Нечеткие модели дискретной математики: Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

А.Н. Тихомирова, М.Г. Клейменова

Нечеткие модели дискретной математики Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2011

УДК 519.17(075) ББК 22.176я7 Т46 Тихомирова А.Н., Клейменова М.Г. Нечеткие модели дискретной математики: Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2011. – 108 с. Содержит полные тексты лабораторных работ и указаний к их выполнению, а также тестовые задания по всем темам для самостоятельной подготовки. Для каждого задания лабораторной работы приведен минимальный объем теоретической информации, в этой связи предполагается знакомство читателями с основным лекционным материалом курса. Пособие оформлено в стиле рабочей тетради, все практические здания снабжены удобными полями для записи ответов. Предназначено студентам НИЯУ МИФИ, изучающим курс «Нечеткие модели дискретной математики». Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ. Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Костерев

ISBN 978-5-7262-1493-1

© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2011

Содержание Предисловие.................................................................................. 4 Введение в теорию нечетких моделей ....................................... 5 Лабораторный практикум ............................................................ 8 Работа 1 «Построение функций принадлежности»........... 8 Работа 2 «Операции над нечеткими множествами» ....... 15 Работа 3 «Нечеткие отношения»....................................... 45 Работа 4 «Нечеткие числа. Нечеткий логический вывод» ................................................................................. 51 Тестовые задания для самопроверки ........................................ 69 Тема 1 «Введение в теорию нечетких моделей» ............. 69 Тема 2 «Основные понятия нечетких множеств» ........... 72 Тема 3 «Основные операции над нечеткими множествами» ..................................................................... 76 Тема 4 «Дополнительные операции над нечеткими множествами» ..................................................................... 79 Тема 5 «Свойства операций над множествами» ............. 82 Тема 6 «Индекс нечеткости» ............................................. 85 Тема 7 «Нечеткие бинарные отношения» ........................ 88 Тема 8 «Операции над нечеткими отношениями» .......... 93 Тема 9 «Нечеткие числа и операции над ними».............. 96 Тема 10 «Нечеткая лингвистическая логика» ............... 100 Тема 11 «Приближенные рассуждения» ........................ 102 Список рекомендуемой литературы ....................................... 107

3

Предисловие Большинство задач управления сложными экономическими и техническими системами преследует цель достижения определенного эффекта в будущем времени. В этом случае управление протекает в условиях неопределенности относительно будущего состояния как самих объектов управления, так и их окружения. Курс «Нечеткие модели дискретной математики» ставит своей целью ознакомление с базовыми понятиями и методами учета неопределенности при решении ряда практических задач. В рамках учебного курса рассматриваются следующие темы: «Нечеткие множества», «Нечеткие отношения», «Нечеткие числа», «Нечеткая логика», «Исчисление нечетких высказываний». Эти темы в их классическом, «четком», представлении изучаются на младших курсах НИЯУ МИФИ, в связи с чем при изложении материала предполагается, что элементарные определения и термины из области теории множеств, алгебры логики, исчисления высказываний и теории графов известны читателю.

4

Введение в теорию нечетких моделей Фундаментальный принцип современной науки состоит в том, что явление нельзя считать хорошо понятым до тех пор, пока оно не описано посредством количественных характеристик. Научное знание представляет собой совокупность принципов и методов, необходимых для конструирования математических моделей различных систем. Развитие вычислительных машин эффективно сказывалось на развитии методов анализа механических систем, поведение которых определяется законами механики, физики, химии и электромагнетизма. Однако этого нельзя сказать об анализе гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Неэффективность вычислительных машин в изучении гуманистических систем является подтверждением так называемого принципа несовместимости – высокая точность системы несовместима с большой сложностью системы. Для систем, сложность которых превосходит некоторый пороговый уровень, точность и практический смысл становятся почти исключающими друг друга характеристиками. Возможная причина неэффективности ЭВМ – неспособность машины охватить огромную сложность процессов человеческого мышления и принятия решений. Ведь одно из примечательных свойств человеческого интеллекта – способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от «принадлежности к классу» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен. В основе процесса мышления человека лежит не традиционная двузначная или даже многозначная логика, а логика с нечеткой истинностью, нечеткими связями и нечеткими правилами вывода. 5

Поэтому для действенного анализа гуманистических систем нужны подходы, для которых точность, строгость и математический формализм не являются чем-то необходимым и в которых используется методологическая схема, допускающая нечеткости и частичные истины. Один из таких подходов – применение нечетких моделей, которые имеют следующие отличительные черты: • использование так называемых лингвистических переменных вместо числовых переменных или в дополнение к ним; • простые отношения между переменными описываются с помощью нечетких высказываний; • сложные отношения между переменными описываются нечеткими алгоритмами. Применение нечетких моделей целесообразно в случаях, когда имеются недостаточность и неопределенность знаний об исследуемой системе, например если: • получение информации сложно, трудно, долго, дорого, невозможно, • источником основной информации являются экспертные данные, эвристические описания процессов функционирования, • информация о системе разнокачественная или оценка параметров проводится с использованием разных шкал. Теория нечетких моделей представляет собой обобщение и переосмысление важнейших направлений классической математики. У ее истоков лежат идеи и достижения многозначной логики, которая указала на возможность перехода от двух к произвольному числу значений истинности и поставила проблему оперирования понятиями с изменяющимся содержанием. Кроме того, значительный вклад внесла теория вероятностей, которая, породив большое количество различ6

ных способов статистической обработки экспериментальных данных, открыла пути определения и интерпретации функции принадлежности. Наконец, у классической дискретной математики был взят инструментарий для построения моделей многомерных и многоуровневых систем, удобный при решении практических задач. Получившийся результат открыл действительно богатейшие возможности для анализа сложных систем в условиях неопределенности.

7

Лабораторный практикум Работа 1 «Построение функций принадлежности» 1.1. Непрерывная функция принадлежности Исходные данные Вариант Переменная 1

время года = ВЕСНА

2

время года = ЛЕТО

3

время года = ОСЕНЬ

4

время года = ЗИМА

5 6 7 8 9 10 11 12 13

температура воды = = ЛЕДЯНАЯ температура воды = = ХОЛОДНАЯ температура воды = = ТЕПЛАЯ температура воды = = ГОРЯЧАЯ з/п программиста = = НИЗКАЯ з/п программиста = = СРЕДНЯЯ з/п программиста = = ВЫСОКАЯ з/п программиста = = ЗНАЧИТЕЛЬНАЯ вероятность банкротства = НИЗКАЯ

8

Множество значений температура воздуха [-20;+30], 0С температура воздуха [-20;+30], 0С температура воздуха [-20;+30], 0С температура воздуха [-20;+30], 0С температура воды [0;100], 0С температура воды [0;100], 0С температура воды [0;100], 0С температура воды [0;100], 0С з/п программиста [10;120], тыс. руб. з/п программиста [10;120], тыс. руб. з/п программиста [10;120], тыс. руб. з/п программиста [10;120], тыс. руб. вероятность [0;100], %

Вариант

Переменная вероятность банкротства = СРЕДНЯЯ вероятность банкротства = БОЛЬШАЯ вероятность банкротства = ОГРОМНАЯ температура воздуха = = ХОЛОДНАЯ температура воздуха = = ПРОХЛАДНАЯ температура воздуха = = ТЕПЛАЯ температура воздуха = = ЖАРКАЯ

температура воздуха [-50;100], 0С температура воздуха [-50;100], 0С температура воздуха [-50;100], 0С температура воздуха [-50;100], 0С

21

возраст = ЮНЫЙ

возраст [0;80], годы

22

возраст = МОЛОДОЙ

возраст [0;80], годы

23

возраст = СРЕДНИЙ

возраст [0;80], годы

24

возраст = СТАРЫЙ

возраст [0;80], годы

14 15 16 17 18 19 20

Множество значений вероятность [0;100], % вероятность [0;100], % вероятность [0;100], %

Задание 1. На основании исходных данных придумать функции принадлежности указанных элементов к заданным нечетким множествам. 2. Полученные функции принадлежности представить в аналитическом и графическом виде с помощью средств Microsoft Excel.

9

Аналитический вид функции принадлежности Использовать один из типов функций принадлежности, наилучшим образом описывающий данную ситуацию. Подобрать соответствующие коэффициенты.

Графический вид функции принадлежности

10

1.2. Дискретная функция принадлежности Исходные данные Цена

Расход

Мощность

Разгон

Скорость

Air bag s

Багаж ник

223 000

17,1

450

4,7

300

4

195

70 000

10,3

250

5,9

250

4

290

Bently Azure

475 000

18,7

426

6,2

249

8

200

BMW X5 4.8 Sport

110 000

12,5

355

6,5

240

6

620

Daewoo Nexia

10 400

6,3

85

11,0

185

0

405

Ferrari F430 4.3 Spider

245 000

18,3

490

4,0

315

2

260

Hummer H2 6.0

94 500

20,0

321

10,5

180

4

1130

635 000

14,5

626

3,8

334

6

270

47 000

10,6

280

5,7

250

2

430

44 900

9,9

277

6,8

230

6

535

Авто Aston Martin DB9 5.9 Volante Audi TT 3.2 quattro coupe

MercedesBenz SLR MCLaren Mitsubishi Lancer EUO IX Sport Toyota Camry

11

Вариант

Множество А

1

Дорогой

2

Медленный

3

Средней стоимости

Множество В Невместительный Средней мощности Слабой мощности

4

Быстрый

Дешевый

Средней экономичности

5

Нединамичный

Средней вместительности

Экономичный

6

Безопасный

Неэкономичный

Средней быстроты

7

Среднединамичный

Мощный

Небезопасный

8

Медленный

Средней вместительности

Дорогой

9

Средней экономичности

Вместительный

10

Дешевый

Безопасный

11

Средней динамичности

Экономичный

12

Мощный

Средней быстроты

Небезопасный

13

Дешевый

Вместительный

Средней безопасности

14

Быстрый

Средней мощности

Нединамичный

15

Средней стоимости

Мощный

16

Медленный

Дорогой

17

Динамичный

Средней вместительности

12

Множество С Средней безопасности Динамичный Вместительный

Слабой мощности Средней мощности Невместительный

Невместительный Средней экономичности Неэкономичный

Вариант

Множество А

Множество В

18

Небезопасный

Экономичный

19

Среднединамичный

20

Быстрый

21

Средней экономичности

Слабой мощности Средней вместительности Невместительный

22

Дорогой

Небезопасный

Средней мощности

Неэкономичный

Вместительный

Средней быстроты

Безопасный

23 24

Средней динамичности Слабой мощности

Множество С Средней быстроты Безопасный Дешевый Мощный

Задание 1. На основании исходных данных придумать функции принадлежности указанных элементов к заданным нечетким множествам. 2. Полученные функции принадлежности представить в аналитическом и графическом виде с помощью средств Microsoft Excel. Аналитический вид функций принадлежности Авто А В Aston Martin DB9 5.9 Volante Audi TT 3.2 quattro coupe Bently Azure BMW X5 4.8 Sport

13

С

Авто Daewoo Nexia Ferrari F430 4.3 Spider Hummer H2 6.0 MercedesBenz SLR MCLaren Mitsubishi Lancer EUO IX Sport Toyota Camry

А

В

Графический вид функций принадлежности

14

С

Работа 2 «Операции над нечеткими множествами» 2.1. Операция «отрицание» Исходные данные • классическое отрицание: λ (μ ) = μ ( х) = 1 − μ ( х) ; • • •

квадратичное отрицание: λ(μ) = 1 − μ 2 ; 1− μ отрицание Сугено: λ(μ) = , −1 < k < ∞ ; 1+ k ⋅ μ ⎧⎪1, если μ ≤ α; дополнение порогового типа: λ(μ) = ⎨ ⎪⎩0, если μ > α.

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Множество А

{x1

; x2

;

x3

; x4

x5

;

x6

;

x7

;

x8

} 0.9 0.7 0.2 1 0.1 0.5 0.8 0.2 x x x x x x x x {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.5 0.2 0 0.4 0 0.7 0.8 0 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 0.5 1 0.7 0.2 0.4 0.8 0 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.1 0.5 0.3 0.8 1 1 0 0 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.4 0 1 0.7 0 0 0.8 0.9 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 0 0.7 1 0.3 0.2 0.8 0.9 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.1 0.7 1 0 0.5 0.4 0.3 0.1 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.7 0.2 0.3 0.8 0.5 0.4 1 0.5 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.2 0.7 0.8 0.4 0.7 0.1 0.3 0 15

;

Вариант

Множество А

10

{x1

11

{x1

12 13 14 15 16

19 20 21 22 23 24

0.9

; x2

0 0

; ;

x3

x3

0.7 0.5

; x4

; x4

0.8

0.7

;

;

x5

x5

1

;

0.4

x6 ;

0

x6

;

0

x7 ;

0.4

x7

x8

;

0.6

;

} 0.2

x8

} 0.1

x x x x x ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.2 1 0.4 0.8 0.4 0.9 0 0.1 x x x x x x x x {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.3 0.5 1 0.2 1 0.2 0.7 0.9 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 3; 8 } 0 0.6 1 0.1 0.7 0 1 1 x x x x x x x x { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 1 0.9 0.8 0.5 0.9 0.1 0.5 1 x x x x x x x { 1 ; 2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.1 1 0.3 0.9 0.2 1 0. 4 0. 4 {x1

17 18

0.5

; x2

{

x1

0 .8

;

x2

0 .3

;

x3

0 .5

;

0 .2

;

x5

1

;

x6

1

;

x7

0

;

x8

1

}

x x x x ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 0.2 0 .7 0.8 0 . 1 0 .6 x x x x x { x1 ; ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 .3 0 .4 0 .6 0 .7 0 .1 0 .1 1 0 x x x x x { x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 0.9 0.1 1 0 .4 0.9 0 1 x x x x x {x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0.2 0.6 0.8 1 0.9 0.7 0.5 0.3 x x x x x { x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 .7 1 0 .6 0 0 .1 0 0 .3 0 .9 x x x x x { x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 0 .4 0.8 1 1 0 .3 0.8 0.1 0.5 x x x x x { x1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } 1 0 .4 0 .5 0 .2 0 .2 0 0 .7 0 .2

{ x1

1

; x2

1 x2

;

x3

x4

16

Задание Для каждого отрицания исходного множества А определить, к какому типу оно относится. Решение: Отрицание

Условие А Б 1 2 3 4

В 5

Вывод

Классическое отрицание Квадратичное отрицание Отрицание Сугено Дополнение порогового типа Графический вид операций «отрицание» для заданного множества А

17

2.2. Треугольные нормы и конормы Исходные данные Определение функции ⎧⎪0, если max( x, y ) < 1 ⎨ ⎪⎩min( x, y ), если max( x, y ) = 1 max(0, x + y − 1)

Имя функции

Ограниченное произведение Пересечение по Лукасевичу Произведение Эйнштейна Алгебраическое произведение Произведение Гамахера Пересечение по Заде Объединение по Заде Сумма Гамахера Алгебраическая сумма Сумма Эйнштейна Объединение по Лукасевичу

x ⋅ y /[1 + (1 − x)] x⋅ y x ⋅ y /[1 − (1 − x) ⋅ (1 − y )] min( x, y ) max( x, y ) 1 − (1 − x) ⋅ (1 − y ) /(1 − x ⋅ y ) 1 − (1 − x) ⋅ (1 − y ) 1 − (1 − x) ⋅ (1 − y ) /(1 + x ⋅ y ) min(1, x + y )

⎧⎪1, если min( x, y ) > 0 ⎨ ⎪⎩max( x, y ), если min( x, y ) = 0

Ограниченная сумма

Задание 1. Заполнить таблицу исходных данных, распределив 12 известных функции (см. лекцию) на Т-нормы и ⊥ -конормы. 2. Упорядочить по убыванию значений исходные Т-нормы и ⊥ -конормы. 18

3. Значения х и у подобрать самостоятельно (!!!), так что х+у, где U – область рассуждений, μ А ( х) – область принадлежности задает степень принадлежности одного элемента х пространства рассуждения U к данному нечёткому множеству А Нечеткое множество А называется унимодальным, если: A μ А ( х) =1 только для единственного x ∈ U B μ А ( х) =1 для многих значений x ∈ U D

2

C 3

D его носитель состоит из единственной точки Чему равняется μ A ( x) в точке перехода нечеткого множества А? A μ A ( x) = 0 B μ A ( x) = 0,25 C D

4

∀x ∈ U : μ A ( x) = 0

μ A ( x) = 0,5 μ A ( x) = 0,75

Нечеткое множество А называется пустым, если: A ∀x ∈ U : μ A ( x) = 0 B C D

∀x ∈ U : μ A ( x) > 0 ∀x ∈ U : μ A ( x) = 1 ∀x ∈ U : μ A ( x) = 0,5 72

5

6

Несколько верных ответов Высота h(A) нечеткого множества А A величина супремума для значений функции принадлежности подмножества А области рассуждений U B величина инфимума для значений функции принадлежности подмножества А области рассуждений U C это число, которое в случае дискретного универсума определяется как сумма всех степеней принадлежности нечеткого множества D величина, равная верхней границе всех степеней нечеткого множества E значение в любой точке любого отрезка [0,1] F элемент с ненулевой степенью принадлежности Какой функцией принадлежности задается четкое множество А*, ближайшее к нечеткому множеству А? A ⎧0, x < 0,4;

B

C

D

⎪ ⎪ x − 0,4 μ А* ( x) = ⎨ , 0,4 ≤ x ≤ 0,6; ⎪ 0,6 − 0,4 ⎪⎩1, x > 0,6 ⎧0, μ А ( х) < 0,55; ⎪ μ А* ( x) = ⎨1, μ A ( x) > 0,55; ⎪ ⎩0 или 1, иначе ⎧⎪0, μ А ( х) < 0,5; μ А* ( x) = ⎨ ⎪⎩1, μ A ( x) ≥ 0,5 ⎧⎪0, μ А ( х) ≤ 0,5; μ А* ( x) = ⎨ ⎪⎩1, μ A ( x) > 0,5

73

E

7

⎧1, x < 0,4; ⎪ ⎪ 0,6 − x μ А* ( x) = ⎨ , 0,4 ≤ x ≤ 0,6; ⎪ 0,6 − 0,4 ⎪⎩0, x > 0,6

Функция принадлежности нечёткого множества μ A ( x) : A задает степень принадлежности каждого элемента х пространства рассуждения U к данному нечёткому множеству А B задает степень принадлежности одного элемента х пространства рассуждения U к данному нечёткому множеству А C совокупность абстрактных сущностей или объектных переменных D совокупность пар <x, μ A ( x) >, где U – область рассуждений, μ A ( x) – область принадлежности представляет собой обобщение характеристической функции классического множества, которая принимала значения 0 или 1 Нечеткое множество А содержится в нечетком множестве В: A множество А является подмножеством B B A ⊂ B ⇔ μ A ( x ) ≤ μ B ( x) , x ∈ U C A = B ⇔ μ A ( x) = μ B ( x), ∀x ∈ U E

8

D E F

множество В является подмножеством A значение функции принадлежности любого элемента x ∈ U к множеству А равно значению функции принадлежности этого элемента к множеству В значение функции принадлежности любого элемента x ∈ U к множеству А меньше или равно значению функции принадлежности этого элемента к множеству В

74

9

10

Практические задания Шторм оценивается по 10-балльной системе – U=[0,10]. [3,10] – шторм, [5,10] – буря. Найти точки перехода: A 3и7 B 4и8 C 4и6 D 2и5 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} А = «несколько» = {0,5/3, 0,8/4, 1/5, 0,9/6, 0,8/7, 0,5/8} Каким является данное множество? A нормальным B субнормальным C пустым D непустым E унимодальным F одноточечным

Ответы: 1

2

3

4

5

6

75

7

8

9

10

Тема 3 «Основные операции над нечеткими множествами» 1

2

Один верный ответ Каким необходимым свойством должны обладать операции, определенные для нечетких множеств? A результатом всех операции над нечеткими множествами должны являться 1 или 0 B все операции над нечеткими множествами не имеют смысловой интерпретации C все операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над обычными множествами D все операции над нечеткими множествами должны иметь только один способ их вычисления Какой из формул соответствует ограниченная операция пересечения нечетких множеств? A μ A∩ B ( x) = min{μ A ( x), μ B ( x)} B C

3

μ A∩ B ( x) = max{μ A ( x), μ B ( x)} μ A∩ B ( x) = μ A ( x) + μ B ( x) − μ A ( x)μ B ( x)

D нет правильного ответа Степенью включения нечеткого множества А в нечеткое множество В называется величина, T = {x ∈ U , μ A ( x) > μ B ( x)} A η( A ⊂ B) = 1 − max (μ A ( x) − μ B ( x)) x∈T

B

η( A ⊂ B ) = min (μ A ( x) − μ B ( x))

C

η( A ⊂ B) = 1 − max (μ A ( x) − μ B ( x) + μ А ( х)μ B ( x))

x∈T

x∈T

D

η( A ⊂ B ) = 1 + max(μ A ( x)μ B ( x)) x∈T

4

Нечеткое множество А является подмножеством В, если: A каждый элемент В есть элемент А

76

B

5

6

7

для всех элементов U значение функции принадлежности к множеству В больше или равно значению функции принадлежности к множеству А C для всех элементов U значение функции принадлежности к множеству В меньше или равно значению функции принадлежности к множеству А D для всех элементов U значение функции принадлежности к А совпадает со значением функции принадлежности к множеству В Несколько верных ответов Какие из перечисленных операций над нечеткими множествами могут быть произведены? A включение B дополнение C композиция D равенство E проекция F разность Дизъюнктивная сумма двух нечетких множеств определяется по следующей формуле: A А ⊕ В = ( А − В) ∪ ( В − А) B А ⊕ В = ( А ∩ В) ∪ ( А ∩ В) C

А ⊕ В = ( А − В) ∪ ( В − А)

D

А ⊕ В = ( А ∩ В) ∪ ( А ∩ В)

E

А ⊕ В = ( А ∩ В) ∪ ( A ∩ В)

Свойствами дизъюнктивной суммы являются: A эквивалентность B любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности C идемпотентность D коммутативность E рефлексивность F транзитивность

77

8

Укажите верные операции для пересечения нечетких множеств: A μ A∩ B ( x) = min{μ A ( x), μ B ( x)} B C D E F

9

μ A∩ B ( x) = min{1, μ A ( x) + μ B ( x)} μ A∩ B ( x) = μ A ( x) + μ B ( x) − μ A ( x)μ B ( x) μ A∩ B ( x) = μ A ( x)μ B ( x) − μ A ( x) + μ B ( x) μ A∩ B ( x) = μ A ( x)μ B ( x) μ A∩ B ( x) = max{0, μ A ( x) + μ B ( x) − 1}

Практические задания Определите степень включения нечеткого множества А в нечеткое множество В: A = {< 0,2 / x 2 >, < 0,7 / x3 >, < 0,5 / x5 >} ;

B = {0,9 / x1 >, < 0,4 / x2 >, < 0,5 / x3 >, < 0,8 / x5 >}

10

A 0,8 B 0,7 C 0 D 1 Даны два нечетких множества:

А = {(15,1), (16,0.9), (17,0.8), (18,0.4), (19,0.3), ( 20,0)} B = {(15,0), (16,0.1), (17,0.2), (18,0.6), (19,0.7), (20,1)}

Найти максиминное объединение этих множеств: A {(15,0), (16,0.1), (17,0.3), (18,0.9), (19,0.), (20,1)} B C D Ответы 1 2

{(15,0.6), (16,0.4), (17,0.7), (18,0.2), (19,0.1), (20,1)} {(15,0), (16,0.1), (17,0.2), (18,0.4), (19,0.3), (20,0)} {(15,1), (16,0.9), (17,0.8), (18,0.6), (19,0.7), (20,1)} 3

4

5

6

78

7

8

9

10

Тема 4 «Дополнительные операции над нечеткими множествами» 1

2

3

4

Один верный ответ Степенью е нечеткого множества А называется нечеткое множество: А Ae={<xe/μA(x)>} B Ae={<x/μAe(x)>} C Ae={<xe/μA(x)>} D Ae={<x/μA(xe)>} В естественном языке применение операции растяжения к значению лингвистической переменной соответствует использованию слов: А «достаточно» или «более-менее» B «очень-очень» или «совсем» C «сильнее» или «более» D «средне» или «вполне» Какая операция уменьшает нечеткость нечеткого множества? А отрицание B растяжение C контрастная интенсификация D строгое отрицание Пусть задано некоторое отображение λ : [0,1] → [0,1] . Это отображение будет называться оператором отрицания в теории нечетких множеств, если выполняются следующие условия: А λ(0) = 0, λ (1) = 1 и μ А ≥ μ В ⇒ λ (μ А ) ≤ λ(μ В ) B

λ(0) = 1, λ(1) = 0 и μ А ≤ μ В ⇒ λ(μ А ) ≤ λ(μ В )

C

λ(0) = 0, λ(1) = 1 и μ А ≤ μ В ⇒ λ(μ А ) ≥ λ(μ В )

D

λ(0) = 1, λ(1) = 0 и μ А ≤ μ В ⇒ λ(μ А ) ≥ λ(μ В )

79

5

6

Несколько верных ответов Отрицание называется строгим, если выполняются следующие свойства: А λ(А) = А-1, где А – нечеткое множество B если μА(х) ≤ μВ(х), то λ(μА(х)) ≥ λ(μВ(х)) C если μА(х) = μВ(х), то λ(μА(х)) ≠ λ(μВ(х)) D λ(0) = 1, λ(1) = 0 Е λ(λ(μА(х))) = μА(х) F λ(0) = 1, λ(1) = 1 Операция увеличения нечеткости: А противоположна операции контрастной интенсивности и выполняет процедуру превращения четкого множества в нечеткое или увеличения степени нечеткого множества B синонимична операции контрастной интенсивности и выполняет процедуру превращения четкого множества в нечеткое или увеличения степени нечеткого множества C противоположна операции контрастной интенсивности и выполняет процедуру превращения нечеткого множества в четкое или увеличения степени четкого множества D определяется следующим образом:

Ф( A) = 2 ⋅ μ A ( x) ⋅ (1 − μ A ( x)) ⋅ (0,5 − μ A ( x)) + μ A ( x) Е

определяется следующим образом:

Ф( A) = 2 ⋅ μ A ( x) ⋅ (1 − μ A ( x)) + (0,5 − μ A ( x)) + μ A ( x) F 7

8

определяется следующим образом:

Ф( A) = 2 ⋅ μ A ( x) ⋅ (1 − μ A ( x)) ⋅ (0,5 − μ A ( x)) Отрицание λ называется сжимающим отрицанием в точке μ, если выполняется неравенство: А λ(μ) ∧ λ(λ(μ)) ≤ μ ≤ λ(μ) ∨ λ(λ(μ)) B μ ∧ λ(μ) ≤ λ(λ(μ)) ≤ μ ∨ λ(μ) C λ(μ) ∧ λ(λ(μ)) ≥ μ ≥ λ(μ) ∨ λ(λ(μ)) D верных ответов нет μ – инволютивный элемент, если: А λ(λ(1–μ)) = μ B λ – сжимающее отрицание в точке μ

80

C D Е F 9

10

λ – отрицание порогового типа λ – строгое отрицание λ(λ(μ)) = μ λ – разжимающее отрицание в точке Практические задания Дано нечеткое множество А={x1/0,2; x2/1; x3/0,7; x4/0,5}. Результат применения отрицания Сугено с коэффициентом Сугено, равным 3, следующий: А {x1/0,5; x2/0; x3/0,1; x4/0,2} B {x1/0,6; x2/0; x3/0,1; x4/0,2} C {x1/0,5; x2/0; x3/0,3; x4/0,4} D {x1/0,7; x2/0,1; x3/0,2; x4/0,5} Дано нечеткое множество А = {x1/0,1; x2/1; x3/0,8; x4/0,4}. Результат применения операция контрастной интенсификации следующий: А {x1/0,17; x2/1; x3/0,7; x4/0,45} B {x1/0,99; x2/0; x3/0,6; x4/0,92} C {x1/0,02; x2/1; x3/0,92; x4/0,32} D {x1/0,13; x2/1; x3/0,82; x4/0,44}

Ответы 1 2

3

4

5

6

81

7

8

9

10

Тема 5 «Свойства операций над множествами» 1

2

3

Один верный ответ Треугольная конорма называется строгой, если: А функция ⊥ строго увеличивается по обоим аргументам B для любого нечеткого множества μ А выполнено неравенство ⊥ (μ A , μ А ) ≥ μ A C функция ⊥ строго убывает по обоим аргументам D верны A и B Понятие множества уровня α, представляет собой: А счетное число интервалов B объединение не более чем счетного числа интервалов C пересечение – Т ( х, у ) = x ⋅ y D четкое подмножество универсального множества U Какой из способов можно использовать для определения осредненного значения функций принадлежности множеств, если один из аргументов равен нулю? А X +Y

M ( X ,Y ) =

B C 4

2 1 1 1 X +Y M ( X ,Y ) = ⋅ ( + ) = 2 X Y 2 ⋅ X ⋅Y M ( X ,Y ) = X ⋅ Y

D M(X,Y )= X+Y Любое нечеткое множество А можно представить в виде: А А = max α/ Аα α

B

А = maxα× A α α

C

А = minα× A α α

D

А = minα/ A α α

82

5

6

7

8

Несколько верных ответов Для каждой пары Т-норм и ⊥ -конорм справедливы следующие уравнения: А Т(x,y)=1– ⊥ (1/x,1/y) B Т(x,y)=1– ⊥ (1-x,1–y) C ⊥ (x,y)=(1–T(1–x,1–y))^2 D ⊥ (x,y)=1–T(1–x,1–y) Примерами треугольных ⊥ -конорм являются следующие операторы: А сумма Гамахера B объединение по Заде C алгебраическое произведение D ограниченная сумма Примерами треугольных Т-норм являются: А x ⋅ y /[1 − (1 − x) ⋅ (1 − y )] B 1 − (1 − x) ⋅ (1 − y ) /(1 + x ⋅ y ) C x ⋅ y /[1 + (1 − x) ⋅ (1 − у )] D 1 − (1 − x) ⋅ (1 − y ) /(1 − x ⋅ y ) Треугольная норма, удовлетворяет следующим условиям: А μ A ≤ μ C , μ B ≤ μ D ⇒ T(μ A , μ B ) ≤ T(μ C , μ D ) B

μ A ≤ μ C , μ B ≥ μ D ⇒ T(μ A , μ B ) ≤ T(μ C , μ D )

C

T(μ A , μ B ) ≠ T(μ В , μ А ) T(μ A ,1) = T(1, μ А ) = μ А

D 9

Практические задания При у = 0,8 значение произведения Гамахера равно 0,10. Чему равно х? А 0,20 B 0,10 C 0,12 D 0,21

83

10

Дано нечеткое множество А = {x1/0,5; x2/0; x3/0,7; x4/0,8; x5/1; x6/0; x7/0,4; x8/0,2}. Найти А0,7. А x1, x2, x6, x7, x8 B x4, x5 C x3, x4, x5 D x3

Ответы 1 2

3

4

5

6

84

7

8

9

10

Тема 6 «Индекс нечеткости» 1

2

Один верный ответ В каком методе оценки нечетности необходимо рассчитать нормировочный коэффициент (–1/lnn )? А аксиоматический подход B расстояние между нечеткими множествами C оценка нечеткости через энтропию D подсчет индекса нечеткости При каких значениях степени принадлежности индекс нечеткости будет максимален? А μ А ( х) = μ ( х) = 0,5 А

3

B

μ А ( х) = μ А ( х) = 1

C

μ А ( х) = 1 и μ А ( х) = 0

D

μ А ( х) = 0 и μ А ( х) = 1

Какая из приведенных формул описывает относительное евклидово расстояние между двумя нечеткими множествами? А n

e' ( A, B) =

B

e( A, B) =

1

n

4

e' ( A, B) =

i =1

n

∑ (μ i =1

C

∑ (μ

1 n

A

B

( xi ) + μ A ( xi )) 2

( xi ) − μ B ( xi )) 2

n

∑ (μ i =1

A

( xi ) − μ B ( xi )) 2

D нет верного ответа В каких пределах изменяются значения энтропии системы после нормирования? А [–1;1] B [0;1] C [0; lnn] D [–lnn; 0]

85

5

Несколько верных ответов При метрическом подходе к оценке нечеткости линейный индекс нечеткости возможно рассчитать следующим способом: А 1 n

⋅ ∑ max(μ A ( xi ), μ A ( xi )) n i =1 1 d r ( A) = ⋅ r ( A, A) n

d r ( A) =

B C D 6

7

d r ( A) = d r ( A) =

1 n

⋅

n

∑ min(μ i =1

2 A

( xi ), μ 2A ( xi ))

n

1 ⋅ ∑ min(μ A ( xi ), μ A ( xi )) n i =1

К недостаткам оценки нечеткости через энтропию можно отнести: А нечеткость четкого множества U (содержащего все элементы) максимальна B степень нечеткости множеств (как четких, так и нечетких) минимальна (равна нулю) в случае, если имеется единственный нулевой элемент C рассчитанное с помощью энтропийного подхода значение степени нечеткости зависит от собственного значения функции принадлежности D если все элементы U имеют равную, отличную от нуля или единицы степень принадлежности (например 0,5 или 0,1), то степень нечеткости четкого множества U (содержащего все элементы) минимальна Выберите выражения, являющиеся условиями того, что r(A, B) – расстояние между нечеткими множествами A и B А r(A, B) ≥ 0 B r(A, B) ≤ 0 C r(A, B) ≤ r(A, C) + r(C, B) D r(A, B) ≤ r(A, C) – r(C, B) E r(A, A) = 1 F r(A, B) = r(B, A)

86

8

Отметьте условия, которым должен удовлетворять функционал, определяющий, в общем виде, показатель размытости нечеткого множества: А d (A) = 0 ⇔ А – четкое множество B d ( A) = d ( A) C D

9

d ( A ∪ B) + d ( A ∩ B) = d ( A) − d ( B) d(A) минимально ⇔ μ А ( х) = 0 для всех x ∈ U

Практические задания Дано универсальное множество U = {вольеры в зоопарке}

x x ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 } 0,9 0,7 0,2 1 0,1 x x x B = «теплое» = { 1 ; x2 ; 3 ; x4 ; 5 } 0,3 0,1 0,5 0 0,7 А = «популярное» = {

10

x1

Найти четкое множество, которое является ближайшим к множеству «Средне популярное и холодное»: А E = {1, 1, 1, 0, 1} B E = {1, 1, 0, 1, 0} C E = {0, 0, 1, 0, 1} D E = {1, 0, 0, 1, 0} Дано нечеткое множество А={x1/0,1; x2/0,7; x3/1; x4/0,2; x5/0,8}. Найти энтропию данной системы: А 0,31 B 0,16 C 0,98 D 0,84

Ответы 1 2

3

4

5

6

87

7

8

9

10

Тема 7 «Нечеткие бинарные отношения» 1

Один верный ответ Бинарным отношением R на множестве U называется: A некоторое подмножество U B некоторое подмножество декартова произведения U×U C некоторое подмножество Ū D такое отношение, где значение функции принадлежности

μ R ∉ [0;1]

2

Пусть на множестве U × U заданы два отношения А и В, множество А определяется матрицей А = аij , а В – матрицей

B = bij , C = cij

3

4

Отношение C = A ∪ B называется объединением двух отношений А и В если: A cij = max(aij;bij) B сij = min(aij ,bij) C сij = max(min(aij;bij)) D cij = min(max(min(aij;bij) Каким свойством обладает бинарное отношение, если ( х, х) ∈ R для любого x ∈ R ? A симметричность B рефлексивность C иррефлексивность D транзитивность Пусть на множестве U × U заданы два отношения А и В, множество А определяется матрицей А = аij , а В – матрицей

B = bij . Отношение D называется пересечением отношений А и В, если? A dij = max(1–aij; bij) B dij = min(0; aij –bij)

88

C D

5

dij = min(aij; bij) dij = max(aij; bij) Несколько верных ответов Какие из утверждений о произведение отношений Е = А ⋅ В на декартовом произведении U × U являются верными? A определяется тогда, когда существует такой z ∈U , для которого выполнены отношения либо xAz , либо zBy ,но не одновременно B определяется тогда, когда существует такой z ∈ X , для которого выполнены одновременно отношения xAy и

yBz C

определяется тогда, когда существует такой

z ∈ U , для

которого выполнены одновременно отношения

xAz

и

zBy D

определяется, когда все элементы матриц отношений связаны следующим образом: eij = min max{ a ik , bkj } k

E

определяется, когда все элементы матриц отношений не связаны следующим образом: e ij = max min{ a ik , bkj } . k

F

определяется, когда все элементы матриц отношений связаны следующим образом: e ij = max min{ a ik , b kj } . k

6

7

Какими свойствами могут обладать нечеткие бинарные отношения? A противоречивость B симметричность C рефлексивность D коммутативность E транзитивность F дистрибутивность В каком виде можно задать бинарное отношение? A системы B матрицы

89

8

9

C функции D графов E числового ряда F неравенства Какие из перечисленных операций над четкими бинарными отношениями могут быть произведены? A объединение B пересечение C коммутативная сумма D дистрибутивное обращение E обратное отношение F произведение Практические задания Даны два отношения: отношение А = «быстрый» поезд автобус самолет

поезд 0

автобус 1

самолет 0

0

0

0

1

1

0

отношение В = «некомфортный» поезд автобус самолет

поезд 0 1 0

автобус 0 0 0

самолет 1 1 0

Произведение отношений А и В выглядит следующим образом:

90

10

A

поезд автобус самолет поезд 1 0 1 автобус 1 1 1 самолет 0 0 1

B

поезд автобус самолет поезд 0 0 1 автобус 1 0 1 самолет 0 0 0

C

поезд автобус самолет поезд 0 1 0 автобус 1 1 1 самолет 0 1 0

D

поезд автобус самолет поезд 1 0 1 автобус 0 0 0 самолет 1 0 1

Пусть дано множество U = (х1, х2, х3), где х1 – ребенок, х2 – мама, х3 – бабушка. Отношение А = «старше» задается в виде матрицы следующим образом: A ребенок мама бабушка ребенок 0 0 0 мама 1 0 0 бабушка 1 1 0 B ребенок мама бабушка

ребенок 0 0 0

мама бабушка 1 1 0 1 0 0

91

C ребенок мама бабушка

ребенок 1 1 1

ребенок мама бабушка

ребенок 0 1 1

D

Ответы: 1 2

3

4

мама бабушка 0 0 1 0 1 1 мама 1 0 1

5

6

92

бабушка 0 1 0

7

8

9

10

Тема 8 «Операции над нечеткими отношениями» 1

2

3

4

Один верный ответ Пусть даны нечеткие отношения R1 и R2. Если функция принадлежности нечеткого отношения R определяется выражением μ R ( х, у ) = max{μ R1 ( x, y ), μ R2 ( x, y )} , то это отношение является: А пересечением B объединением C первой проекцией D максимультипликативной композицией Если глобальная проекция h(R)=1, то отношение нормально. При каком значении h(R) отношение будет субнормальным? А h(R)>1 B h(R)=0 C h(R)