Петров И. Б. Дата: 12.03.2019 E-mail:
[email protected] Св-во о публикации № 219031201958
Утверждение о конечной сумме цифр многозначного простого числа. Формулировка: Конечная сумма цифр любого многозначного простого числа не равна 9, а само это простое число не кратно конечной сумме своих цифр, за исключением, когда эта сумма равна 1. Определение. Простое число — это натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя
[1]
.
Определение. Конечной суммой цифр числа называется сумма цифр его составляющих, полученная в ходе итеративного (многократного) сложения до получения одной цифры. Пример. Пусть дано число: 236. Конечная сумма цифр числа будет равна 2: Итерация 1. 2 + 3 + 6 = 11; Итерация 2. 1 + 1 = 2. Лемма 1: Любое многозначное натуральное число, конечная сумма цифр которого равна девяти, имеет более двух делителей. Доказательство леммы: Пусть Sk(n), n ∈ N – сумма цифр натурального числа n состоящее из k цифр. Тогда верно равенство: n ≡ Sk(n) (mod 9). Так как при формировании многозначного натурального числа для каждого его значения разряда r1...k мы заменяем его на меньшее число nr1...k, сравнимое с исходном по модулю 9. То есть значение цифры, соответствующей каждому разряду исходного многозначного числа будет равно: r1...k mod 9. В конечном счете, если конечная сумма цифр числа n равна 9, то и само число n кратно 9. Это следует из представления сравнимости чисел n и 9 по модулю 9: n ≡ 9 (mod 9), 9 mod 9 = 0, Sk(n) = 9; которое также можно представить в виде выражения: n = 9 + 9h, h ∈ Z [2], то есть в виде n = 9(1 + h).
Таким образом исходное число n имеет как минимум три делителя: 1, 9, n (само себя). Что и требовалось доказать. Математические представление доказательства: S(n), n ∈ N; n = nr1 nr2 … nrk, nr1...k ∈ N; nr1...k = r1...k mod 9; Sk(nr1...k) = S[(r1 + r2 + … + rk) mod 9]; n ≡ Sk(n) (mod 9); Sk(n) = 9 ⇒ n = 9 + 9h, h ∈ Z; 9 + 9h / 9; 9(1 + h) / 9 = 1 + h ⇒ (9 + 9h) | 9 Sk(n) = 9 ⇒ n | 9. Лемма 2: Любое многозначное простое число не кратно конечной сумме своих цифр. Доказательство леммы: Представим, что существует такое многозначное простое число, которое кратно конечной сумме своих цифр: Sk(p), p ∈ N – сумма цифр простого числа p состоящее из k цифр. Допустим, что число p кратно Sk(p), тогда: p | Sk(p) ⇒ p ≡ Sk(p) (mod 9); p = Sk(p) + Sk(p)∙h, h ∈ Z; p = Sk(p)[1 + h]; h = [Sk(p) / p] – 1. Из определения простого числа следует, что оно имеет только два делителя: 1 и самого себя. Так как Sk(p) ≠ p (по своему определению, так как Sk(p) не многозначное число в отличие от p), то Sk(p) / p ∉ N ⇒ h ∉ Z, что противоречит свойству сравнимости чисел. Пример. Пусть дано число: 115249. Тогда: n = 115249; k = 6; r1 = 100000; r2 = 10000; r3 = 5000;
r4 = 200; r5 = 40; r6 = 9; nr1 = r1 mod 9 = 100000 mod 9 = 1; nr2 = r2 mod 9 = 10000 mod 9 = 1; nr3 = r3 mod 9 = 5000 mod 9 = 5; nr4 = r4 mod 9 = 200 mod 9 = 2; nr5 = r5 mod 9 = 40 mod 9 = 4; nr6 = r6 mod 9 = 9 mod 9 = 0 ⇒ nr6 = r6 = 9; n = 1 1 5 2 4 9; Sk(nr1...5) = S[(100000 + 10000 + 5000 + 200 + 40 + 9) mod 9] = 4; n ≡ Sk(n) (mod 9); 115249 ≡ 4 mod 9; 115249 = 4 + 4h; 4h = 115249 – 4; 4h = 115245; h = 115245 / 4 = 28811,25. Из условий леммы 1 следует, что если конечная сумма цифр любого натурального числа равна 9, то такое число имеет минимум три делителя, а значит не является простым. Из условия леммы 2 следует, что любое многозначное простое число не может быть кратно конечной сумме цифр его составляющих. Список использованной литературы: [1] Простое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 4. [2] Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952.— С.41—45.— 180с.
