Практикум по курсу общей физики по специальностям ''География'', ''Природопользование'', ''Геоэкология''

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

П О

П Р А КТИ КУ М К У РС У ОБ Щ Е Й Ф И З И К И

по специа льностям: геогра фия–012500 природопольз ова ние –013400 геоэк ология- 013600

В оронеж –2005

2

У тверж дено на у чно-методическ им советом физ ическ ого фа к у льтета 1 ма рта 2005 г., проток ол № 3

С оста вители: С .Д . М ил о видо ва А .М .С а ввино в А .С . С идо ркин О .В . Р о га зинска я

П ра к тическ ое пособие подготовлено на к а федре эк сперимента льной физ ик и физ ическ ого фа к у льтета В оронеж ск ого госу да рственного у ниверситета . Рек оменду ется для сту дентов географическ ого фа к у льтета дневной и з а очной формы обу чения Ра бота вы полнена при поддерж к е гра нта VZ –010 Америк а нск ого фонда гра ж да нск их исследова ний и ра з вития (CRDF) и по програ мме "фу нда мента льны е исследова нияи вы сш ее обра з ова ние"

3

С ОД Е РЖ А Н И Е 1.1. П ра вила ра боты вла боратории. О формление рез у льта товра боты … ...4 1.2. О бра ботк а рез у льта товфиз ическ ого эк сперимента… … … … ................5 1.3. И з у чение из мерительны х приборов… … … … … … … … … … … .… … ...14 2. И з у чение з а к онов к олеба тельного движ ения математическ ого ма ятник а. П роверк а з ак онов к олеба ния ма тематическ ого ма ятник а и определение у ск орениясвободного па дения… … … … … … … … … .....18 3. О пределение моментов инерции тел с помощ ью трифилярного подвеса .… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… .21 4. О пределение к оэффициента вяз к ости ж идк ости по методу С ток са … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ....26 5. О пределение отнош ения у дельны х теплоемк остей га з ов методом К лема на - Д ез орма … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ....29 6. О пределение сопротивлений мостик ом У итстона … … … … … … … .. 33 7. И з у чение ра боты элек тронного осциллогра фа … … … … … … … … .....37 8. П роверк а обобщ енного з а к она О ма дляцепи переменного ток а … .… 44 9. И з мерение у дельного сопротивленияпроводник а … … … … … … … . ..51 10. И з у чение ра боты простейш его ла мпового генера тора элек трома гнитны х к олеба ний … … … … … … … … … … … … … … … ....56 11. И з у чение явления вра щ ения плоск ости к олеба ний плоск ополяриз ова нного света … … … … … … … … … … … … … … … ....61 12. У ра внение волны . И нтерференция волн О пределение длины световой волны с помощ ью к олец Н ью тона … … … … … ..… … ......67 13. О пределение длины световой волны при помощ и дифра к ционной реш етк и … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .73

4

1.1. П Р А В И Л А Р А Б О ТЫ В Л А Б О Р А ТО Р И И , О Ф О Р М Л Е Н И Е Р Е ЗУ Л Ь ТА ТО В Р А Б О ТЫ П еред на ча лом вы полненияла бора торного прак тик у ма к а ж ды й сту дентобяз а нпройти инстру к та ж по техник е без опа сности!!! П рав ила работы в лаборатории В на ча ле семестра соста вляется гра фик вы полнения работ на весь семестр. С ту дент долж ен з а ра нее з нать тему своей ла бора торной ра боты и подготовиться к ней по методическ ому ру к оводству и дру гой у к а з а нной в нем литера ту ре. П еред вы полнением к а ж дой ла бора торной ра боты необходимо пройти к ратк ое собеседова ние с препода ва телем и полу чить ра з реш ение на ее вы полнение. О но да ется в том слу ча е, если сту дент четк о з на ет цель ра боты , методик у проведения эк сперимента , у меет польз ова ться прибора ми. П ри вы полнении ла бораторной ра боты использ у ю тся тольк о те приборы и прина длеж ности, к оторы е у к а з а ны в методическ ом ру к оводстве к ней. П Р И С ТУ П А ТЬ К В Ы П О Л Н Е Н И Ю Л А Б О Р А ТО Р Н Ы Х Р А Б О Т БЕЗ Р А ЗР Е Ш Е Н И Я П Р Е П О ДА В А ТЕ Л Я КА ТЕ ГО Р И ЧЕ С КИ В О С П Р Е Щ А Е ТС Я! В к онце з а нятия сту дент обяз а н предъ явить препода ва телю рез у льта ты своей работы . Ра бота счита ется вы полненной, если рез у льтаты у тверж дены и подписа ны препода ва телем. П осле этого необходимо вы к лю чить у ста новк у , привести в порядок рабочее место. И обяз а тельно уз на ть, к ак у ю ра боту сту дентбу детвы полнять на следу ю щ ем з а нятии. Оформлениеотчетов П о рез у льта та м к а ж дой ла бораторной работы соста вляетсяотчет. О н долж енвк лю ча ть: 1. К ра тк у ю теорию , описа ние метода исследова ния, все необходимы е форму лы , в том числе и ра счетну ю с пояснением физ ическ ого смы сла входящ их внее символов(0,5-1 стр.). 2. У словияопы та – темпера ту ру , да вление и т.д. (если это ва ж но). 3. Д а лее следу ет ра з дел «В ы полнение ра боты » с обяз ательны м на з ва нием к а ж дого у пра ж нения. 4. Т а блицы с рез у льта та ми из мерений и ра счетов. Т а блицы соста вляю тся та к , чтобы из них бы ло ясно, к а к ие физ ическ ие величины и в к а к их единица х из мерялись, ск ольк о ра зповторялись из меренияк а ж дой физ ическ ой величины . 5. С та тистическ у ю обра ботк у рез у льтатовиз мерений. 6. В ы воды . О ни долж ны бы ть а ргу ментирова ны ссы лк а ми на соответству ю щ ие та блицы и гра фик и, к оторы е долж ны бы ть прону мерова ны

5

О тчет долж ен бы ть на писа н в хорош ем стиле, а к к у ра тны м ра з борчивы м почерк ом. П ри его оформлении не следу ет так ж е пренебрегать и эстетическ ой стороной вопроса . Заголовк и, вы воды и форму лы целесообра з но вы делять па стой дру гого цвета , подчерк ну ть и т.п. Это облегча етчтение отчета. Г рафики Г ра фик и использ у ю тся для на глядного представления рез у льтатов. П ри их построении необходимо соблю да ть ряд пра вил: 1. Г ра фик и ну ж но строить тольк о на миллиметровой бу ма ге. 2. Н а осях необходимо на нести ма сш та бну ю сетк у , у к а з а ть единицы из меренияи символы из обра ж а емы х величин. 3. М а сш та б долж ен бы ть просты м, у добны м для отсчета его долей. Н а пример, 1 см = 0,1; 1; 2 или 10 единиц. К роме того, ма сш та б вы бираю т та к , чтобы все эк сперимента льны е точк и вош ли в гра фик и доста точно да лек о отстояли дру готдру га . И ногда для этой цели бы ва ет у добно сместить на ча ло отсчета вдоль осей. М а сш та б по осям Х и У мож етбы ть ра з личен. Эк сперимента льны е точк и следу ет на носить с мак сима льной точностью та к , чтобы они четк о вы делялись на фоне гра фик а, не слива ясь с ним. 4. Г ра фик долж ен предста влять собой пла вну ю к риву ю безиз ломов и перегибов. Н у ж но стремиться провести к риву ю та к , чтобы эк сперимента льны е точк и ра вномерно ра спределялись по обе стороны отнее (рис. 1). Рис. 1 Г ра фик и, вы полненны е на миллиметровой бу ма ге, а к к у ра тно вк леива ю тся в отчет, где для них необходимо преду смотреть соответству ю щ ее место. 1.2. О Б Р А Б О ТКА Р Е ЗУ Л Ь ТА ТО В Ф И ЗИ ЧЕ С КО ГО ЭКС П Е Р И М Е Н ТА Ф из ик а – на у к а опы тна я, это оз начает, что нача лом и к онцом к а ж дого физ ическ ого исследова ния является опы т. О пы т является одним из средств на у чного поз на ния мира. П роведенны й в ла бора торны х у словиях опы т носит на з ва ние эк сперимента . Эк сперимента тор, ста вя тот или иной опы т, из меряет ряд физ ическ их величин, з на ние к оторы х поз воляетему су дить о ха ра к тере да нного физ ическ ого явления. В а ж но не тольк о у мение произ водить эк сперимента льны е из мерения, но и у мение ма тема тическ и обра бота ть рез у льта ты из мерений. Безэтого ценность лю бы х из мерений равна ну лю . Ч то ж е з на читвообщ е – из мерить к ак у ю -либо величину ?

6

Из мерить к ак у ю -либо величину – з на чит у з на ть, ск ольк о ра зсодерж ится в ней однородна я с ней величина , принята я з а единицу меры . Из меренияподра з деляю тсяна прямы еи косв енны е. П рямы м на з ы ва ется из мерение, при к отором иск омое з на чение величины на ходится непосредственно изопы та пу тем отсчета по ш к а ле из мерительного прибора . Т а к , на пример, из мерение длины нек оторого тела мы произ водим пу тем последова тельного прик ла ды ва ния к нему дру гого тела , длина к оторого принята з а единицу длины . Это та к на з ы ва емое непосредственное или прямое из мерение. П рямы м из мерением мы польз у емся довольно редк о: та к ово из мерение ма ссы тела с помощ ью весов, определение темпера ту ры тела термометром и т. д. Н а прак тик е ча щ е всего мы ста лк ива емся с косв енны м из мерением, т.е. мы из меряем не са му требу ему ю величину , а ряд дру гих величин, связ а нны х с иск омой определенны ми соотнош ениями. И ск ома я величина на ходится по форму ле, в к отору ю входят физ ическ ие величины , на йденны е при прямы х из мерениях. Н а пример: определение плотности тела по его геометрическ им ра з мера м и ма ссе, определение силы ток а по на пряж ению и сопротивлению и т. д. Ф из ик а является не тольк о о пыт но й, но и т о чно й на у к ой, поэтому для подтверж дения той или иной теории необходимо весьма тщ а тельное из мерение физ ическ их величин. М еж ду тем а бсолю тно точно из мерить к а к у ю – либо величину нельз я, что является следствием неточности из мерительны х инстру ментов и приборов, тру дности у чета нек оторы х фа к торов, влияю щ их на из меренияи т. д. К а ж дое из мерение, к ак бы тщ а тельно оно не бы ло проведено, отлича ется от истинного з на чения из меряемой величины , т. е. имеет погреш ность. Точ ность изм ерения опред ел яется той наим еньш ей ч астью ед иницы м еры , д о которой с уверенностью в правил ьности резул ьтата м ож но провести изм ерение. С тепень точности з а висит и от методик и из мерений и от точности приборов. П реж де чем присту пать к из мерениям, необходимо определить пределы точности, к оторы е могу т бы ть полу чены с да нны ми прибора ми. Т а к , на пример, при определении плотности твердого тела необходимо определить ма ссу тела и его геометрическ ие ра з меры с помощ ью ш та нгенцирк у ля. Е сли последнее из мерение мож ет бы ть проведено с точностью ≈ 1%, то нет ник а к ого смы сла вз веш ива ть тело с точностью до соты х и ты сячны х долей %. Т.е., есл и прих од ится изм ерять разл ич ны е вел ич ины и пред ел ы возм ож ной точ ности у них оказы ваю тся разл ич ны м и, то нет оснований при отд ел ьны х изм ерениях вы х од ить за пред ел ы точ ности наим енее точ но изм еряем ой вел ич ины .

7

П о харак теру влияния на рез у льта ты из мерений погреш ности делятсяна 3 типа : система тическ ие, слу ча йны е, промахи. С истем атич еским и на з ы ва ю тся погреш ности, величина к оторы х не меняется при повторении из мерений да нной величины в тех ж е у словиях (тем ж е методом, теми ж е прибора ми и т. д.). С истема тическ ие погреш ности воз ник а ю т в тех слу ча ях, к огда не у читы ва ется влияние на рез у льта ты эк сперимента ра з личны х постоянно действу ю щ их фак торов: темпера ту ры , да вления, вла ж ности воз ду ха, вы та лк ива ю щ ей силы Архимеда , сопротивления подводящ их проводов, к онтак тны х ЭД С и т. п. И сточник ами система тическ их погреш ностей могу т бы ть та к ж е из мерительны е приборы вследствие неточности их гра ду ировк и или неиспра вности. И ск лю чение система тическ их погреш ностей требу ет принятия специа льны х мер предосторож ности. К ним относятся: 1. С воевременны й ремонти систематическ а япроверк а приборов. 2. И спольз ова ние специа льны х способов из мерения (на пример, двойное вз веш ива ние для иск лю чения нера вноплечности весов, использ ова ние охра нны х к олец при из мерении объ емного сопротивления плохих проводник ов, поз воляю щ ее иск лю чить влияние их поверхности) 3. В несение соответству ю щ их попра вок на влияние внеш них фа к торов. П ром ах – это очень гру бая погреш ность, вы з ва нна я невнима тельностью эк спериментатора (неверны й отсчет пок а з а ний прибора , описк а при з а писи пок а з а ний и т. д.). П рома хи могу т сильно иск а з ить рез у льтаты из мерений, особенно в тех слу ча ях, к огда их число невелик о. В ы вод: при вы полнении работы ну ж но бы ть очень внима тельны м, не спеш ить, не отвлек а ться. С л уч ай ны м и на з ы ва ю тся погреш ности, величина и з на к к оторы х меняется непредск а з у емы м обра з ом при повторны х из мерениях да нной величины в тех ж е у словиях. С лу ча йны е погреш ности могу т бы ть вы з ва ны неточностью отсчетов, к отору ю непроиз вольно вносит в из мерение эк спериментатор, и к оторы е являю тся следствием несоверш енства на ш их орга новчу встви нек оторы х дру гих обстоятельств, к оторы е не могу тбы ть з ара нее у чтены (из менения да влениявоз ду ха, темпера ту ры , толчк и з да ния, влияю щ ие на пок а з а ния точного з ерк а льного га льва нометра и т. д.). М ногок ра тное повторение отсчетов из мерения сниж а ет у ровень слу ча йны х ош ибок . С ред нее ариф м етич еское из б ол ьш ого ч исл а изм ерений , конеч но, б л иж е всего к истинном у знач ению изм еряем ой вел ич ины . В отпочему в ла бора торной пра к тик е всегда проводят неоднок ра тное из мерение к а к ойлибо величины . С лу ча йны е погреш ности подчиняю тся з а к она м теории вероятности. В да льнейш ем мы бу дем говорить тольк о о слу ча йны х погреш ностях, опу ск а яслово «слу ча йны е» .

8

В основе теории погреш ностей леж а ттри ак сиомы : 1. С лу ча йны е погреш ности, ра вны е по а бсолю тной величине, но противополож ны е по з на к у , ра вновероятны . Это оз на ча ет, что мы мож ем с одина к овой вероятностью ош иба ться к а к в одну , та к и в дру гу ю сторону (к а к вменьш у ю , так и вбольш у ю ). 2. С реднее а рифметическ ое из слу ча йны х погреш ностей из мерений одной и той ж е величины при у величении числа из мерений стремитсяк ну лю . 3. Ч ем больш е по а бсолю тной величине погреш ность из мерения, тем меньш е ее вероятность, т.е. тем реж е она встреча ется. Т еперь вы ясним, к ак вы числяю тся погреш ности при прямы х из мерениях, а з а тем при к освенны х. Вы числение погреш ностей прямы х из мерений П редста вим, что мы на опы те из мерили к а к у ю -либо величину и полу чили всего «m» рез у льтатов отдельны х из мерений: N 1, N2, N 3… N n – всего «n» из мерений. П о ск а з а нному вы ш е – среднее а рифметическ ое бу дет на иболее близ к им к истинному з на чению из меряемой величины :

N=

N1 + N 2 + N 3 + ... + N n n

Бу дем на з ы ва ть величину N средним а рифметическ им или, с нек оторы м приближ ением, истинны м з на чением иск омой величины . Н а йдем ра з ницу меж ду отдельны м к а ж ды м из мерением и истинны м з на чением из меряемой величины , т.е. N - N1 = ±∆ N1 N - N2 = ±∆ N2 … … … … … N - N n = ±∆ N n. Берем з нак и ±, т.к .Ni могу тбы ть к а к больш е, так и меньш е N. Р азность м еж д у истинны м знач ением изм еряем ой вел ич ины и отд ел ьны м изм ерением д ает нам аб сол ю тную погреш ность отд ел ьного изм ерения. С ред нее ариф м етич еское из ч исл енны х знач ений отд ел ьны х ош иб ок назы вается сред ней аб сол ю тной ош иб кой изм ерений : (аб сол ю тны е ош иб ки б ерутся по аб сол ю тной вел ич ине)

∆N =

∆N1 + ∆N 2 + ... + ∆N n . n

Зна я а бсолю тны е погреш ности отдельны х из мерений, мож но на йти относительны е ош ибк и отдельны х из мерений, к оторы е предста вляю т собой отнош ение следу ю щ их величин:

∆N1 = Ε1; N1

∆N ∆N 2 = Ε 2 ;... n = Ε n . N2 Nn

9

О тносительны е погреш ности вы ра ж а ю тся обы чно в %, в то время к а к а бсолю тны е – в единица х из меренияиск омой величины . О тнош ение сред ней аб сол ю тной ош иб ки ∆N к сред нем у ариф м етич еском у N назы вается сред ней относител ьной ош иб кой

∆N = Ε. N

изм ерения:

Н а пример: 1. И з мерение времени: t1 = 20,0 с t2 = 19,7 с t3 = 20,1 с t4 = 19,8 с t=79,6:4=19,9 с Е =

∆ t1 = -0,1 с ∆ t2 = +0,2 с ∆ t3 = -0,2 с ∆ t4 = +0,1 с ∆ t =0,6:4=0,15 с≈ 0,2 с

0,15 с ≈ 0,007 ≈ 0,01; или впроцентах Е =1 %. 19,9 с

И ск омы й рез у льтатз а писы ва ется: t = (19,9±0,2) с. 2. И з мерение толщ ины пла стинк и: D1 = 2,24 мм d2 = 2,28 мм d3 = 2,20 мм d = 6,78:3 = 2,24 мм

Ε=

0,026 мм ≈1%, 2,24 мм

∆ d1 = 0,00 мм ∆ d2 = -0,04 мм ∆ d3 = +0,04 мм ∆ d = 0,08:3 мм ≈ 0,026 ≈ 0,03 мм d = (2,24±0,03) мм.

О тсю да видно, что а бсо л ют на я по гре ш но ст ь по ка зыва ет , в ка ких пре дел а хна хо дит ся изме ряе ма я вел ичина . По а бсо л ют но й по гре ш но ст и мо ж но судит ь и о т о чно ст и изме ре ния о дно ро дныхве л ичин о дно го по рядка . Н а пример, l 1 = 25 см; ∆l 1 = 0,1 см и l 2 = 50 см; ∆l 2 = 0,01 см, второе из мерение сдела но сточностью в10 ра збольш ей, чем первое. О т но сит е л ьна я ж е по гре ш но ст ь по зво л яе т судит ь о ст е пе ни т о чно ст и изме ре ния ве л ичин ра зных по рядко в ка к о дно ро дных, т а к и ра зно ро дных. П оясним это примером: Бы ли из мерены две физ ическ ие величины – толщ ина пла стинк и d и ск орость света c. С у четом а бсолю тны х ош ибок из мерения эти величины з а пиш у тся: d ± ∆ d = (2,25 ± 0,01) мм, с ± ∆ с= (300000 ± 100) к м/с. Н а первы й вз гляд (по абсолю тны м ош ибк а м из мерения) к а ж ется, что толщ ина пла стинк и из мерена точнее ск орости света .

10

Н о! Зна чение ∆ d и ∆ с не поз воляет су дить о степени точности этих из мерений. Н а йдем относительны е погреш ности: 0,01 мм Εd = ≈ 0,4 %, 2,25 мм

100 км / с ≈ 0,03 %, 300000 км / с отк у да следу ет, что второе из мерение бы ло произ ведено с точностью , примерно в 10 ра збольш ей, чем первое, что с первого вз гляда бы ло неочевидно. В том слу ча е, к огда да нна яфиз ическ а явеличина определяла сь много ра з– теоретическ и число из мерений ра вно ∞ - степень точности рез у льта та из мерений мож но оценить более строго, воспольз ова вш ись форму лой, к отору ю да ет теория вероятностей. Это так на з ы ва ема я сред няя квад ратич ная аб сол ю тная погреш ность: Εc =

n 2 ∑ (∆N i ) i =1 .

∆N ква др = ±

n(n − 1)

2

Здесь n – число из мерений, а ∑ (∆ Ni) есть су мма к ва дра тов а бсолю тны х ош ибок отдельны х из мерений. Д о сих пор мы говорили о погреш ностях прямы х из мерений, к оторы е вла бора торной пра к тик е встреча ю тсяне столь ча сто. П огреш ности косвенны х изм ерений В больш инстве слу ча ев для полу чения рез у льта та на до произ вести ряд прямы х из мерений дру гих величин, связ а нны х меж ду собой определенны ми форму ла ми. Зна я погреш ности, допу щ енны е при из мерениях этих величин, входящ их в форму лу для определения иск омого рез у льта та , необходимо определить и погреш ность са мого рез у льтата. Ра ссмотрим к а к вы числяю тсяпогреш ности к освенны х из мерений. I. И з меряема я иск ома я величина на ходится к ак су мма дву х величин А и В , на йденны х изопы та. Значит, тогда из вестны ∆ А и ∆ В . Н а йдем ∆ N. N=A+B (1) N = ∆ N = (A ± ∆ A) + (B ± ∆ B) = A + B ± ∆ A ± ∆ B (2) C у четом (1) из(2) полу чим: ± ∆ N = ± ∆ A ± ∆ B. В ы бира ем са мы й небла гоприятны й слу ча й, к огда ош ибк а ∆ N является ма к сима льной, тогда , су ммиру яош ибк и, полу ча ем: ∆ N = ±(∆ A + ∆ B) – а бсолю тна я погреш ность су ммы ра вна су мме а бсолю тны х погреш ностей сла га емы х. О тносительна япогреш ность на йдетсяпо форму ле:

Ε=

11

∆N ∆Α + ∆Β = N Α+Β

В ообщ е говоря, з десь перед дробью долж енстоять з на к ± , но мы для к ра тк ости письма в да льнейш ем бу дем его опу ск а ть, не з а бы ва яо нем. II. О чевидно, соверш енно а на логично мы полу чим ∆ N для слу ча я ра з ности ∆ N = ∆ А + ∆B –а бсолю тна я погреш ность ра з ности ра вна су мме а бсолю тны х погреш ностей у меньш а емого и вы чита емого, и

Ε=

∆Α + ∆Β Α−Β

III. Абсолю тна я и относительна я погреш ность произ ведения дву х сомнож ителей: N=A·B; ∆ A; ∆ B; ∆ N=?; Е =? N± ∆ N=(A± ∆ A)(B± ∆ B)=AB± A∆ B± ∆ BA± ∆ A ·∆ B, отк у да ∆ N = A∆ B + B∆ A , т.е. абсолю тна я ош ибк а произ ведения ра вна су мме произ ведений первого сомнож ителя на а бсолю тну ю погреш ность второго и второго сомнож ителяна а бсолю тну ю погреш ность первого сомнож ителя.

Ε=

Α∆Β + Β∆Α ∆Β ∆Α = + , ΑΒ Β Α

т.е. относительна я погреш ность произ ведения ра вна относительной погреш ности сомнож ителей. IV. Абсолю тна яи относительна япогреш ность дроби:

су мме

Α N= ; И з вестны ∆ А и ∆ B; Н еобходимо на йти ∆ N=? Β Α ± ∆Α Β ± ∆Β ΑΒ ± Α∆Β ± Β∆Α ± ∆Α ⋅ ∆Β ⋅ = . N± ∆ N = Β ± ∆Β Β ± ∆Β Β 2 − ∆Β 2

Зна к ± берем потому , что ош ибк а дроби бу дет мак сима льной, если з на мена тель бу детминима льны м.

∆Ν =

Α∆Β + Β∆Α

.

Β2 Α∆Β + Β∆Α Β ∆Β ∆Α Ε= ⋅ = + Α Β Α Β2

–

рез у льта ттотж е, что и дляслу ча япроиз ведения. V. Абсолю тна яи относительна япогреш ность степенной фу нк ции: N = An; ∆ A; ∆ N=? N = A·A·A·… ·A – n сомнож ителей. Н а йдем сна ча ла Е .

12

Ε=n

VI.

∆Α ∆Ν , т.к . Ε = , то Α Ν ∆Α n ∆Ν = Ε ⋅ Ν = n Α = n ⋅ Α n −1∆Α = ∆Ν . Α

Абсолю тна яи относительна япогреш ность к орня: Ν = n Α . Н а йдем ∆ N и Е к а к длястепенной фу нк ции

Ε=

N = A1/n

1 ∆Α n Α

1

1 ∆Α 1 / n 1 n −1 1 Αn ∆Α . ∆Ν = Α = Α ⋅ ∆Α = n Α n n Α

VII. Н а йдем ∆ N и Е , если иск ома я величина есть тригонометрическ а я фу нк цияиз меряемой величины . а ) N=sinα ; ∆ α; ∆ N -? N± ∆ N=sin(α± ∆ α)=sinαcos∆ α±cosαsin∆ α =sinα±cosα∆ α . С чита яcos∆ α =1; sin∆ α≈ ∆ α, ∆ N= cosα · ∆ α

Ε= Ана логично безвы вода

cos α ∆α = ctgα∆α . sin α

∆α

b) N=cosα;

Δ N=

c) N=tgα;

Δ N=

d) N=ctgα ;

Δ N=

cos 2 α ∆α cos 2 α ∆α sin 2 α

sinα Δ α;

E=tgαΔ α..

;

E=

;

2∆α . sin 2α 2∆α E= . sin 2α

И з вы ш еприведенны х примеров на хож дения а бсолю тны х и относительны х ош ибок мож но сдела ть следу ю щ ий вы вод, к оторы й поз волиту простить на хож дение Δ N и Е : 1) сре дние а бсо л ют ные о ш ибки мо ж но на хо дит ь по пра вил а м диф ф е ре нциро ва ния, за ме нив зна чо к диф ф е ре нциро ва ния (d) зна чко м о ш ибки(Δ). Зна ки(+ ил и-) приэт о м на до выбира т ь т а к, чт о бы а бсо л ют на я о ш ибка был а max. 2) О т но сит е л ьную по гре шно ст ь ре зул ьт а т а мо ж но на йт и сл е дующ им о бра зо м: л о га риф мируем исхо дно е выра ж е ние , а за т е м е го диф ф е ре нцируе м, за ме няя в ко не чно м ит о ге зна чкиd на зна чо к Δ. Зна ки + и – о пят ь – т а ки выбира е м т а ким о бра зо м, чт о бы а бсо л ют на я ве л ичина о т но сит е л ьно й о ш ибки был а бы ма ксима л ьно й. П роиллю стриру ем на хож дение Δ N и Е к освенны х из мерений.

13

Из меряема я

1.

величина на ходится по форму ле N =

2ab 2 c

3

.

В еличины а , b и c на ходятся прямы ми из мерениями и для них ра ссчиты ва ю тся Δ а , Δ b, Δ c. Н еобходимо на йти а бсолю тну ю и относительну ю ош ибк и величины N: Δ N-? EN-? Н а йдем Δ N: дляэтого вна ча ле продифференциру ем все вы ра ж ение дляN:

dN = =6

2ab 2 d (c 3 ) + c 3d (2ab 2 ) (c 3 ) 2

ab 2 c4

dc + 2

b2 c3

da + 4

ab c3

=

2ab3 3c 2 dc + c 3 (2da ⋅ b 2 + 2a ⋅ 2bdb c6

db;

з а тем з на чк и дифференцирова ния з а меняем на а бсолю тну ю ош ибк у Δ N:

∆Ν = 2

b2 c

=

3

∆a + 4

ab c

3

∆b + 6

ab c4

Δ

и полу ча ем

∆c.

Т еперь на йдем Е , исходяизз на ченияΔ N .

∆Ν 2b 2 ∆ac 3 ab∆bc 3 ab 2 ∆c 3 ∆a ∆b ∆c Ε= = 3 + 4 + 6 c = + 2 + 3 . Ν c ⋅ 2ab 2 a b c c 3 2ab 2 c 4 2ab 2

И з этого примера видно, что з десь прощ е бы ло бы на йти относительну ю ош ибк у , а з а тем а бсолю тну ю . С к а ж ем сра з у , что во всех тех слу чаях, к огда иск ома я величина есть произ ведение и дробь величин, из меренны х непосредственно на опы те, у добнее и легче на ходить в перву ю очередь относительну ю погреш ность, а з а тем а бсолю тну ю . В са мом деле:

N=

2ab 2 c

3

, lnN=ln2+lna+2lnb-3lnc, после дифференцирова ния,

з а мены з на чк ов дифференцирова ния на Δ и из менения з на к ов так , чтобы ош ибк а бы ла ма к сима льна яполу ча ем

E=

∆Ν ∆a ∆b ∆c = +2 +3 . Ν a b c

А теперь, если ну ж но, мож но на йти и Δ N, з на я, что Δ N=Е ·N.

14

1.3.И ЗУ ЧЕ Н И Е И ЗМ Е Р И ТЕ Л Ь Н Ы Х П Р И Б О Р О В Н ониусы Ч а сто при из мерении длины к а к ого-либо тела длина его не у к ла ды ва ется в целое число делений ма сш та ба . Д ля того чтобы мож но бы ло пору читьсяпри линейны х из мерениях и з а десяты е доли ма сш та ба (а иногда и з а соты е), польз у ю тсянониу сом. Н ониу с – это дополнительна я ш к ала к основному ма сш та бу (линейному или к ру говому ), поз воляю щ а я повы сит точность из мерения с да нны м ма сш табом в10, 20 и более число ра з . Н ониу сы бы ва ю т линейны е и к ру говы е, прямы е и обра тны е, нера стяну ты е и ра стяну ты е. Л инейны й нониу с предста вляет собой небольш у ю линейк у (ш к а лу ), ск ольз ящ у ю вдоль больш ей ма сш та бной линейк и (рис.2). К а к видно из рис.1, 10 делений нониу са соответству ю т9 делениям основного ма сш та ба . В слу ча е прямого нера стяну того нониу са , к оторы й мы ра ссматрива ем, одно деление нониу са к ороче одного деления ма сш та ба на величину Δ , к отора я на з ы ва ется точностью нониу са . 0 10 20 Т очность нониу са Δ я в л я ет с я ра з н ос т ью д л ин Рис. 2 делений основного ма сш та ба и нониу са и легк о мож етбы ть определена , если мы з на ем число делений нониу са n и длину на именьш его деленияма сш та ба α m

1 ∆ = αm . n

Д лина отрез к а, из меряема я при помощ и нониу са , бу дет ра вна числу целы х делений ма сш та ба до ну ля нониу са плю с точность нониу са , у множ енна я на номер его деления, 0 5 10 совпада ю щ его с нек оторы м делением ма сш та ба. Н а рис.3 длина тела ра вна 13 – ти целы м и 3-м 0 10 20 30 десяты х, так к ак Рис. 3 совпада ет с делениями ма сш та ба 3 – е деление нониу са . П огреш ность, к отора я мож ет воз ник ну ть при так ом методе отсчета , бу дет обу славлива ться неточны м совпа дение деления нониу са с одним из

15

делений ма сш таба , и величина ее не бу детпревы ш а ть, очевидно,

1 ∆. 2

Т а к им обра з ом, мож но ск а з а ть, что погреш ность нониу са ра вна половине его точности. В обра тном нониу се длина одного деления нониу са больш е длины одного деления ма сш та ба на величину точности нониу са . Т ехник а из мерения с обра тны м нониу сом так а я ж е, что и с прямы м, с той лиш ь ра з ницей, что обратны й нониу с прик ла ды ва ется к к онцу из меряемого отрез к а так им обра з ом, чтобы числа делений нониу са у бы ва ли в сторону воз ра ста нияделений основного ма сш таба . Ч тобы легче бы ло з а метить, к ак ое деление нониу са совпа да ет с к а к им- либо делением основной ш к а лы , на пра к тик е дела ю т нониу сы ра стяну ты ми. П рямой ра стяну ты й нониу с полу чится, если длина одного деления нониу са бу дет к ороче не одного на именьш его деления ма сш та ба (к а к мы пола га ли до сих пор), а дву х, трех и т.д. на именьш их делений его. Т очность нониу са вэтом слу ча е определяетсяпо той ж е форму ле. К ру говой нониу с в принципе ничем не отлича ется от линейного. О н предста вляетсобой небольш у ю ду гову ю линейк у , ск ольз ящ у ю вдоль к ру га лимба , ра з деленного на гра ду сы или на доли гра ду са (рис. 4). Т очность к ру гового нониу са обы чно вы ра ж а етсявмину та х. Ч а сто к ру говы е нониу сы в прибора х, в к оторы х необходимо отсчита ть у глы в обоих 0 на пра влениях (по ча совой стрелк е 10 20 30 или против нее), состоят издву х 170 170 соверш енно одинак овы х ш к а л, ра сполож енны х по обе стороны от 175 ну ля. Л егк о предста вить, что при 185 180 отсчете следу ет всегда Рис.4 польз оваться той ш к а лой, к отора я идет вперед по на пра влению отсчетов. О чень ча сто в к ру говы х нониу са х α м =0,5о=30 мину т , а n ра вно 15 или 30, в так ом слу ча е точность нониу са , соответственно ра вна дву м мину та м или одной мину те. В ла бораторной прак тик е для из мерения длин, площ а дей и объ емов на иболее распростра ненны ми прибора ми являю тся ш та нгенцирк у ль и мик рометр. Ш тангенциркул ь Ш та нгенцирк у ль (рис.5) слу ж ит для линейны х из мерений, не требу ю щ их вы сок ой точности. О тсчетны м приспособлением у всех к онстру к ций ш та нгенцирк у лей слу ж итосновна я ма сш табна я ш к а ла ш та нги 1, цена деления к оторой 1 мм, и линейны й нониу с на подвиж ной ра мк е 2. О н предста вляет собой

16

небольш у ю линейк у , ск ольз ящ у ю вдоль основного ма сш та ба . Н а этой линейк е на несена ма леньк а яш к а ла , состоящ а яизm делений. С у ммарна я длина всех ее m делений ра вна m-1 на именьш им делениям основного ма сш та ба, т.е. mx=(m-1)y, где х – длина деления нониу са , а у – длина на именьш его деления

x= y−

ма сш та ба. О тсю да

y , m

а ра з ность в длине делений ш к а лы и нониу са , к отора я на з ы ва ется 4

1

0 1 2  0.1 мм

15



5

2 3 точностью нониу са , бу детра вна

Рис.5

∆x = y − x =

y . m

Эта ра з ница и определяетсобой ма к сима льну ю погреш ность нониу са . П ри ну левом пок а з а нии инстру мента ну ль нониу са совпа да ет с ну левы м ш трихом основной ш к а лы . П ри из мерении подвиж на я ра мк а с нониу сом смещ а ется и предмет з а ж има ется гу бк ами 3 ш та нгенцирк у ля. Т а к к ак цена деления нониу са не равна цене деленияма сш та ба , то обяз а тельно на йдется на нем та к ое деление, к оторое бу дет ближ е всего подходить к к а к ому -то делению ма сш та ба . П ра вило отсчета мож но сформу лирова ть следу ю щ им обра з ом: длина предмета , из меряемого при помощ и нониу са , равна числу целы х делений ма сш та ба плю с точность нониу са , у множ енна я на номер деления нониу са , совпа даю щ его с нек оторы м делением ма сш таба . В ла бора торной пра к тик е обы чно использ у ю тся ш та нгенцирк у ли с точностью 0,1 и 0,05 мм, к отора яу к а з ы ва етсяна приборе. Д ля из мерения вну тренних ра з меров тел слу ж а т обы чно верхние з а остренны е нож к и 4. Е сли ж е ш та нгенцирк у ль не имеет верхних нож ек , то из мерение вну тренних ра з меров произ водится теми ж е нож к а ми, к оторы е слу ж а т для обмера на ру ж ны х ра з меров тела ; в этом слу ча е необходимо у читы ва ть толщ ину нож ек ш та нгенцирк у ля, к отора я указ ы ва ется на са мом инстру мента . Н ек оторы е ш та нгенцирк у ли сна бж а ю тсялинейк ой 5, слу ж а щ ей дляиз меренияглу бин.

17

В ла бора торной пра к тик е ш ирок о использ у ю тся та к ж е к ру говы е нониу сы вра з личны х приборах дляиз меренияу глов. М икром етр М ик рометр (рис.6) слу ж ит для из мерений диа метров проволок , небольш их толщ инпла стинок и т.п. О нимеетвид тиск ов и при из мерении предмет з а ж има ется меж ду неподвиж ны м стерж нем 1 и подвиж ны м торцом мик рометрическ ого винта 2. М ик ровинт вра щ а ю т, держ а сь з а трещ етк у 3. Н а стерж не мик ровинта у к репленба ра ба н4, с на несенной на нем ш к а лой, имею щ ей 50 делений. О тсчет ведется по гориз онта льной ш к а ле 5 и по ш к а ле ба ра ба на . Х од винта ( посту па тельное перемещ ение ба раба на и стерж ня2 при соверш ении одного оборота винта ) ра вен0,5 мм. Это оз на ча ет, что цена деления ба ра ба на 0,01 мм. 0 С леду етобра тить внима ние, что вы ш е основной 1 2 4 3 миллиметровой ш к а лы 5 имеется дополнительна я 0.01 мм Рис.6 линейна я ш к а ла , смещ енна я 0– относительно основной на 0,5 мм. П реж де чем польз ова ться мик рометром, необходимо у бедиться, что мик рометр исправлен – ну ли его ш к а л совпа да ю т. И з меряемы й предмет помещ а ю тмеж ду стерж нем 1 и винтом 2. За тем, вра щ ая винтз а головк у 3, доводят его до соприк основения с предметом. М омент з а ж а тия фик сиру ется треск ом. П осле этого треск а да льнейш ее вра щ ение головк и 3 бесполез но, а ба ра ба на 4 недопу стимо. О тсчет произ водят по ш к а ла м: миллиметры по основной линейной ш к а ле, доли миллиметра по ш к а ле на ба раба не. П ри отсчете необходимо у читы ва ть, появила сь ли половинк а деления верхней 20 20 ш к а лы после последнего перед 15 15 к ра ем бара ба на деления ниж ней 0 5 0 5 10 10 основной ш к а лы ил и н ет . Н а рис.7 Рис. 27 к ру пны м пла ном пок а з а ны ш к а лы мик рометра . К а к видно из рис.7 (слева ), к огда к ра й ба раба на переш ел ниж ню ю риск у , соответству ю щ у ю 6,00 мм, а риск а верхней ш к а лы не видна , то длина из меряемого предмета ра вна 6,15 мм. К огда ж е к ра й ба ра ба на переш ел верхню ю риск у (рис.7, спра ва ), соответству ю щ у ю 6,50 мм, то длина из меряемого предмета равна 6,65 мм. Н етру дно понять, что цена деления ба ра ба на , ра вна я 0,01 мм, и является точностью прибора , к отора яу к а з ы ва етсяна мик рометре.

18

РА Б ОТА N 2 И С С Л Е ДО В А Н И Е ЗА КО Н О В КО Л Е Б А ТЕ Л Ь Н О ГО ДВ И Ж Е Н И Я М А ТЕ М А ТИ ЧЕ С КО ГО М А ЯТН И КА . О П Р Е ДЕ Л Е Н И Е У С КО Р Е Н И Я С В О Б О ДН О ГО П А ДЕ Н И Я К раткаятеория К олебательны м движ ением (к олеба нием) на з ы ва ется процесс, при к отором система , многок ра тно отк лоняясь отсвоего состоянияра вновесия, к а ж ды й ра звновь воз вра щ а ется к нему . Е сли этот процесс соверш а ется через ра вны е промеж у тк и времени, то к олеба ние на з ы ва ется пе рио диче ским. Н есмотря на больш ое ра з нообра з ие к олеба тельны х процессов к ак по физ ическ ой природе, та к и по степени слож ности, все они соверш аю тсяпо нек оторы м общ им з ак ономерностям и могу тбы ть сведены к совок у пности простейш их периодическ их к олеба ний, на з ы ва емы х га рмо ниче скими, к оторы е соверш а ю тсяпо з а к ону сину са (или к осину са ). П редполож им, что x = Α cos ϕ = Α cos(ωt + ϕ 0 ), (1) они описы ва ю тсяз а к оном где x - смещ ение (отк лонение) к олеблю щ ейсясистемы отполож ения ра вновесия; А - амплиту да , т.е. ма к сима льное смещ ение отполож енияра вновесия, (ωt + ϕ 0 ) - фа за к олеба ний. Ф изическ ий смы сл фа зы в том, что она пределяет смещ ение х в да нны й момент времени, φ о - на ча льна я фа з а к олеба ния(при t=0); t - времяк олеба ний; ω - к ру гова я ча стота (или у глова я ск орость) к олеба ний. ω связ а на с ча стотой к олеба нияν и периодом к олеба нияТ :

ω = 2πν =

2π , Τ

(2)

Т - период - времяодного полного к олеба ния. Е сли в у ра внении (1) полож ить на ча льну ю фа з у φ о =0, то гра фик з а висимости смещ ения хотвремени x A ил и гра фик гармоническ ого T к олеба ния бу дет иметь вид, t предста вленны й на рис.1. С истему , з ак он движ ения к оторой имеет вид (1), на з ы ва ю т о дно ме рным кл а ссиче ским га рмо ниче ским о сцил л ят о ро м. Рис.1 Х орош о из вестны м примером га рмоническ ого осциллятора является тело (ш а рик ), подвеш енное на у пру гой пру ж ине. П о з а к ону Г у к а при ра стяж ении или сж а тии пру ж ины воз ник а ет противодейству ю щ а я сила , пропорциона льна я ра стяж ению или сж а тию х, т.е. тело бу дет

19

соверш а ть гармоническ ие к олеба ния под действием силы у пру гости пру ж ины F= – kx. О дна к о га рмоническ ие к олеба ния воз ник а ю т под действием не тольк о у пру гих, но и дру гих сил, по природе не у пру гих, но для к оторы х оста ется спра ведливы м з а к он F= – kx Т а к ие силы полу чили на з ва ние ква зиупругих. К а к из вестно, движ ение системы под действием силы описы ва ется2мз а к оном Н ью тона : ma =F, d 2x где a - у ск орение к олеблю щ ейся системы ( a = 2 ), а F= – kx для dt га рмоническ их к олеба ний. Т огда второй з а к он Н ью тона бу дет иметь вид неполного дифференциа льного у равнениявторого порядк а

m

d 2x + kx = 0 , dt 2

(3)

к оторое на з ы ва ю ту ра внением движ енияк ла ссическ огоосциллятора . Реш ением да нного у равнения (3) является вы ра ж ение (1), что нетру дно проверить, дифференциру я два ж ды (1) по времени и подставляя k ву ра внение (3). П ри этом полу чим, что (4) ω2 = . , m ω на з ы ва ется собственной частотой к олеба ний системы (точк и или тела ). Ра ссмотрим нек оторы е из к лассическ их гармоническ их осцилляторов. М атем атич еский м аятник М а тематическ им ма ятник ом на з ы ва ю т систему , состоящ у ю из невесомой и нера стяж имой нити, на к оторой подвеш ен ш а рик , ма сса к оторого сосредоточена в одной точк е (рис.2). В полож ении ра вновесия на ш а рик действу ю тдве силы : сила тяж ести P=mg и сила на тяж ениянити N ра вны е по величине и на пра вленны е впротивополож ны е стороны . Е сли ма ятник отк лонить от полож ения ра вновесия на небольш ой у гол α, то он на чнет соверш а ть к олеба ния в вертик а льной плоск ости под действием соста вляю щ ей α силы тяж ести Pt, к отору ю на з ы ва ю т та нгенциа льной соста вляю щ ей (норма льна я составляю щ а я силы тяж ести lr Pn бу дету равновеш иватьсясилой на тяж ениянити N). r N И зрис.2 видно, что та нгенциа льна я соста вляю щ а я силы N тяж ести Ρt = −Ρ sin α . r r Зна к мину с пок а зы ва ет, что сила , вы зы ва ю щ а я Pt α Pn к олеба тельное движ ение, на пра влена в сторону r у меньш енияу гла α. r P Е сли у гол α ма л, то сину с мож но з а менить са мим P Ρt = − Ρα = − mgα , у глом, тогда Рис.2 С дру гой стороны , изрис.3 видно, что у гол α мож но x α= , з а писа ть черездлину ду ги x и ра диу сl : l

20

т.е. сила , воз вра щ аю щ а я ма ятник в полож ение к ва з иу пру гой: Р t = −

ра вновесия,

является

mg mg x ,где k = - к оэффициентк ва з иу пру гой силы l l

В торой з ак онН ью тона вэтом слу ча е бу детиметь следу ю щ ий вид: m

d 2 x mg + x = 0. l dt 2

(7)

g l . (8) ,отк у да Τ = 2π l g П ериод к олеба ний ма тема тическ ого ма ятник а при ма лы х у глах отк лонения не з ависит от а мплиту ды к олеба ния и от его ма ссы , а определяетсядлиной ма ятник а и у ск орением свободного па денияg. П оследняя форму ла мож ет явиться исходной для нахож дения у ск орения свободного па дения, если для да нного маятник а длиной l из мерить его период. С у четом (4), мож но з а писа ть, что ω 2 =

П Р О В Е Р КА ЗА КО Н О В КО Л Е Б А Н И Я М А ТЕ М А ТИ ЧЕ С КО ГО М А ЯТН И КА И О П Р Е ДЕ Л Е Н И Е У С КО Р Е Н И Я С В О Б О ДН О ГО П А ДЕ Н И Я П риборы и прина длеж ности: ма тема тическ ий ма ятник , сек у ндомер, ш та нгенцирк у ль. О писание установки М а тема тическ им ма ятник ом в ра боте является тяж елы й мета ллическ ий ш арик 1, подвеш енны й на длинной тонк ой нити (рис.3). Д лина нити мож ет меняться пу тем перемещ ения к репящ его к ронш тейна 2 вдоль нити и из меряется по ш к а ле 3, а мплиту да к олеба ний ма ятник а из меряетсяпо ш к а ле 4. П ри вы полнении да нной ра боты необходимо определение длины ма тематическ ого ма ятник а и его периода 3 к олеба ний. Д лина ма тема тическ ого ма ятник а l на ходится к а к 2 су мма длины нити l 1 от полож ения к ронш тейна до ш арик а 4 (измерения проводятся по миллиметровой ш к а ле) и ра диу са ш а рик а r =

1

d 2

П ериод к олеба ний определяется при помощ и сек у ндомера и его время ра ссчиты ва ется из20-30 полны х Рис.3 к олеба ний ма ятник а по форму ле Т = t/n, где t – время n полны х к олеба ний математическ ого ма ятник а . Ц елью ра боты является из у чение з а висимости периода к олеба ний ма тематическ ого ма ятник а от длины . К а к следу ет из теории ма тематическ ого ма ятник а период его к олеба ний определяетсяпо форму ле

Τ = 2π

l . g

(1)

21

l1

Т огда , очевидно, для ра з ны х длин ма ятник а

Τ1 = Τ2

спра ведливо соотнош ение

l2

и

l1 . l2

бу дет (2)

Д ля проверк и этого соотнош ения к ронш тейном 2 у ста новите длину ма ятник а 140-150 см и определите его период к олеба ний. За тем, передвига я к ронш тейн, у меньш ите длину ма ятник а вдвое и опять определите период к олеба ний. И з мерения проводятся не менее трех ра зи да нны е з а носятсявта блицу № l 1 =… l 2 =… Τ1 l1 п/п n t1, c T1, c Δ T1, c n t2, c T2, c Δ T2, c Τ2 l 2

Не з а полняетс Не з а полняетс

1 2 3 С р.

С дела йте вы вод о ха рак тере з ависимости периода к олеба ний ма тематическ ого ма ятник а отего длины . П ри определении у ск орения свободного па дения на блю да ю т к олеба ния ма ятник а для ра з ны х длин l 1 и на ходятg по форму ле, полу ченной из(1):

g=

4π 2 (l 2 − l 1 )

(Τ22 − Τ12 )

l 2,

определяя Т 1 и Т 2 , и

.

(3)

на ченияТ 1 и Т 2 мож но вз ять из Ра сстояния l 1 и l 2 и соответству ю щ ие им з продела нны х вы ш е опы тов. РА Б ОТА № 3(5) О П Р Е ДЕ Л Е Н И Е М О М Е Н ТО В И Н Е Р Ц И И ТВ Е Р ДЫ Х ТЕ Л К раткаятеория 1. У гл овая скоростьи угл овое ускорение. Л ю бое твердое тело мож но ра ссматрива ть к а к систему ма териа льны х точек , причем ма сса n m тела ра вна су мме ма сс этих точек : (1). m = ∑ mi i =1

К а ж да я из этих материа льны х точек при вра щ ении тела имеет тра ек торию движ ения в виде ок ру ж ности, центр к оторой леж ит на оси вра щ ения. О чевидно, что линейна я ск орость

v

к а ж дой

i -той

i r з а виситотра сстояния ri до оси вра щ енияи поэтому она не мож

точк и

етслу ж ить к инема тическ ой ха ра к теристик ой вра щ а тельного движ ения твердого тела. Ра вномерное движ ение ма териа льной точк и по ок ру ж ности мож но

22

ха рак териз овать у гловой ск оростью : ω равна отнош ению у гла поворота а к оторы й этотповоротпроиз ош ел: ϕ к промеж у тк у времени ∆t , з ∆ϕ (2). ω= ∆t Д ля неравномерного вра щ а тельного движ ения вводится понятие dϕ (3). мгновенной у гловой ск орости: ω= dt

Из меряется у глова яск орость вра диа нвсек у нду (ра д/с) или с-1. В ек тор у гловой ск орости на пра вленвдоль оси вра щ ения тела так им обра з ом, чтобы его на пра вление совпа да ло с на пра влением посту па тельного движ ения пра вовинтового бу равчик а , ось к оторого ра сполож ена вдоль оси вра щ ения тела OO ′ , а головк а вра щ а ется вместе с телом (рис. 1). И зэтого рису нк а видно, что все три век тора ri , v i и ω вз а имно перпендик у лярны , поэтому з а висимость r О ω r меж ду линейной и у гловой ск оростями мож но υi записа ть ввиде век торного произведения: r ri (4) vi = ω , ri mi ‫י‬ Д ля хара к теристик и нера вномерного вра щ ения тела О

[ ]

Рис.1

вводится понятие век тора у глового у ск орения β . В ек тор у глового у ск орения в к а ж ды й момент времени ра вен ск орости dω из менениявек тора у гловой ск орости: (5) β =

dt

Е диницей из мерения у глового О О у ск орения является r r r ра д иа н н а с ек у нду в r υ υ β 2 · к ва дра те (ра д/с ) или с-2. ·β Н а рис. 2 пок а з а ны два dω dω ‫י‬ > 0 < 0 возмож ны х на пра вления О О dt dt век тора у глового ‫י‬ а б Рис.2 у ск орения. Е сли вра щ ение тела вок ру гнеподвиж ной оси происходиту ск оренно,

r ω

r ω

то век тор у глового у ск орения β на пра влению

совпа да ет по

с век тором у гловой ск орости ω (рис.

2а ). В слу ча е з а медленного вра щ ения век тора β и ω на пра влены противополож но дру гдру гу (рис. 2б). 2. М ом ент сил ы и м ом ент инерции В оз ьмем нек оторое тело, к оторое мож ет вра щ а ться вок ру гнеподвиж ной оси OO ′ (рис. 3). Д ля того чтобы привести тело во вра щ ательное движ ение, пригодна не всяк а я внеш няя сила . Эта сила

0` r M

h 0 Рис.3

r r

r F

α

23

долж на обла да ть вра щ а ю щ им моментом относительно да нной оси, а на пра вление силы не долж но бы ть па ра ллельны м да нной оси или пересек а ться с ней. П одейству ем на тело силой F . В ра щ ение тела бу дет определятьсямоментом силы M относительно оси вра щ ения:

[ ]

M = r, F

, (6) где r - ра диу с- век тор, проведенны й изцентра ок ру ж ности вра щ ения в ведения (6) следу ет, что точк у прилож ения силы F . И звек торного произ век тор момента силы M на пра вленперпендик у лярно плоск ости. в к оторой леж а т век торы r и F , т.е. в соответствии с пра вилом бу ра вчик а . Ч исленное з на чение момента силы определяетсявы ра ж ением: (7) M = F r sin α ,

α - у гол меж ду век тора ми r и F . К а к видно изрис. 3, величина h = r sin α , равна я ра сстоянию отоси вра щ ения до на правления действия

где

силы , на з ы ва ется плечом силы относительно этой оси. С ледова тельно, моментсилы численно равенпроиз ведению силы на плечо: M = F·h (8). Т а к им обра з ом, физ ическ ий смы сл момента силы состоит в том, что при вра щ ательном движ ении воз действие силы определяется не тольк о величиной силы , но и тем, к а к она прилож ена . В дина мик е вра щ а тельного движ ения вводится O` понятие момента инерции. П редста вим твердое тело, m3 r1 m1 к оторое мож ет вра щ аться вок ру г неподвиж ной оси OO ′ , к а к систему ма териа льны х точек mi (рис. 4). r3 r2 m2 ведению В еличина J = m r 2 , численно ра вна я произ i ii O ма ссы точк и mi на к ва дра т ее ра сстояния до оси Рис.4 вращ ения, на з ы ва ется моментом инерции точк и относительно оси вра щ ения. М оментом инерции тела на з ы ва ется су мма моментовинерции всех ма териа льны х точек , соста вляю щ их тело, т.е.: n J = ∑ mi ri2 i

(9).

Ф из ическ ий смы сл момента инерции J состоит в том, что при вра щ а тельном движ ении инерция тела определяется не тольк о величиной ма ссы , но и ра спределением этой ма ссы относительно неподвиж ной оси вра щ ения. 3. О сновной закон д инам ики вращ ения и кинетич еская э нергия вращ ател ьного д виж ения. О сновной з ак ондина мик и вра щ ательного движ енияимеетвид:

β=

M I

(10),

24

т.е. у гловое у ск орение, с к оторы м вра щ а ется тело, прямо пропорциона льно моменту сил, действу ю щ их на тело и обра тно пропорциона льно моменту инерции тела . Этот з а к он а на логичен основному з а к ону дина мик и для посту па тельного движ ения (второму з а к ону Н ью тона ): a =

F . П ри вра щ ении тела а на логично понятию m

импу льса тела ( p = mv ) для посту па тельного движ ения вводят понятие момента импу льса тела L , к оторы й ра вен L = J ω (11). П ри вра щ а тельном движ ении действу ет з а к он сохра нения момента импу льса :

n ∑ J i ωi i =1

= const

(12),

где J i и ω i - моменты инерции и у гловы е ск орости тел, составляю щ их из олирова нну ю систему . О нгла сит: в изо л иро ва нно й сист е ме (т .е. мо ме нт внеш них сил M = 0 ) сумма мо ме нт о в импул ьса все хт е л е ст ь ве л ичина по ст о янна я. Д ля из олирова нной системы , состоящ ей изодного вра щ а ю щ егося тела , з а к онсохра нения(12) з а пиш етсяввиде:

I ω = const

(13).

О П Р Е ДЕ Л Е Н И Е М О М Е Н ТА И Н Е Р Ц И И ТЕ Л С П О М О Щ Ь Ю ТР И Ф И Л ЯР Н О ГО П О ДВ Е С А П риборы и прина длеж ности: трифилярны й подвес, сек у ндомер, на бор тел. Описаниеустанов ки и метода определения О ` момента инерц ии тел Т рифилярны й подвес (рис. 6) состоит изк ру глой r пла тформы с ра диу сом R , подвеш енной на трех симметрично ра сполож енны х нера стяж имы х нитях длинной l . Н а верху эти нити та к ж е симметрично прик реплены к диск у с неск ольк о меньш им ра диу сом l r . Ш ну р позволяет сообщ а ть пла тформе к ру тильны е к олеба ния вок ру г вертик а льной оси OO ′ , перпендик у лярной к ее плоск ости и проходящ ей через середину . П ри повороте в одном на пра влении на О R нек оторы й у гол платформа поднима ется на вы соту h и из менение ее потенциа льной энергии бу дет ра вно Рис.6 Wп = mgh , где m - ма сса пла тформы , g - у ск орение свободного па дения. П ри воз вра щ ении пла тформы в полож ение ра вновесияее к инетическ а яэнергиябу детра вна W = 1 Jω 2 , где J - момент K

инерции пла тформы

относительно оси 00,

ω

2

- у глова я ск орость

25

пла тформы вмоментдостиж енияею полож ения ра вновесия. Тогда основа нии з ак она сохра нениямеха ническ ой энергии имеем: 1 Jω 2 = mgh 2

на (1).

В ы ра з ив h черезра диу сы пла тформы R , диск а r , длину нитей l , а ω черезпериод к олеба ний T , полу чим форму лу дляопределениямомента mgRr 2 (2). инерции: J= T 4π 2l

Н еобходимо отметить, что в общ ем слу ча е в форму ле (2) ма сса m мож ет бы ть су ммарной ма ссой пла тформы и нек оторого тела , на ходящ егосяна этой пла тформе. Вы полнение работы 1. И з учение з ав исимости момента инерц ии системы (платформа плю стело) от располож ениятела на платформе П о диа метру пла тформы поместить два тела одина к овой формы и ма ссы та к , чтобы они соприк а са лись вцентре пла тформы . П лавно потяну в з а ш ну р и рез к о его отпу стив, сообщ ить пла тформе вра щ а тельное движ ение. К олеба ния пла тформы долж ны бы ть ма лы ми, не более 3 4 оборота . И з меряя время t 10-20 полны х к олеба ний n пла тформы , определить период к олеба ний T по форму ле T = t/n. Д а нны е из мерения провести не менее трех ра з(мож но с ра з ны м числом n ) и на йти среднее T . М омент инерции системы , изпла тформы и дву х тел определяется по gRr J1 = (m пл + m 2− хте л )T 2 = k (m пл + m 2− хте л )T 2 , форму ле (2) : 2 4π l gRr где k = = const дляда нной у ста новк и. 2 4π l В еличины R, r , l и m пл у к а з а ны на у ста новк е, и множ итель k определяетсяодинра здлявсех из мерений. Рез у льта ты з а нести втаблицу . № ∆J пл 100% п/ n t ,с T , с с∆T , J пл , к г*м 2 Δ J, к г*м 2 J пл п 1 2 3 С р П о рез у льта там опы та необходимо оценить а бсолю тну ю и относительну ю ош ибк и из мерений. У величив ра сстояние меж ду тела ми, повторить опы т. О формить его ввиде а на логичной та блицы . С дела ть вы вод о том, к ак из меняется момент инерции системы от полож ениятел на пла тформе.

26

Это у пра ж нение мож но вы полнить, из меняя полож ение одного тела на пла тформе (на пример, пара ллелепипеда ) извертик а льного в гориз онта льное и наоборот. РА Б ОТА № 4(11) О П Р Е ДЕ Л Е Н И Е КО ЭФ Ф И Ц И Е Н ТА В ЯЗКО С ТИ Ж И ДКО С ТИ П О М Е ТО ДУ С ТО КС А П ринадлеж ности: стек лянны й сосу д, на полненны й вяз к ой ж идк остью , ш арик и изсвинца , сек у ндомер, из мерительны й мик роск оп, ма сш та бна ялинейк а . К раткаятеория Реа льна я ж идк ость, в отличие от идеа льной, облада ет вяз к остью (вну тренним трением), обу словленной сцеплением (вз а имодействием) меж ду ее молек у ла ми. П ри движ ении ж идк ости меж ду ее слоями воз ник а ю т силы вну треннего трения, действу ю щ ие та к им обра з ом, чтобы у ра внять ск орости всех слоев. П рирода этих сил з ак лю ча ется в том, что слои, движ у щ иеся с ра з ны ми ск оростями, обменива ю тся молек у ла ми. М олек у лы изболее бы строго слоя переда ю т более медленному нек оторое к оличество движ ения, вследствие чего последний на чина ет двига ться бы стрее. М олек у лы изболее медленного слоя полу чаю т в бы стром слое нек оторое к оличество движ ения (или импу льса ), что приводит к его тормож ению . Т а к им обра з ом, при переносе импу льса от слоя к слою происходит из менение импу льса этих слоев (у величение или у меньш ение). Это з на чит, что на к а ж ды й изэтих слоевдейству етсила , ра вна яиз менению импу льса в единицу времени (второй з а к он Н ью тона ). Эта сила на з ы ва ется силой трения меж ду слоями ж идк ости, движ у щ имися с ра з личны ми ск оростями (вну треннее трение). Ра ссмотрим ж идк ость, движ у щ у ю ся в на пра влении оси Х (рис.1) П у сть слои ж идк ости движ у тся с ра з ны ми ск оростями. Н а оси Z воз ьмем две точк и, на ходящ иеся на ра сстоянии dz. С к орости поток а отлича ю тся в этих точк ах на величину dx. О тнош ение dυ υ + dυ Z dz

на з ы ва ется гра диентом ск орости – век торна я величина , численно ра вна яиз менению ск орости на υ единицу длины в на пра влении, перпендик у лярном ск орости и на пра вленна я в сторону воз ра ста ния X ск орости. С ила вну треннего трения (вяз к ости) по Y Рис.1 Н ью тону , действу ю щ а я меж ду дву мя слоями ж идк ости, пропорциона льна площ а ди соприк а са ю щ ихся слоев Δ S и dυ гра диенту ск орости: F = ––η Δ S. (1) dz

dZ

Δ S

27

Зна к мину с оз на ча ет, что импу льс движ ения переносится в на пра влении у меньш ения ск орости, η - к оэффициент вну треннего трения, или к оэффициентвяз к ости. Ф из ическ ий смы сл к оэффициента вяз к ости η з а к лю ча ется в том, что он численно равен силе вну треннего трения, воз ник а ю щ ей на единице площ а ди соприк а са ю щ ихсяслоев ж идк ости при гра диенте ск орости меж ду ними, ра вном единице. К а к следу ет изформу лы (1), в системе С И к оэффициент вяз к ости η 2 из меряется в Н ·с/м =П а ·с (па ск а ль-сек у нда ), а в системе С Г С в дн·с/см 2=г/см·с (П у а з ). Ра ссмотрим па дение твердого тела вформе ш а рик а в вяз к ой ж идк ости (рис.2). Н а ш а рик действу ю т три силы : сила тяж ести f1 = mg, подъ емна я или вы та лк ива ю щ а ясила f3 (з а к он Архимеда ) – f2 и сила сопротивления движ ению f2 ш а рик а , обу словленна я сила ми вну треннего трения ж идк ости, - f3. П ри движ ении ш а рик а слой ж идк ости, гра нича щ ий с его поверхностью , прилипа ет к ш а рик у и f1 движ етсясо ск оростью ш а рик а . Ближ а йш ие смеж ны е слои ж идк ости та к ж е приводятся в движ ении, но полу ча ема я ими ск орость тем меньш е, чем да льш е они на ходятся от Рис.2 ш а рик а . Т а к им обра з ом, при вы числении сопротивления среды следу ет у читы ва ть трение отдельны х слоев ж идк ости дру го дру га, а не трение ш а рик а о ж идк ость. С ила сопротивлениядвиж ению ш арик а определяетсяформу лой С ток са f 3 = 6π η r υ , (2) где v – ск орость движ енияш арик а , r – его ра диу с. С у четом действия на ш арик трех сил у ра внение движ ения в общ ем dυ = f1 + f 2 + f 3 или в ск а лярной виде з а пиш етсяследу ю щ им обра з ом: m dt з а писи с у четом з нак а сил m

dυ 4 3 4 = π r ρ g − π r 3 ρ1 g − 6π η r υ , (3) dt 3 3

где ρ – плотность ш а рик а , ρ1 – плотность вяз к ой ж идк ости, g – у ск орение свободного па дения. В се три силы , входящ ие в пра ву ю ча сть у ра внения (3), бу ду т на пра влены по вертик а ли: сила тяж ести – вниз , подъ емна я сила и сила сопротивления– вверх. С ила сопротивления с у величением ск орости движ ения ш арик а воз ра ста ет. П ри нек оторой ск орости ш а рик а сила сопротивления ста новится равной су мме сил тяж ести, т.е. f3 = f2 +f1. Т а к им обра з ом, ра внодейству ю щ а я этих сил обра щ а ется в ну ль. Это оз нача ет, что у ра внение (3) принима етвид dυ dυ m = 0. Т а к к а к m≠0, то = 0 и υ = υ 0 = const. dt dt

28

Т а к им обра з ом, по достиж ении ш а рик ом ск орости v0 да лее он движ ется с постоянной ск оростью и у равнение (3) принима ет следу ю щ ий 4 3 π r ( ρ − ρ1 ) − 6π η rυ 0 = 0. (4) вид: 3 Реш а яу ра внение (4) относительно к оэффициента вну треннего трения, 2 ( ρ − ρ1 ) 2 2 (ρ − ρ1 ) 2 η= gr = gd , полу ча ем (5) 9 υ0 9 4υ 0 где d – диа метр ш а рик а . Зна я ск орость у ста новивш егося движ ения ш а рик а υ 0 = l / t , где l - длина пу ти, проходимого ш арик ом при у ста новивш емся движ ении, t – время его движ ения, а та к ж е плотности ρ и ρ1 и ра з меры ш а рик а , мож но вы числить з на чение к оэффициента вяз к ости для да нной ж идк ости по 2 ( ρ − ρ1 ) 2 η= gd t . форму ле: (6) 9 4l В ы пол нение раб оты О пред ел ение коэ ф ф ициента вязкости иссл ед уем ой А ж ид кости. Д ля из мерения к оэффициента вну треннего трения в 1 да нной ра боте использ у ю тся ма леньк ие ш а рик и изсвинца . Из мерив предварительно диа метры ш а рик ов, опу ск а ю т их в цилиндр (рис.4) с вяз к ой ж идк остью (к а сторовое ма сло) l черезотверстие А в к ры ш к е цилиндра. С к орости ш а рик ов довольно з на чительны , поэтому гла з на блю да теля необходимо у ста новить против верхнего обру ча 1 так , 2 чтобы обру ч слива лся в одну полосу . С чита я движ ение у ста новивш имся к моменту прохож дения ш а рик ом верхнего обру ча , в момент прохож дения ш а рик а через Рис.4 верхний к ра й обру ча 1 пу ск аю т сек у ндомер и в момент прохож дения ш а рик ом ниж него обру ча 2 -оста на вливаю т. Ра сстояние l меж ду обру ча ми из меряетсяма сш та бной линейк ой. П о форму ле (6) вы числяю т з на чение к оэффициента вяз к ости η 3 исследу емой ж идк ости. В на ш ем слу ча е ρ = 11,30 г/см , ρ1 = 0,96 г/см 3. П роведя эк сперимент с у к а з а нны м числом ш арик ов, вы числяю т з на чения к оэффициентов вяз к ости η для к а ж дого ш а рик а , а з а тем вы числяю тсредню ю а бсолю тну ю и относительну ю ош ибк и из мерений. г г Е % № l , см t, с η, Δ η, см ⋅ с см ⋅ с n/n 1 2 3 … .. С р

29

РА Б ОТА № 5(12) О П Р Е ДЕ Л Е Н И Е О ТН О Ш Е Н И Я У ДЕ Л Ь Н Ы Х ТЕ П Л О Е М КО С ТЕ Й ГА ЗО В М Е ТО ДО М КЛ Е М А Н А -ДЕ ЗО Р М А П риборы и прина длеж ности: стек лянны й ба ллон с трехходовы м к ра ном, ма нометр, воз ду ш ны й на сос. К раткаятеория О пы т пок а з ы ва ет, что к оличество теплоты Q , необходимое для на грева ния ма ссы однородного вещ ества от темпера ту ры Т 1 до Т 2 гра ду сов, пропорциона льно ма ссе вещ ества и из менению темпера ту ры : Q = cm(T2-T1), (1) где с - у дельна ятеплоемк ость вещ ества . И зформу лы (1) следу ет Q (2) c= . m(T2 − T1 ) О тсю да видно, что у дельной теплоемк остью на з ы ва ется к оличество теплоты , необходимое для на грева ния вещ ества ма ссой 1 гра мм (или 1 к илогра мм) на 1 К . П олож ив m=1 к г, Q = 1 Д ж , ∆Τ2 − Τ1 = 1K , полу чим единицу [c] = 1 Д ж = 1 Д ж / (кг ⋅ К ). из меренияу дельной теплоемк ости: 1кг ⋅ 1К С остояние га з а мож ет бы ть охара к териз ова но тремя величина ми - па ра метра ми состояния: да влением p, объ емом V и темпера ту рой T. У равнение, связ ы ва ю щ ее эти величины , на з ы ва ется у ра внением состояния вещ ества . Д ля слу ча я идеа льного га з а у ра внением состояния является у ра внение М енделеева -К ла пейрона , к оторое для одного моляга з а бу детиметь вид pV = RT , (4) где R - у ниверса льна яга з ова япостоянна я. В еличина теплоемк ости га з ов з а висит от у словий на грева ния. В ы ясним эту з а висимость, воспольз ова вш ись у равнением состояния (4) и первы м нача лом термодина мик и, к оторое мож но сформу лирова ть следу ю щ им обра з ом: а тра чива ется на к оличество теплоты dQ , переда нное системе, з у величение ее вну тренней энергии dU и на ра боту dΑ , соверш а ему ю системой противвнеш них сил dQ = dU + dΑ . (5) П о определению теплоемк ости dQ dU dΑ (6) c= = + . dT dT dT И з у ра внения (6) видно, что теплоемк ость мож ет иметь ра з личны е з на чения в з а висимости от способов на грева ния га з а , та к к ак одному и тому ж е з на чению dΤ могу т соответствова ть ра з личны е з на чения dU и dΑ . Элементарна яработа dΑ ра вна dΑ = pdV .

30

В ну тренню ю энергию 1 моля га з а мож но з а писа ть следу ю щ им i обра з ом: (7) U = RT , 2

где i- число степеней свободы . Ч ислом степеней свободы га з а на з ы ва ется число нез а висимы х к оордина т, определяю щ их полож ение тела впростра нстве. П ри движ ении точк и по прямой линии для оценк и ее полож ения на до з на ть одну к оордина ту , т.е. точк а имеет одну степень свободы . Z Z Е сли точк а движ ется по плоск ости, ее полож ение харак териз у ется X X дву мя к оордина та ми, т.е. точк а обла да ет дву мя степенями свободы . Y Y б П олож ение материа льной точк и в a простра нстве определяется тремя Рис.1 к оордина та ми. Ч исло степеней свободы молек у лы обы чно обоз на ча ется бу к вой i. М олек у лы , к оторы е состоят изодного а тома , счита ю тся ма териа льны ми точк а ми и имею т число степеней свободы i- =3. Т а к ими являю тся молек у лы аргона , гелия и др. Д ву ха томны е молек у лы (H 2, N2 и др.) обла да ю т числом степеней свободы i=5; они имею т три степени свободы посту па тельного движ ения вдоль осей X, Y, Z и две степени свободы вра щ ения вок ру г осей X и Z (рис.1, а ). В ра щ ением вок ру г оси Y мож но пренебречь, т.к . момент инерции ее относительно этой оси очень ма л. М олек у лы , состоящ ие из трех и более ж естк о связ а нны х а томов, не леж а щ их на одной прямой (рис.1, б), имею тчисло степеней свободы i = 6: три степени свободы посту па тельного движ ения и три степени свободы вра щ ения вок ру г осей X, Y, Z. С тольк о ж е степеней свободы имею т и дру гие многоатомны е молек у лы . Ра ссмотрим основны е процессы , протек а ю щ ие в идеа льном га з е при из менении температу ры , к огда ма сса га з а оста ется неиз менной и ра вна одному молю . К оличество теплоты , необходимое для на грева ния одного моляга з а на 1К, определяетсямолярной теплоемк остью . И зох орич еский процесс. П роцесс на з ы ва ется из охорическ им, если объ ем тела при из менении темпера ту ры оста етсяпостоянны м, т.е. V=const. В этом слу ча е: dV = 0 . С ледовательно, и dA = 0 , т.е. при этом вся подводима я к га з у теплота идет на у величение его вну тренней энергии. Т огда изу равнения (6) следу ет, что молярна я теплоемк ость га з а при

cV =

постоянном объ еме ра вна

dU i = R. dT 2

(8)

И зоб арич еский процесс. П роцесс, протек аю щ ий при постоянном да влении (P=const), на з ы ва ется из оба рическ им. Д ля этого слу ча я форму ла (6) перепиш етсяввиде:

cp =

dU dV +p . dT dT

И зу равненияга з ового состояния(4) полу ча ем:

(9)

31

pdV + Vdp = RdT . Н о Р =const и dР =0. С ледовательно, вы ра ж ение в у ра внение (9), полу чим

(10)

pdV = RdT . П одста вляяэто i+2 cp = R. (11) 2 c p = cV + R . (12)

С равнив(8) и (11), полу чим И зотерм ич еский процесс. И з отермическ им процессом на з ы ва ется процесс, протек а ю щ ий при постоянной температу ре (T=const). В этом слу ча е dT = 0 и dQ = dA , т.е. вну тренняяэнергияга з а оста ется постоянной и все подводимое теплора сходу етсяна ра боту . А д иаб атич еский процесс. П роцесс, протек а ю щ ий безтеплообмена с ок ру ж а ю щ ей средой, на з ы ва ется а диа ба тическ им. П ервое на ча ло термодина мик и для та к ого процесса бу дет иметь вид (dQ = 0, dU + dA = 0) : dA = −dU = −cV dT , т.е. при а диа ба тическ ом процессе ра сш ирения или сж а тия, ра бота соверш а ется га з ом тольк о з а счетиз мененияз а па са вну тренней энергии. Адиа ба тическ ий процесс описы ва етсяу ра внением П у а ссона :

pV γ = const .

(13)

В этом у ра внении γ – отнош ение у дельны х теплоемк остей:

γ =

cp cV

=

i+2 . i

(14)

К н а сосу

Эта форму ла справедлива к а к для молярны х, та к и для у дельны х теплоемк остей га з ов. Т а к им обра з ом, по з на чениям теплоемк остей все га з ы B мож но ра з делить на три сорта : Д одноа томны е, дву ха томны е, многоа томны е га з ы. Описание метода из мерения h1(h2 П ред л а г а емы й метод ) A определения γ основа н на применении у ра внений а диа ба тическ ого и из охорическ ого процессов. Рис.2 У ста новк а состоит изстек лянного ба ллона А, соединенного с ма нометром В и на сосом (рис.2). П осредством к ра на Д ба ллонмож етбы ть соединенс а тмосферой, и пу сть первона ча льно в нем бы ло атмосферное да вление. Е сли с помощ ью на соса нак ача ть в ба ллон нек оторое к оличество воз ду ха и з а к ры ть к ра н, то да вление в ба ллоне повы сится; но если это повы ш ение бы ло произ ведено достаточно бы стро, то ма нометрическ ий столбик не сра з у з а ймет ок онча тельное полож ение, та к к ак сж атие воз ду ха бы ло а диаба тическ им и, следова тельно, температу ра его повы сится. О к онча тельна я ра з ность

32

у ровней в ма нометре h у ста новится тольк о тогда , к огда темпера ту ра воз ду ха вну три ба ллона сра вняется, благода ря теплопроводности стенок , с темпера ту рой ок ру ж а ю щ его воз ду ха . О боз начим черезТ 1 термодина мическ у ю температу ру ок ру ж а ю щ его воз ду ха и через р 1 - да вление га з а вну три сосу да , соответству ю щ ее пок а з а нию ма нометра h1. О чевидно, да вление, у ста новивш ееся в ба ллоне,

p1 = p0 + h, бу детравно (15) где р0 - а тмосферное да вление (к онечно, при этом р 0 и h1 долж ны бы ть вы ра ж ены в одина к овы х единица х). Эти два па ра метра Т 1 и р 1 ха рак териз у ю т состояние га з а , к оторое мы на з овем первы м состоянием га з а. Е сли теперь бы стро отк ры ть к ра н, то воз ду х в ба ллоне бу дет ра сш иряться а диа батическ и, пок а да вление его не сдела ется равны м р 0; при этом он охла дится до температу ры Т 2. Это бу дет второе состояние га з а : Т 2 и р0. Е сли сра з у после отк ры ва ния снова з а к ры ть к ра н, то да вление вну три ба ллона на чнет воз ра стать вследствие того, что охла дивш ийся при ра сш ирении воз ду х в ба ллоне ста нет снова на грева ться. В оз раста ние да вления прек ра тится, к огда темпера ту ра воз ду ха в ба ллоне сра вняется с внеш ней темпера ту рой Т 1. О боз начим да вление воз ду ха в ба ллоне в этот момент черезр2 и соответству ю щ ее пок а з а ние ма нометра - черезh2. Это p2 = p0 + h2 . (16) бу деттретье состояние га з а : Т 1 и р2. Ясно, что П рименяя з а к оны из охорическ их и а диа ба тическ их процессов, ра ссмотренны х вы ш е, мож но полу чить просту ю форму лу для на хож дения отнош енияу дельны х теплоемк остей воз ду ха : γ =

h1 . h1 − h2

(19)

В ы пол нение раб оты С помощ ью трехходового к ра на Д ба ллон мож ет соединяться с воз ду ш ны м на сосом, с а тмосферой либо перек ры ва тьсясовсем. Д ля проведения из мерений к ра н ста вят в полож ение, при к отором воз ду х на гнета ется в ба ллонс помощ ью на соса . К огда ра з ность у ровней в ма нометре достига ет 20-25 делений ш к а лы ма нометра , отк лю ча ю т ба ллон от на соса и а тмосферы . П осле того к а к да вление ок онча тельно у ста новится, произ водят отсчет h1 - раз ности у ровней ж идк ости в обоих к олена х ма нометра (если ну ль ш к а лы ма нометра находится вниз у , то h 1 определяется к ак ра з ность у ровней в ма нометре; если ну ль ш к а лы на ходится в середине, то берется су мма пок а з а ний ма нометра по обе стороны от ну ля). За тем произ водят на нек оторы й момент сообщ ение ба ллона с а тмосферой и бы стро его перек ры ва ю т (рек оменду ется перек ры ва ть ба ллонсра з у после прек ращ ения з ву к а вы ходящ его воз ду ха ). К огда давление ок онча тельно у ста новится, произ водят второй отсчет по ма нометру - h2. О пы тследу етповторить не менее десяти ра з , меняявсяк ий ра зh1.

33

П одста вляя в форму лу (19) з на чения h 1 и h2, вз яты е из отдельны х на блю дений, находят величину γ, а все рез у льта ты з а носят в та блицу : № п/п

h1

h2

γ

Δγ

∆γ ср γ ср

100%

1 2 . . .10 С р. О к онча тельно величину γ находят к а к среднее з на чение всех γ, полу ченны х при на блю дении. РА Б ОТА № 6(5) 1.И ЗМ Е Р Е Н И Е С О П Р О ТИ В Л Е Н И Й М О С ТИ КО М У И С ТО Н А . П Р О В Е Р КА ЗА КО Н О В П О С Л Е ДО В А ТЕ Л Ь Н О ГО И П А Р А Л Л Е Л Ь Н О ГО С О Е ДИ Н Е Н И Я С О П Р О ТИ В Л Е Н И Й . П риборы и прина длеж ности: из меряемы е сопротивления, га льва нометр, ма га з ин сопротивлений, а к к у му лятор, реохорд, к лю ч, термостатс исследу емы м сопротивлением, элек троплитк а , термометр. К раткаятеория М остовая схема постоянного ток а, часто на з ы ва ема я сок ращ енно мостик ом У итстона , предста вляет собой з а мк ну ты й четы реху гольник , соста вленны й из сопротивлений R1, B R2, R3 и R4, соединенны х меж ду собой провода ми (рис.1). J2 J1 В одну их диа гона лей этой схемы J6 вк лю ча ется источник R1 R2 Г элек тродвиж у щ ей силы ε с A С вну тренним сопротивлением R5, а в R3 дру гу ю – чу вствительны й R4 га льва нометр Г с вну тренним J5 J3 J4 сопротивлением R6. П ри п ро из в о л ьн о м с о о т н о ш ен ии D K ε сопротивлений, соста вляю щ их всю мостову ю схему , черезга льва нометр долж ен идти ток . О боз на чим силы Рис.1 ток ов в ш ести ветвях схемы черезJ1, J2, J3, J4, J5 и J6. П ок а ж ем, что меж ду сопротивлениями, соста вляю щ ими схему , су щ еству ет одно определенное соотнош ение, при к отором сила ток а, тек у щ его черезга льва нометр, обра щ а ется в ну ль, хотя при этом во

34

всех дру гих з веньях схемы она не ра вна ну лю . В оспольз у емся пра вила ми К ирхгофа дляпостоянного ток а . П ервое пра вило К ирхгофа относится к у з лу , т.е. точк е ра з ветвления элек трическ ой цепи, где сходятся не менее трех ток ов. О но гла сит: а лгебра ическ а ясу мма сил ток ов, сходящ ихсяву з ле, ра вна ну лю , т.е. n ∑ i i =1

J = 0.

П ринято ток а м, входящ им в у з ел, приписы ва ть з нак плю с, а вы ходящ им – з на к мину с. В торое пра вило К ирхгофа относится к произ вольному з а мк ну тому к онту ру , к оторы й мы сленно вы деляется в слож ной ра з ветвленной элек трическ ой цепи. О но гла сит: для лю бого з а мк ну того к онту ра , произ вольно вы деленного в ра з ветвленной элек трическ ой цепи, а лгебра ическ а я су мма произ ведений сил ток ов на сопротивления соответству ю щ их у ча стк ов ра вна а лгебра ическ ой су мме ЭД С , встреча ю щ ихсявэтом к онту ре, т.е.

n ∑ i i =1

J Ri =

n ∑ ε i =1

I

С леду ет з а метить, что произ ведение силы ток а на сопротивление да нного у ча стк а цепи на з ы ва етсяпа дением на пряж енияна да нном у ча стк е. П ри соста влении у ра внений по второму пра вилу К ирхгофа ток а м и ЭД С ну ж но приписы ва ть з на к и всоответствии с вы бра нны м на пра влением обхода к онту ра (на пример, по ча совой стрелк е). Т ок , совпа да ю щ ий с на пра влением обхода к онту ра , счита ется полож ительны м, не совпа да ю щ ий – отрица тельны м. ЭД С счита ется полож ительной, если она вк лю чена та к , что да етток , на пра вление к оторого совпада етс на правлением обхода к онту ра . За дадимся на пра влениями ток ов во всех у ча стк а х схемы , к а к это пок а з а но на рис.1, и з а пиш ем первое пра вило К ирхгофа для всех четы рех уз ловра з ветвленной цепи: т.А J5 – J1 – J3 = 0, (1) т.С J2 + J4 –J5 = 0, (2) т.В J1 – J2 – J6 = 0, (3) т.D J3 + J6 – J4 = 0. (4) За пиш ем теперь второе пра вило К ирхгофа длятрех к онту ровсхемы , дляк онту ра ABD: J1R1 + J6R6 - J3R3 = 0, (5) дляк онту ра BCD: J2R2 - J4R4 - J6R6 = 0, (6) дляк онту ра ε ABCE: J5R5 + J1R1 + J2R2 = ε . (7) П олож им, что ток в диа гона ли BD моста ра венну лю , т.е. J6=0. Т огда изу равнений (3), (4), (5) и (6) полу ча ем J1=J2, (8) J3=J4, (9) J1R1=J3R3, (10) J2R2=J4R4. (11) Д еля(10) на (11) и принима яво внима ние ра венства (8) и (9), на ходим:

35

R1 R3 = . R2 R4

(12)

И з последнего соотнош ения (12) следу ет, что при из вестны х величина х трех у ча ству ю щ их в схеме сопротивлений мы мож ем вы числить четвертое неиз вестное на м сопротивление при у словии, что ток через га льва нометр не течет. П ра к тическ и сопротивления R3 и R4 вы полняю т в виде мета ллическ ого проводник а (реохорда ), з а тяну того вдоль миллиметровой ш к а лы . П одвод ток а от га льва нометра этим сопротивлениям осу щ ествляется с помощ ью к онта к тного движ к а , ск ольз ящ его вдоль реохорда и отделяю щ его R3 отR4. Д ляR3 и R4 мож но з а писа ть:

l R3 = ρ 1 S

l R4 = ρ 2 , S

и

где ρ – у дельное сопротивление проволок и реохорда , l1 и l 2 - длины плеч реохорда , S – сечение проволок и реохорда . Тогда отнош ение этих сопротивлений бу детра вно а , использ у ясоотнош ение (12), имеем

R3 l1 = , R4 l 2 R1 l1 = . R2 l 2

О к онча тельно неиз вестное сопротивление (на пример, R1) бу дет

R1 = R2

определятьсяпо форму ле: или, если обоз на чить R1=Rx, R2=Rm, то Л егк о видеть, что отнош ение

Rx = Rm

l1 l2

l1 . l2

(13)

l1 вз а висимости от полож ения движ к а l2

из меняется от 0 до ∞, а это з начит, что сопротивление Rx всегда мож ет бы ть определено при произ вольном Rm. О дна к о на именьш а я погреш ность из мерений бу дет в том слу ча е, к огда движ ок бу дет на ходиться приблиз ительно на середине реохорда , т.е. при l 1 ≈ l 2 . Это достига ется соответству ю щ им подбором сопротивленияRm. Т а к к а к сопротивление реохорда сравнительно невелик о, то мостик У итстона описа нного типа применяется, к ак пра вило, для из мерения небольш их сопротивлений (от1 до 1000 О м). 1. И з мерение сопротив лений мостиком У итстона П еред вы полнением ра боты составить та блицу техническ их да нны х приборов, использ у емы х вра боте. Д ля вы полнения этого у пра ж нения соста вляется элек трическ а я цепь, пок а з а нна я на рис.2. Здесь А В – реохорд, Rx – неиз вестное сопротивление, Rm – ма га з ин сопротивлений, ε – ак к у му лятор, Г – га льва нометр, D – движ ок реохорда , К – к лю ч.

36

П ри полож ении движ к а, делящ ем реохорд примерно попола м ( l 1 ≈ l 2 ), подбира ю т так ое сопротивление Rm (вк лю ча я из вестны е сопротивления ма га з ина сопротивлений), при к отором отк лонение стрелк и га льва нометра минима льно. Затем, передвига я движ ок реохорда , добива ю тсяполного отсу тствиявцепи га льва нометра . Эл ектрич ескую цепьсл ед ует зам ы катькл ю ч ом К на короткие пром еж утки врем ени! Из меряю т длины плеч реохорда l 1 и l 2 и С з а писы ва ю тих з на чения. Из менив в небольш их предела х величину R из вестного сопротивления Rm, снова m Rx на ходят полож ение движ к а реохорда, при Г к отором ток в цепи га льва нометра ра вен мерения проводят не менее трех B ну лю . И з A D ра з для к а ж дого неиз вестного K ε сопротивления, рез у льтаты из мерений з а носят в таблицу и вы числяю т Рис.2 погреш ности из мерений. № Rm, l 1 , мм l 2 , мм Rx, О м ∆ Rx, О м ∆R x Ε= ⋅ 100 % п/п О м R x

1 2 3 С р. Т очно так ж е из меряю т второе (по у к а з а нию преподава теля и третье) неиз вестное сопротивление Д ляк а ж дого неиз вестного сопротивлениясоставляетсяотдельна ятаблица . С

Rx1 Rx2

Rm Г B

A

ε

D

Рис.3

K

II. П ров ерка з аконов последов ательного и параллельного соединения сопротив лений 1.С обира ю т схему мостик а У итстона (рис.3), где неиз вестны м сопротивлением являю тся неск ольк о последовательно соединенны х сопротивлений, из меренны х в преды ду щ ем опы те (два или три сопротивления) Из меряю т это общ ее сопротивление по методу , описа нному вы ш е и

рез у льта ты з а носятвта блицу . 2.С обираю т схему мостик а У итстона , где из меряемы м сопротивлением являю тсяте ж е сопротивления, соединенны е па ра ллельно (рис.4).

37

С

Rx

R Г

Из мерив опы тны м пу тем величину неиз вестного сопротивления, сравнива ю т рез у льта т со з на чением сопротивления, вы численного по форму ле па ра ллельного соединениясопротивлений:

1 1 1 1 = + + ... + . Rx R1 R2 Rn

Rx

A

Из мерения проделы ва ю т не менее трех ра з , рез у льта ты з а носят в та блицу и вы числяю т ε погреш ности из мерений для обеих ча стей у пра ж нения. Рис.4 3. В пу нк та х 1 и 2 дела ю т вы воды , сра внива я эк сперимента льны е рез у льта ты с ра ссчита нны ми по приведенны м форму ла ми. D

K

РА Б ОТА № 7 И ЗУ ЧЕ Н И Е Р А Б О ТЫ ЭЛ Е КТР О Н Н О ГО О С Ц И Л О ГР А Ф А . П Р О В Е Р КА ГР А ДУ И Р О В КИ ЗВ У КО В О ГО ГЕ Н Е Р А ТО Р А П риборы и прина длеж ности: элек тронны й осциллогра ф, з ву к овой генератор сину соида льны х на пряж ений, генератор пилообра з ны х на пряж ений, тра нсформатор. О сциллогра фическ ие методы исследова ния з а воева ли прочное место в современной на у к е и техник е. О ни применяю тся, в основном, для исследова ния бы стропеременны х периодическ их процессов. Д остоинства ми элек тронно–лу чевого осциллогра фа являю тсяего вы сок а я чу вствительность и без ы нерционность действия, что поз воляет -6 -8 исследова ть процессы , длительность к оторы х порядк а 10 ÷ 10 с. У стройств о электронного осц иллографа О сновны ми у з ла ми осциллогра фа являю тся элек тронно–лу чева я тру бк а , блок пита ния, у силитель на пряж ения Ux, у силитель на пряж ения Uy, генера тор пилообра зного на пряж ения Up и синхронизиру ю щ ее у стройство. Элек тронно-лу чевая тру бк а внеш не представляет собой стек лянны й ба ллон свы сок им вак у у мом (рис.1).

К УЭ

А1 А2 П

~

Рис.1

х

П

у

B

38

О на состоитизэлек тронной пу ш к и, да ю щ ей пу чок элек тронов (на рис.1 она вы делена пу нк тиром ), дву х па р отк лоняю щ их пла стин П х и П у ,ра сполож енны х во вз а имно перпендик у лярны х плоск остях, и флу оресциру ю щ его эк ра на . Элек тронна я пу ш к а поз воляет полу чить сфок у сирова нны й поток элек тронов. О на состоит изна к а лива емого к атода К , у пра вляю щ его элек трода У Э, имею щ его в центре отверстие для полу чения у з к ого элек тронного лу ча, и дву х а нодов А1 (у ск оряю щ ий а нод ) и А2 (фок у сиру ю щ ий а нод ). М еж ду к а тодом и первы м а нодом А1 прилож ено на пряж ение порядк а 10 В . П оэтому элек троны у ск оряю тся элек трическ им полем и попа даю т на флу оресциру ю щ ий эк ра н, вы з ы ва я его свечение. М еняя величину этого напряж ения и его полярность, мож но у меньш а ть к оличество элек тронов, проходящ их черезего отверстие, а , следова тельно, и ярк ость пятна на эк ра не тру бк и. В торой а нод А2, потенциа л к оторого вы ш е первого, слу ж ит для фок у сирова ния элек тронного лу ча . Регу лиру я потенциа л второго а нода, мож но полу чить на эк ра не тру бк и ярк о светящ у ю ся точк у . В ы йдя из второго а нода , элек тронны й лу ч проходит меж ду дву мя па ра ми мета ллическ их пла стин П х и П у Е сли на лю бу ю па ру пла стин пода ть на пряж ение, то элек тронны й лу ч отк лонится от своего первона ча льного на пра вления, т.к . элек троны бу ду т притягива ться к пла стине, з аряж енной полож ительно, и отта лк ива тьсяотпла стины , з а ряж енной отрица тельно. П ройдя отк лоняю щ ие пла стины , элек тронны й лу ч попа да ет на эк ра н. Эк ра н элек тронно-лу чевой тру бк и предста вляет собой слой флу оресциру ю щ его вещ ества, на несенного на вну тренню ю сторону тру бк и. П ри у да ре об эк ра н энергия элек трона ча стично ра сходу ется на вы бива ние элек тронов изповерхности, на к отору ю онпопа да ет, ча стично на ра з огрев этой поверхности, а ча стично превра щ а ется в светову ю энергию . Элек трон, попа да яна поверхность, пок ры ту ю флу оресциру ю щ им слоем, приводит в воз бу ж денное состояние а томы и молек у лы этого слоя. В оз вра щ а ясь в норма льное состояние, а томы и молек у лы испу ск а ю т свет. Это явление носитна з ва ние лю минесценции. Ярк ость свечения пятна на эк ра не элек тронно-лу чевой тру бк и з а висит от ск орости и числа элек тронов, па да ю щ их на элемент площ а ди эк ра на з а нек оторы й промеж у ток времени. Регу лировать ярк ость пятна на эк ра не мож но, либо меняя к оличество элек тронов в элек тронном лу че, либо меняя ск орость элек тронов. Н а пряж ения на у пра вляю щ ем элек троде, первом и вторы м а нодах, с помощ ью к оторы х А В мож но из менять ярк ость и фок у с элек тронного t0 t1 лу ча , регу лиру ю тся делителями на пряж ения R1,R2 и R3, к к оторы м подводится вы сок ое постоянное на пряж ение отблок а пита ния. Рис. 2

39

Д ру гим ва ж ны м элементом элек тронно-лу чевого осциллогра фа являетсягенератор ра з вертк и. Г енера тор ра з вертк и предста вляет собой ра диотехническ ое у стройство, поз воляю щ ее перемещ ать элек тронны й лу ч вдоль гориз онта льной оси с постоянной ск оростью (V=const.) П редполож им, что в момент времени t0 к гориз онта льно отк лоняю щ им пла стина м П х (в элек тронно-лу чевой тру бк е они ра сполож ены вертик а льно ) прилож ено на пряж ение, линейно из меняю щ ееся со временем. Т огда светящ ееся пятно бу дет двига ться по эк ра ну со ск оростью V=const в этом ж е на пра влении. Это на пряж ение на з ы ва ю т на пряж ением ра з вертк и Uр. Е сли в этот ж е момент времени t0 к вертик а льно отк лоняю щ им пла стина м П у (в элек тронно-лу чевой тру бк е они ра сполож ены гориз онта льно) подк лю чить исследу емое переменное на пряж ение U(t) , имею щ ее периодическ ий ха ра к тер, то на эк ра не полу чится к ривая з а висимости на пряж ения от времени в интерва ле времени от t1 до t2 , где t2-момент времени, к огда пятно достига ет к ра я эк ра на . Т а к к ак U(t) -периодическ а я фу нк ция с периодом T=t1-t0, то на эк ра не бу дет виден один период из менения величины U(t) (рис.2).Е сли з а ста вить лу ч в момент времени t1 мгновенно воз вратиться в исходное состояние (точк у А, соответству ю щ у ю времени t0) и повторить ра з вертк у с V=const до точк и В (соответству ю щ ей времени t1), мы у видим на эк ра не второй период из менениявеличины U(t). Т а к им обра з ом, смещ а я лу ч от точк и А до точк и В вдоль гориз онта льной оси с V=const , а потом мгновенно воз вра щ а я его от В в А и повторяя та к у ю ра з вертк у многок ра тно, мы смож ем у видеть на эк ра не неподвиж ну ю к артину U(t) в течение одного периода , если T=t1-t0. Е сли ж е nT=t1-t0, где n-целое число, то на эк ра не мы полу чим n периодов из менениявеличины U(t). П осле всего ск а з а нного следу ет, что гра фик из менения во времени на пряж енияра з вертк и Up долж ениметь вид, из обра ж енны й на рис.3. Д ля полу чения та к ого на пряж ения в осциллогра фе Uр смонтирова н генератор пилообра з ного на пряж ения. И та к , для полу чения неподвиж ного из обра ж ения t0 t1 t исследу емого Рис.3 периодическ ого на пряж ения U(t) на эк ра не осциллогра фа необходимо, чтобы t1-t0=nT, где n-целое число. Е сли ж е n-число дробное, то из обра ж ение на эк ра не бу дет передвига ться, что з а тру дняетна блю дение з а этим из обра ж ением. Н о да ж е если период исследу емого на пряж ения и период пилообра з ного на пряж ения ра вны и к ра тны , нельз я ру ча ться з а сохра нение у к а з а нного ра венства и в да льнейш ем. П ричина - воз мож на я неста бильность ча стоты

40

генератора ра з вертк и. П оэтому к олеба ния генератора ра з вертк и синхрониз иру ю тсясдру гими, более ста бильны ми к олеба ниями. Д ляэтой цели осциллограф сна бж ен перек лю чателем рода синхрониз а ции (перек лю ча тель "синхрониз а ция"). Г енератор ра з вертк и мож но синхрониз ирова ть либо ча стотой исследу емого на пряж ения, либо частотой переменного на пряж ения, вз ятого от сети, либо ча стотой к ак ого - нибу дь внеш него на пряж ения.

Л уч

С еть

Ярк ость

Ф ок у с Рис. 4

Амплиту да синхрониз а ции

О сь У

О сь Х Ч а стота пла вно

К онтр. сигна л 1:10 1:1

1:100

О тсети В ну тр. В неш н.

В ход вертик . Земля

В неш н. С инхр.

В ход гориз онт Д иа па з он ча стот

Земля

У силение У силение по вертик а ли С игн. по гориз онта ли ла мпочк а Н а рис.4 приведен внеш ний вид лицевой па нели осциллогра фа , где ра сполож ены все его орга ны у правленияс соответству ю щ ими на дписями. ВЫ П ОЛ Н Е Н И Е РА Б ОТЫ П одготов ка осц иллографа к работе 1. И з у чить блок -схему осциллогра фа и на з на чение к а ж дого орга на у пра вленияна передней па нели. 2. За рисова ть блок -схему осциллогра фа и связ ать ру чк и передней па нели с элемента ми отдельны х блок ов схемы .

41

3. П ривести осциллограф висходное ра бочее состояние. Е сли осциллогра ф находится все время в ра боте (у точнить у препода ва теля или ла бора нта ), то этотпу нк тне вы полнять: • ру чк и "ярк ость", "фок у с", "ось X", "ось Y" долж ны з а нима ть среднее полож ение; • ру чк и "у силение" по вертик а ли и "у силение" по гориз онта ли поверну ть влево доотк а з а; • перек лю ча тель "осла бление" поставить вполож ение 1:10; • перек лю ча тель "диа па з онча стот" поста вить вполож ение "вы к л.". 4. П одк лю чить осциллогра ф к сети, вк лю чить последова тельно ту мблеры "сеть" и "лу ч". П осле прогрева осциллогра фа (1-2мин.), ма нипу лиру я ру чк а ми "ось X" и "ось Y", поместить светящ ееся пятно в центр эк ра на и, регу лиру я ру чк а ми "ярк ость" и "фок у с", добиться, чтобы оно бы ло рез к им и минима льны х ра з меров. С Л Е Д Л У Ч А Н Е Д ОЛ Ж Е Н Б Ы ТЬ С Л И Ш К ОМ Я РК И М ! 5. В к лю чить генера тор ра з вертк и, у ста новив перек лю ча тель "диа па з он ча стот" и ру чк у "а мплиту да синхрониз а ции" в среднее полож ение. П ерек лю ча тель "синхрониз а ция" поста вить в полож ение "вну тр ". Ру чк у "у силение" по гориз онта ли поверну ть впра во до тех пор, чтобы полу чила сь светящ аясяполоса впределах эк ра на . У П РА Ж Н Е Н И Е 1 И сследов ание формы переменного электрического напряж ения. 1. И ссл е до ва т ь ф о рму пе ре ме нно го эл е кт риче ско го на пряж е ния на выхо де звуко во го ге нера т о ра ЗГ синусо ида л ьныхна пряж е ний. Д ля этого необходимо исследу емое на пряж ение пода ть на вертик а льны й вход осциллогра фа "осьY" (к леммы "вход" и "з емля"). Регу лиру я ру чк ой "у силение" по вертик а ли, а если потребу ется перек лю ча телем "осла бление", у лож ить на блю да ему ю к а ртину в эк ра н осциллогра фа по вертик а ли. М еняя ча стоту генера тора ра з вертк и (перек лю чатель "диа па з онча стот" и ру чк а "ча стота пла вно"), добиться у стойчивого из обра ж ениянеск ольк их периодовк олеба ний переменного элек трическ ого на пряж ения. За рисова ть на блю да ему ю к артину и сдела ть соответству ю щ ие вы воды . 2. И ссл е до ва т ь ф о рму пе ре ме нно го эл е кт риче ско го на пряж е ния в го ро дско й эл ект рическо й се т и( снять стра нсформатора или ск леммы "к онтр. сигна л"). К лемма "к онтр. сигна л" на ходитсяна передней па нели осциллогра фа . К ней подк лю чен один к онец вторичной обмотк и тра нсформа тора , на ходящ егося вну три осциллографа . В торой к онец этой обмотк и припа ен к к лемме “ з емля”. П оэтому для исследова ния этого

42

на пряж ения доста точно соединить к лемму "к онтр. сигна л" с входом "У ". Д а лее повторить, к ак и вп.1. 3. И ссл е до ва т ь а но л о гично ф о рму пе ре ме нно го эл ект риче ско го на пряж е ния на выхо де внеш не го ге не ра т о ра пил о о бра зныхна пряж е ний. У П РА Ж Н Е Н И Е 2. И з мерение переменного электрического напряж енияспомощ ью осц иллографа. Д ля из мерения переменного элек трическ ого на пряж ения с помощ ью осциллогра фа ну ж но з на ть его чу вствительность. О пределить чу вствительность осциллогра фа по вертик а ли jy и неиз вестное на пряж ение мож но следу ю щ им обра з ом. 1.В ы к лю чить ''у силение'' по гориз онта ли. 2.П ерек лю ча тель ''ослабление'' поста вить вполож ение 1:10. 3.П ода ть на вертик а льны й вход из вестное на пряж ение U0 с к леммы ''к онтр. сигна л'' (U 0=2,5В ). 4.У лож ить на блю да ему ю к артину в эк ра нпо вертик а ли, регу лиру я ру чк ой ''у силение'' по ''оси Y''. В ДА Л Ь Н Е Й Ш Е М У С И Л Е Н И Е П О В Е Р ТИ КА Л И Н Е ТР О ГА ТЬ ! 5.И з мерить отк лонение L лу ча на эк ра не. 6.О пределить чу вствительность осциллогра фа по форму ле jy =(L/2)/U0, где U0- а мплиту дное з на чение на пряж ения. Т а к им обра з ом, чу вствительность осциллогра фа при данном у силении численно ра вна отк лонению лу ча (в мм) на эк ра не осциллогра фа , вы з ы ваемого на пряж ением в1В . 7.Н еиз вестное на пряж ение U (с тра нсформа тора или с вы хода з ву к ового генера тора ) пода ть на вертик а льны й вход и из мерить отк лонение l лу ча , вы з ы ва емое этим на пряж ением. Тогда, с у четом (1), U=U0(l/L). Е сли отк лонение лу ча l не у к ла ды ва ется в эк ра не осциллогра фа , следу ет перек лю ча тель ''осла бление'' поставить в полож ение 1:100 и у честь это при вы числении U. Е сли отк лонение l лу ча очень ма ло, следу ет перек лю ча тель ''осла бление'' поста вить в полож ение 1:1 и та к ж е это у честь при вы числении U. У П РА Ж Н Е Н И Е 3. П ров ерка градуиров ки з в уков ого генератора синусоидальны х напряж ений спомощ ью фигур Л иссаж у. Ф игу ры Л исса ж у - это к ривы е слож ной формы , к оторы е полу ча ю тся в рез у льта те слож ения дву х вз а имно перпендик у лярны х гармоническ их к олеба ний с ра з личны ми ча стота ми : Ux = U 0xcosωxt = U0xcos 2π ν xt, Uy = U 0ycosωyt = U0ycos 2π ν yt.

43

В ид фигу ры Л исса ж у з а висит от соотнош ения ск ла ды ва емы х ча стот. Е сли ча стота одного к олеба ния из вестна , на пример ν x, то ча стоту дру гого к олеба нияν y мож но на йти изобщ его вида фигу р Л исса ж у по форму ле:

νy =νx

nx , ny

{4}

где nх- число пересечений да нной фигу ры с осью Х , а nу - с осью У . Д ля полу чения на эк ра не осциллогра фа фигу р Л исса ж у и вы полнения да нного у пра ж нениянеобходимо: 1 .В ы к лю чить генератор ра з вертк и (перек лю ча тель ''диа па з он ча стот'' в полож ение 'ВЫ К Л .''). 2. П ода ть на гориз онта льны й вход на пряж ение Uх из вестной ча стоты , на пример, 50 Г ц. Н а пряж ение из вестной ча стоты (f=50 Г ц) мож но снять с к леммы ''к онтр. сигна л'' или от городск ой элек трическ ой сети через пониж а ю щ ий тра нсформа тор. 3. Н а вертик а льны й вход пода ть исследу емое на пряж ение Uу от з ву к ового генера тора ЗГ с ча стотой f=50 Г ц. 4. В ра щ а я ру чк у ''у силение'' по гориз онта ли и ''у силение'' по вертик а ли, ра сполож ить полу ченну ю к артину в пределах эк ра на. М еняя пла вно ча стоту з ву к ового генератора , добиться появления у стойчивой к а ртины . П ри одина к овой величине на пряж ений Uх и Uу на пла стина х элек тронно-лу чевой тру бк и на эк ра не осциллогра фа долж на бы ть ок ру ж ность. В еличину на пряж ений Uх и Uу мож но регу лирова ть перек лю ча телем ''осла бление'' и ру чк ами ''у силение'' по гориз онта ли и ''у силение'' по вертик а ли. К роме этого, на пряж ение Uу на вы ходе з ву к ового генера тора мож но регу лирова ть соответсту ю щ ими ру чк а ми на генера торе. 5. И з меняя ча стоту з ву к ового генера тора , на чина я с минима льной, полу чить не менее пяти у стойчивы х фигу р Л исса ж у . Д ля к а ж дой фигу ры определить число пересечений ее сосью Х – nхи осью У - nу. Рез у льта ты из мерений з а нести вта блицу Ч а стота на ЗГ , Г ц

В ид фигу ры Л исса ж у

nx

ny

…

ν, Г ц

П о форму ле (4) для к а ж дой фигу ры Л исса ж у на йти ча стоту ν у исследу емого на пряж ения и сра внить ее с ча стотой, у к а з а нной на лимбе з ву к ового генератора .

44

РА Б ОТА № 8(9) П Р О В Е Р КА О Б О Б Щ Е Н Н О ГО ЗА КО Н А О М А ДЛ Я Ц Е П И П Е Р Е М Е Н Н О ГО ТО КА П риборы и прина длеж ности: к ату ш к а инду к тивности, ма га з ин емк остей, а мперметр, вольтметры для переменного и постоянного ток ов, реоста т, к лю ч. К ратк аятеория П еременны й - это ток , величина и на пра вление к оторого периодическ и из меняю тся во времени. За к он из менения ток а мож ет бы ть весьма ра з нообра з ны м. М ы бу дем ра ссматрива ть переменны й ток , из меняю щ ийся по сину соида льному з ак ону (1) i = i 0 sin(ωt + ϕ ) , где i – мгновенное з на чение ток а , i0 –а мплиту дное з на чение ток а, ω а к олеба ний, ϕ0 –на ча льна яфа з а. к ру гова яча стота , (ωt + ϕ ) -фа з П риборы переменного ток а из меряю т обы чно не мгновенное з на чение ток а i, а эффек тивное з на чение iэфф, к оторое длясину соида льного ток а меньш е а мплиту дного в 2 ра з , т.е. i U i эф ф = 0 , а на логично дляна пряж ения (2) U = 0 2 эф ф 2 П од эффек тивны м з на чением переменного ток а понима етсяз на чение та к ого постоянного ток а , к оторы й в а к тивном сопротивлении вы деляет ту ж е мощ ность, что и да нны й переменны й ток . С опротивление цепи постоянному ток у на з ы ваю т а к тивны м сопротивлением, к оторое полностью определяет свойства элек трическ ой цепи, С лож нее обстоитдело в слу ча е переменного ток а , где больш у ю роль игра ю тинду к тивность L и емк ость C отдельны х элементов цепи. Ра ссмотрим цепи переменного ток а с R, L и C. 1.А ктив ное сопротив ление R в ц епи переменного тока П у сть вцепи сопротивление R (рис. 1), течетпеременны й ток (3) i = i 0 sin ωt П ола га ем, что на ча льна я фа з а ϕ0 = 0. Т огда на основа нии з а к она О ма для у ча стк а цепи на пряж ение u R на сопротивлении R, R бу детравно U R ≈ iR = i0 R sin ωt или U R = U 0 R sin ωt (4), ∼ где U0R =i0R - а мплиту дное з на чение переменного Рис.1 U ток а. О тк у да i0 = 0 R . Это есть з а к он О ма для R а мплиту дны х з на чений переменного ток а и на пряж ения цепи с а к тивны м сопротивлением. С равнива я (3) и (4), видим, что ток i и на пряж ение uR на а к тивном сопротивлении, к оторое бу дем на з ы ва ть омическ им па дением на пряж ения, совпада ю т по фа з е, т.е. ра з ность фа з меж ду к олеба ниями ток а и

45

на пряж ения равна ну лю . И з менения ток а i и на пряж ения uR во времени из обра ж ены гра фическ и на рис. 2 Г а рмоническ и из меняю щ иеся величины мож но из обра ж а ть та к ж е при помощ и век торны х диа гра мм. Д ля этого вы берем ось диа гра ммы та к им обра з ом, чтобы век тор, i, из обра ж а ю щ ий к олеба ния U0 т о к а , бы л на пра вленвдоль UR i0 этой оси, и на з овем эту О сь ток ов ось «осью ток ов» . Т а к к ак на пряж ение совпа да ет по U0 i0 фа з е с ток ом, то век тор, i из обра ж а ю щ ий на пряж ение в цепи, бу дет Рис3 Рис. 2 на пра влен вдоль линии ток ов (рис. 3). Д лина этого век тора бу дет ра вна их а мплиту дны м з на чениям. 2. И ндуктив ность L в ц епи переменного тока В к лю чим в цепь переменного ток а к ату ш к у , облада ю щ у ю инду к тивностью L (рис 4). Е мк остью и омическ им сопротивлением пренебрега ем. П у сть черезк а ту ш к у L идет переменны й сину соида льны й ток : (5) i = i 0 sin ωt L П ри этом на ее к онца х воз ник а ет элек тродвиж у щ а я сила са моинду к ции εС , к отора я по з а к ону Ф а ра дея-М а к свелла UL пропорциона льна ск орости из менения ток а в ∼ цепи и равна Рис. 4 di εс= − L . (6) dt К оэффициент пропорциона льности L на з ы ва ется инду к тивностью и з а висит от формы и ра з мера проводник а , а та к ж е от ма гнитной проница емости ок ру ж а ю щ ей среды . di Е сли = 1A/c, εС = 1 В , то L из меряетсяв1Г н(генри). dt О дин генри – это инду к тивность та к ого проводник а , в к отором из менение ток а со ск оростью 1 А/с на водитэ.д.с. са моинду к ции в1 В . И нду к тивность хара к териз у ет элек трическ у ю инертность цепи, вы ра ж а ю щ у ю сявтом, что лю бое из менение ток а тормоз ится, при том тем сильнее, чем больш е инду к тивности цепи L. В ра ссма трива емой цепи прилож енное на пряж ение у ра вновеш ива ется э.д.с. са моинду к ции (ра вно ей по величине и противополож но по на пра влению ), поэтому UL =εС . У читы ва я (5) и (6), полу чим:

46

UL = L или

d (i sin ωt ) di π  =L 0 = i 0 ωL cos ωt = i0 ωLsin ωt +  , 2 dt dt  

U L =U 0L sin ωt + 

π  ,  2 

(7)

u а к онО ма для а мплиту дного где U = i ϖL . О тк у да i 0 = 0 L . Это есть з 0L 0 ωL з на ченияпеременного ток а и на пряж енияв цепи синду к тивностью . В еличина RL = ωL имеет ра з мерность сопротивления и на з ы ва ется инду к тивны м сопротивлением. И нду к тивное сопротивление обу словлено противодействием э.д.с. са моинду к ции, у меньш а ю щ ей действу ю щ ий ток , что эк вива лентно появлению сопротивления. И зсравнения (5) и (7) видно, что из менение ток а i и i, UL U0 на пряж ения UL , к оторое U 0L бу дем на з ы ва ть L i0 UL из менением на пряж ения π на инду к тивности, t соверш а ю тся в ра з ны х 2 i фа з а х, причем фа з а ток а О сь π i0 отста ет от фа з ы на 2 Рис. 6 Рис. 5 на пряж ения. А это з на чит, что ма к симу м на пряж ения на сту па ет на Т /4 (по времени) и π /2 (по фа з е) ра ньш е, чем ма к симу м ток а (рис. 5), где Т – период сину соида льны х к олеба ний ток а и на пряж ения. Cдвиг фа з обу словлен тормоз ящ им действием элек тродвиж у щ ей силы са моинду к ции. О на препятству ет к а к воз ра ста нию , так и у бы ва нию ток а в цепи. П оэтому ма к симу м ток а на сту па ет поз днее мак симу ма на пряж ения. В тораядиа гра мма этой цепи предста влена на рис.6. 3.Е мкость С в ц епи переменного тока В цепи постоянного ток а к онденса тор предста вляет беск онечно больш ое сопротивление. Д ля цепи переменного ток а емк ость предста вляет собой к онечное сопротивление, т.к ., попеременно С з а ряж а ясь и ра з ряж а ясь, к онденса тор обеспечива ет движ ение элек трическ их з арядов. Uс Ра ссмотрим цепь, содерж а щ у ю к онденса тор емк остью С (омическ им сопротивлением и ∼ инду к тивностью пренебрега ем), к оторы й периодическ и Рис. 7 з а ряж а ется и ра з ряж а ется (рис.7).П у сть к к онденсатору прилож ено переменное сину соида льное на пряж ение U c = U 0C sin ωt (8) В лю бой момент времени з а ряд q к онденсатора равен произ ведению емк ости С к онденса тора на на пряж ение UC:

47

q = С U С = С U 0C sin ωt (9) Е мк ость к онденсатора из меряется в фа ра дах (Ф ). Е сли q-1К л, а U=1В , то С =1Ф . Т .о., одна фа ра да ра вна элек трическ ой емк ости к онденса тора , при к оторой з а ряд 1К лсоз да етна к онденсаторе ра з ность потенциа лов1В . Е сли з а ма лы й промеж у ток времени dt з а ряд к онденса тора из меняется на dq, то это з на чит, что в подводящ их проводах идет ток силой dU C dq i= =C = U 0C ωC cos ωt = U 0C ωC sin( ωt + π 2 ) dt dt Т а к к ак а мплиту да этого ток а (10) i 0 = U 0C ωC , то ок онча тельно полу чим i = i 0 sin( ωt + π 2 ) (11) U 0C i0 = (12) За пиш ем форму лу (10) ввиде 1 ( ωC ) Это есть з а к он О ма для а мплиту дны х з на чений переменного ток а и на пряж ения в цепи с емк остью . В еличина RC=1/(ωC) имеет ра з мерность сопротивления и на з ы ва ется емк остны м сопротивлением. Т .о., чем больш е к ру гова я ча стота ω и чем больш е емк ость С к онденса тора , тем больш ий з а ряд проходитз а единицу времени черезпоперечное сечение подводящ их проводов. i, UC i0 С ледова тельно, i ~ ωC. U U0С Н о сила ток а и π О сь − i0 сопротивление обра тно 2 ток ов пропорциона льны дру г t дру гу . С ледова тельно, RC ~1/(ωC). i U0 Ри с . 9 Из сра внения Рис. 8 форму л (8) и (11) видим, что из менения ток а i и на пряж ения UC, к оторое мы бу дем на з ы ва ть падением на пряж ения на емк ости, соверш а ю тся в ра з ны х фа з а х, причем фа з а на пряж ения на π/2 отста етотфа з ы ток а . А это з на чит, что ма к симу м ток а на сту па етна Т /4 (по времени) и на π/2 (по фа з е) ра ньш е, чем ма к симу м на пряж ения(рис.8). Д ействительно, на пряж ение на обк ладк а х к онденса тора появится, если в более ра нней ста дии к олеба ний протек а л з а рядны й ток . В ек торна я диа гра мма цепи переменного ток а с емк остью из обра ж ена на рис.9. 4.Ц епь переменного тока сактив ны м сопротив лением R, индуктив ностью L и емкостью С , в клю ченны ми последов ательно С хема цепи из обра ж ена на рис.10. П о всей цепи бу дет идти общ ий ток i=i0 sin ωt. О боз на чим сопротивленияэлементов в цепи R, RL и RC, а па дения на пряж ения на них соответственно UR , U L и UC. П остроим век торну ю диа гра мму а мплиту дны х з на чений на пряж ений, пола га я, что U0L> U0C (рис.11). И з век торной диа гра ммы определим а мплиту дное з на чение на пряж ения U 0 меж ду точк а ми А и В :

48

U 0= U 02R + ( U 0 L − U 0C )2 . 1 2 1 ) . . Тогда U 0 = i0 R 2 + ( ωL − ωC ωC U0 . (13) 1 2 2 R + ( ωL − ) ωC

Н о U 0 R = i0 R , U oL = i0ωL и U 0C = i0 О тк у да

i0 =

R

A

UR

RL

RC

UL

B

UC

U0

U0

L

С

U0LU0C

U0

ϕ О сь ток ов

i0 U 0C

~ Рис.10

U0

Рис.11

Это есть обобщ енны й з а к он О ма для а мплиту дны х з на чений переменного ток а и на пряж ения цепи, содерж а щ ей последова тельно вк лю ченны е R,L и C. 1 2 ) (14) на з ы ва ется полны м ωC 1 сопротивлением цепи, а ( ωL − ) - полны м реак тивны м сопротивлением ωC

В еличина Z = R 2 + ( ωL −

(на реа к тивном сопротивлении элек троэнергия не ра сходу ется, поэтому оно ещ е на з ы ва етсябез ва ттны м). О чевидно, что если цепь бу детсостоять иза к тивного сопротивления R и одного реак тивного, на пример RL, то з а к онО ма бу детиметь вид: i0 =

U0 R 2 + ( ωL )2

(15)

Е сли цепь бу детсодерж ать R и RC, то з ак онО ма бу детиметь вид: i0 =

U0

(16)

1 2 R +( ) ωC 2

И звек торной диа гра ммы (рис.11) видно, что в цепи с последова тельно вк лю ченны ми R,L и C ток и на пряж ение сдвину ты по фа з е на у гол ϕ, а U − U 0C tgϕ = 0 L = U0R

ωL − R

1 ωC

(17)

О тсю да мож но определить сдвиг фа з меж ду ток ом и на пряж ением в да нной цепи переменного ток а . В ы пол нение раб оты Ц елью ра боты является проверк а обобщ енного з а к она О ма для цепи переменного ток а , т.е. проверк а форму лы (13), к отора я бу дет спра ведлива

49

и для эффек тивны х з на чений ток ов и на пряж ений. Д ля проверк и этого з а к она необходимо предварительно определить R,L и C исследу емой цепи. У праж нение 1. Определениеактив ного сопротив ленияи индуктив ности С обрать схему согла сно рис.12 и подк лю чить ее к источник у постоянного ток а с на пряж ением 36 В (или 110 В ). М едленно передвига я полз у нок реостата , у ста навлива ю т его в та к ое полож ение, чтобы а мперметр пок а з ы ва л доста точное = 36B или ~220B отк лонение. О тсчита в по прибора м A з на чения J и U , из меняю т силу ток а и вновь произ водят из мерения не менее R V т рех ра з . В еличину L а к тивного(омическ ого) сопротивления к а ту ш к и инду к тивности на ходят по Рис.14 U форму ле R= . С опротивлением I

обмотк и реоста та и подводящ их проводов пренебрега ем. Д а нны е з а носят вта бл.1. Д ля определения инду к тивности к а ту ш к и L воспольз у емся форму лой (14) дляполного сопротивленияцепи переменного ток а с у четом, что С =0: Z=

2 2 R + ( ωL ) .

О тк у да

L=

2

2

Z −R . ω

(18)

2π = 2πν , а ν=50 Г ц (ча стота переменного ток а Т городск ой осветительной сети). За менив в схеме вольтметр постоянного ток а на вольтметр переменного ток а, подк лю ча ю т цепь к источник у переменного ток а с на пряж ением 220 В . Д ейству яа на логично, по форму ле Z = U эф ф вы числяю т К ру гова я ча стота ω =

i эф ф

C

не менее трех з на чений Z и да нны е з а носятвта блицу . № П остоянны й ток П еременны й ток L,Г н п/п U,B J,A R,О м Uэфф,В iэфф,А Z,О м 1 2 3 С р. П ольз у ясь форму лой (18), ~220 определяю т инду к тивность к а ту ш к и A L дляк а ж дого из мерения. У праж нение 2. Определение R емкости V С обра ть схему согласно рис.13. П ередвига я полз у нок реоста та, меняю т силу ток а в цепи и из меряю т Рис.13

50

не менее трех ра з на пряж ение на к онденса торе. П о форму ле R

C

=

UЭФ Ф i эф ф

на ходят реа к тивное сопротивление к онденса тора для к а ж дого з начения ток а и на пряж енияи да нны е з а носятвтабл.2. П ольз у ясь форму лой RC = 1 , по среднему з на чению RC определяю т ωC

емк ость С к онденсатора . № п/п Uэфф.В 1 2 3 С р

Т а блица 2 iэфф,А RC,О м С ,Ф

У праж нение 3 П ров ерка обобщ енного з акона Ома С обрать схему согла сно рис.14. У ста новив реоста т на ма к сима льное сопротивление, з а мк ну ть к лю ч. И з меняя сопротивление реостата , у ста новить по а мперметру те ж е ~220B з на чения сил переменны х ток ов, A что и в у пра ж нении 1, и для этих C з на чений ток ов по вольтметру , R V з а фик сирова ть соответству ю щ ие L з на чения на пряж ений. Д а нны е з а нести втаблицу . Из мерив по прибора м з начения Рис.14 iэфф и Uэфф, определить по форму ле Z=

U эф ф

полны е сопротивления цепи для ра з ны х з на чений ток а и

i эф ф

на пряж ения. № Z,О м Z выч,О м ϕ0 п//п U эфф,В iэфф,А 1 2 3 П о форму ле (14) подста новк ой в нее ранее на йденны х з на чений R, L и C вы числить полное сопротивление Z вы ч. С овпа дение з на чений Z , определенны х в да нном у пра ж нении, и Z вы ч и является проверк ой обобщ енного з ак он О ма для цепи переменного ток а с у четом погреш ностей эк сперимента . Д а нны е з а нести в та бл.3. С л ед ует отм етить, ч то сопротивл ение катуш ки инд уктивности перем енном у току при нал ич ии ж ел езного серд еч ника в ней зависит от сил ы тока, поэ том у сравнивать изм еренны е и вы ч исл енны е знач ения м ож но тол ько д л я од них и тех ж е знач ений сил ы тока. П о форму ле (17) ра ссчита ть у гол сдвига фа з ϕ меж ду ток ом и на пряж ением пора нее на йденны м з на чениям R, L и C.

51

РА Б ОТА № 9(10) И ЗМ Е Р Е Н И Е У ДЕ Л Ь Н О ГО С О П Р О ТИ В Л Е Н И Я П Р О В О ДН И КА П риборы и прина длеж ности: у ста новк а для из мерения сопротивления, мик рометр. К ратк аятеория В ы сок а я элек трическ ая проводимость мета ллов обу словлена огромной к онцентра цией в них носителей ток а – элек тронов проводимости. В к ла ссическ ой элек тронной теории Д ру де-Л оренца элек троны проводимости рассма трива ю тся к а к элек тронны й га з , обла да ю щ ий свойства ми одноатомного идеа льного га з а . К онцентра ция элек тронов проводимости n воднова лентном мета лле имеетпорядок числа а томоввединице объ ема мета лла : n ≈ ( 1028 - 10 29)м -3. В отсу тствие элек трическ ого поля элек троны проводимости ха отическ и движ у тся и ста лк иваю тся с иона ми мета лла, к оторы е в свою очередь соверш а ю т беспорядочны е тепловы е к олеба ния ок оло полож ений ра вновесия – у з лов к риста ллическ ой реш етк и. В да нной теории счита ется, ительно что средняя длина свободного пробега λ элек тронов приблиз -10 ра вна ра сстоянию меж ду у з ла ми реш етк и мета лла , т.е. λ ~10 м. И сходя изосновны х полож ений молек у лярно-к инетическ ой теории вещ ества , мож но з а писа ть вы ра ж ение для средней к инетическ ой энергии теплового движ енияэлек тронов:

mVкв2 3 = kT , 2 2

(1)

где m – ма сса элек трона , Vкв – средняяк ва дра тична яск орость элек тронов, k – постоянна яБольцма на, Т – термодинамическ а ятемпера ту ра . П ри Т = 273 К Vкв ≈ 105 м/с. С редняя а рифметическ а я ск орость υ теплового движ енияимеетз начение та к ого ж е порядк а. Элек трическ ий ток в мета лле воз ник а ет под действием элек трическ ого поля, к оторое вы з ы ва ет у порядоченное движ ения элек тронов проводимости – их дрейф в нrа правлении, противополож ном на пра влению век тора на пряж енности поля Ε. j = neu , Т огда плотность ток а j бу детра вна (2) где е – з аряд элек трона , u - средняя ск орость дрейфа , имею щ а я величину порядк а 10-3 м/с. Н а основа нии 2-го з а к она Н ью тона F=ma мож но з а писа ть

m

du = eE. dt

(3)

В еличина е Е в этом у ра внении есть сила , действу ю щ а я на элек трон в элек трическ ом поле. В к ла ссическ ой теории пола га ю т, что при соу дарениях с иона ми элек троны полностью теряю тск орость у порядоченного движ ения u . Т огда

52

u max = aτ , где τ - среднее время свободного пробега элек трона, а – у ск орение движ енияэлек тронов.

eE . Тогда средняя ск орость m u eE τ. u = max = дрейфа элек троновбу детра вна (4) 2 2m λ а писа ть τ = . П одста вив это У читы ва я, что u pp v , мож но з v eλ u= E. вы ра ж ение в форму лу (4), полу чим 2mv ne 2λ j= E. Т огда форму лу (2) мож но з а писа ть та к : (5) 2mv ne 2λ В еличина γ = на з ы ва етсяу дельной элек трическ ой проводимостью , а 2mv 1 - у дельны м элек трическ им сопротивлением обратна я ей величина ρ = γ И з у ра внения (3) следу ет, что a =

проводник а. Т огда

j = γΕ =

1 Ε ρ

(6)

Это есть з а к он О ма в дифференциа льной форме. И з(6) мож но полу чить вы ра ж ение дляз ак она О ма на у ча стк е проводник а длиной ℓ и сечением S. Т а к к а к плотность ток а j и сила ток а J связ а ны соотнош ением

J U , а Ε = , где U - ра з ность потенциа лов на к онца х проводник а , то S l U J 1U l = . Н о сопротивление проводник а R = ρ . О тсю да J = . S ρ l S R j=

Н есмотря на очевидны е достоинства к ла ссическ ой элек тронной теории проводимости мета ллов, она не смогла объ яснить ряд эк сперимента льны х фа к тов. Н а пример, изэк сперимента следу ет, что для мета ллов ρ ~ Т , а изтеории следу ет, что ρ ~ T . Эти несоответствия обу словлены , во-первы х, тем, что она исходит из предста вления об элек троне к а к о ча стице, поведение к оторой описы ва ется тольк о з а к она ми к ла ссическ ой меха ник и, не у читы ва яего волновы х свойств. В о-вторы х, эта теория не у читы ва етвз а имодействияэлек тронов (вэлек тронном га з е) дру г с дру гом. В -третьих, эта теория не у читы ва ет, что энергия элек трона в мета лле, к ак и его энергия в из олирова нном а томе, мож ет принима ть не лю бы е, а тольк о определенны е (диск ретны е) з на чения. О тмеченны е особенности поведения элек тронов у чтены к ва нтовой элек тронной теорией проводимости, у спеш но ра з реш ивш ей противоречия к ла ссическ ой теории.

53

О писа ние эк сперимента льной у ста новк и Н а рис.1 из обра ж ен общ ий вид эк сперимента льной у ста новк и. И сследу емы й проводник 1 предста вляет собой проволок у , на тяну ту ю меж ду дву мя к ронш тейна ми 2, смонтирова нны ми на вертик а льной стойк е 3. Н а к онцы проволок и подается постоянное на пряж ение от блок а 4. С редний подвиж ны й к ронш тейн имеет ск ольз ящ ий к онта к т 5, поз воляю щ ий вк лю ча ть в цепь ча сть провода (меж ду ниж ним к онцом и к онтак том 5). Н а передней па нели блок а 4 имеется к ла виш а 6 для вк лю чения прибора в сеть, индик а торна я ла мпочк а 7, ру чк а 8 для регу лировк и ток а в цепи, к ла виш а 9 для вк лю чения вольтметра и миллиа мперметра в цепь, а так ж е 3 к ла виш а 10, с помощ ью к оторой вы бира етсясхема из мерения. С опротивление R у ча стк а провода Рис.1 определяется по з ак ону О ма пу тем из мерения на пряж енияU и силы ток а J на этом у ча стк е цепи. О дна к о истинное з на чение R мож но определить тольк о при у чете сопротивления подводящ их 4 проводник ов и вну треннего сопротивления вольтметра RV и миллиа мперметра RA. 7 П од вну тренним сопротивлением э л ек т ро из мерительны х приборов 8 подра з у мева ется общ ее сопротивление из мерительной к а ту ш к и Rк прибора и 6 Рис. соединенного с ней определенны м 9 1 обра з ом сопротивления Rш или Rд. Rш – Рис.1 0 1 это сопротивление ш у нта (ота нгл. shunt – ответвление), т.е. рез истора , облада ю щ его относительно ма лы м постоянны м сопротивлением, причем Rш Rк. Н а рис.2 приведены две воз мож ны е схемы подк лю чения элек троиз мерительны х приборов к исследу емому сопротивлению R. Н а этом рису нк е общ ее сопротивление миллиа мперметра с ш у нтом обоз на чено пу нк тиром черезRА , а общ ее сопротивление вольтметра с дополнительны м сопротивлением черезRV. Е сли перек лю ча тель К на ходится в полож ении «а » , то пок а з а ние вольтметра UV ра вно на пряж ению U на сопротивлении R (сопротивлением подводящ их проводовпренебрега ем). П ок а з а ниявольтметра ск ла ды ва ю тся

54

из ток ов, тек у щ их в дву х ветвях: через исследу емое сопротивление J и черезвольтметр JV, RA т.е. JA=J+JV. И сходя изз ак она О ма, полу ча ем ра счетну ю форму лу UV (7) R= . UV JA − RV Е сли перек лю ча тель К на ходится в полож ении «в» , то пок а з а ние а мперметра JА равно ток у J черезисследу емое сопротивление R, а пок а з а ние вольтметра UV ск ла ды ва ется из на пряж ений на сопротивлении R и на а мперметре: UV=U+U A. И спольз уя з а к он О ма, полу чим: Рис.2

R=

UV − J A R A . JA

(8)

К а к у ю схему следу ет вы бра ть для из мерения R? Ана лизвы ра ж ения для погреш ности ΔR пок а з ы ва ет, что если RRA, то следу ет использ овать схему «в» . П ри RA