Алгебра и логика, 39, N 2 (2000), 127-133
УДК 512.54.0:512.57
ГРАНИЦЫ РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НИЛЬПОТЕНТНЫХ И Р...
7 downloads
159 Views
696KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 39, N 2 (2000), 127-133
УДК 512.54.0:512.57
ГРАНИЦЫ РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НИЛЬПОТЕНТНЫХ И РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП
Ю. М. В А Ж Е Н И Н , В, Ю. ПОПОВ
Обозначим через 91* и JH* многообразия fc-ступенно нильпотентных и /-ступенно разрешимых групп соответственно, а через F^U и F9fy — свободные в этих многообразиях группы счетного ранга с множеством С = {ei, ...,€„,...} свободных порождающих. Пусть, далее, a = (•, _ 1 , l) — групповая сигнатура и 77 = tf U С. А. И. Мальцев в [1] доказал неразрешимость элементарной ??-теории группы FOTfc. В.А.Романьков [2] и Н.Н.Репин [3] установили неразреши мость 3-теорий сигнатуры ц группы FJH2 и, соответственно, групп F9U для любого k ^ 3. В [4] получено описание критических сг-теорий много образия (5 всех групп, а в [5] указаны некоторые критические сг-теории многообразий ОТ*; и Dfy. Эти резз^льтаты делают актуальным описание всех критических теорий указанных свободных групп и многообразий, т. е. опи сание границ разрешимости (опр. см. в [6]) B(F9Tfc), B{F%K\), B(OI^), J3(9fy). Основным результатом нашей работы является следующая Т Е О Р Е М А . ДЛЯ любых натуральных к ^ 4 u I ^ 3 границы разре шимости многообразий ОТ* и SHj, рассматриваемых как а-классы, опреде ляются равенствами В(91*) = {V3,3V-A/}, B(9t/).= {V3,V-A/}. Интересно заметить, что границы разрешимости многообразия ниль потентных и многообразия разрешимых групп отличаются от границы раз решимости многообразия всех групп, но совпадают с границами разреши мости ряда многообразий колец (см. [7—9]).
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
128
Ю. М. В&женин, В. Ю. Попов Для доказательства теоремы нам потребуется следующая лемма,
представляющая самостоятельный интерес. Л Е М М А . Для любых натуральных к ^ 3 u I ^ 2 границы разреши мости групп F9T* и F%Ki, рассматриваемых как rj-алгебры, определяются равенствами B{FVlk) = B(FD\i) = {3,V-i}. Прежде чем приступить к доказательству теоремы, напомним необ ходимые определения из работ [4, 6]. Схемпо-алътерпативной
иерархи
ей языков фиксированной сигнатуры £ называется упорядоченное вклю чением семейство SA всевозможных множеств Ci...C n -» r A'V* и uHrA*Vs ^-формул логики первого порядка, рассматриваемых в предваренной нор мальной форме и определяемых равенствами
{
cf+lc(t)+l
QiS-..Qvy\l
Л t=l
^m{iJ)Xij\(v, GJ-VAV = (J C I . . . C „ - . P A V , где C i , . . . , C n , Q i , . . . , Q v e {V,3}, C,- /
C t > b Q,- ^ Qj+i; r , * , s , m ( i , j ) 6
£ {0,1}; it;1 = w, w° — пустой символ; х = Ж1...жр,..., у = yi---Vq'i Xij — атомарная ^-формула; sgnu — знак числа и. Таким образом, язык С\ ...C n -i r А*Vе состоит из тех и только тех ^-формул у>, блочная схема кванторной приставки которых является, возможно, пустым подсловом слова Ci...C n , а в бескванторной части Vafx, За?х, VfByx? где х ~ атомарная f-формула; язык V-iV состоит из всех ^-формул вида ф, У я ^ , где ^ не содержит кванторов и конъюнкции. Иерархия языков SA определяет иерархию SAX теорий данного класса алгебраических систем сигнатуры £, которая задается равенством SAX=({LX\LeSA};C), где LX — это £-теория класса X. Теория LX называется
критической,
если она является минимальной в SAX неразрешимой теорией. Границей
Границы разрешимости некоторых классов групп
129
разрешимости класса X называется список В(Х) языков L E SA таких, что LX — критическая теория, т. е. В(Х) = {L£ SA\LX - критическая}. Рассмотрев SA как частично упорядоченное множество, легко понять, что описание J3(3C) автоматически дает описание всех в рамках SA разреши мых теорий ЗС, поскольку теория LX G SAX разрешима тогда и только тогда, когда она не включает ни одной критической теории. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО леммы. В [3] доказана неразрешимость теории 3F9Tb Произвольное предложение языка 3 истинно на FVlk тогда и только тогда, когда его отрицание, т.е. предложение языка V-i, ложно на F9U, поэтому теория V-iF9tfc тоже неразрешима. Покажем, что найденные две неразрешимые теории являются кри тическими. Для этого, в силу устройства 5Л, достаточно показать, что все покрываемые ими теории разрешимы. Теория 3F9U покрывает только теорию OFOTfc, которая очевидно разрешима, так как в группе F9U разре шима проблема равенства слов. Теория V-iF9U покрывает теории -«F^U и VFtTtfc. Первая теория тривиально сводится к 0F9U. Произвольное пред ложение языка второй теории имеет вид Vz(/(x, ei, ...,e g ) = 1). Любое соотношение между свободными порождающими относительно свободной группы является тождеством, следовательно, FOTjfc \=Vx(f(x,ei,...,eq)
= 1) так как на третьем этаже иерархии SA FCU разрешимыми могут быть только эти теории, а на четвертом этаже уже все теории нераз решимы. Теория -i Л VF9U легко сводится к теории 0F9U. Произвольное предложение языка V Л V равносильно конъюнкции предложений языка
130
Ю, М. Важенин, В. Ю. Попов
W . Разрешимость теории V V F9Tfc можно показать совершенно аналогич но тому, как это сделано для теории V F ^ . Неразрешимость теории 3FJH2 доказана в [2]. Неразрешимость тео рии 3F1H/ при / ^ 3 анонсирована в [10]. Используя эти факты, можно завершить доказательство леммы по той же схеме, что и для группы FOlfc. Лемма доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
теоремы. Докажем сначала, что
теория
1
V3F9tfc сигнатуры (-,""* ) неразрешима. Для этого, в силу леммы, до статочно показать, что для любого предложения ф\ языка 3 сигнатуры {•, ~ 1 , l , e i , ...,е п ,...) найдется предложение V>2 языка V3 сигнатуры {-,"1), для которого F*ftk \= Фг