Проводник в переменном магнитном поле. Бесконтактное измерение электропроводности: Методические указания к лабораторной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра общей физики Лабораторный практикум «ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ»

Захаров М.И. Работа 4.5 ПРОВОДНИК В ПЕРЕМЕННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ. БЕСКОНТАКТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ. Учебно-методическое пособие

Новосибирск 2005

www.phys.nsu.ru Представлено описание модернизированной лабораторной работы, являющейся частью работ практикума по электричеству и магнетизму кафедры общей физики НГУ. Работа выполняется студентами 2-го курса физического факультета. При выполнении работы студенты изучают физические явления в проводнике, находящемся в переменном магнитном поле, и знакомятся с одним из методов бесконтактного измерения электропроводности. Используя метод дифференциального трансформатора, с помощью фазоизмерительного устройства определяют частотную зависимость фазового сдвига между переменным внешним магнитным полем и намагниченностью образца, помещенного в это поле, а затем, проведя обработку экспериментальных данных, вычисляют удельную проводимость различных металлов и сплавов. Работа может быть использована при обучении студентов других естественно-научных и технических факультетов.

www.phys.nsu.ru Составитель доцент, к.ф.-м.н. М. И. Захаров

Рецензент д-р физ.-мат. наук Б. А. Князев

© Интернет версия подготовлена для cервера Физического факультета НГУ http://www.phys.nsu.ru

© Новосибирский государственный университет, 2005

www.phys.nsu.ru 2

www.phys.nsu.ru Оглавление

Краткая теория 4 1.1. Атомная природа магнетизма 4 1.2. Магнитные свойства металлов и сплавов 5 2. Экспериментальная часть 8 2.1. Оборудование 8 2.2. Описание работы установки 8 2.3. Контрольные вопросы (допуск к эксперименту) 9 2.4. Методика проведения эксперимента 10 2.4.1. Определение сдвига фазы методом фигур Лиссажу 11 2.4.2. Измерение фазы с помощью “Фазочувствительного нановольтметра типа 232В” 11 3. Содержание отчета 12 12 Библиографический список Приложение. Метод последовательных приближений. 12 1.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 3

www.phys.nsu.ru 1. Краткая теория

1.1. Атомная природа магнетизма Микротоки, циркулирующие в атомах и молекулах вещества, получили общее название молекулярных токов. Они обусловлены орбитальным движением электронов вокруг атомных ядер, а также спиновыми вращениями электронов и нуклонов (протонов и нейтронов). Поскольку микроструктурные элементы веществ – электроны и нуклоны – суть элементарные носители магнитного момента, то и любые их комбинации – атомные ядра и электронные оболочки, а также комбинации этих комбинаций, т.е. атомы, молекулы и макроскопические тела, в принципе могут быть источниками магнетизма. Отсюда следует вывод об универсальном характере магнетизма веществ: магнитные свойства присущи всем веществам, т.е. все они являются магнетиками. Внешнее магнитное поле оказывает влияние на эти молекулярные токи (магнитные моменты). Известны два основных эффекта внешнего поля. Во-первых, диамагнитный эффект, являющийся следствием закона индукции Фарадея. По правилу Ленца магнитное поле создает такой индукционный ток, магнитное поле которого направлено против начального поля. Поэтому создаваемый внешним полем диамагнитный момент отрицателен по отношению к этому полю. Во-вторых, если в атоме существует результирующий отличный от нуля магнитный момент (спиновый, орбитальный или оба), то внешнее поле будет стремиться ориентировать этот собственный атомный магнитный момент вдоль своего направления. В результате возникает параллельный полю положительный момент, который называют парамагнитным. Когда говорят, что среда в магнитном поле намагничивается, то подразумевают, что из-за молекулярных токов любой физически малый объем среды в магнитном поле приобретает магнитный момент. Следовательно, в создании магнитного поля в среде участвуют не только внешние источники, но и внутренние токи, циркулирующие в пределах атомов и молекул. В неферромагнитных телах, в не слишком сильных магнитных полях векторы поля связаны друг с другом линейными соотношениями, причем у изотропных тел линейная связь сводится к простой пропорциональности: r r B = μH , (1) r r M = χH , (2) μ = 1 + 4πχ , (3) где B – магнитное поле; Н – вспомогательное поле (аналог электрической индукции D); М – намагниченность вещества, представляющая собой магнитный момент единицы объема тела. Здесь использована гауссова система единиц, в которой магнитная проницаемость µ и магнитная восприим-

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 4

www.phys.nsu.ru чивость вещества χ являются безразмерными, а B, Н и М имеют одинаковую размерность (подробнее о системах единиц см. [2, 4]). В отличие от диэлектрической восприимчивости, магнитная восприимчивость может быть как положительной, так и отрицательной. Вещества с χ>0 называются парамагнетиками, вещества с χ0. Полученное приближенное соотношение может использоваться для бесконтактного определения проводимости (на достаточно малых частотах) в тех случаях, когда вещественная часть магнитной поляризуемости α ′ 0. В этом случае в правой части (12) следует заменить знак “-“ на “+”. Кроме того, необходимо иметь в виду, что если статический магнитный момент не равен нулю, то при ω→0 α ′ стремится к постоянному значению, также отличному от нуля, и его необходимо учитывать в (11) и, соответственно, в (12).

www.phys.nsu.ru 2. Экспериментальная часть 2.1. Оборудование Генератор низкой частоты, дифференциальный трансформатор, фазометр, осциллограф, исследуемые образцы. 2.2. Описание работы установки Измерения основаны на использовании дифференциального трансформатора, состоящего из двух одинаковых катушек взаимной индуктивности (см. рис. А). Первичные обмотки катушек включены последовательно, и по ним пропускается ток от генератора низкой частоты. Вторичные обмотки включены встречно, так что без образца напряжение на выходе диффе-

www.phys.nsu.ru 8

www.phys.nsu.ru ренциального трансформатора равно нулю. При помещении образца (1) внутрь рабочей катушки в нем возникают вихревые токи, а ЭДС во вторичной обмотке изменяется. Так как начальная ЭДС (без образца) была скомпенсирована второй катушкой, то возникающий теперь выходной сигнал пропорционален частоте, амплитуде магнитного поля и эффективной магнитной восприимчивости образца: ∂M ∂ = ( χ H 0 e − iω t ) = −iωχ H 0 e − iω t = U вых ∝ ∂t ∂t = −iωχ 0 ei β H 0 e − iω t = e

−i

π 2

ωχ 0 ei β H 0 e− iω t = ωχ 0 H 0 e

− i (ω t + π2 − β )

α // из соотношеα/ ния (12). То есть выходной сигнал оказывается сдвинут на φ=(π/2-β). Воспользовавшись тем, что tg(π/2-β)=ctg β, получим α/ π 2σ d 2 (13) tgϕ = ctg β = // = − f 3c 2 α Таким образом, построив график зависимости tg(φ) от частоты f, по коэффициенту наклона линейного участка кривой можно рассчитать проводимость σ. Если статическая магнитная поляризуемость образца отлична от нуля, Здесь мы представили χ в виде χ = χ 0 ei β , где tg β =

www.phys.nsu.ru т.е.

α1/ = α 01 −

π 2σ 2ω 2 12c 4

a 6 , то вместо (13) следует воспользоваться вы-

ражением tgϕ = ctg β =

α / 16c 2α 01 π 2σ d 2 = − f . 3c 2 α // π d 2σ f

(14)

Эта формула, как и (13), правильно описывает ход соответствующей экспериментальной кривой в области низких частот. Интересно отметить, что на этой кривой имеется линейный участок вблизи точки f=f0, в которой tg(φ)=0. 2.3. Контрольные вопросы (допуск к эксперименту) 1. Объясните суть метода дифференциального трансформатора. 2. Докажите, что напряжение, поступающее на вход усилителя, пропорционально магнитной восприимчивости. 3. Как определяют фазовый сдвиг с помощью фигур Лиссажу? Каковы достоинства и недостатки этого метода? 4. Нарисуйте ожидаемый вид зависимостей tg(φ) от частоты f для всех возможных вариантов.

www.phys.nsu.ru 9

www.phys.nsu.ru 2.4.Методика проведения эксперимента Соберите схему (рис.А) и проведите измерения ϕ для двух цилиндрических образцов методом фигур Лиссажу [8] (или с помощью фазочувствительного нановольтметра типа 232В или с помощью фазометра Ф2-16). Постройте графики зависимостей тангенса измеренных сдвигов фаз от частоты. По коэффициенту наклона линейного участка соответствующей кривой рассчитайте значения проводимости σ с помощью формул (14) и (или) (13) для каждого образца. Сравните полученные результаты с табличными значениями.

R500 1 2

G

Y X

N

3

www.phys.nsu.ru R20

Рис.А. Схема экспериментальной установки. 1 -.образец; 2,3 – катушки взаимной индуктивности; N – двухлучевой осциллограф; G-генератор низких частот. Примечание. Выбор полосы частот для проведения измерений зависит от величины проводимости материала образца. Например, для меди можно выбрать полосу частот - от 200 Гц до 1 кГц (с интервалом 100 Гц). Для материалов с низкой проводимостью (таких, как титан) имеет смысл начинать измерения с частоты (1 – 2)кГц. Что касается материалов, статическая магнитная поляризуемость которых отлична от нуля, то для них наиболее детально следует провести измерения на линейном участке в окрестности частоты f0, на которой фазовый сдвиг ϕ обращается в нуль. (Исследование

www.phys.nsu.ru 10

www.phys.nsu.ru свойств меди и других проводников на более высоких частотах можно рекомендовать в качестве курсовой работы).

2.4.1. Определение сдвига фазы методом фигур Лиссажу На экране двухлучевого осциллографа результат сложения гармонических колебаний одинаковой частоты имеет вид эллипса. Действительно, если точка Р одновременно колеблется вдоль осей координат 0Х и 0Y по законам x=A1sin(ωt+ϕ1) и y=A2sin(ωt+ϕ2), где x и y - декартовы координаты точки Р, то уравнение траектории результирующего движения точки Р в плоскости Х0Y можно найти, исключив из выражений для координат x и y параметр t: (x/A1)2+(y/A2)2-2[xy/(A1A2)]cos(ϕ2-ϕ1)=sin2(ϕ2-ϕ1). Очевидно, координаты точек пересечения эллипса с осями координат зависят от величины ⎪ϕ2-ϕ1⎪. Вставьте исследуемый образец в одно из гнезд дифференциального трансформатора. Произведите измерение величины ⏐sin(ϕ2-ϕ1)⏐. После этого вставьте исследуемый образец в другое гнездо дифференциального трансформатора и повторите измерения на той же частоте. Определите среднее значение ⎪ϕ⎪=⎪ϕ2-ϕ1⎪.

www.phys.nsu.ru 2.4.2. Измерение фазы с помощью фазочувствительного нановольтметра типа 232В. Внимание! Для уменьшения погрешности измерений рекомендуется производить периодически (раз в шесть месяцев) калибровку прибора [10]. Подключить питание прибора, нажав красную клавишу POWER. Проверить загорелась ли сигнальная лампочка. Подать опорный сигнал к гнезду REFERENCE. Нажать соответствующую клавишу переключателя диапазонов измеряемых напряжений SENSITIVITY (0,03 – 3 или 3 – 300 V) и измерить опорный сигнал по шкале измерителя, нажимая клавишу REF.VOLT (при измерении сигналов ниже 1 мкв в диапазоне частот 50 – 150 кГц опорное напряжение не должно превышать 100 мВ). Прогреть прибор не менее 15 минут. Нажать клавишу DC ZERO (установка нуля постоянного тока). Установить нуль потенциометром. На вход прибора (гнездо SIGNAL) подвести исследуемый сигнал, используя возможно более короткий экранированный провод. Вставить исследуемый образец в одно из гнезд дифференциального трансформатора. Нажать клавишу RECOV.SIGNAL и соответствующую клавишу переключателя PHASE SHIFT (0 или 1800) и, регулируя потенциометр PHASE SHIFT CONTINUOUS, установить максимальное отклонение стрелочного прибора (при этом необходимо следить за тем, чтобы стрелка не заходила в область перегрузок OVERLOAD). Нажать клавишу

www.phys.nsu.ru 11

www.phys.nsu.ru PHASE SHIFT блока переключателей METER SELECTOR и записать значение ϕ. После этого вставить исследуемый образец в другое гнездо дифференциального трансформатора и повторить измерения на той же частоте. 3. Содержание отчета

Отчет должен содержать следующие измеренные данные, результаты их обработки и анализа: - расчетные формулы; - схему измерительной установки; - графики зависимостей tgϕ от частоты; - значения удельной проводимости для каждого из исследованных образцов с указанием погрешности и сравнение их с табличными значениями. Библиографический список

1. Описание лабораторных работ, часть 3, НГУ, 1988. 2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Москва, Физматлит, 2001. 3. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н., Сборник задач по электродинамике, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 4. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.3. Электричество. Москва, Физматлит, 1996. 5. Парселл Э. Электричество и магнетизм. Физматлит, 1983. 6. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. Москва, Наука,1988. 7. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М., Наука, 1978, с.348. 8. Введение в технику физического эксперимента. (Метод. Разработка). Новосибирск, НГУ, 1984. 9. Вонсовский С.В. Магнетизм. М., Наука, Физматлит, 1984, с.208. 10. Фазочувствительный нановольтметр типа 232В. Техническое описание и инструкция по эксплуатации.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 12

www.phys.nsu.ru Приложение. Метод последовательных приближений.

Будем искать магнитную поляризуемость в случае, когда глубина проc никновения поля δ = велика по сравнению с радиусом проводни2πσω ка (δ>>a, случай слабого скин-эффекта), методом последовательных приближений. В этом случае правую часть в уравнении (9) в первом приближении можно заменить нулем, а найденное таким образом магнитное поле будет соответствовать стационарному случаю Hст. C учетом граничных условий в нашей задаче Hст= He. Следующим шагом будет вычисление с помощью (5) электрического поля E, потом, согласно (7), соответствующих ему токов j, а затем - создаваемого ими в проводнике поля Hi. Подставив найденное Hi в уравнение (9), можно найти следующее приближение и т.д. Такими же последовательными приближениями можно найти и поляризуемость α, только на каждом шаге нужно вычислять магнитный момент, создаваемый токами j, с помощью уравнения: 1 M1 = jrdV (15) 2c ∫ Здесь М1, в отличие от М, является магнитным моментом единицы длины цилиндра. Учитывая аксиальную симметрию задачи, будем использовать цилиндрическую систему координат, где вектор поля будет иметь следующие компоненты He=(0, 0, H0)). Используя вид дифференциальных операторов в цилиндрических координатах, воспользуемся указанным способом: r r r r ΔH i = 0 ⇒ H i = H e = H 0 ez (16) r r 1 ∂B ω r iω = i H e ⇒ Eϕ = (17) rotE = − H0r c ∂t c 2c r r i σω (18) j = σ E ⇒ jϕ = H0r 2 c

www.phys.nsu.ru

M1 =

1 πσω jrdV = i 2 a 4 H 0 ∫ 2c 8c

(19)

Значит в первом приближении магнитная поляризуемость единицы длины цилиндра - чисто мнимая величина, равная iα1 = i //

πσω 8c

2

a 4 . Так

как мы рассматриваем случай слабого скин-эффекта, т.е. δ>>a, то полу-

www.phys.nsu.ru 13

www.phys.nsu.ru ченное значение α//пропорционально величине второго порядка малости 2 ⎛a⎞ ⎜ ⎟ . ⎝δ ⎠ Далее, найдем магнитное поле, создаваемое токами j из уравнения (18) с помощью (6), подставим в (9) и повторим процедуру: r 4π r π rotH = j ⇒ H z(2) = i 2 σω r 2 H 0 , (20) c c (2) Индекс – означает второй порядок приближения; все остальные компоненты магнитного поля, кромe z компоненты, равны нулю; индекс (i), означающий «внутреннее» поле, для краткости опущен. Далее Eϕ = − jϕ = −

M1 =

π σω 2 2 c3

π σ 2ω 2 c3

2

H0r3

(22)

H0r3

(23)

π 2σ 2ω 2 12c

4

a6 H 0

(23)

www.phys.nsu.ru То есть во втором приближении магнитная поляризуемость действи-

тельная величина равная

α1 / = −

π 2σ 2ω 2 12c

4

a 6 , пропорциональная величи-

4

⎛a⎞ не четвертого порядка малости ⎜ ⎟ .Используя (23) и (19), получим, что ⎝δ ⎠ χ/ α/ π 2σ d 2 = = − f, (12) 3c 2 χ // α // где f=2π/ω – частота, а d=2a – диаметр образца. Это приближенное соотношение (для достаточно малых частот) можно получить также из точного решения (10) при δ>>a, разлагая функции Бесселя в ряд по степеням ka (см. выше).

www.phys.nsu.ru 14