示 せ. 5.  a1,a*1,a2,a*2を Ω ∈Hが

前問

の も の と し,aα

存 在 す る と す る.こ

の 真 空 と 呼 ぶ. 

Ω=0,α=1,2を

の よ う な ベ ク ト ル をCARの と お く.

満 た す 単 位 ベ ク トル 表 現{a1,a*1,a2,a*2}

 

(ⅰ) Ω,ψ1,ψ2,ψ12は 線 形 独 立 で あ る こ と を示 せ.

 

(ⅱ) Ω,ψ1,ψ2,ψ12に

よ っ て 生 成 さ れ る 部 分 空 間 をHaと

dim Ha=4).aα,a*α  

はHaを

(ⅲ) 

  注:ヒ

す る((ⅰ)に よ っ て,

不 変 に す る こ と を示 せ. を 示 せ.

ル ベ ル ト空 間Haは,相

お い て は,静

対 論 的 超 対 称 的 量 子 場 の 理 論 の コ ン テ ク ス トに

止 系 に お け る,質 量Mの1粒

さ れ る.(ⅲ)が

示 す よ う に,Ω,ψ12は

子 の ス ピ ン状 態 を 表 す 空 間 と解 釈 ボ ソ ン 的 状 態 を 表 し,ψ α(α=1,2)は

フ ェ ル ミオ ン的 状 態 を表 す.  とお け ば,  さ れ る.Haに ば,Haは

角 運 動 量 代 数 の 表 現 空 間 に な って い な け れ ば な ら な い.こ

ら,直 和 分 解(*)は

ン が1/2の

ピ ンが0の

表 現 で あ る.こ

表 現 で あ り,M1は2次

う して,こ

ェ ル ミ オ ンの ス ピ ンは1/2で

6. a,ψ0を 演 習 問 題3の

の モ デ ル で は,ボ

もの とす る.C2の2個

ピ あ

の テ ン ソ ル 積 空 間 

に

に よ っ て 定 義 す る.

 

(ⅰ) a1,a*1,a2,a*2は

 

(ⅱ) こ の 表 現 の 真 空 は 

自 由 度2のCARの

任 意 の 自然 数 と し,N次

表 現 で あ る こ と を示 せ.

の零 で な い 定 数 倍 に 限 られ る こ と を示 せ. 元 ユ ニ タ リ空 間CN上

ク 空 間  のp重

元 で あ る の で,ス ソ ンの ス ピ ン は0で

あ る こ とが わ か る.

お け る 作 用 素a1,a2を 

7. Nを

の観 点 か

角 運 動 量 代 数 の 既 約 表 現 の 直 和 と解 釈 さ れ る.M0,M2は

1次 元 で あ る か ら,ス

り,フ

と直和 分解

対 す る上述 の解 釈 と相対論 的 場 の量子 論 の公 理論 的要 請 に よれ

の フ ェ ル ミオ ン フ ォ ッ

を 考 え る 

反 対 称 テ ン ソ ル 積*29).e1,…,eNをCNの

はCN 標 準 基 底 とす る:el:=

l成 分

(0,…,0,1,0,…,0)(l=1,…N).各l=1,…,Nに対 上 の 線 形 作 用 素alを

し て, 

そ の 共 役 作 用 素a*1が(a*lψ)(0)=0,

とな る よ うに 定 義 す る(Apはp次

の 反 対 称 化 作 用 素).ベ  に よ っ て 定 義 す る.こ

ク トルΩ∈∧(CN)を の ベ ク トル は∧(CN)

に お け る フ ォ ッ ク 真 空 と呼 ば れ る.  (ⅰ) 

に 対 し て, 

φ(q)=0,q≠pと *29  [14]の4章 ,4.3.1項

を 参 照.

い う形 の ベ ク トル 

かつ を と る.

   

こ の と き,各l=1,…,Nに

対 して

を 示 せ.  (ⅱ)  alΩ=0(l=1,…,N)を

示 せ.

  (ⅲ) {al,a*l￨l=1,…,N}は

自 由度NのCARの

表 現 で あ る こ と,す な わ ち,

が 成 り立 つ こ と を示 せ. (ⅳ) 

偶数 

奇数 

とす れ ば,

 と表 され る.  用 素 をp±

と し, 

とお く.こ

上へ の 正射影作

の と き, 

を

示 せ. (ⅴ) 

と し,  と お く.た

だ し,M>0は

定 数 で あ る.こ

とき

が 成 り立 つ こ と を示 せ. 8. ajを 演 習 問 題7の

も の と し(N=nと

に お い て,作

を考 え る(Djは

す る),ヒ

ル ベ ル ト空 間 

用素

変 数xjに

関す る 一般 化 され た偏 微 分 作 用 素). 

と お く(  は代 数 的 テ ン ソ ル 積 を表 す).  (ⅰ) 

で あ り(し た が っ て,dは

稠 密 に 定 義 さ れ て い る), 

を示 せ.  (ⅱ) D0上

でd2=0,d*2=0で

あ る こ と を示 せ. 

(ⅲ) 

とす る(Δ の 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン).こ

の とき (D0上), (D0上)

はL2(IRn)上

の

を 示 せ.  

(ⅳ) Qj(j=1,2)はD0上

で 本 質 的 に 自 己 共 役 で あ り,作 用 素 の 等 式H=

Q12=Q22が

成 立 す る こ と を 示 せ.

 ヒ ン ト:(ⅲ)と   (ⅴ) 

交 換 子 定 理 を用 い よ.

とお く(τ は 演 習 問 題7で

定 義 し た作 用 素). 

お よ び作 用 素 の 等 式 

 

を 証 明 せ よ.

注:こ の問題 の結 果 は,  を 示 し て い る.dはHに と 呼 ば れ る.こ て,ス

が超 対称 的量 子力 学で あ るこ と お け る 外 微 分 作 用 素(exterior

differential

の モ デ ル で は, 

operator)

で あ る.し

ペ ク トル 写 像 定 理 に よ り, 

特 に,超

たが っ 対 称性 は

自 発 的 に 破 れ て い る. 9.  (研 究 課 題) 

をC∞

関 数 とす る.前問

テ ン 変 形dt:=etWde-tW(t∈IRは 前問

の 作 用 素dに

パ ラ メ ー タ ー)を

対 し て,ウ

行 う.こ

ィッ

れ に 関 し て,

と 同 様 の 問 題 に つ い て 考 察 せ よ*30.

10.  (研 究 課 題)演

習 問 題7を

基 礎 に し て,ヒ

ル ベ ル ト空 間 

を 状 態 空 間 と す る 超 対 称 的 量 子 力 学 の モ デ ル を 構 成 せ よ.

関

[1] Y.Aharonov and a two dimensional

連

図

書

A.Casher,Ground state of a spin 1/2 charged magnetic field, Phys.Rev.A19(1979),2461-2462.

[2] A.Arai,Supersymmetry

and

singular

particle

in

perturbations,J.Funct.Anal.60

(1985),378-393. [3] A.Arai,On supersymmetric

the

degeneracy quantum

[4] A.Arai,Exactly solvable Anal.Appl.158(1991);63-79. [5] A.Arai,A integral

general representation

[6] A.Arai,Supersymmetric

class

in the ground state of the N=2 mechanics,J.Math.Phys.30(1989),2973-2977. supersymmetric

of infinite

of their

quantum

dimensional

Wess-Zumino

mechanics,J.Math.

Dirac

operators

and

path

index,J.Funct.Anal.105(1992),342-408.

extension

of

quantum

Quantum and Non-Commutative Analysis,H.Araki demic Publishers,Dordrecht,1993,pp.73-90.

scalar

field

theories,

et al.(eds.),Kluwer

in Aca

*30 リーマ ン多 様 体 上 で の対 応 す る議 論 が[31]に あ る .た だ し,こ の論 文 の議 論 は数 学 的 な 観 点 か らい う と完 全 には 厳 密 で は ない.

[7]  A.Arai,Properties gauge

of

the

Dirac-Weyl

operator

[8]  新 井 朝 雄,超

対 称 的 場 の 量 子 論 と 無 限 次 元 解 析,数

[9]  新 井 朝 雄,『

ヒ ル ベ ル ト 空 間 と量 子 力 学 』,共

[10]  新 井 朝 雄,『

フ ォ ッ ク 空 間 と量 子 場

上 』,日

[11]  新 井 朝 雄,『

フ ォ ッ ク 空 間 と量 子 場

下 』,日

[12]  新 井 朝 雄,『

物 理 現 象 の 数 学 的 諸 原 理 』,共

a

strongly

singular

学46(1994),1-10.

立 出 版,1997. 本 評 論 社,2000. 本 評 論 社,2000.

立 出 版,2003.

[13]  新 井 朝 雄

・江 沢

洋,『

量 子 力 学 の 数 学 的 構 造

Ⅰ』,朝

[14]  新 井 朝 雄

・江 沢

洋,『

量 子 力 学 の 数 学 的 構 造

Ⅱ 』,朝

[15]  A.Arai

and

quantum

O.Ogurisu,Meromorphic

mechanics

N=2

&

倉 書 店,1999. 倉 書 店,1999. Wess-Zumino

supersyxnmetric

J.Math.Phys.32(1991),2427-2434.

[16]  B.K.Bagchi,Supersymmetry man

with

potential,J.Math.Phys.34(1993),915-935.

in

Quantum

and

Clasical

Mechanics,

Chap

Hall/CRC,2001.

[17]  H.L.Cycon,R.G.Froese,W.Kirsch

and

B.Simon

Schrodinger

Operators,

Springer,1987. [18]  S.Dupiij,W.Siegel

and

symmetry,Kluwer [19] 

日 合 文 雄

J.Bagger(eds),Concise

Academic

・柳 研

二郎,『

ヒ ル ベ ル ト 空 間 と 線 形 作 用 素 』,牧

[20]  A.Jaffe,A.Lesniewski

and

persymmetric

quantum

[21]  A.Jaffe

and

mechanics,

analysis,

[23]  黒 田 成 俊,『 [24]  M.Reed

Quantum

関 数 解 析 』,共

立

and

B

[26]  B.Thaller,

The

of

of

Modern

of

su

and

infinite

Theory,eds.G.'t

Plenum,1988.

Mathematical

Physics

Vol.Ⅰ:

Mathematical

Physics

Vol.Ⅱ:

Press.1975.

Equation,Springer,1992. Supersymmetry

Institute

fields Field

R.Stora,

Modern

Analysis,Academic Dirac

in

Press,1972.

Simon,Methods

[27]  V.S.Varadarajan,

structure

出版,1980.

B.Simon.Methods

Self-adjointness,Fourier

Courant

and

Analysis,Academic

[25]  M.Reed

quantum

Nonperturbative

立 出 版,1967.

Functional

state

Supersymmetric in

位 相 解 析 』,共

and

Super

Ann.Phys.(NY)178(1987),313-329.

Hooft,A.Jaffe,G.Mack,P.K.Mitter [22]  加 藤 敏 夫,『

of

野 書 店,1995.

M.Lewenstein,Ground

A.Lesniewski,

dimensional

Encyclopedia

Publishers,2004.

for

Mathematical

Mathematicians:An

Sciences,American

Introduction, Mathematical

Soci

ety,2004. [28] 

J.Wess

and

J.Bagger,Supersymmetry

and

Supergravity,Princeton

versity,1983. [29]  E.Witten,Dynamical

breaking

of

supersymmetry,Nucl.Phys,B188

(1981);513-555. [30]  E.Witten,Constraints

on

supersymmetry

breaking,Nucl.Phys.B202

(1982),253-316. [31]  E.Witten,Supersymmetry 692.

and

Morse

theory,J.Diff.Geo.17(1982),661-

Uni

索

A AB効

果   167,168

Aか

ら生 成 さ れ る代 数  30

引

n回

元 特 殊 ユ ニ タ リ群SU(N)の

N次

元 ユ ニ タ リ群   191,201

N次

A-限 界  43

n重

A-コ

N粒

ンパ ク ト  352

Aに

微 分 可 能   264

N次

元 ユ ニ タ リ群U(N)の

子 系 の 全 軌道 角 運 動 量   252 P

A-有 界  43 π± 中 間 子  297 πO中 間 子   297

C∞-定 義 域   8

ρ(G)-不 変   214

CCR ―

ρ-不変   214 の 自 己共 役 表 現   177 R

― の弱 ヴ ァ イ ル型 表 現   169 ― ―

の表 現 の 非 有 界性   130 の表 現 の ヒ ルベ ル ト空 間   129

C上

リー 環   246

可 換 子 集 合   28

同 伴 す る準 双 線 形 形 式   92

C

リー 環   246

IRd-並 進 対 称 性  61 IRd-並 進 不 変 性  61

の 代 数  28

S D

S方

向へ の微 分  81

d次 元 の 回 転 対 称 性  224 d次 元 の 軌 道 角 運 動 量   227 G

T T-対 称   194 T-不 変   194

G-対 称 性   220 ― の(一 つ の)表 現   220

U U-不 変   219

g-対 称 性   248 ア H

行

ア イ ソ ス ピ ン  253 H安

定 性   41

H0-コ

アハ ラ ノ フ-キ ャ シ ャー の 結 果   513 アハ ラ ノ フ-ボ ー ム効 果   154,167

ンパ ク ト  358 K

KLMN定

ア ーベ リア ン  29 理   108

ア ーベ ル群   190 N

n階

の 導 関 数  264

アハ ラ ノ フ-ボ ー ム の 時 間 作 用 素  178

安 定  261 生 き残 り確 率   182,300,303,316

位 数   190

解 析 ベ ク トル定 理  88

位 相   255

回 転 群   191,200

位 相 空 間   255

回 転 対 称  224,225

位 相 群   196

―

位 相 写 像   257 位 相 同 型   257 一 意 性 ベ ク トル   86

な 関 数   195 ―な 図 形   195

回 転 不 変   225

一意 的  284

外 微 分 作 用 素   524 ガ ウス 型 確 率 ベ ク トル  456

位 置 作 用 素   7,12,135,381

ガ ウス 型 確 率 変 数  455

―

の 組   25

ガ ウス 型 関 数   147

1次 元 調 和 振 動 子  36

可 換   29

1次 元 の デ ィ ラ ッ ク型 作 用 素   503

―

1次 元 量 子 調 和 振 動 子 の ハ ミル トニ ア ン  446

―

1自 由 度CARの 一 般 化 さ れ たd次

表 現   520 元 ラ プ ラ シア ン  61

一 般 化 され た デ ィ リ ク レ境 界条 件 つ き ラ プ ラ シ

な 観 測 量 の完 全 な組  32

な 観 測 量 の極 大 集 合  32 ― な 観 測 量 の極 大 な組  21 ,22,28 ― な 物 理 量 の極 大 な組  23 可 換 群   190

ア ン  101 一 般 化 され た ノ イマ ン境 界条 件 つ き ラ プ ラ シア

可 換 子 集 合   28,132

ン  126 一 般 化 さ れ た ラ プ ラ シ ア ン  15

可 換 半 群   414

一 般 軌 道 角 運 動 量  211

,59

可 換 子 代 数   28 核   196 角 運 動 量 代 数  253,522

一 般 線 形群   191

核 子   294 拡 大 され た 超 対 称 性 代 数   475

一 般 線 形 リー 代 数   246

拡 大 定 理   319 ヴ ァ イ ル 型 表 現  138 ヴ ァ イ ル 関係 式   138

確 率 過 程   426 核 力   294

ヴ ァ イ ル の 判 定 法   327

加 群   190

ヴ ァ イル の 補 題   519 ウ ィグ ナー-バ ー グマ ンの 定 理   198

可 測   206 ― な 写 像  206

ウ ィ ッテ ン指 数  493

括 弧 積   245

ウ ィ ッテ ン 変 形   503

荷 電 粒 子 の 多 体 系 の ハ ミル トニ ア ン  67

ウ ィ ッテ ン モ デ ル  503

加 藤 の 不 等 式  74

ウ ィー ナ ー過 程   437

加 藤-レ リ ッヒ の定 理  48,58,65

運 動 量 作 用 素   8,12,135,208,383 ―の組   26

可 閉  93

エ ネ ル ギ ー ・運 動量 作 用 素  22

完 全   398

オ ル ン シ ュ タ イン-ウ ー レ ンベ ッ ク過 程   448

完 全 可 約   215 完 全 で あ る  86

可 約   215 間 隙 条 件   497

カ 開 集 合  255 階 数1の

完 全 連 続   343 緩 増 加 超 関 数  355 簡 約   18,33,35

作 用 素   406

解 析 関 数   298 外積代数

行

  467

基 底 状 態   41,284,418,447 ―

の 存 在   335

解 析 的  264

基 底 状 態 過 程   447

解 析 的 指 数  493

軌 道角運動量

解 析 的 摂 動 論   262,283 解 析 ベ ク トル  85

―(の

成 分)作

用素   227

―

の 大 き さ  244

―

の2乗

― ―

の 方 向量 子 化   244 の 量 子 数  244

―

の 公 理   189

  238 形 式   92 ―

の 意 味 で のA-限

基 本 近 傍 系   256

―

の 意 味 で 無 限 小   105

既 約   132,215,247

―

の 定 義 域   92

逆 元   189

―

の 場 合 の比 較 定 理   339

既 約 成 分  216 ―(表 現)の 球 関 数   242

界   105

形 式 芯   92 直和   216

形 式 的 摂 動 級 数   289 形 式 和  103,110

強 安 定   41 強 可 換   17,20,134

結 合 ス ペ ク トル  22 結 合 定 数   285

― な物 理 量 の極 大性  31 強 結 合 領 域   310

結 合 的 に ガ ウ ス型   456 結 合 法 則  189,393

強 時 間 作 用 素   180

ケ ー リー 変 換   119

強 非 可 換 因 子   180

原 子 の 安 定 性   40

強 閉 包   29

原 点 に 特 異性 を もつ ポ テ ン シ ャ ル  360

共 鳴 極  299 共 鳴 散 乱   299

交 換 子   121

共 鳴 状 態   299

交 換 子 積   247

共 鳴 の 幅   299

交 換 子 定 理   79

共立的 2

恒 等 表 現   247

―

な観 測 量  2

― な物 理 量   2

勾 配作 用 素   68,113 古 典 的 極 限   466

強 レゾ ル ヴ ェ ン ト収 束  516

古 典 的 経 路   421

強 連 続   204

古 典 的 フ ェ ル ミ場   474

― なH-値 関 数221 強 連 続1パ ラ メー ター 半 群  414

古 典 的 ボ ー ス 場   474

強連 続 ユ ニ タ リ表 現  204 局 所 的 特 異 性   113 局 所有界な測度 7 極大

  20,22

極 大 ア ー ベ ル代 数   32

固 有値 の 安 定 性 の 問 題   261 固 有 ロ ー レ ンツ 群  202 孤 立 固 有 値   11 コ ル モ ゴ ロ フの 連 続 性 定 理   458 混 合 型 ポ テ ン シ ャ ル  78 コ ンパ ク ト  343

極 大 観 測 量   12,28

サ

極 大 物 理 量   12,36

行

虚 数 時 間   410

最 小-最 大 原 理  333,361

空 間 反 転   209

最 低 エ ネ ル ギ ー  41 ― の経 路 積 分 表 示   445

空 間 反 転 群   209

作 用 素 解 析 の ユ ニ タ リ共 変 性   138

空 間 反 転 対 称   225 空 間 反転 不 変   225

作 用 素 行 列   305,481

ク ッ クの 方 法   400

作 用 素 行 列 表 示   481 3次 元 の(量 子)軌 道 角 運 動 量   235

グ ラ ス マ ン数  467

3次 元 パ ウ リ作 用 素  487

グ ラ ス マ ン代 数  467

残 存 確 率   182

グ リムージ ャ ッ フ ェーネ ル ソ ンの 交 換 子 定 理   79

散乱

クー ロ ン型 ポ テ ン シ ャ ル  64,361

―

の 遷 移 確 率  397

ク ー ロ ンポ テ ン シ ャ ル  291

―

の 遷 移 確 率 振 幅   374,397

群   189

散 乱 角  370

散 乱 行 列  374

自 由度NのCCRの

散 乱作 用 素   374,395

自由 な相対 論 的 シ ュ レーデ ィ ン ガー 作用 素  387

―

の 積 分 表 示 と漸 近 展 開  403

散 乱理 論   370,390

対 称 表 現   129

自 由 な デ ィ ラ ック作 用 素  110 自由 ハ ミル トニ ア ン  15 重 陽 子   297

時 間-エ ネ ル ギ ー の 不 確 定 性 関 係   175

縮 退   17

時 間作 用 素   174

縮 退 した 零 エ ネ ル ギ ー 基 底 状 態   510 シ ュ タ ル ク効 果   84

時 間 反転   211 時 間 反転-時 間 並 進 群   212

シ ュ タル ク ・ハ ミル トニ ア ン  84

時 間並 進   211 時 間崩 壊  300,316

寿 命   299 シュ レーデ ィ ンガ ー 型作 用 素  52,56,77,225,

磁 気 的 並 進   160

226,329,354

時 空 の 対 称 性   465

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー型 半 群   440

時 空 変 数   468

シ ュ レー デ ィ ン ガ ー半 群   418

自己 共 役   132

シ ュ レー デ ィ ン ガー 表 現   136

自己 共 役 作 用 素 の 組   110

シ ュ レー デ ィ ン ガー 描 像  370

自己 共 役 半 群   414

準 位 幅   299 巡 回ベ ク トル   8,14

―

に関 す る生 成 定 理   415

指 数   493 ―

純 虚 数 時 間  425

に対 す る トレー ス 公 式   497

純 虚数 時 間経 路 積 分   426

指 数 型 作 用 素  410,472

純 粋 に絶 対 連 続  380

磁 束   510

純 粋 に点 ス ペ ク トル 的   385

―

の 局 所 的 量 子 化   165

磁 束 の 局 所 的 量 子 化   165 下 に 有 界   91

純 粋 に特 異 連 続   385 純 粋 に離 散 的  336 準双線形形式

実 一般 線 形 群   191 実 時 間経 路 積 分   423

―sの ―

の 拡 大  93

実 表 現  213

―

の 相 等   90

実 リー代 数   246

―

の 和   90

質 量mの

超 双 曲 面   22

質 量0の3次

元 デ ィ ラ ッ ク作 用 素   487

質 量 超 双 曲面   195

ス カ ラ ー 倍  90

純 点 ス ペ ク トル  384 純 点 ス ペ ク トル的   3 ― に極 大   17

磁 場   67,154,486 ― を もつ シ ュ レー デ ィン ガ ー 作 用 素  104

純 点 ス ペ ク トル部 分  384

自明 な不 変 部 分 空 間  215

準 同 型 写 像   196

射 影   430

準 同 型 性   196 状態

射 影 演 算 子   18

準 同 型   196

射 影 反 ユ ニ タ リ表 現   199

―

の一意的決定性 1

射 影 表 現   199

― ―

の 一 意 的 指 定   10 の準 備   1

射 影 ユ ニ タ リ表 現   199 弱 安 定 性   41

状 態 曲線   222

弱 解析 的   266

状 態符 号 作 用素   480

弱 時 間 作 用 素  174 弱連 続   204

芯  48,91

シ ュ ー ア の 補 題   216

真 空  447,521

重 心 ベ ク トル  62

真 空 期 待 値  448

初期 値413

周積 分  266 自 由度NのCCRの

真 性 スペ ク トル  278,324 自 己 共 役 表 現   129

伸 張 解 析 的 方 法   321

伸 張 対 称   55

遷 移 確 率   182, 197,

伸 張 変換   52, 53

全 解 析 ベ ク トル  85

振 動 子 過 程   448

全 角 運 動 量  252

373

漸 近 的 に完 全   399 水 素様 原子 の ハ ミ ル トニ ア ン  64, 115,

362

漸 近 的 配 位  372

随 伴 表 現   248 ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル   113

線 形 リ ー群   192

ス ケ ー ル 不 変   55

全 ス ピ ン角 運 動 量   252

ス ケ ー ル 変 換   52, 53 ス ピン  1

全 フ ォ ッ ク空 間   250

線 形 リ ー群Gの

リー 環  247

全 変 換 群   193

―lの 表 現   255 ― 角 運 動 量   252

全 保 測 変 換 群   207

― ―

相 互 作 用 部 分   39

作 用 素   26 量子 数   255

ス ペ ク トル解 析   261,

相 対 位 置 ベ ク トル  62 324

ス ペ ク トル空 間   10

相 対 限 界  43 相 対 コ ン パ ク ト  352

ス ペ ク トル測 度  32

相 対 的 に有 界   43

ス ペ ク トル的 超 対 称 性   487

相 対 論 的 自 由 粒 子 の エ ネ ルギ ー   305

ス ペ ク トルの 下 限  415

相 対 論 的超 対 称 的 量 子 場 の 理 論   522 相 対 論 的 な 自 由 粒 子   110

ス ペ ク トルの 単 純 性  6

相 対 論 的 な 超 対 称 的 場 の 量 子 論   491 静 止 系   520, 522 正 射 影 作 用 素   18

双 対 空 間  318

正準 交 換 関 係   36, 38

相 流   222

正 準 反 交 換 関係   476

測 定 に よ る 状 態 の 一 意 的 指 定   10

生 成 子   414

速 度 作 用 素   155

生 成 元   6, 23

束 縛 の 高 ま り  312

相 補 的  272

正 則   264

タ

正 則 的 摂 動 論  262 正 値 性 改 良作 用素   461

第 一 種 の 安 定 性  41

正 値 性 保 存 作 用 素   461

対 角化 9

積 演 算  192

対 角 的 作 用 素 行 列   481

積 分 核   355 ― に 同伴 す る 作 用 素   145

対 称   210

積 分 作 用 素   355

対 称 性   194

積 分 表 示   269

対 称 性 変 換   197

積 率   452

第二 種 の 安 定 性  41

行

対 称 群   209

絶 対 連 続 ス ペ ク トル  380

第二 量 子 化 作 用 素   250

絶 対 連 続 部 分  380

楕 円 的 正 則 性  292

絶 対 連 続 部 分空 間  378 切 断 平 面   311

多 項 式 型 超 ポ テ ン シ ャ ル  507 多項 式 型 ポ テ ン シ ャ ル  71

摂 動   39

多体 系 の ハ ミル トニ ア ン  65

摂 動 級 数  287 摂 動 作 用 素  39

多 電 子 系 の ハ ミル トニ ア ン  66 単 位 元   189, 414

摂 動 パ ラ メ ー ター  285

単 純   17 単 純 ス ペ ク トル  6

摂 動 法 の 破 綻  499 零 エ ネ ル ギ ー状 態   502, ― の 空 間  505

505,

507,

513 置換 群   209

置 換 対 称   225

同時 対 角 化  24

置 換 不 変   225

同相   257

忠 実   213

同相 写 像  257

抽 象 的 シ ュ レー デ イ ン ガ ー 方 程 式   222

同値   137,

抽 象 的 な熱 方 程 式   413 抽 象 的 熱 方 程 式 の初 期 値 問 題  413

同程 度 に連 続

超 空 間  465

同伴 す る 内積 空 間  93 特 異 ス ペ ク トル  380

長 時 間挙 動   370 超 対 称 荷   477

214   341

同伴 す る超 対 称 荷   479

特 異 摂 動   500, 508 ― の生 起   508

超 対 称 性   465 ― の 自発 的破 れ  491

特 異 部 分   380

超 対 称 性 代 数   473

特 異 部 分 空 間  378

超 対 称 的 状 態   491

特 異 連 続 ス ペ ク トル  384

超 対 称 的 場 の 量 子 論   475

特 異 連 続 部 分   384

超 対 称 的 ハ ミ ル トニ ア ン  477

特 異 連 続 部 分 空 間   384

超 対 称 的 変 換   470 超 対 称 的 量 子 力 学   465, 476,

特 殊 相 対 性 理 論   22 477

― の 公 理 論 的 定 式 化   476 超 場   469 重 複 度 理 論   35

特 殊 ユ ニ タ リ群   191 特 性 関 数   450 特 性 レ ヴ ェ ル  331 トポ ロ ジー  255

超 並 進 群   470

トレー ス  513,

超 ポ テ ン シ ャ ル  503

トレー ス 型 作 用 素   514

515

直 積 位 相 空 間   257

トレー ス ク ラ ス作 用 素   514

直 和 に 同 値   137

トレー ス ノ ル ム  514

直 和 表 現   131

トロ ッ ター-加 藤 の 積 公 式   419

直 和 分 解   131

トロ ッ ター の 積 公 式   419

直 交 群   191

ナ

行

デ イ フ トの 定 理   488

内 部 対 称 性   465

デ ィラ ッ ク-ヴ ァ イ ル作 用 素  486 デ ィラ ッ ク型 作 用 素  110

内 部 変 数   468

デ ィラ ッ ク作 用 素  42, 387

2核 子 系 の 束縛 状 態   294

デ ィラ ッ クハ ミル トニ ア ン  179

2次 形 式   90 2次 元 回転 群   218,

デ ィラ ック 粒 子   387

229

デ ィ リ ク レ境 界 条件  101

2次 元 パ ウ リ作 用素   486 2重 可 換 子 集 合  28

デ ル タ超 関 数  162

2重 積 分 の計 算   320

電 磁 場 中 を運 動 す る 荷 電 粒 子 の ハ ミル トニ ア ン   67

2電 子 系 の基 底 状 態   290

テ イ ラ ー 展 開   269

2体 系   60

電 場  67 熱 伝 導 方 程 式   413 導 関数   264

熱 半 群   414

同型 写像   196

ネル ソ ンの 解 析 ベ ク トル 定 理   88

同時 固有 値   17 ― の 縮退   17 ―

の単 純 性   17

同 時 固有 ベ ク トル   16, 19 ―

の完 全系   17

ハ

行

ハ イゼ ンベ ル ク描像  370 ハ イゼ ンベ ル ク ・リー 代 数  249 ハ ー デ ィー の 不 等式  114, 波 動 作 用 素   373, 390

366

― の 完 全性   402 ハ ミル トニ ア ン  40, 226, 409 パ リテ ィ  209 ― が 負(奇)の 状 態   209

フ ェ ル ミオ ン的 零 エ ネ ル ギ ー 状 態  493

半 群   414

フ ォ ン ・ノ イマ ン環  35 フ ォ ン ・ノ イ マ ン代 数  30, 35

反 対 称   210 反 対 称 シ ンボ ル   237 ハ ー ン-バ ナ ッハ の 定 理   319

フ ェル ミオ ン フ ォ ック 空 間   251 フ ェ ル ミ場  475 フ ォ ック真 空  522

フ ォ ン ・ノ イマ ンの-意

性 定 理   142

フ ォ ン ・ノ イ マ ンの定 理   99, 121 不 確 定 性 原 理 の補 題   113

半 フ レ ドホ ル ム   494 半 有 界   173

複 素 一 般 線 形 群   191 複 素 代 数  28

非 可 換 因 子   174

複 素 特 殊 線 形 群   201

比 較 定 理   336

複 素 表 現   213

非 自明   131

複 素 変 数 の作 用 素 値 関 数   263

非 摂 動 的 効 果   310

複 素 変 数 のバ ナ ッハ 空 間 値 関 数  263

非 摂 動 的 構 造   310 非 相 対 論 的 自由 粒 子 の 運 動 エ ネ ルギ ー  305

複 素 リー代 数   246 不 足 指 数   119

左 作 用   189

物 質 の安 定 性  40

非 調 和 振 動 子   367

物 理 的 運動 量   155 物 理 量 の観 測   1

非 同 値   137 非 同 値 表 現   154 非 負   73, 91

不定 内 積   194

非 負 超 関 数  73

不 変測 度  206

微 分   264

不 変 部 分 空 間   141, 214

微 分 可 能   264

ブ ラ ウ ン運 動   434, 437 フ ー リエ 変換   15, 26, 58, 451

部 分群   190

表 現   213, 247, 434 ― の 第m成 分   131 表 現 空 間  203,

213,

フ リー ドリク ス 拡 大   99, 101, 238 フ リー ドリク ス モ デ ル   307

247

フ レ ドホ ル ム 作 用 素   494

表 現 定 理  96 標 本 関 数   426 標 本 経 路   426 ヒ ルベ ル ト空 間表 現   213,

分 布 関 数  431 247

閉  93

ヒ ルベ ル ト-シ ュ ミ ッ ト型 積 分 作 用 素  356

閉拡 大   93

ビ ルマ ン-シ ュ ウ ィ ン ガー 原 理  364

閉 曲線 の 内部 を貫 く磁 束   160

ビ ルマ ン-シ ュ ウ ィ ン ガー の定 理   363

平均 寿 命  303

ビ ルマ ン-シ ュ ウ イ ン ガー の方 法   362

平 行 移 動  56,

141, 207

閉 集 合   256 フ ァ イ ンマ ン-カ ッ ツの 公 式   440 フ ァ イ ンマ ン測 度  423

閉準 双 線 形形 式   93 並 進   56, 57, 141, 207

フ ァ リス-ラ ヴ ァ イ ンの 定 理   82

並 進 群   190

不 安 定   261 フ ェ ル ミオ ン 的座 標   466

平 坦   161 ― なベ ク トルポ テ ンシ ャ ル  162 , 163, 閉 包   96

フ ェ ル ミオ ン 的状 態   480

平 方 的 な群   200

フ ェ ル ミオ ン 的零 エ ネ ルギ ー状 態  493

冪 級 数 展 開  287

フ ェ ル ミオ ン 的 超場 の 空 間   474

冪 等 作 用 素   272

フ ェ ル ミオ ン的部 分   484 フ ェ ル ミオ ン 的 変 数   466,

冪 等 作 用 素 値 関 数   273 ベ ク トルポ テ ン シ ャ ル   113,

フ ェ ル ミオ ン  464

468

155,

162

166

ヘ リ ウ ム原 子   290

モ ー メ ン ト  452

ヘ ル ダ ー連 続 性   439 , 460 ヘ ル ダ ー連 続 版   460

ヤ

変 換 群   193

有 界 線 形 汎 関 数  317

偏 微 分 作 用 素   471

 ―

ポ ア ン カ レ群  193,

有 界 表 現   213 有 限 群   190

194

行

の 存 在   319

方 向 量 子 化   244 ボ ー ス 場  475

有 限 次 元 表 現   214

保 測   206

有 限 自由 度 のCAR 

保 測 変 換  206

優 作 用 素   81

保 測 変 換 群  207

有 理 型 関 数   163

ボ ソ ン  464 ボ ソ ン的 状 態  480

湯 川 型 ポ テ ン シ ャ ル  359

ボ ソ ン的 零 エ ネ ルギ ー 状 態  493 ボ ソ ン的 超 場 の 空 間   474

湯 川 ポ テ ン シ ャ ル  294 ユ ニ タ リ群  191

ボ ソ ン的 部 分   484

ユ ニ タ リ装備 的  235

ボ ソ ン的 零 エ ネル ギ ー状 態  493

ユ ニ タ リ同 値  214

ボ ソ ン フ ォ ッ ク空 間   88, 251

ユ ニ タ リ表 現   203

保 存 量   226 ポ テ ン シ ャ ル   52

弱 い 意 味 で 漸 近 的 に完 全  397

ボ レル 筒 集 合  431

弱 い 漸 近 的 完 全 性  397

有 限 次 元 分 布   430

湯 川 方 程 式   294

ホ ワ イ トノ イ ズ  439 マ 埋 蔵 固 有 値   293,  ―  ―

476

ラ 行

306

の 消 失   308 の 摂 動 問 題   297

行

ラ イ プニ ッ ツ則   69, 81 ラ プ ラス 作 用 素  101 リー 括 弧 積  245 リー 環   245

右作 用   190

離 散 位 相   256

密 着 位 相   256

離 散 空 間   256

密 着 空 間   256 ミ ン コ フス キ ー計 量  193

離 散 ス ペ ク トル  278, ―の 存 在   335

ミ ン コ フス キ ー 内 積   193 ミ ン コ フス キ ー ベ ク トル 空 間  194

324

リー 代 数   245 リー 代 数 の 同 型 写 像  248 流 線   222

無 限 遠 で の 符 号   508

両 可 測   206

無 限 回 微 分 可 能   264

量 子 系 の 時 間 発 展   222

無 限 群   190

量子 調 和 振 動 子 の 摂 動   289 量 子 的 力 学 的 流 線  222

無 限 次 元 表 現   214 無 限 自由 度 ― のCAR  ― ―

量 子 場 の 軌 道 角 運 動 量   253 476

のCCR  475 の 正 準 反 交 換 関 係   475

量 子 力 学 的 状 態 の 流 れ  222 臨 界 点   310

無 限 小   43

ル ジ ャ ン ドル の 陪 多 項 式   241

無 摂 動 系   279

ル ジ ャ ン ドルの 微 分 方 程 式   241

無 摂 動 作 用 素   39 無 摂 動 部 分   39

零 エ ネ ル ギ ー 状 態   502, ― の 空 間   505

505,

507, 513

レ イ リー-シ ュ レー デ ィ ンガ ー 級 数   287

ロ ル ニ ッ ク ノ ルム   365

レ イ リー-シ ュ レー デ ィ ンガ ー 係 数  287 レ イ リー-リ ッツ の原 理  337

ロ ル ニ ッ クポ テ ンシ ャ ル  365

レ ゾル ヴ ェ ン トの積 分 核 表 示   354

ロ ー レ ン ツ計 量  193

ロ ー レ ン ツ群  193,

201

レ ビ ・チ ビ タ シ ンポ ル   237

ロー レ ン ツ写 像  194

レ リ ッ ヒ-デ ィ クス ミエ ー ルの 定 理   183

ロ ー レ ン ツ対 称 な関 数   195

連 続   257,

264

連 続 写 像  257 連 続 版  434

ロー レ ン ツ対 称 な図 形  195 ロ ー レ ン ツ内 積  193

著 者 略歴 新 井 朝 雄 1954年  埼玉 県に生 まれる 1979年   東京大 学大学 院理学研 究科 修士課 程修了 現 在  北海道 大学大 学院理学 研究 院 数学 部門教授 理学博 士

朝倉物理学大系12 量子現象 の数理 2006年2月20日 2008年5月20日

定価 は カバー に表 示

 初 版第1刷   第2刷

著 者 新

井

朝

雄

発行者 朝

倉

邦

造

発行所

 株式 会社 朝

倉

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6-29 郵 便 電 FAX 

2006 〈無 断複写 ・転載 を禁ず 〉

ISBN  978-4-254-13682-1 

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

〈検 印省 略〉 C

番 号   162-8707 話  03(3260)0141

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