小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基礎数学シリーズ
編 集 の ことば 近 年 に お け る科 学 技 術 の 発展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知...
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小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基礎数学シリーズ
編 集 の ことば 近 年 に お け る科 学 技 術 の 発展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知 識 の 応 用 も さ る こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的 精 神 の 浸 透 が 大 きい.理 工 学 は じ め 医学 ・農 学 ・経 済学 な ど広 汎 な 分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基 礎 的 な考 え方 の素 養 が必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に接 しな けれ ば,知 識 の 活 用 も多 きを望 め な い で あ ろ う. 編 者 ら は,こ の よ う な事 実 を 考 慮 し,数 学 の 各 分 野 に お け る基 本 的 知 識 を確 実 に 伝 え る こ と を 目 的 と して 本 シ リー ズ の刊 行 を 企 画 した の で あ る. 上 の 主 旨 に した が って 本 シ リー ズ で は,重 要 な 基 礎 概 念 を と くに詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の 考 え方 を平 易 に理 解 で きる よ う解説 して あ る.高 等 学 校 の 数 学 に 直結 して,数 学 の 基 本 を悟 り,更 に進 ん で 高 等 数 学 の 理 解 へ の 大 道 に容 易 には いれ る よ う書 か れ て あ る. これ に よ って,高 校 の数 学 教 育 に 携 わ る人 た ち や 技 術 関 係 の 人 々の 参 考 書 と し て,ま た 学 生 の入 門書 と して,ひ ろ く利 用 され る こ と を念 願 と して い る. この シ リー ズ は,読 者 を数 学 とい う花壇 へ招 待 し,そ れ の 観 覚 に資 す る と と も に,つ ぎ の段 階 にす す む た め の 力 を 養 うに 役 立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.
は
じ
距 離 空 間 を 含 め て 位 相 空 間 の概 念 は,今 の1つ
で あ ろ う.本 書 の 目的 は,そ
め
に
日で は 数 学 に お け る重 要 な 基 礎 概 念
の 距 離 と位 相 の 概 念 へ の 入 門 を 平 易 に 述 べ
る こ と に あ る. 位 相 の 概 念 は 実 数 に お い て 考 え られ る"近 い"と
い う概 念 を 抽 象 化 した も の
とい う こ とが で き る.そ
の 抽 象 論 の た め の 基 礎 で あ る集 合 に つ い て 簡 単 に は じ
め の 章 で 準 備 され る.つ
ぎ の 章 で は 実 数 の 集 合 の 位 相 的 な 面 に つ い て 述 べ られ,
さ らに そ の つ ぎ の 章 で 実 数 の 集 合 と同 様 に わ れ わ れ に と っ て 身 近 か で あ ろ う と 思 わ れ る実 平 面 に お け る 位 相 の 概 念 に つ い て 述 べ られ る. これ らの 実 例 は,つ
ぎ の2つ
の 章 で,実 数 で は か る こ と の で き る"近
も っ た 距 離 空 間 に お い て 一 般 化 され て 考 察 され る.そ い て,一
般 の 集 合 で 抽 象 的 に 考 え られ る 位 相 の概 念,お
して 最 後 の3つ
さ"を
の章 に お
よびそ の位 相 の定 め ら
れ た 位 相 空 間 の 理 論 へ の 入 門 が 述 べ られ る. 内 容 や 証 明 に つ い て は,予
備 知 識 な しに 気 軽 に 本 書 が 通 読 で き る よ う,可 能
な 限 り平 易 に 述 べ た つ も りで あ る.し か し,た とえ ば 有 限 お よび 無 限 集 合(1.3) や 実 数 の 性 質(2.1,2.2)な
どは 若 干 く どい き らい の あ る こ と を 否 定 しな い.
これ らは 可 能 な 限 り正 確 に と意 識 した ゆ え に よ る の で あ るが,通
読 の際 に そ の
結 果 を 仮 定 して 先 へ 読 み 進 まれ て も よ い と思 う. 拙 い こ の 書 が い く らか で も読 者 の お 役 に 立 つ よ うに と願 っ て い る.著 者 の 不 注 意 に よ る 欠 点 も 多 い か と恐 れ る も の で あ る が,そ に,お
の 点 の お 許 しを 願 うと と も
気 付 の 点 な どの 御 指 摘 が え られ るな らば あ りが た い.
終 りに,本
書 を 執 筆 す る よ う御 推 挙 戴 き,さ
らに 本 書 の 具 体 的 な 内 容 に つ い
て 極 め て 有 益 な 御 忠 告 を 戴 い た 京 都 大 学 小 松 醇 郎 教 授に は 厚 く御 礼 を 申 し上 げ た い.ま
た 朝 倉 書 店 編 集 部 の 方 々 に も心 か ら謝 意 を 表 す る 次 第 で あ る.
1966年3月
著
者
目
1. 集
次
合
1
1.1 集 合 算
1
1.2 写
9
像
1.3 集 合 の 対 等 1.4 同 値 関 係,順
16 序 関係
22
2. 実 数 の 集 合R
30
2.1 実 数 の 基 本 性 質
30
2.2 ε近 傍,集
積 点,基
本 列
38
2.3 連 続 函 数,開 集 合
44
2.4 連 続 写 像,同
50
3. 実
平
相 写像
面R2
57
3.1 2変 数 の 連 続 函 数,R2の 3.2 ε近 傍,点
列 の収 束,閉
開 集 合 集 合
3.3 コ ンパ ク ト性
4. 距
離
空
間
57 65 76
84
4.1 距 離 空 間 の 定 義
84
4.2 ε近 傍,開
集合
93
4.3 閉 集 合,点
列 の収束
101
4.4 連 続 写 像
107
5. 距 離 空 間 の 完 備 性 と コ ン パ ク ト性
115
5.1 完 備 性
115
5.2 コ ン パ ク ト性
6. 位
相
空
間
124
129
6.1 位 相 空 間 の 定 義
129
6.2 連 続 写 像
136
6.3 部 分 空 間,積
空間
141
6.4 誘 導 さ れ た 位 相
7. 可 算 公 理,連
結 性,分
147
離条件
155
7.1 可 算 公 理,連 結 性
155
7.2 分 離 条 件
161
7.3 正 規 空 間
169
8. コ ンパ
ク ト性
177
8.1 コ ンパ ク ト空 間
177
8.2 局 所 コ ンパ ク ト
185
8.3 積 空 間 の コ ンパ ク ト性
191
記
表
197
引
199
索
号
1. 集
合
数 学 の み な らず 理 論 的 な 科 学 に お い て は,内 容 を 正 確 に 述 べ る必 要 が あ ろ う. 集 合 の 概 念 は そ の た め の 基 礎 で あ り,い で は 集 合 に つ い て の 簡 単 な 定 義,記
1.1 集
合
をxで
はxがXの はXに
の 個 々 の も の を そ の 集 合 の 元 また は 点 とい う.集
表 わ す と き,記 号 ま た は X∋x
元 で あ る こ と を 示 し,'x 属 す る','xはXに
た は'Xはxを
含 ま れ る'ま
含 む'と
(ま た は 定,す
号 お よび 性 質 に つ い て 説 明 し よ う.
ま った 範 囲 を な して い る互 に 区 別 で き る も の の 集 りを
考 え,そ れ を 集 合 とい い,そ
x∈X
の章
算
あ る条 件 を み た し,き
合 をXで,元
うな らば 数 学 的 言 語 とい え る.こ
も い う.記
)はx∈Xの
な わ ちxがXの
号 否
元 でな い こと
を 示 す も の とす る.
い か な る も の も 元 と し て 含 ま な い 集 り も1つ の 集 合 と考 え て 空 集 合 とい い, φ で 表 わ す こ とに す る.す な わ ち'任 意 の 元xに
対 し常 に
であ るよう
な 集 合 φ が 空 集 合 で あ る と して よい. 集 合X,Yが
同 じ集 合 で あ る の は,Xに
っ た く一 致 す る と き,す
2条 件 はx∈Xとx∈Yと X⇔x∈Y'と 元xが
属 す る 元 とが ま
なわ ち
x∈X⇒x∈Y, の と き と し,X=Yで
属 す る元 とYに
表 わ さ れ る.こ
x∈Y⇒x∈X こに 記 号 ⇒ は'な
らば'の 意 で,上
が 論 理 的 に 同 値 で あ る こ とを 意 味 し,簡 単 に'x∈
表 わ され る. 集 合Xの
元 で あ る条 件 が 条 件P(x)で
与え られ て い る と き,X=
の
{x│P(x)}と … ,z}と
表 わ さ れ る.ま
元 がx,y,…,zで
あ る と き,X={x,y,
表 わ さ れ る.
例 題1. 例 題2.
たXの
{x,y}={y,x}={x,x,y}. す べ て の 自 然 数,整
わ す.N={1,2,3,…}で
数,有
あ り,偶
理 数 の 集 合 を そ れ ぞ れN,Z,Qで
表
数全 体 の集 合 は
{2n│n∈N}={2,4,6,…}, 自 然 数n以
下 の 自 然 数 の集 合 は {i│i∈N,i≦n}={1,2,…,n}
で あ る. 例 題3.
す べ て の 実 数 の 集 合 をRで
表 わ す.実
数 の 区 間 を 表 わ すに は 普 通
つ ぎ の 記 号 が 用 い ら れ る. (開 区 間), (閉 区 間),
(無 限 開 区 間),
(無 限 閉 区 間). 例 題4. 集 合Aの
複 素 数
(x,y∈R)の
元 が す べ て 集 合Xに
全 体 の 集 合 をCで
属 す る と き,す な わ ち x∈A⇒x∈X
の と き,AはXの
部 分 集 合 で あ る とい い,記 号 A⊂X
ま た は X⊃A
表 わ す.
で 表 わ す.こ
の とき,集 合AはXに
う.記 号
はA⊂Xの
含 まれ る ま た はXはAを
否 定,す
な わ ちAの
元 でXに
含 む と もい 属 さない ものが
存 在 す る こ とを 意 味 す る. つ ぎ の 公 式 が 成 り立 つ. (1.1) X⊂X,
φ⊂X.
(1.2)
A⊂X,
B⊂A⇒B⊂X.
(1.3)
A⊂X,
X⊂A⇒A=X.
これ らは い ず れ も定 義 よ り明 らか で あ るが,た の よ うに 示 さ れ る.任
意 の 元xに
対 して 常 に
で あ る.こ の 対 偶 A⊂X,
と え ば(1.1)の
はつ ぎ
が 成 り立 つ か ら
は φ⊂Xを
の と き,AをXの
第2式
意 味 す る.
真 部 分 集 合 と い い,
で 表 わ され
る. 例 題5. 〔解 〕 そ れ ぞ れ の 不 等 号 は と か らわ か る.こ
こ に
す れ ば,
か らpは
偶 数 で あ る.こ
集 合Xが
は つ ぎ の よ うに 示 さ れ る.
を み た す 公 約 数 が1の
き2q2=p2だ qも
で あ るこ
偶 数,す
自 然 数p,qが
な わ ちp=2r,し
れ はp,qの
公 約 数 が1で
与 え られ た と き,Xの
と仮 定
存 在 す る.こ
た が っ てq2=2r2と あ る こ と に 反 す る.
の と な り
(以 上)
す べ て の 部 分 集 合 の つ く る 集 合 をXの
ベ
キ 集 合 と い い, 2X={A│A⊂X} で 表 わ す. 例 題6. 集 合X,Yが X,Yの ∪Yで
2{x,y}={φ,{x},{y},{x,y}}. 与 え ら れ た と き,種 和 集 合 と はXま
表 わ さ れ る.す
た はYに
集 合 を 定 義 し よ う.
属 す る 元 全 体 の つ く る 集 合 を い い,X
なわ ち X∪Y={x│x∈Xま
ま たX,Yの
々 の 第3の
た はx∈Y}.
共 通 部 分 ま た は 交 わ り と はXか
つYに
属 す る元 全 体 の つ く る
集 合 を い い,X∩Yで
表 わ さ れ る.す
なわち
X∩Y={x│x∈Xか
つx∈Y}.
こ れ らに 関 し て つ ぎ の 公 式 が 成 り立 つ. (1.4)
X∪Y=Y∪X,
X∩Y=Y∩X.
(可 換 律)
(1.5)
(結 合 律)
(1.6)
(分 配 律)
(1.7)
X∪Y⊃X,
X∪Y⊃Y,
X∩Y⊂X,
X∩Y⊂Y.
(1.8)
(1.5)の
両 辺 を そ れ ぞ れX∪Y∪Z,X∩Y∩Zと
共 通 部 分 と い う.3つ (1.6)の
第1式
は,'ま '(x∈Xま
の 第2式
和 集 合,
以 上 の 有 限 個 の 集 合 に つ い て も 同 様 で あ る. た は'と'か た はx∈Y)か
'(x∈Xか を 意 味 し,そ
書 き,X,Y,Zの
つx∈Z)ま は そ こ で'ま
つ'に
つ い ての論 理 的 な同値 つx∈Z'⇔
た は(x∈Yか た は'と'か
つ つ'を
x∈Z)'
いれか えた ものを意 味
す る. X∩Y=φ
の と きXとYは
互 に 素 で あ る ま た は 交 わ ら な い と い い,
の と き 共 通 点 を も つ ま た は 交 わ る と い う. 例 題7.
X∪X=X=X∩X,
例 題8.
A⊂X,
〔解 〕 仮 定 と(1.7),(1.2)よ
X∪
φ=X,
りA⊂X∪Y,B⊂X∪Y.し
X∩
φ=φ.
た が っ て(1.8)
よ り
同 様 にA∩B⊂X,A∩B⊂Yだ
か ら (以 上)
例 題9. 〔解 〕 X⊃Yな
らば(1.8)よ
⊃Xと(1.3)よ りY⊂Xで
りX∪Y⊂X,し
りX∪Y=X.逆 あ る.も
た が っ て(1.7)のX∪Y
にX∪Y=Xな
ら ば(1.7)のY⊂X∪Yよ
う一 つ の 同 値 も 同 様.
(以 上)
例 題10.
(吸 収 律)
〔解 〕 (1.7)と 例 題11.
例 題9よ
実 数 の2つ
り 明 ら か. の 開 区 間 の 共 通 部 分 は
〔解 〕 で あ る.し
(以 上)
と し,そ た が っ てa3はa1,a2の
方 と す れば,a3<x0が
な わ ち 数 列{an}が
与 え られ た と き
,そ
実 数aに
収 束 す る の は,
れ に 対 応 し てn0∈Nを
(2.1)
を み た す よ うに 選 ぶ こ とが で き る'と き で あ る.こ れ は'nを ばanをaに
十 分 大 き くす れ
い く らで も 近 くす る こ とが で き る'こ とを 数 学 的 に 正 確 に 述 べ た
も の で あ る. 数 列{an}がaに
収 束す ると き
と表 わ さ れ,aを
数 列{an}の
極 限 とい う.
収 束 の 定 義 よ り容 易 に 示 さ れ る公 式 を 挙 げ よ う. (2.2)
こ れ は 任 意 の ε>0に (2.1)が
対 しn>n0な
ら ば│an−a│=│a−a│=0bな
(2.5)
a=b,an≦cn≦bn(n∈N)な
(2.6) 数 列{an}が ち に 示 さ れ る.
ら ばan>bn(n>n0)と
an±bn→a±b(複
成り 立 つ.
な るn0∈Nが
存 在 す る.
ら ばcn→a. 号 同 順),can→ca.
収 束 す る とき そ の 極 限 が 一 意 に 定 ま る こ と は(2.4)よ
りた だ
こ れ ら を 示 す た め に ま ず,ε>0が │bn−b│n2な
が 同 時 に 成 り立 つ よ うにn2∈Nを
る.実
際│an−a│n0),│bn−b│n1)と
が,こ
の と きn2=max{n0,n1}と
a>bと
ε>0に
ε=b+ε>bnと
と な る か らan+bn→a+bで
ε/│c│(n>n0)と
対 して
な るn0∈Nを
も 同 様. ら ば(2.2)よ
ε/│c│(>0)を
考 え,こ
り 明 らか.
の
れ に 対 し│an−a│
0に
成 り立 つ.
対 し│an−a│n2
仮 定 よ りn>n2の
あ り,(2.5)が
とれ ば,n>n2の
え られ た
た が っ て(2.4)が
と れ ば,(2.5)の
与 え ら れ た と き,ε/2(>0)に
最 後 に(2.6)の
対 し て 上 のn2を
な る.し
対 し て 上 のn2を
と な るn2∈Nを
と き,与
な るn0,n1∈Nが
お け ば よ い.
と な る か ら,cn→aで ε>0が
選 ぶ こ と が でき る こ と に 注 意 す
仮 定 す る と き,ε=(a−b)/2(>0)に
の と きan>a−
ら ば│an−a│0に
対 し(2.1)が
成 り立 つn0を
ε},β=max{a1,…,an0,a+ε}は an→a,bn→bな
の と き 分 母 は0で
な わ ち α ≦an≦
らばanbn→ab,an/bn→a/bで
な い と す る.
選 ぶ とき,α=min
求 め る も の で あ る.(以 上) あ る.た
だ し後 者
〔解 〕 上 の 例 題 よ り{an}は と る こ と が で き る.こ
の と き 各n∈Nに
で あ り,(2.3)と(2.6)よ anbn→abで
有 界 だ か ら│an│≦
α(n∈N)と
な る α ∈Rを
対 し
り最 後 は0に
収 束 す る か ら,(2.5)と(2.3)よ
り
あ る.
ま た 後 者 の と き,ε=│b/2│(>0)に と な るn0∈Nを
対 しbn→bの
定 義 よ り│bn−b│n0)
選 べ ば,
で あ る こ とは 容 易 に 確 か め られ る.し た が って
が 成 り立 つ か ら,上 数 列{an}は
と 同 様 にan/bn→a/bが
各n∈Nに
(以 上)
対 し an≦an+1(ま
の と き 単 調 増 加(ま
示 さ れ る.
た はan≧an+1)
た は 単 調 減 少)数
列 と い う.ま
た 等 号 を とった ものが成 り
立 つ と き は 単 調 を と っ て よ ば れ る. つ ぎ の 定 理 は 公 理R2よ 定 理2.2
り示 さ れ る.
上 に 有 界 な 単 調 増 加 数 列(ま
た は 下 に 有 界 な 単 調 減 少 数 列){an}
は 収 束 す る. 証 明 集 合A={an│n∈N}は こ の と き 補 題1.9よ た と きa−
εn0 が 成 り立 ち,an→aが
少 の と き も 同 様.
例 題6.
有 界 だ か ら,R2よ
わか (証 終)
上 の定理 に おい て (ま た は
つ ぎ の 定 理 は ほ と ん ど 明 ら か の よ うに 思 わ れ る 読 者 も あ ろ う.
).
定 理2.3
(ア ル キ メ デ ス の 性 質)任
意 の 実 数a>0,b>0に
対 して
na>b とな る 自然 数nが
存 在 す る.
証 明 す べ て のn∈Nに
対 しna≦bと
る か ら,定 理 は 成 り立 つ.仮
定 よ り数 列{na}は
数 列 だ か ら,上 の 定 理 よ りlimna=cが n0∈Nが
存 在 してn>n0の
仮 定 す れ ば つ ぎ の よ うに 矛 盾 が 起 こ 上 に 有 界 で,a>0よ
り増 加
存 在 す る.こ の と き収 束 の 定 義 よ り,
と き│na−c│n0な
の 定 理 よ りn0ε>1と
ら ば│1/n−0│=1/nbn2と
お け ば れ は[an,bn]がUの1つ そ の と り方 か ら(∞)で
し た が っ てu0に
とえ ば1.1例
題19参
照.
本列
対 し,開 区 間
(2.8)
をxの
ε 近 傍 と い う.
こ の と き,数
列{an}がaに
収 束 す る こ と の 定 義 は'aの
任 意 の ε近傍
Vε(a)に 対 応 してn0∈Nが (2.1)′
{an│n>n0}⊂Vε(a)
とな る よ うに とれ る'と き とい い 表 わ す こ と が で き る. した が っ て,an→aで はaと
な らば,aの
異 な る 集 合{an│n∈N}の
一 般 に 集 合A(⊂R)と と異 な るAの
任 意 の ε 近 傍Vε(a)
元 を 少く と も1つ 含 む こ とが わ か る.
元x∈Rに
つ い て,xの
元 を 少 く と も1つ 含 む と き,xはAの
上 の こ と は,an→aで
な らばaは
任 意 の ε 近 傍Vε(x)がx 集 積 点 で あ る とい う. 集 合{an│n∈N}の
集積 点
ε 近 傍Vε(x)に
対 して
で あ る と述 べ る こ とが で き る. 上 の集 積 点 の 定 義 に お け る条 件 は,'xの A∩Vε(x)は
任意 の
無 限 集 合 で あ る と き'と して よい こ とに 注 意 して お こ う.実 際 こ
の 条 件 が 成 り立 て ば 明 らか に 上 の 条 件 が 成 り立 つ.ま け れ ば,す
な わ ち あ る ε 近 傍Vε(x)はA∩Vε(x)が
た こ の 条 件 が 成 り立 た な 有 限 な らば,
が 存 在 し てA∩Vε′(x)はxと
異 な るA
の 元 を 含 ま な い か ら,上 の 条 件 は 成 り立 た な い. 定 理2.7
(ボ ル ツ ァ ノ(Bolzano)‐
の 有 界 な 無 限 部 分 集 合Aは 証 明 結 論 を 否 定 し てAは Aは はAの
有 界 だ か らAを
少 くと も1つ
含 む 閉 区 間[a,b]が
なわち
任意
の 集 積 点 を もつ.
集 積 点 を もた な い と仮 定 し よ う.
集 積 点 で は な い か ら,xの
元 を 含 ま な い もの,す
ワ イ エ ル ス トラ ス の 定 理)Rの
とれ る.仮 定 よ り各 元x∈[a,b]
あ る ε(x)近 傍V(x)でxと
異 な るAの
V(x)∩A={x}ま で あ る も の,が
φ
存 在 す る.
こ の と きV(x)∋xだ
か ら,開
は[a,b]⊂∪Uと
な る.し
集 合V(x1),…,V(xn)を で き る が,上
たは
区 間 よ り な る 集 合 族U={V(x)│x∈[a,b]}
た が っ て 定 理2.6よ
り,Uの
適 当 な有 限個 の
選 ん で[a,b]⊂V(x1)∪…∪V(xn)と
のV(x)の
な る よ うに
と り方 か ら
と な る.こ れ と1.3例
題9よ
り
は 有 限 集 合 で あ る こ とが わ か るか ら,
求 め る 定 理 が 成 り立 つ. 例 題1. 間[a,b]の 例 題2.
集 合Aの
(証終)
集 積 点xはAに
各 元 は 開 区 間(a,b)の
属 す る と は 限 らな い.た
とえ ば 閉 区
集 積 点 で あ る.
任 意 の 実 数 は 有 理 数 の 集 合Qお
よび そ の 補 集 合R−Qの
集積 点
で あ る. 〔解 〕 2.1例 例 題3.
題9よ
x∈Rが
りた だ ち に 示 され る. 集 合A(⊂R)の
の 元 か らな るあ る数 列{an}でxに
(以上)
集 積 点 で あ る た め に は,xと
異 な るA
収 束 す る も の の 存 在 が 必 要 十 分 で あ る.
〔 解 〕 (必 要)各n∈Nに
対 し て
だ か ら,そ の 元
anを
と る こ とが で き る,(正
確 に は 選 出 公 理 を 用 い れば
→xで
あ る こ とは,各n∈Nに
対 しan∈V1/n(x),す
よい).こ
の と きan
なわ ち
0≦│an−x│aな 傍Vε(a)に
ついて
た が って 有 限 集 合 か
積 点 の 定 義 の 後 で 述 べ た こ と に よ りaはAの
φ で
集積 点 で
は な い か ら で あ る. さ て,aはAの
集 積 点 だ か ら,任
た が っ てan0∈Vε(a)と
意 の ε>0に
な るn0∈Nが
と れ る.こ
し た が っ て│an−a│n0な
が 成 り 立 つ か ら,an→aで
らば あ る. (以 上)
数 列{an}が
収 束 す れ ば2.1の
例 題3の
よ う に,こ
定 理 がえ
られ る.
定 理2.8
り{an}は
の 逆 は 必 ず し も 成 り立 た な い.し
有 界 で あ る が,そ
の前 の
か し上 の定 理 よ りつ ぎ の
有 界 な 数 列 は 収 束 す る 部 分 列 を も つ.
こ こ に 数 列{an}の 応 す る 数 列{akn}の 証 明 (ⅰ) mに
例 題4よ
部 分 列 と は 自 然 数 の 増 加 数 列k1max{n0,m}に
≧am=a+ε>aknが 数 列{an}に
対 しan≦aで
き,{an}を
基 本 列 ま た は コ ー シ ー(Cau
と い う.
収 束 す る 数 列 は 基 本 列 で あ る.実 │an−a│n0)と
際an→aと
な る よ うなn0∈Nを
し,与
え られ た
と れ ば,n,m>n0な
ε>0に
対 し
らば
と な る. この 逆 も 成 り立 つ,す 定 理2.9
なわ ち
(コ ー シ ー の 定 理)任
意 の 基 本 列 は 収 束 す る.(こ
の 性 質 をRは
完 備 で あ る とい う.) 証 明 {an}を 基 本 列 とす る と き,ε>0に 任 意 のn∈Nに
し た が っ て 定 理2.8よ し 任 意 に 与 え られ た ε>0に
う.こ な らば
み た すn0を
とれ ば,
対 し
が 成 り立 つ こ と は 容 易 に 見 ら れ る か ら,{an}は
と り,ま
対 し(2.9)を
り,{an}は
有 界 で あ る.
収 束 す る 部 分 列{akn}を
対 し て│akm−a│n0)と
た 基 本 列 の 定 義 よ り│an−am│n1)と
の と きm>max{n0,n1}な
るmを
とれ ばkm≧m>n1だ
も つ.akn→aと な るn0∈Nを な るn1∈Nを
とろ
か ら,n>n1
が 成 り立 ち,こ 例 題8.
れ か らan→aが
(証 終)
実 数 の 集 合 に つ い て の 互 に 同 値 な 公 理R1,R2を
定 理2.2∼9の
実 数 の 基 本 性 質 が 述 べ られ て き た が,こ
公 理R1ま
た はR2と
す な わ ち,簡 性 質 をR0と R9で
わ か る.
も と に し て,上
に
れ らの うち あ る も の は
同 値 で あ る.
単 の た め 定 理2.2の お き,定
理(ま
性 質 をR3,定
理2.3の
た は 系)2.4,…,2.9の
表 わ す こ と に す る と き,つ
ア ル キ メデ ス の
性 質 を そ れ ぞ れR4,…,
ぎの実 数 の集 合 の性質
R1,R2,R3,R0+R4,R0+R5,R6,R7,R8,R0+R9 (+は'か
つ'の
意 味 に 用 い た)は
た が い に 同 値 で あ る.
〔解 〕 そ れ ぞ れ 下 に 書 か れ た 番 号 の 定 理 ま た は 系 の 証 明 よ り,Ri(i=0,1, … ,9)は
つ ぎ の 関 係 に あ る こ と が 示 さ れ て い る:
さ ら に 例 題5はR7⇒R3を,例
題7はR8⇒R3を
例 題 に よ るR0+R9⇒R1と 例 題9.
合 わ せ て 求 め る 結 果 が 示 さ れ る.
R0+R9⇒R1で
あ る,す
=c1と
お き,こ
仮 定 を み た す も の と す る.a∈A,
らばa1=c1,
b1=bと,c1∈Bな
の 操 作 を 帰 納 的 に 続 け て 定 理2.6の
族{[an,bn]│n∈N}で
(以 上)
証 明 で き る.
部 分 集 合A,BはR1の
を と り,c1=(a+b)/2∈Aな
ぎ の
な わ ち 実 数 の ア ル キ メ デ ス の 性 質 と完 備 性
を 仮 定 す れ ば デ デ キ ン トの 公 理R1を 〔解 〕 Rの
示 し て い る か ら,つ
各n∈Nに
b∈B
ら ばa1=a,
証 明 と 同 様 に,閉
b1
区間 の
対 し
[an,bn]⊃[an+1,bn+1],bn+1−an+1=(an−bn)/2,an∈A,bn∈B で あ る も の が とれ る.bn−an=(b−a)/2nと りbn−an→0で
あ る((2.7)参
こ の と き 数 列{an}は bn−ann0)と と きan≦am0に
と る と き,n,m>n0な
か ら│an−am│0に
点x∈Xで
連 続 で あ る の は'任 意 に 与
対 応 して
(2.10) が 成 り立 つ よ うに 実 数 δ>0を
選 ぶ こ とが で き る'と き で あ る.こ xに
十 分 近 づ け る こ と に よ っ てf(y)
をf(x)に き る'こ
い く らで も近 づ け る こ とが で と を 正 確 に 述 べ た も の で あ る.
こ の(2.10)は,(2.8)で ε 近 傍 を 用 い る と き,明
定 義 され る らか に
と表 わ す こ と が で き,さ (1.16),(1.20)よ
り次 式 と 同 値 で あ る:
れ は'yを
ら に これ は
(2.10)′
連 続 性 は つ ぎ の よ うに 収 束 の概 念 を 用 い て 述 べ る こ と も で き る. 定 理2.10
函 数f:X→R(X⊂R)がx∈Xで
に 収 束 す るXの
任 意 の 数 列{xn}に
連 続 で あ る た め に は,x
対 して 数 列{f(xn)}はf(x)に
収 束す る
こ と が 必 要 十 分 で あ る. 証 明 (必 要)任 選 び,さ
意 に 与 え られ た ε>0に
らにxn→xの
対 し(2.10)′
が 成 り立 つ δ>0を
定 義 よ り
とな るn0∈Nを
と
れ ば,
が 成 り立 つ か ら,定
義 よ りf(xn)→f(x)で
(十 分)fはxで
連 続 で な い と 仮 定 す る.こ の と き あ る ε>0が
は 任 意 の δ>0に
対 し て 成 り立 た な い.し
を と る こ と が で き,Xの 各n∈Nに
あ る.
数 列{xn}が
対 し│xn−x│0)と
お け ば,明
際,x∈(a,b)に
対
ら か に
が 成 り立 つ. 定 理2.11
函 数f:X→R(X⊂R)が
ま た は(2)が
連 続 で あ る た め に は,つ
ぎ の(1)
必 要 十 分 で あ る.
(1)
Rの
任 意 の 開 集 合Uの
(2)
Rの
任 意 の 開 区 間(a,b)の
証 明 (連 続)⇒(1):x∈f−1(U)な りVε(f(x))⊂Uと
な る ε>0が
よ うに δ>0を
原 像f−1(U)はXの
開 集 合 で あ る.
原 像f−1((a,b))はXの らばf(x)∈Uだ と れ る.こ
開 集 合 で あ る. か ら,開
の ε に 対 し(2.10)′
集合 の定義 よ が 成 り立 つ
選 ぶ と き,
が 成 り立 つ か ら,f−1(U)はXの (1)⇒(2):開
開 集 合 で あ る.
区 間 は 開 集 合 だ か ら明 らか.
(2)⇒(連 続):点x∈Xと
ε>0が 与 え られ た とき,(2)よ
の 原 像f−1(Vε(f(x)))はxを
含 むXの
が 成 り立 つ よ うな δ>0が
とれ る か ら,fはxで
り開 区 間Vε(f(x))
開 集 合 で あ る.し た が って(2.10)′ 連 続 で あ る.
(証終)
こ こで 開 集 合 の 基 本 性 質 を ま とめ て お こ う. 定 理2.12 O1:Xお
集 合X(⊂R)の よ び φ はXの
O2:有
限 個 のXの
もXの
開 集 合 で あ る.
O3:任
意 個 のXの
開 集 合 に つ い て つ ぎ が 成 り立 つ. 開 集 合 で あ る.
開 集 合Ui(i=1,2,…,n)の
開 集 合
共 通 部 分
の 和 集 合
もXの
開集 合 で あ
る. 証 明 O1:定 O2:任
義 よ り 明 らか.
意 の
か ら開 集 合 の 定 義 よ り
を と れ ば,各i=1,…,nに
対 し てx∈Uiだ
と な る εi>0が
と れ る.こ
の と き
と お け ば,
だ か ら
が 成 り立 ち,し
たが
が 存 在 す る.こ
の と
っ て 求 め る 結 果 が え られ る. O3:任
意 の
を とれ ば,x∈Uμ
き
と な る ε>0が
か ら,
はXの
ま たXの
開 集 合 とRの
定 理2.13 逆 にXの
と な る μ∈Λ
と れ て,
が 成 り立 つ
開 集 合 で あ る.
Rの
(証 終)
開 集 合 の 間 に は つ ぎ の 関 係 が あ る.
開 集 合Uと
の 共 通 部 分U∩XはX(⊂R)で
任 意 の 開 集 合U′(⊂X)はRの
開 で あ り,
あ る 開 集 合Uに
よ りU′=U∩X
と 表 わ さ れ る. 証 明 Vε(x)⊂Uな 逆 は,各
らば
点x∈U′
=Vε(x)(x)を
で あ る か ら,前
に 対 し てV(x)∩X⊂U′
と な るxの
半 が 成 り立 つ.
あ る ε(x)近 傍V(x)
と り, U=∪{V(x)│x∈U′}
と お け ば よ い.実
よ りU′=U∩Xで 系2.14 はAの
際,V(x)はRの
開 集 合 だ か らO3よ
りUも
あ る.
集 合A⊂X(⊂R)に
そ うで あ り,
(証終) つ い て,Xの
開 集 合Uと
の 共 通 部 分U∩A
開 集 合 で あ り,ま た 逆 も成 り立 つ.
証 明 上 の 定 理 よ りRの
あ る開 集 合Vを
と っ てU=V∩Xと
だ か ら,こ れ は 上 の 定 理 よ りAの 逆 にAの
開 集 合U′
表 わ す と き,U=V′
に 対 し,Rの
∩XはXで
あ る 開 集 合V′
を と っ てU′=V′ ∩Aと
(証終) Rの
開 区 間 の 和 集 合 は 開 集 合 で,逆
間 の 和 集 合 と な る*). *) φは0個
開 集 合 で あ る.
開 で あ り,
と な る. 例 題2.
表 わ す と き,
の 和 集 合 と考 え られ る.
にRの
任意 の開 集合 は 開区
〔解 〕 開 区 間 は 開 集 合 だ か らO3よ
り前 半 が え られ る.逆
Uと
な るxの
そ の 各 点xに
対 しV(x)⊂Uと
U=∪{V(x)│x∈U}と 例 題3.
に,Rの
あ る ε 近 傍V(x)を
な る.
開 集合 と る と き, (以上)
区 間[a,b),(a,b],[a,b]お
よ び1点
か らな る集 合{a}はRの
開 集 合 で は な い. 〔解 〕 aの 任 意 の ε 近 傍Vε(a)は[a,b)に で な い.ほ 例 題4.
含 まれ な い か ら,[a,b)は
か も 同 様.
開
(以上)
定 理2.12のO2に
関 連 して,Rの
無 限個 の開集 合 の共 通 部分 は
開 集 合 とは 限 ら な い. 〔解 〕
(1.1例
題19参
照)で,(−1,0]
は 開 集 合 で な い. 例 題5.
(以上)
一 般 に はX(⊂R)の
の 開 集 合 な らばXの
開 集 合 はRで
開 集 合 は つ ね にRで
開 とは 限 らな い が,XがR
開 で あ る.
〔 解 〕 た とえ ば[0,1)=(−1,1)∩[0,+∞)は[0,+∞)で 2.13よ
りXの
が,XがRで
開 集 合 はRの 開 な らばO2よ
開 集 合Uと
開 で あ る.定 理
の 共 通 部 分U∩Xと
りU∩XはRで
表 わ され る
開 で あ り,後 半 が 成 り立 つ. (以上)
例 題6.
集 合X(⊂R)で
そ の 部 分 集 合 が す べ てXの
も の を 離 散 集 合 とい う.こ の た め に はXの がXで
開 で あ れ ば よい.た
〔 解 〕 {x}がXで O3よ
りXで
{n}はZの 例 題7.
開 で あ る.ま たn∈Zに
そ うで あ る.
対 し{n}=(n−1,n+1)∩Zだ
開 集 合 で あ る. 集 合X(⊂R)に
任 意 のx,y∈X,x0
対 し,点 点 列{xn}が
得 られ る.こ
の とき各
対 し │xn1−x1│0を
あ る もの
あ る.
連 続 で な い と す れ ば,あ
に 対 し 成 り立 た な い.し
(以 上)
連 続 で あ る た め に は,
あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る,(定
〔解 〕 (必 要)ε>0に
証 明 で注
で与 分 母 を0と
し な い(x1,x2)∈R2の
集 合)
各 点 で 連 続 で あ る.
〔解 〕 上 の 例 題 と(2.6)お さ ら に,上
の 函 数fが
き で あ る,と
い う定 義 も1変
し た が っ て 集 合X(⊂R2)の
よ び2.1例
題5よ
連 続 で あ る の はfが
り容 易 に 示 さ れ る. (以 上) す べ て の 点x∈Xで
連続 の と
数 の と き と 同 様 で あ る. 部 分 集 合UがXの
開 集 合 で あ る の は,Rの
と き と同 様 に,各
と な るxを
点x∈Xに
対し
中 心 とす る 開 正 方 形Wε(x)
が とれ る と き,と 定 義 す れ ば,定 た は 系)2.11∼15と
理(ま
ま っ た く同 様 の 証
明 で つ ぎ の 定 理 が 示 さ れ る. 定 理3.1 て,写
(ⅰ) 定 理2.15に
対応 し
像 f:X→Y
が 連 続 で あ る た め に は,Yの
(X⊂R2,Y⊂R)
任 意 の 開 集 合Uの
で あ る こ と,ま た は 任 意 の 開 区 間(a,b)に
原 像f−1(U)がXの
開 集合
対 しf−1((a,b)∩Y)がXの
開
集 合 で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る. (ⅱ) 定 理2.12のO1,O2,O3は
集 合X(⊂R2)の
開 集 合 に 対 して も 成 り
立 つ. (ⅲ) 系2.14に
対 応 して,集
と の 共 通 部 分U∩AはAの はXの
つ い て,Xの
開 集 合 で あ り,逆 にAの
あ る 開 集 合Uに
こ の 際 た と え ば,開
合A⊂X(⊂R2)に
よ りU′=U∩Aと
開 集 合U
任 意 の 開 集 合U′(⊂A)
表 わ さ れ る.
区 間 の 直 積(a1,b1)×(a2,b2)はR2の
開 集合 であ る こ
と を 示 す 必 要 が あ り,こ れ を 直 接 示 す こ とは 容 易 で あ る が,よ
り一 般 な つ ぎ の
形 の 定 理 の 特 別 な 場 合 と して も 結 論 さ れ る. 定 理3.2
X1,X2(⊂R)の
の 開 集 合 で あ る た め に は,各
と な るXiの
直 積X1×X2(⊂R2)の 点x∈Uに
開 集 合Ui(i=1,2)の
と くにUiがXiの
部 分 集 合UがX1×X2
対 して
とれ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.
開 集 合 な ら ば(i=1,2),U1×U2はX1×X2で
る. 証 明 (必 要)各x=(x1,x2)∈Uに
対 し定 義 よ り
開 であ
と な る 開 正 方 形Wε(x)が
と れ る が,(3.2)よ
だ か ら,Ui=Vε(xi)∩Xi(i=1,2)と (十 分)逆
り
お け ば 求 め る 条 件 が 成 り 立 つ.
に 上 の 条 件 が 成 り立 つ と き,Xi(⊂R)の と な る εi>0が
と お け ば,
と れ る(i=1,2).こ
(i=1,2)だ
が 成 り立 ち,し
開 集 合 の 定 義 よ り, の と き
か ら
た が っ てUはX1×X2の
開 集 合 で あ る こ と が わ か る. (証 終)
系3.3
X1,X2(⊂R)の
直 積 か らの 自 然 な 射 影
pi:X1×X2→Xi,pi(x)=xi(x=(x1,x2)∈X1×X2) は 連 続 で あ る,(i=1,2). 証 明 定 理3.1(ⅰ)よ
り,Xiの
任 意 の 開 集 合Uiに
対 しpi−1(Ui)がX1×X2
で 開 で あ る こ と を 示 せ ば よ い が,こ れ はp1−1(U1)=U1×X2,p2−1(U2)=X1×U2 と 上 の 定 理 よ りた だ ち に え ら れ る.
(証 終)
上 の よ うに 定 義 さ れ る 開 集 合 を 合 わ せ て 考 え る と き,空 間R2を 元 ユ ー ク リ ッ ド(Euclid)空 R2は
間 ま た は2次
こ の よ うに 考 え る も の とす る.ま
も い い,上
のR2の
例 題4.
R2の
元 実 空 間 と い い,こ
たR2の
部 分 集 合 をR2の
よ び 方 に 対 応 し て 実 数 空 間Rを 開 正 方 形 の 和 集 合 は 開 集 合 で,逆
実 平 面,2次 とわ らな い 限 り 部分 空 間 と
実 直 線 と も い う. にR2の
任 意 の開 集 合は 開
正 方 形 の 和 集 合 と な る. 〔解 〕 2.3例 例 題5. A×{a}な
題2と
2.3例 ど はR2の
同 様 に 示 さ れ る.
題3の
集 合 と 空 集 合 で な いA(⊂R)と
例 題6.
の 直 積[a,b)×A,
開 集合 では ない .
〔解 〕 た と え ば(a,x)∈[a,b)×Aに x)は[a,b)×Aに
(以 上)
対 しWε((a,x))(ε>0)の
属 さ な い. R2−[a1,b1]×[a2,b2],と
点(a−ε/2, (以 上)
くにR2−{(a1,a2)}はR2の
開集 合 であ
る. 〔解 〕 上 の 集 合 は っ て 定 理3.2と 例 題7.
と 等 し く,し
定 理3.1(ⅱ)のO3よ
2.3例
題5と
同 様 に,一
は 限 ら な い が,XがR2の 例 題8. と き,R2で
般 に はX(⊂R2)の
集 合A(⊂R2)は,R2の
題9よ
(以 上)
開 集 合 はR2で
開 集 合 はR2で
開 で あ る.
題10参
集 合Q2はR2で
照).有
理 点,す
な わ ち各 座
稠 密 で あ る.
りた だ ち に 得 ら れ る.
系3.3の
開 と
任 意 の 空 で な い 開 集 合 と共 通 点 を もつ
稠 密 で あ る と い う,(2.3例
〔解 〕 2.1例
開 集 合 で あ る.
開 集 合 な ら ばXの
標 が 有 理 数 で あ る も の,の
例 題9.
りR2の
たが
射 影piに
(以 上)
よ るX1×X2の
開 集 合 の 像 はxiの
開 集 合
で あ る. 〔解 〕 U(⊂X1×X2)を 点x=(x1,x2)∈Uお
開 集 合 と し,任
意 のx1∈p1(U)を
と る.こ
よ び 開 正 方 形Wε(x)で
も の が 存 在 し,し
とな る
た が っ て
が
成 り立 つ か ら,p1(U)はX1で
開 で あ る.p2も
例 題10.
がX1×X2(⊂R2)で
集 合
そ れ ぞ れX1,X2で
開 で あ る と き,そ
〔解 〕 定 理3.2,お
同 様.
(以 上)
開 で あ る の はU1,U2が
し て そ の と き に 限 る.
よ びpi(U1×U2)=Uiだ
か ら上 の 例 題 よ りた だ ち に 示 さ
れ る. 例 題11. 像
(以 上) x=(x1,x2)∈R2に
φ:R2→Rは
対 し
連 続 で あ る.maxの
〔解 〕 任 意 の 開 区 間(a,b)に
し た が っ て 定 理3.1(ⅰ)よ
R×{a2}を
φ(x)=max{x1,x2}∈Rで か わ り にminで
れ は 定 理3.2とO3よ
りfは
固 定 す る と き,集
こ れ らが 上 の1−1対
はR2の 応
も 同 様.
りR2の
開 集 合 で あ る.
連 続 で あ る. 合Rと
(以 上)
集 合R×{a2}はx∈Rと(x,a2)∈
互 に 対 応 さ る こ と に よ り対 等 で あ る が,Rに
開 集 合 が,R×{a2}に
与 え られ る写
対 し,
で あ り,こ
点a2∈Rを
の とき
は 実 数 空 間 として の
部 分 空 間 と し て の 開 集 合 が 定 義 さ れ て お り, に よ り互 に 対 応 し て い る の が 自 然 で あ ろ
う.実
際,そ
定 理3.4 R×{a2}の a1∈Rと
うな っ て い る こ と は つ ぎ の 定 理 よ りわ か る. a2∈Rと
す る と き,実
集 合U1×{a2}と
数 空 間Rの
は,そ
つ い て も 同 様.
開 な ら ば,定
定 理3.1(ⅲ)よ
部分空間
の 一 方 が 開 集 合 な ら ば 他 方 も そ う で あ る.
す る と き,Rと{a1}×Rに
証 明 U1がRで
集 合U1とR2の
理3.2よ
りU1×RはR2の,し
り
た が って
は 部 分 空 間R×{a2}の
開 集 合 で あ る. 逆 にU1×{a2}がR×{a2}で
開 な ら ば,定
と な るR2の に 対 し,(x,a2)∈Uだ
x=(x,0)と
とれ る.し
か らW=Wε((x,a2))⊂Uと
し た が っ てVε(x)⊂U1が こ の 定 理 よ り,し
開 集 合Uが
理3.1(ⅲ)よ
り
た が っ て,任
意 のx∈U1
な る ε>0を
とる とき
成 り立 つ か ら,U1はRで
開 で あ る.
ば し ばx∈Rと(x,0)∈R×{0}と
み な し,し
(証 終)
を 同一 視 して考 え て
た が って 自 然 に R=R×{0}⊂R2
と 含 ま れ て い る も の と 考 え ら れ る. こ の よ うに 考 え る と き,定 で い る.ま X⊂R⊂R2,し
た1変
定 理2.12,系2.14を
数 函 数f:X→Y(X⊂R,Y⊂R)を,そ
た が っ てX⊂R2で
と 考 え る こ と が で き,両 は2変
理3.1(ⅱ),(ⅲ)は
含ん
の 定 義 域Xが
あ る と し て,2変
数 函 数f:X→Y(X⊂R2)
者 に よ る 連 続 性 は 一致 す る.こ
数 函 数 の 特 別 な も の と 考 え る こ と が で き,定
の 意 味 で も1変
理3.1(ⅰ)は
数函数
定 理2.15を
含 む も の と 考 え る こ と が で き る. 例 題12. に 対 し,2座
R2の
任 意 の 集 合Uとa2∈R
標 がa2で
あ る よ う なUの
切 り口
Ua2={x│x∈R,(x,a2)∈U}(⊂R),
す な わ ち る も の,を
とな 考 え れ ば,UがR2の
開集合な
ら ば,Ua2はRの
開 集 合 で あ る.1座
標 がa1∈Rで
あ る 切 り 口に つ い て も
同 様. 〔解 〕 定 理3.4よ 例 題13. に 対 し,そ
りた だ ち に え られ る.
(以 上)
2変 数 函 数f:X→Y(X⊂R2,Y⊂R)が
連 続 な らば,各a1,a2∈X
れ ぞ れ 切 り 口Xa1,Xa2(⊂R)に
お いて
fa1(x)=(a1,x)(x∈Xa1), で 定 義 さ れ る1変
fa2(x)=(x,a2)(x∈Xa2)
数函 数 fa1:Xa1→Y,fa2:Xa2→Y
は 連 続 で あ る. 〔解 〕 定 理3.1(ⅰ)と 例 題14.
定 理3.4よ
り容 易 に え られ る.
上 の 例 題 の 逆 は 必 ず し も 成 り立 た な い.た
で 定 義 さ れ るf:R2一Rは 〔解 〕 fa1は,
とえば
連 続 で は な い が,各fb1,fa2は な ら ば 分 母 が0と
と す る 定 値 写 像 だ か ら,連
(以 上)
連 続 で あ る.
な ら な い か ら,a1=0な
続 で あ る.fa2も
同 様 で あ る.fは
ら ば0を
像
連 続 で あ る と仮
定 す れ ば, Wδ((0,0))⊂f−1((−1,1)) と な る δ>0が
存 在 す る が,こ
れ はx=(δ/2,δ/2)に
つ い てx∈Wδ((0,0)),
が 成 り立 つ か ら矛 盾 で あ る. つ ぎ に,R2へ
(以 上)
の写 像 f:X→R2(x⊂R2)
を 考 え よ う.こ 2つ
れ は,pi:R2→Rをi座
標 へ の 自 然 な 射 影 と す る と き(i=1,2),
の函 数 p1°f,p2°f:X→R
の 対 と し てf=(p1°f,p2°f)と
一 意 に 表 わ さ れ る.
上 のfが
通 こ の2つ
連 続 で あ る の は,普
と 定 義 さ れ る.さ
らに,よ
り一 般 な 写 像
の 函 数p1°f,p2°fが
連 続 の と き,
f:X→Y(X⊂R2,Y⊂R2) が 与 え られ た と き,こ
のfが
連 続 で あ る の は,包
i°f:x→R2が
連 続 の と き,と
例 題15.
函 数f:X→R(X⊂R2)の
含 写 像i:Y⊂R2と
の合成
定 義 さ れ る. 連 続 性 はR=R×{0}⊂R2と
考 えた
と き の 上 の 意 味 の 連 続 性 と 一 致 す る. 〔解 〕 後 者 の 意 味 でfが
連 続 な の は 上 の 定 義 よ りp1°f,p2°fが
き で あ る が,p2°fは0へ
連続の と
の 定 値 写 像 で 連 続 と わ か っ て い る か ら,f=p1°fが
連 続 の と き と な る. 例 題16.
i=1,2に
(以 上) 対 す る 連 続 写 像fi:Xi→Yi(Xi⊂R,Yi⊂R)の
直積
は 連 続 で あ る. 〔解 〕 定 義 よ りi=1,2に
つ い て
が 連 続 であ る
こ と を 示 せ ば よ い が,
で あ り,fi°piが
連 続 で あ る こ と は(f1°p1)−1(U1)=fi−1(U1)×X2だ
3.1(ⅰ),3.2よ
り示 さ れ る.
上 の よ うに 定 義 さ れ たR2へ
か ら定 理 (以 上)
の 写 像 の 連 続 性 に つ い て,定
理3.1(ⅰ)は
つ
ぎ の よ うに 一 般 化 さ れ る. 定 理3.5
写像 f:X→Y(X⊂R2,Y⊂R2)
が 連 続 で あ る た め に は,R2の がR2の
部 分 空 間Xで
証 明 Y=R2と 定 理2.15の (必 要)Rの
任 意 の 開 集 合Uの
原 像f−1(U)
開 で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.
し て 証 明 し よ う.一
般 のYに
つ い て は この場 合 を用 い て
証 明 と ま っ た く 同 様 に 示 さ れ る. 開 集 合U1,U2の
開 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.実 と な る が,(1.17)′ こ れ が わ か れ ばO3に fの
部 分 空 間Yの
連続 の定義 よ り
直 積U1×U2に 際,任
意 のR2の
対 しf−1(U1×U2)がXで 開 集 合Uは
よ り
よ りf−1(U)はXで
例 題4よ
り だ か ら,
開 で あ る.
fi=pi°f:X→R は 連 続 だ か ら,定
理3.1(ⅰ)よ
(i=1,2)
りfi−1(Ui)はXで
開 で あ る が,(1.23)よ
り
だ か らO2よ
れ もXで
開 で あ る.
(十 分)定
理3.2よ
り,Rの
p2−1(V)=R×VはR2で
任 意 の 開 集 合Vに
開 で あ る.し
対 し てp1−1(V)=V×R,
た が って 定 理 の 条 件 よ り
f−1(pi−1(V))=(pi°f)−1(V)=fi−1(V) はXで
りこ
開 で あ り,定
理3.1(ⅰ)よ
(z=1,2)
りf1,f2は
連 続,し
た が っ て 定 義 よ りf
も 連 続 で あ る.
(証 終)
こ の 定 理 よ り,定
理2.16はX,Y,ZをR2の
部 分 空 間 と し て 成 り立 つ こ
と が ま っ た く 同 様 に 示 さ れ る. さ ら に2.4の
後 半 と 同 様 に,R2の
お よ び 同 相
部 分 空 間X,Yに
も 定 義 さ れ,定
つ い て の 同 相 写 像
理2.17,18もR2の
部 分空 間 に
関 す る も の に 一 般 化 さ れ る. 例 題17.
連 続 写 像 に 関 す る2.4例
題2.3はR2の
部 分 空 間X,Y,Yiに
関 し て も 同 様 に 成 り立 つ. 例 題18.
例 題16に
お い てf1,f2が
同 相 写 像 な らば 直 積f1×f2も
同相 写
像 で あ る.
3.2
ε 近 傍,点
列 の 収 束,閉
R2に
お い て は,x=(x1,x2),y=(y1,y2)に
集合 対 し
d(x,y)=((x1−y1)2+(x2−y2)2)1/2 で 与 え られ る 負 で な い 実 数d(x,y)を2点x,y∈R2の
間 の 距 離 とす る の が 普
通 で あ ろ う.
R2の (>0)の
上 の 距 離dに
よ るx∈R2を
開円板
(3.3)
をR2に
お け るxの
ε 近 傍 と い う.
中 心 とす る 半 径 ε
Rに
お け る ε 近 傍 の 定 義 式(2.8)と(3.3)は
の 定 理3.6が
成 り立 つ こ とか ら,同
こ の 開 円 板 はR2の は な い が,R2の
同 じ 形 で あ り,さ
らに つ ぎ
じ よび 方 お よ び 記 号 が 用 い られ て い る.
開 集 合 で あ る.こ
れ を 直 接 証 明す る こ とは さ し て 難 し く
開 集 合 の 定 義 に お い て 用 い た 開 正 方 形 の か わ りに,開
円板 を
用 い る こ と が で き る こ とを 意 味 す る つ ぎ の 定 理 の系 と して証 明 し よ う. まずx∈R2を
中 心 とす る 開 正 方 形Wε(x)と
開 円 板Vε(x)に
つ い て の次式
が 成 り立 つ こ とに 注 意 し よ う: (3.4)
こ こ に εは 任 意 の 正 数.実
際 これ は 容 易 に 示 され る つ ぎ の不 等 式 よ りた だ ち に
証 明 で き る. (3.5)
│xi−yi│≦d(x,y)≦│x1−y1│+│x2−y2│
(i=1,2),
こ こ にx=(x1,x2),y=(y1,y2). 定 理3.6
と な るxの
UがX(⊂R2)の
点x∈Uに
対 して
あ る ε近 傍 の とれ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.
証 明 (必 要)定 (3.4)の
開 集 合 で あ る た め に は,各
義 よ り
と な る ε>0が
後 半 よ り
(十 分)条
件 よ り と れ る ε>0に
と な る か ら,定 系3.7
と な り,条
R2の
証 明 任 意 のy∈Vε(x)に
前 半 よ り
開 で あ る.
開 円 板Vε(x)はR2の
の とき
件 は 成 り立 つ.
対 し,(3.4)の
義 よ りUはXで
とれ る が,こ
(証 終)
開 集 合 で あ る.
対 し,ε ′=ε−d(y,x)(>0)と
お け ば,三
角不 等
式 よ り
す な わ ち
が 成 り立 つ.し
た が っ て 上 の 定 理 よ りVε(x)はR2
の 開 集 合 で あ る. 空 間x(⊂R2)に
(証 終) 対 し,こ
の 系 よ りVε(x)∩X(x∈X)はXの
*) この 三 角 不 等 式 は よ く知 られ て い るが ,後 に 定 理4.1に で 証 明 され る.
開集 合 で あ お い て さ らに 一 般 的 な 形
る が,こ
れ はXに
例 題1.
R2の
お け る 点xの
ε 近 傍 と よ ば れ る.
開 円 板 の 和 集 合 はR2の
開 集 合 で あ り,ま た 任 意 のR2の
開
集 合 は 開 円 板 の 和 集 合 とな る. 〔 解 〕 上 の 定 理 を 用 い れ ば2.3例
題2と
同 様 に 示 さ れ る.
例 題2.
(以上)
(円 板),
(円 周) はR2の
開 集 合 で は な く,そ
の 補 集 合R2−Bε(x),R2−Sε(x)は
開 集 合 であ
る. 〔解 〕 前 半 は3.1例 ε′=d(y,x)−
題5と
ε(>0)と
示 さ れ る か ら,上
お け ば,三
だ か らO3よ
例 題3.
意 のy∈R2−Bε(x)に
が
開 集 合 で あ る.R2−Sε(x)は りR2で
f:X→Y(X⊂R2,Y⊂R)が
開 で あ る.
点x∈Xで
意 の 与 え られ た ε>0に
対 し
角 不 等 式 よ り容 易 に
の 定 理 よ りR2−Bε(x)は
合
は,'任
同 様 に 示 さ れ る.任
和集 (以 上)
連 続 で あ る こ との 定 義
対 応 して
(3.6)
と な る よ うに
δ>0を
〔解 〕 (3.6)は
選 ぶ こ と が で き る'と
き と し て も よ い.
ε近 傍 を 用 い る と き 次 式 と 同 値 で あ る:
(3.6)′
こ の と き,'(316)′ 在 す る こ と'が
をみ た す
δ が 存 在 す る こ と'と'(3.1)′
同 値 で あ る こ と は(3.4)を
用 い て 定 理3.6の
を み たす
証 明 と同 様 に 示
さ れ る.
(以 上)
例 題4. x∈Xに
δ が存
写 像f:X→Y(X⊂R2,Y⊂R2)が
対 し'任
連 続 で あ る た め に は,各
意 に 与 え ら れ た ε>0に
点
対 応 して
(3.7)
と な る よ う に δ>0を
選 ぶ こ と が で き る'こ
〔解 〕 上 の 解 の(3.6)′ 近 傍 と 考 え れ ば(3.6)′ を 用 い る と き,定
でVε と(3.7)は
理2.11の
はRの
と が 必 要 十 分 で あ る. ε 近 傍 で あ る が,こ
同 値 で あ る.し
れ もR2の
た が っ て 定 理3.6と3.5
証 明 と ま っ た く 同 様 に 求 め る 結 果 が 示 さ れ る.
ε
(以 上) 例 題5.
全 単 射f:X→Y(X⊂R2,Y⊂R2)で
距 離 を か え な い も の,す
なわ ち d(f(x),f(y))=d(x,y) を み た す も の,を 例 題6.
(x,y∈X)
等 距 離 写 像 と い う.等
例 題4に
お い て,x∈Xを
距離 写 像 は同 相写 像 で あ る. か え た と き,1つ
の εに 対 して選 ばれ
る δ は か わ っ て も よ い こ と に 注 意 し て お く. こ れ に 関 連 し て'任
意 の ε>0に
の み に 関 係 し 各x∈Xに
対 し て(3.7)が
成 り立 つ よ うな
関 係 し な い で 選 ぶ こ と が で き る'と
δ>0が
き,fは
ε
一 様連
続 で あ る と い う. 一 般 に は 連 続 写 像fは
一 様 連 続 と 限 ら な い.た
f:(0,1]→[1,+∞),
f(x)=1/x
とえ ば 連 続 函 数 (0<x≦1)
は 一様 連 続 で は な い. 〔解 〕 上 のfは
一 様 連 続 と 仮 定 し,常
と な る よ う に 選 ぶ.こ 任 意 のx∈(0,1]に
の と きnδ
≧1と
xi=x+ai
と お け ば, ,n).ま
な るn∈Nを
たx0=x,xn=1だ
か
れ はf(1/(n+1))=n+1に
反 す る.
つ ぎ にR2の
照),
(i=0,1,…,n) な る(i=1,
ら
各x∈(0,1]に
対 し て 成 り立 つ こ と に な る が,こ (以 上)
点 列 の 収 束 に つ い て 考 え よ う.
点 の 列a1,a2,…,an…,す
の は,an=(an1,an2)(n∈N),a=(α1,α2)と それ ぞれ
理2.3参
だ か ら│f(xi−1)−f(xi)│0が
不等 式 を用 い る と
りた だ ち に 示 さ れ る.
し た が っ て 数 列 の 収 束 の 定 義 に も どれ ば,R2の の は,'任
な わ ち│ani−ai│→0
点 列{an}がaに
与 え られ た と き,そ
(証 終) 収束 す る
れ に 対 応 し てn0∈Nを((2.1)
と 同 様 に) (3.8)
と な る よ うに 選 ぶ こ と が で き る'と 列 とR2の
き で あ る,と
距 離 を 用 い る こ とに よ って 数
点 列 の 収 束 は ま っ た く 同 じ 形 で 表 現 さ れ る.
ま た 数 列 に つ い て の 定 理2.8は 定 理3.9 こ こ に{an}が
R2の
つ ぎ の よ うに 一 般 化 さ れ る.
任 意 の 有 界 な 点 列{an}は
有 界 と は す べ て のnに
収 束 す る 部 分 列{akn}を
対 しd(an,x)≦
α と な るx∈R2と
も つ. α>0
が 存 在 す る こ と で あ る. 〔解 〕 pi:R2→R(i=1,2)を も 有 界 で あ り,し が 存 在 す る.そ
射 影 とす る.{an}が
た が っ て 定 理2.8よ の極 限を
α1と お く.つ
の 収 束 す る 部 分 列{p2(aln)}が {p1(aln)}は{p1(akn)}の
り{p1(an)}の
有 界 だ か ら 数 列{p1(an)} 収 束 す る 部 分 列{p1(akn)}
ぎ に 数 列{p2(akn)}も
存 在 し,そ
部 分 列 だ か ら2.2例
の極 限 を 題6(ⅰ)よ
α2と
有 界 だ か ら,そ お く.こ り α1に
の とき 収 束 し,
した が っ て{an}の
部 分 列 の 部 分 列,す
な わ ち{an}の
部 分 列 で あ る{aln}は
(α1,α2)に 収 束 す る.
(証終)
数 列 に お け る基 本 列 もそ の ま ま 点 列 に 一 般 化 さ れ る.す {an}が
基 本 列 で あ る の は,任
((2.9)と
意 に 与 え られ た
ε>0に
なわ ち2の
点列
対 応 してn0∈Nを
同 様 に)
(3.9)
と な る よ うに 選 ぶ こ と が で き る'と こ の と き,定 定 理3.10
理2.9は
き と定 義 さ れ る.
つ ぎ の よ う に 一 般 化 さ れ る.
(コ ー シ ー の 定 理) R2の
証 明 R2の
任 意 の 基 本 列{an}に
で あ る こ と は,基
対 し,数
本 列 の 定 義 と(3.5)の
(こ こ にPiはi座
標 へ の 射 影).し
束 す る か ら,そ
任 意 の 基 本 列 は 収 束 す る.
の 極限 を
列{pi(an)}(i=1,2)が
基本列
不 等 式 の 前 半 よ りた だ ち に 示 さ れ る
た が っ て 定 理2.9よ
αiと お け ば,定
り数 列{pi(an)}は
義 よ りan→a=(α1,α2)で
収
あ る. (証 終)
例 題7.
定 理3.9よ
〔解 〕 定 理2.8を
り定 理3.10を 用 い た 定 理2.9の
証 明 す る こ と が で き る. 証 明 をR2の
場 合 に 一般 化 す る のは容
易 で あ ろ う. 例 題8.
(以 上)
R2の
点 列 の 収 束 に つ い て も(2.2)が
成 り 立 ち,ま
た2.2例
題6
は 数 列 を 点 列 と し て も 成 り立 つ. 〔解 〕 点 列 の 収 束 の 定 義 と 数 列 に 対 す る 結 果 を 用 い て 証 明 で き る が,(3.8) を 用 い て 数 列 の 場 合 の 証 明 を そ の ま ま 適 用 す る こ と も で き る. 集 積 点 の 概 念 も 一 般 化 さ れ る.す て,xの
任 意 の ε 近 傍Vε(x)に
が 成 り立 つ と き,xはAの 'V
ε(x)∩Aは
な わ ち 集 合A(⊂R2)と
(以 上)
点x∈R2に
対 し
集 積 点 で あ る とい う.こ
の定 義 に お い て 上 式 を
無 限 集 合 で あ る'と い う条 件 で お き か え て も よ い こ と も,距
│x−y│をd(x,y)と さ らに,xがAの
つい
書 き か え てRの
離
場 合 と同 じ証 明 で 示 され る.
集 積 点 で あ るか ま た はAに
含 まれ る と き,xをAの
触
点 で あ る と い う.集
合A(⊂R2)の
触 点 全 体 の つ く るR2の
部 分 集 合 をAの
閉 包 ま た は 触 集 合 と い い, A で 表 わ す.定
義 よ りA⊂Aで
補 題3.11
あ る.
集 合A(⊂R2)と
の(1)ま
た は(2)が
(1)
xの
(2)
Aの
ま た は Aa
点x∈R2に
任 意 の ε 近 傍Vε(x)はAと あ る 点 列{an}でxに
共 通 点 を も つ. 収 束 す る も の が あ る.
な らば
点 な らば 定 義 よ り 対 し
点 列{an}が
だ か ら,そ
え られ る が,各nに
よ び 定 理3.8よ
(2)⇒x∈A:定
りan→xで
理3.8す
と な るn0∈Nが
あ る.
な わ ち(3.8)よ
連 続 性 に つ い て 定 理2.10お
り,ε>0に
対 し
な ら ばVε(x)はAの
点 (証 終)
よ び3.1例
題2も
写 像f:X→Y(X⊂R2,Y⊂R2)が 点 列{xn}に
とっ
か ら(2.7),
集 積 点 で あ る.
に 収 束 す るXの
集積
の 点anを
対 し てd(an,x)0 の 対偶
す な わ ち
り'X−FはXで
開 で あ る'こ と と 同 値
で あ る.
(証終)
こ の 定 理 の(2)を
用 い る と き,開 集 合 に つ い て の 一 連 の 定 理 は 以 下 の よ う
に 閉 集 合 に 関 す る も の に 書 きか え られ る. 定 理3.14 A1:Xお A2:有
空 間X(⊂R2)の
閉 集 合 に つ い て つ ぎ が 成 り立 つ.
よ び φ はXの 限 個 のXの
閉 集 合 で あ る.
閉 集 合Fi(i=1,…,n)の
和 集 合F1∪
…∪FnもXの
閉 集 合 で あ る. A3:任
意 個 のXの
閉 集 合
の 共 通 部 分
もXの
閉集 合 で
あ る. 証 明 補 集 合cはXに
関 す る も の と す る.
A1:O1とX=φc,φ=Xcよ
り明 ら か.
A2:Fic(i=1,…,n)はXで り,そ
開 だ か ら,O2よ
の 補 集 合
り
もXで
開で あ
(ド ・モ ル ガ ン の 公 式(1.11)′)はXで
閉
で あ る.
A3:同
様 にO3と
定 理3.15
ド ・モ ル ガ ン の 公 式 に よ る.
空 間A⊂X(⊂R2)に
つ い て,Xの
F∩AはAの
閉 集 合 で あ り,逆
にAの
る 閉 集 合Fに
よ りF′=F∩Aと
表 わ さ れ る.
証 明 等 式A−(F∩A)=A−F=(X−F)∩Aと に 示 され る.
(証終) 閉 集 合Fと
の共 通 部分
任 意 の 閉 集 合F′(⊂A)はXの
定 理3.1(ⅲ)よ
あ
り容 易 (証終)
定 理3.16 Yの
写 像f:X→Y(X⊂R2,Y⊂R2)が
任 意 の 閉 集 合Fの
連 続 で あ る た め に は,空
原 像f−1(F)が
空 間Xで
間
閉 で あ る こ とが 必 要 十 分 で
あ る. 証 明 開 集 合 に つ い て の 定 理3.5とf−1(Y−F)=X−f−1(F)((1.19)参 照)よ
りた だ ち に え ら れ る.
定 理3.17 F1,F2がRの
(証 終) 閉 集 合 な ら ば,直
積F1×F2はR2の
閉集合で
あ る. 証 明 R2−F1×F2=(R−F1)×R∪R×(R−F2)だ 開 集 合 で あ る こ と(定 例 題9. る.こ
理3.2)とO3よ
れ は'AがXで
閉 集 合 な らば,Aの 閉'の
集 合 の直積 が
り求 め る 結 果 が え ら れ る.
A⊂XでAがXの
例 題10.
か ら,開
(証 終)
閉 集 合 はXで
閉 であ
仮 定 な しに は 一 般 に は 成 り立 た な い.
1点 か ら な る 集 合{x},閉
区 間[a,b]はRの
区 間 の 直 積[a1,b1]×[a2,b2],R=R×{0},円
閉 集 合 で あ り,閉
板Bε(x),円
周Sε(x)はR2
の 閉 集 合 で あ る. 〔解 〕 R−[a,b]=(−∞,a)∪(b,+∞)よ は[x,x]と
り[a,b]はRで
考 え ら れ る.[a1,b1]×[a2,b2],R=R×{0}は
Bε(x),Sε(x)は
例 題2よ
x2)=x12+x22で f−1(0)だ
区 間(a,b),[a,b)はRで
開 円 板Vε(x)はR2で
原像 (以 上)
閉 で は な い. 開 で な い こ と は,そ
の 点(x1+ε,x2)(x
δ 近 傍 に 属 す る 点
−Vε(x)に
がR2
含 ま れ な い こ と か らわ か る .
例 題12.
い て(−
よ る 閉 集 合{0}の
閉 で は な く,
〔解 〕 た と えばR2−Vε(x)が =(x1,x2))の
り,
と え ばSε(0)はf(x1,
か ら閉 集 合 で あ る と い うい い 方 も で き よ う.
例 題11.
ばRに
定 理3.17よ
り閉 で あ る こ と が わ か る が,た
定 義 さ れ る 連 続 函 数f:R2→Rに
閉 で あ る.{x}
閉 で も 開 で も な い 集 合 お よ ば 閉 か つ 開 で あ る 集 合 が あ る.た
お い て[a,b)は ∞,a)は
例 題13.
(以 上)
3.1例
前 者 で,φ
は 後 者 で あ る.ま
た 部 分 空 間R−{a}に
とえ お
後 者 で あ る. 題9に
関 連 し て,i座
標 へ の 自 然 な 射 影pi:R2→Rに
よ
る 閉 集 合 の 像 は 必 ず し も 閉 集 合 と は 限 ら な い.
〔解 〕 R2の
閉 集 合{(x1,x2)│x1x2≧1}のpiに
よ る 像 はR−{0}で
あ り,
閉 集 合 で は な い. 例 題14.
Rの
(以 上) 閉 集 合Fが
上(下)に
有 界 な ら ば,Fに
は 最 大(小)数
が
あ る. 〔解 〕 ワ イ エ ル ス ト ラ ス の 公 理R2よ ば 定 理3.13の(2)よ 題1.9よ
りa=supFが
り
り
と な る ε>0が
と な るx∈Fが
矛 盾 で あ る.し
存 在 す る,
な ら
とれ る が,補
存 在 し,
た が っ てa=supF∈Fで
は
あ り,aはFの
最 大 数 で あ る. (以 上)
例 題15.
R2の
閉 集 合X1,X2で
f1(x)=f2(x)(x∈X1∩X2)で
定 義 さ れ た 連 続 写 像fi:Xi→Y(⊂R2)は あ る と す る.こ
f(x)=f1(x)(x∈X1), に よ り(一
意)写
〔解 〕 Yの
f(x)=f2(x)
像f:X1∪X2→Yが
任 意 の 閉 集 合Fに
fi−1(F)はXiの
のとき
定 義 で き る が,こ 対 し,fiは
閉 集 合 で あ る,(i=1,2).し
fi−1(F)(i=1,2)はR2の
(x∈X2)
閉 集 合 で あ る.ま
れ は 連 続 で あ る.
連 続 だ か ら 定 理3.16よ
り
た が っ て 仮 定 と 例 題9よ
り
たfの
定 義 よ り明 らか に
f−1(F)=f1−1(F)∪f2−1(F) だ か ら,こ 3.16よ
れ はA2よ
りfは
例 題16.
りR2の,し
た が っ てX1∪X2の
閉 集 合 で あ り,定
連 続 で あ る こ と が わ か る.
2.3例
題7と
同 様 に,R2の
部 分 空 間Xに
理
(以 上) 対 し,Xの
開 集 合U1,
U2で
を み た す も の は 存 在 し な い とき,Xは (ⅰ) Xが
連 結 で あ る た め に は,Xの
連 結 で あ る と い う. 閉 か つ 開 な 集 合 は φ とXに
限るこ
と が 必 要 十 分 で あ る. (ⅱ) Xが 結 であ る .
連 結 な らば,連 続 写 像f:X→Y(⊂R2)に
よ る 像f(X)も
連
〔解 〕 (ⅰ)
UがXの
閉 か つ 開 な 集 合 で あ る こ と は,UとX−UがX
の 開 集 合 で あ る こ と と 同 値 だ か ら 明 ら か. (ⅱ) 2.4例 例 題17.
題5の
解 と ま っ た く同 様 に 示 さ れ る.
X(⊂R2)に
対 し,閉
た は そ の 像l(I)をXの (ⅰ) Xの
区 間I=[0,1]か
ら の 連 続 写 像l:I→Xま
点l(0)とl(1)を
弧l,l′
(以 上)
結 ぶ 弧 と い う.
でl(1)=l′(0)を
み た す も の に 対 し,
l″(t)=l(2t)(0≦t≦1/2), l″(t)=l(2t−1)(1/2≦t≦1) に よ っ てlとl′
を つ な い だ 弧l″:I→Xが
(ⅱ) x=(x1,x2),y=(y1,y2)を
定 義 さ れ る.
結 ぶ線 分
xy={(sx1+ty1,sx2+ty2)│0≦t=1−s≦1} は,xy⊂Xな
ら ばXの
折 線 はXの
弧 で あ る.
〔解 〕 (ⅱ) l″
弧 で あ る.し
た が っ て 有 限 個 のXの
の 連 続 性 は 例 題15よ
りた だ ち に 示 さ れ る.
(ⅱ) l(t)=((1−t)x1+ty1,(1−t)x2+ty2)で 明 ら か に 連 続 で,l(I)=xyで 例 題18.
X(⊂R2)の
す る と き,Xは
あ る.後
線分 を つ ない だ
定 義 さ れ る 写 像l:I→Xは 半 は これ と(ⅰ)に
任 意 の 点x,yに
対 し,xとyを
弧 状 連 結 で あ る と い う.弧
よ る.
(以 上)
結 ぶXの
状 連 結 なXは
弧 が存 在
連 結 で あ る.(連
結
で あ っ て も 弧 状 連 結 と は 限 ら な い こ と が 知 ら れ て い る.) 〔解 〕 Xは =X
連 結 で な い と 仮 定 す れ ば,Xの
,U1∩U2=φ
とyを
空 で な い 開 集 合U1,U2でU1∪U2
と な る も の が 存 在 す る.点x∈U1,y∈U2を
結 ぶ 弧lが
あ れ ば,U1∩l(I),U2∩l(I)は
で 互 に 交 わ らず,ま と こ ろ が2.3例
た 和 集 合 はl(I)で
題8よ
りIは
空 で な いl(I)の
あ る,し
連 結 だ か ら,こ
と る と き,x
た が っ てl(I)も
れ は 例 題16(ⅱ)に
開集 合 連 結 で な い. 反 す る. (以 上)
例 題19.
R2お
よ びR2−{a}(a∈R2)は
弧 状 連 結,し
〔解 〕 例 題17(ⅱ)と
上 の 例 題 よ り容 易 に 示 さ れ る.
例 題20.
集 合 と し て 対 等 で あ る が,同
RとR2は
〔解 〕 同 相 写 像
た が っ て 連 結 で あ る. (以 上)
相 で は な い.
が 存 在 す る と 仮 定 す る.こ
の と きf(a)=bと
す
れ ば,f(R2−{a})=R−{b}で −{b}は2
.3例
R2とRが
題7よ
あ る が,R2−{a}は り 連 結 で は な い.こ
上 の 例 題 よ り連 結 で,R
れ は 例 題16(ⅱ)に
対 等 で あ る こ と を 示 す に は,2.4例
R∼(0,1]だ
か ら,(0,1]×(0,1]∼(0,1]を
(0,1]を0で
な い数 字 を無 限 に含 む 無限 小 数
反 す る.
題10と1.3例
示 せ ば よ い.こ
題6よ
り
の た め 任 意 のa∈
a=0.a1a2…an…
で た だ1通 …
りに 表 わ し(た
の う ち0で
と え ば0.5=0.499…
と す れ ば よ い),a1,…,an,
ない ものを ak1,ak2,…,akn,…(k10を
の 被 覆{Vε(x)│x∈X}は,Xが る.し Xは
つ ぎ の よ うに 示 さ れ る. 固 定 す る と き,R2の
コ ン パ ク トだ か ら,Xの
た が っ て 有 界 で あ り,ま
(十 分)補
題3.20と
ε 近 傍 よ り な るX 有 限被 覆 を含 んで い
と な るx1,…,xnが た 定 理3.23よ 定 理3.24よ
し た が っ て 閉 集 合X(⊂[a1,b1]×[a2,b2])は
りXは
とれ る か ら,
閉 集 合 で あ る.
り[a1,b1]×[a2,b2]は
コ ン パ ク トで あ る.
定 理3.22よ
り コ ン パ ク ト で あ る.
(証終) 例 題5.
集 合 族Fが
F1,…,Fnは 空 間Xが
有 限 交 叉 性 を もつ とは,任
共 通 点 を も つ,す
な わ ち
で あ る,と
コ ン パ ク トで あ るた め に は,'Xの
つ 任 意 の 集 合 族Fは
意 の 有 限 個 のFの
共 通 点 を も つ,す
集合
き を い う.
閉 集 合 よ りな り有 限 交 叉 性 を も
な わ ち
で あ る'こ とが 必 要 十
分 で あ る. 〔 解 〕
な らば,ド
の 開 被 覆 で あ り,Xの
・モ ル ガ ン の公 式 よ り
有 限 被 覆
−U│U∈U′}はFの
はX
が 存 在 す れ ば{F1,…,Fn}={X
集 合 か らな り,
で あ る.し た が って 条
件 は 必 要 で あ り,十 分 で あ る こ と も同 様 に 示 され る. 例 題6.
(カ ン トル の 共 通 部 分 定 理)Xは
合 の 列F1,F2,…,Fn,…
(以上)
コ ンパ ク ト とす れ ば,Xの
でFn⊃Fn+1(n∈N)な
る も の は 共 通 点 を もつ.
〔 解 〕 上 の 例 題 よ りた だ ち に え られ る. 例 題7. る.こ
X(⊂R2)を
(以上)
コ ンパ ク ト集 合 と し,UをXの
任 意 の開 被 覆 とす
の とき 適 当 な 正 数 ρ を,A(⊂X)が
な ら ばAはUの1つ うな ρ>0をUの 〔解 〕 各x∈Xに る ε(x)を ら,有
閉集
の 集 合 に 含 ま れ る,よ ル ベ ッ ク(Lebesgue)数 対 しxを
限 個 のx1,…,xn∈Xが
し た が っ て 例 題8.
3.2例
続 写 像f:X→Y(⊂R2)は
の と きXは
コ ン パ ク トだ か と な る が,
δ(A)n0の
とき
が 成 り立 つ か ら,(2.7)よ
り{an}は
基 本 列 で あ る こ と が わ か る.し
定 理2.9よ
り数 列{an}は
収 束 し,上
のdは
こ のdに
つ い てD1,D2は
+│yn−zn│よ
た が って
定 義 で き る.
明 らか に 成 り立 ち,D3も│xn−zn│≦│xn−yn│
り容 易 に 確 か め る こ と が で き る.
(以上)
距 離 空 間(X,d)が
与 え られ た と き,Xの
函 数d:X×X→Rの
dで
対 して 距 離
制限
は 明 らか にA上 を(X,d)の
任 意 の 部 分 集 合Aに
の 距 離 函 数 とな る.こ
の と き え られ る 距 離 空 間(A,d│A×A)
部 分 距 離 空 間 ま た は 単 に 部 分 空 間 と い い,普
通d│A×Aは
単に
表 わ さ れ る.
有 限 個 の 距 離 空 間(X1,d1),…,(Xn,dn)が =X1×
…
×Xnに
与 え ら れ た と き,直
積 集 合X
おい て
d(x,y)=((d1(x1,y1))2+…+(dn(xn,yn))2)1/2 (x=(x1,…,xn),y=(y1,…,yn)∈X)と
定 め る と き,こ
離 函 数 で あ る こ と が 示 さ れ る.こ
D2よ
関 し てD1,D2が
…
×(Xn,dn)と
成 り立 つ こ と はdi(i=1,…,n)に
りた だ ち に 示 さ れ る.ま
の距
の 距 離 空 間(X,d)は(X1,d1),…,(Xn,dn)
の 直 積 距 離 空 間 と よ ば れ,(X,d)=(X1,d1)× 上 のdに
のdはX上
たD3が
も 表 わ さ れ る.
成 り立 つ こ と は ,定
つ い て のD1, 理4.1のD3の
証
明を ai=di(xi,yi),bi=di(yi,zi)(i=1,…,n) と お い て 行 なう と き,最
後 の 等 式 をdiに
つ い て のD3の
不 等式
di(xi,zi)≦ai+bi(i=1,…,n) に お き か え る だ け で 証 明 さ れ る. 距 離 空 間(X1,d1)と(X2,d2)の
間 の全単 射 f:X1∼X2
が 距 離 を か えな い と き,す
なわ ち d1(x,y)=d2(f(x1),f(x2))
が 成 り立 つ と き,fを X2を
等 距 離 写 像 と い う.こ
同 一 視 し てX1=X2と
m0に
対
し て,Xの
部 分 集合
を そ れ ぞ れaを ま たXの る と き,有
中 心 と す る 半 径rの 部 分 集 合
開 球 体,球
体,球
は,A⊂Br(a)と
面 と い う.
な るa∈Xとr>0が
とれ
界 で あ る と い う.
こ の と き,公 理R2に
よ り存 在 す る 上 限
δ(A)=sup{d(x,y)│x∈A,y∈A} を 集 合Aの δ(A)=∞
直 径 とい う.Aが
有 界 で な い とき
と表 わ す こ と も あ る.
直 径 に 関 しつ ぎ の 公 式 が 成 り立 つ. (4.2)
は た だ1点 か らな る.
(4.3) (4.4)
実 際,(4.2)は(1.27)と
直 径 の 定 義 よ り 明 らか で,距
用 い る と き,δ(A)=0は'各x,y∈Aに 同 値 だ か ら(4.3)が
対 し δ(x,y)=0,す
離 函 数 の 条 件D1を な わ ちx=y'と
成 り立 つ.
ま た 任 意 のx,y∈A∪Bに
対 し,こ
れ らが と も にAま
た はBに
属 すれば
明 らか に
で あ り,x∈A,y∈Bの
と き も 三 角 不 等 式 よ り
(z∈A∩B)と が わ か り,(4.4)も
な り上 式 が 成 り 立 つ.し
た が っ て
成 り立 つ.
例 題15. 〔解 〕 は じ め の しD4よ れ る.
り
≦
は(4.2)に
よ る.つ
ぎの ≦
は,各x,y∈Br(a)に
対
が 成 り立 つ こ と か ら 示 さ (以 上)
例 題16.
n次
元 実 空 間Rnに
て 成 り立 つ が,一
おい て は上 の 例題 は
≦
を 等 号=で
お きか え
般 に は 必 ず し も 等 号 が 成 り立 つ と は 限 ら な い.
〔解 〕 等 号 の 成 り立 た な い 例 は,た
と え ば 例 題4の
離散 距 離 空間 に おい て見
ら れ る. Rnに
お い て は,Sr(a)(a=(a1,…,an))の2点(a1+r,a2,…,an),(a1
−r ,a2,…,an)の
距 離 は2rで
min{ε,r}/2と
あ る こ と,お
よ び 任 意 の ε>0に
対 し ε′=
お く と き,Vr(a)の2点 (a1+r−
の 距 離 は2r−2ε′
ε′,a2,…,an),
で2r−
(a1−r+ε′,a2,…,an)
ε よ り 大 き い こ と か ら,等
号 の 成 り立 つ こ と が わ
か る.
(以 上)
距 離 空 間Xに
お け る2点 の 距 離 は2集
距 離 に 一 般 化 され る.す 部 分 集 合
な わ ち,Xの
に 対 し,集 合Aと
合の 任意 の 集 合B
の 距離 を d(A,B)=inf{d(a,b)│a∈A,b∈B} に よ っ て 定 義 す る. 明 らか にD1,D2よ
り
(4.5) (4.6)
が 成 り立 つ が,(4.6)の た つ ぎ は(1.27)よ
逆 は 必 ず し も 成 り立 た な い(後
の 例 題20参
り明 らか で あ る.
(4.7)
と くに1点
か ら な る 集 合{x}に
対 して
d(x,A)=d({x},A)=inf{d(x,a)│a∈A} と 書 き,点xか 例 題17.
ら 集 合Aへ 任 意 のx,y∈X,
の 距 離 と い う. に対 し
│d(x,A)−d(y,A)│≦d(x,y). 〔解 〕 各 点a∈Aに
対 しd(x,A)−d(x,y)≦d(x,a)−d(x,y)≦d(y,a)だ
照).ま
か らd(x,A)−d(x,y)≦d(y,A)で と な る か ら,こ 例 題18.
の2つ
あ る.同
様 にd(y,A)−d(x,y)≦d(x,A)
を 合 わ せ て 求 め る 不 等 式 が え られ る.
任 意 の
(以 上)
に対 し
〔解 〕 点a∈A,b∈Bを
と れ ば,(4.4)を
用 い て つ ぎ の よ うに 示 さ れ る.
(以 上) 例 題19.
開 球 体Vr(a),球
体Br(a),球
面Sr(a)に
関 し,
とす る 〔解 〕 第1式
のは じめ の ≧
は(4.7)よ
り 明 ら か.y∈Br(a)な
よ りd(x,y)≧d(x,a)−d(y,a)≧d(x,a)−rと 第2式
も 同 様 で あ る.ま
たy∈Sr(a)な
−d(y ,a)│=│d(x,a)−r│で 例 題20.
Rnに
d(x,a)−r+ε
ら ば,例
あ り,第3式
題2よ
ぎ の ≧ が 成 り立 つ. りd(x,y)≧│d(x,a)
が 成 り 立 つ.
(以 上)
お い て は 次 式 が 成 り立 つ:
〔解 〕 x=(x1,…xn),
を 用 い る,(複
な る か ら,つ
らば,D3
y=(y1,….yn)∈Rn,
号 同 順).d(x,a)≧rの と な るy∈Vr(a)の
r∈Rに
と き,任
対 し,ベ
意 の ε>0に
存 在 を 示 せ ば,第1式
ク トル の 記 号
対 しd(x,y)≦ が わ か る .そ
のよ
う なyは y=a+(r− で 与 え ら れ る.実
ε′)(x−a)/d(x,a),ε′=min{ε,r}
際 こ の と きd(y,a)=r−
ε′0に
な らば
お け る)ε
中 心 とす る 半 径
εの 開 円板
d(y,x)0が
とれ る.実
際
お け ば よ い.
(ⅳ) 相 異 な る2点x,y∈Xに
対 しVε(x)∩Vε′(y)=φ
と れ る.実
お け ば よ い.
際 ε=ε′=d(x,y)/2と
証 明 (ⅰ) D1よ
りd(x,x)=00が
だ か らx∈Vε(x).
(ⅱ) 定 義 よ り 明 ら か. (ⅲ) z∈Vδ(y)な
ら ば,d(z,y)0に
し た が っ て
で あ る. T2:上
の 補 題 の(ⅳ)よ
り直 ち に え られ る.
(証 終)
例 題1. 〔解 〕 x∈Int
A⇔
あ る ε>0に
つ い て
あ る ε>0に
て.
(以 上)
例 題2.
Rnに
お い て,開
Int
ら ば 明 ら か にInt
例 題3. な るXの
Aな
か ら,第1式
は は じめ の等号
ら ば 上 の 例 題 よ りd(x,Rn−
りr−d(x,a)>0す た 第2式
な わ ちx∈Vr(a)が
も 同 様.
(以 上)
内 点 で あ る た め に は,x∈U⊂Aと
存 在 が 必 要 十 分 で あ る. らば
にx∈U⊂Aと
とな る
な る と き,開
と れ る か らx∈Int Aで
例 題4.
Bだ
集 合A(⊂X)の
開 集 合Uの
〔解 〕 x∈Int
ε>0が
が 成 り立 つ.ま
Int Sr(a)=φ.
Br(a)な
題20よ
点x∈Xが
面 に 関 し て 次 式 が 成 り 立 つ.
A⊃Int
にx∈Int
あ り,4.1例
わ か る か ら,第1式
体,球
Vr(a)=Vr(a),
を ⊃ と し て 成 り 立 つ.逆 Br(a))>0で
球 体,球
Br(a)=Int
〔解 〕 A⊃Bな
る.逆
つい
と れ る か ら必 要 で あ
集 合 の 定 義 よ り
とな る
あ る.
集 合A(⊂X)の
る 任 意 の 開 集 合UはInt
ε>0が
内 部Int Aに
(以 上) Aは
開 集 合 で あ り,さ
含 ま れ る.す
な わ ちInt
らにAに
AはAに
含 まれ
含 まれ る最
大 の 開 集 合 で あ る. 〔解 〕 x∈Int 点y∈U(⊂A)は
Aな
ら ば,x∈U⊂Aと 上 の 例 題 よ りy∈Int
な る 開 集 合Uが Aだ
っ て ふ た た び 上 の 例 題 よ りx∈Int(Int A)が Int Aは
開 集 合 で あ る.ま
た 開 集 合U(⊂A)は
存 在 し,こ
か ら,U⊂Int
Aで
わ か る か らInt
距 離 空 間Xの
任 意 の 部 分 集 合
あ る.し
A=Int(Int
たが A)で,
上 に 示 さ れ た よ う にU⊂Int
と な る か ら後 半 も 成 り 立 つ. 例 題5.
の とき各
(以 上) に対 し
A
は 開 集 合 で あ る.Vε(A)を
集 合Aの
ε 近 傍 と い うこ とが あ る.
〔解 〕 で あ る こ と を 示 せ ば,O3よ ≦d(x,a)だ
り こ れ は 開 集 合 で あ る.a∈Aな
か ら
で あ り,し
逆 に 任 意 のx∈Vε(A)に 1.9の(2)よ
た が って
対 し,
りd(x,a)0に
対 し ア ル キ メ デ ス の 性 質 よ り ε>1/nと
な るn∈Nを
とれ ば,
が 成 り立 つ こ とか ら上 の 定 理 の 証 明 と同 様 に 示 され る. (以上) 距 離 空 間X=(X,d)の
任 意 の 部 分 集 合Aは
部 分 距 離 空 間(A,d)と
こ の と き,そ れ らの 開 集 合 の 間 に は 定 理3.1(ⅲ)と
な る.
同様に つ ぎの定理 が 成 り
立 つ. 定 理4.5
距 離 空 間Xお
お よ びO(A)の
よ び そ の 部 分 距 離 空 間Aの
開 集 合 の 全 体〓(X)
間 に 次 式 が 成 り立 つ:
証 明 x∈Aの
部 分 距 離 空 間Aに
お け る ε近 傍 は
で あ る こ とに 注 意 す れ ば,開 集 合 の 定 義 よ り定 理2.13の
証 明 を そ の ま ま適 用
して 証 明 さ れ る. 例 題7.
(証終)
B⊂A⊂Xと
内 点 で あ れ ば,xは
す る と き,点x∈Aが
部 分 距 離 空 間Aの
距 離 空 間Xの
部 分 集 合Bの
部 分 集 合Bの
内 点 で あ る が,こ
の逆 は
必 ず し も成 り立 た な い. 〔解 〕 Vε(x)⊂Bな
らば
逆 の 成 り立 た な い 例 は,R2に R=R×{0}で
だ か ら前 半 が 成 り立 つ. お け る(a,b)=(a,b)×0の
考 えれ ば(a,b)の
内 部 は(a,b)で
内 部 は φ で あ る が,
あ る,((a,b)はRの
開 区 間). (以上)
例 題8.
B⊂A⊂Xと
で あ る.ま たAがXの で あ る が,こ
す る と き,BがXの
開 集 合 な らば.BはAで
開 集 合 の と き はBがAの
も開
開 集 合 な らばXで
も開
れ は 一 般 に は 必 ず し も成 り立 た な い.
〔 解 〕 上 の 定 理 とO2に
よ る.成
り立 た な い 例 は 上 の 例 題 の 解 に 見 られ る. (以上)
直 積 距 離 空 間 の 開 集 合 に つ い て は,定 理3.2と
同 様 な つ ぎ の定 理 が 成 り立
つ.
定 理4.6
距 離 空 間X1,X2の
直 積 距 離 空 間X1×X2に
対 し,集 合U(⊂X1
×X2)がX1×X2の
と な るXiの
開 集 合 で あ る た め に は,各
開 集 合Ui(i=1,2)の
点x∈Uに
とれ る こ とが 必 要 十 分 で あ る .
し た が っ て 証 明 Xiの
対し
はX1×X2の 距 離 函 数 をdi(i=1,2),
X=X1×X2の
開 基 で あ る.
そ れ をdと
す る.直
積
距離 空間 の定 義 よ り (4.8)
di(xi,yi)≦d(x,y)≦d1(x1,y1)+d2(x2,y2)
(x=(x1,x2), y=(y1,y2)∈X)が
(i=1,2)
成 り立 つ か ら,各
ε>0に
対 し(3.4)と
様 な包 含 関係
(x=(x1,x2)∈X)が UをXの
成 り立 つ. 開 集 合 と す れ ば,x∈Uの
存 在 し,上
と きVε(x;X)⊂Uと
式 よ りUi=Vε/2(xi;Xi)(i=1,2)と
な る
ε>0が
し て
が 成 り立 つ. 逆 に 条 件 が 成 り立 て ば,Vεi(xi;Xi)⊂Uiと {ε1,ε2}と お け ば 上 式 と 補 題4.2(ⅱ)よ
と な る か ら,定 義 よ りUはXの
な る εi>0が
存 在 し,ε=min
り
開 集 合 で あ る.
後 半 は 前 半 よ り容 易 に 示 され る. 例 題9.
距 離 空 間X1,…,Xnの
を 開 基 と して も つ.こ
(証終) 直 積 距 離 空 間X1×
… ×Xnは
の 形 の 集 合 は 初 等 開 集 合 と よば れ る.
〔解 〕 上 の 証 明 を 一 般 化 す る こ と は 容 易 で あ る. 例 題10. n次 はRnで
元 実 空 間Rnの
有 理 点(各 座 標 が 有 理 数 の も の)の
(以上) 集 合Qn
稠 密 で あ る.
〔解 〕 上 の 例 題 と2.1例 例 題11. Rnは 開 基 に もつ
題9よ
り明 らか.
可 算 個 の 集 合 か らな る 族{Vq(a)│a∈Qn,q∈Q,q>0}を
(以上)
同
〔解 〕 上 の 例 題 と 定 理4.4よ こ と は1.4の
例 題13,8に
例 題12.
り,上
の 族 は 開 基 で あ る.そ
れが可 算 で ある
よ る.
(以 上)
ヒ ル ベ ル ト の 平 行 体INは,集
合族
を 開 基 と して も つ. 〔解 〕 INの
開 集 合Uと
と な る ε>0を
と る.こ
の ε に 対 し て1/2n→0だ
の と き,INに
お け る 距 離dの
が と れ る.こ
そ の 点x=(x1,…,xn,…)に
∈INが│yi−xi│0) と お く.こ
の と きd(y,x)0を
対 し
の 距 離 函 数d1,d2が
(以上) 定 義 さ れ て お り,そ れ らの 定 義 互 に 同 値 で あ る と い う. 同 値 で あ る た め に は,各 点x∈X
と な る よ うに とれ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.こ に 関 す るxの
だ か ら,第1式
関 す る 開 集 合Vε(x;d1)(∋x)はd2に
つ い て も開集 合
が 成 り立 つ よ う な δ が 存 在 し,第2式
(十 分)U(⊂X)をd1に
の 距 離d1,d∞
す れ ば ε 近 傍Vε(x;
の と き 条 件 よ りVδ(x;d2)⊂Vε(x;d1)⊂Uと
が と れ る か ら,Uはd2に Rnに
も 同 様 で あ る.
関 す る 開 集 合 と し,x∈Uと
とれ る.こ
例 題13.
距 離 函 数di
ε 近 傍 を 表 わ す(i=1,2).
証 明 (必 要)d1に
d1)⊂Uが
こ にVε(x;di)は
つ い て も 開 集 合 で あ る.も
な る δ>0
う一 方 も 同 様. (証 終)
お い て 定 義 さ れ た ユ ー ク リッ ドの 距 離dお
よ び4.1例
題5
は す べ て 互 に 同 値 で あ る.
〔解 〕 4.1例
題6の
不 等 式 よ り,ε>0に
対 し
で あ る こ と が わ か る か ら,上
の 定 理 よ り求 め る 結 果 が 得 られ る.
例 題14.
お け る ユ ー ク リ ッ ドの 距 離 と,In=In×{0}⊂IN
In(I=[0,1])に
(0=(0,…,0,…))と
ヒ ル ベ ル トの 平 行 体INの
(以 上)
部 分 集 合 と考 え た と き の 距
離 は 同 値 で あ る. 〔解 〕 例 題9,12と
定 理4.5よ
り,ど
ち ら の 距 離 に よ っ て もInの
基 が と れ る こ と か ら 明 らか. 例 題15.
任 意 の 距 離 空 間(X,d)に
(以 上) 対 し
d′(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y)) で 定 義 さ れ るd′:X×X→Rはdと
同 じ開
(x,y∈X)
同 値 な 距 離 函 数 で,d′
に 関 しXは
有界
で あ る. 〔解 〕 d′ に つ い て の 距 離 函 数 の 条 件D1,D2は よ うに 示 さ れ る.r1=d(x,y), r2=d(y,z), +r2≧r3だ
明 らか で あ り,D3は r3=d(x,z)(≧0)と
つ ぎの
お け ば,r1
か ら
ま たt′=t/1+t(t∈R)で
与 え られ る 函 数t′
はt=0で
連 続 だ か ら,ε>0に
対 し
と な る δ′>0が
を 示 す.同
様 にt=t′/1−t′(t′
存 在 し,こ
れ は
∈R)はt′=0で
と な る δ>0が
連 続 だ か ら,ε>0に
存 在 し,上
の 定 理 よ りdとd′
対 し は同値
で あ る. d′ に 関 しXが
有 界 で あ る こ と はd′(x,y)0が
存 在 し,し
な らば,補
た が っ てyは{x}の
りA1,A2,A3が 題4.2(ⅳ)よ 触 点 で は な い.し
た が っ て{x}={x}. 例 題1.
り
(証 終)
x∈A⇔d(x,A)=0.
〔解 〕
(補 題4.8)⇔d(x,A)=0(4.2例
題1). (以 上)
例 題2.
距 離 空 間Xの
開 球 体,球
体,球
面 に 関 し つ ぎ が 成 り立 つ.
Br(a)=Br(a)⊃Vr(a),Sr(a)=Sr(a). し た が っ て 球 体Br(a),球 〔解 〕 x∈Br(a)な 題19よ
面Sr(a)はXの
閉 集 合 で あ る.
ら ば 上 の 例 題 よ りd(x,Br(a))=0,し
りd(x,a)−r≦0,す
な わ ちx∈Br(a)と
た が っ て4.1例
な る か ら,Br(a)=Br(a).
ほ か も ま っ た く 同 様 に 示 さ れ る. 例 題3.
Rnに
お い て はVr(a)=Br(a),Rn−Sr(a)=Rnで
〔解 〕 上 の 例 題 と 同 様 に4.1例 例 題4.
(以 上)
題20よ
離 散 距 離 空 間Xに
あ る.
り示 さ れ る.
対 し て は,そ
(以 上)
のす べ て の部 分集 合 は 閉 か つ 開
で あ る. 〔解 〕 x∈Xと 開 で あ る.し り,X−Aも 例 題5. わ ちAを
す れ ば,Xの
距 離 の 定 義 よ りV1(x)={x}だ
た が っ てO3よ
り任 意 の
開 だ か らAは
閉 で あ る.
集 合Aの
閉 包AはAを
含 む 最 小 の 閉 集 合 で あ る.
か ら{x}はXで はXで
開 であ (以 上)
含 む す べ て の 閉 集 合 の 共 通 部 分,す
な
〔解 〕 4.2例 例 題6.
題4と
上 の 定 理 の(ⅰ)よ
り 明 ら か.
(以 上)
閉 包 に 関 し つ ぎ が 成 り立 つ.
K1: K3:A⊃A,
K4:A=A.
〔解 〕 K1はA1よ
り,K2′
は 上 の 例 題 よ りAが A∪BはA2よ
は 定 義 よ り明 らか で,K3は
閉 集 合 だ か ら 成 り立 つ.ま
たK3よ
り閉 集 合 だ か ら上 の 例 題 よ りK2″
例 題7.
上 で 示 さ れ た.K4 りA∪B⊂A∪Bで,
が 成 り立 つ.
(以 上)
閉包 に関 し
が 成 り立 つ が,後 〔解 〕 K2′
者 で は 必 ず し も 等 号 が 成 り立 つ と は 限 ら な い.
よ りA∩B⊂A,B⊂A∪Bが が 成 り立 つ.こ
わ か る か ら,
れ とK2″
後 者 で 等 号 の 成 り立 た な い 例:例
よ り前 者 の 等 号 が 示 さ れ る.
題2,3よ
りRnに
おいて (以 上)
部 分 距 離 空 間,直 定 理4.10
積 距 離 空 間 の 閉 集 合 に つ い て は つ ぎ の 定 理 が 成 り立 つ.
距 離 空 間Xと
そ の 部 分 距 離 空 間Aに
対 し,
A(A)={F∩A│F∈A(X)}. 証 明 定 理4.9(ⅰ)と 定 理4.11
定 理4.5よ
距 離 空 間X1,X2の
集 合Fi(i=1,2)の
り明 らか.
(証 終)
直 積 距 離 空 間X1×X2に
直 積F1×F2はX1×X2の
つ い て,Xiの
閉
閉 集 合 で あ る.
証 明 定 理4.6,4.9(ⅰ)とX1×X2−F1×F2=(X1−F1)×X2∪X1×(X2− F2)よ
りた だ ち に 示 さ れ る.
例 題8.
B⊂A⊂Xと
す る と き,点x∈Aが
触 点 で あ る こ と と 部 分 距 離 空 間Aの あ る.し
た が っ てXに
(証 終) 距 離 空 間Xの
部 分 集 合Bの
関 す る 閉 包 をBと
す れ ばAに
部 分 集 合Bの
触 点 であ る こ とは同 値で 関 す る 閉 包 はB∩A
で あ る. 〔解 〕 閉 包 の 定 義 とVε(x;A)=Vε(x;X)∩Aよ
り た だ ち に 示 さ れ る.
(以 上) 例 題9.
4.2例
題8は'開'を'閉'に
例 題10.
距 離 空 間Xの
か え て 成 り立 つ.
直 積X2=X×Xの
対 角 線ΔX={(x,x)│x∈X}
は 閉 集 合 で あ る. 〔解 〕
な ら ば 補 題4.2(ⅳ)よ
る ε,ε′>0が か ら,定
と れ る が,こ
とな る
りΔXはX2の
上 に 定 義 さ れ た 内 点,触
がAと
とな
の と き
理4.6,4.9(ⅰ)よ
距 離 空 間Xの
り
閉 集 合 で あ る.
(以 上)
点 と 同 様 に つ ぎ の種 々 の 点 が 考 え られ る.
部 分 集 合Aと
交 わ らな い と き,す
点x∈Xに な わ ちxが
つ い て,xの 補 集 合X−Aの
あ る ε 近 傍Vε(x) 内 点 の と き,xをA
の 外 点 と い う. x∈Xの
任 意 の ε 近 傍 がAお
x∈A∩X−Aの
と き,xをAの
ま たx∈Xの
任意 の
るRに
なわ ち
異 な るAの
点 を 少く と も1つ
含 む と き,
と き,xをA
の 集 積 点 と い う.こ ε 近 傍 がAの
共 通 点 を も つ と き,す
境 界 点 と い う.
ε 近 傍 がxと
す な わ ちx∈A−{x}の
き,と
よ びX−Aと
れ が,xの
任意 の
点 を 無 限 に 多 く含 む と
し て も よ い こ と は,2.2に
おけ
対 す る証明 とま った く同 様に
示 さ れ る.
さ らにx∈Aで
そ の あ る ε 近 傍 が 含 むAの
な わ ちx∈AでxがAの 集 合Aの ぞ れAの
外 点,境 外 部,境
例 題11. Aの
点 はxだ
け で あ る とき,す
集 積 点 で は な い と き,xをAの
孤 立 点 とい う.
界 点 お よび 集 積 点 の 全 体 が つ く るXの
部 分 集 合 をそれ
界 お よ び 導 集 合 とい う.
外 部,境
界 をAe,Afで
表 わ せば 次 式 が 成 り立 つ:
Ae=Int(X−A)=X−A, Af=A∩X−A=A−IntA=X−IntA−Ae. 〔 解 〕 定 義 と補 題4.8よ
りた だ ち に 示 され る.
(以上)
例 題12.
x∈Ae⇔d(x,A)>0, x∈Af⇔d(x,A)=d(x,X−A)=0.
〔解 〕 定 義 と4.2例 例 題13.
Rnに
題1お
よ び 例 題1よ
り明 らか.
(以 上)
おいて (Vr(a))f=(Br(a))f=(Sr(a))f=Sr(a).
例 題14.
距 離 空 間 に お い て,あ
る 集 合 の 外 部 は 開 集 合 で,境
界 は閉集 合 で
あ る. 〔解 〕 例 題11,4.2例 例 題15.
題4お
A(⊂X)が
よ び 例 題5とA3よ
り示 さ れ る.
閉 集 合 で あ る た め に は,Aが
(以 上)
そ の集積 点 を す べ て含
む こ と が 必 要 十 分 で あ る. 例 題16. で あ り,し
Aの
導 集 合 をA′
た が っ てA′
〔解 〕 x∈(A′)′ が で き る.さ y∈A′
の 導 集 合(A′)′
は(A′)′ ⊂A′
は 閉 集 合 で あ る.
な ら ば,任
意 の ε>0に
らに 補 題4.2(ⅱ)よ
だ か らVδ(y)∩Aは
うで,x∈A′
で 表 わ す と き,A′
対 し 点y∈Vε(x)∩A′
りVδ(y)⊂Vε(x)と
無 限 集 合,し
を とるこ と
な る δ>0を
とれ ば,
た が っ て そ れ を 含 むVε(x)∩Aも
が わ か る.
(以上)
つ ぎ に 点 列 の 収 束 を 考 え よ う.距 す な わ ち 点 列{xn}が
そ
点x∈Xに
の と き と 定 義 さ れ る,(定
離 空 間Xの
点 の 列x1,x2,…,xn,…,
収束す るの は
理3.8参
照).こ
の とき
また は
と 書 き,xを
点 列{xn}の
任 意 の 点 列{xn}は あ る.実
極 限 と い う.
収 束 す る と は 限 ら な い が,収
際xn→x,xn→yで
≦d(xn,x)+d(xn,y)よ
束 す れば 極 限 は た だ1つ
あ れ ば,d(xn,x)→0,d(xn,y)→0とd(x,y) りd(x,y)=0,し
た が っ てD1よ
つ ぎ の 定 理 は 補 題3.11,定
理3.13の
定 理4.12
そ の 部 分 集 合Aに
距 離 空 間Xと
りx=yと
な る.
一 般 化 で あ る. つ い て つ ぎ が 成 り 立 つ.
で
(ⅰ) x∈Aで
あ る た め に は,Aの
あ る 点 列 でxに
収 束す る もの の存在 が
必 要 十 分 で あ る.
(ⅱ) AがXの
x∈Aで
閉 集 合 で あ る た め に は,Aの
は(ⅰ)よ
は 補 題3.11の
証 明 と ま っ た く 同 じ よ うに 証 明 で き る.(ⅱ)
りた だ ち に 得 られ る.
例 題17.
(ⅰ)
(ⅱ) xn→xな (ⅲ)
(証 終)
xn=x(n>n0)な
ら ばxn→x.
ら ば{xn}の
任 意 の 部 分 列{xkn}もxkn→x.
点 列{xn}と1点xにつ
い て,{xn}の
任 意 の 部 分 列{xkn}が
収 束 す る 部 分 列 を も つ な ら ば{xn}はxに
〔解 〕 (ⅰ)は(2.2)よ 2.2例
題6を
例 題18. {xn}に
(ⅰ)
り 明 ら か で,(ⅱ),(ⅲ)は
x∈IntAで
{xn}でxに
な るn0∈Nの
収 束 す るXの
任 意 の点 列
とれ る こ と が 必 要 十 分 で あ る. 異 な る 点 よ り な るAの
点列
収 束 す る も の の 存 在 が 必 要 十 分 で あ る. 弧 立 点 で あ る た め に は,xに
対 しxn=x(n>n0)と
〔解 〕 (ⅰ)条
な るn0∈Nの
件 の 否 定 は'xに
小 さ い 順 にk10
に 対 応 して δ>0を (4.9) とな る よ うに 選 ぶ こ とが で き る'と き と定 義 さ れ る,((2.10)お 照).こ
こ に は じめ のdはXの,後
のdはYの
の な い と き は この よ うに 距 離 は 同 じ文 字dで ε 近 傍 を 用 い れ ば,(4.9)は
よ び(3.7)参
距 離 で あ り,混 乱 の 恐 れ 表 わ す こ とに す る.
次 式 と 同 値 で あ る:
(4.9)′ ま た 写 像f:X→Yは
各 点x∈Xで
連 続 の と き,(Xで)連
続 で あ る とい
う. い ま ま で に 定 義 され た 開 集 合,閉 理3.5,3.12,3.16は 定 理4.13
(2)
Yの
(2)′ Yの
列 の 収 束 の 概 念 を 用 い る と き,定
つ ぎ の 一 般 な 形 の 定 理 に ま と め られ る.
距 離 空 間X,Yに
(1) f:X→Yは
集 合,点
お い て,つ
ぎ の 命 題 は 互 に 同 値 で あ る:
連 続 写 像 で あ る.
任 意 の 開 集 合Uに
開 基O*(Y)が
(3)
Yの
(4)
任 意 のA(⊂X)に
対 しf−1(U)はXで
与 え られ た と き,
任 意 の 閉 集 合Fに
対 しf−1(F)はXで
対 して f(A)⊂f(A),
こ こ に 左,右
の‐
開 で あ る.す な わ ち
は そ れ ぞ れX,Yに
お け る 閉 包.
閉 で あ る.す な わ ち
(5)
Xの
f(x)∈Yに
点 列{xn}がx∈Xに
収 束 す れ ば,Yの
点 列{f(xn)}は
収 束 す る.
証 明 (1)⇔(2):定
理2.11の
(2)⇔(2)′:(2)⇒(2)′
証 明 が そ の ま ま 適 用 さ れ る.
は 明 らか で,(2)′
U∈O(Y)がO*(Y)の
⇒(2)は
開 基 の 定 義 よ り任 意 の
集 合 の 和 集 合 し て 表 わ さ れ る こ と とO3よ
りた だ ち
に 示 さ れ る. (2)⇔(3):定
理4.9(ⅰ)を
用 い る と き,f−1(Y−B)=X−f−1(B)で
あ る
こ と か ら 明 らか. (1)⇒(5):定
理2.10の
必 要 の 証 明 が そ の ま ま 適 用 さ れ る.
(5)⇒(4):定
理4.12(ⅰ)を
(4)⇒(3):F∈A(Y)に =f−1(F)だ
用 い る と き 容 易 に 示 さ れ る. 対 し,(4)よ
か ら,f−1(F)∈A(X)で
りf−1(F)⊂f−1(f(f−1(F)))⊂f−1(F) あ る.
(証 終)
こ の 定 理 よ り連 続 写 像 に つ い て の つ ぎ の 基 本 性 質 が 示 さ れ る. 定 理4.14
X,Y,Zは
距 離 空 間 とす る.
(ⅰ) f(X)={y0}(y0∈Y)で (ⅱ) XがYの部
あ る 定 値 写 像f:X→Yは
分 距 離 空 間 の と き,包
と く に 恒 等 写 像1X:X→Xは
と き(ⅱ)に
含 写 像i:X⊂Yは
連 続 で あ る.
連 続 で あ る.
(ⅲ) 連 続 写 像f:X→Y,g:Y→Zの 証 明 定 理2.16の
連 続 で あ る.
合成g°f:X→Zは
証 明 と同 様 に 上 の 定 理 の(2)を
つ い て は 定 理4.5が
用 い て も 容 易 に 示 さ れ る(詳
連 続 で あ る.
用 い られ る)が,上
用 い て 示 さ れ る(こ の の 定理 の ほ か の 命 題 を
し く は 読 者 に ま か せ よ う).
ま た 直 積 距 離 空 間 に つ い て は つ ぎ の 定 理 が 成 り立 つ.(系3.3,3.1例 参 照). 定 理4.15
(ⅰ)
直 積 距 離 空 間 か らの 自 然 な 射 影
pi:X1×X2→Xi,pi((x1,x2))=xi((x1,x2)∈X1×X2) は 連 続 で あ る. (ⅱ) 距 離 空 間Yか
ら 直 積 距 離 空 間X1×X2へ
連 続 で あ る た め に は,射 影 と の 合 成
の 写 像f:Y→X1×X2が
(証 終) 題16
pi°f:Y→Xi
(i=1,2)
は 連 続 で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る. (ⅲ)
連 続 写 像fi:Xi→Yi(i=1,2)の
直積
f1×f2:X1×X2→Y1×Y2 も 連 続 で あ る. 証 明 (ⅰ) 定 理4.13の(2)と (ⅱ) fが
定 理4.6よ
連 続 な ら ば,(ⅰ)と
逆 は 定 理4.13の(2)′ ×U2)∈O(Y)を
り明 らか.
上 の 定 理 の(ⅲ)よ
と定 理4.6よ
りpi°fは
連 続 で あ る.
り,Ui∈O(Xi)(i=1,2)に
示 せ ば よ い が,f=(p1°f,p2°f)だ
対 しf−1(U1
か ら(1.23)よ
り
f−1(U1×U2)=(p1°f)−1(U1)∩(p2°f)−1(U2) で あ り,pi°f(i=1,2)が (ⅲ) が,こ
(ⅱ)よ
連 続 な ら ばO2よ
りpi°(f1×f2):X1×X2→Yiが
れ は 合 成fi°pi:X1×X2→Xi→Yiと
理 の(ⅲ)よ
り こ れ はYの
開 集 合 で あ る.
連続 で あ るこ とを示 せ ば よい 等 し く,仮
定 と(ⅰ)お
よび 上 の 定
り連 続 で あ る.
例 題1.
(証 終)
写 像f:X→YとYの
でf=i°f′(i:Y′
⊂Y)を
部 分 距 離 空 間Y′ み た す も の に つ い て,そ
へ の 写 像f′:X→Y′
の 一 方 が 連 続 な らば 他 方 も
そ うで あ る. と く に 連 続 写 像f:X→YをYの f(X)と
部 分 距 離 空 間f(X)へ
の 全 射f:X→
考 え て も 連 続 で あ る.
〔解 〕 f′ が 連 続 な ら ば,合 任 意 のU′
∈O(Y′)に
成f=i°f′
対 し 定 理4.5よ
も そ うで あ る.ま りU′=U∩Y′
たfが
連 続 な らば,
と な るU∈O(Y)を
と る と き,
が 成 り立 つ か ら,f′ も 連 続 で あ る. 例 題2.
連 続 写 像f:X→Yの
(以上)
部 分 距 離 空 間A⊂Xへ
の 制 限f│A:A→Y
も 連 続 で あ る. 〔 解〕 f│Aは 例 題3.
包 含 写 像A⊂Xとfの
距 離 空 間Xの
合 成 だ か ら.
距 離 函 数d:X×X→Rは
連 続 で あ る.
(以上)
〔解 〕 4.1例
題2と(4.8)の
不 等式
│d(x1,x2)−d(y1,y2)│≦d(x1,y1)+d(x2,y2)≦2d(x,y) (最 後 の 項 は2点x=(x1,x2),y=(y1,y2)の 距 離)を
用 い れ ば,連
例 題4. d(x,A)を
直 積 距 離 空 間X×Xに
続 の 定 義 よ り 明 らか.
距 離 空 間Xと
お け る (以上)
そ の 部 分 集 合Aに
対 し,x∈XにAと
の距 離
対応 させ る写像 f:X→R,f(x)=d(x,A)(x∈X)
は 連 続 で あ る. 〔解 〕 4.1例
題17の
不 等 式 を 用 い れ ば,連
続 の 定 義 よ り明 らか で あ る. (以 上)
例 題5.
上 の 例 題 よ り,実
数r1,r2に
の 開 集 合 で,{x│r1≦d(x,A)≦r2}は 例 題6. し,連
距 離 空 間Xと
対 し集 合{x│r10に
の
か ら容 易 にg(X)⊂
連 続 性 を 示 せ ば よ い. の と きxの
あ る ε 近 傍 でgはfと
等 しい
連 続 で あ る.
と き:h(x)=inf{f(y)d(x,y)│y∈A}(x∈X−A)と
け ば,g(x)=h(x)/d(x,A)(x∈X−A)で h:X−A→Rの
か ら定 義 で き る .こ
あ り,分
お
母 は0で
な く連 続 だ か ら,
連 続 性 を 示 せ ば よ い. 対 し δ=min{d(x,A),ε/3}と
対 しd(x,y)n0)と
対 応 し てn0∈N
収 束 す る 点 列{xn}の な るn0∈Nを
き,基
極 限 をxと
本 列 で あ る と い う. し て,ε>0に
対 しd(xn,x)0に
対 し(5.1)が
完 備 で あ る.
対 し,xn=(xn1,xn2)(n∈N)と
成 り立 つ よ う なn0∈Nを
す
選 ぶ と き,(4.8)
の不 等式 よ り
が 成 り立 つ か ら,{xni}はXiの 収 束 す る か ら,そ
基 本 列 で あ る(i=1,2).し
の 極 限 をyi∈xiと
d(xni,yin0)と
す る(i=1,2).こ
な るn0∈Nを
が 成 り立 つ か らxn→y=(y1,y2)∈X1×X2で 系5.3
n次
例 題1.
元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnは
とれ ば,(4.8)の
た が っ て{xni}は の と き ε>0に
不 等式 の 後半 よ り
あ る.
距 離 空 間 の 間 の 一 様 連続 写 像 に よ っ て 基 本 列 は 基 本 列 に 写 され る.
〔 解 〕 Rは
(以上)
完 備 な 距 離 空 間 と一様 同 相 な 距 離 空 間 は 完 備 で あ る.
〔 解 〕 上 の 例 題 と一 様 同 相 の 定 義 よ り明 らか. 例 題3.
(証終)
完 備 で あ る.
〔 解 〕 一 様 連 続 性 と基 本 列 の 定 義 よ りた だ ち に 示 され る. 例 題2.
対 し
Rと
開 区 間(0,1)は
完 備 で(0,1)は
(以上)
同 相 で あ る が 一 様 同 相 で は な い. 完 備 で は な い か ら,上 の 例 題 よ り一 様 同 相 で は
な い.
(以 上)
例 題4.
ヒ ル ベ ル トの 平 行 体INは
〔解 〕 定 理5.2の 基 本 列{xn}に 各mに 12の
完 備 で あ る.
証 明 を つ ぎ の よ うに 一 般 化 し て 証 明 で き る.INの
対 し,xn=(xn1,…,xnm,…),xnm∈I(m∈N)と
対 しIの
数 列{x1m,…,xnm,…}が
任意 の す る と き,
基 本 列 で あ る こ と は,4.2例
題
解 の 後 半 で 用 い られ た 不 等 式 │xnm−xn′m│≦2md(xn,xn′)
よ り容 易 に わ か る.し
た が っ てIの
この とき
ε>0に
1/2m0−1n0な
解 の 前 半 で 用 い られ た 不 等 式 と同 様 に
で あ る こ とが 示 され るか ら,INに
お い てxn→yで
あ る こ とが わ か る. (以上)
つ ぎ に 距 離 空 間 の 完 備 化 に つ い て 考 えよ う. 定 理5.4 距 離 空 間Xが (1)
任 意 の 距 離 空 間Xに
対 して つ ぎ の(1),(2)を
み たす 完 備 な
存 在 す る.
単 射 φ:X→Xが
あ っ て,φ はXか
らXの
部 分 距 離 空 間 φ(X)へ
の 等 距 離 写 像 で あ る. (2)
Xに
さ らに,完 φ′(X)へ
お い て φ(X)は 備 な 距 離 空 間Yと
稠 密 で あ る,す な わ ち φ(X)=X. 単 射 φ′:X→Yが
の 等 距 離 写 像 で あ り,ま たYに
こ の と き 等 距 離 写 像 Φ:X→YでΦ°φ=φ′ こ の 定 理 に お い て,等 距 離 写 像 視 して 考 え れ ば,Xを
す な わ ちXの
お い て φ′(X)は
を み た す も の が 存 在 す る. φ(X)を
稠 密 な 部 分 距 離 空 間 と して 含 む 完 備 な 距 離 空 間Xが
定 義:Xの
基 本 列{xn}をx*と
ら
稠 密 と仮 定 す る.
に よ っ てXと
質 的 に た だ1つ 存 在 す る こ とが わ か る.こ 証 明 (ⅰ) Xの
存 在 して,φ ′はXか
の よ うなXをXの
基 本 列 全 体 の 集 合 をX*で
同一 本
完 備 化 とい う. 表 わ し,X*の
表 わ す こ と に す る.x*,y*∈X*が
点 同値
x*∼y*で
あ るのは
の と き と 定 義 す る.こ D1−D3と(2.6)よ
れ がX*に
お け る 同 値 関 係 で あ る こ とは 距 離 函 数 の 条 件
り 容 易 に 確 か め られ,し
たが って商集 合
X=X*/∼ が 得 られ る.そ
の 点 す な わ ち 同 値 類 はxの
よ う に 表 わ す こ と に す る.こ
のX
が 求 め る もの で あ る こ と を 証 明 し よ う. (ⅱ) X上 y*∈yを
の 距 離 函 数dの
定 義:x,y∈Xに
対 し,そ
れ ら の 代 表 元x*∈x,
とって
と 定 義 す る.こ
れ が 定 義 で き る た め に は 右 辺 の 極 限 が 存 在 し ,し
か も代 表 元 の
選 び 方 に 関 係 し な い こ と を 示 す 必 要 が あ る. 任 意 の ε>0に
対 し,{xn},{yn}は
xm)0に
対 し と れ る.
とき
基 本 列 で あ る.
し た が っ てy*={yn}∈X*で,そ
れ を 含 む 同 値 類y∈Xが
定 ま る.こ
の
とき
の 右 辺 の 第1項 た よ うに0に 以 上 でXは
は1/nよ
り小 だ か ら0に
収 束 す る か ら,xn→yと
収 束 し,第2項
な り,Xは
求 め る も の で あ る こ とが 示 され た.
も(ⅲ)で
示 され
完 備 で あ る こ と が わ か る.
(ⅴ)
後 半 の 証 明:各
に よ り写 像
Φ:X→Yを
点x∈Xに
対 し そ の 代 表 元x*={xn}∈X*を
定 義 し よ う.{xn}は
等 距 離 写 像 だ か ら{φ′(xn)}はYの 義 の 極 限 は 存 在 す る.ま ∼y*す
な わ ちd(xn
も う1つ
,yn)→0.し
離 函 数d:Y×Y→Rは
4.13の(5)よ
り,上
あ り,こ れ
定 義 の 極 限 はxの
代 表 元
義 よ り
連 続 で あ る こ と(4.4例
題3)と
下 の 最 後 の 項 が 等 し い こ と か ら わ か る.し
定理
た が って もち
Φ は 単 射 で も あ る.
ま た 任 意 のy′ (X)の
とれ ば,x*
は 上 式 で 定 義 で き る こ と が わ か る.
Φ が 中 へ の 等 距 離 写 像 で あ る こ と は,定
で あ る が,距
完 備 だ か ら Φ の定
′(xn),φ ′(yn))→0で
が 示 さ れ,Φ(x)の
の と り方 に 関 係 せ ず,Φ
中へ の
の 代 表 元y*={yn}を
た が っ てd(φ
か ら
ろん
基 本 列 で φ′:X→Yは
基 本 列 で あ り,Yは
たxの
と り,
∈Y=φ
′(X)に
点 列 を と り,xn=φ
基 本 列 で φ′:X→
φ′(X)は
し た が っ てx*={xn}∈X*を
が 成 り立 つ か ら,Φ
対 し,定
′−1(y′n)∈Xと
理4.12(ⅰ)よ お く.こ
りy′n→y′
の と き{y′n}は
等 距 離 写 像 だ か ら,{xn}はXの 含 む 同 値 類x∈Xが
と な る φ′ φ′(X)の
基 本 列 で あ る.
定 ま る が,Φ
の定 義 よ り
は 全 射 で あ る.
最 後 に 等 式 Φ°φ=φ′の 証 明 が 残 さ れ た が,(ⅲ)の
φ の 定 義 よ り
で あ る こ とが わ か り,定 理 は 完 全 に 証 明 され た. (証終) 系5.5
有 理 数 の 集 合Qをd(x,y)=│x−y│(x,y∈Q)で
よ り距 離 空 間 とす る と き,距 離 空 間Qの 証 明 QはRで
稠 密 で(2.3例
与 え られ る距 離 に
完 備 化 は 実 数 空 間Rで
題11),Rは
あ る.
完 備 だ か ら上 の 定 理 の 後 半
よ り求 め る結 果 が 得 られ る.
(証終)
こ の 系 よ り,有 理 数 の 基 本 列 全 体 の 集 合Q*を で 述 べ られ た 商 集 合Q=Q*/∼
を つ く る と き,R=Qで
カ ン トル に よ る 実 数 論 に お い て は,Qか て い る の で あ っ て,上
の 定 理 の 証 明 の(ⅰ) あ る と考 え られ る.
ら上 の よ うに 実 数 空 間Rを
構成 し
の 完 備 化 の 定 理 は そ の 一 般 化 な の で あ る.
しか し,上 に 述 べ られ た 証 明 で はRお で,そ
考え,上
よ び そ の 完 備 性 が 用 い られ て い る の
の ま ま の証 明 を 有 理 数 を 用 い た 実 数 の 構 成 の 場 合 に 適 用 で き な い こ と に
注 意 して お こ う.ま た,実 数 論 に お い て は 単 にQの す る だ け で は 不 十 分 で あ り,さ らに4則
完 備 化 と し てRを
定義
演 算や 大小 の関係 に 関す る こ とも矛 盾
な く行 な わ れ る こ とを 確 か め る 必 要 が あ ろ う. これ らを 確 か め る こ とは あ る程 度 の 煩 わ し さが あ る が,以
下 の 例題 で そ の概
略 を 述 べ て お く. 例 題5. −x
数 列{xn}が
m│n0)と
な るn0∈Nを
た 数 列{xn}がx∈Qに に 対 し'を'任
お い て,上
集 合Q=Q*/∼
対 し│xn
と る こ とが で き る'と き と定 義 す る.ま
収 束 す る こ と も,収
意 の 有 理 数 ε>0に
基 本 列 の 全 体Q*に され,商
基 本 列 で あ る の は,'任 意 の 有 理 数 ε>0に
束 の 定 義 に お け る'任 意 の ε>0
対 し'と か え て 定 義 す る.こ の 定 理 の 証 明 の(ⅰ)と
の と き,Qの
同様 に 同値 関係 が 定 義
が 得 られ る.
〔解 〕 基 本 列 お よび 収 束 の 定 義 を 上 の よ うに か え て も,ま っ た く同 様 の 性 質 が 成 り立 ち,同 例 題6.
値 関 係 と な る こ と の 証 明 は か え な くて も よ い.
上 の 定 理 の 証 明 の(ⅲ)と
Q=φ(Q)⊂Qと
φ:Q→Qが
対 し,xn=x,yn=y(n∈N)で
代 表 す るか ら,φ(x)=φ(y)な
あ る基 本 列{xn},{yn}が らば│xn−yn│→0,す
で あ る. 例 題7. y*={yn}∈yを
定 義 され,
考 え られ る.
〔 解〕 x,y∈Qに φ(x),φ(y)を
同様 に単射
(以上)
な わ ちx=y (以上)
Qに
お い て,各 点x,y∈Qに 選 ぶ と き,Qの
れ を 含 む 同 値 類 と して 和,差
対 しそれ ぞ れ の 代 表 元x*={xn}∈x,
数 列{xn+yn},{xn−yn}は
基 本 列 で あ り,そ
x+y, を 定 義 す る こ と が で き る.こ Q(⊂Q)で
はQに
0に
な るn0∈Nを
x−y∈Q り立 ち,ま
た
と 一 致 す る. 対 しn,m>n0な
とれ ば,こ
ら ば│xn−xm│0に
−x m│n0)と
な るn0∈Nが
を 示 す か らxn=φ(xn)→xで 後 半 は 上 の 定 理 の(ⅳ)の 例 題11.
Qの
な るn∈Nが
基 本 列 だ か ら│xn
あ る. 証 明 と ま っ た く同 様 に 示 され る.
(以上)
対 しnx(=x+…+x,n個)>yと
存 在 す る. り有 理 数 ε>0とxの
代 表 元{xn}∈Q*が
存 在 し,xn≧
ε(n
な るn0が
存在
な る.ま た 上 の 例 題 の解 よ り│xn−x│yと
対 し{xn}は
選 ぶ と き,Q
存 在 し,こ れ は 定 義 よ り
任 意 のx>0,y>0に
〔 解 〕 例 題8よ ∈N)と
対 し,そ の 代 表 元{xn}∈Q*を
ε/2は 有 理 数 で0<x′<xと
な る.同 様 にy>0に
対し
な る有 理 数y′ の 存 在 が わ か る.有 理 数x′,y′>0に 対 して はnx′>y′
とな るn∈Nの
存 在 は 明 らか だ か ら,こ の と きnx>nx′>y′>yと
な り求 め
る結 果 が 成 り立 つ. 例 題12. 例 題7の
和,差
よ る 商 が 定 義 さ れ,こ 法 則 が 成 り立 つ.し
(以上) の 定 義 と同 様 にQにお
い て 積 お よ び0で
な い元に
れ らの4則 算 法 と大 小 の順 序 に つ い て 数 に 関 す る普 通 の
た が っ て 例 題10,11と2.2例
題9よ
りQは
実 数 空 間R
で あ る と考 え られ る. 〔 解〕 まず 基 本 列 は 有 界 で あ る こ とを 示 し,こ れ を 用 い て2.1例 の 考 え 方 で 積,商
が 矛 盾 な く定 義 で き る こ とが 示 さ れ る.
ま た 例 題11よ
り,任 意 の ε∈Q,ε>0に
れ る か ら,例 題5に
題5の
証明
対 し ε>ε′>0と な る ε′ ∈Qが
と
お い て 変 え た 基 本 列 と収 束 の 定 義 は 普 通 の 意 味 の も の と同
値 で あ る こ とが わ か る.よ
って 求 め る結 果 が え られ る.
(以上)
5.2
コ ン パ ク
距 離 空 間Xが あ る1点
ト性
点 列 コ ン パ ク トで あ る の は,Xの
に 収 束 す る 部 分 列{xkn}を
こ の と き,つ 定 理5.6 X1×X2も
も つ と き,と
定 義 さ れ る,(3.3参
照).
ぎ の 定 理 が 成 り立 つ. 距 離 空 間X1,X2が
点 列 コ ン パ ク トな ら ば,そ
の 直積距 離 空 間
点 列 コ ン パ ク トで あ る.
証 明 {xn}をX1×X2の →Xiは
自 然 な 射 影)を
点 列 と す る.Xiの 考 え る と き,仮
に 収 束 す る も の が とれ る(i=1,2),(こ 17を
任 意 の 点 列{xn}がXの
用 い て そ の ま ま 適 用 さ れ る.)し
の 部 分 列{xkn}は(y1,y2)∈X1×X2に
点 列{pi(xn)}(pi:X1×X2
定 よ りそ の 部 分 列{pi(xkn)}でyi∈Xi の 証 明 は 定 理3.9の た が っ て 定 理5.2の
証 明 が4.3例
題
証 明 の 後 半 よ り{xn}
収 束 し,X1×X2も
点 列 コ ン パ ク トで
あ る.
(証 終)
さ ら に,定
理3.18の
定 理5.7
n次
証 明 そ の ま ま に よ っ て つ ぎ の 定 理 が え ら れ る.
元 ユー ク リッ ド空 間Rnの
トで あ る た め に は,XはRnの
部 分 距 離 空 間Xが
点 列 コ ンパ ク
有 界 閉 集 合 で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.
距 離 空 間 の 完 備 性 と の 間 に つ ぎ の 定 理 が 成 り立 つ. 定 理5.8
点 列 コ ン パ ク トな 距 離 空 間Xは
証 明 Xの
基 本 列{xn}に
そ の 極 限 をxと か ら,Xは
完 備 で あ る.
対 し仮 定 よ り収 束 す る 部 分 列{xkn}が
す る と き,{xn}がxに
収 束 す る こ と は つ ぎ の よ うに 示 さ れ る
完 備 で あ る.
収 束 お よ び 基 本 列 の 定 義 よ り,ε>0に
対 し あ るn0∈Nが
な らばd(xkm,x)0に
対 してXは
… ,Anで
覆 わ れ る と き,と
実 際,上
の 条 件 が 成 り立 て ば
直 径 が た か だ か ε の 有 限 個 の 集 合A1,
して も よ い. とな り,Vε/2(x)
の 直 径 は た か だ か ε で あ る.逆 に 下 の 条 件 が 成 り立 つ と き,任 意 の 点xi∈Al
を とれ ば 明 らか にAi⊂Vε(xi)と
な るか ら,
定 義 よ り容 易 に 示 され る よ うに,全
とな る.
有 界 な 距 離 空 間 は 有 界 で あ り,ま た そ の
任 意 の 部 分 距 離 空 間 も全 有 界 で あ る. 補 題5.11
コ ンパ ク トまた は 点 列 コ ンパ ク トな 距 離 空 間 は 全 有 界 で あ る.
証 明 コ ンパ ク トな ら全 有 界 で あ る こ とは 定 義 よ り明 らか. Xは
全 有 界 で な い と仮 定 す れ ば,あ
(x1),…,Vε(xn)の
る ε>0が
和 集 合 とは な らな い.し
と な る よ うに と れ る.こ
の と き
任 意 の 部 分 列 は 収 束 せ ず,し 距 離 空 間Xは
た が っ てXの
な ら ばd(xn,xm)≧
た が っ てXは
稠 密 な 可 算 部 分 集 合 を も つ と き,可 全 有 界 な 距 離 空 間 は 可 分 で あ る.
証 明 Xが
全 有 界 な ら ば,各n∈Nに
kn}は
な る 点xn1,…,xnknが
ら,Xは Xの
点 列{xn}を
ε だ か ら,{xn}の
分 で あ る と い う.
対 しX=V1/n(xn1)∪
とれ る.こ
可 算 集 合 で あ り,AはXで
有 限 個 のVε
点 列 コ ン パ ク トで な い. (証 終)
定 理5.12
(xnkn)と
あ っ て,Xは
…
∪V1/n
の と きA={xni│n∈N,i=1,…,
稠 密 で あ る こ と が つ ぎ の よ うに 示 さ れ る か
可 分 で あ る. 任 意 の 開 集 合
と な るn∈Nが し,Aの
存 在 す る.ま
に 対 し,そ
の1点x∈Uを
とれ ばV1/n(x)⊂U
た 上 の と り方 よ りx∈V1/n(xni)と
点xniはV1/n(x),し
た が っ てUに
な るiが
属 す る か ら,Aは
存在
稠 密 で あ る. (証 終)
定 理5.13 よ うなXは
可 分 な 距 離 空 間Xは 第2可
の 開 被 覆 はXの
可 算 個 の 集 合 か ら な る 開 基 を も つ,(こ
算 公 理 を み た す と い う).し 可 算 被 覆(可
た が っ て,こ
算 個 の 集 合 か ら な る 被 覆)を
の と きXの
の 任意
含 ん で い る.(リ
ン
デ レ ー フ の 被 覆 定 理) 証 明 前 半 は 定 理4.4よ
りた だ ち に 示 さ れ る.後
半 は3.3例
っ た く 同 様 に 示 さ れ る. さ て,当
距 離 空 間Xに
解 とま (証 終)
面 の 目 的 で あ っ た つ ぎ の 定 理 を 証 明 し よ う.
定 理5.14
題9の
対 し つ ぎ の 条 件 は 同 値 で あ る.
(1)
Xは
(2) Xは (3)
コ ン パ ク トで あ る. 点 列 コ ン パ ク トで あ る.
Xは
全 有 界 か つ 完 備 で あ る.
証 明 (1)⇒(2)は
補 題5.10,(2)⇒(3)は
さ れ た か ら,(3)⇒(1)を Xは
定 理5.8で
示
証 明 す れ ば よ い.
全 有 界 か つ 完 備 と 仮 定 す る.UをXの
理5.12,13よ
りUはXの
任 意 の 開 被 覆 と す る と き,定
可 算 被 覆 を 含 む か ら,Uは
て 有 限 被 覆 を 含 む こ と を 証 明 す れ ばXは Xの
補 題5.11と
コ ン パ ク トで あ る こ と が わ か る.
可 算 開 被 覆U={U1,…,Un,…}がXの
し よ う.こ
の と き 各n∈Nに
で き る.こ
のXの
可 算 被 覆 と仮 定 し
有 限 被 覆 を 含 ま な い と仮 定
対 し 点
点 列{xn}の
を と る こ とが
あ る部分 列 で基 本 列 で あ る ものが存 在 す るこ
と を 示 そ う. Xは
全 有 界 だ か ら,任
意 の ε>0に
対 し
と な る.
し た が っ て 点 列{xn}が
与 え られ た と き,i=1,…,lに
Vε(yi)}の
は 無 限 集 合 で あ り,{xn}は
少 く と も1つ
分 列{xkn}を
対 す る 集 合{n│xn∈ あ るVε(y)に
含 ま れ る部
も つ こ と が わ か る.
上 に と っ た 点 列{xn}に
対 し,順
作 を 行 な う こ と に よ り,各m∈Nに 含 ま れ る 部 分 列{xk(m,n)}が 角 線 に 沿 っ た{xn}の
次 ε を1,1/2,…,1/m,… 対 し 点 列{xk(m−1,n)}の
と れ る,({xk(0,n)}={xn}と
と して こ の 操 あ るV1/m(ym)に す る).こ
の と き対
部分列 {xk(n,n)}
は,d(xk(n,n),xk(m,m))n0)が わ か る.(こ
の よ う な{xk(n,n)}を
さ て,Xは
完 備 だ か ら,こ
x∈Ujと →xだ
な るUj∈Uお
成 り立 つ か ら 基 本 列 で あ る こ と が 考 え る 方 法 は 対 角 線 論 法 と よ ば れ て い る.) の 基 本 列{xk(n,n)}は1点x∈Xに
よ びVε(x)⊂Ujと
な る
収 束 し て い る.
ε>0を
と る と き,xk(n
,n)
か ら
と な るn0∈Nが
存 在 す る.と
こ ろ が は じ め の{xn}の
と り方 か ら,n≧jな
ら
ばk(n,n)≧n≧jだ
か ら
で あ り,n>max{j,n0}の
とき上式 に
反 す る. こ の よ うに 有 限 被 覆 を 含 ま な い と仮 定 す れ ば 矛 盾 が 起 る か ら,Xは トで あ る こ とが わ か る. 例 題4.
コ ンパ ク (以上)
コ ンパ ク ト距 離 空 間 は 可 分 で あ り,し た が っ て 第2可
算 公 理 をみ
た す. 〔解 〕 補 題5.11,定 例 題5.
理5.12,13に
よ る.
(以上)
距 離 空 間 に お い て,可 分 で あ る こ と と第2可
算公 理 を みた す こ と
は 同 値 で あ る. 〔 解 〕 第2可
算 公 理 を み た す と き,
し,任 意 にxn∈Unを
をXの
と っ てA={xn│n∈N}と
開基 と
お く.こ の 可 算 集 合Aが
密 で あ る こ とは 開 基 の 定 義 よ りほ と ん ど明 らか で あ り,し た が っ てXは で あ る.逆 は 定 理5.13で 例 題6.
あ る.
積 距 離 空 間 も可 分 で あ る.
〔解 〕 距 離 空 間 で は 上 の 例 題 よ り可 分 性 は 第2可
第2可
可分 (以上)
可 分 な 距 離 空 間 の 部 分 距 離 空 間,直
で あ る.第2可
稠
算公 理 をみ た す こ とと同値
算 公 理 を み た す 距 離 空 間 の 部 分 距 離 空 間,直
積 距 離空 間 が また
算 公 理 を み た す こ とは 容 易 に 確 か め られ る か ら,求 め る結 果 が 成 り立 つ. (以上)
例 題7.
Rnは
可 分 で あ る.(4.2例
題9参
照)
例 題8.
Rnの
部 分 空 間 に 対 して は 有 界 と全 有 界 とは 同 値 で あ る.
6. 位
相
距 離 空 間 に お け る 同 相 の 考 え 方 は,た を も つ 集 合,す
な わ ち 位 相 空 間,の
空
間
とえ ば 開 集 合 の よ うな よ り一 般 な 構 造
考 察 の 必 然 性 を 感 じ さ せ る だ ろ う.
集 合 に 位 相 を 導 入 す る 方 法 は い ろ い ろ あ る が,こ る 方 法 か ら述 べ,そ 後 半 で は,与
こ で は まず 開 集 合 族 を 与 え
れ と同 値 な も の を 順 次 説 明 して い く こ とに す る.こ
の章 の
え られ た 位 相 か ら 自然 に 定 義 され る い ろ い ろ な 位 相 に つ い て 述 べ
られ る.
6.1 位 相 空 間 の 定 義 集 合
に お い て,つ
ぎ の3条 件 が 成 り立 つ よ うなXの
Oが 与 え られ て い る とす る(定 理4.3参 O1:X∈O,φ
部分 集 合族
照):
∈O.
O2: O3: こ の と き,OはXの
位 相 を 定 め る とい い,XはOに
属 す る集 合 を 開 集
合 とす る 位 相 空 間 とい う. 位 相 空 間Xの
元 は 点 と よば れ る.ま た そ の 位 相 を 定 め る開 集 合 族Oを
明示
す る必 要 が あ る ときは X=(X,O) と 書 き,ま たOが
位 相 空 間Xの
距 離 空 間Xは,そ て 位 相 空 間 とな る.こ
開 集 合 族 で あ る と きO(X)と
の 距 離 に よ って 定 理4.3の
も書 か れ る.
よ うに 定 ま る 開 集 合 族 に よ っ
の よ うに 距 離 に よ って 定 ま る 位 相 を 距 離 位 相 とい う.
例 題1.
集 合Xに
対 し,Xの
す べ て の 部 分 集 合 の つ くる ベ キ 集 合2Xま
た はXと
φ か らな る集 合 族{X,φ}は
上 の 条 件O1−O3を
が って 位 相 空 間 (X,2X)ま
た は(X,{X,φ})
み た す.し
た
が 得 られ る が,前 者 を 離 散 空 間,後 者 を 密 着 空 間 とい う. 例 題2. が(4.3例
集 合Xの
離 散 位 相 はX上
題4参 照),2点
の 離 散 距 離 に よ って 定 ま る位 相 で あ る
以 上 を 含 む 集 合Xの
密 着 位 相 はX上
離 を 考 え て も それ に よ っ て 定 ま る 位 相 とは な らな い.す
の どん な 距
な わ ち 必 ず し も距 離 位
相 で は な い 位 相 が あ る. 〔解 〕 X上 が ってXの
の 距 離 よ り定 ま る 位 相 で は,定 相 異 な る2点x,yに
が 存 在 し,U1は
φ に もXに
理4.3のT2が
成 り立 つ.し
対 し,x∈U1⊂X−{y}と
な るU1∈O(X)
も等 し くな い か ら,Xの
距 離 位相 は 密着 位 相
と は な れ な い. Xを xの
た
(以上)
位 相 空 間 とす る と き,各 点x∈Xに
近 傍 とい う*).xの
対 してxを
近 傍 の 全 体 をxの
含 む任 意 の開集 合 を 点
近 傍 系 とい い,
U(x) で 表 わ す. さ らにU*(x)(⊂U(x))は,任 V∈U*(x)が
意 のU∈U(x)に
存 在 す る とき,点xの
対 してV⊂Uと
な る
基 本 近 傍 系 ま た は 近 傍 の基 で あ る とい う.
こ の と き つ ぎ の補 題 が 成 り立 つ. 補 題6.1
位 相 空 間Xの
と き,UがXの
各 点xに
対 し基 本 近 傍 系U*(x)が
与 え られ た
開 集 合 で あ る た め に は つ ぎ の 条 件 が 必 要 十 分 で あ る:
'任意 のx∈Uに 証 明 U∈O(X)な
対 しVx⊂Uと
な るVx∈U*(x)が
らば,x∈Uの
定 義 よ りVx⊂Uと
な るVx∈U*(x)が
U=∪{Vx│x∈U}と
な る か らO3よ
こ の 補 題 よ り,位 相 空 間Xの
存 在 す る.'
ときU∈U(x)だ
か ら,基 本 近 傍 系 の
存 在 す る.逆 に 条 件 が 成 り立 つ と き, りUは
開 集 合 で あ る.
開 集 合 族 は そ の1つ
(証終)
の基 本 近 傍 系 に よ っ て 定
ま る こ とが わ か る. 具 体 的 に 集 合Xに 点x∈Xに
位 相 を 定 め る,す な わ ち 開 集 合 族Oを
対 し て あ る集 合 族U*(x)を
与 え る と き,各
き め て 上 の 補 題 の 条 件 に よ り開 集 合
*) xを 含 む あ る開集合 を含 んで い る任 意 のXの 集 合をxの 近 傍 とい うこ とが しば し ば あ る.こ の とき ここの意 味 の近傍 は 開近傍 とよばれ る.
を 定 義 す る 方 法 が し ば しば 用 い ら れ る. 実 際,距 て,そ
離 空 間Xに
対 し て は,点x∈Xの
ε 近 傍 の 全 体U*(x)を
の よ う に し て 距 離 位 相 が 導 入 さ れ た の で あ る が,そ
OがO1,O2,O3を
み た す こ と(定
い て の 補 題4.2が 一 般 に,集 がXの
理4.3)の
用い
の際 開集合 の全体
証 明 に はU*(x)(x∈X)に
つ
用 い られ た.
合Xの
各 点xに
対 し て 集 合 族U*(x)が
与 え られ た と き,こ れ
あ る 位 相 の 基 本 近 傍 系 と な る た め の 条 件 を 求 め よ う.
定 理6.2
(ⅰ)
位 相 空 間Xの
を み た し て い る,(補
題4.2参
U1*:す
べ て のV∈U*(x)に
U2*:任
意 のV1,V2∈U*(x)に
基 本 近 傍 系U*(x)(x∈X)は
つ ぎの性 質
照). 対 し てx∈V. 対 しV3⊂V1∩V2と
な るV3∈U*(x)が
存 在 す る. U3*:任
意 のV∈U*(x)と
U*(y)が
存 在 す る.
(ⅱ) 集 合Xの 3条
任 意 の 点y∈Vに
各 点xにXの
空 で な い 集 合 族U*(x)が
件 を み た し て い る と す る.こ
をOと
お け ば,こ
が 定 ま る.さ
対 し,W⊂Vと
な るW∈
与 え られ て 上 の
の と き 上 の 補 題 の 条 件 を み た す 集 合Uの
れ に つ い てO1,O2,O3が
成 り立 ち,し
た が っ てXの
ら に こ の 位 相 に 関 し 与 え られ たU*(x)(x∈X)は
族 位相
基 本近 傍 系 と
な っ て い る. 証 明 (ⅰ) U1*:近 U2*:U1*よ
りx∈V1,x∈V2で,ま
定 義 よ りV1∩V2∈U(x)で V3の
傍 の 定 義 よ り明 らか.
あ る.し
たO2よ
か ら,
たが って基 本近傍 系 の 定義 よ り求 め る
存 在 が わ か る.
U3*:V∈U(y)と (ⅱ) OがO1,O2,O3を
な る か ら定 義 よ り た だ ち に 示 さ れ る. み た す こ と は,補
明 と ま っ た く 同 様 にU1*,U2*,U3*を
題4.2を
用 い た 定 理4.3の
用 い て 証 明 す る こ と が で き る.(そ
明 の 一 般 化 の 詳 細 は 読 者 に ま か せ よ う.こ のT2の
りV1∩V2∈O(X)だ
の 際 補 題4.2の(ⅳ)は
証 明 の た め に の み 用 い られ て お り,O1−O3に
証 の証
定 理4.3
は 用 い られ て い な い こ
と に 注 意 し て お く.) 後 半 はOお
よ び 基 本 近 傍 系 の 定 義 よ りほ と ん ど 明 ら か で あ る.
こ の 定 理 よ り,集
合XのU1*−U3*を
え る こ と に よ り,そ 例 題3. (ε>0)の
全 体 はxの
例 題4.
み た す 集 合 族U*(x)(x∈X)を
れ を 基 本 近 傍 系 と す るXの
実 平 面R2に
中 心 と す る 開 正 方 形Wε(x)
基 本 近 傍 系 で あ る.(定
理3.1の
お け るU1*−U3*を
U2*(x)(x∈X)がXの
与
位 相 が 定 ま る こ と が わ か る.
お い て,点x∈R2を
集 合Xに
(証 終)
前 の 定 義 参 照)
み た す2組
の 集 合 族U1*(x),
同 じ 位 相 の 基 本 近 傍 系 で あ る た め に は つ ぎ の2条
が 必 要 十 分 で あ る((3.4)参 (1)
任 意 のV∈U1*(x)に
(2)
任 意 のW∈U2*(x)に
件
照). 対 し てW⊂Vと
な るW∈U2*(x)が
対 し てV⊂Wと
存 在 す る.
な るV∈U1*(x)が
存 在
す る. 〔解 〕 (必 要)補
題6.1よ
り明 ら か.
(十 分)Ui*(x)(x∈X)よ をOiと
り上 の 定 理 の(ⅱ)の
す る(i=1,2).こ
定 義 よ りV⊂Uと
な るV∈U1*(x)が
と な るW∈U2*(x)が ら,O1⊂O2で
の と き 任 意 のU∈O1に 存 在 し,し
存 在 す る.こ
あ る.同
の こ と はO2の
様 に(2)よ
りO2⊂O1が
よ うに 定 め られ る 開 集 合 族 対 し,x∈Uな
らばO1の
た が っ て(1)よ
りW⊂V
定 義 よ りU∈O2を
示 すか
わ か る か ら,O1=O2. (以 上)
上 に 考 察 さ れ た 基 本 近 傍 系 と 同 様 に つ ぎ の 開 基 が 考 え られ る. 位 相 空 間Xの 位 相 空 間Xの
開 集 合 よ り な る 集 合 族O*が
つ ぎ の 条 件 を み た す と き,O*を
開 基 と い う:
'任 意 の 開 集 合U∈Oと
そ の 点x∈Uに
対 し てx∈V⊂Uと
な るV∈O*
が 存 在 す る'. こ の 条 件 は 明 ら か に, '各x∈Xに
対 し 集 合 族{V│x∈V∈O*}はxの
と い う条 件 と 同 値 で あ り,さ '任 意 の 開 集 合U∈OはO*の
基 本 近 傍 系 で あ る'
ら に つ ぎ の 条 件 と も 同 値 で あ る: 集 合 の 和 集 合 と し て 表 わ さ れ る,す
なわ ち
(6.1)
実 際,は
じ め の 条 件 が 成 り立 て ば,U∈Oは
x∈V⊂Uと
な るV∈O*の
和 集 合 に 等 し い か ら,こ
な ら ばx∈Vλ⊂Uと Xの Xの
対 して 存 在 す る
の 条 件 が 成 り立 つ .逆
は
な る λ が 存 在 す る こ と か ら 明 ら か で あ る.
基 本 近 傍 系U*(x)(x∈X)が
与 え られ た と き,∪{U*(x)│x∈X}が
開 基 で あ る こ と も 定 義 よ り 明 らか で あ る .
定 理6.3
(ⅰ) 位 相 空 間Xの
O1*:任
意 のx∈Xに
O2*:任
意 のV1,V2∈O*と
と な るV3∈O*が
証 明 (ⅰ)
存 在 す る.
任 意 のx∈V1∩V2に
対 し
各x∈Xに
与 え られ て 上 の2条
の と き(6.1)に こ のOに
O1*はX∈Oよ
(ⅱ) φ は0個
成 り立 つ.同
様 にO2*よ
たO3は
り,V1,V2∈O*な
と き 成 り立 つ こ と が わ か る.し 対 しO2が
開 基 と す るXの 集 合Xの
を み た す と き,そ
らばV1∩V2∈Oで
式
こ の 定 理 よ り,O1*,O2*を
例 題5.
定 義 よ り明 らか.
和 集 合 と な る か らX∈Oで
み た すXの
(証 終) 部 分 集 合 族O*を
与 え る こ とに よ
位 相 を 定 め る こ と が で き る.
与 え られ た 部 分 集 合 族O1*,O2*が
れ らがXの
た が って帰 納法 に
成 り立 つ.
後 半 は 定 義 よ りほ と ん ど 明 ら か で あ る.
っ て,O*を
み
り 明 ら か で あ る.
あ る.ま
よ り存 在 す るVの
り,O2はn=2の
よ り任 意 のn∈Nに
み
よ る 位 相 に 関 し て 開 基 と な っ て い る. り,O2*はV1∩V2∈Oよ
対 しO1*に
件O1*,O2*を
よ り定 義 さ れ るOはO1,O2,O3を
の 和 集 合 だ か ら φ ∈Oで
あ る こ と が 示 さ れ,等
とO3よ
な るV∈O*が
集 合 族O*が
え られ たO*は
あ り,O1が
つ ぎ の 性 質 を み た し て い る.
存 在 す る.
た し て い る とす る.こ た し,与
開 基O*は
対 しx∈Vと
(ⅱ) 任 意 の 集 合Xの
Xは
各 点x∈Uに
上 の 定 理 のO1*,O2*
同 じ 位 相 の 開 基 と な る た め に は つ ぎ の2条
件が
必 要 十 分 で あ る. (1)
任 意 のV∈O1*と
任 意 のx∈Vに
対 し て,x∈W⊂Vと
な るW∈O2*
が 存 在 す る. (2)
任 意 のW∈O2*と
∈O1*が
存 在 す る.
任 意 のx∈Wに
距 離 空 間 の と き と 同 様 に,閉 位 相 空 間Xの がXの
な るV
集 合 が 考 え られ る.
部 分 集 合FがXの
閉 集 合 で あ る の は,そ
開 集 合 で あ る と き を い う.こ
O1−O3と
対 し て,x∈V⊂Wと
の と きFはXで
ド ・モ ル ガ ン の 公 式 よ り定 理4.9の
の 補 集 合X−F
閉 で あ る と も い う. 証 明 と ま っ た く同 様 に つ ぎ の
定 理 が 示 さ れ る. 定 理6.4
位 相 空 間Xの
閉 集 合 全 体 の つ くる 集 合 族 を
A={X−U│U∈O} で 表 わ す と き,つ A1:φ
(ま た はA(X))
ぎ が 成 り立 つ.
∈A,X∈A.
A2: A3: 例 題6.
集 合Xに
対 し,A1,A2,A3を
き,O={X−F│F∈A}はO1,O2,O3を と す るXの
み た し,し
をIntAで
部 分 集 合Aに
表 わ し,Aの
ま たAを 点x∈AをAの 定 義 とO3よ
対 し,Aに
た が っ てAを
閉集 合 族
含 ま れ るす べ て の 開 集 合 の 和 集 合
開 核 と い う.点x∈IntAをAの
含 む す べ て の 閉 集 合 の 共 通 部 分 をAで
内 点 と い う. 表 わ し,Aの
閉 包 と い う.
触 点 と い う. りIntAはAに
含 ま れ る 最 大 の 開 集 合 で あ り,同
含 む 最 小 の 閉 集 合 で あ る.ま
ン の 公 式 よ り た だ ち に 示 さ れ る. (6.2)
与 え られ た と
位 相 が 定 ま る.
位 相 空 間Xの
りAはAを
み た す 集 合 族Aが
X−A=X−IntA.
閉 包 に 関 し て つ ぎ が 成 り立 つ.
様 にA3よ
た つ ぎ の 公 式 は 定 義 と ド ・モ ル ガ
定 理6.5
(ⅰ) 位 相 空 間Xの
部 分 集 合Fが
閉 集 合 で あ る た め に はF=F
で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.
(ⅱ) Xの
任 意 の 部 分 集 合A,Bに
対 し つ ぎ が 成 り立 つ.
K1:φ=φ,
K2:A∪B=A∪B,
K3:A⊃A,
K4:A=A
.
証 明 (ⅰ) 定 義 よ りほ と ん ど 明 ら か で あ る. (ⅱ) K1はA1と(ⅰ)に る こ と と(ⅰ)よ K2:定
よ る.K3は
定 義 よ り,K4はAが
り た だ ち に 示 さ れ る.
義 よ り 明 らか にA∪B⊃A,Bで
で,A2よ
りA∪Bは
定 理6.6
が 与 え られ て,上
あ る.逆
にK3よ
閉 集 合 だ か ら,
集 合Xに
お い て 集 合A∈2Xに − :2X→2X
のK1−K4を
集 合A∈2Xを
み た し て い る と す る.こ み た し,し
え られ たAは
こ の 位 相 に 関 す るAの
こ の 定 理 よ りK1−K4を こ と も で き る,K1−K4は
み た す閉 包
り
で あ る.
合 族O={U│X−U=X−U}はO1−O3を 定 ま る が,与
閉集 合 で あ
−
(証 終)
対 応 さ せ る写 像
の と き,Xの
部 分集
た が っ てXの
位相 が
閉 包 と な っ て い る.
を 与 え る こ とに よ って 位 相 を 定 め る
ク ラ トフ ス キ ー(Kuratowski)の
公 理 系 と よば れ
て い る. 証 明 A={F│F=F}がA1−A3を
み た す こ と を 示 せ ば,OはO1−O3を
み た す こ とが わ か る. A1:K1よ
り φ ∈Aで
X∈Aが
りX⊃X,し
た が っ てX=Xで
あ り,
わ か る.
A2:F1,F2∈Aの ∈Aで
あ り,K3よ
と き,K2よ
あ る.任
A3:K2よ
で あ る.し
り
だ か ら,F1∪F2
意 の 有 限 個 の 和 集 合 に つ い て は,こ
り,任
意 のA,B∈2Xに
た が って 一 般 に
対 し
れ よ り帰 納 法 で 示 さ れ る .
が 成 り立 つ.Fλ ∈Aな
らば こ の 右 辺 は
に 等 しい か ら,K3と
合 わせて
が わ か る. 後 半 は つ ぎ の よ うに 示 さ れ る.K4よ りAはAを A3の
含 む 閉 集 合 で あ る.ま
りA∈Aで
あ り,し
た が っ てK3よ
た 任 意 の 閉 集 合F⊃Aを
証 明 で 示 さ れ る よ う に,F=F⊃Aが
と れ ば,上
成 り 立 つ か ら,AはAを
含む 最
小 の 閉 集 合 で あ る. 例 題7.
(証 終)
公 理 系K1−K4のK2は4.3例
とK2″:'AUB⊂AUB'で りK2'が
た 逆 は4.3例
例 題8.
題6の
お き か え て よ い.
〔解 〕 K1−K4よ ら れ た.ま
の
結 論 さ れ る こ と は,上
題7で
の 定 理 のA3の
示 さ れ て い る.
証 明で見 (以 上)
(ⅰ) O={U│U=IntU}.
(ⅱ)
例 題9.
IntX=X,
Int(A∩B)=IntA∩IntB,
IntA⊂A,
Int(IntA)=IntA.
定 理6.6と
6.2 連
続
写
同 様 の こ と がIntに
つ い て も 成 り立 つ.
像
上 に 述 べ られ た よ うに,位 相 空 間 は 開 集 合 族,閉
集 合 族,閉
包 な どの概念 の
与 え られ た 集 合 で あ る.し た が って 位 相 空 間 の 間 の 写 像 もそ れ らの 構 造 を か え な い も の が 重 要 で あ る. 定 理6.7
位 相 空 間X,Yと
写 像f:X→Yが
与 え られ た とす る.こ の と
き つ ぎ の 命 題 は 互 に 同 値 で あ る. (1) (2) X,Yの き,各
基 本 近 傍 系U*(x)(x∈X),U*(y)(y∈Y)が
点x∈Xに
U*(x)が (3)
お い て,V∈U*(f(x))な
存 在 す る. Yの
開 基O*(Y)が
与 え られ た と き,
らばW⊂f−1(V)と
与 え られ た と な るW∈
(4) (5)
任 意 のA(⊂X)に
対 しf(A)⊂f(A).
証 明 (1)⇒(2):V∈U*(f(x))な
らばf(x)∈V∈O(Y)だ
よ りx∈f−1(V)∈O(X),し
た が っ て 補 題6.1よ
(2)⇒(1):U∈〓(Y),x∈f−1(U)な りV⊂Uと
り 求 め るWが
らば,f(x)∈Uだ
な るV∈U*(f(x))が
存 在 す る.し
るW∈U*(x)はW⊂f−1(V)⊂f−1(U)と f−1(U)∈O(X)で
か ら(1) 存 在 す る.
か ら 補 題6.1よ
た が っ て(2)に
よ り存 在 す
な る か ら,再
び 補 題6.1よ
り
定 理4.13の
証 明 と ま った く同
あ る.
(1)⇔(3),(1)⇔(4),(5)⇒(4)は 様 に 示 さ れ る. (4)⇒(5):A⊂f−1(f(A))⊂f−1(f(A))で,最 合 だ か らA⊂f−1(f(A)),し こ の 同 値 な 命 題 の1つ
後 の 項 は(4)よ
り閉 集
た が っ てf(A)⊂f(A). が 成 り立 つ と き,写
ま た 写 像f:X→Yは,上
(証 終)
像f:X→Yを
の(2)が1点x∈Xで
連 続 写 像 と い う. 成 り立 つ と き,点xで
連 続 で あ る と い う. 写 像f:X→Yは い い,同
であ る とき開写 像 であ る と
様 に
で あ る と き 閉 写 像 で あ る と い う.
連 続 写 像 に 関 す る つ ぎ の 定 理 は 定 理4.14と 定 理6.8
(ⅰ) 恒 等 写 像1X:X→Xは
連 続 で あ る.
(ⅱ) 連 続 写 像f:X→Y,g:Y→Zの 例 題1.
写 像f:X→Yは
例 題2.
連 続 写 像 は 開(ま
同 様 に 容 易 に 示 さ れ る.
合 成g°f:x→Zは 各 点x∈Xで た は 閉)写
連 続 で あ る.
連 続 な ら ば 連 続 で あ る. 像 と は 限 らず,ま
た開 写像 は 閉写像 と
は 限 ら な い. 〔解 〕 2.4例 例 題3.
題4,3.2例
開(閉)写
位 相 空 間X,Yの
題13参
像 の 合 成 は 開(閉)写
(以 上) 像 で あ る.
間 の 全 単 射f:X→Yお
と も に 連 続 で あ る と き,fを ま た 同 相 写 像
照.
同 相 写 像 と い い, が 存 在 す る と き,位
よ び そ の 逆 写 像f−1:Y∼Xが で 表 わ す. 相 空 間XとYは
同相 で あ る
と い い,
で 表 わ す. こ の と き,上
の 定 理 よ り定 理4.16は
位 相 空 間 の 同 相 写 像 に 関 して も成 り立
ち,位 相 空 間 が 同 相 で あ る とい う関 係〓 は 同 値 関 係 で あ る,す な わ ち
で あ る こ とが わ か る. ま た 定 理6.7よ
り,同 相 写 像 で あ るた め の 条 件 を 与 え る つ ぎ の 定 理 が 成 り
立 つ. 定 理6.9
位 相 空 間 の 全 単 射f:X→Yが
条 件 の ど の1つ
も必 要 十 分 で あ る.
(1)
U∈O(Y)⇔f−1(U)∈O(X).
(2)
F∈A(Y)⇔f−1(F)∈A(Y).
(3)
任 意 のA⊂Xに
対 しf(A)=f(A).
位 相 空 間 に お け る性 質(ま
た は 量)で
は 位 相 不 変 性(ま
よ ば れ る.
例 題4.
同相 写像 であ る ため には つ ぎ の
た は 量)と
連 続 な 全 単 射f:X→Yは
同相 写像 に よ って不 変に 保た れ るもの
開(ま
た は 閉)写 像 で あ れ ば 同 相 写 像
で あ る. 例 題5.
連 続 写 像f:X→Yが
→Xでg°f=1X,f°g=1Yを 連 続 写 像 に 関 連 し て,同
同 相 写 像 で あ る た め に は,連
続 写 像g:y
み た す も の の 存 在 が 必 要 十 分 で あ る. じ集 合Xに
対 す る2つ の 位 相 空 間
(X,O1),(X,O2) に つ い て 考 えよ う.お の お の の 開 集 合 族O1,O2が 位 相 空 間 は 同 じ位 相 空 間 で あ るが,一
一 致 す る と き,こ
の2つ の
般 に は 異 な る も の が 存 在 す る.
位 相 空 間(X,O1),(X,O2)に
お い て,O1⊃O2で
(X,O1)の
位 相 τ2よ り強 い,ま た は τ2は τ1よ り弱
い と い い,記
位 相 τ1は(X,O2)の 号
τ1≧τ2
あ る と き,位 相 空 間
で 表 わ す. こ の と き 定 義 よ りた だ ち に つ ぎ の 定 理 が 成 り立 つ. 定 理6.10 O1,O2で
集 合Xで
定 義 され た2つ
定 め られ て い る とす る.こ
の位 相
τ1,τ2が そ れ ぞ れ 開 集 合 族
の と き τ1≧τ2で あ る た め に は 恒 等 写 像
1X:(X,O1)→(X,O2) が 連 続 で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る. ま た,位
相 τ1,τ2の 閉 集 合 族 をA1,A2と
す る と き,A1⊃A2で
あ るこ
と も必 要 十 分 で あ る. 集 合Xを Tに
固 定 し て,そ
の 上 で 定 義 さ れ る位 相 τ 全 体 の 集 合Tを
お け る 位 相 の 強 弱 の 関 係 ≧ は,集
の だ か ら,明 Tの
合 族 の 包 含 関 係 に よ っ て 定 め られ た も
らか に 順 序 関 係 で あ り,順 序 集 合(T,≧)が
も っ と も強 い 元 は 明 らか にXの
考 え よ う.
離 散 位 相 で,も
得 られ る. っ とも弱い 元 は密 着位
相 で あ る. こ の 順 序 集 合Tは 性 質 はTの
も ち ろ ん 全 順 序 集 合 とは 限 らな い が,そ
の い ち じ る しい
任 意 の 部 分 集 合 は 上 限 お よ び 下 限 を も つ こ とで あ る.
定 理6.11
集 合X上
の 開 集 合 族 をOλ
の 位 相 の 集 合{τλ│λ∈Λ}が与 え られ た と し,位 相 τλ
とす る.こ の と き
は 開 集 合 族 の 条 件 を み た し,
O0が 定 め る 位 相 は す べ て のτλ(λ∈Λ)よ り弱 い 位 相 の 中 で も っ と も 強 い も の, す な わ ち 下 限
で あ る.
証 明 O0がO1−O3を に 示 さ れ る.さ ば
み た す こ と は 各Oλ
らに 各 λ に 対 しO0⊂Oλ
で あ り,ま た
とな るか ら,後 半 は 明 らか.
定 理6.12
集 合Xの
任 意 の 部 分 集 合 族O0が
す る集 合 を す べ て 開 集 合 とす るXの 実 際,O°
が そ うで あ る こ と か ら た だ ち な ら (証終) 与 え られ た と き,O°
に属
位 相 の うち も っ と も 弱 い 位 相 が 存 在 す る.
に 属 す る集 合 の 任 意 の 有 限 個 の 共 通 部 分 お よ びXが
つ く る集 合 族
(6.3)
を 開 基 とす る位 相 が そ の よ うな も の で あ る. 証 明 O° を 含 む 任 意 の 開 集 合 族Oλ
の 共 通 部 分O0=∩Oλ
は上 の定理 よ
り求 め る 位 相 を 定 め る. O0のO1,O2とO°
⊂O0よ
定 義 さ れ るOを
考 え れ ば,O0のO3よ
ま たO*の
定 義 よ り,O°
明 ら か で あ る.し O=O0が
りO*⊂O0で
あ り,さ
らにO*よ
りO⊂O0と
⊂O*⊂Oお
な る.
よ びO*がO1*,O2*を
た が っ て 定 理6.3(ⅱ)よ
りOは
り(6.1)で
み た す こ とは
開 集 合 族 で あ り,求
わ か る .
こ の 定 理 のXの
める
(証 終) 位 相 を 集 合 族O°
に よ り生 成 さ れ る 位 相 ま た はO°
を 準開
基 と す る 位 相 と い う. 系6.13
集 合X上
が 存 在 す る.実
の 任 意 の 位 相 の 集 合 際 τλ の 開 集 合 族 をOλ
に 対 し て 上 限 とす る と き,
を準 開 基 と
す る 位 相 が そ の 上 限 で あ る. 例 題6.
位 相 空 間 の 連 続 写 像f:(X,O(X))→(Y,O(Y))が
と き,O(X)よ
り強 い 位 相 を も つ 任 意 の(X,O1(X))お
弱 い 位 相 を も つ 任 意 の(Y,O2(Y))に
与 え られ た よ びO(Y)よ
り
対 しf:(X,O1(X))→(Y,O2(Y))
は 連 続 で あ る. 〔解 〕 後 のfは
の 合 成 に 等 し い か ら,定
理6.10,6.8(ⅱ)よ
り求 め る 結 果 が 成 り立 つ . (以 上)
例 題7. と き,fが
位 相 空 間 の 写 像f:X→YとYの
準 開 基O°(Y)が
与 え られ た
連続 で あ るため に は
で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る. 〔 解 〕 必 要 は 明 らか.逆 にO°(Y)よ り(6.3)に よ り定 義 され る 開 基 O*(Y)を 考 えれ ば ,条 件 が 成 り立 て ば(1.18)を 用 い て 定 理6.7の(3) の 成 り立 つ こ とが わ か る. 例 題8.
(以上)
離 散 空 間 か らの 任 意 の 写 像 お よび 密 着 空 間 へ の 任 意 の 写 像 は つ ね
に 連 続 で あ る.
例 題9.
集 合Xの2つ
の 位 相 τ1,τ2が 基 本 近 傍 系U1*(x),U2*(x)(x∈X)
で 与 え ら れ て い る と き,τ1≦
τ2で あ る た め に は6.1例
題4の(1)が
必要 十
分 で あ る. 〔解 〕 そ の6.1例 例 題10.
題4の
Xの2つ
解 で 示 さ れ て い る.
の位相
τ1,τ2が 開 基O1*,O2*で
τ1≦ τ2で あ る た め に は6.1例 例 題11.
集 合X上
d2に
題5の(1)が
の2つ
に 対 しd1(x,y)≦d2(x,y)が
(以 上) 与 え ら れ て い る と き,
必 要 十 分 で あ る.
の 距 離 函 数d1,d2が
与 え られ て,任
成 り立 つ な らば,d1に
意 のx,y∈X
よ り与 え られ る 距 離 位 相 は
よ り与 え ら れ る も の よ り も 弱 い.
〔解 〕 ε 近 傍 に 関 し
が 成 り 立 つ か ら,例 題9よ
だ ち に 示 さ れ る.
りた
(以 上)
6.3 部 分 空 間,積
空間
与え られ た 位 相 空 間 か ら 自然 に 誘 導 され る 相 対 位 相,積
位 相 に つい て述 べ よ
う. 位 相 空 間Xと
そ の部 分 集 合Aが
与 え られ た と き,Aの
部 分集 合族
O(A)={U∩A│U∈O(X)} はO1−O3を
でO1が
み た す.実
成 り立 つ.ま
際X,φ
∈O(X)だ
か ら
たU1,…Un∈O(X)な
らばU1∩
…
∩Un∈O(X)
だか ら (U1∩A)∩ し た が っ てO2も こ のO(A)に
…
∩(Un∩A)=(U1…
成 り立 ち,O3も
∩Un)∩A∈O(A),
ま っ た く 同 様 で あ る.
よ り定 ま る 位 相 空 間A=(A,O(A))をXの
空 間 と い い,こ
の 位 相 をAのXに
た と え ば,距
離 空 間Xの
部 分(位
関 す る 相 対 位 相 と い う.
部 分 距 離 空 間Aの
距 離 位 相 は 定 理4.5よ
の 距 離 位 相 に 関 す る 相 対 位 相 で あ る. 明 らか にXの
相)
部 分 空 間 の 部 分 空 間 は ま たXの
部 分 空 間 で あ る.
りX
相 対 位 相 に つ い て つ ぎ の定 理 が 成 り立 つ. 定 理6.14
Xを
位 相 空 間,Aを
そ の 部 分 空 間 とす れ ば つ ぎ が 成 り立 つ.
(ⅰ) U*(x)(x∈X)をXの はAの
基 本 近 傍 系 とす れ ば,
基 本 近 傍 系 で あ る.
(ⅱ) A(A)={F∩A│F∈A(X)}. (ⅲ) 任 意 の 集 合B(⊂A)に い.こ
こにBはXに
対 し,Aに
よ りU′=U∩Aで
任 意 の 近 傍x∈U′
あ るU∈O(X)が
と な るV∈U*(x)を
等 し
∈O(A)に
対 し,O(A)の
定義
存 在 す る.こ の と きx∈Uだ
と る こ とが で き,
て{V∩A│V∈U*(x)}はxの
とな る.し
たが っ
り明 らか.
(ⅲ) 明 らか にB⊂B∩Aで らにBを
か らV⊂U
基 本 近 傍 系 で あ る.
(ⅱ) A−(F∩A)=A∩(X−F)よ
(F∈A(X))と
閉 包 はB∩Aに
お け る 閉 包.
証 明 (ⅰ) 点x∈Aの
で あ る.さ
お け るBの
あ り,ま た(ⅱ)よ
含 むAの
任 意 の 閉 集 合F′
表 わ さ れ,B⊂F′ が 成 り立 つ.こ
⊂Fだ
りB∩AはAの は(ⅱ)よ
か らB⊂F=F,し
れ らはB∩AがBを
閉集 合 りF′=F∩A
た が っ て
含 む 最 小のAの
閉集 合 で
あ る こ とを 示 し て い るか ら,求 め る結 果 が 成 り立 つ.
(証終)
さ らに 相 対 位 相 は つ ぎ の よ うに 定 義 す る こ と も で き る. 定 理6.15 空 間Aか なAの
位 相 空 間Xの
部 分 集 合Aに
らの 連 続 写 像 で あ り,さ
らにAの
対 し,包 含 写 像i:A⊂Xは 相 対 位 相 はiが
部分
連 続 とな る よ う
位 相 の うち で も っ と も弱 い も の で あ る.
証 明 相 対 位 相 に 関 しiが連 続 で あ る こ と は 定 義 よ り明 らか で あ る. ま たiが O1(A)と
連 続 で あ る よ うなAの す る.こ
=i−1(U)∈O1(A)で
の と き,任 あ り,こ
任 意 の 位 相 τ1を 考 え,そ
意 のU∈O(X)に
の 開 集 合族を
対 し連 続 の 定 義 よ りU∩A
れ は 相 対 位 相 が τ1よ り弱 い こ と を 示 して い る. (証終)
例 題1.
連 続 写 像f:X→Yと
る も の に 対 し,写 像f′:A→Bで
部 分 空 間A⊂X,B⊂Yでf(A)⊂Bで
あ
を み た す も の が 定 ま る が,こ 〔解 〕 Bの
開 集 合U′
のf′
はYの
は 連 続 で あ る. あ る 開 集 合Uに
よ りU′=U∩Bと
表わ さ
れ る か ら, f′−1(U′)=f′−1(U∩B)=f′−1(i′−1(U))=(i′°f′)−1(U) =(f°i)−1(U)=i−1(f−1(U))=f−1(U)∩A はAの
開 集 合 で あ る.
例 題2. O*が ∈O*}は
(以 上)
位 相 空 間Xの
部 分 空 間Aの
開 基(ま
開 基(ま
た は 準 開 基)な
た は 準 開 基)と
ら ば,{V∩A│V
な る.
〔 解 〕 任 意 のU∈O(X)が
と表 わ され れ ば,
と な る こ と か らた だ ち に 示 さ れ る.準 開 基 に つ い て も同 様 で あ る. 例 題3
AがXの
で 開(閉)で 例 題4.
開(閉)集
合 な らば,Aの
合 はX
あ る. 定 理6.14の(ⅲ)と
関 連 して,Aに
(IntB)∩Aと
一 致 す る とは 限 らな い.
〔解 〕 4.2例
題7参
例 題5.
す べ て の 開(閉)集
(以上)
照.
位 相 空 間Xの
を み た す も の と,部 i,j=1,…,nに
関 す る内 部IntABは
(以 上) 有 限 個 の 閉(開)集
分 空 間Fiか
合F1,…,FnでX=F1∪
…
∪Fn
ら の 連 続 写 像fi:Fi→Y(i=1,…,n)で
対 し fi│Fi∩Fj=fj│Fi∩Fj
を み た す も の がえ
られ た とす る.こ
の とき
f(x)=fi(x)(x∈Fi,i=1,…,n) に よ り(一
意)写
〔解 〕 F∈A(Y)に よ りXの
像f:X→Yが
定 義 で き る が,こ
対 し,仮
閉 集 合 で あ る.ま
れ は 連 続 で あ る.
定 よ りfi−1(F)はXiの,し
た 明 らか に
f−1(F)=f1−1(F)∪
…
∪fn−1(F)
た が っ て 例 題3
各
だ か ら,A2よ
り これ はXの
閉 集 合 で あ る.こ れ は 定 義 よ りfが
連続 で あ る
こ と を 示 して い る. F1,…,Fnが
開 集 合 の と き はF∈O(Y)を
と き はO3が
と っ て 同 様 に 示 さ れ る,(こ
つ かえ る か ら無 限 個 で も よ い).
の
(以上)
つ ぎ に 位 相 空 間 の 直 積 に お け る位 相 を 考 え よ う. 位 相 空 間X1,X2が
与 え られ た と き,そ
は 定 理6.3のO1*,O2*を が 成
り 立 つ.ま
み た す.実
たU1×U2,U1′
だ か ら,O(Xi)に か り,O2*も
だ か らO1* らば
り こ れ はO*(X1×X2)に
属す る こ とが わ
成 り立 つ. 集 合U1×U2を
初 等 開 集 合 と い うが,初
体O*(X1×X2)を
開 基 と す る 直 積X1×X2の
与 えたX1×X2を
積(位 り,直
相)空
等開 集 合 の全
位 相 を 積 位 相 と い い,積
位相 を
間 と い う.
積 距 離 空 間 の 距 離 位 相 は 積 位 相 と一 致 す る.
つ ぎ の 定 理 は 定 理4.15,3.1例 定 理6.16
部分 集 合族
際
×U2′ ∈O*(X1×X2)な
つ い て のO2よ
こ のO*(X1×X2)の
定 理4.6よ
の 直 積X1×X2の
題9と
(ⅰ) 積 空 間X1×X2か
ま っ た く 同 様 に 示 さ れ る. ら の 自 然 な 射 影pi:X1×X2→Xiは
連 続 な 開 写 像 で あ る,(i=1,2). (ⅱ) 位 相 空 間Yか
ら の 写 像f:Y→X1×X2が
と の 合 成pi°f:Y→Xi(i=1,2)が (ⅲ)
連 続 で あ る こ と と,射
影
連 続 で あ る こ と は 同 値 で あ る.
連 続 写 像fi:Xi→Yi(i=1,2)の
直 積
は
連 続 で あ る. 例 題6.
Fi∈A(Xi)の
〔解 〕 定 理4.11と 例 題7. x2)∈X1×X2の
Xiの
直 積F1×F2は
積 空 間X1×X2の
ま っ た く 同 様 で あ る. 基 本 近 傍 系Ui*(xi)(xi∈Xi)が
基 本 近 傍 系 と して U*(x)={V1×V2│Vi∈Ui*(xi)(i=1,2)}
閉 集 合 で あ る. (以 上)
与え
られ た と き,x=(x1,
を と る こ とが で き る. 〔解 〕 定 義 よ りほ とん ど 明 らか. 例 題8.
Xiの
開 基O*(Xi)が
は 積 空 間X1×X2の
(以上)
与え られ た とき,集 合 族
開 基 で あ る.
〔解 〕 上 の 例 題 と開 基 の 定 義 の と こ ろ で 述 べ た 開 基 と基 本 近 傍 系 と の 関 係 よ りた だ ち に 示 さ れ る. 例 題9.
(以上)
積 空 間X1×X2に
〔解 〕 例 題6よ
おいて
りA1×A2はA1×A2を
の 任 意 の 閉 集 合F⊃A1×A2を
含 む 閉 集 合 で あ る.い
と れ ば,開
集 合X1×X2−Fは
まX1×X2 初 等 開集 合 に
よ り
と 表 わ さ れ る.こ
の と き各
ま た は
て
だ か ら,
と な る.前 者 な らばX1−U1λ で あ り,
ば と な る.こ
λ∈ Λ に 対 し
が 得 られ る か ら,い
が 得 ら れ る.同
⊃A1,し
たが っ
様 に後者 な ら
ず れ の 場 合 も
れ は
す な わ ちF⊃A1×A2を
か ら,A1×A2はA1×A2を
示す
含 む 最 小 の 閉 集 合 で あ る こ と が わ か り,求
等 式 が 成 り 立 つ. 例 題10.
める
(以 上)
連 続 函 数f1,f2:X→Bに
対 し,
f(x)=max{f1(x),f2(x)}(x∈X) で 定 義 さ れ る 写 像f:X→Rは
連 続 で あ る.maxの
〔解 〕 写 像 の 対(f1,f2):X→R2は φ(a1,a2)=max{a1,a2}で 続 だ か ら,定 例 題11.
理6.8(ⅱ)よ
与え
か わ りにminで
定 理6.16(ⅱ)よ られ る 写 像φ:R2→Rは3.1例
り合 成f=φ°(f1,f2)も
開 写 像fi:Xi→Yi(i=1,2)の
直 積
も 同 様.
り連 続 で あ る.ま 題11よ 連 続 で あ る.
た り連
(以 上) も
開 写 像 で あ る.開
を 閉 と す る と き こ れ は 限 ず し も 成 り立 た な い.
〔解 〕 (1.17)′
よ りX1×X2の
Y1×Y2で
初 等 開 集 合U1×U2のf1×f2に
る.恒
開 で あ る こ と を 示 せ ば よ い が,そ 等 写 像1:X1→X1と
れ は(1.22)よ
りた だ ち に 示 され
定 値 写 像0:X2→{x2}は
よ る像 が
閉 写 像 で あ る が,直
は 自 然 な 射 影 で あ り,3.2例
題13よ
り閉 写 像
と は 限 ら な い. 例 題12.
(以上)
x1∈X1を
固 定 し た と き,
で 定 義 さ れ る写 像, の 部 分 空 間{x1}×X2へ x2∈X2を
はX2か
ら積 空 間X1×X2
の 同 相 写 像 で あ る.
固 定 した と き,同
に つ い て も 同 様 で あ る,(定
様 に 定 義 さ れ る写 像
理3.4参
照).
〔解 〕 定 義 よ り容 易 に 示 さ れ る. 例 題13.
(ⅰ)
積
(以 上)
座 標 の い れ か え に よ る 自 然 な 全 単 射X1×X2∼X1×X2は
同
相 写 像 で あ る. (ⅱ)
自 然 に(X1×X2)×X3とX1×(X2×X3)と
は 同 相 で あ る.
〔解 〕 開 基 の 集 合 で あ る 初 等 開 集 合 を 考 え れ ば 例 題8よ 例 題14.
定 理6.16(ⅲ)でf1,f2が
り 明 ら か. (以 上)
同 相 写 像 な らばf1×f2も
同相 写 像 で
あ る. 例 題15.
直 積X1×X2に
お い て,自
連 続 と な る よ う なX1×X2の 〔解 〕 定 理6.16(ⅰ)よ
も っ と も 弱 い 位 相 は 積 位 相 で あ る. り積 位 相 に 関 しpiは
続 と な る よ う な 任 意 の 位 相 を 考 え,そ 6.16(ⅱ)に 空 間)と 1X1×X2は
然 な 射 影pi:X1×X2→Xi(i=1,2)が
連 続 で あ る.ま
の 開 集 合 族 をO1と
たp1,p2が
す る.こ
の とき定 理
お い てY=(X1×X2,O1),
(積
す れ ば,pi°f=pi:(X1×X2,O1)→Xiは 連 続 で あ る.し
た が っ て 定 理6.10よ
位 相 よ り強 い こ と が わ か り,求
連
仮 定 よ り連 続 だ か ら,f= り(X1×X2,O1)の
め る 結 果 が 示 さ れ た.
位相 は 積 (以 上)
有 限 個 の 位 相 空 間X1,…,Xnが
与 え られ た とき,自
然 に
に を 対応 させ る全 単射
を 考 え る. こ の 右 辺 に は 順 次2つ られ,し
の 位 相 空 間 の 積 位 相 を 与 え る こ とに よ って 位 相 が 与 え
た が っ て こ の 自然 な 全 単 射 が 同 相 写 像 と な る よ うに 左 辺 に も位 相 が 導
入 され る. こ の 位 相 を もつ も の と して 有 限 個 の 位相 空 間 の 積 空 間X1× さ れ る.2つ
の 積 空 間 の 定 義 お よび 例 題8よ
… ×Xnが
定義
り,こ れ は 初 等 開 集 合
の 全 体 を 開 基 と して もつ こ とが 容 易 に わ か る. こ の 有 限 個 の 積 空 間 に つ い て も,定 理6.16は 15も
同 様 に 成 り立 つ こ とが わ か るが,さ
一 般 化 され,例
題6−9,11−
らに 次 節 に お い て 一 般 に 無 限 個 の 積
空 間 が 考 察 され る.
6.4 誘 導 さ れ た 位 相 相 対 位 相 に つ い て の 定 理6.15よ
り一 般 に,位
相 空 間Xへ
の写 像
f:Y→X が 与 え られ た と き,fが
連 続 とな る よ うなYの
位 相 の うち で も っ と も 弱 い 位
相 が 自 然 に 考 え られ る. 定 理6.17 き,Yの
集 合Yと
位 相 空 間Xお
よ び 写 像f:Y→Xが
与 え られ た と
集合族 O(Y)={f−1(U)│U∈O(X)}
はO1−O3を うなYの
み た し,こ のO(Y)が
定 め るYの
位 相 はfが
連 続 とな る よ
位 相 の うち も っ と も 弱 い も の で あ る.
証 明 O(Y)がO1−O3を (1.17)′,(1.18)′
み た す こ とはO(X)に
よ り容 易 に わ か る.こ のO(Y)に
つ い て のO1−O3と つ い てfは
明 らか に 連
続 で あ り,ま たfが
連 続 と な るYの
{f−1(U)│U∈O(X)}⊂O1(Y)と
任 意 の 開 集 合 族O1(Y)に
対 しO(Y)=
な る か ら,後 半 も成 り立 つ.
こ の 定 理 に よ っ て 定 ま る集 合Yの
位 相 を,位 相 空 間 か らX写
(証終) 像f:Y→X
に よ っ て 誘 導 され た 位 相 とい う. 位 相 空 間Xの
部 分 集 合Aの
相 対 位 相 はXか
ら包 含 写 像i:A⊂Xに
よ
り誘 導 さ れ た 位 相 で あ る. こ の 誘 導 され た 位 相 は つ ぎ の よ うに 述 べ る こ と も で き る. 定 理6.18
集 合Yか
す る.YにXか
ら位 相 空 間Xへ
らfに
の 写 像f:Y→Xが
よ り誘 導 さ れ る 位 相 を 与 え れ ば,'任
与 え られ た と 意 の 位 相 空 間Z
か らの 任 意 の 写 像 g:Z→Y が 連 続 で あ る こ と と合 成f°g:Z→Xが また 逆 に こ の''内
連 続 で あ る こ とは 同 値 で あ る'.
の 条 件 が 成 り立 つ よ うなYの
位相 はXか
らfに
よ
り誘 導 さ れ る位 相 で あ る. 証 明 (前 半)fは
連 続 だ か らgが
が 連 続 の と き,任 意 のU∈O(X)に
にf°g
対 しg−1(f−1(U))=(f°g)−1(U)∈O(Z)
で あ る.こ れ は 上 の 定 理 のO(Y)の を 示 す か らgは
連 続 な らばf°gは 連 続 で あ る.逆
定 義 よ り{g−1(V)│V∈O(Y)}⊂O(Z)
連 続 で あ る.
(後 半)位 相 空 間Y=(Y,O(Y))に こ の と き 条 件 でZ=Yと
対 し''内
とれ ば,1Y:Y→Yは
の 条 件 が 成 り立 つ とす る. 連 続 だ か らf=f°1Y:Y→X
は 連 続 で あ る. ま たf:(Y,O1(Y))→Xが
連 続 と な る任 意 のO1(Y)を
考 え る と き,条
件で Z=(Y,O1(Y)),g=1Y:(Y,O1(Y))→Y と とれ ば,f°1Y=f:(Y,O1(Y))→Xは した が っ て 定 理6.10よ
り,は
連 続 だ か ら,こ の1Yは じめ のYは(Y,O1(Y))よ
連 続 で あ る.
り弱 い 位 相 を も
つ こ とが わ か る か ら,定 義 よ りYは
誘 導 され た 位 相 を も っ て い る. (証終)
上 の よ うな 考え 方 を 用 い て,6.3例
題15を
一 般 化 して 無 限 個 の 積 空 間 が 定
義 され る. 位 相 空 間 の 族
が 与 え られ た と き,そ
の直積 集 合
お よび 自然な射影
を 考 え る. こ の と き,す べ て の
が 連 続 と な る よ うなXの
をXの
積 位 相 とい う.積 位 相 を もつ
の 積(位
相)空
も っ とも弱 い位相
を 位 相 空 間 の 族
間 とい う.
各 λ に 対 し,pλ に よ りXλ が 連 続 とな る よ うなXの
か ら誘 導 され るXの
位 相 は τλ よ り強 い.し
位 相 を τλ とす れ ば,pλ たが っ て積 位 相 はす べ て の
よ り強 い 位 相 の うち で も っ と も弱 い も の,す
な わ ち
で あ る. した が っ て 定 理6.17に
よ る τλ の 開 集 合 族
を 考 え る と き,系6.13よ
り積 空 間Xは
を 準 開 基 とす る位 相,す (6.3)のO*を O*に
な わ ちO°
の集 合 の任 意 の有 限個 の共通 部 分が つ くる
開 基 とす る位 相 で あ る こ とが わ か る.
属 す る 集 合 は(6.3)よ
り
の 形 の 集 合 で あ り,こ れ を 積 空 間Xの
に対 す る
初 等 開 集 合 とい う.
上 に 述 べ られ た こ とか らつ ぎ の 定 理 が 示 さ れ た. 定 理6.19
積 空 間
と くに 辺Λ={1,…,n}の
は 初 等 開 集 合 の 全 体O*を と き,こ
の積 空 間X1×
開 基 に も つ.
… ×Xnは
前節 の最 後 で述
べ られ た も の と一 致 して い る. つ ぎ の 定 理 は 定 理6.16の 定 理6.20
一 般 化 で あ る.
(ⅰ) 積 空 間 か らの 自然 な 射 影
は連 続
な 開 写 像 で あ る. (ⅱ) 位 相 空 間Yか
ら の 写 像
の 合 成
が 連 続 で あ る こ と と,射 影 と
が す べ て 連 続 で あ る こ と と は 同 値 で あ る.
(ⅲ) 連 続 写 像 の 族
の 直 積
は
連 続 で あ る. 証 明 (ⅰ) 定 義 お よび 上 の 定 理 よ り明 らか. (ⅱ) fが
連 続 な らば(ⅰ)よ
りpλ°fも 連 続 で あ る.
こ の 逆 を 示 す た め に 定 理6.19の な らば 定 理6.18の 空 間Xの 6.2例
前 半 よ り,f:Y→(X,Oλ)は
準 開 基
題7よ
前 の 記 号 を 用 い る.
連 続 で あ る.し た が って 積
の 各 集 合 のfに
りfは
が 連続
よ る 原 像 はYで
開 で あ り,
連 続 で あ る こ と が わ か る.
(ⅲ) (ⅱ)と
よ りた だ ち に 示 され る.
例 題1.
の 直 積
は 積 空 間
〔 解 〕
の 閉 集 合 で あ る.
で あ る か ら,定 理6.19とO3よ
り求 め る結 果 が 成 り立 つ. 例 題2.
(証終)
各Xλ
(以上)
の 開 基O*(Xλ)が
与 え られ た と き,O*(Xλ)の
る 初 等 開 集 合 あ る.(6.3例
の 全 体 は 積 空 間
題8参
集合に よ の開 基 で
照)
例 題3.
6.3例
題9,11−14は
一 般 の 積 空 間
例 題4.
ヒル ベ トの 平 行 体INの
に 対 し 同 様 に 成 り立 つ.
距 離 位 相 はI=[0,1]の
可 算 個 の積 位相
と一 致 す る. 〔 解 〕 4.2例 例 題5.
題12と
定 理6.19に
定 理6.20(ⅱ)が
よ る.
任 意 のYとfに
(以上) 対 して 成 り立 つ よ うな 直 積
の 位 相 は 積 位 相 で あ る. 〔 解 〕 定 理6.18の
後 半 の 証 明 を 一 般 化 し て 証 明 で き る.
(以上)
注 意 例 題1に
関 連 して,
れ ば 一 般 に は 積 空 間
の 直 積
が 無限集 合 で あ
の 開 集 合 とは 限 らな い.し か し集 合 族
が 開 基 の 条 件O1*,O2*を す る 直 積
はΛ
み た す こ と は 容 易 に わ か り,こ れ を 開 基 と
の 位 相 も 考 え られ る.こ
の 位 相 は 積 空 間 の 強 位 相 と よ ば れ,
これ に 対 し上 に 述 べ られ た も の を 弱 位 相 とい う こ とが あ る. 定 理6.17と
双 対 的 に,位
相 空 間Xか
ら集 合Yへ
の全射
f:X→Y が 与 え られ た と き,fが
連 続 と な る よ うなYの
位 相 の うち で も っ と も強 い も
の が 自然 も 考 え られ る. 定 理6.21 き,Yの
位 相 空 間Xか
ら集 合Yへ
の 全 射f:X→Yが
与 え られ た と
位 相 空 間Y=Y(Y,O(Y))へ
の連続 写 像
集 合族
はO1‐O3を
み た す.さ
らにfは
とな り,ま た こ の 位 相 はfが
連 続 とな る よ うな も っ と も強 い 位 相 で あ る.
証 明 O(Y)がO1‐O3を (1.17)′,(1.18)′
連 続 で あ る こ とは 明 らか で あ る.ま た,fが
任 意 の 位 相O1(Y)を
な らばf−1(U)∈O(X),す り立 つ.し
つ い て のO1‐O3と
よ り容 易 に 示 され る.
こ の 位 相 に 関 しfが よ うなYの
み た す こ とはO(X)に
考え る と き,連
な わ ちU∈O(Y)だ
続 の 定 義 よ りU∈O1(Y)
か ら,O1(Y)⊂O(Y)が
た が って 後 半 も 示 さ れ た.
こ の 定 理 に よ るYの
成 (証終)
位 相 を 全 射f:X→Yに
に よ る 等 化 位 相 とい い,こ
連続である
よ り誘 導 され た 位 相 また はf
の 位 相 を もつ 位 相 空 間Y=(Y,O(Y))を
等化 空 間
とい う. ま た 位 相 空 間X,Yの
間 の 写 像f:X→Yが
に よ る 等 化 位 相 と一 致 して い る とき,fを これ は 位 相 空 間Xに
お い て1つ
集 合 で あ る 商 集 合X/∼
に 適 用 され る.す
全 射 で あ って,Yの
位 相 がf
等 化 写 像 とい う.
の 同 値 関 係 ∼ が 与 え られ た と き,同 値 類 の
h:X→X/∼
なわ ち
を,点x∈Xにxを
含 む 同 値 類h(x)を
商 集 合X/∼
にhに
る 等 化 空 間X/∼
対 応 さ せ る 自 然 な 全 射 と す る と き,
よ る 等 化 位 相 を 導 入 す る こ と が で き る.こ を 同 値 関 係 ∼ に よ るXの
商 空 間 と も い い,等
の と き え られ 化 写 像hを
自 然 な 射 影 と も い う. 等 化 空 間 に つ い て は つ ぎ の 定 理 が 基 本 的 で あ る,(定 定 理6.22 Y→Zが
f:X→Yが
等 化 写 像 で あ れ ば,任
連 続 で あ る こ と と 合 成g°f:X→Zが
にg°fが
連 続 な ら ば,任
=(g°f)−1(U)∈O(X)で を 示 す.し
あ り,こ
た が っ てgも
例 題6.
の 写 像g:
連 続 な ら ば 合 成g°fも
意 のU∈O(Z)に
連続で
対 しf−1(g−1(U))
れ は 等 化 位 相 の 定 義 よ りg−1(U)∈O(Y) (証 終)
よ る 等 化 位 相 はA(Y)={F│F⊂Y,f−1(F)
閉 集 合 族 と す る 位 相 で あ る.
例 題7.
連 続 写 像f:X→Yが
化 写 像 で あ る.(等 〔解 〕 fが
全 射 で 開(ま
た は 閉)写
像 な ら ば,fは
等
化 写 像 は 必 ず し も 開 ま た は 閉 写 像 と 限 ら な い.)
連 続 な ら ば,U∈O(Y)の
と きf−1(U)∈O(X)で
開 写 像 な ら ばf−1(U)∈O(X)の
と きU=f(f−1(U))∈O(Y)で
O(Y)={U│f−1(U)∈O(X)}と ま たfが
意 の 位 相 空 間Zへ
連 続 で あ る.
全 射f:X→Yに
∈A(X)}を
照).
連 続 で あ る こ と は 同 値 で あ る.
証 明 等 化 写 像 は 明 らか に 連 続 だ か ら,gが あ る.逆
理6.18参
あ る.fが あ る か ら,
な る.
閉 写 像 の と き も,f−1(U)∈O(X)す
な わ ちX−f−1(U)∈A(X)
な らば Y−U=f(f−1(Y−U))=f(X−f−1(U))∈A(Y), し た が っ てU∈O(Y)と
な り 同 様 で あ る.
例 題8.
等 化 写 像f:X→Yは
例 題9.
等 化 写 像f:X→Y,g:Y→Zの
(以 上)
単 射 な ら ば 同 相 写 像 で あ る. 合 成g°f:X→Yも
等 化写 像 で
あ る. 〔解 〕 定 理6.21よ 例 題10. らば,gは
り容 易 に 示 さ れ る.
連 続 写 像f:X→Y,g:Y→Zの 等 化 写 像 で あ る.
(以 上) 合 成g°f:X→Yが
等化 写像 な
〔解 〕 定 理1.1(ⅲ)よ
りgは
な ら ばg−1(U)∈O(Y).ま
全 射 で あ る.gは
連 続 だ か ら,U∈O(Z)
たg−1(U)∈O(Y)な
ら ばfは
連続 だ か ら
f−1(g−1(U))=(g°f)−1(U)∈O(X) で あ り,g°fが
等 化 写 像 で あ る こ と の 定 義 よ りU∈O(Z)が で あ り,gは
例 題11.
定 理6.22は
わ か る.よ
等 化 写 像 で あ る.
(以 上)
逆 も 成 り立 つ.
〔解 〕 定 理6.18の
後 半 と ま っ た く双 対 的 に 証 明 で き る,(詳
細は 読 者 に ま
か せ よ う). 例 題12.
(以 上) 位 相 空 間Xと
が 同 値x∼yで
そ の 部 分 集 合Aが
与 え られ た と き,2点x,y∈X
あ る のは x=yま
た はx∈Aか
つy∈A
の と き と 定 義 す れ ば 同 値 関 係 ∼ が え ら れ る.こ Aを1点
に 縮 め た 空 間 と い い,X/Aで
の と き 等 化 空 間X/∼
I=[0,1]よ
実 数 空 間Rよ り2点0,1を
円 周S1(⊂R2)は
(以 上)
り得 ら れ る 商 空 間T=R/Z(1.4例
題8),閉
区間
同 一 視 し て 得 られ る 等 化 空 間I/I(I={0,1})お
よび
互 に 自然 に 同 相 で あ る.
〔 解 〕 右 図 に お い てh1,h2を 写 像 とす れ ば,定 全 単 射iが
をXで
表 わ す.
〔解 〕 同 値 関 係 で あ る こ と は ほ と ん ど 明 らか. 例 題13.
って
自然 な 射 影,iを
義 よ り明 らか に
とな る
誘 導 され る.ま たfを1.4例
題9の
定 義 さ れ た 全 射 と し,fをf=f°h1で は 連 続 だ か ら 定 理6.22よ
包含
解で
定 ま る 全 単 射 と す る.こ
りiは
連 続 で,ま
たfも
の と き,h1°i
連 続 だ か ら 同 様 にfも
連 続 で あ る. さ ら にf°iは ン パ ク ト,し た び 定 理3.18よ
閉 写 像 で あ る.実 た が っ て3.3例 り(f°i)(F)は
f°i は 等 化 写 像 で,定 め る 結 果 が 成 り立 つ.
理6.22よ
際,Iの
題3よ
閉 集 合Fは
定 理3.18よ
りそ の 像(f°i)(F)も 閉 集 合 で あ る.し
り(f°i)−1は
り点 列 コ
そ うで あ り,ふ
た が っ て 例 題7よ
た
り全 射
連 続 で あ る こ と が わ か り,求 (以 上)
例 題14. 例 題4の
n+1次
元 実 空 間Rn+1に
対 し,そ
の 部 分 空 間Rn+1−{0}か
ら1.4
同 値 関 係 ∼ に よ っ てえ られ る 商 空 間 Pn(R)=(Rn+1−{0})/∼
をn次
元(実)射
と い う.1.4例
影 空 間 と い う.と 題10よ
く に2次
りPn(R)はRn+1の
元 射 影 空 間P2(R)を 原 点0を
射 影 平面
とお る 直 線 の 集 合 で
あ る. ま たPn(R)はRn+1の
原 点0を
中 心 と す る 半 径1の
に お い て 対 心 点(中
心 に 関 し 対 称 な2点)を
単 位n球
面Sn=V1(0)
同 一 視 して え られ る等 化 空 間 と し
て よ い. 〔解 〕 右 図 に お い て,h1は
等 化 写 像,h2は
対心 点
を 同 一 視 す る 等 化 写 像 とす る.こ の と き,1.4例 の 同 値 関 係 ∼ の 定 義 よ り,Snの2点 で あ る の はxとyが
がx∼y
対 心 点 の と き と な る か ら,
iを 包 含 写 像 と す る と きh1°i=i°h2と 理6.22よ
題4
な る 単 射iが
誘 導 さ れ る.こ
のiは
定
り連 続 で あ る.
一 方r:Rn+1−{0}→Snを で定義 され る 連 続 な 全 射 と す れば,明 題10よ
りiも
ら か にi°h2°r=h1°i°r=h1で
等 化 写 像 で あ り,例
題8よ
りiは
あ る.し
た が って 例
同 相 写 像 で あ る こ とが わ か
る. 例 題15.
(以 上) 上 の 例 題 でRの
の 同 値 関 係 ∼ に よ りn次
か わ り に 複 素 直 線Cを
用 い る と き,1.4例
題5
元 複 素 射影 空 間 Pn(C)=(Cn+1−{0})/∼
が 定 義 さ れ る.こ
れ はCn+1=R2n+2の
∼ に よ る 等 化 空 間S2n+1/∼
単 位 球 面S2n+1の
上 で 考 えた 同値 関係
と して も よ い .
〔解 〕 上 の 例 題 と 同 様 に 証 明 で き る.
(以 上)
7. 可 算 公 理,連
結 性,分 離 条 件
前 章 で 考 察 され た 位 相 空 間 は 一 般 な も の で あ り,た と え ば 距 離 空 間 の よ うな わ れ わ れ が 具 体 的 に 当 面 す る空 間 の 感 じを ほ と ん ど も っ て い な い よ うな 位 相 空 間 も考 え られ よ う. こ の 意 味 か ら,種 々 の 位 相 不 変 な 条 件 を み た す 位 相 空 間 が 考 察 され る.そ うち ハ ウス ドル フ空 間 は き わ め て よ く用 い られ て い る も の で あ って,位
の
相空 間
と は ハ ウス ドル フ空 間 を 意 味 す る 場 合 も しば しば あ る.
7.1 可 算 公 理,連 位 相 空 間Xに
結性
お い て,各 点x∈Xが
傍 系
た か だ か 可 算 個 の 集 合 か らな る 基 本 近
を もつ と き,Xは
第1可
算 公理 をみ たす と
い う. た と え ば,距
離 空 間Xの
各 点xに
体 の 全 体{V1/n(x)│n∈N}はxの 距 離 空 間 は 第1可
対 し,xを
中 心 とす る 半 径1/nの
基 本 近 傍 系 と な るか ら(4.2例
題6参
開球 照),
算 公 理 を み た して い る.
第1可 算 公 理 を み た す 位 相 空 間 に お い て は,距 離 空 間 に お け る よ うに 点 列 の 収 束 の 概 念 も位 相 を 定 め る た め に 用 い る こ とが で き る. 位 相 空 間Xの
点 列{xn}が
点x∈Xに
収 束 す る の は,xの
任 意 の 近 傍U
に 対 してn0∈Nを {xn│n>n0}⊂U とな る よ うに 選 ぶ こ とが で き る と き と定 義 す る,(4.3例
題18(i)参
照).
こ の と き,点 列 の 収 束 に よ っ て 開 集 合 が 定 ま る こ とを 示 して い るつ ぎ の 定 理 が 成 り立 つ. 定 理7.1
第1可
算 公 理 を み た す 位 相 空 間Xに
開 集 合 で あ る た め に は,点x∈Uに {xn│n>n0}⊂Uと
な るn0∈Nを
収 束 す るXの
お い て,U(⊂X)がXの 任 意 の 点 列{xn}に
対し
選 ぶ こ とが で き る こ とが 必 要 十 分 で あ る.
証 明 必 要 性 は 収 束 の 定 義 よ り た だ ち に 示 さ れ る. 十 分 性 を 示 す た め に,x∈Xの
た か だ か 可 算 個 の 集 合 か らな る基 本 近 傍 系
U*(x)={V1,…,Vn,…}を (U*(x)が
と り,Wn=V1∩…∩Vn(n∈N)と
有 限 でn0個
の と き はWn=Wn0(n>n0)と
お け ば お く),
も 点xの 基 本 近 傍 系 で あ る こ とは 定 義 よ り明 らか で あ る.ま た これ は を み た して い る. Uは
開 集 合 で な い と仮 定 し よ う.こ の と き基 本 近 傍 系 の 定 義 よ り,点x∈U
が あ っ て 任 意 のWn∈U1*(x)はUに
含 まれ な い.し た が って 点xn∈Wn−U
を とる こ とが で き,Xの
得 られ る.こ
Vに
対 しWn0⊂Vと
点 列{xn}が な るn0∈Nを
が 成 り立 ち,{xn}はxに よ り
と れ ば,n>n0の
注 意 上 の定 理 の 十 分 性 は,第1可 必 ず し も成 り立 た た な い.し
と り方
分 性 が 示 され た. (証終)
算 公 理 を み た さな い 一般 の 位 相 空 間 で は
題17の
よ うな 適 当 な 条 件 を み た す 点 列 の 収 束
間 と よば れ る)空 間 の 理 論 が 展 開 され て い る.
ま た,可 算 集 合Nを
添 数 とす る点 列{xn}の
か わ りに,一
般 に 可算 とは限
を 添 数 とす る 有 向 点 列{xλ}λ∈Λを 考 え,有
向点列 の収束 に
よ っ て 位 相 を 定 め る ム ー ア(Moore)‐ い る.(こ
か し{xn}の
た が っ て 点 列 の 収 束 の 概 念 は 一般 な 位 相 を 定 め る
の に は 不 十 分 で あ る が,4.3例
らな い 有 向 集 合Λ
任 意 の近 傍
と き
収 束 す る こ とが わ か る.し
だ か ら,定 理 の 条 件 は 成 り立 た ず,十
が 定 義 され た(L空
の と き,xの
こ に 有 向集 合Λ
ス ミス(Smith)の
理論が 展開 され て
とは 順 序 集 合(Λ,≦)で,任
λ≦ν,μ ≦ν と な るν ∈Λ が 存 在 す る も の で あ る.明
意 の λ,μ∈Λ に 対 し らか にNは
有 向集 合 で
あ り,し た が っ て 有 向 点 列 は 点 列 の 一 般 化 で あ る.) 位 相 空 間Xが
た か だ か 可 算 個 の 集 合 か ら な る 開 基O*を
第2可
算 公 理 を み た す とい う.
Xが
第2可
開 基O*に x∈Xの
算 公 理 を み た せ ば,必
ず 第1可
もつ と き,Xは
算 公 理 を み た して い る.こ れ は
対 し開 基 の 定 義 の と こ ろ で 述 べ た よ うに{V│x∈V∈O*}が 基 本 近 傍 系 とな る こ とか ら明 らか で あ る.
点
定 理7.2 UがXを
位 相 空 間Xは
可 算 個U1,…,Un,… 証 明 3.3例 例 題1.
算 公 理 を み た す とす る.こ らば,Uの
題9の
の とき開集 合 族
集 合 の適 当な たか だ か
を 選 ん で{Un│n∈N}がXを
覆 う よ うに で き る.
証 明 と ま った く同 様 で あ る.
位 相 空 間Xが
分 空 間Aも せ ば,積
第2可
覆 う,す な わ ちX=∪U,な
第1(ま
た は 第2)可
そ うで あ る.ま たX1,X2が
空 間X1×X2も
(以上)
算 公 理 を み た せ ば,そ
第1(ま
た は 第2)可
の部
算 公理 を み た
そ うで あ る.
〔解 〕 前 半 は 定 理6.14(ⅰ)お
よ び6.3例
題2に
よ る.後 半 は6.3例 題7,8
に よ る.
(以上)
例 題2.
位 相 空 間Xの
部 分 集 合Aは
閉 包AがXと
稠 密 で あ る とい う.こ れ は 明 らか に,AがXの と き と して よ い.ま
一 致 す る と きXで
任 意 の 開 集 合 と共 通 点 を もつ
た 稠 密 な た か だ か 可 算 の 部 分 集 合 が 存 在 す る と き,Xは
可
分 で あ る と い う. 位 相 空 間Xは な らば 第2可
第2可
算 公 理 を み た せ ば 可 分 で あ る.(距
算 公 理 が 成 り立 つ が(定
理5.13),一
離 空 間 で は,可
分
般 の位 相 空間 で は必ず しも
そ うで は な い.) 〔解 〕 5.2例 例 題3.
題5の 解 と同 様 で あ る.
第2可
算 公 理 を み た す 離 散 空 間 は た か だ か 可 算 個 の 点 よ りな る.
〔 解 〕 上 の 例 題 よ りた か だ か 可 算 な 集 合AでA=Xと る が,離
散 空 間Xで
位 相 空 間Xに
はA=Aだ
お い て,Xの
連 結 で あ る とい う,(2.3例
題7,3.2例
照).
連 結 で あ る の は,Xお
在 しな い と き,と Xの
(以上)
開 集 合U1,U2で
上 の よ うな 開 集 合 が 存 在 す れ ば,U1=X−U2は て,Xが
な る ものが存 在 す
か ら求 め る結 果 が 成 り立 つ.
を み た す も の は 存 在 しな い と き,Xは 題16参
(以上)
閉 集 合 で もあ る.し
よび φ 以 外 に 開 かつ 閉 なXの
部分集 合は 存
して よ い.
部 分 集 合 は,部
たが っ
分 空 間 と して 連 結 の と き,連 結 で あ る とい う.
す な わ ち これ は,Xの
開 集 合U1,U2で
を み た す も の が 存 在 しな い と き で あ る. 定 理7.3 f(X)も
位 相 空 間Xが
連 結 な らば,任
意 の 連 続 写 像f:X→Yに
よ る像
連 結 で あ る.
証 明 f(X)が
連 結 で な い と仮 定 す れ ば, と な るYの
と き,f−1(U1),f−1(U2)はXの
が 成 り立 つ か ら.Xは 定 理7.4
開 集 合U1,U2が
存 在 す る.こ の
空 で な い開集 合 で
連 結 で な い.
位 相 空 間Xの
(証終)
部 分 集 合Aが
連 結 な らば,
A⊂B⊂A と な る 任 意 のBも 証 明 Bは
連 結 で あ る.
連 結 で な い とす れ ば,Xの
を み た す も の が 存 在 す る.こ
の と き,Ui∩A=φ
てB⊂A⊂X−Ui=X−Uiで
あ り,こ
っ て
開 集 合U1,U2で
で あ る が,こ
な ら ばA⊂X−Ui,し
れ は
たが っ
に 反 す る(i=1,2).よ
れ はAが
連 結 で な い こ と を 示 す. (証 終)
定 理7.5 任 意 のA,A′
位 相 空 間Xの ∈Aに
部 分 集 合 族Aに
対 しAの
で
つ い て つ ぎ が 成 り立 つ とす る:
有 限 個 の 集 合A0=A,A1,…,An−1,An=A′ を み た す も の が とれ る.
こ の と き す べ て の 集 合A∈Aが
連 結 な らば 和 集 合 ∪{A│A∈A}も
連結で
あ る. 証 明 B=∪{A│A∈A}は
連 結 で な い と仮 定 し,Xの
開 集 合U1,U2で
を み た す も の を と る. こ の と き 各A∈Aに
対 し,A⊂Bだ
か らA⊂U1∪U2,U1∩U2∩A=φ
が
成 り立 つ.し
た が っ て,も
し もU1∩AとU2∩Aが
と も に 空 で な け れ ばAは
連 結 で な い こ と に な る か ら,U1∩AとU2∩Aの ま た はA⊂U2の
一方は
φ で あ り,A⊂U1
一 方 が 成 り立 つ.
い ま
と お け ば,上
示 し た こ と か らA1∪A2=Aで
あ る.ま
と な り り,同
様 にA′
∈A2が
たA1に
属 す る 集 合 が な け れ ば,
に 反 す る.し
と れ る.こ
に
た が っ てA∈A1が
の と き 定 理 の 仮 定 よ りAの
あ
集 合 の有限 個
A0=A,A1,…,An−1,An=A′ で
を み た す も の が 存 在 す る が,m=max{i│Ai
∈A1}を
考 え よ う.An=A′
A1,Am+1∈A2が
∈A2だ
か らm