Механика: Методические указания к лабораторному практикуму

Ф и зи ческ и й ф ак у л ьтет

К аф едра общ ей ф и зи к и

М ето д и ч еск и е у к а за ни я к ла бора торном у пра к ти к у м у пом ех а ни к е д ля сту д ентов 1 к у рса д невногои 2 к у рса веч ернегоотд елени й ф и зи ч еск огоф а к у льтета

С остави тел и : О .М . Гол и цына В.И. Носова

ВОРОНЕ Ж 2002

2 Ра бо ты 5Аи 5Б. И зу ч ени е геом етри и м а сс тверд ы х тел Ц ел ь работ: эк спери ментал ьнаяпроверк а зави си мости меж ду моментами и нерци и тел а относи тел ьно осей , пересек ающ и хся в одной точк е. О предел ени е гл авных моментов и нерци и си мметри чных тел методом к ру ти л ьного маятни к а. О бору довани е: к ру ти л ьный маятни к , ми л л и сек у ндомер сф отодатчи к ом, образцы. I. Введени е С вяж ем с твердым тел ом неразрывно нек отору ю прои звол ьно выбранну ю си стему к оорди нат XYZ, помести в ее начал о в прои звол ьной точк е O. Пространственное распредел ени е массы твердого тел а относи тел ьно этой си стемы мож ет быть опи сано шестью незави си мыми вел и чи нами J ik , совок у пность к оторых составл яет так называемый тензор и нерци и . Тензор и нерци и мож но представи ть в ви де си мметри чной ( J ik = J ki ) матри цы:  J xx   J yx J  zx где

J xy J yy J zy

J xz   J yz  , J zz 

J yy = Σm( x 2 + z 2 ) , = −Σmxz , J yz = J zy = −Σmyz .

J xx = Σm( y 2 + z 2 ) ,

J xy = J yx = −Σmxy , J xz = J zx

J zz = Σm( x 2 + y 2 ) ,

Здесь су мми ровани е прои зводи тся по всем эл ементарным массам, составл яющ и м твердое тел о. Д и агонал ьные к омпоненты тензора и нерци и , очеви дно, явл яются моментами и нерци и тел а относи тел ьно осей OX, OY и OZ. О ни всегда пол ож и тел ьны. В дал ьней шем бу дем обозначать и х J x , J y , J z . Неди агонал ьные эл ементы тензора называются центробеж ными моментами и нерци и . Э ти эл ементы могу т ок азатьсяк ак пол ож и тел ьными , так и отри цател ьными и равными ну л ю в зави си мости от выбора си стемы к оорди нат. В частности , направл ени е осей x, y, z всегда мож но подобрать так и м образом, чтобы все центробеж ные моменты и нерци и обрати л и сь в ну л ь. Тензор и нерци и бу дет и меть тогда ди агонал ьный ви д:  Jx  0  0

0 Jy 0

0  0  Jz 

3 Так и е оси к оорди нат называются гл авными осями и нерци и тел а, а моменты и нерци и J x , J y , J z относи тел ьно эти х осей – гл авными моментами и нерци и тел а. Нахож дени е гл авных осей очень у прощ ается в сл у чаях си мметри чных тел . Так , л егк о пок азать, что есл и тел о и меет ось си мметри и , то одна и з гл авных осей совпадает сэтой осью, а две дру ги е л еж ат в перпенди к у л ярной к ней пл оск ости , при чем ори ентаци я и х в этой пл оск ости прои звол ьна. Есл и тел о обл адает пл оск остью си мметри и , то две гл авные оси л еж ат в этой пл оск ости , а третьяк ней перпенди к у л ярна и т. д. К ак ова зави си мость меж ду моментами и нерци и тел относи тел ьно осей , пересек ающ и хся в одной точк е? Пу сть на ри с.1 оси XYZ выбраны так , что они совпадают сгл авными осями и нерци и тел а с начал ом в точк е O. Р ассмотри м прои звол ьну ю ось, так ж е проходящ у ю через эту точк у , направл ени е r n, к оторой задается еди ни чным век тором составл яющ и м с гл авными осями у гл ы α, β, γ соответственно. Тогда момент и нерци и тел а относи тел ьно этой оси мож ет быть представл ен в ви де (см. [2], [4] в спи ск е л и терату ры). J = J x cos2 α + J y cos2 β + J z cos2 γ , (1) Р и с. 1. где J x , J y , J z – гл авные моменты и нерци и . II. М етоди к а эк спери мента О предел ени е гл авных моментов и нерци и си мметри чных тел и проверк у равенства (1) л егк о осу щ естви ть при помощ и к ру ти л ьного маятни к а, схемати ческ и и зображ енного на ри с.2. Иссл еду емое тел о заж и мается в рамк е маятни к а, подвешенной к у пру гой верти к ал ьно натяну той r провол ок е (поэтому век тор n на нашей у становк е всегда направл ен по верти к ал и ). Пери од к ру ти л ьных к ол ебани й маятни к а равен T = 2π

Р и с. 2.

J + Jo f

,

(2)

где J – момент и нерци и тел а относи тел ьно верти к ал ьной оси , J o – момент и нерци и рамк и , f – моду л ь к ру чени я провол ок и . Пери од к ол ебани й рамк и без гру за:

4 To = 2π

Jo f

(3)

Иск л ючая f и з (2) и (3), находи м J = J o (T 2 − To2 ) / To2

(4)

Зак репл яя тел о в рамк е при помощ и при ж и мной пл анк и так , чтобы с верти к ал ьной осью вращ ени я поочередно совпал и гл авные оси и нерци и тел а, пол у чи м дл ягл авных моментов и нерци и J x = J o (Tx2 − To2 ) / To2 , J y = J o ( Ty2 − To2 ) / To2 , J z = J o ( Tz2 − To2 ) / To2 ,

(5)

где Tx , Ty , Tz – пери оды к ол ебани й маятни к а, к огда его ось вращ ени ясовпадает с одной и з гл авных осей X, Y, Z. Подстави в (4) и (5) в соотношени е (1), пол у чи м T 2 = Tx2 cos2 α + Ty2 cos2 β + Tz2 cos2 γ

(6)

Ф орму л а (6) связывает пери оды к ру ти л ьных к ол ебани й тел а Tx , Ty , Tz относи тел ьно его гл авных осей спери одом к ол ебани й вок ру г прои звол ьной оси , составл яющ ей сгл авными осями у гл ы α, β, γ. Замети м, что зату хани е к ол ебани й при этом предпол агал ось достаточно мал ым. Д л я определ ени я момента и нерци и J o рамк и воспол ьзу емся этал онным тел ом, момент и нерци и к оторого J э и звестен. Из ф орму л ы (4) и меем

To2 , Jo = Jэ 2 Tэ − To2 где Tэ – пери од к ол ебани й рамк и сэтал онным тел ом. Подстави в J o ф орму л у (5), пол у чаем ок ончател ьно

5 Ty2 − To2 Tx2 − To2 Tz2 − To2 J x = Jэ 2 J = J , J J = , y э 2 z э 2 Tэ − To2 Tэ − To2 Tэ − To2

(7)

В данной работе дл я и ссл едовани я и спол ьзу ются три масси вных метал л и ческ и х тел а: а) к у б со стороной a; б) прямоу гол ьный парал л ел епи пед, у к оторого a = b