Современная математика. Фундаментальные направления. Том 3 (2003). С. 43–62 УДК 517.95+517.958
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ...
4 downloads
119 Views
241KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Современная математика. Фундаментальные направления. Том 3 (2003). С. 43–62 УДК 517.95+517.958
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ c 2003 г.
В. А. СОЛОННИКОВ
АННОТАЦИЯ. В работе рассматривается задача устойчивости фигур равновесия для равномерно вращающейся вязкой несжимаемой самогравитирующей жидкой массы, подверженной действию капиллярных сил на границе. Показано, что вращательно-симметричная фигура равновесия F экспоненциально устойчива, если некоторый функционал, определенный на множестве областей Ω, близких к F , и удовлетворяющий условиям инвариантности объема (|Ω| = |F |) и положения барицентра, достигает своего минимума при Ω = F . Доказательство основано на непосредственном анализе соответствующей эволюционной задачи с начальными данными, близкими к режиму вращения жидкости как твердого тела.
СОДЕРЖАНИЕ
1. 2. 3. 4.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . Оценки обобщенной энергии . . . . Локальная теорема существования Доказательство теоремы 1.1 . . . . Список литературы . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
1.
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
43 47 51 58 61
ВВЕДЕНИЕ
Задача о движении вязкой несжимаемой самогравитирующей жидкости, подверженной действию капиллярных сил на границе, состоит в определении ограниченной области Ωt ⊂ R3 , t > 0, с гладкой границей Γt , векторного поля скоростей ~v (x, t) = (v1 , v2 , v3 ) и (скалярного) давления p(x, t), удовлетворяющих соотношениям ~vt + (~v · ∇)~v − ν∇2~v + ∇p = κ∇U (x, t), ∇ · ~v = 0,
x ∈ Ωt ,
~v (x, 0) = ~v0 , T (~v , p)~n − σH~n = 0,
t > 0,
x ∈ Ω0 ,
Vn = ~v · ~n,
x ∈ Γt ≡ ∂Ωt .
Здесь ν, σ и κ — положительные константы: коэффициенты вязкости, поверхностного натяжения и гравитационная постоянная соответственно, T (~v , p) = −pI + νS(~v ) — тензор напряжений, ∂vj ∂vk + — удвоенный тензор скоростей деформации, H — удвоенная средняя S(~v ) = ∂xk ∂vj j,k=1,2,3 кривизна границы Γt , отрицательная для выпуклых областей, Vn — скорость перемещения Γt в направлении внешней нормали ~n, Z dz U (x, t) = |x − z| Ωt
есть ньютонов потенциал, зависящий от неизвестной области Ωt . Плотность жидкости предполагается равной единице. Область Ω0 считаем заданной. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 01-01-0330. c
2003 МАИ
43
44
В. А. СОЛОННИКОВ
Заменяя p на p + κU , запишем указанные уравнения в виде ~vt + (~v · ∇)~v − ν∇2~v + ∇p = 0, ∇ · ~v = 0,
x ∈ Ωt ,
t > 0,
(1.1)
x ∈ Ω0 ,
~v (x, 0) = ~v0 , T (~v , p)~n − σH~n − κU~n = 0,
Vn = ~v · ~n,
x ∈ Γt ≡ ∂Ωt .
Напомним (более подробно см. [5,6]), что в задаче (1.1) выполняются следующие законы сохранения: Z
|Ωt | = |Ω0 | (сохранение массы), Z ~v (x, t)dx = ~v0 (x)dx (сохранение момента),
Ωt
Ω0
Z
Z ~v (x, t) × ~x dx =
Ωt
~v0 (x) × ~x dx (сохранение углового момента). Ωt
Без ограничения общности можно считать, что Z Z ~v (x, t)dx = ~v0 (x)dx = 0, Ωt
Ω0
(1.2)
Z
Z ~v (x, t) × ~x dx =
~v0 (x) × ~x dx = β~e3 , Ωt
Ωt
Z (1.3)
~x dx = 0. Ωt
Эти условия могут быть получены путем перехода к соответствующей инерциальной системе координат. Они означают, что барицентр области Ωt расположен в начале координат и что угловой момент направлен вдоль оси x3 . Далее, напомним, что уравнения Навье–Стокса имеют решение, отвечающее вращению всей жидкости как твердого тела. Соответствующие скорость и давление определяются по формулам ω2 0 2 |x | + p1 , 2 где ω — постоянная угловая скорость вращения, p1 — некоторая константа, |x0 |2 = x21 +x22 . Краевые условия принимают вид ω2 0 2 σH + |x | + p1 + κU(x) = 0. (1.4) 2 Это уравнение задает замкнутую поверхность, которая ограничивает область, заполненную вращающейся жидкостью. Такая область называется фигурой равновесия. Обозначим ее через F и положим G = ∂F. Уравнение (1.4) выполняется на G, причем H есть удвоенная средняя кривизна поверхности G, Z dz U(x) = . |x − z| ~ (x) = ω(~e3 × ~x) = ω(−x2 , x1 , 0), V
P (x) =
F
Константа p1 определяется из дополнительного условия на объем области F, которое в нашем случае имеет вид |F| = |Ω0 |. (1.5) Предположим также, что барицентр области F совпадает с началом координат, то есть Z ~x dx = 0. (1.6) F
Угловая скорость ω и момент β связаны друг с другом соотношением β = −ωI,
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
45
где Z I=
|x0 |2 dx.
(1.7)
F
Для малых значений β уравнение (1.4) с дополнительными условиями (1.5)–(1.7) однозначно разрешимо, причем поверхность G является бесконечно дифференцируемой (см., например, [6]). Нас будет интересовать проблема устойчивости фигур равновесия. Постулируем существование гладкого вращательно-симметричного решения задачи (1.4)–(1.7). Введем новые неизвестные функции ~ (x), ~v 0 (x, t) = ~v (x, t) − V p0 (x, t) = p(x, t) − P (x) и перейдем к системе координат, вращающейся вокруг оси x3 с угловой скоростью ω; для этого воспользуемся стандартными формулами x = Z(t)y,
w(y, ~ t) = Z −1 (t)~v 0 (Z(t)y, t),
s(y, t) = p0 (Z(t)y, t),
где
cos ωt − sin ωt 0 Z(t) = sin ωt cos ωt 0 . 0 0 1 Данная замена переменных переводит (1.1) в следующую систему уравнений: w ~ t + (w ~ · ∇)w ~ + 2ω(~e3 × w) ~ − ν∇2 w ~ + ∇s = 0, y ∈ Ω0t ≡ Z −1 Ωt ,
∇ · w(y, ~ t) = 0,
~ (y) ≡ w w(y, ~ 0) = ~v0 (y) − V ~ 0 (y), 0
0
y ∈ Ω0 ,
0
(1.8)
0
T (w, ~ s)~n − (σH + P (y) + κU (y, t))~n = 0, Vn0 = w ~ · ~n0 ,
y ∈ Γ0t ≡ ∂Ω0t ,
где Vn0 — нормальная скорость перемещения Γ0t и Z 0 U (y, t) =
dz . |y − z|
Ω0t
Для произвольной области Ω, близкой к F и удовлетворяющей условиям Z |Ω| = |F|, ~xdx = 0,
(1.9)
Ω
определим функционал ω2 G = σ|Γ| − 2
Z
κ |x | dx − 2 0 2
Ω
Z Z
dxdy − p1 |Ω|. |x − y|
(1.10)
Ω Ω
Будем считать, что граница Γ ≡ ∂Ω задается уравнением x = y + N (y)ρ(y),
y ∈ G,
(1.11)
где N (y) — внешняя нормаль к поверхности G, а ρ(y) — малая функция: |ρ|C 1 (G) 6 δ 1.
(1.12)
Тогда можно рассматривать G как функционал, определенный на множестве функций ρ(y), таких, что соответствующие области Ω удовлетворяют условиям (1.9). Эти условия могут быть записаны в виде Z Z η(y; ρ)dSy = 0, G
ψk (y; ρ)dSy = 0, G
k = 1, 2, 3,
(1.13)
46
В. А. СОЛОННИКОВ
где ρ2 ρ3 H(y) + K(y), 2 3 ρ 2 ρ3 ρ4 ψk (y; ρ) = yk η(y; ρ) + Nk (y) − H(y) + K(y) , 2 3 4 а K есть гауссова кривизна поверхности G. Определим вариации функционала G[ρ] при помощи стандартных формул ∂ ∂ δG[ρ; r] = G[ρ + λr] , δ 2 G[ρ; r] = δG[ρ + λr; r] ∂λ ∂λ λ=0 λ=0 и положим 2 2 0 0 δ0 G[ρ] = δG[ρ0 ; r0 ] 0 , δ G[ρ] = δ G[ρ ; r ] . 0 0 0 0 η(y; ρ) = ρ −
ρ =0, r =ρ
ρ =0, r =ρ
Тогда 1 G[ρ] = G[0] + δ0 G[ρ] + δ02 G[ρ] + G1 [ρ], 2 Z1 d2 d2 0 G1 [ρ] = (1 − µ) G[µρ] − G[µ ρ] dµ. dµ2 dµ0 2 µ0 =0 0
Можно показать, что Z δ0 G[ρ] = −
ω2 0 2 |y | + p1 + κU(y) ρ(y)dy = 0 σH + 2
G
в силу уравнения (1.4) и Z h i ω 2 ∂|y 0 |2 δ02 G[ρ] = σ(|∇G ρ|2 + 2Kρ2 ) − − |y 0 |2 H ρ2 + p1 Hρ2 dS+ 2 ∂N G Z Z Z dSy dSz ∂U(y) 2 ρ dS − κ ρ(y)ρ(z) +κ U(y)H − ∂N |y − z| G
(1.14)
G G
(см. предложение 2.1 ниже). Наше основное предположение относительно функционала G[ρ] состоит в том, что он достигает своего минимального значения при ρ = 0, то есть вторая вариация функционала G положительно определена: существуют две положительные константы c1 и c2 , такие, что c1 kρk2W 1 (G) 6 δ02 G[ρ] 6 c2 kρk2W 1 (G) 2
(1.15)
2
для произвольных малых ρ(y), удовлетворяющих условиям (1.12), (1.13). Основной результат данной статьи заключается в следующем. Теорема 1.1. Пусть граница Γ0 = ∂Ω0 задана уравнением (1.11), где ρ = ρ0 ∈ C 3+α (G), α ∈ (0, 1), G — поверхность вращательно-симметричной фигуры равновесия F, причем R ~ ∈ C 2+α (Ω0 ) удовлетворяет условиям |F| = |Ω0 |, ~x dx = 0. Предположим, что w ~ 0 = ~v0 − V F
совместности ∇·w ~ 0 = 0,
S(w ~ 0 )~n0 − ~n0 (~n0 · S(w ~ 0 )~n0 )
Γ0
= 0,
где ~n0 — внешняя нормаль к Ω0 , ~v0 удовлетворяет соотношениям (1.2), и пусть kw ~ 0 kL2 (Ω0 ) + kρ0 kW21 (G) 6 ε 1.
(1.16)
Тогда, если выполняются неравенства (1.15), то задача (1.8) имеет единственное классическое решение, определенное при всех t > 0, Γt задается уравнением (1.11) с функцией ρ = ρ(y, t) и |w ~ t (·, t)|C α (Ω0t ) + |w(·, ~ t)|C 2+α (Ω0t ) + |q(·, t)|C 1+α (Ω0t ) + +|ρ(·, t)|C 3+α (G) 6 ce−bt |~v0 |C 2+α (Ω0 ) + |ρ0 |C 3+α (G) , b > 0.
(1.17)
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
47
Фигуры равновесия вращающейся жидкости были предметом исследования во многих работах: как уже ставших классическими, так и современных (см., например, [1–4, 8]). Эволюционная задача (1.1) рассматривалась в [5, 6], где, в частности, была доказана теорема существования (аналогичная теореме 1.1) для медленных движений, то есть для малых ~v0 и β. В случае κ = 0 это ограничение было снято в [7,9] при помощи глобальных оценок обобщенной энергии (см. раздел 2). Для других задач динамики вязких сжимаемых и несжимаемых жидкостей обобщенная энергия вводилась в работах [10, 11], там же были получены ее оценки. 2.
ОЦЕНКИ
ОБОБЩЕННОЙ ЭНЕРГИИ
Начнем с обоснования формулы (1.14), которое сводится к вычислению вариаций интеграла Z Z dxdz J= . |x − z| Ω Ω
Указанный интеграл берется по области Ω, граница которой задается уравнением (1.11) с функцией ρ(y), удовлетворяющей (1.12). Удобно отобразить Ω на F при помощи замены переменных, обратная к которой определяется формулой x = y + N ∗ (y)ρ∗ (y) ≡ eρ (y), N ∗ (y)
y ∈ F.
(2.1)
ρ∗ (y)
Здесь и — продолжения N (y) и ρ(y) с G в F, которые осуществляются следующим ∗ образом: N (x) = N (y), ρ∗ (x) = ρ(y) для x = y + N (y)λ, y ∈ G, |λ| 6 λ0 1 и далее произвольным образом, но с сохранением класса и так, что |ρ∗ |C 1 (F ) 6 c|ρ|C 1 (G) 6 cδ. Если число δ достаточно мало, то последнее неравенство гарантирует обратимость преобразования (2.1). Ясно, что ~ ∗ (y) ∂ρ∗ (y) ∂N ~ · ∇ρ∗ (y) = 0, ≡N =0 ∂N ∂N на поверхности G и в ее λ0 -окрестности. Обозначим через Lρ матрицу Якоби преобразования (2.1): ∂e ∂Ni∗ (y)ρ∗ (y) ρi Lρ (y) = = δij + ∂yj i,j=1,2,3 ∂yj i,j=1,2,3 и положим ij Lρ (y) = det Lρ (y), L−1 ρ (y) = (l )i,j=1,2,3 , ˆ ij )i,j=1,2,3 . Lˆρ (y) = Lρ (y)L−1 (y) = (L ρ
Предложение 2.1. Пусть Γ = ∂Ω задано уравнением (1.11). Тогда Z δ0 J[ρ] = 2 ρ(y)U(y)dSy ,
(2.2)
G
δ02 J[ρ]
Z = −2
Z
2
ρ (y)H(y)U(y)dSy + 2 G
и
∂U(y) ρ (y) dSy + 2 ∂N 2
G
Z Z ρ(y)ρ(z)
dSy dSz |y − z|
G G
J[ρ] − J[0] − δ0 J − 1 δ02 J 6 c|ρ|C 1 (G) kρk2 L2 (G) . 2
Доказательство. Переходя к переменным y = e−1 ρ (x) ∈ F, мы можем записать J в виде Z Z Z Lρ (y)Lρ (z)dydz J[ρ] = = Lρ (y)U (eρ (y))dy. |eρ (y) − eρ (z)| F F
F
Следовательно, δJ[ρ; r] =
Z F
(2.3)
δLρ [ρ, r]U (eρ (y)) + Lρ (y)δU (eρ )[ρ, r] dy.
(2.4)
48
В. А. СОЛОННИКОВ
Легко видеть, что 3 X ∂Ni∗ (y)r∗ (y) ˆ δLρ [ρ, r] = Lji (y; ρ), ∂yj i,j=1
и, следовательно, Z hX 3 ˆ ji (z; ρ) L ∂Ni∗ (z)r∗ (z) δU (eρ )[ρ; r] = + ∂zj |eρ (y) − eρ (z)| i,j=1
F
+Lρ (z)
i eρ (y) − eρ (z) ∗ ∗ ∗ ∗ · (N (z)r (z) − N (y)r (y)) dz. |eρ (y) − eρ (z)|3
Интегрируя по частям и учитывая соотношения 3 X ˆ ji (z; ρ) ∂L
∂zj
j=1
3 X ∂eρi
= 0,
j=1
∂zj
ˆ jk (z; ρ) = δik Lρ (z), L
получаем Z δU (eρ )[ρ; r] =
Λ(z; ρ)r(z)
dSz ~ ∗ (y)r∗ (y) · ∇U (ξ) +N . |eρ (y) − eρ (z)| ξ=eρ (y)
(2.5)
G
Отсюда следует Z δJ[ρ; r] = 2
r(y)Λ(y; ρ)U (eρ (y))dSy , G
где Λ(y; ρ) =
3 P
ˆ ij (y; ρ) = 1 − ρH + ρ2 K (см. [7]). Из последней формулы вытекаNi (y)Nj (y)L
i,j=1
ет (2.2). Далее, имеем 2
Z
δ J[ρ, r] = 2
h i r(y) δΛ[ρ; r]U (eρ (y)) + Λ(y; ρ)δU (eρ )[ρ; r] dSy .
G
Еще раз используя (2.5), получаем Z 2 δ J[ρ; r] = −2 r2 (y) H(y) − 2ρ(y)K(y) U (eρ (y))dSy + G
Z +2
~ (y) · ∇U (z) r2 (y)Λ(y; ρ)N
Z Z z=eρ (y)
dSy + 2
G
r(y)r(z)Λ(y; ρ)Λ(z; ρ)
dSy dSz . |eρ (y) − eρ (z)|
(2.6)
G G
Отсюда вытекает (2.3). Наконец, поскольку 1 J[ρ] − J[0] − δ0 J − δ02 J = 2
Z1
∂ ∂ 0 (1 − µ) J[µρ] − J[µ ρ] dµ = ∂µ ∂µ0 µ0 =0
0
Z1 =
(1 − µ)(δ 2 J[µρ; ρ] − δ 2 J[0, ρ])dSy ,
0
то из (2.3) и (2.6) при помощи элементарных вычислений нетрудно вывести (2.4). В случае κ = 0 функционал G рассматривался в [7, 9]. Формула (1.14) следует из соотношения (2.27) в [7] и из формулы (2.3) настоящей работы. Более того, из (2.28) в [7] и неравенства (2.4) настоящей работы вытекает, что G[ρ] − G[0] − δ0 G − 1 δ02 G 6 c|ρ|C 1 (G) kρk2 1 . (2.7) W2 (G) 2 Перейдем к оценке обобщенной энергии. Нам потребуется следующее вспомогательное утверждение, доказанное в [7, 9].
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
49
Предложение 2.2. Пусть Ωt задается уравнением (1.11) с некоторой функцией ρ = ρ(y, t), и ~ (x, t), x ∈ Ωt , удовлетворяющее условиям пусть |Ωt | = |F|. Тогда существует векторное поле U ~ (x, t) = 0, ~ · ~n ∇·U U = f (x, t), (2.8) x∈Γt Z ~ (x, t) · ~ηi (x)dx = 0, U i = 1, 2, 3, (2.9) Ωt
где ~ηi (x) = ~ei × ~x, f (eρ (y), t) =
η(y; ρ) , ~| |LˆTρ N
и неравенствам ~ (·, t)k 1 kU W2 (Ωt ) 6 ckη(·, t)kW 1/2 (G) ,
(2.10)
~ (·, t)kL (Ω ) 6 ckη(·, t)kL (G) , kU t 2 2 ~ t (·, t)kL (Ω ) 6 c kηt (·, t)kL (G) + kη(·, t)kL (G) , kU t 2 2 2
(2.11)
2
(2.12)
где η(y, t) ≡ η(y, ρ(y, t)). Сформулируем основной результат данного параграфа. Предложение 2.3. Предположим, что задача (1.8) имеет классическое решение, определенное при t ∈ (0, T ), и что Γ0t задается уравнением (1.11) с функцией ρ = ρ(y, t), имеющей ограниченные производные ∇G ∇G ρ, ∇G ρt (∇G есть градиент на G) и удовлетворяющей условию sup |ρ(·, t)|C 1 (G) 6 δ (2.13) t 0. Наконец, предположим, что имеет место (1.15). Тогда существует функция E(t) (обобщенная энергия), удовлетворяющая неравенствам c1 kw(·, ~ t)k2L2 (Ωt ) + kρ(·, t)k2W 1 (G) 6 E(t) 6 c2 kw(·, ~ t)k2L2 (Ωt ) + kρ(·, t)k2W 1 (G) (2.14) 2
2
и E(t) 6 e−bt E(0),
(2.15)
b > 0.
Доказательство. Как и в работах [7, 9], определим E(t) по формуле Z 1 2 ~ (x, t)dx, E(t) = kw(·, ~ t)kL2 (Ωt ) + G(ρ) − G(0) + γ w(x, ~ t) · U 2 Ωt
где γ — малое положительное число. Очевидно, (2.14) вытекает из (2.10) и (1.15). Для того чтобы доказать (2.15), умножим первое из уравнений (1.8) на w ~ и проинтегрируем по Ωt . В результате получим (более подробно см. [5, 6, 9]) ν d 1 kw(·, ~ t)k2L2 (Ωt ) + G[ρ] − G[0] + kS(w)k ~ 2L2 (Ωt ) = 0. (2.16) dt 2 2 ~ (x, t) Однако из этого соотношения еще не следует (2.15). Умножим первое из уравнений (1.8) на U и снова проинтегрируем по Ωt . После несложных вычислений получаем Z Z Z d ~ dx − w ~ t + (w ~ ) dx + 2 ω(~e3 × w) ~ dx+ w ~ ·U ~ · (U ~ · ∇)U ~ ·U dt Ωt
ν + 2
Z Ωt
Ωt
~ ) dx − S(w) ~ : S(U
Ωt
Z σH + Γt
ω2 2
0 2
|x | + κU + p1 f (x, t) dS = 0,
(2.17)
50
В. А. СОЛОННИКОВ
где f (x, t) определена в предложении 2.2. Используя уравнение (1.4), мы можем записать поверхностный интеграл в виде Z h i ω2 0 σ(H(eρ (y)) − H(y)) + (|eρ (y)|2 − |y 0 |2 ) + κ(U (eρ (y)) − U(y)) η(y; ρ)dSy . 2 G
Умножая (2.17) на γ и прибавляя результат к (2.16), получим d E(t) + E1 (t) = 0, dt
(2.18)
где Z h i ν 2 ~ t − 2ω(~e3 × w) ~ dx− E1 (t) = kS(w)k ~ L2 (Ωt ) − γ w ~ ·U ~ ·U 2 Ωt Z Z γν ~ ~ )dx− −γ w ~ · (w ~ · ∇)U )dx + S(w) ~ : S(U 2 Ωt
−γ
Z h
Ωt
σ(H(eρ (y)) − H(y)) +
i ω2 0 (|eρ (y)|2 − |y 0 |2 ) + κ(U (eρ (y)) − U(y)) η(y; ρ)dSy . 2
G
Теперь докажем, что E1 (t) > bE(t), если γ достаточно мало. Как показано в [7, 9], Z h ν Z i Z ~ )dx 6 ~ t − 2ω(~e3 × w) ~ dx + w ~ )dx + S(w) ~ : S(U w ~ ·U ~ ·U ~ · (w ~ · ∇)U 2 Ωt Ωt Ωt 6 c kS(w)k ~ L2 (Ω) kρkW21 (G) + kS(w)k ~ 2L2 (Ω) + δkρk2W 1 (G) , 2
и поверхностный интеграл в (2.19) можно записать в виде Z h ω2 0 σ(H(eρ (y))Λ(y; ρ) − H(y)) + (|eρ (y)|2 − |y 0 |2 )+ 2 G i +κ(U (eρ (y)) − U(y)) η(y; ρ)dSy + Z h 2 i ω 02 + |y | + κU(y) + p1 (Λ − 1)η − σ(H(eρ ) − H(y))(Λ − 1)η dSy = 2 G
= −δ02 σ|Γt | −
ω2 2
Z
Z h i |x0 |2 dx − p1 |Ωt | + κ ρ(y)δ0 U (y) − ρ2 (y)U(y)H dSy + I1 , G
Ωt
где I1 есть сумма слагаемых, мажорируемых cδkρk2W 1 (G) . Далее, в силу (2.5) и (2.3) 2 Z Z Z ρ(y)ρ(z) (ρ(y)δ0 U (y) − ρ2 (y)U(y)H)dSy = dSy dSz + |y − z| G G G Z Z 1 ∂U(y) + ρ2 (y) dSy − ρ2 (y)U(y)H(y)dSy = δ02 J[ρ]. ∂N 2 G
G
Следовательно, Z h
σ(H(eρ (y))Λ(y; ρ) − H(y)) +
ω2 0 (|eρ (y)|2 − |y 0 |2 )+ 2
G
i +κ(U (eρ (y)) − U(y)) η(y; ρ)dSy = −δ02 G[ρ] + I1
(2.19)
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
51
и ν kS(w)k ~ 2L2 (Ωt ) + γδ02 G[ρ]− 2
E1 (t) >
−cγ kS(w)k ~ L2 (Ω) kρkW21 (G) + kS(w)k ~ 2L2 (Ω) + δkρk2W 1 (G) > bE(t), 2
если γ и δ достаточно малы. Из данного неравенства и из (2.18) получаем E 0 (t)+bE(t) 6 0. Отсюда следует (2.15). 3.
ЛОКАЛЬНАЯ
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
Для того чтобы доказать теорему о локальной (по времени) разрешимости задачи (1.8), перейдем к лагранжевым координатам ξ ∈ Ω0 , связанным с координатами Эйлера x ∈ Ωt формулами ~x = ξ~ +
Zt ~u(ξ, τ )dτ ≡ X(ξ, t),
(3.1)
0
где ~u(ξ, t) = w(X(ξ, ~ t), t). В силу хорошо известной формулы H~n = ∆(t)X(ξ, t), где ∆(t) есть оператор Лапласа–Бельтрами на Γt , задача (1.8) может быть записана в виде ~ut − ν∇2u ~u + 2ω~e3 × ~u + ∇u q = 0,
∇u · ~u = 0,
~u(ξ, 0) = w ~ 0 (ξ), ω2 Tu (~u, q)~n − σ∆(t)X = |X 0 (ξ, t)|2 + p1 + κU (X) ~n, 2
ξ ∈ Ω0 ,
(3.2) (3.3)
ξ ∈ Γ0 .
(3.4)
Здесь q(ξ, t) = s(X, t) есть функция давления, записанная в лагранжевых координатах, ∇u = A∇, A = (Aij )i,j=1,2,3 есть матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы Якоби преобразования (3.1) (якобиан данного преобразования равен единице), |X 0 |2 = X12 + X22 ; наконец, Tu (~u, q) = −qI + νSu (~u) и X 3 ∂uj ∂ui Su (~u) = Aik + Ajk ∂ξk ∂ξk i,j=1,2,3 k=1
суть преобразованные тензор напряжений и тензор скоростей деформации соответственно. Легко проверить, что если ~n · ~n0 > 0, то краевое условие (3.4) эквивалентно двум уравнениям Π0 ΠSu (~u)~n = 0, ω2 ~n0 · Tu (~u, q)~n − σ~n0 · ∆(t)X(ξ, t) = |X 0 (ξ, t)|2 + p1 + κU (X) ~n · ~n0 , 2
ξ ∈ Γ0 ,
где ~n0 — внешняя нормаль к Γ0 , а Π, Π0 — проекторы на касательные плоскости к Γt и Γ0 соответственно: Π~g = ~g − ~n(~n · ~g ),
Π0~g = ~g − ~n0 (~n0 · ~g ).
Наконец, пользуясь (1.4) и тождеством ~n0 (ξ) · ∆(t)X(ξ, t) = ~n0 · ∆(0) ξ~ +
Zt
Zt
! ~u(ξ, τ )dτ
+ ~n0 (ξ) ·
0
∂ (∆(τ ) − ∆(0))X(ξ, τ )dτ = ∂τ
0
Zt = ~n0 (ξ) ·
∆(0)~u(ξ, τ )dτ + H0 (ξ)+ 0
Zt + 0
∂∆(τ ) ~ ~n0 (ξ) · ξ+ ∂τ
Zτ
0
0
Zt ~n0 (ξ) · (∆(τ ) − ∆(0))~u(ξ, τ )dτ,
~u(ξ, τ )dτ dτ + 0
0
52
В. А. СОЛОННИКОВ
где H0 (ξ) — удвоенная средняя кривизна поверхности Γ0 , запишем рассматриваемую задачу в следующем виде: ~ut − ν∇2 ~u + 2ω~e3 × ~u + ∇q = F~1 (~u, q),
∇ · ~u = F2 (~u),
ξ ∈ Ω0 ,
(3.6)
~u(ξ, 0) = w ~ 0 (ξ), Π0 S(~u)~n0 = F~3 (~u),
ξ ∈ Γ0 ,
(3.7)
Zt ~n0 · T (~u, q)~n0 − σ~n0 · ∆(0)
(3.5)
Zt ~u(ξ, τ )dτ = M (ξ)~n · ~n0 + F4 (~u, q) + F5 (~u) +
0
F6 (~u)dτ.
(3.8)
0
Здесь F~1 (~u, q) = ν(∇2u − ∇2 )~u + (∇ − ∇u )q, ~h = (I − AT )~u, F2 (~u) = (∇ − ∇u ) · ~u = ∇ · ~h(~u), F~3 (~u) = Π0 Π0 S(~u)~n0 − ΠSu (~u)~n , F4 (~u, q) = −(1 − ~n0 · ~n)q − ν~n0 · (Su (~u)~n − S(~u)~n0 ), Zt ~n0 ·
F5 (~u) = σ
ω2 ∂∆(τ ) ~ ξdτ + (|X 0 |2 − |ξ 0 |2 ) + κ(U (X) − U0 (ξ)) ~n · ~n0 − ∂τ 2
0
−σH0 (ξ)(~n · ~n0 − 1), ∂∆(t) F6 (~u) = σ~n0 · ∂t
Zt ~u(ξ, τ )dτ + σ~n0 · (∆(t) − ∆(0))~u(ξ, t), 0
ω2 0 2 (|ξ | − |η 0 |2 ) + κ(U0 (ξ) − U(η)), 2Z dζ U0 (ξ) = , |ξ − ζ|
M (ξ) = σ(H0 (ξ) − H(η)) +
Ω0
η = e−1 ρ0 (ξ) ∈ G есть точка, связанная с ξ соотношением ξ = η + N (η)ρ0 (η). Доказательство разрешимости задачи (3.5)–(3.8) основано на анализе линеаризованной задачи ~vt − ν∇2~v + 2ω~e3 × ~v + ∇p = f~(ξ, t),
∇ · ~v = g(ξ, t),
ξ ∈ Ω,
(3.10)
~v (ξ, 0) = ~v0 (ξ), Π0 S(~v )~n = ~b(ξ, t),
ξ ∈ Γ ≡ ∂Ω,
Zt ~n · T (~v , p)~v − σ~n ·
(3.9) (3.11)
Zt ∆~v (ξ, τ )dτ = b(ξ, t) +
0
B(ξ, τ )dτ,
(3.12)
0
где ∆ — оператор Лапласа–Бельтрами на Γ. Имеет место следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть Ω есть ограниченная область в R3 с границей Γ ∈ C 2+α , α ∈ (0, 1), и пусть f~(·, t) ∈ C α (Ω), ∀t ∈ (0, T ), g(·, t) ∈ C 1+α (Ω), ~b ∈ C 1+α,(1+α)/2 (Γ × (0, T )), b(·, t) ∈ C 1+α (Γ), B(·, t) ∈ C α (Γ) удовлетворяют условиям совместности Π0 S(~v0 )~n|Γ = b(ξ, 0),
∇ · ~v0 (ξ) = g(ξ, 0),
Π0~b(ξ, t) = 0
(3.13)
и условию g(ξ, t) = ∇ · ~h(ξ, t)
(3.14)
ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ИЗОЛИРОВАННОЙ ЖИДКОЙ МАССЫ
53
с ~ht (·, t) ∈ C α (Ω), ∀t ∈ (0, T ). Тогда задача (3.9)–(3.12) имеет единственное решение ~v ∈ C 2+α (Ω), p ∈ C 1+α (Ω) с ~vt ∈ C α (Ω), ∀t < T < ∞, и это решение удовлетворяет неравенству sup |~vt (·, t)|C α (Ω) + sup |~v (·, t)|C 2+α (Ω) + sup |p(·, t)|C 1+α (Ω) 6 t