Краткий курс математического анализа

А. Ф.БЕРМАНТ, И. Г. АРАМАНОВИЧ

КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА УЧЕБНИК ДЛЯ ВУЗОВ

Издание одиннадцатое, стереотипное

Санкт-Петербург • Москва • Краснодар 2005

ББК 22.16 Б 50 Б 50

Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа: Учебник для вузов. 11-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2005. — 736 с: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 5-8X14-04999 Одиннадцатое издание известного учебника, охватывает большинство вопросов программы по высшей математике для инженерно-технических специальностей вузов, в том числе дифференциальное исчисление функций одной переменной и его применение к исследованию функций; дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; интегральное исчисление; двойные, тройные и криволинейные интегралы; теорию поля; дифференциальные уравнения; степенные ряды и ряды Фурье. Разобрано много примеров и задач из различных разделов механики и физики. ББК

22.16

Генеральный директор А. Л. Кноп Директор издательства О. В. Смирнова Выпускающие Н. К. Белякова, О. В. Шилкова Оформление обложки С. ШАПИРО, А. ЛАПШИН ЛР № 065466 от 21.10.97 Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.001665.03.02 от 18.03.2002 г., выдан ЦГСЭН в СПб Сдано в набор 01.01.2005. Подписано в печать 10.01.2005 Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 60х90у ]6 Печать офсетная. Усл. п. л. 70 38. Тираж 3 000 экз. Заказ J* 6135 Отпечатана с готовых диапозитивов во ФГУП ИПК * Ульяновский Дом печати » 432980, г. Ульяновы;, ул. Гончарова, 14

Охраняется законом РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части запрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться в судебном порядке. © Издательство «Лань», 2005 © А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович, 2005 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие

И

Введение 1. «Элементарная» и «высшая» математика (13). 2. Величина. Переменная величина и функциональная зависимость (14). 3. Математика и действительность (16).

13

ГЛАВА I

ФУНКЦИЯ § 1 . Действительные числа 4. Действительные числа и числовая ось. Интервал (18). 5. Абсолютная величина (21). 6. О приближенных вычислениях (22).

18

§ 2. Первоначальные сведения о функции

25

7. Определение функции (25). 8. Способы задания функций (27). 9. Символика (30). 10. Основные элементарные функции. Сложная функция (32). 11. Элементарные функции (33). 12. Неявные функции. Многозначные функции (36). § 3. Начало изучения функций. Простейшие функции 13. Основные характеристики поведения функции (38). 14. Графическое изучение функции (41). 15. Прямая пропорциональная зависимость и линейная функция. Приращение величины (43). 16. Квадратичная функция (46). 17. Обратная пропорциональная зависимость и дробно-линейная функция (48).

38

§ 4. Обратная функция. Степенная, показательная и логарифмическая функции 50 18. Обратная функция (50). 19. Степенная функция (54). 20. Показательная и логарифмическая функции (57). § 5. Тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические и обратные гиперболические функции 60 21. Тригонометрические функции. Гармонические колебания (60). 22. Обратные тригонометрические функции (64). 23. Гиперболические и обратные гиперболические функции (68). Вопросы и предложения для самопроверки

71

4

ОГЛАВЛЕНИЕ Г Л А В Л II

ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ § 1. Предел функции. Бесконечные величины

73

24. Предел функции непрерывного аргумента (73). 25. Бесконечно большой аргумент (76). 26. Последовательности и их пределы (79). 27. Бесконечно большие неличины. Ограниченные функции (81). 28. Бесконечно малые величины (85). 29. Правила предельного перехода (86). 30. Один признак существования предела функции. Первый замечательный предел (93). 31. Один признак существования предела последовательности. Второй замечательный предел (95). § 2. Непрерывные функции

98

32. Непрерывность функции (98). 33. Точки разрыва функции (100). 34. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функции (102). 35. Свойства непрерывных функций (106). § 3. Сравнение бесконечно малых величин

108

36. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые величины (108). 37. Примеры отношений бесконечно малых величин. Натуральные логарифмы (ПО). Вопросы и предложения для самопроверки

ГЛАВА

114

Ш

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. Производная

116

38. Некоторые задачи физики (116). 39. Скорость изменения функции. Производная функция. Производная степенной функции (120). 40. Геометрический смысл производной (123). § 2. Дифференцирование функций

125

41. Дифференцирование результатов арифметических действий (125). 42. Дифференцирование сложной и обратной функций (129). 43. Производные основных элементарных функций (133). 44. Дифференцирование элементарных функций. Примеры (138). 45. Дополнительные замечания о дифференцировании функций (139). 46. Параметрически заданные функции и их дифференцирование (141). § 3. Геометрические задачи. Графическое дифференцирование

146

47. Касательная и нормаль к линии (146). 48. Графическое дифференцирование (150). 49. Геометрический смысл производной в системе полярных координат (152). § 4. Дифференциал 50. Дифференциал и его геометрический смысл (154). 51. Свойства дифференциала (157). 52. Дифференцируемость функции (161).

154

ОГЛАВЛЕНИЕ 53. Применение ниям (163).

дифференциала

к

приближенным

вычисле-

5. Производные и дифференциалы высших порядков 166 54. Производные высших порядков (166). 55. Дифференциалы высших порядков (170). Вопросы и предложения для самопроверки ГЛАВА

172

IV

ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ § 1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши 174 56. Теоремы Ферма и Ролля (174). 57. Теорема Лагранжа (177). 58*. Теорема Коши (179). § 2. Поведение функции в интервале 181 59. Признаки монотонности функции (181). 60. Экстремумы функции (183). 61. Схема исследования функций на экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции (187). 62. Применение второй производной. Точки перегиба (195). § 3. Правило Лопиталя. Схема исследования функций 202 63. Правило Лопиталя (202). 64. Асимптоты линий (208). 65. Общая схема исследования функций (213). § 4. Кривизна 216 66. Дифференциал длины дуги (216), 67. Кривизна (217). § 5. Пространственные линии. Векторная функция скалярного аргумента 221 68. Пространственные линии (221). 69. Винтовая линия (224). 70. Векторная функция скалярного аргумента (226). 71*. Приложения к механике (231). § 6. Комплексные функции действительного переменного 233 72. Комплексные числа (233). 73. Определение и дифференцирование комплексных функций (236). 74. Показательная функция и формулы Эйлера (237). § 7. Решение уравнений 240 75. Общие сведения об уравнениях (240). 76. Признак кратности корня (244). 77. Приближенное решение уравнений (245). Вопросы и предложения для самопроверки . 251 ГЛАВА V

ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1- Неопределенный интеграл 253 78. Первообразная функция (253). 79. Неопределенный интеграл. Основная таблица интегралов (256). 80. Простейшие правила интегрирования. Примеры (259). 81. Интегрирование по частям

6

ОГЛАВЛЕНИЕ

и замена переменной (264). 82. Интегрирование рациональных функций (270). 83. Интегрирование простейших иррациональных функций (277). 84. Интегрирование тригонометрических функций (279). 85. Заключительные замечания. Использование таблиц интегралов (283). § 2. Определенный интеграл

286

86. Некоторые задачи геометрии и физики (286). 87. Определенный интеграл. Теорема существования (292). 88. Простейшие свойства определенного интеграла (295). 89. Перестановка пределов и разбиение интервала интегрирования. Геометрический смысл интеграла (296). 90. Оценка интеграла. Теорема о среднем. Среднее значение функции (301) 91. Производная от интеграла по его верхнему пределу (306). 92. Формула Ньютона — Лейбница (308). 93*. Интегрирование комплексных функций действительного переменного (311). § 3. Способы вычисления определенных интегралов 312 94. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле (312). 95. Приближенные методы интегрирования (317). 96. Графическое интегрирование (324). § 4. Несобственные интегралы 326 97. Интегралы с бесконечными пределами (326). 98*. Признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами (330). 99. Интегралы от разрывных функций (335). Вопросы и предложения для самопроверки

. . , • . , • • • • • 338

ГЛАВА VI

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 1. Некоторые задачи геометрии и статики 340 100. Площадь фигуры (340). 101. Объем тела (343). 102. Длина дуги (346). 103. Центр тяжести криволинейной трапеции (350). § 2. Общая схема применения интеграла 353 104. Схема решения задач (353). 105*. Площадь поверхности вращения (357). 106. Давление жидкости на стенку сосуда (359). Вопросы и предложения для самопроверки

, , 360

ГЛАВА VII

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. Функции нескольких переменных

361

107. Функции двух и многих переменных (361). 108. Метод сечений. Предел и непрерывность (365). § 2. Производные и дифференциалы. Дифференциальное исчисление . . 369 109. Частные производные и дифференциалы (369). ПО. Полный дифференциал (374). 111*. Дифференцируемость функций (377).

ОГЛАВЛЕНИЕ

7

112. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных (380). 113. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям (382). 114. Производные и дифференциалы высших порядков (385). 115. Отыскание функции по ее полному дифференциалу (387). 116. Дифференцирование сложных функций. Правила для отыскания дифференциала функций (393). 117. Теорема существования неявной функции (398). 118. Дифференцирование неявных функций (401). § 3. Геометрические приложения дифференциального исчисления

. . . 404

119. Поверхности (404). 120. Пространственные линии как пересечение двух поверхностей (407). § 4. Экстремумы функций нескольких переменных

410

121. Необходимые условия экстремума (410). 122. Достаточные условия экстремума для функций двух переменных (412). 123. Задачи о наибольших и наименьших значениях (414). 124*. Условные экстремумы (416). § 5. Скалярное поле

422

125. Скалярное поле. Поверхности уровня (422). 126. Производная по направлению (423). 127. Градиент (426). Вопросы и предложения для самопроверки ГЛАВА

430

VIU

ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Двойные интегралы 432 128. Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл (432). 129. Свойства двойных интегралов (435). 130. Вычисление двойных интегралов (437). 131. Двойной интеграл в полярных координатах (446). 132. Приложения двойных интегралов к задачам механики (451). § 2. Тройные интегралы

453

133. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл (453). 134. Вычисление тройных интегралов (455). 135. Применение тройных интегралов (462). §3*. Интегралы, зависящие от параметра 464 136*. Интегралы с конечными пределами (464). 137. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (469). Вопросы и предложения для самопроверки ГЛАВА

471

IX

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ § 1. Криволинейный интеграл 472 138. Задача о работе силового поля. Криволинейный интеграл (472). 139. Вычисление криволинейных интегралов. Интегралы по замкнутому контуру (475). 140. Формула Грина (481). 141. Условие

_

ОГЛАВЛЕНИЕ

О

независимости интеграла от линии интегрирования (483). 142. Интегрирование полных дифференциалов. Первообразная функция (487). 143. Криволинейные интегралы по пространственным линиям (490). 144. Приложения криволинейных интегралов к задачам механики и термодинамики (494). 145. Криволинейный интеграл по длине (первого рода) (499). § 2*. Интегралы по поверхности 502 146*. Поток жидкости через поверхность. Интеграл по поверхности (502). 147*. Свойства интегралов по поверхности (505). 148*. Вычисление интегралов по поверхности (508). 149*. Формула Стокса (514). 150*. Формула Остроградского (517). § 3 * . Теория поля

519

151*. Векторное поле и векторные линии (519). 152*. Поток вектора. Дивергенция (522). 153*. Циркуляция и ротор векторного поля (528). 154*. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка (533). 155*. Свойства простейших векторных полей (535). 156*. Электромагнитное поле (538). 157*. Нестационарные поля (543). Вопросы и предложения для самопроверки

545

ГЛАВА X

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

547

158. Общие понятия. Теорема существования (547). 159. Уравнения с разделяющимися переменными (551). 160. Некоторые задачи физики (554). 161. Однородные и линейные уравнения первого порядка (558). 162. Уравнения в полных дифференциалах (564). 163. Приближенные методы решения уравнений первого порядка (565). 164*. Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка (569). § 2. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков . . . . 572 165. Дифференциальные уравнения второго порядка (572). 166. Частные случаи уравнений второго порядка (574). 167. Приложения к механике (576). 168. Дифференциальные уравнения высших порядков (581). § 3. Линейные дифференциальные уравнения 582 169. Линейные уравнения второго порядка. Общие свойства (582). 170. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части (586). 171. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью (591). 172. Метод вариации произвольных постоянных (598). 173. Линейные дифференциальные уравнеия п-r порядка (600). 174. Линейные дифференциальные уравнения п-ro порядка с постоянными коэффициентами (604). 175. Колебания. Резонанс (605). § 4. Системы дифференциальных уравнений 176. Общие определения. Нормальные системы уравнений (613). 177*. Геометрическая и механическая иллюстрации решений системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство (617). 178. Системы линейных дифференциальных уравнений (620).

613

ОГЛАВЛЕНИЕ 179. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (622). 180*. Случай кратных корней характеристического уравнения (627). 181*. Матричная форма записи системы линейных дифференциальных уравнений (630). Вопросы и предложения для самопроверки

634

ГЛАВА XI

РЯДЫ § 1. Числовые ряды 636 182. Определение ряда и его суммы (636). 183. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд (640). 184. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости (642). 185. Интегральный признак Коши (647). 186. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость (649). 6 2. Функциональные ряды 187. Общие определения (653). 188. Свойства правильно сходящихся функциональных рядов (656). § 3. Степенные ряды 189. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости (658). 190. Свойства степенных рядов (663). § 4. Разложение функций в степенные ряды 191. Ряд Тейлора (665). 192. Условие разложения функций в ряд Тейлора (668). 193. Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора (670). 194. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена (673). § 5. Некоторые применения рядов Тейлора

653

658

665

680

195. Приближенное вычисление значений функции (680). 196. Интегрирование функций и дифференциальных уравнений (684). § 6*. Дополнительные вопросы теории степенных рядов 689 197*. Степенные ряды в комплексной области (689). 198*. Ряд и формула Тейлора для функции двух переменных (692). Вопросы и предложения для самопроверки 694 ГЛАВА хп

РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ § 1. Ряды Фурье 695 199. Гармонические колебания. Тригонометрические ряды (696). 200. Ряды Фурье (700). 201. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Ряд Фурье в произвольном интервале (705). 202. Примеры (707). § 2. Дополнительные вопросы теории гармонический анализ

рядов Фурье. ...

Практический

714

10

ОГЛАВЛЕНИЕ

203*. Равенство Парсеваля. Среднее значение квадрата периодической функции (714). 204*. Ряды Фурье в комплексной форме (715).; 205*, Ортогональные системы функций (717). 206. Практический гармонический анализ. Шаблоны (719). §3*. Интеграл Фурье 723 207*. Интеграл Фурье (723). 208*. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций (726). 209*. Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье (728). Вопросы и предложения для самопроверки

730

Таблица интегралов

731

Литература

736

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ Четвертое издание «Краткого курса математического анализа втузов» выпускается в значительно переработанном виде. Параграфы и пункты, относящиеся к той части программы, которая может не изучаться во втузах с уменьшенным объемом курса математики (это относится главным образом к специальностям технологического профиля), отмечены звездочками; читатель может выпустить эти пункты без всякого ущерба для понимания остального текста. Звездочками отмечены также относящиеся к этим пунктам вопросы для самопроверки, помещенные в конце каждой главы. За последние годы в серии «Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов» вышел ряд книг (см. перечень литературы), которые могут служить учебными пособиями по изучению дополнительных разделов математики. Именно поэтому в «Курсе» не отражены отдельные пункты общей программы, относящиеся к уравнениям математической физики и функциям комплексного переменного. Специального руководства требует и раздел программы «Методы вычислений и программирование»; из него в «Курс» включены лишь отдельные вопросы (применение дифференциала к теории ошибок, приближенное решение уравнений, численное интегрирование). Для лучшей фиксации внимания читателя формулировки важнейших определений и теорем даны жирным шрифтом. В книге почти нет материала, выходящего за рамки программы; поэтому мелким шрифтом набраны лишь отдельные замечания. В «Курсе» разобрано много примеров и задач, относящихся к различным разделам механики и физики. Изучение их безусловно необходимо для овладения методами математического анализа и, что особенно важно для будущих инженеров, методами применения анализа к решению конкретных физических задач.

для

12

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга ставит своей целью не просто сообщить читателю те или иные необходимые ему сведения по математическому анализу. Она предназначена и для того, чтобы развить у читателя логическое и математическое мышление, расширить его математический кругозор. Поэтому большинство положений высказывается с точным перечислением условий, при которых они справедливы. Все места, где даются упрощенные доказательства, по возможности оговариваются. Точно так же отмечаются все теоремы, которые приводятся без доказательств. Читатель, заинтересованный в более глубоком и детальном изучении курса анализа, должен обратиться к более полным руководствам; некоторые из них приведены в списке литературы. Включение в «Курс» ряда новых разделов потребовало в некоторых случаях довольно существенной переработки старого текста; при этом большое внимание было уделено упрощению и уточнению формулировок определений и теорем. Писать об этих изменениях вряд ли целесообразно: учащемуся, впервые читающему книгу, они ничего не скажут; преподаватели, рекомендующие этот курс студентам, легко обнаружат их сами 1 ). При изучении математики во втузах порядок прохождения материала часто бывает связан не только внутренней логикой курса, но и сроками прохождения дисциплин, опирающихся на этот курс. Именно в связи с этим перенесен вперед (по сравнению с предыдущими изданиями) параграф о векторной функции скалярного аргумента, так как нужда в нем в курсе теоретической механики возникает очень рано. Главы второй половины книги образуют циклы (VIII и IX, X, XI и ХП), которые могут изучаться почти независимо друг от друга. При этом глава X— дифференциальные уравнения — опирается лишь на самые простые сведения о функциях многих переменных. А. Ф. Бермант, создавший первоначальный вариант этого «Курса», скоропостижно скончался 26 мая 1959 г. До сих пор жива память о нем — талантливом ученом и педагоге, кипучем организаторе, отдавшем очень много сил делу повышения математической культуры в нашей стране. Все изменения и дополнения как в первое, так и в последующие издания внесены мною. В процессе работы я часто пользовался советами моих товарищей— математиков. Всем им выражаю свою искреннюю признательность. И. Г. Арамановач ') Отметим только, что в этом издании в определение функции включается обязательное требование ее однозначности; в связи с этим иначе трактуются вопросы о неявных и обратных функциях.

ВВЕДЕНИЕ 1. «Элементарная» и «высшая» математика. Говоря о курсе математики, изучаемом в высших учебных заведениях, часто называют его «курс высшей математики». Соответственно те разделы математики, которые изучают в школе, обычно объединяются названием «курс элементарной математики». Сразу подчеркнем, что это разделение математики на «высшую» и «элементарную» весьма условно; нельзя указать никаких точных признаков, согласно которым такое разделение можно произвести. Следует все же отметить, что те разделы математики, которые мы относим к «элементарной», возникли и существуют уже очень давно. Любому школьнику известны имена греческих ученых Пифагора и Евклида, — первый из которых жил за пятьсот, а второй за триста лет до нашей эры. Именно в то время была создана та система элементарной геометрии, которая лишь с небольшими изменениями изучается в школе и сейчас. Несколько позже оформилась как самостоятельный раздел математики алгебра; ее рождение относят к VIH веку н. э., когда хорезмский ученый Моххамед Аль-Хорезми изложил ее основы в трактате «Альджебр аль-мукабала», из первого слова названия которого и произошло само слово «алгебра». Разумеется, правила арифметических и алгебраических действий, а также способы решения простейших уравнений были известны значительно раньше. Возникновение тригонометрии, связанное с астрономическими исследованиями, также относится к античной древности. Конечно и алгебра, и тригонометрия претерпели в своем развитии очень большие изменения, прежде чем приняли свой современный вид. Ведь алгебраической символикой начали пользоваться сравнительно «недавно»: основу ее положил французский математик Ф. В и е т в книге, вышедшей в 1591 г. Те же разделы математики, которые объединяются общим названием «высшая математика», развились из учений, возникших в XVH и XVU1 веках в связи с прогрессом естествознания и

14

ВВЕДЕНИЙ

техники. Потребности науки и техники в более углубленном изучении природы привели к учениям о процессах, явлениях, наблюдаемых в окружающем нас мире. Это прежде всего коснулось физических явлений. Для того чтобы изучить их с количественной стороны, стала нужна математика, которая была бы в силах исследовать взаимные изменения различных величин, участвующих в явлении. М а т е м а т и ч е с к и йа н а л и з — з н а ч и т е л ь н ы йр а з д е л« в ы с ш е й математики» — как раз и занимается переменными величинами в их взаимозависимости. Математический анализ основывается на тесной связи алгебраических и геометрических методов, впервые появившейся в аналитической геометрии, созданной знаменитым французским математиком и философом Рене Декартом (1596 — 1650), 2. Величина. Переменная величина и функциональная зависимость. Основное понятие, с которым мы встречаемся на каждом шагу в любой естественнонаучной или технической области знания, — это понят е «величин ы». Под величиной понимают все то, что может быть измерено и выражено числом (или числами). В конкретных вопросах естественных и технических наук приходится встречаться с величинами разнообразной природы. Примерами величин служат: длина, площадь, объем, вес, температура, скорость, сила и т. п. В математике же не участвуют конкретные величины. Математические положения и законы формулируют, абстрагируясь от конкретной природы величин, принимая во внимание лишь их ч и с л е н н ы е з н а ч е н и я , В соответствии с этим в математике рассматривают величину вообще, отвлекаясь от физического смысла, который она может иметь. Именно поэтому математические теории с одинаковым успехом могут быть применены к исследованию любых конкретных величин. В этом, между прочим, выражается та общность, универсальность математических теорий, которую называют также абстрактностью, иногда неправильно понимая под этим оторванность от практики, от действительности. Ф. Энгельс в таких словах подчеркивает эту особенность математики: «...чтобы быть в состоянии исследовать эти формы (пространственные.— А. Б.) и отношения (количественные. — А. Б.) в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, x и у, постоянные и переменные величины...»'). ') Ф. Э н г е л ь с , Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1952, стр. 37,

ВВЕДЕНИЕ

Среди совместно рассматриваемых величин обычно некоторые изменяются, другие же остаются постоянными. И з м е н е н и е , д в и ж е н и е есть первейший признак того, что мы называем явлением, процессом. Явление, наблюдаемое в природе или технике, и воспринимается нами как изменение одних величин, участвующих в этом явлении, обусловленное изменением других. Например, наблюдая некоторую массу газа при постоянной температуре, мы отмечаем изменение упругости газа при изменении его объема. Точно так же при рассмотрении падения тела (в пустоте) под воздействием силы тяжести мы отмечаем изменение скорости движения при изменении расстояния тела от точки, из которой началось падение, а также изменение и этого расстояния и скорости движения с течением времени. Вместе с тем ускорение движения остается постоянным и в любой момент времени, и на всем пути падения. Для изучения явлений необходимо ввести в математику понятие переменной величины. Переменной называют величину, принимающую различные численные значения; величина, которая сохраняет одно и то же численное значение, называется постоянной. Как уже было сказано, всякий процесс характеризуется (с количественной стороны) взаимоизменяемостью нескольких переменных величин. Такое представление приводит к важнейшему в математике понятию функциональной з а в и с и м о с т и , т.е. связи между переменными величинами. Установление и описание связи между величинами, участвующими в данном процессе, есть первая и главная задача естественных и технических наук. Законом процесса именно и называется функциональная зависимость, проявляющаяся в этом процессе и характеризующая его; говорят еще, что эта зависимость о п и с ы в а е т процесс. Так, функциональная зависимость между упругостью (р) и объемом (v) газа, состоящая в том, что при постоянной температуре р = — (k — постоянная), выражает закон, которому следуют газы при соответствующих условиях. Словесное выражение функциональной зависимости — упругость г а з а о б р а т н о п р о п о р ц и о н а л ь н а о б ъ е м у (при постоянной температуре) — есть обычная формулировка указанного закона. Аналогич.но функциональная зависимость между расстоянием (s), пройденным свободно падающим телом, и временем падения (t), состоящая в том, 1

что s = -^-gti (g—ускорение силы тяжести), выражает з а к о н свободного падения. Важнейшей задачей математического анализа является всестороннее изучение функциональных зависимостей.

16

ВВЕДЕНИЕ

3. Математика и действительность. Невозможно дать краткое и исчерпывающее определение математики. Ф. Э н г е л ь с у принадлежит суждение о предмете математической науки, которое в силу своей глубины и лаконичности должно считаться наиболее удачным и точным: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира...»1). При этом Ф. Энгельс особо подчеркивает опытное происхождение математики: «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления» 2 ). Благодаря этому математика и оказывает существенную помощь в изучении вещей и процессов, встречающихся как в различных науках о природе, так и в различных науках об обществе, везде, где есть необходимость рассматривать эти вещи и процессы с количественной стороны. Что же касается естествознания и техники, то математика является для них чрезвычайно ценным методом теоретического исследования и практическим орудием. Без тех средств, которые дает элементарная, а затем и высшая математика, невозможен никакой технический расчет, а значит, без математики невозможна и никакая серьезная инженерная и научно-техническая работа. Это есть следствие того, что технические науки опираются на физику, механику, химию и т. д., количественные закономерности которых выражаются с помощью понятия функции и других понятий математического анализа. Еще Г а л и л е й говорил, что «законы природы записаны на языке математики». Ярким подтверждением того,, что и математическая наука рождается из объективной реальности, что и ее законы, соотношения правильно отражают в особой, присущей ей абстрактной форме действительные соотношения материального мира, служит возможность научного п р е д в и д е н и я с помощью математики, т . е . правильность выводов, получаемых математическим путем, согласие «предсказанного» с реальностью, с тем, что фактически осуществляется в дальнейшем. В истории науки известно много ярких примеров предвидения. Мы кратко коснемся здесь только некоторых примеров; они очень выразительны по той роли, которую играет в них математика. Как известно, основателем современного учения о полете тела более тяжелого, чем воздух, является виднейший механик конца XIX и начала XX вв. московский профессор Н. Е. Ж у к о в с к и й . Он нашел математическим путем такие формулы и предложения, которые легли в основу теории авиации. В частности, ') Ф. Э н г е л ь с , Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1952, стр. 37. ) Там же.

г

ВВЕДЕНИЕ

17

Н. Е. Жуковский теоретически предсказал возможность «фигур высшего пилотажа». Первая фигура — «мертвая петля» — в скором времени была осуществлена капитаном русской армии П. Н. Н е с т е р о в ы м . Итак, «мертвая петля», прежде чем она появилась «физически», была открыта «математически»! Французский ученый И. Л е в е р ь е занимался вопросами движения планет солнечной системы. При этом он исходил из законов классической механики, выраженных в виде известных функциональных зависимостей. Леверье заметил, что некоторые его выводы расходятся с имеющимися наблюдениями; он нашел также, что эти расхождения могут быть устранены, если допустить существование еще одной планеты с определенными массой и траекторией. На основе его предположений новая планета, названная затем Нептуном, действительно была вскоре обнаружена в том месте и в тот момент, которые им были заранее указаны. Так за столом, на листе бумаги, при помощи вычислений был для науки открыт новый мир1 Нас теперь не удивляет точнейшее знание будущих астрономических событий. Разумеется, оно возможно именно потому, что употребляемые математические методы верно отражают объективные закономерности. Резко повысилась роль математики в последнее время, чему во многом способствовало и расширение ее возможностей, связанное с созданием быстродействующих электронно-вычислительных машин. Осуществление космических полетов, посылка ракет к другим планетам и телевизионная связь с ними — все это потребовало необычайно сложных и точных математических расчетов. Математические методы широко вторгаются в науки, еще недавно весьма далекие от математики: в экономику, биологию, медицину. Можно смело сказать, что ни один научно-технический замысел современности не обходится без участия математики.

ГЛАВА I ФУНКЦИЯ § 1. Действительные числа 4. Действительные числа и числовая ось. Интервал. Мы начнем изучение анализа с рассмотрения действительных чисел. Напомним некоторые основные определения. Целые положительные числа 1, 2, 3, . . . называются натуральными . Присоединяя к натуральным числам все дробные числа и нуль, а также рассматривая не только положительные числа, но и отрицательные, мы получаем множество J ) рациональных чисел. Любое р

рациональное число имеет вид —, где р и q — целые числа. Каждое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной или бесконечной периодической десятичной дроби. Иррациональными числами называются бесконечные непериодические десятичные дроби. Можно доказать, например, что У 2, У З , lg 3, я, sin 20° и т . д . являются числами иррациональными. Мы будем считать, что действия над иррациональными числами читателю известны. Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел Перейдем теперь к геометрическому изображению чисел. Возьмем прямую линию и на ней некоторую точку О, которую примем за начало отсчета длин. Выберем масштаб, т.е. отрезок, принимаемый за единицу длины, и установим направление отсчета. О п р е д е л е н и е . Прямая линия, на которой указаны начало отсчета длин, масштаб и направление отсчета, называется число-

вой осью.

1 ) Под термином множество здесь и в дальнейшем понимается некоторая совокупность (конечная или бесконечная) чисел или точек.

4]

§ 1. ДЕйствитЕльные ЧИСЛА

19

Представим себе числовую ось в виде горизонтальной прямой; положительное направление на ней установим слева направо. Будем откладывать от начала отсчета все отрезки, с о и з м е р и м ы е с единицей масштаба; длины таких отрезков, как известно из геометрии, выражаются рациональными числами. В соответствии с выбранным направлением отсчета отрезки, откладываемые вправо от точки О, мы будем считать соответствующими положительным числам, а отрезки, откладываемые влево от нее,—соответствующими отрицательным числам. Пусть конец отрезка, соответствующего в выбранном масштабе рациональному числу а, попал в точку М прямой. Тогда мы скажем, что точка М и з о б р а ж а е т число а и что число а есть координата точки М. Очевидно, точка О изображает число нуль. Точки числовой оси, изображающие рациональные числа, называются рациональными точками. Если мы будем изображать рациональные числа вида ± -^-, о

±-тг?-1 . . . и все больше и больше увеличивать знаменатель N, то точки, соответствующие этим рациональным числам, будут все гуще и гуще покрывать числовую ось. Более того, покажем, что, как бы близко друг к другу ни лежали две рациональные точки А и В, между ними обязательно лежит еще бесконечно много рациональных точек. Пусть точки А и В имеют рациональные координаты а и Ь; тогда середина отрезка между ними, назовем ее точкой С, имеет координату — ~ , которая тоже является числом р а ц и о н а л ь н ы м . В силу этого же соображения точка Сх—середина отрезка АС—и точка С а — середина отрезка СВ—также будут рациональными точками. Но так как этот процесс можно продолжать неограниченно, то мы и получим бесконечно много рациональных точек, которые все лежат на отрезке АВ. И все же рациональные точки не исчерпывают всех точек числовой оси; на ней имеются и другие точки. В самом деле, так как диагональ квадрата, стороны которого равны единице, несои з м е р и м а с единицей масштаба, то ее длина не выражается никаким рациональным числом. Поэтому, если отложить от точки О отрезок, равный диагонали такого квадрата, то конец этого отрезка попадет в точку, не являющуюся рациональной. Вообще, концы всех отрезков, выходящих из начала отсчета и н е с о и з меримых с единицей масштаба (длины их выражаются иррациональными числами), попадут в нерациональные точки; такие точки будем называть иррациональными.

20

гл. t. ФУНКЦИЯ

(4

Все рациональные и иррациональные точки уже полностью исчерпывают прямую. Важно подчеркнуть, что между множеством всех точек числовой оси и множеством всех действительных чисел имеется в з а и м н о о д н о з н а ч н о е с о о т в е т с т в и е . Это значит, что каждая точка числовой оси изображает какое-нибудь одно число (рациональное или иррациональное), и обратно, каждое число (рациональное или иррациональное) является координатой какойнибудь одной точки числовой оси. На нашей числовой оси очень наглядно представляются различные соотношения между числами. Так, меньшему числу соответствует точка, лежащая левее точки, изображающей большее число; числу, заключенному между двумя данными числами, соответствует точка, лежащая между точками, изображающими данные числа. В силу описанного соответствия между числами и точками числовой оси иногда будет удобно не делать различия между ними и под точкой понимать число или под числом — точку. О п р е д е л е н и е . Интервалом называется множество всех чисел (точек), заключенных между двумя какими-нибудь числами (точками), называемыми концами интервала. Интервал с концами х =-а и х~Ь, где a•» 1, то столкнемся с тем обстоятельством, что каждому значению х, заключенному между — 1 и -(-1, соответствует уже не одно, а д в а значения у (рис. 4). В соответствии с этим мы скажем, что 2 2 уравнение je -j-j/ = 1 представляет не одну, а д в е функции: г у — Л-V^—х и у~—У 1 — х г , каждая из которых определена в интервале [ — 1 , 1]; если х лежит вне этого интервала, то уравнение, из которого находится у, не имеет действительных решений.

12]

§

2.

ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ

СВЕДЕНИЯ

О ФУНКЦИИ

37

Можно также сказать, что уравнение как многозначную функцию от л;. При этом функции и называют однозначными ветвями многозначной функции1). С таким расширением толкования функции — именно с введением многозначных функций, рассматриваемых как совокупность их однозначных ветвей,— нам часто придется сталкиваться в дальнейшем. Пользуясь этим толкованием, можно сказать, что неявной функцией у независимой переменной х называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего х и у и не разрешенного относительно у. Чтобы перейти к явному заданию функции, нужно разрешить данное уравнение отРис. 4. носительно у. Такой переход не всегда легок, а иногда и вовсе невозможен. Так, уравнение

определяет у как функцию х, но выразить эту функцию в явном виде труднее, чем в рассмотренных выше примерах, так как для этого нужно решить уравнение третьей степени. А уравнение

вообще нельзя решить алгебраически относительно у, т. е. нельзя явно выразить у через х. Разумеется при этом трудно установить область определения функции у и выяснить, какие она имеет однозначные ветви. Способы ч и с л е н н о г о решения таких уравнений, позволяющие для данного частного значения х находить соответствующие ему значения у, будут рассмотрены в дальнейшем (см. п. 77). Не следует думать, что любое уравнение, связывающее х и у, обязательно определит некоторую функцию одной переменной. Например, уравнение не может быть удовлетворено *) Мы не рассматриваем функций, которые при одних значениях х задаются формулой а при других значениях—формулой График любой такой функции нельзя нарисовать в виде сплошной ЛИНИИ; советуем читателю для примера представить себе график функции: при

38

гл. i. ФУНКЦИЯ

[13

никакими д е й с т в и т е л ь н ы м и значениями х и у (сумма положительных чисел не может быть равна нулю!) и, значит, не определяет никакой функции. К более детальному рассмотрению неявных функций мы еще вернемся впоследствии (в п. 117). § 3. Начало изучения функций. Простейшие функции 13. Основные характеристики поведения функции. Изучить заданную функцию — это значит охарактеризовать х о д ее и з м е н е н и я (или, как говорят, ее п о в е д е н и е ) при изменении независимой переменной. При этом мы всюду (где специально не оговорено противное) будем предполагать, что независимая переменная изменяется возрастая, причем, переходя от меньших значений к большим, она проходит через все свои промежуточные значения. Постепенно, по мере расширения средств исследования, мы будем в состоянии давать все более полное описание поведения функции. Теперь же, имея Рис - бв своем распоряжении лишь средства элементарной математики и аналитической геометрии, мы будем характеризовать поведение функции только по следующим простейшим ее особенностям: I. Нули функции и знак функции в данном интервале. II. Четность или нечетность. III. Периодичность. IV. Рост в данном интервале. I. О п р е д е л е н и е . Значение х, при котором функция обращается в нуль, называется нулем функции. В интервале положительного знака функции график ее расположен над осью Ох, в интервале отрицательного знака — под осью Ох, в нуле функции график имеет общую точку с осью Ох (рис. 5). II. Определение. Функция называется четной, если при изменении знака у любого значения аргумента значение функции не изменяется: Функция называется нечетной, если при изменении знака у любого значения аргумента изменяется только знак значения функции, а абсолютная величина этого значения остается без изменения:

13]

§ 3. НАЧАЛО ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ, ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ

39

В этом определении предполагается, что функции определены в области, симметричной относительно начала координат. Примерами четных функций могут служить примерами нечетных функций: График четной функции симметричен относительно оси Оу; график нечетной функции симметричен относительно начала координат. (Предоставляем читателю доказать это; см. рис. 6.) Разумеется, функция может быть ни четной, ни нечетной; например, таковы функции: и т. п.

III. О п р е д е л е н и е . Функция называется периодической, если существует такое положительное число а, что для любого * справедливо равенство (*) Если функция периодическая, то имеют место также равенства:

и вообще при любом х и для произвольного целого (положительного или отрицательного) числа k. Наименьшее положительное число а, при котором условие (*) соблюдается, называется периодом функции. Примером периодической функции может служить функция у — sin x; ее период равен 2л. Если периодическая функция не определена в точке х0, то она не определена и во всех точках xo + ka, где а —период. Например, функция y — tgx, период которой равен я, не определена в точках -у + Ля-.

40

ГЛ. 1. ФУНКЦИЯ

[13

Поведение периодической функции достаточно рассмотреть в любом интервале, длина которого равна периоду функции, например в интервале 0 сГлг^Ся, где а—период; в остальных точках оси Ох значения функции получаются простым повторением значений, принимаемых ею в этом интервале. График периодической функции получается путем повторения части графика, соответствующего интервалу оси Ох, равному по длине периоду функции (рис. 7). Рис. 7. IV. Весьма важной особенностью в поведении функции является в о з р а с т а н и е и у б ы в а н и е . О п р е д е л е н и е . Функция называется возрастающей в интервале, если большим значениям аргумента соответствуют бдльшие значения функции 1); она называется убывающей, если большим значениям аргумента соответствуют меньшие значения функции. возрастает в и н т е р в а л е [ а , Ь], Таким о б р а з о м , f(x) если для любых значений хл, хг, удовлетворяющих условию а^хх 0 называются п а р а б о л а м и соответ2 ствующих порядков. Так, у — х (обыкновенная парабола) — пара3 бола второго порядка, у=х — парабола третьего порядка, или кубическая парабола. Часто встречающаяся линия у — х'1> (или 2 я 3 у —X ) — парабола порядка /2 — называется полукубичес к о й п а р а б о л о й (рис. 20). Графики функции у = х" при я < 0 являются линиями существенно другого типа, чем указанные параболы. Пусть п——т, где т > 0. На рис. 21 в первом координатном угле представлены графики функций у = -^ для различных т > 0. Все функции убыв а ю т в интервале (0, оо). Когда х неограниченно возрастает, у убывает, неограниченно приближаясь к нулю, и, наоборот, когда у неограниченно возрастает, х убывает, неограниченно при-

20)

§ 4. СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

57

ближаясь к нулю. Отсюда мы заключаем, что при любом т > 0 положительные полуоси Ох и Оу являются а с и м п т о т а м и линий Так же, как и раньше, все линии проходят через точку

0,1).

Рис. 20. Линии

называются

гиперболами

соответ-

ствующих порядков; при т=\ получается обычная равнобочная гипербола. В заключение отметим, что линии в физике и технике иногда называют п о л и т р о п н ы м и к р и в ы м и . 20. Показательная и логарифмическая функции. I. П о к а з а т е л ь н а я ф у н к ц и я . Показательная

функция

рассматривается только при Эта функция определена на всей оси Ох и всюду положительна: а* > 0 при всяком л;; это означает, что когда х — дробное число, мы берем т о л ь к о арифметическое значение корня. Поэтому график показательной функции расположен над осью Ох; 1

) При а < 0 область определения функции состоит только из рациональных ч и с е л у которых знаменатель q — нечетное число; при а—1 функция при всех * равна 1.

58

[20

ГЛ. I. ФУНКЦИЯ

так как а ° = 1 , то он проходит через точку (0,1). Поведение показательной функции существенно зависит от того, будет ли а > 1 или а < 1. Если с > 1, то с увеличением показателя х увеличивается и у, причем неограниченное возрастание аргумента вызывает неограниченное же возрастание и функции. Если а < 1 , то, наоборот, при неограниченном возрастании аргумента функция убывает и неограниченно приближается к нулю. График показательной функции с основанием а симметричен относительно оси Оу графику показательной функции с основанием 1 / 1 \х можно записать так: v = i — . В самом деле, функцию у = ( — ) откуда видно, что для положительных х она принимает те же значения, что и функция у = а* для равных им по абсолютной величине отрицательных х, и наоборот. А это и означает, что графики функций и симметричны относительно оси ординат. На рис. 22 показаны графики показательных функОсь Ох служит асимптотой

Рис. 22.

цийприя = 2, 3, 10, Vi, 7з, 7 линий у = а*. Показательные функции встречаются в самых разнообразных задачах. При этом чаще всего имеют дело с показательной функцией, в основании которой лежит специальное число е, играющее очень важную роль в математике (см. п. 31); его приближенное значение равно 2,718. Иногда функцию у — е* называют экспоненциальной, а ее график—экспонентой,

II. Л о г а р и ф м и ч е с к а я функция

функция.

Логарифмическая

обратна показательной функции Поэтому легко построить график логарифмической функции. Именно, перегнув рис. 22 по биссектрисе первого и третьего координатных

20]

§ •. СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

59

углов, мы и получим графики логарифмических функций при тех же основаниях а (рис. 23). Опишем, пользуясь этими графиками, поведение логарифмической функции. Прежде всего, мы видим, что логарифмическая функция определена на всей положительной полуоси Ох и не определена для отрицательных и нулевого значений независимой переменной. Все логарифмики проходят через точку (1,0), так как логарифм единицы всегда равен нулю. Поведение логарифмической функции существенно зависит от того, будет ли а > 1 или о < 1 . В первом случае (а > 1) логарифм во всем интервале (0, оо) — возрастающая функция, притом отрицательная в интервале (0, 1) и положительная в интервале (1, оо). Во втором случае (а < 1) логарифм во всем интервале (0, оо) — у б ы в а ю щ а я функция, притом положительная в интервале (0, 1)и отрицательная в интервале (1, оо). Рис. 23. График логарифмической функции с основанием а симметричен относительно оси Ох с графиком логарифмической функции с основанием Принимая во внимание, что логарифмическая и показательная функции взаимно, обратны, имеем (см. п. 18) первое из этих равенств справедливо при любом х, второе — при х>0. Пользуясь последним соотношением, всякую степенную функцию с любым показателем я можно представить в виде сложной функции, составленной из показательной и логарифмической функций:

Возьмем логарифмические функции при двух ра ных основаниях at и а 2 , т. е. Выражая х из первого равенства через уг и подставляя во второе равенство,

СО

гл. i. ФУНКЦИЯ

получим:

{21

или, иначе,

Полагая х — а2, получим соотношение Чтобы перейти от системы логарифмов при одном основании (а 2 ) к системе при другом основании ( а Д нужно логарифмы чисел в п е р в о й системе у м н о ж и т ь

на

постоянное

/

число I-.

1

\

I—

так называемый модуль перехода от одной системы логарифмов к другой. Следовательно, логарифмы чисел при разных основаниях пропорциональны друг другу, т. е. одна логарифмика переходит в другую посредством увеличения или уменьшения всех ее ординат в одно и то же число раз. Логарифмы с основанием я = 1 0 обозначают через l g * и называют десятичными, а с основанием а — е через 1плг и называют натуральными (см. п. 37 II). § б. Тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические и обратные гиперболические функции 21. Тригонометрические функции. Гармонические колебания. I. Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е функции. В качестве независимой переменной тригонометрических функций

в математическом анализе всегда принимается радианная мера дуги или угла. Так, например, значение функции у — sinх при х = х0 равно синусу угла в х0 радианов. Напомним, что радианной мерой дуги называется ч и с л о , равное отношению длины этой дуги к радиусу окружности. Именно при таком способе измерения аргумента делается понятным смысл таких выражений, как x-\-s\nx, ЛГСОБЛ: И Т. П. Рекомендуем читателю вычислить с помощью таблиц значения написанных выражений при Между шестью тригонометрическими функциями: :уществуют пять простых независимых алгебраических соотношений, выводимых на основании определений этих функций и позволяющих по одной из них находить остальные. Тригонометрические функции периодичны. Именно, функции s/пл; и c o s * (а потому и cosec* и sec.*:) имеют период 2л, а функция t%x (а потому и ctgjt) —период я.

21]

§ 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

61

Перейдем к известным графическим изображениям тригонометрических функций. Начнем с функции jr = sin JC. ПО ее графику видно, что в интервале

эта функция возрастает от нуля

до единицы, а затем в интервале ходя через нуль в точке

убывает до — 1 , про-

и, наконец, в интервале

Рис. 24.

снова возрастает до нуля. Так как функция 3' = sinx имеет период 2я, то весь ее график ( с и н у с о и д а ) получается передвижением вправо и влево интервала [0, 2я] вместе с соответствующей ему частью графика на 2я, 4л, 6я, . . . (рис. 24). Функция у = = sinjc нечетная; это хорошо видно на графике: он симметричен относительно начала координат. Так как то, согласно п. 14, графиком функции J; = COSA; является рассмотренная выше синусоида, сдвинутая влево по оси Ох на ~ (рис. 25).

Рис. 25. В интервале [0, я] функция проходя через О в точке

убывает от 1 до - 1, и затем в интервале [я, 2п]

возрастает от —1 до 1, проходя через О в точке дальше она изменяется периодически. Функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Функцию рассмотрим на интервале [0, я]. В точке она не определена; когда л; неограниченно приближается к -~-

ГЛ. I. ФУНКЦИЯ

[21

слева (возрастая),^, будучи положительным, неограниченно возрастает, а когда х неограниченно приближается к у справа (убывая), у неограниченно возрастает по абсолютной величине, оставаясь отрицательным. Так как функция y = tgx имеет период я, то аналогичная картина наблюдается в окрестности каждой точки х~ = (2k-{-\)~, где k — любое целое число. На всей оси Ох график функции у — t g х ( т а н г е н с о и д а ) получается из графика в интервале {0, я] простым поffk вторением на основании свойства периодичности (рис. 26). В каждом интервале, где функция у=tgх определена, она в о з р а с т а е т . Так как j> = tgjr — функция нечетная, то график симметричен относительно начала координат. Рекомендуем читателю представить себе графики трех остальных тригонометрических функций (cosec x, sect, ctg*) и затем описать их особенности. II. Г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я . Тригонометрические функдии имеют важРис. 26. ные применения в математике, в естествознании и в технике. Они встречаются там, где приходится иметь дело с п е р и о д и ч е с к и м и я в л е н и я м и , т. е. явлениями, повторяющимися в одной и той же последовательности и в одном и том же виде через определенные интервалы аргумента (чаще всего — времени). Простейшие из таких явлений — г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а ния, в которых расстояние s колеблющейся точки от положения равновесия является функцией времени t: 1

Эту функцию называют синусоидальной. Постоянное число А ) называется амплитудой колебания. Число А представляет собой то наибольшее значение, которого может достигнуть s (размах ') Мы всегда можем считать его положительным, так как если оно отрицательно, то функцию можно записать в виде

21]

§ 5.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ,

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ

ФУНКЦИИ

63

колебания). Аргумент синуса называется фазой колебания, а число равное значению фазы при ' " — начальной фазой. Наконец, называется частотой колебания. Происхождение последнего термина делается ясным из связи между со и п е р и о д о м Г нашей функции (периодом колебания). Функция периодическая; ее период Т равен так как для увеличения фазы на 2л нужно к независимой переменной t прибавить

Поэтому

и значит, число

показывает, сколько периодов укладывается в единице времени, т. е.. сколько раз данное периодическое явление повторяется в течение единицы времени; это число дает, следовательно, ч а с т о т у явления. Число со показывает, сколько раз явление повторится за 2я единиц; его называют круговой частотой, а иногда и просто частотой. Для того чтобы построить график синусоидальной функции

запишем эту функцию в виде построения графика этой функции методы, указанные в п. 14. Рекомендуем читателю самостоятельно построить график функции

и применим для

этот график показан на рис. 27. Колебания,описываемые уравнением Рис. 27. называются простыми гармоническими колебаниями, а их графики — простыми гармониками. Часто встречаются суммы простых гармонических колебаний— функции вида

ГЛ. I, ФУНКЦИЯ

[22

Колебания, получающиеся в результате сложения нескольких простых гармонических колебаний, называются сложными гармоническими колебаниями, а их графики— сложными гармониками. Эти графики могут иметь очень сложную форму. На рис. 28 дан график функции

(пунктиром проведены графики слагаемых функций). Эта функция периодическая, с периодом 2л. График ее является сложной

в

Рис. 28.

гармоникой, получившейся в результате наложения двух простых гармонических колебаний: 22. Обратные тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции определяются с помощью результатов п. 18. Начнем с функции, обратной для функции y=zsinx. Область определения sin д: — всю числовую ось — разбиваем на интервалы монотонности, которых бесконечно много:

Выберем в качестве основного интервал

и функцию,

обратную к функции y — sinx на этом интервале, обозначим через j / == arcsinJC. Так как область значений функции y — sinx есть интервал f—1, I], то этот же интервал есть о б л а с т ь о п р е д е л е н и я функции областью ее з н а ч е н и й является

интервал

Значение функции arcsin x есть радианная мера угла, синус которого равен данному значению независимой переменной х; из всех углов, удовлетворяющих этому условию, выбирается угол,

22]

§ S. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

65

заключенный между — у и тг • Таким образом, равенство д> = = arcsinjc эквивалентно двум следующим: sin _у = sin (arcsin х) = лг,

—^'^З'^^--

Строя по обычному правилу график обратной функции, т. е. перегибая рис. 24 по биссектрисе первого и третьего координатных углов, получим жирную линию на рис. 29. Сразу видно, что функция в о з р а с т а ю щ а я и нечетная Образуя в каждом из указанных выше интервалов монотонности соответствующую обратную функцию, мы получим бесконечно много однозначных ветвей; все они по-прежнему определены в интервале [ — 1, 1]. Графики двух из них, соответствующих интервалам ! показаны на рис. 29. Рекомендуем читателю проверить, что первая функция равна—я—arcsin х, a вторая я—arcsin.*;, и написать выражения еще для двух функций, соответствующих соседним интервалам. Всю совокупность однозначных ветвей обозначают через Пользуясь уже принятой терминологией, можно сказать, что функция Arcsinx б е с к о н е ч н о з н а ч н а , так как она состоит из бесконечного Рис. 29. числа однозначных ветвей. Изображая их все на графике, мы, очевидно, получим ту же синусоиду, что и на рис. 24, только иначе расположенную относительно осей координат {рис. 29). Обычно приходится иметь дело только с ветвью ^ = агс8тл;; ее называют главным значением функции Arcsin л:. Совершенно аналогично определяется функция, обратная к функции y — cosx. Интервалами монотонности cosx являются интервалы

Функцию, обратную к функции y~cosx в интервале [0, л], обозначим через ^ = arccosjc. График ее показан жирной линией на рис. 30. Эта функция определена в интервале [—1, 11 и принимает значения, заключенные между 0 и я:

3 Краткий курс математического анализа

66

ГЛ. Г. ФУНКЦИЯ

[22

Следовательно, равенство у — arccos х эквивалентно двум равенствам Функция у = arccos х у бы в а ющ а я, так как в интервале [0,п] убывает и cosx. Для вычисления ее значений важно отметить равенство которое немедленно вытекает из формулы приведения cos (я—а) = — cos a. Совокупность всех однозначных ветвей обратной функции (их по-прежнему бесконечно много) обозначим через у — Arccos х; график» этих ветвей изображены на рис. 30. Функция у = arccos x называется главным значением Arccos x. Отметим следующие формулы, проверить которые предоставляем читателю:

Перейдем к функции, обратной для функции y = tgx. В интервале функция t g * возРис. 30.

растает и, следовательно, имеет обратную, которую мы обозначим через y — arctgx; графиком ее служит жирная линия на рис. 31. Из свойств функции tgx следует, что функция у~arctgх определена на в с е й числовой оси и является в о з р а с т а ю щ е й и н е ч е т н о й . Область ее значений—интервал

Совокупность остальных однозначных ветвей обозначается через у — Arctgx; графики их как бы «параллельны» графику arctg.* и получаются параллельным переносом этого графика вдоль оси Оу на величину kn, где k—любое целое число (рис. 31). Функция у — arctgх называется главным значением Arctg л:. Рекомендуем читателю также исследовать функцию, обратную к

ctgx.

Всюду в дальнейшем, если не будет оговорено противоположное, под обратными тригонометрическими функциями мы будем понимать их главные значения.

221

§ 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

67

Рис. 31. т. е. графиком нашей функции в интервале

служит отрезок пря-

мой у —п—х, пересекающейся под прямым "углом с^прямой у = х в точке

Рис. 32.

Рис. 33.

Л1 (-g-. -Tj-j. График функции у = arcsin (sin x) в интервале изображен на рис. 32; дальше он продолжается периодически.

68

[23

ГЛ. F. ФУНКЦИЯ

Рассуждая вполне аналогично, придем к следующим соотношениям:

Функция j/=arccos (COSJT) определена на всей оси Од;, имеет период, равный 2я, причем в интервале [я, 2nJ она равна 2я—х\ графиком этой функции служит та же линия, что и изображенная на рис. 32, только иначе расположенная относительно осей координат (рис. 33). Точно так же найдем

Функция # = arctg (tg х) определена на всей оси Ох, кроме точек любое целое

Рис. 34.

число, и имеет период, равный я; график этой функции, показанный на рис. 34, состоит из отрезков прямых линий, повторяющих через пе-

риод, равный я, отрезок прямой у~х в интервале

23. Гиперболические и обратные гиперболические функции. Хотя функции, названные в заголовке пункта, не принадлежат к числу основных элементарных функций, мы все же рассмотрим их здесь, так как они могут быть исследованы самыми простыми сред ствами. Эти функции понадобятся нам в дальнейшем; кроме того, они встречаются при решении различных прикладных задач (в курсах электротехники, сопротивления материалов и др.).

1. Определение.

Гиперболическими косинусом (chjf),

синусом (яплг) и тангенсом (thjtr) называются функции, определенные формулами

где e=s=2,7!8... (см. п. 31). Эти функции определены на всей числовой оси. Они связаны рядом соотношений, аналогичных соотношениям между соответствующими тригонометрическими функциями, что и объясняет их названия. В частности, имеют место легко проверяемые формулы:

23]

§ 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ,

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

69

Графики функций c h x и sh.x: легко построить по графикам фунх кций е и е~* (см. п. 20), используя метод, указанный в конце п. 14. График функции y = chx (и его построение) показан на рис. 35, а). Эта функция ч е т н а я и п о л о ж и т е л ь н а я . Функция 3> = shAr н е ч е т н а я ; при х > 0 она положительна, при.

У

Рис. 35. х < 0 отрицательна и при х — 0 равна нулю. Ее график показан на рис. 35, б). Из графиков, да и прямо из определяющих формул видно, что при больших положительных значениях х слагаемое е~х/2 роли не играет, и можно считать, что

Уже при х > 4 абсолютная ошибка этих приближенных равенств меньше чем 0,01, а относительная ошибка меньше чем 0,04%. Отсюда ясно, что true при больших положительных значениях х приближается к единице, оставаясь все время меньше единицы. Так как функция y = t\ix н е ч е т н а я и прид: = О равна нулю, то уже можно схематически построить ее график (рис. 36). (По форме он очень похож на график arctg x (рис. 31); надо только помнить, что его асимптотами являются прямые >> = ± i » а не прямые у— ±-к, как для arctgje.)

70

гл. i. ФУНКЦИЯ

[23

П . О б р а т н ы е г и п е р б о л и ч е с к и е ф у н к ц и и . Функции, обратные к соответствующим гиперболическим функциям, обозначаются через (читается: ареа-косинус гиперболический, ареа-синус гиперболический, ареа-тангенс гиперболический). Функция БЬЛГ определена и возрастает в интервале (— оо, оо); область ее значений совпадает со всей осью Оу (рис. 35, б). Поэтому функция у = Arshх также определена на всей числовой оси и возрастает. Ее можно выразить при помощи логарифмической функции. Для этого запишем равенство у — Arsh x в виде

и разрешим полученное уравнение сначала относительно еу, а затем и относительно у. После простых преобразований получаем откуда Второе решение квадратного уравнения мы отбрасываем, таккаконопри всех значениях х отрицательно и не может равняться положительной величине еу. Вспоминая определение натуральных логарифмов (п. 20, II), окончательно получаем

(*) Функция спл: убывает в интервале (— оо, 0] и возрастает в интервале [0, оо); область ее значений — интервал [I, оо). Следовательно, функция y = Archx состоит из двух однозначных ветвей, определенных при х ^ 1 . Проводя такие же выкладки, как при выводе формулы (#), получим два выражения: Первая функция обратна к функции y = chx в интервале (—оо, 0], а вторая—в интервале [0, оо). Легко заметить, что

т. е. что Разумеется, так и должно быть в силу четности функции Функция определена в интервале (— 1, 1)—это область значений функции как нетрудно проверить, равна

В заключение порекомендуем читателю построить графики всех обратных гиперболических функций.

ВОПРОСЫ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ

71

ВОПРОСЫ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной числа? 6. Сформулировать основные предложения об абсолютных величинах. 7. Что называется абсолютной ошибкой и предельной абсолютной ошибкой? 8. Что называется относительной ошибкой и предельной относительной ошибкой? 9. Что называется функцией одной независимой переменной? областью определения функции? областью значений функции? 10. Привести примеры функций целочисленного аргумента. 11. Что называется графиком функции в системе декартовых координат? 12. Что значит задать функцию? Определить табличное, аналитическое и графическое задания функции. Описать особенности, достоинства и недостатки каждого из этих способов. 13. Указать возможные способы обозначения функции. 14. Что такое частное значение функций? Как оно записывается? 15. Перечислить основные элементарные функции. 16. Какая функция называется сложной? Привести примеры сложных функций. 17. Какая функция называется элементарной? 18. Дать определения алгебраической, рациональной, иррациональной и трансцендентной функций. 19. Какая функция называется неявной? Привести примеры неявных функций. 20. Что называется нулем функции? 21. Какая функция называется четной? нечетной? 22. Какая функция называется периодической? Что такое период функции? 23. Какая функция называется возрастающей (убывающей) в интервале? 24. Что называется интервалом монотонности функции? 25. Что называется наибольшим (наименьшим) значением функции в интервале? 26. Описать построение графика функции y = aif,(aix-\-a3)Jrai, где а х , а и e s , а 4 —постоянные, если известен способ построения графика функции

y = t(x).

27. Определить линейную функцию, начертить ее график, сформулировать и доказать ее основное свойство. 28. Определить квадратичную функцию, начертить ее график и описать ее поведение. 29. Определить дробно-линейную функцию, начертить ее график и описать ее поведение. 30. Какие функции называются взаимно обратными? Как построить график обратной функции по графику данной функции в системе декартовых координат? 31. Как определяются однозначные ветви функции, обратной для немонотонной функции? 32. Начертить графики степенных функций при различных показателях степени и описать поведение этих функций. 33. Начертить графики показательных функций при различных основаниях и описать поведение этих функций.

72

ГЛ. !. ФУНКЦИЯ

34. Начертить графики логарифмических функций при различных основаниях и описать поведение этих функций. 35. Начертить графики тригонометрических функций и описать поведение этих функций. 36. Что называется простым гармоническим колебанием, амплитудой > фазой, начальной фазой, периодом, частотой, круговой частотой колебания? 37. Как построить простую гармонику? 38. Что называется сложным гармоническим колебанием? Как построить сложную гармонику? 39. Начертить графики обратных тригонометрических функций и описать поведение этих функций. 40. Определить гиперболические функции, начертить их графики и описать поведение этих функций. 41. Описать свойства обратных гиперболических функций и начертить их графики.

ГЛАВА II ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ § 1. Предел функции. Бесконечные величины 24. Предел функции непрерывного аргумента. Рассмотрим функцию y—f(x) непрерывного аргумента х (см. п. 7) и введем важнейшее в математике понятие п р е д е л а ф у н к ц и и ; это понятие играет фундаментальную роль во всем математическом анализе. Пусть независимая переменная х н е о г р а н и ч е н н о п р и б л и ж а е т с я к числу х0. Это означает, что мы придаем х значения, сколь угодно приближающиеся к х0, но не равные х0. Запишем это так: х-*х0, и будем говорить, что х стремится к лг0. Может оказаться при этом, что соответствующие значения f{x) и ео гр ан ич е н н о п р и б л и ж а ю т с я к некоторому числу А. Тогда говорят, что число Лесть п р е д е л функции y=f(x) при х -*• х0 или что функция y=f(x) с т р е м и т с я к числу А при х-*х0. О п р е д е л е н и е . Число А называется пределом функции y=f(x) при х—*х0, если для всех значений х, достаточно мало отличающихся от числа х0, соответствующие значения функции / ( * ) как угодно мало отличаются от числа А. Если А есть предел функции f(x) при х—* хй, то это записывают так: Символ lim составляется из первых трех букв латинского слова limes (французского limite), означающего «предел». Точка х 0 , к которой стремится независимая переменная*,называется ее предельной точкой. Следует обратить внимание на то, что в этом определении не требуется, чтобы функция была задана и в предельной точке; нужно только, чтобы функция была определена в к а к о й-н и б у д ь окрестности предельной точки, но не обязательно в самой точке. Так, например, функция j> = 5!Hi н е определена при х — 0, но, как это будет доказано в п. 30, она стремится к 1 при х, стремящемся к

74

ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

[24

нулю. Отыскание предела функции, определенной в некоторой окрестности точки х0, но не в ней самой, и будет составлять одну из важнейших задач теории пределов. Как же проверить в ы ч и с л е н и я м и , что число А есть предел функции Это делается так: задаем положительное к а к у г о д н о м а л о е число е; если для него можно всегда подобрать такое положительное число б, что для в с е х х (не равных л: 0 ), удовлетворяющих неравенству (т. е. для х, принадлежащих б-окрестности точки х0), будет справедливо также и неравенство то число А действительно есть предел функции / ( # ) п р и л г — * х 0 . Мы увидим в дальнейшем, что подобную проверку, очель громоздкую и затруднительную в конкретных случаях, с которыми нам предстоит встречаться, не будет нужды производить, так как мы укажем простые правила для отыскания пределов в этих случаях. В качестве примера возьмем функциюу — Зх—1 и докажем, что она имеет при х—»• 1 предел, равный 2. Зададим положительное число е. Для того чтобы имело место неравенство или, что то же, неравенство

нужно, чтобы было выполнено неравенство

Таким образом, для всех х, отличающихся от 1 меньше чем на наша функция будет отличаться от 2 меньше чем на е, где е — произвольное положительное число, и следовательно, функция_у~ в самом деле стремится к 2 при х—>-1. В этом примере можно взять Наличие у функции предела, равного А, геометрически иллюстрируется следующим образом (рис. 37): восставим к оси Ох в точке х0 и к оси Оу в точке А перпендикуляры, продолжив их до пересечения в точке М, и произвольно зададим положительное число е; тогда найдется такая б-окрестность точки •* = -*о> ч т о часть графика функции y=f(x), соответствующая этой окрестности, будет содержаться в полосе, ограниченной прямыми

у = А—е и у~А +

§

24]

1.

ПРЕДЕЛ

ФУНКЦИИ.

БЕСКОНЕЧНЫЕ

ВЕЛИЧИНЫ

75

Должно быть ясно, что если при х-^-х0 функция имеет предел, то только один, ибо значения функции для значений х, приближающихся к х0, должны быть как угодно близки к какому-то постоянному числу и,следовательно, не могут быть одновременно близки к д в у м р а з н ы м постоянным числам. Приближаясь к своему пределу, функция может оставаться больше его или меньше его, а может становиться, по мере приближения аргумента к предельной Рис. 37. точке, то больше его, то меньше, т. е. колеблясь около своего предела; при этом она может принимать и значения, равные пределу. Примеры этого мы встретим дальше. Рассматривая постоянную величину А как функцию, следует считать, что она имеет предел, равный ей самой: lim A —A. х-*х.

Действительно, разность Л — Л равна нулю и, значит, меньше любого наперед заданного положительного числа. Функция у = х при дг—>лг0 имеет, как легко видеть, предел, равный д;0, какова бы ни была точка х0: В самом деле, неравенство где е—произвольное положительное число, будет справедливо для всех х, принадлежащих е-окрестности точки АГ0, И значит, в данном случае можно взять просто б = е. Определение предела функции само по себе не дает еще способов его о т ы с к а н и я ; ниже мы выведем некоторые правила, при помощи которых и будем отыскивать пределы функций. Приведем теперь пример функции, не имеющей предела. Функция (п. 22)

при

не стремится ни к какому числу. Действительно, для значений

* в достаточно малой окрестности точки

значения

76

ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ см

[25

ис

функции будут как угодно близки к -^~ ( - Р - 34), а для значений х в той же окрестности, но б о л ь ш и х

-^-, значени я функции будут как угодно близки

к—«-1 и следовательно, нет такого числа, к которому значения функции были бы как угодно близки для в с е х значений х в окрестности точки -^. 25. Бесконечно большой аргумент. Пусть независимая переменная х функции у = /(х) неограниченно возрастает. Это означает, что мы придаем х любые значения, большие всякого наперед заданного положительного числа. Коротко говорят, что х с т р е м и т с я к п о л о ж и т е л ь н о й б е с к о н е ч н о с т и , и записывают: х—f-f-°°- Если х неограниченно убывает, т. е. становится меньше всякого наперед заданного отрицательного числа, то говорят, что

Рис. 38. х с т р е м и т с я к о т р и ц а т е л ь н о й б е с к о н е ч н о с т и , и записывают так: х •—*• — оо. Аргумент функции, изменяющийся указанным образом, называется бесконечно большим аргументом. Изучая функцию f(x) при бесконечно большом аргументе, мы предполагаем, разумеется, что она определена при всех рассматриваемых значениях х. Может оказаться, что при бесконечно большом аргументе соответствующие значения /(х) неограниченно приближаются к некоторому числу А. Тогда говорят, что число А есть п р е д е л функции у=:/(х) при х—>• -f-oo или при х~* —оо или что функция y—f(x) с т р е м и т с я к числу А при х —•*• -f- оо или х ~* — оо. Рассмотрим сначала детально случай, когда х—*•-•(-оо. Определение. Число А называется пределом функции y~f(x) при х—*-\-оо, если для всех достаточно больших значений х соответствующие значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа А,

25]

§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

77

Пели А есть предел функции f{x) при писывают так: А. Наличие у функции y=f(x) при х-* + оо предела, равного А, геометрически иллюстрируется следующим образом (рис. 38): восставим к оси Оу в точке А перпендикуляр и произвольно зададим положительное число е; тогда найдется такое число N, что часть графика функции >>=/ (х), соответствующая значениям х, большим этого числа, будет содержаться в полосе, ограниченной прямыми Легко привести геометрические примеры функций, которые Рис приближаются к своему пределу, - зэубывая (рис. 39, /), возрастая (рис. 39, //)и колеблясь (рис. 38). В последнем случае график может любое число раз пересекать прямую^ = А, т. е. функция может любое число раз принимать значение, равное пределу. Имея в виду геометрическую иллюстрацию предела функции при л:—*- + оо, часто говорят, что кривая y~f(x)npu х —•• + оо имеет прямую у = А своей асимптотой. Определение и геометрический смысл предела функции при х~+ —оо совершенно аналогичны только что рассмотренным, и мы рекомендуем читателю сформулировать их самостоятельно. Иногда бывает, что и при X —>-+ оо и при х—•—оо функция f(x) стремится к о д н о м у и т о м у же пределу А. Это значит, что для всех значений х, достаточно больших по абсолютной величине, соответствующие значения f{x) как угодно мало отличаются от числа А. Записывают это так:

Геометрическая иллюстрация этого случая заключается в том, что г рафик функции_у=/(лг) будет находиться в полосе, ограниченной прямыми у = А~-е и > = Л + е, где е—сколь угодно малое положительное число, если только точки х будут достаточно удалены от точки jc = O (рис. 40). Иначе говоря, прямая .у = Лбудет являться асимптотой графика функции^ —/(*) и при* —•• + °° и прих —• —оо.

78

ГЛ. И. ПРЕДЕЛ.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

[25

Проверить вычислениями, что число А есть предел функции f(x) при х—• + оо(дг—*—оо), можно так: задаем положительное как угодно малое число е; если для него всегда существует такое положительное число N, что для всех х, удовлетворяющих неравенству

x>N

(x 0. Для того чтобы выполнялось неравенство

т. е. достаточно иметь

ибо \х—1|^|JC| — 1. щего неравенству

Значит,

для

всякого

х, удовлетворяю-

функция -^-т будет отличаться от 1 не больше чем на в, а это и доказывает, что lira^-— = 1; здесь в качестве указанного выше х *

х-+•—оо. Из рис. 31 ясно, что

26. Последовательности и их пределы. Рассмотрим теперь функции ц е л о ч и с л е н н о г о аргумента. Такой аргумент часто обозначают буквой п, а значения функции—какой-нибудь буквой, нижним индексом которой берется соответствующее значение целочисленного аргумента. Так, если y=f(h) есть функция целочисленного аргумента п, то записывают: у„—/(п)> Значения

Л=/0),

Л " / ( 2 ) , . . . , * „ = / ( " ) , -..,

принимаемые функцией целочисленного аргумента, образуют, как говорят, последовательность. Определение. Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью целых чисел и расположенных в порядке возрастания номеров. Если дана последовательность yv у%, уг, . . . , то тем самым каждому целому неотрицательному значению я поставлено в соответствие значение yn~f(n). Например, члены геометрической прогрессии г , г , | ,

...

ями функции / ( я ) = 2й.

являются последовательными

значени-

80

ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

[26

М о ж е т случиться, что с у в е л и ч е н и е м п з н а ч е н и я у п = / ( « ) н е о г р а н и ч е н н о п р и б л и ж а ю т с я к некоторому числу А. Т о г д а г о в о р я т , что ч и с л о А е с т ь п р е д е л ф у н к ц и и f(n) ц е л о ! ч и с л е н н о г о а р г у м е н т а п и л и п о с л е д о в а т е л ь н о с т и у1,у2, •••>3 га , ••• при п—*• оо, и з а п и с ы в а ю т :

О п р е д е л е н и е . Число А называется пределом функции y=f(n) целочисленного аргумента п или последовательности yit Уг> • • • г УП' • • •« е с л и Д л я в с е х достаточно больших целых значений и соответствующие значения уп как угодно мало отличаются от числа А. Мы видим, что понятие предела функции целочисленного аргумента можно считать частным случаем понятия предела функции бесконечно большого аргумента, стремящегося к положительной бесконечности, когда этот аргумент принимает только ц е л ы е значения. Значит, число А есть предел последовательности Уи Уя, • • • i Уа> • • • > е с л и д л я в с я к о г о положительного числа е можно указать такое положительное число N, что при в с е х п > N справедливы неравенства П р и м е р ы . 1) Последовательность

имеет предел, равный 1. Действительно, для того чтобы модуль разности

был меньше заранее данного положительного числа е. нужно только выполнение неравенства

Таким обра-

зом, по заданному числу е всегда можно указать такое что при всех указанный модуль разности будет меньше е, а это и означает, что 1 есть предел рассматриваемой последовательности. 2) Рассмотрим последовательность

Функция

стремится к нулю при

27]

§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

так как

для всех

удовлетворяющих

81

условию

Разность

будет положительной или отрицательной в зависимости от того, нечетно или четно п. Значения уп, неограниченно приближаясь к нулю, становятся попеременно то больше нуля, то меньше нуля. Переменная стремится к своему пределу, колеблясь вокруг него. 3) В элементарной геометрии доказывается, что периметр правильного вписанного в данную окружность n-угольника, как функция целочисленного аргумента п, имеет предел, который и принимается в качестве длины окружности. Аналогично и площадь этого я-угольника имеет предел, который и принимается за площадь круга. 4) Укажем примеры последовательностей, не имеющих предела. а) Последовательность . я . 2п . Зя . пп sin -^ , sin -у, sin -у, . . . . sin -у , . . . не имеет предела, так как ^ n = sin-2- при л = 1, 2, 3, 4, . . . последовательно принимает значения 1, 0, — I , 0 и затем опять те же значения в том же порядке и т. д. Нет числа, к которому уп неограниченно приближалось бы. б) Функция уп — 2п-\-\, значения которой при я — 1 , 2, 3, . . . составляют последовательность целых нечетных чисел 1, 3, 5, .. . , не стремится к пределу, так как значения уп при я—>-оо неограниченно увеличиваются. 27. Бесконечно большие величины.

Ограниченные функции.

В дальнейшем для сокращения письма мы будем приводить определения только для случая, когда х стремится к к о н е ч н о м у пределу ха. Необходимые изменения формулировок при стремлении х к бесконечности предоставляем сделать читателю. I. Б е с к о н е ч н о б о л ь ш и е в е л и ч и н ы . Рассмотрим случаи такого «предельного поведения» функции у — /(•*), когда она при х—>х0 неограниченно возрастает по абсолютной величине. В этих случаях говорят, что функция f(x) является при х—>-д;0 бесконечно большой величиной. О п р е д е л е н и е . Функция y=f(x) называется бесконечно большой величиной при х —* х0, если для всех значений х, достаточно мало отличающихся от * 0 , соответствующие значения функции f(x) no абсолютной величине превосходят любое наперед заданное сколь угодно большое положительное число.

82

ГЛ.

1Г.

ПРЕДЕЛ.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Если функция f(x)—бесконечно большая величина то это записывают так:

Г27 при X—*х0,

Наше определение бесконечно большой величины указывает, что, как только аргумент х достаточно близко подойдет к л-„, абсолютная величина функции f(x) станет как угодно большой. Как же проверить вычислениями, что функция f(x) при х—• х0 является бесконечно большой величиной? Это делается так: задаем положительное как угодно большое число М; если для него можно подобрать такое положительное число б, что для в с е х х, не равных х0, удовлетворяющих неравенству будет справедливо также и неравенство то функция f(x) будет действительно бесконечно большой величиной при х—*хй, В случае х—• оо то же самое будет, если для числа М можно подобрать такое положительное число N, что для всех х, удовлетворяющих неравенству будет справедливо также и неравенство Тот факт, что функция является бесконечно большой величиной, геометрически иллюстрируется следующим образом (рис. 41, а): произвольно зададим положительное число М;

Рис. 41. тогда найдется такая б-окрестность точки х~х0, что часть графика функции у~/(х), соответствующая этой б-окрестности, будет находиться вне полосы, ограниченной прямыми у = — М,у~М. Случай, когда х—+ + оо, показан на рис. 41,6.

271

§ !• ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

83

Функция y—f(x), являющаяся при х —* х 0 бесконечно большой величиной, не имеет предела в обычном смысле. Желая, однако, отобразить ту закономерность в ее предельном поведении, которая заключается в неограниченном возрастании l/(je)l> говорят, что функция f(x) с т р е м и т с я к б е с к о н е ч н о с т и или имеет своим пределом б е с к о н е ч н о с т ь . Допустим, что бесконечно большая величина у = f{x) в некоторой окрестности точки х — х0 принимает либо только положительные, либо только отрицательные значения. Эту особенность в предельном поведении функции f(x) выражают так: Функция f(x) стремится к положительной или соответственно к отрицательной бесконечности. Записывают это следующим образом: lim f(x) — + <x>,

lim f{x) — — оо.

Условность этих выражений и записей необходимо всегда иметь в виду и помнить, что бесконечность (оо) не есть число, поэтому и говорить о каких-нибудь действиях над оо лишено всякого смысла. Нельзя смешивать постоянное очень большое число с бесконечно большой величиной. П р и м е р ы . 1) Функция

является бесконечно

большой величиной. Действительно, для справедливости неравенства

где М—любое положительное число, нужно только, чтобы выполнялось неравенство

т. е. чтобы значения х принадлежали ^-окрестности точки * = 0 (в данном примере 8 =-г.). Итак,

Если х—>0 и х принимает только отрицательные значения, то стремится к —оо, а если только положительные, то у =

II. О г р а н и ч е н н ы е ф у н к ц и и. О п р е д е л е н и е . Функция yz=sf(x) называется ограниченной

в данном интервале, если существует такое положительное число М, что при всех значениях х, принадлежащих этому интервалу, выполняется соотношение М. В противном случае функция называется неограниченной. График ограниченной функции целиком лежит между прямыми Иногда бывает удобнее говорить, что функция ограничена, если ее значения заключены между какими-либо двумя числами А и В: В этом случае ее график лежит между прямыми у~ А и у~В. Например, функции о г р а н и ч е н ы на всей оси Ox, a функция " н е о г р а н и ч е н а на оси Ох. Следует подчеркнуть, что, говоря об ограниченности функции, необходимо указывать интервал, и котором она рассматривается. Так, функция ограничена в интервале (1, оо) и не ограничена в интервале (О, 1); функция y — tgx ограничена в интервале

и не огра-

ничена я интервале В связи со сказанным введем следующее определение. О п р е д е л е н и е. Функция называется ограниченной при х—»х0, если в некоторой окрестности точки х0 эта функция ограничена. Разумеется, всякая постоянная величина является ограниченной. Точно т а к ж е и всякая функция v--/(.v), имеющая при х—>-лг0 предел, является ограниченной при х—> х0. В самом деле, если

28]

§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

85

то в некоторой окрестности точки х0 значения функции f (х) как угодно мало отличаются от числа Л. Величина, бесконечно большая при является, конечно, неограниченной функцией при Заметим, что обратное заключение уже не обязательно справедливо, а именно не всякая неограниченная функция является бесконечно большой величиной. Например, функция принимает сколь угодно большие значения

и,

следова-

тельно, не является ограниченной при х—• со, в то же время она обращается в нуль при сколь угодно больших значениях х(у*=/гл = 0) и, значит, не может стремиться к бесконечности. Ведь последнее означает, что при всех достаточно больших х значения у по абсолютной величине сколь угодно велики и, разумеется, не могут равняться нулю. Рекомендуем читателю выяснить геометрический смысл сделанного замечания, построив схематический график функции y — xsinx.

28. Бесконечно малые величины. О п р е д е л е н и е . Функция, стремящаяся к нулю при называется бесконечно малой величиной при Говорят также, что эта функция есть бесконечно малая величина в о к р е с т н о с т и точки х0. Примерами бесконечно малых величин могут служить функции:

Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бесконечно малой величиной. Единственным числом, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, служит нуль (в силу того, что предел постоянной равен ей самой). Бесконечно малая величина есть, разумеется, величина о г р а ниченная. Бесконечно большие и бесконечно малые величины играют очень важную роль в математическом анализе. Между ними существует простая связь, хотя первые из них представляют собой функции, не имеющие предела, а вторые—функции, имеющие предел. Т е о р е м а . Если функция /(х)—бесконечно большая величина, то —бесконечно малая величина; если —бесконечно малая величина, то — оесконечно большая величина. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть f(x)—+ оо при х —*ха', нам нужно убедиться в том, что Зададим произвольное малое число е > 0 • и возьмем число Так как —бесконечно большая величина, то для

66

ГЛ. П. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

[29

в с е х X, достаточно близких к х0, будет Но тогда а это и означает, что Аналогично доказывается и вторая часть теоремы; нужно только считать, что в некоторой окрестности точки х0 функция определена, т. е. что Важными для дальнейшего являются следующие теоремы. П р я м а я т е о р е м а . Если функция имеет предел, то ее можно представить как сумму постоянной, равной ее пределу, и бесконечно малой величины. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Тогда, если е — произвольное малое положительное число, то \f{x)—/4/• оо каждая из этих величин стремится к нулю, но вместе с тем растет и их число. Сумма

л2 ~ 2я а ~ 2 ~г Чп при л—у оо — вовсе не бесконечно малая величина, а величина, стремящаяся к -ц • Из теоремы I непосредственно следует Т е о р е м а Г. Предел суммы конечного числа слагаемых равен сумме пределов этих слагаемых. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть даны определенное число k слагаемых и, v, . .. , t, стремящихся соответственно к пределам а, Ь, ..., d, и их сумма w. Докажем, что

Имеем (см. прямую теорему в п. 28) где а, р

т—бесконечно малые величины. Следовательно,

291

§ !• ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

89

где w = a - f P + .. . + * ' , как сумма к бесконечно малых слагаемых, в силу теоремы I является бесконечно малой величиной. Так как w равна сумме бесконечно малой величины ю и постоянной i + 6 + . . . + d , то последняя и является пределом для w (см. обратную теорему п. 28). Т е о р е м а И. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая величина. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть a—бесконечно малая величина, а и—функция, ограниченная в некоторой окрестности предельной точки: (и\-0. Так как бесконечно малая величина—ограниченная, то произведение двух бесконечно малых есть также величина бесконечно малая. Утверждение теоремы может стать неверным, если и не есть ограниченная функция (пример: при Из теорем I и II следует Т е о р е м а 1Г. Предел произведения конечного числа множителей равен произведению пределов этих множителей. Д о к а з а т е л ь с т в о . Сохраняя обозначения теоремы Г, мы докажем, что

Возьмем сначала произведение двух множителей: п и н . Имеем

и, значит, Величина, заключенная в скобки, вследствие теорем И и 1 бесконечно мала, и потому Пусть дано три множителя: и, v, t. Тогда

90

ГЛ. It. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

[29

Теорему легко последовательно распространить на любое конечное число множителей. Из этой теоремы, в частности, следует, что: 1) постоянный множитель можно выносить за символ предела:

так как предел постоянной величины равен самой этой величине, и 2) предел целой положительной степени функции равен той же степени предела этой функции:

Т е о р е м а III. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а — бесконечно .чалая величина, а и—функция, предел которой отличен от нуля: limu — A=£0. Теорема утверждает, что Для доказательства убедимся в том, что

—ограниченная

функция. Пусть, например, Значения функции и приближаются к числу Л и в некоторой окрестности предельной точки будут больше, например, чем

тогда

Это и означает, что функция

ограничена в окрестности пре-

дельной точки. Аналогично проводится доказательство и для случая А < 0. (Рекомендуем читателю в качестве упражнения провести его самостоятельно.) В силу того, что частное дение ограниченной функции

можно рассматривать как произвена бесконечно малую а, по теореме II

что и требовалось доказать. Т е о р е м а ИГ. Предел частного равен частному от деления пределов, если только предел знаменателя не равен нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Нти — а и Mmv — b^Q. Тогда где а и р — бесконечно малые величины.

29]

§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

91

Покажем, что Действительно,

но дробь

в силу теоремы III является бесконечно малой

величиной: числитель ее на основании предыдущих теорем бесконечно мал, а предел знаменателя, равный й 2 , по условию отличен от нуля. Значит, Если 6 = 0, то теорема теряет смысл. Приведем пример, иллюстрирующий изложенные правила'.

В этом примере мы искали предел р а ц и о н а л ь н о й функции при условии, что аргумент стремится к конечному значению (не обращающему, однако, знаменатель дроби в нуль). Оказалось, как легко заметить, что для того, чтобы найти такой предел, достаточно в выражение функции подставить вместо независимой переменной ее предельное значение 1 ). Перейдем теперь к рассмотрению случаев, когда теоремы о пределах неприменимы. Особенно часто это бывает при отыскании предела отношения —,

когда

предел знаменателя

равен

нулю.

При этом, если предел числителя не равен нулю, то отношение — является величиной бесконечно малой (см. теорему Ш), а отношение — является величиной бесконечно большой и lim — = со. V

V

Если же и числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, то для отыскания предела необходимы дополнительные преобразования' или специальные рассмотрения. Точно.так же дополнительного исследования требуют и случаи, когда функция не определена в предельной точке и когда аргумент х стремится к бесконечности. Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие эти случаи. х ) Далее, в § 2, мы увидим, что этот простой способ отыскания предела относится ко в с я к о й э л е м е н т а р н о й ф у н к ц и и , если только предельная точка принадлежит области определения функции.

92

ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

[29

П р и м е р ы . I) При х—*• 3 знаменатель стремится к нулю, но к пулю стремится и числитель. Но так как для всех значений х, отличных от х — 3. Поэтому, в соответствии с определением предела, получаем

Эта функция стремится к оо, так как знаменатель дроби при X—* 1 есть бесконечно малая величина, а числитель при этом к нулю не стремится. Действительно, lim (х2 — 5лг-(-4)=0, a lim (2л: — 3) = — 1; поэтому в силу теоремы III ДГ-» 1

а так как величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая, то

Здесь и знаменатель и числитель — бесконечно малые величины. Имеем

4) lim — - г . Деля числитель и знаменатель на х, будем иметь

5) Если jf—>• оо, то дробно-рациональная функция стремится либо к нулю, либо к бесконечности, либо к конечному числу, отличному от нуля, в зависимости от того, будет ли степень числителя меньше степени знаменателя, больше ее или равна ей.

30]

§ ^'

П Р Е

Д

Е Л

ФУНКЦИИ. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

93

В самом деле, в рациональной дроби

разделим числитель и знаменатель ка

при х—>-ос знаменатель стремится к Ьо, а числитель— к кулю» если т п, и к а0, если т — п. Ясно, что предел будет один и тот же при произвольном стремлении х к оо. Таким образом,

30. Один признак существования предела функции. Первый. замечательный предел. Существуют различные признаки существования предела функции, которые приходится применять тогда, когда непосредственно отыскать предел бывает затруднительно. Приведем в виде теоремы один употребительный признак. Т е о р е м а . Если значения функции f(x) заключены между соответствующими значениями функций F{x) и Ф(л), стремящихся при х—*-JC0 к одному и тому же пределу А, то f(x) яра х—*х0 также имеет предел, равный числу А. Доказательство. Пусть и Докажем, что Возьмем произвольную е-окрестность числа А. По условию существует такая 6-окрестность точки х0, что соответствующие значения F (х) и Ф (я) принадлежат е-окрестности числа А. Но тогда в силу заданных неравенств значения f(x), соответствующие точкам указанной 6-окрестности точки хй, также будут находиться в е-окрестности числа А, Так как е — произвольно, то это и означает, что Urn f(x) = A, Х - *

что и требовалось доказать.

ДГ,

ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

[30

Рекомендуем читателю рассмотреть геометрический смысл доказанной теоремы. Применим теперь доказанный признак к выводу важного предельного соотношения

о котором мы уже упоминали в п. 24. Этот предел часто называется первым замечательным пределом. в

Т е о р е м а . Функция имеет предел, равный 1:

Рис. 42.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем исходить из геометрического определения синуса. Возьмем окружность радиуса 1 и предположим, что угол а, выраженный в радианах, заключен в границах 0 < а < - ^ . является четной функцией, то достаточно рассмо-

треть случай, когда а > 0 . ) Из рис. 42 видно, что площадь Д ОАС < площади сектора ОАС оо

ходит из любой окрестности точки у~0. Аналогично обстоит дело и в случае убывающей последовательности Если эта последовательность ограничена снизу: уп > т для любого п, то она имеет предел А, не меньший числа т, т. е. А~^т. Если же она не ограничена, то функция f(n) стремится к —оо:

Для немонотонной последовательности возможны не два, а т р и случая: 1) последовательность имеет предел; 2) последовательность стремится к бесконечности; 3) последовательность не имеет предела ни конечного, ни бесконечного (например, последовательность в этом случае она называется колеблющейся. Благодаря высказанному простому признаку можно иногда убедиться в наличии предела, хотя сам по себе признак и не указывает, чему равен этот предел. Применим признак к доказательству существования важного предела, который часто называется вторым замечательным пределом. Сформулируем его в виде теоремы: Т е о р е м а . Функция имеет предел при я—+ оо. • Д о к а з а т е л ь с т в о . По формуле Ньютона имеем -Л • М " _ 1 . я 1 . "(«-О 1 2 | п(п-1)(п~2) 1 уv *

\

^ п J

~

^ 11 п ^

2!

п(п— l)...(n-k+l) I k\

л ~*~

3!

Я

з "Г • • •

') Строгое доказательство этого предложения мы опускаем.

31]

§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

97

С увеличением п каждое слагаемое (кроме первых двух), стоящее на фиксированном k месте, увеличивается. Действительно,

становится больше с ростом и. Кроме того, при возрастании п добавляются новые положительные слагаемые. Следовательно, Уп — возрастающая функция п. Но она ограничена; в самом деле, заменив во всех членах правильные дроби, стоящие в скобках, единицами, получим

Мы еще больше увеличим правую часть, если произведем такие замены:

Следовательно,

тем более, дописав в правой части члены прогрессии KS, KJT+I > • • • , получим Уп ^ 1 ~Ь I ' ~Ь"2"~Ь"§2 + "2з + • • • + 2 Й + • • • J • Так как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, заключенной в скобках, равна 2, то Итак, данная возрастающая последовательность ограничена сверху, а значит, на основании изложенного в этом пункте признака имеет предел, который, очевидно, заключен между 2 и 3. Этот предел называется числом е1). 1

) Это обозначение, как и обозначение отношения длины окружности к диаметру через я, введено Л. Эйлером. Л. Э й л е р (1707—1783) —великий математик, физик и астроном. Ему принадлежат важнейшие работы по математическому анализу, небесной механике, теории кораблестроения и другим разделам науки. Долгие годы живя в России, он оказал большое влияние на развитие отечественной математики. 4 Краткий курс математического анализа

ГЛ. И. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

(32

О п р е д е л е н и е . Числом е называется предел

Число е иррациональное и поэтому не может быть, точно выражено какой-нибудь конечной дробью. Приближенно оно равно Число е играет очень важную роль в математическом анализе. Оказывается, что функция

имеет предел не только тогда, когда ее аргумент принимает целочисленные значения х — п, но и при непрерывном его изменении и стремлении к -f-oo или к — оо; при этом пределом служит то жесамое число е. Итак,

Чтобы не загромождать изложения, мы опускаем доказательство этого предложения. Отметим, что сформулированный в настоящем пункте признак существования предела последовательности без всякого изменения переносится и на функции непрерывного аргумента: если функция f(x) возрастает и при х—c-f-oo остается ограниченной (см. п. 27, II), то она имеет предел. Предоставляем читателю подобрать примеры, показывающие, что если отказаться хотя бы от одного из условий (возрастания или ограниченности), то функция может предела и не иметь. Аналогичный признак имеет место для убывающей функции, а также для случая х—>- — оо. § 2. Непрерывные функции 32. Непрерывность функции. Напомним прежде всего, что п р и р а щ е н и е м функции y~f (x) в данной точке х0 называется разность

где Ах—приращение аргумента (рис. 43). Введем теперь следующее определение. Определение. Функция у =/(х) называется непрерывной в точке х0, если эта функция определена в какой-нибудь

32]

§

2.

НЕПРЕРЫВНЫЕ

ФУНКЦИИ

99

окрестности точки х0 и если т. е. если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Например, функция у — х3 непрерывна в любой точке дг0. Так как то ясно видно, что если Дл;—• 0, то и Aj/—>- 0, а это и означает что функция непрерывна. (Рекомендуем читателю самостоятельно доказать непрерывность в любой точке х0 функций sinx и cosx.) Описательно можно сказать, что функция непрерывна, если она изменяется п о с т е п е н н о , т . е . если мал ы е изменения аргумента влекут за собой м а л ы е же изменения функции. Эта особенность выражает общую характерную черту многих явлений и процессов. Так, мы считаем, например, что стержень при нагревании удлиняета: ся непрерывно, что рост организма происходит непрерывно, что температура Рис. 43. воздуха изменяется непрерывно и т. п. Пользуясь выражением для Д_у, можно записать также, что

или, иначе, Если обозначить хо-\-Ах через х, то х при Ах—>-0 будет стремиться к х0 и последнее равенство можно переписать так:

Таким образом, можно сказать: Функция у = / ( J C ) непрерывна в точке х0, если она определена в какой-нибудь окрестности этой точки и если предел функции при стремлении независимой переменной х к х0 существует и равен значению функции при х = JC0:

(•) Заметим, что если значение функции f{x) в точке х0, в которой она непрерывна, отлично от нуля, f (х0) Ф 0, то значения функции

100

f(x)

ГЛ. И. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

в некоторой

окрестности

точки

х0

имеют

[33

тот

же

знак,

что

и f{x0). Действительно, вследствие непрерывности существует окрестность точки лг0, в которой значения f(x) настолько мало отличаются от своего предела, т. е. от f{x0), что они остаются положительными, если f{x0) > 0, и остаются отрицательными, если / ( * „ ) < 0. О п р е д е л е н и е . Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой его точке. Для концов интервала определения непрерывности функции в точке надо несколько изменить. Именно, для л е в о г о конца интервала приращению Ах следует придавать т о л ь к о п о л о ж и т е л ь н ы е значения, а для п р а в о г о — только о т р и ц а тельные. Геометрически непрерывность функции у —f(x) в интервале означает, что ординаты ее графика, соответствующие двум точкам оси Ох, как угодно мало отличаются друг от друга, если расстояние между этими точками достаточно мало. Поэтому график непрерывной функции представляет собой сплошную линию без разрывов; такую линию можно вычертить, двигаясь в одном направлении, скажем слева направо, не отрывая карандаша от графика, так сказать, « о д н и м р о с ч е р к о м » . Собственно говоря, во всем предыдущем изложении, в частности при описании свойств и графиков основных элементарных функций в гл. I, мы уже предполагали, что эти функции непрерывны. Мы опустим аналитическое доказательство этого факта и будем считать, что все основные элементарные функции непрерывны в тех интервалах, в которых они определены. В п. 34 это общее положение будет распространено на все элементарные функции. 33. Точки разрыва функции. Если рассматривать график функции у —— в окрестности точки х=0,

то ясно видно, что он как

бы «разрывается» на отдельные кривые. То же самое можно сказать о графике функции у = t g ^ в окрестностях точек x — (2k+ 1) ~ (см. п. 21, рис. 26). Гозорят, что во всех указанных точках соответствующие функции становятся разрывными. О п р е д е л е н и е . Если в какой-либо точке х0 функция не является непрерывной, то точка х0 называется точкой разрыва функции, а сама функция—разрывной в этой точке. При этом предполагается, что функция /(х) определена в некоторой окрестности точки х0; в самой же точке х0 функция может быть как определена, так и не определена. Наиболее характерными и часто встречающимися точками разрыва являются точки б е с к о н е ч н о г о р а з р ы в а , т. е. такие,

33)

§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

101

в окрестности которых функция является неограниченной; например, точка лг = О для функции

точки

для

функции точка * для функции (в последнем примере функция определена только с одной стороны от точки разрыва Важный класс точек разрыва образуют точки разрыва первого рода. Для их определения введем понятие л е в о г о и п р а в о г о пределов функции. Пусть х стремится к х0, оставаясь все время с л е в а от х0, т. е. будучи меньше л:0. Если при этом условии значения функции f(x) стремятся к пределу, то он называется левым пределом функции/(Л;) В точке х0; аналогично определяется и правый предел. Левый и правый пределы обозначаются соответственно так: f{x0 — 0) и /(хо + О). Значит,

Ясно, что если функция имеет предел при п р о и з в о л ь н о м стремлении х к х0, то существуют ее левый и правый пределы и они равны между собой. Обратное тоже справедливо: если левый и правый пределы существуют и равны между собой, то функция имеет тот же предел при произвольном стремлении х к х0. О п р е д е л е н и е . Точкой разры-

ва первого рода функции f(x) назы-

вается такая точка х0, в которой Р и с 44 функция имеет левый и правый пределы, не равные между собой. Геометрическая иллюстрация точки разрыва первого рода ясна из рис. 44. Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго

рода.

Примером точки разрыва первого рода служит точка (см. рис.

34).

Рассмотрим еще функцию

inn функции Эта

функция не определена в точке х = 0. Если х-* О, оставаясь о т р и ц а т е л ь ным,

то

ж и т е л ь н ы м, то

(см. п. 22). Если же х -*• 0, будучи п о л о . Таким образом, точка х — 0 я в л я е т с я

102

[34

ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

точкой разрыва первого рода для функ ц и и Г р а ф и к этой функции схематично изображен на рис. 45. Не следует думать, что точки разрыва второго рода обязательно являются точками бесконечного разрыва. Существуют о г р а н и ч е н н ы е функции, которые при приближении аргумента к точке разрыва не имеют ни левого, ни правого пределов. Примером служит функция i/=sin — X

при х -+• О, в чем можно убедиться, построив схематически ее график, придавая х значения и В дальнейшем нам

Рис. 45.

такие точки разрыва встречаться не будут. Мы также не рассматриваем случаи, когда один из двух пределов существует, а другой нет.

Если в точке х0 левый и правый пределы функции f(x) равны между собой и равны значению f(x0), то функция в этой точке непрерывна. Если функция/(лг) в точке х0 не о п р е д е л е н а , но ее левый и правый пределы существуют и равны между собой, то часто просто полагают f(x0) равной этому общему пределу; при этом условии функция становится непрерывной в точке х0. Так,

Эта

«доопределенная»

функция уже будет непрерывной.

34. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций. Докажем сейчас, что если над непрерывными функциями произвести конечное число арифметических действий или операций взятия функции от функции, то в результате получится, как правило, также непрерывная функция. Все доказательства совершенно однотипны; в каждом случае мы покажем, что предел соответствующей функции будет равен ее значению в предельной точке, а это и означает непрерывность функции.

34]

§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

103

Т е о р е м а I. Сумма конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дано определенное число функций U, v, ..., i, непрерывных в точке х = х0. Требуется доказать, что их сумма •w — u-\-vJr...-\-t будет функцией, непрерывной в точке х=хв. Так как слагаемые функции непрерывны, то

где и0, v0, . , . , ^—значения соответственно функций и, v, ... , . . , t в точке х = х0. В силу теоремы о пределе суммы (п. 29) имеем

где w0—значение функции w при x=xQ. Итак,

lim w = wQ, что

x-*x0

и требовалось доказать. Т е о р е м а 11. Произведение конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке. Д о к а з а т е л ь с т в о . Сохраняя обозначения теоремы I при условии, что w = uv..J, имеем в силу теоремы о пределе произведения (п. 29) lim w = lim (и ••»... t) = lim и • lim v... lim t — uovo.. Jo~ <w0, XX

X

что и требовалось доказать. Т е о р е м а III. Частное двух функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке, если только знаменатель не обращается в ней в нуль. Д о к а з а т е л ь с т в о . Если w — — ,

то по-прежнему в силу

теоремы о пределе частного (п. 29) при условии, что имеем

что и требовалось доказать. Т е о р е м а IV. Сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных функций, непрерывна. Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно доказать эту теорему для случая цепи функций из двух звеньев, потому что тогда последова-

104

ГЛ. II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

[34

тельно можно ее распространить на случай цепи из любого конечного числа звеньев. Пусть y=f(z), a z — (p{x), так что У= f [