Семинарские занятия и лабораторные работы по методике преподавания математики

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет

Семинарские занятия и лабораторные работы по методике преподавания математики.

Екатеринбург 2003

Автор: Липатникова И.Г.

Рецензенты: Ю.Б. Мельников кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедры методики преподавания математики Уральского государственного педагогического университета. И.Н. Семѐнова кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики преподавания математики Уральского государственного педагогического университета.

В пособии представлена разработка семинарских занятий и лабораторных работ по методике преподавания математики. Кроме того в нѐм содержатся методические советы по подготовке студентов к лабораторным и семинарским занятиям. Пособие направлено на формирование творческого подхода будущего учителя математики к организации учебно-познавательной деятельности учащихся. Оно предназначено для студентов педагогических вузов, а также для учителей математики.

Семинарские занятия и лабораторные работы по методики преподавания математики. / И.Г. Липатникова. Екатеринбург, 2003. с.

©Липатникова И.Г.

Предисловие. Важной проблемой, стоящей перед педагогическими вузами, является профессиональная подготовка студентов - будущих учителей. При этом, надо отметить, что на сегодняшний день, данная проблема рассматривается более остро. Это связано, в первую очередь, со сменой общеобразовательной парадигмы, фиксирующей переход от массово-репродуктивных форм и методов преподавания к индивидуально - творческим; во-вторых, с рыночными отношениями, требующими компетентных специалистов с прочно сформированными потребностями в постоянном профессиональном самообразовании и саморазвитии. Другими словами говоря, современный учитель средней школы должен отличаться общей культурой, иметь глубокие психолого-педагогические знания, обладать высоким уровнем профессиональной компетенции в своей предметной области, владеть современными общеобразовательными технологиями, являться творческой развивающейся личностью. Учитывая то, что ведущими факторами саморазвития личности в условиях педагогического вуза выступают: содержание образования, сам процесс организации образования, мы предлагаем пересмотр выше названных компонентов системы с учѐтом новых требований к современному образованию. Данное пособие имеет своей целью повышения уровня методической подготовки студентов - будущих учителей математики на семинарских и лабораторных занятиях. Именно эти формы организации позволяют студенту, проверить, уточнить, систематизировать знания по изучаемой методической проблеме, укрепить интерес к методике как науке и исследованиям в еѐ области, связать теоретические положения с практической деятельностью. В пособии представлен достаточно обширный практический и теоретический материал по ключевым вопросам общей методики.Важно отметить,что предлагаемый материал опирается на современные подходы к изучению методики преподавания математики. Кроме того, в пособии приведены соотвествующие примеры из школьного курса математики, а также задания для самостоятельного выполнения студентами на семинарских и лабораторных занятиях; к каждому занятию прилагается список учебно-методической литературы.

3 курс (общая методика) Семинарское занятие № 1 Тема: Проблема гуманитарной ориентации обучения математике. Цель: 1. Формировать способность студентов самостоятельно осуществлять анализ методической литература с точки зрения еѐ значимости и эффективности. 2. Развивать исследовательские способности будущего педагога путѐм активного включения в образовательный процесс. Литература: Г.В. Дорофеев, Г.К. Муравин, Л.Г. Петерсон. «Математика для каждого»: концепция и программа гуманитарного непрерывного курса математики в основной школе (1-9 классы)// «Школа 2000…» концепция и программы непрерывных курсов для общеобразовательной школы. Выпуск 1. Москва: «Баллас» - «С-ИНФО», 1997. С. 127 – 136. Задания для размышления и контроля: 1. Объясните, как вы понимаете термин «гуманитарная ориентация обучения математике». 2 . Какой приоритетный принцип составляет основу концепции школьного образования в аспекте «математика для каждого» и почему? 3. Прокомментируйте общие цели математического образования с точки зрения гуманитарной ориентации обучения. В каких из перечисленных позиций, на ваш взгляд, прослеживается идея новаторства в образовании? 4. В чѐм суть термина «уровневая дифференциация»? Какую функцию выполняет уровневая дифференциация в разработке содержания обучения математике? 5. В чѐм основная идея принципа «разумного консерватизма»? 6. Согласны ли вы с тезисом о том, что гуманитарная ориентация обучения позволяет глубже раскрыть проблему межпредметных связей. Докажите сказанное примерами. 7. В чѐм проявляется влияние гуманитарного курса математики на федеральный общеобразовательный стандарт?

Семинарское занятие № 2 Тема: Периоды развития МПМ в России. Цель: 1.Расширть представления студентов о МПМ как науке с точке зрения еѐ исторического развития. 2.Создать условия для развития личности каждого студента, их самореализации. . Литература: Черкасов Р.С. История отечественного школьного математического образования // Математика в школе. 1997 № 2. С. 83-91; № 3 С. 8-96; № 4 С 88-92. Задания для размышления и контроля: I. 1. Обоснуйте значимость периода (конца XVIII – XIX) для развития методики преподавания математики как науки. 2. Охарактеризуйте методические идеи С.Е. Гурьева – первого отечественного методиста. 3. Проанализируйте методическое наследие С.Е. Гурьева в области геометрии и арифметики. 4. Раскройте положительные и отрицательные стороны в наследии С.Е. Гурьева. 5. Что интересного для себя вы узнали о старинном учебнике по арифметике и его авторе? II. 1. Охарактеризуйте первые научные исследования в области методики преподавания математики (1800-1860): 1).Выявите особенности содержания учебников по математике авторов Н. Фуссо и С. Румовского. 2).Укажите главную ориентацию методических руководств по математике в этот период. 3).Назовите фамилии великих математиков и их методические книги по математике, обосновывая, при этом, их личный вклад в развитие МПМ как науки. 4).Прокомментируйте, в чѐм, по вашему мнению, заслуга академика Остроградского? 2.Обоснуйте, почему следующий пункт статьи назван «Широкое обсуждение проблем методики преподавания математики» (1860-1900). Как вы думаете,

почему в тот период назрела необходимость широкого обсуждения проблем методики преподавания математики? 3.Обозначьте основные проблемы, которые обсуждались на первом Всероссийском съезде преподавателей математики. Как, по вашему мнению, являются ли эти проблемы актуальными в современной школе? Если да, то по возможности докажите. 4.Прокомментируйте цитату: «только к началу 30-х г.г. стало ясно, что «новая школа» не даѐт учащимся необходимых общеобразовательных знаний, особенно по такому предмету, как математика». 5.Докажите мысль о прогрессивности взглядов и идей А.Я. Хинчина. Выясните для себя, какой вклад внѐс А.Я. Хинчин в развитие методики преподавания математики. 6.Охарактеризуйте основные задачи реформы школьного математического образования и укажите причины неожиданной еѐ приостановки (1965-1984).

Семинарское занятие № 3 Тема: Методы обучения. Цель: 1. Сформировать представление у студентов о методах обучения, их функциях, классификациях. 2. Развивать у студентов умения выбирать методы обучения в зависимости от решаемых педагогических задач. Литература: 1. Махмутов М.И., Современный урок. М., 1996 2. Н.В. Метельский. Пути совершенствования обучения математике (Проблемы современной методики математики). Минск 1989. С. 119 – 150 3. Теория и методика обучения математике (вопросы организации деятельности учителя). Учебное пособие. Екатеринбург, 2002. С. 16-17. Задания для размышления и контроля: 1. Проследить, взяв за основу пособие Н.В. Метельского «Пути …» (стр. 119-150), историческое развитие методов обучения. Обосновать зависимость методов обучения от социальных условий и целей образования. 2. Прокомментировать различные подходы к вопросу проблемного обучения (А.М. Матюшкин, М.Н. Скаткин, М.И. Махмутов Н.Я. Лернер и др.)

3. Рассмотреть различные классифкации методов обучения, предложенные в пособии Н.В. Метельского «Пути …» (стр. 143-150), определить основу этих классификаций. 4. Подробно рассмотреть классификации методов обучения (по характеру деятельности и по характеру источника знаний), продемонстрировать данные методы на теме «Квадратные уравнения». Семинарское занятие № 4 Тема: Принципы обучения. Анализ различных классификаций с точки зрения выделения иерархии значимости принципов для достижения целей обучения». Цель: 1. Сформировать представление у студентов о принципах обучения, их функциях, классификациях. 2. Развивать у студентов умения ориентироваться в принципах обучения в зависимости от главных целей образования. Литература: 1. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика. М., 1975. 276 с. 2. Н.В. Метельский. Дидактика математики. Минск, 1982. 256 с. 3. Волович М.Б. Наука обучать. М., 1996. С. 206-234. 4. Метельский Н.Б. Психолого-педагогические основы дидактики математики, Минск, 1977. 158 с. Задания для размышления и контроля: 1. Используя методику преподавания математики в средней школе (общая методика) авторов Ю.М. Колягина, В.А. Оганесяна, сопоставить цели образования с принципами, предложенными в пособии. Охарактеризовать каждый принцип в отдельности. Выяснить интегративные характеристики системы описанных в пособии Ю.М. Колягина принципов обучения (гармоничность, целесообразность, эффективность, открытость для нового содержания и новых технологий, специфичность). 2. Прокомментируйте, что, на ваш взгляд, в системе принципов обучения, предложенных Н.В. Метельским, является инновационным по сравнению с предыдущей системой принципов, рассмотренных в пособии Ю.М. Колягина.

3. В чѐм проявляется «покушение на принципы дидактики» в книги М.Б. Воловича. «Наука обучать». Проанализируйте его точку зрения по поводу следующих принципов: 1.принцип научности 2.принцип сознательного усвоения 3.принцип активности 4. принцип наглядности 5. принцип прочности знаний 6. принцип индивидуального подхода в обучении. В связи, с чем у автора возникла иная точка зрения по содержанию существующих принципов обучения? Докажите сказанное текстом книги (стр. 206234). Семинарское занятие № 5 Тема: Математические способности. Одарѐнность. Цель: 1. Сформировать способность у студентов самостоятельно ориентироваться в понятиях «способность», «одарѐнность». 2. Раскрыть для студентов особенности развивающей дифференцированной программы «одарѐнный ребѐнок», разработанной старшим научным сотрудником РАО, кандидатом психологических наук Н.Б. Шумаковой. Литература: 1. Моделирование уроков пропедевтического курса математики в рамках реализации программы «Одарѐнный ребѐнок». Методические рекомендации, дидактические материалы, примеры поурочных разработок/ Науч. Ред. И.Н. Семѐнова. Екатеринбург: никум, 2002, 68 с. 2. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение. – 1968, 432 с. Задания для размышления и контроля: 1. Проанализируйте различные трактовки понятия «одарѐнность». Сравните определение одарѐнности, данное В.А, Крутецким с остальными, оцените преимущества и недостатки (см. книгу «Психология…». Стр. 93-94). 2. Обоснуйте необходимость создания программы «Одарѐнный ребѐнок» (см. пособие «Моделирование…»). 3. Охарактеризуйте основные положения и требования к программе «Одарѐнный ребѐнок» (основные задачи, содержание, принципы моделирования).

4. Обозначьте основные учебные цели темы «Задача». Проследите каждую из них в структуре уроков (описанных в работе «Моделирование …») по данной теме. 5. Реализация междисциплинарной темы «Преемственность» в структуре уроков по теме «Задача». 6. Проанализируйте различия в уровнях заданий на стр. 26-27 «Моделирование…». Семинарское занятие №6 Тема: Различные подходы к организации учебной деятельности учащихся. Цель: 1. Раскрыть для студентов особенности организации учебной деятельности учащихся на уроках математики с точки зрения различных подходов. 2. Развивать умения студентов сравнивать , анализировать и выбирать разные подходы к организации учебно-познавательной деятельности. Литература: 1. Есинова О.Б., Крупич В. И. Учить школьников учиться математике. М. Просвещение, 1990. – с.4 – 7. 2. Гпнеев Х.Ж. Информационно-развивающий метод обучения математике // Проблемы реализации творческого потенциала личности в процессе обучения математике. Екатеринбург. 2000 – с.4-14. 3. Иванова Т.А. Учено-исследовательская деятельность как компонент гуманитарно-ориентированного содержания математического образования// Проблемы реализации творческого потенциала личности в процессе обучения математике. Екатеринбург, 2000 – с.15 – 27. 4. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии. М. , 1998 – с. 23 Задания для размышления и контроля: 1. Как вы думаете, почему на сегодняшний день, идея развивающего обучения стала наиболее актуальной. Обоснуйте эту мысль, опираясь на главные цели образования. Попробуйте сформулировать отличительные особенности развивающего обучения? 2. Как соотносятся цели образования и современные принципы обучения. Прокомментируйте это соотношение. Какую роль выполняют принципы обучения в учебно-познавательном процессе?

3. какой из изученных методов обучения в современной школе должен стать ведущим? 4. Опираясь на лекцию по "Методам научного познания", объясните, как соотносятся между собой знания и усвоение. Выдвиньте гипотезу: каким образом на сегодняшний день должна быть организована учебная деятельность учащихся. 5. С помощью пособия (Есиновой О.Б., Крупича В.И. "Учить …") раскройте: понятия деятельности, взаимосвязь предметна деятельности с потребностью в деятельности, целью деятельности и результатом. 6. Как в данном пособии рассматривается понятие учебной деятельности. Сравните еѐ с учебно-познавательной деятельностью. 7. Опираясь на это пособие, раскройте основные положения деятельностного подхода к обучению. 8. Охарактеризуйте различные подходы к организации учебной деятельности. 1. Теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной. (Селевко Г.К. "Современные …") 2. Процесс познания в математике Т.А. Ивановой. 3. Информационно-развивающий метод обучения математике 9Х.Ж. Ганеев). Семинарское занятие №7. Тема: Проблема оценки качества результатов обучения и контроля. Цель: 1. Раскрыть для студентов особенности контроля и оценки знаний, умений в процессе обучения математике. 2. Формировать способность у студентов грамотно осуществлять контроль и оценку знаний, умений учащихся в процессе обучения школьников математике. Литература:1.Амоношвили Ш.А. Обучение. Оценка. Отметки. М.:Знание,1980.270 с. 2. Кальней В.А., Шишов С.Е. Технология мониторинга качества обучения в системе «учитель-ученик». Методическое пособие для учителя. М.: Педагогическое общество России,1999.86 с. 3.Ксензова Г.Ю. Оценочная деятельность учителя. М.,1999.176с. 4.Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. Пособие для студентов физ. - мат. спец. пед. ин-

тов/Е.И.Лященко, К.В.Зобкова, Т.Ф.Кириченко и др.; Под ред. Е.И.ЛященкоМ.: Просвещение,1988.223с. 5.Петерсон Л.Г., Кубышева М.А., Петерсон В.А. Средства комплексного мониторинга результатов обучения, реализующего современные образовательные цели. М.: УМЦ «Школа 2000…»,2001.80 с. 6.Единый государственный экзамен 2003года// Математика в школе.2003.№3.С.59-66. Задания для размышления и контроля: 1.В чѐм различие понятий ―оценка‖ и ―отметка‖? 2.Подберите аргументы в пользу и против перехода на ―безотметочное‖ обучение в начальной школе. Возможно ли такое обучение в средних и старших классах? 3.Вправе ли педагог завышать или занижать отметки отдельным ученикам? 4.Предложите способы и подходы, повышающие объективность оценки уровня обученности? 5.Можно ли четвертную отметку выводить как среднеарифметическое текущего учѐта обученности? 6.Что необходимо учесть в итоговой оценке успеваемости помимо уровня знаний, умений и навыков? Как это осуществить? 7.Оцените возможности тестовой оценки результатов обучения. 8.Придумайте серию предписаний для учащихся с целью обучения их приѐмам самоконтроля. 9.Составьте вопросы для устной проверки выполнененного домашнего задания учащимися (выберите тему самостоятельно). При составлении вопросника предусмотрите проверку знаний с точки зрения глубины, прочности и сознательности усвоения. 10.Придумайте тестовые задания по теме: «Рациональные числа» (6 класс).

Семинарское занятие №8. Тема: Индивидуализация и дифференциация в процессе обучения математике. Цель: 1. Обобщать и систематизировать знания студентов об индивидуализации и дифференциации в процессе обучения математике.

2. Сформировать способность у студентов самостоятельно организовывать индивидуальный подход в процессе работы в разноуровневом классе, в классе с углублѐнным изучением математики. 3. Развивать у студентов профессиональную компетентность. Литература: 1.ДорофеевГ.В., Шарыгин И.Ф. Математика 6класс. М.,2002. 2.ДорофеевГ.В., Суворова С.Б Дидактические материалы 6 класс. М.,2002. 3.Атанасян Л.С. Геометрия 7-9.М.,2000. 4.Зив Б.Г.,Мейлер В.М.Дидактические материалы по геометрии 7класс. М.,2000. 5.ОкуневА. А.Углублѐнное изучение геометрии в 8 классе. М .,1996. 6.Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика5-11классы.М.,2000. Задания для размышления и контроля: 1. Обоснуйте необходимость использования дифференцированных домашних заданий в разноуровневом классе. Придумайте примеры дифференцированных домашних заданий к теме: «Третий признак равенства треугольников» (Атанасян Л.С.Геометрия 7-9.М.,2000. С.38) и помощью них докажите свои предположения. 2. Раскройте особенности работы в классе с углублѐнным изучением математики. Взяв за основу книгу ОкуневаА.А. Углублѐнное изучение геометрии в 8 классе, составьте самостоятельную работу по теме: «Вписанные и описанные окружности» и сравните еѐ с самостоятельной работой, предложенной в дидактических материалах по геометрии 8 класс. ЗивБ.Г.,МейлерВ.М. Выделите особенности, составленной вами самостоятельной работы. 3. Составьте разноуровневую контрольную работу по теме «Деление десятичных дробей»,при этом, используя учебник ДорофееваГ.В., Шарыгина И.Ф. Математика 6 класс. 4. Попробуйте представить, что вами дано задание трѐм группам учащихся найти свой оригинальный способ решения задачи. Каким образом вы будете контролировать деятельность каждой группы? Как будете оценивать результаты работы каждой группы, каждого члена группы? Разработайте

конкретную проблемную ситуацию и варианты заданий группам учащихся. Охарактеризуйте возможные приѐмы проверки групповой работы. 5. Прокомментируйте методику проверки индивидуальных заданий, выполняемых во время опроса. На что учителю следует обратить особое внимание? В каких случаях необходимо требовать внимания всех учащихся к выполняемому заданию, а в каких - нет? Лабораторная работа № 1. Тема: Преемственность в обучении математике. Цель: 1. Уточнить и расширить представления студентов о преемственности обучения между начальной и средней школой. 2.Развить у студентов умения осуществлять преемственные связи между начальной и средней школой по действующим учебникам (Л.Г. Петерсон Математика 1-4 и Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон Математика 5-6; М.И. Моро Математика 1-4 и Н.Я. Виленкин Математика 5-6). Литература: 1. Л.Г. Петерсон Математика 1-4. М.: Ювента - Просвещение, 2002 2. М.И, Моро. Математика 1-4. М.: Просвещение, 2002. 3. Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. Математика 5-6. М.: Баллас - Инфо, 2002 4. Н.Я. Виленкин. Математика 5-6. М.: Просвещение, 2000. Основное содержание работы: Существуют два блока преемственных связей в обучении: содержательный и процессуальный. Содержательный: 1. Единообразие в трактовке понятий, в терминологии, в используемом языке; 2. Постепенное повышение уровня абстракции при развитии понятий; 3. Системность в изучении понятий; 4. Использование на каждом последующем этапе предметных знаний, умений и навыков, полученных учащимися на предыдущем этапе, то есть актуализация опорных результатов обучения; 5. Перспективный характер обучения, то есть возможность на каждом предыдущем этапе закладывать основы обучения предмету в дальнейшем и таким образом ориентировать на требования будущего. Процессуальный: 1. Учѐт ведущего типа деятельности в каждом классе;

2. Взаимосвязь в методах, формах и средствах обучения, то есть применения в начальных классах форм и средств, используемых при обучении в 5-6 классах и учѐт в 5-6 классах тех форм, методов и средств, которые использовались в начальных. Функции принципа преемственности (процессуальный аспект): 1. Обеспечение единства, взаимосвязи и взаимообусловленности структурных элементов преемственности в обучении (преемственности в содержании обучения; преемственности в методах и формах обучения; преемственности в средствах обучения; преемственности в контроле и оценке достижений учащихся; 2. Обеспечение взаимосвязи принципа преемственности процессуального аспекта с другими принципами, специфичными для средних классов; 3. Рациональный выбор методов, форм, средств обучения, способов оценки и контроля деятельности учащихся, учѐт оптимальных взаимосвязей между ними; 4. Обеспечение системности обобщѐнных знаний обучаемых. Но эти функции не выполняются, так как: 1). Многие учителя начальных классов не знакомы со спецификой обучения в 5-6 классах, а учителя математики - с особенностями обучения учащихся в начальных классах; 2). Отсутствие конкретных материалов изложения общей теории в подготовке учителей начального и среднего звеньев школы. Условия реализации принципа преемственности: 1. Педагогическая конкретизация цели и задач обучения предмету в целом и на разных ступенях с учѐтом целей общего образования и реальных условий обучения; 2. Чѐткий отбор содержания, выделения объѐма, определения последовательности его изложения, соответствие содержания целям и функциям, которые оно призвано выполнять в процессе обучения; 3. Реализация непрерывного повторения; 4. Регулирующее воздействие программных требований к результатам обучения (на основе тщательной стыковки и достижения полной согласованности требования к математической подготовке учащихся на выходе из начальной школы, совершенствования структуры и содержания требований); 5. Конструирование модели обучения с учѐтом возрастных особенностей и познавательных возможностей детей;

6. Осуществление непрерывного образования; 7. Перенос центра тяжести с усвоения отдельных фактов на усвоение общих знаний; 8. Осуществление опережающего обучения; 9. Общение учащихся и учителя на основе общего целеполагания и совместно распределѐнной деятельности; 10. Преемственность методов, форм и средств обучения. (см. далее таблицу)

Таблица №1. Линия Числовая

Содержательный блок преемственных связей на примере ников Л.Г.Петерсон.

Дошкольное Взаимосвязь часть-целое, представление о сложении и вычитании. Распознавание чисел от 1 до 10. Сравнение: составление пар, смежные числа. Кодирование: большой - малый, форма, цвет. Символы. Числовые выражения.

Начальная школа Натуральные числа и действия с ними. 12 разрядов. Представление о дробях. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

5-6 класс Рациональные числа. Вложения: N?Z?Q. Использование чисел для измерения.

7-9 класс Действительные числа. N?Z?Q?R

Числовые и буквенные (арифметические и алгебраические) выражения. Уравнения.

Преобразования числовых и буквенных

Алгебра

Функциональная

Представление об изменении величин (сериация). Наблюдение за измерением величин.

Величины и их измерение. Переменная величина. Понятие о представлении зависимости между величинами в виде формул и таблиц. Графики движения.

Функция

Геометрическая

Представление о простейших геометрических фигурах.

Расширение представлений о простейших геометрических фигурах.

Анализ данных

Работа с простейшими таблицами.

Моделирование

Составление выражений к рисунку.

Система работы с таблицей. Введение задач на перебор вариантов (логика перебора, правила перебора). Дерево возможностей. Решение текстовых задач. Знак процента.

Частные виды зависимости: прямая и обратная пропорциональность. Представление зависимости между величинами в виде формул и таблиц. Целесообразность обобщающего способа изучения зависимости. Исследование свойств геометрических фигур. Проблема доказательства свойств. Представление о логическом строении геометрии. Решение задач на перебор вариантов. Работа с таблицами, диаграммами, графиками. Представление о математических моделях.

Язык и логика

Поиск закономерности

Представление о методе математического моделирования Множества и операции над ними.

Алгебраическая

Верно - неверно, всегда - иногда. Высказывание. Понятие о множестве.

m ? выражений. Уравнения. n

Элементы логики. Общие высказывания. Высказывания о существовании… равносильность.

Геометрия

Комбинаторика, вероятность, статистика.

Задания для размышления и контроля. 1. Осуществить анализ предлагаемых учебников. 2.Учитывая особенности содержательного блока преемственных связей, самостоятельно заполнить рекомендуемую таблицу по рассматриваемым учебникам и сделать соответствующие выводы по реализации преемственных связей.

Лабораторная работа№2. Тема: Дидактическая игра как средство организации учебного процесса. Цель: 1.Уточнять и расширять представления студентов о дидактической игре как средстве организации учебно-познавательной деятельности на уроках математики. 2.Формировать способность у студентов самостоятельно составлять и проводить дидактическую игру на уроках математики с учѐтом психолого-педагогических особенностей обучаемых. Литература: 1.БлиноваТ.Л.

Дидактические

игры

в

процессе

обучения

математи-

ке.Екатеринбург,2000. 2.Актуальные вопросы внеурочной работы по математике в средней школе: Учеб.- метод. Пособие/Под редакцией И.Н.Семѐновой. Урал. гос. пед.ун-т. Екатеринбург,1999. 3.Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990. 4.Ковалѐва Т.М. Игра и учебная деятельность//Математика в школе № 6, 1988. 5.Никифорова М. Дидактические игры.// «Математика», приложение к «1сентября» № 28 ,1996. 6.Фомичѐва В. М. Дидактические игры на уроках алгебры, 7-8 классы.// «Математика»; приложение к «1 сентября», №18, 1998 Основное содержание работы. Дидактические игры можно широко использовать как средство обучения, воспитания и развития. Основное обучающее воздействие принадлежит дидактическому материалу, игровым действиям, которые как бы автоматически ведут учебный процесс, направляя активность детей в определѐнное русло.

Дидактическая игра создаѐтся на уроках при помощи игровых приѐмов и ситуаций, которые выступают как средство побуждения, стимулирования учащихся к математической деятельности. Реализация игровых приѐмов и ситуаций на уроке происходит по следующим основным направлениям: дидактическая цель ставится перед учащимися в форме игровой задачи; учебная деятельность учащихся подчиняется правилам игры; учебный материал используется в качестве средства игры; в учебную деятельность вводится элемент соревнования, который переводит дидактическую задачу в игровую; успешность выполнения дидактического задания связывается с игровым результатом. Стуктура дидактической игры. Дидактическая игра имеет свою устойчивую структуру, которая отличает еѐ от всякой другой деятельности. Основными структурными компонентами дидактической игры являются: игровой замысел, правила, игровые действия, познавательное содержание или дидактические задачи, оборудование, результат игры. В отличие от игр вообще дидактические игры обладают существенным признаком – наличием чѐтко поставленной цели обучения и соответствующего ей педагогического результата, которые могут быть обоснованы, выделены в явном виде и характеризуются учебно-познавательной направленностью. Остановимся более подробно на структурных компонентах дидактической игры. Игровой замысел – первый структурный компонент игры – выражен, как правило, в названии игры. Он заложен в той дидактической задаче, которую надо решать в учебном процессе. Игровой замысел часто выступает в виде вопроса, как бы проектирующего ход игры или в виде загадки. В любом случае он

придаѐт игре познавательный характер, предъявляет к участникам игры определѐнные требования в отношении знаний. Каждая дидактическая игра имеет правила, которые определяют порядок действий и поведение учащихся в процессе игры, способствуют созданию на уроке рабочей обстановки. Поэтому правила дидактических игр должны разрабатываться с учѐтом цели урока и индивидуальных возможностей учащихся. Этим создаются условия для проявления самостоятельности, настойчивости, мыслительной активности, для возможности проявления у каждого ученика чувства удовлетворѐнности, успеха. Кроме того, правила игры воспитывают умение управлять своим поведением, подчиняться требованиям коллектива. Существенной стороной дидактической игры являются игровые действия, которые регламентируются правилами игры, способствуют познавательной активности учащихся, дают им возможность проявить свои способности, применить имеющиеся знания, умения и навыки для достижения целей игры. Основой дидактической игры, которая пронизывает собой еѐ структурные элементы, является своѐ познавательное содержание, которое заключается в усвоении тех знаний и умений, которые применяются при решении учебной проблемы, поставленной игрой. Оборудование дидактической игры в значительной мере включает в себя оборудование урока. Дидактическая игра имеет определѐнный результат, который является финалом игры, придаѐт игре законченность. Он выступает, прежде всего, в форме решения поставленной учебной задачи и даѐт школьникам моральное и умственное удовлетворение. Для учителя результат игры всегда является показателем уровня достижений учащихся или в усвоении знаний, или в их применении. Все структурные элементы дидактической игры взаимосвязаны между собой, и отсутствие основных из них разрушает игру. Без игрового замысла и иг-

ровых действий, без организующих игру правил, дидактическая игра или невозможна, или теряет свою специфическую форму, превращается в выполнение указаний, упражнений. Поэтому при подготовке к уроку, содержащему дидактическую игру, необходимо составить краткую характеристику хода игры (сценарий), указать временные рамки игры, учесть уровень знаний и возрастные особенности учащихся, реализовать межпредметные и внутрипредметные связи. Ценность дидактических игр заключается в том, что в процессе игры дети в значительной мере самостоятельно приобретают новые знания, активно помогают друг другу в этом. При проведении дидактических игр забавность и обучение надо сочетать так, чтобы они не мешали, а, наоборот, помогали друг другу. Средства и способы, повышающие эмоциональное отношение детей к игре, следует рассматривать не как самоцель, а как путь, ведущий к выполнению дидактических задач. Математическая сторона содержания игры всегда должна отчѐтливо выдвигаться на первый план. Только тогда игра будет выполнять свою роль в математическом развитии детей и воспитании интереса их к математике. Функции дидактической игры:  Мотивационно - побудительная (мотивирует и стимулирует учебную и познавательную деятельность учащихся);  Обучающая (способствует приобретению знаний, а также формированию и развитию умений и навыков);  Развивающая (развивает мыслительные операции и творческие способности учащихся);  Контролирующая (осуществляет диагностику уровня знаний учащихся);

 Воспитательная (оказывает воздействие на личность обучаемого, расширяя его кругозор и развивая его мышление, творческую активность и т.д.),  Ориентирующая (учит ориентироваться в конкретной ситуации и отбирать необходимые средства для решения той или иной учебной задачи);  Компенсаторная (компенсирует отсутствие или недостаток практики, приближает учебную деятельность к реальным ситуациям жизни. Требования к организации дидактических игр При организации дидактических игр необходимо придерживаться следующих положений:  Правила игры должны быть простыми, точно сформулированными, а математическое содержание материала доступно пониманию школьников. В противном случае игра не вызовет интереса и будет проводиться формально.  Игра должна давать достаточно пищи для мыслительной деятельности, в противном случае она не будет содействовать выполнению педагогических целей, не будет развивать математическую зоркость и внимание.  Дидактический материал, используемый во время игры, должен быть удобен в использовании, иначе игра не даст должного эффекта.  При проведении игры, связанной с соревнованиями команд, должен быть обеспечен контроль за еѐ результатами со стороны всего коллектива учеников или выбранных ими лиц.  Каждый ученик должен быть активным участником игры. Длительное ожидание своей очереди для включения в игру снижает интерес детей к игре.

 Если на уроке проводится несколько игр, то лѐгкие и более трудные по математическому содержанию должны чередоваться.  Если на нескольких уроках проводятся игры, связанные со сходными мыслительными действиями, то по содержанию математического материала они должны удовлетворять принципу: от простого к сложному, от конкретного к абстрактному.  Игровой характер при проведении уроков по математике должен иметь определѐнную меру. Превышение этой меры может привести к тому, что дети во всѐм будут видеть только игру.  В процессе игры учащиеся должны математически грамотно проводить свои рассуждения, речь их должна быть правильной, чѐткой, краткой.  Игру нужно закончить на данном уроке, получить результат. Только в этом случае она сыграет положительную роль. Многие дидактические игры как будто не вносят ничего нового в знания школьников, но они приносят большую пользу тем, что учат учащихся применять знания в новых условиях или ставят умственную задачу, решение которой требует проявления разнообразных форм умственной деятельности. Дидактическая игра является средством умственного развития, так как в процессе игры активизируются разнообразные умственные процессы. Чтобы понять замысел, усвоить игровые действия и правила, нужно активно выслушать и осмыслить объяснения учителя. Решение задач, поставленных играми, требуют сосредоточенного внимания, активной мыслительной деятельности, выполнения сравнения и обобщения. Рассмотри пример дидактической игры(8 класс). Название: Клуб математиков. Цель: 1. Сформировать представление учащихся о тереме Виета, как новом способе нахождения корней квадратного уравнения.

2.Формировать способность у учащихся самостоятельно использовать данную теорему в процессе решения квадратных уравнений. 3.Развивать мыслительные операции, смекалку. Форма: групповая(2 команды). Характеристические особенности игры: в качестве экспертов можно привлечь учащихся старших классов. Тема: «Квадратные уравнения ». Оформление: На доске написана тема « Квадратные уравнения ». Эпиграф: «Если хочешь быть умѐн - состязайся!» Ход игры. 1. Вступительное слово учителя, приветствие команд. 2. Конкурсы: 1.Разминка. 2.Конкурс теоретиков. 3.Проверка д/з. 4.Вопрос учителя. 5.Конкурс на лучшего вычислителя. 6.Конкурс капитанов. 7.Блиц - турнир. 8. Подведение итогов игры. I.

Вступительное слово учителя.

II.

Конкурсы. Разминка.

Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл. Вопросы командам задаются поочерѐдно. 1-ая команда.

2-ая команда.

Вычислите. 1.√100*0,49*0,09;

1. √16/9*а4;

2. √81/196*4;

2. √0,64*х2;

3. √-144*b6.

3. √-196*с2. 2. Конкурс теоретиков.

Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл. 1-ая команда. 1. Дайте определение квадратного уравнения. 2. В чѐм заключается графический способ решения квадратного

2-ая команда. 1. Перечислите виды неполных квадратных уравнений. 2. Запишите формулу квадратного уравнения.

уравнения? 3.В каком случае уравнение не имеет корней?

3. В каком случае уравнение имеет два корня?

Всем участникам каждой команды раздаются листочки, на которых следует ответить на поставленные вопросы. Команда набирает столько баллов, сколько человек правильно выполнят задание.

3.Проверка д/з. Учащимся дома надо было заполнить таблицу. Проверяют они правильность выполнения задания самостоятельно, используя, при этом, образец, который находится на обратной стороне доски. За каждое верное выполненное домашнее задание даѐтся 1 очко.

Уравнения

Корни уравнения

х1+х2

х1*х2

х1

х2

х2-2х-4=0

1+√5

1-√5

2

-4

х2-12х+30=0

-6+√6

-6-√6

-12

30

3/4

1/2

5/4

3/8

х2-1/3х-2/3=0

1

-2/3

1/3

-2/3

х2+х-30=0

5

-6

-1

-30

х2-15/7х+2/7=0

2

1/7

15/7

2/7

х2-5/4*х+3/8=0

- Что особенного заметили в таблице? - Какой вывод можно сделать? Выводится теорема Виета. - Если у нас известны корни уравнения, можем ли мы составить самостоятельно уравнение? - Рассмотрим пример подтверждающий данное высказывание. Пусть х1=-3, х2=4 – корни уравнения. Составьте уравнение. /х2-х-12=0/ 4.Вопросы учителя. (Записаны на обратной стороне доски) 1 команда

2 команда

1)Составьте квадратное уравнение,

1) Составьте квадратное уравнение,

если его корнями являются числа:

если его корнями являются числа:

х1=1+√2; х2=1-√2

х1=√3/3; х2= -√3/3

2) Составьте квадратное уравнение,

2) Составьте квадратное уравнение,

если его решение изображено на

ли его решение изображено

графике:

на графике:

3)Дано уравнение 3)Дано уравнение 2х2+bx-10=0, x1=5 Найдите коэффициент b и х2.

3х2+bx+24=0, x1=4 Найдите коэффициент b и х2.

5.Конкурс на лучшего вычислителя (попутно проводится конкурс капитанов). Задание записано на доске. Время выполнения – 2 мин., затем листочки с решением собирают. За правильно решѐнный до конца пример каждый ученик получает 3 балла. Найдите значение выражения: ( √( 50\2 + √16 + 10 * 2)2 + √ ( 162/2 + √16 – 62)2) * 2\196 . 6.Конкурс капитанов. Каждому капитану даѐтся один и тот же пример, записанный на карточке. Правильный ответ оценивается в 5 баллов. Решите уравнение: х2-5√2*х + 12= 0 7.Блиц-турнир. Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл. Каждой команде задаѐтся по 10 вопросов. В этом конкурсе побеждает команда, которая даст больше правильных ответов.

1-я команда.

2-я команда.

1.Решите уравнение:

1.Решите уравнение:

25х2 = 4

9х2= 1

2.Найдите сумму корней уравнения:

2.Найдите сумму корней уравнения:

15х2+13х – 6 = 0

12х2- 7х – 1 = 0

3.Дано уравнение:

3.Дано уравнение:

х2 +вх+6=0 , х1=0,5

3х2+mx-1=0, х1=1

Найдите х2.

Найдите х2.

4.Составьте квадратное уравнение,

4.Составьте квадратное уравнение,

если его корни: х1=-3,х2=2.

если его корни: х1=-5,х2=-1.

5.По графику укажите корни

5.По графику укажите корни

квадратного уравнения:

квадратного уравнения:

6.Разложите на множители х2-5.

6.Разложите на множители 4m2-7.

7.Решите уравнение 4х2-9=0.

7.Решите уравнение х2+1=0.

8.Является ли корнем уравнения

8.Является ли корнем уравнения

(х-2)(х+3)=0 число 2?

(х-1)(х+6)=0 число 1/2?

9.Имеет ли корни уравнение

9.Имеет ли корни уравнение

7х2+10=0?

2х2-1=0?

10.Сколько корней имеет уравнение

10.Сколько корней имеет уравнение

3х2-7х=0?

2х2-1=0?

III.Подведение итогов игры. Учитель выявляет команду – победителя (по количеству набранных баллов),ему помогают старшеклассники, выполняющие роль экспертов. Самостоятельное задание для студентов. Составить дидактическую игру по любой теме школьного курса математики. Лабораторная работа № 3. Тема: Урок математики. Требования к уроку. Цель: 1. Ознакомится с требованиями к современному уроку математики, обобщить сведения об основных типах уроков; 2. Выявить основные требования к конспекту урока; 4. Ознакомиться с образцами конспектов уроков. Литература: 1. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе. М.: Просвещение,2002.С.176-223. 2. Махмутов М.И. Современный урок: Вопросы теории.М.:Педагогика,1981.256 с. 3. Окунев А.А. Подготовка к уроку // Математика в школе.1991.№1С.12. 4. Пидкасистый П.И. Педагогика.М.,1998.639 с. 5. Конаржевский Ю.А. Анализ урока.М.,2000.336с. Основное содержание работы. Несмотря на происходящие в современной школе процессы обновления, изменения, основной организационной формой учебного процесса остаѐтся урок. Он представляет собой логически завершѐнный, целостный, ограниченный определѐнными рамками времени отрезок учебно-воспитательного процесса. Урок в этом случае рассматривается как система, в которой в сложном взаимодействии представлены все основные элементы учебно-воспитательного процесса: содержание, средства, методы, организация. Выделенные структурные элементы урока можно положить в основу классификации уроков. В дидактике наиболее распространѐнной является типология уроков в зависимость от дидактических целей (основной дидактической цели): Урок ознакомления с новым материалом; Урок формирования умений и навыков; Урок повторения и закрепления знаний, умений и навыков;

Урок систематизации и обобщения знаний, умений и навыков; Комбинированный урок; Урок проверки знаний, умений и навыков. В настоящее время широко используются следующие виды уроков: уроклекция, урок-семинар, урок-практикум, урок-зачѐт, урок-консультация, урок решения ключевых задач. Но каждый из этих уроков по сути можно отнести к одному из указанных выше типов. Так, урок-лекция - это урок ознакомления с новым материалом; урок-семинар - урок систематизации и обобщения знаний и т.д. Требования к современному уроку. 1. Чѐткая целевая установка. Подчинение всех этапов урока основной дидактической цели; 2. Единство общеобразовательных, развивающих и воспитательных целей; 3. Оптимальное содержание и отбор учебного материала в соответствии с уровнем подготовки учащихся; 4. Рациональное сочетание различных методов и приѐмов обучения. Наличие методов, активизирующих деятельность учащихся; 5. Организационная чѐткость урока, рациональная структура; 6. Обеспечение практической направленности учебного процесса; 7. Использование различных форм работы с учащимися (фронтальная, групповая, индивидуальная); 8. Соблюдение основных дидактических принципов 9. Умелое и целесообразное использование различных средств обучения. Из указанных требований к современному уроку вытекают следующие рекомендации к разработке конспекта урока, которые должен учитывать каждый учитель, особенно начинающий. 1. В каждом конспекте необходимо выделить основные части: дату, тему, тип урока, дели, оборудование (Т.С.О, схемы, модели, карточки, таблицы и т.п.), план урока с примерным распределением времени на каждый этап хода урока. 2. При описании хода урока необходимо описывать каждый его этап, указывая по возможности «микроцели». Важно помнить,что все этапы урока должны быть подчинены основной дидактической цели. Желательно, чтобы в конспекте был запланирован этап актуализации знаний, а также этап предъявления домашнего задания и его пояснения. 3. Заранее определить учащихся для опроса, продумать дополнительные вопросы для них.

4. Зафиксировать те знания, умения и навыки, которыми должны овладеть учащиеся и которые будут проверяться на уроке. 5. Тщательно продумать формулировку каждого вопроса, задаваемого как конкретному ученику, так и для всех учащихся. Вопросы не должны содержать подсказки. Желательно наличие проблемных вопросов. 6. На все вопросы должны быть записаны ожидаемые ответы. 7. Подбор задач должен быть тщательным. Задачи нужно подготовить интересные, разнообразные. Среди них должны быть задачи, подводящие к новому материалу, способствующие постановке проблемы, самостоятельному «открытию» какого-либо математического факта. 8. Все планируемые математические задачи (в том числе и из домашнего задания) должны быть решены. Там, где это возможно, указывать различные способы решения. 9. В конспекте должен быть отражѐн «вид доски», то есть содержание и расположение записей на доске с указанием того, что, когда и как должно быть записано учащимися. 10. Если запланирован монолог учителя (рассказ, лекция), то целесообразен его конспект. 11. Предусмотреть материал для самостоятельной работы и указания к еѐ проведению. 12. В конспекте должен быть отражѐн дифференцированный подход в обучении учащихся. 13. При составлении конспекта, особенно в младших классах, необходимо уделять особое внимание развивающему аспекту уроков. Примечание. Все эти требования обязательны для учителей - практикантов и начинающих учителей, более опытные учителя ограничиваются лишь планом урока, но обязательно приводят решения всех задач. Приведѐнные ниже конспекты уроков взяты из опыта работы учителей математики и не обладает той степенью детализации, которая характерна для конспектов начинающих учителей. Поэтому при общем их обсуждении выскажите своѐ мнение по поводу выполнения требований к конспекту. На уроках часто используется беседа, которую в конспекте можно оформить различными способами: Вопрос (учитель) …………………………………. Ответ (ученик) …………………………………….. Или

Вопрос ……………………………………………... (…………………………………………….. - ответ) или Доска Учитель Ученик

тетрадь

Каждый учитель ведѐт записи так, как ему удобно и как ему подсказывает опыт и интуиция. Конспект урока Учебник Л.Г. Петерсон. Математика 5 класс, ч. 2,глава 3, §2, п. 6. Тема: Задачи на дроби. Цель: 1. Систематизировать решение задач на части, вывести новый приѐм решения задач на нахождение части от числа по его части. 2. Повторить алгоритмы умножения и деления обыкновенных дробей, решение задач методом проб и ошибок. 3. Развивать логическое мышление, способности к обобщению, исследовательские умения, речь. Ход урока: 1. Организационный момент. 2. Постановка учебной задачи. Цель нашего урока сегодня - придумать новый способ решения задач на дроби. Начнѐм с разминки. 2.1. Повторение алгоритмов умножения и деления дробей. a) Найдите значения выражений: 8 25  ; 35 32

2  6; 3

1 2  7; 7

ac nm  ; n ab

cm   5  ;4;15;  b   28

-Как найти произведение двух дробей? (Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей). -Как умножить дробь на натуральное число? (При умножении дроби на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения) b) Вычислите: 2 2 : ; 9 5

8 2 : 2; a : ; 7 5

ab 3a  5 4 5a b  : ;  ; ; ;  n n 9 7 2 3

-Как разделить одну дробь на другую? (Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю). -Как разделить дробь на натуральное число? (Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним). По ходу выполнения заданий на доске вывешиваются таблицы:

2.2.

a c ac   b d bd

a an n  b b

a c a d :   b d b c

a a :n b bn

Повторение алгоритмов решения задач на нахождение части от числа по его части. 3 a) В джунглях обитает n животных, 8 всех животных жирафы. Сколько жирафов в джунглях? n : 8  3 

-Каким правилом вы пользовались? (Чтобы найти часть от числа выраженную дробью, нужно это число разделить на знаменатель дроби и умножить на числитель). b) Кролик вырастил на грядке k кг моркови, что составляет 40% от того количества, о котором он мечтал. О каком количестве моркови мечтал кролик? k : 40  100  -Какое правило здесь надо было вспомнить? (Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, нужно эту часть разделить на числитель и умножить на знаменатель). При решении задач на дроби тип задачи уточняется по таблице, известной ещѐ из начальной школы: 1) Нахождение части от числа, выраженной дробью. 1  a m ? n

1-a m ? n

b  a : nm

2) Нахождение числа по его части, выраженной дробью. 1 ? m b n

1-? m b n

a  b : mn

3) Какую часть одно число составляет от другого? 1 a ? b

1-a

m b:a n

? b

2.3.

Постановка проблемы. Целеполагание.

-Сегодня мы попробуем придумать более простой способ решения задач 1 и 2 типа. В этом нам помогут изученные правила умножения и деления дробей. 3. «Открытие» детьми нового знания. 3.3. Правило нахождения части от числа. -Запишите в тетрадь первое правило в буквенном виде a : n  m -Чем можно заменить знак деления? *чертой дроби). a    m -Что получится?  n 

-Преобразуйте выражения так, чтобы получилась операция над числом a и дроam m a n  m  n  a  n   бью 

-Сравните полученное выражение с первым: чем они похожи и чем отличаются? (Значения их равны, но в первом выражении два действия, а во втором – одно). -Попробуйте перевести новое правило на математический язык. (Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, надо это число умножить на дробь. – Открытие!). 3.4. Правило нахождения числа по его части. -Запишите в тетрадь второе правило. b : m  n -Замените знак деления чертой дроби и попробуйте, как в первом случае, записать в виде одного действия с числом a и дробью b b n n m n   b b: m m m n

-Переведите полученное правило на математический язык (Чтобы найти число по его части, нужно эту часть разделить на дробь – Открытие!). -Почему это правило удобнее первого? (Задача решается одним действием вместо двух). Молодцы!

На таблицу прикрепляются новые таблички: b  a

m n

ab:

m n

4. Физкультминутка 5. Первичное закрепление. 5.3. Фронтальная работа Задания из учебника на нахождение части от числа по его части решаются с комментированием в громкой речи. № 485 – устно: 2 2 9 a составляют 9 от a; 7 7 100 a составляют 100 от a, или 7% и т.д.

№ 486 (а, б, д, н, п) – с комментированием и записью на доске и в тетради, например: 4 д) 9 от21 4 7 21 4 28 1 21   9 9 93 3 3

Аналогично № 493 – устно, № 494 (а, б, ж, и) – с комментированием. 5.4. Работа в парах На каждой парте карточка с двумя задачами. Учащиеся в парах должны совместно составить к ним выражения. В это время два ученика работают на закрытой доске. 1) В компьютерной игре «Охота за динозаврами» разыгрывается n очков. 5 Команда 5-х классов набрала 8 всех очков. Сколько очков набрала ко-

манда 5-х классов? 2) Прекрасным солнечным утром кот Леопольд поймал b щук, что составило 2 9 его улова. Сколько всего рыб поймал кот Леопольд?

При разборе задач внимание учащихся вновь обращается на целесообразность использования нового правила. 6. Самостоятельная работа с проверкой в классе

Вариант 1 8 1) найти 9 от 72

2) найти 7% от a 2 3) найти число, если 9 его составляют 18.

4) Найти число, если 17% его составляют c. Вариант 1 4 5) найти 7 от 28

6) найти 3% от b 3 7) найти число, если 8 его составляют 24.

8) Найти число, если 11% его составляют d. Учащиеся сами проверяют выполненное задание, исправляют ошибки. -У кого другие ответы? -Кто делал по старому правилу? -Как удобнее делать? -Оцените свою работу. Те, кто всѐ сделал правильно, выставляют себе 5, у кого 1 ошибка – 4. Остальные, включая тех, кто действовал по старому правилу, получают дополнительную карточку. 7. Решение задач на повторение. -Решите уравнение x(x+15)=54 методом проб и ошибок. 1) x=3 3(3+15)=54 (истинно). Значит x=3 – корень уравнения. 2) Других корней нет, так как при увеличении значения x оба множителя увеличиваются, а при уменьшении – уменьшаются. Ответ: x=3 8. Итог урока. -Что интересного и нового для себя каждый сегодня узнал на уроке? Что повторили? -Сравните равенства b  a

m n

ab:

m n

m (Одинаковые компоненты действий: a, b и n ).

-Выразите из второго равенства b. Что заметили? (Получилось одно и то же равенство!). -Молодцы! Вы заметили очень интересную и полезную особенность этих равенств. 9. Домашнее задание. П.6 стр. 100-101 – конспект, правила; №№ 537, 539, 551. Конспект урока Учебник Л.Г. Петерсон. Математика 6 класс, ч. 1,глава 2, §2, п. 2. Тема: Задачи на проценты. Цель: 1. Систематизировать решение задач на проценты, вывести формулу процентов. 2. Отрабатывать решение задач на нахождение процента от числа. 3. Закрепить решение уравнений с помощью перекрѐстного правила. 4. Развивать внимание, мышление, аккуратность, речь, познавательные интересы. Ход урока: 5. Организационный момент. 6. Постановка учебной задачи. 9.1. Кроссворд. Тема урока. -Чтобы понять, чем мы будем заниматься на уроке, попробуем разгадать кроссворд. 1. Результат, полученный при умножении. 2. Расстояние, пройденное в единицу времени. 3. Часть прямой, ограниченная с обеих сторон. 4. Утверждения, которые отрицают друг друга. 5. Равенство, в котором неизвестное число обозначается буквой. 6. Число, находящееся под дробной чертой. 7. Единица измерения длины. 8. Угол, который меньше прямого. 1 2 3 4 5 6 7 8

-Так какая же тема урока? (проценты). -Молодцы! А если быть точнее: «Задачи на проценты». Сегодня мы повторим все типы задач на проценты и поработаем более основательно над задачами на нахождение процента от числа. 3.1. Актуализация знаний a) –Что называется процентом? (процентом называется одна сотая величины). -Найдите 1% от 210 руб. (2,1 руб.) Найдите величину, если 1% еѐ составляет 5м2. (500 м2) -Округлите десятичную дробь до сотых, а затем выразите еѐ в процентах: а) 0,517 ( 0,52=52%); б) 0,4951 ( 0,50=50%); в) 2,003 (1,00=200%). -У кого получилось по-другому? Кто не согласен? -Как выразить числа в процентах? (Чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100). -А как решить обратную задачу? (Чтобы выразить проценты десятичной дробью или натуральными числами, надо число, стоящее перед знаком %, разделить на 100%). b) На сколько процентов изменилась величина, если она: - Увеличилась в 2 раза (увеличилась на 100%). - Уменьшилась в 4 раза (уменьшилась на 75%). - Увеличилась в 4 раза? (увеличилась на 300%). -А если величина увеличилась на 400%? Что это значит? (Увеличилась в 5 раз). -А если она уменьшалась на 50%? (Уменьшилась в 2раза). c) Посмотрите схему. Какие задачи на проценты мы знаем? (Нахождение процента от числа, нахождение числа по его проценту и нахождение процентного отношения двух чисел). 100% - a

p%  b

100%  a p%  b

Учитель закрывает на схеме b: -Как найти процент от числа? (Чтобы найти процент от числа, надо умножить число на соответствующую дробь: Учитель закрывает на схеме a:

b  a

p 100 ).

-Как найти число по его проценту? (Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, раздеa  b

p 100 ).

лить на дробь: Учитель закрывает на схеме p: -Как найти, сколько процентов число b составляет от числа a, или процентное отношение двух чисел? (Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число p

b  100 a ).

разделить на второе и результат умножить на 100: -Все ли варианты неизвестных в задачах на проценты рассмотрели? (Да, других вариантов нет). -Какая формула объединяет все три типа задач на проценты? (Первая). -Как она называется? (Формулой процентов). d) Решите задачу: « Опрос общественного мнения показал, что в городе примерно 20% жителей покупают газету «Новости дня». Какой тираж следует привезти в город, если в нѐм 15000 жителей? (3000 экз.)» -Как считали? Как удобнее считать? (20% - это пятая часть числа. Поэтому можно 15000 разделить на 5 и получим 3000). -Как вы думаете, к какому типу задач относится эта задача? (Задача на нахождение процента от числа). -Цель нашего урока – рассмотреть составные задачи на нахождение процента от числа. 1. Решение задач на нахождение процента от числа. 3.2. № 352, стр. 87. -Прочитайте условие и посмотрите внимательно на числовые значения. Найдите задачи, которые можно решить устно. Докажите. a) 0,15  17 и 17  0,15 оба равны 15  17  0,01. Значит, равны между собой: 0,15  17  17  0,15 b) 1,2  48  0,12  480 , так как один множитель уменьшили в 10 раз, а другой увеличили. c) 1,47  621  1,25  549 , так как один множитель в левой части больше соответствующих множителей в правой части. В остальных случая сказать ничего нельзя, так как один множитель увеличивается, а другой уменьшается. -Выполните задание в тетради. Задание решается с комментированием. Запись: 1) 36% от 2,5b

0,36  2,5b  2,5  4  0,09b  0,9b

2) 15% от 80b 0.15  80b  12b

3) 12b>0,9b. Значит, 15% от 80b больше, чем 365 от 2,5b. 3.3. № 353(2), № 354 и № 355, стр. 87. При работе над каждым заданием четверо учеников на дополнительных досках решают по одной задаче в течение 2-3 мин. В это время остальные учащиеся на местах работают в парах. Каждая пара по собственному выбору выполняет одно задание. Затем те, кто работал у доски, обосновывают решение, а остальные проверяют себя. № 353(2). «Сколько соли получится при выпаривании: а) 375 г 12%-го раствора соли; б) 450 г 9%-го раствора соли; в) 20г 17%-го раствора соли; г) 80г 3%-го раствора соли?» а) 0,12  375  45(г) в) 0,17  20  3,4(г) б) 0,09  450  40,5(г) г) 0,03  80  2,4(г) Решение задачи, в случае затруднения, можно пояснить на схеме, например:

соль

100% - 375г вода

12% - ?г

№ 354. «Сколько будет, если а) 100 р. увеличить на 300%; б) 500 р. уменьшить на 10%; в) a увеличить на 25% г) b уменьшить на 20%?» а) 1) 100%+300%=400%; в) 1) 100%+25%=125%; 2) 100  4  400(руб.) 2) a  1,25  1,25a б)

1) 100%-10%=90%; г) 1) 100%-20%=80%; 2) 500  0,9  450(руб.) 2) b  0.8  0,8b . № 355. «Сравни результаты: а) 150 руб. увеличили на 50% и 100 руб. увеличили на 100%; б) 100 руб. уменьшили на 50% и 150 руб. уменьшили на 60:; в) a руб. уменьшили на 25% и 1,2a руб. уменьшили на 40%; г) b руб. увеличили на 250% и 2b руб. увеличили на 50%». а)

1) 100%+50%=150%; 2) 150  1,5  225(руб.)

в)

1) 100%-25%=75%; 2) a  0,75  0,75a(руб.)

б)

3) 100%+100%=200%; 4) 100  2  200(руб.) 5) 225 руб.>200 руб.

3) 100%-40%=60%; 4) 1,2a  0,6  0,72a(руб.) 5) 0,75a руб. > 0,72a руб.

1) 100%-50%=50%; 2) 100  0,5  50(руб.) 3) 100%-60%=40%; 4) 150  0,4  60(руб.) 5) 50 руб.< 60 руб.

г) 1) 100%+250%=350%; 2) b  3,5  3,5b(руб.) 3) 100%+50%=150%; 4) 12b  1,5  3b(руб.) 5) 3,5b руб. > 3b руб.

3.4. № 357 (1), стр. 87 «Подоходный налог установлен в размере 12%. До вычета подоходного налога 1% заработной платы отчисляется в пенсионный фонд. Работнику начислено 500 р. Сколько он получит после указанных вычетов?» Учащиеся читают условие задачи, перерисовывают с доски в тетрадь заготовку схемы, сами заполняют еѐ: 100% - 500 руб. 1% - ? руб. 100% - ? руб. ост. ? руб.

12% - ? руб.

Затем фронтально разбирается ход решения: -Сколько работнику начислено? (500 руб.). -Сколько процентов составляют эти 500 руб.? (100%) -Куда поступают отчисления в первую очередь? (В пенсионный фонд) Покажите на схеме. -Сколько процентов составляют отчисления? (1%) -Можем ли узнать, сколько осталось после отчисления в пенсионный фонд? (2 способа) -А как узнать, сколько осталось после второго отчисления? (уменьшить полученное число на 12% - два способа)

-Итак, в этой задаче вся сумма уменьшается дважды: сначала на 1% от 500 руб., а потом ещѐ на 12% от того, что осталось. Эту задачу можно решить 4 различными способами (2x2). Решите одним способом по собственному выбору. Учащиеся записывают решение в тетрадь, например: 1) 100%-1%=99% - часть 500 р. осталась после I отчисления. 2) 500  0,99  495(руб.) - осталось после I отчисления. 3) 100%-12%=88% - часть 495 руб. осталась после II отчисления. 4) 495  0,88  435,6(руб.) Ответ: начислено 435,6 рублей. Те, кому нужна помощь, могут воспользоваться для решения карточкой с вопросами задачи. При проверке проговариваются несколько способов решения. 1. Самостоятельная работа с проверкой в классе. I вариант: № 352 (г), № 356 (1) Дополнительная II вариант: № 352 (д), № 356 (2) задача № 353 (1) По собственному выбору учащиеся могут заменить решение двух заданий своего варианта решением одной задачи, но более сложной - № 357 (2) или № 358. I вариант: № 352 (г). «Что больше: 72% от 150 или 70% от 152?» 1) 72% от 150 0,72  150  108

2) 70% от 152 0,7  152  106,4

3) 108>106,4. Значит, 72% от 150 больше, чем 70% от 152. №356 (1). «В городе постоянно живут 10000 граждан. Из них 85% ещѐ не достигли пенсионного возраста. Сколько граждан в этом городе достигли пенсионного возраста?» 1) 0,85  10000  8500(чел.) - не достигли пенсионного возраста. 2) 10000-8500=1500 (чел.) Ответ: 1500 человек достигли пенсионного возраста. II вариант: № 352 (д). «Что больше: 80% от a или 40% от 2a?» 4) 80% от а 0,8  a  0,8a

5) 40% от 2a 0.4  2a  0,8a

6) 0,8a= 0,8a. Значит, 80% от a равно 40% от 2a. № 356 (2). «Вкладчик внѐс в сбербанк 1200 руб. в какую сумму превратился вклад через год, если банк начисляет 4% годовых?». 1) 0,04  1200  48(руб.) - начисляют дополнительно

2) 1200+48=1248 (руб.) Ответ: вклад стал 1248 руб. Дополнительные задачи. № 353 (1). «За участие в заключении договоров фирма предлагает своему агенту-дилеру вознаграждение 10% о суммы договора. На какое вознаграждение может рассчитывать дилер, если он нашѐл подходящий заказ на сумму 20000 рублей?» 20000  0,1  2000(руб.)

Ответ: дилер получит 2000 руб. № 357 (2) «В референдуме приняли участие 60% жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в референдуме, если в городе 150 тыс. жителей, а право голоса имеют 83%?» 1) 150000  0,83  124500(чел.) - имеют право голоса. 2) 124500  0,6  74700(чел.) Ответ: в референдуме приняли участие 74700 человек. № 358. «При выдаче наличных рублей по дорожным чекам American Express банк удерживает 2% в качестве комиссионных. Какова будет сумма в рублях, если клиент заказал 400 долларов и курс обмена 6,4 руб.?» 1) 400  0,02  8(дол.) - комиссионные. 2) 400-8=392 (дол.) – выдано клиенту. 3) 392  6,4  3508,8(руб.) Ответ: клиент получит 3508,8 руб. Самопроверка – по готовому образцу исправление каждым учащимся своих ошибок, самооценка. Отметка выставляется только в случае верно выполненного задания. Те, кто не справился с решением задач, во время следующего этапа урока решают задания другого варианта. При необходимости возможна помощь консультантов. 1. Решение задач на повторение a c     ad  bc  Когда две дроби равны?  b d

- Пользуясь перекрѐстным правилом, решите уравнение № 397 (б) 2,1 3 4 2    2,110 х   х  1   3  21х  3 х  5  4 10 х 5 5  х 1 5 2  21х  3 х  3 х  3 х  5  18 х  5,4  х  0,3 5

2. Итого урока

-Как найти процент от числа? -Какие ещѐ типы задач на проценты вы знаете? -Чем похожи и чем отличаются задачи на дроби и задачи на проценты? (Те же правила, но проценты выражаются дробями со знаменителем 100.) 3. Домашнее задание Гл. 2, § 2, стр. 84 – правила, задача 1. №№ 406 (1), 408 (1), 417. Задания для размышления и контроля: 1.По какой теме подготовлен конспект урока? К какому типу можно отнести этот урок? Как он связан с предыдущими уроками? 2.Каковы цели урока? Поставлены ли развивающие цели урока? 3.Какова структура сурока? 4.Рационально ли распределение времени на различных этапах урока? 5.Обоснуйте выбор и использование методов, стимулирующих познавательную активность учащихся, а также направленных на развтие логического мышления. 6.Какие средства наглядности были использованы? Уместно ли их использование? 7.Удачно ли сочетание возможных форм обучения? 8.Что вы можете сказать о постановке предполагаемых вопросов? 9.Какова на уроке доля самостаятельной работы учащихся? 10.Планируется ли работа с учебниками? С какой целью? 11.В какой степени планируется осуществить дифференцированный подход к учащимся? Учитываются ли в конспекте индивидуальные особенности учащихся? 12.Каким образом планируется реализовать практическую направленность обучения? 13.Рационально ли выделено место для опроса, изучения нового материала? 14.Можно ли считать, что существуют логические связи между этапами урока? 15.Могут ли быть реализованы все поставленные задачи на уроке? Самостоятельное задание для студентов. Составить конспект урока по любой выбранной вами теме школьного курса математики и, пользуясь памяткой, провести его самоанализ.

Памятка для самоанализа урока. 1.Каково место данного урока в теме, разделе, курсе? Как он связан с предыдущим, на что опирается? Каков тип урока? 2.Какие задачи решались на уроке? Была ли обеспечена их взаимосвязь? Как учтены в задачах особенности класса, отдельных групп учащихся? 3.Почему выбранная структура урока была рациональна для решения этих задач. Рационально ли выделено место для опроса, изучения нового материала, закрепления,…? Правильно ли распределено время на все эти этапы урока. Логичны ли «связки» между этапами. 4.На каком содержании(понятиях, идеях, фактах,…) сделан главный акцент урока и почему? 5.Какое сочетание форм обучения избрано для раскрытия нового материала? Дайте обоснование выбора методов обучения. 6.Как осуществляется дифференцированный подход к обучению? 7.Как организован контроль усвоения знаний, умений и навыков? В каких формах и методах осуществлялся? Почему? 8.Какие средства обучения использовались? 9.За счѐт чего обеспечивалась высокая работоспособность учащихся в течение всего урока, предупреждалась их перегрузка? 10.Как были продуманы запасные методические «ходы» на случай непредвиденных ситуаций? 11.Реализованы ли все поставленные задачи? Лабораторная работа № 4. Тема: Методика изучения правил и алгоритмов в школьном курсе математики. Цель: 1. Обобщение и систематизация знаний студентов о правилах и алгоритмах и методике работы над ними в школьном курсе математики. 2. Формирование практических умений и навыков работы с учащимися над усвоением правил и алгоритмов. Основное содержание работы: При изучении математики школьники встречаются с такими элементами теоретических знаний как правила и алгоритмы. Сущность алгоритма на содержательно-интуитивном уровне может быть описана следующим образом: точное предписание, указывающее, какие операции и, в какой последовательно-

сти необходимо выполнить с данными, чтобы решить любую задачу определѐнного типа. Алгоритм обладает свойствами массовости (возможность решить все задачи определѐнного типа); элементарности и дискретности (отдельности и законченности шагов); детерминированности (однозначное определение первого и каждого следующего шага); результативности (конечное число шагов всегда должно привести к определѐнному результату). Алгоритм является формой выражения общего метода решения класса однотипных задач. В школьных учебниках широко используются правила в виде формул и формулировок. Использование правил имеет ту же цель, что и алгоритмов: формирование общих методов решения класса однотипных задач. Любой алгоритм является правилом, однако не всякое правило может быть алгоритмом, так как в формулировке правила часто не выделяются чѐтко все шаги и таким образом отсутствует свойство детерминированности. Для записи алгоритма часто используют схемы. Правило сложения двух десятичных дробей формулируется следующим образом: 1) уравнять число знаков после запятой в слагаемых; записать слагаемые друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой; 3) сложить получившиеся числа так, как складывают натуральные числа; 4) поставить в полученной сумме запятую под запятыми в слагаемых. Данная словесная формулировка правила обладает всеми свойствами, характерными для алгоритма и поэтому может им считаться. Однако, для того, чтобы сложить две десятичные дроби, надо уточнить первый шаг, предусмотрев случай равенства числа знаков после запятой. Схематично уточнѐнный алгоритм можно изобразить так: начало

Подсчитать число знаков после запятой в первом слагаемом (с) Подсчитать число знаков после запятой во втором слагаемом (d) Да

c=d

Нет

Уравнять число знаков после запятой в слагаемых

Записать слагаемые друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой. Сложить числа поразрядно. В получившейся сумме поставить запятую под запятыми в слагаемых Конец

Работа с учащимися по овладению алгоритмом обычно включает три основных этапа: введение алгоритма; усвоение алгоритма; применение алгоритма. Основным средством, используемым на различных этапах формирования алгоритма, является система упражнений. Алгоритм целесообразно использовать на первых этапах формирования действий, так как он даѐт подробное описание последовательности операций. Правило удобнее применять тогда, когда умение выполнять действие в основном сформировано. Часто в школьных учебниках правила представлены в лаконичной форме и для обучения учащихся выполнению соответствующего действия необходимо его записать в виде алгоритма. При изучении темы «Многочлен и его стандартный вид» правило приведения любого много члена к стандартному виду можно представить в виде следующего алгоритмического предписания: 1. представить каждый член многочлена в стандартном виде. 2. привести подобные члены. Возможно использование схемы: Многочлен Все ли члены имеют стандартный вид? Да

Нет

Приводим все члены к стандартному виду

Да

Есть ли подобные члены?

Привести подобные члены Нет

Многочлен стандартного вида

В данной схеме отражены различные ситуации: отсутствие одночлѐнов нестандартного вида и возможное отсутствие подобных членов. Примеры составления алгоритмических предписаний.

Пример 1. Правило сложения дробей можно записать в виде следующего перечня действий. 1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей. 2. Найти дополнительные множители для каждой дроби. 3. Умножить числитель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель. 4. Составить дробь, числителем которой будет сумма (разность) новых числителей, а знаменателем – наименьшее общее кратное знаменателей. Пример 2. Алгоритмическое предписание решения целых рациональных неравенств, сводящимся к линейным. 1. Раскрыть скобки (если они есть). 2. Перенести члены, содержащие переменную, в левую часть, а не содержащие переменную – в правую. 3. Сделать приведение подобных членов. 4. Найти множество решений неравенства. 5. Изобразить на координатной прямой решения неравенства. 6. Записать ответ. Пример 3. Построить биссектрису данного угла ABC.

A K M

B

N

C

Дано: ABC. Построить: луч BK – биссектрису ABC. 1) построить окружность (B,r), r – произвольный. 2) Построить M: M=луч BAокр.(B,r). 3) Построить N: N=луч BC окр.(B,r). 4) Построить окружность (M,r). 5) Построить окружность (N,r). 6) Построить K: K=окр.(M,r)  окр.(N,r). 7) Провести луч BK 8) Луч BK – биссектриса ABC

Пример 4. Алгоритмическое предписание решения уравнения простейших тригонометрических уравнений. 1. Выделите наименьший положительный период функции.

2. Найдите решение уравнения на промежутке возрастания (sin, tg) или убывания (cos, ctg) функции. 3. Используйте: ± Свойство чѐтности для cos, ± Формулу приведения для cos. 4. Запишите общий вид решения уравнения, используя периодичность функции. Например, для функции sinx=a, где a  1, 1) Наименьший положительный период T  2 .     2 ; 2   функция sinx возрастает, и данное уравнение 2) На отрезке 

sinx=a имеет единственное решение x1=arcsina.   3  2 ; 2   , где функция убывает, уравнение имеет 3) На промежутке  x2    x . единственное решение Действительно,   3  x2   ;  sin x 2  sin   x 1   sin x 1  a и  2 2  . Проверим второе усло-

вие:         3  x 1   ;   x 1   ;     x 1    ;   2 2  2 2 2 2  x  arcsina  2n, x   arcsina  2n, n  Z

или запись одной формулой: X   1 arcsina  k, k  Z . k

Задания для размышления и контроля: 1.Выписать правило умножения двух десятичных дробей. Сформулировать его в виде алгоритма, предусмотрев все возможные случаи. Изобразите этот алгоритм в виде схемы 2.Составьте алгоритм решения полного квадратного уравнения. Изобразите этот алгоритм в виде схемы. 3.Подберите упражнения для работы с учащимися на каждом из трѐх этапов формирования алгоритма умножения обыкновенных дробей. При подборе упражнений используйте действующие учебники. 4.Разработайте алгоритмическое предписание для решения простейших тригонометрических неравенств.

Лабораторная работа № 5. Тема: Методика изучения понятий в школьном курсе математики. Цель: 1. Обобщение и систематизация знаний студентов о понятии как форме мышления и методике работы над понятиями в школьном курсе математики. 2. Формирование практических умений и навыков студентов по работе над понятиями школьного курса математики. Основное содержание работы: Образование понятий является сложным процессом, связанным с установлением общих свойств у предметов, выделением их существенных признаков, соединением этих признаков в определѐнное единство. Соответственно при разработке методической схемы изучения определѐнного математического понятия в школе целесообразно провести логический анализ данного понятия. Логический анализ понятия включает в себя следующие основные моменты: 1. Анализ определения понятия. a. Выделение содержания (существенных признаков) и объѐма понятия (классификация); b. Выяснение структуры определения понятия (простая или сложная, какова связь между существенными признаками понятия, выяснение лишних или недостающих признаков); c. Выявление вида определения (род + видовое отличие, конструктивное, рекуррентное и т.д.) 1. Выявление места понятия в системе понятий. a. Выяснение родословной понятия; b. Выделение различных подходов к определению понятия; c. Выявление в курсе содержательно значимых понятий, определение которых происходит на основе данного понятия. Приведѐм пример логического анализа понятия «Прямоугольник». 1. Анализ понятия прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. a. В содержание понятия входят следующие существенные признаки: 1)Данная фигура является параллелограммом; 2)У этого параллелограмма все углы прямые.

a. Объѐм понятия может быт раскрыт через классификацию. Покажем одну из возможных классификаций понятия «прямоугольник». ромбы

прямоугольники квадраты

Остальные прямоугольники

Структура определения простая, связь между существенными признаками – конъюнктивная (признаки должны присутствовать одновременно). В определении представлены лишние признаки (все углы прямые), можно ограничить одним прямым углом. b. Данное определение имеет вид: род + видовое отличие. Род – параллелограмм, видовое отличие – все углы прямые. 1. выявление места понятия в системе понятий. a. Родословная понятия «Прямоугольник»: В том случае, если курс раскрывается на достаточно строгой аксиоматической основе, родословная понятий может фиксироваться в виде логического дерева. В противном случае достаточно указать несколько понятий, являющихся базовыми для данного понятия. Например, для понятия «Прямоугольник» базовыми выступают понятия «параллелограмм» и «прямой угол»; в свою очередь для понятия «параллелограмм» базовыми являются понятия «параллельные прямые» «четырѐхугольник». b. Различные подходы к определению понятия: 1)Прямоугольник – четырехугольник, у которого хотя бы 3 угла прямые; 2)Прямоугольник – это прямоугольная трапеция с параллельными боковыми сторонами (в случае если определение трапеции не предусматривает параллельность только двух противолежащих сторон) и т.д. a. Прямоугольник лежит в основе рассмотрения понятий квадрата, прямой призмы, прямоугольного параллелепипеда; является базовым понятием для раскрытия материала о площадях многоугольников, объѐмов многогранников; используется при решении разнообразных планиметрических и стереометрических задач. Методика изучения понятий школьного курса математики.

Процесс изучения математических понятий в школе целесообразно осуществлять в соответствии со следующим схематичным планом: I. Введение понятия и формулировка определения. 1. Актуализация сведений, необходимых для усвоения соответствующего понятия. 2. Показ целесообразности изучения данного понятия и раскрытие содержания данного понятия с выделением его существенных признаков. 3. Формулировка определѐнного понятия, выделение структуры определения. I. Закрепление понятия. 1. Закрепление формулировки определения понятия. 2. Упражнения на распознавание понятия и его идентификация в стандартных и вариативных ситуациях. 3. Упражнения на построение объекта, принадлежащего объѐм данного понятия. 4. Выведение следствий из факта принадлежности объекта к объѐму данного понятия. 5. Классификация понятия. 6. Переформулировка определения в терминах той же содержательной теории, либо других содержательных теорий. 7. Рассмотрение понятия – аналога, либо понятия – обобщения. I. Применение понятия при решении задач и доказательстве теорем школьного курса математики. I.1. Актуализация сведений, необходимых для усвоения соответствующего понятия, обычно происходит на основе выделения базовых понятий и их свойств. Так, например, определение понятия корня n-ой степени из числа a даѐтся по аналогии с определением квадратного корня из этого же числа. Поэтому перед его изучением желательно вспомнить, что называется квадратным корнем из числа a, какими свойствами он обладает. Важное место при изложении материала занимает вопрос о существовании корня n-й степени из числа a. При этом используют свойства степенной функции с натуральным показателем. Соответственно, в виде предваряющего домашнего задания школьникам можно предложить исследовать и построить графики степенных функций соответствующего 5

8

вида, например, y  x и y  x . I.2. Показ целесообразности изучения понятия и раскрытие его содержания осуществляется, как правило, при рассмотрении специально подобранной задачи (или серии задач); путѐм противопоставления с уже известным понятием (призмы, пирамиды) или путѐм обобщения (специализации) некоторого ранее изученного понятия (треугольник- равнобедренный треугольник); на основе

имеющихся наглядно-интуитивных представлений учащихся или реальной жизни (в 5-9 классах – понятие плоскости, параллельных прямых, в 8 классе – понятие вектора и т.д.); на основе моделирования рассматриваемых ситуаций (стереометрический ящик, модели пространственных фигур, компьютерная графика) Приведѐм пример раскрытия содержания понятия «неравенства первой степени с одним неизвестным». В начале урока предлагаем учащимся следующую задачу: от деревни до железнодорожной станции 20 км. Поезд уходит со станции в 11 часов, а человек, живущий в деревне, может идти со скоростью не более 5 км/ч. В каком часу он должен выйти из дома, чтобы успеть на поезд? Решение: Обозначим неизвестное за x, тогда время, оставшееся до отхода поезда будет 11-x (ч.) За это время он может пройти расстояние 5  (11 x) (км). Чтобы человек успел на поезд. Необходимо выполнение следующего условия 5  (11 x)  20 . Мы пришли к необходимости решения неравенства с одной переменной. Хотя мы не знаем способ решения, можно рассуждать так: чтобы точно успеть к поезду, путь пешехода должен быть равен 20 км, т.е. 5  (11 x)  20 . Отсюда находим максимальное время выхода человека из дома – 7 часов. Выйдя раньше, он тем более успеет на поезд, то есть решением записанного неравенства будет любое значение x, меньшее 7. Другой пример: при введении понятия параллельных прямых предлагаем школьникам построить пересекающиеся и непересекающиеся прямые. Проведя соответствующий анализ ситуации (вспомнив аксиому параллельности), приходим к выводу, что прямые могут либо пересекаться в одной точке, либо вообще не пересекаться. Во втором случае прямые называются параллельными и обозначаются символом . Попросим учащихся самостоятельно сформулировать определение параллельных прямых, каким существенным свойством они обладают? I.3. Выделив существенные признаки, школьники формулируют с помощью учителя определѐнные понятия, вводится соответствующая символика. II.1. Первичное закрепление формулировки понятия осуществляется с помощью следующих приѐмов: а) Заполнение пропусков ключевых слов в приведѐнном учителем определении; б) Исправление ошибочных определений и приведение соответствующих контрпримеров; в) Выделение существенных признаков, зафиксированных в определении.

Самостоятельное задание для студентов: Придумайте вариант первичного закрепления какого-либо понятия с использованием раздаточного материала. II.2. Работа по распознаванию понятия производится на основе варьирования существенных и несущественных признаков. В результате предварительного анализа учитель вместе с учениками выделяют существенные и несущественные признаки понятия. Например, понятие хорды окружности имеет следующие существенные и несущественные признаки. Существенные признаки 1. Отрезок. 2. Его концы лежат на окружности. Несущественные признаки 1.Расположение отрезка внутри окружности. 3. Длина отрезка. После этого подбираются конкретные примеры математических объектов, для которых указанные свойства выполняются или не выполняются. Эти объекты в конфигурации с окружностью предлагаются школьникам в виде задания на распознавание: какие из представленных объектов на рисунке являются хордами окружности? Ответ обосновать. II.3. При введении любого понятия необходимо показать его существование. Это осуществляется на основе построения объекта, принадлежащего объѐму данного понятия. Например, при изучении понятия призмы школьникам предлагается схема – ориентир построения призмы, который реализуется ими при выполнении соответствующих заданий. По мере вывода новых фактов и закономерностей, связанных с изучаемым понятием, задания на построение соответствующего объекта усложняются на основе либо наложения дополнительных требований, либо на основе замены первоначальных данных, зафиксированных в определении, альтернативными данными. Например, при изучении квадратичной функции может быть рассмотрена следующая цепочка заданий: 1) Постройте график произвольной квадратичной функции. Какой формулой она задаѐтся?

Постройте схематически график квадратичной функции y=ax2+bx+c, при a>0, D>0. 3) Постройте график квадратичной функции (задайте еѐ формулой), если известно, что ветви параболы направлены вниз, вершина параболы имеет координаты (1; 2), парабола проходит через начало координат. II.4. Выведение следствий из факта принадлежности объекта к объѐму данного понятия начинает осуществляться сразу же после введения понятия в виде доказательства соответствующих теорем-свойств. После того как основные свойства понятия обнаружены и обоснованы, целесообразно предложить школьникам задания, которые закрепляют и систематизируют полученные знания.Например, 1) дан равнобедренный треугольник, угол при вершине которого равен 600. Выпишите все свойства, которыми обладает данная фигура. (геометрия, 7 класс). 2) какими свойствами обладает функция y=kx+b, при k>0, b