Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика: Монография

В. В. Козлов АНСАМБЛИ ГИББСА И НЕРАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Москва Ижевск 2008 3 УДК 531.19 http://shop...

Author: Козлов В.В.

171 downloads 163 Views 2MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

В. В. Козлов

АНСАМБЛИ ГИББСА И НЕРАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Москва Ижевск 2008

3

УДК 531.19

http://shop.rcd.ru http://ics.org.ru

Интернет-магазин

• физика • математика • биология

http://shop.rcd.ru

• нефтегазовые технологии

Козлов В. В. Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. — Москва–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2008. — 204 с. В рамках теории ансамблей Гиббса развивается последовательная неравновесная статистическая механика. В ее основе лежит идея слабых пределов решений уравнения Лиувилля при неограниченном возрастании времени. С ее помощью естественным образом решается задача о переходе к макроописанию, когда основное внимание сосредоточено на изучении эволюции средних значений (математических ожиданий) динамических величин. Этот подход отличается от традиционных подходов к проблеме необратимости, поскольку равновесные состояния динамических систем в прошлом и будущем совпадают. Результаты общего характера применяются к решению конкретных задач классической статистической механики. Книга предназначена для математиков, механиков и физиков, интересующихся статистической механикой и вопросами обоснования термодинамики.

ISBN 978-5-93972-645-0 c В. В. Козлов, 2008 c НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008

Оглавление

«Среди самых интересных проблем математической физики особое место следует отвести проблемам, связанным с кинетической теорией газа. Многое уже сделано для решения, но многое еще остается сделать. Эта теория представляет вечный пара-

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 § 1. Ансамбли Гиббса и тепловое равновесие . . . . . . 11 § 2. Неавтономные системы . . . . . . . . . . . . . . . . 28 § 3. Равнораспределенность энергии связанных осцилляторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 § 4. Тонкая и грубая энтропии . . . . . . . . . . . . . . . 53 § 5. Одномерный идеальный газ . . . . . . . . . . . . . 68 § 6. Статистическая механика в конфигурационном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 § 7. Бесстолкновительный газ в многогранниках . . . . 86 § 8. Статистическое равновесие в системах с медленно меняющимися параметрами . . . . . . . . . . . . . 98 § 9. Случай быстрых изменений . . . . . . . . . . . . . 110 § 10. Некоторые неравенства для решений уравнения Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 § 11. Циклы Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 § 12. Задача о поршне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 § 13. Термодинамика биллиардов и газ Больцмана–Гиббса 153 § 14. Статистические модели термостата . . . . . . . . . 171 § 15. Обобщенное каноническое уравнение Власова . . . 181 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

докс. Мы имеем обратимость в предпосылках и необратимость в следствиях, и между ними — пропасть». А. Пуанкаре «Настоящее и будущее математической физики.»

Введение Статистическая механика — это механика, обогащенная вероятностными представлениями. Основная задача неравновесной статистической механики — анализ механизма необратимого стремления системы к состоянию термодинамического равновесия. Неравновесная статистическая механика была предметом классических работ Больцмана и Гиббса. Предложенные ими подходы существенно отличаются друг от друга. Больцман исследовал статистические свойства системы сталкивающихся частиц в обычном трехмерном пространстве, вывел ставшее знаменитым кинетическое уравнение для плотности распределения по скоростям и координатам (в µ-пространстве) и показал, что в общем случае решения этого уравнения стремятся

6

В ВЕДЕНИЕ

В ВЕДЕНИЕ

при t → +∞ к распределению Максвелла. Возникающий при

пути решения этой задачи не привели к ощутимым результатам.

таком подходе парадокс обратимости Лошмидта объясняется, в

Одна из причин упирается в содержательные проблемы эргодиче-

частности, предположением Больцмана о статической независи-

ской теории (некоторые из них не решены и по сей день), а дру-

мости состояний частиц перед ударами. Если принять статисти-

гая — в точное определение приближения системы к состоянию

ческую независимость частиц после ударов, то эволюция сме-

статистического (теплового) равновесия.

нит свое направление на обратное. По сути, метод Больцмана использует общую концепцию марковских случайных процессов, где направление эволюции («стрела времени») задано уже с самого начала. Это замечание особенно отчетливо проявляется при

7

Вот один пример возникающих на этом пути трудностей. Как заметил сам Гиббс, статистическая энтропия − ρt ln ρt dµ

(0.1)

анализе упрощенных моделей (урновая модель Эренфестов, кру-

(здесь ρt — плотность распределения — решение уравнения Ли-

говая модель Каца). Любопытно отметить, что задолго до работ

увилля, dµ — инвариантная мера), вопреки ожиданию, не меня-

Т. и П. Эренфестов сам А. А. Марков подробно изучал урновые

ется со временем. Поэтому Гиббс предложил заменить ее гру-

модели как пример дискретных марковских процессов.

бой («физической») энтропией, усреднив плотность ρt по ячей-

Таким образом, кинетическое уравнение Больцмана является

кам фиксированного разбиения фазового пространства, и пытался

приближенным, но в случае разряженных газов в определенных

доказать, что грубая энтропия уже возрастает. Однако, несмот-

временных диапазонах оно качественно верно описывает эволю-

ря на плодотворность самой идеи, его попытка оказалась неудач-

цию системы. Это уравнение является общепринятой основой для

ной: грубая энтропия возрастает не всегда (не говоря уже об от-

численного моделирования кинетики взаимодействующих частиц.

сутствии монотонного возрастания). Кстати сказать, эта пробле-

Подход Гиббса основан на изучении вероятностных распре-

ма тесно связана с возможностью корректного определения эн-

делений в фазовом пространстве системы взаимодействующих ча-

тропии в произвольном неравновесном состоянии системы. Ин-

стиц (Γ-пространство). Изменением со временем этих распределе-

теграл (0.1) часто называют информационной энтропией. Однако

ний (ансамблей Гиббса) управляет обратимое уравнение Лиувил-

надо иметь в виду, что роль этой величины в теории информации

ля. Гиббс пытался доказать, что с течением времени любое такое

была осознана позже К. Шенноном под влиянием идей Гиббса.

распределение стремится в каком-то смысле к микроканоническо-

Современное понимание классической неравновесной стати-

му, когда плотность зависит только от энергии. Намеченные им

стической механики основывается на теории цепочек Н. Н. Бо-

8

В ВЕДЕНИЕ

В ВЕДЕНИЕ

9

голюбова (теория Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда —

рию ансамблей Гиббса. Мы даем строгое определение статистиче-

Ивона). Ее исходный пункт — уравнение Лиувилля для гамильто-

ского равновесия динамической системы с инвариантной мерой,

новой системы, описывающей динамику N взаимодействующих

основанное на слабой сходимости вероятностных мер. Это позво-

частиц (как в теории ансамблей Гиббса). После усреднения по

ляет исследовать задачу о необратимом стремлении гамильтоно-

координатам и скоростям группы частиц возникает цепочка за-

вой системы к состоянию статистического равновесия, развивая и

цепляющихся уравнений для s-частичных функций распределе-

несколько модифицируя эргодическую теорему. Одна из конечных

ния (1 s N ). В конце концов для первой функции распреде-

целей — установить закон распределения Максвелла для частиц

ления (когда s = 1) выводится уравнение больцмановского типа

газа Больцмана — Гиббса, не прибегая к дополнительным пред-

с однонаправленной эволюцией. Эта теория считается неоспори-

положениям физического характера. Ансамбль Гиббса описыва-

мой вершиной неравновесной статистической механики, однако и

ет эволюцию бесстолкновительной сплошной среды в многомер-

к ней применимо высказывание Пуанкаре: сохраняется пропасть

ном искривленном фазовом пространстве. Однако эти же методы

между обратимостью в предпосылках и необратимостью в след-

позволяют продвинуться в анализе стабилизации решений нели-

ствиях. Мост между обратимостью и необратимостью составляют

нейного уравнения Власова, описывающего кинетику континуума

дополнительные предположения, два из которых имеют ключевое

взаимодействующих частиц.

значение. Во-первых, считается, что на кинетической стадии эво-

Не следует думать, что предложенный подход лишь по форме

люции функции распределения высших порядков зависят от вре-

отличается, скажем, от теории цепочек Боголюбова. Характерное

мени только через функциональную зависимость от первой функ-

отличие, например, состоит в том, что в нашем подходе система

ции распределения, а во-вторых, что в отдаленном прошлом имел

необратимо стремится к одному и тому же состоянию статисти-

место «молекулярный хаос»: состояния отдельных частиц были

ческого равновесия как при t → +∞, так и при t → −∞. Тем

статистически независимыми. Эти гипотезы, конечно, не само-

самым сохраняется обратимость в следствиях и снимается пара-

очевидны и требуют дополнительного анализа. Согласно Пуанка-

докс Лошмидта.

ре, в кинетической теории газа остается еще много темных мест, к которым нужно возвращаться и, безусловно, не один раз.

Основные моменты нового подхода изложены в книге автора «Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре» (2002 г.). Од-

Основная цель настоящей работы — развить последователь-

нако здесь основной акцент делается на изучение неравновесно-

ную статистическую механику, опираясь исключительно на тео-

го случая. Кроме того, излагаются результаты совсем недавних

10

В ВЕДЕНИЕ

исследований на эту тему. Наш текст, как правило, не содержит

§ 1. Ансамбли Гиббса и тепловое равновесие

подробных доказательств. Однако все утверждения точно сформулированы и даны необходимые ссылки.

1. В основе неравновесной статистической механики лежит

Автору много дало изучение статьи А. Пуанкаре «Замечания

теория ансамблей Гиббса. Для приложений к термодинамике су-

о кинетической теории газов» (1906 г.). Хотя эта работа известна

щественное значение имеют гамильтоновы системы. Однако, как

(достаточно упомянуть, что она переведена на русский язык), но

подчеркивал сам Гиббс, его подход применим к любым динами-

не понята и поэтому не востребована. В статье Пуанкаре содер-

ческим системам с инвариантной мерой.

жатся новые идеи (зачастую не выделенные и не сформулированные явно), осмысление и развитие которых могло бы привести к иному облику неравновесной статистической механики. Но этого, к сожалению, не произошло. Анализ причин и упущенных воз-

Пусть Γ = {x}(x = (x1 , . . . , xm )) — фазовое пространство динамической системы x˙ j = vj (x1 , . . . , xm ),

1 j m,

(1.1)

можностей — тема отдельного исследования. Нашу работу можно

фазовый поток которой {gvt } (или просто {gt }) сохраняет меру

рассматривать также как расширенный комментарий замечатель-

dµ = λ(x)dn x (dn x = dx1 . . . dxm — «элемент объема»). Будем

ной работы Анри Пуанкаре.

считать сначала, что плотность λ этой меры — гладкая положи-

Автор дружески благодарит С. В. Болотина, В. В. Веденяпина,

тельная функция на Γ. По теореме Мозера [1] две такие конечные

И. В. Воловича, В. А. Зорича, О. Г. Смолянова и Д. В. Трещева за

меры dµ1 = λ1 dn x и dµ2 = λ2 dn x эквивалентны (переводятся

полезные обсуждения.

друг в друга диффеоморфизмом Γ) тогда и только тогда, когда

dµ1 = Γ

dµ2 . Γ

Можно считать, что локальные координаты x1 , . . . , xm на Γ выбраны таким образом, что λ(x) = const. В этих координатах дивергенция векторного поля v = (v1 , . . . , vm ) равна нулю: ∂vj = 0. ∂xj

(1.2)

12

В. В. КОЗЛОВ

§ 1. А НСАМБЛИ Г ИББСА И ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ

13

Иногда координаты на Γ можно задать в целом. Например,

Если ρ0 — гладкая функция на фазовом пространстве, то фор-

если Γесть прямое произведение k-мерного тора и (m − k)-

мула (1.4) показывает, что плотность ρt (x) гладко зависит от фа-

Tk

×

Rm−k ),

то в качестве

зовых переменных и времени и удовлетворяет дифференциально-

глобальных координат можно взять k угловых и m − k линейных

му уравнению Лиувилля. Однако формула (1.4) позволяет опре-

переменных.

делить негладкие (и даже разрывные) обобщенные решения урав-

мерного линейного пространства (Γ =

Для гамильтоновых систем фазовое пространство Γ обычно совпадает с

T ∗M

— пространством кокасательного расслоения n-

мерного конфигурационного пространства M (при этом, конечно, m = 2n), уравнения (1.1) гамильтоновы x˙ i = ∂H , ∂yi

y˙i = − ∂H ; ∂xi

нения Лиувилля. Например, если ρ0 — суммируемая функция (из класса L1 (Γ, dµ)), то ρt ∈ L1 при всех значениях времени t. Ансамбль Гиббса — это континуум одинаковых систем, распределенных в фазовом пространстве Γ с плотностью вероятно-

1 i n,

(1.3)

стей ρt . Этот ансамбль можно рассматривать как сплошную среду, состоящую из невзаимодействующих частиц.

с не зависящей от времени функцией Гамильтона H(x, y), а мера dµ — это инвариантная мера Лиувилля: dµ = dn xdn y.

Ясно, что

dνt = 1.

Согласно Гиббсу, на Γ вводится, вообще говоря, нестацио-

Γ

нарная вероятностная мера

Это означает, что пребывание системы в каком-то состоянии есть dνt = ρt (x)dµ, которая переносится потоком

{gt }

достоверное событие.

(«вморожена» в этот поток).

Если dµ = dm x, то плотность ρ = ρt (x)(= ρ(x, t)) удовлетворяет

2. В дальнейшем важную роль играет простая

уравнению Лиувилля

Теорема 1. Пусть ft (x) — первый интеграл системы (1.1).

∂ρ + div (ρv) = 0. ∂t Ввиду условия (1.2) плотность ρ — первый интеграл систе-

Тогда

Γ

мы (1.1). Следовательно: ρt (x) = ρ0 (g−t (x)),

ft dµ = const.

J(t) =

(1.4)

где ρ0 — значение плотности в начальный момент времени t = 0.

Это утверждение содержательно, если интеграл J конечен. Укажем два следствия.

14



Следствие 1. Если F — измеримая функция одного переменного, то

15

3. Что такое тепловое (статистическое) равновесие в теории ансамблей Гиббса и всегда ли система стремится к равновес-

F (ρt )dµ = const.

ному состоянию? Эти вопросы, конечно, имеют фундаментальное

Γ

значение для статистической механики.

Именно в таком виде теорема 1 сформулирована у Пуана-

Было бы естественным считать, что предельное состоя-

кре [2]. В частности, информационная энтропия (или энтропия

ние теплового равновесия описывается стационарной плотностью

Гиббса)

распределения вероятностей

St = −

ρt ln ρt dµ

(1.5) ρ(x) = lim ρt (x).

Γ

не зависит от времени. Этот важный факт был известен еще Гиббсу [3].

t→∞

(1.7)

Однако, как заметил сам Гиббс ( [3], гл. XII), этот предел в

Следствие 2. Если (1.1) — гамильтонова система, то средняя энергия

обычном смысле почти никогда не существует: плотность ρt (x) как функция t осциллирует по теореме Пуанкаре о возвращении.

Hρt dµ

(1.6)

Гиббс так и не сумел обойти это затруднение. Между тем имеется естественный и простой выход. Можно

Γ

не меняется со временем.

заменить обычную сходимость в (1.7) сходимостью в некотором

Теорема 1 доказывается совсем просто. Согласно (1.4), ft (x) = f0 (g−t (x)). Тогда

J(t) =

f0 (g−t (x))dµ.

Γ

Рассмотрим диффеоморфизм x → z, задаваемый формулой z = = g−t (x). Поскольку он сохраняет меру dµ, то J(t) = f0 (z)dµ = J(0). Γ

более сильном смысле, например, сходимостью по Чезаро: ρ(x) = lim τ1 τ →∞

τ ρt (x)dt.

(1.8)

0

Существование этого предела вытекает из формулы (1.4) и известных результатов эргодической теории. Если начальная плотность ρ0 — функция из L1 (Γ, dµ), то ρ(x) существует для почти всех x ∈ Γ, также является суммируемой функцией, удовлетворяет уравнению Лиувилля (точнее, инвариантна относительно

16


преобразований gt ) и (если µ(Γ) < ∞) ρdµ = ρ0 dµ = 1. Γ


17

точки зрения (в неявной форме использовавшейся Пуанкаре в его работе [2]) можно найти в книге [6]. (1.9)

Γ

Это — классическая теорема Биркгофа–Хинчина. Условие µ(Γ) < ∞ не выполняется для обычных гамильтоновых систем. Однако, соотношение (1.9) остается справедливым, если уровни энергии {H(x, y = c)} ограничены в фазовом пространстве. Аналогичный результат справедлив и в более общем случае, когда ρ0 ∈ Lp (1 p ∞): предел (1.8) имеет место для почти

Пусть ϕ : Γ → R — динамическая величина, ρt ϕdµ

(1.10)

Γ

— ее среднее значение в момент времени t. Если ρt ∈ Lp (достаточно предположить, что ρ0 ∈ Lp ), то для существования ин( 1p + 1q = 1). При p = 1 функцию ϕ надо предполагать существенно ограничентеграла (1.10) следует считать, что ϕ ∈ Lq

ной (ϕ ∈ L∞ ). Например, пусть ϕ — характеристическая функция измеримой области Φ конфигурационного пространства M гамильтоновой системы; она тривиальным образом продолжается

всех x ∈ Γ и ρ также принадлежит Lp . Это — известная теорема

до измеримой функции ϕ = ϕ ◦ π, определенной в фазовом про-

Аккоглу (см., например, [4, 5]).

странстве Γ = T ∗ M , где π : T ∗ M → M — естественная проекция.

Таким образом, равенство (1.8) можно считать определени-

Тогда интеграл (1.10) имеет смысл доли гамильтоновых систем из

ем статистического равновесия. Такой подход может показать-

ансамбля Гиббса, которые в момент времени t находятся в обла-

ся чересчур формальным. К равенству (1.8) можно подойти по-

сти Φ.

другому. Можно начать с вопроса о слабой сходимости вероятной меры dνt = ρt dµ при t → ∞ . Такой подход естественен с точки зрения обоснования термодинамики — перехода к макроскопическо-

Будем говорить, что ρt слабо сходится к ρ : Γ → R при t → ∞, если

ρt ϕdµ → Γ

ρϕdµ

(1.11)

Γ

му описанию эволюции динамической системы, поскольку плот-

для любой «пробной» функции ϕ. Слабый предел ρ, если он су-

ность вероятностной меры «существует» не сама по себе, а прояв-

ществует, естественно считать плотностью распределения веро-

ляется при вычислении средних значений (математических ожи-

ятностей в предельном стационарном состоянии. Слабая сходи-

даний) динамических величин. Систематическое изложение этой

мость вполне естественна в физических приложениях: пробным

18



функциям соответствуют устройства (термометр, барометр и т.д.), измеряющие средние (наиболее вероятные) величины. Справедливо следующее утверждение: если ρ0 ∈ Lp и сла-

мые функции на Γ, то ρt (x, ω)ϕ(x, ω)dxdω = ρ(ω)ϕ(x, ω)dxdω, lim t→±∞

Γ

бый придел существует, то он совпадает с (1.8) [7]. Для p = 2 это

(1.13)

Γ

где

утверждение установлено ранее в [8]. 4.

19

ρ= 1 2π

В связи с этими результатами возникает интересная и

2π ρ(x, ω)dx.

(1.14)

нетривиальная задача о существовании слабых пределов. Они су-

0

ществуют не всегда. Например, для линейных гамильтоновых си-

Последняя формула, очевидно, согласуется с формулой (1.8).

стем интегралы (1.10), как правило, осциллируют и не имеют

Как показано в [10], это утверждение справедливо в много-

пределов при t → ±∞. В работе [9] выделен класс нелинейных систем (так называемые системы со слоистыми потоками), для

мерном случае, когда Γ = Tn × Rn и ρ ∈ Lp , ϕ ∈ Lq ( 1p + 1q = 1).1 Утверждения (1.13) и (1.14) — это одна из форм эргодической

которых слабые пределы вероятностных мер существуют.

теоремы для вполне интегрируемых систем, которая фактически

Этому общему результату предшествовала теорема автора о

появилась за 10 лет до классической работы Г. Вейля о равномер-

слабых пределах решений уравнения Лиувилля для невырожден-

ном распределении условно-периодических движений на много-

ных вполне интегрируемых систем [10]. Она является усилением

мерных торах.

и обобщением утверждения Пуанкаре из п.п. 2—3 его работы [2].

Доказательство общей теоремы о слабой сходимости в си-

Пуанкаре рассмотрел простую интегрируемую систему на

стемах со слоистыми потоками связано с новой формой эргодиче-

цилиндре Γ = T1 × R1 = {x mod 2π, ω}:

ской теоремы, установленной в [7]. Снова рассматривается динамическая система (1.1) на гладком многообразии Γ с инвариант-

x˙ = ω,

ω˙ = 0.

(1.12)

Если ρ(x, ω) — начальная плотность распределения, то

ной мерой dµ, причем µ(Γ) < ∞. Пусть ω → h(ω) — плотность некоторой вероятностной меры на R = {ω}: это неотрицательная 1

dνt = ρ(x − ωt, ω)dxdω.

В связи с обсуждаемыми вопросами В. В. Веденяпин заметил:«Теорема о

слабой сходимости (Пуанкаре—Козлова) и ее недоказанные (и несформулированные) обобщения дают свет в конце туннеля [11].» Одна из целей настоящей

Пуанкаре доказал, что если ρ и ϕ — непрерывно дифференцируе-

работы — доформулировать соответствующие обобщения.

20



функция из L1 (R, dω), причем

Я не буду давать общее определение систем со слоисты-

∞

ми потоками, а вместо этого укажу класс гамильтоновых сиh(ω)dω = 1.

стем, который является полезным примером таких систем. Будем

−∞

Вот одна из эргодических теорем: если f1 , f2 ∈ L2 (Γ, dµ), то

∞ lim

t→∞ −∞

f1 (gωt (x))f2 (x)dµdω =

h(ω) Γ

говорить, что гамильтонова система дифференциальных уравнений (1.3) квазиоднородна, если она инвариантна относительно действия группы подобия

f 1 f2 dµ,

t → t λ

Γ

где f 1 — биркгофовское среднее (1.8) функции f1 . В частности, пусть система (1.1) эргодическая (но не обязательно с перемешиванием) и h — плотность нормального распре-

,

x → λα x

,

y → λβ y

,

H → λγ H.

Веса α , β и γ удовлетворяют при этом следующему условию: α+ + β + 1 = γ. Вот несколько конкретных примеров.

деления с дисперсией σ 2 . Тогда при σ → ∞

(a) Задача n гравитирующих тел. Здесь α = − 2 , β = 1 , γ = 3

1 √ 2πσ

∞

−

e

→

Γ

t2 2σ2

−∞

f1 dµ

Γ

21

f1 (gt (x))f2 (x)dxdt →

(b) Система с однородным потенциалом: yj2 + Vm (x), H=1 2

Γ

f2 dµ

µ(Γ)

.

(1.15)

Это соотношение показывает, что при неограниченном росте дисперсии σ 2 функции f1 (gt (x)) и f2 (x) становятся в среднем статистически независимыми: интеграл от произведения равен произведению интегралов. Эти эргодические теоремы обсуждаются в [12]. Отметим, что исторически эргодическая теория, по существу, выросла из статистической механики в связи с попытками обосновать физические идеи Больцмана о тепловом равновесии.

3

= 2. 3

где m — степень однородности потенциальной энергии. Здесь α=

2 m−2

,

β=

m m−2

,

γ=

2m . m−2

Случай m = −1 соответствует ньютоновскому потенциалу (пример (a)). Особый случай m = 2 отвечает линейной системе, которая не является квазиоднородной и для нее не справедлива теорема о слабом пределе. (c) Движение по инерции: gij (x)yi yj . H=1 2

22



23

Здесь α = 0, β = 1, γ = 2. Если конфигурационное многообразие

Более точно, при p = 1 надо дополнительно потребовать,

M = {x} имеет непустую границу ∂M , мы предполагаем, что

чтобы µ(Γ) < ∞. Это утверждение — простое следствие извест-

отражение от ∂M происходит по упругому закону.

ных эргодических теорем и некоторых новых идей из работы [7]. Теорема 2 показывает, что определения статистического равно-

Кстати сказать, система вида (1.12) x˙ j = ωj ,

ω˙ j = 0,

весия (путем замены ρt стационарной функцией ρ) в соответ-

1 j n,

ствии с формулами (1.8) и (1.16) совпадают. Теперь мы имеем

тоже гамильтонова и квазиоднородная: здесь xj и ωj — сопряженные канонические переменные, а гамильтониан равен H=

1 2

общее определение статистического равновесия, которое применимо, в частности, и к вырожденным гамильтоновым системам. Подчеркнем, что сходимость по Чазаро можно заменить лю-

ωj2 .

бым другим линейным и регулярным методом суммирования, который включает метод Чазаро (например, методом Абеля). По-

Так что это — частный случай систем из примера (c).

этому стремление системы к статистическому равновесию в со-

5. К сожалению, для линейных колебательных систем сла-

ответствии с формулой (1.8) не следует понимать буквально, что

бая сходимость вероятностных мер не имеет места. Чтобы испра-

плотность ρt заменяется средним по интервалу [0, t] и затем время

вить это положение и достичь большей общности, определение

t устремляется к бесконечности. Вообще не имеет смысла гово-

слабой сходимости (1.11) надо слегка усилить, введя дополни-

рить о скорости сходимости к тепловому равновесию: стабилиза-

тельное усреднение по времени:

ция средних значений разных динамических величин происходит

⎤ ⎡ t 1 ⎦ ⎣ ρs ϕdµ ds = ρϕdµ. lim t→∞ t 0

Γ

по-разному. (1.16)

Γ

Будем говорить, что ρt слабо сходится к ρ по Чазаро, если для любой пробной функции ϕ справедливо равенство (1.16). Теорема 2. Если ρ0 ∈ Lp (p 1), то ρt всегда слабо сходится по Чазаро к функции ρ ∈ Lp , определяемой равенством (1.8).

Сделаем важное замечание. Как хорошо известно, если в (1.8) время τ устремить к +∞ и к −∞, то эти пределы совпадут для почти всех x ∈ Γ. Таким образом, состояния теплового равновесия гамильтоновых систем в прошлом и будущем совпадают. Это — проявление общего свойства обратимости уравнений классической механики по времени. Конечно, такое понимание необратимого стремления системы к состоянию термодинамиче-

24



ского равновесия не соответствует общепринятым представлени-

25

S

ям, основанным на свойствах известного кинетического уравнения Больцмана. Однако надо иметь в виду, что при всех выводах этого уравнения делаются дополнительные предложения, несовместимые с обратимостью уравнений динамики. t

6. Теперь обсудим вопрос о возрастании информационной энтропии изолированной системы после достижения теплового (статистического) равновесия. Положим St = − ρt ln ρt dµ и S = − ρ ln ρdµ. Γ

Рис. 1. График энтропии

состояний теплового равновесия системы (1.12) Пуанкаре фактически заменял (не оговаривая этого явно) начальную плот-

Γ

ность вероятности ее слабым пределом, вычисляемым по фор-

Ясно, что S — это энтропия системы в тепловом равновесии. С использованием формулы (1.8) и неравенств выпуклости легко доказать, что

муле (1.14). Конечно, для гамильтоновых систем предельная плотность ρ, вообще говоря, не совпадает с плотностью канонического распре-

S0 S.

(1.17)

Как правило, S0 < S. Функция St постоянна при всех конечных значениях времени (теорема 1), а при t = ±∞ она совершает неотрицательный скачок S − S0 , величина которого вполне согла-

деления Гиббса −βH e−βH , e dµ

β = const > 0.

Γ

суется с известными результатами феноменологической термоди-

Параметр β −1 обычно интерпретируется как kT , где k — постоян-

намики (см. [6, 10]).

ная Больцмана, а T — абсолютная температура. Но в этом нет ни-

Для системы (1.12) неравенство (1.17) установил Пуанкаре.

чего неожиданного. Распределение Гиббса содержит температуру,

С этим связана критика Н. С. Крылова [13] статьи Пуанкаре [2].

которая «разумным» образом может появиться лишь при рассмот-

Н. С. Крылов отмечает, что неравенство (1.17) противоречит ре-

рении взаимодействующих подсистем: только тогда появляется

зультату п.1 статьи Пуанкаре о постоянстве информационной эн-

возможность сравнить температуры разных систем. Статистиче-

тропии St . На самом деле никакого противоречия здесь нет. Для

ский вывод распределения Гиббса — это отдельная задача, тесно

26



связанная с хаотизацией слабо взаимодействующих гамильтоно-

Лагранжа I¨ = 4T − 2mV,

вых систем (см. [6], гл.IV). Существенную роль в таком рассмотрении играет идея термодинамического предела. Этот круг вопросов мы обсудим ниже в §14. А сейчас лишь отметим, что для гамильтоновых систем с эргодическим поведением на изоэнергетических поверхностях ρ является плотностью микроскопического

где I =

gij xi xj — «момент инерции» системы относительно

точки x = 0. Пусть теперь ρ0 — начальная плотность распределения вероятностей, причем

распределения: оно зависит только от энергии. А это уже кое-что!

V (λx) = λm V (x) для всех x ∈ Rn и λ > 0; число m — степень однородности. Предположим, что энергетические многообразия {T + V = h} компактны (это заведомо так, если x = 0 — строгий локальный минимум потенциальной энергии). Тогда биркгофовские средние T и V кинетической и потенциальной энергии существуют для

Следовательно, средняя полная энергия системы ограничена при всех значениях времени. Положим Kt = T ρt dµ, Πt = V ρt dµ. Γ

Теорема 3 [18].

Γ

Если энергетические многообразия ком-

пактны и выполнено условие (1.18), то при m = 2 lim Kt = mE m+2

t→±∞

и

lim Πt =

t→±∞

2E . m+2

(1.19)

При m = 2 эти равенства остаются справедливыми, если обычную сходимость заменить сходимостью по Чезаро. Подчеркнем, что равенства (1.19) не зависят от начальной

всех начальных условий и T = mh m+2

(1.18)

Γ

статистический вариант теоремы Клаузиуса о вириале. С этой це-

и однородной потенциальной энергией V : Rn → R:

(T + V )ρ0 dµ < ∞.

E=

7. В заключение этого параграфа в качестве примера укажем лью рассмотрим гамильтонову систему с кинетической энергией gij yi yj , gij = const T =1 2

27

,

V =

2h . m+2

В этом заключается классическая теорема Клаузиуса, установленная еще в 1870 г. Она просто выводится из тождества

плотности распределения ρ0 . Для линейных колебательных систем (m = 2) внутренняя энергия в итоге распределяется поровну между средними значениями кинетической и потенциальной энергии.

28


§ 2. Н ЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ

§ 2. Неавтономные системы

уравнению Лиувилля ∂ρ + div (ρv) = 0. ∂t

1. В этом параграфе обсуждаются статистические свойства неавтономных систем дифференциальных уравнений z˙ = v(z, t),

29

(2.2)

Решения этого уравнения порождают интегральный инвари(2.1)

ант системы (2.1):

z = (z1 , . . . , zm ) — точка фазового пространства Γ, t — время. Важный класс составляют неавтономные гамильтоновы системы. Изучение таких систем имеет существенное значение для анализа неустановившихся процессов. Будем предполагать, что все решения системы (2.1) определены на всей временной оси R = {t}. Это заведомо так, если фазовое пространство компактно. Потоком системы (2.1) назовем семейство преобразований {gt }, t ∈ R фазового пространства, которые обладают следующим характеристическим свойством: функция

ρt dm z = const

(2.3)

g t (D)

для любой измеримой области D. В частности, I(t) = ρt dm z = const.

(2.4)

Γ

Приведем прямое доказательство этого утверждения. Мы будем использовать прием, который неоднократно встретится нам ниже (с тривиальными модификациями): ∂ρ m d z = − div (ρv)dm z = 0 I˙ = ∂t Γ

Γ

t → gt (z)

по формуле Гаусса– Остроградского. Точнее, последняя формула

— решение уравнения (2.1) с начальным условием z при t = 0.

ли же Γ некомпактно, то необходимо потребовать, чтобы поток

Если система (2.1) неавтономная, то преобразования, конечно, не

векторного поля ρv «на бесконечности» (через бесконечно боль-

образуют группу. Однако они являются взаимно-однозначными

шую сферу) обращался в нуль.

преобразованиями фазового пространства Γ.

заведомо справедлива для замкнутого фазового пространства. Ес-

Далее считаем, что ρ 0 и интеграл (2.4) равен единице. То-

Нашим исходным пунктом снова будет теория ансамблей

гда мера ρt dm z будет вероятностной мерой, инвариантной отно-

Гиббса: нестационарные распределения вероятностей с плотно-

сительно преобразований gt . Значение интеграла (2.3) есть веро-

стями ρt (z) = ρ(t, z), которые удовлетворяют фундаментальному

ятность нахождения системы в области gt (D) в момент времени t.

30


2.


Отметим два утверждения, которые обобщают соответ-

ствующие утверждения из §1. Теорема 1.

Если ft (z) — первый интеграл системы (2.1),

то

ft ρt dm z = const.

последний интеграл равен нулю. Далее: ∂ρvj ∂ρ m ln ρd z = ln ρdm z = − ∂t ∂zj ∂ρ m =− vj d z = ρ div vdm z. ∂t Γ

В автономном случае равенство (2.5) неоднократно обсужда-

Γ

Действительно, произведение ft ρt удовлетворяет уравнению Лиувилля, если ft — первый интеграл. После этого замечания следует воспользоваться соотношением (2.4).

лось (см., например, [14]). Если div v = 0, то получаем заключение Гиббса– Пуанкаре, справедливое и в неавтономном случае. В частности, информационная энтропия неавтономной гамильтоновой системы не меняется со временем.

Мы не предполагаем, что система (2.1) имеет стационарную инвариантную меру. Введем информационную энтропию по

Пусть div v = c = const. Тогда из (2.5) вытекает важная формула:

обычной формуле St = −

St − S0 = ct. ρt ln ρt dm z.

В качестве примера рассмотрим гамильтонову систему с диссипацией:

Γ

Теорема 2.

S˙ t =

x˙ j = ∂H , y˙ j = − ∂H − ν(t)yj ; ∂yj ∂xj

m

ρt (div v)d z.

(2.5)

Γ

1 j n.

Действительно: S˙ t = − Γ

∂ρ ln ρdm z − ∂t

Γ

H˙ = −ν ∂ρ m d z. ∂t

Ввиду уравнения Лиувилля и формулы Гаусса– Остроградского

(2.6)

Здесь H — функция Гамильтона (полная энергия), ν 0 — коэффициент трения. Из (2.6) вытекает соотношение

31

yj ∂H . ∂yj

Если H есть сумма кинетической gij (x)yi yj T =1 2

32


и потенциальной энергии V (x), то H˙ = −2νT 0.


С этой целью рассмотрим неавтономную интегрируемую систему дифференциальных уравнений x˙ = y,

Таким образом, полная энергия не возрастает. С другой стороны, дивергенция правой части (2.6) равна, очевидно, −nν. Следовательно, формула (2.5) дает нам соотношение S˙ t = −nν(t) 0.

33

y˙ = f (t),

(2.7)

где x = (x1 , . . . , xn ) — точки n- мерного тора Tn (xj mod 2π — угловые координаты), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , f = (f1 , . . . , fn ) — заданная вектор-функция времени. Фазовое пространство Γ есть прямое произведение Tn × Rn . Уравнение (2.7) описывает движение механической систе-

Откуда энтропия как функция времени находится простым инте-

мы с конфигурационным пространством Tn = {x}, кинетической

грированием. Вопреки распространенному ожиданию, в изолиро-

энергией T =

ванной системе с диссипацией энергии энтропия не возрастает,

лы f . Поток этой неавтономной системы сохраняет стандартную

а наоборот, убывает.

меру Лиувилля dµ = dn xdn y. При f = 0 получаем невырожден-

Заметим еще, что дивергенция линейного векторного поля постоянна: div (Ax) = tr A. В связи с этим отметим следующие два утверждения. Если линейная система дифференциальных уравнений x˙ = Ax допускает инвариантную меру с гладкой положительной плотностью, то tr A = 0. Далее, если эта система допускает первый интеграл в виде невырожденной квадратичной формы, то также tr A = 0. 3. Конечно, в неавтономном случае не приходится надеяться, что распределение вероятностей с плотностью ρt стремится в каком-то естественном смысле к стационарному распределению. Однако и здесь можно указать аналоги некоторых утверждений из п.1.

(y, y) и находящейся под действием внешней си2

ную вполне интегрируемую систему вида (1.12), причем координаты x, y служат переменными действие-угол. Подход Гиббса связан с анализом решений уравнения Лиувилля ∂ρ + ∂t

∂ρ ,y ∂x

+

∂ρ ,f ∂y

= 0.

Оно легко решается: если ρ0 (x, y) — начальная плотность (2πпериодическая по x1 , . . . , xn ), то ρt (x, y) = ρ0 (x − yt + h(t), y − g(t)),

(2.8)

˙ где g(t) ˙ = f (t), g(0) = 0, а h(t) = tf (t), причем h(0) = 0. Предположим, что начальная плотность ρ0 принадлежит Lp (Γ, dµ). Ввиду формулы (2.8), ρt ∈ Lp при всех t. Пусть

34



ϕ — некоторая функция из Lq (Γ, dµ). Тогда корректно определена функция времени

K(t) =

Если f = 0, то функция t → K(t), как правило, осциллирует и вообще не имеет предела при t → ∞. Тем не менее справедлив некоторый аналог утверждения (2.9). Положим

ρt ϕdn xdn y.

Γ

ρt (x, y) = ρ(y − g(t)),

Если f = 0, то

lim K(t) =

t→±∞

ρϕdn xdn y,

ρ(y) = lim τ1 τ →∞ Для почти всех (x, y) ∈ Γ ρ(y) =

1 (2π)n

Теорема 3. ⎤ ⎡ lim ⎣ ρt ϕdµ − ρt ϕdµ⎦ = 0.

τ ρ(x − yt, y)dt.

t→∞

Γ

0

(2.11)

где ρ определяется формулой (2.10). (2.9)

Γ

где

35

(2.12)

Γ

Эта формула показывает, что при больших t плотность ρt ρ0 (x, y)dn x.

(2.10)

Tn

Функция ρ — слабый предел ρt при t → ∞. Это — статистический вариант эргодической теоремы Вейля об усреднении, установленный в [10]. В частности, пусть ϕ — характеристическая функция измеримой области D ⊂ Tn ; будучи поднятой на все фазовое пространство, она принадлежит L∞ (Γ, dµ). Тогда доля систем ансамбля Гиббса, которые в момент времени t находятся в области D, пропорциональна мере области D: ρ(y)ϕ(x)dn xdn y = mes D . (2π)n Γ

Это — обобщенная теорема Пуанкаре.

естественно заменить «предельной» плотностью ρt : среднее (наиболее вероятное) значение любой динамической величины ϕ : Γ → R практически не изменится. С другой стороны, задача перехода от микро- к макроописанию как раз сводится к анализу эволюции средних значений. Следствие 1. Если ϕ не зависит от y, то lim K(t) = ρt (y)ϕ(x)dn xdn y = 1 n ϕ(x)dn x. t→±∞ (2π) Tn

Γ

Здесь используется формула (2.12) и очевидное свойство ρt dn xdn y = 1. Γ

36


В частности, если ϕ — характеристическая функция измери-

уравнение (2.7) приводится к виду

мой области D ⊂ Tn , то

x˙ = y ,

lim K(t) = mes Dn mes T

(mes Tn = (2π)n ).

t→±∞

Этот факт отмечен в работе [15]. Там же сформулировано неверное утверждение о поведении функции K для функций ρ и ϕ общего вида.

37


y˙ = 0.

Это — уравнение (2.7), в котором f = 0. Следовательно, согласно (2.9), ρt (x , y )ϕ(x , y )dn x dn y → ρ(y )ϕ(x , y )dn x dn y . Γ

Γ

Однако это равенство, конечно, не совпадает с (2.12).

Следствие 2. Если f = 0, то из (2.12) вытекает (2.9). Теорема 3 доказывается по той же схеме, что и равенство (2.9). Ключевую роль играет лемма Римана– Лебега. Как уже было сказано, St = − ρt ln ρt dµ = const. Γ

4. Рассмотрим еще внешне похожую x

задачу о колебаниях шарика единичной массы между двумя стенками 0 z a, на который действует сила f (t). Напри-

0

мер, можно считать, что шарик заряжен и находится в переменном электрическом поле. На первый взгляд эта система отно-

Положим St = −

ρt ln ρt dµ. Γ

ние интегрируемой системы. Однако это

z 0

a

не так, и задача сводится к анализу пара- Рис. 2. Двулистное на-

Очевидно, что St = const(= S).

метрических возмущений.

Теорема 4. St St , причем если ρ0 существенно зависит от x, то это неравенство строгое. З АМЕЧАНИЕ . Подстановкой x = x − g(t)dt,

сится к типу (2.7) — внешнее возмуще-

крытие.

Перейдем к двулистному накрытию отрезка [0, a] окружностью T1 = {x mod 2π}, вводя угловую переменную по правилу: x = πz a , когда z возрастает от 0 до a, и x = 2π − πz a , когда z убывает от a до 0. Уравнения движения шарика принимают вид

y = y − g(t)

x ¨ = −f (t) ∂V , ∂x

(2.13)

38


§ 2. Н ЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ 2

39

πx 2π где V (x) = − πx a , когда 0 < x < π, и V (x) = a − a , когда π < x < 2π. Задача об эволюции вероятностной меры уравне-

+ f V . Пусть ρt — плотность вероятностного распределения в фа-

ния (2.13) более сложна по сравнению с изучением системы (2.7).

зовом пространстве, переносимая потоком гамильтоновой систе-

Она решается лишь при некоторых дополнительных условиях.

мы, и ρ0 — данное Коши.

кокасательное расслоение M , а функция Гамильтона H = T +

Пусть, например, f (t) = const. Тогда уравнение (2.13) про-

Теорема 5. Пусть ρ0 dn xdn y абсолютно непрерывна отно-

сто интегрируется и нетрудно доказать, что слабый предел плот-

сительно меры Лиувилля на Γ, функция V имеет лишь невырож-

2 ности вероятностной меры — функция от полной энергии x˙ + 2

денные критические точки на M , функция t → f (t) монотон-

+ f V (x). Интегрируя по скорости, получаем плотность распре-

но возрастает с увеличением t и выполнено условие (2.14). Если

деления в конфигурационном пространстве, которая уже не будет

ϕ : M → R — характеристическая функция измеримой области

постоянной.

на M , не содержащей точек локального минимума V , то ρt (x, y)ϕ(x)dn xdn y → 0

Предположим, что функция f (t) монотонно возрастает при t → +∞ и f¨f 3 f˙2 . 2

(2.14)

Используя метод работы [16], можно показать, что при t → +∞ все решения t → x(t) уравнения (2.13) стремятся к точке минимума потенциала V . Следовательно, в этих предположениях предельная плотность распределения положений шарика на отрезке

Таким образом, предельное распределение ансамбля Гиббса на конфигурационном пространстве M будет сингулярным: эта мера сосредоточена в конечном числе точек — локальных миустойчивому равновесию импульсы y(t) будут неограниченными

Mn

= {x} —

компактное конфигурационное пространство механической системы с n степенями свободы, T — кинетическая энергия — положительно определенная квадратичная форма по импульсам y = = (y1 , . . . , yn ),

при t → +∞.

нимумов функции V . Отметим, что при стремлении системы к

совпадает с дельта-функцией δ(z − a). 5. Эти наблюдения можно обобщить. Пусть

Γ

V : M → R — гладкая функция, а произведе-

ние f (t)V — потенциальная энергия. Фазовое пространство Γ —

(в соответствии с теоремой Лиувилля о сохранении фазового объема гамильтоновых систем).

40


§ 3. Равнораспределенность энергии связанных осцилляторов

§ 3. РАВНОРАСПРЕДЕЛЕННОСТЬ ЭНЕРГИИ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

41

ном H = 1 (p21 + q12 ) + 1 (p22 + q22 ) + ε (q1 − q2 )2 , 2 2 2

ε = const > 0. (3.1)

Задача о равнораспределенности энергии по степеням

Мы считаем (для простоты записи), что частоты свободных коле-

свободы колебательной системы рассматривалась в классической

баний этих осцилляторов равны единице. Характерное свойство

работе Ферми, Паста и Улама [17]. Изучалась цепочка из N оди-

такой системы — наличие биений: частных решений, которые де-

наковых частиц, причем соседние частицы были соединены нели-

монстрируют эффект перекачки энергии между осцилляторами.

нейными пружинами. Вопреки ожиданию, при N = 64 энергия

Мы укажем статистический вариант этого явления.

1.

системы не распределялась по различным модам колебаний, а са-

Пусть ρ0 — начальная плотность распределения вероятностей

ма система регулярно «почти» возвращалась к своему начально-

в четырехмерном фазовом пространстве R4 = {q1 , q2 , p1 , p2 }. Бу-

му состоянию. Впрочем, в таком поведении системы нет ниче-

дем предполагать только, что ρ0 — это неотрицательная суммиру-

го удивительного: по теореме Пуанкаре о возвращении, энергии

емая функция и существует среднее значение полной энергии (3.2) E = Hρ0 d2 p d2 q.

отдельных частиц как функции времени осциллируют и, конечно, не стремятся (в обычном смысле) к определенным значениям

R4

при неограниченном возрастании времени. Однако после усреднения по времени эти величины необратимо стремятся к своим

Если в этой формуле ρ0 заменить решением уравнения Лиувил-

предельным значениям (как это видно из рис. 9 статьи [19]), что

ля с этим начальным условием, то полная энергия не изменится

вполне согласуется с общими идеями из § 1. Оказывается, имеет-

(теорема 1 из §1).

ся класс линейных колебательных систем, для которых независимо от начальной плотности распределения вероятностей происходит выравнивание средней энергии по степеням свободы.

Рассмотрим еще средние энергии отдельных осцилляторов: 1 (p2j + qj2 )ρt d2 pd2 q; j = 1, 2. (3.3) Ej (t) = 2 R4

Рассмотрим два одинаковых осциллятора, связанных

Ввиду ограниченности (3.2), эти интегралы существуют для всех

между собой упругой пружиной (симпатические маятники). Это

значений времени t. Однако, в отличие от полной энергии (3.2),

— линейная гамильтонова система с квадратичным гамильтониа-

они уже зависят от времени.

2.

42



Теорема 1. Пределы lim 1 t→∞ t

произведение плотностей двух нормальных распределений:

t Ej (s)ds = E j ,

43

−

j = 1, 2,

ρ0 = e

0

(p21 +q12 ) 2kT1

−

(p22 +q22 )

e

2πkT1

2kT2

2πkT2

.

существуют и равны между собой, причем при ε → 0 E 1 =

Таким образом, в начальный момент времени t = 0 состоя-

= E 2 = E/2.

ния двух осцилляторов считаются статистически независимыми и

Таким образом, независимо от начальной плотности распределения средние энергии осцилляторов асимптотически (при t → ∞) совпадают. Подчеркнем тот момент, что при этом система связанных осцилляторов, конечно же, не является эргодической. Более того, она вполне интегрируема: имеется дополнительный

распределенными по закону Гиббса. В частности, T1 и T2 можно интерпретировать как абсолютные температуры этих колебательных систем с одной степенью свободы. Легко сосчитать, что средние энергии симпатических осцилляторов в начальный момент равны

квадратичный интеграл F = (p1 + p2 )2 + (q1 + q2 )2 ,

kT1 (3.4)

и

kT2

(3.5)

соответственно, а средняя потенциальная энергия растянутой пружины равна

независимый от полной энергии H. Совпадение предельных сред-

εk(T1 + T2 )/2.

них энергий осцилляторов можно трактовать как выравнивание

(3.6)

Подсчет показывает, что при t → ±∞

температур подсистем при наличии сколь угодно малой связи. Скорость сходимости по Чезаро функций (3.3) убывает с умень-

Ej (t) → E j =

шением ε. Подчеркнем, что выравнивание температур происходит

k(T1 + T2 ) 2 + 4ε + ε2 4 1 + 2ε

(j = 1, 2)

без какого-либо перехода к термодинамическому пределу. Доказа-

(по Чезаро), а средняя энергия пружины стремится в том же смыс-

тельство теоремы 1, основанное на простых вычислениях, можно

ле к

найти в работе [18].

Π=

k(T1 + T2 ) ε(1 + ε) . 2 1 + 2ε

В качестве иллюстративного примера рассмотрим слу-

Сумма E1 + E2 + Π, конечно, равна средней полной энергии

чай, когда начальная плотность распределения вероятностей есть

системы в начальный момент времени (сумма трех чисел (3.5)

3.

44



и (3.6)). Ясно, что при ε → 0 E j → kT,

45

Элементы соответствующей матрицы надо, конечно, поделить на нормировочный множитель 2k/2 . Эти матрицы имеют следующий

T = (T1 + T2 )/2.

блочный вид:

Таким образом, при исчезающе малом взаимодействии температура каждого осциллятора стремится к среднему арифметическому

A

A

A −A

,

их температур в начальный момент времени. где A — предыдущая матрица из последовательности (3.7). Кстати

Отношение

сказать, все матрицы (3.7) симметричны. 2 Π = 2(ε + ε) ε2 + 4ε + 2 Ej

Пусть ||aij || — ортогональная n × n– матрица из списка (3.7). Поставим ей в соответствие гамильтонову систему с n степенями

монотонно возрастает от 0 до 2, когда ε изменяется в интервале [0, ∞). В частности, при асимптотически больших значениях коэффициента упругости средняя энергия двух осцилляторов равна средней энергии упругой пружины. Интересно отметить, что

свободы и функцией Гамильтона n

ε (p2j + qj2 ) + 1 H=1 2 2 j=1

n k=1

2 a1k qk

ε + ... + n 2

n

2 ank qk

,

k=1

(3.8)

этот вывод справедлив вообще для любой начальной плотности где ε1 , . . . , εn — неотрицательные вещественные числа.

распределения вероятностей.

Каков физический смысл этого гамильтониана? Положим 4.

Многомерное обобщение симпатических осцилляторов

связано со специальными вещественными ортогональными матрицами, все элементы которых с точностью до знака равны между собой. Такие матрицы имеются при n = 2k , k 1. Они строятся следующим индуктивным способом: ⎛ ⎞ 1 1 1 1 ⎜ ⎟

⎜ ⎟ 1 1 1 −1 1 −1 ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟,... ⎜1 ⎟ 1 −1 1 −1 −1 ⎝ ⎠ 1 −1 −1 1

ε1 = 0, а ε2 , . . . , εn будем считать малыми положительными числами. Тогда гамильтониан (3.8) можно представить в виде (p2j + ω 2 qj2 ) + 1 εij (qi − qj )2 , H=1 2 2 i<j

где частота ω и положительные коэффициенты εij выражаются (3.7)

через ε2 , . . . , εn . Таким образом, мы имеем n одинаковых линейных осцилляторов, которые слабо взаимодействуют между собой. При n = 2 получаем классические симпатические маятники.

46



Пусть ρ0 ∈ L1 (R2n , dn pdn q) — начальная плотность распределения вероятностей, причем Hρ0 dn pdn q < ∞.

5. Рассмотрим теперь некоторые геометрические и топологические идеи, которые позволят прояснить и обобщить теоремы 1 и 2. Вновь обратимся к системе (1.1) с инвариантной мерой dµ.

(3.9)

R2n

Пусть S– диффеоморфизм фазового пространства Γ, который сохраняет инвариантную меру dµ и коммутирует с преобразованиями из фазового потока {gt }. Если f : Γ → R — измеримая

Положим Ej (t) = 1 2

47

(p2j + qj2 )ρt dn pdn q

(1 j n),

функция, то через fS будем обозначать функцию z → f (Sz). Если (3.10)

R2n

fS = f , то такую функцию будем называть S-инвариантной. Имеет место простая

где ρt — решение уравнения Лиувилля с начальным условием ρ0 . Ввиду предположения (3.9) средние энергии Ej корректно определены при всех значениях времени.

Теорема 3 (принцип симметрии).

Пусть начальная плот-

ность ρ0 распределения вероятностей S– инвариантна. Тогда средние значения

нено условие (3.10), то lim 1 t→±∞ t

0

Γ t

Ej (s)ds

существуют и равны между собой.

Теорема 2. Если среди чисел ε1 , . . . , εn нет равных и выпол-

f ρt dµ

и Γ

fS ρt dµ

(3.11)

совпадают при всех значениях t. В частности, f S = f . Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО . В первом интеграле (3.11) сделаем замену переменных

Оказывается, линейные гамильтоновы системы с гамильтонианом (3.8) допускают частные решения типа биений, если числа

√

√ 1 + ε1 , . . . , 1 + εn

рационально несоизмеримы. Обсуждение этих вопросов содержится в [18].

z → Sz. При этом f перейдет в fS , а мера dµ и функция ρt останутся неизменными. Последнее вытекает из цепочки равенств ρt (Sz) = ρ0 (g−t (Sz)) = ρ0 (S(g−t (z))) = ρ0 (g−t (z)) = ρt (z). Что и требовалось. В качестве простого примера рассмотрим систему с гамиль-

48


тонианом H=

h(pj , qj ) + ε


49

Теорема 4. Пусть динамическая система (1.1) имеет k < n V (qi − qj ).

(3.12)

независимых первых интегралов

i<j

f1 , . . . , fk

Здесь h — функция двух переменных, а потенциал V — четная функция одного переменного. В приложениях таких, что

p2 + W (q). h(p, q) = 2

(a) все они S-инвариантны,

Гамильтониан (3.12) описывает динамику идентичных одномерных подсистем, которые слабо взаимодействуют друг с другом. Функция (3.12) инвариантна относительно преобразований

R2n ,

порождаемых перестановками пар канонических переменных. Эти преобразования, очевидно, сохраняют меру Лиувилля и коммутируют с фазовым потоком гамильтоновой системы. В теории цепочек Боголюбова обычно предполагается, что начальная плотность ρ0 не меняется при всех перестановках координат и импульсов отдельных частиц. Иногда это представляют как следствие принципа неразличимости частиц в классической механике. Однако формально — это дополнительное предположение. В этом случае, согласно теореме 3, средние значения полных энергий отдельных подсистем будут совпадать. 6. Однако больший интерес представляет случай, когда начальная плотность ρ0 не является симметричной. Как и при каких

(b) интегральные многообразия Mc = {z ∈ Γ : f1 (z) = = c1 , . . . , fk (z) = ck } связны для почти всех c = (c1 , . . . , ck ) ∈ Rk , (с) при почти всех c ∈ Rk динамическая система (1.1) эргодична на Mc . Тогда биркгофовское среднее ρ для любой начальной плотности ρ0 ∈ Lp (Γ, dµ), p 1, будет S-инвариантной функцией из Lp . Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 4 и f ∈ Lq (Γ, dµ), p1 + 1q = 1. Тогда f ρdµ = fS ρdµ. Γ

(3.13)

Γ

Это вытекает из предположения об S-инвариантности меры Лиувилля, свойства S-инвариантности плотности ρ (теорема 4) и формулы замены переменных в кратных интегралах.

условиях свойство симметрии приобретает плотность ρ в состоя-

Теорема 4 доказывается совсем просто. Так как первые инте-

нии статистического равновесия? Преобразование S будем теперь

гралы fj инвариантны относительно преобразования S, то тем

определять как автоморфизм пространства с мерой (Γ, dµ).

же свойством обладают и поверхности Mc : если z ∈ Mc , то

50



Sz ∈ Mc , и обратно. Далее, так как система (1.1) эргодична на

к «нормальным» координатам Pj , Qj с помощью ортогонального

почти всех Mc , то ρ принимает одно и то же значение почти всю-

преобразования

ду на каждой связной компоненте Mc . Согласно топологическому предположению (b), многообразия Mc связны. Следовательно, для почти всех z ∈ Γ имеем ρ(Sz) = ρ(z), что и требовалось. Для гамильтоновых систем предположения теоремы 4 осо(dim Γ) и k = 1. бенно наглядны в двух крайних случаях: k = 2

Q1 =

51

q1 + q2 p1 + p2 q1 − q2 p1 − p2 √ , P1 = √ , Q2 = √ , P2 = √ . 2 2 2 2

Оно, очевидно, каноническое. В новых переменных гамильтониан (3.1) принимает вид H = 1 (P12 + Q21 ) + 1 (P22 + ω 2 Q22 ), 2 2

Первый из них, по существу, относится ко вполне интегрируемым

ω 2 = 1 + 2ε.

гамильтоновым системам: если n = 2k, то k независимых первых

Эта гамильтонова система допускает два независимых первых ин-

интегралов должны еще находиться в инволюции. Тогда каждая

теграла

компактная связная компонента их совместного уровня будет k–

P12 + Q21

и P22 + ω 2 Q22 ,

(3.14)

мерным тором, заполненным условно– периодическими траекториями. Если эта система еще не вырождена, то почти все инва-

которые являются линейными комбинациями первых интегра-

риантные торы будут нерезонансными и гамильтонова система на

лов (3.1) и (3.4). Если функции (3.14) приравнять C1 и C2 со-

таких торах, очевидно, эргодическая. Единственное содержатель-

ответственно, то при ненулевых C1 и C2 полученные уравнения

ное условие — это условие связности. Если k = 1, то предположения теоремы 4 сводятся к двум условиям: связность энергетических (2n − 1)-мерных уровней и эргодичность гамильтоновой системы на этих уровнях. Этот случай имеет существенное значение для статистической модели термостата (§14). 7. Покажем теперь, как из теоремы 4 можно вывести тео√ рему 1 в типичном случае, когда частота ω = 1 + 2ε иррациональна. Для этого перейдем от канонических переменных pj , qj

высекут в R4 связный двумерный тор. Таким образом, условие (b) теоремы 4 выполнено. Рассмотрим подстановку S, когда пары канонических переменных p1 , q1 и p2 , q2 меняются местами. Первые интегралы (3.1) и (3.4) не меняются при такой подстановке (это условие (a)). Поскольку ω иррационально, то рассматриваемая гамильтонова система будет эргодической на двумерных инвариантных торах {H = c1 , F = c2 } = {P12 + Q21 = C1 , P22 + ω 2 Q22 = C2 }, C1 =

c2 c , C2 = 2c1 − 2 . 2 2

52


§ 4. Т ОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИИ

Это условие (c). Таким образом, все условия теоремы 4 выполнены, и поэтому средние 1 (p2 + q 2 )ρd2 pd2 q 1 1 2 R4

и

1 2

(p22

+

q22 )ρd2 pd2 q

R4

совпадают (по формуле (3.13)).

53

§ 4. Тонкая и грубая энтропии 1.

Постоянство средней энергии (1.6) гамильтоновой си-

стемы соответствует интуитивному представлению о неизменности температуры изолированной системы. Наоборот, постоянство энтропии (1.5) воспринимается многими как «печальный»

Аналогичное рассуждение позволяет вывести теорему 2 из

факт: вместо того чтобы возрастать, она не меняется со временем.

теоремы 4 при дополнительном предположении о рациональной 1 + εj (j = 1, . . . , n). Однако несоизмеримости частот ωj =

В связи с этим ряд авторов пропагандируют точку зрения, что ин-

теорема 2 справедлива при более слабом предположении, что сре-

энтропии. Но это, конечно, не так. Во-первых, для канонического

ди частот нет равных.

распределения Гиббса

теграл (1.5) вообще не имеет отношения к термодинамической

Замечание. Не следует думать, что все интегралы гамильтоновой системы с S-инвариантным гамильтонианом S-инвариант-

ρ=

ны. Например, при ε = 0 система с гамильтонианом (3.1) допускает интеграл момента p1 q2 − p2 q1 , который меняет знак при

−

H kT

−

H kT

e

e

dµ

Γ

перестановке частиц. интеграл (1.5) как раз совпадает с энтропией из термодинамики. Во-вторых, согласно (1.17), разность S −S0 , как правило, положительна и в ряде важных случаев она совпадает с предсказаниями феноменологической термодинамики (см. по этому поводу [6,10]). 2.

Выход из этого затруднительного положения предло-

жил сам Гиббс. Согласно Гиббсу, тонкую энтропию математиков (1.5) следует заменить грубой энтропией физиков (термин Пуанкаре из [2]). Напомним определение грубой энтропии. Пусть {Γj }, j ∈ J, — разбиение фазового пространства Γ на

54



случае дискретного распределения вероятностей. Если µ(Γ) < ∞,

измеримые подмножества:

то она принимает максимальное значение, когда все λj равны

0 < µ(Γj ) < ∞, j ∈ J.

γj = µ(Γj ),

между собой.

Множество индексов J предполагается конечным или счетным. Положим ρj = γ1 j

Как установил Гиббс и Пуанкаре, тонкая энтропия всегда не превосходит грубую энтропию. Это — следствие неравенства вы-

ρdµ

(4.1)

пуклости. В п. 1 работы [2] утверждается, что (в отличие от грубой энтропии) тонкая энтропия всегда конечна. Это на самом деле

Γj

и рассмотрим новую плотность ρˆ : Γ → R такую, что ρˆ = ρj , j ∈ J. Γj

не так. Пусть Γ = R, ρ(x) ∼

c , |x| ln2 |x|

ρdx −∞

— грубой энтропией. Ясно, что γj ρj ln ρj = −

j∈J

λj ln λj +

j∈J

где

λj = ρj γj =

ρdµ, Γj

абсолютно сходится, а

λj ln λj + ln γ,

∞

λj ln γj , −

j∈J

ρ ln ρdx = ∞.

−∞

λj = 1.

j∈J

В частности, если все γj равны друг другу, то Sˆ = −

(4.2)

∞

Γ

Sˆ = −

c = const > 0

при больших |x|. Интеграл

Будем называть ρˆ грубой плотностью, а ˆ S = − ρˆ ln ρˆdµ

55

γ = γj (j ∈ J).

В работе Пуанкаре [2] (фактически со ссылкой на Гиббса) утверждается, что (A) при измельчении разбиения грубая энтропия сколь угодно точно аппроксимирует тонкую, (B) грубая энтропия все время увеличивается, по крайней ме-

Так что грубая энтропия с точностью до аддитивной постоянной

ре если дать режиму время установиться (Пуанкаре пишет об

(зависящей только от γ) совпадает с информационной энтропией в

этом как о хорошо известном факте).

56



Эти утверждения повторялись многими авторами как само собой разумеющиеся (см., например, [13, 20]). Однако, как показано в работе [19], оба эти высказывания неверны.

57

Можно показать, что для любого целого K > 0 (в том числе и сколь угодно большого) грубая энтропия равна +∞. Этот пример показывает также, что в случае µ(Γ) = ∞ гру-

К сожалению, если µ(Γ) = ∞, то, вообще говоря, грубая эн-

бая плотность, вообще говоря, не стремится к тонкой (в норме

тропия не аппроксимирует тонкую, даже если диаметр разбиения

L1 (Γ, dµ)) при неограниченном уменьшении диаметра разбиения.

(а не только его мера) как угодно мал. Это показывает

Более того, грубая плотность не стремится к тонкой даже в смыс-

Пример. Пусть Γ = R, а мера dµ — это обычная мера Лебега на прямой. Пусть {an }, n ∈ N, — последовательность такая, что 0 an < 1,

∞

an = 1,

n=1

∞

an ln an = −∞.

n=1

c n ln

n

Рассмотрим вероятностную меру с плотностью 1, если x ∈ [n, n + an ] для n ∈ N, ρ(x) = 0 для остальных x. Тонкая энтропия такой меры, очевидно, равна нулю (мы принимаем, что x ln x равно нулю при x = 0 по непрерывности). Для любого целого K > 0 рассмотрим разбиение j+1 j x< , Γj = x ∈ R : K k Диаметр разбиения {Γj } равен 1 .

(4.3)

то грубая энтропия стремится к тонкой энтропии.

с подходящим значением c (ср. с формулой (4.2)).

K

и тонкая энтропия конечна. Если

j∈J

0 < ε 1,

,

Теорема 1. Предположим, что Γ компактно, ρ ∈ L1 (Γ, dµ)

sup (diam Γj ) → 0,

В качестве примера можно взять 1+ε

ле слабой сходимости.

Эта аппроксимационная теорема установлена в [19]. В (4.3) диаметр областей разбиения вычисляется в любой фиксированной римановой метрике на Γ. Условие (4.3) существенно: если только потребовать, что µ(Γj ) → 0, то заключение (A) также неверно. Таким образом, теорема 1 не является утверждением только из теории меры и интеграла. Пусть снова Γ компактно и ρ ∈ L1 . Тогда при неограниченном уменьшении диаметра разбиения {Γj } грубая плотность ρˆ с любой наперед заданной точностью аппроксимирует ρ в метрике

j ∈ Z.

пространства L1 (Γ, dµ). Это утверждение — несложный факт по сравнению с теоремой 1. В частности, при условии (4.3) грубая плотность слабо сходится к тонкой плотности. Последнее свой-

58



ство представляется существенным при переходе от микро- к мак-

лучшем случае указанием на правдоподобность этой «теоремы»

роописанию (т. е. к исследованию эволюции средних значений

(М. Кац [21], гл. III).

динамических величин).

59

Тем не менее справедлива следующая общая

Фазовое пространство гамильтоновых систем некомпактно. Однако можно изучать статистические свойства гамильтоновых систем в инвариантных областях

Теорема 2. Пусть гамильтонова система квазиоднородная, начальная плотность — функция из Lp (Γ, dµ), 1 p ∞. Тогда пределы

{(x, y) ∈ Γ : c1 H(x, y) c2 }, которые уже могут быть компактными.

lim ρˆt

t→+∞

и

lim ρˆt

t→−∞

(4.4)

существуют (в смысле слабой Lp -сходимости) и совпадают.

3. Формула (4.1) задает грубую плотность ρˆt в каждый мо-

Сделаем несколько замечаний. Теорема 2 установлена в [19].

мент времени (при фиксированном разбиении {Γj }). Грубая эн-

Она справедлива для более общего класса динамических систем

тропия

(не обязательно гамильтоновых ) со слоистыми потоками. Как

Sˆt = −

ρˆt ln ρˆt dµ, Γ

в отличие от тонкой, уже зависит от времени. Заключение (B), восходящее к Гиббсу ( [3], гл. XII), в общем случае также несправедливо. Это будет показано в § 5.

заметил сам Гиббс, для линейных гамильтоновых систем грубая плотность ρˆt осциллирует и вообще не имеет обычного предела при неограниченном возрастании времени. Однако если в (4.4) обычную сходимость заменить сходимостью по Чезаро, то теорема 2 окажется справедливой для динамических систем общего ви-

Гиббс пытался доказать ( [3], гл. XII), что в типичном случае

да. С другой стороны, предположение Гиббса заведомо справед-

грубая плотность ρˆt сходится при t → ∞ к некоторой функции,

ливо для гамильтоновых систем с перемешиванием на изоэнерге-

зависящей лишь от полной энергии системы. «Пытаться доказать

тических поверхностях. Это наблюдение принадлежит Н.С. Кры-

это утверждение почти безнадежно; оно является более сильным,

лову [13]. Однако он не заметил важного обстоятельства: для си-

чем эргодическая теорема. Известные доводы самого Гиббса (ос-

стем с перемешиванием слабые пределы грубой плотности ρˆt при

нованные на аналогиях с перемешиванием жидкостей), даже если

t → +∞ и t → −∞ совпадают. Такая статистическая симметрия

отбросить содержащиеся в них существенные ошибки, служат в

прошлого и будущего противоречит традиционным представлени-

60



ям об однонаправленности приближения изолированной системы к состоянию теплового равновесия. Идея доказательства теоремы 2 состоит в следующем. Пусть ϕj — характеристическая функция измеримой области Γj . Тогда 1 ρt ϕj dµ ρj = γ j

Γ

Теорема 3 [19]. Пусть начальная плотность ρ0 : Γ → R — функция из L1 (Γ, dµ) и {Γj } — разбиение Γ. Если S0 < S, ˆ S∞ = − ρˆ∞ ln ρˆ∞ dµ < ∞, Γ

то при достаточно малых sup(diam Γj ) справедливо неравенство Sˆ0 < Sˆ∞ .

(формула (4.1)). Поскольку ρt слабо сходится к ρ при t → ∞, то (применяя общую теорему о слабой сходимости вероятностных мер) 1 γj

ρt ϕj dµ → γ1 j

Γ

ρϕj dµ = γ1 j

Γ

61

(4.6)

5. Характер возрастания грубой энтропии изучался в работе [22] для дискретных преобразований. В принципиальном плане

ρdµ.

(4.5)

Γ

Следовательно, ρˆt сходится к некоторой кусочно-постоянной функции ρˆ∞ , значение которой в точках куска Γj определяется правой частью предельного равенства (4.5). Несложно показать, что если уровни энергии квазиоднородной гамильтоновой системы компактны, то ρˆ∞ dµ = 1.

дискретный случай ничем не отличается от непрерывного: сечение и отображение Пуанкаре сводят непрерывную задачу к дискретной. Итак, пусть (Γ, dµ) — пространство с мерой, а g : Γ → Γ — автоморфизм этого пространства, сохраняющий меру Лиувилля dµ. Плотность ρ : Γ → R переносится преобразованиями {gn }, n ∈ Z в соответствии с формулой (1.4): ρn (x) = ρ0 (g−n (x)),

Γ

x ∈ Γ,

Таким образом, в этом случае неотрицательная функция ρˆ∞ также

где ρ0 — плотность распределения вероятностей в начальный мо-

задает вероятностную меру на Γ.

мент n = 0. Все основные конструкции (вместе с их свойствами)

4. Чтобы указать достаточные условия возрастания грубой энтропии, снова рассмотрим квазиоднородную гамильтонову систему, ограниченную на компактную инвариантную область

автоматически переносятся на дискретный случай. В частности, тонкая энтропия

Sn = −

ρn ln ρn dµ Γ

Γ = {(x, y) : h1 H(x, y) h2 },

h1 < h2 .

не зависит от числа итераций n («дискретного времени»).

62



63

где S — тонкая энтропия, |R| cδ3 , c — некоторая постоянная,

Пусть теперь (Γ, dµ) — это m-мерный тор

зависящая от плотности ρ, ее первых и вторых производных, √ δ = m2m ε — диаметр разбиения.

Tm = {x = (x1 , . . . , xm ) mod 1} со стандартной евклидовой метрикой ·, · и стандартной мерой Лебега

Как показано в [22], аналогичная оценка имеет место и при более общих способах огрубления плотности вероятностей.

dµ = dm x = dx1 . . . dxm .

Поскольку тонкая энтропия постоянна, то (согласно (4.8)) поведение грубой энтропии при относительно небольших значени-

Рассмотрим разбиение тора {Γj }, где

ях n (когда δ2 I еще больше cδ3 ) определяется вторым слагаемым,

ˆ Γj = {x ∈ Tm : x = x(j) + y, y ∈ Γ},

т. е. интегралом (4.7). В теории Боголюбова этот промежуток вре-

ˆ = {x ∈ Tm : |xk | ≤ ε; Γ

мени соответствует времени начальной хаотизации. В ряде случа-

k = 1, . . . , m}.

ев функцию ˆ — кубы ˆ — это куб с ребром 2ε, а Γj — трансляции Γ Так что Γ с центрами в точках x(j) ∈ Tm . Поскольку кубы Γj не должны перекрываться, то ε надо брать в виде 1/(2N ), где N — целое число. Ясно, что µ(Γj ) = γ = (2ε)m . Положим 1−m I(ρ) = 2 3m

где 2

|ρ | =

Tm

|ρ (x)|2 m d x, ρ(x)

∂ρ 2 ∂xi

n → I(ρn ) можно детально исследовать. Рассмотрим два примера.

(a) Пусть g — интегрируемое отображение сдвига T2 → T2 , определяемое формулой x1 → x1 + x2 ,

(4.7)

x2 → x2 .

(4.10)

В этом случае функция (4.9) возрастает квадратично: 2 I(ρn ) = n 12

.

Если положительная плотность ρ имеет ˆ отвевторые непрерывные производные, то грубая энтропия S, Теорема 4 [22].

(4.8)

(ρy2 )2 ρ dx1 dx2 + O(n).

T2

(b) Если g — линейный автоморфизм тора (автоморфизм Аносова)

чающая разбиению тора {Γj }, есть сумма S(ρ) + δ2 I(ρ) + R,

(4.9)

x1 x2

x1 → A , x2

A=

2 1 1 1

,

(4.11)

64



65

I(ρn ) = 1 (λ2n I+ + λ−2n I− ), 12 где λ = (3 +

√

I± =

v± , ρ 2 dx1 dx2 , (4.12) ρ

T2

5)/2 > 1 — собственное значение матрицы A, а v±

Грубая энтропия

то функция (4.9) растет уже экспоненциально быстро:

— собственные векторы, причем v± , v± = 1. Конечно, функция (4.12) может возрастать при малых n и

время

немонотонно, но основной вклад вносит первое слагаемое, и поэтому можно положить

n

Рис. 3. Графики грубой энтропии как функции времени для автоморфиз-

I(ρn ) ≈ ceµn ,

ма Аносова

µ = 2 ln λ > 0,

Sˆn = S + cδ2 eµn ,

S = const.

(4.13)

Отметим простое, но важное следствие этой формулы: при уменьшении диаметра разбиения (т. е. при уменьшении коэффициен-


c — положительная постоянная. Так что

та δ) график функции (4.13) переносится без изменений вправо. Действительно, замена δ на δ1 эквивалентна подстановке 2 ln δ . n → n − µ δ1

время

n

Рис. 4. Графики грубой энтропии для интегрируемого отображения

Таким образом, при уменьшении разбиения грубая энтропия на-

Это отчетливо видно на рис. 3, где представлена эволюция

чинает свой рост в более поздние моменты времени, но характар

графиков грубой энтропии для автоморфизма (4.11) в зависимо-

возрастания остается без изменений.

сти от измельчения разбиения (напомним, что ε = 1 ). Началь2N

66



67

достигает своего максимума, асимптотически приближаясь снизу Грубая энтропия

к этому значению. Теория этого явления содержится в §5. Приведем еще два рисунка из работы [22], в которой грубая энтропия подсчитана также для стандартного отображения Чирикова (рис. 5, рис. 6) x1 → x1 + x2 + k sin x1 , время

n

x2 → x2 + k sin x1 .

Начальная плотность — это снова функция (4.14), а параметр k

Рис. 5. Грубая энтропия для отображения Чирикова (k = 1)

принимает значения 1 и 4. Видно, что при k = 1 грубая энтропия испытывает «флуктуации», величина которых уменьшается


с уменьшением диаметра разбиения. А при k = 4 картина роста энтропии становится похожей на соответствующую картину в гиперболическом случае (4.11). Естественно, что при возрастании параметра k отображение Чирикова становится более хаотическим. Например, при k > 4 все неподвижные точки этого отображения будут гиперболическими. время

n

Рис. 6. Грубая энтропия для отображения Чирикова (k = 4)

ная плотность задается формулой ρ(x1 , x2 ) = 1 + 1 (sin x1 + sin x2 ). 2

(4.14)

Для сравнения на рис. 4 приведены аналогичные графики для интегрируемого отображения сдвига (4.10). Любопытно отметить, что в этом случае грубая энтропия бесконечно много раз

68


§ 5. ОДНОМЕРНЫЙ ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ

и g : R → R. Будем считать, что

§ 5. Одномерный идеальный газ 1.

69

2π

Рассмотрим бесстолкновительную сплошную среду, за-

f (x)dx = 1 и

ключенную в одномерный «сосуд» — прямолинейный отрезок. 0

Предполагается, что частицы упруго отражаются от границы со-

+∞ g(ω)dω = 1.

(5.2)

−∞

суда — концов отрезка. Поскольку частицы вообще не взаимодей-

Сначала рассмотрим случай, когда g — характеристическая функ-

ствуют друг с другом, то такую среду можно назвать идеальным

ция отрезка 0 ω 1. Общая ситуация обсуждается ниже.

газом. С другой стороны, при упругом столкновении двух одинаковых частиц, движущихся по одной прямой, происходит прямой обмен их скоростей. Поэтому этот газ можно рассматривать как континуум частиц, которые постоянно упруго сталкиваются друг с другом. Такую вполне реалистичную модель идеального газа

Пусть x0 < x1 < . . . < xn = x0 + 2π — n равноотстоящих точек на окружности T = {x mod 2π}; так что xj − xj−1 = = 2π n . Они задают разбиение фазового пространства Γ на n частей Γ1 , . . . , Γn : Γj = [xj−1 , xj ] × R.

впервые рассмотрел Пуанкаре в работе [2]. Все это, конечно, является частным случаем общей теории ансамблей Гиббса. Как заметил Пуанкаре, после перехода к двулистному накры-

Их мера Лиувилля бесконечна. Однако в рассматриваемом слу-

тию отрезка окружностью T = {x mod 2π} уравнение движения

чае фазовое пространство системы (5.1) фактически совпадает с

частиц принимает совсем простой вид (уравнение (1.12)) x˙ = ω,

ω˙ = 0.

прямым произведением T на отрезок 0 ω 1. Поэтому мера Лиувилля каждого из кусков Γj равна 2π n.

(5.1)

При увеличении n меры кусков разбиения неограниченно убывают, однако их диаметры (в естественной метрике на Γ) к

2. Пусть ρ(x, ω) — начальная плотность распределения ве-

нулю не стремятся. Таким образом, эта ситуация не охватывает-

роятностей в фазовом пространстве Γ = T × R; естественно,

ся аппроксимационной теоремой 1 из §4 и поэтому представляет

ρ 2π-периодична по первому аргументу. Чтобы упростить яв-

особый интерес.

ные формулы для грубой плотности, будем предполагать, что ρ

Подсчитаем значение грубой плотности распределения веро-

есть произведение двух неотрицательных функций f : T → R

ятностей в момент времени t на j-ом куске разбиения в соответ-

70



где ξj ∈ [xj−1 , xj ] и ξj зависит от τ . Следовательно, соглас-

ствии с формулой (4.1): ρj =

1 xj − xj−1

=1 t

t 0

⎡

но (5.4),

xj 1 f (x − ωt)g(ω)dxdω = xj−1 0

⎢ 1 ⎣x − x j j−1

xj

(5.3)

⎤

G(ξj ) − G(ξj − t) . ρj (t) = 1 + t 2π При n → ∞ эта формула переходит в следующую:

⎥ f (x − τ )dx⎦ dτ.

G(x) − G(x − t) . ρt (x) = 1 + t 2π

xj−1

ρ = 1 + G (x) = F (x) = f (x). 2π

Так как f 2π-периодична и выполнено (5.2), то

Устремим теперь время t к бесконечности. Тогда

F (x) = x + G(x), 2π где функция G непрерывно дифференцируема и 2π-периодична. Следовательно, среднее (5.3) можно представить в следующем виде: kj (t) , ρj = 1 + t 2π

kj (t) =

1 xj − xj−1

1 ω n,

(5.4)

ρt (x) → ρ∞ = 1 . 2π Отметим, что предельная плотность ρ∞ совпадает со слабым пределом исходной плотности ρt при t → ∞, усредненным по скорости ω. Действительно, слабый предел ρt равен

g(ω) . 2π

Формулу (5.6) можно получить по-другому, усредняя плотность

t

ρt (x, ω) = f (x − ωt)g(ω)

[G(xj − τ ) − G(xj−1 − τ )]dτ. по скоростям:

0

Ясно, что kj (0) = 0 и

(5.6)

При t → 0 имеем

Пусть f — непрерывная функция и F — ее первообразная.

где

71

n

kj = 0.

j=1

(5.5)

+∞ 1 f (x − ωt)g(ω)dω = f (x − ωt)dω. ρt (x) = −∞

(5.7)

0

Здесь используется предположение, что g — характеристическая

По теореме о среднем

функция отрезка [0, 1]. После несложных преобразований из (5.7)

G(xj − τ ) − G(xj−1 − τ ) = G (ξj − τ )(xj − xj−1 ),

получаем (5.6).

72



3. Эти наблюдения можно обобщить. Пусть Γ = Tm × Rm , где Tm = {x1 , . . . , xm mod 2π} — конфигурационное пространство, а Rm = {ω1 , . . . , ωm } — пространство скоростей. Заменим

4. Согласно (5.4) грубая энтропия St равна

n k (t) j 2π , h 1 + n t 2π

ω˙ k = 0;

(5.9)

j=1

уравнения (5.1) более общими: x˙ k = ωk ,

73

где h(z) = −z ln z. Ввиду (5.5) и неравенства Йенсена для вогну-

1 k m.

Это — регуляризованные уравнения движения частиц бесстолкно вительной среды в m-мерном пространстве. Пусть K1 . . . Kn — разбиение Tm , размеры кусков которого затем будут неограниченно убывать при n → ∞. Оно порождает разбиение фазового

той функции h(·), при всех t величина (5.9) не превосходит

1 2π = 2πh 1 . (5.10) h S∞ = n 2π 2π В частности,

пространства Γ на куски Γj = Kj × Rm . Пусть снова ρ(x, ω) =

S0 S∞ .

= f (x)g(ω), причем функция f непрерывна, а g интегрируема и g(ω)dm ω = 1.

Из (5.9) и (5.10) вытекает важный факт: St → S∞ при t → ±∞. Отметим еще, что грубая энтропия St возрастает, вообще говоря, не монотонно. Так, в рассматриваемом выше примере при

Rm

Теорема 1.

При n → ∞ грубая плотность, отвечающая

разбиению Γ на куски Γ1 , . . . , Γn , стремится к функции f (x − ωt)g(ω)dm ω. ρt (x) =

(5.11)

n = 2 эта функция периодически принимает свое максимальное значение S∞ . Действительно, в этом случае (согласно (5.4)) функции k1 и k2 (k1 = −k2 ) периодические с нулевым средним значе-

(5.8)

Rm

нием. Таким образом, мы имеем пример, показывающий, что грубая энтропия может убывать с возрастанием времени. Следова-

При t → ∞ функция (5.8) стремится к (2π)−m . С другой

тельно, предположение (B) из §4 ошибочно. Однако если принять

стороны, слабым пределом плотности ρt (x, ω) является функция

дополнительно условие Пуанкаре о том, что надо дать режиму

g(ω) . Таким образом, мы имеем пример, показывающий суще(2π)m

время установиться, то предположение (B) становится верным

ственный характер условия (4.3) аппроксимационной теоремы 1

(неравенство (5.11)). Этот момент имеет ключевое значение для

из §4.

статистической интерпретации второго закона термодинамики.

74


§ 6. С ТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА В КОНФ . ПРОСТРАНСТВЕ

§ 6. Статистическая механика в конфигурационном

Ввиду формулы (5.4), разность S∞ − St

пространстве (5.12)

убывает с ростом времени как 12 . Этот вывод справедлив и в боt

лее общем случае, когда функция g кусочно постоянная. Однако если g — гладкая функция, то разность (5.12) может убывать быстрее. Например, если g — плотность нормального распределения, 2

то (5.12) убывает как e−λt , λ = const > 0.

75

1.

Пусть снова M = {x} — конфигурационное простран-

ство, Γ = T ∗ M — фазовое пространство, H(x, y) — квазиоднородный гамильтониан. Чтобы избежать некоторых технических трудностей, будем, в основном, рассматривать два случая: M = Rn и M = Tn . Здесь Γ = M × Rn и имеются естественные глобально определенные обобщенные канонические координаты x, y. Пусть ρt — плотность распределения вероятностей в фазовом пространстве, которая слабо сходится к стационарной плотности ρ при t → ±∞. Положим u(x, t) = R

ρt (x, y)dn y.

(6.1)

n

Это - плотность распределения ансамбля Гиббса в конфигурационном пространстве: u≥0 и

u(x, t)dn x = 1

M

для всех t. Второе равенство — следствие теоремы Фубини. Переход от исходной плотности ρt к (6.1) можно рассматривать как способ ее огрубления. Для случая, когда Γ = T1 × R1 и ρ0 (x, y) = f (x)g(y), этот механизм огрубления был детально рассмотрен в предыдущем параграфе.

76



77

Каждому вероятностному распределению можно сопоста-

поскольку частицы из ансамбля Гиббса рассеиваются, двигаясь с

вить его энтропию; распределению (6.1) отвечает энтропия (6.2) st = − u(x, t) ln u(x, t)dn x.

постоянной скоростью. Поэтому их концентрация в каждой огра-

M

Это — тонкая энтропия в конфигурационном пространстве, но

ниченной области убывает до нуля. Теорема 1 допускает следующее уточнение. Теорема 2. Предположим, что для каждого t = 0 y C(x, y), ρ x − y, t

грубая в исходном фазовом пространстве (по отношению к тонкой энтропии (1.5)). В отличие от (1.5), энтропия (6.2), как правило, уже не постоянна как функция времени. 2.

Исследуем асимптотические (при t → ±∞) свойства

где C 0 и для каждого x ∈ Rn функция y → C(x, y) интегрируема. Тогда

плотности в конфигурационном пространстве. Сначала рассмот-

u(x, t) → 0

n

рим случай, когда M = R и

при t → ±∞ для всех x ∈ Rn .

H = 1 (y, y). 2 n

Он отвечает движению по инерции в R . Очевидно, ρt = ρ(x − yt, y), где ρ — начальная плотность распределения вероятностей в Γ. Справедлива простая Теорема 1.

Если ρ ∈ L1 (Γ, dµ), dµ = dn xdn y, то u слабо

сходится к нулю при t → ±∞. Это утверждение интуитивно очевидно. Пусть ϕ - характеристическая функция ограниченной измеримой области D. Тогда n u(x, t)ϕ(x)d x = u(x, t)dn x → 0, Rn

D

Это утверждение отмечено в [23]. При несколько иных предположениях оно обсуждалось в [24]. Теорема 3 [23].

Пусть выполнены условия теоремы 2 и

дополнительно 1) при каждом x ∈ Rn функция y → ρ(x, y) непрерывна в нуле, 2) для любого компактного подмножества K ⊂ Rn = {x} функция C(x, y) интегрируема по множеству K × Rn ⊂ Γ и ρ(x, 0)dn x > 0. Rn

Тогда для любых компактных подмножеств положительной

78



меры K1 и K2 пространства Rn = {x}

ствительно,

u(x, t)dn x

K1

mesK1 → n mesK2 u(x, t)d x

79

(6.3)

u(x, t) = √ 1 ( 2πσ)n

K2

e

Предельное равенство (6.3) означает, что при неограниченном возрастании времени ансамбль Гиббса стремится равномерно

|y|2 2σ2 ϕ(x

− yt)dn y =

Rn

= √ 1 ( 2πσt)n

при t → ±∞.

−

−

e

(6.6)

|x−ξ|2 2σ2 t2

ϕ(ξ)dn ξ.

Rn

2 Полагая τ = t , замечаем, что интеграл справа — решение урав-

2

нения теплопроводности

заполнить конфигурационное пространство Rn .

uτ = σ 2 ∆u

Пример. Пусть ρ(x, y) = h(y)ϕ(x), причем функция h ограничена, измерима и непрерывна в нуле, а функция ϕ интегрируе-

(6.7)

с начальным условием u|τ =0 = ϕ. В отличие от классического уравнения теплопроводности,

ма. Тогда выполнены все условия теорем 2 и 3.

диффузионное уравнение (6.5) инвариантно при обращении вреВ частности, пусть h — плотность нормального распределения в Rn = {y}

жения свободной частицы. Следовательно, концентрация частиц −

|y|2

e 2σ2 h= √ ( 2πσ)n (σ 2

мени t → −t. Это отражает свойство обратимости уравнения двив каждой точке x ∈ Rn неограниченно убывает как при t → +∞,

(6.4)

так и при t → −∞. С точки зрения статистической механики более естествен-

— дисперсия), а ϕ — суммируемая функция (из L1 ). Тогда

но трактовать распределение (6.4) как распределение Максвелла, причем дисперсия σ 2 пропорциональна абсолютной температуре

функция (6.1) удовлетворяет следующему уравнению

газа (σ 2 = kT , k — постоянная Больцмана). Это распределение не ut = tσ 2 ∆u,

(6.5)

меняется со временем (поскольку ансамбль Гиббса — бесстолкновительная среда), а поле температур пропорционально плотности

где штрих обозначает производную, а ∆ — оператор Лапласа. Дей-

2 бесстолкновительной среды (после отождествления t с τ ).

2

80



Простое равенство (6.6) также полезно и для анализа распространения тепла в Rn . Например, пусть ϕ > 0 внутри открытой n

области D ⊂ R и ϕ = 0 вне ее. Тогда u(x, t) > 0 в каждой точке x ∈ Rn для любого сколь угодно малого t > 0. Это свойство

которое вообще не содержит производной ut . Подставляя t = 0 в (6.10), получаем, что u(x, 0) = ϕ(x). Дифференцированием по t функция ϕ исключается из (6.10). Таким образом, мы приходим к уравнению второго порядка

немедленно вытекает из закона движения бесстолкновительной

ut = (tux )t

среды: как бы далеко ни была точка x, через любой малый промежуток времени ее достигнут быстрые частицы из области D. Кстати сказать, из теоремы 6.2 вытекает, в частности, известное свойство решений классического уравнения теплопроводно-

81

(6.11)

с условием Коши u|t=0 = ϕ. Поскольку условия теоремы 2, очевидно, выполнены, то интеграл (6.9) стремится к нулю при t → ±∞. Таким образом, урав-

сти (6.7): в каждой точке x ∈ Rn оно стремится к нулю при

нение (6.11) также можно рассматривать как уравнение диффузии.

τ → ∞. Однако автор не встречал упоминания свойства (6.3):

В отличие от уравнения (6.5), уравнение (6.11) не инвариант-

в данном случае интегралы в левой части пропорциональны ко-

но при обращении времени. Этот факт имеет простое объяснение: все частицы бесстолкновительной среды движутся влево. Кстати

личеству тепла, заключенного в объемах K1 и K2 .

сказать, функция h разрывна в нуле и свойство (6.3) не выполне-

3. Было бы ошибкой думать, что функции вида (6.1) удовлетворяют уравнению диффузии привычной формы. Пусть n = 1 и снова будем считать, что

но. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять отрезки K1 и K2 , расположенные соответственно слева и справа от нуля. Чтобы иметь симметрию между прошлым и будущим, доста-

(6.8)

точно предположить наличие симметрии между левым и правым

Положим h(y) = ey , когда y 0, и h(y) = 0, когда y > 0. Тогда

в распределении скоростей. Действительно, если h(−y) = h(y),

ρ(x, y) = h(y)ϕ(x).

(6.1) примет вид 0 u(x, t) =

то u(x, −t) = u(x, t). Пусть, например,

ey ϕ(x − yt)dy.

(6.9)

−∞

Интегрирование по частям приводит к соотношению u = tux + ϕ(x),

(6.10)

h(y) = 1 e−|y| . 2 Тогда функция (6.1) удовлетворяет эволюционному уравнению

2 t u (6.12) ut = 2 xx t

82



83

с данными Коши u|t=0 = ϕ. Оно уже инвариантно при подстанов-

пространстве). В общем случае обычную сходимость следует за-

ке t → −t.

менить сходимостью по Чезаро.

Изложенные соображения показывают, что диссипативное

Заключение теоремы 4 можно усилить при некоторых до-

свойство плотности распределения в конфигурационном про-

полнительных предположениях. С этой целью рассмотрим дви-

странстве (6.1) имеет более универсальную природу по сравне-

жение по инерции по «плоскому» тору Tn = {x1 , . . . , xn

нию со свойствами решений уравнения диффузии привычного ви-

mod 2π}. Плотность бесстолконовительной среды в конфигура-

да. Уравнение диффузии может иметь необычный вид (скажем,

ционном пространстве снова дается формулой u(x, t) = ρ(x − yt, y)dn y.

(6.11) или (6.12)), а свойство диссипации при этом сохраняется. 4. Рассмотрим теперь общий случай компактного конфигурационного пространства. Теорема 4. При t → ±∞ функция (6.1) слабо сходится к u(x) = ρ(x, y)dn y, (6.13)

Rn

Слабый предел этой функции при t → ±∞ равен 1 u= ρ(x, y)dn xdn y. (2π)n Tn R n

Укажем условия, при которых

Rn

u(x, t) → u

где ρ — слабый предел плотности ρt . Действительно, n u(x, t)ϕ(x)d x = ρt (x, y)ϕ(x)dn xdn y → M

Γ

Γ

ρ(x, y)ϕ(x)dn xdn y =

uϕdn x.

M

Теорема 4, разумеется, справедлива в предположении о существовании слабого предела ρ (например, достаточно предположить, что гамильтониан - квазиоднородная функция в фазовом

при t → ±∞ для всех x ∈ Tn . Пусть снова выполнено (6.8) и пусть ϕm ei(m,x) , m ∈ Zn — ряд Фурье ограниченной измеримой функции ϕ : Tn → R. Теорема 5 [24]. Если

|ϕm | < ∞,

то u(x, t) → u при t → ±∞ равномерно по x ∈ Tn .

84



85

5. В заключение этого параграфа — несколько слов о свой-

внутренней энергии (температуры) системы. Изменение энтропии

ствах энтропии в конфигурационном пространстве. Она опреде-

равно логарифму от отношения объемов в конечном и начальном

ляется равенством (6.2). Положим s = − u ln udn x,

состояниях. Это — правильное соотношение из термодинамики

M

где u — слабый предел плотности в конфигурационном пространстве. В предположениях теоремы 5 плотность u равномерно сходится к u. Тогда, очевидно, st → s при t → ±∞. Однако совсем не обязательно, что энтропия в конфигурационном пространстве монотонно возрастает, начиная с некоторого момента времени. Контрпример указан в §5. Особый интерес представляет случай, когда слабый предел u вообще не зависит от положения системы. Если M компактно, то тогда u = (vol M )−1 ввиду равенства

udn x = 1.

M

В этом случае

s=−

u ln udn x = ln(vol M ).

M

Таким образом, энтропия в конфигурационном пространстве в состоянии теплового (статистического) равновесия не зависит от

адиабатических процессов идеальных сред, когда система не получает и не отдает тепло. Соотношение u = const заведомо выполнено для эргодических биллиардов. Как будет показано в следующем параграфе, оно справедливо и для некоторого класса неэргодических биллиардов в многогранниках.

86


§ 7. Бесстолкновительный газ в многогранниках

§ 7. Б ЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫЙ ГАЗ В МНОГОГРАННИКАХ

87

сосуд сферический или имеет форму прямоугольного параллелепипеда (ввиду свойства интегрируемости биллиардов в этих об-

Один из основных результатов статьи Пуанкаре [2] —

ластях). С другой стороны, книга заканчивается фразой о том,

это открытие необратимого поведения континуума бесстолкнови-

что бесстолкновительный газ в прямоугольном параллелепипеде

тельных частиц в прямоугольном параллелепипеде с зеркальны-

независимо от закона начального распределения в конце концов

ми стенками: при t → +∞ и при t → −∞ такой газ необратимо

равномерно заполнит этот сосуд.

1.

стремится выровнять свою плотность. Это утверждение Пуанкаре доказывает в предположении, что начальная плотность ρ распределения частиц в фазовом пространстве непрерывно дифференцируема. В [10] показано, что для этого достаточно минимального предположения ρ ∈ L1 . Этот вывод очевидно согласуется с обратимостью уравнений движения (так снимается парадокс Лошмидта) и не противоре-

Сразу отметим, что в сферическом сосуде бесстолкновительный газ действительно не выравнивает свою плотность. Наоборот, если стенки сосуда вогнуты внутрь (рассеивающий биллиард или биллиард Синая), то имеется асимптотическое выравнивание плотности: ввиду свойства эргодичности, слабый предел ρ зависит лишь от квадрата скорости частиц и поэтому предельная плотность газа u в конфигурационном пространстве постоянна.

чит свойству возвращаемости частиц (парадокс Цермело). Действительно, каждая отдельная частица бесконечно много раз сколь

В работе Э. Хлавки 1974 г. [25] рассматривался дискретный

угодно близко оказывается около своего начального состояния.

вариант задачи Пуанкаре (но без упоминания работы [2]). Речь

Однако эта возвращаемость не является равномерной по време-

шла об идеальном газе в прямоугольном параллелепипеде, состо-

ни и поэтому континуум в целом, конечно, не обладает свойством

ящем из N (N велико) невзаимодействующих частиц. Показано,

возвращаемости.

что при больших N бóльшую часть времени частицы практиче-

Любопытно отметить, что Пуанкаре касается этого вопроса и в своей книге «Теория вероятностей» (1912 г.), причем в ее разных местах высказываются разные точки зрения. Так, во введе-

ски равномерно заполняют такой сосуд. Это утверждение строго сформулировано с указанием точных оценок. При N → ∞ приходим к картине Пуанкаре.

нии к книге он обсуждает вопрос о влиянии формы сосуда на

В недавней работе Л. Бунимовича [26] обсуждается анало-

стремление бесстолкновительного газа к равномерному распреде-

гичное явление. Свойство равнораспределенности N частиц ав-

лению. Пуанкаре замечает, что этого заведомо не случится, если

тор называет «LAB»-эффектом. Правда, приведенные в [26] опре-

88



деления формализуют более слабые свойства системы N частиц

где v — скорость точек газа в момент времени t после соответству-

по сравнению с работой Хлавки.

ющего числа отражений от стенок Π; до первого удара о стенку,

2.

Как быстро устанавливается тепловое равновесие бес-

столкновительного газа в сосуде, имеющем форму параллелепипеда? Этот вопрос обсуждался в работе [10] для начального распределения ρ = h(v)ϕ(x), где h — плотность нормального распределения по скоростям, а ϕ — неотрицательная измеримая функция в параллелепипеде

конечно, v = v. Формула (7.2) определяет долю частиц бесстолкновительного газа, которые в момент t расположены в области G. В [10] получена следующая оценка: 2 mesG − π2 σ2 m , m t2 mesG l l K(t) − e , (7.3) mesΠ mesΠ

m1 mn m = , ..., , (m1 , . . . , mn ) ∈ Zn \ {0}. Эта оценгде l

l1

ln

ка универсальная: в нее не входит функция ϕ, задающая началь-

Πn = {x ∈ Rn : 0 x1 l1 , . . . , 0 xn ln }, причем

89

ное распределение частиц в параллелепипеде. В частности, в качестве ϕ можно взять δ-функцию Дирака. В этом случае газ в начальный момент будет сосредоточен в одной точке (что, есте-

ϕ(x)dn x = 1.

ственно, не противоречит предположению о бесстолкновительно-

Π

Можно считать, что по скоростям мы уже имеем распределение Максвелла

сти среды). Так как σ 2 пропорционально температуре T , то ряд в (7.3) на самом деле зависит от комбинации √t . Плотность выT

v2

− 2 e 2σ , h(v) = √ 1 ( 2πσ)n

равнивается быстрее, чем по экспоненте, причем «время выравv 2 = v12 + · · · + vn2 ,

(7.1)

σ2

= kT , где k - постоянная

Пусть G — измеримая подобласть в Π: h(v)ϕ(x − vt)dn xdn v, KG (t) =

тию Π n-мерным тором, разветвленному на границе Π. После этого задача о движении в Π сводится к анализу вполне интегрируемой системы в фазовом пространстве Tn × Rn .

Больцмана, T — абсолютная температура.

G Rn

T

Оценка (7.3) доказана в [10] с помощью перехода к накры-

и рассматривается задача о выравнивании плотности в сосуде прямоугольной формы. В этом случае

нивания» убывает с ростом температуры как √1 .

3. (7.2)

Укажем другой путь к получению оценки вида (7.3),

основанный на использовании «обратимого» уравнения диффузии (6.5).

90



91

С этой целью замостим Rn параллелепипедами, последова-

чая, когда конфигурационное пространство системы является по-

тельно отражая исходный параллелепипед Π относительно его

лупространством x1 0. Продолжим функцию ϕ : {x1 0} → R

n

граней. Продолжим функцию ϕ : Π → R до функции ϕ :R →R так, что

до функции ϕ : Rn → R, полагая ϕ(−x 1 , x2 , . . . , xn ) = ϕ(x1 , x2 , . . . , xn ).

• ограничение ϕ на Π совпадает с ϕ, •ϕ инвариантна относительно группы последовательных от-

Доказательство формулы (7.4) непосредственно видно на рис. 7. В общем случае мы имеем сходную ситуацию: формула (7.4)

ражений Π относительно граней. Другими словами, функция ϕ периодична по x1 , . . . , xn с пе-

остается справедливой после любого числа отражений. Теперь вспомним, что (поскольку h — плотность нормально-

риодами 2l1 , . . . , 2ln .

го распределения (7.1)) функция (7.4) удовлетворяет обратимому 1

уравнению диффузии в Rn

0

ut = tσ 2 ∆u

v~

v

(7.5)

с начальным условием u(x, 0) = ϕ(x). Из теории классического уравнения теплопроводности хоро-

1

0

шо известно, что:

v

(А) при |t| > 0 функция (7.4) аналитична по x в Rn , (B) эта функция не меняется при последовательных отражениях Rn относительно границы Π (поскольку тем же свойством обладает и данное Коши ϕ).

Рис. 7. К выводу (7.4).

Утверждается, что n − vt)dn v. u(x, t) = h(v)ϕ(x − vt)d v = h(v)ϕ(x Rn

Из этих свойств вытекает, в частности, что ∂u = 0 ∂ν (7.4)

Rn

Продемонстрируем идею доказательства этой формулы для слу-

(ν — нормаль к границе Π)

в точках на границе параллелепипеда Π. Кстати сказать, этот факт имеет простую физическую интерпретацию: нет потока тепла (т .е. частиц бесстолкновительного газа) через границу сосуда.

92



Таким образом, мы имеем решение уравнения теплопровод2

93

функции

условием u|τ =0 = ϕ и граничным условием Неймана. Согласно

πm2 πmn πm1 x1 cos x2 · · · cos xn , l1 l2 ln где m1 , m2 , . . . , mn — целые числа. Им отвечают собственные

известной теореме о стабилизации решений второй краевой зада-

значения

ности (7.5) uτ = σ 2 ∆u, τ = t в параллелепипеде Π с начальным 2

cos

чи, решение u(x, τ ) уравнения теплопроводности во всех точках x стремится к константе u, которая удовлетворяет условию n ud x = ϕ(x)dn x. Π

(7.6)

Это утверждение имеет ясный физический смысл: в отсутствие притока и оттока тепла происходит выравнивание температуры связного тела. Оценку скорости выравнивания температуры можно вывести из следующих соображений. Вторая краевая задача для уравнения теплопроводности имеет частные решения вида

σ

+

l22

+ ··· +

m2n ln2

.

(7.7)

нимальное по абсолютной величине ненулевое собственное зна-

довательно:

где ∆ξ = λ2 ξ, причем

l12

m22

= 0) соответствует равновесному решению (7.6). Пусть µ — ми-

Согласно предположению, интеграл справа равен единице. Сле-

eλτ ξ(x),

−π 2 σ 2

m21

Нулевое собственное значение (когда m1 = . . . = mn =

Π

u = (mesΠ)−1 = (l1 · · · ln )−1 .

чение (7.7):

2 2 µ = − π 2σ , l = max lj . j l Тогда разность между u(x, τ ) и u убывает как exp(µτ ). Более точ-

но, пусть ϕ ∈ L2 . Тогда u ∈ L2 для всех τ > 0 и справедлива оценка

n u(x, τ ) − 1 ϕ(x)d x mesΠ Π

Ceµτ ϕL2 ,

(7.8)

L2

причем постоянная C не зависит от функции ϕ (см., например, [27]). В действительности имеет место даже более сильное

λ = const,

неравенство: в левой части норму в L2 (Π) можно заменить нормой в пространстве H 1 (Π).

∂ξ = 0. ∂ν ∂Π

Для прямоугольного параллелепипеда полная ортогональная система собственных функций предъявляется в явном виде. Это

Оценка (7.8) имеет вид −

u(x, t) − uL2 ce

π 2 σ2 2 t 2l2 ,

c = const.

По своему смыслу она вполне соответствует неравенству (7.3).

94



95

Напомним теперь, что из сходимости в L2 вытекает сходи-

стве E n . Частицы бесстолкновительного (идеального) газа дви-

мость в метрике L1 . Выведем отсюда, что функция K, определя-

жутся по инерции внутри многогранника M , упруго отражаясь от

емая (7.2), стремится при t → ±∞ к отношению mesG . ДействиmesΠ

его границы.

тельно, пусть

С многогранником M связано дискретное семейство отраρt (x, v) = h(v)ϕ(x − vt)

и g — характеристическая функция области G. Тогда n n ρt (x, v)g(x)d xd v = u(x, t)g(x)dn x. K(t) = Π Rn

Π

Далее: u(x, t)g(x)dn x − mesG = mesΠ Π n n = u(x, t)g(x)d x − ug(x)d x = Π

Π

⎡ ⎤1 ⎡ ⎤1 2 2 = (u − u)gdn x ⎣ (u − u)2 dn x⎦ ⎣ g2 dn x⎦ = Π Π Π √ = mesΠu(x, t) − uL2 → 0, когда t → ±∞. Что и требовалось. 4.

Эту идею можно применить к задаче о равнораспреде-

жений E n , которое обозначим G и которое строится следующим индуктивным способом. Семейство G содержит отражения E n относительно всех граней выпуклого многогранника M ; пусть это будут g1 , . . . , gs (gj2 = id). Рассмотрим выпуклые многогранники g1 (M ), . . . , gs (M ) — образы M при отражениях gj . Семейство G содержит отражения E n относительно всех граней многогранников g1 (M ), . . . , gs (M ) и так далее. Семейство G не обязано быть группой. Однако при желании G можно расширить до группы, добавляя композиции преобразований из G. Дадим некоторые определения. Функция ϕ : E n → R называется инвариантной относительно G, если ϕ(g(x)) = ϕ(x) для всех x ∈ E n и всех g ∈ G. Суммируемую функцию ϕ : M → R назовем допустимой, если ϕ является ограничением на M измеримой функции ϕ : E n → R, инвариантной относительно G. Измеримую область D ⊂ M назовем допустимой, если ее характеристическая функция является допустимой функцией.

ленности бесстолкновительного газа в многогранниках. Под мно-

Приведем некоторые примеры. Очевидно, сам многогранник

гогранником M (как это принято в геометрии) понимается ком-

M всегда будет допустимой областью. Если M — прямоугольный

пактный выпуклый полиэдр в n-мерном евклидовом простран-

параллелепипед в E n , то любая измеримая подобласть в M будет

96



допустимой. Этот факт справедлив в более общем случае, когда M — альков Вейля : все E n можно замостить образами алькова при последовательном отражении относительно граней. В равнобедренном треугольнике на плоскости с углами π , π и 2π допу6 6

3

97

Справедливо также утверждение, двойственное теореме 1. Теорема 2.

Предположим, что начальная плотность рас-

пределения бесстолкновительной среды — произведение hϕ, где h — плотность нормального распределения по скоростям (7.1),

стимые области симметричны относительно биссектрисы тупого

а ϕ : M → R — любая неотрицательная суммируемая функция.

угла. Не исключено, что в типичном многограннике имеется толь-

Тогда для любой допустимой области D ⊂ M справедливо соот-

ко одна (с точность до множества нулевой меры) допустимая об-

ношение

ласть, которая совпадает с M . Теорема 1.

Предположим, что начальная плотность рас-

пределения бесстолкновительной среды — произведение hϕ, где h — плотность нормального распределения по скоростям (7.1), а ϕ : M → R — допустимая функция. Тогда при t → ±∞ бесстолкновительная среда необратимо стремится равномерно заполнить многогранник M . В частности, пусть в начальный момент бесстолкновительный газ с нормальным распределением по скоростям равномерно заполняет допустимую область в M . Тогда, свободно рассеиваясь по всему M , газ будет стараться заполнить M с постоянной плотностью. По-видимому, в теореме 1 предположение о допустимости функции ϕ нельзя опустить. Теорема 1 доказывается методом, изложенным в п. 3. Ключевой момент — формула (7.4), которая позволяет свести задачу об эволюции плотности в M к анализу решений второй краевой задачи для обратимого уравнения диффузии (7.5).

KD (t) → mes D , mesM

t → ±∞,

где KD — интеграл (7.2). Доказательства теорем 1 и 2 можно найти в статье [28].

98

§ 8. С ТАТИСТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ В СИСТЕМАХ


§ 8. Статистическое равновесие в системах с медленно

99

цессу, когда в каждый момент времени состояние можно считать практически равновесным. Мы попытаемся строго обосновать эту

меняющимися параметрами

гипотезу для рассматриваемой модельной системы, основываясь на теории адиабатических инвариантов. Более точно, будут рас1.

Снова рассмотрим задачу об эволюции идеального га-

смотрены следующие две задачи.

за (как бесстолкновительной сплошной среды) в сосуде, который 1) Достигнет ли бесстолкновительный газ состояния, мало

имеет форму прямоугольного ящика

отличающегося от статистического равновесия, если параметры Πn = {x ∈ Rn : 0 x1 1 , . . . , 0 xn n } с зеркальными стенками. Как уже говорилось, любая плотность начального распределения ρ : Γ → R (Γ =

Π × Rn )

меняются медленно, а время t достаточно велико (порядка 1/ε)? 2) Предположим, что в начальный момент времени t = 0

слабо сходит-

бесстолкновительный газ уже находился в статистическом рав-

ся к функции ρ, которая не зависит от точки параллелепипеда Π.

новесии и при t 0 стенки сосуда начали медленно и плавно

Следовательно, ρ — функция от скоростей v1 , . . . , vn . Поскольку

двигаться. Будет ли газ в последующие моменты времени практи-

ρ — первый интеграл уравнений движения частицы в ящике, то

чески оставаться в состоянии статистического равновесия и как

эта функция не меняется при смене знака каждой скорости vj (что

долго такой процесс можно считать квазистатическим?

происходит при упругом ударе о j-ую стенку). Значит, ρ будет четной функций скоростей или, что то же самое, она зависит лишь от квадратов скоростей v12 , . . . , vn2 . Такие распределения порожда-

2.

Начнем с рассмотрения второй задачи. Пусть длины

сторон параллелепипеда 1 , 2 , . . . , n — гладкие функции от εt

ют уравнение состояния типа уравнения Клапейрона– Менделеева

и ρ — начальная плотность распределения вероятностей. Тогда

(см. по этому поводу [6, 29]).

плотность ρt (решение неавтономного уравнения Лиувилля с на-

Будем теперь медленно менять размеры параллелепипеда Π,

чальным данным ρ) в момент времени t зависит (кроме фазовых

считая длины s гладкими функциями медленного времени τ = εt,

переменных x, v) еще и от ε. Будем считать, что произведение

где ε — малый параметр. При ε = 0 размеры сосуда не меняются.

1 , 2 , . . . , n (объем Π) ограничено и нигде не обращается в нуль.

В термодинамике считается, что бесконечно медленное измене-

Пусть, как обычно, p и q — положительные числа такие, что 1p +

ние параметров приводит к обратимому квазистатическому про-

+ 1q = 1.

100



Теорема 1 [30]. Если плотность ρ ∈ Lp (Γ, dn xdn v) зависит лишь от v12 , v22 , . . . , vn2 , то найдется вероятностная мера

ν0 = ρ,

такая, что для любой ϕ ∈ Lq (Γ, dn xdn v) и любого t ∈ [0, c ε−1 ] (c — некоторая константа) n n n n ρ ϕd xd v − ν ϕd xd v →0 t t Γ

если ε мало, то на достаточно длинном интервале времени (∼ 1ε ) бесстолкновительный газ будет по-прежнему практически равномерно распределен по объему сосуда.

νt (v12 , v22 , . . . , vn2 , ε)dn xdn v, νt ∈ Lp ,

101

Для доказательства теоремы 1 положим

2 2 v 2 2 2 2 v v νt (v12 , v22 , . . . , vn2 , ε) = ρ 21 1 , 22 2 , . . . , 2n n . 1 (0) 2 (0) n (0)

(8.3)

Ясно, что νt ∈ Lp (если ρ ∈ Lp ), ν0 = ρ и (8.1)

Γ

νt (v 2 , ε)dn xdn v = 1

Γ

при ε → 0. Плотность νt на самом деле зависит от εt. Ее явный вид ука-

при всех значениях t. Как выглядит решение ρt уравнения Лиувилля с данным Коши ρ? Для этого надо обратить общее реше-

зан ниже. Функцию νt можно трактовать как «стационарную» плотность распределения вероятностей в момент времени t; при вычислении средних значений динамических величин плотность ρt

ние уравнений частицы x = (t, x0 , v0 ),

v = v(t, x0 , v0 )

можно заменить плотностью νt . Например, пусть p = 1 и ϕ —

и подставить полученную формулу для v0 = v(0) в выражение

характеристическая функция измеримой области Φ ⊂ Π. Тогда,

ρ(v12 (0), . . . , vn2 (0)). Итак, ρt (x, v) = ρ(v02 ). Далее, произведения

согласно (8.1), интеграл

vk2 2k будут адиабатическими инвариантами:

ρt ϕdn xdn v

(8.2)

|vk2 (t)2k (εt) − vk2 (0)2k (0)| c ε

Γ

при малых ε будет сколь угодно близок к отношению mes Φ . Зна-

при 0 t ε−1 (c = const > 0). Следовательно,

mes Π

чение интеграла (8.2) совпадает с долей частиц из ансамбля Гиббса, находящихся в момент времени t в области Φ. Следовательно,

vk2 (0) =

vk2 2k 2k (0)

+ O(ε)

102



и

ρt = ρ

v12 21

21 (0)

+ O(ε),

v22 22

22 (0)

+ O(ε), . . . ,

vn2 2n 2n (0)

+ O(ε) . (8.4)

В отличие от энтропии при адиабатических процессах внутренняя энергия E идеального газа (пропорциональная абсолютной температуре T ) может меняться. Положим

Сопоставляя (8.3) и (8.4), получаем требуемое соотношение (8.1).

E(t) =

Отметим, что адиабатические инварианты были введены Л. Больцманом в его ранней работе по обоснованию второго начала термодинамики. В частности, из его общего результата вытекает адиабатическая инвариантность произведения |vk k | для одномерного газа (когда n = 1). В общем случае эти величины про-

Γ

Как хорошо известно, энтропия Гиббса всегда постоянна: (8.5) St = − ρt ln ρt dn xdn v = const. Γ

v 2 ρ dn xdn v 2 t

(8.7)

(в предположении сходимости этого интеграла). Рассмотрим случай, когда n = 3 и 1 = 2 = 3 (сосуд имеет форму куба). По теореме 1 при медленном движении стенок сосуда интеграл (8.7) мало отличается от интеграла

порциональны переменным действие в интегрируемой задаче о биллиарде в прямоугольном параллелепипеде.

103

= E(t)

Γ

2/3

v 2 ν dn xdn v = W0 E 0 , 2 t W 2/3

0 = E(0), E

(8.8)

где W — объем сосуда Π. Формула (8.8) просто выводится с использованием (8.3). Поскольку E = cT (c = const), то из (8.8)

Интересно отметить, что энтропия квазистатических состояний (8.6) St = − νt ln νt dn xdn v Γ

получается известное уравнение адиабаты для идеального одноатомного газа: T W 2/3 = const.

(8.9)

также не меняется со временем. Таким образом, рассматриваемый

3. Обсудим теперь первую задачу о «нулевом» начале термо-

квазистатический процесс будет адиабатическим. Это наблюде-

динамики при медленно меняющихся граничных условиях. Пусть

ние полезно сравнить с результатом о возрастании энтропии при

ρ ∈ Lp (Γ), а ϕ ∈ Lq (Γ) — пробная функция. Более точно, мы

необратимом расширении бесстолкновительного газа: если в вы-

предполагаем, что ϕ — функция от

ражении (8.5) заменить плотность ρt ее слабым пределом ρ, то энтропия увеличится.

x x1 x2 , , . . . , n , 1 v1 , 2 v2 , . . . , n vn , 1 2 n

104



которая при каждом значении t принадлежит Lq . Положим K(t) = ρt ϕdn xdn v.

статистического равновесия (теорема 1). Стоит, наверное, еще отметить, что интеграл (8.10) на самом деле вообще не зависит от 1 , 2 , . . . , n . Доказательство основано на применении подстанов-

Γ

ки

Если s — гладкие функции от εt, то най-


105

xs → xs s ,

дется такая функция

vs →

vs , s

которая, очевидно, сохраняет меру Лиувилля dn xdn v. Это простое

ρ(21 v12 , 22 v22 , . . . , 2n vn2 ),

замечание представляется существенным, ибо оно показывает, что что lim K( εc ) =

ε→0

итоговое равновесное состояние не зависит от того, через какую ρϕdn xdn v,

c = const > 0.

(8.10)

Γ

последовательность промежуточных состояний система проходила во время адиабатического перехода. Сходные вопросы обсуждал еще Э. Ферми в работе [32] 1923 г., посвященной адиабати-

Пусть, в частности, p = 1, а ϕ — характеристическая функ-

ческим переходам в «старой» квантовой механике, основанной на

ция измеримой области Φt ⊂ Πt . Эта область медленно меняется

принципах квазиклассического квантования Бора– Зоммерфельда.

подобно деформации объемлющего параллелепипеда. Теорема 2

Теорема 2 доказывается с использованием регуляризации (пе-

утверждает, что при малых значениях ε (независимо от начально-

реход к 2n -листному покрытию Π n-мерным тором), техники ра-

го распределения) доля бесстолкновительной среды, расположен-

боты [10] и теории адиабатических инвариантов.

ной в области Φt , по истечении достаточно большого промежутка времени (∼ ε−1 ) практически равна доле этой области в параллелепипеде Π (см. формулу (8.10)). Например, если Π поделить перегородкой на две равные половины, то через время t ∼

ε−1

газ

распределится между этими областями практически поровну.

4.

Статистическое равновесие бесстолкновительного га-

за имеет место внутри любого замкнутого сосуда с кусочнорегулярной границей. Любое начальное распределение с плотностью ρ ∈ Lp порождает решение уравнения Лиувилля ρt , которое

Если принять функцию ρ за начальную плотность распреде-

слабо сходится при t → ±∞ к некоторой функции ρ ∈ Lp . Эта

ления, то в течение большого промежутка времени (∼ ε−1 ) бес-

функция является биркгофовским средним ρ, инвариантна отно-

столкновительный газ будет практически оставаться в состоянии

сительно фазового потока рассматриваемой динамической систе-



мы с ударами и имеет смысл плотности стационарного распреде-

[35, 36]). Слабый предел решения уравнения Лиувилля с данным

ления вероятностей.

Коши ρ ∈ Lp будет функцией ρ ∈ Lp , зависящей лишь от энер-

106

В связи с этим замечанием возникает возможность обобще-

107

гии h.

ния задач 1 и 2 из п. 1 на области произвольной формы. Если

Предположим теперь, что форма такого сосуда зависит от па-

очень медленно и плавно менять границу сосуда, то будет ли бес-

раметра, который в свою очередь гладко зависит от «медленного»

столкновительный газ демонстрировать квазистатическое поведе-

времени εt, ε — малый параметр. В частности, объем W сосуда Π

ние? Анализ этой ситуации в общем случае требует существенно-

также гладко зависит от εt.

го развития теории адиабатических инвариантов. Эта теория пока создана для двух крайних случаев: когда возмущаются вполне

Теорема 3 [30]. Если начальная плотность ρ зависит лишь от энергии

интегрируемые системы, а также когда на почти всех поверхностях уровня интеграла энергии невозмущенная система эргодична (см. [33]). Первый случай встречается как раз в условиях применимости теорем 1 и 2. Второй случай охватывается известной теоремой Касуги [34]. Правда, еще Э. Ферми обсуждал теорию

h=

v12 + v22 + . . . + vn2 , 2

то вероятностная мера

α W n n νt d xd v = ρ h α dn xdn v, W0

2, α= n

W0 = W (0)

адиабатических инвариантов для динамических систем с несколькими известными первыми интегралами, причем на поверхностях совместных уровней этих интегралов система является эргодической [32]. Однако такое расширение теории явно недостаточно для наших целей.

задает квазистатический обратимый процесс, то есть • выполнено соотношение (8.1), • энтропия (8.6) постоянна, • справедливо уравнение адиабаты (8.9) (при n = 3).

Пусть сосуд Π ⊂ E n теперь ограничен кусочно-гладкой и

Теорема 3 доказывается так же, как и теорема 1. Существен-

строго выпуклой внутрь Π поверхностью. Частица, двигающаяся

ную роль играет теорема Касуги о том, что адиабатическим ин-

по инерции внутри Π и упруго отражающаяся от границы, порож-

вариантом является объем фазового пространства, заключенного

дает динамическую систему, которая называется рассеивающим

внутри изоэнергетической поверхности [34] (при этом результа-

биллиардом (или биллиардом Синая). Эта система заведомо эрго-

ты [34] надо слегка модифицировать, поскольку они относятся к

дическая при положительных значениях энергии h частицы (см.

гладким гамильтоновым системам). Легко понять, что этот объем



пропорционален произведению hn/2 W . Отметим, что адиабатиче-

ческих многообразиях положительной энергии. Здесь и ниже мы

ский инвариант Касуги был указан еще Ферми [32] (правда, без

будем считать это свойство уже установленным.

108

строгого доказательства). Теорема Касуги (после ее надлежащего уточнения) позволяет дать положительный ответ в задачах 1 и 2 применительно к «реальному» газу Больцмана – Гиббса, заключенному в прямоугольном ящике с зеркальными стенками. Этот газ представляет собой большое число маленьких одинаковых шариков, упруго сталкивающихся друг с другом и со стенками ящика. Газ Больцмана– Гиббса — это биллиардная система рассеивающего типа (см. [37, 38]).

109

Если размеры ящика не меняются со временем, то независимо от начального распределения шаров по пространственным координатами и скоростям газ Больцмана– Гиббса необратимо стремится к состоянию статистического (теплового) равновесия (см. § 1). Согласно эргодической гипотезе, предельная плотность зависит от кинетической энергии системы. В частности, в состоянии статистического равновесия все возможные положения шаров в прямоугольном сосуде равновероятны. Будем теперь медленно и плавно перемещать стенки ящика.

Все верят в то, что на изоэнергетических многообразиях рас-

Если газ Больцмана– Гиббса находился в состоянии статистиче-

сматриваемая динамическая система с ударами обладает переме-

ского равновесия, то на достаточно большом временном интер-

шиванием. Собственно, это предположение (еще не вполне ясно

вале состояние газа будет мало отличаться от его соответствую-

сформулированное) восходит к Больцману. Более точная форму-

щего равновесного состояния (теорема 3). Если же газ не был

лировка имеется у Н. С. Крылова [13]. Первый нетривиальный ре-

в статистическом равновесии, то через достаточно большое (но

зультат получен в работе Я. Г. Синая [35]: система из двух шари-

конечное) время он придет в состояние, близкое к состоянию ста-

ков в прямоугольнике обладает перемешиванием. В [39] анало-

тистического равновесия (аналог теоремы 2).

гичный результат установлен для системы из четырех шариков в прямоугольном параллелепипеде любой размерности 3. К сожалению, анализ общего случая сталкивается с существенными трудностями технического характера, представление о которых дает обзорная работа [40]. Подчеркнем, что для наших целей достаточно более слабого свойства эргодичности газа Больцмана– Гиббса на энергети-

110


§ 9. СЛУЧАЙ БЫСТРЫХ ИЗМЕНЕНИЙ

§ 9. Случай быстрых изменений

111

Отметим следствие из этой формулы. Если начальная плотность ρ0 будет четной функцией от импульсов y1 , . . . , yn , то, оче-

1. В этом параграфе предполагается, что параметры систе-

видно, k1 = . . . = kn = 0. В этом случае

мы быстро меняются со временем. Основное внимание уделяется эволюции внутренней энергии

Et =

В частности, если в начальный момент времени система (9.1)

Γ

находилась в статистическом равновесии (ρ0 — функция только

где T — кинетическая энергия системы.

от y12 , . . . , yn2 ) и внешняя сила совершает конечную работу

Начнем с рассмотрения простой системы (2.7):

где x ∈

Tn ,

y ∈

Rn ,

y˙ = f (t),

! y2 = 1 y12 + . . . + yn2 . 2 2

С учетом формулы (2.8) для плотности ρt имеем следующую цепочку простых соотношений: 2 2 y y ρt (x, y)dµ = ρ (x − yt + h, y − g)dµ = Et = 2 2 0 Γ

= Γ

Γ

(y + 2

g)2

(т. е. интегралы

gj =

n

ρ0 (x, y)dµ = E0 + (k, g(t)) + 1 gj2 (t), (9.2) 2

где k = (k1 , . . . , kn ), kj =

Γ

j=1

yj ρ0 (x, y)dµ,

fj (τ )dτ. 0

сходятся),

0

Если же ρ0 не является четной функцией по импульсам y1 , . . . , yn , то тогда средние «циркуляции» kj отличны от нуля и легко привести примеры, когда работа g 2j kj gj + 1 2 отрицательна и, следовательно, в итоге внутренняя энергия системы уменьшается. Например, при n = 1 достаточно потребовать, чтобы k > 0, а g < 0 и |g| < 2k. Подчеркнем, что в обоих случаях информационная энтропия

t gj (t) =

fj (t)dt

то мы имеем конечное приращение средней кинетической энергии g2j . E = E∞ − E0 = 1 2

мени. Кинетическая энергия

∞

(9.1)

а f — сила — заданная вектор-функция вре-

T =

(9.3)

В типичном случае (когда g = 0) это неравенство строгое.

T ρt dµ,

x˙ = y,

Et E0 .

получает положительный скачок (как при t → +∞, так и при t → −∞).

112


Формулу (9.2) можно получить по-другому, воспользовавшись теоремой об изменении кинетической энергии: dT = ( fj yj )dt.


ет подставить ρτ ). Поэтому изменение энергии после следующего цикла уже не будет прежним. Пусть, например, n = 1, а плотность определяется формулой (2.11). Тогда после периода τ плотность станет равной τ

Справа стоит элемент работы внешней силы. Умножая обе части ρ(y − g(t) − ξ),

этого равенства на вероятностную меру ρt dµ и интегрируя по все-

Таким образом, формула (9.2) соответствует первому началу термодинамики (закону сохранения тепловой и механической

ξ=

f (t)dt < 0. 0

му фазовому пространству, после элементарных преобразований получаем искомую формулу.

113

Следовательно, график плотности сдвинется влево на τ . После нескольких итераций циркуляция k будет уже отрицательной и поэтому средняя кинетическая энергия дальше будет возрастать.

энергий). Однако, второе начало «разрешает» не все процессы,

Вопрос о «нарушении» второго закона термодинамики в рам-

которые допускает первое начало. С этой точки зрения «сомни-

ках модели ансамблей Гиббса обсуждался Пуанкаре в работе [2].

тельным» является второй случай, когда работа силы отрицатель-

Мы вернемся к этому в §11.

на (а значит, система, наоборот, проделывает положительную ра-

2. Обсудим задачу об эволюции внутренней энергии для си-

боту), а внутренняя энергия системы (средняя кинетическая энер-

стем более общего вида. Рассмотрим натуральную механическую

гия) уменьшается.

систему с конфигурационным пространством M = {x}, кинети-

В связи с последним замечанием возникает следующий «па-

ческой энергией

ни и работа за период в (9.2) отрицательна. Тогда, повторяя этот

gij yi yj = 1 y, y T =1 2 2

процесс многократно, мы получаем в итоге отрицательное значе-

и потенциальной энергией V (x, t). Фазовое пространство Γ есть

ние средней кинетической энергии. Более внимательный взгляд

пространство кокасательного расслоения многообразия M . Функ-

на формулу (9.2) показывает, что это не так. С точки зрения тео-

ция Гамильтона H есть сумма T + V . Предполагается, что при

рии ансамблей Гиббса после одного периода τ плотность распре-

подходящем выборе канонических переменных x, y коэффициен-

деления вероятностей ρt изменится и вслед за ней изменятся и

ты gij внутренней римановой метрики T постоянны (не зависят

величины «циркуляций» kj (в формуле для kj вместо ρ0 следу-

от x).

радокс». Предположим, что внешняя сила f периодична по време-

114



Снова будем изучать изменение внутренней энергии системы 1 y, y ρt dµ, Et = 2 Γ

где dµ = dn xdn y — инвариантная мера Лиувилля.

воспользуемся уравнением Лиувилля: ∂ρ 1 ˙ y, y dµ = Et = 2 ∂t Γ ∂ρ ∂ρ = − 1 y, y , y dn xdn y + 1 y, y ∂V dµ. 2 2 ∂x ∂y ∂x Γ

Теорема 1. Если

115

(9.5)

Γ

По формуле Гаусса– Остроградского первый интеграл справа, оче1) ρ0 не зависит от x,

видно, равен нулю при всех значениях t. Далее, при t = 0 плот-

2) dV = 0 почти всюду на M для всех t,

ность ρ не зависит от x. Следовательно, по той же причине в начальный момент времени второй интеграл в правой части (9.5)

то

также равен нулю. Значит: Et > E0

(9.4)

E˙ = 0 при

при малых |t| = 0. Теорема 1 обобщает соответствующее утверждение Пуанкаре [2] (п.8). Оно имеет следующую интерпретацию. Пусть сначала V = 0. Тогда функция ρ0 (зависящая только от импульсов y1 , . . . , yn ) будет плотностью стационарного (равновесного) распределения вероятностей. Теорема 1 утверждает, что при добавлении потенциального силового поля в первые моменты после

t = 0.

(9.6)

Снова воспользуемся формулой Гаусса– Остроградского: ˙ E = − ρy, ∂V dn xdn y. ∂x Γ

Следовательно:

∂ρ ∂V ∂V ∂ n n ¨=− y, d xd y − ρy, dn xdn y. (9.7) E ∂t ∂x ∂x ∂t Γ

нарушения равновесия внутренняя энергия системы возрастает.

Γ

Отметим инвариантность неравенства (9.4) при обращении вре-

При t = 0 второй интеграл обращается в нуль. Преобразуем пер-

мени.

вый интеграл в (9.8):

Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО . Вычислим производную внутренней энергии по времени и

¨0 = E Γ

∂ρ y, ∂V , y dn xdn y − ∂x ∂x

Γ

∂ρ y, ∂V ∂V dn xdn y. ∂x ∂y ∂x

116



117

Так как при t = 0 плотность не зависит от x, то первый

Если ρ0 — четная функция по импульсам, то система нахо-

интеграл равен нулю. Применяя ко второму интегралу формулу

дится в «окончательном» равновесии (когда Q = 0). Примером

Гаусса– Остроградского, получим, что ¨ E0 = ρ0 ∂V , ∂V dµ. ∂x ∂x

может служить распределение Максвелла. Пусть, например, M =

Γ

¨ > 0 при t = 0. Учитывая (9.6), Согласно предположению 2, E

= Tn = {x mod 2π} и сила Q от x вообще не зависит (как в п. 1). Тогда эту силу можно считать потенциальной ( Qj dxj = = d( Qj (t)xj )), однако ее потенциал будет многозначной функцией на M . Поэтому теорема 1 здесь неприменима.

получаем требуемое. Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО . 3. Рассмотрим более общий случай, когда на систему действуют непотенциальные силы, зависящие лишь от ее положения

Доказательство теоремы 2 использует те же идеи. Сначала вычислим производную внутренней энергии по времени:

и времени. Уравнения движения в канонических переменных имеE˙ = 1 2

ют вид x˙ = ∂T , ∂y

y˙ = Q(x, t).

(9.8)

−1 2

Кинетическая энергия T снова считается однородной квадратичной формой с постоянными коэффициентами: gij yi yj , T = 1 y, y = 1 2 2

тождественно равна нулю. Теорема 2. Если

то Et > E0 при малых |t| = 0.

y, y Γ

y, y y, Γ

∂ρ n n d xd y− ∂x

∂ρ n n Qd xd y. ∂y

(9.9)

а второй — при t = 0 из-за условия 1 (подынтегральная функция

Отметим, что и в этом случае дивергенция правой части (9.8)

2) Q(x, t) = 0 почти всюду на M при всех t,

Γ

∂ρ y, y dµ = − 1 2 ∂t

Первый интеграл равен нулю по теореме Гаусса– Остроградского,

gij = const.

1) начальная плотность ρ0 есть функция только от

нечетна по импульсам). Ясно, что ˙ E = y, Q ρdn xdn y. Γ

y12 , . . . , yn2 ,

Далее: ¨= E Γ

∂Q ρdn xdn y + y, ∂t

y, Q Γ

∂ρ n n d xd y. ∂t

118


Первый интеграл снова обращается в нуль при t = 0 ввиду условия 1. Второй интеграл равен сумме ∂ρ n n ∂ρ d xd y − y, Q Qdn xdn y. − y, Q y, ∂x ∂y Γ

Γ

При t = 0 первый интеграл, очевидно, равен нулю (т. к. ρ0 не зависит от x), а второй преобразуется в интеграл ρQ, Q dµ, Γ

что положительно ввиду условия 2. Что и требовалось. 4. Рассмотрим теперь случай, когда на систему действуют еще диссипативные силы: во второе уравнение (9.8) добавляется слагаемое −νy, ν > 0. Тогда в формулу (9.9) справа надо добавить еще одно слагаемое ν y, y ∂(ρyj ) dn xdn y = 2 ∂yj Γ = − ν(vol M ) ρy, y dn y. Rn

§ 10. Н ЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РЕШЕНИЙ УР. Л ИУВИЛЛЯ 119

§ 10. Некоторые неравенства для решений уравнения Лиувилля 1. Вернемся к общей системе (2.1). Вначале будем предполагать, что div v = 0.

(10.1)

Следовательно, решения уравнения Лиувилля (2.2) — это первые интегралы системы (2.1). Будем предполагать, что ρ > 0 при всех z ∈ Γ и t ∈ R. Пусть s → f (s) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, определенная при всех s > 0. Теорема 1. Пусть выполнено (10.1) и f (s) > 0 при s > 0. Тогда

n

f (ρ0 )ρt d z Γ

f (ρ0 )ρ0 dn z

(10.2)

Γ

для любого решения ρt уравнения Лиувилля (2.2). Если f (s) < 0 при s > 0, то справедливо обратное неравенство. Конечно, предполагается, что интеграл слева в (10.2) суще-

Таким образом, E˙ < 0 при t = 0. Если коэффициент трения ν мал,

ствует и конечен при всех t. Это заведомо выполнено, если ρ0 —

то будет наблюдаться интересное явление: вначале (после нару-

гладкая функция и фазовое пространство Γ компактно.

шения равновесия, когда добавляются внешние силы) внутренняя энергия убывает, а потом через короткое время снова начинает возрастать, становясь больше внутренней энергии в начальный ¨>0 момент времени. Действительно, E˙ мала и отрицательна, а E при t = 0.

Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО . Для доказательства теоремы 1 воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: f (ρt ) − f (ρ0 ) = f (ρ0 )(ρt − ρ0 ) +

f (ρ) (ρt − ρ0 )2 , 2

(10.3)

120



где ρ > 0. Проинтегрируем обе части этого равенства по фазовому

Оно справедливо для функций ρ0 ∈ Lp . Для 0 < p < 1 имеет

пространству и воспользуемся тождеством f (ρt )dn z = const,

место обратное неравенство. Неравенство (10.4) — следствие неравенства Гельдера :

Γ

справедливым при условии (10.1). Из (10.3) вытекает тогда, что 1 n n f (ρ0 )ρt d z − f (ρ0 )ρ0 d z = f (ρ)(ρt − ρ0 )2 dn z. 2 Γ

Γ

Γ

Если f > 0(< 0), то правая часть будет неотрицательной (непо-

венстве совпадают при всех t, то из (10.5) вытекает (10.4). p > 1, то

что 1 mes Γ

Γ

ρp0 dn z.

1 и из неравенства (10.4) вытекает, mes Γ n ρp−1 0 d z

Γ

ρp0 dn z.

Γ

B. Пусть f (s) = ln s. Тогда ρt n 1 d z 1. ρ 0 mes Γ

2. Рассмотрим три примера.

Γ

p > 1. Тогда неравенство (10.2) примет

n ρp−1 0 ρt d z

Γ

= µ(Γ) конечна. Тогда ρ =

0

Γ

p

Пусть система (2.1) автономная, эргодическая и mes Γ =

Это — прямое следствие неравенства (10.2)

вид

p n

(ρ0 + ρt ) d z 2

ρ0 (g−t (z))dt.

Γ

Γ

Если f > 0(< 0), то f (ρ0 )ρdn z () f (ρ0 )ρ0 dn z.

A. Пусть f (s) =

Γ

1 + 1 = 1. Поскольку значения интегралов справа в этом нераp q

и ρ — биркгофовское среднее функции ρ0 :

sp ,

Γ

(10.5)

Аналогично доказывается «неравенство Минковского»: если

Следствие. Пусть система (2.1) автономная, ρ0 ∈ L1 (Γ, dn z)

ρ(z) = lim τ1 τ →∞

⎡ ⎤1 ⎡ ⎤1 q p p n ⎦ ⎣ p n ⎦ ⎣ ρ0 d z ρt d z ,

Γ

ложительной). Что и требовалось.

τ

1 1 (ρp0 ) q (ρpt ) p dn z

Γ

ρp0 dn z.

(10.4)

В частности, для автономных систем ρ n 1 d z 1. ρ 0 mes Γ Γ

(10.6)

122



Поскольку в автономном случае неравенство (10.6) не меняется при подстановке t → −t, то справедливо также неравенство ρ0 n 1 ρt d z 1. mes Γ

Неравенство (10.7) имеет еще следующую интерпретацию. Пусть ρ0 = ce−βH , −1

c

=Z=

Γ

Γ

C. Положим f (s) = s ln s, s > 0. Ясно, что вытекает неравенство n ρt ln ρ0 d z ρ0 ln ρ0 dn z. Γ

f

> 0. Из (10.2)

— статистический интеграл, Et =

(10.7)

Γ

В частности, пусть система гамильтонова и ρ0 — плотность

c, β = const > 0.

Тогда из (10.7) вытекает важное неравенство Пуанкаре ( [2], п. 9): Hρt dµ Hρ0 dµ, (10.8) Γ

Γ

ρt Hdµ Γ

— внутренняя энергия. Тогда (10.7) эквивалентно неравенству St βEt + ln Z.

канонического распределения Гиббса cρ−βH ,

e−βH dµ

При t = 0 имеет место равенство, которое хорошо известно в теории равновесных состояний (см., например, [66]). 3. Отметим в заключение, что неравенство (10.7) справедливо и в более общем случае, когда

где dµ — мера Лиувилля.

div v 0.

(10.9)

Например, пусть H — кинетическая энергия системы; тогда

энергия системы может только возрасти. Этот замечательный ре-

Действительно, для f (s) = s ln s из (10.3) получаем 1 n n ρ0 ln ρ0 d z − ρt ln ρ0 d z = St − S0 + f (ρ)(ρt − ρ0 )2 dn z, 2

зультат Пуанкаре усиливает заключение теорем 1 и 2 из §9, спра-

(10.10)

распределение Гиббса будет распределением Максвелла. Неравенство (10.8) означает, что после нарушения равновесия внутренняя

Γ

Γ

Γ

ведливых только при малых значениях времени (однако эти утвер-

где St — информационная энтропия. С другой стороны, со-

ждения справедливы для более широкого класса начальных рас-

гласно (2.5), энтропия не убывает со временем, если выполне-

пределений).

но (10.9).

124


Правда, для механических систем неравенство (10.9) означа-

§ 11. Ц ИКЛЫ П УАНКАРЕ

125

§ 11. Циклы Пуанкаре

ет, что в систему поступает дополнительная энергия (тепло). Основное неравенство (10.2) этого раздела — это обобщение

1. В этом параграфе мы обсудим основное содержание за-

неравенства Пуанкаре (10.8). В работе Пуанкаре [2] также сказа-

мечательной статьи Анри Пуанкаре «Замечания о кинетической

но, что поскольку грубая энтропия всегда возрастает, то из (10.10)

теории газов».

тем более вытекает неравенство (10.8) для t 0. Однако это

Цель своей работы Пуанкаре формулирует так: «Один из

утверждение следует признать некорректным по двум причинам.

пунктов, наиболее трудных для меня, был следующий: требует-

Во-первых, как мы видели в §5, грубая энтропия возрастает не

ся доказать, что энтропия уменьшается1 , но соображения Гиббса,

всегда. Во-вторых, в этом случае следует уже говорить о «гру-

по-видимому, предполагают, что после изменения внешних усло-

бой» внутренней энергии: в (10.8) плотность ρt надо заменить

вий, до того как изменять их снова, следует подождать, пока уста-

грубой плотностью с помощью усреднения по ячейкам фазового

новится режим. Это существенное допущение. Можно ли, иными

пространства.

словами, прийти к результатам, противоречащим принципу Карно, изменяя внешние условия слишком быстро для того, чтобы стационарный режим успел установиться?» [2]. Пуанкаре исследует эту задачу с разных точек зрения. Сначала (п. п. 4 и 5 его статьи [2]) он обсуждает открытое им парадоксальное поведение одномерного газа. Пуанкаре рассматривает бесстолкновительную сплошную среду на отрезке прямой с упругими отражениями от концов отрезка (одномерный газ). Предположим, что в начальный момент времени газ находился в статистическом равновесии: его плотность распределения ρ зависит лишь от квадрата скорости частиц. 1

Пуанкаре определяет энтропию с противоположным знаком. Поэтому она

уменьшается в тех случаях, когда общепринято считать, что она увеличивается.

126



Более того, предположим, что функция

127

нее по мере приближения к дальнему от C концу отрезка. Такого

ρ(v 2 )

парадоксального равновесия заведомо не случится, если частицы

v2

газа распределены по скоростям в соответствии с законом Макс-

регулярна в нуле (она имеет конечный предел при v → 0). Пуанка-

велла.

ре говорит, что в этом случае ρ делится на v 2 . В частности, обыч-

Вообще, Пуанкаре верил в универсальность закона Макс-

ное распределение Максвелла не удовлетворяет этому условию.

велла, как и в закон возрастания грубой (физической) энтропии.

Наоборот, если газ не содержит медленных частиц (т. е. при |v| < ε, ε > 0) , то ρ делится на

ρ(v 2 )

=0

v2.

Это обстоятельство он неоднократно подчеркивает в своей статье. Кстати сказать, он любил повторять шутку (со ссылкой на своего

Предположим теперь, что имеется некоторое тело (Пуанкаре

друга физика Липпманна), что в нормальный закон распределения

его обозначает C), которое притягивает частицы газа, скажем, по

ошибок верят все: правда, физики считают его математической

закону Ньютона и которое в начальный момент времени удале-

теоремой, в то время как математики убеждены, что это твердо

но от отрезка (сосуда) на бесконечное расстояние. Следователь-

установленный экспериментальный факт.

но, вначале оно не оказывает никакого влияния на состояние бесстолкновительного газа. Затем в какой-то момент времени мы резко приближаем тело C и оставляем бесконечно долго в фиксированном положении достаточно далеко от отрезка. После этого равновесие газа будет нарушено и в конце концов он достигнет нового равновесия (в смысле слабой сходимости, о которой речь шла в §1). Но что это будет за равновесие? Оказывается, в отличие от привычной картины, плотность равновесного состояния газа будет возрастать по мере удаления частиц от тела C. Чтобы убе-

Прервем здесь изложение рассуждений Пуанкаре и сделаем одно важное замечание. Не следует думать, что если в начальный момент частицы газа распределены по Максвеллу, то после мгновенного приближения гравитирующего тела это распределение в слабом смысле будет стремиться к барометрическому распределению по длине стержня. Однако если тело будет приближаться бесконечно медленно, то мы получим (зависящее от времени) семейство распределений Гиббса и (как следствие) барометрическую формулу: ρ = ce−γx , x ∈ [a, b]; c, γ = const.

диться в этом, не надо никаких вычислений. Дело в том, что если

После того как установилось статистическое равновесие газа

тело C достаточно удалено, то быстрые частицы газа периодиче-

в поле притягивающего тела C (в предположении, что ρ делится

ски сталкиваются с обоими концами отрезка и движутся медлен-

на v 2 ), мы снова резко удаляем это тело в бесконечность. После

128



129

этого события газ будет стремиться выровнять свою плотность на

что противоречие с принципом Карно мы получили в рамках мо-

отрезке.

дели, основанной на теории ансамблей Гиббса.

Итак, в результате бесстолкновительный газ совершил за-

Другое наблюдение Пуанкаре (п. 6) состоит в том, что в ре-

мкнутый цикл: начав с равновесного состояния, он снова при-

зультате цикла Пуанкаре энтропия газа увеличилась. Этот вывод

обрел равновесие. Этот цикл (по аналогии с циклом Карно) назо-

Пуанкаре подтверждает вычислением, однако оно легко вытекает

вем циклом Пуанкаре1 . Однако, в отличие от цикла Карно, цикл

из общих результатов, изложенных в §1. Действительно, энтро-

Пуанкаре неравновесный и необратимый. Что же получилось по-

пия может только возрасти, если плотность вероятности ρt заме-

сле реализации цикла Пуанкаре? Притягивая тело C, газ в итоге

нить ее слабым пределом ρ. В цикле Пуанкаре эта процедура по-

проделал положительную работу. Действительно, когда мы при-

вторяется дважды. Фактически Пуанкаре тоже использовал такой

ближали тело, то была совершена положительная работа, а когда

прием в п. 6 своей работы, не оговаривая этого явно. Это обстоя-

удаляли, то работа отрицательна. Однако положительная работа

тельство ускользнуло от Н.С. Крылова, который в своей книге [13]

по величине больше отрицательной, поскольку при удалении те-

критикует Пуанкаре за допущенную им «ошибку»: ведь сначала

ла C газ был от него на более удаленном расстоянии.

(в п. 1) Пуанкаре доказывает, что тонкая энтропия постоянна, а

Таким образом, суммарная работа положительна, но, как

затем (в п. 6) утверждает, что она возросла.

показывают вычисления Пуанкаре (п. 5 работы [2]), температу-

2. Цикл Пуанкаре зависит от начальной плотности распре-

ра газа (т. е. средняя кинетическая энергия частиц газа) уменьши-

деления бесстолкновительного газа в равновесном состоянии —

лась. Получаем противоречие со вторым началом термодинамики

от функции ρ, которая в свою очередь зависит лишь от квадра-

(с принципом Карно): часть внутренней энергии газа (теплоты)

та скорости v 2 . Изложенные в п. 1 рассуждения Пуанкаре можно

целиком перешла в работу. По мнению самого Пуанкаре, это про-

суммировать в виде следующего утверждения.

тиворечие лишь кажущееся, поскольку мы исходили из равновесного распределения, сильно отличающегося от максвелловского. Кроме того, после осуществления цикла Пуанкаре распределение частиц газа по скоростям уже не будет прежним. Добавим еще, 1

В теории динамических систем циклом Пуанкаре часто называют среднее

время возвращения.

Теорема 1.

Если ρ делится на v 2 , то в результате цикла

Пуанкаре 1) над телом C проделана положительная работа, 2) температура газа понизилась, 3) энтропия газа возросла.

130



131

Интересно отметить, что в первые моменты после наруше-

3. Проблему универсальности принципа Карно можно пред-

ния равновесия температура газа, наоборот, всегда повышается

ставить еще следующим образом: в результате осуществления

(теорема 2 из §9).

цикла Пуанкаре гравитирующее тело C вернулось в прежнее со-

В п. 8 своей статьи [2] Пуанкаре устанавливает следующий

стояние, а наш идеальный газ охладился. Однако имеется естественное возражение против такой интерпретации цикла Пуанка-

факт.

ре, поскольку в приведенном выше описании цикла имеется еще Теорема 2. Если ρ — плотность распределения Максвелла, то в результате цикла Пуанкаре

одно существо (или устройство), которое сначала резко приближает, а затем удаляет тело C. Это существо совершает работу, нагревается и его также следует учитывать при анализе принципа

1) над телом C проделана отрицательная работа,

Карно. Оказывается, можно видоизменить рассуждения Пуанкаре

2) температура газа повысилась,

и вообще обойтись без вмешательства дополнительного «суще3) энтропия газа возросла.

ства», организовав движение тела C по схеме, изображенной на рис. 8. С этой целью рассмотрим ограниченную модель цикла Пу-

Заключения теорем 1 и 2, конечно, вполне соответствуют

анкаре, когда масса газа много меньше массы тела C. Тогда влия-

первому началу термодинамики (закону сохранения полной энер-

нием газа на движение тела C можно пренебречь. Напомним, что

гии).

ограниченная задача трех тел — одна из популярных моделей в небесной механике. C

Тело C периодически (с очень большим периодом) движется по замкнутой траектории, совершая при этом большое число упругих ударов. Стенка B находится очень далеко от одномерного

A B

сосуда с газом (практически на бесконечном расстоянии). Тело C движется с большой скоростью и, подойдя к стенкам A, в течение

Рис. 8. Цикл Пуанкаре

очень длительного времени совершает колебательные движения между ними с малой амплитудой. Следовательно, в течение этого

132



133

времени тело C практически будет находиться в фиксированном

ноте и строгости формулировки принципа. Сам он в итоге прихо-

положении A.

дит к следующей форме второго начала.

После того как тело C совершит полный оборот и снова при-

«Представим себе систему, состоящую из n тел A1 , A2 , . . .,

дет в положение B, бесстолкновительный газ снова станет прак-

An , не подверженную внешним воздействиям. Состояние тел за-

тически однородным, однако его средняя кинетическая энергия

висит лишь от двух независимых переменных, температуры T и

(температура) уменьшится.

удельного объема V . Предположим, что температура T1 тела A1

Строго говоря, здесь пока нет нарушения второго закона тер-

выше температуры T2 тела A2 , и заставим систему совершить

модинамики, поскольку частицы газа получат новое стационар-

процесс, который приведет ее к следующему состоянию: все тела

ное распределение по скоростям, которое уже может допускать

системы, кроме A1 и A2 , находятся в своих начальных состоя-

«медленные» частицы. Другими словами, после цикла Пуанкаре

ниях, удельные объемы тел A1 и A2 сохраняют свои первона-

стационарная плотность уже не обязана делиться на квадрат ско-

чальные значения. В этих условиях невозможно, чтобы тело A1

рости. Поэтому температура газа не может постоянно уменьшать-

нагрелось, а тело A2 охладилось. Так должен формулироваться

ся в результате повторения цикла Пуанкаре. Начиная с некото-

принцип Клаузиуса, чтобы быть защищенным от любого возра-

рого момента она обязательно начнет возрастать. Сходная ситуа-

жения» [41] (п. 99).

ция уже обсуждалась нами в п. 1 §9. Отметим еще, что количе-

Вот как можно было бы «возразить» Пуанкаре, используя

ство циклов Пуанкаре с уменьшением температуры бесстолкно-

введенные выше необратимые циклы. Рассмотрим еще один ря-

вительного газа тем больше, чем длиннее окрестность нуля, в ко-

дом расположенный одномерный сосуд — единичный отрезок, за-

торой плотность ρ как функция от v 2 обращается в нуль. В точной

полненный бесстолкновительным газом, частицы которого рас-

формулировке второго начала термодинамики должно фигуриро-

пределены по скоростям в соответствии с законом Максвелла.

вать предположение о периодичности (цикличности) процесса.

В результате цикла Пуанкаре такой газ нагреется (теорема 2), а газ

Это условие является существенным и его, конечно, нельзя опус-

с «парадоксальными» свойствами (у которого плотность делится

кать.

на квадрат скорости), наоборот, охладится (теорема 1). Газ во вто-

Поучительный анализ принципа Карно–Клаузиуса содержит-

ром отрезке обозначим A1 , газ в первом отрезке обозначим A2 , а

ся в лекциях по термодинамике самого Пуанкаре [41] (гл. 7). Раз-

гравитирующая материальная точка — это тело A3 . Если в началь-

бирая имевшиеся «контрпримеры», Пуанкаре настаивает на пол-

ный момент средняя кинетическая энергия тела A1 больше сред-

134



ней энергии тела A2 , то получим противоречие с формулировкой

Здесь ρ− — плотность распределения частиц газа в начальный мо-

Пуанкаре принципа Карно–Клаузиуса. Перераспределение тепла

мент времени, а ρ+ — плотность равновесного распределения по-

между телами A1 и A2 происходит через участие в этом процессе

сле реализации цикла. Это — неотрицательные четные функции,

тела A3 (это отчетливо видно в случае, когда мы от ограниченной

причем ∞

постановки задачи перейдем к точной).

тельно, предположения о температурах и объемах тел A1 и A2 , очевидно, выполнены. Однако Пуанкаре говорит о том, что равновесные состояния тел Aj определяются только температурой и

∞

ρ (v)dv =

Разгадка этого «парадокса» (кроме общего замечания об условии цикличности процесса) состоит в следующем. Действи-

−

0

0

135

ρ+ (v)dv = 1 . 2

Полезно изучить свойства этого преобразования. Например, имеются ли конечномерные инвариантные подпространства у оператора K? В частности, есть ли инвариантные функции (Kρ = ρ)?

объемом. Изучение таких термодинамических систем было пред-

4. Теоремы 1 и 2 дали возможность Пуанкаре обосновать

метом классических работ Клаузиуса. Между тем в нашем при-

свой тезис о том, что законы термодинамики нуждаются в уточне-

мере равновесные состояния бесстолкновительного газа зависят

нии, когда речь идет о необратимых и неравновесных процессах.

от начальной плотности — четной неотрицательной функции от

Прежде чем говорить об изменении внутренней энергии системы

скорости. Соответствующее функциональное пространство бес-

и ее энтропии, надо дать возможность системе прийти в равно-

конечномерно. Таким образом, мы имеем бесконечномерную сово-

весное состояние. Если не дать время режиму установиться, то

купность внешних параметров, и поэтому условие Пуанкаре заве-

можно войти в противоречие с обычными представлениями тер-

домо не выполнено.

модинамики.

Кстати сказать, распределение Максвелла определяется един-

Вот как рассуждает Пуанкаре. Он рассматривает реальный,

ственным параметром — абсолютной температурой. После реали-

но разреженный газ в трехмерном сосуде, имеющем форму пря-

зации цикла Пуанкаре распределение Максвелла перейдет в рав-

моугольного параллелепипеда. Такой газ в течение длительного

новесное распределение другого вида.

промежутка времени ведет себя как «одномерный» газ. Предпо-

Вообще, с каждым циклом Пуанкаре естественным образом связано преобразование

ложим, что в начальный момент времени мы имеем «промежуточное» равновесное состояние, когда плотность распределения

−

+

K:ρ →ρ .

зависит только от квадрата скорости и когда нет медленных мо-

136


лекул. Начнем осуществлять цикл Пуанкаре. Придвинув грави-

§ 12. З АДАЧА О ПОРШНЕ

137

§ 12. Задача о поршне

тирующее тело, мы нарушили это «промежуточное» равновесие. По теореме 2 §9 в первые моменты средняя кинетическая энергия

1.

В этом параграфе мы обсудим знаменитую задачу о

(температура) газа будет расти. Однако при некоторых специаль-

поршне с точки зрения общей теории ансамблей Гиббса. Более

ных условиях (по теореме 1) может случиться так, что темпера-

точно, рассматривается эволюция динамической системы, состо-

тура разреженного газа окажется меньше его температуры в на-

ящей из идеального газа в цилиндрическом сосуде, разделенном

чальный момент времени. Если в этот момент резко удалить тело,

массивным подвижным поршнем. Особое внимание будет уделено

то кинетическая энергия газа (а значит, и его температура) не из-

асимптотическому поведению при t → ∞, когда система неогра-

менится. Через бесконечно большой промежуток времени после

ниченно приближается к состоянию статистического равновесия.

большого числа столкновений частиц газ достигнет своего окон-

Мы также рассмотрим родственную задачу о поршне в идеальном

чательного равновесия, когда его скорости будут распределены

газе, причем поршень прикреплен к концу упругой пружины.

по закону Максвелла. Однако температура газа в итоге понизится, а его энтропия, наоборот, увеличится.

Как показывает опыт, в конце концов поршень остановится, причем давление газа в обеих частях сосуда станет одинаковым.

Далее Пуанкаре говорит о том, что тем более можно ожидать

С точки зрения обычной механики этот факт выглядит удиви-

аналогичные эффекты в сильнонеравновесных ситуациях, когда

тельным. Если под газом понимать идеальную сплошную среду

на систему действуют большие зависящие от времени силы и мы

в духе полевого подхода Эйлера, то в рассматриваемой системе,

не даем режиму возможность достичь теплового равновесия.

очевидно, будут происходить незатухающие колебания. Если же

С другой стороны, если мы возмущаем окончательное рав-

газ моделировать большим (но конечным) числом упруго сталки-

новесие газа, когда его частицы распределены по нормальному

вающихся шариков, то такое финальное поведение противоречит,

закону, то (по неравенству (10.8)) его температура может только

например, теореме Пуанкаре о возвращении. Подчеркнем, что мы

возрастать, а энтропия не уменьшается. «И таким образом, можно

не принимаем в расчет трение между поршнем и цилиндром.

устранить одно из затруднений, которые еще имеются в кинетической теории газов» ( [2], п. 9).

Поэтому для объяснения и описания финального поведения обычно используют приближенные статистические модели, в которых необратимость заложена уже с самого начала. Например, в работах [42]– [44] используется кинетическое уравнение Больц-

138



мана, в [45]– [47] — вероятностные подходы (включающие, в част-

139

M

ности, случайные процессы). Хороший обзор работ по задаче о поршне можно найти в [48]. В них акцент делается на обсуждении более нетривиальной проблемы об асимптотическом вы-

m1

X

m2

равнивании температур слева и справа от подвижного поршня. Рис. 9. Задача о поршне

Поучительное обсуждение этой задачи на качественном уровне содержится в лекциях Р. Фейнмана [49].

массы M (рис. 9). Пусть X, X˙ — координата и скорость поршня.

Мы будем трактовать идеальный газ как бесстолкновитель-

Пусть m1 (m2 ) — масса газа слева (справа) от поршня, а ρ1 (v, x)

ную сплошную среду, эволюция которой описывается классиче-

(ρ2 (v, x)) — начальная плотность распределения частиц газа по

ским уравнением Лиувилля. Это предположение вполне отвечает

координатам x и скоростям v. Ясно, что функции ρ1 и ρ2 опреде-

общему статистическому подходу Гиббса, основанному на введе-

лены по x в интервалах [0, X] и [X, 1].

нии континуальных ансамблей невзаимодействующих механиче-

Пусть ρt1 (v, x), ρt2 (v, x) — плотности газа слева и справа от

ских систем. Оно позволит нам строго сформулировать и частич-

поршня в момент времени t. Они находятся как решения уравне-

но доказать результаты об асимптотическом поведении поршня

ний Лиувилля с начальными (при t = 0) условиями ρ1 и ρ2 . При

в идеальном газе [50]. Для простоты будем рассматривать одно-

этом надо, конечно, учитывать подвижность граничного условия

мерный газ, когда частицы движутся по прямой. Поскольку при

отражения частиц при x = X.

упругом ударе двух одинаковых частиц происходит простой обмен их скоростей, то одномерный газ можно представлять себе

Таким образом, эволюция плотности распределения описывается в нашей задаче следующим образом:

как сплошную среду, частицы которой постоянно упруго сталкиваются друг с другом. Эта среда — естественный предельный

1) пока нет ударов (то есть x − vt ∈ (0, X)), то

случай системы из очень большого числа маленьких одинаковых ρt1 (v, x) = ρ1 (v, x − vt);

шариков, которые упруго сталкиваются между собой и со стенками сосуда. 2. Итак, пусть одномерный идеальный газ заключен в сосуд в виде единичного отрезка 0 x 1 и разделен поршнем

2) если x−vt = 0, то v заменяется на −v, а x−vt надо заменить на x + vt;

140



3) если же x − vt = X, то v заменяется на −v + X˙ (упругий

141

M

удар частицы нулевой массы о движущуюся плиту), а x − vt ˙ причем скорость X˙ вычисляется заменяется на x−(−v+ X)t, в момент удара. Аналогично эволюционирует плотность распределения ρt2 (v, x).

X

Запишем дифференциально–интегральное уравнение, описывающее движение поршня:

Рис. 10. Поршень на пружине

∞ X˙ 2 t ˙ ρ1 (v, X) dv − 2m2 ˙ 2 ρt2 (v, X) dv. ¨ = 2m1 (v − X) (v − X) MX X˙

m

−∞

(12.1)

жения имеет вид X˙ ¨ + kX = −2m MX

˙ 2 ρt (v, X) dv. (v − X)

(12.2)

−∞

В этой формуле справа стоит разность давлений на поршень, дви˙ со стороны газа, расположенного по жущийся со скоростью X,

Справа стоит давление со стороны газа на поршень в момент вре-

обе стороны от поршня. Сама формула для давления идеально-

мени t, ρt (v, x) (X x 1, −∞ < v < +∞) — плотность рас-

го газа на стенку является вполне классической; ее вывод можно

пределения частиц газа, m — масса бесстолкновительного газа,

найти, например, в [6] (гл. I). Таким образом, уравнение (12.1),

а k — коэффициент упругости пружины. Плотность ρt находится

дополненное уравнениями для ρt1 и ρt2 , полностью описывает эво-

из уравнения Лиувилля для биллиарда с подвижной левой грани-

люцию рассматриваемой системы.

цей (как в п. 2). В качестве начальной плотности следует брать

Схожее с (12.1) уравнение имеется в [48]. Его эвристический вывод использует цепочку уравнений Боголюбова. Подчеркнем,

такую, чтобы сходился интеграл 1 ∞

что в рамках рассматриваемой модели (12.1) является строгим уравнением.

v 2 ρ dv dx.

X(0) −∞

3. Рассмотрим сначала похожую, но более простую задачу о

Если мы умножим его на m , то получим кинетическую энергию

поршне, прикрепленном к упругой пружине. Его уравнение дви-

идеального газа. Сумма полной механической энергии поршня и

2

142



кинетической энергии газа не меняется со временем. Это обстоя-

поршня. Здесь M = 1, m = 1, k = 1,

тельство полезно использовать для контроля точности численных

− ρ (v, x) = √1 e 2π 0

расчетов. Стационарные состояния (неподвижные точки) системы определяются следующим образом:

0

v 2 ρ¯(v) dv = const.

v2 2 ,

˙ X(0) = X(0) = 0.

X 0

ρ(v, X) = ρ¯(v) − произвольная четная по v функция, X = = − 2m k

143

(12.3)

−∞

Как показывают численные расчеты (выполненные А. А. Кили-

-0.42

ным), при t → ∞ система асимптотически приближается к некоторому стационарному состоянию вида (12.3). Другими словами, система (бесстолкновительный газ с поршнем на пружине) стремится к статистическому равновесию, причем 1) X(t) → = const,

˙ X(t) → 0,

-0.85 0

1500

t

Рис. 11. Фазовая траектория поршня на пружине

2) плотность ρt слабо сходится к нестационарной плотности ρ¯, четной по скорости. Напомним, что для биллиардов с неподвижными границами слабый предел плотности распределения всегда существует и яв-

Предельная величина растяжения пружины (12.3) может быть представлена следующим образом: =−

2E+ , k+

ляется первым интегралом уравнения движения. Было бы жела-

где E+ — энергия газа в предельном состоянии, + = 1− — рас-

тельным дать строгое доказательство этих двух свойств.

стояние от поршня до неподвижной стенки сосуда (это «объем»

На рис. 11 показан характерный вид фазовой траектории

сосуда в равновесном состоянии).

144



Полагая X = + ξ, линеаризуем уравнение (12.2): M ξ¨ + κ ξ˙ + kξ = 0,

145

увеличением температуры газа в равновесном предельном состоянии. (12.4)

Конечно, предельное распределение ρ¯ вовсе не обязано быть максвелловским. Однако усреднение с произвольной четной по

где

0 κ = −4m

скорости плотностью ρ¯ приводит к обычным уравнениям состояv ρ¯(v) dv > 0,

ния для идеального газа (см. [6], [11]).

−∞

. X

поскольку ρ¯ — четная неотрицательная функция с положительным интегралом по вещественной прямой. Уравнение (12.4) описыва-

0.45

ет малые затухающие колебания с коэффициентом вязкого трения κ. Таким образом, мы получаем интересный эффект. Изначально (на уровне микроописания) в рассматриваемой системе никаX

кого трения нет. Однако после усреднения влияние бесстолкнови-

0

-0.8

тельного газа сводится к появлению вязкости. Положим, например, −

v2 2σ2

-0.56

. ρ¯(v) = e √ + 2πσ Это означает, что в состоянии статистического равновесия части-

Рис. 12. Фазовая траектория поршня

цы газа распределены в соответствии с законом Максвелла (σ 2 = = kT ). Тогда κ = √4mσ . 2π+

4.

Численные расчеты показывают, что при t → ∞ газ в

Поскольку дисперсия распределения Максвелла пропорциональ-

цилиндре с подвижным поршнем также стремится к статистиче¯ = const, X(t) ˙ ски равновесному состоянию: X(t) → X → 0, а

на абсолютной температуре, то коэффициент трения возрастает с

плотности ρt1 , ρt2 слабо сходятся к функциям ρ¯1 , ρ¯2 , зависящим

146



лишь от квадрата скорости частицы v 2 . На рис. 12 показан характерный вид фазовой траектории поршня для этого случая. Здесь

При условии (12.5) и малых значениях скорости X˙ уравнение (12.1) можно линеаризовать:

M = 1, m1 = 1, m2 = 2,

X(0) = 0.5,

¨ + κ X˙ = 0, MX

v2

−

ρ01 = ρ02 = e√

2

2π

,

∞

m1 −∞

0 v ρ¯1 (v) dv − 4m2

κ = 4m1

˙ X(0) = 0.

0

их слабыми пределами, получаем ∞

(12.7)

где

Полагая в уравнении (12.1) X˙ = 0 и заменяя плотности ρt1 , ρt2

147

v ρ¯2 (v) dv > 0

−∞

— эффективный коэффициент вязкого трения. Из (12.7) видно, что скорость поршня убывает экспоненциально быстро и поршень

v 2 ρ¯1 dv = m2

∞

до своей полной остановки проходит конечный путь. Интересv 2 ρ¯2 dv.

(12.5)

−∞

но отметить, что в ящике с неподвижными стенками плотность бесстолкновительной среды выравнивается с еще большей скоро-

¯ делит отрезок [0, 1] с одномерным Таким образом, точка x = X

стью (см. § 7).

газом на две половинки с равными давлениями. Этот факт стано-

Особый интерес представляет случай, когда m1 = 0 или

вится еще более ясным, если равенство (12.5) переписать в экви-

m2 = 0: весь газ находится справа или слева от поршня. Может

валентной форме

показаться, что тогда поршень будет совершать незатухающие коE E1 = 2, l1 l2

(12.6)

лебания, упруго ударяясь о боковую стенку цилиндрического сосуда. Однако и в этом случае колебания поршня будут затухаю-

где Ej (j = 1, 2) — средние кинетические энергии газов слева и

щими и при t → ∞ поршень остановится, прижавшись к одной

справа от поршня, а lj (j = 1, 2) — их «объемы» — расстояния от

из стенок сосуда. В полном объеме это утверждение пока стро-

поршня до концов отрезка. Внутренние энергии пропорциональны абсолютным температурам. Соотношение (12.6) означает ра-

го не доказано. Однако оно становится почти очевидным, если предположить, что X˙ мало, и заменить плотность ρt ее слабым

венство давлений слева и справа от поршня. Но из этого подхода

пределом ρ¯. В этом случае задача сводится к изучению подскоков

никак нельзя вывести равенство температур.

тяжелого шарика в вязкой среде, упруго ударяющегося о непо-

148



движную горизонтальную плиту. Ясно, что со временем высота подскоков и скорость шарика убывают до нуля. 5. Имеется важный частный случай, когда задача о поршне допускает строгое аналитическое исследование. Это — квазиравновесные адиабатические изменения бесстолкновительного газа, которые рассматривались в §8. Если поршень движется медленно, то слева и справа от него бесстолкновительный газ успевает прийти в равновесное состояние. Пусть ρ1 и ρ2 — начальные плотности распределения газа в

где

∞ 2X 2 v 2 ˙ ρ1 dv− Φ = 2m1 (v − X) X02 X˙

X˙ 2 (1 − X)2 v ˙ 2 ρ2 (v − X) dv. (12.11) − 2m2 (1 − X0 )2 −∞

Таким образом, в отличие от исходного уравнения (12.1), (12.11) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Его можно исследовать известными методами. Ясно, что

одномерном сосуде слева и справа от поршня; это — неотрица-

˙ = ϕ(X) + ψ(X, X), ˙ Φ(X, X)

тельные функции от квадрата скорости, причем ∞ −∞

ρ1 dv = 1 , X0

∞ ρ2 dv = −∞

1 , 1 − X0

где ϕ(X) = Φ(X, 0), а ψ(X, 0) = 0. Оказывается, (12.8)

(i) ϕ(X) → +∞

при X → 0, ϕ(X) → −∞ при X → 1,

(ii) ϕ имеет единственный нуль в интервале (0, 1),

где X0 — расстояние поршня до левого конца отрезка при t = 0.

˙ ˙ < 0 при X˙ = 0. (iii) Xψ(X, X)

В соответствии с теоремой 1 §8, в квазиравновесном случае плотности ρ1 и ρ2 следует заменить функциями

2 (1 − X)2 2 2 v и ρ2 ρ1 v X2 X0 (1 − X0 )2

Действительно, согласно (12.11), ϕ(X) =

(12.9)

µ1 µ2 − , 3 X (1 − X)3

где

соответственно. При этом соотношения (12.8) останутся в силе, только X0 надо заменить текущей координатой X. Тогда уравнение движения поршня (12.1) принимает вид

µ1 =

2m1 X03

∞

ω 2 ρ1 (ω 2 ) dω > 0,

0 3

¨ = Φ(X, X), ˙ MX

149

(12.10)

∞

µ2 = 2m2 (1 − X0 )

0

ω 2 ρ2 (ω 2 ) dω > 0.

(12.12)

150



Из (12.12) сразу вытекает заключение (i). Следовательно, функ-

¯ Поэтому равенство ϕ(X) = 0 совпадает с надо положить X = X.

ция ϕ обязательно имеет нуль в интервале (0, 1). Так как

соотношением (12.5), которое определяет равновесное состояние

µ1 µ2 ϕ =− 4 − 0) при X˙ > 0(< 0). Поскольку ψ(X, 0) = 0, то ψ(X, X)

где

(12.14)

X V (X) = −

Отсюда вытекает заключение (iii).

ϕ(ξ) dξ ¯ X

Для доказательства (12.13) вычислим по известным прави-

¯— — «потенциальная энергия» системы. Ясно, что точка X(t) = X

лам производную ∂Φ = 4m 1 ∂ X˙

151

∞ 2X 2 v (X˙ − v)ρ1 dv− X02

X˙

−∞

что

X˙ − 4m2

строгий минимум функции V . Из (12.14) и свойства (iii) вытекает,

(X˙ − v)ρ2

v 2 (1 − X)2 (1 − X0

)2

dv.

Первый

(второй) интеграл справа отрицателен (положителен), поскольку X˙ − v < 0 (X˙ − v > 0) для почти всех v. Что и требовалось.

"

#· M X˙ 2 + V (X) = Xψ(X, ˙ ˙ 0, µ2 > 0) потенциальная

(0, 1) есть положение поршня в состоянии равновесия. Действи-

энергия V стремится к +∞ при X → 0 и X → 1. Следовательно,

тельно, слабые пределы плотностей ρt1 и ρt2 при t → ∞ в ква-

ввиду (12.15), поршень никогда не коснется стенок сосуда. На-

зиравновесном случае совпадают с функциями (12.9), в которых

оборот, если m1 = 0, а m2 = 0, то поршень бесконечно много

152


раз ударится о правую стенку и будет асимптотически к ней при-

§ 13. Т ЕРМОДИНАМИКА БИЛЛИАРДОВ И ГАЗ Б ОЛЬЦМАНА –Г ИББСА 153

§ 13. Термодинамика биллиардов и газ

ближаться, теряя свою скорость. При этом предполагается, что

Больцмана–Гиббса

соударения поршня со стенкой абсолютно упругие. Аналогично решается задача о газе с поршнем на пружине

1. Вначале напомним классические идеи Гиббса, связанные

в квазистатическом приближении. С качественной точки зрения

с термодинамизацией гамильтоновых систем ( [6], гл. I). Пусть

картина движения поршня та же, что и описанная выше в п. 3.

x = (x1 , . . . , xn ) — обобщенные координаты, y = (y1 , . . . , yn ) — сопряженные канонические импульсы гамильтоновой динамической системы с n степенями свободы и стационарным гамильтонианом H(x, y, λ), где λ = (λ1 , . . . , λm ) — некоторые параметры. Рассмотрим каноническое по Гиббсу распределение вероятностей с плотностью

−βH , ρ= e Z

где

Z=

(13.1)

e−βH dn x dn y Γ

(13.2)

— статистический интеграл, β −1 = kT (k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура). Имея инвариантную меру с плотностью (13.1), можно ввести среднюю внутреннюю энергию Hρ dn x dn y E(β, λ) = Γ

(13.3)

и также усреднить обобщенные силы (реакции связей λ = const), отвечающие параметрам λ: Λi = − ∂H ρ dn x dn y, ∂λi Γ

1 i m.

(13.4)

154


§ 13. Т ЕРМОДИНАМИКА БИЛЛИАРДОВ

Соотношения Λi = fi (β, λ) будем рассматривать как уравнения состояния термодинамической системы с внешними парамет-

2. Следуя [52] и [53], распространим результаты Гиббса на распределения вероятностей более общего вида:

рами λ, внутренней энергией E и обобщенными силами Λ. Как ρ=

показал Гиббс, 1-форма притока тепла ω = dE +

m

Λi dλi

(13.5)

155

f (βH) . f (βH) dn x dn y

(13.8)

Здесь f (·) — гладкая функция одного переменного и снова β = = (kT )−1 . При f (z) = e−z получаем распределение Гиббса.

1

Вычислим среднюю энергию E и обобщенные силы Λi по

удовлетворяет аксиомам термодинамики:

формулам (13.3) и (13.4), где плотность ρ определяется (13.8). • ω замкнута при фиксированном значении β (I- ое начало),


• 1- форма βω также замкнута (II- ое начало). Таким образом, по Гиббсу, каждой гамильтоновой системе (конечно, при условии, что интегралы (13.3) и (13.4) сходятся и гладко зависят от λ и β) можно сопоставить некоторую термодинамическую систему. Несложно показать, что соотношения (13.3) и (13.4) можно представить в следующем виде: E = − ∂Φ , ∂β

Λi = 1 ∂Φ , β ∂λi

После этого можно составить форму притока тепла (13.5).

(13.6)

где Φ = ln Z. Ясно, что βω = dS, где энтропия вычисляется по

Форма ω удовлетворяет I-му началу тер-

модинамики тогда и только тогда, когда ∂H f dµ ∂H f dµ ∂H f dµ ∂H f dµ = ∂λi ∂λj ∂λj ∂λi

(13.9)

для всех 1 i, j m, dµ = dn x dn y, а II- му началу, когда дополнительно ∂H ∂H f dµ = f dµ Hf dµ Hf dµ ∂λi ∂λj

(13.10)

для всех 1 i m. Если термодинамическая система имеет одну степень свободы (m = 1), то надо проверять только одно условие (13.10). Для

формуле S = Φ − β ∂Φ . ∂β

(13.7)

функции f (z) = e−z условия (13.9) и (13.10), очевидно, выполнены.

156



Соотношения (13.9) и (13.10) можно представить в следующем виде:

157

3. Применим эти общие соображения к биллиарду в искривленном пространстве. Пусть M — компактное конфигурационное

Λi ∂F = Λj ∂F , ∂λj ∂λi

1 i, j m,

пространство (с краем) натуральной механической системы с n степенями свободы. Будем рассматривать движение по инерции.

E ∂F = −Λ ∂F , i β ∂λj ∂β где

(13.11)

1 i m,

(13.12)

Так что гамильтониан будет положительно определенной квадратичной формой относительно импульсов:

n

n ai, j (x)yi yj . H=1 2

n

f (βH) d x d y.

F (β, λ) =

(13.14)

i, j=1

Γ

По аналогии с распределением Гиббса функцию F назовем обоб-

Если матрицу коэффициентов ai, j кратко обозначить A, то H =

щенным статистическим интегралом.

=

Из (13.11) и (13.12) вытекает существование функции κ от

Обобщенный статистический интеграл нетрудно выразить через температуру и единственный внешний термодинамический

переменных β, λ1 , . . . , λm такой, что Λi = − κ ∂F , β ∂λi

(Ay, y) . 2

параметр — риманов объем многообразия M . Для этого сделаем

E = κ ∂F . ∂β

(13.13)

линейную замену переменных y → p по формуле y = C(x)p,

Аксиомы термодинамики накладывают ограничение на вид функции κ: d(βω) = −dκ ∧ dF = 0. Следовательно, функции κ и F зависимы. Поэтому мы можем записать, что κ = κ(F ) (по крайней мере локально). Пусть Φ — первообразная функции κ(·) :

Φ

= κ. Тогда со-

отношения (13.13) принимают более простой вид (13.6). В этом случае 1-форма βω есть полный дифференциал dS, причем обобщенная энтропия S определяется формулой (13.7).

причем C T AC — единичная n × n-матрица. Тогда 1 β − p2i (det A) 2 dn x dn y = f (βH) dn x dn y = f F = 2 Rn M

M Rn

= √bV n , ( β) где

V = M

1

(det A−1 ) 2 dn x

158



— объем M относительно римановой метрики (13.14), n 2 b = 2π Γ n

2

∞ r

n−1

f

0

r2 2

теореме 1, если гамильтониан — однородная форма по импульсам,

то величины, вычисленные по обычным правилам статистической dr = const,

механики с использованием плотности (13.8), удовлетворяют первому и второму началу термодинамики.

Γ — гамма-функция Эйлера.

Первообразная функции (13.15) равна

Вычислим теперь среднюю кинетическую энергию:

β 1 1 (Ay, y)f (Ay, y) dn x dn y = E= 2 2 F Rn M

=1 F

Rn M

1 p2 f j 2

Φ = − 2a ln F. bn Для канонического распределения Гиббса 2a = bn, в чем нетруд-

1 β 2 − pj (det A) 2 dn x dn y = 2

n

a=

но убедиться интегрированием по частям. Используя (13.7), теперь можно подсчитать обобщенную энтропию:

=a, βb где

159

π 2

Γ n 2

∞ r 0

n+1

f

r2 2

S = a + 2a ln F = const + 2a (ln V + n ln T ). 2 b bn bn

(13.16)

Обычно энтропия идеального газа, заключенного в трехмер-

dr = const.

ный сосуд Π объемом W , дается следующей формулой:

Интересно отметить, что внутренняя энергия бесстолкновительной среды не зависит от объема, что отвечает закону Джоуля для

N ln W + 3N ln T + const, 2

(13.17)

где N — число частиц газа (иногда это выражение еще умножается

идеального газа. Подсчитаем теперь функцию Φ. Для этого надо сначала за-

на постоянную Больцмана k, но мы этого не делаем). Чтобы со-

писать в явном виде второе соотношение (13.13), из которого на-

поставить формулы (13.16) и (13.17), рассмотрим газ Больцмана–

ходится коэффициент κ. В рассматриваемом случае

Гиббса, состоящий из N маленьких одинаковых шариков, кото-

κ = − 2a 1 . bn F

(13.15)

рые движутся в сосуде Π, упруго сталкиваясь друг с другом и со стенками сосуда. Тогда, очевидно, n = 3N , а наш объем V будет

Согласно общей теории, этот коэффициент должен быть функ-

приближенно равен W N (поскольку в случае невзаимодействую-

цией обобщенного статистического интеграла. Действительно, по

щих шариков конфигурационное пространство M системы будет

160



прямым произведением N экземпляров Π). После этих замечаний

Это — уравнение состояния рассматриваемой системы в стати-

формулы (13.16) и (13.17) становятся идентичными с точностью

стическом равновесии. По форме оно совпадает с классическим

до малосущественного постоянного множителя 2a , который завиbn

уравнением Клапейрона. Если f (z) = e−z , то 2a = bn и (13.21)

сит от вида функции f и числа степеней свободы системы.

в точности соответствует уравнению Клапейрона для одного моля

С другой стороны, в статистической механике энтропия определяется интегралом

S=−

идеального газа. Переменная P имеет смысл давления. Снова рассмотрим газ Больцмана–Гиббса из N маленьких

n

n

ρ ln ρ d x d y.

(13.18)

Γ

В случае канонического распределения этот интеграл совпадает с термодинамической энтропией. Для более общих распределений вида (13.8) этот замечательный результат Гиббса, конечно, не справедлив. Однако гиббсовская энтропия (13.18) имеет вид γ + ln F, (13.19) b где n ∞

2 2 2 r 2π n−1 ln f r dr = const. f γ=− r 2 2 Γ n 0 2

Видно, что для газа Больцмана–Гиббса формулы (13.17) и (13.19) совпадают с точностью до несущественной аддитивной константы. Согласно (13.6), термодинамическая переменная P , сопря-

шариков в трехмерном сосуде с объемом W . Тогда n = 3N и можно считать, что V = W N . Если подставить это выражение в формулу (13.21), то получим уравнение, отличающееся от уравнения Клапейрона. Однако здесь нет никакого противоречия, поскольку переменная P имеет смысл давления 3N -мерного «газа». Давление p обычного газа как термодинамическая величина, сопряженная объему сосуда W , определяется уравнением (13.20), но только Φ следует прежде представить как функцию от T и W : p = − 1 ∂Φ = − 1 ∂Φ ∂V = 2a kT . β ∂W β ∂V ∂W 3b W Для распределения Максвелла (когда f (z) = e−z ) 2a = N и мы 3b

получаем классические соотношения идеального газа: pW = N kT. E = 3 N kT, 2

(13.22)

Конечно, для немаксвелловских распределений отношение 2a , 3b

вообще говоря, отличается от N . Однако для широкого класса

женная объему V , определятся равенством

Следовательно:

161

P = − 1 ∂Φ . β ∂V

(13.20)

P = 2a kT . nb V

(13.21)

распределений при больших значениях N это отношение приближенно совпадает с N : 2a(N ) = 1. N →∞ 3N b(N ) lim

(13.23)

162



Например, сюда относятся распределения с плотностями

f

r2 2

−

= g(r)e

переходит в классическую формулу (13.17) для одноатомного идеального газа. Кроме того, с точностью до аддитивной постоян-

r2 2 ,

(13.24)

где g — любой неотрицательный многочлен от r. Действительно: ∞

−

r n+α+1 e

r2 2

dr =

0

1 n+α

∞

163

−

r n+α+1 e

r2 2

dr.

0

ной статистическая энтропия (13.18) при N → ∞ будет совпадать с термодинамической энтропией (13.17). Эти наблюдения можно соединить с идеей слабого предела вероятностных распределений и знаменитой (и очень правдоподобной) гипотезой об эргодическом поведении газа Больцмана– Гиббса в прямоугольном ящике. В итоге мы построим полную

Поскольку n → 1, n+α

неравновесную теорию идеального одноатомного газа в рамках

n→∞

общей теории ансамблей Гиббса. Действительно, слабый предел

при фиксированном значении α, то отсюда вытекает предельное

при t → ±∞ решения уравнения Лиувилля для газа Больцмана–

соотношение (13.23). Напомним, что функции вида (13.24) на-

Гиббса с любым начальным условием будет функцией вида (13.8).

зываются частичными суммами ряда Грама–Шарлье, которыми

Параметр β (размерность которого обратна размерности энергии)

обычно аппроксимируют плотности распределений произвольных

автоматически появляется для обезразмеривания аргумента функ-

случайных величин. В нашем случае возможность такой аппрок-

ции f . В отличие от подхода Больцмана здесь не используются

симации подтверждается известным наблюдением (восходящим

никакие дополнительные предположения (вроде условия о стати-

еще к Больцману), что в большей части пространства большой

стической независимости парных столкновений). Существенное

размерности любое распределение близко к нормальному (стро-

отличие от подхода Больцмана состоит в том, что у нас газ до-

гие формулировки и обсуждение см., например, в [54]). Поскольку

стигает статистического (теплового) равновесия как при t → +

обычно N чрезвычайно велико (порядка

1023 )

и точно не извест-

но, то вместо соотношений E = a kT b

+∞, так и при t → −∞, причем эти равновесия тождественны. Последнее обстоятельство полностью соответствует свойству об-

и

pW = 2a kT 3b

ратимости уравнений движения. Имеется еще одно существенное отличие развиваемого здесь

мы вполне можем использовать классические соотношения (13.22).

подхода от известного метода Н. Н. Боголюбова (цепочки урав-

Отметим еще, что в силу соотношения (13.23) формула (13.16)

нений Б–Б–З–К–И), который в свою очередь является развитием

164



и обобщением метода Больцмана. Дело в том, что с точки зре-

леньких одинаковых шариков в прямоугольном параллелепипеде;

ния теории ансамблей Гиббса распределение (13.8), конечно, есть

xj обозначает набор координат и скоростей j-го шарика. Функ-

стационарное распределение: оно удовлетворяет уравнению Ли-

ция (13.25) удовлетворяет уравнению Лиувилля с начальными

увилля и не меняется со временем. Однако в теории Боголюбова

данными ρN (x, 0) при t = 0. Согласно Н. Н. Боголюбову, полез-

картина другая: распределение (13.8) в общем случае уже не бу-

но ввести s-частичные функции распределения ρs (x1 , . . . , xs , t),

дет стационарным. Это обстоятельство представляется несколь-

усредняя плотность (13.25) по xs+1 , . . . , xN . Особый интерес, ко-

ко парадоксальным, поскольку исходным пунктом теории цепо-

нечно, представляет первая функция распределения (когда s =

чек Боголюбова также служит уравнение Лиувилля. Однако при

= 1), для которой (при некоторых дополнительных содержатель-

замыкании цепочки зацепляющихся уравнений Боголюбова дела-

ных предположениях) Боголюбов получил уравнение больцма-

ются дополнительные содержательные предположения (вроде ги-

новского типа. Из этого уравнения выводятся два важных след-

потезы о молекулярном хаосе в прошлом и гипотезы о кинети-

ствия:

ческой стадии неравновесного процесса), которые позволяют в ной функции распределения, определяющей, в частности, направ-

• больцмановская энтропия − ρ1 ln ρ1 d6 x1

ление эволюции. При неограниченном возрастании времени это

монотонно возрастает со временем,

итоге получить уравнение больцмановского типа для одночастич-

165

(13.26)

распределение стремится к распределению Максвелла. 4. Наш путь к нормальному распределению иной: при усло-

• при t → +∞ распределение ρ1 стремится к распределению Максвелла.

вии эргодичности слабый предел плотности распределения зависит только от энергии и при неограниченном увеличении числа

Однако если не принимать дополнительных предположений,

степеней свободы одночастичная функция распределения будет

то будем иметь другую картину. Пусть ρ¯ — слабый предел функции

стремиться к плотности распределения Максвелла.

(13.25) при t → ±∞. Это функция от x1 , . . . , xN из L1 (если,

Обсудим этот вопрос более подробно, следуя [53]. Пусть ρN (x1 , . . . , xN , t)

(13.25)

— плотность распределения газа Больцмана–Гиббса из N ма-

конечно, ρN ∈ L1 при t = 0). Положим ρ¯k (x1 , . . . , xk ) = ρ¯(x1 , . . . , xN ) d6 xk+1 . . . d6 xN . Справедлива совсем простая

166


Теорема 2.

Функция ρk (x1 , . . . , xk , t) слабо сходится к ρ¯k

при t → ±∞.


167

(см. (13.8)). Здесь m —масса каждого шарика, vj2 — квадрат скорости j-го шарика, V —объем 3N -мерного конфигурацион-

В качестве пробных функций здесь следует брать существенно ограниченные функции, зависящие только от x1 , . . . , xk . Теорема 3. 6 6 − ρk ln ρk d x1 . . . d xk − ρ¯k ln ρ¯k d6 x1 . . . d6 xk

ного пространства газа Больцмана–Гиббса. Усредняя (13.27) по v2 , . . . , vN , получим формулу для первой функции распределения в состоянии статистического равновесия:

ρ¯1 (u) =

при всех значениях t.

R

f

3N−3

f

R3N

Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства Йенсена. В частности, больцмановская энтропия (13.26) не превосходит

−

1 (u2 + v 2 + . . . + v 2 ) 2 N 2κ

1 (v 2 + v 2 + . . . + v 2 ) 2 N 2κ 1

d3 v2 . . . d3 vN

d3 v1 . . . d3 vN

,

(13.28) β где κ = m , u ∈ R3 .

Покажем теперь, что при некоторых дополнительных предположениях на функцию f (аналитического, а не статистическо-

ρ¯1 ln ρ¯1 d6 x1 .

го характера) предельная одночастичная функция распределения ρ¯1 стремится к распределению Максвелла при N → ∞. Таким

Эти наблюдения, конечно, носят более общий характер и справед-

образом, для почти всех начальных плотностей ρN |t=0 в состоя-

ливы при условии существования слабого предела (в том числе и

нии теплового равновесия частицы газа Больцмана–Гиббса будут

по Чезаро) плотности распределения (13.25) как функции време-

распределены по скоростям практически по нормальному закону

ни. В нашем случае наличие слабого предела вытекает из общих

(если, конечно, N велико).

результатов, изложенных в §1. С учетом эргодической гипотезы для газа Больцмана–Гиббса, плотность ρ¯N есть суммируемая функция от полной энергии:

βm 2 2 f (v1 + . . . + vN ) 2 (13.27) ρ¯N = V f d3 v1 . . . d3 vN R3N

Чтобы получить предельное распределение при N → ∞, положим 3N = m + 2 и преобразуем (13.28):

2 ∞ u1 + u22 + u23 + r2 Γ 1+ m r m−2 f dr ρ¯1 (u) =

2

3 π2Γ 1

0

m−3 + 2

2κ

∞ 0

r m+1 f

r2 2κ

.

dr

(13.29)

168



Здесь (u1 , u2 , u3 ) = u. В действительности эта плотность

Тогда

зависит лишь от величины скорости |u|. Следовательно, ее k-й момент

x2

− (13.32) 2πx ρˆ1 (x) = √ 1 x2 e 2σ2 2πσ 3 будет распределением Максвелла по величинам скоростей. Наша 2

ρ¯1 (|u|)|u|k du1 du2 du3

цель — показать, что при m → ∞ распределение (13.31) стремит-

R3

ся к распределению Максвелла (13.32).

равен

∞

k+2

ρ¯1 (x)x

4π

169

0

dx =

2Γ 1 + m Γ 2

k+3 2

∞

√ k+m πΓ 1 + 2

0 ∞ 0

ξ m+k+1 f

ξ m+1 f

2

ξ 2κ

ξ2 2κ

Теорема 4. Если dξ

dξ (13.30)

При выводе этого соотношения использовалась формула (13.29) и элементарные свойства гамма-функции. Удобно считать, что переменная x принимает все вещественные значения. Поэтому функцию ρ¯1 естественно продолжить до четной функции на R = {x}. Чтобы упростить запись формул, положим κ = 1 (или заменим функцию f (z) на f (κz)). ностью x ∈ R.

−

1 e √ ( 2πσ)3

u21 +u22 +u23 2σ2

.

∞

(b) lim

m→∞ −∞

2πx4 ρ¯1 (x) dx = 3c > 0,

то для любого вещественного α α α x2 − 2 1 2 2 2πx ρ¯1 (x) dx = x e 2σ dx, lim √ m→∞ 2πσ 3 −∞

(13.33)

−∞

где σ 2 = c. Условие (a) необходимо для существования интегралов в денности предельного распределения. Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО .

(13.31)

Пусть ρˆ1 — плотность нормального распределения в трехмерном евклидовом пространстве с дисперсией σ 2 :

(a) функция f имеет конечные моменты всех порядков,

формулах (13.29) и (13.30), а условие (b) есть условие невырож-

При k = 0 получим вероятностную меру на прямой с плот2πx2 ρ¯1 (x),

.

Теорема 4 доказывается старомодным методом моментов. Из формулы (13.30) при k = 2 и условия (b) получаем соотношение

2 ∞ m+3 ξ ξ f dξ 2 0 1 = c. (13.34) lim

2 ∞ m→∞ m + 2 ξ m+1 ξ f dξ 0

2

170


§ 14. С ТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕРМОСТАТА

§ 14. Статистические модели термостата

Теперь вычислим предел четвертого момента (k = 4):

2

2 ∞ m+3 ∞ m+5 ξ ξ m 7 ξ f ξ f dξ dξ 2Γ 1 + Γ lim

m→∞

2

2

√ πΓ 3 + m 2

0 ∞

ξ m+3 f

0

2

ξ2 2

dξ

0 ∞ 0

ξ m+1 f

2Γ 1 + m Γ 7 (m + 4)(m + 2)c2 2 2 = 1 · 3 · 5c2 . lim √ m→∞ m πΓ 3 +

2

ξ2 2

1. =

dξ

Первый пример статистической модели термостата (те-

ла бесконечной теплоемкости) был предложен впервые, повидимому, Н. Н. Боголюбовым ( [56], гл. IV). Система S представляет собой обычный гармонический осциллятор с гамильтонианом HS = 1 (p2 + ω 2 q 2 ), 2

2

Здесь дважды использовалась формула (13.34) и функциональное уравнение гамма– функции Эйлера.

а термостат Σ моделируется системой большого числа N невзаимодействующих гармонических осцилляторов с гамильтонианом

Аналогично доказывается, что для k = 2n предел (13.30) при

N

(p2j + ωj2 qj2 ). HΣ = 1 2

m → ∞ равен (2n + 1)!! cn .

(13.35)

Все моменты нечетного порядка, очевидно, равны нулю.

−∞

j=1

Гамильтониан взаимодействия выбирается в виде квадратичной

С другой стороны, дисперсия распределения (13.32) равна ∞

формы

x2

x4 e− 2σ2 dx = 3σ 2 . √ 2πσ 3

HSΣ = ε

N

αj qj q,

j=1

где αj = const, ε — малый параметр. Если αj < 0, то при малых

Более общо, момент 2n-ого порядка равен (2n + 1)!! σ 2n .

171

ε > 0 возмущение HSΣ можно представить в более привычном (13.36)

виде потенциальной энергии взаимодействующих осцилляторов

= σ 2 . Следовательно, по известной теореме моментов Чебышева–

ε |α |(q − q)2 , j j 2

Маркова (см., например, [55]), имеем искомое предельное равен-

однако при этом частоты ω и ωj изменяются на малую (вместе

ство (13.33).

с ε) величину.

Формулы (13.35) и (13.36) совпадают, если положить c =

172


Предполагается, что в начальный момент времени состояние


173

вычный «натуральный» вид H = T + εV , где

осциллятора с гамильтонианом HS фиксировано, а осцилляторы

n p2j 1 T = 2 2mj

из «большой» системы Σ распределены по закону Гиббса с одной

j=1

и той же температурой T . В [56] показано, что при некоторых достаточно общих условиях при N → ∞ и малых ε система S с

— кинетическая энергия (m1 , . . . , mn — массы частиц), V — по-

течением времени неограниченно приближается к равновесному

тенциальная энергия (зависящая от координат q1 , . . . , qn ), ε — ма-

статистическому состоянию с той же температурой T .

лый параметр. Существенное предположение состоит в том, что

Имеется значительное число работ, в которых исследуются динамические модели термостата (гауссовские термостаты, термостат Ноз´е–Гувера и др.). Ссылки на оригинальные работы и обсуждение можно найти в обзорной работе [14]. В этих моделях в уравнения движения вводятся дополнительные негамильтоно-

эта гамильтонова система эргодична на энергетических поверхностях {H = const}. Тогда любая плотность распределения вероятностей ρt стремится при t → ±∞ по Чезаро к плотности ρ¯, которая будет функцией от энергии. Поэтому естественно предположить, что

вы или диссипативные слагаемые, которые должны обеспечивать

ρ¯ =

стремление плотности распределения (или же полной энергии си-

Γ

стемы) к каноническому распределению Гиббса (к фиксированному значению). Поскольку эти модели феноменологические, а не статистические, то они здесь не обсуждаются.

f (βH) , f (βH) dµ

(14.1)

где f — измеримая функция, β — постоянный множитель, размерность которого обратна размерности энергии, dµ = dn p dn q — инвариантная мера Лиувилля (ср. с (13.8)). Функция f может еще сама зависеть от параметра β.

2. В этом параграфе рассматриваются статистические модели термостата с точки зрения общей теории ансамблей Гиббса.

Совсем легко показать, что средние значения отдельных частей кинетической энергии

Эти соображения носят предварительный характер и требуют более детального изучения. Начнем с простых замечаний, раскрывающих общую идею модели термостата. Предположим, что гамильтониан имеет при-

Ej = Γ

p2j 2mj

ρ¯ dµ

(1 j n)

(14.2)

совпадают, если плотность ρ¯ задается формулой (14.1). Доказа-

174



тельство заключается в следующем: после подстановки pj →

√

175

нице и поэтому E, действительно, не зависит от числа степеней свободы. В общем случае конечно, E зависит от n и поэтому ар-

mj p˜j

гументы Бореля нуждаются в уточнении. По меньшей мере здесь

значение интеграла (14.2) уже не зависит от масс m1 , . . . , mn .

следует говорить об асимптотической (при n → ∞) независи-

Подчеркнем, что этот факт справедлив и при ε = 0.

мости средней энергии E от n. Вывод распределения Максвелла

Предположим теперь, что среднее значение потенциальной энергии εV стремится к нулю при ε → 0. Это заведомо так, если конфигурационное пространство компактно, а функция V ограничена. Но тогда при малых ε среднее значение полной энергии Hρ0 dµ = H ρ¯ dµ Γ

для одночастичной функции распределения, свободный от этих возражений, имеется в работе [53]. Вернемся теперь к статистической модели термостата. Пусть при указанных выше условиях «большую» систему с n 1 степенями свободы (термостат) мы расширили присоединением к ней еще k одномерных подсистем так, что полученная система с n + k

Γ

будет приближенно равно nE, где E — это интеграл (14.2), значе-

степенями свободы снова будет эргодической на изоэнергетиче-

ние которого не зависит от j.

ских многообразиях.

Сделаем одно замечание. При выводе закона распределения

Итак, пусть

Максвелла, предложенном Борелем (см. [21]; это — «утонченный» Hn+k = Hn + Hk + εWn, k

вариант одного из способов, предложенных самим Максвеллом), предполагается, что E не зависит от n. Это, конечно, является существенным допущением. В действительности, согласно формулам §13: ∞ 2βnE =

0 ∞ 0

r n+1 f

r n−1f

2

r 2

r2 2

∞

dr

= −n dr

0 ∞ 0

r n+1 f

r 2

r n+1 f

2

r2 2

— гамильтониан расширенной системы. Здесь Hn (Hk ) — гамильтониан системы с n(k) степенями свободы несколько более общего вида

dr

. dr

h(pj , qj ) + εV (q),

где h — функция двух переменных (гамильтониан подсистемы с одной степенью свободы). Обычно

Следовательно, если f (z) = e−z (в этом случае (14.1) — это распределение Гиббса), то отношение интегралов справа равно еди-

(14.3)

h(p, q) =

p2 + f (q), 2m

176



177

и потенциальная энергия V есть сумма четных функций, завися-

+ где En+k — средняя энергия, приходящаяся на одну степень сво-

щих от разностей qi − qj (потенциальные энергии парных взаимо-

боды расширенной системы.

действий). Функция εWn, k предполагается ограниченной и изме-

Поскольку полная энергия сохраняется, то при малых ε

римой; это — потенциальная энергия взаимодействия систем с n

+ . nEn− + kEk− ≈ (n + k)En+k

и k степенями свободы. Предположим, что в начальный момент времени системы с гамильтонианами Hn и Hk были статистически независимыми и находились в состоянии теплового равновесия. Это означает, что

(14.5)

Предположим теперь, что nEn− kEk− .

начальная плотность распределения вероятностей есть произведе-

Это означает, что энергия термостата («теплоемкость») намного

ние

больше энергии присоединяемой системы. Фиксируем k и устремляем n к бесконечности. Тогда из (14.5) получаем:

ρ(n+k) = ρ(n) ρ(k) , где ρ(n) (ρ(k) ) — суммируемая функция только от Hn (соответ-

Следовательно, в состоянии статистического равновесия средняя

ственно Hk ). Имеем

энергия, приходящаяся на одну степень свободы присоединенной (n+k)

n+k

n+k

d pd q= Hn+k ρ = Hn ρ(n) dn p dn q + Hk ρ(k) dk p dk q + O(ε) = =

n E− → E− ≈ E+ . n n+k n+k n

nEn−

+

kEk−

системы, станет равной средней энергии одномерных подсистем, (14.4)

+ O(ε).

составляющих термостат. Другими словами, температура присоединенной системы станет равной температуре термостата. 3. Нам осталось обсудить ключевой вопрос: при каких усло-

Смысл обозначений в последней строке очевиден.

виях можно утверждать, что стационарная плотность ρ¯ распреде-

По нашему предположению эргодичности, в состоянии ста-

ления вероятностей есть функция только от энергии гамильтоно-

тистического равновесия всей системы биркгофовское среднее

вой системы вида (14.3)? Не следует думать, что здесь дело сво-

ρ¯(n+k) будет функцией от Hn+k , причем интеграл (14.4) равен

дится только к условию эргодичности системы на многообразии {H = const}. Этот вопрос глубже и интереснее: существенную

(n +

+ k)En+k

+ O(ε),

роль играет гладкость функции ρ¯.

178



179

Дело в том, что ρ¯ — первый интеграл гамильтоновой системы.

казательство использует механизм разрушения резонансных ин-

С другой стороны, хорошо известно, что аналитические гамиль-

вариантных торов невозмущенной системы, открытый Пуанкаре.

тоновы системы в типичном случае не допускают первых инте-

Следовательно, в этом случае применим изложенный выше ана-

гралов, аналитических во всем фазовом пространстве и функци-

лиз модели термостата.

онально независимых от интеграла энергии (см. по этому поводу [57]).

Конечно, плотность ρ¯ может оказаться лишь непрерывной или вообще существенно разрывной (но суммируемой) функци-

Однако трудность состоит в том, что даже для аналитической

ей. Можно ли что-то содержательное сказать в этой ситуации?

системы дифференциальных уравнений и для аналитической на-

К сожалению, эта задача на сегодняшний день недостаточно изу-

чальной плотности ρ0 биркгофовское среднее ρ¯ может быть раз-

чена и приходится ограничиваться только некоторыми гипотеза-

рывной функцией на всюду плотном множестве нулевой меры.

ми.

Простым примером служит невырожденная вполне интегрируе-

Во-первых, кажется правдоподобным, что при n 3 и малых

мая гамильтонова система с компактными энергетическими мно-

ε типичная гамильтонова система с функцией Гамильтона (14.3)

гообразиями: функция ρ¯, как правило, разрывна в точках на резо-

должна быть транзитивной при фиксированном значении пол-

нансных инвариантных торах (как классическая функция Римана,

ной энергии: существует хотя бы одна всюду плотная траекто-

непрерывная в иррациональных точках и разрывная в рациональ-

рия. Это — одна из возможных точных формулировок гипотезы

ных). Однако поведение функции ρ¯ на множестве нулевой меры

о диффузии Арнольда в многомерных системах. Если это так, то

не играет никакого значения. В этом примере, очевидно, значения

непрерывная плотность ρ¯ также будет функцией от полной энер-

функции ρ¯ можно так изменить в точках резонансных торов, что

гии системы.

она станет аналитической на всем фазовом пространстве.

Наконец, есть правдоподобное предположение, что при ма-

Итак, предположим, что гамильтониан вида (14.3) есть ана-

лых фиксированных ε и достаточно больших n типичная гамиль-

литическая функция. Пусть плотность ρ¯ аналитически зависит от

тонова система вида (14.3) будет эргодической на энергетических

2n переменных p, q и параметра ε. Вспомним, что плотность ка-

многообразиях. К сожалению, в этом направлении пока получено

нонического распределения Гиббса обладает этим свойством. То-

мало надежной информации. Отметим еще «родственный» слу-

гда в типичной ситуации ρ¯ оказывается функцией от полной энер-

чай, когда n фиксировано, а ε мало. Здесь эргодичность системы

гии. Точные условия на гамильтониан (14.3) указаны в [58], а до-

с гамильтонианом вида (14.3) опровергается КАМ- теорией.

180


В заключение напомним, что согласно Н. Н. Боголюбову, нас

§ 15. О БОБЩЕННОЕ КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ВЛАСОВА 181

§ 15. Обобщенное каноническое уравнение Власова

на самом деле интересуют не фиксированные (пусть и большие) значения n, а поведение системы на макроуровне в термодинами-

1.

Анасамбль Гиббса, управляемый уравнением Лиувил-

ческом пределе, когда число степеней свободы n и «объем», в ко-

ля, описывает континуум невзаимодействующих частиц. Имеется

тором заключена система, согласованным образом устремляются

естественное обобщение этой модели, учитывающее парное взаи-

к бесконечности (см. по этому поводу [59]).

модействие. Кинетика такой сплошной среды задается уравнением Власова. Оно имеет существенное значение в теории плазмы. Мы обсудим свойства обобщенного кинетического уравнения Власова и покажем, как можно распространить идею статистического равновесия ансамблей Гиббса на континуум взаимодействующих частиц. Пусть M — гладкое многообразие с локальными координатами x1 , . . . , xn , ρt (x) = ρ(x, t) — плотность меры dµ(dµ = = ρ dn x), которая удовлетворяет следующему дифференциальноинтегральному уравнению:

n

∂ρ ∂(ρvi ) + = 0, ∂t ∂xi i=1

vi =

Ki (x, y)ρ(y, t) dn y.

(15.1)

M

Компоненты векторного поля (v1 , . . . , vn ) = v — интегральные функционалы от плотности ρ с ядрами Ki : M × M → R. В дальнейшем предполагается, что Ki — гладкие функции, хотя в приложениях часто встречаются случаи, когда ядра имеют сингулярности на диагонали {x = y} ⊂ M × M . Пусть K(x, x) = 0 для

182



всех x ∈ M . В физических приложениях это означает отсутствие

Если ядра Ki не зависят от второй переменной y, то система (15.3) становится автономной: vj = Kj (x). В этом случае мы

«самодействия».

возвращаемся к изучению динамической системы (1.1) и ансам-

Будем также предполагать, что n ∂Ki i=1

∂xi

блей Гиббса. С другой стороны, уравнение (15.1) обобщает из=0

(15.2)

вестное в статистической механике кинетическое уравнение Власова, которое также называется уравнением самосогласованного

для всех x, y. Тогда поток системы обыкновенных дифференциальных уравнений

поля. Это уравнение описывает эволюцию функции распределения ρ(x, v, t) континуума взаимодействующих частиц по скоро-

x˙ j = vj (x, t),

1 j n,

(15.3)

сти v и координате x в момент времени t. Оно имеет вид ∂ρ ∂ρ ∂ρ + ( , v) + ( , F ) = 0, ∂t ∂x ∂v K(x, y)ρ(y, u, t) du dy. F =− ∂ ∂x

сохраняет «стандартную» меру dν = dn x. Уравнение (15.1) является «уравнением неразрывности» для системы (15.3). Следовательно, ее поток также сохраняет меру dµ. В частности,

ρt (x) dn x = const.

(15.4)

M

Это обстоятельство позволяет ограничиться рассмотрением вероятностных мер dµ: интеграл (15.4) равен единице при всех t ∈ R. В предположении (15.2) плотность ρ =

∂µ — первый ин∂ν

теграл (15.3), и поэтому первое уравнение (15.1) можно записать в виде

∂ρ ∂ρ + vi = 0. ∂t ∂xi

(15.5)

(15.6)

Здесь K — парный потенциал взаимодействия, который в реальных задачах зависит от расстояния |x − y|. 2.

При наличии сингулярности y ядра K = {Ki } вопрос

о существовании и единственности решений уравнения Власова является нетривиальной задачей. Чтобы представить возникающие здесь трудности, заметим, что уравнение вихря плоских течений идеальной баротропной жидкости можно представить в виде обобщенного уравнения Власова, в котором потенциал парного

Предположение (15.2) означает, что при переходе к новым ло-

взаимодействия пропорционален логарифму расстояния |x − y|

кальным координатам якобиан преобразования должен быть ра-

(см. [60]). Задача о существовании и единственности решений

вен единице.

этого уравнения с классическими начальными условиями экви-

184



валентна задаче о разрешимости гидродинамических уравнений

Сделаем несколько замечаний по поводу теорем 1 и 2. Если ядра K1 , . . . , Kn — гладкие (т. е. бесконечно дифференцируемые)

Эйлера на плоскости. Для гладких потенциалов с некоторыми естественными орга-

функции, а плотность ρt суммируема при всех t, то компоненты

ничениями уравнения Власова всегда разрешимы (см., например,

vi векторного поля также будут гладко зависеть от точки x ∈ M .

работы [61–63] и имеющиеся там ссылки). Метод [63] применим

Это вытекает из второй формулы (15.1) и теоремы о дифференци-

к более общему уравнению (15.1). Справедлива

ровании интеграла по параметру. Следовательно, если ρ — слабое

Теорема 1. Пусть M компактно, функции K1 , . . . , Kn гладкие и при t = 0 плотность ρ непрерывно дифференцируема. Тогда уравнение (15.1) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение, определенное при всех значениях t ∈ R.

решение, то компоненты векторного поля v заведомо непрерывно дифференцируемы по x и поэтому система обыкновенных дифференциальных уравнений (15.3) однозначно разрешима. Пусть {gt } — ее поток: x(t, x0 ) = gt (x0 ), где x(t, x0 ) — решение с условием Коши x(0, x0 ) = x0 . Ввиду неавтономности системы (15.3),

Однако нас будут интересовать решения уравнения (15.1) из

семейство преобразований {gt } в общем случае не является груп-

класса L1 (M, dν), которые следует понимать в обобщенном (сла-

пой, хотя каждое из gt есть диффеоморфизм многообразия M .

бом) смысле: уравнение (15.1) умножается на пробную бесконеч-

Положим g−t = (gt )−1 . Согласно (15.5), ρ — первый интеграл

но дифференцируемую функцию h : M → R и затем производят-

системы (15.3). Поэтому можно утверждать, что

ся интегрирования по частям. В частности, функционал ρt (x)h(x) dn x M

дифференцируем по времени t. Теорема 2.

Пусть M компактно, функции Kj (1 j n)

гладкие, и ρ ∈ L1 при t = 0. Тогда уравнение (15.1) имеет единственное (с точностью до значений на множестве нулевой меры) решение из класса L1 (M, dν) (в слабом смысле), определенное при всех t ∈ R.

ρ(x, t) = ρ0 (g−t x). Значит, если ρ0 ∈ C m (M ), то при всех t функция ρt (x) также m раз непрерывно дифференцируема. Это замечание уточняет заключение теоремы 1 (когда m = 1). Оно, конечно, справедливо и при m = ∞. Наконец, если ρ0 ∈ Lp (1 p ∞), то функция ρt (x) также принадлежит Lp (в теореме 2 p = 1). 3. Сформулируем простые (но важные) свойства решений обобщенного уравнения Власова.

186



Теорема 3. Если f — измеримая функция одного переменного, то

f (ρt (x)) dn x = const.

(15.7)

• G0 — тождественное преобразование, • (Gt )−1 = G−t для всех t, • Gt2 (Gt1 ) = Gt1 +t2 для всех t1 , t2 .

M

Чтобы это утверждение было содержательным, надо потребовать конечность интеграла (15.7). Теорема 3 — следствие общей

Это утверждение — следствие обобщенного уравнения Власова (15.1) и предположения о независимости ядер {Ki } от вре-

теоремы 1 из §2. Следствие 1. Энтропия − ρt ln ρt dn x

мени. Действительно, пусть ρt и ρ˜t — решения уравнения (15.1) с одним и тем же начальным условием, но при t = 0 и при t = τ (15.8)

соответственно. Тогда (с учетом теоремы единственности)

M

не меняется со временем.

ρt = ρ˜t+τ

Поскольку ρt — плотность «одночастичного» распределения, то интеграл (15.8) — аналог энтропии Больцмана. Однако в модели самосогласованного поля она, вопреки ожиданию, постоянна. Это — строгое следствие уравнения Власова.

мы 4. Из теоремы 3 вытекает Следствие 2. Операторы Gt переводят сферы

Введем однопараметрическое семейство операторов Gt : ρ0 → ρt .

для всех t ∈ R. Из этого равенства вытекают заключения теоре-

(15.9) ρLp

Согласно сказанному в п. 2, эти операторы переводят функциональные пространства C m (M ) (0 m ∞) и Lp (M, dn x) (0 p ∞) в себя. Однако они, как правило, нелинейные (хотя оператор G0 единичный и поэтому линейный). Теорема 4.

Семейство операторов {Gt }, t ∈ R является

однопараметрической группой:

⎡ ⎤1 p p n ⎦ ⎣ = |ρ(x)| d x = const M

из Lp (p < ∞) в себя. Отметим еще, что Gt сохраняют также равномерную норму в C 0: ρ = sup |ρ(x)|. x∈M

188



Если операторы Gt были бы линейными, то они были бы

{Gt }, t ∈ R как нелинейную динамическую систему с фазовым пространством L2 (M, dn x).

изометриями Lp : (1)

(2)

ρt − ρt = const

Будем исходить из следующей гипотезы:

для любых двух решений уравнения (15.1). Для уравнения Лиувилля операторы Gt , очевидно, линейные; соответствующие операторы L2 → L2 обычно называются операторами Купмана. Свой-

• в L2 имеется счетно-аддитивная мера dΛ, инвариантная относительно фазового потока {Gt }.

ства линейности и изометричности позволяют доказать статисти-

Это предположение, конечно, не самоочевидно и требует до-

ческую эргодическую теорему фон Неймана: для любой функции

казательства. На самом деле нам было бы достаточно иметь такую

ρ ∈ L2 найдется ρ¯ ∈ L2 такая, что

меру на единичном шаре

τ

lim 1 τ →∞ τ

ρL2 = 1,

Gt (ρ) dt − ρ¯L2 = 0

0

который инвариантен относительно преобразований {Gt }. Основ-

и Gt ρ¯ = ρ¯ для всех t ∈ R.

ная трудность построения инвариантной меры связана с неком-

Очевидно, из сходимости в L2 вытекает слабая сходимость: lim 1 τ →∞ τ

τ

ρt ϕ dn x dt =

0 M

ρ¯ϕ dn x

Наличие инвариантной меры позволяет применить индиви(15.10)

M

для любой пробной функции ϕ ∈ L2 . В частности, если M компактно, то

M

ρ¯ dn x =

пактностью этого шара.

ρ0 dn x.

M

Это сразу же вытекает из (15.10), если положить ϕ(x) = 1.

дуальную эргодическую теорему Биркгофа–Хинчина (с уточнением Крылова–Боголюбова) к непрерывной функции на L2 (M, dn x), задаваемой линейным функционалом ρ → ϕρ dn x.

(15.11)

M

Уточнение Крылова–Боголюбова состоит в том, что чеза-

4. К сожалению, ввиду нелинейности уравнения (15.1), этот

ровское среднее непрерывной функции существует на множестве

метод непосредственно неприменим. Однако можно попытать-

полной меры (dΛ), зависящей лишь от структуры динамической

ся рассуждать по-другому, рассматривая семейство операторов

системы (см., например, [64]). В нашем случае исключительное

190



множество начальных данных {ρ0 } не зависит от выбора функ-

го равновесия, которое описывается обычной автономной систе-

ции ϕ в (15.11).

мой (15.12) и стационарным вероятностным распределением dν.

Чезаровское среднее — положительный линейный функцио-

5. Только что описанная картина стремления решений обоб-

нал: если ϕ 0, то среднее также неотрицательно. Следователь-

щенного уравнения Власова к равновесному состоянию упирается

но, по теореме Рисса–Радона, среднее можно представить в виде

в доказательство содержательной гипотезы о наличии инвариант-

линейного функционала

ной меры dΛ в L2 . Однако на физическом уровне строгости эту

проблему легко обойти, если рассматривать конечномерные про-

ϕ(x) dν,

странства решений этого уравнения с сингулярностями.

M

где dν — некоторая мера на M . Эта мера и будет слабым пределом

шенной суммы δ-функий Дирака:

по Чезаро исходной меры dµt = ρt (x) dn x. Если M компактно, то предельная мера также будет вероятностной:

Итак, будем искать решения уравнений (15.1) в виде взве-

ρ(x, t) =

N j=1

(15.13)

Точки из M с координатами

dν = 1.

(j)

M

Для доказательства достаточно положить ϕ(x) = 1, x ∈ M . Отметим еще, что слабые пределы меры dµt при t → +∞ и t → −∞, конечно, совпадают. Стационарной мере dν можно сопоставить по формулам (15.1) автономную динамическую систему x˙ i = v¯i (x1 , . . . , xn ) = Ki (x, y) dy ν,

(j)

κj δ(x1 − x1 (t)) . . . δ(xn − x(j) n (t)).

(x1 (t), . . . , x(j) n (t)) = Xj (t),

1jN

(15.14)

— сингулярности меры dµt = ρ(x, t) dn x с плотностью (15.13). Числа κj можно назвать интенсивностями сингулярностей Xj ; поскольку ρ 0, то все κj > 0. Оказывается, если (15.13) является обобщенным решением уравнения (15.1), то функции t → Xj (t) удовлетворяют некоторой специальной конечномерной

1 i n,

(15.12)

M

автономной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с инвариантной счетно-аддитивной мерой.

фазовый поток которой сохраняет эту меру. Таким образом, для

Поскольку любую нормированную меру на M можно сколь

почти всех начальных распределений ρ0 dn x континуум взаимо-

угодно точно аппроксимировать (в слабом смысле) мерой с сингу-

действующих частиц слабо сходится к состоянию статистическо-

лярной плотностью вида (15.13), то такой подход позволяет если

192



не доказать основной результат п. 4, то указать конструктивный

ет «стандартный» фазовый объем в M N ;

путь его использования. Кстати сказать, идея аппроксимации син-

dΛ = dn x(1) . . . dn x(N ) .

гулярными мерами лежит в основе методов доказательства разрешимости уравнения Власова из работ [61–63].

(15.16)

Это утверждение соответствует гипотезе п. 4 о наличии инвари-

Как заметил сам А. А. Власов, уравнение (15.6) допуска-

антной меры в L2 (M, dn x), инвариантной относительно преобра-

ет точное решение вида (15.13), причем сингулярности интер-

зований Gt , t ∈ R. После этих замечаний мы можем применить

претируются как частицы, а их интенсивности — как массы ча-

стандартную эргодическую теорию для анализа сходимости по

стиц (см. [65]). Уравнения эволюции сингулярностей совпадают

Чезаро функции

t →

с уравнениями Ньютона для системы взаимодействующих ча-

ϕ dµt ,

(15.17)

M

стиц. Аналогично, уравнение вихря плоской гидродинамики так(x) dn x,

же допускает решение вида (15.13), динамика сингулярностей

где dµt = ρt

которых описывается известными уравнениями Гельмгольца–

лой (15.13), а ϕ — непрерывная функция на M . Предположение

Кирхгофа для точечных вихрей (см. [60]).

о непрерывности функции ϕ : M → R соответствует свойству

Несложные вычисления, использующие элементарные свойства δ-функций, показывают, что сингулярности (15.14) удовлетворяют следующей системе обыкновенных дифференциальных

непрерывности функционала (15.11) из п. 4. Если dµt — мера с сингулярной плотностью (15.13), то интеграл (15.17) равен

уравнений: (j)

x˙ j +

N k=1

(j)

j

(k)

(k) κk Ki (x1 , . . . , x(j) n ; x1 , . . . , xn ) = 0;

(15.15)

i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , N.

причем плотность ρt задается форму-

(j)

(j)

κj ϕ(x1 (t), . . . , x(j) n (t)),

(15.18)

(j)

причем x1 , . . . , xn как функции времени удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (15.15). Согласно индивидуальной эргодической теореме, для почти всех начальных данных (на-

При выводе уравнений (15.15)

использовалось соглашение,

что K(x, x) = 0. Фазовое пространство системы (15.15) — это прямое произведение N экземпляров многообразия M . Ввиду предположения (15.2), фазовый поток системы (15.15) сохраня-

чальных расположений сингулярностей) среднее по Чезаро функции (15.18) равно

j

κj ϕ¯j ,

(15.19)

194


где ϕ¯j = lim τ1 t→∞

τ

(j)

ϕ(x1 (t), . . . , x(j) n (t)) dt.

0

Литература

Стоит подчеркнуть, что (по теореме Крылова–Боголюбова) исключительное множество начальных данных не зависит от усредняемой непрерывной функции ϕ. Следовательно, для почти всех мер dµ0 = ρ0 dn x (которые определяются сингулярностями и коэффициентами κj ) формула (15.18) задает положительный

[1] J. Moser. On the volume elements on a manifold // Trans. Amer. Math. Soc. — 1965. — V.120. — № 2. — 286–294

линейный функционал на пространстве функций, непрерывных

[2] H. Poincaré. Réflexion sur la théorie cinétique des gaz // J.

на M . Снова (применяя теорему Рисса–Радона) получаем, что

Phys. théoret. et appl., 4e sér. — 1906.– V.5. — 369–403 (Пер.

этот функционал есть

на русск. язык: А. Пуанкаре. Замечания о кинетической тео-

ϕ dν, M

где dν — некоторая мера на M , которая и будет слабым пределом мер dµt при t → ∞.

рии газов. В кн.: Избранные труды. Т. III. — М.: Наука. — 1974. — 385–412) [3] J. W Gibbs. Elementary principles in statistical mechanics, developed with especial reference to the rational foundation of thermodynamics // New York,– 1902 (Пер. на русск. язык: Дж. В. Гиббс. Основные принципы статистической механики, излагаемые со специальным применением к рациональному обоснованию термодинамики. — М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2002.) [4] M. A. Ackoglu. A pointwise ergodic theorem in Lp —spaces // Canad. J. Math. — 1975. — V. 27. — № 5. — 1075–1082 [5] U. Krengel Ergodic theorems.– Berlin–New York: Gruyter, 1985.

196

Л ИТЕРАТУРА

[6] В. В. Козлов. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре.– М– Ижевск: ИКИ, 2002.


[14] C. P. Dettmann.

The

Lorentz

197

gaz:

a

paradigm

for

nonequilibrium stationary states // In: Hard ball systems and Lorentz gaz. Encycl. of Math. Sciences. Ser. Math. Phys.

[7] В. В. Козлов, Д. В. Трещев. Эволюция мер в фазовом про-

Ed. D. Szász. — V. 101. — Springer. — 315–365

странстве нелинейных гамильтоновых систем // Теорет. и матем. физика. — 2003. — Т.136. — № 3. — 496–506 [8] В. В. Козлов. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре // ДАН. — 2002. — Т. 382. — № 5. — 602–605 [9] В. В. Козлов, Д. В. Трещев. Слабая сходимость решений уравнений Лиувилля для нелинейных гамильтоновых систем // Теорет. и матем. физика. — 2003. — Т. 134. — № 3. — 388– 400 [10] V. V. Kozlov. Kinetics of collisionless continuous medium // Reg. and Chaotic Dynamics. — 2001. — V. 6. — № 3. — 235–251 [11] В. В. Веденяпин. Кинетическая теория по Максвеллу, Больцману и Власову // М.: Издательство Моск. госуд. областного ун-та, 2005 [12] V. V. Kozlov, D. V. Treschev. On new forms of the ergodic theorem // J. of Dynamical and Control Systems. — 2003. —

[15] В. В. Козлов. Слабые пределы вероятностных распределений в системах с нестационарными возмущениями // ДАН. — 2003. — Т. 389. — № 5. — 605–607 [16] В. В. Козлов. Об устойчивости положений равновесия в нестационарном силовом поле // ПММ. — 1991. — Т. 55. — Вып.1. — 12–19 [17] E. Fermi, J. R. Pasta, S. Ulam Studies of nonlinear problems // Los Alamos Rept. LA-1940 (Пер. на русск. язык: Э. Ферми, Дж. Паста, С. Улам. Исследование нелинейных задач. В кн.: Э. Ферми. Научные труды. Т. II. М.: Наука, 1972. — 647– 656.) [18] В. В. Козлов. Ансамбли Гиббса, равнораспределенность энергии симпатических осцилляторов и статистические модели термостата // Нелинейная динамика. — 2007. — Т. 3. — № 2. — 123–140

V. 9. — № 3. — 449–453 [19] В. В. Козлов, Д. В. Трещев. Тонкая и грубая энтропия в зада[13] Н. С. Крылов. Работы по обоснованию статистической физики // М.–Л.: Изд-во АН СССР, 1950

чах статистической механики // Теорет. и матем. физика. — 2007. — Т. 151. — № 1. — 120–137

198



[20] Я. И. Френкель. Статистическая физика.– М.-Л.: Изд-во

[27] В. П. Михайлов. Дифференциальные уравнения в частных

АН СССР, 1948

199

производных.– М.: Наука, 1983.

[21] M. Kac. Probability and related topics in physical sciences.– London–New York: Interscience Publishers, 1957. (Пер. на русск. язык: М. Кац. Вероятность и смежные вопросы в физике. — М.: Мир, 1965.)

[28] В. В. Козлов. Статистические свойства биллиардов в многогранниках // ДАН. — 2007. — Т. 416. — № 3. — 302–305 [29] В. В. Веденяпин. Кинетические уравнения Больцмана и Власова.– М.: Физматлит, 2001.

[22] D. V. Treschev, G. Piftankin. Gibbs entropy and dynamics // Chaos (to be published)

[30] В. В. Козлов. Статистическое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре в системах с медленно меняющимися параметрами

[23] В. В. Козлов, О. Г. Смолянов. Функция Вигнера и диффузия в бесстолкновительной среде, состоящей из квантовых частиц // Теория вероятностей и ее применения. — 2006. — Т.

// ДАН. — 2004. — Т. 395. — №2. — 169–173 [31] А. С. Бакай, Ю. П. Степановский. Адиабатические инварианты.– Киев: Наукова думка, 1981

51. — Вып. 1. — 109–125 [32] E. Fermi. Alcuni teoremi di meccanica analitica importanti per [24] V. V. Kozlov. Notes on diffusion in collisionless medium // Reg.

la teoria dei quanti // Nouvo Cimento. — 1923. — V. 25. —

and Chaotic Dynamics. — 2004. — V. 9. — № 1. — 29–34

271–285 (Пер. на русск. язык: Э. Ферми. Некоторые теоре-

[25] E. Hlawka. Mathematische Modelle der kinetischen Gastheorie // Rheinisch-Westfälische Acad. der Wissenschaften. Natur-, Ingenier- und Wirtschaftswissenschaften. — 1974. — V. 240. — 361–376

мы аналитической механики, важные для теории квантов. В кн.: Научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1971 125–134.) [33] В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт. Математические аспеты классической и небесной механики.– М.: УРСС, 2002

[26] L. Bunimovich.

Kinematics,

equilibrium,

and

shape

in

Hamiltonian systems: the «LAB» effect // Chaos. — 2003. — V. 13. — № 3. — 903–912

[34] T. Kasuga. On the adiabatic theorem for the Hamiltonian system of differential equations in the classical mechanics. I, II, III //

200



Proc. Jap. Acad. — 1961. — V. 37. — №7. — 366–371, 372–376, 377–382

201

[41] H. Poincaré. Thermodynamique.– Paris: Gauthier– Villars, 1908. (Пер. на русский язык: А. Пуанкаре. Термодинамика. — М.– Ижевск: ИКИ, 2005.)

[35] Я. Г. Синай. Динамические системы с упругими отражениями. Эргодические свойства рассеивающих биллиардов // УМН. — 1970. — Т. 25. — № 2. — 141–192

[42] J. Piasecki, Ch. Gruber. From the adiabatic piston to macroscopic induced by fluctuations // Physica A. — 1999. — V. 265. — 463–472

[36] G. Gallavotti, D. Ornstein. Billiards and Bernoulli schemes // Communs. Math. Phys. — V. 38. — № 2. — 83–101

[43] Ch. Gruber, J. Piasecki. Stationary motion of the adiabatic piston // Physica A. — 1999. — V. 268. — 412–423

[37] Я. Г. Синай. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики // Докл. АН СССР. — 1963. — Т. 153. — № 6. — 1261–1264

[44] Ch. Gruber, L. Frachebourg. On the adiabatic properties of a stochastic adiabatic wall: evolution, stationary nonequilibrium, and equilibrium states // Physica A. — 1999. —

[38] V. I. Arnold,

A. Avez.

Ergodic

problems

of

classical

V. 272. — 392–428

mechanics // New York–Amsterdam: W. A. Benjamin, Inc. 1968 (Пер. на русск. язык: В. И. Арнольд, А. Авец. Эрго-

[45] R. Holley. The motion of a heavy particle in an indefinite one

дические проблемы классической механики. — Ижевск:

dimensinal gas of hard spheres // Z. Wahrscheinlichkeitstheor.

Регулярная и хаотическая динамика, 1999.)

verw. Geb. — 1971. — V. 17. — 181–219

[39] A. Krámli, N. Simányi, D. Szász. The K-property of four billiard balls // Commun. Math. Phys. — 1992. — V. 144. — 107–148

[46] D. Dürr, S. Goldstein, J. L. Lebowitz. A mechanical model of Brownian motion // Comm. Math. Phys. — 1981. — V. 78. — № 4. — 507–530

[40] D. Szász. Boltzmann’s ergodic hypothesis, a conjecture for centuries ? // In: Hard ball systems and Lorentz gaz. Encycl.

[47] Л. Лебовиц, Я. Синай, Н. Чернов. Динамика массивного

of Math. Sciences. Ser. Math. Phys. Ed. D. Szász. — V. 101. —

поршня, погруженного в идеальный газ // УМН. — 2002. —

Springer. — 421–446

Т. 57. — Вып. 6. — 3–86

202



[48] J. L. Lebowitz, J. Piasecki, Ya. Sinai. Scaling dynamics of a

[55] Н. И. Ахиезер. Классическая проблема моментов. — М.: На-

massive piston in an ideal gas // In: Hard ball systems and

203

ука, 1961

Lorentz gaz. Encycl. of Math. Sciences. Ser. Math. Phys. Ed. D. Szász. — V. 101. — Springer. — 217–227

[56] Н. Н. Боголюбов. О некоторых статистических методах в математической физике. — Киев: Изд-во АН УССР, 1945

[49] R. Feynman, R. Leighton, M. Sands. The Feynmann lectures on physics. V.1. — Addison– Wesley Publ. Comp., Inc, 1963. (Пер. на русский язык: Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Т. 4. — М.: Мир, 1967.) [50] В. В. Козлов. К задаче о поршне // ДАН. — 2005. — Т. 403. — № 6. – 752–755

[57] В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск: Изд. дом «Удмуртский университет», 1995 [58] V. V. Kozlov. Canonical Gibbs disribution and thermodynamics of mechanical systems with a finite number of degrees of freedom // Reg. and Chaotic Dynamics. — 1999. — V. 4. —

[51] В. В. Козлов. Неустойчивость равновесия в потенциальном

№2. — 44–54

поле с учетом вязкого трения // ПММ. — 1981. — Т. 45. — Вып. 3. — 570–572

[59] Н. Н. Боголюбов. О некоторых проблемах, связанных с обоснованием статистической механики. В кн.: Собрание

[52] В. В. Козлов. Термодинамика гамильтоновых систем и рас-

трудов. — М.: Наука, 2006. — 432–440

пределение Гиббса // ДАН. — 2000. — Т. 370. — № 3. — 325– 327

[60] В. В. Козлов. Уравнение вихря 2D-гидродинамики, стационарное кинетическое уравнение Власова и развитая турбу-

[53] V. V. Kozlov. Billiards, invariant measures, and equilibrium thermodynamics. II // Reg. and Chaotic Dynamics. — 2004. —

лентность // Нелинейная динамика. — 2007. — Т. 2. — №4. — 425–434

V. 9. — № 2. — 91–100 [61] W. Brawn, K. Hepp. The Vlasov dynamics and its fluctuations [54] V. V. Ten. On normal distribution in velosities // Reg. and Chaotic Dynamics. — 2002. — V. 7. — № 1. — 11–20

in the 1/N limit of interactiny classical particles // Commun. Math. Phys. — 1977. — V. 56. — № 2. — 101–113

204


[62] В. П. Маслов. Уравнения самосогласованного поля. В кн.: Современные проблемы математики. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1978. — Т. 11. — 153–234 [63] Р. Л. Добрушин. Уравнения Власова // Функц. анализ и его прилож. — 1979. — Т. 13. — Вып. 2. — 48–58 [64] В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949 [65] А. А. Власов. Статистические функции распределения. — М.: Наука, 1966 Козлов Валерий Васильевич

[66] Ф. Ф. Березин. Лекции по статистической физике. — М.– Ижевск: ИКИ, 2002

А НСАМБЛИ Г ИББСА И НЕРАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Дизайнер М. Баженова Технический редактор А. В. Широбоков Корректор Г. Г. Тетерина Подписано в печать 02.12.2008. Формат 60 × 841/16 . Печать офсетная. Усл. печ. л. 11,86. Уч. изд. л. 10,21. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Заказ №11. Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика» 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. http://shop.rcd.ru

E-mail: [email protected] Тел./факс: (+7 3412) 50–02–95

Уважаемые читатели! Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать через наш Интернет-магазин http://shop.rcd.ru или по электронной почте [email protected] Книги можно приобрести в наших представительствах: МОСКВА Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел.: 135–54–37 ИЖЕВСК Удмуртский государственный университет ул. Университетская, д. 1, корп. 4, 2 эт., к. 211, тел./факс: (3412) 500–295 Также книги можно приобрести: МОСКВА Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова ГЗ (1 эт.), Физический ф-т (1 эт.), Гуманитарный ф-т (0 и 1 эт.), Биологический ф-т (1 эт.). Российский государственный университет нефти и газа им. И. М. Губкина ГЗ (3–4 эт.), книжные киоски фирмы «Аргумент». Магазины: МОСКВА:

«Дом научно-технической книги» Ленинский пр., 40. тел.: 137-06-33 «Московский дом книги» ул. Новый Арбат, 8. тел.: 290-45-07 «Библиоглобус» м. «Лубянка», ул. Мясницкая, 6. тел.: 928–87–44

ДОЛГОПРУДНЫЙ:

Книжный магазин «Физматкнига» новый корп. МФТИ, 1 эт. тел.: 409-93-28

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ:

«Санкт-Петербургский дом книги» Невский проспект, 28 Издательство СПбГУ, Магазин №1 Университетская набережная, 7/9

Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика: Монография

Recommend Documents