Теория вероятностей и математическая статистика

ГОУ ВПО «Дагестанский государственный институт народного хозяйства Правительство РД»

Бабичева Татьяна Анатольевна Магомедова Вазипат Гусеновна Кафедра математики Учебно-методический комплекс по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика» для специальностей «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Менеджмент организации», «Налоги и налогообложение», «Маркетинг и коммерция», «Прикладная информатика (в экономике)»

Махачкала – 2007

УДК 591.2(075.8) ББК 22.17я73 Составители: Бабичева Татьяна Анатольевна, преподаватель кафедры математики Дагестанского государственного института народного хозяйства, Магомедова Вазипат Гусеновна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Дагестанского государственного института народного хозяйства Внутренний рецензент: Агарагимов Магомед Расулович, доцент кафедры «Математические методы в экономике» Дагестанского государственного института народного хозяйства Внешний рецензент: Алиев Рзахан Гюльмагомедович, доктор физико математических наук, профессор кафедры математического анализа Дагестанского государственного университета Учебно-методический комплекс разработан с учетом п.41 Типового положения об образовательном учреждении высшего профессионального образования(высшем учебном заведении) РФ, утвержденного постановлением Правительства РФ от 5 апреля 2001г. №204, а также в соответствии с письмом Министерства образования и науки РФ от 19.05 2000г.,№14-52-357ин/13 «О порядке формирования основных образовательных программ высшего учебного заведения на основе государственных образовательных стандартов» Бабичева Т.А., Магомедова В.Г. Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для специальностей «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Менеджмент организации», «Налоги и налогообложение», «Маркетинг и коммерция», «Прикладная информатика (в экономике)». – Махачкала: «Формат», 2007.– 145с. Рекомендовано к утверждению Начальник департамента по учебной работе, председатель методического совета ДГИНХ, д.э.н., профессор Казаватова Н.Ю _________________________________

Одобрено Кафедрой математики, зав.кафедрой Назаров А.Д.

« 28 »августа 2007 г.

« 15 »мая 2007 г.

____________________

2

АННОТАЦИЯ В современной эпохе, эпохе научно – технической революции, возрастают требования к экономистам, программистам по составлению экономических прогнозов, оптимизации принимаемых решений и выбору правильной экономической политики. Для этого требуется достаточно высокий уровень подготовки по математике, теории вероятностей и математической статистике. Математика имеет исключительно важное значение, как в процессе самого обучения, так и в последующей деятельности экономиста как специалиста. Исследование многих процессов в промышленной технологии и экономике связаны с разработкой математической модели данного явления. Для успешного исследования полученной математической модели нужно обладать определенной математической культурой. Изучаемый на экономических специальностях курс математики включает следующие темы: элементы линейной алгебры, элементы аналитической геометрии, введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной и многих переменных, дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей и математическая статистика. Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей массовых случайных явлений. Изучив эти закономерности, человек получает возможность в известной степени управлять случайными процессами, ограничивать их явления, предсказывать результаты их действия и даже целенаправленно использовать их в своей практической деятельности. Как и всякая прикладная наука, теория вероятностей нуждается в исходных экспериментальных данных расчетов. Раздел теории вероятностей, изучающий методы обработки данных для расчетов. Раздел теории вероятностей, изучающий методы обработки результатов опытов и получения из них необходимых данных, называется математической статистикой. Практический в любой области, - политической, финансовой, технической и т.д., где невозможно учитывать все влияющие факторы, применяются методы математической статистики. Данный курс «Теория вероятностей и математическая статистика» является базовым для изучения методов математической статистики, используемых в экономике и предназначен для руководителей (менеджеров) практиков среднего уровня любой сферы деятельности, желающих получить базовые знания в области теории вероятностей и математической статистики в качестве основы для принятия решения в условиях неопределенности. Учебно-методический комплекс составлен на основе учебников: 1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов.– Спб., 2004. 2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М., 2000. 3. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. — М., 2002. 3

УМК составлен согласно требованиям Государственного образовательного стандарта по специальности «Финансы и кредит», «Бухучет, анализ и аудит», «Менеджмент организации», «Налоги и налогообложение», «Маркетинг и коммерция» Всего часов по специальности «Финансы и кредит», «Бухучет, анализ и аудит», «Менеджмент организации», «Налоги и налогообложение», «Маркетинг и коммерция» 84, в т.ч. на лекции 28, на практические занятия 28, на самостоятельную работу 28. Форма контроля 4 семестр – зачет. По специальности «Прикладная информатика в экономике» всего часов 68, в т.ч. на лекции 34, на практические занятия 34, на самостоятельную работу 52. Форма контроля 4 семестр – экзамен. УМК составлен преподавателями кафедры: Бабичевой Т.А. и Магомедовой В.Г. Курс лекций обсужден на заседании кафедры 25 мая 2007 г. протокол №10, рекомендован к использованию студентами в учебном процессе.

1. Цели преподавания дисциплины Цель преподавания данного курса «Теория вероятностей и математическая статистика» – освоение студентами основных терминов теории вероятностей и математической статистики; развитие и формирование логического и алгоритмического мышления, интеллекта и эрудиции, научного мышления; творческое овладение основными методами и технологиями решения задач по теории вероятностей и математической статистике; научить студентов мыслить вероятностными и статистическими методами при решении практических задач.

2. Задачи преподавания дисциплины К основным задачам данного курса относятся: Ø освоение теоретических основ теории вероятностей и математической статистики; Ø развитие практических навыков по использованию аппарата теории вероятностей и математической статистики для решения экономических и организационных задач; Ø формирование навыков работы с литературой по дисциплине.

3. Рекомендации по изучению дисциплины Данный курс является базовым для изучения методов математической статистики, используемых в экономике, он знакомит с основными понятиями теории вероятностей и математической статистики, а также методами 4

исследования математических и прикладных задач. Теория вероятностей и математическая статистика повышает уровень фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной, экономической и другой направленности. Поэтому от студентов требуется определенный уровень освоения содержания курса. Студент должен знать: Ø основы теории вероятностей и математической статистики, предусмотренные программой курса; Ø основные законы распределения; Ø основы математической теории выборочного метода; Ø проверку статистических гипотез. Студент должен уметь: Ø формулировать и решать основные задачи теории вероятностей и математической статистики; Ø внедрять математико-статистические методы исследования при решении прикладных задач информатики, экономики; Ø самостоятельно расширять и углублять знания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика».

4. Требования к минимуму содержания дисциплины Элементы комбинаторики (понятие факториала, размещения, сочетания и перестановки). Случайные события, элементарные события, действия над событиями. Классическое определение вероятности случайного события. Свойства вероятностей. Противоположные события, несовместные события. Зависимые и независимые события. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и Байеса. Случайные величины: дискретные и непрерывные, задание случайных величин и их числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Функция распределения случайных величин и ее свойства. Распределение Бернулли (биномиальное распределение) и Пуассона. Плотность вероятностей. Вероятность попадания в интервал. Равномерное распределение вероятностей. Нормальное (гауссовское) распределение вероятностей. Функция Лапласа и его свойства Основные задачи мат.статистики. Выборочный метод. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма. Статистические оценки параметров распределения. Интервальные оценки параметров распределения. Статистическая проверка гипотез.

5

5. Содержание теоретического материала (лекций) по «Теории вероятностей и математической статистике». № 1

Наименование тем и содержание лекций (план) Элементы комбинаторики Тема 1. Понятие факториала. Размещения, сочетания и перестановки. 1.Комбинаторика, типы соединений. 2.Факториал, перестановки. 3.Размещения и сочетания. Необходимо показать различие при применениях указанных формул; привести примеры экономического характера по всем перечисленным формулам.

2

3

Тема 2. Случайные события. 1.Испытания, опыт, результат испытания. 2.Случайные события, элементарные события. 3.Противоположные события, несовместные события. 4.Действия над событиями. 5.Принципы умножения и сложения. Довести до сведения студентов важные понятия теории вероятности, объяснить их смысл; рассмотреть задачи экономического характера, для решения которых используются принципы умножения и сложения. Тема 3. Вероятность событий. 1.Классическое определение вероятности случайного события. 2.Свойства вероятностей. 3.Относительная частота. Статистическое определение случайного события. 4.Геометрическая вероятность. Довести до сведения студентов основные понятия теории вероятности с указанием их сущности; рассмотреть задачи экономического характера при решении которых применяется классическая вероятность; указать свойства вероятности. Привести исторические примеры подхода к определению статистической вероятности. 6

Количество часов

2

2

2

4

5

6

7

Тема 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей 1.Сложение вероятностей несовместимых событий. 2.Независимые события. Умножение вероятностей независимых событий. 3.Зависимые события, условная вероятность. 4.Умножение вероятностей независимых событий. 5.Совместимые события, сложение их вероятностей. Надо довести до сведения студентов важные теоремы о сумме и произведении вероятности событий; рассмотреть задачи экономического характера, для решения которых используются эти теоремы. Тема 5. Формулы полной вероятности и Байеса. 1. Формула полной вероятности. 2. Формула Байеса. Надо довести до сведения студентов значение формулы Байеса; рассмотреть задачи экономического характера, для решения которых используются эти формулы. Тема 6. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формула Лапласа. 1.Повторение испытаний. Формула Бернулли. 2.Наивероятнейшее число наступления события 3.Формула Пуассона. 4.Локальная и интегральная формула Лапласа. Необходимо показать различие при применениях указанных формул; привести примеры по всем перечисленным приближенным формулам. Тема 7. Дискретные случайные величины. 1. Определение случайной величины, примеры случайных величин. 2.Задание дискретных случайных величин (ДСВ). 3.Числовые характеристики ДСВ – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и их свойства. Необходимо показать способы построения 7

2

2

2

2

рядов распределения дискретных случайных величин, формулы и свойства числовых характеристик. 8

9

10

Тема 8. Основные законы распределения дискретных случайных величин. 1. Биномиальный закон распределения (распределение Бернулли). 2 .Закон распределения Пуассона. 3.Геометрическое распределение. Необходимо показать ряды распределения и числовые характеристики указанных случайных величин; привести различные примеры по всем перечисленным формулам. Тема 9. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики. 1. Функция распределения случайной величины и ее свойства. 2. Понятие непрерывной случайной величины (НСВ). 3. Свойства функции распределения и плотности вероятностей. Связь функции распределения с плотностью распределения. Вероятность попадания в интервал. 4. Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание и дисперсия. Дать определение функции распределения, указать ее связь с плотностью распределения. Привести определение и числовые характеристики непрерывных случайных величин. Тема 10. Основные законы распределения непрерывных случайных величин. 1.Равномерный закон распределения, показательное распределение 2.Нормальный (гауссовский) закон распределения. 3.Функция Лапласа и его свойства. Вероятность попадания в интервал, «правило трех сигм». Необходимо показать функции и плотности распределения указанных случайных величин, их числовые характеристики; привести различные примеры по всем перечисленным формулам. 8

2

2

2

11

Элементы математической статистики Тема 11. Основные задачи математической статистики. Выборочный метод. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма. 1.Цели и задачи математической статистики. 2. Выборочный метод: выборки, способы отбора. 3.Статистическое распределение выборки. 4. Полигон и гистограмма. Довести до сведения студентов цели и задачи математической статистики; объяснить важность применения методов математической статистики в различных науках; рассмотреть задачи экономического характера с использованием выборочных данных, решениями которых являются полигон и гистограмма.

12

13

Тема 12. Статистические оценки параметров распределения. 1.Смещенные, несмещенные, эффективные, состоятельные оценки. 2.Точечные оценки: выборочная средняя, выборочная дисперсия, эмпирический стандарт. Показать смещенность, эффективность и состоятельность статистических оценок параметров распределения; возможность «исправления» некоторых. Тема 13. Интервальные оценки параметров распределения. Точность и надежность этих оценок. Доверительные границы и доверительный интервал. 1.Интервальные оценки, их точность и надежность. 2.Доверительный интервал и доверительные границы. Показать точность и надежность интервальных оценок;рассмотреть некоторые частные случаи построения доверительных интервалов и определения доверительных границ.

9

4

2

4

14

Тема 14-15. Статистическая проверка статистических гипотез. Элементы теории корреляций. 1.Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотеза. 2.Ошибки первого и второго рода 3.Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. 4.Критическая область. Наблюдаемое значение критерия. 5. Коэффициент корреляции. 6. Функции и коэффициенты регрессии.

4

ИТОГО

34

6. Содержание практических занятий Количество часов № п/п 1

Тема и развернутый план практических занятий

Всего

Элементы комбинаторики

В том числе СамостоВ ятельная аудиторабота рии студентов

6

2

4

6

2

4

4

2

4

Тема 1. Понятие факториала. Размещения, сочетания и перестановки. 1.Комбинаторика, типы соединений. 2.Факториал, перестановки. 3.Размещения и сочетания. 2 3

Тема 2. Случайные события. Классическое определение вероятности случайного события. Тема 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей 1.Сложение вероятностей несовместимых событий. 2.Независимые события. Умножение вероятностей независимых событий. 10

3.Зависимые события, условная вероятность. 4.Умножение вероятностей независимых событий. 5.Совместимые события, сложение их вероятностей. Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса. 1. Формула полной вероятности. 2. Формула Байеса.

6

2

4

Тема 5-6. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формула Лапласа. 1.Повторение испытаний. Формула Бернулли. 2.Наивероятнейшее число наступления события 3.Формула Пуассона. 4.Локальная и интегральная формула Лапласа. Тема 7. Дискретные случайные величины. 1.Задание дискретных случайных величин (ДСВ). 2. Функция распределения случайной величины

10

4

6

6

2

4

8

Тема 8. Числовые характеристики дискретных случайных величин. 1.Математическое ожидание. 2.Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

6

2

4

9

Тема 9. Основные законы распределения дискретных случайных величин. 1. Биномиальный закон распределения (распределение Бернулли). 2 .Закон распределения Пуассона. 3.Геометрическое распределение.

6

2

4

10

Тема

4

2

2

4

5-6

7

10.

Непрерывные 11

случайные величины. 1.Функция и плотность распределения. 2.Числовые характеристики непрерывных случайных величин. 11

Тема 11. Законы распределения непрерывных случайных величин. 1.Равномерный закон распределения. 2.Нормальный (гауссовский) закон распределения. 3.Функция Лапласа и его свойства. Вероятность попадания в интервал, «правило трех сигм», показательное распределение.

8

4

4

12

Элементы математической статистики Тема 12. Статистическое распределение выборки. 1.Эмпирическая функция распределения. 2. Полигон 3.Гистограмма.

8

4

4

1314

Тема 13-14. Статистические оценки параметров распределения. Интервальные оценки параметров распределения. 1.Интервальные оценки, их точность и надежность. 2.Доверительный интервал и доверительные границы.

8

4

4

15

Тема 15. Элементы теории кореляций 1. Коэффициент корреляции. 2. Функции и коэффициенты регрессии.

8

4

4

12

ИТОГО

86

13

34

52

7. Лекционный материал по дисциплине. Введение Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками: Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения многих наук. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники. Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин. Мы ежедневно принимаем многие решения в условиях неопределенности. Принято различать неопределенность и риск. Риск - это когда можно сказать, что человек знает, на что он идет, шансы известны, вероятности оценены. Конечно, не всякую неопределенность можно превратить в риск. Но там, где это несложно сделать, это может оказать реальную помощь в принятии решения. Этот курс предназначен для руководителей (менеджеров) - практиков среднего уровня любой сферы деятельности, желающих получить базовые знания в области теории вероятностей и математической статистики в качестве основы для принятия решения в условиях неопределенности. Задача любой науки, в. т. е. и экономической состоит в выявлении и исследовании, которой подчиняется реальный процесс. Найденные закономерности относятся к экономике, имеют не только теоретическую ценность они широко применяются на практике – в планировании, управлении и прогнозировании Теория вероятностей – наука изучающая закономерности случайных 14

явлений. Математическая статистика – раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки разделов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Свой взгляд в возникновение и развитие ТВ и МС внесли Кардано, Пирсон, Бернулли, Фишер, Виет. Отечественные – Колмогоров, Чебышев, Ляпунов, Марков. Лекция №1. Элементы комбинаторики Тема 1. Понятие факториала. Размещения, сочетания и перестановки. План: 1. Комбинаторика, типы соединений. 2. Факториал, перестановки. 3. Размещения и сочетания. Вопрос 1. Комбинаторика, типы соединений. Комбинаторика – (от лат. «соединение») занимается подсчетом количества элементов различных множеств. Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий. Определение. Произведение n натуральных чисел 1 × 2 × 3 × ... × п называется факториалом. Пишут: n! (n-факториал). n!= 1 × 2 × 3 × ... × п , 1!=1, 2!=1*2=2, 3!=1*2*3=6. Принято считать: 0!=1 Группы, составленные из каких-либо предметов, букв, чисел, шаров называется соединениями. Сами предметы называются элементами соединения. Различают 3 типа соединений: 1. Перестановки Р n ; 2.

Размещение А mn;

3.

Сочетания С mn.

15

Вопрос 2. Факториал, перестановки. Определение. Перестановками из n элементов называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком элементов P n = n! Задача 1.Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2, 3, если каждая цифра участвует в изображении числа один раз? Решение:В создаваемых числах цифры попросту переставляют. Дело имеем с перестановкой 123, 213, 321, 231, 132, 312. Р 3 = 3! = 1* *2 * 3 = 6 чисел Вопрос 3. Размещения и сочетания. Определение. Размещениями из n элементов называются такие соединения, которые отличаются либо самими элементами либо порядком элементов. А mn =

n! ( n - m )!

Определение. Сочетаниями из n элементов по m называются такие соединения, составленных из n по m, , которые отличаются хотя бы одним элементом С mn =

n! m ! ( n - m )!

Замечание. Нужно уметь различать сочетание от размещения. Например, если в группе 25 студентов и 10 человек из них вышли из аудитории, стоят и беседуют, то порядок , в котором они стоят не существенно. В этом случае речь идет о сочетаниях: С 10 25 Если же эти десять студентов отправились в буфет, то тогда существенно в каком порядке они стали в очередь. В этом случае речь идет о размещениях: А 10 25 Задача 2. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человека на различные должности. Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из его кандидатов. Решение: Кандидатов нужно разместить по доминантным , т.е. имеем дело с размещениями. 3 А 10 =8*9*10=720 гр. 16

Задача 3. Правление коммерческого банка выбирает из 10-ти кандидатов на одинаковые должности. Сколько всевозможных групп по три человека можно составить из 10-ти кандидатов Решение: 10 !

3 С 10 = 3! (10 - 3 )

=

1/ * 2/ * 3/ * 4/ * 5/ * 6/ * 7/ * 8/ * 9/ * 10 = 120 гр 1 * 2/ * 3/ * 1/ * 2/ * 3/ * 4/ * 5/ * 6/ * 7/

или 3

=

10!

С 10 3!(10 - 3)!

=

7!* 8 * 9 * 10 = 120 гр . 1 * 2 * 3 * 7!

Задача 4. Сколько 9-значных чисел можно составить из цифр 12345? Решение: Будем брать соединения из 5 чисел по 3 n = 5, m =3. Например: 345 и 543 – разные. И значит порядок расположения в числах существует. И речь идет о размещениях А 35 =

5! 5! 2/ * 3 * 4 * 5 = = = 60 чисел. (5 - 3)! 2! 2/ !

Лекция № 2. Тема 2: Случайные события. 1. 2. 3. 4. 5.

План: Испытания, опыт, результат испытания. Случайные события, элементарные события. Противоположные события, несовместные события. Действия над событиями. Принципы умножения и сложения. Вопрос 1. Испытания, опыт, результат испытания.

Испытание (опыт, эксперимент) — это процесс, включающий определенные условия и приводящий к одному из нескольких возможных исходов. Исход или результат некоторого опыта, эксперимента, испытания называют событием. Исходом опыта может быть результат наблюдения или измерения.

17

Испытание Подбрасывание монеты Контроль качества деталей Продажа квартиры Результат футбольного матча

Исход испытания Цифра, герб Годная, бракованная Продана, не продана Победа, проигрыш, ничья

Вопрос 2. Случайные события, элементарные события. Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. В дальнейшем для простоты мы будем опускать термин «случайный». События обозначаются большими латинскими буквами А,В,С, А1, А2, А……. Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием. Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий, подразделяющихся на достоверные, невозможные, совместные, несовместные, единственно возможные, равновозможные, противоположные. Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным. Например, если в урне содержатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие достоверное; другой пример, если мы подбросим вверх камень, то он обязательно упадет на землю в силу действия закона притяжения, т. е. результат этого опыта заведомо известен. Достоверные события условимся обозначать символом Q. Событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания), называется невозможным. Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное; выпадение выигрыша на все номера облигаций в каком-либо тираже выигрышного займа также невозможное событие. Невозможное событие обозначим 0. Достоверные и невозможные события, вообще говоря, не являются случайными. Вопрос 3. Противоположные события, несовместные события. Несколько событий называются совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других. Например, при бросании 3 монет выпадение цифры на одной не исключает появления цифр на других монетах. В магазин вошел покупатель. События 18

«В магазин вошел покупатель старше 60 лет» и «В магазин вошла женщина» – совместные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других. Примеры: 1) выигрыш, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы (одной партии) — 3 несовместных события. 2) При подбрасывании игральной кости могут наступать события: А1- выпадение 1, А2- выпадение 2, А3- выпадение 3 и т. д. Эти события несовместимые , т.к. при однократном бросании может произойти только одно из этих событий. События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или 1, или 2, или... или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут; одно точно произойдет). Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. При бросании игральной кости появление каждой из ее граней — события равновозможные. Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными. Или: 2 события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. Противоположное событие обозначают А . Примеры: 1) Выпадение герба и выпадение цифры являются противоположными событиями. 2) Купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные. Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий. Вопрос 4. Действия над событиями. Пересечение А и В (обозначается как А Ç В) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами и А и В Объединение А и В (обозначается A U В) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами или А, или В, или А и В вместе. Определение. Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А и В т.е С = А + В. Пример. Испытание – стрельба из двух винтовок. Событие – попадание в мишень. А – первой винтовкой, В – попадание в мишень второй винтовкой. Суммой А + В будет С = А + В, состоящее в попадании в мишень хотя бы одной винтовкой. 19

Определение. Произведением событий А и В называется событие С = А · В, состоящее в наступлении как события А, так и события В. Если события А, В и С считать некоторыми множествами, то произведение событий можно представить в виде пересечения множеств:

А

В

АВ АВС ВС АС С

АВ А ÇВ

АС А ÇС

ВС В ÇС

АВС А Ç В ÇС

Вопрос 5. Принципы умножения и сложения. Принцип умножения. Если из некоторого конечного множества А объект (элемент) а может быть выбран т способами, затем для каждого из этих т выборов объекта х из множества В объект b может быть выбран п способами, то оба объекта (элемента) и а и b в указанном порядке могут быть выбраны тп способами. Примечание. Сформулированный принцип распространяется на три и более объектов (элементов) или действий. Задача. Имеется группа из 10 солдат и 7 офицеров. Сколькими способами можно образовать группу дозора из 5 солдат и двух офицеров? Решение. Здесь можно применять прием определения группы, состоящей из двух частей. Анализ позволяет приходить к действию умножения чисел соответствующих частей: C105 × C72 =

10! 7! 10! 7! × = × = 252 5!(10 - 5)! 2!(7 - 2)! 5!5! 2!5! .

Принцип сложения. Если некоторый объект (элемент) х можно выбрать т способами, а объект у можно выбрать п способами, причем эти способы не пересекаются (не совмещаются), то выбор «или х или у» можно сделать т + п способами. Примечание. Принцип сложения распространяется на любое конеч20

ное число объектов (элементов). Задача. В вазе имеются 10 яблок и 8 груш. Сколькими способами можно выбрать из вазы один плод (одно яблоко или одну грушу)? Решение. Одно яблоко можно выбрать 10 способами, т = 10. Одну грушу можно выбрать 8 способами, п =8. По принципу сложения одно яблоко или одну грушу (один плод) можно выбрать т+п = 10 + 8 = 18 способами. Задача. На полке магазина лежат 5 черных и 4 цветных карандаша. Сколькими способами покупатель может выбрать 2 карандаша одного цвета (одинаковых, черных или цветных)? Решение. 1) Скольким способами можно брать 2 черных карандаша из 5? Поскольку формул для подсчета этого числа не имеем, найдем его эмпирически (непосредственно). Пронумеруем черные карандаши цифрами 1 2, 3, 4, 5. В качестве вариантов выбора представляются следующие комбинации карандашей: 12, 13, 14, 15; 23, 24, 25; 34, 35; 45. Всего 4 + 3+2 + 1 = 10 способов. Принимаем т = 10. Сколькими способами можно брать 2 цветных карандаша из 4? Поступаем так, как в предыдущем случае. Вот все эти возможности (варианты): 12, 13, 14; 23,24; 34. Всего 3 + 2+1=6 способов, п = 6. Два черных карандаша можно выбрать 10 способами, 2 цветных карандаша можно выбрать 6 способами. Очевидно, что эти способы отличны друг от друга, а значит 2 карандаша либо черных, либо цветных можно брать т +п =10 + 6=16 способами.

Лекция №3. Тема3. Вероятность событий. 1. 2. 3. 4.

План: Классическое определение вероятности случайного события. Свойства вероятностей. Относительная частота. Статистическое определение случайного события. Геометрическая вероятность. Вопрос 1. Классическое определение вероятности случайного события.

Под вероятностью в широком смысле понимают количественную меру неопределенности или число, которое выражает степень уверенности в наступлении того или иного случайного события. Например, нас может интересовать вероятность того, что объем продаж некоторого продукта не 21

упадет, если цены вырастут, или вероятность того, что строительство нового дома завершится в срок. Количественной мерой наступления случайных событий служит вероятность. Пусть проводится некоторое испытание. И пусть нас интересует один из его исходов – событие А. Обозначим п количество всевозможных исходов испытания; количество исходов благоприятствующих наступлению событию А обозначим т. Определение (классическое определение вероятности). Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов. Р(А) = m

(m 2) вероятность отказа не менее двух элементов за год. Переходя к противоположному событию, вычислим P1000( > 2) как:

Вопрос 4. Локальная и интегральная формула Лапласа. Если число испытаний n велико, то вычисление по формуле Бернулли становятся затруднительными и громоздкими. Эту проблему преодолел Лаплас. Если вероятность появления события А равно р, 0 < р < 1, вероятность не появления равна q=1-p, тогда вероятность появления события А в n испытаниях равна m раз вычисляется по формуле 34

1 npq

Pn ( m ) =

где φ(х) =

1 2p

e

-

x2 2

æ m - np ö ÷, φ çç ÷ npq è ø

(2)

, e ≈ 2,7, π ≈ 3,14.

В локальной формуле (2) Лапласа значения функций φ(х) являются табличными. Задача 3. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле равна 0,2. Какова вероятность, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз. Решение. По условию p = 0,2 , n = 100 , m = 20 , q = 1 – 0,2 = 0,8 ö 1 æ 1 1 20 - 20 ÷÷ = φ ( 0 ) = × 0 ,4 =0 ,1. P100 ( 20 ) = φ çç 4 100 × 0 ,2 × 0 ,8 è 100 × 0 ,2 × 0 ,8 ø 4 ( φ(0) = 0,4 определяем по таблице ). Поставим вопрос: какова вероятность, что событие А при n – испытаниях появится не менее k раз, и не более l раз. На этот вопрос отвечает интегральная формула Лапласа: xl

Pn (k , l ) = ò j ( x )dx = xk

где

xk =

k - np , npq

1 2p

xl

òe

-

x2 2

dx ,

xk

xl =

l - np . npq

35

(3)

Лекция № 7. Случайные величины Тема 7. Дискретные случайные величины. План: 1. Определение случайной величины, примеры случайных величин. 2.Задание дискретных случайных величин (ДСВ). 3.Числовые характеристики ДСВ – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и их свойства. Вопрос 1. Определение случайной величины, примеры случайных величин. Одним из важнейших понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать любые заранее неизвестные значения. Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения. Примеры дискретных случайных величин: 1) число родившихся детей в течение суток в г.Москве; 2) количество бракованных изделий в данной партии; 3) число произведенных выстрелов до первого попадания; Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. Примеры непрерывных случайных величин: 1) время заправки автомашины на автозаправочной станции; 2) дальность полета артиллерийского снаряда; 3) расход электроэнергии на предприятии за месяц. Случайная величина обычно обозначается прописной буквой латинского алфавита (X, У), ее конкретные значения – строчными буквами (х, у). Для дискретных случайных величин при решении конкретных задач указываются их возможные числовые значения. Например, x1=3, x2 =1, x3=5. Вопрос 2. Задание дискретных случайных величин (ДСВ). Распределение дискретной случайной величины. Пусть дискретная случайная величина X может принимать n значений x1, x2,..., хп. Для полной характеристики этой случайной величины должны быть заданы еще и вероятности появления указанных значений p1, p2 ...,pn. Дискретные значения случайной величины и вероятности их появления 36

удобно записывать в следующем виде: X P

x1

x2 p2

p1

xn pn

K K

Пример. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100 000 р., 10 выигрышей по 10 000 р. и 100 выигрышей по 100 р. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета. Решение. Здесь возможные значения для X есть: х1=0, х2=100, х3=10000, х4=100000. Согласно классическому определению вероятности события (p(A )=

m , где m – число благоприятствующих исходов и n – число n

всевозможных 100 р2 = = 0,01, 10000

исходов)

вероятностями

10 р3 = =0,001, 10000

1 p4 = =0,0001. 10000

будут:

Поскольку число

всевозможных исходов равно количеству билетов п=10000, а число благоприятствующих исходов соответственно 100, 10, 1. Зная, что p1+p2 +p3 +p4 =1, находим p1=1–0,01–0,001–0,0001=0,9889. Следовательно, закон распределения выигрыша X может быть задан таблицей: X

0

100

10 000

100 000

р

0,9889

0,01

0,001

0,0001

Пример. Монету подбрасывают 1 раз. Найти закон распределения случайной величины X – выпадение герба. Решение. При подбрасывании монеты герб может выпасть (x1 =1) или не выпасть (x2=0). Вероятностями этих событий будут, соответственно, p1=

1 1 и p2 = . Поскольку число всевозможных исходов равно количеству 2 2

сторон монеты п=2, а число благоприятствующих исходов соответственно m=1. Тогда закон распределения имеет вид X

1

0

р

1 2

1 2

37

Вопрос 2. Числовые характеристики дискретных случайных величин и их свойства. Установленный закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто используются числовые характеристики случайной величины, которые дают некоторое осредненное описание случайной величины, получаемое на основе закона ее распределения. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Пусть случайная величина X имеет закон распределения X P

x1 p1

x2 p2

K K

xn pn

. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M ( X ) = x1 p1 + x2 p 2 + K + xn pn

Из этого определения следует, что математическое ожидание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина. Вероятностный же смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно (в особенности для большого числа испытаний) среднему арифметическому значению случайной величины. Укажем основные свойства математического ожидания. 1. Математическое ожидание постоянной величины С равно С: M(C)=C, C=const; 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=C M(X); 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y), для любых X и Y; 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий M(XY)=M(X)M(Y) Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Z=X+2Y, если известны математические ожидания случайных величин X и Y: М(Х)=5, M(Y)=3. Используя свойства математического ожидания, получаем 38

Пример. Независимые распределения: X P

1 0,2

случайные 2 0,8

величины Y p

заданы 0,5 0,3

законами 1 0,7

Найти математическое ожидание случайной величины XY. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

Случайные величины математическое ожидание

X

и

Y

независимы,

поэтому

искомое

Задача 1. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. ден. ед., а число продаж X автомашин в течение дня подчиняется закону распределения Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене машины в 150 тыс. ден. ед. Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле: Искомая характеристика М(П) находится с использованием указанных ранее свойств математического ожидания (в тыс. ден. ед.): , где M(X) = 0 × 0,25 + 1 × 0,02 + 2 × 0,1 + 3 × 0,1 + 4 × 0,1 + 5 × 0,1 + 6 × 0,05 + 7 × 0,05 + + 8 × 0,025 + 9 × 0,025 = 2,675 Дисперсия дискретной случайной величины. Определение. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением: X - М (X). Определение. Дисперсией или рассеянием называется математическое ожидание квадрата разности отклонения (X-M(X)): D ( X ) = M ( X - M ( X ))2 .

39

Формула дисперсии в развернутом виде:

При вычислении дисперсии удобно воспользоваться формулой, которая непосредственно выводится из формулы: D( X ) = M ( X 2 ) - M 2 ( X ). Задача 2. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным задачи 1. Решение. Для решения будем использовать формулу 2 2 D( X= ) M ( X ) - M ( X ). Закон распределения случайной величины X2 имеет вид

Математическое ожидание М (X2 ) подсчитывается из этой таблицы:

Математическое ожидание М (X) = 2,675. величину дисперсии:

Тогда получаем искомую

D ( X ) = M ( X 2 ) - M 2 ( X ) = 13,475 - 7,156 = 6,319 .

Приведем основные свойства дисперсии. 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(C)=0, где C=const. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: 2 D(CX)= C D(X) 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y), Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D(X+С)=D(X), где С – постоянная величина. Пример. Дисперсия случайной величины X равна 3. Найти дисперсию следующих величин: а) -3X; б) 4Х + 3. Согласно свойствам 2, 3 и 4 дисперсии имеем а) D(-3X) =9D(X)=9×3 = 27; б) D(4X+3) = D(4X)+D(3) = 16D(X)+0 = 16×3 = 48.

40

Среднее квадратическое отклонение. Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины X (стандартом) называется квадратный корень из ее дисперсии Свойства среднего квадратического отклонения s ( CX ) = | C |s (X ) 1.

( X + Y ) = (s ( X )) 2 + (s (Y )) 2 , 2. s Пример. Случайная величина X – число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить числовые характеристики M(X), D(X) и s (Х) этой случайно величины. Решение. Составим ряд распределения. Случайная величина X может принимать значения:

1,

2,

3,

4,

5,

6.

С вероятностями

1 6

pi = ,

i=1, 2, 3, 4, 5, 6, т.к. игральная кость имеет 6 граней и выпадение каждой из них равновозможно. Тогда ряд распределения имеет вид: X

1

2

3

4

5

6

p

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Получаем

41

Лекция № 8. Тема8. Основные законы распределения дискретных случайных величин. План: 1. Биномиальный закон распределения (распределение Бернулли). 2 .Закон распределения Пуассона. 3.Геометрическое распределение. Вопрос 1. Биномиальный закон распределения (распределение Бернулли). Пусть производится n независимых испытаний, и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна. В качестве дискретной случайной величины X рассмотрим число появления события А в этих п испытаниях. Очевидно, что х1 =0, х2 =1, х3 =2, ..., хn+1=п. Вероятности этих возможных значений k даются формулой Бернулли: (*) где q=1-р — вероятность противоположного события (непоявление события А в одном испытании). Формула (*) представляет собой аналитическую форму закона распределения случайной величины (числа появления события А в n независимых испытаниях), которое называется биномиальным; правая часть в (*) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона. Используя формулу (*), можно составить таблицу биномиального распределения. Сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице, т. е.

Определение. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m,..., n с вероятностями где 0 0. Функция распределения нормальной случайной величины имеет вид: F ( x) =

1

+¥

-

( x - a )2 2s 2

dt. ò e s 2p - ¥ Математическое ожидание и дисперсия: MX = a; DX = s 2 . Задача 1. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1,6]. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины. Решение. Плотность вероятности для величины X имеет вид x £ 1, ì 0, ï1 p ( x ) = í 5 , 1 < x £ 6, ï 0, x > 6. î Следовательно, функция распределения, вычисляемая по формуле x

F ( x) = ò p ( x)dx, -¥

запишется в виде x £ 1, ì 0, ïï x F ( x) = í 15 ò dx = 15 x |1x = x5-1 , 1 < x £ 6, ï 1 ïî 1, x > 6. Так как отрезок [a,b]=[1,6], то математическое ожидание будет равно a + b 1+ 6 MX = = = 3,5. 2 2 Находим дисперсию и среднее квадратичное отклонение (b - a ) 2 (6 - 1) 2 25 5 DX = = = , sX = . 12 12 12 2 3 Задача 2. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 10, а среднее квадратичное отклонение равно 2. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (9, 12). Решение. Воспользуемся формулой P( x1 £ X £ x2 ) = Ф(t2 ) - Ф(t1 ) :

По таблице функции Лапласа (см. Приложение) находим: Ф(1)=0,3413, 107

Ф(0,5) = 0,1915. Тогда Р(9