Алгебра и логика, 39, N 1 (2000), 3-22
УДК 512.57
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ХОРНОВЫ КЛАССЫ И АНТИМНОГООБРАЗИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
СИС...
9 downloads
173 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 39, N 1 (2000), 3-22
УДК 512.57
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ХОРНОВЫ КЛАССЫ И АНТИМНОГООБРАЗИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
СИСТЕМ*)
В. А. ГОРБУНОВ, А. В, К Р А В Ч Е Н К О
В работе определяются и изучаются универсальные хорновы классы, двойственные многообразиям кгьк В синтаксическом, так и в семантическом смысле. Такие классы, названные нами антимногообразиями, естествен но возникают, например, в теории графов и теории формальных языков (см. [1]). Основными результатами работы являются теорема 1.2 о характеризации антимногообразий, теоремы 2.4, 2.8 о ядрах в аксиоматизируемых цветосемействах и теорема 4.3 о разрешимости универсальных теорий се мейств интерпретаций формальных языков.
§ 1. Собственные универсальные хорновы к л а с с ы и антимногообразия Предложение сигнатуры L называется универсальным хорновым, ес ли оно является конъюнкцией предложений следующего вида:
(W) («! (х) & . . . & « „ СЮ);
(1)
(yx)fai(S)V...V-am(aO);
(2)
(Vaf) ( a i (ж) & . . .&а*(х) -+ a f c + 1 (x)),
(3)
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проекты 99-01-000485 и 96-01-00097, а также Немецкого научноисследовательского общества, проект 436 113/2670
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
4
В. А. Горбунов, А. В. Кравченко
где а, (х) — атомные формулы сигнатуры L, Класс i-систем называется универсальным хорновым, если он является классом моделей для некото рого множества универсальных хорновых предложений. В свою очередь, предложения вида (1), (2), (3) называются соответственно тождествами, антитождествами
и квазитождествами, а классы систем, определяе
мые посредством этих предложений, — многообразиями,
антимногообра
зиями и квазимногообразиями. Поскольку любое тождество эквивалентно конъюнкции квазито ждеств, многообразия являются квазимногообразиями. Кроме того, лю бое антитождество ложно на тривиальной системе, в то время как все квазитождества истинны на такой системе. Поэтому для произвольного универсального хорнова класса К возможны два случая: (1) К содержит тривиальную систему £ L ; (2) К не содержит £/, (такие классы будем называть собственными). В первом случае К представляет собой квазимногообразие, а во вто ром случае, добавляя к К тривиальные системы, мы также получим ква зимногообразие, которое обозначим К + . Это немедленно вытекает из характеризационной теоремы Мальцева [2, § 11]. Таким образом, изучение универсальных хорновых классов сводится к изучению квазимногообразий. Как мы увидим дальше, в некоторых слу чаях удобней и естественней рассматривать произвольные (в частности, собственные) универсальные хорновы классы. Такие классы естествен но возникают в различных областях математики: это, например, графы без петель, алгебраические пространства замыкания, канторовы алгебры, нетривиальные кольца с единицей, полугруппы без идемпотентов (см. [1]). Сначала дадим алгебраическую характеризацию собственных уни версальных хорновых классов (см. также [3]). Конгруэнции здесь пони маются в смысле [4]. Для любого класса К через К~ обозначается класс нетривиальных систем в К. Т Е О Р Е М А 1.1. Для любого универсального хорнова класса L-cuстем К, где L — сигнатура с конечным числом предикатных равносильны следующие условия:
символов,
Антимногообразия алгебраических систем
5
(1) К~ — универсальный хорное класс; (2) тривиальная система ti, не вложима ни в какую систему из
к-; (3) для любой системы Л G К наибольшая конгруэнция
1,д в
Con^-f Л компактна, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что (1)=>(2). Обратно, пусть класс К удовлетворяет условию (2). Тогда в К~ выполняется бесконечное пред ложение {Ух) I V "(G{x,...,z)&x)V \GeLF
V "Я(*,...,а)|, тьР /
где Lp —- множество функциональных символов в L, a Lp — множество предикатных символов в L. Из теоремы компактности следует, что в К " выполняется некоторая конечная часть (р этого предложения. Поэтому К~ = К П Mod(), т. е. (2)^(1). (2)==>(3). Предположим, что существует система Л 6 К, для кото рой 1д является некомпактной конгруэнцией в Сопк+ Л. Тогда 1д = (J 0, iei для некоторой цепи (0|)t€i конгруэнции 0, ^ 1,д из Соп к + Л. Следователь но, £ L = Л/1.д == Н т Л / 0 | . С другой стороны, limA/Oi принадлежит К~~, получили противоречие. (3)=>(2). Пусть в К"" существует система Л, содержащая тривиаль ную подсистему с носителем {е}. Тогда \А\ ^ 2. В прямой степени Аш рас смотрим подсистему 33, элементами которой являются функции, принима ющие значение е для всех п Е о?, кроме конечного числа. Пусть р; обозна чает проектирование системы Ъ на г-ю компоненту, и для всех п £и пусть вп = р | кегр,. Ясно, что {0П : n G CJ} является цепью, Ф/0П — В и вп ф 1$ для всех п. Из определений следует также и равенство ( у Йп)° = 1^, С другой стороны, поскольку Ъ содержит тривиальную подсистему с носите лем {е*}, где е*{п) = е для всех n ^ w , имеем Ъ \= Д[е*,... , е*] для любого предикатного символа R. Поэтому фактор-система Ъ/ V вп тривиальна и 1$ = V 0П. Таким образом, 1$ не является компактным элементом в Сопк+В, получили противоречие. П
6
В. А. Горбунову А. В. Кравченко Хорошо известно, что эквациональная логика в языке без функцио
нальных символов является очень бедной, так как в этом случае отсутству ют термы, отличные от переменных. Поэтому эквациональная логика по лучила сильное развитие только в случае алгебр. Одна из целей настоящей статьи — показать, что в случае предикатных систем роль многообразий играют, в определенном смысле, антимногообразия. Для класса К через Н _ 1 ( К ) обозначается класс всех гомоморфных прообразов систем из К, a V~ X (K) представляет собой наименьшее ан тимногообразие, содержащее К . Следующая теорема является аналогом HSP-теоремы Виркгофа для антимногообразий. Т Е О Р Е М А 1.2. Для произвольного класса К равносильны следую щие условия: (1) К — антимногообразие, т. е. К определяется некоторым (воз можно, пустым) множеством антигпождеств; (2) К — универсальный хорное класс и Н ^ ^ К ) С К; (3) K ^ H ^ S P ^ K ) . В частности, V " " 1 ^ ) = H - 1 S P * ( K ) для любого класса К . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если К совпадает с классом всех систем дан ной сигнатуры, то К задается пустым множеством антитождеств. Поэто му, не ограничивая общности, предположим противное. Поскольку опера тор Н~ х сохраняет антитождества, то (1)=>(2) и, очевидно, (2)=>(3). (3)=^(1). Пусть класс К удовлетворяет условию (3), тогда он замкнут относительно подсистем. Кроме того, К замкнут относительно нетриви альных ультрапроизведений. Действительно, если (2i)t€J G К, то для каждого г € / существует гомоморфизм fi из Ъ{ на некоторую систему Л, из S P * ( K ) . Тогда для любого ультрафильтра D над / семейство го моморфизмов (fi)i£i индуцирует гомоморфизм из JJ Ъ{/П на
JjAi/D.
Таким образом, К — универсально аксиоматизируемый класс. Пусть К 7 — множество всех конечно-порожденных систем, не принадлежащих К . Со гласно предположению, К ' ^ 0 . С каждой системой Л Е К ' свяжем ее
Антимногообразия алгебраических систем
7
представление З^ж, Дд) в порождающих а и докажем, что предложение *A = (VSF) ( V
>(*)]
\^6ДА
/
выполняется в К . Предположим противное, т. е. пусть существует систе ма S Е К такая, что все формулы из АА истинны в Ъ при некоторой интерпретации х и 1. Тогда отображение a ь-> b можно продолжить до гомоморфизма из Л в Ъ. Поскольку Н~ 1 (К) С К, то Л £ К, получили противоречие. Далее, так как К аксиоматизируем, по теореме компактности пред ложение -» А\] U . . . U [К ~» Л„], где А = { Л ь . . . , Л п } , — цветпосемействами в К . Говорим, что цветосемейство [К —• А] конечно порождено, если все системы из А конечны. Пусть L — класс всех систем сигнатуры L. Тогда для любой L-системы Л имеем [L -> Л] = Н~ 1 8(Л). Отсюда, цветосемейства замкнуты относительно подсистем и нетривиальных прямых произведений. Для ка ких систем Л цветосемейство [L -> Л] является антимногообразием? Легко видеть, что для конечных систем это так. Более того, для любой конеч ной системы Л существует минимальная подсистема Ъ < А относительно включения такая, что [L -> Ъ] = [L -> Л]. Эта подсистема называет ся ядром Л. Если ядро Л совпадает с Л, то сама система Л называется ядром. Приведем некоторые свойства ядер конечных систем. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2.1. Пусть А иЪ - конечные системы. Тогда (1) если Ъ — ядро А, то система Ъ является ядром; (2) ядро системы А существует и единственно с точностью до изоморфизма; (3) система Ъ является ядром системы А в том и только в том случае, если Ъ — минимальный по включению ретракт Л; (4) система А является ядром в том и только в том случае, если любой эндоморфизм А является
автоморфизмом;
(5) гомоморфизм из системы А в систему Ъ существует в том и
Антимногообразия алгебраических систем
9
только в том случае, если существует гомоморфизм из ядра системы А в ядро системы Ъ. Все утверждения легко проверяются (см. [7], где приведены дока зательства некоторых из них в случае графов). Для бесконечных систем данные утверждения перестают быть верными. Например, бесконечные системы могут не иметь ядер или иметь несколько неизоморфных ядер (см. [7, 8]). Напомним, что система А называется слабо атомно компактной, ес ли любое локально совместное в А множество атомных формул (от произ вольного числа переменных) является совместным в Л. Следующее утвер ждение, отвечающее на вопрос об аксиоматизируемости цветосемейств, служит основой нашего подхода к ядрам бесконечных систем. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2.2. Главное цветосемейство [L -> А] являет ся антимногообразием или {равносильно) аксиоматизируемым классом в том и только в том случае, если А — слабо атомно компактная систе ма, В частности, [L —>• А] = ЛГ~1(А) для любой слабо атомно компакт ной системы А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что [L ~» А] — аксиоматизи руемый класс. Пусть Е — локально совместное в А множество атомных формул. Тогда по теореме компактности Е совместно в некоторой уль трастепени A1 /D. Поскольку A1 /D € [L ~» Л], существует гомоморфизм A1 /D —> Л; поэтому Е совместно и в Л. Обратно, пусть Л — слабо атомно компактная система. В силу теоремы 1.2 достаточно показать, что [L —У А] замкнут относительно ультрапроизведений. Пусть (Л,) г е/ — семейство систем из [L —> А] и D — произвольный ультрафильтр над I. Легко построить гомоморфизм П Л,-/2? -*• A1 /D, поэтому достаточно показать, что существует гомомор фе/ физм A1 /D -> Л. Пусть Е — позитивная диаграмма системы A1 /D. Так как Е совместно в A1 /D и Л — элементарная подсистема системы A1/D, то Е локально совместно в Л. По предположению получаем, что Е совместно в Л, т. е. требуемый гомоморфизм действительно существует. П Следуя [9], будем говорить, что предикатная система Л гомоморфно
10
В. А. Горбунов, А. В. Кравченко
компактна, если S G [L ~> Л] тогда и только тогда, когда любая конечная подсистема системы Ъ принадлежит L -» Л. В [9] доказано, что у гомо морфно компактного орграфа ядро всегда существует, и в этом случае ряд свойств ядер конечных систем сохраняется. Из доказательства предложе ния 2.2 следует, что предикатная система конечной сигнатуры гомоморфно компактна в том и только в том случае, если она слабо атомно компактна. Очевидно, равенство [L —> Л] = L возможно тогда и только тогда, когда тривиальная система £/, вложима в Л. Поэтому при изучении цветосемейств будем рассматривать системы, не содержащие тривиальных подсистем. Система Л называется ядром, если она слабо атомно компакт на и проста в У - ^ Л ) . Как будет видно ниже, это определение совпадает с определением ядра конечной алгебраической системы. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2.3. Для любой слабо атомно компактной системы Л без тривиальных подсистем существует ядро Ъ такое, что
V~l(A)=:V-l{fy. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что множество
Р = {0 € Con Л : V-\A)
=
Ух(А/в)}
содержит максимальный элемент. Пусть {0; : г £ / } — произвольная цепь в Р. Согласно [4], возможны два случая: Л / (J0, € V~X{A) либо |J 0, = 1д. На самом деле возможен только первый случай. Действительно, любая локальная подмодель в Л / (J 0; изоморфна локальной подмодели в Л/0, для некоторого г (см. [4]). Поэтому, если £^ = A/\J0i,
то позитивная диа
грамма J 3 + ( £ L ) локально совместна в l{A/9i : г € 7). По предположению для каждого г 6 I существует гомоморфизм Л/0; —» Л, поэтому £ ) + ( £ L ) локально совместна в Л. Наконец, поскольку Л слабо атомно компактна, D+(£x,) выполняется в Л, постольку £ь < Л, что невозможно. Докажем теперь, что для любого максимального элемента 0о в Р си стема Л/0о является ядром. По определению, V " " 1 ^ ) = У"1 (А/во). Пусть / — произвольный гомоморфизм из Л/0о в В б V " 1 ^ ) . Если / не явля ется вложением, то 0о С 0', где 0' — ядро композиции гомоморфизмов Л -> Л/0о -> В, и \ г ~ 1 (Л/0') = V " 1 ^ ) , получили противоречие. •
Антимногообр&зия алгебраических систем
11
Т Е О Р Е М А 2.4. ДЛЯ слабо атпомно компактной системы Л без тривиальных подсистем равносильны следующие условия: (1) Л — ядро; (2) Епс1(Л) = AutOA); (3) для любого гомоморфизма f : Л —> Ъ, где В Е У~~г(Л), суще ствует гомоморфизм g :Ъ -+ Л такой, что gf = г А • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1)=»(2). Пусть Р - совокупность ядер В та ких, что V""1 (Л) = V - ^ S ) . Соглгьсно предложению 2.3, Р ф 0 . Более того, Р является множеством. Действительно, любая система В из Р является простой в V " " 1 ^ ) , причем существует гомоморфизм из В в Л, поэтому В < Л. Нетрудно также показать, что Р замкнуто относительно объеди нений по цепям. Докажем, что существует ядро С € Р , не имеющее собственных под систем, изоморфных С. Предположим противное, т. е. пусть любая систе ма из Р имеет собственное изоморфное расширение. Построим цепь си стем в Р произвольной длины, полагая, что Ло — произвольная система из Р , Л/3+i — собственное расширение Лр и Лр — собственное расширение U Л а , если /3 является предельным ординалом. Это противоречит тому, что Р — множество. Из определения С получаем End (С) = Aut(S). Осталось проверить, что В Э* С для всех В G Р . Согласно предположению, существуют вложе ния / : В —> Q и g : Q —* В. Поскольку fg — автоморфизм 6, / является отображением на С. (2)=>(3). Пусть / : Л -~» В — произвольный гомоморфизм. Если В Е G V " " 1 ^ ) , то существует гомоморфизм h : В -> Л, поэтому Л/ является автоморфизмом Л и гомоморфизм (1). Очевидно. О С Л Е Д С Т В И Е 2.5. Любое ядро Л однозначно определяется мно жеством аптитождеств, истинных в Л, т. е. для любых ядер Л и В из У~1(Л) = V~ 1 (B) следует Л == В. В частности, существует не более 2liLil ж)ер сигнатуры L, где \\L\\ = max(u;, |L|). Подсистема В системы Л называется ядром Л, символически В =
В. А. Горбунов, А. В. Кравченко
12
= Соге(Л), если существует гомоморфизм из Л в S, но отсутствуют гомо морфизмы из Л в собственные подсистемы системы Ъ. С Л Е Д С Т В И Е 2.6. Любая слабо атомно компактная система А без тривиальных подсистем имеет ядро. Это ядро Core (Л) единственно с точностью до изоморфизма и \r~i(A)
= У~ 1 (Соге(Л)).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из предложения следует, что найдется яд ро Ъ, удовлетворяющее V " " 1 ^ ) = У~г(Ъ).
Тогда Ъ < А и для любого
гомоморфизма / : Л ~> С, где С < В, / | $ — автоморфизм 2 , поэтому С = Ъ. Таким образом, Ъ — ядро Л. Пусть Ъ' — другое ядро системы Л. Тогда V~ 1 (S) = V - 1 (!B'), следовательно, Ъ < Ъ1. Поскольку существует гомоморфизм из Л в В, получаем Ъ == Ъ*. • С Л Е Д С Т В И Е 2.7. Пусть А — слабо атомно компактная систе ма без тривиальных подсистем. Подсистема Ъ < А является ядром А в том и только в том случае, если Ъ — минимальный ретракт А отно сительно
включения.
В силу следствия 2.5 мощности ядер данной сигнатуры ограничены сверху. В следующей теореме указана их точная верхняя граница. Т Е О Р Е М А 2.8. Для любого ядра А сигнатуры L имеем \А\ ^ 2HLH. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что \А\ > 2^1
Пусть Ф -
множество позитивно примитивных формул ¥>(ж,у) таких, что Л \= (= (\/х)~^(р(х,х). Для каждой С, полагая #(Ь) = /(b) для всех Ь ^ {Ьх,... , Ь т } и то по определению системы С имеем S \= P[i;i,... , v*] Ф> Л [= P [ / ( u i ) , . . . ,/(зд)]. Поскольку / — гомоморфизм, д также является гомоморфизмом. Остается заметить, что Q\=-R\s(bi),...,g{bm)]. По данному Р-ребру aR — ( a i , . . . , a„), где Р £ L, системы Л постро им систему Л (OR) следующим образом: (а) A{UR) — A U {а' х ,... , а^}, где а[ £ А, г ^ п, причем а< = а^ тогда и только тогда, когда щ = aJ?
(б)Л(а я )Н"Ж^--Х], (в) если Р £ £ \ { Р } или b ф (а[,...
, а'п), то Ъ £ Р л ( а я) тогда и только
тогда, когда Ь* £ Р л , где кортеж Ь* получается из кортежа Ъ заменой каждого а\ на а,. Из определения легко следует, что Л — ядро системы А(ац). Петлей называется Р-ребро а системы Л, если а = ( а , . . . , а). Пока-
Антимногообразия алгебраических систем
15
жем, что если Л -— конечное ядро и a — Д-ребро Л, которое не является петлей, то система A((LR) подпр>ямо неразложима в К. Пусть д —- гомоморфизм из А(ал) на, некоторую систему Ъ £ К . Через / обозначим гомоморфизм из Ъ в Л. Пусть |А(ад)| - |Л| = s. То гда найдутся различные пары элементов х\ ф j / i , . . . , х8 ф у8 такие, что fgfai) = / # Ы - Очевидно, s ^ 2. С л у ч а й 1. Пусть для некоторого г ^ s найдется j ^ n такое, что {*•,&•} = {а^,а£}. Тогда (a[,... , < ) £
(keifg)(R).
С л у ч а й 2. Пусть для любого i ^ s множество {ж,-,у,} отлично от всех {о,, ay}, j ^ п. Если Xi,yi G А, то через h обозначим тождественное вложение Л в А(ая); если |{ж»,г/«} П {