Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Мет...
13 downloads
143 Views
446KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Методические указания к типовому расчету
Составители: М.О.Акимов Р.А.Богомолов
Ульяновск 2001
УДК 51(076) ББК 22.161.1я7 Д50
Рецензент доцент кафедры математического анализа УГПУ, кандидат физико-математических наук Чунаева М.С. ^ Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета
Дифференцирование: Методические указания к типовому расчету /Сост. М.Ю.Акимов, Р.А.Богомолов. - Ульяновск: УлГТУ, 2001. - 26 с. Методические указания к типовому расчету составлены в соответствии с программой курса высшей математики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Изложены и продемонстрированы на конкретных примерах методы решения задач указанного типового расчета. Методические указания предназначены для студентов УлГТУ всех специальностей и форм обучения. Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ. ^ *-
УДК 51(076) ББК 22.161.1я7 Оформление .УлГ У, 2001
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ильин В.А. Основы математического анализа. Т.1. - М.:Наука, 1973. 2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, Т. 1. -М.:Высшая школа, 1981. 3. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1. - М.:Наука, 1973. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1.М.:Наука, 1978. 5. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1. - М.:Наука, 1974.
Учебное издание ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Методические указания к типовому расчету ,, Составители: АКИМОВ Михаил Юрьевич БОГОМОЛОВ Роман Анатольевич Редактор Н.А.Евдокимова Подписано в печать 20.09.01. Формат 60x84/16. Бумага писчая, печать трафаретная. Усл.печ.л. 1,40. Уч.-изд. л. 1,20. Тираж 200 экз. Заказ 1894. Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32. Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32.
СОДЕРЖАНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ.......................................................................... 4 2. СПИСОК ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ОБОЗНАЧЕНИЙ, УТВЕРЖДЕНИЙ И ФОРМУЛ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................ 5 2.1 Определение производной ................................................. 5 2.2 Уравнения касательной и нормали ...................................... 5 2.3 Дифференциал и его связь с производной ............................. 5 2.4 Использование дифференциала в приближенных вычислениях .. 6 2.5 Свойства дифференцирования ........................................... 6 2.6 Таблица производных основных элементарных функций ......... 7 2.7 Логарифмическая производная. Производная сложно-показательной функции ....................... 7 2.8 Определение производных произвольного порядка ................. 8 2.9 Свойства дифференцирований произвольных порядков ............ 8 2.10 Таблица производных произвольных порядков некоторых основных элементарных функций ....................................... 8 2.11 Производные первого и второго порядков функции, заданной параметрически............................................................. 9 3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ... О 3.1 Указания к задаче 1 ......................................................... О 3.2 Указания к задаче 2 ......................................................... 3.3 Указания к задаче 3 ......................................................... 12 3.4 Указания к задаче 4 ......................................................... 14 3.5 Указания к задачам 6-10 и 12-14 ................…...................... 14 3.6 Указания к задаче 11 ....................................................... 18 3.7 Указания к задаче 15 ........................................................ 19 3.8 Указания к задаче 16 ........................................................ 19 3.9 Указания к задаче 17 ........................................................ 21 3.10 Указания к задаче 18 ........................................................ 23 3.11 Указания к задаче 19 ........................................................ 24 3.12 Указания к задаче 20 ........................................................ 24 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................... 26
1. ВВЕДЕНИЕ Предлагаемое методическое пособие служит руководством для выполнения типового расчета по теме "Дифференцирование" из сборника типовых расчетов Л.А. Кузнецова "Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты", стр.22-40. В пособии даны указания к решению всех задач расчета, приведены примеры подобных задач с подробным изложением их решений. Для удобства в состав пособия включена краткая сводка основных определений и утверждений, используемых при решении задач расчета; более полные сведения можно почерпнуть из учебников [1-5].
2. СПИСОК ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ОБОЗНАЧЕНИЙ, УТВЕРЖДЕНИЙ И ФОРМУЛ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 2.1 Определение производной Если числовая функция y=f(x) определена в некоторой окрестности гонки х 0 , то (первой) производной функции y=f(x) в указанной точке называется конечный предел
обозначаемый через , то говорят, что производная F'(*) функции f(x) в точке x0 обращается в бесконечность, и обозначают это обстоятельство символически записью f'(x) = оо. Процесс нахождения производной, а также операция перехода от функции к ее производной называются дифференцированием. 2.2 Уравнения касательной и нормали Уравнения касательной (Lt) и нормали (Ln) к графику функции y=f(x) в точке графика с абсциссой х0 и ординатой у0 = f(x0) 1) если значение f'(xn) определено, то
(последнее при f'(xQ) Ф 0). 2) если значение f'(xQ) оо, то L t : х = x0; L n : У = У0.
(4) (5)
2.3 Дифференциал и его связь с производной Пусть числовая функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х 0 . Функция f(x) называется дифференцируемой в точке *0, если ее приращение ) может быть представлено в виде где А - величина, не зависящая от ∆х, а функция а(∆х) - бесконечно малая при х->0. Линейная часть А(∆х) приращения ∆у указанным условием определена однозначно, называется дифференциалом функции y=f(x) в точке х 0 , соответствующим приращению ∆х, и обозначается
символом dy.
Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке необходимо и достаточно, чтобы существовала производная Таким образом, выражение для дифференциала приобретает вид (7) где принято обозначение 2.4 Использование дифференциала в приближенных вычислениях Из определения дифференциала (см. формулу (7)) следует, что если то при приращение функции и ее дифференциал dy в точке х0 являются эквивалентными бесконечно малыми величинами, что позволяет записать приближенное равенство при достаточно малых (по модулю) Следовательно, для всех значений х, достаточно близких к X0 , справедлива формула (8) 2.5 Свойства дифференцирования Связь дифференцирования с производимыми над функциями. Пусть с - постоянная величина и функции. Тогда:
арифметическими
действиями,
- дифференцируемые
(Свойства 4 и 5 могут быть распространены на случай произвольного числа сомножителей).
Дифференцирование сложной функции ("цепное правило"). Пусть функция дифференцируема в точке д:0, а функция
дифференцируема в точке
Тогда сложная
функция дифференцируема в точке х0, и её производная равна
правило может быть распространено на случаи сложной функции, полученной последовательными подстановками из произвольного числа дифференцируемых функций. JTO
2.6 Таблица производных основных элементарных функций
2.7 Логарифмическая производная. Производная сложно-показательной функции Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная натурального логарифма этой функции, т.е. выражение
2.8 Определение производных произвольного порядка Если числовая функция определена в точке , то производной функции порядка нуль в точке называется значение Производной n-го порядка (или п-й производной) функции в точке называется производная в указанной точке от производной рассматриваемой функции порядка (п-1), т.е.
dnx
dx Если значение определено , то о функции п раз дифференцируема в точке дг0.
говорят ,что она /
2.9 Свойства дифференцирований произвольных порядков Пусть а,Ь,с - постоянные величины, и(х) и v(x) дифференцируемые функции. Тогда:
n
2.10 Таблица производных произвольных порядков некоторых основных элементарных функций Всюду ниже а- вещественное число.____________________ 17.1 Отсюда следует, что еслир(х) многочлен степени k, то
2)
(17.2)
2.11 Производные первого и второго порядков функции, заданной параметрически Пусть величина у как функция величины х задана параметрически уравнениями х = q>(t), у = ф(г), где /-вещественный параметр. Тогда:
(при условии, что производные соответствующих порядков функции (p(t) и i//(t) существуют, и #>'(0^0).
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 3. Указания к задаче 1 Формулировка задачи. Исходя из определения производной, для заданной функцииy=f(x) найти /'(0). Способ решения. Сначала необходимо удостовериться в том, что заданная функция определена в некоторой окрестности указанной точки 0, после чего вычислить значение /'(0), непосредственно опираясь на определение производной (см. формулу(1)); при этом решение вопроса о существовании производной совмещается с её вычислением. Пример 1.
Решение. Проверим, что функция j(x) определена в некоторой окрестности точки 0. По условию в самой точке 0 функция/(5cj определена; таким образом, (остаточно указать 8>О ,такое, что для ненулевого x e R , по модулю еныпего S, значение y=f(x) определено. Известно, что значение арифметического корння 4-й степени определено тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно; следовательно, при х Ф 0 значение/fo) определено в том и только в том случае, если 1 - 4х2 cos(7 /х) > О, т.е. х2 cos(7 /х) < 1 /4. 1оскольку значения функции косинус по модулю не превосходят 7, то с2 cos(7/;c)< х 2 ; таким образом, неравенство 1 - 4л:2 cos(l/x)> следует из неравенства х2 < 1/4, равносильного неравенству х < 1/2 (х Ф 0). Итак, в качестве 8 можно взять любое число из промежутка (0,1/2], например, 1/2. Вычислим /'(())• Придадим аргументу функции в точке х0 приращение Дх О < Ах < £). Тогда соответствующее приращение величины у есть
откуда
Прежде чем переходить в полученном выражении Ay/Ах к пределу при Ах -»• 0, заменим в этих условиях величину более простую ей эквивалентную. -заметим, что при АХ —> и величина ^f/дх cos^ / / isx) представляв гобой произведение бесконечно малой величины Ах2 на ограниченную 4cos(?/Ax), и потому сама есть бесконечно малая. Следовательно, MI можем воспользоваться эквивалентностью (l + t)a -1 ~ at при t -> ( (а е R), положив здесь а = 1 / 4 , t = -4Ax2 cos(? / Ах) Таким образом, при Ах —» О Следовательно,
Величина Ах • cos(7 / Ах) при Ах -> 0 есть произведение бесконечно малой Дх на ограниченную величину cos(7 / Ах), и потому сама также есть бесконечно малая. Таким образом, lim (Ах • cos(7 / Ах)) = 0, откуда
Итак, /'(0) существует и равна 3/2.
3.2 Указания к задаче 2 Формулировка задачи. Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1-2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13.-2.31) к данной кривой у = f(x) в точке графика с заданной абсциссой х0. Способ решения. Применить одну из формул (2-5).
ПримерЗ. Решение. Заметим, что откуда видно, что при х=1 полученная формула для производной теряет смысл; подчеркнём, однако, что это обстоятельство никоим образом не позволяет сделать вывода о существовании либо несуществовании производной в точке д:0 или определить значение f'(xQ). Следовательно, необходимо попытаться вычислить f'(x0) непосредственно по определению (см. формулу (1)). Покажем, что f'(xQ) = оо. f В самом деле.
Таким образом, уравнение касательной есть х=1 а уравнение нормали есть у=0. 3.3 Указания к задаче 3 Формулировка задачи. Найти дифференциал dy заданной функции У f(x). Способ решения. Проще всего воспользоваться формулой (7) dy = y'dx, сводящей задачу вычисления дифференциала функции к вычислению производной этой функции. Отметим, что при преобразовании получающихся выражений следует учесть ограничения, налагаемые на область аргумента х, присутствующие в некоторых вариантах задачи.
Пример 4.
Решение. Используя свойства дифференцирования (формулы (9.1-9.6) и (10)) и таблицу производных основных элементарных функций (формулы (11.1-11.15)), получаем последовательно:
14
3.4 Указания к задаче 4 Формулировка задачи. Вычислить приближённо с помощью дифференциала значение заданной функции у = f(x) в указанной точке х. Способ решения. Следует применить формулу С целью достижения приемлемой точности вычисляемого значения f(x) рекомендуется точку д:0 выбирать так, чтобы, вопервых, х0 была бы удалена от точки х на расстояние, не превышающее 7, и, во-вторых, значения f(x0) и f'(xQ) были определены и их можно было бы вычислить точно. Пример 5. Решение. Положим XQ = 3. Обоснуем правильность такого выбора точки д:0. Ясно, что х0 достаточно близка к заданной точке х = 2,995. Далее, ,
\.t
3.5 Указания к задачам 6-10 и 12-14 Формулировка задачи. Найти производную заданной функции f{x). Способ решения. Прямое вычисление с использованием свойств дифференцирования (формулы (9.1-9.6) и (10)) и таблицы производных основных элементарных функций (формулы (11.1-11.15)). При преобразовании получающихся выражений следует учитывать ограничения, налагаемые на область изменения величины л:, присутствующие в некоторых вариантах рассматриваемых задач. Отметим
в этой связи, что упомянутые ограничения надлежит рассматривать в области определения соответствующей функции. В некоторых вариантах в записи функции /(*), помимо переменной величины х, участвуют один или несколько вещественных параметров, обозначаемых в тексте буквами а,/3,а,Ь,т. При вычислении f'(x) эти параметры следует рассматривать как неопределённые, но постоянные величины. Пример 6.
Решение. Поскольку выражение arcsin(l /(х +1)) в записи данной функции встречается неоднократно, то полезно его производную вычислить отдельно заранее. Обозначив указанное выражение, скажем, буквой z, имеем тогда:
Учитывая условие х + > 0, получаем, что х +1 = х +1, откуда, 1
наконец, Отметим также, что при jc +1 > О Вычислим теперь у'. Имеем:
является постоянной
Решение. Поскольку может быть
Заметим, что выражение
промежуточная
представлено в виде
переменная. Это обстоятельство позволяет существенно ускорить вычисление w' = w'x, если воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции (формула (10)), согласно которому >i/ = w'z -z'x. Вычислим по отдельности w'z и z'x. Имеем:
(мы применили формулу l + sh x = ch x, которая непосредственно следует Л
Л
из тождества ch х - sh х = 1). Далее, z' = chx, так что
*
Пример 8.
Решение.
18
Отметим, что для преобразования получающихся выражении мь; воспользовались тождествами b2 -a1 = ( a - b)(a + b),cos21 - sin2 / = cos2/ и cos2f + sin2/ = l.
3.6 Указания к задаче 11 Формулировка задачи. Найти производную заданной функции вида у = u(x)v(x) либо вида у = w(x) • u(x)v(x). Способ решения. Помимо обычных свойств дифференцирования (формулы (9.1-9.6) и (10)) и таблицы производных основных основных элементарных функций (формулы (11.1-11.15)), для^ дифференцирования сложно-показательной функции u(x)v(x) следует воспользоваться формулой (14). Пример 9. Решение. Положим /=(10*-z)'=z-10*lnlO + 10*.z'. Вычислим z':
Тогда y = 10*-z,
и
3.7 Указания к задаче 15 Формулировка задачи. Найти производную ух; величина у как функция величины х задана параметрически. Способ решения. Применить формулу (18).
3.8 Указания к задаче 16 Формулировка задачи. Составить уравнение касательной и нормали < кривой, заданной параметрически, в точке, отвечающей указанному шачению параметра t = tQ. Способ решения. Пусть наша кривая задана параметрически функциями jt = #?(>), .у = ИХ)изначения ^'('оХуЧ'о) определены. Известно, ITO если (p\tQ)* 0,то в некоторой окрестности точки х0 = > тредставима в виде функции величины jc и дифференцируема в точке *0,
20
причём соответствующая производная х 0 может быть найдена по формуле (18). Таким образом, в этих условиях можно воспользоваться формулами (2-3). Аналогично, если ^'(/ 0 )^0, то в некоторой окрестности точки у0 = ИУо) величина х представима в виде функции величины у и дифференцируема в точке у0, причём x'(yQ) также может быть найдена по формуле (18), если в ней поменять местами символы jc и у а также отвечающие им производные х\у0) и У'(*О)- Подобные изменения следует произвести и в формулах (2-3). Разумеется, если одновременно q>\to)* Q,i//\tQ)* О, то оба подхода применимы и дают одинаковые результаты. Отметим, что в некоторых вариантах задачи в записи функций q>(t) и if/(t} участвует неопределенная постоянная величина, обозначаемая в тексте через а. Пример
Решение. Следователь но, У(*0) = 2/(-1) =-2. Таким образом, касательная ( L t ) n нормаль (£„)к данной кривой в точке (х0,у0) существуют, и их уравнения таковы: ^ 1 ( =у-1 = -2(х\/4),илиу = -2х + 3/2; L =(jt-l/4) + (-2)Q>- =0,или.у = х/2 + 7/8. Пример 12. x=a/cht, у = а-aicsm(tht), tQ = 0 (аФ0). Решение.
Таким образом, касательная (£г)и нормаль (Ln) к данной кривой в точке (х0 уQ) существуют, и их уравнения таковы:
L, :х-а = 0-(у-0), или х = а; L n : (y - 0 ) + 0(д: - а) = 0, или у = 0.
21
3.9 Указания к задаче 17 Формулировка задачи. Найти производную п-го порядка заданной функции y=f(x). Способ решения. Отметим сразу, что, поскольку число п не указано, то условие задачи заключается в том, чтобы вывести "общую" формулу для у(п\ иначе говоря, пред ставить у(п) в виде некоторой элементарной функции, зависящей от вещественной величины х и от натурального параметра п. Для отыскания у(п) следует использовать свойства дифференцирований произвольных порядков (формулы (16.1-16.5)) и таблицу производных произвольных порядков некоторых основных элементарных функций (формулы (17.1-17.7)); при этом в ряде случаев необходимо предварительно представить функцию y-f(x) в виде суммы слагаемых, производные и-го порядка которых могут быть найдены относительно легко. Аналогично, если предполагается применение формулы Лейбница, то надлежит сначала разложить функцию f(x) в произведение двух сомножителей, производные которых всех порядков, не превосходящих п, известны, либо могут быть легко вычислены. Следует иметь в виду, что в некоторых вариантах задачи в записи функции/ft) могут присутствовать неопределённые постоянные величины (параметры), обозначаемые в тексте буквами ank.
Рассмотрим три стандартных варианта решения задачи. Решение I. Разложим сначала величину у в сумму удобных щя
последующего дифференцирования слагаемых: 1оскольку для функции z=x
Решение II. Применим к у = (1 - jc)(2jc + 5)" формулу Лейбница (формула (16.4)). Поскольку (1 - х)' = -1, (1 - х)(1с) О при k > 1, а С\ =
'
и, то при п > О
Решение
Как уже отмечалось в решении I,
III.
Выведем
сначала рекуррентную формулу, выражающую УИ) через производные функции y=f(x) порядков, меньших п. Имеем (2х + 5)у = 1 - х. Продифференцируем полученное равенство почленно п раз; при этом для вычисления производной п-го порядка левой части равенства применим формулу Лейбница (16.4). Поскольку (2х + 5)' = 2 и (2х + 5)(Л) = 0 при k> 1 и С1п = п, то получим при п—1 Л
.
4
РЧ
= —————, а при п>1 2х + 5 (2х + 5)2 9 „,,(«-!) (2jc + 5)^(п) + 2пу(п~1) = 0, откуда у(п) = -=^-—— (2х + 5)/ + 2у = -1, откуда / = -
У
Следовательно, пои «>0
Пример 14. _у = х • sin(ax -1) Решение. Заметим сначала, что х' = 1 и x(k) = 0 при k> Далее, по формуле (17.4) (sinx)(k) =sm(x + kft/2), откуда по формуле (16.5)
(sin(ox- 1))(Л) = акsm(ax-\ + knl2). Следовательно, применение формулы Лейбница (16.4) будет успешным, если положить в ней и(х) = х, и v(x) = sin(ox-l). Поскольку С\=п, имеем:
23
Заметим, что полученному ответу можно придать хотя и несколько громоздкий, но более наглядный вид, а именно:
3.10 Указания к задаче 18
Формулировка задачи. Найти производную заданной функции y=f(x) указанного порядка п. Способ решения. Применить формулу 'Лейбница (16.4), предварительно представив функцию f(x) в виде произведения двух сомножителей, призводные которых всех порядков, не превосходящих п, известны, либо могут быть легко вычислены. Пример 15.
Решение. Положим и(х) = х2 - х, v(x) = ln(l + 2*). Применим формулу Лейбница к функции у=u(x)v(x) при п=4. Оформим результаты вычисления величин u(-k\x),v(k\x)nCkl в виде ТябтТИТТЫ!
* С* 1 х х 2*) 26 0 -96/(1 + 2*)4
'
«(*) ln(l + 2x) 4 2 16/(1 + 2д;)3 4
Таким образом,
v(t)(*) 0 2х-\ 4/(1 + 2х)2 34
2 /(1 + 0
L'
3.11 Указания к задаче 19 Формулировка задачи. Найти производную второго порядка у^ от функции, заданной параметрически. Способ решения. Применить формулы (18-19). Пример 16. Решение.
3.12 Указания к задаче 20 Формулировка задачи. Показать, что данная функция y=f(x) удовлетворяет указанному уравнению (*). Способ решения. Подставить в левую и правую части уравнения (*) вместо символов у,у' и dy выражения /(*),/'(*) и f'(x)dx соответственно, вычислить результаты указанных подстановок и убедиться в том, что после их осуществления левая и правая части уравнения (*) тождественно совпадают. Следует иметь в виду, что в некоторых вариантах задачи в записи как функции Дх), так и уравнения (*) могут присутствовать неопределенные постоянные величины (параметры), обозначаемые в тексте буквами а,Ь,с и п. Пример 17. Решение. Имеем
Подставим полученные выражения величин у и у' в левую и правую части уравнения (*); получим:
1аким образом, после подстановки левая и правая части уравнения (*) тождественно совпадают, что и означает по определению, что данная функция y=f(x) является решением уравнения (*).
Решение. Имеем
Поставим полученные выражения величин у и ау в левую часть уравнения (*) и получим:
Таким образом, после указанной подстановки левая и правая части уравнения (*) совпадают, так что функция y = l/^3-2ecosx является решением уравнения (*).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ильин В.А. Основы математического анализа. Т.1. - М.:Наука, 1973. 2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, Т.1. - М.:Высшая школа, 1981. 3. Никольский С.М. Курс математического анализа, Т. 1. - М.:Наука, 973. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1.М.:Наука, 1978. 5. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1. - М.:Наука, 1974.
Учебное издание ~: ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Методические указания к типовому расчету
Е
Составители: АКИМОВ Михаил Юрьевич БОГОМОЛОВ Роман Анатольевич Редактор Н.А.Евдокимова Подписано в печать 20.09.01. Формат 60x84/16. Бумага писчая, печат ьтра^аретная. УСЛ.ПСЧ.Л. 1,40. Уч.-изд. л. 1,20. Тираж 200 экз. Заказ 1894. Ульяновский государственный технический университет, ~ 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32. Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32,